代数进阶

引言

本章证明交换代数中的若干结果；它们比第一章交换代数中的结果更为深入，见 Algebra, Section 00AP。 可参见 [MatCA]。

给读者的建议

与交换代数一章相比，本章各节的独立性更强。从 Section 0914 起，我们将自由使用环上模的（无界） 导出范畴及其所带的全部工具。

稳定自由模

下面给出看来已获普遍接受的定义。

定义

设 \(R\) 为环。

1. 称两个 \(R\)-模 \(M\)、\(N\) 稳定同构，如果存在 \(n, m \geq 0\)，使得作为 \(R\)-模有 \(M \oplus R^{\oplus m} \cong N \oplus R^{\oplus n}\)。

2. 若模 \(M\) 稳定同构于某个自由模，则称其 稳定自由。

注意，稳定自由模是投射模。

引理

设 \(R\) 为环。设 \(0 \to P' \to P \to P'' \to 0\) 是有限投射 \(R\)-模的短正合序列。 若这 \(3\) 个模中的 \(2\) 个稳定自由，则第三个也稳定自由。

证明

由于这些模都是投射模，该序列分裂。因此可选取同构 \(P = P' \oplus P''\)。若 \(P' \oplus R^{\oplus n}\) 与 \(P'' \oplus R^{\oplus m}\) 均为自由模，则 \(P \oplus R^{\oplus n + m}\) 为自由模。再假设 \(P'\) 与 \(P\) 稳定自由，例如 \(P \oplus R^{\oplus n}\) 和 \(P' \oplus R^{\oplus m}\) 均为自由模。于是 \[P'' \oplus (P' \oplus R^{\oplus m}) \oplus R^{\oplus n} = (P'' \oplus P') \oplus R^{\oplus m} \oplus R^{\oplus n} = (P \oplus R^{\oplus n}) \oplus R^{\oplus m}\] 是自由模，故 \(P''\) 稳定自由。由对称性也得到剩余一种情形。

引理

设 \(R\) 为环，\(I \subset R\) 为理想。假设 \(1 + I\) 中的每个元素都是 单位元（换言之，\(I\) 包含于 \(R\) 的 Jacobson 根）。对每个有限稳定自由 \(R/I\)-模 \(E\)，存在有限稳定自由 \(R\)-模 \(M\)，使得 \(M/IM \cong E\)。

证明

选取 \(n\)、\(m\) 以及一个同构 \(E \oplus (R/I)^{\oplus n} \cong (R/I)^{\oplus m}\)。 选取 \(R\)-线性映射 \(\varphi : R^{\oplus m} \to R^{\oplus n}\) 和 \(\psi : R^{\oplus n} \to R^{\oplus m}\)，分别提升投影 \((R/I)^{\oplus m} \to (R/I)^{\oplus n}\) 与嵌入 \((R/I)^{\oplus n} \to (R/I)^{\oplus m}\)。 于是 \(\varphi \circ \psi : R^{\oplus n} \to R^{\oplus n}\) 模 \(I\) 后化为恒等映射。由关于 \(I\) 的假设，该映射的行列式可逆。因此 \(P = \Ker(\varphi)\) 稳定自由，并且提升 \(E\)。

引理

设 \(R\) 为环，\(I \subset R\) 为理想。 假设 \(1 + I\) 中的每个元素都是单位元 （换言之，\(I\) 包含于 \(R\) 的 Jacobson 根）。 设 \(M\) 为有限平坦 \(R\)-模，并且 \(M/IM\) 是投射 \(R/I\)-模。 则 \(M\) 是有限投射 \(R\)-模。

证明

由 Algebra, Lemma 00NZ， 对所有素理想 \(\mathfrak p \subset R\)，\(M_\mathfrak p\) 都是有限自由模。 由 Algebra, Lemma 00NX， 只需证明函数 \(\rho_M : \mathfrak p \mapsto \dim_{\kappa(\mathfrak p)} M \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) 在 \(\Spec(R)\) 上局部常值。由于 \(M/IM\) 是有限投射模，这在 \(V(I) \subset \Spec(R)\) 上成立。又因 \(\Spec(R)\) 的每个闭点都属于 \(V(I)\)，且每当 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q \subset R\) 为素理想时都有 \(\rho_M(\mathfrak p) = \rho_M(\mathfrak q)\)， 由一个此处略去的初等拓扑空间论证即可得出结论。

引理 0BC5 中的提升由下一个引理可知在同构意义下唯一。

引理

设 \(R\) 为环，\(I \subset R\) 为理想。假设 \(1 + I\) 中的每个元素都是 单位元（换言之，\(I\) 包含于 \(R\) 的 Jacobson 根）。若 \(P\) 和 \(P'\) 是有限投射 \(R\)-模，则

1. 若 \(\varphi : P \to P'\) 是一个 \(R\)-模映射，并诱导同构 \(\overline{\varphi} : P/IP \to P'/IP'\)，则 \(\varphi\) 是同构；

2. 若 \(P/IP \cong P'/IP'\)，则 \(P \cong P'\)。

证明

证明 (1)。由于 \(P'\) 是投射 \(R\)-模，可选取映射 \(P' \to P'/IP' \xrightarrow{\overline{\varphi}^{-1}} P/IP\) 的一个提升 \(\psi : P' \to P\)。由 Nakayama 引理 （Algebra, Lemma 00DV）， \(\psi \circ \varphi\) 和 \(\varphi \circ \psi\) 都是满射。 因此这些映射都是同构 （Algebra, Lemma 05G8），从而 \(\varphi\) 是同构。

证明 (2)。选取同构 \(P/IP \cong P'/IP'\)。由于 \(P\) 是投射模， 可选取映射 \(P \to P/IP \to P'/IP'\) 的一个提升 \(\varphi : P \to P'\)。由 (1)，\(\varphi\) 是同构。

关于 Artin–Rees 性质的一点说明

本节部分材料取自 [conrad-dejong]。在 [Eis, Section 1] 中可以找到含有更多参考文献的一般性讨论。

设 \(A\) 为 Noether 环，\(I \subset A\) 为理想。给定有限 \(A\)-模的同态 \(f : M \to N\)，存在 \(c \geq 0\)，使得对所有 \(n \geq c\) 都有 \[f(M) \cap I^nN \subset f(I^{n - c}M)\] 见 Algebra, Lemma 00IO。在此情形下，我们称 \(c\) 对 \(f\) 的 Artin–Rees 引理有效。

引理

设 \(A\) 为 Noether 环，\(I \subset A\) 为包含于 \(A\) 的 Jacobson 根的理想。设 \[S : L \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} N \quad\text{且}\quad S' : L \xrightarrow{f'} M \xrightarrow{g'} N\] 为如上所示的两个有限 \(A\)-模复形。假设

1. \(c\) 对 \(f\) 和 \(g\) 的 Artin–Rees 引理有效；

2. 复形 \(S\) 正合；

3. \(f' = f \bmod I^{c + 1}M\) 且 \(g' = g \bmod I^{c + 1}N\)。

则 \(c\) 对 \(g'\) 的 Artin–Rees 引理有效，并且复形 \(S'\) 正合。

证明

先证明当 \(n \geq c\) 时 \(g'(M) \cap I^nN \subset g'(I^{n - c}M)\)。设 \(a\) 是 \(M\) 的元素， 满足 \(g'(a) \in I^nN\)。我们希望用 \(f'(L)\) 中的元素调整 \(a\)， 即不改变 \(g'(a)\)，使得 \(a \in I^{n-c}M\)。假设 \(a \in I^rM\)，其中 \(r < n - c\)。则 \[g(a) = g'(a) + (g - g')(a) \in I^n N + I^{r + c + 1}N = I^{r + c + 1}N.\] 由 \(g\) 的 Artin–Rees 性质，\(g(a) \in g(I^{r + 1}M)\)。设 \(g(a) = g(a_1)\)，其中 \(a_1 \in I^{r + 1}M\)。由于序列 \(S\) 正合， \(a - a_1 \in f(L)\)。相应地，对某个 \(b \in L\)，可写成 \(a = f(b) + a_1\)。于是 \(f(b) = a - a_1 \in I^rM\)。 \(f\) 的 Artin–Rees 性质表明，若 \(r \geq c\)，则可用 \(I^{r - c}L\) 中的元素替换 \(b\)。于是无论哪种情形，都有 \(a = f'(b) + a_2\)，其中 \(a_2 = (f - f')(b) + a_1 \in I^{r + 1}M\)。（确切地说，或是 \(c \geq r\)，由假设有 \((f - f')(b) \in I^{r + 1}M\)；或是 \(c < r\) 且 \(b \in I^{r - c}\)，从而仍有 \((f - f')(b) \in I^{c + 1} I^{r - c} M = I^{r + 1}M\)。） 因此可用元素 \(f'(b) \in f'(L)\) 调整 \(a\)，使 \(r\) 增加 \(1\)。

事实上，上述论证表明，对所有 \(n \geq c\)，都有 \((g')^{-1}(I^nN) \subset f'(L) + I^{n - c}M\)。因此 \(S'\) 正合，因为 \[(g')^{-1}(0) = (g')^{-1}(\bigcap I^nN) \subset \bigcap f'(L) + I^{n - c}M = f'(L)\] 这里使用了 \(I\) 包含于 \(A\) 的 Jacobson 根这一事实，见 Algebra, Lemma 00IQ。

给定环 \(A\) 的理想 \(I \subset A\) 及 \(A\)-模 \(M\)，令 \[\text{Gr}_I(M) = \bigoplus I^nM/I^{n + 1}M.\] 我们把它视为一个分次 \(\text{Gr}_I(A)\)-模。

引理

假设同引理 07VE。令 \(Q = \Coker(g)\) 和 \(Q' = \Coker(g')\)。则作为分次 \(\text{Gr}_I(A)\)-模，有 \(\text{Gr}_I(Q) \cong \text{Gr}_I(Q')\)。

证明

在次数 \(n\)，有 \(\text{Gr}_I(Q)_n = I^nN/(I^{n + 1}N + g(M) \cap I^nN)\)， \(Q'\) 的情形也类似。我们断言 \[g(M) \cap I^nN \subset I^{n + 1}N + g'(M) \cap I^nN.\] 由对称性（断言的证明只会用到 \(c\) 对 \(g\) 有效，而由引理它对 \(g'\) 也有效），这将推出 \[I^{n + 1}N + g(M) \cap I^nN = I^{n + 1}N + g'(M) \cap I^nN\] 从而 \(\text{Gr}_I(Q)_n\) 与 \(\text{Gr}_I(Q')_n\) 作为 \(N\) 的子商相同， 这就证明了引理。注意，当 \(n \leq c\) 时，由 \(g = g' \bmod I^{c + 1}N\)，断言显然成立。若 \(n > c\)，设 \(b \in g(M) \cap I^nN\)。将其写为 \(b = g(a)\)，其中 \(a \in I^{n - c}M\)。令 \(b' = g'(a)\)。于是 \(b - b' = (g - g')(a) \in I^{n + 1}N\)，正合所需。

引理

设 \(A \to B\) 是 Noether 环的平坦映射，\(I \subset A\) 为理想， \(f : M \to N\) 为有限 \(A\)-模的同态。假设 \(c\) 对 \(f\) 的 Artin–Rees 引理有效。则对于理想 \(IB\)，\(c\) 对 \(f \otimes 1 : M \otimes_A B \to N \otimes_A B\) 的 Artin–Rees 引理也有效。

证明

注意 \[(f \otimes 1)(M) \cap I^n N \otimes_A B = (f \otimes 1)\left((f \otimes 1)^{-1}(I^n N \otimes_A B)\right)\] 另一方面， \[\begin{align*} (f \otimes 1)^{-1}(I^n N \otimes_A B) & = \Ker(M \otimes_A B \to N \otimes_A B/(I^n N \otimes_A B)) \\ & = \Ker(M \otimes_A B \to (N/I^nN) \otimes_A B). \end{align*}\] 由于 \(A \to B\) 平坦，取核与余核同张量 \(B\) 可交换，故上式等于 \(f^{-1}(I^nN) \otimes_A B\)。由假设，\(f^{-1}(I^nN)\) 包含于 \(\Ker(f) + I^{n - c}M\)，引理得证。

环的纤维积 I

环的纤维积与概形的推出有关。More on Morphisms, Section 07RS 讨论了概形推出的若干情形。

引理

设 \(R\) 为环，\(A \to B\) 和 \(C \to B\) 为 \(R\)-代数映射。假设

1. \(R\) 是 Noether 环；

2. \(A\)、\(B\)、\(C\) 在 \(R\) 上为有限型；

3. \(A \to B\) 是满射；

4. \(B\) 在 \(C\) 上有限。

则 \(A \times_B C\) 在 \(R\) 上为有限型。

证明

令 \(D = A \times_B C\)。有行正合的交换图 \[\xymatrix{ 0 & B \ar[l] & A \ar[l] & I \ar[l] & 0 \ar[l] \\ 0 & C \ar[l] \ar[u] & D \ar[l] \ar[u] & I \ar[l] \ar[u] & 0 \ar[l] }\] 。选取 \(y_1, \ldots, y_n \in B\)，使其作为 \(C\)-模生成 \(B\)； 再选取映到 \(y_i\) 的 \(x_i \in A\)。于是 \(1, x_1, \ldots, x_n\) 作为 \(D\)-模生成 \(A\)。映射 \(D \to A \times C\) 是单射，而环 \(A \times C\) 作为 \(D\)-模有限 （因为它是两个有限 \(D\)-模 \(A\) 和 \(C\) 的直和）。故引理由 Artin–Tate 引理 （Algebra, Lemma 00IS）推出。

引理

设 \(R\) 为 Noether 环，\(I\) 为有限集。假设给定笛卡尔图 \[\xymatrix{ \prod B_i & \prod A_i \ar[l]^{\prod \varphi_i} \\ Q \ar[u]^{\prod \psi_i} & P \ar[u] \ar[l] }\] ，其中 \(\psi_i\) 和 \(\varphi_i\) 都是满射，且 \(Q\)、\(A_i\)、\(B_i\) 在 \(R\) 上为有限型。则 \(P\) 在 \(R\) 上为有限型。

证明

由引理 00IT 及对 \(I\) 的大小作归纳即得。 确切地说，令 \(I = I' \amalg \{i_0\}\)，并令 \(P'\) 为以 \(I'\) 代入引理中的图所定义的环。由归纳假设，\(P'\) 为有限型。 最后，\(P\) 位于纤维积图 \[\xymatrix{ B_{i_0} & A_{i_0} \ar[l] \\ P' \ar[u] & P \ar[u] \ar[l] & }\] 中，可对该图应用上述引理。

引理

假设给定环的笛卡尔图 \[\xymatrix{ R & R' \ar[l]^t \\ B \ar[u]_s & B'\ar[u] \ar[l] }\] ，即 \(B' = B \times_R R'\)。若 \(h \in B'\) 对应于 \(g \in B\) 与 \(f \in R'\)，并且 \(s(g) = t(f)\)，则图 \[\xymatrix{ R_{s(g)} = R_{t(f)} & (R')_f \ar[l]^-t \\ B_g \ar[u]_s & (B')_h \ar[u] \ar[l] }\] 也是笛卡尔图。

证明

等式 \(B' = B \times_R R'\) 表明 \[0 \to B' \to B \oplus R' \xrightarrow{s, -t} R\] 是 \(B'\)-模的正合序列。作为 \(B'\)-模，有 \(B_g = B_h\)、\(R'_f = R'_h\) 和 \(R_{s(g)} = R_{t(f)} = R_h\)。 由局部化的正合性 （Algebra, Proposition 00CS），得到正合序列 \[0 \to B'_h \to B_g \oplus R'_f \xrightarrow{s, -t} R_{s(g)} = R_{t(f)}\] 这就证明了引理。

考虑环的交换图 \[\xymatrix{ R & R' \ar[l] \\ B \ar[u] & B' \ar[u] \ar[l] }\] 。考虑函子（其中范畴的纤维积按 Categories, Example 003R 中的方式构造） [0D2E]\[\begin{equation} \text{Mod}_{B'} \longrightarrow \text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_R} \text{Mod}_{R'},\quad L' \longmapsto (L' \otimes_{B'} B, L' \otimes_{B'} R', can) \end{equation}\] ，其中 \(can\) 是规范等同 \(L' \otimes_{B'} B \otimes_B R = L' \otimes_{B'} R' \otimes_{R'} R\)。 下文以 \((N, M', \varphi)\) 表示右端的对象，即 \(N\) 是 \(B\)-模， \(M'\) 是 \(R'\)-模，而 \(\varphi : N \otimes_B R \to M' \otimes_{R'} R\) 是同构。

引理

给定环的交换图 \[\xymatrix{ R & R' \ar[l] \\ B \ar[u] & B' \ar[u] \ar[l] }\] ，函子 (0D2E) 有右伴随，即函子 \[F : (N, M', \varphi) \longmapsto N \times_\varphi M'\] （具体说明见证明）。

证明

给定范畴 \(\text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_R} \text{Mod}_{R'}\) 的对象 \((N, M', \varphi)\)，令 \[N \times_\varphi M' = \{(n, m') \in N \times M' \mid \varphi(n \otimes 1) = m' \otimes 1\text{ 于 }M' \otimes_{R'} R\}\] 并将其视为 \(B'\)-模。伴随性断言是：对 \(B'\)-模 \(L'\) 和三元组 \((N, M', \varphi)\)，有 \[\Hom_{B'}(L', N \times_\varphi M') = \Hom_B(L' \otimes_{B'} B, N) \times_{\Hom_R(L' \otimes_{B'} R, M' \otimes_{R'} R)} \Hom_{R'}(L' \otimes_{B'} R', M')\] 由 Algebra, Lemma 05DQ， 右端等于 \[\Hom_{B'}(L', N) \times_{\Hom_{B'}(L', M' \otimes_{R'} R)} \Hom_{B'}(L', M')\] 因此很清楚，对此纤维积中的一对元素 \((g, f')\)，可得到 \(B'\)-线性映射 \(L' \to N \times_\varphi M'\)，\(l' \mapsto (g(l'), f'(l'))\)。 反之，给定 \(B'\)-线性映射 \(g' : L' \to N \times_\varphi M'\)， 可令 \(g\) 为复合 \(L' \to N \times_\varphi M' \to N\)，令 \(f'\) 为复合 \(L' \to N \times_\varphi M' \to M'\)。 这些构造互为逆，并定义所需同构。

环的纤维积 II

本节讨论如下情形中的纤维积。

情形

下文考虑环映射 \[\xymatrix{ B \ar[r] & A & A' \ar[l] }\] ，其中假设 \(A' \to A\) 是核为 \(I\) 的满射。在此情形中，令 \(B' = B \times_A A'\)，从而得到笛卡尔方块 \[\xymatrix{ A & A' \ar[l] \\ B \ar[u] & B' \ar[l] \ar[u] }\] 。

引理

在情形 08KH 中，作为拓扑空间有 \[\Spec(B') = \Spec(B) \amalg_{\Spec(A)} \Spec(A')\]

证明

由 \(B' = B \times_A A'\)，得到谱的一个交换方块。由于源是拓扑空间范畴中的 推出（它由 Topology, Section 0B1W 存在）， 该方块诱导连续映射 \[can : \Spec(B) \amalg_{\Spec(A)} \Spec(A') \longrightarrow \Spec(B')\]

为证明映射 \(can\) 是满射，设 \(\mathfrak q' \subset B'\) 为素理想。 若 \(I \subset \mathfrak q'\)（此处及下文，我们也把 \(I\) 视为 \(B'\) 的理想， 而不仅是 \(A'\) 的理想），则 \(\mathfrak q'\) 对应于 \(B\) 的一个素理想，因而 属于像。否则，选取 \(h \in I\) 且 \(h \not \in \mathfrak q'\)。此时 \(B_h = A_h = 0\)，并且环映射 \(B'_h \to A'_h\) 是同构，见 引理 01Z8。因此 \(\mathfrak q'\) 对应于 不包含 \(I\) 的唯一素理想 \(\mathfrak p' \subset A'\)。

由于 \(B' \to B\) 是满射，\(can\) 在分支 \(\Spec(B)\) 上是单射。 上面已经看到，\(\Spec(A') \to \Spec(B')\) 在 \(V(I) \subset \Spec(A')\) 的补集上是单射。又因为 \(V(I) \subset \Spec(A')\) 恰为 \(\Spec(A) \to \Spec(A')\) 的像， 一个平凡的集合论论证表明 \(can\) 是单射。

最后还需证明 \(can\) 是开映射。为此，注意推出中的开集形如 \(V \amalg U'\)，其中 \(V \subset \Spec(B)\) 与 \(U' \subset \Spec(A')\) 为开集，且它们在 \(\Spec(A)\) 中的逆像相同。 设 \(v \in V\)。可选取 \(g \in B\)，使得 \(v \in D(g) \subset V\)。 令 \(f \in A\) 为其像，并选取映到 \(f\) 的 \(f' \in A'\)。则 \(D(f') \cap U' \cap V(I) = D(f') \cap V(I)\)。 因此 \(V(I) \cap D(f')\) 与 \(D(f') \cap (U')^c\) 是 \(D(f') = \Spec(A'_{f'})\) 中互不相交的闭子集。对某个理想 \(J \subset A'\)，写 \((U')^c = V(J)\)。由刚证明的不相交性， 映射 \(A'_{f'} \to A'_{f'}/IA'_{f'} \times A'_{f'}/JA'_{f'}\) 是满射，故可选取 \(a'' \in A'_{f'}\)，使其在 \(A'_{f'}/IA'_{f'}\) 中映到 \(1\)，在 \(A'_{f'}/JA'_{f'}\) 中映到零。清除分母后，得到 \(a' \in J\)，它在 \(A\) 中映到 \(f^n\)。 于是 \(D(a'f') \subset U'\)。令 \(h' = (g^{n + 1}, a'f') \in B'\)。由先前引用的引理， \(B'_{h'} = B_{g^{n + 1}} \times_{A_{f^{n + 1}}} A'_{a'f'}\)， 故 \(D(h')\) 在推出中的逆像是 \(v\) 的一个开邻域；换言之， \(V \amalg U'\) 的像包含 \(v\) 的像的一个开邻域。对于 \(u' \in U'\) 且 \(u' \not \in V(I)\) 的情形，结论也成立，其较为容易的证明略去。

引理

在情形 08KH 中，若 \(B \to A\) 是整映射，则 \(B' \to A'\) 是整映射。

证明

设 \(a' \in A'\)，其像为 \(a \in A\)。设 \(x^d + b_1 x^{d - 1} + \ldots + b_d\) 是系数在 \(B\) 中且以 \(a\) 为根的首一多项式。选取映到 \(b_i \in B\) 的 \(b'_i \in B'\) （这是可能的）。于是 \((a')^d + b'_1 (a')^{d - 1} + \ldots + b'_d\) 属于 \(A' \to A\) 的核。由于 \(\Ker(B' \to B) = \Ker(A' \to A)\)，可修改 \(b'_d\) 的选择，使得 \((a')^d + b'_1 (a')^{d - 1} + \ldots + b'_d = 0\)，正合所需。

在情形 08KH 中，我们希望借助 \(A'\)、\(A\) 与 \(B\) 上的模来理解 \(B'\)-模。为此考虑函子 （其中范畴的纤维积按 Categories, Example 003R 中的方式构造） [08KI]\[\begin{equation} \text{Mod}_{B'} \longrightarrow \text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_A} \text{Mod}_{A'},\quad L' \longmapsto (L' \otimes_{B'} B, L' \otimes_{B'} A', can) \end{equation}\] ，其中 \(can\) 是规范等同 \(L' \otimes_{B'} B \otimes_B A = L' \otimes_{B'} A' \otimes_{A'} A\)。 下文以 \((N, M', \varphi)\) 表示右端的对象，即 \(N\) 是 \(B\)-模， \(M'\) 是 \(A'\)-模，而 \(\varphi : N \otimes_B A \to M' \otimes_{A'} A\) 是同构。 不过，把 \(\varphi\) 看成 \(B\)-线性映射 \(\varphi : N \to M'/IM'\) 往往更为方便；它诱导同构 \(N \otimes_B A \to M' \otimes_{A'} A = M'/IM'\)。

引理

在情形 08KH 中， 函子 (08KI) 有右伴随，即函子 \[F : (N, M', \varphi) \longmapsto N \times_{\varphi, M} M'\] 其中 \(M = M'/IM'\)。此外，\(F\) 与 (08KI) 的复合 是 \(\text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_A} \text{Mod}_{A'}\) 上的恒等函子。换言之，令 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\)，则 \(N' \otimes_{B'} B = N\) 且 \(N' \otimes_{B'} A' = M'\)。

证明

伴随性断言由更一般的引理 0D2F 推出。 为证明最后一个断言，回忆 \(B' = B \times_A A'\) 和 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\)， 并把这些等式扩充为 \[\vcenter{ \xymatrix{ A & A' \ar[l] & I \ar[l] \\ B \ar[u] & B' \ar[l] \ar[u] & J \ar[l] \ar[u] } } \quad\text{且}\quad \vcenter{ \xymatrix{ M & M' \ar[l] & K \ar[l] \\ N \ar[u]_\varphi & N' \ar[l] \ar[u] & L \ar[l] \ar[u] } }\] ，其中 \(I, J, K, L\) 分别是原来两个图中各水平映射的核。 把证明列为一系列观察：

1. \(K = IM'\)（见引理的陈述）；

2. \(B' \to B\) 是核为 \(J\) 的满射，且 \(J \to I\) 是双射；

3. \(N' \to N\) 是核为 \(L\) 的满射，且 \(L \to K\) 是双射；

4. \(JN' \subset L\)；

5. \(\Im(N \to M)\) 作为 \(A\)-模生成 \(M\) （因为 \(N \otimes_B A = M\)）；

6. \(\Im(N' \to M')\) 作为 \(A'\)-模生成 \(M'\) （因为模 \(K\) 后这一点成立，且 \(L\) 同构地映到 \(K\)）；

7. \(JN' = L\)（因为由上一项，\(L \cong K = I M'\) 由形如 \(x n'\) 的元素的像生成，其中 \(x \in I\) 且 \(n' \in N'\)）；

8. \(N' \otimes_{B'} B = N\)（因为 \(N = N'/L\)、\(B = B'/J\) 及上一项）；

9. 存在映射 \(\gamma : N' \otimes_{B'} A' \to M'\)；

10. \(\gamma\) 是满射（见上文）；

11. 复合映射 \(N' \otimes_{B'} A' \to M' \to M\) 的核 由形如 \(l \otimes 1\) 和 \(n' \otimes x\) 的元素生成，其中 \(l \in K\)、\(n' \in N'\)、\(x \in I\)（因为由假设 \(M = N \otimes_B A\)，并且 \(N' \to N\) 与 \(A' \to A\) 分别是核为 \(L\) 和 \(I\) 的满射）；

12. \(N' \otimes_{B'} A'\) 中由形如 \(l \otimes 1\) 和 \(n' \otimes x\) 的元素生成的子模的任意元素， 其中 \(l \in L\)、\(n' \in N'\)、\(x \in I\)，都可写成某个 \(l \in L\) 的 \(l \otimes 1\)（因为 \(J\) 同构地映到 \(I\)， 在 \(N' \otimes_{B'} A'\) 中有 \(n' \otimes x = n'x \otimes 1\)；类似地，当 \(n' \in N'\)、\(x \in J\)、\(a' \in A'\) 时，有 \(x n' \otimes a' = n' \otimes xa' = n'(xa') \otimes 1\)； 该等式成立于 \(N' \otimes_{B'} A'\) 中； 再由已经证明的 \(JN' = L\)，便得断言）；

13. \(\gamma\) 的核为零（因为由 (10) 和 (11)，核的每个元素都形如 \(l \otimes 1\)，其中 \(l \in L\)，而 \(\gamma\) 将它映到 \(l \in K \subset M'\)）。

证明完成。

引理

在引理 07RU 的情形中，对 \(B'\)-模 \(L'\)，伴随映射 \[L' \longrightarrow (L' \otimes_{B'} B) \times_{(L' \otimes_{B'} A)} (L' \otimes_{B'} A')\] 是满射，但一般不是单射。

证明

与引理 07RU 的证明相同，令 \(J \subset B'\) 为映射 \(B' \to B\) 的核。则 \(L' \otimes_{B'} B = L'/JL'\)。因此，为证明满性，只需说明纤维积中 形如 \((0, z)\) 的元素属于该引理映射的像。 映射 \(L' \otimes_{B'} A' \to L' \otimes_{B'} A\) 的核是 \(L' \otimes_{B'} I \to L' \otimes_{B'} A'\) 的像。 由于 \(B' \to A'\) 诱导的映射 \(J \to I\) 是同构，复合 \[L' \otimes_{B'} J \to L' \to (L' \otimes_{B'} B) \times_{(L' \otimes_{B'} A)} (L' \otimes_{B'} A')\] 将 \(L' \otimes_{B'} J\) 满射到形如 \((0, z)\) 的元素集合。 为看出此映射一般不是单射，给出一个简单例子。取域 \(k\)，令 \(B' = k[x, y]/(xy)\)、\(A' = B'/(x)\)、\(B = B'/(y)\)、 \(A = B'/(x, y)\) 以及 \(L' = B'/(x - y)\)。此时 \(L'\) 中 \(x\) 的类非零，但在上面展示的箭头下映到零。

引理

在情形 08KH 中，设 \((N_1, M'_1, \varphi_1) \to (N_2, M'_2, \varphi_2)\) 是 \(\text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_A} \text{Mod}_{A'}\) 中的态射，并且 \(N_1 \to N_2\) 和 \(M'_1 \to M'_2\) 都是满射。则 \[N_1 \times_{\varphi_1, M_1} M'_1 \to N_2 \times_{\varphi_2, M_2} M'_2\] 是满射，其中 \(M_1 = M'_1/IM'_1\) 且 \(M_2 = M'_2/IM'_2\)。

证明

选取 \((x_2, y_2) \in N_2 \times_{\varphi_2, M_2} M'_2\)。 选取映到 \(x_2\) 的 \(x_1 \in N_1\)。由于 \(M'_1 \to M_1\) 是满射， 可选取映到 \(\varphi_1(x_1)\) 的 \(y_1 \in M'_1\)。于是 \((x_1, y_1)\) 在 \(N_2 \times_{\varphi_2, M_2} M'_2\) 中映到 \((x_2, y'_2)\)。因此只需证明形如 \((0, y_2)\) 的元素属于该映射的像。 这里 \(y_2 \in IM'_2\)。写 \(y_2 = \sum t_i y_{2, i}\)，其中 \(t_i \in I\)。选取映到 \(y_{2, i}\) 的 \(y_{1, i} \in M'_1\)。于是 \(y_1 = \sum t_iy_{1, i} \in IM'_1\)，而元素 \((0, y_1)\) 满足要求。

引理

设 \(A, A', B, B', I, M, M', N, \varphi\) 如引理 07RU。若 \(N\) 在 \(B\) 上有限，且 \(M'\) 在 \(A'\) 上有限，则 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\) 在 \(B'\) 上有限。

证明

下文将不再说明地使用引理 07RU 的结论。选取 \(N\) 在 \(B\) 上的一组生成元 \(y_1, \ldots, y_r\)， 以及 \(M'\) 在 \(A'\) 上的一组生成元 \(x_1, \ldots, x_s\)。 利用 \(N = N' \otimes_{B'} B\) 以及 \(B' \to B\) 为满射， 可选取 \(u_1, \ldots, u_r \in N'\)，它们在 \(N\) 中分别映到 \(y_1, \ldots, y_r\)。利用 \(M' = N' \otimes_{B'} A'\)， 可选取 \(v_1, \ldots, v_t \in N'\)，使得对某些 \(a'_{ij} \in A'\) 有 \(x_i = \sum v_j \otimes a'_{ij}\)。 特别地，\(v_j\) 的像 \(\overline{v}_j \in M'\) 作为 \(A'\)-模生成 \(M'\)。 我们断言 \(u_1, \ldots, u_r, v_1, \ldots, v_t\) 作为 \(B'\)-模生成 \(N'\)。事实上，取 \(\xi \in N'\)。 先选取 \(b'_1, \ldots, b'_r \in B'\)，使得 \(\xi\) 与 \(\sum b'_i u_i\) 在 \(N\) 中映到同一个元素。这是可能的，因为 \(B' \to B\) 是满射，且 \(y_1, \ldots, y_r\) 在 \(B\) 上生成 \(N\)。 差 \(\xi - \sum b'_i u_i\) 形如 \((0, \theta)\)，其中某个 \(\theta\) 属于 \(IM'\)。设 \(\theta\) 为 \(\sum t_j\overline{v}_j\)，其中 \(t_j \in I\)。由于 \(J = \Ker(B' \to B)\) 同构地映到 \(I\)， 可选取映到 \(t_j\) 的 \(s_j \in J \subset B'\)。 由 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\)，得到 \(\xi = \sum b'_i u_i + \sum s_j v_j\)，正合所需。

引理

设 \(A, A', B, B', I\) 如情形 08KH。

1. 设 \((N, M', \varphi)\) 是 \(\text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_A} \text{Mod}_{A'}\) 的对象。 若 \(M'\) 在 \(A'\) 上平坦，且 \(N\) 在 \(B\) 上平坦，则 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\) 在 \(B'\) 上平坦。

2. 若 \(L'\) 是平坦 \(B'\)-模，则 \(L' = (L \otimes_{B'} B) \times_{(L \otimes_{B'} A)} (L \otimes_{B'} A')\)。

3. 平坦 \(B'\)-模的范畴等价于 \(\text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_A} \text{Mod}_{A'}\) 的满子范畴；该满子范畴由满足 \(N\) 在 \(B\) 上平坦且 \(M'\) 在 \(A'\) 上平坦的三元组 \((N, M', \varphi)\) 组成。

