内射对象 · Stacks

引言

在后续各章中，我们将利用内射对象与 K-内射复形的存在性，研究环站点上模层的上同调。本章说明如何构造内射对象与 K-内射复形：先讨论站点上的模，随后更一般地讨论 Grothendieck 阿贝尔范畴。

我们注意到，阿贝尔群范畴以及环上模范畴均有足够多的内射对象；见《代数详论》，第 01D6 与 01D8 节。

模的 Baer 论证

还有一种更具集合论色彩的方法，可以证明任意 \(R\)-模 \(M\) 都能嵌入一个内射模。该方法借助推出的超限余极限来构造内射模。虽然这种方法比《代数详论》第 01D8 节中的方法更为抽象且更复杂，但它也更为一般。这个方法似乎源自 Baer，后来 Cartan 与 Eilenberg 在 [Cartan-Eilenberg] 中、Grothendieck 在 [Tohoku] 中重新讨论了它。 Grothendieck 在后一文中用它证明许多其他阿贝尔范畴也有足够多的内射对象。稍后我们将回到一般情形（第 05AB 节）。

先作几条集合论方面的说明。设 \(\{B_{\beta}\}_{\beta \in \alpha}\) 是某范畴 \(\mathcal{C}\) 中由序数 \(\alpha\) 指标的对象归纳系统。假设 \(\colim_{\beta \in \alpha} B_\beta\) 在 \(\mathcal{C}\) 中存在。若 \(A\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象，则有自然映射 [05NN]\[\begin{equation} \colim_{\beta \in \alpha} \Mor_\mathcal{C}(A, B_\beta) \longrightarrow \Mor_\mathcal{C}(A, \colim_{\beta \in \alpha} B_\beta). \end{equation}\] 这是因为，若给定某个 \(\beta\) 以及映射 \(A \to B_\beta\)，将它与 \(B_\beta \to \colim_{\beta \in \alpha} B_\alpha\) 复合，便自然得到从 \(A\) 到该余极限的映射。注意，左侧是集合的余极限！一般而言， (05NN) 既不是单射，也不是满射。

例

考虑集合范畴。令 \(A = \mathbf{N}\)，并令 \(B_n = \{1, \ldots, n\}\) 为由自然数指标的归纳系统，其中当 \(n \leq m\) 时，\(B_n \to B_m\) 是显然映射。此时 \(\colim B_n = \mathbf{N}\)，因而存在映射 \(A \to \colim B_n\)，但对任意 \(m\)，它都不能分解为 \(A \to B_m\)。因此， \(\colim \Mor(A, B_n) \to \Mor(A, \colim B_n)\) 不是满射。

例

下面给出该映射不是单射的例子。令 \(B_n = \mathbf{N}/\{1, 2, \ldots, n\}\)，即把 \(\mathbf{N}\) 的前 \(n\) 个元素压缩为一个元素所得的商集。当 \(n \leq m\) 时有自然映射 \(B_n \to B_m\)，故 \(\{B_n\}\) 构成 \(\mathbf{N}\) 上的集合系统。容易看出 \(\colim B_n = \{*\}\)，即单点集。因此，对任意集合 \(A\)， \(\Mor(A, \colim B_n)\) 都是单元素集。然而， \(\colim \Mor(A , B_n)\) 不是单元素集。考虑两族映射 \(A \to B_n\)：第一族就是自然投影 \(\mathbf{N} \to \mathbf{N}/\{1, 2, \ldots, n\}\)；第二族把整个 \(A\) 映到 \(1\) 的等价类。这两族映射在每一步都不同，因而在 \(\colim \Mor(A, B_n)\) 中也不同，但它们诱导出相同的映射 \(A \to \colim B_n\)。

不过，若映射从有限集出发，则 (05NN) 总是同构。

引理

在 (05NN) 中，若 \(\mathcal{C}\) 是集合范畴且 \(A\) 是有限集，则该映射是双射。

证明

设 \(f : A \to \colim B_\beta\)。\(f\) 的像有限；设它包含余极限中的元素 \(c_1, \ldots, c_r \in \colim B_\beta\)。由余极限的定义，当 \(\beta \in \alpha\) 足够大时，这些元素都来自 \(B_\beta\) 中的某些元素。因此可以定义 \(\widetilde{f} : A \to B_\beta\)，在某个有限阶段提升 \(f\)。这证明了 (05NN) 是满射。

接下来，假设两个映射 \(f : A \to B_\gamma\) 与 \(f' : A \to B_{\gamma'}\) 定义了相同的映射 \(A \to \colim B_\beta\)。于是 \(A\) 的每个元素在余极限中的像都相同。由集合余极限的定义，存在 \(\beta \geq \gamma, \gamma'\)，使得在 \(f\) 与 \(f'\) 下，\(A\) 的有限多个元素在 \(B_\beta\) 中分别映到相同的点。这证明了 (05NN) 是单射。

该引理最有趣的情形是 \(\alpha = \omega\)，也就是说，系统 \(\{B_\beta\}\) 是例 05NP 与 05NQ 中那样由自然数指标的系统 \(\{B_n\}_{n \in \mathbf{N}}\)。核心思想是，相对于长复合链 \(B_1 \to B_2 \to \ldots\)，\(A\) 是“小”的，因而它必定分解通过某个有限阶段。该引理的更一般版本见《集合》，引理 05N2。下面把它推广到模范畴。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(I \subset \text{Arrows}(\mathcal{C})\)， \(\alpha\) 为序数。若对任意以 \(\alpha\) 为指标且转移映射均属于 \(I\) 的系统 \(\{B_\beta\}\)，映射 (05NN) 都是同构，则称 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(A\) 相对于 \(I\) 为 \(\alpha\)-小的。

本节以下固定一个交换环 \(R\)，并只考虑 \(R\)-模范畴。我们还令 \(I\) 为单射的集合，即 \(R\)-模范畴中的单态射集合。在这种情形下，对定义中任意系统 \(\{B_\beta\}\)，每个映射 \[B_\beta \to \colim_{\beta \in \alpha} B_\beta\] 都是单射。因此映射 (05NN) 是单射。事实上，可以把各 \(B_\beta\) 视为模 \(B = \colim_{\beta \in \alpha} B_\beta\) 的子模，此时 \(B = \bigcup_{\beta \in \alpha} B_\beta\)。若把 \(B_\alpha\) 与它在余极限中的像认同，这并非记号的滥用。下面证明：对“足够大”的序数 \(\alpha\)，模总是小的。

命题

设 \(R\) 为环，\(M\) 为 \(R\)-模。设 \(\kappa\) 为 \(M\) 的子模集合的基数。若序数 \(\alpha\) 的共尾数大于 \(\kappa\)，则 \(M\) 相对于单射为 \(\alpha\)-小的。

证明

证明是直接的，不过先考虑一个特殊情形。若 \(M\) 有限，则断言是：对任意由极限序数指标、转移映射均为单射的归纳系统 \(\{B_\beta\}\)，任意映射 \(M \to \colim B_\beta\) 都分解通过某个 \(B_\beta\)。这已在引理 05NR 中证明。

现在证明一般情形。只需证明映射 (05NN) 是满射。设 \(f : M \to \colim B_\beta\) 为映射。把 \(B_\beta\) 看作余极限 \(B = \bigcup_\beta B_\beta\) 的子对象，并考虑 \(M\) 的子对象 \(\{f^{-1}(B_\beta)\}\)。若其中某个子对象（比如 \(f^{-1}(B_\beta)\)）等于 \(M\)，则该映射分解通过 \(B_\beta\)。

反设所有 \(f^{-1}(B_\beta)\) 都是 \(M\) 的真子对象。但我们知道 \[\bigcup f^{-1}(B_\beta) = f^{-1}\left(\bigcup B_\beta\right) = M.\] 由假设，在各 \(f^{-1}(B_\alpha)\) 中至多出现 \(\kappa\) 个不同的 \(M\) 的子对象。因此可以找到基数至多为 \(\kappa\) 的子集 \(S \subset \alpha\)，使得当 \(\beta'\) 遍历 \(S\) 时， \(f^{-1}(B_{\beta'})\) 恰好遍历所有 \(f^{-1}(B_\alpha)\)。

由于 \(\alpha\) 的共尾数大于 \(\kappa\)，\(S\) 有一个上界 \(\widetilde{\alpha} < \alpha\)。特别地，对所有 \(\beta' \in S\)， \(f^{-1}(B_{\beta'})\) 都包含于 \(f^{-1}(B_{\widetilde{\alpha}})\)。因此 \(f^{-1}(B_{\widetilde{\alpha}}) = M\)，从而映射 \(f\) 分解通过 \(B_{\widetilde{\alpha}}\)。

由此引理可以推出大量内射对象的存在性。先回顾 Baer 判别法。

引理

设 \(R\) 为环。\(R\)-模 \(Q\) 是内射模，当且仅当在每个交换图 \[\xymatrix{ \mathfrak{a} \ar[d] \ar[r] & Q \\ R \ar@{-->}[ru] }\] 中虚线箭头都存在，其中 \(\mathfrak{a} \subset R\) 为理想。

证明

这就是《代数详论》，引理 0AVF 中 (1) 与 (3) 的等价性。请注意，那里给出的证明是初等的（既不使用 \(\text{Ext}\) 群，也不使用 \(R\)-模范畴中内射对象或投射对象的存在性）。

若 \(M\) 是 \(R\)-模，则一般可能有一个如引理 05NU 中那样尚缺一箭头的图。在其中可以形成推出 \[\xymatrix{ \mathfrak{a} \ar[d] \ar[r] & M \ar[d] \\ R \ar[r] & R \oplus_{\mathfrak{a}} M. }\] 这里的竖直映射是单射，且该图交换。要点是：只要把 \(M\) 扩大为更大的模 \(R \oplus_{\mathfrak{a}} M\)，就可以把 \(\mathfrak{a} \to M\) 延拓到 \(R\)。

Baer 论证的关键是超限多次地重复这个过程。为此，对给定的 \(R\)-模 \(M\)，先定义如下（巨大）推出 [05NV]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \bigoplus_{\mathfrak a} \bigoplus_{\varphi \in \Hom_R(\mathfrak a, M)} \mathfrak{a} \ar[r] \ar[d] & M \ar[d] \\ \bigoplus_{\mathfrak a} \bigoplus_{\varphi \in \Hom_R(\mathfrak a, M)} R \ar[r] & \mathbf{M}(M). } } \end{equation}\] 上方水平箭头把与 \(\varphi\) 对应的直和项中元素 \(a \in \mathfrak a\) 映到 \(\varphi(a) \in M\)。左侧竖直箭头则把与 \(\varphi\) 对应的直和项中的 \(a \in \mathfrak a\) 直接映到与 \(\varphi\) 对应的直和项中的 \(a \in R\)。该构造的基本性质表述于下一个引理。

引理

设 \(R\) 为环。

构造 \(M \mapsto (M \to \mathbf{M}(M))\) 关于 \(M\) 具有函子性。

映射 \(M \to \mathbf{M}(M)\) 是单射。

对任意理想 \(\mathfrak{a}\) 以及任意 \(R\)-模同态 \(\varphi : \mathfrak a \to M\)，存在 \(R\)-模同态 \(\varphi' : R \to \mathbf{M}(M)\)，使得 \[\xymatrix{ \mathfrak{a} \ar[d] \ar[r]_\varphi & M \ar[d] \\ R \ar[r]^{\varphi'} & \mathbf{M}(M) }\] 交换。

证明

(2) 与 (3) 由构造立即得到。为证明 (1)，设 \(\chi : M \to N\) 为 \(R\)-模同态。我们断言存在典范交换图 \[\xymatrix{ \bigoplus_{\mathfrak a} \bigoplus_{\varphi \in \Hom_R(\mathfrak a, M)} \mathfrak{a} \ar[r] \ar[d] \ar[rrd] & M \ar[rrd]^\chi \\ \bigoplus_{\mathfrak a} \bigoplus_{\varphi \in \Hom_R(\mathfrak a, M)} R \ar[rrd] & & \bigoplus_{\mathfrak a} \bigoplus_{\psi \in \Hom_R(\mathfrak a, N)} \mathfrak{a} \ar[r] \ar[d] & N \\ & & \bigoplus_{\mathfrak a} \bigoplus_{\psi \in \Hom_R(\mathfrak a, N)} R }\] 它诱导出所需映射 \(\mathbf{M}(M) \to \mathbf{M}(N)\)。中间那条东南向箭头通过 \(\text{id}_{\mathfrak a}\)，把与 \(\varphi\) 对应的直和项 \(\mathfrak a\) 映到与 \(\psi = \chi \circ \varphi\) 对应的直和项 \(\mathfrak a\)。下方东南向箭头同理。略去细节。

现在的思路是超限多次地应用函子 \(\mathbf{M}\)。对每个序数 \(\alpha\)，我们将在 \(R\)-模范畴上定义函子 \(\mathbf{M}_\alpha\)，并同时给出自然单射 \(N \to \mathbf{M}_\alpha(N)\)。用超限递归完成此事。首先，令 \(\mathbf{M}_1 = \mathbf{M}\)，即上述函子。现在设给定序数 \(\alpha\)，并且对所有 \(\alpha' < \alpha\) 都已定义 \(\mathbf{M}_{\alpha'}\)。若 \(\alpha\) 有直接前驱 \(\widetilde{\alpha}\)，则令 \[\mathbf{M}_\alpha = \mathbf{M} \circ \mathbf{M}_{\widetilde{\alpha}}.\] 否则，即若 \(\alpha\) 是极限序数，则令 \[\mathbf{M}_{\alpha}(N) = \colim_{\alpha' < \alpha} \mathbf{M}_{\alpha'}(N).\] 显然（例如通过归纳），各 \(\mathbf{M}_{\alpha}(N)\) 构成序数上的归纳系统，故这个定义是合理的。

定理

设 \(\kappa\) 为 \(R\) 的理想集合的基数，\(\alpha\) 为共尾数大于 \(\kappa\) 的序数。则 \(\mathbf{M}_\alpha(N)\) 是内射 \(R\)-模，且 \(N \to \mathbf{M}_\alpha(N)\) 是函子性的内射嵌入。

