Manakah di antara tabel perkalian berikut, yang didefinisikan pada himpunan \(G = \{ a, b, c, d \}\text{,}\) yang membentuk grup? Berikan alasan untuk jawaban Anda dalam setiap kasus.
\begin{equation*}
\begin{array}{c|cccc}
\circ & a & b & c & d \\
\hline
a & a & c & d & a \\
b & b & b & c & d \\
c & c & d & a & b \\
d & d & a & b & c
\end{array}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{c|cccc}
\circ & a & b & c & d \\
\hline
a & a & b & c & d \\
b & b & a & d & c \\
c & c & d & a & b \\
d & d & c & b & a
\end{array}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{c|cccc}
\circ & a & b & c & d \\
\hline
a & a & b & c & d \\
b & b & c & d & a \\
c & c & d & a & b \\
d & d & a & b & c
\end{array}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{c|cccc}
\circ & a & b & c & d \\
\hline
a & a & b & c & d \\
b & b & a & c & d \\
c & c & b & a & d \\
d & d & d & b & c
\end{array}
\end{equation*}
Tuliskan tabel Cayley untuk grup yang dibentuk oleh simetri suatu persegi panjang dan untuk \(({\mathbb Z}_4, +)\text{.}\) Berapa banyak unsur dalam setiap grup? Apakah kedua grup tersebut sama? Mengapa demikian atau mengapa tidak?
Deskripsikan simetri suatu belah ketupat dan buktikan bahwa himpunan simetrinya membentuk grup. Berikan tabel Cayley untuk simetri persegi panjang dan simetri belah ketupat. Apakah simetri persegi panjang dan simetri belah ketupat tersebut sama?
Deskripsikan simetri suatu persegi dan buktikan bahwa himpunan simetrinya merupakan grup. Berikan tabel Cayley untuk simetri-simetri tersebut. Ada berapa cara untuk mempermutasikan titik-titik sudut persegi? Apakah setiap permutasi pasti merupakan simetri persegi tersebut? Grup simetri persegi dilambangkan dengan \(D_4\text{.}\)
Misalkan \(S = {\mathbb R} \setminus \{ -1 \}\) dan definisikan operasi biner pada \(S\) dengan \(a \ast b = a + b + ab\text{.}\) Buktikan bahwa \((S, \ast)\) merupakan grup abelian.
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & x & y \\
0 & 1 & z \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{equation*}
merupakan grup terhadap perkalian matriks. Grup ini, yang dikenal sebagai grup Heisenberg, penting dalam fisika kuantum. Perkalian matriks dalam grup Heisenberg didefinisikan oleh
Buktikan bahwa \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\) dalam \(GL_2({\mathbb R})\text{.}\) Gunakan hasil ini untuk menunjukkan bahwa operasi biner dalam grup \(GL_2({\mathbb R})\) bersifat tertutup; yaitu, jika \(A\) dan \(B\) berada dalam \(GL_2({\mathbb R})\text{,}\) maka \(AB \in GL_2({\mathbb R})\text{.}\)
Diberikan grup \({\mathbb R}^{\ast}\) dan \({\mathbb Z}\text{,}\) misalkan \(G = {\mathbb R}^{\ast} \times {\mathbb Z}\text{.}\) Definisikan operasi biner \(\circ\) pada \(G\) dengan \((a,m) \circ (b,n) = (ab,
m + n)\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(G\) merupakan grup terhadap operasi ini.
berada dalam \(S_n\text{.}\) Semua \(a_i\) harus berbeda. Terdapat \(n\) cara memilih \(a_1\text{,}\)\(n - 1\) cara memilih \(a_2\text{,}\) …, dua cara memilih \(a_{n - 1}\text{,}\) dan hanya satu cara memilih \(a_n\text{.}\) Oleh karena itu, kita dapat membentuk \(\sigma\) dengan \(n(n - 1) \cdots 2 \cdot 1 = n!\) cara.
