Lewati ke konten utama

Lampiran B Petunjuk dan Jawaban untuk Latihan Terpilih

1 Pendahuluan
1.4 Latihan

1.4.1.

Petunjuk.
(a) \(A \cap B = \{ 2 \}\text{;}\) (b) \(B \cap C = \{ 5 \}\text{.}\)

1.4.2.

Petunjuk.
(a) \(A \times B = \{ (a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3) \}\text{;}\) (d) \(A \times D = \emptyset\text{.}\)

1.4.6.

Petunjuk.
Perhatikan bahwa \(x \in A \cup B\) jika dan hanya jika \(x \in A\) atau \(x \in B\text{.}\) Secara ekuivalen, \(x \in B\) atau \(x \in A\text{,}\) yang sama dengan \(x \in B \cup A\text{.}\) Oleh karena itu, \(A \cup B = B \cup A\text{.}\)

1.4.10.

Petunjuk.
\((A \cap B) \cup (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cap B) \cup (A \cap B') \cup (B \cap A') = [A \cap (B \cup B')] \cup (B \cap A') = A \cup (B \cap A') = (A \cup B) \cap (A \cup A') = A \cup B\text{.}\)

1.4.14.

Petunjuk.
\(A \setminus (B \cup C) = A \cap (B \cup C)' = (A \cap A) \cap (B' \cap C') = (A \cap B') \cap (A \cap C') = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)\text{.}\)

1.4.17.

Petunjuk.
(a) Bukan pemetaan karena \(f(2/3)\) tidak terdefinisi; (b) ini merupakan pemetaan; (c) bukan pemetaan, karena \(f(1/2) = 3/4\) tetapi \(f(2/4)=3/8\text{;}\) (d) ini merupakan pemetaan.

1.4.18.

Petunjuk.
(a) \(f\) injektif tetapi tidak surjektif. \(f({\mathbb R} ) = \{ x \in {\mathbb R} : x \gt 0 \}\text{.}\) (c) \(f\) tidak injektif maupun surjektif. \(f(\mathbb R) = \{ x : -1 \leq x \leq 1 \}\text{.}\)

1.4.20.

Petunjuk.
(a) \(f(n) = n + 1\text{.}\)

1.4.22.

Petunjuk.
(a) Misalkan \(x, y \in A\text{.}\) Maka \(g(f(x)) = (g \circ f)(x) = (g \circ f)(y) = g(f(y))\text{.}\) Jadi, \(f(x) = f(y)\) dan \(x = y\text{,}\) sehingga \(g \circ f\) injektif. (b) Misalkan \(c \in C\text{,}\) maka \(c = (g \circ f)(x) = g(f(x))\) untuk suatu \(x \in A\text{.}\) Karena \(f(x) \in B\text{,}\) \(g\) surjektif.

1.4.23.

Petunjuk.
\(f^{-1}(x) = (x+1)/(x-1)\text{.}\)

1.4.24.

Petunjuk.
(a) Misalkan \(y \in f(A_1 \cup A_2)\text{.}\) Maka terdapat \(x \in A_1 \cup A_2\) sedemikian sehingga \(f(x) = y\text{.}\) Jadi, \(y \in f(A_1)\) atau \(f(A_2) \text{.}\) Oleh karena itu, \(y \in f(A_1) \cup f(A_2)\text{.}\) Akibatnya, \(f(A_1 \cup A_2) \subset f(A_1) \cup f(A_2)\text{.}\) Sebaliknya, jika \(y \in f(A_1) \cup f(A_2)\text{,}\) maka \(y \in f(A_1)\) atau \(f(A_2)\text{.}\) Jadi, terdapat \(x\) dalam \(A_1\) atau \(A_2\) sedemikian sehingga \(f(x) = y\text{.}\) Dengan demikian, terdapat \(x \in A_1 \cup A_2\) sedemikian sehingga \(f(x) = y\text{.}\) Oleh karena itu, \(f(A_1) \cup f(A_2) \subset f(A_1 \cup A_2)\text{,}\) dan \(f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2)\text{.}\)

1.4.25.

Petunjuk.
(a) Relasi tersebut tidak simetris. (b) Relasi tersebut tidak refleksif, karena \(0\) tidak ekuivalen dengan dirinya sendiri. (c) Relasi tersebut tidak transitif.

1.4.28.

Petunjuk.
Misalkan \(X = {\mathbb N} \cup \{ \sqrt{2}\, \}\) dan definisikan \(x \sim y\) jika \(x + y \in {\mathbb N}\text{.}\)

2 Bilangan Bulat
2.4 Latihan

2.4.1.

Petunjuk.
Kasus dasar, \(S(1): [1(1 + 1)(2(1) + 1)]/6 = 1 = 1^2\text{,}\) benar. Andaikan \(S(k): 1^2 + 2^2 + \cdots + k^2 = [k(k + 1)(2k + 1)]/6\) benar. Maka
\begin{align*} 1^2 + 2^2 + \cdots + k^2 + (k + 1)^2 & = [k(k + 1)(2k + 1)]/6 + (k + 1)^2\\ & = [(k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1)]/6\text{,} \end{align*}
sehingga \(S(k + 1)\) benar. Jadi, \(S(n)\) benar untuk setiap bilangan bulat positif \(n\text{.}\)

2.4.3.

Petunjuk.
Kasus dasar, \(S(4): 4! = 24 \gt 16 =2^4\text{,}\) benar. Andaikan \(S(k): k! \gt 2^k\) benar. Maka \((k + 1)! = k! (k + 1) \gt 2^k \cdot 2 = 2^{k + 1}\text{,}\) sehingga \(S(k + 1)\) benar. Jadi, \(S(n)\) benar untuk setiap bilangan bulat positif \(n\text{.}\)

2.4.11.

Petunjuk.
Kasus dasar, \(S(0): (1 + x)^0 - 1 = 0 \geq 0 = 0 \cdot x\text{,}\) benar. Andaikan \(S(k): (1 + x)^k -1 \geq kx\) benar. Maka
\begin{align*} (1 + x)^{k + 1} - 1 & = (1 + x)(1 + x)^k -1\\ & = (1 + x)^k + x(1 + x)^k - 1\\ & \geq kx + x(1 + x)^k\\ & \geq kx + x\\ & = (k + 1)x\text{,} \end{align*}
sehingga \(S(k + 1)\) benar. Oleh karena itu, \(S(n)\) benar untuk setiap bilangan bulat positif \(n\text{.}\)

2.4.17. Bilangan Fibonacci.

Petunjuk.
Untuk (a) dan (b), gunakan induksi matematis. (c) Tunjukkan bahwa \(f_1 = 1\text{,}\) \(f_2 = 1\text{,}\) dan \(f_{n + 2} = f_{n + 1} + f_n\text{.}\) (e) Gunakan bagian (b) dan Latihan 2.4.16.

2.4.19.

Petunjuk.
Gunakan Teorema Dasar Aritmetika.

2.4.23.

Petunjuk.
Gunakan Prinsip Urutan Baik dan algoritma pembagian.

