迹公式

引言

这是 Johan de Jong 于 2009 年秋季在哥伦比亚大学讲授的 étale 上同调课程第二部分的讲义。最初的笔记记录者是 Thibaut Pugin、Zachary Maddock 和 Min Lee。我们将逐步补充对 Stacks Project 其余部分中背景材料的引用，并为所有陈述给出严格证明。

典型的 étale 上同调课程通常会陈述并证明固有基变换定理、光滑基变换定理、纯性以及 Poincaré 对偶；这些内容都可见 [SGA4.5, Arcata]。我们在此改而按照 Deligne 在 [SGA4.5, Rapport] 中的论述，研究 Frobenius 的迹公式。我们只考察维数 1 的情形，但借助固有基变换，这已足以处理一般情形。由于所考虑的所有上同调群都是 étale 上同调，我们省略下标 \(_\etale\)。下面描述所要得到的公式。设 \(X\) 是有限域 \(k\) 上维数为 1 的有限型概形，\(\ell\) 是素数，而 \(\mathcal{F}\) 是可构造平坦 \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\)-层。则 [03SK]\[\begin{equation} \sum\nolimits_{x \in X(k)} \text{Tr}(\text{Frob} | \mathcal{F}_{\bar x}) = \sum\nolimits_{i = 0}^2 (-1)^i \text{Tr}(\pi_X^* | H^i_c(X \otimes_k \bar k, \mathcal{F})) \end{equation}\] 是 \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\) 中的等式。正如后文将看到的，这一表述按其当前写法略有不当。不过，我们仍先说明其中出现的各个符号。

Frobenius 态射

本节将证明一个“令人费解的”定理。该定理的拓扑类比如下。

练习

设 \(X\) 是拓扑空间，\(g : X \to X\) 是连续映射，并且对 \(X\) 的每个开集 \(U\) 都有 \(g^{-1}(U) = U\)。则 \(g\) 在 \(X\) 的上同调上诱导恒等映射（对任意系数均成立）。

现在转向 étale 位点上的陈述。

引理

设 \(X\) 是概形，\(g : X \to X\) 是态射。假设对每个 étale 态射 \(\varphi : U \to X\)，都存在同构 \[\xymatrix{ U \ar[rd]_\varphi \ar[rr]^-\sim & & {U \times_{\varphi, X, g} X} \ar[ld]^{\text{pr}_2} \\ & X }\] ，且它关于 \(U\) 具有函子性。则 \(g\) 在上同调上诱导恒等映射（对任意层均成立）。

证明

证明是形式的，并无困难。

关于 Frobenius 态射的不同变体，见“代数簇”第 0CC6 节。

定理

设 \(X\) 是特征 \(p > 0\) 的概形。则绝对 Frobenius 通过拉回在上同调上诱导平凡映射；换言之，对每个整数 \(j\geq 0\)， \[F_X^* : H^j (X, \underline{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}}) \longrightarrow H^j (X, \underline{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}})\] 是恒等映射。

该定理完全是形式的。不过，回顾如何计算上同调类的拉回仍很有益。这里只说明：当上同调与 Čech 上同调一致时，只需利用位点上的纤维积拉回 Čech 上闭链即可。一般情形相当技术性，见“超覆叠” 定理 01H0。为证明该定理，只须验证 Frobenius 满足引理 03SP 的假设。

证明

须验证上述函子性同构的存在性。对 étale 态射 \(\varphi : U \to X\)，考虑图 \[\xymatrix{ U \ar@{-->}[rd] \ar@/^1pc/[rrd]^{F_U} \ar@/_1pc/[rdd]_\varphi \\ & {U \times_{\varphi, X, F_X} X} \ar[r]_-{\text{pr}_1} \ar[d]^{\text{pr}_2} & U \ar[d]^\varphi \\ & X \ar[r]^{F_X} & X. }\] 虚箭头既是 étale 态射又是泛同胚，因而是同构；见“Étale 态射” 引理 0EBS。

定义

设 \(k\) 是含 \(q = p^f\) 个元素的有限域，\(X\) 是 \(k\) 上概形。 \(X\) 的几何 Frobenius 是 \(\Spec(k)\) 上的态射 \(\pi_X : X \to X\)，它等于 \(F_X^f\)。

由于 \(\pi_X\) 是 \(k\) 上态射，可将它基变换到任意 \(k\)-概形。特别地，可将它基变换到代数闭包 \(\bar k\)，得到态射 \(\pi_X : X_{\bar k} \to X_{\bar k}\)。仍用 \(\pi_X\) 表示这一基变换不会造成混淆，因为 \(X_{\bar k}\) 本身并没有自己的几何 Frobenius。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X_\etale\) 上的层。则存在典范同构 \(\pi_X^{-1} \mathcal{F} \cong \mathcal{F}\) 与 \(\mathcal{F} \cong {\pi_X}_*\mathcal{F}\)。

这对 fppf 位点不成立。

证明

设 \(\varphi : U \to X\) 是 étale 态射。回忆 \({\pi_X}_* \mathcal{F} (U) = \mathcal{F} (U \times_{\varphi, X, \pi_X} X)\)。由于 \(\pi_X = F_X^f\)，由定理 03SN 的证明可知，存在函子性同构 \[\xymatrix{ U \ar[rd]_{\varphi} \ar[rr]_-{\gamma_U} & & U \times_{\varphi, X, \pi_X} X \ar[ld]^{\text{pr}_2} \\ & X }\] ，其中 \(\gamma_U = (\varphi, F_U^f)\)。现在定义同构 \[\mathcal{F} (U) \longrightarrow {\pi_X}_* \mathcal{F} (U) = \mathcal{F} (U \times_{\varphi, X, \pi_X} X)\] 为 \(\mathcal{F}\) 沿 \(\gamma_U^{-1}\) 的限制映射。另一个同构类似。

注

\(F^f_U\) 可能等于 \(\pi_U\)，也可能不等于。

继续讨论含 \(q = p^f\) 个元素的有限域 \(k\) 上概形 \(X\) 的层上同调。固定 \(k\) 的代数闭包 \(\bar k\)，并以 \(G_k = \text{Gal}(\bar k/k)\) 表示 \(k\) 的绝对 Galois 群。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X_\etale\) 上的阿贝尔层。如下在上同调群 \(H^j (X_{\bar k}, \mathcal{F}|_{X_{\bar k}})\) 上定义左 \(G_k\)-模结构：若 \(\sigma \in G_k\)，则图 \[\xymatrix{ X_{\bar k} \ar[rd] \ar[rr]^{\Spec(\sigma) \times \text{id}_X} & & X_{\bar k} \ar[ld] \\ & X }\] 交换。因此，对 \(\xi \in H^j (X_{\bar k}, \mathcal{F}|_{X_{\bar k}})\)，可令 \[\sigma \cdot \xi := (\Spec(\sigma) \times \text{id}_X)^*\xi \in H^j(X_{\bar k}, (\Spec(\sigma) \times \text{id}_X)^{-1} \mathcal{F}|_{X_{\bar k}}) = H^j (X_{\bar k}, \mathcal{F}|_{X_{\bar k}}),\] ，其中最后一个等号来自前图的交换性。由此，后一个群成为 \(G_k\)-模。

引理

在上述情形中，以 \(\alpha : X \to \Spec(k)\) 表示结构态射。考虑茎 \((R^j\alpha_*\mathcal{F})_{\Spec(\bar k)}\)，并赋予它“Étale 上同调” 第 03QW 节所述的自然 Galois 作用。则同一 \[(R^j\alpha_*\mathcal{F})_{\Spec(\bar k)} \cong H^j (X_{\bar k}, \mathcal{F}|_{X_{\bar k}})\] 由“Étale 上同调”定理 03Q9 给出，并且是 \(G_k\)-模同构。

把 \((R^j\alpha_!\mathcal{F})_{\Spec(\bar k)}\) 与 \(H^j_c (X_{\bar k}, \mathcal{F}|_{X_{\bar k}})\) 相比较时，也有类似结论。

证明

略。

定义

算术 Frobenius 是 \(G_k\) 中的映射 \(\text{frob}_k : \bar k \to \bar k\)，\(x \mapsto x^q\)。

定理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X_\etale\) 上的阿贝尔层。则对每个 \(j\geq 0\)，\(\text{frob}_k\) 在上同调群 \(H^j(X_{\bar k}, \mathcal{F}|_{X_{\bar k}})\) 上的作用等于映射 \(\pi_X^*\) 的逆。

映射 \(\pi_X^*\) 定义为复合 \[H^j(X_{\bar k}, \mathcal{F}|_{X_{\bar k}}) \xrightarrow{{\pi_X}_{\bar k}^*} H^j(X_{\bar k}, (\pi_X^{-1} \mathcal{F})|_{X_{\bar k}}) \cong H^j(X_{\bar k}, \mathcal{F}|_{X_{\bar k}}).\] ，其中最后一个同构来自引理 03SR 的典范同构 \(\pi_X^{-1} \mathcal{F} \cong \mathcal{F}\)。

证明

复合 \(X_{\bar k} \xrightarrow{\Spec(\text{frob}_k)} X_{\bar k} \xrightarrow{\pi_X} X_{\bar k}\) 等于 \(F_{X_{\bar k}}^f\)，所以结论来自适当推广到非平凡系数的令人费解定理。注意，上述复合在如下意义下交换： \(F_{X_{\bar k}}^f = \pi_X \circ \Spec(\text{frob}_k) = \Spec(\text{frob}_k) \circ \pi_X\).

定义

若 \(x \in X(k)\) 是有理点，\(\bar x : \Spec(\bar k) \to X\) 是位于 \(x\) 上方的几何点，则以 \(\pi_x : \mathcal{F}_{\bar x} \to \mathcal{F}_{\bar x}\) 表示 \(\text{frob}_k^{-1}\) 的作用，并称之为 几何 Frobenius¹

现在可对迹公式 (03SK) 作出更精确的陈述（尽管它仍是错误的）。设 \(X\) 是有限域 \(k\) 上维数为 1 的有限型概形， \(\ell\) 是素数，而 \(\mathcal{F}\) 是可构造平坦 \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\)-层。则 [03SX]\[\begin{equation} \sum\nolimits_{x \in X(k)} \text{Tr}(\pi_x | \mathcal{F}_{\bar x}) = \sum\nolimits_{i = 0}^2 (-1)^i \text{Tr}(\pi_X^* | H^i_c(X_{\bar k}, \mathcal{F})) \end{equation}\] 是 \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\) 中的等式。该等式之所以错误，是因为右端的迹对这里所考虑的这类层没有意义。在处理这一问题之前，我们先说明为何会出现几何 Frobenius（除了它本身是一个自然态射这一事实之外）。

先考虑 \(X = \mathbf{P}^1_k\) 且 \(\mathcal{F} = \underline{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}}\) 的情形。对任意点， Galois 模 \(\mathcal{F}_{\bar x}\) 都是平凡的。因此，对任意作用于 \(\mathcal{F}_{\bar x}\) 的态射 \(\varphi\)，左端为 \[\sum\nolimits_{x \in X(k)} \text{Tr}(\varphi | \mathcal{F}_{\bar x}) = \#\mathbf{P}^1_k(k) = q+1.\] 由于 \(\mathbf{P}^1_k\) 是固有的，紧支撑上同调等于通常上同调，故对态射 \(\pi : \mathbf{P}^1_k \to \mathbf{P}^1_k\)，右端等于 \[\text{Tr}(\pi^* | H^0 (\mathbf{P}^1_{\bar k}, \underline{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}})) + \text{Tr}(\pi^* | H^2 (\mathbf{P}^1_{\bar k}, \underline{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}})).\] Galois 模 \(H^0 (\mathbf{P}^1_{\bar k}, \underline{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}}) = \mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}\) 是平凡的，因为恒等的拉回仍是恒等。因此，无论 \(\pi\) 如何，第一个迹都是 1。对第二个迹，须计算映射 \(\pi : \mathbf{P}^1_{\bar k} \to \mathbf{P}^1_{\bar k}\) 所诱导的拉回 \(\pi^* : H^2(\mathbf{P}^1_{\bar k}, \underline{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}}))\) 。这是一个很好的练习，答案是乘以 \(\pi\) 的次数（证明见“Étale 上同调” 引理 0AMB）。换言之，其行为与熟悉的复上同调情形相同。特别地，若 \(\pi\) 是几何 Frobenius，则得到 \[\text{Tr}(\pi_X^* | H^2 (\mathbf{P}^1_{\bar k}, \underline{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}})) = q\] ；若 \(\pi\) 是算术 Frobenius，则得到 \[\text{Tr}(\text{frob}_k^* | H^2 (\mathbf{P}^1_{\bar k}, \underline{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}})) = q^{-1}.\] 后一种选择显然不对。

注

次数可通过提升到特征 0（以某种显然的意义），再考察复系数情形来计算。这种方法几乎从不适用，因为对并非射影空间的概形，提升通常是不可能的。

尚须解释为何必须考虑紧支撑上同调。事实上，由 Poincaré 对偶可知，对光滑代数簇而言这并非严格必要，但此时须添入 \(q\) 的某些幂。例如，考虑 \(X = \mathbf{A}^1_k\) 且 \(\mathcal{F} = \underline{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}}\) 的情形。茎上的作用仍是平凡的，故只须考察上同调上的作用。此时 \(\pi_X^*\) 在 \(H^0(\mathbf{A}^1_{\bar k}, \underline{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}})\) 上作为恒等映射，而在 \(H^2_c(\mathbf{A}^1_{\bar k}, \underline{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}})\) 上作为乘以 \(q\) 的映射。

迹

现在说明如何取非交换环上模的自同态之迹。固定一个有限环 \(\Lambda\)，其基数与 \(p\) 互素。典型地，对某个有限群 \(G\)，\(\Lambda\) 是群环 \((\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z})[G]\)。约定所考虑的所有 \(\Lambda\)-模都是左 \(\Lambda\)-模。

引入如下记号：令 \(\Lambda^\natural\) 为 \(\Lambda\) 关于由交换子生成的加法子群之商（即由形如 \(ab-ba\)、\(a,b\in\Lambda\) 的元素生成的子群）。注意，\(\Lambda^\natural\) 并不是环。

例如，模 \((\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z})[G]^\natural\) 是类函数模的对偶，故 \[(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z})[G]^\natural = \bigoplus\nolimits_{\text{各共轭类，所取群为 }G} \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}.\] 对自由 \(\Lambda\)-模，有 \(\text{End}_\Lambda(\Lambda^{\oplus m}) = \text{Mat}_m(\Lambda)\)。注意，由于这些模是左模，以矩阵表示自同态给出的是右作用：若 \(a \in \text{End}(\Lambda^{\oplus m})\) 的矩阵为 \(A\)，且 \(v \in \Lambda\)，则 \(a(v) = v A\)。

定义

自同态 \(a\) 的迹是表示它的矩阵之对角元之和。这定义了加法映射 \(\text{Tr} : \text{End}_\Lambda(\Lambda^{\oplus m}) \to \Lambda^\natural\).

练习

给定映射 \[\Lambda^{\oplus m} \xrightarrow{a} \Lambda^{\oplus n} \quad\text{与}\quad \Lambda^{\oplus n} \xrightarrow{b} \Lambda^{\oplus m}\] 证明 \(\text{Tr}(ab) = \text{Tr}(ba)\)。

如下把迹的定义推广到有限射影 \(\Lambda\)-模 \(P\) 及 \(P\) 的自同态 \(\varphi\)。把 \(P\) 写成自由 \(\Lambda\)-模的直和项；即考虑映射 \(P \xrightarrow{a} \Lambda^{\oplus n} \xrightarrow{b} P\)，满足

\(\Lambda^{\oplus n} = \Im(a) \oplus \Ker(b)\)；并且
\(b\circ a = \text{id}_P\).

令 \(\text{Tr}(\varphi) = \text{Tr}(a\varphi b)\)。利用上一练习，容易验证该定义是良定的。

为何需要导出范畴？

有了上述迹的定义，现在讨论该公式按当前写法所面临的另一个问题。设 \(C\) 是 \(k\) 上的光滑射影曲线。一方面，考虑 \(C_\etale\) 上茎同构于 \({(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z})}^{\oplus m}\) 的有限局部常值层 \(\mathcal{F}\)；另一方面，在固定选择 \(\bar c\) 后，考虑连续表示 \(\rho : \pi_1 (C, \bar c) \to \text{GL}_m(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}))\)。两者之间存在对应。以 \(\mathcal{F}_\rho\) 表示对应于 \(\rho\) 的层。此时 \(H^2 (C_{\bar k}, \mathcal{F}_\rho)\) 是 \(\rho(\pi_1 (C, \bar c))\) 在 \({(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z})}^{\oplus m}\) 上作用的余不变量群，并且有短正合列 \[0 \longrightarrow \pi_1 (C_{\bar k}, \bar c) \longrightarrow \pi_1 (C, \bar c) \longrightarrow G_k \longrightarrow 0.\] 例如，令 \(\mathbf{Z} = \mathbf{Z} \sigma\) 通过 \(\sigma(x) = (1+\ell) x\) 作用于 \(\mathbf{Z}/\ell^2\mathbf{Z}\)。其余不变量为 \((\mathbf{Z}/\ell^2\mathbf{Z})_{\sigma} = \mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}\)，这不是平坦 \(\mathbf{Z}/\ell^2\mathbf{Z}\)-模。因此，至少在上一节的意义下，我们无法取 \(H^2(C_{\bar k}, \mathcal{F}_\rho)\) 上某个作用的迹。

事实上，我们的目标是考察 \(\ell\)-进系数的迹公式。但 \(\mathbf{Q}_\ell = \mathbf{Z}_\ell[1/\ell]\) 且 \(\mathbf{Z}_\ell = \lim \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\)；即使层是平坦 \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\)-层，各个上同调群也未必平坦，因而无法计算迹。一种可能的补救办法，是在导出范畴 \(D(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z})\) 中考察全导出复形 \(R\Gamma(C_{\bar k}, \mathcal{F}_\rho)\)，并证明它是完美对象；这意味着它拟同构于有限自由模组成的有限复形。对这类复形可以定义迹，但为此须先介绍导出范畴。

导出范畴

先规定记号。设 \(\mathcal{A}\) 是阿贝尔范畴，以 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 表示 \(\mathcal{A}\) 中复形组成的阿贝尔范畴。以 \(K(\mathcal{A})\) 表示复形关于同伦所得的范畴：其对象是 \(\mathcal{A}\) 中的复形，而态射是复形态射的同伦类。它不是阿贝尔范畴。粗略地说，\(D(A)\) 定义为把 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 中的全部拟同构求逆所得的范畴；等价地，也可从 \(K(\mathcal{A})\) 出发。还可只使用下有界复形，类似地定义 \(\text{Comp}^+(\mathcal{A}), K^+(\mathcal{A}), D^+(\mathcal{A})\)。同样地，使用上有界复形定义 \(\text{Comp}^-(\mathcal{A}), K^-(\mathcal{A}), D^-(\mathcal{A})\)，使用有界复形定义 \(\text{Comp}^b(\mathcal{A}), K^b(\mathcal{A}), D^b(\mathcal{A})\)。

注

关于导出范畴的几点说明。

当 \(\mathcal{A}\) 相当任意时，会出现一些集合论问题；我们欣然将其略去。

范畴 \(K(A)\) 与 \(D(A)\) 都带有三角范畴结构。

当 \(\mathcal{A}\) 是加法范畴时，也可定义范畴 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) 与 \(K(\mathcal{A})\)。

把复形 \(K^\bullet \mapsto H^i(K^\bullet)\) 的上同调函子 \(H^i : \text{Comp}(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}\) 可延拓为函子 \(H^i : K(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}\) 与 \(H^i : D(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}\)。