证明

证明中将不再说明地使用引理 07RU。

证明 (1)。令 \(J = \Ker(B' \to B)\)。这是 \(B'\) 的理想，并同构地映到 \(I = \Ker(A' \to A)\)。设 \(\mathfrak b' \subset B'\) 为理想。 必须证明 \(\mathfrak b' \otimes_{B'} N' \to N'\) 是单射，见 Algebra, Lemma 00HD。我们知道 \[\mathfrak b'/(\mathfrak b' \cap J) \otimes_{B'} N' = \mathfrak b'/(\mathfrak b' \cap J) \otimes_B N \to N\] 是单射，因为 \(N\) 在 \(B\) 上平坦。由于 \(\mathfrak b' \cap J \to \mathfrak b' \to \mathfrak b'/(\mathfrak b' \cap J) \to 0\) 正合，可知只需证明 \((\mathfrak b' \cap J) \otimes_{B'} N' \to N'\) 是单射。 因此可假设 \(\mathfrak b' \subset J\)。其次，由于 \(J \to I\) 是同构，有 \[J \otimes_{B'} N' = I \otimes_{A'} A' \otimes_{B'} N' = I \otimes_{A'} M'\] 而它单射地映入 \(M'\)，因为 \(M'\) 是平坦 \(A'\)-模。因此 \(J \otimes_{B'} N' \to N'\) 是单射，从而 \(\text{Tor}_1^{B'}(B'/J, N') = 0\)，见 Algebra, Remark 00M6。 于是可将 Algebra, Lemma 051C 应用于 \(B'\) 上的 \(N'\) 及理想 \(J\)。 回到理想 \(\mathfrak b' \subset J\)，令 \(\mathfrak b' \subset \mathfrak b'' \subset J\) 为其像在 \(I\) 中 是 \(I\) 的一个 \(A'\)-子模的最小理想。换言之，若把 \(J = I\) 视为 \(A'\)-模，则 \(\mathfrak b'' = A' \mathfrak b'\)。于是 \(\mathfrak b''/\mathfrak b'\) 被 \(J\) 零化，并且由应用上述引理所得的 \(\text{Tor}_1^{B'}(\mathfrak b''/\mathfrak b', N')\) 的消失，得到短正合序列 \[0 \to \mathfrak b' \otimes_{B'} N' \to \mathfrak b'' \otimes_{B'} N' \to \mathfrak b''/\mathfrak b' \otimes_{B'} N' \to 0\] 因此可用 \(\mathfrak b''\) 代替 \(\mathfrak b'\)。特别地，可假设 \(\mathfrak b'\) 是 \(A'\)-模，并映到 \(A'\) 的一个理想。此时 \[\mathfrak b' \otimes_{B'} N' = \mathfrak b' \otimes_{A'} A' \otimes_{B'} N' = \mathfrak b' \otimes_{A'} M'\] 由 \(M'\) 在 \(A'\) 上平坦这一假设，该张量积单射地映入 \(M'\)。 由此得到 \(\mathfrak b' \otimes_{B'} N' \to N' \to M'\) 是单射， 故第一个映射如所需也是单射。

证明 (2)。将短正合序列 \(0 \to B' \to B \oplus A' \to A \to 0\) 在 \(B'\) 上与 \(L'\) 张量即可。

证明 (3)。这是 (1) 与 (2) 的直接推论。

引理

设 \(A, A', B, B', I\) 如情形 08KH。有限投射 \(B'\)-模的范畴 等价于 \(\text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_A} \text{Mod}_{A'}\) 的满子范畴；该满子范畴由满足 \(N\) 在 \(B\) 上有限投射且 \(M'\) 在 \(A'\) 上有限投射的三元组 \((N, M', \varphi)\) 组成。

证明

回忆模有限投射当且仅当它有限表示且平坦，见 Algebra, Lemma 00NX。 利用引理 0D2I 和 0D2H，问题归结为证明： 若 \(N\) 在 \(B\) 上有限投射，且 \(M'\) 在 \(A'\) 上有限投射，则 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\) 是有限表示的 \(B'\)-模。

由引理 0D2H，模 \(N'\) 在 \(B'\) 上有限。选取核为 \(K'\) 的满射 \((B')^{\oplus n} \to N'\)。基变换给出映射 \(B^{\oplus n} \to N\)、\((A')^{\oplus n} \to M'\) 和 \(A^{\oplus n} \to M\)，其核分别为 \(K_B\)、\(K_{A'}\) 和 \(K_A\)。 存在规范映射 \[K' \longrightarrow K_B \times_{K_A} K_{A'}\] 另一方面，由 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\) 及 \(B' = B \times_A A'\)，也存在规范映射 \(K_B \times_{K_A} K_{A'} \to K'\)，它是上述箭头的逆。 故所展示的映射是同构。由 Algebra, Lemma 0519，模 \(K_B\) 与 \(K_{A'}\) 都有限。由引理 0D2H 可知，只要 \(K_B \to K_A\) 与 \(K_{A'} \to K_A\) 诱导同构 \(K_B \otimes_B A = K_A = K_{A'} \otimes_{A'} A\)， \(K'\) 就是有限 \(B'\)-模。这一点成立，因为平坦性假设蕴含序列 \[0 \to K_B \to B^{\oplus n} \to N \to 0 \quad\text{且}\quad 0 \to K_{A'} \to (A')^{\oplus n} \to M' \to 0\] 在张量后仍然正合，见 Algebra, Lemma 00HL。

环的纤维积 III

本节讨论如下情形中的纤维积。

情形

设 \(A, A', B, B', I\) 如情形 08KH。设 \(B' \to D'\) 为环映射。 令 \(D = D' \otimes_{B'} B\)、 \(C' = D' \otimes_{B'} A'\) 和 \(C = D' \otimes_{B'} A\)。 由此得到环的一个大交换图 \[\xymatrix{ C & & & C' \ar[lll] \\ & A \ar[ul] & A' \ar[l] \ar[ru] \\ & B \ar[u] \ar[ld] & B' \ar[l] \ar[u] \ar[rd] \\ D \ar[uuu] & & & D' \ar[lll] \ar[uuu] }\] 。注意，我们不假设映射 \(D' \to D \times_C C'\) 是同构 ¹。 在此情形中，有与 (08KI) 类似的函子 [08KL]\[\begin{equation} \text{Mod}_{D'} \longrightarrow \text{Mod}_D \times_{\text{Mod}_C} \text{Mod}_{C'},\quad L' \longmapsto (L' \otimes_{D'} D, L' \otimes_{D'} C', can). \end{equation}\] 注意 \(L' \otimes_{D'} D = L \otimes_{D'} (D' \otimes_{B'} B) = L \otimes_{B'} B\) 以及类似地 \(L' \otimes_{D'} C' = L \otimes_{D'} (D' \otimes_{B'} A') = L \otimes_{B'} A'\)， 故图 \[\xymatrix{ \text{Mod}_{D'} \ar[r] \ar[d] & \text{Mod}_D \times_{\text{Mod}_C} \text{Mod}_{C'} \ar[d] \\ \text{Mod}_{B'} \ar[r] & \text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_A} \text{Mod}_{A'} }\] 交换。下文以 \((N, M', \varphi)\) 表示 \(\text{Mod}_D \times_{\text{Mod}_C} \text{Mod}_{C'}\) 的一个对象， 即 \(N\) 是 \(D\)-模，\(M'\) 是 \(C'\)-模，而 \(\varphi : N \otimes_B A \to M' \otimes_{A'} A\) 是 \(C\)-模同构。 不过，把 \(\varphi\) 看成 \(D\)-线性映射 \(\varphi : N \to M'/IM'\) 往往更为方便；它诱导同构 \(N \otimes_B A \to M' \otimes_{A'} A = M'/IM'\)。

引理

在情形 08KK 中， 函子 (08KL) 有右伴随，即函子 \[F : (N, M', \varphi) \longmapsto N \times_{\varphi, M} M'\] ，其中 \(M = M'/IM'\)。此外，\(F\) 与 (08KL) 的复合是 \(\text{Mod}_D \times_{\text{Mod}_C} \text{Mod}_{C'}\) 上的恒等函子。换言之，令 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\)，则 \(N' \otimes_{D'} D = N\) 且 \(N' \otimes_{D'} C' = M'\)。

证明

伴随性断言由更一般的引理 0D2F 推出。 最后一个断言由引理 07RU 中的相应断言推出，因为 \(N' \otimes_{D'} D = N' \otimes_{D'} D' \otimes_{B'} B = N' \otimes_{B'} B\) 且 \(N' \otimes_{D'} C' = N' \otimes_{D'} D' \otimes_{B'} A' = N' \otimes_{B'} A'\)。

引理

在情形 08KK 中，映射 \(JD' \to IC'\) 是满射，其中 \(J = \Ker(B' \to B)\)。

证明

由于 \(C' = D' \otimes_{B'} A'\)，\(IC'\) 是映射 \(D' \otimes_{B'} I = C' \otimes_{A'} I \to C'\) 的像。 环映射 \(B' \to A'\) 诱导同构 \(J \to I\)，故结论成立。

引理

设 \(A, A', B, B', C, C', D, D', I, M', M, N, \varphi\) 如引理 08KM。 若 \(N\) 在 \(D\) 上有限，且 \(M'\) 在 \(C'\) 上有限，则 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\) 在 \(D'\) 上有限。

证明

回忆由引理 08IG， \(D' \to D \times_C C'\) 是满射。注意 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\) 是 \(D \times_C C'\) 上的模。 把引理 0D2H 应用于数据 \(C, C', D, D', IC', M', M, N, \varphi\)，可见 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\) 在 \(D \times_C C'\) 上有限， 故在 \(D'\) 上也有限。

引理

设 \(A, A', B, B', C, C', D, D', I\) 如情形 08KK。

1. 设 \((N, M', \varphi)\) 是 \(\text{Mod}_D \times_{\text{Mod}_C} \text{Mod}_{C'}\) 的对象。 若 \(M'\) 在 \(A'\) 上平坦，且 \(N\) 在 \(B\) 上平坦，则 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\) 在 \(B'\) 上平坦。

2. 若 \(L'\) 是在 \(B'\) 上平坦的 \(D'\)-模，则 \(L' = (L \otimes_{D'} D) \times_{(L \otimes_{D'} C)} (L \otimes_{D'} C')\)。

3. 在 \(B'\) 上平坦的 \(D'\)-模的范畴等价于 \(\text{Mod}_D \times_{\text{Mod}_C} \text{Mod}_{C'}\) 中满足 \(N\) 在 \(B\) 上平坦且 \(M'\) 在 \(A'\) 上平坦的对象 \((N, M', \varphi)\) 所成的范畴。

证明

第 (1) 项由引理 0D2I 的第 (1) 项推出。

第 (2) 项由引理 0D2I 的第 (2) 项推出；这里使用 \(L' \otimes_{D'} D = L' \otimes_{B'} B\)、 \(L' \otimes_{D'} C' = L' \otimes_{B'} A'\) 以及 \(L' \otimes_{D'} C = L' \otimes_{B'} A\)，见情形 08KK 中的讨论。

第 (3) 项是 (1) 与 (2) 的直接推论。

下面的引理比其绝对情形中的对应结论 （引理 0D2J） 有趣得多，尽管证明本质上相同。

引理

设 \(A, A', B, B', C, C', D, D', I, M', M, N, \varphi\) 如引理 08KM。若

1. \(N\) 在 \(D\) 上有限表示，并在 \(B\) 上平坦；

2. \(M'\) 在 \(C'\) 上有限表示，并在 \(A'\) 上平坦；

3. 环映射 \(B' \to D'\) 可分解为 \(B' \to D'' \to D'\)， 其中 \(B' \to D''\) 平坦，而 \(D'' \to D'\) 为有限表示；

则 \(N' = N \times_M M'\) 在 \(D'\) 上有限表示。

证明

选取核为有限生成理想 \(J\) 的满射 \(D''' = D''[x_1, \ldots, x_n] \to D'\)。 由 Algebra, Lemma 0564， 只需证明 \(N'\) 作为 \(D'''\)-模有限表示。此外， \(D''' \otimes_{B'} B \to D' \otimes_{B'} B = D\) 以及 \(D''' \otimes_{B'} A' \to D' \otimes_{B'} A' = C'\) 都是满射， 其核由 \(J\) 的像生成。因此，再次应用 Algebra, Lemma 0564， \(N\) 是有限表示的 \(D''' \otimes_{B'} B\)-模，而 \(M'\) 是有限表示的 \(D''' \otimes_{B'} A'\)-模。 故可用 \(D'''\) 代替 \(D'\)，并用 \(D''' \otimes_{B'} B\) 代替 \(D\)，其余类似。由于 \(D'''\) 在 \(B'\) 上平坦， 可归结到 \(B' \to D'\) 平坦的情形。

假设 \(B' \to D'\) 平坦。由引理 08IH， 模 \(N'\) 在 \(D'\) 上有限。选取核为 \(K'\) 的满射 \((D')^{\oplus n} \to N'\)。基变换给出映射 \(D^{\oplus n} \to N\)、\((C')^{\oplus n} \to M'\) 和 \(C^{\oplus n} \to M\)，其核分别为 \(K_D\)、\(K_{C'}\) 和 \(K_C\)。 存在规范映射 \[K' \longrightarrow K_D \times_{K_C} K_{C'}\] 。另一方面，由于 \(N' = N \times_M M'\)，且 \(D' = D \times_C C'\)（把引理 0D2I 应用于平坦 \(B'\)-模 \(D'\)）， 还存在规范映射 \(K_D \times_{K_C} K_{C'} \to K'\)， 它是所展示箭头的逆。故该映射是同构。 由 Algebra, Lemma 0519， 模 \(K_D\) 与 \(K_{C'}\) 都有限。由引理 08IH，只要 \(K_D \to K_C\) 与 \(K_{C'} \to K_C\) 诱导同构 \(K_D \otimes_B A = K_C = K_{C'} \otimes_{A'} A\)， \(K'\) 就是有限 \(D'\)-模。这一点成立，因为平坦性假设蕴含序列 \[0 \to K_D \to D^{\oplus n} \to N \to 0 \quad\text{且}\quad 0 \to K_{C'} \to (C')^{\oplus n} \to M' \to 0\] 在张量后仍然正合，见 Algebra, Lemma 00HL。

引理

设 \(A, A', B, B', I\) 如情形 08KH。设 \((D, C', \varphi)\) 是由一个 \(B\)-代数 \(D\)、一个 \(A'\)-代数 \(C'\) 以及一个同构 \(D \otimes_B A \to C'/IC' = C\) 所组成的系统。令 \(D' = D \times_C C'\)（如引理 07RU）。则

1. \(B' \to D'\) 为有限型，当且仅当 \(B \to D\) 与 \(A' \to C'\) 为有限型；

2. \(B' \to D'\) 平坦，当且仅当 \(B \to D\) 与 \(A' \to C'\) 平坦；

3. \(B' \to D'\) 平坦且为有限表示，当且仅当 \(B \to D\) 与 \(A' \to C'\) 平坦且为有限表示；

4. \(B' \to D'\) 光滑，当且仅当 \(B \to D\) 与 \(A' \to C'\) 光滑；

5. \(B' \to D'\) 是 étale 的，当且仅当 \(B \to D\) 与 \(A' \to C'\) 是 étale 的。

此外，若 \(D'\) 是平坦 \(B'\)-代数，则 \(D' \to (D' \otimes_{B'} B) \times_{(D' \otimes_{B'} A)} (D' \otimes_{B'} A')\) 是同构。如此，平坦 \(B'\)-代数的范畴等价于上述系统 \((D, C', \varphi)\) 所成的范畴，其中 \(D\) 在 \(B\) 上平坦，而 \(C'\) 在 \(A'\) 上平坦。

证明

蕴含关系“\(\Rightarrow\)”由下列引理推出： Algebra, Lemmas 05G5, 00HI, 00T4, and 00U2；这是因为由引理 07RU 有 \(D' \otimes_{B'} B = D\) 及 \(D' \otimes_{B'} A' = C'\)。 因此只需证明反方向的蕴含关系。

关于 (1)。假设 \(D\) 在 \(B\) 上为有限型，且 \(C'\) 在 \(A'\) 上为有限型。 下文将不再说明地使用引理 07RU 的结论。 选取 \(D\) 在 \(B\) 上的一组生成元 \(x_1, \ldots, x_r\)， 以及 \(C'\) 在 \(A'\) 上的一组生成元 \(y_1, \ldots, y_s\)。 利用 \(D = D' \otimes_{B'} B\) 以及 \(B' \to B\) 为满射， 可选取 \(u_1, \ldots, u_r \in D'\)，它们在 \(D\) 中分别映到 \(x_1, \ldots, x_r\)。利用 \(C' = D' \otimes_{B'} A'\)， 可选取 \(v_1, \ldots, v_t \in D'\)，使得对某些 \(a'_{ij} \in A'\) 有 \(y_i = \sum v_j \otimes a'_{ij}\)。 特别地，\(v_j\) 在 \(C'\) 中的像作为 \(A'\)-代数生成 \(C'\)。 令 \(N = r + t\)，并考虑环的立方图 \[\xymatrix{ A[x_1, \ldots, x_N] & & A'[x_1, \ldots, x_N] \ar[ll] \\ & A \ar[lu] & & A' \ar[ll] \ar[lu] \\ B[x_1, \ldots, x_N] \ar[uu] & & B'[x_1, \ldots, x_N] \ar[uu] \ar[ll] \\ & B \ar[uu] \ar[lu] & & B' \ar[ll] \ar[uu] \ar[lu] }\] 。注意后面的方块也是笛卡尔方块。考虑环映射 \[B'[x_1, \ldots, x_N] \to D',\quad x_i \mapsto u_i \quad\text{且}\quad x_{r + j} \mapsto v_j.\] 于是所诱导的映射 \(B[x_1, \ldots, x_N] \to D\) 与 \(A'[x_1, \ldots, x_N] \to C'\) 都是满射，特别地都是有限映射。 由引理 08IH， \(B'[x_1, \ldots, x_N] \to D'\) 是有限映射。因而 \(D'\) 在 \(B'\) 上为有限型，例如可由 Algebra, Lemma 00F4 得到。

关于 (2)。蕴含关系“\(\Leftarrow\)”由引理 07RW 推出。 此外，最后一个断言由引理 07RW 的最后一个断言推出。

关于 (3)。假设 \(B \to D\) 和 \(A' \to C'\) 平坦且为有限表示。 \(B' \to D'\) 的平坦性已经在 (2) 中得到。由 (1)， \(B' \to D'\) 为有限型。选取满射 \(B'[x_1, \ldots, x_N] \to D'\)。 由 Algebra, Lemma 00R2，环 \(D\) 作为 \(B[x_1, \ldots, x_N]\)-模有限表示，而环 \(C'\) 作为 \(A'[x_1, \ldots, x_N]\)-模有限表示。 由引理 08KP， \(D'\) 作为 \(B'[x_1, \ldots, x_N]\)-模有限表示，即 \(B' \to D'\) 为有限表示。

关于 (4)。假设 \(B \to D\) 与 \(A' \to C'\) 光滑。由 (3)， \(B' \to D'\) 平坦且为有限表示。由 Algebra, Lemma 00TF，只需对 \(B'\) 上任意域 \(k\) 验证 \(D' \otimes_{B'} k\) 光滑。若复合 \(J \to B' \to k\) 为零， 则 \(B' \to k\) 分解为 \(B' \to B \to k\)，且 \[D' \otimes_{B'} k = D' \otimes_{B'} B \otimes_B k = D \otimes_B k\] 光滑，因为 \(B \to D\) 光滑。若复合 \(J \to B' \to k\) 非零， 则存在 \(h \in J\)，其在 \(k\) 中的像非零。于是 \(B' \to k\) 分解为 \(B' \to B'_h \to k\)。注意 \(h\) 在 \(B\) 中映到零，故 \(B_h = 0\)。因此由引理 01Z8， \(B'_h = A'_h\)，并且 \[D' \otimes_{B'} k = D' \otimes_{B'} B'_h \otimes_{B'_h} k = C'_h \otimes_{A'_h} k\] 光滑，因为 \(A' \to C'\) 光滑。

关于 (5)。假设 \(B \to D\) 与 \(A' \to C'\) 是 étale 的。 由 (4)，\(B' \to D'\) 光滑。光滑映射是否为 étale 可由纤维的维数读出， 故 (5) 成立（仿照 (4) 的证明识别纤维；略去若干细节）。

注

在情形 08KK 中， 假设 \(B' \to D'\) 为有限表示，并设给定 \(D'\)-模 \(L'\)。 我们断言下列两类对象之间存在双射：

1. \(D'\)-模的满射 \(L' \to Q'\)，其中 \(Q'\) 在 \(D'\) 上有限表示， 且在 \(B'\) 上平坦；

2. 模的成对满射 \((L' \otimes_{D'} D \to Q_1, L' \otimes_{D'} C' \to Q_2)\)， 满足

   1. \(Q_1\) 在 \(D\) 上有限表示，并在 \(B\) 上平坦；

   2. \(Q_2\) 在 \(C'\) 上有限表示，并在 \(A'\) 上平坦；

   3. 作为 \(L' \otimes_{D'} C\) 的商，有 \(Q_1 \otimes_D C = Q_2 \otimes_{C'} C\)。

从前者到后者的对应由 \(Q \mapsto (Q_1, Q_2)\) 给出，其中 \(Q_1 = Q \otimes_{D'} D\) 且 \(Q_2 = Q \otimes_{D'} C'\)。 反过来，使用 \(Q = Q_1 \times_{Q_{12}} Q_2\)，其中 \(Q_{12}\) 是 \(L' \otimes_{D'} C\) 的公共商 \(Q_1 \otimes_D C = Q_2 \otimes_{C'} C\)。作为商映射，使用 \[L' \longrightarrow (L' \otimes_{D'} D) \times_{(L' \otimes_{D'} C)} (L' \otimes_{D'} C') \longrightarrow Q_1 \times_{Q_{12}} Q_2 = Q\] ，其中第一个箭头由引理 08IG 为满射，第二个箭头由引理 08KJ 为满射。 断言由引理 07RW 与 08KP 推出。

Fitting 理想

有限模的 Fitting 理想是由引理 07Z8 中的构造所确定的理想。

引理

设 \(R\) 为环，\(A\) 为系数在 \(R\) 中的 \(n \times m\) 矩阵。 令 \(I_r(A)\) 为由 \(A\) 的 \(r \times r\) 子式生成的理想，并约定 \(I_0(A) = R\)；若 \(r > \min(n, m)\)，则约定 \(I_r(A) = 0\)。则

1. \(I_0(A) \supset I_1(A) \supset I_2(A) \supset \ldots\)；

2. 若 \(B\) 是 \((n + n') \times m\) 矩阵，而 \(A\) 是 \(B\) 的前 \(n\) 行，则 \(I_{r + n'}(B) \subset I_r(A)\)；

3. 若 \(C\) 是 \(n \times n\) 矩阵，则 \(I_r(CA) \subset I_r(A)\)。

4. 若 \(A\) 是分块矩阵 \[\left( \begin{matrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{matrix} \right)\] ，则 \(I_r(A) = \sum_{r_1 + r_2 = r} I_{r_1}(A_1) I_{r_2}(A_2)\)。

5. 此处待补充。

证明

略。（提示：行列式可沿一列或一行展开计算。）

引理

设 \(R\) 为环，\(M\) 为有限 \(R\)-模。选取 \(M\) 的一个表示 \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} R \longrightarrow R^{\oplus n} \longrightarrow M \longrightarrow 0.\] 令 \(A = (a_{ij})_{i = 1, \ldots, n, j \in J}\) 为映射 \(\bigoplus_{j \in J} R \to R^{\oplus n}\) 的矩阵。由 \(A\) 的 \((n - k) \times (n - k)\) 子式生成的理想 \(\text{Fit}_k(M)\) 不依赖于表示的选择。

证明

设 \(K \subset R^{\oplus n}\) 为满射 \(R^{\oplus n} \to M\) 的核。 选取 \(z_1, \ldots, z_{n - k} \in K\)，并写 \(z_j = (z_{1j}, \ldots, z_{nj})\)。理想 \(\text{Fit}_k(M)\) 的另一种描述是：它由按这种方式得到的所有矩阵 \((z_{ij})\) 的 \((n - k) \times (n - k)\) 子式生成。

假设把该满射换成核为 \(K'\) 的满射 \(R^{\oplus n + n'} \to M\)，其中在 \(R^{\oplus n + n'}\) 的前 \(n\) 个标准基向量上使用原映射，而在最后 \(n'\) 个基向量上取 \(0\)。 则相应的理想相同。事实上，若 \(z_1, \ldots, z_{n - k} \in K\) 如上，令 \(z'_j = (z_{1j}, \ldots, z_{nj}, 0, \ldots, 0) \in K'\)， 其中 \(j = 1, \ldots, n - k\)，并令 \(z'_{n + j'} = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots, 0) \in K'\)。 于是矩阵 \((z_{ij})\) 的 \((n - k) \times (n - k)\) 子式所生成的理想， 与 \((z'_{ij})\) 的 \((n + n' - k) \times (n + n' - k)\) 子式所生成的理想相同。这给出一个包含关系。 反过来，给定 \(K'\) 中的 \(z'_1, \ldots, z'_{n + n' - k}\)，可把它们投影到 \(R^{\oplus n}\)，得到 \(K\) 中的 \(z_1, \ldots, z_{n + n' - k}\)。由引理 07Z7，\((z'_{ij})\) 的 \((n + n' - k) \times (n + n' - k)\) 子式所生成的理想， 包含于 \((z_{ij})\) 的 \((n - k) \times (n - k)\) 子式所生成的理想。 这给出另一个包含关系。

设 \(R^{\oplus m} \to M\) 是另一个核为 \(L\) 的满射。 由 Schanuel 引理（Algebra, Lemma 00O3） 及上一段的结论，可假设 \(m = n\)，并且存在同构 \(R^{\oplus n} \to R^{\oplus m}\)，它与到 \(M\) 的满射交换。 令 \(C = (c_{li})\) 为该映射的（可逆）矩阵 （由于 \(n = m\)，这是方阵）。于是给定如上的 \(z'_1, \ldots, z'_{n - k} \in L\)，可选取 \(z_1, \ldots, z_{n - k} \in K\)，使得 \(z_1' = Cz_1, \ldots, z'_{n - k} = Cz_{n - k}\)。 由引理 07Z7 得到一个包含关系， 再由对称性得到另一个。

定义

设 \(R\) 为环，\(M\) 为有限 \(R\)-模，\(k \geq 0\)。 \(M\) 的第 \(k\) 个 Fitting 理想是引理 07Z8 中构造的理想 \(\text{Fit}_k(M)\)。 令 \(\text{Fit}_{-1}(M) = 0\)。

由于 Fitting 理想是一个大矩阵的子式理想 （其编号顺序与引理 07Z7 中的顺序相反），可见对某个 \(t \gg 0\) 有 \[0 = \text{Fit}_{-1}(M) \subset \text{Fit}_0(M) \subset \text{Fit}_1(M) \subset \ldots \subset \text{Fit}_t(M) = R\] 。下面给出 Fitting 理想的一些基本性质。

引理

设 \(R\) 为环，\(M\) 为有限 \(R\)-模。

1. 若 \(M\) 可由 \(n\) 个元素生成，则 \(\text{Fit}_n(M) = R\)。

2. 给定另一个有限 \(R\)-模 \(M'\)，有 \(\text{Fit}_0(M \oplus M') = \text{Fit}_0(M)\text{Fit}_0(M')\)， 且更一般地， \[\text{Fit}_l(M \oplus M') = \sum\nolimits_{k + k' = l} \text{Fit}_k(M)\text{Fit}_{k'}(M')\]

3. 若 \(R \to R'\) 为环映射，则 \(\text{Fit}_k(M \otimes_R R')\) 是 \(R'\) 中由 \(\text{Fit}_k(M)\) 的像生成的理想。

4. 若 \(M\) 有限表示，则 \(\text{Fit}_k(M)\) 是有限生成理想。

5. 若 \(M \to M'\) 是满射，则 \(\text{Fit}_k(M) \subset \text{Fit}_k(M')\)。

6. 有 \(\text{Fit}_0(M) \subset \text{Ann}_R(M)\)。

7. 有 \(V(\text{Fit}_0(M)) = \text{Supp}(M)\)。

8. 若 \(I\) 是 \(R\) 的理想，则 \(\text{Fit}_0(R/I) = I\)。

9. 此处待补充。

证明

第 (1) 项由引理 07Z7 中 \(I_0(A) = R\) 这一事实推出。

第 (2) 项由引理 07Z7 中的相应断言推出。

第 (3) 项由 \(\otimes_R R'\) 右正合这一事实推出，因此 \(M\) 的一个表示 作基变换后是 \(M \otimes_R R'\) 的一个表示。

证明 (4)。设 \(R^{\oplus m} \xrightarrow{A} R^{\oplus n} \to M \to 0\) 是一个表示。则 \(\text{Fit}_k(M)\) 是由矩阵 \(A\) 的 \((n - k) \times (n - k)\) 子式生成的理想。

第 (5) 项由定义立即得到。

证明 (6)。选取由矩阵 \(A\) 给出的 \(M\) 的一个表示，如引理 07Z8。设 \(J' \subset J\) 是基数为 \(n\) 的子集。 只需证明 \(f = \det(a_{ij})_{i = 1, \ldots, n, j \in J'}\) 零化 \(M\)。这是清楚的，因为 \[R^{\oplus n} \xrightarrow{A' = (a_{ij})_{i = 1, \ldots, n, j \in J'}} R^{\oplus n} \to M \to 0\] 的余核被 \(f\) 零化：存在矩阵 \(B\)，满足 \(A' B = f1_{n \times n}\)。

证明 (7)。选取由矩阵 \(A\) 给出的 \(M\) 的一个表示，如引理 07Z8。由 Nakayama 引理 （Algebra, Lemma 00DV），有 \[M_\mathfrak p \not = 0 \Leftrightarrow M \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \not = 0 \Leftrightarrow \text{rank}(\text{像 }A\text{ 于 }\kappa(\mathfrak p)) < n\] 。显然，\(\text{Fit}_0(M)\) 恰好切出具有该性质的素理想集合。

例

设 \(R\) 为环。有限自由模 \(M = R^{\oplus n}\) 的 Fitting 理想满足： 当 \(k < n\) 时 \(\text{Fit}_k(M) = 0\)，当 \(k \geq n\) 时 \(\text{Fit}_k(M) = R\)。

例

设 \(R\) 为环，\(I, J\subset R\) 为理想。则 \(\text{Fit}_0(R/I) = I\)、 \(\text{Fit}_0(R/I \oplus R/J) = IJ\)、 \(\text{Fit}_1(R/I\oplus R/J) = I+J\)。

引理

设 \(R\) 为环，\(M\) 为有限 \(R\)-模，\(k \geq 0\)。 设 \(\mathfrak p \subset R\) 为素理想。下列条件等价：

1. \(\text{Fit}_k(M) \not \subset \mathfrak p\)；

2. \(\dim_{\kappa(\mathfrak p)} M \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \leq k\)；

3. \(M_\mathfrak p\) 作为 \(R_\mathfrak p\)-模可由 \(k\) 个元素生成；

4. 对某个 \(f \in R\)、\(f \not \in \mathfrak p\)， \(M_f\) 作为 \(R_f\)-模可由 \(k\) 个元素生成。

证明

由 Nakayama 引理（Algebra, Lemma 00DV）， 若 \(M \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) 可由 \(k\) 个元素生成， 则对某个 \(f \in R\)、\(f \not \in \mathfrak p\)， \(M_f\) 作为 \(R_f\)-模可由 \(k\) 个元素生成。因此 (2)、(3) 与 (4) 等价。 利用引理 07ZA 第 (3) 项， 问题归结为 \(R\) 是域且 \(\mathfrak p = (0)\) 的情形。 此时结论由例 07ZB 推出。

引理

设 \(R\) 为环，\(M\) 为有限 \(R\)-模，\(r \geq 0\)。下列条件等价：

1. \(M\) 是秩为 \(r\) 的有限局部自由模 （Algebra, Definition 00NW）；

2. \(\text{Fit}_{r - 1}(M) = 0\) 且 \(\text{Fit}_r(M) = R\)；

3. 当 \(k < r\) 时 \(\text{Fit}_k(M) = 0\)，而当 \(k \geq r\) 时 \(\text{Fit}_k(M) = R\)。

证明

由于 Fitting 理想组成递增理想序列，(2) 与 (3) 显然等价。 由于 \(\text{Fit}_k(M)\) 的形成与基变换可交换 （引理 07ZA），例 07ZB 及粘合结果 （Algebra, Section 00EN） 表明 (1) 蕴含 (2)。反过来，假设 (2)。由引理 07ZC，可假设 \(M\) 由 \(r\) 个元素生成。因此有一个表示 \(\bigoplus_{j \in J} R \to R^{\oplus r} \to M \to 0\)。 现在，假设 \(\text{Fit}_{r - 1}(M) = 0\) 蕴含映射 \(\bigoplus_{j \in J} R \to R^{\oplus r}\) 的矩阵的所有元素均为零。 因此 \(M\) 是自由模。

引理

设 \(R\) 为局部环，\(M\) 为有限 \(R\)-模，\(k \geq 0\)。 假设对某个 \(f \in R\) 有 \(\text{Fit}_k(M) = (f)\)。 令 \(M'\) 为 \(M\) 关于 \(\{x \in M \mid fx = 0\}\) 的商。 则 \(M'\) 可由 \(k\) 个元素生成。

证明

选取对应于满射 \(R^{\oplus n} \to M\) 的生成元 \(x_1, \ldots, x_n \in M\)。由于 \(R\) 是局部环，若元素集合 \(E \subset (f)\) 生成 \((f)\)，则某个 \(e \in E\) 生成 \((f)\)，见 Algebra, Lemma 00DV。因此可在 \(R^{\oplus n} \to M\) 的核中选取 \(z_1, \ldots, z_{n - k}\)， 使得 \(n \times (n - k)\) 矩阵 \(A = (z_{ij})\) 的某个 \((n - k) \times (n - k)\) 子式生成 \((f)\)。重新编号 \(x_i\) 后， 可假设第一个子式 \(\det(z_{ij})_{1 \leq i, j \leq n - k}\) 生成 \((f)\)，即对某个 单位元 \(u \in R\) 有 \(\det(z_{ij})_{1 \leq i, j \leq n - k} = uf\)。 其他每个子式都是 \(f\) 的倍数。由 Algebra, Lemma 080R，存在一个 \(n - k \times n - k\) 矩阵 \(B\)，使得 \[AB = f \left( \begin{matrix} u 1_{n - k \times n - k} \\ C \end{matrix} \right)\] ，其中 \(C\) 是系数在 \(R\) 中的某个矩阵。这表明对每个 \(i \leq n - k\)，元素 \(y_i = ux_i + \sum_j c_{ji}x_j\) 被 \(f\) 零化。 由于 \(M/\sum Ry_i\) 由 \(x_{n - k + 1}, \ldots, x_n\) 的像生成， 结论成立。

引理

设 \(R\) 为环，\(M\) 为有限表示 \(R\)-模，\(k \geq 0\)。 假设对某个非零因子 \(f \in R\) 有 \(\text{Fit}_k(M) = (f)\)，并且 \(\text{Fit}_{k - 1}(M) = 0\)。则

1. \(M\) 的投射维数 \(\leq 1\)；

2. \(M' = \Ker(f : M \to M)\) 是 \(M\) 的 \(f\)-幂挠子模；

3. \(M'\) 的投射维数 \(\leq 1\)；

4. \(M/M'\) 是秩为 \(k\) 的有限局部自由模；

5. \(M \cong M/M' \oplus M'\)。

证明

选取由系数在 \(R\) 中的某个矩阵 \(A\) 给出的表示 \[R^{\oplus m} \xrightarrow{A} R^{\oplus n} \to M \to 0\] 。

