叠的例子

引言

本章讨论代数几何中叠的一些例子。其中有些是代数叠，有些则不是。 我们将在后续章节讨论哪些例子是代数叠。因此，本章主要关注下降条件； 例如可参见 [Vis2]。

本章中的某些记号、约定和术语并不自然，对经验丰富的读者而言甚至可能 显得前后颠倒。这是有意为之。解释参见《Quot 空间与 Hilbert 空间》第 05X6 节。

记号

本章固定一个合适的大 fppf 位点 \(\Sch_{fppf}\)，如《概形上的拓扑》定义 021R 所述。因此，除非另有明示， 所有概形都是 \(\Sch_{fppf}\) 的对象。我们始终相对于包含在 \(\Sch_{fppf}\) 中的一个基 \(S\) 工作，并使用大 fppf 位点 \((\Sch/S)_{fppf}\)；参见《概形上的拓扑》定义 021S。取 \(S = \Spec(\mathbf{Z})\) 即可恢复绝对情形。

叠的例子

我们先给出 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上叠的若干重要例子。

拟凝聚层

如下定义范畴 \(\QCohstack\)：

1. \(\QCohstack\) 的对象是二元组 \((X, \mathcal{F})\)，其中 \(X/S\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的对象，而 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模；

2. 态射 \((f, \varphi) : (Y, \mathcal{G}) \to (X, \mathcal{F})\) 是一个二元组，由 \(S\) 上概形的态射 \(f : Y \to X\) 以及 \(f\)-映射 （参见《空间上的层》第 0094 节） \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 组成；

3. 态射 \[(Z, \mathcal{H}) \xrightarrow{(g, \psi)} (Y, \mathcal{G}) \xrightarrow{(f, \phi)} (X, \mathcal{F})\] 的复合是 \((f \circ g, \psi \circ \phi)\)，其中 \(\psi \circ \phi\) 是 \(f\)-映射的复合。

于是 \(\QCohstack\) 是一个范畴，并且 \[p : \QCohstack \to (\Sch/S)_{fppf}, \quad (X, \mathcal{F}) \mapsto X\] 是函子。注意，\(\QCohstack\) 在概形 \(X\) 上的纤维范畴，是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模范畴 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 的反范畴。 为供后文使用，我们还指出：给定 \((X, \mathcal{F}), (Y, \mathcal{G}) \in \Ob(\QCohstack)\) ，有 [04U2]\[\begin{equation} \Mor_{\QCohstack}((Y, \mathcal{G}), (X, \mathcal{F})) = \coprod\nolimits_{f \in \Mor_S(Y, X)} \Mor_{\QCoh(\mathcal{O}_Y)}(f^*\mathcal{F}, \mathcal{G}) \end{equation}\] 关于模的 \(f\)-映射的讨论，参见《空间上的层》第 0094 节。

范畴 \(\QCohstack\) 不是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的叠，因为它的对象全体 是一个真类。另一方面，我们将看到它确实满足叠的全部公理。 第 0404 节 将规避这一集合论问题。

引理

\(\QCohstack\) 的态射 \((f, \varphi) : (Y, \mathcal{G}) \to (X, \mathcal{F})\) 是强笛卡尔态射，当且仅当映射 \(\varphi\) 诱导同构 \(f^*\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)。

证明

设 \((X, \mathcal{F}) \in \Ob(\QCohstack)\)，并设 \(f : Y \to X\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的态射。注意，存在典范的 \(f\)-映射 \(c : \mathcal{F} \to f^*\mathcal{F}\)，因而得到态射 \((f, c) : (Y, f^*\mathcal{F}) \to (X, \mathcal{F})\). 我们断言 \((f, c)\) 是强笛卡尔态射。事实上，对 \(\QCohstack\) 的任意对象 \((Z, \mathcal{H})\)，有 \[\begin{align*} \Mor_{\QCohstack}((Z, \mathcal{H}), (Y, f^*\mathcal{F})) & = \coprod\nolimits_{g \in \Mor_S(Z, Y)} \Mor_{\QCoh(\mathcal{O}_Z)}(g^*f^*\mathcal{F}, \mathcal{H}) \\ & = \coprod\nolimits_{g \in \Mor_S(Z, Y)} \Mor_{\QCoh(\mathcal{O}_Z)}((f \circ g)^*\mathcal{F}, \mathcal{H}) \\ & = \Mor_{\QCohstack}((Z, \mathcal{H}), (X, \mathcal{F})) \times_{\Mor_S(Z, X)} \Mor_S(Z, Y) \end{align*}\] 这里两次使用了式 (04U2)。这证明 \((f, c)\) 满足《范畴》定义 02XK 的条件，故断言成立。由《范畴》引理 02XL，同构都是强笛卡尔态射， 而强笛卡尔态射的复合仍是强笛卡尔态射；这证明了引理的充分性。 反过来，给定 \((X, \mathcal{F})\) 与 \(f : Y \to X\)，若存在以 \((X, \mathcal{F})\) 为目标、提升 \(f\) 的强笛卡尔态射，则它必与 \((f, c)\) 同构（参见《范畴》定义 02XK 后的讨论）。因此引理的必要性也成立。

引理

函子 \(p : \QCohstack \to (\Sch/S)_{fppf}\) 满足《叠》定义 026F 的条件 (1)、(2) 与 (3)。

证明

由引理 04U3 可知， \(\QCohstack\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的纤维化范畴。给定 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的覆盖 \(\mathcal{U} = \{X_i \to X\}_{i \in I}\)，函子 \[\QCoh(\mathcal{O}_X) \longrightarrow DD(\mathcal{U})\] 是全忠实且本质满的；参见《下降》命题 023T。因此可应用《叠》引理 02ZF，从而证明 \(\QCohstack\) 满足叠的全部公理。

有限型拟凝聚层的叠

事实证明，只考虑有限型拟凝聚模时，可以得到拟凝聚层的叠。用 \[p_{fg} : \QCohstack_{fg} \to (\Sch/S)_{fppf}\] 表示 \(\QCohstack\) 在 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的全子范畴，其对象是满足 \(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_T\)-模的二元组 \((T, \mathcal{F})\)。

引理

函子 \(p_{fg} : \QCohstack_{fg} \to (\Sch/S)_{fppf}\) 满足《叠》定义 026F 的条件 (1)、(2) 与 (3)。

证明

我们验证《叠》引理 04TU 的假设 (1)、(2)、(3)。 由引理 04U3，态射 \((Y, \mathcal{G}) \to (X, \mathcal{F})\) 是强笛卡尔态射，当且仅当它诱导同构 \(f^*\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)。由《模层》引理 01B6，有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模的拉回 仍为有限型。因此，《叠》引理 04TU 的假设 (1) 成立，而假设 (2) 显然成立。最后，为证明假设 (3)，需要证明：若 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，且 \(\{f_i : X_i \to X\}\) 是一个 fppf 覆盖，使每个 \(f_i^*\mathcal{F}\) 都为有限型，则 \(\mathcal{F}\) 也是有限型。 把 \(\mathcal{F}\) 限制到 \(X\) 的仿射开集后，问题归结为如下代数陈述： 设 \(R \to S\) 是有限表现忠实平坦环映射，\(M\) 是 \(R\)-模。若 \(M \otimes_R S\) 是有限生成 \(S\)-模，则 \(M\) 是有限生成 \(R\)-模。 这一代数事实的更强形式见《交换代数》引理 03C4。