引理

\(D(\mathcal{A})\) 的对象 \(E\) 属于 \(D^+(\mathcal{A})\)，当且仅当对所有 \(i \ll 0\) 都有 \(H^i(E) =0\)。对 \(D^-\) 与 \(D^b\) 也有类似陈述。

证明

提示：使用截断函子。见“导出范畴”引理 05RV。

引理

导出范畴中对象之间的态射。

设 \(I^\bullet \in \text{Comp}^+(\mathcal{A})\)，并且对每个 \(n \in \mathbf{Z}\)，\(I^n\) 都是内射的。则 \[\Hom_{D(\mathcal{A})}(K^\bullet, I^\bullet) = \Hom_{K(\mathcal{A})}(K^\bullet, I^\bullet).\]

设 \(P^\bullet \in \text{Comp}^-(\mathcal{A})\)，并且对每个 \(n \in \mathbf{Z}\)，\(P^n\) 都是射影的。则 \[\Hom_{D(\mathcal{A})}(P^\bullet, K^\bullet) = \Hom_{K(\mathcal{A})}(P^\bullet, K^\bullet).\]

若 \(\mathcal{A}\) 有足够多内射对象，且 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{A}\) 是内射对象组成的加法子范畴，则 \(D^+(\mathcal{A})\cong K^+(\mathcal{I})\) （作为三角范畴）。

若 \(\mathcal{A}\) 有足够多射影对象，且 \(\mathcal{P} \subset \mathcal{A}\) 是射影对象组成的加法子范畴，则 \(D^-(\mathcal{A}) \cong K^-(\mathcal{P}).\)

证明

略。

定义

设 \(F: \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 是左正合函子，并假设 \(\mathcal{A}\) 有足够多内射对象。把\(F\) 的全右导出函子定义为使下图交换的函子 \(RF: D^+(\mathcal{A}) \to D^+(\mathcal{B})\)： \[\xymatrix{ D^+(\mathcal{A}) \ar[r]^{RF} & D^+(\mathcal{B}) \\ K^+(\mathcal I) \ar[u] \ar[r]^F & K^+(\mathcal{B}). \ar[u] }\] 这是可行的，因为由上一引理，左边的竖直箭头可逆。类似地，设 \(G: \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 是右正合函子，并假设 \(\mathcal{A}\) 有足够多射影对象。把\(G\) 的全左导出函子定义为使下图交换的函子 \(LG: D^-(\mathcal{A}) \to D^-(\mathcal{B})\)： \[\xymatrix{ D^-(\mathcal{A}) \ar[r]^{LG} & D^-(\mathcal{B}) \\ K^-(\mathcal{P}) \ar[u] \ar[r]^G & K^-(\mathcal{B}). \ar[u] }\] 这也是可行的，因为由上一引理，左边的竖直箭头可逆。

注

在这些情形下，有 \(R^iF(K^\bullet) = H^i(RF(K^\bullet))\)；其中左端定义为复形 \(F(K^\bullet)\) 的第 \(i\) 个同调。

滤过导出范畴

原来还得把所有内容再做一遍，并构造滤过导出范畴。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 是阿贝尔范畴。

以 \(\text{Fil}(\mathcal{A})\) 表示 \(\mathcal{A}\) 的滤过对象 \((A, F)\) 组成的范畴，其中 \(F\) 是如下形式的滤过： \[A \supset \ldots \supset F^n A \supset F^{n+1}A \supset \ldots \supset 0.\] 这是一个加法范畴。

以 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) 表示 \(\text{Fil}(\mathcal{A})\) 的全子范畴，其对象 \((A, F)\) 具有有限滤过。它也是加法范畴。

若对每个 \(p\)， \(\text{gr}^p(I) = \text{gr}_F^p(I) = F^pI/F^{p+1}I\) 都是 \(\mathcal{A}\) 中的内射（相应地，射影）对象，则称对象 \(I \in \text{Fil}^f(\mathcal{A})\) 是滤过内射的（相应地， 滤过射影的）。

复形范畴 \(\text{Comp}(\text{Fil}^f(\mathcal{A})) \supset \text{Comp}^+(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\) 及其同伦范畴 \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A})) \supset K^+(\text{Fil}^f(\mathcal A))\) 均如前定义。

若 \(\text{Comp}(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\) 中复形的态射 \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) 满足 \[\text{gr}^p(\alpha): \text{gr}^p(K^\bullet) \to \text{gr}^p(L^\bullet)\] 对每个 \(p \in \mathbf{Z}\) 都是拟同构，则称该态射为 滤过拟同构。

在 \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\)（相应地， \(K^+(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\)）中把滤过拟同构求逆，由此定义 \(DF(\mathcal{A})\)（相应地，\(DF^+(\mathcal{A})\)）。

引理

若 \(\mathcal{A}\) 有足够多内射对象，则 \(DF^+(\mathcal{A}) \cong K^+(\mathcal{I})\)，其中 \(\mathcal{I}\) 是 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) 中由滤过内射对象组成的全加法子范畴。类似地，若 \(\mathcal{A}\) 有足够多射影对象，则 \(DF^-(\mathcal{A}) \cong K^-(\mathcal{P})\)，其中 \(\mathcal P\) 是 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) 中由滤过射影对象组成的全加法子范畴。

证明

略。

滤过导出函子

接下来还有滤过导出函子。

定义

设 \(T: \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 是左正合函子，并假设 \(\mathcal{A}\) 有足够多内射对象。把 \(RT: DF^+(\mathcal{A}) \to D F^+(\mathcal{B})\) 定义为使下图交换的函子： \[\xymatrix{ DF^+(\mathcal{A}) \ar[r]^{RT} & DF^+(\mathcal{B}) \\ K^+(\mathcal{I}) \ar[u] \ar[r]^{T \quad} & K^+(\text{Fil}^f(\mathcal{B})). \ar[u]}\] 由上一引理，这是良定义的。设 \(G: \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 是右正合函子，并假设 \(\mathcal{A}\) 有足够多射影对象。把 \(LG: DF^-(\mathcal{A}) \to DF^-(\mathcal{B})\) 定义为使下图交换的函子： \[\xymatrix{ DF^-(\mathcal{A}) \ar[r]^{LG} & DF^-(\mathcal{B}) \\ K^-(\mathcal{P}) \ar[u] \ar[r]^{G \quad} & K^-(\text{Fil}^f(\mathcal{B})). \ar[u]}\] 同样，由上一引理，这是良定义的。函子 \(RT\)（相应地，\(LG\)）称为 \(T\)（相应地，\(G\)）的滤过导出函子。

命题

在上述情形下，有 \[\text{gr}^p \circ RT = RT \circ \text{gr}^p\] 其中左边的 \(RT\) 是滤过导出函子，而右边的同名函子是全导出函子。换言之，有交换图 \[\xymatrix{ DF^+(\mathcal{A}) \ar[r]^{RT} \ar[d]_{\text{gr}^p} & DF^+(\mathcal{B}) \ar[d]^{\text{gr}^p}\\ D^+(\mathcal{A}) \ar[r]^{RT} & D^+(\mathcal{B}).}\]

证明

略。

给定 \(K^\bullet \in DF^+(\mathcal{B})\)，得到谱序列 \[E_1^{p, q} = H^{p+q}(\text{gr}^p K^\bullet) \Rightarrow H^{p+q}(\text{忘却滤过}(K^\bullet)).\]

滤过复形的应用

设 \(\mathcal{A}\) 是有足够多内射对象的阿贝尔范畴，并设 \(0 \to L \to M \to N \to 0\) 是 \(\mathcal{A}\) 中的短正合列。令 \(\widetilde M \in \text{Fil}^f(\mathcal{A})\) 为带有下述滤过的 \(M\)： \[F^1M = L, \ F^nM = M \text{ 当 }n \leq 0\text{，且 }F^nM = 0\text{ 当 }n \geq 2.\] 由定义，有 \[\text{忘却滤过}(\widetilde M) = M, \quad \text{gr}^0(\widetilde M) = N, \quad \text{gr}^1(\widetilde M) = L\] 并且对其余所有 \(n \neq 0, 1\)，都有 \(\text{gr}^n(\widetilde M) = 0\)。设 \(T: \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 是左正合函子，并假设 \(\mathcal{A}\) 有足够多内射对象。则 \(RT(\widetilde M) \in DF^+(\mathcal{B})\) 是满足下式的滤过复形： \[\text{gr}^p(RT(\widetilde M)) \stackrel{\text{拟同构}}{=} \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{若} & p \neq 0, 1, \\ RT(N) & \text{若} & p = 0, \\ RT(L) & \text{若} & p = 1. \end{matrix} \right.\] 并且 \(\text{忘却滤过}(RT(\widetilde M))\stackrel{\text{拟同构}}{ = } RT(M)\)。对 \(RT(\widetilde M)\) 应用谱序列，得到 \[E_1^{p, q} = R^{p+q}T(\text{gr}^p(\widetilde M)) \Rightarrow R^{p+q}T(\text{忘却滤过}(\widetilde M)).\] 展开该谱序列，得到长正合列 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & T(L) \ar[r] & T(M) \ar[r] & T(N) \ar@(rd, ul)[rdllllr] \\ & R^1T(L) \ar[r] & R^1T(M) \ar[r] & \ldots }\] 下面将如下使用这一点。设 \(X/k\) 是有限型概形，并设 \(\mathcal{F}\) 是平坦可构造 \(\mathbf{Z}/\ell^n \mathbf{Z}\)-模。我们要证明迹 \[\text{Tr}( \pi_X^\ast | R\Gamma_c(X_{\bar k}, \mathcal{F})) \in \mathbf{Z}/\ell^n \mathbf{Z}\] 对短正合列具有可加性。为此，仅使用 \(R\Gamma_c(X_{\bar k}, -) \in D^+(\mathbf{Z}/\ell^n \mathbf{Z})\) 还不够；我们必须使用滤过导出范畴。

完美性

设 \(\Lambda\) 是一个（可能非交换的）环，\(\text{Mod}_{\Lambda}\) 是左 \(\Lambda\)-模范畴，\(K(\Lambda) = K(\text{Mod}_\Lambda)\) 是其同伦范畴，而 \(D(\Lambda)= D(\text{Mod}_\Lambda)\) 是其导出范畴。

定义

以 \(K_{perf}(\Lambda)\) 表示如下范畴：对象是有限射影 \(\Lambda\)-模的有界复形，态射是复形态射关于同伦所得的类。函子 \(K_{perf}(\Lambda)\to D(\Lambda)\) 是全忠实的（见“导出范畴”引理 064B）。以 \(D_{perf}(\Lambda)\) 表示它的本质像。若 \(D(\Lambda)\) 的对象属于 \(D_{perf}(\Lambda)\)，则称其为完美的。

命题

设 \(K\in D_{perf}(\Lambda)\) 且 \(f\in \text{End}_{D(\Lambda)}(K)\)。则迹 \(\text{Tr}(f)\in \Lambda^\natural\) 是良定义的。

证明

本证明中将反复使用“导出范畴”引理 064B 而不再说明。设 \(P^\bullet\) 是有限射影 \(\Lambda\)-模的有界复形，并设 \(\alpha : P^\bullet \to K\) 是 \(D(\Lambda)\) 中的同构。则 \(\alpha^{-1}\circ f\circ \alpha\) 对应于复形态射 \(f^\bullet : P^\bullet \to P^\bullet\)，且后者在同伦意义下良定义。令 \[\text{Tr}(f) = \sum_i (-1)^i \text{Tr}(f^i : P^i \to P^i) \in \Lambda^\natural.\] 给定 \(P^\bullet\) 与 \(\alpha\)，该值与 \(f^\bullet\) 的选择无关。事实上，任一其他选择均有形式 \(\tilde{f}^\bullet = f^\bullet + dh +hd\)，其中某个同伦由 \(h^i : P^i \to P^{i-1}(i\in \mathbf{Z})\) 给出。但 \[\begin{eqnarray*} \text{Tr}(dh) & = & \sum_i (-1)^i \text{Tr}(P^i\xrightarrow{dh} P^i) \\ & = & \sum_i (-1)^i \text{Tr}(P^{i-1}\xrightarrow{hd} P^{i-1}) \\ & = & -\sum_i (-1)^{i-1}\text{Tr}(P^{i-1}\xrightarrow{hd} P^{i-1}) \\ & = & - \text{Tr}(hd) \end{eqnarray*}\] 因此 \(\sum_i (-1)^i \text{Tr} ((dh+hd)|_{P^i})=0\)。此外，该值也与 \((P^\bullet , \alpha)\) 的选择无关。设 \((Q^\bullet, \beta)\) 是另一选择。复合 \[Q^\bullet \xrightarrow{\beta} K \xrightarrow{\alpha^{-1}} P^\bullet \quad\text{与}\quad P^\bullet \xrightarrow{\alpha} K \xrightarrow{\beta^{-1}} Q^\bullet\] 分别可由复形态射 \(\gamma_1^\bullet\) 与 \(\gamma_2^\bullet\) 表示，并且 \(\gamma_1^\bullet \circ \gamma_2^\bullet\) 同伦于恒等。因此，复形态射 \(\gamma_2^\bullet\circ f^\bullet\circ \gamma_1^\bullet : Q^\bullet\to Q^\bullet\) 表示 \(D(\Lambda)\) 中的态射 \(\beta^{-1}\circ f\circ\beta\)。现有 \[\begin{eqnarray*} \text{Tr}(\gamma_2^\bullet\circ f^\bullet\circ\gamma_1^\bullet|_{Q^\bullet}) & = & \text{Tr}(\gamma_1^\bullet \circ\gamma_2^\bullet \circ f^\bullet|_{P^\bullet})\\ & = & \text{Tr}(f^\bullet|_{P^\bullet}) \end{eqnarray*}\] 这是因为 \(\gamma_1^\bullet \circ \gamma_2^\bullet\) 同伦于恒等，且我们已证明该值与 \(f^\bullet\) 的选择无关。

滤过与完美复形

现在给出完美复形范畴的滤过版本。若对每个 \(p\)， \(\text{gr}^p_F (M)\) 都是有限射影的，则称 \(\text{Fil}^f(\text{Mod}_\Lambda)\) 的对象 \((M, F)\) 是 滤过有限射影的。接着考虑由 \(\text{Fil}^f(\text{Mod}_\Lambda)\) 中滤过有限射影对象的有界复形组成的同伦范畴 \(KF_{\text{perf}}(\Lambda)\)。有范畴图 \[\begin{matrix} KF(\Lambda) & \supset & KF_{\text{perf}}(\Lambda)\\ \downarrow & & \downarrow\\ DF(\Lambda) & \supset & DF_{\text{perf}}(\Lambda) \end{matrix}\] 其中右边的竖直函子是全忠实的，而与前面一样，范畴 \(DF_{\text{perf}}(\Lambda)\) 是它的本质像。

引理

设 \(K\in DF_{\text{perf}}(\Lambda)\) 且 \(f\in \text{End}_{DF}(K)\)。则 \[\text{Tr}(f|_K) = \sum\nolimits_{p\in \mathbf{Z}} \text{Tr}(f|_{\text{gr}^p K}).\]

证明

由命题 03TI，可以假设我们有 \(\text{Fil}^f(\text{Mod}_\Lambda)\) 中滤过有限射影对象的一个有界复形 \(P^\bullet\)，以及 \(\text{Comp}(\text{Fil}^f(\text{Mod}_\Lambda))\) 中的映射 \(f^\bullet : P^\bullet\to P^\bullet\)。于是本引理由下述结果推出；其证明留给读者。

引理

设 \(P \in \text{Fil}^f(\text{Mod}_\Lambda)\) 是滤过有限射影对象，并设 \(f : P \to P\) 是 \(\text{Fil}^f(\text{Mod}_\Lambda)\) 中的自同态。则 \[\text{Tr}(f|_P) = \sum\nolimits_p \text{Tr}(f|_{\text{gr}^p(P)}).\]

证明

略。

完美对象的刻画

交换情形见“代数续篇”第 064N, 0651 以及 0656 节。

定义

设 \(\Lambda\) 是一个（可能非交换的）环。若存在 \(a, b \in \mathbf{Z}\)，使得对任意右 \(\Lambda\)-模 \(N\) 以及所有 \(i \not \in [a, b]\)，均有 \(H^i(N \otimes_{\Lambda}^\mathbf{L} K) = 0\)，则称对象 \(K\in D(\Lambda)\) 具有有限 \(\text{Tor}\)-维数。

特别地，取 \(N = \Lambda\) 即知这蕴含 \(K \in D^b(\Lambda)\)。

引理

设 \(\Lambda\) 是左 Noether 环，且 \(K\in D(\Lambda)\)。则 \(K\) 完美，当且仅当下列两个条件成立：

\(K\) 具有有限 \(\text{Tor}\)-维数；并且

对所有 \(i \in \mathbf{Z}\)，\(H^i(K)\) 都是有限 \(\Lambda\)-模。

证明

交换情形的证明见“代数续篇”引理 0658。

强烈建议读者尝试证明这一点。该证明依赖如下事实：有限左表现环上的有限模平坦，当且仅当它是射影模。

注

该引理的一个变式是考虑 Noether 概形 \(X\)，以及如下复形组成的范畴 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)：这些复形局部拟同构于有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模的有限复形。\(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 的对象 \(K\) 可由具有凝聚上同调层和有界 tor 维数来刻画。

良好复形的上同调

下述命题是关于 \(D_{ctf}(X, \Lambda)\) 中对象之紧支撑上同调的一个更一般结果的特殊情形。

命题

设 \(X\) 是域 \(k\) 上的射影曲线，\(\Lambda\) 是有限环，且 \(K\in D_{ctf}(X, \Lambda)\)。则 \(R\Gamma(X_{\bar k}, K)\in D_{perf}(\Lambda)\)。

证明

第一步是证明：

\(R\Gamma(X_{\bar k}, K)\) 的上同调是有界的。

考虑谱序列 \[H^i(X_{\bar k}, \underline H^j(K)) \Rightarrow H^{i+j} (R\Gamma(X_{\bar k}, K)).\] 由于 \(K\) 有界且 \(\Lambda\) 有限，各层 \(\underline H^j(K)\) 都是挠层。此外， \(X_{\bar k}\) 具有有限上同调维数，所以左端只有对有限多个 \(i\) 与 \(j\) 才非零。因此右端也只有有限多个非零项。

上同调群 \(H^{i+j} (R\Gamma(X_{\bar k}, K))\) 是有限的。

由于各层 \(\underline H^j(K)\) 可构造，各群 \(H^i(X_{\bar k}, \underline H^j(K))\) 均有限（见“Étale 上同调”第 03SB 节），故再次由该谱序列即得。

\(R\Gamma(X_{\bar k}, K)\) 具有有限 \(\text{Tor}\)-维数。

设 \(N\) 是右 \(\Lambda\)-模（事实上，由于 \(\Lambda\) 有限，只需假设 \(N\) 有限）。由投影公式（模的变换）， \[N \otimes^\mathbf{L}_\Lambda R \Gamma(X_{\bar k}, K) = R\Gamma(X_{\bar k}, N \otimes^\mathbf{L}_\Lambda K).\] 因此 \[H^i (N \otimes^\mathbf{L}_\Lambda R\Gamma(X_{\bar k}, K)) = H^i(R\Gamma(X_{\bar k}, N \otimes_{\Lambda}^\mathbf{L} K)).\] 现在考虑谱序列 \[H^i (X_{\bar k}, \underline H^j (N \otimes_{\Lambda}^\mathbf{L} K)) \Rightarrow H^{i+j}(R\Gamma(X_{\bar k}, N \otimes_{\Lambda}^\mathbf{L} K)).\] 由于 \(K\) 具有有限 \(\text{Tor}\)-维数，当 \(j\) 充分小时， \(\underline H^j(N \otimes_{\Lambda}^\mathbf{L} K)\) 一律为零；而当 \(i < 0\) 时，左端为零。因此正如所断言的，\(R\Gamma(X_{\bar k}, K)\) 具有有限 \(\text{Tor}\)-维数。故由引理 03TO，它是完美复形。