2.4.27.

Petunjuk.
Karena \(\gcd(a,b) = 1\text{,}\) terdapat bilangan bulat \(r\) dan \(s\) sedemikian sehingga \(ar + bs = 1\text{.}\) Jadi, \(acr + bcs = c\text{.}\)

2.4.29.

Petunjuk.
Setiap bilangan prima harus berbentuk \(2\text{,}\) \(3\text{,}\) \(6n + 1\text{,}\) atau \(6n + 5\text{.}\) Misalkan hanya terdapat berhingga banyaknya bilangan prima berbentuk \(6k + 5\text{.}\)

3 Grup
3.5 Latihan

3.5.1.

Petunjuk.
(a) \(3 + 7 \mathbb Z = \{ \ldots, -4, 3, 10, \ldots \}\text{;}\) (c) \(18 + 26 \mathbb Z\text{;}\) (e) \(5 + 6 \mathbb Z\text{.}\)

3.5.2.

Petunjuk.
(a) Bukan grup; (c) grup.

3.5.6.

Petunjuk.
\begin{equation*} \begin{array}{c|cccc} \cdot & 1 & 5 & 7 & 11 \\ \hline 1 & 1 & 5 & 7 & 11 \\ 5 & 5 & 1 & 11 & 7 \\ 7 & 7 & 11 & 1 & 5 \\ 11 & 11 & 7 & 5 & 1 \end{array} \end{equation*}

3.5.8.

Petunjuk.
Pilih dua matriks. Hampir setiap pasangan akan memenuhi.

3.5.15.

Petunjuk.
Terdapat grup nonabelian yang memuat enam unsur.

3.5.16.

Petunjuk.
Perhatikan grup simetri segitiga sama sisi atau persegi.

3.5.17.

Petunjuk.
Terdapat lima grup berbeda yang berorde 8.

3.5.18.

Petunjuk.
Misalkan
\begin{equation*} \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{pmatrix} \end{equation*}
berada dalam \(S_n\text{.}\) Semua \(a_i\) harus berbeda. Terdapat \(n\) cara memilih \(a_1\text{,}\) \(n - 1\) cara memilih \(a_2\text{,}\) …, dua cara memilih \(a_{n - 1}\text{,}\) dan hanya satu cara memilih \(a_n\text{.}\) Oleh karena itu, kita dapat membentuk \(\sigma\) dengan \(n(n - 1) \cdots 2 \cdot 1 = n!\) cara.

3.5.25.

Petunjuk.
\begin{align*} (aba^{-1})^n & = (aba^{-1})(aba^{-1}) \cdots (aba^{-1})\\ & = ab(aa^{-1})b(aa^{-1})b \cdots b(aa^{-1})ba^{-1}\\ & = ab^na^{-1}\text{.} \end{align*}

3.5.31.

Petunjuk.
Karena \(abab = (ab)^2 = e = a^2 b^2 = aabb\text{,}\) kita mengetahui bahwa \(ba = ab\text{.}\)

3.5.35.

Petunjuk.
\(H_1 = \{ \identity \}\text{,}\) \(H_2 = \{ \identity, \rho_1, \rho_2 \}\text{,}\) \(H_3 = \{ \identity, \mu_1 \}\text{,}\) \(H_4 = \{ \identity, \mu_2 \}\text{,}\) \(H_5 = \{ \identity, \mu_3 \}\text{,}\) \(S_3\text{.}\)

3.5.41.

Petunjuk.
Identitas dari \(G\) adalah \(1 = 1 + 0 \sqrt{2}\text{.}\) Karena \((a + b \sqrt{2}\, )(c + d \sqrt{2}\, ) = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt{2}\text{,}\) \(G\) tertutup terhadap perkalian. Terakhir, \((a + b \sqrt{2}\, )^{-1} = a/(a^2 - 2b^2) - b\sqrt{2}/(a^2 - 2 b^2)\text{.}\)

3.5.46.

Petunjuk.
Perhatikan \(S_3\text{.}\)

3.5.49.

Petunjuk.
\(b a = a^4 b = a^3 a b = ab\)

4 Grup Siklik
4.5 Latihan

4.5.1.

Petunjuk.
(a) Salah; (c) salah; (e) benar.

4.5.2.

Petunjuk.
(a) \(12\text{;}\) (c) tak hingga; (e) \(10\text{.}\)

4.5.3.

Petunjuk.
(a) \(7 {\mathbb Z} = \{ \ldots, -7, 0, 7, 14, \ldots \}\text{;}\) (b) \(\{ 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 \}\text{;}\) (c) \(\{ 0 \}\text{,}\) \(\{ 0, 6 \}\text{,}\) \(\{ 0, 4, 8 \}\text{,}\) \(\{ 0, 3, 6, 9 \}\text{,}\) \(\{ 0, 2, 4, 6, 8, 10 \}\text{;}\) (g) \(\{ 1, 3, 7, 9 \}\text{;}\) (j) \(\{ 1, -1, i, -i \}\text{.}\)

4.5.4.

Petunjuk.
(a)
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}
(c)
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \\ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}

4.5.10.

Petunjuk.
(a) \(0\text{;}\) (b) \(1, -1\text{.}\)

4.5.11.

Petunjuk.
\(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\text{.}\)

4.5.15.

Petunjuk.
(a) \(-3 + 3i\text{;}\) (c) \(43- 18i\text{;}\) (e) \(i\)

4.5.16.

Petunjuk.
(a) \(\sqrt{3} + i\text{;}\) (c) \(-3\text{.}\)

4.5.17.

Petunjuk.
(a) \(\sqrt{2} \cis( 7 \pi /4)\text{;}\) (c) \(2 \sqrt{2} \cis( \pi /4)\text{;}\) (e) \(3 \cis(3 \pi/2)\text{.}\)

4.5.18.

Petunjuk.
(a) \((1 - i)/2\text{;}\) (c) \(16(i - \sqrt{3}\, )\text{;}\) (e) \(-1/4\text{.}\)

4.5.22.

Petunjuk.
(a) \(292\text{;}\) (c) \(1523\text{.}\)

4.5.27.

Petunjuk.
\(|\langle g \rangle \cap \langle h \rangle| = 1\text{.}\)

4.5.31.

Petunjuk.
Elemen identitas dalam sebarang grup berorde hingga. Misalkan \(g, h \in G\) masing-masing berorde \(m\) dan \(n\text{.}\) Karena \((g^{-1})^m = e\) dan \((gh)^{mn} = e\text{,}\) elemen-elemen berorde hingga dalam \(G\) membentuk subgrup dari \(G\text{.}\)

4.5.37.

Petunjuk.
Jika \(g\) merupakan elemen yang berbeda dari identitas dalam \(G\text{,}\) \(g\) harus membangkitkan \(G\text{;}\) jika tidak, \(\langle g \rangle\) merupakan subgrup sejati nontrivial dari \(G\text{.}\)

5 Grup Permutasi
5.4 Latihan

5.4.1.

