除幂代数

引言

本章讨论除幂代数及其应用。一本参考书是 [Berthelot]。

除幂

本节汇集除幂环的一些结果。 我们采用约定 \(0! = 1\)（空乘积应当等于 \(1\)）。

定义

设 \(A\) 是环，\(I\) 是 \(A\) 的理想。若一族映射 \(\gamma_n : I \to I\)（\(n > 0\)）对所有 \(n \geq 0\)、\(m > 0\)、 \(x, y \in I\) 和 \(a \in A\) 满足

1. \(\gamma_1(x) = x\)，并约定 \(\gamma_0(x) = 1\)；

2. \(\gamma_n(x)\gamma_m(x) = \frac{(n + m)!}{n! m!} \gamma_{n + m}(x)\),

3. \(\gamma_n(ax) = a^n \gamma_n(x)\),

4. \(\gamma_n(x + y) = \sum_{i = 0, \ldots, n} \gamma_i(x)\gamma_{n - i}(y)\),

5. \(\gamma_n(\gamma_m(x)) = \frac{(nm)!}{n! (m!)^n} \gamma_{nm}(x)\).

则称它为 \(I\) 上的除幂结构。

注意，定义中出现的有理数 \(\frac{(n + m)!}{n! m!}\) 和 \(\frac{(nm)!}{n! (m!)^n}\) 实际上都是整数； 前者是从 \(n + m\) 个对象中选取 \(n\) 个的方式数， 后者是把 \(nm\) 个对象分成 \(n\) 个各含 \(m\) 个对象的组的方式数。 下面关于该定义的若干说明表明，\(\gamma_n(x)\) 在 \(I\) 中代替了 \(x^n/n!\)。

引理

设 \(A\) 是环，\(I\) 是 \(A\) 的理想。

1. 若 \(\gamma\) 是 \(I\) 上的除幂结构¹，则对 \(n \geq 1\)、\(x \in I\) 有 \(n! \gamma_n(x) = x^n\)。

假设 \(A\) 作为 \(\mathbf{Z}\)-模无挠。

1. \(I\) 上的除幂结构若存在，则唯一。

2. 若 \(\gamma_n : I \to I\) 是映射，则 \[\gamma\text{ 是除幂结构} \Leftrightarrow n! \gamma_n(x) = x^n\ \forall x \in I, n \geq 1.\]

3. 理想 \(I\) 具有除幂结构，当且仅当存在 \(I\) 作为理想的一组生成元 \(x_i\)，使得对所有 \(n \geq 1\) 都有 \(x_i^n \in (n!)I\)。

证明

(1) 的证明。 若 \(\gamma\) 是除幂结构，则条件 (2)（把其中的 \(n,m\) 换成 \(1,n-1\)）给出 \(n \gamma_n(x) = \gamma_1(x)\gamma_{n - 1}(x)\)。 因此，由归纳法和条件 (1) 得到 \(n! \gamma_n(x) = x^n\)。

假设 \(A\) 作为 \(\mathbf{Z}\)-模无挠。 (2) 的证明。 这由 (1) 立即得到。

(3) 的证明。 假设对所有 \(x \in I\) 和 \(n \geq 1\) 都有 \(n! \gamma_n(x) = x^n\)。由于 \(A \subset A \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Q}\)，只须在 \(A\) 是 \(\mathbf{Q}\)-代数时证明定义 07GL 的公理 (1)–(5)。 此时 \(\gamma_n(x) = x^n/n!\)，直接验证即可得到 (1)–(5)； 例如，(4) 对应于二项式公式 \[(x + y)^n = \sum_{i = 0, \ldots, n} \frac{n!}{i!(n - i)!} x^iy^{n - i}\] 读者不妨完成这些验证，以确认各系数无误。

(4) 的证明。 假设 \(x_i\) 是 \(I\) 作为理想的一组生成元，并且对所有 \(n \geq 1\) 都有 \(x_i^n \in (n!)I\)。我们断言，对所有 \(x \in I\) 都有 \(x^n \in (n!)I\)。若该断言成立，则可令 \(\gamma_n(x) = x^n/n!\)；由 (3)，这给出一个除幂结构。 为证明该断言，注意它对 \(x = ax_i\) 成立。因此，该断言对 \(I\) 作为阿贝尔群的一组生成元成立。对由这些生成元组成的表达式长度作归纳， 只须证明：若断言对 \(x\) 和 \(y\) 成立，则它对 \(x+y\) 也成立。 这立即由二项式定理得到。

例

设 \(p\) 是素数。设 \(A\) 是环，并且每个不能被 \(p\) 整除的整数 \(n\) 在 \(A\) 中都可逆；也就是说，\(A\) 是 \(\mathbf{Z}_{(p)}\)-代数。 于是 \(I = pA\) 具有典范除幂结构。具体地，对给定的 \(x = pa \in I\)，令 \[\gamma_n(x) = \frac{p^n}{n!} a^n\] 读者可以立即验证，对 \(n \geq 1\) 有 \(p^n/n! \in p\mathbf{Z}_{(p)}\)（例如，这可由下述事实推出： \(n!\) 的素因子分解中 \(p\) 的指数为 \(\left\lfloor n/p \right\rfloor + \left\lfloor n/p^2 \right\rfloor + \left\lfloor n/p^3 \right\rfloor + \ldots\)）。 因此该定义有意义，并给出一列映射 \(\gamma_n : I \to I\)。 直接验证即可看出定义 07GL 的条件 (1)–(5) 均成立。也可以先注意到该定义对 \(A_0 = \mathbf{Z}_{(p)}\) 成立，再由引理 07H1 得到结论。

注意，对 \(A\) 的任意理想 \(I\) 及其上的任意除幂结构 \(\gamma\)， 都有 \(\gamma_n\left(0\right) = 0\)。（这由定义 07GL 的公理 (3) 对 \(a=0\) 的应用得到。）

引理

设 \(A\) 是环，\(I\) 是 \(A\) 的理想，并设 \(\gamma_n : I \to I\)（\(n \geq 1\)）是一列映射。假设

1. 定义 07GL 的 (1)、(3) 和 (4) 对所有 \(x,y\in I\) 成立；

2. 性质 (2) 和 (5) 对 \(I\) 作为理想的某组生成元中的 \(x\) 成立。

则 \(\gamma\) 是 \(I\) 上的除幂结构。

证明

本证明中的编号 (1)、(2)、(3)、(4)、(5) 指定义 07GL 所列的条件。 应用 (3) 可知，若 (2) 和 (5) 对 \(x\) 成立，则它们对所有 \(a\in A\) 的 \(ax\) 也成立。因此，(b) 蕴含 (2) 和 (5) 对 \(I\) 作为阿贝尔群的一组生成元成立。 对由这些生成元组成的表达式长度作归纳，只须证明：若 (2) 和 (5) 对 \(x,y\in I\) 成立，则它们对 \(x+y\) 也成立。

\(x+y\) 的性质 (2)。 由 (4)， \[\gamma_n(x + y)\gamma_m(x + y) = \sum\nolimits_{i + j = n,\ k + l = m} \gamma_i(x)\gamma_k(x)\gamma_j(y)\gamma_l(y)\] 应用 \(x\) 和 \(y\) 的性质 (2)，上式等于 \[\sum \frac{(i + k)!}{i!k!}\frac{(j + l)!}{j!l!} \gamma_{i + k}(x)\gamma_{j + l}(y)\] 将它与展开式 \[\gamma_{n + m}(x + y) = \sum \gamma_a(x)\gamma_b(y)\] 比较可知，只须证明：给定 \(a+b=n+m\)，有 \[\sum\nolimits_{i + k = a,\ j + l = b,\ i + j = n,\ k + l = m} \frac{(i + k)!}{i!k!}\frac{(j + l)!}{j!l!} = \frac{(n + m)!}{n!m!}.\] 不直接证明此式，而是注意到它对多项式环 \(\mathbf{Q}[x,y]\) 中的理想 \(I=(x,y)\) 成立，因为对 \(f\in I\)， \(\gamma_n(f)=f^n/n!\) 定义了 \(I\) 上的除幂结构。 因此，上述有理数恒等式成立。

\(x+y\) 的性质 (5)。 假设 (1)–(4) 成立，并且 (5) 对 \(x\) 和 \(y\) 成立。 我们再次把证明归结为一个有理数恒等式。具体地，应用 (4) 可写成 \(\gamma_n(\gamma_m(x + y)) = \gamma_n(\sum \gamma_i(x)\gamma_j(y))\). 再次应用 (4)，可把 \(\gamma_n(\gamma_m(x+y))\) 写成若干项之和，其中每一项都是形如 \(\gamma_k(\gamma_i(x)\gamma_j(y))\) 的因子的乘积。 若 \(i>0\)，则 \[\begin{align*} \gamma_k(\gamma_i(x)\gamma_j(y)) & = \gamma_j(y)^k\gamma_k(\gamma_i(x)) \\ & = \frac{(ki)!}{k!(i!)^k} \gamma_j(y)^k \gamma_{ki}(x) \\ & = \frac{(ki)!}{k!(i!)^k} \frac{(kj)!}{(j!)^k} \gamma_{ki}(x) \gamma_{kj}(y) \end{align*}\] 其中第一个等号使用 (3)，第二个等号使用 \(x\) 的 (5)，第三个等号 恰好使用 \(k\) 次 (2)。应用 \(y\) 的 (5) 可知，该等式在 \(i=0\) 时同样成立。继续如此应用除 (5) 外的所有公理，可写成 \[\gamma_n(\gamma_m(x + y)) = \sum\nolimits_{i + j = nm} c_{ij}\gamma_i(x)\gamma_j(y)\] 其中 \(c_{ij}\in\mathbf{Z}\) 是某些普适常数。该等式在多项式环 \(\mathbf{Q}[x,y]\) 中成立这一事实再次蕴含所有系数 \(c_{ij}\) 均等于 \((nm)!/n!(m!)^n\)，正如所需。

引理

设 \(A\) 是环，并有两个理想 \(I,J\subset A\)。 设 \(\gamma\) 是 \(I\) 上的除幂结构，\(\delta\) 是 \(J\) 上的除幂结构。则

1. \(\gamma\) 与 \(\delta\) 在 \(IJ\) 上一致；

2. 若 \(\gamma\) 与 \(\delta\) 在 \(I\cap J\) 上一致，则它们是 \(I+J\) 上唯一除幂结构 \(\epsilon\) 的限制。

证明

设 \(x\in I\) 且 \(y\in J\)。则 \[\gamma_n(xy) = y^n\gamma_n(x) = n! \delta_n(y) \gamma_n(x) = \delta_n(y) x^n = \delta_n(xy).\] 因此，\(\gamma\) 与 \(\delta\) 在 \(IJ\) 的一组（加法）生成元上相同。 由定义 07GL 的性质 (4)，它们在整个 \(IJ\) 上相同。

假设 \(\gamma\) 与 \(\delta\) 在 \(I\cap J\) 上一致。 给定 \(z\in I+J\)，将其写成 \(z=x+y\)，其中 \(x\in I\) 且 \(y\in J\)。 对所有 \(n\geq 1\)，令 \[\epsilon_n(z) = \sum \gamma_i(x)\delta_{n - i}(y)\] 为说明它是良定义的，设 \(z=x'+y'\) 是另一种表示，其中 \(x'\in I\) 且 \(y'\in J\)。于是 \(w=x-x'=y'-y\in I\cap J\)。因此 \[\begin{align*} \sum\nolimits_{i + j = n} \gamma_i(x)\delta_j(y) & = \sum\nolimits_{i + j = n} \gamma_i(x' + w)\delta_j(y) \\ & = \sum\nolimits_{i' + l + j = n} \gamma_{i'}(x')\gamma_l(w)\delta_j(y) \\ & = \sum\nolimits_{i' + l + j = n} \gamma_{i'}(x')\delta_l(w)\delta_j(y) \\ & = \sum\nolimits_{i' + j' = n} \gamma_{i'}(x')\delta_{j'}(y + w) \\ & = \sum\nolimits_{i' + j' = n} \gamma_{i'}(x')\delta_{j'}(y') \end{align*}\] 正如所需。因此，我们对所有 \(n\geq 1\) 定义了映射 \(\epsilon_n:I+J\to I+J\)；容易看出 \(\epsilon_n\mid_I=\gamma_n\) 且 \(\epsilon_n\mid_J=\delta_n\)。 下面验证映射族 \(\epsilon_n\) 满足定义 07GL 的条件 (1)–(5)。 性质 (1) 和 (3) 是显然的。为验证 (4)，设 \(z=x+y\)、\(z'=x'+y'\)，其中 \(x,x'\in I\) 且 \(y,y'\in J\)，计算 \[\begin{align*} \epsilon_n(z + z') & = \sum\nolimits_{a + b = n} \gamma_a(x + x')\delta_b(y + y') \\ & = \sum\nolimits_{i + i' + j + j' = n} \gamma_i(x) \gamma_{i'}(x')\delta_j(y)\delta_{j'}(y') \\ & = \sum\nolimits_{k = 0, \ldots, n} \sum\nolimits_{i+j=k} \gamma_i(x)\delta_j(y) \sum\nolimits_{i'+j'=n-k} \gamma_{i'}(x')\delta_{j'}(y') \\ & = \sum\nolimits_{k = 0, \ldots, n}\epsilon_k(z)\epsilon_{n-k}(z') \end{align*}\] 正如所需。现在只须对 \(I\) 或 \(J\) 中的元素证明 (2) 和 (5)， 见引理 07GP。 由于 \(\gamma\) 和 \(\delta\) 都是除幂结构，这一点是显然的。

由此证明了 \(I+J\) 上存在除幂结构 \(\epsilon\)，其在 \(I\) 和 \(J\) 上的限制分别为 \(\gamma\) 和 \(\delta\)；其唯一性也很清楚。

引理

设 \(p\) 是素数，\(A\) 是环，\(I\subset A\) 是理想，并设 \(\gamma\) 是 \(I\) 上的除幂结构。假设 \(p\) 在 \(A/I\) 中幂零。 则 \(I\) 局部幂零，当且仅当 \(p\) 在 \(A\) 中幂零。

证明

若在 \(A\) 中 \(p^N=0\)，则对 \(x\in I\) 有 \(x^{pN}=(pN)!\gamma_{pN}(x)=0\)，因为 \((pN)!\) 可被 \(p^N\) 整除。 反之，假设 \(I\) 局部幂零。我们还假设 \(p\) 在 \(A/I\) 中幂零， 故对某个 \(r\) 有 \(p^r\in I\)；于是 \(p^r\) 幂零，从而 \(p\) 幂零。

除幂环

除幂环构成一个范畴。定义如下。

定义

除幂环是三元组 \((A,I,\gamma)\)，其中 \(A\) 是环， \(I\subset A\) 是理想，而 \(\gamma=(\gamma_n)_{n\geq 1}\) 是 \(I\) 上的除幂结构。 除幂环同态 \(\varphi:(A,I,\gamma)\to(B,J,\delta)\) 是环同态 \(\varphi:A\to B\)，满足 \(\varphi(I)\subset J\)，并且对所有 \(x\in I\) 和 \(n\geq 1\) 都有 \(\delta_n(\varphi(x))=\varphi(\gamma_n(x))\)。

有时我们说“设 \((B,J,\delta)\) 是 \((A,I,\gamma)\) 上的除幂代数”， 意思是 \((B,J,\delta)\) 是一个除幂环，并配备了一个除幂环同态 \((A,I,\gamma)\to(B,J,\delta)\)。

