\'Etale 上同调

引言

本章是关于概形 étale 上同调系列章节的第一章。本章讨论 étale 拓扑以及该拓扑中阿贝尔层上同调的最基本内容。所讨论的许多主题在首次阅读时 可以放心略过；关于如何决定略过哪些内容，请参阅下一节的建议。

本章的初版源自 Johan de Jong 于 2009 年秋季在哥伦比亚大学讲授的 一门 étale 上同调课程第一部分的讲义。最初记录讲义的是 Thibaut Pugin、Zachary Maddock 和 Min Lee。课程第二部分见迹公式一章，参见 The Trace Formula，第 0F5Q 节。

首次阅读时可略过哪些小节？

我们希望将本章材料用于发展与代数空间、Deligne–Mumford 叠、代数叠等 有关的理论。因此，我们在原本关于概形 étale 上同调的阐述中加入了一些 相当技术性的材料。读者可以通过 “topos” 一词出现的频繁程度、与集合论 有关的讨论，或处理概形态射非常一般性质的证明来辨认这些材料。其中一些 讨论在首次阅读时可以略过。

特别地，我们建议读者略过下列小节：

1. 比较大拓扑斯与小拓扑斯， 第 0757 节。

2. 恢复态射， 第 04JH 节。

3. 推与拉， 第 04C6 节。

4. 性质 (A)， 第 04DJ 节。

5. 性质 (B)， 第 04DN 节。

6. 性质 (C)， 第 04DS 节。

7. 小 étale 网站的拓扑不变性， 第 04DY 节。

8. 整的处处单射态射， 第 04FY 节。

9. 大网站与前推， 第 04E2 节。

10. 大下撇函子的正合性， 第 04CB 节。

除这些小节外，还有一些零散结果也可以略过；读者可根据上述关键词辨认它们。

序言

本讲义讨论另一种上同调理论。首先要指出，Zariski 拓扑并不完全令人满意。 它无法给出我们所希望结果的主要原因之一是：若 \(X\) 是复簇且 \(\mathcal{F}\) 是常值层，则 \[H^i(X, \mathcal{F}) = 0, \quad \text{ 对所有 } i > 0.\] 原因如下。在不可约概形（特别是簇）中，任意两个非空开子集都有交，因此 常值层的限制映射是满射的。我们称这样的层为 flasque（柔软层）。 此时所有高阶 Čech 上同调群都消失，所有高阶 Zariski 上同调群也都消失。 换言之，Zariski 拓扑中的开集 “不够多”，无法检测这种高阶上同调。

另一方面，若 \(X\) 是光滑射影复簇，则 \[H_{Betti}^{2 \dim X}(X (\mathbf{C}), \Lambda) = \Lambda \quad \text{ 对于 } \Lambda = \mathbf{Z}, \ \mathbf{Z}/n\mathbf{Z},\] 其中 \(X(\mathbf{C})\) 表示 \(X\) 的复点集。这是代数几何中值得复现的性质， 尤其是在正特征情形下。

Étale 拓扑

要仅仅通过 “增加” 额外开集来细化 Zariski 拓扑是很困难的。定义拓扑的一种 有效方法是不只考虑开集，还考虑位于开集之上的某些概形。为了定义 étale 拓扑，我们考虑所有 étale 的态射 \(\varphi : U \to X\)。若 \(X\) 是 \(\mathbf{C}\) 上的光滑射影簇，这意味着

1. \(U\) 是光滑簇的不交并，且

2. \(\varphi\)（从解析意义上说）局部为同构。

这里 “解析地” 指的是 \(\mathbf{C}\) 上通常的（超越的）拓扑。因此第二个 条件意味着 \(\varphi\) 的导数处处满秩（特别地，\(U\) 的每个连通分支都与 \(X\) 具有相同维数）。

例如，一个二重覆盖——粗略地说，即簇之间次数为 \(2\) 的有限映射—— \[\Spec(\mathbf{C}[t]) \longrightarrow \Spec(\mathbf{C}[t]), \quad t \longmapsto t^2\] 若其纤维含有单个点，就不是 étale 态射。在该例中，这发生在 \(t = 0\) 时。 要使 \(\mathbf{C}\) 上的簇之间有限映射为 étale，所有纤维都应具有相同的点数。 从上述映射的源中去掉点 \(t = 0\) 会使态射变为 étale。但也可以从源中去掉 其他点，所得态射仍然是 étale。为了考虑 étale 拓扑，我们必须考察所有 这类态射。与 Zariski 拓扑不同，它们不必只是 \(X\) 的开子集，尽管它们的像 总是开子集。

定义

若态射族 \(\{ \varphi_i : U_i \to X\}_{i \in I}\) 中每个 \(\varphi_i\) 都是 étale 态射，且它们的像覆盖 \(X\)，即 \(X = \bigcup_{i \in I} \varphi_i(U_i)\).

这就 “定义” 了 étale 拓扑。换言之，现在可以说明层是什么。一个 étale 层 \(\mathcal{F}\)（集合层，分别地，阿贝尔群层、向量空间层等） 在 \(X\) 上是如下数据：

1. 对每个 étale 态射 \(\varphi : U \to X\)，给出一个集合 （分别地，阿贝尔群、向量空间等）\(\mathcal{F}(U)\)；

2. 对每一对 étale 概形 \(U, \ U'\)（它们位于 \(X\) 上），以及每个态射 \(U \to U'\)（它位于 \(X\) 上且自动是 étale 的），给出限制映射 \(\rho^{U'}_U : \mathcal{F}(U') \to \mathcal{F}(U)\)

这些数据必须满足：对于恒等态射，有 \(\rho^U_U = \text{id}\)，其中恒等态射为 \(U \to U\)；有 \(\rho^{U'}_U \circ \rho^{U''}_{U'} = \rho^{U''}_U\)，当有态射 \(U \to U' \to U''\)（它们是位于 \(X\) 上的 étale 概形之间的态射）时；此外还满足如下 层公理：

• 对每个 étale 覆盖 \(\{ \varphi_i : U_i \to U\}_{i \in I}\)，图 \[\xymatrix{ \mathcal{F} (U) \ar[r] & \Pi_{i \in I} \mathcal{F} (U_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \Pi_{i, j \in I} \mathcal{F} (U_i \times_U U_j) }\] 在集合（分别地，阿贝尔群、向量空间等）范畴中是等化子图。

注

在最后一个陈述中，不能遗漏 \(i = j\) 的情形；这通常是一个高度非平凡的 条件（不同于 Zariski 拓扑）。事实上，许多重要覆盖只有一个元素。

由于恒等态射是 étale 态射，我们可以计算 étale 层的整体截面，而上同调 就只是相应的右导出函子。换言之，待进一步发展理论并使陈述精确化之后， 定义上同调将不再有障碍。

Étale 拓扑的性质

对自然数 \(n \in \mathbf{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}\)，有 \[H_\etale^2 (\mathbf{P}^1_\mathbf{C}, \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}.\] 更一般地，若 \(X\) 是复簇，则其取有限域系数的 étale Betti 数与 \(X(\mathbf{C})\) 的通常 Betti 数相同，即 \[\dim_{\mathbf{F}_q} H_\etale^{2i} (X, \mathbf{F}_q) = \dim_{\mathbf{F}_q} H_{Betti}^{2i} (X(\mathbf{C}), \mathbf{F}_q).\] 这令人非常满意。然而，这些等式只对挠系数成立，并非一般成立。对整数系数，有 \[H_\etale^2 (\mathbf{P}^1_\mathbf{C}, \mathbf{Z}) = 0.\] 相反，\(H_{Betti}^2(\mathbf{P}^1(\mathbf{C}), \mathbf{Z}) = \mathbf{Z}\)， 因为拓扑空间 \(\mathbf{P}^1(\mathbf{C})\) 同胚于 \(2\)-球面。 通过极限过程，可以从挠系数回到非挠系数；我们很快就会讨论这种方法。

一个计算

如何计算 \(\mathbf{P}^1_\mathbf{C}\) 取系数 \(\Lambda = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\) 时的上同调？ 我们使用 Čech 上同调。\(\mathbf{P}^1_\mathbf{C}\) 的一个覆盖由两个标准开集 \(U_0, U_1\) 给出；二者都同构于 \(\mathbf{A}^1_\mathbf{C}\)，而它们的交同构于 \(\mathbf{A}^1_\mathbf{C} \setminus \{0\} = \mathbf{G}_{m, \mathbf{C}}\)。 事实证明，Mayer–Vietoris 序列在 étale 上同调中成立，从而得到正合序列 \[H_\etale^{i-1}(U_0\cap U_1, \Lambda) \to H_\etale^i(\mathbf{P}^1_\mathbf{C}, \Lambda) \to H_\etale^i(U_0, \Lambda) \oplus H_\etale^i(U_1, \Lambda) \to H_\etale^i(U_0\cap U_1, \Lambda).\] 为了得到预期答案，我们需要证明第三项中的直和消失。事实上，与通常拓扑一样，有 \[H_\etale^q (\mathbf{A}^1_\mathbf{C}, \Lambda) = 0 \quad \text{ 当 } q \geq 1,\] 并且 \[H_\etale^q (\mathbf{A}^1_\mathbf{C} \setminus \{0\}, \Lambda) = \left\{ \begin{matrix} \Lambda & \text{ 当 }q = 1\text{ 时；} \\ 0 & \text{ 当 }q \geq 2\text{ 时。} \end{matrix} \right.\] 这些结果已经相当困难（是否存在初等证明？）。下面说明一旦掌握 étale 上同调的工具，我们将如何进行这个计算。

高阶上同调。下面的一般事实处理了这一点：若 \(X\) 是 \(\mathbf{C}\) 上的 仿射曲线，则 \[H_\etale^q (X, \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) = 0 \quad \text{ 当 } q \geq 2.\] 这可通过考察曲线的泛点并进行一些 Galois 上同调来证明。因此只需考虑一阶上同调。

一阶上同调。我们使用如下识别： \[\begin{eqnarray*} H_\etale^1 (X, \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) = \left\{ \begin{matrix} \text{集合层 }\mathcal{F}\text{，它位于 \'etale 网站 }X_\etale \text{ 上并带有} \\ \text{作用 }\mathbf{Z}/n\mathbf{Z} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F} \text{，使得 }\mathcal{F}\text{ 是一个 }\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\text{-挠子。} \end{matrix} \right\} \Big/ \cong \\ = \left\{ \begin{matrix} \text{态射 }Y \to X\text{，它们是有限 \'etale 的，并带有} \\ \text{自由的 }\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\text{ 作用，使得 } X = Y/(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}). \end{matrix} \right\} \Big/ \cong. \end{eqnarray*}\] 第一个识别非常一般（对网站上的任意上同调理论都成立），与 étale 拓扑无关。 第二个识别是下降理论的结果。最后一个集合描述了一族我们可以实际操作的几何对象。

曲线 \(\mathbf{A}^1_\mathbf{C}\) 没有非平凡有限 étale 覆盖，因此 \(H_\etale^1 (\mathbf{A}^1_\mathbf{C}, \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) = 0\). 这既可从拓扑上看出，也可使用下一段中的论证。

下面描述有限 étale 覆盖 \(\varphi : Y \to \mathbf{A}^1_\mathbf{C} \setminus \{0\}\)。 只需考虑 \(Y\) 连通的情形，以下即作此假设。我们将应用 Riemann–Hurwitz 公式来确定 \(Y\) 的可能形式（当然这有些迂回；如果愿意，也可以直接略过下一节）。 设该态射是 \(n\) 对 1，并考虑射影紧化 \[\xymatrix{ {Y\ } \ar@{^{(}->}[r] \ar[d]^\varphi & {\bar Y} \ar[d]^{\bar\varphi} \\ {\mathbf{A}^1_\mathbf{C} \setminus \{0\}} \ar@{^{(}->}[r] & {\mathbf{P}^1_\mathbf{C}} }\] 尽管 \(\varphi\) 是 étale 且不分歧，\(\bar{\varphi}\) 可能在 0 和 \(\infty\) 处分歧。 设 0 的原像是点 \(y_1, \ldots, y_r\)，分歧指数为 \(e_1, \ldots e_r\)； \(\infty\) 的原像是点 \(y_1', \ldots, y_s'\)，分歧指数为 \(d_1, \ldots d_s\)。 特别地，\(\sum e_i = n = \sum d_j\)。应用 Riemann–Hurwitz 公式得到 \[2 g_Y - 2 = -2n + \sum (e_i - 1) + \sum (d_j - 1)\] 因此 \(g_Y = 0\)、\(r = s = 1\) 且 \(e_1 = d_1 = n\)。 于是 \(Y \cong {\mathbf{A}^1_\mathbf{C} \setminus \{0\}}\)，容易看出 \(\varphi(z) = \lambda z^n\)，其中 \(\lambda \in \mathbf{C}^*\)。 重新参数化 \(Y\) 后可假设 \(\lambda = 1\)。因此该覆盖就是取 \(n\) 次根， 作用在 \(\mathbf{A}^1_{\mathbf{C}} \setminus \{0\}\) 上的坐标。

请记住，我们需要分类 \({\mathbf{A}^1_\mathbf{C} \setminus \{0\}}\) 的覆盖，并同时考虑其上的自由 \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\)-作用。在本例中，任意这样的作用都对应于 \(Y\) 的一个 自同构，将 \(z\) 送到 \(\zeta_n z\)，其中 \(\zeta_n\) 是本原 \(n\) 次单位根。 这样的作用有 \(\phi(n)\) 个（这里 \(\phi(n)\) 表示 Euler 函数）。因此，连通有限 étale 覆盖恰有 \(\phi(n)\) 个；给定自由 \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\)-作用时，每个对应一个本原 \(n\) 次单位根。留给读者验证：非连通有限 étale 次数为 \(n\) 的覆盖 \(\mathbf{A}^1_{\mathbf{C}} \setminus \{0\}\)，带有给定自由 \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\)-作用，与非本原的 \(n\) 次单位根（它们是 \(1\) 的根）一一对应。 换言之，这个计算表明 \[H_\etale^1 (\mathbf{A}^1_\mathbf{C} \setminus \{0\}, \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) = \Hom(\mu_n(\mathbf{C}), \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) \cong \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}.\] 第一个识别是典范的，第二个不是；见备注 0A44。 由于 Riemann–Hurwitz 公式的证明不使用上同调计算，上述论证实际上构成一个证明 （只要补充消失等事项的细节）。

非挠系数

为研究非挠系数，作如下定义： \[H_\etale^i (X, \mathbf{Q}_\ell) := \left( \lim_n H_\etale^i(X, \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}) \right) \otimes_{\mathbf{Z}_\ell} \mathbf{Q}_\ell.\] 符号 \(\lim_n\) 表示上同调群系统 \(H_\etale^i(X, \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z})\) 按 \(n\) 编号的 极限，见 Categories, Section 002Z。 因此，我们需要研究满足某些相容条件的层系统。

层理论

从这里开始，我们正式讨论网站与层。接下来的几节可以容纳数量惊人的有用 抽象材料。其中一部分已经在前面的章节中展开，例如网站、网站上的模以及 网站上的上同调等章节。这里尽量不加入过多材料，只保留足以使本章后续内容 能够理解的部分。

预层

本节的参考资料是 Sites，第 00V1 节。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 是一个范畴。\(\mathcal{C}\) 上的集合预层（分别地， 阿贝尔预层）是函子 \(\mathcal{C}^{opp} \to \textit{Sets}\)（分别地，\(\textit{Ab}\)）。

术语。若 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，则 \(\mathcal{F}(U)\) 的元素称为 \(\mathcal{F}\) 在 \(U\) 上的截面。对 \(\varphi : V \to U\)（其中它是 \(\mathcal{C}\) 中的态射），映射 \(\mathcal{F}(\varphi) : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\) 称为限制映射，通常记作 \(s \mapsto s|_V\)，有时也记作 \(s \mapsto \varphi^*s\)。记号 \(s|_V\) 有歧义，因为限制映射取决于 \(\varphi\)， 但这是约定俗成的记号滥用。我们还使用记号 \(\Gamma(U, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U)\)。

说 \(\mathcal{F}\) 是函子，意味着如果 \(W \to V \to U\) 是 \(\mathcal{C}\) 中的态射，且 \(s \in \Gamma(U, \mathcal{F})\)，那么 \((s|_V)|_W = s |_W\)，这里仍使用上述记号滥用。此外，与恒等态射 \(\text{id}_U : U \to U\) 对应的限制映射就是恒等映射。

在 \(\mathcal{C}\) 上的集合预层（分别地，阿贝尔预层）的范畴记作 \(\textit{PSh} (\mathcal{C})\)（分别地，\(\textit{PAb} (\mathcal{C})\)）。它是从 \(\mathcal{C}^{opp}\) 到 \(\textit{Sets}\)（分别地，\(\textit{Ab}\)）的函子范畴，也就是说，预层之间的 态射是函子的自然变换。我们只考虑 \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\) 和 \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\)，并且此处范畴 \(\mathcal{C}\) 为小范畴。 （我们的约定是：除非另有说明，范畴都是小的；若范畴不是小的，应列在 Categories，备注 0015 中。）

例

给定对象 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)，考虑如下规则： \[\begin{matrix} U & \longmapsto & h_X(U) = \Mor_\mathcal{C}(U, X) \\ V \xrightarrow{\varphi} U & \longmapsto & (\psi \mapsto \psi \circ \varphi) : h_X(U) \to h_X(V). \end{matrix}\] 这定义了函子 \(h_X : \mathcal{C}^{opp} \to \textit{Sets}\)，因而定义了一个预层。 它称为与 \(X\) 关联的可表预层。并非在每个网站的每个拓扑中， 可表预层都是层。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是一个范畴，且 \(X, Y \in \Ob(\mathcal{C})\)。存在自然双射 \[\begin{matrix} \Mor_\mathcal{C}(X, Y) & \longrightarrow & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})} (h_X, h_Y) \\ \psi & \longmapsto & h_\psi = \psi \circ - : h_X \to h_Y. \end{matrix}\]

证明

见 Categories，引理 001P。

网站

定义

设 \(\mathcal{C}\) 是一个范畴。一个以 U 为固定目标的态射族 \(\mathcal{U} = \{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I}\) 由以下数据组成：

1. 对象 \(U \in \mathcal{C}\)；

2. 集合 \(I\)（可以为空）；以及

3. 对每个 \(i\in I\)，给出态射 \(\varphi_i : U_i \to U\)，它属于 \(\mathcal{C}\) 且以 \(U\) 为目标。

我们有以固定目标的态射族之间的态射这一概念；其特殊情形就是 加细。这部分材料的参考资料是 Sites，第 00VS 节。

定义

一个网站¹ 由范畴 \(\mathcal{C}\) 及集合 \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) 组成；后者由以固定目标的 态射族构成，称为覆盖，并满足：

1. （同构）若 \(\varphi : V \to U\) 是 \(\mathcal{C}\) 中的同构， 则 \(\{\varphi : V \to U\}\) 是覆盖；

2. （局部性）若 \(\{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I}\) 是覆盖，并且 对每个 \(i \in I\) 给定覆盖 \(\{\psi_{ij} : U_{ij} \to U_i \}_{j\in I_i}\)，则 \[\{ \varphi_i \circ \psi_{ij} : U_{ij} \to U \}_{(i, j)\in \prod_{i\in I} \{i\} \times I_i}\] 也是覆盖；以及

3. （基变换）若 \(\{U_i \to U\}_{i\in I}\) 是覆盖，且 \(V \to U\) 是 \(\mathcal{C}\) 中的态射，则

   1. 对每个 \(i \in I\)，纤维积 \(U_i \times_U V\) 在 \(\mathcal{C}\) 中存在；并且

   2. \(\{U_i \times_U V \to V\}_{i\in I}\) 是覆盖。

对我们而言，网站的底层范畴总是““小””的，即其对象的集合构成一个集合， 网站的覆盖集合也同样是一个集合（如上面的定义所述）。在本章中，我们通常省略 那些把对象族和覆盖族限制为集合的论证。进一步讨论见 Sites，备注 00VI。

例

若 \(X\) 是拓扑空间，则有如下定义的关联网站 \(X_{Zar}\)：\(X_{Zar}\) 的对象是 \(X\) 的开子集，它们之间的态射是包含映射，覆盖是通常的拓扑（满射）覆盖。 注意，若 \(U, V \subset W \subset X\) 是开子集，则 \(U \times_W V = U \cap V\) 存在；也就是说，这个范畴有纤维积。所有验证都是平凡的，结果正如预期。

层

定义

集合预层 \(\mathcal{F}\)（分别地，阿贝尔预层）在网站 \(\mathcal{C}\) 上称为 分离预层，如果对每个覆盖 \(\{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov} (\mathcal{C})\)，映射 \[\mathcal{F}(U) \longrightarrow \prod\nolimits_{i\in I} \mathcal{F}(U_i)\] 是单射。这里该映射为 \(s \mapsto (s|_{U_i})_{i\in I}\)。 预层 \(\mathcal{F}\) 若对每个覆盖 \(\{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov} (\mathcal{C})\)，图 [03NL]\[\begin{equation} \xymatrix{ \mathcal{F}(U) \ar[r] & \prod_{i\in I} \mathcal{F}(U_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod_{i, j \in I} \mathcal{F}(U_i \times_U U_j), } \end{equation}\] 其中第一个映射是 \(s \mapsto (s|_{U_i})_{i\in I}\)，右侧两个映射分别为 \((s_i)_{i\in I} \mapsto (s_i |_{U_i \times_U U_j})\) 和 \((s_i)_{i\in I} \mapsto (s_j |_{U_i \times_U U_j})\)；该图在集合范畴 （分别地，阿贝尔群范畴）中是等化子图。

注

对于空覆盖（即 \(I = \emptyset\)），这意味着 \(\mathcal{F}(\emptyset)\) 是空积， 它是相应范畴中的终对象（对 \(\textit{Sets}\) 和 \(\textit{Ab}\) 都是单元素集）。

例

对拓扑空间关联的网站 \(X_{Zar}\) 作上述展开（见例 03NI）， 得到通常的层概念。

定义

我们用 \(\Sh(\mathcal{C})\)（分别地，\(\textit{Ab}(\mathcal{C})\)）表示 \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\)（分别地，\(\textit{PAb}(\mathcal{C})\)）的满子范畴， 其对象是层。这就是 \(\mathcal{C}\) 上的集合层范畴 （分别地，阿贝尔层范畴）。

G-集的例子

设 \(G\) 是群，并如下定义网站 \(\mathcal{T}_G\)：其底层范畴是 \(G\)-集范畴， 即对象是带有左 \(G\)-作用的集合，态射是等变映射；\(\mathcal{T}_G\) 的覆盖是态射族 \(\{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I}\)，满足 \(U = \bigcup_{i\in I} \varphi_i(U_i)\)。

网站 \(\mathcal{T}_G\) 中有一个特殊对象，即带有左平移自然作用的 \(G\)-集 \(G\)。 记作 \({}_G G\)。注意存在自然群同构 \[\begin{matrix} \rho : & G^{opp} & \longrightarrow & \text{Aut}_{G\textit{-Sets}}({}_G G) \\ & g & \longmapsto & (h \mapsto hg). \end{matrix}\] 特别地，对任意预层 \(\mathcal{F}\)，集合 \(\mathcal{F}({}_G G)\) 继承一个 \(G\)-作用（通过 \(\rho\)）。（注意，由于 \(\mathcal{F}\) 是反变的，集合 \(\mathcal{F}({}_G G)\) 仍是左 \(G\)-集。）事实上，函子 \[\begin{matrix} \Sh(\mathcal{T}_G) & \longrightarrow & G\textit{-Sets} \\ \mathcal{F} & \longmapsto & \mathcal{F}({}_G G) \end{matrix}\] 是范畴等价。其拟逆函子是 \(X \mapsto h_X\)。这里不提供完整证明（可见 Sites，第 00VZ 节），而尝试解释其原因。

1. 若 \(S\) 是 \(G\)-集，可以将其分解为轨道 \(S = \coprod_{i\in I} O_i\)。 覆盖 \(\{O_i \to S\}_{i\in I}\) 的层公理说明 \[\xymatrix{ \mathcal{F}(S) \ar[r] & \prod_{i\in I} \mathcal{F}(O_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod_{i, j \in I} \mathcal{F}(O_i \times_S O_j) }\] 是等化子。注意 \(G\textit{-Sets}\) 中的纤维积由 \(\textit{Sets}\) 中的纤维积诱导， 并利用 \(\mathcal{F}(\emptyset)\) 是单元素 \(G\)-集这一事实，可得 \[\prod_{i, j \in I} \mathcal{F}(O_i \times_S O_j) = \prod_{i \in I} \mathcal{F}(O_i)\] 且上面的两个映射实际上相同。因此层公理仅仅说明 \(\mathcal{F}(S) = \prod_{i\in I} \mathcal{F}(O_i)\)。

2. 若 \(S\) 是 \(G\)-集 \(S= G/H\)，且 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{T}_G\) 上的层， 则有 \[\mathcal{F}(G/H) = \mathcal{F}({}_G G)^H\] 特别地，\(\mathcal{F}(\{*\}) = \mathcal{F}({}_G G)^G\)。为此，使用覆盖 \(\{ {}_G G \to G/H \}\) 的层公理（该覆盖覆盖 \(S\)）。我们有 \[\begin{eqnarray*} {}_G G \times_{G/H} {}_G G & \cong & G \times H \\ (g_1, g_2) & \longmapsto & (g_1, g_1^{-1} g_2) \end{eqnarray*}\] 是 \({}_G G\) 的不交并（作为 \(G\)-集）。因此层公理变为 \[\xymatrix{ \mathcal{F} (G/H) \ar[r] & \mathcal{F}({}_G G) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod_{h\in H} \mathcal{F}({}_G G) }\] 其中右侧两个映射为 \(s \mapsto (s)_{h \in H}\) 和 \(s \mapsto (hs)_{h \in H}\)。因此 \(\mathcal{F}(G/H) = \mathcal{F}({}_G G)^H\)，如所声称。

这还不能完全证明所声称的范畴等价，但至少说明层 \(\mathcal{F}\) 完全由其在 \({}_G G\) 上的截面决定。细节（以及集合论方面的说明）见 Sites，第 00VZ 节。

层化

定义

设 \(\mathcal{F}\) 是网站 \(\mathcal{C}\) 上的预层，且 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\} \in \text{Cov} (\mathcal{C})\)。 定义 \(\mathcal{F}\) 关于 \(\mathcal{U}\) 的零阶 Čech 上同调群为 \[\check H^0 (\mathcal{U}, \mathcal{F}) = \left\{ (s_i)_{i\in I} \in \prod\nolimits_{i\in I }\mathcal{F}(U_i) \text{ 使得 } s_i|_{U_i \times_U U_j} = s_j |_{U_i \times_U U_j} \right\}.\]

存在典范映射 \(\mathcal{F}(U) \to \check H^0 (\mathcal{U}, \mathcal{F})\)， \(s \mapsto (s |_{U_i})_{i\in I}\)。 从覆盖 \(\mathcal{V} = \{V_j \to V\}_{j \in J}\) 到 \(\mathcal{U}\) 的 覆盖态射定义为三元组 \((\chi, \alpha, \chi_j)\)，其中 \(\chi : V \to U\) 是态射，\(\alpha : J \to I\) 是集合映射，并且对每个 \(j \in J\)，态射 \(\chi_j\) 使下图交换： \[\xymatrix{ V_j \ar[rr]_{\chi_j} \ar[d] & & U_{\alpha(j)} \ar[d] \\ V \ar[rr]^\chi & & U. }\] 给定数据 \(\chi, \alpha, \{\chi_j\}_{j \in J}\)，定义 \[\begin{eqnarray*} \check H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F}) & \longrightarrow & \check H^0(\mathcal{V}, \mathcal{F}) \\ (s_i)_{i\in I} & \longmapsto & \left(\chi_j^*\left(s_{\alpha(j)}\right)\right)_{j\in J}. \end{eqnarray*}\] 我们断言：

1. 该映射定义良好；并且

2. 它只依赖于 \(\chi\)，与 \(\alpha, \{\chi_j\}_{j \in J}\) 的选择无关。

第一点的证明从略。为说明第 (2) 点，考虑另一个三元组 \((\psi, \beta, \psi_j)\)，满足 \(\chi = \psi\)。于是有交换图 \[\xymatrix{ V_j \ar[rrr]_{(\chi_j, \psi_j)} \ar[dd] & & & U_{\alpha(j)} \times_U U_{\beta(j)} \ar[dl] \ar[dr] \\ & & U_{\alpha(j)} \ar[dr] & & U_{\beta(j)} \ar[dl] \\ V \ar[rrr]^{\chi = \psi} & & & U. }\] 给定截面 \(s \in \mathcal{F}(\mathcal{U})\)，其在 \(\mathcal{F}(V_j)\) 中、由 \((\chi, \alpha, \{\chi_j\}_{j \in J})\) 给出的映射下的像为 \(\chi_j^*s_{\alpha(j)}\)；在由 \((\psi, \beta, \{\psi_j\}_{j \in J})\) 给出的映射下，其像为 \(\psi_j^*s_{\beta(j)}\)。二者相等，因为按假设 \(s \in \check H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)，所以二者都等于共同值 \[s_{\alpha(j)}|_{U_{\alpha(j)} \times_U U_{\beta(j)}} = s_{\beta(j)}|_{U_{\alpha(j)} \times_U U_{\beta(j)}}\] 沿图中的映射 \((\chi_j, \psi_j)\) 的拉回。

定理

设 \(\mathcal{C}\) 是网站，\(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的预层。

1. 规则 \[U \mapsto \mathcal{F}^+(U) := \colim_{\mathcal{U} \text{ 为 }U\text{ 的覆盖}} \check H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 是预层，并且该余极限是有向余极限。

2. 存在预层的典范映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^+\)。

3. 若 \(\mathcal{F}\) 是分离预层，则 \(\mathcal{F}^+\) 是层，且 (2) 中的映射是单射。

4. \(\mathcal{F}^+\) 是分离预层。

5. \(\mathcal{F}^\# = (\mathcal{F}^+)^+\) 是层，并且典范映射诱导函子同构 \[\Hom_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Hom_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{F}^\#, \mathcal{G})\] 对任意 \(\mathcal{G} \in \Sh(\mathcal{C})\) 都成立。

证明

见 Sites，定理 00WB。

换言之，这意味着自然映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\#\) 是遗忘函子 \(\Sh(\mathcal{C}) \to \textit{PSh}(\mathcal{C})\) 的左伴随。

上同调

下面的基本结果使我们能够定义网站上阿贝尔层的上同调。

定理

网站上的阿贝尔层范畴是一个具有足够内射对象的阿贝尔范畴。

证明

见 Modules on Sites，引理 03CN，以及 Injectives，定理 01DP。

因此，可以将上同调定义为截面函子的右导出函子：若 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 且 \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(\mathcal{C})\)，则 \[H^p(U, \mathcal{F}) := R^p\Gamma(U, \mathcal{F}) = H^p(\Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet))\] 其中 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) 是内射分解。为此需要检查函子 \(\Gamma(U, -)\) 是左正合的。这一点成立，也是范畴 \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\) 成为阿贝尔范畴的原因之一，见 Modules on Sites，引理 03CN。 关于网站上上同调的更一般讨论（包括整体截面函子及其右导出函子），见 Cohomology on Sites，第 01FT 节。

fpqc 拓扑

在讨论 étale 上同调之前，我们先研究一些 fpqc 拓扑，因为它对拟凝聚层很有效。

定义

设 \(T\) 是概形。\(T\) 的fpqc 覆盖是满足以下条件的族 \(\{ \varphi_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)：

1. 每个 \(\varphi_i\) 都是平坦态射，且 \(\bigcup_{i\in I} \varphi_i(T_i) = T\)，并且

2. 对每个仿射开集 \(U \subset T\)，存在有限集合 \(K\)、映射 \(\mathbf{i} : K \to I\) 以及仿射开集 \(U_{\mathbf{i}(k)} \subset T_{\mathbf{i}(k)}\)，使得 \(U = \bigcup_{k \in K} \varphi_{\mathbf{i}(k)}(U_{\mathbf{i}(k)})\).

注

第一个条件对应 fp，它代表法语 fidèlement plat（忠实平坦）； 第二个条件对应 qc，即quasi-compact（拟紧）。当第二个条件成立时， 第一个条件的后半部分是不必要的。

例

fpqc 覆盖的例子。

1. \(T\) 的任意 Zariski 开覆盖都是 fpqc 覆盖。

2. 族 \(\{\Spec(B) \to \Spec(A)\}\) 是 fpqc 覆盖，当且仅当 \(A \to B\) 是忠实平坦的环映射。

3. 若 \(f: X \to Y\) 平坦、满射且拟紧，则 \(\{ f: X\to Y\}\) 是 fpqc 覆盖。

4. 态射 \(\varphi : \coprod_{x \in \mathbf{A}^1_k} \Spec(\mathcal{O}_{\mathbf{A}^1_k, x}) \to \mathbf{A}^1_k\), 其中 \(k\) 是域；该态射平坦且满射，但不是拟紧的，事实上族 \(\{\varphi\}\) 不是 fpqc 覆盖。

5. 记 \(\mathbf{A}^2_k = \Spec(k[x, y])\)。记 \(i_x : D(x) \to \mathbf{A}^2_k\) 和 \(i_y : D(y) \to \mathbf{A}^2_k\) 为标准开子集。 那么族 \(\{i_x, i_y, \Spec(k[[x, y]]) \to \mathbf{A}^2_k\}\) 以及 \(\{i_x, i_y, \Spec(\mathcal{O}_{\mathbf{A}^2_k, 0}) \to \mathbf{A}^2_k\}\) 都是 fpqc 覆盖。

引理

概形范畴上的 fpqc 覆盖族满足网站公理。

证明

见 Topologies，引理 022D。

看起来，这个引理允许我们定义概形范畴的 fpqc 网站。然而，考虑 fpqc 拓扑时会 出现集合论问题，见 Topologies，第 022A 节。 问题源于我们要求网站是““小””的，但没有任何小的概形范畴能够包含给定非空概形的 fpqc 覆盖的余最终系统。严格说来，这并不妨碍定义“部分”的 fpqc 网站， 但这样做似乎并不明智。变通办法是允许使用 fpqc 拓扑的层概念（见下文）， 但禁止考虑所有 fpqc 层所成的范畴。

定义

设 \(S\) 是概形。\(S\) 上概形的范畴记作 \(\Sch/S\)。考虑函子 \(\mathcal{F} : (\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\)，即集合预层。称 \(\mathcal{F}\) 满足 fpqc 拓扑的层性质，如果对每个 fpqc 覆盖 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)（其覆盖 \(S\) 上的概形），图 (03NL) 是等化子图。

类似地，称 \(\mathcal{F}\) 满足 Zariski 拓扑的层性质，如果对每个开覆盖 \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\)，图 (03NL) 是等化子图。见 Schemes，定义 01JI。 显然，这等价于：对每个概形 \(T\)（位于 \(S\) 上），将 \(\mathcal{F}\) 限制到 \(T\) 的开集上 所得的是一个（通常意义下的）层。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\Sch/S\) 上的预层。则 \(\mathcal{F}\) 满足 fpqc 拓扑的层性质 当且仅当

1. \(\mathcal{F}\) 满足 Zariski 拓扑的层性质；并且

2. 对每个忠实平坦态射 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)（它是 \(S\) 上仿射概形之间的态射）， 覆盖 \(\{\Spec(B) \to \Spec(A)\}\) 满足层公理。也就是说， \[\xymatrix{ \mathcal{F}(\Spec(A)) \ar[r] & \mathcal{F}(\Spec(B)) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \mathcal{F}(\Spec(B \otimes_A B)) }\] 是等化子图。

证明

见 Topologies，引理 022H。

对于满足 fpqc 拓扑层条件的预层 \(\mathcal{F}\)（它定义在 \(\Sch/S\) 上）， 另一种理解方式是以下数据：

1. 对每个 \(T/S\)，给出通常意义（即 Zariski）的层 \(\mathcal{F}_T\)（位于 \(T_{Zar}\) 上）；

2. 对每个映射 \(f : T' \to T\)（位于 \(S\) 上），给出限制映射 \(f^{-1}\mathcal{F}_T \to \mathcal{F}_{T'}\)；

满足

1. 限制映射满足函子性；

2. 若 \(f : T' \to T\) 是开浸入，则限制映射 \(f^{-1}\mathcal{F}_T \to \mathcal{F}_{T'}\) 是同构；并且

3. 对每个忠实平坦态射 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)（位于 \(S\) 上），图 \[\xymatrix{ \mathcal{F}_{\Spec(A)}(\Spec(A)) \ar[r] & \mathcal{F}_{\Spec(B)}(\Spec(B)) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \mathcal{F}_{\Spec(B \otimes_A B)}(\Spec(B \otimes_A B)) }\] 是等化子。

数据 (1)、(2) 以及条件 (a)、(b) 给出 \(\Sch/S\) 上满足 Zariski 拓扑层条件的预层。 由引理 03O1，条件 (c) 即足以得到 fpqc 拓扑的层条件。

例

考虑预层 \[\begin{matrix} \mathcal{F} : & (\Sch/S)^{opp} & \longrightarrow & \textit{Ab} \\ & T/S & \longmapsto & \Gamma(T, \Omega_{T/S}). \end{matrix}\] 微分与局部化的相容性说明，\(\mathcal{F}\) 是 Zariski 网站上的层。 然而，它不满足 fpqc 拓扑的层条件。具体地，考虑 \(S = \Spec(\mathbf{F}_p)\) 以及态射 \[\varphi : V = \Spec(\mathbf{F}_p[v]) \to U = \Spec(\mathbf{F}_p[u])\] 它把 \(u\) 映到 \(v^p\)。族 \(\{\varphi\}\) 是 fpqc 覆盖， 但限制映射 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\) 把生成元 \(\text{d}u\) 映到 \(\text{d}(v^p) = 0\)，所以它是零映射，而图 \[\xymatrix{ \mathcal{F}(U) \ar[r]^{0} & \mathcal{F}(V) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \mathcal{F}(V \times_U V) }\] 不是等化子。稍后将看到，\(\mathcal{F}\) 的确在 étale 网站与光滑网站上 给出一个层。

引理

\(\Sch/S\) 上任意可表预层都满足 fpqc 拓扑的层条件。

证明

见 Descent，引理 023Q。

稍后还会回到这一点，因为该事实的证明要用到拟凝聚层的下降，而这将在下一节 讨论。用一种较为精致的说法，该引理断言 fpqc 拓扑弱于典范拓扑，或者说 fpqc 拓扑是次典范的。 在网站的框架下，这一点见 Sites，第 00WO 节。

注

fpqc 拓扑比 Zariski、étale、光滑、syntomic 与 fppf 拓扑都更细。因此， 任意满足 fpqc 拓扑层条件的预层，在 Zariski、étale、光滑、syntomic 与 fppf 网站上都是层。特别地，例如可表预层在概形的 étale 网站上是层。

例

设 \(S\) 是概形。考虑加法群概形 \(\mathbf{G}_{a, S} = \mathbf{A}^1_S\)（在 \(S\) 上），见 Groupoids，例 022V。 关联的可表预层由下式给出： \[h_{\mathbf{G}_{a, S}}(T) = \Mor_S(T, \mathbf{G}_{a, S}) = \Gamma(T, \mathcal{O}_T).\] 由上文可知，这是满足 fpqc 拓扑层条件的集合预层。另一方面，它显然也是环预层。 因此可以将其看作函子 \[\begin{matrix} \mathcal{O} : & (\Sch/S)^{opp} & \longrightarrow & \textit{Rings} \\ & T/S & \longmapsto & \Gamma(T, \mathcal{O}_T) \end{matrix}\] 且满足 fpqc 拓扑的层条件。相应地，还可以定义 \(\mathcal{O}\)-模，等等。

忠实平坦下降

本节讨论拟凝聚模的忠实平坦下降。更准确地说，我们将证明：对于 fpqc 覆盖， 拟凝聚模满足有效下降。

定义

设 \(\mathcal{U} = \{ t_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) 是以固定目标为目标的概形态射族。 关于 \(\mathcal{U}\) 的拟凝聚层下降数据是集合 \(((\mathcal{F}_i)_{i \in I}, (\varphi_{ij})_{i, j \in I})\)，其中

1. \(\mathcal{F}_i\) 是 \(T_i\) 上的拟凝聚层；

2. \(\varphi_{ij} : \text{pr}_0^* \mathcal{F}_i \to \text{pr}_1^* \mathcal{F}_j\) 是 \(T_i \times_T T_j\) 上的模同构；

并满足循环条件：下图 \[\xymatrix{ \text{pr}_0^*\mathcal{F}_i \ar[dr]_{\text{pr}_{02}^*\varphi_{ik}} \ar[rr]^{\text{pr}_{01}^*\varphi_{ij}} & & \text{pr}_1^*\mathcal{F}_j \ar[dl]^{\text{pr}_{12}^*\varphi_{jk}} \\ & \text{pr}_2^*\mathcal{F}_k }\] 在 \(T_i \times_T T_j \times_T T_k\) 上交换。 若存在拟凝聚层 \(\mathcal{F}\) 位于 \(T\) 上，以及 \(\mathcal{O}_{T_i}\)-模同构 \(\varphi_i : t_i^* \mathcal{F} \cong \mathcal{F}_i\)， 且它们与映射 \(\varphi_{ij}\) 相容，即 \[\varphi_{ij} = \text{pr}_1^* (\varphi_j) \circ \text{pr}_0^* (\varphi_i)^{-1}.\]

本节及下一节讨论下述定理证明中的一些成分，以及相关材料。

定理

若 \(\mathcal{V} = \{T_i \to T\}_{i\in I}\) 是 fpqc 覆盖，则关于 \(\mathcal{V}\) 的 所有拟凝聚层下降数据都是有效的。

证明

见 Descent，命题 023T。

换言之，拟凝聚层的纤维范畴是 fpqc 网站上的一个叠。 定理的证明分两步。第一步是注意到对 Zariski 覆盖，这一点利用层的标准粘合（见 Sheaves，第 00AK 节）以及拟凝聚性的局部性， 很容易（或众所周知）。第二步是处理形如 \(\{\Spec(B) \to \Spec(A)\}\) 的 fpqc 覆盖， 其中 \(A \to B\) 是忠实平坦的环映射。这是一个代数引理，现予以陈述。

模的下降。若 \(A \to B\) 是环映射，考虑复形 \[(B/A)_\bullet : B \to B \otimes_A B \to B \otimes_A B \otimes_A B \to \ldots\] 其中 \(B\) 位于次数 0，\(B \otimes_A B\) 位于次数 1，依此类推；映射由下式给出： \[\begin{eqnarray*} b & \mapsto & 1 \otimes b - b \otimes 1, \\ b_0 \otimes b_1 & \mapsto & 1 \otimes b_0 \otimes b_1 - b_0 \otimes 1 \otimes b_1 + b_0 \otimes b_1 \otimes 1, \\ & \text{etc.} \end{eqnarray*}\]