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 是带环空间。

1. 有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模范畴的同构类构成集合。

2. 有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模范畴的同构类构成集合。

证明

(2) 中的范畴是 (1) 中范畴的全子范畴，故 (2) 由 (1) 得出。 考虑任意开覆盖 \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\)，并用 \(j_i : U_i \to X\) 表示包含映射。再考虑任意映射 \(r : I \to \mathbf{N}\)。若 \(\mathcal{F}\) 是一个 \(\mathcal{O}_X\)-模， 其在 \(U_i\) 上的限制可由 \(\mathcal{F}(U_i)\) 中至多 \(r(i)\) 个截面生成， 则 \(\mathcal{F}\) 是下列层的商： \[\mathcal{H}_{\mathcal{U}, r} = \bigoplus\nolimits_{i \in I} j_{i, !}\mathcal{O}_{U_i}^{\oplus r(i)}\] 按定义，若 \(\mathcal{F}\) 为有限型，则存在一个指标集为 \(I = X\) 的开覆盖 \(\mathcal{U}\)，使上述条件成立。因此，只需说明 \(\mathcal{U}\) 的可能选择构成 集合（这是显然的），\(r : I \to \mathbf{N}\) 的可能选择构成集合（也是显然的）， 并且对每个 \(\mathcal{U}\) 与 \(r\)，\(\mathcal{H}_{\mathcal{U}, r}\) 的商模的可能 选择构成集合。换言之，只需证明：给定一个 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{H}\)，其商的同构类至多构成集合。最后这一点很清楚，因为商映射 \(\mathcal{H} \to \mathcal{F}\) 的核可由 \(\prod_{U \subset X\text{ 开}} \mathcal{H}(U)\) 的幂集的一个子集参数化。

引理

存在子范畴 \(\QCohstack_{fg, small} \subset \QCohstack_{fg}\) ，它具有如下性质：

1. 包含函子 \(\QCohstack_{fg, small} \to \QCohstack_{fg}\) 全忠实且本质满；

2. 函子 \(p_{fg, small} : \QCohstack_{fg, small} \to (\Sch/S)_{fppf}\) 使 \(\QCohstack_{fg, small}\) 成为 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的叠。

证明

由引理 04U4 与 04U5 可知， \(p_{fg} : \QCohstack_{fg} \to (\Sch/S)_{fppf}\) 满足《叠》定义 026F 的 (1)、(2)、(3)，并满足《叠》注 03ZZ 的附加条件 (4)。因此，该注中的讨论 给出 \(\QCohstack_{fg, small}\)。

我们以后常作替换 \[\QCohstack_{fg} \leadsto \QCohstack_{fg, small}\] 而不再说明，并且略用记号，仍以 \(\QCohstack_{fg}\) 表示替换后的范畴。

注

注意，对某个无限基数 \(\kappa\)，若只考虑局部可由至多 \(\kappa\) 个截面生成的 拟凝聚层，则本节的全部讨论仍然成立；例如可取 \(\kappa = \aleph_0\)。

有限 étale 覆盖

如下定义范畴 \(\textit{F\'Et}\)：

1. \(\textit{F\'Et}\) 的对象是概形的有限 étale 态射 \(Y \to X\) （按我们的约定，这指 \((\Sch/S)_{fppf}\) 中的有限 étale 态射）；

2. \(\textit{F\'Et}\) 的态射 \((b, a) : (Y \to X) \to (Y' \to X')\) 是交换图 \[\xymatrix{ Y \ar[d] \ar[r]_b & Y' \ar[d] \\ X \ar[r]_a & X' }\] ，其中该图位于概形范畴中。

于是 \(\textit{F\'Et}\) 是一个范畴，并且 \[p : \textit{F\'Et} \to (\Sch/S)_{fppf}, \quad (Y \to X) \mapsto X\] 是函子。注意，\(\textit{F\'Et}\) 在概形 \(X\) 上的纤维范畴，正是 《基本群》第 0BL6 节所研究的范畴 \(\textit{F\'Et}_X\)。

引理

函子 \[p : \textit{F\'Et} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] 定义了 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的叠。

证明

有限 étale 态射的 fppf 下降由《下降》引理 0245、 02LA 以及 02VN 得出。细节从略。

代数空间

如下定义范畴 \(\Spacesstack\)：

1. \(\Spacesstack\) 的对象是 \(S\) 上代数空间的态射 \(X \to U\)，其中 \(U\) 可由 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的一个对象表示；

2. 态射 \((f, g) : (X \to U) \to (Y \to V)\) 是交换图 \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r]_f & Y \ar[d] \\ U \ar[r]^g & V }\] ，其中各箭头都是 \(S\) 上代数空间的态射。

于是 \(\Spacesstack\) 是一个范畴，并且 \[p : \Spacesstack \to (\Sch/S)_{fppf}, \quad (X \to U) \mapsto U\] 是函子。注意，\(\Spacesstack\) 在概形 \(U\) 上的纤维范畴，正是 \(U\) 上 代数空间的范畴 \(\textit{Spaces}/U\)（参见《代数空间上的拓扑》第 03Y6 节）。因此，有时把 \(\Spacesstack\) 的对象视为二元组 \(X/U\)，它由概形 \(U\) 与 \(U\) 上的 代数空间 \(X\) 组成。为供后文使用，我们指出：给定 \((X/U), (Y/V) \in \Ob(\Spacesstack)\) ，有 [04U8]\[\begin{equation} \Mor_{\Spacesstack}(X/U, Y/V) = \coprod\nolimits_{g \in \Mor_S(U, V)} \Mor_{\textit{Spaces}/U}(X, U \times_{g, V} Y) \end{equation}\] 范畴 \(\Spacesstack\) 几乎是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的叠，但还不完全是。 问题出在集合论上，下面将予以说明。

引理

\(\Spacesstack\) 的态射 \((f, g) : X/U \to Y/V\) 是强笛卡尔态射， 当且仅当映射 \(f\) 诱导同构 \(X \to U \times_{g, V} Y\)。

证明

设 \(Y/V \in \Ob(\Spacesstack)\)，并设 \(g : U \to V\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的态射。注意，投影 \(p : U \times_{g, V} Y \to Y\) 给出态射

\((p, g) : U \times_{g, V} Y/U \to Y/V\)，它是 \(\Spacesstack\) 的态射。 我们断言 \((p, g)\) 是强笛卡尔态射。事实上，对 \(\Spacesstack\) 的任意对象 \(Z/W\)，有 \[\begin{align*} \Mor_{\Spacesstack}(Z/W, U \times_{g, V} Y/U) & = \coprod\nolimits_{h \in \Mor_S(W, U)} \Mor_{\textit{Spaces}/W}(Z, W \times_{h, U} U \times_{g, V} Y) \\ & = \coprod\nolimits_{h \in \Mor_S(W, U)} \Mor_{\textit{Spaces}/W}(Z, W \times_{g \circ h, V} Y) \\ & = \Mor_{\Spacesstack}(Z/W, Y/V) \times_{\Mor_S(W, V)} \Mor_S(W, U) \end{align*}\] 这里两次使用了式 (04U8)。这证明 \((p, g)\) 满足《范畴》定义 02XK 的条件， 故断言成立。由《范畴》引理 02XL，同构都是强笛卡尔态射， 而强笛卡尔态射的复合仍是强笛卡尔态射；这证明了引理的充分性。 反过来，给定 \(Y/V\) 与 \(g : U \to V\)，若存在以 \(Y/V\) 为目标、 提升 \(g\) 的强笛卡尔态射，则它必与 \((p, g)\) 同构（参见《范畴》定义 02XK 后的讨论）。因此引理的必要性也成立。

引理

函子 \(p : \Spacesstack \to (\Sch/S)_{fppf}\) 满足《叠》定义 026F 的条件 (1) 与 (2)。

证明

由引理 04U9 可知，\(\Spacesstack\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的纤维化范畴，这证明了 (1)。设 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的覆盖，设 \(X, Y\) 是 \(U\) 上的代数空间。最后，设 \(\varphi_i : X_{U_i} \to Y_{U_i}\) 是 \(\textit{Spaces}/U_i\) 的态射， 并且 \(\varphi_i\) 与 \(\varphi_j\) 在 \(U_i \times_U U_j\) 上都限制为 代数空间的同一态射 \(X_{U_i \times_U U_j} \to Y_{U_i \times_U U_j}\)。 为证明 (2)，需要说明存在唯一的 \(U\) 上态射 \(\varphi : X \to Y\)， 其到 \(U_i\) 的基变换等于 \(\varphi_i\)。从 \(X\) 到 \(Y\) 的态射等同于层的映射， 故这直接由《位点与层》引理 04TQ 得出。

