引言
本章讨论概形的平展（étale）态射。我们通过研究诺特情形来阐明其中若干较为重要的概念。 主要目标是为读者汇集足够的交换代数结果，使其能够开始阅读平展（étale）上同调的专著。 另一个辅助目标，则是给出足够的证据，使那些竟把“概形的平展（étale）拓扑”称作一般性 胡言乱语的读者停止这种亵渎。
对于代数几何中的标准结果（包括概形与交换代数方面的结果），我们将引用 Stacks project 的其他章节。对于本章陈述的新结果，我们会给出详细证明。
约定
本章常常假设概形为局部诺特概形，也常常假设环为诺特环。不过，在每一项陈述中， 我们都会在必要时重申这些假设，并确保列出全部条件。另一方面，下面是一些经常 使用、值得牢记的一般事实：
若 \(A\) 为诺特环，则有限型环同态 \(A \to B\) 是有限呈示的。见《交换代数》引理 00FP。
局部诺特概形之间（局部）有限型的态射自动是（局部）有限呈示的。 见《概形态射》引理 01TX。
此处还应增列更多类似事实。
非分歧态射
我们先为诺特局部环定义“局部环的非分歧同态”。这里不能简单沿用“非分歧” 一词，因为《交换代数》第 00US 节中已经有非分歧 环同态的概念，而两者并不相同。稍作讨论之后，我们将把这一概念整体化， 以描述局部诺特概形之间的非分歧态射。
定义
设 \(A\)、\(B\) 为诺特局部环。若局部同态 \(A \to B\) 满足
\(\mathfrak m_AB = \mathfrak m_B\)；
\(\kappa(\mathfrak m_B)\) 是 \(\kappa(\mathfrak m_A)\) 的有限可分扩张；且
\(B\) 本质上是 \(A\) 上的有限型代数（即 \(B\) 是某个有限型 \(A\)-代数在一个素理想处的局部化），
则称它为局部环的非分歧同态。
这是《交换代数》第 00US 节中定义的局部版本。 该节把环同态 \(R \to S\) 定义为非分歧的，当且仅当它是有限型的且 \(\Omega_{S/R} = 0\)。若存在 \(g \in S\)、\(g \not \in \mathfrak q\)， 使得 \(R \to S_g\) 是非分歧环同态，则称 \(R \to S\) 在素理想 \(\mathfrak q \subset S\) 处非分歧。《交换代数》引理 00UW 和 02FM 证明了：给定有限型环同态 \(R \to S\)，以及 \(S\) 的素理想 \(\mathfrak q\)，它位于 \(\mathfrak p \subset R\) 之上，则有 \[R \to S\text{ 在下列点非分歧： }\mathfrak q \Leftrightarrow \mathfrak pS_{\mathfrak q} = \mathfrak q S_{\mathfrak q} \text{ 且 } \kappa(\mathfrak p) \subset \kappa(\mathfrak q)\text{ 有限可分}\] 因此，对于局部环之间的局部同态，上述定义中的性质与非分歧性密切相关。 事实上，我们已经证明了下述引理。
引理
设 \(A\) 为诺特环，且 \(A \to B\) 为有限型同态。设 \(\mathfrak q\) 是 \(B\) 的素理想，并位于 \(\mathfrak p \subset A\) 之上。则 \(A \to B\) 在 \(\mathfrak q\) 处非分歧，当且仅当 \(A_{\mathfrak p} \to B_{\mathfrak q}\) 是局部环的非分歧同态。
证明
见上面的讨论。
下面用完备化刻画非分歧性。对于诺特局部环 \(A\)，以 \(A^\wedge\) 表示 \(A\) 关于其极大理想的完备化。它仍是诺特局部环，见《交换代数》引理 0316。
引理
设 \(A\)、\(B\) 为诺特局部环，且 \(A \to B\) 为局部同态。
若 \(A \to B\) 是局部环的非分歧同态，则 \(B^\wedge\) 是有限 \(A^\wedge\)-模；
若 \(A \to B\) 是局部环的非分歧同态，且 \(\kappa(\mathfrak m_A) = \kappa(\mathfrak m_B)\)，则 \(A^\wedge \to B^\wedge\) 满射；
若 \(A \to B\) 是局部环的非分歧同态，且 \(\kappa(\mathfrak m_A)\) 可分闭，则 \(A^\wedge \to B^\wedge\) 满射；
若 \(A\) 和 \(B\) 是完备离散赋值环，则 \(A \to B\) 是局部环的 非分歧同态，当且仅当 \(A\) 的一致化参数映为 \(B\) 的一致化参数， 剩余域扩张为有限可分扩张（并且 \(B\) 本质上是 \(A\) 上的有限型代数）。
证明
(1) 是《交换代数》引理 0394 的特例。对于 (2)，注意 \(\kappa(\mathfrak m_A)\)-向量空间 \(B^\wedge/\mathfrak m_{A^\wedge}B^\wedge\) 由 \(1\) 生成。 因此，由 Nakayama 引理（《交换代数》引理 00DV）， 映射 \(A^\wedge \to B^\wedge\) 满射。(3) 是 (2) 的特例。 (4) 直接由定义得到。
引理
设 \(A\)、\(B\) 为诺特局部环，并设 \(A \to B\) 为局部同态，其中 \(B\) 本质上是 \(A\) 上的有限型代数。下列条件等价：
\(A \to B\) 是局部环的非分歧同态；
\(A^\wedge \to B^\wedge\) 是局部环的非分歧同态；且
\(A^\wedge \to B^\wedge\) 是非分歧环同态。
证明
(1) 与 (2) 的等价性来自如下事实：\(\mathfrak m_AA^\wedge\) 是 \(A^\wedge\) 的极大理想（\(B\) 也类似），而 \(B \to B^\wedge\) 忠实平坦。 例如，若 \(A^\wedge \to B^\wedge\) 非分歧，则 \(\mathfrak m_AB^\wedge = (\mathfrak m_AB)B^\wedge = \mathfrak m_BB^\wedge\)， 因而 \(\mathfrak m_AB = \mathfrak m_B\)。
假设等价条件 (1) 和 (2) 成立。由引理 039H，可知 \(A^\wedge \to B^\wedge\) 是有限的。因此 \(A^\wedge \to B^\wedge\) 是有限呈示的；再由 《交换代数》引理 02FM，可知 \(A^\wedge \to B^\wedge\) 在 \(\mathfrak m_{B^\wedge}\) 处非分歧。 由于 \(B^\wedge\) 是局部环，可知 \(A^\wedge \to B^\wedge\) 非分歧。
假设 (3) 成立。由《交换代数》引理 00UW，\(A^\wedge \to B^\wedge\) 是局部环的非分歧同态，即 (2) 成立。
定义
（一般情形的定义见《概形态射》定义 02G4。） 设 \(Y\) 为局部诺特概形，\(f : X \to Y\) 为局部有限型态射，并设 \(x \in X\)。
若 \(\mathcal{O}_{Y, f(x)} \to \mathcal{O}_{X, x}\) 是局部环的 非分歧同态，则称 \(f\) 在 \(x\) 处非分歧。
若这一态射在 \(X\) 的每一点都非分歧，则称态射 \(f : X \to Y\) 非分歧。
下面证明此定义与概形态射一章中的定义一致。特别地，这保证了一个态射的 非分歧点所成集合是开集。
引理
设 \(Y\) 为局部诺特概形，\(f : X \to Y\) 为局部有限型态射，并设 \(x \in X\)。则 \(f\) 按定义 024N 在 \(x\) 处非分歧，当且仅当它按 《概形态射》定义 02G4 非分歧。
证明
这由引理 039G 和定义得到。
下面列出非分歧态射的一些结果。此处的表述仅适用于局部诺特概形之间的 局部有限型态射。每一项都引用本项目先前证明的一般结果，不过其中一些结果 在诺特情形下可以更容易地证明：
非分歧性在源和目标上对于 Zariski 拓扑都是局部的。
概形的非分歧态射是局部拟有限的；拟紧的非分歧态射是拟有限的。 见《概形态射》引理 02V5。
一个态射非分歧，当且仅当它的所有纤维均非分歧。换言之， 可以在概形论纤维上检验非分歧性。见《概形态射》引理 02G8。
设 \(X\) 和 \(Y\) 在基概形 \(S\) 上非分歧。则从 \(X\) 到 \(Y\) 的任意 \(S\)-态射都非分歧。见《概形态射》引理 02GG。
非分歧态射的另外三种刻画
下述定理给出态射在一点处非分歧的三种等价刻画。一般概形情形的（部分）陈述见 《概形态射》引理 02GF。
定理
设 \(Y\) 为局部诺特概形，\(f : X \to Y\) 为局部有限型概形态射，并设 \(x\) 为 \(X\) 的一点。下列条件等价：
\(f\) 在 \(x\) 处非分歧；
相对微分模在 \(x\) 处的茎 \(\Omega_{X/Y, x}\) 为零；
存在 \(x\) 的开邻域 \(U\)、\(f(x)\) 的开邻域 \(V\)，以及交换图 \[\xymatrix{ U \ar[rr]_i \ar[rd] & & \mathbf{A}^n_V \ar[ld] \\ & V }\] 其中 \(i\) 是由拟凝聚理想层 \(\mathcal{I}\) 定义的闭浸入，并且 \(g \in \mathcal{I}_{i(x)}\) 的微分 \(\text{d}g\) 生成 \(\Omega_{\mathbf{A}^n_V/V, i(x)}\)；且
对角态射 \(\Delta_{X/Y} : X \to X \times_Y X\) 在 \(x\) 处为局部同构。
证明
(1) 与 (2) 的等价性已在《概形态射》引理 02GF 中证明。
若 \(f\) 在 \(x\) 处非分歧，则 \(f\) 在 \(x\) 的某个开邻域上非分歧； 这一点不能直接由本章定义 024N 推出，但可以由《概形态射》定义 02G4 推出，而我们已在引理 039J 中证明两种定义等价。选取仿射开集 \(V \subset Y\)、\(U \subset X\)，使得 \(f(U) \subset V\)、\(x \in U\)， 并使 \(f\) 在 \(U\) 上非分歧，即 \(f|_U : U \to V\) 非分歧。 由《概形态射》引理 02GE， 态射 \(U \to U \times_V U\) 是开浸入。这证明了 (1) 蕴含 (4)。
若 \(\Delta_{X/Y}\) 在 \(x\) 处为局部同构，则由《概形态射》引理 08S2， \(\Omega_{X/Y, x} = 0\)。因此 (4) 蕴含 (2)。至此，(1)、(2) 与 (4) 彼此等价。
假设 (3) 成立。图表条件与《概形态射》引理 01UZ 一起表明 \(\Omega_{U/V, x} = 0\)。由于 \(\Omega_{U/V, x} = \Omega_{X/Y, x}\)， 可知 (2) 成立。
最后假设 (2) 成立。为证明 (3)，可在 \(X\) 和 \(Y\) 上局部化，并假设 \(X\) 和 \(Y\) 均为仿射概形。记 \(X = \Spec(B)\)、\(Y = \Spec(A)\)。 点 \(x \in X\) 对应于素理想 \(\mathfrak q \subset B\)。我们的假设为 \(\Omega_{B/A, \mathfrak q} = 0\)（概形上的微分与交换代数中的微分模 之间的关系见《概形态射》引理 01UT）。由于 \(Y\) 局部诺特且 \(f\) 局部有限型，可知 \(A\) 是诺特环，并且 \(B \cong A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\)；见《概形的性质》引理 01OW 和《概形态射》引理 01T2。 特别地，\(\Omega_{B/A}\) 是有限 \(B\)-模。因此可以找到一个 \(g \in B\)、\(g \not \in \mathfrak q\)，使得主局部化 \((\Omega_{B/A})_g\) 为零。于是用 \(B_g\) 代替 \(B\) 后，有 \(\Omega_{B/A} = 0\)（微分模的形成与局部化交换，见《交换代数》引理 00RT）。这意味着 \(\text{d}(f_j)\) 生成典范映射 \(\Omega_{A[x_1, \ldots, x_n]/A} \otimes_A B \to \Omega_{B/A}\) 的核。因此，\(A\)-代数的满射 \(A[x_1, \ldots, x_n] \to B\) 给出 (3) 中的交换图，定理得证。
这个定理如何使用？下面给出几点说明：
设 \(f : X \to Y\) 和 \(g : Y \to Z\) 是局部诺特概形之间的两个 局部有限型态射。存在典范短正合列 \[f^*(\Omega_{Y/Z}) \to \Omega_{X/Z} \to \Omega_{X/Y} \to 0\] 见《概形态射》引理 01UX。 因此，该定理说明：若 \(g \circ f\) 非分歧，则 \(f\) 也非分歧。 这正是《概形态射》引理 02GG。
