Misalkan \(F\) suatu lapangan dan \(p(x)\) polinomial takkonstan di \(F[x]\text{.}\) Kita telah mengetahui bahwa kita dapat menemukan perluasan lapangan dari \(F\) yang memuat suatu akar dari \(p(x)\text{.}\) Akan tetapi, kita ingin mengetahui apakah terdapat perluasan \(E\) dari \(F\) yang memuat semua akar \(p(x)\text{.}\) Dengan kata lain, dapatkah kita menemukan perluasan lapangan dari \(F\) sedemikian sehingga \(p(x)\) terfaktor menjadi hasil kali polinomial-polinomial linear? Apa perluasan “terkecil” yang memuat semua akar \(p(x)\text{?}\)
Misalkan \(F\) suatu lapangan dan \(p(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\) polinomial takkonstan di \(F[x]\text{.}\) Perluasan lapangan \(E\) dari \(F\) disebut lapangan pemisah dari \(p(x)\) jika terdapat elemen-elemen \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) di \(E\) sedemikian sehingga \(E = F( \alpha_1, \ldots, \alpha_n )\) dan
Misalkan \(p(x) = x^4 + 2x^2 - 8\) berada di \({\mathbb Q}[x]\text{.}\) Maka \(p(x)\) memiliki faktor-faktor tak tereduksi \(x^2 -2\) dan \(x^2 + 4\text{.}\) Oleh karena itu, lapangan \({\mathbb Q}( \sqrt{2}, i )\) merupakan lapangan pemisah untuk \(p(x)\text{.}\)
Misalkan \(p(x) = x^3 - 3\) berada di \({\mathbb Q}[x]\text{.}\) Maka \(p(x)\) memiliki akar di lapangan \({\mathbb Q}( \sqrt[3]{3}\, )\text{.}\) Akan tetapi, lapangan ini bukan lapangan pemisah untuk \(p(x)\) karena akar-akar pangkat tiga kompleks dari \(3\text{,}\)
\begin{equation*}
\frac{ -\sqrt[3]{3} \pm (\sqrt[6]{3}\, )^5 i }{2}\text{,}
\end{equation*}
tidak berada di \({\mathbb Q}( \sqrt[3]{3}\, )\text{.}\)
Kita akan menggunakan induksi matematika pada derajat \(p(x)\text{.}\) Jika \(\deg p(x) = 1\text{,}\) maka \(p(x)\) merupakan polinomial linear dan \(E = F\text{.}\) Asumsikan teorema benar untuk semua polinomial berderajat \(k\) dengan \(1 \leq k \lt n\) dan misalkan \(\deg p(x) = n\text{.}\) Kita dapat mengasumsikan bahwa \(p(x)\) tak tereduksi; jika tidak, berdasarkan hipotesis induksi pembuktian selesai. Berdasarkan Teorema 21.1.5, terdapat lapangan \(K\) sedemikian sehingga \(p(x)\) memiliki nol \(\alpha_1\) di \(K\text{.}\) Jadi, \(p(x) = (x - \alpha_1)q(x)\text{,}\) dengan \(q(x) \in K[x]\text{.}\) Karena \(\deg q(x) = n -1\text{,}\) berdasarkan hipotesis induksi terdapat lapangan pemisah \(E \supset K\) dari \(q(x)\) yang memuat nol-nol \(\alpha_2, \ldots, \alpha_n\) dari \(p(x)\text{.}\) Akibatnya,
Kini timbul pertanyaan mengenai ketunggalan lapangan pemisah. Jawaban atas pertanyaan ini adalah ya. Untuk dua lapangan pemisah \(K\) dan \(L\) dari polinomial \(p(x) \in F[x]\text{,}\) terdapat isomorfisma lapangan \(\phi : K \rightarrow L\) yang mempertahankan \(F\text{.}\) Untuk membuktikan hasil ini, pertama-tama kita harus membuktikan suatu lema.
Misalkan \(\phi : E \rightarrow F\) suatu isomorfisma lapangan. Misalkan \(K\) perluasan lapangan dari \(E\) dan \(\alpha \in K\) aljabar atas \(E\) dengan polinomial minimal \(p(x)\text{.}\) Misalkan \(L\) perluasan lapangan dari \(F\) sedemikian sehingga \(\beta\) merupakan akar dari polinomial di \(F[x]\) yang diperoleh dari \(p(x)\) melalui citra \(\phi\text{.}\) Maka \(\phi\) meluas menjadi isomorfisma tunggal \(\overline{\phi} : E( \alpha ) \rightarrow F( \beta )\) sedemikian sehingga \(\overline{\phi}( \alpha ) = \beta\) dan \(\overline{\phi}\) sama dengan \(\phi\) pada \(E\text{.}\)
Jika \(p(x)\) berderajat \(n\text{,}\) maka berdasarkan Teorema 21.1.13 kita dapat menulis setiap elemen di \(E( \alpha )\) sebagai kombinasi linear dari \(1, \alpha, \ldots, \alpha^{n - 1}\text{.}\) Oleh karena itu, isomorfisma yang kita cari harus berupa
merupakan elemen di \(E(\alpha)\text{.}\) Fakta bahwa \(\overline{\phi}\) merupakan isomorfisma dapat diperiksa melalui perhitungan langsung; akan tetapi, lebih mudah untuk mengamati bahwa \(\overline{\phi}\) merupakan komposisi pemetaan-pemetaan yang telah kita ketahui sebagai isomorfisma.
