概形的上同调

引言

本章首先证明关于准凝聚层上同调的一系列结果。一个基础参考文献是 [EGA]。在此基础上，我们将进一步讨论 Noether 情形下凝聚层的上同调。见 [FAC]。

准凝聚层的 Čech 上同调

设 \(X\) 为概形。设 \(U \subset X\) 为仿射开集。回忆，\(U\) 的一个标准开覆盖是形如 \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i = 1}^n D(f_i)\) 的覆盖，其中 \(f_1, \ldots, f_n \in \Gamma(U, \mathcal{O}_X)\) 生成单位理想；见《概形》定义 01HT。

引理

设 \(X\) 为概形。设 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i = 1}^n D(f_i)\) 为 \(X\) 的一个仿射开集的标准开覆盖。则 \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = 0\) 对所有 \(p > 0\) 均成立。

证明

写成 \(U = \Spec(A)\)，其中 \(A\) 为某个环。换言之，\(f_1, \ldots, f_n\) 是 \(A\) 中生成 \(A\) 的单位理想的元素。写成 \(\mathcal{F}|_U = \widetilde{M}\)，其中这个 \(A\)-模记作 \(M\)。显然，Čech 复形 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) 可与下列复形等同： \[\prod\nolimits_{i_0} M_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0i_1} M_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \prod\nolimits_{i_0i_1i_2} M_{f_{i_0}f_{i_1}f_{i_2}} \to \ldots\] 我们需要证明扩充复形 [01XA]\[\begin{equation} 0 \to M \to \prod\nolimits_{i_0} M_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0i_1} M_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \prod\nolimits_{i_0i_1i_2} M_{f_{i_0}f_{i_1}f_{i_2}} \to \ldots \end{equation}\]

正合；我们已在《代数》引理 00EK 中研究过它的截断。只需证明复形 (01XA) 在任意素理想 \(\mathfrak p\) 处局部化后正合；见《代数》引理 00HN。事实上，我们将证明该扩充复形在 \(\mathfrak p\) 处局部化后零伦。

存在指标 \(i\)，使得 \(f_i \not \in \mathfrak p\)。选定这样的指标，并记为 \(i_{\text{fix}}\)。注意 \(M_{f_{i_{\text{fix}}}, \mathfrak p} = M_{\mathfrak p}\)。类似地，对乘积 \(f_{i_0} \ldots f_{i_p}\) 再在 \(\mathfrak p\) 处局部化时，其中任一因子 \(f_{i_j}\)，只要 \(i_j = i_{\text{fix}}\)，均可略去。定义同伦 \[h : \prod\nolimits_{i_0 \ldots i_{p + 1}} M_{f_{i_0} \ldots f_{i_{p + 1}}, \mathfrak p} \longrightarrow \prod\nolimits_{i_0 \ldots i_p} M_{f_{i_0} \ldots f_{i_p}, \mathfrak p}\] 如下： \[h(s)_{i_0 \ldots i_p} = s_{i_{\text{fix}} i_0 \ldots i_p}\] （这与《上同调》引理 01EM 证明中的同伦“对偶”。）换言之，\(h : \prod_{i_0} M_{f_{i_0}, \mathfrak p} \to M_\mathfrak p\) 是到因子 \(M_{f_{i_{\text{fix}}}, \mathfrak p} = M_{\mathfrak p}\) 的投影；一般地，映射 \(h\) 是到诸因子 \(M_{f_{i_{\text{fix}}} f_{i_1} \ldots f_{i_{p + 1}}, \mathfrak p} = M_{f_{i_1} \ldots f_{i_{p + 1}}, \mathfrak p}\) 的投影。计算得 \[\begin{align*} (dh + hd)(s)_{i_0 \ldots i_p} & = \sum\nolimits_{j = 0}^p (-1)^j h(s)_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p} + d(s)_{i_{\text{fix}} i_0 \ldots i_p}\\ & = \sum\nolimits_{j = 0}^p (-1)^j s_{i_{\text{fix}} i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p} + s_{i_0 \ldots i_p} + \sum\nolimits_{j = 0}^p (-1)^{j + 1} s_{i_{\text{fix}} i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p} \\ & = s_{i_0 \ldots i_p} \end{align*}\] 这就按要求证明了恒等映射零伦。

下一个引理特别表明：对任意仿射概形 \(X\) 以及任意准凝聚层 \(\mathcal{F}\)（定义在 \(X\) 上），均有 \[H^p(X, \mathcal{F}) = 0\] 其中 \(p > 0\)。

引理

设 \(X\) 为概形。设 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。对任意仿射开集 \(U \subset X\)，均有 \(H^p(U, \mathcal{F}) = 0\)，其中 \(p > 0\)。

证明

我们应用《上同调》引理 01EW。取拓扑基 \(\mathcal{B}\)；这里考虑 \(X\) 的拓扑，并使用 \(X\) 的全部仿射开集。取开覆盖集 \(\text{Cov}\) 为 \(X\) 的仿射开集的全部标准开覆盖。下面验证《上同调》引理 01EW 的条件 (1)、(2) 和 (3)。注意，仿射概形中两个标准开集的交仍为标准开集，故性质 (1) 成立。这些覆盖构成 \(\mathcal{B}\) 中任一元素的开覆盖的共尾系；见《概形》引理 01HS。故 (2) 成立。最后，条件 (3) 来自引理 01X9。

下面给出仿射概形上准凝聚层上同调消失的相对版本。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。若 \(f\) 仿射，则 \(R^if_*\mathcal{F} = 0\) 对所有 \(i > 0\) 均成立。

证明

按照《上同调》引理 01E4，层 \(R^if_*\mathcal{F}\) 是预层 \(V \mapsto H^i(f^{-1}(V), \mathcal{F}|_{f^{-1}(V)})\) 的层化。由假设，只要 \(V\) 仿射，\(f^{-1}(V)\) 就仿射；见《态射》定义 01S6。由引理 01XB 可知， \(H^i(f^{-1}(V), \mathcal{F}|_{f^{-1}(V)}) = 0\) 只要 \(V\) 仿射就成立。由于 \(S\) 有一个由仿射开集构成的基，结论成立。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形的仿射态射。设 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \(H^i(X, \mathcal{F}) = H^i(S, f_*\mathcal{F})\) 对所有 \(i \geq 0\) 均成立。

证明

这来自引理 01XC 以及 Leray 谱序列。见《上同调》引理 01F4。

下面两个引理说明何时可用 Čech 上同调计算准凝聚模的上同调。

引理

设 \(X\) 为概形。下列条件等价：

\(X\) 的对角态射 \(\Delta : X \to X \times X\) 仿射；

对任意仿射开集 \(U, V \subset X\)，交 \(U \cap V\) 仿射；以及

存在开覆盖 \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\)，使得 \(U_{i_0 \ldots i_p}\) 对所有 \(p \ge 0\) 以及所有 \(i_0, \ldots, i_p \in I\) 都是仿射开集。

特别地，若 \(X\) 分离，则这些条件成立。

证明

假设 \(X\) 的对角态射仿射。设 \(U, V \subset X\) 为仿射开集。则 \(U \cap V = \Delta^{-1}(U \times V)\) 仿射，故 (2) 成立。 (2) 蕴含 (3) 是立即的。反之，若 \(X\) 有如 (3) 所述的覆盖，则 \(X \times X = \bigcup U_i \times U_{i'}\) 是仿射开覆盖，并且 \(\Delta^{-1}(U_i \times U_{i'}) = U_i \cap U_{i'}\) 仿射。于是由《态射》引理 01S8，\(\Delta\) 是仿射态射。最后一个断言来自《概形》引理 01KP。

引理

设 \(X\) 为概形。设 \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\) 为开覆盖，并且 \(U_{i_0 \ldots i_p}\) 对所有 \(p \ge 0\) 以及所有 \(i_0, \ldots, i_p \in I\) 都是仿射开集。在这种情况下，对任意准凝聚层 \(\mathcal{F}\)，均有 \[\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = H^p(X, \mathcal{F})\] 作为 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)-模的等式，并对所有 \(p\) 成立。

证明

由引理 01XB，这是《上同调》引理 01ET 的特殊情形。

上同调的消失

我们已经看到，在仿射概形上，任意准凝聚层的高阶上同调群都消失（引理 01XB）。事实证明，这一性质也刻画仿射概形。我们给出两个版本。

引理

设 \(X\) 为概形。假设：

\(X\) 拟紧；

对每个准凝聚理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)，均有 \(H^1(X, \mathcal{I}) = 0\)。

则 \(X\) 仿射。

证明

设 \(x \in X\) 为闭点。设 \(U \subset X\) 为 \(x\) 的一个仿射开邻域。写成 \(U = \Spec(A)\)，并令 \(\mathfrak m \subset A\) 为对应于 \(x\) 的极大理想。置 \(Z = X \setminus U\) 以及 \(Z' = Z \cup \{x\}\)。由《概形》引理 01J3，存在准凝聚理想层 \(\mathcal{I}\) 和 \(\mathcal{I}'\)，它们分别截出约化闭子概形 \(Z\) 和 \(Z'\)。考虑短正合列 \[0 \to \mathcal{I}' \to \mathcal{I} \to \mathcal{I}/\mathcal{I}' \to 0.\] 由于 \(x\) 是 \(X\) 的闭点且 \(x \not \in Z\)， \(\mathcal{I}/\mathcal{I}'\) 支持在 \(x\) 上。事实上， \(\mathcal{I}/\mathcal{I'}\) 到 \(U\) 的限制对应于 \(A\)-模 \(A/\mathfrak m\)。因此 \(\Gamma(X, \mathcal{I}/\mathcal{I'}) = A/\mathfrak m\)。由于依假设 \(H^1(X, \mathcal{I}') = 0\)，存在整体截面 \(f \in \Gamma(X, \mathcal{I})\)，它映到元素 \(1 \in A/\mathfrak m\)；这里把它视为 \(\mathcal{I}/\mathcal{I'}\) 的截面。显然 \(x \in X_f \subset U\)。这意味着 \(X_f = D(f_A)\)，其中 \(f_A\) 是 \(f\) 在 \(A = \Gamma(U, \mathcal{O}_X)\) 中的像。特别地，\(X_f\) 仿射。

考虑并集 \(W = \bigcup X_f\)，其中遍历所有 \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 且 \(X_f\) 仿射。显然 \(W\) 是 \(X\) 的开集。由上述论证，\(X\) 的每个闭点都包含在 \(W\) 中。闭子集 \(X \setminus W\)（它是 \(X\) 中的闭子集）也拟紧（见《拓扑学》引理 005C）。因此，如果它非空，就有闭点（见《拓扑学》引理 005E）。这将与所有闭点都在 \(W\) 中矛盾。故 \(X = W\)。

选择有限多个 \(f_1, \ldots, f_n \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)，使得 \(X = X_{f_1} \cup \ldots \cup X_{f_n}\)，并且每个 \(X_{f_i}\) 都仿射。由上述论证，这样的选择是可能的。由《性质》引理 01QF，为完成证明，只需证明 \(f_1, \ldots, f_n\) 在 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 中生成单位理想。考虑短正合列 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{O}_X^{\oplus n} \ar[rr]^{f_1, \ldots, f_n} & & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 }\] 由 \(f_1, \ldots, f_n\) 定义的箭头满射，因为诸开集 \(X_{f_i}\) 覆盖 \(X\)。令 \(\mathcal{F}\) 为该满射的核。注意，\(\mathcal{F}\) 有滤过 \[0 = \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_n = \mathcal{F}\] 使得每个子商 \(\mathcal{F}_i/\mathcal{F}_{i - 1}\) 都同构于一个准凝聚理想层。具体而言，可取 \(\mathcal{F}_i\) 为 \(\mathcal{F}\) 与前 \(i\) 个直和因子的交；这些因子属于 \(\mathcal{O}_X^{\oplus n}\)。引理的假设蕴含 \(H^1(X, \mathcal{F}_i/\mathcal{F}_{i - 1}) = 0\) 对所有 \(i\) 都成立。于是 \(H^1(X, \mathcal{F}_2) = 0\)，因为它夹在 \(H^1(X, \mathcal{F}_1)\) 与 \(H^1(X, \mathcal{F}_2/\mathcal{F}_1)\) 之间。如此继续，可得 \(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\)。因此，映射 \[\xymatrix{ \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \Gamma(X, \mathcal{O}_X) \ar[rr]^{f_1, \ldots, f_n} & & \Gamma(X, \mathcal{O}_X) }\] 如所需为满射。

注意，若 \(X\) 是 Noether 概形，则每个准凝聚理想层自动是凝聚理想层，也是有限型准凝聚理想层。因此在这种情况下，前一引理与下一引理均适用。

引理

设 \(X\) 为概形。假设：

\(X\) 拟紧；

\(X\) 拟分离；并且

\(H^1(X, \mathcal{I}) = 0\) 对每个有限型准凝聚理想层 \(\mathcal{I}\) 均成立。

则 \(X\) 仿射。

证明

由《性质》引理 01PG，每个准凝聚理想层都是有限型准凝聚理想层的有向余极限。由《上同调》引理 01FF，在 \(X\) 上取上同调与有向余极限可交换。因此，\(H^1(X, \mathcal{I}) = 0\) 对 \(X\) 上的每个准凝聚理想层均成立。换言之，引理 01XF 适用。

可以利用上述论证给出一个判定可逆层何时丰沛的充分条件。不过我们提醒读者，这个条件并非必要。

引理

设 \(X\) 为概形。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设：

\(X\) 拟紧；

对每个准凝聚理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)，存在 \(n \geq 1\)，使得 \(H^1(X, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\)。

则 \(\mathcal{L}\) 丰沛。

证明

证明与引理 01XF 完全相同。设 \(x \in X\) 为闭点。设 \(U \subset X\) 为 \(x\) 的仿射开邻域，并且 \(\mathcal{L}|_U \cong \mathcal{O}_U\)。写成 \(U = \Spec(A)\)，并令 \(\mathfrak m \subset A\) 为对应于 \(x\) 的极大理想。置 \(Z = X \setminus U\) 以及 \(Z' = Z \cup \{x\}\)。由《概形》引理 01J3，存在准凝聚理想层 \(\mathcal{I}\) 和 \(\mathcal{I}'\)，它们分别截出约化闭子概形 \(Z\) 和 \(Z'\)。考虑短正合列 \[0 \to \mathcal{I}' \to \mathcal{I} \to \mathcal{I}/\mathcal{I}' \to 0.\] 对每个 \(n \geq 1\)，得到短正合列 \[0 \to \mathcal{I}' \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n} \to \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n} \to \mathcal{I}/\mathcal{I}' \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n} \to 0.\] 由假设，可选择 \(n\)，使得 \(H^1(X, \mathcal{I}' \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\)。由于 \(x\) 是 \(X\) 的闭点且 \(x \not \in Z\)， \(\mathcal{I}/\mathcal{I}'\) 支持在 \(x\) 上。事实上， \(\mathcal{I}/\mathcal{I'}\) 到 \(U\) 的限制对应于 \(A\)-模 \(A/\mathfrak m\)。由于 \(\mathcal{L}\) 在 \(U\) 上平凡， \(\mathcal{I}/\mathcal{I}' \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}\) 到 \(U\) 的限制也对应于 \(A\)-模 \(A/\mathfrak m\)。因此 \(\Gamma(X, \mathcal{I}/\mathcal{I'} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) = A/\mathfrak m\)。根据所选的 \(n\)，存在整体截面 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n})\)，它映到元素 \(1 \in A/\mathfrak m\)。显然 \(x \in X_s \subset U\)，因为 \(s\) 在 \(Z\) 的点处消失。这意味着 \(X_s = D(f)\)，其中 \(f \in A\) 是 \(s\) 在 \(A \cong \Gamma(U, \mathcal{L}^{\otimes n})\) 中的像。特别地，\(X_s\) 仿射。

考虑并集 \(W = \bigcup X_s\)，其中遍历所有 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\)，取 \(n \geq 1\)，并要求 \(X_s\) 仿射。显然 \(W\) 是 \(X\) 的开集。由上述论证，\(X\) 的每个闭点都包含在 \(W\) 中。闭子集 \(X \setminus W\)（它是 \(X\) 中的闭子集）也拟紧（见《拓扑学》引理 005C）。因此，如果它非空，就有闭点（见《拓扑学》引理 005E）。这将与所有闭点都在 \(W\) 中矛盾。故 \(X = W\)。由《性质》定义 01PS，这意味着 \(\mathcal{L}\) 丰沛。

引理 0B5P 有一个使用有限型理想层的变体；若以后需要，我们将在此陈述并证明。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拟紧态射，并且 \(X\) 和 \(Y\) 均拟分离。若 \(R^1f_*\mathcal{I} = 0\) 对每个准凝聚理想层 \(\mathcal{I}\)（定义在 \(X\) 上）均成立，则 \(f\) 仿射。

证明

设 \(V \subset Y\) 为仿射开子概形。我们需要证明 \(U = f^{-1}(V)\) 仿射。由《概形》引理 03GI，包含态射 \(V \to Y\) 拟紧。因此基变换 \(U \to X\) 拟紧；见《概形》引理 01K5。于是，任意准凝聚理想层 \(\mathcal{I}\)（定义在 \(U\) 上）都可延拓为 \(X\) 上的准凝聚理想层；见《性质》引理 01PE。由于 \(R^1f_*\) 的构造在 \(Y\) 上是局部的（《上同调》节 01E0），由引理中的假设可得 \(R^1(U \to V)_*\mathcal{I} = 0\)。因此由 Leray 谱序列（《上同调》引理 01F2），可得 \(H^1(U, \mathcal{I}) = H^1(V, (U \to V)_*\mathcal{I})\)。由《概形》引理 01LC， \((U \to V)_*\mathcal{I}\) 准凝聚，故由引理 01XB， \(H^1(V, (U \to V)_*\mathcal{I}) = 0\)。于是由引理 01XF， \(U\) 仿射。

高阶直像的准凝聚性

我们已经看到，仿射概形上一个准凝聚模的高阶上同调群为零。对拟分离拟紧概形 \(X\)，这蕴含准凝聚层的上同调群在某一次数以上消失。然而，\(X\) 未必具有有限上同调维数，因为上同调维数的定义要求所有 \(\mathcal{O}_X\)-模的上同调都消失。

引理

设 \(X\) 为拟紧拟分离概形。设 \(P\) 是 \(X\) 的拟紧开集所具有的一个性质。假设：

\(P\) 对 \(X\) 的每个仿射开集成立；

若 \(U\) 是拟紧开集，\(V\) 是仿射开集，且 \(P\) 对 \(U\)、\(V\) 和 \(U \cap V\) 成立，则 \(P\) 对 \(U \cup V\) 成立。

则 \(P\) 对 \(X\) 的每个拟紧开集成立，特别地对 \(X\) 成立。

证明

首先用归纳法证明 \(P\) 对分离的拟紧开集 \(W \subset X\) 成立。事实上，可将这样的开集写成 \(W = U_1 \cup \ldots \cup U_n\)，并对 \(n\) 归纳；在性质 (2) 中取 \(U = U_1 \cup \ldots \cup U_{n - 1}\) 和 \(V = U_n\)。这是允许的，因为 \(U \cap V = (U_1 \cap U_n) \cup \ldots \cup (U_{n - 1} \cap U_n)\) 也是 \(n - 1\) 个仿射开子概形之并；这里把《概形》引理 01KP 应用于仿射开集 \(U_i\) 和 \(U_n\)，它们均为 \(W\) 的仿射开集。由此，对任意拟紧开集 \(W \subset X\)，可对覆盖 \(W\) 所需的仿射开集数目归纳，使用与前面相同的办法，并利用如下事实：拟紧开集 \(U_i \cap U_n\) 作为仿射概形 \(U_n\) 的开子概形是分离的。

引理

设 \(X\) 为具有仿射对角态射的拟紧概形（例如，若 \(X\) 分离）。令 \(t = t(X)\) 为覆盖 \(X\) 所需的仿射开集的最小数目。则均有 \(H^n(X, \mathcal{F}) = 0\)，其中 \(n \geq t\) 任意， \(\mathcal{F}\) 为任意准凝聚层。

证明

第一种证明。对 \(t\) 归纳。若 \(t = 1\)，结论来自引理 01XB。若 \(t > 1\)，写成 \(X = U \cup V\)，其中 \(V\) 为仿射开集，而 \(U = U_1 \cup \ldots \cup U_{t - 1}\) 是 \(t - 1\) 个仿射开集之并。注意，此时 \(U \cap V = (U_1 \cap V) \cup \ldots (U_{t - 1} \cap V)\) 也是 \(t - 1\) 个仿射开子概形之并。事实上，因为对角态射仿射，两个仿射开集的交仿射；见引理 0BDX。应用 Mayer–Vietoris 长正合列 \[0 \to H^0(X, \mathcal{F}) \to H^0(U, \mathcal{F}) \oplus H^0(V, \mathcal{F}) \to H^0(U \cap V, \mathcal{F}) \to H^1(X, \mathcal{F}) \to \ldots\] 见《上同调》引理 01EB。由归纳可知，群 \(H^i(U, \mathcal{F})\)、 \(H^i(V, \mathcal{F})\) 和 \(H^i(U \cap V, \mathcal{F})\) 在 \(i \geq t - 1\) 时为零。因此立即得到 \(H^i(X, \mathcal{F})\) 在 \(i \geq t\) 时为零。

第二种证明。设 \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i = 1}^t U_i\) 为有限仿射开覆盖。由于 \(X\) 具有仿射对角态射，多重交 \(U_{i_0 \ldots i_p}\) 都仿射；见引理 0BDX。由引理 01XD，Čech 上同调群 \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) 与上同调群相同。由《上同调》引理 01FM，可用交错 Čech 复形 \(\check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) 计算 Čech 上同调群。由于覆盖由 \(t\) 个元素组成，立即得到 \(\check{\mathcal{C}}_{alt}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = 0\) 对所有 \(p \geq t\) 成立。因此结论成立。

引理

设 \(X\) 为具有仿射对角态射的拟紧概形（例如，若 \(X\) 分离）。则：

给定准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，存在嵌入 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\)，其中后者是准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，使得 \(H^p(X, \mathcal{F}') = 0\) 对所有 \(p \geq 1\) 成立；并且

\(\{H^n(X, -)\}_{n \geq 0}\) 是泛 \(\delta\)-函子，其源为 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)，靶为 \(\textit{Ab}\)。

证明

设 \(X = \bigcup U_i\) 为有限仿射开覆盖。置 \(U = \coprod U_i\)，并以 \(j : U \to X\) 表示诱导给定开浸入 \(U_i \to X\) 的态射。由于 \(U\) 是仿射概形，且 \(X\) 有仿射对角态射，态射 \(j\) 仿射；见《态射》引理 01SG。对每个 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，存在典范映射 \(\mathcal{F} \to j_*j^*\mathcal{F}\)。在茎上检验可知该映射单射：若 \(x \in U_i\)，则有分解 \[\mathcal{F}_x \to (j_*j^*\mathcal{F})_x \to (j^*\mathcal{F})_{x'} = \mathcal{F}_x\] 其中 \(x' \in U\) 是把点 \(x\) 看成 \(U_i \subset U\) 的点。现在，若 \(\mathcal{F}\) 准凝聚，则 \(j^*\mathcal{F}\) 在仿射概形 \(U\) 上准凝聚，故由引理 01XB，其高阶上同调消失。又有 \(H^p(X, j_*j^*\mathcal{F}) = 0\) 对 \(p > 0\) 成立；这是由引理 089W 以及 \(j\) 仿射得到的。这证明 (1)。最后，映射 \(H^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, j_*j^*\mathcal{F})\) 为零，而 (2) 来自《同调代数》引理 010T。

引理

设 \(X\) 为拟紧拟分离概形。设 \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_n\) 为开覆盖，其中每个 \(U_i\) 都拟紧且分离（例如仿射）。置 \[d = \max\nolimits_{I \subset \{1, \ldots, n\}} \left(|I| + t(\bigcap\nolimits_{i \in I} U_i) - 1\right)\] 其中 \(t(U)\) 是覆盖概形 \(U\) 所需的仿射开集的最小数目。则均有 \(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\)，其中 \(p \geq d\) 任意， \(\mathcal{F}\) 为任意准凝聚层。

证明

注意，由于 \(X\) 拟分离且 \(U_i\) 拟紧，数 \(t(\bigcap_{i \in I} U_i)\) 有限。对 \(n\) 归纳证明。若 \(n = 1\)，结论来自引理 01XI。若 \(n > 1\)，写成 \(X = U \cup V\)，其中 \(U = U_1 \cup \ldots \cup U_{n - 1}\) 且 \(V = U_n\)。应用 Mayer–Vietoris 长正合列 \[0 \to H^0(X, \mathcal{F}) \to H^0(U, \mathcal{F}) \oplus H^0(V, \mathcal{F}) \to H^0(U \cap V, \mathcal{F}) \to H^1(X, \mathcal{F}) \to \ldots\] 见《上同调》引理 01EB。为对 \(q \geq d\) 完成证明，我们将证明 \(H^q(V, \mathcal{F})\)、\(H^q(U, \mathcal{F})\) 和 \(H^{q - 1}(U \cap V, \mathcal{F})\) 消失。由 \(n = 1\) 的情形，\(H^q(V, \mathcal{F}) = 0\) 对 \(q \geq t(V) = t(U_n)\) 成立。由于 \(t(V) \leq d\)，这就证明了所需断言。由归纳假设，\(H^q(U, \mathcal{F}) = 0\) 在下列范围成立： \[q \geq \max\nolimits_{I \subset \{1, \ldots, n - 1\}} \left(|I| + t(\bigcap\nolimits_{i \in I} U_i) - 1\right)\] 由于右端整数小于或等于 \(d\)，这就证明了所需断言。最后，可对开集 \(U \cap V = (U_1 \cap U_n) \cup \ldots \cup (U_{n - 1} \cap U_n)\) 使用归纳假设，得到 \(H^q(U \cap V, \mathcal{F}) = 0\) 在下列范围成立： \[q \geq \max\nolimits_{I \subset \{1, \ldots, n - 1\}} \left(|I| + t(U_n \cap \bigcap\nolimits_{i \in I} U_i) - 1\right)\] 由于右端整数严格小于 \(d\)，引理得证。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。假设 \(f\) 拟分离且拟紧。

对任意准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，高阶直像 \(R^pf_*\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上准凝聚。

若 \(S\) 拟紧，则存在整数 \(n = n(X, S, f)\)，使得 \(R^pf_*\mathcal{F} = 0\)；这里 \(p \geq n\) 任意，\(\mathcal{F}\) 为定义在 \(X\) 上的任意准凝聚层。

事实上，若 \(S\) 拟紧，则可找到 \(n = n(X, S, f)\)，使得对每个概形态射 \(S' \to S\)，都有 \(R^p(f')_*\mathcal{F}' = 0\) 对 \(p \geq n\) 以及任意准凝聚层 \(\mathcal{F}'\) 成立，后者定义在 \(X'\) 上。这里 \(f' : X' = S' \times_S X \to S'\) 是 \(f\) 的基变换。

证明

先证明 (1)。注意，在引理的假设下，层 \(R^0f_*\mathcal{F} = f_*\mathcal{F}\) 由《概形》引理 01LC 是准凝聚的。利用《上同调》引理 01E5，可知形成高阶直像与限制到开子概形可交换。由于准凝聚性在 \(S\) 上是局部性质，问题归约为下一段所讨论的情形。

在 \(S\) 仿射的情形下证明 (1)。我们使用归纳原理。由于 \(f\) 拟紧且拟分离，\(X\) 拟紧且拟分离。对拟紧开集 \(U \subset X\)，令 \(a = f|_U\)，并令 \(P(U)\) 表示如下性质： \(R^pa_*\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上准凝聚；这对所有准凝聚模 \(\mathcal{F}\)（定义在 \(U\) 上）以及所有 \(p \geq 0\) 成立。由于 \(P(X)\) 就是 (1)，只需证明引理 08DR 的条件 (1) 和 (2) 成立。若 \(U\) 仿射，则 \(P(U)\) 成立，因为 \(R^pa_*\mathcal{F} = 0\) 对 \(p \geq 1\) 成立（由引理 01XC 以及《态射》引理 01SH），并且我们在第一段已经观察到 \(p = 0\) 时结论成立。接下来，设 \(U \subset X\) 为拟紧开集，\(V \subset X\) 为仿射开集，并假设 \(P(U)\)、\(P(V)\) 和 \(P(U \cap V)\) 成立。令 \(a = f|_U\)、\(b = f|_V\)、\(c = f|_{U \cap V}\) 以及 \(g = f|_{U \cup V}\)。则对任意准凝聚 \(\mathcal{O}_{U \cup V}\)-模 \(\mathcal{F}\)，有相对 Mayer–Vietoris 序列 \[0 \to g_*\mathcal{F} \to a_*(\mathcal{F}|_U) \oplus b_*(\mathcal{F}|_V) \to c_*(\mathcal{F}|_{U \cap V}) \to R^1g_*\mathcal{F} \to \ldots\] 见《上同调》引理 01EC。由 \(P(U)\)、\(P(V)\) 和 \(P(U \cap V)\) 可知， \(R^pa_*(\mathcal{F}|_U)\)、\(R^pb_*(\mathcal{F}|_V)\) 以及 \(R^pc_*(\mathcal{F}|_{U \cap V})\) 都准凝聚。使用《概形》节 01LA 中关于准凝聚层的结果，可知每个层 \(R^pg_*\mathcal{F}\) 都准凝聚，因为它位于一个短正合列中间：其左侧是准凝聚层之间一个映射的余核，右侧是准凝聚层之间一个映射的核。故 \(P(U \cup V)\) 成立，(1) 得证。

下面证明 (3)，从而更证明 (2)。选取有限仿射开覆盖 \(S = \bigcup_{j = 1, \ldots m} S_j\)。对每个 \(j\)，选取有限仿射开覆盖 \(f^{-1}(S_j) = \bigcup_{i = 1, \ldots t_j} U_{ji}\)。令 \[d_j = \max\nolimits_{I \subset \{1, \ldots, t_j\}} \left(|I| + t(\bigcap\nolimits_{i \in I} U_{ji})\right)\] 为引理 071L 中所得到的整数。我们断言 \(n(X, S, f) = \max d_j\) 可用。

事实上，设 \(S' \to S\) 为概形态射，并设 \(\mathcal{F}'\) 为 \(X' = S' \times_S X\) 上的准凝聚层。我们要证明 \(R^pf'_*\mathcal{F}' = 0\) 对 \(p \geq n(X, S, f)\) 成立。由于该问题在 \(S'\) 上是局部的，可假设 \(S'\) 仿射，并映入某个 \(S_j\)，其中 \(j\) 为相应指标。于是 \(X' = S' \times_{S_j} f^{-1}(S_j)\) 由仿射开集 \(S' \times_{S_j} U_{ji}\)（\(i = 1, \ldots t_j\)）覆盖，且诸交 \[\bigcap\nolimits_{i \in I} S' \times_{S_j} U_{ji} = S' \times_{S_j} \bigcap\nolimits_{i \in I} U_{ji}\] 可由与基变换前相同数目的仿射开集覆盖。应用引理 071L，得到 \(H^p(X', \mathcal{F}') = 0\)。由证明的第一部分，已经知道每个 \(R^qf'_*\mathcal{F}'\) 都准凝聚，因而在仿射概形 \(S'\) 上具有消失的高阶上同调群。于是由《上同调》引理 01F4 可得 \(H^0(S', R^pf'_*\mathcal{F}') = H^p(X', \mathcal{F}') = 0\)。由于 \(R^pf'_*\mathcal{F}'\) 准凝聚，结论是 \(R^pf'_*\mathcal{F}' = 0\)。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。假设 \(f\) 拟分离且拟紧。假设 \(S\) 仿射。对任意准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，均有 \[H^q(X, \mathcal{F}) = H^0(S, R^qf_*\mathcal{F})\] 其中 \(q \in \mathbf{Z}\)。

证明

考虑 Leray 谱序列 \(E_2^{p, q} = H^p(S, R^qf_*\mathcal{F})\)，它收敛到 \(H^{p + q}(X, \mathcal{F})\)；见《上同调》引理 01F2。由引理 01XJ，层 \(R^qf_*\mathcal{F}\) 准凝聚。由引理 01XB，有 \(E_2^{p, q} = 0\)，只要 \(p > 0\)。因此谱序列在 \(E_2\) 处退化，结论成立。一般原理另见《上同调》引理 01F4 (2)。

上同调与基变换（一）

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的准凝聚层。再设 \(g : S' \to S\) 为任意概形态射。记 \(X' = X_{S'} = S' \times_S X\) 为 \(X\) 的基变换，并记 \(f' : X' \to S'\) 为 \(f\) 的基变换。还以 \(g' : X' \to X\) 表示投影，并置 \(\mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F}\)。下图表示这一情形： [02KF]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F} & X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f & \mathcal{F} \\ Rf'_*\mathcal{F}' & S' \ar[r]^g & S & Rf_*\mathcal{F} } } \end{equation}\] 下面是我们所考虑的基变换性质最简单的情形。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设 \(f\) 仿射。此时 \(f_*\mathcal{F} \cong Rf_*\mathcal{F}\) 是准凝聚层，并且对每个基变换图 (02KF) 都有 \[g^*f_*\mathcal{F} = f'_*(g')^*\mathcal{F}.\]

证明

高阶直像的消失即引理 01XC。该断言在 \(S\) 和 \(S'\) 上都是局部的。因此可假设 \(X = \Spec(A)\)、\(S = \Spec(R)\)、 \(S' = \Spec(R')\) 且 \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\)，其中后者由某个 \(A\)-模 \(M\) 给出。我们用《概形》引理 01I9 描述 \(\mathcal{F}\) 的拉回与直像。具体地，\(X' = \Spec(R' \otimes_R A)\)，而 \(\mathcal{F}'\) 是由 \((R' \otimes_R A) \otimes_A M\) 所对应的准凝聚层。因此引理归结为 \(R'\)-模的等式 \[(R' \otimes_R A) \otimes_A M = R' \otimes_R M\] 。

在许多情形下，只需知道下面这个上同调与基变换的特殊情形。它立即推出自节 071M 中的更强结果；但由于它如此重要，值得给出独立证明。

引理

考虑概形的笛卡尔图 \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] 设 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，其拉回为 \(\mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F}\)。假设 \(g\) 平坦，且 \(f\) 拟紧拟分离。对任意 \(i \geq 0\)，有：

《上同调》引理 02N7 中的基变换映射是同构 \[g^*R^if_*\mathcal{F} \longrightarrow R^if'_*\mathcal{F}',\]

若 \(S = \Spec(A)\) 且 \(S' = \Spec(B)\)，则 \(H^i(X, \mathcal{F}) \otimes_A B = H^i(X', \mathcal{F}')\)。

证明

在 (1) 中可以使用《上同调》引理 02N7，因为由《态射》引理 01U9，\(g'\) 平坦。说明这一点后，(1) 推出自 (2)。事实上，(1) 在 \(S'\) 上是局部的，故可假设 \(S\) 和 \(S'\) 都仿射。换言之，如 (2) 中那样，有 \(S = \Spec(A)\) 和 \(S' = \Spec(B)\)。于是，由于 \(R^if_*\mathcal{F}\) 准凝聚（引理 01XJ），它是一个准凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-模，该模与 \(A\)-模 \(H^0(S, R^if_*\mathcal{F}) = H^i(X, \mathcal{F})\) 相对应（等式来自引理 01XK）。类似地，\(R^if'_*\mathcal{F}'\) 是一个准凝聚 \(\mathcal{O}_{S'}\)-模，该模与 \(B\)-模 \(H^i(X', \mathcal{F}')\) 相对应。由于沿 \(g\) 拉回在模上对应于 \(- \otimes_A B\) （《概形》引理 01I9），只需证明 (2)。

设 \(A \to B\) 为平坦环同态。设 \(X\) 为 \(A\) 上的拟紧拟分离概形。设 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。置 \(X_B = X \times_{\Spec(A)} \Spec(B)\)，并以 \(\mathcal{F}_B\) 表示 \(\mathcal{F}\) 的拉回。我们要证明映射 \[H^i(X, \mathcal{F}) \otimes_A B \longrightarrow H^i(X_B, \mathcal{F}_B)\] （由引理陈述中的参考结果给出）是同构。

若 \(X\) 分离，选取仿射开覆盖 \(\mathcal{U} : X = U_1 \cup \ldots \cup U_t\)，并回忆 \[\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = H^p(X, \mathcal{F}),\] 见引理 01XD。若 \(\mathcal{U}_B : X_B = (U_1)_B \cup \ldots \cup (U_t)_B\) 是由基变换所得的覆盖，则每个 \((U_i)_B\) 仍仿射，且 \(X_B\) 分离。因此得到 \[\check{H}^p(\mathcal{U}_B, \mathcal{F}_B) = H^p(X_B, \mathcal{F}_B).\] 两个 Čech 复形之间有关系 \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}_B, \mathcal{F}_B) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \otimes_A B\] 这是引理 02KG 的推论。由于 \(A \to B\) 平坦，取上同调后同一结论仍成立。

若 \(X\) 拟分离，选取仿射开覆盖 \(\mathcal{U} : X = U_1 \cup \ldots \cup U_t\)。我们将使用《上同调》引理 01ES 的 Čech 到上同调谱序列。希望避开这一谱序列的读者，可如引理 01XJ 的证明中那样，使用 Mayer–Vietoris 并对 \(t\) 归纳。该谱序列的 \(E_2\) 页为 \(E_2^{p, q} = \check{H}^p(\mathcal{U}, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\)，并收敛到 \(H^{p + q}(X, \mathcal{F})\)。类似地，还有一个 \(E_2\) 页为 \(E_2^{p, q} = \check{H}^p(\mathcal{U}_B, \underline{H}^q(\mathcal{F}_B))\) 的谱序列，它收敛到 \(H^{p + q}(X_B, \mathcal{F}_B)\)。由于诸交 \(U_{i_0 \ldots i_p}\) 拟紧且分离，证明第二段的结果给出 \(\check{H}^p(\mathcal{U}_B, \underline{H}^q(\mathcal{F}_B)) = \check{H}^p(\mathcal{U}, \underline{H}^q(\mathcal{F})) \otimes_A B\)。利用 \(A \to B\) 平坦，得到 \(H^i(X, \mathcal{F}) \otimes_A B \to H^i(X_B, \mathcal{F}_B)\) 对所有 \(i\) 都是同构，证毕。

引理

考虑概形的笛卡尔图 \[\xymatrix{ Y \ar[d]_{g} \ar[r]_h & X \ar[d]^f \\ \Spec(B) \ar[r] & \Spec(A) }\] 设 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，其拉回为 \(\mathcal{G} = h^*\mathcal{F}\)。若 \(B\) 是有限局部自由 \(A\)-模，则 \(H^i(X, \mathcal{F}) \otimes_A B = H^i(Y, \mathcal{G})\)。