引理

除幂环范畴具有所有极限，并且这些极限与环范畴中的极限一致。

证明

空极限是零环（这有些奇怪，但我们需要如此）。 一族除幂环 \((A_t,I_t,\gamma_t)\)（\(t\in T\)）的积为 \((\prod A_t,\prod I_t,\gamma)\)，其中 \(\gamma_n((x_t))=(\gamma_{t,n}(x_t))\)。 两个同态 \(\alpha,\beta:(A,I,\gamma)\to(B,J,\delta)\) 的等化子就是 \(C=\{a\in A\mid\alpha(a)=\beta(a)\}\)，配备理想 \(C\cap I\) 及其诱导的除幂。由此所有极限都存在，见 《范畴》引理 002N。

下述引理以除幂代数为例说明一种很一般的范畴论现象。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是除幂环范畴，并设 \(F:\mathcal{C}\to\textit{Sets}\) 是函子。假设

1. 存在基数 \(\kappa\)，使得对每个 \(f\in F(A,I,\gamma)\)， 都存在 \(\mathcal{C}\) 中的态射 \((A',I',\gamma')\to(A,I,\gamma)\)，其中 \(|A'|\leq\kappa\)， 并且 \(f\) 是某个 \(f'\in F(A',I',\gamma')\) 的像；

2. \(F\) 与极限交换。

则 \(F\) 可表；也就是说，存在 \(\mathcal{C}\) 的对象 \((B,J,\delta)\)， 使得 \[F(A, I, \gamma) = \Hom_\mathcal{C}((B, J, \delta), (A, I, \gamma))\] 关于 \((A,I,\gamma)\) 函子性地成立。

证明

这是《范畴》引理 0AHN 的一个特殊情形。

引理

除幂环范畴具有所有余极限。

证明

空余极限是带除幂理想 \((0)\) 的 \(\mathbf{Z}\)。 下面讨论一般的余极限。设 \(\mathcal{C}\) 是范畴，并设 \(c\mapsto(A_c,I_c,\gamma_c)\) 是一个图。考虑函子 \[F(B, J, \delta) = \lim_{c \in \mathcal{C}} Hom((A_c, I_c, \gamma_c), (B, J, \delta))\] 注意，任意 \(f=(f_c)_{c\in C}\in F(B,J,\delta)\) 都具有如下性质： 所有像 \(f_c(A_c)\) 生成 \(B\) 的一个基数受 \(\kappa\) 控制的子环 \(B'\)，而所有像 \(f_c(I_c)\) 在 \(B'\) 中生成一个除幂子理想 \(J'\)。 于是 \(f\) 分解为 \(F(B')\) 中的某个 \(f'\)，再复合包含 \(B'\to B\)。此外，\(F\) 与极限交换。因此可以应用引理 07GW，得到 \(F\) 可表，结论成立。

注

设 \[\xymatrix{ (B, J, \delta) \ar[r] & (B'', J'', \delta'') \\ (A, I, \gamma) \ar[r] \ar[u] & (B', J', \delta') \ar[u] }\] 是除幂环范畴中的一个推出（推出由引理 07GX 存在）。则

1. \(B''/J'' = B/J \otimes_{A/I} B'/J'\),

2. 映射 \(\varphi : B \otimes_A B' \to B''\) 是满射；

3. 由 \(\varphi\) 诱导的映射 \(J \otimes_A B' + B \otimes_A J' \to J''\) 是满射。

为证明 (1)，考虑映射 \((B'', J'', \delta'') \to (C, (0), \emptyset)\)，并应用推出的定义。 为证明 (2)，考虑像 \(\tilde B = \varphi(B \otimes_A B')\) 以及理想 \(\tilde J = \varphi(J \otimes_A B' + B \otimes_A J')\)。 由于 \(\delta''\) 与 \(\delta\)、\(\delta'\) 相容，显然对所有 \(n \geq 1\) 都有 \(\delta''_n(\tilde J) \subset \tilde J\)。 因此，由推出的泛性质必有 \(\tilde B = B''\) 且 \(\tilde J = J''\)。

注

忘却函子 \((A, I, \gamma) \mapsto A\) 不与余极限交换。例如，设 \[\xymatrix{ (B, J, \delta) \ar[r] & (B'', J'', \delta'') \\ (A, I, \gamma) \ar[r] \ar[u] & (B', J', \delta') \ar[u] }\] 是评注 0H86 中所讨论的除幂环范畴中的推出。 那么一般而言，映射 \(B \otimes_A B' \to B''\) 不是同构。 一个具体例子如下： \((A, I, \gamma) = (\mathbf{Z}, (0), \emptyset)\), \((B, J, \delta) = (\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}, 2\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}, \delta)\), 以及 \((B', J', \delta') = (\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}, 2\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}, \delta')\) 其中 \(\delta_2(2) = 2\)，而 \(\delta'_2(2) = 0\)。 更准确地说，利用引理 07GS，分别令 \(\delta\)、\(\delta'\) 为 \(J\)、\(J'\) 上唯一的除幂结构，使得 \(\delta_2 : J \to J\)、\(\delta'_2 : J' \to J'\) 分别是映射 \(0 \mapsto 0, 2 \mapsto 2\) 和 \(0 \mapsto 0, 2 \mapsto 0\)。 于是 \((B'', J'', \delta'') = (\mathbf{F}_2, (0), \emptyset)\)， 这与张量积并不一致。

除幂结构的延拓

定义如下。

定义

给定除幂环 \((A, I, \gamma)\) 和环同态 \(A \to B\)，若 \(IB\) 上存在 除幂结构 \(\bar \gamma\)，使得 \((A, I, \gamma) \to (B, IB, \bar\gamma)\) 是除幂环同态， 则称 \(\gamma\) 可延拓到 \(B\)。

引理

设 \((A, I, \gamma)\) 是除幂环，\(A \to B\) 是环同态。 若 \(\gamma\) 可延拓到 \(B\)，则其延拓唯一。 假设下列条件中至少有一个成立：

1. \(IB = 0\),

2. \(I\) 是主理想；

3. \(A \to B\) 是平坦的。

则 \(\gamma\) 可延拓到 \(B\)。

证明

\(IB\) 的任意元素都可写成有限和 \(\sum\nolimits_{i=1}^t b_ix_i\)，其中 \(b_i \in B\)、\(x_i \in I\)。 若 \(\gamma\) 延拓为 \(IB\) 上的 \(\bar\gamma\)，则 \(\bar\gamma_n(x_i) = \gamma_n(x_i)\)。 因此，定义 07GL 中的条件 (3) 和 (4) 蕴含 \[\bar\gamma_n(\sum\nolimits_{i=1}^t b_ix_i) = \sum\nolimits_{n_1 + \ldots + n_t = n} \prod\nolimits_{i = 1}^t b_i^{n_i}\gamma_{n_i}(x_i)\] 由此可见，\(\bar\gamma\) 若存在便是唯一的。

若 \(IB = 0\)，令 \(\bar\gamma_n(0) = 0\) 即可。若 \(I = (x)\)， 则定义 \(\bar\gamma_n(bx) = b^n\gamma_n(x)\)。这是良定义的： 若 \(b'x = bx\)，即 \((b - b')x = 0\)，则 \[\begin{align*} b^n\gamma_n(x) - (b')^n\gamma_n(x) & = (b^n - (b')^n)\gamma_n(x) \\ & = (b^{n - 1} + \ldots + (b')^{n - 1})(b - b')\gamma_n(x) = 0 \end{align*}\] 因为 \(\gamma_n(x)\) 可被 \(x\) 整除（这是由于 \(\gamma_n(I) \subset I\)），从而被 \(b-b'\) 零化。 下面证明定义 07GL 的条件 (1)–(5)。 (1)、(2)、(3)、(5) 由构造显然成立。 对于 (4)，设 \(y,z\in IB\)，写成 \(y=bx\)、\(z=cx\)。 则 \(y+z=(b+c)x\)，因而 \[\begin{align*} \bar\gamma_n(y + z) & = (b + c)^n\gamma_n(x) \\ & = \sum \frac{n!}{i!(n - i)!}b^ic^{n -i}\gamma_n(x) \\ & = \sum b^ic^{n - i}\gamma_i(x)\gamma_{n - i}(x) \\ & = \sum \bar\gamma_i(y)\bar\gamma_{n -i}(z) \end{align*}\] 正是所需结论。

假设 \(A \to B\) 是平坦的。设 \(b_1, \ldots, b_r \in B\) 且 \(x_1, \ldots, x_r \in I\)。若 \(\bar\gamma_n\) 存在，则 \[\bar\gamma_n(\sum b_ix_i) = \sum b_1^{e_1} \ldots b_r^{e_r} \gamma_{e_1}(x_1) \ldots \gamma_{e_r}(x_r)\] 其中求和取遍 \(e_1 + \ldots + e_r = n\)。 再设有 \(c_1, \ldots, c_s \in B\) 和 \(a_{ij} \in A\)，使得 \(b_i = \sum a_{ij}c_j\)。令 \(y_j = \sum a_{ij}x_i\)，我们断言 \[\sum b_1^{e_1} \ldots b_r^{e_r} \gamma_{e_1}(x_1) \ldots \gamma_{e_r}(x_r) = \sum c_1^{d_1} \ldots c_s^{d_s} \gamma_{d_1}(y_1) \ldots \gamma_{d_s}(y_s)\] 在 \(B\) 中成立，其中右端求和取遍 \(d_1 + \ldots + d_s = n\)。 事实上，利用除幂结构的公理，可将两端都展开成若干项之和； 其系数属于 \(\mathbf{Z}[a_{ij}]\)，各项形如 \(c_1^{d_1} \ldots c_s^{d_s}\gamma_{e_1}(x_1) \ldots \gamma_{e_r}(x_r)\)。 为说明系数相同，注意当 \(\gamma\) 是 \((x_1, \ldots, x_r)\) 上唯一的除幂结构时， 该结论在 \(\mathbf{Q}[x_1, \ldots, x_r, c_1, \ldots, c_s, a_{ij}]\) 中成立。由 Lazard 定理（《代数》定理 058G）， 可将 \(B\) 写成有限自由 \(A\)-模的有向余极限。 特别地，若 \(z\in IB\) 既写成 \(z=\sum x_ib_i\)，又写成 \(z=\sum x'_{i'}b'_{i'}\)，则可找到 \(c_1,\ldots,c_s\in B\) 以及 \(a_{ij},a'_{i'j}\in A\)，使得 \(b_i=\sum a_{ij}c_j\)、 \(b'_{i'}=\sum a'_{i'j}c_j\)，并且 \(y_j = \sum x_ia_{ij} = \sum x'_{i'}a'_{i'j}\)²。 因此，上述过程给出 \(IB\) 上一个良定义的映射 \(\bar\gamma_n\)。 由构造，\(\bar\gamma\) 满足条件 (1)、(3)、(4)。此外，对 \(x\in I\) 有 \(\bar\gamma_n(x)=\gamma_n(x)\)。故由引理 07GP，\(\bar\gamma\) 是 \(IB\) 上的除幂结构。

引理

设 \((A, I, \gamma)\) 是除幂环。

1. 若 \(\varphi : (A, I, \gamma) \to (B, J, \delta)\) 是除幂环同态， 则对所有 \(n\geq 1\)，\(\Ker(\varphi) \cap I\) 在 \(\gamma_n\) 下不变。

2. 设 \(\mathfrak a \subset A\) 是理想，并令 \(I' = I \cap \mathfrak a\)。下列条件等价：

   1. 对所有 \(n > 0\)，\(I'\) 在 \(\gamma_n\) 下不变；

   2. \(\gamma\) 可延拓到 \(A/\mathfrak a\)；

   3. 存在 \(I'\) 作为理想的一组生成元 \(x_i\)，使得对所有 \(n>0\)， \(\gamma_n(x_i) \in I'\)。

证明

证明 (1)。这是显然的。假设 (2)(a)。对 \(x\in I\)，定义 \(\bar\gamma_n(x \bmod I') = \gamma_n(x) \bmod I'\)。 这是良定义的，因为由定义 07GL (4) 以及 假设中的 \(\gamma_j(y)\in I'\)，对 \(y\in I'\) 有 \(\gamma_n(x+y)=\gamma_n(x)\bmod I'\)。由于 \(\gamma\) 是除幂结构， \(\bar\gamma\) 显然也是除幂结构。因此 (2)(b) 成立。 另一方面，由 (1)，(2)(b) 蕴含 (2)(a)。显然 (2)(a) 蕴含 (2)(c)。 现在假设 (2)(c)。注意当 \(x=ax_i\) 时， \(\gamma_n(x)=a^n\gamma_n(x_i)\in I'\)。 因此，对 \(I'\) 作为阿贝尔群的一组生成元，均有 \(\gamma_n(x)\in I'\)。对由这些生成元组成的表达式长度作归纳， 只须证明：若 \(\forall n : \gamma_n(x), \gamma_n(y) \in I'\)，则 \(\forall n : \gamma_n(x+y)\in I'\)。这立即由除幂结构的第四条公理得到。

引理

设 \((A, I, \gamma)\) 是除幂环，\(E\subset I\) 是子集。 则在 \(\gamma\) 下不变且包含所有 \(f\in E\) 的最小理想 \(J\subset I\)， 就是由 \(\gamma_n(f)\)（\(n\geq 1\)、\(f\in E\)）生成的理想 \(J\)。

证明

立即由引理 07H2 得到。

引理

设 \((A, I, \gamma)\) 是除幂环，\(p\) 是素数。若 \(p\) 在 \(A/I\) 中幂零，则

1. \(p\)-进完备化 \(A^\wedge = \lim_e A/p^eA\) 满射到 \(A/I\)；

2. 该映射的核是 \(I\) 的 \(p\)-进完备化 \(I^\wedge\)；

3. 每个 \(\gamma_n\) 关于 \(p\)-进拓扑连续，并延拓为 \(\gamma_n^\wedge : I^\wedge \to I^\wedge\)，从而在 \(I^\wedge\) 上定义 一个除幂结构。

若进一步假设 \(A\) 是 \(\mathbf{Z}_{(p)}\)-代数，则

1. 当 \(e\) 足够大时，理想 \(p^eA \subset I\) 在除幂结构 \(\gamma\) 下不变，并且 \[(A^\wedge, I^\wedge, \gamma^\wedge) = \lim_e (A/p^eA, I/p^eA, \bar\gamma)\] 在除幂环范畴中成立。

证明

取整数 \(t\geq 1\)，使得 \(p^tA/I=0\)，即 \(p^tA\subset I\)。 映射 \(A^\wedge\to A/I\) 是复合 \(A^\wedge\to A/p^tA\to A/I\)，它是满射（例如由 《代数》引理 0315）。 对 \(e\geq t\)，由 \(p^eI \subset p^eA \cap I \subset p^{e - t}I\) 可见， 复合 \(A^\wedge\to A/I\) 的核是 \(I\) 的 \(p\)-进完备化。 映射 \(\gamma_n\) 连续，因为 \[\gamma_n(x + p^ey) = \sum\nolimits_{i + j = n} p^{je}\gamma_i(x)\gamma_j(y) = \gamma_n(x) \bmod p^eI\] 由除幂结构的公理即得。显然，映射 \(\gamma_n^\wedge\) 从 \(\gamma_n\) 继承除幂结构的各条公理。最后证明末一断言，取 \(e>t\)。 此时 \(p^eA\subset I\) 且 \(\gamma_1(p^eA)\subset p^eA\)；对 \(n>1\)，有 \[\gamma_n(p^ea) = p^n \gamma_n(p^{e - 1}a) = \frac{p^n}{n!} p^{n(e - 1)}a^n \in p^e A\] 因为 \(p^n/n! \in \mathbf{Z}_{(p)}\)，并且 \(n\geq 2\)、\(e\geq 2\)， 故 \(n(e-1)\geq e\)。 这证明 \(\gamma\) 可延拓到 \(A/p^eA\)，参见引理 07H2。 关于极限的断言由引理 07GV 的证明中对极限的构造显然成立。