Lefschetz 数

有限 tor 维数可构造复形的总上同调是完美复形；这一事实是上同调具有良好性质的关键技术原因，也使我们能够严格定义迹公式中出现的迹。

定义

设 \(\Lambda\) 是有限环，\(X\) 是有限域 \(k\) 上的射影曲线，且 \(K \in D_{ctf}(X, \Lambda)\)（例如 \(K = \underline\Lambda\)）。有典范映射 \(c_K : \pi_X^{-1}K \to K\)，其基变换 \(c_K|_{X_{\bar k}}\) 在完美复形 \(R\Gamma(X_{\bar k}, K|_{X_{\bar k}})\) 上诱导一个记为 \(\pi_X^*\) 的作用。 \(K\) 的全局 Lefschetz 数是该作用的迹 \(\text{Tr}(\pi_X^* |_{R\Gamma(X_{\bar k}, K)})\)。它是 \(\Lambda^\natural\) 的元素。

定义

设 \(\Lambda, X, k, K\) 如定义 03TX。由于 \(K\in D_{ctf}(X, \Lambda)\)，对 \(X\) 的任意几何点 \(\bar x\)，复形 \(K_{\bar x}\) 都是完美复形（属于 \(D_{perf}(\Lambda)\)）。如第 03SL 节所见，Frobenius \(\pi_X\) 作用于 \(K_{\bar x}\)。 \(K\) 的局部 Lefschetz 数是总和 \[\sum\nolimits_{x\in X(k)} \text{Tr}(\pi_x |_{K_{\overline{x}}})\] 它同样是 \(\Lambda^\natural\) 的元素。

现在终于可以精确表述迹公式。

定理

设 \(X\) 是有限域 \(k\) 上的射影曲线，\(\Lambda\) 是有限环，且 \(K \in D_{ctf}(X, \Lambda)\)。则 \(K\) 的全局与局部 Lefschetz 数相等，即 [03U0]\[\begin{equation} \text{Tr}(\pi^*_X |_{R\Gamma(X_{\bar k}, K)}) = \sum\nolimits_{x\in X(k)} \text{Tr}(\pi_X |_{K_{\bar x}}) \end{equation}\] 是 \(\Lambda^\natural\) 中的等式。

证明

见下文讨论。

我们将使用迹公式而不加证明。不过，我们会相当详细地介绍 [SGA4.5] 给出的定理证明（其中一些未得到充分说明的事项列在第 03V5 节）。

我们只对曲线陈述了该公式；在某种较弱的意义下，它是下述结果的推论。

定理

设 \(C\) 是代数闭域 \(k\) 上的非奇异射影曲线，并设 \(\varphi : C \to C\) 是不同于恒等的 \(C\) 的 \(k\)-自同态。令 \(V(\varphi) = \Delta_C \cdot \Gamma_\varphi\)，其中 \(\Delta_C\) 是对角， \(\Gamma_\varphi\) 是 \(\varphi\) 的图，而交数在 \(C \times C\) 上取得。令 \(J = \underline{\Picardfunctor}^0_{C/k}\) 为 \(C\) 的雅可比簇，并以 \(\varphi^* : J \to J\) 表示 \(\varphi\) 通过拉回诱导的作用。则 \[V(\varphi) = 1 - \text{Tr}_J(\varphi^*) + \deg \varphi.\]

证明

数 \(V(\varphi)\) 是 \(\varphi\) 的不动点数；它等于 \[V(\varphi) = \sum\nolimits_{c \in |C| : \varphi(c) = c} m_{\text{Fix}(\varphi)} (c)\] 其中 \(m_{\text{Fix}(\varphi)} (c)\) 是 \(c\) 作为 \(\varphi\) 不动点的重数，即局部一致化参数在 \(\varphi - \text{id}_C\) 下之像的阶或消没。该定理的证明可见 [Lang] 与 [Weil]。

例

设 \(C = E\) 是椭圆曲线，且 \(\varphi = [n]\) 是乘以 \(n\)。则在雅可比簇上， \(\varphi^* = \varphi^t\) 是乘以 \(n\)，故其迹为 \(2n\)、次数为 \(n^2\)。另一方面，\(\varphi\) 的不动点是满足 \(n p = p\) 的点 \(p \in E\)，即 \((n-1)\)-挠点；其基数为 \((n-1)^2\)。因此该定理在此写成 \[(n-1)^2 = 1 - 2n + n^2.\]

雅可比簇。 现在不加证明地讨论 Weil 证明中所用的曲线与其雅可比簇之间的对应。设 \(C\) 是代数闭域 \(k\) 上的非奇异射影曲线，并选取基点 \(c_0 \in C(k)\)。以 \(A^1(C \times C)\)（或 \(\Pic(C \times C)\)，或 \(\text{CaCl}(C \times C)\)）表示 \(C \times C\) 上余维 1 除子组成的阿贝尔群。则 \[A^1(C \times C) = \text{pr}_1^* (A^1(C)) \oplus \text{pr}_2^* (A^1(C)) \oplus R\] 其中 \[R = \{ Z \in A^1(C \times C) \ | \ Z|_{C \times \{c_0\}} \sim_\text{rat} 0 \text{ 且 } Z|_{\{c_0\} \times C} \sim_\text{rat} 0 \}.\] 换言之，\(R\) 是如下线丛组成的子群：沿任一投影拉回后都成为平凡线丛。于是有阿贝尔群的典范同构 \(R \cong \text{End}(J)\)，它把 \(R\) 中的除子 \(Z\) 送到自同态 \[\begin{matrix} J & \to & J \\ \left[ \mathcal{O}_C(D) \right] & \mapsto & (\text{pr}_1 |_Z)_* (\text{pr}_2 |_Z)^* (D). \end{matrix}\] 上述对应如下。以 \(\sigma\) 表示交换 \(C \times C\) 两个因子的自同构。 \[\begin{matrix} \hline & \\ \text{End}(J) & R \\ & \\ \hline & \\ \text{复合 }\alpha, \beta & {\text{pr}_{13}}_* ({\text{pr}_{12}}^*(\alpha) \circ {\text{pr}_{23}}^*(\beta)) \\ & \\ \text{id}_J & \Delta_C - \{c_0\} \times C - C \times \{c_0\} \\ & \\ \varphi^* & \Gamma_\varphi - C \times \{\varphi(c_0)\} - \sum_{\varphi(c) = c_0} \{c\} \times C \\ & \\ { \begin{matrix} \text{迹形式} \\ \alpha, \beta \mapsto \text{Tr}(\alpha \beta) \end{matrix} } & \alpha, \beta \mapsto - \int_{C \times C} \alpha . \sigma^*\beta \\ & \\ { \begin{matrix} \text{Rosati 对合} \\ \alpha \mapsto \alpha^\dagger \end{matrix} } & \alpha \mapsto \sigma^*\alpha \\ & \\ { \begin{matrix} \text{Rosati 正性} \\ \text{Tr}(\alpha\alpha^\dagger) > 0 \end{matrix} } & { \begin{matrix} \text{Hodge 指数定理，作用于 }C \times C \\ - \int_{C \times C} \alpha \sigma^*\alpha > 0. \end{matrix} } \\ & \\ \hline \end{matrix}\] 事实上，由 Kunneth 公式，子群 \(R\) 对应于 \(H^1(C)\otimes H^1(C)\) 中的 \(1, 1\) hodge 类。

Weil 的证明。利用上述对应，可以证明迹公式。我们有 \[\begin{eqnarray*} V(\varphi) & = & \int_{C \times C} \Gamma_\varphi.\Delta \\ & = & \int_{C \times C} \Gamma_\varphi. \left(\Delta_C - \{c_0\} \times C - C \times \{c_0\}\right) + \int_{C \times C} \Gamma_\varphi. \left(\{c_0\} \times C + C \times \{c_0\}\right). \end{eqnarray*}\] 一方面， \[\int_{C \times C} \Gamma_\varphi. \left(\{c_0\} \times C + C \times \{c_0\}\right) = 1 + \deg \varphi\] 另一方面，由于 \(R\) 是丰沛除子 \(\{c_0\} \times C + C \times \{c_0\}\) 的正交， \[\begin{eqnarray*} & & \int_{C \times C} \Gamma_\varphi. \left(\Delta_C - \{c_0\} \times C - C \times \{c_0\}\right) \\ & = & \int_{C \times C} \left(\Gamma_\varphi - C \times \{\varphi(c_0)\} - \sum_{\varphi(c) = c_0} \{c\} \times C \right). \left(\Delta_C - \{c_0\} \times C - C \times \{c_0\}\right) \\ & = & - \text{Tr}_J (\varphi^* \circ \text{id}_J). \end{eqnarray*}\] 综上， \[V(\varphi) = 1 - \text{Tr}_J (\varphi^*) + \deg \varphi\] 这就是迹公式。

引理

考虑定理 03U1 的情形，并设 \(\ell\) 是在 \(k\) 中可逆的素数。则 \[\sum\nolimits_{i = 0}^2 (-1)^i \text{Tr}(\varphi^* |_{H^i (C, \underline{\mathbf{Z}/\ell^n \mathbf{Z}})}) = V(\varphi) \mod \ell^n.\]

证明

先注意，该假设是有意义的，因为对所有 \(i\)， \(H^i(C, \underline{\mathbf{Z}/\ell^n \mathbf{Z}})\) 都是自由 \(\mathbf{Z}/\ell^n \mathbf{Z}\)-模。\(\varphi^*\) 在第 0 次上同调上的迹为 1。在 \(k\) 中选择一个本原 \(\ell^n\) 次单位根，便给出同构 \[H^i(C, \underline{\mathbf{Z}/\ell^n \mathbf{Z}}) \cong H^i(C, \mu_{\ell^n})\] 且它与几何 Frobenius 的作用相容。另一方面， \(H^1(C, \mu_{\ell^n}) = J[\ell^n]\)。因此 \[\begin{eqnarray*} \text{Tr}(\varphi^* |_{H^1 (C, \underline{\mathbf{Z}/\ell^n \mathbf{Z}})})) & = & \text{Tr}_J (\varphi^*) \mod \ell^n \\ & = & \text{Tr}_{\mathbf{Z}/\ell^n \mathbf{Z}} (\varphi^* : J[\ell^n] \to J[\ell^n]). \end{eqnarray*}\] 此外，\(H^2(C, \mu_{\ell^n}) = \Pic(C)/\ell^n\Pic(C) \cong \mathbf{Z}/\ell^n \mathbf{Z}\)，而在这里 \(\varphi^*\) 是乘以 \(\deg \varphi\)。故 \[\text{Tr} (\varphi^*|_{H^2 (C, \underline{\mathbf{Z}/\ell^n \mathbf{Z}})}) = \deg \varphi.\] 于是 \[\sum_{i = 0}^2 (-1)^i \text{Tr}(\varphi^* |_{H^i (C, \underline{\mathbf{Z}/\ell^n \mathbf{Z}})}) = 1 - \text{Tr}_J(\varphi^*) + \deg \varphi \mod \ell^n\] 而本推论由定理 03U1 得出。

证明该推论的另一种方法是证明 \[X \mapsto H^* (X, \mathbf{Q}_\ell) = \mathbf{Q}_\ell \otimes \lim_n H^*(X, \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z})\] 在 \(k\) 上光滑射影簇上定义了 Weil 上同调理论。于是迹公式 \[V(\varphi) = \sum_{i = 0}^2 (-1)^i \text{Tr}(\varphi^* |_{H^i(C, \mathbf{Q}_\ell)})\] 是这些公理的形式推论（这是一个线性代数练习，其证明与拓扑情形相同）。

预备知识与命题链

记号：固定本节所用记号。以 \(A\) 表示交换环，以 \(\Lambda\) 表示一个（可能非交换的）环，并给定环映射 \(A\to \Lambda\)，其像包含于 \(\Lambda\) 的中心。令 \(G\) 为有限群，令 \(\Gamma\) 为一个\(G\) 被 \(\mathbf{N}\) 的幺半群扩张，意思是存在正合列 \[1\to G\to \tilde\Gamma\to \mathbf{Z}\to 1\] 且 \(\Gamma\) 由 \(\tilde\Gamma\) 中像非负的那些元素组成。最后，令 \(P\) 是 \(A[\Gamma]\)-模，并且作为 \(A[G]\)-模是有限射影的；令 \(M\) 是 \(\Lambda[\Gamma]\)-模，并且作为 \(\Lambda\)-模是有限射影的。

我们的目标是计算 \(1 \in \mathbf{N}\) 在 \(P \otimes_A M\) 关于 \(G\) 的余不变量上作为 \(\Lambda\)-线性作用的迹，即数 \[\text{Tr}_{\Lambda}\left(1; \left(P \otimes_A M\right)_G\right) \in \Lambda^\natural.\] 元素 \(1\in \mathbf{N}\) 将对应于 Frobenius。

引理

以 \(e\in G\) 表示单位元。映射 \[\begin{matrix} \Lambda[G] & \longrightarrow & \Lambda^{\natural}\\ \sum \lambda_g\cdot g & \longmapsto & \lambda_e \end{matrix}\] 经由 \(\Lambda[G]^\natural\) 分解。以 \(\varepsilon : \Lambda[G]^\natural\to \Lambda^\natural\) 表示所诱导的映射。

证明

只需证明该映射消去换位子。有 \[\left(\sum\lambda_g g\right)\left(\sum\mu_g g\right)-\left(\sum \mu_g g\right)\left(\sum\lambda_g g\right) = \sum_g\left(\sum_{g_1g_2=g} \lambda_{g_1}\mu_{g_2}-\mu_{g_1}\lambda_{g_2}\right)g\] \(e\) 的系数为 \[\sum_g\left(\lambda_g\mu_{g^{-1}}-\mu_g\lambda_{g^{-1}}\right) = \sum_g\left(\lambda_g\mu_{g^{-1}}-\mu_{g^{-1}}\lambda_g\right)\] 它是换位子之和，故在 \(\Lambda^\natural\) 中为零。

定义

设 \(f : P\to P\) 是有限射影 \(\Lambda[G]\)-模 \(P\) 的自同态。定义 \[\text{Tr}_{\Lambda}^G(f; P) := \varepsilon\left(\text{Tr}_{\Lambda[G]}(f; P)\right)\] 并称其为\(f\) 在 \(P\) 上的 \(G\)-迹。

引理

设 \(f : P\to P\) 是有限射影 \(\Lambda[G]\)-模 \(P\) 的自同态。则 \[\text{Tr}_{\Lambda}(f; P) = \# G \cdot \text{Tr}_\Lambda^G(f; P).\]

证明

由可加性，归约到 \(P = \Lambda[G]\) 的情形。此时，\(f\) 由右乘 \(\Lambda[G]\) 的某个元素 \(\sum\lambda_g\cdot g\) 给出。在基 \((g)_{g \in G}\) 下，\(f\) 的矩阵在位置 \((g_1, g_2)\) 的系数是 \(\lambda_{g_2^{-1}g_1}\)。特别地，所有对角系数都是 \(\lambda_e\)，这样的系数共有 \(\# G\) 个。

引理

映射 \(A\to \Lambda\) 在 \(\Lambda^\natural\) 上定义了 \(A\)-模结构。

证明

这是显然的。

引理

设 \(P\) 是有限射影 \(A[G]\)-模，\(M\) 是作为 \(\Lambda\)-模有限射影的 \(\Lambda[G]\)-模。则对角 \(G\)-作用所诱导的结构使 \(P \otimes_A M\) 成为有限射影 \(\Lambda[G]\)-模。

注意，由于 \(M\) 是 \(\Lambda\)-模，\(P \otimes_A M\) 自然也具有这种模结构。把此结构与对角作用合在一起，明确写成 \[\left(\sum\lambda_g g\right)\left(p \otimes m\right) = \sum g p \otimes \lambda_g g m.\]

证明

对任意 \(\Lambda[G]\)-模 \(N\)，有 \[\Hom_{\Lambda[G]}\left(P \otimes_A M, N\right)= \Hom_{A[G]}\left(P, \Hom_{\Lambda}(M, N)\right)\] 其中 \(G\) 在 \(\Hom_{\Lambda}(M, N)\) 上的作用由 \((g\cdot \varphi)(m) = g \varphi (g^{-1} m)\) 给出。现在只需注意，由于 \(P\) 与 \(M\) 的射影性，右端是正合函子的复合。

引理

在引理 03U9 的假设下，设 \(u\in \text{End}_{A[G]}(P)\) 且 \(v\in \text{End}_{\Lambda[G]}(M)\)。则 \[\text{Tr}_\Lambda^G \left(u \otimes v; P \otimes_A M\right) = \text{Tr}_A^G(u; P)\cdot \text{Tr}_\Lambda(v;M).\]

证明

归约到 \(P=A[G]\) 的情形。此时，\(u\) 是右乘 \(A[G]\) 的某个元素 \(a = \sum a_gg\)；把它记作 \(u = R_a\)。有 \(\Lambda[G]\)-模的同构 \[\begin{matrix} \varphi : & A[G]\otimes_A M & \cong & \left(A[G]\otimes_A M\right)'\\ & g \otimes m & \longmapsto & g \otimes g^{-1}m \end{matrix}\] 其中 \(\left(A[G]\otimes_A M\right)'\) 的模结构由左 \(G\)-作用与 \(M\) 上的 \(\Lambda\)-线性结构共同给出。这一结构转移把 \(u \otimes v\) 变成 \(\sum_ga_gR_g \otimes g^{-1}v\)。换言之， \[\varphi \circ (u \otimes v) \circ \varphi^{-1} = \sum_ga_gR_g \otimes g^{-1}v.\] 明确展开等式两端后，只须证明 \[\text{Tr}_\Lambda^G\left(\sum_g a_gR_g \otimes g^{-1}v\right) = a_e\cdot \text{Tr}_\Lambda(v; M).\] 为此，只须证明 \[\text{Tr}_\Lambda^G\left(a_gR_g \otimes g^{-1}v\right) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{ 若 } g\neq e\\ a_e\text{Tr}_\Lambda\left(v; M\right) & \text{ 若 }g = e \end{matrix} \right.\] 这又可归约到 \(M=\Lambda\)。

记号：考虑幺半群扩张 \(1 \to G\to \Gamma\to \mathbf{N} \to 1\)，并设 \(\gamma\in \Gamma\)。记 \(Z_\gamma = \{g\in G | g\gamma = \gamma g\}\)。

引理

设 \(P\) 是 \(\Lambda[\Gamma]\)-模，并且作为 \(\Lambda[G]\)-模有限射影；另设 \(\gamma \in \Gamma\)。则 \[\text{Tr}_{\Lambda}(\gamma, P) = \# Z_\gamma \cdot \text{Tr}_\Lambda^{Z_\gamma}\left(\gamma, P\right).\]

证明

这直接由引理 03U7 得出。

引理

设 \(P\) 是 \(A[\Gamma]\)-模，并且作为 \(A[G]\)-模有限射影。设 \(M\) 是 \(\Lambda[\Gamma]\)-模，并且作为 \(\Lambda\)-模有限射影。则 \[\text{Tr}_{\Lambda}^{Z_\gamma}(\gamma, P \otimes_A M) = \text{Tr}_A^{Z_\gamma}(\gamma, P)\cdot \text{Tr}_\Lambda(\gamma, M).\]