引理

若 \(A \to B\) 忠实平坦，则复形 \((B/A)_\bullet\) 在正次数上正合，且 \(H^0((B/A)_\bullet) = A\)。

证明

见 Descent，引理 023M。

Grothendieck 分三步证明这一点。首先，他假设映射 \(A \to B\) 有截面，并构造到如下复形的显式同伦：只有次数 0 的 \(A\) 项非零。其次， 他指出，只需在忠实平坦基变换 \(A \to A'\) 后证明结果，此时将 \(B\) 替换为 \(B' = B \otimes_A A'\)。第三，他取忠实平坦基变换 \(A \to A' = B\)，并注意映射 \(A' = B \to B' = B \otimes_A B\) 有自然截面。

同样的策略证明以下引理。

引理

若 \(A \to B\) 忠实平坦且 \(M\) 是 \(A\)-模，则复形 \((B/A)_\bullet \otimes_A M\) 在正次数上正合，且 \(H^0((B/A)_\bullet \otimes_A M) = M\)。

证明

见 Descent，引理 023M。

定义

设 \(A \to B\) 是环映射，\(N\) 是 \(B\)-模。\(N\) 关于 \(A \to B\) 的 一个下降数据，是 \(B \otimes_A B\)-模同构 \(\varphi : N \otimes_A B \cong B \otimes_A N\)，使得下列 \(B \otimes_A B \otimes_A B\)-模图 \[\xymatrix{ {N \otimes_A B \otimes_A B} \ar[dr]_{\varphi_{02}} \ar[rr]^{\varphi_{01}} & & {B \otimes_A N \otimes_A B} \ar[dl]^{\varphi_{12}} \\ & {B \otimes_A B \otimes_A N} }\] 交换，其中 \(\varphi_{01} = \varphi \otimes \text{id}_B\)，而 \(\varphi_{12}\) 与 \(\varphi_{02}\) 以类似方式定义。

若 \(N' = B \otimes_A M\)，其中 M 是某个 \(A\)-模，则该模具有由下列映射 给出的典范下降数据： \[\begin{matrix} \varphi_\text{can}: & N' \otimes_A B & \to & B \otimes_A N' \\ & b_0 \otimes m \otimes b_1 & \mapsto & b_0 \otimes b_1 \otimes m. \end{matrix}\]

定义

若存在 \(A\)-模 \(M\)，使得 \((N, \varphi) \cong (B \otimes_A M, \varphi_\text{can})\)，则称下降数据 \((N, \varphi)\) 是有效的；这里采用显然的下降数据同构概念。

定理 03O8 是下述结果的推论。

定理

若 \(A \to B\) 忠实平坦，则关于 \(A\to B\) 的下降数据都是有效的。

证明

见 Descent，命题 023N。 另见 Descent，评注 039Y，其中给出证明的另一种看法。

注

模的下降结果有若干应用：

1. 对覆盖 \(\{\Spec(B) \to \Spec(A)\}\)，其中 \(A \to B\) 忠实平坦， Čech 复形在正次数上正合。这将给出若干上同调消失结果。

2. 若 \((N, \varphi)\) 是关于忠实平坦映射 \(A \to B\) 的下降数据，则相应的 \(A\)-模由下式给出： \[M = \Ker \left( \begin{matrix} N & \longrightarrow & B \otimes_A N \\ n & \longmapsto & 1 \otimes n - \varphi(n \otimes 1) \end{matrix} \right).\] 见 Descent，命题 023N。

拟凝聚层

我们可以利用模的下降来研究拟凝聚层。

命题

对任意拟凝聚层 \(\mathcal{F}\)（定义在 \(S\) 上），预层 \[\begin{matrix} \mathcal{F}^a : & \Sch/S & \to & \textit{Ab}\\ & (f: T \to S) & \mapsto & \Gamma(T, f^*\mathcal{F}) \end{matrix}\] 是满足 fpqc 拓扑层条件的 \(\mathcal{O}\)-模。

证明

这在 Descent，引理 03DT 中证明。 这里给出证明梗概。由引理 03O1 可知， 只需检查仿射概形的 Zariski 覆盖和忠实平坦态射上的层性质。 Zariski 覆盖的层性质是标准概形理论，因为 \(\Gamma(U, i^\ast \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U)\)，其中 \(i : U \hookrightarrow S\) 是开浸入。

对于 \(\left\{\Spec(B)\to \Spec(A)\right\}\)，若 \(A\to B\) 忠实 平坦且 \(\mathcal{F}|_{\Spec(A)} = \widetilde{M}\)，这对应于 \(M = H^0\left((B/A)_\bullet \otimes_A M \right)\)，也就是说 \[\begin{align*} 0 \to M \to B \otimes_A M \to B \otimes_A B \otimes_A M \end{align*}\] 由引理 03OA 可知是正合的。

在环化网站上还有拟凝聚层的抽象概念。这里简要介绍它； 更多信息见 Modules on Sites，第 03DK 节。 设 \(\mathcal{C}\) 是一个范畴，\(U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象。 记 \(\mathcal{C}/U\) 为位于 \(U\) 之上的对象所成的范畴，见 Categories，例 001G。 若 \(\mathcal{C}\) 是网站，则 \(\mathcal{C}/U\) 也是网站；具体地， \(V/U\) 的覆盖是形如 \(\{V_i/U \to V/U\}\) 的 \(\mathcal{C}/U\) 态射族，并满足 \(\{V_i \to V\}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的覆盖。此外，给定任意层 \(\mathcal{F}\)（定义在 \(\mathcal{C}\) 上），其限制 \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}\)（按显然方式定义）也是层。详见 Sites，第 00XZ 节。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 是一个环化网站，即带有环层 \(\mathcal{O}\) 的网站。称 \(\mathcal{O}\)-模层 \(\mathcal{F}\) 在 \(\mathcal{C}\) 上是拟凝聚的，如果对所有 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，都存在由 \(\{U_i \to U\}_{i\in I}\) 给出的 \(\mathcal{C}\) 覆盖，使得限制 \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i}\) 同构于自由 \(\mathcal{O}\)-模之间某个 \(\mathcal{O}\)-线性映射的余核 \[\bigoplus\nolimits_{k \in K} \mathcal{O}|_{\mathcal{C}/U_i} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{l \in L} \mathcal{O}|_{\mathcal{C}/U_i}.\] 对 \(K\) 的直和是与预层 \(V \mapsto \bigoplus_{k \in K} \mathcal{O}(V)\) 关联的层，另一侧同理。

虽然能够给出上述一般定义很有用，但这个概念一般而言性质并不好。

注

若 \(\mathcal{C}\) 有终对象（例如 \(S\)），则上述定义中的条件只需 对 \(U = S\) 检查即可。见 Modules on Sites，引理 03DN。

定理

设 \(S\) 是概形。设 \(\mathcal{C}\) 是一个网站，并假设

1. 底层范畴 \(\mathcal{C}\) 是 \(\Sch/S\) 的全子范畴；

2. \(T \in \Ob(\mathcal{C})\) 的任意 Zariski 覆盖都可由 \(\mathcal{C}\) 的某个覆盖细化；

3. \(S/S\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象；

4. \(\mathcal{C}\) 的每个覆盖都是概形的 fpqc 覆盖。

则预层 \(\mathcal{O}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的层，并且 任意拟凝聚 \(\mathcal{O}\)-模在 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 上都具有 \(\mathcal{F}^a\) 的形式，其中 \(\mathcal{F}\) 是定义在 \(S\) 上的某个 拟凝聚层。

证明

经过一些形式论证，这正是定理 03O8。 细节略去。在 Descent，命题 03DX 中，我们对 \(S\) 的 大 Zariski、fppf、étale、光滑和 syntomic 网站，以及 \(S\) 的小 Zariski 和 étale 网站证明了该定理的更精确版本。

换言之，\(S\) 上的拟凝聚模与定理中这类网站上的拟凝聚 \(\mathcal{O}\)-模（网站记为 \(\mathcal{C}\)）之间没有区别。关于大、小网站 \((\Sch/S)_{fppf}\)、\(S_\etale\) 等的更精确陈述，可见 Descent 的 以下各节： 03DR, 0GN8，和 0GN9。 在本章中，为了方便陈述适用于上述任一情形的结果， 我们有时将其称为“定理 03OJ 中的这类网站”。

Čech 上同调

下一目标是用下降理论证明等式 \(H^i(\mathcal{C}, \mathcal{F}^a) = H_{Zar}^i(S, \mathcal{F})\) 对所有拟凝聚层 \(\mathcal{F}\)（定义在 \(S\) 上）以及定理 03OJ 中的任意网站 \(\mathcal{C}\) 都成立。 为此，我们引入网站上的 Čech 上同调。更多细节见 [ArtinTopologies]，以及 Cohomology on Sites 的各节 03AK、 03AO 和 03AV。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 是一个范畴。设 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) 是 \(\mathcal{C}\) 中具有共同靶 的态射族。假设所有纤维积 \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\) 都存在于 \(\mathcal{C}\) 中。 设 \(\mathcal{F} \in \textit{PAb}(\mathcal{C})\) 是阿贝尔预层。定义 Čech 复形 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) 为 \[\prod_{i_0 \in I} \mathcal{F}(U_{i_0}) \to \prod_{i_0, i_1 \in I} \mathcal{F}(U_{i_0} \times_U U_{i_1}) \to \prod_{i_0, i_1, i_2 \in I} \mathcal{F}(U_{i_0} \times_U U_{i_1} \times_U U_{i_2}) \to \ldots\] 其中第一项位于次数 0，各映射取通常的映射。定义 Čech 上同调群为 \[\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = H^p(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})).\]

在上述定义中，允许指标 \((i_0, \ldots, i_p)\) 重复至关重要。

引理

记号和假设同定义 03OL。函子 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, -)\) 在范畴 \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\) 上正合。

换言之，若 \(0\to \mathcal{F}_1\to \mathcal{F}_2\to \mathcal{F}_3\to 0\) 是阿贝尔群预层的短正合列，则 \[0 \to \check{\mathcal{C}}^\bullet\left(\mathcal{U}, \mathcal{F}_1\right) \to\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}_2) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}_3)\to 0\] 是复形的短正合列。

证明

这由预层短正合列的定义立即得到。事实上，阿贝尔预层范畴是某个范畴到 \(\textit{Ab}\) 的函子范畴，因而自动成为阿贝尔范畴：列 \(\mathcal{F}_1\to \mathcal{F}_2\to \mathcal{F}_3\) 在 \(\textit{PAb}\) 中正合，当且仅当对所有 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，列 \(\mathcal{F}_1(U) \to \mathcal{F}_2(U) \to \mathcal{F}_3(U)\) 在 \(\textit{Ab}\) 中正合。因此，上述复形在每个次数上不过是短正合列的积。 另见 Cohomology on Sites，引理 03AQ。

这说明 \(\check{H}^\bullet(\mathcal{U}, -)\) 是 \(\delta\)-函子。 下面证明它是泛 \(\delta\)-函子。为此，需要证明它是可抹的函子。 我们先回顾 Yoneda 引理。

引理

对任意预层 \(\mathcal{F}\)（定义在范畴 \(\mathcal{C}\) 上）以及 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，有函子性同构 \[\Hom_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_U, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U).\]

证明

见 Categories，引理 001P。

给定集合 \(E\)，本节记 \(\mathbf{Z}[E]\) 为由 \(E\) 生成的自由阿贝尔群。 用公式表示即为 \(\mathbf{Z}[E] = \bigoplus_{e \in E} \mathbf{Z}\)；也就是说， \(\mathbf{Z}[E]\) 是一个自由 \(\mathbf{Z}\)-模，其基由 \(E\) 的元素组成。 利用这一记号，我们引入集合预层上的自由阿贝尔预层。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 是一个范畴。给定集合预层 \(\mathcal{G}\)，定义 \(\mathcal{G}\) 上的自由阿贝尔预层，记作 \(\mathbf{Z}_\mathcal{G}\)，规则为 \[\mathbf{Z}_\mathcal{G}(U) = \mathbf{Z}[\mathcal{G}(U)]\] 其中 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，限制映射由 \(\mathcal{G}\) 的限制映射诱导。 在特殊情形 \(\mathcal{G} = h_U\) 下，简记为 \(\mathbf{Z}_U = \mathbf{Z}_{h_U}\)。

函子 \(\mathcal{G} \mapsto \mathbf{Z}_\mathcal{G}\) 是遗忘函子 \(\textit{PAb}(\mathcal{C}) \to \textit{PSh}(\mathcal{C})\) 的左伴随。 因此，对任意预层 \(\mathcal{F}\)，有典范同构 \[\Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}(\mathbf{Z}_U, \mathcal{F}) = \Hom_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_U, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U)\] 最后一个等式由 Yoneda 引理得到。特别地，有以下结果。

引理

记号和假设同定义 03OL。Čech 复形 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) 可显式描述如下： \[\begin{eqnarray*} \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) & = & \left( \prod_{i_0 \in I} \Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}(\mathbf{Z}_{U_{i_0}}, \mathcal{F}) \to \prod_{i_0, i_1 \in I} \Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}( \mathbf{Z}_{U_{i_0} \times_U U_{i_1}}, \mathcal{F}) \to \ldots \right) \\ & = & \Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}\left( \left( \bigoplus_{i_0 \in I} \mathbf{Z}_{U_{i_0}} \leftarrow \bigoplus_{i_0, i_1 \in I} \mathbf{Z}_{U_{i_0} \times_U U_{i_1}} \leftarrow \ldots \right), \mathcal{F}\right) \end{eqnarray*}\]

证明

这由上式得到。见 Cohomology on Sites，引理 03AS。

这使我们只需研究最后一个 \(\Hom\) 的第一变元中的复形。

引理

记号和假设同定义 03OL。阿贝尔预层复形 \[\begin{align*} \mathbf{Z}_\mathcal{U}^\bullet \quad : \quad \bigoplus_{i_0 \in I} \mathbf{Z}_{U_{i_0}} \leftarrow \bigoplus_{i_0, i_1 \in I} \mathbf{Z}_{U_{i_0} \times_U U_{i_1}} \leftarrow \bigoplus_{i_0, i_1, i_2 \in I} \mathbf{Z}_{U_{i_0} \times_U U_{i_1} \times_U U_{i_2}} \leftarrow \ldots \end{align*}\] 除次数 \(0\) 外，该复形在 \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\) 中的所有次数上正合。

证明

对任意 \(V\in \Ob(\mathcal{C})\)，阿贝尔群复形 \(\mathbf{Z}_\mathcal{U}^\bullet(V)\) 为 \[\begin{matrix} \mathbf{Z}\left[ \coprod_{i_0\in I} \Mor_\mathcal{C}(V, U_{i_0})\right] \leftarrow \mathbf{Z}\left[ \coprod_{i_0, i_1 \in I} \Mor_\mathcal{C}(V, U_{i_0} \times_U U_{i_1})\right] \leftarrow \ldots = \\ \bigoplus_{\varphi : V \to U} \left( \mathbf{Z}\left[\coprod_{i_0 \in I} \Mor_\varphi(V, U_{i_0})\right] \leftarrow \mathbf{Z}\left[\coprod_{i_0, i_1\in I} \Mor_\varphi(V, U_{i_0}) \times \Mor_\varphi(V, U_{i_1})\right] \leftarrow \ldots \right) \end{matrix}\] 其中 \[\Mor_{\varphi}(V, U_i) = \{ V \to U_i \text{，使得 } V \to U_i \to U \text{ 等于 } \varphi \}.\] 令 \(S_\varphi = \coprod_{i\in I} \Mor_\varphi(V, U_i)\)，于是 \[\mathbf{Z}_\mathcal{U}^\bullet(V) = \bigoplus_{\varphi : V \to U} \left( \mathbf{Z}[S_\varphi] \leftarrow \mathbf{Z}[S_\varphi \times S_\varphi] \leftarrow \mathbf{Z}[S_\varphi \times S_\varphi \times S_\varphi] \leftarrow \ldots \right).\] 因此，只需证明对每个 \(S = S_\varphi\)，复形 \[\begin{align*} \mathbf{Z}[S] \leftarrow \mathbf{Z}[S \times S] \leftarrow \mathbf{Z}[S \times S \times S] \leftarrow \ldots \end{align*}\] 在负次数上正合。为此，可以给出一个显式同伦。固定 \(s\in S\)，并定义 \(K: n_{(s_0, \ldots, s_p)} \mapsto n_{(s, s_0, \ldots, s_p)}.\) 容易验证，\(K\) 是下述算子的零同伦： \[\delta : \eta_{(s_0, \ldots, s_p)} \mapsto \sum\nolimits_{i = 0}^p (-1)^p \eta_{(s_0, \ldots, \hat s_i, \ldots, s_p)}.\] 更多细节见 Cohomology on Sites，引理 03AT。

引理

记号和假设同定义 03OL。若 \(\mathcal{I}\) 是 \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\) 的内射对象，则 \(\check H^p(\mathcal{U}, \mathcal{I}) = 0\) 对所有 \(p > 0\) 成立。

证明

Čech 复形是将函子 \(\Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}(-, \mathcal{I})\) 作用于复形 \(\mathbf{Z}^\bullet_\mathcal{U}\) 所得，也就是说 \[\check H^p(\mathcal{U}, \mathcal{I}) = H^p (\Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})} (\mathbf{Z}^\bullet_\mathcal{U}, \mathcal{I})).\] 但我们刚刚看到 \(\mathbf{Z}^\bullet_\mathcal{U}\) 在负次数上正合，而函子 \(\Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}(-, \mathcal{I})\) 正合，因此 \(\Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})} (\mathbf{Z}^\bullet_\mathcal{U}, \mathcal{I})\) 在正次数上正合。

定理

记号和假设同定义 03OL。在 \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\) 上，函子 \(\check{H}^p(\mathcal{U}, -)\) 是 \(\check{H}^0(\mathcal{U}, -)\) 的右导出函子。

证明

由引理 03OR，函子 \(\check H^p(\mathcal{U}, -)\) 因为可抹而成为泛 \(\delta\)-函子。 \(\check H^0(\mathcal{U}, -)\) 的右导出函子也是如此。由于二者在次数 \(0\) 上一致，泛 \(\delta\)-函子的泛性质说明它们一致。更多细节见 Cohomology on Sites，引理 03AU。

注

注意，前面所有陈述都只涉及预层，因此尚未使用拓扑。

Čech 到上同调谱序列

这个谱序列是证明层上同调基本结果的基础工具。

引理

遗忘函子 \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\to \textit{PAb}(\mathcal{C})\) 将内射对象映为内射对象。

证明

这是形式上的：遗忘函子有左伴随，即层化，而层化是正合函子。 更多细节见 Cohomology on Sites，引理 03F6。

定理

设 \(\mathcal{C}\) 是网站。对任意覆盖 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\)（它覆盖 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)）以及任意阿贝尔层 \(\mathcal{F}\)（在 \(\mathcal{C}\) 上），存在谱序列 \[E_2^{p, q} = \check H^p(\mathcal{U}, \underline{H}^q(\mathcal{F})) \Rightarrow H^{p+q}(U, \mathcal{F}),\] 其中 \(\underline{H}^q(\mathcal{F})\) 是阿贝尔预层 \(V \mapsto H^q(V, \mathcal{F})\)。

证明

选取内射消解 \(\mathcal{F}\to \mathcal{I}^\bullet\)（位于 \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\) 中），并考虑双复形 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet)\) 及映射 \[\xymatrix{ \Gamma(U, I^\bullet) \ar[r] & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet) \\ & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \ar[u] }\] 这里，水平映射是到最左列的自然映射 \(\Gamma(U, I^\bullet) \to \check{\mathcal{C}}^0(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet)\)，垂直映射由 \(\mathcal{F}\to \mathcal{I}^0\) 诱导，并落在最下行。根据假设， \(\mathcal{I}^\bullet\) 是 \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\) 中的内射对象复形， 故由引理 03OV，它也是 \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\) 中的内射对象复形。因此，双复形的各行在 正次数上正合（引理 03OR），并且 \(\check{\mathcal{C}}^0(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet) \to \check{\mathcal{C}}^1(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet)\) 的核等于 \(\Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet)\)，因为 \(\mathcal{I}^\bullet\) 是层的复形。特别地，总复形的上同调就是全局截面函子 \(H^0(U, \mathcal{F})\) 的标准上同调。

在垂直方向上，第 \(q\) 个上同调群（取自第 \(p\) 列）为 \[\prod_{i_0, \ldots, i_p} H^q(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}, \mathcal{F}) = \prod_{i_0, \ldots, i_p} \underline{H}^q(\mathcal{F})(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p})\] 它位于 \(E_1^{p, q}\) 项。因此，这是标准的双复形谱序列，且 \(E_2\)-页如所述。更多细节见 Cohomology on Sites，引理 03AZ。

注

这是下述函子复合的 Grothendieck 谱序列： \[\textit{Ab}(\mathcal{C}) \longrightarrow \textit{PAb}(\mathcal{C}) \xrightarrow{\check H^0} \textit{Ab}.\]

概形的大网站与小网站

设 \(S\) 是概形。设 \(\tau\) 是我们将讨论的拓扑之一。因此 \(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale, Zariski\}\)。 当然，如果只关心 étale 拓扑，则可始终假设 \(\tau = \etale\)。 此外，从第 03P9 节起，我们将更详细地讨论 étale 态射、étale 覆盖和 étale 网站。为了继续讨论拟凝聚层的 上同调，引入大 \(\tau\)-网站很方便；当 \(\tau \in \{\etale, Zariski\}\) 时，还要引入小 \(\tau\)-网站，即 \(S\) 的相应小网站。 为此，先引入 \(\tau\)-覆盖的概念。

定义

（见 Topologies，定义 021M, 0225, 021Z, 0215，和 020O。） 设 \(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale, Zariski\}\)。 称具有共同靶的概形态射族 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 \(\tau\)-覆盖，当且仅当每个 \(f_i\) 分别是有限表示平坦态射、 syntomic 态射、光滑态射、étale 态射或开浸入，并且 \(\bigcup f_i(T_i) = T\)。

所有 \(\tau\)-覆盖所成的类满足定义 03NH（我们对网站的定义） 中的公理 (1)、(2) 和 (3)，见 Topologies，引理 021O, 0227, 0221, 0217，和 020P。

下面引入我们将使用的网站。与 [SGA4] 中的做法不同，我们不想选取一个 宇宙，而是选取一个“部分宇宙”（即 Sets，第 000B 节所述的一个适当大的集合），并考虑包含在 这个集合中的所有概形。当然，我们确保所选基概形 \(S\) 包含在部分宇宙中。 选定底层范畴后，再选取一个适当大的 \(\tau\)-覆盖集合，使之成为网站。 细节见概形拓扑一章；这些选择有很大自由度，但最终的具体选择不会影响 \(S\) 的 étale（或其他）上同调（正如在 [SGA4] 中，宇宙的具体选择 最终并不重要）。此外，本材料的写法也允许愿意使用强不可达基数（即宇宙） 的读者以之替代部分宇宙。

定义

设 \(S\) 是概形。 设 \(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale, \linebreak[0] Zariski\}\)。

1. 大 \(\tau\)-网站（基为 \(S\)）是按上述方式构造的任一网站 \((\Sch/S)_\tau\)；更详细的构造见 Topologies，定义 021S, 03X3, 03X0, 021B，和 020T.

2. 若 \(\tau \in \{\etale, Zariski\}\)，则小 \(\tau\)-网站（基为 \(S\)） 是全子范畴 \(S_\tau\)，位于 \((\Sch/S)_\tau\) 中；其对象是概形 \(T\)（位于 \(S\) 上）， 其结构态射 \(T \to S\) 分别为 étale 态射或开浸入。\(S_\tau\) 中的覆盖是族 \(\{U_i \to U\}\)，它在 \((\Sch/S)_\tau\) 中构成覆盖，其中 \(U\) 是 \(S_\tau\) 的对象。

网站 \((\Sch/S)_\tau\) 的底层范畴具有合理的“封闭性”。例如，给定其中的概形 \(T\)，\(T\) 的任意局部闭子概形都同构于 \((\Sch/S)_\tau\) 的某个对象。其他这类 封闭性包括：对概形的纤维积封闭；可取可数不交并；可取给定概形上的有限型 概形；给定仿射概形 \(\Spec(R)\)，可对 \(R\) 作完备化、局部化或关于某个理想取商， 而仍留在该范畴中；等等。另一方面，例如对 \((\Sch/S)_\tau\) 中的概形取任意 不交并，则可能离开这个范畴。还要注意，给定对象 \(T\)（位于 \((\Sch/S)_\tau\) 中），可能 存在 \(\tau\)-覆盖 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)（如定义 03X8 所述），但它不是 \((\Sch/S)_\tau\) 中的覆盖；例如， 概形 \(T_i\) 可能不是范畴 \((\Sch/S)_\tau\) 的对象。不过，我们对网站 \((\Sch/S)_\tau\) 的选取保证，总存在覆盖 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) （属于 \((\Sch/S)_\tau\)），它加细覆盖 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)，见 Topologies，引理 03WX, 03X2, 03WZ, 03WW，和 03WV. 本章大多不再理会这些问题。

若 \(\mathcal{F}\) 是 \((\Sch/S)_\tau\) 或 \(S_\tau\) 上的层，则以 \[H^p_\tau(U, \mathcal{F}), \text{ 特别地 } H^p_\tau(S, \mathcal{F})\] 表示 \(\mathcal{F}\) 在网站对象 \(U\) 上的上同调群，见第 03NT 节。因此有 \(H^p_{fppf}(S, \mathcal{F})\), \(H^p_{syntomic}(S, \mathcal{F})\), \(H^p_{smooth}(S, \mathcal{F})\), \(H^p_\etale(S, \mathcal{F})\)，和 \(H^p_{Zar}(S, \mathcal{F})\)。后两种记号可能有歧义，因为它们既可能指大 étale 或 Zariski 网站，也可能指相应的小网站。不过，由下述引理可知， 这种歧义无害。

引理

设 \(\tau \in \{\etale, Zariski\}\)。若 \(\mathcal{F}\) 是定义在 \((\Sch/S)_\tau\) 上的阿贝尔层，则 \(\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上的上同调群与 \(\mathcal{F}|_{S_\tau}\) 在 \(S\) 上的上同调群相同。

证明

由 Topologies，引理 020Z 和 021G 可知，函子 \(S_\tau \to (\Sch/S)_\tau\) 满足 Sites，引理 00XU 的假设。因此，本引理由 Cohomology on Sites， 引理 03YU 得出。

\(S\) 的大或小 étale 网站上的层范畴，只依赖于 \((\Sch/S)_\etale\) 或 \(S_\etale\) 中由仿射对象组成的全子范畴；并且只需考虑这些对象之间的标准 étale 覆盖（定义见下文）。由此得到网站 \((\textit{Aff}/S)_\etale\) 和 \(S_{affine, \etale}\)，见 Topologies，定义 021B。比较结果见 Topologies，引理 021E 和 04HR。下面定义本章将考虑的若干拓扑中的标准覆盖。

定义

（见 Topologies，定义 021Q, 0229, 0223, 0219，和 020R.) 设 \(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale, Zariski\}\)，并设 \(T\) 是仿射概形。 一个标准 \(\tau\)-覆盖（靶为 \(T\)）是一个族 \(\{f_j : U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)，其中每个 \(U_j\) 都是仿射的， 每个 \(f_j\) 分别是有限表示平坦态射、标准 syntomic 态射、标准光滑态射、 étale 态射或 \(T\) 中标准主开集的浸入，并且 \(T = \bigcup f_j(U_j)\)。

引理

设 \(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale, Zariski\}\)。 仿射概形的任意 \(\tau\)-覆盖都可由某个标准 \(\tau\)-覆盖加细。

证明

见 Topologies，引理 021P, 0228, 0222, 0218，和 020Q.

为完整起见，我们陈述并证明这里所考虑的上同调群不依赖于部分宇宙的选取。 下文将在引理 0958 中证明小 étale 拓扑斯的不变性。本引理使用的记号和术语见 Topologies，第 022I 节。

引理

设 \(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale, Zariski\}\)。设 \(S\) 是概形。 设 \((\Sch/S)_\tau\) 和 \((\Sch'/S)_\tau\) 是两个大 \(\tau\)-网站（基为 \(S\)）， 并假设前者包含于后者。此时：

1. 对任意阿贝尔层 \(\mathcal{F}'\)（定义在 \((\Sch'/S)_\tau\) 上），以及 任意对象 \(U\)（属于 \((\Sch/S)_\tau\)），有 \[H^p_\tau(U, \mathcal{F}'|_{(\Sch/S)_\tau}) = H^p_\tau(U, \mathcal{F}')\] 换言之，在较大网站中计算的 \(\mathcal{F}'\) 在 \(U\) 上的上同调，与把 \(\mathcal{F}'\) 限制到较小网站后在 \(U\) 上的上同调相同。

2. 对任意阿贝尔层 \(\mathcal{F}\)（在 \((\Sch/S)_\tau\) 上），存在阿贝尔层 \(\mathcal{F}'\)（在 \((\Sch/S)_\tau'\) 上），其到 \((\Sch/S)_\tau\) 的限制 同构于 \(\mathcal{F}\)。

证明

由 Topologies，引理 022K 可知，包含函子 \((\Sch/S)_\tau \to (\Sch'/S)_\tau\) 满足 Sites，引理 00XU 的假设。这推出 (2)，而 (1) 由 Cohomology on Sites，引理 03YU 得出。

Étale 拓扑斯

拓扑斯是某个网站上的集合层所成的范畴，见 Sites，定义 00XA。因此，通常用“概形的 étale 拓扑斯”这一说法 指概形的小 étale 网站上的层范畴。正式定义如下。

定义

设 \(S\) 是概形。

1. \(S\) 的étale 拓扑斯，或称小 étale 拓扑斯，是集合层范畴 \(\Sh(S_\etale)\)，这些层位于 \(S\) 的小 étale 网站上。

2. \(S\) 的Zariski 拓扑斯，或称小 Zariski 拓扑斯，是集合层范畴 \(\Sh(S_{Zar})\)，这些层位于 \(S\) 的小 Zariski 网站上。

3. 对 \(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale, Zariski\}\)， 大 \(\tau\)-拓扑斯是某个大 \(\tau\)-拓扑斯（基为 \(S\)）上的集合层范畴。

注意，\(S\) 的小 Zariski 拓扑斯就是 \(S\) 的底层拓扑空间上的集合层范畴，见 Topologies，引理 020X。小 étale 拓扑斯 不依赖于构造小 étale 网站时所作的选择，但一般而言，大拓扑斯确实依赖于 这些选择。

事实上，大或小 étale 拓扑斯只依赖于 \((\Sch/S)_\etale\) 或 \(S_\etale\) 中由仿射对象组成的全子范畴，见 Topologies，引理 021E 和 04HR。例如，在下述引理的证明中将用到这一点。

引理

设 \(S\) 是概形。\(S\) 的 étale 拓扑斯不依赖于定义 03XB 中小 étale 网站的构造（在典范等价意义下）。

证明

需要证明：给定两个大 étale 网站 \(\Sch_\etale\) 和 \(\Sch_\etale'\)， 它们都包含 \(S\)；采用显然的记号，有 \(\Sh(S_\etale) \cong \Sh(S_\etale')\)。由 Topologies，引理 022J，可假设 \(\Sch_\etale \subset \Sch_\etale'\)。由 Sets，引理 000R，\(S\) 上任意 étale 的仿射概形都同构于 \(\Sch_\etale\) 和 \(\Sch_\etale'\) 二者中的对象。因此，诱导函子 \(S_{affine, \etale} \to S_{affine, \etale}'\) 是等价。此外，显然该函子及其某个拟逆都把标准 étale 覆盖变为标准 étale 覆盖。因此，结论由 Topologies，引理 04HR 得出。

拟凝聚层的上同调

先从一个简单引理开始（它在比所述情形更一般的范围内成立）。该引理说明， 标准覆盖的 Čech 复形等于形如 \(\{\Spec(B) \to \Spec(A)\}\) 的 fpqc 覆盖的 Čech 复形，其中 \(A \to B\) 忠实平坦。

引理

设 \(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale, Zariski\}\)。设 \(S\) 是概形。 设 \(\mathcal{F}\) 是 \((\Sch/S)_\tau\) 上的阿贝尔层；也可设它是 \(S_\tau\) 上的阿贝尔层（当 \(\tau = \etale\) 时）。再设 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) 是该网站的标准 \(\tau\)-覆盖。令 \(V = \coprod_{i \in I} U_i\)。则：

1. \(V\) 是仿射概形；

2. \(\mathcal{V} = \{V \to U\}\) 是 fpqc 覆盖；它也是 \(\tau\)-覆盖， 除非 \(\tau = Zariski\)；

3. Čech 复形 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet (\mathcal{U}, \mathcal{F})\) 与 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet (\mathcal{V}, \mathcal{F})\) 相同。

证明

标准 \(\tau\)-覆盖的定义见 Topologies，定义 020R, 0219, 0223, 0229，和 021Q. 由定义，每个概形 \(U_i\) 都是仿射的，且 \(I\) 是有限集。因此 \(V\) 是仿射概形。 显然 \(V \to U\) 平坦且满射，故 \(\mathcal{V}\) 是 fpqc 覆盖，见例 03NY。除 Zariski 情形外，覆盖 \(\mathcal{V}\) 也是 \(\tau\)-覆盖，见 Topologies，定义 0215, 021Z, 0225，和 021M.

注意，\(\mathcal{U}\) 是 \(\mathcal{V}\) 的加细，因而有 Čech 复形的映射 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet (\mathcal{V}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet (\mathcal{U}, \mathcal{F})\)，见 Cohomology on Sites，等式 (03F4)。接着注意，若 \(T = \coprod_{j \in J} T_j\) 是 \(\mathcal{F}\) 所定义的网站中若干概形的不交并， 则具有共同靶的态射族 \(\{T_j \to T\}_{j \in J}\) 是 Zariski 覆盖，故 [03XC]\[\begin{equation} \mathcal{F}(T) = \mathcal{F}(\coprod\nolimits_{j \in J} T_j) = \prod\nolimits_{j \in J} \mathcal{F}(T_j) \end{equation}\] 由 \(\mathcal{F}\) 的层条件成立。这说明上面的 Čech 复形映射在每一次数上 都是同构，因为作为概形有 \[V \times_U \ldots \times_U V = \coprod\nolimits_{i_0, \ldots i_p} U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\]

注意，等式 (03XC) 对一般预层不成立。即使对层，它也不在 任意网站上都成立，因为余积未必产生覆盖，也未必是不交的。不过，对所有常用 网站（至少对我们将研究的全部网站），该等式成立。

注

在引理 03OZ 的陈述中，覆盖 \(\mathcal{U}\) 是 \(\mathcal{V}\) 的加细，反向却不成立。形如 \(\{V \to U\}\) 的覆盖并不构成 \(U\) 的所有覆盖所成范畴的始子范畴。不过，仍可借助这些覆盖计算 Čech 上同调 \(\check H^n(U, \mathcal{F})\)；这里它定义为：在覆盖 \(\mathcal{U}\) （其靶为 \(U\)）所成范畴的反范畴上，对 \(\mathcal{F}\) 关于 \(\mathcal{U}\) 的 Čech 上同调群取余极限，而计算可借助覆盖 \(\{V \to U\}\)。若以后需要， 我们将陈述一个精确引理（它只对层成立）并补在此处。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是网站，\(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的阿贝尔层， \(U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象，\(p > 0\) 是整数，并且 \(\xi \in H^p(U, \mathcal{F})\)。则存在覆盖 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\)；它是 \(U\) 在 \(\mathcal{C}\) 中的 覆盖，并且 \(\xi |_{U_i} = 0\) 对所有 \(i \in I\) 都成立。

证明

选取内射消解 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\)。于是，\(\xi\) 由上闭链 \(\tilde{\xi} \in \mathcal{I}^p(U)\) 表示，并且 \(d^p(\tilde{\xi}) = 0\)。根据假设，序列 \(\mathcal{I}^{p - 1} \to \mathcal{I}^p \to \mathcal{I}^{p + 1}\) 在 \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\) 中正合。这意味着存在覆盖 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\)，使得 \(\tilde{\xi}|_{U_i} = d^{p - 1}(\xi_i)\)，其中 \(\xi_i \in \mathcal{I}^{p-1}(U_i)\)。上同调类 \(\xi|_{U_i}\) 由上闭链 \(\tilde{\xi}|_{U_i}\) 表示，而后者是上边界，故该上同调类为零。更多细节见 Cohomology on Sites，引理 01FW。

定理

设 \(S\) 是概形，\(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-模。设 \(\mathcal{C}\) 或者是 \((\Sch/S)_\tau\)，其中 \(\tau \in \{fppf, \allowbreak syntomic, \allowbreak smooth, \allowbreak \etale, \allowbreak Zariski\}\)；或者是 \(S_\etale\)。则 \[H^p(S, \mathcal{F}) = H^p_\tau(S, \mathcal{F}^a)\] 对所有 \(p \geq 0\) 都成立，其中：

1. 左端表示层 \(\mathcal{F}\) 在概形 \(S\) 的底层拓扑空间上的通常上同调；

2. 右端表示阿贝尔层 \(\mathcal{F}^a\)（见命题 03OG）在网站 \(\mathcal{C}\) 上的上同调。

证明

我们将证明 \(H^p(U, f^*\mathcal{F}) = H^p_\tau(U, \mathcal{F}^a)\)；这里 \(f : U \to S\) 是网站 \(\mathcal{C}\) 的任意对象。由层性质，结论在 \(p = 0\) 时成立。

假设 \(U\) 是仿射的。我们要证明 \(H^p_\tau(U, \mathcal{F}^a) = 0\) 对所有 \(p > 0\) 都成立。对 \(p\) 作归纳。

1. 取 \(\xi \in H^1_\tau(U, \mathcal{F}^a)\)。由引理 03P1，存在 fpqc 覆盖 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\)，使得 \(\xi|_{U_i} = 0\) 对所有 \(i \in I\) 都成立。加细 \(\mathcal{U}\) 后，可假设 \(\mathcal{U}\) 是标准 \(\tau\)-覆盖。应用定理 03OW 的谱序列可知，\(\xi\) 来自上同调类 \(\check \xi \in \check H^1(\mathcal{U}, \mathcal{F}^a)\)。考虑覆盖 \(\mathcal{V} = \{\coprod_{i\in I} U_i \to U\}\)。由引理 03OZ， \(\check H^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}^a) = \check H^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{F}^a)\). 另一方面，因为 \(\mathcal{V}\) 是形如 \(\{\Spec(B) \to \Spec(A)\}\) 的覆盖， 且 \(f^*\mathcal{F} = \widetilde{M}\)；这里存在 \(A\)-模 \(M\)。所以 Čech 复形 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{F})\) 就是复形 \((B/A)_\bullet \otimes_A M\)。由引理 03OA，有 \(H^p((B/A)_\bullet \otimes_A M) = 0\)（当 \(p > 0\) 时），故 \(\check \xi = 0\)，进而 \(\xi = 0\)。

2. 取 \(\xi \in H^p_\tau(U, \mathcal{F}^a)\)。由引理 03P1，存在 fpqc 覆盖 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\)，使得 \(\xi|_{U_i} = 0\) 对所有 \(i \in I\) 都成立。加细 \(\mathcal{U}\) 后，可假设 \(\mathcal{U}\) 是标准 \(\tau\)-覆盖。应用定理 03OW 的谱序列。注意，各个交 \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\) 都是仿射的，故由归纳假设，上同调群 \[E_2^{p, q} = \check H^p(\mathcal{U}, \underline{H}^q(\mathcal{F}^a))\] 对所有 \(0 < q < p\) 都消失。由此可见，\(\xi\) 必来自某个 \(\check \xi \in \check H^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}^a)\)。把 \(\mathcal{U}\) 换成只含一个态射的覆盖 \(\mathcal{V}\)，并再次使用引理 03OA，便知 Čech 上同调类 \(\check \xi\) 必为零， 故 \(\xi = 0\)。

接着假设 \(U\) 是分离的。选取仿射开覆盖 \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\)（它覆盖 \(U\)）。于是族 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) 是 fpqc 覆盖；并且所有交 \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\) 都是仿射的，因为 \(U\) 分离。因此，定理 03OW 的谱序列除第零行外各行均为零。所以 \[H^p_\tau(U, \mathcal{F}^a) = \check H^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}^a) = \check H^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = H^p(U, \mathcal{F})\] ；最后一个等式来自标准概形理论，见 Cohomology of Schemes，引理 01XD。

一般情形较为技术性；若要延伸这里给出的证明，还需讨论谱序列之间的映射， 故我们不作处理。它由 Descent，命题 03DW（其证明采用稍有不同的 方法）与 Cohomology on Sites，引理 03F3 结合得出。

注

对定理 03P2 作一点说明。由于 \(S\) 是范畴 \(\mathcal{C}\) 的终对象，右端的上同调群就是整体截面函子的右导出函子。事实上， 证明表明 \(H^p(U, f^*\mathcal{F}) = H^p_\tau(U, \mathcal{F}^a)\) 对任意对象 \(f : U \to S\)（属于网站 \(\mathcal{C}\)）都成立。

层的例子

设 \(S\) 和 \(\tau\) 如第 03X7 节所述。前面已经看到，任意可表 预层都是 \((\Sch/S)_\tau\) 或 \(S_\tau\) 上的层，见引理 03O3 和注 03O4。下面给出一些特殊情形。

定义

在第 03X7 节的任一网站 \((\Sch/S)_\tau\) 或 \(S_\tau\) 上：

1. 层 \(T \mapsto \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\) 记作 \(\mathcal{O}_S\) 或 \(\mathbf{G}_a\)；若要标明基概形，则记作 \(\mathbf{G}_{a, S}\)。

2. 类似地，层 \(T \mapsto \Gamma(T, \mathcal{O}^*_T)\) 记作 \(\mathcal{O}_S^*\) 或 \(\mathbf{G}_m\)；若要标明基概形，则记作 \(\mathbf{G}_{m, S}\)。

3. 任意网站上的常值层 \(\underline{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}}\)，是常值预层 \(U \mapsto \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\) 的层化。

例如，由定理 03OJ 可知第一个是层。第二个是第一个的 子预层，而且容易看出它本身也是层。第三个按定义即为层。注意，这些层都可表。 前两个分别由概形 \(\mathbf{G}_{a, S}\) 和 \(\mathbf{G}_{m, S}\) 表示，见 Groupoids，第 022R 节。第三个由有限 étale 群概形 \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}_S\) 表示，它有时记作 \((\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})_S\)；这就是 \(n\) 个 \(S\) 的副本，并赋予 \(S\) 上显然的 群概形结构，见 Groupoids，例 03YW 及下述注。

注

设 \(G\) 是抽象群。在第 03X7 节的任一网站 \((\Sch/S)_\tau\) 或 \(S_\tau\) 上，层化 \(\underline{G}\)（即与 \(G\) 相伴的 常值预层在该网站的Zariski 拓扑中的层化）已经给出 \[\Gamma(U, \underline{G}) = \{\text{Zariski 局部常值映射 }U \to G\}\] 。由 Groupoids，例 03YW，这个 Zariski 层 由群概形 \(G_S\) 表示。由引理 03O3，任意可表预层 也满足 \(\tau\)-拓扑的层条件，故上述 Zariski 层化 \(\underline{G}\) 同时也是 \(\tau\)-层化。

