Lewati ke konten utama

Bagian 23.3 Penerapan

Subbagian 23.3.1 Keterpecahan dengan Radikal

Sepanjang bagian ini kita akan mengasumsikan bahwa semua lapangan berkarakteristik nol untuk memastikan bahwa polinomial taktereduksi tidak memiliki akar ganda. Tujuan langsung bagian ini adalah menentukan kapan akar-akar suatu polinomial \(f(x)\) dapat dihitung melalui sejumlah hingga operasi pada koefisien-koefisien \(f(x)\text{.}\) Operasi yang diperbolehkan adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan pengambilan akar pangkat \(n\text{.}\) Tentu saja, penyelesaian persamaan kuadrat \(a x^2 + b x +c = 0\) mengilustrasikan proses ini:
\begin{equation*} x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\text{.} \end{equation*}
Satu-satunya operasi di antara operasi-operasi tersebut yang mungkin memerlukan lapangan lebih besar adalah pengambilan akar pangkat \(n\text{.}\) Hal ini membawa kita pada definisi berikut.
Lapangan perluasan \(E\) dari lapangan \(F\) merupakan suatu perluasan dengan radikal jika terdapat rantai sublapangan
\begin{equation*} F = F_0 \subset F_1 \subset F_2 \subset \cdots \subset F_r = E \end{equation*}
sedemikian sehingga untuk \(i = 1, 2, \ldots, r\text{,}\) berlaku \(F_i = F_{i - 1}(\alpha_i)\) dan \(\alpha_i^{n_i} \in F_{i-1}\) untuk suatu bilangan bulat positif \(n_i\text{.}\) Suatu polinomial \(f(x)\) dapat diselesaikan dengan radikal atas \(F\) jika lapangan pemisah \(K\) dari \(f(x)\) atas \(F\) termuat dalam suatu perluasan dengan radikal dari \(F\text{.}\) Tujuan kita adalah memperoleh kriteria yang menentukan dapat atau tidaknya suatu polinomial \(f(x)\) diselesaikan dengan radikal dengan menelaah grup Galois dari \(f(x)\text{.}\)
Polinomial yang paling mudah diselesaikan dengan radikal adalah polinomial berbentuk \(x^n - a\text{.}\) Seperti yang dibahas dalam Bab 4, akar-akar dari \(x^n - 1\) disebut akar-akar kesatuan pangkat n. Akar-akar ini membentuk subgrup hingga dari lapangan pemisah \(x^n -1\text{.}\) Menurut Korolari 22.1.11, akar-akar kesatuan pangkat \(n\) membentuk suatu grup siklik. Setiap pembangkit grup ini disebut akar kesatuan primitif pangkat n.

Contoh 23.3.1.

Polinomial \(x^n - 1\) dapat diselesaikan dengan radikal atas \({\mathbb Q}\text{.}\) Akar-akar polinomial ini adalah \(1, \omega, \omega^2, \ldots, \omega^{n - 1}\text{,}\) dengan
\begin{equation*} \omega = \cos\left( \frac{2 \pi}{n} \right) + i \sin\left( \frac{2 \pi}{n} \right)\text{.} \end{equation*}
Lapangan pemisah dari \(x^n - 1\) atas \({\mathbb Q}\) adalah \({\mathbb Q}(\omega)\text{.}\)
Kita akan membuktikan bahwa suatu polinomial dapat diselesaikan dengan radikal jika grup Galoisnya dapat diselesaikan. Ingat bahwa deret subnormal dari suatu grup \(G\) adalah barisan hingga subgrup
\begin{equation*} G = H_n \supset H_{n-1} \supset \cdots \supset H_1 \supset H_0 = \{ e \}\text{,} \end{equation*}
dengan \(H_i\) normal dalam \(H_{i+1}\text{.}\) Suatu grup \(G\) dapat diselesaikan jika memiliki deret subnormal \(\{ H_i \}\) sedemikian sehingga semua grup hasil bagi \(H_{i+1} /H_i\) abelian. Sebagai contoh, jika kita menelaah deret \(\{ \identity \} \subset A_3 \subset S_3\text{,}\) kita melihat bahwa \(S_3\) dapat diselesaikan. Di sisi lain, \(S_5\) tidak dapat diselesaikan, menurut Teorema 10.2.4.