证明

这直接由引理 03UA 得出。

引理

设 \(P\) 是 \(\Lambda[\Gamma]\)-模，并且作为 \(\Lambda[G]\)-模有限射影。则余不变量 \(P_G = \Lambda \otimes_{\Lambda[G]} P\) 构成有限射影 \(\Lambda\)-模，并带有 \(\Gamma/G = \mathbf{N}\) 的作用。此外， \[\text{Tr}_\Lambda(1; P_G) = \sum\nolimits'_{\gamma \mapsto 1} \text{Tr}_\Lambda^{Z_\gamma}(\gamma, P)\] 其中 \(\sum_{\gamma\mapsto 1}'\) 表示对 \(\Gamma\) 中的 \(G\)-共轭类求和。

证明

先在两端乘以 \(\# G\) 后证明此式。 \[\# G\cdot \text{Tr}_\Lambda(1; P_G) = \text{Tr}_\Lambda(\sum\nolimits_{\gamma\mapsto 1} \gamma, P_G) = \text{Tr}_\Lambda(\sum\nolimits_{\gamma\mapsto 1} \gamma, P)\] 第二个等式由考察交换三角形 \[\xymatrix{ P^G \ar[rd]_a & & P_G \ar[ll]^c \\ & P \ar[ur]_b }\] 得出，其中 \(a\) 是典范包含，\(b\) 是典范满射，且 \(c = \sum_{\gamma \mapsto 1} \gamma\)。于是 \[(\sum\nolimits_{\gamma \mapsto 1} \gamma) |_P = a \circ c \circ b \quad\text{且}\quad (\sum\nolimits_{\gamma \mapsto 1} \gamma) |_{P_G} = b \circ a \circ c\] 故二者具有相同的迹。于是 \[\# G\cdot \text{Tr}_\Lambda(1; P_G) = {\sum_{\gamma\mapsto 1}}' \frac{\# G}{\# Z_\gamma}\text{Tr}_\Lambda(\gamma, P) = \# G{\sum_{\gamma\mapsto 1}}' \text{Tr}_\Lambda^{Z_\gamma}(\gamma, P).\] 最后，通过某个泛性论证归约到 \(\Lambda\) 无挠的情形。细节见 [SGA4.5]。

注

我们试着说明引理 03UC 中公式的内容。假设把 \(\Lambda\) 看作平凡 \(\Gamma\)-模时，它具有有限消解 \(0\to P_r\to \ldots \to P_1 \to P_0\to \Lambda\to 0\) 其中各 \(\Lambda[\Gamma]\)-模 \(P_i\) 作为 \(\Lambda[G]\)-模都是有限射影的。在这种情形下， \[H_*\left(\left(P_\bullet\right)_G\right) = \text{Tor}_*^{\Lambda[G]}\left(\Lambda, \Lambda\right) = H_*(G, \Lambda)\] 且 \[\text{Tr}_\Lambda^{Z_\gamma}\left(\gamma, P_\bullet\right) =\frac{1}{\# Z_\gamma}\text{Tr}_\Lambda(\gamma, P_\bullet)=\frac{1}{\# Z_\gamma}\text{Tr}(\gamma, \Lambda) = \frac{1}{\# Z_\gamma}.\] 因此，引理 03UC 给出 \[\text{Tr}_\Lambda (1 , P_G) = \text{Tr}\left(1 |_{H_*(G, \Lambda)}\right) = {\sum_{\gamma\mapsto 1}}'\frac{1}{\# Z_\gamma}.\] 这可解释为栈 \(BG\) 上的点计数。若 \(\Lambda = \mathbf{F}_\ell\)，其中 \(\ell\) 与 \(\# G\) 互素，则 \(H_*(G, \Lambda)\) 在次数 0 为 \(\mathbf{F}_\ell\)（在其他次数为 \(0\)），而公式写成 \[1 = \sum\nolimits_{ \frac{\sigma\text{-共轭}}{\text{类}\langle\gamma\rangle} } \frac{1}{\# Z_\gamma} \mod \ell.\] 在某种意义下，这是 \(G\) 的一个“平凡”迹公式。稍后将看到，在某些情形下， (03U0) 可视为某类群的一个高度非平凡的迹公式，见第 03VO 节。

迹公式的证明

定理

设 \(k\) 是有限域，\(X\) 是 \(k\) 上维数至多为 1 的分离有限型概形。设 \(\Lambda\) 是基数与 \(k\) 的基数互素的有限环，且 \(K\in D_{ctf}(X, \Lambda)\)。则 [03UH]\[\begin{equation} \text{Tr}(\pi_X^* |_{R\Gamma_c(X_{\bar k}, K)}) = \sum\nolimits_{x\in X(k)} \text{Tr}(\pi_x |_{K_{\bar x}}) \end{equation}\] 是 \(\Lambda^{\natural}\) 中的等式。

关于该陈述的一些说明见评注 03UI。记号：简记 \[T'(X, K) = \sum\nolimits_{x\in X(k)} \text{Tr}(\pi_x |_{K_{\bar x}})\] 为 (03UH) 的右端，并简记 \[T''(X, K) =\text{Tr}(\pi_x^* |_{R\Gamma_c(X_{\bar k}, K)})\] 为其左端。

证明

证明分若干步进行。

第 1 步。设 \(j : \mathcal{U}\hookrightarrow X\) 是开浸入，其补集为 \(Y = X - \mathcal{U}\)，并设 \(i : Y \hookrightarrow X\)。则 \(T''(X, K) = T''(\mathcal{U}, j^{-1} K)+ T''(Y, i^{-1}K)\)，且 \(T'(X, K) = T'(\mathcal{U}, j^{-1} K)+ T'(Y, i^{-1}K)\).

对 \(T'\)，这是显然的。对 \(T''\)，使用正合列 \[0\to j_!j^{-1} K \to K \to i_* i^{-1} K \to 0\] 在 \(K\) 上得到一个滤过。由此产生对象 \(\widetilde K \in DF(X, \Lambda)\)，其分次片为 \(j_!j^{-1}K\) 与 \(i_*i^{-1}K\)，二者均属于 \(D_{ctf}(X, \Lambda)\)。于是，由滤过导出的抽象形式论证（待插入引用）， \(R\Gamma_c(X_{\bar k}, K)\in DF_{perf}(\Lambda)\)，并且它在 \(DF_{perf}(\Lambda)\) 中带有 \(\pi_x^*\)。由关于滤过复形之迹的讨论（待插入引用），得到 \[\begin{eqnarray*} \text{Tr}(\pi_X^* |_{R\Gamma_c(X_{\bar k}, K)}) & = & \text{Tr}(\pi_X^* |_{R\Gamma_c(X_{\bar k}, j_!j^{-1}K)}) + \text{Tr}(\pi_X^* |_{R\Gamma_c(X_{\bar k}, i_*i^{-1}K)}) \\ & = & T''(U, i^{-1}K) + T''(Y, i^{-1}K). \end{eqnarray*}\]

第 2 步。若 \(\dim X\leq 0\)，则定理成立。

事实上，在这种情形下， \[R\Gamma_c(X_{\bar k}, K) = R\Gamma(X_{\bar k}, K) = \Gamma(X_{\bar k}, K) = \bigoplus\nolimits_{\bar x \in X_{\bar k}} K_{\bar x}\] 且它带有自同态 \(\pi_X^*\)。由于 \(\pi_X : X_{\bar k}\to X_{\bar k}\) 的不动点恰为位于某个 \(k\)-有理点 \(x \in X(k)\) 上方的点 \(\bar x \in X_{\bar k}\)，故 \[\text{Tr}\big(\pi_X^*|_{R\Gamma_c(X_{\bar k}, K)}\big) = \sum\nolimits_{x \in X(k)} \text{Tr}(\pi_x|_{K_{\bar x}}).\] 正如所需。

第 3 步。

只须在下列情形证明等式 \(T'(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = T''(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) ：

\(\mathcal{U}\) 是 \(k\) 上光滑不可约仿射曲线；

\(\mathcal{U}(k) = \emptyset\)；

\(K=\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{U}\) 上有限局部常值的 \(\Lambda\)-模层，其茎为有限射影 \(\Lambda\)-模；并且

\(\Lambda\) 被素数 \(\ell\) 的某个幂消去，且 \(\ell \in k^*\)。

事实上，由第 2 步，可以丢掉任意有限点集。但有理点只有有限多个，故可假设一个也没有²。通过转到不可约分支，并在必要时丢掉坏点，可以假设 \(\mathcal{U}\) 光滑、不可约且仿射。关于 \(\mathcal{F}\) 的假设来自展开 \(D_{ctf}(X, \Lambda)\) 的定义，关于 \(\Lambda\) 的假设则来自考察其准素分解。

在证明的其余部分，考虑情形 \[\xymatrix{ \mathcal{V} \ar[d]_f \ar[r] & Y \ar[d]^{\bar f} \\ \mathcal{U} \ar[r] & X }\] 其中 \(\mathcal{U}\) 如上，\(f\) 是有限 étale Galois 覆盖，\(\mathcal{V}\) 连通，而水平箭头是射影完备化。记 \(G=\text{Aut}(\mathcal{V}|\mathcal{U})\)；还可假设 \(f^{-1}\mathcal{F} =\underline M\) 是常值的，其中模 \(M = \Gamma(\mathcal{V}, f^{-1}\mathcal{F})\) 是在 \(\Lambda\) 上有限射影的 \(\Lambda[G]\)-模。这对应于平凡幺半群扩张 \[1\to G\to \Gamma = G \times \mathbf{N}\to \mathbf{N}\to 1.\] 在此背景下，利用上述归约，只须证明 \(T''(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = 0\)。

第 4 步。\(G\) 在 \(f_*f^{-1}\mathcal{F}\) 上有自然作用，而迹映射 \(f_*f^{-1}\mathcal{F}\to \mathcal{F}\) 定义同构 \[(f_*f^{-1}\mathcal{F})\otimes_{\Lambda[G]} \Lambda = (f_*f^{-1}\mathcal{F})_G \cong \mathcal{F}.\]

为证明这一点，只须在一个几何点处展开所有定义。

第 5 步。令 \(A = \mathbf{Z}/\ell^n \mathbf{Z}\)，其中 \(n\gg 0\)。则 \(f_*f^{-1}\mathcal{F} \cong (f_*\underline A) \otimes_{\underline A} \underline M\)，并取对角 \(G\)-作用。

第 6 步。有典范同构 \((f_*\underline A \otimes_{\underline A} \underline M) \otimes_{\Lambda[G]} \underline \Lambda \cong \mathcal{F}\).

事实上，由于关于 \(\mathcal{F}\) 的射影性假设，这里是导出张量积。

第 7 步。有典范同构 \[R\Gamma_c(\mathcal{U}_{\bar k}, \mathcal{F}) = (R\Gamma_c(\mathcal{U}_{\bar k}, f_*A)\otimes_A^\mathbf{L} M)\otimes_{\Lambda[G]}^\mathbf{L} \Lambda,\] 且与 \(\pi^*_\mathcal{U}\) 的作用相容。

这来自普遍系数定理，即 \(R\Gamma_c\) 与 \(\otimes^\mathbf{L}\) 交换这一事实，以及 \(\mathcal{F}\) 作为 \(\Lambda\)-模的平坦性。

有 \[\begin{eqnarray*} \text{Tr}( \pi_\mathcal{U}^* |_{R\Gamma_c(\mathcal{U}_{\bar k}, \mathcal{F})}) & = & {\sum_{g \in G}}' \text{Tr}_{\Lambda}^{Z_g} \left( (g, \pi_\mathcal{U}^*) |_{R\Gamma_c(\mathcal{U}_{\bar k}, f_*A)\otimes_A^\mathbf{L} M} \right) \\ & = & {\sum_{g\in G}}' \text{Tr}_A^{Z_g} ( (g, \pi_\mathcal{U}^*) |_{R\Gamma_c(\mathcal{U}_{\bar k}, f_*A)} ) \cdot \text{Tr}_\Lambda(g|_M) \end{eqnarray*}\] 其中 \(\Gamma\) 通过 \(G\) 作用于 \(R\Gamma_c(\mathcal{U}_{\bar k}, \mathcal{F})\)，而 \((e, 1)\) 通过 \(\pi_\mathcal{U}^*\) 作用。因此幺半群扩张由 \(\Gamma = G \times \mathbf{N} \to \mathbf{N}\)，\(\gamma \mapsto 1\) 给出。第一个等式来自引理 03UD，第二个来自引理 03UC。

第 8 步。只须证明 \(\text{Tr}_A^{Z_g}((g, \pi_\mathcal{U}^*) |_{R\Gamma_c(\mathcal{U}_{\bar k}, f_*A)}) \in A\) 在 \(\Lambda\) 中的像为零。

回忆 \[\begin{eqnarray*} \# Z_g \cdot \text{Tr}_A^{Z_g}((g, \pi_\mathcal{U}^*) |_{R\Gamma_c(\mathcal{U}_{\bar k}, f_*A)}) & = & \text{Tr}_A((g, \pi_\mathcal{U}^*) |_{R\Gamma_c(\mathcal{U}_{\bar k}, f_*A)})\\ & = & \text{Tr}_A((g^{-1}\pi_\mathcal{V})^* |_{R\Gamma_c(\mathcal{V}_{\bar k}, A)}). \end{eqnarray*}\] 第一个等式是引理 03UB，第二个来自 Leray 谱序列，其中使用了 \(f\) 的有限性以及我们只在 \(A\) 上取迹这一事实。现在，由于 \(A=\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\) 且 \(n \gg 0\)，并且对某个（固定的） \(a\) 有 \(\# Z_g = \ell^a\)，只须证明下述结果。

第 9 步。有 \(\text{Tr}_A((g^{-1}\pi_\mathcal{V})^* |_{R\Gamma_c(\mathcal{V}, A)}) = 0\) 于 \(A\)。

再次由可加性，有 \[\begin{eqnarray*} & \text{Tr}_A((g^{-1}\pi_\mathcal{V})^* |_{R\Gamma_c(\mathcal{V}_{\bar k} A)}) + \text{Tr}_A((g^{-1}\pi_\mathcal{V})^* |_{R\Gamma_c(Y-\mathcal {V})_{\bar k}, A)}) \\ & = \text{Tr}_A((g^{-1}\pi_Y)^* |_{R\Gamma(Y_{\bar k}, A)}) \end{eqnarray*}\] 由 Weil 迹公式定理 03U1，后一个迹是 \(g^{-1}\pi_Y\) 在 \(Y\) 上的不动点数。此外，由第 2 步已经证明的 0 维情形， \[\text{Tr}_A((g^{-1}\pi_\mathcal{V})^*|_{R\Gamma_c(Y-\mathcal{V})_{\bar k}, A)})\] 是 \(g^{-1}\pi_Y\) 在 \((Y-\mathcal{V})_{\bar k}\) 上的不动点数。因此， \[\text{Tr}_A((g^{-1}\pi_\mathcal{V})^* |_{R\Gamma_c(\mathcal{V}_{\bar k}, A)})\] 是 \(g^{-1}\pi_Y\) 在 \(\mathcal{V}_{\bar k}\) 上的不动点数。但不存在这样的点：若 \(\bar y\in Y_{\bar k}\) 在 \(g^{-1}\pi_Y\) 下不动，则 \(\bar f(\bar y) \in X_{\bar k}\) 在 \(\pi_X\) 下不动。然而 \(\mathcal{U}\) 没有 \(k\)-有理点，所以必有 \(\bar f(\bar y)\in (X-\mathcal{U})_{\bar k}\)，从而 \(\bar y\notin \mathcal{V}_{\bar k}\)，矛盾。证明完毕。

注

关于定理 03UG 的几点说明。

该公式在任意维数都成立。由一个 dévissage 引理（它使用固有基变换等），在那样的一般性下可将其归约到当前陈述。

复形 \(R\Gamma_c(X_{\bar k}, K)\) 的定义如下：选择开浸入 \(j : X \hookrightarrow \bar X\)，其中 \(\bar X\) 是 \(k\) 上维数至多为 1 的射影概形，并令 \[R\Gamma_c(X_{\bar k}, K) := R\Gamma(\bar X_{\bar k}, j_!K).\] 它与 \(\bar X\) 的选择无关，这由（在此插入引用）得出。把 \(H^i_c(X_{\bar k}, K)\) 定义为 \(R\Gamma_c(X_{\bar k}, K)\) 的第 \(i\) 个上同调群。

注

尽管我们所做的都是归约，而且主要是代数，但迹公式定理 03UG 比 Weil 几何迹公式（定理 03U1）强得多，因为它适用于系数系统（层），而不仅仅适用于常系数。

应用

好了，既然已经说明了迹公式的证明，就来尝试用它做些事情。

关于 l-进层

定义

设 \(X\) 是 Noether 概形。\(X\) 上的一个\(\mathbf{Z}_\ell\)-层，或简称 \(\ell\)-进层 \(\mathcal{F}\)，是逆系统 \(\left\{\mathcal{F}_n\right\}_{n\geq 1}\)，其中

\(\mathcal{F}_n\) 是 \(X_\etale\) 上的可构造 \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\)-模；并且

转移映射 \(\mathcal{F}_{n+1}\to \mathcal{F}_n\) 诱导同构 \(\mathcal{F}_{n+1} \otimes_{\mathbf{Z}/\ell^{n+1}\mathbf{Z}} \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z} \cong \mathcal{F}_n\).

