Lewati ke konten utama

Bagian 3.3 Subgrup

Subbagian 3.3.1 Definisi dan Contoh

Terkadang kita ingin menyelidiki grup-grup yang lebih kecil di dalam suatu grup yang lebih besar. Himpunan bilangan bulat genap \(2{\mathbb Z} = \{\ldots, -2, 0, 2, 4, \ldots \}\) merupakan grup terhadap operasi penjumlahan. Grup yang lebih kecil ini secara alami berada di dalam grup bilangan bulat terhadap penjumlahan. Kita mendefinisikan subgrup \(H\) dari suatu grup \(G\) sebagai himpunan bagian \(H\) dari \(G\) sedemikian sehingga ketika operasi grup pada \(G\) dibatasi pada \(H\text{,}\) \(H\) sendiri merupakan suatu grup. Perhatikan bahwa setiap grup \(G\) dengan sekurang-kurangnya dua unsur selalu mempunyai sedikitnya dua subgrup, yaitu subgrup yang hanya terdiri atas unsur identitas dan seluruh grup itu sendiri. Subgrup \(H = \{ e \}\) dari suatu grup \(G\) disebut subgrup trivial. Subgrup yang merupakan himpunan bagian sejati dari \(G\) disebut subgrup sejati. Dalam banyak contoh yang telah kita selidiki hingga titik ini, terdapat subgrup lain selain subgrup trivial dan subgrup tak sejati.

Contoh 3.3.1.

Perhatikan himpunan bilangan real tak nol, \({\mathbb R}^*\text{,}\) dengan operasi grup berupa perkalian. Identitas grup ini adalah \(1\) dan invers dari setiap unsur \(a \in {\mathbb R}^*\) adalah \(1/a\text{.}\) Kita akan menunjukkan bahwa
\begin{equation*} {\mathbb Q}^* = \{ p/q : p \, \text{dan}\, q\, \text{adalah bilangan bulat taknol} \} \end{equation*}
merupakan subgrup dari \({\mathbb R}^*\text{.}\) Identitas dari \({\mathbb R}^*\) adalah \(1\text{;}\) dan \(1 = 1/1\) merupakan hasil bagi dua bilangan bulat tak nol. Dengan demikian, identitas dari \({\mathbb R}^*\) berada dalam \({\mathbb Q}^*\text{.}\) Diberikan dua unsur dalam \({\mathbb Q}^*\text{,}\) misalnya \(p/q\) dan \(r/s\text{,}\) hasil kalinya \(pr/qs\) juga berada dalam \({\mathbb Q}^*\text{.}\) Invers dari setiap unsur \(p/q \in {\mathbb Q}^*\) juga berada dalam \({\mathbb Q}^*\) karena \((p/q)^{-1} = q/p\text{.}\) Karena perkalian dalam \({\mathbb R}^*\) bersifat asosiatif, perkalian dalam \({\mathbb Q}^*\) juga bersifat asosiatif.

Contoh 3.3.2.

Ingat bahwa \({\mathbb C}^{\ast}\) adalah grup perkalian bilangan kompleks tak nol. Misalkan \(H = \{ 1, -1, i, -i \}\text{.}\) Maka \(H\) merupakan subgrup dari \({\mathbb C}^{\ast}\text{.}\) Cukup mudah untuk memverifikasi bahwa \(H\) adalah grup terhadap perkalian dan bahwa \(H \subset {\mathbb C}^{\ast}\text{.}\)

Contoh 3.3.3.

Misalkan \(SL_2( {\mathbb R})\) adalah himpunan bagian dari \(GL_2( {\mathbb R })\) yang terdiri atas matriks-matriks berdeterminan satu; yaitu, suatu matriks
\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{equation*}
berada dalam \(SL_2( {\mathbb R})\) tepat ketika \(ad - bc = 1\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa \(SL_2( {\mathbb R})\) adalah subgrup dari grup linear umum, kita harus menunjukkan bahwa himpunan tersebut merupakan grup terhadap perkalian matriks. Matriks identitas \(2 \times 2\) berada dalam \(SL_2( {\mathbb R})\text{,}\) demikian pula invers matriks \(A\text{:}\)
\begin{equation*} A^{-1} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}
Tinggal ditunjukkan bahwa operasi perkalian bersifat tertutup; yaitu, hasil kali dua matriks berdeterminan satu juga berdeterminan satu. Tugas ini diserahkan sebagai latihan. Grup \(SL_2({\mathbb R})\) disebut grup linear khusus.

Contoh 3.3.4.

Penting disadari bahwa suatu himpunan bagian \(H\) dari grup \(G\) dapat merupakan grup tanpa menjadi subgrup dari \(G\text{.}\) Agar \(H\) menjadi subgrup dari \(G\text{,}\) ia harus mewarisi operasi biner pada \(G\text{.}\) Himpunan semua matriks \(2 \times 2\text{,}\) \({\mathbb M}_2(\mathbb R)\text{,}\) membentuk grup terhadap operasi penjumlahan. Grup linear umum \(2 \times 2\) merupakan himpunan bagian dari \({\mathbb M}_2(\mathbb R)\) dan merupakan grup terhadap perkalian matriks, tetapi bukan subgrup dari \({\mathbb M}_2(\mathbb R)\text{.}\) Jika kita menjumlahkan dua matriks yang dapat dibalik, hasilnya belum tentu merupakan matriks yang dapat dibalik. Perhatikan bahwa
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\text{,} \end{equation*}
tetapi matriks nol tidak berada dalam \(GL_2( {\mathbb R })\text{.}\)

Contoh 3.3.5.

