群胚概形 · Stacks

引言

本章讨论群胚概形的一般理论。例如，可参阅 Keel 和 Mori 的优美论文 [K-M]。

记号

设 \(S\) 为概形。若 \(U\)、\(T\) 是 \(S\) 上的概形，则以 \(U(T)\) 表示 \(U\) 在 \(S\) 上的 \(T\)-值点集合。换言之， \(U(T) = \Mor_S(T, U)\)。在下文的讨论中，我们尽量保留字母 \(T\) 来表示 \(S\) 上的一个“测试概形”。设 \(X\)、\(Y\) 是 \(S\) 上的概形，并设 \(f : X \to Y\) 是 \(S\) 上的概形态射。对任意 \(S\) 上的概形 \(T\)，都得到一个诱导的集合映射 \[f : X(T) \longrightarrow Y(T)\] 如上所示，我们也以 \(f\) 表示此映射。事实上，该构造关于概形 \(T/S\) 具有函子性。米田引理（见《范畴》引理 001P）说明，\(f\) 决定函子变换 \(f : h_X \to h_Y\)，且也由这一变换唯一决定。更一般地，对于纤维积之间的映射，我们采用相同的记号。例如，若 \(X\)、\(Y\)、\(Z\) 是 \(S\) 上的概形，且 \(m : X \times_S Y \to Z \times_S Z\) 是 \(S\) 上的概形态射，则可将 \(m\) 视为对应于一族 \(T\)-值点之间的映射 \[X(T) \times Y(T) \longrightarrow Z(T) \times Z(T).\] 其余情形依此类推。

我们继续沿用从下标 \(0\) 开始标记投影映射的约定；因此有 \(\text{pr}_0 : X \times_S Y \to X\) 以及 \(\text{pr}_1 : X \times_S Y \to Y\)。

等价关系

回顾集合 \(A\) 上的一个关系 \(R\)，它就是满足 \(R \subset A \times A\) 的子集。通常用 \(a R b\) 表示 \((a, b) \in R\)。若 \(a R b, b R c \Rightarrow a R c\)，则称该关系具有传递性；若对所有 \(a \in A\) 都有 \(a R a\)，则称其具有自反性；若 \(a R b \Rightarrow b R a\)，则称其具有对称性。同时具有传递性、自反性和对称性的关系称为等价关系。

在概形的情形中，我们略微放宽关系的概念，只要求 \(R \to A \times A\) 是一个映射。定义如下。

定义

设 \(S\) 为概形，\(U\) 为 \(S\) 上的概形。

\(U\) 在 \(S\) 上的一个预关系，是任意概形态射 \(j : R \to U \times_S U\)。在此情形下，令 \(t = \text{pr}_0 \circ j\)、\(s = \text{pr}_1 \circ j\)，从而 \(j = (t, s)\)。

\(U\) 在 \(S\) 上的一个关系，是概形的单态射 \(j : R \to U \times_S U\)。

一个预等价关系是预关系 \(j : R \to U \times_S U\)，并且对所有 \(T/S\)， \(j : R(T) \to U(T) \times U(T)\) 的像都是等价关系。

当且仅当对每个 \(S\) 上的概形 \(T\)，\(R\) 的 \(T\)-值点在 \(U\) 的 \(T\)-值点集合上给出一个等价关系时，我们称概形态射 \(R \to U \times_S U\) 是 \(U\) 在 \(S\) 上的一个等价关系。

换言之，等价关系就是一个预等价关系，并且 \(j\) 是关系。

引理

设 \(S\) 为概形， \(U\) 为 \(S\) 上的概形， \(j : R \to U \times_S U\) 为预关系， \(g : U' \to U\) 为概形态射。最后令 \[R' = (U' \times_S U')\times_{U \times_S U} R \xrightarrow{j'} U' \times_S U'\] 则 \(j'\) 是 \(U'\) 在 \(S\) 上的预关系。若 \(j\) 是关系，则 \(j'\) 是关系；若 \(j\) 是预等价关系，则 \(j'\) 是预等价关系；若 \(j\) 是等价关系，则 \(j'\) 是等价关系。

证明

证明略。

定义

设 \(S\) 为概形，\(U\) 为 \(S\) 上的概形， \(j : R \to U \times_S U\) 为预关系， \(g : U' \to U\) 为概形态射。预关系 \(j' : R' \to U' \times_S U'\) 称为预关系 \(j\) 在 \(U'\) 上的限制或拉回。在这种情形下，有时记 \(R' = R|_{U'}\)。

引理

设 \(j : R \to U \times_S U\) 为预关系。考虑由下述规则在概形 \(U\) 的点上定义的关系： \[x \sim y \Leftrightarrow \exists\ r \in R : t(r) = x, s(r) = y.\] 若 \(j\) 是预等价关系，则这是一个等价关系。

证明

假设 \(x \sim y\) 且 \(y \sim z\)。取 \(r \in R\)，使得 \(t(r) = x\)、\(s(r) = y\)；再取 \(r' \in R\)，使得 \(t(r') = y\)、\(s(r') = z\)。取域 \(K\)，使其出现在如下交换图中： \[\xymatrix{ \kappa(r) \ar[r] & K \\ \kappa(y) \ar[u] \ar[r] & \kappa(r') \ar[u] }\] 用 \(x_K, y_K, z_K : \Spec(K) \to U\) 表示态射 \[\begin{matrix} \Spec(K) \to \Spec(\kappa(r)) \to \Spec(\kappa(x)) \to U \\ \Spec(K) \to \Spec(\kappa(r)) \to \Spec(\kappa(y)) \to U \\ \Spec(K) \to \Spec(\kappa(r')) \to \Spec(\kappa(z)) \to U \end{matrix}\] 由构造可知 \((x_K, y_K) \in j(R(K))\) 且 \((y_K, z_K) \in j(R(K))\)。由于 \(j\) 是预等价关系，还可得到 \((x_K, z_K) \in j(R(K))\)。这显然蕴含 \(x \sim z\)。

\(\sim\) 的自反性和对称性的证明从略。

引理

设 \(j : R \to U \times_S U\) 为预关系。假设

\(s, t\) 都是非分歧的；

对 \(S\) 上的任意代数闭域 \(k\)，映射 \(R(k) \to U(k) \times U(k)\) 是等价关系；

存在态射 \(e : U \to R\)、\(i : R \to R\)、 \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\)，使得 \[\xymatrix{ U \ar[r]_e \ar[d]_\Delta & R \ar[d]_j & R \ar[d]^j \ar[r]_i & R \ar[d]^j & R \times_{s, U, t} R \ar[d]^{j \times j} \ar[r]_c & R \ar[d]^j \\ U \times_S U \ar[r] & U \times_S U & U \times_S U \ar[r]^{flip} & U \times_S U & U \times_S U \times_S U \ar[r]^{\text{pr}_{02}} & U \times_S U }\] 均为交换图。

则 \(j\) 是等价关系。

证明

由条件 (1) 以及《概形态射》引理 02GG 可知 \(j\) 是非分歧的。因此根据《概形态射》引理 02GE， \(\Delta_j : R \to R \times_{U \times_S U} R\) 是开浸入。另一方面，条件 (2) 表明 \(\Delta_j\) 在 \(k\)-值点上是双射，因而 \(\Delta_j\) 是同构，所以 \(j\) 是单态射。再由上述交换图，容易推出对 \(S\) 上的所有概形 \(T\)， \(R(T) \subset U(T) \times U(T)\) 都是等价关系。

群概形

回顾一个群是二元组 \((G, m)\)，其中 \(G\) 是集合， \(m : G \times G \to G\) 是满足下列性质的集合映射：

（结合律）\(m(g, m(g', g'')) = m(m(g, g'), g'')\) 对所有 \(g, g', g'' \in G\) 均成立；
（单位元）存在唯一的元素 \(e \in G\) （称为 \(G\) 的恒等元、单位元或 \(1\)），使得 \(m(g, e) = m(e, g) = g\) 对所有 \(g \in G\) 均成立；
（逆元）对所有 \(g \in G\)，存在 \(i(g) \in G\)，使得 \(m(g, i(g)) = m(i(g), g) = e\)，其中 \(e\) 是单位元。

于是得到映射 \(e : \{*\} \to G\) 和映射 \(i : G \to G\)，并且四元组 \((G, m, e, i)\) 满足上列公理。

一个群同态 \(\psi : (G, m) \to (G', m')\) 是集合映射 \(\psi : G \to G'\)，且满足 \(m'(\psi(g), \psi(g')) = \psi(m(g, g'))\)。这自动保证 \(\psi(e) = e'\) 以及 \(i'(\psi(g)) = \psi(i(g))\)。（记号含义显然。）下文将使用这一点。

定义

设 \(S\) 为概形。

一个\(S\) 上的群概形是二元组 \((G, m)\)，其中 \(G\) 是 \(S\) 上的概形，而 \(m : G \times_S G \to G\) 是 \(S\) 上的概形态射，且满足如下性质：对每个 \(S\) 上的概形 \(T\)，二元组 \((G(T), m)\) 都是群。

一个\(S\) 上群概形的态射 \(\psi : (G, m) \to (G', m')\) 是 \(S\) 上的概形态射 \(\psi : G \to G'\)，并且对每个 \(T/S\)，诱导映射 \(\psi : G(T) \to G'(T)\) 都是群同态。

设 \((G, m)\) 是概形 \(S\) 上的群概形。由上述讨论（以及第 022N 节中的讨论），可得到 \(S\) 上的概形态射：（单位元）\(e : S \to G\) 以及（取逆）\(i : G \to G\)；对每个 \(T\)，四元组 \((G(T), m, e, i)\) 都满足上列群公理。

设 \((G, m)\)、\((G', m')\) 是 \(S\) 上的群概形， \(f : G \to G'\) 是 \(S\) 上的概形态射。由定义可知，\(f\) 是 \(S\) 上群概形的态射，当且仅当下图交换： \[\xymatrix{ G \times_S G \ar[r]_-{f \times f} \ar[d]_m & G' \times_S G' \ar[d]^{m'} \\ G \ar[r]^f & G' }\]

引理

设 \((G, m)\) 是 \(S\) 上的群概形， \(S' \to S\) 是概形态射。则拉回 \((G_{S'}, m_{S'})\) 是 \(S'\) 上的群概形。

证明

证明略。

定义

设 \(S\) 为概形，\((G, m)\) 为 \(S\) 上的群概形。

\(G\) 的一个闭子群概形是闭子概形 \(H \subset G\)，使得 \(m|_{H \times_S H}\) 分解通过 \(H\)，并在 \(H\) 上诱导出 \(S\) 上的群概形结构。

\(G\) 的一个开子群概形是开子概形 \(G' \subset G\)，使得 \(m|_{G' \times_S G'}\) 分解通过 \(G'\)，并在 \(G'\) 上诱导出 \(S\) 上的群概形结构。

等价地，可以说 \(H\) 是 \(G\) 的闭子群概形，如果它是 \(S\) 上的群概形，并带有一个 \(S\) 上的群概形态射 \(i : H \to G\)，且该态射将 \(H\) 识别为 \(G\) 的闭子概形。

引理

设 \(S\) 为概形，\((G, m, e, i)\) 为 \(S\) 上的群概形。

闭子概形 \(H \subset G\) 是闭子群概形，当且仅当 \(e : S \to G\)、\(m|_{H \times_S H} : H \times_S H \to G\) 及 \(i|_H : H \to G\) 均分解通过 \(H\)。

开子概形 \(H \subset G\) 是开子群概形，当且仅当 \(e : S \to G\)、\(m|_{H \times_S H} : H \times_S H \to G\) 及 \(i|_H : H \to G\) 均分解通过 \(H\)。

证明

考察 \(T\)-值点后，这恰好转化为刻画一个群的子集何时为子群的熟知条件。

定义

设 \(S\) 为概形，\((G, m)\) 为 \(S\) 上的群概形。

若结构态射 \(G \to S\) 是光滑的，则称 \(G\) 为光滑群概形。

若结构态射 \(G \to S\) 是平坦的，则称 \(G\) 为平坦群概形。

若结构态射 \(G \to S\) 是分离的，则称 \(G\) 为分离群概形。

可按需增补。

群概形的例子

例

考虑这样一个函子：它把任意概形 \(T\) 映到结构层整体截面环的单位群 \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T^*)\)。该函子由概形 \[\mathbf{G}_m = \Spec(\mathbf{Z}[x, x^{-1}])\] 表示。给出群结构的态射为 \[\begin{eqnarray*} \mathbf{G}_m \times \mathbf{G}_m & \to & \mathbf{G}_m \\ \Spec(\mathbf{Z}[x, x^{-1}] \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[x, x^{-1}]) & \to & \Spec(\mathbf{Z}[x, x^{-1}]) \\ \mathbf{Z}[x, x^{-1}] \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[x, x^{-1}] & \leftarrow & \mathbf{Z}[x, x^{-1}] \\ x \otimes x & \leftarrow & x \end{eqnarray*}\] 由此可见，\(\mathbf{G}_m\) 是 \(\mathbf{Z}\) 上的群概形。对任意概形 \(S\)，基变换 \(\mathbf{G}_{m, S}\) 是 \(S\) 上的群概形，其点函子仍为 \[T/S \longmapsto \mathbf{G}_{m, S}(T) = \mathbf{G}_m(T) = \Gamma(T, \mathcal{O}_T^*)\] 。

例

设 \(n \in \mathbf{N}\)。考虑这样一个函子：它把任意概形 \(T\) 映到 \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T^*)\) 中由 \(n\) 次单位根组成的子群。该函子由概形 \[\mu_n = \Spec(\mathbf{Z}[x]/(x^n - 1)).\] 表示。给出群结构的态射为 \[\begin{eqnarray*} \mu_n \times \mu_n & \to & \mu_n \\ \Spec( \mathbf{Z}[x]/(x^n - 1) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[x]/(x^n - 1)) & \to & \Spec(\mathbf{Z}[x]/(x^n - 1)) \\ \mathbf{Z}[x]/(x^n - 1) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[x]/(x^n - 1) & \leftarrow & \mathbf{Z}[x]/(x^n - 1) \\ x \otimes x & \leftarrow & x \end{eqnarray*}\] 由此可见，\(\mu_n\) 是 \(\mathbf{Z}\) 上的群概形。对任意概形 \(S\)，基变换 \(\mu_{n, S}\) 是 \(S\) 上的群概形，其点函子仍为 \[T/S \longmapsto \mu_{n, S}(T) = \mu_n(T) = \{f \in \Gamma(T, \mathcal{O}_T^*) \mid f^n = 1\}\] 。

例

考虑这样一个函子：它把任意概形 \(T\) 映到结构层整体截面所成的群 \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T)\)。该函子由概形 \[\mathbf{G}_a = \Spec(\mathbf{Z}[x])\] 表示。给出群结构的态射为 \[\begin{eqnarray*} \mathbf{G}_a \times \mathbf{G}_a & \to & \mathbf{G}_a \\ \Spec(\mathbf{Z}[x] \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[x]) & \to & \Spec(\mathbf{Z}[x]) \\ \mathbf{Z}[x] \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[x] & \leftarrow & \mathbf{Z}[x] \\ x \otimes 1 + 1 \otimes x & \leftarrow & x \end{eqnarray*}\] 由此可见，\(\mathbf{G}_a\) 是 \(\mathbf{Z}\) 上的群概形。对任意概形 \(S\)，基变换 \(\mathbf{G}_{a, S}\) 是 \(S\) 上的群概形，其点函子仍为 \[T/S \longmapsto \mathbf{G}_{a, S}(T) = \mathbf{G}_a(T) = \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\] 。

例

设 \(n \geq 1\)。考虑这样一个函子：它把任意概形 \(T\) 映到群 \[\text{GL}_n(\Gamma(T, \mathcal{O}_T))\] 即以结构层整体截面环为系数的可逆 \(n \times n\) 矩阵所成的群。该函子由概形 \[\text{GL}_n = \Spec(\mathbf{Z}[\{x_{ij}\}_{1 \leq i, j \leq n}][1/d])\] 表示，其中 \(d = \det((x_{ij}))\)，而 \((x_{ij})\) 是在 \((i, j)\) 位置取值 \(x_{ij}\) 的 \(n \times n\) 矩阵。给出群结构的态射为 \[\begin{eqnarray*} \text{GL}_n \times \text{GL}_n & \to & \text{GL}_n \\ \Spec(\mathbf{Z}[x_{ij}, 1/d] \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[x_{ij}, 1/d]) & \to & \Spec(\mathbf{Z}[x_{ij}, 1/d]) \\ \mathbf{Z}[x_{ij}, 1/d] \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[x_{ij}, 1/d] & \leftarrow & \mathbf{Z}[x_{ij}, 1/d] \\ \sum x_{ik} \otimes x_{kj} & \leftarrow & x_{ij} \end{eqnarray*}\] 由此可见，\(\text{GL}_n\) 是 \(\mathbf{Z}\) 上的群概形。对任意概形 \(S\)，基变换 \(\text{GL}_{n, S}\) 是 \(S\) 上的群概形，其点函子仍为 \[T/S \longmapsto \text{GL}_{n, S}(T) = \text{GL}_n(T) =\text{GL}_n(\Gamma(T, \mathcal{O}_T))\] 。

例

行列式定义了 \(\mathbf{Z}\) 上的群概形态射 \[\det : \text{GL}_n \longrightarrow \mathbf{G}_m\] 经基变换，对任意基概形 \(S\)，它给出其上的群概形态射 \(\text{GL}_{n, S} \to \mathbf{G}_{m, S}\)。

例

设 \(G\) 为抽象群。考虑这样一个函子：它把任意概形 \(T\) 映到局部常值映射 \(T \to G\) 所成的群（这里 \(T\) 带扎里斯基拓扑， \(G\) 带离散拓扑）。该函子由概形 \[G_{\Spec(\mathbf{Z})} = \coprod\nolimits_{g \in G} \Spec(\mathbf{Z}).\] 表示。给出群结构的态射为 \[G_{\Spec(\mathbf{Z})} \times_{\Spec(\mathbf{Z})} G_{\Spec(\mathbf{Z})} \longrightarrow G_{\Spec(\mathbf{Z})}\] 它把对应于二元组 \((g, g')\) 的分支映到对应于 \(gg'\) 的分支。对任意概形 \(S\)，基变换 \(G_S\) 是 \(S\) 上的群概形，其点函子仍为 \[T/S \longmapsto G_S(T) = \{f : T \to G \text{ 局部常值}\}\] 。

群概形的性质

本节汇集若干在任意基上都成立的群概形的简单性质。

引理

设 \(S\) 为概形，\(G\) 为 \(S\) 上的群概形。则 \(G \to S\) 是分离的（相应地，拟分离的），当且仅当单位元态射 \(e : S \to G\) 是闭浸入（相应地，拟紧的）。

证明

回顾由《概形》引理 01KT， \(e\) 是一个浸入；而当 \(G \to S\) 分离（相应地，拟分离）时，它是闭浸入（相应地，拟紧的）。反过来，考虑下图： \[\xymatrix{ G \ar[r]_-{\Delta_{G/S}} \ar[d] & G \times_S G \ar[d]^{(g, g') \mapsto m(i(g), g')} \\ S \ar[r]^e & G }\] 从代数几何的函子观点出发，验证此图为笛卡尔图是一个练习。换言之，\(\Delta_{G/S}\) 是 \(e\) 的一个基变换。因此，若 \(e\) 是闭浸入（相应地，拟紧的），则 \(\Delta_{G/S}\) 也具有相同性质；参见《概形》引理 01JY （相应地，《概形》引理 01K5）。

引理

设 \(S\) 为概形，\(G\) 为 \(S\) 上的群概形。设 \(T\) 为 \(S\) 上的概形，并设 \(\psi : T \to G\) 是 \(S\) 上的态射。若 \(T\) 在 \(S\) 上平坦，则态射 \[T \times_S G \longrightarrow G, \quad (t, g) \longmapsto m(\psi(t), g)\] 是平坦的。特别地，若 \(G\) 在 \(S\) 上平坦，则 \(m : G \times_S G \to G\) 是平坦的。

证明

考虑下图： \[\xymatrix{ T \times_S G \ar[rrr]_{(t, g) \mapsto (t, m(\psi(t), g))} & & & T \times_S G \ar[r]_{\text{pr}} \ar[d] & G \ar[d] \\ & & & T \ar[r] & S }\] 左上方的水平箭头是同构，方块为笛卡尔图。因此结论由《概形态射》引理 01U9 得出。

引理

设 \((G, m, e, i)\) 为概形 \(S\) 上的群概形， \(f : G \to S\) 为结构态射。则存在典范同构 \[\Omega_{G/S} \cong f^*\mathcal{C}_{S/G} \cong f^*e^*\Omega_{G/S}\] 其中 \(\mathcal{C}_{S/G}\) 表示浸入 \(e\) 的余法层。特别地，若 \(S\) 是一个域的谱，则 \(\Omega_{G/S}\) 是自由 \(\mathcal{O}_G\)-模。

证明

由《概形态射》引理 01V0 有 \[\Omega_{G \times_S G/G} = \text{pr}_0^*\Omega_{G/S}\] 其中左端借助 \(\text{pr}_1\) 将 \(G \times_S G\) 视为 \(G\) 上的概形。令 \(\tau : G \times_S G \to G \times_S G\) 为“剪切映射”，它在点上由 \((g, h) \mapsto (m(g, h), h)\) 给出。通过投影 \(\text{pr}_1\) 将 \(G \times_S G\) 视为 \(G\) 上的概形时，此映射是其自同构。结合以上两点，得到同构 \[\tau^*\text{pr}_0^*\Omega_{G/S} \to \text{pr}_0^*\Omega_{G/S}\] 由于 \(\text{pr}_0 \circ \tau = m\)，可将它改写为同构 \[m^*\Omega_{G/S} \to \text{pr}_0^*\Omega_{G/S}\] 再沿 \((e \circ f, \text{id}_G) : G \to G \times_S G\) 拉回此同构，并利用 \(m \circ (e \circ f, \text{id}_G) = \text{id}_G\) 以及 \(\text{pr}_0 \circ (e \circ f, \text{id}_G) = e \circ f\)，便得到所需的同构 \[\Omega_{G/S} \to f^*e^*\Omega_{G/S}\] 。由《概形态射》引理 0474 还有 \(\mathcal{C}_{S/G} \cong e^*\Omega_{G/S}\)。若 \(S\) 是一个域的谱，则 \(S\) 上的任意 \(\mathcal{O}_S\)-模都是自由的，故最后一个断言成立。

引理

设 \(S\) 为概形，\(G\) 为 \(S\) 上的群概形，并设 \(s \in S\)。则复合映射 \[T_{G/S, e(s)} \oplus T_{G/S, e(s)} = T_{G \times_S G/S, (e(s), e(s))} \rightarrow T_{G/S, e(s)}\] 就是切向量的加法。这里的 \(=\) 来自《代数簇》引理 0BEB，而右侧箭头由 \(m : G \times_S G \to G\) 通过《代数簇》引理 0B2F 诱导。

证明

我们将使用 Varieties, Equation (0BEA)，并在纤维中处理切向量。第一因子 \(T_{G_s/s, e(s)}\) 中的元素 \(\theta\)，经由 \((1, e) : G_s \to G_s \times G_s\) 所诱导的映射 \(T_{G_s/s, e(s)} \to T_{G_s \times G_s/s, (e(s), e(s))}\)，其像就是 \(\theta\)。由于 \(m \circ (1, e) = 1\)，由函子性可知 \(\theta\) 映到 \(\theta\)。又因该映射是线性的，\((\theta_1, \theta_2)\) 映到 \(\theta_1 + \theta_2\)。

域上群概形的性质

本节汇集群概形在域上的若干性质。对于域上（局部）代数的群概形，还可以得到更多结论；参见第 0BF6 节。

引理

若 \((G, m)\) 是域 \(k\) 上的群概形，则乘法映射 \(m : G \times_k G \to G\) 是开映射。

证明

乘法映射同构于投影映射 \(\text{pr}_0 : G \times_k G \to G\)，因为交换图 \[\xymatrix{ G \times_k G \ar[d]^m \ar[rrr]_{(g, g') \mapsto (m(g, g'), g')} & & & G \times_k G \ar[d]^{(g, g') \mapsto g} \\ G \ar[rrr]^{\text{id}} & & & G }\] 的水平箭头都是同构。根据《概形态射》引理 0383，该投影是开映射。

引理

设 \((G, m)\) 是域 \(k\) 上的群概形，\(U \subset G\) 是开集， \(T \to G\) 是概形态射。则复合映射 \(T \times_k U \to G \times_k G \to G\) 的像是开集。