Bukti.
Akar-akar dari \(x^n - a\) adalah \(\sqrt[n]{a}, \omega \sqrt[n]{a}, \ldots, \omega^{n-1} \sqrt[n]{a}\text{,}\) dengan \(\omega\) suatu akar kesatuan primitif pangkat \(n\text{.}\) Misalkan \(F\) memuat semua akar kesatuan pangkat \(n\text{.}\) Jika \(\zeta\) adalah salah satu akar dari \(x^n - a\text{,}\) maka akar-akar berbeda dari \(x^n - a\) adalah \(\zeta, \omega \zeta, \ldots, \omega^{n - 1} \zeta\text{,}\) dan \(E = F(\zeta)\text{.}\) Karena \(G(E/F)\) mempermutasikan akar-akar dari \(x^n - a\text{,}\) elemen-elemen dalam \(G(E/F)\) harus ditentukan oleh tindakannya pada akar-akar tersebut. Misalkan \(\sigma\) dan \(\tau\) berada dalam \(G(E/F)\) dan andaikan bahwa \(\sigma( \zeta ) = \omega^i \zeta\) dan \(\tau( \zeta ) = \omega^j \zeta\text{.}\) Jika \(F\) memuat akar-akar kesatuan tersebut, maka
\begin{equation*} \sigma \tau( \zeta ) = \sigma( \omega^j \zeta) = \omega^j \sigma( \zeta ) = \omega^{i+j} \zeta = \omega^i \tau( \zeta ) = \tau( \omega^i \zeta ) = \tau \sigma( \zeta )\text{.} \end{equation*}
Oleh karena itu, \(\sigma \tau = \tau \sigma\) dan \(G(E/F)\) abelian, sehingga \(G(E/F)\) dapat diselesaikan.
Sekarang andaikan bahwa \(F\) tidak memuat akar kesatuan primitif pangkat \(n\text{.}\) Misalkan \(\omega\) suatu pembangkit dari grup siklik akar-akar kesatuan pangkat \(n\text{.}\) Misalkan \(\alpha\) suatu akar dari \(x^n - a\text{.}\) Karena \(\alpha\) dan \(\omega \alpha\) keduanya berada dalam lapangan pemisah dari \(x^n - a\text{,}\) \(\omega = (\omega \alpha)/ \alpha\) juga berada dalam \(E\text{.}\) Misalkan \(K = F( \omega)\text{.}\) Maka \(F \subset K \subset E\text{.}\) Karena \(K\) adalah lapangan pemisah dari \(x^n - 1\text{,}\) \(K\) merupakan perluasan normal dari \(F\text{.}\) Oleh karena itu, setiap automorfisme \(\sigma\) dalam \(G(F( \omega)/ F)\) ditentukan oleh \(\sigma( \omega)\text{.}\) Haruslah \(\sigma( \omega ) = \omega^i\) untuk suatu bilangan bulat \(i\text{,}\) karena semua akar dari \(x^n - 1\) merupakan pangkat dari \(\omega\text{.}\) Jika \(\tau( \omega ) = \omega^j\) berada dalam \(G(F(\omega)/F)\text{,}\) maka
\begin{equation*} \sigma \tau( \omega ) = \sigma( \omega^j ) = [ \sigma( \omega )]^j = \omega^{ij} = [\tau( \omega ) ]^i = \tau( \omega^i ) = \tau \sigma( \omega )\text{.} \end{equation*}
Oleh karena itu, \(G(F( \omega ) / F)\) abelian. Menurut Teorema Fundamental Teori Galois, deret
\begin{equation*} \{ \identity \} \subset G(E/ F(\omega)) \subset G(E/F) \end{equation*}
merupakan deret normal. Menurut argumen sebelumnya, \(G(E/F(\omega))\) abelian. Karena
\begin{equation*} G(E/F) /G(E/F( \omega)) \cong G(F(\omega)/F) \end{equation*}
juga abelian, \(G(E/F)\) dapat diselesaikan.