注

暂且忽略集合论困难¹，\(\Spacesstack\) 也满足对象的下降，因而是叠。 具体而言，需要证明：给定

1. 一个 fppf 覆盖 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)；

2. 对每个 \(i \in I\)，一个代数空间 \(X_i/U_i\)；

3. 对每个 \(i, j \in I\)，一个代数空间的同构 \(\varphi_{ij} : X_i \times_U U_j \to U_i \times_U X_j\) ，它位于 \(U_i \times_U U_j\) 上，并在 \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\) 上满足上链条件。

则存在代数空间 \(X/U\) 以及 \(U_i\) 上的同构 \(X_{U_i} \cong X_i\)， 它们恢复同构 \(\varphi_{ij}\)。首先，由《位点与层》引理 04TR，存在 \((\Sch/U)_{fppf}\) 上的层 \(X\)， 它恢复 \(X_i\) 与 \(\varphi_{ij}\)。再由《自举》引理 04SK，\(X\) 是代数空间 （这里忽略该引理的集合论条件）。下一节将使用此论证证明：若只考虑 有限型代数空间，就会得到一个叠。

有限型代数空间的叠

事实证明，只考虑有限型代数空间时，可以得到代数空间的叠。用 \[p_{ft} : \Spacesstack_{ft} \to (\Sch/S)_{fppf}\] 表示 \(\Spacesstack\) 在 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的全子范畴，其对象是满足 \(X \to U\) 为有限型态射的二元组 \(X/U\)。

引理

函子 \(p_{ft} : \Spacesstack_{ft} \to (\Sch/S)_{fppf}\) 满足《叠》定义 026F 的条件 (1)、(2) 与 (3)。

证明

下面将把论证写得极为琐细（这可能反而让人难以看清思路）。

由引理 04U9 已知：若诱导态射 \(f : X \to U \times_V Y\) 是同构，则 \(\Spacesstack\) 的态射 \((f, g) : X/U \to Y/V\) 是强笛卡尔态射。注意，若 \(Y \to V\) 为有限型， 则 \(U \times_V Y \to U\) 也为有限型；参见《代数空间的态射》引理 03XH。因此，若 \(\Spacesstack\) 的态射 \((f, g) : X/U \to Y/V\) 是 \(\Spacesstack\) 中的强笛卡尔态射，且 \(Y/V\) 是 \(\Spacesstack_{ft}\) 的对象，则 \(X/U\) 自动也是 \(\Spacesstack_{ft}\) 的对象，当然 \((f, g)\) 在 \(\Spacesstack_{ft}\) 中 也为强笛卡尔态射。由此可知，\(\Spacesstack_{ft}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的纤维化范畴。这证明了 (1)。

上述论证还表明，包含函子 \(\Spacesstack_{ft} \to \Spacesstack\) 把强笛卡尔态射变为强笛卡尔态射。换言之， \(\Spacesstack_{ft} \to \Spacesstack\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上 纤维化范畴的一个 \(1\)-态射。

设 \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\)，并设 \(X, Y\) 是 \(U\) 上的有限型 代数空间。由《叠》引理 042V，得到预层的映射 \[\mathit{Mor}_{\Spacesstack_{ft}}(X, Y) \longrightarrow \mathit{Mor}_{\Spacesstack}(X, Y)\] 由于 \(\Spacesstack_{ft}\) 是 \(\Spacesstack\) 的全子范畴，该映射是同构。 引理 04UA 已证明右端是层，故左端也是层。 这证明了 (2)。

为证明《叠》定义 026F 的条件 (3)，需要证明：给定

1. \((\Sch/S)_{fppf}\) 的一个覆盖 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)；

2. 对每个 \(i \in I\)，一个 \(U_i\) 上的有限型代数空间 \(X_i\)；

3. 对每个 \(i, j \in I\)，一个代数空间的同构 \(\varphi_{ij} : X_i \times_U U_j \to U_i \times_U X_j\) ，它位于 \(U_i \times_U U_j\) 上，并在 \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\) 上满足上链条件。

则存在 \(U\) 上的有限型代数空间 \(X\)，以及 \(U_i\) 上的同构 \(X_{U_i} \cong X_i\)，它们恢复同构 \(\varphi_{ij}\)。这由《自举》引理 0ADV 的 (2) 得出。再由 《下降与代数空间》引理 041T， \(X \to U\) 是有限型态射，证明完毕。

引理

存在子范畴 \(\Spacesstack_{ft, small} \subset \Spacesstack_{ft}\) ，它具有如下性质：

1. 包含函子 \(\Spacesstack_{ft, small} \to \Spacesstack_{ft}\) 全忠实且本质满；

2. 函子 \(p_{ft, small} : \Spacesstack_{ft, small} \to (\Sch/S)_{fppf}\) 使 \(\Spacesstack_{ft, small}\) 成为 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的叠。

证明

由引理 04UD 已知， \(p_{ft} : \Spacesstack_{ft} \to (\Sch/S)_{fppf}\) 满足《叠》定义 026F 的 (1)、(2)、(3)。《叠》注 03ZZ 的附加条件 (4) 也成立，因为每个 \(S\) 上的代数空间 \(X\) 都可写成 \(U/R\)，其中 \(U, R \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\)；参见《代数空间》引理 0262。因此，对象的同构类只构成集合。 该注中的讨论于是给出 \(\Spacesstack_{ft, small}\)。

我们以后常作替换 \[\Spacesstack_{ft} \leadsto \Spacesstack_{ft, small}\] 而不再说明，并且略用记号，仍以 \(\Spacesstack_{ft}\) 表示替换后的范畴。

注

注意，若只考虑如下代数空间 \(X/U\)，则本节的全部讨论仍然成立：它们局部 为有限型，并且 \(U\) 的每个仿射开集在 \(X\) 中的原像可由可数多个仿射开集覆盖。 如有需要，还可以对一个基数 \(\kappa\) 引入 \(\kappa\)-型态射的概念 （即对环扩张生成元的数目，以及基中给定仿射开集上方仿射开集的基数， 分别施加某种界），于是可以完全依照上述方法构造叠 \[\Spacesstack_\kappa \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] （但须确保 \(\Sch\) 随 \(\kappa\) 而取得足够大）。

群胚叠的例子

上面的例子都是并非群胚叠的叠。本章余下部分将给出群胚叠在代数几何中的例子。

与层相联系的叠

设 \(F : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\) 是预层。由此得到集合纤维化范畴 \[p_F : \mathcal{S}_F \to (\Sch/S)_{fppf},\] 参见《范畴》例 04TM。它是集合叠，当且仅当 \(F\) 是层；参见《叠》引理 0432。

有限型拟凝聚层的群胚叠

设 \(p : \QCohstack_{fg} \to (\Sch/S)_{fppf}\) 是第 0404 节引入的叠 （沿用该处的略用记号）。按照《范畴》引理 03WQ 的步骤，可以把它变成群胚叠 \(p' : \QCohstack_{fg}' \to (\Sch/S)_{fppf}\)；参见《叠》引理 03YI。在此特例中，这仅意味着 \(\QCohstack_{fg}'\) 与 \(\QCohstack_{fg}\) 具有相同对象，但它的态射是二元组 \((f, g) : (U, \mathcal{F}) \to (U', \mathcal{F}')\)，其中 \(g\) 是同构 \(g : f^*\mathcal{F}' \to \mathcal{F}\)。

有限型代数空间的群胚叠

设 \(p : \Spacesstack_{ft} \to (\Sch/S)_{fppf}\) 是第 04UC 节引入的叠（沿用该处的略用记号）。 按照《范畴》引理 03WQ 的步骤， 可以把它变成群胚叠 \(p' : \Spacesstack_{ft}' \to (\Sch/S)_{fppf}\)； 参见《叠》引理 03YI。 在此特例中，这仅意味着 \(\Spacesstack_{ft}'\) 与 \(\Spacesstack_{ft}\) 具有 相同对象，即有限型态射 \(X \to U\)，其中 \(X\) 是 \(S\) 上的代数空间， \(U\) 是 \(S\) 上的概形。但态射 \((f, g) : X/U \to Y/V\) 现在是交换图 \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r]_f & Y \ar[d] \\ U \ar[r]^g & V }\] ，并且该图是笛卡尔的。