Petunjuk.
(a) \((1 \, 2 \, 4 \, 5 \, 3)\text{;}\) (c) \((1 \, 3)(2 \, 5)\text{.}\)

5.4.2.

Petunjuk.
(a) \((1 \, 3 \, 5)(2 \, 4)\text{;}\) (c) \((1 \, 4)(2 \, 3)\text{;}\) (e) \((1 \, 3 \, 2 \, 4)\text{;}\) (g) \((1 \, 3 \, 4)(2 \, 5)\text{;}\) (n) \((1 \, 7 \, 3 \, 5 \, 2)\text{.}\)

5.4.3.

Petunjuk.
(a) \((1 \, 6)(1 \, 5)(1 \, 3)(1 \, 4)\text{;}\) (c) \((1 \, 6)(1 \, 4)(1 \, 2)\text{.}\)

5.4.4.

Petunjuk.
\((a_1, a_2, \ldots, a_n)^{-1} = (a_1, a_{n}, a_{n-1}, \ldots, a_2)\)

5.4.5.

Petunjuk.
(a) \(\{ (1 \, 3), (1 \, 3)(2 \, 4), (1 \, 3 \, 2), (1 \, 3 \, 4), (1 \, 3 \, 2 \, 4), (1 \, 3 \, 4 \, 2) \}\) bukan subgrup.

5.4.8.

Petunjuk.
\((1 \, 2 \, 3 \, 4 \, 5)(6 \, 7 \, 8)\text{.}\)

5.4.11.

Petunjuk.
Permutasi berbentuk
\begin{equation*} (1), (a_1, a_2)(a_3, a_4), (a_1, a_2, a_3), (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) \end{equation*}
mungkin terdapat dalam \(A_5\text{.}\)

5.4.17.

Petunjuk.
Hitung \((1 \, 2 \, 3)(1 \, 2)\) dan \((1 \, 2)(1 \, 2 \, 3)\text{.}\)

5.4.25.

Petunjuk.
Perhatikan kasus \((a,b)(b,c)\) dan \((a,b)(c,d)\text{.}\)

5.4.29.

Petunjuk.
Tunjukkan bahwa pusat \(D_n\) hanya terdiri atas identitas jika \(n\) ganjil, serta terdiri atas identitas dan rotasi \(180^\circ\) jika \(n\) genap.

5.4.30.

Petunjuk.
Untuk (a), tunjukkan bahwa \(\sigma \tau \sigma^{-1 }(\sigma(a_i)) = \sigma(a_{i + 1})\text{.}\)

6 Koset dan Teorema Lagrange
6.5 Latihan

6.5.1.

Petunjuk.
Orde \(g\) dan orde \(h\) keduanya harus membagi orde \(G\text{.}\)

6.5.2.

Petunjuk.
Orde yang mungkin harus membagi \(60\text{.}\)

6.5.3.

Petunjuk.
Pernyataan ini benar untuk setiap subgrup sejati nontrivial.

6.5.5.

Petunjuk.
(a) \(\langle 8 \rangle\text{,}\) \(1 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(2 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(3 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(4 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(5 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(6 + \langle 8 \rangle\text{,}\) dan \(7 + \langle 8 \rangle\text{;}\) (c) \(3 {\mathbb Z}\text{,}\) \(1 + 3 {\mathbb Z}\text{,}\) dan \(2 + 3 {\mathbb Z}\text{.}\)

6.5.7.

Petunjuk.
\(4^{\phi(15)} \equiv 4^8 \equiv 1 \pmod{15}\text{.}\)

6.5.12.

Petunjuk.
Misalkan \(g_1 \in gH\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(g_1 \in Hg\text{,}\) sehingga \(gH \subset Hg\text{.}\)

6.5.19.

Petunjuk.
Tunjukkan bahwa \(g(H \cap K) = gH \cap gK\text{.}\)

7 Pengantar Kriptografi
7.4 Latihan

7.4.3.

Petunjuk.
Petunjuk: V = E, E = X (juga digunakan untuk spasi dan tanda baca), K = R.

7.4.7.

Petunjuk.
(a) \(2791\text{;}\) (c) \(112135 25032 442\text{.}\)

7.4.9.

Petunjuk.
(a) \(31\) (c) \(14\text{.}\)

7.4.10.

Petunjuk.
(a) \(n = 11 \cdot 41\text{;}\) (c) \(n = 8779 \cdot 4327\text{.}\)

8 Teori Pengodean Aljabar
8.6 Latihan

8.6.2.

Petunjuk.
Ini tidak dapat menjadi kode grup karena \((\codeword{0000}) \notin C\text{.}\)

8.6.3.

Petunjuk.
(a) \(2\text{;}\) (c) \(2\text{.}\)

8.6.4.

Petunjuk.
(a) \(3\text{;}\) (c) \(4\text{.}\)

8.6.6.

Petunjuk.
(a) \(d_{\min} = 2\text{;}\) (c) \(d_{\min} = 1\text{.}\)

8.6.7.

Petunjuk.
  1. \((\codeword{00000}), (\codeword{00101}), (\codeword{10011}), (\codeword{10110})\)
    \begin{equation*} G = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{equation*}
  2. \((\codeword{000000}), (\codeword{010111}), (\codeword{101101}), (\codeword{111010})\)
    \begin{equation*} G = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{equation*}

8.6.9.

Petunjuk.
Beberapa kesalahan terjadi dalam salah satu kata yang diterima.

8.6.11.

Petunjuk.
(a) Matriks pemeriksa paritas kanonik dengan matriks pembangkit standar
\begin{equation*} G = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}
(c) Matriks pemeriksa paritas kanonik dengan matriks pembangkit standar
\begin{equation*} G = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}

8.6.12.

Petunjuk.
(a) Semua sindrom yang mungkin muncul.

8.6.15.

Petunjuk.
(a) \(C\text{,}\) \((\codeword{10000}) + C\text{,}\) \((\codeword{01000}) + C\text{,}\) \((\codeword{00100}) + C\text{,}\) \((\codeword{00010}) + C\text{,}\) \((\codeword{11000}) + C\text{,}\) \((\codeword{01100}) + C\text{,}\) \((\codeword{01010}) + C\text{.}\) Tabel pendekodean tidak ada untuk \(C\) karena kode ini hanya mendeteksi kesalahan tunggal.

8.6.19.

Petunjuk.
Misalkan \({\mathbf x} \in C\) berbobot ganjil dan definisikan suatu pemetaan dari himpunan kata kode berbobot ganjil ke himpunan kata kode berbobot genap dengan \({\mathbf y} \mapsto {\mathbf x} + {\mathbf y}\text{.}\) Tunjukkan bahwa pemetaan ini merupakan bijeksi.

8.6.23.

Petunjuk.
Untuk \(20\) posisi informasi, diperlukan sekurang-kurangnya \(6\) bit pemeriksa untuk menjamin diperolehnya kode pengoreksi kesalahan.

9 Isomorfisma
9.4 Latihan

9.4.1.

