Quot 空间与 Hilbert 空间

引言

本章最初设想的目的，是讨论 Quot 与 Hilbert 函子，并证明在满足若干技术条件时，它们是代数空间。对概形而言，这些材料见于 Grothendieck 在 Bourbaki 讨论班的讲义；

参见 [Gr-I], [Gr-II], [Gr-III], [Gr-IV], [Gr-V]，以及 [Gr-VI]。对射影概形，Quot 概形与 Hilbert 概形位于适当很充足可逆层的截面空间的 Grassmann 簇中，这给出了构造这些概形的方法。我们采用不同的路径：利用 Artin 公理证明 Quot 与 Hilb 函子是代数空间。

进一步考虑后发现，为了发展 Stacks Project 中的理论，从 [lieblich_remarks] 引入的凝聚层叠 \(\Cohstack_{X/B}\) （其支撑在基底上为真）开始讨论更为便利。这里，\(f : X \to B\) 是满足适当技术条件的代数空间态射，不过这一点可以推广（见下文）。给定 \(X\) 上的模 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\)，在适当假设下，函子

\(T/B \mapsto \Hom_{X_T}(\mathcal{F}_T, \mathcal{G}_T)\) 是 \(B\) 上的代数空间 \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\)；见一节 08JS。在一节 08K7 中，我们证明由同构组成的子函子 \(\mathit{Isom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 是代数空间。随后几节利用这一点证明叠 \(\Cohstack_{X/B}\) 的对角态射可表示。当 \(X \to B\) 平坦时，我们在一节 08KA 中证明 \(\Cohstack_{X/B}\) 是代数叠；一般情形见一节 08WB。文献指引见该节的引言。

证明这一点后，不难进一步证明 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\)、\(\Hilbfunctor_{X/B}\) 和 \(\Picardfunctor_{X/B}\) 是代数空间，而 \(\Picardstack_{X/B}\) 是代数叠；见诸节 09TQ、0CZX、 0D24 和 0D02。

用通常的方法，我们在一节 0D19 中推出：在适当假设下，相对态射函子 \(\mathit{Mor}_B(Z, X)\) 是代数空间。

在一节 0D1D 中，我们证明参数化真代数空间平坦族的群胚叠 \[\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\] 满足除形式有效性以外的所有 Artin 公理（包括通用性的开性）。我们有意为这个叠选用非常笨拙的记号，因为读者使用其性质时应当谨慎。

在一节 0D1L 中，我们证明参数化极化真代数空间平坦族的叠 \(\Polarizedstack\) 是代数叠。由于已经处理了真代数空间的平坦族，这归结为证明极化概形的形式有效性；该结果通常称为 Grothendieck 代数化定理。

在一节 0D4Y 中，我们证明参数化曲线族的叠 \(\Curvesstack\) 是代数的。

在一节 0DLB 中，我们研究真态射上复形的模，并得到代数叠 \(\Complexesstack_{X/B}\)。陈述与证明的思路取自 [lieblich-complexes]。

本章不包含什么？对于所得模空间和模叠所具有的性质（除代数性以外），本章几乎不作讨论；相关内容参见《模叠》一节 0DLU。

在所讨论的大多数结果中，可以用代数叠的态射 \(\mathcal{X} \to \mathcal{B}\) 代替代数空间的态射 \(X \to B\)，从而推广这些构造。

我们将在别处讨论这一点（此处插入未来引用）。

对 Hilbert 空间还有更一般的“Hilbert 叠”概念，我们将在单独的一章中讨论；参见（此处插入未来引用）。

约定

我们有意把本章以及《叠的例子》《代数叠上的层》《可表示性判据》和《Artin 公理》诸章放在代数叠理论的一般发展之前。原因是，从下一章开始（见《代数叠的性质》一节 04XA），我们不再区分概形与它所产生的代数叠。因此，我们的语言将变得更灵活、更便于人理解，但也不那么精确。开头这几章——包括最初的《代数叠》一章——奠定了基础，使我们以后可以忽略理解代数叠的不同方式之间某些非常技术性的区别。

不过，特别是在《Artin 公理》和《可表示性判据》两章中，我们必须非常精确地说明自己究竟处理哪些对象，因为我们正试图证明某些构造会产生代数叠或代数空间。

遗憾的是，这意味着有些记号、约定和术语颇为别扭，在经验较丰富的读者看来甚至可能前后颠倒。希望读者谅解！

始终假设所有概形都包含在一个大 fppf 站点 \(\Sch_{fppf}\) 中，并且所考虑的每个环 \(A\) 都满足：\(\Spec(A)\) 同构于该大站点的某个对象。

设 \(S\) 是概形，\(X\) 是 \(S\) 上的代数空间。在本章及下一章中，我们用 \(X \times_S X\) 表示 \(X\) 与自身的积（在 \(S\) 上代数空间的范畴中），而不用 \(X \times X\)。

Hom 函子

本节研究下面定义的同态函子。

情形

设 \(S\) 是概形，\(f : X \to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。设 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。对任意 \(B\) 上的概形 \(T\)，把 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 到 \(T\) 的基变换记为 \(\mathcal{F}_T\) 和 \(\mathcal{G}_T\)；换言之，它们是经由投影态射 \(X_T = X \times_B T \to X\) 的拉回。

考虑函子 [08JU]\[\begin{equation} \mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) : (\Sch/B)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets},\quad T \longrightarrow \Hom_{\mathcal{O}_{X_T}}(\mathcal{F}_T, \mathcal{G}_T) \end{equation}\]

在情形 08JT 中，有时把 \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 看作配有态射 \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \to B\) 的函子 \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\)。具体地，若 \(T\) 是 \(S\) 上的概形，则 \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})(T)\) 的一个元素由一对 \((h, u)\) 组成，其中 \(h\) 是态射 \(h : T \to B\)，而 \(u : \mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T\) 是 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-模同态；这里 \(X_T = T \times_{h, B} X\)，且 \(\mathcal{F}_T\) 和 \(\mathcal{G}_T\) 是到 \(X_T\) 的拉回。特别地，当我们说 \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 是代数空间时，是指相应函子 \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\) 是代数空间。

引理

在情形 08JT 中，函子 \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 满足 fpqc 拓扑的层条件。

证明

设 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 \(B\) 上概形的 fpqc 覆盖。令 \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\)、\(\mathcal{F}_i = u_{T_i}\) 和 \(\mathcal{G}_i = \mathcal{G}_{T_i}\)。

注意，\(\{X_i \to X_T\}_{i \in I}\) 是 \(X_T\) 的 fpqc 覆盖；参见《空间上的拓扑》引理 03MR。因此，若映射族 \(u_i : \mathcal{F}_i \to \mathcal{G}_i\) 满足 \(u_i\) 和 \(u_j\) 在 \(X_{T_i \times_T T_j}\) 上限制为同一个映射，则由下降（《空间上的下降》命题 04W8），它唯一地来自映射 \(u : \mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T\)。

一致性检验：\(\mathit{Hom}\) 层在 \(S\) 上代数空间之间起着同样的作用。

引理

在情形 08JT 中，设 \(T\) 是 \(S\) 上的代数空间。则

\[\Mor_{\Sh((\Sch/S)_{fppf})}(T, \mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})) = \{(h, u) \mid h : T \to B, u : \mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T\}\] 其中 \(\mathcal{F}_T,\mathcal{G}_T\) 表示 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 到代数空间 \(X \times_{B, h} T\) 的拉回。

证明

选取概形 \(U\) 和满的 étale 态射 \(p : U \to T\)。令 \(R = U \times_T U\)，其投影为 \(t, s : R \to U\)。

设 \(v : T \to \mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 是自然变换。则 \(v(p)\) 对应于 \(U\) 上的一对 \((h_U, u_U)\)。由于 \(v\) 是函子变换，\((h_U, u_U)\) 沿 \(s\) 与 \(t\) 的拉回相同。因为 \(T = U/R\)（《空间》引理 0262），得到态射 \(h : T \to B\)，使得 \(h_U = h \circ p\)。于是 \(\mathcal{F}_U\) 是 \(\mathcal{F}_T\) 到 \(X_U\) 的拉回， \(\mathcal{G}_U\) 亦然。因此，由《空间上的下降》命题 04W8， \(u_U\) 下降为 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-模同态 \(u : \mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T\)。

反之，设 \((h, u)\) 是 \(T\) 上的一对。对概形 \(T'\) 的每个态射 \(a : T' \to T\)，令其对应于 \((h \circ a, a^*u)\)，便得到自然变换 \(v : T \to \mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\)。略去验证本段与上一段的构造互为逆构造。

注

在情形 08JT 中，设 \(B' \to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。令 \(X' = X \times_B B'\)，并把 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 到 \(X'\) 的拉回记为 \(\mathcal{F}'\)、\(\mathcal{G}'\)。

于是，与基变换 \(f' : X' \to B'\) 相联系，得到函子 \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}', \mathcal{G}') : (\Sch/B')^{opp} \to \textit{Sets}\)。对 \(B'\) 上的概形 \(T\)，显然有 \[\mathit{Hom}(\mathcal{F}', \mathcal{G}')(T) = \mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})(T)\] 其中右边经由复合 \(T \to B' \to B\) 把 \(T\) 看作 \(B\) 上的概形。这个平凡的注记有时可用于改变基代数空间。

引理

在情形 08JT 中，设 \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) 是 fppf 覆盖，并对每个 \(i, j \in I\) 设 \(\{X_{ijk} \to X_i \times_X X_j\}\) 是 fppf 覆盖。把 \(\mathcal{F}\) 到 \(X_i\)、\(X_{ijk}\) 的拉回分别记为 \(\mathcal{F}_i\)、\(\mathcal{F}_{ijk}\)；类似地定义 \(\mathcal{G}_i\) 和 \(\mathcal{G}_{ijk}\)。

对每个 \(B\) 上的概形 \(T\)，图 \[\xymatrix{ \mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})(T) \ar[r] & \prod\nolimits_i \mathit{Hom}(\mathcal{F}_i, \mathcal{G}_i)(T) \ar@<1ex>[r]^-{\text{pr}_0^*} \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_1^*} & \prod\nolimits_{i, j, k} \mathit{Hom}(\mathcal{F}_{ijk}, \mathcal{G}_{ijk})(T) }\] 把第一个箭头表示为后两个箭头的等化子。

证明

设 \(u_i : \mathcal{F}_{i, T} \to \mathcal{G}_{i, T}\) 是 \(\text{pr}_0^*\) 与 \(\text{pr}_1^*\) 的等化子中的元素。由于 fppf 覆盖的基变换仍是 fppf 覆盖（《空间上的拓扑》引理 03Y9），可知 \(\{X_{i, T} \to X_T\}_{i \in I}\) 和 \(\{X_{ijk, T} \to X_{i, T} \times_{X_T} X_{j, T}\}\) 都是 fppf 覆盖。应用《空间上的下降》命题 04W8，先得 \(u_i\) 和 \(u_j\) 在 \(X_{i, T} \times_{X_T} X_{j, T}\) 上限制为同一个态射；再应用一次该命题，得到唯一态射 \(u : \mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T\)，其在每个 \(i\) 上限制为 \(u_i\)。证毕。

引理

在情形 08JT 中，若 \(\mathcal{F}\) 有限表示，且 \(f\) 拟紧、拟分离，则 \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 保极限。

证明

设 \(T = \lim_{i \in I} T_i\) 是仿射 \(B\)-概形的有向极限。需要证明 \[\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})(T) = \colim \mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})(T_i).\] 选取 \(0 \in I\)。可以把 \(B\) 替换为 \(T_0\)，把 \(X\) 替换为 \(X_{T_0}\)，把 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 分别替换为 \(\mathcal{F}_{T_0}\)、 \(\mathcal{G}_{T_0}\)，并把 \(I\) 替换为 \(\{i \in I \mid i \geq 0\}\)；参见注记 08JW。因此可假设 \(B = \Spec(R)\) 为仿射的。

当 \(B\) 仿射时，\(X\) 拟紧且拟分离。选取满的 étale 态射 \(U \to X\)，其中 \(U\) 是仿射概形（《空间的性质》引理 03H6）。因为 \(X\) 拟分离，概形 \(U \times_X U\) 拟紧，故可选取满的 étale 态射 \(V \to U \times_X U\)，其中 \(V\) 是仿射概形。应用引理 08K3，可知 \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 是下列两个对象之间两个映射的等化子： \[\mathit{Hom}(\mathcal{F}|_U, \mathcal{G}|_U) \quad\text{与}\quad \mathit{Hom}(\mathcal{F}|_V, \mathcal{G}|_V).\] 这把问题约化到 \(X\) 仿射的情形。

在仿射情形，引理的陈述归结为如下问题：给定环同态 \(R \to A\)、两个 \(A\)-模 \(M\)、\(N\)，以及 \(R\)-代数的有向系统 \(C = \colim C_i\)，何时映射 \[\colim \Hom_{A \otimes_R C_i}(M \otimes_R C_i, N \otimes_R C_i) \longrightarrow \Hom_{A \otimes_R C}(M \otimes_R C, N \otimes_R C)\] 为双射？由《代数》引理 05LI，若 \(M \otimes_R C\) 作为 \(A \otimes_R C\)-模有限表示，则确实如此；这等价于 \(M\) 作为 \(A\)-模有限表示。

引理

设 \(S\) 是概形，\(B\) 是 \(S\) 上的代数空间。设 \(i : X' \to X\) 是 \(B\) 上代数空间的闭浸入。设 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，\(\mathcal{G}'\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模。则 \[\mathit{Hom}(\mathcal{F}, i_*\mathcal{G}') = \mathit{Hom}(i^*\mathcal{F}, \mathcal{G}')\] 作为 \((\Sch/B)\) 上的函子相等。

证明

设 \(g : T \to B\) 是态射，其中 \(T\) 是概形。把 \(i\) 的基变换记为 \(i_T : X'_T \to X_T\)，并把投影记为 \(h : X_T \to X\) 和 \(h' : X'_T \to X'\)。

注意，\((h')^*i^*\mathcal{F} = i_T^*h^*\mathcal{F}\)。由于闭浸入是仿射的（《空间的态射》引理 07U2），由《空间的上同调》引理 07U8 有 \(h^*i_*\mathcal{G} = i_{T, *}(h')^*\mathcal{G}\)。

因此 \[\begin{align*} \mathit{Hom}(\mathcal{F}, i_*\mathcal{G}')(T) & = \Hom_{\mathcal{O}_{X_T}}(h^*\mathcal{F}, h^*i_*\mathcal{G}') \\ & = \Hom_{\mathcal{O}_{X_T}}(h^*\mathcal{F}, i_{T, *}(h')^*\mathcal{G}) \\ & = \Hom_{\mathcal{O}_{X'_T}}(i_T^*h^*\mathcal{F}, (h')^*\mathcal{G}) \\ & = \Hom_{\mathcal{O}_{X'_T}}((h')^*i^*\mathcal{F}, (h')^*\mathcal{G}) \\ & = \mathit{Hom}(i^*\mathcal{F}, \mathcal{G}')(T), \end{align*}\] 正如所需。中间的等号来自函子 \(i_{T, *}\) 与 \(i_T^*\) 的伴随性。

引理

设 \(S\) 是概形，\(B\) 是 \(S\) 上的代数空间，\(K\) 是 \(D(\mathcal{O}_B)\) 的伪凝聚对象。

若对 \((\Sch/B)\) 中所有 \(g : T \to B\)，上同调层 \(H^{-1}(Lg^*K)\) 都为零，则函子 \[(\Sch/B)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets},\quad (g : T \to B) \longmapsto H^0(T, H^0(Lg^*K))\] 是 \(B\) 上仿射且有限表示的代数空间。

若对 \((\Sch/B)\) 中所有 \(g : T \to B\)，上同调层 \(H^i(Lg^*K)\) 对 \(i < 0\) 都为零，则 \(K\) 完美，\(K\) 局部具有 \([0, b]\) 中的 Tor 振幅，而且函子 \[(\Sch/B)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets},\quad (g : T \to B) \longmapsto H^0(T, Lg^*K)\] 是 \(B\) 上仿射且有限表示的代数空间。

证明

在 (2) 的假设下，有 \(H^0(T, Lg^*K) = H^0(T, H^0(Lg^*K))\)。先证明规则 \(T \mapsto H^0(T, H^0(Lg^*K))\) 满足 fppf 拓扑的层条件。为此，设 \(\{h_i : T_i \to T\}\) 是 \(B\) 上概形 \(g : T \to B\) 的 fppf 覆盖。令 \(g_i = g \circ h_i\)。注意，因为 \(h_i\) 平坦，故 \(Lh_i^* = h_i^*\)，且 \(h_i^*\) 与取上同调可交换。因此 \[H^0(T_i, H^0(Lg_i^*K)) = H^0(T_i, H^0(h_i^*Lg^*K)) = H^0(T, h_i^*H^0(Lg^*K)).\]

拉回到 \(T_i \times_T T_j\) 时同样如此。由于 \(Lg^*K\) 是 \(T\) 上的伪凝聚复形（《站点上的上同调》引理 08H4），上同调层 \(\mathcal{F} = H^0(Lg^*K)\) 是拟凝聚的（《空间的导出范畴》引理 08JL）。因此，由《空间上的下降》命题 04W8 可知 \[H^0(T, \mathcal{F}) = \Ker( \prod H^0(T_i, h_i^*\mathcal{F}) \to \prod H^0(T_i \times_T T_j, (T_i \times_T T_j \to T)^*\mathcal{F})).\] 由此可见，(1) 与 (2) 中的规则满足 fppf 覆盖的层条件。这意味着可以应用《构造代数空间》引理 04U0，把可表示性的证明约化为 \(B\) 上 étale 局部的证明。此外，结果是否仿射且有限表示也可在 \(B\) 上 étale 局部检验；参见《空间的态射》诸引理 03WG 和 0410。因此可假设 \(B\) 是仿射概形。

设 \(B = \Spec(A)\) 是仿射概形。由《空间的导出范畴》诸引理 08JL、 071Q 和 08HE，可知在余下证明中，可把 \(K\) 看作 Zariski 拓扑下 \(B\) 上模复形导出范畴的完美对象。由《概形的导出范畴》诸引理 08E5、 06Z0 和 08E7，可找到 \(A\)-模的伪凝聚复形 \(M^\bullet\)，使得 \(K\) 是 \(D(\mathcal{O}_B)\) 中的相应对象。关于拉回的假设蕴含：对每个素理想 \(\mathfrak p \subset A\)， \(M^\bullet \otimes^\mathbf{L}_A \kappa(\mathfrak p)\) 的 \(H^{-1}\) 为零。由《代数续篇》引理 068U，可写成 \[M^\bullet = \tau_{\geq 0}M^\bullet \oplus \tau_{\leq - 1}M^\bullet,\] 其中对某个 \(b \geq 0\)，\(\tau_{\geq 0}M^\bullet\) 是 Tor 振幅位于 \([0, b]\) 的完美复形（这里还使用了《代数续篇》诸引理 066Y 和 066N）。注意，在情形 (2) 中还可看出 \(\tau_{\leq - 1}M^\bullet = 0\) 于 \(D(A)\) 中，因而 \(M^\bullet\) 和 \(K\) 完美且 Tor 振幅位于 \([0, b]\)。对任意 \(B\)-概形 \(g : T \to B\)，有 \[H^0(T, H^0(Lg^*K)) = H^0(T, H^0(Lg^*\tau_{\geq 0}K))\] （由《导出范畴》引理 05TC 的对偶）。因此可以把 \(K\) 替换为 \(\tau_{\geq 0}K\)，相应地把 \(M^\bullet\) 替换为 \(\tau_{\geq 0}M^\bullet\)。换言之，可假设 \(M^\bullet\) 的 Tor 振幅位于 \([0, b]\)。

设 \(M^\bullet\) 的 Tor 振幅位于 \([0, b]\)。可以假设 \(M^\bullet\) 是有限自由 \(A\)-模的上有界复形（由伪凝聚复形的定义；参见《代数续篇》定义 064Q 及该定义之后的讨论）。由《代数续篇》引理 0653， \(M = \Coker(M^{- 1} \to M^0)\) 平坦。再由《代数》引理 00NX，\(M\) 有限局部自由。因此， \(M^\bullet\) 拟同构于 \[M \to M^1 \to M^2 \to \ldots \to M^d \to 0 \ldots.\] 注意，这是 K-平坦复形（《上同调》引理 06YD），所以经态射 \(T \to B\) 对 \(K\) 作导出拉回可由复形 \[g^*\widetilde{M} \to g^*\widetilde{M^1} \to \ldots\] 计算。因此，只需证明函子 \[(g : T \to B) \longmapsto \Ker( \Gamma(T,g^*\widetilde{M}) \to \Gamma(T, g^*(\widetilde{M^1}) )\] 可由 \(B\) 上有限表示的仿射概形表示。

为了证明最后的陈述，仍可把 \(B\) 替换为某个仿射开覆盖的各成员。因此可假设 \(M\) 有限自由（回忆，\(M^1\) 原本就是有限自由的）。写 \(M = A^{\oplus n}\) 和 \(M^1 = A^{\oplus m}\)。设映射 \(M \to M^1\) 由系数在 \(A\) 中的 \(m \times n\) 矩阵 \((a_{ij})\) 给出。于是 \(\widetilde{M} = \mathcal{O}_B^{\oplus n}\) 且 \(\widetilde{M^1} = \mathcal{O}_B^{\oplus m}\)。上面的函子等于 \[(g : T \to B) \longmapsto \{(f_1, \ldots, f_n) \in \Gamma(T, \mathcal{O}_T) \mid \sum g^\sharp(a_{ij})f_i = 0,\ j = 1, \ldots, m\}.\] 显然，它可由仿射概形 \[\Spec\left(A[x_1, \ldots, x_n]/(\sum a_{ij}x_i; j = 1, \ldots, m)\right)\] 表示。引理得证。

函子 \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 在许多情形中可表示。我们的所有结果都以如下基本情形为基础。下面给出的引理证明，在某种意义下是 [EGA, III, Cor 7.7.8] 的证明的自然推广。

引理

在情形 08JT 中，假设

\(B\) 是 Noether 代数空间；

\(f\) 局部有限型且拟分离；

\(\mathcal{F}\) 是有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模；以及

\(\mathcal{G}\) 是有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模，在 \(B\) 上平坦，且其支撑在 \(B\) 上真。

则函子 \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 是 \(B\) 上仿射且有限表示的代数空间。

证明

可以把 \(X\) 替换为 \(\mathcal{G}\) 的支撑的一个拟紧开邻域，因而可假设 \(X\) 为 Noether 的。在这种情形，\(X\) 与 \(f\) 均拟紧且拟分离。选取三元组 \((X, \mathcal{F}, -1)\) 的一个由完美复形 \(P\) 给出的逼近 \(P \to \mathcal{F}\)；参见《空间的导出范畴》定义 08HI 和定理 08HP。

于是诱导映射 \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P, \mathcal{G})\] 为同构，因为 \(P \to \mathcal{F}\) 诱导同构 \(H^0(P) \to \mathcal{F}\)，且对 \(i > 0\) 有 \(H^i(P) = 0\)。此外，对任意态射 \(g : T \to B\)，把投影 \(h : X_T = T \times_B X \to X\) 记下，并令 \(P_T = Lh^*P\)。

同样有同构 \[\Hom_{\mathcal{O}_{X_T}}(\mathcal{F}_T, \mathcal{G}_T) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O}_{X_T})}(P_T, \mathcal{G}_T),\] 因为 \(P_T = Lh^*P \to Lh^*\mathcal{F} \to \mathcal{F}_T\) 诱导同构 \(H^0(P_T) \to \mathcal{F}_T\)（这是因为 \(h^*\) 右正合，且对 \(i > 0\) 有 \(H^i(P) = 0\)）。因此，只需对函子 \[T \longmapsto \Hom_{D(\mathcal{O}_{X_T})}(P_T, \mathcal{G}_T)\] 证明结论。由 Leray 谱序列（见《站点上的上同调》注记 08J6），有 \[\Hom_{D(\mathcal{O}_{X_T})}(P_T, \mathcal{G}_T) = H^0(X_T, R\SheafHom(P_T, \mathcal{G}_T)) = H^0(T, Rf_{T, *}R\SheafHom(P_T, \mathcal{G}_T)),\] 其中 \(f_T : X_T \to T\) 是 \(f\) 的基变换。由《空间的导出范畴》引理 08JQ，有 \[Rf_{T, *}R\SheafHom(P_T, \mathcal{G}_T) = Lg^*Rf_*R\SheafHom(P, \mathcal{G}).\] 由《空间的导出范畴》引理 0DKK， \(D(\mathcal{O}_B)\) 的对象 \(K = Rf_*R\SheafHom(P, \mathcal{G})\) 是完美的。因此，只要能证明对上述每个 \(g : T \to B\) 及所有 \(i < 0\)，上同调层 \(H^i(Lg^*K)\) 都为 \(0\)，便可应用引理 08JX。由最后一个显示公式，这一点很清楚：\(Rf_{T, *}R\SheafHom(P_T, \mathcal{G}_T)\) 在负次数的上同调层为零，因为 \(P_T\) 完美且正次数上同调层为零，所以 \(R\SheafHom(P_T, \mathcal{G}_T)\) 的负次数上同调层为零。

下面是引理 08JY 的一个直接推论。

命题

在情形 08JT 中，假设

\(f\) 有限表示；以及

\(\mathcal{G}\) 是有限表示 \(\mathcal{O}_X\)-模，在 \(B\) 上平坦，且其支撑在 \(B\) 上真。

则函子 \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 是 \(B\) 上的仿射代数空间。若 \(\mathcal{F}\) 有限表示，则 \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 在 \(B\) 上有限表示。

证明

由引理 08JV，函子 \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 满足 fppf 覆盖的层条件。这意味着可以¹应用

《构造代数空间》引理 04SK，在 \(B\) 上 étale 局部检验可表示性。此外，结果是否仿射或有限表示也可在 \(B\) 上 étale 局部检验；参见《空间的态射》诸引理 03WG 和 0410。因此可假设 \(B\) 是仿射概形。

假设 \(B\) 是仿射概形。由于 \(f\) 有限表示，可知 \(X\) 拟紧且拟分离。

因此，可把 \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\) 写成有限表示 \(\mathcal{O}_X\)-模的滤过余极限（《空间的极限》引理 07V9）。显然 \[\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \lim \mathit{Hom}(\mathcal{F}_i, \mathcal{G}).\] 因此，若每个 \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}_i, \mathcal{G})\) 都可由仿射概形表示，则 \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 亦然。使用《极限》一节 01YV 与《空间的极限》一节 07SE 的材料。于是可假设 \(\mathcal{F}\) 有限表示。