商叠

设 \((U, R, s, t, c)\) 是 \(S\) 上代数空间中的群胚。此时商叠 \[[U/R] \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] 按构造是群胚叠；参见《代数空间中的群胚》定义 044Q。甚至其 \(\mathit{Isom}\)-层也可由代数空间表示；参见《自举》引理 04TB。这些商叠在代数叠理论中具有 基础性的重要地位。

上述构造的一个特例，是与数据 \((B, G/B, m, X/B, a)\) 相联系的商叠 \[[X/G] \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] 。这里

1. \(B\) 是 \(S\) 上的代数空间；

2. \((G, m)\) 是 \(B\) 上的群代数空间；

3. \(X\) 是 \(B\) 上的代数空间；

4. \(a : G \times_B X \to X\) 是 \(G\) 在 \(X\) 上的 \(B\)-作用。

具体而言，由《代数空间中的群胚》定义 044Q，群胚叠 \([X/G]\) 就是上面给出的商叠 \([X/G \times_B X]\)。有必要具体说明范畴 \([X/G]\) 究竟是什么样子；这将在第 04UV 节完成。

挠子的分类

我们将仔细说明：研究群代数空间 \(G\) 或群层 \(\mathcal{G}\) 的挠子叠， 可以具有哪些不同含义。

群层的挠子

设 \(\mathcal{G}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的群层。对 \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\)，用 \(\mathcal{G}|_U\) 表示 \(\mathcal{G}\) 在 \((\Sch/U)_{fppf}\) 上的限制。如下定义范畴 \(\mathcal{G}\textit{-Torsors}\)：

1. \(\mathcal{G}\textit{-Torsors}\) 的对象是二元组 \((U, \mathcal{F})\)，其中 \(U\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的对象，而 \(\mathcal{F}\) 是一个 \(\mathcal{G}|_U\)-挠子；参见《位点上同调》定义 03AH。

2. 态射 \((U, \mathcal{F}) \to (V, \mathcal{H})\) 由二元组 \((f, \alpha)\) 给出，其中 \(f : U \to V\) 是 \(S\) 上概形的态射，而 \(\alpha : f^{-1}\mathcal{H} \to \mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{G}|_U\)-挠子的同构。

于是 \(\mathcal{G}\textit{-Torsors}\) 是一个范畴，并且 \[p : \mathcal{G}\textit{-Torsors} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}, \quad (U, \mathcal{F}) \longmapsto U\] 是函子。注意，\(\mathcal{G}\textit{-Torsors}\) 在 \(U\) 上的纤维范畴， 就是 \(\mathcal{G}|_U\)-挠子的范畴，而它是群胚。

引理

在作《叠》注 03ZZ 所述的替换后，函子 \[p : \mathcal{G}\textit{-Torsors} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] 定义了 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的群胚叠。

证明

证明中最困难的部分是说明对象满足下降。设 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的覆盖。假设对每个 \(i\) 给定一个 \(\mathcal{G}|_{U_i}\)-挠子 \(\mathcal{F}_i\)，并且对每个 \(i, j \in I\) 给定一个同构 \(\varphi_{ij} : \mathcal{F}_i|_{U_i \times_U U_j} \to \mathcal{F}_j|_{U_i \times_U U_j}\) ，它是 \(\mathcal{G}|_{U_i \times_U U_j}\)-挠子的同构，并在 \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\) 上满足适当的上链条件。于是，由 《位点与层》第 04TP 节，得到 \((\Sch/U)_{fppf}\) 上的层 \(\mathcal{F}\)；它在每个 \(U_i\) 上的限制恢复 \(\mathcal{F}_i\)，并恢复下降数据。由《位点与层》引理 04TS 中的范畴等价，作用映射 \(\mathcal{G}|_{U_i} \times \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_i\) 可黏合为映射 \(a : \mathcal{G}|_U \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)。现在需要证明 \(a\) 是作用，并且 \(\mathcal{F}\) 成为 \(\mathcal{G}|_U\)-挠子。这两个性质 都可局部检验，因而由各作用 \(\mathcal{G}|_{U_i} \times \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_i\) 的相应性质得出。 这证明 \(\mathcal{G}\textit{-Torsors}\) 中的对象满足下降。若干细节从略。

群层挠子的变体

小节 04UJ 的构造可以略作推广。具体而言，设 \(\mathcal{G} \to \mathcal{B}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上层的映射，并设 \[m : \mathcal{G} \times_\mathcal{B} \mathcal{G} \longrightarrow \mathcal{G}\] 是 \(\mathcal{G}/\mathcal{B}\) 上的群律。换言之，二元组 \((\mathcal{G}, m)\) 是拓扑斯 \(\Sh((\Sch/S)_{fppf})/\mathcal{B}\) 中的群对象。 关于拓扑斯的局部化，参见《位点与层》第 04GY 节。在此情形下，可以如下定义范畴 \(\mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors}\) （这里通过 Yoneda 嵌入把概形视为层）：

1. \(\mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors}\) 的对象是三元组 \((U, b, \mathcal{F})\)，其中

   1. \(U\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的对象；

   2. \(b : U \to \mathcal{B}\) 是 \(\mathcal{B}\) 在 \(U\) 上的截面；

   3. \(\mathcal{F}\) 是 \(U\) 上的 \(U \times_{b, \mathcal{B}}\mathcal{G}\)-挠子。

2. 态射 \((U, b, \mathcal{F}) \to (U', b', \mathcal{F}')\) 由二元组 \((f, g)\) 给出，其中 \(f : U \to U'\) 是 \(S\) 上概形的态射，满足 \(b = b' \circ f\)，而 \(g : f^{-1}\mathcal{F}' \to \mathcal{F}\) 是 \(U \times_{b, \mathcal{B}} \mathcal{G}\)-挠子的同构。

于是 \(\mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors}\) 是一个范畴，并且 \[p : \mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}, \quad (U, b, \mathcal{F}) \longmapsto U\] 是函子。注意，\(\mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors}\) 在 \(U\) 上的 纤维范畴，是遍历 \(b : U \to \mathcal{B}\) 所得各 \(U \times_{b, \mathcal{B}} \mathcal{G}\)-挠子范畴的不交并，因而是群胚。

在特例 \(\mathcal{B} = S\) 中，便恢复小节 04UJ 引入的范畴 \(\mathcal{G}\textit{-Torsors}\)。

引理

在作《叠》注 03ZZ 所述的替换后，函子 \[p : \mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] 定义了 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的群胚叠。

证明

本证明重复引理 04UK 的证明。 由于那里记号较为简洁，建议读者先阅读该证明。证明中最困难的部分是说明 对象满足下降。设 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的覆盖。假设对每个 \(i\) 给定二元组 \((b_i, \mathcal{F}_i)\)，它由态射 \(b_i : U_i \to \mathcal{B}\) 与 \(U_i \times_{b_i, \mathcal{B}} \mathcal{G}\)-挠子 \(\mathcal{F}_i\) 组成； 并且对每个 \(i, j \in I\)，有 \(b_i|_{U_i \times_U U_j} = b_j|_{U_i \times_U U_j}\)，且给定同构 \(\varphi_{ij} : \mathcal{F}_i|_{U_i \times_U U_j} \to \mathcal{F}_j|_{U_i \times_U U_j}\) ，它是 \((U_i \times_U U_j) \times_\mathcal{B} \mathcal{G}\)-挠子的同构， 并在 \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\) 上满足适当的上链条件。由 《位点与层》第 04TP 节，得到 \((\Sch/U)_{fppf}\) 上的层 \(\mathcal{F}\)；它在每个 \(U_i\) 上的限制恢复 \(\mathcal{F}_i\)，并恢复下降数据。由 \(\mathcal{B}\) 的层公理，各态射 \(b_i\) 来自唯一态射 \(b : U \to \mathcal{B}\)。由《位点与层》引理 04TS 中的范畴等价，各作用映射 \((U_i \times_{b_i, \mathcal{B}} \mathcal{G}) \times_{U_i} \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_i\) 黏合为映射 \((U \times_{b, \mathcal{B}} \mathcal{G}) \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\). 现在需要证明这是一个作用，并且 \(\mathcal{F}\) 成为 \(U \times_{b, \mathcal{B}} \mathcal{G}\)-挠子。这两个性质都可局部检验， 因而由各 \(\mathcal{F}_i\) 上作用的相应性质得出。这证明 \(\mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors}\) 中的对象满足下降。若干细节从略。