证明

对任意域扩张 \(K/k\)，态射 \(G_K \to G\) 是开映射（《概形态射》引理 0383）。 \(T \times_k U\) 的每个点 \(\xi\) 都是某个 \(K\) 下态射 \((t, u) : \Spec(K) \to T \times_k U\) 的像。此时 \(T_K \times_K U_K = (T \times_k U)_K \to G_K\) 的像包含开平移 \(t \cdot U_K\)。综合这些事实可知，\(T \times_k U \to G\) 的像包含 \(\xi\) 之像的一个开邻域。由于 \(\xi\) 任意，结论成立。

引理

设 \(G\) 为域上的群概形。则 \(G\) 是分离概形。

证明

记 \(S = \Spec(k)\)，其中 \(k\) 为域，并设 \(G\) 为 \(S\) 上的群概形。由引理 047G，只需证明 \(e : S \to G\) 是闭浸入。根据《概形态射》引理 01TE， \(e : S \to G\) 的像是 \(G\) 的闭点。显然，\(\mathcal{O}_G \to e_*\mathcal{O}_S\) 是满射，因为 \(e_*\mathcal{O}_S\) 是支集在 \(G\) 的单位元处、取值为 \(k\) 的摩天层。由《概形》引理 01LD， \(e\) 是闭浸入。

引理

设 \(G\) 是域 \(k\) 上的群概形。则

\(G\) 的每个局部环 \(\mathcal{O}_{G, g}\) 都有唯一的极小素理想；

\(G\) 中恰有一个经过 \(e\) 的不可约分支 \(Z\)；且

\(Z\) 在 \(k\) 上几何不可约。

证明

对任意点 \(g \in G\)，存在域扩张 \(K/k\) 以及映到 \(g\) 的 \(K\)-值点 \(g' \in G(K)\)。把 \(g'\) 看成群概形 \(G_K\) 的 \(K\)-有理点，则 \(\mathcal{O}_{G, g} \to \mathcal{O}_{G_K, g'}\) 是忠实平坦的局部环同态（因为 \(G_K \to G\) 平坦，且平坦的局部环同态是忠实平坦的；见《交换代数》引理 00HR）。 \(\mathcal{O}_{G_K, g'}\) 的结论蕴含 \(\mathcal{O}_{G, g}\) 的结论；参见《交换代数》引理 00FK。因此，为证明 (1)，只需对 \(G\) 的 \(k\)-有理点 \(g\) 证明。此时由 \(g\) 作平移定义了自同构 \(G \to G\)，它把 \(e\) 映到 \(g\)，故 \(\mathcal{O}_{G, g} \cong \mathcal{O}_{G, e}\)。这样便看出 (2) 蕴含 (1)，因为经过 \(e\) 的不可约分支与 \(\mathcal{O}_{G, e}\) 的极小素理想一一对应。

为证明 (2) 和 (3)，只需在 \(k\) 代数闭时证明 (2)。在这种情形下，设 \(Z_1\)、\(Z_2\) 是 \(G\) 的两个经过 \(e\) 的不可约分支。由于 \(k\) 代数闭，闭子概形 \(Z_1 \times_k Z_2 \subset G \times_k G\) 也不可约；参见《代数簇》引理 038F。因此 \(m(Z_1 \times_k Z_2)\) 包含在 \(G\) 的某个不可约分支中。另一方面，由于 \(m|_{e \times G} = \text{id}_G\) 且 \(m|_{G \times e} = \text{id}_G\)，它同时包含 \(Z_1\) 和 \(Z_2\)。故如所需，\(Z_1 = Z_2\)。

注

警告：引理 047M 并不意味着 \(G/k\) 的每个不可约分支都是几何不可约的。例如，\(\mathbf{Q}\) 上的群概形 \(\mu_{3, \mathbf{Q}} = \Spec(\mathbf{Q}[x]/(x^3 - 1))\) 有两个不可约分支，它们对应于分解 \(x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)\)。第一个因子对应经过单位元的不可约分支；第二个不可约分支在 \(\Spec(\mathbf{Q})\) 上并非几何不可约。

引理

设 \(G\) 是完美域 \(k\) 上的群概形。则 \(G\) 的约化 \(G_{red}\) 是 \(G\) 的闭子群概形。

证明

证明略。提示：利用《代数簇》引理 020I 和 035Z 可知 \(G_{red} \times_k G_{red}\) 是约化的。

引理

设 \(k\) 为域，\(\psi : G' \to G\) 是 \(k\) 上的群概形态射。若 \(\psi(G')\) 在 \(G\) 中是开的，则 \(\psi(G')\) 在 \(G\) 中是闭的。

证明

令 \(U = \psi(G') \subset G\)，并令 \(Z = G \setminus \psi(G') = G \setminus U\) 带有诱导的约化闭子概形结构。由引理 0B7N，映射 \[Z \times_k G' \longrightarrow Z \times_k U \longrightarrow G\] 的像是开的（第一个箭头是满射）。另一方面，由于 \(\psi\) 是群概形同态，\(Z \times_k G' \to G\) 的像包含在 \(Z\) 中（因为对 \(G'\) 的所有点 \(g'\)，由 \(\psi(g')\) 作平移都保持 \(U\)；略去一个小细节）。因此 \(Z \subset G\) 是开子集（尽管未必是开子概形）。所以 \(U = \psi(G')\) 是闭的。

引理

设 \(i : G' \to G\) 是域 \(k\) 上群概形的浸入。则 \(i\) 是闭浸入；也就是说，\(i(G')\) 是 \(G\) 的闭子群概形。

证明

为证明 \(i\) 是闭浸入，只需证明 \(i(G')\) 是 \(G\) 的闭子集。设 \(k \subset k'\) 是 \(k\) 的一个完美扩张。若 \(i(G'_{k'}) \subset G_{k'}\) 是闭的，则由《概形态射》引理 02JY， \(i(G') \subset G\) 也是闭的（因为 \(G_{k'} \to G\) 平坦、拟紧且满射）。因此可以并且确实假设 \(k\) 完美。下文将直接使用这样一个事实： \(k\) 上约化概形的乘积仍是约化的。由引理 047R，可将 \(G'\) 和 \(G\) 换成各自的约化。令 \(\overline{G'} \subset G\) 为 \(i(G')\) 的闭包，并赋予它约化闭子概形结构。由《代数簇》引理 047B， \(\overline{G'} \times_k \overline{G'}\) 是 \(G' \times_k G' \to G \times_k G\) 之像的闭包。因此，由 \(m\) 的连续性， \[m\Big(\overline{G'} \times_k \overline{G'}\Big) \subset \overline{G'}\] 成立。于是 \(\overline{G'} \subset G\) 是一个约化闭子群概形。由引理 047S， \(i(G') \subset \overline{G'}\) 也是闭的，故如所需， \(i(G') = \overline{G'}\)。

引理

设 \(G\) 是域 \(k\) 上的群概形。若 \(G\) 不可约，则 \(G\) 拟紧。

证明

设 \(K/k\) 为域扩张。若 \(G_K\) 拟紧，则因 \(G_K \to G\) 满射， \(G\) 也拟紧。由引理 047M， \(G_K\) 不可约。因此，只需把 \(k\) 换成某个扩张后证明本引理。取 \(K\) 为基数非常大的代数闭域扩张。由《代数簇》引理 0479， \(G_K\) 是 Jacobson 概形，并且其所有闭点的剩余域都等于 \(K\)。换言之，可假设 \(G\) 是 Jacobson 概形，且其所有闭点的剩余域都是 \(k\)。

设 \(U \subset G\) 是非空仿射开集，\(g \in G(k)\)。于是 \(gU \cap U \not = \emptyset\)，所以 \(g\) 位于态射 \[U \times_{\Spec(k)} U \longrightarrow G, \quad (u_1, u_2) \longmapsto u_1u_2^{-1}\] 的像中。根据引理 047K，该像是开的。又因为 \(G\) 是 Jacobson 概形且闭点都是 \(k\)-有理的，所以该像等于整个 \(G\)。由于 \(U\) 仿射，\(U \times_{\Spec(k)} U\) 也仿射。因此 \(G\) 是一个拟紧概形的像，从而拟紧。

引理

设 \(G\) 是域 \(k\) 上的群概形。若 \(G\) 连通，则 \(G\) 不可约。

证明

由《代数簇》引理 04KV， \(G\) 几何连通。若对某个域扩张 \(K/k\) 能证明 \(G_K\) 不可约，则本引理成立。因此可应用《代数簇》引理 0479，将问题约化到如下情形：\(k\) 代数闭，\(G\) 是 Jacobson 概形，且所有闭点都是 \(k\)-有理的。

设 \(Z \subset G\) 是 \(G\) 中唯一经过单位元的不可约分支；见引理 047M。赋予 \(Z\) 诱导的约化闭子概形结构，则 \(Z \times_k Z\) 约化且不可约（《代数簇》引理 035Z 和 038F）。因此 \(m|_{Z \times_k Z} : Z \times_k Z \to G\) 分解通过 \(Z\)，从而 \(Z\) 成为 \(G\) 的闭子群概形。

为导出矛盾，假设还存在另一个不可约分支 \(Z' \subset G\)。由引理 047M， \(Z \cap Z' = \emptyset\)。由引理 0B7P，\(Z\) 拟紧。于是可以选取拟紧开集 \(U \subset G\)，使得 \(Z \subset U\) 且 \(U \cap Z' = \emptyset\)。由引理 0B7N， \(Z \times_k U \to G\) 的像 \(W\) 在 \(G\) 中是开的。另一方面，\(W\) 是拟紧空间的像，因而拟紧。我们断言 \(W\) 是闭的。

证明该断言。由于 \(W\) 拟紧而 \(G\) 分离（引理 047L），根据《概形》引理 03GI，包含映射 \(W \to G\) 是拟紧的。因此，\(W\) 闭包中的点都是 \(W\) 中某些点的特化（《概形态射》引理 02JQ）。所以只需证明：\(G\) 中任何与 \(W\) 相交的不可约分支 \(Z'' \subset G\) 都包含在 \(W\) 中。由于 \(G\) 是 Jacobson 概形且闭点均为有理点， \(Z'' \cap W\) 有一个有理点 \(g \in Z''(k) \cap W(k)\)，从而 \(Z'' = Zg\)。但由构造 \(W = m(Z \times_k W)\)，所以 \(Z'' \cap W \not = \emptyset\) 蕴含 \(Z'' \subset W\)。

由此断言，\(W \subset G\) 是 \(G\) 的既开又闭子集。此外 \(W \cap Z' = \emptyset\)，否则由上一段的论证，对某个 \(g \in W(k)\) 会有 \(Z' = Zg\)。由于 \(Z\) 是子群，甚至可以取 \(g \in U(k)\)，这与 \(Z' \cap U = \emptyset\) 矛盾。因此 \(W \subset G\) 是真既开又闭子集，与 \(G\) 连通的假设矛盾。

命题

设 \(G\) 为域 \(k\) 上的群概形。存在一个典范闭子群概形 \(G^0 \subset G\)，它具有下列性质：

\(G^0 \to G\) 是平坦闭浸入；

\(G^0 \subset G\) 是单位元的连通分支；

\(G^0\) 几何不可约；且

\(G^0\) 拟紧。

证明

令 \(G^0\) 为单位元的连通分支，并赋予它典范概形结构（《概形态射》定义 04PX）。为证明 \(G^0\) 是闭子群概形，使用引理 0G8L 的判据。态射 \(e : \Spec(k) \to G\) 分解通过 \(G^0\)，因为我们所取的 \(G^0\) 正是 \(G\) 中包含 \(e\) 的连通分支。由于 \(i : G \to G\) 是固定 \(e\) 的自同构，\(i\) 把 \(G^0\) 映入自身。根据《代数簇》引理 056R，概形 \(G^0\) 在 \(k\) 上几何连通。因此 \(G^0 \times_k G^0\) 连通（《代数簇》引理 0385）。故在集合论意义下 \(m(G^0 \times_k G^0) \subset G^0\)。由《概形态射》引理 04PW， \(m|_{G^0 \times_k G^0} : G^0 \times_k G^0 \to G\) 分解通过 \(G^0\)。所以 \(G^0\) 是 \(G\) 的闭子群概形。由引理 0B7Q， \(G^0\) 不可约；由引理 047M， \(G^0\) 几何不可约；再由引理 0B7P， \(G^0\) 拟紧。

引理

设 \(k\) 为域，\(T = \Spec(A)\)，其中 \(A\) 是一族代数的有向余极限，而每个代数都是若干份 \(k\) 的有限乘积。对任意 \(k\) 上的概形 \(X\)，作为拓扑空间有 \(|T \times_k X| = |T| \times |X|\)。

证明

取仿射开覆盖后，可约化到 \(X\) 仿射的情形。记 \(X = \Spec(B)\)。写成 \(A = \colim A_i\)，其中 \(A_i = \prod_{t \in T_i} k\) 且 \(T_i\) 有限。于是 \(T_i = |\Spec(A_i)|\) 带离散拓扑，而转移态射 \(A_i \to A_{i'}\) 由集合映射 \(T_{i'} \to T_i\) 给出。因此，作为拓扑空间有 \(|T| = \lim T_i\)；见《概形的极限》引理 01YY。类似地， \[\begin{align*} |T \times_k X| & = |\Spec(A \otimes_k B)| \\ & = |\Spec(\colim A_i \otimes_k B)| \\ & = \lim |\Spec(A_i \otimes_k B)| \\ & = \lim |\Spec(\prod\nolimits_{t \in T_i} B)| \\ & = \lim T_i \times |X| \\ & = (\lim T_i) \times |X| \\ & = |T| \times |X| \end{align*}\] 这里使用了上面的引理以及极限与极限可交换这一事实。

下一个引理说明，事实上可以把一个“点的代数性预有限族” 置于某个仿射开集中。强烈建议读者先阅读引理 0B7S。

引理

设 \(k\) 为代数闭域，\(G\) 为 \(k\) 上的群概形。假设 \(G\) 是 Jacobson 概形，且所有闭点均为 \(k\)-有理点。设 \(T = \Spec(A)\)，其中 \(A\) 是一族代数的有向余极限，而每个代数都是若干份 \(k\) 的有限乘积。对任意态射 \(f : T \to G\)，存在包含 \(f(T)\) 的仿射开集 \(U \subset G\)。

证明

令 \(G^0 \subset G\) 为命题 0B7R 中得到的闭子群概形。前两段将问题约化到 \(G = G^0\) 的情形。

注意，\(T\) 是有限拓扑空间的有向逆极限（《概形的极限》引理 01YY），因而作为拓扑空间是预有限的（《拓扑学》定义 08ZX）。令 \(W \subset G\) 为包含 \(T \to G\) 之像的拟紧开集。把 \(W\) 替换为 \(G^0 \times W \to G \times G \to G\) 的像后，可假设 \(W\) 在 \(G^0\) 的左平移作用下不变；见引理 0B7N。考虑复合映射 \[\psi = \pi \circ f : T \xrightarrow{f} W \xrightarrow{\pi} \pi_0(W)\] 空间 \(\pi_0(W)\) 是预有限的（《拓扑学》引理 0906 以及《概形的性质》引理 094L）。对 \(\xi \in \pi_0(W)\)，令 \(F_\xi \subset T\) 为 \(T \to \pi_0(W)\) 在该点上的纤维。假设对每个 \(\xi \in \pi_0(W)\)，都已找到仿射开集 \(U_\xi \subset W\)，使得 \(f(F_\xi) \subset U_\xi\)。由《拓扑学》引理 08YD，\(\psi\) 是闭映射，所以 \(\psi(T \setminus f^{-1}(U_\xi))\) 是 \(\pi_0(W)\) 中不含 \(\xi\) 的闭子集。其补集 \(V_\xi\) 因而是 \(\xi\) 的开邻域，且 \(\psi^{-1}(V_\xi) \subseteq f^{-1}(U_\xi)\)。由 \(V_\xi\) 组成的 \(\pi_0(W)\) 的开覆盖，可以细化为两两不交的既开又闭子集所成的有限覆盖 \(\pi_0(W) = V_1 \amalg \ldots \amalg V_n\) （《拓扑学》引理 08ZZ）。对每个 \(i = 1, \ldots, n\)，取 \(\xi_i \in \pi_0(W)\)，使得 \(V_i \subset V_{\xi_i}\)。由于 \(V_i\) 闭而 \(U_{\xi_i}\) 仿射， \(U_{\xi_i} \cap \pi^{-1}(V_i)\) 也仿射。把 \(U_{\xi_i}\) 替换为 \(U_{\xi_i} \cap \pi^{-1}(V_i)\) 后，有 \(\psi^{-1}(V_i) = f^{-1}(U_{\xi_i})\)。因为这些 \(V_i\) 覆盖 \(\pi_0(W)\)，所以这些 \(f^{-1}(U_{\xi_i})\) 覆盖 \(T\)，从而 \(f(T) \subseteq U = \bigcup_i U_{\xi_i}\)。此时 \(U\) 是有限多个仿射开集的不交并，因此如所需为仿射的。

设 \(Z\) 为一个与 \(f(T)\) 相交的 \(G\) 的连通分支。则 \(Z\) 有一个 \(k\)-有理点 \(z\)（因为概形 \(T\) 的所有剩余域都同构于 \(k\)）。因此 \(Z = G^0 z\)。由 \(W\) 的选取，\(Z \subset W\)。上一段的论证把问题约化为：在 \(W\) 中寻找 \(f(T) \cap Z\) 的仿射开邻域。经一个有理点平移后，可假设 \(Z = G^0\) （细节略）。注意，概形论逆像 \(T' = f^{-1}(G^0) \subset T\) 是同类型的闭子概形。把 \(T\) 替换为 \(T'\) 后，可假设 \(f(T) \subset G^0\)。选取 \(e \in G\) 的一个仿射开邻域 \(U \subset G\)，从而特别有 \(U \cap G^0\) 非空。我们将证明，存在 \(g \in G^0(k)\)，使得 \(f(T) \subset g^{-1}U\)。由于 \(W\) 在 \(G^0\) 的左平移下不变，\(g^{-1}U \subset W\)，这将完成证明。

前两段的论证允许我们转到 \(G^0\)，并将问题约化如下：假设 \(G\) 不可约，\(U \subset G\) 是 \(e\) 的仿射开邻域。证明对某个 \(g \in G(k)\) 有 \(f(T) \subset g^{-1}U\)。考虑态射 \[U \times_k T \longrightarrow G \times_k T,\quad (t, u) \longrightarrow (uf(t)^{-1}, t)\] 这是开浸入，因为它向 \(G \times_k T \to G \times_k T\) 的延拓是同构。由对 \(T\) 的假设及引理 0B7T，有 \(|U \times_k T| = |U| \times |T|\)，对 \(G \times_k T\) 也类似。因此，上述开浸入的像是有限多个盒 \(\bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i \times V_i\) 的并，其中 \(V_i \subset T\)，而 \(U_i \subset G\) 是拟紧开集。这意味着可能出现的开集 \(Uf(t)^{-1}\)（\(t \in T\)）只有有限多个，记为 \(Uf(t_1)^{-1}, \ldots, Uf(t_r)^{-1}\)。由于 \(G\) 不可约，交集 \[Uf(t_1)^{-1} \cap \ldots \cap Uf(t_r)^{-1}\] 非空。又由于 \(G\) 是 Jacobson 概形且闭点均为 \(k\)-有理点，可在此交集中选取一个 \(k\)-值点 \(g \in G(k)\)。于是对所有 \(t \in T\) 都有 \(g \in Uf(t)^{-1}\)，即如所需，\(f(t) \in g^{-1}U\)。

注

若 \(G\) 是域上的群概形，是否总存在一个拟紧的既开又闭子群概形？由命题 0B7R，只有当 \(G\) 在几何意义下有无穷多个连通分支时，这个问题才有意义。

引理

设 \(G\) 为域上的群概形。存在既开又闭的子概形 \(G' \subset G\)，它是仿射概形的可数并。

证明

设 \(e \in U(k)\) 为单位元的拟紧开邻域。把 \(U\) 替换为 \(U \cap i(U)\) 后，可假设 \(U\) 在取逆映射下不变。由于 \(G\) 分离，这仍是拟紧集。令 \[G' = \bigcup\nolimits_{n \geq 1} m_n(U \times_k \ldots \times_k U)\] 其中 \(m_n : G \times_k \ldots \times_k G \to G\) 是 \(n\) 元乘法映射 \((g_1, \ldots, g_n) \mapsto m(m(\ldots (m(g_1, g_2), g_3), \ldots ), g_n)\)。这些映射都是开的（见引理 047K），故 \(G'\) 是开子群概形。由引理 047S，它也是闭子群概形。

代数群概形的性质

回顾域 \(k\) 上的概形称为（局部）代数的，是指它在 \(\Spec(k)\) 上（局部）为有限型；见《代数簇》定义 06LG。本节标题中的“代数”正是这个含义。

引理

设 \(k\) 为域，\(G\) 为 \(k\) 上的局部代数群概形。则 \(G\) 等维，并且对所有 \(g \in G\) 都有 \(\dim(G) = \dim_g(G)\)。对任意闭点 \(g \in G\)，有 \(\dim(G) = \dim(\mathcal{O}_{G, g})\)。

证明

先证明，对任意一对点 \(g, g' \in G\)，都有 \(\dim_g(G) = \dim_{g'}(G)\)。由《概形态射》引理 02FY，可以任意扩张基域。因此可假设 \(g\) 和 \(g'\) 都在 \(k\) 上有定义。于是存在 \(G\) 的一个自同构，把 \(g\) 映到 \(g'\)，故二者相等。根据《概形态射》引理 02FX，有 \(\dim_g(G) = \dim(\mathcal{O}_{G, g}) + \text{trdeg}_k(\kappa(g))\)。另一方面，\(G\)（或 \(G\) 的任意开子集）的维数是 \(G\) 的局部环维数的上确界；见《概形的性质》引理 02IZ。显然，该值在闭点 \(g\) 处达到最大；此时由 Hilbert 零点定理， \(\text{trdeg}_k(\kappa(g)) = 0\)（见《概形态射》第 01T9 节）。引理得证。

下述结果有时称为 Cartier 定理。

引理

设 \(k\) 为特征 \(0\) 的域，\(G\) 为 \(k\) 上的局部代数群概形。则结构态射 \(G \to \Spec(k)\) 是光滑的；也就是说， \(G\) 是光滑群概形。

证明

由引理 047I， \(G\) 在 \(k\) 上的微分模是自由的。于是光滑性由《代数簇》引理 04QN 推出。

注

特征 \(0\) 的域上的任意群概形都是约化的；参见 [Perrin-thesis, I, Theorem 1.1 and I, Corollary 3.9, and II, Theorem 2.4] 以及 [Perrin, Proposition 4.2.8]。这一问题由 [Oort, page 80] 提出。我们已在引理 047N 中看到，当群概形局部为有限型时，该结论成立。

引理

设 \(k\) 为特征 \(p > 0\) 的完美域（特征零情形见引理 047N）。设 \(G\) 为 \(k\) 上的局部代数群概形。若 \(G\) 约化，则结构态射 \(G \to \Spec(k)\) 是光滑的；也就是说，\(G\) 是光滑群概形。

证明

由引理 047I，层 \(\Omega_{G/k}\) 是自由的。因此结论由《代数簇》引理 04QP 推出。

注

设 \(k\) 为特征 \(p > 0\) 的域，\(\alpha \in k\) 不是 \(p\) 次幂。闭子群概形 \[G = V(x^p + \alpha y^p) \subset \mathbf{G}_{a, k}^2\] 约化且不可约，但不光滑，甚至不正规。

下一个引理是引理 0B7U 的特殊情形，其证明稍为简单。

引理

设 \(k\) 为代数闭域，\(G\) 为 \(k\) 上的局部代数群概形， \(g_1, \ldots, g_n \in G(k)\) 为 \(k\)-有理点。则存在包含 \(g_1, \ldots, g_n\) 的仿射开集 \(U \subset G\)。

证明

首先对 \(n\) 归纳，说明可假设所有 \(g_i\) 都位于 \(G\) 的同一连通分支上。否则，可以找到分解 \(G = W_1 \amalg W_2\)，其中 \(W_i\) 在 \(G\) 中开；适当重编号后，对某个 \(0 < r < n\) 有 \(g_1, \ldots, g_r \in W_1\) 以及 \(g_{r + 1}, \ldots, g_n \in W_2\)。由归纳假设，可找到 \(G\) 的仿射开集 \(U_1\) 和 \(U_2\)，使得 \(g_1, \ldots, g_r \in U_1\) 且 \(g_{r + 1}, \ldots, g_n \in U_2\)。于是 \[g_1, \ldots, g_n \in (U_1 \cap W_1) \cup (U_2 \cap W_2)\] 给出所求解。因此可假设 \(g_1, \ldots, g_n\) 都位于 \(G\) 的同一连通分支。由 \(g_1^{-1}\) 作平移后，可假设 \(g_1, \ldots, g_n \in G^0\)，其中 \(G^0 \subset G\) 如命题 0B7R 所定义。选取 \(e\) 的仿射开邻域 \(U\)；特别地，\(U \cap G^0\) 非空。由于 \(G^0\) 不可约， \[G^0 \cap (Ug_1^{-1} \cap \ldots \cap Ug_n^{-1})\] 非空。由于 \(G \to \Spec(k)\) 局部为有限型， \(G^0 \to \Spec(k)\) 也局部为有限型，故每个非空开集都有 \(k\)-有理点。因此可取 \(g \in G^0(k)\)，使得对所有 \(i\) 都有 \(g \in Ug_i^{-1}\)。于是对所有 \(i\) 都有 \(g_i \in g^{-1}U\)，而 \(g^{-1}U\) 就是所求仿射开集。