Bukti.
Karena \(E\) merupakan perluasan dengan radikal dari \(F\text{,}\) terdapat rantai sublapangan
\begin{equation*} F = F_0 \subset F_1 \subset F_2 \subset \cdots \subset F_r = E \end{equation*}
sedemikian sehingga untuk \(i = 1, 2, \ldots, r\text{,}\) berlaku \(F_i = F_{i - 1}(\alpha_i)\) dan \(\alpha_i^{n_i} \in F_{i-1}\) untuk suatu bilangan bulat positif \(n_i\text{.}\) Kita akan membangun suatu perluasan normal dengan radikal dari \(F\text{,}\)
\begin{equation*} F = K_0 \subset K_1 \subset K_2 \subset \cdots \subset K_r = K \end{equation*}
sedemikian sehingga \(K \supseteq E\text{.}\) Definisikan \(K_1\) sebagai lapangan pemisah dari \(x^{n_1} - \alpha_1^{n_1}\text{.}\) Akar-akar polinomial ini adalah \(\alpha_1, \alpha_1 \omega, \alpha_1 \omega^2, \ldots, \alpha_1 \omega^{n_1 - 1}\text{,}\) dengan \(\omega\) suatu akar kesatuan primitif pangkat \(n_1\text{.}\) Jika \(F\) memuat semua akar kesatuan pangkat \(n_1\text{,}\) maka \(K_1 = F(\alpha_1)\text{.}\) Di sisi lain, andaikan bahwa \(F\) tidak memuat akar kesatuan primitif pangkat \(n_1\text{.}\) Jika \(\beta\) adalah suatu akar dari \(x^{n_1} - \alpha_1^{n_1}\text{,}\) maka semua akar dari \(x^{n_1} - \alpha_1^{n_1}\) harus berupa \(\beta, \omega \beta, \ldots, \omega^{n_1-1} \beta\text{,}\) dengan \(\omega\) suatu akar kesatuan primitif pangkat \(n_1\text{.}\) Dalam hal ini, \(K_1 = F(\omega \beta)\text{.}\) Jadi, \(K_1\) merupakan perluasan normal dengan radikal dari \(F\) yang memuat \(F_1\text{.}\) Dengan melanjutkan cara ini, kita memperoleh
\begin{equation*} F = K_0 \subset K_1 \subset K_2 \subset \cdots \subset K_r = K \end{equation*}
sedemikian sehingga \(K_i\) merupakan perluasan normal dari \(K_{i-1}\) dan \(K_i \supseteq F_i\) untuk \(i = 1, 2, \ldots, r\text{.}\)
Sekarang kita akan membuktikan teorema utama mengenai keterpecahan dengan radikal.

Bukti.
Karena \(f(x)\) dapat diselesaikan dengan radikal, terdapat suatu perluasan dengan radikal \(E\) dari \(F\text{,}\) yaitu \(F = F_0 \subset F_1 \subset \cdots \subset F_n = E\text{.}\) Menurut Lema 23.3.3, kita dapat mengasumsikan bahwa \(E\) merupakan lapangan pemisah dari \(f(x)\) dan \(F_i\) normal atas \(F_{i - 1}\text{.}\) Menurut Teorema Fundamental Teori Galois, \(G(E/F_i)\) merupakan subgrup normal dari \(G(E/F_{i - 1})\text{.}\) Oleh karena itu, kita memiliki deret subnormal subgrup dari \(G(E/F)\text{:}\)
\begin{equation*} \{ \identity \} \subset G(E/F_{n - 1}) \subset \cdots \subset G(E/F_1) \subset G(E/F)\text{.} \end{equation*}
Sekali lagi menurut Teorema Fundamental Teori Galois, kita mengetahui bahwa
\begin{equation*} G(E/F_{i - 1})/G(E/F_i) \cong G(F_i/F_{i - 1})\text{.} \end{equation*}
Menurut Lema 23.3.2, \(G(F_i/F_{i - 1})\) dapat diselesaikan; jadi, \(G(E/F)\) juga dapat diselesaikan.
Kebalikan dari Teorema 23.3.4 juga benar. Untuk buktinya, lihat salah satu referensi pada akhir bab ini.

Subbagian 23.3.2 Ketakterpecahan Persamaan Kuintik

Sekarang kita dapat menemukan suatu polinomial berderajat lima yang tidak dapat diselesaikan dengan radikal. Kita hanya perlu menemukan polinomial yang grup Galoisnya adalah \(S_5\text{.}\) Kita mulai dengan membuktikan sebuah lema.

Bukti.
Misalkan \(G\) suatu subgrup dari \(S_p\) yang memuat suatu transposisi \(\sigma\) dan suatu siklus \(\tau\) dengan panjang \(p\text{.}\) Kita boleh mengasumsikan bahwa \(\sigma = (1 \, 2)\text{.}\) Orde dari \(\tau\) adalah \(p\) dan \(\tau^n\) harus merupakan siklus dengan panjang \(p\) untuk \(1 \leq n \lt p\text{.}\) Oleh karena itu, kita boleh mengasumsikan bahwa \(\mu = \tau^n = (1, 2, i_3, \ldots, i_p)\) untuk suatu \(n\text{,}\) dengan \(1 \leq n \lt p\) (lihat Latihan 5.4.13 dalam Bab 5). Dengan memperhatikan bahwa \((1 \, 2)(1, 2, i_3,\ldots, i_p) = (2, i_3, \ldots, i_p)\) dan \((2,i_3, \ldots, i_p)^k(1 \, 2)(2,i_3, \ldots, i_p)^{-k} = (1 \, i_k)\text{,}\) kita dapat memperoleh semua transposisi berbentuk \((1n)\) untuk \(1 \leq n \lt p\text{.}\) Namun, transposisi-transposisi ini membangkitkan semua transposisi dalam \(S_p\text{,}\) karena \((1 \, j)(1 \, i)(1 \, j) = (i \, j)\text{.}\) Transposisi-transposisi tersebut membangkitkan \(S_p\text{.}\)
Grafik berada pada sepasang sumbu persegi panjang dan bermula di bawah sumbu horizontal, lalu naik hingga sekitar 68 ketika x kira-kira sama dengan 2, sambil melintasi sumbu horizontal di sekitar minus 3. Grafik kemudian turun hingga sekitar minus 73 ketika x kira-kira sama dengan 2,3, sambil melintasi sumbu horizontal di sekitar minus 0,2. Terakhir, grafik naik hingga 20 di sekitar 3,2, sambil melintasi sumbu horizontal di sekitar 3.
Gambar 23.3.6. Grafik \(f(x) = x^5 - 6 x^3 - 27 x - 3\)