证明

由 Baer 判别法（引理 05NU），只需证明：若 \(\mathfrak{a} \subset R\) 为理想，则任意映射 \(f : \mathfrak{a} \to \mathbf{M}_\alpha(N)\) 都可延拓为 \(R \to \mathbf{M}_\alpha(N)\)。由于 \(\alpha\) 是极限序数，我们有 \[\mathbf{M}_{\alpha}(N) = \colim_{\beta < \alpha} \mathbf{M}_{\beta}(N),\] 因此由命题 05NT 得到 \[\Hom_R(\mathfrak{a}, \mathbf{M}_{\alpha}(N)) = \colim_{\beta < \alpha} \Hom_R(\mathfrak a, \mathbf{M}_{\beta}(N)).\] 特别地，存在某个 \(\beta' < \alpha\)，使得 \(f\) 分解通过子模 \(\mathbf{M}_{\beta'}(N)\)，即 \[f : \mathfrak{a} \to \mathbf{M}_{\beta'}(N) \to \mathbf{M}_{\alpha}(N).\] 然而，由函子 \(\mathbf{M}\) 的基本性质（见引理 05NW 的 (3)），映射 \(\mathfrak{a} \to \mathbf{M}_{\beta'}(N)\) 可以延拓为 \[R \to \mathbf{M}( \mathbf{M}_{\beta'}(N)) = \mathbf{M}_{\beta' + 1}(N),\] 而最后一个对象嵌入 \(\mathbf{M}_{\alpha}(N)\)（因为 \(\alpha\) 是极限序数，所以 \(\beta' + 1 < \alpha\)）。特别地，\(f\) 可以延拓到 \(\mathbf{M}_{\alpha}(N)\)。

\(G\)-模

稍后我们将看到（《微分分次代数》，第 04JD 节），代数上模的范畴具有函子性的内射嵌入。该构造与《代数详论》，第 01D8 节中的构造完全相同。

引理

设 \(G\) 为拓扑群，\(R\) 为环。\(R\text{-}G\)-模的范畴 \(\text{Mod}_{R, G}\)（见《平展上同调》，定义 04JP）具有函子性的内射嵌入。特别地，离散 \(G\)-模范畴也具有此性质。

证明

由引理之前的说明，范畴 \(\text{Mod}_{R[G]}\) 具有函子性的内射嵌入。考虑遗忘函子 \(v : \text{Mod}_{R, G} \to \text{Mod}_{R[G]}\)。该函子全忠实，把单射变为单射，并且具有右伴随，即 \[u : M \mapsto u(M) = \{x \in M \mid x\text{ 的稳定子是开子群}\}\] 由于 \(v(M) = 0 \Rightarrow M = 0\)，由《同调代数》，引理 0161 得到结论。

空间上的阿贝尔层

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。\(X\) 上阿贝尔层的范畴有足够多的内射对象。事实上，它具有函子性的内射嵌入。

证明

对阿贝尔群 \(A\)，记 \(j : A \to J(A)\) 为《代数详论》，第 01D8 节中构造的函子性内射嵌入。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的阿贝尔层。由《层论》，例 006X，赋值 \[\mathcal{I} : U \mapsto \mathcal{I}(U) = \prod\nolimits_{x\in U} J(\mathcal{F}_x)\] 是阿贝尔层。存在典范映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}\)，它把 \(s \in \mathcal{F}(U)\) 映到 \(\prod_{x \in U} j(s_x)\)，其中 \(s_x \in \mathcal{F}_x\) 表示 \(s\) 在 \(x\) 处的芽。这个映射是单射；例如见《层论》，引理 0079。

还需证明如下断言：给定规则 \(x \mapsto I_x\)，它为每个点 \(x \in X\) 指定一个内射阿贝尔群，则层 \(\mathcal{I} : U \mapsto \prod_{x \in U} I_x\) 是内射的。注意 \[\mathcal{I} = \prod\nolimits_{x \in X} i_{x, *}I_x\] 是摩天楼层 \(i_{x, *}I_x\) 的积（记号见《层论》，第 0099 节）。我们有 \[\Mor_{\textit{Ab}}(\mathcal{F}_x, I_x) = \Mor_{\textit{Ab}(X)}(\mathcal{F}, i_{x, *}I_x).\] 见《层论》，引理 009C。因此显然每个 \(i_{x, *}I_x\) 都是内射的。于是 \(\mathcal{I}\) 的内射性由《同调代数》，引理 0137 得出。

环空间上的模层

引理

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为环空间，见《层论》，第 0090 节。\(X\) 上 \(\mathcal{O}_X\)-模层的范畴有足够多的内射对象。事实上，它具有函子性的内射嵌入。

证明

对任意环 \(R\) 和任意 \(R\)-模 \(M\)，记 \(j : M \to J_R(M)\) 为《代数详论》，第 01D8 节中构造的函子性内射嵌入。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的 \(\mathcal{O}_X\)-模层。由《层论》，例 006X 和 007R，赋值 \[\mathcal{I} : U \mapsto \mathcal{I}(U) = \prod\nolimits_{x\in U} J_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x)\] 是阿贝尔层。存在典范映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}\)，它把 \(s \in \mathcal{F}(U)\) 映到 \(\prod_{x \in U} j(s_x)\)，其中 \(s_x \in \mathcal{F}_x\) 表示 \(s\) 在 \(x\) 处的芽。这个映射是单射；例如见《层论》，引理 0079。

还需证明如下断言：给定规则 \(x \mapsto I_x\)，它为每个点 \(x \in X\) 指定一个内射 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模，则层 \(\mathcal{I} : U \mapsto \prod_{x \in U} I_x\) 是内射的。注意 \[\mathcal{I} = \prod\nolimits_{x \in X} i_{x, *}I_x\] 是摩天楼层 \(i_{x, *}I_x\) 的积（记号见《层论》，第 0099 节）。我们有 \[\Hom_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, I_x) = \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, i_{x, *}I_x).\] 见《层论》，引理 009C。因此显然每个 \(i_{x, *}I_x\) 都是内射 \(\mathcal{O}_X\)-模（见《同调代数》，引理 015Z，或直接论证）。于是 \(\mathcal{I}\) 的内射性由《同调代数》，引理 0137 得出。

范畴上的阿贝尔预层

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。回忆，这意味着 \(\Ob(\mathcal{C})\) 是集合。一方面，考虑 \(\mathcal{C}\) 上的阿贝尔预层，见《站点》，第 00V1 节。另一方面，考虑由 \(\Ob(\mathcal{C})\) 的元素作指标的阿贝尔群族；换言之，考虑对象集为 \(\Ob(\mathcal{C})\) 的离散范畴上的预层。我们把这个离散范畴简称为 \(\Ob(\mathcal{C})\)。存在自然函子 \[i : \Ob(\mathcal{C}) \longrightarrow \mathcal{C}\] 因而存在自然的限制函子（或遗忘函子） \[v = i^p : \textit{PAb}(\mathcal{C}) \longrightarrow \textit{PAb}(\Ob(\mathcal{C}))\] 比较《站点》，第 00VC 节。我们用 \(B\) 表示 \(\mathcal{C}\) 上的预层，用 \(A\) 表示 \(\Ob(\mathcal{C})\) 上的预层。

还有两个函子，即 \(i_p\) 和 \({}_pi\)；它们给 \(\Ob(\mathcal{C})\) 上的阿贝尔预层指派 \(\mathcal{C}\) 上的阿贝尔预层，见《站点》，第 00VC 节和第 00XF 节。这里我们将使用 \(u = {}_pi\)；在当前情形下，它定义如下： \[uA(U) = \prod\nolimits_{U' \to U} A(U').\] 因此，一个元素是族 \((a_\phi)_\phi\)，其中 \(\phi\) 遍历 \(\mathcal{C}\) 中所有以 \(U\) 为目标的态射。\(uA\) 上对应于 \(g : V \to U\) 的限制映射把元素 \((a_\phi)_\phi\) 映到元素 \((a_{g \circ \psi})_\psi\)。

存在典范满射 \(vuA \to A\) 和典范单射 \(B \to uvB\)。留给读者证明 \[\Mor_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}(B, uA) = \Mor_{\textit{PAb}(\Ob(\mathcal{C}))}(vB, A).\] 在这个简单情形下成立；一般情形见《站点》，第 00VC 节。因此，\((u, v)\) 是一对伴随函子的例子，见《范畴》，第 0036 节。

此时可以列出关于上述情形的如下事实。

函子 \(u\) 和 \(v\) 是正合的。这由上面对这些函子的显式描述得出。
特别地，函子 \(v\) 把单射变为单射。
范畴 \(\textit{PAb}(\Ob(\mathcal{C}))\) 有足够多的内射对象。
事实上，存在如《同调代数》，定义 0139 中所述的函子性内射嵌入 \(A \mapsto \big(A \to J(A)\big)\)。具体地，可以取 \(J(A)\) 为预层 \(U\mapsto J(A(U))\)，其中 \(J(-)\) 是《代数详论》，第 01D8 节中对环 \(\mathbf{Z}\) 构造的函子。

综合以上各点，得到把 \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\) 的对象 \(B\) 嵌入内射对象的如下方法：\(B \to uJ(vB)\)。见《同调代数》，引理 0161。

命题

对范畴上的阿贝尔预层，存在函子性的内射嵌入。

证明

见以上讨论。

站点上的阿贝尔层

设 \(\mathcal{C}\) 为站点。本节证明 \(\mathcal{C}\) 上的阿贝尔层有足够多的内射对象。

记 \(i : \textit{Ab}(\mathcal{C}) \longrightarrow \textit{PAb}(\mathcal{C})\) 为从阿贝尔层到阿贝尔预层的遗忘函子。令 \({}^\# : \textit{PAb}(\mathcal{C}) \longrightarrow \textit{Ab}(\mathcal{C})\) 表示层化函子。回忆，\({}^\#\) 是 \(i\) 的左伴随，\({}^\#\) 是正合的，并且对任意阿贝尔层 \(\mathcal{F}\) 都有 \(i\mathcal{F}^\# = \mathcal{F}\)。最后，记 \(\mathcal{G} \to J(\mathcal{G})\) 为第 01DJ 节中得到的嵌入内射预层的典范嵌入。

对 \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\) 中的任意层 \(\mathcal{F}\) 和任意序数 \(\beta\)，通过超限递归定义层 \(J_\beta(\mathcal{F})\)。置 \(J_0(\mathcal{F}) = \mathcal{F}\)，并定义 \(J_1(\mathcal{F}) = J(i\mathcal{F})^\#\)。对典范映射 \(i\mathcal{F} \to J(i\mathcal{F})\) 作层化，得到函子性映射 \[\mathcal{F} \longrightarrow J_1(\mathcal{F})\] 由于 \(\#\) 正合，该映射是单射。置 \(J_{\alpha + 1}(\mathcal{F}) = J_1(J_\alpha(\mathcal{F}))\)。于是存在典范单射 \(J_\alpha(\mathcal{F}) \to J_{\alpha + 1}(\mathcal{F})\)。对极限序数 \(\beta\)，定义 \[J_\beta(\mathcal{F}) = \colim_{\alpha < \beta} J_\alpha(\mathcal{F}).\] 注意，这是有向余极限。因此，对任意序数 \(\alpha < \beta\)，都有单射 \(J_\alpha(\mathcal{F}) \to J_\beta(\mathcal{F})\)。

引理

采用上述记号。设 \(\mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2\) 是 \(\mathcal{C}\) 上阿贝尔层的单射。设 \(\alpha\) 为序数，并设 \(\mathcal{G}_1 \to J_\alpha(\mathcal{F})\) 为层的态射。存在态射 \(\mathcal{G}_2 \to J_{\alpha + 1}(\mathcal{F})\)，使下图交换： \[\xymatrix{ \mathcal{G}_1 \ar[d] \ar[r] & \mathcal{G}_2 \ar[d] \\ J_{\alpha}(\mathcal{F}) \ar[r] & J_{\alpha + 1}(\mathcal{F}) }\]

证明

这是因为映射 \(i\mathcal{G}_1 \to i\mathcal{G}_2\) 是单射，因而 \(i\mathcal{G}_1 \to iJ_\alpha(\mathcal{F})\) 可以延拓为 \(i\mathcal{G}_2 \to J(iJ_\alpha(\mathcal{F}))\)；应用层化函子后，便得到所需映射。

这个引理表明，在某种意义下，系统 \(\{J_{\alpha}(\mathcal{F})\}\) 是 \(\mathcal{F}\) 的内射嵌入。当然，我们不能对所有 \(\alpha\) 取极限，因为它们构成类而非集合。不过，结合下一个引理，现有思路是不必对所有单射 \(\mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2\) 检验内射性。

引理

设 \(\mathcal{G}_i\)（\(i\in I\)）是 \(\mathcal{C}\) 上阿贝尔层的一个集合。存在序数 \(\beta\)，使得对任意层 \(\mathcal{F}\)、任意 \(i\in I\) 及任意映射 \(\varphi : \mathcal{G}_i \to J_\beta(\mathcal{F})\)，都存在 \(\alpha < \beta\)，使 \(\varphi\) 通过 \(J_\alpha(\mathcal{F})\) 分解。

证明

取所有 \(\mathcal{G}_i\) 的直和，即可将问题约化到单个层 \(\mathcal{G}\) 的情形。

考虑集合 \[S = \coprod\nolimits_{U \in \Ob(\mathcal{C})} \mathcal{G}(U).\] 以及 \[T_\beta = \coprod\nolimits_{U \in \Ob(\mathcal{C})} J_\beta(\mathcal{F})(U)\] 集合 \(T_\beta\) 之间的转移映射都是单射。如果 \(\beta\) 的共尾数足够大，则 \(T_\beta = \colim_{\alpha < \beta} T_\alpha\)，见《站点》，引理 0GS0。态射 \(\mathcal{G} \to J_\beta(\mathcal{F})\) 通过 \(J_\alpha(\mathcal{F})\) 分解，当且仅当相应映射 \(S \to T_\beta\) 通过 \(T_\alpha\) 分解。由《集合论》，引理 05N2，如果 \(\beta\) 的共尾数大于 \(S\) 的基数，则本引理的结论成立。因此，本引理由存在共尾数任意大的序数这一事实得出；见《集合论》，命题 05N3。