引理

设 \(k\) 为域，\(G\) 为 \(k\) 上的代数群概形。则 \(G\) 在 \(k\) 上拟射影。

证明

由《代数簇》引理 0BDC，可假设 \(k\) 代数闭。令 \(G^0 \subset G\) 为命题 0B7R 中的 \(G\) 的连通分支。 \(G\) 的其他每个连通分支都有 \(k\)-有理点，因而作为概形同构于 \(G^0\)。由于 \(G\) 拟紧且 Noether，这样的连通分支只有有限多个。于是问题约化到下一段所讨论的情形。

设 \(G\) 是代数闭域 \(k\) 上的连通代数群概形。若 \(k\) 的特征为零，则由引理 047N， \(G\) 在 \(k\) 上光滑。若 \(k\) 的特征为 \(p > 0\)，令 \(H = G_{red}\) 为 \(G\) 的约化。根据《除子》命题 0BD4，只需证明 \(H\) 有充足可逆层。（对 \(k\) 上的代数概形，有充足可逆层等价于在 \(k\) 上拟射影；例如见相当一般的《态射进阶》引理 0B42。）由引理 047R， \(H\) 是 \(k\) 上的群概形；由引理 047P， \(H\) 在 \(k\) 上光滑。这将问题约化到下一段所讨论的情形。

设 \(G\) 是代数闭域 \(k\) 上拟紧、不可约且光滑的群概形。注意，\(G\) 的局部环都是正则的，因而是唯一分解整环（《代数簇》引理 056S 以及《代数进阶》引理 0AG0）。 \(G\) 的一个非空仿射开集的补集，是某个有效 Cartier 除子 \(D\) 的支集；这由《除子》引理 0BCW 得到。（由引理 047L，\(G\) 分离。）因此存在有效 Cartier 除子 \(D \subset G\)，使得 \(G \setminus D\) 仿射。下文还将用到：对任意 \(n \geq 1\) 以及 \(g_1, \ldots, g_n \in G(k)\)，补集 \(G \setminus \bigcup D g_i\) 仿射。事实上，它是分离概形 \(G\) 中诸仿射开集 \(G \setminus Dg_i \cong G \setminus D\) 的交。

可以选取下图的第一行 \[\xymatrix{ G & U \ar[l]_j \ar[r]^\pi & \mathbf{A}^d_k \\ & W \ar[r]^{\pi'} \ar[u] & V \ar[u] }\] 使得 \(U \not = \emptyset\)，\(j : U \to G\) 是开浸入，而 \(\pi\) 是平展的（étale）；参见《概形态射》引理 054L。存在非空仿射开集 \(V \subset \mathbf{A}^d_k\)，使得取 \(W = \pi^{-1}(V)\) 时，态射 \(\pi' = \pi|_W : W \to V\) 是有限平展的（finite étale）。特别地，\(\pi'\) 有限局部自由，设其次数为 \(n\)。考虑有效 Cartier 除子 \[\mathcal{D} = \{(g, w) \mid m(g, j(w)) \in D\} \subset G \times W\] （这是把 \(D \subset G\) 沿平坦态射 \(m : G \times G \to G\) 拉回后，再限制到 \(G \times W\) 所得的除子。）考虑闭子集¹ \(T = (1 \times \pi')(\mathcal{D}) \subset G \times V\)。由于 \(\pi'\) 有限局部自由，\(T\) 的每个不可约分支在 \(G \times V\) 中的余维都是 \(1\)。又因 \(G \times V\) 在 \(k\) 上光滑，这些分支都是有效 Cartier 除子（《除子》引理 0AGA 以及上引诸引理），所以 \(T\) 是 \(G \times V\) 中某个有效 Cartier 除子 \(E\) 的支集。若 \(v \in V(k)\)，则 \((\pi')^{-1}(v) = \{w_1, \ldots, w_n\} \subset W(k)\)，并且在集合论意义下， \[E_v = \bigcup\nolimits_{i = 1, \ldots, n} D j(w_i)^{-1}\] 在 \(G\) 中成立。特别地，\(G \setminus E_v\) 是仿射开集（见上文）。此外，对任意 \(g \in G(k)\)，存在 \(v \in V\)，使得 \(g \not \in E_v\)。事实上，满足 \(g \not \in Dj(w)^{-1}\) 的 \(w \in W\) 所成的集合 \(W'\) 是非空开集；只需选取 \(v\)，使得 \(W' \to V\) 在 \(v\) 上的纤维有 \(n\) 个元素。

考虑 \(G \times V\) 上的可逆层 \(\mathcal{M} = \mathcal{O}_{G \times V}(E)\)。由《代数簇》引理 0BEH，限制 \(\mathcal{M}_v = \mathcal{O}_G(E_v)\) 的同构类 \(\mathcal{L}\) 与 \(v \in V(k)\) 无关。另一方面，对每个 \(g \in G(k)\)，都可找到 \(v\)，使得 \(g \not \in E_v\) 且 \(G \setminus E_v\) 仿射。因此，\(\mathcal{O}_G(E_v)\) 的典范截面（《除子》定义 01WX）对应于 \(\mathcal{L}\) 的一个截面 \(s_v\)；它在 \(g\) 处不消失，并且 \(G_{s_v}\) 仿射。按照定义，这说明 \(\mathcal{L}\) 充足（《概形的性质》定义 01PS）。

引理

设 \(k\) 为域，\(G\) 为 \(k\) 上的局部代数群概形。则 \(G\) 的中心是 \(G\) 的闭子群概形。

证明

以 \(\text{Aut}(G)\) 表示 \(k\) 上概形范畴中的反变函子：它把 \(S/k\) 映到基变换 \(G_S\) 作为 \(S\) 上群概形的自同构集合。有自然变换 \[G \longrightarrow \text{Aut}(G),\quad g \longmapsto \text{inn}_g\] 它把 \(G\) 的一个 \(S\)-值点 \(g\) 映到由 \(g\) 决定的 \(G\) 的内自同构。按照定义，\(G\) 的中心 \(C\) 是该变换的核；也就是说，它是把 \(S\) 映到如下 \(g \in G(S)\) 所成集合的函子：其对应的内自同构是恒等的。本引理的断言是，该函子可由 \(G\) 的一个闭子群概形表示。

选取整数 \(n \geq 1\)。令 \(G_n \subset G\) 为 \(G\) 的单位元 \(e\) 的第 \(n\) 阶无穷小邻域。对每个概形 \(S/k\)，基变换 \(G_{n, S}\) 都是 \(e_S : S \to G_S\) 的第 \(n\) 阶无穷小邻域。因此有自然变换 \(\text{Aut}(G) \to \text{Aut}(G_n)\)，右端是 \(G_n\) 作为概形的自同构函子（一般而言，\(G_n\) 不是群概形）。注意，\(G_n\) 是某个 Artin 局部环 \(A_n\) 的谱；其剩余域为 \(k\)，并且作为 \(k\)-向量空间是有限维的（《代数簇》引理 06LH）。由于 \(G_n\) 的每个自同构都特别诱导一个可逆线性映射 \(A_n \to A_n\)，得到函子变换 \[G \to \text{Aut}(G) \to \text{Aut}(G_n) \to \text{GL}(A_n)\] 最后一个群值函子是可表示的；见例 022W。并且最后一个箭头显然为单射。因此，对每个 \(n\) 都得到闭子群概形 \[H_n = \Ker(G \to \text{Aut}(G_n)) = \Ker(G \to \text{GL}(A_n)).\] 作为第一步近似，令 \(H = \bigcap_{n \geq 1} H_n\) （概形论交）。这是一个包含中心 \(C\) 的闭子群概形。

设 \(h\) 是 \(H\) 的一个 \(S\)-值点，其中 \(S\) 局部 Noether。于是自同构 \(\text{inn}_h\) 在所有闭子概形 \(G_{n, S}\) 上诱导恒等映射。考虑核 \(K = \Ker(\text{inn}_h : G_S \to G_S)\)。它是 \(S\) 上 \(G_S\) 的闭子群概形，并包含所有 \(n \geq 1\) 的闭子概形 \(G_{n, S}\)。这蕴含 \(K\) 包含 \(e(S) \subset G_S\) 的一个开邻域；见《交换代数》注 00IR。令 \(G^0 \subset G\) 如命题 0B7R 所定义。由于 \(G^0\) 几何不可约，可断定 \(K\) 包含 \(G^0_S\) （对任意非空开集 \(U \subset G^0_{k'}\) 和任意域扩张 \(k'/k\)，都有 \(U \cdot U^{-1} = G^0_{k'}\)；见引理 0B7P 的证明）。取 \(S = H\) 应用上述结论，得到 \(G^0\) 和 \(H\) 是 \(G\) 中其点两两交换的子群概形：对任意概形 \(S\) 以及任意 \(S\)-值点 \(g \in G^0(S)\)、\(h \in H(S)\)，在 \(G(S)\) 中都有 \(gh = hg\)。

假设 \(k\) 代数闭。在 \(G\) 的每个不可约分支 \(G_i\) 中选取一个 \(k\)-值点 \(g_i\)。注意，在此情形下，\(G\) 的连通分支就是 \(G\) 的不可约分支，而它们都是 \(G^0\) 经各 \(g_i\) 平移所得。我们断言 \[C = H \cap \bigcap\nolimits_i \Ker(\text{inn}_{g_i} : G \to G) \quad (\text{概形论交})\] 事实上，\(C\) 包含于右端。反过来，右端的每个 \(S\)-值点 \(h\) 都与 \(G^0\) 以及各 \(g_i\) 交换，因而与 \(G = \bigcup G^0g_i\) 中的一切元素交换。

一般基域 \(k\) 的情形由代数闭包 \(\overline{k}\) 上的结果经下降得到。具体地，令 \(A \subset G_{\overline{k}}\) 为表示 \(G_{\overline{k}}\) 之中心的闭子群概形。由中心构造的函子性，作为 \(G_{\overline{k} \otimes_k \overline{k}}\) 的闭子概形有 \[A \times_{\Spec(k)} \Spec(\overline{k}) = \Spec(\overline{k}) \times_{\Spec(k)} A\] 所以由《下降》引理 03I0 （以及《下降》引理 02L6）， \(A\) 下降为闭子群概形 \(Z \subset G\)。于是 \(Z\) 表示 \(C\)（略去一个小论证），证明完毕。

阿贝尔簇

Mumford 关于阿贝尔簇的著作是这一主题的极佳参考文献；见 [AVar]，建议读者参阅。存在许多等价定义，下面给出其中一个。

定义

设 \(k\) 为域。一个阿贝尔簇是 \(k\) 上的群概形，同时也是 \(k\) 上固有且几何整的簇²。

下面先证明关于这一概念的几个引理，再在命题 03RP 中汇总所有结论。

引理

设 \(k\) 为域，\(A\) 为 \(k\) 上的阿贝尔簇。则 \(A\) 是射影的。

证明

这由引理 0BF7 以及《态射进阶》引理 0B45 得出。

引理

设 \(k\) 为域，\(A\) 为 \(k\) 上的阿贝尔簇。对任意域扩张 \(K/k\)，基变换 \(A_K\) 是 \(K\) 上的阿贝尔簇。

证明

证明略。注意，这正是我们坚持要求 \(A\) 几何整的原因；若无此条件，本引理以及下文许多结论都会错误。

引理

设 \(k\) 为域，\(A\) 为 \(k\) 上的阿贝尔簇。则 \(A\) 在 \(k\) 上光滑。

证明

若 \(k\) 完美，则该结论由引理 047N（特征零）以及引理 047P （正特征）得出。一般情形可利用光滑性的下降（《下降》引理 02VL）以及引理 0BFB 转到完美闭包，从而约化到上述情形。

引理

阿贝尔簇是交换群概形；也就是说，群律可交换。

证明

设 \(k\) 为域，\(A\) 为 \(k\) 上的阿贝尔簇。由引理 0BFB，可把 \(k\) 替换为其代数闭包。考虑态射 \[h : A \times_k A \longrightarrow A \times_k A,\quad (x, y) \longmapsto (x, xyx^{-1}y^{-1})\] 两边都取第一投影时，这是 \(A\) 上的态射。设 \(e \in A(k)\) 为单位元。于是 \(h|_{e \times A}\) 是取常值 \((e, e)\) 的映射。根据《态射进阶》引理 0AH8，存在 \(e\) 的开邻域 \(U \subset A\)，使得 \(h|_{U \times A}\) 分解通过某个在 \(U\) 上有限的 \(Z \subset U \times A\)。这意味着，对 \(x \in U(k)\)，态射 \(A \to A\)，\(y \mapsto xyx^{-1}y^{-1}\) 只取有限多个值。当然，这意味着它恒取值 \(e\)。所以 \((x, y) \mapsto xyx^{-1}y^{-1}\) 在 \(U \times A\) 上恒取值 \(e\)，从而 \(A\) 上的群律可交换。

引理

设 \(k\) 为域，\(A\) 为 \(k\) 上的阿贝尔簇，并设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_A\)-模。则在 \(A \times_k A \times_k A\) 上存在可逆模的同构 \[m_{1, 2, 3}^*\mathcal{L} \otimes m_1^*\mathcal{L} \otimes m_2^*\mathcal{L} \otimes m_3^*\mathcal{L} \cong m_{1, 2}^*\mathcal{L} \otimes m_{1, 3}^*\mathcal{L} \otimes m_{2, 3}^*\mathcal{L}\] 其中 \(m_{i_1, \ldots, i_t} : A \times_k A \times_k A \to A\) 是态射 \((x_1, x_2, x_3) \mapsto \sum x_{i_j}\)。

证明

把立方定理（《态射进阶》定理 0BF4）应用于差 \[\mathcal{M} = m_{1, 2, 3}^*\mathcal{L} \otimes m_1^*\mathcal{L} \otimes m_2^*\mathcal{L} \otimes m_3^*\mathcal{L} \otimes m_{1, 2}^*\mathcal{L}^{\otimes -1} \otimes m_{1, 3}^*\mathcal{L}^{\otimes -1} \otimes m_{2, 3}^*\mathcal{L}^{\otimes -1}\] 即可。其理由是，\(\mathcal{M}\) 在 \(A \times A \times e = A \times A\) 上的限制等于 \[n_{1, 2}^*\mathcal{L} \otimes n_1^*\mathcal{L} \otimes n_2^*\mathcal{L} \otimes n_{1, 2}^*\mathcal{L}^{\otimes -1} \otimes n_1^*\mathcal{L}^{\otimes -1} \otimes n_2^*\mathcal{L}^{\otimes -1} \cong \mathcal{O}_{A \times_k A}\] 其中 \(n_{i_1, \ldots, i_t} : A \times_k A \to A\) 为态射 \((x_1, x_2) \mapsto \sum x_{i_j}\)。对 \(A \times e \times A\) 和 \(e \times A \times A\) 亦然。

引理

设 \(k\) 为域，\(A\) 为 \(k\) 上的阿贝尔簇，并设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_A\)-模。则 \[[n]^*\mathcal{L} \cong \mathcal{L}^{\otimes n(n + 1)/2} \otimes ([-1]^*\mathcal{L})^{\otimes n(n - 1)/2}\] 其中 \([n] : A \to A\) 把 \(x\) 映到有 \(n\) 个加项的 \(x + x + \ldots + x\)，而 \([-1] : A \to A\) 是 \(A\) 的取逆映射。

证明

考虑态射 \(A \to A \times_k A \times_k A\)， \(x \mapsto (x, x, -x)\)，其中 \(-x = [-1](x)\)。拉回引理 0BFE 中的关系，得到 \[\mathcal{L} \otimes \mathcal{L} \otimes \mathcal{L} \otimes [-1]^*\mathcal{L} \cong [2]^*\mathcal{L}\] 这证明了 \(n = 2\) 的情形。归纳假设结论对 \(1, 2, \ldots, n\) 成立。再考虑态射 \(A \to A \times_k A \times_k A\)，\(x \mapsto (x, x, [n - 1]x)\)。拉回引理 0BFE 中的关系，得到 \[[n + 1]^*\mathcal{L} \otimes \mathcal{L} \otimes \mathcal{L} \otimes [n - 1]^*\mathcal{L} \cong [2]^*\mathcal{L} \otimes [n]^*\mathcal{L} \otimes [n]^*\mathcal{L}\] 再作初等算术运算即得结论。

引理

设 \(k\) 为域，\(A\) 为 \(k\) 上的阿贝尔簇，并设 \([d] : A \to A\) 为乘以 \(d\) 的映射。则 \([d]\) 有限局部自由，次数为 \(d^{2\dim(A)}\)。

证明

由引理 0BFA （以及《态射进阶》引理 0B45），\(A\) 有一个充足可逆模 \(\mathcal{L}\)。因为 \([-1] : A \to A\) 是自同构， \([-1]^*\mathcal{L}\) 也是充足可逆 \(\mathcal{O}_A\)-模。因此 \(\mathcal{N} = \mathcal{L} \otimes [-1]^*\mathcal{L}\) 充足；见《概形的性质》引理 0890。由于 \(\mathcal{N} \cong [-1]^*\mathcal{N}\)，由引理 0BFF 有 \([d]^*\mathcal{N} \cong \mathcal{N}^{\otimes d^2}\)。

为导出矛盾，设 \(C\) 是包含在 \([d]\) 的某一纤维中的固有曲线。此时 \(\mathcal{N}^{\otimes d^2}|_C \cong \mathcal{O}_C\) 是次数为 \(0\) 的充足可逆 \(\mathcal{O}_C\)-模，这例如与《代数簇》引理 0B5X 矛盾。（也可使用《代数簇》引理 0BEV。）因此 \([d]\) 的每个纤维维数都是 \(0\)，故例如由《概形上同调》引理 02OG， \([d]\) 有限。此外，由引理 0BFC， \(A\) 在 \(k\) 上光滑，因而根据《交换代数》引理 00R4， \([d] : A \to A\) 平坦（这里还使用了域上光滑的概形正则，以及正则环是 Cohen–Macaulay 环；见《代数簇》引理 056S 和《交换代数》引理 00NQ）。所以由《概形态射》引理 02KB， \([d]\) 有限局部自由。

最后计算次数。由《代数簇》引理 0BEX， \[\deg_{\mathcal{N}^{\otimes d^2}}(A) = \deg([d]) \deg_\mathcal{N}(A)\] 由于 \(A\) 关于 \(\mathcal{N}^{\otimes d^2}\)（相应地， \(\mathcal{N}\)）的次数，是下列多项式中 \(n^{\dim(A)}\) 的系数： \[n \longmapsto \chi(A, \mathcal{N}^{\otimes nd^2}),\quad \text{分别}\quad n \longmapsto \chi(A, \mathcal{N}^{\otimes n})\] 所以 \(\deg([d]) = d^{2 \dim(A)}\)。

引理

设 \(k\) 为域，\(A\) 为 \(k\) 上的非零阿贝尔簇。则 \([d] : A \to A\) 为平展（étale）态射，当且仅当 \(d\) 在 \(k\) 中可逆。

证明

注意 \([d](x + y) = [d](x) + [d](y)\)。由于由一点作平移是 \(A\) 的自同构，\([d] : A \to A\) 为平展（étale）的点集要么为空，要么等于 \(A\)（略去一些细节）。因此，只需检验 \([d]\) 在单位元 \(e \in A(k)\) 处是否平展（étale）。已知 \([d]\) 有限局部自由（引理 0BFG），故它在 \(e\) 处平展（étale），等价于证明 \(\text{d}[d] : T_{A/k, e} \to T_{A/k, e}\) 是单射；见《代数簇》引理 0B2G 以及《概形态射》引理 02GV。由引理 0BF5， \(\text{d}[d]\) 是 \(T_{A/k, e}\) 上乘以 \(d\) 的映射。

引理

设 \(k\) 为特征 \(p > 0\) 的域，\(A\) 为 \(k\) 上维数为 \(g\) 的阿贝尔簇。则 \([p] : A \to A\) 在 \(0\) 上的纤维至多有 \(p^g\) 个不同的点。

证明

可将并且确实将 \(k\) 替换为其代数闭包。由引理 0BF5， \([p]\) 的导数作为映射 \(T_{A/k, e} \to T_{A/k, e}\) 是乘以 \(p\)，因而为零（比较引理 0BFH 的证明）。由于 \([p]\) 与平移可交换，\([p]\) 的导数处处为零；也就是说，诱导映射 \([p]^*\Omega_{A/k} \to \Omega_{A/k}\) 为零。考察泛点可知，相应的函数域映射 \([p]^* : k(A) \to k(A)\) 在 \(\Omega_{k(A)/k}\) 上诱导零映射。设 \(t_1, \ldots, t_g\) 为 \(k(A)\) 在 \(k\) 上的一个 p-基（《代数进阶》定义 07P1 以及引理 07P2）。由《交换代数》引理 031W， \([p]^*(t_i)\) 有一个 \(p\) 次根。因此， \(k(A)[x_1, \ldots, x_g]/(x_1^p - t_1, \ldots, x_g^p - t_g)\) 是 \([p]^* : k(A) \to k(A)\) 的一个子扩张。于是可找到仿射开集 \(U \subset A\)，使得 \(t_i \in \mathcal{O}_A(U)\) 且 \(x_i \in \mathcal{O}_A([p]^{-1}(U))\)。得到 \([p]\) 在 \(U\) 上的分解 \[[p]^{-1}(U) \xrightarrow{\pi_1} \Spec(\mathcal{O}(U)[x_1, \ldots, x_g]/(x_1^p - t_1, \ldots, x_g^p - t_g)) \xrightarrow{\pi_2} U\] 缩小 \(U\) 后，可假设 \(\pi_1\) 有限局部自由（例如使用一般平坦性；实际上在本情形中它已经有限局部自由）。由引理 0BFG，\([p]\) 的次数为 \(p^{2g}\)。由于 \(\pi_2\) 的次数为 \(p^g\)，\(\pi_1\) 的次数也为 \(p^g\)。态射 \(\pi_2\) 是万有同胚，因而其纤维都是单点集。所以 \([p]^{-1}(U) \to U\) 的集合论纤维就是 \(\pi_1\) 的纤维，至多有 \(p^g\) 个元素。由于 \([p]\) 是 \(k\) 上的群概形同态，对每个 \(a \in A(k)\)，\([p] : A(k) \to A(k)\) 的纤维基数都相同，证明完毕。

命题

设 \(A\) 为域 \(k\) 上的阿贝尔簇。则

\(A\) 在 \(k\) 上射影；

\(A\) 是交换群概形；

对所有 \(n \geq 1\)，态射 \([n] : A \to A\) 都是满射；

若 \(k\) 代数闭，则 \(A(k)\) 是可除阿贝尔群；

\(A[n] = \Ker([n] : A \to A)\) 是 \(k\) 上次数为 \(n^{2\dim A}\) 的有限群概形；

\(A[n]\) 在 \(k\) 上平展（étale），当且仅当 \(n \in k^*\)；

若 \(n \in k^*\) 且 \(k\) 代数闭，则 \(A(k)[n] \cong (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{\oplus 2\dim(A)}\)；

若 \(k\) 是特征 \(p > 0\) 的代数闭域，则存在整数 \(0 \leq f \leq \dim(A)\)，使得对所有 \(m \geq 1\) 都有 \(A(k)[p^m] \cong (\mathbf{Z}/p^m\mathbf{Z})^{\oplus f}\)。

证明

(1) 由引理 0BFA 得出。 (2) 由引理 0BFD 得出。 (3) 由引理 0BFG 得出。若 \(k\) 代数闭，则 \(k\) 上簇的满态射在 \(k\)-有理点上诱导满射，故由 (3) 得 (4)。 (5) 由引理 0BFG 以及如下事实得出：次数为 \(N\) 的有限局部自由态射经基变换后，仍是次数为 \(N\) 的有限局部自由态射。(6) 由引理 0BFH 得出。具体地，若 \(n\) 在 \(k\) 中可逆，则 \([n]\) 平展（étale），因而 \(A[n]\) 在 \(k\) 上平展（étale）。另一方面，若 \(n\) 在 \(k\) 中不可逆，则 \([n]\) 在 \(e\) 处不平展（étale），从而 \(A[n]\) 在 \(k\) 上的 \(e\) 处不平展（étale）（使用《概形态射》引理 02GV 和 0475）。

