Bilangan bulat modulo \(n\) dan simetri suatu segitiga atau persegi panjang merupakan contoh grup. Operasi biner atau hukum komposisi pada suatu himpunan \(G\) adalah fungsi \(G \times G \rightarrow G\) yang memasangkan setiap pasangan \((a,b) \in G \times G\) dengan satu unsur tunggal \(a \circ b\text{,}\) atau \(ab\) dalam \(G\text{,}\) yang disebut komposisi dari \(a\) dan \(b\text{.}\) Suatu grup \((G, \circ )\) adalah himpunan \(G\) bersama suatu hukum komposisi \((a,b) \mapsto a \circ b\) yang memenuhi aksioma-aksioma berikut.
Hukum komposisi tersebut bersifat asosiatif. Artinya,
\begin{equation*}
(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)
\end{equation*}
Grup \(G\) yang mempunyai sifat \(a \circ b = b \circ a\) untuk semua \(a, b \in G\) disebut abelian atau komutatif. Grup yang tidak memenuhi sifat ini disebut nonabelian atau nonkomutatif.
Bilangan bulat \({\mathbb Z } = \{ \ldots , -1, 0, 1, 2, \ldots \}\) membentuk grup terhadap operasi penjumlahan. Operasi biner pada dua bilangan bulat \(m,
n \in {\mathbb Z}\) tidak lain adalah jumlah keduanya. Karena bilangan bulat terhadap penjumlahan telah mempunyai notasi yang mapan, kita akan menggunakan operator \(+\) sebagai pengganti \(\circ\text{;}\) yaitu, kita akan menuliskan \(m + n\) sebagai pengganti \(m \circ n\text{.}\) Identitasnya adalah \(0\text{,}\) dan invers dari \(n \in {\mathbb Z}\) ditulis sebagai \(-n\text{,}\) bukan \(n^{-1}\text{.}\) Perhatikan bahwa himpunan bilangan bulat terhadap penjumlahan mempunyai sifat tambahan \(m + n = n + m\) sehingga membentuk grup abelian.
Pada umumnya kita akan menulis \(ab\) sebagai pengganti \(a \circ b\text{;}\) namun, jika grup tersebut telah mempunyai operasi alami seperti penjumlahan pada bilangan bulat, kita akan menggunakan operasi itu. Artinya, jika kita menjumlahkan dua bilangan bulat, kita tetap menulis \(m + n\text{,}\)\(-n\) untuk invers, dan \(0\) untuk identitas seperti biasa. Kita juga menulis \(m - n\) sebagai pengganti \(m + (-n)\text{.}\)
Bilangan bulat modulo \(n\) membentuk grup terhadap penjumlahan modulo \(n\text{.}\) Perhatikan \({\mathbb Z}_5\text{,}\) yang terdiri atas kelas ekuivalensi bilangan bulat \(0\text{,}\)\(1\text{,}\)\(2\text{,}\)\(3\text{,}\) dan \(4\text{.}\) Operasi grup pada \({\mathbb Z}_5\) kita definisikan sebagai penjumlahan modular. Operasi biner pada grup tersebut kita tulis secara aditif; yaitu, kita menulis \(m + n\text{.}\) Unsur \(0\) adalah identitas grup dan setiap unsur dalam \({\mathbb Z}_5\) mempunyai invers. Sebagai contoh, \(2 + 3 = 3 + 2 = 0\text{.}\)Gambar 3.2.3 adalah tabel Cayley untuk \({\mathbb Z}_5\text{.}\) Berdasarkan Proposisi 3.1.4, \({\mathbb Z}_n = \{0, 1, \ldots,
n-1 \}\) adalah grup terhadap operasi biner penjumlahan modulo \(n\text{.}\)
Tidak setiap himpunan dengan operasi biner merupakan grup. Sebagai contoh, jika perkalian modular kita jadikan operasi biner pada \({\mathbb Z}_n\text{,}\) maka \({\mathbb Z}_n\) bukan grup. Unsur 1 bertindak sebagai identitas grup karena \(1 \cdot k = k \cdot 1 = k\) untuk setiap \(k \in {\mathbb Z}_n\text{;}\) namun, invers perkalian untuk \(0\) tidak ada karena \(0 \cdot k = k \cdot 0 = 0\) untuk setiap \(k\) dalam \({\mathbb Z}_n\text{.}\) Bahkan jika kita mempertimbangkan himpunan \({\mathbb Z}_n \setminus \{0 \}\text{,}\) kita masih belum tentu memperoleh grup. Sebagai contoh, misalkan \(2 \in {\mathbb Z}_6\text{.}\) Maka \(2\) tidak mempunyai invers perkalian karena
Berdasarkan Proposisi 3.1.4, setiap \(k\) tak nol mempunyai invers dalam \({\mathbb Z}_n\) jika \(k\) relatif prima terhadap \(n\text{.}\) Lambangkan himpunan semua unsur tak nol semacam itu dalam \({\mathbb Z}_n\) dengan \(U(n)\text{.}\) Maka \(U(n)\) adalah grup yang disebut grup satuan dari \({\mathbb Z}_n\text{.}\)Gambar 3.2.5 adalah tabel Cayley untuk grup \(U(8)\text{.}\)
Simetri-simetri segitiga sama sisi yang dijelaskan dalam Bagian 3.1 membentuk grup nonabelian. Seperti telah kita amati, belum tentu berlaku \(\alpha \beta = \beta \alpha\) untuk dua simetri \(\alpha\) dan \(\beta\text{.}\) Dengan menggunakan Gambar 3.1.7, yang merupakan tabel Cayley untuk grup ini, kita dapat memeriksa dengan mudah bahwa simetri-simetri segitiga sama sisi memang membentuk grup. Grup ini akan kita lambangkan dengan \(S_3\) atau \(D_3\text{,}\) untuk alasan yang akan dijelaskan kemudian.