定义

设 \(S\) 是概形。\(S\) 的结构层是环层 \(\mathcal{O}_S\)，它位于上述任一网站 \(S_{Zar}\)、\(S_\etale\) 或 \((\Sch/S)_\tau\) 上。

若所使用的网站可能产生混淆，我们就用下标加以标明。例如，可用 \(\mathcal{O}_{S_\etale}\) 强调我们是在 \(S\) 的小 étale 网站上工作。

注

用上面引入的术语，定理 03P2 的一个 特殊情形是 \[H_{fppf}^p(X, \mathbf{G}_a) = H_\etale^p(X, \mathbf{G}_a) = H_{Zar}^p(X, \mathbf{G}_a) = H^p(X, \mathcal{O}_X)\] ，对所有 \(p \geq 0\) 成立。此外，可以用记号 \(H^p_{fppf}(X, \mathcal{O}_X)\) 表示结构层在 \(X\) 的大 fppf 网站上的上同调。

Picard 群

下述定理有时称为“Hilbert 定理 90”。

定理

对任意概形 \(X\)，有典范等同 \[\begin{align*} H_{fppf}^1(X, \mathbf{G}_m) & = H^1_{syntomic}(X, \mathbf{G}_m) \\ & = H^1_{smooth}(X, \mathbf{G}_m) \\ & = H_\etale^1(X, \mathbf{G}_m) \\ & = H^1_{Zar}(X, \mathbf{G}_m) \\ & = \Pic(X) \\ & = H^1(X, \mathcal{O}_X^*) \end{align*}\]

证明

设 \(\tau\) 是第 03X7 节所考虑的拓扑之一。由 Cohomology on Sites，引理 040E 可知 \(H^1_\tau(X, \mathbf{G}_m) = H^1_\tau(X, \mathcal{O}_\tau^*) = \Pic(\mathcal{O}_\tau)\) ，其中 \(\mathcal{O}_\tau\) 是网站 \((\Sch/X)_\tau\) 的结构层。于是，可逆 \(\mathcal{O}_\tau\)-模是拟凝聚 \(\mathcal{O}_\tau\)-模。由定理 03OJ，或更精确的 Descent，命题 03DX，可知 \(\Pic(\mathcal{O}_\tau) = \Pic(X)\)。最后一个等式以同样方式证明。

Étale 网站

从这里开始，我们更详细地研究概形的 étale 网站。第一步是简要讨论 étale 态射的概念。

Étale 态射

正式定义见 Morphisms，第 02GH 节；étale 态射的 若干有趣性质综述见 Étale Morphisms，诸节 0257, 025A, 039P, 025F, 025J，和 025L。

回忆：代数 \(A\)（在代数闭域 \(k\) 上）称为光滑的，如果它是有限型的，且微分模 \(\Omega_{A/k}\) 是秩等于维数的有限局部自由模。概形 \(X\)（在 \(k\) 上）称为在 \(k\) 上光滑，如果它局部为有限型，并且每个仿射开集都是某个光滑 \(k\)-代数的 谱。若 \(k\) 不是代数闭的，则称 \(k\)-代数 \(A\) 是光滑 \(k\)-代数，如果 \(A \otimes_k \overline{k}\) 是光滑 \(\overline{k}\)-代数。环映射 \(A \to B\) 称为光滑的，如果它平坦、有限表示，并且对所有素理想 \(\mathfrak p \subset A\)，纤维环 \(\kappa(\mathfrak p) \otimes_A B\) 在剩余域 \(\kappa(\mathfrak p)\) 上光滑。更一般地，概形态射称为光滑的，如果它 平坦、局部有限表示，并且各几何纤维光滑。

关于这些事实，见 Morphisms，第 01V4 节。由此可如下 定义 étale 态射。

定义

若概形态射是相对维数为 0 的光滑态射，则称它是étale 的。

特别地，若概形态射 \(X \to S\) 光滑且 \(\Omega_{X/S} = 0\)，则它是 étale 的。

命题

关于 étale 态射的若干事实。

1. 设 \(k\) 是域。概形态射 \(U \to \Spec(k)\) 是 étale 的，当且仅当 \(U \cong \coprod_{i \in I} \Spec(k_i)\)，其中对每个 \(i \in I\)，环 \(k_i\) 是域， 并且是 \(k\) 的有限可分扩张。

2. 设 \(\varphi : U \to S\) 是概形态射。下列条件等价：

   1. \(\varphi\) 是 étale 的；

   2. \(\varphi\) 局部有限表示且平坦，并且它的所有纤维都是 étale 的；

   3. \(\varphi\) 平坦、非分歧且局部有限表示。

3. 环映射 \(A \to B\) 是 étale 的，当且仅当 \(B \cong A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\) ，并且 \(\Delta = \det \left( \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \right)\) 在 \(B\) 中可逆。

4. Étale 态射的基变换仍是 étale 态射。

5. Étale 态射的复合仍是 étale 态射。

6. Étale 态射的纤维积和乘积仍是 étale 态射。

7. Étale 态射的相对维数为 0。

8. 设 \(Y \to X\) 是 étale 态射。若 \(X\) 是既约的（相应地，正则的）， 则 \(Y\) 也是如此。

9. Étale 态射是开的。

10. 若 \(X \to S\) 和 \(Y \to S\) 都是 étale 的，则任意 \(S\)-态射 \(X \to Y\) 也是 étale 的。

证明

我们已在前面各章证明了这些事实以及更多结果。参考文献如下： (1) Morphisms，引理 02GL。 (2) Morphisms，引理 02GM 和 02GV。 (3) Algebra，引理 00U9。 (4) Morphisms，引理 02GO。 (5) Morphisms，引理 02GN。 (6) 由 (4) 和 (5) 形式地得出。 (7) Morphisms，引理 03WS 和 0397。 (8) 见 Algebra，引理 033B 和 033A；此类更多结果还见 Étale Morphisms，第 025L 节。 (9) 见 Morphisms，引理 01UA 和 02GS。 (10) 见 Morphisms，引理 02GW。

定义

若环映射 \(A \to B\) 满足 \(B \cong \left(A[t]/(f)\right)_g\)，其中 \(f, g \in A[t]\)、\(f\) 首一，且 \(\text{d}f/\text{d}t\) 在 \(B\) 中可逆，则称它是标准 étale 的。

标准 étale 环映射确实是 étale 的。事实上，假设 \(B = \left(A[t]/(f)\right)_g\)，其中 \(f, g \in A[t]\)、\(f\) 首一，且 \(\text{d}f/\text{d}t\) 在 \(B\) 中可逆。则 \(A[t]/(f)\) 是有限自由 \(A\)-模， 其秩等于首一多项式 \(f\) 的次数。因此，\(B\) 作为这个自由代数的局部化， 在 \(A\) 上有限表示且平坦。要完成 \(B\) 为 étale 的证明，只需说明纤维环 \[\kappa(\mathfrak p) \otimes_A B \cong \kappa(\mathfrak p) \otimes_A (A[t]/(f))_g \cong \kappa(\mathfrak p)[t, 1/\overline{g}]/(\overline{f})\] 是有限可分域扩张的有限乘积。这里 \(\overline{f}, \overline{g} \in \kappa(\mathfrak p)[t]\) 分别是 \(f\) 和 \(g\) 的像。 令 \[\overline{f} = \overline{f}_1 \ldots \overline{f}_a \overline{f}_{a + 1}^{e_1} \ldots \overline{f}_{a + b}^{e_b}\] 是 \(\overline{f}\) 分解成两两不同的不可约首一因子 \(\overline{f}_i\) 的幂， 其中 \(e_1, \ldots, e_b > 1\)。根据假设， \(\text{d}\overline{f}/\text{d}t\) 在 \(\kappa(\mathfrak p)[t, 1/\overline{g}]\) 中可逆。因此至少所有 \(\overline{f}_i\)（其中 \(i > a\)）都可逆。由此得出 \[\kappa(\mathfrak p)[t, 1/\overline{g}]/(\overline{f}) \cong \prod\nolimits_{i \in I} \kappa(\mathfrak p)[t]/(\overline{f}_i)\] ，其中 \(I \subset \{1, \ldots, a\}\) 是指标 \(i\) 的子集，所取指标满足 \(\overline{f}_i\) 不整除 \(\overline{g}\)。此外， \(\text{d}\overline{f}/\text{d}t\) 在因子 \(\kappa(\mathfrak p)[t]/(\overline{f}_i)\) 中的像，显然等于某个单位乘以 \(\text{d}\overline{f}_i/\text{d}t\)。因此， \(\kappa_i = \kappa(\mathfrak p)[t]/(\overline{f}_i)\) 是 \(\kappa(\mathfrak p)\) 的有限域扩张，由一个极小多项式可分的元素生成；也就是说， 域扩张 \(\kappa_i/\kappa(\mathfrak p)\) 如所需是有限可分的。

事实上，任意 étale 环映射都局部标准 étale。为陈述这一点，引入下述记号。 称环映射 \(A \to B\)在素理想 \(\mathfrak q\)（它是 \(B\) 的素理想）处 étale，如果存在 \(h \in B\)、\(h \not \in \mathfrak q\)，使得 \(A \to B_h\) 是 étale 的。结果如下。

定理

环映射 \(A \to B\) 在素理想 \(\mathfrak q\) 处 étale，当且仅当存在 \(g \in B\)、\(g \not \in \mathfrak q\)，使得 \(B_g\) 在 \(A\) 上标准 étale。

证明

见 Algebra，命题 00UE。

Étale 覆盖

回忆其定义。

定义

概形 \(U\) 的一个étale 覆盖是概形态射族 \(\{\varphi_i : U_i \to U\}_{i \in I}\)，满足：

1. 每个 \(\varphi_i\) 都是 étale 态射；

2. 诸 \(U_i\) 覆盖 \(U\)，即 \(U = \bigcup_{i\in I}\varphi_i(U_i)\)。

引理

任意 étale 覆盖都是 fpqc 覆盖。

证明

（另见 Topologies，引理 022C。）设 \(\{\varphi_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) 是 étale 覆盖。由于 étale 态射平坦， 且覆盖的成员覆盖其靶，性质 fp（忠实平坦）成立。为验证性质 qc（拟紧），设 \(V \subset U\) 是仿射开集，并写成 \(\varphi_i^{-1}(V) = \bigcup_{j \in J_i} V_{ij}\)，其中 \(V_{ij} \subset U_i\) 是某些仿射开集。因为 \(\varphi_i\) 是开态射 （étale 态射是开的），所以 \(V = \bigcup_{i\in I} \bigcup_{j \in J_i} \varphi_i(V_{ij})\) 是 \(V\) 的开覆盖。又因 \(V\) 拟紧，该覆盖有有限加细。

因此，对 fpqc 覆盖成立的任意陈述，更加对 étale 覆盖成立。例如， étale 网站是次典范的。

定义

（更多细节见第 03X7 节，或 Topologies，第 0214 节。）设 \(S\) 是概形。\(S\) 上的大 étale 网站是网站 \((\Sch/S)_\etale\)，见定义 03XB。 \(S\) 上的小 étale 网站是网站 \(S_\etale\)，见定义 03XB。类似地，定义 \(S\) 上的大和小 Zariski 网站，分别记作 \((\Sch/S)_{Zar}\) 和 \(S_{Zar}\)。

粗略地说，\(S\) 的大 étale 网站由 \(S\) 上的概形组成，其覆盖为 étale 覆盖； \(S\) 的小 étale 网站由在 \(S\) 上 étale 的概形组成，其覆盖仍为 étale 覆盖。 事实上，由命题 03PC，\(S_\etale\) 的对象之间的任意态射 都是 étale 的。因此，要验证 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)（位于 \(S_\etale\) 中） 是覆盖，只需验证 \(\coprod U_i \to U\) 满射。

小 étale 网站的对象少于大 étale 网站；它只包含 \(S\) 的 étale 拓扑中的 “开集”。它是大 étale 网站的全子范畴，其拓扑由大网站上的拓扑诱导。因此， 从大 étale 网站到小网站的限制函子正合，并把内射对象映为内射对象。由此得到 下述结论。

命题

设 \(S\) 是概形，\(\mathcal{F}\) 是 \((\Sch/S)_\etale\) 上的阿贝尔层。则 \(\mathcal{F}|_{S_\etale}\) 是 \(S_\etale\) 上的层，并且 \[H^p_\etale(S, \mathcal{F}|_{S_\etale}) = H^p_\etale(S, \mathcal{F})\] 对所有 \(p \geq 0\) 都成立。

证明

这是引理 03YX 的特殊情形。

按照第 03X7 节引入的一般记号，把上述上同调群记作 \(H_\etale^p(S, \mathcal{F})\)。

Kummer 理论

设 \(n \in \mathbf{N}\)，并考虑如下定义的函子 \(\mu_n\)： \[\begin{matrix} \Sch^{opp} & \longrightarrow & \textit{Ab} \\ S & \longmapsto & \mu_n(S) = \{t \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S^*) \mid t^n = 1 \}. \end{matrix}\] 由 Groupoids，例 040M，这是可表函子，表示它的 概形也记作 \(\mu_n\)。由引理 03O3，该函子满足 fpqc 拓扑的层条件（特别地，它也满足 étale、Zariski 等拓扑的层条件）。

引理

若 \(n\in \mathcal{O}_S^*\)，则 \[0 \to \mu_{n, S} \to \mathbf{G}_{m, S} \xrightarrow{(\cdot)^n} \mathbf{G}_{m, S} \to 0\] 在 \(S\) 的小 étale 网站和大 étale 网站上都是层的短正合列。

证明

按定义，层 \(\mu_{n, S}\) 是映射 \((\cdot)^n\) 的核。因此，只需证明最后一个映射 满射。设 \(U\) 是 \(S\) 上的概形。设 \(f \in \mathbf{G}_m(U) = \Gamma(U, \mathcal{O}_U^*)\)。需要证明：可找到 \(U\) 的 一个 étale 覆盖，使得 \(f\) 限制到每个覆盖成员后都是 \(n\) 次幂。令 \[U' = \underline{\Spec}_U(\mathcal{O}_U[T]/(T^n-f)) \xrightarrow{\pi} U.\] （关于相对谱，见 Constructions，第 01LL 或 01LQ 节。）设 \(\Spec(A) \subset U\) 是仿射开集， 并设 \(f|_{\Spec(A)}\) 对应于单位 \(a \in A^*\)。则 \(\pi^{-1}(\Spec(A)) = \Spec(B)\)，其中 \(B = A[T]/(T^n - a)\)。环映射 \(A \to B\) 是秩为 \(n\) 的有限自由映射，因而忠实平坦，所以 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) 满射。该结论对 \(U\) 中每个仿射开集都成立，故 \(\pi\) 满射。此外，\(n\) 和 \(T^{n - 1}\) 在 \(B\) 中可逆，所以 \(nT^{n-1} \in B^*\)，并且环映射 \(A \to B\) 标准 étale，特别地是 étale 的。 该结论对 \(U\) 中每个仿射开集都成立，故 \(\pi\) 是 étale 的。因此 \(\mathcal{U} = \{\pi : U' \to U\}\) 是 étale 覆盖。此外， \(f|_{U'} = (f')^n\)，其中 \(f'\) 是 \(T\) 在 \(\Gamma(U', \mathcal{O}_{U'}^*)\) 中的类，故 \(\mathcal{U}\) 具有所需性质。

注

若把引理 03PL 中的“étale”换成“Zariski”，则引理不成立。 由于 étale 拓扑比光滑拓扑粗，见 Topologies，引理 0220，可知该序列在光滑拓扑中也正合。

由定理 03P8、引理 03PL 以及上同调的 一般性质，得到上同调长正合列 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & H_\etale^0(S, \mu_{n, S}) \ar[r] & \Gamma(S, \mathcal{O}_S^*) \ar[r]^{(\cdot)^n} & \Gamma(S, \mathcal{O}_S^*) \ar@(rd, ul)[rdllllr] \\ & H_\etale^1(S, \mu_{n, S}) \ar[r] & \Pic(S) \ar[r]^{(\cdot)^n} & \Pic(S) \ar@(rd, ul)[rdllllr] \\ & H_\etale^2(S, \mu_{n, S}) \ar[r] & \ldots }\] ；至少当 \(n\) 在 \(S\) 上可逆时如此。当 \(n\) 在 \(S\) 上不可逆时，可应用下述引理。

引理

对任意 \(n \in \mathbf{N}\)，序列 \[0 \to \mu_{n, S} \to \mathbf{G}_{m, S} \xrightarrow{(\cdot)^n} \mathbf{G}_{m, S} \to 0\] 在网站 \((\Sch/S)_{fppf}\) 和 \((\Sch/S)_{syntomic}\) 上都是层的短正合列。

证明

按定义，层 \(\mu_{n, S}\) 是映射 \((\cdot)^n\) 的核。因此，只需证明最后一个映射 满射。由于 syntomic 拓扑弱于 fppf 拓扑，见 Topologies，引理 021N，只需对 syntomic 拓扑 证明此事。设 \(U\) 是 \(S\) 上的概形。设 \(f \in \mathbf{G}_m(U) = \Gamma(U, \mathcal{O}_U^*)\)。需要证明：可找到 \(U\) 的 一个 syntomic 覆盖，使得 \(f\) 限制到每个覆盖成员后都是 \(n\) 次幂。令 \[U' = \underline{\Spec}_U(\mathcal{O}_U[T]/(T^n-f)) \xrightarrow{\pi} U.\] （关于相对谱，见 Constructions，第 01LL 或 01LQ 节。）设 \(\Spec(A) \subset U\) 是仿射开集， 并设 \(f|_{\Spec(A)}\) 对应于单位 \(a \in A^*\)。则 \(\pi^{-1}(\Spec(A)) = \Spec(B)\)，其中 \(B = A[T]/(T^n - a)\)。环映射 \(A \to B\) 是秩为 \(n\) 的有限自由映射，因而忠实平坦，所以 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) 满射。该结论对 \(U\) 中每个仿射开集都成立，故 \(\pi\) 满射。此外，\(B\) 在 \(A\) 上是整体相对完全交，所以环映射 \(A \to B\) 标准 syntomic，特别地是 syntomic 的。该结论对 \(U\) 中每个仿射开集都成立，故 \(\pi\) 是 syntomic 的。因此 \(\mathcal{U} = \{\pi : U' \to U\}\) 是 syntomic 覆盖。 此外，\(f|_{U'} = (f')^n\)，其中 \(f'\) 是 \(T\) 在 \(\Gamma(U', \mathcal{O}_{U'}^*)\) 中的类，故 \(\mathcal{U}\) 具有所需性质。

注

引理 040N 对光滑、étale 或 Zariski 拓扑不成立。

由定理 03P8、引理 040N 以及上同调的一般性质，得到上同调长正合列 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & H_{fppf}^0(S, \mu_{n, S}) \ar[r] & \Gamma(S, \mathcal{O}_S^*) \ar[r]^{(\cdot)^n} & \Gamma(S, \mathcal{O}_S^*) \ar@(rd, ul)[rdllllr] \\ & H_{fppf}^1(S, \mu_{n, S}) \ar[r] & \Pic(S) \ar[r]^{(\cdot)^n} & \Pic(S) \ar@(rd, ul)[rdllllr] \\ & H_{fppf}^2(S, \mu_{n, S}) \ar[r] & \ldots }\] ，它对任意概形 \(S\) 和任意整数 \(n\) 成立。当然，对 syntomic 上同调也有类似序列。

设 \(n \in \mathbf{N}\)，并设 \(S\) 是任意概形。还有一种更直接的方法描述取值于 \(\mu_n\) 的第一上同调群。考虑序对 \((\mathcal{L}, \alpha)\)，其中 \(\mathcal{L}\) 是 \(S\) 上的可逆层，而 \(\alpha : \mathcal{L}^{\otimes n} \to \mathcal{O}_S\) 是第 \(n\) 次张量幂的平凡化， 这一张量幂来自 \(\mathcal{L}\)。设 \((\mathcal{L}', \alpha')\) 是另一这样的序对。同构 \(\varphi : (\mathcal{L}, \alpha) \to (\mathcal{L}', \alpha')\) 是可逆层的同构 \(\varphi : \mathcal{L} \to \mathcal{L}'\)，并使下图 \[\xymatrix{ \mathcal{L}^{\otimes n} \ar[d]_{\varphi^{\otimes n}} \ar[r]_\alpha & \mathcal{O}_S \ar[d]^1 \\ (\mathcal{L}')^{\otimes n} \ar[r]^{\alpha'} & \mathcal{O}_S \\ }\] 交换。因此有 [040P]\[\begin{equation} \mathit{Isom}_S((\mathcal{L}, \alpha), (\mathcal{L}', \alpha')) = \left\{ \begin{matrix} \emptyset & \text{若} & \text{二者不同构} \\ H^0(S, \mu_{n, S})\cdot \varphi & \text{若} & \varphi \text{ 是序对同构} \end{matrix} \right. \end{equation}\] 此外，给定两个序对 \((\mathcal{L}, \alpha)\)、\((\mathcal{L}', \alpha')\)，其张量积 \[(\mathcal{L}, \alpha) \otimes (\mathcal{L}', \alpha') = (\mathcal{L} \otimes \mathcal{L}', \alpha \otimes \alpha')\] 仍是一个序对。序对 \((\mathcal{O}_S, 1)\) 是该张量积运算的单位元，而逆元由 \[(\mathcal{L}, \alpha)^{-1} = (\mathcal{L}^{\otimes -1}, \alpha^{\otimes -1}).\] 给出。因此，序对的同构类集合构成阿贝尔群。注意， \[(\mathcal{L}, \alpha)^{\otimes n} = (\mathcal{L}^{\otimes n}, \alpha^{\otimes n}) \xrightarrow{\alpha} (\mathcal{O}_S, 1)\] 是同构，故该群中每个元素的阶都整除 \(n\)。提醒读者：一般而言，这个群并非 \(n\)-挠子群（位于 \(\Pic(S)\) 中）。

引理

设 \(S\) 是概形。有典范等同 \[H_\etale^1(S, \mu_n) = \text{上述序对 }(\mathcal{L}, \alpha)\text{ 的同构类群}\] ，条件是 \(n\) 在 \(S\) 上可逆。一般而言，有 \[H_{fppf}^1(S, \mu_n) = \text{上述序对 }(\mathcal{L}, \alpha)\text{ 的同构类群}.\] 把 fppf 换成 syntomic 后，同一结果仍成立。

证明

先证明第二个同构。设 \((\mathcal{L}, \alpha)\) 是上述序对。选取仿射开覆盖 \(S = \bigcup U_i\)，使得 \(\mathcal{L}|_{U_i} \cong \mathcal{O}_{U_i}\)。设 \(s_i \in \mathcal{L}(U_i)\) 是生成元。于是 \(\alpha(s_i^{\otimes n}) = f_i \in \mathcal{O}_S^*(U_i)\)。写 \(U_i = \Spec(A_i)\)，则存在整体相对完全交 \(A_i \to B_i = A_i[T]/(T^n - f_i)\)，使 \(f_i\) 的像是 \(n\) 次幂（在 \(B_i\) 中）。 换言之，令 \(V_i = \Spec(B_i)\)，便得到 syntomic 覆盖 \(\mathcal{V} = \{V_i \to S\}_{i \in I}\) 和平凡化 \(\varphi_i : (\mathcal{L}, \alpha)|_{V_i} \to (\mathcal{O}_{V_i}, 1)\)。

我们用这个结果（覆盖 \(\mathcal{V}\) 的存在性）把 \(H^1_{syntomic}(S, \mu_{n, S})\) 中的一个上同调类与该序对相联系。给出两种 （等价的）构造。

第一种构造：使用 Čech 上同调。在二重交 \(V_i \times_S V_j\) 上，有序对的同构 \[(\mathcal{O}_{V_i \times_S V_j}, 1) \xrightarrow{\text{pr}_0^*\varphi_i^{-1}} (\mathcal{L}|_{V_i \times_S V_j}, \alpha|_{V_i \times_S V_j}) \xrightarrow{\text{pr}_1^*\varphi_j} (\mathcal{O}_{V_i \times_S V_j}, 1)\] 。由 (040P)，它由元素 \(\zeta_{ij} \in \mu_n(V_i \times_S V_j)\) 给出。略去如下验证：这些 \(\zeta_{ij}\) 给出一个 \(1\)-上闭链，也就是说，给出元素 \((\zeta_{i_0i_1}) \in \check C(\mathcal{V}, \mu_n)\)，并且 \(d(\zeta_{i_0i_1}) = 0\)。因此，它的类是 \(\check H^1(\mathcal{V}, \mu_n)\) 中的元素，并且由定理 03OW，它映到 \(H^1_{syntomic}(S, \mu_{n, S})\) 中的上同调类。

第二种构造：使用挠子。考虑预层 \[\mu_n(\mathcal{L}, \alpha) : U \longmapsto \mathit{Isom}_U((\mathcal{O}_U, 1), (\mathcal{L}, \alpha)|_U)\] ，它位于 \((\Sch/S)_{syntomic}\) 上。可把它看成 \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}, \mathcal{L})\) 的子预层（这是内 Hom 层， 见 Modules on Sites，第 04TT 节）。由于定义 该子预层的条件是局部的，它是层。由 (040P)，这个层带有层 \(\mu_{n, S}\) 的自由作用。 因此，只需验证它局部有截面。平凡化覆盖 \(\mathcal{V}\) 的存在性说明了这一点。 所以 \(\mu_n(\mathcal{L}, \alpha)\) 是 \(\mu_{n, S}\)-挠子；由 Cohomology on Sites，引理 03AJ，得到 \(H^1_{syntomic}(S, \mu_{n, S})\) 中相应的元素。

现在还需证明下列各点：

1. 两种构造给出相同的上同调类。

2. 同构的序对给出相同的上同调类。

3. \((\mathcal{L}, \alpha) \otimes (\mathcal{L}', \alpha')\) 的上同调类，是 \((\mathcal{L}, \alpha)\) 与 \((\mathcal{L}', \alpha')\) 的上同调类之和。

4. 若上同调类平凡，则序对平凡。

5. \(H^1_{syntomic}(S, \mu_{n, S})\) 的任意元素都是某个序对的上同调类。

略去 (1) 的证明。(2) 由第二种构造显然成立，因为同构挠子给出相同的上同调类。 (3) 由第一种构造显然成立，因为所得 Čech 类相加。(4) 由第二种构造显然 成立，因为挠子平凡当且仅当它有整体截面，见 Cohomology on Sites，引理 03AI。

(5) 可如下看出（虽然直接证明会更好）。假设 \(\xi \in H^1_{syntomic}(S, \mu_{n, S})\)。则 \(\xi\) 映到元素 \(\overline{\xi} \in H^1_{syntomic}(S, \mathbf{G}_{m, S})\)，且 \(n \overline{\xi} = 0\)。由定理 03P8 可知， \(\overline{\xi}\) 对应于可逆层 \(\mathcal{L}\)，其第 \(n\) 次张量幂同构于 \(\mathcal{O}_S\)。因此，存在序对 \((\mathcal{L}, \alpha')\)，其上同调类 \(\xi'\) 有同样的像 \(\overline{\xi'}\)，该像位于 \(H^1_{syntomic}(S, \mathbf{G}_{m, S})\) 中。所以只需证明 \(\xi - \xi'\) 是某个 序对的类。由构造及上面的上同调长正合列可知， \(\xi - \xi' = \partial(f)\)，其中某个 \(f \in H^0(S, \mathcal{O}_S^*)\)。 考虑序对 \((\mathcal{O}_S, f)\)。略去如下验证： 该序对的上同调类是 \(\partial(f)\)。这就完成第一个等同（把 fppf 换成 syntomic） 的证明。

为看出第一个等同，注意：若 \(n\) 在 \(S\) 上可逆，则证明第一部分构造的覆盖 \(\mathcal{V}\) 实际上是 étale 覆盖（比较引理 03PL 的证明）。证明的其余部分与拓扑无关，只有最后一个 论证使用了 Kummer 序列的正合性，即使用了引理 03PL。

邻域、茎与点

可为 \(S\) 的每个几何点配上一个正合的茎函子。\(S_\etale\) 上的层态射是同构， 当且仅当它在所有这些茎上都是同构。阿贝尔层复形正合，当且仅当其茎复形在 每个几何点处都正合。合起来说，这意味着概形 \(S\) 的小 étale 网站有足够多的点。 而且，\(S\) 的小 étale 拓扑斯的每个点（这是一个抽象概念）都由一个几何点给出。 因此，在某种意义上，可用几何点及其邻域来理解 \(S\) 的小 étale 拓扑斯。

定义

设 \(S\) 是概形。

1. \(S\) 的一个几何点是态射 \(\Spec(k) \to S\)，其中 \(k\) 是代数闭域。这种点通常记作 \(\overline{s}\)， 即用带上划线的小写字母表示。我们常用 \(\overline{s}\) 同时表示概形 \(\Spec(k)\) 和该态射，并用 \(\kappa(\overline{s})\) 表示 \(k\)。

2. 说 \(\overline{s}\)位于 \(s\)之上，意指 \(s \in S\) 是 \(\overline{s}\) 的像。

3. 几何点 \(\overline{s}\) 在 \(S\) 中的一个étale 邻域是交换图 \[\xymatrix{ & U \ar[d]^\varphi \\ {\overline{s}} \ar[r]^{\overline{s}} \ar[ur]^{\bar u} & S }\] ，其中 \(\varphi\) 是概形的 étale 态射。把它记作 \((U, \overline{u}) \to (S, \overline{s})\)。

4. Étale 邻域的态射 \((U, \overline{u}) \to (U', \overline{u}')\) 是一个 \(S\)-态射 \(h: U \to U'\)，满足 \(\overline{u}' = h \circ \overline{u}\)。

注

由于 \(U\) 和 \(U'\) 在 \(S\) 上 étale，它们之间的任意 \(S\)-态射也都是 étale 的，见命题 03PC。特别地， étale 邻域的所有态射都是 étale 的。

注

设 \(S\) 是概形，\(s \in S\) 是一点。在 More on Morphisms，定义 02LE 中，我们定义了 étale 邻域 \((U, u) \to (S, s)\) 作为 \((S, s)\) 的邻域这一概念。若 \(\overline{s}\) 是 \(S\) 中位于 \(s\) 之上的几何点，则任意 étale 邻域 \((U, \overline{u}) \to (S, \overline{s})\) 都给出 \((U, u)\)，即 \((S, s)\) 的一个 étale 邻域：取 \(u \in U\) 为 \(U\) 中使 \(\overline{u}\) 位于 \(u\) 之上的唯一一点。反过来，给定 \((U, u)\)，即 \((S, s)\) 的一个 étale 邻域，剩余域扩张 \(\kappa(u)/\kappa(s)\) 有限可分（见命题 03PC），因而可找到嵌入 \(\kappa(u) \subset \kappa(\overline{s})\)，它位于 \(\kappa(s)\) 上。 换言之，可找到几何点 \(\overline{u}\)，它是 \(U\) 中位于 \(u\) 之上的点， 使得 \((U, \overline{u})\) 是 \((S, \overline{s})\) 的 étale 邻域。 我们将用这些观察在两类 étale 邻域之间转换。

引理

设 \(S\) 是概形，\(\overline{s}\) 是 \(S\) 的几何点。Étale 邻域的范畴是余滤过的。 更确切地说：

1. 设 \((U_i, \overline{u}_i)_{i = 1, 2}\) 是 \(\overline{s}\) 在 \(S\) 中的两个 étale 邻域。则存在第三个 étale 邻域 \((U, \overline{u})\) 以及态射 \((U, \overline{u}) \to (U_i, \overline{u}_i)\)，\(i = 1, 2\)。

2. 设 \(h_1, h_2: (U, \overline{u}) \to (U', \overline{u}')\) 是 \(\overline{s}\) 的 étale 邻域之间的两个态射。则存在 étale 邻域 \((U'', \overline{u}'')\) 和态射 \(h : (U'', \overline{u}'') \to (U, \overline{u})\)，使 \(h_1\) 与 \(h_2\) 相等，即 \(h_1 \circ h = h_2 \circ h\)。

证明

对于 (1)，考虑纤维积 \(U = U_1 \times_S U_2\)。由于 étale 态射在基变换下 保持，见命题 03PC，它在 \(U_1\) 和 \(U_2\) 上都 étale。映射 \(\overline{s} \to U\)（由 \((\overline{u}_1, \overline{u}_2)\) 定义）赋予它一个映到 \(U_1\) 和 \(U_2\) 的 étale 邻域结构。 对于 (2)，把 \(U''\) 定义为纤维积 \[\xymatrix{ U'' \ar[r] \ar[d] & U \ar[d]^{(h_1, h_2)} \\ U' \ar[r]^-\Delta & U' \times_S U'. }\] 由于 \(\overline{u}\) 和 \(\overline{u}'\) 在 \(S\) 上都与 \(\overline{s}\) 相容，可知 \(\overline{u}'' = (\overline{u}, \overline{u}')\) 是 \(U''\) 的几何点。特别地，\(U'' \not = \emptyset\)。此外，由于 \(U'\) 在 \(S\) 上 étale，纤维积 \(U'\times_S U'\) 也如此（见命题 03PC）。故由上面的注 03PP，竖直箭头 \((h_1, h_2)\) 是 étale 的。 于是经基变换，\(U''\) 在 \(U'\) 上 étale，因而也在 \(S\) 上 étale （因为 étale 态射的复合仍是 étale 的）。所以 \((U'', \overline{u}'')\) 给出了所求解答。

引理

设 \(S\) 是概形，\(\overline{s}\) 是 \(S\) 的几何点， \((U, \overline{u})\) 是 \(\overline{s}\) 的 étale 邻域，并设 \(\mathcal{U} = \{\varphi_i : U_i \to U \}_{i\in I}\) 是 étale 覆盖。 则存在 \(i \in I\) 和 \(\overline{u}_i : \overline{s} \to U_i\)，使得 \(\varphi_i : (U_i, \overline{u}_i) \to (U, \overline{u})\) 是 étale 邻域的态射。

证明

因为 \(U = \bigcup_{i\in I} \varphi_i(U_i)\)，纤维积 \(\overline{s} \times_{\overline{u}, U, \varphi_i} U_i\) 对某个 \(i\) 非空。 考察笛卡尔图 \[\xymatrix{ \overline{s} \times_{\overline{u}, U, \varphi_i} U_i \ar[d]^{\text{pr}_1} \ar[r]_-{\text{pr}_2} & U_i \ar[d]^{\varphi_i} \\ \Spec(k) = \overline{s} \ar@/^1pc/[u]^\sigma \ar[r]^-{\overline{u}} & U }\] 。投影 \(\text{pr}_1\) 是 étale 态射的基变换，故为 étale 的，见命题 03PC。因此，由命题 03PC， \(\overline{s} \times_{\overline{u}, U, \varphi_i} U_i\) 是 \(k\) 的有限可分扩张的谱的不交并；这里 \(\overline{s} = \Spec(k)\)。但 \(k\) 代数闭，所以这些扩张全都平凡， 从而存在截面 \(\sigma\)，它是 \(\text{pr}_1\) 的截面。复合 \(\text{pr}_2 \circ \sigma\) 给出与 \(\overline{u}\) 相容的映射。

定义

设 \(S\) 是概形，\(\mathcal{F}\) 是 \(S_\etale\) 上的预层，而 \(\overline{s}\) 是 \(S\) 的几何点。\(\mathcal{F}\) 在 \(\overline{s}\) 处的 茎是 \[\mathcal{F}_{\overline{s}} = \colim_{(U, \overline{u})} \mathcal{F}(U)\] ，其中 \((U, \overline{u})\) 遍历 \(\overline{s}\) 在 \(S\) 中的所有 étale 邻域。

由引理 03PQ，该余极限取遍一个滤过指标范畴，即 étale 邻域范畴的反范畴。换言之，可把 \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) 的元素看作三元组 \((U, \overline{u}, \sigma)\)，其中 \(\sigma \in \mathcal{F}(U)\)。 两个三元组 \((U, \overline{u}, \sigma)\)、 \((U', \overline{u}', \sigma')\) 定义茎中的同一元素，当且仅当存在第三个 étale 邻域 \((U'', \overline{u}'')\) 以及 étale 邻域态射 \(h : (U'', \overline{u}'') \to (U, \overline{u})\)、 \(h' : (U'', \overline{u}'') \to (U', \overline{u}')\)，使得 \(h^*\sigma = (h')^*\sigma'\) 在 \(\mathcal{F}(U'')\) 中成立。见 Categories，第 04AX 节。

引理

设 \(S\) 是概形，\(\overline{s}\) 是 \(S\) 的几何点。考虑函子 \[\begin{align*} u : S_\etale & \longrightarrow \textit{Sets}, \\ U & \longmapsto |U_{\overline{s}}| = \{\overline{u} \text{，使得 }(U, \overline{u}) \text{ 是 }\overline{s}\text{ 的一个 \'etale 邻域}\}. \end{align*}\] 这里 \(|U_{\overline{s}}|\) 表示几何纤维的底集。则 \(u\) 定义一个点 \(p\)，它是网站 \(S_\etale\) 的点（Sites，定义 00Y5）， 而与之相伴的茎函子 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_p\) （Sites，等式 04EH）就是上面定义的函子 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\)。

证明

在引理 03PR 的证明中已经看到，概形 \(U_{\overline{s}}\) 是与 \(\overline{s}\) 同构的概形的不交并。因此，也可把 \(|U_{\overline{s}}|\) 看作 \(U\) 中位于 \(\overline{s}\) 之上的几何点集合， 即所有能嵌入定义 03PO 中图式的态射 \(\overline{u} : \overline{s} \to U\) 所成的集合。由此可知 \(u(S)\) 是单点集，并且 \(u(U \times_V W) = u(U) \times_{u(V)} u(W)\) ，只要 \(U \to V\) 和 \(W \to V\) 是 \(S_\etale\) 中的态射。又给定覆盖 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)，它位于 \(S_\etale\) 中，由引理 03PR 可知 \(\coprod u(U_i) \to u(U)\) 满射。因此可应用 Sites，命题 00YC，故 \(p\) 是网站 \(S_\etale\) 的一个点。 最后，我们的函子 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\) 与 Sites，等式 04EH 中的函子 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_p\)（它和 \(p\) 相伴）由完全相同的 余极限给出，这就证明了 最后一个断言。

注

设 \(S\) 是概形，并设 \(\overline{s} : \Spec(k) \to S\) 和 \(\overline{s}' : \Spec(k') \to S\) 是 \(S\) 的两个几何点。几何点的一个 态射 \(a : \overline{s} \to \overline{s}'\) 就是一个态射 \(a : \Spec(k) \to \Spec(k')\)，它满足 \(\overline{s}' \circ a = \overline{s}\)。给定这样的态射，得到从 \(\overline{s}'\) 的 étale 邻域范畴到 \(\overline{s}\) 的 étale 邻域范畴的 函子，其规则为 \((U, \overline{u}') \mapsto (U, \overline{u}' \circ a)\)。因此得到典范映射 \[\mathcal{F}_{\overline{s}'} = \colim_{(U, \overline{u}')} \mathcal{F}(U) \longrightarrow \colim_{(U, \overline{u})} \mathcal{F}(U) = \mathcal{F}_{\overline{s}}\] ，见 Categories，引理 002K。利用把茎中元素 描述为三元组的方式，该映射把 \(\mathcal{F}_{\overline{s}'}\) 中由三元组 \((U, \overline{u}', \sigma)\) 表示的元素，映到 \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) 中由三元组 \((U, \overline{u}' \circ a, \sigma)\) 表示的元素。由于上述函子显然是等价， 可知这个典范映射是茎函子的同构。

我们来确认，与 \(a\) 对应的茎映射方向无误。注意，按 Sites，定义 00YI，上述内容意味着 \(a\) 定义态射 \(a : p \to p'\)；这是点 \(p, p'\) 之间的态射，它们是网站 \(S_\etale\) 的点，而这些点由 引理 04FM 分别与 \(\overline{s}, \overline{s}'\) 相伴。还有更一般的点态射（对应于 \(S\) 中点的 特殊化），我们稍后会描述；这些态射将不是同构，见第 0GJ2 节。

引理

设 \(S\) 是概形，\(\overline{s}\) 是 \(S\) 的几何点。

1. 茎函子 \(\textit{PAb}(S_\etale) \to \textit{Ab}\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\) 是正合的。

2. 有 \((\mathcal{F}^\#)_{\overline{s}} = \mathcal{F}_{\overline{s}}\)， 其中 \(\mathcal{F}\) 是 \(S_\etale\) 上任意集合预层。

3. 函子 \(\textit{Ab}(S_\etale) \to \textit{Ab}\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\) 是正合的。

4. 类似地，函子 \(\textit{PSh}(S_\etale) \to \textit{Sets}\) 以及 \(\Sh(S_\etale) \to \textit{Sets}\)（由茎函子 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\) 给出）也是正合的（见 Categories，定义 0034），并与任意余极限交换。

证明

在说明如何直接证明之前，先注意该结果可由 Modules on Sites，第 04EM 节的一般材料得出。之所以如此，是因为 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\) 来自 \(S\) 的小 étale 网站的一个点，见引理 04FM。我们只直接证明 (1)、(2) 和 (3)，略去 (4) 的直接证明。

它作为 \(\textit{PAb}(S_\etale)\) 上函子的正合性，形式地来自如下事实： 有向余极限与所有余极限及有限极限交换。(2) 中茎的等同由映射 \[\kappa : \mathcal{F}_{\overline{s}} \longrightarrow (\mathcal{F}^\#)_{\overline{s}}\] 给出；该映射由自然态射 \(\mathcal{F}\to \mathcal{F}^\#\) 诱导，见定理 03NS。我们断言这个映射是阿贝尔群的同构。 下面证明单射性，并略去满射性的证明。

设 \(\sigma\in \mathcal{F}_{\overline{s}}\)。存在 étale 邻域 \((U, \overline{u})\to (S, \overline{s})\)，使 \(\sigma\) 是某个截面 \(s \in \mathcal{F}(U)\) 的像。若 \(\kappa(\sigma) = 0\) 在 \((\mathcal{F}^\#)_{\overline{s}}\) 中成立，则存在 étale 邻域态射 \((U', \overline{u}')\to (U, \overline{u})\)，使 \(s|_{U'}\) 在 \(\mathcal{F}^\#(U')\) 中为零。由此存在 étale 覆盖 \(\{U_i'\to U'\}_{i\in I}\)，使得 \(s|_{U_i'}=0\) 在 \(\mathcal{F}(U_i')\) 中成立，对所有 \(i\) 都如此。由引理 03PR， 存在 \(i \in I\) 和态射 \(\overline{u}_i': \overline{s} \to U_i'\)，使 \((U_i', \overline{u}_i') \to (U', \overline{u}')\to (U, \overline{u})\) 是 étale 邻域的态射。于是 \(\sigma = 0\)，因为 \((U_i', \overline{u}_i') \to (U, \overline{u})\) 是 étale 邻域态射， 并且 \(s|_{U'_i}=0\)。这证明了 \(\kappa\) 是单射。