先在 \(R\) 为局部环时证明该引理。如陈述中一样，令 \(M' = \{x \in M \mid fx = 0\}\)。由引理 080Z，可选取 \(x_1, \ldots, x_k \in M\) 生成 \(M/M'\)。于是 \(x_1, \ldots, x_k\) 生成 \(M_f = (M/M')_f\)。因此，若 \(M\) 中存在关系 \(\sum a_ix_i = 0\)，则 \(a_1, \ldots, a_k\) 在 \(R_f\) 中映到零； 否则 \(\text{Fit}_{k - 1}(M) R_f = \text{Fit}_{k - 1}(M_f)\) 将非零。由于 \(f\) 是非零因子，得到 \(a_1 = \ldots = a_k = 0\)。因此 \(M \cong R^{\oplus k} \oplus M'\)。对上述表示作基变换后， 可假设 \(R^{\oplus n}\) 的前 \(n - k\) 个基向量映入 \(M\) 的直和分支 \(M'\)，而 \(R^{\oplus n}\) 的后 \(k\) 个基向量映到 \(M\) 的直和分支 \(R^{\oplus k}\) 的基元素。如此，矩阵 \(A\) 的后 \(k\) 行为零。于是用 \(M'\) 替换 \(M\)、 用 \(0\) 替换 \(k\)、用 \(n - k\) 替换 \(n\)，并用删除后 \(k\) 行所得的 子矩阵替换 \(A\)，便归结为下一段讨论的情形。

假设 \(R\) 为局部环、\(k = 0\)，且 \(M\) 被 \(f\) 零化。 此时 \(M\) 的第 \(0\) 个 Fitting 理想是 \((f)\)，并由大小为 \(n \times m\) 的矩阵 \(A\) 的 \(n \times n\) 子式生成 （这特别蕴含 \(m \geq n\)）。由于 \(R\) 是局部环，\(A\) 的某个 \(n \times n\) 子式等于 \(uf\)，其中 \(u \in R\) 为单位元。 重新编号后，可假设这是第一个子式。此外，已知 \(A\) 的所有其他 \(n \times n\) 子式都被 \(f\) 整除。以分块形式写 \(A = (A_1 A_2)\)，其中 \(A_1\) 是 \(n \times n\) 矩阵， \(A_2\) 是 \(n \times (m - n)\) 矩阵。把 Algebra, Lemma 080R 应用于 \(A\) 的转置（！），得到一个 \(n \times n\) 矩阵 \(B\)，使得 \[BA = B(A_1 A_2) = f \left( \begin{matrix} u 1_{n \times n} & C \end{matrix} \right)\] ，其中 \(C\) 是系数在 \(R\) 中的某个 \(n \times (m - n)\) 矩阵。 先得到 \(BA_1 = fu 1_{n \times n}\)。于是 \[BA_2 = fC = u^{-1}fuC = u^{-1}BA_1C\] 。由于 \(B\) 的行列式是非零因子，得到 \(A_2 = u^{-1}A_1C\)。因此 \(A\) 的像等于 \(A_1\) 的像； 由于 \(A_1\) 的行列式是非零因子，该像同构于 \(R^{\oplus n}\)。 故 \(M\) 的投射维数 \(\leq 1\)。

回到一般环 \(R\) 的情形。由局部情形可知 \(M/M'\) 是秩为 \(k\) 的有限局部自由模，见 Algebra, Lemma 00NX。 因此扩张 \(0 \to M' \to M \to M/M' \to 0\) 分裂。 从而 \(M'\) 是有限表示模。选取短正合序列 \(0 \to K \to R^{\oplus a} \to M' \to 0\)。则 \(K\) 是有限 \(R\)-模， 见 Algebra, Lemma 0519。 由局部情形，对所有素理想都有 \(K_\mathfrak p \cong R_\mathfrak p^{\oplus a}\)。因此再次由 Algebra, Lemma 00NX， \(K\) 是秩为 \(a\) 的有限局部自由模。由此 \(M'\) 的投射维数 \(\leq 1\)，引理得证。

提升

本节汇集若干关于如下类型的提升陈述的引理：若 \(A\) 是环、 \(I \subset A\) 是理想，而 \(\overline{\xi}\) 是 \(A/I\) 上的某种结构， 则可把 \(\overline{\xi}\) 提升为 \(A\) 上或 \(A\) 的某个 étale 扩张上的同类结构 \(\xi\)。对于下列结构，我们已经证明了一些结果：

1. 幂等元，见 Algebra, Lemmas 00J9 and 05BU；

2. 投射模，见 Algebra, Lemmas 07LV and 0D47；

3. 有限稳定自由模，见引理 0BC5；

4. 基元素，见 Algebra, Lemmas 051F and 051H；

5. 环映射，即证明某些代数形式光滑，见 Algebra, Lemma 00TK, Proposition 00TN, and Lemma 07K4；

6. syntomic 环映射，见 Algebra, Lemma 00T0；

7. 光滑环映射，见 Algebra, Lemma 04B1；

8. étale 环映射，见 Algebra, Lemma 04D1；

9. 多项式的分解，见 Algebra, Lemma 00UH；

10. Algebra, Section 04GE 讨论 Hensel 局部环。

感兴趣的读者可在 Smoothing Ring Maps, Section 07CD 中找到更多同类结果， 特别是 Smoothing Ring Maps, Proposition 07M8。

设 \(A\) 为环，\(I \subset A\) 为理想，\(\overline{\xi}\) 为 \(A/I\) 上的某种结构。在下面的引理中，我们寻找诱导同构 \(A/I \to A'/IA'\) 的 étale 环映射 \(A \to A'\)，以及 \(A'\) 上的对象 \(\xi'\)，使其提升 \(\overline{\xi}\)。一个一般性说明是： 给定 étale 环映射 \(A \to A' \to A''\)，若 \(A/I \cong A'/IA'\) 且 \(A'/IA' \cong A''/IA''\)，则复合 \(A \to A''\) 仍为 étale （Algebra, Lemma 00U2），并且仍满足 \(A/I \cong A''/IA''\)。下面将经常使用这一点而不再说明。 先给出一个我们所寻求类型的平凡例子。

引理

设 \(A\) 为环，\(I \subset A\) 为理想， \(\overline{u} \in A/I\) 为可逆元素。存在一个诱导同构 \(A/I \to A'/IA'\) 的 étale 环映射 \(A \to A'\)，以及提升 \(\overline{u}\) 的可逆元素 \(u' \in A'\)。

证明

任取 \(\overline{u}\) 的提升 \(f \in A\)，并令 \(A' = A_f\)， 令 \(u\) 为 \(f\) 在 \(A'\) 中的像。

引理

设 \(A\) 为环，\(I \subset A\) 为理想， \(\overline{e} \in A/I\) 为幂等元。存在一个诱导同构 \(A/I \to A'/IA'\) 的 étale 环映射 \(A \to A'\)，以及提升 \(\overline{e}\) 的幂等元 \(e' \in A'\)。

证明

任取 \(\overline{e}\) 的提升 \(x \in A\)。令 \[A' = A[t]/(t^2 - t)\left[\frac{1}{t - 1 + x}\right].\] 环映射 \(A \to A'\) 是 étale 的，因为 \((2t - 1)\text{d}t = 0\)，且 \((2t - 1)(2t - 1) = 1\) 可逆。又有 \(A'/IA' = A/I[t]/(t^2 - t)[\frac{1}{t - 1 + \overline{e}}] \cong A/I\)； 最后一个映射把 \(t\) 送到 \(\overline{e}\)，这是可行的，因为 \(\overline{e}\) 是 \(t^2 - t\) 的根。这也表明，令 \(e'\) 为 \(t\) 在 \(A'\) 中的类即可。

引理

设 \(A\) 为环，\(I \subset A\) 为理想。设 \(\Spec(A/I) = \coprod_{j \in J} \overline{U}_j\) 为有限不交开覆盖。则存在一个诱导同构 \(A/I \to A'/IA'\) 的 étale 环映射 \(A \to A'\)，以及提升给定覆盖的 有限不交开覆盖 \(\Spec(A') = \coprod_{j \in J} U'_j\)。

证明

这由引理 07LY 以及谱的开闭子集与幂等元对应这一事实 推出，见 Algebra, Lemma 00EE。

引理

设 \(A \to B\) 为环映射，\(J \subset B\) 为理想。 若 \(A \to B\) 在 \(V(J)\) 的每个素理想处都是 étale 的， 则存在 \(g \in B\)，它在 \(B/J\) 中映到可逆元素，并且 \(A' = B_g\) 在 \(A\) 上为 étale。

证明

\(\Spec(B)\) 中 \(A \to B\) 不是 étale 的点所成集合是 \(\Spec(B)\) 的闭子集，见 Algebra, Definition 00U1。 把它写成 \(V(J')\)，其中 \(J' \subset B\) 为某个理想。 由假设 \(V(J') \cap V(J) = \emptyset\)，故由 Algebra, Lemma 00E0 有 \(J + J' = B\)。写 \(1 = f + g\)，其中 \(f \in J\) 且 \(g \in J'\)。 则 \(g\) 满足要求。

下面三个引理说明可以提升多项式的分解。

引理

设 \(A\) 为环，\(I \subset A\) 为理想，\(f \in A[x]\) 为首一多项式。 设 \(\overline{f} = \overline{g} \overline{h}\) 是 \(f\) 在 \(A/I[x]\) 中的一个分解，其中 \(\overline{g}\) 和 \(\overline{h}\) 首一且在 \(A/I[x]\) 中生成单位理想。则存在一个诱导同构 \(A/I \to A'/IA'\) 的 étale 环映射 \(A \to A'\)，以及 \(A'[x]\) 中的分解 \(f = g' h'\)，其中 \(g'\)、\(h'\) 首一，并提升 \(A/I\) 上的给定分解。

证明

我们将从先前证明的关于泛分解的结果推出这一点；不过，仍鼓励读者寻找一个 不使用该技巧的证明。设 \(\deg(\overline{g}) = n\) 且 \(\deg(\overline{h}) = m\)， 从而 \(\deg(f) = n + m\)。对某些 \(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n + m} \in A\)，写 \(f = x^{n + m} + \sum \alpha_i x^{n + m - i}\)。考虑 Algebra, Example 00UA 中的环映射 \[R = \mathbf{Z}[a_1, \ldots, a_{n + m}] \longrightarrow S = \mathbf{Z}[b_1, \ldots, b_n, c_1, \ldots, c_m]\] 。令 \(R \to A\) 为把 \(a_i\) 送到 \(\alpha_i\) 的环映射，并令 \[B = A \otimes_R S\] 。由构造，\(f\) 在 \(B[x]\) 中的像 \(f_B\) 有一个分解，记为 \(f_B = g_B h_B\)，其中 \(g_B = x^n + \sum (1 \otimes b_i) x^{n - i}\)，而 \(h_B\) 类似。 写 \(\overline{g} = x^n + \sum \overline{\beta}_i x^{n - i}\) 以及 \(\overline{h} = x^m + \sum \overline{\gamma}_i x^{m - i}\)。 \(A\)-代数映射 \[B \longrightarrow A/I, \quad 1 \otimes b_i \mapsto \overline{\beta}_i, \quad 1 \otimes c_i \mapsto \overline{\gamma}_i\] 把 \(g_B\) 和 \(h_B\) 分别映到 \(A/I[x]\) 中的 \(\overline{g}\) 和 \(\overline{h}\)。所展示的映射是满射； 以 \(J \subset B\) 表示其核。由 Algebra, Example 00UA 中的讨论，显然 \(A \to B\) 在 \(V(J) \subset \Spec(B)\) 的所有点处都是 etale 的。按引理 07M0 选取 \(g \in B\)，并考虑 \(A\)-代数 \(B_g\)。由于 \(g\) 在 \(B/J = A/I\) 中映到单位元，还得到一个 \(A/I\)-代数映射 \(B_g/I B_g \to A/I\)。由于 \(A/I \to B_g/I B_g\) 是 étale 的， \(B_g/IB_g \to A/I\) 也是 étale 的 （Algebra, Lemma 00U7）。 因此存在幂等元 \(e \in B_g/I B_g\)，使得 \(A/I = (B_g/I B_g)_e\) （Algebra, Lemma 00U8）。 选取 \(e\) 的提升 \(h \in B_g\)。于是 \(A \to A' = (B_g)_h\)， 连同 \(f_B = g_B h_B\) 的分解在 \(A'\) 中的像，给出了该引理所提问题的解。

引理

设 \(A\) 为环，\(I \subset A\) 为理想，\(f \in A[x]\) 为首一多项式。 设 \(\overline{f} = \overline{g} \overline{h}\) 是 \(f\) 在 \(A/I[x]\) 中的一个分解，并假设

1. \(\overline{g}\) 的首项系数是 \(A/I\) 中的可逆元素；

2. \(\overline{g}\)、\(\overline{h}\) 在 \(A/I[x]\) 中生成单位理想。

则存在一个诱导同构 \(A/I \to A'/IA'\) 的 étale 环映射 \(A \to A'\)，以及 \(A'[x]\) 中的分解 \(f = g' h'\)， 它提升 \(A/I\) 上的给定分解。

证明

应用引理 07LX，可假设 \(\overline{g}\) 的首项系数是某个可逆元素 \(u \in A\) 的约化。 于是可以用 \(\overline{u}^{-1}\overline{g}\) 替换 \(\overline{g}\)，并用 \(\overline{u}\overline{h}\) 替换 \(\overline{h}\)。故可假设 \(\overline{g}\) 首一。由于 \(f\) 首一， 得到 \(\overline{h}\) 也首一。此时结论由引理 0ALH 推出。

例

本例说明，引理 07M1 中关于首项系数的 条件不可去掉。确切地说，令 \(A = \mathbf{Z}\)、 \(I = 4\mathbf{Z}\)、\(f = 1\)，并在 \(A/I[x]\) 中令 \(\bar{g} = \bar{h} = 2x^2 + 2x + 1\)。若 \(A \to A'\) 是 étale 的， 且 \(A'/I A' = A/I\)，则 \(A'\) 的 \(2\)-进完备化同构于 \(\mathbf{Z}_2\)。然而，\(\mathbf{Z}_2[x]\) 中任意模 \(4\) 同余于 \(2x^2 + 2x + 1\) 的多项式 \(g'\) 都没有 \(\mathbf{Z}_2[x]\) 中的 多项式乘法逆元，故该引理的结论不成立。

引理

设 \(R \to S\) 为环映射，\(I \subset R\) 为 \(R\) 的理想， \(J \subset S\) 为 \(S\) 的理想。若 \(V(J)\) 在 \(\Spec(R)\) 中的像的闭包 与 \(V(I)\) 不交，则存在元素 \(f \in R\)，它在 \(R/I\) 中映到 \(1\)， 而在 \(S\) 中映到 \(J\) 的一个元素。

证明

设 \(I' \subset R\) 为理想，使 \(V(I')\) 是 \(V(J)\) 的像的闭包。 由假设 \(V(I) \cap V(I') = \emptyset\)，故由 Algebra, Lemma 00E0 有 \(I + I' = R\)。写 \(1 = g + f\)，其中 \(g \in I\) 且 \(f \in I'\)。 设 \(f'\) 是 \(f\) 在 \(S\) 中的像，则 \(V(f') \supset V(J)\)。因此对某个 \(n\) 有 \((f')^n \in J\)，见 Algebra, Lemma 00E0。 用 \(f^n\) 替换 \(f\) 即得结论。

引理

设 \(I\) 为环 \(A\) 的理想，\(A \to B\) 为整环映射。 设 \(b \in B\) 在 \(B/IB\) 中映到幂等元。则存在首一 \(f \in A[x]\)，使得 \(f(b) = 0\)，且对某个 \(d \geq 1\) 有 \(f \bmod I = x^d(x - 1)^d\)。

证明

注意 \(z = b^2 - b\) 是 \(IB\) 的元素。由 Algebra, Lemma 00H5，存在次数为 \(d\) 的首一多项式 \(g(x) = x^d + \sum a_j x^j\)，其中 \(a_j \in I\)， 使得在 \(B\) 中 \(g(z) = 0\)。因此 \(f(x) = g(x^2 - x) \in A[x]\) 是首一多项式，满足 \(f(x) \equiv x^d(x - 1)^d \bmod I\)，并且在 \(B\) 中 \(f(b) = 0\)。

引理

设 \(A\) 为环，\(I \subset A\) 为理想，\(A \to B\) 为整环映射， \(\overline{e} \in B/IB\) 为幂等元。则存在一个诱导同构 \(A/I \to A'/IA'\) 的 étale 环映射 \(A \to A'\)，以及提升 \(\overline{e}\) 的幂等元 \(e' \in B \otimes_A A'\)。

证明

选取 \(\overline{e}\) 的提升 \(y \in B\)，并按引理 09XG 为 \(y\) 选取 \(f \in A[x]\)。 由引理 07M1，可找到一个诱导同构 \(A/I \to A'/IA'\) 的 étale 环映射 \(A \to A'\)，并使 \(f = gh\) 在 \(A[x]\) 中成立，其中 \(g(x) = x^d \bmod IA'\) 且 \(h(x) = (x - 1)^d \bmod IA'\)。用 \(A'\) 替换 \(A\) 后， 可假设该分解定义在 \(A\) 上。此时 \(b_1 = g(y) \in B\) 是 \(\overline{e}^d = \overline{e}\) 的提升，而 \(b_2 = h(y) \in B\) 是 \((\overline{e} - 1)^d = (-1)^d (1 - \overline{e})^d = (-1)^d(1 - \overline{e})\) 的提升，并且 \(b_1b_2 = 0\)。于是 \((b_1, b_2)B/IB = B/IB\)，而 \(V(b_1, b_2) \subset \Spec(B)\) 与 \(V(IB)\) 不交。 由于 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) 是闭映射（见 Algebra, Lemmas 00GU and 00HZ），由引理 07M3 可选取 \(a \in A\)， 使其在 \(A/I\) 中映到可逆元素，而其在 \(B\) 中的像属于 \((b_1, b_2)\)。用局部化 \(A_a\) 替换 \(A\) 后，有 \((b_1, b_2) = B\)。于是 \(\Spec(B) = D(b_1) \amalg D(b_2)\)；这是不交并，因为 \(b_1b_2 = 0\)；又覆盖 \(\Spec(B)\)，因为 \((b_1, b_2) = B\)。 令 \(e \in B\) 为对应于开闭子集 \(D(b_1)\) 的幂等元，见 Algebra, Lemma 00EE。 由于 \(b_1\) 是 \(\overline{e}\) 的提升，而 \(b_2\) 是 \(\pm (1 - \overline{e})\) 的提升，由 Algebra, Lemma 00EE 中的唯一性断言，\(e\) 是 \(\overline{e}\) 的提升。

引理

设 \(A\) 为环，\(I \subset A\) 为理想， \(\overline{P}\) 为有限投射 \(A/I\)-模。则存在一个诱导同构 \(A/I \to A'/IA'\) 的 étale 环映射 \(A \to A'\)，以及提升 \(\overline{P}\) 的有限投射 \(A'\)-模 \(P'\)。

证明

可选取整数 \(n\) 以及直和分解 \((A/I)^{\oplus n} = \overline{P} \oplus \overline{K}\)， 其中 \(\overline{K}\) 是某个 \(R/I\)-模。选取与直和分支 \(\overline{P}\) 对应的投影算子 \(\overline{p}\) 的一个提升 \(\varphi : A^{\oplus n} \to A^{\oplus n}\)。 令 \(f \in A[x]\) 为 \(\varphi\) 的特征多项式，并令 \(B = A[x]/(f)\)。由 Cayley–Hamilton （Algebra, Lemma 00DX），存在映射 \(B \to \text{End}_A(A^{\oplus n})\)，它把 \(x\) 送到 \(\varphi\)。 对每个 \(\mathfrak p \supset I\)，\(f\) 在 \(\kappa(\mathfrak p)\) 中的像是 \((x - 1)^rx^{n - r}\)，其中 \(r\) 是 \(\overline{P} \otimes_{A/I} \kappa(\mathfrak p)\) 的维数。 因此对所有 \(\mathfrak p \supset I\)， \((x - 1)^nx^n\) 在 \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) 中映到零。 故 \(x(1 - x)\) 包含于 \(B/IB\) 的每个素理想，从而对某个 \(N \geq 1\)，\(x^N(1 - x)^N\) 包含于 \(IB\)。 由此 \(x^N + (1 - x)^N\) 是 \(B/IB\) 中的单位元，并且 \[\overline{e} = \text{image of }\frac{x^N}{x^N + (1 - x)^N}\text{ 于 }B/IB\] 是幂等元，因为这两个断言在 \(\mathbf{Z}[x]/(x^N(x - 1)^N)\) 中都成立。 \(\overline{e}\) 在 \(\text{End}_{A/I}((A/I)^{\oplus n})\) 中的像是 \[\frac{\overline{p}^N}{\overline{p}^N + (1 - \overline{p})^N} = \overline{p}\] ，因为 \(\overline{p}\) 是幂等元。按引理中的方式用一个 étale 扩张 \(A'\) 替换 \(A\) 后，可假设存在幂等元 \(e \in B\)，其在 \(B/IB\) 中映到 \(\overline{e}\)，见引理 07M4。于是 \(e\) 在映射 \[B = A[x]/(f) \longrightarrow \text{End}_A(A^{\oplus n}).\] 下的像是提升 \(\overline{p}\) 的幂等元 \(p\)。令 \(P = \Im(p)\) 即得结论。

引理

设 \(A\) 为环，并设 \(0 \to K \to A^{\oplus m} \to M \to 0\) 为 \(A\)-模序列。考虑 \(A\)-代数 \(C = \text{Sym}^*_A(M)\)，以及由满射 \(A^{\oplus m} \to M\) 给出的表示 \(\alpha : A[y_1, \ldots, y_m] \to C\)。则 \[\NL(\alpha) = (K \otimes_A C \to \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} C \text{d}y_j)\] （见 Algebra, Section 00S0）， 特别地 \(\Omega_{C/A} = M \otimes_A C\)。

证明

令 \(J = \Ker(\alpha)\)。该引理断言 \(J/J^2 \cong K \otimes_A C\)。注意 \(\alpha\) 是分次代数同态。 我们将证明在次数 \(d\) 有 \((J/J^2)_d = K \otimes_A C_{d - 1}\)。注意 \[J_d = \Ker(\text{Sym}^d_A(A^{\oplus m}) \to \text{Sym}^d_A(M)) = \Im(K \otimes_A \text{Sym}^{d - 1}_A(A^{\oplus m}) \to \text{Sym}^d_A(A^{\oplus m})),\] 见 Algebra, Lemma 00DO。 由此 \((J^2)_d = \sum_{a + b = d} J_a \cdot J_b\) 是映射 \[K \otimes_A K \otimes_A \text{Sym}^{d - 2}_A(A^{\otimes m}) \to \text{Sym}^d_A(A^{\oplus m}).\] 的像。由上面引用的引理，映射 \(K \otimes_A \text{Sym}^{d - 2}_A(A^{\otimes m}) \to \text{Sym}^{d - 1}_A(A^{\oplus m})\) 的余核是 \(\text{Sym}^{d - 1}_A(M)\)。 因此显然 \((J/J^2)_d = J_d/(J^2)_d\) 等于 \[\begin{align*} \Coker( K \otimes_A K \otimes_A \text{Sym}^{d - 2}_A(A^{\otimes m}) \to K \otimes_A \text{Sym}^{d - 1}_A(A^{\otimes m})) & = K \otimes_A \text{Sym}^{d - 1}_A(M) \\ & = K \otimes_A C_{d -1} \end{align*}\] ，正合所需。

引理

设 \(A\) 为环，\(M\) 为 \(A\)-模。则 \(C = \text{Sym}_A^*(M)\) 在 \(A\) 上光滑，当且仅当 \(M\) 是有限投射 \(A\)-模。

证明

令 \(\sigma : C \to A\) 为到 \(C\) 的次数 \(0\) 部分的投影。 于是 \(J = \Ker(\sigma)\) 是次数 \(> 0\) 的部分，并且作为 \(A\)-模有 \(J/J^2 = M\)。因此，若 \(A \to C\) 光滑，则由 Algebra, Lemma 05D5， \(M\) 是有限投射 \(A\)-模。

反过来，假设 \(M\) 有限投射，并选取核为 \(K\) 的满射 \(A^{\oplus n} \to M\)。当然，序列 \(0 \to K \to A^{\oplus n} \to M \to 0\) 分裂，因为 \(M\) 是投射模。 特别地，\(K\) 是有限 \(A\)-模。因此 \(C\) 在 \(A\) 上为有限表示， 因为 \(C\) 是 \(A[x_1, \ldots, x_n]\) 关于由 \(K \subset \bigoplus Ax_i\) 生成的理想的商。 引理 07EV 的计算表明， \(\NL_{C/A}\) 同伦等价于 \((K \to M) \otimes_A C\)。 因此 \(\NL_{C/A}\) 拟同构于置于次数 \(0\) 的 \(C \otimes_A M\)；由 Algebra, Definition 00T2，这意味着 \(C\) 在 \(A\) 上光滑。

引理

设 \(A\) 为环，\(I \subset A\) 为理想。考虑交换图 \[\xymatrix{ B \ar[rd] \\ A \ar[u] \ar[r] & A/I }\] ，其中 \(B\) 是光滑 \(A\)-代数。则存在一个诱导同构 \(A/I \to A'/IA'\) 的 étale 环映射 \(A \to A'\)，以及提升环映射 \(B \to A/I\) 的 \(A\)-代数映射 \(B \to A'\)。

证明

令 \(J \subset B\) 为 \(B \to A/I\) 的核，从而 \(B/J = A/I\)。 由 Algebra, Lemma 06A9，序列 \[0 \to I/I^2 \to J/J^2 \to \Omega_{B/A} \otimes_B B/J \to 0\] 分裂正合。因此 \(\overline{P} = J/(J^2 + IB) = \Omega_{B/A} \otimes_B B/J\) 是有限投射 \(A/I\)-模。选取整数 \(n\) 及直和分解 \(A/I^{\oplus n} = \overline{P} \oplus \overline{K}\)。 由引理 07M5，可找到一个诱导同构 \(A/I \to A'/IA'\) 的 étale 环映射 \(A \to A'\)，以及提升 \(\overline{K}\) 的有限投射 \(A\)-模 \(K\)。我们可以且确实用 \(A'\) 替换 \(A\)。令 \(B' = B \otimes_A \text{Sym}_A^*(K)\)。由引理 07M6， \(A \to \text{Sym}_A^*(K)\) 光滑，故 \(B \to B'\) 光滑， 进而 \(A \to B'\) 光滑（见 Algebra, Lemmas 00T4 and 00TC）。 此外，截面 \(\text{Sym}^*_A(K) \to A\) 确定截面 \(B' \to B\)， 并令 \(B' \to A/I\) 为复合 \(B' \to B \to A/I\)。 令 \(J' \subset B'\) 为 \(B' \to A/I\) 的核。有 \(JB' \subset J'\) 且 \(B \otimes_A K \subset J'\)。 这些映射合并成同构 \[(A/I)^{\oplus n} \cong J/(J^2 + IB) \oplus \overline{K} \longrightarrow J'/((J')^2 + IB')\] 。因此，用 \(B'\) 替换 \(B\) 后，可假设 \(J/(J^2 + IB) = \Omega_{B/A} \otimes_B B/J\) 是秩为 \(n\) 的自由 \(A/I\)-模。

在此情形中，选取 \(f_1, \ldots, f_n \in J\)，使其像构成 \(J/(J^2 + IB)\) 的一组基。考虑有限表示 \(A\)-代数 \(C = B/(f_1, \ldots, f_n)\)。注意有正合序列 \[0 \to H_1(L_{C/A}) \to (f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2 \to \Omega_{B/A} \otimes_B C \to \Omega_{C/A} \to 0\] ，见 Algebra, Lemma 00S2 （注意 \(H_1(L_{B/A}) = 0\)，而 \(\Omega_{B/A}\) 有限投射， 特别地平坦，故 Tor 群消失）。对 \(B\) 的任意素理想 \(\mathfrak q \supset J\)，模 \(\Omega_{B/A, \mathfrak q}\) 是秩为 \(n\) 的自由模，因为 \(\Omega_{B/A}\) 有限投射，且 \(\Omega_{B/A} \otimes_B B/J\) 是秩为 \(n\) 的自由模 （见 Algebra, Lemma 00NX）。 由 \(f_1, \ldots, f_n\) 的选择，映射 \[\left((f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2\right)_{\mathfrak q} \to \Omega_{B/A, \mathfrak q}\] 模 \(J\) 后为满射。因此，这个局部环 \(C_{\mathfrak q}\) 上的模映射 必为同构（由 Algebra, Lemma 00DV，该映射为满射； 而例如由 Algebra, Lemma 05G8，由于 \[((f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2)_{\mathfrak q}\] 可由 \(n\) 个元素生成，该映射为单射）。故 \(H_1(L_{C/A})_{\mathfrak q} = 0\) 且 \(\Omega_{C/A, \mathfrak q} = 0\)。由 Algebra, Lemma 07BU，\(A \to C\) 在 \(C\) 中对应于 \(\mathfrak q\) 的素理想 \(\overline{\mathfrak q}\) 处光滑。 由于 \(\Omega_{C/A, \mathfrak q} = 0\)，它实际上在 \(\overline{\mathfrak q}\) 处为 étale。因此 \(A \to C\) 在 \(C\) 的所有包含 \(JC\) 的素理想处都是 étale 的。 由引理 07M0，可选取 \(f \in C\)， 它在 \(C/JC\) 中映到单位元，并使 \(A \to C_f\) 为 étale。 由 \(f\) 的选择，仍有 \(C_f/JC_f = A/I\)。映射 \(C_f/IC_f \to A/I\) 是满且 étale 的，见 Algebra, Lemma 00U7。 因此 \(A/I\) 同构于 \(C_f/IC_f\) 在某个元素 \(g \in C\) 处的局部化， 见 Algebra, Lemma 00U8。 令 \(A' = C_{fg}\)，证明完成。

Zariski 对

在本节及下一节中，一个对是指一个对 \((A, I)\)，其中 \(A\) 是环，\(I \subset A\) 是理想。对的态射 \((A, I) \to (B, J)\) 是满足 \(\varphi(I) \subset J\) 的环映射 \(\varphi : A \to B\)。

定义

一个Zariski 对是满足 \(I\) 包含于 \(A\) 的 Jacobson 根中的对 \((A, I)\)。

引理

设 \((A, I)\) 为 Zariski 对。则从 \(A\) 的幂等元到 \(A/I\) 的幂等元的映射 是单射。

证明

局部环的幂等元只能是 \(0\) 或 \(1\)。因此，由 Algebra, Lemma 00HN， 一个幂等元由它在哪些极大理想处为零所确定。

引理

设 \((A, I)\) 为 Zariski 对。设 \(A \to B\) 为平坦、整且有限表示的 环映射，并且 \(A/I \to B/IB\) 是同构。则 \(A \to B\) 是同构。

证明

由 Algebra, Lemma 02JJ，环映射 \(A \to B\) 是有限的。因此，由 Algebra, Lemma 0564，\(B\) 作为 \(A\)-模是有限表示的。进而，由 Algebra, Lemma 00NX，\(B\) 是有限局部自由 \(A\)-模。 由于模 \(B\) 沿 \(V(I)\) 的秩为 \(1\)（见 Algebra, Lemma 00NX 中描述的秩函数），并且 \((A, I)\) 是 Zariski 对，我们推出它处处秩为 \(1\)。 由此 \(A \to B\) 是同构：证明如下事实是一个有趣的练习：若环映射 \(R \to S\) 使得 \(S\) 是秩为 \(1\) 的局部自由 \(R\)-模，则该映射是同构 （提示：考察局部环）。

引理

设 \((A, I)\) 为 Zariski 对。设 \(A \to B\) 为有限环映射。假设

1. \(B/IB = B_1 \times B_2\) 是 \(A/I\)-代数的乘积；

2. \(A/I \to B_1/IB_1\) 是满射；

3. \(b \in B\) 在该乘积中的像为 \((1, 0)\)。

则存在首一多项式 \(f \in A[x]\)，使得 \(f(b) = 0\)，且对某个 \(d \geq 1\) 有 \(f \bmod I = (x - 1)x^d\)。

证明

由引理 07M4，可找到诱导同构 \(A/I \to A'/IA'\) 的 étale 环映射 \(A \to A'\)，使得 \(B' = B \otimes_A A'\) 包含一个幂等元 \(e'\)，它提升 \(b\) 在 \(B'/IB'\) 中的像。考虑相应的 \(A'\)-代数分解 \[B' = B'_1 \times B'_2\] 它在模 \(I\) 约化后与引理中给定的分解相容。 映射 \(A' \to B'_1\) 模 \(IA'\) 后为满射。由 Nakayama 引理 （Algebra, Lemma 00DV），可找到 \(i \in IA'\)， 使得以 \(A'_{1 + i}\) 替换 \(A'\) 后，映射 \(A' \to B'_1\) 为满射。 注意，\(b\) 在第一分量中的像 \(b'_1 \in B'_1\) 满足 \(b'_1 - 1 \in IB'_1\)。因此可选取映到 \(b'_1 - 1\) 的 \(a' \in IA'\)。另一方面，\(b\) 在第二分量中的像 \(b'_2 \in B'_2\) 属于 \(IB'_2\)。由 Algebra, Lemma 00H5，存在一个次数为 \(d\) 的首一多项式 \(g(x) = x^d + \sum a'_j x^j\)，其中 \(a'_j \in IA'\)，并且 \(g(b'_2) = 0\) 在 \(B'_2\) 中成立。 因此，\(b\) 的像 \(b' = (b'_1, b'_2) \in B'\) 是多项式 \((x - 1 - a')g(x)\) 的根。我们得到 \[(b' - 1)(b')^d \in \sum\nolimits_{j = 0, \ldots, d} IA' \cdot (b')^j\] 我们断言，这蕴含 \(B\) 中有 \[(b - 1)b^d \in \sum\nolimits_{j = 0, \ldots, d} I \cdot b^j\] 为此，只需证明环映射 \(A \to A'\) 忠实平坦，因为该条件等价于 \((b - 1)b^d\) 的像在 \(B/\sum_{j = 0, \ldots, d} Ib^j\) 中为零（使用 Algebra, Lemma 05CK）。 映射 \(A \to A'\) 是平坦的，因为它是 étale 的 （Algebra, Lemma 00U2）。另一方面，诱导的谱映射 是开映射（见 Algebra, Proposition 00I1， 并使用前面引用的引理），而且其像包含 \(V(I)\)。由于 \(I\) 包含于 \(A\) 的 Jacobson 根中，结论随即成立。

