Lewati ke konten utama

Bagian 9.1 Definisi dan Contoh

Dua grup \((G, \cdot)\) dan \((H, \circ)\) disebut isomorfik jika terdapat pemetaan injektif dan surjektif \(\phi : G \rightarrow H\) yang mempertahankan operasi grup; yaitu,
\begin{equation*} \phi( a \cdot b) = \phi( a) \circ \phi( b) \end{equation*}
untuk semua \(a\) dan \(b\) di \(G\text{.}\) Jika \(G\) isomorfik dengan \(H\text{,}\) kita tuliskan \(G \cong H\text{.}\) Pemetaan \(\phi\) disebut isomorfisma.

Contoh 9.1.1.

Untuk menunjukkan bahwa \({\mathbb Z}_4 \cong \langle i \rangle\text{,}\) definisikan pemetaan \(\phi: {\mathbb Z}_4 \rightarrow \langle i \rangle\) dengan \(\phi(n) = i^n\text{.}\) Kita harus menunjukkan bahwa \(\phi\) bijektif dan mempertahankan operasi grup. Pemetaan \(\phi\) injektif dan surjektif karena
\begin{align*} \phi(0) & = 1\\ \phi(1) & = i\\ \phi(2) & = -1\\ \phi(3) & = -i\text{.} \end{align*}
Karena
\begin{equation*} \phi(m + n) = i^{m+n} = i^m i^n = \phi(m) \phi( n)\text{,} \end{equation*}
operasi grup dipertahankan.

Contoh 9.1.2.

Kita dapat mendefinisikan isomorfisma \(\phi\) dari grup aditif bilangan real \(( {\mathbb R}, + )\) ke grup multiplikatif bilangan real positif \(( {\mathbb R^+}, \cdot )\) dengan pemetaan eksponensial; yaitu,
\begin{equation*} \phi( x + y) = e^{x + y} = e^x e^y = \phi( x ) \phi( y)\text{.} \end{equation*}
Tentu saja, kita masih harus menunjukkan bahwa \(\phi\) injektif dan surjektif, tetapi hal ini dapat ditentukan menggunakan kalkulus.

Contoh 9.1.3.

Bilangan bulat isomorfik dengan subgrup dari \({\mathbb Q}^\ast\) yang terdiri atas elemen berbentuk \(2^n\text{.}\) Definisikan pemetaan \(\phi: {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Q}^\ast\) dengan \(\phi( n ) = 2^n\text{.}\) Maka
\begin{equation*} \phi( m + n ) = 2^{m + n} = 2^m 2^n = \phi( m ) \phi( n )\text{.} \end{equation*}
Berdasarkan definisi, pemetaan \(\phi\) bersifat surjektif ke himpunan bagian \(\{2^n :n \in {\mathbb Z} \}\) dari \({\mathbb Q}^\ast\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa pemetaan tersebut injektif, andaikan \(m \neq n\text{.}\) Jika kita dapat menunjukkan bahwa \(\phi(m) \neq \phi(n)\text{,}\) selesailah pembuktian. Misalkan \(m \gt n\) dan andaikan \(\phi(m) = \phi(n)\text{.}\) Maka \(2^m = 2^n\) atau \(2^{m - n} = 1\text{,}\) yang mustahil karena \(m - n \gt 0\text{.}\)

Contoh 9.1.4.

Grup \({\mathbb Z}_8\) dan \({\mathbb Z}_{12}\) tidak mungkin isomorfik karena memiliki orde yang berbeda; namun, memang benar bahwa \(U(8) \cong U(12)\text{.}\) Kita mengetahui bahwa
\begin{align*} U(8) & = \{1, 3, 5, 7 \}\\ U(12) & = \{1, 5, 7, 11 \}\text{.} \end{align*}
Isomorfisma \(\phi : U(8) \rightarrow U(12)\) kemudian diberikan oleh
\begin{align*} 1 & \mapsto 1\\ 3 & \mapsto 5\\ 5 & \mapsto 7\\ 7 & \mapsto 11\text{.} \end{align*}
Pemetaan \(\phi\) bukan satu-satunya isomorfisma yang mungkin antara kedua grup ini. Kita dapat mendefinisikan isomorfisma lain \(\psi\) dengan \(\psi(1) = 1\text{,}\) \(\psi(3) = 11\text{,}\) \(\psi(5) = 5\text{,}\) \(\psi(7) = 7\text{.}\) Bahkan, kedua grup ini isomorfik dengan \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\) (lihat Contoh 3.3.5 dalam Bab 3).

Contoh 9.1.5.