Tunjukkan bahwa penjumlahan dan perkalian modulo \(n\) merupakan operasi yang terdefinisi dengan baik. Artinya, tunjukkan bahwa operasi tersebut tidak bergantung pada pemilihan wakil kelas ekuivalensi modulo \(n\text{.}\)
Misalkan \(U(n)\) adalah grup satuan dalam \({\mathbb Z}_n\text{.}\) Jika \(n \gt 2\text{,}\) buktikan bahwa terdapat unsur \(k \in U(n)\) sedemikian sehingga \(k^2 = 1\) dan \(k \neq 1\text{.}\)
Buktikan bagian yang tersisa dari Proposisi 3.2.14: jika \(G\) suatu grup dan \(a, b \in G\text{,}\) maka persamaan \(xa = b\) mempunyai penyelesaian tunggal dalam \(G\text{.}\)
Buktikan hukum pencoretan kanan dan kiri untuk suatu grup \(G\text{;}\) yaitu, tunjukkan bahwa dalam grup \(G\text{,}\)\(ba = ca\) mengakibatkan \(b = c\) dan \(ab = ac\) mengakibatkan \(b = c\) untuk unsur-unsur \(a,
b, c \in G\text{.}\)
Tunjukkan bahwa jika \(G\) merupakan grup berhingga berorde genap, maka terdapat \(a \in G\) sedemikian sehingga \(a\) bukan identitas dan \(a^2 = e\text{.}\)
Misalkan \(G\) suatu grup dan andaikan bahwa \((ab)^2 = a^2b^2\) untuk semua \(a\) dan \(b\) dalam \(G\text{.}\) Buktikan bahwa \(G\) merupakan grup abelian.
Tentukan semua subgrup dari \({\mathbb Z}_3 \times {\mathbb Z}_3\text{.}\) Gunakan informasi ini untuk menunjukkan bahwa \({\mathbb Z}_3 \times {\mathbb Z}_3\) bukan grup yang sama dengan \({\mathbb Z}_9\text{.}\) (Lihat Contoh 3.3.5 untuk deskripsi singkat hasil kali grup.)
Misalkan \(n = 0, 1, 2, \ldots\) dan \(n {\mathbb Z} = \{ nk : k \in {\mathbb Z} \}\text{.}\) Buktikan bahwa \(n {\mathbb Z}\) merupakan subgrup dari \({\mathbb Z}\text{.}\) Tunjukkan bahwa subgrup-subgrup ini adalah satu-satunya subgrup dari \(\mathbb{Z}\text{.}\)
Buktikan atau berikan sangkalan: \(SL_2( {\mathbb Z} )\text{,}\) yaitu himpunan matriks \(2 \times 2\) dengan entri bilangan bulat dan determinan satu, merupakan subgrup dari \(SL_2( {\mathbb R} )\text{.}\)
Buktikan atau berikan sangkalan: Jika \(H\) dan \(K\) merupakan subgrup dari suatu grup \(G\text{,}\) maka \(H \cup K\) merupakan subgrup dari \(G\text{.}\)
Buktikan atau berikan sangkalan: Jika \(H\) dan \(K\) merupakan subgrup dari suatu grup \(G\text{,}\) maka \(H K = \{hk : h \in H \text{ dan } k \in K \}\) merupakan subgrup dari \(G\text{.}\) Bagaimana jika \(G\) abelian?
Misalkan \(a\) dan \(b\) adalah unsur-unsur dari suatu grup \(G\text{.}\) Jika \(a^4 b = ba\) dan \(a^3 = e\text{,}\) buktikan bahwa \(ab = ba\text{.}\)
Misalkan \(H\) suatu subgrup dari \(G\text{.}\) Jika \(g \in G\text{,}\) tunjukkan bahwa \(gHg^{-1} = \{ghg^{-1} : h\in H\}\) juga merupakan subgrup dari \(G\text{.}\)