若每个 \(\mathcal{F}_n\) 都是局部常值的，则称 \(\mathcal{F}\) 是 lisse 的。这类对象之间的态射就是逆系统之间的态射。

引理

设 \(\{\mathcal{G}_n\}_{n\geq 1}\) 是可构造 \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\)-模组成的逆系统。假设对所有 \(k\geq 1\)，映射 \[\mathcal{G}_{n+1}/\ell^k \mathcal{G}_{n+1}\to \mathcal{G}_n /\ell^k \mathcal{G}_n\] 对所有 \(n\gg 0\) 都是同构（界可能依赖于 \(k\)）。换言之，假设系统 \(\{\mathcal{G}_n/\ell^k\mathcal{G}_n\}_{n\geq 1}\) 最终常值，并把相应的层记作 \(\mathcal{F}_k\)。则系统 \(\left\{\mathcal{F}_k\right\}_{k\geq 1}\) 构成 \(X\) 上的 \(\mathbf{Z}_\ell\)-层。

证明

证明是显然的。

引理

\(X\) 上的 \(\mathbf{Z}_\ell\)-层所成的范畴是阿贝尔范畴。

证明

设 \(\Phi = \left\{\varphi_n\right\}_{n\geq 1} : \left\{\mathcal{F}_n\right\} \to \left\{\mathcal{G}_n\right\}\) 是 \(\mathbf{Z}_\ell\)-层的态射。令 \[\Coker(\Phi) = \left\{ \Coker\left(\mathcal{F}_n \xrightarrow{\varphi_n} \mathcal{G}_n\right) \right\}_{n\geq 1}\] 而 \(\Ker(\Phi)\) 是把引理 03UN 应用于逆系统 \[\left\{ \bigcap_{m\geq n} \Im\left(\Ker(\varphi_m) \to \Ker(\varphi_n)\right) \right\}_{n \geq 1}.\] 由此定义出阿贝尔范畴这一点留给读者。

例

设 \(X=\Spec(\mathbf{C})\)，并令 \(\Phi : \mathbf{Z}_\ell\to \mathbf{Z}_\ell\) 为乘以 \(\ell\)。更精确地， \[\Phi = \left\{ \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z} \xrightarrow{\ell} \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\right\}_{n \geq 1}.\] 为计算核，考虑逆系统 \[\ldots\to \mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}\xrightarrow{0} \mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}\xrightarrow{0}\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}.\] 由于这些像总为零，\(\Ker(\Phi)\) 作为系统为零。

注

若 \(\mathcal{F} = \left\{\mathcal{F}_n\right\}_{n\geq 1}\) 是 \(X\) 上的 \(\mathbf{Z}_\ell\)-层，且 \(\bar x\) 是几何点，则 \(M_n = \left\{\mathcal{F}_{n, \bar x}\right\}\) 是有限 \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\)-模组成的逆系统，使得 \(M_{n+1}\to M_n\) 是满射，且 \(M_n = M_{n+1}/\ell^n M_{n+1}\)。由此 \[M = \lim_n M_n = \lim \mathcal{F}_{n, \bar x}\] 是有限 \(\mathbf{Z}_\ell\)-模。这由“代数”引理 09B8、 031D 以及 \(M/\ell M = M_1\) 是有限 \(\mathbf{F}_\ell\)-模这一事实得出。因此，对某些 \(r, t\geq 0\)、\(e_i\geq 1\)，有 \(M\cong \mathbf{Z}_\ell^{\oplus r} \oplus \oplus_{i = 1}^t \mathbf{Z}_\ell/\ell^{e_i}\mathbf{Z}_\ell\)。模 \(M = \mathcal{F}_{\bar x}\) 称为 \(\mathcal{F}\) 在 \(\bar x\) 处的茎。

定义

若对某个 \(n\)，\(\ell^n : \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 是零映射，则称 \(\mathbf{Z}_\ell\)-层 \(\mathcal{F}\) 是挠的。\(X\) 上 \(\mathbf{Q}_\ell\)-层所成的阿贝尔范畴，是 \(\mathbf{Z}_\ell\)-层的阿贝尔范畴关于挠层所成 Serre 子范畴的商。换言之，其对象是 \(X\) 上的 \(\mathbf{Z}_\ell\)-层；若 \(\mathcal{F}, \mathcal{G}\) 是两个这样的对象，则 \[\Hom_{\mathbf{Q}_\ell} \left(\mathcal{F}, \mathcal{G} \right) = \Hom_{\mathbf{Z}_\ell} \left(\mathcal{F}, \mathcal{G}\right) \otimes_{\mathbf{Z}_\ell} \mathbf{Q}_\ell.\] 以 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F} \otimes \mathbf{Q}_\ell\) 表示商函子（它是包含函子的右伴随）。若 \(\mathcal{F} = \mathcal{F}' \otimes \mathbf{Q}_\ell\)，其中 \(\mathcal{F}'\) 是 \(\mathbf{Z}_\ell\)-层，且 \(\bar x\) 是几何点，则 \(\mathcal{F}\) 在 \(\bar x\) 处的茎为 \(\mathcal{F}_{\bar x} = \mathcal{F}'_{\bar x} \otimes \mathbf{Q}_\ell\)。

注

由于 \(\mathbf{Z}_\ell\)-层只在 Noether 概形上定义，它是挠的，当且仅当其各茎都是挠的。

定义

若 \(X\) 是代数闭域 \(k\) 上的分离有限型概形，且 \(\mathcal{F} = \left\{\mathcal{F}_n\right\}_{n\geq 1}\) 是 \(X\) 上的 \(\mathbf{Z}_\ell\)-层，则定义 \[H^i(X, \mathcal{F}) := \lim_n H^i(X, \mathcal{F}_n) \quad\text{且}\quad H_c^i(X, \mathcal{F}) := \lim_n H_c^i(X, \mathcal{F}_n).\] 若对某个 \(\mathbf{Z}_\ell\)-层 \(\mathcal{F}'\)，有 \(\mathcal{F} = \mathcal{F}'\otimes \mathbf{Q}_\ell\)，则令 \[H_c^i(X , \mathcal{F}) := H_c^i(X, \mathcal{F}')\otimes_{\mathbf{Z}_\ell}\mathbf{Q}_\ell.\] 称它们为 \(X\) 取系数于 \(\mathcal{F}\) 的\(\ell\)-进上同调。

L-函数

定义

设 \(X\) 是有限域 \(k\) 上的有限型概形。设 \(\Lambda\) 是阶与 \(k\) 的特征互素的有限环，且 \(\mathcal{F}\) 是 \(X_\etale\) 上可构造平坦的 \(\Lambda\)-模。令 \[L(X, \mathcal{F}) := \prod\nolimits_{x\in |X|} \det(1 - \pi_x^*T^{\deg x} |_{\mathcal{F}_{\bar x}})^{-1} \in \Lambda [[ T ]]\] 其中 \(|X|\) 是 \(X\) 的闭点集，\(\deg x = [\kappa(x): k]\)，而 \(\bar x\) 是位于 \(x\) 上方的几何点。显然，这一定义可推广到以 \(K \in D_{ctf}(X, \Lambda)\) 代替 \(\mathcal{F}\) 的情形。称它为 \(\mathcal{F}\) 的 \(L\)-函数。

注

直观地，应把 \(T\) 看成 \(T = t^f\)，其中 \(p^f = \# k\)。于是这些定义与基域的大小无关。

定义

现在假设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的 \(\mathbf{Q}_\ell\)-层。在此情形定义 \[L(X, \mathcal{F}) := \prod\nolimits_{x \in |X|} \det(1 - \pi_x^*T^{\deg x} |_{\mathcal{F}_{\bar x}})^{-1} \in \mathbf{Q}_\ell[[T]].\] 注意，该乘积收敛，因为每个给定次数的点只有有限多个。称它为 \(\mathcal{F}\) 的 \(L\)-函数。

上同调解释

Grothendieck 如下解释 \(L\)-函数。

定理

设 \(X\) 是有限域 \(k\) 上的有限型概形。设 \(\Lambda\) 是阶与 \(k\) 的特征互素的有限环，且 \(\mathcal{F}\) 是 \(X_\etale\) 上可构造平坦的 \(\Lambda\)-模。则 \[L(X, \mathcal{F}) = \det(1 - \pi_X^*\ T |_{R\Gamma_c(X_{\bar k}, \mathcal{F})})^{-1} \in \Lambda[[T]].\]

证明

略。

到目前为止，我们甚至还不知道每个上同调群 \(H^i_c(X_{\bar k}, \mathcal{F})\) 是否自由。

定理

设 \(X\) 是有限域 \(k\) 上的有限型概形，且 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的 \(\mathbf{Q}_\ell\)-层。则 \[L(X, \mathcal{F}) = \prod\nolimits_i \det(1 - \pi_X^*T |_{H_c^i(X_{\bar k} , \mathcal{F})})^{(-1)^{i + 1}} \in \mathbf{Q}_\ell[[T]].\]

证明

下文将概述其证明。

注

由于我们只发展了一些迹理论，而没有发展行列式理论，定理 03UZ 比定理 03V0 更难证明。我们只证明后者；前者见 [SGA4.5]。还要注意，对 \(\mathbf{Z}_\ell\) 系数不存在该定理的更一般版本，因为没有 \(\ell\)-挠。

把定理 03V0 的证明归约为迹公式。由于 \(\mathbf{Q}_\ell\) 的特征为 0，只需证明取对数导数后的等式。更精确地，对两端应用 \(T\frac{d}{dT} \log\)。一方面，有 \[\begin{align*} T \frac{d}{dT} \log L(X, \mathcal{F}) & = T\frac{d}{dT} \log \prod_{x \in |X|} \det(1 - \pi_x^* T^{\deg x} |_{\mathcal{F}_{\bar x}})^{-1} \\ & = \sum_{x \in |X|} T \frac{d}{dT} \log ( \det(1 - \pi_x^* T^{\deg x} |_{\mathcal{F}_{\bar x}})^{-1}) \\ & = \sum_{x \in |X|} \deg x \sum_{n \geq 1} \text{Tr}((\pi_x^n)^* |_{\mathcal{F}_{\bar x}}) T^{n\deg x} \end{align*}\] 最后一个等式来自公式 \[T\frac{d}{dT}\log\left(\det\left(1-fT|_M\right)^{-1}\right) = \sum_{n\geq 1} \text{Tr}(f^n|_M)T^n\] 它对任意交换环 \(\Lambda\) 以及有限射影 \(\Lambda\)-模 \(M\) 的任意自同态 \(f\) 都成立。另一方面，有 \[\begin{align*} & T\frac{d}{dT} \log\left( \prod\nolimits_i \det(1-\pi_X^*T |_{H_c^i\left(X_{\bar k} , \mathcal{F}\right)})^{(-1)^{i+1}} \right) \\ & = \sum\nolimits_i (-1)^i \sum\nolimits_{n \geq 1} \text{Tr}\left((\pi_X^n)^* |_{H_c^i(X_{\bar k},\mathcal{F})}\right) T^n \end{align*}\] 这里再次使用了同一公式。现在比较 \(T\) 的各次幂并使用 Möbius 反演公式，可见定理 03V0 是下述等式的推论： \[\sum_{d | n} d \sum_{x \in |X| \atop \deg x = d} \text{Tr}((\pi_X^{n/d})^* |_{\mathcal{F}_{\bar x}}) = \sum_i (-1)^i \text{Tr}((\pi^n_X)^* |_{H^i_c(X_{\bar k}, \mathcal{F})}).\] 以 \(k_n\) 表示 \(k\) 的 \(n\) 次扩张，并令 \(X_n = X \times_{\Spec k} \Spec(k_n)\)、 \(_n\mathcal{F} = \mathcal{F}|_{X_n}\)，则这归结为 \[\sum_{x \in X_n(k_n)} \text{Tr}(\pi_X^* |_{_n\mathcal{F}_{\bar x}}) = \sum_i (-1)^i \text{Tr}((\pi^n_X)^* |_{H^i_c({(X_n)}_{\bar k}, _n\mathcal{F})})\] 而这由定理 03V2 得出。

定理

设 \(X/k\) 如上，\(\Lambda\) 是满足 \(\#\Lambda \in k^*\) 的有限环，且 \(K\in D_{ctf}(X, \Lambda)\)。则 \(R\Gamma_c(X_{\bar k}, K)\in D_{perf}(\Lambda)\)，并且 \[\sum_{x\in X(k)}\text{Tr}\left(\pi_x |_{K_{\bar x}}\right) = \text{Tr}\left(\pi_X^* |_{R\Gamma_c(X_{\bar k}, K )}\right).\]

证明

注意，当 \(\dim X \leq 1\) 时，我们已经证明了这一点（引用）。一般情形容易由该情形与固有基变换定理推出。

定理

设 \(X\) 是有限域 \(k\) 上的分离有限型概形，且 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的 \(\mathbf{Q}_\ell\)-层。则对所有 \(i\)， \(\dim_{\mathbf{Q}_\ell}H_c^i(X_{\bar k}, \mathcal{F})\) 都是有限的，而且只有在 \(0\leq i \leq 2 \dim X\) 时才可能非零。此外，有 \[\sum_{x\in X(k)} \text{Tr}\left(\pi_x |_{\mathcal{F}_{\bar x}}\right) = \sum_i (-1)^i\text{Tr}\left(\pi_X^* |_{H_c^i(X_{\bar k}, \mathcal{F})}\right).\]

证明

说明如何从定理 03V3 推出此结论。先用若干 étale 上同调论证，把证明归约为随后要证明的一个代数陈述。

设 \(\mathcal{F}\) 如定理所述。可把 \(\mathcal{F}\) 写成 \(\mathcal{F}'\otimes \mathbf{Q}_\ell\)，其中 \(\mathcal{F}' = \left\{\mathcal{F}'_n\right\}\) 是无挠 \(\mathbf{Z}_\ell\)-层；也就是说，在 \(\mathbf{Z}_\ell\)-层范畴中， \(\ell : \mathcal{F}'\to \mathcal{F}'\) 的核为零。于是每个 \(\mathcal{F}_n'\) 都是 \(X_\etale\) 上平坦可构造的 \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\)-模，故 \(\mathcal{F}'_n \in D_{ctf}(X, \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z})\)，并且 \(\mathcal{F}_{n+1}' \otimes^{\mathbf{L}}_{\mathbf{Z}/\ell^{n+1}\mathbf{Z}} \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z} = \mathcal{F}_n'\). 注意，由于 \(\mathcal{F}'_n\) 平坦，最后一个等式对通常的（非导出）张量积也成立（这是同一个等式）。因此，

复形 \(K_n = R\Gamma_c\left(X_{\bar k}, \mathcal{F}_n'\right)\) 是完美的，且在 \(D(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z})\) 中带有自同态 \(\pi_n : K_n\to K_n\)；

有识别 \[K_{n+1} \otimes^{\mathbf{L}}_{\mathbf{Z}/\ell^{n+1}\mathbf{Z}} \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z} = K_n\] 位于 \(D_{perf}(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z})\) 中，并与自同态 \(\pi_{n+1}\) 和 \(\pi_n\) 相容（见 [SGA4.5, Rapport 4.12]）；

等式 \(\text{Tr}\left(\pi_X^* |_{K_n}\right) = \sum_{x\in X(k)} \text{Tr}\left(\pi_x |_{(\mathcal{F}'_n)_{\bar x}}\right)\) 成立；并且

对每个 \(x\in X(k)\)，各元素 \(\text{Tr}(\pi_x |_{\mathcal{F}'_{n, \bar x}}) \in \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\) 构成 \(\mathbf{Z}_\ell\) 的一个元素，它等于 \(\text{Tr}(\pi_x |_{\mathcal{F}_{\bar x}}) \in \mathbf{Q}_\ell\)。

所以只需证明下述代数引理。

引理

假设给定 \(K_n\in D_{perf}(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z})\), \(\pi_n : K_n\to K_n\) 以及同构 \(\varphi_n : K_{n+1} \otimes^\mathbf{L}_{\mathbf{Z}/\ell^{n+1}\mathbf{Z}} \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z} \to K_n\) 与 \(\pi_{n+1}\) 和 \(\pi_n\) 相容。则

各元素 \(t_n = \text{Tr}(\pi_n |_{K_n})\in \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\) 构成 \(\mathbf{Z}_\ell\) 的一个元素 \(t_\infty = \{t_n\}\)；

\(\mathbf{Z}_\ell\)-模 \(H_\infty^i = \lim_n H^i(k_n)\) 是有限的，并且只有有限多个 \(i\) 对应非零模；并且

各算子 \(H^i(\pi_n): H^i(K_n)\to H^i(K_n)\) 彼此相容，并定义满足下式的 \(\pi_\infty^i : H_\infty^i\to H_\infty^i\)： \[\sum (-1)^i \text{Tr}( \pi_\infty^i |_{H_\infty^i \otimes_{\mathbf{Z}_\ell}\mathbf{Q}_\ell}) = t_\infty.\]

证明

由于 \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\) 是局部环且 \(K_n\) 完美，每个 \(K_n\) 都可由有限自由 \(\mathbf{Z}/\ell^n \mathbf{Z}\)-模的有限复形 \(K_n^\bullet\) 表示，并且映射 \(K_n^p \to K_n^{p+1}\) 的像包含于 \(\ell K_n^{p+1}\)。这样的复形在同构意义下是唯一的。此外，\(\pi_n\) 可由复形态射 \(\pi_n^\bullet : K_n^\bullet\to K_n^\bullet\) 表示（它在同伦意义下唯一）。同理，同构 \(\varphi_n : K_{n+1} \otimes_{\mathbf{Z}/\ell^{n+1}\mathbf{Z}}^{\mathbf{L}} \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\to K_n\) 由复形态射表示： \[\varphi_n^\bullet : K_{n+1}^\bullet \otimes_{\mathbf{Z}/\ell^{n+1}\mathbf{Z}} \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z} \to K_n^\bullet.\] 事实上，\(\varphi_n^\bullet\) 是复形同构，因而可见

存在与 \(n\) 无关的 \(a, b\in \mathbf{Z}\)，使得对所有 \(i\notin[a, b]\)，都有 \(K_n^i = 0\)；并且

\(K_n^i\) 的秩与 \(n\) 无关。

因此，模 \(K_\infty^i = \lim_n \{K_n^i, \varphi_n^i\}\) 是有限自由 \(\mathbf{Z}_\ell\)-模，而 \(K_\infty^\bullet\) 是有限自由 \(\mathbf{Z}_\ell\)-模的有限复形。对非零项数归纳，可以证明 \(H^i\left(K_\infty^\bullet\right) = \lim_n H^i\left(K_n^\bullet\right)\) （对无界复形这并不成立）。由此得出 \(H_\infty^i = H^i\left(K_\infty^\bullet\right)\) 是有限 \(\mathbf{Z}_\ell\)-模。这证明了 ii。为证明引理的其余部分，必须处理下列诸图可能不交换的问题： \[\xymatrix{ {K_{n+1}^\bullet} \ar[d]_{\pi_{n+1}^\bullet} \ar[r]^{\varphi_n^\bullet} & {K_n^\bullet} \ar[d]^{\pi_n^\bullet} \\ {K_{n+1}^\bullet} \ar[r]_{\varphi_n^\bullet} & {K_n^\bullet.} }\] 不过，该图在导出范畴中确实交换，因而在同伦意义下交换。对 \(n\geq 2\) 归纳地把 \(\pi_n^\bullet\) 换成与之同伦的复形态射，使这些图交换。具体地，若 \(h^i : K_{n+1}^i \to K_n^{i-1}\) 是一个同伦，即 \[\pi_n^\bullet \circ \varphi_n^\bullet - \varphi_n^\bullet \circ \pi_{n + 1}^\bullet = dh + hd,\] 则选择提升 \(h^i\) 的 \(\tilde h^i : K_{n+1}^i\to K_{n+1}^{i-1}\)。这是可行的，因为 \(K_{n+1}^i\) 自由且 \(K_{n+1}^{i-1}\to K_n^{i-1}\) 为满射。然后把 \(\pi_n^\bullet\) 换成由下式定义的 \(\tilde\pi_n^\bullet\)： \[\tilde\pi_{n+1}^\bullet = \pi_{n+1}^\bullet + d\tilde h+\tilde hd.\] 作此 \(\{\pi_n^\bullet\}\) 选择后，上述诸图交换，而这些映射拼合成 \(K_\infty^\bullet\) 的自同态 \(\pi_\infty^\bullet = \lim_n\pi_n^\bullet\)。于是 i 是显然的：各元素 \(t_n = \sum(-1)^i \text{Tr}\left(\pi_n^i |_{K_n^i}\right)\) 拼合为 \(\mathbf{Z}_\ell\) 的一个元素 \(t_\infty\)。此外， \[\begin{align*} t_\infty & = \sum (-1)^i \text{Tr}_{\mathbf{Z}_\ell}(\pi_\infty^i |_{K_\infty^i}) \\ & = \sum (-1)^i \text{Tr}_{\mathbf{Q}_\ell}( \pi_\infty^i |_{K_\infty^i \otimes_{\mathbf{Z}_\ell}\mathbf{Q}_\ell}) \\ & = \sum (-1)^i \text{Tr}( \pi_\infty |_{H^i(K_\infty^\bullet \otimes \mathbf{Q}_\ell)}) \end{align*}\] 最后一个等式来自如下事实：\(\mathbf{Q}_\ell\) 是域，所以复形 \(K_\infty^\bullet \otimes \mathbf{Q}_\ell\) 拟同构于其上同调 \(H^i(K_\infty^\bullet \otimes \mathbf{Q}_\ell)\)。后者又等于 \(H^i(K_\infty^\bullet)\otimes_{\mathbf{Z}}\mathbf{Q}_\ell = H_\infty^i \otimes \mathbf{Q}_\ell\)。这就完成了该引理以及定理 03V2 的证明。

上文应补充的事项清单

到目前为止，讲课中略去了下列内容的证明：

曲线及其雅可比簇；
固有基变换定理；
对 \(R\Gamma_c\) 的讨论不充分；
更一般地，给定有限型态射 \(f : X \to S\)，其中源是分离的 \(S\)-拟射影概形，讨论 étale 层上的 \(Rf_!\)；
对 \(\otimes^{\mathbf{L}}\) 的讨论；
关于 \(R\Gamma_c\) 为何与 \(\otimes^{\mathbf{L}}\) 交换的讨论。