写 \(B = \Spec(R)\)。把 \(R = \colim R_i\) 写成极限，其中每个 \(R_i\) 是有限型 \(\mathbf{Z}\)-代数。令 \(B_i = \Spec(R_i)\)。由《空间的极限》诸引理 07SK 和 07V7，可找到 \(i\)、代数空间的态射 \(X_i \to B_i\)，以及有限表示 \(\mathcal{O}_{X_i}\)-模 \(\mathcal{F}_i\) 和 \(\mathcal{G}_i\)，使得 \((X_i, \mathcal{F}_i, \mathcal{G}_i)\) 到 \(B\) 的基变换恢复 \((X, \mathcal{F}, \mathcal{G})\)。由《空间的极限》引理 08K0，增大 \(i\) 后可假设 \(\mathcal{G}_i\) 在 \(B_i\) 上平坦。类似地，由《空间的极限》引理 08K2，可假设 \(\mathcal{G}_i\) 的概形论支撑在 \(B_i\) 上真。此时可应用引理 08JY，得到 \(H_i = \mathit{Hom}(\mathcal{F}_i, \mathcal{G}_i)\) 是 \(B_i\) 上仿射且有限表示的代数空间。把它拉回到 \(B\)（使用注记 08JW），得到 \(H_i \times_{B_i} B = \mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\)，证毕。

Isom 函子

在情形 08JT 中，可以考虑子函子 \[\mathit{Isom}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \subset \mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G}),\] 它在 \(B\) 上概形 \(T\) 处的值，是所有可逆 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-同态 \(u : \mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T\) 所成的集合。

有时把 \(\mathit{Isom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 看作配有态射 \(\mathit{Isom}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \to B\) 的函子 \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\)。具体地，若 \(T\) 是 \(S\) 上的概形，则 \(\mathit{Isom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})(T)\) 的一个元素由一对 \((h, u)\) 组成，其中 \(h\) 是态射 \(h : T \to B\)，而 \(u : \mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T\) 是 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-模同构；这里 \(X_T = T \times_{h, B} X\)，且 \(\mathcal{F}_T\) 和 \(\mathcal{G}_T\) 是到 \(X_T\) 的拉回。特别地，当我们说 \(\mathit{Isom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 是代数空间时，是指相应函子 \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\) 是代数空间。

引理

在情形 08JT 中，函子 \(\mathit{Isom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 满足 fpqc 拓扑的层条件。

证明

已经看到 \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 满足层条件。因此只需证明：给定 \(B\) 上概形的 fpqc 覆盖 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 和 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-线性映射 \(u : \mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T\)，若对每个 \(i\)， \(u_{T_i}\) 都是同构，则 \(u\) 是同构。由于 \(\{X_i \to X_T\}_{i \in I}\) 是 \(X_T\) 的 fpqc 覆盖（见《空间上的拓扑》引理 03MR），结论由《空间上的下降》命题 04W8 得出。

一致性检验：\(\mathit{Isom}\) 层在 \(S\) 上代数空间之间起着同样的作用。

引理

在情形 08JT 中，设 \(T\) 是 \(S\) 上的代数空间。则

\[\Mor_{\Sh((\Sch/S)_{fppf})}(T, \mathit{Isom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})) = \{(h, u) \mid h : T \to B, u : \mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T\text{ 为同构}\},\] 其中 \(\mathcal{F}_T,\mathcal{G}_T\) 表示 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 到代数空间 \(X \times_{B, h} T\) 的拉回。

证明

注意，该等式的左右两边分别是引理 0D3S 中等式左右两边的子集。

略去验证在该引理证明给出的对应下，这两个子集彼此对应。

命题

在情形 08JT 中，假设

\(f\) 有限表示；以及

\(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 是有限表示 \(\mathcal{O}_X\)-模，在 \(B\) 上平坦，且其支撑在 \(B\) 上真。

则函子 \(\mathit{Isom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 是 \(B\) 上仿射且有限表示的代数空间。

证明

采用缩写 \(H = \mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\)、 \(I = \mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{F})\)、 \(H' = \mathit{Hom}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\) 和 \(I' = \mathit{Hom}(\mathcal{G}, \mathcal{G})\)。由命题 08K6，函子 \(H\)、\(I\)、\(H'\)、\(I'\) 是代数空间，而态射 \(H \to B\)、\(I \to B\)、\(H' \to B\) 和 \(I' \to B\) 都是仿射且有限表示的。映射的复合给出 \(B\) 上代数空间的态射 \[c : H' \times_B H \longrightarrow I \times_B I',\quad (u', u) \longmapsto (u \circ u', u' \circ u).\]

由于 \(I \times_B I' \to B\) 分离，对应于 \((\text{id}_\mathcal{F}, \text{id}_\mathcal{G})\) 的截面 \(\sigma : B \to I \times_B I'\) 是闭浸入（《空间的态射》引理 03KP）。此外，\(\sigma\) 有限表示（《空间的态射》引理 05WT）。因此 \[\mathit{Isom}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = (H' \times_B H) \times_{c, I \times_B I', \sigma} B\] 也是 \(B\) 上仿射且有限表示的代数空间。略去若干细节。

凝聚层叠

本节证明：在适当假设下，\(X/B\) 上的凝聚层叠是代数的。这是 [lieblich_remarks, 定理 2.1.1] 的一个特例；该定理处理基底上 Artin 叠的凝聚层叠。

情形

设 \(S\) 是概形，\(f : X \to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。假设 \(f\) 有限表示。用 \(\Cohstack_{X/B}\) 表示如下范畴，其对象是三元组 \((T, g, \mathcal{F})\)，其中

\(T\) 是 \(S\) 上的概形；

\(g : T \to B\) 是 \(S\) 上的态射，并记 \(X_T = T \times_{g, B} X\)

\(\mathcal{F}\) 是有限表示的拟凝聚 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-模，在 \(T\) 上平坦，且其支撑在 \(T\) 上真。

态射 \((T, g, \mathcal{F}) \to (T', g', \mathcal{F}')\) 由一对 \((h, \varphi)\) 给出，其中

\(h : T \to T'\) 是 \(B\) 上概形的态射（即 \(g' \circ h = g\)）；以及

\(\varphi : (h')^*\mathcal{F}' \to \mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-模同构，其中 \(h' : X_T \to X_{T'}\) 是 \(h\) 的基变换。

于是 \(\Cohstack_{X/B}\) 是范畴，而规则 \[p : \Cohstack_{X/B} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}, \quad (T, g, \mathcal{F}) \longmapsto T\] 是函子。对 \(S\) 上概形 \(T\)，用 \(\Cohstack_{X/B, T}\) 表示 \(p\) 在 \(T\) 上的纤维范畴。这些纤维范畴都是群胚。

引理

在情形 08KB 中，函子 \(p : \Cohstack_{X/B} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\) 是群胚纤维化范畴。

证明

验证《范畴论》定义 003T 的条件 (1) 和 (2)，即可证明 \(p\) 是群胚纤维化范畴。给定 \(\Cohstack_{X/B}\) 的对象 \((T', g', \mathcal{F}')\) 和 \(S\) 上概形的态射 \(h : T \to T'\)，可以令

\(g = h \circ g'\) 以及 \(\mathcal{F} = (h')^*\mathcal{F}'\)，其中 \(h' : X_T \to X_{T'}\) 是 \(h\) 的基变换。显然，这给出 \(\Cohstack_{X/B}\) 中位于 \(h\) 上方的态射 \((T, g, \mathcal{F}) \to (T', g', \mathcal{F}')\)。这证明了 (1)。为证明 (2)，设给定态射 \[(h_1, \varphi_1) : (T_1, g_1, \mathcal{F}_1) \to (T, g, \mathcal{F}) \quad\text{和}\quad (h_2, \varphi_2) : (T_2, g_2, \mathcal{F}_2) \to (T, g, \mathcal{F})\] 属于 \(\Cohstack_{X/B}\)，并设有态射 \(h : T_1 \to T_2\) 满足 \(h_2 \circ h = h_1\)。令 \(\varphi\) 为复合 \[(h')^*\mathcal{F}_2 \xrightarrow{(h')^*\varphi_2^{-1}} (h')^*(h_2)^*\mathcal{F} = (h_1)^*\mathcal{F} \xrightarrow{\varphi_1} \mathcal{F}_1\] 便得到态射 \((h, \varphi) : (T_1, g_1, \mathcal{F}_1) \to (T_2, g_2, \mathcal{F}_2)\) ，从而验证条件 (2)。

引理

在情形 08KB 中，记

\(\mathcal{X} = \Cohstack_{X/B}\)。则 \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) 可由代数空间表示。

证明

考虑概形 \(T\) 上 \(\mathcal{X}\) 的两个对象 \(x = (T, g, \mathcal{F})\) 和 \(y = (T, h, \mathcal{G})\)。必须证明 \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, y)\) 是 \(T\) 上的代数空间，见《代数叠》引理 045G。若对 \(a : T' \to T\)，限制 \(x|_{T'}\) 和 \(y|_{T'}\) 在纤维范畴 \(\mathcal{X}_{T'}\) 中同构，则 \(g \circ a = h \circ a\)。因此有预层的自然变换 \[\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, y) \longrightarrow \text{等化子}(g, h)\] 由于 \(B\) 的对角态射可表示（由概形表示），该等化子是概形。于是可以用此等化子替换 \(T\)，并用相应拉回替换层 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\)。因而可以假设 \(g = h\)。此时 \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, y) = \mathit{Isom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) ，结论由命题 08K9 得出。

引理

在情形 08KB 中，函子 \(p : \Cohstack_{X/B} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\) 是群胚叠。

证明

为证明 \(\Cohstack_{X/B}\) 是群胚叠，必须证明预层 \(\mathit{Isom}\) 都是层，且下降数据有效。关于 \(\mathit{Isom}\) 的断言由引理 08W6 得出；见《代数叠》引理 045G。下面证明关于下降数据的断言。设 \(\{a_i : T_i \to T\}\) 是 \(S\) 上概形的 fppf 覆盖，而 \((\xi_i, \varphi_{ij})\) 是 \(\{T_i \to T\}\) 关于 \(\Cohstack_{X/B}\) 的下降数据。对每个 \(i\)，可写 \(\xi_i = (T_i, g_i, \mathcal{F}_i)\)。用 \(\text{pr}_0 : T_i \times_T T_j \to T_i\) 和 \(\text{pr}_1 : T_i \times_T T_j \to T_j\) 表示投影。条件 \(\xi_i|_{T_i \times_T T_j} = \xi_j|_{T_i \times_T T_j}\) 特别蕴含 \(g_i \circ \text{pr}_0 = g_j \circ \text{pr}_1\)。故存在唯一态射 \(g : T \to B\) 使得 \(g_i = g \circ a_i\)；见《空间上的下降》引理 04P2. 记 \(X_T = T \times_{g, B} X\)，并置 \(X_i = X_{T_i} = T_i \times_{g_i, B} X = T_i \times_{a_i, T} X_T\) 以及 \[X_{ij} = X_{T_i} \times_{X_T} X_{T_j} = X_i \times_{X_T} X_j\] ，其到 \(X_i\) 和 \(X_j\) 的投影分别记为 \(\text{pr}_i\) 和 \(\text{pr}_j\)。注意，\((T_i, g_i, \mathcal{F}_i)\) 沿 \(\text{pr}_0 : T_i \times_T T_j \to T_i\) 的拉回为 \((T_i \times_T T_j, g_i \circ \text{pr}_0, \text{pr}_i^*\mathcal{F}_i)\). 因此，\(\Cohstack_{X/B}\) 中关于 \(\{T_i \to T\}\) 的下降数据由对象 \((T_i, g \circ a_i, \mathcal{F}_i)\) 以及对每一对 \(i,j\) 给出的 \(\mathcal{O}_{X_{ij}}\)-模同构 \[\varphi_{ij} : \text{pr}_i^*\mathcal{F}_i \longrightarrow \text{pr}_j^*\mathcal{F}_j\] 组成；它们在 \(T_i \times_T T_j \times_T T_k\)（上面 \(X\) 的拉回）上满足上闭链条件。现在只需利用 \(\{X_i \to X_T\}\) 是 fppf 覆盖，从而可将 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ij})\) 视为该覆盖的下降数据。由《空间上的下降》命题 04W8 ，此下降数据有效，因而得到 \(X_T\) 上的拟凝聚层 \(\mathcal{F}\)，它在 \(X_i\) 上的限制是 \(\mathcal{F}_i\)。由《空间的态射》引理 05VY， \(\mathcal{F}\) 在 \(T\) 上平坦；《空间上的下降》引理 060V 保证 \(\mathcal{F}\) 作为 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-模有限表示。最后，由《空间上的下降》引理 0422， \(\mathcal{F}\) 的概形论支撑在 \(T\) 上真，因为已假设 \(\mathcal{F}_i\) 的概形论支撑在 \(T_i\) 上真（注意，由《空间的态射》引理 089C，取概形论支撑与平坦基变换可交换）。这样便得到所需的 \(T\) 上对象。

注

在情形 08KB 中，规则 \((T, g, \mathcal{F}) \mapsto (T, g)\) 定义群胚叠的 \(1\)-态射 \[\Cohstack_{X/B} \longrightarrow \mathcal{S}_B\] （见引理 08KC、《代数叠》第 04SU 节和《叠的例子》第 0305 节）。设 \(B' \to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射，并设 \(\mathcal{S}_{B'} \to \mathcal{S}_B\) 是相应的集合纤维化叠的 \(1\)-态射。置 \(X' = X \times_B B'\)。与基变换 \(f' : X' \to B'\) 相联系，得到群胚叠 \(\Cohstack_{X'/B'} \to (\Sch/S)_{fppf}\)。在此情形下，图 \[\vcenter{ \xymatrix{ \Cohstack_{X'/B'} \ar[r] \ar[d] & \Cohstack_{X/B} \ar[d] \\ \mathcal{S}_{B'} \ar[r] & \mathcal{S}_B } } \quad \begin{matrix} \text{或用} \\ \text{另一种} \\ \text{记号} \end{matrix} \quad \vcenter{ \xymatrix{ \Cohstack_{X'/B'} \ar[r] \ar[d] & \Cohstack_{X/B} \ar[d] \\ \Sch/B' \ar[r] & \Sch/B } }\]

是 \(2\)-纤维积方块。这个简单评注有时可用于更换基代数空间。

引理

在情形 08KB 中，假设 \(B \to S\) 局部有限表示。则 \(p : \Cohstack_{X/B} \to (\Sch/S)_{fppf}\) 保极限（《Artin 公理》定义 07XL）。

证明

用 \(B(T)\) 表示以 \(S\)-态射 \(T \to B\) 为对象的离散范畴。设 \(T = \lim T_i\) 是 \(S\) 上仿射概形的滤过极限。把 \(\Cohstack_{X/B, T}\) 的对象 \((T, h, \mathcal{F})\) 映到 \(B(T)\) 的对象 \(h\)，得到纤维范畴的交换图 \[\xymatrix{ \colim \Cohstack_{X/B, T_i} \ar[r] \ar[d] & \Cohstack_{X/B, T} \ar[d] \\ \colim B(T_i) \ar[r] & B(T) }\] 必须证明上方水平箭头是等价。由于已假设 \(B\) 在 \(S\) 上局部有限表示，由《空间的极限》评注 05N0，下方水平箭头是等价。这意味着可以假设 \(T = \lim T_i\) 是 \(B\) 上仿射概形的滤过极限。用 \(g_i : T_i \to B\) 和 \(g : T \to B\) 表示相应态射。置 \(X_i = T_i \times_{g_i, B} X\) 和 \(X_T = T \times_{g, B} X\)。

注意，\(X_T = \colim X_i\)，并且代数空间 \(X_i\) 和 \(X_T\) 拟分离且拟紧（因为它们分别在仿射概形 \(T_i\) 和 \(T\) 上有限表示）。由《空间的极限》引理 07V7 可知 \[\colim \textit{FP}(X_i) = \textit{FP}(X_T).\] ，其中 \(\textit{FP}(W)\) 是有限表示 \(\mathcal{O}_W\)-模范畴的简写。《空间的极限》引理 08K0 和 08K2 表明：若将 \(\textit{FP}(X_i)\) 和 \(\textit{FP}(X_T)\) 分别换成在 \(T_i\) 和 \(T\) 上平坦、且概形论支撑分别在 \(T_i\) 和 \(T\) 上真的对象所成的全子范畴，同一结论仍成立。这证明了引理。

引理

在情形 08KB 中，设 \[\xymatrix{ Z \ar[r] \ar[d] & Z' \ar[d] \\ Y \ar[r] & Y' }\] 是 \(S\) 上概形范畴中的推出，其中 \(Z \to Z'\) 是加厚， \(Z \to Y\) 是仿射态射；见《态射进阶》引理 07RT。则纤维范畴间的函子 \[\Cohstack_{X/B, Y'} \longrightarrow \Cohstack_{X/B, Y} \times_{\Cohstack_{X/B, Z}} \Cohstack_{X/B, Z'}\] 是等价。

证明

注意，相应映射 \[B(Y') \longrightarrow B(Y) \times_{B(Z)} B(Z')\] 是双射；见《空间的推出》引理 07SY。于是利用交换图 \[\xymatrix{ \Cohstack_{X/B, Y'} \ar[r] \ar[d] & \Cohstack_{X/B, Y} \times_{\Cohstack_{X/B, Z}} \Cohstack_{X/B, Z'} \ar[d] \\ B(Y') \ar[r] & B(Y) \times_{B(Z)} B(Z') }\]

可知可以假设 \(Y'\) 是 \(B'\) 上的概形。由评注 08LP，可以用 \(Y'\) 替换 \(B\)，用 \(X \times_B Y'\) 替换 \(X\)。故可假设 \(B = Y'\)。此时断言由《空间的推出》引理 08KV 得出。

引理

设 \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r]_i & X' \ar[d] \\ T \ar[r] & T' }\] 是代数空间的笛卡儿方块，其中 \(T \to T'\) 是一阶加厚。设 \(\mathcal{F}'\) 是在 \(T'\) 上平坦的 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模，并置 \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\)。下列条件等价：

\(\mathcal{F}'\) 是有限表示的拟凝聚 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模；

\(\mathcal{F}'\) 是有限表示的 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模；

\(\mathcal{F}\) 是有限表示的拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模；

\(\mathcal{F}\) 是有限表示的 \(\mathcal{O}_X\)-模。

证明

回忆有限表示模是拟凝聚的，故 (1) 与 (2) 等价，(3) 与 (4) 等价。 (2) 与 (4) 的等价性是《形变理论》引理 08VU 的特例。

引理

在情形 08KB 中，假设 \(S\) 是局部 Noether 概形，且 \(B \to S\) 局部有限表示。设 \(k\) 是 \(S\) 上有限型的域，并设 \(x_0 = (\Spec(k), g_0, \mathcal{G}_0)\) 是 \(k\) 上 \(\mathcal{X} = \Cohstack_{X/B}\) 的对象。则空间 \(T\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) 和 \(\text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0})\) （《Artin 公理》第 07WY 节）都是有限维的。

证明

注意，由引理 08LQ，群胚叠 \(\mathcal{X}\) 满足《Artin 公理》第 07Y6 节定义的性质 (RS*)。特别地，\(\mathcal{X}\) 满足 (RS)。因此所有相联系的预形变范畴都是形变范畴（《Artin 公理》引理 07WU），所述断言有意义。

本段说明可归约到 \(B = \Spec(k)\) 的情形。置 \(X_0 = \Spec(k) \times_{g_0, B} X\)，并记 \(\mathcal{X}_0 = \Cohstack_{X_0/k}\)。在评注 08LP 中已经看到：作为 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的群胚纤维化范畴，\(\mathcal{X}_0\) 是 \(\mathcal{X}\) 与 \(\Spec(k)\) 在 \(B\) 上的 \(2\)-纤维积。因此由《Artin 公理》引理 07X2，问题归结为证明 \(B\)、\(\Spec(k)\) 和 \(\mathcal{X}_0\) 的切空间与无穷小自同构空间有限维。由《Artin 公理》引理 07X1，\(B\) 和 \(\Spec(k)\) 的切空间有限维；当然，它们的 \(\text{Inf}\) 为零。因此只需处理 \(\mathcal{X}_0\)。

设 \(k[\epsilon]\) 是 \(k\) 上的对偶数。令 \(\Spec(k[\epsilon]) \to B\) 为 \(g_0 : \Spec(k) \to B\) 与由包含 \(k \to k[\epsilon]\) 所诱导态射 \(\Spec(k[\epsilon]) \to \Spec(k)\) 的复合。置 \(X_0 = \Spec(k) \times_B X\) 和 \(X_\epsilon = \Spec(k[\epsilon]) \times_B X\)。注意，\(X_\epsilon\) 是 \(X_0\) 的一阶加厚，并在一阶加厚 \(\Spec(k) \to \Spec(k[\epsilon])\) 上平坦。展开定义并应用引理 08W7，可知 \(T\mathcal{F}_{\mathcal{X}_0, k, x_0}\) 是将 \(\mathcal{G}_0\) 提升为 \(X_\epsilon\) 上平坦模的所有方式所成的集合。由《形变理论》引理 08VW，得到 \[T\mathcal{F}_{\mathcal{X}_0, k, x_0} = \Ext^1_{\mathcal{O}_{X_0}}(\mathcal{G}_0, \mathcal{G}_0)\] 这里使用了 \(k[\epsilon]\)-模的同一 \(\epsilon k[\epsilon] \cong k\)。再次应用《形变理论》引理 08VW，可知 \[\text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}) = \Ext^0_{\mathcal{O}_{X_0}}(\mathcal{G}_0, \mathcal{G}_0)\]

由于 \(\mathcal{G}_0\) 的支撑在 \(\Spec(k)\) 上真，这些空间在 \(k\) 上有限维。事实上，\(X_0\) 在 \(\Spec(k)\) 上有限表示，因而是 Noether 的。由于 \(\mathcal{G}_0\) 有限表示，它是凝聚 \(\mathcal{O}_{X_0}\)-模。于是应用《空间的导出范畴》引理 0D0T，便得到所需的有限性。

引理

在情形 08KB 中，假设 \(S\) 是局部 Noether 概形，且 \(f : X \to B\) 分离。令 \(\mathcal{X} = \Cohstack_{X/B}\)。则《Artin 公理》公式 (07X6) 中的函子是等价。

证明

设 \(A\) 是 \(S\)-代数，同时也是极大理想为 \(\mathfrak m\) 的完备局部 Noether 环，其剩余域 \(k\) 在 \(S\) 上有限型。必须证明 \(A\) 上对象的范畴等价于 \(A\) 上形式对象的范畴。由《Artin 公理》引理 07X8，这对与 \(B\) 相联系的集合纤维化范畴 \(\mathcal{S}_B\) 已经成立，故只需对位于给定态射 \(\Spec(A) \to B\) 上方的对象证明此事。

置 \(X_A = \Spec(A) \times_B X\) 和 \(X_n = \Spec(A/\mathfrak m^n) \times_B X\)。由 Grothendieck 存在定理（《空间的态射进阶》定理 08BE）， \(X_A\) 上支撑在 \(\Spec(A)\) 上真的凝聚模 \(\mathcal{F}\) 所成范畴，等价于系统 \((\mathcal{F}_n)\) 所成的范畴；这里 \(\mathcal{F}_n\) 是 \(X_n\) 上支撑在 \(\Spec(A/\mathfrak m^n)\) 上真的凝聚模。该等价把 \(\mathcal{F}\) 映到系统 \((\mathcal{F} \otimes_A A/\mathfrak m^n)\)。参见《空间的态射进阶》评注 08BF 中的讨论。为完成引理的证明，只需证明：\(\mathcal{F}\) 在 \(A\) 上平坦，当且仅当所有 \(\mathcal{F} \otimes_A A/\mathfrak m^n\) 都在 \(A/\mathfrak m^n\) 上平坦。这由《空间的态射进阶》引理 08VP 得出。

引理

在情形 08KB 中，假设 \(S\) 是局部 Noether 概形， \(S = B\)，且 \(f : X \to B\) 平坦。令 \(\mathcal{X} = \Cohstack_{X/B}\)。则 \(\mathcal{X}\) 满足通用性的开性（见《Artin 公理》定义 07XQ）。

证明

本证明基于《Artin 公理》引理 07YZ 的判据。设 \(U \to S\) 是概形的有限型态射，\(x\) 是 \(U\) 上 \(\mathcal{X}\) 的对象，\(u_0 \in U\) 是有限型点，并且 \(x\) 在 \(u_0\) 处通用。缩小 \(U\) 后，可以假设 \(u_0\) 是闭点（《态射》引理 01TA），并且 \(U = \Spec(A)\)，而 \(U \to S\) 的像包含在 \(S\) 的某个仿射开集 \(\Spec(\Lambda)\) 中。设 \(\mathcal{F}\) 是与给定对象 \(x\) 相应的 \(X_A = \Spec(A) \times_S X\) 上凝聚模，它在 \(A\) 上平坦。

由《形变理论》引理 08VW，有函子同构 \[T_x(M) = \Ext^1_{X_A}(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes_A M)\] 并且，对任意核 \(I\) 的平方为零的 \(\Lambda\)-代数满射 \(A' \to A\)，有障碍类 \[\xi_{A'} \in \Ext^2_{X_A}(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes_A I)\] 这里用到了：对上述任意 \(A' \to A\)，基变换 \(X_{A'} = \Spec(A') \times_B X\) 在 \(A'\) 上平坦。此外，由《形变理论》引理 0CYE，障碍类的构造关于满射 \(A' \to A\)（固定 \(A\)）具有函子性。把《空间的导出范畴》引理 08JR 应用于 Ext 群 \(\Ext^i_{X_A}(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes_A M)\) 在 \(i \leq m\)、\(m = 2\) 时的计算。得到完美对象 \(K \in D(A)\) 和函子同构 \[H^i(K \otimes_A^\mathbf{L} M) \longrightarrow \Ext^i_{X_A}(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes_A M)\] ，它们对 \(i \leq m\) 成立并与边缘映射相容。此对象 \(K\) 与上述同一一起给出《Artin 公理》情形 07YX 中的数据。最后，《Artin 公理》引理 07YY 的条件 (iv) 由《形变理论》引理 08VY 得出。所以确实可以应用《Artin 公理》引理 07YZ，引理得证。

证明

本证明基于《Artin 公理》引理 0CYF。该引理的条件 (1)、(2)、(3) 分别对应于引理 08W6、 08LQ 和 08KD。

我们已在形变理论一章中构造了障碍理论。具体地，给定 \(S\)-代数 \(A\)，以及由 \(X_A\) 上 \(\mathcal{F}\) 给出的 \(\Spec(A)\) 上 \(\Cohstack_{X/B}\) 的对象 \(x\)，置 \(\mathcal{O}_x(M) = \Ext^2_{X_A}(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes_A M)\) ；若 \(A' \to A\) 是核为 \(I\) 的满射，则取障碍元 \[o_x(A') = o(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes_A I, 1) \in \mathcal{O}_x(I) = \Ext^2_{X_A}(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes_A I)\] ，即《形变理论》引理 08VW 中的元素。除该定义的条件 (ii) 所述障碍类函子性之外，《Artin 公理》定义 07YG 中障碍理论的所有性质均由该引理得出。不过，正如《Artin 公理》引理 0CYF 的假设 (4) 脚注所述，只需对固定的 \(A\) 验证障碍类的函子性；这由《形变理论》引理 0CYE 得出。《形变理论》引理 08VW 还表明，对任意 \(A\)-模 \(M\)， \(T_x(M) = \Ext^1_{X_A}(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes_A M)\) 。

为完成证明，只需说明 \(T_x(\prod M_n) = \prod T_x(M_n)\) 以及 \(\mathcal{O}_x(\prod M_n) = \prod \mathcal{O}_x(M)\).