假设 \(k\) 代数闭，令 \(g = \dim(A)\)。证明 (7)。设 \(\ell\) 是在 \(k\) 中可逆的素数。于是 \[A[\ell](k) = A(k)[\ell]\] 是被 \(\ell\) 零化、阶为 \(\ell^{2g}\) 的有限阿贝尔群。由有限阿贝尔群结构定理，它同构于 \((\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z})^{2g}\)。接着考虑短正合列 \[0 \to A(k)[\ell] \to A(k)[\ell^2] \xrightarrow{\ell} A(k)[\ell] \to 0\] 用与上面相同的论证可得 \(A(k)[\ell^2] \cong (\mathbf{Z}/\ell^2\mathbf{Z})^{2g}\)。对指数归纳，得到 \(A(k)[\ell^m] \cong (\mathbf{Z}/\ell^m\mathbf{Z})^{2g}\)。对与 \(k\) 的特征互素的合数 \(n\)，取各主分量，即得到 \(A(k)\) 中 \(n\)-挠子群的正确形式。(8) 的证明完全相同；使用引理 0C0Y 所给出的 \(A(k)[p] \cong (\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^{\oplus f}\)，其中某个 \(0 \leq f \leq g\)。

注

设 \(k\) 为域。阿贝尔簇有 \(2 \times 4 \times 2 = 16\) 个等价定义。考虑以下三组性质：

射影、固有；

几何不可约、不可约、几何连通、连通；

光滑、几何约化。

从每组各选一个性质，并设 \(A\) 为 \(k\) 上的群概形，且这些所选性质都在 \(k\) 上成立，则 \(A\) 是阿贝尔簇。若选取“固有、几何不可约、几何约化”，便恢复定义 03RO （使用《代数簇》引理 038K）。最弱的选择是“固有、连通、几何约化”；例如参见《概形态射》引理 01WC 和《代数簇》引理 056T。因此，设 \(A\) 是 \(k\) 上固有、连通且几何约化的群概形。由引理 0B7Q 和 047M， \(A\) 几何不可约，因而是阿贝尔簇。最后，若 \(A/k\) 是阿贝尔簇，则由命题 03RP，它在 \(k\) 上射影且光滑，因而满足最强的选择“射影、几何不可约、光滑”。

群概形的作用

设 \((G, m)\) 为群，\(V\) 为集合。回顾 \(G\) 在 \(V\) 上的一个 （左）作用由映射 \(a : G \times V \to V\) 给出，并满足

（结合律）对所有 \(g, g' \in G\) 和 \(v \in V\)， \(a(m(g, g'), v) = a(g, a(g', v))\)；
（单位元）对所有 \(v \in V\)，\(a(e, v) = v\)。

也称 \(V\) 是一个\(G\)-集（这通常意味着从记号中省略 \(a\)，是一种记号滥用）。\(G\)-集的映射 \(\psi : V \to V'\) 是满足如下条件的任意集合映射：对所有 \(v \in V\) 都有 \(\psi(a(g, v)) = a(g, \psi(v))\)。

定义

设 \(S\) 为概形，\((G, m)\) 为 \(S\) 上的群概形。

\(G\) 在概形 \(X/S\) 上的作用是 \(S\) 上的态射 \(a : G \times_S X \to X\)，使得对每个 \(T/S\)，映射 \(a : G(T) \times X(T) \to X(T)\) 都在 \(X(T)\) 上定义 \(G(T)\)-集结构。

设 \(X\)、\(Y\) 是 \(S\) 上各自带有 \(G\)-作用的概形。一个等变态射，更准确地说，一个\(G\)-等变态射 \(\psi : X \to Y\)，是 \(S\) 上的概形态射，并使得对每个 \(T/S\)， \(\psi : X(T) \to Y(T)\) 都是 \(G(T)\)-集的态射。

在情形 (1) 中，这表示下列诸图交换： [03LD]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ G \times_S G \times_S X \ar[r]_-{1_G \times a} \ar[d]_{m \times 1_X} & G \times_S X \ar[d]^a \\ G \times_S X \ar[r]^a & X } } \quad\quad \vcenter{ \xymatrix{ G \times_S X \ar[r]_-a & X \\ X\ar[u]^{e \times 1_X} \ar[ru]_{1_X} } } \end{equation}\] 在情形 (2) 中，这仅表示下图交换： \[\xymatrix{ G \times_S X \ar[r]_-{\text{id} \times \psi} \ar[d]_a & G \times_S Y \ar[d]^a \\ X \ar[r]^\psi & Y }\]

定义

设 \(S\)、\(G \to S\)、\(X \to S\) 如定义 022Z 所述。设 \(a : G \times_S X \to X\) 是 \(G\) 在 \(X/S\) 上的作用。若对每个 \(S\) 上的概形 \(T\)，作用 \(a : G(T) \times X(T) \to X(T)\) 都是群 \(G(T)\) 在集合 \(X(T)\) 上的自由作用，则称该作用是自由的。

引理

情形如定义 07S1。作用 \(a\) 自由，当且仅当 \[G \times_S X \to X \times_S X, \quad (g, x) \mapsto (a(g, x), x)\] 是单态射。

证明

由定义立即可得。

主齐性空间

在《位点上同调》定义 03AH 中，我们定义了一个位点上群层的扭子。设 \(\tau \in \{Zariski, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic, \linebreak[0] fppf\}\) 为一种拓扑，而 \((G, m)\) 是 \(S\) 上的群概形。由于 \(\tau\) 强于典范拓扑（见《下降》引理 023Q）， \(\underline{G}\)（见《位点与层》定义 00WR）是 \((\Sch/S)_\tau\) 上的群层。因此，我们已经知道 \((\Sch/S)_\tau\) 上 \(\underline{G}\)-扭子的含义。若该层可表示，便出现一种特殊情形。下述定义直接说明：表示它的概形何时为 \(G\)-扭子。

定义

设 \(S\) 为概形，\((G, m)\) 为 \(S\) 上的群概形，\(X\) 为 \(S\) 上的概形，并设 \(a : G \times_S X \to X\) 是 \(G\) 在 \(X\) 上的作用。

若诱导的 \(S\) 上概形态射 \(G \times_S X \to X \times_S X\)， \((g, x) \mapsto (a(g, x), x)\) 是同构，则称 \(X\) 是 伪 \(G\)-扭子，或称 \(X\) 在 \(G\) 下形式主齐。

若存在 \(S\) 上的 \(G\)-等变同构 \(G \to X\)，其中 \(G\) 通过左乘作用于 \(G\)，则称伪 \(G\)-扭子 \(X\) 是平凡的。

显然，若 \(S' \to S\) 是概形态射，则 \(S\) 上伪 \(G\)-扭子的拉回 \(X_{S'}\) 是 \(S'\) 上的伪 \(G_{S'}\)-扭子。

引理

情形如定义 0498。

概形 \(X\) 是伪 \(G\)-扭子，当且仅当对 \(S\) 上的每个概形 \(T\)，集合 \(X(T)\) 要么为空，要么群 \(G(T)\) 在 \(X(T)\) 上的作用是单传递的。

伪 \(G\)-扭子 \(X\) 平凡，当且仅当态射 \(X \to S\) 有截面。

证明

证明略。

定义

设 \(S\) 为概形，\((G, m)\) 为 \(S\) 上的群概形，\(X\) 为 \(S\) 上的伪 \(G\)-扭子。

若存在 fpqc 覆盖³ \(\{S_i \to S\}_{i \in I}\)，使得每个 \(X_{S_i} \to S_i\) 都有截面（即为平凡伪 \(G_{S_i}\)-扭子），则称 \(X\) 是主齐性空间或\(G\)-扭子。

设 \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\)。若存在 \(\tau\)-覆盖 \(\{S_i \to S\}_{i \in I}\)，使得每个 \(X_{S_i} \to S_i\) 都有截面，则称 \(X\) 是 \(\tau\) 拓扑中的 \(G\)-扭子、\(\tau\) \(G\)-扭子，或简称\(\tau\) 扭子。

若 \(X\) 是 \(G\)-扭子，并且它是 étale 拓扑的扭子，则称其拟等平凡。

若 \(X\) 是 \(G\)-扭子，并且它是 Zariski 拓扑的扭子，则称其局部平凡。

我们有时说“设 \(X\) 是 \(S\) 上的 \(G\)-扭子”，意指 \(X\) 是 \(S\) 上带有 \(G\)-作用的概形，并且该作用使它成为 \(S\) 上的主齐性空间。下面说明，当两种说法都适用时，这与先前引入的记号一致。

引理

设 \(S\) 为概形，\((G, m)\) 为 \(S\) 上的群概形，\(X\) 为 \(S\) 上的概形，并设 \(a : G \times_S X \to X\) 是 \(G\) 在 \(X\) 上的作用。设 \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\)。则 \(X\) 是 \(\tau\)-拓扑中的 \(G\)-扭子，当且仅当 \(\underline{X}\) 是 \((\Sch/S)_\tau\) 上的 \(\underline{G}\)-扭子。

证明

证明略。

注

设 \((G, m)\) 为概形 \(S\) 上的群概形。在这种情形下，自然会问：

若 \(X \to S\) 是伪 \(G\)-扭子且 \(X \to S\) 满射，则 \(X\) 是否必为 \(G\)-扭子？

\((\Sch/S)_{fppf}\) 上的每个 \(\underline{G}\)-扭子是否可表示？换言之，每个 \(\underline{G}\)-扭子是否都来自某个 fppf \(G\)-扭子？

每个 \(G\)-扭子是否都是 fppf（相应地， smooth；相应地， étale；相应地， Zariski）扭子？

一般而言，这些问题的答案都是否定的。要得到肯定答案，需要对 \(G \to S\) 施加附加条件。例如：若 \(S\) 是一个域的谱，则 (1) 的答案为肯定，因为此时 \(\{X \to S\}\) 是使 \(X\) 平凡化的 fpqc 覆盖。若 \(G \to S\) 仿射，则 (2) 的答案为肯定（由《下降》引理 0245 得出）。若 \(G = \text{GL}_{n, S}\)，则 (3) 的答案为肯定；事实上，任意 \(\text{GL}_{n, S}\)-扭子都局部平凡（由《下降》引理 05B2 得出）。

等变拟凝聚层

我们把“函数”看作与“空间”对偶。因此，空间的态射所诱导的函数映射方向相反。此外，也把模层的截面看作“函数”。这自然导向下述定义中所选的箭头方向。

定义

设 \(S\) 为概形，\((G, m)\) 为 \(S\) 上的群概形，并设 \(a : G \times_S X \to X\) 是群概形 \(G\) 在 \(X/S\) 上的作用。一个\(G\)-等变拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，或简称 等变拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，是二元组 \((\mathcal{F}, \alpha)\)，其中 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，而 \(\alpha\) 是 \(\mathcal{O}_{G \times_S X}\)-模同态 \[\alpha : a^*\mathcal{F} \longrightarrow \text{pr}_1^*\mathcal{F}\] 这里 \(\text{pr}_1 : G \times_S X \to X\) 是投影，并且满足：

下图在 \(\mathcal{O}_{G \times_S G \times_S X}\)-模范畴中交换： \[\xymatrix{ (1_G \times a)^*\text{pr}_1^*\mathcal{F} \ar[r]_-{\text{pr}_{12}^*\alpha} & \text{pr}_2^*\mathcal{F} \\ (1_G \times a)^*a^*\mathcal{F} \ar[u]^{(1_G \times a)^*\alpha} \ar@{=}[r] & (m \times 1_X)^*a^*\mathcal{F} \ar[u]_{(m \times 1_X)^*\alpha} }\]

拉回 \[(e \times 1_X)^*\alpha : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] 是恒等映射。

有关说明，可与 Equation (03LD) 中的相应图比较。

注意，第一个图的交换性保证 \((e \times 1_X)^*\alpha\) 是 \(\mathcal{F}\) 上的幂等算子；因此条件 (2) 仅仅要求它是同构。

引理

设 \(S\) 为概形，\(G\) 为 \(S\) 上的群概形。设 \(f : Y \to X\) 是两个带 \(G\)-作用的 \(S\)-概形之间的 \(G\)-等变态射。规则 \((\mathcal{F}, \alpha) \mapsto (f^*\mathcal{F}, (1_G \times f)^*\alpha)\) 定义了从 \(G\)-等变拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模范畴到 \(G\)-等变拟凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模范畴的函子。

证明

证明略。

下面给出一个例子。

例

设 \(A\) 为 \(\mathbf{Z}\)-分次环；也就是说，\(A\) 带有直和分解 \(A = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} A_n\)，且 \(A_n \cdot A_m \subset A_{n + m}\)。令 \(X = \Spec(A)\)。环同态 \(\mu : A \to A \otimes \mathbf{Z}[x, x^{-1}]\)， \(f \mapsto f \otimes x^{\deg(f)}\)，给出一个 \(\mathbf{G}_m\)-作用 \[a : \mathbf{G}_m \times X \longrightarrow X\] 。确切地说，只需验证 \[\xymatrix{ A \ar[r]_\mu \ar[d]_\mu & A \otimes \mathbf{Z}[x, x^{-1}] \ar[d]^{\mu \otimes 1} \\ A \otimes \mathbf{Z}[x, x^{-1}] \ar[r]^-{1 \otimes m} & A \otimes \mathbf{Z}[x, x^{-1}] \otimes \mathbf{Z}[x, x^{-1}] }\] 其中 \(m(x) = x \otimes x\)；见例 022U。在齐次元上求值便立即可见。设 \(M\) 是分次 \(A\)-模。使用定义 03LF 中的 \(\alpha\)，即可得到 \(\mathbf{G}_m\)-等变拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\)；该映射对应于 \(A \otimes \mathbf{Z}[x, x^{-1}]\)-模同态 \[M \otimes_{A, \mu} (A \otimes \mathbf{Z}[x, x^{-1}]) \longrightarrow M \otimes_{A, \text{id}_A \otimes 1} (A \otimes \mathbf{Z}[x, x^{-1}])\] 它对齐次的 \(m \in M\)，把 \(m \otimes 1 \otimes 1\) 映到 \(m \otimes 1 \otimes x^{\deg(m)}\)。

引理

设 \(a : \mathbf{G}_m \times X \to X\) 是仿射概形上的作用。则 \(X\) 是某个 \(\mathbf{Z}\)-分次环的谱，且该作用如例 0EKJ 所述。

证明

设 \(f \in A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)。可以唯一地写成有限和 \[a^\sharp(f) = \sum\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} f_n \otimes x^n \quad\text{于}\quad A \otimes \mathbf{Z}[x, x^{-1}] = \Gamma(\mathbf{G}_m \times X, \mathcal{O}_{\mathbf{G}_m \times X})\] 其中 \(f_n\) 属于 \(A\)。于是得到映射 \(A \to A\)，\(f \mapsto f_n\)。由于 \(a\) 是作用，在 \(x = 1\) 处求值可得 \(f = \sum f_n\)。再由 \(a\) 是作用，有 \[\sum (f_n)_m \otimes x^m \otimes x^n = \sum f_n x^n \otimes x^n\] （比较例 0EKJ 中的计算）。所以当 \(n \not = m\) 时 \((f_n)_m = 0\)，且 \((f_n)_n = f_n\)。令 \[A_n = \{f \in A \mid f_n = f\}\] 则 \(A = \sum A_n\)。另一方面，在上述情形中，\(f = 0\) 蕴含 \(f_n = 0\)，所以该和必为直和。

引理

设 \(A\) 为分次环，\(X = \Spec(A)\) 带有例 0EKJ 中的作用 \(a : \mathbf{G}_m \times X \to X\)。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathbf{G}_m\)-等变拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \(M = \Gamma(X, \mathcal{F})\) 具有典范分次，使其成为分次 \(A\)-模，并使同构 \(\widetilde{M} \to \mathcal{F}\) （《概形》引理 01IA）成为 \(\mathbf{G}_m\)-等变模的同构；其中 \(\widetilde{M}\) 上的 \(\mathbf{G}_m\)-等变结构来自例 0EKJ。

证明

可以对模 \(M\) 重复引理 0EKK 的论证。也可以考虑概形 \((X', \mathcal{O}_{X'}) = (X, \mathcal{O}_X \oplus \mathcal{F})\)，其中把 \(\mathcal{F}\) 看成平方为零的理想。利用 \(X\) 上以及 \(\mathcal{F}\) 上的作用，可定义自然作用 \(a' : \mathbf{G}_m \times X' \to X'\)。然后对 \(X'\) 应用引理 0EKK 即得结论。（这一论证的优点是，它立即说明 \(A\) 和 \(M\) 上的分次相容；也就是说，\(M\) 是分次 \(A\)-模。）细节略。

群胚

回顾群胚是每个态射均为同构的范畴；见《范畴》定义 0018。因此，群胚有对象集 \(\text{Ob}\)、箭头集 \(\text{Arrows}\)、源与靶映射 \(s, t : \text{Arrows} \to \text{Ob}\)，以及合成律 \(c : \text{Arrows} \times_{s, \text{Ob}, t} \text{Arrows} \to \text{Arrows}\)。这些映射恰好满足下列公理：

（结合律）作为映射 \(\text{Arrows} \times_{s, \text{Ob}, t} \text{Arrows} \times_{s, \text{Ob}, t} \text{Arrows} \to \text{Arrows}\)，有 \(c \circ (1, c) = c \circ (c, 1)\)；
（恒等）存在映射 \(e : \text{Ob} \to \text{Arrows}\)，使得
1. 作为映射 \(\text{Ob} \to \text{Ob}\)，有 \(s \circ e = t \circ e = \text{id}\)；
2. 作为映射 \(\text{Arrows} \to \text{Arrows}\)，有 \(c \circ (1, e \circ s) = c \circ (e \circ t, 1) = 1\)；
（取逆）存在映射 \(i : \text{Arrows} \to \text{Arrows}\)，使得
1. 作为映射 \(\text{Arrows} \to \text{Ob}\)，有 \(s \circ i = t\)、\(t \circ i = s\)；且
2. 作为映射 \(\text{Arrows} \to \text{Arrows}\)，有 \(c \circ (1, i) = e \circ t\) 以及 \(c \circ (i, 1) = e \circ s\)。

若这些条件成立，则映射 \(e\) 和 \(i\) 唯一确定，且 \(i\) 是双射。注意，若 \((\text{Ob}', \text{Arrows}', s', t', c')\) 是另一个群胚范畴，则函子 \(f : (\text{Ob}, \text{Arrows}, s, t, c) \to (\text{Ob}', \text{Arrows}', s', t', c')\) 由一对集合映射 \(f : \text{Ob} \to \text{Ob}'\) 与 \(f : \text{Arrows} \to \text{Arrows}'\) 给出，它们满足 \(s' \circ f = f \circ s\)、\(t' \circ f = f \circ t\) 以及 \(c' \circ (f, f) = f \circ c\)。与恒等和取逆的相容性自动成立。下文将使用这一点。（警告：对一般范畴，必须另行要求与恒等的相容性。）

定义

设 \(S\) 为概形。

一个\(S\) 上的群胚概形，或简称 \(S\) 上的群胚，是五元组 \((U, R, s, t, c)\)，其中 \(U\) 和 \(R\) 是 \(S\) 上的概形，而 \(s, t : R \to U\) 以及 \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\) 是 \(S\) 上的概形态射，并满足如下性质：对任意 \(S\) 上的概形 \(T\)，五元组 \[(U(T), R(T), s, t, c)\] 都是上述意义下的群胚范畴。

一个\(S\) 上群胚概形的态射 \(f : (U, R, s, t, c) \to (U', R', s', t', c')\) 由概形态射 \(f : U \to U'\) 与 \(f : R \to R'\) 给出，并满足如下性质：对任意 \(S\) 上的概形 \(T\)，映射 \(f\) 定义了从群胚范畴 \((U(T), R(T), s, t, c)\) 到群胚范畴 \((U'(T), R'(T), s', t', c')\) 的函子。

设 \((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚。由定义前的讨论以及米田引理，存在唯一的 \(S\) 上概形态射 \(e : U \to R\) 和 \(i : R \to R\)，使得对每个 \(S\) 上的概形 \(T\)，诱导映射 \(e : U(T) \to R(T)\) 是恒等，而 \(i : R(T) \to R(T)\) 是群胚范畴中的取逆。七元组 \((U, R, s, t, c, e, i)\) 满足对应于上述公理 (1)、(2)(a)、(2)(b)、(3)(a)、(3)(b) 的各交换图。反之，具有这一性质的七元组，其五元组 \((U, R, s, t, c)\) 是群胚概形。注意，\(i\) 是同构，而 \(e\) 同时是 \(s\) 和 \(t\) 的截面。此外，对一个给定的 \(S\) 上群胚概形，记 \[j = (t, s) : R \longrightarrow U \times_S U\] 这与上文第 022O 节中的约定相容。我们有时说“设 \((U, R, s, t, c, e, i)\) 为 \(S\) 上的群胚”，以强调恒等与取逆的存在。

引理

给定 \(S\) 上的群胚概形 \((U, R, s, t, c)\)，态射 \(j : R \to U \times_S U\) 是预等价关系。

证明

证明略。这是一个很好的定义练习。

引理

给定 \(S\) 上的等价关系 \(j : R \to U \times_S U\)，存在唯一的方式把它扩张为 \(S\) 上的群胚 \((U, R, s, t, c)\)。

证明

证明略。这是一个很好的定义练习。

引理

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚。在交换图 \[\xymatrix{ & U & \\ R \ar[d]_s \ar[ru]^t & R \times_{s, U, t} R \ar[l]^-{\text{pr}_0} \ar[d]^{\text{pr}_1} \ar[r]_-c & R \ar[d]^s \ar[lu]_t \\ U & R \ar[l]_t \ar[r]^s & U }\] 中，下面两个方块都是纤维积方块。此外，上面的三角形（实际上也是方块）同样是笛卡尔的。

证明

证明略。这是关于定义以及代数几何函子观点的练习。

引理

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c, e, i)\) 为 \(S\) 上的群胚。图 [03C7]\[\begin{equation} \xymatrix{ R \times_{t, U, t} R \ar@<1ex>[r]^-{\text{pr}_1} \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_0} \ar[d]_{(\text{pr}_0, c \circ (i, 1))} & R \ar[r]^t \ar[d]^{\text{id}_R} & U \ar[d]^{\text{id}_U} \\ R \times_{s, U, t} R \ar@<1ex>[r]^-c \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_0} \ar[d]_{\text{pr}_1} & R \ar[r]^t \ar[d]^s & U \\ R \ar@<1ex>[r]^s \ar@<-1ex>[r]_t & U } \end{equation}\] 交换。给出的竖直映射使上面两行彼此同构。左下方的两个方块都是笛卡尔的。

证明

该图的交换性由群胚公理得出。用群胚的语言说，左上方的竖直箭头把具有相同靶的一对态射 \((\alpha, \beta)\) 映到一对态射 \((\alpha, \alpha^{-1} \circ \beta)\)。在任意群胚中，这定义了 \(\text{Arrows} \times_{t, \text{Ob}, t} \text{Arrows}\) 与 \(\text{Arrows} \times_{s, \text{Ob}, t} \text{Arrows}\) 之间的双射，故引理的第二个断言成立。最后一个断言由引理 02YE 得出。

引理

设 \((U, R, s, t, c)\) 为概形 \(S\) 上的群胚，\(S' \to S\) 为态射。令 \(U' = S' \times_S U\)、\(R' = S' \times_S R\)，并赋予它们态射 \(s, t, c\) 的基变换 \(s'\)、\(t'\)、\(c'\)。则 \((U', R', s', t', c')\) 是 \(S'\) 上的群胚概形，而诸投影决定 \(S\) 上群胚概形的态射 \((U', R', s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\)。

证明

证明略。提示： \(R' \times_{s', U', t'} R' = S' \times_S (R \times_{s, U, t} R)\)。

群胚上的拟凝聚层

关于箭头方向的约定，见第 03LE 节的引言。

定义

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。所谓 \((U, R, s, t, c)\) 上的一个拟凝聚模，是指一对 \((\mathcal{F}, \alpha)\)，其中 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模，而 \(\alpha\) 是 \(\mathcal{O}_R\)-模态射 \[\alpha : t^*\mathcal{F} \longrightarrow s^*\mathcal{F}\] 满足：