Kita menggunakan \({\mathbb M}_2 ( {\mathbb R})\) untuk melambangkan himpunan semua matriks \(2 \times 2\text{.}\) Misalkan \(GL_2({\mathbb R})\) adalah himpunan bagian dari \({\mathbb M}_2 ( {\mathbb R})\) yang terdiri atas matriks-matriks yang dapat dibalik; yaitu, suatu matriks
\begin{equation*}
A =
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\end{equation*}
berada dalam \(GL_2( {\mathbb R})\) jika terdapat matriks \(A^{-1}\) sedemikian sehingga \(A A^{-1} = A^{-1} A = I\text{,}\) dengan \(I\) adalah matriks identitas \(2 \times 2\text{.}\) Syarat bahwa \(A\) mempunyai invers ekuivalen dengan syarat bahwa determinan \(A\) tak nol; yaitu, \(\det A = ad - bc \neq 0\text{.}\) Himpunan matriks yang dapat dibalik membentuk grup yang disebut grup linear umum. Identitas grup tersebut adalah matriks identitas
\begin{equation*}
A^{-1} =
\frac{1}{ad-bc}
\begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Hasil kali dua matriks yang dapat dibalik juga dapat dibalik. Perkalian matriks bersifat asosiatif, sehingga memenuhi aksioma grup yang tersisa. Untuk matriks, secara umum tidak berlaku \(AB = BA\text{;}\) oleh karena itu, \(GL_2({\mathbb R})\) merupakan contoh lain grup nonabelian.
dengan \(i^2 = -1\text{.}\) Maka berlaku hubungan \(I^2 = J^2 = K^2 = -1\text{,}\)\(IJ=K\text{,}\)\(JK = I\text{,}\)\(KI = J\text{,}\)\(JI = -K\text{,}\)\(KJ = -I\text{,}\) dan \(IK = -J\text{.}\) Himpunan \(Q_8 = \{\pm 1, \pm I, \pm J, \pm K \}\) adalah grup yang disebut grup kuaternion. Perhatikan bahwa \(Q_8\) bersifat nonkomutatif.
Misalkan \({\mathbb C}^\ast\) adalah himpunan bilangan kompleks tak nol. Terhadap operasi perkalian, \({\mathbb C}^\ast\) membentuk grup. Identitasnya adalah \(1\text{.}\) Jika \(z = a+bi\) adalah bilangan kompleks tak nol, maka
Suatu grup disebut berhingga, atau mempunyai orde berhingga, jika grup tersebut memuat sejumlah berhingga unsur; jika tidak, grup tersebut disebut tak berhingga atau mempunyai orde tak berhingga. Orde suatu grup berhingga adalah banyaknya unsur yang dimuatnya. Jika \(G\) adalah grup yang memuat \(n\) unsur, kita menulis \(|G| = n\text{.}\) Grup \({\mathbb Z}_5\) adalah grup berhingga berorde \(5\text{;}\) bilangan bulat \({\mathbb Z}\) membentuk grup tak berhingga terhadap penjumlahan, dan terkadang kita menulis \(|{\mathbb Z}| = \infty\text{.}\)
Unsur identitas dalam suatu grup \(G\) bersifat tunggal; yaitu, hanya ada satu unsur \(e \in G\) sedemikian sehingga \(eg = ge = g\) untuk semua \(g \in G\text{.}\)
Andaikan \(e\) dan \(e'\) keduanya merupakan identitas dalam \(G\text{.}\) Maka \(eg = ge = g\) dan \(e'g = ge' = g\) untuk semua \(g \in G\text{.}\) Kita perlu menunjukkan bahwa \(e = e'\text{.}\) Jika kita memandang \(e\) sebagai identitas, maka \(ee' = e'\text{;}\) tetapi jika \(e'\) adalah identitas, maka \(ee' = e\text{.}\) Dengan menggabungkan kedua persamaan ini, kita memperoleh \(e = ee' = e'\text{.}\)
Invers dalam suatu grup juga bersifat tunggal. Jika \(g'\) dan \(g''\) keduanya merupakan invers dari suatu unsur \(g\) dalam grup \(G\text{,}\) maka \(gg' = g'g = e\) dan \(gg'' = g''g = e\text{.}\) Kita ingin menunjukkan bahwa \(g' = g''\text{,}\) dan memang \(g' = g'e = g'(gg'') = (g'g)g'' = eg'' = g''\text{.}\) Fakta ini kita rangkum dalam proposisi berikut.