把《空间的导出范畴》引理 08JR 应用于 Ext 群 \(\Ext^i_{X_A}(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes_A M)\) 在 \(i \leq m\)、\(m = 2\) 时的计算。得到完美对象 \(K \in D(A)\) 和函子同构 \[H^i(K \otimes_A^\mathbf{L} M) \longrightarrow \Ext^i_{X_A}(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes_A M)\] ，其中 \(i = 1, 2\)。直接论证表明 \[H^i(K \otimes_A^\mathbf{L} \prod M_n) = \prod H^i(K \otimes_A^\mathbf{L} M_n)\] ，只要 \(K\) 是 \(D(A)\) 的伪凝聚对象。事实上，这一性质（对所有 \(i\)）刻画伪凝聚复形；见《代数进阶》引理 0CYB。

定理

设 \(S\) 是概形，\(f : X \to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。假设 \(f\) 有限表示、分离且平坦²。则 \(\Cohstack_{X/B}\) 是 \(S\) 上的代数叠。

证明

置 \(\mathcal{X} = \Cohstack_{X/B}\)。已经看到 \(\mathcal{X}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的群胚叠，其对角态射可由代数空间表示（引理 08KC 和 08W6）。因此只需找到概形 \(W\) 和满且光滑的态射 \(W \to \mathcal{X}\)。

设 \(B'\) 是概形，且 \(B' \to B\) 是满的 étale 态射。置 \(X' = B' \times_B X\)，并用 \(f' : X' \to B'\) 表示投影。则 \(\mathcal{X}' = \Cohstack_{X'/B'}\) 等于 \(\mathcal{X}\) 与同 \(B'\) 相联系的集合纤维化范畴，在同 \(B\) 相联系的集合纤维化范畴上的 \(2\)-纤维积（评注 08LP）。由《代数叠》第 03YJ 节，态射 \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) 满且 étale。因此只需对 \(\mathcal{X}'\) 证明结论。换言之，可以假设 \(B\) 是概形。

假设 \(B\) 是概形。此时可以用 \(B\) 替换 \(S\)；见《代数叠》第 04X4 节。故可假设 \(S = B\)。

假设 \(S = B\)。选取仿射开覆盖 \(S = \bigcup U_i\)。用 \(\mathcal{X}_i\) 表示 \(\mathcal{X}\) 在 \((\Sch/U_i)_{fppf}\) 上的限制。若能找到 \(U_i\) 上的概形 \(W_i\) 和满光滑态射 \(W_i \to \mathcal{X}_i\)，则置 \(W = \coprod W_i\)，便得到满光滑态射 \(W \to \mathcal{X}\)。因此可以假设 \(S = B\) 是仿射的。

假设 \(S = B\) 是仿射的，记 \(S = \Spec(\Lambda)\)。把 \(\Lambda = \colim \Lambda_i\) 写成滤过余极限，其中每个 \(\Lambda_i\) 都是 \(\mathbf{Z}\) 上有限型的。对某个 \(i\)，可找到代数空间的态射 \(X_i \to \Spec(\Lambda_i)\)，它有限表示、分离且平坦，其到 \(\Lambda\) 的基变换为 \(X\)。见《空间的极限》引理 07SK、 0851 和 08K0。若证明 \(\Cohstack_{X_i/\Spec(\Lambda_i)}\) 是代数叠，则由基变换（评注 08LP 和《代数叠》第 04X4 节）可知 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。因此可以假设 \(\Lambda\) 是有限型 \(\mathbf{Z}\)-代数。

假设 \(S = B = \Spec(\Lambda)\) 是 \(\mathbf{Z}\) 上有限型的仿射概形。此时验证《Artin 公理》引理 07Y4 的条件 (1)、(2)、(3)、(4)、 (5)，即可断定 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。注意，\(\Lambda\) 是 G-环；见《代数进阶》命题 07PX。因此 \(S\) 的所有局部环都是 G-环，故 (5) 成立。由引理 08WA，\(\mathcal{X}\) 满足通用性的开性，所以 (4) 成立。为验证 (2)，必须验证《Artin 公理》第 07XJ 节的公理 [-1]、[0]、[1]、[2]、[3]。略去 [-1] 的验证；公理 [0]、[1]、[2]、[3] 分别对应于引理 08KC、 08KD, 08LQ, 08W8. 条件 (3) 由引理 08W9 得出。最后，条件 (1) 即引理 08W6。这就完成了定理的证明。

非平坦情形下的凝聚层叠

定理 08WC 中关于 \(f : X \to B\) 平坦的假设并非必要。本节给出另一种证明：利用《空间上的平坦性》第 0CX3 节和《Artin 公理》第 0CXR 节的结果，既避开平坦性假设，也无需验证通用性的开性。

关于此问题的另一种处理方法，读者可参阅 [ArtinI]，并沿用论文 [olsson-starr]、[lieblich_remarks]、[olsson_proper]、 [Hall-Rydh]、[Hall-Rydh-Hilbert]、[rydh_representability] 中讨论的方法。其中一些论文处理代数叠上代数叠的凝聚层叠这一更一般的情形，另一些则处理 Hilbert 叠或 Quot 函子情形下的类似问题。我们的策略是从凝聚层叠的代数性推出某些 Hilbert 叠和 Quot 函子的代数性。

定理

设 \(S\) 是概形，\(f : X \to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。

假设 \(f\) 有限表示且分离。则 \(\Cohstack_{X/B}\) 是 \(S\) 上的代数叠。

证明

只有证明的最后一步与平坦情形不同，不过这里重述全部论证，以确保每一步都成立。

置 \(\mathcal{X} = \Cohstack_{X/B}\)。已经看到 \(\mathcal{X}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的群胚叠，其对角态射可由代数空间表示（引理 08KC 和 08W6）。因此只需找到概形 \(W\) 和满光滑态射 \(W \to \mathcal{X}\)。

设 \(B'\) 是概形，且 \(B' \to B\) 是满的 étale 态射。置 \(X' = B' \times_B X\)，并用 \(f' : X' \to B'\) 表示投影。则 \(\mathcal{X}' = \Cohstack_{X'/B'}\) 等于 \(\mathcal{X}\) 与同 \(B'\) 相联系的集合纤维化范畴，在同 \(B\) 相联系的集合纤维化范畴上的 \(2\)-纤维积（评注 08LP）。由《代数叠》第 03YJ 节，态射 \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) 满且 étale。因此只需对 \(\mathcal{X}'\) 证明结论。换言之，可以假设 \(B\) 是概形。

假设 \(B\) 是概形。此时可以用 \(B\) 替换 \(S\)；见《代数叠》第 04X4 节。故可假设 \(S = B\)。

假设 \(S = B\)。选取仿射开覆盖 \(S = \bigcup U_i\)。用 \(\mathcal{X}_i\) 表示 \(\mathcal{X}\) 在 \((\Sch/U_i)_{fppf}\) 上的限制。若能找到 \(U_i\) 上的概形 \(W_i\) 和满光滑态射 \(W_i \to \mathcal{X}_i\)，则置 \(W = \coprod W_i\)，便得到满光滑态射 \(W \to \mathcal{X}\)。因此可以假设 \(S = B\) 是仿射的。

假设 \(S = B\) 是仿射的，记 \(S = \Spec(\Lambda)\)。把 \(\Lambda = \colim \Lambda_i\) 写成滤过余极限，其中每个 \(\Lambda_i\) 都是 \(\mathbf{Z}\) 上有限型的。对某个 \(i\)，可找到分离且有限表示的代数空间态射 \(X_i \to \Spec(\Lambda_i)\)，其到 \(\Lambda\) 的基变换为 \(X\)。见《空间的极限》引理 07SK 和 0851。若证明 \(\Cohstack_{X_i/\Spec(\Lambda_i)}\) 是代数叠，则由基变换（评注 08LP 和《代数叠》第 04X4 节）可知 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。因此可以假设 \(\Lambda\) 是有限型 \(\mathbf{Z}\)-代数。

假设 \(S = B = \Spec(\Lambda)\) 是 \(\mathbf{Z}\) 上有限型的仿射概形。此时验证《Artin 公理》引理 07Y4 的条件 (1)、(2)、(3)、(4)、 (5)，即可断定 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。注意，\(\Lambda\) 是 G-环；见《代数进阶》命题 07PX。因此 \(S\) 的所有局部环都是 G-环，故 (5) 成立。为验证 (2)，必须验证《Artin 公理》第 07XJ 节的公理 [-1]、[0]、[1]、[2]、[3]。略去 [-1] 的验证；公理 [0]、[1]、[2]、[3] 分别对应于引理 08KC、 08KD, 08LQ, 08W8. 条件 (3) 即引理 08W9。条件 (1) 即引理 08W6。

还需证明条件 (4)，即通用性的开性。为此将使用《Artin 公理》引理 0CXU。已经看到 \(\mathcal{X}\) 的对角态射可由代数空间表示，并且它满足 (RS*) 且保极限（见上面用到的引理）。因此只需证明 \(\mathcal{X}\) 满足《Artin 公理》引理 0CXU 中所述的强形式有效性。这正是《空间上的平坦性》定理 0CXB，证明完毕。

商函子

本节讨论下面定义的函子 \(Q_{\mathcal{F}/X/B}\) 的若干一般性质。记号 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\) 留给 \(\text{Q}_{\mathcal{F}/X/B}\) 的一个子函子。建议初次阅读时跳过本节。

情形

设 \(S\) 是概形，\(f : X \to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射， \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。对任意 \(B\) 上概形 \(T\)，用 \(X_T\) 表示 \(X\) 到 \(T\) 的基变换，用 \(\mathcal{F}_T\) 表示 \(\mathcal{F}\) 沿投影态射 \(X_T = X \times_B T \to X\) 的拉回。对这样的 \(T\)，置 \[\text{Q}_{\mathcal{F}/X/B}(T) = \left\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\text{ 的商，其中 }\mathcal{Q} \text{ 是在 }T\text{ 上平坦的}\\ \text{拟凝聚 }\mathcal{O}_{X_T}\text{-模} \end{matrix} \right\}\] 若两个商具有相同的核，便将它们视为同一。设 \(T' \to T\) 是 \(B\) 上概形的态射，且 \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\) 是 \(\text{Q}_{\mathcal{F}/X/B}(T)\) 的元素。由《空间的态射》引理 05VW，拉回 \(\mathcal{Q}' = (X_{T'} \to X_T)^*\mathcal{Q}\) 是在 \(T'\) 上平坦的拟凝聚 \(\mathcal{O}_{X_{T'}}\)-模。因此得到函子 [082N]\[\begin{equation} \text{Q}_{\mathcal{F}/X/B} : (\Sch/B)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets} \end{equation}\] 这称为\(\mathcal{F}/X/B\) 的商函子。再定义子函子 [0CZL]\[\begin{equation} \text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/B} : (\Sch/B)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets} \end{equation}\] ：它把 \(T\) 映到 \(\text{Q}_{\mathcal{F}/X/B}(T)\) 中由如下商 \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\) 组成的子集，即 \(\mathcal{Q}\) 作为 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-模有限表示。由《空间的性质》第 05VR 节，这是子函子。

在情形 082M 中，有时把 \(\text{Q}_{\mathcal{F}/X/B}\) 看作函子

\((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\)，它配有态射 \(\text{Q}_{\mathcal{F}/X/S} \to B\)。具体地，若 \(T\) 是 \(S\) 上的概形，则 \(\text{Q}_{\mathcal{F}/X/B}(T)\) 的一个元素是一对 \((h, \mathcal{Q})\)，其中

\(h\) 是态射 \(h : T \to B\)，而 \(\mathcal{Q}\) 是 \(X_T = X \times_{B, h} T\) 上有限表示的、在 \(T\) 上平坦的商

\(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\)。特别地，当我们说 \(\text{Q}_{\mathcal{F}/X/S}\) 是代数空间时，是指相应函子 \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\) 是代数空间。类似评注也适用于 \(\text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}\)。

注

在情形 082M 中，设 \(B' \to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。置 \(X' = X \times_B B'\)，并用 \(\mathcal{F}'\) 表示 \(\mathcal{F}\) 到 \(X'\) 的拉回。于是有 \(B'\) 上概形范畴上的函子 \(Q_{\mathcal{F}'/X'/B'}\)。对 \(B'\) 上概形 \(T\)，显然有 \[Q_{\mathcal{F}'/X'/B'}(T) = Q_{\mathcal{F}/X/B}(T)\] ，其中右边把 \(T\) 通过复合 \(T \to B' \to B\) 看作 \(B\) 上的概形。类似评注也适用于 \(\text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}\)。这些简单评注有时可用于更换基代数空间。

注

设 \(S\) 是概形，\(X\) 是 \(S\) 上的代数空间，\(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设 \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) 是 fpqc 覆盖，并且对每个 \(i, j \in I\)，给定 fpqc 覆盖 \(\{X_{ijk} \to X_i \times_X X_j\}\)。此时有双射 \[\left\{ \begin{matrix} \mathcal{F} \to \mathcal{Q}\text{ 的商，其中 }\\ \mathcal{Q}\text{ 是拟凝聚的}\\ \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{商族 }f_i^*\mathcal{F} \to \mathcal{Q}_i \text{，其中 }\\ \mathcal{Q}_i\text{ 是拟凝聚的，且 } \mathcal{Q}_i\text{ 与 }\mathcal{Q}_j\\ \text{在 }X_{ijk}\text{ 上限制为同一个商} \end{matrix} \right\}\] 具体地，设 \((f_i^*\mathcal{F} \to \mathcal{Q}_i)_{i \in I}\) 是右边的元素。由于 \(\{X_{ijk} \to X_i \times_X X_j\}\) 是 fpqc 覆盖，可知 \(\mathcal{Q}_i\) 和 \(\mathcal{Q}_j\) 的拉回，限制为 \(\mathcal{F}\) 到 \(X_i \times_X X_j\) 的拉回的同一个商（由

《空间上的下降》命题 04W8 中的全忠实性）。因此得到拟凝聚模关于 \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) 的下降数据。由《空间上的下降》命题 04W8 ，可找到拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{Q}\)，其在 \(X_i\) 上的限制恢复给定映射 \(f_i^*\mathcal{F} \to \mathcal{Q}_i\)。由于态射族 \(\{X_i \to X\}\) 联合满且平坦，对每个点 \(x \in |X|\)，存在某个 \(i\) 和点 \(x_i \in |X_i|\) 映到 \(x\)。注意，所诱导的局部环映射 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \to \mathcal{O}_{X_i, \overline{x_i}}\) 忠实平坦；见《空间的态射》第 03MK 节。因此 \(\mathcal{F} \to \mathcal{Q}\) 是满射。

引理

在情形 082M 中，函子

\(\text{Q}_{\mathcal{F}/X/B}\) 和 \(\text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}\) 满足 fpqc 拓扑的层条件。

证明

设 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 \(S\) 上概形的 fpqc 覆盖。

置 \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\) 和 \(\mathcal{F}_i = \mathcal{F}_{T_i}\)。注意， \(\{X_i \to X_T\}_{i \in I}\) 是 \(X_T\) 的 fpqc 覆盖（《空间上的拓扑》引理 03MR），并且 \(X_{T_i \times_T T_{i'}} = X_i \times_{X_T} X_{i'}\)。设 \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{Q}_i\) 是 \(\text{Q}_{\mathcal{F}/X/B}(T_i)\) 的一族元素，并且 \(\mathcal{Q}_i\) 和 \(\mathcal{Q}_{i'}\) 在 \(\text{Q}_{\mathcal{F}/X/B}(T_i \times_T T_{i'})\) 中限制为同一元素。由评注 08IU，得到拟凝聚 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-模的满射 \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\)，其在 \(X_i\) 上的限制恢复给定的商。由《空间的态射》引理 05VY，\(\mathcal{Q}\) 在 \(T\) 上平坦。最后，在 \(\text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}\) 的情形，即若 \(\mathcal{Q}_i\) 有限表示，则《空间上的下降》引理 060V 保证 \(\mathcal{Q}\) 作为 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-模有限表示。

一致性检验：\(\text{Q}_{\mathcal{F}/X/B}\)、 \(\text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}\) 在 \(S\) 上代数空间之间起着同样的作用。

引理

在情形 082M 中，设 \(T\) 是 \(S\) 上的代数空间。

则 \[\Mor_{\Sh((\Sch/S)_{fppf})}(T, \text{Q}_{\mathcal{F}/X/B}) = \left\{ \begin{matrix} (h, \mathcal{F}_T \to \mathcal{Q})\text{，其中 } h : T \to B\text{，且}\\ \mathcal{Q}\text{ 是拟凝聚的并在 T 上平坦} \end{matrix} \right\}\] ，其中 \(\mathcal{F}_T\) 表示 \(\mathcal{F}\) 到代数空间 \(X \times_{B, h} T\) 的拉回。类似地，有 \[\Mor_{\Sh((\Sch/S)_{fppf})}(T, \text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}) = \left\{ \begin{matrix} (h, \mathcal{F}_T \to \mathcal{Q})\text{，其中 } h : T \to B\text{，且}\\ \mathcal{Q}\text{ 有限表示并在 T 上平坦} \end{matrix} \right\}\]

证明

选取概形 \(U\) 和满的 étale 态射 \(p : U \to T\)。令 \(R = U \times_T U\)，其投影为 \(t, s : R \to U\)。

设 \(v : T \to \text{Q}_{\mathcal{F}/X/B}\) 是自然变换。则 \(v(p)\) 对应于 \(U\) 上的一对 \((h_U, \mathcal{F}_U \to \mathcal{Q}_U)\)。由于 \(v\) 是函子间的变换， \((h_U, \mathcal{F}_U \to \mathcal{Q}_U)\) 沿 \(s\) 和 \(t\) 的拉回相同。由于 \(T = U/R\)（《空间》引理 0262），得到态射 \(h : T \to B\) 满足 \(h_U = h \circ p\)。由《空间上的下降》命题 04W8 ，商 \(\mathcal{Q}_U\) 下降为 \(X_T\) 上的商 \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\)。由于 \(U \to T\) 满且平坦，由《空间的态射》引理 05VY， \(\mathcal{Q}\) 在 \(T\) 上平坦。

反之，设 \((h, \mathcal{F}_T \to \mathcal{Q})\) 是 \(T\) 上的一对。把态射 \(a : T' \to T\)（其中 \(T'\) 是概形）映到 \((h \circ a, \mathcal{F}_{T'} \to a^*\mathcal{Q})\)，便得到自然变换 \(v : T \to \text{Q}_{\mathcal{F}/X/B}\)。略去验证本段与前段的构造互为逆构造。

在 \(\text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}\) 的情形还需补充：给定态射 \(h : T \to B\)，\(X_T\) 上的拟凝聚层作为 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-模有限表示，当且仅当其到 \(X_U\) 的拉回作为 \(\mathcal{O}_{X_U}\)-模有限表示。这由 \(X_U \to X_T\) 满且 étale 以及《空间上的下降》引理 060V 得出。

引理

在情形 082M 中，设 \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) 是 fpqc 覆盖，并且对每个 \(i, j \in I\)，设 \(\{X_{ijk} \to X_i \times_X X_j\}\) 是 fpqc 覆盖。用 \(\mathcal{F}_i\)、相应地 \(\mathcal{F}_{ijk}\) 表示 \(\mathcal{F}\) 到 \(X_i\)、相应地到 \(X_{ijk}\) 的拉回。对每个 \(B\) 上概形 \(T\)，图 \[\xymatrix{ Q_{\mathcal{F}/X/B}(T) \ar[r] & \prod\nolimits_i Q_{\mathcal{F}_i/X_i/B}(T) \ar@<1ex>[r]^-{\text{pr}_0^*} \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_1^*} & \prod\nolimits_{i, j, k} Q_{\mathcal{F}_{ijk}/X_{ijk}/B}(T) }\] 把第一条箭头表示为后两条箭头的等化子。对函子 \(\text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}\)，同一结论成立。

证明

设 \(\mathcal{F}_{i, T} \to \mathcal{Q}_i\) 是 \(\text{pr}_0^*\) 与 \(\text{pr}_1^*\) 的等化子中的元素。由评注 08IU，得到拟凝聚 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-模的满射 \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\)，其在 \(X_{i, T}\) 上的限制恢复 \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{Q}_i\)。由《空间的态射》引理 05VY，\(\mathcal{Q}\) 如所需在 \(T\) 上平坦。在函子 \(\text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}\) 的情形，即若 \(\mathcal{Q}_i\) 有限表示，则 \(\mathcal{Q}\) 也有限表示；这由《空间上的下降》引理 060V 得出。

引理

在情形 082M 中，进一步假设 (a) \(f\) 拟紧且拟分离；并且 (b) \(\mathcal{F}\) 有限表示。则函子 \(\text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}\) 在如下意义下保极限：若 \(T = \lim T_i\) 是 \(B\) 上仿射概形的有向极限，则 \(\text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}(T) = \colim \text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}(T_i)\).

证明

设 \(T = \lim T_i\) 如引理所述。选取 \(i_0 \in I\)，并用 \(\{i \in I \mid i \geq i_0\}\) 替换 \(I\)。可以置 \(B = S = T_{i_0}\)，用 \(X_{T_0}\) 替换 \(X\)，并用到 \(X_{T_0}\) 的

拉回替换 \(\mathcal{F}\)。于是 \(X_T = \lim X_{T_i}\)；见《空间的极限》引理 07SF. 设 \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\) 是 \(\text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}(T)\) 的元素。由《空间的极限》引理 07V7 ，存在某个 \(i\) 以及有限表示 \(\mathcal{O}_{X_{T_i}}\)-模的映射 \(\mathcal{F}_{T_i} \to \mathcal{Q}_i\)，其到 \(X_T\) 的拉回就是给定商映射。

还需验证：适当增大 \(i\) 后，映射 \(\mathcal{F}_{T_i} \to \mathcal{Q}_i\) 满，并且 \(\mathcal{Q}_i\) 在 \(T_i\) 上平坦。为此，选取仿射概形 \(U\) 和满的 étale 态射 \(U \to X\)（见《空间的性质》引理 03H6）。按定义，可以在拉回到 étale 覆盖 \(U_{T_i} \to X_{T_i}\) 后检验满性和在 \(T_i\) 上的平坦性。这把问题归约到如下情形：\(X = \Spec(B_0)\) 是 \(B = S = T_0 = \Spec(A_0)\) 上有限表示的仿射概形。写 \(T_i = \Spec(A_i)\)，则 \(T = \Spec(A)\)，其中 \(A = \colim A_i\)。于是得到如下代数问题。设 \(M_i \to N_i\) 是有限表示 \(B_0 \otimes_{A_0} A_i\)-模的映射，使得 \(M_i \otimes_{A_i} A \to N_i \otimes_{A_i} A\) 满，并且 \(N_i \otimes_{A_i} A\) 在 \(A\) 上平坦。证明：对某个 \(i' \geq i\)， \(M_i \otimes_{A_i} A_{i'} \to N_i \otimes_{A_i} A_{i'}\) 满，且

\(N_i \otimes_{A_i} A_{i'}\) 在 \(A\) 上平坦。前者由《代数》引理 05LI 得出，后者由《代数》引理 02JO 得出。

引理

在情形 082M 中，设

\[\xymatrix{ Z \ar[r] \ar[d] & Z' \ar[d] \\ Y \ar[r] & Y' }\] 是 \(B\) 上概形范畴中的推出，其中 \(Z \to Z'\) 是加厚，\(Z \to Y\) 是仿射态射；见《态射进阶》引理 07RT。则自然映射 \[Q_{\mathcal{F}/X/B}(Y') \longrightarrow Q_{\mathcal{F}/X/B}(Y) \times_{Q_{\mathcal{F}/X/B}(Z)} Q_{\mathcal{F}/X/B}(Z')\] 是双射。若 \(X \to B\) 局部有限表示，则对 \(Q^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}\) 同一结论成立。

证明

下面构造逆映射。假设有 \(\mathcal{F}_Y \to \mathcal{A}\)、 \(\mathcal{F}_{Z'} \to \mathcal{B}'\) 以及同构 \(\mathcal{A}|_{X_Z} \to \mathcal{B}'|_{X_Z}\) ，它与给定满射相容。应用《空间的推出》引理 08KV ，得到 \(X_{Y'}\) 上在 \(Y'\) 上平坦的拟凝聚模 \(\mathcal{A}'\)。由于该层构造为纤维积（见所引引理的证明），有典范映射 \(\mathcal{F}_{Y'} \to \mathcal{A}'\)。该映射为满射，因为它分解为 \[\begin{matrix} \mathcal{F}_{Y'} \\ \downarrow \\ (X_Y \to X_{Y'})_*\mathcal{F}_Y \times_{(X_Z \to X_{Y'})_*\mathcal{F}_Z} (X_{Z'} \to X_{Y'})_*\mathcal{F}_{Z'} \\ \downarrow \\ \mathcal{A}' = (X_Y \to X_{Y'})_*\mathcal{A} \times_{(X_Z \to X_{Y'})_*\mathcal{A}|_{X_Z}} (X_{Z'} \to X_{Y'})_*\mathcal{B}' \end{matrix}\] ，其中第一条箭头由《代数进阶》引理 08IG 为满射，第二条箭头由《代数进阶》引理 08KJ 为满射。

在 \(Q^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}\) 的情形，只需证明上述构造产生有限表示模。这在交换代数语境下由《代数进阶》评注 08KR 说明。代数空间上模的当前情形由此经 étale 局部化得出。

注

在情形 082M 中，假设 \(\mathcal{F}\) 在 \(B\) 上平坦。设 \(T \subset T'\) 是 \(B\) 上概形的一阶加厚，其理想层为