除幂多项式代数

一个非常有用的例子是除幂多项式代数。 设 \(A\) 是环，\(t\geq 1\)。用 \(A\langle x_1, \ldots, x_t \rangle\) 表示如下 \(A\)-代数： 作为 \(A\)-模，令 \[A\langle x_1, \ldots, x_t \rangle = \bigoplus\nolimits_{n_1, \ldots, n_t \geq 0} A x_1^{[n_1]} \ldots x_t^{[n_t]}\] 其乘法由下式给出： \[x_i^{[n]}x_i^{[m]} = \frac{(n + m)!}{n!m!}x_i^{[n + m]}.\] 另令 \(x_i=x_i^{[1]}\)。注意 \(1=x_1^{[0]}\ldots x_t^{[0]}\)。类似的构造给出具有无限多个变量的 除幂多项式代数。存在典范 \(A\)-代数同态 \(A\langle x_1, \ldots, x_t \rangle \to A\)，它在 \(n>0\) 时将 \(x_i^{[n]}\) 映为零。该映射的核记为 \(A\langle x_1, \ldots, x_t \rangle_{+}\)。

引理

设 \((A,I,\gamma)\) 是除幂环。下列理想上存在唯一的除幂结构 \(\delta\)： \[J = IA\langle x_1, \ldots, x_t \rangle + A\langle x_1, \ldots, x_t \rangle_{+}\] 使得

1. \(\delta_n(x_i) = x_i^{[n]}\)；

2. \((A, I, \gamma) \to (A\langle x_1, \ldots, x_t \rangle, J, \delta)\) 是除幂环同态。

此外，\((A\langle x_1, \ldots, x_t \rangle, J, \delta)\) 具有如下 泛性质：一个除幂环同态 \(\varphi : (A\langle x_1, \ldots, x_t \rangle, J, \delta) \to (C, K, \epsilon)\) 与一个除幂环同态 \(A\to C\) 以及元素 \(k_1, \ldots, k_t \in K\) 等价。

证明

我们在单变量除幂多项式代数的情形证明该引理。一般情形可完全类似地证明； 也可以注意到，\(A\langle x_1, \ldots, x_t\rangle\) 同构于逐个添加 除幂变量 \(x_1,\ldots,x_t\) 所得到的环。

设 \(A\langle x \rangle_{+}\) 是由 \(x, x^{[2]}, x^{[3]}, \ldots\) 生成的理想。 注意 \(J = IA\langle x \rangle + A\langle x \rangle_{+}\)，并且 \[IA\langle x \rangle \cap A\langle x \rangle_{+} = IA\langle x \rangle \cdot A\langle x \rangle_{+}\] 故由引理 07GQ，只须证明理想 \(IA\langle x \rangle\) 和 \(A\langle x \rangle_{+}\) 上存在除幂结构。 由于 \(A\to A\langle x\rangle\) 平坦，前者的存在性由引理 07H1 得到。对于后者，注意若 \(A\) 无挠， 则可应用引理 07GM (4) 得到 \(\delta\) 的存在性。 事实上，选取元素 \(x^{[m]}\) 作为生成元，可见 \((x^{[m]})^n = \frac{(nm)!}{(m!)^n} x^{[nm]}\) 且 \(n!\) 整除整数 \(\frac{(nm)!}{(m!)^n}\)。 一般而言，将 \(A\) 写成某个无挠环 \(R\) 的商 \(R/\mathfrak a\) （例如可取 \(\mathbf{Z}\) 上的多项式环）。映射 \(R\langle x \rangle \to A\langle x \rangle\) 的核是 \(\bigoplus \mathfrak a x^{[m]}\)。应用引理 07H2 的判据 (2)(c)，可见 \(R\langle x \rangle_{+}\) 上的除幂结构 按所需方式延拓到 \(A\langle x \rangle\)。

证明泛性质。给定除幂环同态 \(\varphi:A\to C\) 以及 \(k_1,\ldots,k_t\in K\)，考虑 \[A\langle x_1, \ldots, x_t \rangle \to C,\quad x_1^{[n_1]} \ldots x_t^{[n_t]} \longmapsto \epsilon_{n_1}(k_1) \ldots \epsilon_{n_t}(k_t)\] 并在系数上使用 \(\varphi\)。只须检验这是 \(A\)-代数同态（细节从略）。 反向构造是显然的。

注

设 \((A,I,\gamma)\) 是除幂环。引理 07H5 有一个无限多个变量的版本。 首先注意，若 \(s<t\)，则存在典范映射 \[A\langle x_1, \ldots, x_s \rangle \to A\langle x_1, \ldots, x_t\rangle\] 因此，对任意集合 \(W\)，令 \[A\langle x_w: w \in W\rangle = \colim_{E \subset W} A\langle x_e:e \in E\rangle\] （余极限取遍 \(W\) 的有限子集 \(E\)），转移映射如上。 由余极限的定义可见，\(A\langle x_w:w\in W\rangle\) 的泛映射性质 与引理 07H5 中所述的映射性质 完全类似。

下述引理可见于 [BO]。

引理

设 \(p\) 是素数。设 \(A\) 是环，并且每个不能被 \(p\) 整除的整数 \(n\) 在 \(A\) 中都可逆；也就是说，\(A\) 是 \(\mathbf{Z}_{(p)}\)-代数。 设 \(I\subset A\) 是理想。\(I\) 上的两个除幂结构 \(\gamma,\gamma'\) 相等，当且仅当 \(\gamma_p=\gamma'_p\)。 此外，给定映射 \(\delta:I\to I\)，满足

1. 对所有 \(x\in I\)，\(p!\delta(x)=x^p\)³；

2. 对所有 \(a\in A\)、\(x\in I\)，\(\delta(ax)=a^p\delta(x)\)；

3. \(\delta(x + y) = \delta(x) + \sum\nolimits_{i + j = p, i,j \geq 1} \frac{1}{i!j!} x^i y^j + \delta(y)\) 对所有 \(x,y\in I\) 成立，

则 \(I\) 上存在唯一的除幂结构 \(\gamma\)，使得 \(\gamma_p=\delta\)。

证明

若 \(n\) 不能被 \(p\) 整除，则 \(\gamma_n(x)=c x\gamma_{n-1}(x)\)，其中 \(c\) 是 \(\mathbf{Z}_{(p)}\) 中的单位。此外， \[\gamma_{pm}(x) = c \gamma_m(\gamma_p(x))\] 其中 \(c\) 是 \(\mathbf{Z}_{(p)}\) 中的单位。因此第一条断言显然。 对于第二条断言，可反向利用这些等式定义所有 \(\gamma_n\)。 更准确地说，若 \(n=a_0+a_1p+\ldots+a_ep^e\)，其中 \(a_i\in\{0,\ldots,p-1\}\)，则令 \[\gamma_n(x) = c_n x^{a_0} \delta(x)^{a_1} \ldots \delta^e(x)^{a_e}\] 其中 \(c_n\in\mathbf{Z}_{(p)}\) 定义为 \[c_n = {(p!)^{a_1 + a_2(1 + p) + \ldots + a_e(1 + \ldots + p^{e - 1})}}/{n!}.\] 现在须证明除幂结构的公理 (1)–(5)，参见定义 07GL。公理 (1) 和 (3) 是立即可得的； 公理 (2) 和 (5) 可直接计算验证，细节从略。设 \(x,y\in I\)。 我们断言存在环同态 \[\varphi : \mathbf{Z}_{(p)}\langle u, v \rangle \longrightarrow A\] 将 \(u^{[n]}\) 映为 \(\gamma_n(x)\)，将 \(v^{[n]}\) 映为 \(\gamma_n(y)\)。 由 \(\mathbf{Z}_{(p)}\langle u,v\rangle\) 的构造，这意味着须检验 \[\gamma_n(x)\gamma_m(x) = \frac{(n + m)!}{n!m!} \gamma_{n + m}(x)\] 在 \(A\) 中成立，并对 \(y\) 也成立。由于 \(\gamma\) 满足 (2)，这确实成立。 令 \(\epsilon\) 表示 \(\mathbf{Z}_{(p)}\langle u,v\rangle\) 的理想 \(\mathbf{Z}_{(p)}\langle u,v\rangle_{+}\) 上的除幂结构。 接着断言：对 \(f\in\mathbf{Z}_{(p)}\langle u,v\rangle_{+}\) 和所有 \(n\)， \(\varphi(\epsilon_n(f))=\gamma_n(\varphi(f))\)。 当 \(n=0,1,\ldots,p-1\) 时这是显然的。当 \(n=p\) 时，只须对理想 \(\mathbf{Z}_{(p)}\langle u,v\rangle_{+}\) 的一组生成元证明， 因为 \(\epsilon_p\) 和 \(\gamma_p=\delta\) 都满足该引理的条件 (1)、(3)。 因此，只须证明 \(\gamma_p(\gamma_n(x))=\frac{(pn)!}{p!(n!)^p}\gamma_{pn}(x)\)， 并对 \(y\) 也证明同样的等式；这由 \(\gamma\) 满足 (5) 得到。 现在，若任意整数 \(n=a_0+a_1p+\ldots+a_ep^e\) 按上述方式写成 \(p\)-进展开，则 \[\epsilon_n(f) = c_n f^{a_0} \gamma_p(f)^{a_1} \ldots \gamma_p^e(f)^{a_e}\] 因为 \(\epsilon\) 是除幂结构。因此，对所有 \(n\) 都有 \(\varphi(\epsilon_n(f))=\gamma_n(\varphi(f))\)。 将其应用于 \(f=u+v\)，由 \(\epsilon\) 是除幂结构可知 \(\gamma\) 满足公理 (4)。

注

设 \(A\supset I\) 如引理 07GS 中所述， 并设映射 \(\delta:I\to I\) 满足该引理的 (2)、(3)。则 (1) 也成立。 首先，对 \(n\) 作归纳，证明当 \(n\geq1\) 时 \(\delta(nx)=n\delta(x)+\frac{n^p-n}{p!}x^p\)。\(n=1\) 的情形成立。 假设它对某个 \(n\) 成立，则 \(\delta((n + 1)x) = \delta(nx) + \delta(x) + (\sum_{i = 1}^{p - 1} \frac{n^i}{i!(p - i)!})x^p = (n + 1)\delta(x) + \left( \frac{n^p - n}{p!} + \frac{(n + 1)^p}{p!} - \frac{n^p + 1}{p!} \right)x^p = (n + 1)\delta(x) + \frac{(n + 1)^p - (n + 1)}{p!}x^p\), 故它对 \(n+1\) 也成立。另一方面，\(\delta(nx)=n^p\delta(x)\)，所以 \((n^p - n)\delta(x) = \frac{n^p - n}{p!}x^p\). 但对任意 \(p\)，都存在 \(n\) 使得 \(p^2 \not \mid n^p-n\)。 事实上， \((\mathbf{Z}/p^2\mathbf{Z})^\times \cong \mathbf{Z}/p(p-1)\mathbf{Z}\). 因此存在 \(n\)，使得 \(n^{p-1}\not\equiv1\mod p^2\)。 于是得到 \(p!\delta(x)=x^p\)。

Tate 分辨

本节简要讨论 [Tate-homology] 和 [AH] 中构造的分辨； 这些分辨将除幂结构与微分分次代数结合起来。 本节对微分分次代数使用同调记号。 我们的微分分次代数位于非负同调次数。因此，微分分次代数 \((A,\text{d})\) 由如下链复形给出： \[\ldots \to A_2 \to A_1 \to A_0 \to 0 \to \ldots\] 并配备一个乘法。

设 \(R\) 是环（照例假设交换）。本节常考虑负次数分量为零的分次 \(R\)-代数 \(A=\bigoplus_{d\geq0}A_d\)。令 \(A_+=\bigoplus_{d>0}A_d\)，并记 \(A_{even}=\bigoplus_{d\geq0}A_{2d}\)、 \(A_{odd}=\bigoplus_{d\geq0}A_{2d+1}\)。 回顾：若对齐次元素 \(x,y\) 有 \(xy=(-1)^{\deg(x)\deg(y)}yx\)，则称 \(A\) 分次交换。 若进一步对奇次数齐次元素 \(x\) 有 \(x^2=0\)，则称 \(A\) 严格分次交换。 最后，为理解下面的定义，请记住：若 \(A\) 是 \(\mathbf{Q}\)-代数， 则 \(\gamma_n(x)=x^n/n!\)。

定义

设 \(R\) 是环，\(A=\bigoplus_{d\geq0}A_d\) 是严格分次交换的分次 \(R\)-代数。若对所有 \(n>0\) 定义的一族映射 \(\gamma_n:A_{even,+}\to A_{even,+}\) 满足

1. 若 \(x\in A_{2d}\)，则 \(\gamma_n(x)\in A_{2nd}\)；

2. 对任意 \(x\)，\(\gamma_1(x)=x\)，并令 \(\gamma_0(x)=1\)；

3. \(\gamma_n(x)\gamma_m(x) = \frac{(n + m)!}{n! m!} \gamma_{n + m}(x)\),

4. 对所有 \(x\in A_{even}\)、\(y\in A_{even,+}\)， \(\gamma_n(xy)=x^n\gamma_n(y)\)；

5. 若 \(x,y\in A_{odd}\) 齐次且 \(n>1\)，则 \(\gamma_n(xy)=0\)；

6. 若 \(x,y\in A_{even,+}\)，则 \(\gamma_n(x+y)=\sum_{i=0,\ldots,n}\gamma_i(x)\gamma_{n-i}(y)\)；

7. \(\gamma_n(\gamma_m(x)) = \frac{(nm)!}{n! (m!)^n} \gamma_{nm}(x)\) 对 \(x\in A_{even,+}\) 成立。

则称其为 \(A\) 上的除幂结构。

注意，条件 (2)、(3)、(4)、(6)、(7) 蕴含 \(\gamma\) 是交换环 \(A_{even}\) 的理想 \(A_{even,+}\) 上的“通常”除幂结构，参见第 07GK、 07GT、 07GZ 和 07H4 节。 特别地，对所有 \(x\in A_{even,+}\) 有 \(n!\gamma_n(x)=x^n\)。 条件 (1) 表明 \(\gamma\) 与分次相容，条件 (5) 表明当 \(n>1\) 时， \(\gamma_n\) 在奇次数齐次元素的乘积上为零。但请注意，仍有可能 \[\gamma_2(z_1 z_2 + z_3 z_4) = z_1z_2z_3z_4\] 非零，其中 \(z_1,z_2,z_3,z_4\) 是奇次数齐次元素。

例

设 \(R\) 是环。设 \((A,\gamma)\) 是配备上述除幂结构的严格分次交换 分次 \(R\)-代数，并设 \(d>0\) 是奇数。在此情形可向 \(A\) 添加一个 次数为 \(d\) 的变量 \(T\)。具体地，令 \[A\langle T \rangle = A \oplus AT\] 其分次由 \(A\langle T\rangle_m=A_m\oplus A_{m-d}T\) 给出。 我们断言 \(A\langle T\rangle\) 上存在唯一的除幂结构， 与 \(A\) 上给定的除幂结构相容。具体地，对 \(x\in A_{even,+}\)、\(y\in A_{odd}\)，令 \[\gamma_n(x + yT) = \gamma_n(x) + \gamma_{n - 1}(x)yT\]