由于 \(\Omega_{X/Y}\) 同构于对角态射的余法层 （《概形态射》引理 08S2）， 若 \(X \to Y\) 是局部诺特概形之间的局部有限型单态射，则 \(X \to Y\) 非分歧。特别地，局部诺特概形的开浸入和闭浸入均非分歧。 见《概形态射》引理 02GB 和 02GC。
该定理还说明，局部诺特概形之间的局部有限型态射 \(f : X \to Y\) 的非非分歧点集合，正是凝聚层 \(\Omega_{X/Y}\) 的支集。 这使我们能够给“分歧轨迹”给出概形论定义。
非分歧态射的函子性刻画
在基础代数几何中，我们知道某些态射类可以通过函子性质来刻画， 而且这类描述十分有用。非分歧态射也有这样的刻画。
定理
设 \(f : X \to S\) 为概形态射。假设 \(S\) 是局部诺特概形，且 \(f\) 局部有限型。则下列条件等价：
\(f\) 非分歧；
态射 \(f\) 形式非分歧：对于任意仿射 \(S\)-概形 \(T\)，以及由一个 平方为零的理想定义的 \(T\) 的子概形 \(T_0\)，自然映射 \[\Hom_S(T, X) \longrightarrow \Hom_S(T_0, X)\] 是单射。
证明
更一般的陈述与证明见《态射进阶》引理 02HE。 下面概述当前情形的证明。
首先检验这两个性质在源和目标上都是局部的。因此可假设 \(S\) 和 \(X\) 均为仿射概形。记 \(X = \Spec(B)\)、\(S = \Spec(R)\)，并记 \(T = \Spec(C)\)。设 \(J\) 为 \(C\) 的平方为零的理想，且 \(T_0 = \Spec(C/J)\)。假设给定图表 \[\xymatrix{ & B \ar[d]^\phi \ar[rd]^{\bar{\phi}} & \\ R \ar[r] \ar[ur] & C \ar[r] & C/J }\] 其次，检验对应 \(\phi' \mapsto \phi' - \phi\) 给出 \(\bar{\phi}\) 的提升集合与模 \(\text{Der}_R(B, J)\) 之间的双射。 由非分歧态射的微分模为零这一刻画，可得 (1) \(\Rightarrow\) (2)； 见定理 024P。
为得到反向蕴含，考虑由平方为零的理想 \(J = I/I^2\) 定义的满射 \(q : C = (B \otimes_R B)/I^2 \to B = C/J\)，其中 \(I\) 是乘法映射 \(B \otimes_R B \to B\) 的核。我们已有一个提升 \(B \to C\)，例如由 \(b \mapsto b \otimes 1\) 给出。于是，按照上面的同一论证， \(\text{id} : B \to C/J\) 的提升与 \(\text{Der}_R(B, J)\) 之间存在双射。 因此假设蕴含后一模为零。但我们知道 \(J \cong \Omega_{B/R}\)。 所以 \(B/R\) 非分歧。
非分歧态射的拓扑性质
第一个对我们有用的拓扑结果是：非分歧且分离的态射具有性质良好的截面。 本节材料不需要任何诺特性假设。
命题
非分歧态射的截面。
非分歧态射的任意截面都是开浸入。
分离态射的任意截面都是闭浸入。
非分歧分离态射的任意截面既开又闭。
证明
固定基概形 \(S\)。若 \(f : X' \to X\) 是任意 \(S\)-态射，则图态射 \(\Gamma_f : X' \to X' \times_S X\) 是对角态射 \(\Delta_{X/S} : X \to X \times_S X\) 沿投影 \(X' \times_S X \to X \times_S X\) 的基变换。若 \(g : X \to S\) 分离（相应地， 非分歧），则由《概形》定义 01KK（相应地，由《概形态射》引理 02GE），对角态射是闭浸入 （相应地，开浸入）。因此，作为基变换，图态射也是如此（见《概形》引理 01JY）。在特例 \(X' = S\) 中，分别得到 (1)，相应地 得到 (2)。结合 (1) 和 (2) 即得 (3)。
现在可以明确描述非分歧态射的截面。
定理
设 \(Y\) 为连通概形，且 \(f : X \to Y\) 非分歧并分离。 \(f\) 的每个截面都给出到某个连通分支的同构。存在双射对应 \[\text{下列对象的截面： }f \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{连通分支 }X'\text{ 属于 }X\text{ 使得}\\ \text{诱导映射 }X' \to Y\text{ 为同构} \end{matrix} \right\}\] 特别地，给定 \(x \in X\)，至多存在一个经过 \(x\) 的截面。
证明
直接由命题 024T 的 (3) 得到。
上一定理让我们初步看到非分歧态射的“刚性”。下述命题提供了进一步说明； 它本身很有意义，并且也用于代数基本群理论（见 [SGA1, Exposé V]）。另见更一般的《概形态射》引理 04HB。
命题
设 \(S\) 为概形。设 \(\pi : X \to S\) 非分歧并分离。设 \(Y\) 为 \(S\)-概形，\(y \in Y\) 为一点。设 \(f, g : Y \to X\) 为两个 \(S\)-态射，并假设
\(Y\) 连通；
\(x = f(y) = g(y)\)；且
剩余域上的诱导映射 \(f^\sharp, g^\sharp : \kappa(x) \to \kappa(y)\) 相等。
则 \(f = g\)。
证明
映射 \(f, g : Y \to X\) 定义了映射 \(f', g' : Y \to X_Y = Y \times_S X\)，它们都是结构映射 \(X_Y \to Y\) 的截面。注意 \(f = g\) 当且仅当 \(f' = g'\)。 结构映射 \(X_Y \to Y\) 是 \(\pi\) 的基变换，因而仍非分歧且分离 （见《概形态射》引理 02GA 和《概形》引理 01KU）。 因此，由定理 024U，只需证明 \(f'\) 与 \(g'\) 经过 \(X_Y\) 的同一点。这恰由假设 (2) 和 (3) 保证， 即 \(f'(y) = g'(y) \in X_Y\)。
引理
设 \(S\) 为诺特概形。设 \(X \to S\) 为拟紧非分歧态射。设 \(Y \to S\) 为态射，其中 \(Y\) 诺特。则 \(\Mor_S(Y, X)\) 是有限集。
证明
先假设 \(X \to S\) 分离（实践中通常如此）。由于 \(Y\) 诺特， 它只有有限多个连通分支，故可假设 \(Y\) 连通。选取点 \(y \in Y\)， 其像为 \(s \in S\)。由于 \(X \to S\) 非分歧且拟紧，纤维 \(X_s\) 是有限的；记 \(X_s = \{x_1, \ldots, x_n\}\)，并且 \(\kappa(x_i)/\kappa(s)\) 是有限域扩张。见《概形态射》引理 02V5、 01TG 和 02NH。对于每个 \(i\)， \(\kappa(s)\)-代数同态 \(\kappa(x_i) \to \kappa(y)\) 至多只有有限多个 （由初等域论）。因此，由命题 024V， \(\Mor_S(Y, X)\) 有限。
一般情形。存在非空开集 \(U \subset S\)，使得 \(X_U \to U\) 有限 （特别地，分离）；见《概形态射》引理 02NW（该引理适用，因为我们已经 看到拟紧非分歧态射是拟有限的，而且由《概形态射》引理 01T7， \(X \to S\) 拟分离）。设 \(Z \subset S\) 为支集等于 \(U\) 的补集的 既约闭子概形。由诺特归纳，\(\Mor_Z(Y_Z, X_Z)\) 有限（略去细节）。 由第一段的结果，集合 \(\Mor_U(Y_U, X_U)\) 也有限。因此只需证明映射 \[\Mor_S(Y, X) \longrightarrow \Mor_Z(Y_Z, X_Z) \times \Mor_U(Y_U, X_U)\] 是单射。两个态射 \(a, b : Y \to X\) 相等的点集在 \(Y\) 中是开集， 因为 \(\Delta : X \to X \times_S X\) 是开态射；见《概形态射》引理 02GE。由此得到所需结论。
泛单射的非分歧态射
回忆：若概形态射 \(f : X \to Y\) 的任意基变换在底拓扑空间上都是单射， 则称 \(f\) 泛单射；见《概形态射》定义 01S3。泛单射的非分歧态射 可刻画如下。
引理
设 \(f : X \to S\) 为概形态射。下列条件等价：
\(f\) 非分歧且为单态射；
\(f\) 非分歧且泛单射；
\(f\) 局部有限型且为单态射；
\(f\) 泛单射、局部有限型且形式非分歧；
\(f\) 局部有限型，并且对所有 \(s \in S\)，\(X_s\) 或为空， 或 \(X_s \to s\) 为同构。
证明
《态射进阶》引理 02HE 已表明： 形式非分歧且局部有限型等价于非分歧。因此 (4) 等价于 (2)。 单态射显然泛单射且形式非分歧，故 (3) 蕴含 (4)。(1) 蕴含 (3) 也很清楚。最后，若 (2) 成立，则 \(\Delta : X \to X \times_S X\) 既是开浸入 （《概形态射》引理 02GE） 又是满射（《概形态射》引理 01S4），因而是同构；也就是说， \(f\) 是单态射。因此 (2) 蕴含 (1)。
条件 (3) 蕴含 (5)，因为单态射在基变换下保持（《概形》引理 02YC），并且《概形》引理 03DP 描述了到域的谱的单态射。 由《概形态射》引理 01S4 和 02G8，条件 (5) 蕴含 (4)。
由此得到闭浸入的如下有用刻画。
引理
设 \(f : X \to S\) 为概形态射。下列条件等价：
\(f\) 是闭浸入；
\(f\) 是固有单态射；
\(f\) 固有、非分歧且泛单射；
\(f\) 泛闭、非分歧且为单态射；
\(f\) 泛闭、非分歧且泛单射；
\(f\) 泛闭、局部有限型且为单态射；
\(f\) 泛闭、泛单射、局部有限型且形式非分歧。
证明
(4)–(7) 的等价性直接由引理 05VH 得到。
设 \(f : X \to S\) 满足 (6)。则 \(f\) 分离，见《概形》引理 01L4，并且其纤维有限。 因此《态射进阶》引理 02LS 表明 \(f\) 有限。 于是《概形态射》引理 03BB 蕴含 \(f\) 是闭浸入，即 (1) 成立。
注意 (1) \(\Rightarrow\) (2)，因为闭浸入是固有单态射 （《概形态射》引理 01W5 及《概形》引理 01L7）。 由引理 05VH 可知 (2) 蕴含 (3)，而 (3) 蕴含 (5) 是显然的。
下面是另一个性质相近的结果。
引理
设 \(\pi : X \to S\) 为概形态射，\(s \in S\)。假设
\(\pi\) 有限；
\(\pi\) 非分歧；
\(\pi^{-1}(\{s\}) = \{x\}\)；且
\(\kappa(s) \subset \kappa(x)\) 为纯不可分扩张 1。
则存在 \(s\) 的开邻域 \(U\)，使得 \(\pi|_{\pi^{-1}(U)} : \pi^{-1}(U) \to U\) 是闭浸入。
证明
这一问题在 \(S\) 上是局部的，故可假设 \(S = \Spec(A)\)。由有限态射的定义， 这蕴含 \(X = \Spec(B)\)。注意，定义 \(\pi\) 的环同态 \(\varphi : A \to B\) 是有限非分歧环同态。设 \(\mathfrak p \subset A\) 为对应于 \(s\) 的素理想，设 \(\mathfrak q \subset B\) 为对应于 \(x\) 的素理想。条件 (2)、(3) 和 (4) 蕴含 \(B_{\mathfrak q}/\mathfrak pB_{\mathfrak q} = \kappa(\mathfrak p)\)。 由《交换代数》引理 00EA， \(B_{\mathfrak q} = B_{\mathfrak p}\)（注意有限环同态满足上升性质，见 《交换代数》第 00HU 节）。因此 \(B_{\mathfrak p}/\mathfrak pB_{\mathfrak p} = \kappa(\mathfrak p)\)。 由于 \(B\) 是有限 \(A\)-模，由 Nakayama 引理（见《交换代数》引理 00DV）可知 \(B_{\mathfrak p} = \varphi(A_{\mathfrak p})\)。再次利用 \(B\) 作为 \(A\)-模的有限性，存在 \(f \in A\)、\(f \not \in \mathfrak p\)，使得 \(B_f = \varphi(A_f)\)，如所需。
以上拓扑结果将用于给出平展（étale）态射的函子性刻画， 类似于定理 024R。
非分歧态射的例子
下面给出几个例子。
例
设 \(k\) 为域。拟紧非分歧态射 \(X \to \Spec(k)\) 是仿射的。 这是因为 \(X\) 维数为 \(0\) 且诺特，因而是有限离散集；每一点都给出一个 仿射开集，所以 \(X\) 是有限多个仿射概形的不交并，故为仿射概形。 诺特正规化迫使 \(X\) 成为有限 \(k\)-代数 \(A\) 的谱。该代数是 \(k\) 的 有限可分域扩张的乘积。因此，到 \(\Spec(k)\) 的拟紧非分歧态射对应于 有限多个 \(k\) 的有限可分域扩张。特别地，源连通而目标只有一点的 非分歧态射必为有限可分域扩张。稍后将看到， \(X \to \Spec(k)\) 平展（étale）当且仅当它非分歧。因此至少在此情形， 我们得到概形平展（étale）拓扑的极为简单的描述。当然，该拓扑的上同调 则是另一回事。
