Tinjau polinomial \(x^3-3x+4\text{.}\) Hitung faktorisasi terlengkap polinomial ini atas setiap lapangan berikut: (a) lapangan hingga \({\mathbb Z}_5\text{,}\) (b) lapangan hingga dengan 125 elemen, (c) bilangan rasional, (d) bilangan real, dan (e) bilangan kompleks. Untuk melakukannya, bangun gelanggang polinomial yang sesuai, konstruksikan polinomial tersebut sebagai anggota gelanggang ini, lalu gunakan metode .factor().
“Polinomial Conway” adalah polinomial tak tereduksi atas \({\mathbb Z}_p\) yang digunakan Sage (dan perangkat lunak lain) untuk membangun ideal maksimal dalam gelanggang polinomial, dan dengan demikian gelanggang hasil bagi yang merupakan lapangan. Secara kasar, polinomial ini merupakan pilihan “kanonik” untuk setiap derajat dan setiap bilangan prima. Perintah conway_polynomial(p, n) akan mengembalikan entri basis data berupa polinomial tak tereduksi berderajat \(n\) atas \({\mathbb Z}_p\text{.}\)
Jalankan perintah conway_polynomial(5, 4) untuk memperoleh polinomial yang diklaim tak tereduksi berderajat 4 atas \({\mathbb Z}_5\text{:}\)\(p = x^{4} + 4x^{2} + 4x + 2\text{.}\) Bangun gelanggang polinomial yang tepat (i.e., dalam peubah tak tentu \(x\)) dan verifikasi bahwa p benar-benar merupakan elemen gelanggang polinomial Anda.
Pertama-tama tentukan bahwa p tidak memiliki faktor linear. Satu-satunya kemungkinan yang tersisa ialah p terfaktor menjadi dua polinomial kuadratik atas \({\mathbb Z}_5\text{.}\) Gunakan komprehensi daftar dengan tiga pernyataan for untuk membuat setiap polinomial kuadratik yang mungkin atas \({\mathbb Z}_5\text{.}\) Kemudian gunakan daftar ini untuk membuat setiap hasil kali yang mungkin dari dua polinomial kuadratik dan periksa apakah p berada dalam daftar tersebut.
Definisikan polinomial \(p = x^3 + 2x^2 + 2x + 4\) dan \(q = x^4 + 2x^2\) sebagai polinomial dengan koefisien bilangan bulat. Hitung gcd(p, q) dan verifikasi bahwa hasilnya membagi p maupun q (cukup bentuk suatu pecahan dalam Sage dan lihat bahwa pecahan tersebut tersederhanakan dengan bersih, atau gunakan metode .quo_rem()).
Proposisi 17.2.5 menyatakan bahwa terdapat polinomial \(r(x)\) dan \(s(x)\) sedemikian sehingga faktor persekutuan terbesar sama dengan \(r(x)p(x)+s(x)q(x)\text{,}\)jika koefisiennya berasal dari suatu lapangan. Karena di sini kita memiliki dua polinomial atas bilangan bulat, selidiki hasil yang dikembalikan Sage untuk gcd diperluas, xgcd(p, q). Secara khusus, tunjukkan bahwa hasil pertama dari tripel yang dikembalikan merupakan kelipatan gcd. Kemudian verifikasi sifat “kombinasi linear” dari hasil tersebut.
Untuk gelanggang polinomial atas suatu lapangan, setiap ideal merupakan ideal utama. Mulailah dengan gelanggang polinomial atas bilangan rasional. Bereksperimenlah dengan membangun ideal menggunakan dua pembangkit, lalu amati bahwa Sage mengubah ideal tersebut menjadi ideal utama dengan satu pembangkit. (Anda dapat memperoleh pembangkit ini dengan metode ideal .gen().) Dapatkah Anda menjelaskan cara menghitung pembangkit tunggal ini?
