Lewati ke konten utama

Latihan 5.4 Latihan

1.

Tuliskan permutasi berikut dalam notasi siklus.
  1. \begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} \end{equation*}
  2. \begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{equation*}
  3. \begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \end{equation*}
  4. \begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 3 & 2 & 5 \end{pmatrix} \end{equation*}
Petunjuk.
(a) \((1 \, 2 \, 4 \, 5 \, 3)\text{;}\) (c) \((1 \, 3)(2 \, 5)\text{.}\)

2.

Hitung setiap bentuk berikut.
  1. \(\displaystyle (1 \, 3 \, 4 \, 5)(2 \, 3 \, 4)\)
  2. \(\displaystyle (1 \, 2)(1 \, 2 \, 5 \, 3)\)
  3. \(\displaystyle (1 \, 4 \, 3)(2 \, 3)(2 \, 4)\)
  4. \(\displaystyle (1 \, 4 \, 2 \, 3)(3 \, 4)(5 \, 6)(1 \, 3 \, 2 \, 4)\)
  5. \(\displaystyle (1 \, 2 \, 5 \, 4)(1 \, 3)(2 \, 5)\)
  6. \(\displaystyle (1 \, 2 \, 5 \, 4) (1 \, 3)(2 \, 5)^2\)
  7. \(\displaystyle (1 \, 2 \, 5 \, 4)^{-1} (1 \, 2 \, 3)(4 \, 5) (1 \, 2 \, 5 \, 4)\)
  8. \(\displaystyle (1 \, 2 \, 5 \, 4)^2 (1 \, 2 \, 3)(4 \, 5)\)
  9. \(\displaystyle (1 \, 2 \, 3)(4 \, 5) (1 \, 2 \, 5 \, 4)^{-2}\)
  10. \(\displaystyle (1 \, 2 \, 5 \, 4)^{100}\)
  11. \(\displaystyle |(1 \, 2 \, 5 \, 4)|\)
  12. \(\displaystyle |(1 \, 2 \, 5 \, 4)^2|\)
  13. \(\displaystyle (1 \, 2)^{-1}\)
  14. \(\displaystyle (1 \, 2 \, 5 \, 3 \, 7)^{-1}\)
  15. \(\displaystyle [(1 \, 2)(3 \, 4)(1 \, 2)(4 \, 7)]^{-1}\)
  16. \(\displaystyle [(1 \, 2 \, 3 \, 5)(4 \, 6 \, 7)]^{-1}\)
Petunjuk.
(a) \((1 \, 3 \, 5)(2 \, 4)\text{;}\) (c) \((1 \, 4)(2 \, 3)\text{;}\) (e) \((1 \, 3 \, 2 \, 4)\text{;}\) (g) \((1 \, 3 \, 4)(2 \, 5)\text{;}\) (n) \((1 \, 7 \, 3 \, 5 \, 2)\text{.}\)

3.

Nyatakan permutasi berikut sebagai hasil kali transposisi dan tentukan apakah masing-masing genap atau ganjil.
  1. \(\displaystyle (1 \, 4 \, 3 \, 5 \, 6)\)
  2. \(\displaystyle (1 \, 5 \, 6)(2 \, 3 \, 4)\)
  3. \(\displaystyle (1 \, 4 \, 2 \, 6)(1 \, 4 \, 2)\)
  4. \(\displaystyle (1 \, 7 \, 2 \, 5 \, 4)(1 \, 4 \, 2 \, 3)(1 \, 5 \, 4 \, 6 \, 3 \, 2)\)
  5. \(\displaystyle (1 \, 4 \, 2 \, 6 \, 3 \, 7)\)
Petunjuk.
(a) \((1 \, 6)(1 \, 5)(1 \, 3)(1 \, 4)\text{;}\) (c) \((1 \, 6)(1 \, 4)(1 \, 2)\text{.}\)

4.

Tentukan \((a_1, a_2, \ldots, a_n)^{-1}\text{.}\)
Petunjuk.
\((a_1, a_2, \ldots, a_n)^{-1} = (a_1, a_{n}, a_{n-1}, \ldots, a_2)\)

5.

Cantumkan semua subgrup \(S_4\text{.}\) Tentukan setiap himpunan berikut:
  1. \(\displaystyle \{ \sigma \in S_4 : \sigma(1) = 3 \}\)
  2. \(\displaystyle \{ \sigma \in S_4 : \sigma(2) = 2 \}\)
  3. \(\{ \sigma \in S_4 : \sigma(1) = 3\) dan \(\sigma(2) = 2 \}\text{.}\)
Apakah ada di antara himpunan-himpunan ini yang merupakan subgrup \(S_4\text{?}\)
Petunjuk.
(a) \(\{ (1 \, 3), (1 \, 3)(2 \, 4), (1 \, 3 \, 2), (1 \, 3 \, 4), (1 \, 3 \, 2 \, 4), (1 \, 3 \, 4 \, 2) \}\) bukan subgrup.

6.

Tentukan semua subgrup dalam \(A_4\text{.}\) Berapakah orde setiap subgrup?