图 \[\xymatrix{ & \text{pr}_1^*t^*\mathcal{F} \ar[r]_-{\text{pr}_1^*\alpha} & \text{pr}_1^*s^*\mathcal{F} \ar@{=}[rd] & \\ \text{pr}_0^*s^*\mathcal{F} \ar@{=}[ru] & & & c^*s^*\mathcal{F} \\ & \text{pr}_0^*t^*\mathcal{F} \ar[lu]^{\text{pr}_0^*\alpha} \ar@{=}[r] & c^*t^*\mathcal{F} \ar[ru]_{c^*\alpha} }\] 在 \(\mathcal{O}_{R \times_{s, U, t} R}\)-模范畴中交换；

拉回 \[e^*\alpha : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] 是恒等态射。

可与引理 02YE 中的交换图比较。

第一个图的交换性迫使算子 \(e^*\alpha\) 幂等。因此，第二个条件也可表述为 \(e^*\alpha\) 是同构。事实上，该条件蕴含 \(\alpha\) 是同构。

引理

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。若 \((\mathcal{F}, \alpha)\) 是 \((U, R, s, t, c)\) 上的拟凝聚模，则 \(\alpha\) 是同构。

证明

沿态射 \((i, 1) : R \to R \times_{s, U, t} R\) 拉回定义 03LI 中的交换图。由此得到 \(i^*\alpha \circ \alpha = s^*e^*\alpha\)。再沿态射 \((1, i)\) 拉回，得到关系 \(\alpha \circ i^*\alpha = t^*e^*\alpha\)。由第二个假设，这些态射都是恒等态射。因此 \(i^*\alpha\) 是 \(\alpha\) 的逆。

引理

设 \(S\) 为概形，并考虑 \(S\) 上群胚概形的态射 \(f : (U, R, s, t, c) \to (U', R', s', t', c')\)。则由 \[(\mathcal{F}, \alpha) \mapsto (f^*\mathcal{F}, f^*\alpha)\] 给出的拉回 \(f^*\)，定义了从 \((U', R', s', t', c')\) 上的拟凝聚层范畴到 \((U, R, s, t, c)\) 上的拟凝聚层范畴的函子。

证明

证明略。

引理

设 \(S\) 为概形，并考虑 \(S\) 上群胚概形的态射 \(f : (U, R, s, t, c) \to (U', R', s', t', c')\)。假设：

\(f : U \to U'\) 拟紧且拟分离；

方块 \[\xymatrix{ R \ar[d]_t \ar[r]_f & R' \ar[d]^{t'} \\ U \ar[r]^f & U' }\] 是笛卡尔的；

\(s'\) 和 \(t'\) 平坦。

则由 \[(\mathcal{F}, \alpha) \mapsto (f_*\mathcal{F}, f_*\alpha)\] 给出的推前 \(f_*\)，定义了从 \((U, R, s, t, c)\) 上的拟凝聚层范畴到 \((U', R', s', t', c')\) 上的拟凝聚层范畴的函子；它是引理 03LJ 所定义的拉回的右伴随。

证明

由于 \(U \to U'\) 拟紧且拟分离，\(f_*\) 把拟凝聚层变为拟凝聚层（《概形》引理 01LC）。又因方块 \[\vcenter{ \xymatrix{ R \ar[d]_t \ar[r]_f & R' \ar[d]^{t'} \\ U \ar[r]^f & U' } } \quad\text{且}\quad \vcenter{ \xymatrix{ R \ar[d]_s \ar[r]_f & R' \ar[d]^{s'} \\ U \ar[r]^f & U' } }\] 均为笛卡尔的，故 \((t')^*f_*\mathcal{F} = f_*t^*\mathcal{F}\) 以及 \((s')^*f_*\mathcal{F} = f_*s^*\mathcal{F}\)，见《概形上同调》引理 02KH。所以可把 \(f_*\alpha\) 视为态射 \((t')^*f_*\mathcal{F} \to (s')^*f_*\mathcal{F}\)。类似论证表明 \(f_*\alpha\) 满足上循环条件。该函子与拉回函子伴随，因为环空间上模的拉回与推前彼此伴随。其余细节略去。

引理

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。则 \((U, R, s, t, c)\) 上的拟凝聚模范畴有余极限。

证明

设 \(i \mapsto (\mathcal{F}_i, \alpha_i)\) 是以 \(\mathcal{I}\) 为指标范畴的图。可以形成余极限 \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\)；它是 \(U\) 上的拟凝聚层，见《概形》第 01LA 节。由于余极限与拉回交换，有 \(s^*\mathcal{F} = \colim s^*\mathcal{F}_i\)，类似地还有 \(t^*\mathcal{F} = \colim t^*\mathcal{F}_i\)。因此可以令 \(\alpha = \colim \alpha_i\)。我们略去证明：在 \((U, R, s, t, c)\) 上的拟凝聚模范畴中，\((\mathcal{F}, \alpha)\) 确为该图的余极限。

引理

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。若 \(s\)、\(t\) 平坦，则 \((U, R, s, t, c)\) 上的拟凝聚模范畴是阿贝尔范畴。

证明

设 \(\varphi : (\mathcal{F}, \alpha) \to (\mathcal{G}, \beta)\) 是 \((U, R, s, t, c)\) 上拟凝聚模的同态。由于 \(s\) 平坦， \[0 \to s^*\Ker(\varphi) \to s^*\mathcal{F} \to s^*\mathcal{G} \to s^*\Coker(\varphi) \to 0\] 正合；沿 \(t\) 拉回亦然。因此 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 诱导同构 \(\kappa : t^*\Ker(\varphi) \to s^*\Ker(\varphi)\) 以及 \(\lambda : t^*\Coker(\varphi) \to s^*\Coker(\varphi)\)，且二者满足上循环条件。直接验证可知， \((\Ker(\varphi), \kappa)\) 和 \((\Coker(\varphi), \lambda)\) 分别是 \((U, R, s, t, c)\) 上拟凝聚模范畴中的核与余核。此外，条件 \(\Coim(\varphi) = \Im(\varphi)\) 成立，因为它在 \(U\) 上成立。

拟凝聚模的余极限

本节证明若干技术性结果：在适当假设下，群胚上的每个拟凝聚模都是“较小”拟凝聚模的滤过余极限。

引理

设 \((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。假设 \(s, t\) 平坦、拟紧且拟分离。对于 \(U\) 上任意拟凝聚模 \(\mathcal{G}\)，存在典范同构 \(\alpha : t^*s_*t^*\mathcal{G} \to s^*s_*t^*\mathcal{G}\)，使 \((s_*t^*\mathcal{G}, \alpha)\) 成为 \((U, R, s, t, c)\) 上的拟凝聚模。这一构造定义函子 \[\QCoh(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \QCoh(U, R, s, t, c)\] 且该函子是遗忘函子 \((\mathcal{F}, \beta) \mapsto \mathcal{F}\) 的右伴随。

证明

拟凝聚模沿拟紧拟分离态射的推前仍是拟凝聚的，见《概形》引理 01LC。因此 \(s_*t^*\mathcal{G}\) 拟凝聚。采用引理 02YE 中的记号，有 \[t^*s_*t^*\mathcal{G} = \text{pr}_{1, *}\text{pr}_0^*t^*\mathcal{G} = \text{pr}_{1, *}c^*t^*\mathcal{G} = s^*s_*t^*\mathcal{G}\] 中间的等式源于态射 \(R \times_{s, U, t} R \to U\) 满足 \(t \circ c = t \circ \text{pr}_0\)；首尾两个等式则源于这些步骤中基变换与推前交换，见《概形上同调》引理 02KH。

为了验证 \(\alpha\) 满足定义 03LI 中的上循环条件以及伴随性质，我们换一种方式描述构造 \(\mathcal{G} \mapsto (s_*t^*\mathcal{G}, \alpha)\)。考虑由 \(R\) 上等价关系 \(R \times_{t, U, t} R\) 所关联的群胚概形 \((R, R \times_{t, U, t} R, \text{pr}_0, \text{pr}_1, \text{pr}_{02})\)，见引理 0233。存在群胚概形态射 \[f : (R, R \times_{t, U, t} R, \text{pr}_1, \text{pr}_0, \text{pr}_{02}) \longrightarrow (U, R, s, t, c)\] 它在对象上由 \(s : R \to U\) 给出，在箭头上由 \(R \times_{t, U, t} R \to R\)， \((r_0, r_1) \mapsto r_0^{-1} \circ r_1\) 给出；所需诸图交换性的验证从略。由于 \(t, s : R \to U\) 拟紧、拟分离且平坦，并且由引理 03C6 有笛卡尔方块 \[\xymatrix{ R \times_{t, U, t} R \ar[d]_{\text{pr}_0} \ar[rr]_-{(r_0, r_1) \mapsto r_0^{-1} \circ r_1} & & R \ar[d]^t \\ R \ar[rr]^s & & U }\] 故引理 09VH 适用于 \(f\)。于是拟凝聚模沿 \(f\) 的推前与拉回互为伴随函子。为完成证明，我们把这些函子与上面描述的函子识别起来。注意 \[t^* : \QCoh(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \QCoh(R, R \times_{t, U, t} R, \text{pr}_1, \text{pr}_0, \text{pr}_{02})\] 是范畴等价；这是拟凝聚层的下降理论，因为 \(\{t : R \to U\}\) 是 fpqc 覆盖，见《下降》命题 023T。

沿 \(f\) 推前并预复合等价 \(t^*\)，会把 \(\mathcal{G}\) 送到 \((s_*t^*\mathcal{G}, \alpha)\)。我们略去验证以此方式得到的同构 \(\alpha\) 与上面构造的同构相同。

沿 \(f\) 拉回并后复合等价 \(t^*\) 的逆，会把 \((\mathcal{F}, \beta)\) 送到模 \(s^*\mathcal{F}\) 相对于 \(\{t : R \to U\}\) 的下降；这里该模配备 \(R \times_{t, U, t} R\) 上的下降数据 \(\gamma\)，它是 \(\beta\) 沿 \((r_0, r_1) \mapsto r_0^{-1} \circ r_1\) 的拉回。考虑同构 \(\beta : t^*\mathcal{F} \to s^*\mathcal{F}\)。 \(t^*\mathcal{F}\) 相对于 \(\{t : R \to U\}\) 的典范下降数据（《下降》定义 023D）经 \(\beta\) 转化为态射 \[\text{pr}_0^*s^*\mathcal{F} \xrightarrow{\text{pr}_0^*\beta^{-1}} \text{pr}_0^*t^*\mathcal{F} \xrightarrow{can} \text{pr}_1^*t^*\mathcal{F} \xrightarrow{\text{pr}_1^*\beta} \text{pr}_1^*s^*\mathcal{F}\] 由于 \(\beta\) 满足上循环条件，此态射等于 \(\beta\) 沿 \((r_0, r_1) \mapsto r_0^{-1} \circ r_1\) 的拉回。为此，只需取定义 03LI 中实际的上循环关系，并沿态射 \((\text{pr}_0, c \circ (i, 1)) : R \times_{t, U, t} R \to R \times_{s, U, t} R\) 将其拉回；该态射也出现在引理 03C6 的交换图中。因此 \((s^*\mathcal{F}, \gamma)\) 同构于 \((t^*\mathcal{F}, can)\)。综上，沿 \(f\) 拉回再后复合等价 \(t^*\) 的逆所得函子，同构于遗忘函子 \((\mathcal{F}, \beta) \mapsto \mathcal{F}\)。

注

在引理 07TR 的情形下，记遗忘函子为 \[F : \QCoh(U, R, s, t, c) \to \QCoh(\mathcal{O}_U),\quad (\mathcal{F}, \beta) \mapsto \mathcal{F}\] 并记该引理中构造的右伴随为 \[G : \QCoh(\mathcal{O}_U) \to \QCoh(U, R, s, t, c),\quad \mathcal{G} \mapsto (s_*t^*\mathcal{G}, \alpha)\] 则伴随的单位 \(\eta : \text{id} \to G \circ F\) 在 \((\mathcal{F}, \beta)\) 上取值为态射 \[\mathcal{F} \to s_*s^*\mathcal{F} \xrightarrow{\beta^{-1}} s_*t^*\mathcal{F}\] 验证从略。

引理

设 \(f : Y \to X\) 为概形态射，\(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，\(\mathcal{G}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模，并设 \(\varphi : \mathcal{G} \to f^*\mathcal{F}\) 为模态射。假设：

\(\varphi\) 是单射；

\(f\) 拟紧、拟分离、平坦且满射；

\(X\), \(Y\) 局部 Noether；

\(\mathcal{G}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模。

则由拉回 \[\xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r] & f_*f^*\mathcal{F} \\ \mathcal{F} \cap f_*\mathcal{G} \ar[u] \ar[r] & f_*\mathcal{G} \ar[u] }\] 定义的 \(\mathcal{F} \cap f_*\mathcal{G}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。

证明

我们将直接使用《概形上同调》引理 01XZ 对凝聚模的刻画，以及凝聚模构成 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 的 Serre 子范畴这一事实；见《概形上同调》引理 01Y1。若 \(f\) 有截面 \(\sigma\)，则 \(\mathcal{F} \cap f_*\mathcal{G}\) 包含于态射 \(\sigma^*\mathcal{G} \to \sigma^*f^*\mathcal{F} = \mathcal{F}\) 的像中，因而是凝聚的。一般地，为证明 \(\mathcal{F} \cap f_*\mathcal{G}\) 凝聚，只需证明 \(f^*(\mathcal{F} \cap f_*\mathcal{G})\) 凝聚（见《下降》引理 05AZ）。由于 \(f\) 平坦，它等于 \(f^*\mathcal{F} \cap f^*f_*\mathcal{G}\)。又因 \(f\) 平坦、拟紧且拟分离，故 \(f^*f_*\mathcal{G} = p_*q^*\mathcal{G}\)，其中 \(p, q : Y \times_X Y \to Y\) 是投影；见《概形上同调》引理 02KH。由于 \(p\) 有截面，结论成立。

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的概形群胚。假设 \(U\) 局部 Noether。在下面的引理中，如果 \((U, R, s, t, c)\) 上拟凝聚层 \((\mathcal{F}, \alpha)\) 的 \(\mathcal{O}_U\)-模 \(\mathcal{F}\) 是凝聚的，我们就称它是 凝聚的。

引理

设 \((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。假设：

\(U\), \(R\) 是 Noether 概形；

\(s, t\) 平坦、拟紧且拟分离。

则 \((U, R, s, t, c)\) 上的每个拟凝聚模 \((\mathcal{F}, \beta)\) 都是凝聚模的滤过余极限。

证明

我们将不再特别说明而使用《概形上同调》引理 01XZ 对局部 Noether 概形上凝聚模的刻画。由《概形上同调》引理 0GN6，可将 \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{H}_i\) 写成凝聚子模 \(\mathcal{H}_i \subset \mathcal{F}\) 的滤过余极限。给定 \(U\) 上拟凝聚层 \(\mathcal{H}\)，以 \((s_*t^*\mathcal{H}, \alpha)\) 表示引理 07TR 给出的 \((U, R, s, t, c)\) 上拟凝聚层。考虑 \(\QCoh(U, R, s, t, c)\) 中的伴随态射 \((\mathcal{F}, \beta) \to (s_*t^*\mathcal{F}, \alpha)\)，见注 0GNF。令 \[(\mathcal{F}_i, \beta_i) = (\mathcal{F}, \beta) \times_{(s_*t^*\mathcal{F}, \alpha)} (s_*t^*\mathcal{H}_i, \alpha)\] 这是在 \(\QCoh(U, R, s, t, c)\) 中取的纤维积。根据引理 077S 的证明，限制到 \(U\) 是 \(\QCoh(U, R, s, t, c)\) 上的正合函子，故得到拉回图 \[\xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r] & s_*t^*\mathcal{F} \\ \mathcal{F}_i \ar[r] \ar[u] & s_*t^*\mathcal{H}_i \ar[u] }\] 换言之，\(\mathcal{F}_i = \mathcal{F} \cap s_*t^*\mathcal{H}_i\)。由注 0GNF 中对伴随态射的描述，该图同构于 \[\xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r] & s_*s^*\mathcal{F} \\ \mathcal{F}_i \ar[r] \ar[u] & s_*t^*\mathcal{H}_i \ar[u] }\] 其中右侧竖直箭头由对态射 \[t^*\mathcal{H}_i \to t^*\mathcal{F} \xrightarrow{\beta} s^*\mathcal{F}\] 施以 \(s_*\) 得到。由于 \(t\) 平坦，该箭头是单射。因此由引理 07TT，\(\mathcal{F}_i\) 凝聚。最后，因为 \(s\) 拟紧且拟分离，\(s_*\) 与余极限交换（见《概形上同调》引理 07TB）。故 \(s_*t^*\mathcal{F} = \colim s_*t^*\mathcal{H}_i\)，进而如所需有 \((\mathcal{F}, \beta) = \colim (\mathcal{F}_i, \beta_i)\)。

下面这个颇为有趣的引理在处理域上的群胚时很有用。事实上，它正是证明代数群的任意表示都是有限维表示之余极限的标准论证。

引理

设 \((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。假设：

\(U\), \(R\) 仿射；

存在 \(e_i \in \mathcal{O}_R(R)\)，使得每个元素 \(g \in \mathcal{O}_R(R)\) 都能唯一写成 \(\sum s^*(f_i)e_i\)，其中 \(f_i \in \mathcal{O}_U(U)\)。

则 \((U, R, s, t, c)\) 上每个拟凝聚模 \((\mathcal{F}, \alpha)\) 都是有限型拟凝聚模的滤过余极限。

证明

该假设意指 \(\mathcal{O}_R(R)\) 经由 \(s\) 成为以 \(e_i\) 为基的自由 \(\mathcal{O}_U(U)\)-模。因此对任意拟凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模 \(\mathcal{G}\)，有 \(s^*\mathcal{G}(R) = \bigoplus_i \mathcal{G}(U)e_i\)。我们用 \(s(-)\) 表示截面沿 \(s\) 的拉回，其他态射亦采用类似记号。设 \((\mathcal{F}, \alpha)\) 是 \((U, R, s, t, c)\) 上的拟凝聚模，并取 \(\sigma \in \mathcal{F}(U)\)。由上可唯一写成 \[\alpha(t(\sigma)) = \sum s(\sigma_i) e_i\] 其中 \(\sigma_i \in \mathcal{F}(U)\)（当然，除有限多个外均为零）。还可把 \(R \times_{s, U, t}R\) 上的函数写成 \[c(e_i) = \sum \text{pr}_1(f_{ij}) \text{pr}_0(e_j)\] 定义 03LI 中图的交换性意味着 \[\sum \text{pr}_1(\alpha(t(\sigma_i))) \text{pr}_0(e_i) = \sum \text{pr}_1(s(\sigma_i)f_{ij}) \text{pr}_0(e_j)\] （计算略）。取出 \(\text{pr}_0(e_l)\) 的系数，得到 \(\alpha(t(\sigma_l)) = \sum s(\sigma_i)f_{il}\)。于是，由诸元素 \(\sigma_i\) 生成的子模 \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}\) 定义一个由 \(\alpha\) 保持的有限型拟凝聚模，因而它是 \(\QCoh(U, R, s, t, c)\) 中 \(\mathcal{F}\) 的子对象。这个子模包含 \(\sigma\) （将第一个关系沿 \(e\) 拉回即可看出），故结论成立。

我们建议读者跳过本节的其余部分。设 \(S\) 为概形， \((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的概形群胚，\(\kappa\) 为一个基数。下文称 \((U, R, s, t, c)\) 上的拟凝聚层 \((\mathcal{F}, \alpha)\) 是 \(\kappa\)-生成的，是指 \(\mathcal{F}\) 是 \(\kappa\)-生成的 \(\mathcal{O}_U\)-模；见《概形的性质》定义 077L。

引理

设 \((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形，\(\kappa\) 为基数。存在集合 \(T\) 以及 \((U, R, s, t, c)\) 上一族 \(\kappa\)-生成拟凝聚模 \((\mathcal{F}_t, \alpha_t)_{t \in T}\)，使得 \((U, R, s, t, c)\) 上每个 \(\kappa\)-生成拟凝聚模都同构于某个 \((\mathcal{F}_t, \alpha_t)\)。

证明

对 \(U\) 上每个拟凝聚模 \(\mathcal{F}\)，使 \((\mathcal{F}, \alpha)\) 成为 \((U, R, s, t, c)\) 上拟凝聚模的态射 \(\alpha : t^*\mathcal{F} \to s^*\mathcal{F}\) 构成一个（可能为空的）集合。由《概形的性质》引理 077M， \(\kappa\)-生成拟凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模的同构类构成一个集合。

引理

设 \((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形，并假设 \(s, t\) 平坦。则存在基数 \(\kappa\)，使得 \((U, R, s, t, c)\) 上每个拟凝聚模 \((\mathcal{F}, \alpha)\) 都是其 \(\kappa\)-生成拟凝聚子模的有向余极限。

证明

在引理的陈述及本证明中，拟凝聚模 \((\mathcal{F}, \alpha)\) 的子模，是指拟凝聚子模 \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}\)，满足作为 \(s^*\mathcal{F}\) 的子层有 \(\alpha(t^*\mathcal{G}) = s^*\mathcal{G}\)。这是有意义的，因为 \(s, t\) 平坦，所以拉回 \(s^*\) 与 \(t^*\) 正合，也就是说它们保持子层。本证明将重复《概形的性质》引理 077N 的证明。我们建议读者先阅读该证明。

选择仿射开覆盖 \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\)。对每一对 \(i, j\)，选择仿射开覆盖 \[U_i \cap U_j = \bigcup\nolimits_{k \in I_{ij}} U_{ijk} \quad\text{且}\quad s^{-1}(U_i) \cap t^{-1}(U_j) = \bigcup\nolimits_{k \in J_{ij}} W_{ijk}.\] 记 \(U_i = \Spec(A_i)\)、\(U_{ijk} = \Spec(A_{ijk})\)、 \(W_{ijk} = \Spec(B_{ijk})\)。令 \(\kappa\) 为任意无限基数，它 \(\geq\) 任一集合 \(I\), \(I_{ij}\), \(J_{ij}\) 的基数。

设 \((\mathcal{F}, \alpha)\) 为 \((U, R, s, t, c)\) 上的拟凝聚模。令 \(M_i = \mathcal{F}(U_i)\)、\(M_{ijk} = \mathcal{F}(U_{ijk})\)。注意 \[M_i \otimes_{A_i} A_{ijk} = M_{ijk} = M_j \otimes_{A_j} A_{ijk}\] 并且 \(\alpha\) 给出同构 \[\alpha|_{W_{ijk}} : M_i \otimes_{A_i, t} B_{ijk} \longrightarrow M_j \otimes_{A_j, s} B_{ijk}\] 见《概形》引理 01I9。利用选择公理，我们选择映射 \[(i, j, k, m) \mapsto S(i, j, k, m)\] 使它对每个 \(i, j \in I\)、\(k \in I_{ij}\) 或 \(k \in J_{ij}\) 以及 \(m \in M_i\)，指定有限子集 \(S(i, j, k, m) \subset M_j\)，从而有 \[m \otimes 1 = \sum\nolimits_{m' \in S(i, j, k, m)} m' \otimes a_{m'} \quad\text{或}\quad \alpha(m \otimes 1) = \sum\nolimits_{m' \in S(i, j, k, m)} m' \otimes b_{m'}\] 在 \(M_{ijk}\) 中成立，其中 \(a_{m'} \in A_{ijk}\) 或 \(b_{m'} \in B_{ijk}\)。此外，约定当 \(k \in I_{ij}\) 时，对所有 \(i, j = i, k, m\) 都有 \(S(i, i, k, m) = \{m\}\)。固定这样的一族 \(S(i, j, k, m)\)。

给定一族子集 \(\mathcal{S} = (S_i)_{i \in I}\)，其中 \(S_i \subset M_i\) 的基数至多为 \(\kappa\)，定义 \(\mathcal{S}' = (S'_i)\)，其中 \[S'_j = \bigcup\nolimits_{(i, j, k, m)\text{ 使得 }m \in S_i} S(i, j, k, m)\] 注意 \(S_i \subset S'_i\)。由于 \(S'_i\) 是在一个基数至多为 \(\kappa\) 的集合上对有限集取并，其基数至多为 \(\kappa\)。令 \(\mathcal{S}^{(0)} = \mathcal{S}\)、 \(\mathcal{S}^{(1)} = \mathcal{S}'\)，并归纳定义 \(\mathcal{S}^{(n + 1)} = (\mathcal{S}^{(n)})'\)。再令 \(\mathcal{S}^{(\infty)} = \bigcup_{n \geq 0} \mathcal{S}^{(n)}\)。写作 \(\mathcal{S}^{(\infty)} = (S^{(\infty)}_i)\)，则对任意元素 \(m \in S^{(\infty)}_i\)，\(m\) 在 \(M_{ijk}\) 中的像可写成有限和 \(\sum m' \otimes a_{m'}\)，其中 \(m' \in S_j^{(\infty)}\)。因此，令 \[N_i = A_i\text{-子模，属于 }M_i\text{ 由下列对象生成： }S^{(\infty)}_i\] 便有 \[N_i \otimes_{A_i} A_{ijk} = N_j \otimes_{A_j} A_{ijk} \quad\text{且}\quad \alpha(N_i \otimes_{A_i, t} B_{ijk}) = N_j \otimes_{A_j, s} B_{ijk}\] 这些等式分别作为 \(M_{ijk}\) 或 \(M_j \otimes_{A_j, s} B_{ijk}\) 的子模等式成立。故存在拟凝聚子模 \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}\)，满足 \(\mathcal{G}(U_i) = N_i\)，且作为 \(s^*\mathcal{F}\) 的子模有 \(\alpha(t^*\mathcal{G}) = s^*\mathcal{G}\)。换言之，\((\mathcal{G}, \alpha|_{t^*\mathcal{G}})\) 是 \((\mathcal{F}, \alpha)\) 的子模。此外，依构造 \(\mathcal{G}\) 是 \(\kappa\)-生成的。