Meskipun \(S_3\) dan \({\mathbb Z}_6\) memiliki jumlah elemen yang sama, kita menduga bahwa keduanya tidak isomorfik, karena \({\mathbb Z}_6\) abelian sedangkan \(S_3\) nonabelian. Untuk menunjukkan bahwa memang demikian, andaikan \(\phi : {\mathbb Z}_6 \rightarrow S_3\) adalah suatu isomorfisma. Misalkan \(a , b \in S_3\) merupakan dua elemen sedemikian sehingga \(ab \neq ba\text{.}\) Karena \(\phi\) adalah isomorfisma, terdapat elemen \(m\) dan \(n\) di \({\mathbb Z}_6\) sedemikian sehingga
\begin{equation*} \phi( m ) = a \quad \text{dan} \quad \phi( n ) = b\text{.} \end{equation*}
Namun,
\begin{equation*} ab = \phi(m ) \phi(n) = \phi(m + n) = \phi(n + m) = \phi(n ) \phi(m) = ba\text{,} \end{equation*}
yang bertentangan dengan fakta bahwa \(a\) dan \(b\) tidak komutatif.

Bukti.
Pernyataan (1) dan (2) mengikuti fakta bahwa \(\phi\) merupakan suatu bijeksi. Di sini kita akan membuktikan (3) dan menyerahkan pembuktian bagian teorema lainnya sebagai latihan.
(3) Misalkan \(h_1\) dan \(h_2\) merupakan elemen-elemen \(H\text{.}\) Karena \(\phi\) surjektif, terdapat elemen \(g_1, g_2 \in G\) sedemikian sehingga \(\phi(g_1) = h_1\) dan \(\phi(g_2) = h_2\text{.}\) Oleh karena itu,
\begin{equation*} h_1 h_2 = \phi(g_1) \phi(g_2) = \phi(g_1 g_2) = \phi(g_2 g_1) = \phi(g_2) \phi(g_1) = h_2 h_1\text{.} \end{equation*}
Sekarang kita dapat mengarakterisasi semua grup siklik.

Bukti.
Misalkan \(G\) grup siklik berorde tak hingga dan andaikan \(a\) adalah pembangkit \(G\text{.}\) Definisikan pemetaan \(\phi : {\mathbb Z} \rightarrow G\) dengan \(\phi : n \mapsto a^n\text{.}\) Maka
\begin{equation*} \phi( m+n ) = a^{m+n} = a^m a^n = \phi( m ) \phi( n )\text{.} \end{equation*}
Untuk menunjukkan bahwa \(\phi\) injektif, misalkan \(m\) dan \(n\) merupakan dua elemen dalam \({\mathbb Z}\text{,}\) dengan \(m \neq n\text{.}\) Kita dapat mengandaikan bahwa \(m \gt n\text{.}\) Kita harus menunjukkan bahwa \(a^m \neq a^n\text{.}\) Andaikan sebaliknya; yaitu, \(a^m = a^n\text{.}\) Dalam hal ini \(a^{m - n} = e\text{,}\) dengan \(m - n \gt 0\text{,}\) yang bertentangan dengan fakta bahwa \(a\) memiliki orde tak hingga. Pemetaan kita surjektif karena setiap elemen dalam \(G\) dapat ditulis sebagai \(a^n\) untuk suatu bilangan bulat \(n\) dan \(\phi(n) = a^n\text{.}\)

Bukti.
Misalkan \(G\) grup siklik berorde \(n\) yang dibangkitkan oleh \(a\text{,}\) dan definisikan pemetaan \(\phi : {\mathbb Z}_n \rightarrow G\) dengan \(\phi : k \mapsto a^k\text{,}\) dengan \(0 \leq k \lt n\text{.}\) Pembuktian bahwa \(\phi\) merupakan isomorfisma menjadi salah satu latihan akhir bab.

Bukti.
Tujuan utama dalam teori grup adalah mengklasifikasikan semua grup; namun, wajar untuk menganggap dua grup sama jika keduanya isomorfik. Kita nyatakan hasil ini dalam teorema berikut, yang pembuktiannya diserahkan sebagai latihan.
Dengan demikian, kita dapat mengubah tujuan kita dari mengklasifikasikan semua grup menjadi mengklasifikasikan semua grup hingga isomorfisma; yaitu, kita akan menganggap dua grup sama jika keduanya isomorfik.

Subbagian 9.1.1 Teorema Cayley

Cayley membuktikan bahwa jika \(G\) adalah suatu grup, maka grup tersebut isomorfik dengan grup permutasi pada suatu himpunan; dengan demikian, setiap grup merupakan grup permutasi. Teorema Cayley adalah apa yang disebut teorema representasi. Tujuan teori representasi adalah menemukan isomorfisma dari suatu grup \(G\) yang ingin kita pelajari ke grup yang telah banyak kita ketahui, seperti grup permutasi atau matriks.

Contoh 9.1.11.