L-函数的例子

利用曲线情形的定理 03V0 给出若干 \(L\)-函数的例子。

常值层

设 \(k\) 是有限域，\(X\) 是 \(k\) 上光滑且几何不可约的曲线，并设 \(\mathcal{F} = \underline{\mathbf{Q}_\ell}\) 为常值层。若 \(\bar x\) 是 \(X\) 的几何点，则 Galois 模 \(\mathcal{F}_{\bar x} = \mathbf{Q}_\ell\) 是平凡的，故 \[\det(1-\pi_x^*\ T^{\deg x} |_{\mathcal{F}_{\bar x}})^{-1} = \frac{1}{1-T^{\deg x}}.\] 应用定理 03V0，得到 \[\begin{align*} L(X, \mathcal{F}) & = \prod_{i = 0}^2 \det(1 - \pi_X^*T |_{H_c^i(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell)})^{(-1)^{i+1}} \\ & = \frac{\det(1 - \pi_X^*T |_{H_c^1(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell)})}{ \det(1 - \pi_X^*T |_{H_c^0(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell)}) \cdot \det(1 - \pi_X^*T |_{H_c^2(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell)})}. \end{align*}\] 为计算后一个式子，分两种情形。

射影情形。 假设 \(X\) 是射影的，则 \(H_c^i(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell) = H^i(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell)\)，并且 \[H^i(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell) = \left\{ \begin{matrix} \mathbf{Q}_\ell & \pi_X^* = 1 & \text{若 }i = 0, \\ \mathbf{Q}_\ell^{2g} & \pi_X^* = ? & \text{若 }i = 1, \\ \mathbf{Q}_\ell & \pi_X^* = q & \text{若 }i = 2. \end{matrix} \right.\] \(\pi_X^*\) 在 \(H^2\) 上作用的上述识别来自“Étale 上同调”引理 0AMB，以及 \(\pi_X\) 的次数为 \(q = \#(k)\) 这一事实。关于 \(\pi_X^*\) 在第 1 次上同调上的作用，我们所知不多。把它在 \(\bar{\mathbf{Q}}_\ell\) 中的特征值记为 \(\alpha_1, \ldots, \alpha_{2g}\)。综合起来，定理 03V0 给出等式 \[\prod\nolimits_{x \in |X|} \frac{1}{1 - T^{\deg x}} = \frac{\det(1- \pi_X^* T|_{H^1(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell)})}{(1-T)(1-qT)} = \frac{(1 - \alpha_1 T) \ldots (1 - \alpha_{2g}T)}{(1-T)(1-qT)}\] 由此推出下述结果。

引理

设 \(X\) 是有限域 \(k\) 上光滑、射影且几何不可约的曲线。则

\(L\)-函数 \(L(X, \mathbf{Q}_\ell)\) 是有理函数；

\(\pi_X^*\) 在 \(H^1(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell)\) 上的特征值 \(\alpha_1, \ldots, \alpha_{2g}\) 是与 \(\ell\) 无关的代数整数；

\(X\) 在 \(k_n\) 上的有理点数（其中 \([k_n : k] = n\)）为 \[\# X(k_n) = 1 - \sum\nolimits_{i = 1}^{2g}\alpha_i^n + q^n,\]

对每个 \(i\)，\(|\alpha_i| < q\)。

证明

第 (3) 项是把定理 03V2 应用于 \(X \otimes k_n\) 上的 \(\mathcal{F} = \underline{\mathbf{Q}_\ell}\)。对第 (4) 项，使用下述结果。

练习

设 \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in \mathbf{C}\)。对任意包含正实轴、形如 \(C_\varepsilon = \{ z \in \mathbf{C} \ | \ |\arg z| < \varepsilon \}\) 的圆锥扇形（其中 \(\varepsilon > 0\)），存在整数 \(k \geq 1\)，使得 \(\alpha_1^k, \ldots, \alpha_n^k \in C_\varepsilon\)。

然后证明对所有 \(i\)，都有 \(|\alpha_i| \leq q\)。再用关于复数的初等论证（如素数定理的证明中那样）证明 \(|\alpha_i| < q\)。事实上，Riemann 假设断言对所有 \(i\) 都有 \(|\alpha_i| = \sqrt{q}\)。稍后还会回到这一点。

仿射情形。 现在假设 \(X\) 是仿射的，比如 \(X= \bar X-\left\{x_1, \ldots, x_n\right\}\)，其中 \(j : X \hookrightarrow \bar X\) 是非奇异射影完备化。于是 \(H_c^0(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell) = 0\) 且 \(H_c^2(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell) = H^2(\bar X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell)\)，故定理 03V0 写成 \[L(X, \mathbf{Q}_\ell) = \prod_{x \in |X|}\frac{1}{1 - T^{\deg x}} = \frac{\det(1-\pi_X^*T |_{H_c^1(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell)})}{1 - qT}.\] 另一方面，前一种情形给出 \[\begin{eqnarray*} L(X, \mathbf{Q}_\ell) & = & L(\bar X, \mathbf{Q}_\ell)\prod_{i = 1}^n\left(1-T^{\deg x_i}\right) \\ & = & \frac{\prod_{i = 1}^n(1-T^{\deg x_i})\prod_{j = 1}^{2g}(1-\alpha_jT)}{(1-T)(1-qT)}. \end{eqnarray*}\] 因此可见 \(\dim H_c^1(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell) = 2g+\sum_{i = 1}^n \deg(x_i)-1\)，而 \(\pi_{\bar X}^*\) 在第 1 次上同调上作用的特征值 \(\alpha_1, \ldots, \alpha_{2g}\) 都是单位根。更精确地，每个 \(x_i\) 给出全体 \(\deg(x_i)\) 次单位根，并删去一次 1。为利用凝聚层直接看出这一点，考虑 \(\bar X\) 上的短正合列 \[0\to j_!\mathbf{Q}_\ell\to \mathbf{Q}_\ell\to\bigoplus_{i = 1}^n \mathbf{Q}_{\ell, x_i}\to 0.\] 上同调长正合列写成 \[0\to \mathbf{Q}_\ell \to \bigoplus_{i = 1}^n \mathbf{Q}_\ell^{\oplus \deg x_i} \to H_c^1(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell) \to H_c^1(\bar X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell)\to 0\] 其中 Frobenius 在 \(\bigoplus_{i = 1}^n \mathbf{Q}_\ell^{\oplus \deg x_i}\) 上的作用是逐项循环置换；并且 \(H_c^2(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell) = H_c^2(\bar X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell)\)。

Legendre 族

设 \(k\) 是奇特征有限域， \(X = \Spec(k[\lambda, \frac{1}{\lambda(\lambda - 1)}])\)，并考虑 \(\mathbf{P}^2_X\) 上的椭圆曲线族 \(f : E \to X\)，其仿射方程为 \(y^2 = x(x - 1)(x - \lambda)\)。令 \(\mathcal{F} = Rf_*^1\mathbf{Q}_\ell = \left\{R^1f_*\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\right\}_{n\geq 1} \otimes \mathbf{Q}_\ell\)。在此情形下，下列陈述成立：

对每个 \(n \geq 1\)，层 \(R^1f_*(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z})\) 都是有限局部常值的；事实上，它是在 \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\) 上秩为 2 的自由模；
系统 \(\{R^1f_*\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\}_{n\geq 1}\) 是 lisse \(\ell\)-进层；并且
对所有 \(x\in |X|\)， \(\det(1 - \pi_x\ T^{\deg x} |_{\mathcal{F}_{\bar x}}) = (1 - \alpha_x T^{\deg x})(1 - \beta_x T^{\deg x})\) ，其中 \(\alpha_x, \beta_x\) 是 \(E_x\) 的几何 Frobenius 在 \(H^1(E_{\bar x}, \mathbf{Q}_\ell)\) 上作用的特征值。

注意，\(E_x\) 只在 \(\kappa(x)\) 上定义，而不在 \(k\) 上定义。这些事实的证明使用固有基变换定理与光滑态射的局部无圈性。细节见 [SGA4.5]。由此 \[L(E/X) := L(X, \mathcal{F}) = \prod_{x\in |X|} \frac{1}{(1-\alpha_xT^{\deg x})(1-\beta_xT^{\deg x })} .\] 应用定理 03V0，得到 \[L(E/X) = \prod_{i = 0}^2 \det\left(1 - \pi_X^*T |_{H_c^i(X_{\bar k}, \mathcal{F})}\right)^{(-1)^{i+1}},\] 特别可见这是一个有理函数。此外，不难证明 \(H_c^0(X_{\bar k}, \mathcal{F}) = H_c^2(X_{\bar k}, \mathcal{F}) = 0\)，故只有 \[L(E/X) = \det(1 - \pi_X^*T |_{H_c^1(X, \mathcal{F})}).\] 为明确计算该行列式，考虑固有态射 \(f : E \to X\) 关于 \(\mathbf{Q}_\ell\) 的 Leray 谱序列，即 \[H_c^i(X_{\bar k}, R^jf_*\mathbf{Q}_\ell) \Rightarrow H_c^{i+j}(E_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell)\] 该谱序列退化。有 \(f_*\mathbf{Q}_\ell = \mathbf{Q}_\ell\) 且 \(R^1f_*\mathbf{Q}_\ell = \mathcal{F}\)。层 \(R^2f_*\mathbf{Q}_\ell = \mathbf{Q}_\ell(-1)\) 是 \(\mathbf{Q}_\ell\) 的 Tate 扭曲；也就是说，它是如下 \(\mathbf{Q}_\ell\)-层：Galois 在 \(\bar x\) 处茎上的作用由乘以 \(\#\kappa(x)\) 给出。因此，对所有 \(n\geq 1\)， \[\begin{align*} \# E(k_n) & = \sum\nolimits_i (-1)^i \text{Tr}({\pi_E^n}^* |_{H_c^i(E_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell)}) \\ & = \sum\nolimits_{i, j} (-1)^{i+j} \text{Tr}({\pi^n_X}^* |_{H_c^i(X_{\bar k}, R^jf_*\mathbf{Q}_\ell)}) \\ & = (q^n - 2) + \text{Tr}({\pi_X^n}^* |_{H_c^1(X_{\bar k}, \mathcal{F})}) + q^n(q^n - 2) \\ & = q^{2n} - q^n - 2 + \text{Tr}({\pi_X^n}^* |_{H_c^1(X_{\bar k}, \mathcal{F})}) \end{align*}\] 其中第一个等式来自定理 03V2，第二个来自 Leray 谱序列，第三个则由写出 \(\mathbf{Q}_\ell\) 在 \(f\) 下的高阶直像而得。也可以写成 \[\# E(k_n) = \sum_{x \in X(k_n)} \# E_x(k_n)\] 并对每条曲线使用迹公式。也可直接计数求得 \(k_n\)-有理点数。零截面贡献 \(q^n -2\) 个点（略去 \(\lambda = 0, 1\) 的点），因此 \[\# E(k_n) = q^n - 2 + \# \{y^2 = x(x - 1)(x - \lambda), \lambda\neq 0, 1\}.\] 现在有 \[\begin{matrix} \# \{y^2 = x(x - 1)(x - \lambda),\ \lambda\neq 0, 1\} \\ \\ \quad = \# \{y^2 = x(x - 1)(x - \lambda)\text{ 位于 }\mathbf{A}^3\} - \# \{y^2 = x^2(x - 1)\} - \# \{y^2 = x(x - 1)^2\}\\ \\ \quad = \# \{\lambda = \frac{-y^2}{x(x - 1)} + x,\ x\neq 0, 1\} + \# \{y^2 = x(x - 1)(x - \lambda), x = 0, 1\} - 2(q^n - \varepsilon_n) \\ \\ \quad = q^n(q^n - 2)+2q^n - 2(q^n - \varepsilon_n)\\ \\ \quad = q^{2n}-2q^n+2\varepsilon_n \end{matrix}\] 其中当 \(-1\) 在 \(k_n\) 中是平方时 \(\varepsilon_n = 1\)，否则为 0；即 \[\varepsilon_n = \frac{1}{2}\left(1+\left(\frac{-1}{k_n}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(1+(-1)^{\frac{q^n - 1}{2}}\right).\] 于是 \(\# E(k_n) = q^{2n} - q^n - 2+ 2\varepsilon_n\)。与前一公式比较，得到 \[\text{Tr}({\pi_X^n}^* |_{H_c^1(X_{\bar k}, \mathcal{F})}) = 2 \varepsilon_n = 1 + (-1)^{\frac{q^n - 1}{2}},\] 由复数的初等代数可知，若 \(-1\) 在 \(k_n^*\) 中是平方，则 \(\dim H_c^1(X_{\bar k}, \mathcal{F}) = 2\)，且特征值为 \(1\) 和 \(1\)。因此，在这种情形下， \[L(E/X) = (1 - T)^2.\]

指数和

数论中的一个标准问题是求如下形式的和： \[S_{a, b}(p) = \sum_{x\in \mathbf{F}_p - \left\{0, 1\right\}} e^{\frac{2\pi ix^a(x - 1)^b}{p}}.\] 在我们的语境中，这可如下解释为上同调和。考虑基概形 \(S = \Spec(\mathbf{F}_p[x, \frac{1}{x(x - 1)}])\)，以及 \(S\) 上由方程 \(y^{p - 1} = x^a(x - 1)^b\) 给出的仿射曲线 \(f : X \to \mathbf{P}^1-\{0, 1, \infty\}\)。这是群为 \(\mathbf{F}_p^*\) 的有限 étale Galois 覆盖，并有分解 \[f_*(\bar{\mathbf{Q}}_\ell^*) = \bigoplus_{\chi : \mathbf{F}_p^*\to \bar{\mathbf{Q}}_\ell^*} \mathcal{F}_\chi\] 其中 \(\chi\) 遍历 \(\mathbf{F}_p^*\) 的特征标，而 \(\mathcal{F}_\chi\) 是秩为 1 的 lisse \(\mathbf{Q}_\ell\)-层，\(\mathbf{F}_p^*\) 在其各茎上通过 \(\chi\) 作用。相应地得到分解 \[H_c^1(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell) = \bigoplus_\chi H^1(\mathbf{P}_{\bar k}^1-\{0, 1, \infty\}, \mathcal{F}_\chi)\] 而指数和的上同调解释，是对某个合适的 \(\chi\)，在 \(\mathbf{P}^1 - \{0, 1, \infty\}\) 上把迹公式应用于 \(\mathcal{F}_\chi\)。它写成 \[S_{a, b}(p) = -\text{Tr}(\pi_X^* |_{H^1(\mathbf{P}_{\bar k}^1-\{0, 1, \infty\}, \mathcal{F}_\chi)}).\] Weil 的一般形式论证表明该和中应当有某种消去。粗略应用 Riemann–Hurwitz 公式，可见 \[2g_X-2 \approx -2 (p-1) + 3(p-2) \approx p\] 故 \(g_X\approx p/2\)，这也表明各 \(\chi\)-部分很小。

用基本群表述的迹公式

在以下各节中，我们将完全用曲线的基本群重新表述迹公式，曲线碰巧是 \(\mathbf{P}^1\) 的情形除外。

基本群

这些材料在基本群一章中有更详细的讨论，见“基本群”第 0BQ7 节。设 \(X\) 是连通概形，并设 \(\overline{x}\to X\) 是几何点。考虑函子 \[\begin{matrix} F_{\overline{x}}: & \text{有限 \'etale} \atop \text{概形，基为 } X & \longrightarrow & \text{有限集合} \\ & Y/X & \longmapsto & F_{\overline{x}}(Y) = \left\{\text{几何点 }\overline y \atop \text{属于 } Y \text{ 且上方是 }\overline{x}\right\} = Y_{\overline{x}} \end{matrix}\] 令 \[\pi_1(X, \overline{x}) = Aut(F_{\overline{x}}) = \text{下述函子的自同构集合：}F_{\overline{x}}\] 注意，对每个有限 étale 态射 \(Y \to X\)，都有作用 \[\pi_1(X, \overline{x}) \times F_{\overline{x}}(Y) \to F_{\overline{x}}(Y)\]

定义

形如 \(\text{Stab}(\overline y\in F_{\overline{x}}(Y))\subset \pi_1(X, \overline{x})\) 的子群称为开的。

定理

设 \(X\) 是连通概形。

\(\pi_1(X, \overline{x})\) 上存在一个拓扑，使开子群组成 \(e\in \pi_1(X, \overline x)\) 的开邻域基本系。

对于第 (1) 项的拓扑，群 \(\pi_1(X, \overline{x})\) 是预有限群。

函子 \[\begin{matrix} \text{有限的概形} \atop \text{且在其上 \'etale：}X & \to & \text{有限离散连续的} \atop \pi_1(X, \overline{x})\text{-集合}\\ Y / X& \mapsto & F_{\overline{x}}(Y) \text{，带自然作用} \end{matrix}\] 是范畴等价。

证明

见 [SGA1]。

命题

设 \(X\) 是整的正规 Noether 概形。设 \(\overline y\to X\) 是位于一般点 \(\eta\in X\) 上方的代数几何点。则 \[\pi_x(X, \overline \eta) = Gal(M/\kappa(\eta))\] （\(\kappa(\eta)\) 是 \(X\) 的函数域），其中 \[\kappa(\overline \eta)\supset M\supset \kappa(\eta) = k(X)\] 是满足下述条件的最大子扩张：对每个有限子扩张 \(M\supset L\supset \kappa(\eta)\)，\(X\) 在 \(L\) 中的正规化在 \(X\) 上有限 étale。

证明

略。

基点变换。对 \(X\) 的任意几何点 \(\overline{x}_1, \overline{x}_2\)，存在纤维函子的同构 \[\mathcal{F}_{\overline{x}_1} \cong \mathcal{F}_{\overline{x}_2}\] （这是从 \(\overline{x}_1\) 到 \(\overline{x}_2\) 的一条道路。）由这条道路共轭给出同构 \[\pi_1(X, \overline{x}_1) \cong \pi_1(X, \overline{x}_2)\] 它在内作用意义下良定义。

函子性。对连通概形的任意态射 \(X_1\to X_2\) 以及任意 \(\overline{x}\in X_1\)，有典范映射 \[\pi_1(X_1, \overline{x}) \to \pi_1(X_2, \overline{x})\] （为什么？因为纤维函子……）

基域。设 \(X\) 是域 \(k\) 上的簇。则得到 \[\pi_1(X, \overline{x}) \to \pi_1(Spec(k), \overline{x}) =^{\text{prop}} Gal(k^{\text{sep}}/k)\] 该映射为满射，当且仅当 \(X\) 在 \(k\) 上几何连通。因此在几何连通情形，得到预有限群的短正合列 \[1 \to \pi_1(X_{\overline{k}}, \overline{x}) \to \pi_1(X, \overline{x}) \to Gal(k^{\text{sep}}/k) \to 1\] （\(\pi_1(X_{\overline{k}}, \overline{x})\)：\(X\) 的几何基本群； \(\pi_1(X, \overline{x})\)：\(X\) 的算术基本群。）

比较。若 \(X\) 是 \(\mathbf{C}\) 上的簇，则 \[\pi_1(X, \overline{x}) = \text{预有限完备化：} \pi_1(X(\mathbf{C})(\text{通常拓扑}), x)\] （这里 \(x\in X(\mathbf{C})\)。）