\(\mathcal{J}\)。则 \(X_T \subset X_{T'}\) 是代数空间的一阶加厚，其理想层 \(\mathcal{I}\) 是 \(f_T^*\mathcal{J}\) 的商。利用《空间的态射进阶》第 05ZJ 节所述的基本等价，把 \(X_{T'}\) 上、相应地 \(T'\) 上的层看作 \(X_T\) 上、相应地 \(T\) 上的层。设 \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}_T \to \mathcal{Q} \to 0\] 定义 \(Q_{\mathcal{F}/X/B}(T)\) 的元素 \(x\)。由于 \(\mathcal{F}_{T'}\) 在 \(T'\) 上平坦，有短正合列 \[0 \to f_T^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_{X_T}} \mathcal{F}_T \xrightarrow{i} \mathcal{F}_{T'} \xrightarrow{\pi} \mathcal{F}_T \to 0\] ，并且有 \(f_T^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_{X_T}} \mathcal{F}_T = \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_{X_T}} \mathcal{F}_T\)；见《形变理论》引理 08MQ。对 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-模 \(\mathcal{G}\)，采用简写 \(f_T^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_{X_T}} \mathcal{G} = \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_T} \mathcal{J}\) 。由于 \(\mathcal{Q}\) 在 \(T\) 上平坦，得到短正合列 \[0 \to \mathcal{K} \otimes_{\mathcal{O}_T} \mathcal{J} \to \mathcal{F}_T \otimes_{\mathcal{O}_T} \mathcal{J} \to \mathcal{Q} \otimes_{\mathcal{O}_T} \mathcal{J} \to \to 0\]

结合以上结果，得到典范扩张

\[0 \to \mathcal{Q} \otimes_{\mathcal{O}_T} \mathcal{J} \to \pi^{-1}(\mathcal{K})/i(\mathcal{K} \otimes_{\mathcal{O}_T} \mathcal{J}) \to \mathcal{K} \to 0\] ，它是 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-模的扩张。这定义典范类 \[o_x(T') \in \Ext^1_{\mathcal{O}_{X_T}}(\mathcal{K}, \mathcal{Q} \otimes_{\mathcal{O}_T} \mathcal{J})\] 若 \(o_x(T')\) 为零，则定义它的短正合列分裂；换言之，得到 \(\mathcal{O}_{X_{T'}}\)-子模 \(\mathcal{K}' \subset \pi^{-1}(\mathcal{K})\)，它位于短正合列 \(0 \to \mathcal{K} \otimes_{\mathcal{O}_T} \mathcal{J} \to \mathcal{K}' \to \mathcal{K} \to 0\). 由上面所引的引理可知

\(\mathcal{Q}' = \mathcal{F}_{T'}/\mathcal{K}'\) 是 \(x\) 到 \(Q_{\mathcal{F}/X/B}(T')\) 中元素的提升。反之，容易看出，提升的存在性蕴含 \(o_x(T')\) 为零。此外，若 \(x \in Q_{\mathcal{F}/X/B}^{fp}(T)\)，则由《形变理论》引理 08VU，自动有 \(x' \in Q_{\mathcal{F}/X/B}^{fp}(T')\)。若以后需要此评注，我们会把它改写为引理，精确表述结果并给出详细证明（事实上，以上全部论证在任意环化拓扑斯的语境下都成立）。

注

在情形 082M 中，假设 \(\mathcal{F}\) 在 \(B\) 上平坦。继续评注 0CZU 的讨论。假设 \(o_x(T') = 0\)。我们断言，提升 \(x' \in Q_{\mathcal{F}/X/B}(T')\) 所成的集合是群 \[\Hom_{\mathcal{O}_{X_T}}(\mathcal{K}, \mathcal{Q} \otimes_{\mathcal{O}_T} \mathcal{J})\] 下的主齐性空间。具体地，给定在 \(T'\) 上平坦且提升商 \(\mathcal{Q}\) 的任意 \(\mathcal{F}_{T'} \to \mathcal{Q}'\)，得到行列均正合的交换图 \[\xymatrix{ & 0 \ar[d] & 0 \ar[d] & 0 \ar[d] \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \otimes \mathcal{J} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}_T \otimes \mathcal{J} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{Q} \otimes \mathcal{J} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}_{T'} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{Q}' \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{F}_T \ar[d] \ar[r] & \mathcal{Q} \ar[d] \ar[r] & 0 \\ & 0 & 0 & 0 }\] （为说明此点，使用前一评注中的观察）。给定映射 \(\varphi : \mathcal{K} \to \mathcal{Q} \otimes \mathcal{J}\)，考虑子层 \(\mathcal{K}'_\varphi \subset \mathcal{F}_{T'}\)：它由如下局部截面 \(s\) 组成，其在 \(\mathcal{F}_T\) 中的像是 \(\mathcal{K}\) 的局部截面 \(k\)，而在 \(\mathcal{Q}'\) 中的像是 \(\mathcal{Q} \otimes \mathcal{J}\) 的局部截面 \(\varphi(k)\)。再置 \(\mathcal{Q}'_\varphi = \mathcal{F}_{T'}/\mathcal{K}'_\varphi\)。反之，\(x\) 的任意第二个提升都对应于以此方式构造的一个商。

若以后需要此评注，我们会把它改写为引理，精确表述结果并给出详细证明（事实上，以上全部论证在任意环化拓扑斯的语境下都成立）。

Quot 函子

本节证明 Quot 函子是代数空间。

情形

设 \(S\) 是概形，\(f : X \to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。假设 \(f\) 有限表示。设 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。对任意 \(B\) 上概形 \(T\)，用 \(X_T\) 表示 \(X\) 到 \(T\) 的基变换，用 \(\mathcal{F}_T\) 表示 \(\mathcal{F}\) 沿投影态射 \(X_T = X \times_S T \to X\) 的拉回。对这样的 \(T\)，置 \[\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}(T) = \left\{ \begin{matrix} \text{商 }\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\text{，其中 }\mathcal{Q} \text{ 是拟凝聚的}\\ \mathcal{O}_{X_T}\text{-模，在 }T\text{ 上有限表示且平坦}\\ \text{其支撑在 }T\text{ 上真} \end{matrix} \right\}\] 由《空间的导出范畴》引理 0CZJ ，这是我们在第 082L 节讨论的函子 \(Q^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}\) 的子函子。于是得到函子 [09TS]\[\begin{equation} \Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} : (\Sch/B)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets} \end{equation}\] 这称为与 \(\mathcal{F}/X/B\) 相联系的Quot 函子。

在情形 09TR 中，有时把 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\) 看作函子 \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\)，它配有态射 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to B\)。具体地，若 \(T\) 是 \(S\) 上的概形，则 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}(T)\) 的一个元素是一对 \((h, \mathcal{Q})\)，其中 \(h\) 是态射 \(h : T \to B\)，而 \(Q\) 是 \(X_T = X \times_{B, h} T\) 上有限表示、在 \(T\) 上平坦、且支撑在 \(T\) 上真的商 \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\)。特别地，当我们说 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\) 是代数空间时，是指相应函子 \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\) 是代数空间。

引理

在情形 09TR 中，函子 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\) 满足 fpqc 拓扑的层条件。

证明

在引理 082P 中已经看到，函子 \(\text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/S}\) 是层。回忆，对 \(S\) 上概形 \(T\)，子集 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/S}(T) \subset \text{Q}_{\mathcal{F}/X/S}(T)\) 选出支撑在 \(T\) 上真的商。由《空间上的下降》引理 0422 与《空间的态射》引理 089C 的结果，这定义了一个子层；后一个引理表明取概形论支撑与平坦基变换可交换。

一致性检验：\(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\) 在 \(S\) 上代数空间之间起着同样的作用。

引理

在情形 09TR 中，设 \(T\) 是 \(S\) 上的代数空间。 \[\Mor_{\Sh((\Sch/S)_{fppf})}(T, \Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}) = \left\{ \begin{matrix} (h, \mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}) \text{，其中 } h : T \to B \text{ 且}\\ \mathcal{Q}\text{ 有限表示且}\\ \text{在 }T\text{ 上平坦且支撑在 }T\text{ 上真} \end{matrix} \right\}\] 其中 \(\mathcal{F}_T\) 表示 \(\mathcal{F}\) 到代数空间 \(X \times_{B, h} T\) 的拉回。

证明

注意，等式左右两边分别是引理 0D3U 中第二个等式左右两边的子集。为看出这些子集在该引理证明给出的识别下相对应，只需证明：给定 \(h : T \to B\)、满的 étale 态射 \(U \to T\) 和有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-模 \(\mathcal{Q}\)，下列条件等价：

\(\mathcal{Q}\) 的概形论支撑在 \(T\) 上真；以及

\((X_U \to X_T)^*\mathcal{Q}\) 的概形论支撑在 \(U\) 上真。

这由《空间上的下降》引理 0422 与《空间的态射》引理 089C 得出；后者表明取概形论支撑与平坦基变换可交换。

命题

设 \(S\) 是概形。设 \(f : X \to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的拟凝聚层。若 \(f\) 有限表示且分离，则 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\) 是代数空间。若 \(\mathcal{F}\) 有限表示，则 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to B\) 在局部上有限表示。

证明

由引理 09TT，我们知道 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\) 是 fppf 拓扑中的层。令 \(\textit{Quot}_{\mathcal{F}/X/B}\) 为与 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/S}\) 对应的群胚叠，见《代数叠》第 04SU 节。由《代数叠》命题 04SZ，只需证明 \(\textit{Quot}_{\mathcal{F}/X/B}\) 是代数叠。考虑群胚叠的 \(1\)-态射 \[\textit{Quot}_{\mathcal{F}/X/S} \longrightarrow \Cohstack_{X/B}\] 它在 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上把商 \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\) 关联到模 \(\mathcal{Q}\)。由定理 09DS，我们知道 \(\Cohstack_{X/B}\) 是代数叠。由《代数叠》引理 05UM，只需证明此 \(1\)-态射可由代数空间表示。

设 \(T\) 是 \(S\) 上的概形，且 \(\Cohstack_{X/B}\) 在 \(T\) 上的对象 \((h, \mathcal{G})\) 对应于 \(1\)-态射 \(\xi : (\Sch/T)_{fppf} \to \Cohstack_{X/B}\)。其 \(2\)-纤维积 \[\mathcal{Z} = (\Sch/T)_{fppf} \times_{\xi, \Cohstack_{X/B}} \textit{Quot}_{\mathcal{F}/X/S}\] 是集合胚中的叠，见《叠》引理 05UI。相应的集合层（即函子，见《叠》引理 05UI 和 0430）把概形 \(T'/T\) 关联到 \(X_{T'}\) 上拟凝聚模的满射 \(u : \mathcal{F}_{T'} \to \mathcal{G}_{T'}\) 的集合。因此，\(\mathcal{Z}\) 可由代数空间 \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}_T, \mathcal{G})\) 的一个开子空间表示（由《空间上的平坦性》引理 09TP），该代数空间来自命题 08K6。

注

设 \(S\) 是局部环全为 G-环的 Noether 概形。设 \(X\) 是 \(S\) 上的代数空间，其结构态射 \(f : X \to S\) 有限表示且分离。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上有限表示的拟凝聚层，且在 \(S\) 上平坦。本备注概述如何使用 Artin 公理证明 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/S}\) 是在 \(S\) 上局部有限表示的代数空间，从而无需像命题 09TU 的证明那样使用凝聚层叠的代数性。

我们检查《Artin 公理》命题 07Y1 中所列的条件。 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/S}\) 的对角态射可表示性可如下看出：设有两个商 \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}_i\)，\(i = 1, 2\)。记第一个商的核为 \(\mathcal{K}_1\)。那么需要证明使 \(u : \mathcal{K}_1 \to \mathcal{Q}_2\) 变为零的 \(T\) 的轨迹是可表示的。例如，这可由《空间上的平坦性》引理 083M 或本章前面对 \(\mathit{Hom}\) 层的讨论得到。公理 [0]（层）、[1]（极限）、 [2]（Rim–Schlessinger）由引理 09TT、 082Q 和 08IW 得到（再加上处理真性条件的一些额外工作）。公理 [3]（切空间有限维）由备注 0CZV 中对无穷小形变的描述，以及域上真代数空间中凝聚层上同调的有限性（《空间的上同调》引理 08AR）得到。公理 [4]（形式对象的有效性）由 Grothendieck 存在性定理（《空间态射补充》定理 08BE）得到。通常最难验证的是公理 [5]（通用性的开性）。例如，可以使用备注 0CZU 中描述的障碍理论和备注 0CZV 中的形变描述，再利用《Artin 公理》引理 0CYF 中的判据来完成。请与引理 08WA 的第二个证明比较。

Hilbert 函子

本节证明 Hilb 函子是代数空间。

情形

设 \(S\) 是概形。设 \(f : X \to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。假设 \(f\) 有限表示。对 \(B\) 上任意概形 \(T\)，用 \(X_T\) 表示 \(X\) 到 \(T\) 的基变换。对这样的 \(T\)，置 \[\Hilbfunctor_{X/B}(T) = \left\{ \begin{matrix} \text{闭子空间 }Z \subset X_T\text{，使得 }Z \to T\\ \text{有限表示、平坦且真} \end{matrix} \right\}\] 由于基变换保持所需性质（《空间》引理 02YW 以及《空间的态射》引理 03XR, 03MO 和 04WP），得到函子 [0CZZ]\[\begin{equation} \Hilbfunctor_{X/B} : (\Sch/B)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets} \end{equation}\] 这称为与 \(X/B\) 相联系的 Hilbert 函子。

在情形 0CZY 中，有时把 \(\Hilbfunctor_{X/B}\) 看作函子 \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\)，它配有态射 \(\Hilbfunctor_{X/S} \to B\)。具体地，若 \(T\) 是 \(S\) 上的概形，则 \(\Hilbfunctor_{X/B}(T)\) 的一个元素是一对 \((h, Z)\)，其中 \(h\) 是态射 \(h : T \to B\)，且 \(Z \subset X_T = X \times_{B, h} T\) 是闭子概形，在 \(T\) 上平坦、真且有限表示。特别地，当我们说 \(\Hilbfunctor_{X/B}\) 是代数空间时，是指相应函子 \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\) 是代数空间。

当然，Hilbert 函子只是 Quot 函子的特例。

引理

在情形 0CZY 中，有 \(\Hilbfunctor_{X/B} = \Quotfunctor_{\mathcal{O}_X/X/B}\).

证明

设 \(T\) 是 \(B\) 上的概形。给定 \(Z \in \Hilbfunctor_{X/B}(T)\)，考虑商 \(\mathcal{O}_{X_T} \to i_*\mathcal{O}_Z\)，其中 \(i : Z \to X_T\) 是包含态射。注意，\(i_*\mathcal{O}_Z\) 是拟凝聚的。由于 \(Z \to T\) 和 \(X_T \to T\) 都有限表示，我们看到 \(i\) 有限表示（《空间的态射》引理 05WT）， \(i_*\mathcal{O}_Z\) 是有限表示的 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-模（《空间上的下降》引理 0610). 由于 \(Z \to T\) 真，我们看到 \(i_*\mathcal{O}_Z\) 的支撑在 \(T\) 上真（按《空间的导出范畴》第 0CZB). 由于 \(\mathcal{O}_Z\) 在 \(T\) 上平坦且 \(i\) 仿射，我们看到 \(i_*\mathcal{O}_Z\) 在 \(T\) 上平坦（略去一个小论证）。因此 \(\mathcal{O}_{X_T} \to i_*\mathcal{O}_Z\) 是 \(\Quotfunctor_{\mathcal{O}_X/X/B}(T)\) 的元素。

反之，给定 \(\Quotfunctor_{\mathcal{O}_X/X/B}(T)\) 的元素 \(\mathcal{O}_{X_T} \to \mathcal{Q}\)，考虑与拟凝聚理想层 \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_{X_T} \to \mathcal{Q})\) 相对应的闭浸入 \(i : Z \to X_T\) （《空间的态射》引理 03MB）。由 \(Z\) 的构造，\(\mathcal{Q} = i_*\mathcal{O}_Z\)。于是反向阅读上面的论证可知，\(Z\) 给出 \(\Hilbfunctor_{X/B}(T)\) 的一个元素。例如，\(\mathcal{I}\) 是有限型拟凝聚的（《站点上的模》引理 082T) 因此 \(i : Z \to X_T\) 有限表示（《空间的态射》引理 084Q) 从而 \(Z \to T\) 有限表示（《空间的态射》引理 03XQ). 由《空间的导出范畴》第 0CZB 节中所述，\(Z \to T\) 为真。 \(Z \to T\) 的平坦性由 \(\mathcal{Q}\) 在 \(T\) 上的平坦性推出。

我们略去验证上述两个构造互为逆构造（这是直接的）。

一致性检验：\(\Hilbfunctor_{X/B}\) 的层在 \(S\) 上的代数空间之间起着同样的作用。

引理

在情形 0CZY 中，设 \(T\) 是 \(S\) 上的代数空间。我们有 \[\Mor_{\Sh((\Sch/S)_{fppf})}(T, \Hilbfunctor_{X/B}) = \left\{ \begin{matrix} (h, Z)\text{，其中 }h : T \to B,\ Z \subset X_T \\ \text{在 }T\text{ 上有限表示、平坦且真} \end{matrix} \right\}\] 其中 \(X_T = X \times_{B, h} T\)。

证明

由引理 0D00，有 \(\Hilbfunctor_{X/B} = \Quotfunctor_{\mathcal{O}_X/X/B}\)。因此可应用引理 0D3V，看出左边与如下满射的集合一一对应：\(\mathcal{O}_{X_T} \to \mathcal{Q}\)，它们有限表示、在 \(T\) 上平坦且支撑在 \(T\) 上真。完全按照引理 0D00 的证明，我们看到这些商恰好对应于满足 \(Z \to T\) 真、平坦且有限表示的闭浸入 \(Z \to X_T\)。

命题

设 \(S\) 是概形。设 \(f : X \to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。若 \(f\) 有限表示且分离，则 \(\Hilbfunctor_{X/B}\) 是在 \(B\) 上局部有限表示的代数空间。

证明

这立即由引理 0D00 和命题 09TU 推出。

Picard 叠

代数空间态射的 Picard 叠见《叠的例子》第 0372 节。下面的引理将推出，在良好情形下，它是凝聚层叠的一个开子叠。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(f : X \to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射，且平坦、有限表示并且真。自然映射 \[\Picardstack_{X/B} \longrightarrow \Cohstack_{X/B}\] 可表示为开浸入。

证明

注意，该映射只是把《叠的例子》第 0372 节中的三元组 \((T, g, \mathcal{L})\) 送到同一个三元组 \((T, g, \mathcal{L})\)，但现在把它视为情形 08KB 所述类型的三元组。之所以可行，是因为可逆的 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-模 \(\mathcal{L}\) 显然是有限表示的 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-模；它在 \(T\) 上平坦，因为 \(X_T \to T\) 平坦；并且其支撑在 \(T\) 上为真，因为 \(X_T \to T\) 为真（《空间的态射》引理 03MO 和 04WP）。因此陈述是有意义的。

说到这里，显然引理的内容如下：给定 \(\Cohstack_{X/B}\) 的对象 \((T, g, \mathcal{F})\)，存在开子概形 \(U \subset T\)，使得对于概形态射 \(T' \to T\)，下列条件等价：

\(T' \to T\) 经由 \(U\) 分解；

\(\mathcal{F}\) 沿 \(X_{T'} \to X_T\) 拉回所得的 \(\mathcal{F}_{T'}\) 是可逆的。

令 \(W \subset |X_T|\) 为点 \(x \in |X_T|\) 的集合，其中 \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 的某个邻域内局部自由。由《空间的态射进阶》引理 0CZT. ，\(W\) 是开集，且 \(W\) 的构造与任意基变换相容。显然，若 \(T' \to T\) 满足 (b)，则 \(|X_{T'}| \to |X_T|\) 的像落在 \(W\) 中。因此，为构造 \(U\)，可以把 \(T\) 替换为开集 \(T \setminus f_T(|X_T| \setminus W)\)。这样便处于 \(\mathcal{F}\) 有限局部自由的情形。在此情形有不交并分解 \(X_T = X_0 \amalg X_1 \amalg X_2 \amalg \ldots\) 为开且闭子空间，使得 \(\mathcal{F}\) 在 \(X_i\) 上的限制是秩为 \(i\) 的局部自由模。于是显然 \[U = T \setminus f_T(|X_0| \cup |X_2| \cup |X_3| \cup \ldots )\] 可行。（注意，若假设 \(T\) 拟紧，则 \(X_T\) 拟紧，因而只有有限多个 \(X_i\) 非空，所以 \(U\) 确实是开集。）

命题

设 \(S\) 是概形。设 \(f : X \to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。若 \(f\) 平坦、有限表示且真，则 \(\Picardstack_{X/B}\) 是代数叠。

证明

立即由引理 0D03、《代数叠》引理 05UM 以及下列定理之一推出：定理 08WC 或定理 09DS

Picard 函子

本节重新讨论《曲线的 Picard 概形》第 0B9K 节中的 Picard 函子。这里的讨论更一般，因为我们要研究代数空间态射的 Picard 函子，正如 Picard 叠一节中所做的，见第 0D02 节。

设 \(S\) 是概形，\(X\) 是 \(S\) 上的代数空间。\(X\) 上的可逆层是 \(X_\etale\) 上的可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，见《站点上的模》定义 0409。可逆模同构类所成的群记为 \(\Pic(X)\)，见《站点上的模》定义 040C。给定 \(S\) 上代数空间的态射 \(f : X \to Y\)，拉回给出群同态 \(\Pic(Y) \to \Pic(X)\)。赋值 \(X \leadsto \Pic(X)\) 是从概形范畴到阿贝尔群范畴的逆变函子。该函子不可表示，但这个构造的相对版本有时可表示。

情形

设 \(S\) 是概形。设 \(f : X \to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。定义 \[\Picardfunctor_{X/B} : (\Sch/B)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}\] 为如下函子的 fppf 层化：该函子把 \(B\) 上概形 \(T\) 关联到群 \(\Pic(X_T)\)。

在情形 0D25 中，有时把 \(\Picardfunctor_{X/B}\) 看作函子 \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\)，它配有态射 \(\Picardfunctor_{X/B} \to B\)。在这种观点下，定义 \(\Picardfunctor_{X/B}\) 为如下函子的 fppf 层化： \[T/S \longmapsto \{(h, \mathcal{L}) \mid h : T \to B,\ \mathcal{L} \in \Pic(X \times_{B, h} T)\}\] 特别地，当我们说 \(\Picardfunctor_{X/B}\) 是代数空间时，是指相应函子 \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\) 是代数空间。

常用的一个备注是：若 \(T\) 是 \(B\) 上的概形，则 \(\Picardfunctor_{X_T/T}\) 是 \(\Picardfunctor_{X/B}\) 到 \((\Sch/T)_{fppf}\) 的限制。

引理

在情形 0D25 中，函子 \(\Picardfunctor_{X/B}\) 是函子 \(T \mapsto \Ob(\Picardstack_{X/B, T})/\cong\) 的层化。

证明

由于 Picard 叠 \(\Picardstack_{X/B}\) 在 \(T\) 上的纤维范畴 \(\Picardstack_{X/B, T}\) 是 \(X_T\) 上可逆层所成的范畴（见第 0D02 节和《叠的例子》第 0372 节），这由定义立即得到。

要看出 \(\Picardfunctor_{X/B}\) 在 \(B\) 上概形 \(T\) 处的取值并不容易。下面的引理有助于完成这一任务。

引理

在情形 0D25 中，若对 \(B\) 上所有概形 \(T\)， \(\mathcal{O}_T \to f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T}\) 都是同构，则 \[0 \to \Pic(T) \to \Pic(X_T) \to \Picardfunctor_{X/B}(T)\] 对所有 \(T\) 都是正合列。

证明

可以把 \(B\) 替换为 \(T\)、把 \(X\) 替换为 \(X_T\)，并假设 \(B = T\)，以简化记号。设 \(\mathcal{N}\) 是可逆的 \(\mathcal{O}_B\)-模。若 \(f^*\mathcal{N} \cong \mathcal{O}_X\)，则由假设 \(f_*f^*\mathcal{N} \cong f_*\mathcal{O}_X \cong \mathcal{O}_B\)。由于 \(\mathcal{N}\) 局部平凡，典范映射 \(\mathcal{N} \to f_*f^*\mathcal{N}\) 在局部上是同构（因为由假设 \(\mathcal{O}_B \to f_*f^*\mathcal{O}_B\) 是同构）。因此 \(\mathcal{N} \to f_*f^*\mathcal{N} \to \mathcal{O}_B\) 是同构，从而 \(\mathcal{N}\) 平凡。这证明第一支箭头是单射。

设 \(\mathcal{L}\) 是 \(\Pic(X) \to \Picardfunctor_{X/B}(B)\) 的核中的可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。存在 fppf 覆盖 \(\{B_i \to B\}\)，使得 \(\mathcal{L}\) 拉回到 \(X_{B_i}\) 上的平凡可逆层。取一个平凡化截面 \(s_i\)。则 \(\text{pr}_0^*s_i\) 和 \(\text{pr}_1^*s_j\) 都是 \(X_{B_i \times_B B_j}\) 上 \(\mathcal{L}\) 的平凡化截面，因而相差一个乘法单位元 \[f_{ij} \in \Gamma(X_{S_i \times_B B_j}, \mathcal{O}_{X_{B_i \times_B B_j}}^*) = \Gamma(B_i \times_B B_j, \mathcal{O}_{B_i \times_N B_j}^*)\] （等式由我们关于结构层推前的假设得到）。显然，这些元素在 \(B_i \times_B B_j \times_B B_k\) 上满足上闭链条件，因而它们为 fppf 覆盖 \(\{B_i \to B\}\) 上的可逆层定义下降数据。由《下降》命题 023T，存在可逆 \(\mathcal{O}_B\)-模 \(\mathcal{N}\)，它在各 \(B_i\) 上带有平凡化，且相应下降数据为 \(\{f_{ij}\}\)。（该命题适用，是因为在证明开始处的替换后 \(B\) 是概形。）由于从下降数据到模的函子是全忠实的，故 \(f^*\mathcal{N} \cong \mathcal{L}\)。

引理

在情形 0D25 中，设 \(\sigma : B \to X\) 是一个截面。假设对 \(B\) 上所有 \(T\)，\(\mathcal{O}_T \to f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T}\) 都是同构。则 \[0 \to \Pic(T) \to \Pic(X_T) \to \Picardfunctor_{X/B}(T) \to 0\] 是分裂正合列，分裂由 \(\sigma_T^* : \Pic(X_T) \to \Pic(T)\) 给出。

证明

记 \(K(T) = \Ker(\sigma_T^* : \Pic(X_T) \to \Pic(T))\)。由于 \(\sigma\) 是 \(f\) 的截面，我们看到 \(\Pic(X_T)\) 是 \(\Pic(T)\) 与 \(K(T)\) 的直和。因此由引理 0D27，对所有 \(T\) 有 \(K(T) \subset \Picardfunctor_{X/B}(T)\)。此外，由构造显然 \(\Picardfunctor_{X/B}\) 是预层 \(K\) 的层化。要完成证明，只需证明 \(K\) 满足 fppf 覆盖的层条件；这将在下一段完成。