Tinjau grup \({\mathbb Z}_3\text{.}\) Tabel Cayley untuk \({\mathbb Z}_3\) adalah sebagai berikut.
\begin{equation*} \begin{array}{c|ccc} + & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{array} \end{equation*}
Tabel penjumlahan \({\mathbb Z}_3\) menunjukkan bahwa grup ini sama dengan grup permutasi \(G = \{ (0), (0 1 2), (0 2 1) \}\text{.}\) Isomorfisma dalam hal ini adalah
\begin{align*} 0 & \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} = (0)\\ 1 & \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} = (0 \, 1 \, 2)\\ 2 & \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} = (0 \, 2 \, 1)\text{.} \end{align*}

Bukti.
Misalkan \(G\) suatu grup. Kita harus menemukan suatu grup permutasi \(\overline{G}\) yang isomorfik dengan \(G\text{.}\) Untuk setiap \(g \in G\text{,}\) definisikan fungsi \(\lambda_g : G \rightarrow G\) dengan \(\lambda_g(a) = ga\text{.}\) Kita menyatakan bahwa \(\lambda_g\) adalah permutasi dari \(G\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa \(\lambda_g\) injektif, andaikan \(\lambda_g(a) = \lambda_g(b)\text{.}\) Maka
\begin{equation*} ga =\lambda_g(a) = \lambda_g(b) = gb\text{.} \end{equation*}
Dengan demikian, \(a = b\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa \(\lambda_g\) surjektif, kita harus membuktikan bahwa untuk setiap \(a \in G\text{,}\) terdapat \(b\) sedemikian sehingga \(\lambda_g (b) = a\text{.}\) Ambil \(b = g^{-1} a\text{.}\)
Sekarang kita siap mendefinisikan grup \(\overline{G}\text{.}\) Misalkan
\begin{equation*} \overline{G} = \{ \lambda_g : g \in G \}\text{.} \end{equation*}
Kita harus menunjukkan bahwa \(\overline{G}\) merupakan grup terhadap komposisi fungsi dan menemukan isomorfisma antara \(G\) dan \(\overline{G}\text{.}\) Kita memperoleh ketertutupan terhadap komposisi fungsi karena
\begin{equation*} (\lambda_g \circ \lambda_h )(a) = \lambda_g(ha) = gha = \lambda_{gh} (a)\text{.} \end{equation*}
Selain itu,
\begin{equation*} \lambda_e (a) = ea = a \end{equation*}
dan
\begin{equation*} (\lambda_{g^{-1}} \circ \lambda_g) (a) = \lambda_{g^{-1}} (ga) = g^{-1} g a = a = \lambda_e (a)\text{.} \end{equation*}
Kita dapat mendefinisikan isomorfisma dari \(G\) ke \(\overline{G}\) dengan \(\phi : g \mapsto \lambda_g\text{.}\) Operasi grup dipertahankan karena
\begin{equation*} \phi(gh) = \lambda_{gh} = \lambda_g \lambda_h = \phi(g) \phi(h)\text{.} \end{equation*}
Pemetaan ini juga injektif, karena jika \(\phi(g)(a) = \phi(h)(a)\text{,}\) maka
\begin{equation*} ga = \lambda_g a = \lambda_h a= ha\text{.} \end{equation*}
Dengan demikian, \(g = h\text{.}\) Sifat surjektif \(\phi\) mengikuti fakta bahwa \(\phi( g ) = \lambda_g\) untuk setiap \(\lambda_g \in \overline{G}\text{.}\)
Isomorfisma \(g \mapsto \lambda_g\) dikenal sebagai representasi reguler kiri dari \(G\text{.}\)

Subbagian 9.1.2 Catatan Sejarah

Arthur Cayley lahir di Inggris pada tahun 1821, meskipun ia menghabiskan sebagian besar masa awal hidupnya di Rusia, tempat ayahnya bekerja sebagai pedagang. Cayley menempuh pendidikan di Cambridge, tempat ia meraih Smith’s Prize pertama dalam matematika. Sepanjang sebagian besar masa dewasanya ia bekerja sebagai pengacara; pada awal usia dua puluhan, ia menulis beberapa makalah sebelum memasuki profesi hukum pada usia 25 tahun. Sembari berpraktik sebagai pengacara, ia melanjutkan penelitian matematikanya, dengan menulis lebih dari 300 makalah selama periode tersebut. Di antaranya terdapat beberapa karya terbaiknya. Pada tahun 1863, ia meninggalkan bidang hukum untuk menjadi profesor di Cambridge. Cayley menulis lebih dari 900 makalah dalam bidang-bidang seperti teori grup, geometri, dan aljabar linear. Pengetahuan hukumnya sangat berharga bagi Cambridge; ia turut serta menyusun banyak statuta universitas tersebut. Cayley juga merupakan salah seorang yang berjasa dalam penerimaan perempuan di Cambridge.
Sblm.Paling AtasLanjut