例
定理 024P 中的性质 (3) 为非分歧态射提供了一类典范例子。固定环 \(R\) 与整数 \(n\)。 设 \(I = (g_1, \ldots, g_m)\) 是 \(R[x_1, \ldots, x_n]\) 中的理想。 设 \(\mathfrak q \subset R[x_1, \ldots, x_n]\) 为素理想。假设 \(I \subset \mathfrak q\)，且矩阵 \[\left(\frac{\partial g_i}{\partial x_j}\right) \bmod \mathfrak q \quad\in\quad \text{Mat}(n \times m, \kappa(\mathfrak q))\] 的秩为 \(n\)。则态射 \(f : Z = \Spec(R[x_1, \ldots, x_n]/I) \to \Spec(R)\) 在对应于 \(\mathfrak q\) 的点 \(x \in Z \subset \mathbf{A}^n_R\) 处非分歧。显然必须有 \(m \geq n\)。在极端情形 \(m = n\) 下， 即由各 \(g_i\) 定义的映射 \(\mathbf{A}^n_R \to \mathbf{A}^n_R\) 的微分给出切空间的同构时， \(f\) 在 \(x\) 处也平坦，因而是平展（étale）态射（见《交换代数》定义 00T6、引理 00T7 和例 00T8）。
例
固定数域扩张 \(L/K\)，其整数环分别为 \(\mathcal{O}_L\) 与 \(\mathcal{O}_K\)。嵌入 \(K \to L\) 定义态射 \(f : \Spec(\mathcal{O}_L) \to \Spec(\mathcal{O}_K)\)。 如上所述，按本章意义 \(f\) 非分歧的点，恰对应于按经典意义 \(f\) 非分歧的点。按经典意义，\(\Spec(\mathcal{O}_L)\) 中的分歧轨迹可由 不同理想的零点集定义；它是 \(\mathcal{O}_L\) 中的理想。事实上， 不同理想正是模 \(\Omega_{\mathcal{O}_L/\mathcal{O}_K}\) 的零化子。 类似地，判别式是 \(\mathcal{O}_K\) 中的理想，即不同理想的范数。 判别式的零点集恰为 \(K\) 中在 \(L\) 内分歧的点集。因此，记 \(X\) 为 \(\Spec(\mathcal{O}_L)\) 中由不同理想定义的闭子集之补， 便得到非分歧态射 \(X \to \Spec(\mathcal{O}_K)\)。此外，该态射也平坦， 因为离散赋值环之间的任意局部同态都是平坦的，所以它实际上平展 （étale）。若 \(L/K\) 为有限 Galois 扩张，并记 \(Y\) 为 \(\Spec(\mathcal{O}_K)\) 中由判别式定义的闭子集之补，则甚至得到有限 平展（étale）态射 \(X \to Y\)。因此，这是有限平展（étale）覆盖的例子。
平坦态射
本节只用于汇总后文所需的平坦性性质。因此，我们满足于精确陈述各定理， 并给出证明的参考文献。
先简要回顾诺特环上平坦模的必要事实，随后陈述 Grothendieck 的一个定理； 它给出某些模的“超平面截面”平坦的充分条件。
定义
模与环的平坦性。
设 \(N\) 是环 \(A\) 上的模。若函子 \(M \mapsto M \otimes_A N\) 正合，则称该模平坦。
若该函子还忠实，则称 \(N\) 在 \(A\) 上忠实平坦。
若环同态 \(f : A \to B\) 所定义的函子 \(M \mapsto M \otimes_A B\) 正合（相应地，忠实且正合），则称 该同态平坦（相应地，忠实平坦）。
下面列出若干事实，并给出代数一章中的参考文献。
自由模与投射模都是平坦模。对于自由模这是显然的；对于投射模， 这来自它们是自由模的直和因子，以及 \(\otimes\) 与直和交换。
平坦性是局部性质；也就是说，\(M\) 在 \(A\) 上平坦，当且仅当对所有 \(\mathfrak p \in \Spec(A)\)，\(M_{\mathfrak p}\) 在 \(A_{\mathfrak p}\) 上平坦。见《交换代数》引理 00HT。
若 \(M\) 是平坦 \(A\)-模，且 \(A \to B\) 是环同态，则 \(M \otimes_A B\) 是平坦 \(B\)-模。见《交换代数》引理 00HI。
局部环上的有限平坦模是自由模。见《交换代数》引理 00NZ。
若 \(f : A \to B\) 是任意环之间的同态，则 \(f\) 平坦，当且仅当 对所有 \(\mathfrak q \in \Spec(B)\)，诱导映射 \(A_{f^{-1}(\mathfrak q)} \to B_{\mathfrak q}\) 平坦。见《交换代数》引理 00HT。
若 \(f : A \to B\) 是局部环之间的局部同态，则 \(f\) 平坦，当且仅当 它忠实平坦。见《交换代数》引理 00HR。
环同态 \(A \to B\) 忠实平坦，当且仅当它平坦且诱导的谱上态射满射。 见《交换代数》引理 00HQ。
若 \(A\) 是诺特局部环，则完备化 \(A^\wedge\) 在 \(A\) 上忠实平坦。 见《交换代数》引理 00MC。
设 \(A\) 为诺特局部环，\(M\) 为 \(A\)-模。则 \(M\) 在 \(A\) 上平坦， 当且仅当 \(M \otimes_A A^\wedge\) 在 \(A^\wedge\) 上平坦。 （结合上一项与《交换代数》引理 00HJ。）
在转向几何范畴之前，先给出 Grothendieck 定理；它提供了一种构造平坦模的 便利方法。
定理
设 \(A\)、\(B\) 为诺特局部环，\(f : A \to B\) 为局部同态。 设 \(M\) 为有限 \(B\)-模，并且作为 \(A\)-模是平坦的。若 \(t \in \mathfrak m_B\)，且乘以 \(t\) 在 \(M/\mathfrak m_AM\) 上是单射， 则 \(M/tM\) 也是平坦 \(A\)-模。
证明
见《交换代数》引理 00ME。另见 [MatCA, Section 20]。
定义
（见《概形态射》定义 01U3。） 设 \(f : X \to Y\) 为概形态射，\(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。
设 \(x \in X\)。若 \(\mathcal{F}_x\) 是平坦 \(\mathcal{O}_{Y, f(x)}\)-模，则称 \(\mathcal{F}\) 在 \(x \in X\) 处关于 \(Y\) 平坦。这里借助映射 \(\mathcal{O}_{Y, f(x)} \to \mathcal{O}_{X, x}\)，把 \(\mathcal{F}_x\) 看作 \(\mathcal{O}_{Y, f(x)}\)-模。
设 \(x \in X\)。若 \(\mathcal{O}_{Y, f(x)} \to \mathcal{O}_{X, x}\) 平坦，则称 \(f\) 在 \(x \in X\) 处平坦。
若该态射在 \(X\) 的所有点处平坦，则称 \(f\) 平坦。
平坦且满射的态射 \(f : X \to Y\) 有时称为忠实平坦态射。
再列出若干结果：
按定义，态射的平坦性在源和目标上对于 Zariski 拓扑都是局部性质。
开浸入平坦（这是显然的，因为它在局部环上诱导同构）。
若 \(f : X \to Y\) 平坦，则拉回函子 \(\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\) 正合。 考察各茎即可立即得到这一点。
设 \(f : X \to Y\) 为概形态射，并假设 \(Y\) 拟紧且拟分离。 在此情形，若函子 \(f^*\) 正合，则 \(f\) 平坦。（略去证明。提示： 利用《概形的性质》引理 01PE 说明 \(Y\) 有“足够多”的理想层，再使用《交换代数》引理 00HD 中的平坦性刻画。）
平坦态射的拓扑性质
下面“回顾”平坦态射所具有的一些开性性质。
定理
设 \(Y\) 为局部诺特概形，\(f : X \to Y\) 为局部有限型态射， \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \(X\) 中 \(\mathcal{F}\) 关于 \(Y\) 平坦的点所成集合是开集。特别地， \(f\) 的平坦点集在 \(X\) 中是开集。
证明
见《态射进阶》定理 0399。
定理
设 \(Y\) 为局部诺特概形，\(f : X \to Y\) 为平坦局部有限型态射。 则 \(f\) 泛开。
证明
见《概形态射》引理 01UA。
定理
忠实平坦拟紧态射对于 Zariski 拓扑是商映射。
证明
见《概形态射》引理 02JY。
研究平坦态射的一个重要原因是：它们为刻画由另一概形的点参数化的概形族 提供了适当框架。朴素地看，任意态射 \(f : X \to S\) 都可视为由 \(S\) 的点 参数化的族。然而，若不要求 \(f\) 平坦，这个所谓的族可能出现非常反常的现象。 例如，族中的相对维数（纤维的维数）未必恒定；Hilbert 多项式等其他数值不变量 也可能随纤维而改变。平坦性排除了这类现象，从而赋予纤维某种“连续性”。
平展（Étale）态射
本节定义平展（étale）态射，并证明它们的一系列重要性质。其中无疑最重要的 是定理 025K 中的函子性刻画。随后还将讨论若干 对平展（étale）扩张不敏感的环性质（即一个环具有这些性质，当且仅当其所有 平展（étale）扩张都具有这些性质），以说明平展（étale）上同调的基本信条： 平展（étale）态射是局部同构的代数对应物。
如标题所示，我们将定义平展（étale）态射类。为了定义基概形 \(S\) 上概形范畴 中的平展（étale）站点 \(S_\etale\)，我们把这类态射的满射族视为覆盖。 直观上，平展（étale）态射应当表达覆盖空间的观念，因此应接近局部同构。 对于代数闭域上的簇，只要把“局部同构”替换为“形式局部同构”（即完备化后的 同构），这一说法就可作为定义。随后可对任意基域规定：到代数闭包的基变换按 上述意义平展（étale）。不过，我们不采用这种审美上不尽如人意的构造， 而采用更简洁、虽略为抽象的代数方法。
首先为诺特局部环定义“局部环的平展（étale）同态”。这里不能直接使用 “平展（étale）”一词，因为《交换代数》第 00U0 节中已有平展（étale）环同态的概念， 而两者并不相同。
定义
设 \(A\)、\(B\) 为诺特局部环。若局部同态 \(f : A \to B\) 平坦， 并且是局部环的非分歧同态（见定义 024M），则称它为 局部环的平展（étale）同态。
这是《交换代数》第 00U0 节中平展（étale） 环同态定义的局部版本。该节的精确定义是相对维数为 \(0\) 的光滑环同态。 《交换代数》引理 00U9 证明： 平展（étale）\(R\)-代数 \(S\) 总有呈示 \[S = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\] 使得 \[g = \det \left( \begin{matrix} \partial f_1/\partial x_1 & \partial f_2/\partial x_1 & \ldots & \partial f_n/\partial x_1 \\ \partial f_1/\partial x_2 & \partial f_2/\partial x_2 & \ldots & \partial f_n/\partial x_2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \partial f_1/\partial x_n & \partial f_2/\partial x_n & \ldots & \partial f_n/\partial x_n \end{matrix} \right)\] 在 \(S\) 中的像可逆。下面两个引理联系这两种概念。
引理
设 \(A\) 为诺特环，\(A \to B\) 为有限型同态。设 \(\mathfrak q\) 为 \(B\) 的素理想，并位于 \(\mathfrak p \subset A\) 之上。则 \(A \to B\) 在 \(\mathfrak q\) 处平展（étale），当且仅当 \(A_{\mathfrak p} \to B_{\mathfrak q}\) 是局部环的平展（étale）同态。
证明
见《交换代数》引理 00U2（平展（étale）同态平坦）、 00U4（平展（étale）同态非分歧）和 00U6（平坦非分歧同态平展（étale））。
引理
设 \(A\)、\(B\) 为诺特局部环。设 \(A \to B\) 为局部同态，并且 \(B\) 本质上是 \(A\) 上的有限型代数。下列条件等价：
\(A \to B\) 是局部环的平展（étale）同态；
\(A^\wedge \to B^\wedge\) 是局部环的平展（étale）同态；且
\(A^\wedge \to B^\wedge\) 是平展（étale）环同态。
