Program Matematika Indonesia / Indonesian Mathematics Program
Lewati ke konten utama
Daftar Isi Indeks
Cari dalam Buku
Hasil Pencarian:
Tidak ada hasil.
Pengaturan keterbacaan Sblm. Atas Lanjut \(\newcommand{\aatavdots}[1]{\vdots}
\newcommand{\codeword}{}
\newcommand{\identity}{\mathrm{id}}
\newcommand{\notdivide}{\nmid}
\newcommand{\notsubset}{\not\subset}
\newcommand{\lcm}{\operatorname{lcm}}
\newcommand{\gf}{\operatorname{GF}}
\newcommand{\inn}{\operatorname{Inn}}
\newcommand{\aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\cis}{\operatorname{cis}}
\newcommand{\chr}{\operatorname{char}}
\newcommand{\Null}{\operatorname{Null}}
\newcommand{\transpose}{\text{t}}
\newcommand{\lt}{<}
\newcommand{\gt}{>}
\newcommand{\amp}{&}
\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}
\newcommand{\fillinmath}[1]{\mathchoice{\colorbox{fillinmathshade}{$\displaystyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\textstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptscriptstyle\phantom{\,#1\,}$}}}
\)
Latihan 11.5 Latihan Tambahan: Automorfisme
1. Misalkan
\(\aut(G)\) adalah himpunan semua automorfisme dari
\(G\text{;}\) yaitu, isomorfisma dari
\(G\) ke dirinya sendiri. Buktikan bahwa himpunan ini membentuk grup dan merupakan subgrup dari grup permutasi pada
\(G\text{;}\) yaitu,
\(\aut(G) \leq S_G\text{.}\)
2.
Sebuah automorfisme dalam dari \(G\text{,}\)
\begin{equation*}
i_g : G \rightarrow G\text{,}
\end{equation*}
didefinisikan oleh pemetaan
\begin{equation*}
i_g(x) = g x g^{-1}\text{,}
\end{equation*}
untuk \(g \in G\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(i_g \in \aut(G)\text{.}\)
3. Himpunan semua automorfisme dalam dinotasikan dengan
\(\inn(G)\text{.}\) Tunjukkan bahwa
\(\inn(G)\) merupakan subgrup dari
\(\aut(G)\text{.}\)
4. Carilah automorfisme dari suatu grup
\(G\) yang bukan automorfisme dalam.
5.
Misalkan \(G\) adalah grup dan \(i_g\) merupakan automorfisme dalam dari \(G\text{,}\) lalu definisikan pemetaan
\begin{equation*}
G \rightarrow \aut(G)
\end{equation*}
melalui
\begin{equation*}
g \mapsto i_g\text{.}
\end{equation*}
Buktikan bahwa pemetaan ini merupakan homomorfisma dengan citra \(\inn(G)\) dan kernel \(Z(G)\text{.}\) Gunakan hasil ini untuk menyimpulkan bahwa
\begin{equation*}
G/Z(G) \cong \inn(G)\text{.}
\end{equation*}
6. Hitung
\(\aut(S_3)\) dan
\(\inn(S_3)\text{.}\) Lakukan hal yang sama untuk
\(D_4\text{.}\)
7. Carilah semua homomorfisma
\(\phi : {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z}\text{.}\) Apakah
\(\aut({\mathbb Z})\text{?}\)
8. Carilah semua automorfisme dari
\({\mathbb Z}_8\text{.}\) Buktikan bahwa
\(\aut({\mathbb Z}_8) \cong U(8)\text{.}\)
9. Untuk
\(k \in {\mathbb Z}_n\text{,}\) definisikan pemetaan
\(\phi_k : {\mathbb Z}_n \rightarrow {\mathbb Z}_n\) melalui
\(a \mapsto ka\text{.}\) Buktikan bahwa
\(\phi_k\) merupakan homomorfisma.
10. Buktikan bahwa
\(\phi_k\) merupakan isomorfisma jika dan hanya jika
\(k\) adalah pembangkit dari
\({\mathbb Z}_n\text{.}\)
11. Tunjukkan bahwa setiap automorfisme dari
\({\mathbb Z}_n\) berbentuk
\(\phi_k\text{,}\) dengan
\(k\) sebagai pembangkit dari
\({\mathbb Z}_n\text{.}\)
12. Buktikan bahwa
\(\psi : U(n) \rightarrow \aut({\mathbb Z}_n)\) merupakan isomorfisma, dengan
\(\psi : k \mapsto \phi_k\text{.}\)