设 \(\{T_i \to T\}\) 是 fppf 覆盖。设 \(\mathcal{L}_i\) 是 \(K(T_i)\) 的元素，它们对所有 \(i\) 和 \(j\) 在 \(K(T_i \times_T T_j)\) 中的像相同。取同构 \(\alpha_i : \mathcal{O}_{T_i} \to \sigma_{T_i}^*\mathcal{L}_i\) 对所有 \(i\) 成立。再取同构 \[\varphi_{ij} : \mathcal{L}_i|_{X_{T_i \times_T T_j}} \longrightarrow \mathcal{L}_j|_{X_{T_i \times_T T_j}}\] 若映射 \[\alpha_j|_{T_i \times_T T_j} \circ \sigma_{T_i \times_T T_j}^*\varphi_{ij} \circ \alpha_i|_{T_i \times_T T_j} : \mathcal{O}_{T_i \times_T T_j} \to \mathcal{O}_{T_i \times_T T_j}\] 不等于乘以 \(1\) 而是乘以某个 \(u_{ij}\)，则可将 \(\varphi_{ij}\) 乘以 \(u_{ij}^{-1}\) 来修正。完成后，考虑自映射 \[\varphi_{ki}|_{X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}} \circ \varphi_{jk}|_{X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}} \circ \varphi_{ij}|_{X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}} \quad\text{作用于}\quad \mathcal{L}_i|_{X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}}\] 它等于乘以 \(X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}\) 的结构层的某个截面 \(f_{ijk}\)。由我们对 \(\varphi_{ij}\) 的选择，该映射沿 \(\sigma\) 的拉回等于乘以 \(1\)。由关于 \(X\) 上函数的假设，\(f_{ijk} = 1\)。因此得到 fppf 覆盖 \(\{X_{T_i} \to X\}\) 的下降数据。由《空间上的下降》命题 04W8 存在可逆 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-模 \(\mathcal{L}\) 及同构 \(\alpha : \mathcal{O}_T \to \sigma_T^*\mathcal{L}\)，其到 \(X_{T_i}\) 的拉回恢复 \((\mathcal{L}_i, \alpha_i)\)（略去一个小细节）。因此 \(\mathcal{L}\) 如愿定义了 \(K(T)\) 的一个元素。

在情形 0D25 中，设 \(\sigma : B \to X\) 是一个截面。记 \(\Picardstack_{X/B, \sigma}\) 为如下定义的范畴：

对象是四元组 \((T, h, \mathcal{L}, \alpha)\)，其中 \((T, h, \mathcal{L})\) 是 \(T\) 上 \(\Picardstack_{X/B}\) 的对象，且 \(\alpha : \mathcal{O}_T \to \sigma_T^*\mathcal{L}\) 是同构。
态射 \((g, \varphi) : (T, h, \mathcal{L}, \alpha) \to (T', h', \mathcal{L}', \alpha')\) 由满足 \(h = h' \circ g\) 的概形态射 \(g : T \to T'\) 以及同构 \(\varphi : (g')^*\mathcal{L}' \to \mathcal{L}\) 给出，并满足 \(\sigma_T^*\varphi \circ g^*\alpha' = \alpha\)。这里 \(g' : X_{T'} \to X_T\) 是 \(g\) 的基变换。

有自然的忠实遗忘函子 \[\Picardstack_{X/B, \sigma} \longrightarrow \Picardstack_{X/B}\] 这样，我们把 \(\Picardstack_{X/B, \sigma}\) 视为 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的范畴。

引理

在情形 0D25 中，设 \(\sigma : B \to X\) 是一个截面。则上述定义的 \(\Picardstack_{X/B, \sigma}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的群胚叠。

证明

由《叠的例子》引理 04WN，我们已经知道 \(\Picardstack_{X/B}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的群胚叠。下面证明 \(\Picardstack_{X/B, \sigma}\) 的对象下降。设 \(\{T_i \to T\}\) 是 fppf 覆盖，设 \(\xi_i = (T_i, h_i, \mathcal{L}_i, \alpha_i)\) 是位于 \(T_i\) 上的 \(\Picardstack_{X/B, \sigma}\) 对象，并设 \(\varphi_{ij} : \text{pr}_0^*\xi_i \to \text{pr}_1^*\xi_j\) 是下降数据。应用 \(\Picardstack_{X/B}\) 的结果，可假设存在 \(T\) 上 \(\Picardstack_{X/B}\) 的对象 \((T, h, \mathcal{L})\)，其拉回对所有 \(i\) 都是 \(\xi_i\)。于是得到 \[\alpha_i : \mathcal{O}_{T_i} \to \sigma_{T_i}^*\mathcal{L}_i = (T_i \to T)^*\sigma_T^*\mathcal{L}\] 由于映射 \(\varphi_{ij}\) 与 \(\alpha_i\) 相容，\(\alpha_i\) 和 \(\alpha_j\) 在 \(T_i \times_T T_j\) 上的拉回相同。由拟凝聚层的下降（《下降》命题 023T），可知 \(\alpha_i\) 是单一映射 \(\alpha : \mathcal{O}_T \to \sigma_T^*\mathcal{L}\) 的限制，如所需。我们略去态射下降的证明。

引理

在情形 0D25 中，设 \(\sigma : B \to X\) 是一个截面。态射 \(\Picardstack_{X/B, \sigma} \to \Picardstack_{X/B}\) 可表示、满射且光滑。

证明

设 \(T\) 是概形，且 \((\Sch/T)_{fppf} \to \Picardstack_{X/B}\) 由 \(T\) 上 \(\Picardstack_{X/B}\) 的对象 \(\xi = (T, h, \mathcal{L})\) 给出。我们需要证明 \[(\Sch/T)_{fppf} \times_{\xi, \Picardstack_{X/B}} \Picardstack_{X/B, \sigma}\] 可由概形 \(V\) 表示，且相应态射 \(V \to T\) 满射且光滑。见《代数叠》各节 04ST、 04SX 和 03YJ。遗忘函子 \(\Picardstack_{X/B, \sigma} \to \Picardstack_{X/B}\) 在纤维范畴上忠实，且对 \(T'/T\)，同构类的集合就是同构的集合 \[\alpha' : \mathcal{O}_{T'} \longrightarrow (T' \to T)^*\sigma_T^*\mathcal{L}\] 见《代数叠》引理 02ZY. 由命题 08K9，我们知道该函子可由 \(T\) 上有限表示的仿射概形 \(U\) 表示（将命题应用于 \(\text{id} : T \to T\)、\(\mathcal{O}_T\) 和 \(\sigma^*\mathcal{L}\)）。在 \(T\) 上作 Zariski 局部化，可假设 \(\sigma_T^*\mathcal{L}\) 同构于 \(\mathcal{O}_T\)，于是我们的函子由 \(T\) 上的 \(\mathbf{G}_m \times T\) 表示。因此，\(U \to T\) 在 \(T\) 上 Zariski 局部看起来就是投影 \(\mathbf{G}_m \times T \to T\)，确实光滑且满射。

引理

在情形 0D25 中，设 \(\sigma : B \to X\) 是一个截面。若对 \(B\) 上所有 \(T\)，\(\mathcal{O}_T \to f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T}\) 都是同构，则 \(\Picardstack_{X/B, \sigma} \to (\Sch/S)_{fppf}\) 是集合胚上的纤维化范畴，其在 \(T\) 上的同构类集合为 \[\coprod\nolimits_{h : T \to B} \Ker(\sigma_T^* : \Pic(X \times_{B, h} T) \to \Pic(T))\]

证明

若 \(\xi = (T, h, \mathcal{L}, \alpha)\) 是 \(T\) 上 \(\Picardstack_{X/B, \sigma}\) 的对象，则 \(\xi\) 的自同构 \(\varphi\) 由 \(X_T\) 结构层的可逆全局截面 \(u\) 的乘法给出，并且满足 \(\sigma_T^*u = 1\)。由假设 \(\mathcal{O}_T \to f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T}\) 是同构，故 \(u = 1\)。因此 \(\Picardstack_{X/B, \sigma}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上集合胚中的纤维化范畴。给定 \(T\) 和 \(h : T \to B\)，二元组 \((\mathcal{L}, \alpha)\) 的同构类集合等于满足 \(\sigma_T^*\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_T\)（同构未指定）的 \(\mathcal{L}\) 的同构类集合。这是显然的，因为 \(\alpha\) 的任意两个选择相差一个 \(T\) 上的全局单位元，而这与 \(X_T\) 上的全局单位元相同。

命题

设 \(S\) 是概形。设 \(f : X \to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。假设

\(f\) 平坦、有限表示且真；

对 \(B\) 上所有概形 \(T\)，\(\mathcal{O}_T \to f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T}\) 都是同构。

则 \(\Picardfunctor_{X/B}\) 是代数空间。

在该命题的情形下，代数叠 \(\Picardstack_{X/B}\) 是代数空间 \(\Picardfunctor_{X/B}\) 上的束叠。发展束叠的一般理论后，这给出命题的一个较短证明（但使用了更一般的理论）。

证明

存在代数空间的满射、平坦、有限表示态射 \(B' \to B\)，使得基变换 \(X' = X \times_B B'\) 在 \(B'\) 上有截面；具体地，可取 \(B' = X\)。注意 \(\Picardfunctor_{X'/B'} = B' \times_B \Picardfunctor_{X/B}\)。因此 \(\Picardfunctor_{X'/B'} \to \Picardfunctor_{X/B}\) 可由代数空间表示，且满射、平坦并有限表示。于是，若能证明 \(\Picardfunctor_{X'/B'}\) 是代数空间，则由《自举》定理 04S6. 可推出 \(\Picardfunctor_{X/B}\) 是代数空间。这样就归约到下一段所述情形。

除命题假设外，假设有截面 \(\sigma : B \to X\)。由命题 0D04，\(\Picardstack_{X/B}\) 是代数叠。由引理 0D2A 和《代数叠》引理 05UM 可知 \(\Picardstack_{X/B, \sigma}\) 是代数叠。由引理 0D2B 和《代数叠》引理 02ZX 可知 \(T \mapsto \Ker(\sigma_T^* : \Pic(X_T) \to \Pic(T))\) 是代数空间。由引理 0D28，该函子与 \(\Picardfunctor_{X/B}\) 相同。

引理

采用命题 0D2C 中的假设和记号。则对角态射 \(\Picardfunctor_{X/B} \to \Picardfunctor_{X/B} \times_B \Picardfunctor_{X/B}\) 可表示为浸入。换言之，\(\Picardfunctor_{X/B} \to B\) 局部分离。

证明

设 \(T\) 是 \(B\) 上的概形，且 \(s, t \in \Picardfunctor_{X/B}(T)\)。我们要证明存在局部闭子概形 \(Z \subset T\)，使得 \(s|_Z = t|_Z\)，并且态射 \(T' \to T\) 经由 \(Z\) 分解，当且仅当 \(s|_{T'} = t|_{T'}\)。

先将一般问题归约到 \(s\) 和 \(t\) 来自 \(X_T\) 上可逆模的情形。建议读者跳过此步。取 fppf 覆盖 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)，使得对所有 \(i\)， \(s|_{T_i}\) 和 \(t|_{T_i}\) 来自 \(\Pic(X_{T_i})\)。假设对所有对 \(s|_{T_i}, t|_{T_i}\) 都能证明结论，则得到具有所需泛性质的局部闭子概形 \(Z_i \subset T_i\)。于是 \(Z_i\) 和 \(Z_j\) 在 \(T_i \times_T T_j\) 中的概形论逆像相同。这给出 \(Z_i/T_i\) 上的下降数据。由于 \(Z_i \to T_i\) 局部拟有限，由《空间态射补充》引理 02W8 可得局部拟有限态射 \(Z \to T\)，其基变换恢复 \(Z_i \to T_i\)。再由《下降》引理 02YM，\(Z \to T\) 是浸入。最后，由于 \(\Picardfunctor_{X/B}\) 是 fppf 层，可知 \(s|_Z = t|_Z\)，且 \(Z\) 满足上面所述的泛性质。

假设 \(s\) 和 \(t\) 来自 \(X_T\) 上的可逆模 \(\mathcal{V}\)、\(\mathcal{W}\)。置 \(\mathcal{L} = \mathcal{V} \otimes \mathcal{W}^{\otimes -1}\)。我们要找 \(T\) 的局部闭子概形 \(Z\)，使得 \(T' \to T\) 经由 \(Z\) 分解，当且仅当 \(\mathcal{L}_{X_{T'}}\) 是 \(T'\) 上某个可逆层的拉回，见引理 0D27。因此 \(Z\) 的存在性由《空间的态射进阶》引理 0D23.

相对态射

我们继续讨论《可表示性判别》第 05Y0 节。在该节中，从概形 \(S\) 以及在 \(S\) 上的代数空间态射 \(Z \to B\) 和 \(X \to B\) 出发，我们构造了函子 \[\mathit{Mor}_B(Z, X) : (\Sch/B)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad T \longmapsto \{f : Z_T \to X_T\}\] 我们有时把 \(\mathit{Mor}_B(Z, X)\) 看作带有态射 \(\mathit{Mor}_B(Z, X) \to B\) 的函子 \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\)。也就是说，如果 \(T\) 是一个在 \(S\) 上的概形，那么 \(\mathit{Mor}_B(Z, X)(T)\) 的一个元素是一个二元组 \((f, h)\)，其中 \(h\) 是态射 \(h : T \to B\)，而 \(f : Z \times_{B, h} T \to X \times_{B, h} T\) 是 \(T\) 上的代数空间态射。特别地，当我们说 \(\mathit{Mor}_B(Z, X)\) 是代数空间时，意思是相应的函子 \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\) 是代数空间。

引理

设 \(S\) 为概形。考虑在 \(S\) 上的代数空间态射 \(Z \to B\) 和 \(X \to B\)。若 \(X \to B\) 是分离的，且 \(Z \to B\) 是有限表示、平坦且真的，则存在函子之间的自然单射变换 \[\mathit{Mor}_B(Z, X) \longrightarrow \Hilbfunctor_{Z \times_B X/B}\] 它把态射 \(f : Z_T \to X_T\) 映到其图。

证明

给定一个在 \(B\) 上的概形 \(T\)，以及一个在 \(T\) 上的态射 \(f_T : Z_T \to X_T\)， \(f\) 的图是态射 \(\Gamma_f = (\text{id}, f) : Z_T \to Z_T \times_T X_T = (Z \times_B X)_T\)。回忆一下，分离、平坦、真或有限表示都是代数空间态射的性质，并且在基变换下稳定（《空间的态射》引理 03KL, 03MO, 04WP，以及 03XR). 因此，由《空间的态射》引理 03KO，\(\Gamma_f\) 是闭浸入。此外，\(\Gamma_f(Z_T)\) 在 \(T\) 上平坦、真且有限表示。所以 \(\Gamma_f(Z_T)\) 给出 \(\Hilbfunctor_{Z \times_B X/B}(T)\) 的一个元素。要证明该变换是单射，只需证明具有相同图的两个态射相同。这是因为：若 \(Y \subset (Z \times_B X)_T\) 是某个态射 \(f\) 的图，那么可以取 \(\text{pr}_1|_Y : Y \to Z_T\) 的逆，再与 \(\text{pr}_2|_Y\) 复合，从而恢复 \(f\)。

引理

假设和记号同引理 0D1A。变换 \(\mathit{Mor}_B(Z, X) \longrightarrow \Hilbfunctor_{Z \times_B X/B}\) 可由开浸入表示。

证明

设 \(T\) 是在 \(B\) 上的概形，并设 \(Y \subset (Z \times_B X)_T\) 是 \(\Hilbfunctor_{Z \times_B X/B}(T)\) 的一个元素。则 \(Y\) 是 \(T\) 上某个态射 \(Z_T \to X_T\) 的图，当且仅当 \(k = \text{pr}_1|_Y : Y \to Z_T\) 是同构。由《空间态射进阶》引理 05XD 存在开子概形 \(V \subset T\)，使得对于任意概形态射 \(T' \to T\)， \(k_{T'} : Y_{T'} \to Z_{T'}\) 是同构，当且仅当 \(T' \to T\) 经由 \(V\) 分解。这就证明了引理。

命题

设 \(S\) 为概形。设 \(Z \to B\) 和 \(X \to B\) 是在 \(S\) 上的代数空间态射。假设 \(X \to B\) 有限表示且分离，而 \(Z \to B\) 有限表示、平坦且真。则 \(\mathit{Mor}_B(Z, X)\) 是在 \(B\) 上局部有限表示的代数空间。

证明

这是引理 0D1B 和命题 0D01 的直接推论。

代数空间叠

本节延续《Stacks 示例》中以下各节开始的讨论： 04SP, 04UC，以及 04UH. 在 \(\mathbf{Z}\) 上工作时，其中的讨论表明我们有一个群胚叠 \[p'_{ft} : \Spacesstack'_{ft} \longrightarrow \Sch_{fppf}\] 它参数化有限型代数空间的（非平坦）族。更具体地说，\(\Spacesstack'_{ft}\) 的一个对象 ³ 是从代数空间 \(X\) 到概形 \(S\) 的有限型态射 \(X \to S\)；而态射 \((X' \to S') \to (X \to S)\) 由一对 \((f, g)\) 给出，其中 \(f : X' \to X\) 是代数空间态射， \(g : S' \to S\) 是概形态射，并且它们嵌入交换图 \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r]_f & X \ar[d] \\ S' \ar[r]^g & S }\] 并诱导同构 \(X' \to S' \times_S X\)；换言之，该图在代数空间范畴中是笛卡尔的。函子 \(p'_{ft}\) 将 \((X \to S)\) 送到 \(S\)，将 \((f, g)\) 送到 \(g\)。我们定义一个充满子范畴 \[\Spacesstack'_{fp, flat, proper} \subset \Spacesstack'_{ft}\] 它由 \(\Spacesstack'_{ft}\) 中的对象 \(X \to S\) 组成，其中 \(X \to S\) 是有限表示、平坦且真的。记 \[p'_{fp, flat, proper} : \Spacesstack'_{fp, flat, proper} \longrightarrow \Sch_{fppf}\] 为函子 \(p'_{ft}\) 在上述子范畴上的限制。我们先回顾上述参考文献中已经得到的结果，然后开始补充更多结果。

引理

范畴 \(\Spacesstack'_{ft}\) 在 \(\Sch_{fppf}\) 上是群胚纤维化的。 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 亦然。

证明

对于 \(\Spacesstack'_{ft}\)，我们已在《Stacks 示例》第 04UH 节看到这一点，这很容易推出另一种情形的结论。不过，我们也直接检验《范畴》定义 003T 的条件 (1) 和 (2) 来证明它。

条件 (1)。设 \(X \to S\) 是 \(\Spacesstack'_{ft}\) 的对象，且 \(S' \to S\) 是概形态射。令 \(X' = S' \times_S X\)。由《空间的态射》引理 03XH. 注意 \(X' \to S'\) 是有限型的，从而得到一个位于 \(S' \to S\) 之上的态射 \((X' \to S') \to (X \to S)\)。另一种情形同理，使用《空间的态射》引理 03XR, 03MO，以及 04WP.

条件 (2)。考虑 \(\Spacesstack'_{ft}\) 中的态射 \((f, g) : (X' \to S') \to (X \to S)\) 和 \((a, b) : (Y \to T) \to (X \to S)\)。给定满足 \(g \circ h = b\) 的态射 \(h : T \to S'\)，我们需证明存在唯一的 \(\Spacesstack'_{ft}\) 中的态射 \((k, h) : (Y \to T) \to (X' \to S')\)，使得 \((f, g) \circ (k, h) = (a, b)\)。这由 \(X' = S' \times_S X\) 立即得到。因此，满足条件 (1) 的 \(\Spacesstack'_{ft}\) 的任意充满子范畴同样成立。

引理

对角态射 \[\Delta : \Spacesstack'_{fp, flat, proper} \longrightarrow \Spacesstack'_{fp, flat, proper} \times \Spacesstack'_{fp, flat, proper}\] 可由代数空间表示。

证明

我们将使用《代数叠》引理 045G 的判据 (2)。设 \(S\) 为概形，且 \(X\)、\(Y\) 是在 \(S\) 上有限表示、在 \(S\) 上平坦且在 \(S\) 上真的代数空间。我们需要证明函子 \[\mathit{Isom}_S(X, Y) : (\Sch/S)_{fppf} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad T \longmapsto \{f : X_T \to Y_T \text{ isomorphism}\}\] 是代数空间。一个初等论证表明 \(\mathit{Isom}_S(X, Y)\) 位于纤维积中： \[\xymatrix{ \mathit{Isom}_S(X, Y) \ar[r] \ar[d] & S \ar[d]_{(\text{id}, \text{id})} \\ \mathit{Mor}_S(X, Y) \times \mathit{Mor}_S(Y, X) \ar[r] & \mathit{Mor}_S(X, X) \times \mathit{Mor}_S(Y, Y) }\] 下方的态射把 \((\varphi, \psi)\) 送到 \((\psi \circ \varphi, \varphi \circ \psi)\)。由命题 0D1C，下行的函子是 \(S\) 上的代数空间。于是，由于 \(S\) 上代数空间的范畴具有纤维积，即可得到结论。

引理

范畴 \(\Spacesstack'_{ft}\) 是 \(\Sch_{fppf}\) 上的群胚叠。对 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 也同样如此。

证明

该引理成立的原因可概括为：代数空间的任意 fppf 下降数据都是有效的，见《Bootstrap》第 04SJ. 更准确地说，\(\Spacesstack'_{ft}\) 的情形由《Stacks 示例》引理 04UD 推出，正如我们在《Stacks 示例》第 04UH. 不过我们还是回顾证明。我们需要检验《Stacks》定义 (1)、(2) 和 (3) 的条件 02ZI.

性质 (1) 已在引理 0D1E 中看到。

在 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 的情形，性质 (2) 由引理 0D1F 得到。在 \(\Spacesstack'_{ft}\) 的情形，它由《Stacks 示例》引理 04UA 得到（这确实是“正确”的参考文献）。

对 \(\Spacesstack'_{ft}\)，按如下方式检验条件 (3)。设给定

在 \(\Sch_{fppf}\) 中的 fppf 覆盖 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)，

对每个 \(i \in I\)，一个在 \(U_i\) 上有限型的代数空间 \(X_i\)，以及

对每个 \(i, j \in I\)，一个代数空间同构 \(\varphi_{ij} : X_i \times_U U_j \to U_i \times_U X_j\)，它在 \(U_i \times_U U_j\) 上，并且在 \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\) 上满足余循环条件。

我们必须证明存在一个在 \(U\) 上有限型的代数空间 \(X\)，以及在 \(U_i\) 上的同构 \(X_{U_i} \cong X_i\)，它们恢复同构 \(\varphi_{ij}\)。这由《Bootstrap》引理 0ADV 的第 (2) 部分得到。由《空间上的下降》引理 041U 可知 \(X \to U\) 是有限型的。在 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 的情形，还要使用《空间上的下降》引理 041V, 041W，以及 0422 在最后一步得到结论。

核对：叠 \(\Spacesstack'_{ft}\) 和 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 在代数空间中发挥相同作用。

引理

设 \(T\) 是在 \(\mathbf{Z}\) 上的代数空间。令 \(\mathcal{S}_T\) 表示相应的代数叠（《代数叠》第 04SU, 02ZV，以及 03YR). 我们有范畴等价 \[\left\{ \begin{matrix} \text{代数空间态射 }\\ X \to T\text{，且为有限型} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \Mor_{\textit{Cat}/\Sch_{fppf}}(\mathcal{S}_T, \Spacesstack'_{ft})\] 以及范畴等价 \[\left\{ \begin{matrix} \text{代数空间态射 }X \to T\\ \text{，且有限表示、平坦且真} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \Mor_{\textit{Cat}/\Sch_{fppf}}(\mathcal{S}_T, \Spacesstack'_{fp, flat, proper})\]

证明

我们将由该引理对概形成立这一事实（本质上来自叠的构造），以及代数空间在代数空间上的 fppf 下降数据有效这一事实推出它。我们强烈建议读者跳过本证明。

任一箭头从左到右的构造都是直接的：给定有限型 \(X \to T\)，函子 \(\mathcal{S}_T \to \Spacesstack'_{ft}\) 将 \(U/T\) 送到基变换 \(X_U \to U\)。下面解释如何构造拟逆。

若 \(T\) 是概形，则由 \(2\)-Yoneda 引理存在拟逆，见《范畴》引理 004B。设 \(p : U \to T\) 是满射 étale 态射，其中 \(U\) 是概形。令 \(R = U \times_T U\)，投影为 \(s, t : R \to U\)。注意我们得到态射 \[\xymatrix{ \mathcal{S}_{U \times_T U \times_T U} \ar@<2ex>[r] \ar[r] \ar@<-2ex>[r] & \mathcal{S}_R \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \mathcal{S}_U \ar[r] & \mathcal{S}_T }\] 并且它们（严格地）满足各种相容性。

设 \(G : \mathcal{S}_T \to \Spacesstack'_{ft}\) 是在 \(\Sch_{fppf}\) 上的函子。通过上面显示的映射，\(G\) 在 \(\mathcal{S}_U\) 上的限制由 \(2\)-Yoneda 引理对应于代数空间的有限型态射 \(X_U \to U\)。由于 \(p \circ s = p \circ t\)，可知 \(R \times_{s, U} X_U\) 和 \(R \times_{t, U} X_U\) 都对应于 \(G\) 在 \(\mathcal{S}_R\) 上的限制。因此得到典范同构 \(\varphi : X_U \times_{U, t} R \to R \times_{s, U} X_U\)（在 \(R\) 上）。由上图的各种相容性，该同构满足余循环条件。于是得到下降数据；由《Bootstrap》引理 0ADV 的第 (2) 部分。换言之，我们得到右侧范畴中的对象 \(X \to T\)。我们略去验证构造 \(G \leadsto X\) 是函子的，且它是另一构造的拟逆。在 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 的情形，还要使用《空间上的下降》引理 041V, 041W，以及 0422 在最后一步得到 \(X \to T\) 有限表示、平坦且真。

注

设 \(B\) 是在 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上的代数空间。令 \(B\textit{-Spaces}'_{ft}\) 为由以下二元组组成的范畴： \((X \to S, h : S \to B)\)，其中 \(X \to S\) 是 \(\Spacesstack'_{ft}\) 的对象，且 \(h : S \to B\) 是态射。 \(B\textit{-Spaces}'_{ft}\) 中的态射 \((X' \to S', h') \to (X \to S, h)\) 是 \(\Spacesstack'_{ft}\) 中满足 \(h \circ g = h'\) 的态射 \((f, g)\)。在此情形，图 \[\xymatrix{ B\textit{-Spaces}'_{ft} \ar[r] \ar[d] & \Spacesstack'_{ft} \ar[d] \\ (\Sch/B)_{fppf} \ar[r] & \Sch_{fppf} }\] 是 \(2\)-纤维积方图。这个平凡的备注有时可用于从绝对情形 \(\Spacesstack'_{ft}\) 推出给定基代数空间上的族的情形。当然，对 \(B\textit{-Spaces}'_{fp, flat, proper}\) 也有类似构造。

引理

叠 \(p'_{fp, flat, proper} : \Spacesstack'_{fp, flat, proper} \to \Sch_{fppf}\) 是保极限的（《Artin 公理》定义 07XL）。

证明

设 \(T = \lim T_i\) 是仿射概形的有向逆系统的极限。由《空间的极限》引理 07SK 在 \(T\) 上有限表示的代数空间范畴是在 \(T_i\) 上有限表示的代数空间范畴的余极限。最后使用平坦性和真性沿极限下降这一事实，见《空间的极限》引理 08K0 以及 08K1.