此外，在此情形，对某个 \(n \geq 1\)，作为 \(A^\wedge\)-模有 \(B^\wedge \cong (A^\wedge)^{\oplus n}\)。
证明
关于非分歧环同态，我们已有对应结果（引理 039I）。因此，为证明 (1)、(2)、(3) 等价，只需证明 \(A \to B\) 平坦，当且仅当 \(A^\wedge \to B^\wedge\) 平坦。根据上面列出的平坦同态性质，这是显然的， 因为环同态 \(A \to A^\wedge\) 和 \(B \to B^\wedge\) 都忠实平坦。 对于最后一项陈述，由引理 039H， \(B^\wedge\) 是有限平坦 \(A^\wedge\)-模。因此，根据第 0250 节中列出的平坦模性质，它是有限自由模。
上引理中的整数 \(n\) 正是剩余域扩张的次数 \([\kappa(\mathfrak m_B) : \kappa(\mathfrak m_A)]\)。特别地，若 \(\kappa(\mathfrak m_A)\) 可分闭，则 \(A^\wedge \to B^\wedge\) 是同构，这也证实了前面的说法。
定义
（见《概形态射》定义 02GI。） 设 \(Y\) 为局部诺特概形，\(f : X \to Y\) 为局部有限型概形态射。
设 \(x \in X\)。若 \(\mathcal{O}_{Y, f(x)} \to \mathcal{O}_{X, x}\) 是局部环的 平展（étale）同态，则称 \(f\) 在 \(x \in X\) 处平展（étale）。
若该态射在所有点处都平展（étale），则称它平展（étale）。
下面证明此定义与概形态射一章中的定义一致。特别地，这保证了一个态射的 平展（étale）点所成集合是开集。
引理
设 \(Y\) 为局部诺特概形，\(f : X \to Y\) 局部有限型，并设 \(x \in X\)。则态射 \(f\) 按定义 0259 在 \(x\) 处平展（étale），当且仅当它按《概形态射》定义 02GI 在 \(x\) 处平展（étale）。
证明
这由引理 039L 和定义得到。
下面列出平展（étale）态射的一些结果。此处表述仅适用于局部诺特概形之间的 局部有限型态射。每一项都给出本项目先前证明的一般结果作为参考，不过其中 一些结果在诺特情形下可更容易地证明：
平展（étale）态射非分歧（由定义即得）。
平展（Étale）性在源和目标上对于 Zariski 拓扑都是局部的。
概形的平展（Étale）态射局部拟有限；拟紧平展（étale）态射 拟有限（因为前面已知非分歧态射具有这一性质）。
一个态射平展（étale），当且仅当它平坦且所有纤维都平展 （étale）。见《概形态射》引理 02GM。
平展（Étale）态射是开态射。这是因为平展（étale）态射平坦， 再应用定理 039K。
设 \(X\) 和 \(Y\) 在基概形 \(S\) 上平展（étale）。 则从 \(X\) 到 \(Y\) 的任意 \(S\)-态射都平展（étale）。见《概形态射》引理 02GW。
结构定理
下面给出描述平展（étale）态射与非分歧态射局部结构的定理。 除其本身显然重要外，这一定理还使我们能够转向平展（étale）态射的 另一种定义；与目前使用的定义相比，它更能体现几何直观。
为陈述定理，需要标准平展（étale）环同态的概念，见《交换代数》定义 00UB。具体地，设 \(R\) 为环， \(f, g \in R[t]\) 为多项式，并满足
\(f\) 为首一多项式；且
\(f' = \text{d}f/\text{d}t\) 在局部化 \(R[t]_g/(f)\) 中可逆。
则同态 \[R \longrightarrow R[t]_g/(f) = R[t, 1/g]/(f)\] 给出标准平展（étale）代数；任意标准平展（étale）代数都同构于这种 代数之一。证明这类环同态平坦、非分歧，因而平展（étale），是一个愉快的 练习（这当然正如所料）。标准平展（étale）环同态的一个特例是任意同态 \[R \longrightarrow R[t]_{f'}/(f) = R[t, 1/f']/(f)\] 其中 \(f\) 为首一多项式；任意标准平展（étale）代数都同构于其中某个代数的 主局部化。
定理
设 \(f : A \to B\) 为局部环的平展（étale）同态。则存在 \(f, g \in A[t]\)，使得
\(B' = A[t]_g/(f)\) 是标准平展（étale）代数，见上面的 (a)、(b)；且
\(B\) 同构于 \(B'\) 在某个素理想处的局部化。
证明
取某个有限型 \(A\)-代数 \(B'\)，使其在素理想处的局部化为 \(B = B'_{\mathfrak q}\)（这是因为 \(B\) 本质上是 \(A\) 上的有限型代数）。 由引理 039L，\(A \to B'\) 在 \(\mathfrak q\) 处平展（étale）。应用《交换代数》命题 00UE，可知 \(B'\) 的某个 主局部化是标准平展（étale）代数。
下面是局部环的非分歧同态版本。
定理
设 \(f : A \to B\) 为局部环的非分歧态射。则存在 \(f, g \in A[t]\)，使得
\(B' = A[t]_g/(f)\) 是标准平展（étale）代数，见上面的 (a)、(b)；且
\(B\) 同构于 \(B'\) 在某个素理想处局部化所得环的商。
证明
取某个有限型 \(A\)-代数 \(B'\)，使其在素理想处的局部化为 \(B = B'_{\mathfrak q}\)（这是因为 \(B\) 本质上是 \(A\) 上的有限型代数）。 由引理 039G，\(A \to B'\) 在 \(\mathfrak q\) 处非分歧。应用《交换代数》命题 0395，可知 \(B'\) 的某个主局部化是标准平展（étale）\(A\)-代数的商。
再通过标准提升论证，得到下面这个对后文至关重要的几何陈述。
定理
设 \(\varphi : X \to Y\) 为概形态射，\(x \in X\)。设 \(V \subset Y\) 为 \(\varphi(x)\) 的仿射开邻域。若 \(\varphi\) 在 \(x\) 处平展 （étale），则存在仿射开集 \(U \subset X\)，满足 \(x \in U\) 与 \(\varphi(U) \subset V\)，并有图表 \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] \ar[r]_-j & \Spec(R[t]_{f'}/(f)) \ar[d] \\ Y & V \ar[l] \ar@{=}[r] & \Spec(R) }\] 其中 \(j\) 是开浸入，\(f \in R[t]\) 为首一多项式。
证明
平展（Étale）态射与光滑态射
平展（étale）态射是相对维数为零的光滑态射。投影 \(\mathbf{A}^n_S \to S\) 是相对维数为 \(n\) 的光滑态射的标准例子。 事实上，任意光滑态射在平展（étale）局部都具有这种形式。 精确陈述如下。
定理
设 \(\varphi : X \to Y\) 为概形态射，\(x \in X\)。若 \(\varphi\) 在 \(x\) 处光滑，则存在整数 \(n \geq 0\) 以及仿射开集 \(V \subset Y\)、\(U \subset X\)，满足 \(x \in U\) 与 \(\varphi(U) \subset V\)，并存在交换图 \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] \ar[r]_-\pi & \mathbf{A}^n_R \ar[d] \ar@{=}[r] & \Spec(R[x_1, \ldots, x_n]) \ar[dl] \\ Y & V \ar[l] \ar@{=}[r] & \Spec(R) }\] 其中 \(\pi\) 平展（étale）。
证明
见《概形态射》引理 054L。
平展（Étale）态射的拓扑性质
下面给出平展（étale）态射与非分歧态射的一些拓扑性质。首先给出 Grothendieck 所称的平展（étale）态射的基本性质，见 [SGA1, Exposé I.5]。
定理
设 \(f : X \to Y\) 为概形态射。下列条件等价：
\(f\) 是开浸入；
\(f\) 泛单射且平展（étale）；且
\(f\) 是局部有限呈示的平坦单态射。
证明
开浸入泛单射，因为开浸入的任意基变换仍是开浸入。此外，由《概形态射》引理 02GP，它平展 （étale）。故 (1) 蕴含 (2)。
假设 \(f\) 泛单射且平展（étale）。由于 \(f\) 平展（étale）， 它平坦且局部有限呈示；见《概形态射》引理 02GS 和 02GR。 由引理 05VH，\(f\) 是单态射。 故 (2) 蕴含 (3)。
假设 \(f\) 平坦、局部有限呈示且为单态射。由《概形态射》引理 01UA，\(f\) 是开态射。因此可用 \(f(X)\) 代替 \(Y\)，并假设 \(f\) 满射。此时 \(f\) 既开又双射，因而是同胚； 于是 \(f\) 拟紧。《下降》引理 06NC 表明 \(f\) 是同构，结论得证。
下面是另一个性质相近的结果。
引理
设 \(\pi : X \to S\) 为概形态射，\(s \in S\)。假设
\(\pi\) 有限；
\(\pi\) 平展（étale）；
\(\pi^{-1}(\{s\}) = \{x\}\)；且
\(\kappa(s) \subset \kappa(x)\) 为纯不可分扩张 2。
则存在 \(s\) 的开邻域 \(U\)，使得 \(\pi|_{\pi^{-1}(U)} : \pi^{-1}(U) \to U\) 是同构。
证明
由引理 04DG，存在 \(s\) 的开邻域 \(U\)，使得 \(\pi|_{\pi^{-1}(U)} : \pi^{-1}(U) \to U\) 是闭浸入。 但平展（étale）的闭浸入是开浸入（例如由定理 025G）。因此缩小 \(U\) 后得到同构。
引理
设 \(U \to X\) 为平展（étale）概形态射，其中 \(X\) 是特征 \(p\) 的概形。则相对 Frobenius 态射 \(F_{U/X} : U \to U \times_{X, F_X} X\) 是同构。
证明
由《代数簇》引理 0CCB， 态射 \(F_{U/X}\) 是泛同胚。作为 \(X\) 上两个平展（étale）概形之间的态射， \(F_{U/X}\) 平展（étale）（《概形态射》引理 02GW）。因此，由定理 025G，\(F_{U/X}\) 是同构。
平展（étale）拓扑的拓扑不变性
下面给出一个极其关键的定理；粗略地说，它断言平展（étale）性是一种拓扑性质。
定理
设 \(X\) 与 \(Y\) 是基概形 \(S\) 上的两个概形。设 \(S_0\) 是 \(S\) 的闭子概形， 且二者具有相同的底拓扑空间（例如，若 \(S_0\) 在 \(S\) 中的理想层的平方为零）。 记 \(X_0\)（相应地为 \(Y_0\)）为基变换 \(S_0 \times_S X\) （相应地为 \(S_0 \times_S Y\)）。 若 \(X\) 在 \(S\) 上平展（étale），则映射 \[\Mor_S(Y, X) \longrightarrow \Mor_{S_0}(Y_0, X_0)\] 是双射。
证明
经由 \(Y \to S\) 作基变换后，可假设 \(Y = S\)。在此情形，定理断言： 任意 \(S\)-态射 \(\sigma_0 : S_0 \to X\) 都唯一地经由平展（étale） 结构态射 \(f : X \to S\) 的一个截面 \(S \to X\) 分解。
唯一性。假设有两个使 \(\sigma_0\) 经其分解的截面 \(\sigma, \sigma'\)。 由于 \(X \to S\) 平展（étale）， \(\Delta : X \to X \times_S X\) 是开浸入 （《概形态射》引理 02GE）。 态射 \((\sigma, \sigma') : S \to X \times_S X\) 经由这个开子概形分解， 因为对任意 \(s \in S\) 都有 \((\sigma, \sigma')(s) = (\sigma_0(s), \sigma_0(s))\)。故 \(\sigma = \sigma'\)。
为证明存在性，先将问题约化到仿射情形 （建议读者略过这一步）。 取仿射开覆盖 \(X = \bigcup X_i\)，使每个 \(X_i\) 都映入 \(S\) 的某个 仿射开集 \(S_i\)。对每个 \(s \in S\)，可选取 \(i\) 使得 \(\sigma_0(s) \in X_i\)。 选取 \(s\) 的仿射开邻域 \(U \subset S_i\)，使得 \(\sigma_0(U_0) \subset X_{i, 0}\)。注意 \(X' = X_i \times_S U = X_i \times_{S_i} U\) 是仿射的。 若能将 \(\sigma_0|_{U_0} : U_0 \to X'_0\) 提升为 \(U \to X'\)，则由唯一性，这些局部提升可黏合成整体态射 \(S \to X\)。因此可假设 \(S\) 与 \(X\) 均为仿射概形。