回忆，对 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(X\)，记 \(\mathbf{Z}_X\) 为阿贝尔群预层 \(\Gamma(U, \mathbf{Z}_X) = \oplus_{U \to X} \mathbf{Z}\)；见《站点上的模》，第 03CP 节。与这个预层相伴的层记为 \(\mathbf{Z}_X^\#\)；见《站点上的模》，第 03CQ 节。它可由如下性质刻画： [05NY]\[\begin{equation} \Mor_{\textit{Ab}(\mathcal{C})}(\mathbf{Z}_X^\#, \mathcal{G}) = \mathcal{G}(X) \end{equation}\] 其中，左端的元素 \(\varphi\) 映到右端的 \(\varphi(1 \cdot \text{id}_X)\)。可以用这些层刻画内射阿贝尔层。

引理

设 \(\mathcal{J}\) 是具有如下性质的阿贝尔群层：对所有 \(X\in \Ob(\mathcal{C})\)、任意阿贝尔子层 \(\mathcal{S} \subset \mathbf{Z}_X^\#\) 和任意态射 \(\varphi : \mathcal{S} \to \mathcal{J}\)，都存在延拓 \(\varphi\) 的态射 \(\mathbf{Z}_X^\# \to \mathcal{J}\)。则 \(\mathcal{J}\) 是内射阿贝尔群层。

证明

设 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 为阿贝尔层的单射，并设 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{J}\) 为态射。仿照《代数详论》，引理 01D7 的证明，只需证明：如果 \(\mathcal{F} \not = \mathcal{G}\)，则可以找到阿贝尔层 \(\mathcal{F}'\)，满足 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{F}' \subset \mathcal{G}\)，使得 (a) 包含 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{F}'\) 是严格的，并且 (b) \(\varphi\) 可以延拓到 \(\mathcal{F}'\)。为寻找 \(\mathcal{F}'\)，取 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(X\)，使包含 \(\mathcal{F}(X) \subset \mathcal{G}(X)\) 是严格的。选取 \(s \in \mathcal{G}(X)\)，且 \(s \not \in \mathcal{F}(X)\)。令 \(\psi : \mathbf{Z}_X^\# \to \mathcal{G}\) 为通过 (05NY) 与截面 \(s\) 对应的态射，并置 \(\mathcal{S} = \psi^{-1}(\mathcal{F})\)。由假设，态射 \[\mathcal{S} \xrightarrow{\psi} \mathcal{F} \xrightarrow{\varphi} \mathcal{J}\] 可以延拓为态射 \(\varphi' : \mathbf{Z}_X^\# \to \mathcal{J}\)。注意， \(\varphi'\) 零化 \(\psi\) 的核（因为 \(\varphi\) 具有这一性质）。因此， \(\varphi'\) 诱导态射 \(\varphi'' : \Im(\psi) \to \mathcal{J}\)；按构造，它在交 \(\mathcal{F} \cap \Im(\psi)\) 上与 \(\varphi\) 一致。于是可以粘合 \(\varphi\) 和 \(\varphi''\)，得到 \(\varphi\) 到严格更大的子层 \(\mathcal{F}' = \mathcal{F} + \Im(\psi)\) 上的延拓。

定理

站点上的阿贝尔群层范畴有足够多的内射对象。事实上，存在函子性的内射嵌入；见《同调代数》，定义 0139。

证明

取一组阿贝尔层 \(\mathcal{G}_i\)（\(i \in I\)），使每个 \(\mathbf{Z}_X^\#\) 的每个子层都作为某个 \(\mathcal{G}_i\) 出现。对这个集合应用引理 01DN，得到序数 \(\beta\)。我们断言，对任意阿贝尔群层 \(\mathcal{F}\)，映射 \(\mathcal{F} \to J_\beta(\mathcal{F})\) 都是把 \(\mathcal{F}\) 嵌入某个内射对象的单射。注意，按构造，赋值 \(\mathcal{F} \mapsto \big(\mathcal{F} \to J_\beta(\mathcal{F})\big)\) 确实是函子性的。

该断言的证明如下。由引理 01DO，只需把从某个 \(\mathbf{Z}_X^\#\) 的子层 \(\mathcal{G}\) 出发的任意态射 \(\gamma : \mathcal{G} \to J_\beta(\mathcal{F})\) 延拓到整个 \(\mathbf{Z}_X^\#\)。由引理 01DN，映射 \(\gamma\) 可提升到某个 \(J_\alpha(\mathcal{F})\)，其中 \(\alpha < \beta\)。最后，应用引理 01DM，得到所需的 \(\gamma\) 的延拓，它取值于 \(J_{\alpha + 1}(\mathcal{F}) \to J_\beta(\mathcal{F})\)。

环站点上的模

设 \(\mathcal{C}\) 为站点，\(\mathcal{O}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上的环层。仿照《代数详论》，第 01D8 节，我们尝试证明有足够多的内射 \(\mathcal{O}\)-模。首先选取内射嵌入 \[\bigoplus\nolimits_{U, \mathcal{I}} j_{U!}\mathcal{O}_U/\mathcal{I} \longrightarrow \mathcal{J}\] 其中 \(\mathcal{J}\) 是内射阿贝尔层（其存在性由上一节得出）。这里的直和遍历 \(\mathcal{C}\) 的所有对象 \(U\) 及所有 \(\mathcal{O}\)-子模 \(\mathcal{I} \subset j_{U!}\mathcal{O}_U\)。关于局部化函子 \(j_U : \mathcal{C}/U \to \mathcal{C}\) 的限制函子和以 \(0\) 延拓函子，见《站点上的模》，第 03DH 节。

对任意 \(\mathcal{O}\)-模层 \(\mathcal{F}\)，记 \[\mathcal{F}^\vee = \SheafHom(\mathcal{F}, \mathcal{J})\] 并赋予其自然的 \(\mathcal{O}\)-模结构。在此插入关于内 Hom 的未来参考文献。我们还需要 \(\mathcal{O}\)-模层的一个典范平坦消解。可作如下构造：对任意 \(\mathcal{O}\)-模 \(\mathcal{F}\)，记 \[F(\mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{U \in \Ob(\mathcal{C}), s \in \mathcal{F}(U)} j_{U!}\mathcal{O}_U.\] 这是平坦 \(\mathcal{O}\)-模层，并带有典范满射 \(F(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\)；见《站点上的模》，引理 03EW。此外，构造 \(\mathcal{F} \mapsto F(\mathcal{F})\) 关于 \(\mathcal{F}\) 是函子性的。

引理

函子 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^\vee\) 是正合的。

证明

这是因为 \(\mathcal{J}\) 是内射阿贝尔层。

存在由求值给出的典范映射 \(ev : \mathcal{F} \to (\mathcal{F}^\vee)^\vee\)：给定 \(x \in \mathcal{F}(U)\)，令 \(ev(x) \in (\mathcal{F}^\vee)^\vee = \SheafHom(\mathcal{F}^\vee, \mathcal{J})\) 为映射 \(\varphi \mapsto \varphi(x)\)。

引理

对任意 \(\mathcal{O}\)-模 \(\mathcal{F}\)，求值映射 \(ev : \mathcal{F} \to (\mathcal{F}^\vee)^\vee\) 是单射。

证明

这可由 \(\mathcal{J}\) 的定义检验。具体地，如果 \(s \in \mathcal{F}(U)\) 非零，则令 \(j_{U!}\mathcal{O}_U \to \mathcal{F}\) 为它通过伴随对应的 \(\mathcal{O}\)-模映射，并令 \(\mathcal{I}\) 为这个映射的核。存在不零化 \(s\) 的非零映射 \(\mathcal{F} \supset j_{U!}\mathcal{O}_U/\mathcal{I} \to \mathcal{J}\)。由于 \(\mathcal{J}\) 是内射 \(\mathcal{O}\)-模，该映射可延拓为 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{J}\)。于是 \(ev(s)(\varphi) = \varphi(s) \not = 0\)，这正是所要证明的。

上述 \(\mathcal{O}\)-模的典范满射 \(F(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\) 变为如下 \(\mathcal{O}\)-模的典范单射： \[(\mathcal{F}^\vee)^\vee \longrightarrow (F(\mathcal{F}^\vee))^\vee.\] 置 \(J(\mathcal{F}) = (F(\mathcal{F}^\vee))^\vee\)。将 \(ev\) 与这个显示映射复合，得到关于 \(\mathcal{F}\) 函子性的映射 \(\mathcal{F} \to J(\mathcal{F})\)。

引理

设 \(\mathcal{O}\) 为环层。对每个 \(\mathcal{O}\)-模 \(\mathcal{F}\)， \(\mathcal{O}\)-模 \(J(\mathcal{F})\) 是内射的。

证明

需要证明函子 \(\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{G}, J(\mathcal{F}))\) 是正合的。注意 \[\begin{eqnarray*} \Hom_\mathcal{O}(\mathcal{G}, J(\mathcal{F})) & = & \Hom_\mathcal{O}(\mathcal{G}, (F(\mathcal{F}^\vee))^\vee) \\ & = & \Hom_\mathcal{O} (\mathcal{G}, \SheafHom(F(\mathcal{F}^\vee), \mathcal{J})) \\ & = & \Hom(\mathcal{G} \otimes_\mathcal{O} F(\mathcal{F}^\vee), \mathcal{J}) \end{eqnarray*}\] 因此，所需结论由 \(F(\mathcal{F}^\vee)\) 平坦且 \(\mathcal{J}\) 内射这一事实得出。

定理

设 \(\mathcal{C}\) 为站点，\(\mathcal{O}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上的环层。站点上的 \(\mathcal{O}\)-模层范畴有足够多的内射对象。事实上，存在函子性的内射嵌入；见《同调代数》，定义 0139。

证明

由本节的讨论即得。

命题

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(\mathcal{O}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上的环预层。 \(\mathcal{O}\)-模预层的范畴 \(\textit{PMod}(\mathcal{O})\) 具有函子性的内射嵌入。

证明

可以沿用第 01DJ 节的讨论证明此命题，但这里改用上面的定理。赋予 \(\mathcal{C}\) 如下站点结构：对象 \(U\) 的覆盖集合由所有单元素集 \(\{f : V \to U\}\) 构成，其中 \(f\) 是同构。略去它确实定义站点的验证。对这个拓扑，层与预层相同（略去证明）。故上面的定理适用。

阿贝尔范畴的嵌入

本节证明，阿贝尔范畴可嵌入某个有足够多点的站点上的阿贝尔层范畴。该站点由下一个引理描述。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。令 \[\text{Cov} = \{\{f : V \to U\} \mid f\text{ 为满射}\}.\] 则 \((\mathcal{A}, \text{Cov})\) 是站点；见《站点》，定义 00VH。

证明

注意，按我们关于范畴的约定，\(\Ob(\mathcal{A})\) 是集合。同构是满射态射，满射态射的复合仍为满射态射，而 \(\mathcal{A}\) 中满射态射的基变换仍为满射态射；见《同调代数》，引理 05PK。

设 \(\mathcal{A}\) 为预加性范畴。在此情形下，Yoneda 嵌入 \(\mathcal{A} \to \textit{PSh}(\mathcal{A})\)，\(X \mapsto h_X\)，通过函子 \(\mathcal{A} \to \textit{PAb}(\mathcal{A})\) 分解。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并令 \(\mathcal{C} = (\mathcal{A}, \text{Cov})\) 为引理 05PM 中定义的站点。则 \(X \mapsto h_X\) 定义全忠实正合函子 \[\mathcal{A} \longrightarrow \textit{Ab}(\mathcal{C}).\] 此外，站点 \(\mathcal{C}\) 有足够多的点。

证明

设 \(f : V \to U\) 是 \(\mathcal{A}\) 的满射态射，并令 \(K = \Ker(f)\)。回忆， \(V \times_U V = \Ker((f, -f) : V \oplus V \to U)\)；见《同调代数》，例 05PJ。特别地，存在单射 \(K \oplus K \to V \times_U V\)。令 \(p, q : V \times_U V \to V\) 为两个投影态射。注意， \(p - q : V \times_U V \to V\) 满足 \(f \circ (p - q) = 0\)。因此 \(p - q\) 通过 \(K \to V\) 分解。将这个态射记为 \(c : V \times_U V \to K\)。由于复合 \(K \oplus K \to V \times_U V \to K\) 是满射，故 \(c\) 是满射。于是 \[V \times_U V \xrightarrow{p - q} V \to U \to 0\] 是 \(\mathcal{A}\) 中的正合列。因此，对 \(\mathcal{A}\) 的对象 \(X\)，序列 \[0 \to \Hom_\mathcal{A}(U, X) \to \Hom_\mathcal{A}(V, X) \to \Hom_\mathcal{A}(V \times_U V, X)\] 是阿贝尔群的正合列；见《同调代数》，引理 05AA。这意味着 \(h_X\) 满足 \(\mathcal{C}\) 上的层条件。

由《范畴》，引理 001P，该函子全忠实。由《同调代数》，引理 05AA，它是阿贝尔范畴之间的左正合函子。为证明它右正合，设 \(X \to Y\) 是 \(\mathcal{A}\) 的满射态射。设 \(U\) 为 \(\mathcal{A}\) 的对象，并设 \(s \in h_Y(U) = \Mor_\mathcal{A}(U, Y)\) 为 \(h_Y\) 在 \(U\) 上的截面。由《同调代数》，引理 05PK，投影 \(U \times_Y X \to U\) 是满射。因此， \(\{V = U \times_Y X \to U\}\) 是 \(U\) 的覆盖，并且 \(s|_V\) 可提升为 \(h_X\) 的截面。这证明 \(h_X \to h_Y\) 是阿贝尔层的满射；见《站点》，引理 00WN。

由《站点》，命题 00YQ，站点 \(\mathcal{C}\) 有足够多的点。

注

Freyd–Mitchell 嵌入定理断言，从任意阿贝尔范畴 \(\mathcal{A}\) 到某个环上模范畴存在全忠实正合函子。引理 05PN 的结论没有这么强。不过，这个结果适合 Stacks 项目，因为无论如何我们都必须详细理解站点上的阿贝尔群层。此外，在 \(\mathcal{C}\) 上阿贝尔层的范畴中可以进行“追图”；例如，可以使用对象上的截面，也可以利用 \(\mathcal{C}\) 有足够多的点而在茎的层面工作。关于如何由引理 05PN 推出 Freyd–Mitchell 嵌入定理，见注 05PR。