Frobenius 元。设 \(X\) 是 \(k\) 上的簇，且 \(\# k < \infty\)。对任意闭点 \(x \in X\)，令 \[F_x\in \pi_1(x, \overline{x}) = \text{Gal}(\kappa(x)^{\text{sep}}/\kappa(x))\] 为几何 Frobenius。设 \(\overline\eta\) 是代数几何一般点。则 \[\pi_1(X, \overline\eta) \leftarrow^{\cong} \pi_1(X, \overline{x}) {\text{函子性} \atop \leftarrow} \pi_1(x, \overline{x})\]

易知： \[\begin{matrix} \pi_1(X, \overline \eta) & \to^{\deg} \pi_1(\Spec(k), \overline \eta) * & = Gal(k^{sep}/k) \\ & & || \\ & & \widehat{\mathbf{Z}}\cdot F_{\Spec(k)} \\ F_x & \mapsto & \deg(x)\cdot F_{\Spec(k)} \end{matrix}\] 回忆：\(\deg(x) = [\kappa(x):k]\)。

基本群与 lisse 层。 设 \(X\) 是连通概形，\(\overline{x}\) 是几何点。有范畴等价 \[\begin{matrix} (\Lambda\text{ 为有限环}) & \text{有限局部常值的层，类型为 } \atop \Lambda\text{-模，定义于 }X_\etale & \leftrightarrow & \text{有限离散的 }\Lambda\text{-模} \atop \text{，带连续 }\pi_1(X, \overline{x})\text{-作用}\\ \\ (\ell\text{ 为素数}) & \text{lisse }\ell\text{-进} \atop \text{层} & \leftrightarrow & \text{有限生成 }\mathbf{Z}_\ell \text{-模 }M\text{，带连续} \atop \pi_1(X, \overline{x})\text{-作用，并在下述模上取 } \ell\text{-进拓扑：}M \end{matrix}\] 特别地，lisse \(\mathbf{Q}_l\)-层对应于连续同态 \[\pi_1(X, \overline{x}) \to \text{GL}_r(\mathbf{Q}_l), \quad r\geq 0\]

记号：带作用的模 \((M, \rho)\) 对应于层 \(\mathcal{F}_\rho\)。

迹公式。设 \(X\) 是 \(k\) 上的簇，且 \(\# k < \infty\)。

\(\Lambda\) 为有限环，\((\# \Lambda, \# k)=1\)， \[\rho : \pi_1(X, \overline{x})\to \text{GL}_r(\Lambda)\] 且该同态连续。对每个 \(n\geq 1\)，有 \[\sum_{d|n}d\left( \sum_{x\in |X|, \atop \deg(x)=d} \text{Tr}(\rho(F_x^{n/d}))\right) = \text{Tr}\left( (\pi_x^n)^* |_{R\Gamma_c(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho)}\right)\]
\(l\neq char(k)\) 为素数，且 \(\rho : \pi_1(X, \overline{x})\to \text{GL}_r(\mathbf{Q}_l)\)。对任意 \(n\geq 1\)， \[\sum_{d|n} d\left( \sum_{x\in |X| \atop \deg(x)=d} \text{Tr} \left( \rho(F_x^{n/d}) \right) \right) = \sum_{i = 0}^{2\dim X} (-1)^i \text{Tr}\left( \pi_X^* |_{H_c^i(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho)}\right)\]

Weil 猜想。（Deligne–Weil I，1974）若 \(X\) 在 \(k\) 上光滑射影，且 \(\# k = q\)，则 \(\pi_X^*\) 在 \(H^i(X_{\overline{k}}, \mathbf{Q}_l)\) 上的特征值是满足 \(|\alpha|=q^{1/2}\) 的代数整数 \(\alpha\)。

Deligne 猜想。（几乎已由 Lafforgue 加上 \(\ldots\) 完全证明。）设 \(X\) 是有限域 \(k\) 上的正规簇， \[\rho : \pi_1(X, \overline{x}) \longrightarrow \text{GL}_r(\mathbf{Q}_l)\] 且该同态连续。假设 \(\rho\) 不可约，\(\det(\rho)\) 具有有限阶。则

存在数域 \(E\)，使得对所有 \(x\in |X|\)（闭点），\(\rho(F_x)\) 的特征多项式的系数都在 \(E\) 中。
对任意 \(x\in |X|\)，\(\rho(F_x)\) 的特征值 \(\alpha_{x, i}\)，\(i = 1, \ldots, r\)，其复绝对值为 \(1\)。（这些是代数数，但不必是代数整数。）
对 \(E\) 的每个不整除 \(p\) 的有限素位 \(\lambda\)（也许要先把 \(E\) 稍微扩大），存在 \[\rho\lambda : \pi_1(X, \overline{x}) \to \text{GL}_r(E_\lambda)\] 与 \(\rho\) 相容。（即若干 \(F_x\) 的特征多项式相同。）

定理

若层 \(\mathcal{F}_\rho\) 所对应的 \(\rho\) 满足上述猜想的结论，则 \(\pi_X^*\) 在 \(H_c^i(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_{\rho})\) 上的特征值是代数数 \(\alpha\)，其绝对值满足 \[|\alpha|=q^{w/2}, \text{ 其中 }w\in \mathbf{Z},\ w\leq i\] 此外，若 \(X\) 光滑且射影，则 \(w = i\)。

证明

见 [WeilII]。

预有限群、上同调与同调

设 \(G\) 是预有限群。

上同调。 考虑具有连续 \(G\)-作用的离散模范畴。这个范畴有足够多的内射对象，因而可以定义 \[H^i(G, M) = R^iH^0(G, M) = R^i(M\mapsto M^G)\] 此外还有导出版本 \(RH^0(G, -)\)。

同调。 考虑具有连续 \(G\)-作用的紧阿贝尔群范畴。这个范畴有足够多的投射对象，因而可以定义 \[H_i(G, M) = L_iH_0(G, M)=L_i(M\mapsto M_G)\] 并且也有导出版本。

平凡对偶。 函子 \(M\mapsto M^\wedge = \Hom_{cont}(M, S^1)\) 互换上述两个范畴，并且 \[H^i(G, M)^\wedge = H_i(G, M^\wedge)\] 此外，该函子把挠离散 \(G\)-模映为具有连续 \(G\)-作用的预有限模，反之亦然；若 \(M\) 是具有连续 \(G\)-作用的离散模或预有限模，则 \(M^\wedge = \Hom(M, \mathbf{Q}/\mathbf{Z})\)。

同调补注。

对有限环 \(\Lambda\) 考虑 \(\Lambda\)-模时，有等同 \[H_i(G, M)=Tor_i^{\Lambda[[G]]}(M, \Lambda)\] 其中 \(\Lambda[[G]]\) 是 \(G\) 的各有限商的群代数之极限。
若 \(G\) 是 \(\Gamma\) 的正规子群，且 \(\Gamma\) 也是预有限群，则
- \(H^0(G, -)\)：离散 \(\Gamma\)-模\(\to\) 离散 \(\Gamma/G\)-模
- \(H_0(G, -)\)：紧 \(\Gamma\)-模 \(\to\) 紧 \(\Gamma/G\)-模
因此预有限群 \(\Gamma/G\) 作用于以 \(\Gamma\)-模为系数的 \(G\) 的上同调群。换言之，存在导出函子 \[RH^0(G, -) : D^{+}(\text{离散 }\Gamma\text{-模}) \longrightarrow D^{+}(\text{离散 }\Gamma/G\text{-模})\] 对 \(LH_0(G, -)\) 亦然。

再论曲线的上同调

设 \(k\) 为域，\(X\) 为 \(k\) 上几何连通的光滑曲线。我们有基本短正合列 \[1 \to \pi_1(X_{\overline{k}}, \overline \eta) \to \pi_1(X, \overline\eta) \to \text{Gal}(k^{^{sep}}/k) \to 1\] 若 \(\Lambda\) 是满足 \(\#\Lambda\in k^*\) 的有限环，\(M\) 是有限 \(\Lambda\)-模，并给定连续同态 \[\rho : \pi_1(X, \overline\eta) \to \text{Aut}_{\Lambda}(M)\] 则以 \(\mathcal{F}_\rho\) 表示 \(X_\etale\) 上相应的层。

引理

存在典范同构 \[H_c^2(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho)=(M)_{\pi_1(X_{\overline{k}}, \overline\eta)}(-1)\] 作为 \(\text{Gal}(k^{^{sep}}/k)\)-模成立。

这里，下标 \({}_{\pi_1(X_{\overline{k}}, \overline\eta)}\) 表示余不变量，而 \((-1)\) 表示 Tate 扭曲，即 \(\sigma\in \text{Gal}(k^{^{sep}}/k)\) 通过下式作用： \[\chi_{cycl}(\sigma)^{-1}.\sigma\text{ 于右端的作用}\] 其中 \[\chi_{cycl} : \text{Gal}(k^{^{sep}}/k) \to \prod\nolimits_{l\neq char(k)}\mathbf{Z}_l^*\] 是分圆特征标。

改述（Deligne，Weil II，第 338 页）。对 \(X\) 上任意有限局部常值层 \(\mathcal{F}\)，存在最大商 \(\mathcal{F}\to \mathcal{F}''\)，使得 \(\mathcal{F}''/X_{\overline{k}}\) 为常值层，因而 \[\mathcal{F}'' = (X\to \Spec(k))^{-1}F''\] 其中 \(F''\) 是 \(\Spec(k)\) 上的层，即一个 \(\text{Gal}(k^{^{sep}}/k)\)-模。于是 \[H_c^2(X_{\overline{k}}, \mathcal{F})\to H_c^2(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}'')\to F''(-1)\] 是同构。

证明

令 \(Y\to^{\varphi}X\) 为与 \(\Ker(\rho) \subset \pi_1(X, \overline\eta)\) 对应的有限 étale Galois 覆叠。于是 \[\text{Aut}(Y/X)=Ind(\rho)\] 是 Galois 群。此时 \(\varphi^*\mathcal{F}_\rho =\underline M_Y\)，并且 \[\varphi_*\varphi^*\mathcal{F}_\rho\to \mathcal{F}_\rho\] 给出 \[\begin{align*} & H_c^2(X_{\overline{k}}, \varphi_*\varphi^*\mathcal{F}_\rho) \to H_c^2(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho)\\ & =H_c^2(Y_{\overline{k}}, \varphi^*\mathcal{F}_\rho)\\ & =H_c^2(Y_{\overline{k}}, \underline M) = \oplus_{\text{不可约分支 } \atop Y_{\overline{k}}}M \end{align*}\] \[\Im(\rho) \to H_c^2(Y_{\overline{k}}, \underline M) = \oplus_{\text{不可约分支 } \atop Y_{\overline{k}}} M \to_{\Im(\rho) \text{等变}} H_c^2(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_{\rho}) \to^{\text{平凡的 } \Im(\rho) \atop \text{作用}}\] 对不可约曲线 \(C/\overline{k}\)，有 \(H_c^2(C, \underline M)=M\)。

由于 \[{\text{不可约分支的 } \atop \text{集合 }Y_k} = \frac{Im(\rho)}{Im(\rho|_{\pi_1(X_{\overline{k}}, \overline \eta)})}\] 可知 \(H_c^2(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho)\) 是 \(M_{\pi_1(X_{\overline{k}}, \overline \eta)}\) 的一个商。另一方面，存在满射 \[\mathcal{F}_\rho\to \mathcal{F}'' = {\text{层，其在 } X\text{ 上与下式相伴 } \atop (M)_{\pi_1(X_{\overline{k}}, \overline \eta)}\leftarrow\pi_1(X, \overline \eta)}\] \[H_c^2(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho)\to M_{\pi_1(X_{\overline{k}}, \overline\eta)}\] Galois 作用中的扭曲来自如下事实： \(H_c^2(X_{\overline{k}}, \mu_n)=^{\text{典范}} \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\)。

注

因此可知，若 \(X\) 还是投射的，则关于表示 \(\rho\) 函子性地有等同 \[H^0(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho) = M^{\pi_1(X_{\overline{k}}, \overline\eta)}\] 以及 \[H_c^2(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho) = M_{\pi_1(X_{\overline{k}}, \overline \eta)}(-1)\] 当然，若 \(X\) 非投射，则 \(H^0_c(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho) = 0\)。

命题

设 \(X/k\) 如前，但 \(X_{\overline{k}}\neq \mathbf{P}^1_{\overline{k}}\)。诸函子 \((M, \rho)\mapsto H_c^{2-i}(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho)\) 是 \((M, \rho)\mapsto H_c^2(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho)\) 的左导出函子，故 \[H_c^{2-i}(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho) = H_i(\pi_1(X_{\overline{k}}, \overline \eta), M)(-1)\] 此外，还有如下导出版本： \[R\Gamma_c(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho) = LH_0(\pi_1(X_{\overline{k}}, \overline \eta), M(-1)) = M(-1) \otimes_{\Lambda[[\pi_1(X_{\overline{k}}, \overline \eta)]]}^\mathbf{L} \Lambda\] 其成立于 \(D(\Lambda[[\widehat{\mathbf{Z}}]])\) 中。类似地，诸函子 \((M, \rho)\mapsto H^i(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho)\) 是 \((M, \rho)\mapsto M^{\pi_1(X_{\overline{k}}, \overline \eta)}\) 的右导出函子，故 \[H^i(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho) = H^i(\pi_1(X_{\overline{k}}, \overline \eta), M)\] 在此情形下也有导出版本。

证明

（思路）证明两端都是泛 \(\delta\)-函子。

注

由该命题及平凡对偶可得 \[H^{2-i}_c(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho) \times H^i(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho^\wedge(1)) \to \mathbf{Q}/\mathbf{Z}\] 这一完美配对。若 \(X\) 是投射的，这就是 Poincare 对偶。

抽象迹公式

设给定预有限群的扩张 \[1 \to G \to \Gamma \xrightarrow{\deg} \widehat{\mathbf{Z}} \to 1\] 我们称 \(\Gamma\) 具有抽象迹公式，当且仅当存在

整数 \(q\geq 1\)；以及
对每个 \(d\geq 1\)，有有限集 \(S_d\)，并且对每个 \(x\in S_d\)，有满足 \(\deg(F_x) = d\) 的共轭类 \(F_x \in \Gamma\)

使得下列条件成立：

对每个不整除 \(q\) 的 \(\ell\)，有 \(\text{cd}_\ell(G)<\infty\)；并且
对每个满足 \(q\in \Lambda^*\) 的有限环 \(\Lambda\)、每个带连续 \(\Gamma\)-作用的有限投射 \(\Lambda\)-模 \(M\) 以及每个 \(n > 0\)，有 \[\sum\nolimits_{d|n}d \left( \sum\nolimits_{x \in S_d} \text{Tr}( F_x^{n/d} |_M) \right) = q^n \text{Tr}(F^n|_{M \otimes_{\Lambda[[G]]}^{\mathbf{L}}\Lambda})\] 其成立于 \(\Lambda^\natural\) 中。

这里，\(M \otimes_{\Lambda[[G]]}^{\mathbf{L}}\Lambda = LH_0(G, M)\) 表示导出同调，而 \(F=1\) 于 \(\Gamma/G = \widehat{\mathbf{Z}}\) 中。

注

关于这一概念，有如下几点观察。

若所模拟的是投射曲线，则可以使用上同调，并且不需要因子 \(q^n\)。

我所知道的例子只有 \(\Gamma = \pi_1(X, \overline \eta)\)，其中 \(X\) 是有限域上的光滑、几何不可约的 \(K(\pi, 1)\)。在此情形下， \(q = (\# k)^{\dim X}\)。取上述命题为前提，我们已在本课程中对曲线证明了这一点。

给定整数 \(q\) 后，诸集合 \(S_d\) 唯一确定。（可以把 \(q\) 乘以整数 \(m\)，再以 \(S_d\) 的 \(m^d\) 份副本替换 \(S_d\)，公式不变。）

例

固定整数 \(q\geq 1\)， \[\begin{matrix} 1 & \to & G = \widehat{\mathbf{Z}}^{(q)} & \to & \Gamma & \to & \widehat{\mathbf{Z}} & \to & 1 \\ & & = \prod_{l\not \mid q} \mathbf{Z}_l & & F & \mapsto & 1 \end{matrix}\] 并令 \(FxF^{-1} = ux\)，其中 \(u \in (\widehat{\mathbf{Z}}^{(q)})^*\)。只需使用平凡模 \(\mathbf{Z}/m\mathbf{Z}\)，便可看出 \[q^n - (qu)^n \equiv \sum\nolimits_{d|n} d\# S_d\] 对所有 \((m, q)=1\) 均成立于 \(\mathbf{Z}/m\mathbf{Z}\) 中（容许 \(u \to u^{-1}\)）；这蕴含 \(qu = a\in \mathbf{Z}\) 且 \(|a| < q\)。特殊情形 \(a = 1\) 确实出现于 \[\Gamma = \pi_1^t(\mathbf{G}_{m, \mathbf{F}_p}, \overline \eta), \quad \# S_1 = q - 1, \quad\text{且}\quad \# S_2 = \frac{(q^2-1)-(q-1)}{2}\]

自守形式与层

参考文献：尤其参见 Drinfeld 的杰出论文 [D1]、[D2] 和 [D0]。

非分歧尖点形式。 设 \(k\) 为特征 \(p\) 的有限域。设 \(X\) 为 \(k\) 上几何不可约的投射光滑曲线。令 \(K = k(X)\) 为 \(X\) 的函数域。设 \(v\) 为 \(K\) 的一个位点，这等价于取闭点 \(x\in X\)。令 \(K_v\) 为 \(K\) 在 \(v\) 处的完备化；这也等价于取 \(X\) 在 \(x\) 处局部环之完备化的分式域。以 \(O_v\subset K_v\) 表示整数环。进一步令 \[O = \prod\nolimits_v O_v \subset \mathbf{A} = \prod_v' K_v\] 并令 \(\Lambda\) 为任意满足 \(p\) 在 \(\Lambda\) 中可逆的环。

定义

一个取值于 \(\Lambda\) 的 \(\text{GL}_2(\mathbf{A})\) 上非分歧尖点形式 ³ 是一个函数 \[f : \text{GL}_2(\mathbf{A}) \to \Lambda\] 并满足

对所有 \(x\in \text{GL}_2(\mathbf{A})\) 及所有 \(\gamma\in \text{GL}_2(K)\)，有 \(f(x\gamma) = f(x)\)；

对所有 \(x\in \text{GL}_2(\mathbf{A})\) 及所有 \(u\in \text{GL}_2(O)\)，有 \(f(ux) = f(x)\)；

对所有 \(x\in \text{GL}_2(\mathbf{A})\)，有 \[\int_{\mathbf{A} \mod K} f \left(x \left( \begin{matrix} 1 & z \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \right) dz = 0\] 关于当 \(\Lambda\) 为使 \(p\) 可逆的一般环时如何解释此式，参见 [dJ-conjecture, Section 4.1]。

Hecke 算子。 对 \(K\) 的一个位点 \(v\) 及一个非分歧尖点形式 \(f\)，令 \[T_v(f)(x) = \int_{g\in M_v}f(g^{-1}x)dg,\] 并令 \[U_v(f)(x) = f\left( \left( \begin{matrix} \pi_v^{-1} & 0 \\ 0 & \pi_v^{-1} \end{matrix} \right)x\right)\] 这里使用如下记号：\(\pi_v \in O_v\) 是一致化元， \[M_v = \left\{ h\in Mat(2\times 2, O_v) | \det h = \pi_vO_v^*\right\}\] 而 \(dg =\) 是 \(\text{GL}_2(K_v)\) 上满足 \(\int_{\text{GL}_2(O_v)} dg = 1\) 的 Haar 测度。明确地，有 \[T_v(f)(x) = f\left( \left( \begin{matrix} \pi_v^{-1}& 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) x\right) + \sum_{i = 1}^{q_v} f\left(\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -\pi_v^{-1}\lambda_i & \pi_v^{-1} \end{matrix} \right) x\right)\] 其中 \(\lambda_i\in O_v\) 构成 \(O_v/(\pi_v)=\kappa_v\) 的一组代表元，\(q_v = \#\kappa_v\)。

