Bilangan bulat modulo \(n\) telah menjadi bagian yang tak terpisahkan dari teori dan penerapan aljabar. Dalam matematika, bilangan-bilangan ini digunakan dalam kriptografi, teori pengodean, dan pendeteksian kesalahan pada kode identifikasi.
Kita telah melihat bahwa dua bilangan bulat \(a\) dan \(b\) ekuivalen modulo \(n\) jika \(n\) membagi \(a - b\text{.}\) Bilangan bulat modulo \(n\) juga mempartisi \({\mathbb Z}\) menjadi \(n\) kelas ekuivalensi yang berbeda; himpunan kelas-kelas ekuivalensi ini akan kita lambangkan dengan \({\mathbb Z}_n\text{.}\) Perhatikan bilangan bulat modulo \(12\) dan partisi bilangan bulat yang bersesuaian:
Jika tidak menimbulkan kerancuan, kita akan menggunakan \(0, 1, \ldots, 11\) untuk menyatakan kelas ekuivalensi \({[0]}, {[1]}, \ldots, {[11]}\) secara berurutan. Kita dapat melakukan aritmetika pada \({\mathbb Z}_n\text{.}\) Untuk dua bilangan bulat \(a\) dan \(b\text{,}\) penjumlahan modulo \(n\) didefinisikan sebagai \((a + b) \pmod{n}\text{;}\) yaitu, sisa pembagian \(a + b\) oleh \(n\text{.}\) Demikian pula, perkalian modulo \(n\) didefinisikan sebagai \((a b) \pmod{ n}\text{,}\) yaitu sisa pembagian \(a b\) oleh \(n\text{.}\)
Sebagian besar, tetapi tidak semua, hukum aritmetika yang lazim berlaku untuk penjumlahan dan perkalian dalam \({\mathbb Z}_n\text{.}\) Sebagai contoh, invers perkalian belum tentu ada. Perhatikan tabel perkalian untuk \({\mathbb Z}_8\) dalam Gambar 3.1.3. Perhatikan bahwa \(2\text{,}\)\(4\text{,}\) dan \(6\) tidak mempunyai invers perkalian; yaitu, untuk \(n = 2\text{,}\)\(4\text{,}\) atau \(6\text{,}\) tidak ada bilangan bulat \(k\) sedemikian sehingga \(k n \equiv 1 \pmod{ 8}\text{.}\)
Misalkan \(a\) adalah bilangan bulat tak nol. Maka \(\gcd(a,n) = 1\) jika dan hanya jika terdapat invers perkalian \(b\) untuk \(a \pmod{n}\text{;}\) yaitu, bilangan bulat tak nol \(b\) sedemikian sehingga
\begin{equation*}
a b \equiv 1 \pmod{ n}\text{.}
\end{equation*}
(1) Penjumlahan dan perkalian bersifat komutatif modulo \(n\) karena sisa pembagian \(a + b\) oleh \(n\) sama dengan sisa pembagian \(b + a\) oleh \(n\text{.}\)
(6) Andaikan \(\gcd(a, n) = 1\text{.}\) Maka terdapat bilangan bulat \(r\) dan \(s\) sedemikian sehingga \(ar + ns = 1\text{.}\) Karena \(ns = 1 - ar\text{,}\) haruslah \(ar \equiv 1 \pmod{n}\text{.}\) Dengan mengambil \(b\) sebagai kelas ekuivalensi dari \(r\text{,}\)\(a b \equiv 1\pmod{n}\text{.}\)
Sebaliknya, andaikan terdapat bilangan bulat \(b\) sedemikian sehingga \(ab \equiv 1 \pmod{ n}\text{.}\) Maka \(n\) membagi \(ab -1\text{,}\) sehingga terdapat bilangan bulat \(k\) sedemikian sehingga \(ab - nk = 1\text{.}\) Misalkan \(d = \gcd(a,n)\text{.}\) Karena \(d\) membagi \(ab - nk\text{,}\)\(d\) juga harus membagi \(1\text{;}\) dengan demikian, \(d = 1\text{.}\)
Simetri suatu bangun geometris adalah penataan ulang bangun tersebut yang mempertahankan susunan sisi dan titik sudutnya, serta jarak dan sudutnya. Pemetaan dari bidang ke dirinya sendiri yang mempertahankan simetri suatu objek disebut gerak kaku. Sebagai contoh, jika kita mengamati persegi panjang dalam Gambar 3.1.5, mudah dilihat bahwa rotasi sebesar \(180^{\circ}\) atau \(360^{\circ}\) menghasilkan kembali persegi panjang pada bidang dengan orientasi yang sama seperti persegi panjang semula dan hubungan antartitik sudut yang sama. Pencerminan persegi panjang terhadap sumbu vertikal maupun sumbu horizontal juga merupakan simetri. Namun, rotasi sebesar \(90^{\circ}\) ke arah mana pun tidak dapat menjadi simetri, kecuali jika persegi panjang tersebut adalah persegi.