Contoh 23.3.7.

Kita akan menunjukkan bahwa \(f(x) = x^5 - 6 x^3 - 27 x - 3 \in {\mathbb Q}[x]\) tidak dapat diselesaikan. Kita mengklaim bahwa grup Galois dari \(f(x)\) atas \({\mathbb Q}\) adalah \(S_5\text{.}\) Menurut Kriteria Eisenstein, \(f(x)\) taktereduksi dan, oleh karena itu, harus separabel. Turunan dari \(f(x)\) adalah \(f'(x) = 5 x^4 - 18 x^2 - 27\text{;}\) jadi, dengan menetapkan \(f'(x) = 0\) dan menyelesaikannya, kita menemukan bahwa akar real dari \(f'(x)\) hanyalah
\begin{equation*} x = \pm \sqrt{ \frac{6 \sqrt{6} + 9 }{5} }\text{.} \end{equation*}
Oleh karena itu, \(f(x)\) dapat memiliki paling banyak satu maksimum dan satu minimum. Mudah ditunjukkan bahwa \(f(x)\) berganti tanda antara \(-3\) dan \(-2\text{,}\) antara \(-2\) dan \(0\text{,}\) serta sekali lagi antara \(0\) dan \(4\) (Gambar 23.3.6). Oleh karena itu, \(f(x)\) memiliki tepat tiga akar real yang berbeda. Dua akar \(f(x)\) yang tersisa harus berupa pasangan konjugat kompleks. Misalkan \(K\) lapangan pemisah dari \(f(x)\text{.}\) Karena \(f(x)\) memiliki lima akar berbeda dalam \(K\) dan setiap automorfisme dari \(K\) yang menetapkan \({\mathbb Q}\) ditentukan oleh caranya mempermutasikan akar-akar \(f(x)\text{,}\) kita mengetahui bahwa \(G(K/{\mathbb Q})\) merupakan subgrup dari \(S_5\text{.}\) Karena \(f\) taktereduksi, terdapat elemen \(\sigma \in G(K/{\mathbb Q})\) sedemikian sehingga \(\sigma(a) = b\) untuk dua akar \(a\) dan \(b\) dari \(f(x)\text{.}\) Automorfisme dari \({\mathbb C}\) yang memetakan \(a + bi \mapsto a - bi\) menetapkan akar-akar real dan mempertukarkan akar-akar kompleks; akibatnya, \(G(K/{\mathbb Q} )\) memuat suatu transposisi. Jika \(\alpha\) adalah salah satu akar real dari \(f(x)\text{,}\) maka \([\mathbb Q(\alpha) : \mathbb Q] = 5\) menurut Latihan 21.5.28. Karena \(\mathbb Q(\alpha)\) merupakan sublapangan dari \(K\text{,}\) haruslah \([K : \mathbb Q]\) habis dibagi \(5\text{.}\) Karena \([K : \mathbb Q] = |G(K/{\mathbb Q})|\) dan \(G(K/{\mathbb Q}) \subset S_5\text{,}\) kita mengetahui bahwa \(G(K/{\mathbb Q})\) memuat suatu siklus dengan panjang \(5\text{.}\) Menurut Lema 23.3.5, \(S_5\) dibangkitkan oleh suatu transposisi dan suatu elemen berorde \(5\text{;}\) oleh karena itu, \(G(K/{\mathbb Q} )\) harus sama dengan seluruh \(S_5\text{.}\) Menurut Teorema 10.2.4, \(S_5\) tidak dapat diselesaikan. Akibatnya, \(f(x)\) tidak dapat diselesaikan dengan radikal.