主齐性空间

设 \(B\) 是 \(S\) 上的代数空间，\(G\) 是 \(B\) 上的群代数空间。如下定义范畴 \(G\textit{-Principal}\)：

1. \(G\textit{-Principal}\) 的对象是三元组 \((U, b, X)\)，其中

   1. \(U\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的对象；

   2. \(b : U \to B\) 是 \(S\) 上的态射；

   3. \(X\) 是 \(U\) 上的主齐性 \(G_U\)-空间，其中 \(G_U = U \times_{b, B} G\)。

   参见《代数空间中的群胚》定义 04TY。

2. 态射 \((U, b, X) \to (U', b', X')\) 由二元组 \((f, g)\) 给出， 其中 \(f : U \to U'\) 是 \(B\) 上概形的态射，而 \(g : X \to U \times_{f, U'} X'\) 是主齐性 \(G_U\)-空间的同构。

于是 \(G\textit{-Principal}\) 是一个范畴，并且 \[p : G\textit{-Principal} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}, \quad (U, b, X) \longmapsto U\] 是函子。注意，\(G\textit{-Principal}\) 在 \(U\) 上的纤维范畴，是遍历 \(b : U \to B\) 所得各主齐性 \(U \times_{b, B} G\)-空间范畴的不交并， 因而是群胚。

在特例 \(S = B\) 中，对象就是二元组 \((U, X)\)，其中 \(U\) 是 \(S\) 上的概形， \(X\) 是 \(U\) 上的主齐性 \(G_U\)-空间；态射就是笛卡尔图 \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r]_g & X' \ar[d] \\ U \ar[r]^f & U' }\] ，其中 \(g\) 是 \(G\)-等变的。

注

我们猜想，在作《叠》注 03ZZ 所述的替换后，函子 \[p : G\textit{-Principal} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] 定义了 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的群胚叠。只要能证明如下命题，该猜想便成立：给定

1. \((\Sch/S)_{fppf}\) 的一个覆盖 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)；

2. \(U\) 上的一个群代数空间 \(H\)；

3. 对每个 \(i\)，一个 \(U_i\) 上的主齐性 \(H_{U_i}\)-空间 \(X_i\)；

4. \(H\)-等变同构 \(\varphi_{ij} : X_{i, U_i \times_U U_j} \to X_{j, U_i \times_U U_j}\) ，它们满足上链条件。

则存在 \(U\) 上的主齐性 \(H\)-空间 \(X\)，它恢复 \((X_i, \varphi_{ij})\)。 《自举》引理 04U1 的证明方法把这个问题 归结为集合论问题，所以忽略集合论问题的读者将“知道”结论为真。 https://math.columbia.edu/~dejong/wordpress/?p=591 给出了处理这一问题的一项建议。

主齐性空间的变体

设 \(S\) 是概形，设 \(B = S\)，并设 \(G\) 是 \(B = S\) 上的群概形。 在此情形下，可以定义全子范畴 \(G\textit{-Principal-Schemes} \subset G\textit{-Principal}\) ，其对象是二元组 \((U, X)\)，其中 \(U\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的对象， 而 \(X \to U\) 是 \(U\) 上可表的主齐性 \(G\)-空间，即一个概形。

一般而言，\(G\textit{-Principal-Schemes}\) 并不是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的 群胚叠。原因是确实存在并非概形的主齐性空间，所以对象的下降一般不成立。

fppf 拓扑中的挠子

设 \(B\) 是 \(S\) 上的代数空间，\(G\) 是 \(B\) 上的群代数空间。如下定义范畴 \(G\textit{-Torsors}\)：

1. \(G\textit{-Torsors}\) 的对象是三元组 \((U, b, X)\)，其中

   1. \(U\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的对象；

   2. \(b : U \to B\) 是一个态射；

   3. \(X\) 是 \(U\) 上的 fppf \(G_U\)-挠子，其中 \(G_U = U \times_{b, B} G\)。

   参见《代数空间中的群胚》定义 04TY。

2. 态射 \((U, b, X) \to (U', b', X')\) 由二元组 \((f, g)\) 给出， 其中 \(f : U \to U'\) 是 \(B\) 上概形的态射，而 \(g : X \to U \times_{f, U'} X'\) 是 \(G_U\)-挠子的同构。

于是 \(G\textit{-Torsors}\) 是一个范畴，并且 \[p : G\textit{-Torsors} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}, \quad (U, a, X) \longmapsto U\] 是函子。注意，\(G\textit{-Torsors}\) 在 \(U\) 上的纤维范畴，是遍历 \(b : U \to B\) 所得各 fppf \(U \times_{b, B} G\)-挠子范畴的不交并， 因而是群胚。

在特例 \(S = B\) 中，对象就是二元组 \((U, X)\)，其中 \(U\) 是 \(S\) 上的概形， \(X\) 是 \(U\) 上的 fppf \(G_U\)-挠子；态射就是笛卡尔图 \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r]_g & X' \ar[d] \\ U \ar[r]^f & U' }\] ，其中 \(g\) 是 \(G\)-等变的。

引理

在作《叠》注 03ZZ 所述的替换后，函子 \[p : G\textit{-Torsors} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] 定义了 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的群胚叠。

证明

证明中最困难的部分是说明对象满足下降，这正是《自举》引理 04U1。我们省略《叠》定义 02ZI 的公理 (1) 与 (2) 的证明。

引理

设 \(B\) 是 \(S\) 上的代数空间，\(G\) 是 \(B\) 上的群代数空间。分别用 \(\mathcal{G}\)、\(\mathcal{B}\) 表示把代数空间 \(G\)、\(B\) 视为 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的层。函子 \[G\textit{-Torsors} \longrightarrow \mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors}\] 把三元组 \((U, b, X)\) 映到三元组 \((U, b, \mathcal{X})\)，其中 \(\mathcal{X}\) 是视为层的 \(X\)；该函子是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚叠的等价。

证明

使用《叠》引理 046N 的结论。 \(S\) 上代数空间的范畴是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上层范畴的全子范畴， 故该函子全忠实。此外，两边的所有对象都是局部平凡挠子，所以上述引理的 条件 (2) 成立。因此该函子是等价。

fppf 拓扑中挠子的变体

设 \(S\) 是概形，设 \(B = S\)，并设 \(G\) 是 \(B = S\) 上的群概形。 在此情形下，可以定义全子范畴 \(G\textit{-Torsors-Schemes} \subset G\textit{-Torsors}\) ，其对象是二元组 \((U, X)\)，其中 \(U\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的对象， 而 \(X \to U\) 是 \(U\) 上可表的 fppf \(G\)-挠子，即一个概形。

一般而言，\(G\textit{-Torsors-Schemes}\) 并不是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的 群胚叠。原因是确实存在并非概形的 fppf \(G\)-挠子，所以对象的下降一般不成立。

群作用的商

至此已经引入了足够的记号，可以更具体地说明第 04UI 节的叠 \([X/G]\) 是什么样子。

情形

这里

1. \(S\) 是包含在 \(\Sch_{fppf}\) 中的概形；

2. \(B\) 是 \(S\) 上的代数空间；

3. \((G, m)\) 是 \(B\) 上的群代数空间；

4. \(\pi : X \to B\) 是 \(B\) 上的代数空间；

5. \(a : G \times_B X \to X\) 是 \(G\) 在 \(X\) 上的 \(B\)-作用。

在此情形下，如下构造范畴 \([[X/G]]\)²：

1. \([[X/G]]\) 的对象是四元组 \((U, b, P, \varphi : P \to X)\)，其中

   1. \(U\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的对象；

   2. \(b : U \to B\) 是 \(S\) 上的态射；

   3. \(P\) 是 \(U\) 上的 fppf \(G_U\)-挠子，其中 \(G_U = U \times_{b, B} G\)；

   4. \(\varphi : P \to X\) 是 \(G\)-等变态射，并嵌入交换图 \[\xymatrix{ P \ar[d] \ar[r]_{\varphi} & X \ar[d] \\ U \ar[r]^b & B }\]