设 \(\{(\mathcal{G}_t, \alpha_t)\}_{t \in T}\) 为 \((\mathcal{F}, \alpha)\) 的全体 \(\kappa\)-生成拟凝聚子模之集合。若 \(t, t' \in T\)，则 \(\mathcal{G}_t + \mathcal{G}_{t'}\) 也是 \(\kappa\)-生成拟凝聚子模，因为它是态射 \(\mathcal{G}_t \oplus \mathcal{G}_{t'} \to \mathcal{F}\) 的像。因此，该系统按包含关系排序后是有向的。上述论证表明， \(\mathcal{F}\) 在 \(U_i\) 上的每个截面都属于某个 \(\mathcal{G}_t\)（因为可从使该截面属于 \(S_i\) 的 \(\mathcal{S}\) 开始）。故 \(\colim_t \mathcal{G}_t \to \mathcal{F}\) 既单又满，如所需。

群胚与群概形

由群 \(G\) 在集合 \(V\) 上的作用 \(a\) 构造群胚有许多方式。我们采用如下方式：把元素 \(g \in G\) 看作一条以 \(v\) 为源、以 \(a(g, v)\) 为靶的箭头。这就导出概形之群作用的下述构造。

引理

设 \(S\) 为概形，\(Y\) 为 \(S\) 上的概形，\((G, m)\) 为 \(Y\) 上的群概形，其单位元为 \(e_G\)、逆为 \(i_G\)。设 \(X/Y\) 为 \(Y\) 上的概形， \(a : G \times_Y X \to X\) 是 \(G\) 在 \(X/Y\) 上的作用。则可按如下方式得到 \(S\) 上的群胚概形 \((U, R, s, t, c, e, i)\)：

令 \(U = X\)，\(R = G \times_Y X\)。

令 \(s : R \to U\) 为 \((g, x) \mapsto x\)。

令 \(t : R \to U\) 为 \((g, x) \mapsto a(g, x)\)。

令 \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\) 为 \(((g, x), (g', x')) \mapsto (m(g, g'), x')\)。

令 \(e : U \to R\) 为 \(x \mapsto (e_G(x), x)\)。

令 \(i : R \to R\) 为 \((g, x) \mapsto (i_G(g), a(g, x))\)。

证明

证明略。提示：只需在集合层面验证这一构造即可。为此，使用引理上方的描述，把 \(g\) 看成从 \(v\) 到 \(a(g, v)\) 的箭头。

引理

设 \(S\) 为概形，\(Y\) 为 \(S\) 上的概形，\((G, m)\) 为 \(Y\) 上的群概形。设 \(X\) 为 \(Y\) 上的概形，\(a : G \times_Y X \to X\) 是 \(G\) 在 \(X\) 上且相对于 \(Y\) 的作用。令 \((U, R, s, t, c)\) 为引理 0234 构造的群胚概形。规则 \((\mathcal{F}, \alpha) \mapsto (\mathcal{F}, \alpha)\) 定义了 \(G\)-等变 \(\mathcal{O}_X\)-模范畴与 \((U, R, s, t, c)\) 上拟凝聚模范畴之间的范畴等价。

证明

该断言是有意义的，因为作为态射 \(R = G \times_Y X \to X\)，有 \(t = a\) 以及 \(s = \text{pr}_1\)；见定义 03LF 和 03LI。采用引理 0234 中的转译，两个定义对交换性的要求完全一致。

稳定子群概形

给定群胚概形，可如下得到一个群概形。

引理

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚。由笛卡尔方块 \[\xymatrix{ G \ar[r] \ar[d] & R \ar[d]^{j = (t, s)} \\ U \ar[r]^-{\Delta} & U \times_S U }\] 定义的概形 \(G\) 是 \(U\) 上的群概形，其乘法 \(m\) 由复合律 \(c\) 诱导。

证明

这是因为在群胚范畴中，任一对象的自态射集构成一个群。

由于 \(\Delta\) 是浸入，\(G = j^{-1}(\Delta_{U/S})\) 是 \(R\) 的局部闭子概形。从这个角度看，结构态射 \(j^{-1}(\Delta_{U/S}) \to U\) 可由 \(s\) 或 \(t\) 诱导（二者相同），而 \(m\) 由 \(c\) 诱导。

定义

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚。群概形 \(j^{-1}(\Delta_{U/S})\to U\) 称为群胚概形 \((U, R, s, t, c)\) 的稳定子。

文献中常把稳定子群概形记作 \(S\) （大概是因为 stabilizer 一词以字母 s 开头）；这里不能这样做，因为我们已经用 \(S\) 表示基概形。

引理

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚， \(G/U\) 为其稳定子。把 \(R\) 经态射 \(t : R \to U\) 视为 \(U\) 上的概形，记作 \(R_t/U\)。存在由复合律 \(c\) 诱导的典范左作用 \[a : G \times_U R_t \longrightarrow R_t\]

证明

就 \(T/S\) 上的点而言，定义 \(a(g, r) = c(g, r)\)。

引理

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形， \(G\) 为 \(R\) 的稳定子群概形。令 \[G_0 = G \times_{U, \text{pr}_0} (U \times_S U) = G \times_S U\] 并把它视为 \(U \times_S U\) 上的群概形。引理 0237 中 \(G\) 在 \(R\) 上的作用诱导 \(G_0\) 在 \(R\) 上相对于 \(U \times_S U\) 的作用，使 \(R\) 成为 \(U \times_S U\) 上的伪 \(G_0\)-扭子。

证明

这是因为在群胚范畴 \(\mathcal{C}\) 中，集合 \(\Mor_\mathcal{C}(x, y)\) 是群 \(\Mor_\mathcal{C}(y, y)\) 下的主齐性集。

引理

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。设 \(p \in U \times_S U\) 为一点，并以 \(R_p\) 表示 \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\) 的概形论纤维。若 \(R_p \not = \emptyset\)，则作用 \[G_{0, \kappa(p)} \times_{\kappa(p)} R_p \longrightarrow R_p\] （见引理 04Q2）使 \(R_p\) 成为 \(\kappa(p)\) 上的 \(G_{\kappa(p)}\)-扭子。

证明

由陈述中引用的引理，该作用是伪扭子。若 \(R_p\) 不是空概形，则 \(\{R_p \to p\}\) 是使该伪扭子平凡化的 fpqc 覆盖。

群胚的限制

考虑一个（通常意义下的）群胚 \(\mathcal{C} = (\text{Ob}, \text{Arrows}, s, t, c)\)，并假设给定集合映射 \(g : \text{Ob}' \to \text{Ob}\)。可以构造群胚 \(\mathcal{C}' = (\text{Ob}', \text{Arrows}', s', t', c')\)：把 \(\text{Ob}'\) 中元素 \(x', y'\) 之间的态射理解为 \(\mathcal{C}\) 中 \(g(x'), g(y')\) 之间的态射。换言之，令 \[\text{Arrows}' = \text{Ob}' \times_{g, \text{Ob}, t} \text{Arrows} \times_{s, \text{Ob}, g} \text{Ob}'.\] 并以显然的方式选择 \(s'\)、\(t'\) 和 \(c'\)。存在典范函子 \(\mathcal{C}' \to \mathcal{C}\)，它全忠实，但未必本质满。配备函子 \(\mathcal{C}' \to \mathcal{C}\) 的群胚 \(\mathcal{C}'\) 称为群胚 \(\mathcal{C}\) 在 \(\text{Ob}'\) 上的限制。

引理

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形， \(g : U' \to U\) 为概形态射。考虑下图 \[\xymatrix{ R' \ar[d] \ar[r] \ar@/_3pc/[dd]_{t'} \ar@/^1pc/[rr]^{s'}& R \times_{s, U} U' \ar[r] \ar[d] & U' \ar[d]^g \\ U' \times_{U, t} R \ar[d] \ar[r] & R \ar[r]^s \ar[d]_t & U \\ U' \ar[r]^g & U }\] 其中所有方块都是纤维积方块。则存在典范复合律 \(c' : R' \times_{s', U', t'} R' \to R'\)，使 \((U', R', s', t', c')\) 成为 \(S\) 上的群胚概形，并使 \(U' \to U\), \(R' \to R\) 定义 \(S\) 上群胚概形的态射 \((U', R', s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\)。此外，对 \(S\) 上任意概形 \(T\)，群胚函子 \[(U'(T), R'(T), s', t', c') \to (U(T), R(T), s, t, c)\] 是 \((U(T), R(T), s, t, c)\) 经映射 \(U'(T) \to U(T)\) 的限制（如上所述）。

证明

证明略。

定义

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形， \(g : U' \to U\) 为概形态射。引理 02VB 中构造的群胚态射 \((U', R', s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\) 称为 \((U, R, s, t, c)\) 在 \(U'\) 上的限制。在这种情形下，有时使用记号 \(R' = R|_{U'}\)。

引理

定义 02VC 与 02V9 所定义的群胚限制和（预）等价关系限制，经引理 0232 与 0233 的构造彼此一致。

证明

这里所断言的是，引理 02VB 中的 \(R'\) 也等于 \[R' = (U' \times_S U')\times_{U \times_S U} R \longrightarrow U' \times_S U'\] 事实上，这也许是陈述该引理更清楚的方式。

引理

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形， \(g : U' \to U\) 为概形态射。令 \((U', R', s', t', c')\) 为 \((U, R, s, t, c)\) 经 \(g\) 的限制。设 \(G\) 为 \((U, R, s, t, c)\) 的稳定子，\(G'\) 为 \((U', R', s', t', c')\) 的稳定子。则 \(G'\) 是 \(G\) 沿 \(g\) 的基变换；换言之，存在典范识别 \(G' = U' \times_{g, U} G\)。

证明

证明略。

不变子概形

本节简要讨论不变子概形的概念。

定义

设 \((U, R, s, t, c)\) 为基概形 \(S\) 上的群胚概形。

若 \(t(s^{-1}(W)) \subset W\)，则称子集 \(W \subset U\) 在集合论意义下是 \(R\)-不变的。

若 \(t(s^{-1}(W)) \subset W\)，则称开子集 \(W \subset U\) 是\(R\)-不变的。

若 \(t^{-1}(Z) = s^{-1}(Z)\)，则称闭子概形 \(Z \subset U\) 是\(R\)-不变的。这里采用概形论逆像；见《概形》定义 01JV。

若作为 \(R\) 上的概形有 \(T \times_{U, t} R = R \times_{s, U} T\)，则称概形单态射 \(T \to U\) 是\(R\)-不变的。

对于子集与开子概形 \(W \subset U\)，\(R\)-不变性也等价于要求作为 \(R\) 的子集有 \(s^{-1}(W) = t^{-1}(W)\)。若 \(W \subset U\) 是 \(R\)-等变开子概形，则 \(R\) 在 \(W\) 上的限制就是 \(R_W = s^{-1}(W) = t^{-1}(W)\)。类似地，若 \(Z \subset U\) 是 \(R\)-不变闭子概形，则 \(R\) 在 \(Z\) 上的限制就是 \(R_Z = s^{-1}(Z) = t^{-1}(Z)\)。

引理

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。

对任意子集 \(W \subset U\)，子集 \(t(s^{-1}(W))\) 在集合论意义下是 \(R\)-不变的。

若 \(s\) 与 \(t\) 是开态射，则对每个开子集 \(W \subset U\)，开集 \(t(s^{-1}(W))\) 是 \(R\)-不变开子概形。

若 \(s\) 与 \(t\) 开且拟紧，则 \(U\) 有一个由 \(R\)-不变拟紧开子概形组成的开覆盖。

证明

第 (1) 点由引理 022Q 和 0232 得出：\(t(s^{-1}(W))\) 正是 \(U\) 中与 \(W\) 的某一点等价的点集。接着假设 \(s\) 和 \(t\) 开，且 \(W \subset U\) 开。由于 \(s\) 开，集合 \(W' = t(s^{-1}(W))\) 是 \(U\) 的开子集。最后，假设 \(s\), \(t\) 都开且拟紧。若 \(W \subset U\) 拟紧开，则 \(W' = t(s^{-1}(W))\) 也拟紧开，并由上面的讨论可知它不变。让 \(W\) 遍历 \(U\) 的全体仿射开集，即得 (3)。

引理

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。假设 \(s\) 与 \(t\) 拟紧且平坦，而 \(U\) 拟分离。若 \(W \subset U\) 拟紧开，则 \(t(s^{-1}(W))\) 是 \(U\) 中某个非空族拟紧开子集的交。

证明

注意 \(s^{-1}(W)\) 是 \(R\) 中的拟紧开集。作为连续映射， \(t\) 把拟紧子集 \(s^{-1}(W)\) 映到拟紧子集 \(t(s^{-1}(W))\)。由于 \(t\) 平坦且 \(s^{-1}(W)\) 对泛化封闭，\(t(s^{-1}(W))\) 也对泛化封闭；见（《概形态射》引理 03HV 及《拓扑学》引理 0065）。选取包含 \(t(s^{-1}(W))\) 的拟紧开集 \(W' \subset U\)。由《概形的性质》引理 094L， \(W'\) 是谱空间（这里用到了 \(U\) 拟分离）。对 \(t(s^{-1}(W)) \subset W'\) 应用《拓扑学》引理 0A31，即得结论。

引理

假设与记号同引理 0APA。存在 \(R\)-不变开集 \(V \subset U\) 以及拟紧开集 \(W'\)，使 \(W \subset V \subset W' \subset U\)。

证明

令 \(E = t(s^{-1}(W))\)。回忆 \(E\) 在集合论意义下是 \(R\)-不变的（引理 03LO）。由引理 0APA，存在包含 \(E\) 的拟紧开集 \(W'\)。令 \(Z = U \setminus W'\)，并考虑 \(T = t(s^{-1}(Z))\)。注意 \(Z \subset T\)，且 \(E \cap T = \emptyset\)，因为 \(s^{-1}(E) = t^{-1}(E)\) 与 \(s^{-1}(Z)\) 不交。由于 \(T\) 是闭子集 \(s^{-1}(Z) \subset R\) 在拟紧态射 \(t : R \to U\) 下的像，闭包 \(\overline{T}\) 中任意点 \(\xi\) 都是 \(T\) 中某点的特化；见《概形态射》引理 02JQ （并见《概形态射》引理 01R8，它说明概形论像就是像的闭包）。设 \(\xi' \leadsto \xi\)，其中 \(\xi' \in T\)。若 \(r \in R\) 且 \(s(r) = \xi\)，则由 \(s\) 平坦，可在 \(R\) 中找到一个特化 \(r' \leadsto r\)，使 \(s(r') = \xi'\) （《概形态射》引理 03HV）。于是 \(t(r') \leadsto t(r)\)。由于 \(T\) 由引理 03LO 在集合论意义下不变，故 \(t(r') \in T\)。因此 \(\overline{T}\) 是集合论意义下 \(R\)-不变的闭子集，而 \(V = U \setminus \overline{T}\) 正是所求开集。它包含于 \(W'\)，证明完成。

商层

设 \(\tau \in \{Zariski, \etale, fppf, smooth, syntomic\}\)， \(S\) 为概形，\(j : R \to U \times_S U\) 为 \(S\) 上的预关系。假设 \(U, R, S\) 是某个 \(\tau\)-位点 \(\Sch_\tau\) 的对象（见《概形上的拓扑》第 020M 节）。于是可考虑函子 \[h_U, h_R : (\Sch/S)_\tau^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}.\] 它们都是层，见《下降》引理 023Q。态射 \(j\) 诱导映射 \(j : h_R \to h_U \times h_U\)。对每个对象 \(T \in \Ob((\Sch/S)_\tau)\)，可取由 \(j(T) : R(T) \to U(T) \times U(T)\) 生成的等价关系 \(\sim_T\)，并取其商。这样得到预层 [02VF]\[\begin{equation} (\Sch/S)_\tau^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad T \longmapsto U(T)/\sim_T \end{equation}\]

定义

令 \(\tau\), \(S\) 及预关系 \(j : R \to U \times_S U\) 如上。在此情形下，与 \(j\) 关联的商层 \(U/R\)，是预层 (02VF) 在 \(\tau\)-拓扑下的层化。若 \(j : R \to U \times_S U\) 来自群概形 \(G/S\) 在 \(U\) 上的作用，如引理 0234，则有时把该商层记作 \(U/G\)。

这恰好意味着图 \[\xymatrix{ h_R \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & h_U \ar[r] & U/R }\] 是 \((\Sch/S)_\tau\) 上集合层范畴中的余等化子图。利用 Yoneda 嵌入，可以把 \((\Sch/S)_\tau\) 看成 \((\Sch/S)_\tau\) 上层范畴的全子范畴，从而把概形与可表函子相识别。沿用这一记号滥用，通常把上图简写为 \[\xymatrix{ R \ar@<1ex>[r]^s \ar@<-1ex>[r]_t & U \ar[r] & U/R }\] 在考虑群胚或等价关系的商层时，我们主要使用 fppf 拓扑。

定义

在定义 02VG 的情形下，若层 \(U/R\) 可表，则称预关系 \(j\) 有可表商。若取 \(j = (t, s)\) 时商 \(U/R\) 可表，则称群胚 \((U, R, s, t, c)\) 有可表商。

下述引理刻画表示该商的概形 \(M\)。例如，当 \(\tau = fppf\)、\(U \to M\) 平坦、有限表现且满，并且 \(R \cong U \times_M U\) 时，该引理适用。

引理

在定义 02VG 的情形下，假设存在概形 \(M\) 以及态射 \(U \to M\)，满足：

态射 \(U \to M\) 等化 \(s, t\)；

态射 \(U \to M\) 在 \(\tau\)-拓扑下诱导层的满射 \(h_U \to h_M\)；

诱导映射 \((t, s) : R \to U \times_M U\) 在 \(\tau\)-拓扑下诱导层的满射 \(h_R \to h_{U \times_M U}\)。

此时 \(M\) 表示商层 \(U/R\)。

证明

条件 (1) 说明 \(h_U \to h_M\) 通过 \(U/R\) 分解；条件 (2) 说明层映射 \(U/R \to h_M\) 是满射；条件 (3) 说明层映射 \(U/R \to h_M\) 是单射。故结论成立。

若不要求 \(j\) 为预等价关系（例如仅为预关系），则下述引理不成立。

引理

设 \(\tau \in \{Zariski, \etale, fppf, smooth, syntomic\}\)， \(S\) 为概形，\(j : R \to U \times_S U\) 为 \(S\) 上的预等价关系，并假设 \(U, R, S\) 是某个 \(\tau\)-位点 \(\Sch_\tau\) 的对象。对 \(T \in \Ob((\Sch/S)_\tau)\) 及 \(a, b \in U(T)\)，下列条件等价：

\(a\) 与 \(b\) 映到 \((U/R)(T)\) 中的同一元素；

存在 \(T\) 的一个 \(\tau\)-覆盖 \(\{f_i : T_i \to T\}\) 以及态射 \(r_i : T_i \to R\)，使 \(a \circ f_i = s \circ r_i\) 且 \(b \circ f_i = t \circ r_i\)。

换言之，此时 \(\tau\)-层的映射 \[h_R \longrightarrow h_U \times_{U/R} h_U\] 是满射。

证明

证明略。提示：该论证之所以成立，是因为此时预层 (02VF) 实际由 \(T \mapsto U(T)/j(R(T))\) 给出，而 \(j(R(T)) \subset U(T) \times U(T)\) 是等价关系；见定义 022P。

引理

设 \(\tau \in \{Zariski, \etale, fppf, smooth, syntomic\}\)， \(S\) 为概形，\(j : R \to U \times_S U\) 为 \(S\) 上的预等价关系， \(g : U' \to U\) 为 \(S\) 上的概形态射。令 \(j' : R' \to U' \times_S U'\) 为 \(j\) 在 \(U'\) 上的限制。假设 \(U, U', R, S\) 是某个 \(\tau\)-位点 \(\Sch_\tau\) 的对象。则商层的映射 \[U'/R' \longrightarrow U/R\] 是单射。若 \(g\) 定义层的满射 \(h_{U'} \to h_U\)，其拓扑为 \(\tau\)（例如，若 \(\{g : U' \to U\}\) 是 \(\tau\)-覆盖），则 \(U'/R' \to U/R\) 是同构。

证明

假设截面 \(\xi, \xi' \in (U'/R')(T)\) 映到 \(U/R\) 的同一截面。可以找到 \(T\) 的一个 \(\tau\)-覆盖 \(\mathcal{T} = \{T_i \to T\}\)，使 \(\xi|_{T_i}, \xi'|_{T_i}\) 分别由 \(a_i, a_i' \in U'(T_i)\) 给出。由引理 045Y 及位点公理，加细 \(\mathcal{T}\) 后可假设存在态射 \(r_i : T_i \to R\)，使 \(g \circ a_i = s \circ r_i\)、\(g \circ a_i' = t \circ r_i\)。按照构造， \(R' = R \times_{U \times_S U} (U' \times_S U')\)，故 \((r_i, (a_i, a_i')) \in R'(T_i)\)。这说明 \(a_i\) 与 \(a_i'\) 在 \(T_i\) 上定义 \(U'/R'\) 的同一截面。由层条件可知 \(\xi = \xi'\)。

若 \(h_{U'} \to h_U\) 是层的满射，则 \(U'/R' \to U/R\) 当然也是满射。若 \(\{g : U' \to U\}\) 是 \(\tau\)-覆盖，则层映射 \(h_{U'} \to h_U\) 是满射，见《位点与层》引理 00WT。因此在此情形下 \(U'/R' \to U/R\) 也是满射。

引理

设 \(\tau \in \{Zariski, \etale, fppf, smooth, syntomic\}\)， \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形， \(g : U' \to U\) 为 \(S\) 上的概形态射。令 \((U', R', s', t', c')\) 为 \((U, R, s, t, c)\) 在 \(U'\) 上的限制。假设 \(U, U', R, S\) 是某个 \(\tau\)-位点 \(\Sch_\tau\) 的对象。则商层的映射 \[U'/R' \longrightarrow U/R\] 是单射。若复合 \[\xymatrix{ U' \times_{g, U, t} R \ar[r]_-{\text{pr}_1} \ar@/^3ex/[rr]^h & R \ar[r]_s & U }\] 在 \(\tau\)-拓扑下定义层的满射，则该映射是双射。例如，下列任一条件均足够： \(\{h : U' \times_{g, U, t} R \to U\}\) 是 \(\tau\)-覆盖； \(U' \to U\) 在 \(\tau\)-拓扑下定义层的满射；或 \(\{g : U' \to U\}\) 是 \(\tau\)-拓扑下的覆盖。

证明

由引理 0232 和 045Z 即得单射性。为证明满射性（层满射的刻画见《位点与层》第 00WL 节），作如下论证。假设 \(T\) 是概形，\(\sigma \in U/R(T)\)。存在覆盖 \(\{T_i \to T\}\)，使 \(\sigma|_{T_i}\) 是某个元素 \(f_i \in U(T_i)\) 的像。因此可假设 \(\sigma\) 是 \(f \in U(T)\) 的像。由 \(h\) 是层满射这一假设，可以找到 \(\tau\)-覆盖 \(\{\varphi_i : T_i \to T\}\) 以及态射 \(f_i : T_i \to U' \times_{g, U, t} R\)，使 \(f \circ \varphi_i = h \circ f_i\)。记 \(f'_i = \text{pr}_0 \circ f_i : T_i \to U'\)。于是 \(f'_i \in U'(T_i)\) 映到 \(g \circ f'_i \in U(T_i)\)，并且 \(g \circ f'_i \sim_{T_i} h \circ f_i = f \circ \varphi_i\)；记号同 (02VF)。具体地，给出该关系的 \(R(T_i)\) 中元素是 \(\text{pr}_1 \circ f_i\)。这说明 \(\sigma\) 在 \(T_i\) 上的限制属于 \(U'/R'(T_i) \to U/R(T_i)\) 的像，如所需。