引理

设 \((A, I)\) 为 Zariski 对，且 \(A\) 为 Noether 环。设 \(f \in I\)。 则 \(A_f\) 是 Jacobson 环。

证明

我们使用 Algebra, Lemma 00KX 的判别准则。 设 \(\mathfrak p \subset A\) 为素理想，使得 \(\mathfrak p_f = \mathfrak p A_f\) 是非极大的素理想。我们必须证明 \(A_f/\mathfrak p_f = (A/\mathfrak p)_f\) 有无穷多个素理想。 以 \(A/\mathfrak p\) 替换 \(A\) 后，可以假设 \(A\) 是整环， \(\dim A_f > 0\)，而我们的目标是证明 \(\Spec(A_f)\) 是无限集。 由于 \(\dim A_f > 0\)，可找到一个不包含 \(f\) 的非零素理想 \(\mathfrak q \subset A\)。选取包含 \(\mathfrak q\) 的极大理想 \(\mathfrak m \subset A\)。由于 \((A, I)\) 是 Zariski 对，有 \(I \subset \mathfrak m\)。故 \(\mathfrak m \not = \mathfrak q\)，且 \(\dim(A_\mathfrak m) > 1\)。于是由 Algebra, Lemma 02IG， \(\Spec((A_\mathfrak m)_f) \subset \Spec(A_f)\) 是无限集，证毕。

Hensel 对

第 07LW 节的一些结果可以看作关于 Hensel 对的结果。 本节中，一个对是一个对 \((A, I)\)，其中 \(A\) 是环且 \(I \subset A\) 是理想。对的态射 \((A, I) \to (B, J)\) 是满足 \(\varphi(I) \subset J\) 的环映射 \(\varphi : A \to B\)。与第 07LW 节一样，给定 \(A\) 上的对象 \(\xi\)，我们以 \(\overline{\xi}\) 表示 \(\xi\) 到 \(A/I\) 上对象的“基变换” （如果这有意义）。

定义

一个Hensel 对是满足下列条件的对 \((A, I)\)：

1. \(I\) 包含于 \(A\) 的 Jacobson 根中；

2. 对任意首一多项式 \(f \in A[T]\) 以及分解 \(\overline{f} = g_0h_0\)，其中 \(g_0, h_0 \in A/I[T]\) 首一且在 \(A/I[T]\) 中生成单位理想，都存在 \(A[T]\) 中的分解 \(f = gh\)， 其中 \(g, h\) 首一，并且 \(g_0 = \overline{g}\)、 \(h_0 = \overline{h}\)。

注意，若 \(A\) 是局部环且 \(I = \mathfrak m\) 是其极大理想，则 \((A, I)\) 是 Hensel 对当且仅当 \(A\) 是 Hensel 局部环，见 Algebra, Lemma 04GG。 在引理 09XI 中，我们给出 Hensel 对的 若干等价刻画（并且以后还会继续补充）。

引理

设 \((A, I)\) 为一个对，且 \(I\) 局部幂零。则函子 \(B \mapsto B/IB\) 诱导 \(A\) 上 étale 代数范畴与 \(A/I\) 上 étale 代数范畴之间的等价。此外，该对是 Hensel 对。

证明

本质满性由 Algebra, Lemma 04D1 给出。 若 \(B\)、\(B'\) 在 \(A\) 上 étale，且 \(B/IB \to B'/IB'\) 是 \(A/I\)-代数态射，则由 Algebra, Lemma 07K4 可以提升该态射。 最后，设 \(f, g : B \to B'\) 是两个满足 \(f \bmod I = g \bmod I\) 的 \(A\)-代数映射。选取生成乘法映射 \(B \otimes_A B \to B\) 之核的幂等元 \(e \in B \otimes_A B\)，见 Algebra, Lemmas 02FL and 00UV（后者用于说明 étale 蕴含非分歧）。 于是 \((f \otimes g)(e) \in IB'\)。由于 \(IB'\) 局部幂零 （Algebra, Lemma 0544）， 由 Algebra, Lemma 00J9 可知 \((f \otimes g)(e) = 0\)。故 \(f = g\)。

显然，\(I\) 包含于 \(A\) 的 Jacobson 根中。设 \(f \in A[T]\) 为首一 多项式，并设 \(\overline{f} = g_0h_0\) 是 \(\overline{f} = f \bmod I\) 的一个分解，其中 \(g_0, h_0 \in A/I[T]\) 首一且在 \(A/I[T]\) 中生成单位理想。 由引理 0ALH，存在诱导同构 \(A/I \to A'/IA'\) 的 étale 环映射 \(A \to A'\)，使得该分解提升为 \(A'\) 上首一多项式的分解。由上文可知 \(A = A'\)，故该分解定义在 \(A\) 上。

引理

设 \(A = \lim A_n\)，其中 \((A_n)\) 是由满的转移映射组成的环的逆向系统， 并且这些转移映射的核局部幂零。令 \(I_n = \Ker(A \to A_n)\)。 则 \((A, I_n)\) 是 Hensel 对。

证明

固定 \(n\)。设 \(a \in A\) 是在 \(A_n\) 中映到 \(1\) 的元素。 由 Algebra, Lemma 0AMG， \(a\) 在所有 \(m \geq n\) 的 \(A_m\) 中都映到单位元。因此 \(a\) 是 \(A\) 中的单位元。故由 Algebra, Lemma 0AME，理想 \(I_n\) 包含于 \(A\) 的 Jacobson 根中。设 \(f \in A[T]\) 为首一多项式，并设 \(\overline{f} = g_nh_n\) 是 \(\overline{f} = f \bmod I_n\) 的一个分解， 其中 \(g_n, h_n \in A_n[T]\) 首一且在 \(A_n[T]\) 中生成单位理想。 由引理 0ALI，可以逐次把该分解提升为 \(f \bmod I_m = g_m h_m\)，其中对所有 \(m \geq n\)， \(g_m, h_m\) 都是 \(A_m[T]\) 中的首一多项式。在每一步中，我们必须验证 所取提升 \(g_m, h_m\) 在 \(A_n[T]\) 中生成单位理想；这由 \(g_n, h_n\) 的相应事实以及 \(\Spec(A_n[T]) = \Spec(A_m[T])\) 得出，因为 \(A_m \to A_n\) 的核 局部幂零。由于 \(A = \lim A_m\)，证明完成。

引理

设 \((A, I)\) 为一个对。若 \(A\) 是 \(I\)-进完备的，则该对是 Hensel 对。

证明

由 Algebra, Lemma 05GI，理想 \(I\) 包含于 \(A\) 的 Jacobson 根中。设 \(f \in A[T]\) 为首一多项式，且 \(\overline{f} = g_0h_0\) 是 \(\overline{f} = f \bmod I\) 的分解， 其中 \(g_0, h_0 \in A/I[T]\) 首一且在 \(A/I[T]\) 中生成单位理想。 由引理 0ALI，可逐次将其提升为 \(f \bmod I^n = g_n h_n\)，其中对所有 \(n \geq 1\)， \(g_n, h_n\) 都是 \(A/I^n[T]\) 中的首一多项式。 由于 \(A = \lim A/I^n\)，证明完成。

引理

设 \((A, I)\) 为一个对。设 \(A \to B\) 为有限型环映射，并且 \(B/IB = C_1 \times C_2\)，其中 \(A/I \to C_1\) 是有限的。 令 \(B'\) 为 \(A\) 在 \(B\) 中的整闭包。则可写成 \(B'/IB' = C_1 \times C'_2\)，使得映射 \(B'/IB' \to B/IB\) 保持乘积分解， 并且存在映到 \(C_1 \times C'_2\) 中 \((1, 0)\) 的 \(g \in B'\)，使 \(B'_g \to B_g\) 为同构。

证明

注意，\(A \to B\) 在闭子集 \(T = \Spec(C_1) \subset \Spec(B)\) 的每个素理想处都是拟有限的 （这可通过考察纤维环看出，见 Algebra, Definition 00PL）。考虑拓扑空间的交换图 \[\xymatrix{ \Spec(B) \ar[rr]_\phi \ar[rd]_\psi & & \Spec(B') \ar[ld]^{\psi'} \\ & \Spec(A) }\] 由 Algebra, Theorem 00Q9，对每个 \(\mathfrak p \in T\)，存在 \(h_\mathfrak p \in B'\)，满足 \(h_\mathfrak p \not \in \mathfrak p\)，且 \(B'_h \to B_h\) 是同构。 并集 \(U = \bigcup D(h_\mathfrak p)\) 给出开集 \(U \subset \Spec(B')\)，使得 \(\phi^{-1}(U) \to U\) 为同胚且 \(T \subset \phi^{-1}(U)\)。由于 \(T\) 在 \(\psi^{-1}(V(I))\) 中为开集， 可知 \(\phi(T)\) 在 \(U \cap (\psi')^{-1}(V(I))\) 中为开集。 因此 \(\phi(T)\) 在 \((\psi')^{-1}(V(I))\) 中为开集。 另一方面，由于 \(C_1\) 在 \(A/I\) 上有限，它在 \(B'\) 上也是有限的。 故由 Algebra, Lemmas 00HZ and 00GU，\(\phi(T)\) 是 \(\Spec(B')\) 的闭子集。 我们推出 \(\Spec(B'/IB') \supset \phi(T)\) 既开又闭。由 Algebra, Lemma 00EM，得到相应的 乘积分解 \(B'/IB' = C'_1 \times C'_2\)。通过考察谱上的情形可见，映射 \(B'/IB' \to B/IB\) 把 \(C'_1\) 映入 \(C_1\)，把 \(C'_2\) 映入 \(C_2\) （提示：\(\phi(T)\) 的逆像恰为 \(T\)；略去一些细节）。 选取映到 \(C'_1 \times C'_2\) 中 \((1, 0)\) 的 \(g \in B'\)，使得 \(D(g) \subset U\)；这是可能的，因为 \(\Spec(C'_1)\) 与 \(\Spec(C'_2)\) 在 \(\Spec(B')\) 中是不交闭集，且 \(\Spec(C'_1)\) 包含于 \(U\)。于是 \(B'_g \to B_g\) 在谱上定义同胚，并在局部环上定义同构 （由上面对 \(U\) 的选取）。因此它是同构，例如这可由 Algebra, Lemma 00HN 推出。 最后，由此有 \(C'_1 = C_1\)，证明完成。

引理

设 \((A, I)\) 为一个对。下列条件等价：

1. \((A, I)\) 是 Hensel 对；

2. 给定 étale 环映射 \(A \to A'\) 以及 \(A\)-代数映射 \(\sigma : A' \to A/I\)，存在提升 \(\sigma\) 的 \(A\)-代数映射 \(A' \to A\)；

3. 对任意有限 \(A\)-代数 \(B\)，映射 \(B \to B/IB\) 在幂等元上 诱导双射；

4. 对任意整 \(A\)-代数 \(B\)，映射 \(B \to B/IB\) 在幂等元上 诱导双射；

5. （Gabber）\(I\) 包含于 \(A\) 的 Jacobson 根中，并且每个形如 \[f(T) = T^n(T - 1) + a_n T^n + \ldots + a_1 T + a_0\] 的首一多项式 \(f(T) \in A[T]\)，其中 \(a_n, \ldots, a_0 \in I\) 且 \(n \ge 1\)，都有一个根 \(\alpha \in 1 + I\)。

此外，第 (5) 项中的根是唯一的。

证明

假设 (2) 成立。则 \(I\) 包含于 \(A\) 的 Jacobson 根中；否则，存在一个 模 \(I\) 同余于 \(1\) 的非单位元 \(f \in A\)，而映射 \(A \to A_f\) 将与 (2) 矛盾。若 \(B\) 在 \(A\) 上整，则 \(IB \subset B\) 包含于 \(B\) 的 Jacobson 根中，因为由 Algebra, Lemmas 00HZ and 00GU，\(\Spec(B) \to \Spec(A)\) 是闭映射。 因此，由引理 09XF， 从 \(B\) 的幂等元到 \(B/IB\) 的幂等元的映射是单射。另一方面， 由于 (2) 成立，由引理 07M4， \(B/IB\) 的每个幂等元都提升为 \(B\) 的幂等元。因此 (2) 蕴含 (4)。

(4) \(\Rightarrow\) (3) 是平凡的。

假设 (3)。设 \(\mathfrak m\) 为极大理想，并考虑有限映射 \(A \to B = A/(I \cap \mathfrak m)\)。\(B \to B/IB\) 在幂等元上诱导 双射这一条件蕴含 \(I \subset \mathfrak m\)（否则 \(B = A/I \times A/\mathfrak m\) 且 \(B/IB = A/I\)）。因此 \(I\) 包含于 \(A\) 的 Jacobson 根中。设 \(f \in A[T]\) 首一，并假设给定分解 \(\overline{f} = g_0h_0\)，其中 \(g_0, h_0 \in A/I[T]\) 首一且在 \(A/I[T]\) 中生成单位理想。令 \(B = A[T]/(f)\)。令 \(\overline{e}\) 为 \(B/IB\) 中对应于 \(A\)-代数分解 \[B/IB = A/I[T]/(g_0) \times A/I[T]/(h_0)\] 的幂等元。由假设 (3)，存在提升 \(\overline{e}\) 的幂等元 \(e \in B\)。这给出乘积分解 \[B = eB \times (1 - e)B\] 注意，\(B\) 作为 \(A\)-模是秩为 \(\deg(f)\) 的自由模。因此 \(eB\) 和 \((1 - e)B\) 是有限局部自由 \(A\)-模。然而，由于 \(eB\) 和 \((1 - e)B\) 在 \(A/I\) 上分别有常秩 \(\deg(g_0)\) 和 \(\deg(h_0)\)， 我们发现它们在 \(\Spec(A)\) 上也如此。由此 \[\begin{align*} f & = \text{CharPol}_A(T : B \to B) \\ & = \text{CharPol}_A(T : eB \to eB) \text{CharPol}_A(T : (1 - e)B \to (1 - e)B) \end{align*}\] 是首一多项式的分解，模 \(I\) 后约化为给定的分解。这里 \(\text{CharPol}_A\) 表示有限局部自由 \(A\)-模之自同态的特征多项式。 若该模自由，则 \(\text{CharPol}_A\) 定义为相应矩阵的特征多项式； 一般情形使用 Algebra, Lemma 00EJ 进行粘合。略去细节。故 (3) 蕴含 (1)。

假设 (1)。令 \(f\) 如 (5) 所述。\(f \bmod I\) 分解为 \(T^n\) 与 \(T - 1\) 的乘积；由定义 09XE，它提升为 首一多项式的分解 \(f = gh\)，其中 \(g\) 与 \(h\) 首一。于是 \(h\) 必须次数为 \(1\)，从而 \(f\) 有一个模 \(I\) 约化为 \(1\) 的根。最后，由 Hensel 对的定义， \(I\) 包含于 Jacobson 根中。因此 (1) 蕴含 (5)。

在证明最后一步前，先说明 (5) 中的根 \(\alpha\) 若存在则唯一。 事实上，由 \(f(T)\) 的明确形状，有 \(f'(\alpha) \in 1 + I\)，其中 \(f'\) 是 \(f\) 关于 \(T\) 的导数。初等论证给出 \[f(T) = f(\alpha + T - \alpha) = f(\alpha) + f'(\alpha) \cdot (T - \alpha) \bmod (T - \alpha)^2 A[T]\] 这表明，\(f(T)\) 的任意另一个根 \(\alpha' \in 1 + I\) 都满足 \(0 = f(\alpha') - f(\alpha) = (\alpha' - \alpha)(1 + i)\)，其中某个 \(i \in I\)。由于 \(1 + i\) 是 \(A\) 中的单位元，故 \(\alpha = \alpha'\)。

假设 (5)。我们证明 (2) 成立；换言之，对每个 étale 映射 \(A \to A'\)，模 \(I\) 的每个截面 \(\sigma : A' \to A/I\) 都提升为 截面 \(A' \to A\)。由于 \(A \to A'\) 是 étale 的，截面 \(\sigma\) 确定 \(A/I\)-代数的分解 [0EM1]\[\begin{equation} A'/IA' \cong A/I \times C \end{equation}\] 事实上，由 Algebra, Lemma 00U7，满环映射 \(A'/IA' \to A/I\) 是 étale 的；继而由 Algebra, Lemma 00U8 得到所需幂等元。 我们将证明，该分解提升为 \(A\)-代数的分解 [0EM2]\[\begin{equation} A' \cong A'_1 \times A'_2 \end{equation}\] 并且 \(A'_1\) 在 \(A\) 上整。于是 \(A \to A'_1\) 既整又 étale，且 \(A/I \to A'_1/IA'_1\) 是同构；故由引理 0ELZ，\(A \to A'_1\) 是同构 （这里还用到 étale 环映射平坦且有限表示，见 Algebra, Lemma 00U2）。

令 \(B'\) 为 \(A\) 在 \(A'\) 中的整闭包。由引理 09XH，可把它相容于 (0EM1) 地分解为 \(A/I\)-代数 [0EM3]\[\begin{equation} B'/IB' \cong A/I \times C' \end{equation}\] 并可找到提升 \((1, 0)\) 的 \(b \in B'\)，使得 \(B'_b \to A'_b\) 是同构。若分解 (0EM3) 提升为 \(A\)-代数的分解 [0EM4]\[\begin{equation} B' \cong B'_1 \times B'_2 \end{equation}\] 则诱导的分解 \(A' = A'_1 \times A'_2\) 给出所需的 (0EM2)：事实上，由于 \(b\) 是 \(B'_1\) 中的单位元 （略去细节），有 \(B'_1 \cong A'_1\)，因而 \(A'_1\) 在 \(A\) 上整。

选取包含 \(b\) 的有限 \(A\)-子代数 \(B'' \subset B'\)（注意，\(B'\) 的 任意有限生成 \(A\)-子代数都在 \(A\) 上有限）。扩大 \(B''\) 后，可假设 \(b\) 在 \(B''/IB''\) 中映到给出如下分解的幂等元： [0EM5]\[\begin{equation} B''/IB'' \cong C''_1 \times C''_2 \end{equation}\] 由于 \(B'_b \cong A'_b\)，可知 \(B'_b\) 在 \(A\) 上是有限型的。 设 \(B'_b\) 由 \(b_1/b^n, \ldots, b_t/b^n\) 在 \(A\) 上生成；扩大 \(B''\)，使得 \(b_1, \ldots, b_t \in B''\)。于是 \(B''_b \to B'_b\) 既满又单，故是同构。特别地， \(C''_1 = A/I\)！因此 \(A/I \to C''_1\) 是同构，尤其是满射。 由引理 0EM0，可找到形如 \[f(T) = T^n(T - 1) + a_n T^n + \ldots + a_1 T + a_0\] 的 \(f(T) \in A[T]\)，其中 \(a_n, \ldots, a_0 \in I\)、 \(n \ge 1\)，并且 \(f(b) = 0\)。特别地，\(B'\) 是一个 \(A[T]/(f)\)-代数。由 (5)，存在 \(f\) 的根 \(a \in 1 + I\)。 这产生乘积分解 \(A[T]/(f) = A[T]/(T - a) \times D\)，它与 \(B'/IB'\) 的分裂 (0EM3) 相容。由此诱导的 \(B'\) 的分裂即为所需的 (0EM4)。

引理

设 \(A\) 为环。设 \(I, J \subset A\) 为满足 \(V(I) = V(J)\) 的理想。 则 \((A, I)\) 是 Hensel 对当且仅当 \((A, J)\) 是 Hensel 对。

证明

对任意整环映射 \(A \to B\)，有 \(V(IB) = V(JB)\)。故 \(B/IB\) 与 \(B/JB\) 的幂等元一一对应 （Algebra, Lemma 00EE）。 因此，\(B \to B/IB\) 在幂等元集合上诱导双射当且仅当 \(B \to B/JB\) 在幂等元集合上诱导双射。结论由引理 09XI 得出。

引理

设 \((A, I)\) 为 Hensel 对，并设 \(A \to B\) 为整环映射。 则 \((B, IB)\) 是 Hensel 对。

证明

这立即由引理 09XI 中 Hensel 对的 第四个刻画以及整环映射的复合仍为整映射这一事实得出。

引理

设 \(I \subset J \subset A\) 为环 \(A\) 的理想。下列条件等价：

1. \((A, I)\) 与 \((A/I, J/I)\) 都是 Hensel 对；

2. \((A, J)\) 是 Hensel 对。

证明

假设 (1)。令 \(B\) 为整 \(A\)-代数。考虑环映射 \[B \to B/IB \to B/JB\] 由引理 09XI，两个箭头在幂等元上都 诱导双射，故其复合也如此。由引理 09XI，\((A, J)\) 是 Hensel 对。

反之，假设 (2) 成立。由引理 09XK， \((A/I, J/I)\) 是 Hensel 对。令 \(B\) 为整 \(A\)-代数。考虑环映射 \[B \to B/IB \to B/JB\] 由引理 09XI，复合与第二个箭头在 幂等元上诱导双射，故第一个箭头也是如此。因此，再由该引理， \((A, I)\) 是 Hensel 对。

引理

设 \(A\) 为环，且 \((A, I)\) 与 \((A, I')\) 都是 Hensel 对。 则 \((A, I + I')\) 是 Hensel 对。

证明

由引理 09XK，对 \((A/I, (I' + I)/I)\) 是 Hensel 对。因此结论由引理 0DYD 得出。

引理

设 \(J\) 为集合，且 \(\{ (A_j, I_j)\}_{j \in J}\) 为一族对。 则 \((\prod_{j \in J} A_j, \prod_{j\in J} I_j)\) 是 Hensel 对， 当且仅当每个 \((A_j, I_j)\) 都是 Hensel 对。

证明

对每个 \(j \in J\)，投影 \(\prod_{j \in J} A_j \rightarrow A_j\) 是整环映射。因此，若 \((\prod_{j \in J} A_j, \prod_{j\in J} I_j)\) 是 Hensel 对， 则引理 09XK 证明每个 \((A_j, I_j)\) 都是 Hensel 对。

反之，假设每个 \((A_j, I_j)\) 都是 Hensel 对。对任意 \(x \in \prod_{j \in J} I_j\)，元素 \(1 + x\) 在 \(\prod_{j \in J} A_j\) 中是单位元，因为由 Algebra, Lemma 0AME 和定义 09XE，这在每个分量上都成立。 再次由 Algebra, Lemma 0AME， \(\prod_{j \in J} I_j\) 包含于 \(\prod_{j \in J} A_j\) 的 Jacobson 根中。 继续逐分量考察可知，对每个首一多项式 \(f \in (\prod_{j \in J} A_j)[T]\)，以及每个分解 \(\overline{f} = g_0h_0\)，其中首一多项式 \(g_0, h_0 \in (\prod_{j \in J} A_j / \prod_{j \in J} I_j)[T] = (\prod_{j \in J} A_j/I_j)[T]\) 在 \((\prod_{j \in J} A_j / \prod_{j \in J} I_j)[T]\) 中生成单位理想， 都存在 \((\prod_{j \in J} A_j)[T]\) 中的分解 \(f = gh\)，其中 \(g\)、\(h\) 首一且分别约化为 \(g_0\)、\(h_0\)。综上，由定义 09XE， \((\prod_{j \in J} A_j, \prod_{j\in J} I_j)\) 是 Hensel 对。

引理

Hensel 性在对的极限下保持。更确切地说，设 \(J\) 为预序集，并设 \((A_j, I_j)\) 是 \(J\) 上 Hensel 对的逆向系统。则 \(A = \lim A_j\) 配以理想 \(I = \lim I_j\) 所得的对 \((A, I)\) 是 Hensel 对。

证明

由 Categories, Lemma 002N，只需考虑乘积和等化子。 对乘积，断言由引理 0ATD 得出。 因此，考虑等化子图 \[\xymatrix{ (A, I) \ar[r] & (A', I') \ar@<1ex>[r]^{\varphi} \ar@<-1ex>[r]_{\psi} & (A'', I'') }\] 其中对 \((A', I')\) 与 \((A'', I'')\) 都是 Hensel 对。为验证 \((A, I)\) 也是 Hensel 对，我们使用引理 09XI 中 Gabber 的判别准则。 \(1 + I\) 的每个元素都是 \(A\) 中的单位元，因为由单位元之逆的唯一性， 这一点可在 \((A', I')\) 中检验。因此 \(I\) 包含于 \(A\) 的 Jacobson 根中， 见 Algebra, Lemma 0AME。 于是，令 \[f(T) = T^{N - 1}(T - 1) + a_{N - 1} T^{N - 1} + \dotsb + a_1 T + a_0\] 为 \(A[T]\) 中的多项式，其中 \(a_{N - 1}, \dotsc, a_0 \in I\) 且 \(N \ge 1\)。\(f(T)\) 在 \(A'[T]\) 中的像有唯一根 \(\alpha' \in 1 + I'\)，其在 \(A''[T]\) 中的进一步像也 同样如此。因此，由唯一性，\(\varphi(\alpha') = \psi(\alpha')\)； 也就是说，\(\alpha'\) 在 \(1 + I\) 中定义了 \(f(T)\) 的一个根，正合所需。

引理

Hensel 性在对的滤过余极限下保持。更确切地说，设 \(J\) 为有向集， 并设 \((A_j, I_j)\) 是 \(J\) 上 Hensel 对的系统。则 \(A = \colim A_j\) 配以理想 \(I = \colim I_j\) 所得的对 \((A, I)\) 是 Hensel 对。

证明

若 \(u \in 1 + I\)，则对某个 \(j \in J\)，\(u\) 是某个 \(u_j \in 1 + I_j\) 的像。由 Algebra, Lemma 0AME 以及 \(I_j\) 包含于 \(A_j\) 的 Jacobson 根中这一假设，\(u_j\) 在 \(A_j\) 中可逆。因此 \(u\) 在 \(A\) 中 可逆。故由该引理，\(I\) 包含于 \(A\) 的 Jacobson 根中。

设 \(f \in A[T]\) 为首一多项式，并设 \(\overline{f} = g_0 h_0\) 是一个 分解，其中 \(g_0, h_0 \in A/I[T]\) 首一且生成 \(A/I[T]\) 中的单位理想。 对某些 \(g'_0, h'_0 \in A/I[T]\)，写成 \(1 = g_0 g'_0 + h_0 h'_0\)。由于 \(A = \colim A_j\) 与 \(A/I = \colim A_j/I_j\) 都是滤过余极限，可以找到 \(j \in J\)、 \(f_j \in A_j\) 以及分解 \(\overline{f}_j = g_{j, 0} h_{j, 0}\)，其中 \(g_{j, 0}, h_{j, 0} \in A_j/I_j[T]\) 首一，并且对某些 \(g'_{j, 0}, h'_{j, 0} \in A_j/I_j[T]\) 有 \(1 = g_{j, 0} g'_{j, 0} + h_{j, 0} h'_{j, 0}\)；这里 \(f_j, g_{j, 0}, h_{j, 0}, g'_{j, 0}, h'_{j, 0}\) 分别映到 \(f, g_0, h_0, g'_0, h'_0\)。由于 \((A_j, I_j)\) 是 Hensel 对， 可把 \(\overline{f}_j = g_{j, 0} h_{j, 0}\) 提升为 \(A_j\) 上的分解； 取其在 \(A\) 中的像，得到 \(A\) 中的相应分解。因此 \((A, I)\) 是 Hensel 对。

例

若余极限不是滤过的，则引理 0FWT 不成立。 例如，取 Hensel 对 \((\mathbf{Z}_p, (p))\) 与 \((\mathbf{Z}_p, (p))\) 的余积，则得到 \((A, pA)\)，其中 \(A = \mathbf{Z}_p \otimes_\mathbf{Z} \mathbf{Z}_p\)。这不是 Hensel 对： \(A/pA = \mathbf{F}_p\)，故若 \((A, pA)\) 是 Hensel 对，则 \(A\) 必须是 局部环。然而，\(\Spec(A)\) 不连通；例如，对奇素数 \(p\)，有非平凡幂等元 \[(1/2 \otimes 1) \left(1 \otimes 1 - (1 + p)^{-1}u \otimes u\right)\] 其中 \(u \in \mathbf{Z}_p\) 是 \(1 + p\) 的一个平方根。略去一些细节。

引理

设 \(A\) 为环。存在最大的理想 \(I \subset A\)，使得 \((A, I)\) 是 Hensel 对。

证明

结合引理 0DYD、 0G1R 和 0FWT。

引理

设 \((A, I)\) 为 Hensel 对。设 \(\mathfrak p \subset A\) 为素理想。 则 \(V(\mathfrak p + I)\) 连通。

证明

由引理 09XK， \((A/\mathfrak p, I + \mathfrak p/\mathfrak p)\) 是 Hensel 对。 故只需证明：若 \((A, I)\) 是 Hensel 对且 \(A\) 是整环，则 \(\Spec(A/I) = V(I)\) 连通。否则，由 Algebra, Lemma 00EF，\(A/I\) 有非平凡幂等元。 由引理 09XI，这将蕴含 \(A\) 有非平凡 幂等元，矛盾。

对的 Hensel 化

我们继续第 09XD 节开始的讨论。

引理

包含函子 \[\text{category of henselian pairs} \longrightarrow \text{category of pairs}\] 有左伴随 \((A, I) \mapsto (A^h, I^h)\)。

证明

设 \((A, I)\) 为一个对。考虑由 étale 环映射 \(A \to B\) 组成的范畴 \(\mathcal{C}\)，其中 \(A/I \to B/IB\) 是同构。我们将证明范畴 \(\mathcal{C}\) 是有向的，并且令 \(A^h = \colim_{B \in \mathcal{C}} B\)、\(I^h = IA^h\) 给出所需伴随。

先证明 \(\mathcal{C}\) 是有向的 （Categories, Definition 002V）。 它非空，因为 \(\text{id} : A \to A\) 是一个对象。若 \(B\) 与 \(B'\) 是 \(\mathcal{C}\) 的两个对象，则 \(B'' = B \otimes_A B'\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象（使用 Algebra, Lemma 00U2）， 并且存在态射 \(B \to B''\) 与 \(B' \to B''\)。设 \(f, g : B \to B'\) 是 \(\mathcal{C}\) 中两个对象之间的映射。则一个 余等化子是 \[(B' \otimes_{f, B, g} B') \otimes_{(B' \otimes_A B')} B'\] 由 Algebra, Lemmas 00U2 and 00U7，它在 \(A\) 上 étale。 因此范畴 \(\mathcal{C}\) 是有向的。

由于对 \(\mathcal{C}\) 的所有对象 \(B\) 都有 \(B/IB = A/I\)，故 \(A^h/I^h = A^h/IA^h = \colim B/IB = \colim A/I = A/I\)。

下面证明 \(A^h = \colim_{B \in \mathcal{C}} B\) 配以 \(I^h = IA^h\) 是 Hensel 对。为此，验证引理 09XI 的条件 (2)。具体地，设给定 étale 环映射 \(A^h \to A'\) 以及 \(A^h\)-代数映射 \(\sigma : A' \to A^h/I^h\)。则存在 \(B \in \mathcal{C}\) 及 étale 环映射 \(B \to B'\)，使得 \(A' = B' \otimes_B A^h\)，见 Algebra, Lemma 00U2。由于 \(A^h/I^h = A/I\)， 映射 \(\sigma\) 诱导 \(A\)-代数映射 \(s : B' \to A/I\)。于是作为 \(A/I\)-代数有 \(B'/IB' = A/I \times C\)，其中 \(C\) 是由 \(s\) 诱导的 映射 \(B'/IB' \to A/I\) 的核。令 \(g \in B'\) 映到 \((1, 0) \in A/I \times C\)。则 \(B \to B'_g\) 是 étale 的，且 \(A/I \to B'_g/IB'_g\) 是同构；即 \(B'_g\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象。 因此得到典范映射 \(B'_g \to A^h\)，使得 \[\vcenter{ \xymatrix{ B'_g \ar[r] & A^h \\ B \ar[u] \ar[ur] } } \quad\text{且}\quad \vcenter{ \xymatrix{ B' \ar[r] \ar[rrd]_s & B'_g \ar[r] & A^h \ar[d] \\ & & A/I } }\] 交换。这诱导与 \(\sigma\) 相容的映射 \(A' = B' \otimes_B A^h \to A^h\)，正合所需。

设 \((A, I) \to (A', I')\) 为对的态射，且 \((A', I')\) 是 Hensel 对。 我们证明存在唯一分解 \(A \to A^h \to A'\)，从而完成证明。 事实上，对 \(\mathcal{C}\) 中每个 \(A \to B\)，环映射 \(A' \to B' = A' \otimes_A B\) 是 étale 的，并诱导同构 \(A'/I' \to B'/I'B'\)。故由引理 09XI，存在截面 \(\sigma_B : B' \to A'\)。给定 \(\mathcal{C}\) 中的态射 \(B_1 \to B_2\)，我们断言下图交换： \[\xymatrix{ B'_1 \ar[rr] \ar[rd]_{\sigma_{B_1}} & & B'_2 \ar[ld]^{\sigma_{B_2}} \\ & A' }\] 只需证明，对 \(\mathcal{C}\) 中每个 \(B\)，截面 \(\sigma_B\) 是唯一的 \(A'\)-代数映射 \(B' \to A'\)。由 Algebra, Lemma 02FL，对某个环 \(R\) 有 \(B' \otimes_{A'} B' = B' \times R\)。在本情形中，由 \(B'/I'B' = A'/I'\) 有 \(R/I'R = 0\)。因此，给定两个 \(A'\)-代数映射 \(\sigma_B, \sigma_B' : B' \to A'\)，则 \(e = (\sigma_B \otimes \sigma_B')(0, 1) \in A'\) 是包含于 \(I'\) 的 幂等元。由引理 09XF， \(e = 0\)。故 \(\sigma_B = \sigma_B'\)，正合所需。 利用交换性，得到 \[A^h = \colim_{B \in \mathcal{C}} B \to \colim_{B \in \mathcal{C}} A' \otimes_A B \xrightarrow{\colim \sigma_B} A'\] 正合所需。映射 \(\sigma_B\) 的唯一性还保证该映射唯一。 故 \((A, I) \mapsto (A^h, I^h)\) 是所需伴随。

引理

设 \((A, I)\) 为一个对。令 \((A^h, I^h)\) 如引理 0A02 所述。则 \(A \to A^h\) 平坦， \(I^h = IA^h\)，并且对所有 \(n\)，\(A/I^n \to A^h/I^nA^h\) 都是同构。