2. \([[X/G]]\) 的态射是二元组 \((f, g) : (U, b, P, \varphi) \to (U', b', P', \varphi')\) ，其中 \(f : U \to U'\) 是 \(B\) 上概形的态射，\(g : P \to P'\) 是位于 \(f\) 上方的 \(G\)-等变态射，它诱导同构 \(P \cong U \times_{f, U'} P'\)， 并满足 \(\varphi = \varphi' \circ g\)。换言之，\((f, g)\) 嵌入交换图 \[\xymatrix{ P \ar[d] \ar[rrrd]_\varphi \ar[r]^g & P' \ar[d] \ar[rrd]^{\varphi'} \\ U \ar[rrrd]_b \ar[r]^f & U' \ar[rrd]^{b'} & & X \ar[d] \\ & & & B }\]

于是 \([[X/G]]\) 是一个范畴，并且 \[p : [[X/G]] \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}, \quad (U, b, P, \varphi) \longmapsto U\] 是函子。注意，\([[X/G]]\) 在 \(U\) 上的纤维范畴，是遍历 \(b \in \Mor_S(U, B)\) 所得如下对象范畴的不交并：配有到 \(X\) 的 \(G\)-等变态射的 fppf \(U \times_{b, B} G\)-挠子 \(P\)。因此， \([[X/G]]\) 的各纤维范畴都是群胚。

注意，函子 \[[[X/G]] \longrightarrow G\textit{-Torsors}, \quad (U, b, P, \varphi) \longmapsto (U, b, P)\] 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上范畴的一个 \(1\)-态射。

引理

在作《叠》注 03ZZ 所述的替换后，函子 \[p : [[X/G]] \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] 定义了 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的群胚叠。

证明

证明中最困难的部分是说明对象满足下降。设 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 中的覆盖。设 \(\xi_i = (U_i, b_i, P_i, \varphi_i)\) 是 \([[X/G]]\) 在 \(U_i\) 上的对象， 并设 \(\varphi_{ij} : \text{pr}_0^*\xi_i \to \text{pr}_1^*\xi_j\) 是一项下降数据。把上面的函子 \([[X/G]] \to G\textit{-Torsors}\) 应用于它，特别得到群胚叠 \(G\textit{-Torsors}\) 中三元组 \((U_i, b_i, P_i)\) 的下降数据。已经知道 \(G\textit{-Torsors}\) 是群胚叠 （引理 04US）。因此，可以假设对某个态射 \(b : U \to B\) 有 \(b_i = b|_{U_i}\)，并且对 \(U\) 上的某个 fppf \(G_U = U \times_{b, B} G\)-挠子 \(P\) 有 \(P_i = U_i \times_U P\)。 态射 \(\varphi_i\) 与各限制 \(U_i \times_U P\) 上的典范下降数据相容， 因而定义态射 \(\varphi : P \to X\)。（例如，可用《位点与层》引理 04TS，也可用《下降与代数空间》引理 04P2 得到 \(\varphi\)。）这证明了对象的下降。我们省略《叠》定义 02ZI 的公理 (1) 与 (2) 的证明。

命题

在情形 04WL 中，存在典范等价 \[[X/G] \longrightarrow [[X/G]]\] ，它是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚叠的等价。

证明

我们把细节完整写出，以确保所有定义恰好按正确方式配合。回忆，\([X/G]\) 是与代数空间中的群胚 \((X, G \times_B X, s, t, c)\) 相联系的商叠； 参见《代数空间中的群胚》定义 044Q。这意味着 \([X/G]\) 是与函子 \[(\Sch/S)_{fppf} \longrightarrow \textit{Groupoids}, \quad U \longmapsto (X(U), G(U) \times_{B(U)} X(U), s, t, c)\] 相联系的群胚纤维化范畴 \([X/_{\!p}G]\) 的叠化；这里 \(s(g, x) = x\)、\(t(g, x) = a(g, x)\)，并且 \(c((g, x), (g', x')) = (m(g, g'), x')\)。按《范畴》例 0049 的构造，\([X/_{\!p}G]\) 的对象是 二元组 \((U, x)\)，其中 \(x \in X(U)\)；而 \([X/_{\!p}G]\) 的态射 \((f, g) : (U, x) \to (U', x')\) 由概形态射 \(f : U \to U'\) 与元素 \(g \in G(U)\) 给出，并满足 \(a(g, x) = x' \circ f\)。因此，可以按如下规则 定义群胚叠的 \(1\)-态射 \[F_p : [X/_{\!p}G] \longrightarrow [[X/G]]\] 。在对象上令 \[F_p(U, x) = (U, \pi \circ x, G \times_{B, \pi \circ x} U, a \circ (\text{id}_G \times x))\] 这是有意义的，因为图 \[\xymatrix{ G \times_{B, \pi \circ x} U \ar[d] \ar[r]_{\text{id}_G \times x} & G \times_{B, \pi} X \ar[r]_-a & X \ar[d]^\pi \\ U \ar[rr]^{\pi \circ x} & & B }\] 交换；若把两个纤维积分别视为 \(U\)、\(X\) 上的平凡 \(G\)-挠子，则两条水平箭头 都是 \(G\)-等变的。在态射 \((f, g) : (U, x) \to (U', x')\) 上，令 \(F_p(f, g) = (f, R_{g^{-1}})\)，其中 \(R_{g^{-1}}\) 表示按 \(g\) 的逆元作右平移。 更精确地，态射 \(F_p(f, g) : F_p(U, x) \to F_p(U', x')\) 由笛卡尔图给出： \[\xymatrix{ G \times_{B, \pi \circ x} U \ar[d] \ar[r]_{R_{g^{-1}}} & G \times_{B, \pi \circ x'} U' \ar[d] \\ U \ar[r]^f & U' }\] 其中 \(R_{g^{-1}}\) 在 \(T\)-值点上由下式给出： \[R_{g^{-1}}(g', u) = (m(g', i(g(u))), f(u))\] 为说明这一定义可行，需要验证 \[a \circ (\text{id}_G \times x) = a \circ (\text{id}_G \times x') \circ R_{g^{-1}}\] 。这确实成立，因为右端作用于 \(T\)-值点 \((g', u)\) 后，给出所需等式 \[\begin{align*} a((\text{id}_G \times x')(m(g', i(g(u))), f(u))) & = a(m(g', i(g(u))), x'(f(u))) \\ & = a(g', a(i(g(u)), x'(f(u)))) \\ & = a(g', x(u)) \end{align*}\] ；这里使用了 \(a(g, x) = x' \circ f\)，从而 \(a(i(g), x' \circ f) = x\)。

由《叠》引理 0436 所给叠化的泛性质，上述 \(1\)-态射 \(F_p\) 具有典范延拓 \(F : [X/G] \to [[X/G]]\)。先证明 \(F\) 全忠实。由于源与目标都是群胚叠， 只需证明 \(F\) 识别各 \(\mathit{Isom}\)-层。选取概形 \(U\) 以及 \([X/G]\) 在 \(U\) 上的对象 \(\xi, \xi'\)。我们要证明 \[F : \mathit{Isom}_{[X/G]}(\xi, \xi') \longrightarrow \mathit{Isom}_{[[X/G]]}(F(\xi), F(\xi'))\] 是层的同构。只需在 \(U\) 上局部地验证这一点，故可假设 \(\xi, \xi'\) 来自 \([X/_{\!p}G]\) 在 \(U\) 上的对象 \((U, x)\)、\((U, x')\)；这直接由叠化的构造 得出，《代数空间中的群胚》第 04MB 节也给出了详细说明。 直接使用上面对 \([X/_{\!p}G]\) 中态射的描述，或使用《代数空间中的群胚》引理 044V，都可看出此时 \[\mathit{Isom}_{[X/G]}(\xi, \xi') = U \times_{(x, x'), X \times_S X, (s, t)} (G \times_B X)\] 。这个纤维积的 \(T\)-值点对应于二元组 \((u, g)\)，其中 \(u \in U(T)\)、\(g \in G(T)\)，并满足 \(a(g, x \circ u) = x' \circ u\)。（注意，这蕴含 \(\pi \circ x \circ u = \pi \circ x' \circ u\)。）另一方面，按定义， \(\mathit{Isom}_{[[X/G]]}(F(\xi), F(\xi'))\) 的 \(T\)-值点对应于满足 \(\pi \circ x \circ u = \pi \circ x' \circ u : T \to B\) 的态射 \(u : T \to U\)，以及同构 \[R : G \times_{B, \pi \circ x \circ u} T \longrightarrow G \times_{B, \pi \circ x' \circ u} T\] ；它是平凡 \(G_T\)-挠子的同构，并与给定的到 \(X\) 的映射相容。 由于挠子平凡，存在某个 \(g \in G(T)\)，使 \(R = R_{g^{-1}}\)（右乘）。它与映射 \(a \circ (1_G, x \circ u), a \circ (1_G, x' \circ u) : G \times_B T \to X\) 相容，当且仅当 \(a(g, x \circ u) = x' \circ u\)。因此得到所需的 \(\mathit{Isom}\)-层相等性。