7.

Tentukan semua orde elemen yang mungkin dalam \(S_7\) dan \(A_7\text{.}\)

8.

Tunjukkan bahwa \(A_{10}\) memuat suatu elemen berorde \(15\text{.}\)
Petunjuk.
\((1 \, 2 \, 3 \, 4 \, 5)(6 \, 7 \, 8)\text{.}\)

9.

Apakah \(A_8\) memuat elemen berorde \(26\text{?}\)

10.

Tentukan elemen dengan orde terbesar dalam \(S_n\) untuk \(n = 3, \ldots, 10\text{.}\)

11.

Apa saja struktur siklus yang mungkin bagi elemen \(A_5\text{?}\) Bagaimana dengan \(A_6\text{?}\)
Petunjuk.
Permutasi berbentuk
\begin{equation*} (1), (a_1, a_2)(a_3, a_4), (a_1, a_2, a_3), (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) \end{equation*}
mungkin terdapat dalam \(A_5\text{.}\)

12.

Misalkan \(\sigma \in S_n\) berorde \(n\text{.}\) Tunjukkan bahwa untuk semua bilangan bulat \(i\) dan \(j\text{,}\) \(\sigma^i = \sigma^j\) jika dan hanya jika \(i \equiv j \pmod{n}\text{.}\)

13.

Misalkan \(\sigma = \sigma_1 \cdots \sigma_m \in S_n\) merupakan hasil kali siklus-siklus saling lepas. Buktikan bahwa orde \(\sigma\) adalah kelipatan persekutuan terkecil dari panjang siklus \(\sigma_1, \ldots, \sigma_m\text{.}\)

14.

Dengan menggunakan notasi siklus, cantumkan elemen-elemen dalam \(D_5\text{.}\) Apakah \(r\) dan \(s\text{?}\) Tuliskan setiap elemen sebagai hasil kali \(r\) dan \(s\text{.}\)

15.

Jika diagonal-diagonal kubus diberi label seperti dalam Gambar 5.2.10, gerak kubus manakah yang bersesuaian dengan permutasi \((12)(34)\text{?}\) Bagaimana dengan permutasi diagonal lainnya?

16.

Tentukan grup gerak tegar suatu tetrahedron. Tunjukkan bahwa grup ini sama dengan \(A_4\text{.}\)

17.

Buktikan bahwa \(S_n\) nonabelian untuk \(n \geq 3\text{.}\)
Petunjuk.
Hitung \((1 \, 2 \, 3)(1 \, 2)\) dan \((1 \, 2)(1 \, 2 \, 3)\text{.}\)

18.

Tunjukkan bahwa \(A_n\) nonabelian untuk \(n \geq 4\text{.}\)

19.

Buktikan bahwa \(D_n\) nonabelian untuk \(n \geq 3\text{.}\)

20.

Misalkan \(\sigma \in S_n\) merupakan siklus. Buktikan bahwa \(\sigma\) dapat ditulis sebagai hasil kali paling banyak \(n-1\) transposisi.

21.

Misalkan \(\sigma \in S_n\text{.}\) Jika \(\sigma\) bukan siklus, buktikan bahwa \(\sigma\) dapat ditulis sebagai hasil kali paling banyak \(n - 2\) transposisi.

22.

Jika \(\sigma\) dapat dinyatakan sebagai sejumlah ganjil transposisi, tunjukkan bahwa setiap hasil kali transposisi lain yang sama dengan \(\sigma\) juga harus ganjil.

23.

Jika \(\sigma\) merupakan siklus dengan panjang ganjil, buktikan bahwa \(\sigma^2\) juga merupakan siklus.

24.

Tunjukkan bahwa siklus-\(3\) merupakan permutasi genap.

25.

Buktikan bahwa dalam \(A_n\) dengan \(n \geq 3\text{,}\) setiap permutasi merupakan hasil kali siklus-siklus dengan panjang \(3\text{.}\)
Petunjuk.
Perhatikan kasus \((a,b)(b,c)\) dan \((a,b)(c,d)\text{.}\)

26.

Buktikan bahwa setiap elemen dalam \(S_n\) dapat ditulis sebagai hasil kali hingga dari permutasi berikut.
  1. \(\displaystyle (1 \, 2), (1 \, 3), \ldots, (1 \, n)\)
  2. \(\displaystyle (1 \, 2), (2 \, 3), \ldots, (n- 1,n)\)
  3. \(\displaystyle (1 \, 2), (1 \, 2 \ldots n )\)

27.

Misalkan \(G\) adalah grup dan definisikan pemetaan \(\lambda_g : G \rightarrow G\) dengan \(\lambda_g(a) = g a\text{.}\) Buktikan bahwa \(\lambda_g\) merupakan permutasi dari \(G\text{.}\)

28.

Buktikan bahwa terdapat \(n!\) permutasi dari suatu himpunan yang memuat \(n\) elemen.

29.