Kita dapat memperluas \(\phi\) menjadi isomorfisma dari \(E[x]\) ke \(F[x]\text{,}\) yang juga akan kita nyatakan dengan \(\phi\text{,}\) dengan menetapkan
Perluasan ini sama dengan isomorfisma asal \(\phi : E \rightarrow F\text{,}\) karena polinomial konstan dipetakan ke polinomial konstan. Berdasarkan asumsi, \(\phi(p(x)) = q(x)\text{;}\) jadi, \(\phi\) memetakan \(\langle p(x) \rangle\) ke \(\langle q(x) \rangle\) secara onto. Akibatnya, kita memiliki isomorfisma \(\psi : E[x] / \langle p(x) \rangle \rightarrow F[x]/\langle q(x) \rangle\text{.}\) Berdasarkan Proposisi 21.1.12, kita memiliki isomorfisma \(\sigma: E[x]/\langle p(x) \rangle \rightarrow E(\alpha)\) dan \(\tau : F[x]/\langle q(x) \rangle \rightarrow F( \beta )\text{,}\) yang masing-masing didefinisikan melalui evaluasi di \(\alpha\) dan \(\beta\text{.}\) Oleh karena itu, \(\overline{\phi} = \tau \psi \sigma^{-1}\) adalah isomorfisma yang diperlukan (lihat Gambar 21.2.5).
Misalkan \(\phi : E \rightarrow F\) suatu isomorfisma lapangan, \(p(x)\) polinomial takkonstan di \(E[x]\text{,}\) dan \(q(x)\) polinomial yang bersesuaian di \(F[x]\) di bawah isomorfisma tersebut. Jika \(K\) merupakan lapangan pemisah dari \(p(x)\) dan \(L\) merupakan lapangan pemisah dari \(q(x)\text{,}\) maka \(\phi\) meluas menjadi isomorfisma \(\psi : K \rightarrow L\text{.}\)
Kita akan menggunakan induksi matematika pada derajat \(p(x)\text{.}\) Kita dapat mengasumsikan bahwa \(p(x)\) tak tereduksi atas \(E\text{.}\) Oleh karena itu, \(q(x)\) juga tak tereduksi atas \(F\text{.}\) Jika \(\deg p(x) = 1\text{,}\) berdasarkan definisi lapangan pemisah, \(K = E\) dan \(L = F\text{,}\) sehingga tidak ada yang perlu dibuktikan.
Asumsikan teorema berlaku untuk semua polinomial berderajat kurang dari \(n\text{.}\) Karena \(K\) merupakan lapangan pemisah dari \(p(x)\text{,}\) semua akar \(p(x)\) berada di \(K\text{.}\) Pilih salah satu akar ini, katakanlah \(\alpha\text{,}\) sedemikian sehingga \(E \subset E( \alpha ) \subset K\text{.}\) Demikian pula, kita dapat menemukan akar \(\beta\) dari \(q(x)\) di \(L\) sedemikian sehingga \(F \subset F( \beta) \subset L\text{.}\) Berdasarkan Lema 21.2.4, terdapat isomorfisma \(\overline{\phi} : E(\alpha ) \rightarrow F( \beta)\) sedemikian sehingga \(\overline{\phi}( \alpha ) = \beta\) dan \(\overline{\phi}\) sama dengan \(\phi\) pada \(E\) (lihat Gambar 21.2.7).
\begin{equation*}
\begin{CD}
K @>\psi>> L \\
@VV{\sigma}V @VV{\tau}V\\
E(\alpha) @>\overline{\phi}>> F(\beta) \\
@VVV @VVV\\
E @>\phi>> F
\end{CD}
\end{equation*}
Sekarang tulis \(p(x) = (x - \alpha ) f(x)\) dan \(q(x) = ( x - \beta) g(x)\text{,}\) dengan derajat \(f(x)\) dan \(g(x)\) masing-masing kurang dari derajat \(p(x)\) dan \(q(x)\text{.}\) Perluasan lapangan \(K\) merupakan lapangan pemisah untuk \(f(x)\) atas \(E( \alpha)\text{,}\) dan \(L\) merupakan lapangan pemisah untuk \(g(x)\) atas \(F( \beta )\text{.}\) Berdasarkan hipotesis induksi, terdapat isomorfisma \(\psi : K \rightarrow L\) sedemikian sehingga \(\psi\) sama dengan \(\overline{\phi}\) pada \(E( \alpha)\text{.}\) Jadi, terdapat isomorfisma \(\psi : K \rightarrow L\) sedemikian sehingga \(\psi\) sama dengan \(\phi\) pada \(E\text{.}\)