若 \(\{h\}\) 是 \(\tau\)-覆盖，则它诱导层的满射，见《位点与层》引理 00WT。若 \(U' \to U\) 满，则 \(h\) 也满，因为 \(s\) 有截面（即群胚概形的单位元 \(e\)）。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : (U, R, j) \to (U', R', j')\) 为 \(S\) 上等价关系之间的态射。假设 \[\xymatrix{ R \ar[d]_s \ar[r]_f & R' \ar[d]^{s'} \\ U \ar[r]^f & U' }\] 是笛卡尔的。对任意 \(\tau \in \{Zariski, \etale, fppf, smooth, syntomic\}\)，图 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & U/R \ar[d]^f \\ U' \ar[r] & U'/R' }\] 是 \(\tau\)-层的纤维积方块。

证明

由引理 045Y，商层有一个简单描述；下文将不再说明而直接使用它。先证明 \[U \longrightarrow U' \times_{U'/R'} U/R\] 是单射。假设 \(a, b \in U(T)\) 映到右侧同一元素，则 \(f(a) = f(b)\)。把 \(T\) 替换为某个 \(\tau\)-覆盖的各成员后，可假设存在 \(r \in R(T)\)，使 \(a = s(r)\) 且 \(b = t(r)\)。于是 \(r' = f(r)\) 是 \(R'\) 的一个 \(T\)-值点，满足 \(s'(r') = t'(r')\)。因此 \(r' = e'(f(a))\)（其中 \(e'\) 是与 \(j'\) 关联的群胚概形的单位，见引理 0233）。由于引理中的第一个图是笛卡尔的，这蕴含 \(r\) 必须等于 \(e(a)\)，故 \(a = b\)。

最后证明所示箭头满。设 \(T\) 为 \(S\) 上的概形， \((a', \overline{b})\) 为层 \(U' \times_{U'/R'} U/R\) 在 \(T\) 上的截面。把 \(T\) 替换为某个 \(\tau\)-覆盖的各成员后，可假设 \(\overline{b}\) 是元素 \(b \in U(T)\) 的类。再次把 \(T\) 替换为某个 \(\tau\)-覆盖的各成员后，可假设存在 \(r' \in R'(T)\)，使 \(a' = t(r')\) 且 \(s'(r') = f(b)\)。由于引理中的第一个图是笛卡尔的，可找到 \(r \in R(T)\)，使 \(s(r) = b\) 且 \(f(r) = r'\)。显然， \(a = t(r) \in U(T)\) 是映到 \((a', \overline{b})\) 的截面。

用群胚表述下降

笛卡尔态射定义如下。

定义

设 \(S\) 为概形，\(f : (U', R', s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上群胚概形的态射。若图 \[\xymatrix{ R' \ar[r]_f \ar[d]_{s'} & R \ar[d]^s \\ U' \ar[r]^f & U }\] 是概形范畴中的纤维积方块，则称 \(f\) 是笛卡尔的，或称\((U', R', s', t', c')\) 在 \((U, R, s, t, c)\) 上是笛卡尔的。所谓在 \((U, R, s, t, c)\) 上笛卡尔的群胚概形态射，是指与指向 \((U, R, s, t, c)\) 的结构态射相容的群胚概形态射。

笛卡尔态射与下降数据相关。先证明一个一般引理，描述固定群胚概形上的笛卡尔群胚概形范畴。

引理

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。在 \((U, R, s, t, c)\) 上笛卡尔的群胚概形范畴等价于如下偶对 \((V, \varphi)\) 的范畴：\(V\) 是 \(U\) 上的概形，而 \[\varphi : V \times_{U, t} R \longrightarrow R \times_{s, U} V\] 是 \(R\) 上的同构，满足 \(e^*\varphi = \text{id}_V\)，并且作为 \(R \times_{s, U, t} R\) 上的概形态射有 \[c^*\varphi = \text{pr}_1^*\varphi \circ \text{pr}_0^*\varphi\]

证明

引理中的拉回记号表示基变换。所示公式有意义，因为作为 \(R \times_{s, U, t} R\) 上的概形有 \[(R \times_{s, U, t} R) \times_{\text{pr}_1, R, \text{pr}_1} (V \times_{U, t} R) = (R \times_{s, U, t} R) \times_{\text{pr}_0, R, \text{pr}_0} (R \times_{s, U} V)\]

给定 \((V, \varphi)\)，令 \(U' = V\)、\(R' = V \times_{U, t} R\)。令 \(t' : R' \to U'\) 为投影 \(V \times_{U, t} R \to V\)；令 \(s'\) 为 \(\varphi\) 后接投影 \(R \times_{s, U} V \to V\)；令 \(c'\) 为复合 \[\begin{align*} R' \times_{s', U', t'} R' & \xrightarrow{\varphi, 1} (R \times_{s, U} V) \times_V (V \times_{U, t} R) \\ & \xrightarrow{} R \times_{s, U} V \times_{U, t} R \\ & \xrightarrow{\varphi^{-1}, 1} V \times_{U, t} (R \times_{s, U, t} R) \\ & \xrightarrow{1, c} V \times_{U, t} R = R' \end{align*}\] 略去的计算表明，这给出 \((U, R, s, t, c)\) 上的群胚概形；显然，该群胚概形在 \((U, R, s, t, c)\) 上是笛卡尔的。

反之，给定笛卡尔态射 \(f : (U', R', s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\)，则态射 \[U' \times_{U, t} R \xleftarrow{t', f} R' \xrightarrow{f, s'} R \times_{s, U} U'\] 都是同构。可以令 \(V = U'\)，并令 \(\varphi\) 为复合 \((f, s') \circ (t', f)^{-1}\)。我们略去验证 \(\varphi\) 满足引理中的条件，也略去验证这两个构造互逆。

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上的概形态射。于是得到 \(S\) 上的群胚概形 \((X, X \times_Y X, \text{pr}_1, \text{pr}_0, c)\)。事实上，\(j : X \times_Y X \to X \times_S X\) 是等价关系，可取其关联群胚；见引理 0233。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上的概形态射。引理 0APE 的构造给出等价 \[\begin{matrix} \text{群胚概形范畴} \\ \text{在下列对象上 Cartesian： } (X, X \times_Y X, \ldots) \end{matrix} \longrightarrow \begin{matrix} \text{ 下降数据范畴} \\ \text{ 相对于 } X/Y \end{matrix}\]

证明

这直接源于引理 0APE 以及《下降》定义 023V 中概形上下降数据的定义。

分离性条件

给定 \(S\) 上的群胚 \((U, R, s, t, c)\) 时，这实际上是对态射 \(j : R \to U \times_S U\) 的条件。与前一节一样，先写出相应的图。

引理

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚， \(G \to U\) 为稳定子群概形。交换图 \[\xymatrix{ R \ar[d]^{\Delta_{R/U \times_S U}} \ar[rrr]_{f \mapsto (f, s(f))} & & & R \times_{s, U} U \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ R \times_{(U \times_S U)} R \ar[rrr]^{(f, g) \mapsto (f, f^{-1} \circ g)} & & & R \times_{s, U} G \ar[r] & G }\] 中的两个左侧水平箭头都是同构，右侧方块是纤维积方块。

证明

证明略。这是关于定义以及代数几何函子观点的练习。

引理

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚， \(G \to U\) 为稳定子群概形。

下列条件等价：

\(j : R \to U \times_S U\) 分离；

\(G \to U\) 分离；

\(e : U \to G\) 是闭浸入。

下列条件等价：

\(j : R \to U \times_S U\) 拟分离；

\(G \to U\) 拟分离；

\(e : U \to G\) 拟紧。

证明

群概形 \(G \to U\) 是 \(R \to U \times_S U\) 沿对角态射 \(U \to U \times_S U\) 的基变换，见引理 0235。因此，若 \(j\) 分离（resp. 拟分离），则 \(G \to U\) 分离（resp. 拟分离）（见《概形》引理 01KU）。故在 (1) 与 (2) 中均有 (a) \(\Rightarrow\) (b)。

若 \(G \to U\) 分离（resp. 拟分离），则态射 \(U \to G\) 作为结构态射 \(G \to U\) 的截面，是闭浸入（resp. 拟紧）；见《概形》引理 01KT。故在 (1) 与 (2) 中均有 (b) \(\Rightarrow\) (a)。

由引理 02YH 的结果（以及《概形》引理 01JY 和 01K5），若 \(e\) 是闭浸入（resp. 拟紧），则 \(\Delta_{R/U \times_S U}\) 是闭浸入（resp. 拟紧）。故在 (1) 与 (2) 中均有 (c) \(\Rightarrow\) (a)。

有限平坦群胚：仿射情形

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。假设 \(U = \Spec(A)\) 与 \(R = \Spec(B)\) 仿射。此时得到两个环同态 \(s^\sharp, t^\sharp : A \longrightarrow B\)。令 \(C\) 为 \(s^\sharp\) 与 \(t^\sharp\) 的等化子，即 [03BF]\[\begin{equation} C = \{a \in A \mid t^\sharp(a) = s^\sharp(a) \}. \end{equation}\] 有时称它为\(U\) 上 \(R\)-不变函数环。 \(M = \Spec(C)\) 有什么性质？首先，图 \[\xymatrix{ R \ar[r]_s \ar[d]_t & U \ar[d] \\ U \ar[r] & M }\] 交换；换言之，态射 \(U \to M\) 等化 \(s, t\)。此外，若 \(T\) 为任意仿射概形，且态射 \(U \to T\) 等化 \(s, t\)，则 \(U \to T\) 通过 \(U \to M\) 分解。也就是说， \(U \to M\) 是仿射概形范畴中的余等化子。

我们希望找出保证态射 \(U \to M\) 在概形范畴中确为“商”的条件。这一问题将在别处详论（此处插入未来的引用）；这里仅讨论若干特殊情形，主要关注 \(s, t\) 有限局部自由的情形。

例

设 \(k\) 为域，\(U = \text{GL}_{2, k}\)，而 \(B \subset \text{GL}_2\) 是上三角矩阵的闭子群概形。则商层 \(\text{GL}_{2, k}/B\)（在 Zariski、étale 或 fppf 拓扑下，见定义 02VG）由射影直线表示： \(\mathbf{P}^1 = \text{GL}_{2, k}/B\)。（细节略。）另一方面，此情形下的不变函数环仅为 \(k\)。注意，此时态射 \(s, t : R = \text{GL}_{2, k} \times_k B \to \text{GL}_{2, k} = U\) 是相对维数为 \(3\) 的光滑态射。

回忆在《习题》习题 02DU 和 02DV 中，我们已经定义了有限局部自由模及有限局部自由环扩张的行列式和范数。若 \(\varphi : A \to B\) 是有限局部自由环同态，则以 \(\text{Norm}_\varphi(b) \in A\) 表示 \(b \in B\) 的范数。对于有限局部自由概形态射，范数构造见《除子》引理 0BD2。

引理

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。假设 \(U = \Spec(A)\) 与 \(R = \Spec(B)\) 仿射，并且 \(s, t : R \to U\) 有限局部自由。令 \(C\) 如 (03BF)，并取 \(f \in A\)。则 \(\text{Norm}_{s^\sharp}(t^\sharp(f)) \in C\)。

证明

考虑引理 02YE 的交换图 \[\xymatrix{ & U & \\ R \ar[d]_s \ar[ru]^t & R \times_{s, U, t} R \ar[l]^-{\text{pr}_0} \ar[d]^{\text{pr}_1} \ar[r]_-c & R \ar[d]^s \ar[lu]_t \\ U & R \ar[l]_t \ar[r]^s & U }\] 把 \(f \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) 看作函数。图上半部分的交换性说明，作为 \(\Gamma(R \times_{S, U, t} R, \mathcal{O})\) 中的元素，有 \(\text{pr}_0^\sharp(t^\sharp(f)) = c^\sharp(t^\sharp(f))\)。观察右下笛卡尔方块，范数构造与基变换的相容性给出 \(s^\sharp(\text{Norm}_{s^\sharp}(t^\sharp(f))) = \text{Norm}_{\text{pr}_1^\sharp}(c^\sharp(t^\sharp(f)))\)。类似地得到 \(t^\sharp(\text{Norm}_{s^\sharp}(t^\sharp(f))) = \text{Norm}_{\text{pr}_1^\sharp}(\text{pr}_0^\sharp(t^\sharp(f)))\)。因此由本证明中的第一个等式， \(s^\sharp(\text{Norm}_{s^\sharp}(t^\sharp(f))) = t^\sharp(\text{Norm}_{s^\sharp}(t^\sharp(f)))\)，如所需。

引理

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。假设 \(s, t : R \to U\) 有限局部自由。则 \[U = \coprod\nolimits_{r \geq 1} U_r\] 是 \(R\)-不变开集的不交并，并且 \(R\) 在 \(U_r\) 上的限制 \(R_r\) 满足 \(s, t : R_r \to U_r\) 有限局部自由、秩为 \(r\)。

证明

由《概形态射》引理 04MH，存在分解 \(U = \coprod\nolimits_{r \geq 0} U_r\)，使 \(s : s^{-1}(U_r) \to U_r\) 有限局部自由、秩为 \(r\)。由于 \(s\) 满，\(U_0 = \emptyset\)。注意， \(u \in U_r \Leftrightarrow\) 当且仅当概形论纤维 \(s^{-1}(u)\) 在 \(\kappa(u)\) 上次数为 \(r\)。若 \(z \in R\) 满足 \(s(z) = u\)、\(t(z) = u'\)，则采用引理 02YE 的记号， \[\text{pr}_1^{-1}(z) \to \Spec(\kappa(z))\] 由所引引理知，它同时是 \(s^{-1}(u) \to \Spec(\kappa(u))\) 与 \(s^{-1}(u') \to \Spec(\kappa(u'))\) 的基变换。因此 \(u \in U_r \Leftrightarrow u' \in U_r\)；换言之，诸开子集 \(U_r\) 都是 \(R\)-不变的。特别地，\(R\) 在 \(U_r\) 上的限制就是 \(s^{-1}(U_r)\)，且 \(s : R_r \to U_r\) 有限局部自由、秩为 \(r\)。由 \(R_r\) 的逆，\(t : R_r \to U_r\) 同构于 \(s\)，故其秩也为 \(r\)。

引理

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。假设 \(U = \Spec(A)\) 与 \(R = \Spec(B)\) 仿射，并且 \(s, t : R \to U\) 有限局部自由。令 \(C \subset A\) 如 (03BF)。则 \(A\) 在 \(C\) 上整。

证明

首先，由引理 03BI， \((U, R, s, t, c)\) 是群胚概形 \((U_r, R_r, s, t, c)\) 的不交并，其中每个 \(s, t : R_r \to U_r\) 的秩恒为 \(r\)。由于 \(U\) 拟紧，除有限多个 \(r\) 外均有 \(U_r = \emptyset\)。只需对每个 \((U_r, R_r, s, t, c)\) 证明该引理，故可假设 \(s, t\) 有限局部自由、秩为 \(r\)。

假设 \(s, t\) 有限局部自由、秩为 \(r\)。取 \(f \in A\)，考虑元素 \(x - f \in A[x]\)，其中把 \(x\) 看作 \(\mathbf{A}^1\) 上的坐标。由于 \[(U \times \mathbf{A}^1, R \times \mathbf{A}^1, s \times \text{id}_{\mathbf{A}^1}, t \times \text{id}_{\mathbf{A}^1}, c \times \text{id}_{\mathbf{A}^1})\] 也是源和靶均有限的群胚概形，可对它应用引理 03BH，得到 \(P(x) = \text{Norm}_{s^\sharp}(t^\sharp(x - f))\) 属于 \(C[x]\)。由于 \(s^\sharp : A \to B\) 有限局部自由、秩为 \(r\)， \(P\) 是次数为 \(r\) 的首一多项式。此外，由 Cayley–Hamilton 定理有 \(P(f) = 0\)（《交换代数》引理 00DX）。更准确地，Cayley–Hamilton 定理说明多项式 \(s^\sharp(P) \in B[x]\) 零化元素 \(t^\sharp(f)\)。由于 \(P\) 的系数在 \(C\) 中，得到 \(t^\sharp(P(f)) = 0\) 于 \(B\) 中。又因 \(t\) 忠实平坦，得到 \(P(f) = 0\)。

引理

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。假设 \(U = \Spec(A)\) 与 \(R = \Spec(B)\) 仿射， \(s, t : R \to U\) 有限局部自由。令 \(C \subset A\) 如 (03BF)。给定环同态 \(C \to C'\)，并令 \(U' = \Spec(A \otimes_C C')\)、 \(R' = \Spec(B \otimes_C C')\)。则：

映射 \(s, t, c\) 诱导映射 \(s', t', c'\)，使 \((U', R', s', t', c')\) 成为群胚概形。令 \(C^1 \subset A'\) 为 \(U'\) 上的 \(R'\)-不变函数。

典范映射 \(\varphi : C' \to C^1\) 满足：

对每个 \(f \in C^1\)，存在 \(n > 0\) 及多项式 \(P \in C'[x]\)，使其在 \(C^1[x]\) 中的像为 \((x - f)^n\)；

对每个 \(f \in \Ker(\varphi)\)，存在 \(n > 0\) 使 \(f^n = 0\)。

若 \(C \to C'\) 平坦，则 \(\varphi\) 是同构。

证明

第 (1) 点的证明略。记 \(A' = A \otimes_C C'\)、 \(B' = B \otimes_C C'\)。则 \[C^1 = \{a \in A' \mid (t')^\sharp(a) = (s')^\sharp(a) \} = \{a \in A \otimes_C C' \mid t^\sharp \otimes 1(a) = s^\sharp \otimes 1(a) \}.\] 换言之，\(C^1\) 是差映射 \((t^\sharp - s^\sharp) \otimes 1\) 的核，而后者正是 \(C\)-线性映射 \(t^\sharp - s^\sharp : A \to B\) 沿 \(C \to C'\) 的基变换。因此 (3) 成立。

证明 (2)(b)。由于 \(C \to A\) 整（引理 03BJ）且单， \(\Spec(A) \to \Spec(C)\) 满，见《交换代数》引理 00GQ。因此其满态射基变换 \(\Spec(A') \to \Spec(C')\) 也满（《概形态射》引理 01S1）。于是 \(\Spec(C^1) \to \Spec(C')\) 也满。这例如由《交换代数》引理 00FL 蕴含 (2)(b)。

证明 (2)(a)。由引理 03BI，群胚概形 \((U, R, s, t, c)\) 分解为有限多个群胚概形 \((U_r, R_r, s, t, c)\) 的不交并，其中 \(s, t : R_r \to U_r\) 有限局部自由、秩为 \(r\)。沿 \(U' = \Spec(C') \to U\) 拉回，得到 \(U'\) 及 \(U^1 = \Spec(C^1)\) 的类似分解。下一段将证明，对相应环系 \(A_r, B_r, C_r, C'_r, C^1_r\)，取 \(n = r\) 时 (2)(a) 成立。给定 \(f \in C^1\)，令 \(P_r \in C_r[x]\) 为如下多项式：其在 \(C^1_r[x]\) 中的像是 \((x - f)^r\) 的像。选择充分可除的整数 \(n\)，可得多项式 \(P \in C'[x]\)，其在 \(C^1[x]\) 中的像为 \((x - f)^n\)；具体地，取 \(P\) 为 \(C'[x]\) 中唯一满足其在 \(C'_r[x]\) 中的像为 \(P_r^{n/r}\) 的元素。

本段在环同态 \(s^\sharp, t^\sharp : A \to B\) 有限局部自由且秩恒为 \(r\) 的情形下证明 (2)(a)。取 \(f \in C^1 \subset A' = A \otimes_C C'\)。选择平坦 \(C\)-代数 \(D\) 以及满射 \(D \to C'\)，并选择 \(f\) 的提升 \(g \in A \otimes_C D\)。考虑多项式 \[P = \text{Norm}_{s^\sharp \otimes 1}(t^\sharp \otimes 1(x - g))\] 于 \((A \otimes_C D)[x]\) 中。由引理 03BH 及本引理的 (3)， \(P\) 的系数属于 \(D\)（比较引理 03BJ 的证明）。另一方面，\(P\) 在 \((A \otimes_C C')[x]\) 中的像是 \((x - f)^r\)，因为 \(t^\sharp \otimes 1(x - f) = s^\sharp(x - f)\)，且 \(s^\sharp\) 有限局部自由、秩为 \(r\)。取陈述 (2)(a) 中的 \(P\) 为上述 \(P\) 在映射 \(D[x] \to C'[x]\) 下的像，即得所需。

引理

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。假设 \(U = \Spec(A)\) 与 \(R = \Spec(B)\) 仿射， \(s, t : R \to U\) 有限局部自由，并令 \(C \subset A\) 如 (03BF)。则 \(U \to M = \Spec(C)\) 具有下列性质：

点集映射 \(|U| \to |M|\) 是满射，并且 \(u_0, u_1 \in |U|\) 映到同一点当且仅当存在 \(r \in |R|\)，满足 \(t(r) = u_0\) 且 \(s(r) = u_1\)；即 \[|M| = |U|/|R|\]

对任意代数闭域 \(k\)，有 \[M(k) = U(k)/R(k)\]

证明

由于 \(C \to A\) 整（引理 03BJ）且单， \(\Spec(A) \to \Spec(C)\) 满，见《交换代数》引理 00GQ。因此 \(|U| \to |M|\) 满。

设 \(k\) 为代数闭域，\(C \to k\) 为环同态。满态射在基变换下保持（《概形态射》引理 01S1），故 \(A \otimes_C k\) 非零。此时 \(k \subset A \otimes_C k\) 是非零整扩张。因此 \(A \otimes_C k\) 的任意剩余域都是 \(k\) 的代数扩张，从而等于 \(k\)。于是 \(U(k) \to M(k)\) 满。

设 \(a_0, a_1 : A \to k\) 为两个环同态。若存在环同态 \(b : B \to k\)，使 \(a_0 = b \circ t^\sharp\) 且 \(a_1 = b \circ s^\sharp\)，则按定义 \(a_0|_C = a_1|_C\)。因此映射 \(U(k) \to M(k)\) 等化两个映射 \(R(k) \to U(k)\)。反之，假设 \(a_0|_C = a_1|_C\)，并将此代数同态记作 \(c : C \to k\)。考虑图 \[\xymatrix{ & & B \ar@{-->}[lld] \\ k & & A \ar@<0.5ex>[ll]^{a_0} \ar@<-0.5ex>[ll]_{a_1} \ar@<1ex>[u] \ar@<-1ex>[u] \\ & & C \ar[u] \ar[llu]^c }\] 若能构造使该图交换的虚线箭头，则引理第 (2) 点的证明完成。由于 \(s : A \to B\) 有限，存在有限多个环同态 \(b_1, \ldots, b_n : B \to k\)，使 \(b_i \circ s^\sharp = a_1\)。若虚线箭头不存在，则 \(a'_i = b_i \circ t^\sharp\)（\(i = 1, \ldots, n\)）均不等于 \(a_0\)。于是 \(A \otimes_C k\) 的极大理想 \[\mathfrak m'_i = \Ker(a_i' \otimes 1 : A \otimes_C k \to k)\] 均不同于 \(\mathfrak m = \Ker(a_0 \otimes 1 : A \otimes_C k \to k)\)。由《交换代数》引理 00DS，可得元素 \(f \in A \otimes_C k\)，满足 \(f \in \mathfrak m\)，但对 \(i = 1, \ldots, n\) 有 \(f \not \in \mathfrak m_i'\)。考虑范数 \[g = \text{Norm}_{s^\sharp \otimes 1}(t^\sharp \otimes 1(f)) \in A \otimes_C k\] 由引理 03BH，它属于经映射 \(c : C \to k\) 基变换所得群胚的不变函数 \(C^1 \subset A \otimes_C k\)。一方面，\(a_1(g) \in k^*\)，因为 \(t^\sharp(f)\) 在 \(a_1\) 上方所有点（对应于 \(b_1, \ldots, b_n\)）处的值都可逆（此处插入关于行列式性质的未来引用）。另一方面，由于 \(f \in \mathfrak m\)，\(f\) 不是单位，故 \(t^\sharp(f)\) 也不是单位（因为 \(t^\sharp \otimes 1\) 忠实平坦），所以它的范数不是单位（此处插入关于行列式性质的未来引用）。于是 \(C^1\) 含有一个既非幂零又非单位的元素。下面说明这导致矛盾。把引理 03BK 应用于映射 \(c : C \to C' = k\)，可知 \(k\) 到不变函数 \(C^1\) 的映射是单射；而且对任意元素 \(x \in C^1\)，存在整数 \(n > 0\) 使 \(x^n \in k\)。因此 \(C^1\) 的每个元素要么是单位，要么幂零。