引理

设 \[\xymatrix{ T \ar[r] \ar[d] & T' \ar[d] \\ S \ar[r] & S' }\] 是概形范畴中的推出，其中 \(T \to T'\) 是加厚，且 \(T \to S\) 是仿射，见《空间态射进阶》引理 07RT。则纤维范畴上的函子 \[\begin{matrix} \Spacesstack'_{fp, flat, proper, S'} \\ \downarrow \\ \Spacesstack'_{fp, flat, proper, S} \times_{\Spacesstack'_{fp, flat, proper, T}} \Spacesstack'_{fp, flat, proper, T'} \end{matrix}\] 是等价。

证明

若从条件列表中删去“真”，并将“有限表示”替换为 “局部有限表示”，则该函子是等价；见《空间的推出》引理 07W3. 因此只需证明：给定代数空间到 \(S'\) 的态射 \(X' \to S'\)，它平坦且局部有限表示，则 \(X' \to S'\) 为真，当且仅当 \(S \times_{S'} X' \to S\) 和 \(T' \times_{S'} X' \to T'\) 都为真。一个方向由真性在基变换下保持这一事实得到（《空间的态射》引理 04WP）；另一个方向由 \(S \times_{S'} X' \to S\) 为真推出 \(X' \to S'\) 为真这一事实得到，依据《空间态射进阶》引理 09ZZ.

引理

设 \(k\) 为域，且 \(x = (X \to \Spec(k))\) 是 \(\mathcal{X} = \Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 在 \(\Spec(k)\) 上的对象。

若 \(k\) 在 \(\mathbf{Z}\) 上有限型，则向量空间 \(T\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x}\) 和 \(\text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x})\) （见《Artin 公理》第 07WY 节）是有限维的，并且

一般而言，向量空间 \(T_x(k)\) 和 \(\text{Inf}_x(k)\) （见《Artin 公理》第 07Y6 节）是有限维的。

证明

《Artin 公理》第 07WY 节的讨论只适用于在基概形 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上有限型的域。由引理 0D1J，我们的叠满足 (RS*)，因此可以应用《Artin 公理》引理 07Y9 得到 (2) 中提到的向量空间 \(T_x(k)\) 和 \(\text{Inf}_x(k)\)。此外，在有限型情形，这些空间与 (1) 中提到的空间相同，依据《Artin 公理》注记 0D18。处理完这些后，我们开始证明。注意一阶加厚 \(\Spec(k) \to \Spec(k[\epsilon]) = \Spec(k[k])\) 的余法模为 \(k\)。因此《形变理论》引理 0D17 中描述 \(X\) 的无穷小形变和 \(X\) 的无穷小自同构的公式变为 \[T_x(k) = \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/k}, \mathcal{O}_X) \quad\text{且}\quad \text{Inf}_x(k) = \Ext^0_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/k}, \mathcal{O}_X)\] 由《空间态射进阶》引理 0D0Z 以及 \(X\) 是 Noetherian 这一事实，可知 \(\NL_{X/k}\) 的相干上同调层除次数 \(0\) 和 \(-1\) 外均为零。由《空间的导出范畴》引理 0D0T，上述 \(\Ext\)-群是有限维的 \(k\)-向量空间，证明完成。

请注意，正如下一个引理所证明的，我们的叠不满足形式有效性，所以形式光滑性的开放性有些奇怪，见《Examples》一节 0D1Q。稍后我们将把形式光滑性的开放性应用于满足形式有效性的 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 的适当子叠，从而证明这些叠是代数的。

引理

群胚叠 \(\mathcal{X} = \Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 在 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上满足形式光滑性的开放性。同样地，基变换后（注记 0D1H），形式光滑性的开放性对任意 Noether 基概形 \(S\) 成立。

证明

关于这一事实的“通常”证明，请参见本证明后的注记。这里我们使用《Artin 公理》引理 0CXU 来证明。我们已经看到 \(\mathcal{X}\) 的对角可由代数空间表示，满足 (RS*) 且保极限，见引理 0D1F、0D1J 以及 0D1I。因此只需证明 \(\mathcal{X}\) 满足《Artin 公理》引理 0CXU 中表述的强形式有效性。

设 \((R_n)\) 是环的逆系统，满足对所有 \(n \geq m\)， \(R_n \to R_m\) 是核平方为零的满射。设 \(X_n \to \Spec(R_n)\) 是有限表示、平坦、真的态射，其中 \(X_n\) 是代数空间；并设 \(X_{n + 1} \to X_n\) 是在 \(\Spec(R_{n + 1})\) 上的态射，诱导同构 \(X_n = X_{n + 1} \times_{\Spec(R_{n + 1})} \Spec(R_n)\)。我们需要找到一个平坦、真且有限表示的态射 \(X \to \Spec(\lim R_n)\)，其源是代数空间，并且对所有 \(n\)，\(X_n\) 都是 \(X\) 的基变换。

令 \(I_n = \Ker(R_n \to R_1)\)。可将 \((X_1 \subset X_n) \to (\Spec(R_1) \subset \Spec(R_n))\) 看作一阶加厚的态射。（继续之前，请阅读《空间态射进阶》关于代数空间加厚的部分，即第 05ZJ 节。）\(X_n\) 的结构层是扩张 \[0 \to \mathcal{O}_{X_1} \otimes_{R_1} I_n \to \mathcal{O}_{X_n} \to \mathcal{O}_{X_1} \to 0\] 它位于 \(0 \to I_n \to R_n \to R_1\) 之上，见《空间态射进阶》引理 06BH. 考虑扩张 \[0 \to \lim \mathcal{O}_{X_1} \otimes_{R_1} I_n \to \lim \mathcal{O}_{X_n} \to \mathcal{O}_{X_1} \to 0\] 它位于 \(0 \to \lim I_n \to \lim R_n \to R_1 \to 0\) 之上。上述序列是正合的，因为由《空间的导出范畴》引理可知核系统的 \(R^1\lim\) 为零 0D3E. 注意映射 \[\mathcal{O}_{X_1} \otimes_{R_1} \lim I_n \longrightarrow \lim \mathcal{O}_{X_1} \otimes_{R_1} I_n\] 在应用函子 \(DQ_X\) 后诱导同构，见《空间的导出范畴》引理 0D3F. 因此由《形变理论》引理 0D3Q 的范畴等价，得到唯一扩张 \[0 \to \mathcal{O}_{X_1} \otimes_{R_1} \lim I_n \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O}_{X_1} \to 0\] 在 \(0 \to \lim I_n \to \lim R_n \to R_1 \to 0\) 之上。层 \(\mathcal{O}'\) 由 \(\Spec(R_1) \subset \Spec(\lim R_n)\) 上代数空间 \(X_1 \subset X\) 的一阶加厚决定，依据《空间态射进阶》引理 05ZT。注意，由此前使用的《空间态射进阶》引理 06BH， \(X \to \Spec(\lim R_n)\) 是平坦的。由《空间态射进阶》引理 0CG6，可知 \(X \to \Spec(\lim R_n)\) 是真且有限表示的。证明完成。

注

引理 0D3X 也可用以下任一方法证明：《Artin 公理》引理 07YZ （如同引理 08WA 的第一个证明），或使用《Artin 公理》引理 0CYF 中的障碍理论（如同引理 08WA 的第二个证明）。两种方法都使用《余切复形》第 08V3 节中发展的形变与障碍理论，将形变和障碍所需的性质转化为可应用《空间的导出范畴》引理 08JR 的 \(\Ext\)-群。第二种方法（使用障碍理论，因而使用完整余切复形）或许是大多数参考文献采用的“标准”方法。

极化真概形叠

研究极化真概形的叠，只需在 \(\mathbf{Z}\) 上工作，因为随后可以将其拉回到任意所需的概形或代数空间（见注记 0D1N）。

情形

我们如下定义范畴 \(\Polarizedstack\)。对象是二元组 \((X \to S, \mathcal{L})\)，其中

\(X \to S\) 是真、平坦且有限表示的概形态射，并且

\(\mathcal{L}\) 是可逆的 \(\mathcal{O}_X\)-模，在 \(X/S\) 上相对充足，（《态射》定义 01VH）。

对象之间的态射 \((X' \to S', \mathcal{L}') \to (X \to S, \mathcal{L})\) 由三元组 \((f, g, \varphi)\) 给出，其中 \(f : X' \to X\) 和 \(g : S' \to S\) 是嵌入交换图的概形态射 \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r]_f & X \ar[d] \\ S' \ar[r]^g & S }\] 并诱导同构 \(X' \to S' \times_S X\)；换言之，该图是笛卡尔的；且 \(\varphi : f^*\mathcal{L} \to \mathcal{L}'\) 是同构。复合按显然方式定义（见《叠的例子》第 04SP 节以及第 03YL 节）。遗忘函子 \[p : \Polarizedstack \longrightarrow \Sch_{fppf},\quad (X \to S, \mathcal{L}) \longmapsto S\] 就是我们把 \(\Polarizedstack\) 看作 \(\Sch_{fppf}\) 上范畴的方式（记号见第 05X6 节）。

在上一节中，我们已经对叠 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\)（由有限表示、平坦、真的代数空间组成）做了大量工作。为使用这些材料，考虑遗忘函子 [0D3Y]\[\begin{equation} \Polarizedstack \longrightarrow \Spacesstack'_{fp, flat, proper},\quad (X \to S, \mathcal{L}) \longmapsto (X \to S) \end{equation}\] 下面将使用这个函子作为有用工具。注意，若 \((X \to S)\) 属于（0D3Y）的本质像，则 \(X\) 和 \(S\) 是概形。

引理

范畴 \(\Polarizedstack\) 在 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 上是群胚纤维化的。范畴 \(\Polarizedstack\) 在 \(\Sch_{fppf}\) 上是群胚纤维化的。

证明

我们检验《范畴》定义 003T 的条件 (1) 和 (2)。

条件 (1)。设 \((X \to S, \mathcal{L})\) 是 \(\Polarizedstack\) 的对象，且 \((X' \to S') \to (X \to S)\) 是 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 中的态射。令 \(\mathcal{L}'\) 为 \(\mathcal{L}\) 到 \(X'\) 的拉回。注意 \(X, S, S'\) 是概形，因此 \(X'\) 也是概形（概形的纤维积）。由此由《态射》引理 0893， \(\mathcal{L}'\) 在 \(X'/S'\) 上充足。这样得到态射 \((X' \to S', \mathcal{L}') \to (X \to S, \mathcal{L})\)，它位于 \((X' \to S') \to (X \to S)\) 之上。

条件 (2)。考虑 \(\Polarizedstack\) 中的态射 \((f, g, \varphi) : (X' \to S', \mathcal{L}') \to (X \to S, \mathcal{L})\) 和 \((a, b, \psi) : (Y \to T, \mathcal{N}) \to (X \to S, \mathcal{L})\)。给定 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 中的态射 \((k, h) : (Y \to T) \to (X' \to S')\)，且 \((f, g) \circ (k, h) = (a, b)\)，我们需证明存在唯一态射 \((k, h, \chi) : (Y \to T, \mathcal{N}) \to (X' \to S', \mathcal{L}')\) 属于 \(\Polarizedstack\)，并满足 \((f, g, \varphi) \circ (k, h, \chi) = (a, b, \psi)\)。只需取 \[\chi = \psi \circ (k^*\varphi)^{-1}\] 这证明了条件 (2)。定义纤维化范畴的函子的复合定义纤维化范畴，见《范畴》引理 09WV。因此 \(\Polarizedstack\) 在 \(\Sch_{fppf}\) 上是群胚纤维化的（严格地说，还应检验纤维范畴是群胚，并应用《范畴》引理 003V）。

引理

范畴 \(\Polarizedstack\) 是 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 上的群胚叠（赋予继承拓扑，见《Stacks》定义 06NV）。范畴 \(\Polarizedstack\) 是 \(\Sch_{fppf}\) 上的群胚叠。

证明

我们通过检验《Stacks》定义 02ZI 的条件 (1)、(2)、(3)，证明 \(\Polarizedstack\) 是 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 上的群胚叠。条件 (1) 已在引理 0D3Z 中看到。

\(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 的覆盖如下产生：设 \(X \to S\) 是 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 的对象，并设 \(\{S_i \to S\}_{i \in I}\) 是 \(\Sch_{fppf}\) 的覆盖。令 \(X_i = S_i \times_S X\)。则 \(\{(X_i \to S_i) \to (X \to S)\}_{i \in I}\) 是 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 的覆盖，并且 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 的每个覆盖都同构于其中之一。令 \(S_{ij} = S_i \times_S S_j\)，并令 \(X_{ij} = S_{ij} \times_S X\)，于是 \((X_{ij} \to S_{ij}) = (X_i \to S_i) \times_{(X \to S)} (X_j \to S_j)\)。接下来，设 \(\mathcal{L}, \mathcal{N}\) 是 \(X/S\) 上的充足可逆层，使得 \((X \to S, \mathcal{L})\) 和 \((X \to S, \mathcal{N})\) 是位于对象 \((X \to S)\) 之上的 \(\Polarizedstack\) 的两个对象。为检验态射的下降，假设给定态射 \((\text{id}, \text{id}, \varphi_i)\)，从 \((X_i \to S_i, \mathcal{L}|_{X_i})\) 到 \((X_i \to S_i, \mathcal{N}|_{X_i})\)，其到态射 \((X_{ij} \to S_{ij}, \mathcal{L}|_{X_{ij}})\) 到 \((X_{ij} \to S_{ij}, \mathcal{N}|_{X_{ij}})\) 的基变换彼此一致。则 \(\varphi_i : \mathcal{L}|_{X_i} \to \mathcal{N}|_{X_i}\) 是 \(X_i\) 上可逆模的同构，并且 \(\varphi_i\) 与 \(\varphi_j\) 在 \(X_{ij}\) 上限制为相同同构。由拟凝聚层的下降（《空间上的下降》命题 04W8) 得到唯一同构 \(\varphi : \mathcal{L} \to \mathcal{N}\)，其在 \(X_i\) 上的限制恢复 \(\varphi_i\)。

对象的下降证明完全相同。具体地，设 \(\{(X_i \to S_i) \to (X \to S)\}_{i \in I}\) 是如上的 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 覆盖。设有对象 \((X_i \to S_i, \mathcal{L}_i)\)，它们是位于 \((X_i \to S_i)\) 之上的 \(\Polarizedstack\) 对象，并有下降数据 \[(\text{id}, \text{id}, \varphi_{ij}) : (X_{ij} \to S_{ij}, \mathcal{L}_i|_{X_{ij}}) \to (X_{ij} \to S_{ij}, \mathcal{L}_j|_{X_{ij}})\] 对每个指标三元组，它在 \((X_{ijk} \to S_{ijk})\) 上满足显然的余循环条件。于是由拟凝聚层的下降（《空间上的下降》命题 04W8) 得到唯一可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\) 以及同构 \(\mathcal{L}|_{X_i} \to \mathcal{L}_i\)，恢复下降数据 \(\varphi_{ij}\)。要证明 \((X \to S, \mathcal{L})\) 是 \(\Polarizedstack\) 的对象，需证明 \(\mathcal{L}\) 是充足的。这由《空间上的下降》引理 0D3C 得到。

由于我们已经看到 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 是 \(\Sch_{fppf}\) 上的群胚叠（引理 0D1G），形式上即可推出 \(\Polarizedstack\) 是 \(\Sch_{fppf}\) 上的群胚叠。见《Stacks》引理 09WX。

核对：叠 \(\Polarizedstack\) 在代数空间中发挥相同作用。

引理

设 \(T\) 是在 \(\mathbf{Z}\) 上的代数空间。令 \(\mathcal{S}_T\) 表示相应的代数叠（《代数叠》第 04SU, 02ZV，以及 03YR). 我们有范畴等价 \[\left\{ \begin{matrix} (X \to T, \mathcal{L})\text{，其中}\\ X \to T\text{ 是代数空间态射，}\\ \text{它真、平坦且有限表示，并且}\\ \mathcal{L}\text{ 在 }X/T\text{ 上充足} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \Mor_{\textit{Cat}/\Sch_{fppf}}(\mathcal{S}_T, \Polarizedstack)\]

证明

略去。提示：完全仿照引理 0E93 的证明，并使用《空间上的下降》命题 04W8 在拟逆函子的构造中下降可逆层。相对充足性沿下降，依据《空间上的下降》引理 0D3C.

注

设 \(B\) 是在 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上的代数空间。令 \(B\textit{-Polarized}\) 为由三元组 \((X \to S, \mathcal{L}, h : S \to B)\) 组成的范畴，其中 \((X \to S, \mathcal{L})\) 是 \(\Polarizedstack\) 的对象，且 \(h : S \to B\) 是态射。 \(B\textit{-Polarized}\) 中的态射 \((X' \to S', \mathcal{L}', h') \to (X \to S, \mathcal{L}, h)\) 是 \(\Polarizedstack\) 中满足 \(h \circ g = h'\) 的态射 \((f, g, \varphi)\)。在此情形，图 \[\xymatrix{ B\textit{-Polarized} \ar[r] \ar[d] & \Polarizedstack \ar[d] \\ (\Sch/B)_{fppf} \ar[r] & \Sch_{fppf} }\] 是 \(2\)-纤维积方图。这个平凡备注有时可用于从绝对情形 \(\Polarizedstack\) 推出给定基代数空间上的族的情形。

引理

函子（0D3Y）定义一个 \(1\)-态射 \[\Polarizedstack \to \Spacesstack'_{fp, flat, proper}\] 它是 \(\Sch_{fppf}\) 上群胚叠的态射，且依《可表示性判别》定义 06CF 的意义是代数的。

证明

由引理 0D1G 和 0D40，该陈述有意义。为证明它，取概形 \(S\)，并取对象 \(\xi = (X \to S)\)，它属于 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\)，且位于 \(S\) 上。需证明 \[\mathcal{X} = (\Sch/S)_{fppf} \times_{\xi, \Spacesstack'_{fp, flat, proper}} \Polarizedstack\] 是 \(S\) 上的代数叠。注意，\(\mathcal{X}\) 的对象由二元组 \((T/S, \mathcal{L})\) 给出，其中 \(T\) 是 \(S\) 上的概形， \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-模，且在 \(X_T/T\) 上充足。态射按显然方式定义。特别地，立即得到嵌入 \[\mathcal{X} \subset \Picardstack_{X/S}\] 它是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上范畴的嵌入，并在态射集合上诱导等式。由命题 0D04，\(\Picardstack_{X/S}\) 是代数叠，所以只需证明上述嵌入可由开浸入表示。这正是《空间上的下降》引理 0D3D 的内容。

引理

对角态射 \[\Delta : \Polarizedstack \longrightarrow \Polarizedstack \times \Polarizedstack\] 由代数空间表示。

证明

这是引理 0D41 和 0D1F 的形式推论。见《可表示性判别》引理 0D3R。

引理

群胚叠 \(\Polarizedstack\) 保持极限（《Artin 公理》定义 07XL）。

证明

设 \(I\) 是有向集，且 \((A_i, \varphi_{ii'})\) 是 \(I\) 上的环系统。令 \(S = \Spec(A)\) 以及 \(S_i = \Spec(A_i)\)。需证明纤维范畴满足 \[\Polarizedstack_S = \colim \Polarizedstack_{S_i}\] 我们知道，\(S\) 上有限表示概形的范畴是 \(S_i\) 上有限表示概形范畴的余极限，见《极限》引理 01ZM。此外，给定有限表示的 \(X_i \to S_i\)，其极限为 \(X \to S\)，则可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\) 的范畴是可逆 \(\mathcal{O}_{X_i}\)-模 \(\mathcal{L}_i\) 范畴的余极限，见《极限》引理 01ZR 和 0B8W。若 \(X \to S\) 真且平坦，则当 \(i\) 充分大时，态射 \(X_i \to S_i\) 也真且平坦，见《极限》引理 081F 和 04AI。最后，若 \(\mathcal{L}\) 在 \(X\) 上充足，则当 \(i\) 充分大时， \(\mathcal{L}_i\) 在 \(X_i\) 上充足，见《极限》引理 09MT。合并这些事实即完成证明。

引理

在情形 08KB 中，设 \[\xymatrix{ T \ar[r] \ar[d] & T' \ar[d] \\ S \ar[r] & S' }\] 是概形范畴中的推出，其中 \(T \to T'\) 是加厚，且 \(T \to S\) 仿射；见《态射进阶》引理 07RT。则纤维范畴上的函子 \[\Polarizedstack_{S'} \longrightarrow \Polarizedstack_S \times_{\Polarizedstack_T} \Polarizedstack_{T'}\] 是等价。

证明

由《态射进阶》引理 07RX 有等价 \[\textit{flat-lfp}_{S'} \longrightarrow \textit{flat-lfp}_S \times_{\textit{flat-lfp}_T} \textit{flat-lfp}_{T'}\] \(\textit{flat-lfp}_S\) 表示在 \(S\) 上平坦且局部有限表示的概形范畴。设左侧的 \(X'/S'\) 对应于右侧的三元组 \((X/S, Y'/T', \varphi)\)。令 \(Y = T \times_{T'} Y'\)；通过 \(\varphi\)，它同构于 \(T \times_S X\)。于是《态射进阶》引理 08KU 给出等价 \[\textit{QCoh-flat}_{X'/S'} \longrightarrow \textit{QCoh-flat}_{X/S} \times_{\textit{QCoh-flat}_{Y/T}} \textit{QCoh-flat}_{Y'/T'}\] \(\textit{QCoh-flat}_{X/S}\) 表示由在 \(S\) 上平坦的拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模组成的范畴。由于 \(X \to S\)、\(Y \to T\)、\(X' \to S'\)、\(Y' \to T'\) 均平坦，这尤其适用于可逆模，从而给出范畴等价 \[\textit{Pic}(X') \longrightarrow \textit{Pic}(X) \times_{\textit{Pic}(Y)} \textit{Pic}(Y')\] \(\textit{Pic}(X)\) 表示可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模的范畴。这里有一点需要说明：若 \(\textit{QCoh-flat}_{X'/S'}\) 中的对象 \(\mathcal{F}'\) 在 \(X\) 和 \(Y'\) 上的拉回都是可逆模，则必须证明 \(\mathcal{F}'\) 是可逆 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模。由上述引理，\(\mathcal{F}'\) 是有限表示的 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模。根据《态射进阶》引理 080Q 只需检验 \(\mathcal{F}'\) 在 \(X' \to S'\) 各纤维上的限制是可逆的。但 \(X' \to S'\) 的纤维与 \(X \to S\) 的纤维相同，故这些限制确实可逆。

由以上论证可知，即使先去掉（在 \(S\) 上对象的范畴中） \(X \to S\) 为真的条件以及 \(\mathcal{L}\) 为充足的条件，我们仍得到范畴等价。显然，若 \(X' \to S'\) 为真，则 \(X \to S\) 和 \(Y' \to T'\) 都为真（《态射》引理 01W4). 反之，若 \(X \to S\) 与 \(Y' \to T'\) 为真，则 \(X' \to S'\) 也为真；见《态射进阶》引理 09ZW。类似地，若 \(\mathcal{L}'\) 在 \(X'/S'\) 上充足，则 \(\mathcal{L}'|_X\) 在 \(X/S\) 上充足，且 \(\mathcal{L}'|_{Y'}\) 在 \(Y'/T'\) 上充足（《态射》引理 0893）。最后，若 \(\mathcal{L}'|_X\) 在 \(X/S\) 上充足，且 \(\mathcal{L}'|_{Y'}\) 在 \(Y'/T'\) 上充足，则 \(\mathcal{L}'\) 在 \(X'/S'\) 上充足；见《态射进阶》引理 0D2R。

引理

设 \(k\) 为域，且 \(x = (X \to \Spec(k), \mathcal{L})\) 是 \(\Spec(k)\) 上 \(\mathcal{X} = \Polarizedstack\) 的对象。

若 \(k\) 在 \(\mathbf{Z}\) 上有限型，则向量空间 \(T\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x}\) 和 \(\text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x})\) （见《Artin 公理》第 07WY 节）均为有限维；

一般而言，向量空间 \(T_x(k)\) 和 \(\text{Inf}_x(k)\) （见《Artin 公理》第 07Y6 节）均为有限维。

证明

《Artin 公理》第 07WY 节中的讨论只适用于在基概形 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上有限型的域。由引理 0D44，我们的叠满足 (RS*)，因此可应用《Artin 公理》引理 07Y9，得到 (2) 中所述的向量空间 \(T_x(k)\) 和 \(\text{Inf}_x(k)\)。此外，在有限型情形，由《Artin 公理》注记 0D18，这些空间与 (1) 中所述的空间相同。现在开始证明。

一种证明可以仿照引理 0D1K 的证明；这要求我们为由一个概形和一个拟凝聚模组成的配对发展形变理论。另一种证明可以利用引理 0D1K 的结果、 \(\Polarizedstack \to \Spacesstack'_{fp, flat, proper}\), 的代数性，以及对可逆模形变空间的计算。不过，我们将把问题转化为分次 \(k\)-代数上的形变问题，并由此推出结论。