警告：除非理解本引理与引理 02KH 的差别，否则不要使用本引理。

证明

若 \(X\) 分离，选取仿射开覆盖 \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\)，并回忆 \[\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = H^p(X, \mathcal{F}),\] 见引理 01XD。令 \(\mathcal{V} : Y = \bigcup_{i \in I} g^{-1}(U_i)\) 为 \(Y\) 的相应仿射开覆盖。开集 \(V_i = g^{-1}(U_i) = U_i \times_{\Spec(A)} \Spec(B)\) 均仿射，且 \(Y\) 分离。因此得到 \[\check{H}^p(\mathcal{V}, \mathcal{G}) = H^p(Y, \mathcal{G}).\] 我们断言 Čech 复形的映射 \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \otimes_A B \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G})\] 是同构。事实上，由于 \(B\) 作为 \(A\)-模有限表示，和 \(B\) 张量在 \(A\) 上与乘积可交换；见《代数》命题 059K。因此只需证明映射 \(\Gamma(U_{i_0 \ldots i_p}, \mathcal{F}) \otimes_A B \to \Gamma(V_{i_0 \ldots i_p}, \mathcal{G})\) 是同构，而这来自引理 02KG。由于 \(A \to B\) 平坦，取上同调后同一结论仍成立。

在一般情形下，论证完全相同：使用仿射开覆盖 \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\) 及其相应覆盖 \(\mathcal{V} : Y = \bigcup_{i \in I} V_i\)，其中 \(V_i = g^{-1}(U_i)\) 如上。我们使用《上同调》引理 01ES 的 Čech 到上同调谱序列。该谱序列的 \(E_2\) 页为 \(E_2^{p, q} = \check{H}^p(\mathcal{U}, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\)，并收敛到 \(H^{p + q}(X, \mathcal{F})\)。类似地，还有一个 \(E_2\) 页为 \(E_2^{p, q} = \check{H}^p(\mathcal{V}, \underline{H}^q(\mathcal{G}))\) 的谱序列，它收敛到 \(H^{p + q}(Y, \mathcal{G})\)。由于诸交 \(U_{i_0 \ldots i_p}\) 分离，上一段的结果给出同构 \(\Gamma(U_{i_0 \ldots i_p}, \underline{H}^q(\mathcal{F})) \otimes_A B \to \Gamma(V_{i_0 \ldots i_p}, \underline{H}^q(\mathcal{G}))\)。利用 \(- \otimes_A B\) 与乘积可交换且正合，得到 \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \underline{H}^q(\mathcal{F})) \otimes_A B \to \check{H}^p(\mathcal{V}, \underline{H}^q(\mathcal{G}))\) 是同构。再利用 \(A \to B\) 平坦，得到 \(H^i(X, \mathcal{F}) \otimes_A B \to H^i(Y, \mathcal{G})\) 对所有 \(i\) 都是同构，证毕。

余极限与高阶直像

这一性质的一般性结果见《上同调》节 01FE、《层》引理 009F 以及《模》引理 01BS。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形之间的拟紧拟分离态射。设 \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\) 为 \(X\) 上阿贝尔层的滤过余极限。则对任意 \(p \geq 0\)，有 \[R^pf_*\mathcal{F} = \colim R^pf_*\mathcal{F}_i.\]

证明

应用《上同调》引理 0H7A。由于仿射开集构成 \(S\) 的拓扑基，只需证明：对仿射开集 \(U \subset S\)，有 \(H^p(f^{-1}U, \mathcal{F}) = \colim H^p(f^{-1}U, \mathcal{F}_i)\)。因为 \(f^{-1}U\) 拟紧拟分离，结论来自《上同调》引理 01FF。（这是因为 \(f^{-1}U\) 中仿射开集所成的基满足该引理的假设。）

上同调与基变换（二）

设 \(f : X \to S\) 为概形态射，并设 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。若 \(f\) 拟紧拟分离，我们希望将 \(Rf_*\mathcal{F}\) 表示为 \(S\) 上的准凝聚层复形。这由如下事实推出：层 \(R^if_*\mathcal{F}\) 在 \(S\) 拟紧且具有仿射对角态射时准凝聚；再利用 \(D_\QCoh(S)\) 与 \(D(\QCoh(\mathcal{O}_S))\) 的等价，见《概形的导出范畴》命题 08DB。

本节采用另一种方法，构造一个具有良好基变换性质的显式复形。当 \(f\) 与 \(S\) 分离，或者更一般地具有仿射对角态射时，这一构造尤其简单。由于这是迄今最常用的情形，我们将其单独处理。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设 \(X\) 拟紧，且 \(X\) 与 \(S\) 都具有仿射对角态射（例如，当 \(X\) 与 \(S\) 都分离时）。在此情形下，可按如下方式计算 \(Rf_*\mathcal{F}\)：

选取有限仿射开覆盖 \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i\)。

对 \(i_0, \ldots, i_p \in \{1, \ldots, n\}\)，记 \(f_{i_0 \ldots i_p} : U_{i_0 \ldots i_p} \to S\) 为 \(f\) 在交集 \(U_{i_0 \ldots i_p} = U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_p}\) 上的限制。

令 \(\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}\) 等于 \(\mathcal{F}\) 在 \(U_{i_0 \ldots i_p}\) 上的限制。

置 \[\check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, f, \mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{i_0 \ldots i_p} f_{i_0 \ldots i_p *} \mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}\] 并按《上同调》公式 (01EE) 定义微分 \(d : \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, f, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}^{p + 1}(\mathcal{U}, f, \mathcal{F})\)。

则复形 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, f, \mathcal{F})\) 是 \(S\) 上的准凝聚层复形，并带有同构 \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, f, \mathcal{F}) \longrightarrow Rf_*\mathcal{F}\] 它位于 \(D^{+}(S)\) 中。该同构关于准凝聚层 \(\mathcal{F}\) 具有函子性。

证明

考虑解消 \(\mathcal{F} \to {\mathfrak C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)，即《上同调》引理 02FU 中的解消。我们有复形等式 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, f, \mathcal{F}) = f_*{\mathfrak C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)；二者都是准凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-模的复形。态射 \(j_{i_0 \ldots i_p} : U_{i_0 \ldots i_p} \to X\) 与态射 \(f_{i_0 \ldots i_p} : U_{i_0 \ldots i_p} \to S\) 由《态射》引理 01SG 及引理 0BDX 都是仿射的。故 \(R^qj_{i_0 \ldots i_p *}\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}\) 以及 \(R^qf_{i_0 \ldots i_p *}\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}\) 在 \(q > 0\) 时均为零（引理 01XC）。利用 \(f \circ j_{i_0 \ldots i_p} = f_{i_0 \ldots i_p}\) 及《上同调》引理 01F6 中的谱序列，可知 \(R^qf_*(j_{i_0 \ldots i_p *}\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}) = 0\) 对 \(q > 0\) 成立。由于复形 \({\mathfrak C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) 的各项是层 \(j_{i_0 \ldots i_p *}\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}\) 的有限直和，由 Leray 无环性引理（《导出范畴》引理 015E）得到 \[Rf_* \mathcal{F} = f_*{\mathfrak C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, f, \mathcal{F})\] 如所欲。

下面考察进行基变换时会发生什么。

引理

采用图 (02KF) 中的记号。假设 \(f : X \to S\) 与 \(\mathcal{F}\) 满足引理 01XL 的假设。选取有限仿射开覆盖 \(\mathcal{U} : X = \bigcup U_i\) 作为 \(X\) 的覆盖。存在典范同构 \[g^*\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, f, \mathcal{F}) \longrightarrow Rf'_*\mathcal{F}'\] 它位于 \(D^{+}(S')\) 中。此外，若 \(S' \to S\) 仿射，则实际上 \[g^*\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, f, \mathcal{F}) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}', f', \mathcal{F}')\] 其中 \(\mathcal{U}' : X' = \bigcup U_i'\)，而 \(U_i' = (g')^{-1}(U_i) = U_{i, S'}\) 也仿射。

证明

可定义 \(U_i' = (g')^{-1}(U_i) = U_{i, S'}\)，而不论 \(S'\) 在 \(S\) 上是否仿射。令 \(\mathcal{U}' : X' = \bigcup U_i'\) 为由此得到的 \(X'\) 的覆盖。在此情形下，我们断言 \[g^*\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, f, \mathcal{F}) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}', f', \mathcal{F}')\] 其中 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}', f', \mathcal{F}')\) 的定义与引理 01XL 中完全相同。这可通过在 \(S'\) 上局部工作，由仿射态射的情形（引理 02KG）立即得到。此外，完全如引理 01XL 的证明，可见存在同构 \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}', f', \mathcal{F}') \longrightarrow Rf'_*\mathcal{F}'\] 它位于 \(D^{+}(S')\) 中，因为态射 \(U_i' \to X'\) 与 \(U_i' \to S'\) 仍然仿射（它们是仿射态射的基变换）。细节从略。

上述引理说明，复形 \[\mathcal{K}^\bullet = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, f, \mathcal{F})\] 是 \(S\) 上准凝聚层的下有界复形，它泛地计算 \(f : X \to S\) 的高阶直像。这是该特定复形所具有的性质；一般而言，将 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, f, \mathcal{F})\) 换成拟同构复形并不能保持这一性质！换言之，这不是一个在导出范畴中有意义的陈述。原因在于，拉回 \(g^*\mathcal{K}^\bullet\) 一般不等于 \(Lg^*\mathcal{K}^\bullet\)，后者是 \(\mathcal{K}^\bullet\) 的导出拉回！

下面给出可以证明该陈述的一个更一般情形。我们指出，在大多数应用中，\(S\) 分离这一条件无伤大雅，因为这里通常是用它证明全导出像的某个局部性质。证明要复杂得多，并使用超覆盖；这也是有时如何使用超覆盖的一个好例子。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的准凝聚层。假设 \(f\) 拟紧拟分离，且 \(S\) 拟紧并分离。则存在下有界复形 \(\mathcal{K}^\bullet\)，它由准凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-模组成，并具有如下性质：对每个态射 \(g : S' \to S\)，复形 \(g^*\mathcal{K}^\bullet\) 是 \(Rf'_*\mathcal{F}'\) 的一个代表元，其中记号如图 (02KF)。

证明

（若 \(f\) 也分离，请见引理 01XM。）这些假设特别推出 \(X\) 作为概形拟紧拟分离。令 \(\mathcal{B}\) 为 \(X\) 的仿射开集所成的集合。由《超覆盖》引理 01H7，可找到超覆盖 \(K = (I, \{U_i\})\)，使每个 \(I_n\) 有限，且每个 \(U_i\) 都是 \(X\) 的仿射开集。由《超覆盖》引理 01GY，存在一个 \(E_2\) 页为 \[E_2^{p, q} = \check{H}^p(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\] 且收敛到 \(H^{p + q}(X, \mathcal{F})\) 的谱序列。注意， \(\check{H}^p(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\) 是下列复形的第 \(p\) 个上同调群： \[\prod\nolimits_{i \in I_0} H^q(U_i, \mathcal{F}) \to \prod\nolimits_{i \in I_1} H^q(U_i, \mathcal{F}) \to \prod\nolimits_{i \in I_2} H^q(U_i, \mathcal{F}) \to \ldots\] 由于每个 \(U_i\) 仿射，可见除非 \(q = 0\)，否则它为零；而在后一情形得到 \[\prod\nolimits_{i \in I_0} \mathcal{F}(U_i) \to \prod\nolimits_{i \in I_1} \mathcal{F}(U_i) \to \prod\nolimits_{i \in I_2} \mathcal{F}(U_i) \to \ldots\] 因此可知 \(R\Gamma(X, \mathcal{F})\) 由这个复形计算。

对任意 \(n\) 与 \(i \in I_n\)，记 \(f_i : U_i \to S\) 为 \(f\) 在 \(U_i\) 上的限制。由于 \(S\) 分离且 \(U_i\) 仿射，该态射仿射。考虑 \(S\) 上的准凝聚层复形 \[\mathcal{K}^\bullet = ( \prod\nolimits_{i \in I_0} f_{i, *}\mathcal{F}|_{U_i} \to \prod\nolimits_{i \in I_1} f_{i, *}\mathcal{F}|_{U_i} \to \prod\nolimits_{i \in I_2} f_{i, *}\mathcal{F}|_{U_i} \to \ldots )\] 与《超覆盖》引理 01GY 中一样，我们得到映射 \(\mathcal{K}^\bullet \to Rf_*\mathcal{F}\)，它位于 \(D(\mathcal{O}_S)\) 中；其构造是选取 \(\mathcal{F}\) 的单射解消（细节从略）。考虑任意仿射概形 \(V\) 及态射 \(g : V \to S\)。则基变换 \(X_V\) 具有由基变换得到的超覆盖 \(K_V = (I, \{U_{i, V}\})\)。此外， \(g^*f_{i, *}\mathcal{F} = f_{i, V, *}(g')^*\mathcal{F}|_{U_{i, V}}\)。因此上述论证证明，\(\Gamma(V, g^*\mathcal{K}^\bullet)\) 计算 \(R\Gamma(X_V, (g')^*\mathcal{F})\)。要证明复形相等，只需在 \(S'\) 上 Zariski 局部证明，故引理得证。

下面的引理是平坦基变换的一种变式。

引理

考虑概形的笛卡尔图 \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] 设 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(\mathcal{G}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_{S'}\)-模，并且在 \(S\) 上平坦。假设 \(f\) 拟紧拟分离。对任意 \(i \geq 0\)，有等同 \[\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{S'}} g^*R^if_*\mathcal{F} = R^if'_*\left((f')^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (g')^*\mathcal{F}\right)\]

证明

先构造从左到右的映射。首先，有基变换映射 \(Lg^*Rf_*\mathcal{F} \to Rf'_*L(g')^*\mathcal{F}\)。另有伴随映射 \(\mathcal{G} \to Rf'_*L(f')^*\mathcal{G}\)。利用相对杯积，得到 \[\begin{align*} \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{S'}}^\mathbf{L} Lg^*Rf_*\mathcal{F} & \to Rf'_*L(f')^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{S'}}^\mathbf{L} Rf'_*L(g')^*\mathcal{F} \\ & \to Rf'_*\left(L(f')^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{X'}}^\mathbf{L} L(g')^*\mathcal{F}\right) \\ & \to Rf'_*\left((f')^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (g')^*\mathcal{F}\right) \end{align*}\] 其中中间的箭头使用了相对杯积，见《上同调》备注 0B68。该复合的源为 \[\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{S'}}^\mathbf{L} Lg^*Rf_*\mathcal{F} = \mathcal{G} \otimes_{g^{-1}\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} g^{-1}Rf_*\mathcal{F}\] 这是《上同调》引理 08DE。由于 \(\mathcal{G}\) 作为 \(g^{-1}\mathcal{O}_S\)-模层平坦，且 \(g^{-1}\) 是正合函子，这是一个复形，其第 \(i\) 个上同调层为 \(\mathcal{G} \otimes_{g^{-1}\mathcal{O}_S} g^{-1}R^if_*\mathcal{F} = \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{S'}} g^*R^if_*\mathcal{F}\)。这样便得到引理等式中从左到右的全局映射。为证明此映射是同构，可在 \(S'\) 上局部工作。因此可以并且确实假设 \(S\) 与 \(S'\) 都是仿射概形。

现在证明 \(S\) 与 \(S'\) 仿射的情形。设 \(S = \Spec(A)\) 且 \(S' = \Spec(B)\)，并设 \(\mathcal{G}\) 对应于 \(B\)-模 \(N\)，后者按假设在 \(A\) 上平坦。由于 \(S\) 仿射，\(X\) 拟紧拟分离。我们用超覆盖论证完成证明；若 \(X\) 分离或具有仿射对角态射，则可使用一个 Čech 覆盖。令 \(\mathcal{B}\) 为 \(X\) 的仿射开集所成的集合。由《超覆盖》引理 01H7，可找到超覆盖 \(K = (I, \{U_i\})\)，它是 \(X\) 的超覆盖，且每个 \(I_n\) 有限、每个 \(U_i\) 都是 \(X\) 的仿射开集。由《超覆盖》引理 01GY，存在一个 \(E_2\) 页为 \[E_2^{p, q} = \check{H}^p(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\] 且收敛到 \(H^{p + q}(X, \mathcal{F})\) 的谱序列。由于每个 \(U_i\) 仿射，且 \(\mathcal{F}\) 准凝聚，\(\underline{H}^q(\mathcal{F})\) 在 \(U_i\) 上的值对 \(q > 0\) 为零。因此谱序列退化，从而上同调模 \(H^q(X, \mathcal{F})\) 由下列复形计算： \[\prod\nolimits_{i \in I_0} \mathcal{F}(U_i) \to \prod\nolimits_{i \in I_1} \mathcal{F}(U_i) \to \prod\nolimits_{i \in I_2} \mathcal{F}(U_i) \to \ldots\] 接着注意，我们的超覆盖在 \(S'\) 上的基变换是 \(X' = S' \times_S X\) 的一个超覆盖。概形 \(S' \times_S U_i\) 也都仿射，并且有 \[\left((f')^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{S'}} (g')^*\mathcal{F}\right) (S' \times_S U_i) = N \otimes_A \mathcal{F}(U_i)\] 由此可知，上同调模 \(H^q(X', (f')^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{S'}} (g')^*\mathcal{F})\) 由下列复形计算： \[N \otimes_A \left( \prod\nolimits_{i \in I_0} \mathcal{F}(U_i) \to \prod\nolimits_{i \in I_1} \mathcal{F}(U_i) \to \prod\nolimits_{i \in I_2} \mathcal{F}(U_i) \to \ldots \right)\] 由于 \(N\) 在 \(A\) 上平坦，可知 \[H^q(X', (f')^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_{S'}} (g')^*\mathcal{F}) = N \otimes_A H^q(X, \mathcal{F})\] 这正是待证陈述的代数表述，故证明完成。

射影空间的上同调

本节计算 \(\mathbf{P}^n_S\) 的结构层各扭转的上同调，其中基概形为 \(S\)。回忆，\(\mathbf{P}^n_S\) 定义为纤维积 \(\mathbf{P}^n_S = S \times_{\Spec(\mathbf{Z})} \mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}}\) 见《构造》定义 01NF。《构造》引理 01OE 已证明它等于 \[\mathbf{P}^n_S = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{O}_S[T_0, \ldots, T_n])\] 特别地，射影空间是射影丛的一个特殊情形。若 \(S = \Spec(R)\) 仿射，则有 \[\mathbf{P}^n_S = \mathbf{P}^n_R = \text{Proj}(R[T_0, \ldots, T_n]).\] 所有这些等同彼此相容，也与扭转结构层 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_S}(d)\) 的构造相容。

在陈述结果前，需要引入一些记号。设 \(R\) 为环。回忆，\(R[T_0, \ldots, T_n]\) 是分次 \(R\)-代数，其中每个 \(T_i\) 都是次数为 \(1\) 的齐次元。以 \((R[T_0, \ldots, T_n])_d\) 表示次数为 \(d\) 的分量。它是有限自由 \(R\)-模，秩为 \(\binom{n + d}{d}\)，当 \(d \geq 0\)；否则为零。它的一组基由单项式 \(T_0^{e_0} \ldots T_n^{e_n}\) 组成，其中 \(\sum e_i = d\)。还要使用如下记号： \(R[\frac{1}{T_0}, \ldots, \frac{1}{T_n}]\) 表示 \(\mathbf{Z}\)-分次环，其中 \(\frac{1}{T_i}\) 的次数为 \(-1\)。特别地，下述陈述中出现的 \(\mathbf{Z}\)-分次 \(R[\frac{1}{T_0}, \ldots, \frac{1}{T_n}]\)-模 \[\frac{1}{T_0 \ldots T_n} R[\frac{1}{T_0}, \ldots, \frac{1}{T_n}]\] 在次数 \(\geq -n\) 时为零，以生成元 \(\frac{1}{T_0 \ldots T_n}\) 在次数 \(-n - 1\) 时自由生成，并且是秩为 \((-1)^n\binom{n + d}{d}\) 的自由模，当 \(d \leq -n - 1\)。

引理

设 \(R\) 为环。设 \(n \geq 0\) 为整数。则 \[H^q(\mathbf{P}^n, \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d)) = \left\{ \begin{matrix} (R[T_0, \ldots, T_n])_d & \text{若} & q = 0,\ d \geq 0 \\ \left(\frac{1}{T_0 \ldots T_n} R[\frac{1}{T_0}, \ldots, \frac{1}{T_n}]\right)_d & \text{若} & q = n,\ d < 0 \\ 0 & \text{若} & q, n, d\text{ not as above} \end{matrix} \right.\] 这是 \(R\)-模的等式。

证明

使用标准仿射开覆盖 \[\mathcal{U} : \mathbf{P}^n_R = \bigcup\nolimits_{i = 0}^n D_{+}(T_i)\] 并利用 Čech 复形计算上同调。这是允许的，因为由引理 01XD，有限多个仿射开集 \(D_{+}(T_i)\) 的任意交仍是标准仿射开集（见《构造》节 01M3）。事实上，根据《上同调》引理 01FJ 及 01FM，可使用交错或有序 Čech 复形。

在 \(\{0, \ldots, n\}\) 上采用通常次序。于是所考察复形的各项为 \[\check{\mathcal{C}}_{ord}^p(\mathcal{U}, \mathcal{O}_{\mathbf{P}_R}(d)) = \bigoplus\nolimits_{i_0 < \ldots < i_p} (R[T_0, \ldots, T_n, \frac{1}{T_{i_0} \ldots T_{i_p}}])_d\] 此外，映射由通常公式给出： \[d(s)_{i_0 \ldots i_{p + 1}} = \sum\nolimits_{j = 0}^{p + 1} (-1)^j s_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}}\] 见《上同调》节 01FG。注意，此复形的每一项都有自然的 \(\mathbf{Z}^{n + 1}\)-分次。具体而言，规定单项式 \(T_0^{e_0} \ldots T_n^{e_n}\) 为权 \((e_0, \ldots, e_n) \in \mathbf{Z}^{n + 1}\) 的齐次元。显然，上述微分保持该分次。用公式表示即 \[\check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{O}_{\mathbf{P}_R}(d)) = \bigoplus\nolimits_{\vec{e} \in \mathbf{Z}^{n + 1}} \check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\] 其中右侧并非所有直和项都会出现（见下文）。因此，为计算该复形的上同调模，只需计算各分次部分的上同调，最后取直和。

固定 \(\vec{e} = (e_0, \ldots, e_n) \in \mathbf{Z}^{n + 1}\)。要使这个权出现在上述复形中，需要假设 \(e_0 + \ldots + e_n = d\)（否则它当然会出现在结构层的另一扭转中）。在此假设下，置 \[NEG(\vec{e}) = \{i \in \{0, \ldots, n\} \mid e_i < 0\}.\] 采用此记号，上述 Čech 复形的权 \(\vec{e}\) 直和项 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\) 的各项为 \[\check{\mathcal{C}}^p(\vec{e}) = \bigoplus\nolimits_{i_0 < \ldots < i_p, \ NEG(\vec{e}) \subset \{i_0, \ldots, i_p\}} R \cdot T_0^{e_0} \ldots T_n^{e_n}\] 换言之，对满足 \(i_0 < \ldots < i_p\) 但 \(NEG(\vec{e})\) 不包含于 \(\{i_0 \ldots i_p\}\) 的指标，相应项为零。复形 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\) 的微分仍由上述完全相同的公式给出。

假设 \(NEG(\vec{e}) = \{0, \ldots, n\}\)，即所有指数 \(e_i\) 都为负。此时复形 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\) 只有一项，即 \(\check{\mathcal{C}}^n(\vec{e}) = R \cdot \frac{1}{T_0^{-e_0} \ldots T_n^{-e_n}}\)。因此在此情形下 \[H^q(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})) = \left\{ \begin{matrix} R \cdot \frac{1}{T_0^{-e_0} \ldots T_n^{-e_n}} & \text{若} & q = n \\ 0 & \text{若} & \text{否则} \end{matrix} \right.\] 所有这些项的直和显然给出 \[\left(\frac{1}{T_0 \ldots T_n} R[\frac{1}{T_0}, \ldots, \frac{1}{T_n}]\right)_d\] 在次数 \(n\) 的值，如引理所述。此外，这些项对其他次数的上同调没有贡献（也与引理的陈述一致）。

假设 \(NEG(\vec{e}) = \emptyset\)。此时复形 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\) 有一个直和项 \(R\)，对应于所有 \(i_0 < \ldots < i_p\)。将复形 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\) 与另一个复形比较。具体地，考虑仿射开覆盖 \[\mathcal{V} : \Spec(R) = \bigcup\nolimits_{i \in \{0, \ldots, n\}} V_i\] 其中 \(V_i = \Spec(R)\) 对所有 \(i\) 都成立。考虑交错 Čech 复形 \[\check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{O}_{\Spec(R)})\] 由与上面相同的论证，它计算 \(\Spec(R)\) 上结构层的上同调。因此可见

\(H^p( \check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{O}_{\Spec(R)}) ) = R\) 当 \(p = 0\)，而为 \(0\) 当 \(p > 0\)。

这些事实见引理 01X9 及其证明。还要注意， \(\check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{O}_{\Spec(R)})\) 也有一个直和项 \(R\) 对应于每个 \(i_0 < \ldots < i_p\)，并且其微分与 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\) 完全相同。换言之，这些复形彼此同构，因而有相同的上同调。由此得到 \[H^q(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})) = \left\{ \begin{matrix} R \cdot T_0^{e_0} \ldots T_n^{e_n} & \text{若} & q = 0 \\ 0 & \text{若} & \text{否则} \end{matrix} \right.\] 这里假设 \(NEG(\vec{e}) = \emptyset\)。所有这些项的直和显然给出 \[(R[T_0, \ldots, T_n])_d\] 在次数 \(0\) 的值，如引理所述。此外，这些项对其他次数的上同调没有贡献（也与引理的陈述一致）。

为完成引理的证明，还须说明：当 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\) 满足 \(NEG(\vec{e})\) 既非空也不等于 \(\{0, \ldots, n\}\) 时，它是无环的。选取指标 \(i_{\text{fix}} \not \in NEG(\vec{e})\)（这样的指标存在）。考虑映射 \[h : \check{\mathcal{C}}^{p + 1}(\vec{e}) \to \check{\mathcal{C}}^p(\vec{e})\] 其规则为：对 \(i_0 < \ldots < i_p\)，有 \[h(s)_{i_0 \ldots i_p} = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{若} & p \not \in \{0, \ldots, n - 1\} \\ 0 & \text{若} & i_{\text{fix}} \in \{i_0, \ldots, i_p\} \\ s_{i_{\text{fix}} i_0 \ldots i_p} & \text{若} & i_{\text{fix}} < i_0 \\ (-1)^a s_{i_0 \ldots i_{a - 1} i_{\text{fix}} i_a \ldots i_p} & \text{若} & i_{a - 1} < i_{\text{fix}} < i_a \\ (-1)^{p + 1} s_{i_0 \ldots i_p i_{\text{fix}}} & \text{若} & i_p < i_{\text{fix}} \end{matrix} \right.\] 请与引理 01X9 的证明比较。该定义有意义，因为 \[NEG(\vec{e}) \subset \{i_0, \ldots, i_p\} \Leftrightarrow NEG(\vec{e}) \subset \{i_{\text{fix}}, i_0, \ldots, i_p\}\] 与该引理证明中完全相同的组合计算¹ 与引理 01X9 的证明一样，这说明 \[(hd + dh)(s)_{i_0 \ldots i_p} = s_{i_0 \ldots i_p}\] 因此复形 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\) 的恒等映射零伦，从而该复形无环。

在下面的引理中，将使用自由 \(R\)-模之间的配对 \[R[T_0, \ldots, T_n] \times \frac{1}{T_0 \ldots T_n} R[\frac{1}{T_0}, \ldots, \frac{1}{T_n}] \longrightarrow R\] 它由如下规则定义： \[(f, g) \longmapsto \text{coefficient of } \frac{1}{T_0 \ldots T_n} \text{ 于 }fg.\] 换言之，基元素 \(T_0^{e_0} \ldots T_n^{e_n}\) 与基元素 \(T_0^{d_0} \ldots T_n^{d_n}\) 配对得到 \(1\)，当且仅当 \(e_i + d_i = -1\) 对所有 \(i\) 成立；在其余所有情形下配对为零。利用这个配对，得到等同 \[\left(\frac{1}{T_0 \ldots T_n} R[\frac{1}{T_0}, \ldots, \frac{1}{T_n}]\right)_d = \Hom_R((R[T_0, \ldots, T_n])_{-n - 1 - d}, R)\] 因此可将引理 01XT 的结果重新表述为 [01XU]\[\begin{equation} H^q(\mathbf{P}^n, \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d)) = \left\{ \begin{matrix} (R[T_0, \ldots, T_n])_d & \text{若} & q = 0 \\ 0 & \text{若} & q \not = 0, n \\ \Hom_R((R[T_0, \ldots, T_n])_{-n - 1 - d}, R) & \text{若} & q = n \end{matrix} \right. \end{equation}\]

引理

公式 (01XU) 中的等同与环同态 \(R \to R'\) 的基变换相容。此外，对任意齐次元 \(f \in R[T_0, \ldots, T_n]\)，若其次数为 \(m\)，则乘以 \(f\) 的映射 \[\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d) \longrightarrow \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d + m)\] 在公式 (01XU) 的等同下，于上同调群上诱导的映射为乘以 \(f\)（在 \(H^0\) 上），以及乘以 \(f\) 的对偶映射 \[(R[T_0, \ldots, T_n])_{-n - 1 - (d + m)} \longrightarrow (R[T_0, \ldots, T_n])_{-n - 1 - d}\] （在 \(H^n\) 上）。

证明

假设 \(R \to R'\) 为环同态。令 \(\mathcal{U}\) 为 \(\mathbf{P}^n_R\) 的标准仿射开覆盖，令 \(\mathcal{U}'\) 为 \(\mathbf{P}^n_{R'}\) 的标准仿射开覆盖。注意，\(\mathcal{U}'\) 是覆盖 \(\mathcal{U}\) 沿典范态射 \(\mathbf{P}^n_{R'} \to \mathbf{P}^n_R\) 的拉回。因此有 Čech 复形的映射 \[\gamma : \check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{O}_{\mathbf{P}_R}(d)) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}', \mathcal{O}_{\mathbf{P}_{R'}}(d))\] 由《上同调》引理 01FD，它与上同调上的映射相容。从引理 01XT 证明中的计算可立即看出，这个 Čech 复形映射与所论上同调群的等同相容。（也就是说，\(R\) 上 Čech 复形的基元素恰好映到 \(R'\) 上 Čech 复形的相应基元素。）这证明了引理的第一项陈述。

现在固定环 \(R\)，并考虑两个齐次多项式 \(f, g \in R[T_0, \ldots, T_n]\)，二者次数同为 \(m\)。由于上同调是加性函子，乘以 \(f + g\) 所诱导的映射显然等于乘以 \(f\) 所诱导的映射与乘以 \(g\) 所诱导的映射之和。此外，由于上同调是函子，乘以乘积 \(fg\) 也有类似结论，其中 \(f, g\) 都齐次（但次数不必相同）。因此，为验证引理的第二项陈述，只需证明 \(f = x \in R\) 或 \(f = T_i\) 的情形。在乘以元素 \(x \in R\) 的情形，结论成立，因为所涉及的每个上同调群或复形都具有 \(R\)-模或 \(R\)-模复形的结构。最后，考虑乘以 \(T_i\)，将其视为 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}\)-线性映射 \[\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d) \longrightarrow \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d + 1)\] 关于 \(H^0\) 的陈述显然。关于 \(H^n\) 的陈述，将乘以 \(T_i\) 视为 Čech 复形上的映射 \[\check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{O}_{\mathbf{P}_R}(d)) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{O}_{\mathbf{P}_R}(d + 1))\] 将使用引理 01XT 的证明中引入的记号。依据分解 \[\check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{O}_{\mathbf{P}_R}(d)) = \bigoplus\nolimits_{\vec{e} \in \mathbf{Z}^{n + 1}, \ \sum e_i = d} \check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\] 以及 \[\check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{O}_{\mathbf{P}_R}(d + 1)) = \bigoplus\nolimits_{\vec{e} \in \mathbf{Z}^{n + 1}, \ \sum e_i = d + 1} \check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\] 考察乘以 \(T_i\) 的作用。显然，它将子复形 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e})\) 映到子复形 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\vec{e} + \vec{b}_i)\)，其中 \(\vec{b}_i = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots, 0))\) 是第 \(i\) 个基向量。换言之，它将 \(H^n\) 中对应于 \(\vec{e}\)、满足 \(e_i < 0\) 且 \(\sum e_i = d\) 的直和项映到 \(H^n\) 中对应于 \(\vec{e} + \vec{b}_i\) 的直和项（若 \(e_i + b_i \geq 0\)，后者为零）。容易看出，这恰好对应于乘以 \(T_i\) 的对偶映射的作用，即映射 \[(R[T_0, \ldots, T_n])_{-n - 1 - (d + 1)} \longrightarrow (R[T_0, \ldots, T_n])_{-n - 1 - d}\] 引理得证。

在陈述相对版本前，需要引入一些记号。回忆，\(\mathcal{O}_S[T_0, \ldots, T_n]\) 是分次 \(\mathcal{O}_S\)-模，其中每个 \(T_i\) 都是次数为 \(1\) 的齐次元。以 \((\mathcal{O}_S[T_0, \ldots, T_n])_d\) 表示次数为 \(d\) 的分量。它是秩为 \(\binom{n + d}{d}\) 的有限局部自由层，定义在 \(S\) 上。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \(n \geq 0\) 为整数。考虑结构态射 \[f : \mathbf{P}^n_S \longrightarrow S.\] 则 \[R^qf_*(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_S}(d)) = \left\{ \begin{matrix} (\mathcal{O}_S[T_0, \ldots, T_n])_d & \text{若} & q = 0 \\ 0 & \text{若} & q \not = 0, n \\ \SheafHom_{\mathcal{O}_S}( (\mathcal{O}_S[T_0, \ldots, T_n])_{- n - 1 - d}, \mathcal{O}_S) & \text{若} & q = n \end{matrix} \right.\]

证明

从略。提示：这由公式 (01XU) 中的等同与仿射基变换相容而得，见引理 01XV。

下面陈述与有限局部自由层相伴的射影丛版本。设 \(S\) 为概形。设 \(\mathcal{E}\) 为有限局部自由 \(\mathcal{O}_S\)-模，其秩恒为 \(n + 1\)；见《模》节 01C5。此时把 \(\text{Sym}(\mathcal{E})\) 看作分次 \(\mathcal{O}_S\)-模，其中 \(\mathcal{E}\) 是次数为 \(1\) 的分次部分。而 \(\text{Sym}^d(\mathcal{E})\) 是次数为 \(d\) 的分量。它是秩为 \(\binom{n + d}{d}\) 的有限局部自由层，定义在 \(S\) 上。回忆，我们的规范化约定为 \[\pi : \mathbf{P}(\mathcal{E}) = \underline{\text{Proj}}_S(\text{Sym}(\mathcal{E})) \longrightarrow S\] 并且有自然映射 \(\text{Sym}^d(\mathcal{E}) \to \pi_*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(d)\)。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \(n \geq 1\)。设 \(\mathcal{E}\) 为有限局部自由 \(\mathcal{O}_S\)-模，其秩恒为 \(n + 1\)。考虑结构态射 \[\pi : \mathbf{P}(\mathcal{E}) \longrightarrow S.\] 则 \[R^q\pi_*(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(d)) = \left\{ \begin{matrix} \text{Sym}^d(\mathcal{E}) & \text{若} & q = 0 \\ 0 & \text{若} & q \not = 0, n \\ \SheafHom_{\mathcal{O}_S}( \text{Sym}^{- n - 1 - d}(\mathcal{E}) \otimes_{\mathcal{O}_S} \wedge^{n + 1}\mathcal{E}, \mathcal{O}_S) & \text{若} & q = n \end{matrix} \right.\] 这些等同与基变换以及局部自由层之间的同构相容。

证明

考虑典范映射 \[\pi^*\mathcal{E} \longrightarrow \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\] 向下扭转 \(1\)，得到 \[\pi^*(\mathcal{E})(-1) \longrightarrow \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}\] 这是从秩为 \(n + 1\) 的局部自由层到结构层的满射。因此相应的 Koszul 复形正合（《更多代数》引理 0626）。换言之，存在正合复形 \[0 \to \pi^*(\wedge^{n + 1}\mathcal{E})(-n - 1) \to \ldots \to \pi^*(\wedge^i\mathcal{E})(-i) \to \ldots \to \pi^*\mathcal{E}(-1) \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})} \to 0\] 将项 \(\pi^*(\wedge^i\mathcal{E})(-i)\) 视为位于次数 \(-i\)。使用《导出范畴》引理 015J 中的第一谱序列，计算这个无环复形的高阶直像。具体而言，存在各项为 \[E_1^{p, q} = R^q\pi_*\left(\pi^*(\wedge^{-p}\mathcal{E})(p)\right)\] 且收敛到零的谱序列！由投影公式（《上同调》引理 01E8），有 \[E_1^{p, q} = \wedge^{-p} \mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_S} R^q\pi_*\left(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(p)\right).\] 注意，在 \(S\) 上局部，层 \(\mathcal{E}\) 平凡，即同构于 \(\mathcal{O}_S^{\oplus n + 1}\)；故在 \(S\) 上局部，态射 \(\mathbf{P}(\mathcal{E}) \to S\) 可与 \(\mathbf{P}^n_S \to S\) 等同。因此在 \(S\) 上局部，可使用引理 01XT、 01XV 或 01XW 的结果。由此，\(E_1^{p, q} = 0\)，除非 \((p, q)\) 为 \((0, 0)\) 或 \((-n - 1, n)\)。非零项为 \[\begin{align*} E_1^{0, 0} & = \pi_*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})} = \mathcal{O}_S \\ E_1^{-n - 1, n} & = R^n\pi_*\left(\pi^*(\wedge^{n + 1}\mathcal{E})(-n - 1)\right) = \wedge^{n + 1}\mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_S} R^n\pi_*\left(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(-n - 1)\right) \end{align*}\] 因此谱序列中只能有一个非零微分，即映射 \(d_{n + 1}^{-n - 1, n} : E_{n + 1}^{-n - 1, n} \to E_{n + 1}^{0, 0}\)；它必为同构（因为谱序列收敛到 \(0\) 层）。于是 \(E_1^{p, q} = E_{n + 1}^{p, q}\)，并得到典范同构 \[\wedge^{n + 1}\mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_S} R^n\pi_*\left(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(-n - 1)\right) = R^n\pi_*\left(\pi^*(\wedge^{n + 1}\mathcal{E})(-n - 1)\right) \xrightarrow{d_{n + 1}^{-n - 1, n}} \mathcal{O}_S\] 由于 \(\wedge^{n + 1}\mathcal{E}\) 是可逆层，这推出 \(R^n\pi_*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(-n - 1)\) 也可逆，并且典范同构于 \(\wedge^{n + 1}\mathcal{E}\) 的逆。换言之，已经证明引理中 \(d = - n - 1\) 的情形。