为证明函子 \(\textit{Ab}(S_\etale) \to \textit{Ab}\) 正合，考虑 \(\textit{Ab}(S_\etale)\) 中任意短正合列： \(0\to \mathcal{F}\to \mathcal{G}\to \mathcal H \to 0.\) 它给出预层的正合列 \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal H \to \mathcal H/^p\mathcal{G} \to 0,\] ，其中 \(/^p\) 表示 \(\textit{PAb}(S_\etale)\) 中的商。在 \(\overline{s}\) 处取茎，可知 \((\mathcal H /^p\mathcal{G})_{\bar{s}} = (\mathcal H /\mathcal{G})_{\bar{s}} = 0\)，因为 \(\mathcal H/^p\mathcal{G}\) 的层化是 \(0\)。因此， \[0\to \mathcal{F}_{\overline{s}} \to \mathcal{G}_{\overline{s}} \to \mathcal{H}_{\overline{s}} \to 0 = (\mathcal H/^p\mathcal{G})_{\overline{s}}\] 正合，因为取茎作为预层上的函子是正合的。

定理

设 \(S\) 是概形。集合层的态射 \(a : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是单射 （相应地，满射），当且仅当茎上的映射 \(a_{\overline{s}} : \mathcal{F}_{\overline{s}} \to \mathcal{G}_{\overline{s}}\) 对 \(S\) 的每个几何点都是单射（相应地，满射）。\(S_\etale\) 上的阿贝尔层序列正合，当且仅当它在 \(S\) 的几何点处的所有茎上都正合。

证明

茎上正合的必要性由引理 03PT 得出。反过来，只需证明： 层态射满射（相应地，单射），当且仅当它在所有茎上满射（相应地，单射）。 我们证明满射情形，略去单射情形的证明。

设 \(\alpha : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是层态射，并且对所有几何点， \(\mathcal{F}_{\overline{s}} \to \mathcal{G}_{\overline{s}}\) 都满射。固定 \(U \in \Ob(S_\etale)\) 和 \(s \in \mathcal{G}(U)\)。对每个 \(u \in U\)， 选取某个 \(\overline{u} \to U\)（它位于 \(u\) 之上）以及 étale 邻域 \((V_u , \overline{v}_u) \to (U, \overline{u})\)，使得 \(s|_{V_u} = \alpha(s_{V_u})\) 对某个 \(s_{V_u} \in \mathcal{F}(V_u)\) 成立。这是可能的，因为 \(\alpha\) 在茎上满射。 于是 \(\{V_u \to U\}_{u \in U}\) 是一个 étale 覆盖，在其上 \(s\) 的限制属于 映射 \(\alpha\) 的像。因此 \(\alpha\) 满射，见 Sites，第 00WL 节。

注

关于几何网站的点。

1. 定理 03PU 说明：\(S_\etale\) 的点族 （它由 \(S\) 的几何点给出，见引理 04FM）是保守的，见 Sites，定义 00YK。特别地，\(S_\etale\) 有足够多的点。

2. 假设 \(\mathcal{F}\) 是 \(S\) 的大 étale 网站上的层 [04FP] 。设 \(T \to S\) 是 \(S\) 的大 étale 网站的对象，并设 \(\overline{t}\) 是 \(T\) 的几何点。把 \(\mathcal{F}_{\overline{t}}\) 定义为 限制 \(\mathcal{F}|_{T_\etale}\) 的茎；这是把 \(\mathcal{F}\) 限制到 \(T\) 的小 étale 网站所得的限制。换言之，可定义 \(\mathcal{F}\) 在任意概形 \(T/S \in \Ob((\Sch/S)_\etale)\) 的任意几何点处的茎。

3. 考虑该网站所有对象的所有几何点，可知 \(S\) 的大 étale 网站也有足够多的点， 见 (04FP)。

初次阅读时应跳过下述引理。

引理

设 \(S\) 是概形。

1. 设 \(p\) 是小 étale 网站 \(S_\etale\) 的一个点；该网站属于概形 \(S\)，且该点由函子 \(u : S_\etale \to \textit{Sets}\) 给出。则存在一个几何点 \(\overline{s}\)， 它是 \(S\) 的几何点，使得 \(p\) 与 \(S_\etale\) 的如下点同构：引理 04FM 中与 \(\overline{s}\) 相伴的点。

2. 设 \(p : \Sh(pt) \to \Sh(S_\etale)\) 是 \(S\) 的小 étale 拓扑斯的一个点。 则 \(p\) 来自 \(S\) 的某个几何点；也就是说，茎函子 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_p\) 与定义 040R 所定义的某个茎函子同构。

证明

由 Sites，引理 00YA，网站的点与相伴拓扑斯的点 一一对应，故只需证明 (1)。由 Sites，命题 00YC，函子 \(u\) 具有下列性质： (a) \(u(S) = \{*\}\)；(b) \(u(U \times_V W) = u(U) \times_{u(V)} u(W)\)； 并且 (c) 若 \(\{U_i \to U\}\) 是一个 étale 覆盖，则 \(\coprod u(U_i) \to u(U)\) 满射。 特别地，若 \(U' \subset U\) 是开子概形，则 \(u(U') \subset u(U)\)。此外，由 Sites，引理 00YA，可写成 \(u(U) = p^{-1}(h_U^\#)\)；换言之，\(u(U)\) 是可表层 \(h_U\) 的茎。若 \(U = V \amalg W\)，则 \(h_U = (h_V \amalg h_W)^\#\)，并且得到 \(u(U) = u(V) \amalg u(W)\)，因为 \(p^{-1}\) 正合。

考虑 \(u\) 到 \(S_{Zar}\) 的限制。由 Sites，例 00YE 和 04EJ，存在唯一一点 \(s \in S\)，使得对开集 \(S' \subset S\)，\(u(S') = \{*\}\) 当且仅当 \(s \in S'\)，而 \(u(S') = \emptyset\) 当且仅当 \(s \not \in S'\)。注意，若 \(\varphi : U \to S\) 是 \(S_\etale\) 的对象，则 \(\varphi(U) \subset S\) 是开集（见命题 03PC），而 \(\{U \to \varphi(U)\}\) 是 étale 覆盖。因此可知 \(u(U) = \emptyset \Leftrightarrow s \not \in \varphi(U)\)。

取一个几何点 \(\overline{s} : \overline{s} \to S\)，它位于 \(s\) 上方；关于记号的惯常滥用， 见定义 03PO。设 \(\varphi : U \to S\) 是 \(S_\etale\) 的对象，且 \(U\) 仿射。注意，\(\varphi\) 是分离的，而纤维 \(U_s\)（即 \(\varphi\) 在 \(s\) 上的纤维）是 \(\Spec(\kappa(s))\) 上的仿射概形； 它是一个有限乘积之谱，其中各因子 \(k_i\) 是 \(\kappa(s)\) 的有限可分扩张。因此可以应用 Étale Morphisms，引理 04HM， 得到一个 étale 邻域 \((V, \overline{v})\)，它属于 \((S, \overline{s})\)，并使得 \[U \times_S V = U_1 \amalg \ldots \amalg U_n \amalg W\] 其中 \(U_i \to V\) 是同构，且 \(W\) 没有位于 \(\overline{v}\) 上方的点。因此可得 \[u(U) \times u(V) = u(U \times_S V) = u(U_1) \amalg \ldots \amalg u(U_n) \amalg u(W)\] 当然还有 \(u(U_i) = u(V)\)。将 \(V\) 略微缩小后，可假定 \(V\) 恰有一个位于 \(s\) 上方的点，因而 \(W\) 没有位于 \(s\) 上方的点。由上述结论，这给出 \(u(W) = \emptyset\)。于是得到 \[u(U) \times u(V) = u(U_1) \amalg \ldots \amalg u(U_n) = \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} u(V)\] 其中各等号都与到集合 \(u(V)\) 的映射相容。注意 \(u(V) \not = \emptyset\)， 因为 \(s\) 属于 \(V \to S\) 的像。特别地，在这种情形下 \(u(U)\) 是一个含 \(n\) 个元素的有限集：左边的纤维为 \(u(U)\)，它位于 \(u(V)\) 的任一元素上方， 而右边的纤维基数为 \(n\)。

考虑极限 \[\lim_{(V, \overline{v})} u(V)\] 这里极限取遍 étale 邻域 \((V, \overline{v})\) 所成的范畴；这些邻域属于 \(\overline{s}\)。 显然，只在 \((V, \overline{v})\) 所成、其中 \(V\) 仿射的子范畴上取极限，所得值相同。 由上一段（交换 \(V\) 与 \(U\) 的角色）可知，在这种情形下 \(u(V)\) 总是有限非空集。 此外，该极限是余滤过的，见引理 03PQ。因此由 Categories，第 04AY 节，该极限非空。从中取一个元素 \(x\)。 这意味着我们得到一个 \(x_{V, \overline{v}} \in u(V)\)；这里 \((V, \overline{v})\) 可取为 \((S, \overline{s})\) 的任一 étale 邻域，并且对 étale 邻域的每个态射 \(\varphi : (V', \overline{v}') \to (V, \overline{v})\)，都有 \(u(\varphi)(x_{V', \overline{v}'}) = x_{V, \overline{v}}\)。

我们将利用 \(x\) 的选取来构造函子性双射 \[c : |U_{\overline{s}}| \longrightarrow u(U)\] （其中 \(U \in \Ob(S_\etale)\)），这将完成证明。关于 \(|U_{\overline{s}}|\) 的描述， 见引理 04FM 及其证明。首先声称，只需在 \(U\) 仿射时构造该映射； 我们略去此断言的证明。设 \(U \to S\) 是 \(S_\etale\) 中的对象，且 \(U\) 仿射； 并设 \(\overline{u} : \overline{s} \to U\) 是 \(|U_{\overline{s}}|\) 的一个元素。 选取 \((V, \overline{v})\)，使 \(U \times_S V\) 按证明第三段所述分解。 于是序对 \((\overline{u}, \overline{v})\) 给出 \(U \times_S V\) 的一个几何点， 该点位于 \(\overline{v}\) 上方，并确定一个分支 \(U_i\)，它是 \(U \times_S V\) 的分支。 更确切地，存在一个截面 \(\sigma : V \to U \times_S V\)，它是投影 \(\text{pr}_U\) 的截面，并使得 \((\overline{u}, \overline{v}) = \sigma \circ \overline{v}\)。令 \(c(\overline{u}) = u(\text{pr}_U)(u(\sigma)(x_{V, \overline{v}})) \in u(U)\)。 需要验证它与 \((V, \overline{v})\) 的选取无关。由引理 03PQ，étale 邻域所成的范畴是余滤过的。因此只需证明： 给定 étale 邻域的态射 \(\varphi : (V', \overline{v}') \to (V, \overline{v})\)，并选取投影的截面 \(\sigma' : V' \to U \times_S V'\)，使得 \((\overline{u}, \overline{v'}) = \sigma' \circ \overline{v}'\)，则有 \(u(\sigma')(x_{V', \overline{v}'}) = u(\sigma)(x_{V, \overline{v}})\)。 考虑图表 \[\xymatrix{ V' \ar[d]^{\sigma'} \ar[r]_\varphi & V \ar[d]^\sigma \\ U \times_S V' \ar[r]^{1 \times \varphi} & U \times_S V }\] 该图表未必交换。这是因为概形 \(V'\) 和 \(V\) 可能不连通，因而上面用来构造 \(\sigma'\) 与 \(\sigma\) 的分解可能不唯一。不过由构造确有 \(\sigma \circ \varphi \circ \overline{v}' = (1 \times \varphi) \circ \sigma' \circ \overline{v}'\) 。因此，由于 \(U \times_S V\) 在 \(S\) 上是 étale 的，存在 \(V'' \subset V'\)；这是 \(\overline{v'}\) 的一个开邻域，并使得把该图表限制到 \(V''\) 后它交换，见 Morphisms，引理 04HB。 这意味着可将上图扩充为 \[\xymatrix{ V'' \ar[r] \ar[d]^{\sigma'|_{V''}} & V' \ar[d]^{\sigma'} \ar[r]_\varphi & V \ar[d]^\sigma \\ U \times_S V'' \ar[r] & U \times_S V' \ar[r]^{1 \times \varphi} & U \times_S V }\] 使得左方块与外围矩形都交换。由于 \(u\) 是函子，这蕴含 \(x_{V'', \overline{v}'}\) 沿图表中的任一条路径，都映到 \(u(U \times_S V)\) 中的同一个元素。另一方面，它分别映到元素 \(x_{V', \overline{v}'}\) 与 \(x_{V, \overline{v}}\)，它们分别属于 \(u(V')\) 与 \(u(V)\)。这就蕴含所需等式 \(u(\sigma')(x_{V', \overline{v}'}) = u(\sigma)(x_{V, \overline{v}})\)。

类似地可证明，构造 \(c : |U_{\overline{s}}| \to u(U)\) 关于 \(U\) 是函子性的； 细节略去。最后，由第三段的结果，映射 \(c\) 显然为双射。这就完成引理的证明。

其他拓扑中的点

本节简要讨论概形的 étale 网站以外若干网站的点是否存在。关于本节所用术语，参见 Sites，第 00YJ 节，以及 Topologies，第 020M 节及后续各节。 所有几何网站都有足够多的点。

引理

设 \(S\) 是概形。下列所有网站都有足够多的点： \(S_{affine, Zar}\), \(S_{Zar}\), \(S_{affine, \etale}\), \(S_\etale\), \((\Sch/S)_{Zar}\), \((\textit{Aff}/S)_{Zar}\), \((\Sch/S)_\etale\), \((\textit{Aff}/S)_\etale\), \((\Sch/S)_{smooth}\), \((\textit{Aff}/S)_{smooth}\), \((\Sch/S)_{syntomic}\), \((\textit{Aff}/S)_{syntomic}\), \((\Sch/S)_{fppf}\)，以及 \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\)。

证明

对每个大网站，其相伴拓扑斯等价于网站 \((\textit{Aff}/S)_\tau\) 所定义的拓扑斯，见 Topologies，引理 020W、 021E, 06VC, 06VD 和 021V。网站 \((\textit{Aff}/S)_\tau\) 的结论立即由 Deligne 的结果 Sites，引理 0DW0 得出。

关于 \(S_{Zar}\) 的结论是显然的。关于 \(S_{affine, Zar}\) 的结论由 Deligne 的结果得出。 关于 \(S_\etale\) 的结论，或者由定理 03PU（的证明）得出， 或者由 Topologies，引理 04HR 以及将 Deligne 的结果应用于 \(S_{affine, \etale}\) 得出。

上述引理保证点的存在性，却没有说明这些点的形貌。可以如下显式构造一些点。 设 \(\overline{s} : \Spec(k) \to S\) 是几何点，且 \(k\) 代数闭。考虑函子 \[u : (\Sch/S)_{fppf} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad u(U) = U(k) = \Mor_S(\Spec(k), U).\] 注意 \(U \mapsto U(k)\) 与有限极限交换，因为 \(S(k) = \{\overline{s}\}\)，且 \((U_1 \times_U U_2)(k) = U_1(k) \times_{U(k)} U_2(k)\). 此外，若 \(\{U_i \to U\}\) 是 fppf 覆盖，则 \(\coprod U_i(k) \to U(k)\) 满射。 由 Sites，命题 00YC，可知 \(u\) 定义一个点 \(p\)； 这是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的点，其茎为 \[\mathcal{F}_p = \colim_{(U, x)} \mathcal{F}(U)\] 其中照例对序对 \(U \to S\)、\(x \in U(k)\) 取余极限。然而，这个范畴有一个始对象， 即 \((\Spec(k), \text{id})\)，因此可知 \[\mathcal{F}_p = \mathcal{F}(\Spec(k))\] ，这并没有多大意思！事实上，一般而言，这些点不会组成保守点族。下述评注描述一类更有意思的点。

注

设 \(S = \Spec(A)\) 是仿射概形。设 \((p, u)\) 是网站 \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\) 的一个点，见 Sites，第 00Y3 节和 第 05UZ 节。令 \(B = \mathcal{O}_p\) 为结构层在点 \(p\) 处的茎。回顾 \[B = \colim_{(U, x)} \mathcal{O}(U) = \colim_{(\Spec(C), x_C)} C\] ，其中 \(x_C \in u(\Spec(C))\)。可能发生如下情形：\(\Spec(B)\) 是 \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\) 的对象，并且存在元素 \(x_B \in u(\Spec(B))\)， 它映到相容族 \(x_C\)。此时邻域系有始对象，因而有 \(\mathcal{F}_p = \mathcal{F}(\Spec(B))\)；其中 \(\mathcal{F}\) 是 \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\) 上的任意层。不难看出，若 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(\Spec(B))\) 定义 \(\Sh((\textit{Aff}/S)_{fppf})\) 的一个点，则 \(B\) 必须是局部 \(A\)-代数， 使得每个忠实平坦、有限表示的环映射 \(B \to B'\) 都有一个截面 \(B' \to B\)。 反之，对任意这样的 \(A\)-代数 \(B\)，函子 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(\Spec(B))\) 是某个点的茎函子。细节略去。 网站 \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\) 的一般点是什么样的，尚不清楚。

阿贝尔层的支集

先讨论局部截面的支集。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(S\) 的 étale 拓扑斯之终对象的子层（见 Sites，例 00W3）。则存在唯一开集 \(W \subset S\)，使得 \(\mathcal{F} = h_W\)。

证明

该条件意味着 \(\mathcal{F}(U)\) 是单点集或空集；这里 \(\varphi : U \to S\) 遍历 \(\Ob(S_\etale)\)。特别地，局部截面总能黏合。若 \(\mathcal{F}(U) \not = \emptyset\)，则 \(\mathcal{F}(\varphi(U)) \not = \emptyset\)， 因为 \(\{\varphi : U \to \varphi(U)\}\) 是覆盖。因此可取 \(W = \bigcup_{\varphi : U \to S, \mathcal{F}(U) \not = \emptyset} \varphi(U)\).

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(S_\etale\) 上的阿贝尔层。 设 \(\sigma \in \mathcal{F}(U)\) 是局部截面。存在开子集 \(W \subset U\)，使得

1. \(W \subset U\) 是 \(U\) 中使 \(\sigma|_W = 0\) 的最大 Zariski 开子集；

2. 对每个 \(\varphi : V \to U\)（它属于 \(S_\etale\)），有 \[\sigma|_V = 0 \Leftrightarrow \varphi(V) \subset W,\]

3. 对每个几何点 \(\overline{u}\)（它是 \(U\) 的几何点），有 \[(U, \overline{u}, \sigma) = 0\text{ 于 }\mathcal{F}_{\overline{s}} \Leftrightarrow \overline{u} \in W\] ，其中 \(\overline{s} = (U \to S) \circ \overline{u}\)。

证明

由于 \(\mathcal{F}\) 是 étale 拓扑中的层，\(\mathcal{F}\) 在 \(U_{Zar}\) 上的限制是 \(U\) 的 Zariski 拓扑中的层。因此存在满足 (1) 的 Zariski 开集 \(W\)，见 Modules，引理 01AU。设 \(\varphi : V \to U\) 是 \(S_\etale\) 中的箭头。注意，\(\varphi(V) \subset U\) 是开子集，并且 \(\{V \to \varphi(V)\}\) 是 étale 覆盖。因此，若 \(\sigma|_V = 0\)，则由 \(\mathcal{F}\) 的层条件可知 \(\sigma|_{\varphi(V)} = 0\)。这证明了 (2)。 为证明 (3)，需要证明：若 \((U, \overline{u}, \sigma)\) 定义 \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) 的零元素，则 \(\overline{u} \in W\)。这是因为该假设意味着 存在 étale 邻域的一个态射 \((V, \overline{v}) \to (U, \overline{u})\)，使得 \(\sigma|_V = 0\)。故由 (2) 可知 \(V \to U\) 映入 \(W\)，从而 \(\overline{u} \in W\)。

设 \(S\) 是概形，并设 \(s \in S\)。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(S_\etale\) 上的层。 由评注 04FN，层 \(\mathcal{F}\) 在位于 \(s\) 上方的几何点处之茎的 同构类是良定义的。

定义

设 \(S\) 是概形。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(S_\etale\) 上的阿贝尔层。

1. \(\mathcal{F}\) 的支集是所有点 \(s \in S\) 组成的集合；它们满足 \(\mathcal{F}_{\overline{s}} \not = 0\)，其中 \(\overline{s}\) 是位于 \(s\) 上方的 任一（等价地，某个）几何点。

2. 设 \(\sigma \in \mathcal{F}(U)\) 是截面。\(\sigma\) 的支集是闭子集 \(U \setminus W\)，其中 \(W \subset U\) 是 \(U\) 中使 \(\sigma\) 限制为零的最大开子集 （见引理 04FR）。

一般而言，阿贝尔层的支集不是闭集。例如，设 \(S = \mathbf{A}^1_{\mathbf{C}}\)。 令 \(i_t : \Spec(\mathbf{C}) \to S\) 是点 \(t \in \mathbf{C}\) 的嵌入。 稍后将看到，\(\mathcal{F}_t = i_{t, *}(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})\) 是支集恰为 \(\{t\}\) 的阿贝尔层，见第 04E1 节。于是 \[\bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{N}} \mathcal{F}_n\] 是支集为 \(\{1, 2, 3, \ldots\} \subset S\) 的阿贝尔层。这是因为取茎与余极限交换， 见引理 03PT。这就给出了支集不闭的阿贝尔层之例。 下面是关于层与截面的支集的一些基本事实。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(S_\etale\) 上的阿贝尔层。 设 \(U \in \Ob(S_\etale)\) 且 \(\sigma \in \mathcal{F}(U)\)。

1. \(\sigma\) 的支集在 \(U\) 中是闭的。

2. \(\sigma + \sigma'\) 的支集包含于 \(\sigma, \sigma' \in \mathcal{F}(U)\) 二者支集的并。

3. 若 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是 \(S_\etale\) 上阿贝尔层的映射， 则 \(\varphi(\sigma)\) 的支集包含于 \(\sigma \in \mathcal{F}(U)\) 的支集。

4. \(\mathcal{F}\) 的支集是 \(\mathcal{F}\) 的所有局部截面之支集的像的并。

5. 若 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 满射，则 \(\mathcal{G}\) 的支集是 \(\mathcal{F}\) 的支集的子集。

6. 若 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 单射，则 \(\mathcal{F}\) 的支集是 \(\mathcal{G}\) 的支集的子集。

证明

(1) 由定义成立。(2) 与 (3) 成立，因为对 \(\mathcal{F}\) 与 \(\mathcal{G}\) 在 \(U_{Zar}\) 上的限制，相应结论成立，见 Modules，引理 01AU。(4) 是引理 04FR 的 (3) 的直接推论。(5) 与 (6) 由其他各项得出。

引理

\(S_\etale\) 上环层的支集是闭集。

证明

这是因为（按照我们的约定）环是 \(0\) 当且仅当 \(1 = 0\)，所以环层的支集就是单位截面的支集。

Hensel 环

先陈述一个在 Stacks project 中已经多次使用的定理。该结果有许多版本；这里仅陈述其代数版本。

定理

设 \(A\to B\) 是有限型环映射，且 \(\mathfrak p \subset A\) 是素理想。则存在 étale 环映射 \(A \to A'\) 和素理想 \(\mathfrak p' \subset A'\)；后者位于 \(\mathfrak p\) 上方，并且

1. \(\kappa(\mathfrak p) = \kappa(\mathfrak p')\),

2. \(B \otimes_A A' = B_1\times \ldots \times B_r \times C\),

3. \(A'\to B_i\) 是有限的，并且存在唯一素理想 \(q_i\subset B_i\) 位于 \(\mathfrak p'\) 上方；以及

4. 纤维 \(\Spec(C \otimes_{A'} \kappa(\mathfrak p'))\) 的所有不可约分支的维数都至少为 1； 这是 \(C\) 在 \(\mathfrak p'\) 上的纤维。

证明

见 Algebra，引理 00UK，或见 [EGA4, Théorème 18.12.1]。关于用概形态射表述的一系列版本，见 More on Morphisms，第 04HF 节。

回顾 Hensel 引理。该引理有许多版本。下面列出两个：

1. 若 \(f\in \mathbf{Z}_p[T]\) 首一，且 \(f \bmod p = g_0 h_0\)，其中 \(gcd(g_0, h_0) = 1\)，则 \(f\) 可分解为 \(f = gh\)，其中 \(\bar g = g_0\) 且 \(\bar h = h_0\)；

2. 若 \(f \in \mathbf{Z}_p[T]\) 首一，且 \(a_0 \in \mathbf{F}_p\) 满足 \(\bar f(a_0) =0\) 而 \(\bar f'(a_0) \neq 0\)，则存在 \(a \in \mathbf{Z}_p\)，使得 \(f(a) = 0\) 且 \(\bar a = a_0\)。

两个版本都成立（稍后会看到这一点）。第一个版本要求把互素因子分解提升， 第二个版本要求把模极大理想的单根提升。事实证明，对一般局部环要求这两个条件是等价的， 并且还等价于许多其他条件。我们用根提升性质来定义 Hensel 局部环，因为它通常最容易检验。

定义

（见 Algebra，定义 04GF。）称局部环 \((R, \mathfrak m, \kappa)\) 是Hensel 的，如果对所有首一 \(f \in R[T]\) 以及所有 \(a_0 \in \kappa\)，只要 \(\bar f(a_0) = 0\) 且 \(\bar f'(a_0) \neq 0\)，就存在 \(a \in R\)，使得 \(f(a) = 0\) 且 \(a \bmod \mathfrak m = a_0\)。

应当记住的 Hensel 局部环的一个好例子是完备局部环。回顾（Algebra，定义 0324），完备局部环是局部环 \((R, \mathfrak m)\)，它满足 \(R \cong \lim_n R/\mathfrak m^n\)；换言之， 它关于 \(\mathfrak m\)-进拓扑是完备且分离的。

定理

完备局部环是 Hensel 的。

证明

使用 Newton 方法。见 Algebra，引理 04GM。

定理

设 \((R, \mathfrak m, \kappa)\) 是局部环。下列条件等价：

1. \(R\) 是 Hensel 的；

2. 对任意 \(f\in R[T]\) 以及任意分解 \(\bar f = g_0 h_0\)（它在 \(\kappa[T]\) 中且满足 \(\gcd(g_0, h_0)=1\)），存在分解 \(f = gh\)（它在 \(R[T]\) 中），并满足 \(\bar g = g_0\) 且 \(\bar h = h_0\)；

3. 任意有限 \(R\)-代数 \(S\) 都同构于若干在 \(R\) 上有限的局部环的有限乘积；

4. 任意有限型 \(R\)-代数 \(A\) 都同构于一个乘积 \(A \cong A' \times C\)，其中 \(A' \cong A_1 \times \ldots \times A_r\) 是有限局部 \(R\)-代数的乘积，并且 \(C \otimes_R \kappa\) 的所有不可约分支的维数至少为 1；

5. 若 \(A\) 是 étale \(R\)-代数，且 \(\mathfrak n\) 是 \(A\) 的一个位于 \(\mathfrak m\) 上方的极大理想，满足 \(\kappa \cong A/\mathfrak n\)，则存在同构 \(\varphi : A \cong R \times A'\)，使得 \(\varphi(\mathfrak n) = \mathfrak m \times A' \subset R \times A'\)。

证明

这只是 Algebra，引理 04GG 中若干结果的子集。 注意，上面的 (5) 对应于 Algebra，引理 04GG 的 (8)，但表述略有不同。

引理

若 \(R\) 是 Hensel 的，且 \(A\) 是有限 \(R\)-代数，则 \(A\) 是 Hensel 局部环的有限乘积。

证明

见 Algebra，引理 04GH。

定义

若局部环 \(R\) 是 Hensel 的，且其剩余域可分闭，则称其为严格 Hensel 的。

例

在 \(R = \mathbf{C}[[t]]\) 的情形，étale \(R\)-代数是平凡扩张 \(R \to R\) 与扩张 \(R \to R[X, X^{-1}]/(X^n-t)\) 的有限乘积。后一类扩张经开集 \(D(t) \subset \Spec(R)\) 分解，故任意 étale 覆盖都可由覆盖 \(\{\text{id} : \Spec(R) \to \Spec(R)\}\) 加细。下面将看到，对 Hensel 环之谱的 étale 覆盖而言，这是一个颇为一般的事实。由此将说明，严格 Hensel 环之谱的高阶 étale 上同调为零。

定理

设 \((R, \mathfrak m, \kappa)\) 是局部环，且 \(\kappa\subset\kappa^{sep}\) 是可分代数闭包。存在典范平坦局部环映射 \(R \to R^h \to R^{sh}\)，其中

1. \(R^h\)、\(R^{sh}\) 是 étale \(R\)-代数的滤过余极限；

2. \(R^h\) 是 Hensel 的，\(R^{sh}\) 是严格 Hensel 的；

3. \(\mathfrak m R^h\)（相应地 \(\mathfrak m R^{sh}\)）是 \(R^h\)（相应地 \(R^{sh}\)）的极大理想；以及

4. \(\kappa = R^h/\mathfrak m R^h\)，且 \(\kappa^{sep} = R^{sh}/\mathfrak m R^{sh}\)；这些等式按 \(\kappa\) 的扩张来理解。

证明

\(R^h\) 与 \(R^{sh}\) 的结构见 Algebra，引理 04GN 和 04GP。

定理 03QL 中构造的环分别称为局部环 \(R\) 的 Hensel 化和严格 Hensel 化，见 Algebra，定义 04GQ。\(R\) 的许多性质会反映在其（严格）Hensel 化中， 见 More on Algebra，第 07QL 节。

结构层的茎

本节把结构层在几何点处的茎与相应“通常”点处局部环的严格 Hensel 化等同起来。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(\overline{s}\) 是 \(S\) 的几何点，位于 \(s \in S\) 上方。 令 \(\kappa = \kappa(s)\)，并令 \(\kappa \subset \kappa^{sep} \subset \kappa(\overline{s})\) 表示 \(\kappa\) 在 \(\kappa(\overline{s})\) 中的可分代数闭包。则有典范等同 \[(\mathcal{O}_{S, s})^{sh} \cong (\mathcal{O}_S)_{\overline{s}}\] ，其中左边是定理 03QL 所述局部环 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 的严格 Hensel 化，右边是结构层 \(\mathcal{O}_S\) （定义在 \(S_\etale\) 上）在几何点 \(\overline{s}\) 处的茎。

证明

设 \(\Spec(A) \subset S\) 是 \(s\) 的仿射邻域。设 \(\mathfrak p \subset A\) 是对应于 \(s\) 的素理想。作出这些选择后，有典范同构 \(\mathcal{O}_{S, s} = A_{\mathfrak p}\) 和 \(\kappa(s) = \kappa(\mathfrak p)\)。 因而有 \(\kappa(\mathfrak p) \subset \kappa^{sep} \subset \kappa(\overline{s})\). 回顾 \[(\mathcal{O}_S)_{\overline{s}} = \colim_{(U, \overline{u})} \mathcal{O}(U)\] ，其中极限取遍 \((S, \overline{s})\) 的 étale 邻域。一个余共尾系由如下 étale 邻域 \((U, \overline{u})\) 给出：\(U\) 仿射，且 \(U \to S\) 经 \(\Spec(A)\) 分解。换言之，可知 \[(\mathcal{O}_S)_{\overline{s}} = \colim_{(B, \mathfrak q, \phi)} B\] ，其中余极限取遍 étale \(A\)-代数 \(B\)；它们配备素理想 \(\mathfrak q\)， 该理想位于 \(\mathfrak p\) 上方，并配备一个 \(\kappa(\mathfrak p)\)-代数映射 \(\phi : \kappa(\mathfrak q) \to \kappa(\overline{s})\)。注意，由于 \(\kappa(\mathfrak q)\) 在 \(\kappa(\mathfrak p)\) 上有限可分，\(\phi\) 的像包含于 \(\kappa^{sep}\)。经这些转译，本引理的结论等价于 Algebra，引理 04GW 的结论。

定义

设 \(S\) 是概形。设 \(\overline{s}\) 是 \(S\) 的几何点，位于点 \(s \in S\) 上方。

1. \(S\) 在 \(\overline{s}\) 处的 étale 局部环是结构层 \(\mathcal{O}_S\) （定义在 \(S_\etale\) 上）在 \(\overline{s}\) 处的茎。有时称它为 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 的严格 Hensel 化，这里是相对于几何点 \(\overline{s}\) 而言。 所用记号为 \(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}\)。

2. \(\mathcal{O}_{S, s}\) 的 Hensel 化是 \(S\) 在 \(s\) 处的局部环的 Hensel 化。 见 Algebra，定义 04GQ，以及定理 03QL。记为 \(\mathcal{O}_{S, s}^h\)。

3. \(S\) 在 \(\overline{s}\) 处的严格 Hensel 化是概形 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh})\)。

4. \(S\) 在 \(s\) 处的 Hensel 化是概形 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}^h)\)。

设 \(f : T \to S\) 是概形态射。设 \(\overline{t}\) 是 \(T\) 的几何点，其像为 \(\overline{s}\)，后者位于 \(S\) 中。设 \(t \in T\) 和 \(s \in S\) 为它们的像。则得到典范交换图 \[\xymatrix{ \Spec(\mathcal{O}^{sh}_{T, \overline{t}}) \ar[r] \ar[d] & \Spec(\mathcal{O}^h_{T, t}) \ar[r] \ar[d] & T \ar[d]^f \\ \Spec(\mathcal{O}^{sh}_{S, \overline{s}}) \ar[r] & \Spec(\mathcal{O}^h_{S, s}) \ar[r] & S }\] ；这是 \(T\) 与 \(S\) 的 Hensel 化和严格 Hensel 化所成的图。可通过选取 \(t\) 和 \(s\) 的仿射邻域，并使用 Algebra，引理 08HU 和 08HV 给出的（严格）Hensel 化的函子性来证明。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(s \in S\)。则有 \[\mathcal{O}_{S, s}^h = \colim_{(U, u)} \mathcal{O}(U)\] ，其中余极限取遍滤过范畴中的 étale 邻域 \((U, u)\)；它们是 \((S, s)\) 的邻域，并满足 \(\kappa(s) = \kappa(u)\)。

证明

本引理是 More on Morphisms，引理 05KS 的一个副本。

注

设 \(S\) 是概形。设 \(s \in S\)。若 \(S\) 局部 Noether，则 \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) 也 Noether，并且二者有相同的完备化： \[\widehat{\mathcal{O}_{S, s}} \cong \widehat{\mathcal{O}_{S, s}^h}.\] 特别地， \(\mathcal{O}_{S, s} \subset \mathcal{O}_{S, s}^h \subset \widehat{\mathcal{O}_{S, s}}\). \(\mathcal{O}_{S, s}\) 的 Hensel 化一般远小于它的完备化，并继承它的许多性质。 例如，若 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 既约，则 \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) 也既约； 但对完备化而言，一般并非如此。此处待补充未来的参考文献。

引理

设 \(S\) 是概形。小 étale 网站 \(S_\etale\) 配备其结构层 \(\mathcal{O}_S\) 后， 是局部环化网站，见 Modules on Sites，定义 04EU。

证明

这是因为各茎 \((\mathcal{O}_S)_{\overline{s}} = \mathcal{O}^{sh}_{S, \overline{s}}\) 都是局部环，且 \(S_\etale\) 有足够多的点；见引理 04HX、定理 03PU 和评注 040S。关于这些事实蕴含小 étale 网站是局部环化网站，见 Modules on Sites，引理 04ET 和 05D8。

小 étale 拓扑斯的函子性

到目前为止，我们尚未讨论 étale 网站的函子性，换言之，给定概形态射时会发生什么。 精确的形式化讨论见 Topologies，第 0214 节。 本节和随后几节将在小 étale 网站的框架下简要讨论这些内容。

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。得到函子 [04I1]\[\begin{equation} u : Y_\etale \longrightarrow X_\etale, \quad V/Y \longmapsto X \times_Y V/X. \end{equation}\] 该函子具有下列重要性质：

1. \(u(\text{终对象}) = \text{终对象}\)；

2. \(u\) 保持纤维积；

3. 若 \(\{V_j \to V\}\) 是 \(Y_\etale\) 中的覆盖，则 \(\{u(V_j) \to u(V)\}\) 是 \(X_\etale\) 中的覆盖。

每一项都容易检验（略去）。因此得到所谓的网站态射 \[f_{small} : X_\etale \longrightarrow Y_\etale,\] ，见 Sites，定义 00X1 和 Sites，命题 00X6。处理 étale 层与 étale 上同调时， 不必详细掌握这个抽象概念。通常只需知道 étale 层上存在函子 \(f_{small, *}\)（推前）和 \(f_{small}^{-1}\)（拉回），并了解它们的一些简单性质。 随后几节将讨论这些性质；不过有时我们会引用较抽象的材料来作证明，因为那里往往是证明它们的自然框架。

正像

定义预层的推前。

定义

设 \(f: X\to Y\) 是概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X_\etale\) 上的集合预层。 \(\mathcal{F}\)（在 \(f\) 下）的正像，或称推前，是 \[f_*\mathcal{F} : Y_\etale^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad (V/Y) \longmapsto \mathcal{F}(X \times_Y V/X).\] 有时写作 \(f_* = f_{small, *}\)，以区别于其他正像函子（例如通常的 Zariski 推前或 \(f_{big, *}\)）。

这是良定义的 étale 预层，因为 étale 态射的基变换仍是 étale 的。 更范畴化地说，\(f_*\mathcal{F}\) 是函子的复合 \(\mathcal{F} \circ u\)，其中 \(u\) 如方程 (04I1) 所示。这清楚地说明，该构造关于预层 \(\mathcal{F}\) 是函子性的，故得到函子 \[f_* = f_{small, *} : \textit{PSh}(X_\etale) \longrightarrow \textit{PSh}(Y_\etale)\] 。注意，若 \(\mathcal{F}\) 是阿贝尔群预层，则 \(f_*\mathcal{F}\) 也是阿贝尔群预层， 并得到 \[f_* = f_{small, *} : \textit{PAb}(X_\etale) \longrightarrow \textit{PAb}(Y_\etale)\] ，与前面相同（即由完全相同的规则定义）。

注

我们断言，层的正像仍是层。事实上，若 \(\{V_j \to V\}\) 是 \(Y_\etale\) 中的 étale 覆盖，则 \(\{X \times_Y V_j \to X \times_Y V\}\) 是 \(X_\etale\) 中的 étale 覆盖。因此，\(\mathcal{F}\) 关于 \(\{X \times_Y V_i \to X \times_Y V\}\) 的层条件，等价于 \(f_*\mathcal{F}\) 关于 \(\{V_i \to V\}\) 的层条件。故若 \(\mathcal{F}\) 是层， 则 \(f_*\mathcal{F}\) 也是层。

定义

设 \(f: X\to Y\) 是概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X_\etale\) 上的集合层。 \(\mathcal{F}\)（在 \(f\) 下）的正像，或称推前，是 \[f_*\mathcal{F} : Y_\etale^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad (V/Y) \longmapsto \mathcal{F}(X \times_Y V/X)\] ；由评注 03PX，这是层。有时写作 \(f_* = f_{small, *}\)，以区别于其他正像函子（例如通常的 Zariski 推前或 \(f_{big, *}\)）。

完全相同的讨论仍然适用，并得到函子 \[f_* = f_{small, *} : \Sh(X_\etale) \longrightarrow \Sh(Y_\etale)\] 以及 \[f_* = f_{small, *} : \textit{Ab}(X_\etale) \longrightarrow \textit{Ab}(Y_\etale)\] ，仍称为正像。

阿贝尔层上的函子 \(f_*\) 是左正合的。（关于阿贝尔范畴之间的函子为左正合是什么意思， 见 Homology，第 010M 节。）事实上，若 \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3\) 在 \(X_\etale\) 上正合，则对每个 \(U/X \in \Ob(X_\etale)\) ，阿贝尔群序列 \(0 \to \mathcal{F}_1(U) \to \mathcal{F}_2(U) \to \mathcal{F}_3(U)\) 正合。因此，对每个 \(V/Y \in \Ob(Y_\etale)\)，阿贝尔群序列 \(0 \to f_*\mathcal{F}_1(V) \to f_*\mathcal{F}_2(V) \to f_*\mathcal{F}_3(V)\) 正合，因为这就是前一个序列取 \(U = X \times_Y V\) 所得的序列。

定义

设 \(f: X \to Y\) 是概形态射。右导出函子 \(\{R^pf_*\}_{p \geq 1}\)（它们来自函子 \(f_* : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\)）称为高阶正像。

关于高阶正像及其导出范畴版本，将在（此处待补充未来的参考文献）中作更详细的讨论。

逆像

本节简要讨论小 étale 网站上层的拉回。其精确构造见 Topologies，第 0214 节。

定义

设 \(f: X\to Y\) 是概形态射。逆像，或称拉回²函子是 \[f^{-1} = f_{small}^{-1} : \Sh(Y_\etale) \longrightarrow \Sh(X_\etale)\] 以及 \[f^{-1} = f_{small}^{-1} : \textit{Ab}(Y_\etale) \longrightarrow \textit{Ab}(X_\etale)\] ；它们左伴随于 \(f_* = f_{small, *}\)。因此，\(f^{-1}\) 由下列事实刻画： \[\Hom_{{\Sh(X_\etale)}} (f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Hom_{\Sh(Y_\etale)} (\mathcal{G}, f_*\mathcal{F})\] 对任意 \(\mathcal{F} \in \Sh(X_\etale)\) 和 \(\mathcal{G} \in \Sh(Y_\etale)\) 函子性地成立。类似地，有 \[\Hom_{{\textit{Ab}(X_\etale)}} (f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Hom_{\textit{Ab}(Y_\etale)} (\mathcal{G}, f_*\mathcal{F})\] ，其中 \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(X_\etale)\) 且 \(\mathcal{G} \in \textit{Ab}(Y_\etale)\)。

这种伴随是否存在并不显然。另一方面，它在相当一般的框架中存在，见下面的评注 03Q2。一般机制说明，\(f^{-1}\mathcal{G}\) 是下述预层的相伴层： [04I3]\[\begin{equation} U/X \longmapsto \colim_{U \to X \times_Y V} \mathcal{G}(V/Y) \end{equation}\] ，其中余极限取遍序对 \((V/Y, \varphi : U/X \to X \times_Y V/X)\) 所成的范畴。为看出这一点， 将 Sites，命题 00X6 应用于方程 (04I1) 的函子 \(u\)，并使用 Sites，第 00WU 节和第 00VC 节对 \(u_s = (u_p\ )^\#\) 的描述。 我们偶尔会使用这个拉回公式来证明它的一些基本性质。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。

1. 函子 \(f^{-1} : \textit{Ab}(Y_\etale) \to \textit{Ab}(X_\etale)\) 是正合的。

2. 函子 \(f^{-1} : \Sh(Y_\etale) \to \Sh(X_\etale)\) 是正合的；换言之，它与有限极限和余极限交换，见 Categories，定义 0034。

3. 设 \(\overline{x} \to X\) 是几何点。设 \(\mathcal{G}\) 是 \(Y_\etale\) 上的层。 则有典范等同 \[(f^{-1}\mathcal{G})_{\overline{x}} = \mathcal{G}_{\overline{y}}.\] ，其中 \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\)。

4. 对任意 étale 态射 \(V \to Y\)，有 \(f^{-1}h_V = h_{X \times_Y V}\)。

证明

\(f^{-1}\) 在集合层上的正合性，是把 Sites，命题 00X6 应用于方程 (04I1) 中的函子 \(u\) 所得的推论。 事实上，拉回的正合性是拓扑斯态射（也可说网站态射）定义的一部分。因此 (2) 成立。 它蕴含 (1)，因为给定阿贝尔层 \(\mathcal{G}\)（在 \(Y_\etale\) 上）， \(f^{-1}\mathcal{F}\) 的底层集合层等于 \(f^{-1}\) 应用于 \(\mathcal{F}\) 的底层集合层， 见 Sites，第 00YR 节。另见 Modules on Sites， 引理 04JC。文献中有时通过定理 03PU 从 (3) 推出 (1) 与 (2)。

(3) 是关于拉回之茎的一般事实，见 Sites，引理 05V1。下面也直接证明 (3)。注意，由引理 03PT，取茎与层化交换。回顾 \(f^{-1}\mathcal{G}\) 是下述预层的相伴层： \[U \longrightarrow \colim_{U \to X \times_Y V} \mathcal{G}(V),\] 见方程 (04I3)。因此有 \[\begin{align*} (f^{-1}\mathcal{G})_{\overline{x}} & = \colim_{(U, \overline{u})} f^{-1}\mathcal{G}(U) \\ & = \colim_{(U, \overline{u})} \colim_{a : U \to X \times_Y V} \mathcal{G}(V) \\ & = \colim_{(V, \overline{v})} \mathcal{G}(V) \\ & = \mathcal{G}_{\overline{y}} \end{align*}\] ；在第三个等号中，序对 \((U, \overline{u})\) 和映射 \(a : U \to X \times_Y V\) 对应于序对 \((V, a \circ \overline{u})\)。

(4) 可用类似方法证明，只需等同定义 \(f^{-1}h_V\) 的余极限。也可以使用 Yoneda 引理 （Categories，引理 001P）和函子性等式 \[\Mor_{\Sh(X_\etale)}(f^{-1}h_V, \mathcal{F}) = \Mor_{\Sh(Y_\etale)}(h_V, f_*\mathcal{F}) = f_*\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(X \times_Y V)\] ，再结合可表预层是层这一事实。完全一般的结果另见 Sites，引理 04D3。

函子对 \((f_*, f^{-1})\) 定义一个小 étale 拓扑斯态射 \[f_{small} : \Sh(X_\etale) \longrightarrow \Sh(Y_\etale)\] 。关于层上同调的许多一般结论对拓扑斯与拓扑斯态射都成立。我们将尽量指出哪些结果是一般的， 哪些是 étale 拓扑斯所特有的。

注

更一般地，设 \(\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2\) 是网站，并假定它们有终对象和纤维积。 设 \(u: \mathcal{C}_2 \to \mathcal{C}_1\) 是满足下列条件的函子：

1. 若 \(\{V_i \to V\}\) 是 \(\mathcal{C}_2\) 的覆盖，则 \(\{u(V_i) \to u(V)\}\) 是 \(\mathcal{C}_1\) 的覆盖（此时称 \(u\) 是连续的）；以及

2. \(u\) 与有限极限交换（即 \(u\) 左正合；也即 \(u\) 保持纤维积与终对象）。

于是可以定义 \(f_*: \Sh(\mathcal{C}_1) \to \Sh(\mathcal{C}_2)\) ，令 \(f_* \mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(u(V))\)。此外，存在正合函子 \(f^{-1}\)，它左伴随于 \(f_*\)，见 Sites，定义 00X1 和命题 00X6。警告：仅要求 \(u\) 连续且与纤维积交换， 不足以得到拓扑斯态射。

大拓扑斯的函子性

给定概形态射 \(f : X \to Y\)，有大量与 \(f\) 相伴的拓扑斯态射；其列表见 Topologies，第 03FE 节。也许最常用的是拓扑斯态射 \[f_{big} = f_{big, \tau} : \Sh((\Sch/X)_\tau) \longrightarrow \Sh((\Sch/Y)_\tau)\] ，其中 \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\)。 它们分别对应于连续函子 \[(\Sch/Y)_\tau \longrightarrow (\Sch/X)_\tau, \quad V/Y \longmapsto X \times_Y V/X\] ；该函子保持终对象、纤维积与覆盖，因而定义网站态射 \[f_{big} : (\Sch/X)_\tau \longrightarrow (\Sch/Y)_\tau.\] 见 Topologies，第 020N 节、 0214, 021Y, 0224 和 021L。特别地，沿 \(f_{big}\) 的推前由规则 \[(f_{big, *}\mathcal{F})(V/Y) = \mathcal{F}(X \times_Y V/X)\] 给出。事实证明，这些拓扑斯态射有一个容易描述的逆像函子 \(f_{big}^{-1}\)。即有 \[(f_{big}^{-1}\mathcal{G})(U/X) = \mathcal{G}(U/Y)\] ，其中 \(U/Y\) 的结构态射是结构态射 \(U \to X\) 与 \(f\) 的复合，见 Topologies，引理 0210、 021H, 04HC, 04HD 和 021W.