\(S\) 与 \(X\) 均仿射时的存在性。写成 \(S = \Spec(A)\) 与 \(X = \Spec(B)\)。于是 \(A \to B\) 平展（étale），特别地， 它光滑（相对维数为 \(0\)）。由 \(|S_0| = |S|\) 可知 \(S_0 = \Spec(A/I)\)，其中 \(I \subset A\) 局部幂零。 故存在性由《交换代数》引理 07K4 得出。
由前一定理的证明，还可得到所许诺的平展（étale）态射函子刻画的 一个方向。下述定理将在 《平展（Étale）上同调》定理 04DZ 中得到加强。
定理
设 \(S\) 为概形。设 \(S_0 \subset S\) 为具有相同底拓扑空间的闭子概形 （例如，若 \(S_0\) 在 \(S\) 中的理想层的平方为零）。函子 \[X \longmapsto X_0 = S_0 \times_S X\] 给出范畴等价 \[\{ X\text{ 是在 }S\text{ 上的平展概形} \} \leftrightarrow \{ X_0\text{ 是在 }S_0\text{ 上的平展概形} \}\]
证明
由定理 025H，该函子是全忠实的。 尚需证明它本质满。设 \(Y \to S_0\) 是平展（étale）概形态射。
先假设当 \(S\) 与 \(Y\) 均仿射时结论成立。此时选取仿射开覆盖 \(Y = \bigcup V_j\)，使每个 \(V_j\) 都映入 \(S\) 的某个仿射开集。 由仿射情形的假设，可找到平展（étale）态射 \(W_j \to S\)， 使 \(W_{j, 0} \cong V_j\)（作为 \(S_0\) 上的概形）。 令 \(W_{j, j'} \subset W_j\) 为这样的开子概形：其底拓扑空间对应于 \(V_j \cap V_{j'}\)。由于存在 \(S_0\) 上的概形同构 \[W_{j, j', 0} \cong V_j \cap V_{j'} \cong W_{j', j, 0}\] 由全忠实性可得 \(S\) 上的概形同构 \(\theta_{j, j'} : W_{j, j'} \to W_{j', j}\)。 这里略去验证这些同构满足《概形》第 01JA 节中的余圈条件。 应用《概形》引理 01JC， 沿着同一化 \(\theta_{j, j'}\) 黏合诸概形 \(W_j\)，得到概形 \(X \to S\)。由构造显然可知 \(X \to S\) 平展（étale），且 \(X_0 \cong Y\)。
因此，只需证明 \(S\) 与 \(Y\) 均仿射的情形。记 \(S = \Spec(R)\)，\(S_0 = \Spec(R/I)\)，其中 \(I\) 局部幂零。 由《交换代数》引理 00U9， \(Y\) 是某个环 \(\overline{A}\) 的谱，并且 \[\overline{A} = (R/I)[x_1, \ldots, x_n]/(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_n)\] 且 \[\overline{g} = \det \left( \begin{matrix} \partial \overline{f}_1/\partial x_1 & \partial \overline{f}_2/\partial x_1 & \ldots & \partial \overline{f}_n/\partial x_1 \\ \partial \overline{f}_1/\partial x_2 & \partial \overline{f}_2/\partial x_2 & \ldots & \partial \overline{f}_n/\partial x_2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \partial \overline{f}_1/\partial x_n & \partial \overline{f}_2/\partial x_n & \ldots & \partial \overline{f}_n/\partial x_n \end{matrix} \right)\] 在 \(\overline{A}\) 中的像可逆。任取提升 \(f_i \in R[x_1, \ldots, x_n]\)，并令 \[A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\] 由于 \(I\) 局部幂零，理想 \(IA\) 也局部幂零 （《交换代数》引理 0544）。 注意 \(\overline{A} = A/IA\)。由《交换代数》引理 0AMG，\(f_i\) 的偏导数矩阵之 行列式在代数 \(A\) 中可逆。故 \(R \to A\) 平展（étale），证明完成。
函子刻画
最后给出所许诺的函子刻画。因此，可以用四种方式理解概形的平展 （étale）态射：
将其视为相对维数为 \(0\) 的光滑态射；
将其视为局部有限呈示、平坦且非分歧的态射；
使用结构定理；以及
使用函子刻画。
定理
设 \(f : X \to S\) 是局部有限呈示的态射。下列条件等价：
\(f\) 平展（étale）；
对所有仿射 \(S\)-概形 \(Y\) 以及由平方零理想定义的闭子概形 \(Y_0 \subset Y\)，自然映射 \[\Mor_S(Y, X) \longrightarrow \Mor_S(Y_0, X)\] 是双射。
证明
这正是《态射进阶》引理 02HM。
这一刻画表明，定义 \(X\) 的方程组的解可以唯一地穿过幂零增厚而提升。
非分歧态射的平展（Étale）局部结构
在《态射进阶》第 04HF 节中，读者可以找到一些关于 拟有限态射之平展（étale）局部结构的结果。本节要把这些结果与本章已经 得到的非分歧态射的拓扑性质结合起来。应当记住的基本整体图景是 \[\xymatrix{ V \ar[r] \ar[dr] & X_U \ar[d] \ar[r] & X \ar[d]^f \\ & U \ar[r] & S }\] 见 More on Morphisms, Equation (02LJ)。先从一个非常一般的情形开始。
引理
设 \(f : X \to S\) 为概形态射。设 \(x_1, \ldots, x_n \in X\) 是在 \(S\) 中具有同一像 \(s\) 的点。 假设 \(f\) 在每个 \(x_i\) 处非分歧。则存在平展（étale）邻域 \((U, u) \to (S, s)\) 以及开子概形 \(V_{i, j} \subset X_U\)，\(i = 1, \ldots, n\)，\(j = 1, \ldots, m_i\)， 使得
\(V_{i, j} \to U\) 是经过 \(u\) 的闭浸入；
除非 \(i = i'\) 且 \(j = j'\)，否则 \(u\) 不在 \(V_{i, j} \cap V_{i', j'}\) 的像中；且
\((X_U)_u\) 中映到 \(x_i\) 的任意点都属于某个 \(V_{i, j}\)。
证明
由《概形态射》定义 02G4， 每个 \(x_i\) 都有一个在 \(S\) 上局部有限型的开邻域。以 \(\{x_1, \ldots, x_n\}\) 的某个开邻域代替 \(X\)，可假设 \(f\) 局部有限型。应用《态射进阶》引理 02LM， 得到平展（étale）邻域 \((U, u)\) 以及在 \(U\) 上有限的开子概形 \(V_{i, j}\)。由引理 04DG， 必要时缩小 \(U\) 后可使 \(V_{i, j} \to U\) 成为闭浸入。
引理
设 \(f : X \to S\) 为概形态射。设 \(x_1, \ldots, x_n \in X\) 是在 \(S\) 中具有同一像 \(s\) 的点。 假设 \(f\) 分离，并且 \(f\) 在每个 \(x_i\) 处非分歧。则存在平展 （étale）邻域 \((U, u) \to (S, s)\) 以及不交并分解 \[X_U = W \amalg \coprod\nolimits_{i, j} V_{i, j}\] 使得
\(V_{i, j} \to U\) 是经过 \(u\) 的闭浸入；
纤维 \(W_u\) 不含映到任意 \(x_i\) 的点。
特别地，若 \(f^{-1}(\{s\}) = \{x_1, \ldots, x_n\}\)，则纤维 \(W_u\) 为空。
证明
应用引理 04HH。可假设 \(U\) 仿射， 因而 \(X_U\) 分离。于是 \(V_{i, j} \to X_U\) 是闭映射，见 《概形态射》引理 01W6。 假设 \((i, j) \not = (i', j')\)。则 \(V_{i, j} \cap V_{i', j'}\) 是 \(V_{i, j}\) 中的闭集，而且其在 \(U\) 中的像不含 \(u\)。故缩小 \(U\) 后，可假设 \(V_{i, j} \cap V_{i', j'} = \emptyset\)。此外， \(\bigcup V_{i, j}\) 是 \(X_U\) 的开闭子概形，因而具有开闭补子概形 \(W\)。证明完成。
下述引理在某种意义上比前一引理弱得多，但在这里把它明确陈述出来可能 很有用。它断言：有限非分歧态射在基上平展（étale）局部地是闭浸入。
引理
设 \(f : X \to S\) 为有限非分歧概形态射，\(s \in S\)。 存在平展（étale）邻域 \((U, u) \to (S, s)\) 以及有限不交并分解 \[X_U = \coprod\nolimits_j V_j\] 使得每个 \(V_j \to U\) 都是闭浸入。
证明
由于 \(X \to S\) 有限，\(s\) 上的纤维是由 \(X\) 中的点组成的有限集 \(\{x_1, \ldots, x_n\}\)。对该集合应用引理 04HI（有限态射分离，见 《概形态射》第 01WG 节）。 \(W\) 在 \(U\) 中的像是闭子集（因为 \(X_U \to U\) 有限，因而固有）， 且不含 \(u\)。从 \(U\) 中删去该像后，便有 \(W = \emptyset\)，如所需。
平展（Étale）态射的平展（étale）局部结构
这看起来有些多余，但也许有助于形成对平展（étale）态射的直观认识。 只需照搬第 04HG 节的结果， 并把“闭浸入”改成“同构”。
引理
设 \(f : X \to S\) 为概形态射。设 \(x_1, \ldots, x_n \in X\) 是在 \(S\) 中具有同一像 \(s\) 的点。 假设 \(f\) 在每个 \(x_i\) 处平展（étale）。则存在平展 （étale）邻域 \((U, u) \to (S, s)\) 以及开子概形 \(V_{i, j} \subset X_U\)，\(i = 1, \ldots, n\)，\(j = 1, \ldots, m_i\)， 使得
\(V_{i, j} \to U\) 是同构；
除非 \(i = i'\) 且 \(j = j'\)，否则 \(u\) 不在 \(V_{i, j} \cap V_{i', j'}\) 的像中；且
\((X_U)_u\) 中映到 \(x_i\) 的任意点都属于某个 \(V_{i, j}\)。
证明
平展（étale）态射是非分歧态射，故可应用引理 04HH。此时 \(V_{i, j} \to U\) 既是闭浸入又平展（étale），因而是开浸入，例如可由定理 025G 得出。用诸 \(V_{i, j} \to U\) 的像的交代替 \(U\)，即得结论。
引理
设 \(f : X \to S\) 为概形态射。设 \(x_1, \ldots, x_n \in X\) 是在 \(S\) 中具有同一像 \(s\) 的点。 假设 \(f\) 分离，且 \(f\) 在每个 \(x_i\) 处平展（étale）。则存在平展 （étale）邻域 \((U, u) \to (S, s)\) 以及概形的有限不交并分解 \[X_U = W \amalg \coprod\nolimits_{i, j} V_{i, j}\] 使得
\(V_{i, j} \to U\) 是同构；
纤维 \(W_u\) 不含映到任意 \(x_i\) 的点。
特别地，若 \(f^{-1}(\{s\}) = \{x_1, \ldots, x_n\}\)，则纤维 \(W_u\) 为空。
证明
平展（étale）态射是非分歧态射，故可应用引理 04HI。与引理 04HL 的证明一样，诸态射 \(V_{i, j} \to U\) 均为开浸入；用它们的像的交代替 \(U\) 后即得结论。
下述引理在某种意义上比前一引理弱得多，但在这里把它明确陈述出来可能 很有用。它断言：有限平展（étale）态射在基上平展（étale）局部地 是一个“拓扑覆盖空间”，即基的若干个副本的有限乘积。
引理
设 \(f : X \to S\) 为有限平展（étale）概形态射，\(s \in S\)。 存在平展（étale）邻域 \((U, u) \to (S, s)\) 以及有限不交并分解 \[X_U = \coprod\nolimits_j V_j\] 使得每个 \(V_j \to U\) 都是同构。
证明
平展（étale）态射是非分歧态射，故可应用引理 04HJ。与引理 04HL 的证明一样，可知 \(V_{i, j} \to U\) 是开浸入；用它们的像的交代替 \(U\) 后即得结论。
保持性质