在 \(S\) 上局部工作，由引理 01XT、 01XV 或 01XW 的上同调计算，立即得到引理中的消失陈述。此外，关于 \(R^0\pi_*\) 的结果也很清楚，因为存在典范映射 \(\text{Sym}^d(\mathcal{E}) \to \pi_* \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(d)\) 对所有 \(d\) 都成立。还须证明 \(R^n\pi_*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(d)\) 的描述对 \(d < -n - 1\) 正确。为此考虑映射 \[\pi^*(\text{Sym}^{-d - n - 1}(\mathcal{E})) \otimes_{\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}} \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(d) \longrightarrow \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(-n - 1)\] 应用 \(R^n\pi_*\) 及投影公式（见上文），得到映射 \[\text{Sym}^{-d - n - 1}(\mathcal{E}) \otimes_{\mathcal{O}_S} R^n\pi_*(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(d)) \longrightarrow R^n\pi_*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(-n - 1) = (\wedge^{n + 1}\mathcal{E})^{\otimes -1}\] （最后一个等式已在上面证明）。再次利用引理 01XT、 01XV 或 01XW 的局部计算，可知此映射在 \(R^n\pi_*(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(d))\) 与 \(\text{Sym}^{-d - n - 1}(\mathcal{E}) \otimes \wedge^{n + 1}(\mathcal{E})\) 之间诱导完美配对，如所欲。

局部 Noether 概形上的凝聚层

我们已在《模》节 01BU 中定义了任意环层空间上凝聚模的概念。尽管可以考虑非 Noether 概形上的凝聚层，在考察凝聚层时，我们总是假设基概形局部 Noether。下面给出局部 Noether 概形上凝聚层的一个刻画。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 概形。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模。下列条件等价：

\(\mathcal{F}\) 凝聚；

\(\mathcal{F}\) 是拟凝聚有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模；

\(\mathcal{F}\) 是有限表示 \(\mathcal{O}_X\)-模；

对任意仿射开集 \(\Spec(A) = U \subset X\)，都有 \(\mathcal{F}|_U = \widetilde M\)，其中 \(M\) 为有限 \(A\)-模；

存在仿射开覆盖 \(X = \bigcup U_i\)， \(U_i = \Spec(A_i)\)，使得每个 \(\mathcal{F}|_{U_i} = \widetilde M_i\)，其中 \(M_i\) 为有限 \(A_i\)-模。

特别地，\(\mathcal{O}_X\) 凝聚；任意可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模凝聚；更一般地，任意有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模凝聚。

证明

蕴含 (1) \(\Rightarrow\) (2) 与 (1) \(\Rightarrow\) (3) 一般成立，见《模》引理 01BW。若 \(\mathcal{F}\) 有限表示，则 \(\mathcal{F}\) 拟凝聚；见《模》引理 01BO。故 (3) \(\Rightarrow\) (2) 也成立。

假设 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模。由《性质》引理 01PB，在任意仿射开集 \(\Spec(A) = U \subset X\) 上都有 \(\mathcal{F}|_U = \widetilde M\)，其中 \(M\) 为有限 \(A\)-模。由于 \(A\) Noether，\(M\) 有有限解消 \[A^{\oplus m} \to A^{\oplus n} \to M \to 0.\] 因此由《性质》引理 01PC， \(\mathcal{F}\) 有限表示。换言之，(2) \(\Rightarrow\) (3)。

由《模》引理 01BZ，为证明 (3) 推出 (1)，只需证明 \(\mathcal{O}_X\) 凝聚。因此须证明：给定任意开集 \(U \subset X\) 与任意有限组截面 \(f_i \in \mathcal{O}_X(U)\)，\(i = 1, \ldots, n\)，映射 \(\bigoplus_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_U\) 的核为有限型。有限型是局部性质，故只需在任意 \(x \in U\) 的邻域中检验。于是可假设 \(U = \Spec(A)\) 仿射。此时 \(f_1, \ldots, f_n \in A\) 是 \(A\) 的元素。由于 \(A\) Noether，见《性质》引理 01OW，其核 \(K\)，即映射 \(\bigoplus_{i = 1, \ldots, n} A \to A\) 的核，是有限 \(A\)-模；例如见《代数》引理 00IK。由于函子 \(\widetilde{ }\) 正合，见《概形》引理 01HV，得到正合序列 \[\widetilde K \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_U\] 再由《性质》引理 01PB，可见 \(\widetilde K\) 为有限型。因此 (1)、(2)、(3) 全都等价。

由《性质》引理 01PB， (2) 推出 (4)；(4) 推出 (5) 是平凡的。《概形》节 01LA 中的讨论表明， (5) 推出 \(\mathcal{F}\) 拟凝聚；显然，(5) 还推出 \(\mathcal{F}\) 为有限型。因此 (5) 推出 (2)，证毕。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 概形。凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模所成的范畴是阿贝尔范畴。更确切地，凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模之间映射的核与余核均凝聚。凝聚层的任意扩张均凝聚。

证明

这是《模》引理 01BY 在这一特殊情形下的重述。

下列引理对于凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的范畴，在一般环层空间 \(X\) 上并不总是成立。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 概形。设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。 \(\mathcal{F}\) 的任意拟凝聚子模均凝聚。 \(\mathcal{F}\) 的任意拟凝聚商模均凝聚。

证明

可假设 \(X\) 仿射，设 \(X = \Spec(A)\)。《性质》引理 01OW 推出 \(A\) Noether。引理 01XZ 将问题化为代数。该引理的代数对应是：有限 \(A\)-模的商或子模仍为有限 \(A\)-模；例如见《代数》引理 00IK。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 概形。设 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\) 与 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 都凝聚。

证明

《模》引理 01CQ 已证明 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 凝聚。张量积的结论是《模》引理 01CE。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 概形。设 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模同态。设 \(x \in X\)。

若 \(\mathcal{F}_x = 0\)，则存在开邻域 \(U \subset X\)，它是 \(x\) 的邻域，且 \(\mathcal{F}|_U = 0\)。

若 \(\varphi_x : \mathcal{G}_x \to \mathcal{F}_x\) 单射，则存在开邻域 \(U \subset X\)，它是 \(x\) 的邻域，且 \(\varphi|_U\) 单射。

若 \(\varphi_x : \mathcal{G}_x \to \mathcal{F}_x\) 满射，则存在开邻域 \(U \subset X\)，它是 \(x\) 的邻域，且 \(\varphi|_U\) 满射。

若 \(\varphi_x : \mathcal{G}_x \to \mathcal{F}_x\) 双射，则存在开邻域 \(U \subset X\)，它是 \(x\) 的邻域，且 \(\varphi|_U\) 为同构。

证明

见《模》引理 01B8、 01B9 及 01C0。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 概形。设 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(x \in X\)。假设 \(\psi : \mathcal{G}_x \to \mathcal{F}_x\) 是 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模映射。则存在开邻域 \(U \subset X\)（它是 \(x\) 的邻域）及映射 \(\varphi : \mathcal{G}|_U \to \mathcal{F}|_U\)，使 \(\varphi_x = \psi\)。

证明

根据引理 01XZ，这是《模》引理 01CP 的重述。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 概形。设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) 闭，且 \(\mathcal{F}\) 来自 \(\mathcal{F}\) 的概形论支集上的凝聚层；见《态射》定义 05JV。

证明

设 \(i : Z \to X\) 为 \(\mathcal{F}\) 的概形论支集，并设 \(\mathcal{G}\) 为 \(Z\) 上的有限型拟凝聚层，使 \(i_*\mathcal{G} \cong \mathcal{F}\)。由于 \(Z = \text{Supp}(\mathcal{F})\)，支集闭。由《态射》引理 01T5 及 01T6，概形 \(Z\) 局部 Noether。最后，由引理 01XZ， \(\mathcal{G}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模。

引理

设 \(i : Z \to X\) 为局部 Noether 概形的闭浸入。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为切出 \(Z\) 的拟凝聚理想层。函子 \(i_*\) 在凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模（由 \(\mathcal{I}\) 零化）所成的范畴与凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模范畴之间诱导等价。

证明

由《态射》引理 01QY，该函子全忠实。设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，并由 \(\mathcal{I}\) 零化。由《态射》引理 01QY，可写成 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\)，其中 \(\mathcal{G}\) 为 \(Z\) 上的某个拟凝聚层。由《模》引理 01C4，可见 \(\mathcal{G}\) 有限型。因此由引理 01XZ，\(\mathcal{G}\) 凝聚。故该函子也本质满，如所欲。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设 \(f\) 有限且 \(Y\) 局部 Noether。则 \(R^pf_*\mathcal{F} = 0\) 对 \(p > 0\) 成立，并且 \(f_*\mathcal{F}\) 凝聚，如果 \(\mathcal{F}\) 凝聚。

证明

高阶直像由引理 01XC 消失，且有限态射按定义仿射。注意，这些假设还推出 \(X\) 局部 Noether （见《态射》引理 01T6），故陈述有意义。设 \(\Spec(A) = V \subset Y\) 为仿射开子集。由《态射》定义 01WH，有 \(f^{-1}(V) = \Spec(B)\)，其中 \(A \to B\) 有限。引理 01XZ 将引理的陈述化为如下代数事实：若 \(M\) 是有限 \(B\)-模，则把 \(M\) 看作 \(A\)-模时也有限；见《代数》引理 00GJ。

在该引理的情形下，高阶直像也凝聚，因为它们消失。我们将证明，对局部 Noether 概形之间的任意固有态射，这一结论总是成立（命题 02O5）。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 概形。设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚层，且 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq 0\)。则 \(\mathcal{F}\) 由全局截面生成，并且 \(H^i(X, \mathcal{F}) = 0\) 对 \(i > 0\) 成立。

证明

由引理 01Y5，可写 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\)，其中 \(i : Z \to X\) 是 \(\mathcal{F}\) 的概形论支集的包含，而 \(\mathcal{G}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模。由于 \(Z\) 的维数为 \(0\)，可知 \(Z\) 是仿射概形的不交并（《性质》引理 0AAX）。因此 \(\mathcal{G}\) 全局生成，且 \(\mathcal{G}\) 的高阶上同调群为零（引理 01XB）。故 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\) 全局生成。由于 \(\mathcal{F}\) 与 \(\mathcal{G}\) 的上同调相同（闭浸入仿射，故可应用引理 089W），可知 \(\mathcal{F}\) 的高阶上同调群为零。

引理

设 \(X\) 为概形。设 \(j : U \to X\) 为开集的包含。设 \(T \subset X\) 为包含于 \(U\) 的闭子集。若 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模，且 \(\text{Supp}(\mathcal{F}) \subset T\)，则 \(j_*\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。

证明

考虑开覆盖 \(X = U \cup (X \setminus T)\)。则 \(j_*\mathcal{F}|_U = \mathcal{F}\) 凝聚，且 \(j_*\mathcal{F}|_{X \setminus T} = 0\) 也凝聚。故 \(j_*\mathcal{F}\) 凝聚。

Noether 概形上的凝聚层

本节列举 Noether 概形上凝聚层的一些性质。

引理

设 \(X\) 为 Noether 概形。设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。 \(\mathcal{F}\) 的准凝聚子模满足升链条件。换言之，给定准凝聚子模的任意序列 \[\mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2 \subset \ldots \subset \mathcal{F}\] 则有 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1} = \ldots\) 对某个 \(n \geq 0\) 成立。

证明

选取一个有限仿射开覆盖。在覆盖的每个成员上，由《代数》引理 00IK 可知该链稳定。故引理成立。

引理

设 \(X\) 为 Noether 概形。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的凝聚层。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为对应于闭子概形 \(Z \subset X\) 的准凝聚理想层。则存在某个 \(n \geq 0\) 使得 \(\mathcal{I}^n\mathcal{F} = 0\)，当且仅当 \(\text{Supp}(\mathcal{F}) \subset Z\)（在集合论意义下）。

证明

由于 \(X\) 可由有限多个 Noether 环的谱覆盖，结论立即由《代数》引理 00L6 推出。

引理

设 \(X\) 为 Noether 概形。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的凝聚层。设 \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}\) 为准凝聚子层。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为准凝聚理想层。则存在 \(c \geq 0\)，使得对所有 \(n \geq c\) 都有 \[\mathcal{I}^{n - c}(\mathcal{I}^c\mathcal{F} \cap \mathcal{G}) = \mathcal{I}^n\mathcal{F} \cap \mathcal{G}\]

证明

由于 \(X\) 可由有限多个 Noether 环的谱覆盖，结论立即由《代数》引理 00IN 推出。

引理

设 \(X\) 为 Noether 概形。每个准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模都是其凝聚子模的滤过余极限。

证明

本结论只是《性质》引理 01PG 的另一种表述；这里用到由引理 01XZ 可知有限型准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模是凝聚的这一事实。

引理

设 \(X\) 为 Noether 概形。设 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(\mathcal{G}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为准凝聚理想层。以 \(Z \subset X\) 表示相应的闭子概形，并令 \(U = X \setminus Z\)。存在典范同构 \[\colim_n \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{I}^n\mathcal{G}, \mathcal{F}) \longrightarrow \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{G}|_U, \mathcal{F}|_U).\] 特别地，存在同构 \[\colim_n \Hom_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{I}^n, \mathcal{F}) \longrightarrow \Gamma(U, \mathcal{F}).\]

证明

先证明第二个映射是同构。由《性质》引理 01PQ，它是单射。由于 \(\mathcal{F}\) 是其凝聚子模的并，参见《性质》引理 01PG （以及引理 01XZ），为证明满射性，可以并且确实假设 \(\mathcal{F}\) 凝聚。以 \(\mathcal{F}_n\) 表示 \(\mathcal{F}\) 中由 \(\mathcal{I}^n\) 零化的截面组成的准凝聚子层，参见《性质》引理 01PQ。由于 \(\mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2 \subset \ldots\)，可知 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1} = \ldots\) 对某个 \(n \geq 0\) 成立，这由引理 01Y8 推出。令 \(\mathcal{H} = \mathcal{F}_n\)，其中 \(n\) 为上述整数。由 Artin–Rees （引理 01YA），存在 \(c \geq 0\) 使得 \(\mathcal{I}^m\mathcal{F} \cap \mathcal{H} \subset \mathcal{I}^{m - c}\mathcal{H}\)。取 \(m = n + c\)，得到 \(\mathcal{I}^m\mathcal{F} \cap \mathcal{H} \subset \mathcal{I}^n\mathcal{H} = 0\)。因此，若令 \(\mathcal{F}' = \mathcal{I}^m\mathcal{F}\)，则有 \(\mathcal{F}' \cap \mathcal{F}_n = 0\) 且 \(\mathcal{F}'|_U = \mathcal{F}|_U\)。特别注意到，子层 \((\mathcal{F}')_N\)，即由 \(\mathcal{I}^N\) 零化的截面所成子层，对所有 \(N \geq 0\) 均为零。因此由《性质》引理 01PQ 可知，下列交换图中的上方水平箭头是双射： \[\xymatrix{ \colim_n \Hom_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{I}^n, \mathcal{F}') \ar[r] \ar[d] & \Gamma(U, \mathcal{F}') \ar[d] \\ \colim_n \Hom_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{I}^n, \mathcal{F}) \ar[r] & \Gamma(U, \mathcal{F}) }\] 右侧竖直箭头也是双射，故下方水平箭头如所要求是满射。

接下来证明引理中的第一个箭头是双射。由引理 01XZ，层 \(\mathcal{G}\) 是有限表示的，因而层 \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\) 是准凝聚的，参见《概形》第 01LA 节。按定义有 \[\mathcal{H}(U) = \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{G}|_U, \mathcal{F}|_U)\] 在引理第一个箭头的右端选取 \(\psi\)，即 \(\psi \in \mathcal{H}(U)\)。刚刚证明的结果适用于 \(\mathcal{H}\)，故存在 \(n \geq 0\) 以及 \(\varphi : \mathcal{I}^n \to \mathcal{H}\)，它恢复 \(\psi\)（限制到 \(U\) 后）。由《模》引理 01CN，\(\varphi\) 对应于映射 \[\varphi : \mathcal{I}^n \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \longrightarrow \mathcal{F}.\] 这几乎就是所需结论，唯一差别是箭头的源是 \(\mathcal{I}^n\) 与 \(\mathcal{G}\) 的张量积，而非它们的积。我们将说明，以增大 \(n\) 为代价，这一区别无关紧要。考虑短正合列 \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{I}^n \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to \mathcal{I}^n\mathcal{G} \to 0\] 其中 \(\mathcal{K}\) 定义为核。注意 \(\mathcal{I}^n\mathcal{K} = 0\)（证明略）。再次应用 Artin–Rees 可知，对某个充分大的 \(m\) 有 \[\mathcal{K} \cap \mathcal{I}^m(\mathcal{I}^n \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}) = 0\] 换言之，映射 \[\mathcal{I}^m(\mathcal{I}^n \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}) \longrightarrow \mathcal{I}^{n + m}\mathcal{G}\] 是同构。设 \(\varphi'\) 为 \(\varphi\) 在该子模上的限制，将它视为映射 \(\mathcal{I}^{m + n}\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)。于是 \(\varphi'\) 给出引理第一个箭头左端的一个元素，该元素经此箭头映为 \(\psi\)。换言之，我们已经证明该箭头满射。其单射性的证明从略。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 概形。设 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(U \subset X\) 为开集，并设 \(\varphi : \mathcal{F}|_U \to \mathcal{G}|_U\) 为 \(\mathcal{O}_U\)-模映射。则存在凝聚子模 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\)，它与 \(\mathcal{F}\) 在 \(U\) 上相同，且 \(\varphi\) 可延拓为 \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}\)。

证明

设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为定义 \(X \setminus U\) 上既约诱导概形结构的凝聚理想层。若 \(X\) 是 Noether 的，则引理 01YB 表明可取 \(\mathcal{F}' = \mathcal{I}^n\mathcal{F}\)，其中 \(n\) 为某个整数。一般情形将借助 Zorn 引理由此推出。

考虑所有三元组 \((U', \mathcal{F}', \varphi')\) 所成的集合，其中 \(U \subset U' \subset X\) 为开集， \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}|_{U'}\) 是一个与 \(\mathcal{F}\) 在 \(U\) 上相同的凝聚子层，而 \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}|_{U'}\) 限制为 \(\varphi\)（在 \(U\) 上）。我们约定 \((U'', \mathcal{F}'', \varphi'') \geq (U', \mathcal{F}', \varphi')\) 当且仅当 \(U'' \supset U'\)、 \(\mathcal{F}''|_{U'} = \mathcal{F}'\) 且 \(\varphi''|_{U'} = \varphi'\)。显然，若有三元组的一个全序族 \((U_i, \mathcal{F}_i, \varphi_i)\)，则可将 \(\mathcal{F}_i\) 粘合成子层 \(\mathcal{F}'\)，它是 \(\mathcal{F}\) 在 \(U' = \bigcup U_i\) 上的子层，并将 \(\varphi\) 延拓为映射 \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}|_{U'}\)。因此三元组的每个全序子集都有上界。最后，设 \((U', \mathcal{F}', \varphi')\) 为任意三元组，但 \(U' \not = X\)。则可选取仿射开集 \(W \subset X\)，它不包含于 \(U'\)。由第一段的结果，可以把子层 \(\mathcal{F}'|_{W \cap U'}\) 及限制 \(\varphi'|_{W \cap U'}\) 延拓为某个子层 \(\mathcal{F}'' \subset \mathcal{F}|_W\) 及映射 \(\varphi'' : \mathcal{F}'' \to \mathcal{G}|_W\)。当然，\((\mathcal{F}', \varphi')\) 与 \((\mathcal{F}'', \varphi'')\) 在 \(W \cap U'\) 上相合，恰好意味着可以将其延拓成三元组 \((U' \cup W, \mathcal{F}''', \varphi''')\)。因此任意极大三元组 \((U', \mathcal{F}', \varphi')\) （其存在性由 Zorn 引理保证）必有 \(U' = X\)，证明完毕。

深度

本节简要讨论局部 Noether 概形上凝聚模的深度及性质 \((S_k)\)。注意，我们已经在《性质》第 033P 节讨论过局部 Noether 概形的这一概念。

定义

设 \(X\) 为局部 Noether 概形。设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(k \geq 0\) 为整数。

称 \(\mathcal{F}\) 在一点处有深度 \(k\)，若该点 \(x\) 属于 \(X\) 且 \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) = k\)。

称 \(X\) 在一点处有深度 \(k\)，若该点 \(x\) 属于 \(X\) 且 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) = k\)。

若 \(\mathcal{F}\) 满足性质 \((S_k)\)，是指 \[\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) \geq \min(k, \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_x)))\] 对所有 \(x \in X\) 成立。

称 \(X\) 满足性质 \((S_k)\)，若 \(\mathcal{O}_X\) 满足性质 \((S_k)\)。

任意凝聚层都满足条件 \((S_0)\)。条件 \((S_1)\) 等价于没有嵌入伴随点，参见《除子》引理 0346。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 概形。设 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，且 \(x \in X\)。

若 \(\mathcal{G}_x\) 的深度 \(\geq 1\)，则 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})_x\) 的深度 \(\geq 1\)。

若 \(\mathcal{G}_x\) 的深度 \(\geq 2\)，则 \(\Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})_x\) 的深度 \(\geq 2\)。

证明

由引理 01Y2， \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。凝聚模是有限表示的（引理 01XZ），故取层茎与取 \(\SheafHom\) 及 \(\Hom\) 可交换，参见《模》引理 01CP。因而可归结为局部环上的有限模情形，即《代数进阶》引理 0AV5。

引理

设 \(X\) 为局部 Noether 概形。设 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。

若 \(\mathcal{G}\) 满足性质 \((S_1)\)，则 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 满足性质 \((S_1)\)。

若 \(\mathcal{G}\) 满足性质 \((S_2)\)，则 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 满足性质 \((S_2)\)。

证明

立即由引理 0EBC 和定义推出。

我们已在《性质》引理 0342 中看到，局部 Noether 概形是 Cohen–Macaulay 的，当且仅当 \((S_k)\) 对所有 \(k\) 均成立。因此引入下述定义是合理的；它等价于所有层茎均为 Cohen–Macaulay 模这一条件。

定义

设 \(X\) 为局部 Noether 概形。设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。称 \(\mathcal{F}\) 是 Cohen–Macaulay 的，当且仅当 \((S_k)\) 对所有 \(k \geq 0\) 均成立。

引理

设 \(X\) 为正则概形。设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。下列条件等价：

\(\mathcal{F}\) 是 Cohen–Macaulay 的，且 \(\text{Supp}(\mathcal{F}) = X\)；

\(\mathcal{F}\) 是秩 \(> 0\) 的有限局部自由模。

证明

设 \(x \in X\)。若 (2) 成立，则 \(\mathcal{F}_x\) 是自由 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模，且其秩 \(> 0\)。因此 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) = \dim(\mathcal{O}_{X, x})\)，因为正则局部环是 Cohen–Macaulay 的（《代数》引理 00NQ）。反之，若 (1) 成立，则 \(\mathcal{F}_x\) 是 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 上的极大 Cohen–Macaulay 模（《代数》定义 00NF）。故由《代数》引理 00NT， \(\mathcal{F}_x\) 是自由的。

凝聚层的逐层剥离

设 \(X\) 为 Noether 概形。考虑一个整的闭子概形 \(i : Z \to X\)。考察形如 \(i_*\mathcal{G}\) 的凝聚层往往很方便，其中 \(\mathcal{G}\) 是 \(Z\) 上的凝聚层。我们尤其关注 \(\mathcal{G}\) 为无挠秩 \(1\) 层的情形。例如，\(\mathcal{G}\) 可以是 \(Z\) 上的非零理想层；更特殊地，也可取 \(\mathcal{G} = \mathcal{O}_Z\)。

本节始终会用到：凝聚层与有限型准凝聚层是同一回事，凝聚层的准凝聚子商仍然凝聚；参见第 01XY 节。凝聚层的支集是闭的；参见《模》引理 01BA。

引理

设 \(X\) 为 Noether 概形。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的凝聚层。假设 \(\text{Supp}(\mathcal{F}) = Z \cup Z'\)，其中 \(Z\)、\(Z'\) 闭。则存在凝聚层的短正合列 \[0 \to \mathcal{G}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to 0\] 使得 \(\text{Supp}(\mathcal{G}') \subset Z'\) 且 \(\text{Supp}(\mathcal{G}) \subset Z\)。

证明

设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为定义 \(Z\) 上既约诱导闭子概形结构的理想层，参见《概形》引理 01J3。考虑子层 \(\mathcal{G}'_n = \mathcal{I}^n\mathcal{F}\) 以及商层 \(\mathcal{G}_n = \mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}\)。对每个 \(n\)，都有短正合列 \[0 \to \mathcal{G}'_n \to \mathcal{F} \to \mathcal{G}_n \to 0\] 对每个点 \(x\)（其属于 \(Z' \setminus Z\)），有 \(\mathcal{I}_x = \mathcal{O}_{X, x}\)，从而 \(\mathcal{G}_{n, x} = 0\)。故 \(\text{Supp}(\mathcal{G}_n) \subset Z\)。注意 \(X \setminus Z'\) 是 Noether 概形。因此由引理 01Y9，存在 \(n\) 使得 \(\mathcal{G}'_n|_{X \setminus Z'} = \mathcal{I}^n\mathcal{F}|_{X \setminus Z'} = 0\)。对这样的 \(n\)，有 \(\text{Supp}(\mathcal{G}'_n) \subset Z'\)。因此取 \(\mathcal{G}' = \mathcal{G}'_n\) 且 \(\mathcal{G} = \mathcal{G}_n\) 即可。

引理

设 \(X\) 为 Noether 概形。设 \(i : Z \to X\) 为整的闭子概形。设 \(\xi \in Z\) 为其泛点。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的凝聚层。假设 \(\mathcal{F}_\xi\) 被 \(\mathfrak m_\xi\) 零化。则存在整数 \(r \geq 0\)、凝聚理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\) 以及凝聚层的单射 \[i_*\left(\mathcal{I}^{\oplus r}\right) \to \mathcal{F}\] 它在 \(\xi\) 的一个邻域上是同构。

证明

设 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) 为 \(Z\) 的理想层。设 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{F}\) 中被 \(\mathcal{J}\) 零化的局部截面所成的子层。由《性质》引理 01PO，它是准凝聚层。此外，\(\mathcal{F}'_\xi = \mathcal{F}_\xi\)，因为 \(\mathcal{J}_\xi = \mathfrak m_\xi\)，并可应用《性质》引理 01PO 的第 (3) 部分。由引理 01Y3 可知， \(\mathcal{F}' \to \mathcal{F}\) 在 \(\xi\) 的一个邻域上诱导同构。因此可将 \(\mathcal{F}\) 替换为 \(\mathcal{F}'\)，并假设 \(\mathcal{F}\) 被 \(\mathcal{J}\) 零化。

假设 \(\mathcal{J}\mathcal{F} = 0\)。由引理 087T，可写成 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\)，其中 \(\mathcal{G}\) 是 \(Z\) 上的某个凝聚层。假设可以找到态射 \(\mathcal{I}^{\oplus r} \to \mathcal{G}\)，它在泛点 \(\xi\)（即 \(Z\) 的泛点）的一个邻域上是同构。于是应用 \(i_*\) （它左正合）便得到引理结论。因此已经归结为 \(X = Z\) 的情形。

假设 \(Z = X\) 是泛点为 \(\xi\) 的整 Noether 概形。注意，此时 \(\mathcal{O}_{X, \xi} = \kappa(\xi)\) 是 \(X\) 的函数域。由于 \(\mathcal{F}_\xi\) 是有限 \(\mathcal{O}_\xi\)-模，可知 \(r = \dim_{\kappa(\xi)} \mathcal{F}_\xi\) 有限。因此层 \(\mathcal{O}_X^{\oplus r}\) 与 \(\mathcal{F}\) 在 \(\xi\) 处的层茎同构。由引理 01Y4，存在非空开集 \(U \subset X\) 及态射 \(\psi : \mathcal{O}_X^{\oplus r}|_U \to \mathcal{F}|_U\)，它在 \(\xi\) 处是同构，进而由引理 01Y3 可知，它在 \(\xi\) 的一个邻域上是同构。由《概形》引理 01J3，存在准凝聚理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)，其相伴闭子概形 \(Y \subset X\) 是 \(U\) 的补集。由引理 01YB，存在 \(n \geq 0\) 及态射 \(\mathcal{I}^n(\mathcal{O}_X^{\oplus r}) \to \mathcal{F}\)，它恢复 \(\psi\)（在 \(U\) 上）。由于 \(\mathcal{I}^n(\mathcal{O}_X^{\oplus r}) = (\mathcal{I}^n)^{\oplus r}\)，便得到引理所述的映射。该映射是单射，因为 \(X\) 是整的，而且它在 \(X\) 的泛点处是单射（简单证明略）。

引理

设 \(X\) 为 Noether 概形。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的凝聚层。存在由凝聚子层组成的滤过 \[0 = \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_m = \mathcal{F}\] 使得对每个 \(j = 1, \ldots, m\)，都存在整的闭子概形 \(Z_j \subset X\) 及非零凝聚理想层 \(\mathcal{I}_j \subset \mathcal{O}_{Z_j}\)，满足 \[\mathcal{F}_j/\mathcal{F}_{j - 1} \cong (Z_j \to X)_* \mathcal{I}_j\]

证明

考虑集合 \[\mathcal{T} = \left\{ \begin{matrix} Z \subset X \text{ closed such that there exists a coherent sheaf } \mathcal{F} \\ \text{ 其中 } \text{Supp}(\mathcal{F}) = Z \text{ for which the lemma is wrong} \end{matrix} \right\}\] 我们要证明 \(\mathcal{T}\) 为空。若非如此，由于 \(X\) 是 Noether 的，可选取极小元 \(Z \in \mathcal{T}\)。这意味着存在凝聚层 \(\mathcal{F}\)，它在 \(X\) 上且支集为 \(Z\)，而引理对它不成立。显然 \(Z \not = \emptyset\)，因为支集为空的层只有零层，而引理对零层成立（取 \(m = 0\)）。

若 \(Z\) 不可约，则可写成 \(Z = Z_1 \cup Z_2\)，其中 \(Z_1, Z_2\) 闭且严格小于 \(Z\)。于是应用引理 01YD，得到凝聚层的短正合列 \[0 \to \mathcal{G}_1 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G}_2 \to 0\] 满足 \(\text{Supp}(\mathcal{G}_i) \subset Z_i\)。由 \(Z\) 的极小性，每个 \(\mathcal{G}_i\) 都有引理陈述中的滤过。考察 \(\mathcal{F}\) 上的诱导滤过便得到矛盾。因此 \(Z\) 必不可约。

假设 \(Z\) 不可约。设 \(\mathcal{J}\) 为定义 \(Z\) 的既约诱导闭子概形结构的理想层，参见《概形》引理 01J3。由引理 01Y9 可知，存在 \(n \geq 0\) 使得 \(\mathcal{J}^n\mathcal{F} = 0\)。因而得到滤过 \[0 = \mathcal{J}^n\mathcal{F} \subset \mathcal{J}^{n - 1}\mathcal{F} \subset \ldots \subset \mathcal{J}\mathcal{F} \subset \mathcal{F}\] 其每个相继子商都被 \(\mathcal{J}\) 零化。因此，若这些子商各自都有引理陈述中的滤过，则 \(\mathcal{F}\) 也有。换言之，可以假设 \(\mathcal{J}\) 确实零化 \(\mathcal{F}\)。

在 \(Z\) 可约且 \(\mathcal{J}\mathcal{F} = 0\) 的情形，可应用引理 01YE。这给出短正合列 \[0 \to i_*(\mathcal{I}^{\oplus r}) \to \mathcal{F} \to \mathcal{Q} \to 0\] 其中 \(\mathcal{Q}\) 定义为该商。由刚引用的引理，\(\mathcal{Q}\) 在 \(\xi\) 的一个邻域上为零，故 \(\mathcal{Q}\) 的支集严格小于 \(Z\)。于是 \(\mathcal{Q}\) 由 \(Z\) 的极小性具有所需类型的滤过。但这样 \(\mathcal{F}\) 显然也有，得到最终矛盾。

引理

设 \(X\) 为 Noether 概形。设 \(\mathcal{P}\) 为 \(X\) 上凝聚层的一种性质。假设：

对凝聚层的任意短正合列 \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}_2 \to 0\] 若 \(\mathcal{F}_i\)（\(i = 1, 2\)）具有性质 \(\mathcal{P}\)，则 \(\mathcal{F}\) 也具有该性质。

对每个整的闭子概形 \(Z \subset X\) 以及每个准凝聚理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\)，性质 \(\mathcal{P}\) 对 \(i_*\mathcal{I}\) 成立。

则性质 \(\mathcal{P}\) 对 \(X\) 上的每个凝聚层均成立。

证明

先注意，若 \(\mathcal{F}\) 是凝聚层，并有凝聚子层的滤过 \[0 = \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_m = \mathcal{F}\] 使每个 \(\mathcal{F}_i/\mathcal{F}_{i - 1}\) 都具有性质 \(\mathcal{P}\)，则 \(\mathcal{F}\) 也具有该性质。这由 \(\mathcal{P}\) 的性质 (1) 推出。另一方面，由引理 01YF，可将任意 \(\mathcal{F}\) 滤过，使相继子商具有 (2) 中的形式。故引理成立。

引理

设 \(X\) 为 Noether 概形。设 \(Z_0 \subset X\) 为泛点 \(\xi\) 的不可约闭子集。设 \(\mathcal{P}\) 为 \(X\) 上支集包含于 \(Z_0\) 的凝聚层的一种性质，并且：

对凝聚层的任意短正合列，若三项中有两项具有性质 \(\mathcal{P}\)，则第三项也具有该性质。

对每个整的闭子概形 \(Z \subset Z_0 \subset X\)， \(Z \not = Z_0\)，以及每个准凝聚理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\)，性质 \(\mathcal{P}\) 对 \((Z \to X)_*\mathcal{I}\) 成立。

存在某个凝聚层 \(\mathcal{G}\)，它在 \(X\) 上且满足：

\(\text{Supp}(\mathcal{G}) = Z_0\)；

\(\mathcal{G}_\xi\) 被 \(\mathfrak m_\xi\) 零化；

\(\dim_{\kappa(\xi)} \mathcal{G}_\xi = 1\)；并且

性质 \(\mathcal{P}\) 对 \(\mathcal{G}\) 成立。

则性质 \(\mathcal{P}\) 对每个凝聚层 \(\mathcal{F}\) 均成立，只要该层在 \(X\) 上且其支集包含于 \(Z_0\)。

证明

先注意，若 \(\mathcal{F}\) 是支集包含于 \(Z_0\) 的凝聚层，并有凝聚子层的滤过 \[0 = \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_m = \mathcal{F}\] 使每个 \(\mathcal{F}_i/\mathcal{F}_{i - 1}\) 都具有性质 \(\mathcal{P}\)，则 \(\mathcal{F}\) 也具有该性质。或者，若 \(\mathcal{F}\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)，且除一个之外的所有 \(\mathcal{F}_i/\mathcal{F}_{i - 1}\) 都具有性质 \(\mathcal{P}\)，则最后一个也具有该性质。这由假设 (1) 推出。

作为第一个应用，可知支集严格包含于 \(Z_0\) 的任意凝聚层都具有性质 \(\mathcal{P}\)。事实上，这样的层有一个滤过（参见引理 01YF），其子商依 (2) 均具有性质 \(\mathcal{P}\)。

设 \(\mathcal{G}\) 如 (3) 所述。由引理 01YE，存在理想层 \(\mathcal{I}\)（定义在 \(Z_0\) 上）、整数 \(r \geq 1\) 以及短正合列 \[0 \to \left((Z_0 \to X)_*\mathcal{I}\right)^{\oplus r} \to \mathcal{G} \to \mathcal{Q} \to 0\] 其中 \(\mathcal{Q}\) 的支集严格包含于 \(Z_0\)。由 (3)(c) 可知 \(r = 1\)。由于 \(\mathcal{Q}\) 也具有性质 \(\mathcal{P}\)，可知 \((Z_0 \to X)_*\mathcal{I}\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。

接着，设 \(\mathcal{I}' \not = 0\) 是 \(Z_0\) 上的另一个准凝聚理想层。考虑交 \(\mathcal{I}'' = \mathcal{I}' \cap \mathcal{I}\)，得到两个短正合列 \[0 \to (Z_0 \to X)_*\mathcal{I}'' \to (Z_0 \to X)_*\mathcal{I} \to \mathcal{Q} \to 0\] 和 \[0 \to (Z_0 \to X)_*\mathcal{I}'' \to (Z_0 \to X)_*\mathcal{I}' \to \mathcal{Q}' \to 0.\] 注意，凝聚层 \(\mathcal{Q}\) 与 \(\mathcal{Q}'\) 的支集都严格包含于 \(Z_0\)。因此 \(\mathcal{Q}\) 与 \(\mathcal{Q}'\) 均具有性质 \(\mathcal{P}\)（见上）。于是利用 (1) 可知 \((Z_0 \to X)_*\mathcal{I}''\) 与 \((Z_0 \to X)_*\mathcal{I}'\) 也都具有 \(\mathcal{P}\)。

证明的最后一步是注意到，任意凝聚层 \(\mathcal{F}\) 只要在 \(X\) 上且支集包含于 \(Z_0\)，便都有一个滤过（再次参见引理 01YF），依刚才所述，其子商均具有性质 \(\mathcal{P}\)。

引理

设 \(X\) 为 Noether 概形。设 \(\mathcal{P}\) 为 \(X\) 上凝聚层的一种性质，并且：

对凝聚层的任意短正合列，若三项中有两项具有性质 \(\mathcal{P}\)，则第三项也具有该性质。

对每个整的闭子概形 \(Z \subset X\)（其泛点为 \(\xi\)），存在某个凝聚层 \(\mathcal{G}\)，满足：

\(\text{Supp}(\mathcal{G}) = Z\)；

\(\mathcal{G}_\xi\) 被 \(\mathfrak m_\xi\) 零化；

\(\dim_{\kappa(\xi)} \mathcal{G}_\xi = 1\)；并且

性质 \(\mathcal{P}\) 对 \(\mathcal{G}\) 成立。

则性质 \(\mathcal{P}\) 对 \(X\) 上的每个凝聚层均成立。

证明

依引理 01YG，只需证明：对所有整的闭子概形 \(Z \subset X\) 及所有准凝聚理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\)，性质 \(\mathcal{P}\) 对 \((Z \to X)_*\mathcal{I}\) 成立。若非如此，则由于 \(X\) 是 Noether 的，存在极小的整闭子概形 \(Z_0 \subset X\)，使得性质 \(\mathcal{P}\) 对 \((Z_0 \to X)_*\mathcal{I}_0\) 不成立，其中 \(\mathcal{I}_0 \subset \mathcal{O}_{Z_0}\) 是某个准凝聚理想层；但性质 \(\mathcal{P}\) 对 \((Z \to X)_*\mathcal{I}\) 成立，只要 \(Z \subset Z_0\) 是整的闭子概形、 \(Z \not = Z_0\) 且 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\) 是准凝聚理想层。由第 (2) 部分，存在 \(\mathcal{G}\)（对应于 \(Z_0\)）；依引理 01YH，这种情况不可能发生。