例

设 \(R\) 是环。设 \((A,\gamma)\) 是配备上述除幂结构的严格分次交换 分次 \(R\)-代数，并设 \(d>0\) 是偶数。在此情形可向 \(A\) 添加一个 次数为 \(d\) 的变量 \(T\)。具体地，令 \[A\langle T \rangle = A \oplus AT \oplus AT^{(2)} \oplus AT^{(3)} \oplus \ldots\] 其乘法由 \[T^{(n)} T^{(m)} = \frac{(n + m)!}{n!m!} T^{(n + m)}\] 给出，分次由 \[A\langle T \rangle_m = A_m \oplus A_{m - d}T \oplus A_{m - 2d}T^{(2)} \oplus \ldots\] 给出。我们断言 \(A\langle T\rangle\) 上存在唯一的除幂结构， 与 \(A\) 上给定的除幂结构相容，并满足 \(\gamma_n(T^{(i)})=T^{(ni)}\)。为定义该除幂结构，先在 \(x_i\in A_{even}\) 时令 \[\gamma_n\left(\sum\nolimits_{i > 0} x_i T^{(i)}\right) = \sum \prod\nolimits_{n = \sum e_i} x_i^{e_i} T^{(ie_i)}\] 若 \(x_0\in A_{even,+}\)，则令 \[\gamma_n\left(\sum\nolimits_{i \geq 0} x_i T^{(i)}\right) = \sum\nolimits_{a + b = n} \gamma_a(x_0)\gamma_b\left(\sum\nolimits_{i > 0} x_iT^{(i)}\right)\] 其中 \(\gamma_b\) 如上定义。

注

也可以在给定次数 \(d>0\) 中添加一族（可能无限多个）外代数生成元 或除幂生成元，而不只是像例 09PH 和 09PI 那样添加一个。具体地，沿用评注 07H6：对如上的 \((A,\gamma)\) 及集合 \(J\)，令 \(A\langle T_j:j\in J\rangle\) 为代数 \(A\langle T_j:j\in S\rangle\) 在 \(J\) 的所有有限子集 \(S\) 上的 有向余极限。显然，该代数具有唯一的除幂结构，并与 \(A\) 上给定的 结构以及每个生成元 \(T_j\) 上的结构相容。

现在把除幂结构的定义与微分联系起来。为理解下面的定义，注意若 \(A\) 是 \(\mathbf{Q}\)-代数且 \(x\in A_{even,+}\)，则 \(\text{d}(x^n/n!)=\text{d}(x)x^{n-1}/(n-1)!\)。

定义

设 \(R\) 是环，\(A=\bigoplus_{d\geq0}A_d\) 是严格分次交换的微分分次 \(R\)-代数。若对所有 \(x\in A_{even,+}\) 有 \(\text{d}(\gamma_n(x))=\text{d}(x)\gamma_{n-1}(x)\)， 则称 \(A\) 上的除幂结构 \(\gamma\) 与微分分次结构相容。

警告：设 \((A,\text{d},\gamma)\) 如定义 09PJ。即使 \(x\) 是边界， \(\gamma_n(x)\) 也未必是边界。因此，一般而言 \(\gamma\) 不在同调代数 \(H(A)\) 上诱导除幂结构。有些论文的作者会加入另一条相容性条件， 以保证确实诱导这样的结构；这里我们选择不这样做。

引理

设 \((A,\text{d},\gamma)\) 和 \((B,\text{d},\gamma)\) 如定义 09PJ，并设 \(f:A\to B\) 是与除幂结构 相容的微分分次代数态射。假设

1. 对 \(k>0\)，\(H_k(A)=0\)；

2. \(f\) 是满射。

则 \(\gamma\) 在分次 \(R\)-代数 \(H(B)\) 上诱导一个除幂结构。

证明

设 \(x\) 和 \(x'\) 是次数同为 \(2d\) 的齐次元素，并在 \(H(B)\) 中定义 同一个上同调类。写成 \(x'-x=\text{d}(w)\)。选取 \(x\) 的提升 \(y\in A_{2d}\) 和 \(w\) 的提升 \(z\in A_{2d+1}\)。 则 \(y'=y+\text{d}(z)\) 是 \(x'\) 的提升。因此 \[\gamma_n(y') = \sum \gamma_i(y) \gamma_{n - i}(\text{d}(z)) = \gamma_n(y) + \sum\nolimits_{i < n} \gamma_i(y) \gamma_{n - i}(\text{d}(z))\] 由于 \(A\) 在正次数无环，并且对所有 \(j\) 有 \(\text{d}(\gamma_j(\text{d}(z)))=0\)，可将其写成 \[\gamma_n(y') = \gamma_n(y) + \sum\nolimits_{i < n} \gamma_i(y) \text{d}(z_i)\] 其中 \(z_i\) 是 \(A\) 中的某些元素。此外，对 \(0<i<n\) 有 \[\text{d}(\gamma_i(y) z_i) = \text{d}(\gamma_i(y))z_i + \gamma_i(y)\text{d}(z_i) = \text{d}(y) \gamma_{i - 1}(y) z_i + \gamma_i(y)\text{d}(z_i)\] 由于 \(\text{d}(y)\) 在 \(B\) 中的像为零，第一项在 \(B\) 中映为零。 因此，\(\gamma_n(x')\) 和 \(\gamma_n(x)\) 在 \(H(B)\) 中映为同一元素。 由此，对所有 \(d>0\)、\(n>0\) 得到良定义的映射 \(\gamma_n:H_{2d}(B)\to H_{2nd}(B)\)。关于这些映射在 \(H(B)\) 上 定义除幂结构的验证从略。

引理

设 \((A,\text{d},\gamma)\) 如定义 09PJ，并设 \(R\to R'\) 是环同态。 则 \(\text{d}\) 和 \(\gamma\) 在 \(A'=A\otimes_RR'\) 上诱导同类结构， 使得 \((A',\text{d},\gamma)\) 也如定义 09PJ 所述。

证明

注意 \(A'_{even}=A_{even}\otimes_RR'\) 且 \(A'_{even,+}=A_{even,+}\otimes_RR'\)。因此要证明的是除幂结构 \(\gamma\) 可延拓到 \(A'_{even}\)（术语见定义 07H0）。 一旦证明 \(\gamma\) 可延拓，便容易看出该延拓具有全部所需性质。

选取一个多项式 \(R\)-代数 \(P\)（其生成元集合任意）以及一个满的 \(R\)-代数同态 \(P\to R'\)。环同态 \(A_{even}\to A_{even}\otimes_RP\) 是平坦的，故由引理 07H1，除幂结构 \(\gamma\) 唯一地延拓到 \(A_{even}\otimes_RP\)。令 \(J=\Ker(P\to R')\)。 为证明 \(\gamma\) 可延拓到 \(A\otimes_RR'\)，只须证明 \(I'=\Ker(A_{even,+}\otimes_RP\to A_{even,+}\otimes_RR')\) 由满足 \(\gamma_n(z)\in I'\)（对所有 \(n>0\)）的元素 \(z\) 生成。 这是显然的，因为 \(I'\) 由形如 \(x\otimes f\) 的元素生成，其中 \(x\in A_{even,+}\) 且 \(f\in\Ker(P\to R')\)。

引理

设 \((A,\text{d},\gamma)\) 如定义 09PJ，并设 \(d\geq1\) 是整数。 设 \(A\langle T\rangle\) 是例 09PH 或 09PI 中构造的、以 \(T\) 为变量且 \(\deg(T)=d\) 的分次除幂多项式代数。设 \(f\in A_{d-1}\) 且 \(\text{d}(f)=0\)。则 \(A\langle T\rangle\) 上存在唯一的微分 \(\text{d}\)，使得 \(\text{d}(T)=f\)，并且 \(\text{d}\) 与 \(A\langle T\rangle\) 上的除幂结构相容。

证明

可由直接计算证明，细节从略。

在引理 0GZ6 中， 我们将在若干特殊情形计算 \(A\langle T\rangle\) 的上同调。 下面给出 Tate 的构造及 Avramov 和 Halperin 对它的推广。

引理

设 \(R\to S\) 是交换环同态。存在分解 \[R \to A \to S\] 具有如下性质：

1. \((A,\text{d},\gamma)\) 如定义 09PJ 所述；

2. 若给 \(S\) 配备零微分，则 \(A\to S\) 是拟同构；

3. \(A_0=R[x_j:j\in J]\to S\) 是任意一个从多项式环到 \(S\) 的满射；

4. \(A\) 是 \(R\) 上的分次除幂多项式代数。

最后一个条件是指：从 \(A_0\) 出发，像例 09PH 或 09PI 那样，在每个正次数逐次添加一族变量 \(T\)，从而构造出 \(A\)。此外，若 \(R\) 是诺特环且 \(R\to S\) 为有限型， 则可以选取 \(A\)，使其在每个次数只有有限多个生成元。

证明

我们写出 \(R\) 为诺特环且 \(R\to S\) 为有限型时的构造。 没有这些假设时，证明相同，只不过每个次数须使用一族 （可能无限多个）生成元。

构造的起点：令 \(A(0)=R[x_1,\ldots,x_n]\) 为通常的多项式环， 并设 \(A(0)\to S\) 是满射。取分次 \(A(0)_0=A(0)\)，且当 \(d\not=0\) 时 \(A(0)_d=0\)。 因此 \(\text{d}=0\)，并且当 \(n>0\) 时 \(\gamma_n\) 也为零。

选取给定映射 \(A(0)=R[x_1,\ldots,x_n]\to S\) 的核的一组生成元 \(f_1,\ldots,f_m\in R[x_1,\ldots,x_n]\)。 应用例 09PH 共 \(m\) 次，得到 \[A(1) = A(0)\langle T_1, \ldots, T_m\rangle\] 作为分次除幂多项式代数，其中 \(\deg(T_i)=1\)。令 \(\text{d}(T_i)=f_i\)。由于 \(A(1)\) 是 \(A(0)\) 上的除幂多项式代数， 且 \(\text{d}(f_i)=0\)，由引理 09PM， 这唯一地延拓为 \(A(1)\) 上的微分。

归纳假设：设已给出分解 \[R \to A(0) \to A(1) \to \ldots \to A(m) \to S\] 其中 \(A(0)\)、\(A(1)\) 如上；对 \(2\leq m'\leq m\)，每个 \(R\to A(m')\to S\) 都满足引理陈述中的性质 (1)、(4)， 而将 (2) 换成条件：当 \(m'>i\geq0\) 时， \(H_i(A(m'))\to H_i(S)\) 是同构。基础情形是 \(m=1\)。

归纳步骤：假设已有归纳假设中的 \(R\to A(m)\to S\)。 考虑群 \(H_m(A(m))\)，它是 \(H_0(A(m))=S\) 上的模。 事实上，它是 \(A(m)_m\) 的一个子商，而 \(A(m)_m\) 是 \(A(m)_0=R[x_1,\ldots,x_n]\) 上的有限型模。因此可选取有限多个元素 \[e_1, \ldots, e_t \in \Ker(\text{d} : A(m)_m \to A(m)_{m - 1})\] 其像生成该模。应用例 09PH 或 09PI 共 \(t\) 次，得到 \[A(m + 1) = A(m)\langle T_1, \ldots, T_t\rangle\] 作为分次除幂代数，其中 \(\deg(T_i)=m+1\)。令 \(\text{d}(T_i)=e_i\)。由于 \(A(m+1)\) 是 \(A(m)\) 上的除幂多项式代数， 且 \(\text{d}(e_i)=0\)，这唯一地延拓为 \(A(m+1)\) 上与除幂结构相容的 微分。由于只在次数 \(m+1\) 及更高次数添加了材料，故当 \(i<m\) 时 \(H_i(A(m+1))=H_i(A(m))\)。此外，由构造显然有 \(H_m(A(m+1))=0\)。

为完成证明，注意我们已经证明存在映射序列 \[R \to A(0) \to A(1) \to \ldots \to A(m) \to A(m + 1) \to \ldots \to S\] 令 \(A=\colim A(m)\) 即完成证明。

引理

设 \(R\to S\) 是伪凝聚环同态（《代数详论》定义 067H）。则引理 09PN 成立，并且可使 \(S\) 的分辨 \(A\) 在每个次数只有有限多个生成元。

证明

证明与引理 09PN 完全相同。唯一额外之处是： 给定 \(A(m)\to S\)，须证明 \(H_m=H_m(A(m))\) 是有限 \(R[x_1,\ldots,x_m]\)-模（从而下一步只须添加有限多个变量）。 考虑复形 \[\ldots \to A(m)_{m - 1} \to A(m)_m \to A(m)_{m - 1} \to \ldots \to A(m)_0 \to S \to 0\] 由于 \(S\) 是伪凝聚 \(R[x_1,\ldots,x_n]\)-模，且 \(A(m)_i\) 是有限自由 \(R[x_1,\ldots,x_n]\)-模，故该复形是伪凝聚复形，参见 《代数详论》引理 064Y。 由于该复形在同调次数 \(>m\) 正合，由《代数详论》引理 064S，\(H_m\) 是有限 \(R\)-模。

引理

设 \(R\) 是交换环。假设 \((A,\text{d},\gamma)\) 和 \((B,\text{d},\gamma)\) 如定义 09PJ。 设 \(\overline{\varphi}:H_0(A)\to H_0(B)\) 是 \(R\)-代数同态。假设

1. \(A\) 是 \(R\) 上的分次除幂多项式代数；

2. 对 \(k>0\)，\(H_k(B)=0\)。

则存在与除幂结构相容的微分分次 \(R\)-代数态射 \(\varphi:A\to B\)，它提升 \(\overline{\varphi}\)。

证明

该假设意味着：从 \(R\) 出发，依次添加次数为零的某族多项式生成元、 正奇次数的外代数生成元和正偶次数的除幂生成元，便得到 \(A\)。 因此 \(A\) 具有滤过 \(R\subset A(0)\subset A(1)\subset\ldots\)， 其中 \(A(m+1)\) 由 \(A(m)\) 添加次数为 \(m+1\) 的适当类型生成元而得 （我们将它们统称为“除幂生成元”）。特别地，\(A(0)\to H_0(A)\) 是从 \(R\) 上通常的多项式代数到 \(H_0(A)\) 的满射。因此可将 \(\overline{\varphi}\) 提升为 \(R\)-代数同态 \(\varphi(0):A(0)\to B_0\)。

将 \(A(1)\) 写成 \(A(0)\langle T_j:j\in J\rangle\)，其中 \(J\) 是一族 次数为 \(1\) 的除幂变量 \(T_j\) 的指标集。令 \(f_j=\varphi(0)(\text{d}(T_j))\in B_0\)。由于 \(\text{d}T_j\) 在 \(H_0(A)\) 中映为零，\(f_j\) 在 \(H_0(B)\) 中也映为零。 因此可找到 \(b_j\in B_1\)，使得 \(\text{d}(b_j)=f_j\)。 由引理 07H5 中除幂多项式代数的 泛性质，可找到 \(\varphi(0)\) 的提升 \(\varphi(1):A(1)\to B\)， 将 \(T_j\) 映为 \(f_j\)。

对某个 \(m\geq1\) 构造出 \(\varphi(m)\) 后，可完全以相同方式构造 \(\varphi(m+1):A(m+1)\to B\)。细节从略。

引理

设 \(R\) 是交换环，\(S\)、\(T\) 是交换 \(R\)-代数。则 \[\operatorname{Tor}_*^R(S, T).\] 上具有典范的、配备除幂结构的严格分次交换 \(R\)-代数结构。