下面给出 Noether 局部环的平展（étale）同态（定义见定义 0258）的若干“保持”性质。关于 Noether 局部环的完备化与 Hensel 化的相应材料，见《代数进阶》第 07NU 节与 07QL。
引理
设 \(A\), \(B\) 为 Noether 局部环，且 \(A \to B\) 为局部环的平展 （étale）同态。则 \(\dim(A) = \dim(B)\)。
证明
例如见《交换代数》引理 00ON。
命题
设 \(A\), \(B\) 为 Noether 局部环，且 \(f : A \to B\) 为局部环的平展 （étale）同态。则 \(\text{depth}(A) = \text{depth}(B)\)。
证明
见《交换代数》引理 0337。
命题
设 \(A\), \(B\) 为 Noether 局部环，且 \(f : A \to B\) 为局部环的平展 （étale）同态。则 \(A\) 是 Cohen-Macaulay 环，当且仅当 \(B\) 也是。
证明
局部环 \(A\) 是 Cohen-Macaulay 环，当且仅当 \(\dim(A) = \text{depth}(A)\)。由于这两个不变量在平展（étale） 扩张下均保持不变，结论随即成立。
命题
设 \(A\), \(B\) 为 Noether 局部环，且 \(f : A \to B\) 为局部环的平展 （étale）同态。则 \(A\) 正则，当且仅当 \(B\) 正则。
证明
若 \(B\) 正则，则由《交换代数》引理 00OF，\(A\) 正则。反过来假设 \(A\) 正则。令 \(\mathfrak m\) 为 \(A\) 的极大理想。于是 \(\dim_{\kappa(\mathfrak m)} \mathfrak m/\mathfrak m^2 = \dim(A) = \dim(B)\)（见引理 039S）。 另一方面，\(\mathfrak mB\) 是 \(B\) 的极大理想，因而 \(\mathfrak m_B/\mathfrak m_B = \mathfrak mB/\mathfrak m^2B\) 至多由 \(\dim(B)\) 个元素生成。因此 \(B\) 正则。 （也可使用稍一般的《交换代数》引理 031E。）
命题
设 \(A\), \(B\) 为 Noether 局部环，且 \(f : A \to B\) 为局部环的平展 （étale）同态。则 \(A\) 约化，当且仅当 \(B\) 约化。
证明
由 \(A \to B\) 忠实平坦可立即看出：若 \(B\) 约化，则 \(A\) 也约化。 另见《交换代数》引理 033F。 反过来假设 \(A\) 约化。由假设，\(B\) 是某个有限型 \(A\)-代数 \(B'\) 在素理想 \(\mathfrak q\) 处的局部化。以一个局部化代替 \(B'\) 后， 可假设 \(B'\) 在 \(A\) 上平展（étale），见引理 039L。于是《交换代数》引理 033B 可用于 \(A \to B'\)，从而 \(B'\) 约化。因此 \(B\) 约化。
注
如果采用更弱的平展（étale）局部环映射 \(A \to B\) 定义，即去掉 \(B\) 在 \(A\) 上本质有限型这一假设，则上述关于“约化性”的结论不再成立。 确实，某个 Noether 局部整环 \(A\) 可能具有非约化的完备化 \(A^\wedge\)，见《例子》第 02JD 节。但环映射 \(A \to A^\wedge\) 平坦，\(\mathfrak m_AA^\wedge\) 是 \(A^\wedge\) 的极大理想，而且 \(A\) 与 \(A^\wedge\) 当然具有相同的 剩余域。这就是为什么必须只对本质有限型的环扩张考虑这个概念 （若 \(A\) 非 Noether，则应为本质有限呈示）。
命题
设 \(A\), \(B\) 为 Noether 局部环，且 \(f : A \to B\) 为局部环的平展 （étale）同态。则 \(A\) 是整闭整环，当且仅当 \(B\) 也是。
证明
关于整闭性的下降，见《交换代数》引理 033G。反过来假设 \(A\) 整闭。由假设， \(B\) 是某个有限型 \(A\)-代数 \(B'\) 在素理想 \(\mathfrak q\) 处的局部化。 以一个局部化代替 \(B'\) 后，可假设 \(B'\) 在 \(A\) 上平展 （étale），见引理 039L。 于是《交换代数》引理 033C 可用于 \(A \to B'\)，从而 \(B'\) 整闭。因此 \(B\) 是整闭整环。
以上命题说明了为什么我们希望把平展（étale）映射理解为“局部同构”。 还有一项性质极好地说明了这个定义确实是“正确”的：对于有限型 \(\mathbf{C}\)-概形，一个态射平展（étale），当且仅当相应解析空间上的 态射（即赋予复拓扑的 \(\mathbf{C}\)-值点之间的态射）在解析意义下为 局部同构（即在源上局部地为开嵌入）。这可借助结构定理以及解析化与 完备局部环的形成相交换这一事实来证明——细节留给读者。
平展（étale）态射的下降
为理解本节所用语言，建议读者先参阅《下降》第 023U 节。设 \(f : X \to S\) 为概形态射。 考虑拉回函子 [0BTI]\[\begin{equation} U\text{ 是在 }S\text{ 上的平展概形} \longrightarrow \begin{matrix} \text{下降数据 }(V, \varphi)\text{ 相对于 }X/S \\ \text{ 其中 }V\text{ 在 }X\text{ 上平展} \end{matrix} \end{equation}\] 它把 \(U\) 送到典范下降数据 \((X \times_S U, can)\)。
引理
若 \(f : X \to S\) 满射，则函子 (0BTI) 忠实。
证明
设 \(a, b : U_1 \to U_2\) 是两个 \(S\) 上平展（étale）概形之间的 态射，并假设 \(a\) 与 \(b\) 到 \(X\) 的基变换相同。须证 \(a = b\)。 由命题 024V，只需证明 \(a\) 与 \(b\) 在点和剩余域上相同。这是显然的，因为对每个 \(u \in U_1\)， 都可找到映到 \(u\) 的点 \(v \in X \times_S U_1\)。
引理
假设 \(f : X \to S\) 是商映射，且 \(f\) 的任意平展（étale）基变换 也是商映射。则函子 (0BTI) 全忠实。
证明
由引理 0BTJ，该函子忠实。设 \(U_1 \to S\) 与 \(U_2 \to S\) 为平展（étale）态射，并设 \(a : X \times_S U_1 \to X \times_S U_2\) 是与典范下降数据相容的 态射。我们将证明 \(a\) 是某个态射 \(U_1 \to U_2\) 的基变换。
设 \(U'_2 \subset U_2\) 为开子概形，并考虑 \(W = a^{-1}(X \times_S U'_2)\)。这是 \(X \times_S U_1\) 的开子概形， 且与 \(V_1 = X \times_S U_1\) 上的典范下降数据相容。这意味着， \(W\) 在两个投影 \(V_1 \times_{U_1} V_1 \to V_1\) 下的逆像相同。 由于 \(V_1 \to U_1\) 满射（它是 \(X \to S\) 的基变换）， \(W\) 是某个子集 \(U'_1 \subset U_1\) 的逆像。又因 \(W\) 开， 对 \(f\) 的假设蕴含 \(U'_1 \subset U_1\) 也开。
设 \(U_2 = \bigcup U_{2, i}\) 是仿射开覆盖。由上一段得到开覆盖 \(U_1 = \bigcup U_{1, i}\)，使得 \(X \times_S U_{1, i} = a^{-1}(X \times_S U_{2, i})\)。 若能证明存在态射 \(U_{1, i} \to U_{2, i}\)，其基变换是 \(a_i : X \times_S U_{1, i} \to X \times_S U_{2, i}\)， 则可利用忠实性把这些态射黏合成 \(U_1 \to U_2\)。这样便约化到 \(U_2\) 仿射的情形。特别地，\(U_2 \to S\) 分离 （《概形》引理 01KV）。
假设 \(U_2 \to S\) 分离。由《概形》引理 01KS，\(a\) 的图 \(\Gamma_a\) 是 \[V = (X \times_S U_1) \times_X (X \times_S U_2) = X \times_S U_1 \times_S U_2\] 的闭子概形。另一方面，该图也是开的，例如因为它是某个平展 （étale）态射的截面（命题 024T）。由于 \(a\) 是下降数据的态射， \(\Gamma_a \subset V\) 在两个投影 \(V \times_{U_1 \times_S U_2} V \to V\) 下的逆像相同。 因此，与证明第二段中的论证相同，可以找到开闭子概形 \(\Gamma \subset U_1 \times_S U_2\)，其到 \(X\) 的基变换为 \(\Gamma_a\)。于是 \(\Gamma \to U_1\) 是平展（étale）态射， 且到 \(X\) 的基变换是同构。这意味着 \(\Gamma \to U_1\) 泛双射， 故由定理 025G 可知它是同构。 因此 \(\Gamma\) 是某个态射 \(U_1 \to U_2\) 的图，而该态射的基变换 正是 \(a\)，如所需。
引理
设 \(f : X \to S\) 为概形态射。在下列情形中，函子 (0BTI) 全忠实：
\(f\) 满射且泛闭（例如有限、整或固有）；
\(f\) 满射且泛开（例如局部有限呈示且平坦、光滑或平展）；
\(f\) 满射、拟紧且平坦。
证明
这由引理 0BTK 得出。例如，拓扑空间的闭满射是 商映射（《拓扑学》引理 0AAU）。 有限、整和固有态射都是泛闭的；见《概形态射》引理 01WM、 01WN 以及定义 01W1。另一方面，拓扑空间的开满射是商映射 （《拓扑学》引理 02YB）。 平坦且局部有限呈示的态射、光滑态射和平展（étale）态射都是泛开的； 见《概形态射》引理 01UA、 056G 与 03WT。满射、拟紧、平坦态射的情形由 《概形态射》引理 02JY 得出。
引理
设 \(f : X \to S\) 为概形态射，\((V, \varphi)\) 为相对于 \(X/S\) 的 下降数据，其中 \(V \to X\) 平展（étale）。设 \(S = \bigcup S_i\) 为开覆盖。假设
下降数据 \((V, \varphi)\) 到 \(X \times_S S_i/S_i\) 的拉回有效；
对 \(X \times_S (S_i \cap S_j) \to (S_i \cap S_j)\)， 函子 (0BTI) 全忠实；且
对 \(X \times_S (S_i \cap S_j \cap S_k) \to (S_i \cap S_j \cap S_k)\)， 函子 (0BTI) 忠实。
则 \((V, \varphi)\) 有效。
证明
（回忆：下降数据的拉回定义于《下降》定义 02VR。） 令 \(X_i = X \times_S S_i\)，并记 \((V_i, \varphi_i)\) 为 \((V, \varphi)\) 到 \(X_i/S_i\) 的拉回。由假设 (1)，可找到平展 （étale）态射 \(U_i \to S_i\) 以及同构 \(X_i \times_{S_i} U_i \to V_i\)，它与 \(can\) 和 \(\varphi_i\) 相容。 由假设 (2)，得到同构 \(\psi_{ij} : U_i \times_{S_i} (S_i \cap S_j) \to U_j \times_{S_j} (S_i \cap S_j)\)。由假设 (3)，这些同构满足余圈条件， 故 \((U_i, \psi_{ij})\) 是 Zariski 覆盖 \(\{S_i \to S\}\) 的下降数据。 于是《下降》引理 02VY （本质上只是《概形》第 01JA 节的重述）表明：存在概形态射 \(U \to S\) 以及与 \(\psi_{ij}\) 相容的同构 \(U \times_S S_i \to U_i\)。这些同构 \(U \times_S S_i \to U_i\) 确定相应的同构 \(X_i \times_S U \to V_i\)；后者黏合成与典范下降数据和 \(\varphi\) 相容的态射 \(X \times_S U \to V\)。
引理
设 \((A, I)\) 为 Hensel 对。设 \(U \to \Spec(A)\) 为拟紧、分离且平展 （étale）的态射，并且 \(U \times_{\Spec(A)} \Spec(A/I) \to \Spec(A/I)\) 有限。则 \[U = U_{fin} \amalg U_{away}\] 其中 \(U_{fin} \to \Spec(A)\) 有限，而 \(U_{away}\) 不含位于 \(Z\) 上方的点。
证明