函子性与模层

本节将在 étale 拓扑的框架下，重新表述 Descent，第 03DR 节、 0GN8 节和 0GN9 所说明的一些材料。设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。前面已经看到（见第 04I0、03PV 和 03PZ 节），它诱导小 étale 网站的态射 \(f_{small}\)。 在 Descent，评注 070R 中已经看到， \(f\) 还诱导自然映射 \[f_{small}^\sharp : \mathcal{O}_{Y_\etale} \longrightarrow f_{small, *}\mathcal{O}_{X_\etale}\] ；这是 \(Y_\etale\) 上环层的映射，并且 \((f_{small}, f_{small}^\sharp)\) 是环化网站的态射。环化网站态射的定义见 Modules on Sites，定义 03AD。这里只回顾，\(f_{small}^\sharp\) 由相容映射系 \[\text{pr}_V^\sharp : \mathcal{O}(V) \longrightarrow \mathcal{O}(X \times_Y V)\] 定义，其中 \(V\) 遍历 \(Y_\etale\) 的对象。

显然，该构造与概形态射的复合相容。更确切地，若 \(f : X \to Y\) 和 \(g : Y \to Z\) 是概形态射，则有 \[(g_{small}, g_{small}^\sharp) \circ (f_{small}, f_{small}^\sharp) = ((g \circ f)_{small}, (g \circ f)_{small}^\sharp)\] ，这是环化拓扑斯态射的等式。此外，由 Modules on Sites，定义 03D6 可知，给定概形态射 \(f : X \to Y\)， 可得到良定义的拉回与正像函子 \[\begin{align*} f_{small}^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_{Y_\etale}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_{X_\etale}), \\ f_{small, *} : \textit{Mod}(\mathcal{O}_{X_\etale}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_{Y_\etale}) \end{align*}\] ，它们按通常方式互为伴随。若 \(g : Y \to Z\) 是另一个概形态射，则有 \((g \circ f)_{small}^* = f_{small}^* \circ g_{small}^*\) 以及 \((g \circ f)_{small, *} = g_{small, *} \circ f_{small, *}\)， 这是由上面关于复合的讨论得出的。

由所有 \(\mathcal{O}_X\)-模（定义在 \(X\) 上）组成的范畴，与由所有 \(\mathcal{O}_{X_\etale}\)-模（定义在 \(X_\etale\) 上）组成的范畴之间，有相当大的差别。 但是 Descent，第 03DR 节、 0GN8 节和 0GN9 的结果告诉我们，考虑 \(S\) 上的拟凝聚模与考虑 \(S_\etale\) 上的拟凝聚模之间， 并没有太大差别。（例如，已经在定理 03OJ 中看到这一点。） 特别地，若 \(f : X \to Y\) 是任意概形态射，则对拟凝聚层而言，拉回函子 \(f_{small}^*\) 与 \(f^*\) 相符，见 Descent，命题 03LC。 此外，只要 \(f\) 拟紧且拟分离，对推前也有相同结论，见 Descent，引理 071N。

最后简述大网站上结构层的函子性。设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。任取拓扑 \(\tau \in \{Zariski,\linebreak[0] \etale,\linebreak[0] smooth,\linebreak[0] syntomic,\linebreak[0] fppf\}\)。于是态射 \(f_{big} : (\Sch/X)_\tau \to (\Sch/Y)_\tau\) 通过映射 \[f_{big}^\sharp : \mathcal{O}_Y \longrightarrow f_{big, *}\mathcal{O}_X\] 成为环化网站态射，见 Descent，评注 070R。事实上，它由上面小网站情形中的相同构造给出。

比较拓扑

本节开始研究比较不同拓扑下的层时会发生什么。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(S_\etale\) 上的集合层。设 \(s, t \in \mathcal{F}(S)\)。则存在开集 \(W \subset S\)，它由下列性质刻画： 态射 \(f : T \to S\) 经 \(W\) 分解，当且仅当 \(s|_T = t|_T\)（限制是通过 \(f_{small}\) 的拉回）。

证明

考虑如下预层：对 \(U \in \Ob(S_\etale)\)，若 \(s|_U \not = t|_U\)，则赋予空集； 否则赋予单点集。显然，这是 \(\Sh(S_\etale)\) 的终对象的子层。由引理 04HV，找到表示该预层的开集 \(W \subset S\)。 对几何点 \(\overline{x}\)（它位于 \(S\) 上），可知 \(\overline{x} \in W\) 当且仅当 \(s\) 与 \(t\) 在 \(\overline{x}\) 处的茎相同。由引理 03Q1 对拉回之茎的描述，可知 \(W\) 具有所需性质。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(\tau \in \{Zariski, \etale\}\)。考虑态射 \[\pi_S : (\Sch/S)_\tau \longrightarrow S_\tau\] ，它见于 Topologies，引理 020Z 或 021G。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(S_\tau\) 上的层。 则 \(\pi_S^{-1}\mathcal{F}\) 由规则 \[(\pi_S^{-1}\mathcal{F})(T) = \Gamma(T_\tau, f_{small}^{-1}\mathcal{F})\] 给出，其中 \(f : T \to S\)。此外，\(\pi_S^{-1}\mathcal{F}\) 关于 fpqc 覆盖满足层条件。

证明

注意，有态射 \(i_f : \Sh(T_\tau) \to \Sh(\Sch/S)_\tau)\)，使得 \(\pi_S \circ i_f = f_{small}\)；这里把它们视为态射 \(T_\tau \to S_\tau\)。见 Topologies，引理 020Y、 0211, 021F 和 021I. 由于拉回具有传递性，可知 \(i_f^{-1} \pi_S^{-1}\mathcal{F} = f_{small}^{-1}\mathcal{F}\)，正如所需。

设 \(\{g_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 fpqc 覆盖。最后一个断言的含义如下： 给定层 \(\mathcal{G}\)（定义在 \(T_\tau\) 上），并给定截面 \(s_i \in \Gamma(T_i, g_{i, small}^{-1}\mathcal{G})\)，它们到 \(T_i \times_T T_j\) 的拉回相同，则存在唯一截面 \(s\)；它是 \(\mathcal{G}\) 在 \(T\) 上的截面，且其到 \(T_i\) 的拉回与 \(s_i\) 相同。

设 \(V \to T\) 是 \(T_\tau\) 的对象，并设 \(t \in \mathcal{G}(V)\)。 对每个 \(i\)，存在最大的开集 \(W_i \subset T_i \times_T V\)，使得 \(s_i\) 与 \(t\) 的拉回作为 \(\mathcal{G}\) 到 \(W_i \subset T_i \times_T V\) 之拉回的截面相同；见引理 09XM。 由于 \(s_i\) 与 \(s_j\) 在 \(T_i \times_T T_j\) 上相同，可知 \(W_i\) 与 \(W_j\) 拉回到 \(T_i \times_T T_j \times_T V\) 后给出同一个开集。 由 Descent，引理 03N0，得到开集 \(W \subset V\)，它在 \(T_i \times_T V\) 中的逆像恢复 \(W_i\)。

根据 \(g_{i, small}^{-1}\mathcal{G}\) 的构造，存在一个 \(\tau\)-覆盖 \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j \in J_i}\)；对每个 \(j\)，存在开浸入或 étale 态射 \(V_{ij} \to T\)、截面 \(t_{ij} \in \mathcal{G}(V_{ij})\)，以及交换图 \[\xymatrix{ T_{ij} \ar[r] \ar[d] & V_{ij} \ar[d] \\ T_i \ar[r] & T }\] 使得 \(s_i|_{T_{ij}}\) 是 \(t_{ij}\) 的拉回。换言之，在将覆盖 \(\{T_i \to T\}\) 替换为 \(\{T_{ij} \to T\}\) 后，可以假设存在分解 \(T_i \to V_i \to T\)，其中 \(V_i \in \Ob(T_\tau)\)，并且截面 \(t_i \in \mathcal{G}(V_i)\) 拉回后等于 \(s_i\)（在 \(T_i\) 上）。 由上一段的结果，得到开集 \(W_i \subset V_i\)，使得 \(t_i|_{W_i}\) 与每个 \(s_j\) 在 \(T_j \times_T W_i\) 上“相同”。注意 \(T_i \to V_i\) 经 \(W_i\) 分解。因此 \(\{W_i \to T\}\) 是一个 \(\tau\)-覆盖，引理得证。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(f : T \to S\) 是满足下列条件的态射：

1. \(f\) 平坦且拟紧；

2. \(f\) 的几何纤维连通。

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(S_\etale\) 上的层。则 \(\Gamma(S, \mathcal{F}) = \Gamma(T, f^{-1}_{small}\mathcal{F})\)。

证明

存在典范映射 \(\Gamma(S, \mathcal{F}) \to \Gamma(T, f_{small}^{-1}\mathcal{F})\). 由于 \(f\) 是满射（因为它的纤维连通），可知此映射是单射。

为证明该映射是满射，设 \(\alpha \in \Gamma(T, f_{small}^{-1}\mathcal{F})\)。 由于 \(\{T \to S\}\) 是 fpqc 覆盖，可以用引理 09XN 看出，只需证明 \(\alpha\) 通过两个投影拉回到 \(T \times_S T\) 后给出同一个截面。 设 \(\overline{s} \to S\) 是几何点。只需证明这种相同性在 \((T \times_S T)_{\overline{s}}\) 上成立，因为 \(T \times_S T\) 的每个几何点 都包含在这些几何纤维之一中。换言之，我们要证明 \(\alpha|_{T_{\overline{s}}}\) 拉回到 \[(T \times_S T)_{\overline{s}} = T_{\overline{s}} \times_{\overline{s}} T_{\overline{s}}\] 后，经到 \(T_{\overline{s}}\) 的两个投影所得的截面相同。 然而，\(\mathcal{F}|_{T_{\overline{s}}}\) 是 \(\mathcal{F}|_{\overline{s}}\) 的拉回， 故它是取值于 \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) 的常值层。根据假设， \(T_{\overline{s}}\) 连通，所以常值层的任一截面都是常值的。因此 \(\alpha|_{T_{\overline{s}}}\) 对应于 \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) 的一个元素。 于是，到 \((T \times_S T)_{\overline{s}}\) 的两个拉回均对应于这个相同元素，结论得证。

下面给出引理 0A3H 的一个版本，其中不假设该态射平坦。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(f : X \to S\) 是满足下列条件的态射：

1. \(f\) 是商映射；

2. \(f\) 的几何纤维连通。

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(S_\etale\) 上的层。则 \(\Gamma(S, \mathcal{F}) = \Gamma(X, f^{-1}_{small}\mathcal{F})\)。

证明

存在典范映射 \(\Gamma(S, \mathcal{F}) \to \Gamma(X, f_{small}^{-1}\mathcal{F})\). 由于 \(f\) 是满射（因为它的纤维连通），可知此映射是单射。

为证明该映射是满射，设 \(\tau \in \Gamma(X, f_{small}^{-1}\mathcal{F})\)。 只需找到一个 étale 覆盖 \(\{U_i \to S\}\) 和截面 \(\sigma_i \in \mathcal{F}(U_i)\)，使得 \(\sigma_i\) 拉回后等于 \(\tau|_{X \times_S U_i}\)。事实上，上面证明的单射性保证 \(\sigma_i\) 与 \(\sigma_j\) 在 \(\mathcal{F}\) 到 \(U_i \times_S U_j\) 上的限制相同。 因此得到唯一截面 \(\sigma \in \mathcal{F}(S)\)，其限制为 \(\sigma_i\) （在 \(U_i\) 上）。于是 \(\sigma\) 到 \(X\) 的拉回就是 \(\tau\)，因为这在局部成立。

设 \(\overline{x}\) 是 \(X\) 的几何点，像为 \(\overline{s}\)（在 \(S\) 中）。 考虑 \(\tau\) 在下列茎中的像： \[(f_{small}^{-1}\mathcal{F})_{\overline{x}} = \mathcal{F}_{\overline{s}}\] 见引理 03Q1。可以找到一个 étale 邻域 \(U \to S\)（它是 \(\overline{s}\) 的邻域）和截面 \(\sigma \in \mathcal{F}(U)\)， 它映到茎中的这个像。因此，在对 \(S\) 以 \(U\) 作替换，并对 \(X\) 以 \(X \times_S U\) 作替换后，可以假设存在截面 \(\sigma\)，它是 \(\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上的截面，并且它在 \((f_{small}^{-1}\mathcal{F})_{\overline{x}}\) 中的像与 \(\tau\) 相同。

由引理 09XM，存在最大的开集 \(W \subset X\)， 使得 \(f_{small}^{-1}\sigma\) 与 \(\tau\) 在 \(W\) 上相同，且 \(W\) 的构造与进一步的拉回可交换。 注意，\(\mathcal{F}\) 到几何纤维 \(X_{\overline{s}}\) 的拉回，是把 \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) 看作 \(\overline{s}\) 上的层后经 \(X_{\overline{s}} \to \overline{s}\) 所作的拉回。因此，\(\tau\) 与 \(\sigma\) 给出取值于 \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) 的常值层的截面（该层在 \(X_{\overline{s}}\) 上）， 并且它们在一点处相同。根据假设 \(X_{\overline{s}}\) 连通，所以 \(W\) 包含 \(X_s\)。对不同几何纤维作同样的论证可知，\(W\) 包含它所遇到的每条纤维。 由于 \(f\) 是商映射，可知 \(W\) 是 \(s\) 的某个开邻域（在 \(S\) 中）的逆像。 证明完成。

引理

设 \(K/k\) 是域扩张，且 \(k\) 是可分代数闭域。设 \(S\) 是 \(k\) 上的概形。记 \(p : S_K = S \times_{\Spec(k)} \Spec(K) \to S\) 为投影。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(S_\etale\) 上的层。则 \(\Gamma(S, \mathcal{F}) = \Gamma(S_K, p^{-1}_{small}\mathcal{F})\)。

证明

这由引理 0A3H 得出。事实上，\(p\) 作为 \(\Spec(K) \to \Spec(k)\) 的基变换，显然平坦且拟紧。另一方面，若 \(\overline{s} : \Spec(L) \to S\) 是几何点，则 \(p\) 在 \(\overline{s}\) 上的纤维 是 \(K \otimes_k L\) 的谱；由 Algebra，引理 00I7，它不可约，因而连通。

恢复态射

本节证明：把概形对应到其局部环化小 étale 拓扑斯的规则，在适当意义下是全忠实的； 见定理 04I7。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。环化网站态射 \((f_{small}, f_{small}^\sharp)\)（它与 \(f\) 对应）是局部环化网站的态射；见 Modules on Sites， 定义 04HA。

证明

注意，该断言有意义，因为我们已经看到 \((X_\etale, \mathcal{O}_{X_\etale})\) 和 \((Y_\etale, \mathcal{O}_{Y_\etale})\) 是局部环化网站；见引理 04HZ。此外，我们知道 \(X_\etale\) 有足够多的点； 见定理 03PU 和注记 040S。 因此，只需证明 \((f_{small}, f_{small}^\sharp)\) 满足 Modules on Sites， 引理 04H9 的条件 (3)。 为此取一点 \(p\)（它属于 \(X_\etale\)）。由引理 04HU，\(p\) 对应于几何点 \(\overline{x}\)（它位于 \(X\) 上）。 由引理 03Q1，点 \(q = f_{small} \circ p\) 对应于几何点 \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\)（它位于 \(Y\) 上）。因此，我们要证明的断言是： 所诱导的茎映射 \[(\mathcal{O}_Y)_{\overline{y}} \longrightarrow (\mathcal{O}_X)_{\overline{x}}\] 是局部环同态。设 \(a \in (\mathcal{O}_Y)_{\overline{y}}\) 是左侧的一个元素， 它映到右侧的极大理想中的元素。设 \(a\) 是三元组 \((V, \overline{v}, a)\) 的等价类， 其中 \(V \to Y\) 是 étale 态射，\(\overline{v} : \overline{x} \to V\) 是 \(Y\) 上的态射， 且 \(a \in \mathcal{O}(V)\)。它映到下列三元组的等价类： \((X \times_Y V, \overline{x} \times \overline{v}, \text{pr}_V^\sharp(a))\) （它位于局部环 \((\mathcal{O}_X)_{\overline{x}}\) 中）。显然，属于极大理想意味着： 把 \(\text{pr}_V^\sharp(a)\) 拉回为 \(\kappa(\overline{x})\) 的一个元素后得到零。 因而，把 \(a\) 拉回到 \(\kappa(\overline{x})\) 也得到零。这意味着 \(a\) 属于 \((\mathcal{O}_Y)_{\overline{y}}\) 的极大理想。

引理

设 \(X\)、\(Y\) 是概形。设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。设 \(t\) 是一个 \(2\)-态射，其源和目标均为 \((f_{small}, f_{small}^\sharp)\)；见 Modules on Sites， 定义 04IC。则 \(t = \text{id}\)。

证明

这意味着 \(t : f^{-1}_{small} \to f^{-1}_{small}\) 是一个函子变换，并且下图交换： \[\xymatrix{ f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[rd]_{f_{small}^\sharp} & & f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[ll]^t \ar[ld]^{f_{small}^\sharp} \\ & \mathcal{O}_X }\] 设 \(V \to Y\) 是 étale 态射，且 \(V\) 仿射。由 Morphisms，引理 04II，可以选择浸入 \(i : V \to \mathbf{A}^n_Y\)（在 \(Y\) 上）。用层来表述，这意味着 \(i\) 诱导层的单射 \(h_i : h_V \to \prod_{j = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_Y\)。 基变换 \(i'\)（它把 \(i\) 基变换到 \(X\) 得到）是浸入 （Schemes，引理 01JY）。因此 \(i' : X \times_Y V \to \mathbf{A}^n_X\) 是浸入，这又意味着 \(h_{i'} : h_{X \times_Y V} \to \prod_{j = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_X\) 是层的单射。借助引理 03Q1 的等同 \(f_{small}^{-1}h_V = h_{X \times_Y V}\)，映射 \(h_{i'}\) 等于 \[\xymatrix{ f_{small}^{-1}h_V \ar[r]^-{f^{-1}h_i} & \prod_{j = 1, \ldots, n} f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[r]^{\prod f^\sharp} & \prod_{j = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_X }\] （验证略去）。这意味着映射 \(t : f_{small}^{-1}h_V \to f_{small}^{-1}h_V\) 可置于下列交换图中： \[\xymatrix{ f_{small}^{-1}h_V \ar[r]^-{f^{-1}h_i} \ar[d]^t & \prod_{j = 1, \ldots, n} f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[r]^-{\prod f^\sharp} \ar[d]^{\prod t} & \prod_{j = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_X \ar[d]^{\text{id}}\\ f_{small}^{-1}h_V \ar[r]^-{f^{-1}h_i} & \prod_{j = 1, \ldots, n} f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[r]^-{\prod f^\sharp} & \prod_{j = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_X }\] 右方块的交换性由上面说明的关于 \(t\) 的假设得出。 根据前面的讨论，横箭头的复合是单射，故左边的竖箭头也是恒等映射。 \(Y_\etale\) 上的任何集合层都接受一个满射，其源是形如 \(h_V\) 的层的（巨大）余积， 其中 \(V\) 仿射（合用 Topologies，引理 04HR 与 Sites，引理 00WS）。因此 \(t : f_{small}^{-1} \to f_{small}^{-1}\) 是所需的恒等变换。

引理

设 \(X\)、\(Y\) 是概形。任何两个概形态射 \(a, b : X \to Y\)，如果存在一个 \(2\)-同构 \((a_{small}, a_{small}^\sharp) \cong (b_{small}, b_{small}^\sharp)\) （它位于环化拓扑斯的 \(2\)-范畴中），则二者相等。

证明

让我们仔细论证，因为这里有些容易混淆。设 \(t : a_{small}^{-1} \to b_{small}^{-1}\) 为该 \(2\)-同构。考虑任意开集 \(V \subset Y\)。注意 \(h_V\) 是终层 \(*\) 的子层。因此 \(a_{small}^{-1}h_V = h_{a^{-1}(V)}\) 和 \(b_{small}^{-1}h_V = h_{b^{-1}(V)}\) 都是终层的子层。故同构 \[t : a_{small}^{-1}h_V = h_{a^{-1}(V)} \to b_{small}^{-1}h_V = h_{b^{-1}(V)}\] 必为恒等，并且 \(a^{-1}(V) = b^{-1}(V)\)。因此 \(a\) 与 \(b\) 在底拓扑空间上相等。 接着取截面 \(f \in \mathcal{O}_Y(V)\)。它决定且被下列集合层映射决定： \(f : h_V \to \mathcal{O}_Y\)。将其拉回并作用 \(t\)，得到交换图 \[\xymatrix{ h_{b^{-1}(V)} \ar@{=}[r] & b_{small}^{-1}h_V \ar[d]^{b_{small}^{-1}(f)} & & a_{small}^{-1}h_V \ar[d]^{a_{small}^{-1}(f)} \ar[ll]^t & h_{a^{-1}(V)} \ar@{=}[l] \\ & b_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[rd]_{b^\sharp} & & a_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[ll]^t \ar[ld]^{a^\sharp} \\ & & \mathcal{O}_X }\] 其中三角形的交换性来自 Modules on Sites，第 04IB 节中 \(2\)-同构的定义。 上面已看到，顶部水平箭头的复合来自恒等式 \(a^{-1}(V) = b^{-1}(V)\)。 因此图的交换性给出 \(a_{small}^\sharp(f) = b_{small}^\sharp(f)\) 在 \(\mathcal{O}_X(a^{-1}(V)) = \mathcal{O}_X(b^{-1}(V))\) 中成立。 由于这对每个开集 \(V\) 和每个 \(f \in \mathcal{O}_Y(V)\) 都成立，可知概形态射 \(a = b\)。

引理

设 \(X\)、\(Y\) 是仿射概形。设 \[(g, g^\#) : (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X) \longrightarrow (\Sh(Y_\etale), \mathcal{O}_Y)\] 是局部环化拓扑斯的态射。则存在唯一的概形态射 \(f : X \to Y\)，使得 \((g, g^\#)\) \(2\)-同构于 \((f_{small}, f_{small}^\sharp)\)；见 Modules on Sites， 定义 04IC。

证明

本证明中用 \(\mathcal{O}_X\) 表示小 étale 网站 \(X_\etale\) 的结构层， \(\mathcal{O}_Y\) 亦然。记 \(Y = \Spec(B)\) 且 \(X = \Spec(A)\)。由于 \(B = \Gamma(Y_\etale, \mathcal{O}_Y)\)、 \(A = \Gamma(X_\etale, \mathcal{O}_X)\)，可知 \(g^\sharp\) 诱导环同态 \(\varphi : B \to A\)。令 \(f = \Spec(\varphi) : X \to Y\) 为相应的仿射概形态射。 我们将证明这个 \(f\) 满足要求。

设 \(V \to Y\) 是仿射概形，并且在 \(Y\) 上是 étale 的。因此可以写成 \(V = \Spec(C)\)，其中 \(C\) 是 étale \(B\)-代数。可以写成 \[C = B[x_1, \ldots, x_n]/(P_1, \ldots, P_n)\] 其中 \(P_i\) 是多项式，并且 \(\Delta = \det(\partial P_i/ \partial x_j)\) 在 \(C\) 中可逆； 例如见 Algebra，引理 00U9。 若 \(T\) 是 \(Y\) 上的概形，则一个 \(T\)-值点（取值于 \(V\)）由 \(n\) 个截面 （属于 \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T)\)）给出，它们满足多项式方程 \(P_1 = 0, \ldots, P_n = 0\)。换言之，层 \(h_V\)（在 \(Y_\etale\) 上）是下列两个映射的等化子： \[\xymatrix{ \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_Y \ar@<1ex>[r]^a \ar@<-1ex>[r]_b & \prod\nolimits_{j = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_Y }\] 其中 \(b(h_1, \ldots, h_n) = 0\)，而 \(a(h_1, \ldots, h_n) = (P_1(h_1, \ldots, h_n), \ldots, P_n(h_1, \ldots, h_n))\)。 由于 \(g^{-1}\) 正合，可知下列实线交换图的顶行也是等化子图： \[\xymatrix{ g^{-1}h_V \ar[r] \ar@{..>}[d] & \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} g^{-1}\mathcal{O}_Y \ar@<1ex>[r]^{g^{-1}a} \ar@<-1ex>[r]_{g^{-1}b} \ar[d]^{\prod g^\sharp} & \prod\nolimits_{j = 1, \ldots, n} g^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[d]^{\prod g^\sharp}\\ h_{X \times_Y V} \ar[r] & \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_X \ar@<1ex>[r]^{a'} \ar@<-1ex>[r]_{b'} & \prod\nolimits_{j = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_X \\ }\] 这里 \(b'\) 是零映射，而 \(a'\) 是由诸像 \(P'_i = \varphi(P_i) \in A[x_1, \ldots, x_n]\) 按同一规则定义的映射： \(a'(h_1, \ldots, h_n) = (P'_1(h_1, \ldots, h_n), \ldots, P'_n(h_1, \ldots, h_n))\)；这就是定义 \(a\) 时所用的规则。 图的交换性来自整体截面上的等式 \(\varphi = g^\sharp\)。底行同样是等化子图； 理由与前面完全相同，因为 \(X \times_Y V\) 是仿射概形 \(\Spec(A \otimes_B C)\)，并且 \(A \otimes_B C = A[x_1, \ldots, x_n]/(P'_1, \ldots, P'_n)\)。 因此，得到唯一的虚线箭头 \(g^{-1}h_V \to h_{X \times_Y V}\)，使之嵌入该图。

我们断言层映射 \(g^{-1}h_V \to h_{X \times_Y V}\) 是同构。由于 \(X\) 的小 étale 网站有足够多的点（定理 03PU），只需在茎上证明。 因此，设 \(\overline{x}\) 是 \(X\) 的几何点，并以 \(p\) 表示 \(X\) 的小 étale 拓扑斯中 相应的点。置 \(q = g \circ p\)。这是 \(Y\) 的小 étale 拓扑斯的一个点。 由引理 04HU，可知 \(q\) 对应于几何点 \(\overline{y}\)（它位于 \(Y\) 上）。考虑茎映射 \[(g^\sharp)_p : (\mathcal{O}_Y)_{\overline{y}} = \mathcal{O}_{Y, q} = (g^{-1}\mathcal{O}_Y)_p \longrightarrow \mathcal{O}_{X, p} = (\mathcal{O}_X)_{\overline{x}}\] 由于 \((g, g^\sharp)\) 是局部环化拓扑斯的态射，\((g^\sharp)_p\) 是严格 Hensel 局部环之间的局部环同态。对上面的大交换图取局部化，并应用 Algebra，引理 04GX，可知 \((g^{-1}h_V)_p \to (h_{X \times_Y V})_p\) 是所需的同构。

我们断言同构 \(g^{-1}h_V \to h_{X \times_Y V}\) 是函子性的。具体地，设 \(V_1 \to V_2\) 是仿射概形间的态射，且这些概形在 \(Y\) 上是 étale 的。写成 \(V_i = \Spec(C_i)\)，其中 \[C_i = B[x_{i, 1}, \ldots, x_{i, n_i}]/(P_{i, 1}, \ldots, P_{i, n_i})\] 态射 \(V_1 \to V_2\) 由 \(B\)-代数同态 \(C_2 \to C_1\) 给出，后者又由一些多项式 \(Q_j \in B[x_{1, 1}, \ldots, x_{1, n_1}]\)（其中 \(j = 1, \ldots, n_2\)）给出。 于是容易证明下列层的图交换： \[\xymatrix{ h_{V_1} \ar[d] \ar[r] & \prod_{i = 1, \ldots, n_1} \mathcal{O}_Y \ar[d]^{Q_1, \ldots, Q_{n_2}}\\ h_{V_2} \ar[r] & \prod_{i = 1, \ldots, n_2} \mathcal{O}_Y }\] 将它拉回到 \(X_\etale\)，得到下列实线交换图： \[\xymatrix{ g^{-1}h_{V_1} \ar@{..>}[dd] \ar[rrd] \ar[r] & \prod_{i = 1, \ldots, n_1} g^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[dd]^{g^\sharp} \ar[rrd]^{Q_1, \ldots, Q_{n_2}} \\ & & g^{-1}h_{V_2} \ar@{..>}[dd] \ar[r] & \prod_{i = 1, \ldots, n_2} g^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[dd]^{g^\sharp} \\ h_{X \times_Y V_1} \ar[r] \ar[rrd] & \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n_1} \mathcal{O}_X \ar[rrd]^{Q'_1, \ldots, Q'_{n_2}} \\ & & h_{X \times_Y V_2} \ar[r] & \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n_2} \mathcal{O}_X }\] 其中 \(Q'_j \in A[x_{1, 1}, \ldots, x_{1, n_1}]\) 是 \(Q_j\) 经 \(\varphi\) 得到的像。 由于虚线箭头存在、使两个方块交换，而且水平箭头是单射，所以整个图交换。 这证明了函子性（也证明了 \(g^{-1}h_V \to h_{X \times_Y V}\) 的构造不依赖于 表示的选择，尽管严格说来我们不需要证明这一点）。

此时可以证明 \(f_{small, *} \cong g_*\)。事实上，设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X_\etale\) 上的层。对每个仿射的 \(V \in \Ob(X_\etale)\)，有 \[\begin{align*} (g_*\mathcal{F})(V) & = \Mor_{\Sh(Y_\etale)}(h_V, g_*\mathcal{F}) \\ & = \Mor_{\Sh(X_\etale)}(g^{-1}h_V, \mathcal{F}) \\ & = \Mor_{\Sh(X_\etale)}(h_{X \times_Y V}, \mathcal{F}) \\ & = \mathcal{F}(X \times_Y V) \\ & = f_{small, *}\mathcal{F}(V) \end{align*}\] 其中第三个等式使用上面构造的同构 \(g^{-1}h_V \cong h_{X \times_Y V}\)。 这些同构关于 \(\mathcal{F}\) 显然是函子性的，关于 \(V\) 也具有函子性，因为同构 \(g^{-1}h_V \cong h_{X \times_Y V}\) 本身是函子性的。\(Y_\etale\) 上的任意层都由其 到仿射概形子范畴的限制所决定（Topologies，引理 04HR），所以得到所需的函子同构 \(f_{small, *} \cong g_*\)。

最后，需要检验：借助上面的同构 \(f_{small, *} \cong g_*\)，映射 \(f_{small}^\sharp\) 与 \(g^\sharp\) 相同。根据构造，这对 \(\mathcal{O}_Y\) 的整体截面， 即对 \(B\) 的元素已经成立。只需对仿射概形 \(V\) 上的截面检验，其中它在 \(Y\) 上是 étale 的（再次使用 Topologies，引理 04HR）。像前面一样写 \(V = \Spec(C)\)、\(C = B[x_i]/(P_j)\)，只需检验坐标函数 \(x_i\) 映到 \(\mathcal{O}_X\) 在 \(X \times_Y V\) 上的同一截面。这恰好就是下图交换的含义： \[\xymatrix{ g^{-1}h_V \ar[r] \ar@{..>}[d] & \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} g^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[d]^{\prod g^\sharp} \\ h_{X \times_Y V} \ar[r] & \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_X }\] 因此引理得证。

下面给出一般概形的版本。

定理

设 \(X\)、\(Y\) 是概形。设 \[(g, g^\#) : (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X) \longrightarrow (\Sh(Y_\etale), \mathcal{O}_Y)\] 是局部环化拓扑斯的态射。则存在唯一的概形态射 \(f : X \to Y\)，使得 \((g, g^\#)\) 同构于 \((f_{small}, f_{small}^\sharp)\)。换言之，构造 \[\Sch \longrightarrow \textit{Locally ringed topoi}, \quad X \longrightarrow (X_\etale, \mathcal{O}_X)\] 是全忠实的（右侧的态射取到 \(2\)-同构为止）。

证明

可以仔细调整引理 04I6 的证明论证， 使之适用于整体情形，从而证明本定理。不过，我们希望说明如何利用引理 04IJ 的结论所提供的刚性，把前一引理的结果粘合成整体态射。 遗憾的是，这有些繁琐。

先在 \(Y\) 仿射时证明存在性。此时选取仿射开覆盖 \(X = \bigcup U_i\)。对每个 \(i\)， 包含态射 \(j_i : U_i \to X\) 诱导局部环化拓扑斯的态射 \((j_{i, small}, j_{i, small}^\sharp) : (\Sh(U_{i, \etale}), \mathcal{O}_{U_i}) \to (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X)\) ，这是引理 04I5 的结论。把它与 \((g, g^\sharp)\) 复合，得到局部环化拓扑斯的态射 \[(g, g^\sharp) \circ (j_{i, small}, j_{i, small}^\sharp) : (\Sh(U_{i, \etale}), \mathcal{O}_{U_i}) \to (\Sh(Y_\etale), \mathcal{O}_Y)\] ；见 Modules on Sites，引理 04IG。 由引理 04I6，存在唯一的概形态射 \(f_i : U_i \to Y\) 和一个 \(2\)-同构 \[t_i : (f_{i, small}, f_{i, small}^\sharp) \longrightarrow (g, g^\sharp) \circ (j_{i, small}, j_{i, small}^\sharp).\] 置 \(U_{i, i'} = U_i \cap U_{i'}\)，并以 \(j_{i, i'} : U_{i, i'} \to U_i\) 表示包含态射。 由于有 \(j_i \circ j_{i, i'} = j_{i'} \circ j_{i', i}\) ，可知 \[\begin{align*} (g, g^\sharp) \circ (j_{i, small}, j_{i, small}^\sharp) \circ (j_{i, i', small}, j_{i, i', small}^\sharp) = \\ (g, g^\sharp) \circ (j_{i', small}, j_{i', small}^\sharp) \circ (j_{i', i, small}, j_{i', i, small}^\sharp) \end{align*}\] 因此由唯一性（见引理 04LW），得到 \(f_i \circ j_{i, i'} = f_{i'} \circ j_{i', i}\)。换言之，概形态射 \(f_i = f \circ j_i\) 是某个整体概形态射 \(f : X \to Y\) 的限制。考虑下列 \(2\)-同构的图（为简化记号，我们省略分量 \({}^\sharp\)）： \[\xymatrix{ g \circ j_{i, small} \circ j_{i, i', small} \ar[rr]^{t_i \star \text{id}_{j_{i, i', small}}} \ar@{=}[d] & & f_{small} \circ j_{i, small} \circ j_{i, i', small} \ar@{=}[d] \\ g \circ j_{i', small} \circ j_{i', i, small} \ar[rr]^{t_{i'} \star \text{id}_{j_{i', i, small}}} & & f_{small} \circ j_{i', small} \circ j_{i', i, small} }\] 记号 \(\star\) 表示水平复合；一般情形见 Categories，定义 003H，本情形见 Sites，第 04I9 节。由引理 04IJ，该图交换。 因此，对任意层 \(\mathcal{G}\)（在 \(Y_\etale\) 上），同构 \(t_i : f_{small}^{-1}\mathcal{G}|_{U_i} \to g^{-1}\mathcal{G}|_{U_i}\) 在 \(U_{i, i'}\) 上相同，从而得到整体同构 \(t : f_{small}^{-1}\mathcal{G} \to g^{-1}\mathcal{G}\)。显然，该同构关于 \(\mathcal{G}\) 是函子性的，并且与映射 \(f_{small}^\sharp\) 和 \(g^\sharp\) 相容 （因为它在局部与这些映射相容）。这证明了 \(Y\) 仿射时的定理。

在一般情形，设 \(V \subset Y\) 是仿射开集。那么 \(h_V\) 是终层 \(*\) 的子层 （该终层位于 \(Y_\etale\) 上）。由于 \(g\) 正合，可知 \(g^{-1}h_V\) 是 \(X_\etale\) 上终层的子层。因此，由引理 04HV， 存在开子概形 \(W \subset X\)，使得 \(g^{-1}h_V = h_W\)。由 Modules on Sites， 引理 04IH，存在下列 局部环化拓扑斯态射的交换图： \[\xymatrix{ (\Sh(W_\etale), \mathcal{O}_W) \ar[r] \ar[d]_{g'} & (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X) \ar[d]^g \\ (\Sh(V_\etale), \mathcal{O}_V) \ar[r] & (\Sh(Y_\etale), \mathcal{O}_Y) }\] 其中水平箭头是局部化态射（由包含态射 \(V \to Y\) 和 \(W \to X\) 诱导）， 而 \(g'\) 由 \(g\) 诱导。由上一段的结论，得到概形态射 \(f' : W \to V\) 和一个 \(2\)-同构 \(t : (f'_{small}, (f'_{small})^\sharp) \to (g', (g')^\sharp)\). 与前面完全一样，这些态射 \(f'\)（当仿射开集 \(V \subset Y\) 变化时）由唯一性 在交叠处相同，故得到态射 \(f : X \to Y\)。此外，这些 \(2\)-同构 \(t\) 由引理 04IJ 再次可知在交叠处相容，因而得到整体 \(2\)-同构 \((f_{small}, (f_{small})^\sharp) \to (g, (g)^\sharp)\). 这正是所需结论。略去了一些细节。

推前与拉回

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。下面列出我们将要考虑的条件：

1. 对每个 étale 态射 \(U \to X\) 和 \(u \in U\)，存在 étale 态射 \(V \to Y\)、不交并分解 \(X \times_Y V = W \amalg W'\)，以及态射 \(h : W \to U\)（在 \(X\) 上），使得 \(u\) 属于 \(h\) 的像。