注

如果 \(\mathcal{A}\) 是“大”阿贝尔范畴，即 \(\mathcal{A}\) 的对象构成类，则引理 05PN 不适用。在这种情形下，给定任意对象集 \(E \subset \Ob(\mathcal{A})\)，存在阿贝尔全子范畴 \(\mathcal{A}' \subset \mathcal{A}\)，使得 \(\Ob(\mathcal{A}')\) 是集合且 \(E \subset \Ob(\mathcal{A}')\)。于是可以对 \(\mathcal{A}'\) 应用引理 05PN。由此可证明，依赖追图的结果在 \(\mathcal{A}\) 中成立。

注

设 \(\mathcal{C}\) 为站点。注意，\(\textit{Ab}(\mathcal{C})\) 有足够多的内射对象；见定理 01DP。（当 \(\mathcal{C}\) 有足够多的点时，这是直接的：如果 \(I\) 是内射 \(\mathbf{Z}\)-模而 \(p\) 是一个点，则 \(p_*I\) 是内射层。）此外， \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\) 有余生成元（略去细节）。因此，引理 05PN 证明存在全忠实正合嵌入 \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\)，其中 \(\mathcal{B}\) 有余生成元和足够多的内射对象。把此结论应用于 \(\mathcal{A}^{opp}\)，得到全忠实正合函子 \(i : \mathcal{A} \to \mathcal{D} = \mathcal{B}^{opp}\)，其中 \(\mathcal{D}\) 有足够多的投射对象和一个生成元。因此，\(\mathcal{D}\) 有投射生成元 \(P\)。置 \(R = \Mor_\mathcal{D}(P, P)\)。则 \[\mathcal{A} \longrightarrow \text{Mod}_R, \quad X \longmapsto \Hom_\mathcal{D}(P, X).\] 可以检验这是全忠实正合函子。换言之，我们重新得到上面注 05PP 中提到的 Freyd–Mitchell 定理。

注

证明引理 05PM 和 05PN 的论证也适用于正合范畴；见 [Buhler, Appendix A] 和 [BBD, 1.1.4]。这里作简要回顾；若 Stacks 项目以后需要，我们再补充更多细节。

设 \(\mathcal{A}\) 为加性范畴。一个核—余核对是 \(\mathcal{A}\) 的态射对 \((i, p)\)，其中 \(i : A \to B\)、 \(p : B \to C\)，且 \(i\) 是 \(p\) 的核、\(p\) 是 \(i\) 的余核。给定核—余核对的集合 \(\mathcal{E}\)，如果对某个态射 \(p\) 有 \((i, p) \in \mathcal{E}\)，则称 \(i : A \to B\) 为容许单态射。类似地，如果对某个态射 \(i\) 有 \((i, p) \in \mathcal{E}\)，则称态射 \(p : B \to C\) 为容许满态射。如果下列公理成立，则称 \((\mathcal{A}, \mathcal{E})\) 为正合范畴：

\(\mathcal{E}\) 对核—余核对的同构封闭；

对任意对象 \(A\)，态射 \(1_A\) 既是容许满态射又是容许单态射；

容许单态射在复合下稳定；

容许满态射在复合下稳定；

容许单态射 \(i : A \to B\) 沿任意态射 \(A \to A'\) 的推出存在，且诱导态射 \(i' : A' \to B'\) 是容许单态射；以及

容许满态射 \(p : B \to C\) 沿任意态射 \(C' \to C\) 的基变换存在，且诱导态射 \(p' : B' \to C'\) 是容许满态射。

给定这样的结构，令 \(\mathcal{C} = (\mathcal{A}, \text{Cov})\)，其中覆盖（即 \(\text{Cov}\) 的元素）由容许满态射给出。上述公立即刻蕴含这是站点。考虑函子 \[F : \mathcal{A} \longrightarrow \textit{Ab}(\mathcal{C}), \quad X \longmapsto h_X\] 正如引理 05PN 中一样。可以证明，这个函子全忠实、正合，并且反映正合性。此外，\(F\) 的本质像中对象的任意扩张仍在 \(F\) 的本质像中。

Grothendieck 的 AB 条件

本节及接下来的几节主要与“大”阿贝尔范畴有关，即《范畴》，注 0015 中列出的那些范畴。一个值得牢记的例子是环站点上的模层范畴。

Grothendieck 在论文 [Tohoku] 中以极大的一般性证明了内射对象的存在性。他用下列条件挑出具有特殊性质的阿贝尔范畴。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。列出如下条件：

\(\mathcal{A}\) 有直和；

\(\mathcal{A}\) 满足 AB3，并且直和正合；

\(\mathcal{A}\) 满足 AB3，并且滤过余极限正合。

下面是对偶概念：

\(\mathcal{A}\) 有积；

\(\mathcal{A}\) 满足 AB3*，并且积正合；

\(\mathcal{A}\) 满足 AB3*，并且余滤过极限正合。

如果对 \(\mathcal{A}\) 中每个 \(N \subset M\)、\(N \not = M\)，都存在不通过 \(N\) 分解的态射 \(U \to M\)，则称 \(\mathcal{A}\) 的对象 \(U\) 为生成元。如果 \(\mathcal{A}\) 满足 AB5 且有生成元，则称其为 Grothendieck 阿贝尔范畴。

讨论：阿贝尔范畴中的直和就是余积。如果阿贝尔范畴有直和（即满足 AB3），则它有余极限；见《范畴》，引理 002P。类似地，如果 \(\mathcal{A}\) 满足 AB3*，则它有极限；见《范畴》，引理 002N。直和的正合性意指如下性质：给定指标集 \(I\) 和短正合列 \[0 \to A_i \to B_i \to C_i \to 0,\quad i \in I\] 于 \(\mathcal{A}\) 中，则序列 \[0 \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} A_i \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} B_i \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} C_i \to 0\] 也正合。不假设 AB4 时，一般只能断言这个序列右端正合（即若直和存在，取直和是右正合函子）。类似地，滤过余极限的正合性意指如下性质：给定有向集 \(I\) 及 \(\mathcal{A}\) 中定义在 \(I\) 上的一族短正合列 \[0 \to A_i \to B_i \to C_i \to 0\] 则序列 \[0 \to \colim_{i \in I} A_i \to \colim_{i \in I} B_i \to \colim_{i \in I} C_i \to 0\] 也正合。不假设 AB5 时，一般只能断言这个序列右端正合（即若余极限存在，取余极限是右正合函子）。AB4* 和 AB5* 有类似解释。

Grothendieck 范畴中的内射对象

生成元的存在性蕴含：给定 Grothendieck 阿贝尔范畴 \(\mathcal{A}\) 的对象 \(M\)，其子对象构成集合。（对一般的“大”阿贝尔范畴，这未必成立。）

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为有生成元 \(U\) 的阿贝尔范畴，\(X\) 为 \(\mathcal{A}\) 的对象。如果 \(\kappa\) 是 \(\Mor(U, X)\) 的基数，则

不存在由大于 \(\kappa\) 的基数作指标的 \(X\) 的严格递增（或严格递减）子对象链；

如果 \(\alpha\) 是共尾数 \(> \kappa\) 的序数，则由 \(\alpha\) 作指标的 \(X\) 的任意递增（或递减）子对象列最终为常值；

\(X\) 的子对象集的基数 \(\leq 2^\kappa\)。

证明

对 (1)，设 \(\kappa' > \kappa\) 为基数，并设 \(X_i\)（\(i \in \kappa'\)）严格递增。于是，对每个 \(i\)，取 \(\phi_i \in \Mor(U, X)\)，使 \(\phi_i\) 通过 \(X_{i + 1}\) 分解但不通过 \(X_i\) 分解。则态射 \(\phi_i\) 两两不同，这与 \(\kappa\) 的定义矛盾。

(2) 由共尾数的定义和 (1) 得出。

证明 (3)。对任意子对象 \(Y \subset X\)，定义 \(S_Y \in \mathcal{P}(\Mor(U, X))\)（幂集）为 \(S_Y = \{\phi \in \Mor(U,X) : \phi)\text{ 通过 }Y\text{ 分解}\}\). 则 \(Y = Y'\) 当且仅当 \(S_Y = S_{Y'}\)。因此，子对象集的基数至多是这个幂集的基数。

由引理 0E8N，下述定义是有意义的。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为 Grothendieck 阿贝尔范畴，\(M\) 为 \(\mathcal{A}\) 的对象。 \(M\) 的大小 \(|M|\) 是 \(M\) 的子对象集的基数。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为 Grothendieck 阿贝尔范畴。如果 \(0 \to M' \to M \to M'' \to 0\) 是 \(\mathcal{A}\) 中的短正合列，则 \(|M'|, |M''| \leq |M|\)。

证明

由定义立即得出。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为有生成元 \(U\) 的 Grothendieck 阿贝尔范畴。

如果 \(|M| \leq \kappa\)，则 \(M\) 是至多 \(\kappa\) 个 \(U\) 的副本的直和的商；

对每个基数 \(\kappa\)，满足 \(|M| \leq \kappa\) 的对象 \(M\) 的同构类构成集合。

证明

对 (1)，为每个真子对象 \(M' \subset M\) 选取态射 \(\varphi_{M'} : U \to M\)，使其像不包含在 \(M'\) 中。于是 \(\bigoplus_{M' \subset M} \varphi_{M'} : \bigoplus_{M' \subset M} U \to M\) 是满射。显然，(1) 蕴含 (2)。

命题

设 \(\mathcal{A}\) 为 Grothendieck 阿贝尔范畴，\(M\) 为 \(\mathcal{A}\) 的对象，并令 \(\kappa = |M|\)。如果 \(\alpha\) 是共尾数大于 \(\kappa\) 的序数，则 \(M\) 相对于单射为 \(\alpha\)-小的。

证明

比较命题 05NT。只需证明映射 (05NN) 是满射。设 \(f : M \to \colim B_\beta\) 为映射。考虑 \(M\) 的子对象 \(\{f^{-1}(B_\beta)\}\)，其中把 \(B_\beta\) 看作余极限 \(B = \bigcup_\beta B_\beta\) 的子对象。如果其中某个子对象，例如 \(f^{-1}(B_\beta)\)，等于 \(M\)，则该映射通过 \(B_\beta\) 分解。

由于 \(\mathcal{A}\) 满足 AB5，我们有 \[\colim f^{-1}(B_\beta) = f^{-1}\left(\colim B_\beta\right) = M.\] 由假设，在 \(f^{-1}(B_\alpha)\) 中出现的 \(M\) 的不同子对象至多有 \(\kappa\) 个。因此，可以找到基数至多为 \(\kappa\) 的子集 \(S \subset \alpha\)，使得当 \(\beta'\) 遍历 \(S\) 时， \(f^{-1}(B_{\beta'})\) 遍历所有 \(f^{-1}(B_\alpha)\)。

由于 \(\alpha\) 的共尾数大于 \(\kappa\)，\(S\) 有上界 \(\widetilde{\alpha} < \alpha\)。特别地，所有 \(f^{-1}(B_{\beta'})\)（\(\beta' \in S\)）都包含在 \(f^{-1}(B_{\widetilde{\alpha}})\) 中。因此 \(f^{-1}(B_{\widetilde{\alpha}}) = M\)。特别地，映射 \(f\) 通过 \(B_{\widetilde{\alpha}}\) 分解。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为有生成元 \(U\) 的 Grothendieck 阿贝尔范畴。 \(\mathcal{A}\) 的对象 \(I\) 是内射的，当且仅当在每个交换图 \[\xymatrix{ M \ar[d] \ar[r] & I \\ U \ar@{-->}[ru] }\] 中，只要 \(M \subset U\) 是子对象，虚线箭头就存在。

证明

模的情形见引理 05NU。选取单射 \(A \subset B\) 和态射 \(\varphi : A \to I\)。考虑由如下对 \((A', \varphi')\) 构成的集合 \(S\)：\(A \subset A' \subset B\) 为子对象， \(\varphi' : A' \to I\) 为 \(\varphi\) 的延拓。以显然的方式在这个集合上定义偏序。选取全序子集 \(T \subset S\)。则 \[A' = \colim_{t \in T} A_t \xrightarrow{\colim_{t \in T} \varphi_t} I\] 是上界。因此，由 Zorn 引理，集合 \(S\) 有极大元 \((A', \varphi')\)。我们断言 \(A' = B\)。否则，选取不通过 \(A'\) 分解的态射 \(\psi : U \to B\)。置 \(N = A' \cap \psi(U)\) 和 \(M = \psi^{-1}(N)\)。则映射 \[M \to N \to A' \xrightarrow{\varphi'} I\] 可延拓为态射 \(\chi : U \to I\)。由于 \(\chi|_{\Ker(\psi)} = 0\)，\(\chi\) 分解为 \[U \to \Im(\psi) \xrightarrow{\varphi''} I\] 由于 \(\varphi'\) 和 \(\varphi''\) 在 \(N = A' \cap \Im(\psi)\) 上一致，它们合起来定义态射 \(A' + \Im(\psi) \to I\)，这与 \(A'\) 的极大性矛盾。