Petunjuk.
Setiap grup siklik tak hingga isomorfik dengan \({\mathbb Z}\) berdasarkan Teorema 9.1.7.

9.4.2.

Petunjuk.
Definisikan \(\phi: {\mathbb C}^* \rightarrow GL_2( {\mathbb R})\) dengan
\begin{equation*} \phi(a + bi) = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}

9.4.6.

Petunjuk.
Definisikan pemetaan dari \({\mathbb Z}_n\) ke akar-akar kesatuan ke-\(n\) dengan \(k \mapsto \cis(2k\pi / n)\text{.}\)

9.4.8.

Petunjuk.
Andaikan \({\mathbb Q}\) siklik dan cobalah mencari pembangkitnya.

9.4.11.

Petunjuk.
Terdapat dua grup nonabelian dan tiga grup abelian yang saling takisomorfik.

9.4.16.

Petunjuk.
(a) \(12\text{;}\) (c) \(5\text{.}\)

9.4.19.

Petunjuk.
Gambarlah diagramnya.

9.4.27.

Petunjuk.
Misalkan \(a\) suatu pembangkit dari \(G\text{.}\) Jika \(\phi :G \rightarrow H\) adalah isomorfisma, tunjukkan bahwa \(\phi(a)\) merupakan pembangkit dari \(H\text{.}\)

9.4.38.

Petunjuk.
Setiap automorfisme dari \({\mathbb Z}_6\) harus memetakan \(1\) ke pembangkit lain dari \({\mathbb Z}_6\text{.}\)

9.4.45.

Petunjuk.
Untuk menunjukkan bahwa \(\phi\) injektif, misalkan \(g_1 = h_1 k_1\) dan \(g_2 = h_2 k_2\text{,}\) lalu tinjau \(\phi(g_1) = \phi(g_2)\text{.}\)

10 Subgrup Normal dan Grup Hasil Bagi
10.4 Latihan

10.4.1.

Petunjuk.
(a)
\begin{equation*} \begin{array}{c|cc} & A_4 & (1 \, 2)A_4 \\ \hline A_4 & A_4 & (1 \, 2) A_4 \\ (1 \, 2) A_4 & (1 \, 2) A_4 & A_4 \end{array} \end{equation*}
(c) \(D_4\) tidak normal dalam \(S_4\text{.}\)

10.4.8.

Petunjuk.
Jika \(a \in G\) merupakan pembangkit \(G\text{,}\) maka \(aH\) merupakan pembangkit \(G/H\text{.}\)

10.4.11.

Petunjuk.
Untuk setiap \(g \in G\text{,}\) tunjukkan bahwa pemetaan \(i_g : G \to G\) yang didefinisikan oleh \(i_g : x \mapsto gxg^{-1}\) merupakan isomorfisma dari \(G\) ke dirinya sendiri. Kemudian perhatikan \(i_g(H)\text{.}\)

10.4.12.

Petunjuk.
Andaikan \(\langle g \rangle\) normal dalam \(G\) dan misalkan \(y\) suatu elemen sembarang dari \(G\text{.}\) Jika \(x \in C(g)\text{,}\) kita harus menunjukkan bahwa \(y x y^{-1}\) juga berada dalam \(C(g)\text{.}\) Tunjukkan bahwa \((y x y^{-1}) g = g (y x y^{-1})\text{.}\)

10.4.14.

Petunjuk.
(a) Misalkan \(g \in G\) dan \(h \in G'\text{.}\) Jika \(h = aba^{-1}b^{-1}\text{,}\) maka
\begin{align*} ghg^{-1} & = gaba^{-1}b^{-1}g^{-1}\\ & = (gag^{-1})(gbg^{-1})(ga^{-1}g^{-1})(gb^{-1}g^{-1})\\ & = (gag^{-1})(gbg^{-1})(gag^{-1})^{-1}(gbg^{-1})^{-1}\text{.} \end{align*}
Kita juga perlu menunjukkan bahwa jika \(h = h_1 \cdots h_n\) dengan \(h_i = a_i b_i a_i^{-1} b_i^{-1}\text{,}\) maka \(ghg^{-1}\) merupakan hasil kali elemen-elemen berjenis sama. Namun, \(ghg^{-1} = g h_1 \cdots h_n g^{-1} = (gh_1g^{-1})(gh_2g^{-1}) \cdots (gh_ng^{-1})\text{.}\)

11 Homomorfisma
11.4 Latihan

11.4.2.

Petunjuk.
(a) merupakan homomorfisma dengan kernel \(\{ 1 \}\text{;}\) (c) bukan homomorfisma.

11.4.4.

Petunjuk.
Karena \(\phi(m + n) = 7(m+n) = 7m + 7n = \phi(m) + \phi(n)\text{,}\) \(\phi\) merupakan homomorfisma.

11.4.5.

Petunjuk.
Untuk setiap homomorfisma \(\phi : {\mathbb Z}_{24} \rightarrow {\mathbb Z}_{18}\text{,}\) kernel \(\phi\) harus merupakan subgrup dari \({\mathbb Z}_{24}\) dan citra \(\phi\) harus merupakan subgrup dari \({\mathbb Z}_{18}\text{.}\) Sekarang gunakan fakta bahwa suatu pembangkit harus dipetakan ke pembangkit.

11.4.9.

Petunjuk.
Misalkan \(a, b \in G\text{.}\) Maka \(\phi(a) \phi(b) = \phi(ab) = \phi(ba) = \phi(b)\phi(a)\text{.}\)

11.4.17.

Petunjuk.
Carilah contoh penyangkal.

12 Grup Matriks dan Simetri
12.4 Latihan

12.4.1.

Petunjuk.
\begin{align*} \frac{1}{2} \left[ \|{\mathbf x} + {\mathbf y}\|^2 + \|{\mathbf x}\|^2 - \| {\mathbf y}\|^2 \right] & = \frac{1}{2} \left[ \langle x + y, x + y \rangle - \|{\mathbf x}\|^2 - \| {\mathbf y}\|^2 \right]\\ & = \frac{1}{2} \left[ \| {\mathbf x}\|^2 + 2 \langle x, y \rangle + \| {\mathbf y}\|^2 - \|{\mathbf x}\|^2 - \| {\mathbf y}\|^2 \right]\\ & = \langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle\text{.} \end{align*}

12.4.3.

Petunjuk.
(a) berada dalam \(SO(2)\text{;}\) (c) tidak berada dalam \(O(3)\text{.}\)

12.4.5.

Petunjuk.
(a) \(\langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle = \langle {\mathbf y}, {\mathbf x} \rangle\text{.}\)

12.4.7.

Petunjuk.
Gunakan matriks unimodular
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}

12.4.10.

Petunjuk.
Tunjukkan bahwa kernel pemetaan \(\det : O(n) \rightarrow {\mathbb R}^*\) adalah \(SO(n)\text{.}\)

13 Struktur Grup
13.4 Latihan

13.4.1.

Petunjuk.
Terdapat tiga grup yang mungkin.

13.4.4.