Ingat bahwa pusat suatu grup \(G\) adalah
\begin{equation*} Z(G) = \{ g \in G : gx = xg \text{ untuk semua } x \in G \}\text{.} \end{equation*}
Tentukan pusat \(D_8\text{.}\) Bagaimana dengan pusat \(D_{10}\text{?}\) Apakah pusat \(D_n\text{?}\)
Petunjuk.
Tunjukkan bahwa pusat \(D_n\) hanya terdiri atas identitas jika \(n\) ganjil, serta terdiri atas identitas dan rotasi \(180^\circ\) jika \(n\) genap.

30.

Misalkan \(\tau = (a_1, a_2, \ldots, a_k)\) merupakan siklus dengan panjang \(k\text{.}\)
  1. Buktikan bahwa jika \(\sigma\) merupakan sembarang permutasi, maka
    \begin{equation*} \sigma \tau \sigma^{-1 } = ( \sigma(a_1), \sigma(a_2), \ldots, \sigma(a_k)) \end{equation*}
    merupakan siklus dengan panjang \(k\text{.}\)
  2. Misalkan \(\mu\) merupakan siklus dengan panjang \(k\text{.}\) Buktikan bahwa terdapat permutasi \(\sigma\) sedemikian sehingga \(\sigma \tau \sigma^{-1 } = \mu\text{.}\)
Petunjuk.
Untuk (a), tunjukkan bahwa \(\sigma \tau \sigma^{-1 }(\sigma(a_i)) = \sigma(a_{i + 1})\text{.}\)

31.

Untuk \(\alpha\) dan \(\beta\) dalam \(S_n\text{,}\) definisikan \(\alpha \sim \beta\) jika terdapat \(\sigma \in S_n\) sedemikian sehingga \(\sigma \alpha \sigma^{-1} = \beta\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(\sim\) merupakan relasi ekuivalensi pada \(S_n\text{.}\)

32.

Misalkan \(\sigma \in S_X\text{.}\) Jika \(\sigma^n(x) = y\) untuk suatu \(n \in \mathbb Z\text{,}\) kita katakan bahwa \(x \sim y\text{.}\)
  1. Tunjukkan bahwa \(\sim\) merupakan relasi ekuivalensi pada \(X\text{.}\)
  2. Definisikan orbit dari \(x \in X\) di bawah \(\sigma \in S_X\) sebagai himpunan
    \begin{equation*} {\mathcal O}_{x, \sigma} = \{ y : x \sim y \}\text{.} \end{equation*}
    Hitung orbit setiap elemen dalam \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) di bawah setiap elemen \(S_5\) berikut:
    \begin{align*} \alpha & = (1 \, 2 \, 5 \, 4)\\ \beta & = (1 \, 2 \, 3)(4 \, 5)\\ \gamma & = (1 \, 3)(2 \, 5)\text{.} \end{align*}
  3. Jika \({\mathcal O}_{x, \sigma} \cap {\mathcal O}_{y, \sigma} \neq \emptyset\text{,}\) buktikan bahwa \({\mathcal O}_{x, \sigma} = {\mathcal O}_{y, \sigma}\text{.}\) Orbit-orbit di bawah suatu permutasi \(\sigma\) merupakan kelas ekuivalensi yang bersesuaian dengan relasi ekuivalensi \(\sim\text{.}\)
  4. Suatu subgrup \(H\) dari \(S_X\) disebut transitif jika untuk setiap \(x, y \in X\text{,}\) terdapat \(\sigma \in H\) sedemikian sehingga \(\sigma(x) = y\text{.}\) Buktikan bahwa \(\langle \sigma \rangle\) transitif jika dan hanya jika \({\mathcal O}_{x, \sigma} = X\) untuk suatu \(x \in X\text{.}\)

33.

Misalkan \(\alpha \in S_n\) untuk \(n \geq 3\text{.}\) Jika \(\alpha \beta = \beta \alpha\) untuk semua \(\beta \in S_n\text{,}\) buktikan bahwa \(\alpha\) harus merupakan permutasi identitas; jadi, pusat \(S_n\) adalah subgrup trivial.

34.

Jika \(\alpha\) genap, buktikan bahwa \(\alpha^{-1}\) juga genap. Apakah hasil yang bersesuaian berlaku jika \(\alpha\) ganjil?

35.

Jika \(\sigma \in A_n\) dan \(\tau \in S_n\text{,}\) tunjukkan bahwa \(\tau^{-1} \sigma \tau \in A_n\text{.}\)

36.

Tunjukkan bahwa \(\alpha^{-1} \beta^{-1} \alpha \beta\) genap untuk \(\alpha, \beta \in S_n\text{.}\)

37.

Misalkan \(r\) dan \(s\) merupakan elemen dalam \(D_n\) yang dideskripsikan dalam Teorema 5.2.3
  1. Tunjukkan bahwa \(srs = r^{-1}\text{.}\)
  2. Tunjukkan bahwa \(r^k s = s r^{-k}\) dalam \(D_n\text{.}\)
  3. Buktikan bahwa orde \(r^k \in D_n\) adalah \(n / \gcd(k,n)\text{.}\)
Sblm.Paling AtasLanjut