Lewati ke konten utama

Latihan 21.5 Latihan

1.

Tunjukkan bahwa setiap bilangan berikut aljabar atas \({\mathbb Q}\) dengan menentukan polinomial minimal bilangan tersebut atas \({\mathbb Q}\text{.}\)
  1. \(\displaystyle \sqrt{ 1/3 + \sqrt{7} }\)
  2. \(\displaystyle \sqrt{ 3} + \sqrt[3]{5}\)
  3. \(\displaystyle \sqrt{3} + \sqrt{2}\, i\)
  4. \(\cos \theta + i \sin \theta\) untuk \(\theta = 2 \pi /n\) dengan \(n \in {\mathbb N}\)
  5. \(\displaystyle \sqrt{ \sqrt[3]{2} - i }\)
Petunjuk.
(a) \(x^4 - (2/3) x^2 - 62/9\text{;}\) (c) \(x^4 - 2 x^2 + 25\text{.}\)

2.

Tentukan suatu basis untuk setiap perluasan lapangan berikut. Berapakah derajat setiap perluasan?
  1. \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{6}\, )\) atas \({\mathbb Q}\)
  2. \({\mathbb Q}( \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{3}\, )\) atas \({\mathbb Q}\)
  3. \({\mathbb Q}( \sqrt{2}, i)\) atas \({\mathbb Q}\)
  4. \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}\, )\) atas \({\mathbb Q}\)
  5. \({\mathbb Q}( \sqrt{2}, \root 3 \of{2}\, )\) atas \({\mathbb Q}\)
  6. \({\mathbb Q}( \sqrt{8}\, )\) atas \({\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )\)
  7. \({\mathbb Q}(i, \sqrt{2} +i, \sqrt{3} + i )\) atas \({\mathbb Q}\)
  8. \({\mathbb Q}( \sqrt{2} + \sqrt{5}\, )\) atas \({\mathbb Q} ( \sqrt{5}\, )\)
  9. \({\mathbb Q}( \sqrt{2}, \sqrt{6} + \sqrt{10}\, )\) atas \({\mathbb Q} ( \sqrt{3} + \sqrt{5}\, )\)
Petunjuk.
(a) \(\{ 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}\, \}\text{;}\) (c) \(\{ 1, i, \sqrt{2}, \sqrt{2}\, i \}\text{;}\) (e) \(\{1, 2^{1/6}, 2^{1/3}, 2^{1/2}, 2^{2/3}, 2^{5/6} \}\text{.}\)

3.

Tentukan lapangan pemisah untuk setiap polinomial berikut.
  1. \(x^4 - 10 x^2 + 21\) atas \({\mathbb Q}\)
  2. \(x^4 + 1\) atas \({\mathbb Q}\)
  3. \(x^3 + 2x + 2\) atas \({\mathbb Z}_3\)
  4. \(x^3 - 3\) atas \({\mathbb Q}\)
Petunjuk.
(a) \({\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{7}\, )\text{.}\)

4.

Tinjau perluasan lapangan \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )\) atas \(\mathbb Q\text{.}\)
  1. Tentukan suatu basis untuk perluasan lapangan \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )\) atas \(\mathbb Q\text{.}\) Simpulkan bahwa \([{\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i ): \mathbb Q] = 8\text{.}\)
  2. Tentukan semua sublapangan \(F\) dari \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )\) sedemikian sehingga \([F:\mathbb Q] = 2\text{.}\)
  3. Tentukan semua sublapangan \(F\) dari \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )\) sedemikian sehingga \([F:\mathbb Q] = 4\text{.}\)

5.

Tunjukkan bahwa \({\mathbb Z}_2[x] / \langle x^3 + x + 1 \rangle\) merupakan lapangan dengan delapan elemen. Buat tabel perkalian untuk grup perkalian lapangan tersebut.
Petunjuk.
Gunakan fakta bahwa elemen-elemen \({\mathbb Z}_2[x]/ \langle x^3 + x + 1 \rangle\) adalah 0, 1, \(\alpha\text{,}\) \(1 + \alpha\text{,}\) \(\alpha^2\text{,}\) \(1 + \alpha^2\text{,}\) \(\alpha + \alpha^2\text{,}\) \(1 + \alpha + \alpha^2\) serta fakta bahwa \(\alpha^3 + \alpha + 1 = 0\text{.}\)

6.