证明

选取如上的分解 \(R\to A\to S\)。由于 \(A\to S\) 是拟同构，且 \(A_d\) 是自由 \(R\)-模，微分分次代数 \(B=A\otimes_RT\) 计算引理中 所示的 Tor 群。选取满射 \(R[y_j:j\in J]\to T\)。 于是 \(B\) 是微分分次代数 \(A[y_j:j\in J]\) 的商；后者的同调集中在 次数 \(0\)（等于 \(S[y_j:j\in J]\)）。由引理 09PL，微分分次代数 \(B\) 和 \(A[y_j:j\in J]\) 都具有与微分相容的除幂结构。因此，由引理 09PK，在 \(H(B)\) 上得到所需的除幂结构。

以此方式构造的除幂代数结构与 \(A\) 的选择无关。事实上，若 \(A'\) 是 另一种选择，则引理 09PP 蕴含存在 保持全部结构以及到 \(S\) 的增广的态射 \(A\to A'\)。 于是诱导态射 \(B=A\otimes_RT\to A'\otimes_RT'=B'\) 也保持全部结构并且是拟同构。 因此，诱导的 Tor 代数同构与乘积和除幂相容。

在完全交中的应用

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d},\gamma)\) 如定义 09PJ。次数为 \(2\) 的导子是具有 下列性质的 \(R\)-线性映射 \(\theta:A\to A\)：

1. \(\theta(A_d) \subset A_{d - 2}\),

2. \(\theta(xy) = \theta(x)y + x\theta(y)\),

3. \(\theta\) 与 \(\text{d}\) 交换；

4. \(\theta(\gamma_n(x)) = \theta(x) \gamma_{n - 1}(x)\) 对所有 \(d\) 及所有 \(x\in A_{2d}\) 成立。

下述引理构造一个导子。

引理

设 \(R\) 是环，\((A,\text{d},\gamma)\) 如定义 09PJ。设 \(R'\to R\) 是环的满射， 其核平方为零且由一个元素 \(f\) 生成。若 \(A\) 是 \(R\) 上的分次 除幂多项式代数，并且每个次数只有有限多个变量，则得到导子 \(\theta:A/IA\to A/IA\)，其中 \(I\) 是 \(f\) 在 \(R\) 中的零化子。

证明

由于 \(A\) 是除幂多项式代数，可找到 \(R'\) 上的除幂多项式代数 \(A'\)，使得 \(A=A'\otimes_{R'}R\)。此外，可以把 \(\text{d}\) 提升为 \(A'\) 上的 \(R\)-线性算子 \(\text{d}\)，使得

1. \(\text{d}(xy) = \text{d}(x)y + (-1)^{\deg(x)}x \text{d}(y)\) 对 \(A'\) 中的齐次元素 \(x,y\) 成立；

2. \(\text{d}(\gamma_n(x)) = \text{d}(x) \gamma_{n - 1}(x)\) for \(x \in A'_{even, +}\)。

细节从略（提示：每次处理一个变量）。不过，\(\text{d}^2\) 在 \(A'\) 上未必为零。显然，\(\text{d}^2\) 将 \(A'\) 映入 \(fA'\cong A/IA\)。因此 \(\text{d}^2\) 零化 \(fA'\)，并分解为映射 \(A\to A/IA\)。由于 \(\text{d}^2\) 是 \(R\)-线性的，得到所需映射 \(\theta:A/IA\to A/IA\)。导子各项性质的验证是立即可得的。

引理

假设和记号如引理 09PS。假设 \(S=H_0(A)\) 同构于 \(R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\) ，其中 \(n,m\) 为某些整数且 \(f_j\in R[x_1,\ldots,x_n]\)。 再假设给定关系 \[\sum r_j f_j = 0\] 其中 \(r_j\in R[x_1,\ldots,x_n]\)。选取 \(r_j,f_j\) 的提升 \(r'_j,f'_j\in R'[x_1,\ldots,x_n]\)。将 \(\sum r'_jf'_j\) 写成 \(gf\)，其中 \(g\in R/I[x_1,\ldots,x_n]\)。 若 \(H_1(A)=0\) 且每个 \(r_j\) 的所有系数都属于 \(I\)，则存在元素 \(\xi\in H_2(A/IA)\)，使得在 \(S/IS\) 中 \(\theta(\xi)=g\)。

证明

设 \(A(0)\subset A(1)\subset A(2)\subset\ldots\) 是 \(A\) 的滤过， 使得 \(A(m)\) 由 \(A(m-1)\) 添加次数为 \(m\) 的除幂变量而得。 则 \(A(0)\) 是 \(R\) 上的多项式代数，并配备一个 \(R\)-代数满射 \(A(0)\to S\)。因此可以选取提升到 \(S\) 的增广的映射 \[\varphi : R[x_1, \ldots, x_n] \to A(0)\] 接着，对某些次数为 \(1\) 的除幂变量 \(T_i\)，有 \(A(1)=A(0)\langle T_1,\ldots,T_t\rangle\)。由于 \(H_0(A)=S\)， 可选取 \(\xi_j\in\sum A(0)T_i\)，使得 \(\text{d}(\xi_j)=\varphi(f_j)\)。于是 \[\text{d}\left(\sum \varphi(r_j) \xi_j\right) = \sum \varphi(r_j) \varphi(f_j) = \sum \varphi(r_jf_j) = 0\] 由于 \(H_1(A)=0\)，可选取 \(\xi\in A_2\)，使得 \(\text{d}(\xi)=\sum\varphi(r_j)\xi_j\)。若 \(r_j\) 的系数属于 \(I\)， 则 \(\varphi(r_j)\) 也如此。此时 \(\text{d}(\xi)\) 在 \(A_1/IA_1\) 中消失，因而 \(\xi\) 在 \(H_2(A/IA)\) 中定义一个类。

引理 09PS 的证明中对 \(\theta\) 的构造，是逐次将 \(A(i)\) 提升到 \(A'(i)\) 并提升微分 \(\text{d}\)。将 \(\varphi\) 提升为 \(\varphi':R'[x_1,\ldots,x_n]\to A'(0)\)。接着， \(A'(1)=A'(0)\langle T_1,\ldots,T_t\rangle\)。此外，可将 \(\xi_j\) 提升为 \(\xi'_j\in\sum A'(0)T_i\)。于是，对某个 \(a_j\in A'(0)\)， \(\text{d}(\xi'_j)=\varphi'(f'_j)+fa_j\)。 考虑 \(\xi\) 的一个提升 \(\xi'\in A'_2\)。则 \[\text{d}(\xi') = \sum \varphi'(r'_j)\xi'_j + \sum fb_iT_i\] 其中 \(b_i\in A(0)\)。再次应用 \(\text{d}\)，得到 \[\theta(\xi) = \sum \varphi'(r'_j)\varphi'(f'_j) + \sum f \varphi'(r'_j) a_j + \sum fb_i \text{d}(T_i)\] 第一项给出所需结果。第二项为零，因为 \(r_j\) 的系数属于 \(I\)， 从而被 \(f\) 零化。第三项在 \(H_0\) 中映为零，因为 \(\text{d}(T_i)\) 映为零。

下述引理的证明方法似乎源自 Gulliksen。

引理

设 \(R'\to R\) 是诺特环的满射，其核平方为零且由一个元素 \(f\) 生成。令 \(S = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\). 设 \(\sum r_jf_j=0\) 是 \(R[x_1,\ldots,x_n]\) 中的一个关系。假设

1. 每个 \(r_j\) 的系数都属于 \(f\) 在 \(R\) 中的零化子 \(I\)；

2. 对某些提升 \(r'_j,f'_j\in R'[x_1,\ldots,x_n]\)，有 \(\sum r'_jf'_j=gf\)，其中 \(g\) 在 \(S/IS\) 中不幂零。

则 \(S\) 在 \(R\) 上不具有有限 Tor 维数（即 \(S\) 不是完美 \(R\)-代数）。

证明

选取引理 09PN 中的 Tate 分辨 \(R\to A\to S\)。设 \(\xi\in H_2(A/IA)\) 和 \(\theta:A/IA\to A/IA\) 是引理 09PS 和 09PT 中得到的元素和导子。注意 \[\theta^n(\gamma_n(\xi)) = g^n\] 在 \(H_0(A/IA)=S/IS\) 中成立。因此，若 \(g\) 在 \(S/IS\) 中不幂零， 则对所有 \(n>0\)，\(\xi^n\) 在 \(H_{2n}(A/IA)\) 中非零。由于 \(H_{2n}(A/IA)=\text{Tor}^R_{2n}(S,R/I)\)，结论成立。

下述结果可见于 [Rodicio]。

引理

设 \((A,\mathfrak m)\) 是诺特局部环，\(I\subset J\subset A\) 是真理想。 若 \(A/J\) 在 \(A/I\) 上具有有限 Tor 维数，则 \(I/\mathfrak mI\to J/\mathfrak mJ\) 是单射。

证明

设 \(f\in I\) 在 \(I/\mathfrak mI\) 中的像非零，而在 \(J/\mathfrak mJ\) 中映为零。可以选取理想 \(I'\)，满足 \(\mathfrak mI\subset I'\subset I\)，使得 \(I/I'\) 由 \(f\) 的像生成。 令 \(R=A/I\)、\(R'=A/I'\)。设 \(J=(a_1,\ldots,a_m)\)，其中 \(a_j\in A\)。则对某些 \(b_j\in\mathfrak m\) 有 \(f=\sum b_ja_j\)。分别令 \(r_j,f_j\in R\) 和 \(r'_j,f'_j\in R'\) 为 \(b_j,a_j\) 的像。于是处于引理 09PU 的情形（其中该引理的理想 \(I\) 等于 \(\mathfrak m_R\)），引理得证。

引理

设 \((A,\mathfrak m)\) 是诺特局部环，\(I\subset J\subset A\) 是真理想。 假设

1. \(A/J\) 在 \(A/I\) 上具有有限 Tor 维数；

2. \(J\) 由正则序列生成。

则 \(I\) 由正则序列生成，且 \(J/I\) 由正则序列生成。

证明

由引理 09PV，映射 \(I/\mathfrak mI\to J/\mathfrak mJ\) 是单射。因此可找到 \(s\leq r\) 以及 \(J\) 的一个极小生成元系 \(f_1,\ldots,f_r\)，使得 \(f_1,\ldots,f_s\) 属于 \(I\) 并构成 \(I\) 的极小生成元系。 由《代数详论》引理 066A 和 09CC. ，\(J\) 的任意极小生成元系都是正则序列，故引理成立。

引理

设 \(R\to S\) 是诺特局部环之间的局部环同态。 设 \(I\subset R\)、\(J\subset S\) 是理想且 \(IS\subset J\)。 若 \(R\to S\) 平坦且 \(S/\mathfrak m_RS\) 正则，则下列条件等价：

1. \(J\) 由正则序列生成，且 \(S/J\) 作为 \(R/I\)-模具有有限 Tor 维数；

2. \(J\) 由正则序列生成，且只有有限多个 \(p\) 使 \(\text{Tor}^{R/I}_p(S/J,R/\mathfrak m_R)\) 非零；

3. \(I\) 由正则序列生成，且 \(J/IS\) 在 \(S/IS\) 中由正则序列生成。

证明

若 (3) 成立，则 \(J\) 由正则序列生成，例如参见《代数详论》引理 0669 和 09CC. 此外，若 (3) 成立，则 \(S/J=(S/I)/(J/I)\) 在 \(S/IS\) 上具有有限 投射维数，因为 Koszul 复形是 \(S/J\) 在 \(S/IS\) 上的有限自由分辨。 由于 \(R/I\to S/IS\) 平坦，由《代数详论》引理 066J，\(S/J\) 在 \(R/I\) 上具有有限 Tor 维数。因此 (3) 蕴含 (1)。

(1) \(\Rightarrow\) (2) 是平凡的。假设 (2)。由《代数详论》引理 09PC，\(S/J\) 在 \(S/IS\) 上具有有限 Tor 维数。因此可应用引理 09PW，得到 \(IS\) 和 \(J/IS\) 都由正则序列生成。 设 \(f_1,\ldots,f_r\in I\) 是 \(I\) 的极小生成元系。由于 \(R\to S\) 平坦，\(f_1,\ldots,f_r\) 在 \(S\) 中构成 \(IS\) 的极小生成元系。 因此，由《代数详论》引理 066A 和 09CC. ，元素序列 \(f_1,\ldots,f_r\in R\) 的像在 \(S\) 中构成正则序列。 故由《代数》引理 00LM， \(f_1,\ldots,f_r\) 在 \(R\) 中是正则序列。

局部完全交环

设 \((A,\mathfrak m)\) 是诺特完备局部环。由 Cohen 结构定理 （参见《代数》定理 032A）， 可将 \(A\) 写成某个正则诺特完备局部环 \(R\) 的商。 若存在某个满射 \(R\to A\)，其中 \(R\) 是正则局部环且其核由正则序列 生成，则称 \(A\) 是完全交。下述引理表明该概念与满射的选择无关。

引理

设 \((A,\mathfrak m)\) 是诺特完备局部环。下列条件等价：

1. 对每个局部环满射 \(R\to A\)，只要 \(R\) 是正则局部环， \(R\to A\) 的核便由正则序列生成；

2. 对某个局部环满射 \(R\to A\)，\(R\) 是正则局部环， 且 \(R\to A\) 的核由正则序列生成。

证明

设 \(k\) 是 \(A\) 的剩余域。若 \(k\) 的特征为 \(p>0\)，则用 \(\Lambda\) 表示一个剩余域为 \(k\) 的 Cohen 环（《代数》定义 0327 和引理 0328）。若 \(k\) 的特征为 \(0\)， 令 \(\Lambda=k\)。回顾：对任意 \(n\)， \(\Lambda[[x_1,\ldots,x_n]]\) 在 \(\mathfrak m\)-进拓扑下分别在 \(\mathbf{Z}\) 或 \(\mathbf{Q}\) 上形式光滑，参见《代数详论》引理 07NL。 固定 Cohen 结构定理（《代数》定理 032A）中的一个满射 \(\Lambda[[x_1,\ldots,x_n]]\to A\)。

设 \(R\to A\) 是从正则局部环 \(R\) 出发的满射，并设 \(f_1,\ldots,f_r\) 是 \(\Ker(R\to A)\) 的极小生成元序列。 以下将反复使用而不再说明：诺特局部环中的理想由正则序列生成， 当且仅当其任意极小生成元集都是正则序列。由《代数》引理 00LM 和 00MB，\(f_1,\ldots,f_r\) 在 \(R\) 中为 正则序列，当且仅当它们在完备化 \(R^\wedge\) 中为正则序列。此外， \[R^\wedge/(f_1, \ldots, f_r)R^\wedge = (R/(f_1, \ldots, f_n))^\wedge = A^\wedge = A\] 因为 \(A\) 是 \(\mathfrak m_A\)-进完备的（第一个等式由《代数》引理 00MA 得到）。最后，由于 \(R\) 正则， \(R^\wedge\) 也正则（《代数详论》引理 07NY）。故可假设 \(R\) 完备。

若 \(R\) 完备，则可选取映射 \(\Lambda[[x_1,\ldots,x_n]]\to R\)，提升给定映射 \(\Lambda[[x_1,\ldots,x_n]]\to A\)，参见《代数详论》引理 07NJ。再添加一些变量 \(y_1,\ldots,y_m\)，将其映到 \(R\to A\) 的核的生成元，便可假设 \(\Lambda[[x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m]]\to R\) 是满射 （略去若干细节）。于是可考虑交换图 \[\xymatrix{ \Lambda[[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m]] \ar[r] \ar[d] & R \ar[d] \\ \Lambda[[x_1, \ldots, x_n]] \ar[r] & A }\] 由《代数》引理 00SE，关于 \(R\to A\) 的条件等价于关于固定映射 \(\Lambda[[x_1,\ldots,x_n]]\to A\) 的条件。引理得证。