由 Zariski 主定理，概形 \(U\) 拟仿射。事实上，可以找到开浸入 \(U \to T\)，其中 \(T\) 仿射且 \(T \to \Spec(A)\) 有限；见 《态射进阶》引理 05K0。 写 \(Z = \Spec(A/I)\)，并记 \(U_Z \to T_Z\) 为其基变换。 由于 \(U_Z \to Z\) 有限，\(U_Z \to T_Z\) 既闭又开。因此，由 《代数进阶》引理 09XI，得到唯一分解 \(T = T' \amalg T''\)，其中 \(T'_Z = U_Z\)。令 \(U_{fin} = U \cap T'\) 与 \(U_{away} = U \cap T''\)。由于 \(T'_Z \subset U_Z\)，\(T'\) 的所有闭点都在 \(U\) 中，故 \(T' \subset U\)，从而 \(U_{fin} = T'\)，于是 \(U_{fin} \to \Spec(A)\) 有限。这里略去该分解唯一性的证明。
命题
设 \(f : X \to S\) 为满的整态射。函子 (0BTI) 诱导等价 \[\begin{matrix} \text{拟紧概形，}\\ \text{分离且在 }S\text{ 上平展} \end{matrix} \longrightarrow \begin{matrix} \text{下降数据 }(V, \varphi)\text{ 相对于 }X/S\text{ 其中}\\ V\text{ 拟紧、分离且在 }X\text{ 上平展} \end{matrix}\]
证明
由引理 0BTL，函子 (0BTI) 全忠实，而且在任意基变换 \(S \to S'\) 后仍然如此。设 \((V, \varphi)\) 是相对于 \(X/S\) 的下降数据， 其中 \(V \to X\) 拟紧、分离且平展（étale）。由引理 0BTM 可知，只需在 \(S\) 上 Zariski 局部地证明 有效性。特别地，可以并且确实假设 \(S\) 仿射。
若 \(S\) 仿射，则存在有向集 \(\Lambda\) 以及有限型 \(\Spec(\mathbf{Z})\)-仿射概形之间有限态射所成的逆系统 \(X_\lambda \to S_\lambda\)，使得 \((X \to S) = \lim (X_\lambda \to S_\lambda)\)；见《交换代数》引理 0BTG。由于极限与极限交换，可得 \(X \times_S X = \lim X_\lambda \times_{S_\lambda} X_\lambda\) 以及 \(X \times_S X \times_S X = \lim X_\lambda \times_{S_\lambda} X_\lambda \times_{S_\lambda} X_\lambda\)。 注意 \(V \to X\) 是有限呈示态射。使用《概形的极限》引理 01ZM，可找到 \(\lambda\) 以及相对于 \(X_\lambda/S_\lambda\) 的下降数据 \((V_\lambda, \varphi_\lambda)\)，其到 \(X/S\) 的拉回为 \((V, \varphi)\)。当然，只需证明 \((V_\lambda, \varphi_\lambda)\) 有效。 由构造，\(V_\lambda\) 拟紧。必要时增大 \(\lambda\) 后，可假设 \(V_\lambda \to X_\lambda\) 分离且平展（étale）；见《概形的极限》引理 01ZQ 与 07RP。因此，可假设 \(f\) 有限且满， 而 \(S\) 是有限型 \(\mathbf{Z}\)-仿射概形。
考虑开子集 \(S' \subset S\)，使得 \((V, \varphi)\) 到 \(X' = X \times_S S'\) 的拉回 \((V', \varphi')\) 有效。下面将证明： 若 \(S' \not = S\)，则存在一个严格更大的开集，使下降数据在其上有效。 由于 \(S\) 是 Noether 概形（因而其底拓扑空间也是 Noether 的）， 这将完成证明。设 \(\xi \in S\) 是闭子集 \(Z = S \setminus S'\) 某个不可约分支的一般点。若 \(\xi \in S'' \subset S\) 是一个使下降数据 在其上有效的开集，则由第一段的黏合论证，下降数据在 \(S' \cup S''\) 上有效。因此，在证明余下部分中，可以用 \(\xi\) 的 一个仿射开邻域代替 \(S\)。
第一次这样代替后，可假设 \(Z\) 不可约，且以 \(Z\) 为一般点。赋予 \(Z\) 约化的诱导闭子概形结构。再次缩小后，可假设 \(X_Z = X \times_S Z = f^{-1}(Z) \to Z\) 平坦，见《概形态射》命题 052A。 令 \((V_Z, \varphi_Z)\) 为下降数据到 \(X_Z/Z\) 的拉回。由 《态射进阶》引理 02W8， 该下降数据有效，并得到平展（étale）态射 \(U_Z \to Z\)， 其基变换以与下降数据相容的方式同构于 \(V_Z\)。当然， \(U_Z \to Z\) 拟紧且分离（《下降》引理 02KQ 与 02KU）。因此，再次缩小后， 可假设 \(U_Z \to Z\) 有限，见《概形态射》引理 02NW。
设 \(S = \Spec(A)\)，并设 \(I \subset A\) 是与 \(Z \subset S\) 对应的 素理想。令 \((A^h, IA^h)\) 为对 \((A, I)\) 的 Hensel 化。记 \(S^h = \Spec(A^h)\)，\(Z^h = V(IA^h) \cong Z\)。我们断言，只需在 基变换到 \(S^h\) 后证明有效性。事实上， \(\{S^h \to S, S' \to S\}\) 是 fpqc 覆盖（由《代数进阶》引理 0AGU， \(A \to A^h\) 平坦），而由《态射进阶》引理 02W8， 分离平展（étale）态射满足 fpqc 下降。具体地，若 \(U^h \to S^h\) 与 \(U' \to S'\) 分别是对应于拉回 \((V^h, \varphi^h)\) 与 \((V', \varphi')\) 的对象，则所需同构 \[U^h \times_S S^h \to S^h \times_S V^h \quad\text{且}\quad U^h \times_S S' \to S^h \times_S U'\] 由第一段指出的全忠实性得到。这样便约化到下一段所述情形。
现在 \(S = \Spec(A)\)，\(Z = V(I)\)，\(S' = S \setminus Z\)，其中 \((A, I)\) 为 Hensel 对；存在与下降数据 \((V', \varphi')\) 对应的 \(U' \to S'\)，以及与下降数据 \((V_Z, \varphi_Z)\) 对应的有限平展 （étale）态射 \(U_Z \to Z\)。此时不再有 \(A\) 在 \(\mathbf{Z}\) 上有限型这一条件，但余下论证甚至不会用到 \(A\) 是 Noether 环。由《代数进阶》引理 09ZL，可找到有限平展 （étale）态射 \(U_{fin} \to S\)，其在 \(Z\) 上的限制同构于 \(U_Z \to Z\)。写 \(X = \Spec(B)\) 和 \(Y = V(IB)\)。由于 \((B, IB)\) 为 Hensel 对（《代数进阶》引理 09XK），且 \(V \to X\) 到 \(Y\) 的限制有限（因为它是 \(U_Z \to Z\) 的基变换）， 可知存在典范不交并分解 \[V = V_{fin} \amalg V_{away}\] 其中 \(V_{fin} \to X\) 有限，而 \(V_{away}\) 不含位于 \(Y\) 上方的点； 见引理 0BTN。利用该分解在 \(X \times_S X\) 上的唯一性，可知 \(\varphi\) 保持此分解，从而在 下降数据范畴中有 \[(V, \varphi) = (V_{fin}, \varphi_{fin}) \amalg (V_{away}, \varphi_{away})\] 。由《代数进阶》引理 09ZL，存在唯一同构 \[X \times_S U_{fin} \longrightarrow V_{fin}\] 与 \(Y\) 上给定的同构 \(Y \times_Z U_Z \to V \times_X Y\) 相容。 由唯一性可知，该同构与下降数据相容，即 \((X \times_S U_{fin}, can) \cong (V_{fin}, \varphi_{fin})\)。 记 \(U'_{fin} = U_{fin} \times_S S'\)。由全忠实性，得到态射 \(U'_{fin} \to U'\)，它是一个开闭子概形的嵌入。然后令 \(U = U_{fin} \amalg_{U'_{fin}} U'\)（按《概形》第 01JA 节黏合概形）。 态射 \(X \times_S U_{fin} \to V\) 与 \(X \times_S U' \to V\) 黏合成态射 \(X \times_S U \to V\)，它正是所需同构。
正规交叉除子
先给出定义。
定义
设 \(X\) 为局部 Noether 概形。\(X\) 上的严格正规交叉除子是一个 有效 Cartier 除子 \(D \subset X\)，使得对每个 \(p \in D\)， 局部环 \(\mathcal{O}_{X, p}\) 正则，并且存在正则参数系 \(x_1, \ldots, x_d \in \mathfrak m_p\) 以及 \(1 \leq r \leq d\)， 使 \(D\) 在 \(\mathcal{O}_{X, p}\) 中由 \(x_1 \ldots x_r\) 截出。
我们经常遇到局部 Noether 概形 \(X\) 上的有效 Cartier 除子 \(E\)， 其满足：存在严格正规交叉除子 \(D\)，使得在集合意义下 \(E \subset D\)。此时有 \(E = \sum a_i D_i\)，其中 \(a_i \geq 0\)，而 \(D = \bigcup_{i \in I} D_i\) 是 \(D\) 的不可约分支分解。 注意 \(D' = \bigcup_{a_i > 0} D_i\) 是严格正规交叉除子，且在集合 意义下 \(E = D'\)。出现上述情形时，称 \(E\) 支撑于一个严格正规交叉除子上。
引理
设 \(X\) 为局部 Noether 概形，\(D \subset X\) 为有效 Cartier 除子。 设 \(D_i \subset D\)，\(i \in I\)，为其不可约分支，并把它们视为 \(X\) 的约化闭子概形。下列条件等价：
\(D\) 是严格正规交叉除子；且
\(D\) 约化，每个 \(D_i\) 都是有效 Cartier 除子，并且对有限子集 \(J \subset I\)，概形论交 \(D_J = \bigcap_{j \in J} D_j\) 是正则概形，其每个不可约分支在 \(X\) 中的余维数均为 \(|J|\)。
证明
假设 \(D\) 是严格正规交叉除子。取 \(p \in D\)，并按定义 0BI9 选取正则参数系 \(x_1, \ldots, x_d \in \mathfrak m_p\) 以及 \(1 \leq r \leq d\)。由于 \(\mathcal{O}_{X, p}/(x_i)\) 是正则局部环 （特别地，是整环），穿过 \(p\) 的 \(D\) 的不可约分支 \(D_1, \ldots, D_r\) 与 \(\mathcal{O}_{X, p}\) 的高为一的素理想 \((x_1), \ldots, (x_r)\) 按 \(1\) 对 \(1\) 对应。由《交换代数》引理 00NQ，诸交 \(D_{i_1} \cap \ldots \cap D_{i_s}\) 在 \(p\) 的某个开邻域中余维数为 \(s\)，而且该交在 \(p\) 处具有正则局部环。由于这对每个 \(p \in D\) 都成立，故条件 (2) 成立。
反过来假设 (2)。设 \(p \in D\)。由于 \(\mathcal{O}_{X, p}\) 有限维，点 \(p\) 至多属于 \(\dim(\mathcal{O}_{X, p})\) 个分支 \(D_i\)。设对某个 \(r \geq 1\) 有 \(p \in D_1, \ldots, D_r\)。 令 \(x_1, \ldots, x_r \in \mathfrak m_p\) 分别为 \(D_1, \ldots, D_r\) 的局部方程。则 \(x_1\) 是 \(\mathcal{O}_{X, p}\) 中的非零因子，且 \(\mathcal{O}_{X, p}/(x_1) = \mathcal{O}_{D_1, p}\) 正则。 因此 \(\mathcal{O}_{X, p}\) 正则，见《交换代数》引理 00NU。由于 \(D_1 \cap \ldots \cap D_r\) 是正则（因而整闭）概形，它是其不可约 分支的不交并（《概形的性质》引理 033M）。令 \(Z \subset D_1 \cap \ldots \cap D_r\) 为含 \(p\) 的不可约分支。 于是 \(\mathcal{O}_{Z, p} = \mathcal{O}_{X, p}/(x_1, \ldots, x_r)\) 正则且余维数为 \(r\)（注意，已经知道 \(\mathcal{O}_{X, p}\) 正则， 从而是 Cohen-Macaulay 环；又因为该环链状，余维数没有歧义，见 《交换代数》引理 00NQ 与 00NA）。因此 \(\dim(\mathcal{O}_{Z, p}) = \dim(\mathcal{O}_{X, p}) - r\)。 再选取 \(x_{r + 1}, \ldots, x_n \in \mathfrak m_p\)，使其像构成 \(\mathfrak m_{Z, p}\) 的极小生成系。由 Nakayama 引理， \(\mathfrak m_p = (x_1, \ldots, x_n)\)，从而 \(D\) 是正规交叉除子。