证明

在引理 0A02 的证明中，我们已经看到，\(A^h\) 是 满足 \(A/I \to B/IB\) 为同构的 étale \(A\)-代数 \(B\) 的滤过余极限， 并且 \(I^h = IA^h\)。由于 étale 环映射平坦 （Algebra, Lemma 00U2），由 Algebra, Lemma 05UT 可知 \(A \to A^h\) 平坦。 由于每个 \(A \to B\) 都平坦，映射 \(A/I^n \to B/I^nB\) 也都是同构 （例如由 Algebra, Lemma 051H）。 取余极限，得到 \(A/I^n = A^h/I^nA^h\)，正合所需。

引理

引理 0A02 的函子把局部环 \((A, \mathfrak m)\) 映为其 Hensel 化。

证明

令 \((A^h, \mathfrak m^h)\) 为引理 0A02 中构造的 对 \((A, \mathfrak m)\) 的 Hensel 化。由引理 0AGU，\(\mathfrak m^h = \mathfrak m A^h\) 是极大 理想；又因它包含于 Jacobson 根中，我们推出 \(A^h\) 是以 \(\mathfrak m^h\) 为极大理想的局部环。说完这些，有两种方法完成证明。

第一种证明：注意，在 Algebra, Lemma 04GN 的证明中作为余极限的构造，与引理 0A02 中用于构造 \(A^h\) 的余极限相同。 第二种证明：Hensel 化 \(A \to S\) 与引理 0A02 的 \(A \to A^h\) 都是局部环同态； \(S\) 与 \(A^h\) 都是 étale \(A\)-代数的滤过余极限；\(S\) 与 \(A^h\) 都是 Hensel 局部环；并且 \(S\) 与 \(A^h\) 的剩余域都等于 \(\kappa(\mathfrak m)\)（第二种情形使用引理 0AGU）。因此，由 Algebra, Lemma 08HT，它们典范同构。

引理

设 \((A, I)\) 为一个对，且 \(A\) 为 Noether 环。令 \((A^h, I^h)\) 如引理 0A02 所述。则 \(I\)-进完备化之间的映射 \[A^\wedge \to (A^h)^\wedge\] 是同构。此外，\(A^h\) 是 Noether 环，映射 \(A \to A^h \to A^\wedge\) 都平坦，且 \(A^h \to A^\wedge\) 忠实平坦。

证明

第一个断言立即由引理 0AGU 得出，事实上无需 假设 \(A\) 是 Noether 环。在引理 0A02 的证明中， 我们已经看到，\(A^h\) 是满足 \(A/I \to B/IB\) 为同构的 étale \(A\)-代数 \(B\) 的滤过余极限。对每个这样的 \(A \to B\)，诱导映射 \(A^\wedge \to B^\wedge\) 是同构 （见引理 0AGU 的证明）。 由 Algebra, Lemma 00MB，对每个 \(B\)， 环映射 \(B \to A^\wedge = B^\wedge = (A^h)^\wedge\) 都平坦。 因此，由 Algebra, Lemma 05UU， \(A^h \to A^\wedge = (A^h)^\wedge\) 平坦。由于 \(I^h = IA^h\) 包含于 \(A^h\) 的 Jacobson 根中，并且 \(A^h \to A^\wedge\) 诱导同构 \(A^h/I^h \to A/I\)，由 Algebra, Lemma 00HP，\(A^h \to A^\wedge\) 忠实平坦。 由 Algebra, Lemma 0316， 环 \(A^\wedge\) 是 Noether 环。故由 Algebra, Lemma 033E，\(A^h\) 是 Noether 环。

引理

设 \((A, I) = \colim (A_i, I_i)\) 是对的滤过余极限。引理 0A02 的函子给出 \(A^h = \colim A_i^h\) 和 \(I^h = \colim I_i^h\)。

对非滤过余极限，此引理不成立，见例 0FWU。

证明

由 Categories, Lemma 0038， \((A^h, I^h)\) 是系统 \((A_i^h, I_i^h)\) 在 Hensel 对范畴中的余极限。 因此，对 Hensel 对 \((B, J)\)，有 \[\Mor((A^h, I^h), (B, J)) = \lim \Mor((A_i^h, I_i^h), (B, J)) = \Mor(\colim (A_i^h, I_i^h), (B, J))\] 这里余极限取在对的范畴中。由于该余极限滤过，在对的范畴中有 \(\colim (A_i^h, I_i^h) = (\colim A_i^h, \colim I_i^h)\)；略去细节。 再次利用余极限滤过，可知这是 Hensel 对（引理 0FWT）。故由 Yoneda 引理， \((A^h, I^h) = (\colim A_i^h, \colim I_i^h)\)。

引理

设 \(A\) 为环，\(I\) 和 \(J\) 是其理想。若 \(V(I) = V(J)\)，则引理 0A02 的函子对 \((A, I)\) 与 \((A, J)\) 产生同一个环。

证明

令 \((A', IA')\) 为从对 \((A, I)\) 出发由引理 0A02 产生的对，见引理 0AGU。令 \((A'', JA'')\) 为从对 \((A, J)\) 出发由 引理 0A02 产生的对。由引理 09XJ，\((A', JA')\) 与 \((A'', IA'')\) 都是 Hensel 对。由该构造的泛性质，得到唯一的 \(A\)-代数映射 \(A'' \to A'\) 与 \(A' \to A''\)。唯一性表明它们互为逆映射。

引理

设 \((A, I) \to (B, J)\) 为满足 \(V(J) = V(IB)\) 的对的映射。 令 \((A^h , I^h) \to (B^h, J^h)\) 为 Hensel 化上诱导的映射 （引理 0A02）。若 \(A \to B\) 是整的，则诱导映射 \(A^h \otimes_A B \to B^h\) 是同构。

证明

由引理 0F0L，可假设 \(J = IB\)。 由引理 09XK，对 \((A^h \otimes_A B, I^h(A^h \otimes_A B))\) 是 Hensel 对。 由 \((B^h, IB^h)\) 的泛性质，得到映射 \(B^h \to A^h \otimes_A B\)。我们略去证明该映射是引理中映射的逆。

引理

设 \(I_1, I_2, \dots, I_n \subset A\) 为环 \(A\) 的理想。假设对 \(i \not = j\)、\(1 \leq i, j \leq n\) 有 \(I_i + I_j = A\)。 以 \(A^h\) 表示对 \((A, I_1 \cap \ldots \cap I_n)\) 的 Hensel 化， 以 \(A_i^h\) 表示对 \((A, I_i)\) 的 Hensel 化。则自然态射 \[A^h \to \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} A^h_i\] 是同构。

证明

该映射来自构造的函子性。若 \(n = 1\)，结论立即成立。若 \(n > 1\)， 注意，由理想所满足的条件， \((I_1 \cap \ldots \cap I_{n - 1}) + I_n = A\)。因此，只要证明 \(n = 2\) 的情形，引理对所有 \(n\) 即由归纳法成立。

考虑 \(n = 2\)。选取 \(f_i \in I_i\)，使得 \(f_1 + f_2 = 1\)。 回顾 \(A^h\) 构造为如下 \(A\)-代数 \(B\) 的余极限：\(A \to B\) 是 étale 的，且 \(A/I_1 \cap I_2 \to B/(I_1 \cap I_2)B\) 是同构。 见引理 0A02 的证明。以 \(Hens\) 表示这样的 \(A\)-代数 \(B\) 所成的范畴。类似地，以 \(Hens_i\)、\(i = 1, 2\) 表示如下 étale \(A\)-代数 \(B\) 的范畴：\(A/I_i \to B/I_iB\) 是同构。

考虑由满足 \(f_2\) 可逆的那些 \(B\) 组成的子范畴 \(Hens_1(f_2) \subset Hens_1\)。这是余终子范畴，因为若 \(B\) 属于 \(Hens_1\)，则 \(B_{f_2}\) 也属于 \(Hens_1\) （提示：\(B_{f_2}/I_1B_{f_2} = (B/I_1B)_{f_2} = B/I_1B\)，因为 \(f_2\) 模 \(I_1\) 是单位元）。类似地，子范畴 \(Hens_2(f_1) \subset Hens_2\) 是余终的。因此，为计算 \(A_1^h\) 与 \(A_2^h\)，可以使用这些较小的范畴，见 Categories, Lemma 04E7。

考虑函子 \[Hens_1(f_2) \times Hens_2(f_1) \to Hens,\quad (B_1, B_2) \mapsto B_1 \times B_2\] 该函子有定义，因为 \[\begin{align*} (B_1 \times B_2)/(I_1 \cap I_2)(B_1 \times B_2) & = B_1/(I_1 \cap I_2)B_1 \times B_2/(I_1 \cap I_2)B_2 \\ & = B_1/I_1B_1 \times B_2/I_2B_2 \\ & = A/I_1 \times A/I_2 \\ & = A/(I_1 \cap I_2) \end{align*}\] 第二个等号成立，是因为 \(f_2 \in I_2\) 在 \(B_1\) 中可逆，从而 \((I_1 \cap I_2)B_1 = I_1B_1 \cap I_2B_1 = I_1B_1\) （这里还使用了 Algebra, Lemma 0BBY）。最后一个等号由 Algebra, Lemma 00DT 得出。 要完成证明，只需证明所显示的函子余终（见上面引用的引理）。 Categories, Definition 04E6 的第一个条件成立， 因为 \(Hens\) 的对象 \(B\) 映到 \(B_{f_2} \times B_{f_1}\)，而后者在该函子的 像中。第二个条件总是成立，因为若有 \(B \to B_1 \times B_2\) 和 \(B \to B'_1 \times B'_2\)，其中 \(B_1, B'_1 \in Hens_1(f_2)\) 且 \(B_2, B'_2 \in Hens_2(f_1)\)，则可令 \(B''_1 = B_1 \otimes_B B'_1\)，它属于 \(Hens_1(f_2)\)；类似地，令 \(B''_2 = B_2 \otimes_B B''_2\)，它属于 \(Hens_2(f_1)\)，从而找到适配于 下列交换图的映射 \(B \to B''_1 \times B''_2\)： \[\xymatrix{ & B \ar[ld] \ar[d] \ar[rd] \\ B_1 \times B_2 \ar[r] & B_1'' \times B_2'' & B_1' \times B_2' \ar[l] }\] 这就完成了证明。

提升与 Hensel 对

本节主要结合第 07LW 节和第 09XD 节的结果。

引理

设 \((R, I)\) 为 Hensel 对。映射 \[P \longrightarrow P/IP\] 诱导有限投射 \(R\)-模的同构类集合与有限投射 \(R/I\)-模的同构类集合 之间的双射。特别地，任意有限投射 \(R/I\)-模都同构于某个有限投射 \(R\)-模 \(P\) 的 \(P/IP\)。

证明

先证明最后一个断言。令 \(\overline{P}\) 为有限投射 \(R/I\)-模。 由引理 07M5，可以找到某个在 \(R\) 上 étale 的 \(R'\) 上的有限投射模 \(P'\)，其中 \(R/I = R'/IR'\)，且 \(P'/IP'\) 同构于 \(\overline{P}\)。由于 \((R, I)\) 是 Hensel 对， étale 环映射 \(R \to R'\) 有截面 \(\tau : R' \to R\) （引理 09XI）。令 \(P = P' \otimes_{R', \tau} R\)，便推出 \(P/IP\) 同构于 \(\overline{P}\)。当然，这说明引理陈述中的映射是满的。

单射性。假设 \(P_1\) 与 \(P_2\) 是有限投射 \(R\)-模，并且作为 \(R/I\)-模有 \(P_1/IP_1 \cong P_2/IP_2\)。由于 \(P_1\) 投射，可找到提升 该同构的 \(R\)-模映射 \(u : P_1 \to P_2\)。由 Nakayama 引理 （Algebra, Lemma 00DV），\(u\) 是满射。 类似地，可找到满射 \(v : P_2 \to P_1\)。由 Algebra, Lemma 05G8，映射 \(v \circ u\) 是同构，因此 \(u\) 是同构。

引理

设 \((A, I)\) 为 Hensel 对。函子 \(B \to B/IB\) 确定有限 étale \(A\)-代数与有限 étale \(A/I\)-代数之间的等价。

证明

设 \(B, B'\) 为两个在 \(A\) 上有限 étale 的 \(A\)-代数。 则 \(B' \to B'' = B \otimes_A B'\) 也有限 étale （Algebra, Lemmas 00U2 and 02JK）。现在，下列对象之间存在 \(1\) 对 \(1\) 的对应：

1. \(A\)-代数映射 \(B \to B'\)；

2. \(B' \to B''\) 的截面；

3. \(B''\) 的幂等元 \(e\)，使得 \(B' \to B'' \to eB''\) 是同构。

(2) 与 (3) 之间的双射把 \(\sigma : B'' \to B'\) 映到 \(e\)，其中 \((1 - e)\) 是生成 \(\sigma\) 之核的幂等元；它的存在性由 Algebra, Lemmas 00U7 and 00U8 给出。 类似地，\(A/I\)-代数映射 \(B/IB \to B'/IB'\) 与 \(B''/IB''\) 的幂等元 \(\overline{e}\) 之间也有对应，其中 \(B'/IB' \to B''/IB'' \to \overline{e}(B''/IB'')\) 是同构。 然而，\(B''/IB''\) 的每个幂等元 \(\overline{e}\) 都唯一提升为 \(B''\) 的幂等元 \(e\)（引理 09XI）。 此外，若 \(B'/IB' \to \overline{e}(B''/IB'')\) 是同构，则由 Nakayama 引理（Algebra, Lemma 00DV）， \(B' \to eB''\) 也是同构。由此可见，该函子是全忠实的。

本质满性。设 \(A/I \to C\) 为有限 étale 映射。由 Algebra, Lemma 04D1，存在 étale 映射 \(A \to B\)，使得 \(B/IB \cong C\)。令 \(B'\) 为 \(A\) 在 \(B\) 中的整闭包。由引理 09XH，对某个环 \(C'\) 有 \(B'/IB' = C \times C'\)，并且对某个映到 \((1, 0) \in C \times C'\) 的 \(g \in B'\)，有 \(B'_g \cong B_g\)。 由于幂等元可以提升（引理 09XI）， 得到 \(B' = B'_1 \times B'_2\)，其中 \(C = B'_1/IB'_1\) 且 \(C' = B'_2/IB'_2\)。\(g\) 在 \(B'_1\) 中的像可逆。于是 \(B_g = B'_g = B'_1 \times (B_2)_g\)，这蕴含 \(A \to B'_1\) 是 étale 的。我们推出 \(B'_1\) 在 \(A\) 上有限 étale （例如，由 Algebra, Lemma 02JJ，整且 étale 蕴含有限 étale），证明完成。

引理

设 \(R\) 为环，\(S\) 为光滑 \(R\)-代数。假设 \(A\) 是 \(R\)-代数，且 \((A,I)\) 是 Hensel 对。则任意 \(R\)-代数映射 \(S \to A/I\) 都可提升为 \(R\)-代数映射 \(S \to A\)。

证明

设 \(\tau : S \to A/I\) 为 \(R\)-代数映射。注意，由 Algebra, Lemma 00T4，\(S \otimes_R A\) 是光滑 \(A\)-代数。因此，由引理 07M7， 可将诱导映射 \(S \otimes_R A \to A/I\) 提升为 \(A\)-代数同态 \(S \otimes_R A \to A'\)，其中 \(A \to A'\) 是 étale 的，并诱导同构 \(A/I \to A'/IA'\)。由于 \((A, I)\) 是 Hensel 对，存在 \(A\)-代数映射 \(A' \to A\)，见引理 09XI。 复合 \(S \to S \otimes_R A \to A' \to A\) 即为所需提升。

引理

设 \(A = \lim A_n\) 是环的逆向系统 \((A_n)\) 的极限。假设给定 \(A_n\)-模 \(M_n\) 以及 \(A_{n + 1}\)-模映射 \(M_{n + 1} \to M_n\)。假设：

1. 转移映射 \(A_{n + 1} \to A_n\) 是满射且核局部幂零；

2. \(M_1\) 是有限投射 \(A_1\)-模；

3. \(M_n\) 是有限平坦 \(A_n\)-模；

4. 这些映射诱导同构 \(M_{n + 1} \otimes_{A_{n + 1}} A_n \to M_n\)。

则 \(M = \lim M_n\) 是有限投射 \(A\)-模，并且对所有 \(n\)， \(M \otimes_A A_n \to M_n\) 都是同构。

证明

由引理 0CT7，对 \((A, \Ker(A \to A_1))\) 是 Hensel 对。由引理 0D4A，可选取有限投射 \(A\)-模 \(P\) 以及同构 \(P \otimes_A A_1 \to M_1\)。由于 \(P\) 投射，可逐次将 \(A\)-模映射 \(P \to M_1\) 提升为 \(A\)-模映射 \(P \to M_2\)、\(P \to M_3\)，依此类推。由此得到映射 \[P \longrightarrow M\] 由于 \(P\) 有限投射，对某个 \(m \geq 0\) 和某个 \(A\)-模 \(Q\)，可写成 \(A^{\oplus m} = P \oplus Q\)。由于 \(A = \lim A_n\)，得到 \(P = \lim P \otimes_A A_n\)。因此，为证明所显示的 \(A\)-模映射是同构， 只需证明映射 \(P \otimes_A A_n \to M_n\) 是同构。由引理 0D48 可知 \(M_n\) 是有限投射模。由引理 0BC6，映射 \(P \otimes_A A_n \to M_n\) 是同构。

绝对整闭包

下面给出我们的定义。

定义

若每个首一多项式 \(f \in A[T]\) 都是一次因子的乘积，则称环 \(A\) 绝对整闭。

请注意：\(f\) 可能能够以许多不同方式写成一次因子的乘积。

引理

设 \(A\) 为环。下列条件等价：

1. \(A\) 绝对整闭；

2. 任意首一多项式 \(f \in A[T]\) 在 \(A\) 中都有根。

证明

略。

引理

设 \(A\) 绝对整闭。

1. \(A\) 的任意商环 \(A/I\) 都绝对整闭。

2. 任意局部化 \(S^{-1}A\) 都绝对整闭。

证明

略。

引理

设 \(A\) 为环。设 \(S \subset A\) 为由非零因子组成的乘法子集。 若 \(S^{-1}A\) 绝对整闭，且 \(A \subset S^{-1}A\) 在 \(S^{-1}A\) 中整闭， 则 \(A\) 绝对整闭。

证明

略。

引理

设 \(A\) 为正规整环。则 \(A\) 绝对整闭当且仅当其分式域代数闭。

证明

注意，一个域代数闭当且仅当它作为环绝对整闭。因此该引理由引理 0DCN 和 0DCP 得出。

引理

对任意环 \(A\)，存在扩张 \(A \subset B\)，使得：

1. \(B\) 是有限自由 \(A\)-代数的滤过余极限；

2. \(B\) 作为 \(A\)-模自由；

3. \(B\) 绝对整闭。

证明

令 \(I\) 为 \(A\) 上所有首一多项式所成的集合。对 \(i \in I\)，以 \(x_i\) 表示一个变量，以 \(P_i\) 表示变量 \(x_i\) 中相应的首一多项式。 然后令 \[F(A) = A[x_i; i \in I]/(P_i; i \in I)\] 正如记号所表明的，\(F\) 是从环范畴到自身的函子。注意 \(A \subset F(A)\)，\(F(A)\) 作为 \(A\)-模自由，并且 \(F(A)\) 是有限自由 \(A\)-代数的滤过余极限。然后取 \[B = \colim F^n(A)\] 其中转移映射是包含映射 \(F^n(A) \subset F(F^n(A)) = F^{n + 1}(A)\)。系数属于 \(B\) 的任意 首一多项式实际上对某个 \(n\) 具有属于 \(F^n(A)\) 的系数，因而由构造， 它在 \(F^{n + 1}(A)\) 中有解。由引理 0DCM，这蕴含 \(B\) 绝对整闭。 其他性质的证明从略。

引理

设 \(A\) 绝对整闭。设 \(\mathfrak p \subset A\) 为素理想。 则局部环 \(A_\mathfrak p\) 是严格 Hensel 的。

证明

由引理 0DCN， 可假设 \(A\) 是局部环，且 \(\mathfrak p\) 是其极大理想。再由引理 0DCN，剩余域代数闭。 每个首一多项式都完全分解为一次因子，故可直接应用 Algebra, Definition 04GF。

引理

设 \(A\) 绝对整闭。设 \(I \subset A\) 为理想。若（且仅若）下列条件成立， 则 \((A, I)\) 是 Hensel 对：

1. \(I\) 包含于 \(A\) 的 Jacobson 根中；

2. \(A \to A/I\) 在幂等元上诱导双射。

证明

设 \(f \in A[T]\) 为首一多项式，并设 \(f \bmod I = g_0 h_0\) 是 \(A/I\) 上的一个分解，其中 \(g_0\)、\(h_0\) 首一， 且 \(g_0\) 与 \(h_0\) 在 \(A/I[T]\) 中生成单位理想。这意味着 \[A/I[T]/(f) = A/I[T]/(g_0) \times A/I[T]/(h_0)\] 以 \(e \in A/I[T]/(f)\) 表示对应于右侧环中幂等元 \((1, 0)\) 的元素。 写成 \(f = (T - a_1) \ldots (T - a_d)\)，其中 \(a_i \in A\)。 对每个 \(i \in \{1, \ldots, d\}\)，得到 \(A\)-代数映射 \(\varphi_i : A[T]/(f) \to A\)、\(T \mapsto a_i\)，它诱导类似的 \(A/I\)-代数映射 \(\overline{\varphi}_i : A/I[T]/(f) \to A/I\)。 令 \(e_i = \overline{\varphi}_i(e) \in A/I\)。这些都是幂等元。 由假设 (2)，可将 \(e_i\) 提升为 \(A\) 中的幂等元。这意味着可将 \(A = \prod A_j\) 写成环的有限乘积，使得在 \(A_j/IA_j\) 中，每个 \(e_i\) 都是 \(0\) 或 \(1\)。略去一些细节。注意，\(A_j\) 作为 \(A\) 的 因子环绝对整闭。只需把 \(f\) 在 \(A_j/IA_j\) 上的分解提升到 \(A_j\)。 这将我们归结到下一段讨论的情形。

假设对 \(i = 1, \ldots, r\) 有 \(e_i = 1\)，而对 \(i = r + 1, \ldots, d\) 有 \(e_i = 0\)。由 \((g_0, h_0) = A/I[T]\)，存在 \(k_0, l_0 \in A/I[T]\)，使得 \(g_0 k_0 + h_0 l_0 = 1\)。可见 \(e = h_0 l_0\) 且 \(e_i = h_0(a_i) l_0(a_i)\)。于是对 \(i = 1, \dots ,r\)， \(h_0(a_i)\) 是单位元。由于 \(f(a_i) = 0\)，有 \(0 = h_0(a_i)g_0(a_i)\)，从而对 \(i = 1, \ldots, r\) 有 \(g_0(a_i) = 0\)。因此 \((T - a_1)\) 在 \(A/I[T]\) 中整除 \(g_0\)；设 \(g_0 = (T - a_1) g_0'\)。令 \(f' = (T - a_2) \ldots (T - a_d)\) 且 \(h'_0 = h_0\)。 对 \(d\) 归纳，可将分解 \(f' \bmod I = g'_0 h'_0\) 提升为 \(A\) 上的分解 \(f' = g' h'\)；它给出分解 \(f = (T - a_1) g' h'\)，提升给定分解 \(f \bmod I = g_0 h_0\)，正合所需。

自伴随环

部分材料见 [Autour]。

定义

若 \(R\) 是局部环，且其极大理想 \(\mathfrak m\) 弱伴随于 \(R\)，则称环 \(R\) 是自伴随的。

引理

自伴随环 \(R\) 具有下列性质：(P) 每个真有限生成理想 \(I \subset R\) 都有非零零化子。

证明

由假设，存在非零元素 \(x \in R\)，使得对每个 \(f \in \mathfrak m\) 都有 \(f^n x = 0\)。设 \(I = (f_1, \ldots, f_r)\)。 则 \(x\) 属于 \(R \to \bigoplus R_{f_i}\) 的核。因此，由 Algebra, Lemma 0565，存在非零 \(y \in R\)，使得对 所有 \(i\) 都有 \(f_i y = 0\)。由于 \(y \in \text{Ann}_R(I)\)，证毕。

引理

设 \(R\) 为具有引理 05GN 中性质 (P) 的环。 设 \(u : N \to M\) 为投射 \(R\)-模的同态。则 \(u\) 普遍单射当且仅当 \(u\) 是单射。

证明

假设 \(u\) 是单射。我们的目标是证明 \(u\) 普遍单射。先选取模 \(Q\)， 使得 \(N \oplus Q\) 自由。考察映射 \(N \oplus Q \to M \oplus Q\) 可知，只需在 \(N\) 自由时证明该引理。 在此情形中，\(N\) 是有限自由 \(R\)-模的有向余极限。因此归结到 \(N\) 为有限自由 \(R\)-模的情形，设 \(N = R^{\oplus n}\)。对 \(n\) 归纳 证明引理。\(n = 0\) 的情形是平凡的。

设 \(u : R^{\oplus n} \to M\) 为单射模映射，其中 \(M\) 投射。 选取 \(R\)-模 \(Q\)，使得 \(M \oplus Q\) 自由。以复合 \(R^{\oplus n} \to M \to M \oplus Q\) 替换 \(u\) 后，可假设 \(M\) 自由。 于是可找到直和因子 \(R^{\oplus m} \subset M\)，使得 \(u(R^{\oplus n}) \subset R^{\oplus m}\)。故可假设 \(M = R^{\oplus m}\)。此时 \(u\) 由矩阵 \(A = (a_{ij})\) 给出，满足 \(u(x_1, \ldots, x_n) = (\sum x_i a_{i1}, \ldots, \sum x_i a_{im})\)。 由于 \(u\) 是单射，特别地，若 \(x \not = 0\)，则 \(u(x, 0, \ldots, 0) = (xa_{11}, xa_{12}, \ldots, xa_{1m}) \not = 0\)； 又因 \(R\) 具有性质 (P)，可知 \(a_{11}R + a_{12}R + \ldots + a_{1m}R = R\)。由此可见， \(R(a_{11}, \ldots, a_{1m}) \subset R^{\oplus m}\) 是 \(R^{\oplus m}\) 的直和因子；特别地， \(R^{\oplus m}/R(a_{11}, \ldots, a_{1m})\) 是投射 \(R\)-模。 得到交换图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & R \ar[rr] \ar[d]^1 & & R^{\oplus n} \ar[r] \ar[d]^u & R^{\oplus n - 1} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & R \ar[rr]^{(a_{11}, \ldots, a_{1m})} & & R^{\oplus m} \ar[r] & R^{\oplus m}/R(a_{11}, \ldots, a_{1m}) \ar[r] & 0 }\] 其两行均分裂正合。因此右侧竖直箭头是单射；应用归纳假设，得到 右侧竖直箭头普遍单射。由此中间的竖直箭头普遍单射。

引理

设 \(R\) 为环。下列条件等价：

1. \(R\) 具有引理 05GN 中的性质 (P)；

2. 投射 \(R\)-模的任意单射都是普遍单射；

3. 若 \(u : N \to M\) 是单射，且 \(N\)、\(M\) 是有限投射 \(R\)-模， 则 \(\Coker(u)\) 是有限投射 \(R\)-模；

4. 若 \(N \subset M\)，且 \(N\)、\(M\) 作为 \(R\)-模有限投射， 则 \(N\) 是 \(M\) 的直和因子；

5. 任意单射 \(R \to R^{\oplus n}\) 都是分裂单射。

证明

(1) \(\Rightarrow\) (2) 是引理 05GP。 显然，(3) 与 (4) 等价。由 Algebra, Lemma 058L，有 (2) \(\Rightarrow\) (3)、(4)。第 (5) 项是 (4) 的特殊情形。 假设 (5)。设 \(I = (a_1, \ldots, a_n)\) 为 \(R\) 的真有限生成理想。 由于 \(I \not = R\)，映射 \(R \to R^{\oplus n}\)、 \(x \mapsto (xa_1, \ldots, xa_n)\) 不是分裂单射。因此它有非零核， 从而 \(\text{Ann}_R(I) \not = 0\)。故 (1) 成立。

例

即使引理 05GQ 中的等价条件成立，也不总是每个自由 \(R\)-模之间的单射都是分裂单射。例如，设 \(R = k[x_1, x_2, x_3, \ldots]/(x_i^2)\)。这是一个自伴随环。考虑自由 \(R\)-模之间的映射 \[u : \bigoplus\nolimits_{i \geq 1} Re_i \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \geq 1} Rf_i, \quad e_i \longmapsto f_i - x_if_{i + 1}.\] 对任意整数 \(n\)，\(u\) 在 \(\bigoplus_{i = 1, \ldots, n} Re_i\) 上的限制 是单射，因为像 \(u(e_1), \ldots, u(e_n)\) 在 \(R\) 上线性无关。 因此 \(u\) 是单射，从而由该引理它普遍单射。由于 \(u \otimes \text{id}_k\) 是双射，可知若 \(u\) 是分裂单射，则 \(u\) 将为 满射。但 \(u\) 不是满射，因为 \(f_1\) 的逆像将是元素 \[\sum\nolimits_{i \geq 0} x_1 \ldots x_ie_{i + 1} = e_1 + x_1e_2 + x_1x_2e_3 + \ldots\] 而它不属于该直和。顺便指出，\(\Coker(u)\) 是可数生成的平坦 \(R\)-模（因为 \(u\) 普遍单射），但它不是投射模（因为 \(u\) 不分裂）， 因而不是 Mittag-Leffler 模（见 Algebra, Lemma 059X）。

在局部环为 Noether 环的情形，下列引理是 Algebra, Proposition 00N1 的特殊情形。

引理

设 \((R, \mathfrak m)\) 为局部环。假设 \(\varphi : R^m \to R^n\) 是有限自由模之间的映射。下列条件等价：

1. \(\varphi\) 是单射；

2. \(\varphi\) 的秩为 \(m\)，且 \(I(\varphi)\) 在 \(R\) 中的零化子为零。

若 \(R\) 为 Noether 环，则它们还等价于：

1. \(\varphi\) 的秩为 \(m\)，且 \(I(\varphi) = R\)，或它包含一个非零因子。

这里 \(\varphi\) 的秩与 \(I(\varphi)\) 如 Algebra, Definition 00MV 中所定义。

证明

若 \(\varphi\) 的某个矩阵系数不属于 \(\mathfrak m\)，则应用 Algebra, Lemma 00MT，把 \(\varphi\) 写成 \(1 : R \to R\) 与映射 \(\varphi' : R^{m-1} \to R^{n-1}\) 的和。容易看出，对 \(\varphi'\) 成立的引理蕴含对 \(\varphi\) 成立的引理。因此从一开始即可假设 \(\varphi\) 的所有矩阵系数都属于 \(\mathfrak m\)。

假设 \(\varphi\) 是单射。可假设 \(m > 0\)。设 \(\mathfrak q \in \text{WeakAss}(R)\)，从而 \(R_\mathfrak q\) 是 自伴随环。于是 \(\varphi\) 诱导单射 \(R_\mathfrak q^m \to R_\mathfrak q^n\)；由引理 05GN 和 05GP， 该映射普遍单射。因此 \(\varphi : \kappa(\mathfrak q)^m \to \kappa(\mathfrak q)^n\) 是单射。 故 \(\varphi \bmod \mathfrak q\) 的秩为 \(m\)，且 \(I(\varphi \otimes \kappa(\mathfrak q))\) 不是零理想。由于 \(m\) 是 \(\varphi\) 可能具有的最大秩，我们推出 \(\varphi\) 的秩也为 \(m\) （矩阵的秩在基变换后只能下降）。因此 \(I(\varphi) \cdot \kappa(\mathfrak q) = I(\varphi \otimes \kappa(\mathfrak q))\) 非零。 所以 \(I(\varphi)\) 不包含于 \(\mathfrak q\)。于是 \(R\) 的弱伴随素理想 没有一个是 \(R\)-模 \(\text{Ann}_R I(\varphi)\) 的弱伴随素理想。 故 \(\text{Ann}_R I(\varphi)\) 没有弱伴随素理想，见 Algebra, Lemma 0548。由 Algebra, Lemma 0588，\(\text{Ann}_R I(\varphi)\) 为零。

反之，假设 (2)。秩为 \(m\) 蕴含 \(n \geq m\)。写成 \(I(\varphi) = (f_1, \ldots, f_r)\)；这是可能的，因为 \(I(\varphi)\) 有限生成。由 Algebra, Lemma 07DQ，可以找到映射 \(\psi_i : R^n \to R^m\)，使得 \(\psi \circ \varphi = f_i \text{id}_{R^m}\)。因此 \(\varphi(x) = 0\) 蕴含对 \(i = 1, \ldots, r\) 有 \(f_i x = 0\)。 这蕴含 \(x = 0\)，故 \(\varphi\) 是单射。

关于 Noether 局部情形中 (1) 与 (3) 的等价性，参见 Algebra, Proposition 00N1。 若环 \(R\) 是 Noether 环但非局部环，读者可由局部情形推出它； 略去细节。另一种方法是使用伴随素理想重做上述论证，并使用下列事实： 伴随素理想只有有限多个；素理想回避成立；Noether 环的非零因子恰为 不包含于任何伴随素理想的元素。

引理

设 \(R\) 为环。假设 \(\varphi : R^n \to R^n\) 是相同秩的有限自由模之间的 单射。则 \(\Hom_R(\Coker(\varphi), R) = 0\)。

证明

令 \(\varphi^t : R^n \to R^n\) 为 \(\varphi\) 的转置。引理断言 \(\varphi^t\) 是单射。使用引理 00MX 的记号可知， \(\varphi^t\) 的秩为 \(n\)，且 \(I(\varphi) = I(\varphi^t)\)。 因此结论由该引理中 (1) 与 (2) 的等价性得出。

平坦化分层

设 \(R \to S\) 为环映射，\(M\) 为 \(S\)-模。对任意 \(R\)-代数 \(R'\)， 可以考虑基变换 \(S' = S \otimes_R R'\) 与 \(M' = M \otimes_R R'\)。若模 \(M'\) 在 \(R'\) 上平坦，则称 \(R \to R'\) 使 \(M\) 平坦。我们希望理解使 \(M\) 平坦的环映射 \(R \to R'\) 所成集合的结构。特别地，我们希望知道是否存在 \(M\) 的普遍平坦化 \(R \to R_{univ}\)；也就是说，是否存在 使 \(M\) 平坦的环映射 \(R \to R_{univ}\)，并且任何使 \(M\) 平坦的环映射 \(R \to R'\) 都通过 \(R \to R_{univ}\) 分解。事实表明，这样的普遍解 通常不存在。

我们将在 More on Flatness, Section 052F 中， 在概形论设定 \(\mathcal{F}/X/S\) 下讨论普遍平坦化与 平坦化分层。若普遍平坦化 \(R \to R_{univ}\) 存在，则概形态射 \(\Spec(R_{univ}) \to \Spec(R)\) 是 \(\Spec(S)\) 上拟凝聚模 \(\widetilde{M}\) 的普遍平坦化。