下面两个引理是对上述定义的合理性检验。

引理

设 \(R\) 是正则环，\(\mathfrak p\subset R\) 是素理想，且 \(f_1,\ldots,f_r\in\mathfrak p\) 是正则序列。则 \[A = (R/(f_1, \ldots, f_r))_\mathfrak p = R_\mathfrak p/(f_1, \ldots, f_r)R_\mathfrak p\] 的完备化是上述意义下的完全交。

证明

由诺特环 \(R_\mathfrak p\) 上有限模的完备化是正合的 （《代数》引理 00MA），\(A\) 的完备化为 \(A^\wedge = R_\mathfrak p^\wedge/(f_1, \ldots, f_r)R_\mathfrak p^\wedge\) 。由《代数》引理 00MB 和 00LM，序列 \(f_1,\ldots,f_r\) 在 \(R_\mathfrak p\) 中的像是正则序列。此外，由《代数详论》引理 07NY，\(R_\mathfrak p^\wedge\) 是正则局部环。因此结论由完备局部环的完全交定义成立。

下述引理是《代数》引理 00SC 的对应版本。

引理

设 \(R\) 是正则环，\(\mathfrak p\subset R\) 是素理想， \(I\subset\mathfrak p\) 是理想。令 \(A=(R/I)_\mathfrak p=R_\mathfrak p/I_\mathfrak p\)。下列条件等价：

1. \(A\) 的完备化是上述意义下的完全交；

2. \(I_\mathfrak p\subset R_\mathfrak p\) 由正则序列生成；

3. 模 \((I/I^2)_\mathfrak p\) 可由 \(\dim(R_\mathfrak p)-\dim(A)\) 个元素生成；

4. 此处再添加内容。

证明

可以并确实将 \(R\) 替换为它在 \(\mathfrak p\) 处的局部化。 于是 \(\mathfrak p=\mathfrak m\) 是 \(R\) 的极大理想，且 \(A=R/I\)。 设 \(f_1,\ldots,f_r\in I\) 是极小生成元序列。由诺特环 \(R_\mathfrak p\) 上有限模的完备化是正合的（《代数》引理 00MA），\(A\) 的完备化为 \(A^\wedge = R^\wedge/(f_1, \ldots, f_r)R^\wedge\) 。

若 (1) 成立，则由假设，序列 \(f_1,\ldots,f_r\) 在 \(R^\wedge\) 中的像 是正则序列。故由《代数》引理 00MB 和 00LM，它在 \(R\) 中也是正则序列。 因此 (1) 蕴含 (2)。

假设 (3) 成立。令 \(c=\dim(R)-\dim(A)\)，并取 \(f_1,\ldots,f_c\in I\)，使其像生成 \(I/I^2\)。由 Nakayama 引理 （《代数》引理 00DV）， \(I=(f_1,\ldots,f_c)\)。由于 \(R\) 正则，因而是 Cohen–Macaulay 的 （《代数》命题 00N6），再由《代数》命题 00N6，\(f_1,\ldots,f_c\) 是正则序列。 因此 (3) 蕴含 (2)。最后，由引理 09Q0，(2) 蕴含 (1)。

下述结果由 Avramov 得到，参见 [Avramov]。

命题

设 \(A\to B\) 是诺特局部环之间的平坦局部同态。下列条件等价：

1. \(B^\wedge\) 是完全交；

2. \(A^\wedge\) 和 \((B/\mathfrak m_AB)^\wedge\) 都是完全交。

证明

考虑交换图 \[\xymatrix{ B \ar[r] & B^\wedge \\ A \ar[u] \ar[r] & A^\wedge \ar[u] }\] 由于水平映射忠实平坦（《代数》引理 00MC），右侧竖直箭头平坦 （例如由《代数》引理 00MP）。此外， \((B/\mathfrak m_A B)^\wedge = B^\wedge/\mathfrak m_{A^\wedge} B^\wedge\) 由《代数》引理 00MA 成立。 故可假设 \(A\)、\(B\) 是完备诺特局部环。

假设 \(A\)、\(B\) 是完备诺特局部环。选取《代数详论》引理 07NN 中的交换图 \[\xymatrix{ S \ar[r] & B \\ R \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] }\] 令 \(I=\Ker(R\to A)\)、\(J=\Ker(S\to B)\)。注意，由于 \(R/I=A\to B=S/J\) 平坦，映射 \(J/IS \otimes_R R/\mathfrak m_R \to J/J \cap \mathfrak m_R S\) 是同构。因此，\(J/IS\) 的一个极小生成元系映到 \(\Ker(S/\mathfrak m_RS\to B/\mathfrak m_AB)\) 的一个极小生成元系。 最后，\(S/\mathfrak m_RS\) 是正则局部环。

假设 (1) 成立，即 \(J\) 由正则序列生成。由于 \(A=R/I\to B=S/J\) 平坦，引理 09PX 适用， 从而 \(I\) 和 \(J/IS\) 都由正则序列生成。由《代数》引理 00ON，有 \(\dim(B)=\dim(A)+\dim(B/\mathfrak m_AB)\) 且 \(\dim(S/IS)=\dim(A)+\dim(S/\mathfrak m_RS)\)。 因此，\(J/IS\) 由 \[\dim(S/IS) - \dim(S/J) = \dim(S/\mathfrak m_R S) - \dim(B/\mathfrak m_A B)\] 个元素生成（《代数》引理 00KW）。 因此，\(\Ker(S/\mathfrak m_RS\to B/\mathfrak m_AB)\) 也由同样数目的 元素生成（见上）。故该核由正则序列生成，例如参见引理 09Q1。由此得到 (2)。

若 (2) 成立，则 \(I\) 和 \(J/J\cap\mathfrak m_RS\) 都由正则序列生成。 提升这些生成元（见上），利用 \(R/I\to S/IS\) 的平坦性以及 Grothendieck 引理（《代数》引理 00MG），可知 \(J/IS\) 在 \(S/IS\) 中由正则序列生成。于是引理 09PX 表明 \(J\) 由正则序列生成，故 (1) 成立。

定义

设 \(A\) 是诺特环。

1. 若 \(A\) 是局部环，并且其完备化是上述意义下的完全交， 则称 \(A\) 是完全交。

2. 一般而言，若 \(A\) 的所有局部环都是完全交，则称 \(A\) 是局部完全交。

下面将检验这与《代数》定义 00S9 和 00SD 中引入的术语不冲突。 但首先说明该定义“合理”：若 \(A\) 是诺特局部完全交，则 \(A\) 是局部完全交，即它的所有局部环都是完全交。

引理

设 \((A,\mathfrak m)\) 是诺特局部环，\(\mathfrak p\subset A\) 是素理想。 若 \(A\) 是完全交，则 \(A_\mathfrak p\) 也是完全交。

证明

选取 \(A^\wedge\) 中位于 \(\mathfrak p\) 上方的素理想 \(\mathfrak q\) （这是可能的，因为由《代数》引理 00MC，\(A\to A^\wedge\) 忠实平坦）。于是 \(A_\mathfrak p\to(A^\wedge)_\mathfrak q\) 是平坦局部环同态。因此，由命题 09Q2， \(A_\mathfrak p\) 是完全交，当且仅当 \((A^\wedge)_\mathfrak q\) 是完全交。故只须在 \(A\) 完备时证明该引理（这是证明的关键步骤）。

假设 \(A\) 完备。由定义，可将 \(A\) 写成 \(R/(f_1,\ldots,f_r)\)，其中 \(f_1,\ldots,f_r\) 是正则局部环 \(R\) 中的正则序列。设 \(\mathfrak q\subset R\) 是对应于 \(\mathfrak p\) 的素理想。注意 \(f_1,\ldots,f_r\in\mathfrak q\)，且 \(A_\mathfrak p=R_\mathfrak q/(f_1,\ldots,f_r)R_\mathfrak q\)。 故由引理 09Q0， \(A_\mathfrak p\) 是完全交。

引理

设 \(A\) 是诺特环。则 \(A\) 是局部完全交，当且仅当对 \(A\) 的每个极大理想 \(\mathfrak m\)，\(A_\mathfrak m\) 都是完全交。

证明

立即由引理 09Q4 和定义得到。

引理

设 \(S\) 是域 \(k\) 上的有限型代数。

1. 对素理想 \(\mathfrak q\subset S\)，局部环 \(S_\mathfrak q\) 是《代数》定义 00SD 意义下的完全交， 当且仅当它是定义 09Q3 意义下的完全交；

2. \(S\) 是《代数》定义 00S9 意义下的 局部完全交，当且仅当它是定义 09Q3 意义下的 局部完全交。

证明

证明 (1)。设 \(k[x_1,\ldots,x_n]\to S\) 是满射， \(\mathfrak p\subset k[x_1,\ldots,x_n]\) 是对应于 \(\mathfrak q\) 的素理想，并设 \(I\subset k[x_1,\ldots,x_n]\) 是该满射的核。 注意 \(k[x_1,\ldots,x_n]_\mathfrak p\to S_\mathfrak q\) 是满射， 其核为 \(I_\mathfrak p\)。由《代数》命题 00OQ， \(k[x_1,\ldots,x_n]\) 是正则环。因此，将引理 09Q1 与《代数》引理 00SF 结合，便得到 (1) 中两个概念的等价性。

证明 (1) 后，(2) 中的等价性由定义和《代数》引理 00SH 得到。

引理

设 \(A\to B\) 是诺特局部环之间的平坦局部同态。下列条件等价：

1. \(B\) 是完全交；

2. \(A\) 和 \(B/\mathfrak m_AB\) 都是完全交。

证明

既然定义已经成立，这只是（非平凡的）命题 09Q2 的平凡改述。

局部完全交同态

设 \(A\to B\) 是诺特完备局部环之间的局部同态。Cohen 结构定理的一个 推论是，可以找到诺特完备局部环的交换图 \[\xymatrix{ S \ar[r] & B \\ & A \ar[lu] \ar[u] }\] ，其中 \(S\to B\) 为满射，\(A\to S\) 平坦，且 \(S/\mathfrak m_AS\) 是正则局部环。这由《代数详论》引理 07NN 得到。 暂且称 \(A\to S\to B\) 是 \(A\to B\) 的良好分解，若 \(S\) 是诺特局部环，\(A\to S\to B\) 是局部环同态，\(S\to B\) 为满射， \(A\to S\) 平坦，且 \(S/\mathfrak m_AS\) 正则。若存在某个良好分解 \(A\to S\to B\)，使得 \(S\to B\) 的核由正则序列生成，则称 \(A\to B\) 是完全交同态。下述引理表明该概念与图的选择无关。

引理

设 \(A\to B\) 是诺特完备局部环之间的局部同态。下列条件等价：

1. 对某个良好分解 \(A\to S\to B\)，\(S\to B\) 的核由正则序列生成；

2. 对每个良好分解 \(A\to S\to B\)，\(S\to B\) 的核都由正则序列生成。

证明

设 \(A\to S\to B\) 是良好分解。由于 \(B\) 完备，得到分解 \(A\to S^\wedge\to B\)，其中 \(S^\wedge\) 是 \(S\) 的完备化。 注意这也是良好分解：环同态 \(S\to S^\wedge\) 平坦 （《代数》引理 00MB），故 \(A\to S^\wedge\) 平坦。由于 \(S/\mathfrak m_AS\) 正则，环 \(S^\wedge/\mathfrak m_AS^\wedge=(S/\mathfrak m_AS)^\wedge\) 也正则 （《代数详论》引理 07NY）。 设 \(f_1,\ldots,f_r\) 是 \(\Ker(S\to B)\) 的极小生成元序列。 以下将反复使用而不再说明：诺特局部环中的理想由正则序列生成， 当且仅当其任意极小生成元集都是正则序列。由《代数》引理 00LM，\(f_1,\ldots,f_r\) 在 \(S\) 中为正则序列，当且仅当它们在完备化 \(S^\wedge\) 中为正则序列。 此外， \[S^\wedge/(f_1, \ldots, f_r)R^\wedge = (S/(f_1, \ldots, f_n))^\wedge = B^\wedge = B\] 因为 \(B\) 是 \(\mathfrak m_B\)-进完备的（第一个等式由《代数》引理 00MA 得到）。因此，\(S\to B\) 的核 由正则序列生成，当且仅当 \(S^\wedge\to B\) 的核由正则序列生成。 故只须考虑 \(S\) 完备的良好分解。

假设有两个分解 \(A\to S\to B\) 和 \(A\to S'\to B\)，其中 \(S\)、\(S'\) 完备。由《代数详论》引理 09Q8，环 \(S\times_BS'\) 是诺特完备局部环。因此，利用《代数详论》引理 07NN， 可选取良好分解 \(A\to S''\to S\times_BS'\)，其中 \(S''\) 完备。 故只须证明：若 \(A\to S'\to S\to B\) 是可比较的良好分解，则 \(\Ker(S\to B)\) 由正则序列生成，当且仅当 \(\Ker(S'\to B)\) 由正则序列生成。

设 \(A\to S'\to S\to B\) 是可比较的良好分解。首先，由于 \(S'/\mathfrak m_RS'\to S/\mathfrak m_RS\) 是正则局部环的满射， 其核由正则序列 \(\overline{x}_1, \ldots, \overline{x}_c \in \mathfrak m_{S'}/\mathfrak m_R S'\) 生成；该序列可扩充为正则局部环 \(S'/\mathfrak m_RS'\) 的一个 正则参数系，参见《代数》引理 00NR。令 \(I=\Ker(S'\to S)\)。 由 \(S\) 在 \(R\) 上平坦，有 \[I/\mathfrak m_R I = \Ker(S'/\mathfrak m_R S' \to S/\mathfrak m_R S) = (\overline{x}_1, \ldots, \overline{x}_c).\] 选取提升 \(x_1,\ldots,x_c\in I\)。由于 \(S'\) 在 \(R\) 上平坦， 这些提升构成生成 \(I\) 的正则序列，参见《代数》引理 00MG。

因此，若 \(\Ker(S\to B)\) 也由正则序列生成，则 \(\Ker(S'\to B)\) 同样如此，参见《代数详论》引理 0669 和 09CC。

反之，假设 \(J=\Ker(S'\to B)\) 由正则序列生成。由于 \(I\) 的生成元 \(x_1,\ldots,x_c\) 在 \(\mathfrak m_{S'}/\mathfrak m_{S'}^2\) 中映为线性无关的元素，映射 \(I/\mathfrak m_{S'}I\to J/\mathfrak m_{S'}J\) 是单射。 因此 \(J\) 有一个极小生成元系 \(x_1,\ldots,x_c,y_1,\ldots,y_d\)。该序列是正则序列，从而 \(y_1,\ldots,y_d\) 在 \(S\) 中的像构成生成 \(\Ker(S\to B)\) 的正则序列。 引理得证。

在下面的命题中，请注意：若 \(B\) 在 \(A\) 上具有有限 Tor 维数， 特别是若 \(B\) 在 \(A\) 上平坦，则关于 Tor 消失的条件成立。

