Lewati ke konten utama

Latihan 5.6 Latihan Sage

Latihan-latihan ini dirancang untuk membantu Anda mengenal grup permutasi dalam Sage.

1.

Buat grup simetris penuh \(S_{10}\) dengan perintah G = SymmetricGroup(10).

2.

Buat elemen-elemen G dengan sintaks berikut yang beragam. Perhatikan tanda koma, tanda petik, tanda kurung siku, dan tanda kurung biasa. Dua bentuk pertama menggunakan untaian (karakter) sebagai masukan, meniru cara kita menulis permutasi (tetapi dengan tanda koma). Dua bentuk berikutnya menggunakan senarai tupel.
  1. Hitung \(a^3\text{,}\) \(bc\text{,}\) \(ad^{-1}b\text{.}\)
  2. Hitung orde setiap dari keempat elemen ini (a hingga d) dengan menggunakan satu metode elemen grup permutasi.
  3. Gunakan metode elemen grup permutasi .sign() untuk menentukan apakah \(a,b,c,d\) merupakan permutasi genap atau ganjil.
  4. Buat dua subgrup siklik dari \(G\) dengan perintah:
    Cantumkan dan pelajari elemen setiap subgrup. Tanpa menggunakan Sage, cantumkan orde setiap subgrup dari \(K\text{.}\) Kemudian gunakan Sage untuk membentuk subgrup dari \(K\) yang berorde 10.
  5. Subgrup yang lebih rumit dapat dibentuk dengan menggunakan dua atau lebih pembangkit. Bentuk subgrup \(L\) dari \(G\) dengan perintah L = G.subgroup([b,c]). Hitung orde \(L\) dan cantumkan semua elemen \(L\text{.}\)

3.

Bentuk grup simetri tetrahedron (yang juga merupakan grup alternasi pada 4 simbol, \(A_4\)) dengan perintah A=AlternatingGroup(4). Dengan menggunakan alat seperti orde elemen dan pembangkit subgrup, cobalah menemukan semua subgrup \(A_4\) (masing-masing tepat satu kali). Kerjakan tanpa menggunakan metode .subgroups() untuk membenarkan ketepatan jawaban Anda (walaupun metode tersebut mungkin merupakan cara yang praktis untuk memeriksa pekerjaan).
Berikan ringkasan yang baik sebagai jawaban—bukan sekadar tumpukan keluaran. Jadi, gunakan Sage sebagai alat sesuai kebutuhan, tetapi pada dasarnya jawaban Anda berupa paragraf dan/atau tabel yang ringkas. Ini merupakan satu-satunya bagian tugas tanpa petunjuk yang jelas dan presisi, jadi luangkan waktu untuk mengerjakan bagian ini dengan benar. Petunjuk: tidak ada subgrup \(A_4\) yang memerlukan lebih dari dua pembangkit.

4.

Subbagian Grup Gerak Kubus mendeskripsikan \(24\) simetri kubus sebagai subgrup dari grup simetris \(S_8\) yang dibangkitkan oleh tiga putaran seperempat. Jawablah pertanyaan berikut mengenai grup simetri ini.
  1. Dari senarai elemen grup, dapatkah Anda menemukan sepuluh rotasi terhadap sumbu? (Petunjuk: identitas mudah ditemukan; sembilan rotasi lainnya tidak pernah membawa suatu simbol ke dirinya sendiri.)
  2. Dapatkah Anda mengenali enam simetri yang merupakan transposisi diagonal? (Petunjuk: [g for g in cube if g.order() == 2] merupakan penyaring awal yang baik.)
  3. Verifikasikan bahwa sembarang dua putaran seperempat (above, front, right) cukup untuk membangkitkan seluruh grup. Bagaimana Anda mengetahui bahwa setiap pasangan membangkitkan seluruh grup?
  4. Dapatkah Anda menyatakan salah satu transposisi diagonal sebagai hasil kali putaran seperempat? Masalah ini terkenal sulit, terutama bagi perangkat lunak. Masalah tersebut dikenal sebagai “masalah kata.”
  5. Nomori keenam sisi kubus dengan bilangan \(1\) hingga \(6\) (dengan cara apa pun yang Anda sukai). Sekarang tinjau tiga simetri yang sama seperti sebelumnya (putaran seperempat terhadap sumbu yang menghubungkan sisi-sisi berhadapan), tetapi kali ini pandanglah sebagai permutasi keenam sisi. Dengan cara ini, kita membentuk setiap simetri sebagai elemen \(S_6\text{.}\) Verifikasikan bahwa subgrup yang dibangkitkan oleh simetri-simetri ini merupakan seluruh grup simetri kubus. Sekali lagi, alih-alih menggunakan tiga pembangkit, cobalah gunakan dua saja.

5.

Simpan pekerjaan Anda, lalu lihat apakah Anda dapat membuat sesi Sage berhenti dengan membentuk subgrup \(S_{10}\) yang dibangkitkan oleh elemen b dan d berorde \(2\) dan \(30\) dari atas. Jangan kumpulkan senarai elemen N sebagai bagian dari lembar kerja yang Anda kumpulkan.
Berapakah orde \(N\text{?}\)
Sblm.Paling AtasLanjut