在本节及接下来的几节中，我们证明一些与此有关的基本代数事实。 最基本的结果也许是下面这个。

引理

设 \(R\) 为环，\(M\) 为 \(R\)-模，\(I_1\)、\(I_2\) 为 \(R\) 的理想。若 \(M/I_1M\) 在 \(R/I_1\) 上平坦，且 \(M/I_2M\) 在 \(R/I_2\) 上平坦， 则 \(M/(I_1 \cap I_2)M\) 在 \(R/(I_1 \cap I_2)\) 上平坦。

证明

以 \(R/(I_1 \cap I_2)\) 替换 \(R\)，并以 \(M/(I_1 \cap I_2)M\) 替换 \(M\)，可假设 \(I_1 \cap I_2 = 0\)。 设 \(J \subset R\) 为理想。为证明 \(M\) 在 \(R\) 上平坦，必须证明 \(J \otimes_R M \to M\) 是单射，见 Algebra, Lemma 00HD。由 \(M/I_1M\) 在 \(R/I_1\) 上的平坦性，映射 \[J/(J \cap I_1) \otimes_R M = (J + I_1)/I_1 \otimes_{R/I_1} M/I_1M \longrightarrow M/I_1M\] 是单射。由于 \(0 \to (J \cap I_1) \to J \to J/(J \cap I_1) \to 0\) 正合，得到交换图 \[\xymatrix{ (J \cap I_1) \otimes_R M \ar[r] \ar[d] & J \otimes_R M \ar[r] \ar[d] & J/(J \cap I_1) \otimes_R M \ar[r] \ar[d] & 0 \\ M \ar@{=}[r] & M \ar[r] & M/I_1M }\] 因此，只需证明 \((J \cap I_1) \otimes_R M \to M\) 是单射。 由于 \(I_1 \cap I_2 = 0\)，理想 \(J \cap I_1\) 同构地映到 一个理想 \(J' \subset R/I_2\)，并且 \((J \cap I_1) \otimes_R M = J' \otimes_{R/I_2} M/I_2M\)。 由 \(M/I_2M\) 在 \(R/I_2\) 上的平坦性，映射 \(J' \otimes_{R/I_2} M/I_2M \to M/I_2M\) 是单射；这显然蕴含 \((J \cap I_1) \otimes_R M \to M\) 是单射。

Artin 环上的平坦化

当基环是 Artin 局部环时，普遍平坦化存在。对任意模，它都存在。 因此，正如稍后将看到的，当基概形是 Artin 局部环的谱时，平坦化分层 存在。

引理

设 \(R\) 为 Artin 环，\(M\) 为 \(R\)-模。则存在最小理想 \(I \subset R\)，使得 \(M/IM\) 在 \(R/I\) 上平坦。

证明

这直接由引理 0522 与 Artin 性得出。

该理想具有下列泛性质。

引理

设 \(R\) 为 Artin 环，\(M\) 为 \(R\)-模。设 \(I \subset R\) 是使得 \(M/IM\) 在 \(R/I\) 上平坦的最小理想 \(I \subset R\)。则 \(I\) 具有下列 泛性质：对每个环映射 \(\varphi : R \to R'\)，有 \[R' \otimes_R M\text{ is flat over }R' \Leftrightarrow \text{有 }\varphi(I) = 0.\]

证明

注意，由引理 0524，\(I\) 存在。 蕴含关系 \(\Rightarrow\) 由 Algebra, Lemma 00HI 得出。设 \(\varphi : R \to R'\) 满足 \(M \otimes_R R'\) 在 \(R'\) 上平坦。令 \(J = \Ker(\varphi)\)。 由 Algebra, Lemma 051L，并利用 \(R' \otimes_R M = R' \otimes_{R/J} M/JM\) 在 \(R'\) 上平坦，推出 \(M/JM\) 在 \(R/J\) 上平坦。故 \(I \subset J\)，正合所需。

基的闭子集上的平坦化

设 \(R \to S\) 为环映射，\(I \subset R\) 为理想，\(M\) 为 \(S\)-模。 下文考虑条件 [052W]\[\begin{equation} \forall \mathfrak q \in V(IS) \subset \Spec(S) : M_{\mathfrak q}\text{ is flat over }R. \end{equation}\] 在几何上，这意味着 \(M\) 沿 \(V(I)\) 在 \(\Spec(S)\) 中的逆像在 \(R\) 上平坦。若 \(R\) 与 \(S\) 是 Noether 环，且 \(M\) 是有限 \(S\)-模，则 (052W) 等价于：对所有 \(n \geq 1\)， \(M/I^nM\) 在 \(R/I^n\) 上平坦；见 Algebra, Lemma 0523。

引理

设 \(R \to S\) 为环映射，\(I \subset R\) 为理想，\(M\) 为 \(S\)-模。 设 \(R \to R'\) 为环映射，\(IR' \subset I' \subset R'\) 为理想。 若 (052W) 对 \((R \to S, I, M)\) 成立，则 (052W) 对 \((R' \to S \otimes_R R', I', M \otimes_R R')\) 成立。

证明

假设 (052W) 对 \((R \to S, I \subset R, M)\) 成立。设 \(I'(S \otimes_R R') \subset \mathfrak q'\) 是 \(S \otimes_R R'\) 的 素理想。令 \(\mathfrak q \subset S\) 为 \(S\) 中对应的素理想。 则 \(IS \subset \mathfrak q\)。注意， \((M \otimes_R R')_{\mathfrak q'}\) 是基变换 \(M_{\mathfrak q} \otimes_R R'\) 的局部化。因此，作为平坦模的局部化， \((M \otimes_R R')_{\mathfrak q'}\) 在 \(R'\) 上平坦；见 Algebra, Lemmas 00HI and 00HT。

引理

设 \(R \to S\) 为环映射，\(I \subset R\) 为理想，\(M\) 为 \(S\)-模。 设 \(R \to R'\) 为环映射，\(IR' \subset I' \subset R'\) 为理想，并且：

1. 由 \(\Spec(R') \to \Spec(R)\) 诱导的映射 \(V(I') \to V(I)\) 是满射；

2. 对所有素理想 \(\mathfrak p' \in V(I')\)， \(R'_{\mathfrak p'}\) 在 \(R\) 上平坦。

若 (052W) 对 \((R' \to S \otimes_R R', I', M \otimes_R R')\) 成立，则 (052W) 对 \((R \to S, I, M)\) 成立。

证明

假设 (052W) 对 \((R' \to S \otimes_R R', IR', M \otimes_R R')\) 成立。 选取素理想 \(IS \subset \mathfrak q \subset S\)。令 \(I \subset \mathfrak p \subset R\) 为 \(R\) 中对应的素理想。 由假设，存在位于 \(\mathfrak p\) 之上的 \(R'\) 的素理想 \(\mathfrak p' \in V(I')\)，并且 \(R_{\mathfrak p} \to R'_{\mathfrak p'}\) 平坦。选取素理想 \(\overline{\mathfrak q}' \subset \kappa(\mathfrak q) \otimes_{\kappa(\mathfrak p)} \kappa(\mathfrak p')\)； 它对应于素理想 \(\mathfrak q' \subset S \otimes_R R'\)，后者位于 \(\mathfrak q\) 与 \(\mathfrak p'\) 之上。注意， \((S \otimes_R R')_{\mathfrak q'}\) 是 \(S_{\mathfrak q} \otimes_{R_{\mathfrak p}} R'_{\mathfrak p'}\) 的局部化。 由假设，模 \((M \otimes_R R')_{\mathfrak q'}\) 在 \(R'_{\mathfrak p'}\) 上平坦。因此，Algebra, Lemma 00MQ 蕴含 \(M_{\mathfrak q}\) 在 \(R_{\mathfrak p}\) 上平坦，正是所需结论。

引理

设 \(R \to S\) 为有限表示环映射，\(M\) 为有限表示 \(S\)-模。 设 \(R' = \colim_{\lambda \in \Lambda} R_\lambda\) 是 \(R\)-代数的有向余极限。 设 \(I_\lambda \subset R_\lambda\) 为理想，使得对所有 \(\mu \geq \lambda\) 有 \(I_\lambda R_\mu \subset I_\mu\)，并令 \(I' = \colim_\lambda I_\lambda\)。若 (052W) 对 \((R' \to S \otimes_R R', I', M \otimes_R R')\) 成立，则存在 \(\lambda \in \Lambda\)，使得 (052W) 对 \((R_\lambda \to S \otimes_R R_\lambda, I_\lambda, M \otimes_R R_\lambda)\) 成立。

证明

记 \(S_\lambda = S \otimes_R R_\lambda\)、\(S' = S \otimes_R R'\)、 \(M_\lambda = M \otimes_R R_\lambda\) 和 \(M' = M \otimes_R R'\)。 基变换 \(S'\) 在 \(R'\) 上有限表示，\(M'\) 在 \(S'\) 上有限表示；带下标 \(\lambda\) 的版本也同样如此，见 Algebra, Lemma 05G5。由 Algebra, Theorem 00RC，集合 \[U' = \{\mathfrak q' \in \Spec(S') \mid M'_{\mathfrak q'}\text{ is flat over }R'\}\] 在 \(\Spec(S')\) 中为开集。注意，\(V(I'S')\) 是拟紧空间，且由假设它 包含于 \(U'\)。因此存在有限多个 \(g'_j \in S'\)、 \(j = 1, \ldots, m\)，使得 \(D(g'_j) \subset U'\)，并且 \(V(I'S') \subset \bigcup D(g'_j)\)。特别地， \((M')_{g'_j}\) 在 \(R'\) 上平坦。

我们将依次选取越来越大的 \(\lambda \in \Lambda\)。首先选得足够大， 使得可找到映到 \(g'_j\) 的 \(g_{j, \lambda} \in S_{\lambda}\)。 包含关系 \(V(I'S') \subset \bigcup D(g'_j)\) 意味着 \(I'S' + (g'_1, \ldots, g'_m) = S'\)；它可表示为 \(1 = \sum z_sh_s + \sum f_jg'_j\)，其中 \(z_s \in I'\)、\(h_s, f_j \in S'\)。增大 \(\lambda\) 后，可假设这样的等式 在 \(S_\lambda\) 中成立。因此可假设 \(V(I_\lambda S_\lambda) \subset \bigcup D(g_{j, \lambda})\)。 由 Algebra, Lemma 02JO， 对某个足够大的 \(\lambda\)，模 \((M_\lambda)_{g_{j, \lambda}}\) 在 \(R_\lambda\) 上平坦。特别地，\(M_\lambda\) 在位于理想 \(I_\lambda\) 之上的所有素理想处都在 \(R_\lambda\) 上平坦。

源与基的闭子集上的平坦化

本节略微推广第 05LK 节的讨论。 强烈建议读者先阅读并理解该节。

情形

设 \(R \to S\) 为环映射，\(J \subset S\) 为理想，\(M\) 为 \(S\)-模。

在此情形中，给定 \(R\)-代数 \(R'\) 与理想 \(I' \subset R'\)，令 \(S' = S \otimes_R R'\)、\(M' = M \otimes_R R'\)。我们考虑条件 [05LQ]\[\begin{equation} \forall \mathfrak q' \in V(I'S' + JS') \subset \Spec(S') : M'_{\mathfrak q'}\text{ is flat over }R'. \end{equation}\] 在几何上，这意味着 \(M'\) 在 \(V(I')\) 的逆像与 \(V(J)\) 的逆像之交上 相对于 \(R'\) 平坦。由于 \((R \to S, J, M)\) 已固定，条件 (05LQ) 只依赖于对 \((R', I')\)，其中 \(R'\) 被视为 \(R\)-代数。

引理

在情形 05LP 中，设 \(R' \to R''\) 为 \(R\)-代数映射。设 \(I' \subset R'\) 以及 \(I'R'' \subset I'' \subset R''\) 为理想。若 (05LQ) 对 \((R', I')\) 成立，则 (05LQ) 对 \((R'', I'')\) 成立。

证明

假设 (05LQ) 对 \((R', I')\) 成立。设 \(I''S'' + JS'' \subset \mathfrak q''\) 是 \(S''\) 的素理想。 令 \(\mathfrak q' \subset S'\) 为 \(S'\) 中对应的素理想。于是 \(I'S' \subset \mathfrak q'\) 与 \(JS' \subset \mathfrak q'\) 都成立， 因为相应条件对 \(\mathfrak q''\) 成立。注意， \((M'')_{\mathfrak q''}\) 是基变换 \(M'_{\mathfrak q'} \otimes_R R''\) 的局部化。因此，作为平坦模的局部化， \((M'')_{\mathfrak q''}\) 在 \(R''\) 上平坦；见 Algebra, Lemmas 00HI and 00HT。

引理

在情形 05LP 中，设 \(R' \to R''\) 为 \(R\)-代数映射。设 \(I' \subset R'\) 以及 \(I'R'' \subset I'' \subset R''\) 为理想。假设：

1. 由 \(\Spec(R'') \to \Spec(R')\) 诱导的映射 \(V(I'') \to V(I')\) 是满射；

2. 对所有素理想 \(\mathfrak p'' \in V(I'')\)， \(R''_{\mathfrak p''}\) 在 \(R'\) 上平坦。

若 (05LQ) 对 \((R'', I'')\) 成立，则 (05LQ) 对 \((R', I')\) 成立。

证明

假设 (05LQ) 对 \((R'', I'')\) 成立。 选取素理想 \(I'S' + JS' \subset \mathfrak q' \subset S'\)。 令 \(I' \subset \mathfrak p' \subset R'\) 为 \(R'\) 中对应的素理想。 由假设，存在位于 \(\mathfrak p'\) 之上的 \(R''\) 的素理想 \(\mathfrak p'' \in V(I'')\)，并且 \(R'_{\mathfrak p'} \to R''_{\mathfrak p''}\) 平坦。选取素理想 \(\overline{\mathfrak q}'' \subset \kappa(\mathfrak q') \otimes_{\kappa(\mathfrak p')} \kappa(\mathfrak p'')\)。 这对应于素理想 \(\mathfrak q'' \subset S'' = S' \otimes_{R'} R''\)， 后者位于 \(\mathfrak q'\) 与 \(\mathfrak p''\) 之上。特别地， \(I''S'' \subset \mathfrak q''\) 且 \(JS'' \subset \mathfrak q''\)。 注意，\((S' \otimes_{R'} R'')_{\mathfrak q''}\) 是 \(S'_{\mathfrak q'} \otimes_{R'_{\mathfrak p'}} R''_{\mathfrak p''}\) 的 局部化。由假设，模 \((M' \otimes_{R'} R'')_{\mathfrak q''}\) 在 \(R''_{\mathfrak p''}\) 上平坦。因此，Algebra, Lemma 00MQ 蕴含 \(M'_{\mathfrak q'}\) 在 \(R'_{\mathfrak p'}\) 上平坦，正是所需结论。

引理

在情形 05LP 中，假设 \(R \to S\) 本质有限表示， 且 \(M\) 是有限表示 \(S\)-模。设 \(R' = \colim_{\lambda \in \Lambda} R_\lambda\) 是 \(R\)-代数的有向余极限。 设 \(I_\lambda \subset R_\lambda\) 为理想，使得对所有 \(\mu \geq \lambda\) 有 \(I_\lambda R_\mu \subset I_\mu\)，并令 \(I' = \colim_\lambda I_\lambda\)。若 (05LQ) 对 \((R', I')\) 成立，则存在 \(\lambda \in \Lambda\)，使得 (05LQ) 对 \((R_\lambda, I_\lambda)\) 成立。

证明

先证明 \(R \to S\) 有限表示的情形，再说明一般情形需要作何修改。 记 \(S_\lambda = S \otimes_R R_\lambda\)、\(S' = S \otimes_R R'\)、 \(M_\lambda = M \otimes_R R_\lambda\) 及 \(M' = M \otimes_R R'\)。 基变换 \(S'\) 在 \(R'\) 上有限表示，\(M'\) 在 \(S'\) 上有限表示；带下标 \(\lambda\) 的版本也同样如此，见 Algebra, Lemma 05G5。由 Algebra, Theorem 00RC，集合 \[U' = \{\mathfrak q' \in \Spec(S') \mid M'_{\mathfrak q'}\text{ is flat over }R'\}\] 在 \(\Spec(S')\) 中为开集。注意，\(V(I'S' + JS')\) 是拟紧空间，且由 假设它包含于 \(U'\)。因此存在有限多个 \(g'_j \in S'\)、\(j = 1, \ldots, m\)，使得 \(D(g'_j) \subset U'\)，且 \(V(I'S' + JS') \subset \bigcup D(g'_j)\)。特别地， \((M')_{g'_j}\) 在 \(R'\) 上平坦。

我们将依次选取越来越大的 \(\lambda \in \Lambda\)。先选得足够大， 使得可以找到映到 \(g'_j\) 的 \(g_{j, \lambda} \in S_{\lambda}\)。 包含关系 \(V(I'S' + JS') \subset \bigcup D(g'_j)\) 意味着 \(I'S' + JS' + (g'_1, \ldots, g'_m) = S'\)；它可表示为 \[1 = \sum y_tk_t + \sum z_sh_s + \sum f_jg'_j\] 其中 \(z_s \in I'\)、\(y_t \in J\)、\(k_t, h_s, f_j \in S'\)。 增大 \(\lambda\) 后，可假设这样的等式在 \(S_\lambda\) 中成立。 因此可假设 \(V(I_\lambda S_\lambda + J S_\lambda) \subset \bigcup D(g_{j, \lambda})\)。 由 Algebra, Lemma 02JO， 对某个足够大的 \(\lambda\)，模 \((M_\lambda)_{g_{j, \lambda}}\) 在 \(R_\lambda\) 上平坦。特别地，\(M_\lambda\) 在对应于 \(V(I_\lambda S_\lambda + J S_\lambda)\) 中各点的所有素理想处，都在 \(R_\lambda\) 上平坦。

若 \(S\) 本质有限表示，则可写成 \(S = \Sigma^{-1}C\)，其中 \(R \to C\) 有限表示，\(\Sigma \subset C\) 是乘法子集。还可写成 \(M = \Sigma^{-1}N\)，其中 \(N\) 是有限表示 \(C\)-模，见 Algebra, Lemma 05N5。此时引入 \(C_\lambda\)、\(C'\)、\(N_\lambda\)、\(N'\)。在上述讨论中，我们得到开集 \(U' \subset \Spec(C')\)，在其上 \(N'\) 相对于 \(R'\) 平坦。条件 (05LQ) 成立意味着 \(V(I'S' + JS')\) 映入 \(U'\)，因为对素理想 \(\mathfrak q' \subset S'\) 及其对应的素理想 \(\mathfrak r' \subset C'\)，有 \(M'_{\mathfrak q'} = N'_{\mathfrak r'}\)。 因此可找到 \(g'_j \in C'\)，使得 \(\bigcup D(g'_j)\) 包含 \(V(I'S' + JS')\) 的像。证明的其余部分与前面完全相同。

引理

在情形 05LP 中，设 \(I \subset R\) 为理想。 假设：

1. \(R\) 是 Noether 环；

2. \(S\) 是 Noether 环；

3. \(M\) 是有限 \(S\)-模；

4. 对每个 \(n \geq 1\) 以及任意素理想 \(\mathfrak q \in V(J + IS)\)，模 \((M/I^n M)_{\mathfrak q}\) 在 \(R/I^n\) 上平坦。

则 (05LQ) 对 \((R, I)\) 成立；即对每个素理想 \(\mathfrak q \in V(J + IS)\)，局部化 \(M_{\mathfrak q}\) 在 \(R\) 上平坦。

证明

设 \(\mathfrak q \in V(J + IS)\)。将 Algebra, Lemma 0523 应用于 \(R \to S_{\mathfrak q}\) 与 \(M_{\mathfrak q}\)，即可推出 \(M_{\mathfrak q}\) 在 \(R\) 上平坦。

Noether 完备局部环上的平坦化

当基为完备 Noether 局部环 \(R\)，且给定模是在有限型 \(R\)-代数 \(S\) 上 有限的模时，下面三个引理给出“局部”平坦化分层存在性的纯代数证明。

引理

设 \(R \to S\) 为环映射，\(M\) 为 \(S\)-模。假设：

1. \((R, \mathfrak m)\) 是完备 Noether 局部环；

2. \(S\) 是 Noether 环；

3. \(M\) 在 \(S\) 上有限。

则存在理想 \(I \subset \mathfrak m\)，使得：

1. 对 \(S/IS\) 中位于 \(\mathfrak m\) 之上的所有素理想 \(\mathfrak q\)，\((M/IM)_{\mathfrak q}\) 在 \(R/I\) 上平坦；

2. 若 \(J \subset R\) 是理想，并且对位于 \(\mathfrak m\) 之上的所有 素理想 \(\mathfrak q\)，\((M/JM)_{\mathfrak q}\) 在 \(R/J\) 上平坦， 则 \(I \subset J\)。

换言之，\(I\) 是使 (052W) 对 \((\overline{R} \to \overline{S}, \overline{\mathfrak m}, \overline{M})\) 成立的 \(R\) 的最小理想，其中 \(\overline{R} = R/I\)、 \(\overline{S} = S/IS\)、\(\overline{\mathfrak m} = \mathfrak m/I\) 且 \(\overline{M} = M/IM\)。

证明

设 \(J \subset R\) 为理想。将 Algebra, Lemma 0523 应用于环 \(R/J\) 上的模 \(M/JM\)。 于是可见，对 \(S/JS\) 中所有素理想 \(\mathfrak q\)， \((M/JM)_{\mathfrak q}\) 在 \(R/J\) 上平坦，当且仅当对所有 \(n \geq 1\)，\(M/(J + \mathfrak m^n)M\) 在 \(R/(J + \mathfrak m^n)\) 上平坦。下文使用这一观察。

对每个 \(n \geq 1\)，局部环 \(R/\mathfrak m^n\) 是 Artin 环。 故由引理 0524，存在最小理想 \(I_n \supset \mathfrak m^n\)，使得 \(M/I_nM\) 在 \(R/I_n\) 上平坦。 显然，\(I_{n + 1} + \mathfrak m^n\) 包含 \(I_n\)；应用引理 0522，可知 \(I_n = I_{n + 1} + \mathfrak m^n\)。由于 \(R = \lim_n\ R/\mathfrak m^n\)，可知 \(I = \lim_n\ I_n/\mathfrak m^n\) 是 \(R\) 中的理想，并且对所有 \(n \geq 1\) 有 \(I_n = I + \mathfrak m^n\)。由证明开头的观察， \(I\) 满足 (1) 与 (2)。略去一些细节。

引理

采用引理 0526 中的记号 \(R \to S\)、\(M\)、\(I\) 及假设。考虑局部环的局部同态 \(\varphi : (R, \mathfrak m) \to (R', \mathfrak m')\)，并假设 \(R'\) 是 Noether 环。则下列条件等价：

1. (052W) 对 \((R' \to S \otimes_R R', \mathfrak m', M \otimes_R R')\) 成立；

2. \(\varphi(I) = 0\)。

证明

(2) \(\Rightarrow\) (1) 由引理 052X 得出。设 \(\varphi : R \to R'\) 如引理所述并满足 (1)。必须证明 \(\varphi(I) = 0\)。这等价于 \(\varphi(I)R' = 0\)。由 Noether 局部环 \(R'\) 中的 Artin–Rees（见 Algebra, Lemma 00IP），这等价于：对所有 \(n > 0\)，有 \(\varphi(I)R' + (\mathfrak m')^n = (\mathfrak m')^n\)。 继而，这等价于：对每个 \(n\)，复合 \(\varphi_n : R \to R' \to R'/(\mathfrak m')^n\) 零化 \(I\)。 由引理 052X，\(\varphi\) 的假设 (1) 蕴含 \(\varphi_n\) 的假设 (1)。这将我们归结到 \(R'\) 为 Artin 局部环的 情形。

假设 \(R'\) 为 Artin 环。令 \(J = \Ker(\varphi)\)。必须证明 \(I \subset J\)。由引理 0526 中 \(I\) 的构造，只需证明：对 \(S/JS\) 中位于 \(\mathfrak m\) 之上的每个 素理想 \(\mathfrak q\)，\((M/JM)_{\mathfrak q}\) 在 \(R/J\) 上平坦。 由于 \(R'\) 是 Artin 环，条件 (1) 表示 \(M \otimes_R R'\) 在 \(R'\) 上 平坦。由于 \(R'\) 是 Artin 环，且 \(R/J \to R'\) 是单射局部环映射， \(R/J\) 也是 Artin 环。因此，由 Algebra, Lemma 051L， \(M \otimes_R R' = M/JM \otimes_{R/J} R'\) 在 \(R'\) 上的平坦性蕴含 \(M/JM\) 在 \(R/J\) 上平坦。这就完成了证明。

引理

采用引理 0526 中的记号 \(R \to S\)、\(M\)、\(I\) 及假设，并另外假设 \(R \to S\) 是有限型的。 则对任意局部环的局部同态 \(\varphi : (R, \mathfrak m) \to (R', \mathfrak m')\)，下列条件等价：

1. (052W) 对 \((R' \to S \otimes_R R', \mathfrak m', M \otimes_R R')\) 成立；

2. \(\varphi(I) = 0\)。

证明

(2) \(\Rightarrow\) (1) 由引理 052X 得出。设 \(\varphi : R \to R'\) 如引理所述并满足 (1)。由于 \(R\) 是 Noether 环， \(R \to S\) 有限表示，且 \(M\) 是有限表示 \(S\)-模。把 \(R' = \colim_\lambda R_\lambda\) 写成局部 \(R\)-子代数 \(R_\lambda \subset R'\) 的有向余极限，其中极大理想 \(\mathfrak m_\lambda = R_\lambda \cap \mathfrak m'\)，且每个 \(R_\lambda\) 在 \(R\) 上本质有限型。由引理 05LM，对某个 \(\lambda\)，条件 (052W) 对 \((R_\lambda \to S \otimes_R R_\lambda, \mathfrak m_\lambda, M \otimes_R R_\lambda)\) 成立。因此，引理 0527 可应用于环映射 \(R \to R_\lambda\)；可知 \(I\) 在 \(R_\lambda\) 中映为零， 从而更在 \(R'\) 中映为零。

沿整映射的平坦性下降

先给出几个简单引理。

引理

设 \(R\) 为环，\(P(T)\) 为系数属于 \(R\) 的首一多项式。设 \(\alpha \in R\) 满足 \(P(\alpha) = 0\)。则对某个首一多项式 \(Q(T) \in R[T]\)，有 \(P(T) = (T - \alpha)Q(T)\)。

证明

对 \(P\) 的次数归纳。若 \(\deg(P) = 1\)，则 \(P(T) = T - \alpha\)，结论成立。若 \(\deg(P) > 1\)，则由多项式长除法， 可对某个次数 \(< \deg(P)\) 的多项式 \(Q \in R[T]\) 与某个 \(r \in R\) 写成 \(P(T) = (T - \alpha)Q(T) + r\)。由假设， \(0 = P(\alpha) = (\alpha - \alpha)Q(\alpha) + r = r\)，故 \(r = 0\)，正合所需。

引理

设 \(R\) 为环，\(P(T)\) 为系数属于 \(R\) 的首一多项式。存在有限自由环映射 \(R \to R'\)，使得对某个 \(\alpha \in R'\) 及某个首一多项式 \(Q(T) \in R'[T]\)，有 \(P(T) = (T - \alpha)Q(T)\)。

证明

写成 \(P(T) = T^d + a_1T^{d - 1} + \ldots + a_0\)。令 \(R' = R[x]/(x^d + a_1x^{d - 1} + \ldots + a_0)\)。令 \(\alpha\) 等于 \(x\) 的同余类。显然 \(P(\alpha) = 0\)。因此结论由引理 052Z 得出。

引理

设 \(R \to S\) 为有限环映射。存在有限自由环扩张 \(R \subset R'\)， 使得 \(S \otimes_R R'\) 是下列形状的环的商环： \[R'[T_1, \ldots, T_n]/(P_1(T_1), \ldots, P_n(T_n))\] 其中对某些 \(\alpha_{ij} \in R'\)，有 \(P_i(T) = \prod_{j = 1, \ldots, d_i} (T - \alpha_{ij})\)。

证明

设 \(x_1, \ldots, x_n \in S\) 是 \(S\) 在 \(R\) 上的一组生成元。 对每个 \(i\)，可选取首一多项式 \(P_i(T) \in R[T]\)，使得 \(P_i(x_i) = 0\) 在 \(S\) 中成立，见 Algebra, Lemma 00GK。设 \(\deg(P_i) = d_i\)。 将引理 0530 应用 \(\sum d_i\) 次，得到有限自由环 扩张 \(R \subset R'\)，使得每个 \(P_i\) 完全分裂： \[P_i(T) = \prod\nolimits_{j = 1, \ldots, d_i} (T - \alpha_{ij})\] 其中某些 \(\alpha_{ik} \in R'\)。令 \(R'[T_1, \ldots, T_n] \to S \otimes_R R'\) 为把 \(T_i\) 映到 \(x_i \otimes 1\) 的 \(R'\)-代数映射。由于它把 \(P_i(T_i)\) 映为零， 便诱导所需满射。

引理

设 \(R\) 为环。令 \(S = R[T_1, \ldots, T_n]/J\)。假设 \(J\) 包含形如 \(P_i(T_i)\) 的元素，其中对某些 \(\alpha_{ij} \in R\)，有 \(P_i(T) = \prod_{j = 1, \ldots, d_i} (T - \alpha_{ij})\)。 对满足 \(1 \leq k_i \leq d_i\) 的 \(\underline{k} = (k_1, \ldots, k_n)\)，考虑环映射 \[\Phi_{\underline{k}} : R[T_1, \ldots, T_n] \to R, \quad T_i \longmapsto \alpha_{ik_i}\] 令 \(J_{\underline{k}} = \Phi_{\underline{k}}(J)\)。则 \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) 的像等于 \(V(\bigcap J_{\underline{k}})\)。

证明

该引理不证自明。提示： \(V(\bigcap J_{\underline{k}}) = \bigcup V(J_{\underline{k}})\)。

下列结果归功于 Ferrand，见 [Ferrand]。

引理

设 \(R \to S\) 为 Noether 环的有限单射同态。设 \(M\) 为 \(R\)-模。 若 \(M \otimes_R S\) 是平坦 \(S\)-模，则 \(M\) 是平坦 \(R\)-模。

证明

设 \(M\) 为满足 \(M \otimes_R S\) 在 \(S\) 上平坦的 \(R\)-模。 由 Algebra, Lemma 00HJ，为证明 \(M\) 平坦，可用任意忠实平坦环扩张替换 \(R\)。由引理 0531，可找到有限局部自由环扩张 \(R \subset R'\)， 使得对某个理想 \(J \subset R'[T_1, \ldots, T_n]\)，有 \(S' = S \otimes_R R' = R'[T_1, \ldots, T_n]/J\)；该理想包含形如 \(P_i(T_i)\) 的元素，其中对某些 \(\alpha_{ij} \in R'\)，有 \(P_i(T) = \prod_{j = 1, \ldots, d_i} (T - \alpha_{ij})\)。 注意，\(R'\) 是 Noether 环，且 \(R' \subset S'\) 是有限环扩张。 因此，可用 \(R'\) 替换 \(R\)，并假设 \(S\) 具有引理 0532 中的表示。注意， \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) 是满射，见 Algebra, Lemma 00GQ。于是利用引理 0532，推出 \(I = \bigcap J_{\underline{k}}\) 是满足 \(V(I) = \Spec(R)\) 的理想。这意味着 \(I \subset \sqrt{(0)}\)；由于 \(R\) 是 Noether 环，\(I\) 幂零。映射 \(\Phi_{\underline{k}}\) 诱导交换图 \[\xymatrix{ S \ar[rr] & & R/J_{\underline{k}} \\ & R \ar[lu] \ar[ru] }\] 由此推出 \(M/J_{\underline{k}}M\) 在 \(R/J_{\underline{k}}\) 上平坦。 由引理 0522，\(M/IM\) 在 \(R/I\) 上平坦。 最后应用 Algebra, Lemma 051J，推出 \(M\) 在 \(R\) 上平坦。

引理

设 \(R \to S\) 为单射整环映射。设 \(M\) 为 \(R[x_1, \ldots, x_n]\) 上的有限表示模。若 \(M \otimes_R S\) 在 \(S\) 上 平坦，则 \(M\) 在 \(R\) 上平坦。

证明

选取表示 \[R[x_1, \ldots, x_n]^{\oplus t} \to R[x_1, \ldots, x_n]^{\oplus r} \to M \to 0.\] 设第一个映射由 \(r \times t\) 矩阵 \(T = (f_{ij})\) 给出，其中 \(f_{ij} \in R[x_1, \ldots, x_n]\)。写成 \(f_{ij} = \sum f_{ij, I} x^I\)，其中 \(f_{ij, I} \in R\) （多重指标记号）。考虑交换图 \[\xymatrix{ R \ar[r] & S \\ R_\lambda \ar[u] \ar[r] & S_\lambda \ar[u] }\] 其中 \(R_\lambda\) 是 \(R\) 的有限生成 \(\mathbf{Z}\)-子代数，包含所有 \(f_{ij, I}\)；\(S_\lambda\) 是 \(S\) 的有限 \(R_\lambda\)-子代数。令 \(M_\lambda\) 为有限 \(R_\lambda[x_1, \ldots, x_n]\)-模，它由上述同样的表示定义，使用同一 矩阵 \(T\)，但现在把它视为 \(R_\lambda[x_1, \ldots, x_n]\) 上的矩阵。 注意，\(S\) 是 \(S_\lambda\) 的有向余极限（略去细节）。由 Algebra, Lemma 02JO， 对某个 \(\lambda\)，模 \(M_\lambda \otimes_{R_\lambda} S_\lambda\) 在 \(S_\lambda\) 上平坦。 由引理 0533， \(M_\lambda\) 在 \(R_\lambda\) 上平坦。由于 \(M = M_\lambda \otimes_{R_\lambda} R\)，结论由 Algebra, Lemma 00HI 得出。

引理

设 \(R \to S\) 为 Noether 环的有限单射同态。设 \(P\) 为 \(R\)-模。 若 \(P \otimes_R S\) 是投射 \(S\)-模，则 \(P\) 是投射 \(R\)-模。