Salah satu cara menentukan apakah dua grup sama adalah dengan memeriksa subgrup-subgrupnya. Selain subgrup trivial dan grup itu sendiri, grup \({\mathbb Z}_4\) mempunyai satu subgrup yang terdiri atas unsur \(0\) dan \(2\text{.}\) Dari grup \({\mathbb Z}_2\text{,}\) kita dapat membentuk grup lain dengan empat unsur sebagai berikut. Sebagai himpunan, grup ini adalah \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\) Operasi grup dilakukan menurut koordinat; yaitu, \((a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)\text{.}\) Gambar 3.3.6 adalah tabel penjumlahan untuk \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\) Karena terdapat tiga subgrup sejati nontrivial dari \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{,}\) \(H_1 = \{ (0,0), (0,1) \}\text{,}\) \(H_2 = \{ (0,0), (1,0) \}\text{,}\) dan \(H_3 = \{ (0,0), (1,1) \}\text{,}\) \({\mathbb Z}_4\) dan \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\) pastilah merupakan grup yang berbeda.
\begin{equation*} \begin{array}{c|cccc} + & (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1) \\ \hline (0,0) & (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1) \\ (0,1) & (0,1) & (0,0) & (1,1) & (1,0) \\ (1,0) & (1,0) & (1,1) & (0,0) & (0,1) \\ (1,1) & (1,1) & (1,0) & (0,1) & (0,0) \end{array} \end{equation*}
Gambar 3.3.6. Tabel penjumlahan untuk \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\)

Subbagian 3.3.2 Beberapa Teorema Subgrup

Mari kita periksa beberapa kriteria untuk menentukan secara tepat kapan suatu himpunan bagian dari sebuah grup merupakan subgrup.

Bukti.
Mula-mula andaikan \(H\) merupakan subgrup dari \(G\text{.}\) Kita harus menunjukkan bahwa ketiga syarat tersebut berlaku. Karena \(H\) suatu grup, ia harus mempunyai identitas \(e_H\text{.}\) Kita harus menunjukkan bahwa \(e_H = e\text{,}\) dengan \(e\) adalah identitas dari \(G\text{.}\) Kita mengetahui bahwa \(e_H e_H = e_H\) dan \(ee_H = e_H e = e_H\text{;}\) dengan demikian, \(ee_H = e_H e_H\text{.}\) Berdasarkan pencoretan kanan, \(e =e_H\text{.}\) Syarat kedua berlaku karena subgrup \(H\) merupakan grup. Untuk membuktikan syarat ketiga, misalkan \(h \in H\text{.}\) Karena \(H\) suatu grup, terdapat unsur \(h' \in H\) sedemikian sehingga \(hh' = h'h = e\text{.}\) Berdasarkan ketunggalan invers dalam \(G\text{,}\) \(h' = h^{-1}\text{.}\)
Sebaliknya, jika ketiga syarat tersebut berlaku, kita harus menunjukkan bahwa \(H\) merupakan grup terhadap operasi yang sama dengan \(G\text{;}\) tetapi syarat-syarat ini, bersama sifat asosiatif operasi biner, tepat merupakan aksioma-aksioma yang dinyatakan dalam definisi grup.

Bukti.
Mula-mula andaikan \(H\) merupakan subgrup dari \(G\text{.}\) Kita ingin menunjukkan bahwa \(gh^{-1} \in H\) setiap kali \(g\) dan \(h\) berada dalam \(H\text{.}\) Karena \(h\) berada dalam \(H\text{,}\) inversnya \(h^{-1}\) juga harus berada dalam \(H\text{.}\) Karena operasi grup bersifat tertutup, \(gh^{-1} \in H\text{.}\)
Sebaliknya, andaikan \(H \subset G\) sedemikian sehingga \(H \neq \emptyset\) dan \(g h^{-1} \in H\) setiap kali \(g, h \in H\text{.}\) Jika \(g \in H\text{,}\) maka \(gg^{-1} = e\) berada dalam \(H\text{.}\) Jika \(g \in H\text{,}\) maka \(eg^{-1} = g^{-1}\) juga berada dalam \(H\text{.}\) Sekarang misalkan \(h_1, h_2 \in H\text{.}\) Kita harus menunjukkan bahwa hasil kali keduanya juga berada dalam \(H\text{.}\) Namun, \(h_1(h_2^{-1})^{-1} = h_1 h_2 \in H\text{.}\) Dengan demikian, \(H\) merupakan subgrup dari \(G\text{.}\)
Sblm.Paling AtasLanjut