既已知道 \(F\) 全忠实，便可应用《叠》引理 046N。因此，为证明 \(F\) 是等价，只需说明 \([[X/G]]\) 的对象在 fppf 局部属于 \(F\) 的本质像。 这一点很清楚，因为 fppf 挠子在 fppf 局部平凡。结论得证。

引理

设 \(S\) 是概形，\(B\) 是 \(S\) 上的代数空间，\(G\) 是 \(B\) 上的群代数空间。 则群胚叠 \[[B/G],\quad [[B/G]],\quad G\textit{-Torsors},\quad \mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors}\] 彼此典范等价。若 \(G \to B\) 平坦且局部有限表现，则它们还与 \(G\textit{-Principal}\) 等价。

证明

等价 \(G\textit{-Torsors} \to \mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors}\) 由引理 04UT 给出。等价 \([B/G] \to [[B/G]]\) 由命题 04WM 给出。展开第 04UV 节中 \([[B/G]]\) 的定义，可见

\([[B//G]] = G\textit{-Torsors}\)。

最后，假设 \(G \to B\) 平坦且局部有限表现。为证明自然函子 \(G\textit{-Torsors} \to G\textit{-Principal}\) 是等价，只需说明：对 \(B\) 上的概形 \(U\)，主齐性 \(G_U\)-空间 \(X \to U\) 在 fppf 局部平凡。 按主齐性空间的定义（《代数空间中的群胚》定义 04TY），存在 fpqc 覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，使得 \(U_i \times_U X \cong G \times_B U_i\) 是 \(U_i\) 上代数空间的同构。这蕴含 \(X \to U\) 满、平坦且局部有限表现； 参见《下降与代数空间》引理 041Q, 041W 以及 041T. 选取概形 \(W\) 与满 étale 态射 \(W \to X\)。由上可知， \(\{W \to U\}\) 是 fppf 覆盖，并且 \(X_W \to W\) 有截面。因此， \(X\) 是 fppf \(G_U\)-挠子。

注

设 \(S\) 是概形，\(G\) 是抽象群，\(X\) 是 \(S\) 上的代数空间，并设 \(G \to \text{Aut}_S(X)\) 是群同态。在此情形下，可类似于上文如下定义 \([[X/G]]\)：

1. \([[X/G]]\) 的对象是三元组 \((U, P, \varphi : P \to X)\)，其中

   1. \(U\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的对象；

   2. \(P\) 是 \((\Sch/U)_{fppf}\) 上的层，配有 \(G\) 的作用，使它成为 取值为 \(G\) 的常值层下的挠子；

   3. \(\varphi : P \to X\) 是 \(G\)-等变的层映射。

2. 态射 \((f, g) : (U, P, \varphi) \to (U', P', \varphi')\) 由概形态射

   \(f : T \to T'\) 与 \(G\)-等变同构 \(g : P \to f^{-1}P'\) 给出， 并满足 \(\varphi = \varphi' \circ g\)。

完全依照上文的方法，得到函子 \[[[X/G]] \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] ，它使 \([[X/G]]\) 成为 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的群胚叠。只要 \(G\) 的基数 不过大，常值层 \(\underline{G}\) 就可由 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的 \(G_S\) 表示； 而这个版本的 \([[X/G]]\) 与上面引入的叠 \([[X/G_S]]\) 等价。

Picard 叠

本节在完全一般的情形下引入 Picard 叠。在《Quot 空间与 Hilbert 空间》一章中， 我们将证明它在适当假设下是代数叠；参见该章第 0D02 节。

设 \(S\) 是概形，并设 \(\pi : X \to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。 如下定义范畴 \(\Picardstack_{X/B}\)：

1. 对象是三元组 \((U, b, \mathcal{L})\)，其中

   1. \(U\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的对象；

   2. \(b : U \to B\) 是 \(S\) 上的态射；

   3. \(\mathcal{L}\) 是基变换 \(X_U = U \times_{b, B} X\) 上的可逆层。

2. 态射 \((f, g) : (U, b, \mathcal{L}) \to (U', b', \mathcal{L}')\) 由 \(B\) 上的概形态射 \(f : U \to U'\) 与同构 \(g : f^*\mathcal{L}' \to \mathcal{L}\) 给出。

态射 \((f, g) : (U, b, \mathcal{L}) \to (U', b', \mathcal{L}')\) 与 \((f', g') : (U', b', \mathcal{L}') \to (U'', b'', \mathcal{L}'')\) 的复合由 \((f' \circ f, g \circ f^*(g'))\) 给出。这样得到范畴 \(\Picardstack_{X/B}\)，并且 \[p : \Picardstack_{X/B} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}, \quad (U, b, \mathcal{L}) \longmapsto U\] 是函子。注意，\(\Picardstack_{X/B}\) 在 \(U\) 上的纤维范畴，是遍历 \(b \in \Mor_S(U, B)\) 所得各 \(X_U = U \times_{b, B} X\) 上可逆层范畴的 不交并。因此，各纤维范畴都是群胚。

引理

在作《叠》注 03ZZ 所述的替换后，函子 \[\Picardstack_{X/B} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] 定义了 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的群胚叠。

证明

同往常一样，最困难的部分是说明对象满足下降。设 \(\{U_i \to U\}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的覆盖。设 \(\xi_i = (U_i, b_i, \mathcal{L}_i)\) 是 \(\Picardstack_{X/B}\) 在 \(U_i\) 上方的对象，并设 \(\varphi_{ij} : \text{pr}_0^*\xi_i \to \text{pr}_1^*\xi_j\) 是一项下降数据。特别地，这蕴含各态射 \(b_i\) 是某个态射 \(b : U \to B\) 的限制。记 \(X_U = U \times_{b, B} X\) 以及 \(X_i = U_i \times_{b_i, B} X = U_i \times_U U \times_{b, B} X = U_i \times_U X_U\). 注意，\(\mathcal{L}_i\) 是可逆 \(\mathcal{O}_{X_i}\)-模，而 \(\{X_i \to X_U\}\) 也构成 fppf 覆盖。此外，下降数据 \(\varphi_{ij}\) 转化为可逆层 \(\mathcal{L}_i\) 相对于 fppf 覆盖 \(\{X_i \to X_U\}\) 的下降数据。因此，由《下降与代数空间》命题 04W8，得到 \(X_U\) 上的唯一可逆层 \(\mathcal{L}\)，它在 \(X_i\) 上恢复 \(\mathcal{L}_i\) 与下降数据。 于是，三元组 \((U, b, \mathcal{L})\) 正是所求的 \(\Picardstack_{X/B}\) 在 \(U\) 上的对象。细节从略。