证明

设 \(P\) 为满足 \(P \otimes_R S\) 在 \(S\) 上投射的 \(R\)-模。 由 Algebra, Theorem 05A9， 为证明 \(P\) 投射，可用任意忠实平坦环扩张替换 \(R\)。由引理 0531，可找到有限局部自由环扩张 \(R \subset R'\)， 使得对某个理想 \(J \subset R'[T_1, \ldots, T_n]\)，有 \(S' = S \otimes_R R' = R'[T_1, \ldots, T_n]/J\)；该理想包含形如 \(P_i(T_i)\) 的元素，其中对某些 \(\alpha_{ij} \in R'\)，有 \(P_i(T) = \prod_{j = 1, \ldots, d_i} (T - \alpha_{ij})\)。 注意，\(R'\) 是 Noether 环，且 \(R' \subset S'\) 是有限环扩张。 因此，可用 \(R'\) 替换 \(R\)，并假设 \(S\) 具有引理 0532 中的表示。注意， \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) 是满射，见 Algebra, Lemma 00GQ。于是利用引理 0532，推出 \(I = \bigcap J_{\underline{k}}\) 是满足 \(V(I) = \Spec(R)\) 的理想。这意味着 \(I \subset \sqrt{(0)}\)；由于 \(R\) 是 Noether 环，\(I\) 幂零。映射 \(\Phi_{\underline{k}}\) 诱导交换图 \[\xymatrix{ S \ar[rr] & & R/J_{\underline{k}} \\ & R \ar[lu] \ar[ru] }\] 由此推出 \(P/J_{\underline{k}}P\) 在 \(R/J_{\underline{k}}\) 上投射。 由 Algebra, Lemma 0H7M， \(P/IP\) 在 \(R/I\) 上投射。由引理 0533，\(P\) 在 \(R\) 上平坦；故可应用 Algebra, Lemma 05CG，推出 \(P\) 在 \(R\) 上投射。

无挠模

本节讨论无挠模及其与平坦性的关系（尤其是在一维环上）。

定义

设 \(R\) 为整环，\(M\) 为 \(R\)-模。

1. 若存在非零 \(f \in R\) 使得 \(fx = 0\)，则称元素 \(x \in M\) 为挠元；

2. 若 \(M\) 的唯一挠元是 \(0\)，则称 \(M\) 无挠；

3. 若 \(M\) 的每个元素都是挠元，则称 \(M\) 为挠模。

设 \(R\) 为整环，\(S = R \setminus \{0\}\) 为 \(R\) 中非零元素所成的 乘法集。则 \(R\)-模 \(M\) 无挠，当且仅当 \(M \to S^{-1}M\) 是单射。 换言之，当且仅当映射 \(M \to M \otimes_R K\) 是单射，其中 \(K = S^{-1}R\) 是 \(R\) 的分式域。

引理

设 \(R\) 为整环，\(M\) 为 \(R\)-模。\(M\) 的挠元集合 \(M_{tors}\) 是映射 \(M \to M \otimes_R K\) 的核。因此 \(M_{tors}\) 是 \(M\) 的 \(R\)-子模。商模 \(M/M_{tors}\) 无挠。

证明

见上面的讨论。

引理

设 \(R\) 为整环，\(M\) 为无挠 \(R\)-模。对任意乘法集 \(S \subset R\)，模 \(S^{-1}M\) 是无挠 \(S^{-1}R\)-模。

证明

略。

引理

设 \(R \to R'\) 为整环之间的平坦同态。若 \(M\) 是无挠 \(R\)-模， 则 \(M \otimes_R R'\) 是无挠 \(R'\)-模。

证明

若 \(M\) 无挠，则 \(M \subset M \otimes_R K\) 是单射，其中 \(K\) 是 \(R\) 的分式域。由于 \(R'\) 在 \(R\) 上平坦，映射 \(M \otimes_R R' \to (M \otimes_R K) \otimes_R R'\) 是单射。 由于 \(M \otimes_R K\) 同构于若干个 \(K\) 的直和，只需说明 \(K \otimes_R R'\) 无挠。这成立，因为它是 \(R'\) 的局部化。

引理

设 \(R\) 为整环。设 \(0 \to M \to M' \to M'' \to 0\) 为 \(R\)-模的短正合列。若 \(M\) 与 \(M''\) 无挠，则 \(M'\) 无挠。

证明

略。

引理

设 \(R\) 为整环，\(M\) 为 \(R\)-模。则 \(M\) 无挠，当且仅当对 \(R\) 的所有 极大理想 \(\mathfrak m\)，\(M_\mathfrak m\) 都是无挠 \(R_\mathfrak m\)-模。

证明

略。提示：使用引理 0AUR 与 Algebra, Lemma 00HN。

引理

设 \(R\) 为整环，\(M\) 为有限 \(R\)-模。则 \(M\) 无挠，当且仅当 \(M\) 是某个 有限自由模的子模。

证明

若 \(M\) 是 \(R^{\oplus n}\) 的子模，则 \(M\) 无挠。反之，假设 \(M\) 无挠。 令 \(K\) 为 \(R\) 的分式域。则 \(M \otimes_R K\) 是有限维 \(K\)-向量空间。 选取该向量空间的一组基 \(e_1, \ldots, e_r\)。令 \(x_1, \ldots, x_n\) 为 \(M\) 的生成元。对某些 \(a_{ij}, b_{ij} \in R\) 且 \(b_{ij} \not = 0\)，写成 \(x_i = \sum (a_{ij}/b_{ij}) e_j\)。令 \(b = \prod_{i, j} b_{ij}\)。 由于 \(M\) 无挠，映射 \(M \to M \otimes_R K\) 是单射，并且其像包含于 \(R^{\oplus r} = R e_1/b \oplus \ldots \oplus Re_r/b\)。

引理

设 \(R\) 为 Noether 整环，\(M\) 为非零有限 \(R\)-模。下列条件等价：

1. \(M\) 无挠；

2. \(M\) 是有限自由模的子模；

3. \((0)\) 是 \(M\) 的唯一伴随素理想；

4. \((0)\) 属于 \(M\) 的支撑，且 \(M\) 具有性质 \((S_1)\)；

5. \((0)\) 属于 \(M\) 的支撑，且 \(M\) 没有嵌入伴随素理想。

证明

我们已在引理 0AUU 中看到 (1) 与 (2) 等价，并在 Algebra, Lemma 031Q 中看到 (4) 与 (5) 等价。 (3) 与 (5) 的等价性由定义立即得出。无挠模的局部化无挠 （引理 0AUR），因此显然 \(M\) 没有不同于 \((0)\) 的伴随素理想。故 (1) 蕴含 (5)。反之，假设 (5)。 若 \(M\) 有挠，则对 \(R\) 的某个非零理想 \(I\)，存在嵌入 \(R/I \subset M\)。因此 \(M\) 有不同于 \((0)\) 的伴随素理想 （见 Algebra, Lemmas 02M3 and 0587）。这是嵌入伴随素理想，与假设矛盾。

引理

设 \(R\) 为整环。任意平坦 \(R\)-模都无挠。

证明

若 \(x \in R\) 非零，则 \(x : R \to R\) 是单射；因此，若 \(M\) 在 \(R\) 上 平坦，则 \(x : M \to M\) 是单射。故若 \(M\) 在 \(R\) 上平坦，则 \(M\) 无挠。

引理

设 \(A\) 为赋值环。\(A\)-模 \(M\) 在 \(A\) 上平坦当且仅当 \(M\) 无挠。

证明

蕴含关系“平坦 \(\Rightarrow\) 无挠”是引理 0538。反之，假设 \(M\) 无挠。由平坦性的方程判别 准则（见 Algebra, Lemma 00HK），必须证明 \(M\) 中的每个关系都是平凡的。为此，假设 \(\sum_{i = 1, \ldots, n} a_i x_i = 0\)，其中 \(x_i \in M\) 且 \(a_i \in A\)。重新编号后，可假设对所有 \(i\) 都有 \(v(a_1) \leq v(a_i)\)。故对某个 \(a'_i \in A\)，可写成 \(a_i = a'_i a_1\)。注意 \(a'_1 = 1\)。由于 \(M\) 无挠，有 \(x_1 = - \sum_{i \geq 2} a'_i x_i\)。因此，若选取 \(y_i = x_i\)、\(i = 2, \ldots, n\)，则 \[x_1 = \sum\nolimits_{j \geq 2} -a'_j y_j, \quad x_i = y_i, (i \geq 2)\quad 0 = a_1 \cdot (-a'_j) + a_j \cdot 1 (j \geq 2)\] 表明该关系平凡（明确地说，元素 \(a_{ij}\) 定义如下：令 \(a_{11} = 0\)；对 \(j > 1\)，令 \(a_{1j} = -a'_j\)；对 \(i, j \geq 2\)，令 \(a_{ij} = \delta_{ij}\)）。

引理

设 \(A\) 为 Dedekind 整环（例如离散赋值环，或更一般的 PID）。

1. \(A\)-模平坦当且仅当它无挠。

2. 有限无挠 \(A\)-模有限局部自由。

3. 若 \(A\) 是 PID，则有限无挠 \(A\)-模有限自由。

证明

（关于引理陈述中的括号说明，见 Algebra, Lemma 0AUQ。）证明 (1)。由引理 0AUT 与 Algebra, Lemma 00HT，只需对极大理想 \(\mathfrak m \subset A\) 在 \(A_\mathfrak m\) 上检验该陈述。 由于 \(A_\mathfrak m\) 是离散赋值环 （Algebra, Lemma 034X）， 结论由引理 0539 得出。

证明 (2)。它由 Algebra, Lemma 00NX 与 (1) 得出。

证明 (3)。设 \(A\) 为 PID，\(M\) 为有限无挠模。由引理 0AUU，对某个 \(n\) 有 \(M \subset A^{\oplus n}\)。对 \(n\) 归纳证明 \(M\) 自由。 \(n = 1\) 的情形恰好表述 \(A\) 是 PID 这一事实。若 \(n > 1\)，令 \(M' \subset A^{\oplus n - 1}\) 为其在 \(A^{\oplus n}\) 后 \(n - 1\) 个直和分量的投影之像。于是得到短正合列 \(0 \to I \to M \to M' \to 0\)，其中 \(I\) 是 \(M\) 与 \(A^{\oplus n}\) 的第一个直和分量 \(A\) 的交。由归纳法，\(M\) 是有限自由 \(A\)-模的扩张，因而有限自由。

引理

设 \(R\) 为整环，\(M\)、\(N\) 为 \(R\)-模。若 \(N\) 无挠，则 \(\Hom_R(M, N)\) 也无挠。

证明

选取满射 \(\bigoplus_{i \in I} R \to M\)。则 \(\Hom_R(M, N) \subset \prod_{i \in I} N\)。

模的秩

下面给出我们的定义。

定义

设 \(R\) 为分式域为 \(K\) 的整环。\(R\)-模 \(M\) 的秩为 \(\dim_K(M \otimes_R K)\)。

当两个定义都适用时，该定义与 Algebra, Definition 00NW 中秩为 \(r\) 的局部自由模概念不冲突。

引理

设 \(R\) 为整环。若 \(R\)-模映射 \(M \to M'\) 的核与余核都是挠模， 则 \(M\) 的秩等于 \(M'\) 的秩。

证明

略。提示：若 \(K\) 是 \(R\) 的分式域，则诱导映射 \(M \otimes_R K \to M' \otimes_R K\) 是同构。

引理

设 \(R\) 为整环。设 \(0 \to M \to M' \to M'' \to 0\) 为 \(R\)-模的 短正合列。则 \(M'\) 的秩等于 \(M\) 与 \(M''\) 的秩之和。

证明

略。

引理

设 \(R\) 为整环，\(M\) 和 \(N\) 为 \(R\)-模。

1. \(M \otimes_R N\) 的秩等于 \(M\) 与 \(N\) 的秩之积。

2. 若 \(M\) 是有限表示 \(R\)-模，则 \(\Hom_R(M, N)\) 的秩等于 \(M\) 与 \(N\) 的秩之积。

证明

第 (1) 项由向量空间的相应事实得出。假设 \(M\) 作为 \(R\)-模有限表示。 由 Algebra, Lemma 0583， 作为 \(K\)-向量空间，\(\Hom_R(M, N) \otimes_R K\) 同构于 \(\Hom_K(M \otimes_R K, N \otimes_R K)\)。又由于 \(M \otimes_R K\) 有限维，结论由向量空间的相应事实得出。

引理

设 \(R \subset R'\) 为整环扩张。若 \(M\) 是 \(R\)-模，则 \(M\) 在 \(R\) 上的秩 等于 \(M \otimes_R R'\) 在 \(R'\) 上的秩。

证明

这是因为向量空间的维数在基域扩张下不变。

引理

设 \(R\) 为整环，\(M\) 为有限 \(R\)-模。则：

1. \(M\) 有有限秩 \(r \geq 0\)；

2. 存在映射 \(M \to R^{\oplus r}\)，其核与余核都是挠模；

3. 存在 \(f \in R\)、\(f \not = 0\)，使得 \(M_f\) 是秩为 \(r\) 的自由模；

4. 存在单射 \(R^{\oplus r} \to M\)，其余核是挠模。

证明

由于 \(M\) 有限，\(M \otimes_R K\) 是 \(R\) 的分式域 \(K\) 上的有限维向量 空间。因此秩 \(r\) 有限。

选取 \(M\) 的生成元 \(x_1, \ldots, x_n\)，并选取 \(M \otimes_R K\) 的一组基 \(e_1, \ldots, e_r\)。对某些 \(a_{ij} , b_{ij} \in R\) 且 \(b_{ij} \not = 0\)，可写成 \(x_i \otimes 1 = \sum (a_{ij}/b_{ij}) e_j\)。令 \(b = \prod b_{ij}\)，并以 \(a_{ij}b/b_{ij}\) 替换 \(a_{ij}\)，可假设 \(x_i \otimes 1 = \sum (a_{ij}/b) e_j\)。注意，若 \(M\) 中有关系 \(\sum r_i x_i = 0\)，则对所有 \(j = 1, \ldots, r\)， \(\sum r_ia_{ij} = 0\) 在 \(R\) 中成立。

证明 (2)。上面的最后一个观察说明，把 \(x_i\) 映到 \(\sum a_{ij} e_j\) 的映射 \(M \to \bigoplus Re_j\) 良定义。 \(e_1, \ldots, e_r\) 构成 \(M \otimes_R K\) 的一组基这一事实说明， 该映射与 \(K\) 张量后成为同构。因此这是 (2) 中所述的映射。

证明 (3)。在 (2) 中构造的映射 \(M \to R^{\oplus r}\) 的余核有限且有挠。 故可找到零化该余核的 \(g \in R\)、\(g \not = 0\)。换言之，映射 \(M_g \to R_g^{\oplus r}\) 是满射。于是可选取分裂 \(M_g = N \oplus R_g^{\oplus r}\)。此时 \(N\) 是有限 \(R_g\)-模，且 \(N \otimes_{R_g} K = 0\)。换言之，\(N\) 是 \(R_g\) 上的有限挠模。 故可找到零化 \(N\) 的 \(g' \in R\)。令 \(f= gg'\)，便得到 (3)。

为证明 (4)，选取 \(M_f\) 的一组基 \(y_1, \ldots, y_r\)，其中 \(f\) 如 (3) 所述。然后对某些 \(m_j \in M\) 与 \(t_j \geq 0\) 写成 \(y_j = m_j/f^{t_j}\)。把第 \(j\) 个基向量映到 \(m_j\) 的映射 \(R^{\oplus r} \to M\) 即如 (4) 所述。略去细节。

自反模

下面给出我们的定义。

定义

设 \(R\) 为整环。若自然映射 \[j : M \longrightarrow \Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\] 是同构，则称 \(R\)-模 \(M\) 自反；该映射把 \(m \in M\) 映为如下 映射：它把 \(\varphi \in \Hom_R(M, R)\) 映到 \(\varphi(m) \in R\)。

可以对更一般的环作此定义，但即使上面的定义也有缺点。明智的做法是 限于 Noether 整环与有限无挠模，并（或许）对 \(R\) 加上某些正则性条件 （例如 \(R\) 正规）。

引理

设 \(R\) 为整环，\(M\) 为 \(R\)-模。

1. 若 \(M\) 自反，则 \(M\) 无挠。

2. 若 \(M\) 有限，则 \(j : M \to \Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\) 的核与余核都是挠模。

3. 若 \(M\) 有限，则 \(j\) 是单射当且仅当 \(M\) 无挠。

证明

为证明 (1)，由引理 0AUX，\(M\) 的双对偶无挠。 假设 \(M\) 有限。选取 \(M\) 在 \(R\) 上的生成元 \(x_1, \ldots, x_n\)。 设 \(K\) 为 \(R\) 的分式域。重新编号后，可以假设对某个 \(0 \leq r \leq n\)，元 \(x_1, \ldots, x_r\) 在 \(M \otimes_R K\) 中的像构成它在 \(K\) 上的一组基。对 \(r < i \leq n\)，写成 \(x_i \otimes 1 = \sum_{1 \leq j \leq r} x_j \otimes k_{ij}\)，其中 \(k_{ij} \in K\)。选取 \(c \in R\)，使 \(a_{ij} = ck_{ij} \in R\)， 并使 \(cx_i = \sum_{1 \leq j \leq r} a_{ij} x_j\) 在 \(M\) 中成立 （略去一个小细节）。于是得到映射 \[R^{\oplus r} \xrightarrow{\alpha} M \xrightarrow{\beta} R^{\oplus r} \xrightarrow{\alpha} M\] 其中 \(\alpha \circ \beta\) 与 \(\beta \circ \alpha\) 都是乘以 \(c\)。 这里 \(\alpha\) 由 \(x_1, \ldots, x_r\) 给出；\(\beta\) 对 \(1 \leq i \leq r\) 把 \(x_i\) 映到第 \(i\) 个基向量的 \(c\) 倍， 对 \(r < i \leq n\) 则映到向量 \((a_{i1}, \ldots, a_{ir})\)。 考虑交换图 \[\xymatrix{ R^{\oplus r} \ar[r] \ar[d]^{\text{id}} & M \ar[r] \ar[d]^j & R^{\oplus r} \ar[d]^{\text{id}} \ar[r] & M \ar[d]^j \\ R^{\oplus r} \ar[r] & \Hom_R(\Hom_R(M, R), R) \ar[r] & R^{\oplus r} \ar[r] & \Hom_R(\Hom_R(M, R), R) }\] 当然，底行中相继箭头的复合都等于乘以 \(c\)。此图表明 \(j\) 的核与余核都被 \(c\) 零化，这证明了 (2)。 对 (3)，注意若 \(M\) 无挠，则 \(\beta\) 是单射，从而 \(j\) 是单射。 逆命题是清楚的，因为我们已经看到 \(M\) 的双对偶无挠。

引理

设 \(R\) 为离散赋值环，\(M\) 为有限 \(R\)-模。则映射 \(j : M \to \Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\) 是满射。

证明

设 \(M_{tors} \subset M\) 为挠子模。则 \(\Hom_R(M, R) = \Hom_R(M/M_{tors}, R)\)（对任意整环都成立）。 因此可以假设 \(M\) 无挠。由引理 0AUW，\(M\) 自由，引理便是清楚的。

引理

设 \(R\) 为 Noether 整环，\(M\) 为有限 \(R\)-模。下列条件等价：

1. \(M\) 自反；

2. 对每个素理想 \(\mathfrak p \subset R\)，\(M_\mathfrak p\) 都是自反 \(R_\mathfrak p\)-模；

3. 对 \(R\) 的每个极大理想 \(\mathfrak m\)，\(M_\mathfrak m\) 都是自反 \(R_\mathfrak m\)-模。

证明

映射 \(j : M \to \Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\) 在素理想 \(\mathfrak p\) 处的局部化，就是 Noether 局部整环 \(R_\mathfrak p\) 上的模 \(M_\mathfrak p\) 所对应的映射。见 Algebra, Lemma 0583。因此由 Algebra, Lemma 00HN 即得本引理。

引理

设 \(R\) 为 Noether 整环。设 \(0 \to M \to M' \to M''\) 是有限 \(R\)-模的正合列。若 \(M'\) 自反且 \(M''\) 无挠，则 \(M\) 自反。

证明

下面不再说明地使用这一事实：对任意有限 \(R\)-模 \(N\) 与 \(N'\)， \(\Hom_R(N, N')\) 都是有限 \(R\)-模；见 Algebra, Lemma 08YR。取对偶得到序列 \[\Hom_R(M, R) \leftarrow \Hom_R(M', R) \leftarrow \Hom_R(M'', R)\] 再次取对偶，得到交换图 \[\xymatrix{ \Hom_R(\Hom_R(M, R), R) \ar[r]_j & \Hom_R(\Hom_R(M', R), R) \ar[r] & \Hom_R(\Hom_R(M'', R), R) \\ M \ar[u] \ar[r] & M' \ar[u] \ar[r] & M'' \ar[u] }\] 我们并不知道顶行是否正合。但由假设，中间的竖直箭头是同构， 右边的竖直箭头是单射（引理 0AV0）。 我们断言 \(j\) 是单射。若承认该断言，作图追迹即知左边的竖直箭头是同构， 也就是说 \(M\) 自反。

断言的证明。考虑定义 \(Q\) 的正合列 \(\Hom_R(M',R)\to \Hom_R(M,R)\to Q \to 0\)。应用 Algebra, Lemma 0583 得 \[\Hom_K(M'\otimes_R K,K) \to \Hom_K(M\otimes_R K,K) \to Q\otimes_R K\to 0\] 但 \(M \otimes_R K \to M' \otimes_R K\) 是向量空间之间的单射， 因而是分裂单射，所以 \(Q \otimes_R K = 0\)，即 \(Q\) 为挠模。 于是得到正合列 \[0 \to \Hom_R(Q,R) \to \Hom_R(\Hom_R(M,R),R) \to \Hom_R(\Hom_R(M',R),R)\] 而因 \(Q\) 为挠模，\(\Hom_R(Q,R)=0\)。

引理

设 \(R\) 为 Noether 整环，\(M\) 为有限 \(R\)-模。下列条件等价：

1. \(M\) 自反；

2. 存在短正合列 \(0 \to M \to F \to N \to 0\)，其中 \(F\) 有限自由， \(N\) 无挠。

证明

注意有限自由模自反。由引理 0EB8， (2) 推出 (1)。假设 \(M\) 自反。选取一个表示 \(R^{\oplus m} \to R^{\oplus n} \to \Hom_R(M, R) \to 0\)。 取对偶后得到正合列 \[0 \to \Hom_R(\Hom_R(M, R), R) \to R^{\oplus n} \to N \to 0\] 其中 \(N = \Im(R^{\oplus n} \to R^{\oplus m})\) 为无挠模。因为 \(M = \Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\)，所以得到 (2) 中所述的正合列。

引理

设 \(R \to R'\) 为 Noether 整环之间的平坦同态。若 \(M\) 是有限自反 \(R\)-模，则 \(M \otimes_R R'\) 是有限自反 \(R'\)-模。

证明

选取短正合列 \(0 \to M \to F \to N \to 0\)，其中 \(F\) 有限自由， \(N\) 无挠；见引理 0AV2。由于 \(R \to R'\) 平坦， 我们得到短正合列 \(0 \to M \otimes_R R' \to F \otimes_R R' \to N \otimes_R R' \to 0\)， 其中 \(F \otimes_R R'\) 有限自由，\(N \otimes_R R'\) 无挠 （引理 0AXM）。因此由引理 0AV2，\(M \otimes_R R'\) 自反。

引理

设 \(R\) 为 Noether 整环，\(M\) 为有限 \(R\)-模，\(N\) 为有限自反 \(R\)-模。则 \(\Hom_R(M, N)\) 自反。

证明

选取一个表示 \(R^{\oplus m} \to R^{\oplus n} \to M \to 0\)。 于是得到 \[0 \to \Hom_R(M, N) \to N^{\oplus n} \to N' \to 0\] 其中 \(N' = \Im(N^{\oplus n} \to N^{\oplus m})\) 无挠。由引理 0EB8 得到结论。

定义

设 \(R\) 为 Noether 整环，\(M\) 为有限 \(R\)-模。称模 \(M^{**} = \Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\) 为 \(M\) 的自反包。

这一定义是合理的，因为由引理 0AV3，自反包自反。 对应 \(M \mapsto M^{**}\) 是一个函子。若 \(\varphi : M \to N\) 是到自反 \(R\)-模 \(N\) 的 \(R\)-模映射，则 \(\varphi\) 经过 \(M\) 的自反包分解为 \(M \to M^{**} \to N\)。换言之，在 Noether 整环 \(R\) 上，取自反包是包含函子 \[\text{finite reflexive modules} \subset \text{finite modules}\] 的左伴随。

引理

设 \(R\) 为 Noether 局部环，\(M\)、\(N\) 为有限 \(R\)-模。

1. 若 \(N\) 的深度 \(\geq 1\)，则 \(\Hom_R(M, N)\) 的深度 \(\geq 1\)。

2. 若 \(N\) 的深度 \(\geq 2\)，则 \(\Hom_R(M, N)\) 的深度 \(\geq 2\)。

证明

选取一个表示 \(R^{\oplus m} \to R^{\oplus n} \to M \to 0\)。 取对偶后得到正合列 \[0 \to \Hom_R(M, N) \to N^{\oplus n} \to N' \to 0\] 其中 \(N' = \Im(N^{\oplus n} \to N^{\oplus m})\)。深度 \(\geq 1\) 的模的子模深度 \(\geq 1\)；这直接由定义得出。因此 (1) 是清楚的。对 (2)，注意这里的 假设与上一观察说明 \(N'\) 的深度 \(\geq 1\)。模 \(N^{\oplus n}\) 的深度 \(\geq 2\)。由 Algebra, Lemma 00LX，可知 \(\Hom_R(M, N)\) 的深度 \(\geq 2\)。

引理

设 \(R\) 为 Noether 环，\(M\)、\(N\) 为有限 \(R\)-模。

1. 若 \(N\) 具有性质 \((S_1)\)，则 \(\Hom_R(M, N)\) 具有性质 \((S_1)\)。

2. 若 \(N\) 具有性质 \((S_2)\)，则 \(\Hom_R(M, N)\) 具有性质 \((S_2)\)。

3. 若 \(R\) 是整环，\(N\) 无挠且具有 \((S_2)\)，则 \(\Hom_R(M, N)\) 无挠且具有性质 \((S_2)\)。

证明

对有限 \(R\)-模，在素理想处局部化与取 \(\Hom_R\) 可交换 （Algebra, Lemma 08YR），因此 (1) 与 (2) 直接由引理 0AV5 得出。(3) 由 (2) 与引理 0AUX 得出。

引理

设 \(R\) 为 Noether 环，\(\varphi : M \to N\) 为 \(R\)-模的映射。假设对 \(R\) 的每个素理想 \(\mathfrak p\)，下列情形至少有一个发生：

1. \(M_\mathfrak p \to N_\mathfrak p\) 是单射；或

2. \(\mathfrak p \not \in \text{Ass}(M)\)。

则 \(\varphi\) 是单射。

证明

设 \(\mathfrak p\) 为 \(\Ker(\varphi)\) 的一个伴随素理想。则存在元 \(x \in M_\mathfrak p\)，它属于 \(M_\mathfrak p \to N_\mathfrak p\) 的核，且其零化子为 \(\mathfrak pR_\mathfrak p\)（Algebra, Lemma 0310）。在上述两种情形中这都不可能。 因此 \(\text{Ass}(\Ker(\varphi)) = \emptyset\)，再由 Algebra, Lemma 0587 得 \(\Ker(\varphi) = 0\)。

引理

设 \(R\) 为 Noether 环，\(\varphi : M \to N\) 为 \(R\)-模的映射。假设 \(M\) 有限， 且对 \(R\) 的每个素理想 \(\mathfrak p\)，下列情形之一发生：

1. \(M_\mathfrak p \to N_\mathfrak p\) 是同构；或

2. \(\text{depth}(M_\mathfrak p) \geq 2\) 且 \(\mathfrak p \not \in \text{Ass}(N)\)。

则 \(\varphi\) 是同构。

证明

由引理 0AV7，\(\varphi\) 是单射。 设 \(N' \subset N\) 是包含 \(M\) 的像的有限生成 \(R\)-模。那么 \(\text{Ass}(N_\mathfrak p) = \emptyset\) 推出 \(\text{Ass}(N'_\mathfrak p) = \emptyset\)。因此本引理的假设对 \(M \to N'\) 成立。 为了证明 \(\varphi\) 是同构，只须对每个这样的 \(N' \subset N\) 证明同一结论。 因此可以假设 \(N\) 是有限 \(R\)-模。在此情形下， \(\mathfrak p \not \in \text{Ass}(N) \Rightarrow \text{depth}(N_\mathfrak p) \geq 1\)；见 Algebra, Lemma 00LL。考虑定义 \(Q\) 的短正合列 \[0 \to M \to N \to Q \to 0\] 检视各条件可知：在情形 (1) 中 \(Q_\mathfrak p = 0\)，而在情形 (2) 中， 由 Algebra, Lemma 00LX 有 \(\text{depth}(Q_\mathfrak p) \geq 1\)。这说明 \(Q\) 没有任何伴随素理想， 因此由 Algebra, Lemma 0587 得 \(Q = 0\)。

引理

设 \(R\) 为 Noether 整环，\(\varphi : M \to N\) 为 \(R\)-模的映射。假设 \(M\) 有限、\(N\) 无挠，且对 \(R\) 的每个素理想 \(\mathfrak p\)，下列情形之一发生：

1. \(M_\mathfrak p \to N_\mathfrak p\) 是同构；或

2. \(\text{depth}(M_\mathfrak p) \geq 2\)。

则 \(\varphi\) 是同构。

证明

这是引理 0AV8 的特殊情形。

引理

设 \(R\) 为 Noether 整环，\(M\) 为有限 \(R\)-模。下列条件等价：

1. \(M\) 自反；

2. 对 \(R\) 的每个素理想 \(\mathfrak p\)，下列情形之一发生：

   1. \(M_\mathfrak p\) 是自反 \(R_\mathfrak p\)-模；或

   2. \(\text{depth}(M_\mathfrak p) \geq 2\)。

证明

若 (1) 成立，则由引理 0AV1，对每个素理想 \(\mathfrak p\)，\(M_\mathfrak p\) 都是自反模。因此 (1) \(\Rightarrow\) (2)。 假设 (2)。令 \(N = \Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\)，则对 \(R\) 的每个素理想 \(\mathfrak p\) 有 \[N_\mathfrak p = \Hom_{R_\mathfrak p}( \Hom_{R_\mathfrak p}(M_\mathfrak p, R_\mathfrak p), R_\mathfrak p)\] 见 Algebra, Lemma 0583。 对映射 \(j : M \to N\) 应用引理 0AV9。这是允许的，因为 \(M\) 有限，而由引理 0AUX，\(N\) 无挠。在情形 (2)(a) 中，映射 \(M_\mathfrak p \to N_\mathfrak p\) 是同构；在情形 (2)(b) 中，有 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) \geq 2\)。

引理

设 \(R\) 为 Noether 整环，\(M\) 为有限自反 \(R\)-模。设 \(\mathfrak p \subset R\) 为素理想。

1. 若 \(\text{depth}(R_\mathfrak p) \geq 2\)，则 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) \geq 2\)。

2. 若 \(R\) 是 \((S_2)\)，则 \(M\) 是 \((S_2)\)。

证明

由于形成自反包 \(\Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\) 与局部化可交换 （Algebra, Lemma 0583）， (1) 由引理 0AV5 得出。(2) 直接由引理 0AV6 得出。

例

上下的结果使人猜想自反性与 \((S_2)\) 条件有关；下面的例子用来阻止过于乐观的猜想。 设 \(k\) 为域。设 \(R\) 是 \(k[x, y]\) 由 \(1, y, x^2, xy, x^3\) 生成的 \(k\)-子代数。则 \(R\) 不是 \((S_2)\)。所以把 \(R\) 看作 \(R\)-模，它是一个自反但不是 \((S_2)\) 的 \(R\)-模之例。设 \(M = k[x, y]\)，并将其视为 \(R\)-模。 则 \(M\) 是自反 \(R\)-模，因为 \[\Hom_R(M, R) = \mathfrak m = (y, x^2, xy, x^3) \quad\text{且}\quad \Hom_R(\mathfrak m, R) = M\] 且 \(M\) 作为 \(R\)-模是 \((S_2)\)（略去计算）。因此 \(R\) 是一个 Noether 整环， 它拥有自反 \((S_2)\) 模，但 \(R\) 本身不是 \((S_2)\)。

引理

设 \(R\) 为 Noether 正规整环，其分式域为 \(K\)。设 \(M\) 为有限 \(R\)-模。 下列条件等价：

1. \(M\) 自反；

2. \(M\) 无挠且具有性质 \((S_2)\)；

3. \(M\) 无挠，且 \(M = \bigcap_{\text{高度}(\mathfrak p) = 1} M_{\mathfrak p}\)， 其中交取在 \(M_K = M \otimes_R K\) 中。

证明

由 Algebra, Lemma 031S，\(R\) 满足 \((R_1)\) 与 \((S_2)\)。

假设 (1)。由引理 0AV0，\(M\) 无挠； 由引理 0EBA，它满足 \((S_2)\)。因此 (2) 成立。

假设 (2)。依定义， \(M' = \bigcap_{\text{高度}(\mathfrak p) = 1} M_{\mathfrak p}\) 是映射 \[M_K \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{\text{高度}(\mathfrak p) = 1} M_K/M_\mathfrak p \subset \prod\nolimits_{\text{高度}(\mathfrak p) = 1} M_K/M_\mathfrak p\] 的核。注意，我们的映射确实如所示经过直和分解，因为给定 \(a/b \in K\)，至多只有有限多个高为 \(1\) 的素理想 \(\mathfrak p\) 满足 \(b \in \mathfrak p\)。设 \(\mathfrak p_0\) 为一个高为 \(1\) 的素理想。则除非两者相等， 否则 \((M_K/M_\mathfrak p)_{\mathfrak p_0} = 0\)； 而在 \(\mathfrak p = \mathfrak p_0\) 时，我们得到 \((M_K/M_\mathfrak p)_{\mathfrak p_0} = M_K/M_{\mathfrak p_0}\)。 因此，由局部化的正合性以及局部化与直和可交换，有 \(M'_{\mathfrak p_0} = M_{\mathfrak p_0}\)。因为 \(M\) 在高 \(> 1\) 的素理想处深度 \(\geq 2\)，由引理 0AV9，\(M \to M'\) 是同构。 因此 (3) 成立。

假设 (3)。设 \(\mathfrak p\) 为高 \(1\) 的素理想。由 \((R_1)\)， \(R_\mathfrak p\) 是离散赋值环。由引理 0AUW， \(M_\mathfrak p\) 有限自由，特别地它自反。因此映射 \(M \to M^{**}\) 在所有高为 \(1\) 的素理想 \(\mathfrak p\) 处诱导出同构。于是条件 \(M = \bigcap_{\text{高度}(\mathfrak p) = 1} M_{\mathfrak p}\) 推出 \(M = M^{**}\)，从而 (1) 成立。

