Latihan-latihan ini bertujuan membiasakan Anda bekerja dengan grup dalam Sage. Lembar kerja Sage mempunyai kemampuan luas untuk membuat sel baru berisi teks yang diformat dengan cermat, termasuk dukungan sintaks LaTeX untuk menyatakan matematika. Jadi, ketika suatu pertanyaan meminta penjelasan atau ulasan, buatlah sel baru dan sampaikan jawaban Anda dengan jelas kepada pembaca.
Buat grup CyclicPermutationGroup(8) dan DihedralGroup(4), lalu namai kedua grup tersebut masing-masing C dan D. Kita akan segera memahami konstruksi ini dengan lebih baik, tetapi untuk saat ini cukup pahami bahwa kedua objek yang Anda buat memang merupakan grup.
Periksa bahwa C dan D mempunyai ukuran yang sama dengan menggunakan metode .order(). Tentukan grup mana yang abelian dan mana yang tidak dengan menggunakan metode .is_abelian().
Tulislah pembahasan berformat rapi yang mengidentifikasi perbedaan kedua grup yang dapat dikenali dari sifat tabel Cayley masing-masing. Dengan kata lain, apa yang berbeda antara kedua grup tersebut yang dapat Anda “lihat” dalam tabel Cayley? (Dalam buku catatan Sage, Shift-klik pada bilah biru akan membuka pengolah kata mini, dan Anda dapat menggunakan tanda dolar untuk menyisipkan matematika yang diformat dengan sintaks TeX.)
Untuk C, tentukan satu-satunya subgrup berorde \(4\text{.}\) Grup D mempunyai tiga subgrup berorde \(4\text{.}\) Pilih salah satu dari ketiga subgrup D yang strukturnya berbeda dari subgrup yang Anda peroleh dari C.
Metode .subgroups() akan memberikan senarai semua subgrup untuk membantu Anda memulai. Tabel Cayley akan membantu Anda membedakan kedua subgrup tersebut. Sifat apa dari tabel-tabel ini yang Anda gunakan untuk menentukan perbedaan struktur kedua subgrup?
Metode .subgroup(elt_list) dari suatu grup akan membuat subgrup terkecil yang memuat unsur-unsur grup yang ditentukan, apabila unsur-unsur tersebut diberikan sebagai senarai elt_list. Gunakan perintah ini untuk menemukan senarai unsur terpendek yang diperlukan guna membuat kembali subgrup yang Anda temukan dalam latihan sebelumnya. Perbandingan kesamaan, ==, dapat digunakan untuk menguji apakah dua subgrup sama.