引理

设 \(X\) 为 Noether 概形。设 \(Z_0 \subset X\) 为泛点 \(\xi\) 的不可约闭子集。设 \(\mathcal{P}\) 为 \(X\) 上凝聚层的一种性质，并且：

对凝聚层的任意短正合列 \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}_2 \to 0\] 若 \(\mathcal{F}_i\)（\(i = 1, 2\)）具有性质 \(\mathcal{P}\)，则 \(\mathcal{F}\) 也具有该性质。

若性质 \(\mathcal{P}\) 对 \(\mathcal{F}^{\oplus r}\) 成立，其中 \(r \geq 1\)，则它也对 \(\mathcal{F}\) 成立。

对每个整的闭子概形 \(Z \subset Z_0 \subset X\)、 \(Z \not = Z_0\) 及每个准凝聚理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\)，性质 \(\mathcal{P}\) 对 \((Z \to X)_*\mathcal{I}\) 成立。

存在某个凝聚层 \(\mathcal{G}\)，满足：

\(\text{Supp}(\mathcal{G}) = Z_0\)；

\(\mathcal{G}_\xi\) 被 \(\mathfrak m_\xi\) 零化；并且

对每个准凝聚理想层 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\)，若 \(\mathcal{J}_\xi = \mathcal{O}_{X, \xi}\)，则存在准凝聚子层 \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{J}\mathcal{G}\)，使得 \(\mathcal{G}'_\xi = \mathcal{G}_\xi\)，且性质 \(\mathcal{P}\) 对 \(\mathcal{G}'\) 成立。

则性质 \(\mathcal{P}\) 对每个凝聚层 \(\mathcal{F}\) 均成立，只要该层在 \(X\) 上且其支集包含于 \(Z_0\)。

证明

注意，若 \(\mathcal{F}\) 是凝聚层，并有凝聚子层的滤过 \[0 = \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_m = \mathcal{F}\] 使每个 \(\mathcal{F}_i/\mathcal{F}_{i - 1}\) 都具有性质 \(\mathcal{P}\)，则 \(\mathcal{F}\) 也具有该性质。这由假设 (1) 推出。

作为第一个应用，可知支集严格包含于 \(Z_0\) 的任意凝聚层都具有性质 \(\mathcal{P}\)。事实上，这样的层有一个滤过（参见引理 01YF），其子商依 (3) 均具有性质 \(\mathcal{P}\)。

以 \(i : Z_0 \to X\) 表示该闭浸入。考虑 (4) 中的凝聚层 \(\mathcal{G}\)。由引理 01YE，存在理想层 \(\mathcal{I}\)（定义在 \(Z_0\) 上）以及短正合列 \[0 \to i_*\mathcal{I}^{\oplus r} \to \mathcal{G} \to \mathcal{Q} \to 0\] 其中 \(\mathcal{Q}\) 的支集严格包含于 \(Z_0\)。特别地，\(r > 0\) 且 \(\mathcal{I}\) 非零，因为 \(\mathcal{G}\) 的支集等于 \(Z_0\)。任取非零准凝聚理想层 \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{I}\)；它定义在 \(Z_0\) 上且包含于 \(\mathcal{I}\)。于是也得到短正合列 \[0 \to i_*(\mathcal{I}')^{\oplus r} \to \mathcal{G} \to \mathcal{Q}' \to 0\] 其中 \(\mathcal{Q}'\) 的支集真包含于 \(Z_0\)。设 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) 为定义 \(\mathcal{Q}'\) 的支集的准凝聚理想层（例如，对应于 \(\mathcal{Q}'\) 的支集上的既约诱导闭子概形结构的理想）。则 \(\mathcal{J}_\xi = \mathcal{O}_{X, \xi}\)。由引理 01Y9 可知， \(\mathcal{J}^n\mathcal{Q}' = 0\) 对某个 \(n\) 成立。因此 \(\mathcal{J}^n\mathcal{G} \subset i_*(\mathcal{I}')^{\oplus r}\)。由引理的假设 (4)(c)，可知存在准凝聚子层 \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{J}^n\mathcal{G}\)，满足 \(\mathcal{G}'_\xi = \mathcal{G}_\xi\)，且性质 \(\mathcal{P}\) 成立。从而得到短正合列 \[0 \to \mathcal{G}' \to i_*(\mathcal{I}')^{\oplus r} \to \mathcal{Q}'' \to 0\] 其中 \(\mathcal{Q}''\) 的支集真包含于 \(Z_0\)。因此由开头的说明和引理的性质 (1)，可知 \(i_*(\mathcal{I}')^{\oplus r}\) 满足 \(\mathcal{P}\)。再由 (2) 可知 \(i_*\mathcal{I}'\) 满足 \(\mathcal{P}\)。最后，对任意准凝聚理想层 \(\mathcal{I}'' \subset \mathcal{O}_{Z_0}\)，令 \(\mathcal{I}' = \mathcal{I}'' \cap \mathcal{I}\)，便得到短正合列 \[0 \to i_*(\mathcal{I}') \to i_*(\mathcal{I}'') \to \mathcal{Q}''' \to 0\] 其中 \(\mathcal{Q}'''\) 的支集真包含于 \(Z_0\)。故性质 \(\mathcal{P}\) 对 \(i_*\mathcal{I}''\) 也成立。

证明的最后一步是注意到，任意凝聚层 \(\mathcal{F}\) 只要在 \(X\) 上且支集包含于 \(Z_0\)，便都有一个滤过（再次参见引理 01YF），依刚才所述，其子商均具有性质 \(\mathcal{P}\)。

引理

设 \(X\) 为 Noether 概形。设 \(\mathcal{P}\) 为 \(X\) 上凝聚层的一种性质，并且：

对凝聚层的任意短正合列 \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}_2 \to 0\] 若 \(\mathcal{F}_i\)（\(i = 1, 2\)）具有性质 \(\mathcal{P}\)，则 \(\mathcal{F}\) 也具有该性质。

若性质 \(\mathcal{P}\) 对 \(\mathcal{F}^{\oplus r}\) 成立，其中 \(r \geq 1\)，则它也对 \(\mathcal{F}\) 成立。

对每个整的闭子概形 \(Z \subset X\)（其泛点为 \(\xi\)），存在某个凝聚层 \(\mathcal{G}\)，满足：

\(\text{Supp}(\mathcal{G}) = Z\)；

\(\mathcal{G}_\xi\) 被 \(\mathfrak m_\xi\) 零化；并且

对每个准凝聚理想层 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\)，若 \(\mathcal{J}_\xi = \mathcal{O}_{X, \xi}\)，则存在准凝聚子层 \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{J}\mathcal{G}\)，使得 \(\mathcal{G}'_\xi = \mathcal{G}_\xi\)，且性质 \(\mathcal{P}\) 对 \(\mathcal{G}'\) 成立。

则性质 \(\mathcal{P}\) 对 \(X\) 上的每个凝聚层均成立。

证明

这由引理 01YL 推出，其方式与引理 01YI 由引理 01YH 推出的方式完全相同。

有限态射与仿射性

本节利用前几节的结果证明：Noether 仿射概形在有限态射下的像是仿射的。稍后将看到，该结果在更一般的情形下成立（参见《极限》引理 01ZT 及命题 05YU）。

引理

设 \(f : Y \to X\) 为概形态射。假设 \(f\) 有限且满射，并且 \(X\) 局部 Noether。设 \(Z \subset X\) 为泛点 \(\xi\) 的整闭子概形。则存在凝聚层 \(\mathcal{F}\)，它在 \(Y\) 上，并使得 \(f_*\mathcal{F}\) 的支集等于 \(Z\)，且 \((f_*\mathcal{F})_\xi\) 被 \(\mathfrak m_\xi\) 零化。

证明

注意，由《态射》引理 01T6， \(Y\) 局部 Noether。由于 \(f\) 满射，纤维 \(Y_\xi\) 非空。选取 \(\xi' \in Y\)，使其映到 \(\xi\)。令 \(Z' = \overline{\{\xi'\}}\)。可将 \(Z' \subset Y\) 视为既约闭子概形，参见《概形》引理 01J3。因此层 \(\mathcal{F} = (Z' \to Y)_*\mathcal{O}_{Z'}\) 是 \(Y\) 上的凝聚层（参见引理 01Y6）。考察交换图 \[\xymatrix{ Z' \ar[r]_{i'} \ar[d]_{f'} & Y \ar[d]^f \\ Z \ar[r]^i & X }\] 可见 \(f_*\mathcal{F} = i_*f'_*\mathcal{O}_{Z'}\)。因此 \(f_*\mathcal{F}\) 在 \(\xi\) 处的层茎就是 \(f'_*\mathcal{O}_{Z'}\) 在 \(\xi\) 处的层茎。注意，由于 \(Z'\) 是泛点为 \(\xi'\) 的整概形，\(\xi'\) 是 \(Z'\) 中位于 \(\xi\) 上方的唯一一点，参见《代数》引理 00GK 与 00GT。故 \(f'_*\mathcal{O}_{Z'}\) 在 \(\xi\) 处的层茎等于 \(\mathcal{O}_{Z', \xi'} = \kappa(\xi')\)。特别地， \(f_*\mathcal{F}\) 在 \(\xi\) 处的层茎非零。结合 \(f_*\mathcal{F}\) 具有 \(i_*f'_*(\text{something})\) 的形式这一事实，即得引理。

引理

设 \(f : Y \to X\) 为概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(Y\) 上的准凝聚层。设 \(\mathcal{I}\) 为 \(X\) 上的准凝聚理想层。若态射 \(f\) 仿射，则 \(\mathcal{I}f_*\mathcal{F} = f_*(f^{-1}\mathcal{I}\mathcal{F})\)。

证明

该记号的含义如下。由于 \(f^{-1}\) 是正合函子， \(f^{-1}\mathcal{I}\) 是 \(f^{-1}\mathcal{O}_X\) 的理想层。通过映射 \(f^\sharp : f^{-1}\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y\)，它作用在 \(\mathcal{F}\) 上。于是 \(f^{-1}\mathcal{I}\mathcal{F}\) 是由形如 \(as\) 的局部截面的和所生成的子层，其中 \(a\) 是 \(f^{-1}\mathcal{I}\) 的局部截面，而 \(s\) 是 \(\mathcal{F}\) 的局部截面。它是 \(\mathcal{O}_Y\)-模 \(\mathcal{F}\) 的准凝聚子模，因为它也是自然映射 \(f^*\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 的像。

说明这些之后，证明是直接的。问题是局部的，故可假设 \(X\) 仿射。由于 \(f\) 仿射，可知 \(Y\) 也仿射。因此可写成 \(Y = \Spec(B)\)、\(X = \Spec(A)\)、 \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\) 以及 \(\mathcal{I} = \widetilde{I}\)。在此情形，引理断言归结为 \[I(M_A) = ((IB)M)_A\] 其中 \(M_A\) 表示相应的 \(A\)-模；它由 \(B\)-模 \(M\) 得到。

引理

设 \(f : Y \to X\) 为概形态射。假设：

\(f\) 有限；

\(f\) 满射；

\(Y\) 仿射；并且

\(X\) Noether。

则 \(X\) 仿射。

证明

我们将证明，在引理的假设下，对任意凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\) 都有 \(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\)。特别地，这蕴含对 \(H^1(X, \mathcal{I}) = 0\) 对 \(\mathcal{O}_X\) 的每个准凝聚理想层成立。于是由引理 01XF 或引理 01XG 可知 \(X\) 仿射。

设 \(\mathcal{P}\) 为凝聚层 \(\mathcal{F}\)（在 \(X\) 上）的如下性质： \[\mathcal{P}(\mathcal{F}) \Leftrightarrow H^1(X, \mathcal{F}) = 0.\] 我们将应用引理 01YM。因此必须对 \(\mathcal{P}\) 验证该引理的 (1)、(2)、(3)。性质 (1) 由层的短正合列所伴随的上同调长正合列推出。性质 (2) 由 \(H^1(X, -)\) 是加性函子推出。为验证 (3)，设 \(Z \subset X\) 为泛点 \(\xi\) 的整闭子概形。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(Y\) 上的凝聚层，使得 \(f_*\mathcal{F}\) 的支集等于 \(Z\)，且 \((f_*\mathcal{F})_\xi\) 被 \(\mathfrak m_\xi\) 零化；参见引理 01YO。我们断言取 \(\mathcal{G} = f_*\mathcal{F}\) 即可。只需验证引理 01YM 的 (3)(c)。因此假设 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) 是满足 \(\mathcal{J}_\xi = \mathcal{O}_{X, \xi}\) 的准凝聚理想层。有限态射是仿射的，故由引理 01YP 可知 \(\mathcal{J}\mathcal{G} = f_*(f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F})\)。此外，如引理 01YP 的证明中所指出，层 \(f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F}\) 是准凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模。由于 \(Y\) 仿射，有 \(H^1(Y, f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F}) = 0\)，参见引理 01XB。由于 \(f\) 有限，因而仿射，所以 \[H^1(X, \mathcal{J}\mathcal{G}) = H^1(X, f_*(f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F})) = H^1(Y, f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F}) = 0\] 这由引理 089W 得到。因此准凝聚子层 \(\mathcal{G}' = \mathcal{J}\mathcal{G}\) 满足 \(\mathcal{P}\)。这如所要求验证了引理 01YM 的性质 (3)(c)。

Proj 上的凝聚层，I

本节讨论 \(\text{Proj}(A)\) 上的凝聚层，其中 \(A\) 是由 \(A_1\) 在 \(A_0\) 上生成的 Noether 分次环。下一节将讨论 \(A\) 不由次数 \(1\) 的元素生成时的情形。首先，我们为 Noether 环上的射影空间表述一个汇总性结果。

引理

设 \(R\) 为 Noether 环。设 \(n \geq 0\) 为整数。对每个凝聚层 \(\mathcal{F}\)（在 \(\mathbf{P}^n_R\) 上），有下列结论：

存在 \(r \geq 0\)、 \(d_1, \ldots, d_r \in \mathbf{Z}\) 以及满射 \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d_j) \longrightarrow \mathcal{F}.\]

有 \(H^i(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}) = 0\)，除非 \(0 \leq i \leq n\)。

对任意 \(i\)，上同调群 \(H^i(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F})\) 是有限 \(R\)-模。

若 \(i > 0\)，则 \(H^i(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}(d)) = 0\) 对所有充分大的 \(d\) 成立。

对任意 \(k \in \mathbf{Z}\)，分次 \(R[T_0, \ldots, T_n]\)-模 \[\bigoplus\nolimits_{d \geq k} H^0(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}(d))\] 是有限 \(R[T_0, \ldots, T_n]\)-模。

证明

我们将用到 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(1)\) 是概形 \(\mathbf{P}^n_R\) 上的丰沛可逆层。由于 \(\mathbf{P}^n_R\) 被标准仿射开集 \(D_{+}(T_i)\) 覆盖，这直接由定义推出。因此由《性质》命题 01Q3，每个有限型准凝聚 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}\)-模都是 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(1)\) 的张量幂的某个有限直和的商。另一方面，由引理 01XZ，在 \(R\) 上的射影空间中，凝聚层与有限型准凝聚层是同一回事。故得到 (1)。

射影 \(n\)-空间 \(\mathbf{P}^n_R\) 由 \(n + 1\) 个仿射开集覆盖，即标准开集 \(D_{+}(T_i)\)（\(i = 0, \ldots, n\)），参见《构造》引理 01NG。因此，对任意准凝聚层 \(\mathcal{F}\)（在 \(\mathbf{P}^n_R\) 上），有 \(H^i(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}) = 0\)（当 \(i \geq n + 1\) 时），参见引理 01XI。故 (2) 成立。

我们同时为 \(\mathbf{P}^n_R\) 上的所有凝聚层证明 (3) 与 (4)，并对 \(i\) 作降归纳。由 (2)，结论对 \(i \geq n + 1\) 显然成立。假设已知 \(i + 1\) 的结论，现在证明 \(i\) 的结论。（若 \(i = 0\)，则 (4) 为空断言。）设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathbf{P}^n_R\) 上的凝聚层。选取 (1) 中的满射，并以 \(\mathcal{G}\) 表示其核，从而有短正合列 \[0 \to \mathcal{G} \to \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d_j) \to \mathcal{F} \to 0\] 由引理 01Y0 可知 \(\mathcal{G}\) 凝聚。上同调长正合列给出正合列 \[H^i(\mathbf{P}^n_R, \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d_j)) \to H^i(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}) \to H^{i + 1}(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{G}).\] 由归纳假设，右侧 \(R\)-模有限；由引理 01XT，左侧 \(R\)-模有限。由于 \(R\) Noether，立即可知 \(H^i(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F})\) 是有限 \(R\)-模。这证明了断言 (3) 的归纳步骤。由于 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d)\) 可逆，可知在 \(\mathbf{P}^n_R\) 上作扭转是正合函子（因为它由与可逆层张量得到，参见《构造》定义 01MN）。这意味着对所有 \(d \in \mathbf{Z}\)，序列 \[0 \to \mathcal{G}(d) \to \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d_j + d) \to \mathcal{F}(d) \to 0\] 短正合。所得上同调序列为 \[H^i(\mathbf{P}^n_R, \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d_j + d)) \to H^i(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}(d)) \to H^{i + 1}(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{G}(d)).\] 由归纳假设，\(d \gg 0\) 时右侧的模为零；由引理 01XT 中的计算，一旦 \(d \geq -\min\{d_j\}\) 且 \(i \geq 1\)，左侧的模即为零。故得到断言 (4) 的归纳步骤。这完成 (3) 与 (4) 的证明。

为证明 (5)，注意对所有充分大的 \(d\)，映射 \[H^0(\mathbf{P}^n_R, \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d_j + d)) \to H^0(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}(d))\] 是满射，这是由刚刚证明的 \(H^1(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{G}(d))\) 的消失得到的。换言之，当 \(k\) 充分大时，模 \[M_k = \bigoplus\nolimits_{d \geq k} H^0(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}(d))\] 是相应模 \[N_k = \bigoplus\nolimits_{d \geq k} H^0(\mathbf{P}^n_R, \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d_j + d) )\] 的商。当 \(k\) 充分小时（例如有 \(k < -d_j\) 对所有 \(j\) 成立），由第 01XS 节中的计算，有 \[N_k = \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} R[T_0, \ldots, T_n](d_j)\] 特别地，它有限生成。现在设 \(k \in \mathbf{Z}\) 任意。选取 \(k_{-} \ll k \ll k_{+}\)。考虑交换图 \[\xymatrix{ N_{k_{-}} & N_{k_{+}} \ar[d] \ar[l] \\ M_k & M_{k_{+}} \ar[l] }\] 其中竖直箭头是上述满射，而水平箭头是显然的包含映射。由以上说明，\(N_{k_{-}}\) 是有限生成 \(R[T_0, \ldots, T_n]\)-模。因此 \(N_{k_{+}}\) 也是有限生成 \(R[T_0, \ldots, T_n]\)-模，因为它是有限生成模的子模，而环 \(R[T_0, \ldots, T_n]\) 是 Noether 的。由于竖直箭头满射，\(M_{k_{+}}\) 是有限生成 \(R[T_0, \ldots, T_n]\)-模。商 \(M_k/M_{k_{+}}\) 作为 \(R\)-模是有限的，因为它是有限个有限 \(R\)-模 \(H^0(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}(d))\) 的直和，其中 \(k \leq d < k_{+}\)。注意，此处使用了 (3) 中 \(i = 0\) 的情形。因此 \(M_k/M_{k_{+}}\) 更是有限 \(R[T_0, \ldots, T_n]\)-模。换言之，我们把 \(M_k\) 夹在两个有限 \(R[T_0, \ldots, T_n]\)-模之间，结论得证。

引理

设 \(A\) 为分次环，使得 \(A_0\) Noether，且 \(A\) 由 \(A_1\) 的有限多个元素在 \(A_0\) 上生成。令 \(X = \text{Proj}(A)\)。则 \(X\) 是 Noether 概形。设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。

存在 \(r \geq 0\)、 \(d_1, \ldots, d_r \in \mathbf{Z}\) 以及满射 \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_X(d_j) \longrightarrow \mathcal{F}.\]

对任意 \(p\)，上同调群 \(H^p(X, \mathcal{F})\) 是有限 \(A_0\)-模。

若 \(p > 0\)，则 \(H^p(X, \mathcal{F}(d)) = 0\) 对所有充分大的 \(d\) 成立。

对任意 \(k \in \mathbf{Z}\)，分次 \(A\)-模 \[\bigoplus\nolimits_{d \geq k} H^0(X, \mathcal{F}(d))\] 是有限 \(A\)-模。

证明

由假设，存在分次 \(A_0\)-代数的满射 \[A_0[T_0, \ldots, T_n] \longrightarrow A\] 其中 \(\deg(T_j) = 1\) 对 \(j = 0, \ldots, n\) 成立。由《构造》引理 01N1，这定义一个闭浸入 \(i : X \to \mathbf{P}^n_{A_0}\)，满足 \(i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_{A_0}}(1) = \mathcal{O}_X(1)\)。特别地，\(X\) 作为 Noether 概形 \(\mathbf{P}^n_{A_0}\) 的闭子概形，是 Noether 的。我们断言，引理关于 \(\mathcal{F}\) 的各结论可由引理 01YS 关于凝聚层 \(i_*\mathcal{F}\)（引理 087T）在 \(\mathbf{P}^n_{A_0}\) 上的相应结论推出。例如，由该引理存在满射 \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_{A_0}}(d_j) \longrightarrow i_*\mathcal{F}.\] 由伴随，这对应于映射 \(\bigoplus_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_X(d_j) \longrightarrow \mathcal{F}\)，它也满射。关于上同调的断言由等式 \(H^p(X, \mathcal{F}(d)) = H^p(\mathbf{P}^n_{A_0}, i_*\mathcal{F}(d))\) 及引理 089W 推出。

引理

设 \(A\) 为分次环，使得 \(A_0\) Noether，且 \(A\) 由 \(A_1\) 的有限多个元素在 \(A_0\) 上生成。设 \(M\) 为有限分次 \(A\)-模。令 \(X = \text{Proj}(A)\)，并令 \(\widetilde{M}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模；它在 \(X\) 上且与 \(M\) 相伴。《构造》引理 01MT 中的映射 \[M_n \longrightarrow \Gamma(X, \widetilde{M}(n))\] 对所有充分大的 \(n\) 都是同构。

证明

由于 \(M\) 是有限 \(A\)-模，可知 \(\widetilde{M}\) 是有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模，即凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。令 \(N = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \widetilde{M}(n))\)。必须证明映射 \(M \to N\)（分次 \(A\)-模的映射）在所有充分大的次数上是同构。由《性质》引理 0AG5，存在典范同构 \(\widetilde{N} \to \widetilde{M}\)，使得诱导映射 \(N_n \to N_n = \Gamma(X, \widetilde{M}(n))\) 为恒等映射。因此有映射 \(\widetilde{M} \to \widetilde{N} \to \widetilde{M}\)，使得对所有 \(n\)，交换图 \[\xymatrix{ M_n \ar[d] \ar[r] & N_n \ar[d] \ar@{=}[rd] \\ \Gamma(X, \widetilde{M}(n)) \ar[r] & \Gamma(X, \widetilde{N}(n)) \ar[r]^{\cong} & \Gamma(X, \widetilde{M}(n)) }\] 交换。这意味着复合 \[M_n \to \Gamma(X, \widetilde{M}(n)) \to \Gamma(X, \widetilde{N}(n)) \to \Gamma(X, \widetilde{M}(n))\] 等于典范映射 \(M_n \to \Gamma(X, \widetilde{M}(n))\)。显然，这蕴含复合 \(\widetilde{M} \to \widetilde{N} \to \widetilde{M}\) 为恒等映射。因此 \(\widetilde{M} \to \widetilde{N}\) 是同构。令 \(K = \Ker(M \to N)\) 且 \(Q = \Coker(M \to N)\)。回忆函子 \(M \mapsto \widetilde{M}\) 正合，参见《构造》引理 01M7。因此 \(\widetilde{K} = 0\) 且 \(\widetilde{Q} = 0\)。回忆 \(A\) 是 Noether 环，\(M\) 是有限生成 \(A\)-模，而 \(N\) 是分次 \(A\)-模，并且由引理 0AG6 的最后一部分， \(N' = \bigoplus_{n \geq 0} N_n\) 有限生成。因此 \(K' = \bigoplus_{n \geq 0} K_n\) 及 \(Q' = \bigoplus_{n \geq 0} Q_n\) 是有限 \(A\)-模。注意 \(\widetilde{Q} = \widetilde{Q'}\) 且 \(\widetilde{K} = \widetilde{K'}\)。故为完成证明，只需说明：若有限 \(A\)-模 \(K\) 满足 \(\widetilde{K} = 0\)，则它只有有限多个非零齐次分量 \(K_d\)，其中 \(d \geq 0\)。为此，设 \(x_1, \ldots, x_r \in K\) 为齐次生成元，其次数分别为 \(d_1, \ldots, d_r\)。设 \(f_1, \ldots, f_n \in A_1\) 为生成 \(A\) 的元素（在 \(A_0\) 上）。对每个 \(i\) 与 \(j\)，存在 \(n_{ij} \geq 0\)，使得 \(f_i^{n_{ij}} x_j = 0\) 在 \(K_{d_j + n_{ij}}\) 中成立：否则 \(x_i/f_i^{d_i} \in K_{(f_i)}\) 将不为零，即 \(\widetilde{K}\) 不为零。于是 \(K_d\) 在 \(d > \max_j(d_j + \sum_i n_{ij})\) 时为零，因为 \(K_d\) 的每个元素都是若干项之和，每一项都是 \(f_i\) 中的一个单项式乘以某个 \(x_j\)，且总次数为 \(d\)。

设 \(A\) 为分次环，使得 \(A_0\) Noether，且 \(A\) 由 \(A_1\) 的有限多个元素在 \(A_0\) 上生成。回忆 \(A_+ = \bigoplus_{n > 0} A_n\) 是无关理想。设 \(M\) 为分次 \(A\)-模。回忆，称 \(M\) 是 \(A_+\)-幂挠模，是指对所有 \(x \in M\) 都存在 \(n \geq 1\) 使得 \((A_+)^n x = 0\)；参见《代数进阶》定义 05E6。若 \(M\) 有限生成，则这等价于 \(M_n = 0\) 对 \(n \gg 0\) 成立。有时把 \(A_+\)-幂挠模简称为挠模。有时称分次 \(A\)-模 \(M\) 无挠，是指只要 \(x \in M\) 满足 \((A_+)^n x = 0\) 且 \(n > 0\)，便有 \(x = 0\)。以 \(\text{Mod}_A\) 表示分次 \(A\)-模范畴，以 \(\text{Mod}^{fg}_A\) 表示其中有限生成对象组成的满子范畴，并以 \(\text{Mod}^{fg}_{A, torsion}\) 表示由模 \(M\) 组成的满子范畴；这些模满足 \(M_n = 0\)（当 \(n \gg 0\)）。

命题

设 \(A\) 为分次环，使得 \(A_0\) Noether，且 \(A\) 由 \(A_1\) 的有限多个元素在 \(A_0\) 上生成。令 \(X = \text{Proj}(A)\)。函子 \(M \mapsto \widetilde M\) 诱导等价 \[\text{Mod}^{fg}_A/\text{Mod}^{fg}_{A, torsion} \longrightarrow \textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\] 其拟逆由 \(\mathcal{F} \longmapsto \bigoplus_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{F}(n))\) 给出。

证明

子范畴 \(\text{Mod}^{fg}_{A, torsion}\) 是 \(\text{Mod}^{fg}_A\) 的 Serre 子范畴，参见《同调》定义 02MO。这由上述对象描述显然可见，也可由《代数进阶》引理 0A6K 推出。因此箭头左侧的商范畴已在《同调》引理 02MS 中定义。为定义命题中的函子，只需说明函子 \(M \mapsto \widetilde M\) 把挠模送到 \(0\)。这是显然的，因为对任意齐次 \(f \in A_+\)，模 \(M_f\) 为零，因而值 \(M_{(f)}\)（\(\widetilde M\) 在 \(D_+(f)\) 上的值）也为零。

由引理 0AG6，所提出的拟逆有意义。具体而言，该引理表明 \(\mathcal{F} \longmapsto \bigoplus_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{F}(n))\) 是函子 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \text{Mod}^{fg}_A\)；可将它与商函子 \(\text{Mod}^{fg}_A \to \text{Mod}^{fg}_A/\text{Mod}^{fg}_{A, torsion}\) 复合。

由引理 0AG7，从左到右再到左的复合同构于恒等函子。

最后，设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。令 \(M = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \mathcal{F}(n))\)，将其视为分次 \(A\)-模，从而我们的函子把 \(\mathcal{F}\) 送到 \(M_{\geq 0} = \bigoplus_{n \geq 0} M_n\)。由《性质》引理 0AG5，典范映射 \(\widetilde M \to \mathcal{F}\) 是同构。由于包含映射 \(M_{\geq 0} \to M\) 定义同构 \(\widetilde{M_{\geq 0}} \to \widetilde M\)，可知从右到左再到右的复合也同构于恒等函子。

Proj 上的凝聚层，II

在本节中，我们讨论 \(\text{Proj}(A)\) 上的凝聚层，其中 \(A\) 是 Noether 分次环。多数结果将借助一个技巧，由前一节关于 \(A\) 由次数 \(1\) 元生成时的相应结果推出。

引理

设 \(A\) 为 Noether 分次环。令 \(X = \text{Proj}(A)\)。则 \(X\) 是 Noether 概形。设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。

存在 \(r \geq 0\)、 \(d_1, \ldots, d_r \in \mathbf{Z}\) 以及满射 \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{O}_X(d_j) \longrightarrow \mathcal{F}.\]

对任意 \(p\)，上同调群 \(H^p(X, \mathcal{F})\) 是有限 \(A_0\)-模。

若 \(p > 0\)，则 \(H^p(X, \mathcal{F}(d)) = 0\) 对所有充分大的 \(d\) 成立。

对任意 \(k \in \mathbf{Z}\)，分次 \(A\)-模 \[\bigoplus\nolimits_{d \geq k} H^0(X, \mathcal{F}(d))\] 是有限 \(A\)-模。

证明

我们把该断言归约到引理 0AG6 来证明。由《代数》引理 00JW 与 07Z4，环 \(A_0\) 是 Noether 的，并且 \(A\) 在 \(A_0\) 上由有限多个正次数齐次元 \(f_1, \ldots, f_r\) 生成。令 \(d\) 为充分可除的整数。按《代数》第 00JL 节的记号，令 \(A' = A^{(d)}\)。于是 \(A'\) 在 \(A'_0 = A_0\) 上由次数 \(1\) 元生成；参见《代数》引理 0EGH。因此引理 0AG6 适用于 \(X' = \text{Proj}(A')\)。

由《构造》引理 0B5J，存在概形同构 \(i : X \to X'\) 以及同构 \(\mathcal{O}_X(nd) \to i^*\mathcal{O}_{X'}(n)\)；它们与映射 \(A' \to A\) 以及映射 \(A_n \to H^0(X, \mathcal{O}_X(n))\) 和 \(A'_n \to H^0(X', \mathcal{O}_{X'}(n))\) 相容。因此，引理 0AG6 蕴含 \(X\) 为 Noether 概形，并且 (1) 与 (2) 成立。为证明 (3) 与 (4)，可以利用如下事实：对任意固定的 \(k\)、\(p\) 与 \(q\)，都有 \[\bigoplus\nolimits_{dn + q \geq k} H^p(X, \mathcal{F}(dn + q)) = \bigoplus\nolimits_{dn + q \geq k} H^p(X', (i_*\mathcal{F}(q))(n)\] 这是由上述相容性得到的。若 \(p > 0\)，则由引理 0AG6，对充分大的 \(k\) （它可依赖于 \(q\)），右端为零。因为整数模 \(d\) 只有有限多个同余类，可知 (3) 对 \(\mathcal{F}\) 在 \(X\) 上成立。若 \(p = 0\)，则由引理 0AG6，右端是有限 \(A'\)-模。再次利用同余类的有限性，可知 \(\bigoplus_{n \geq k} H^0(X, \mathcal{F}(n))\) 也是有限 \(A'\)-模。由于该 \(A'\)-模结构来自 \(A\)-模结构（由上述相容性），可知它也是有限 \(A\)-模。

引理

设 \(A\) 为 Noether 分次环，并令 \(d\) 为 \(A\) 在 \(A_0\) 上生成元的最小公倍数。设 \(M\) 为有限分次 \(A\)-模。令 \(X = \text{Proj}(A)\)，并令 \(\widetilde{M}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模；它在 \(X\) 上且与 \(M\) 相伴。设 \(k \in \mathbf{Z}\)。

\(N' = \bigoplus_{n \geq k} H^0(X, \widetilde{M(n)})\) 是有限 \(A\)-模；

\(N = \bigoplus_{n \geq k} H^0(X, \widetilde{M}(n))\) 是有限 \(A\)-模；

存在典范映射 \(N \to N'\)；

若 \(k\) 充分小，则存在典范映射 \(M \to N'\)；

映射 \(M_n \to N'_n\) 对 \(n \gg 0\) 是同构；

\(N_n \to N'_n\) 对 \(d | n\) 是同构。

证明

(3) 中的映射 \(N \to N'\) 来自《构造》等式 (01MQ)，取整体截面即可得到。

由《构造》等式 (01MR)，存在分次 \(A\)-模的映射 \(M \to \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} H^0(X, \widetilde{M(n)})\)。若 \(M\) 的生成元所在次数均为 \(\geq k\)，则像包含在子模 \(N' \subset \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} H^0(X, \widetilde{M(n)})\) 中，从而得到 (4) 中的映射。

由《代数》引理 00JW 与 07Z4，环 \(A_0\) 是 Noether 的，并且 \(A\) 在 \(A_0\) 上由有限多个正次数齐次元 \(f_1, \ldots, f_r\) 生成。令 \(d = \text{lcm}(\deg(f_i))\)。例如，由《构造》引理 01MU 可知 (6) 成立。

因为 \(M\) 是有限 \(A\)-模，可知 \(\widetilde{M}\) 是有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模，即凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。因此 (2) 由引理 0B5Q 推出。

我们用一个技巧由 (2) 推出 (1)。对 \(q \in \{0, \ldots, d - 1\}\)，记 \[{}^qN = \bigoplus\nolimits_{n + q \geq k} H^0(X, \widetilde{M(q)}(n))\] 由 (2)，这些都是有限 \(A\)-模。Noether 环 \(A\) 在 \(A^{(d)} = \bigoplus_{n \geq 0} A_{dn}\) 上有限，因为它由 \(f_i\) 在 \(A^{(d)}\) 上生成，且 \(f_i^d \in A^{(d)}\)。因此 \({}^qN\) 是有限 \(A^{(d)}\)-模。此外，\(A^{(d)}\) 是 Noether 的（这由《代数》引理 07Z2 推出）。于是 \(A^{(d)}\)-子模 \({}^qN^{(d)} = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} {}^qN_{dn}\) 是有限 \(A^{(d)}\)-模。利用同构 \(\widetilde{M(dn + q)} = \widetilde{M(q)}(dn)\)，可写成 \[N' = \bigoplus\nolimits_{q \in \{0, \ldots, d - 1\}} \bigoplus\nolimits_{dn + q \geq k} H^0(X, \widetilde{M(q)}(dn)) = \bigoplus\nolimits_{q \in \{0, \ldots, d - 1\}} {}^qN^{(d)}\] 因此 \(N'\) 在 \(A^{(d)}\) 上有限，因而当然也在 \(A\) 上有限。故 (1) 成立。

设 \(K\) 为有限 \(A\)-模，且满足 \(\widetilde{K} = 0\)。我们断言，\(K_n = 0\) 对 \(d|n\) 且 \(n \gg 0\) 成立。如上论证可知，\(K^{(d)}\) 是有限 \(A^{(d)}\)-模。设 \(x_1, \ldots, x_m \in K\) 是 \(K^{(d)}\) 在 \(A^{(d)}\) 上的齐次生成元，其所在次数分别为 \(d_1, \ldots, d_m\)，并且 \(d | d_j\)。对每个 \(i\) 与 \(j\)，存在 \(n_{ij} \geq 0\)，使得 \(f_i^{n_{ij}} x_j = 0\) 在 \(K_{d_j + n_{ij}}\) 中成立；否则 \(x_j/f_i^{d_i/\deg(f_i)} \in K_{(f_i)}\) 将不为零，即 \(\widetilde{K}\) 不为零。这里使用了 \(\deg(f_i) | d | d_j\) 对所有 \(i, j\) 成立。由此可知，\(K_n\) 为零，其中 \(n\) 满足 \(d | n\) 且 \(n > \max_j (d_j + \sum_i n_{ij} \deg(f_i))\)，因为 \(K_n\) 的每个元素都是若干项之和，其中每一项都是 \(f_i\) 中的一个单项式乘以某个 \(x_j\)，且总次数为 \(n\)。

为完成证明，必须说明 \(M \to N'\) 在所有充分大的次数上是同构。映射 \(N \to N'\) 诱导同构 \(\widetilde{N} \to \widetilde{N'}\)，因为在仿射开集 \(D_+(f_i) = D_+(f_i^d)\) 上，相应的模由性质 (6) 给出同构 \(N_{(f_i)} \cong N_{(f_i^d)} \cong N'_{(f_i^d)} \cong N'_{(f_i)}\)。由《性质》引理 0AG5，存在典范同构 \(\widetilde{N} \to \widetilde{M}\)。复合 \(\widetilde{N} \to \widetilde{M} \to \widetilde{N'}\) 就是上述同构（证明从略；提示：在标准仿射开集上检查）。因此映射 \(M \to N'\) 诱导同构 \(\widetilde{M} \to \widetilde{N'}\)。令 \(K = \Ker(M \to N')\) 且 \(Q = \Coker(M \to N')\)。回忆函子 \(M \mapsto \widetilde{M}\) 正合；参见《构造》引理 01M7。因此 \(\widetilde{K} = 0\) 且 \(\widetilde{Q} = 0\)。由上一段的结果可知，\(K_n = 0\) 且 \(Q_n = 0\) 对 \(d | n\) 且 \(n \gg 0\) 成立。此时终于可见使用 \(N'\) 而不是 \(N\) 的优势：函子 \(M \leadsto N'\) 与扭转相容（由构造立即可见）。因此，把 \(M\) 替换为 \(M(q)\) 并重复整个论证，可知 \(K_n = 0\) 且 \(Q_n = 0\) 对 \(n \equiv q \bmod d\) 且 \(n \gg 0\) 成立。因为模 \(n\) 只有有限多个同余类，证明完成。