引理

设 \(R\) 为 Noether 正规整环，\(M\) 为有限 \(R\)-模。则 \(M\) 的自反包是交 \[M^{**} = \bigcap\nolimits_{\text{高度}(\mathfrak p) = 1} M_{\mathfrak p}/(M_\mathfrak p)_{tors} = \bigcap\nolimits_{\text{高度}(\mathfrak p) = 1} (M/M_{tors})_\mathfrak p\] ，其交取在 \(M \otimes_R K\) 中。

证明

设 \(\mathfrak p\) 为高 \(1\) 的素理想。映射 \(M_\mathfrak p \to M \otimes_R K\) 的核是 \(M_\mathfrak p\) 的挠子模 \((M_\mathfrak p)_{tors}\)。此外， \((M/M_{tors})_\mathfrak p = M_\mathfrak p/(M_\mathfrak p)_{tors}\)， 并且它是离散赋值环 \(R_\mathfrak p\) 上的有限自由模 （引理 0AUW）。于是 \(M_\mathfrak p/(M_\mathfrak p)_{tors} \to (M_\mathfrak p)^{**} = (M^{**})_\mathfrak p\) 是同构，因而本引理是引理 0AVB 的结论。

引理

设 \(A\) 为 Noether 正规整环，分式域为 \(K\)。设 \(L\) 是 \(K\) 的有限扩张。 若 \(A\) 在 \(L\) 中的整闭包 \(B\) 在 \(A\) 上有限，则 \(B\) 作为 \(A\)-模自反。

证明

只须证明 \(B = \bigcap B_\mathfrak p\)，其中交遍历高为 \(1\) 的素理想 \(\mathfrak p \subset A\)；见引理 0AVB。 设 \(b \in \bigcap B_\mathfrak p\)。设 \(x^d + a_1x^{d - 1} + \ldots + a_d\) 是 \(b\) 在 \(K\) 上的最小多项式。 我们要证明 \(a_i \in A\)。由 Algebra, Lemma 00H7，对所有 \(i\) 及所有高一素理想 \(\mathfrak p\)，有 \(a_i \in A_\mathfrak p\)。因此由 Algebra, Lemma 031T 得到所需结论（也可使用已引用的引理，因为 \(A\) 是其自身上的自反模）。

内容理想

这个定义可能与你预期的不同。

定义

设 \(A\) 为环，\(M\) 为平坦 \(A\)-模，\(x \in M\)。若 \(A\) 中所有满足 \(x \in IM\) 的理想 \(I\) 所成的集合有最小元，则称该最小元为 \(x\) 的内容理想。

注意，因为 \(M\) 在 \(A\) 上平坦，对 \(A\) 的一对理想 \(I, I'\)，有 \(IM \cap I'M = (I \cap I')M\)。这可由把正合列 \(0 \to I \cap I' \to I \oplus I' \to I + I' \to 0\) 与 \(M\) 张量而得。

引理

设 \(A\) 为环，\(M\) 为平坦 \(A\)-模，\(x \in M\)。若 \(x\) 的内容理想存在， 则它有限生成。

证明

设 \(x \in IM\)。则可写成 \(x = \sum_{i = 1, \ldots, n} f_i x_i\)，其中 \(f_i \in I\) 且 \(x_i \in M\)。因此 \(x \in I'M\)，其中 \(I' = (f_1, \ldots, f_n)\)。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 为局部环。设 \(u : M \to N\) 为平坦 \(A\)-模之间的映射， 且 \(\overline{u} : M/\mathfrak m M \to N/\mathfrak m N\) 是单射。若 \(x \in M\) 的内容理想为 \(I\)，则 \(u(x)\) 的内容理想也为 \(I\)。

证明

显然 \(u(x) \in IN\)。若 \(u(x) \in I'N\)，则 \(u(x) \in (I' \cap I)N\)；见定义 0ASA 后的讨论。 因此只须证明：若 \(x \in I'N\) 且 \(I' \subset I\)、\(I' \not = I\)，则 \(u(x) \not \in I'N\)。因为 \(I/I'\) 是非零有限 \(A\)-模 （引理 0ASB），由 Nakayama 引理 （Algebra, Lemma 00DV），存在 \(A\)-模的非零映射 \(\chi : I/I' \to A/\mathfrak m\)。由于 \(I\) 是 \(x\) 的内容理想，有 \(x \not \in I''M\)，其中 \(I'' = \Ker(\chi)\)。因而 \(x\) 不在映射 \[IM = I \otimes_A M \xrightarrow{\chi \otimes 1} A/\mathfrak m \otimes M \cong M/\mathfrak m M\] 的核中。应用关于 \(\overline{u}\) 的假设，可知 \(u(x)\) 在映射 \[IN = I \otimes_A N \xrightarrow{\chi \otimes 1} A/\mathfrak m \otimes N \cong N/\mathfrak m N\] 下的像不为零，于是得到结论。

引理

设 \(A\) 为环，\(M\) 为平坦 Mittag-Leffler 模。则 \(M\) 的每个元都有内容理想。

证明

这是 Algebra, Lemma 059S 的特殊情形。

平坦性与有限性条件

本节讨论“平坦 \(+\) 有限型 \(\Rightarrow\) 有限表示”这一类型的一些推论。 我们将在平坦性一章重新讨论这一结果；见 More on Flatness, Section 057N。这种类型的第一个结果已在 Algebra, Lemma 052U 中证明。

引理

设 \(R\) 为环。设 \(S = R[x_1, \ldots, x_n]\) 为 \(R\) 上的多项式环。 设 \(M\) 为 \(S\)-模。假设：

1. \(R\) 有有限多个素理想 \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_m\)，使映射 \(R \to \prod R_{\mathfrak p_j}\) 为单射；

2. \(M\) 是有限 \(S\)-模；

3. \(M\) 在 \(R\) 上平坦；以及

4. 对 \(R\) 的每个素理想 \(\mathfrak p\)，模 \(M_{\mathfrak p}\) 在 \(S_{\mathfrak p}\) 上有限表示。

则 \(M\) 在 \(S\) 上有限表示。

证明

选取 \(M\) 作为 \(S\)-模的表示 \[0 \to K \to S^{\oplus r} \to M \to 0\] 设 \(\mathfrak q\) 为 \(S\) 的一个素理想，它位于 \(R\) 的素理想 \(\mathfrak p\) 之上。由假设，存在有限多个元 \(k_1, \ldots, k_t \in K\)， 使得若令 \(K' = \sum Sk_j \subset K\)，则 \(K'_{\mathfrak p} = K_{\mathfrak p}\) 且对 \(j = 1, \ldots, m\) 有 \(K'_{\mathfrak p_j} = K_{\mathfrak p_j}\)。令 \(M' = S^{\oplus r}/K'\)，特别可得 \(M'_{\mathfrak q} = M_{\mathfrak q}\)。由平坦性的开性，见 Algebra, Theorem 00RC，存在 \(g \in S\)、\(g \not \in \mathfrak q\)， 使 \(M'_g\) 在 \(R\) 上平坦。因此 \(M'_g \to M_g\) 是平坦 \(R\)-模之间的满射。 考虑交换图 \[\xymatrix{ M'_g \ar[r] \ar[d] & M_g \ar[d] \\ \prod (M'_g)_{\mathfrak p_j} \ar[r] & \prod (M_g)_{\mathfrak p_j} }\] 由 \(k_1, \ldots, k_t\) 的选取，底部箭头是同构。由于 \(R \to \prod R_{\mathfrak p_j}\) 是单射，而 \(M'_g\) 在 \(R\) 上平坦， 左边竖直箭头是单射。因此顶部水平箭头是单射，从而是同构。 这证明 \(M_g\) 在 \(S_g\) 上有限表示。应用 Algebra, Lemma 00EO 得到结论。

引理

设 \(R \to S\) 为环同态。假设：

1. \(R\) 有有限多个素理想 \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_m\)，使映射 \(R \to \prod R_{\mathfrak p_j}\) 为单射；

2. \(R \to S\) 为有限型；

3. \(S\) 在 \(R\) 上平坦；以及

4. 对 \(R\) 的每个素理想 \(\mathfrak p\)，环 \(S_{\mathfrak p}\) 在 \(R_{\mathfrak p}\) 上有限表示。

则 \(S\) 在 \(R\) 上有限表示。

证明

由假设，\(S\) 是 \(R\) 上某个多项式环的商。因此结果直接由引理 053A 得出。

引理

设 \(R\) 为环。设 \(S = R[x_1, \ldots, x_n]\) 为 \(R\) 上的分次多项式代数， 也就是说 \(\deg(x_i) > 0\) 但不一定等于 \(1\)。设 \(M\) 为分次 \(S\)-模。 假设：

1. \(R\) 是局部环；

2. \(M\) 是有限 \(S\)-模；以及

3. \(M\) 在 \(R\) 上平坦。

则 \(M\) 作为 \(S\)-模有限表示。

证明

设 \(M = \bigoplus M_d\) 为 \(M\) 上的分次。选取 \(M\) 的齐次生成元 \(m_1, \ldots, m_r \in M\)。设 \(\deg(m_i) = d_i \in \mathbf{Z}\)。 这给出表示 \[0 \to K \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, r} S(-d_i) \to M \to 0\] 它在每个次数 \(d\) 上给出短正合列 \[0 \to K_d \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, r} S_{d - d_i} \to M_d \to 0.\] 由假设，每个 \(M_d\) 都是有限平坦 \(R\)-模。由 Algebra, Lemma 00NZ，每个 \(M_d\) 都是有限自由 \(R\)-模。 因此每个 \(K_d\) 都是有限 \(R\)-模。另外，由 Algebra, Lemma 00HM，每个 \(K_d\) 都在 \(R\) 上平坦。再次由 Algebra, Lemma 00NZ，得出每个 \(K_d\) 有限自由。

设 \(\mathfrak m\) 为 \(R\) 的极大理想。由于 \(M\) 在 \(R\) 上平坦，上述短正合列与 \(\kappa = \kappa(\mathfrak m)\) 张量后仍是短正合列。由于环 \(S \otimes_R \kappa\) 是 Noether 环，存在齐次元 \(k_1, \ldots, k_t \in K\)，使其像 \(\overline{k}_j\) 在 \(S \otimes_R \kappa\) 上生成 \(K \otimes_R \kappa\)。设 \(\deg(k_j) = e_j\)。 因此对任意 \(d\)，映射 \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, t} S_{d - e_j} \longrightarrow K_d\] 与 \(\kappa\) 张量后成为满射。由 Nakayama 引理 （Algebra, Lemma 00DV），该映射在 \(R\) 上是满射。 因此 \(K\) 由 \(k_1, \ldots, k_t\) 在 \(S\) 上生成，于是得证。

引理

设 \(R\) 为环。设 \(S = \bigoplus_{n \geq 0} S_n\) 为分次 \(R\)-代数， \(M = \bigoplus_{d \in \mathbf{Z}} M_d\) 为分次 \(S\)-模。假设 \(S\) 作为 \(R\)-代数有限生成，\(S_0\) 是有限 \(R\)-代数，且存在有限多个素理想 \(\mathfrak p_j\)、\(i = 1, \ldots, m\)，使 \(R \to \prod R_{\mathfrak p_j}\) 是单射。

1. 若 \(S\) 在 \(R\) 上平坦，则 \(S\) 是有限表示 \(R\)-代数。

2. 若 \(M\) 作为 \(R\)-模平坦，作为 \(S\)-模有限，则 \(M\) 作为 \(S\)-模有限表示。

证明

由于 \(S\) 作为 \(R\)-代数有限生成，它作为 \(S_0\)-代数也有限生成； 设由次数为 \(d_1, \ldots, d_n > 0\) 的齐次元 \(t_1, \ldots, t_n \in S\) 生成。令 \(P = R[x_1, \ldots, x_n]\)，并令 \(\deg(x_i) = d_i\)。由于 \(S_0\) 是有限 \(R\)-模，环映射 \(P \to S\)、\(x_i \to t_i\) 是有限的。为证明 (1)，只须证明 \(S\) 是有限表示 \(P\)-模。为证明 (2)，只须证明 \(M\) 是有限表示 \(P\)-模。因此， 只须证明如下情形：\(S = P\) 是分次多项式环，\(M\) 是有限 \(S\)-模且在 \(R\) 上平坦，则 \(M\) 作为 \(S\)-模有限表示。由引理 053C，对 \(R\) 的每个素理想 \(\mathfrak p\)，\(M_{\mathfrak p}\) 都是有限表示 \(S_{\mathfrak p}\)-模。 所以结果由引理 053A 得出。

注

设 \(R\) 为环。\(R\) 何时满足引理 053A、 053B 与 053D 中提及的条件？ 下列情形中该条件成立：

1. \(R\) 是局部环；

2. \(R\) 是 Noether 环；

3. \(R\) 是整环；

4. \(R\) 是只有有限多个极小素理想的既约环；或

5. \(R\) 只有有限多个弱伴随素理想；见 Algebra, Lemma 05CB。

因此这些引理在上述所有情形中都成立。

下一引理将在 More on Flatness, Proposition 053G 中得到改进。

引理

设 \(A\) 为赋值环。设 \(A \to B\) 为有限型环映射，\(M\) 为有限 \(B\)-模。

1. 若 \(B\) 在 \(A\) 上平坦，则 \(B\) 是有限表示 \(A\)-代数。

2. 若 \(M\) 作为 \(A\)-模平坦，则 \(M\) 作为 \(B\)-模有限表示。

证明

我们将使用这一事实：\(A\)-模平坦当且仅当它无挠；见引理 0539。由 Algebra, Lemma 052N，可找到分次 \(A\)-代数 \(S\)，其中 \(S_0 = A\)， 且它由有限多个次数为 \(1\) 的元生成；还可找到一个元 \(f \in S_1\) 和一个有限分次 \(S\)-模 \(N\)，使 \(B \cong S_{(f)}\) 且 \(M \cong N_{(f)}\)。若 \(M\) 无挠，则用 \(N/N_{tors}\) 作此替换后，可以取 \(N\) 无挠；见引理 0537。 同样，若 \(B\) 无挠，则用 \(S/S_{tors}\) 替换后，可以取 \(S\) 无挠。 因此在情形 (1) 中，可以应用引理 053D，得到 \(S\) 是有限表示 \(A\)-代数，这推出 \(B = S_{(f)}\) 是有限表示 \(A\)-代数。 为证明 (2)，可以先用分次多项式环替换 \(S\)，然后应用引理 053C 得到结论。

引理

设 \(A\) 为赋值环。设 \(A \to B\) 为本质有限型的局部同态，\(M\) 为有限 \(B\)-模。

1. 若 \(B\) 在 \(A\) 上平坦，则 \(B\) 在 \(A\) 上本质有限表示。

2. 若 \(M\) 作为 \(A\)-模平坦，则 \(M\) 作为 \(B\)-模有限表示。

证明

由假设，可以把 \(B\) 写成多项式代数 \(P = A[x_1, \ldots, x_n]\) 在素理想 \(\mathfrak q\) 处局部化的一个商。 在情形 (1) 中，我们把 \(M = B\) 视为 \(P_\mathfrak q\) 上的有限模； 在情形 (2) 中，我们把 \(M\) 视为 \(P_\mathfrak q\) 上的有限模。 在两种情形中，都要证明这是有限表示 \(P_\mathfrak q\)-模； 对情形 (2)，见 Algebra, Lemma 0561。

选取表示 \(0 \to K \to P_\mathfrak q^{\oplus r} \to M \to 0\)； 这是可能的，因为 \(M\) 在 \(P_\mathfrak q\) 上有限。 令 \(L = P^{\oplus r} \cap K\)。则 \(K = L_\mathfrak q\)；见 Algebra, Lemma 00CU。此时 \(N = P^{\oplus r}/L\) 是 \(M\) 的子模， 从而由引理 0539 它平坦。 又因为 \(N\) 是有限 \(P\)-模，由引理 053E，\(N\) 作为 \(P\)-模有限表示。 由局部化的正合性（Algebra, Proposition 00CS），可知 \(N_\mathfrak q = M\)，于是得证。

爆破与平坦性

本节开始讨论如下形式的结果：“经过爆破后，严格变换变为平坦”。 这种类型的更多结果见 Divisors, Section 0F84 与 More on Flatness, Section 080X。

定义

设 \(R\) 为环，\(I \subset R\) 为理想，\(a \in I\)。设 \(R[\frac{I}{a}]\) 为仿射爆破代数；见 Algebra, Definition 052Q。设 \(M\) 为 \(R\)-模。称 \(R[\frac{I}{a}]\)-模 \[M' = \left(M \otimes_R R[\textstyle{\frac{I}{a}}]\right)/a\text{-幂挠子}\] 为 \(M\) 沿 \(R \to R[\frac{I}{a}]\) 的严格变换。

下一结果是通过爆破实现平坦化的一个非常弱的版本，但有时已经很有用。

引理

设 \((R, \mathfrak m)\) 为分式域为 \(K\) 的局部整环。设 \(S\) 为有限型 \(R\)-代数，\(M\) 为有限 \(S\)-模。对每个支配 \(R\) 的赋值环 \(A \subset K\)，存在理想 \(I \subset \mathfrak m\) 与非零元 \(a \in I\)，使得：

1. \(I\) 有限生成；

2. \(A\) 在 \(R[\frac{I}{a}]\) 上有中心；

3. \(R \to R[\frac{I}{a}]\) 在 \(\mathfrak m\) 处的纤维环不为零；以及

4. \(S\) 沿 \(R \to R[\frac{I}{a}]\) 的严格变换 \(S_{I, a}\) 在 \(R\) 上平坦且有限表示， 并且 \(M\) 沿 \(R \to R[\frac{I}{a}]\) 的严格变换 \(M_{I, a}\) 在 \(R\) 上平坦， 并在 \(S_{I, a}\) 上有限表示。

证明

写成 \(S = R[x_1, \ldots, x_n]/J\)，并把 \(N = S \oplus M\) 视为 \(P = R[x_1, \ldots, x_n]\) 上的模。若能在 \(S\) 是 \(R\) 上多项式代数的情形证明本引理， 则可找到满足 (1)、(2)、(3) 的 \(I, a\)，使 \(N\) 沿 \(R \to R[\frac{I}{a}]\) 的严格变换 \(N_{I, a}\) 在 \(R\) 上平坦，并且作为 \(P\) 的严格变换 \(P_{I, a}\) 上的模有限表示。因为 \(P_{I, a} = R[\frac{I}{a}][x_1, \ldots, x_n]\)（略去一个小细节）， 可知直和项 \(S_{I, a} \subset N_{I, a}\) 在 \(R\) 上平坦，并且作为 \(R[\frac{I}{a}][x_1, \ldots, x_n]\)-模有限表示。因此 \(S_{I, a}\) 是有限表示 \(R[\frac{I}{a}]\)-代数。此外，直和项 \(M_{I, a} \subset N_{I, a}\) 在 \(R\) 上平坦， 并且作为 \(P_{I, a}\)-模有限表示，因而作为 \(S_{I, a}\)-模也有限表示；见 Algebra, Lemma 0561。 这将我们化约到下一段讨论的情形。

假设 \(S = R[x_1, \ldots, x_n]\)。选取表示 \[0 \to K \to S^{\oplus r} \to M \to 0.\] 设 \(M_A\) 是 \(M \otimes_R A\) 模去其挠子模得到的商；见引理 0537。则 \(M_A\) 是 \(S_A = A[x_1, \ldots, x_n]\) 上的有限模。 由引理 0539，\(M_A\) 在 \(A\) 上平坦。 由引理 053E， \(M_A\) 有限表示。因此存在有限多个元 \(k_1, \ldots, k_t \in S_A^{\oplus r}\)，它们作为 \(S_A\)-模生成表示 \(S_A^{\oplus r} \to M_A\) 的核。对任意满足 (1)、(2)、(3) 的选取 \(a \in I \subset \mathfrak m\)，用 \(M_{I, a}\) 表示 \(M\) 沿 \(R \to R[\frac{I}{a}]\) 的严格变换。它是 \(S_{I, a} = R[\frac{I}{a}][x_1, \ldots, x_n]\) 上的有限模。 由 Algebra, Lemma 052M，有 \(A = \colim_{I, a} R[\frac{I}{a}]\)。这推出 \(S_A = \colim S_{I, a}\) 且 \[\colim M \otimes_R R[\textstyle{\frac{I}{a}}] = M \otimes_R A\] 选取 \(I, a\) 以及提升 \(k_1, \ldots, k_t \in S_{I, a}^{\oplus r}\)。 由于 \(M_A\) 是 \(M \otimes_R A\) 模去挠得到的商，可知 \(k_1, \ldots, k_t\) 在 \(M \otimes_R A\) 中的像被某个非零元 \(\alpha \in A\) 零化。用另一对替换 \(I, a\)（回忆该余极限是滤过的）后， 可以假设对某个非零 \(x \in I^n\) 有 \(\alpha = x/a^n\)。 于是 \(x k_1, \ldots, x k_t\) 在 \(M \otimes_R A\) 中映到零。 再次用另一对替换 \(I, a\) 后，可以假设对某个非零 \(x \in R\)， \(x k_1, \ldots, x k_t\) 在 \(M \otimes_R R[\frac{I}{a}]\) 中映到零。 最后用 \(xI, xa\) 替换 \(I, a\)，可以假设 \(k_1, \ldots, k_t\) 在 \(M \otimes_R R[\frac{I}{a}]\) 中映到被 \(a\) 的某个幂零化的挠元。 对任意这样的对 \((I, a)\)，令 \[M'_{I, a} = S_{I, a}^{\oplus r}/ \sum S_{I, a}k_j.\] 因为 \(M_A = S_A^{\oplus r}/ \sum S_Ak_j\)，可知 \(M_A = \colim_{I, a} M'_{I, a}\)。此时终于可以应用 Algebra, Lemma 02JO (3)，得出对某个如上的对 \((I, a)\)，\(M'_{I, a}\) 平坦。该引理先验上不能应用于严格变换组成的系统 \[M_{I, a} = (M \otimes_R R[\textstyle{\frac{I}{a}}])/a\text{-幂挠子}\] 因为转移映射可能不满足该引理的假设。但现在，由于平坦推出无挠 （引理 0538），并且 \(M_{I, a}\) 是 \(M'_{I, a}\) 的商 （因为我们已安排使元 \(k_1, \ldots, k_t\) 在 \(M_{I, a}\) 中映到零）， 所商去的是被 \(a\) 的某个幂零化的挠子模，所以对这样的对还有 \(M'_{I, a} = M_{I, a}\)，从而得证。

引理

设 \(R\) 为环，\(M\) 为有限 \(R\)-模。设 \(k \geq 0\) 且 \(I = \text{Fit}_k(M)\)。对每个 \(a \in I\)，令 \(R' = R[\frac{I}{a}]\)，则严格变换 \[M' = (M \otimes_R R')/a\text{-幂挠子}\] 满足 \(\text{Fit}_k(M') = R'\)。

证明

首先注意 \(\text{Fit}_k(M \otimes_R R') = IR' = aR'\)。第一个等式由引理 07ZA 的 (3) 得出，第二个等式由 Algebra, Lemma 07Z3 得出。由引理 080Z 与局部化的正合性，可知对 \(R'\) 的每个素理想 \(\mathfrak p'\)，\(M'_{\mathfrak p'}\) 可由 \(\leq k\) 个元生成。 例如由引理 07ZC，可得 \(\text{Fit}_k(M') = R'\)。

引理

设 \(R\) 为环，\(M\) 为有限 \(R\)-模。设 \(k \geq 0\) 且 \(I = \text{Fit}_k(M)\)。假设对每个 \(\mathfrak p \not \in V(I)\)， \(M_\mathfrak p\) 都是秩为 \(k\) 的自由模。则对每个 \(a \in I\)，令 \(R' = R[\frac{I}{a}]\)，严格变换 \[M' = (M \otimes_R R')/a\text{-幂挠子}\] 都局部自由且秩为 \(k\)。

证明

由引理 0CZM，有 \(\text{Fit}_k(M') = R'\)。由引理 07ZD， 只须证明 \(\text{Fit}_{k - 1}(M') = 0\)。回忆 \(R' \subset R'_a = R_a\)；见 Algebra, Lemma 07Z3。 因此只须证明 \(\text{Fit}_{k - 1}(M')\) 在 \(R'_a = R_a\) 中映到零。 由于显然 \((M')_a = M_a\)，而由引理 07ZA 的 (3)， 形成 Fitting 理想与基变换可交换，问题归结为证明 \(\text{Fit}_{k - 1}(M_a) = 0\)。由假设，\(M_a\) 是秩为 \(k\) 的有限局部自由模 （见 Algebra, Lemma 00NX），故此结论由已引用的引理 07ZD 得出。

引理

设 \(R\) 为环，\(M\) 为有限 \(R\)-模。设 \(f \in R\) 为元，使 \(M_f\) 是秩为 \(r\) 的有限局部自由模。则存在有限生成理想 \(I \subset R\)，满足 \(V(f) = V(I)\)，且对所有 \(a \in I\)，令 \(R' = R[\frac{I}{a}]\)， 严格变换 \[M' = (M \otimes_R R')/a\text{-幂挠子}\] 局部自由且秩为 \(r\)。

证明

选取满射 \(R^{\oplus n} \to M\)。选取有限子模 \(K \subset \Ker(R^{\oplus n} \to M)\)，使 \(R^{\oplus n}/K \to M\) 在逆转 \(f\) 后成为同构。 这是可能的，因为例如由 Algebra, Lemma 00NX，\(M_f\) 有限表示。 令 \(M_1 = R^{\oplus n}/K\)，并假设能对 \(M_1\) 证明本引理。 设 \(I \subset R\) 为相应的理想。则对 \(a \in I\)，映射 \[M_1' = (M_1 \otimes_R R')/a\text{-幂挠子} \longrightarrow M' = (M \otimes_R R')/a\text{-幂挠子}\] 是满射。在 \(R'\) 中逆转 \(a\) 后，它也是同构，因为 \(R'_a = R_f\)；见 Algebra, Lemma 080U。 但 \(a\) 在 \(M'_1\) 上是非零因子，因此所显示的映射是同构。 所以只须在 \(M\) 是有限表示 \(R\)-模的情形证明本引理。

假设 \(M\) 是有限表示 \(R\)-模。则 \(J = \text{Fit}_r(M) \subset S\) 是有限生成理想。我们断言 \(I = fJ\) 可行。

首先验证 \(V(f) = V(I)\)。包含关系 \(V(f) \subset V(I)\) 是显然的。 反之，若 \(f \not \in \mathfrak p\)，则由引理 07ZC，\(\mathfrak p\) 不是 \(V(J)\) 的元。 因此 \(\mathfrak p \not \in V(fJ) = V(I)\)。

设 \(a \in I\)，并令 \(R' = R[\frac{I}{a}]\)。可以对某个 \(b \in J\) 写成 \(a = fb\)。由 Algebra, Lemmas 07Z3 与 0BBI，有 \(J R' = b R'\)，且 \(b\) 是 \(R'\) 中的非零因子。 设 \(\mathfrak p' \subset R' = R[\frac{I}{a}]\) 为素理想。则 \(JR'_{\mathfrak p'}\) 由 \(b\) 生成。由引理 080Z， \(M'_{\mathfrak p'}\) 可由 \(r\) 个元生成。由于 \(M'\) 有限，存在 \(m_1, \ldots, m_r \in M'\) 与 \(g \in R'\)、\(g \not \in \mathfrak p'\)，使相应的映射 \((R')^{\oplus r} \to M'\) 在逆转 \(g\) 后成为满射。

最后，考虑理想 \(J' = \text{Fit}_{k - 1}(M')\)。注意 \(J' R'_g\) 由 \(m_1, \ldots, m_r\) 之间各关系的系数生成（Fitting 理想与基变换的相容性）。 因此只须证明 \(J' = 0\)；见引理 07ZD。 由于 \(R'_a = R_f\)（Algebra, Lemma 080U），而 \(M'_a = M_f\) 自由且秩为 \(r\)，可知 \(J'_a = 0\)。因为 \(a\) 是 \(R'\) 中的非零因子， 所以 \(J' = 0\)，于是得证。

完备化与平坦性

本节讨论一个“大”平坦模的完备化何时平坦。

引理

设 \(R\) 为环，\(I \subset R\) 为理想，\(A\) 为集合。假设 \(R\) 是 Noether 环， 且对 \(I\) 完备。存在从直和的 \(I\)-进完备化到直积的规范映射 \[\left(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R\right)^\wedge \longrightarrow \prod\nolimits_{\alpha \in A} R\] ，且该映射是普遍单射。

证明

依定义，左边的元 \(x\) 为 \(x = (x_n)\)，其中 \(x_n = (x_{n, \alpha}) \in \bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R/I^n\)，并满足 \(x_{n, \alpha} = x_{n + 1, \alpha} \bmod I^n\)。由于 \(R = R^\wedge\)， 对任意 \(\alpha\) 存在 \(y_\alpha \in R\)，使 \(x_{n, \alpha} = y_\alpha \bmod I^n\)。注意，对每个 \(n\)，只有有限多个 \(\alpha\) 使 \(x_{n, \alpha}\) 不为零。反之，给定 \((y_\alpha) \in \prod_\alpha R\)，若对每个 \(n\)，只有有限多个 \(\alpha\) 使 \(y_{\alpha} \bmod I^n\) 不为零，则它定义了左边的一个元。 所以可以把左边的元看作无限“收敛和” \(\sum_\alpha y_\alpha\)，其中 \(y_\alpha \in R\)，且对每个 \(n\)， 只有有限多个 \(y_\alpha\) 模 \(I^n\) 不为零。所显示的映射把此元映到直积中的元 \((y_\alpha)\)。特别地，该映射是单射。

设 \(Q\) 为有限 \(R\)-模。我们必须证明映射 \[Q \otimes_R \left(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R\right)^\wedge \longrightarrow Q \otimes_R \left(\prod\nolimits_{\alpha \in A} R\right)\] 是单射；见 Algebra, Theorem 058K。选取表示 \(R^{\oplus k} \to R^{\oplus m} \to Q \to 0\)，并用 \(q_1, \ldots, q_m \in Q\) 表示 \(Q\) 的相应生成元。由 Artin-Rees （Algebra, Lemma 00IN），存在常数 \(c\)，使 \(\Im(R^{\oplus k} \to R^{\oplus m}) \cap (I^N)^{\oplus m} \subset \Im((I^{N - c})^{\oplus k} \to R^{\oplus m})\)。考虑图 \[\xymatrix{ \bigoplus_{l = 1}^k \left(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R\right)^\wedge \ar[r] \ar[d] & \bigoplus_{j = 1}^m \left(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R\right)^\wedge \ar[r] \ar[d] & Q \otimes_R \left(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R\right)^\wedge \ar[r] \ar[d] & 0 \\ \bigoplus_{l = 1}^k \left(\prod\nolimits_{\alpha \in A} R\right) \ar[r] & \bigoplus_{j = 1}^m \left(\prod\nolimits_{\alpha \in A} R\right) \ar[r] & Q \otimes_R \left(\prod\nolimits_{\alpha \in A} R\right) \ar[r] & 0 }\] 其两行正合。选取元 \(\sum_j \sum_\alpha y_{j, \alpha}\)，它属于 \(\bigoplus_{j = 1, \ldots, m} \left(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R\right)^\wedge\)。 若此元在模 \(Q \otimes_R \left(\prod\nolimits_{\alpha \in A} R\right)\) 中映到零， 则特别地，对每个 \(\alpha\)，有 \(\sum_j q_j \otimes y_{j, \alpha} = 0\) 在 \(Q\) 中成立。 因此可找到元 \((z_{1, \alpha}, \ldots, z_{k, \alpha}) \in \bigoplus_{l = 1, \ldots, k} R\)， 它映到 \((y_{1, \alpha}, \ldots, y_{m, \alpha}) \in \bigoplus_{j = 1, \ldots, m} R\)。 此外，若对 \(j = 1, \ldots, m\) 有 \(y_{j, \alpha} \in I^{N_\alpha}\)， 则可以假设对 \(l = 1, \ldots, k\) 有 \(z_{l, \alpha} \in I^{N_\alpha - c}\)。因此和 \(\sum_l \sum_\alpha z_{l, \alpha}\) 是“收敛的”，并定义元 \(\bigoplus_{l = 1, \ldots, k} \left(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R\right)^\wedge\)， 该元映到我们开始所取的元 \(\sum_j \sum_\alpha y_{j, \alpha}\)。 因此右边的竖直箭头是单射，于是得证。

下一引理也可以由下面的引理 0912 推出。

引理

设 \(R\) 为环，\(I \subset R\) 为理想，\(A\) 为集合。假设 \(R\) 是 Noether 环。 完备化 \((\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R)^\wedge\) 是平坦 \(R\)-模。

证明

用 \(R^\wedge\) 表示 \(R\) 关于 \(I\) 的完备化。由 Algebra, Lemma 00MB，\(R \to R^\wedge\) 平坦，所以只须证明 \((\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R)^\wedge\) 是平坦 \(R^\wedge\)-模 （使用 Algebra, Lemma 00HC）。因为 \[(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R)^\wedge = (\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R^\wedge)^\wedge\] 可以用 \(R^\wedge\) 替换 \(R\)，并假设 \(R\) 对 \(I\) 完备 （见 Algebra, Lemma 031C）。 在这种情形下，引理 05BC 告诉我们，映射 \((\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R)^\wedge \to \prod_{\alpha \in A} R\) 是普遍单射。因此由 Algebra, Lemma 058P， 只须证明 \(\prod_{\alpha \in A} R\) 平坦。由 Algebra, Proposition 05CZ（以及 Algebra, Lemma 05CY），\(\prod_{\alpha \in A} R\) 平坦。

引理

设 \(A\) 为 Noether 环，\(I\) 为 \(A\) 的理想，\(M\) 为有限 \(A\)-模。 对每个 \(p > 0\)，存在 \(c > 0\)，使对所有 \(n \geq c\)，映射 \(\text{Tor}_p^A(M, A/I^n) \to \text{Tor}_p^A(M, A/I^{n - c})\) 为零。

证明

先证明 \(p = 1\) 的情形。选取短正合列 \(0 \to K \to A^{\oplus t} \to M \to 0\)。则 \(\text{Tor}_1^A(M, A/I^n) = K \cap (I^n)^{\oplus t}/I^nK\)。 由 Artin-Rees（Algebra, Lemma 00IN）， 存在常数 \(c \geq 0\)，使对 \(n \geq c\) 有 \(K \cap (I^n)^{\oplus t} \subset I^{n - c}K\)。这证明了 \(p = 1\) 的结论。 对 \(p > 1\)，有 \(\text{Tor}_p^A(M, A/I^n) = \text{Tor}^A_{p - 1}(K, A/I^n)\)。 因此本引理由归纳得证。