Petunjuk.
(a) \(\{ 0 \} \subset \langle 6 \rangle \subset \langle 3 \rangle \subset {\mathbb Z}_{12}\text{;}\) (e) \(\{ (1) \} \times \{ 0 \} \subset \{ (1), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \} \times \{ 0 \} \subset S_3 \times \{ 0 \} \subset S_3 \times \langle 2 \rangle\subset S_3 \times {\mathbb Z}_4\text{.}\)

13.4.7.

Petunjuk.
Gunakan Teorema Dasar Grup Abelian yang Dibangkitkan secara Hingga.

13.4.12.

Petunjuk.
Jika \(N\) dan \(G/N\) solvabel, maka keduanya memiliki deret solvabel
\begin{gather*} N = N_n \supset N_{n - 1} \supset \cdots \supset N_1 \supset N_0 = \{ e \}\\ G/N = G_n/N \supset G_{n - 1}/N \supset \cdots G_1/N \supset G_0/N = \{ N \}\text{.} \end{gather*}

13.4.16.

Petunjuk.
Gunakan fakta bahwa \(D_n\) memiliki subgrup siklik berindeks \(2\text{.}\)

14 Aksi Grup
14.5 Latihan

14.5.2.

Petunjuk.
(a) \(X_{(1)} = \{1, 2, 3 \}\text{,}\) \(X_{(1 \, 2)} = \{3 \}\text{,}\) \(X_{(1 \, 3)} = \{ 2 \}\text{,}\) \(X_{(2 \, 3)} = \{1 \}\text{,}\) \(X_{(1 \, 2 \, 3)} = X_{(1 \, 3 \, 2)} = \emptyset\text{.}\) \(G_1 = \{ (1), (2 \, 3) \}\text{,}\) \(G_2 = \{(1), (1 \, 3) \}\text{,}\) \(G_3 = \{ (1), (1 \, 2)\}\text{.}\)

14.5.3.

Petunjuk.
(a) \({\mathcal O}_1 = {\mathcal O}_2 = {\mathcal O}_3 = \{ 1, 2, 3\}\text{.}\)

14.5.6.

Petunjuk.
Kelas-kelas konjugasi untuk \(S_4\) adalah
\begin{gather*} {\mathcal O}_{(1)} = \{ (1) \},\\ {\mathcal O}_{(12)} = \{ (1 \, 2), (1 \, 3), (1 \, 4), (2 \, 3), (2 \, 4), (3 \, 4) \},\\ {\mathcal O}_{(1 \, 2)(3 \, 4)} = \{ (1 \, 2)(3 \, 4), (1 \, 3)(2 \, 4), (1 \, 4)(2 \, 3) \},\\ {\mathcal O}_{(123)} = \{ (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2), (1 \, 2 \, 4), (1 \, 4 \, 2), (1 \, 3 \, 4), (1 \, 4 \, 3), (2 \, 3 \, 4), (2 \, 4 \, 3) \},\\ {\mathcal O}_{(1234)} = \{ (1 \, 2 \, 3 \, 4), (1 \, 2 \, 4 \, 3), (1 \, 3 \, 2 \, 4), (1 \, 3 \, 4 \, 2), (1 \, 4 \, 2 \, 3), (1 \, 4 \, 3 \, 2) \}\text{.} \end{gather*}
Persamaan kelasnya adalah \(1 + 3 + 6 + 6 + 8 = 24\text{.}\)

14.5.8.

Petunjuk.
\((3^4 + 3^1 + 3^2 + 3^1 + 3^2 + 3^2 + 3^3 + 3^3)/8 = 21\text{.}\)

14.5.11.

Petunjuk.
Grup gerak kaku kubus dapat dideskripsikan oleh permutasi yang diizinkan pada keenam permukaannya dan isomorfik dengan \(S_4\text{.}\) Terdapat siklus identitas, \(6\) permutasi berstruktur \((abcd)\) yang bersesuaian dengan putaran seperempat, \(3\) permutasi berstruktur \((ab)(cd)\) yang bersesuaian dengan putaran setengah, \(6\) permutasi berstruktur \((ab)(cd)(ef)\) yang bersesuaian dengan rotasi kubus terhadap pusat sisi-sisi yang berhadapan, dan \(8\) permutasi berstruktur \((abc)(def)\) yang bersesuaian dengan rotasi kubus terhadap titik-titik sudut yang berhadapan.

14.5.15.

Petunjuk.
\((1 \cdot 2^6 + 3 \cdot 2^4 + 4 \cdot 2^3 + 2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^1)/12 = 13\text{.}\)

14.5.17.

Petunjuk.
\((1 \cdot 2^8 + 3 \cdot 2^6 + 2 \cdot 2^4)/6 = 80\text{.}\)

14.5.22.

Petunjuk.
Gunakan fakta bahwa \(x \in g C(a) g^{-1}\) jika dan hanya jika \(g^{-1}x g \in C(a)\text{.}\)

15 Teorema Sylow
15.4 Latihan

15.4.1.

Petunjuk.
Jika \(|G| = 18 = 2 \cdot 3^2\text{,}\) maka orde subgrup Sylow-\(2\) adalah \(2\text{,}\) dan orde subgrup Sylow-\(3\) adalah \(9\text{.}\)

15.4.2.

Petunjuk.
Keempat subgrup Sylow-\(3\) dari \(S_4\) adalah \(P_1 = \{ (1), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}\text{,}\) \(P_2 = \{ (1), (1 \, 2 \, 4), (1 \, 4 \, 2) \}\text{,}\) \(P_3 = \{ (1), (1 \, 3 \, 4), (1 \, 4 \, 3) \}\text{,}\) \(P_4 = \{ (1), (2 \, 3 \, 4), (2 \, 4 \, 3) \}\text{.}\)

15.4.5.

Petunjuk.
Karena \(|G| = 96 = 2^5 \cdot 3\text{,}\) menurut Teorema Sylow Ketiga, \(G\) memiliki satu atau tiga subgrup Sylow-\(2\text{.}\) Jika hanya ada satu subgrup, pembuktian selesai. Jika terdapat tiga subgrup Sylow-\(2\text{,}\) misalkan \(H\) dan \(K\) dua di antaranya. Maka \(|H \cap K| \geq 16\text{;}\) jika tidak, \(HK\) akan memiliki \((32 \cdot 32)/8 = 128\) elemen, yang mustahil. Jadi, \(H \cap K\) normal di \(H\) maupun \(K\) karena berindeks \(2\) dalam kedua grup.

15.4.8.

Petunjuk.
Tunjukkan bahwa \(G\) memiliki subgrup Sylow-\(p\) normal berorde \(p^2\) dan subgrup Sylow-\(q\) normal berorde \(q^2\text{.}\)

15.4.17.

Petunjuk.
Jika \(G\) abelian, maka \(G\) siklik, karena \(|G| = 3 \cdot 5 \cdot 17\text{.}\) Sekarang perhatikan Contoh 15.2.6.

15.4.23.