定理

设 \(\mathcal{A}\) 为 Grothendieck 阿贝尔范畴。则 \(\mathcal{A}\) 具有函子性的内射嵌入。

证明

比较定理 05NX 的证明。选取 \(\mathcal{A}\) 的生成元 \(U\)。对对象 \(M\)，用如下推出图定义 \(\mathbf{M}(M)\)： \[\xymatrix{ \bigoplus_{N \subset U} \bigoplus_{\varphi \in \Hom(N, M)} N \ar[r] \ar[d] & M \ar[d] \\ \bigoplus_{N \subset U} \bigoplus_{\varphi \in \Hom(N, M)} U \ar[r] & \mathbf{M}(M). }\] 注意，\(M \mapsto \mathbf{M}(M)\) 是函子，且存在函子性单射 \(M \to \mathbf{M}(M)\)。通过超限归纳，对每个序数 \(\alpha\) 定义函子 \(\mathbf{M}_\alpha(M)\)。具体地，置 \(\mathbf{M}_0(M) = M\)；给定 \(\mathbf{M}_\alpha(M)\)，置 \(\mathbf{M}_{\alpha + 1}(M) = \mathbf{M}(\mathbf{M}_\alpha(M))\)。对极限序数 \(\beta\)，置 \[\mathbf{M}_\beta(M) = \colim_{\alpha < \beta} \mathbf{M}_\alpha(M).\] 最后，选取任意共尾数大于 \(|U|\) 的序数 \(\alpha\)。这样的序数存在；见《集合论》，命题 05N3。我们断言，\(M \to \mathbf{M}_\alpha(M)\) 是所需的函子性内射嵌入。事实上，如果 \(N \subset U\) 是子对象，且 \(\varphi : N \to \mathbf{M}_\alpha(M)\) 是态射，则由命题 079F，\(\varphi\) 通过某个 \(\mathbf{M}_{\alpha'}(M)\) 分解，其中 \(\alpha' < \alpha\)。由 \(\mathbf{M}(-)\) 的构造，\(\varphi\) 可延拓为从 \(U\) 到 \(\mathbf{M}_{\alpha' + 1}(M)\) 的态射，因而也延拓到 \(\mathbf{M}_\alpha(M)\)。由引理 079G，得出 \(\mathbf{M}_\alpha(M)\) 是内射的。

Grothendieck 范畴中的 K-内射对象

本节材料取自 Serpé 的论文 [serpe]。该论文把 Spaltenstein 的 [Spaltenstein] 中的一些结果推广到一般 Grothendieck 阿贝尔范畴。我们的引理 079L 只隐含在 Serpé 的论文中。这里的方法是仿照 Grothendieck 对定理 079H 的证明。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为有生成元 \(U\) 的 Grothendieck 阿贝尔范畴。令 \(c\) 为基数上的函数，定义为 \(c(\kappa) = |\bigoplus_{\alpha \in \kappa} U|\)。如果 \(\pi : M \to N\) 是满射，则存在满射到 \(N\) 的子对象 \(M' \subset M\)，且 \(|M'| \leq c(|N|)\)。

证明

对每个真子对象 \(N' \subset N\)，选取态射 \(\varphi_{N'} : U \to M\)，使 \(U \to M \to N\) 不通过 \(N'\) 分解。置 \[M' = \Im\left( \bigoplus\nolimits_{N' \subset N} \varphi_{N'} : \bigoplus\nolimits_{N' \subset N} U \longrightarrow M\right)\] 则 \(M'\) 满足要求。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为 Grothendieck 阿贝尔范畴。存在基数 \(\kappa\)，使得对任意无环复形 \(M^\bullet\)，都有

如果 \(M^\bullet\) 非零，则存在非零子复形 \(N^\bullet\)，它有上界、无环，且 \(|N^n| \leq \kappa\)；

存在复形的满射 \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} M_i^\bullet \longrightarrow M^\bullet\] 其中 \(M_i^\bullet\) 有上界、无环，且 \(|M_i^n| \leq \kappa\)。

证明

选取 \(\mathcal{A}\) 的生成元 \(U\)。记 \(c\) 为引理 079J 中的函数。置 \(\kappa = \sup \{c^n(|U|), n = 1, 2, 3, \ldots\}\)。设 \(n \in \mathbf{Z}\)，并设 \(\psi : U \to M^n\) 为态射。为证明 (1) 和 (2)，只需证明存在子复形 \(N^\bullet \subset M^\bullet\)，它有上界、无环且 \(|N^m| \leq \kappa\)，并使 \(\psi\) 通过 \(N^n\) 分解。为此，置 \(N^n = \Im(\psi)\)， \(N^{n + 1} = \Im(U \to M^n \to M^{n + 1})\)，并对 \(m \geq n + 2\) 置 \(N^m = 0\)。设对某个 \(k \leq n\)，我们已经对所有 \(n > m \geq k\) 构造了 \(N^m \subset M^m\)，使得

对所有 \(m \geq k\)，\(\text{d}(N^m) \subset N^{m + 1}\)；

对所有 \(m \geq k + 1\)， \(\Im(N^{m - 1} \to N^m) = \Ker(N^m \to N^{m + 1})\)；以及

对所有 \(m \geq k\)， \(|N^m| \leq c^{\max\{n - m, 0\}}(|U|)\)。

由于 \(M^\bullet\) 无环，子对象 \(\text{d}^{-1}(\Ker(N^k \to N^{k + 1})) \subset M^{k - 1}\) 满射到 \(\Ker(N^k \to N^{k + 1})\)。因此，由引理 079J，可以选取满射到 \(\Ker(N^k \to N^{k + 1})\) 的 \(N^{k - 1} \subset M^{k - 1}\)，且 \(|N^{k - 1}| \leq c^{n - k + 1}(|U|)\)。对 \(k\) 归纳即完成证明。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为 Grothendieck 阿贝尔范畴，\(\kappa\) 为引理 079K 中的基数。设 \(I^\bullet\) 是满足下列条件的复形：

每个 \(I^j\) 都是内射的；并且

对每个有上界的无环复形 \(M^\bullet\)，如果 \(|M^n| \leq \kappa\)，则 \(\Hom_{K(\mathcal{A})}(M^\bullet, I^\bullet) = 0\)。

则 \(I^\bullet\) 是 K-内射复形。

证明

设 \(M^\bullet\) 为无环复形。按如下方式对序数 \(\alpha\) 归纳构造无环子复形 \(K_\alpha^\bullet \subset M^\bullet\)。对 \(\alpha = 0\)，置 \(K_0^\bullet = 0\)。对 \(\alpha > 0\)，作如下处理：

如果 \(\alpha = \beta + 1\) 且 \(K_\beta^\bullet = M^\bullet\)，则取 \(K_\alpha^\bullet = K_\beta^\bullet\)；

如果 \(\alpha = \beta + 1\) 且 \(K_\beta^\bullet \not = M^\bullet\)，则 \(M^\bullet/K_\beta^\bullet\) 是非零无环复形。按引理 079K 选取子复形 \(N_\alpha^\bullet \subset M^\bullet/K_\beta^\bullet\)。最后，令 \(K_\alpha^\bullet \subset M^\bullet\) 为 \(N_\alpha^\bullet\) 的逆像；

如果 \(\alpha\) 是极限序数，则置 \(K_\beta^\bullet = \colim K_\alpha^\bullet\).

显然，对充分大的序数 \(\alpha\)，有 \(M^\bullet = K_\alpha^\bullet\)。我们将对 \(\alpha\) 作超限归纳，证明 \[\Hom_{K(\mathcal{A})}(K_\alpha^\bullet, I^\bullet)\] 为零。对 \(\alpha = 0\)，由于 \(K_0^\bullet\) 为零，结论成立。设结论对 \(\beta\) 成立，且 \(\alpha = \beta + 1\)。在上面列表的情形 (1) 中，结论显然；在情形 (2) 中，存在复形的短正合列 \[0 \to K_\beta^\bullet \to K_\alpha^\bullet \to N_\alpha^\bullet \to 0\] 由于 \(I^\bullet\) 的每个分量都是内射的，我们得到正合列 \[\Hom_{K(\mathcal{A})}(K_\beta^\bullet, I^\bullet) \leftarrow \Hom_{K(\mathcal{A})}(K_\alpha^\bullet, I^\bullet) \leftarrow \Hom_{K(\mathcal{A})}(N_\alpha^\bullet, I^\bullet)\] 由归纳假设，左端项为零；由关于 \(I^\bullet\) 的假设，右端项为零。因此，中间群也为零。最后，设 \(\alpha\) 为极限序数。则 \[\Hom^\bullet(K_\alpha^\bullet, I^\bullet) = \lim_{\beta < \alpha} \Hom^\bullet(K_\beta^\bullet, I^\bullet)\] 其中记号见《代数详论》，第 0A8H 节。由《代数详论》，等式 (0A5X)，这些复形计算 \(K(\mathcal{A})\) 中的态射。注意，因为每个 \(I^j\) 都是内射的，系统中的转移映射都是满射。此外，对极限序数 \(\alpha\)，极限等于其值（见上面的显示公式）。因此，可应用《同调代数》，引理 0AAT 得到结论。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为 Grothendieck 阿贝尔范畴，并设 \((K_i^\bullet)_{i \in I}\) 为一组无环复形。存在函子 \(M^\bullet \mapsto \mathbf{M}^\bullet(M^\bullet)\) 和自然变换 \(j_{M^\bullet} : M^\bullet \to \mathbf{M}^\bullet(M^\bullet)\)，使得

\(j_{M^\bullet}\) 是（逐项）单射的拟同构；并且

对每个 \(i \in I\) 和 \(w : K_i^\bullet \to M^\bullet\)，态射 \(j_{M^\bullet} \circ w\) 零伦。

证明

对每个 \(i \in I\)，选取复形的（逐项）单射 \(K_i^\bullet \to L_i^\bullet\)，它零伦，且 \(L_i^\bullet\) 拟同构于零。例如，可取 \(L_i^\bullet\) 为 \(K_i^\bullet\) 的恒等态射的锥。用如下推出图定义 \(\mathbf{M}^\bullet(M^\bullet)\)： \[\xymatrix{ \bigoplus_{i \in I} \bigoplus_{w : K_i^\bullet \to M^\bullet} K_i^\bullet \ar[r] \ar[d] & M^\bullet \ar[d] \\ \bigoplus_{i \in I} \bigoplus_{w : K_i^\bullet \to M^\bullet} L_i^\bullet \ar[r] & \mathbf{M}^\bullet(M^\bullet). }\] 于是 \(M^\bullet \mapsto \mathbf{M}^\bullet(M^\bullet)\) 是函子。右侧竖直箭头定义函子性单射 \(j_{M^\bullet}\)。\(j_{M^\bullet}\) 的余核同构于映射 \(K_i^\bullet \to L_i^\bullet\) 的余核的直和，因而无环。因此， \(j_{M^\bullet}\) 是拟同构。(2) 由构造成立。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为 Grothendieck 阿贝尔范畴。存在函子 \(M^\bullet \mapsto \mathbf{N}^\bullet(M^\bullet)\) 和自然变换 \(j_{M^\bullet} : M^\bullet \to \mathbf{N}^\bullet(M^\bullet)\)，使得

\(j_{M^\bullet}\) 是（逐项）单射的拟同构；并且

对每个 \(n \in \mathbf{Z}\)，映射 \(M^n \to \mathbf{N}^n(M^\bullet)\) 通过子对象 \(I^n \subset \mathbf{N}^n(M^\bullet)\) 分解，其中 \(I^n\) 是 \(\mathcal{A}\) 的内射对象。

证明

选取函子性内射嵌入 \(i_M : M \to I(M)\)；见定理 079H。对每个复形 \(M^\bullet\)，记 \(J^\bullet(M^\bullet)\) 为各项 \(J^n(M^\bullet) = I(M^n) \oplus I(M^{n + 1})\)、微分为 \[d_{J^\bullet(M^\bullet)} = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right)\] 的复形。存在复形的典范单射 \(u_{M^\bullet} : M^\bullet \to J^\bullet(M^\bullet)\)：通过映射 \(i_{M^n} : M^n \to I(M^n)\) 和 \(i_{M^{n + 1}} \circ d : M^n \to M^{n + 1} \to I(M^{n + 1})\)，把 \(M^n\) 映到 \(I(M^n) \oplus I(M^{n + 1})\)。因此，得到关于 \(M^\bullet\) 函子性的复形短正合列 \[0 \to M^\bullet \xrightarrow{u_{M^\bullet}} J^\bullet(M^\bullet) \xrightarrow{v_{M^\bullet}} Q^\bullet(M^\bullet) \to 0\] 置 \[\mathbf{N}^\bullet(M^\bullet) = C(v_{M^\bullet})^\bullet[-1].\] 注意 \[\mathbf{N}^n(M^\bullet) = Q^{n - 1}(M^\bullet) \oplus J^n(M^\bullet)\] 其微分为 \[\left( \begin{matrix} - d^{n - 1}_{Q^\bullet(M^\bullet)} & - v^n_{M^\bullet} \\ 0 & d^n_{J^\bullet(M)} \end{matrix} \right)\] 因此，由 \(u\) 诱导复形映射 \(j_{M^\bullet} : M^\bullet \to \mathbf{N}^\bullet(M^\bullet)\)。按构造，它是单射并通过内射子对象分解。考察与上述复形短正合列相伴的上同调长正合列，可证明映射 \(j_{M^\bullet}\) 是拟同构。

定理

设 \(\mathcal{A}\) 为 Grothendieck 阿贝尔范畴。对每个复形 \(M^\bullet\)，存在拟同构 \(M^\bullet \to I^\bullet\)，使得对所有 \(n\)， \(M^n \to I^n\) 是单射，\(I^n\) 是 \(\mathcal{A}\) 的内射对象，且 \(I^\bullet\) 是 K-内射复形。此外，该构造关于 \(M^\bullet\) 是函子性的。

证明

比较定理 05NX 和定理 079H 的证明。选取引理 079K 和 079L 中的基数 \(\kappa\)。选取一组有上界的无环复形 \((K_i^\bullet)_{i \in I}\)，使每个满足 \(|K^n| \leq \kappa\) 的有上界无环复形 \(K^\bullet\) 都同构于某个 \(K_i^\bullet\)。由引理 079E，这是可能的。记 \(\mathbf{M}^\bullet(-)\) 为引理 079M 中构造的函子，记 \(\mathbf{N}^\bullet(-)\) 为引理 079N 中构造的函子。这两个函子都带有单射变换 \(\text{id} \to \mathbf{M}\) 和 \(\text{id} \to \mathbf{N}\)。

通过超限递归，定义一列函子 \(\mathbf{T}_\alpha(-)\) 及相应变换 \(\text{id} \to \mathbf{T}_\alpha\)。具体地，置 \(\mathbf{T}_0(M^\bullet) = M^\bullet\)。给定 \(\mathbf{T}_\alpha\) 后，置 \[\mathbf{T}_{\alpha + 1}(M^\bullet) = \mathbf{N}^\bullet(\mathbf{M}^\bullet(\mathbf{T}_\alpha(M^\bullet)))\] 如果 \(\beta\) 是极限序数，则置 \[\mathbf{T}_\beta(M^\bullet) = \colim_{\alpha < \beta} \mathbf{T}_\alpha(M^\bullet)\] 这个系统的转移映射是单射拟同构。由 AB5，余极限仍拟同构于 \(M^\bullet\)。我们断言，如果 \(\alpha\) 的共尾数大于 \(\max(\kappa, |U|)\)，其中 \(U\) 是 \(\mathcal{A}\) 的生成元，则 \(M^\bullet \to \mathbf{T}_\alpha(M^\bullet)\) 满足要求。事实上，只需检验引理 079L 的条件 (1) 和 (2)。