设 \(A\) 为 Noether 分次环。回忆 \(A_+ = \bigoplus_{n > 0} A_n\) 是无关理想。由《代数》引理 00JW 与 07Z4，环 \(A_0\) 是 Noether 的，并且 \(A\) 在 \(A_0\) 上由有限多个正次数齐次元 \(f_1, \ldots, f_r\) 生成。令 \(d = \text{lcm}(\deg(f_i))\)。设 \(M\) 为分次 \(A\)-模。在这种情形下，若齐次元 \(x \in M\) 满足 \[(A_+ x)_{nd} = 0\text{ 对所有 }n \gg 0\] 则称它是无关的²。若 \(x \in M\) 齐次且无关，而 \(f \in A\) 齐次，则 \(fx\) 也无关。因此，无关元素的集合生成一个分次子模 \(M_{irrelevant} \subset M\)。若 \(M\) 的每个齐次元都无关，则称 \(M\) 是无关的，即 \(M_{irrelevant} = M\)。若 \(M\) 有限生成，则这等价于 \(M_{nd} = 0\) 对 \(n \gg 0\) 成立。以 \(\text{Mod}_A\) 表示分次 \(A\)-模范畴，以 \(\text{Mod}^{fg}_A\) 表示有限生成对象组成的满子范畴，并以 \(\text{Mod}^{fg}_{A, irrelevant}\) 表示无关模组成的满子范畴。

命题

设 \(A\) 为 Noether 分次环。令 \(X = \text{Proj}(A)\)。函子 \(M \mapsto \widetilde M\) 诱导等价 \[\text{Mod}^{fg}_A/\text{Mod}^{fg}_{A, irrelevant} \longrightarrow \textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\] 其拟逆由 \(\mathcal{F} \longmapsto \bigoplus_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{F}(n))\) 给出。

证明

我们敦促读者先阅读 \(A\) 由次数 \(1\) 元生成的情形；参见命题 0BXD。设 \(f_1, \ldots, f_r \in A\) 为 \(A\) 的正次数齐次元，它们在 \(A_0\) 上生成该环。令 \(d\) 为这些次数 \(d_i\) 的最小公倍数；这些是诸 \(f_i\) 的次数。设 \(M\) 为有限 \(A\)-模。我们来说明，\(\widetilde{M}\) 为零，当且仅当 \(M\) 是无关分次 \(A\)-模（按命题陈述上文的定义）。为此，设 \(x \in M\) 为齐次元。选取充分小的 \(k \in \mathbf{Z}\)，并令 \(N \to N'\) 与 \(M \to N'\) 如引理 0B5R 中所述。还可以选取充分大的 \(l\)，使得 \(M_n \to N_n\) 对 \(n \geq l\) 为同构。若 \(\widetilde{M}\) 为零，则 \(N = 0\)。因此，对任意齐次元 \(f \in A_+\)，若它满足 \(\deg(f) + \deg(x) = nd\) 且 \(nd > l\)，则 \(fx\) 为零，因为 \(N_{nd} \to N'_{nd}\) 与 \(M_{nd} \to N'_{nd}\) 都是同构。故 \(x\) 无关。反之，设 \(M\) 无关。则 \(M_{nd}\) 对 \(n \gg 0\) 为零（参见命题前的讨论）。这显然蕴含 \(M_{(f_i)} = M_{(f_i^{d/\deg(f_i)})} = 0\)，从而由构造可知 \(\widetilde{M} = 0\)。

由此可知，子范畴 \(\text{Mod}^{fg}_{A, irrelevant}\) 是 \(\text{Mod}^{fg}_A\) 的 Serre 子范畴，因为它是正合函子 \(M \mapsto \widetilde M\) 的核；参见《同调》引理 02MQ 与《构造》引理 01M7。因此，箭头左侧的商范畴已在《同调》引理 02MS 中定义。为定义命题中的函子，只需说明函子 \(M \mapsto \widetilde M\) 把无关模送到 \(0\)；这已在上文证明。

由引理 0B5Q，所提出的拟逆有意义。具体而言，该引理表明 \(\mathcal{F} \longmapsto \bigoplus_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{F}(n))\) 是函子 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \text{Mod}^{fg}_A\)；可将它与商函子 \(\text{Mod}^{fg}_A \to \text{Mod}^{fg}_A/\text{Mod}^{fg}_{A, irrelevant}\) 复合。

由引理 0B5R，从左到右再到左的复合同构于恒等函子。具体而言，设 \(M\) 为有限分次 \(A\)-模，并取充分小的 \(k \in \mathbf{Z}\)，再令 \(N \to N'\) 与 \(M \to N'\) 如引理 0B5R 中所述。于是 \(M \to N'\) 的核与余核只在有限多个次数上非零，因而都是无关的。此外，映射 \(N \to N'\) 的核与余核在所有充分大的、可被 \(d\) 整除的次数上为零，故它们也都是无关模。因此，\(M \to N'\) 与 \(N \to N'\) 在商范畴中均为同构，正如所需。

最后，设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。令 \(M = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \mathcal{F}(n))\)，将它视为分次 \(A\)-模，从而我们的函子把 \(\mathcal{F}\) 送到 \(M_{\geq 0} = \bigoplus_{n \geq 0} M_n\)。由《性质》引理 0AG5，典范映射 \(\widetilde M \to \mathcal{F}\) 是同构。因为包含映射 \(M_{\geq 0} \to M\) 定义同构 \(\widetilde{M_{\geq 0}} \to \widetilde M\)，可知从右到左再到右的复合也同构于恒等函子。

沿射影态射的高阶直像

我们先陈述并证明基底仿射时的一个结果，随后由此推出关于射影态射的一些结果。

引理

设 \(R\) 为 Noether 环。设 \(X \to \Spec(R)\) 为固有态射。设 \(\mathcal{L}\) 为 \(X\) 上的丰沛可逆层。设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。

分次环 \(A = \bigoplus_{d \geq 0} H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes d})\) 是有限生成 \(R\)-代数。

存在 \(r \geq 0\)、 \(d_1, \ldots, d_r \in \mathbf{Z}\) 以及满射 \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r} \mathcal{L}^{\otimes d_j} \longrightarrow \mathcal{F}.\]

对任意 \(p\)，上同调群 \(H^p(X, \mathcal{F})\) 是有限 \(R\)-模。

若 \(p > 0\)，则 \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) = 0\) 对所有充分大的 \(d\) 成立。

对任意 \(k \in \mathbf{Z}\)，分次 \(A\)-模 \[\bigoplus\nolimits_{d \geq k} H^0(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})\] 是有限 \(A\)-模。

证明

由《态射》引理 01VT，存在 \(d > 0\) 及浸入 \(i : X \to \mathbf{P}^n_R\)，使得 \(\mathcal{L}^{\otimes d} \cong i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(1)\)。由于 \(X\) 在 \(R\) 上固有，态射 \(i\) 是闭浸入（《态射》引理 01W6）。因此有 \(H^i(X, \mathcal{G}) = H^i(\mathbf{P}^n_R, i_*\mathcal{G})\)，其中 \(\mathcal{G}\) 是 \(X\) 上任意准凝聚层（由引理 089W 以及闭浸入为仿射态射这一事实；参见《态射》引理 01SE）。此外，若 \(\mathcal{G}\) 凝聚，则 \(i_*\mathcal{G}\) 也凝聚（引理 087T）。以下将不再特别提及这些事实。

(1) 的证明。令 \(S = R[T_0, \ldots, T_n]\)，从而 \(\mathbf{P}^n_R = \text{Proj}(S)\)。注意，\(A\) 是 \(S\)-代数（但环映射 \(S \to A\) 不是分次环同态，因为 \(S_n\) 映入 \(A_{dn}\)）。由投影公式（《上同调》引理 01E8），有 \[i_*(\mathcal{L}^{\otimes nd + q}) = i_*(\mathcal{L}^{\otimes q}) \otimes_{\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(n)\] 对所有 \(n \in \mathbf{Z}\) 成立。由引理 01YS，可知 \(\bigoplus_{n \geq 0} A_{nd + q}\) 是有限分次 \(S\)-模。由于 \(A = \bigoplus_{q \in \{0, \ldots, d - 1} \bigoplus_{n \geq 0} A_{nd + q}\)，可知 \(A\) 作为 \(S\)-代数是有限的，因而 (1) 成立。

(2) 的证明。这由《性质》命题 01Q3 推出。

(3) 的证明。应用引理 01YS，并使用 \(H^p(X, \mathcal{F}) = H^p(\mathbf{P}^n_R, i_*\mathcal{F})\)。

(4) 的证明。固定 \(p > 0\)。由投影公式，有 \[i_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes nd + q}) = i_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes q}) \otimes_{\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(n)\] 对所有 \(n \in \mathbf{Z}\) 成立。由引理 01YS 可知 \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{nd + q}) = 0\) 对 \(n \gg 0\) 成立。因为整数模 \(d\) 只有有限多个同余类，这证明了 (4)。

(5) 的证明。固定整数 \(k\)。令 \scriptsize \(M = \bigoplus_{n \geq k} H^0(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n})\)。如上论证可知，\(\bigoplus_{nd + q \geq k} M_{nd + q}\) 是有限分次 \(S\)-模。由于 \(M = \bigoplus_{q \in \{0, \ldots, d - 1\}} \bigoplus_{nd + q \geq k} M_{nd + q}\)，可知 \(M\) 是有限 \(S\)-模。由于 \(S\)-模结构经由环映射 \(S \to A\) 分解，可知 \(M\) 是有限 \(A\)-模。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(\mathcal{L}\) 为 \(X\) 上的可逆层。假设

\(S\) 是 Noether 的；

\(f\) 是固有的；

\(\mathcal{F}\) 是凝聚的；并且

\(\mathcal{L}\) 在 \(X/S\) 上相对丰沛。

则存在 \(n_0\)，使得对所有 \(n \geq n_0\)，都有 \[R^pf_*\left(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}\right) = 0\] 对所有 \(p > 0\) 成立。

证明

选取有限仿射开覆盖 \(S = \bigcup V_j\)，并令 \(X_j = f^{-1}(V_j)\)。显然，若能对有限多个系统 \((X_j \to V_j, \mathcal{L}|_{X_j}, \mathcal{F}|_{V_j})\) 中的每一个解决该问题，结果即告成立。因此可设 \(S\) 仿射。在这种情形下， \(R^pf_*(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n})\) 为零等价于 \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n})\) 为零；参见引理 01XK。因此，所需消失由引理 0B5T 推出（该引理适用，因为由《态射》引理 01VT， \(\mathcal{L}\) 在 \(X\) 上丰沛）。

引理

设 \(S\) 为局部 Noether 概形。设 \(f : X \to S\) 为局部射影态射。设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \(R^if_*\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-模，这对所有 \(i \geq 0\) 成立。

证明

首先注意，局部射影态射是固有的（《态射》引理 01WC），因而是有限型的。特别地，\(X\) 是局部 Noether 的（《态射》引理 01T6），故该陈述有意义。此外，由引理 01XJ，诸层 \(R^pf_*\mathcal{F}\) 都准凝聚。

说明这些之后，该陈述在 \(S\) 上是局部的（例如由《上同调》引理 01E5）。因此可设 \(S = \Spec(R)\) 是 Noether 环的谱，且 \(X\) 是 \(\mathbf{P}^n_R\) 的闭子概形，其中 \(n\) 取某个值；参见《态射》引理 01WB。在这种情形下，诸层 \(R^pf_*\mathcal{F}\) 是与 \(R\)-模 \(H^p(X, \mathcal{F})\) 相伴的准凝聚层；参见引理 01XK。因此，只需说明 \(R\)-模 \(H^p(X, \mathcal{F})\) 是有限 \(R\)-模（引理 01XZ）。这由引理 0B5T 推出（因为 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(1)\) 限制到 \(X\) 后在 \(X\) 上丰沛）。

丰沛可逆层与上同调

下面给出仿射基底上的固有概形之丰沛性判据，它以扭转后的上同调消失来表述。

引理

设 \(R\) 为 Noether 环。设 \(f : X \to \Spec(R)\) 为固有态射。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。下列条件等价：

\(\mathcal{L}\) 在 \(X\) 上丰沛（这与许多其他条件等价；参见《性质》命题 01Q3 与《态射》引理 01VT）；

对每个凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，存在 \(n_0 \geq 0\)，使得 \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\) 对所有 \(n \geq n_0\) 及 \(p > 0\) 成立；并且

对每个准凝聚理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)，存在 \(n \geq 1\)，使得 \(H^1(X, \mathcal{I} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\)。

证明

蕴含关系 (1) \(\Rightarrow\) (2) 由引理 0B5T 推出。蕴含关系 (2) \(\Rightarrow\) (3) 是平凡的。蕴含关系 (3) \(\Rightarrow\) (1) 是引理 0B5P。

引理

设 \(R\) 为 Noether 环。设 \(f : Y \to X\) 为在 \(R\) 上固有的概形之间的态射。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设 \(f\) 有限且满射。则 \(\mathcal{L}\) 丰沛，当且仅当 \(f^*\mathcal{L}\) 丰沛。

证明

丰沛可逆层经拟仿射态射拉回后仍丰沛；参见《态射》引理 0892。这证明了其中一个蕴含关系，因为有限态射按定义是仿射的。

假设 \(f^*\mathcal{L}\) 丰沛。令 \(P\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\) 的如下性质：存在 \(n_0\)，使得 \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\) 对所有 \(n \geq n_0\) 及 \(p > 0\) 成立。我们将证明 \(P\) 对任意凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\) 成立；由引理 0B5U，这蕴含 \(\mathcal{L}\) 丰沛。我们要应用引理 01YM。因此必须对 \(P\) 验证该引理的 (1)、(2) 与 (3)。性质 (1) 由与层的短正合列相伴的上同调长正合列，以及与可逆层张量是正合函子这一事实推出。性质 (2) 由 \(H^p(X, -)\) 是加性函子推出。为证明 (3)，设 \(Z \subset X\) 为泛点是 \(\xi\) 的整闭子概形。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(Y\) 上的凝聚层，使得 \(f_*\mathcal{F}\) 的支撑等于 \(Z\)，且 \((f_*\mathcal{F})_\xi\) 被 \(\mathfrak m_\xi\) 零化；参见引理 01YO。我们断言，取 \(\mathcal{G} = f_*\mathcal{F}\) 即可。只需验证引理 01YM 的 (3)(c)。故假设 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) 为准凝聚理想层，并满足 \(\mathcal{J}_\xi = \mathcal{O}_{X, \xi}\)。有限态射是仿射的，故由引理 01YP 可知 \(\mathcal{J}\mathcal{G} = f_*(f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F})\)。此外，正如引理 01YP 的证明所指出，层 \(f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模。由于 \(\mathcal{L}\) 丰沛，由引理 0B5U 可知存在 \(n_0\)，使得 \[H^p(Y, f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_Y} f^*\mathcal{L}^{\otimes n}) = 0,\] 对 \(n \geq n_0\) 及 \(p > 0\) 成立。因为 \(f\) 有限，因而仿射，故 \[\begin{align*} H^p(X, \mathcal{J}\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) & = H^p(X, f_*(f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F}) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) \\ & = H^p(X, f_*(f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_Y} f^*\mathcal{L}^{\otimes n})) \\ & = H^p(Y, f^{-1}\mathcal{J}\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_Y} f^*\mathcal{L}^{\otimes n}) = 0 \end{align*}\] 这里使用了投影公式（《上同调》引理 01E8）及引理 089W。因此，准凝聚子层 \(\mathcal{G}' = \mathcal{J}\mathcal{G}\) 满足 \(P\)。这正如所需地验证了引理 01YM 的性质 (3)(c)。

上同调具有函子性。特别地，给定环化空间 \(X\)、可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\) 以及截面 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)，可得到映射 \[H^p(X, \mathcal{F}) \longrightarrow H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}), \quad \xi \longmapsto s\xi\] 它由映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}\) 诱导；该映射是乘以 \(s\)。令 \(\Gamma_*(X, \mathcal{L}) = \bigoplus_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\) 为分次环；参见《模》定义 01CV。给定 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}\) 及整数 \(p \geq 0\)，令 \[H^p_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n})\] 由上述乘法，它是分次 \(\Gamma_*(X, \mathcal{L})\)-模。警告：记号 \(H^p_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F})\) 并非标准记号。

引理

设 \(X\) 为概形。设 \(\mathcal{L}\) 为 \(X\) 上的可逆层。设 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)。设 \(\mathcal{F}\) 为准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。若 \(X\) 拟紧且拟分离，则典范映射 \[H^p_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s)} \longrightarrow H^p(X_s, \mathcal{F})\] 把 \(\xi/s^n\) 映到 \(s^{-n}\xi\)，并且是同构。

证明

注意，当 \(p = 0\) 时，这就是《性质》引理 01PW。我们用归纳原理（引理 08DR）证明该陈述；对拟紧开集 \(U \subset X\)，令 \(P(U)\) 为如下性质：对所有 \(p \geq 0\)，映射 \[H^p_*(U, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s)} \longrightarrow H^p(U_s, \mathcal{F})\] 是同构。

若 \(U\) 仿射，则由引理 01XB 与《性质》引理 01PV，上述箭头两端对 \(p > 0\) 均为零，故陈述成立。若 \(P\) 对 \(U\)、\(V\) 及 \(U \cap V\) 成立，则可使用 Mayer–Vietoris 序列（《上同调》引理 01EB），得到长正合列之间的映射 \[\xymatrix{ H^{p - 1}_*(U \cap V, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s)} \ar[r] \ar[d] & H^p_*(U \cup V, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s)} \ar[r] \ar[d] & H^p_*(U, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s)} \oplus H^p_*(V, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s)} \ar[d] \\ H^{p - 1}(U_s \cap V_s, \mathcal{F}) \ar[r]& H^p(U_s \cup V_s, \mathcal{F}) \ar[r] & H^p(U_s, \mathcal{F}) \oplus H^p(V_s, \mathcal{F}) }\] （这里只展示一个片段）。注意，\(U_s \cap V_s = (U \cap V)_s\)，并且 \(U_s \cup V_s = (U \cup V)_s\)。因此左右两个竖直映射都是同构（图中未画出的右侧再一个映射和左侧再一个映射也如此）。由五引理（《同调》引理 05QB），可知 \(P(U \cup V)\) 成立。这就完成了证明。

引理

设 \(X\) 为概形。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) 为截面。假设

\(X\) 拟紧且拟分离；并且

\(X_s\) 仿射。

则对每个准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)、每个 \(p > 0\) 以及所有 \(\xi \in H^p(X, \mathcal{F})\)，都存在 \(n \geq 0\)，使得 \(s^n\xi = 0\) 在 \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n})\) 中成立。

证明

回忆，\(H^p(X_s, \mathcal{G})\) 对每个准凝聚模 \(\mathcal{G}\) 都为零；这是引理 01XB。因此本引理由引理 09MR 推出。

下述引理的更一般版本见《极限》引理 09MW。

引理

设 \(i : Z \to X\) 为 Noether 概形的闭浸入，并诱导底拓扑空间的同胚。设 \(\mathcal{L}\) 为 \(X\) 上的可逆层。则 \(i^*\mathcal{L}\) 在 \(Z\) 上丰沛，当且仅当 \(\mathcal{L}\) 在 \(X\) 上丰沛。

证明

若 \(\mathcal{L}\) 丰沛，则例如由《态射》引理 0892， \(i^*\mathcal{L}\) 丰沛。假设 \(i^*\mathcal{L}\) 丰沛。必须证明 \(\mathcal{L}\) 在 \(X\) 上丰沛。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为定义闭子概形 \(Z\) 的凝聚理想层。由于在集合意义下 \(i(Z) = X\)，由引理 01Y9 可知， \(\mathcal{I}^n = 0\) 对某个 \(n\) 成立。考虑由闭子概形组成的序列 \[X = Z_n \supset Z_{n - 1} \supset Z_{n - 2} \supset \ldots \supset Z_1 = Z\] 它们分别由 \(0 = \mathcal{I}^n \subset \mathcal{I}^{n - 1} \subset \ldots \subset \mathcal{I}\) 定义。于是每个闭浸入 \(Z_{i - 1} \to Z_{i}\) 都由平方为零的凝聚理想层定义。这样便归约到 \(\mathcal{I}^2 = 0\) 的情形。

考虑准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的短正合列 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z \to 0\] 与 \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) 张量后，得到短正合列 [0B8T]\[\begin{equation} 0 \to \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n} \to \mathcal{L}^{\otimes n} \to i_*i^*\mathcal{L}^{\otimes n} \to 0 \end{equation}\] 因为 \(\mathcal{I}^2 = 0\)，可使用《态射》引理 01QY，把 \(\mathcal{I}\) 看作准凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模；于是 \(\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n} = \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_Z} i^*\mathcal{L}^{\otimes n}\)，这里作了显然的记号滥用。此外，该层在 \(Z\) 上的上同调典范地等同于它在 \(X\) 上的上同调（因为 \(i\) 是同胚）。

设 \(x \in X\) 为一点，并以 \(z \in Z\) 表示相应的点。因为 \(i^*\mathcal{L}\) 丰沛，存在 \(n\) 及截面 \(s \in \Gamma(Z, i^*\mathcal{L}^{\otimes n})\)，使得 \(z \in Z_s\) 且 \(Z_s\) 仿射。把 \(s\) 提升为 \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) 在 \(X\) 上的截面之障碍，是来自层的短正合列 (0B8T) 的连接像 \[\xi = \partial s \in H^1(X, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) = H^1(Z, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_Z} i^*\mathcal{L}^{\otimes n})\] 若把 \(s\) 替换为 \(s^{e + 1}\)，则 \(\xi\) 被替换为 \(\partial(s^{e + 1}) = (e + 1) s^e \xi\)；其所在群为 \(H^1(Z, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_Z} i^*\mathcal{L}^{\otimes (e + 1)n})\)，因为 \[0 \to \bigoplus\nolimits_{m \geq 0} \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes m} \to \bigoplus\nolimits_{m \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes m} \to \bigoplus\nolimits_{m \geq 0} i_*i^*\mathcal{L}^{\otimes m} \to 0\] 的连接映射由《上同调》引理 0B8S 是导子。由引理 01XR，可知 \(s^e \xi\) 对充分大的 \(e\) 为零。因此，把 \(s\) 替换为某个幂后，可以假设 \(s\) 是截面 \(s' \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\) 的像。于是 \(X_{s'}\) 是开子概形，而 \(Z_s \to X_{s'}\) 是 Noether 概形之间的满射闭浸入，且 \(Z_s\) 仿射。因此，由引理 01YQ， \(X_s\) 仿射，于是可知 \(\mathcal{L}\) 丰沛。

下述引理的更一般版本见《极限》引理 0B7L。

引理

设 \(i : Z \to X\) 为 Noether 概形的闭浸入，并诱导底拓扑空间的同胚。则 \(X\) 拟仿射，当且仅当 \(Z\) 拟仿射。

证明

回忆，概形拟仿射，当且仅当其结构层丰沛；参见《性质》引理 01QE。因此，若 \(Z\) 拟仿射，则 \(\mathcal{O}_Z\) 丰沛；由引理 09MS，\(\mathcal{O}_X\) 丰沛；从而 \(X\) 拟仿射。反向阅读刚才给出的论证，便得到逆命题的一个证明；它也可以用初等方法看出。

引理

设 \(X\) 为概形。设 \(\mathcal{L}\) 为丰沛可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(n_0\) 为整数。若 \(H^p(X, \mathcal{L}^{\otimes -n}) = 0\) 对 \(n \geq n_0\) 及 \(p > 0\) 成立，则 \(X\) 仿射。

证明

我们断言，\(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\) 对每个准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模及 \(p > 0\) 成立。由《性质》定义 01PS，\(X\) 拟紧，故该断言由引理 01XF 完成证明。由《性质》引理 09MP，概形 \(X\) 分离。设 \(X\) 被 \(e + 1\) 个仿射开集覆盖。于是 \(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\) 对 \(p > e\) 成立；参见引理 01XI。因此可对 \(p\) 作降归纳来证明该断言。把 \(\mathcal{F}\) 写成有限型准凝聚模的滤过余极限（《性质》引理 01PG），并使用《上同调》引理 01FF，可设 \(\mathcal{F}\) 为有限型。于是可以选取 \(n > n_0\)，使得 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}\) 由整体截面生成；参见《性质》命题 01Q3。这意味着存在短正合列 \[0 \to \mathcal{F}' \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{L}^{\otimes -n} \to \mathcal{F} \to 0\] 其中 \(I\) 是某个集合（事实上可选取有限的 \(I\)）。由归纳假设，\(H^{p + 1}(X, \mathcal{F}') = 0\)；而由假设（结合已经使用过的上同调与余极限的交换性），有 \(H^p(X, \bigoplus_{i \in I} \mathcal{L}^{\otimes -n}) = 0\)。由上同调长正合列，可知 \(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\)，正如所需。

引理

设 \(X\) 为拟仿射概形。若 \(H^p(X, \mathcal{O}_X) = 0\) 对 \(p > 0\) 成立，则 \(X\) 仿射。

证明

由《性质》引理 01QE， \(\mathcal{O}_X\) 丰沛，故结论由引理 0EBD 推出。

Chow 引理

本节证明 Noether 情形的 Chow 引理（引理 0200）。在《极限》第 01ZZ 节中，我们证明非 Noether 情形的一些变体。

引理

设 \(S\) 为 Noether 概形。设 \(f : X \to S\) 为有限型分离态射。则存在 \(n \geq 0\) 及交换图 \[\xymatrix{ X \ar[rd] & X' \ar[d] \ar[l]^\pi \ar[r] & \mathbf{P}^n_S \ar[dl] \\ & S & }\] 其中 \(X' \to \mathbf{P}^n_S\) 是浸入，且 \(\pi : X' \to X\) 固有并满射。此外，还可以作如此安排：存在稠密开子概形 \(U \subset X\)，使得 \(\pi^{-1}(U) \to U\) 为同构。

证明

在余下证明中遇到的所有概形，都将在 Noether 概形 \(S\) 上有限型，因而是 Noether 的（参见《态射》引理 01T6）。它们之间的所有态射都自动拟紧、局部有限型且拟分离；参见《态射》引理 01T8 及《性质》引理 01OY 与 01P0。

概形 \(X\) 只有有限多个不可约分支（《性质》引理 0BA8）。设 \(X = X_1 \cup \ldots \cup X_r\) 是 \(X\) 分解为不可约分支的表达式。令 \(\eta_i \in X_i\) 为泛点。对每个点 \(x \in X\)，存在仿射开集 \(U_x \subset X\)，它包含 \(x\) 以及所有泛点 \(\eta_i\)；参见《性质》引理 01ZX。因为 \(X\) 拟紧，可以找到有限仿射开覆盖 \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_m\)，使得每个 \(U_i\) 都包含 \(\eta_1, \ldots, \eta_r\)。特别地，可知开集 \(U = U_1 \cap \ldots \cap U_m \subset X\) 稠密。以下只会用到这一点，以及诸 \(U_i\) 是覆盖 \(X\) 的仿射开集这一事实。

令 \(X^* \subset X\) 为 \(U \to X\) 的概形论闭包；参见《态射》定义 01R7。令 \(U_i^* = X^* \cap U_i\)。注意，\(U_i^*\) 是 \(U_i\) 的闭子概形，因而 \(U_i^*\) 仿射。由于 \(U\) 在 \(X\) 中稠密，态射 \(X^* \to X\) 是满射闭浸入。它在 \(U\) 上是同构。因此可以把 \(X\) 替换为 \(X^*\)，把 \(U_i\) 替换为 \(U_i^*\)，并假设 \(U\) 在 \(X\) 中概形论稠密；参见《态射》定义 01RB。

由《态射》引理 01VS，可以找到浸入 \(j_i : U_i \to \mathbf{P}_S^{n_i}\)，这对每个 \(i\) 成立。由《态射》引理 01RG，可以找到闭子概形 \(Z_i \subset \mathbf{P}_S^{n_i}\)，使得 \(j_i : U_i \to Z_i\) 是概形论稠密开浸入。注意，\(Z_i \to S\) 固有；参见《态射》引理 01WC。考虑态射 \[j = (j_1|_U, \ldots, j_m|_U) : U \longrightarrow \mathbf{P}_S^{n_1} \times_S \ldots \times_S \mathbf{P}_S^{n_m}.\] 由上述引理，可以找到闭子概形 \(Z\)，它位于 \(\mathbf{P}_S^{n_1} \times_S \ldots \times_S \mathbf{P}_S^{n_m}\) 中，并且 \(j : U \to Z\) 是开浸入，并且 \(U\) 在 \(Z\) 中概形论稠密。态射 \(Z \to S\) 固有。考虑第 \(i\) 个投影 \[\text{pr}_i|_Z : Z \longrightarrow \mathbf{P}^{n_i}_S.\] 该态射经由 \(Z_i\) 分解（参见《态射》引理 01R9）。以 \(p_i : Z \to Z_i\) 表示诱导态射。例如由《态射》引理 01W6，这是固有态射。此时已有 \(U \subset U_i \subset Z_i\) 是概形论稠密开浸入。此外，可把 \(Z\) 看作“对角”态射 \(U \to Z_1 \times_S \ldots \times_S Z_m\) 的概形论像。

令 \(V_i = p_i^{-1}(U_i)\)。注意， \(p_i|_{V_i} : V_i \to U_i\) 固有。令 \(X' = V_1 \cup \ldots \cup V_m\)。由构造，\(X'\) 可浸入概形 \(\mathbf{P}^{n_1}_S \times_S \ldots \times_S \mathbf{P}^{n_m}_S\)。因此，由 Segre 嵌入（参见《构造》引理 01WD），可知 \(X'\) 可浸入 \(S\) 上的某个射影空间。

我们断言，诸态射 \(p_i|_{V_i}: V_i \to U_i\) 可粘合为态射 \(X' \to X\)。事实上，显然 \(p_i|_U\) 是从 \(U\) 到 \(U\) 的恒等映射。由构造，\(U \subset X'\) 概形论稠密，因而它在开子概形 \(V_i \cap V_j\) 中也概形论稠密。于是 \(p_i|_{V_i \cap V_j} = p_j|_{V_i \cap V_j}\)，这里把两端视为到分离 \(S\)-概形 \(X\) 的态射；参见《态射》引理 01RH。把所得态射记为 \(\pi : X' \to X\)。

我们断言 \(\pi^{-1}(U_i) = V_i\)。由于 \(\pi|_{V_i} = p_i|_{V_i}\)，可知 \(V_i \subset \pi^{-1}(U_i)\)。考虑交换图 \[\xymatrix{ V_i \ar[r] \ar[rd]_{p_i|_{V_i}} & \pi^{-1}(U_i) \ar[d] \\ & U_i }\] 因为 \(V_i \to U_i\) 固有，由《态射》引理 01W6，可知水平箭头的像闭。由于 \(V_i \subset \pi^{-1}(U_i)\) 概形论稠密（因为它包含 \(U\)），可知 \(V_i = \pi^{-1}(U_i)\)，正如所断言。

这表明 \(\pi^{-1}(U_i) \to U_i\) 可与固有态射 \(p_i|_{V_i} : V_i \to U_i\) 识别。因此可知，\(X\) 有有限仿射覆盖 \(X = \bigcup U_i\)，使得 \(\pi\) 在该覆盖每个成员上的限制都固有。于是由《态射》引理 01W2，可知 \(\pi\) 固有。

最后必须说明 \(\pi^{-1}(U) = U\)。为此，使用交换图 \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[rd] & \pi^{-1}(U) \ar[d] \\ & U }\] 并使用 \(\text{id}_U : U \to U\) 固有且 \(U\) 在 \(\pi^{-1}(U)\) 中概形论稠密，便可如上作同样论证。

注

在 Chow 引理 0200 的情形中：

态射 \(\pi\) 实际上是 H-射影的（因而射影；参见《态射》引理 01W9），因为态射 \(X' \to \mathbf{P}^n_S \times_S X = \mathbf{P}^n_X\) 是闭浸入（使用 \(\pi\) 固有这一事实；参见《态射》引理 01W6）。

可以假设 \(\pi^{-1}(U)\) 在 \(X'\) 中概形论稠密。事实上，只需把 \(X'\) 替换为 \(\pi^{-1}(U)\) 的概形论闭包。在这种情形下，可把 \(U\) 看作 \(X'\) 的概形论稠密开子概形。参见《态射》第 01R5 节。

若 \(X\) 既约，则可选取既约的 \(X'\)。这由 (2) 显然可见。

凝聚层的高阶直像

本节证明一个基本事实：凝聚层沿固有态射的高阶直像仍凝聚。

命题

设 \(S\) 为局部 Noether 概形。设 \(f : X \to S\) 为固有态射。设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \(R^if_*\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-模，这对所有 \(i \geq 0\) 成立。

证明

由于该问题在 \(S\) 上是局部的，可以假设 \(S\) 是 Noether 概形。由于固有态射是有限型的，可知在这种情形下 \(X\) 也是 Noether 概形。考虑性质 \(\mathcal{P}\)；它定义在 \(X\) 上的凝聚层上，规则如下： \[\mathcal{P}(\mathcal{F}) \Leftrightarrow R^pf_*\mathcal{F}\text{ is coherent for all }p \geq 0\] 我们将用引理 01YI 的结论证明 \(\mathcal{P}\) 对 \(X\) 上每个凝聚层都成立。

设 \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\] 为 \(X\) 上凝聚层的短正合列。考虑高阶直像的长正合列 \[R^{p - 1}f_*\mathcal{F}_3 \to R^pf_*\mathcal{F}_1 \to R^pf_*\mathcal{F}_2 \to R^pf_*\mathcal{F}_3 \to R^{p + 1}f_*\mathcal{F}_1\] 显然，若诸层 \(\mathcal{F}_i\) 中三项取二具有性质 \(\mathcal{P}\)，则第三个层的高阶直像在这个正合复形中夹在两个凝聚层之间。因此，由引理 01Y0 与 01Y1，这些高阶直像也凝聚。故性质 \(\mathcal{P}\) 对第三个层也成立。

设 \(Z \subset X\) 为整闭子概形。必须找到凝聚层 \(\mathcal{F}\)（在 \(X\) 上），其支撑包含在 \(Z\) 中；其在泛点 \(\xi\)（即 \(Z\) 的泛点）处的茎是 \(1\) 维向量空间，标量域为 \(\kappa(\xi)\)，并且 \(\mathcal{P}\) 对 \(\mathcal{F}\) 成立。以 \(g = f|_Z : Z \to S\) 表示 \(f\) 的限制。假设能找到凝聚层 \(\mathcal{G}\)（在 \(Z\) 上），使得 (a) \(\mathcal{G}_\xi\) 是 \(1\) 维向量空间，其标量域为 \(\kappa(\xi)\)， (b) \(R^pg_*\mathcal{G} = 0\) 对 \(p > 0\) 成立，并且 (c) \(g_*\mathcal{G}\) 凝聚。于是可考虑 \(\mathcal{F} = (Z \to X)_*\mathcal{G}\)。因为 \(Z \to X\) 是闭浸入，可知 \((Z \to X)_*\mathcal{G}\) 在 \(X\) 上凝聚，并且 \(R^p(Z \to X)_*\mathcal{G} = 0\) 对 \(p > 0\) 成立（引理 01Y6）。因此，由相对 Leray 谱序列（《上同调》引理 01F6），将有 \(R^pf_*\mathcal{F} = R^pg_*\mathcal{G} = 0\) 对 \(p > 0\) 成立，且 \(f_*\mathcal{F} = g_*\mathcal{G}\) 凝聚。最后，\(\mathcal{F}_\xi = ((Z \to X)_*\mathcal{G})_\xi = \mathcal{G}_\xi\)，这验证了关于 \(\xi\) 处之茎的条件。因此，一切归结为寻找具有 (a)、(b)、(c) 的凝聚层 \(\mathcal{G}\)（在 \(Z\) 上）。

可以把 Chow 引理 0200 应用于态射 \(Z \to S\)。由此得到 Chow 引理陈述中的交换图 \[\xymatrix{ Z \ar[rd]_g & Z' \ar[d]^-{g'} \ar[l]^\pi \ar[r]_i & \mathbf{P}^m_S \ar[dl] \\ & S & }\] 此外，令 \(U \subset Z\) 为稠密开子概形，使得 \(\pi^{-1}(U) \to U\) 为同构。由评注 0201 中的讨论，可知 \(i' = (i, \pi) : Z' \to \mathbf{P}^m_Z\) 是闭浸入。因此 \[\mathcal{L} = i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^m_S}(1) \cong (i')^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^m_Z}(1)\] 既 \(g'\)-相对丰沛，也 \(\pi\)-相对丰沛（例如由《态射》引理 02NR）。因此，由引理 02O1，存在 \(n \geq 0\)，使得 \(R^p\pi_*\mathcal{L}^{\otimes n} = 0\) 对所有 \(p > 0\) 成立，且 \(R^p(g')_*\mathcal{L}^{\otimes n} = 0\) 对所有 \(p > 0\) 成立。令 \(\mathcal{G} = \pi_*\mathcal{L}^{\otimes n}\)。性质 (a) 成立，因为 \(\pi_*\mathcal{L}^{\otimes n}|_U\) 是可逆层（因为 \(\pi^{-1}(U) \to U\) 是同构）。性质 (b) 与 (c) 成立，因为由相对 Leray 谱序列（《上同调》引理 01F6），有 \[E_2^{p, q} = R^pg_* R^q\pi_*\mathcal{L}^{\otimes n} \Rightarrow R^{p + q}(g')_*\mathcal{L}^{\otimes n}\] 而由 \(n\) 的选取，\(E_2^{p, q}\) 中仅 \(q = 0\) 的项可能非零，且 \(R^{p + q}(g')_*\mathcal{L}^{\otimes n}\) 中仅 \(p = q = 0\) 的项可能非零。这蕴含 \(R^pg_*\mathcal{G} = 0\) 对 \(p > 0\) 成立，并且 \(g_*\mathcal{G} = (g')_*\mathcal{L}^{\otimes n}\)。最后，应用前面的引理 02O4，可知 \(g_*\mathcal{G} = (g')_*\mathcal{L}^{\otimes n}\) 如所需地凝聚。

引理

设 \(S = \Spec(A)\)，其中 \(A\) 为 Noether 环。设 \(f : X \to S\) 为固有态射。设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \(H^i(X, \mathcal{F})\) 是有限 \(A\)-模，这对所有 \(i \geq 0\) 成立。

证明

这正是命题 02O5 的仿射情形。具体而言，由引理 01XJ 与 01XK，已知 \(R^if_*\mathcal{F}\) 是与 \(A\)-模 \(H^i(X, \mathcal{F})\) 相伴的准凝聚层；而由引理 01XZ，该层凝聚，当且仅当 \(H^i(X, \mathcal{F})\) 是有限型 \(A\)-模。

引理

设 \(A\) 为 Noether 环。设 \(B\) 为有限生成分次 \(A\)-代数。设 \(f : X \to \Spec(A)\) 为固有态射。令 \(\mathcal{B} = f^*\widetilde B\)。设 \(\mathcal{F}\) 为有限型准凝聚分次 \(\mathcal{B}\)-模。

