Latihan ini memverifikasi Teorema 15.2.5. Subgrup komutator dihitung dengan metode grup permutasi .commutator(). Untuk grup dihedral berorde \(40\text{,}\)\(D_{20}\) (DihedralGroup(20) dalam Sage), hitung subgrup komutator dan bentuk grup hasil bagi dari grup dihedral tersebut. Kemudian verifikasi bahwa grup hasil bagi ini abelian. Dapatkah Anda mengidentifikasi grup hasil bagi itu secara tepat (dengan kata lain, hingga isomorfisma)?
Untuk setiap bilangan prima yang mungkin, tentukan semua subgrup Sylow-\(p\) yang berbeda dari grup alternasi \(A_5\text{.}\) Pastikan hasil Anda konsisten dengan Teorema Sylow Ketiga untuk setiap bilangan prima. Kita mengetahui bahwa \(A_5\) merupakan grup sederhana. Jelaskan bagaimana fakta ini menerangkan atau memprediksi beberapa aspek jawaban Anda.
Hitung banyaknya elemen berbeda yang termuat dalam gabungan semua subgrup Sylow yang baru saja Anda temukan. Apa yang menarik dari hasil pencacahan ini?
Untuk grup dihedral \(D_{36}\) (simetri segi-\(36\)) dan setiap bilangan prima yang mungkin, tentukan kemungkinan banyaknya subgrup Sylow-\(p\) yang berbeda seperti diprediksi oleh Teorema Sylow Ketiga (Teorema 15.1.8). Kemudian hitung banyaknya subgrup Sylow-\(p\) yang berbeda untuk setiap bilangan prima dan komentari hasilnya.
Dengan teknik seperti yang digunakan dalam contoh-contoh berikutnya pada bab ini, dapat dibuktikan bahwa setiap grup berorde \(72\) bukan grup sederhana. Bahas hasil ini dalam konteks komputasi Anda menggunakan Sage.
Latihan ini memverifikasi Lema 15.1.6. Misalkan \(G\) grup dihedral berorde \(36\text{,}\) yaitu \(D_{18}\text{.}\) Misalkan \(H\) satu-satunya subgrup Sylow-\(3\text{.}\) Misalkan \(K\) subgrup berorde \(6\) yang dibangkitkan oleh dua permutasi a dan b di bawah. Pertama, bentuk daftar konjugat berbeda dari \(K\) oleh elemen-elemen \(H\text{,}\) lalu tentukan banyaknya subgrup dalam daftar ini. Bandingkan hasilnya dengan indeks yang diberikan dalam pernyataan lema, dengan memakai satu pernyataan (panjang) yang menggunakan metode .order(), .normalizer(), dan .intersection() hanya dengan G, \(H\text{,}\) dan \(K\)saja.
Contoh 15.2.11 menunjukkan bahwa setiap grup berorde \(48\) memiliki subgrup normal. Grup disiklik merupakan keluarga tak hingga grup nonabelian berorde \(4n\text{,}\) yang mencakup kuaternion (kasus \(n=2\)). Jadi, grup permutasi DiCyclicGroup(12) berorde 48. Gunakan Sage untuk mengikuti alur logika pembuktian dalam Contoh 15.2.11 dan bentuk subgrup normal dalam grup ini. (Dengan kata lain, jangan sekadar meminta Sage memberikan daftar subgrup normal, tetapi telusuri implikasi-implikasi dalam contoh tersebut untuk memperoleh subgrup normal, kemudian periksa jawaban Anda.)
Pembuktian Teorema Sylow Kedua dan Ketiga (Teorema 15.1.7, Teorema 15.1.8) menggunakan aksi grup pada himpunan subgrup Sylow-\(p\text{.}\) Dalam Teorema Kedua, daftar tersebut mula-mula diajukan sebagai daftar yang belum lengkap, lalu dibuktikan memuat semua subgrup Sylow-\(p\text{.}\) Dalam latihan ini kita akan melihat perilaku aksi-aksi tersebut, serta perbedaannya ketika grup-grup berbeda beraksi pada himpunan yang sama.
Bentuk enam subgrup Sylow-\(5\) dari grup alternasi \(A_5\text{.}\) Keenamnya menjadi himpunan objek bagi kedua aksi kita. Mengonjugasi salah satu subgrup Sylow-\(5\) ini dengan elemen \(A_5\) akan menghasilkan subgrup Sylow-\(5\) lain, sehingga dapat digunakan untuk membentuk aksi grup. Untuk aksi semacam itu, dari setiap elemen grup, bentuk permutasi Sage atas subgrup-subgrup tersebut dengan menomori keenam subgrup dan menggunakan bilangan-bilangan itu sebagai penanda subgrup. Metode daftar Python .index() akan sangat membantu. Kemudian gunakan semua permutasi tersebut untuk membangkitkan grup permutasi (suatu subgrup dari \(S_6\)). Terakhir, gunakan metode grup permutasi untuk orbit dan penstabil, etc. untuk menyelidiki aksi-aksi tersebut.
Untuk aksi pertama, gunakan seluruh \(A_5\) sebagai grupnya. Tunjukkan bahwa aksi yang dihasilkan bersifat transitif. Dengan kata lain, tepat ada satu orbit.
Untuk aksi kedua, gunakan hanya satu subgrup Sylow-\(5\) sebagai grupnya. Tuliskan persamaan kelas untuk aksi ini dalam bentuk yang menyiratkan bagian “kongruen dengan \(1\) modulo \(p\)” dari kesimpulan Teorema Ketiga.