Petunjuk.
Definisikan pemetaan antara koset-koset kanan dari \(N(H)\) di \(G\) dan konjugat-konjugat dari \(H\) di \(G\) melalui \(N(H) g \mapsto g^{-1} H g\text{.}\) Buktikan bahwa pemetaan ini bijektif.

15.4.26.

Petunjuk.
Misalkan \(a G', b G' \in G/G'\text{.}\) Maka \((a G')( b G') = ab G' = ab(b^{-1}a^{-1}ba) G' = (abb^{-1}a^{-1})ba G' = ba G'\text{.}\)

16 Gelanggang
16.7 Latihan

16.7.1.

Petunjuk.
(a) \(7 {\mathbb Z}\) merupakan gelanggang tetapi bukan lapangan; (c) \({\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )\) merupakan lapangan; (f) \(R\) bukan gelanggang.

16.7.3.

Petunjuk.
(a) \(\{1, 3, 7, 9 \}\text{;}\) (c) \(\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}\text{;}\) (e)
\begin{equation*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \right\}\text{.} \end{equation*}

16.7.4.

Petunjuk.
(a) \(\{0 \}\text{,}\) \(\{0, 9 \}\text{,}\) \(\{0, 6, 12 \}\text{,}\) \(\{0, 3, 6, 9, 12, 15 \}\text{,}\) \(\{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 \}\text{;}\) (c) tidak ada ideal taktrivial.

16.7.7.

Petunjuk.
Andaikan terdapat isomorfisma \(\phi: {\mathbb C} \rightarrow {\mathbb R}\) dengan \(\phi(i) = a\text{.}\)

16.7.8.

Petunjuk.
Salah. Andaikan terdapat isomorfisma \(\phi: {\mathbb Q}(\sqrt{2}\, ) \rightarrow {\mathbb Q}(\sqrt{3}\, )\) sedemikian sehingga \(\phi(\sqrt{2}\, ) = a\text{.}\)

16.7.13.

Petunjuk.
(a) \(x \equiv 17 \pmod{55}\text{;}\) (c) \(x \equiv 214 \pmod{2772}\text{.}\)

16.7.16.

Petunjuk.
Jika \(I \neq \{ 0 \}\text{,}\) tunjukkan bahwa \(1 \in I\text{.}\)

16.7.18.

Petunjuk.
(a) \(\phi(a) \phi(b) = \phi(ab) = \phi(ba) = \phi(b) \phi(a)\text{.}\)

16.7.26.

Petunjuk.
Misalkan \(a \in R\) dengan \(a \neq 0\text{.}\) Maka ideal utama yang dibangun oleh \(a\) adalah \(R\text{.}\) Jadi, terdapat \(b \in R\) sedemikian sehingga \(ab =1\text{.}\)

16.7.28.

Petunjuk.
Hitung \((a+b)^2\) dan \((-ab)^2\text{.}\)

16.7.33.

Petunjuk.
Misalkan \(a/b, c/d \in {\mathbb Z}_{(p)}\text{.}\) Maka \(a/b + c/d = (ad + bc)/bd\) dan \((a/b) \cdot (c/d) = (ac)/(bd)\) keduanya berada dalam \({\mathbb Z}_{(p)}\text{,}\) karena \(\gcd(bd,p) = 1\text{.}\)

16.7.37.

Petunjuk.
Misalkan \(x^2 = x\) dan \(x \neq 0\text{.}\) Karena \(R\) merupakan daerah integral, \(x = 1\text{.}\) Untuk menemukan idempoten taktrivial, carilah dalam \({\mathbb M}_2({\mathbb R})\text{.}\)

17 Polinomial
17.5 Latihan

17.5.2.

Petunjuk.
(a) \(9x^2 + 2x + 5\text{;}\) (b) \(8x^4 + 7x^3 + 2x^2 + 7x\text{.}\)

17.5.3.

Petunjuk.
(a) \(5 x^3 + 6 x^2 - 3 x + 4 = (5 x^2 + 2x + 1)(x -2) + 6\text{;}\) (c) \(4x^5 - x^3 + x^2 + 4 = (4x^2 + 4)(x^3 + 3) + 4x^2 + 2\text{.}\)

17.5.5.

Petunjuk.
(a) Tidak ada nol di \({\mathbb Z}_{12}\text{;}\) (c) \(3\text{,}\) \(4\text{.}\)

17.5.7.

Petunjuk.
Tinjau \((2x + 1)\text{.}\)

17.5.8.

Petunjuk.
(a) Tereduksi; (c) tak tereduksi.

17.5.10.

Petunjuk.
Salah satu faktorisasinya adalah \(x^2 + x + 8 = (x + 2)(x + 9)\text{.}\)

17.5.13.

Petunjuk.
Bilangan bulat \(\mathbb Z\) tidak membentuk lapangan.

17.5.16.

Petunjuk.
Misalkan \(\phi : R \rightarrow S\) suatu isomorfisma. Definisikan \(\overline{\phi} : R[x] \rightarrow S[x]\) dengan \(\overline{\phi}(a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n) = \phi(a_0) + \phi(a_1) x + \cdots + \phi(a_n) x^n\text{.}\)

17.5.20. Polinomial Siklotomik.

Petunjuk.
Polinomial
\begin{equation*} \Phi_n(x) = \frac{x^n - 1}{x - 1} = x^{n - 1} + x^{n - 2} + \cdots + x + 1 \end{equation*}
disebut polinomial siklotomik. Tunjukkan bahwa \(\Phi_p(x)\) tak tereduksi atas \({\mathbb Q}\) untuk setiap bilangan prima \(p\text{.}\)

17.5.26.

Petunjuk.
Tentukan ideal sejati taktrivial di \(F[x]\text{.}\)

18 Daerah Integral
18.4 Latihan

18.4.1.

Petunjuk.
Perhatikan bahwa \(z^{-1} = 1/(a + b\sqrt{3}\, i) = (a -b \sqrt{3}\, i)/(a^2 + 3b^2)\) berada dalam \({\mathbb Z}[\sqrt{3}\, i]\) jika dan hanya jika \(a^2 + 3 b^2 = 1\text{.}\) Satu-satunya solusi bilangan bulat untuk persamaan tersebut adalah \(a = \pm 1, b = 0\text{.}\)

18.4.2.

Petunjuk.
(a) \(5 = -i(1 + 2i)(2 + i)\text{;}\) (c) \(6 + 8i = -i(1 + i)^2(2 + i)^2\text{.}\)

18.4.9.

Petunjuk.
Misalkan \(z = a + bi\) dan \(w = c + di \neq 0\) berada dalam \({\mathbb Z}[i]\text{.}\) Buktikan bahwa \(z/w \in {\mathbb Q}(i)\text{.}\)

18.4.15.

Petunjuk.
Misalkan \(a = ub\) dengan \(u\) suatu unit. Maka \(\nu(b) \leq \nu(ub) \leq \nu(a)\text{.}\) Demikian pula, \(\nu(a) \leq \nu(b)\text{.}\)

18.4.16.

Petunjuk.
Tunjukkan bahwa \(21\) dapat difaktorkan dengan dua cara berbeda.