特征形式。 一个特征形式 \(f\) 是满足如下条件的非分歧尖点形式： \(f\) 的某个值是单位元，并且对某些（唯一确定的） \(t_v, u_v \in \Lambda\)，有 \(T_vf = t_vf\) 及 \(U_vf = u_vf\)。

定理

给定取值于 \(\overline{\mathbf{Q}}_l\) 且特征值满足 \(u_v\in \overline{\mathbf{Z}}_l^*\) 的特征形式 \(f\)，则存在 \[\rho : \pi_1(X)\to \text{GL}_2(E)\] 连续绝对不可约表示，其中 \(E\) 是包含于 \(\overline{\mathbf{Q}}_l\) 中的 \(\mathbf{Q}_\ell\) 的有限扩张，并且对所有位点 \(v\)，均有 \(t_v = \text{Tr}(\rho(F_v))\) 以及 \(u_v = q_v^{-1}\det\left(\rho(F_v)\right)\)。

证明

见 [D0]。

定理

设 \(\mathbf{Q}_l \subset E\) 为有限扩张，并且 \[\rho : \pi_1(X)\to \text{GL}_2(E)\] 是绝对不可约连续表示。则存在取值于 \(\overline{\mathbf{Q}}_l\) 的特征形式 \(f\)，其特征值 \(t_v\)、\(u_v\) 满足等式 \(t_v = \text{Tr}(\rho(F_v))\) 及 \(u_v = q_v^{-1}\det(\rho(F_v))\)。

证明

见 [D1]。

注

由于 Lafforgue 及许多其他数学家的工作，我们现在对 \(\text{GL}_n\) 已有允许分歧的、类似上述两个定理的完整结果！换言之，对有限域上曲线的函数域，\(\text{GL}_n\) 的完整整体 Langlands 对应已经为人所知。同时，这并不意味着关于有限域上曲线的基本群不再有大量有趣问题有待回答，正如下文将看到的那样。

中心特征标。 若 \(f\) 是特征形式，则 \[\begin{matrix} \chi_f : & O^*\backslash \mathbf{A}^*/K^* & \to & \Lambda^* \\ & (1, \ldots, \pi_v, 1, \ldots, 1) & \mapsto & u_v^{-1} \end{matrix}\] 称为中心特征标。按照上述规范化，它对应于 \(\rho\) 的行列式。令 \[C(\Lambda) = \left\{ {\text{非分歧尖点形式 } f \text{，其系数在 }\Lambda} \atop {\text{ 满足 } U_v f = \varphi_v^{-1}f\forall v} \right\}\]

命题

若 \(\Lambda\) 是 Noether 环，则 \(C(\Lambda)\) 是有限生成 \(\Lambda\)-模。此外，若 \(\Lambda\) 是以 \(\mathbf{F} \subset \Lambda\) 为素子域的域，则 \[C(\Lambda)=(C(\mathbf{F}))\otimes_{\mathbf{F}}\Lambda\] 并与 \(T_v\) 的作用相容。

证明

见 [dJ-conjecture, Proposition 4.7]。

该命题立即蕴含下列引理。

引理

特征值的代数性。若 \(\Lambda\) 是域，则对 \(f\in C(\Lambda)\)，其特征值 \(t_v\) 在素子域 \(\mathbf{F} \subset \Lambda\) 上是代数的。

证明

由命题 03VW 得出。

综合以上结果，可以施行下列十分有用的技巧。

引理

更换 \(l\)。设 \(E\) 为数域。从绝对不可约连续表示 \[\rho : \pi_1(X)\to SL_2(E_\lambda)\] 出发，其中 \(\lambda\) 是 \(E\) 的一个不位于 \(p\) 之上的位点。则对 \(E\) 的任意另一个不位于 \(p\) 之上的位点 \(\lambda'\)，存在有限扩张 \(E'_{\lambda'}\) 及绝对不可约连续表示 \[\rho': \pi_1(X)\to SL_2(E'_{\lambda'})\] 它与 \(\rho\) 相容，即所有 Frobenius 元的特征多项式均相同。

注意，这是 Deligne 猜想的一个实例！

证明

为证明更换引理，应用定理 03VU，得到与 \(\rho\) 相伴的特征形式 \(f\in C(\overline{\mathbf{Q}}_l)\)。再由命题 03VW 可知，可以选择 \(f\in C(E')\)，其中 \(E \subset E'\) 为有限扩张。接着完备化 \(E'\)，得到特征形式 \(f\in C(E'_{\lambda'})\)，其中 \(E'_{\lambda'}\) 是 \(E_{\lambda'}\) 的有限扩张。最后应用定理 03VT，并在必要时再次稍微扩大 \(E'_{\lambda'}\)，便得到绝对不可约连续表示 \(\rho': \pi_1(X) \to SL_2(E_{\lambda'}')\)。

推测：若对某个（拓扑）环 \(\Lambda\) 有 \[\left( {\rho : \pi_1(X)\to SL_2(\Lambda) \atop \text{ 绝对不可约}} \right) \leftrightarrow \text{属于下式的特征形式 } C(\Lambda)\] 则 \(\rho(F_v)\) 的所有特征值都是代数的（当 \(\Lambda\) 是有限环时，这不会以一种简单方式成立）。基于 Langlands 对应不仅对域成立、而且在更一般情形下也成立这一推测，可以得到下列猜想。

猜想。 （见 [dJ-conjecture]）对任意连续表示 \[\rho : \pi_1(X)\to \text{GL}_n(\mathbf{F}_l[[t]])\] 均有 \(\# \rho(\pi_1(X_{\overline{k}}))<\infty\)。

用层的语言改述如下： “对任意 \(\overline{\mathbf{F}_l((t))}\)-模的光滑层，其几何单值群都是有限的。”

定理

若 \(n\leq 2\)，该猜想成立。

证明

见 [dJ-conjecture]。

定理

在若干尚未证明的结果的条件下，若 \(l > 2n\)，该猜想成立。

证明

见 [Gaitsgory]。

事实证明，这一猜想确有用途。参见 Drinfeld 关于 Kashiwara 猜想的工作。除此之外，还有如下更为具体的应用。

定理

（见 [dJ-conjecture, Theorem 3.5]）设 \[\rho_0: \pi_1(X)\to \text{GL}_n(\mathbf{F}_l)\] 连续，且 \(l\neq p\)。假设

对 \(X\)，该猜想成立；

\(\rho_0 |_{\pi_1(X_{\overline{k}})}\) 绝对不可约；并且

\(l\) 不整除 \(n\)。

则 \(\rho_0\) 的泛形变环 \(R_{\text{univ}}\) 在 \(\mathbf{Z}_l\) 上有限平坦。

说明：存在表示 \(\rho_{\text{univ}}: \pi_1(X)\to \text{GL}_n(R_{\text{univ}})\)（泛形变环），其中 \(R_{\text{univ}}\) 是完备局部环，剩余域为 \(\mathbf{F}_l\)，且 \((R_{\text{univ}}\to \mathbf{F}_l)\circ\rho_{\text{univ}}\cong\rho_0\)。给定任意 \(R\to \mathbf{F}_l\)，其中 \(R\) 是完备局部环，并给定 \(\rho : \pi_1(X)\to \text{GL}_n(R)\)，则存在 \(\psi : R_{\text{univ}}\to R\)，使得 \(\psi\circ\rho_{\text{univ}}\cong \rho\)。定理断言态射 \[\Spec(R_{\text{univ}}) \longrightarrow \Spec(\mathbf{Z}_l)\] 是有限平坦的。特别地，这样的 \(\rho_0\) 可提升为 \(\rho : \pi_1(X) \to \text{GL}_n(\overline{\mathbf{Q}}_l)\)。

补注：

关于形变的定理很容易。
朝该猜想迈进的任何结果看来都很困难。
若能有更多关于 \(\pi_1(X)\) 的猜想，将会很有趣！

计数点

设 \(X\) 为 \(k\) 上光滑、几何不可约的投射曲线，且 \(q = \# k\)。迹公式给出：存在代数整数 \(w_1, \ldots, w_{2g}\)，使得 \[\# X(k_n) = q^n - \sum\nolimits_{i = 1}^{2g_X} w_i^n + 1.\] 若 \(\sigma\in \text{Aut}(X)\)，则对每个 \(i\)，存在 \(j\) 使得 \(\sigma(w_i)=w_j\)。

Riemann 假设。 对所有 \(i\)，有 \(|\omega_i| = \sqrt{q}\)。

Emil Artin 于 1924 年对超椭圆曲线提出了这一命题。 Weil 于 1940 年证明了它。Weil 给出了两个证明：

使用 \(X \times X\) 上的相交理论及 Hodge 指数定理；以及
使用 \(X\) 的 Jacobian。

另有一个由 Bombieri 给出的证明，其最初思想源自 Stephanov：它使用函数域 \(k(X)\) 及其 Frobenius 算子（1969）。出发点是，给定 \(f\in k(X)\)，可观察到 \(f^q - f\) 是一个在 \(X\) 的所有 \(\mathbf{F}_q\)-有理点处消失的有理函数，并可尝试用这一思想给出点数的上界。

Chebotarev 的精确形式

作为第一个应用，我们来证明曲线的有限 étale Galois 覆叠所对应的 Chebotarev 定理之精确形式。设 \(\varphi : Y \to X\) 为群为 \(G\) 的有限 étale Galois 覆叠。它对应于同态 \[\pi_1(X) \longrightarrow G = \text{Aut}(Y/X)\] 假设 \(Y_{\overline{k}} =\) 不可约。若 \(C\subset G\) 是共轭类，则对所有 \(n > 0\)，有 \[| \# \{x \in X(k_n) \mid F_x \in C\} - \frac{\# C}{\# G} \cdot \# X(k_n) | \leq (\# C)(2g - 2) \sqrt{q^n}\] （警告：使用前请仔细核对右端的系数 \(\# C\)。）

证明

写成 \[\varphi_*(\overline{\mathbf{Q}_l}) = \oplus_{\pi \in \widehat{G}} \mathcal{F}_{\pi}\] 其中 \(\widehat{G}\) 是 \(G\) 在 \(\overline{\mathbf{Q}}_l\) 上不可约表示的同构类之集合。对 \(\pi \in \widehat{G}\)，令 \(\chi_{\pi}: G \to \overline{\mathbf{Q}}_l\) 为 \(\pi\) 的特征标。于是 \[H^*(Y_{\overline{k}}, \overline{\mathbf{Q}}_l) = \oplus_{\pi\in \widehat{G}} H^*(Y_{\overline{k}}, \overline{\mathbf{Q}}_l)_\pi =_{(\varphi\text{ 有限 })} \oplus_{\pi\in \widehat{G}} H^*(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\pi)\] 若 \(\pi\neq 1\)，则 \[H^0(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\pi) = H^2(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\pi) = 0,\quad \dim H^1(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\pi) = (2g_X - 2)d_\pi^2\] （可由作用于……的迹公式得到），由此看出 \[|\sum_{x \in X(k_n)} \chi_\pi(\mathcal{F}_x)| \leq (2g_X - 2) d_\pi^2\sqrt{q^n}\] 写 \(1_C = \sum_\pi a_\pi \chi_\pi\)，则 \(a_\pi = \langle 1_C, \chi_\pi\rangle\)，且 \(a_1 = \langle 1_C, \chi_1\rangle = \frac{\# C}{\# G}\)，其中 \[\langle f, h\rangle = \frac{1}{\# G}\sum_{g \in G} f(g)\overline{h(g)}\] 因此有关系式 \[\frac{\# C}{\# G} = ||1_C||^2 = \sum|a_\pi|^2\] 最后一步： \[\begin{align*} \#\left\{x \in X(k_n) \mid F_x \in C\right\} & = \sum_{x \in X(k_n)} 1_C(x) \\ & = \sum_{x \in X(k_n)} \sum_\pi a_\pi \chi_\pi(F_x) \\ & = \underbrace{\frac{\# C}{\# G} \# X(k_n)}_{ \text{对应于 }\pi = 1} + \underbrace{\sum_{\pi\neq 1}a_\pi\sum_{x\in X(k_n)}\chi_\pi(F_x)}_{ \text{误差项（界为 }E)} \end{align*}\] 误差项可估计为 \[\begin{align*} |E| & \leq \sum_{\pi \in \widehat{G}, \atop \pi \neq 1} |a_\pi| (2g - 2) d_\pi^2 \sqrt{q^n} \\ & \leq \sum_{\pi \neq 1} \frac{\# C}{\# G} (2g_X - 2) d_\pi^3 \sqrt{q^n} \end{align*}\] 由 Weil 猜想，\(\# X(k_n)\sim q^n\)。

有多少素点完全分解？

本节给出有限域上曲线的 Riemann 假设的第二个应用。对数论学家而言， Ihara 的论文《整体域的无限非分歧 Galois 扩张中有多少素点完全分解？》或许值得一读，见 [Ihara]。考虑基本正合列 \[1 \to \pi_1(X_{\overline{k}}) \to \pi_1(X) \xrightarrow{\deg} \widehat{\mathbf{Z}} \to 1\]

命题

存在由 \(X\) 的闭点组成的有限集 \(x_1, \ldots, x_n\)，使得与这些点对应的所有 Frobenius 元在拓扑意义下生成 \(\pi_1(X)\)。

另一种表述是：存在 \(x_1, \ldots, x_n\in |X|\)，使得 \(\pi_1(X)\) 中包含每个 \(x_i\) 所对应的 \(1\) 个 Frobenius 元的最小正规闭子群 \(\Gamma\) 就是整个 \(\pi_1(X)\)，即 \(\Gamma = \pi_1(X)\)。

证明

取 \(N\gg 0\)，并令 \[\{x_1, \ldots, x_n\} = {\text{所有闭点的集合，其位于} \atop X \text{ 且次数} \leq N\text{（相对于 } k}\] 令 \(\Gamma\subset \pi_1(X)\) 为上述等价表述中与这些点对应的子群。假设 \(\Gamma \neq \pi_1(X)\)。于是可以选取 \(\pi_1(X)\) 的一个正规开子群 \(U\)，使其包含 \(\Gamma\) 且 \(U \neq \pi_1(X)\)。由 \(X\) 的 Riemann 假设，我们的点集中将有某个次数为 \(N\) 的 \(x_{i_1}\)，以及某个次数为 \(N - 1\) 的 \(x_{i_2}\)。这表明 \(\deg : \Gamma \to \widehat{\mathbf{Z}}\) 是满射，故对 \(U\) 亦然。这恰好意味着：若 \(Y \to X\) 是与 \(U\) 对应的有限 étale Galois 覆叠，则 \(Y_{\overline{k}}\) 不可约。令 \(G = \text{Aut}(Y/X)\)。图示为 \[Y \to^G X,\quad G = \pi_1(X)/U\] 由构造，\(X\) 中所有次数 \(\leq N\) 的点都在 \(Y\) 中完全分解。因此特别有 \[\# Y(k_N)\geq (\# G)\# X(k_N)\] 对两端应用 Riemann 假设，得到 \[q^N+1+2g_Yq^{N/2}\geq \# G\# X(k_N)\geq \# G(q^N+1-2g_Xq^{N/2})\] 由于 \(2g_Y-2 = (\# G)(2g_X-2)\)，这意味着 \[q^N + 1 + (\# G)(2g_X - 1) + 1)q^{N/2}\geq \# G (q^N + 1 - 2g_Xq^{N/2})\] 由此可见，当 \(N\) 足够大时，\(G\) 必须是平凡群。

奇怪的问题。 令 \(W_X = \deg^{-1}(\mathbf{Z})\subset \pi_1(X)\)。是否存在由 \(X\) 的闭点组成的某个有限集 \(x_1, \ldots, x_n\)，使得与这些点对应的所有 Frobenius 元在代数意义下生成 \(W_X\)？

由 Baire 纲论证，这等价于对所有 Frobenius 元提出同一问题。

实际上究竟有多少个点？

若曲线的亏格相对于 \(q\) 很大，则公式 \(\# X(k) = q - \sum \omega_i + 1\) 中的主项并非 \(q\)，而是第二项 \(\sum \omega_i\)；后者先验地可以具有约 \(2g_X\sqrt{q}\) 的大小。在论文 [Drinfeld-number] 中， Drinfeld 和 Vladut 证明，该最大值实际上至多约为 \(g\sqrt{q}\)，这正是 Ihara 此前所预言的。

固定 \(q\)，并令 \(k\) 为具有 \(k\) 个元素的域。令 \[A(q) = \limsup_{g_X \to \infty} \frac{\# X(k)}{g_X}\] 其中 \(X\) 遍历 \(k\) 上所有几何不可约的光滑投射曲线。按此定义，有下列结果：

RH \(\Rightarrow A(q)\leq 2\sqrt{q}\)
Ihara \(\Rightarrow A(q)\leq \sqrt{2q}\)
DV \(\Rightarrow A(q)\leq \sqrt{q}-1\)（事实上，若 \(q\) 是平方数，则此界精确）

证明

给定 \(X\)，令 \(w_1, \ldots, w_{2g}\) 如前，并令 \(g = g_X\)。置 \(\alpha_i = \frac{w_i}{\sqrt{q}}\)，于是 \(|\alpha_i| = 1\)。若出现 \(\alpha_i\)，则 \(\overline{\alpha}_i = \alpha_i^{-1}\) 也出现。于是 \[N = \# X(k) \leq X(k_r) = q^r + 1 - (\sum_i \alpha_i^r) q^{r/2}\] 改写后可见，对每个 \(r \geq 1\)， \[-\sum_i \alpha_i^r \geq Nq^{-r/2} - q^{r/2} - q^{-r/2}\] 注意到 \[0 \leq |\alpha_i^n +\alpha_i^{n-1} +\ldots +\alpha_i +1|^2 = (n + 1) + \sum_{j = 1}^n (n + 1 - j) (\alpha_i^j + \alpha_i^{-j})\] 因此 \[\begin{align*} 2g(n+1) & \geq - \sum_i \left(\sum_{j = 1}^n (n+1-j)(\alpha_i^j +\alpha_i^{-j})\right)\\ & =-\sum_{j = 1}^n (n+1-j)\left(\sum_i\alpha_i^j +\sum_i\alpha_i^{-j}\right) \end{align*}\] 取此式的一半，得到 \[\begin{align*} g(n+1)& \geq - \sum_{j = 1}^n (n+1-j)(\sum_i\alpha_i^j)\\ & \geq N\sum_{j = 1}^n (n+1-j)q^{-j/2}-\sum_{j = 1}^n (n+1-j)(q^{j/2}+q^{-j/2}) \end{align*}\] 这给出 \[\frac{N}{g}\leq \left(\sum_{j = 1}^n \frac{n+1-j}{n+1}q^{-j/2} \right)^{-1} \cdot \left( 1 + \frac{1}{g} \sum_{j = 1}^n \frac{n + 1 - j}{n + 1}(q^{j/2} + q^{-j/2}) \right)\] 固定 \(n\)，令 \(g\to \infty\)， \[A(q)\leq \left(\sum_{j = 1}^n \frac{n+1-j}{n+1}q^{-j/2}\right)^{-1}\] 于是 \[A(q)\leq \lim_{n\to\infty}(\ldots) = \left(\sum_{j = 1}^\infty q^{-j/2}\right)^{-1}=\sqrt{q}-1\]

该记号并非标准记号。在 [SGA4.5] 中，此算子记为 \(F_x\)。我们将来很可能会更改这里的记号。↩︎
此处背景中应当响起邪恶的笑声。↩︎
这很可能不是标准记号。↩︎