命题

设 \(A\to B\) 是诺特局部环之间的局部同态。下列条件等价：

1. \(B\) 是完全交，且只有有限多个 \(p\) 使 \(\text{Tor}^A_p(B,A/\mathfrak m_A)\) 非零；

2. \(A\) 是完全交，且 \(A^\wedge\to B^\wedge\) 是上述意义下的 完全交同态。

证明

设 \(F_\bullet\to A/\mathfrak m_A\) 是由有限自由 \(A\)-模组成的分辨。 注意 \(\text{Tor}^A_p(B,A/\mathfrak m_A)\) 是复形 \(F_\bullet\otimes_AB\) 的第 \(p\) 个同调。令完备化 \(F_\bullet^\wedge=F_\bullet\otimes_AA^\wedge\)。则 \(F_\bullet^\wedge\) 是由有限自由 \(A^\wedge\)-模组成的 \(A^\wedge/\mathfrak m_{A^\wedge}\) 的分辨（因为 \(A\to A^\wedge\) 平坦且有限模上的完备化正合，参见《代数》引理 00MA 和 00MB）。因此 \[F_\bullet^\wedge \otimes_{A^\wedge} B^\wedge = F_\bullet \otimes_A B \otimes_B B^\wedge\] 由 \(B\to B^\wedge\) 的平坦性，得到 \[\text{Tor}^{A^\wedge}_p(B^\wedge, A^\wedge/\mathfrak m_{A^\wedge}) = \text{Tor}^A_p(B, A/\mathfrak m_A) \otimes_B B^\wedge\] 由此可见，局部环同态 \(A\to B\) 的条件 (1) 等价于局部环同态 \(A^\wedge\to B^\wedge\) 的相同条件。因此可以假设 \(A\)、\(B\) 是完备诺特局部环（其余条件本来就是用完备化表述的）。

假设 \(A\)、\(B\) 是完备诺特局部环。选取《代数详论》引理 07NN 中的交换图 \[\xymatrix{ S \ar[r] & B \\ R \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] }\] 令 \(I=\Ker(R\to A)\)、\(J=\Ker(S\to B)\)。 命题现由引理 09PX 得到。

注

对于一般诺特环之间的同态，似乎很难定义一个良好的“局部完全交同态” 概念。原因是：对诺特局部环 \(A\)，\(A\to A^\wedge\) 的纤维不是局部 完全交环。因此，若 \(A\to B\) 是诺特局部环之间的局部同态，且完备化 之间的映射 \(A^\wedge\to B^\wedge\) 是上述意义下的完全交同态， 那么一般而言，\((A_\mathfrak p)^\wedge\to(B_\mathfrak q)^\wedge\) 不是上述意义下的完全交同态。只研究优秀诺特环可以解决这个问题。 更一般地，可以研究形式纤维为完全交的诺特环，参见 [Rodicio-ci]。我们将在《对偶化复形》第 0BJM 节发展这一理论。

作为本节的结尾，我们把上述概念与《代数详论》第 09PY 节中引入的概念作比较。

引理

考虑诺特局部环的交换图 \[\xymatrix{ S \ar[r] & B \\ & A \ar[lu] \ar[u] }\] ，其中 \(S\to B\) 为满射，\(A\to S\) 平坦，且 \(S/\mathfrak m_AS\) 是正则局部环。下列条件等价：

1. \(\Ker(S\to B)\) 由正则序列生成；

2. \(A^\wedge\to B^\wedge\) 是上述定义的完全交同态。

证明

从略。提示：证明与引理 09QA 的证明第一段 中的论证相同。

引理

设 \(A\) 是诺特环，\(A\to B\) 是有限型环同态。下列条件等价：

1. \(A\to B\) 是《代数详论》定义 07D0 意义下的 局部完全交；

2. 对每个素理想 \(\mathfrak q\subset B\)，令 \(\mathfrak p=A\cap\mathfrak q\)，则环同态 \((A_\mathfrak p)^\wedge\to(B_\mathfrak q)^\wedge\) 是上述意义下的 完全交同态。

证明

选取满射 \(R=A[x_1,\ldots,x_n]\to B\)。注意 \(A\to R\) 平坦且纤维正则。 设 \(I\) 是 \(R\to B\) 的核。假设 (2)。由引理 09QD 和《代数》引理 061L，\(I\) 局部由正则序列 生成。换言之，(1) 成立。反之，假设 (1)。将 \(R\) 和 \(B\) 局部化后， 可假设 \(I\) 由 Koszul 正则序列生成。由《代数详论》引理 09CC，\(I\) 局部由 正则序列生成。故由引理 09QD，(2) 成立。 略去若干细节。

引理

设 \(A\) 是诺特环，\(A\to B\) 是有限型环同态，并且 \(\Spec(B)\to\Spec(A)\) 的像包含 \(\Spec(A)\) 的所有闭点。 下列条件等价：

1. \(B\) 是完全交，且 \(A\to B\) 具有有限 Tor 维数；

2. \(A\) 是完全交，且 \(A\to B\) 是《代数详论》定义 07D0 意义下的 局部完全交。

证明

这是命题 09QB 经由引理 09QE 得到的改述。细节从略。

光滑环同态与对角

本节利用上述材料，将光滑环同态刻画为对角完美的环同态。

引理

设 \(A\to B\) 是诺特局部环之间的局部同态，并且 \(B\) 在 \(A\) 上平坦且 本质有限型。若 \[B \otimes_A B \longrightarrow B\] 是完美环同态，即 \(B\) 在 \(B\otimes_AB\) 上具有有限 Tor 维数， 则 \(B\) 是某个光滑 \(A\)-代数的局部化。

证明

由于 \(B\) 在 \(A\) 上本质有限型，\(B\otimes_AB\) 也如此；特别地， \(B\otimes_AB\) 是诺特环。因此，\(B\otimes_AB\) 的商 \(B\) 在 \(B\otimes_AB\) 上伪凝聚（《代数详论》引理 066E），这说明环同态的 完美性（《代数详论》定义 067H）与有限 Tor 维数 条件一致。

可将 \(B\) 写成 \(R/K\)，其中 \(R\) 是 \(A[x_1,\ldots,x_n]\) 在某个素理想处的 局部化，\(K\subset R\) 是理想。记 \(\mathfrak m\subset R\otimes_AR\) 为极大理想，它是 \(B\) 的极大理想在满射 \(R\otimes_AR\to B\otimes_AB\to B\) 下的逆像。于是有满射 \[(R \otimes_A R)_\mathfrak m \to (B \otimes_A B)_\mathfrak m \to B\] ，从而得到引理 09PV 中的理想 \(I\subset J\subset(R\otimes_AR)_\mathfrak m\)。因此 \(I/\mathfrak mI\to J/\mathfrak mJ\) 是单射。

将 \(K\) 写成 \((f_1,\ldots,f_r)\)，其中 \(r\) 极小。可以并确实假设 \(f_i\in R\) 是 \(A[x_1,\ldots,x_n]\) 中某个也记作 \(f_i\) 的元素之像。 注意 \(I\) 由 \(f_1\otimes1,\ldots,f_r\otimes1\) 和 \(1\otimes f_1,\ldots,1\otimes f_r\) 生成。我们断言这是 \(I\) 的一个 极小生成元集。事实上，若 \(\kappa\) 是 \(R\)、\(B\)、 \((R\otimes_AR)_\mathfrak m\) 和 \((B\otimes_AB)_\mathfrak m\) 的共同剩余域， 则有映射 \(R \otimes_A R \to R \otimes_A \kappa \oplus \kappa \otimes_A R\) ，它经由 \((R\otimes_AR)_\mathfrak m\) 分解。由于 \(B\) 在 \(A\) 上平坦， 并且有短正合列 \(0\to K\to R\to B\to0\)，故 \(K\otimes_A\kappa\subset R\otimes_A\kappa\)，参见《代数》引理 00HL。因此，将映射 \((R \otimes_A R)_\mathfrak m \to R \otimes_A \kappa \oplus \kappa \otimes_A R\) 限制到 \(I\)，得到映射 \[I \to K \otimes_A \kappa \oplus \kappa \otimes_A K \to K \otimes_B \kappa \oplus \kappa \otimes_B K.\] 元素 \(f_1 \otimes 1, \ldots, f_r \otimes 1, 1 \otimes f_1, \ldots, 1 \otimes f_r\) 映为该映射目标的一组基，因为由 Nakayama 引理（《代数》引理 00DV），\(f_1,\ldots,f_r\) 映为 \(K\otimes_B\kappa\) 的一组基。这证明了断言。

理想 \(J\) 由 \(f_1\otimes1,\ldots,f_r\otimes1\) 以及元素 \(x_1\otimes1-1\otimes x_1,\ldots,x_n\otimes1-1\otimes x_n\) 生成（对证明而言，只须知道这些元素属于理想 \(J\)）。现在可写成 \[f_i \otimes 1 - 1 \otimes f_i = \sum g_{ij} (x_j \otimes 1 - 1 \otimes x_j)\] 其中 \(g_{ij}\in(R\otimes_AR)_\mathfrak m\)。这是关于 \(A[x_1,\ldots,x_n]\) 中元素的一般事实，证明从略。记 \(a_{ij}\in\kappa\) 为 \(g_{ij}\) 的像。另一项计算表明，\(a_{ij}\) 是 \(\partial f_i/\partial x_j\) 在 \(\kappa\) 中的像。 \(I/\mathfrak mI\to J/\mathfrak mJ\) 的单射性与上述评注迫使矩阵 \((a_{ij})\) 具有极大秩 \(r\)。令 \[C = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_r)\] 并考虑朴素余切复形 \(\NL_{C/A}\cong(C^{\oplus r}\to C^{\oplus n})\)，其中映射由偏导数矩阵 给出。因此，\(\NL_{C/A}\otimes_AB\) 同构于放在次数 \(0\) 的秩 \(n-r\) 自由 \(B\)-模。故对某个在 \(B\) 中映为单位的 \(g\in C\)， \(C_g\) 在 \(A\) 上光滑，参见《代数》引理 07BU。证明完成。

引理

设 \(A\to B\) 是诺特环之间的平坦有限型环同态。若 \[B \otimes_A B \longrightarrow B\] 是完美环同态，即 \(B\) 在 \(B\otimes_AB\) 上具有有限 Tor 维数， 则 \(B\) 是光滑 \(A\)-代数。

证明

这由引理 0FCW 以及光滑环同态的一般事实 得到，参见《代数》引理 07BU 和 00TC。或者，读者可以略微修改引理 0FCW 的证明来证明本引理。

余法模的自由性

Tate 分辨及其上的导子可用于证明本节结果的（更强）版本， 参见 [Iyengar]。另外两篇更初等的参考文献是 [Vasconcelos] 和 [Ferrand-lci]。

引理

设 \(R\) 是诺特局部环，\(I\subset R\) 是在 \(R\) 上具有有限投射维数的理想。 若 \(F\subset I/I^2\) 是同构于 \(R/I\) 的直和项，则存在非零因子 \(x\in I\)，使得 \(x\) 在 \(I/I^2\) 中的像生成 \(F\)。

证明

由假设，可选取有限自由分辨 \[0 \to R^{\oplus n_e} \to R^{\oplus n_{e-1}} \to \ldots \to R^{\oplus n_1} \to R \to R/I \to 0\] 于是 \(\varphi_1:R^{\oplus n_1}\to R\) 的秩为 \(1\)，并由《代数》命题 00N1 可知 \(I\) 包含一个非零因子 \(y\)。 设 \(\mathfrak p_1,\ldots,\mathfrak p_n\) 是 \(R\) 的伴随素理想， 参见《代数》引理 00LC。选取理想 \(I^2\subset J\subset I\)，使得 \(J/I^2=F\)。由于 \(y^2\in J\) 且 \(y^2\notin\mathfrak p_i\)，对所有 \(i\) 有 \(J\not\subset\mathfrak p_i\)，参见《代数》引理 00LD。由 Nakayama 引理（《代数》引理 00DV），\(J\not\subset\mathfrak mJ+I^2\)。 由《代数》引理 00DS，可选取 \(x\in J\)，使得 \(x\notin\mathfrak mJ+I^2\)，且对 \(i=1,\ldots,n\)， \(x\notin\mathfrak p_i\)。于是 \(x\) 是非零因子，并且 \(x\) 在 \(I/I^2\) 中的像由 Nakayama 引理生成直和项 \(J/I^2\cong R/I\)。

引理

设 \(R\) 是诺特局部环，\(I\subset R\) 是在 \(R\) 上具有有限投射维数的理想。 若 \(F\subset I/I^2\) 是秩为 \(r\) 的自由直和项，则存在正则序列 \(x_1,\ldots,x_r\in I\)，使得 \(x_1\bmod I^2,\ldots,x_r\bmod I^2\) 生成 \(F\)。

证明

若 \(r=0\)，则无须证明。假设 \(r>0\)。由引理 0FJQ，可选取 \(x\in I\)， 使得 \(x\) 是非零因子，且 \(x\bmod I^2\) 生成 \(F\) 中一个同构于 \(R/I\) 的直和项。考虑环 \(R'=R/(x)\) 和理想 \(I'=I/(x)\)。 显然 \(R'/I'=R/I\)。短正合列 \[0 \to R/I \xrightarrow{x} I/xI \to I' \to 0\] 分裂，因为映射 \(I/xI\to I/I^2\) 将 \(xR/xI\) 映为一个直和项。 现在 \(I/xI=I\otimes_R^\mathbf{L}R'\) 在 \(R'\) 上具有有限投射维数， 参见《代数详论》引理 066Q 和 066W。故直和项 \(I'\) 在 \(R'\) 上具有 有限投射维数。另一方面，有短正合列 \(0\to xR/xI\to I/I^2\to I'/(I')^2\to0\)，从而 \(I'/(I')^2\) 具有秩为 \(r-1\) 的自由直和项 \(F'=F/(R/I\cdot x)\)。对 \(r\) 作归纳，可选取正则序列 \(x'_2,\ldots,x'_r\in I'\)，使其同余类自由生成 \(F'\)。 令 \(x_1=x\)，并任取 \(R\) 中提升 \(x'_1,\ldots,x'_r\) 的元素 \(x_2,\ldots,x_r\)，即可得到引理结论。

命题

设 \(R\) 是诺特环，\(I\subset R\) 是具有有限投射维数的理想，并且 \(I/I^2\) 在 \(R/I\) 上有限局部自由。则 \(I\) 是正则理想 （《代数详论》定义 07CV）。

证明

由《代数》引理 061L， 只须证明对每个 \(\mathfrak p\supset I\)， \(I_\mathfrak p\subset R_\mathfrak p\) 由正则序列生成。 故可假设 \(R\) 是局部环。若 \(I/I^2\) 的秩为 \(r\)，则由引理 0FJR，存在生成 \(I/I^2\) 的正则序列 \(x_1,\ldots,x_r\in I\)。由 Nakayama 引理（《代数》引理 00DV），\(I\) 由 \(x_1,\ldots,x_r\) 生成。

对任意环的局部完全交同态 \(A\to B\)，朴素余切复形 \(\NL_{B/A}\) 是 Tor 振幅位于 \([-1,0]\) 的完美复形，参见《代数详论》引理 0FV0。利用上述结果，可以证明这在某些情形 刻画局部完全交同态。

引理

设 \(A\to B\) 是诺特环之间的完美环同态（《代数详论》定义 067H）。下列条件等价：

1. \(\NL_{B/A}\) 的 Tor 振幅位于 \([-1,0]\)；

2. \(\NL_{B/A}\) 是 \(D(B)\) 中 Tor 振幅位于 \([-1,0]\) 的完美对象；

3. \(A\to B\) 是局部完全交（《代数详论》定义 07D0）。

证明

将 \(B\) 写成 \(A[x_1,\ldots,x_n]/I\)。则 \(\NL_{B/A}\) 由 \(B\)-模复形 \[I/I^2 \longrightarrow \bigoplus B \text{d}x_i\] 表示，其中 \(I/I^2\) 放在次数 \(-1\)。由于次数 \(0\) 项有限自由， 该复形的 Tor 振幅位于 \([-1,0]\)，当且仅当 \(I/I^2\) 是平坦 \(B\)-模， 参见《代数详论》引理 0653。 由于 \(I/I^2\) 是有限 \(B\)-模且 \(B\) 诺特，这又等价于 \(I/I^2\) 是有限局部自由 \(B\)-模（《代数》引理 00NX）。因此 (1) 与 (2) 的等价性显然。 此外，应用命题 0FJS，并注意正则理想既是 Koszul 正则理想也是拟正则理想（参见《代数详论》第 07CU 节），也得到 (1) 与 (3) 的等价性。