对每个 \(p \geq 0\)，分次 \(B\)-模 \(H^p(X, \mathcal{F})\) 是有限 \(B\)-模。

若 \(\mathcal{L}\) 为丰沛可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，则存在整数 \(d_0\)，使得 \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes d}) = 0\) 对所有 \(p > 0\) 及 \(d \geq d_0\) 成立。

证明

为证明该引理，考虑纤维积图 \[\xymatrix{ X' = \Spec(B) \times_{\Spec(A)} X \ar[r]_-\pi \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ \Spec(B) \ar[r] & \Spec(A) }\] 注意，\(f'\) 是固有态射；参见《态射》引理 01W4。此外，\(B\) 是有限生成 \(A\)-代数，因而是 Noether 的（《代数》引理 00FN）。这蕴含 \(X'\) 是 Noether 概形（《态射》引理 01T6）。由《构造》引理 01LX，注意 \(X'\) 是准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-代数 \(\mathcal{B}\) 的相对谱。因为 \(\mathcal{F}\) 是准凝聚 \(\mathcal{B}\)-模，可知存在唯一的准凝聚 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模 \(\mathcal{F}'\)，使得 \(\pi_*\mathcal{F}' = \mathcal{F}\)；参见《态射》引理 01SB 由于 \(\mathcal{F}\) 作为 \(\mathcal{B}\)-模是有限型的，可知 \(\mathcal{F}'\) 是有限型 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模（细节从略）。换言之，\(\mathcal{F}'\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模（引理 01XZ）。由于态射 \(\pi : X' \to X\) 仿射，由引理 089W 有 \[H^p(X, \mathcal{F}) = H^p(X', \mathcal{F}')\] 因此 (1) 由引理 02O6 推出。给定 (2) 中的 \(\mathcal{L}\)，令 \(\mathcal{L}' = \pi^*\mathcal{L}\)。注意，由《态射》引理 0892， \(\mathcal{L}'\) 在 \(X'\) 上丰沛。由投影公式（《上同调》引理 01E8），有 \(\pi_*(\mathcal{F}' \otimes \mathcal{L}') = \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}\)。因此，按上述相同论证，(2) 由引理 02O1 推出。

形式函数定理

本节研究形如 \(\{I^n\mathcal{F}\}_{n \geq 0}\) 或 \(\{\mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\}_{n \geq 0}\) 的层序列在 \(n\) 变化时其上同调的行为。

这里及下文采用如下记号。给定概形态射 \(f : X \to Y\)、准凝聚层 \(\mathcal{F}\)（在 \(X\) 上），以及准凝聚理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Y\)，以 \(\mathcal{I}^n\mathcal{F}\) 表示由 \(f^{-1}(\mathcal{I}^n)\) 的局部截面与 \(\mathcal{F}\) 的局部截面之乘积生成的准凝聚子层。用公式表示为 \[\mathcal{I}^n\mathcal{F} = \Im\left( f^*(\mathcal{I}^n) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F} \right).\] 注意有自然映射 \[f^{-1}(\mathcal{I}^n) \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} \mathcal{I}^m\mathcal{F} \longrightarrow f^*(\mathcal{I}^n) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{I}^m\mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{I}^{n + m}\mathcal{F}\] 因此，\(\mathcal{I}^n\) 的一个截面借助高阶直像的函子性给出映射 \(R^pf_*(\mathcal{I}^m\mathcal{F}) \to R^pf_*(\mathcal{I}^{n + m}\mathcal{F})\)。先局部化再层化，可见存在 \(\mathcal{O}_Y\)-模映射 \[\mathcal{I}^n \otimes_{\mathcal{O}_Y} R^pf_*(\mathcal{I}^m\mathcal{F}) \longrightarrow R^pf_*(\mathcal{I}^{n + m}\mathcal{F}).\] 换言之，\(\bigoplus_{n \geq 0} R^pf_*(\mathcal{I}^n\mathcal{F})\) 是分次 \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n\)-模。

若 \(Y = \Spec(A)\) 且 \(\mathcal{I} = \widetilde{I}\)，则将 \(\mathcal{I}^n\mathcal{F}\) 简记为 \(I^n\mathcal{F}\)。上面引入的映射赋予 \(M = \bigoplus H^p(X, I^n\mathcal{F})\) 分次 \(S = \bigoplus I^n\)-模的结构。若 \(f\) 固有，\(A\) 是 Noether 环且 \(\mathcal{F}\) 凝聚，则该模事实上是有限型的。

引理

设 \(A\) 为 Noether 环，\(I \subset A\) 为理想，并令 \(B = \bigoplus_{n \geq 0} I^n\)。设 \(f : X \to \Spec(A)\) 为固有态射，并设凝聚层 \(\mathcal{F}\)（在 \(X\) 上）。则对每个 \(p \geq 0\)，分次 \(B\)-模 \(\bigoplus_{n \geq 0} H^p(X, I^n\mathcal{F})\) 是有限 \(B\)-模。

证明

令 \(\mathcal{B} = f^*\widetilde{B}\)。由于 \(\mathcal{B}\) 满射到 \(\bigoplus I^n\mathcal{O}_X\)，显然 \(\bigoplus I^n\mathcal{F}\) 是有限型分次 \(\mathcal{B}\)-模。故结论由引理 0897 的 (1) 推出。

引理

给定概形态射 \(f : X \to Y\)、准凝聚层 \(\mathcal{F}\)（在 \(X\) 上），以及准凝聚理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Y\)。假设 \(Y\) 局部 Noether， \(f\) 固有且 \(\mathcal{F}\) 凝聚。则 \[\mathcal{M} = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} R^pf_*(\mathcal{I}^n\mathcal{F})\] 是准凝聚有限型分次 \(\mathcal{A} = \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n\)-模。

证明

该陈述在 \(Y\) 上是局部的，故可归约到 \(Y\) 仿射的情形。在仿射情形下，结论由引理 02O8 推出。细节从略。

引理

设 \(A\) 为 Noether 环，\(I \subset A\) 为理想， \(f : X \to \Spec(A)\) 为固有态射，并设凝聚层 \(\mathcal{F}\)（在 \(X\) 上）。则对每个 \(p \geq 0\)，存在整数 \(c \geq 0\)，使得：

乘法映射 \(I^{n - c} \otimes H^p(X, I^c\mathcal{F}) \to H^p(X, I^n\mathcal{F})\) 对所有 \(n \geq c\) 都是满射；

映射 \(H^p(X, I^{n + m}\mathcal{F}) \to H^p(X, I^n\mathcal{F})\) 之像包含于子模 \(I^{m - e} H^p(X, I^n\mathcal{F})\)，其中 \(e = \max(0, c - n)\)；这里 \(n + m \geq c\) 且 \(n, m \geq 0\)；

对 \(n \geq c\)，有 \[\Ker(H^p(X, I^n\mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F})) = \Ker(H^p(X, I^n\mathcal{F}) \to H^p(X, I^{n - c}\mathcal{F}))\]

存在映射 \(I^nH^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, I^{n - c}\mathcal{F})\)（对 \(n \geq c\)），使得当 \(n \geq 2c\) 时，复合映射 \[H^p(X, I^n\mathcal{F}) \to I^{n - c}H^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, I^{n - 2c}\mathcal{F})\] 与 \[I^nH^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, I^{n - c}\mathcal{F}) \to I^{n - 2c}H^p(X, \mathcal{F})\] 均为典范映射；并且

逆向系统 \((H^p(X, I^n\mathcal{F}))\) 与 \((I^nH^p(X, \mathcal{F}))\) 是 pro-同构的。

证明

记 \(M_n = H^p(X, I^n\mathcal{F})\)（对 \(n \geq 1\)），并令 \(M_0 = H^p(X, \mathcal{F})\)，从而有映射 \(\ldots \to M_3 \to M_2 \to M_1 \to M_0\)。令 \(B = \bigoplus_{n \geq 0} I^n\)，则 \(M = \bigoplus_{n \geq 0} M_n\) 是有限分次 \(B\)-模；参见引理 02O8。注意，乘积 \(B_n \otimes M_m \to M_{m + n}\)，\(a \otimes m \mapsto a \cdot m\) 与该逆向系统中的映射相容；更确切地说，对 \(n, m' \geq 0\) 且 \(m \geq m'\)，交换图 \[\xymatrix{ B_n \otimes_A M_m \ar[r] \ar[d] & M_{n + m} \ar[d] \\ B_n \otimes_A M_{m'} \ar[r] & M_{n + m'} }\] 交换。

证明 (1)。选取 \(d_1, \ldots, d_t \geq 0\) 及 \(x_i \in M_{d_i}\)，使得 \(M\) 由 \(x_1, \ldots, x_t\) 在 \(B\) 上生成。对任意 \(c \geq \max\{d_i\}\)，可得 \(B_{n - c} \cdot M_c = M_n\) 对 \(n \geq c\) 成立，因而 (1) 成立。

证明 (2)。令 \(c\) 如 (1) 的证明中所取，并设 \(n + m \geq c\)。有 \(M_{n + m} = B_{n + m - c} \cdot M_c\)。若 \(c > n\)，则利用 \(M_c \to M_n\) 以及上面指出的乘积与转移映射的相容性，可知 \(M_{n + m} \to M_n\) 之像包含于 \(I^{n + m - c}M_n\)。若 \(c \leq n\)，则写成 \(M_{n + m} = B_m \cdot B_{n - c} \cdot M_c = B_m \cdot M_n\)，从而看出其像包含于 \(I^m M_n\)。这证明了 (2)。

令 \(K_n \subset M_n\) 为映射 \(M_n \to M_0\) 的核。上面指出的乘积与转移映射的相容性表明 \(K = \bigoplus K_n \subset M\) 是分次 \(B\)-子模。由于 \(B\) 是 Noether 的，且 \(M\) 是有限生成分次 \(B\)-模， \(K\) 是有限生成分次 \(B\)-模。选取 \(d'_1, \ldots, d'_{t'} \geq 0\) 及 \(y_i \in K_{d'_i}\)，使得 \(K\) 由 \(y_1, \ldots, y_{t'}\) 在 \(B\) 上生成。令 \(c = \max(d'_i, d'_j)\)。由于 \(y_i \in \Ker(M_{d'_i} \to M_0)\)，可知 \(B_n \cdot y_i \subset \Ker(M_{n + d'_i} \to M_n)\)。由此可见，\(K_n = \Ker(M_n \to M_{n - c})\) 对 \(n \geq c\) 成立。这证明了 (3)。

考虑下列实线部分交换的图 \[\xymatrix{ I^n \otimes_A M_0 \ar[r] \ar[d] & I^nM_0 \ar[r] \ar@{..>}[d] & M_0 \ar[d] \\ M_n \ar[r] & M_{n - c} \ar[r] & M_0 }\] 由上可知，满射 \(I^n \otimes_A M_0 \to I^nM_0\) 的核映入 \(K_n\)，故得到虚线箭头，并且复合映射 \(I^nM_0 \to M_{n - c} \to M_0\) 是典范映射。于是，复合映射 \(I^nM_0 \to M_{n - c} \to I^{n - 2c}M_0\) 对 \(n \geq 2c\) 显然是典范映射。考虑复合映射 \(M_n \to I^{n - c}M_0 \to M_{n - 2c}\)。第一映射把形如 \(a \cdot m\) 的元素（其中 \(a \in I^{n - c}\) 且 \(m \in M_c\)）送到 \(a m'\)，这里 \(m'\) 是 \(m\) 在 \(M_0\) 中的像。第二映射再把它送到 \(a \cdot m'\)（位于 \(M_{n - 2c}\) 中），故 (4) 成立。

(5) 是 (4) 与 pro-对象态射之定义的直接推论。

在引理 02O8 与 02OA 的情形下，考虑逆向系统 \[\mathcal{F}/I\mathcal{F} \leftarrow \mathcal{F}/I^2\mathcal{F} \leftarrow \mathcal{F}/I^3\mathcal{F} \leftarrow \ldots\] 我们希望知道上同调群会发生什么。下面是第一个结论。

引理

设 \(A\) 为 Noether 环，\(I \subset A\) 为理想， \(f : X \to \Spec(A)\) 为固有态射，并设凝聚层 \(\mathcal{F}\)（在 \(X\) 上）。固定 \(p \geq 0\)。存在 \(c \geq 0\)，使得：

对所有 \(n \geq c\)，有 \[\Ker(H^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})) \subset I^{n - c}H^p(X, \mathcal{F}).\]

逆向系统 \[\left(H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\right)_{n \in \mathbf{N}}\] 满足 Mittag–Leffler 条件（参见《同调》定义 02N0）；并且

有 \[\Im(H^p(X, \mathcal{F}/I^k\mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})) = \Im(H^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}))\] 这对所有 \(k \geq n + c\) 成立。

证明

令 \(c = \max\{c_p, c_{p + 1}\}\)，其中 \(c_p, c_{p + 1}\) 是引理 02OA 分别对 \(H^p\) 与 \(H^{p + 1}\) 给出的整数。

先证明 (1)。考虑短正合列 \[0 \to I^n\mathcal{F} \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}/I^n\mathcal{F} \to 0\] 由上同调长正合列可知 \[\Ker( H^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) ) = \Im( H^p(X, I^n\mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}) )\] 因此，由引理 02OA 的 (2)，它包含于 \(I^{n - c}H^p(X, \mathcal{F})\)，这对 \(n \geq c\) 成立。

注意，(3) 按 Mittag–Leffler 系统的定义蕴含 (2)。

下面证明 (3)。固定 \(n\)。考虑交换图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I^n\mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{F}/I^n\mathcal{F} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I^{n + m}\mathcal{F} \ar[r] \ar[u] & \mathcal{F} \ar[r] \ar[u] & \mathcal{F}/I^{n + m}\mathcal{F} \ar[r] \ar[u] & 0 }\] 它诱导出如下交换图 \[\xymatrix{ H^p(X, \mathcal{F}) \ar[r] & H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) \ar[r]_\delta & H^{p + 1}(X, I^n\mathcal{F}) \ar[r] & H^{p + 1}(X, \mathcal{F}) \\ H^p(X, \mathcal{F}) \ar[r] \ar[u]^1 & H^p(X, \mathcal{F}/I^{n + m}\mathcal{F}) \ar[r] \ar[u]^\gamma & H^{p + 1}(X, I^{n + m}\mathcal{F}) \ar[u]^\alpha \ar[r]^-\beta & H^{p + 1}(X, \mathcal{F}) \ar[u]_1 }\] 其两行正合。由引理 02OA 的 (4)，\(\beta\) 的核等于 \(\alpha\) 的核，这对 \(m \geq c\) 成立。追图可知 \(\gamma\) 之像包含于 \(\delta\) 之核，故 (3) 成立（令 \(k = n + m\) 即得）。

定理

设 \(A\) 为 Noether 环，\(I \subset A\) 为理想， \(f : X \to \Spec(A)\) 为固有态射，并设凝聚层 \(\mathcal{F}\)（在 \(X\) 上）。固定 \(p \geq 0\)。映射系 \[H^p(X, \mathcal{F})/I^nH^p(X, \mathcal{F}) \longrightarrow H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 定义极限之间的同构 \[H^p(X, \mathcal{F})^\wedge \longrightarrow \lim_n H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 其中左端是 \(A\)-模 \(H^p(X, \mathcal{F})\) 关于理想 \(I\) 的完备化；参见《代数》第 00M9 节。而且，对极限拓扑而言，这事实上是同胚。

证明

这可由引理 02OB 推出如下。令 \(M = H^p(X, \mathcal{F})\)、 \(M_n = H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\)，并记 \(N_n = \Im(M \to M_n)\)。由引理 02OB 的 (2) 与 (3)，可知 \((M_n)\) 是 Mittag–Leffler 系统，并且 \(N_n \subset M_n\) 等于 \(M_k\) 的像，这对所有 \(k \gg n\) 成立。因此，作为具有极限拓扑的拓扑模， \(\lim M_n = \lim N_n\)。另一方面，诸 \(N_n\) 构成模 \(M\) 之商模的逆向系统，故 \(\lim N_n\) 是 \(M\) 关于诸核 \(K_n = \Ker(M \to N_n)\) 所给拓扑的完备化。由引理 02OB 的 (1)，有 \(K_n \subset I^{n - c}M\)；又由于 \(N_n \subset M_n\) 被 \(I^n\) 零化，故 \(I^n M \subset K_n\)。因此，以子模 \(K_n\) 作为 \(0\) 的开邻域基本系所定义的拓扑与 \(I\)-进拓扑相同，并得到诱导映射 \(M^\wedge = \lim M/I^nM \to \lim N_n = \lim M_n\) 是拓扑模的同构³。

引理

设 \(A\) 为环，\(I \subset A\) 为理想。假设 \(A\) 是 Noether 的且关于 \(I\) 完备。设 \(f : X \to \Spec(A)\) 为固有态射，并设凝聚层 \(\mathcal{F}\)（在 \(X\) 上）。则 \[H^p(X, \mathcal{F}) = \lim_n H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] 对所有 \(p \geq 0\) 成立。

证明

这是形式函数定理（定理 02OC）在完备 Noether 基环情形下的重新表述。事实上，在此情形下，\(A\)-模 \(H^p(X, \mathcal{F})\) 是有限的（引理 02O6），因而是 \(I\)-进完备的（《代数》引理 00MA）；由此可见左端不必再取完备化。

引理

给定概形态射 \(f : X \to Y\) 以及准凝聚层 \(\mathcal{F}\)（在 \(X\) 上）。假设

\(Y\) 局部 Noether；

\(f\) 固有；并且

\(\mathcal{F}\) 凝聚。

设 \(y \in Y\) 为一点。考虑纤维 \(X_1 = X_y\) 的无穷小邻域 \[\xymatrix{ X_n = \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_y^n) \times_Y X \ar[r]_-{i_n} \ar[d]_{f_n} & X \ar[d]^f \\ \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_y^n) \ar[r]^-{c_n} & Y }\] 并令 \(\mathcal{F}_n = i_n^*\mathcal{F}\)。则有 \[\left(R^pf_*\mathcal{F}\right)_y^\wedge \cong \lim_n H^p(X_n, \mathcal{F}_n)\] 这是 \(\mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\)-模的同构。

证明

这只是形式函数定理，即定理 02OC，一个特殊情形的重新表述。下面详述之。注意 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 是 Noether 局部环。考虑典范态射 \(c : \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \to Y\)；参见《概形》公式 (02NA)。该态射是平坦的，因为它给出局部环的等同。暂记 \(f' : X' \to \Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\) 为 \(f\) 到这个局部环的基变换。由引理 02KH 可知 \(c^*R^pf_*\mathcal{F} = R^pf'_*\mathcal{F}'\)。此外，纤维 \(X_y\) 与 \(X'_y\) 的无穷小邻域彼此等同（验证从略；提示：态射 \(c_n\) 经由 \(c\) 分解）。

因此可以假设 \(Y = \Spec(A)\) 是 Noether 局部环 \(A\) 的谱，其极大理想为 \(\mathfrak m\)，并且 \(y \in Y\) 对应于闭点（即对应于 \(\mathfrak m\)）。特别地，随即有 \[\left(R^pf_*\mathcal{F}\right)_y = \Gamma(Y, R^pf_*\mathcal{F}) = H^p(X, \mathcal{F}).\]

在这种情形下，诸态射 \(c_n\) 也全都是闭浸入，故其基变换 \(i_n\) 也都是闭浸入。注意 \(i_{n, *}\mathcal{F}_n = i_{n, *}i_n^*\mathcal{F} = \mathcal{F}/\mathfrak m^n\mathcal{F}\)。由 \(i_n\) 的 Leray 谱序列及引理 01Y6，可知 \[H^p(X_n, \mathcal{F}_n) = H^p(X, i_{n, *}\mathcal{F}_n) = H^p(X, \mathcal{F}/\mathfrak m^n\mathcal{F})\] 因此确可应用形式函数定理计算该引理陈述中的极限，结论得证。

下面这个引理稍后会推广到维数 \(> 0\) 的纤维，即再下一个引理。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为概形态射，并设 \(y \in Y\)。假设

\(Y\) 局部 Noether；

\(f\) 固有；并且

\(f^{-1}(\{y\})\) 有限。

则对任意凝聚层 \(\mathcal{F}\)（在 \(X\) 上），都有 \((R^pf_*\mathcal{F})_y = 0\) 对所有 \(p > 0\) 成立。

证明

纤维 \(X_y\) 是有限的，并且由《态射》引理 02NG，它是有限离散空间。而且，每个无穷小邻域 \(X_n\) 的底拓扑空间都与之相同。因此，由《概形》引理 02O0，每个概形 \(X_n\) 都仿射。所以 \(H^p(X_n, \mathcal{F}_n) = 0\) 对所有 \(p > 0\) 成立。于是由引理 02OD 可知 \((R^pf_*\mathcal{F})_y^\wedge = 0\)。注意，由命题 02O5， \(R^pf_*\mathcal{F}\) 是凝聚的，因而 \(R^pf_*\mathcal{F}_y\) 是有限 \(\mathcal{O}_{Y, y}\)-模。由 Nakayama 引理（《代数》引理 00DV），若局部环上有限模的完备化为零，则该模为零。因此 \((R^pf_*\mathcal{F})_y = 0\)。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为概形态射，并设 \(y \in Y\)。假设

\(Y\) 局部 Noether；

\(f\) 固有；并且

\(\dim(X_y) = d\)。

则对任意凝聚层 \(\mathcal{F}\)（在 \(X\) 上），都有 \((R^pf_*\mathcal{F})_y = 0\) 对所有 \(p > d\) 成立。

证明

纤维 \(X_y\) 在 \(\Spec(\kappa(y))\) 上是有限型的。故由《态射》引理 01T6， \(X_y\) 是 Noether 概形。因此，由《性质》引理 01OZ，\(X_y\) 的底拓扑空间是 Noether 的。而且，每个无穷小邻域 \(X_n\) 的底拓扑空间与 \(X_y\) 的相同。故由《上同调》命题 02UZ， \(H^p(X_n, \mathcal{F}_n) = 0\) 对所有 \(p > d\) 成立。于是可知 \((R^pf_*\mathcal{F})_y^\wedge = 0\)；由引理 02OD，这对 \(p > d\) 成立。注意，由命题 02O5， \(R^pf_*\mathcal{F}\) 是凝聚的，因而 \(R^pf_*\mathcal{F}_y\) 是有限 \(\mathcal{O}_{Y, y}\)-模。由 Nakayama 引理（《代数》引理 00DV），若局部环上有限模的完备化为零，则该模为零。因此 \((R^pf_*\mathcal{F})_y = 0\)。

形式函数定理的应用

我们会按需在这里增补更多内容。目前需要 Noether 情形下有限态射的如下刻画。

引理

（更一般的版本见《态射进阶》引理 02LS。）设 \(f : X \to S\) 为概形态射，并假设 \(S\) 局部 Noether。则下列条件等价：

\(f\) 有限；

\(f\) 固有且纤维有限。

证明

由《态射》引理 01WN，有限态射固有。由《态射》引理 02NU，有限态射拟有限。拟有限态射有有限纤维；参见《态射》引理 02NH。故有限态射固有且有有限纤维。

假设 \(f\) 固有且有有限纤维。要证明 \(f\) 有限。事实上，只须证明 \(f\) 仿射。确实，若 \(f\) 仿射，则由《态射》引理 01WM 可知 \(f\) 整；继而由《态射》引理 01WJ 可知 \(f\) 有限。

为证明 \(f\) 仿射，可以假设 \(S\) 仿射；目标是证明 \(X\) 也仿射。由于 \(f\) 固有，可知 \(X\) 分离且拟紧。因此可以用引理 01XG 的判据证明 \(X\) 仿射。为此，设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为有限型理想层。特别地，\(\mathcal{I}\) 是 \(X\) 上的凝聚层。由引理 02OE，可得 \(R^1f_*\mathcal{I}_s = 0\) 对所有 \(s \in S\) 成立。换言之，\(R^1f_*\mathcal{I} = 0\)。于是由 \(f\) 的 Leray 谱序列可见 \(H^1(X , \mathcal{I}) = H^1(S, f_*\mathcal{I})\)。由于 \(S\) 仿射，且 \(f_*\mathcal{I}\) 准凝聚（《概形》引理 01LC），由引理 01XB 可得所需的 \(H^1(S, f_*\mathcal{I}) = 0\)。故如所需地， \(H^1(X, \mathcal{I}) = 0\)。

作为推论，有如下有用结论。

引理

（更一般的版本见《态射进阶》引理 02UP。）设 \(f : X \to S\) 为概形态射，并设 \(s \in S\)。假设

\(S\) 局部 Noether；

\(f\) 固有；并且

\(f^{-1}(\{s\})\) 是有限集。

则存在开邻域 \(V \subset S\)（为 \(s\) 的邻域），使得 \(f|_{f^{-1}(V)} : f^{-1}(V) \to V\) 有限。

证明

由《态射》引理 02NG，态射 \(f\) 在 \(f^{-1}(\{s\})\) 的所有点处拟有限。由《态射》引理 01TI，\(f\) 拟有限的点构成开集 \(U \subset X\)。令 \(Z = X \setminus U\)。则 \(s \not \in f(Z)\)。由于 \(f\) 固有，集合 \(f(Z) \subset S\) 闭。选取任意开邻域 \(V \subset S\)（为 \(s\) 的邻域），使得 \(Z \cap V = \emptyset\)。于是 \(f^{-1}(V) \to V\) 局部拟有限且固有，故其拟有限（《态射》引理 01TJ），从而有有限纤维（《态射》引理 02NH），继而由引理 02OG 可知它有限。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为概形的固有态射，其中 \(Y\) Noether。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模， \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(y \in Y\) 为一点，使得 \(\mathcal{L}_y\) 在 \(X_y\) 上丰沛。则存在 \(d_0\)，使得对所有 \(d \geq d_0\)，都有 \[R^pf_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})_y = 0 \text{ 对 }p > 0\] 且映射 \[f_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})_y \longrightarrow H^0(X_y, \mathcal{F}_y \otimes_{\mathcal{O}_{X_y}} \mathcal{L}_y^{\otimes d})\] 为满射。

证明

注意，\(\mathcal{O}_{Y, y}\) 是 Noether 局部环。考虑典范态射 \(c : \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \to Y\)；参见《概形》公式 (02NA)。该态射是平坦的，因为它给出局部环的等同。暂记 \(f' : X' \to \Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\) 为 \(f\) 到这个局部环的基变换。由引理 02KH 可知 \(c^*R^pf_*\mathcal{F} = R^pf'_*\mathcal{F}'\)。此外，纤维 \(X_y\) 与 \(X'_y\) 彼此等同。因此可以假设 \(Y = \Spec(A)\) 是 Noether 局部环 \((A, \mathfrak m, \kappa)\) 的谱，且 \(y \in Y\) 对应于 \(\mathfrak m\)。在这种情形下， \(R^pf_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})_y = H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})\) 对所有 \(p \geq 0\) 成立。记投影为 \(f_y : X_y \to \Spec(\kappa)\)。

令 \(B = \text{Gr}_\mathfrak m(A) = \bigoplus_{n \geq 0} \mathfrak m^n/\mathfrak m^{n + 1}\)。考虑层 \(\mathcal{B} = f_y^*\widetilde{B}\)；它是准凝聚分次 \(\mathcal{O}_{X_y}\)-代数层。采用第 02O7 节中的记号，并以 \(I\) 由 \(\mathfrak m\) 代替。由于 \(X_y\) 是 \(X\) 中由 \(\mathfrak m\mathcal{O}_X\) 截出的闭子概形，可以把 \(\mathfrak m^n\mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1}\mathcal{F}\) 视为凝聚 \(\mathcal{O}_{X_y}\)-模；参见引理 087T。于是 \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathfrak m^n\mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1}\mathcal{F}\) 是有限型准凝聚分次 \(\mathcal{B}\)-模；这是因为它在 \(\mathcal{B}\) 上由零次部分生成，并且其零次部分是 \(\mathcal{F}_y = \mathcal{F}/\mathfrak m \mathcal{F}\)，这是凝聚 \(\mathcal{O}_{X_y}\)-模。故由引理 0897 的 (2)，可知 \[H^p(X_y, \mathfrak m^n \mathcal{F}/ \mathfrak m^{n + 1}\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X_y}} \mathcal{L}_y^{\otimes d}) = 0\] 对所有 \(p > 0\)、\(d \geq d_0\) 及 \(n \geq 0\) 成立。由引理 089W，这等价于说 \(H^p(X, \mathfrak m^n \mathcal{F}/ \mathfrak m^{n + 1}\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) = 0\) 对所有 \(p > 0\)、\(d \geq d_0\) 及 \(n \geq 0\) 成立。

考虑凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的短正合列 \[0 \to \mathfrak m^n\mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1} \mathcal{F} \to \mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1} \mathcal{F} \to \mathcal{F}/\mathfrak m^n \mathcal{F} \to 0\] 与 \(\mathcal{L}^{\otimes d}\) 张量是正合函子，因而得到短正合列 \[0 \to \mathfrak m^n\mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1} \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d} \to \mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1} \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d} \to \mathcal{F}/\mathfrak m^n \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d} \to 0\] 利用上同调长正合列和上面的消失，通过归纳可得：

\(H^p(X, \mathcal{F}/\mathfrak m^n \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) = 0\) 对所有 \(p > 0\)、\(d \geq d_0\) 及 \(n \geq 0\) 成立；并且

\(H^0(X, \mathcal{F}/\mathfrak m^n \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) \to H^0(X_y, \mathcal{F}_y \otimes_{\mathcal{O}_{X_y}} \mathcal{L}_y^{\otimes d})\) 对所有 \(d \geq d_0\) 及 \(n \geq 1\) 都是满射。

由形式函数定理（定理 02OC），可知 \(\mathfrak m\)-进完备化（对 \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})\)）在所有 \(d \geq d_0\) 与 \(p > 0\) 时都为零。由于 \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})\) 是有限 \(A\)-模（引理 02O6），由 Nakayama 引理（《代数》引理 00DV）可知 \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})\) 对所有 \(d \geq d_0\) 与 \(p > 0\) 都为零。对 \(p = 0\)，由引理 02OB 的 (3) 可得 \(H^0(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) \to H^0(X_y, \mathcal{F}_y \otimes_{\mathcal{O}_{X_y}} \mathcal{L}_y^{\otimes d})\) 为满射，这就给出了引理的最后一项陈述。

引理

（更一般的版本见《态射进阶》引理 0D2S。）设 \(f : X \to Y\) 为概形的固有态射，其中 \(Y\) Noether。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(y \in Y\) 为一点，使得 \(\mathcal{L}_y\) 在 \(X_y\) 上丰沛。则存在开邻域 \(V \subset Y\)（为 \(y\) 的邻域），使得 \(\mathcal{L}|_{f^{-1}(V)}\) 在 \(f^{-1}(V)/V\) 上丰沛。

证明

选取 \(d_0\)，如引理 0D2M 在 \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_X\) 时所给。选取 \(d \geq d_0\)，使得可以找到 \(r \geq 0\) 及截面 \(s_{y, 0}, \ldots, s_{y, r} \in H^0(X_y, \mathcal{L}_y^{\otimes d})\)，它们定义闭浸入 \[\varphi_y = \varphi_{\mathcal{L}_y^{\otimes d}, (s_{y, 0}, \ldots, s_{y, r})} : X_y \to \mathbf{P}^r_{\kappa(y)}.\] 这可由《态射》引理 01VT 做到；还要用《态射》引理 01W6 看出 \(\varphi_y\) 是闭浸入，并用《构造》第 01ND 节关于以可逆层与截面描述到射影空间之态射的结论。由 \(d_0\) 的选取，以 \(Y\) 的一个开邻域（为 \(y\) 的邻域）替换后，可以选取 \(s_0, \ldots, s_r \in H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes d})\)，它们分别映到 \(s_{y, 0}, \ldots, s_{y, r}\)。令 \(X_{s_i} \subset X\) 为 \(s_i\) 生成 \(\mathcal{L}^{\otimes d}\) 的开子集。由于诸 \(s_{y, i}\) 生成 \(\mathcal{L}_y^{\otimes d}\)，可见 \(X_y \subset U = \bigcup X_{s_i}\)。由于 \(X \to Y\) 是闭映射，可知存在开邻域 \(y \in V \subset Y\)，使得 \(f^{-1}(V) \subset U\)。将 \(Y\) 替换为 \(V\) 后，可以假设诸 \(s_i\) 生成 \(\mathcal{L}^{\otimes d}\)。于是得到态射 \[\varphi = \varphi_{\mathcal{L}^{\otimes d}, (s_0, \ldots, s_r)} : X \longrightarrow \mathbf{P}^r_Y\] 它满足 \(\mathcal{L}^{\otimes d} \cong \varphi^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^r_Y}(1)\)，且其到 \(y\) 的基变换给出 \(\varphi_y\)。

我们以一个小技巧完成证明；“正确的”证明是直接说明，\(\varphi\) 在基变换到 \(y\) 的某个开邻域后是闭浸入。具体而言，由引理 02OH，可知 \(\varphi\) 在纤维 \(\mathbf{P}^r_{\kappa(y)}\) 的一个开邻域上有限；这里该纤维是 \(\mathbf{P}^r_Y \to Y\) 位于 \(y\) 上方的纤维。利用 \(\mathbf{P}^r_Y \to Y\) 是闭映射，缩小 \(Y\) 后，可以假设 \(\varphi\) 有限。于是 \(\mathcal{L}^{\otimes d} \cong \varphi^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^r_Y}(1)\) 由非常一般的《态射》引理 0892 可知是丰沛的。

上同调与基变换（三）

本节证明一个十分一般的现象之最简单情形；该现象将在《概形的导出范畴》第 08ET 节讨论。关于把下列引理翻译成代数语言的表述，见评注 07VL。

引理

设 \(A\) 为 Noether 环，并令 \(S = \Spec(A)\)。设 \(f : X \to S\) 为概形的固有态射。设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，并且在 \(S\) 上平坦。则

\(R\Gamma(X, \mathcal{F})\) 是 \(D(A)\) 的完美对象；并且

对任意环同态 \(A \to A'\)，基变换映射 \[R\Gamma(X, \mathcal{F}) \otimes_A^{\mathbf{L}} A' \longrightarrow R\Gamma(X_{A'}, \mathcal{F}_{A'})\] 是同构。

证明

选取有限仿射开覆盖 \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i\)。由引理 01XL 与 01XM，Čech 复形 \(K^\bullet = {\check C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) 满足 \[K^\bullet \otimes_A A' = R\Gamma(X_{A'}, \mathcal{F}_{A'})\] 这对所有环同态 \(A \to A'\) 成立。令 \(K_{alt}^\bullet = {\check C}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) 为交错 Čech 复形。由《上同调》引理 01FM，存在同伦等价 \(K_{alt}^\bullet \to K^\bullet\)（在 \(A\)-模范畴中）。特别地，同样有 \[K_{alt}^\bullet \otimes_A A' = R\Gamma(X_{A'}, \mathcal{F}_{A'})\] 由于 \(\mathcal{F}\) 在 \(A\) 上平坦，可见每个 \(K_{alt}^n\) 在 \(A\) 上平坦（参见《态射》引理 01U4）。而且， \(K_{alt}^\bullet\) 有上界（这正是改用交错 Čech 复形的原因），故 \(K_{alt}^\bullet \otimes_A A' = K_{alt}^\bullet \otimes_A^{\mathbf{L}} A'\)；这是导出张量积定义的结果（参见《代数进阶》第 06XY 节）。由引理 02O6，上同调群 \(H^i(K_{alt}^\bullet)\) 是有限 \(A\)-模。由于 \(K_{alt}^\bullet\) 有界，可得 \(K_{alt}^\bullet\) 是伪凝聚的；参见《代数进阶》引理 066E。给定任意 \(A\)-模 \(M\)，令 \(A' = A \oplus M\)，其中 \(M\) 是平方零理想，即 \((a, m) \cdot (a', m') = (aa', am' + a'm)\)。由上可见，\(K_{alt}^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} A'\) 仅在次数 \(0, \ldots, n\) 有上同调。因此， \(K_{alt}^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} M\) 仅在次数 \(0, \ldots, n\) 有上同调。故 \(K_{alt}^\bullet\) 有有限 Tor 维数；参见《代数进阶》定义 0652。最后应用《代数进阶》引理 0658 即得结论。

注

引理 07VK 的一个推论是：存在由有限射影 \(A\)-模组成的有限复形 \(M^\bullet\)，使得 \[H^i(X_{A'}, \mathcal{F}_{A'}) = H^i(M^\bullet \otimes_A A')\] 关于 \(A'\) 函子性地成立。\(\mathcal{F}\) 在 \(A\) 上平坦这一条件是本质的；参见 [Hartshorne]。

凝聚形式模

由于尚无形式概形理论可供使用，我们发展一些语言来代替 “Noether 进形式概形上的凝聚模”这一概念。

设 \(X\) 为 Noether 概形，并设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为准凝聚理想层。我们考虑逆向系统 \((\mathcal{F}_n)\)，其各项是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，并满足：

\(\mathcal{F}_n\) 被 \(\mathcal{I}^n\) 零化；并且
转移映射诱导同构 \(\mathcal{F}_{n + 1}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n\)。

这类逆向系统的态射按通常方式定义。以 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 表示这些逆向系统所成的范畴。下面将证明一系列关于该范畴中对象的引理。事实上，后续大多数引理都是下述仿射情形范畴描述的直接推论。

引理

若 \(X = \Spec(A)\) 是 Noether 环的谱，且 \(\mathcal{I}\) 是与理想 \(I \subset A\) 相伴的准凝聚理想层，则 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 等价于有限 \(A^\wedge\)-模范畴，其中 \(A^\wedge\) 是 \(A\) 关于 \(I\) 的完备化。

证明

以 \(\text{Mod}^{fg}_{A, I}\) 表示逆向系统 \((M_n)\) 所成的范畴，其中各项是有限 \(A\)-模；这些系统满足：(1) \(M_n\) 被 \(I^n\) 零化； (2) \(M_{n + 1}/I^nM_{n + 1} = M_n\)。由 \(X\) 上凝聚层与有限 \(A\)-模之间的对应（引理 01XZ），只须证明 \(\text{Mod}^{fg}_{A, I}\) 等价于有限 \(A^\wedge\)-模范畴。为此，只须证明：给定对象 \((M_n)\)（属于 \(\text{Mod}^{fg}_{A, I}\)），模 \[M = \lim M_n\] 是有限 \(A^\wedge\)-模，且 \(M/I^nM = M_n\)。由于转移映射都是满射，可见 \(M \to M_1\) 是满射。选取 \(x_1, \ldots, x_t \in M\)，使其像生成 \(M_1\)。这诱导系统间的映射 \((A/I^n)^{\oplus t} \to M_n\)。由 Nakayama 引理（《代数》引理 00DV），这些映射均为满射。令 \(K_n \subset (A/I^n)^{\oplus t}\) 为其核。性质 (2) 蕴含 \(K_{n + 1} \to K_n\) 是满射；特别地，系统 \((K_n)\) 满足 Mittag–Leffler 条件。由《同调》引理 02N1，得到正合列 \(0 \to K \to (A^\wedge)^{\oplus t} \to M \to 0\)，其中 \(K = \lim K_n\)。故 \(M\) 是有限 \(A^\wedge\)-模。由于 \(K \to K_n\) 为满射，得到 \[M/I^nM = \Coker(K \to (A/I^n)^{\oplus t}) = (A/I^n)^{\oplus t}/K_n = M_n\] 如所需。