2. 对每个 étale 态射 \(V \to Y\) 和每个 étale 覆盖 \(\{U_i \to X \times_Y V\}\)，存在 étale 覆盖 \(\{V_j \to V\}\)，使得对每个 \(j\) 都有 \(X \times_Y V_j = \coprod W_{ij}\)，其中 \(W_{ij} \to X \times_Y V\) 经 \(U_i \to X \times_Y V\) 分解（对某个 \(i\)）。

3. 对每个 étale 态射 \(U \to X\)，存在 étale 态射 \(V \to Y\) 和满态射 \(X \times_Y V \to U\)（在 \(X\) 上）。

这些性质中的每一个都可以用函子 \(f_{small, *}\) 的行为来表述。我们将在随后几节 阐明这一点。

性质 (A)

性质 (A) 的定义见第 04C6 节。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。假设 (A) 成立。

1. \(f_{small, *} : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) 保持对单射和满射的反映，

2. 映射 \(f_{small}^{-1}f_{small, *}\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 对任意 Abel 层 \(\mathcal{F}\)（在 \(X_\etale\) 上）都是满射，

3. \(f_{small, *} : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) 是忠实的。

证明

设 \(\mathcal{F}\) 是 Abel 层（在 \(X_\etale\) 上）。设 \(U\) 是 \(X_\etale\) 的对象。 根据假设，可以找到覆盖 \(\{W_i \to U\}\)（它位于 \(X_\etale\) 中），使每个 \(W_i\) 都是 \(X \times_Y V_i\) 的开闭子概形，其中 \(V_i\) 是 \(Y_\etale\) 的某个对象。 层条件给出 \[\mathcal{F}(U) \subset \prod \mathcal{F}(W_i)\] ，且 \(\mathcal{F}(W_i)\) 是 \(\mathcal{F}(X \times_Y V_i) = f_{small, *}\mathcal{F}(V_i)\) 的直和项。 因此，\(f_{small, *}\) 显然反映单射。

接着，设 \(a : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 是 Abel 层的映射，且 \(f_{small, *}a\) 是满射。设 \(s \in \mathcal{F}(U)\)，其中 \(U\) 如上。 用上面的 \(W_i\)、\(V_i\)，可知只需证明 \(s|_{W_i}\) 在 étale 局部是 \(\mathcal{G}\) 的某个截面在 \(a\) 下的像。由于 \(\mathcal{F}(W_i)\) 是 \(\mathcal{F}(X \times_Y V_i)\) 的直和项，只需证明：对任意 \(V \in \Ob(Y_\etale)\)，任意元素 \(s \in \mathcal{F}(X \times_Y V)\) 在 \(X \times_Y V\) 的 étale 局部是 \(\mathcal{G}\) 的某个截面在 \(a\) 下的像。 由于 \(\mathcal{F}(X \times_Y V) = f_{small, *}\mathcal{F}(V)\) ，根据假设存在覆盖 \(\{V_j \to V\}\)，使得 \(s\) 是 \(s_j \in f_{small, *}\mathcal{G}(V_j) = \mathcal{G}(X \times_Y V_j)\) 的像。 这证明了 \(f_{small, *}\) 反映满射。

(2)、(3) 由 (1) 形式地得出；见 Modules on Sites，引理 04DA。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是分离且局部拟有限的概形态射。则上面的性质 (A) 成立。

证明

设 \(U \to X\) 是 étale 态射，且 \(u \in U\)。几何断言 (A) 直接归结为 \(U\) 与 \(Y\) 都是仿射概形的情形。以 \(x \in X\) 和 \(y \in Y\) 表示 \(u\) 的像。 由于 \(X \to Y\) 局部拟有限，而 \(U \to X\) 局部拟有限（见 Morphisms，引理 03WS），可知 \(U \to Y\) 局部拟有限 （见 Morphisms，引理 01TL）。此外， \(X \to Y\) 与 \(U \to Y\) 都分离。因此 More on Morphisms，引理 02LO 可应用于这两个态射。这意味着可以选择 étale 邻域 \((V, v) \to (Y, y)\)，使得 \[X \times_Y V = W \amalg R, \quad U \times_Y V = W' \amalg R'\] 以及点 \(w \in W\)、\(w' \in W'\)，使得

1. \(W\)、\(R\) 在 \(X \times_Y V\) 中开且闭；

2. \(W'\)、\(R'\) 在 \(U \times_Y V\) 中开且闭；

3. \(W \to V\) 与 \(W' \to V\) 有限；

4. \(w\)、\(w'\) 映到 \(v\)；

5. \(\kappa(v) \subset \kappa(w)\) 和 \(\kappa(v) \subset \kappa(w')\) 是纯不可分扩张；

6. \(W\) 或 \(W'\) 中没有其他点映到 \(v\)。

有如下交换图： \[\xymatrix{ U \ar[d] & U \times_Y V \ar[l] \ar[d] & W' \amalg R' \ar[d] \ar[l] \\ X \ar[d] & X \times_Y V \ar[l] \ar[d] & W \amalg R \ar[l] \\ Y & V \ar[l] }\] 缩小 \(V\) 后，可以假设 \(W'\) 映入 \(W\)：只需去掉 \(R\) 的逆像（它在 \(W'\) 中）的像； 这是闭集（因为 \(W' \to V\) 有限），且不含 \(v\)。于是 \(W' \to W\) 有限， 因为 \(W \to V\) 与 \(W' \to V\) 都有限。因此 \(W' \to W\) 是有限 étale 态射， 并且在 \(w\) 上的纤维中恰有一个点满足 \(\kappa(w) = \kappa(w')\)。故 \(W' \to W\) 在某个开邻域 \(W^\circ\)（它包含 \(w\)）上是同构；见 Étale Morphisms， 引理 04DH。由于 \(W \to V\) 有限， \(W \setminus W^\circ\) 的像是闭子集 \(T\)（在 \(V\) 中），且不含 \(v\)。因此，把 \(V\) 替换成 \(V \setminus T\) 后，可以假设 \(W' \to W\) 是同构。此时分解 \(X \times_Y V = W \amalg R\) 和态射 \(W \to U\) 正是所需，证明完成。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是整概形态射。则性质 (A) 成立。

证明

设 \(U \to X\) 是 étale 态射，且 \(u \in U\) 是一点。需要找到 étale 态射 \(V \to Y\)、不交并分解 \(X \times_Y V = W \amalg W'\)，以及 \(X\)-态射 \(W \to U\)，使得 \(u\) 属于其像。可以缩小 \(U\) 和 \(Y\)，并假设 \(U\) 与 \(Y\) 仿射。此时 \(X\) 也仿射，因为整态射按定义是仿射的。写成 \(Y = \Spec(A)\)、\(X = \Spec(B)\) 和 \(U = \Spec(C)\)。那么 \(A \to B\) 是整环同态， 而 \(B \to C\) 是 étale 环同态。由 Algebra，引理 00U2， 可以找到有限 \(A\)-子代数 \(B' \subset B\) 和 étale 环同态 \(B' \to C'\)，使得 \(C = B \otimes_{B'} C'\)。因此，问题归结为 étale 态射 \(U' = \Spec(C') \to X' = \Spec(B')\)，它位于有限态射 \(X' \to Y\) 上。在这种情形，结论由引理 04DL 得出。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。以 \(f_{small} : \Sh(X_\etale) \to \Sh(Y_\etale)\) 表示相应的小 étale 拓扑斯态射。假设下列条件至少有一个成立：

1. \(f\) 是整态射；

2. \(f\) 分离且局部拟有限。

则函子 \(f_{small, *} : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) 具有下列性质：

1. 映射 \(f_{small}^{-1}f_{small, *}\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 总是满射；

2. \(f_{small, *}\) 是忠实的；

3. \(f_{small, *}\) 反映单射和满射。

证明

合用引理 04DL、 04DM 和 04DK。

性质 (B)

性质 (B) 的定义见第 04C6 节。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。假设 (B) 成立。则函子 \(f_{small, *} : \Sh(X_\etale) \to \Sh(Y_\etale)\) 把满射变为满射。

证明

这由 Sites，引理 04D7 得出。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。假设

1. \(V \to Y\) 是概形的 étale 态射；

2. \(\{U_i \to X \times_Y V\}\) 是 étale 覆盖；

3. \(v \in V\) 是一点。

假设对任意这样的数据，都存在 étale 邻域 \((V', v') \to (V, v)\)、不交并分解 \(X \times_Y V' = \coprod W'_i\)，以及态射 \(W'_i \to U_i\) （在 \(X \times_Y V\) 上）。则性质 (B) 成立。

证明

略。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是有限概形态射。则性质 (B) 成立。

证明

考虑 étale 态射 \(V \to Y\)、étale 覆盖 \(\{U_i \to X \times_Y V\}\)，以及 \(v \in V\)。需要找到引理 04DP 中的 \(V' \to V\)、分解和映射。 可以缩小 \(V\) 和 \(Y\)，因而可以假设 \(V\) 与 \(Y\) 仿射。由于 \(X\) 在 \(Y\) 上有限， 这也蕴含 \(X\) 仿射。在证明过程中，可以（有限多次）把 \((V, v)\) 替换为 étale 邻域 \((V', v')\)，并相应地把覆盖 \(\{U_i \to X \times_Y V\}\) 替换为 \(\{V' \times_V U_i \to X \times_Y V'\}\)。

由于 \(X \times_Y V \to V\) 有限，存在有限多个（两两不同的）点 \(x_1, \ldots, x_n \in X \times_Y V\) 映到 \(v\)。把 More on Morphisms，引理 02LO 应用于 \(X \times_Y V \to V\) 及诸点 \(x_1, \ldots, x_n\)（它们位于 \(v\) 上），得到 étale 邻域 \((V', v') \to (V, v)\)，使得 \[X \times_Y V' = R \amalg \coprod T_a\] ，其中 \(T_a \to V'\) 有限，并且恰有一个点 \(p_a\) 位于 \(v'\) 上；此外 \(\kappa(v') \subset \kappa(p_a)\) 是纯不可分扩张，而 \(R \to V'\) 在 \(v'\) 上的纤维为空。 由于 \(X \to Y\) 有限，\(R \to V'\) 也有限。因此，缩小 \(V'\) 后可以假设 \(R = \emptyset\)。于是可以假设 \(X \times_Y V = X_1 \amalg \ldots \amalg X_n\)，其中恰有一个点 \(x_l \in X_l\) 位于 \(v\) 上，并且 \(\kappa(v) \subset \kappa(x_l)\) 是纯不可分扩张。 注意，这个性质在加细 étale 邻域 \((V, v)\) 时保持不变。

对每个 \(l\)，选择一个 \(i_l\) 和一点 \(u_l \in U_{i_l}\)，它映到 \(x_l\)。现在，把性质 (A) 应用于有限态射 \(X \times_Y V \to V\)、étale 态射 \(U_{i_l} \to X \times_Y V\) 以及诸点 \(u_l\)。引理 04DM 保证可以这样做。由此得到 étale 邻域 \((V', v') \to (V, v)\) 和分解 \[X \times_Y V' = W_l \amalg R_l\] ，以及 \(X\)-态射 \(a_l : W_l \to U_{i_l}\)，其像包含 \(u_{i_l}\)。图示如下： \[\xymatrix{ & & & U_{i_l} \ar[d] & \\ W_l \ar[rrru] \ar[r] & W_l \amalg R_l \ar@{=}[r] & X \times_Y V' \ar[r] \ar[d] & X \times_Y V \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ & & V' \ar[r] & V \ar[r] & Y }\] 把 \((V, v)\) 替换为 \((V', v')\) 后，可知每个 \(x_l\) 都包含在开闭邻域 \(W_l\) 中， 使得包含态射 \(W_l \to X \times_Y V\) 经 \(U_i \to X \times_Y V\) 分解 （对某个 \(i\)）。把 \(W_l\) 替换为 \(W_l \cap X_l\) 后，可知这些开闭集彼此不交， 而且 \(\{x_1, \ldots, x_n\} \subset W_1 \cup \ldots \cup W_n\)。 由于 \(X \times_Y V \to V\) 有限，可以缩小 \(V\) 并假设 \(X \times_Y V = W_1 \amalg \ldots \amalg W_n\)，正是所需。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是整概形态射。则性质 (B) 成立。

证明

考虑 étale 态射 \(V \to Y\)、étale 覆盖 \(\{U_i \to X \times_Y V\}\)，以及 \(v \in V\)。需要找到引理 04DP 中的 \(V' \to V\)、分解和映射。 可以缩小 \(V\) 与 \(Y\)，因而可以假设 \(V\) 与 \(Y\) 仿射。由于 \(X\) 在 \(Y\) 上整， 这也蕴含 \(X\) 与 \(X \times_Y V\) 仿射。可以加细覆盖 \(\{U_i \to X \times_Y V\}\)，因而可以假设 \(\{U_i \to X \times_Y V\}_{i = 1, \ldots, n}\) 是标准 étale 覆盖。写成 \(Y = \Spec(A)\)、\(X = \Spec(B)\)、\(V = \Spec(C)\) 和 \(U_i = \Spec(B_i)\)。 那么 \(A \to B\) 是整环同态，而 \(B \otimes_A C \to B_i\) 是 étale 环同态。 由 Algebra，引理 00U2，可以找到有限 \(A\)-子代数 \(B' \subset B\) 和 étale 环同态 \(B' \otimes_A C \to B'_i\) （其中 \(i = 1, \ldots, n\)），使得 \(B_i = B \otimes_{B'} B'_i\)。 因此，问题归结为 étale 覆盖 \(\{\Spec(B'_i) \to X' \times_Y V\}_{i = 1, \ldots, n}\)，其中 \(X' = \Spec(B')\) 在 \(Y\) 上有限。在这种情形，结论由引理 04DQ 得出。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。假设 \(f\) 是整态射（例如有限态射）。则

1. \(f_{small, *}\) 把满射变为满射（对集合层和 Abel 层都是如此）；

2. \(f_{small}^{-1}f_{small, *}\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 对任意 Abel 层 \(\mathcal{F}\)（在 \(X_\etale\) 上）都是满射；

3. \(f_{small, *} : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) 是忠实的，并反映单射和满射；

4. \(f_{small, *} : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) 正合。

证明

(2)、(3) 已在引理 04C9 中看到。 (1) 由引理 04DR 和 04DO 得出。 (4) 是 (1) 的推论；见 Modules on Sites，引理 04DB。

性质 (C)

性质 (C) 的定义见第 04C6 节。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。假设 (C) 成立。则函子 \(f_{small, *} : \Sh(X_\etale) \to \Sh(Y_\etale)\) 反映单射和满射。

证明

这由 Sites，引理 04D9 得出。略去如下验证： 性质 (C) 蕴含函子 \(Y_\etale \to X_\etale\), \(V \mapsto X \times_Y V\) 满足 Sites，引理 04D9 的假设。

注

若 \(f : X \to Y\) 是开浸入，则性质 (C) 成立。事实上，若 \(U \in \Ob(X_\etale)\)，则也可以把 \(U\) 看作 \(Y_\etale\) 的对象，并且 \(U \times_Y X = U\)。因此，性质 (C) 并不蕴含 \(f_{small, *}\) 正合， 因为开浸入一般不具有该正合性。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。假设对任意 étale 态射 \(V \to Y\)，都有

1. \(X \times_Y V \to V\) 具有性质 (C)；

2. \(X \times_Y V \to V\) 是闭映射。

则函子 \(Y_\etale \to X_\etale\), \(V \mapsto X \times_Y V\) 几乎余连续；见 Sites，定义 04B7。

证明

设 \(V \to Y\) 是 \(Y_\etale\) 的对象，并设 \(\{U_i \to X \times_Y V\}_{i \in I}\) 是 \(X_\etale\) 的覆盖。由假设 (1)， 对每个 \(i\)，可以找到 étale 态射 \(h_i : V_i \to V\) 和满态射 \(X \times_Y V_i \to U_i\)（在 \(X \times_Y V\) 上）。注意 \(\bigcup h_i(V_i) \subset V\) 是包含闭集 \(Z = \Im(X \times_Y V \to V)\) 的开集。令 \(h_0 : V_0 = V \setminus Z \to V\) 为开浸入。显然， \(\{V_i \to V\}_{i \in I \cup \{0\}}\) 是 étale 覆盖，使得对每个 \(i \in I \cup \{0\}\)，或者 \(V_i \times_Y X = \emptyset\)（即 \(i = 0\)）， 或者 \(V_i \times_Y X \to V \times_Y X\) 经 \(U_i \to X \times_Y V\) 分解 （若 \(i \not = 0\)）。因此函子 \(Y_\etale \to X_\etale\) 几乎余连续。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是整概形态射，它给出 \(X\) 与 \(Y\) 的一个闭子集之间的同胚。 则性质 (C) 成立。

证明

设 \(g : U \to X\) 是 étale 态射。需要找到一个对象 \(V \to Y\)（属于 \(Y_\etale\)）和满态射 \(X \times_Y V \to U\)（在 \(X\) 上）。假设对每个 \(u \in U\)，都能找到一个对象 \(V_u \to Y\)（属于 \(Y_\etale\)）和态射 \(h_u : X \times_Y V_u \to U\)（在 \(X\) 上），且 \(u \in \Im(h_u)\)。 那么可以取 \(V = \coprod V_u\) 和 \(h = \coprod h_u\)，从而得证。因此，给定一点 \(u \in U\)，我们来寻找如上的一对 \((V_u, h_u)\)。为此可以缩小 \(U\) 并假设 \(U\) 仿射。在这种情形，\(g : U \to X\) 局部拟有限。设 \(g^{-1}(g(\{u\})) = \{u, u_2, \ldots, u_n\}\)。由于不存在特殊化 \(u_i \leadsto u\)，可以用一个仿射邻域替换 \(U\)，使得 \(g^{-1}(g(\{u\})) = \{u\}\)。

像 \(g(U) \subset X\) 是开集，故 \(f(g(U))\) 在 \(Y\) 中局部闭。选择开集 \(V \subset Y\)，使得 \(f(g(U)) = f(X) \cap V\)。于是 \(g\) 经 \(X \times_Y V\) 分解，并且所得的 \(\{U \to X \times_Y V\}\) 是 étale 覆盖。 由于 \(f\) 具有性质 (B)，见引理 04DR，存在 étale 覆盖 \(\{V_j \to V\}\)，使得 \(X \times_Y V_j \to X \times_Y V\) 经 \(U\) 分解。 这蕴含 \(V' = \coprod V_j\) 在 \(Y\) 上是 étale 的，并且存在态射 \(h : X \times_Y V' \to U\)，其像满射到 \(g(U)\)。由于 \(u\) 是其纤维中唯一的点， 它必属于 \(h\) 的像，从而得证。

我们建议读者把下面的引理看作通往整且普遍单射态射的 \(f_{small, *}\) 之最终真相的 旅途中的驿站³。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。假设 \(f\) 普遍单射且整（例如闭浸入）。则

1. \(f_{small, *} : \Sh(X_\etale) \to \Sh(Y_\etale)\) 反映单射和满射；

2. \(f_{small, *} : \Sh(X_\etale) \to \Sh(Y_\etale)\) 与推出和余等化子可交换（更一般地，与有限连通余极限可交换）；

3. \(f_{small, *}\) 把满射变为满射（对集合层和 Abel 层都是如此）；

4. 映射 \(f_{small}^{-1}f_{small, *}\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 对任意层 \(\mathcal{F}\)（集合层或 Abel 群层，在 \(X_\etale\) 上）都是满射；

5. 函子 \(f_{small, *}\) 是忠实的（对集合层和 Abel 层都是如此）；

6. \(f_{small, *} : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) 正合；

7. 函子 \(Y_\etale \to X_\etale\)、\(V \mapsto X \times_Y V\) 几乎余连续。

证明

由引理 04DM、04DR 和 04DW，可知态射 \(f\) 具有性质 (A)、(B) 和 (C)。 此外，由引理 04DV，可知函子 \(Y_\etale \to X_\etale\) 几乎余连续。现在有

1. 由引理 04DT，性质 (C) 蕴含 (1)；

2. 由 Sites，引理 04BA， 几乎余连续蕴含 (2)；

3. 由引理 04DO，性质 (B) 蕴含 (3)。

性质 (4)、(5)、(6) 从前三项形式地得出；见 Sites，引理 04D6 和 Modules on Sites，引理 04DB。性质 (7) 已在上面看到。

小 étale 网站的拓扑不变性

下一个定理表明，小 étale 网站在如下意义下是拓扑不变量：若 \(f : X \to Y\) 是作为普遍同胚的概形态射，则网站 \(X_\etale \cong Y_\etale\)。这改进了 Étale Morphisms，定理 039R 的结果。我们先对态射证明该结论， 然后陈述范畴层面的结论。

定理

设 \(X\) 和 \(Y\) 是基概形 \(S\) 上的两个概形。设 \(S' \to S\) 是普遍同胚。 以 \(X'\)（相应地以 \(Y'\)）表示到 \(S'\) 的基变换。若 \(X\) 在 \(S\) 上是 étale 的， 则映射 \[\Mor_S(Y, X) \longrightarrow \Mor_{S'}(Y', X')\] 是双射。

证明

沿 \(Y \to S\) 作基变换后，可以假设 \(Y = S\)。因此，可以并且确实假设 \(X\) 与 \(Y\) 都在 \(S\) 上是 étale 的。换言之，定理断言：基变换函子从 \(S\) 上 étale 概形的范畴到 \(S'\) 上 étale 概形的范畴是全忠实函子。

考虑遗忘函子 [0BTZ]\[\begin{equation} \begin{matrix} \text{关于 }S'/S\text{ 的下降数据 }(X', \varphi') \\ \text{，其中 }X'\text{ 在 }S'\text{ 上 \'etale} \end{matrix} \longrightarrow \text{在 }S'\text{ 上 \'etale 的概形 }X' \end{equation}\] 我们断言这个函子是等价。另一方面，函子 [0BU0]\[\begin{equation} \text{在 }S\text{ 上 \'etale 的概形 }X \longrightarrow \begin{matrix} \text{关于 }S'/S\text{ 的下降数据 }(X', \varphi') \\ \text{，其中 }X'\text{ 在 }S'\text{ 上 \'etale} \end{matrix} \end{equation}\] 由 Étale Morphisms，引理 0BTL 是全忠实的。 因此，该断言蕴含本定理。

证明该断言。回忆，普遍同胚等价于整、普遍单射且满的态射；见 Morphisms，引理 04DF。特别地，由 Morphisms，引理 01S4，对角态射 \(\Delta : S' \to S' \times_S S'\) 是加厚。因此，由 Étale Morphisms，定理 025H，可知给定 étale 态射 \(X' \to S'\)， 存在唯一同构 \[\varphi' : X' \times_S S' \to S' \times_S X'\] ，它是 \(S' \times_S S'\) 上 étale 概形的同构，并且沿 \(\Delta\) 拉回后成为 \(\text{id} : X' \to X'\)（在 \(S'\) 上）。由于 \(S' \to S' \times_S S' \times_S S'\) 也是加厚（它是双射且为闭浸入）， 可知 \((X', \varphi')\) 是相对于 \(S'/S\) 的下降数据。\(\varphi'\) 构造的典范性表明， 它与 \(S'\) 上 étale 概形之间的态射相容。换言之，得到函子 (0BTZ) 的拟逆 \(X' \mapsto (X', \varphi')\)。 这证明了断言，并完成了定理的证明。

定理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。假设 \(f\) 整、普遍单射且满 （即 \(f\) 是普遍同胚；见 Morphisms，引理 04DF）。函子 \[V \longmapsto V_X = X \times_Y V\] 给出范畴等价 \[\{ \text{在 }Y\text{ 上 \'etale 的概形 }V \} \leftrightarrow \{ \text{在 }X\text{ 上 \'etale 的概形 }U \}\]

我们给出两个证明。第一个证明使用拟紧、分离、étale 态射相对于满整态射的下降 有效性。第二个证明使用本章前面讨论的性质 (A)、(B)、(C)。

证明

由定理 0BTY，可知该函子全忠实。还需证明它本质满。 设 \(U \to X\) 是概形的 étale 态射。

假设 \(U\) 与 \(Y\) 仿射时结论成立。在这种情形，选择仿射开覆盖 \(U = \bigcup U_i\)，使每个 \(U_i\) 映入 \(Y\) 的一个仿射开集。根据假设 （仿射情形），可以找到 étale 态射 \(V_i \to Y\)，使得 \(X \times_Y V_i \cong U_i\)（作为 \(X\) 上的概形）。令 \(V_{i, i'} \subset V_i\) 是开子概形， 其底拓扑空间对应于 \(U_i \cap U_{i'}\)。由于有同构 \[X \times_Y V_{i, i'} \cong U_i \cap U_{i'} \cong X \times_Y V_{i', i}\] （作为 \(X\) 上的概形），由全忠实性得到同构 \(\theta_{i, i'} : V_{i, i'} \to V_{i', i}\)（它是 \(Y\) 上概形的同构）。略去这些同构满足 Schemes，第 01JA 节的余圈条件的验证。应用 Schemes，引理 01JC，得到概形 \(V \to Y\)；它是把概形 \(V_i\) 沿同一 \(\theta_{i, i'}\) 粘合得到的。根据构造，\(V \to Y\) 显然是 étale 的，且 \(X \times_Y V \cong U\)。

因此，只需在 \(U\) 与 \(Y\) 仿射时证明该引理。回忆，在定理 0BTY 的证明中，我们已证明 \(U\) 带有唯一下降数据 \((U, \varphi)\)（相对于 \(X/Y\)）。由 Étale Morphisms，命题 0BTP（它适用是因为通过归约到仿射情形， \(U \to X\) 不仅是 étale 的，而且拟紧且分离），存在 étale 态射 \(V \to Y\)，使得 \(X \times_Y V \cong U\)，证明完成。

证明

由定理 0BTY，可知该函子全忠实。还需证明它本质满。 设 \(U \to X\) 是概形的 étale 态射。

假设 \(U\) 与 \(Y\) 仿射时结论成立。在这种情形，选择仿射开覆盖 \(U = \bigcup U_i\)，使每个 \(U_i\) 映入 \(Y\) 的一个仿射开集。根据假设 （仿射情形），可以找到 étale 态射 \(V_i \to Y\)，使得 \(X \times_Y V_i \cong U_i\)（作为 \(X\) 上的概形）。令 \(V_{i, i'} \subset V_i\) 是开子概形，其底拓扑空间对应于 \(U_i \cap U_{i'}\)。由于有同构 \[X \times_Y V_{i, i'} \cong U_i \cap U_{i'} \cong X \times_Y V_{i', i}\] （作为 \(X\) 上的概形），由全忠实性得到同构 \(\theta_{i, i'} : V_{i, i'} \to V_{i', i}\)（它是 \(Y\) 上概形的同构）。 略去这些同构满足 Schemes，第 01JA 节的余圈条件 的验证。应用 Schemes，引理 01JC，得到概形 \(V \to Y\)；它是把概形 \(V_i\) 沿同一 \(\theta_{i, i'}\) 粘合得到的。根据构造， \(V \to Y\) 显然是 étale 的，且 \(X \times_Y V \cong U\)。

因此，只需在 \(X\) 与 \(Y\) 仿射时证明函子 [04E0]\[\begin{equation} \{ \text{在 }Y\text{ 上 \'etale 的仿射概形 }V \} \leftrightarrow \{ \text{在 }X\text{ 上 \'etale 的仿射概形 }U \} \end{equation}\] 本质满。

设 \(U \to X\) 是在 \(X\) 上 étale 的仿射概形。需要找到 étale（且仿射）的 \(V \to Y\)，使得 \(X \times_Y V\) 同构于 \(U\)（在 \(X\) 上）。注意，仿射概形间的 étale 态射具有普遍有界的纤维；见 Morphisms，引理 03WS 和 03JA。 因此，可以对整数 \(n\) 作归纳，它限制 \(U \to X\) 之纤维的次数。étale 态射情形下 这个整数的描述见 Morphisms，引理 03WU。若 \(n = 1\)，则 \(U \to X\) 是开浸入（见 Étale Morphisms，定理 025G），结论显然。假设 \(n > 1\)。

由引理 04DW，存在概形的 étale 态射 \(W \to Y\) 和满态射 \(W_X \to U\)（在 \(X\) 上）。由于 \(U\) 拟紧， 可以用 \(W\) 的有限多个仿射开集的不交并替换 \(W\)，因而也可以假设 \(W\) 仿射。 有如下图： \[\xymatrix{ U \ar[d] & U \times_Y W \ar[l] \ar[d] & W_X \amalg R \ar@{=}[l]\\ X \ar[d] & W_X \ar[l] \ar[d] \\ Y & W \ar[l] }\] 这个不交并分解之所以出现，是因为按构造，仿射概形的 étale 态射 \(U \times_Y W \to W_X\) 有截面。现在可知，态射 \(R \to X \times_Y W\) 是仿射概形的 étale 态射，其纤维次数普遍不超过 \(n - 1\)。因此，由归纳假设，存在 étale 概形 \(V' \to W\)，使得 \(R \cong W_X \times_W V'\)。取 \(V'' = W \amalg V'\)，得到概形 \(V''\)（它在 \(W\) 上是 étale 的），其到 \(W_X\) 的基变换同构于 \(U \times_Y W\) （在 \(X \times_Y W\) 上）。

此时可以使用下降找到 \(V\)（在 \(Y\) 上），使其到 \(X\) 的基变换同构于 \(U\) （在 \(X\) 上）。 具体地，由与普遍同胚 \(X \times_Y (W \times_Y W) \to (W \times_Y W)\) 对应的函子 (04E0) 的全忠实性，存在唯一同构 \(\varphi : V'' \times_Y W \to W \times_Y V''\)，它到 \(X \times_Y (W \times_Y W)\) 的基变换是 \(U \times_Y W\) 在 \(X \times_Y W\) 上的典范下降数据。特别地，\(\varphi\) 满足余圈条件。因此，由 Descent，引理 0245，可知 \(\varphi\) 是有效的（回忆上面的概形 全都仿射）。于是得到 \(V \to Y\) 和同构 \(V'' \cong W \times_Y V\)，使得 \(W \times_Y V/W/Y\) 上的典范下降数据与 \(\varphi\) 相同。注意，由 Descent，引理 02VN，\(V \to Y\) 是 étale 的。此外， 存在同构 \(V_X \cong U\)，它来自下列同构的下降： \[V_X \times_X W_X = X \times_Y V \times_Y W = (X \times_Y W) \times_W (W \times_Y V) \cong W_X \times_W V'' \cong U \times_Y W\] ；这个同构由构造给出。略去一些细节。

注

在定理 04DZ 的情形下，\(V \mapsto V_X\) 还诱导 两类对象之间的等价：一类是 étale 态射 \(V \to Y\) 且 \(V\) 仿射，另一类是 étale 态射 \(U \to X\) 且 \(U\) 仿射。例如，这由 Limits，命题 05YU 得出。

命题

设 \(X_0 \to X\) 是概形的普遍同胚（例如由幂零理想层定义的闭浸入）。则

1. étale 网站 \(X_\etale\) 与 \((X_0)_\etale\) 同构；

2. étale 拓扑斯 \(\Sh(X_\etale)\) 与 \(\Sh((X_0)_\etale)\) 等价；

3. \(H^q_\etale(X, \mathcal{F}) = H^q_\etale(X_0, \mathcal{F}|_{X_0})\) 对所有 \(q\) 以及任意 Abel 层 \(\mathcal{F}\)（在 \(X_\etale\) 上）成立。

证明

范畴等价 \(X_\etale \to (X_0)_\etale\) 由定理 04DZ 给出。略去在此等价下 étale 覆盖相互对应的 证明。因此 (1) 成立，而 (2)、(3) 从 (1) 形式地得出。

闭浸入与推前

在以正确的一般性陈述并证明命题 04CA 之前，我们先对闭浸入简要陈述并证明它。 事实上，前面的一些论证在闭浸入情形下更容易理解，所以在此以简化形式重复它们。

本节余下部分中，\(i : Z \to X\) 是闭浸入。函子 \[\Sch/X \longrightarrow \Sch/Z, \quad U \longmapsto U_Z = Z \times_X U\] 如上记为 \(U \mapsto U_Z\)。由于闭浸入在任意基变换下保持，概形 \(U_Z\) 是 \(U\) 的闭子概形。

引理

设 \(i : Z \to X\) 是概形的闭浸入。设 \(U, U'\) 是 \(X\) 上的 étale 概形。 设 \(h : U_Z \to U'_Z\) 是 \(Z\) 上的态射。则存在下图 \[\xymatrix{ U & W \ar[l]_a \ar[r]^b & U' }\] ，它位于 \(X_\etale\) 中，使得 \(a_Z : W_Z \to U_Z\) 是同构，且 \(h = b_Z \circ (a_Z)^{-1}\)。

证明

考虑概形 \(M = U \times_X U'\)。\(\Gamma_h \subset M_Z\)（即 \(h\) 的图像）是开集。 例如，这是因为 \(\Gamma_h\) 是 étale 态射 \(\text{pr}_{1, Z} : M_Z \to U_Z\) 的某个截面的像；见 Étale Morphisms，命题 024T。因此，存在开子概形 \(W \subset M\)， 它与闭子集 \(M_Z\) 的交是 \(\Gamma_h\)。置 \(a = \text{pr}_1|_W\) 和 \(b = \text{pr}_2|_W\)。

引理

设 \(i : Z \to X\) 是概形的闭浸入。设 \(V \to Z\) 是概形的 étale 态射。 存在 étale 态射 \(U_i \to X\) 和态射 \(U_{i, Z} \to V\)，使得 \(\{U_{i, Z} \to V\}\) 是 \(V\) 的 Zariski 覆盖。

证明

由于只需找到 \(V\) 的 Zariski 覆盖，其成员是形如 \(U_Z\) 的概形，且 \(U\) 在 \(X\) 上是 étale 的，因此可以在 \(X\) 和 \(V\) 上作 Zariski 局部化。因此可以假设 \(X\) 与 \(V\) 仿射。在仿射情形，这就是 Algebra，引理 04D1。

若 \(\overline{x} : \Spec(k) \to X\) 是 \(X\) 的几何点，则或者 \(\overline{x}\) （唯一地）经闭子概形 \(Z\) 分解，或者 \(Z_{\overline{x}} = \emptyset\)。若 \(\overline{x}\) 经 \(Z\) 分解，就称 \(\overline{x}\) 为 \(Z\) 的几何点（它确实如此）， 并用记号“\(\overline{x} \in Z\)”表示这一点。

引理

设 \(i : Z \to X\) 是概形的闭浸入。设 \(\mathcal{G}\) 是 \(Z_\etale\) 上的集合层。 设 \(\overline{x}\) 是 \(X\) 的几何点。则 \[(i_{small, *}\mathcal{G})_{\overline{x}} = \left\{ \begin{matrix} * & \text{若} & \overline{x} \not \in Z \\ \mathcal{G}_{\overline{x}} & \text{若} & \overline{x} \in Z \end{matrix} \right.\] 其中 \(*\) 表示单点集。

证明

令 \(U = X \setminus Z\)。注意，\(i_{small, *}\mathcal{G}|_{U_\etale} = *\) 是 \(U\) 上 étale 层范畴中的终对象，即给每个在 \(U\) 上 étale 的概形赋予单点集的层。 这说明了 \((i_{small, *}\mathcal{G})_{\overline{x}}\) 的取值 （当 \(\overline{x} \not \in Z\) 时）。

接着，假设 \(\overline{x} \in Z\)。注意 \[(i_{small, *}\mathcal{G})_{\overline{x}} = \colim_{(U, \overline{u})} \mathcal{G}(U_Z)\] ，另一方面 \[\mathcal{G}_{\overline{x}} = \colim_{(V, \overline{v})} \mathcal{G}(V).\] 令 \(\mathcal{C}_1 = \{(U, \overline{u})\}^{opp}\) 为 \(\overline{x}\) 在 \(X\) 中的 étale 邻域范畴的反范畴，并令 \(\mathcal{C}_2 = \{(V, \overline{v})\}^{opp}\) 为 \(\overline{x}\) 在 \(Z\) 中的 étale 邻域范畴的反范畴。典范映射 \[\mathcal{G}_{\overline{x}} \longrightarrow (i_{small, *}\mathcal{G})_{\overline{x}}\] 对应于函子 \(F : \mathcal{C}_1 \to \mathcal{C}_2\)，其中 \(F(U, \overline{u}) = (U_Z, \overline{x})\)。现在，引理 04FW 和 04FV 蕴含 \(\mathcal{C}_1\) 在 \(\mathcal{C}_2\) 中余终；见 Categories，定义 04E6。 因此，上面的箭头是同构；见 Categories，引理 04E7。

命题

设 \(i : Z \to X\) 是概形的闭浸入。

1. 函子 \[i_{small, *} : \Sh(Z_\etale) \longrightarrow \Sh(X_\etale)\] 是全忠实的，其本质像由如下集合层 \(\mathcal{F}\) 构成：它在 \(X_\etale\) 上， 且到 \(X \setminus Z\) 的限制同构于 \(*\)；

2. 函子 \[i_{small, *} : \textit{Ab}(Z_\etale) \longrightarrow \textit{Ab}(X_\etale)\] 是全忠实的，其本质像由 \(X_\etale\) 上且支集包含于 \(Z\) 的 Abel 层构成。

在两种情形下，\(i_{small}^{-1}\) 都是函子 \(i_{small, *}\) 的左逆。

证明

先讨论集合层的情形。对任意层 \(\mathcal{G}\)（定义于 \(Z\) 上），态射 \(i_{small}^{-1}i_{small, *}\mathcal{G} \to \mathcal{G}\) 由引理 04FX（以及定理 03PU）是同构。这形式地蕴含 \(i_{small, *}\) 全忠实；见 Sites，引理 04D6。显然， \(i_{small, *}\mathcal{G}|_{U_\etale} \cong *\)，其中 \(U = X \setminus Z\)。 反之，设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的集合层，且 \(\mathcal{F}|_{U_\etale} \cong *\)。考虑伴随映射 \[\mathcal{F} \longrightarrow i_{small, *}i_{small}^{-1}\mathcal{F}\] 合用引理 04FX 和 03Q1，可知它是同构。这完成了 (1) 的证明。 (2) 的证明相同。

整普遍单射态射

下面给出命题 04CA 的一般版本。

命题

设 \(f : X \to Y\) 是整且普遍单射的概形态射。

1. 函子 \[f_{small, *} : \Sh(X_\etale) \longrightarrow \Sh(Y_\etale)\] 是全忠实的，其本质像由集合层 \(\mathcal{F}\) 构成：它定义于 \(Y_\etale\) 上， 且到 \(Y \setminus f(X)\) 的限制同构于 \(*\)；

2. 函子 \[f_{small, *} : \textit{Ab}(X_\etale) \longrightarrow \textit{Ab}(Y_\etale)\] 是全忠实的，其本质像由 \(Y_\etale\) 上且支集包含于 \(f(X)\) 的 Abel 层构成。

在两种情形下，\(f_{small}^{-1}\) 都是函子 \(f_{small, *}\) 的左逆。

证明

可以把 \(f\) 分解为 \[\xymatrix{ X \ar[r]^h & Z \ar[r]^i & Y }\] ，其中 \(h\) 整、普遍单射且满，而 \(i : Z \to Y\) 是闭浸入。对 \(i\) 应用命题 04CA，再对 \(h\) 应用定理 04DZ。

大网站与推前

本节对若干类概形态射证明关于 \(f_{big, *}\) 的一些技术性结果。

引理

设 \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\)。 设 \(f : X \to Y\) 是概形的单态射。则典范映射 \(f_{big}^{-1}f_{big, *}\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 是同构；这里 \(\mathcal{F}\) 是定义于 \((\Sch/X)_\tau\) 上的任意层。

证明

在这种情形下，函子 \((\Sch/X)_\tau \to (\Sch/Y)_\tau\) 连续、余连续且全忠实。 因此，结论由 Sites，引理 00XT 得到。

注

在引理 04C7 的情形下，典范映射 \(\mathcal{F} \to f_{big}^{-1}f_{big!}\mathcal{F}\) 是同构；这里 \(\mathcal{F}\) 是定义于 \((\Sch/X)_\tau\) 上的任意集合层。证明相同。 这对 Abel 群层也成立。不过要注意，Abel 群层的函子 \(f_{big!}\) 定义于 Modules on Sites，第 04BE 节， 且一般不同于集合层上的 \(f_{big!}\)。Abel 群层的结论由 Modules on Sites，引理 077I 得到。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形的闭浸入。设 \(U \to X\) 是 syntomic（分别为光滑、 étale）态射。则存在 syntomic（分别为光滑、étale）态射 \(V_i \to Y\) 以及态射 \(V_i \times_Y X \to U\)，使得 \(\{V_i \times_Y X \to U\}\) 是 \(U\) 的 Zariski 覆盖。

证明

先证明 \(\tau = syntomic\) 时的引理。问题在 \(U\) 上是局部的。因此，可以假设 \(U\) 是映入 \(Y\) 的某个仿射开子概形的仿射概形。于是，归结为证明下列情形： \(Y = \Spec(A)\)、\(X = \Spec(A/I)\) 且 \(U = \Spec(\overline{B})\)，其中 \(A/I \to \overline{B}\) 是 syntomic 环同态。由 Algebra，引理 00T0，可以找到元素 \(\overline{g}_i \in \overline{B}\)，使得 \(\overline{B}_{\overline{g}_i} = A_i/IA_i\) 对某些 syntomic 环同态 \(A \to A_i\) 成立。这证明了 syntomic 情形。 光滑情形的证明相同，只是改用 Algebra，引理 04B1。 étale 情形使用 Algebra，引理 04D1。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形的闭浸入。设 \(\{U_i \to X\}\) 是 syntomic（分别为光滑、 étale）覆盖。则存在 syntomic（分别为光滑、étale）覆盖 \(\{V_j \to Y\}\)， 使得对每个 \(j\)，或者 \(V_j \times_Y X = \emptyset\)，或者态射 \(V_j \times_Y X \to X\) 通过 \(U_i\) 分解，其中 \(i\) 可以依赖于所给覆盖成员。

证明

对每个 \(i\)，可以选取 syntomic（分别为光滑、étale）态射 \(g_{ij} : V_{ij} \to Y\) 以及态射 \(V_{ij} \times_Y X \to U_i\)（在 \(X\) 上）， 使得 \(\{V_{ij} \times_Y X \to U_i\}\) 是 Zariski 覆盖；见引理 04E3。这特别蕴含 \(\bigcup_{ij} g_{ij}(V_{ij})\) 包含闭子集 \(f(X)\)。因此，syntomic（分别为光滑、 étale）映射族 \(g_{ij}\) 与开浸入 \(Y \setminus f(X) \to Y\) 一起构成所需的 \(Y\) 的 syntomic（分别为光滑、étale）覆盖。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形的闭浸入。设 \(\tau \in \{syntomic, smooth, \etale\}\)。 函子 \(V \mapsto X \times_Y V\) 给出几乎余连续函子 （见 Sites，定义 04B7） \((\Sch/Y)_\tau \to (\Sch/X)_\tau\)；这是大 \(\tau\) 网站之间的函子。