Mari kita tentukan simetri segitiga sama sisi \(\bigtriangleup ABC\text{.}\) Untuk menentukan suatu simetri dari \(\bigtriangleup ABC\text{,}\) mula-mula kita harus memeriksa permutasi titik-titik sudut \(A\text{,}\)\(B\text{,}\) dan \(C\text{,}\) lalu menanyakan apakah suatu permutasi meluas menjadi simetri segitiga tersebut. Ingat bahwa permutasi suatu himpunan \(S\) adalah pemetaan satu-ke-satu dan pada \(\pi :S \rightarrow S\text{.}\) Ketiga titik sudut itu mempunyai \(3! = 6\) permutasi, sehingga segitiga tersebut mempunyai paling banyak enam simetri. Untuk melihat bahwa terdapat enam permutasi, perhatikan bahwa ada tiga kemungkinan berbeda untuk titik sudut pertama, dua untuk titik sudut kedua, dan titik sudut yang tersisa ditentukan oleh penempatan dua titik pertama. Jadi, kita memperoleh \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 3! = 6\) susunan yang berbeda. Untuk menyatakan permutasi titik-titik sudut suatu segitiga sama sisi yang memetakan \(A\) ke \(B\text{,}\)\(B\) ke \(C\text{,}\) dan \(C\) ke \(A\text{,}\) kita menuliskan larik
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
A & B & C \\
B & C & A
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Perhatikan bahwa permutasi khusus ini bersesuaian dengan gerak kaku yang merotasi segitiga sebesar \(120^{\circ}\) searah jarum jam. Bahkan, setiap permutasi menghasilkan suatu simetri segitiga. Semua simetri ini ditampilkan dalam Gambar 3.1.6.
Pertanyaan yang wajar adalah apa yang terjadi jika satu gerak segitiga \(\bigtriangleup ABC\) diikuti oleh gerak lainnya. Simetri manakah \(\mu_1 \rho_1\) itu? Dengan kata lain, apa yang terjadi ketika kita melakukan permutasi \(\rho_1\text{,}\) lalu permutasi \(\mu_1\text{?}\)Ingat bahwa di sini kita sedang mengomposisikan fungsi. Meskipun biasanya kita mengalikan dari kiri ke kanan, kita mengomposisikan fungsi dari kanan ke kiri. Kita memperoleh
\begin{align*}
(\mu_1 \rho_1)(A) & = \mu_1( \rho_1( A ) ) = \mu_1( B ) = C\\
(\mu_1 \rho_1)(B) & = \mu_1( \rho_1( B ) ) = \mu_1( C ) = B\\
(\mu_1 \rho_1)(C) & = \mu_1( \rho_1( C ) ) = \mu_1( A ) = A\text{.}
\end{align*}
Ini adalah simetri yang sama dengan \(\mu_2\text{.}\) Andaikan gerak-gerak tersebut kita lakukan dalam urutan sebaliknya, \(\mu_1\) kemudian \(\rho_1\text{.}\) Mudah ditentukan bahwa hasilnya sama dengan simetri \(\mu_3\text{;}\) oleh karena itu, \(\rho_1 \mu_1 \neq \mu_1 \rho_1\text{.}\) Tabel perkalian untuk simetri-simetri segitiga sama sisi \(\bigtriangleup ABC\) diberikan dalam Gambar 3.1.7.
Perhatikan bahwa dalam tabel perkalian simetri-simetri segitiga sama sisi, untuk setiap gerak segitiga \(\alpha\) terdapat gerak lain \(\beta\) sedemikian sehingga \(\alpha \beta = \identity\text{;}\) yaitu, untuk setiap gerak terdapat gerak lain yang mengembalikan segitiga ke orientasi semula.