引理

设 \(A\to B\) 是有限表示的平坦环同态。下列条件等价：

1. \(\NL_{B/A}\) 的 Tor 振幅位于 \([-1,0]\)；

2. \(\NL_{B/A}\) 是 \(D(B)\) 中 Tor 振幅位于 \([-1,0]\) 的完美对象；

3. \(A\to B\) 是 syntomic 同态（《代数》定义 00SL）；

4. \(A\to B\) 是局部完全交（《代数详论》定义 07D0）。

证明

(3) 与 (4) 的等价性是《代数详论》引理 07D3。

若 \(A\to B\) 是 syntomic 同态，则可找到余笛卡尔图 \[\xymatrix{ B_0 \ar[r] & B \\ A_0 \ar[r] \ar[u] & A \ar[u] }\] ，使得 \(A_0\to B_0\) 是 syntomic 同态且 \(A_0\) 诺特，参见《代数》引理 00R1 和 0C33。由引理 0FJT， \(\NL_{B_0/A_0}\) 是 Tor 振幅位于 \([-1,0]\) 的完美对象。 由《代数详论》引理 0FJU， \(\NL_{B/A}=\NL_{B_0/A_0}\otimes_{B_0}^\mathbf{L}B\) 也具有同样性质 （另见《代数详论》引理 066L 和 066W）。这证明 (3) 蕴含 (2)。

假设 (1)。由《代数详论》引理 0FJU，对每个以域 \(k\) 为目标的 环同态 \(A\to k\)，\(\NL_{B\otimes_Ak/k}\) 的 Tor 振幅位于 \([-1,0]\)（参见《代数详论》引理 066L）。故由引理 0FJT，\(k\to B\otimes_Ak\) 是局部完全交同态。 于是按定义 \(A\to B\) 是 syntomic 同态。这证明 (1) 蕴含 (3)， 并完成证明。

Koszul 复形与 Tate 分辨

本节把《代数详论》引理 0921 的结论“提升”到 带有与微分分次结构相容的除幂的微分分次代数范畴中（请注意，本节把 Koszul 复形表示为链复形，而上述引文中使用的是上链复形）。

设 \(R\) 是环。设 \(I \subset R\) 是由 \(f_1, \ldots, f_r \in R\) 生成的 理想。对 \(n \geq 1\)，记 \[K_n = K_{n, \bullet} = R\langle \xi_1, \ldots, \xi_r\rangle\] 为微分分次 Koszul 代数，其中 \(\xi_i\) 的次数为 \(1\)，且 \(\text{d}(\xi_i) = f_i^n\)。其上存在唯一的除幂结构（如定义 09PJ 中所述），见例 09PH。对 \(m > n\)，转移映射 \(K_m \to K_n\) 是与除幂相容的微分分次代数映射，它把 \(\xi_i\) 送到 \(f_i^{m - n}\xi_i\)。

引理

在上述情形中，若 \(R\) 是诺特环，则对每个 \(n\)，存在 \(N \geq n\) 以及映射 \[K_N \to A \to R/(f_1^N, \ldots, f_r^N)\quad\text{以及}\quad A \to K_n\] 满足下列性质：

1. \((A, \text{d}, \gamma)\) 如定义 09PJ 所述；

2. \(A \to R/(f_1^N, \ldots, f_r^N)\) 是拟同构；

3. 复合 \(K_N \to A \to R/(f_1^N, \ldots, f_r^N)\) 是典范映射；

4. 复合 \(K_N \to A \to K_n\) 是转移映射；

5. \(A_0 = R \to R/(f_1^N, \ldots, f_r^N)\) 是典范满射；

6. \(A\) 是 \(R\) 上的分次除幂多项式代数，且每个次数中只有有限多个 生成元；以及

7. \(A \to K_n\) 是与除幂相容的微分分次 \(R\)-代数同态，并在 \(0\) 次同调上诱导典范映射 \(R/(f_1^N, \ldots, f_r^N) \to R/(f_1^n, \ldots, f_r^n)\)。

条件 (4) 意味着，\(A\) 是从 \(A_0\) 出发，依照例 09PH 或 09PI， 在每个次数 \(> 0\) 中逐次添加有限集变量 \(T\) 构造而成的。

证明

固定 \(n\)。若 \(r = 0\)，则可直接取 \(A = R\)。假设 \(r > 0\)。由 《代数详论》引理 0921 （将其改写为链复形的语言），可选取 \[n_{r} > n_{r - 1} > \ldots > n_1 > n_0 = n\] 使得 Koszul 代数上的转移映射 \(K_{n_{i + 1}} \to K_{n_i}\)（见上） 在次数 \(> 0\) 的同调上诱导零映射。我们将取 \(N = n_r\) 来证明本引理。

我们完全按照引理 09PN 的陈述与证明来构造 \(A\)。于是将有 \[A = \colim A(m),\quad\text{且}\quad A(0) \to A(1) \to A(2) \to \ldots \to R/(f_1^N, \ldots, f_r^N)\] 这立即给出性质 (1)、(2)、(5) 和 (6)。为完成证明，我们将构造 \(R\)-代数映射 \(K_N \to A \to K_n\)。具体构造如下：

1. 同构 \(A(1) \to K_N = K_{n_r}\)；

2. 映射 \(A(2) \to K_{n_{r - 1}}\)；

3. \(\ldots\)

4. 映射 \(A(r) \to K_{n_1}\)；

5. 映射 \(A(r + 1) \to K_{n_0} = K_n\)；以及

6. 映射 \(A \to K_n\)。

在每一步中，所构造的映射都位于以相容方式赋予除幂的微分分次代数之间； 每个映射都经由 Koszul 代数之间的转移映射与前一个映射相容，并在 \(0\) 次同调上诱导显然的典范映射。

回忆 \(A(0) = R\)。当 \(m = 1\) 时，引理 09PN 的证明选取 \(A(1) = R\langle T_1, \ldots, T_r\rangle\)，其中 \(T_i\) 的次数为 \(1\)，且 \(\text{d}(T_i) = f_i^N\)。也就是说，\(f_i^N\) 是 \(A(0) \to R/(f_1^N, \ldots, f_r^N)\) 的核的生成元。因此，对 \(A(1) \to K_N = K_{n_r}\) 使用映射 \[\varphi_1 : A(1) \longrightarrow K_{n_r},\quad T_i \longmapsto \xi_i\] 它是同构。

当 \(m = 2\) 时，引理 09PN 的证明中的构造选取 生成元 \(e_1, \ldots, e_t \in \Ker(\text{d} : A(1)_1 \to A(1)_0)\)。 接着取 \(A(2) = A(1)\langle T_1, \ldots, T_t\rangle\) 作为除幂多项式代数，其中 \(T_i\) 的次数为 \(2\)，且 \(\text{d}(T_i) = e_i\)。由于 \(\varphi_1(e_i)\) 是 \(K_{n_r}\) 中的 闭链，由上述对 \(n_r\) 与 \(n_{r - 1}\) 的选取可知，它在 \(K_{n_{r - 1}}\) 中的像是边界。因此可以构造交换图 \[\xymatrix{ A(1) \ar[d] \ar[r]_{\varphi_1} & K_{n_r} \ar[d] \\ A(2) \ar[r]^{\varphi_2} & K_{n_{r - 1}} }\] 方法是把 \(T_i\) 送到次数 \(2\) 中边界等于 \(\varphi_1(e_i)\) 之像的 一个元素。由除幂多项式代数的泛性质，映射 \(\varphi_2\) 存在，并与 微分和除幂相容。

对 \(m = 2, \ldots, r\)，完全以相同方式构造代数 \(A(m)\) 与映射 \(\varphi_m : A(m) \to K_{n_{r + 1 - m}}\)。

给定映射 \(A(r) \to K_{n_1}\)，可见复合 \(H_r(A(r)) \to H_r(K_{n_1}) \to H_r(K_{n_0}) \subset (K_{n_0})_r\) 为零，故可将其延拓为 \(A(r + 1) \to K_{n_0} = K_n\)，只需把 \(A(r + 1)\) 的新多项式生成元送到零。

构造出 \(A(r + 1) \to K_{n_0} = K_n\) 后，只需把新的多项式生成元 送到零，即可按唯一可能的方式延拓到 \(A(r + 2), A(r + 3), \ldots\)。证明完毕。

注

在上述情形中，若 \(R\) 是诺特环，则可归纳地选取整数列 \(1 = n_0 < n_1 < n_2 < \ldots\)，使得对 \(i = 1, 2, 3, \ldots\)，存在引理 0GZ4 中的映射 \(K_{n_i} \to A_i \to R/(f_1^{n_i}, \ldots, f_r^{n_i})\) 与 \(A_i \to K_{n_{i - 1}}\)。把复合 \(A_{i + 1} \to K_{n_i} \to A_i\) 记作 \(A_{i + 1} \to A_i\)。 则图 \[\xymatrix{ K_{n_1} \ar[d] & K_{n_2} \ar[d] \ar[l] & K_{n_3} \ar[d] \ar[l] & \ldots \ar[l] \\ A_1 \ar[d] & A_2 \ar[l] \ar[d] & A_3 \ar[l] \ar[d] & \ldots \ar[l] \\ K_1 & K_{n_1} \ar[l] & K_{n_2} \ar[l] & \ldots \ar[l] }\] 交换。由此可见，在带有相容除幂的微分分次 \(R\)-代数范畴中，逆系统 \((K_n)\) 与 \((A_n)\) 是 pro-同构的。

引理

设 \((A, \text{d}, \gamma)\)、\(d \geq 1\)、\(f \in A_{d - 1}\) 以及 \(A\langle T \rangle\) 如引理 09PM 中所述。

1. 若 \(d = 1\)，则有长正合列 \[\ldots \to H_0(A) \xrightarrow{f} H_0(A) \to H_0(A\langle T \rangle) \to 0\]

2. 当 \(d = 2\) 时，存在有界谱序列 \((E_1)_{i, j} = H_{j - i}(A) \cdot T^{[i]}\) 收敛到 \(H_{i + j}(A\langle T \rangle)\)。微分 \((d_1)_{i, j} : H_{j - i}(A) \cdot T^{[i]} \to H_{j - i + 1}(A) \cdot T^{[i - 1]}\) 把 \(\xi \cdot T^{[i]}\) 送到 \(f \xi \cdot T^{[i - 1]}\) 的类。

3. 根据需要在此补充其他次数的情形。

证明

当 \(d = 1\) 时，有复形的短正合列 \[0 \to A \to A\langle T \rangle \to A \cdot T \to 0\] 由此容易得到结论 (1)。当 \(d = 2\) 时，把 \(A\langle T \rangle\) 视为带有子复形 \[F^pA\langle T \rangle = \bigoplus\nolimits_{i \leq p} A \cdot T^{[i]}\] 的滤过链复形。应用《同调代数》第 012K 节的谱序列（将其改写为链复形） 即得 (2)。

稍后将用到下述引理。

引理

在上述情形中，对所有 \(n \geq t \geq 1\)，存在 \(N > n\) 以及映射 \[K_t \longrightarrow K_n \otimes_R K_t\] 位于左微分分次 \(K_N\)-模的导出范畴中，使它与乘法映射的复合 （无论按哪个方向复合）都是转移映射。

证明

先对 \(r = 1\) 证明。令 \(f = f_1\)。写 \(K_t = R\langle x \rangle\)、 \(K_n = R\langle y \rangle\) 与 \(K_N = R\langle z \rangle\)，其中 \(x\)、\(y\)、\(z\) 的次数均为 \(1\)，且 \(\text{d}(x) = f^t\)、\(\text{d}(y) = f^n\)、\(\text{d}(z) = f^N\)。 我们断言，对所有 \(N > t\)，存在拟同构 \[B_{N, t} = R\langle x, z, u \rangle \longrightarrow K_t,\quad x \mapsto x,\quad z \mapsto f^{N - t}x,\quad u \mapsto 0\] 这里左端表示变量 \(x,z\) 的次数为 \(1\)、变量 \(u\) 的次数为 \(2\) 的 除幂多项式代数，并且 \(\text{d}(x) = f^t\)、\(\text{d}(z) = f^N\)、且 \(\text{d}(u) = z - f^{N - t}x\)。为证明该断言，注意 \(H_*(R\langle x, z\rangle)\) 的下列三个子模相同：

1. \(H_*(R\langle x, z\rangle) \to H_*(K_t)\) 的核；

2. 映射 \(z - f^{N - t}x : H_*(R\langle x, z\rangle) \to H_*(R\langle x, z\rangle)\) 的像；以及

3. 映射 \(z - f^{N - t}x : H_*(R\langle x, z\rangle) \to H_*(R\langle x, z\rangle)\) 的核。

这一点可由直接计算证明⁴， 计算从略。再应用引理 0GZ6 的第 (2) 部分， 即可得出该断言。

通过把 \(z\) 送到 \(z\) 的微分分次 \(R\)-代数同态 \(K_N \to B_{N, t}\)，可把 \(B_{N, t} \to K_t\) 看作左微分分次 \(K_N\)-模的拟同构。为定义引理陈述中的箭头，我们使用同态 \[B_{N, t} = R\langle x, z, u \rangle \to K_n \otimes_R K_t,\quad x \mapsto 1 \otimes x,\quad z \mapsto f^{N - n}y \otimes 1,\quad u \mapsto - f^{N - n - t}y \otimes x\] 只要假设 \(N \geq n + t\)，这就有意义。一个简单明快的计算表明， 它与乘法映射的（前复合或后复合）是转移映射。

当 \(r > 1\) 时，把每个 Koszul 代数写成单变量 Koszul 代数的张量积， 并应用上述构造。换言之，写 \[K_t = R\langle x_1, \ldots, x_r\rangle = R\langle x_1\rangle \otimes_R \ldots \otimes_R R\langle x_r\rangle\] 其中 \(x_i\) 的次数为 \(1\)，且 \(\text{d}(x_i) = f_i^t\)。在 \(r > 1\) 的情形下，使用 \[B_{N, t} = R\langle x_1, z_1, u_1 \rangle \otimes_R \ldots \otimes_R R\langle x_r, z_r, u_r \rangle\] 其中 \(x_i,z_i\) 的次数为 \(1\)，\(u_i\) 的次数为 \(2\)，并且 \(\text{d}(x_i) = f_i^t\)、\(\text{d}(z_i) = f_i^N\)、且 \(\text{d}(u_i) = z_i - f_i^{N - t}x_i\)。张量积映射 \(B_{N, t} \to K_t\) 是拟同构，因为它是自由 \(R\)-模的上有界复形之间 诸拟同构的张量积。最后，将映射 \[B_{N, t} \to K_n \otimes_R K_t = R\langle y_1, \ldots, y_r\rangle \otimes_R R\langle x_1, \ldots, x_r\rangle\] 定义为 \(r = 1\) 情形中所构造映射的张量积；也可直接用规则 \(x_i \mapsto 1 \otimes x_i\)、 \(z_i \mapsto f_i^{N - n}y_i \otimes 1\) 与 \(u_i \mapsto - f_i^{N - n - t}y_i \otimes x_i\) 来定义，只要 \(N \geq n + t\)，这些规则就有意义。细节从略。