证明

需要证明如下事实：给定态射 \(V \to Y\) 和任意 syntomic（分别为光滑、étale） 覆盖 \(\{U_i \to X \times_Y V\}\)，存在光滑（分别为光滑、étale）覆盖 \(\{V_j \to V\}\)，使得对每个 \(j\)，或者 \(X \times_Y V_j\) 为空，或者 \(X \times_Y V_j \to Z \times_Y V\) 通过某个 \(U_i\) 分解。这可由对闭浸入 \(X \times_Y V \to V\) 应用上面的引理 04E4 得到。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形的闭浸入。设 \(\tau \in \{syntomic, smooth, \etale\}\)。

1. 推前 \(f_{big, *} : \Sh((\Sch/X)_\tau) \to \Sh((\Sch/Y)_\tau)\) 与余等化子及推出交换。

2. 推前 \(f_{big, *} : \textit{Ab}((\Sch/X)_\tau) \to \textit{Ab}((\Sch/Y)_\tau)\) 是正合的。

证明

这由 Sites，引理 04BA， Modules on Sites，引理 04BD，以及上面的引理 04C3 得到。

注

引理 04C4 中缺少 \(\tau = fppf\) 的情形。 原因是，给定环 \(A\)、理想 \(I\) 以及忠实平坦有限表示的环同态 \(A/I \to \overline{B}\)，没有理由认为可以找到任意平坦有限表示环同态 \(A \to B\)，它满足 \(B/IB \not = 0\)，并使得 \(A/I \to B/IB\) 通过 \(\overline{B}\) 分解。 因此，引理 04C3 的证明不适用于 fppf 拓扑。事实上， \(f_{big, *} : \textit{Ab}((\Sch/X)_{fppf}) \to \textit{Ab}((\Sch/Y)_{fppf})\) 在 \(f\) 是闭浸入时为正合的说法很可能是假的。如果知道一个例子，请发送电子邮件至 stacks.project@gmail.com。

大网站下叹号函子的正合性

这里只需下列技术性结果。注意，一般而言，函子 \(f_{big!}\) 与紧支集上同调毫无关系。

引理

设 \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\)。 设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。令 \[f_{big} : \Sh((\Sch/X)_\tau) \longrightarrow \Sh((\Sch/Y)_\tau)\] 为 Topologies，引理 0210、 021H, 04HC, 04HD 或 021W 中相应的拓扑斯态射。

1. 函子 \(f_{big}^{-1} : \textit{Ab}((\Sch/Y)_\tau) \to \textit{Ab}((\Sch/X)_\tau)\) 有左伴随 \[f_{big!} : \textit{Ab}((\Sch/X)_\tau) \to \textit{Ab}((\Sch/Y)_\tau)\] ，并且后者正合。

2. 函子 \(f_{big}^* : \textit{Mod}((\Sch/Y)_\tau, \mathcal{O}) \to \textit{Mod}((\Sch/X)_\tau, \mathcal{O})\) 有左伴随 \[f_{big!} : \textit{Mod}((\Sch/X)_\tau, \mathcal{O}) \to \textit{Mod}((\Sch/Y)_\tau, \mathcal{O})\] ，并且后者正合。

此外，这两个函子 \(f_{big!}\) 在底层 Abel 群层上相同。

证明

回忆，\(f_{big}\) 是由连续且余连续的函子 \(u : (\Sch/X)_\tau \to (\Sch/Y)_\tau\)、\(U/X \mapsto U/Y\) 所联系的拓扑斯态射。 此外，有 \(f_{big}^{-1}\mathcal{O} = \mathcal{O}\)。因此，\(f_{big!}\) 的存在性分别由 Modules on Sites，引理 04BG 和 Modules on Sites，引理 0797 得到。 注意，若 \(U\) 是 \((\Sch/X)_\tau\) 的对象，则函子 \(u\) 诱导范畴等价 \[u' : (\Sch/X)_\tau/U \longrightarrow (\Sch/Y)_\tau/U\] ，因为箭头两边都等于 \((\Sch/U)_\tau\)。因此，\(f_{big!}\) 在底层 Abel 层上相同由 Modules on Sites，注 0798 中的讨论得到。 \(f_{big!}\) 的正合性由 Modules on Sites，引理 04BH 得到，因为上面的函子 \(u\) 与纤维积和等化子交换。

下面证明一个技术性引理，稍后比较代数栈所联系的不同网站上的模层时将会用到它。

引理

设 \(X\) 是概形。设 \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\)。 设 \(\mathcal{C}_1 \subset \mathcal{C}_2 \subset (\Sch/X)_\tau\) 是满足下列性质的 全子范畴：

1. 对对象 \(U/X\)（它属于 \(\mathcal{C}_t\)），

   1. 若 \(\{U_i \to U\}\) 是 \((\Sch/X)_\tau\) 的覆盖，则 \(U_i/X\) 是 \(\mathcal{C}_t\) 的对象；

   2. \(U \times \mathbf{A}^1/X\) 是 \(\mathcal{C}_t\) 的对象。

2. \(X/X\) 是 \(\mathcal{C}_t\) 的对象。

赋予 \(\mathcal{C}_t\) 网站结构；其覆盖恰为那些覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，它们是 \((\Sch/X)_\tau\) 的覆盖并满足 \(U \in \Ob(\mathcal{C}_t)\)。则

1. 函子 \(\mathcal{C}_1 \to \mathcal{C}_2\) 全忠实、连续且余连续。

以 \(g : \Sh(\mathcal{C}_1) \to \Sh(\mathcal{C}_2)\) 表示相应的拓扑斯态射。 以 \(\mathcal{O}_t\) 表示 \(\mathcal{O}\) 到 \(\mathcal{C}_t\) 的限制。以 \(g_!\) 表示 Modules on Sites，定义 04BF 中的函子。

1. 典范映射 \(g_!\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) 是同构。

证明

断言 (a) 由定义立即可得。在本证明中，所有概形都是 \(X\) 上的概形，所有概形态射 都是 \(X\) 上的概形态射。注意，\(g^{-1}\) 由限制给出，所以对对象 \(U\) （它属于 \(\mathcal{C}_1\)），有 \(\mathcal{O}_1(U) = \mathcal{O}_2(U) = \mathcal{O}(U)\)。 回忆，\(g_!\mathcal{O}_1\) 是预层 \(g_{p!}\mathcal{O}_1\) 所联系的层；该预层把 对象 \(V\)（在 \(\mathcal{C}_2\) 中）映到群 \[\colim_{V \to U} \mathcal{O}(U)\] ，其中 \(U\) 遍历 \(\mathcal{C}_1\) 的对象，余极限取在 Abel 群范畴中。下面将反复使用 如下事实：若 \[V \to U \to U'\] 是满足 \(U, U' \in \Ob(\mathcal{C}_1)\) 的态射，且 \(f' \in \mathcal{O}(U')\) 限制为 \(f \in \mathcal{O}(U)\)，则 \((V \to U, f)\) 与 \((V \to U', f')\) 定义余极限的同一个元素。此外， \(g_!\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) 只是把元素 \((V \to U, f)\) 映到 \(f\) 在 \(V\) 上的拉回。

满性。设 \(V\) 是概形，并设 \(h \in \mathcal{O}(V)\)。于是得到态射 \(V \to X \times \mathbf{A}^1\)；它由 \(h\) 和结构态射 \(V \to X\) 诱导。写成 \(\mathbf{A}^1 = \Spec(\mathbf{Z}[x])\)，可见元素 \(x \in \mathcal{O}(X \times \mathbf{A}^1)\) 拉回到 \(h\)。由假设 (1)(b) 和 (2)， \(X \times \mathbf{A}^1\) 是 \(\mathcal{C}_1\) 的对象，于是得到所需的满性。

单性。设 \(V\) 是概形。设 \(s = \sum_{i = 1, \ldots, n} (V \to U_i, f_i)\) 是上面所示余极限的一个元素。 对任意 \(i\)，可以使用态射 \(f_i : U_i \to X \times \mathbf{A}^1\)，看出 \((V \to U_i, f_i)\) 与 \((f_i : V \to X \times \mathbf{A}^1, x)\) 定义余极限的 同一个元素。然后考虑 \[f_1 \times \ldots \times f_n : V \to X \times \mathbf{A}^n\] ，可见 \(s\) 在余极限中等价于 \[\sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} (f_1 \times \ldots \times f_n : V \to X \times \mathbf{A}^n, x_i) = (f_1 \times \ldots \times f_n : V \to X \times \mathbf{A}^n, x_1 + \ldots + x_n)\] 现在，若 \(x_1 + \ldots + x_n\) 在 \(V\) 上限制为零，则可见 \(f_1 \times \ldots \times f_n\) 通过 \(X \times \mathbf{A}^{n - 1} = V(x_1 + \ldots + x_n)\) 分解。因此，\(s\) 在余极限中等价于零。

Étale 上同调

以下各节将证明一些关于 étale 上同调的基本结果。下面举出一个对拓扑空间上同调 成立、并且对 étale 上同调也成立的例子。

引理

设 \(X\) 是概形。假设 \(X = U \cup V\) 是两个开子概形之并。对任意 Abel 层 \(\mathcal{F}\)（定义于 \(X_\etale\) 上），存在上同调长正合序列 \[\begin{matrix} 0 \to H^0_\etale(X, \mathcal{F}) \to H^0_\etale(U, \mathcal{F}) \oplus H^0_\etale(V, \mathcal{F}) \to H^0_\etale(U \cap V, \mathcal{F}) \phantom{\to \ldots} \\ \phantom{0} \to H^1_\etale(X, \mathcal{F}) \to H^1_\etale(U, \mathcal{F}) \oplus H^1_\etale(V, \mathcal{F}) \to H^1_\etale(U \cap V, \mathcal{F}) \to \ldots \end{matrix}\] 这个长正合序列关于 \(\mathcal{F}\) 是函子性的。

证明

注意，若 \(\mathcal{I}\) 是内射 Abel 层，则 \[0 \to \mathcal{I}(X) \to \mathcal{I}(U) \oplus \mathcal{I}(V) \to \mathcal{I}(U \cap V) \to 0\] 正合。由于 \(\mathcal{I}\) 是层，首项和中间项处的正合性成立。右端的正合性成立， 因为由 Cohomology on Sites，引理 093X， \(\mathcal{I}(U) \to \mathcal{I}(U \cap V)\) 是满射。另一种证明方法是指出映射 \(\mathcal{I}(U) \oplus \mathcal{I}(V) \to \mathcal{I}(U \cap V)\) 的余核就是 \(\mathcal{I}\) 关于覆盖 \(X = U \cup V\) 的第一 Čech 上同调群；它由引理 03OR 和 03OV 消失。因此，若 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) 是内射解消，则 \[0 \to \mathcal{I}^\bullet(X) \to \mathcal{I}^\bullet(U) \oplus \mathcal{I}^\bullet(V) \to \mathcal{I}^\bullet(U \cap V) \to 0\] 是复形的短正合序列，而相联系的上同调长正合序列正是引理陈述中的序列。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。假设 \(X = U \cup V\) 是两个开子概形之并。记 \(a = f|_U : U \to Y\)、\(b = f|_V : V \to Y\) 以及 \(c = f|_{U \cap V} : U \cap V \to Y\)。对每个 Abel 层 \(\mathcal{F}\) （定义于 \(X_\etale\) 上），存在长正合序列 \[0 \to f_*\mathcal{F} \to a_*(\mathcal{F}|_U) \oplus b_*(\mathcal{F}|_V) \to c_*(\mathcal{F}|_{U \cap V}) \to R^1f_*\mathcal{F} \to \ldots\] （定义于 \(Y_\etale\) 上）。这个长正合序列关于 \(\mathcal{F}\) 是函子性的。

证明

设 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(X_\etale\) 上的 内射解消。我们断言得到复形的短正合序列 \[0 \to f_*\mathcal{I}^\bullet \to a_*\mathcal{I}^\bullet|_U \oplus b_*\mathcal{I}^\bullet|_V \to c_*\mathcal{I}^\bullet|_{U \cap V} \to 0.\] 事实上，对任意 \(W\)（属于 \(Y_\etale\)）以及任意 \(n \geq 0\)，在 \(W\) 上相应的 截面群序列 \[0 \to \mathcal{I}^n(W \times_Y X) \to \mathcal{I}^n(W \times_Y U) \oplus \mathcal{I}^n(W \times_Y V) \to \mathcal{I}^n(W \times_Y (U \cap V)) \to 0\] 已在引理 0A50 的证明中证明为短正合。取上同调层，并使用 \(\mathcal{I}^\bullet|_U\) 是 \(\mathcal{F}|_U\) 的内射解消这一事实，即得引理； \(\mathcal{I}^\bullet|_V\)、\(\mathcal{I}^\bullet|_{U \cap V}\) 的情形相同。

余极限

回忆，若 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ii'})\) 是网站 \(\mathcal{C}\) 上的层图，则它在层范畴中 的余极限是预层 \(U \mapsto \colim_i \mathcal{F}_i(U)\) 的层化；见 Sites，引理 00WI。若系统是定向的，\(U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的拟紧对象， 并且它有由拟紧对象组成的余终覆盖系，则 \(\mathcal{F}(U) = \colim \mathcal{F}_i(U)\)；见 Sites，引理 0738。关于 Abel 层余极限之高阶上同调群的结果， 见 Cohomology on Sites，引理 0739。

在 Cohomology on Sites，引理 09YP 中，我们把这个结果 推广到网站逆系统上的层系统。下面给出概形逆系统上的 étale 层系统这一相应概念。

定义

设 \(I\) 是预序集。设 \((X_i, f_{i'i})\) 是以 \(I\) 为指标的概形逆系统。 一个层系统 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{i'i})\)（定义于 \((X_i, f_{i'i})\) 上） 由下列数据给出：

1. 一个层 \(\mathcal{F}_i\)（定义于 \((X_i)_\etale\) 上），对所有 \(i \in I\)；

2. 对 \(i' \geq i\)，层的映射 \(\varphi_{i'i} : f_{i'i}^{-1}\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_{i'}\) （定义于 \((X_{i'})_\etale\) 上）。

这些数据满足等式 \(\varphi_{i''i} = \varphi_{i''i'} \circ f_{i'' i'}^{-1}\varphi_{i'i}\)， 只要 \(i'' \geq i' \geq i\)。

在定义 0EZL 的情形下，假设 \(I\) 是定向集，并且转移态射 \(f_{i'i}\) 仿射。设 \(X = \lim X_i\) 是概形范畴中的极限；见 Limits，第 01YV 节。以 \(f_i : X \to X_i\) 表示投影态射，并考虑映射 \[f_i^{-1}\mathcal{F}_i = f_{i'}^{-1}f_{i'i}^{-1}\mathcal{F}_i \xrightarrow{f_{i'}^{-1}\varphi_{i'i}} f_{i'}^{-1}\mathcal{F}_{i'}\] 这使 \(f_i^{-1}\mathcal{F}_i\) 成为 \(X_\etale\) 上以 \(I\) 为指标的层系统 （验证这一点是个很好的练习）。我们经常希望知道是否存在同构 \[H^q_\etale(X, \colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i) = \colim H^q_\etale(X_i, \mathcal{F}_i)\] 后面会证明：若 \(X_i\) 对所有 \(i\) 都拟紧且拟分离，则此式成立；见定理 09YQ。

引理

设 \(I\) 是定向集。设 \((X_i, f_{i'i})\) 是以 \(I\) 为指标、具有仿射转移态射的概形逆系统。 设 \(X = \lim_{i \in I} X_i\)。采用 Topologies，引理 04HR 中的记号，有 \[X_{affine, \etale} = \colim (X_i)_{affine, \etale}\] ；这里的网站等式取 Sites，引理 09YL 的意义。

证明

先在 \(X\) 与 \(X_i\) 都拟紧且拟分离（对所有 \(i\)）时证明此式；所有我们关心的情形 都是如此。在这种情形下，\(X_{affine, \etale}\) 的任意对象，以及相应地 \((X_i)_{affine, \etale}\) 的任意对象，都在 \(X\) 上有限表示。此外，\(X\) 上有限表示概形 的范畴是 \(X_i\) 上有限表示概形范畴的余极限；见 Limits，引理 01ZM。由 Limits，引理 01Z6 和 07RP，对 \(X\) 上 étale 的仿射对象所成子范畴，同一结论也成立。最后，若 \(\{U^j \to U\}\) 是 \(X_{affine, \etale}\) 的覆盖，并且 \(U_i^j \to U_i\) 是 \(X_i\) 上 étale 的仿射概形 间态射，其到 \(X\) 的基变换为 \(U^j \to U\)，则 \(\{U^j_i \to U_i\}\) 到某个 \(X_{i'}\) 的基变换是覆盖（当 \(i'\) 足够大）；见 Limits，引理 07RR。

在一般情形下，设 \(U\) 是 \(X_{affine, \etale}\) 的对象。则 \(U \to X\) 是 étale 且分离的（因为 \(U\) 分离），但一般不拟紧。不过，\(U \to X\) 局部有限表示。因此， 由 Limits，引理 0EY1，存在某个 \(i\)、 拟紧拟分离概形 \(U_i\) 以及局部有限表示态射 \(U_i \to X_i\)，其到 \(X\) 的基变换 为 \(U \to X\)。于是 \(U = \lim_{i' \geq i} U_{i'}\)，其中 \(U_{i'} = U_i \times_{X_i} X_{i'}\)。增大 \(i\) 后，可以假设 \(U_i\) 仿射；见 Limits，引理 01Z6。为验证 \(U_i \to X_i\) 对充分大的 \(i\) 是 étale 的，选取有限仿射开覆盖 \(U_i = U_{i, 1} \cup \ldots \cup U_{i, m}\)，使得 \(U_{i, j} \to U_i \to X_i\) 映入仿射开集 \(W_{i, j} \subset X_i\)。应用 Limits，引理 07RP，可知 \(U_{i, j} \to W_{i, j}\) 是 étale 的 （必要时再次增大 \(i\)）。由此可见函子 \(\colim (X_i)_{affine, \etale} \to X_{affine, \etale}\) 本质满。全忠实性直接由 已经使用过的 Limits，引理 0EY1 得到。关于覆盖的断言与证明第一段 完全同样地证明。

利用上面的结果，得到下列关于余极限和上同调的一般结论。

定理

设 \(X = \lim_{i \in I} X_i\) 是具有仿射转移态射 \(f_{i'i} : X_{i'} \to X_i\) 的概形定向系统的极限。假设 \(X_i\) 对所有 \(i \in I\) 都拟紧且拟分离。设 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{i'i})\) 是 \((X_i, f_{i'i})\) 上的 Abel 层系统。以 \(f_i : X \to X_i\) 表示投影，并置 \(\mathcal{F} = \colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i\)。则 \[\colim_{i\in I} H_\etale^p(X_i, \mathcal{F}_i) = H_\etale^p(X, \mathcal{F}).\] 对所有 \(p \geq 0\) 成立。

证明

由 Topologies，引理 04HR，可以计算 \(\mathcal{F}\) 在 \(X_{affine, \etale}\) 上的上同调。因此，结论由引理 0EYL 和 Cohomology on Sites，引理 09YP 合并得到。

下面两个结果是上述定理的特殊情形。

引理

设 \(X\) 是拟紧拟分离概形。设 \(I\) 是定向集。设 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ij})\) 是 \(X_\etale\) 上以 \(I\) 为指标的 Abel 层系统。则 \[\colim_{i\in I} H_\etale^p(X, \mathcal{F}_i) = H_\etale^p(X, \colim_{i\in I} \mathcal{F}_i).\]

证明

这是定理 09YQ 的特殊情形。再概述一个直接证明。同时对所有 \(X\) 证明结论，并对 \(p\) 作归纳。

1. 对任意拟紧拟分离概形 \(X\) 以及任意 étale 覆盖 \(\mathcal{U}\)（它覆盖 \(X\)），证明存在加细 \(\mathcal{V} = \{V_j \to X\}_{j\in J}\)，其中 \(J\) 有限，每个 \(V_j\) 拟紧且拟分离， 并且所有 \(V_{j_0} \times_X \ldots \times_X V_{j_p}\) 也拟紧且拟分离。

2. 利用上一步和层范畴中余极限的定义，证明定理对 \(p = 0\) 以及所有 \(X\) 成立。

3. 利用上同调的局部性（引理 03P1）、从 Čech 到上同调的 谱序列（定理 03OW），以及归纳假设适用于上述情形中的所有 \(V_{j_0} \times_X \ldots \times_X V_{j_p}\) 这一事实，证明归纳步骤 \(p \to p + 1\)。

引理

设 \(A\) 是环，\((I, \leq)\) 是定向集，\((B_i, \varphi_{ij})\) 是 \(A\)-代数系统。 置 \(B = \colim_{i\in I} B_i\)。设 \(X \to \Spec(A)\) 是拟紧拟分离的概形态射。 设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X_\etale\) 上的 Abel 层。记 \(Y_i = X \times_{\Spec(A)} \Spec(B_i)\)、 \(Y = X \times_{\Spec(A)} \Spec(B)\)、 \(\mathcal{G}_i = (Y_i \to X)^{-1}\mathcal{F}\) 以及 \(\mathcal{G} = (Y \to X)^{-1}\mathcal{F}\)。则 \[H_\etale^p(Y, \mathcal{G}) = \colim_{i\in I} H_\etale^p (Y_i, \mathcal{G}_i).\]

证明

这是定理 09YQ 的特殊情形。再如下概述一个直接证明。

1. 给定 étale 态射 \(V \to Y\)，其中 \(V\) 拟紧且拟分离，则存在 \(i\in I\) 和 \(V_i \to Y_i\)，使得 \(V = V_i \times_{Y_i} Y\)。若所考虑的概形全都仿射， 这对应于下列代数断言：若 \(B = \colim B_i\) 且 \(B \to C\) 是 étale 的， 则存在 \(i \in I\) 以及 étale 同态 \(B_i \to C_i\)，使得 \(C \cong B \otimes_{B_i} C_i\)。这在 Algebra，引理 00U2 中证明。

2. 在 (1) 的情形下，证明 \(\mathcal{G}(V) = \colim_{i' \geq i} \mathcal{G}_{i'}(V_{i'})\) ，其中 \(V_{i'}\) 是 \(V_i\) 到 \(Y_{i'}\) 的基变换。

3. 由 (1) 可见，对每个 étale 覆盖 \(\mathcal{V} = \{V_j \to Y\}_{j\in J}\)，其中 \(J\) 有限且诸 \(V_j\) 拟紧拟分离， 存在 \(i \in I\) 以及 étale 覆盖 \(\mathcal{V}_i = \{V_{ij} \to Y_i\}_{j \in J}\)，使得 \(\mathcal{V} \cong \mathcal{V}_i \times_{Y_i} Y\)。

4. 证明 (2) 和 (3) 蕴含 \[\check H^*(\mathcal{V}, \mathcal{G})= \colim_{i\in I} \check H^*(\mathcal{V}_i, \mathcal{G}_i).\]

5. 巧妙地使用从 Čech 到上同调的谱序列（定理 03OW）。

引理

设 \(f: X\to Y\) 是概形态射，并且 \(\mathcal{F}\in \textit{Ab}(X_\etale)\)。则 \(R^pf_*\mathcal{F}\) 是下列预层所联系的层： \[(V \to Y) \longmapsto H_\etale^p(X \times_Y V, \mathcal{F}|_{X \times_Y V}).\] 更一般地，对 \(K \in D(X_\etale)\)，\(R^pf_*K\) 是下列预层所联系的层： \[(V \to Y) \longmapsto H_\etale^p(X \times_Y V, K|_{X \times_Y V}).\]

证明

这个引理对拓扑空间也成立，并且该情形的证明相同。层的情形见 Cohomology on Sites， 引理 072W；Abel 层复形的情形见 Cohomology on Sites，引理 0BKV。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(X = \lim_{i \in I} X_i\) 是 \(S\) 上概形定向系统的极限， 其转移态射 \(f_{i'i} : X_{i'} \to X_i\) 仿射。假设结构态射 \(g_i : X_i \to S\) 与 \(g : X \to S\) 拟紧且拟分离。设 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{i'i})\) 是 \((X_i, f_{i'i})\) 上的 Abel 层系统。 以 \(f_i : X \to X_i\) 表示投影，并置 \(\mathcal{F} = \colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i\)。则 \[\colim_{i\in I} R^p g_{i, *} \mathcal{F}_i = R^p g_* \mathcal{F}\] 对所有 \(p \geq 0\) 成立。

证明

回忆（引理 03Q8），\(R^p g_{i, *} \mathcal{F}_i\) 是预层 \(U \mapsto H^p_\etale(U \times_S X_i, \mathcal{F}_i)\) 所联系的层； \(R^pg_*\mathcal{F}\) 也类似。此外，层系统的余极限是预层层次上余极限的层化。 注意，\(S_\etale\) 的每个对象都有由拟紧拟分离对象（例如仿射概形）组成的覆盖。 此外，若 \(U\) 是拟紧拟分离对象，则有 \[\colim H^p_\etale(U \times_S X_i, \mathcal{F}_i) = H^p_\etale(U \times_S X, \mathcal{F})\] ；这由定理 09YQ 得到。因此引理成立。

引理

设 \(I\) 是定向集。设 \(g_i : X_i \to S_i\) 是以 \(I\) 为指标的概形态射逆系统。 假设 \(g_i\) 拟紧且拟分离，并且对 \(i' \geq i\)，转移态射 \(f_{i'i} : X_{i'} \to X_i\) 与 \(h_{i'i} : S_{i'} \to S_i\) 仿射。设 \(g : X \to S\) 是态射 \(g_i\) 的极限；见 Limits，第 01YV 节。 以 \(f_i : X \to X_i\) 和 \(h_i : S \to S_i\) 表示投影。设 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{i'i})\) 是 \((X_i, f_{i'i})\) 上的层系统。置 \(\mathcal{F} = \colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i\)。则 \[R^p g_* \mathcal{F} = \colim_{i \in I} h_i^{-1}R^p g_{i, *} \mathcal{F}_i\] 对所有 \(p \geq 0\) 成立。

证明

引理中的映射如何构造？对 \(i' \geq i\)，有交换图 \[\xymatrix{ X \ar[r]_{f_{i'}} \ar[d]_g & X_{i'} \ar[r]_{f_{i'i}} \ar[d]_{g_{i'}} & X_i \ar[d]^{g_i} \\ S \ar[r]^{h_{i'}} & S_{i'} \ar[r]^{h_{i'i}} & S_i }\] 把基变换映射 \(h_{i'i}^{-1}Rg_{i, *}\mathcal{F}_i \to Rg_{i', *}f_{i'i}^{-1}\mathcal{F}_i\) （Cohomology on Sites，引理 0736 或 注 07A7） 与映射 \(Rg_{i', *}\varphi_{i'i}\) 合并，得到 \(\psi_{i'i} : h_{i' i}^{-1} R^p g_{i, *} \mathcal{F}_i \to R^pg_{i', *} \mathcal{F}_{i'}\)。类似地，利用图中的左方块，得到映射 \(\psi_i : h_i^{-1}R^pg_{i, *}\mathcal{F}_i \to R^pg_*\mathcal{F}\). 映射 \(h_{i'}^{-1}\psi_{i'i}\) 与 \(\psi_i\) 就是引理陈述中使用的映射。为使其有意义， 必须验证 \(\psi_{i''i} = \psi_{i''i'} \circ h_{i''i'}^{-1}\psi_{i'i}\) 且 \(\psi_{i'} \circ h_{i'}^{-1}\psi_{i'i} = \psi_i\)；这由 Cohomology on Sites，注 0E47 得到。

证明该等式。第一种证明使用维数移动⁴。 对任意 \(U\)（它在 \(X\) 上仿射且 étale），由定理 09YQ 有 \[g_*\mathcal{F}(U) = H^0(U \times_S X, \mathcal{F}) = \colim H^0(U_i \times_{S_i} X_i, \mathcal{F}_i) = \colim g_{i, *}\mathcal{F}_i(U_i)\] ，其中余极限取遍充分大的 \(i\)，从而存在某个 \(i\) 和某个 \(U_i\) （它在 \(S_i\) 上仿射且 étale），其基变换为 \(U\)（在 \(S\) 上；见引理 0EYL）。 由 Sites，引理 09YN，右边等于 \((\colim h_i^{-1}g_{i, *}\mathcal{F}_i)(U)\)。这证明了 \(p = 0\) 时的引理。 若 \((\mathcal{G}_i, \varphi_{i'i})\) 是满足 \(\mathcal{G} = \colim f_i^{-1}\mathcal{G}_i\) 的系统，使得 \(\mathcal{G}_i\) 是 \(X_i\) 上的内射 Abel 层（对所有 \(i\)），则对任意 \(U\)（它在 \(X\) 上仿射且 étale），由定理 09YQ 有 \[H^p(U \times_S X, \mathcal{G}) = \colim H^p(U_i \times_{S_i} X_i, \mathcal{G}_i) = 0\] ，对 \(p > 0\) 成立（余极限与前相同）。因此 \(R^pg_*\mathcal{G} = 0\)， 并且对这样的系统得到 \(p > 0\) 时的结论。一般而言，可以选取系统的短正合序列 \[0 \to (\mathcal{F}_i, \varphi_{i'i}) \to (\mathcal{G}_i, \varphi_{i'i}) \to (\mathcal{Q}_i, \varphi_{i'i}) \to 0\] ，其中 \((\mathcal{G}_i, \varphi_{i'i})\) 如上；见 Cohomology on Sites，引理 0EXZ。由归纳，引理对 \(p - 1\) 成立； 由上文，对 \(p\) 和 \((\mathcal{G}_i, \varphi_{i'i})\) 有消失。因此，上同调长正合序列 给出 \(p\) 和 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{i'i})\) 的结论。

第二种证明。回忆，\(S_{affine, \etale} = \colim (S_i)_{affine, \etale}\)；见引理 0EYL。因此，若 \(U\) 是 \(S_{affine, \etale}\) 的对象， 则可写成 \(U = U_i \times_{S_i} S\)，其中有某个 \(i\) 以及某个 \(U_i\) （它属于 \((S_i)_{affine, \etale}\)），并且 \[(\colim_{i \in I} h_i^{-1}R^p g_{i, *} \mathcal{F}_i)(U) = \colim_{i' \geq i} (R^p g_{i', *}\mathcal{F}_{i'})(U_i \times_{S_i} S_{i'})\] ；这由 Sites，引理 09YN 以及上面所述系统中转移映射的构造得到。 由于 \(R^pg_{i', *}\mathcal{F}_{i'}\) 是预层 \(U_{i'} \mapsto H^p(U_{i'} \times_{S_{i'}} X_{i'}, \mathcal{F}_{i'})\) 所联系的层， 而 \(R^pg_*\mathcal{F}\) 是预层 \(U \mapsto H^p(U \times_S X, \mathcal{F})\) 所联系的层（引理 03Q8），得到典范交换图 \[\xymatrix{ \colim_{i' \geq i} H^p(U_i \times_{S_i} X_{i'}, \mathcal{F}_{i'}) \ar[r] \ar[d] & \colim_{i' \geq i} (R^p g_{i', *}\mathcal{F}_{i'})(U_i \times_{S_i} S_{i'}) \ar[d] \\ H^p(U \times_S X, \mathcal{F}) \ar[r] & R^pg_*\mathcal{F}(U) }\] 注意，由定理 09YQ，左侧竖直箭头是同构。我们要证明右侧竖直箭头 是同构。不过，已经知道该箭头的源和靶都是 \(S_{affine, \etale}\) 上的层。因此，只需 证明：(1) 靶中的元素局部来自源中的元素；(2) 源中映到靶中零的元素局部消失。 (1) 立即由上文和下方水平箭头来自预层映射这一事实得到；该预层映射在层化后成为同构。 对于 (2)，设 \(\xi \in \colim_{i' \geq i} (R^p g_{i', *}\mathcal{F}_{i'})(U_i \times_{S_i} S_{i'})\) 属于核。选取 \(i' \geq i\) 以及元素 \(\xi_{i'} \in (R^p g_{i', *}\mathcal{F}_{i'})(U_i \times_{S_i} S_{i'})\)， 它表示 \(\xi\)。 选取标准 étale 覆盖 \(\{U_{i', k} \to U_i \times_{S_i} S_{i'}\}_{k = 1, \ldots, m}\)， 使得 \(\xi_{i'}|_{U_{i', k}}\) 来自 \(\xi_{i', k} \in H^p(U_{i', k} \times_{S_{i'}} X_{i'}, \mathcal{F}_{i'})\)。 由于只需证明 \(\xi\) 局部消失，可以替换 \(U\)，使用 étale 覆盖 \(\{U_{i', k} \times_{S_{i'}} S \to U = U_i \times_{S_i} S\}\) 的成员。 替换后，可见 \(\xi\) 是某个元素 \(\xi'\) 的像；该元素属于上图中的群 \(\colim_{i' \geq i} H^p(U_i \times_{S_i} X_{i'}, \mathcal{F}_{i'})\)。 由于 \(\xi'\) 在 \(R^pg_*\mathcal{F}(U)\) 中映到零，可以再作一次替换， 并假设 \(\xi'\) 在 \(H^p(U \times_S X, \mathcal{F})\) 中映到零。不过，由于左侧竖直箭头 是同构，于是得到 \(\xi' = 0\)，从而如愿有 \(\xi = 0\)。

引理

设 \(X = \lim_{i \in I} X_i\) 是具有仿射转移态射 \(f_{i'i}\) 和投影态射 \(f_i : X \to X_i\) 的概形定向极限。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X_\etale\) 上的层。则

1. 存在典范映射 \(\varphi_{i'i} : f_{i'i}^{-1}f_{i, *}\mathcal{F} \to f_{i', *}\mathcal{F}\) ，使得 \((f_{i, *}\mathcal{F}, \varphi_{i'i})\) 是定义 0EZL 意义下 \((X_i, f_{i'i})\) 上的层系统；

2. \(\mathcal{F} = \colim f_i^{-1}f_{i, *}\mathcal{F}\).

证明

通过 Topologies，引理 04HR 和引理 0EYL，这是 Sites，引理 0EXJ 的特殊情形。

引理

设 \(I\) 是定向集。设 \(g_i : X_i \to S_i\) 是以 \(I\) 为指标的概形态射逆系统。 假设 \(g_i\) 拟紧且拟分离，并且对 \(i' \geq i\)，转移态射 \(X_{i'} \to X_i\) 和 \(S_{i'} \to S_i\) 仿射。设 \(g : X \to S\) 是态射 \(g_i\) 的极限； 见 Limits，第 01YV 节。以 \(f_i : X \to X_i\) 和 \(h_i : S \to S_i\) 表示投影。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的 Abel 层。则有 \[R^pg_*\mathcal{F} = \colim_{i \in I} h_i^{-1}R^pg_{i, *}(f_{i, *}\mathcal{F})\]

证明

这是引理 0EYM 和 0EYN 的形式组合。

余极限与复形

本节讨论如何在各种情形下对复形系统取上同调，继续第 03Q4 节中关于层的讨论。 除非绝对必要，我们强烈建议读者不要阅读本节。

引理

设 \(X = \lim_{i \in I} X_i\) 是概形定向系统的极限，其仿射转移态射为 \(f_{i'i} : X_{i'} \to X_i\)。假设概形 \(X_i\) 对所有 \(i \in I\) 均拟紧且拟分离。设 \(\mathcal{F}_i^\bullet\) 是 \(X_{i, \etale}\) 上的 Abel 层复形。设 \(\varphi_{i'i} : f_{i'i}^{-1}\mathcal{F}_i^\bullet \to \mathcal{F}_{i'}^\bullet\) 是 \(X_{i, \etale}\) 上的复形映射， 并且等式 \(\varphi_{i''i} = \varphi_{i''i'} \circ f_{i'' i'}^{-1}\varphi_{i'i}\) 在每当 \(i'' \geq i' \geq i\) 时成立。假设存在整数 \(a\)，使得 \(\mathcal{F}_i^n = 0\) 对 \(n < a\) 以及所有 \(i \in I\) 成立。则 \[H^p_\etale(X, \colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i^\bullet) = \colim H^p_\etale(X_i, \mathcal{F}^\bullet_i)\] ，其中 \(f_i : X \to X_i\) 是投影。

证明

这是定理 09YQ 的推论。置 \(\mathcal{F}^\bullet = \colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i^\bullet\)。 该定理告诉我们 \[\colim_{i \in I} H_\etale^p(X_i, \mathcal{F}_i^n) = H_\etale^p(X, \mathcal{F}^n)\] 对所有 \(n, p \in \mathbf{Z}\) 成立。使用谱序列 \[E_{1, i}^{s, t} = H_\etale^t(X_i, \mathcal{F}_i^s) \Rightarrow H_\etale^{s + t}(X_i, \mathcal{F}_i^\bullet)\] 以及 \[E_1^{s, t} = H_\etale^t(X, \mathcal{F}^s) \Rightarrow H_\etale^{s + t}(X, \mathcal{F}^\bullet)\] ；见 Derived Categories，引理 015J。 由于 \(\mathcal{F}_i^n = 0\) 对 \(n < a\) 成立（其中 \(a\) 与 \(i\) 无关）， 可见只有固定的有限多个项 \(E_{1, i}^{s, t}\)（与 \(i\) 无关）和 \(E_1^{s, t}\) 对 \(H^q_\etale(X_i, \mathcal{F}_i^\bullet)\) 与 \(H^q_\etale(X, \mathcal{F}^\bullet)\) 有贡献，并且 \(E_1^{s, t} = \colim E_{i, i}^{s, t}\)。 这就给出了所需结论；略去一些细节。 （也可使用复形的“笨截断”给出另一论证，从而避免使用谱序列。）

引理

设 \(X\) 是拟紧且拟分离概形。设 \(K_i \in D(X_\etale)\)，\(i \in I\)，是一族对象。 假设给定 \(a \in \mathbf{Z}\)，使得 \(H^n(K_i) = 0\) 对 \(n < a\) 和 \(i \in I\) 成立。则 \(R\Gamma(X, \bigoplus_i K_i) = \bigoplus_i R\Gamma(X, K_i)\)。

证明

必须证明 \(H^p(X, \bigoplus_i K_i) = \bigoplus_i H^p(X, K_i)\) 对所有 \(p \in \mathbf{Z}\) 成立。 选取复形 \(\mathcal{F}_i^\bullet\) 来表示 \(K_i\)，使得 \(\mathcal{F}_i^n = 0\) 对 \(n < a\) 成立。 由 Injectives，引理 07D9， 复形 \(\mathcal{F}_i^\bullet\) 的直和表示对象 \(\bigoplus K_i\)。 由于 \(\bigoplus \mathcal{F}^\bullet\) 是有限直和的滤过余极限， 结论由引理 0EZM 得到。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(X = \lim_{i \in I} X_i\) 是 \(S\) 上概形定向系统的极限， 其仿射转移态射为 \(f_{i'i} : X_{i'} \to X_i\)。假设概形 \(X_i\) 对所有 \(i \in I\) 均拟紧且拟分离。设 \(K \in D^+(S_\etale)\)。则 \[\colim_{i \in I} H_\etale^p(X_i, K|_{X_i}) = H_\etale^p(X, K|_X).\] 对所有 \(p \in \mathbf{Z}\) 成立，其中 \(K|_{X_i}\) 与 \(K|_X\) 分别是 \(K\) 到 \(X_i\) 与 \(X\) 的拉回。

证明

可以将 \(K\) 表示为向下有界复形 \(\mathcal{G}^\bullet\)； 该复形由 \(S_\etale\) 上的 Abel 层组成。设 \(\mathcal{G}^n = 0\) 对 \(n < a\) 成立。分别以 \(\mathcal{F}^\bullet_i\) 和 \(\mathcal{F}^\bullet\) 表示这个复形到 \(X_i\) 和 \(X\) 的拉回。 这些复形分别表示对象 \(K|_{X_i}\) 和 \(K|_X\)，而且逐项有 \(\mathcal{F}^\bullet = \colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i^\bullet\)。 因此，引理由引理 0EZM 得到。

引理

令 \(I\)、\(g_i : X_i \to S_i\)、\(g : X \to S\)、\(f_i\)、\(g_i\)、\(h_i\) 如引理 0EYM 中所述。 设 \(0 \in I\) 且 \(K_0 \in D^+(X_{0, \etale})\)。 对 \(i \geq 0\)，以 \(K_i\) 表示 \(K_0\) 到 \(X_i\) 的拉回； 以 \(K\) 表示 \(K_0\) 到 \(X\) 的拉回。则 \[R^pg_*K = \colim_{i \geq 0} h_i^{-1}R^pg_{i, *}K_i\] 对所有 \(p \in \mathbf{Z}\) 成立。

证明

固定整数 \(p_0 \in \mathbf{Z}\)。 设 \(a\) 是整数，使得 \(H^j(K_0) = 0\) 对 \(j < a\) 成立。 我们将证明该公式对所有 \(p \leq p_0\) 成立，并对 \(a\) 作下降归纳。 若 \(a > p_0\)，则由平凡消失可见，对 \(p \leq p_0\)，公式两边均为零； 见 Derived Categories，引理 05TC。 假设 \(a \leq p_0\)。考虑可区别三角 \[H^a(K_0)[-a] \to K_0 \to \tau_{\geq a + 1}K_0\] 将这个可区别三角拉回到 \(X_i\) 和 \(X\)，得到关于 \(K_i\) 和 \(K\) 的相容可区别三角。对 \(p \leq p_0\)，考虑交换图 \[\xymatrix{ \colim_{i \geq 0} h_i^{-1}R^{p - 1}g_{i, *}(\tau_{\geq a + 1}K_i) \ar[r]_-\alpha \ar[d] & R^{p - 1}g_*(\tau_{\geq a + 1}K) \ar[d] \\ \colim_{i \geq 0} h_i^{-1}R^pg_{i, *}(H^a(K_i)[-a]) \ar[r]_-\beta \ar[d] & R^pg_*(H^a(K)[-a]) \ar[d] \\ \colim_{i \geq 0} h_i^{-1}R^pg_{i, *}K_i \ar[r]_-\gamma \ar[d] & R^pg_*K \ar[d] \\ \colim_{i \geq 0} R^pg_{i, *}\tau_{\geq a + 1}K_i \ar[r]_-\delta \ar[d] & R^pg_*\tau_{\geq a + 1}K \ar[d] \\ \colim_{i \geq 0} R^{p + 1}g_{i, *}(H^a(K_i)[-a]) \ar[r]^-\epsilon & R^{p + 1}g_*(H^a(K)[-a]) }\] ，其各列正合。由引理 0EYM， 箭头 \(\beta\) 和 \(\epsilon\) 是同构。 由归纳假设，箭头 \(\alpha\) 和 \(\delta\) 是同构。 因此 \(\gamma\) 是同构，正合所求。