Subbagian 23.3.3 Teorema Fundamental Aljabar

Sudah selayaknya teorema terakhir yang akan kita nyatakan dan buktikan adalah Teorema Fundamental Aljabar. Teorema ini pertama kali dibuktikan oleh Gauss dalam disertasi doktoralnya. Sebelum bukti Gauss, para matematikawan menduga bahwa mungkin terdapat polinomial atas bilangan real dan kompleks yang tidak memiliki penyelesaian. Teorema Fundamental Aljabar menyatakan bahwa setiap polinomial atas bilangan kompleks dapat difaktorkan menjadi faktor-faktor linear yang berbeda.

Bukti.
Andaikan \(E\) merupakan perluasan lapangan hingga sejati dari bilangan kompleks. Karena setiap perluasan hingga dari lapangan berkarakteristik nol merupakan perluasan sederhana, terdapat \(\alpha \in E\) sedemikian sehingga \(E = {\mathbb C}( \alpha )\text{,}\) dengan \(\alpha\) suatu akar dari polinomial taktereduksi \(f(x)\) dalam \({\mathbb C}[x]\text{.}\) Lapangan pemisah \(L\) dari \(f(x)\) merupakan perluasan hingga, normal, dan separabel dari \({\mathbb C}\) yang memuat \(E\text{.}\) Kita harus menunjukkan bahwa \(L\) mustahil merupakan perluasan sejati dari \({\mathbb C}\text{.}\)
Andaikan \(L\) merupakan perluasan sejati dari \({\mathbb C}\text{.}\) Karena \(L\) merupakan lapangan pemisah dari \(f(x) = (x^2 + 1)\) atas \({\mathbb R}\text{,}\) \(L\) merupakan perluasan hingga, normal, dan separabel dari \({\mathbb R}\text{.}\) Misalkan \(K\) lapangan tetap dari suatu subgrup Sylow \(2\text{,}\) yaitu \(G\text{,}\) dari \(G(L/{\mathbb R})\text{.}\) Maka \(L \supset K \supset {\mathbb R}\) dan \(|G( L / K )| =[L:K]\text{.}\) Karena \([L : {\mathbb R}] = [L:K][K:{\mathbb R}]\text{,}\) kita mengetahui bahwa \([K:{\mathbb R}]\) harus ganjil. Akibatnya, \(K = {\mathbb R}(\beta)\text{,}\) dengan \(\beta\) memiliki polinomial minimal \(f(x)\) berderajat ganjil. Oleh karena itu, \(K = {\mathbb R}\text{.}\)
Sekarang kita mengetahui bahwa \(G(L/{\mathbb R})\) harus merupakan suatu grup-\(2\text{.}\) Akibatnya, \(G(L / {\mathbb C})\) merupakan grup-\(2\text{.}\) Kita telah mengasumsikan bahwa \(L \neq {\mathbb C}\text{;}\) oleh karena itu, \(|G(L / {\mathbb C})| \geq 2\text{.}\) Menurut Teorema Sylow pertama dan Teorema Fundamental Teori Galois, terdapat suatu subgrup \(G\) dari \(G(L/{\mathbb C})\) berindeks \(2\) dan suatu lapangan \(E\) yang setiap elemennya ditetapkan oleh \(G\text{.}\) Maka \([E:{\mathbb C}] = 2\) dan terdapat elemen \(\gamma \in E\) dengan polinomial minimal \(x^2 + b x + c\) dalam \({\mathbb C}[x]\text{.}\) Polinomial ini memiliki akar \(( - b \pm \sqrt{b^2 - 4c}\, ) / 2\) yang berada dalam \({\mathbb C}\text{,}\) karena \(b^2 - 4 c\) berada dalam \({\mathbb C}\text{.}\) Ini mustahil; jadi, \(L = {\mathbb C}\text{.}\)
Meskipun bukti kita sepenuhnya bersifat aljabar, kita terpaksa mengandalkan hasil-hasil dari kalkulus. Aksioma kelengkapan dari analisis perlu diasumsikan untuk menunjukkan bahwa setiap polinomial berderajat ganjil memiliki akar real dan bahwa setiap bilangan real positif memiliki akar kuadrat. Tampaknya tidak mungkin menghindari kesulitan ini dan merumuskan argumen yang murni aljabar. Cukup menakjubkan bahwa terdapat beberapa bukti elegan untuk Teorema Fundamental Aljabar yang menggunakan analisis kompleks. Menarik pula untuk dicatat bahwa kita dapat memperoleh bukti bagi teorema sepenting ini dari dua bidang matematika yang sangat berbeda.
Sblm.Paling AtasLanjut