Bagian 22.7 Sage

Menurut Teorema 22.1.6, semua lapangan hingga dengan orde tertentu saling isomorfik dan orde yang mungkin terbatas pada perpangkatan bilangan prima. Kita dapat menggunakan perintah FiniteField(), seperti sebelumnya, atau padanannya yang lebih singkat, yaitu GF(). Secara opsional, kita dapat menentukan polinomial tak tereduksi untuk konstruksi lapangan tersebut. Kita dapat memandang polinomial ini sebagai pembangkit ideal utama dari suatu gelanggang polinomial, atau memandangnya sebagai aturan “penulisan ulang” bagi pangkat pembangkit lapangan yang memungkinkan kita mengalikan elemen dan merumuskannya kembali sebagai kombinasi linear pangkat-pangkat yang lebih rendah.

Jika polinomial tak tereduksi tidak diberikan, Sage akan menggunakan polinomial Conway. Anda dapat menentukannya dengan perintah conway_polynomial(), atau cukup membangun lapangan hingga lalu meminta polinomial pendefinisinya dengan metode .polynomial().

F.<a> = GF(7^15); F

Finite Field in a of size 7^15

F.polynomial()

a^15 + 5*a^6 + 6*a^5 + 6*a^4 + 4*a^3 + a^2 + 2*a + 4

a^15 + 5*a^6 + 6*a^5 + 6*a^4 + 4*a^3 + a^2 + 2*a + 4

0

conway_polynomial(7, 15)

x^15 + 5*x^6 + 6*x^5 + 6*x^4 + 4*x^3 + x^2 + 2*x + 4

Agar lebih mudah dibaca, kita memaksakan suatu daftar koefisien ke dalam himpunan polinomial (yang diperoleh dengan metode .parent() pada polinomial sederhana) untuk mendefinisikan polinomial.

y = polygen(Integers(7), 'y')
P = y.parent()
p = P([4, 5, 2, 6, 3, 3, 6, 2, 1, 1, 2, 5, 6, 3, 5, 1]); p

y^15 + 5*y^14 + 3*y^13 + 6*y^12 + 5*y^11 + 2*y^10 + y^9 +
y^8 + 2*y^7 + 6*y^6 + 3*y^5 + 3*y^4 + 6*y^3 + 2*y^2 + 5*y + 4

p.is_irreducible()

True

T.<b> = GF(7^15, modulus=p); T

Finite Field in b of size 7^15

Salah satu perintah berguna yang belum kita uraikan adalah metode .log() untuk elemen lapangan hingga. Karena sekarang kita mengetahui bahwa grup multiplikatif elemen tak nol bersifat siklik, kita dapat menyatakan setiap elemen sebagai pangkat dari pembangkit. Metode log akan mengembalikan pangkat tersebut.

Biasanya kita ingin menggunakan pembangkit sebagai basis perhitungan logaritma dalam lapangan hingga. Akan tetapi, basis lain dapat digunakan, dengan memahami bahwa jika basis tersebut bukan pembangkit, logaritmanya mungkin tidak ada (i.e. mungkin tidak terdapat solusi bagi persamaan yang bersangkutan).

F.<a> = GF(5^4)
a^458

3*a^3 + 2*a^2 + a + 3

(3*a^3 + 2*a^2 + a + 3).log(a)

458

exponent = (3*a^3 + 2*a^2 + a + 3).log(2*a^3 + 4*a^2 + 4*a)
exponent

211

(2*a^3 + 4*a^2 + 4*a)^exponent == 3*a^3 + 2*a^2 + a + 3

True

(3*a^3 + 2*a^2 + a + 3).log(a^2 + 4*a + 4)

Traceback (most recent call last):
...
ValueError: no logarithm exists

Karena kita telah mengenal banyak perintah Sage, tidak banyak lagi yang perlu diperkenalkan sebelum kita dapat bekerja secara produktif dengan lapangan hingga. Latihan-latihan berikut mengeksplorasi cara mengkaji dan memanfaatkan struktur lapangan hingga dalam Sage.