Tunjukkan bahwa segi-\(9\) beraturan tidak dapat dikonstruksi dengan penggaris lurus dan jangka, tetapi segi-\(20\) beraturan dapat dikonstruksi.

7.

Buktikan bahwa kosinus satu derajat (\(\cos 1^\circ\)) aljabar atas \({\mathbb Q}\) tetapi tidak dapat dikonstruksi.

8.

Dapatkah dikonstruksi suatu kubus dengan volume tiga kali volume kubus yang diberikan?
Petunjuk.
Tidak.

9.

Buktikan bahwa \({\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt[4]{3}, \sqrt[8]{3}, \ldots )\) merupakan perluasan aljabar dari \({\mathbb Q}\text{,}\) tetapi bukan perluasan hingga.

10.

Buktikan atau sangkal: \(\pi\) aljabar atas \({\mathbb Q}(\pi^3)\text{.}\)

11.

Misalkan \(p(x)\) polinomial takkonstan berderajat \(n\) di \(F[x]\text{.}\) Buktikan bahwa terdapat lapangan pemisah \(E\) untuk \(p(x)\) sedemikian sehingga \([E : F] \leq n!\text{.}\)

12.

Buktikan atau sangkal: \({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, ) \cong {\mathbb Q}( \sqrt{3}\, )\text{.}\)

13.

Buktikan bahwa lapangan \({\mathbb Q}(\sqrt[4]{3}\, )\) dan \({\mathbb Q}(\sqrt[4]{3}\, i)\) isomorfik tetapi tidak sama.

14.

Misalkan \(K\) perluasan aljabar dari \(E\text{,}\) dan \(E\) perluasan aljabar dari \(F\text{.}\) Buktikan bahwa \(K\) aljabar atas \(F\text{.}\) [Perhatian: Jangan mengasumsikan bahwa perluasan-perluasan tersebut hingga.]
Petunjuk.
Misalkan \(E\) aljabar atas \(F\) dan \(K\) aljabar atas \(E\text{.}\) Misalkan \(\alpha \in K\text{.}\) Cukup ditunjukkan bahwa \(\alpha\) aljabar atas suatu perluasan hingga dari \(F\text{.}\) Karena \(\alpha\) aljabar atas \(E\text{,}\) elemen tersebut harus merupakan nol dari suatu polinomial \(p(x) = \beta_0 + \beta_1 x + \cdots + \beta_n x^n\) di \(E[x]\text{.}\) Jadi, \(\alpha\) aljabar atas \(F(\beta_0, \ldots, \beta_n)\text{.}\)

15.

Buktikan atau sangkal: \({\mathbb Z}[x] / \langle x^3 -2 \rangle\) merupakan lapangan.

16.

Misalkan \(F\) lapangan berkarakteristik \(p\text{.}\) Buktikan bahwa \(p(x) = x^p - a\) tak tereduksi atas \(F\) atau terpisah di \(F\text{.}\)

17.

Misalkan \(E\) penutupan aljabar dari lapangan \(F\text{.}\) Buktikan bahwa setiap polinomial \(p(x)\) di \(F[x]\) terpisah di \(E\text{.}\)

18.

Jika setiap polinomial tak tereduksi \(p(x)\) di \(F[x]\) bersifat linear, tunjukkan bahwa \(F\) merupakan lapangan yang tertutup secara aljabar.

19.

Buktikan bahwa jika \(\alpha\) dan \(\beta\) bilangan yang dapat dikonstruksi sedemikian sehingga \(\beta \neq 0\text{,}\) maka \(\alpha / \beta\) juga dapat dikonstruksi.

20.

Tunjukkan bahwa himpunan semua elemen di \({\mathbb R}\) yang aljabar atas \({\mathbb Q}\) membentuk perluasan lapangan dari \({\mathbb Q}\) yang tidak hingga.

21.