对 (1)，使用引理 079G 的判据。设 \(M \subset U\)，且对某个 \(n \in \mathbf{Z}\)， \(\varphi : M \to \mathbf{T}^n_\alpha(M^\bullet)\) 为态射。由命题 079F，\(\varphi\) 通过某个 \(\mathbf{T}^n_{\alpha'}(M^\bullet)\) 分解，其中 \(\alpha' < \alpha\)。特别地，由函子 \(\mathbf{N}^\bullet(-)\) 的构造， \(\varphi\) 通过 \(\mathcal{A}\) 的内射对象分解。这表明 \(\varphi\) 可提升为 \(U\) 上的态射。

对 (2)，设 \(w : K^\bullet \to \mathbf{T}_\alpha(M^\bullet)\) 为复形态射，其中 \(K^\bullet\) 是满足 \(|K^n| \leq \kappa\) 的有上界无环复形。则对某个 \(i \in I\)，有 \(K^\bullet \cong K_i^\bullet\)。此外，再次由命题 079F，\(w\) 通过某个 \(\mathbf{T}^n_{\alpha'}(M^\bullet)\) 分解，其中 \(\alpha' < \alpha\)。特别地，由函子 \(\mathbf{M}^\bullet(-)\) 的构造， \(w\) 零伦。证明完成。

Grothendieck 阿贝尔范畴的补充说明

本节给出一些关于 Grothendieck 阿贝尔范畴的流传已久的结果。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为 Grothendieck 阿贝尔范畴，并设 \(F : \mathcal{A}^{opp} \to \textit{Sets}\) 为函子。则 \(F\) 可表当且仅当 \(F\) 与余极限交换，即 \[F(\colim_i N_i) = \lim F(N_i)\] 对任意图式 \(\mathcal{I} \to \mathcal{A}\)，\(i \in \mathcal{I}\)，均有上式。

证明

若 \(F\) 可表，则由余极限的定义，它与余极限交换。

现设 \(F\) 与余极限交换。于是 \(F(M \oplus N) = F(M) \times F(N)\)，可据此在 \(F(M)\) 上定义群结构。从而得到加性且右正合的函子 \(F : \mathcal{A} \to \textit{Ab}\)；也就是说，它把短正合列 \(0 \to K \to L \to M \to 0\) 变为正合列 \(F(K) \leftarrow F(L) \leftarrow F(M) \leftarrow 0\)（比较《同调代数》第 010M 节）。

设 \(U\) 为 \(\mathcal{A}\) 的生成元。置 \(A = \bigoplus_{s \in F(U)} U\)，并令 \(s_{univ} = (s)_{s \in F(U)} \in F(A) = \prod_{s \in F(U)} F(U)\)。设 \(A' \subset A\) 为使 \(s_{univ}\) 在其上限制为零的最大子对象。由于 \(\mathcal{A}\) 是 Grothendieck 范畴且 \(F\) 与余极限交换，这一对象存在。又因 \(F\) 与余极限交换，存在唯一元素 \(\overline{s}_{univ} \in F(A/A')\)，其在 \(F(A)\) 中的像为 \(s_{univ}\)。我们断言 \(A/A'\) 表示 \(F\)；换言之，Yoneda 映射 \[\overline{s}_{univ} : h_{A/A'} \longrightarrow F\] 是同构。设 \(M \in \Ob(\mathcal{A})\) 且 \(s \in F(M)\)。考虑满射 \[c_M : A_M = \bigoplus\nolimits_{\varphi \in \Hom_\mathcal{A}(U, M)} U \longrightarrow M.\] 它给出 \(F(c_M)(s) = (s_\varphi) \in \prod_\varphi F(U)\)。考虑映射 \[\psi : A_M = \bigoplus\nolimits_{\varphi \in \Hom_\mathcal{A}(U, M)} U \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{s \in F(U)} U = A\] 它借助 \(U\) 上的恒等映射，将对应于 \(\varphi\) 的直和项映至对应于 \(s_\varphi\) 的直和项。由构造，\(s_{univ}\) 映至 \((s_\varphi)_\varphi\)。换言之，下图右方块交换： \[\xymatrix{ A' \ar[r] & A \ar@{..>}[r]_{s_{univ}} & F \\ K \ar[r] \ar[u]^{?} & A_M \ar[u]^\psi \ar[r] & M \ar@{..>}[u]_s }\] 令 \(K = \Ker(A_M \to M)\)。由于 \(s\) 在 \(K\) 上限制为零，由 \(A'\) 的定义有 \(\psi(K) \subset A'\)。因此诱导出态射 \(M \to A/A'\)。此构造给出映射 \(h_{A/A'}(M) \to F(M)\) 的逆（略去细节）。

引理

Grothendieck 阿贝尔范畴满足 Ab3*。

证明

设 \(M_i\)（\(i \in I\)）为以集合 \(I\) 为指标的 \(\mathcal{A}\) 中对象族。函子 \(F = \prod_{i \in I} h_{M_i}\) 与余极限交换，故引理 07D7 适用。

注

在导出范畴一章中，我们始终处理“小”阿贝尔范畴（Stacks 项目惯例如此）。对“大”阿贝尔范畴 \(\mathcal{A}\)，导出范畴 \(D(\mathcal{A})\) 是否存在并不显然，因为导出范畴中的态射是否构成集合并不显然。一般而言这并不成立，见《例》引理 07JT。不过，若 \(\mathcal{A}\) 是 Grothendieck 阿贝尔范畴，且给定 \(K^\bullet, L^\bullet \in K(\mathcal{A})\)，则由定理 079P，存在到 K-内射复形 \(I^\bullet\) 的拟同构 \(L^\bullet \to I^\bullet\)，而《导出范畴》引理 070I 表明 \[\Hom_{D(\mathcal{A})}(K^\bullet, L^\bullet) = \Hom_{K(\mathcal{A})}(K^\bullet, I^\bullet)\] 这是一个集合。Grothendieck 阿贝尔范畴的例子包括环上的模范畴；更一般地，还包括环站点上的模层范畴。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为 Grothendieck 阿贝尔范畴。则

\(D(\mathcal{A})\) 既有直和也有积；

直和可由任意复形的逐项直和得到；

积可由 K-内射复形的逐项积得到。

证明

设 \(K^\bullet_i\)（\(i \in I\)）为以集合 \(I\) 为指标的 \(D(\mathcal{A})\) 中对象族。我们断言逐项直和 \(\bigoplus_{i \in I} K^\bullet_i\) 是 \(D(\mathcal{A})\) 中的直和。事实上，设 \(I^\bullet\) 为 K-内射复形，则 \[\begin{align*} \Hom_{D(\mathcal{A})}(\bigoplus\nolimits_{i \in I} K^\bullet_i, I^\bullet) & = \Hom_{K(\mathcal{A})}(\bigoplus\nolimits_{i \in I} K^\bullet_i, I^\bullet) \\ & = \prod\nolimits_{i \in I} \Hom_{K(\mathcal{A})}(K^\bullet_i, I^\bullet) \\ & = \prod\nolimits_{i \in I} \Hom_{D(\mathcal{A})}(K^\bullet_i, I^\bullet) \end{align*}\] 正合所需。由定理 079P，任意复形均可由 K-内射复形表示，故这已经足够。为构造积，对每个 \(i\) 选取 K-内射消解 \(K_i^\bullet \to I_i^\bullet\)。我们断言 \(\prod_{i \in I} I_i^\bullet\) 是 \(D(\mathcal{A})\) 中的积。这由《导出范畴》引理 0BK6 得出。

注

设 \(R\) 为环，并设 \(M_n\)（\(n \in \mathbf{Z}\)）为 \(R\)-模。记 \(E_n = M_n[-n] \in D(R)\)。我们断言 \(E = \bigoplus M_n[-n]\) 同时是 \(D(R)\) 中对象 \(E_n\) 的直和与积。要看它是直和，只须查看引理 07D9 的证明。要看它是积，取内射消解 \(M_n \to I_n^\bullet\)。由引理 07D9 的证明，有 \[\prod E_n = \prod I_n^\bullet[-n]\] 在 \(D(R)\) 中成立。由于 \(\text{Mod}_R\) 中的积正合， \(\prod I_n^\bullet[-n]\) 与 \(E\) 拟同构。更一般地，对满足 Ab4* 的 Grothendieck 阿贝尔范畴 \(\mathcal{A}\)，此论证在 \(D(\mathcal{A})\) 中同样成立。

引理

设 \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 为阿贝尔范畴间的加性函子。假设

\(\mathcal{A}\) 是 Grothendieck 阿贝尔范畴；

\(\mathcal{B}\) 的可数积正合；

\(F\) 与可数积交换。

则 \(RF : D(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\) 与导出极限交换。

证明

注意，因 \(\mathcal{A}\) 有足够多的 K-内射对象，\(RF\) 存在（定理 079P 与《导出范畴》引理 070Y）。断言的含义是：若 \(K = R\lim K_n\)，则 \(RF(K) = R\lim RF(K_n)\)；记号见《导出范畴》定义 08TC。由于 \(RF\) 是三角范畴间的正合函子，只须证明 \(RF\) 与 \(D(\mathcal{A})\) 中对象的可数积交换。引理 07D9 的证明表明，\(D(\mathcal{A})\) 中的积通过 K-内射复形的积计算，而且 K-内射复形的积仍为 K-内射复形。此外，《导出范畴》引理 07KC 表明，\(D(\mathcal{B})\) 中的积通过逐项积计算。\(RF\) 由在 K-内射代表上施用 \(F\) 计算，而我们假设 \(F\) 与可数积交换，故引理成立。

以下引理可看作 Cartan–Eilenberg 消解存在性（《导出范畴》第 015G 节）的某种推广。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为 Grothendieck 阿贝尔范畴，\(K^\bullet\) 为 \(\mathcal{A}\) 的滤过复形，见《同调代数》定义 012L。则存在 \(\mathcal{A}\) 的滤过复形态射 \(j : K^\bullet \to J^\bullet\)，使得

\(J^n\)、\(F^pJ^n\)、\(J^n/F^pJ^n\) 与 \(F^pJ^n/F^{p'}J^n\) 均为 \(\mathcal{A}\) 的内射对象；

\(J^\bullet\)、\(F^pJ^\bullet\)、\(J^\bullet/F^pJ^\bullet\) 与 \(F^pJ^\bullet/F^{p'}J^\bullet\) 均为 K-内射复形；

\(j\) 诱导拟同构 \(K^\bullet \to J^\bullet\), \(F^pK^\bullet \to F^pJ^\bullet\), \(K^\bullet/F^pK^\bullet \to J^\bullet/F^pJ^\bullet\)，以及 \(F^pK^\bullet/F^{p'}K^\bullet \to F^pJ^\bullet/F^{p'}J^\bullet\).

证明

由定理 079P，得到拟同构 \(i : K^\bullet \to I^\bullet\) 与 \(i^p : F^pK^\bullet \to I^{p, \bullet}\)，以及交换图 \[\vcenter{ \xymatrix{ K^\bullet \ar[d]_i & F^pK^\bullet \ar[l] \ar[d]_{i^p} \\ I^\bullet & I^{p, \bullet} \ar[l]_{\alpha^p} } } \quad\text{且}\quad \vcenter{ \xymatrix{ F^{p'}K^\bullet \ar[d]_{i^{p'}} & F^pK^\bullet \ar[l] \ar[d]_{i^p} \\ I^{p', \bullet} & I^{p, \bullet} \ar[l]_{\alpha^{p p'}} } } \quad\text{其中 }p' \leq p\] 并满足 \(\alpha^p \circ \alpha^{p' p} = \alpha^{p'}\) 及 \(\alpha^{p'p''} \circ \alpha^{pp'} = \alpha^{pp''}\)。问题在于映射 \(\alpha^p : I^{p, \bullet} \to I^\bullet\) 未必是单射。对每个 \(p\)，选取到无环 K-内射复形 \(J^{p, \bullet}\) 的单射 \(t^p : I^{p, \bullet} \to J^{p, \bullet}\)，其中 \(J^{p, \bullet}\) 各项均为 \(\mathcal{A}\) 的内射对象（先映至恒等映射的锥，再使用该定理）。选取复形映射 \(s^p : I^\bullet \to J^{p, \bullet}\)，使下图交换： \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[d]_i & F^pK^\bullet \ar[l] \ar[d]_{i^p} \\ I^\bullet \ar[rd]_{s^p} & I^{p, \bullet} \ar[d]^{t^p} \\ & J^{p, \bullet} }\] 这是可能的：因 \(J^{p, \bullet}\) 无环且 K-内射，复合 \(F^pK^\bullet \to J^{p, \bullet}\) 零伦（《导出范畴》引理 070I）。对象 \(J^{p, n - 1}\) 内射，且 \(F^pK^n \to K^n \to I^n\) 为单态射，故可将给出该同伦的映射 \(F^pK^n \to J^{p, n - 1}\) 延拓为映射 \(h^n : I^n \to J^{p, n - 1}\)。然后置 \(s^p = h \circ \text{d} + \text{d} \circ h\)。（警告：并不一定有 \(t^p = s^p \circ \alpha^p\)，故下文须注意不要使用此式。）