引理

令 \(I\)、\(g_i : X_i \to S_i\)、\(g : X \to S\)、\(f_{ii'}\)、\(f_i\)、\(g_i\)、\(h_i\) 如引理 0EYM 中所述。 设 \(\mathcal{F}_i^\bullet\) 是 \(X_{i, \etale}\) 上的 Abel 层复形。 设 \(\varphi_{i'i} : f_{i'i}^{-1}\mathcal{F}_i^\bullet \to \mathcal{F}_{i'}^\bullet\) 是 \(X_{i, \etale}\) 上的复形映射， 并且等式 \(\varphi_{i''i} = \varphi_{i''i'} \circ f_{i'' i'}^{-1}\varphi_{i'i}\) 在每当 \(i'' \geq i' \geq i\) 时成立。假设存在整数 \(a\)，使得 \(\mathcal{F}_i^n = 0\) 对 \(n < a\) 以及所有 \(i \in I\) 成立。则 \[R^pg_*(\colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i^\bullet) = \colim_{i \geq 0} h_i^{-1}R^pg_{i, *}\mathcal{F}_i^\bullet\] 对所有 \(p \in \mathbf{Z}\) 成立。

证明

这是引理 0EYM 的推论。置 \(\mathcal{F}^\bullet = \colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i^\bullet\)。 该引理告诉我们 \[\colim_{i \in I} h_i^{-1}R^pg_{i, *}\mathcal{F}_i^n = R^pg_*\mathcal{F}^n\] 对所有 \(n, p \in \mathbf{Z}\) 成立。使用谱序列 \[E_{1, i}^{s, t} = R^tg_{i, *}\mathcal{F}_i^s \Rightarrow R^{s + t}g_{i, *}\mathcal{F}_i^\bullet\] 以及 \[E_1^{s, t} = R^tg_*\mathcal{F}^s \Rightarrow R^{s + t}g_*\mathcal{F}^\bullet\] ；见 Derived Categories，引理 015J。 由于 \(\mathcal{F}_i^n = 0\) 对 \(n < a\) 成立（其中 \(a\) 与 \(i\) 无关）， 可见只有固定的有限多个项 \(E_{1, i}^{s, t}\)（与 \(i\) 无关）和 \(E_1^{s, t}\) 有贡献，并且 \(E_1^{s, t} = \colim E_{i, i}^{s, t}\)。 这就给出了所需结论；略去一些细节。 （也可使用复形的“笨截断”给出另一论证，从而避免使用谱序列。）

引理

设 \(f : X \to Y\) 是拟紧且拟分离的概形态射。设 \(K_i \in D(X_\etale)\)，\(i \in I\)，是一族对象。 假设给定 \(a \in \mathbf{Z}\)，使得 \(H^n(K_i) = 0\) 对 \(n < a\) 和 \(i \in I\) 成立。则 \(Rf_*(\bigoplus_i K_i) = \bigoplus_i Rf_*K_i\)。

证明

必须证明 \(R^pf_*(\bigoplus_i K_i) = \bigoplus_i R^pf_*K_i\) 对所有 \(p \in \mathbf{Z}\) 成立。 选取复形 \(\mathcal{F}_i^\bullet\) 来表示 \(K_i\)，使得 \(\mathcal{F}_i^n = 0\) 对 \(n < a\) 成立。 由 Injectives，引理 07D9， 复形 \(\mathcal{F}_i^\bullet\) 的直和表示对象 \(\bigoplus K_i\)。 由于 \(\bigoplus \mathcal{F}^\bullet\) 是有限直和的滤过余极限， 结论由引理 0GIV 得到。

高阶直接像的茎

高阶直接像的茎常可按如下方式计算。

定理

设 \(f: X \to S\) 是拟紧且拟分离的概形态射， \(\mathcal{F}\) 是 \(X_\etale\) 上的 Abel 层，并且 \(\overline{s}\) 是 \(S\) 的一个位于 \(s \in S\) 上方的几何点。则 \[\left(R^nf_* \mathcal{F}\right)_{\overline{s}} = H_\etale^n( X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}), p^{-1}\mathcal{F})\] ，其中 \(p : X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}) \to X\) 是投影。对 \(K \in D^+(X_\etale)\) 和 \(n \in \mathbf{Z}\)，有 \[\left(R^nf_*K\right)_{\overline{s}} = H_\etale^n(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}), p^{-1}K)\] 事实上，有 \[\left(Rf_*K\right)_{\overline{s}} = R\Gamma_\etale(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}), p^{-1}K)\] 作为 \(D^+(\textit{Ab})\) 中的等式。

证明

设 \(\mathcal{I}\) 是 \(\overline{s}\) 在 \(S\) 上的 étale 邻域所成的范畴。 由引理 03Q8，有 \[(R^nf_*\mathcal{F})_{\overline{s}} = \colim_{(V, \overline{v}) \in \mathcal{I}^{opp}} H_\etale^n(X \times_S V, \mathcal{F}|_{X \times_S V}).\] 可以将 \(\mathcal{I}\) 替换为由 \(\overline{s}\) 的仿射 étale 邻域 组成的始子范畴。注意 \[\Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}) = \lim_{(V, \overline{v}) \in \mathcal{I}} V\] ；这是引理 04HX 以及 Limits，引理 01YW 的结论。由于纤维积与极限交换，还得到 \[X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}) = \lim_{(V, \overline{v}) \in \mathcal{I}} X \times_S V\] 结论由引理 03Q6 得到。 对于第二种形式，使用相同论证，但以引理 0GIT 代替引理 03Q6。

为证明最后一个陈述，只需构造映射 \(\left(Rf_*K\right)_{\overline{s}} \to R\Gamma_\etale(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}), p^{-1}K)\)， 它属于 \(D^+(\textit{Ab})\)，并在上述每个次数 \(n\) 的上同调群上实现同构（对所有 \(n\)）。 为此，选取向下有界复形 \(\mathcal{J}^\bullet\)，它由 \(X_\etale\) 上的内射 Abel 层组成，并用它表示 \(K\)。复形 \(f_*\mathcal{J}^\bullet\) 表示 \(Rf_*K\)。因此，复形 \[(f_*\mathcal{J}^\bullet)_{\overline{s}} = \colim_{(V, \overline{v}) \in \mathcal{I}^{opp}} (f_*\mathcal{J}^\bullet)(V)\] 表示 \((Rf_*K)_{\overline{s}}\)。对每个 \(V\)，有映射 \[(f_*\mathcal{J}^\bullet)(V) = \Gamma(X \times_S V, \mathcal{J}^\bullet) \longrightarrow \Gamma(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}), p^{-1}\mathcal{J}^\bullet)\] ，而靶复形表示 \(R\Gamma_\etale(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}), p^{-1}K)\)， 这是 \(D^+(\textit{Ab})\) 中的对象。 对这些映射取余极限，即得结论。

注

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。 设 \(K \in D(X_\etale)\)。 设 \(\overline{s}\) 是 \(S\) 的几何点。 总有典范映射 \[(Rf_*K)_{\overline{s}} \longrightarrow R\Gamma(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}), p^{-1}K) \longrightarrow R\Gamma(X_{\overline{s}}, K|_{X_{\overline{s}}})\] ，其中 \(p : X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}) \to X\) 是投影。具体而言，考虑交换图 \[\xymatrix{ X_{\overline{s}} \ar[r] \ar[d]^{f_{\overline{s}}} & X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}) \ar[r]_-p \ar[d]^{f'} & X \ar[d]^f \\ \overline{s} \ar[r]^-i & \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}) \ar[r]^-j & S }\] 对于该图中的两个方块，有基变换映射 \[i^{-1}Rf'_*(p^{-1}K) \to Rf_{\overline{s}, *}(K|_{X_{\overline{s}}}) \quad\text{且}\quad j^{-1}Rf_*K \to Rf'_*(p^{-1}K)\] （Cohomology on Sites，注 07A7）。 取整体截面，即得所需映射。 由 Cohomology on Sites，注 0E47， 这两个映射的复合就是通常的（基变换）映射 \((Rf_*K)_{\overline{s}} \to R\Gamma(X_{\overline{s}}, K|_{X_{\overline{s}}})\)。

Leray 谱序列

引理

设 \(f: X \to Y\) 是态射，而 \(\mathcal{I}\) 是 \(\textit{Ab}(X_\etale)\) 的内射对象。设 \(V \in \Ob(Y_\etale)\)。则

1. 对任意覆盖 \(\mathcal{V} = \{V_j\to V\}_{j \in J}\)，有 \(\check H^p(\mathcal{V}, f_*\mathcal{I}) = 0\) 对所有 \(p > 0\) 成立；

2. \(f_*\mathcal{I}\) 关于函子 \(\Gamma(V, -)\) 是无环的；并且

3. 若 \(g : Y \to Z\)，则 \(f_*\mathcal{I}\) 关于 \(g_*\) 是无环的。

证明

注意 \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, f_*\mathcal{I}) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V} \times_Y X, \mathcal{I})\)， 由引理 03OR，它的高阶上同调群消失。 这证明了 (1)。第二个陈述如下得到：若一个层对任意覆盖的高阶 Čech 上同调群均消失，则它的高阶上同调群也消失。 用 Čech 到上同调的谱序列证明这一点是一道很精彩的练习； 细节以及更精确、更一般的陈述见 Cohomology on Sites，引理 03F9。 (3) 是 (2) 以及引理 03Q8 中 \(R^pg_*\) 的描述的推论。

应用 Grothendieck 谱序列的形式体系，得到如下结论。

命题

设 \(f: X \to Y\) 是概形态射，而 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的 étale 层。 则存在谱序列 \[E_2^{p, q} = H_\etale^p(Y, R^qf_*\mathcal{F}) \Rightarrow H_\etale^{p+q}(X, \mathcal{F}).\]

证明

见引理 03QB 以及 Derived Categories，第 015L 节。

有限态射高阶直接像的消失

下一个目标是证明，概形有限态射的高阶直接像消失。

引理

设 \(R\) 是严格 Hensel 局部环。置 \(S = \Spec(R)\)，并设 \(\overline{s}\) 是它的闭点。则整体截面函子 \(\Gamma(S, -) : \textit{Ab}(S_\etale) \to \textit{Ab}\) 是正合的。事实上，有 \(\Gamma(S, \mathcal{F}) = \mathcal{F}_{\overline{s}}\)， 对任意集合层 \(\mathcal{F}\) 成立。特别地， \[\forall p\geq 1, \quad H_\etale^p(S, \mathcal{F})=0\] 对所有 \(\mathcal{F}\in \textit{Ab}(S_\etale)\) 成立。

证明

若证明了 \(\Gamma(S, \mathcal{F}) = \mathcal{F}_{\overline{s}}\)， 则由于茎函子正合，\(\Gamma(S, -)\) 也正合。 设 \((U, \overline{u})\) 是 \(\overline{s}\) 的一个 étale 邻域。 选取仿射开邻域 \(\Spec(A)\)；它是 \(\overline{u}\) 在 \(U\) 中的邻域。 于是 \(R \to A\) 是 étale 的，并且 \(\kappa(\overline{s}) = \kappa(\overline{u})\)。 由定理 03QH，可见存在同构 \(A \cong R \times A'\)；它是 \(R\)-代数同构，并与到 \(\kappa(\overline{s}) = \kappa(\overline{u})\) 的映射相容。因此得到截面 \[\xymatrix{ \Spec(A) \ar[r] & U \ar[d]\\ & S \ar[ul] }\] 于是，在 \(\overline{s}\) 的 étale 邻域系统中，恒等映射 \((S, \overline{s}) \to (S, \overline{s})\) 是余终的。 因此 \(\Gamma(S, \mathcal{F}) = \mathcal{F}_{\overline{s}}\)。 引理的最后一个陈述是因为正合函子的高阶导出函子为零；见 Derived Categories，引理 015F。

命题

设 \(f : X \to Y\) 是概形的有限态射。

1. 对任意几何点 \(\overline{y} : \Spec(k) \to Y\)，有 \[(f_*\mathcal{F})_{\overline{y}} = \prod\nolimits_{\overline{x} : \Spec(k) \to X,\ f(\overline{x}) = \overline{y}} \mathcal{F}_{\overline{x}}.\] 对 \(\mathcal{F}\) 属于 \(\Sh(X_\etale)\) 的情形成立，并且 \[(f_*\mathcal{F})_{\overline{y}} = \bigoplus\nolimits_{\overline{x} : \Spec(k) \to X,\ f(\overline{x}) = \overline{y}} \mathcal{F}_{\overline{x}}.\] 对 \(\mathcal{F}\) 属于 \(\textit{Ab}(X_\etale)\) 的情形成立。

2. 对任意 \(q \geq 1\)，有 \(R^q f_*\mathcal{F} = 0\)， 其中 \(\mathcal{F}\) 属于 \(\textit{Ab}(X_\etale)\)。

证明

以 \(X_{\overline{y}}^{sh}\) 表示纤维积 \(X \times_Y \Spec(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}^{sh})\)。 由定理 03Q9， \(R^qf_*\mathcal{F}\) 在 \(\overline{y}\) 处的茎由 \(H_\etale^q(X_{\overline{y}}^{sh}, \mathcal{F})\) 计算。 由于 \(f\) 有限，\(X_{\bar y}^{sh}\) 在 \(\Spec(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}^{sh})\) 上有限，因而有 \(X_{\bar y}^{sh} = \Spec(A)\)，其中某个环 \(A\) 在 \(\mathcal{O}_{Y, \bar y}^{sh}\) 上有限。 由于后一个环严格 Hensel，引理 03QJ 说明 \(A\) 是 Hensel 局部环的有限乘积 \(A = A_1 \times \ldots \times A_r\)。由于 \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}^{sh}\) 的剩余域可分闭，每个 \(A_i\) 也具有该性质。因此 \(A_i\) 严格 Hensel。 这说明 \(X_{\overline{y}}^{sh} = \coprod_{i = 1}^r \Spec(A_i)\)。 引理 03QO 中的消失给出 \((R^qf_*\mathcal{F})_{\overline{y}} = 0\) 对 \(q > 0\) 成立，再由定理 03PU 得到 (2)。 (1) 由引理 03QO 中的相应陈述得到。

引理

考虑笛卡尔方块 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] ，其中 \(f\) 是有限态射。 对任意集合层 \(\mathcal{F}\)（定义在 \(X_\etale\) 上），有 \(f'_*(g')^{-1}\mathcal{F} = g^{-1}f_*\mathcal{F}\)。

证明

在极大的一般性下，存在拉回映射 \(g^{-1}f_*\mathcal{F} \to f'_*(g')^{-1}\mathcal{F}\)；见 Sites，第 06UM 节。 只需在茎上验证（定理 03PU）。 设 \(\overline{y}' : \Spec(k) \to Y'\) 是几何点。有 \[\begin{align*} (f'_*(g')^{-1}\mathcal{F})_{\overline{y}'} & = \prod\nolimits_{\overline{x}' : \Spec(k) \to X',\ f' \circ \overline{x}' = \overline{y}'} ((g')^{-1}\mathcal{F})_{\overline{x}'} \\ & = \prod\nolimits_{\overline{x}' : \Spec(k) \to X',\ f' \circ \overline{x}' = \overline{y}'} \mathcal{F}_{g' \circ \overline{x}'} \\ & = \prod\nolimits_{\overline{x} : \Spec(k) \to X,\ f \circ \overline{x} = g \circ \overline{y}'} \mathcal{F}_{\overline{x}} \\ & = (f_*\mathcal{F})_{g \circ \overline{y}'} \\ & = (g^{-1}f_*\mathcal{F})_{\overline{y}'} \end{align*}\] 第一个等式由命题 03QP 得到。 第二个等式由引理 03Q1 得到。 第三个等式成立，是因为该图是笛卡尔方块，故映射 \[\{\overline{x}' : \Spec(k) \to X',\ f' \circ \overline{x}' = \overline{y}'\} \longrightarrow \{\overline{x} : \Spec(k) \to X,\ f \circ \overline{x} = g \circ \overline{y}'\}\] 把 \(\overline{x}'\) 映到 \(g' \circ \overline{x}'\)，且是双射。 第四个等式由命题 03QP 得到。 第五个等式由引理 03Q1 得到。

引理

考虑笛卡尔方块 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] ，其中 \(f\) 是整态射。 对任意集合层 \(\mathcal{F}\)（定义在 \(X_\etale\) 上），有 \(f'_*(g')^{-1}\mathcal{F} = g^{-1}f_*\mathcal{F}\)。

证明

问题在 \(Y\) 上是局部的，因而可以假设 \(Y\) 仿射。 于是可写成 \(X = \lim X_i\)，其中 \(f_i : X_i \to Y\) 有限 （在仿射情形这很容易，不过可参见 Limits，引理 09YZ）。 以 \(p_{i'i} : X_{i'} \to X_i\) 表示转移态射，并以 \(p_i : X \to X_i\) 表示投影。置 \(\mathcal{F}_i = p_{i, *}\mathcal{F}\)，则由引理 0EYN 得到系统 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{i'i})\)，它满足 \(\mathcal{F} = \colim p_i^{-1}\mathcal{F}_i\)。 由引理 09Z1 得到 \(f_*\mathcal{F} = \colim f_{i, *}\mathcal{F}_i\)。 置 \(X'_i = Y' \times_Y X_i\)，其投影为 \(f'_i\) 与 \(g'_i\)。 由于极限与极限交换，有 \(X' = \lim X'_i\)。 以 \(p'_i : X' \to X'_i\) 表示投影。有 \[\begin{align*} g^{-1}f_*\mathcal{F} & = g^{-1} \colim f_{i, *}\mathcal{F}_i \\ & = \colim g^{-1}f_{i, *}\mathcal{F}_i \\ & = \colim f'_{i, *}(g'_i)^{-1}\mathcal{F}_i \\ & = f'_*(\colim (p'_i)^{-1}(g'_i)^{-1}\mathcal{F}_i) \\ & = f'_*(\colim (g')^{-1}p_i^{-1}\mathcal{F}_i) \\ & = f'_*(g')^{-1} \colim p_i^{-1}\mathcal{F}_i \\ & = f'_*(g')^{-1}\mathcal{F} \end{align*}\] 正合所求。第一个等式见上文。 第二个等式使用拉回与余极限交换。 第三个等式使用有限情形；见引理 0959。 第四个等式使用引理 09Z1。 第五个等式使用 \(g'_i \circ p'_i = p_i \circ g'\)。 第六个等式使用拉回与余极限交换。 第七个等式使用 \(\mathcal{F} = \colim p_i^{-1}\mathcal{F}_i\)。

下一个引理是处理 étale 层与满有限态射的一种上同调下降。 证明正常基变换定理后，我们将大幅推广这一结果。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形的满有限态射。 置 \(f_n : X_n \to Y\) 为 \((n + 1)\) 重纤维积；该纤维积由 \(X\) 在 \(Y\) 上取得。 对 \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(Y_\etale)\)，置 \(\mathcal{F}_n = f_{n, *}f_n^{-1}\mathcal{F}\)。存在正合序列 \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}_0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \ldots\] 于 \(Y_\etale\) 上。此外，存在谱序列 \[E_1^{p, q} = H^q_\etale(X_p, f_p^{-1}\mathcal{F})\] 收敛到 \(H^{p + q}(Y_\etale, \mathcal{F})\)。 该谱序列关于 \(\mathcal{F}\) 函子性。

证明

若证明了引理的第一个陈述，则得到以 \(E_1^{p, q} = H^q_\etale(Y, \mathcal{F}_p)\) 为首项并收敛到 \(H^{p + q}(Y_\etale, \mathcal{F})\) 的谱序列；见 Derived Categories，引理 015J。 另一方面，由于 \(R^if_{p, *}f_p^{-1}\mathcal{F} = 0\) 对 \(i > 0\) 成立 （命题 03QP），得到 \[H^q_\etale(X_p, f_p^{-1}\mathcal{F}) = H^q_\etale(Y, f_{p, *}f_p^{-1} \mathcal{F}) = H^q_\etale(Y, \mathcal{F}_p)\] ；这是命题 03QC 的结论，从而得到引理中的谱序列。

为证明引理的第一个陈述，注意 \(X_n\) 构成 \(Y\) 上的单纯概形； 见 Simplicial，例 016E。 还要注意，对每个投影 \(d_j : X_{n + 1} \to X_n\)，存在映射 \(d_j^{-1} f_n^{-1}\mathcal{F} \to f_{n + 1}^{-1}\mathcal{F}\)。 这些映射诱导映射 \[\delta_j : \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1}\] ，其中 \(j = 0, \ldots, n + 1\)。我们用这些映射的交错和来定义微分 \(\mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1}\)。 类似地，有典范增广 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}_0\)； 它就是典范映射 \(\mathcal{F} \to f_*f^{-1}\mathcal{F}\)。 要验证这个层序列是正合复形，只需在几何点的茎上验证 （定理 03PU）。 因此，设 \(\overline{y} : \Spec(k) \to Y\) 是几何点。置 \(E = \{\overline{x} : \Spec(k) \to X \mid f(\overline{x}) = \overline{y}\}\)。 于是 \(E\) 是有限非空集合，并且 \[(\mathcal{F}_n)_{\overline{y}} = \bigoplus\nolimits_{e \in E^{n + 1}} \mathcal{F}_{\overline{y}}\] ；这是命题 03QP 和引理 03Q1 的结论。 因此，必须验证：给定 Abel 群 \(M\)，序列 \[0 \to M \to \bigoplus\nolimits_{e \in E} M \to \bigoplus\nolimits_{e \in E^2} M \to \ldots\] 正合。这里第一个映射是对角映射，而映射 \(\bigoplus_{e \in E^{n + 1}} M \to \bigoplus_{e \in E^{n + 2}} M\) 是由 \((n + 2)\) 个投影 \(E^{n + 2} \to E^{n + 1}\) 所诱导映射的交错和。 这可以直接证明，也可将 Simplicial，引理 019P 应用于映射 \(E \to \{*\}\) 得到。

注

在引理 09Z2 的情形中， 若 \(\mathcal{G}\) 是 \(Y_\etale\) 上的集合层，则 \[\Gamma(Y, \mathcal{G}) = \text{等化子}( \xymatrix{ \Gamma(X_0, f_0^{-1}\mathcal{G}) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \Gamma(X_1, f_1^{-1}\mathcal{G}) } )\] 证明完全相同：说明层 \(\mathcal{G}\) 是两个映射 \(f_{0, *}f_0^{-1}\mathcal{G} \to f_{1, *}f_1^{-1}\mathcal{G}\) 的等化子即可。

茎上的 Galois 作用

本节定义如下作用：点 \(s\)（其所在概形为 \(S\)）的剩余域之绝对 Galois 群， 作用于任意位于 \(s\) 上方的几何点处的茎函子。

茎上的 Galois 作用。 设 \(S\) 是概形。 设 \(\overline{s}\) 是 \(S\) 的几何点。 设 \(\sigma \in \text{Aut}(\kappa(\overline{s})/\kappa(s))\)。 如下定义 \(\sigma\) 在茎 \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) 上的作用，其中 \(\mathcal{F}\) 是层： [04JK]\[\begin{equation} \begin{matrix} \mathcal{F}_{\overline{s}} & \longrightarrow & \mathcal{F}_{\overline{s}} \\ (U, \overline{u}, t) & \longmapsto & (U, \overline{u} \circ \Spec(\sigma), t). \end{matrix} \end{equation}\] 这里使用定义 040R 后讨论中以三元组描述茎元素的方法。 这是左作用，因为若 \(\sigma_i \in \text{Aut}(\kappa(\overline{s})/\kappa(s))\)，则 \[\begin{align*} \sigma_1 \cdot (\sigma_2 \cdot (U, \overline{u}, t)) & = \sigma_1 \cdot (U, \overline{u} \circ \Spec(\sigma_2), t) \\ & = (U, \overline{u} \circ \Spec(\sigma_2) \circ \Spec(\sigma_1), t) \\ & = (U, \overline{u} \circ \Spec(\sigma_1 \circ \sigma_2), t) \\ & = (\sigma_1 \circ \sigma_2) \cdot (U, \overline{u}, t) \end{align*}\] 显然，这个作用关于层 \(\mathcal{F}\) 是函子性的。 也可以直接引用注 04FN 来定义这个作用。

定义

设 \(S\) 是概形。 设 \(\overline{s}\) 是位于点 \(s\)（属于 \(S\)）上方的几何点。 以 \(\kappa(s) \subset \kappa(s)^{sep} \subset \kappa(\overline{s})\) 表示 \(\kappa(s)\) 在代数闭域 \(\kappa(\overline{s})\) 中的可分代数闭包。

1. 在此情形，\(\kappa(s)\) 的绝对 Galois 群是 \(\text{Gal}(\kappa(s)^{sep}/\kappa(s))\)。有时记作 \(\text{Gal}_{\kappa(s)}\)。

2. 若几何点 \(\overline{s}\) 所对应的扩张 \(\kappa(s) \subset \kappa(\overline{s})\) 是 \(\kappa(s)\) 的代数闭包， 则称它是代数的。

例

几何点 \(\Spec(\mathbf{C}) \to \Spec(\mathbf{Q})\) 不是代数的。

令 \(\kappa(s) \subset \kappa(s)^{sep} \subset \kappa(\overline{s})\) 如定义中所述。注意，由于 \(\kappa(\overline{s})\) 代数闭，映射 \[\text{Aut}(\kappa(\overline{s})/\kappa(s)) \longrightarrow \text{Gal}(\kappa(s)^{sep}/\kappa(s)) = \text{Gal}_{\kappa(s)}\] 是满射。设 \((U, \overline{u})\) 是 \(\overline{s}\) 的 étale 邻域，并设 \(\overline{u}\) 位于点 \(u\)（属于 \(U\)）上方。 由于 \(U \to S\) 是 étale 的，剩余域扩张 \(\kappa(u)/\kappa(s)\) 有限可分。 由此得到

1. 若 \(\sigma \in \text{Aut}(\kappa(\overline{s})/\kappa(s)^{sep})\)， 则 \(\sigma\) 在 \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) 上的作用平凡。

2. 更精确地， \(\text{Aut}(\kappa(\overline{s})/\kappa(s))\) 的作用决定绝对 Galois 群 \(\text{Gal}_{\kappa(s)}\) 在 \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) 上的作用，并且由后者决定。

3. 给定 \((U, \overline{u}, t)\)，它表示元素 \(\xi\)，而该元素属于 \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\)；群 \(\text{Gal}(\kappa(s)^{sep}/K)\) 的任意元素作用平凡，其中 \(\kappa(s) \subset K \subset \kappa(s)^{sep}\) 是 \(\overline{u}^\sharp : \kappa(u) \to \kappa(\overline{s})\) 的像。

综上，\(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) 成为 \(\text{Gal}_{\kappa(s)}\)-集合（见 Fundamental Groups，定义 04JJ）。 因此，可以把茎函子看作函子 \[\Sh(S_\etale) \longrightarrow \text{Gal}_{\kappa(s)}\textit{-Sets}, \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\] ；此后通常都这样看待茎函子。

定理

设 \(S = \Spec(K)\)，其中 \(K\) 是域。 设 \(\overline{s}\) 是 \(S\) 的几何点。 以 \(G = \text{Gal}_{\kappa(s)}\) 表示绝对 Galois 群。 取茎诱导范畴等价 \[\Sh(S_\etale) \longrightarrow G\textit{-Sets}, \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}.\]

证明

构造这个函子的逆。在 Fundamental Groups，引理 03QR 中已经看到：给定 \(G\)-集合 \(M\)， 存在 étale 态射 \(X \to \Spec(K)\)， 使得 \(\Mor_K(\Spec(K^{sep}), X)\) 同构于 \(M\)，且这是 \(G\)-集合的同构。 考虑层 \(\mathcal{F}\)，它定义在 \(\Spec(K)_\etale\) 上，并由规则 \(U \mapsto \Mor_K(U, X)\) 定义。由于 étale 拓扑是次典范的， 这确实是层。于是可见 \(\mathcal{F}_{\overline{s}} = \Mor_K(\Spec(K^{sep}), X) = M\) 作为 \(G\)-集合成立（略去细节）。这给出了该函子的逆，结论得证。

注

定理 03QT 与 Fundamental Groups，引理 03QR 的结论也可以表述为： \(\Spec(K)_\etale\) 上的每个层都可由概形 \(X\) 表示，且它 在 \(\Spec(K)\) 上是 étale 的。 这并不意味着每个层在 Sites，定义 00WR 的意义下都可表示。 原因是，在构造 \(\Spec(K)_\etale\) 时，我们选取了一个充分大的、在 \(\Spec(K)\) 上 étale 的概形集合，而 \(\Spec(K)_\etale\) 上的层构成真类。

引理

假设与记号同定理 03QT。 存在函子性双射 \[\Gamma(S, \mathcal{F}) = (\mathcal{F}_{\overline{s}})^G\]

证明

可以使用形式论证和定理 03QT 的结果来证明。给定层 \(\mathcal{F}\)，它对应于 \(G\)-集合 \(M = \mathcal{F}_{\overline{s}}\)，有 \[\begin{eqnarray*} \Gamma(S, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\Sh(S_\etale)}(h_{\Spec(K)}, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{G\textit{-Sets}}(\{*\}, M) \\ & = & M^G \end{eqnarray*}\] 这里第一个等同由 Sites，第 00V1 节和 第 00WO 节解释； 第二个由定理 03QT 得到； 第三个显然。还给出一个直接证明⁵。

设 \(t \in \Gamma(S, \mathcal{F})\) 是整体截面。 则三元组 \((S, \overline{s}, t)\) 定义 \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) 的一个元素；它显然在 \(G\) 的作用下不变。 反之，设 \((U, \overline{u}, t)\) 定义 \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) 的一个不变元素。 可以缩小 \(U\)，并假设 \(U = \Spec(L)\)，其中 \(K\) 有一个有限可分域扩张；见命题 03PC。 在这种情形，映射 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}_{\overline{s}}\) 是单射，因为对 étale 邻域的任意态射 \((U', \overline{u}') \to (U, \overline{u})\)，限制映射 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U')\) 是单射；这是因为 \(U' \to U\) 是 \(S_\etale\) 的覆盖。 稍微扩大 \(L\) 后，可以假设 \(K \subset L\) 是有限 Galois 扩张。 此时使用 \[\Spec(L) \times_{\Spec(K)} \Spec(L) = \coprod\nolimits_{\sigma \in \text{Gal}(L/K)} \Spec(L)\] ，其中映射 \(\Spec(L) \to \Spec(L \otimes_K L)\) 来自环映射 \(a \otimes b \mapsto a\sigma(b)\)。因此可见， \((U, \overline{u}, t)\) 在整个 \(G\) 下不变这一条件说明 \(t \in \mathcal{F}(\Spec(L))\) 通过任一投影作限制后， 都映到 \(\mathcal{F}(\Spec(L) \times_{\Spec(K)} \Spec(L))\) 的同一个元素（这里使用了上述单射性；略去细节）。 于是，层 \(\mathcal{F}\) 关于 étale 覆盖 \(\{\Spec(L) \to \Spec(K)\}\) 的层条件发挥作用，得到 \(t\) 来自 \(\mathcal{F}\) 在 \(\Spec(K)\) 上的唯一截面。

注

设 \(S\) 是概形，并设 \(\overline{s} : \Spec(k) \to S\) 是 \(S\) 的几何点。按定义，这意味着 \(k\) 代数闭。 特别地，\(k\) 的绝对 Galois 群平凡。因此，由定理 03QT， \(\Spec(k)_\etale\) 上的层范畴等价于集合范畴。 该等价由取 \(\Spec(k)\) 上的截面给出。 这最终给出了茎函子的另一种定义。具体而言，函子 \[\Sh(S_\etale) \longrightarrow \textit{Sets}, \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\] 同构于函子 \[\Sh(S_\etale) \longrightarrow \Sh(\Spec(k)_\etale) = \textit{Sets}, \quad \mathcal{F} \longmapsto \overline{s}^*\mathcal{F}\] 要严格证明这一点，可以使用引理 03Q1 的 (3)， 其中 \(f = \overline{s}\)。此外，由此，引理 03Q1 的 (3) 的一般情形 也可从拉回的函子性得到。

群上同调

下文若写 \(H^i(G, M)\)，其含义是：\(G\) 是拓扑群， \(M\) 是具有连续 \(G\)-作用的离散 \(G\)-模，而 \(H^i(G, -)\) 是 第 \(i\) 个右导出函子，定义在范畴 \(\text{Mod}_G\) 上； 该范畴由这样的 \(G\)-模组成； 见定义 04JP 和 04JR。这包括抽象群 \(G\) 的情形， 其含义就是把 \(G\) 看成具有离散拓扑的拓扑群。

当模具有非离散拓扑时，将使用记号 \(H^i_{cont}(G, M)\) 表示 [Tate] 中引入的连续上同调群； 见第 0DVG 节。

定义

设 \(G\) 是拓扑群。

1. \(G\)-模（有时称为离散 \(G\)-模）是 Abel 群 \(M\)，它带有由群同态给出的左作用 \(a : G \times M \to M\)， 并且 \(a\) 连续（此时给 \(M\) 配备离散拓扑）。

2. \(G\)-模的态射 \(f : M \to N\) 是 \(G\)-等变同态，其源为 \(M\)、靶为 \(N\)。

3. \(G\)-模的范畴记作 \(\text{Mod}_G\)。

设 \(R\) 是环。

1. \(R\text{-}G\)-模是 \(R\)-模 \(M\)，它带有左作用 \(a : G \times M \to M\)，该作用由 \(R\)-线性映射给出；并且 \(a\) 连续（此时给 \(M\) 配备离散拓扑）。

2. \(R\text{-}G\)-模的态射 \(f : M \to N\) 是 \(G\)-等变 \(R\)-模映射，其源为 \(M\)、靶为 \(N\)。

3. \(R\text{-}G\)-模的范畴记作 \(\text{Mod}_{R, G}\)。

条件 \(a : G \times M \to M\) 连续，等价于任意 \(x \in M\) 的稳定子在 \(G\) 中开。若 \(G\) 是抽象群，则在给 \(G\) 配备离散拓扑后， 这就对应于带 \(G\)-作用的 Abel 群这一概念。注意 \(\text{Mod}_{\mathbf{Z}, G} = \text{Mod}_G\)。

范畴 \(\text{Mod}_G\) 有足够多内射对象；见 Injectives，引理 04JF。考虑左正合函子 \[\text{Mod}_G \longrightarrow \textit{Ab}, \quad M \longmapsto M^G = \{x \in M \mid g \cdot x = x\ \forall g \in G\}\] 有时记 \(M^G = H^0(G, M)\)，有时写作 \(M^G = \Gamma_G(M)\)。该函子有全右导出函子 \(R\Gamma_G(M)\)，并且其第 \(i\) 个右导出函子为 \(R^i\Gamma_G(M) = H^i(G, M)\)，对任意 \(i \geq 0\) 成立。

同一构造也适用于 \(H^0(G, -) : \text{Mod}_{R, G} \to \text{Mod}_R\)。 引理 0DVD 将说明，这与底层 \(G\)-模的上同调一致。

定义

设 \(G\) 是拓扑群。设 \(M\) 是具有连续 \(G\)-作用的离散 \(G\)-模。 换言之，\(M\) 是定义 04JP 中引入的范畴 \(\text{Mod}_G\) 的对象。

1. 右导出函子 \(H^i(G, M)\)（它导自 \(H^0(G, M)\)，并定义在范畴 \(\text{Mod}_G\) 上）称为 \(M\) 的连续群上同调群。

2. 若 \(G\) 是配备离散拓扑的抽象群，则 \(H^i(G, M)\) 称为 \(M\) 的群上同调群。

3. 若 \(G\) 是 Galois 群，则群 \(H^i(G, M)\) 称为 \(M\) 的Galois 上同调群。

4. 若 \(G\) 是域 \(K\) 的绝对 Galois 群，则群 \(H^i(G, M)\) 有时称为\(K\) 的、以 \(M\) 为系数的 Galois 上同调群。 在此情形，有时写 \(H^i(K, M)\) 来代替 \(H^i(G, M)\)。

引理

设 \(G\) 是拓扑群。设 \(R\) 是环。 对每个 \(i \geq 0\)，图 \[\xymatrix{ \text{Mod}_{R, G} \ar[rr]_{H^i(G, -)} \ar[d] & & \text{Mod}_R \ar[d] \\ \text{Mod}_G \ar[rr]^{H^i(G, -)} & & \textit{Ab} }\] 交换，其中竖直箭头是遗忘函子。

证明

以 \(F : \text{Mod}_{R, G} \to \text{Mod}_G\) 表示遗忘函子。 则 \(F\) 有左伴随 \(H : \text{Mod}_G \to \text{Mod}_{R, G}\)，由 \(H(M) = M \otimes_\mathbf{Z} R\) 给出。注意， \(\text{Mod}_G\) 的每个对象都是形如 \(\mathbf{Z}[G/U]\) 的模的直和之商，其中 \(U \subset G\) 是开子群。 这里 \(\mathbf{Z}[G/U]\) 表示 \(G\)-模；它由有限 \(\mathbf{Z}\)-线性组合组成，所组合的是右 \(U\) 同余类（位于 \(G\) 中）， 并带有左 \(G\)-作用。 因此，\(\text{Mod}_G\) 中每个向上有界复形都拟同构于 \(\text{Mod}_G\) 中的一个向上有界复形，后者的底层各项是平坦 \(\mathbf{Z}\)-模 （Derived Categories，引理 05T7）。 于是显然，\(LH\) 存在于 \(D^-(\text{Mod}_G)\) 上，并可在任意复形上逐项 计算 \(H\)，只要其各项是平坦 \(\mathbf{Z}\)-模；这由 Derived Categories，引理 05T9 和命题 05TA 得到。 由 Derived Categories，引理 0DVC 可知 \[\text{Ext}^i(\mathbf{Z}, F(M)) = \text{Ext}^i(R, M)\] 对 \(M\)（它属于 \(\text{Mod}_{R, G}\)）成立。 注意，有 \(H^0(G, -) = \Hom(\mathbf{Z}, -)\) 于 \(\text{Mod}_G\) 上，其中 \(\mathbf{Z}\) 表示具有平凡作用的 \(G\)-模。因此，有 \(H^i(G, -) = \text{Ext}^i(\mathbf{Z}, -)\) 于 \(\text{Mod}_G\) 上。 类似地，有 \(H^i(G, -) = \text{Ext}^i(R, -)\) 于 \(\text{Mod}_{R, G}\) 上。综合以上即得引理。

引理

设 \(G\) 是拓扑群。设 \(R\) 是环。 设 \(M\)、\(N\) 是 \(R\text{-}G\)-模。若 \(M\) 作为 \(R\)-模有限投射，则 \(\text{Ext}^i(M, N) = H^i(G, M^\vee \otimes_R N)\) （记号见证明）。

证明

模 \(M^\vee = \Hom_R(M, R)\) 带有 \(G\) 的逆步作用。 具体而言，有 \((g \cdot \lambda)(m) = \lambda(g^{-1} \cdot m)\)， 其中 \(g \in G\)、\(\lambda \in M^\vee\)、\(m \in M\)。 \(G\) 在 \(M^\vee \otimes_R N\) 上的作用是对角作用，即 \(g \cdot (\lambda \otimes n) = g \cdot \lambda \otimes g \cdot n\)。 注意，对第三个 \(R\text{-}G\)-模 \(E\)，有 \(\Hom(E, M^\vee \otimes_R N) = \Hom(M \otimes_R E, N)\)。 事实上，由 Algebra，引理 00DE 和 0DVB， 这在 \(R\)-模层面成立；而 \(G\)-作用的定义正是为了使它对 \(R\text{-}G\)-模仍然成立。因此，\(M^\vee \otimes_R N\) 是内射 \(R\text{-}G\)-模，只要 \(N\) 是内射 \(R\text{-}G\)-模。 所以，若 \(N \to N^\bullet\) 是内射分解，则 \(M^\vee \otimes_R N \to M^\vee \otimes_R N^\bullet\) 也是内射分解。于是 \[\Hom(M, N^\bullet) = \Hom(R, M^\vee \otimes_R N^\bullet) = (M^\vee \otimes_R N^\bullet)^G\] 由于左边计算 \(\text{Ext}^i(M, N)\)，右边计算 \(H^i(G, M^\vee \otimes_R N)\)，证明完成。

引理

设 \(G\) 是拓扑群。设 \(k\) 是域。 设 \(V\) 是 \(k\text{-}G\)-模。 若 \(G\) 拓扑有限生成且 \(\dim_k(V) < \infty\)，则 \(\dim_k H^1(G, V) < \infty\)。

证明

设 \(g_1, \ldots, g_r \in G\) 是拓扑生成 \(G\) 的元素； 也就是说，由 \(g_1, \ldots, g_r\) 生成的子群稠密。 由引理 0DVE 可见， \(H^1(G, V)\) 是 \(k\)-向量空间，其元素是扩张 \[0 \to V \to E \to k \to 0\] ；这些扩张属于 \(k\text{-}G\)-模。选取 \(e \in E\)，它映到 \(1 \in k\)。 写成 \[g_i \cdot e = v_i + e\] ，其中某个 \(v_i \in V\)。这是可能的，因为 \(g_i \cdot 1 = 1\)。 断言元素列表 \(v_1, \ldots, v_r \in V\) 决定扩张 \(E\) 的同构类。 一旦证明这一点，引理即得，因为这意味着我们的 Ext 向量空间同构于 \(k\)-向量空间 \(V^{\oplus r}\) 的一个子商；略去一些细节。 由于 \(E\) 是定义 04JP 中定义的范畴的对象， 知道存在开子群 \(U\)，使得 \(u \cdot e = e\) 对所有 \(u \in U\) 成立。 现任取 \(g \in G\)。则 \(gU\) 包含一个字 \(w\)，它由元素 \(g_1, \ldots, g_r\) 组成。 设 \(gu = w\)。由于元素 \(w \cdot e\) 由 \(v_1, \ldots, v_r\) 决定，可见 \(g \cdot e = (gu) \cdot e = w \cdot e\) 也由其决定。

引理

设 \(G\) 是预有限拓扑群。则

1. \(H^i(G, M)\) 是挠群，只要 \(i > 0\)，且任取 \(G\)-模 \(M\)；并且

2. \(H^i(G, M) = 0\)，若 \(M\) 是 \(\mathbf{Q}\)-向量空间。

证明

证明 (1)。由维数移动，只需证明 \(H^1(G, M)\) 是挠群， 其中任取 \(G\)-模 \(M\)。 选取正合序列 \(0 \to M \to I \to N \to 0\)，其中 \(I\) 是 \(G\)-模范畴的内射对象。 则 \(H^1(G, M)\) 的任意元素都是某个元素 \(y \in N^G\) 的像。选取 \(x \in I\)，它映到 \(y\)。 稳定子 \(U \subset G\)（关于 \(x\)）是开的，因此具有有限指数 \(r\)。 设 \(g_1, \ldots, g_r \in G\) 是 \(G/U\) 的一组代表元。 于是 \(\sum g_i(x)\) 是 \(I\) 的不变元素，映到 \(ry\)。 因此 \(r\) 消去最初选取的 \(H^1(G, M)\) 的元素。 (2) 得证，因为此时 \(H^i(G, M)\) 既是 \(\mathbf{Q}\)-向量空间又是挠群。