19 Latis dan Aljabar Boolean
19.5 Latihan

19.5.4.

Petunjuk.
Apa saja atom dari \(B\text{?}\)

19.5.6.

Petunjuk.
(a) \((a \vee b \vee a') \wedge a\)
Graf dari kiri ke kanan yang bercabang menjadi tiga lintasan, a, b, dan b’, kemudian bergabung kembali menjadi satu lintasan dan melewati a.
(c) \(a \vee (a \wedge b)\)
Graf dari kiri ke kanan yang bercabang menjadi dua lintasan lalu bergabung kembali. Lintasan atas melewati a kemudian b. Lintasan bawah melewati a.

19.5.8.

Petunjuk.
Tidak ekuivalen.

19.5.10.

Petunjuk.
(a) \(a' \wedge [(a \wedge b') \vee b] = a \wedge (a \vee b) \text{.}\)

19.5.14.

Petunjuk.
Misalkan \(I, J\) merupakan ideal dalam \(R\text{.}\) Kita perlu menunjukkan bahwa \(I + J = \{ r + s : r \in I \text{ dan } s \in J \}\) merupakan ideal terkecil dalam \(R\) yang memuat \(I\) dan \(J\text{.}\) Jika \(r_1, r_2 \in I\) dan \(s_1, s_2 \in J\text{,}\) maka \((r_1 + s_1) + (r_2 + s_2) = (r_1 + r_2) +(s_1 + s_2)\) berada dalam \(I + J\text{.}\) Untuk \(a \in R\text{,}\) \(a(r_1 + s_1) = ar_1 + as_1 \in I + J\text{;}\) dengan demikian, \(I + J\) merupakan ideal dalam \(R\text{.}\)

19.5.20.

Petunjuk.
\(( \Rightarrow)\text{.}\) \(a = b \Rightarrow (a \wedge b') \vee (a' \wedge b) = (a \wedge a') \vee (a' \wedge a) = O \vee O = O\text{.}\) \(( \Leftarrow)\text{.}\) \(( a \wedge b') \vee (a' \wedge b) = O \Rightarrow a \vee b = (a \vee a) \vee b = a \vee (a \vee b) = a \vee [I \wedge (a \vee b)] = a \vee [(a \vee a') \wedge (a \vee b)] = [a \vee (a \wedge b')] \vee [a \vee (a' \wedge b)] = a \vee [(a \wedge b') \vee (a' \wedge b)] = a \vee 0 = a\text{.}\) Argumen yang simetris menunjukkan bahwa \(a \vee b = b\text{.}\)

20 Ruang Vektor
20.5 Latihan

20.5.3.

Petunjuk.
\({\mathbb Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\) memiliki basis \(\{ 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}\, \}\) atas \({\mathbb Q}\text{.}\)

20.5.5.

Petunjuk.
Himpunan \(\{ 1, x, x^2, \ldots, x^{n-1} \}\) merupakan basis bagi \(P_n\text{.}\)

20.5.7.

Petunjuk.
(a) Subruang berdimensi \(2\) dengan basis \(\{(1, 0, -3), (0, 1, 2) \}\text{;}\) (d) bukan subruang

20.5.10.

Petunjuk.
Karena \(0 = \alpha 0 = \alpha(-v + v) = \alpha(-v) + \alpha v\text{,}\) diperoleh \(- \alpha v = \alpha(-v)\text{.}\)

20.5.12.

Petunjuk.
Misalkan \(v_0 = 0, v_1, \ldots, v_n \in V\) dan \(\alpha_0 \neq 0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n \in F\text{.}\) Maka \(\alpha_0 v_0 + \cdots + \alpha_n v_n = 0\text{.}\)

20.5.15. Transformasi Linear.

Petunjuk.
(a) Misalkan \(u, v \in \ker(T)\) dan \(\alpha \in F\text{.}\) Maka
\begin{gather*} T(u +v) = T(u) + T(v) = 0\\ T(\alpha v) = \alpha T(v) = \alpha 0 = 0\text{.} \end{gather*}
Oleh karena itu, \(u + v, \alpha v \in \ker(T)\text{,}\) dan \(\ker(T)\) merupakan subruang dari \(V\text{.}\)
(c) Pernyataan \(T(u) = T(v)\) ekuivalen dengan \(T(u-v) = T(u) - T(v) = 0\text{,}\) yang benar jika dan hanya jika \(u-v = 0\) atau \(u = v\text{.}\)

20.5.17. Jumlah Langsung.

Petunjuk.
(a) Misalkan \(u, u' \in U\) dan \(v, v' \in V\text{.}\) Maka
\begin{align*} (u + v) + (u' + v') & = (u + u') + (v + v') \in U + V\\ \alpha(u + v) & = \alpha u + \alpha v \in U + V\text{.} \end{align*}

21 Lapangan
21.5 Latihan

21.5.1.

Petunjuk.
(a) \(x^4 - (2/3) x^2 - 62/9\text{;}\) (c) \(x^4 - 2 x^2 + 25\text{.}\)

21.5.2.

Petunjuk.
(a) \(\{ 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}\, \}\text{;}\) (c) \(\{ 1, i, \sqrt{2}, \sqrt{2}\, i \}\text{;}\) (e) \(\{1, 2^{1/6}, 2^{1/3}, 2^{1/2}, 2^{2/3}, 2^{5/6} \}\text{.}\)

21.5.3.

Petunjuk.
(a) \({\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{7}\, )\text{.}\)

21.5.5.

Petunjuk.
Gunakan fakta bahwa elemen-elemen \({\mathbb Z}_2[x]/ \langle x^3 + x + 1 \rangle\) adalah 0, 1, \(\alpha\text{,}\) \(1 + \alpha\text{,}\) \(\alpha^2\text{,}\) \(1 + \alpha^2\text{,}\) \(\alpha + \alpha^2\text{,}\) \(1 + \alpha + \alpha^2\) serta fakta bahwa \(\alpha^3 + \alpha + 1 = 0\text{.}\)

21.5.14.

Petunjuk.
Misalkan \(E\) aljabar atas \(F\) dan \(K\) aljabar atas \(E\text{.}\) Misalkan \(\alpha \in K\text{.}\) Cukup ditunjukkan bahwa \(\alpha\) aljabar atas suatu perluasan hingga dari \(F\text{.}\) Karena \(\alpha\) aljabar atas \(E\text{,}\) elemen tersebut harus merupakan nol dari suatu polinomial \(p(x) = \beta_0 + \beta_1 x + \cdots + \beta_n x^n\) di \(E[x]\text{.}\) Jadi, \(\alpha\) aljabar atas \(F(\beta_0, \ldots, \beta_n)\text{.}\)

21.5.22.