Misalkan \(E\) perluasan aljabar dari lapangan \(F\text{,}\) dan \(\sigma\) automorfisme dari \(E\) yang menetapkan \(F\text{.}\) Misalkan \(\alpha \in E\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(\sigma\) menginduksi permutasi pada himpunan semua nol dari polinomial minimal \(\alpha\) yang berada di \(E\text{.}\)

22.

Tunjukkan bahwa \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{3} + \sqrt{7}\, )\text{.}\) Perluas bukti Anda untuk menunjukkan bahwa \({\mathbb Q}( \sqrt{a}, \sqrt{b}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{a} + \sqrt{b}\, )\text{,}\) dengan \(a \neq b\) dan \(a\) maupun \(b\) bukan kuadrat sempurna.
Petunjuk.
Karena \(\{ 1, \sqrt{3}, \sqrt{7}, \sqrt{21}\, \}\) merupakan basis untuk \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, )\) atas \({\mathbb Q}\text{,}\) \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) \supset {\mathbb Q}( \sqrt{3} +\sqrt{7}\, )\text{.}\) Karena \([{\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) : {\mathbb Q}] = 4\text{,}\) \([{\mathbb Q}( \sqrt{3} + \sqrt{7}\, ) : {\mathbb Q}] = 2\) atau 4. Karena derajat polinomial minimal dari \(\sqrt{3} +\sqrt{7}\) adalah 4, \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{3} +\sqrt{7}\, )\text{.}\)

23.

Misalkan \(E\) perluasan hingga dari lapangan \(F\text{.}\) Jika \([E:F] = 2\text{,}\) tunjukkan bahwa \(E\) merupakan lapangan pemisah dari \(F\) untuk suatu polinomial \(f(x) \in F[x]\text{.}\)

24.

Buktikan atau sangkal: Untuk suatu polinomial \(p(x)\) di \({\mathbb Z}_6[x]\text{,}\) dapat dibangun gelanggang \(R\) sedemikian sehingga \(p(x)\) memiliki akar di \(R\text{.}\)

25.

Misalkan \(E\) perluasan lapangan dari \(F\) dan \(\alpha \in E\text{.}\) Tentukan \([F(\alpha): F(\alpha^3)]\text{.}\)

26.

Misalkan \(\alpha, \beta\) transenden atas \({\mathbb Q}\text{.}\) Buktikan bahwa \(\alpha \beta\) atau \(\alpha + \beta\) juga transenden.

27.

Misalkan \(E\) perluasan lapangan dari \(F\) dan \(\alpha \in E\) transenden atas \(F\text{.}\) Buktikan bahwa setiap elemen di \(F(\alpha)\) yang tidak berada di \(F\) juga transenden atas \(F\text{.}\)
Petunjuk.
Misalkan \(\beta \in F(\alpha)\) tidak berada di \(F\text{.}\) Maka \(\beta = p(\alpha)/q(\alpha)\text{,}\) dengan \(p\) dan \(q\) polinomial dalam \(\alpha\) yang memiliki \(q(\alpha) \neq 0\) dan koefisien di \(F\text{.}\) Jika \(\beta\) aljabar atas \(F\text{,}\) maka terdapat polinomial \(f(x) \in F[x]\) sedemikian sehingga \(f(\beta) = 0\text{.}\) Misalkan \(f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\text{.}\) Maka
\begin{equation*} 0 = f(\beta) = f\left( \frac{p(\alpha)}{q(\alpha)} \right) = a_0 + a_1 \left( \frac{p(\alpha)}{q(\alpha)} \right) + \cdots + a_n \left( \frac{p(\alpha)}{q(\alpha)} \right)^n\text{.} \end{equation*}
Sekarang kalikan kedua ruas dengan \(q(\alpha)^n\) untuk menunjukkan bahwa terdapat polinomial di \(F[x]\) yang memiliki \(\alpha\) sebagai nol.

28.

Misalkan \(\alpha\) akar dari polinomial monik tak tereduksi \(p(x) \in F[x]\text{,}\) dengan \(\deg p = n\text{.}\) Buktikan bahwa \([F(\alpha) : F] = n\text{.}\)
Petunjuk.
Lihat penjelasan setelah Teorema 21.1.13.
Sblm.Paling AtasLanjut