令 \(\mathcal{C}_k\) 为剩余域是 \(k\) 的 Artin 局部 \(k\)-代数 \(A\) 所成的范畴。由 \(k\) 上 \(\mathcal{X}\) 的对象 \(x\)，得到预形变范畴 \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_k\)；见《Artin 公理》第 07T2 节。因此 \(\mathcal{F}(A)\) 是三元组 \((X_A, \mathcal{L}_A, \alpha)\) 所成的范畴，其中 \((X_A, \mathcal{L}_A)\) 是 \(A\) 上 \(\Polarizedstack\) 的对象，且 \(\alpha\) 是同构 \((X_A, \mathcal{L}_A) \times_{\Spec(A)} \Spec(k) \cong (X, \mathcal{L})\). 另一方面，令 \(q : \mathcal{G} \to \mathcal{C}_k\) 为《形变问题》例 0D3L 所定义的群胚上余纤维化范畴。取 \(d_0 \gg 0\)（下文会说明需要多大）。令 \(P\) 为分次 \(k\)-代数 \[P = k \oplus \bigoplus\nolimits_{d \geq d_0} H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes d})\] 则 \(y = (k, P)\) 是 \(\mathcal{G}(k)\) 的对象。令 \(\mathcal{G}_y\) 为《形式形变理论》注记 06GU. 中的预形变范畴。给定如上的 \((X_A, \mathcal{F}_A, \alpha)\)，令 \[Q = A \oplus \bigoplus\nolimits_{d \geq d_0} H^0(X_A, \mathcal{L}_A^{\otimes d})\] 同构 \(\alpha\) 诱导映射 \(\beta : Q \to P\)。由射影概形的形变理论（《态射进阶》引理 0D4F），得到群胚上余纤维化范畴的 \(1\)-态射 \[\mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{G}_y,\quad (X_A, \mathcal{F}_A, \alpha) \longmapsto (Q, \beta : Q \to P)\] 它们都位于 \(\mathcal{C}_k\) 上。事实上，此函子是等价，其拟逆由 \(Q \mapsto \underline{\text{Proj}}_A(Q)\) 给出。具体而言，由《除子》引理 0D4C，概形 \(X_A = \underline{\text{Proj}}_A(Q)\) 在 \(A\) 上平坦。令 \(\mathcal{L}_A = \mathcal{O}_{X_A}(1)\)；由同一引理，它在 \(A\) 上平坦。由 \(\beta\) 得到同构 \((X_A, \mathcal{L}_A) \times_{\Spec(A)} \Spec(k) = (X, \mathcal{L})\) 。随后利用《态射进阶》第 0CF2 节和第 063X 节中的方法，可由 \((X, \mathcal{L})\) 的相应性质推出配对 \((X_A, \mathcal{L}_A)\) 所需的全部性质。略去若干细节。

综上，\(T\mathcal{F} = T\mathcal{G}_y = T_y\mathcal{G}\)，且 \(\text{Inf}(\mathcal{F}) = \text{Inf}_y(\mathcal{G})\)。由《形变问题》引理 0DVZ，这些向量空间都是有限维的，证明完毕。

引理

设 \((R_n)\) 是环的逆系统，其转移映射满射且核局部幂零。令 \(R = \lim R_n\)。令 \(S_n = \Spec(R_n)\) 及 \(S = \Spec(R)\)。考虑概形的交换图 \[\xymatrix{ X_1 \ar[r]_{i_1} \ar[d] & X_2 \ar[r]_{i_2} \ar[d] & X_3 \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ S_1 \ar[r] & S_2 \ar[r] & S_3 \ar[r] & \ldots }\] 其中各方块均为笛卡儿方块。设给定 \((\mathcal{L}_n, \varphi_n)\)，其中每个 \(\mathcal{L}_n\) 都是 \(X_n\) 上的可逆层，且 \(\varphi_n : i_n^*\mathcal{L}_{n + 1} \to \mathcal{L}_n\) 是同构。若

\(X_n \to S_n\) 真、平坦且有限表示；

\(\mathcal{L}_1\) 在 \(X_1\) 上充足，

则存在真、平坦且有限表示的概形态射 \(X \to S\)，存在充足可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\)，并存在同构 \(X_n \cong X \times_S S_n\) 及 \(\mathcal{L}_n \cong \mathcal{L}|_{X_n}\)；这些同构与态射 \(i_n\) 和 \(\varphi_n\) 相容。

证明

依照《态射进阶》引理 0D4F，为 \(X_1 \to S_1\) 和 \(\mathcal{L}_1\) 选取 \(d_0\)。对任意 \(n \geq 1\)，令 \[A_n = R_n \oplus \bigoplus\nolimits_{d \geq d_0} H^0(X_n, \mathcal{L}_n^{\otimes d})\] 由该引理，每个 \(A_n\) 都是有限表示的分次 \(R_n\)-代数，其齐次部分 \((A_n)_d\) 是有限射影 \(R_n\)-模，并且 \(X_n = \text{Proj}(A_n)\) 且 \(\mathcal{L}_n = \mathcal{O}_{\text{Proj}(A_n)}(1)\)。该引理还保证映射 \[A_1 \leftarrow A_2 \leftarrow A_3 \leftarrow \ldots\] 当 \(n \leq m\) 时诱导同构 \(A_n = A_m \otimes_{R_m} R_n\)。令 \[B = \bigoplus\nolimits_{d \geq 0} B_d \quad\text{其中}\quad B_d = \lim_n (A_n)_d\] 由《代数进阶》引理 0D4B 可知 \(B_d\) 是有限射影 \(R\)-模，且 \(B \otimes_R R_n = A_n\)。因此概形 \[X = \text{Proj}(B) \quad\text{且}\quad \mathcal{L} = \mathcal{O}_X(1)\] 在 \(S\) 上平坦，且 \(\mathcal{L}\) 是在 \(S\) 上平坦的拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模；见《除子》引理 0D4C。由于 Proj 的形成与基变换可交换（《构造》引理 01N2），得到典范同构 \[X \times_S S_n = X_n \quad\text{且}\quad \mathcal{L}|_{X_n} \cong \mathcal{L}_n\] 它们与系统的转移映射相容。因此可把 \(X_1 \subset X\) 看作闭子概形。下文将证明 \(B\) 在 \(R\) 上有限表示。由《除子》引理 0800 和 0D4D 可知 \(X \to S\) 有限表示且为真，并且 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(1)\) 作为 \(\mathcal{O}_X\)-模有限表示。由于 \(\mathcal{L}\) 在基变换 \(X_1 \to S_1\) 上的限制可逆，由《态射进阶》引理 0CZR， \(\mathcal{L}\) 在 \(X\) 中 \(X_1\) 的某个开邻域上可逆。由于 \(X \to S\) 为闭的，且 \(\Ker(R \to R_1)\) 包含于 Jacobson 根中（《代数进阶》引理 0CT7），可知 \(X\) 中 \(X_1\) 的任何开邻域都等于 \(X\)。因此 \(\mathcal{L}\) 可逆。最后，\(S\) 中使得 \(\mathcal{L}\) 在纤维上充足的点集是 \(S\) 的开集（《态射进阶》引理 0D2S），且包含 \(S_1\)，故等于 \(S\)。于是 \(X \to S\) 和 \(\mathcal{L}\) 具备引理陈述所要求的全部性质。

现在证明上述断言。选取表示 \(A_1 = R_1[X_1, \ldots, X_s]/(F_1, \ldots, F_t)\)，其中 \(X_i\) 是次数为 \(d_i\) 的变量，\(F_j\) 是 \(X_i\) 中次数为 \(e_j\) 的齐次多项式。可以选取映射 \[\Psi : R[X_1, \ldots, X_s] \longrightarrow B\] 提升映射 \(R_1[X_1, \ldots, X_s] \to A_1\)。由于每个 \(B_d\) 都是有限射影 \(R\)-模，再次利用 \(\Ker(R \to R_1)\) 包含于 \(R\) 的 Jacobson 根这一事实，由 Nakayama 引理（《代数》引理 00DV）可知 \(\Psi\) 满射。由于 \(- \otimes_R R_1\) 右正合，可以找到 \(G_1, \ldots, G_t \in \Ker(\Psi)\)，它们在 \(R_1[X_1, \ldots, X_s]\) 中映到 \(F_1, \ldots, F_t\)。注意，对所有 \(d \geq 0\)，\(\Ker(\Psi)_d\) 是有限射影 \(R\)-模，因为它是有限射影 \(R\)-模之间满射 \(R[X_1, \ldots, X_s]_d \to B_d\) 的核。再次由 Nakayama 引理可知，\(\Ker(\Psi)\) 由 \(G_1, \ldots, G_t\) 生成。

引理

考虑基概形 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上的叠 \(\Polarizedstack\)。则每个形式对象都是有效的。

证明

引理中各概念的定义见《Artin 公理》第 07X3 节。由定义可见，本引理立即推出自更一般的引理 0D4T。

引理

群胚叠 \(\Polarizedstack\) 在 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上满足通用性的开放性。类似地，经基变换后（注记 0D1N），通用性的开放性在任意 Noether 基概形 \(S\) 上成立。

证明

这推出自《Artin 公理》引理 0CXU 以及引理 0D42、 0D44, 0D43 和 0D4T. 关于此事实的“通常”证明，见本证明之后注记中的讨论。

注

引理 0D4V 也可用《Artin 公理》引理 0CYF 中的障碍理论证明（如引理 08WA 的第二个证明）。为此，必须把《余切复形》第 08V3 节发展出的形变与障碍理论推广到代数空间与拟凝聚模所成配对的情形。另一种办法是利用 \(1\)-态射 \(\Polarizedstack \to \Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 为代数的（引理 0D41），以及我们已知其目标满足通用性的开放性（引理 0D3X 和注记 0D1P）。

定理

叠 \(\Polarizedstack\)（情形 0D1M）是代数的。事实上，对任意代数空间 \(B\)，叠 \(B\textit{-Polarized}\)（注记 0D1N）都是代数的。

证明

绝对情形推出自《Artin 公理》引理 07Y4 以及引理 0D42、 0D44, 0D43, 0D4U 和 0D4V. 关于 \(B\) 的情形由此推出：\(B\textit{-Polarized}\) 在注记 0D1N 中被描述为 \(2\)-纤维积，而代数叠存在 \(2\)-纤维积；见《代数叠》引理 04T2。

曲线叠

本节证明曲线叠是代数的。关于曲线模空间的进一步讨论，参见《曲线模空间》第 0DMH 节。

Stacks 项目中的曲线是维数为 \(1\) 的簇。不过，当我们谈论曲线族时，通常允许纤维可约和/或非约。在本节中，曲线叠将“参数化维数 \(\leq 1\) 的真概形”。然而，事实表明，为了得到曲线族的正确概念，我们需要允许族的总空间是代数空间。这导出如下定义。

情形

我们定义范畴 \(\Curvesstack\) 如下：

对象是 曲线族。更准确地说，对象是态射 \(f : X \to S\)，其中基底 \(S\) 是概形， 总空间 \(X\) 是代数空间，且 \(f\) 平坦、真、有限表示，相对维数 \(\leq 1\)（《空间的态射》定义 06LR）。

对象之间的态射 \((X' \to S') \to (X \to S)\) 由一对 \((f, g)\) 给出，其中 \(f : X' \to X\) 是代数空间的态射， \(g : S' \to S\) 是概形的态射，并且它们适合交换图 \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r]_f & X \ar[d] \\ S' \ar[r]^g & S }\] 诱导同构 \(X' \to S' \times_S X\)；换言之，该图是笛卡尔的。

遗忘函子 \[p : \Curvesstack \longrightarrow \Sch_{fppf},\quad (X \to S) \longmapsto S\] 就是我们把 \(\Curvesstack\) 看作 \(\Sch_{fppf}\) 上范畴的方式（记号见第 05X6 节）。

由《域上的空间》引理 0ADD 以及更一般地由《空间的更多态射》引理 0AE7 可知，若 \(S\) 是域的谱、阿廷局部环的谱，或诺特完备局部环的谱，则对任意曲线族 \(X \to S\)，总空间 \(X\) 是概形。另一方面，在 \(\mathbf{A}^1_k\) 上存在总空间不是概形的曲线族，见《例子》第 0D5D 节。

显然 [0D50]\[\begin{equation} \Curvesstack \subset \Spacesstack'_{fp, flat, proper} \end{equation}\] 且 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 的对象 \(X \to S\) 属于 \(\Curvesstack\) 当且仅当 \(X \to S\) 的相对维数 \(\leq 1\)。我们将利用这一点验证 \(\Curvesstack\) 的 Artin 公理。

引理

范畴 \(\Curvesstack\) 在 \(\Sch_{fppf}\) 上是群胚纤维化的。

证明

利用嵌入（0D50）、像的描述以及 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 的相应事实（引理 0D1E），问题归结为如下陈述：给定态射 \[\xymatrix{ X' \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ S' \ar[r] & S }\] 在 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 中（回忆这尤其意味着该图是笛卡尔的），若 \(X \to S\) 的相对维数 \(\leq 1\)，则 \(X' \to S'\) 的相对维数也 \(\leq 1\)。这由《空间的态射》引理 04NS.

引理

范畴 \(\Curvesstack\) 是 \(\Sch_{fppf}\) 上的群胚叠。

证明

利用嵌入（0D50）、像的描述以及 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 的相应事实（引理 0D1G），问题归结为如下陈述：设 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 的对象 \(X \to S\) 以及 fppf 覆盖 \(\{S_i \to S\}_{i \in I}\)，则下列条件等价：

\(X \to S\) 的相对维数 \(\leq 1\)；

对每个 \(i\)，基变换 \(X_i \to S_i\) 的相对维数 \(\leq 1\)。

这由《空间的态射》引理 04NS.

引理

对角态射 \[\Delta : \Curvesstack \longrightarrow \Curvesstack \times \Curvesstack\] 由代数空间表示。

证明

这立即由全忠实嵌入（0D50）以及 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 的相应事实（引理 0D1F）得到。

注

设 \(B\) 是 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上的代数空间。令 \(B\text{-}\Curvesstack\) 为由对 \((X \to S, h : S \to B)\) 组成的范畴，其中 \(X \to S\) 是 \(\Curvesstack\) 的对象， \(h : S \to B\) 是态射。在 \(B\text{-}\Curvesstack\) 中，态射 \((X' \to S', h') \to (X \to S, h)\) 是 \(\Curvesstack\) 中满足 \(h \circ g = h'\) 的态射 \((f, g)\)。在此情形，图 \[\xymatrix{ B\text{-}\Curvesstack \ar[r] \ar[d] & \Curvesstack \ar[d] \\ (\Sch/B)_{fppf} \ar[r] & \Sch_{fppf} }\] 是 \(2\)-纤维积方形。这个平凡的备注有时很有用：它可以把绝对情形 \(\Curvesstack\) 的结果推导到给定基代数空间上的曲线族情形。

引理

叠 \(\Curvesstack \to \Sch_{fppf}\) 保持极限（《Artin 公理》定义 07XL）。

证明

利用嵌入（0D50）、像的描述以及 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 的相应事实（引理 0D1I），问题归结为如下陈述：设 \(T = \lim T_i\) 是仿射概形有向逆系统的极限。设 \(i \in I\)，且 \(X_i \to T_i\) 是 \(T_i\) 上 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 的对象。假设 \(T \times_{T_i} X_i \to T\) 的相对维数 \(\leq 1\)。则存在某个 \(i' \geq i\)，使得态射 \(T_{i'} \times_{T_i} X_i \to T_i\) 的相对维数 \(\leq 1\)。这由《空间的极限》引理 0D4K.

引理

设 \[\xymatrix{ T \ar[r] \ar[d] & T' \ar[d] \\ S \ar[r] & S' }\] 是概形范畴中的推出，其中 \(T \to T'\) 是加厚且 \(T \to S\) 是仿射；见《更多态射》引理 07RT。则纤维范畴上的函子 \[\Curvesstack_{S'} \longrightarrow \Curvesstack_S \times_{\Curvesstack_T} \Curvesstack_{T'}\] 是等价。

证明

利用嵌入（0D50）、像的描述以及 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 的相应事实（引理 0D1J），问题归结为如下陈述：设 \(X' \to S'\) 是代数空间到 \(S'\) 的态射，有限表示、平坦且真，则 \(X' \to S'\) 的相对维数 \(\leq 1\) 当且仅当 \(S \times_{S'} X' \to S\) 和 \(T' \times_{S'} X' \to T'\) 的相对维数 \(\leq 1\)。一个方向由相对维数 \(\leq 1\) 在基变换下保持这一事实得到（《空间的态射》引理 04NS). 另一个方向由以下事实得到：相对维数 \(\leq 1\) 可在纤维上检验，并且 \(X' \to S'\) 的纤维（在概形 \(S'\) 的点上）与 \(S \times_{S'} X' \to S\) 的纤维相同，因为根据《更多态射》引理 07RT， \(S \to S'\) 是加厚。

引理

设 \(k\) 是域，且 \(x = (X \to \Spec(k))\) 是 \(\Spec(k)\) 上 \(\mathcal{X} = \Curvesstack\) 的对象。

若 \(k\) 在 \(\mathbf{Z}\) 上有限型，则向量空间 \(T\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x}\) 和 \(\text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x})\) （见《Artin 公理》第 07WY 节）是有限维的；并且

一般地，向量空间 \(T_x(k)\) 和 \(\text{Inf}_x(k)\) （见《Artin 公理》第 07Y6 节）是有限维的。

证明

这立即由全忠实嵌入（0D50）以及 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 的相应事实（引理 0D1K）得到。

引理

考虑基概形 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上的叠 \(\Curvesstack\)。则每个形式对象都是有效的。

证明

引理中各概念的定义见《Artin 公理》第 07X3 节。设 \((A, \mathfrak m, \kappa)\) 是诺特完备局部环。设 \((X_n \to \Spec(A/\mathfrak m^n))\) 是 \(A\) 上 \(\Curvesstack\) 的形式对象。由《空间的更多态射》引理 0E7R 存在射影态射 \(X \to \Spec(A)\) 以及同构的相容系统 \(X \times_{\Spec(A)} \Spec(A/\mathfrak m^n) \cong X_n\)。由《更多态射》引理 0D4G 可知 \(X \to \Spec(A)\) 是平坦的。由《更多态射》引理 0D4J 可知 \(X \to \Spec(A)\) 的相对维数 \(\leq 1\)。引理得证。

引理

群胚叠 \(\mathcal{X} = \Curvesstack\) 在 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上满足形式光滑性的开放性。同样，在基变换之后（备注 0D54），形式光滑性的开放性对任意诺特基概形 \(S\) 成立。

证明

这立即由全忠实嵌入（0D50）以及 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 的相应事实（引理 0D3X）得到。

定理

叠 \(\Curvesstack\)（情形 0D4Z）是代数的。事实上，对任意代数空间 \(B\)，叠 \(B\text{-}\Curvesstack\)（备注 0D54）也是代数的。

证明

绝对情形由《Artin 公理》引理 07Y4 以及引理 0D53、 0D56, 0D55, 0D58，以及 0D59. \(B\) 上的情形由此、备注 0D54 中 \(B\text{-}\Curvesstack\) 作为 \(2\)-纤维积的描述，以及代数叠具有 \(2\)-纤维积这一事实得到；见《代数叠》引理 04T2。

引理

这个 \(1\)-态射（0D50） \[\Curvesstack \longrightarrow \Spacesstack'_{fp, flat, proper}\] 由开浸入和闭浸入表示。

证明

由于（0D50）是范畴的全忠实嵌入，只需证明如下事实：给定 \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 的对象 \(X \to S\)，存在开闭子概形 \(U \subset S\)，使得态射 \(S' \to S\) 经由 \(U\) 分解，当且仅当 \(X \to S\) 的基变换 \(X' \to S'\) 的相对维数 \(\leq 1\)。这立即由《空间的更多态射》引理 0D4R.

注

考虑 \(2\)-纤维积 \[\xymatrix{ \Curvesstack \times_{\Spacesstack'_{fp, flat, proper}} \Polarizedstack \ar[r] \ar[d] & \Polarizedstack \ar[d] \\ \Curvesstack \ar[r] & \Spacesstack'_{fp, flat, proper} }\] 这个纤维积参数化极化曲线，即带有相对充足可逆层的曲线族。事实表明，左侧竖直箭头 \[\textit{PolarizedCurves} \longrightarrow \Curvesstack\] 是代数的、光滑且满射的。也就是说，这个 \(1\)-态射是代数的（因为它是引理 0D41 中箭头的基变换），每个点都在像中，并且曲线上的可逆层不存在变形障碍（见引理 0D58 的证明）。这给出了证明 \(\Curvesstack\) 代数性的另一种方法。具体地，由引理 0D5B，可知 \(\textit{PolarizedCurves}\) 是代数叠 \(\Polarizedstack\) 的开闭子叠，而任何从代数叠出发的光滑代数态射的目标群胚叠都是代数叠。

真态射上的复形模空间

本节的标题和内容取自 [lieblich-complexes]。设 \(S\) 是概形，且 \(f : X \to B\) 是代数空间的真、平坦、有限表示态射。我们将证明存在一个代数叠 \[\Complexesstack_{X/B}\] 参数化纤维上负自扩张为零的 \(D^b_{\textit{Coh}}\) 对象“族”。更准确地说，族由总空间导出范畴中的相对完美对象给出；这一略显技术性的概念见《空间的更多态射》第 0DKM.

即使 \(X\) 是域 \(k\) 上的真代数空间，我们也得到一个非常有趣的代数叠。具体地，有嵌入 \[\Cohstack_{X/k} \longrightarrow \Complexesstack_{X/k}\] 因为对任意 \(\mathcal{O}\)-模 \(\mathcal{F}\)（在任意带环拓扑斯上），都有 \(\Ext^i_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{F}) = 0\)（当 \(i < 0\)）。虽然这当然说明我们的叠非空，但研究 \(\Complexesstack_{X/k}\) 的真正动机是，导出范畴中常常存在这样的对象： \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) 中负自扩张为零的对象，并且其上同调层在多个次数中非零。例如，\(X\) 可能与另一个真代数空间 \(Y\)（定义在 \(k\) 上）导出等价，即存在一个 \(k\)-线性等价 \[F : D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y) \longrightarrow D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\] 有时确实如此，而 \(F\) 并非由 \(X\) 与 \(Y\) 之间的同构给出；例如阿贝尔簇及其对偶的情形。在此情形，\(F\) 诱导代数叠之间的同构 \[\Complexesstack_{Y/k} \longrightarrow \Complexesstack_{X/k}\] （此处待补未来的参考文献），特别地，\(Y\) 上的凝聚层叠映入 \(X\) 上的复形叠。反过来，如果我们足够理解 \(\Complexesstack_{X/k}\) 的几何，就可以尝试利用它研究所有可能的导出等价空间 \(Y\)。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(f : X \to Y\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。假设 \(f\) 真、平坦且有限表示。设 \(K, E \in D(\mathcal{O}_X)\)。假设 \(K\) 伪凝聚，且 \(E\) 是 \(Y\)-完美的（《空间的更多态射》定义 0DKN）。对域 \(k\) 及态射 \(y : \Spec(k) \to Y\)，记 \(K_y\)、\(E_y\) 为到纤维 \(X_y\) 的拉回。

存在开子集 \(W \subset Y\)，其特征性质为 \[y \in |W| \Leftrightarrow \Ext^i_{\mathcal{O}_{X_y}}(K_y, E_y) = 0 \text{，其中 }i < 0.\]

对于任意态射 \(V \to Y\)，若其经由 \(W\) 分解，则有 \[\Ext^i_{\mathcal{O}_{X_V}}(K_V, E_V) = 0 \quad\text{当}\quad i < 0\] 其中 \(X_V\) 是 \(X\) 的基变换，而 \(K_V\)、\(E_V\) 是 \(K\)、\(E\) 到 \(X_V\) 的导出拉回。

函子 \(V \mapsto \Hom_{\mathcal{O}_{X_V}}(K_V, E_V)\) 是 \((\textit{Spaces}/W)_{fppf}\) 上的层，由一个在 \(W\) 上仿射且有限表示的代数空间表示。

证明

对任意态射 \(V \to Y\)，复形 \(K_V\) 伪凝聚（《站点上的上同调》引理 08H4) 且 \(E_V\) 是 \(V\)-完美的（《空间的更多态射》引理 0DKT). 另一个观察是，给定 \(y : \Spec(k) \to Y\) 以及域扩张 \(k'/k\)，带有 \(y' : \Spec(k') \to Y\)，所诱导的态射满足 \[\Ext^i_{\mathcal{O}_{X_{y'}}}(K_{y'}, E_{y'}) = \Ext^i_{\mathcal{O}_{X_y}}(K_y, E_y) \otimes_k k'\] 由《概形的导出范畴》引理 0AA7. 因此，(1) 中的消失确实是所诱导点 \(y \in |Y|\) 的性质。证明中不再特别提及这两个观察。

首先假设 \(Y\) 是仿射概形。于是可应用《空间的更多态射》引理 0DKY 并找到伪凝聚的 \(L \in D(\mathcal{O}_Y)\)，它按该引理所述的意义计算 “普遍地计算” \(Rf_*R\SheafHom(K, E)\)。展开定义，对点 \(y \in Y\) 有等式 \[\Ext^i_{\kappa(y)}(L \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} \kappa(y), \kappa(y)) = \Ext^i_{\mathcal{O}_{X_y}}(K_y, E_y)\] 由此得到 \[H^i(L \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} \kappa(y)) = 0 \text{ 对 } i > 0 \Leftrightarrow \Ext^i_{\mathcal{O}_{X_y}}(K_y, E_y) = 0 \text{ 对 }i < 0.\] 由《概形的导出范畴》引理 0BDI，满足该条件的点集 \(W\) 由 \(y \in Y\) 构成，是 \(Y\) 的开子集。这个开集 \(W\) 对所有来自域谱的态射，依据 \(L\) 的“普遍性”，满足 (1) 中的要求。

回到一般的代数空间 \(Y\)。取 \(\{V_i \to Y\}\) 为由仿射概形 \(V_i\) 给出的 étale 覆盖。则子集 \(W \subset |Y|\) 拉回为相应的子集 \(W_i \subset |V_i|\)（对应于 \(X_{V_i}\)、\(K_{V_i}\)、\(E_{V_i}\)）。由上一段可知 \(W_i\) 是开集，因而 \(W\) 是开集。这就一般地证明了 (1)。此外，(2)、(3) 完全用范畴 \(\textit{Spaces}/W\) 及限制 \(X_W\)、\(K_W\)、\(E_W\) 表述。因此只需考虑 \(W = Y\) 的情形。

假设 \(W = Y\)。我们断言，对任意代数空间 \(V\)（在 \(Y\) 上）， \(Rf_{V, *}R\SheafHom(K_V, E_V)\) 在次数 \(< 0\) 的上同调层均消失。这将证明 (2)，因为 \[\Ext^i_{\mathcal{O}_{X_V}}(K_V, E_V) = H^i(X_V, R\SheafHom(K_V, E_V)) = H^i(V, Rf_{V, *}R\SheafHom(K_V, E_V))\] 由《站点上的上同调》引理 08JA 以及 0D6H 并且由上同调层消失及《导出范畴》引理 05TC，上同调群 \(H^i\) 在 \(i < 0\) 时为零。

为证明该断言，我们可以在 \(V\) 上作 étale 局部工作。特别地，可假设 \(Y\) 仿射且 \(W = Y\)。令 \(L \in D(\mathcal{O}_Y)\) 如证明第二段所述。对代数空间 \(V\)（在 \(Y\) 上），记 \(L_V\) 为 \(L\) 到 \(V\) 的导出拉回。（我们将使用的一个重要特征是，\(L\) 对所有代数空间 \(V\)（在 \(Y\) 上）都适用，而不只对仿射 \(V\) 适用。）由于 \(W = Y\)，有 \(H^i(L) = 0\)（当 \(i > 0\)）（使用《更多代数》引理 0BCC 从纤维转到茎）。因此 \(H^i(L_V) = 0\)（当 \(i > 0\)）。定义 \(L\) 的性质是 \[Rf_{V, *}R\SheafHom(K_V, E_V) = R\SheafHom(L_V, \mathcal{O}_V)\] 由于 \(L_V\) 集中在次数 \(\leq 0\)，可知 \(R\SheafHom(L_V, \mathcal{O}_V)\) 集中在次数 \(\geq 0\)，从而证明断言。(2) 的证明完成。