Petunjuk.
Karena \(\{ 1, \sqrt{3}, \sqrt{7}, \sqrt{21}\, \}\) merupakan basis untuk \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, )\) atas \({\mathbb Q}\text{,}\) \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) \supset {\mathbb Q}( \sqrt{3} +\sqrt{7}\, )\text{.}\) Karena \([{\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) : {\mathbb Q}] = 4\text{,}\) \([{\mathbb Q}( \sqrt{3} + \sqrt{7}\, ) : {\mathbb Q}] = 2\) atau 4. Karena derajat polinomial minimal dari \(\sqrt{3} +\sqrt{7}\) adalah 4, \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{3} +\sqrt{7}\, )\text{.}\)

21.5.27.

Petunjuk.
Misalkan \(\beta \in F(\alpha)\) tidak berada di \(F\text{.}\) Maka \(\beta = p(\alpha)/q(\alpha)\text{,}\) dengan \(p\) dan \(q\) polinomial dalam \(\alpha\) yang memiliki \(q(\alpha) \neq 0\) dan koefisien di \(F\text{.}\) Jika \(\beta\) aljabar atas \(F\text{,}\) maka terdapat polinomial \(f(x) \in F[x]\) sedemikian sehingga \(f(\beta) = 0\text{.}\) Misalkan \(f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\text{.}\) Maka
\begin{equation*} 0 = f(\beta) = f\left( \frac{p(\alpha)}{q(\alpha)} \right) = a_0 + a_1 \left( \frac{p(\alpha)}{q(\alpha)} \right) + \cdots + a_n \left( \frac{p(\alpha)}{q(\alpha)} \right)^n\text{.} \end{equation*}
Sekarang kalikan kedua ruas dengan \(q(\alpha)^n\) untuk menunjukkan bahwa terdapat polinomial di \(F[x]\) yang memiliki \(\alpha\) sebagai nol.

22 Lapangan Hingga
22.4 Latihan

22.4.1.

Petunjuk.
Pastikan bahwa yang ditinjau merupakan perluasan lapangan.

22.4.4.

Petunjuk.
Terdapat delapan elemen dalam \({\mathbb Z}_2(\alpha)\text{.}\) Tunjukkan dua akar lain dari \(x^3 + x^2 + 1\) selain \(\alpha\) di antara kedelapan elemen tersebut.

22.4.5.

Petunjuk.
Temukan polinomial tak tereduksi \(p(x)\) dalam \({\mathbb Z}_3[x]\) yang berderajat \(3\) dan tunjukkan bahwa \({\mathbb Z}_3[x]/ \langle p(x) \rangle\) mempunyai \(27\) elemen.

22.4.7.

Petunjuk.
(a) \(x^5 -1 = (x+1)(x^4+x^3 + x^2 + x+ 1)\text{;}\) (c) \(x^9 -1 = (x+1)( x^2 + x+ 1)(x^6+x^3+1)\text{.}\)

22.4.11.

Petunjuk.
(a) Gunakan fakta bahwa \(x^7 - 1 = (x + 1)( x^3 + x + 1)(x^3 + x^2 + 1)\text{.}\)

22.4.17.

Petunjuk.
Jika \(p(x) \in F[x]\text{,}\) maka \(p(x) \in E[x]\text{.}\)

22.4.18.

Petunjuk.
Karena \(\alpha\) aljabar atas \(F\) dan berderajat \(n\text{,}\) kita dapat menulis sebarang elemen \(\beta \in F(\alpha)\) secara tunggal sebagai \(\beta = a_0 + a_1 \alpha + \cdots + a_{n - 1} \alpha^{n - 1}\) dengan \(a_i \in F\text{.}\) Terdapat \(q^n\) tupel-\(n\) yang mungkin, yaitu \((a_0, a_1, \ldots, a_{n - 1})\text{.}\)

23 Teori Galois
23.5 Latihan

23.5.1.

Petunjuk.
(a) \({\mathbb Z}_2\text{;}\) (c) \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\)

23.5.2.

Petunjuk.
(a) Separabel atas \(\mathbb Q\) karena \(x^3 + 2 x^2 - x - 2 = (x - 1)(x + 1)(x + 2)\text{;}\) (c) tidak separabel atas \(\mathbb Z_3\) karena \(x^4 + x^2 + 1 = (x + 1)^2 (x + 2)^2 \text{.}\)

23.5.3.

Petunjuk.
Jika
\begin{equation*} [\gf(729): \gf(9)] = [\gf(729): \gf(3)] /[\gf(9): \gf(3)] = 6/2 = 3\text{,} \end{equation*}
maka \(G(\gf(729)/ \gf(9)) \cong {\mathbb Z}_3\text{.}\) Suatu pembangkit untuk \(G(\gf(729)/ \gf(9))\) adalah \(\sigma\text{,}\) dengan \(\sigma_{3^6}( \alpha) = \alpha^{3^6} = \alpha^{729}\) untuk \(\alpha \in \gf(729)\text{.}\)

23.5.5.

Petunjuk.
(a) \({\mathbb Q}(i)\)

23.5.7.

Petunjuk.
Misalkan \(E\) lapangan pemisah dari suatu polinomial kubik dalam \(F[x]\text{.}\) Tunjukkan bahwa \([E:F]\) kurang dari atau sama dengan \(6\) dan habis dibagi \(3\text{.}\) Karena \(G(E/F)\) merupakan subgrup dari \(S_3\) yang ordenya habis dibagi \(3\text{,}\) simpulkan bahwa grup ini harus isomorfik dengan \({\mathbb Z}_3\) atau \(S_3\text{.}\)

23.5.9.

Petunjuk.
\(G\) merupakan subgrup dari \(S_n\text{.}\)

23.5.20.

Petunjuk.
  1. Jelas bahwa \(\omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p - 1}\) berbeda karena \(\omega \neq 1\) atau 0. Untuk menunjukkan bahwa \(\omega^i\) merupakan akar dari \(\Phi_p\text{,}\) hitung \(\Phi_p( \omega^i)\text{.}\)
  2. Konjugat-konjugat dari \(\omega\) adalah \(\omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p - 1}\text{.}\) Definisikan suatu pemetaan \(\phi_i: {\mathbb Q}(\omega) \rightarrow {\mathbb Q}(\omega^i)\) dengan
    \begin{equation*} \phi_i(a_0 + a_1 \omega + \cdots + a_{p - 2} \omega^{p - 2}) = a_0 + a_1 \omega^i + \cdots + c_{p - 2} (\omega^i)^{p - 2}\text{,} \end{equation*}
    dengan \(a_i \in {\mathbb Q}\text{.}\) Buktikan bahwa \(\phi_i\) merupakan isomorfisma lapangan. Tunjukkan bahwa \(\phi_2\) membangkitkan \(G({\mathbb Q}(\omega)/{\mathbb Q})\text{.}\)
  3. Tunjukkan bahwa \(\{ \omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p - 1} \}\) merupakan basis untuk \({\mathbb Q}( \omega )\) atas \({\mathbb Q}\text{,}\) dan tinjau kombinasi linear mana dari \(\omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p - 1}\) yang ditetapkan oleh semua elemen dari \(G( {\mathbb Q}( \omega ) / {\mathbb Q})\text{.}\)
Sblm.Paling AtasLanjut