引理

设 \(X\) 为 Noether 概形，并设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为准凝聚理想层。

范畴 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 是阿贝尔范畴。

对开集 \(U \subset X\)，限制函子 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I}) \to \textit{Coh}(U, \mathcal{I}|_U)\) 是正合的。

\(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 中的正合性可通过限制到 \(X\) 的一个开覆盖之各成员上来检验。

证明

设 \(\alpha =(\alpha_n) : (\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{G}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 的态射。\(\alpha\) 的余核是逆向系统 \((\Coker(\alpha_n))\)（细节从略）。为描述其核，对 \(l \geq m\) 令 \[\mathcal{K}'_{l, m} = \Im(\Ker(\alpha_l) \to \mathcal{F}_m)\] 我们断言：

逆向系统 \((\mathcal{K}'_{l, m})_{l \geq m}\) 最终常值，设其最终值为 \(\mathcal{K}'_m\)；

系统 \((\mathcal{K}'_m/\mathcal{I}^n\mathcal{K}'_m)_{m \geq n}\) 最终常值，设其最终值为 \(\mathcal{K}_n\)；

系统 \((\mathcal{K}_n)\) 构成 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 的一个对象；并且

该对象是 \(\alpha\) 的核。

为证明 (a)、(b)、(c)，可以在仿射局部工作；设 \(X = \Spec(A)\)，且 \(\mathcal{I}\) 对应于理想 \(I \subset A\)。由引理 087W，\(\alpha\) 对应于映射 \(f : M \to N\)（在有限 \(A^\wedge\)-模之间）。记 \(K = \Ker(f)\)。注意 \(A^\wedge\) 是 Noether 环（《代数》引理 0316）。选取整数 \(c \geq 0\)，使得 \(K \cap I^n M \subset I^{n - c}K\) 对 \(n \geq c\) 成立（《代数》引理 00IN），并且使它对映射 \(f\) 与理想 \(I^\wedge = IA^\wedge\) 满足《代数》引理 00IO。于是，\(\mathcal{K}'_{l, m}\) 对应于 \(A\)-模 \[K'_{l, m} = \frac{a^{-1}(I^lN) + I^mM}{I^mM} = \frac{K + I^{l - c}f^{-1}(I^cN) + I^mM}{I^mM} = \frac{K + I^mM}{I^mM}\] 其中最后一个等号在 \(l \geq m + c\) 时成立。因此 \(\mathcal{K}'_m\) 对应于 \(A\)-模 \(K/K \cap I^mM\)，且 \(\mathcal{K}'_m/\mathcal{I}^n\mathcal{K}'_m\) 对应于 \[\frac{K}{K \cap I^mM + I^nK} = \frac{K}{I^nK}\] 当 \(m \geq n + c\) 时，这由上面对 \(c\) 的选取成立。故 \(\mathcal{K}_n\) 对应于 \(K/I^nK\)。

下面证明 (d)。由上面的仿射描述，复合映射 \((\mathcal{K}_n) \to (\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{G}_n)\) 显然为零。设 \(\beta : (\mathcal{H}_n) \to (\mathcal{F}_n)\) 为满足 \(\alpha \circ \beta = 0\) 的态射。则 \(\mathcal{H}_l \to \mathcal{F}_l\) 的像包含于 \(\Ker(\alpha_l)\)。由于 \(\mathcal{H}_m = \mathcal{H}_l/\mathcal{I}^m\mathcal{H}_l\) 对 \(l \geq m\) 成立，得到一族映射 \(\mathcal{H}_m \to \mathcal{K}'_{l, m}\)，从而得到映射 \(\mathcal{H}_m \to \mathcal{K}_m'\)。又由于 \(\mathcal{H}_n = \mathcal{H}_m/\mathcal{I}^n\mathcal{H}_m\)，得到一族映射 \(\mathcal{H}_n \to \mathcal{K}'_m/\mathcal{I}^n\mathcal{K}'_m\)，因而如所需地得到映射 \(\mathcal{H}_n \to \mathcal{K}_n\)。

为完成 (1) 的证明，还须证明 \(\Coim = \Im\) （在 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 中）。上面已经看出，在仿射情形下，取核与余核和把 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 描述为模范畴相交换。由于模范畴中 \(\Im = \Coim\)，这给出 \(\Coim = \Im\)（在 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 中）。引理的 (2)、(3) 由我们对核与余核的构造立即推出。

引理

设 \(X\) 为 Noether 概形，并设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为准凝聚理想层。映射 \((\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{G}_n)\) 在 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 中为满射，当且仅当 \(\mathcal{F}_1 \to \mathcal{G}_1\) 为满射。

证明

从略。提示：在仿射开集上考察，使用引理 087W 及《代数》引理 00DV。

设 \(X\) 为 Noether 概形，并设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为准凝聚理想层。有函子 [0880]\[\begin{equation} \textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Coh}(X, \mathcal{I}), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge \end{equation}\] 它把凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\) 送到对象 \(\mathcal{F}^\wedge = (\mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F})\)；该对象属于 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)。

引理

函子 (0880) 是正合的。

证明

只须在 \(X\) 上局部检验。因此可以假设 \(X\) 仿射，即处于引理 087W 的情形。该函子就是函子 \(\text{Mod}^{fg}_A \to \text{Mod}^{fg}_{A^\wedge}\)，它把有限 \(A\)-模 \(M\) 送到完备化 \(M^\wedge\)。故结论由《代数》引理 00MB 推出。

引理

设 \(X\) 为 Noether 概形，并设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为准凝聚理想层。设 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。令 \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\)。则 \[\lim H^0(X, \mathcal{H}/\mathcal{I}^n\mathcal{H}) = \Mor_{\textit{Coh}(X, \mathcal{I})} (\mathcal{G}^\wedge, \mathcal{F}^\wedge).\]

证明

为证明该结论，可以在 \(X\) 上仿射局部地工作。故可假设 \(X = \Spec(A)\)，并且 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 由有限 \(A\)-模 \(M\)、\(N\) 给出。于是 \(\mathcal{H}\) 对应于有限 \(A\)-模 \(H = \Hom_A(M, N)\)。经由引理 087W 的等价，引理的陈述化为 \[H^\wedge = \Hom_{A^\wedge}(M^\wedge, N^\wedge)\] 由《代数》引理 00MB（使用三次），有 \[H^\wedge = \Hom_A(M, N) \otimes_A A^\wedge = \Hom_{A^\wedge}(M \otimes_A A^\wedge, N \otimes_A A^\wedge) = \Hom_{A^\wedge}(M^\wedge, N^\wedge)\] 其中第二个等号使用了 \(A^\wedge\) 在 \(A\) 上平坦这一事实（参见《代数进阶》引理 087R）。引理得证。

设 \(X\) 为 Noether 概形。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为准凝聚理想层。称对象 \((\mathcal{F}_n)\)（属于 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)）是 \(\mathcal{I}\)-幂挠的，或称它 被 \(\mathcal{I}\) 的某个幂零化，若存在 \(c \geq 1\)，使得 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_c\) 对所有 \(n \geq c\) 成立。若是如此，就称 \((\mathcal{F}_n)\) 被 \(\mathcal{I}^c\) 零化。若 \(X = \Spec(A)\) 仿射，则经由引理 087W 的等价，这些对象恰对应于有限 \(A\)-模；这些模被 \(I\) 的某个幂或被 \(I^c\) 零化。

引理

设 \(X\) 为 Noether 概形，并设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为准凝聚理想层。设 \(\mathcal{G}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 的对象。

若 \(\alpha : (\mathcal{F}_n) \to \mathcal{G}^\wedge\) 是一个映射，其核与余核均被 \(\mathcal{I}\) 的某个幂零化，则存在三元组 \((\mathcal{F}, a, \beta)\)，且它在唯一同构意义下唯一；其中

\(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模；

\(a : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{O}_X\)-模映射，其核与余核均被 \(\mathcal{I}\) 的某个幂零化；

\(\beta : (\mathcal{F}_n) \to \mathcal{F}^\wedge\) 是同构；并且

\(\alpha = a^\wedge \circ \beta\)。

若 \(\alpha : \mathcal{G}^\wedge \to (\mathcal{F}_n)\) 是一个映射，其核与余核均被 \(\mathcal{I}\) 的某个幂零化，则存在三元组 \((\mathcal{F}, a, \beta)\)，且它在唯一同构意义下唯一；其中

\(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模；

\(a : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{O}_X\)-模映射，其核与余核均被 \(\mathcal{I}\) 的某个幂零化；

\(\beta : \mathcal{F}^\wedge \to (\mathcal{F}_n)\) 是同构；并且

\(\alpha = \beta \circ a^\wedge\)。

证明

证明 (1)。唯一性表明，只须构造 \((\mathcal{F}, a, \beta)\)，并可在 \(X\) 上 Zariski 局部地完成构造。因此可以假设 \(X = \Spec(A)\)，且 \(\mathcal{I}\) 对应于理想 \(I \subset A\)。在此情形下可应用引理 087W。设 \(M'\) 为有限 \(A^\wedge\)-模，它对应于 \((\mathcal{F}_n)\)。设 \(N\) 为有限 \(A\)-模，它对应于 \(\mathcal{G}\)。于是 \(\alpha\) 对应于映射 \[\varphi : M' \longrightarrow N^\wedge\] 其核与余核被某个 \(I^t\) 零化，其中 \(t\) 为某个整数。回忆 \(N^\wedge = N \otimes_A A^\wedge\) （《代数》引理 00MA）。由《代数进阶》引理 0ALK，存在 \(A\)-模映射 \(\psi : M \to N\)，其核与余核是 \(I\)-幂挠的，并且存在同构 \(M \otimes_A A^\wedge = M'\)，它与 \(\varphi\) 相容。由于 \(N\) 与 \(M'\) 都是有限模，可知 \(M\) 是有限 \(A\)-模；参见《代数进阶》评注 05EU。故 \(M \otimes_A A^\wedge = M^\wedge\)。我们略去验证由此得到的三元组 \((M, N \to M, M^\wedge \to M')\) 在唯一同构意义下唯一。

(2) 的证明完全相同，从略。

引理

设 \(X\) 为 Noether 概形，并设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为准凝聚理想层。\(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 中任何被 \(\mathcal{I}\) 的某个幂零化的对象，都在 (0880) 的本质像中。此外，若 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 属于 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\)，且 \(\mathcal{F}\) 或 \(\mathcal{G}\) 之一被 \(\mathcal{I}\) 的某个幂零化，则映射 \[\xymatrix{ \Hom_X(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \ar[d] & \Ext_X(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \ar[d] \\ \Hom_{\textit{Coh}(X, \mathcal{I})}(\mathcal{F}^\wedge, \mathcal{G}^\wedge) & \Ext_{\textit{Coh}(X, \mathcal{I})}(\mathcal{F}^\wedge, \mathcal{G}^\wedge) }\] 均为同构。

证明

设 \((\mathcal{F}_n)\) 是 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 的对象，且被 \(\mathcal{I}^c\) 零化，其中 \(c \geq 1\)。于是 \(\mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_c\) 对 \(n \geq c\) 是同构。故若令 \(\mathcal{F} = \mathcal{F}_c\)，则可见 \(\mathcal{F}^\wedge \cong (\mathcal{F}_n)\)。这证明了第一项断言。

设 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 为 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) 的对象，使得 \(\mathcal{F}\) 或 \(\mathcal{G}\) 之一被 \(\mathcal{I}^c\) 零化，其中 \(c \geq 1\)。则 \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，并被 \(\mathcal{I}^c\) 零化。因此 \[\Hom_X(\mathcal{G}, \mathcal{F}) = H^0(X, \mathcal{H}) = \lim H^0(X, \mathcal{H}/\mathcal{I}^n\mathcal{H}) = \Mor_{\textit{Coh}(X, \mathcal{I})} (\mathcal{G}^\wedge, \mathcal{F}^\wedge).\] 参见引理 0882。这证明了关于同态的陈述。

记号 \(\Ext\) 指《同调》第 010I 节定义的扩张。 \(\Ext\) 上映射的单射性立即由 \(\Hom\) 上映射的双射性推出。为证明满射性，假设 \(\mathcal{F}\) 被 \(I\) 的某个幂零化。引理 0889 的 (1) 表明：给定 \(\textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U)\) 中的扩张 \[0 \to \mathcal{G}^\wedge \to (\mathcal{E}_n) \to \mathcal{F}^\wedge \to 0\] 态射 \(\mathcal{G}^\wedge \to (\mathcal{E}_n)\) 同构于 \(\mathcal{G} \to \mathcal{E}^\wedge\)，其中 \(\mathcal{G} \to \mathcal{E}\) 是 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_U)\) 中的某个态射。另一种情形同理。

引理

设 \(X\) 为 Noether 概形，并设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为准凝聚理想层。若 \((\mathcal{F}_n)\) 是 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 的对象，则 \(\bigoplus \Ker(\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n)\) 是有限型分次准凝聚 \(\bigoplus \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\)-模。

证明

该问题在 \(X\) 上是局部的，故可假设 \(X\) 仿射，即处于引理 087W 的情形。在这种情形下，若 \((\mathcal{F}_n)\) 对应于有限 \(A^\wedge\)-模 \(M\)，则 \(\bigoplus \Ker(\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n)\) 对应于 \(\bigoplus I^nM/I^{n + 1}M\)；后者显然是 \(\bigoplus I^n/I^{n + 1}\) 上的有限模。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为 Noether 概形之间的态射。设 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_Y\) 为准凝聚理想层，并令 \(\mathcal{I} = f^{-1}\mathcal{J} \mathcal{O}_X\)。则有右正合函子 \[f^* : \textit{Coh}(Y, \mathcal{J}) \longrightarrow \textit{Coh}(X, \mathcal{I})\] 它把 \((\mathcal{G}_n)\) 送到 \((f^*\mathcal{G}_n)\)。若 \(f\) 平坦，则 \(f^*\) 是正合函子。

证明

由于 \(f^* : \textit{Coh}(\mathcal{O}_Y) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) 右正合，有 \[f^*\mathcal{G}_n = f^*(\mathcal{G}_{n + 1}/\mathcal{I}^n\mathcal{G}_{n + 1}) = f^*\mathcal{G}_{n + 1}/f^{-1}\mathcal{I}^nf^*\mathcal{G}_{n + 1} = f^*\mathcal{G}_{n + 1}/\mathcal{J}^nf^*\mathcal{G}_{n + 1}\] 故一个系统的拉回仍是系统。引理 087X 的证明中关于余核的构造表明， \(f^* : \textit{Coh}(Y, \mathcal{J}) \to \textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 总是右正合的。若 \(f\) 平坦，则 \(f^* : \textit{Coh}(\mathcal{O}_Y) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) 是正合函子。由引理 087X 的证明中对核的构造可知，在这种情形下， \(f^* : \textit{Coh}(Y, \mathcal{J}) \to \textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 也把核变成核。

引理

设 \(f : X' \to X\) 为 Noether 概形之间的态射。设 \(Z \subset X\) 为闭子概形，并以 \(Z' = f^{-1}Z\) 表示其概形论逆像。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)、 \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_{X'}\) 为对应的准凝聚理想层。若 \(f\) 平坦且诱导态射 \(Z' \to Z\) 是同构，则拉回函子 \(f^* : \textit{Coh}(X, \mathcal{I}) \to \textit{Coh}(X', \mathcal{I}')\) （引理 0887）是等价。

证明

若 \(X\) 与 \(X'\) 仿射，则结论立即由《代数进阶》引理 05EC 推出。为在一般情形下证明它，令 \(Z_n \subset X\)、\(Z'_n \subset X'\) 为第 \(n\) 个无穷小邻域，分别对应于 \(Z\)、\(Z'\)。诱导态射 \(Z_n \to Z'_n\) 在底拓扑空间上是同胚。另一方面，若 \(z' \in Z'\) 映到 \(z \in Z\)，则环同态 \(\mathcal{O}_{X, z} \to \mathcal{O}_{X', z'}\) 平坦，且诱导同构 \(\mathcal{O}_{X, z}/\mathcal{I}_z \to \mathcal{O}_{X', z'}/\mathcal{I}'_{z'}\)。因此，它诱导同构 \(\mathcal{O}_{X, z}/\mathcal{I}_z^n \to \mathcal{O}_{X', z'}/(\mathcal{I}'_{z'})^n\)，这对所有 \(n \geq 1\) 成立；例如见《代数进阶》引理 05E9。故 \(Z'_n \to Z_n\) 是概形的同构。因此，\(f^*\) 在凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模范畴（其中对象被 \(\mathcal{I}^n\) 零化）与凝聚 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模范畴（其中对象被 \((\mathcal{I}')^n\) 零化）之间诱导等价；参见引理 087T。这显然蕴含本引理。

引理

设 \(X\) 为 Noether 概形。设 \(\mathcal{I}, \mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) 为准凝聚理想层。若 \(V(\mathcal{I}) = V(\mathcal{J})\) 是 \(X\) 的同一个闭子集，则 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 与 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{J})\) 等价。

证明

首先假设 \(X = \Spec(A)\) 仿射。设 \(I, J \subset A\) 为与 \(\mathcal{I}, \mathcal{J}\) 对应的理想。则 \(V(I) = V(J)\) 蕴含 \(I^c \subset J\) 且 \(J^d \subset I\)，其中 \(c, d \geq 1\) 为某些整数；这是 Zariski 拓扑的初等性质（参见《代数》第 00DY 节及引理 00IM）。故 \(I\)-进与 \(J\)-进完备化（对 \(A\)）相同；参见《代数》引理 0319。因此，在此情形下，所求等价由引理 087W 推出。

一般而言，利用上面的论述及 \(X\) 拟紧这一事实，选取 \(c, d \geq 1\)，使得 \(\mathcal{I}^c \subset \mathcal{J}\) 且 \(\mathcal{J}^d \subset \mathcal{I}\)。给定对象 \((\mathcal{F}_n)\) （属于 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)），断言逆向系统 \[(\mathcal{F}_{cn}/\mathcal{J}^n\mathcal{F}_{cn})\] 属于 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{J})\)。这可在一个仿射覆盖的各成员上检验；细节从略。以同样方式，可以构造 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 的对象，其起点是 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{J})\) 的一个对象。我们略去验证这些构造定义互为拟逆的函子。

Grothendieck 存在定理（一）

本节讨论射影情形下的 Grothendieck 存在定理。我们将使用第 0EHN 节发展的凝聚形式模概念。建议熟悉形式概形的读者阅读 [EGA] 中该定理的陈述与证明。

引理

设 \(A\) 为关于理想 \(I\) 完备的 Noether 环。设 \(f : X \to \Spec(A)\) 为固有态射，并令 \(\mathcal{I} = I\mathcal{O}_X\)。则函子 (0880) 是全忠实的。

证明

设 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模；参见《模》引理 01CQ。由引理 0882，映射 \[\lim_n H^0(X, \mathcal{H}/\mathcal{I}^n\mathcal{H}) \to \Mor_{\textit{Coh}(X, \mathcal{I})} (\mathcal{G}^\wedge, \mathcal{F}^\wedge)\] 是双射。因此，函子 (0880) 的全忠实性由应用于凝聚层 \(\mathcal{H}\) 的形式函数定理（引理 087U）推出。

引理

设 \(A\) 为 Noether 环，\(I \subset A\) 为理想。设 \(f : X \to \Spec(A)\) 为固有态射，并设 \(\mathcal{L}\) 为 \(f\)-丰沛可逆层。令 \(\mathcal{I} = I\mathcal{O}_X\)。设 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 的对象。则存在整数 \(d_0\)，使得 \[H^1(X, \Ker(\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n) \otimes \mathcal{L}^{\otimes d} ) = 0\] 对所有 \(n \geq 0\) 及所有 \(d \geq d_0\) 成立。

证明

令 \(B = \bigoplus I^n/I^{n + 1}\)，并令 \(\mathcal{B} = \bigoplus \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1} = f^*\widetilde{B}\)。由引理 087Z，分次准凝聚 \(\mathcal{B}\)-模 \(\mathcal{G} = \bigoplus \Ker(\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n)\) 是有限型的。故本引理由引理 0897 的 (2) 推出。

引理

设 \(A\) 为关于理想 \(I\) 完备的 Noether 环。设 \(f : X \to \Spec(A)\) 为射影态射，并令 \(\mathcal{I} = I\mathcal{O}_X\)。则函子 (0880) 是等价。

证明

(0880) 是全忠实的；这已在引理 0883 中看到。因此只须证明该函子本质满射。

先证明每个对象 \((\mathcal{F}_n)\)（属于 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)）都是函子 (0880) 之像中某个对象的商。设 \(\mathcal{L}\) 为 \(f\)-丰沛可逆层（在 \(X\) 上）。按引理 0884 选取 \(d_0\)。选取 \(d \geq d_0\)，使得 \(\mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{L}^{\otimes d}\) 由某些整体截面 \(s_{1, 1}, \ldots, s_{t, 1}\) 生成。由于系统的转移映射 \[H^0(X, \mathcal{F}_{n + 1} \otimes \mathcal{L}^{\otimes d}) \longrightarrow H^0(X, \mathcal{F}_n \otimes \mathcal{L}^{\otimes d})\] 因 \(H^1\) 的消失而成为满射，可以把 \(s_{1, 1}, \ldots, s_{t, 1}\) 提升为相容整体截面系 \(s_{1, n}, \ldots, s_{t, n}\)；这些是 \(\mathcal{F}_n \otimes \mathcal{L}^{\otimes d}\) 的截面。它们确定相容映射系 \[(s_{1, n}, \ldots, s_{t, n}) : (\mathcal{L}^{\otimes -d})^{\oplus t} \longrightarrow \mathcal{F}_n\] 由引理 087Y，得到所需的满射 \[\left((\mathcal{L}^{\otimes -d})^{\oplus t}\right)^\wedge \longrightarrow (\mathcal{F}_n)\]

上一段的结论以及 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 是阿贝尔范畴这一事实（引理 087X）蕴含： \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 的每个对象，都是来自 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) 的两个对象之间某个映射的余核。由于 (0880) 全忠实且正合（引理 0883 与 0881），结论成立。

Grothendieck 存在定理（二）

本节讨论固有情形下的 Grothendieck 存在定理。在给出其陈述与证明前，还需要进一步发展第 0EHN 节引入的凝聚形式模范畴 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 的一些理论。

注

设 \(X\) 为 Noether 概形，并设 \(\mathcal{I}, \mathcal{K} \subset \mathcal{O}_X\) 为准凝聚理想层。设 \(\alpha : (\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{G}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 的态射。给定仿射开集 \(\Spec(A) = U \subset X\)，其中 \(\mathcal{I}|_U, \mathcal{K}|_U\) 对应于理想 \(I, K \subset A\)，以 \(\alpha_U : M \to N\) 表示有限 \(A^\wedge\)-模之间的映射，它经由引理 087W 对应于 \(\alpha|_U\)。我们断言下列条件等价：

存在整数 \(t \geq 1\)，使得 \(\Ker(\alpha_n)\) 与 \(\Coker(\alpha_n)\) 被 \(\mathcal{K}^t\) 零化，这对所有 \(n \geq 1\) 成立；

对任意上述仿射开集 \(\Spec(A) = U \subset X\)，模 \(\Ker(\alpha_U)\) 与 \(\Coker(\alpha_U)\) 被某个 \(K^t\) 零化，其中 \(t \geq 1\) 为某个整数；并且

存在有限仿射开覆盖 \(X = \bigcup U_i\)，使得 (2) 的结论对 \(\alpha_{U_i}\) 成立。

若这些等价条件成立，就称 \(\alpha\) 为 核与余核被 \(\mathcal{K}\) 的某个幂零化的映射。为看出其等价性，使用如下交换代数事实：假设给定 \(A\)-模的正合列 \[0 \to T \to M \to N \to Q \to 0\] 其中 \(T\) 与 \(Q\) 被 \(K^t\) 零化，这里 \(K \subset A\) 为某个理想。则对每个 \(f, g \in K^t\)，存在典范映射 \("fg": N \to M\)，使得 \(M \to N \to M\) 等于乘以 \(fg\)。事实上，对 \(y \in N\)，可以选取 \(x \in M\)，其像为 \(fy\)（在 \(N\) 中），再令 \("fg"(y) = gx\)。由此显然可见， \(\Ker(M/JM \to N/JN)\) 与 \(\Coker(M/JM \to N/JN)\) 均被 \(K^{2t}\) 零化，这对任意理想 \(J \subset A\) 成立。

把该交换代数事实应用于 \(\alpha_{U_i}\) 与 \(J = I^n\)，可见 (3) 蕴含 (1)。反之，假设 (1) 成立且 \(M \to N\) 等于 \(\alpha_U\)。则存在 \(t \geq 1\)，使得 \(\Ker(M/I^nM \to N/I^nN)\) 与 \(\Coker(M/I^nM \to N/I^nN)\) 被 \(K^t\) 零化，这对所有 \(n\) 成立。得到映射 \("fg" : N/I^nN \to M/I^nM\)，它们在极限中诱导映射 \(N \to M\)；这里 \(N\) 与 \(M\) 都是 \(I\)-进完备的。因为与 \(N \to M \to N\) 的复合是乘以 \(fg\)，可知 \(fg\) 零化 \(T\) 与 \(Q\)。换言之，\(T\) 与 \(Q\) 如所需地被 \(K^{2t}\) 零化。

引理

设 \(X\) 为 Noether 概形。设 \(\mathcal{I}, \mathcal{K} \subset \mathcal{O}_X\) 为准凝聚理想层。设 \(X_e \subset X\) 为由 \(\mathcal{K}^e\) 截出的闭子概形。令 \(\mathcal{I}_e = \mathcal{I}\mathcal{O}_{X_e}\)。设 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 的对象。假设：

函子 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_{X_e}) \to \textit{Coh}(X_e, \mathcal{I}_e)\) 对所有 \(e \geq 1\) 都是等价；并且

存在凝聚层 \(\mathcal{H}\)（在 \(X\) 上）及映射 \(\alpha : (\mathcal{F}_n) \to \mathcal{H}^\wedge\)，其核与余核被 \(\mathcal{K}\) 的某个幂零化。

则 \((\mathcal{F}_n)\) 在 (0880) 的本质像中。

证明

在本证明中，将不再特别说明地使用如下事实：对闭浸入 \(i : Z \to X\)，函子 \(i_*\) 在 \(Z\) 上凝聚模范畴与 \(X\) 上被 \(Z\) 的理想层零化的凝聚模范畴之间给出等价；参见引理 087T。特别地，可以把 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_{X_e})\) 等同于凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模范畴（其中对象被 \(\mathcal{K}^e\) 零化），并把 \(\textit{Coh}(X_e, \mathcal{I}_e)\) 等同于 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 中由被 \(\mathcal{K}^e\) 零化的对象组成的满子范畴。而且，(1) 告诉我们，这两个范畴在完备化函子 (0880) 下等价。

应用该等价，得到凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{G}_e\)，它被 \(\mathcal{K}^e\) 零化，并对应于系统 \((\mathcal{F}_n/\mathcal{K}^e\mathcal{F}_n)\)；该系统属于 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\)。映射 \(\mathcal{F}_n/\mathcal{K}^{e + 1}\mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_n/\mathcal{K}^e\mathcal{F}_n\) 对应于典范映射 \(\mathcal{G}_{e + 1} \to \mathcal{G}_e\)，它们诱导同构 \(\mathcal{G}_{e + 1}/\mathcal{K}^e\mathcal{G}_{e + 1} \to \mathcal{G}_e\)。故 \((\mathcal{G}_e)\) 是 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{K})\) 的对象。映射 \(\alpha\) 诱导映射系 \[\mathcal{F}_n/\mathcal{K}^e\mathcal{F}_n \longrightarrow \mathcal{H}/(\mathcal{I}^n + \mathcal{K}^e)\mathcal{H}\] 从而得到映射 \(\mathcal{G}_e \to \mathcal{H}/\mathcal{K}^e\mathcal{H}\) （再次使用范畴等价）。由假设 (2)，存在整数 \(t \geq 1\)，使得 \(\mathcal{K}^t\) 零化所有映射 \(\mathcal{F}_n \to \mathcal{H}/\mathcal{I}^n\mathcal{H}\) 的核与余核。于是，\(\mathcal{K}^{2t}\) 零化映射 \(\mathcal{F}_n/\mathcal{K}^e\mathcal{F}_n \to \mathcal{H}/(\mathcal{I}^n + \mathcal{K}^e)\mathcal{H}\) 的核与余核；参见评注 0888。继而可知 \(\mathcal{K}^{4t}\) 零化下列映射的核与余核： \[\mathcal{G}_e \longrightarrow \mathcal{H}/\mathcal{K}^e\mathcal{H},\] 参见评注 0888。应用引理 0889，得到凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)、映射 \(a : \mathcal{F} \to \mathcal{H}\)，以及同构 \(\beta : (\mathcal{G}_e) \to (\mathcal{F}/\mathcal{K}^e\mathcal{F})\) （在 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{K})\) 中）。反向追溯，对给定的 \(n\)，三元组 \((\mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}, a \bmod \mathcal{I}^n, \beta \bmod \mathcal{I}^n)\) 是该引理中对应于态射 \(\alpha_n \bmod \mathcal{K}^e : (\mathcal{F}_n/\mathcal{K}^e\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{H}/(\mathcal{I}^n + \mathcal{K}^e)\mathcal{H})\) （作为 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{K})\) 的态射）的三元组。因此，引理 0889 的唯一性给出典范同构 \(\mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F} \to \mathcal{F}_n\)，并与涉及的所有态射相容。这就完成了引理的证明。

引理

设 \(Y\) 为 Noether 概形。设 \(\mathcal{J}, \mathcal{K} \subset \mathcal{O}_Y\) 为准凝聚理想层。设 \(f : X \to Y\) 为固有态射，并且它在 \(V = Y \setminus V(\mathcal{K})\) 上为同构。令 \(\mathcal{I} = f^{-1}\mathcal{J} \mathcal{O}_X\)。设 \((\mathcal{G}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(Y, \mathcal{J})\) 的对象， \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，并设 \(\beta : (f^*\mathcal{G}_n) \to \mathcal{F}^\wedge\) 为 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 中的同构。则存在映射 \[\alpha : (\mathcal{G}_n) \longrightarrow (f_*\mathcal{F})^\wedge\] （在 \(\textit{Coh}(Y, \mathcal{J})\) 中），其核与余核被 \(\mathcal{K}\) 的某个幂零化。

证明

由于 \(f\) 是固有态射，可知 \(f_*\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模（命题 02O5）。故引理的陈述有意义。考虑复合映射 \[\gamma_n : \mathcal{G}_n \to f_*f^*\mathcal{G}_n \to f_*(\mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}).\] 这里第一个映射是伴随映射，第二个是 \(f_*\beta_n\)。我们断言：存在唯一的引理中所述 \(\alpha\)，使得复合映射 \[\mathcal{G}_n \xrightarrow{\alpha_n} f_*\mathcal{F}/\mathcal{J}^nf_*\mathcal{F} \to f_*(\mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F})\] 都等于 \(\gamma_n\)，这对所有 \(n\) 成立。由于唯一性，可以假设 \(Y = \Spec(B)\) 仿射。令 \(J \subset B\) 为与理想层 \(\mathcal{J}\) 对应的理想。令 \[M_n = H^0(X, \mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}) \quad\text{且}\quad M = H^0(X, \mathcal{F})\] 由引理 02OB 与定理 02OC，诸模 \(M_n\) 的逆极限等于完备化 \(M^\wedge = \lim M/J^nM\)。令 \(N_n = H^0(Y, \mathcal{G}_n)\) 且 \(N = \lim N_n\)。经由引理 087W 的范畴等价，有限 \(B^\wedge\)-模 \(N\) 与 \(M^\wedge\) 分别对应于 \((\mathcal{G}_n)\) 与 \(f_*\mathcal{F}^\wedge\)。由此，\(\alpha\) 必须是 \(\textit{Coh}(Y, \mathcal{J})\) 的态射，它对应于同态 \[\lim \gamma_n : N = \lim_n N_n \longrightarrow \lim M_n = M^\wedge\] （在有限 \(B^\wedge\)-模之间）。

还须证明 \(\alpha\) 的核与余核被 \(\mathcal{K}\) 的某个幂零化。令 \(Y' = \Spec(B^\wedge)\)，并令 \(X' = Y' \times_Y X\)。令 \(\mathcal{K}'\)、\(\mathcal{J}'\)、\(\mathcal{G}'_n\) 以及 \(\mathcal{I}'\)、\(\mathcal{F}'\) 分别为 \(\mathcal{K}\)、\(\mathcal{J}\)、 \(\mathcal{G}_n\) 以及 \(\mathcal{I}\)、\(\mathcal{F}\) 到 \(Y'\) 与 \(X'\) 的拉回。投影态射 \(f' : X' \to Y'\) 是 \(f\) 沿 \(Y' \to Y\) 的基变换。注意 \(Y' \to Y\) 是平坦概形态射，因为由《代数》引理 00MB， \(B \to B^\wedge\) 平坦。因此，由引理 02KH，\(f'_*\mathcal{F}'\) 以及 \(f'_*(f')^*\mathcal{G}_n'\) 分别是 \(f_*\mathcal{F}\) 以及 \(f_*f^*\mathcal{G}_n\) 到 \(Y'\) 的拉回。构造的唯一性表明，\(\alpha\) 到 \(Y'\) 的拉回就是对应映射 \(\alpha'\)，它为 \(Y'\) 上情形构造。而且，为检验 \(\alpha\) 的核与余核被 \(\mathcal{K}^t\) 零化，只须检验 \(\alpha'\) 的核与余核被 \((\mathcal{K}')^t\) 零化。确实，为此须检验映射 \(\alpha_n\) 与 \(\alpha'_n\) 的核与余核（见评注 0888），而环同态 \(B \to B^\wedge\) 在被 \(J^n\) 与被 \((J')^n\) 零化的模之间诱导范畴等价；参见《代数进阶》引理 05EC。故可以假设 \(B\) 关于 \(J\) 完备。

假设 \(Y = \Spec(B)\) 仿射，\(\mathcal{J}\) 对应于理想 \(J \subset B\)，且 \(B\) 关于 \(J\) 完备。在这种情形下，\((\mathcal{G}_n)\) 位于函子 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_Y) \to \textit{Coh}(Y, \mathcal{J})\) 的本质像中。设 \(\mathcal{G}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模，满足 \((\mathcal{G}_n) = \mathcal{G}^\wedge\)。注意 \(f^*(\mathcal{G}^\wedge) = (f^*\mathcal{G})^\wedge\)。因此，引理 0883 告诉我们，\(\beta\) 来自同构 \(b : f^*\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)，且 \(\alpha\) 是把完备化函子应用于下列映射所得的态射： \[\mathcal{G} \to f_*f^*\mathcal{G} \cong f_*\mathcal{F}\] 故要验证伴随映射 \(c : \mathcal{G} \to f_*f^*\mathcal{G}\) 的核与余核被 \(\mathcal{K}\) 的某个幂零化。然而，由于限制 \(f|_{f^{-1}(V)} : f^{-1}(V) \to V\) 是同构，可知 \(c|_V\) 是同构。因此，凝聚层 \(\Ker(c)\) 与 \(\Coker(c)\) 支撑在 \(V(\mathcal{K})\) 上，故被 \(\mathcal{K}\) 的某个幂零化（引理 01Y9），如所需。

下述命题是实践中最常用的 Grothendieck 存在定理形式。

命题

设 \(A\) 为关于理想 \(I\) 完备的 Noether 环。设 \(f : X \to \Spec(A)\) 为固有概形态射。令 \(\mathcal{I} = I\mathcal{O}_X\)。则函子 (0880) 是等价。

证明

已经看到，函子 (0880) 是全忠实的；见引理 0883。因此只须证明该函子本质满射。

考虑集合 \(\Xi\)，其元素是准凝聚理想层 \(\mathcal{K} \subset \mathcal{O}_X\)，且满足：每个对象 \((\mathcal{F}_n)\)（被 \(\mathcal{K}\) 零化）均位于本质像中。要证明 \((0)\) 属于 \(\Xi\)。若不然，由于 \(X\) 是 Noether 概形，存在极大准凝聚理想层 \(\mathcal{K}\)，它不属于 \(\Xi\)；参见引理 01Y8。将 \(X\) 替换为 \(X\) 中与 \(\mathcal{K}\) 对应的闭子概形后，可以假设每个非零 \(\mathcal{K}\) 均属于 \(\Xi\)。（这里使用了被 \(\mathcal{K}\) 零化的凝聚模与 \(\mathcal{K}\) 所对应闭子概形上的凝聚模之间的对应；参见引理 087T。）设 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 的对象。将证明该对象位于函子 (0880) 的本质像中，从而完成命题的证明。

应用 Chow 引理（引理 0200），得到固有满射 \(f : X' \to X\)，它在稠密开集 \(U \subset X\) 上为同构，且 \(X'\) 在 \(A\) 上射影。设 \(\mathcal{K}\) 为截出约化补集 \(X \setminus U\) 的准凝聚理想层。由射影情形的 Grothendieck 存在定理（引理 0885），存在凝聚模 \(\mathcal{F}'\)（在 \(X'\) 上），使得 \((\mathcal{F}')^\wedge \cong (f^*\mathcal{F}_n)\)。由命题 02O5， \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{H} = f_*\mathcal{F}'\) 凝聚；由引理 088B，存在态射 \((\mathcal{F}_n) \to \mathcal{H}^\wedge\) （在 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 中），其核与余核被 \(\mathcal{K}\) 的某个幂零化。诸幂 \(\mathcal{K}^e\) 都属于 \(\Xi\)，因而 (0880) 对闭子概形 \(X_e = V(\mathcal{K}^e)\) 是等价。最后应用引理 088A 即得结论。