引理
设 \(X\) 为局部 Noether 概形，\(D \subset X\) 为严格正规交叉除子。 若 \(f : Y \to X\) 是光滑概形态射，则拉回 \(f^*D\) 是 \(Y\) 上的 严格正规交叉除子。
证明
由于 \(f\) 平坦，拉回由《除子》引理 02OO 定义， 故该陈述有意义。设 \(q \in f^*D\) 映到 \(p \in D\)。按定义 0BI9 选取正则参数系 \(x_1, \ldots, x_d \in \mathfrak m_p\) 以及 \(1 \leq r \leq d\)。由于 \(f\) 光滑，局部环同态 \(\mathcal{O}_{X, p} \to \mathcal{O}_{Y, q}\) 平坦，而且纤维环 \[\mathcal{O}_{Y, q}/\mathfrak m_p \mathcal{O}_{Y, q} = \mathcal{O}_{Y_p, q}\] 是正则局部环（例如见《交换代数》引理 00TT）。选取 \(y_1, \ldots, y_n \in \mathfrak m_q\)，使其像构成 \(\mathcal{O}_{Y_p, q}\) 的正则参数系。于是 \(x_1, \ldots, x_d, y_1, \ldots, y_n\) 生成极大理想 \(\mathfrak m_q\)。由《交换代数》引理 00ON， \(\mathcal{O}_{Y, q}\) 是维数为 \(d + n\) 的正则局部环，而 \(x_1, \ldots, x_d, y_1, \ldots, y_n\) 是其正则参数系。由于 \(f^*D\) 在 \(\mathcal{O}_{Y, q}\) 中由 \(x_1 \ldots x_r\) 截出， 引理得证。
下面定义正规交叉除子。
定义
设 \(X\) 为局部 Noether 概形。\(X\) 上的正规交叉除子是一个 有效 Cartier 除子 \(D \subset X\)，使得对每个 \(p \in D\)， 都存在像中含 \(p\) 的平展（étale）态射 \(U \to X\)，并且 \(D \times_X U\) 是 \(U\) 上的严格正规交叉除子。
例如，\(D = V(x^2 + y^2)\) 是 \(\Spec(\mathbf{R}[x, y])\) 上的 正规交叉除子（但不是严格正规交叉除子），因为拉回到平展 （étale）覆盖 \(\Spec(\mathbf{C}[x, y])\) 后得到 \((x - iy)(x + iy) = 0\)。
引理
设 \(X\) 为局部 Noether 概形，\(D \subset X\) 为正规交叉除子。 若 \(f : Y \to X\) 是光滑概形态射，则拉回 \(f^*D\) 是 \(Y\) 上的 正规交叉除子。
证明
由于 \(f\) 平坦，拉回由《除子》引理 02OO 定义， 故该陈述有意义。设 \(q \in f^*D\) 映到 \(p \in D\)。 按定义 0BSF，选取像中含 \(p\) 的 平展（étale）态射 \(U \to X\)，使得 \(D \times_X U \subset U\) 为严格正规交叉除子。 令 \(V = Y \times_X U\)。于是 \(V \to Y\) 是 \(U \to X\) 基变换所得 的平展（étale）态射（《概形态射》引理 02GO），而由引理 0CBP， 拉回 \(D \times_X V\) 是 \(V\) 上的严格正规交叉除子。 因此已对 \(q \in f^*D\) 验证定义 0BSF 的条件，结论成立。
引理
设 \(X\) 为局部 Noether 概形，\(D \subset X\) 为闭子概形。下列条件等价：
\(D\) 是 \(X\) 中的正规交叉除子；
\(D\) 约化，正规化 \(\nu : D^\nu \to D\) 非分歧，并且对任意 \(n \geq 1\)，概形 \[Z_n = D^\nu \times_D \ldots \times_D D^\nu \setminus \{(p_1, \ldots, p_n) \mid p_i = p_j\text{ 对某个 }i\not = j\}\] 正则，而态射 \(Z_n \to X\) 是局部完全交态射，其余法层局部自由且 秩为 \(n\)。
证明
先说明如何理解条件 (2)。非分歧态射的对角态射是开的 （《概形态射》引理 02GE）。 另一方面，\(D^\nu \to D\) 分离，故对角态射 \(D^\nu \to D^\nu \times_D D^\nu\) 是闭的。因此 \(Z_n\) 是 \(D^\nu \times_D \ldots \times_D D^\nu\) 的开闭子概形。 另一方面，\(Z_n \to X\) 非分歧，因为它是复合 \[Z_n \to D^\nu \times_D \ldots \times_D D^\nu \to \ldots \to D^\nu \times_D D^\nu \to D^\nu \to D \to X\] 而其中每个箭头都非分歧。由于非分歧态射形式非分歧 （《态射进阶》引理 02HE）， \(Z_n \to X\) 具有余法层 \(\mathcal{C}_n = \mathcal{C}_{Z_n/X}\)，见《态射进阶》定义 04F4。
由《态射进阶》引理 07TD，正规化的形成与 平展（étale）局部化交换。以下性质都可以平展（étale）局部地 检验：局部环正则；态射非分歧；态射为局部完全交；或者态射非分歧且 具有给定秩的局部自由余法层（见《代数进阶》引理 0AH0，《下降》引理 02VM，《态射进阶》引理 069N，以及《下降》引理 05B2）。
由上一段的说明和正规交叉除子的定义，只需证明严格正规交叉除子 \(D = \bigcup_{i \in I} D_i\) 满足 (2)。在此情形， \(D^\nu = \coprod D_i\)，且 \(D^\nu \to D\) 非分歧（非分歧性在源上 是局部的，而 \(D_i \to D\) 是非分歧的闭浸入）。类似地， \(Z_1 = D^\nu \to X\) 是局部完全交态射，因为这可以在源上局部检验， 而每个态射 \(D_i \to X\) 都是正则浸入：它是 Cartier 除子的包含 （见引理 0BIA 与《态射进阶》引理 069L）。 由于有效 Cartier 除子的余法层可逆，余法层的要求得以满足。 同样，对 \(n \geq 2\)，概形 \(Z_n\) 是诸概形 \(D_J = \bigcap_{j \in J} D_j\) 的不交并，其中 \(J \subset I\) 遍历所有基数为 \(n\) 的子集。由于 \(D_J \to X\) 是余维数为 \(n\) 的正则浸入（由严格正规交叉的定义，以及可通过《除子》引理 063I 在茎上检验 这一事实），同理可知 \(Z_n \to X\) 具有所需性质。略去若干细节。
假设 (2)。设 \(p \in D\)。由于 \(D^\nu \to D\) 非分歧，它是有限的 （由《概形态射》引理 01WJ）。 故 \(D^\nu \to X\) 有限且非分歧。由引理 04HJ 和平展（étale）局部化 （根据第二段的讨论和正规交叉除子的定义，这是允许的），可约化到如下 情形： \(D^\nu = \coprod_{i \in I} D_i\)，其中 \(I\) 有限，且 \(D_i \to U\) 为闭浸入。必要时缩小 \(X\) 后，可假设对所有 \(i \in I\) 都有 \(p \in D_i\)。条件 \(Z_1 = D^\nu \to X\) 是非分歧局部完全交态射，且其余法层局部自由、 秩为 \(1\)；这蕴含 \(D_i \subset X\) 是有效 Cartier 除子，见 《态射进阶》引理 069G 与《除子》引理 063L。 为完成证明，可假设 \(X = \Spec(A)\) 仿射，且 \(D_i = V(f_i)\)， 其中 \(f_i \in A\) 是非零因子。若 \(I = \{1, \ldots, r\}\)，则 \(p \in Z_r = V(f_1, \ldots, f_r)\)。上面所引的同一结果表明， \((f_1, \ldots, f_r)\) 是 \(A\) 中的 Koszul 正则理想。由于余法层 秩为 \(r\)，\(f_1, \ldots, f_r\) 是定义 \(\mathcal{O}_{X, p}\) 中 \(Z_r\) 之理想的极小生成系。这蕴含 \(f_1, \ldots, f_r\) 是 \(\mathcal{O}_{X, p}\) 中的正则序列，且 \(\mathcal{O}_{X, p}/(f_1, \ldots, f_r)\) 正则。因此，由《交换代数》引理 00NU， \(f_1, \ldots, f_r\) 可扩充成 \(\mathcal{O}_{X, p}\) 的正则参数系， 证明完成。
引理
设 \(X\) 为局部 Noether 概形，\(D \subset X\) 为闭子概形。若 \(X\) 是 J-2 或 Nagata 概形，则下列条件等价：
\(D\) 是 \(X\) 中的正规交叉除子；
对每个 \(p \in D\)，\(D\) 到严格 Hensel 化 \(\mathcal{O}_{X, p}^{sh}\) 的谱的拉回是严格正规交叉除子。
证明
蕴含 (1) \(\Rightarrow\) (2) 是直接的，而且不需要 \(X\) 为 J-2 或 Nagata 概形这一假设。事实上，设 \(p \in D\)，选取平展（étale） 邻域 \((U, u) \to (X, p)\)，使得 \(D\) 的拉回是 \(U\) 上的严格正规 交叉除子。于是 \(\mathcal{O}_{X, p}^{sh} = \mathcal{O}_{U, u}^{sh}\)； 由于在 \(\mathcal{O}_{U, u}\) 中已经如此，可知 \(D\) 在 \(\Spec(\mathcal{O}_{U, u}^{sh})\) 上的迹由某个正则参数系的一部分截出。
为证明反向蕴含，将使用引理 0CBR 的判据。 注意正规化 \(D^\nu \to D\) 的形成与严格 Hensel 化交换，见 《态射进阶》引理 0CBM。 若能证明 \(D^\nu \to D\) 有限，则 \(D^\nu \to D\) 和诸概形 \(Z_n\) 都满足所需性质，因为这些性质都可以在局部环层面检验 （但态射 \(D^\nu \to D\) 的有限性不能在局部环上检验）。 略去详细验证。
若 \(X\) 为 Nagata 概形，则由《概形态射》引理 035S， \(D^\nu \to D\) 有限。
假设 \(X\) 是 J-2 概形。选取点 \(p \in D\)。我们将证明 \(D^\nu \to D\) 在 \(p\) 的某个邻域上有限。由假设， \(\mathcal{O}_{X, p}^{sh}\) 存在正则参数系 \(f_1, \ldots, f_d\) 以及 \(1 \leq r \leq d\)，使得 \(D\) 在 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, p}^{sh})\) 上的迹由 \(f_1 \ldots f_r\) 截出。 于是 \[D^\nu \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, p}^{sh}) = \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, r} V(f_i)\] 选取仿射平展（étale）邻域 \((U, u) \to (X, p)\)，使得 \(f_i\) 来自 \(f_i \in \mathcal{O}_U(U)\)。令 \(D_i = V(f_i) \subset U\)。 \(\mathcal{O}_{D_i, u}\) 的严格 Hensel 化为 \(\mathcal{O}_{X, p}^{sh}/(f_i)\)，而后者正则。因此 \(\mathcal{O}_{D_i, u}\) 正则（例如由《代数进阶》引理 06LN）。由于 \(X\) 是 J-2 概形，正则轨迹在 \(D_i\) 中开。因此，以某个 Zariski 开集代替 \(U\) 后，可假设对每个 \(i\)，\(D_i\) 都正则。于是 \[\coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, r} D_i = D^\nu \times_X U \longrightarrow D \times_X U\] 是正规化态射，并且显然有限。换言之，已经找到 \((X, p)\) 的平展 （étale）邻域 \((U, u)\)，使得 \(D^\nu \to D\) 到该邻域的基变换 有限。由下降（《下降》引理 02LA），这蕴含 \(D^\nu \to D\) 有限，证明完成。