惯性叠的例子

下面给出一些惯性叠的例子。

例

设 \(S\) 是概形，\(G\) 是交换群，\(X \to S\) 是 \(S\) 上的概形，并设 \(a : G \times X \to X\) 是 \(G\) 在 \(X\) 上的作用。对 \(g \in G\)， 用 \(g : X \to X\) 表示相应的自同构。此时，\([X/G]\) 的惯性叠 （参见注 0371）由下式给出： \[I_{[X/G]} = \coprod\nolimits_{g\in G} [X^g/G],\] 其中，对 \(G\) 的元素 \(g\)，记号 \(X^g\) 表示概形 \(X^g = \{x \in X \mid g(x) = x\}\)。用公式表达，\(X^g\) 实际上是纤维积 \[X^g = X \times_{(1, 1), X \times_S X, (g, 1)} X.\] 事实上，对任意 \(S\)-概形 \(T\)，\([X/G]\) 的惯性叠的一个 \(T\)-点由三元组 \((P/T, \phi, \alpha)\) 构成：这里 \(P \to T\) 是 fppf \(G\)-挠子， \(\phi : P \to X\) 是 \(G\)-等变态射，而 \(\alpha\) 是 \(P\) 在 \(T\) 上的自同构， 满足 \(\phi \circ \alpha = \phi\)。由于 \(G\) 是交换群的层， 在 \(T\) 上的 fppf 拓扑中局部地，\(\alpha\) 由乘以 \(G\) 的某个元素 \(g\) 给出。 条件 \(\phi \circ \alpha = \phi\) 意味着 \(\phi\) 通过 \(X^g\) 到 \(X\) 的包含 分解；也就是说，\(\phi\) 由某个态射 \(P \to X^g\) 与该包含复合而得。 上述讨论允许定义纤维化范畴的态射 \(I_{[X/G]} \to \coprod_{g\in G} [X^g/G]\)；它在 \(T\)-点上由上面的讨论给出。 我们省略证明它是等价。

例

设 \(f : X \to S\) 是概形的态射。假设对任意 \(T \to S\)，基变换 \(f_T : X_T \to T\) 都具有如下性质：映射 \(\mathcal{O}_T \to f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T}\) 是同构。（这强于 \(f\) 在维数 \(0\) 上上同调平坦（此处插入未来的参考文献），并蕴含该性质。） 考虑 Picard 叠 \(\Picardstack_{X/S}\)；参见第 0372 节。它的惯性叠在 \(S\)-概形 \(T\) 上的点由二元组 \((\mathcal{L}, \alpha)\) 构成，其中 \(\mathcal{L}\) 是 \(X_T\) 上的线丛， \(\alpha\) 是该线丛的自同构。也就是说，由我们的条件，可以把 \(\alpha\) 视为 \(H^0(X_T, \mathcal{O}_{X_T})^\times = H^0(T, \mathcal{O}_T^*)\) 的元素。注意，\(H^0(T, \mathcal{O}_T^*) = \mathbf{G}_{m, S}(T)\)； 参见《群胚概形》例 022U。 因此，\(\Picardstack_{X/S}\) 的惯性叠为 \[I_{\Picardstack_{X/S}} = \mathbf{G}_{m, S} \times_S \Picardstack_{X/S}.\]

，这是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的叠。

有限 Hilbert 叠

我们在比严格所需稍为一般的情形下表述这一构造。固定 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚叠的一个 \(1\)-态射 \[F : \mathcal{X} \longrightarrow \mathcal{Y}\] 。对每个整数 \(d \geq 1\)，考虑如下定义的范畴 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\)：

1. 对象是五元组 \((U, Z, y, x, \alpha)\)，其中 \(U, Z\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的对象，而 \(Z\) 是 \(U\) 上次数 \(d\) 的有限局部自由对象，并且 \(y \in \Ob(\mathcal{Y}_U)\), \(x \in \Ob(\mathcal{X}_Z)\) ，\(\alpha : y|_Z \to F(x)\) 是同构³.

2. 态射 \((U, Z, y, x, \alpha) \to (U', Z', y', x', \alpha')\) 由概形态射 \(f : U \to U'\)、概形态射 \(g : Z \to Z'\) 以及同构 \(b : y \to f^*y'\)、\(a : x \to g^*x'\) 给出；其中该态射诱导同构

   \(Z \to Z' \times_U U'\)，而这些同构诱导交换图 \[\xymatrix{ y|_Z \ar[rr]_\alpha \ar[d]_{b|_Z} & & F(x) \ar[d]^{F(a)} \\ f^*y'|_Z \ar[rr]^{\alpha'} & & F(g^*x') \\ }\]

由定义显然存在典范遗忘函子 \[p : \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] ，它把五元组 \((U, Z, y, x, \alpha)\) 映到概形 \(U\)，并把态射 \((f, g, b, a) : (U, Z, y, x, \alpha) \to (U', Z', y', x', \alpha')\) 映到态射 \(f : U \to U'\)。

引理

配有上述函子 \(p\) 的范畴 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 定义了 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的群胚叠。

证明

同往常一样，最困难的部分是说明对象满足下降。设 \(\{U_i \to U\}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的覆盖。设 \(\xi_i = (U_i, Z_i, y_i, x_i, \alpha_i)\) 是 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 在 \(U_i\) 上方的对象，并设 \(\varphi_{ij} : \text{pr}_0^*\xi_i \to \text{pr}_1^*\xi_j\) 是一项下降数据。首先，\(\varphi_{ij}\) 诱导下降数据 \((Z_i/U_i, \varphi_{ij})\)；由《下降》引理 0245， 它是有效的。再由《下降》引理 02VO，这产生 次数 \(d\) 的有限局部自由概形 \(Z/U\)。以下把 \(Z_i\) 与 \(Z \times_U U_i\) 识别。其次，由于 \(\mathcal{Y}\) 是群胚叠，各纤维范畴 \(\mathcal{Y}_{U_i}\) 中的对象 \(y_i\) 下降为 \(\mathcal{Y}_U\) 中的对象 \(y\)。 类似地，由于 \(\mathcal{X}\) 是群胚叠，各纤维范畴 \(\mathcal{X}_{Z_i}\) 中的对象 \(x_i\) 下降为 \(\mathcal{X}_Z\) 中的对象 \(x\)。 最后，给定的同构 \[\alpha_i : (y|_Z)_{Z_i} = y_i|_{Z_i} \longrightarrow F(x_i) = F(x|_{Z_i})\] 可以黏合为态射 \(\alpha : y|_Z \to F(x)\)，因为

\(\mathcal{Y}\) 是叠，因而 \(\mathit{Isom}_\mathcal{Y}(y|_Z, F(x))\) 是层。 细节从略。

定义

把上面构造的 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 称为 \(\mathcal{X}\) 在 \(\mathcal{Y}\) 上次数 \(d\) 的有限 Hilbert 叠。 若 \(\mathcal{Y} = S\)，记 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}) = \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\). 若 \(\mathcal{X} = \mathcal{Y} = S\)，则记为 \(\mathcal{H}_d\)。

注意，给定上述 \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)，有如下 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上群胚叠的自然 \(1\)-态射： [05WD]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{H}_d(\mathcal{X}) \ar[rd] & \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \ar[d] \ar[l] \ar[r] & \mathcal{Y} \\ & \mathcal{H}_d } } \end{equation}\] 每条箭头都由一个“遗忘函子”给出。

引理

\(1\)-态射 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \to \mathcal{H}_d(\mathcal{X})\) 是忠实的。

证明

为验证 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \to \mathcal{H}_d(\mathcal{X})\) 忠实，只需证明它在各纤维范畴上忠实。设 \(\xi = (U, Z, y, x, \alpha)\) 与 \(\xi' = (U, Z', y', x', \alpha')\) 是 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 在概形 \(U\) 上的两个对象，并设 \((g, b, a), (g', b', a') : \xi \to \xi'\) 是 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) 在 \(U\) 上纤维范畴中的 两个态射。这两个态射在 \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X})\) 中的像相等， 当且仅当 \(g = g'\) 且 \(a = a'\)。此时交换图 \[\xymatrix{ y|_Z \ar[rr]_\alpha \ar[d]_{b|_Z, \ b'|_Z} & & F(x) \ar[d]^{F(a) = F(a')} \\ y'|_Z \ar[rr]^-{\alpha'} & & F(g^*x') = F((g')^*x') \\ }\] 蕴含 \(b|_Z = b'|_Z\)。由于 \(Z \to U\) 是次数 \(d\) 的有限局部自由态射， \(\{Z \to U\}\) 是 fppf 覆盖，故 \(b = b'\)。