考虑 \[J^\bullet = I^\bullet \times \prod\nolimits_p J^{p, \bullet}\] 由于 \(D(\mathcal{A})\) 中的积由 K-内射复形的积给出（引理 07D9），且 \(J^{p, \bullet}\) 在 \(D(\mathcal{A})\) 中同构于 \(0\)，可见 \(J^\bullet \to I^\bullet\) 是 \(D(\mathcal{A})\) 中的同构。考虑映射 \[j = i \times (s^p \circ i)_{p \in \mathbf{Z}} : K^\bullet \longrightarrow I^\bullet \times \prod\nolimits_p J^{p, \bullet} = J^\bullet\] 由上述说明，这是拟同构；它也是单射。对 \(p \in \mathbf{Z}\)，令 \(F^pJ^\bullet \subset J^\bullet\) 为 \[\Im\left( \alpha^p \times (t^{p'} \circ \alpha^{pp'})_{p' \leq p} : I^{p, \bullet} \to I^\bullet \times \prod\nolimits_{p' \leq p} J^{p', \bullet} \right) \times \prod\nolimits_{p' > p} J^{p', \bullet}\] 此复形同构于复形 \(I^{p, \bullet} \times \prod_{p' > p} J^{p, \bullet}\) ，因为 \(\alpha^{pp} = \text{id}\) 且 \(t^p\) 为单射。因此 \(F^pJ^\bullet\) 与 \(I^{p, \bullet}\) 拟同构（论证同上）。由上图的交换性，有 \(j(F^pK^\bullet) \subset F^pJ^\bullet\)。由刚才所述，对应的复形映射 \(F^pK^\bullet \to F^pJ^\bullet\) 是拟同构。最后，为证明 \(F^{p + 1}J^\bullet \subset F^pJ^\bullet\) ，使用 \(\alpha^{p + 1p} \circ \alpha^{pp'} = \alpha^{p + 1p'}\) 以及本证明第一段中第一个陈列图的交换性。

我们断言 \(j : K^\bullet \to J^\bullet\) 正是引理所求。事实上， \(F^pJ^n\) 同构于 \(I^{p, n} \times \prod_{p' > p} J^{p', n}\)，而内射对象的积仍内射，故 \(F^pJ^n\) 是 \(\mathcal{A}\) 的内射对象。于是单态射 \(F^pJ^n \to J^n\) 分裂，所以商 \(J^n/F^pJ^n\) 作为内射对象 \(J^n\) 的直和因子也是内射的。对 \(F^pJ^n/F^{p'}J^n\) 同理。特别地，这意味着 \(0 \to F^pJ^\bullet \to J^\bullet \to J^\bullet/F^pJ^\bullet \to 0\) 是逐项分裂的复形短正合列，故按约定在 \(K(\mathcal{A})\) 中定义一个特异三角。由于 \(J^\bullet\) 与 \(F^pJ^\bullet\) 均为 K-内射复形，由《导出范畴》引理 090X，\(J^\bullet/F^pJ^\bullet\) 也如此。类似论证表明 \(F^pJ^\bullet/F^{p'}J^\bullet\) 为 K-内射复形。由构造，\(j : K^\bullet \to J^\bullet\) 以及诱导映射 \(F^pK^\bullet \to F^pJ^\bullet\) 均为拟同构。利用所涉及复形的上同调长正合列，可知 \(K^\bullet/F^pK^\bullet \to J^\bullet/F^pJ^\bullet\) 以及 \(F^pK^\bullet/F^{p'}K^\bullet \to F^pJ^\bullet/F^{p'}J^\bullet\) 也具有相同性质。

注

设 \(\mathcal{A}\) 为 Grothendieck 阿贝尔范畴，\(K^\bullet\) 为 \(\mathcal{A}\) 的滤过复形，见《同调代数》定义 012L。为简化记号，分别以 \(K\)、\(F^pK\)、\(\text{gr}^pK\) 表示由 \(K^\bullet\)、\(F^pK^\bullet\)、 \(\text{gr}^pK^\bullet\) 表示的 \(D(\mathcal{A})\) 中对象。设 \(M \in D(\mathcal{A})\)。利用引理 0BKI，可构造由 \(\mathcal{A}\) 中双分次对象组成的谱序列 \((E_r, d_r)_{r \geq 1}\)，其中 \(d_r\) 的双次数为 \((r, -r + 1)\)，并且 \[E_1^{p, q} = \Ext^{p + q}(M, \text{gr}^pK)\] 若对每个 \(n\) 均有 \[\Ext^n(M, F^pK) = 0 \text{ 当 } p \gg 0 \quad\text{且}\quad \Ext^n(M, F^pK) = \Ext^n(M, K) \text{ 当 } p \ll 0\] ，则此谱序列有界并收敛于 \(\Ext^{p + q}(M, K)\)。事实上，任取表示 \(M\) 的复形 \(M^\bullet\)，选取引理中的 \(j : K^\bullet \to J^\bullet\)，并考虑复形 \[\Hom^\bullet(M^\bullet, J^\bullet)\] ，其定义与《代数详论》第 0A8H 节完全相同。置 \(F^p\Hom^\bullet(M^\bullet, J^\bullet) = \Hom^\bullet(M^\bullet, F^pJ^\bullet)\)，便得到一个滤过复形。《同调代数》第 012K 节的谱序列具有上述微分与各项；细节从略。有界性与收敛性由《同调代数》引理 0BK5 得出。

注

设 \(\mathcal{A}\) 为 Grothendieck 阿贝尔范畴，\(M,K\) 为 \(D(\mathcal{A})\) 的对象。任取表示 \(K\) 的复形 \(K^\bullet\)，利用滤过 \(F^pK^\bullet = \tau_{\leq -p}K^\bullet\) 以及评注 0G1X 中的讨论，可得到满足 \[E_1^{p, q} = \Ext^{2p + q}(M, H^{-p}(K))\] 的谱序列。它不依赖于表示 \(K\) 的复形 \(K^\bullet\) 的选择。重新编号 \(p = -j\)、\(q = i + 2j\) 后，得到谱序列 \((E'_r, d'_r)_{r \geq 2}\)，其中 \(d'_r\) 的双次数为 \((r, -r + 1)\)，并且 \[(E'_2)^{i, j} = \Ext^i(M, H^j(K))\] 若 \(M \in D^-(\mathcal{A})\) 且 \(K \in D^+(\mathcal{A})\)，则 \(E_r\) 与 \(E'_r\) 均有界并收敛于 \(\Ext^{p + q}(M, K)\)。若使用滤过 \(F^pK^\bullet = \sigma_{\geq p}K^\bullet\)，则得到 \[E_1^{p, q} = \Ext^q(M, K^p)\] 若 \(M \in D^-(\mathcal{A})\) 且 \(K^\bullet\) 下有界，则此谱序列有界并收敛于 \(\Ext^{p + q}(M, K)\)。

注

设 \(\mathcal{A}\) 为 Grothendieck 阿贝尔范畴，\(K \in D(\mathcal{A})\)。设 \(M^\bullet\) 为 \(\mathcal{A}\) 的滤过复形，见《同调代数》定义 012L。为简化记号，分别以 \(M\)、\(M/F^pM\)、\(\text{gr}^pM\) 表示由 \(M^\bullet\)、 \(M^\bullet/F^pM^\bullet\)、\(\text{gr}^pM^\bullet\) 表示的 \(D(\mathcal{A})\) 中对象。与评注 0G1X 对偶地，可构造由 \(\mathcal{A}\) 中双分次对象组成的谱序列 \((E_r, d_r)_{r \geq 1}\)，其中 \(d_r\) 的双次数为 \((r, -r + 1)\)，并且 \[E_1^{p, q} = \Ext^{p + q}(\text{gr}^{-p}M, K)\] 若对每个 \(n\) 均有 \[\Ext^n(M/F^pM, K) = 0 \text{ 当 } p \ll 0 \quad\text{且}\quad \Ext^n(M/F^pM, K) = \Ext^n(M, K) \text{ 当 } p \gg 0\] ，则此谱序列有界并收敛于 \(\Ext^{p + q}(M, K)\)。事实上，选取表示 \(K\) 且各项内射的 K-内射复形 \(I^\bullet\)，见定理 079P。考虑复形 \[\Hom^\bullet(M^\bullet, I^\bullet)\] ，其定义与《代数详论》第 0A8H 节完全相同。置 \[F^p\Hom^\bullet(M^\bullet, I^\bullet) = \Hom^\bullet(M^\bullet/F^{-p + 1}M^\bullet, I^\bullet)\] ，便得到一个滤过复形（注意滤过中的符号与移位）。《同调代数》第 012K 节的谱序列具有上述微分与各项；细节从略。有界性与收敛性由《同调代数》引理 0BK5 得出。

注

设 \(\mathcal{A}\) 为 Grothendieck 阿贝尔范畴，\(M,K\) 为 \(D(\mathcal{A})\) 的对象。任取表示 \(M\) 的复形 \(M^\bullet\)，利用滤过 \(F^pM^\bullet = \tau_{\leq -p}M^\bullet\) 以及评注 0G1X 中的讨论，可得到满足 \[E_1^{p, q} = \Ext^{2p + q}(H^p(M), K)\] 的谱序列。它不依赖于表示 \(M\) 的复形 \(M^\bullet\) 的选择。重新编号 \(p = -j\)、\(q = i + 2j\) 后，得到谱序列 \((E'_r, d'_r)_{r \geq 2}\)，其中 \(d'_r\) 的双次数为 \((r, -r + 1)\)，并且 \[(E'_2)^{i, j} = \Ext^i(H^{-j}(M), K)\] 若 \(M \in D^-(\mathcal{A})\) 且 \(K \in D^+(\mathcal{A})\)，则 \(E_r\) 与 \(E'_r\) 均有界并收敛于 \(\Ext^{p + q}(M, K)\)。若使用滤过 \(F^pM^\bullet = \sigma_{\geq p}M^\bullet\)，则得到 \[E_1^{p, q} = \Ext^q(M^{-p}, K)\] 若 \(K \in D^+(\mathcal{A})\) 且 \(M^\bullet\) 上有界，则此谱序列有界并收敛于 \(\Ext^{p + q}(M, K)\)。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为 Grothendieck 阿贝尔范畴。给定对象 \(E \in D(\mathcal{A})\)、以 \(\mathbf{Z}\) 为指标的 \(D(\mathcal{A})\) 中对象的逆系统 \(\{E^i\}_{i \in \mathbf{Z}}\)，以及相容的映射系 \(E^i \to E\)。图示为 \[\ldots \to E^{i + 1} \to E^i \to E^{i - 1} \to \ldots \to E\] 则存在 \(\mathcal{A}\) 的滤过复形 \(K^\bullet\)（《同调代数》定义 012L），使 \(K^\bullet\) 表示 \(E\)，而 \(F^iK^\bullet\) 以与给定映射相容的方式表示 \(E^i\)。

证明

由定理 079P，可选取表示 \(E\) 的 K-内射复形 \(I^\bullet\)，其每一项 \(I^n\) 均为 \(\mathcal{A}\) 的内射对象。选取表示 \(E^0\) 的复形 \(G^{0, \bullet}\)，再选取表示 \(E^0 \to E\) 的复形映射 \(\varphi^0 : G^{0, \bullet} \to I^\bullet\)。对 \(i > 0\)，归纳地用复形映射 \(\delta : G^{i, \bullet} \to G^{i - 1, \bullet}\) 表示 \(E^i \to E^{i - 1}\)，并置 \(\varphi^i = \delta \circ \varphi^{i - 1}\)。对 \(i < 0\)，归纳地用逐项单射的复形映射 \(\delta : G^{i + 1, \bullet} \to G^{i, \bullet}\) 表示 \(E^{i + 1} \to E^i\)（例如可用《导出范畴》引理 013N）。我们断言可找到复形映射 \(\varphi^i : G^{i, \bullet} \to I^\bullet\) ，它表示映射 \(E^i \to E\)，并使下图交换： \[\xymatrix{ G^{i + 1, \bullet} \ar[r]_\delta \ar[d]_{\varphi^{i + 1}} & G^{i, \bullet} \ar[ld]^{\varphi^i} \\ I^\bullet }\] 中。事实上，先任取表示映射 \(E^i \to E\) 的复形映射 \(\varphi : G^{i, \bullet} \to I^\bullet\)。于是 \(\varphi \circ \delta\) 与 \(\varphi^{i + 1}\) 通过某个同伦 \(h^p : G^{i + 1, p} \to I^{p - 1}\) 同伦。由于 \(I^\bullet\) 的各项内射，且 \(\delta\) 逐项单射，可将 \(h^p\) 延拓为 \((h')^p : G^{i, p} \to I^{p - 1}\)。置 \(\varphi^i = \varphi + h' \circ d + d \circ h'\)，便得到所断言的映射。

接着，对每个 \(i\) 选取逐项单射的复形映射 \(a^i : G^{i, \bullet} \to J^{i, \bullet}\)，其中 \(J^{i, \bullet}\) 无环且 K-内射，而 \(J^{i, p}\) 为 \(\mathcal{A}\) 的内射对象。为此，先将 \(G^{i, \bullet}\) 映至恒等映射的锥，再应用上述定理。与上面相同地论证，可找到复形映射 \(\delta' : J^{i, \bullet} \to J^{i - 1, \bullet}\)，使图 \[\xymatrix{ G^{i, \bullet} \ar[r]_\delta \ar[d]_{a^i} & G^{i - 1, \bullet} \ar[d]^{a^{i - 1}} \\ J^{i, \bullet} \ar[r]^{\delta'} & J^{i - 1, \bullet} }\] 交换。（也可利用锥的函子性以及该定理中的函子性得到这一点。）然后考虑映射 \[\xymatrix{ G^{i + 1, \bullet} \times \prod\nolimits_{p > i + 1} J^{p, \bullet} \ar[r] \ar[rd] & G^{i, \bullet} \times \prod\nolimits_{p > i} J^{p, \bullet} \ar[r] \ar[d] & G^{i - 1, \bullet} \times \prod\nolimits_{p > i - 1} J^{p, \bullet} \ar[ld] \\ & I^\bullet \times \prod\nolimits_p J^{p, \bullet} }\] 此处 \(J^{p, \bullet}\) 上的箭头是显然的箭头（恒等映射或零映射）。在因子 \(G^{i, \bullet}\) 上，使用 \(\delta : G^{i, \bullet} \to G^{i - 1, \bullet}\)、映射 \(\varphi^i : G^{i, \bullet} \to I^\bullet\)、当 \(p > i\) 时的零映射 \(0 : G^{i, \bullet} \to J^{p, \bullet}\)、当 \(p = i\) 时的映射 \(a^i : G^{i, \bullet} \to J^{p, \bullet}\)，以及当 \(p < i\) 时的映射 \((\delta')^{i - p} \circ a^i = a^p \circ \delta^{i - p} : G^{i, \bullet} \to J^{p, \bullet}\)。略去图中所有箭头均逐项单射的验证。这样便得到一个滤过复形。由于 \(D(\mathcal{A})\) 中的积由 K-内射复形的积给出（引理 07D9），且 \(J^{p, \bullet}\) 在 \(D(\mathcal{A})\) 中为零，可知此图在导出范畴中表示给定的图。证明完成。