还需完成 (1) 的证明。已知 \(|U| \to |M|\) 满，且显然 \(|U| \to |M|\) 是 \(|R|\)-不变的。最后，假设 \(u_0, u_1 \in U\) 映到同一点 \(m \in M\)。诱导的域扩张 \(\kappa(u_0)/\kappa(m)\) 和 \(\kappa(u_1)/\kappa(m)\) 都是代数扩张（如上所用，因为 \(A\) 在 \(C\) 上整）。若 \(k\) 是 \(\kappa(m)\) 的代数闭包，则可找到 \(\kappa(m)\)-嵌入 \(\overline{u}_0 : \kappa(u_0) \to k\) 和 \(\overline{u}_1 : \kappa(u_1) \to k\)。它们确定映到 \(M(k)\) 中同一点的 \(k\)-值点 \(\overline{u}_0, \overline{u}_1 \in U(k)\)。由 (2)，存在点 \(\overline{r} \in R(k)\)，满足 \(s(\overline{r}) = \overline{u}_0\) 且 \(t(\overline{r}) = \overline{u}_1\)。 \(\overline{r}\) 的像 \(r \in R\) 满足 \(s(r) = u_0\) 且 \(t(r) = u_1\)，如所需。

引理

设 \(S\) 为概形，\(f : (U', R', s', t') \to (U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上群胚概形的态射。假设：

\(U\), \(R\), \(U'\), \(R'\) 都仿射；

\(s, t, s', t'\) 有限局部自由；

图 \[\xymatrix{ R' \ar[d]_{s'} \ar[r]_f & R \ar[d]^s \\ U' \ar[r]^f & U } \quad \quad \xymatrix{ R' \ar[d]_{t'} \ar[r]_f & R \ar[d]^t \\ U' \ar[r]^f & U } \quad \quad \xymatrix{ G' \ar[d] \ar[r]_f & G \ar[d] \\ U' \ar[r]^f & U }\] 均为笛卡尔的，其中 \(G\) 与 \(G'\) 为稳定子群概形；

\(f : U' \to U\) 是 étale 态射。

则从 \(U\) 上 \(R\)-不变函数到 \(U'\) 上 \(R'\)-不变函数的映射 \(C \to C'\) 是 étale 的，并且 \(U' = \Spec(C') \times_{\Spec(C)} U\)。

证明

令 \(M = \Spec(C)\)、\(M' = \Spec(C')\)。写 \(U = \Spec(A)\)、\(U' = \Spec(A')\)、\(R = \Spec(B)\) 及 \(R' = \Spec(B')\)。下文将直接使用引理 03BJ、 03BK 和 03BL 的结果。

假设 \(C\) 是严格 Hensel 局部环。设 \(p \in M\) 为闭点， \(p' \in M'\) 映到 \(p\)。断言：此时存在 \((U, R, s, t, c)\) 上的不交并分解 \((U', R', s', t', c') = (U, R, s, t, c) \amalg (U'', R'', s'', t'', c'')\)，使得对 \(M\) 上相应的不交并分解 \(M' = M \amalg M''\)，点 \(p'\) 对应于 \(p \in M\)。

该断言蕴含引理。假设 \(M_1 \to M\) 是仿射概形的平坦态射。可将一切基变换到 \(M_1\)，而不影响假设 (1) – (4)。由引理 03BK， \(M_1\)、resp. \(M_1'\) 分别是 \(U_1\) 上 \(R_1\)-不变函数、 resp. \(U'_1\) 上 \(R'_1\)-不变函数的谱。假设 \(p' \in M'\) 映到 \(p \in M\)。令 \(M_1\) 为 \(\mathcal{O}_{M, p}\) 的严格 Hensel 化之谱，其闭点为 \(p_1 \in M_1\)。选择映到 \(p_1\) 与 \(p'\) 的点 \(p'_1 \in M'_1\)。由该断言得到 \[(U'_1, R'_1, s'_1, t'_1, c'_1) = (U_1, R_1, s_1, t_1, c_1) \amalg (U''_1, R''_1, s''_1, t''_1, c''_1)\] 并且相应地，作为 \(M_1\) 上的概形有 \(M'_1 = M_1 \amalg M''_1\)。写 \(M_1 = \Spec(C_1)\)，并把 \(C_1 = \colim C_i\) 写成 étale \(C\)-代数的滤过余极限。令 \(M_i = \Spec(C_i)\)。则 \(M_1 = \lim M_i\)，其他概形亦然。由《概形的极限》引理 01Z4 和 081E，可找到 \(i\)，使 \[(U'_i, R'_i, s'_i, t'_i, c'_i) = (U_i, R_i, s_i, t_i, c_i) \amalg (U''_i, R''_i, s''_i, t''_i, c''_i)\] 故 \(M'_i = M_i \amalg M''_i\)。特别地，经过 étale 基变换后， \(M' \to M\) 在 \(p'\) 上方某点成为 étale 的。这蕴含 \(M' \to M\) 在 \(p'\) 处为 étale （例如由《概形态射》引理 0476）。证明断言之后，我们将证明 \(U' \cong M' \times_M U\)。

证明该断言。注意 \(U_p\) 与 \(U'_{p'}\) 都只有有限多个点。对 \(u \in U_p\)，扩张 \(\kappa(u)/\kappa(p)\) 是代数的，故 \(\kappa(u)\) 可分闭。由于 \(U' \to U\) 为 étale，态射 \(U'_{p'} \to U_p\) 在剩余域扩张上诱导同构。取映到 \(u \in U_p\) 的 \(u' \in U'_{p'}\)。由假设 (3)，概形论纤维的态射 \((s')^{-1}(u') \to s^{-1}(u)\)、 \((t')^{-1}(u') \to t^{-1}(u)\) 及 \(G'_{u'} \to G_u\) 都是同构。注意 \(U_p = t(s^{-1}(u))\)（集合论意义下），可知 \(U'_{p'}\) 的点满射到 \(U_p\) 的点。假设 \(U'_{p'}\) 中两点 \(u'_1\) 与 \(u'_2\) 映到 \(U_p\) 的同一点 \(u\)。则存在点 \(r' \in R'_{p'}\)，满足 \(s'(r') = u'_1\) 且 \(t'(r') = u'_2\)。考虑两个域塔 \[\kappa(r')/\kappa(u'_1)/\kappa(u)/\kappa(p) \quad \kappa(r')/\kappa(u'_2)/\kappa(u)/\kappa(p)\] 它们的两个“端点”分别与下面两个域塔的两个“端点”相同： \[\kappa(r')/\kappa(u'_1)/\kappa(p')/\kappa(p) \quad \kappa(r')/\kappa(u'_2)/\kappa(p')/\kappa(p)\] 由于 \((U'_{p'}, R'_{p'}, s', t', c')\) 是 \(p'\) 上的群胚，后两者诱导相同映射 \(\kappa(p') \to \kappa(r')\)。又因 \(\kappa(u)/\kappa(p)\) 纯不可分，所诱导的两个映射 \(\kappa(u) \to \kappa(r')\) 相同。因此 \(r'\) 映到纤维 \(G_u\) 的一点。由假设 (3)，\(r' \in (G')_{u'_1}\)。具体地，可把 \(G\) 看成 \(R\) 的闭子概形，其中后者经 \(s\) 视为 \(U\) 上的概形；再利用其向 \(U'\) 的基变换给出 \(G' \subset R'\)。特别地，\(u'_1 = u'_2\)。故 \(U'_{p'} \to U_p\) 在点上双射，并在剩余域上诱导同构。于是 \(U'_{p'}\) 是有限闭点集（《交换代数》引理 00GA），因而 \(U'_{p'}\) 在 \(U'\) 中闭。令 \(J' \subset A'\) 为在集合论意义下截出 \(U'_{p'}\) 的根理想。

断言证明的第二部分。令 \(\mathfrak m \subset C\) 为极大理想。由《代数进阶》引理 09XK， \((A, \mathfrak m A)\) 是 Hensel 对。令 \(J = \sqrt{\mathfrak m A}\)。由《代数进阶》引理 09XJ， \((A, J)\) 是 Hensel 对；根据上面的讨论，étale 环同态 \(A \to A'\) 诱导同构 \(A/J \to A'/J'\)。由《代数进阶》引理 09XI， \(A' = A \times A''\)。考虑相应的不交并分解 \(U' = U \amalg U''\)。开集 \((s')^{-1}(U)\) 是 \(R'\) 中可特化到 \(R'_{p'}\) 一点的点集；\((t')^{-1}(U)\) 亦然。类似地，\((s')^{-1}(U'') = (t')^{-1}(U'')\)，因为这是不能特化到 \(R'_{p'}\) 的点集。因此得到不交并分解 \[(U', R', s', t', c') = (U, R, s, t, c) \amalg (U'', R'', s'', t'', c'')\] 这立即给出 \(M' = M \amalg M''\)，断言得证。

最后还需证明典范映射 \(U' \to M' \times_M U\) 是同构。它是 étale 态射（《概形态射》引理 02GW）。另一方面，基变换到严格 Hensel 局部环（如证明第三段所做），并利用断言证明过程中得到的双射 \(U'_{p'} \to U_p\)，可知 \(U' \to M' \times_M U\) 普遍双射（略去若干细节）。然而，普遍双射的 étale 态射是同构（《下降》引理 02LC），证明完成。

引理

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。假设：

\(U = \Spec(A)\) 与 \(R = \Spec(B)\) 仿射；

存在元素 \(x_i \in A\)（\(i \in I\)），使 \(B = \bigoplus_{i \in I} s^\sharp(A)t^\sharp(x_i)\)。

则 \(A = \bigoplus_{i\in I} Cx_i\)，且 \(B \cong A \otimes_C A\)，其中 \(C \subset A\) 是 (03BF) 中 \(U\) 上的 \(R\)-不变函数。

证明

本证明中以 \(s, t : A \to B\) 代替 \(s^\sharp, t^\sharp\)，类似地以 \(c : B \to B \otimes_{s, A, t} B\) 表示相应映射。记 \(p_0 : B \to B \otimes_{s, A, t} B\)、 \(b \mapsto b \otimes 1\)，并记 \(p_1 : B \to B \otimes_{s, A, t} B\)、 \(b \mapsto 1 \otimes b\)。由引理 03C6 及 \(C\) 的定义，有交换图 \[\xymatrix{ B \otimes_{s, A, t} B & B \ar@<-1ex>[l]_-c \ar@<1ex>[l]^-{p_0} & A \ar[l]^t \\ B \ar[u]^{p_1} & A \ar@<-1ex>[l]_s \ar@<1ex>[l]^t \ar[u]_s & C \ar[u] \ar[l] }\] 此外，左侧两个方块在环范畴中是余笛卡尔的，而顶行同构于图 \[\xymatrix{ B \otimes_{t, A, t} B & B \ar@<-1ex>[l]_-{p_1} \ar@<1ex>[l]^-{p_0} & A \ar[l]^t }\] 由《下降》引理 023M，它是等化子图，因为条件 (2) 特别蕴含 \(s\) （以及与之同构的箭头 \(t\)）忠实平坦。底行按 \(C\) 的定义也是等化子图。利用 \(x_i\) 可得到交换图 \[\xymatrix{ B \otimes_{s, A, t} B & B \ar@<-1ex>[l]_-c \ar@<1ex>[l]^-{p_0} & A \ar[l]^t \\ \bigoplus_{i \in I} B x_i \ar[u]^{p_1} & \bigoplus_{i \in I} A x_i \ar@<-1ex>[l]_s \ar@<1ex>[l]^t \ar[u]_s & \bigoplus_{i \in I} C x_i \ar[u] \ar[l] }\] 其中，右侧竖直箭头把 \(x_i\) 映到 \(x_i\)，中间竖直箭头把 \(x_i\) 映到 \(t(x_i)\)，左侧竖直箭头把 \(x_i\) 映到 \(c(t(x_i)) = t(x_i) \otimes 1 = p_0(t(x_i))\) （该等式来自引理 02YE 中图上半部分的交换性）。于是该图交换。由假设，中间竖直箭头是同构。由于左侧两个方块余笛卡尔，左侧竖直箭头也是同构。另一方面，水平行正合（即均为等化子），故右侧竖直箭头也是同构。

命题

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。假设：

\(U = \Spec(A)\) 与 \(R = \Spec(B)\) 仿射；

\(s, t : R \to U\) 有限局部自由；

\(j = (t, s)\) 是等价关系。

在此情形下，令 \(C \subset A\) 如 (03BF)。则 \(U \to M = \Spec(C)\) 有限局部自由，且 \(R = U \times_M U\)。此外，\(M\) 表示 fppf 拓扑下的商层 \(U/R\) （见定义 02VG）。

证明

本证明中以 \(s, t : A \to B\) 代替 \(s^\sharp, t^\sharp\)。由引理 03C5，只需证明 \(C \to A\) 有限局部自由，并且映射 \[t \otimes s : A \otimes_C A \longrightarrow B\] 是同构。首先，\(j\) 是单态射，而且有限（因为 \(s\) 和 \(t\) 已经有限）。因此由《概形态射》引理 03BB， \(j\) 是闭浸入。故 \(A \otimes_C A \to B\) 满。

我们将如引理 03BK 那样，沿平坦环同态 \(C \to C'\) 作基变换，并使用不变函数的形成与平坦基变换交换这一事实，见所引引理的 (3)。下面将证明：对每个素理想 \(\mathfrak p \subset C\)，存在局部平坦环同态 \(C_{\mathfrak p} \to C_{\mathfrak p}'\)，使得基变换到 \(C_{\mathfrak p}'\) 后结论成立。这立即蕴含 \(A \otimes_C A \to B\) 是单射（使用《交换代数》引理 00HN）。结合《交换代数》引理 00HR、 00HT 及 00HJ，还可推出 \(C \to A\) 平坦。又因 \(U \to \Spec(C)\) 满（引理 03BL），故 \(C \to A\) 忠实平坦。同构 \(B \cong A \otimes_C A\) 蕴含 \(A\) 是有限表现 \(C\)-模，见《交换代数》引理 03C4。于是 \(A\) 在 \(C\) 上有限局部自由，见《交换代数》引理 00NX。

由引理 03BI， \(A\) 是有限多个环 \(A_r\) 的积，\(B\) 是有限多个环 \(B_r\) 的积，且群胚概形相应分解（见引理 03BJ 的证明）。于是 \(C\) 也是诸环 \(C_r\) 的积，\(C'\) 也相应分解。因此可以并且确实假设环同态 \(s, t : A \to B\) 有限局部自由、恒秩为 \(r\)。

将使用的局部环同态 \(C_{\mathfrak p} \to C_{\mathfrak p}'\) 可以取为任意使 \(C_{\mathfrak p}'\) 的剩余域为无限域的局部平坦环同态。由《交换代数》引理 03C3，这样的同态存在。

假设 \(C\) 是极大理想为 \(\mathfrak m\)、剩余域无限的局部环，并假设 \(s, t : A \to B\) 有限局部自由、恒秩为 \(r > 0\)。由于 \(C \subset A\) 整（引理 03BJ），位于 \(\mathfrak m\) 上方的所有素理想都是极大理想，且 \(A\) 的所有极大理想都位于 \(\mathfrak m\) 上方。 \(C \subset B\) 也同样如此。选取 \(A\) 中位于 \(\mathfrak m\) 上方的极大理想 \(\mathfrak m'\)（其存在性由引理 03BL）。因为 \(t : A \to B\) 有限局部自由， \(B\) 中位于 \(\mathfrak m'\) 上方的极大理想至多有限多个。再次由引理 03BL，\(A\) 只有有限多个极大理想，即 \(A\) 半局部；进而 \(B\) 也半局部。现在，因为 \(t \otimes s : A \otimes_C A \to B\) 满，可把《交换代数》引理 03C1 应用于环同态 \(C \to A\)、\(A\)-模 \(M = B\) （经 \(t\) 视作 \(A\)-模）以及 \(C\)-子模 \(s(A) \subset B\)。该引理给出 \(x_1, \ldots, x_r \in A\)，使 \(M\) 是以 \(s(x_1), \ldots, s(x_r)\) 为基的自由 \(A\)-模。因此应用引理 03C8 可知 \(C \to A\) 有限自由，且 \(B \cong A \otimes_C A\)。

有限平坦群胚

本节证明一个引理，用来说明：若每个等价类都包含于某个仿射开集，则概形对有限平坦等价关系取商仍是概形。见《代数空间的性质》命题 07S6。

引理

设 \(S\) 为概形，\((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。假设 \(s\), \(t\) 有限局部自由。设 \(u \in U\) 为一点，并且 \(t(s^{-1}(\{u\}))\) 包含于 \(U\) 的某个仿射开集。则 \(u\) 在 \(U\) 中有一个 \(R\)-不变仿射开邻域。

证明

由于 \(s\) 有限局部自由，其纤维有限。因此 \(t(s^{-1}(\{u\})) = \{u_1, \ldots, u_n\}\) 是有限集。注意 \(u \in \{u_1, \ldots, u_n\}\)。取包含 \(\{u_1, \ldots, u_n\}\) 的仿射开集 \(W \subset U\)；特别地，\(u \in W\)。考虑 \(Z = R \setminus s^{-1}(W) \cap t^{-1}(W)\)。这是 \(R\) 的闭子集。像 \(t(Z)\) 是 \(U\) 的闭子集；粗略地说，它由 \(U\) 中与 \(U \setminus W\) 某一点 \(R\)-等价的点组成。因此 \(W' = U \setminus t(Z)\) 是 \(U\) 中包含于 \(W\) 的 \(R\)-不变开子概形，并且 \(\{u_1, \ldots, u_n\} \subset W'\)。图示如下： \[\{u_1, \ldots, u_n\} \subset W' \subset W \subset U.\] 取元素 \(f \in \Gamma(W, \mathcal{O}_W)\)，满足 \(\{u_1, \ldots, u_n\} \subset D(f) \subset W'\)。这样的 \(f\) 由《交换代数》引理 00DS 存在。根据 \(W'\) 的选择，有 \(s^{-1}(W') \subset t^{-1}(W)\)，因而得到图 \[\xymatrix{ s^{-1}(W') \ar[d]_s \ar[r]_-t & W \\ W' }\] 由假设，竖直箭头有限局部自由。令 \[g = \text{Norm}_s(t^\sharp f) \in \Gamma(W', \mathcal{O}_{W'})\] 按构造，\(g\) 是 \(W'\) 上在 \(u\) 处非零的函数，因为 \(t^\sharp(f)\) 在 \(R\) 中位于 \(u\) 上方的每一点处都非零，这是由于 \(f\) 在 \(u_1, \ldots, u_n\) 处非零。类似地，\(D(g) \subset W'\) 恰由如下点 \(w\) 构成： \(f\) 在与 \(w\) 等价的任一点处都不为零。这说明 \(D(g)\) 是 \(W'\) 的 \(R\)-不变仿射开集。最终图示为 \[\{u_1, \ldots, u_n\} \subset D(g) \subset D(f) \subset W' \subset W \subset U\] 故结论成立。

拟射影概形的下降

可用引理 03JE 说明某一类下降数据是有效的。

引理

设 \(X \to Y\) 为满的有限局部自由态射，\(d\) 为正整数。假设对每个几何点 \(\bar{y} : \mathrm{Spec}(k) \to Y\)，纤维 \(X_{\bar{y}}\) 至多有 \(d\) 个点。设 \(V\) 为 \(X\) 上的概形，并且对所有 \((y, v_1, \ldots, v_d)\)，其中 \(y \in Y\) 且 \(v_1, \ldots, v_d \in V_y\)，都存在仿射开集 \(U \subset V\)，使 \(v_1, \ldots, v_d \in U\)。则 \(V/X/Y\) 上的任意下降数据都是有效的。

证明

设 \(\varphi\) 为《下降》定义 023V 意义下的下降数据。回忆从 \(Y\) 上概形到相对于 \(\{X \to Y\}\) 的下降数据的函子全忠实，见《下降》引理 02W0。因此利用《概形的构造》引理 01LH，只需在 \(Y\) 仿射时证明。略去若干细节（若 \(Y\) 分离或其对角仿射，则可避免这一论证，因为此时从仿射概形到 \(X\) 的每个态射都仿射）。

假设 \(Y\) 仿射。若 \(V\) 也仿射，则有效性由《下降》引理 0245 得出。因此由《下降》引理 0AP4，只需证明 \(V\) 的每个点 \(v\) 都有一个 \(\varphi\)-不变仿射开邻域。考虑群胚 \((X, X \times_Y X, \text{pr}_1, \text{pr}_0, \text{pr}_{02})\)。由引理 0APF，下降数据 \(\varphi\) 确定且被如下群胚概形的笛卡尔态射确定： \[(V, R, s, t, c) \longrightarrow (X, X \times_Y X, \text{pr}_1, \text{pr}_0, \text{pr}_{02})\] 该态射在 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上。由于 \(X \to Y\) 有限局部自由， \(\text{pr}_i : X \times_Y X \to X\)，从而 \(s\) 与 \(t\) 都有限局部自由，且其几何纤维至多有 \(d\) 个点。特别地，点 \(v \in V\) 的 \(R\)-轨道 \(t(s^{-1}(\{v\}))\) 至多有 \(d\) 个点。再次使用引理 0APF 的范畴等价，可知 \(V\) 的 \(\varphi\)-不变开集恰是 \(V\) 的 \(R\)-不变开集。由假设，存在包含轨道 \(t(s^{-1}(\{v\}))\) 的 \(V\) 的仿射开集，因为该轨道的所有点都映到 \(Y\) 的同一点。因此引理 03JE 给出包含 \(v\) 的 \(R\)-不变仿射开集。

引理

设 \(X \to Y\) 为满的有限局部自由态射。设 \(V\) 为 \(X\) 上的概形，并且对所有 \((y, v_1, \ldots, v_d)\)，其中 \(y \in Y\) 且 \(v_1, \ldots, v_d \in V_y\)，都存在仿射开集 \(U \subset V\)，使 \(v_1, \ldots, v_d \in U\)。则 \(V/X/Y\) 上的任意下降数据都是有效的。

证明

与引理 0H8K 的证明一样，可假设 \(Y\) 仿射，特别是拟紧。于是存在整数 \(d\)，使 \(X \to Y\) 的所有几何纤维至多有 \(d\) 个点，见《概形态射》第 03J3 节中的讨论。关于 \(V\) 的假设显然蕴含可应用引理 0H8K，证明完成。

引理

设 \(X \to Y\) 为满的有限局部自由态射，\(V\) 为 \(X\) 上的概形，并假设下列条件之一成立：

\(V \to X\) 射影；

\(V \to X\) 拟射影；

\(V\) 上存在充足可逆层；

\(V\) 上存在 \(X\)-充足可逆层；

\(V\) 上存在 \(X\)-很充足可逆层。

则 \(V/X/Y\) 上的任意下降数据都是有效的。

证明

验证引理 0CCI 中的条件。设 \(y \in Y\)，且 \(v_1, \ldots, v_d \in V\) 是 \(y\) 上方的点。情形 (1) 是 (2) 的特殊情形，见《概形态射》引理 07RL。情形 (2) 是 (4) 的特殊情形，见《概形态射》定义 01VW。若 \(V\) 上存在充足可逆层，则由《概形的性质》引理 01ZY，存在包含 \(v_1, \ldots, v_d\) 的仿射开集。因此 (3) 成立。在情形 (4) 与 (5) 中，可无妨把 \(Y\) 替换为 \(y\) 的仿射开邻域；此时 \(X\) 也仿射。在情形 (4) 中，由《概形态射》定义 01VH，\(V\) 有充足可逆层，故结论由情形 (3) 得出。在情形 (5) 中，可把 \(V\) 替换为包含 \(v_1, \ldots, v_d\) 的拟紧开集，再由《概形态射》引理 01VN 归约到情形 (4)。

引理

设 \(X \to Y\) 为满的有限局部自由根态射。设 \(V\) 为 \(X\) 上的概形。则 \(V/X/Y\) 上的任意下降数据都是有效的。

证明

取 \(d = 1\)，应用引理 0H8K。

利用《除子》第 0BCX 节的材料，可以把有效 Cartier 除子 \(\mathcal{D}\) 沿有限局部自由态射 \(1 \times \pi'\) 的范数取作有效 Cartier 除子 \(E\)，从而省去部分论证。↩︎
等价定义见注 0H2U。↩︎
这表示默认类型的扭子是在某个 fpqc 覆盖上平凡的伪扭子。这是 [SGA3, Exposé IV, 6.5] 中的定义。由于我们最常在 fppf 拓扑中工作，这一定义对我们略有不便。↩︎