1.
Latihan ini membahas penerapan Teorema Cayley. Pertama-tama, baca dan pelajari teorema tersebut. Perhatikan bahwa hasil ini sendiri terutama menarik secara teoretis, tetapi dengan teori tambahan kita dapat menyelami beberapa aspeknya yang lebih halus (bidang yang dikenal sebagai “teori representasi”).
Anda sebaiknya membuat representasi ini terutama dengan perhitungan menggunakan pensil dan kertas, serta menggunakan Sage sebagai kalkulator canggih dan asisten. Anda tidak perlu menyertakan semua perhitungan ini dalam lembar kerja. Bangun representasi grup yang diminta, lalu sertakan cukup banyak verifikasi dalam Sage untuk membuktikan bahwa representasi Anda menggambarkan grup tersebut dengan benar.
Mulailah dengan membangun representasi permutasi dari kuaternion, \(Q\text{.}\) Terdapat delapan elemen dalam \(Q\) (\(\pm 1, \pm I, \pm J, \pm K\)), sehingga Anda akan membangun suatu subgrup dari \(S_8\text{.}\) Untuk setiap \(g\in Q\text{,}\) bentuk fungsi \(T_g\text{,}\) yang didefinisikan sebagai \(T_g(x)=xg\text{.}\) Perhatikan bahwa definisi ini merupakan “kebalikan” dari definisi yang diberikan dalam teks. Hal ini karena Sage mengomposisikan permutasi dari kiri ke kanan, sedangkan teks Anda mengomposisikannya dari kanan ke kiri. Untuk membuat permutasi \(T_g\text{,}\) cara penulisan permutasi dalam dua baris dapat sangat berguna sebagai langkah antara. Anda mungkin ingin “mengodekan” setiap elemen \(Q\) dengan suatu bilangan bulat dalam \(\{1,2,\dots,8\}\text{.}\)
Salah satu representasi semacam ini tersedia dalam Sage sebagai
QuaternionGroup() — jawaban Anda seharusnya tampak sangat mirip, tetapi mungkin tidak identik. Jangan kumpulkan jawaban Anda untuk representasi kuaternion, tetapi saya sangat menyarankan Anda mengerjakan representasi grup khusus ini sampai yakin bahwa hasilnya benar — jika tidak, soal-soal di bawah mungkin sangat sulit. Anda dapat menggunakan metode .is_isomorphic() milik Sage untuk memeriksa apakah representasi Anda benar. Namun, jangan gunakan metode ini sebagai pengganti bagian dari setiap soal yang meminta Anda menyelidiki sifat-sifat representasi untuk tujuan tersebut.
-
Bangun representasi permutasi dari \({\mathbb Z}_2\times{\mathbb Z}_4\) yang dijelaskan dalam Teorema Cayley. (Ingat bahwa grup ini bersifat aditif, sedangkan teorema tersebut menggunakan notasi multiplikatif.) Sertakan representasi dari setiap elemen di antara \(8\) elemen tersebut dalam pekerjaan yang Anda kumpulkan. Kemudian bangun grup permutasinya sebagai subgrup dari suatu grup simetris penuh yang dibangkitkan oleh tepat dua dari delapan elemen yang telah Anda bangun. Petunjuk: dua elemen mana dari \({\mathbb Z}_2\times{\mathbb Z}_4\) yang dapat Anda gunakan untuk membangkitkan seluruh \({\mathbb Z}_2\times{\mathbb Z}_4\text{?}\) Gunakan perintah-perintah dalam Sage untuk menyelidiki berbagai sifat grup permutasi Anda, selain hanya
.list(), guna memberikan bukti bahwa subgrup Anda benar — sertakan hasil tersebut dalam lembar kerja yang dikumpulkan. -
Bangun representasi permutasi dari \(U(24)\text{,}\) yaitu grup unit modulo 24. Sekali lagi, daftarkan representasi dari setiap elemen dalam pekerjaan yang Anda kumpulkan. Kemudian bangun grup tersebut sebagai subgrup dari suatu grup simetris penuh yang dibuat dengan tiga pembangkit. Untuk menentukan ketiga pembangkit ini, Anda mungkin perlu memahami \(U(24)\) sebagai hasil kali langsung internal. Gunakan perintah-perintah dalam Sage untuk menyelidiki berbagai sifat grup Anda, selain hanya
.list(), guna memberikan bukti bahwa subgrup Anda benar — sertakan hasil tersebut dalam lembar kerja yang dikumpulkan.