Jika \(g\) adalah sebarang unsur dalam suatu grup \(G\text{,}\) maka invers dari \(g\text{,}\) yang dilambangkan dengan \(g^{-1}\text{,}\) bersifat tunggal.
Misalkan \(a, b \in G\text{.}\) Maka \(abb^{-1}a^{-1} = aea^{-1} = aa^{-1} = e\text{.}\) Demikian pula, \(b^{-1}a^{-1}ab = e\text{.}\) Namun, berdasarkan proposisi sebelumnya, invers bersifat tunggal; dengan demikian, \((ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}\text{.}\)
Kita dapat menuliskan persamaan yang melibatkan unsur dan operasi grup. Jika \(a\) dan \(b\) adalah dua unsur dalam suatu grup \(G\text{,}\) apakah terdapat unsur \(x \in G\) sedemikian sehingga \(ax = b\text{?}\) Jika \(x\) semacam itu ada, apakah ia tunggal? Proposisi berikut menjawab kedua pertanyaan ini secara afirmatif.
Misalkan \(G\) suatu grup dan \(a\) serta \(b\) sebarang dua unsur dalam \(G\text{.}\) Maka persamaan \(ax = b\) dan \(xa = b\) mempunyai penyelesaian tunggal dalam \(G\text{.}\)
Andaikan \(ax = b\text{.}\) Kita harus menunjukkan bahwa \(x\) semacam itu ada. Kita dapat mengalikan kedua ruas \(ax = b\) dengan \(a^{-1}\) untuk memperoleh \(x = ex = a^{-1}ax = a^{-1}b\text{.}\)
Kita dapat menggunakan notasi perpangkatan untuk grup seperti dalam aljabar biasa. Jika \(G\) suatu grup dan \(g \in G\text{,}\) kita mendefinisikan \(g^0 = e\text{.}\) Untuk \(n \in {\mathbb N}\text{,}\) kita mendefinisikan
Pembuktian teorema ini diserahkan sebagai latihan. Perhatikan bahwa secara umum \((gh)^n \neq g^nh^n\text{,}\) sebab grup tersebut belum tentu abelian. Jika grupnya adalah \({\mathbb Z}\) atau \({\mathbb Z}_n\text{,}\) kita menulis operasi grup secara aditif dan operasi perpangkatan secara multiplikatif; yaitu, kita menulis \(ng\) sebagai pengganti \(g^n\text{.}\) Hukum-hukum perpangkatan kini menjadi
\(mg + ng = (m+n)g\) untuk semua \(m, n \in {\mathbb Z}\text{;}\)
Meskipun definisi aksiomatik pertama yang jelas tentang grup baru diberikan pada akhir abad ke-19, metode teori grup telah digunakan sebelumnya dalam pengembangan banyak bidang matematika, termasuk geometri dan teori persamaan aljabar.
Joseph-Louis Lagrange menggunakan metode teori grup dalam sebuah memoar tahun 1770–1771 untuk mengkaji metode penyelesaian persamaan polinomial. Kemudian, Évariste Galois (1811–1832) berhasil mengembangkan matematika yang diperlukan untuk menentukan secara tepat persamaan polinomial mana yang dapat diselesaikan berdasarkan koefisien polinomial tersebut. Alat utama Galois adalah teori grup.
Kajian geometri mengalami revolusi pada tahun 1872 ketika Felix Klein mengusulkan agar ruang geometris dikaji dengan menelaah sifat-sifat yang invarian terhadap transformasi ruang tersebut. Sophus Lie, yang sezaman dengan Klein, menggunakan teori grup untuk mengkaji penyelesaian persamaan diferensial parsial. Salah satu pembahasan modern pertama tentang teori grup terdapat dalam karya William Burnside The Theory of Groups of Finite Order [1], yang pertama kali diterbitkan pada tahun 1897.
