Kelompok latihan ini membahas grup unit modulo \(n\text{,}\) yaitu \(U(n)\text{,}\) yang kadang-kadang siklik dan kadang-kadang tidak. Terdapat beberapa perintah Sage yang dapat menjawab sebagian pertanyaan ini dengan sangat cepat, tetapi alih-alih menggunakannya sekarang, gunakan saja teknik-teknik dasar yang telah dijelaskan. Gagasannya adalah mengolah elemen dan daftar elemen untuk mengenali struktur subgrup dari grup-grup ini.
Lembar kerja Sage memiliki kemampuan luas untuk membuat sel baru dengan teks berformat rapi, termasuk dukungan sintaks LaTeX untuk menyatakan matematika. Jadi, ketika suatu pertanyaan meminta penjelasan atau komentar, buatlah sel baru dan sampaikan jawaban dengan jelas kepada pembaca. Lanjutkan kebiasaan ini dalam kumpulan latihan berikutnya.
Jalankan pernyataan R = Integers(40) untuk membuat himpunan [0,1,2,...,39]. Himpunan ini merupakan grup terhadap penjumlahan modulo \(40\text{,}\) yang akan kita abaikan. Sebaliknya, kita tertarik pada himpunan bagian elemen yang mempunyai invers terhadap perkalian modulo \(40\text{.}\) Tentukan ukuran subgrup ini dengan menjalankan perintah R.unit_group_order(), lalu peroleh daftar elemen tersebut dengan R.list_of_elements_of_multiplicative_group().
Anda dapat membuat elemen grup ini dengan memaksakan bilangan bulat biasa ke dalam U, misalnya dengan pernyataan a = U(7). (Jangan keliru dengan notasi matematis kita \(U(40)\text{.}\)) Pernyataan ini memberi tahu Sage bahwa Anda ingin memandang \(7\) sebagai elemen \(U\text{,}\) dengan operasi yang bersesuaian. Tentukan elemen-elemen subgrup siklik dari \(U\) yang dibangkitkan oleh \(7\) dengan komprehensi daftar sebagai berikut:
Grup \(U(49)\) bersifat siklik. Dengan hanya menggunakan perintah Sage yang dijelaskan sebelumnya, gunakan Sage untuk mencari pembangkit grup ini. Selanjutnya, dengan hanya menggunakan teorema mengenai struktur grup siklik, deskripsikan setiap subgrup dari \(U(49)\) dengan menyatakan ordenya dan memberikan pembangkit eksplisit. Jangan mengulangi subgrup mana pun — dengan kata lain, sajikan setiap subgrup tepat satu kali. Anda dapat menggunakan Sage untuk memeriksa pekerjaan mengenai subgrup, tetapi jawaban Anda mengenai subgrup harus hanya bertumpu pada teorema dan disajikan sebagai paragraf yang ditulis dengan baik, beserta tabel, dan sebagainya.
Grup \(U(35)\) tidak bersifat siklik. Sekali lagi, dengan hanya menggunakan perintah Sage yang dijelaskan sebelumnya, gunakan komputasi untuk memberikan bukti yang tidak terbantahkan mengenai hal ini. Berapa banyak dari \(16\) subgrup berbeda dari \(U(35)\) yang dapat Anda cantumkan?
Sekali lagi, dengan hanya menggunakan perintah Sage yang dijelaskan sebelumnya, jelajahi struktur \(U(n)\) untuk berbagai nilai \(n\) dan lihat apakah Anda dapat merumuskan dugaan menarik mengenai suatu sifat dasar grup ini. (Ya, ini merupakan pertanyaan yang sangat terbuka, tetapi pada akhirnya di sinilah letak kekuatan sebenarnya dari menjelajahi matematika dengan Sage.)