引理

在引理 0ESJ 的情形中，进一步假设有第二个逆系统 \(\{(E')^i\}_{i \in \mathbf{Z}}\) 以及相容的映射系 \((E')^i \to E\)。则存在 \(\mathcal{A}\) 的双滤过复形 \(K^\bullet\)，使 \(K^\bullet\) 表示 \(E\)，\(F^iK^\bullet\) 表示 \(E^i\)，而 \((F')^iK^\bullet\) 以与给定映射相容的方式表示 \((E')^i\)。

证明

先利用该引理选取 \(K^\bullet\) 与 \(F\)，再为 \(\{(E')^i\}_{i \in \mathbf{Z}}\) 及映射 \((E')^i \to E\) 选取适用的 \((K')^\bullet\) 与 \(F'\)。利用引理 0BKI，可假设 \(K^\bullet\) 为 K-内射复形。于是可选取对应于给定认同 \((K')^\bullet \cong E \cong K^\bullet\) 的复形映射 \((K')^\bullet \to K^\bullet\)。还可选取逐项单射的映射 \((K')^\bullet \to J^\bullet\)，其中 \(J^\bullet\) 无环且 K-内射。（为此先将 \((K')^\bullet\) 映至恒等映射的锥，再应用定理 079P。）于是 \((K')^\bullet \to K^\bullet \times J^\bullet\) 与 \(K^\bullet \to K^\bullet \times J^\bullet\) 均逐项单射且为拟同构（由引理 07D9，该积表示 \(E\)）。只须取 \(K^\bullet\) 与 \((K')^\bullet\) 上的滤过在这些映射下的像，即得结论。

Gabriel–Popescu 定理

本节讨论 [GP] 的主定理。证明方法遵循 Jacob Lurie 的一份讲义以及 Akhil Mathew 的另一份讲义；两者又都遵循 [Kuhn] 中 Kuhn 的陈述。另见 [Takeuchi]。

设 \(\mathcal{A}\) 为 Grothendieck 阿贝尔范畴，\(U\) 为 \(\mathcal{A}\) 的生成元，见定义 079B。令 \(R = \Hom_\mathcal{A}(U, U)\)。考虑由 \[G(A) = \Hom_\mathcal{A}(U, A)\] 给出的函子 \(G : \mathcal{A} \to \text{Mod}_R\)，其中 \(G(A)\) 带有典范的右 \(R\)-模结构。

引理

上述函子 \(G\) 有左伴随函子 \(F : \text{Mod}_R \to \mathcal{A}\)。

证明

我们给出此引理的两个证明。

第一个证明使用伴随函子定理，见《范畴》定理 0AHQ。注意 \(G : \mathcal{A} \to \text{Mod}_R\) 左正合，并把积映为积，故 \(G\) 与极限交换。为验证该定理中的集合论条件，设 \(M\) 为 \(\text{Mod}_R\) 的对象。选取充分大的基数 \(\kappa\)，并以 \(E\) 表示 \(\mathcal{A}\) 中对象的一个集合，使每个满足 \(|A| \leq \kappa\) 的对象 \(A\) 均同构于 \(E\) 的某个元素。由引理 079E，这是可能的。置 \(I = \coprod_{A \in E} \Hom_R(M, G(A))\)。把元素 \(i \in I\) 看作一对 \((A_i, f_i)\)。最后，任取 \(\mathcal{A}\) 的对象 \(A\) 与映射 \(f : M \to G(A)\)。我们把 \(\Im(f) \subset G(A) = \Hom_\mathcal{A}(U, A)\) 中的元素看作映射 \(u : U \to A\)。置 \[A' = \Im(\bigoplus\nolimits_{u \in \Im(f)} U \xrightarrow{u} A)\] 由于 \(G\) 左正合，\(G(A') \subset G(A)\) 包含 \(\Im(f)\)，并得到使 \(f\) 分解的 \(f' : M \to G(A')\)。另一方面，对象 \(A'\) 是至多 \(|M|\) 份 \(U\) 的直和的商。因此，若 \(\kappa = |\bigoplus_{|M|} U|\)，则 \((A', f')\) 同构于 \(E\) 的某个元素 \((A_i, f_i)\)，从而 \(f\) 按所需方式分解为 \(M \xrightarrow{f_i} G(A_i) \to G(A)\)。

第二个证明将构造 \(F\)，并表明在某种意义下“\(F(M) = M \otimes_R U\)”。具体地，对任意 \(R\)-模 \(M\)，可选取消解 \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} R \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} R \to M \to 0\] 然后用相应的正合列定义 \(F(M)\)： \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} U \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} U \to F(M) \to 0\] 此构造不依赖于消解的选择，并且是函子性的；细节从略。对 \(\mathcal{A}\) 中任意 \(A\)，得到正合列 \[0 \to \Hom_\mathcal{A}(F(M), A) \to \prod\nolimits_{i \in I} G(A) \to \prod\nolimits_{j \in J} G(A)\] ，它同构于正合列 \[0 \to \Hom_R(M, G(A)) \to \Hom_R(\bigoplus\nolimits_{i \in I} R, G(A)) \to \Hom_R(\bigoplus\nolimits_{j \in J} R, G(A))\] 。这表明 \(F\) 是 \(G\) 的左伴随函子。

引理

设 \(f : M \to G(A)\) 为 \(\text{Mod}_R\) 中的单射，则伴随映射 \(f' : F(M) \to A\) 也是单射。

证明

选取映射 \(R^{\oplus n} \to M\)，并考虑相应的映射 \(U^{\oplus n} \to F(M)\)。考虑映射 \(v : U \to U^{\oplus n}\)，使复合 \(U \to U^{\oplus n} \to F(M) \to A\) 为 \(0\)。于是箭头 \(v : U \to U^{\oplus n}\) 是 \(R^{\oplus n}\) 中的元素 \(v\)，且它在 \(G(A)\) 中映为零。由于 \(f\) 为单射，\(v\) 在 \(M\) 中映为零；由引理 0F5S 的证明中 \(F(M)\) 的构造，这意味着 \(U \to U^{\oplus n} \to F(M)\) 为零。由于 \(U\) 是生成元，可得 \[\Ker(U^{\oplus n} \to F(M) \to A) = \Ker(U^{\oplus n} \to F(M))\] 为完成证明，选取满射 \(\bigoplus_{i \in I} R \to M\)，并考虑相应的满射 \[\pi : \bigoplus\nolimits_{i \in I} U \longrightarrow F(M)\] 要证明 \(f'\) 为单射，只须证明作为 \(\bigoplus_{i \in I} U\) 的子对象有 \(\Ker(\pi) = \Ker(f' \circ \pi)\)。现在可将 \(\bigoplus_{i \in I} U\) 写成其子对象 \(\bigoplus_{i \in I'} U\) 的滤过余极限，其中 \(I' \subset I\) 遍历有限子集。由于 \(\mathcal{A}\) 满足 AB5，滤过余极限正合，故 \[\Ker(\pi) = \colim_{I' \subset I\text{ 有限}} \left(\bigoplus\nolimits_{i \in I'} U\right) \bigcap \Ker(\pi)\] 并且 \[\Ker(f' \circ \pi) = \colim_{I' \subset I\text{ 有限}} \left(\bigoplus\nolimits_{i \in I'} U\right) \bigcap \Ker(f' \circ \pi)\] 。由上面第一个陈列等式，对每个 \(I'\) 两者均相等，故得到所需等式。

定理

设 \(\mathcal{A}\) 为 Grothendieck 阿贝尔范畴。则存在一个（非交换）环 \(R\) 以及函子 \(G : \mathcal{A} \to \text{Mod}_R\) 与 \(F : \text{Mod}_R \to \mathcal{A}\)，使得

\(F\) 是 \(G\) 的左伴随函子；

\(G\) 为全忠实函子；

\(F\) 正合。

而且，这些函子正是上面构造的函子。

证明

先证明 \(G\) 全忠实，等价地，证明 \(F \circ G \to \text{id}\) 是同构；见《范畴》引理 07RB。首先，给定对象 \(A\)，映射 \(F(G(A)) \to A\) 为满射，因为由构造，每个映射 \(U \to A\) 均通过 \(F(G(A))\) 分解。另一方面，映射 \(F(G(A)) \to A\) 伴随于映射 \(\text{id} : G(A) \to G(A)\)，故由引理 0F5T 它为单射。

由于 \(F\) 是左伴随函子，它右正合。\(\text{Mod}_R\) 有足够多的投射对象，故要证明 \(F\) 正合，只须证明第一左导出函子 \(L_1F\) 为零。为对某个 \(R\)-模 \(M\) 证明 \(L_1F(M) = 0\)，选取 \(R\)-模的正合列 \(0 \to K \to P \to M \to 0\)，其中 \(P\) 自由。只须证明 \(F(K) \to F(P)\) 为单射。可将此列写成正合列 \(0 \to K_i \to P_i \to M_i \to 0\) 的滤过余极限，其中 \(P_i\) 为有限自由 \(R\)-模：只须以这种方式写出 \(P\)，并置 \(K_i = K \cap P_i\) 与 \(M_i = \Im(P_i \to M)\)。由于 \(F\) 是左伴随函子，它与余极限交换；又因 \(\mathcal{A}\) 为 Grothendieck 阿贝尔范畴，若每个 \(F(K_i) \to F(P_i)\) 都是单射，则 \(F(K) \to F(P)\) 也是单射。因此只须在 \(K \subset P = R^{\oplus n}\) 时验证 \(F(K) \to F(P)\) 为单射。此时应用引理 0F5T，便知 \(F(K) \to U^{\oplus n}\) 为单射。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为 Grothendieck 阿贝尔范畴，\(R\)、\(F\)、\(G\) 如 Gabriel–Popescu 定理（定理 0F5U）中所述。则得到导出函子 \[RG : D(\mathcal{A}) \to D(\text{Mod}_R) \quad\text{且}\quad F : D(\text{Mod}_R) \to D(\mathcal{A})\] ，其中 \(F\) 是 \(RG\) 的左伴随函子，\(RG\) 全忠实，并且 \(F \circ RG = \text{id}\)。

证明

这些函子的存在性与伴随性由定理 0F5U、 079P 以及《导出范畴》引理 070Y、 015F、 09T5 得出。等式 \(F \circ RG = \text{id}\) 的理由如下：在 \(D(\mathcal{A})\) 的对象上，可通过对适当的代表复形 \(I^\bullet\)（例如 K-内射代表）施用 \(G\) 来计算 \(RG\)；而由 \(F \circ G = \text{id}\)，有 \(F(G(I^\bullet)) = I^\bullet\)。再由《范畴》引理 07RB，可知 \(RG\) 全忠实。

Brown 可表性与 Grothendieck 阿贝尔范畴

本节快速证明一个关于 Grothendieck 阿贝尔范畴之导出范畴的可表性定理。读者应先阅读《导出范畴》第 0A8E 节中紧生成三角范畴的情形。之后，与其阅读本节，不如查阅文献中这类更一般的结果；例如见 [Franke]、[Neeman]、[Krause]，或参看《导出范畴》第 0GYF 节。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为 Grothendieck 阿贝尔范畴，并设 \(H : D(\mathcal{A}) \to \textit{Ab}\) 为把直和变为积的反变上同调函子。则 \(H\) 可表。

证明

设 \(R,F,G,RG\) 如引理 0F5V 中所述，并考虑函子 \(H \circ F : D(\text{Mod}_R) \to \textit{Ab}\)。由于 \(F\) 是左伴随函子，它把直和映为直和，故 \(H \circ F\) 把直和变为积。另一方面，导出范畴 \(D(\text{Mod}_R)\) 由单个紧对象 \(R\) 生成。由《导出范畴》引理 0A8F，\(H \circ F\) 可表；设其由 \(L \in D(\text{Mod}_R)\) 表示。选取特异三角 \[M \to L \to RG(F(L)) \to M[1]\] 于 \(D(\text{Mod}_R)\) 中。因 \(F \circ RG = \text{id}\)，有 \(F(M) = 0\)。从而 \(H(F(M)) = 0\)，进而 \(\Hom(M, L) = 0\)。因此 \(L \to RG(F(L))\) 是一个直和因子的嵌入；见《导出范畴》引理 05QT。对 \(D(\mathcal{A})\) 中的 \(A\)，得到 \[\begin{align*} H(A) & = H(F(RG(A)) \\ & = \Hom(RG(A), L) \\ & \to \Hom(RG(A), RG(F(L))) \\ & = \Hom(F(RG(A)), F(L)) \\ & = \Hom(A, F(L)) \end{align*}\] ，其中箭头有一个关于 \(A\) 函子性的左逆。换言之，\(H\) 是某个可表函子的直和因子。由于 \(D(\mathcal{A})\) 是 Karoubi 完备的（《导出范畴》引理 05QW），结论成立。

命题

设 \(\mathcal{A}\) 为 Grothendieck 阿贝尔范畴，\(\mathcal{D}\) 为三角范畴。设 \(F : D(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}\) 为把直和映为直和的三角范畴间正合函子。则 \(F\) 有正合的右伴随函子。

证明

对 \(\mathcal{D}\) 的对象 \(Y\)，考虑反变函子 \[D(\mathcal{A}) \to \textit{Ab},\quad W \mapsto \Hom_\mathcal{D}(F(W), Y)\] 由于 \(F\) 正合，这是上同调函子；又因 \(F\) 把直和映为直和，该反变函子把直和变为积。故由引理 0F5X，存在 \(D(\mathcal{A})\) 的对象 \(X\)，使 \(\Hom_{D(\mathcal{A})}(W, X) = \Hom_\mathcal{D}(F(W), Y)\)。伴随函子的存在性由《范畴》引理 0A8B 得出；其正合性由《导出范畴》引理 0A8D 得出。