在基底上为固有

本节很短，只是指出在基底上固有的闭子集，以及支撑在基底上固有的有限型准凝聚模所具有的一些有用性质。

引理

设 \(f : X \to S\) 为局部有限型概形态射，并设 \(Z \subset X\) 为闭子集。下列条件等价：

态射 \(Z \to S\) 在赋予 \(Z\) 诱导的约化闭子概形结构时固有（《概形》定义 01J4）；

对 \(Z\) 的某个闭子概形结构，态射 \(Z \to S\) 固有；

对 \(Z\) 的任意闭子概形结构，态射 \(Z \to S\) 固有。

证明

(3) \(\Rightarrow\) (1) 与 (1) \(\Rightarrow\) (2) 都是立即的，故只须证明 (2) 蕴含 (3)。我们建议读者自行找出这个事实的证明。设 \(Z'\) 与 \(Z''\) 是 \(Z\) 上的闭子概形结构，且 \(Z' \to S\) 固有。须证明 \(Z'' \to S\) 固有。令 \(Z''' = Z' \cup Z''\) 为概形论并；参见《态射》定义 0C4H。则 \(Z'''\) 是 \(Z\) 上的另一个闭子概形结构。例如，这可由《态射》引理 0C4J 对概形论并的描述推出。由于 \(Z'' \to Z'''\) 是闭浸入，只须证明 \(Z''' \to S\) 固有（见《态射》引理 01W5 与 01W3）。态射 \(Z' \to Z'''\) 是双射闭浸入，特别地，它满且万有闭。于是，\(Z' \to S\) 分离蕴含 \(Z''' \to S\) 分离；见《态射》引理 09MQ。此外，\(Z''' \to S\) 局部有限型，因为 \(X \to S\) 局部有限型（《态射》引理 01T5 与 01T3）。由于 \(Z' \to S\) 拟紧，且 \(Z' \to Z'''\) 是同胚，可知 \(Z''' \to S\) 拟紧。最后，由于 \(Z' \to S\) 万有闭，《态射》引理 03GN 表明 \(Z''' \to S\) 也万有闭。这就完成了证明。

定义

设 \(f : X \to S\) 为局部有限型概形态射，并设 \(Z \subset X\) 为闭子集。若引理 0CYL 的等价条件成立，则称\(Z\) 在 \(S\) 上固有。

如果态射 \(f : X \to S\) 不是局部有限型的，则上述定义所用的引理不成立。因此，当 \(f\) 不是局部有限型时，我们建议读者不要使用这一术语。

引理

设 \(f : X \to S\) 为局部有限型概形态射，并设 \(Y \subset Z \subset X\) 为闭子集。若 \(Z\) 在 \(S\) 上固有，则 \(Y\) 也具有同一性质。

证明

略。

引理

考虑概形的笛卡尔图 \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] 其中 \(f\) 局部有限型。若 \(Z\) 是 \(X\) 的闭子集并在 \(S\) 上固有，则 \((g')^{-1}(Z)\) 是 \(X'\) 的闭子集并在 \(S'\) 上固有。

证明

由《态射》引理 01T4， \(f'\) 局部有限型，故陈述有意义。赋予 \(Z\) 诱导的约化闭子概形结构。以 \(Z' = (g')^{-1}(Z)\) 表示概形论逆像（《概形》定义 01JV）。则 \(Z' = X' \times_X Z = (S' \times_S X) \times_X Z = S' \times_S Z\) 在 \(S'\) 上固有，因为它是 \(Z\)（在 \(S\) 上）的基变换（《态射》引理 01W4）。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \(f : X \to Y\) 为两个在 \(S\) 上局部有限型的概形之间的态射。

若 \(Y\) 在 \(S\) 上分离，且 \(Z \subset X\) 是在 \(S\) 上固有的闭子集，则 \(f(Z)\) 是 \(Y\) 的闭子集并在 \(S\) 上固有。

若 \(f\) 万有闭，且 \(Z \subset X\) 是在 \(S\) 上固有的闭子集，则 \(f(Z)\) 是 \(Y\) 的闭子集并在 \(S\) 上固有。

若 \(f\) 固有，且 \(Z \subset Y\) 是在 \(S\) 上固有的闭子集，则 \(f^{-1}(Z)\) 是 \(X\) 的闭子集并在 \(S\) 上固有。

证明

证明 (1)。假设 \(Y\) 在 \(S\) 上分离，且 \(Z \subset X\) 是一个在 \(S\) 上固有的闭子集。赋予 \(Z\) 诱导的约化闭子概形结构，并把《态射》引理 0AH6 应用于态射 \(Z \to Y\)（在 \(S\) 上），即得结论。

证明 (2)。假设 \(f\) 万有闭，且 \(Z \subset X\) 是在 \(S\) 上固有的闭子集。赋予 \(Z\) 与 \(Z' = f(Z)\) 各自诱导的约化闭子概形结构，从而得到诱导态射 \(Z \to Z'\)。以 \(Z'' = f^{-1}(Z')\) 表示概形论逆像（《概形》定义 01JV）。则 \(Z'' \to Z'\) 作为 \(f\) 的基变换是万有闭的（《态射》引理 01W4）。于是，\(Z \to Z'\) 作为闭浸入 \(Z \to Z''\) 与 \(Z'' \to Z'\) 的复合也是万有闭的（《态射》引理 01W5 与 01W3）。由《态射》引理 09MQ， \(Z' \to S\) 分离。由于 \(Z \to S\) 拟紧且 \(Z \to Z'\) 满，可知 \(Z' \to S\) 拟紧。由于 \(Z' \to S\) 是 \(Z' \to Y\) 与 \(Y \to S\) 的复合，可知 \(Z' \to S\) 局部有限型（《态射》引理 01T5 与 01T3）。最后，由于 \(Z \to S\) 万有闭，《态射》引理 03GN 表明 \(Z' \to S\) 也万有闭。这就完成了证明。

证明 (3)。假设 \(f\) 固有，且 \(Z \subset Y\) 是在 \(S\) 上固有的闭子集。赋予 \(Z\) 诱导的约化闭子概形结构。以 \(Z' = f^{-1}(Z)\) 表示概形论逆像（《概形》定义 01JV）。则 \(Z' \to Z\) 作为 \(f\) 的基变换是固有的（《态射》引理 01W4）。因此，\(Z' \to S\) 作为 \(Z' \to Z\) 与 \(Z \to S\) 的复合是固有的（《态射》引理 01W3）。这就完成了证明。

引理

设 \(f : X \to S\) 为局部有限型概形态射。设 \(Z_i \subset X\)（\(i = 1, \ldots, n\)）为闭子集。若 \(Z_i\)（\(i = 1, \ldots, n\)）都在 \(S\) 上固有，则 \(Z_1 \cup \ldots \cup Z_n\) 也具有同一性质。

证明

赋予 \(Z_i\) 各自诱导的约化闭子概形结构。态射 \[Z_1 \amalg \ldots \amalg Z_n \longrightarrow X\] 由《态射》引理 035C 与 0CYI 是有限的。由于有限态射万有闭（《态射》引理 01WN），并且 \(Z_1 \amalg \ldots \amalg Z_n\) 在 \(S\) 上固有，由引理 0CYQ 的 (2) 可知其像 \(Z_1 \cup \ldots \cup Z_n\) 在 \(S\) 上固有。

设 \(f : X \to S\) 为局部有限型概形态射，并设 \(\mathcal{F}\) 为有限型准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则支撑 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)（即 \(\mathcal{F}\) 的支撑）是 \(X\) 的闭子集；见《态射》引理 056J。因此，说 “\(\mathcal{F}\) 的支撑在 \(S\) 上固有”是有意义的。

引理

设 \(f : X \to S\) 为局部有限型概形态射，并设 \(\mathcal{F}\) 为有限型准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。下列条件等价：

\(\mathcal{F}\) 的支撑在 \(S\) 上固有；

\(\mathcal{F}\) 的概形论支撑（《态射》定义 05JV）在 \(S\) 上固有；

存在闭子概形 \(Z \subset X\) 及有限型准凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模 \(\mathcal{G}\)，使得 (a) \(Z \to S\) 固有，且 (b) \((Z \to X)_*\mathcal{G} = \mathcal{F}\)。

证明

\(\text{Supp}(\mathcal{F})\)（即 \(\mathcal{F}\) 的支撑）是 \(X\) 的闭子集；见《态射》引理 056J。故可应用定义 0CYM。由于 \(\mathcal{F}\) 的概形论支撑是一个闭子概形，其底层闭子集为 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)，定义 0CYM 表明 (1) 与 (2) 等价。(2) 蕴含 (3) 是清楚的。反之，若 (3) 成立，则 \(\text{Supp}(\mathcal{F}) \subset Z\) （这是 \(X\) 的闭子集之间的包含），因而例如由引理 0CYN， \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) 在 \(S\) 上固有。

引理

考虑概形的笛卡尔图 \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] 其中 \(f\) 局部有限型。设 \(\mathcal{F}\) 为有限型准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。若 \(\mathcal{F}\) 的支撑在 \(S\) 上固有，则 \((g')^*\mathcal{F}\) 的支撑在 \(S'\) 上固有。

证明

陈述有意义，因为由《模》引理 01B6， \((g')*\mathcal{F}\) 是有限型的。由《态射》引理 056J，有 \(\text{Supp}((g')^*\mathcal{F}) = (g')^{-1}(\text{Supp}(\mathcal{F}))\)。故本引理由引理 0CYP 推出。

引理

设 \(f : X \to S\) 为局部有限型概形态射。设 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 为有限型准凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。

若 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 的支撑都在 \(S\) 上固有，则 \(\mathcal{F} \oplus \mathcal{G}\)、\(\mathcal{G}\) 被 \(\mathcal{F}\) 的任意扩张、\(\Im(u)\) 与 \(\Coker(u)\) （这里所取的是任意 \(\mathcal{O}_X\)-模映射 \(u : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)），以及 \(\mathcal{F}\) 或 \(\mathcal{G}\) 的任意准凝聚商也具有同一性质。

若 \(S\) 局部 Noether，则凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模中支撑在 \(S\) 上固有者所成范畴，是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模所成阿贝尔范畴的 Serre 子范畴（《同调》定义 02MO）。

证明

证明 (1)。设 \(Z\)、\(Z'\) 分别为 \(\mathcal{F}\) 与 \(\mathcal{G}\) 的支撑。则 (1) 中提到的所有层，其支撑都包含于 \(Z \cup Z'\)。只要检验这些层为有限型且准凝聚，引理 0CYN 与 0CYR 便表明断言成立。关于准凝聚性，参见《概形》第 01LA 节。关于“有限型”，建议读者参阅《模》第 01B4 节。

证明 (2)。证明与 (1) 的证明相同。注意这些断言有意义：由《态射》引理 01T6， \(X\) 局部 Noether；还要使用第 01XY 节对凝聚模范畴的描述。

引理

设 \(S\) 为局部 Noether 概形。设 \(f : X \to S\) 为局部有限型概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，其支撑在 \(S\) 上固有。则 \(R^pf_*\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-模，这对所有 \(p \geq 0\) 成立。

证明

由引理 0CYS，存在闭浸入 \(i : Z \to X\) 及有限型准凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模 \(\mathcal{G}\)，使得 (a) \(g = f \circ i : Z \to S\) 固有，且 (b) \(i_*\mathcal{G} = \mathcal{F}\)。由命题 02O5， \(R^pg_*\mathcal{G}\) 在 \(S\) 上凝聚。另一方面， \(R^qi_*\mathcal{G} = 0\) 对 \(q > 0\) 成立（引理 01Y6）。由《上同调》引理 01F6， \(R^pf_*\mathcal{F} = R^pg_*\mathcal{G}\)，故结论成立。

引理

设 \(S\) 为 Noether 概形，\(f : X \to S\) 为有限型态射，并设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为准凝聚理想层。下列范畴是 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 的 Serre 子范畴：

\(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 的满子范畴，其中的对象 \((\mathcal{F}_n)\) 满足 \(\mathcal{F}_1\) 的支撑在 \(S\) 上固有；

\(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 的满子范畴，其中的对象 \((\mathcal{F}_n)\) 满足：存在闭子概形 \(Z \subset X\)，它在 \(S\) 上固有，并且 \(\mathcal{I}_Z \mathcal{F}_n = 0\) 对所有 \(n \geq 1\) 成立。

证明

将使用《同调》引理 02MP 的判据。此外，还将使用如下事实：若 \(0 \to (\mathcal{G}_n) \to (\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{H}_n) \to 0\) 是 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 的短正合列，则 (a) \(\mathcal{G}_n \to \mathcal{F}_n \to \mathcal{H}_n \to 0\) 对所有 \(n \geq 1\) 正合；并且 (b) \(\mathcal{G}_n\) 是 \(\Ker(\mathcal{F}_m \to \mathcal{H}_m)\) 的商，其中某个 \(m \geq n\)。见引理 087X 的证明。

证明 (1)。设 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 的对象。则 \(\text{Supp}(\mathcal{F}_n) = \text{Supp}(\mathcal{F}_1)\) 对所有 \(n \geq 1\) 成立。因此，由上述 (a) 与 (b)，对任意短正合列 \(0 \to (\mathcal{G}_n) \to (\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{H}_n) \to 0\) （在 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 中），都有 \(\text{Supp}(\mathcal{G}_1) \cup \text{Supp}(\mathcal{H}_1) = \text{Supp}(\mathcal{F}_1)\)。这证明 (1) 所定义的范畴是 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 的 Serre 子范畴。

证明 (2)。这里作同样的论证。设 \(0 \to (\mathcal{G}_n) \to (\mathcal{F}_n) \to (\mathcal{H}_n) \to 0\) 为 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 的短正合列。若 \(Z \subset X\) 为闭子概形，且 \(\mathcal{I}_Z\) 零化 \(\mathcal{F}_n\)（对所有 \(n\)），则由上述 (a) 与 (b)， \(\mathcal{I}_Z\) 零化 \(\mathcal{G}_n\) 与 \(\mathcal{H}_n\)（对所有 \(n\)）。因此，若 \(Z \to S\) 固有，便可知 (2) 所定义的范畴在 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 中对取子对象和商对象封闭。最后，设 \(Z \subset X\) 与 \(Y \subset X\) 是在 \(S\) 上固有的闭子概形，并且 \(\mathcal{I}_Z \mathcal{G}_n = 0\) 且 \(\mathcal{I}_Y \mathcal{H}_n = 0\)，这对所有 \(n \geq 1\) 成立。由上述 (a) 可知 \(\mathcal{I}_{Z \cup Y} = \mathcal{I}_Z \cdot \mathcal{I}_Y\) 零化 \(\mathcal{F}_n\)（对所有 \(n\)）。由引理 0CYR （以及定义 0CYM，它表明在该并集上可以任选概形结构），\(Z \cup Y \to S\) 固有，证明完成。

Grothendieck 存在定理（三）

为陈述 Grothendieck 存在定理的一般形式，先引入一些记号。设 \(A\) 为关于理想 \(I\) 完备的 Noether 环。设 \(f : X \to \Spec(A)\) 为分离有限型概形态射，并令 \(\mathcal{I} = I\mathcal{O}_X\)。在此情形下，以 \[\textit{Coh}_{\text{support proper over } A}(\mathcal{O}_X)\] 表示 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) 的满子范畴，其中的对象是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，且其支撑在 \(\Spec(A)\) 上固有。由引理 0CYU，这是 \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) 的 Serre 子范畴。类似地，以 \[\textit{Coh}_{\text{support proper over } A}(X, \mathcal{I})\] 表示 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 的满子范畴，其中的对象 \((\mathcal{F}_n)\) 满足：\(\mathcal{F}_1\) 的支撑在 \(\Spec(A)\) 上固有。由引理 0CYV 的 (1)，这是 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 的 Serre 子范畴。由于商模的支撑包含在原模的支撑中， (0880) 诱导函子 [088D]\[\begin{equation} \textit{Coh}_{\text{support proper over }A}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Coh}_{\text{support proper over }A}(X, \mathcal{I}) \end{equation}\] 现在可以陈述本节的主要定理。

定理

设 \(A\) 为关于理想 \(I\) 完备的 Noether 环。设 \(X\) 为 \(A\) 上分离的有限型概形。则函子 (088D) \[\textit{Coh}_{\text{support proper over }A}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Coh}_{\text{support proper over }A}(X, \mathcal{I})\] 是等价。

证明

将不再特别说明地使用引理 087T 给出的范畴等价。在本证明中，对闭子概形 \(Z \subset X\)（它在 \(A\) 上固有），若 \(X\) 上的凝聚模被 \(Z\) 的理想层零化，或者等价地，它是 \(Z\) 上凝聚模的直像，就称该模“支撑在 \(Z\) 上”。由命题 088C，已知凝聚模与支撑在 \(Z\) 上的凝聚模系统之间的函子具有所述结论。因此，只须证明 \(\textit{Coh}_{\text{support proper over }A}(\mathcal{O}_X)\) 的每个对象以及 \(\textit{Coh}_{\text{support proper over }A}(X, \mathcal{I})\) 的每个对象，都支撑在某个闭子概形 \(Z \subset X\) 上，该子概形在 \(A\) 上固有。对 \(\textit{Coh}_{\text{support proper over }A}(\mathcal{O}_X)\) 的对象，这由定义成立。下面将依照命题 088C 的证明方法，对 \(\textit{Coh}_{\text{support proper over }A}(X, \mathcal{I})\) 的对象证明该断言。建议读者先阅读该命题的证明。

考虑集合 \(\Xi\)，其元素为准凝聚理想层 \(\mathcal{K} \subset \mathcal{O}_X\)，并具有如下性质：对每个对象 \((\mathcal{F}_n)\)（属于 \(\textit{Coh}_{\text{support proper over }A}(X, \mathcal{I})\)）若它被 \(\mathcal{K}\) 零化，上述断言均成立。要证明 \((0)\) 属于 \(\Xi\)。若不然，由于 \(X\) 是 Noether 概形，存在极大准凝聚理想层 \(\mathcal{K}\)，它不属于 \(\Xi\)；见引理 01Y8。将 \(X\) 替换为 \(X\) 中与 \(\mathcal{K}\) 对应的闭子概形后，可以假设每个非零 \(\mathcal{K}\) 均属于 \(\Xi\)。设 \((\mathcal{F}_n)\) 为 \(\textit{Coh}_{\text{support proper over }A}(X, \mathcal{I})\) 的对象。将证明该对象支撑在某个闭子概形 \(Z \subset X\) 上，该子概形在 \(A\) 上固有，从而完成定理的证明。

应用 Chow 引理（引理 0200），得到固有满射 \(f : Y \to X\)，它在稠密开集 \(U \subset X\) 上为同构，且 \(Y\) 在 \(A\) 上 H-拟射影。选取开浸入 \(j : Y \to Y'\)，其中 \(Y'\) 在 \(A\) 上射影；见《态射》引理 01WA。注意 \[\text{Supp}(f^*\mathcal{F}_n) = f^{-1}\text{Supp}(\mathcal{F}_n) = f^{-1}\text{Supp}(\mathcal{F}_1)\] 第一个等式来自《态射》引理 056J。由假设以及引理 0CYQ 的 (3)， \(f^{-1}\text{Supp}(\mathcal{F}_1)\) 在 \(A\) 上固有。因此，由引理 0CYQ 的 (1)， \(f^{-1}\text{Supp}(\mathcal{F}_1)\) 在 \(j\) 下的像是 \(Y'\) 中的闭集。故由引理 0CYJ， \(\mathcal{F}'_n = j_*f^*\mathcal{F}_n\) 在 \(Y'\) 上凝聚。于是 \((\mathcal{F}_n')\) 是 \(\textit{Coh}(Y', I\mathcal{O}_{Y'})\) 的对象。由射影情形的 Grothendieck 存在定理（引理 0885），存在凝聚 \(\mathcal{O}_{Y'}\)-模 \(\mathcal{F}'\) 及同构 \((\mathcal{F}')^\wedge \cong (\mathcal{F}'_n)\) （在 \(\textit{Coh}(Y', I\mathcal{O}_{Y'})\) 中）。由于 \(\mathcal{F}'/I\mathcal{F}' = \mathcal{F}'_1\)，可知 \[\text{Supp}(\mathcal{F}') \cap V(I\mathcal{O}_{Y'}) = \text{Supp}(\mathcal{F}'_1) = j(f^{-1}\text{Supp}(\mathcal{F}_1))\] 结构态射 \(p' : Y' \to \Spec(A)\) 固有，故 \(p'(\text{Supp}(\mathcal{F}') \setminus j(Y))\) 是 \(\Spec(A)\) 中的闭集。\(\Spec(A)\) 的每个非空闭子集都包含 \(V(I)\) 的一点，因为由《代数》引理 05GI，\(I\) 包含于 \(A\) 的 Jacobson 根。上述等式表明 \(\text{Supp}(\mathcal{F}') \cap (p')^{-1}V(I) \subset j(Y)\)，从而 \(\text{Supp}(\mathcal{F}') \subset j(Y)\)。因此，\(\mathcal{F}'|_Y = j^*\mathcal{F}'\) 支撑在某个闭子概形 \(Z'\) 上，该子概形位于 \(Y\) 中且在 \(A\) 上固有，并且 \((\mathcal{F}'|_Y)^\wedge = (f^*\mathcal{F}_n)\)。

设 \(\mathcal{K}\) 为截出约化补集 \(X \setminus U\) 的准凝聚理想层。由命题 02O5， \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{H} = f_*(\mathcal{F}'|_Y)\) 凝聚；由引理 088B，存在态射 \(\alpha : (\mathcal{F}_n) \to \mathcal{H}^\wedge\) （在 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 中），其核与余核被幂 \(\mathcal{K}^t\) 零化，其中该幂来自 \(\mathcal{K}\)。得到正合列 \[0 \to \Ker(\alpha) \to (\mathcal{F}_n) \to \mathcal{H}^\wedge \to \Coker(\alpha) \to 0\] （在 \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) 中）。若 \(Z_0 \subset X\) 是 \(\mathcal{H}\) 的概形论支撑，则在集合意义下， \(Z_0 \subset f(Z')\) 是清楚的。于是，由引理 0CYN 与引理 0CYQ 的 (2)， \(Z_0\) 在 \(A\) 上固有。故 \(\mathcal{H}^\wedge\) 属于引理 0CYV 的 (2) 所定义的子范畴，从而尤其属于 \(\textit{Coh}_{\text{support proper over }A}(X, \mathcal{I})\)。由引理 0CYV 的 (1)，可知 \(\Ker(\alpha)\) 与 \(\Coker(\alpha)\) 属于 \(\textit{Coh}_{\text{support proper over }A}(X, \mathcal{I})\)。由归纳假设，更确切地说，因为 \(\mathcal{K}^t\) 属于 \(\Xi\)， \(\Ker(\alpha)\) 与 \(\Coker(\alpha)\) 属于引理 0CYV 的 (2) 所定义的子范畴。由于按该引理这是 Serre 子范畴，\((\mathcal{F}_n)\) 也属于其中，这正是所要证明的。

注

设 \(A\) 为关于理想 \(I\) 完备的 Noether 环。记 \(S = \Spec(A)\) 与 \(S_n = \Spec(A/I^n)\)。设 \(X \to S\) 为分离有限型态射。对 \(n \geq 1\)，令 \(X_n = X \times_S S_n\)。图示如下： \[\xymatrix{ X_1 \ar[r]_{i_1} \ar[d] & X_2 \ar[r]_{i_2} \ar[d] & X_3 \ar[r] \ar[d] & \ldots & X \ar[d] \\ S_1 \ar[r] & S_2 \ar[r] & S_3 \ar[r] & \ldots & S }\] 在此情形下，考虑系统 \((\mathcal{F}_n, \varphi_n)\)，其中

\(\mathcal{F}_n\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_{X_n}\)-模；

\(\varphi_n : i_n^*\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n\) 是同构；并且

\(\text{Supp}(\mathcal{F}_1)\) 在 \(S_1\) 上固有。

定理 088E 断言，完备化函子 \[\begin{matrix} \text{coherent }\mathcal{O}_X\text{-模 }\mathcal{F} \\ \text{with support proper over }A \end{matrix} \quad \longrightarrow \quad \begin{matrix} \text{systems }(\mathcal{F}_n) \\ \text{如上} \end{matrix}\] 是范畴等价。在 \(X\) 在 \(A\) 上固有这一特殊情形下，可以省略支撑条件。

Grothendieck 代数化定理

第一个结论是用闭子概形和有限态射来表述 Grothendieck 存在定理。

引理

设 \(A\) 为关于理想 \(I\) 完备的 Noether 环。记 \(S = \Spec(A)\) 与 \(S_n = \Spec(A/I^n)\)。设 \(X \to S\) 为分离有限型态射。对 \(n \geq 1\)，令 \(X_n = X \times_S S_n\)。假设给定交换图 \[\xymatrix{ Z_1 \ar[r] \ar[d] & Z_2 \ar[r] \ar[d] & Z_3 \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ X_1 \ar[r]^{i_1} & X_2 \ar[r]^{i_2} & X_3 \ar[r] & \ldots }\] （诸方块均为笛卡尔方块），并假设：

\(Z_1 \to X_1\) 是闭浸入；并且

\(Z_1 \to S_1\) 固有。

则存在概形的闭浸入 \(Z \to X\)，使得 \(Z_n = Z \times_S S_n\)。而且，\(Z\) 在 \(S\) 上固有。

证明

以 \(j_n : Z_n \to X_n\) 表示竖直态射。由于陈述中的方块是笛卡尔的， \(j_n\) 到 \(X_1\) 的基变换就是 \(j_1\)。因此，《态射》引理 0896 表明 \(j_n\) 是闭浸入。令 \(\mathcal{F}_n = j_{n, *}\mathcal{O}_{Z_n}\)，从而 \(j_n^\sharp\) 是满射 \(\mathcal{O}_{X_n} \to \mathcal{F}_n\)。再次利用方块的笛卡尔性可知，\(\mathcal{F}_{n + 1}\) 到 \(X_n\) 的拉回就是 \(\mathcal{F}_n\)。故按评注 088F 中的重新表述， Grothendieck 存在定理告诉我们，存在映射 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\)（在凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模之间），其到 \(X_n\) 的限制恢复 \(\mathcal{O}_{X_n} \to \mathcal{F}_n\)。而且，\(\mathcal{F}\) 的支撑在 \(S\) 上固有。由于完备化函子正合（引理 0881），余核 \(\mathcal{Q}\)（对应于 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\)）具有零完备化。由于 \(\mathcal{F}\) 的支撑在 \(S\) 上固有，\(\mathcal{Q}\) 也如此，这蕴含 \(\mathcal{Q} = 0\)；例如，这是因为 (088D) 按 Grothendieck 存在定理是等价。因此，有 \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_X/\mathcal{J}\)，其中 \(\mathcal{J}\) 是某个准凝聚理想层。令 \(Z = V(\mathcal{J})\) 即完成证明。

在下述引理中，实际上只须假设 \(Y_1 \to X_1\) 有限，因为这将蕴含 \(Y_n \to X_n\) 也有限（见《态射进阶》引理 09ZW）。

引理

设 \(A\) 为关于理想 \(I\) 完备的 Noether 环。记 \(S = \Spec(A)\) 与 \(S_n = \Spec(A/I^n)\)。设 \(X \to S\) 为分离有限型态射。对 \(n \geq 1\)，令 \(X_n = X \times_S S_n\)。假设给定交换图 \[\xymatrix{ Y_1 \ar[r] \ar[d] & Y_2 \ar[r] \ar[d] & Y_3 \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ X_1 \ar[r]^{i_1} & X_2 \ar[r]^{i_2} & X_3 \ar[r] & \ldots }\] （诸方块均为笛卡尔方块），并假设：

\(Y_n \to X_n\) 是有限态射；并且

\(Y_1 \to S_1\) 固有。

则存在概形的有限态射 \(Y \to X\)，使得 \(Y_n = Y \times_S S_n\)。而且，\(Y\) 在 \(S\) 上固有。

证明

以 \(f_n : Y_n \to X_n\) 表示竖直态射。令 \(\mathcal{F}_n = f_{n, *}\mathcal{O}_{Y_n}\)。这是凝聚 \(\mathcal{O}_{X_n}\)-模，因为 \(f_n\) 有限（引理 01Y6）。利用方块的笛卡尔性可知，\(\mathcal{F}_{n + 1}\) 到 \(X_n\) 的拉回就是 \(\mathcal{F}_n\)。故按评注 088F 中的重新表述， Grothendieck 存在定理告诉我们，存在凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，其到 \(X_n\) 的限制恢复 \(\mathcal{F}_n\)。而且，\(\mathcal{F}\) 的支撑在 \(S\) 上固有。由于完备化函子全忠实（定理 088E），诸乘法映射 \(\mathcal{F}_n \otimes_{\mathcal{O}_{X_n}} \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_n\) 相容地给出 \(\mathcal{F}\) 上的代数结构。令 \(Y = \underline{\Spec}_X(\mathcal{F})\) 即完成证明。

引理

设 \(A\) 为关于理想 \(I\) 完备的 Noether 环。记 \(S = \Spec(A)\) 与 \(S_n = \Spec(A/I^n)\)。设 \(X\)、\(Y\) 为 \(S\) 上的概形。对 \(n \geq 1\)，令 \(X_n = X \times_S S_n\) 及 \(Y_n = Y \times_S S_n\)。假设给定相容的交换图系统 \[\xymatrix{ & & X_{n + 1} \ar[rd] \ar[rr]_{g_{n + 1}} & & Y_{n + 1} \ar[ld] \\ X_n \ar[rru] \ar[rd] \ar[rr]_{g_n} & & Y_n \ar[rru] \ar[ld] & S_{n + 1} \\ & S_n \ar[rru] }\] 并假设：

\(X \to S\) 固有；并且

\(Y \to S\) 分离且有限型。

则存在唯一的概形态射 \(g : X \to Y\)（在 \(S\) 上），使得 \(g_n\) 是 \(g\) 到 \(S_n\) 的基变换。

证明

态射 \((1, g_n) : X_n \to X_n \times_S Y_n\) 是闭浸入，因为 \(Y_n \to S_n\) 分离（《概形》引理 01KT）。因此，由引理 0899，存在闭子概形 \(Z \subset X \times_S Y\)，它在 \(S\) 上固有，且到 \(S_n\) 的基变换恢复 \(X_n \subset X_n \times_S Y_n\)。第一投影 \(p : Z \to X\) 是固有态射（因为 \(Z\) 在 \(S\) 上固有；见《态射》引理 01W6），其到 \(S_n\) 的基变换是同构，这对所有 \(n\) 成立。特别地，由引理 02OH， \(p : Z \to X\) 在 \(X_0\) 的某个开邻域上有限。由于 \(X\) 在 \(S\) 上固有，该开邻域就是整个 \(X\)，从而 \(p : Z \to X\) 有限。应用命题 088C 的等价可知 \(p_*\mathcal{O}_Z = \mathcal{O}_X\)，因为模 \(I^n\) 后这一点对所有 \(n\) 成立。因此 \(p\) 是同构，并得到态射 \(g\)，它是复合 \(X \cong Z \to Y\)。唯一性的证明从略。

为了证明“抽象”的代数化定理，必须假设有一个丰沛可逆层；没有这一假设，结论不成立。

定理

设 \(A\) 为关于理想 \(I\) 完备的 Noether 环。令 \(S = \Spec(A)\) 且 \(S_n = \Spec(A/I^n)\)。考虑交换图 \[\xymatrix{ X_1 \ar[r]_{i_1} \ar[d] & X_2 \ar[r]_{i_2} \ar[d] & X_3 \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ S_1 \ar[r] & S_2 \ar[r] & S_3 \ar[r] & \ldots }\] （诸方块均为笛卡尔方块）。假设给定 \((\mathcal{L}_n, \varphi_n)\)，其中每个 \(\mathcal{L}_n\) 都是 \(X_n\) 上的可逆层，并且 \(\varphi_n : i_n^*\mathcal{L}_{n + 1} \to \mathcal{L}_n\) 是同构。若

\(X_1 \to S_1\) 固有；并且

\(\mathcal{L}_1\) 在 \(X_1\) 上丰沛，

则存在概形的固有态射 \(X \to S\)、丰沛可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\)，以及同构 \(X_n \cong X \times_S S_n\) 与 \(\mathcal{L}_n \cong \mathcal{L}|_{X_n}\)，它们与态射 \(i_n\) 和 \(\varphi_n\) 相容。

证明

由于图中的方块是笛卡尔的，且态射 \(S_n \to S_{n + 1}\) 是闭浸入，可知态射 \(i_n\) 也是闭浸入。特别地，可以把 \(X_m\) 看作 \(X_n\) 的闭子概形（当 \(m < n\) 时）。事实上，\(X_m\) 是由准凝聚理想层 \(I^m\mathcal{O}_{X_n}\) 截出的闭子概形。而且，概形 \(X_1, X_2, X_3, \ldots\) 的底层拓扑空间都被等同，故可以（且确实）把层 \(\mathcal{O}_{X_n}\) 看作位于同一个底层拓扑空间上；凝聚 \(\mathcal{O}_{X_n}\)-模亦然。令 \[\mathcal{F}_n = \Ker(\mathcal{O}_{X_{n + 1}} \to \mathcal{O}_{X_n})\] 从而得到短正合列 \[0 \to \mathcal{F}_n \to \mathcal{O}_{X_{n + 1}} \to \mathcal{O}_{X_n} \to 0\] 由上可知 \(\mathcal{F}_n = I^n\mathcal{O}_{X_{n + 1}}\)。于是 \(\mathcal{F}_n\) 是 \(X_{n + 1}\) 上被 \(I\) 零化的凝聚层，故可以（且确实）把它看作凝聚 \(\mathcal{O}_{X_1}\)-模。注意，对 \(m > n\)，层 \[I^n\mathcal{O}_{X_m}/I^{n + 1}\mathcal{O}_{X_m}\] 同构地映到 \(\mathcal{F}_n\)，所用映射为 \(\mathcal{O}_{X_m} \to \mathcal{O}_{X_{n + 1}}\)。因此，给定 \(n_1, n_2 \geq 0\)，可以选取 \(m > n_1 + n_2\) 并考虑乘法映射 \[I^{n_1}\mathcal{O}_{X_m} \times I^{n_2}\mathcal{O}_{X_m} \longrightarrow I^{n_1 + n_2}\mathcal{O}_{X_m} \to \mathcal{F}_{n_1 + n_2}\] 它诱导 \(\mathcal{O}_{X_1}\)-双线性映射 \[\mathcal{F}_{n_1} \times \mathcal{F}_{n_2} \longrightarrow \mathcal{F}_{n_1 + n_2}\] 继而定义分次 \(\mathcal{O}_{X_1}\)-代数结构，其底层分次模为 \(\mathcal{F} = \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{F}_n\)。

令 \(B = \bigoplus I^n/I^{n + 1}\)；这是有限生成分次 \(A/I\)-代数。令 \(\mathcal{B} = (X_1 \to S_1)^*\widetilde{B}\)。上述讨论给出分次 \(\mathcal{O}_{X_1}\)-代数的典范满射 \[\mathcal{B} \longrightarrow \mathcal{F}\] 特别地，\(\mathcal{F}\) 是有限型准凝聚分次 \(\mathcal{B}\)-模。由引理 0897，可找到整数 \(d_0\)，使得 \(H^1(X_1, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes d}) = 0\) 对所有 \(d \geq d_0\) 成立。选取 \(d \geq d_0\)，使得存在截面 \(s_{0, 1}, \ldots, s_{N, 1} \in \Gamma(X_1, \mathcal{L}_1^{\otimes d})\)，它们诱导浸入 \[\psi_1 : X_1 \to \mathbf{P}^N_{S_1}\] （在 \(S_1\) 上）；见《态射》引理 01VT。由于 \(X_1\) 在 \(S_1\) 上固有，可知 \(\psi_1\) 是闭浸入；见《态射》引理 01W6 及《概形》引理 01IQ。将把 \(\psi_1\)“提升”为 \(X_n\) 到 \(\mathbf{P}^N\) 的相容闭浸入系统。

把证明第一段中的短正合列与 \(\mathcal{L}_{n + 1}^{\otimes d}\) 张量，得到短正合列 \[0 \to \mathcal{F}_n \otimes \mathcal{L}_{n + 1}^{\otimes d} \to \mathcal{L}_{n + 1}^{\otimes d} \to \mathcal{L}_{n + 1}^{\otimes d} \to 0\] 使用同构 \(\varphi_n\)，得到同构 \(\mathcal{L}_{n + 1} \otimes \mathcal{O}_{X_l} = \mathcal{L}_l\) （对 \(l \leq n\)）。因此上述序列变为 \[0 \to \mathcal{F}_n \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes d} \to \mathcal{L}_{n + 1}^{\otimes d} \to \mathcal{L}_n^{\otimes d} \to 0\] \(H^1(X, \mathcal{F}_n \otimes \mathcal{L}_1^{\otimes d})\) 的消失使我们能够归纳地把 \(s_{0, 1}, \ldots, s_{N, 1} \in \Gamma(X_1, \mathcal{L}_1^{\otimes d})\) 提升为截面 \(s_{0, n}, \ldots, s_{N, n} \in \Gamma(X_n, \mathcal{L}_n^{\otimes d})\)。从而得到交换图 \[\xymatrix{ X_1 \ar[r]_{i_1} \ar[d]_{\psi_1} & X_2 \ar[r]_{i_2} \ar[d]_{\psi_2} & X_3 \ar[r] \ar[d]_{\psi_3} & \ldots \\ \mathbf{P}^N_{S_1} \ar[r] & \mathbf{P}^N_{S_2} \ar[r] & \mathbf{P}^N_{S_3} \ar[r] & \ldots }\] 其中，按《构造》第 01ND 节的记号， \(\psi_n = \varphi_{(\mathcal{L}_n, (s_{0, n}, \ldots, s_{N, n}))}\)。由于定理陈述中的方块是笛卡尔的，上图中的方块也是笛卡尔的。应用引理 0899 即得结论。

例如，假设 \(i_0 < \ldots < i_p\) 满足 \(i_{\text{fix}} \not \in \{i_0, \ldots, i_p\}\)，并且有 \(i_{a - 1} < i_{\text{fix}} < i_a\)，其中 \(1 \leq a \leq p\)。则 \[\begin{align*} & (dh + hd)(s)_{i_0 \ldots i_p} \\ & = \sum\nolimits_{j = 0}^p (-1)^j h(s)_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p} + (-1)^a d(s)_{i_0 \ldots i_{a - 1} i_{\text{fix}} i_a \ldots i_p}\\ & = \sum\nolimits_{j = 0}^{a - 1} (-1)^{j + a - 1} s_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_{a - 1} i_{\text{fix}} i_a \ldots i_p} + \sum\nolimits_{j = a}^p (-1)^{j + a} s_{i_0 \ldots i_{a - 1} i_{\text{fix}} i_a \ldots \hat i_j \ldots i_p} + \\ & \sum\nolimits_{j = 0}^{a - 1} (-1)^{a + j} s_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_{a - 1} i_{\text{fix}} i_a \ldots i_p} + (-1)^{2a} s_{i_0 \ldots i_p} + \sum\nolimits_{j = a}^p (-1)^{a + j + 1} s_{i_0 \ldots i_{a - 1} i_{\text{fix}} i_a \ldots \hat i_j \ldots i_p} \\ & = s_{i_0 \ldots i_p} \end{align*}\] 如所欲。其他情形类似。↩︎
这是非标准记号。↩︎
为确保无误，\(M^\wedge\) 上的极限拓扑与其 \(I\)-进拓扑相同；这由《代数》引理 05GG 推出。另见《代数进阶》第 07E7 节。↩︎