假设 \(W = Y\)，但对代数空间 \(Y\) 不作任何假设。由 (2) 以及《单纯空间》引理 0DL9，函子 \(F\)（由 \(F(V) = \Hom_{\mathcal{O}_{X_V}}(K_V, E_V)\) 给出）是一个层⁴ 在 \((\textit{Spaces}/Y)_{fppf}\) 上。要证明 \(F\) 是代数空间且 \(F \to Y\) 在 \(Y\) 上仿射并有限表示，我们可以作 étale 局部工作；见《引导》引理 04U0 以及《空间的态射》引理 03WG 和 0410。因此，只需证明 \(F\) 在 \(Y\) 为仿射概形时是 \(Y\) 上仿射且有限表示的代数空间。此时回到伪凝聚复形 \(L \in D(\mathcal{O}_Y)\)。由于 \(H^i(L) = 0\)（当 \(i > 0\)），可将 \(L\) 表示为如下形式的复形： \[\ldots \to \mathcal{O}_Y^{\oplus m_1} \to \mathcal{O}_Y^{\oplus m_0} \to 0 \to \ldots\] 末项位于次数 \(0\)；见《更多代数》引理 064U。结合证明中前面两个显示公式可得 \[F(V) = \Ker( \Hom_V(\mathcal{O}_V^{\oplus m_0}, \mathcal{O}_V) \to \Hom_V(\mathcal{O}_V^{\oplus m_1}, \mathcal{O}_V) )\] 换言之，存在纤维积图 \[\xymatrix{ F \ar[d] \ar[r] & Y \ar[d]^0 \\ \mathbf{A}_Y^{m_0} \ar[r] & \mathbf{A}_Y^{m_1} }\] 这就证明了所需结论。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(f : X \to Y\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。假设 \(f\) 真、平坦且有限表示。设 \(E \in D(\mathcal{O}_X)\)。假设

\(E\) 是 \(S\)-完美的（《空间的更多态射》定义 0DKN)，以及

对每个点 \(s \in S\)，有 \[\Ext^i_{\mathcal{O}_{X_s}}(E_s, E_s) = 0 \quad\text{当}\quad i < 0\] 其中 \(E_s\) 是到纤维 \(X_s\) 的拉回。

则

(1)、(2) 在任意基变换 \(V \to Y\) 下保持；

有 \(\Ext^i_{\mathcal{O}_{X_V}}(E_V, E_V) = 0\)（当 \(i < 0\)），且对所有 \(V\)（在 \(Y\) 上）均成立；

\(V \mapsto \Hom_{\mathcal{O}_{X_V}}(E_V, E_V)\) 由一个在 \(Y\) 上仿射且有限表示的代数空间表示。

这里 \(X_V\) 是 \(X\) 的基变换，\(E_V\) 是 \(E\) 到 \(X_V\) 的导出拉回。

证明

这是引理 0DLC 的直接推论。

情形

设 \(S\) 是概形。设 \(f : X \to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。假设 \(f\) 真、平坦且有限表示。记 \(\Complexesstack_{X/B}\) 为如下范畴：其对象是三元组 \((T, g, E)\)，其中

\(T\) 是 \(S\) 上的概形；

\(g : T \to B\) 是 \(S\) 上的态射，并令 \(X_T = T \times_{g, B} X\)

\(E\) 是 \(D(\mathcal{O}_{X_T})\) 的对象，满足引理 0DLD 的条件 (1)、(2)。

态射 \((T, g, E) \to (T', g', E')\) 由一对 \((h, \varphi)\) 给出，其中

\(h : T \to T'\) 是 \(B\) 上概形的态射（即 \(g' \circ h = g\)）；并且

\(\varphi : L(h')^*E' \to E\) 是 \(D(\mathcal{O}_{X_T})\) 中的同构，其中 \(h' : X_T \to X_{T'}\) 是 \(h\) 的基变换。

因此 \(\Complexesstack_{X/B}\) 是一个范畴，且规则 \[p : \Complexesstack_{X/B} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}, \quad (T, g, E) \longmapsto T\] 是函子。对概形 \(T\)（在 \(S\) 上），记 \(\Complexesstack_{X/B, T}\) 为 \(p\) 在 \(T\) 上的纤维范畴。这些纤维范畴是群胚。

引理

在情形 0DLE 中，函子 \(p : \Complexesstack_{X/B} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\) 是群胚纤维化的。

证明

我们通过检验函子 \(p\) 是否为群胚纤维化，使用《范畴》定义 003T. 给定对象 \((T', g', E')\)（属于 \(\Complexesstack_{X/B}\)）以及态射 \(h : T \to T'\)（为 \(S\) 上概形的态射），令 \(g = h \circ g'\)，并令 \(E = L(h')^*E'\)，其中 \(h' : X_T \to X_{T'}\) 是 \(h\) 的基变换。显然得到态射 \((T, g, E) \to (T', g', E')\)，它属于 \(\Complexesstack_{X/B}\) 且位于 \(h\) 之上。这证明了 (1)。对于 (2)，设给定态射 \[(h_1, \varphi_1) : (T_1, g_1, E_1) \to (T, g, E) \quad\text{以及}\quad (h_2, \varphi_2) : (T_2, g_2, E_2) \to (T, g, E)\] 它们属于 \(\Complexesstack_{X/B}\)，且有态射 \(h : T_1 \to T_2\) 满足 \(h_2 \circ h = h_1\)。令 \(\varphi\) 为复合 \[L(h')^*E_2 \xrightarrow{L(h')^*\varphi_2^{-1}} L(h')^*L(h_2)^*E = L(h_1)^*E \xrightarrow{\varphi_1} E_1\] 即可得到态射 \((h, \varphi) : (T_1, g_1, E_1) \to (T_2, g_2, E_2)\)，从而证明条件 (2) 成立。

引理

在情形 0DLE 中，记 \(\mathcal{X} = \Complexesstack_{X/B}\)。则 \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) 是由代数空间表示。

证明

考虑两个对象 \(x = (T, g, E)\) 和 \(y = (T, g', E')\)，它们属于 \(\mathcal{X}\) 在概形 \(T\) 上的纤维。需证明 \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, y)\) 是 \(T\) 上的代数空间，见《代数叠》引理 045G。若对 \(h : T' \to T\)，限制对象 \(x|_{T'}\) 与 \(y|_{T'}\) 在纤维范畴 \(\mathcal{X}_{T'}\) 中同构，则 \(g \circ h = g' \circ h\)。因此存在预层的变换 \[\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, y) \longrightarrow \text{Equalizer}(g, g')\] 由于 \(B\) 的对角态射可表示（由概形表示），这个等化子是概形。因此可用此等化子替换 \(T\)，并用其拉回替换 \(E\)、\(E'\)。于是可假设 \(g = g'\)。

假设 \(g = g'\)。以 \(B\) 替换为 \(T\)，并以 \(X\) 替换为 \(X_T\) 后，问题变为：给定 \(E, E' \in D(\mathcal{O}_X)\)，满足引理 0DLD 的条件 (1)、(2)，证明 \(\mathit{Isom}(E, E')\) 是代数空间。这里 \(\mathit{Isom}(E, E')\) 是函子 \[(\Sch/B)^{opp} \to \textit{Sets},\quad T \mapsto \{\varphi : E_T \to E'_T \text{ isomorphism in }D(\mathcal{O}_{X_T})\}\] 其中 \(E_T\)、\(E'_T\) 是 \(E\)、\(E'\) 到 \(X_T\) 的导出拉回。现在，令 \(W \subset B\)（分别令 \(W' \subset B\)）为 \(B\) 中由引理 0DLC 与 \(E, E'\)（分别与 \(E', E\)）关联的开子空间。显然，若存在同构 \(E_T \to E'_T\)（如 \(\mathit{Isom}(E, E')\) 的定义所述），则 \(T \to B\) 同时经由 \(W\)、\(W'\) 分解（因为 \(E\)、\(E'\) 满足条件 (1)，且显然 \(E_t \cong E'_t\)，所以不存在非零态射 \(E_t[i] \to E_t\) 或 \(E'_t[i] \to E_t\)；在纤维 \(X_t\) 上当 \(i > 0\) 时均如此。因此可用 \(B\) 替换为开集 \(W \cap W'\)。在此情形，函子 \(H = \SheafHom(E, E')\) \[(\Sch/B)^{opp} \to \textit{Sets},\quad T \mapsto \Hom_{\mathcal{O}_{X_T}}(E_T, E'_T)\] 由引理 0DLC，是 \(B\) 上仿射且有限表示的代数空间。对下列函子同样如此： \(H' = \SheafHom(E', E)\), \(I = \SheafHom(E, E)\)，以及 \(I' = \SheafHom(E', E')\). 因此可重复命题 08K9 证明中的论证，得到 \[\mathit{Isom}(E, E') = (H' \times_B H) \times_{c, I \times_B I', \sigma} B\] 其中 \(c\)、\(\sigma\) 是某些态射。因此 \(\mathit{Isom}(E, E')\) 是代数空间。

引理

在情形 0DLE 中，函子 \(p : \Complexesstack_{X/B} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\) 是群胚叠。

证明

要证明 \(\Complexesstack_{X/B}\) 是群胚叠，需证明预层 \(\mathit{Isom}\) 是层且下降数据有效。关于 \(\mathit{Isom}\) 的陈述由引理 0DLG 得到，见《代数叠》引理 045G。下面证明下降数据的陈述。

设 \(\{a_i : T_i \to T\}\) 是 \(S\) 上概形的 fppf 覆盖。设 \((\xi_i, \varphi_{ij})\) 是 \(\{T_i \to T\}\) 的下降数据，取值于 \(\Complexesstack_{X/B}\)。对每个 \(i\)，可写 \(\xi_i = (T_i, g_i, E_i)\)。记投影 \(\text{pr}_0 : T_i \times_T T_j \to T_i\) 和 \(\text{pr}_1 : T_i \times_T T_j \to T_j\)。条件 \(\xi_i|_{T_i \times_T T_j} \cong \xi_j|_{T_i \times_T T_j}\) 尤其蕴含 \(g_i \circ \text{pr}_0 = g_j \circ \text{pr}_1\)。因此存在唯一态射 \(g : T \to B\) 使 \(g_i = g \circ a_i\)，见《空间上的下降》引理 04P2. 记 \(X_T = T \times_{g, B} X\)。令 \(X_i = X_{T_i} = T_i \times_{g_i, B} X = T_i \times_{a_i, T} X_T\) 以及 \[X_{ij} = X_{T_i} \times_{X_T} X_{T_j} = X_i \times_{X_T} X_j\] 其投影 \(\text{pr}_i\)、\(\text{pr}_j\) 分别到 \(X_i\)、\(X_j\)。注意 \((T_i, g_i, E_i)\) 沿 \(\text{pr}_0 : T_i \times_T T_j \to T_i\) 的拉回为 \((T_i \times_T T_j, g_i \circ \text{pr}_0, L\text{pr}_i^*E_i)\). 因此，\(\{T_i \to T\}\) 在 \(\Complexesstack_{X/B}\) 中的下降数据由对象 \((T_i, g \circ a_i, E_i)\) 以及每一对 \(i, j\) 的同构给出，该同构位于 \(D\mathcal{O}_{X_{ij}})\) \[\varphi_{ij} : L\text{pr}_i^*E_i \longrightarrow L\text{pr}_j^*E_j\] 并在 \(X\) 到 \(T_i \times_T T_j \times_T T_k\). 利用引理 0DLD 的 (b) 所给出的负 Ext 消失，可应用《单纯空间》引理 0DLA 得到这些复形的下降⁵ 对于这些复形。换言之，存在对象 \(E\)，属于 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_T})\)，将 \(E_i\) 限制到 \(X_{T_i}\) 上，并与 \(\varphi_{ij}\) 相容。回忆，\(T\)-完美意味着伪凝聚，且相对于 \(f^{-1}\mathcal{O}_T\) 具有局部有限 Tor 维。因此 \(E\) 是 \(T\)-完美的，这是由《空间的更多态射》引理 0DL1 以及 0DL2. 最后需检验 \(E\) 满足引理 0DLD 的条件 (2)。这立即由引理 0DLC 中开集 \(W\) 的描述，以及 (2) 对 \(E_i\) 在 \(X_{T_i}/T_i\) 上成立这一事实得到。

注

在情形 0DLE 中，规则 \((T, g, E) \mapsto (T, g)\) 定义 \(1\)-态射 \[\Complexesstack_{X/B} \longrightarrow \mathcal{S}_B\] 它是群胚叠的态射（见引理 0DLH、《代数叠》第 04SU 节，以及《叠的例子》第 0305). 设 \(B' \to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。设 \(\mathcal{S}_{B'} \to \mathcal{S}_B\) 是相应的集合纤维化叠的 \(1\)-态射。令 \(X' = X \times_B B'\)。由基变换得到群胚叠 \(\Complexesstack_{X'/B'} \to (\Sch/S)_{fppf}\)，其中 \(f' : X' \to B'\)。在此情形，图 \[\begin{matrix} \vcenter{\xymatrix{ \Complexesstack_{X'/B'} \ar[r] \ar[d] & \Complexesstack_{X/B} \ar[d] \\ \mathcal{S}_{B'} \ar[r] & \mathcal{S}_B }} \\ \text{或者换一种记号：} \\ \vcenter{\xymatrix{ \Complexesstack_{X'/B'} \ar[r] \ar[d] & \Complexesstack_{X/B} \ar[d] \\ \Sch/B' \ar[r] & \Sch/B }} \end{matrix}\] 是 \(2\)-纤维积方形。这个平凡的备注有时可用于改变基代数空间。

引理

在情形 0DLE 中，假设 \(B \to S\) 局部有限表示。则 \(p : \Complexesstack_{X/B} \to (\Sch/S)_{fppf}\) 保持极限（《Artin 公理》定义 07XL）。

证明

记 \(B(T)\) 为离散范畴，其对象是 \(S\)-态射 \(T \to B\)。设 \(T = \lim T_i\) 是 \(S\) 上仿射概形的滤极限。将对象 \((T, h, E)\)（它是 \(\Complexesstack_{X/B, T}\) 的对象）所对应的 \(h\) 视为 \(B(T)\) 中的对象，得到纤维范畴的交换图 \[\xymatrix{ \colim \Complexesstack_{X/B, T_i} \ar[r] \ar[d] & \Complexesstack_{X/B, T} \ar[d] \\ \colim B(T_i) \ar[r] & B(T) }\] 需证明上方水平箭头是等价。由于假设 \(B\) 在 \(S\) 上局部有限表示，由《空间的极限》备注 05N0 可知下方水平箭头是等价。这意味着可假设 \(T = \lim T_i\) 是 \(B\) 上仿射概形的滤极限。记相应态射 \(g_i : T_i \to B\)、\(g : T \to B\)。令 \(X_i = T_i \times_{g_i, B} X\)，\(X_T = T \times_{g, B} X\)。注意 \(X_T = \colim X_i\)。由《空间的更多态射》引理 0DKW 表明， \(T\)-完美对象构成的 \(D(\mathcal{O}_{X_T})\) 范畴是 \(T_i\)-完美对象构成的 \(D(\mathcal{O}_{X_{T_i}})\) 范畴的余极限。因此只需证明：给定 \(T_i\)-完美对象 \(E_i\)，属于 \(D(\mathcal{O}_{X_{T_i}})\)，且导出拉回 \(E\) 是 \(E_i\) 到 \(X_T\) 的导出拉回，满足引理 0DLD 的条件 (2)，则增大 \(i\) 后，\(E_i\) 满足引理 0DLD 的条件 (2)。令 \(W \subset |T_i|\) 为引理 0DLC 为 \(E_i\)、\(E_i\) 构造的开集。由 \(E\) 的假设，\(T \to T_i\) 经由 \(T\) 分解。于是存在 \(i' \geq i\) 使 \(T_{i'} \to T_i\) 经由 \(W\) 分解，见《极限》引理 05F4。 \(i'\) 按 \(W\) 的构造即可。

引理

在情形 0DLE 中，设 \[\xymatrix{ Z \ar[r] \ar[d] & Z' \ar[d] \\ Y \ar[r] & Y' }\] 是 \(S\) 上概形范畴中的推出，其中 \(Z \to Z'\) 是有限阶加厚， \(Z \to Y\) 是仿射；见《更多态射》引理 07RT。则纤维范畴上的函子 \[\Complexesstack_{X/B, Y'} \longrightarrow \Complexesstack_{X/B, Y} \times_{\Complexesstack_{X/B, Z}} \Complexesstack_{X/B, Z'}\] 是等价。

证明

注意相应的映射 \[B(Y') \longrightarrow B(Y) \times_{B(Z)} B(Z')\] 是双射，见《空间的推出》引理 07SY. 因此利用交换图 \[\xymatrix{ \Complexesstack_{X/B, Y'} \ar[r] \ar[d] & \Complexesstack_{X/B, Y} \times_{\Complexesstack_{X/B, Z}} \Complexesstack_{X/B, Z'} \ar[d] \\ B(Y') \ar[r] & B(Y) \times_{B(Z)} B(Z') }\] 可知可假设 \(Y'\) 是 \(B'\) 上的概形。由备注 0DLI，可将 \(B\) 替换为 \(Y'\)，并将 \(X\) 替换为 \(X \times_B Y'\)。因此可假设 \(B = Y'\)。

假设 \(B = Y'\)。先证明函子的全忠实性。为此，设 \(\xi_1, \xi_2\) 是 \(\Complexesstack_{X/B}\) 中位于 \(Y'\) 上的两个对象。需证明 \[\mathit{Isom}(\xi_1, \xi_2)(Y') \longrightarrow \mathit{Isom}(\xi_1, \xi_2)(Y) \times_{\mathit{Isom}(\xi_1, \xi_2)(Z)} \mathit{Isom}(\xi_1, \xi_2)(Z')\] 是双射。然而我们已经知道 \(\mathit{Isom}(\xi_1, \xi_2)\) 是 \(B = Y'\) 上的代数空间。因此由《Artin 公理》引理 07WN（或上述《空间的推出》引理 07SY).

本质满射性。设 \((E_Y, E_{Z'}, \alpha)\) 是三元组，其中 \(E_Y \in D(\mathcal{O}_Y)\)、\(E_{Z'} \in D(\mathcal{O}_{X_{Z'}})\) 是满足下列条件的对象：\((Y, Y \to B, E_Y)\) 是 \(Y\) 上属于 \(\Complexesstack_{X/B}\) 的对象，并且 \((Z', Z' \to B, E_{Z'})\) 是 \(Z'\) 上属于 \(\Complexesstack_{X/B}\) 的对象，且 \(\alpha : L(X_Z \to X_Y)^*E_Y \to L(X_Z \to X_{Z'})^*E_{Z'}\) 是 \(D(\mathcal{O}_{Z'})\) 中的同构。也就是说 \[((Y, Y \to B, E_Y), (Z', Z' \to B, E_{Z'}), \alpha)\] 是本引理箭头目标中的对象。注意图 \[\xymatrix{ X_Z \ar[r] \ar[d] & X_{Z'} \ar[d] \\ X_Y \ar[r] & X_{Y'} }\] 是推出，其中 \(X_Z \to X_Y\) 仿射且 \(X_Z \to X_{Z'}\) 是加厚（见《空间的推出》引理 07W3). 因此由《空间的推出》引理 0DL7 可找到对象 \(E_{Y'} \in D(\mathcal{O}_{X_{Y'}})\) 以及同构 \(L(X_Y \to X_{Y'})^*E_{Y'} \to E_Y\) 及 \(L(X_{Z'} \to X_{Y'})^*E_{Y'} \to E_Z\) 与 \(\alpha\) 相容。显然，只要证明 \(E_{Y'}\) 是 \(Y'\)-完美的，就完成了，因为引理 0DLD 的条件 (2) 是点上的性质（且 \(Y\) 与 \(Y'\) 具有相同的点）。这由《空间的更多态射》引理 0DL4.

引理

在情形 0DLE 中，假设 \(S\) 是局部诺特概形，且 \(B \to S\) 局部有限表示。设 \(k\) 是 \(S\) 上有限型的域，且 \(x_0 = (\Spec(k), g_0, E_0)\) 是 \(\mathcal{X} = \Complexesstack_{X/B}\) 上位于 \(k\) 的对象。则空间 \(T\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) 和 \(\text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0})\) （《Artin 公理》第 07WY 节）是有限维的。

证明

注意由引理 0DLK，我们的群胚叠 \(\mathcal{X}\) 满足《Artin 公理》第 0CXN 节定义的性质 (RS*)。特别地，\(\mathcal{X}\) 满足 (RS)。因此所有相关的预形变范畴都是形变范畴（《Artin 公理》引理 07WU），上述陈述有意义。

本段将说明可归约到 \(B = \Spec(k)\) 的情形。令 \(X_0 = \Spec(k) \times_{g_0, B} X\)，并记 \(\mathcal{X}_0 = \Complexesstack_{X_0/k}\)。在备注 0DLI 中已看到， \(\mathcal{X}_0\) 是 \(2\)-纤维积：\(\mathcal{X}\) 与 \(\Spec(k)\) 在 \(B\) 上的纤维积，作为 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的群胚纤维化范畴。因此由《Artin 公理》引理 07X2，只需证明 \(B\)、\(\Spec(k)\)、\(\mathcal{X}_0\) 的切空间和无穷小自同构空间有限维。根据《Artin 公理》引理 07X1， \(B\) 和 \(\Spec(k)\) 的切空间有限维，且显然它们的 \(\text{Inf}\) 消失。因此只需处理 \(\mathcal{X}_0\)。

令 \(k[\epsilon]\) 为 \(k\) 上的对偶数。令 \(\Spec(k[\epsilon]) \to B\) 为 \(g_0 : \Spec(k) \to B\) 与 \(\Spec(k[\epsilon]) \to \Spec(k)\) 的复合，后一个态射来自包含 \(k \to k[\epsilon]\)。令 \(X_0 = \Spec(k) \times_B X\)，以及 \(X_\epsilon = \Spec(k[\epsilon]) \times_B X\). 注意 \(X_\epsilon\) 是 \(X_0\) 的一阶加厚，并且在一阶加厚 \(\Spec(k) \to \Spec(k[\epsilon])\) 上平坦。注意 \(X_0\)、\(X_\epsilon\) 导出典范等价的小 étale 拓扑斯，见《空间的更多态射》第 05ZJ. 由《空间的更多态射》引理 0DL4 可知 \(T\mathcal{F}_{\mathcal{X}_0, k, x_0}\) 是 \(E_0\) 到 \(X_\epsilon\) 的提升的同构类集合（意义见《形变理论》引理 0DIZ）。因此 \[T\mathcal{F}_{\mathcal{X}_0, k, x_0} = \Ext^1_{\mathcal{O}_{X_0}}(E_0, E_0)\] 这里使用了模同一 \(\epsilon k[\epsilon] \cong k\)，作为 \(k[\epsilon]\)-模。再次使用《形变理论》引理 0DIZ，可知存在满射 \[\text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}) \leftarrow \Ext^0_{\mathcal{O}_{X_0}}(E_0, E_0)\] 这是 \(k\)-向量空间的满射。由于 \(E_0\) 伪凝聚，它属于 \(D^-_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_{X_0})\)，由《空间的导出范畴》引理 08IK。由于 \(E_0\) 局部具有有限 Tor 维且 \(X_0\) 拟紧，可知 \(E_0 \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_{X_0})\)。因此上述 \(\Ext\)s 是有限维 \(k\)-向量空间，依据《空间的导出范畴》引理 0D0T。

引理

在情形 0DLE 中，假设 \(B = S\) 局部诺特。则依《Artin 公理》备注 0CXT 的意义，\(p : \Complexesstack_{X/S} \to (\Sch/S)_{fppf}\) 满足强形式有效性。

证明

设 \((R_n)\) 是 \(S\)-代数的逆系统，过渡映射满射且核局部幂零。令 \(R = \lim R_n\)。设 \((\xi_n)\) 是 \(\Complexesstack_{X/B}\) 中位于 \((\Spec(R_n))\) 之上的对象系统。需证明 \((\xi_n)\) 有效，即存在对象 \(\xi\)，属于 \(\Complexesstack_{X/B}\)，位于 \(\Spec(R)\) 之上。

记 \(X_R = \Spec(R) \times_S X\)，\(X_n = \Spec(R_n) \times_S X\)。显然 \(X_n\) 是 \(X_R\) 沿 \(R \to R_n\) 的基变换。由于 \(S = B\)， \(\xi_n\) 对应于 \(R_n\)-完美对象 \(E_n \in D(\mathcal{O}_{X_n})\)，满足引理 0DLD 的条件 (2)。特别地，\(E_n\) 伪凝聚。同构 \(\xi_{n + 1}|_{\Spec(R_n)} \cong \xi_n\) 对应同构 \(L(X_n \to X_{n + 1})^*E_{n + 1} \to E_n\)。因此由《空间上的平坦性》定理 0DIQ，可找到伪凝聚对象 \(E\)，属于 \(D(\mathcal{O}_{X_R})\)，使 \(E_n\) 都等于 \(E\) 的导出拉回（对所有 \(n\)），并与过渡同构相容。

注意 \((R, \Ker(R \to R_1))\) 是 Hensel 对，见《更多代数》引理 0CT7。特别地，\(\Ker(R \to R_1)\) 包含于 \(R\) 的 Jacobson 根中。于是可应用《空间的更多态射》引理 0DL5 可知 \(E\) 是 \(R\)-完美的。

最后需检验引理 0DLD 的条件 (2)。由引理 0DLC，点 \(t\) 属于 \(\Spec(R)\) 且 \(E_t\) 的负自扩张消失的点集是开集。由于该条件在 \(V(\Ker(R \to R_1))\) 中成立，且 \(\Ker(R \to R_1)\) 包含于 \(R\) 的 Jacobson 根中，可知它对所有点成立。

定理

设 \(S\) 是概形。设 \(f : X \to B\) 是 \(S\) 上代数空间的态射。假设 \(f\) 真、平坦且有限表示。则 \(\Complexesstack_{X/B}\) 是 \(S\) 上的代数叠。

证明

令 \(\mathcal{X} = \Complexesstack_{X/B}\)。我们已经看到，\(\mathcal{X}\) 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上的群胚叠，且其对角态射由代数空间表示（引理 0DLH 和 0DLG）。因此只需找到概形 \(W\) 以及满射光滑态射 \(W \to \mathcal{X}\)。

设 \(B'\) 是概形，且 \(B' \to B\) 是满射 étale 态射。令 \(X' = B' \times_B X\)，并记投影 \(f' : X' \to B'\)。则 \(\mathcal{X}' = \Complexesstack_{X'/B'}\) 等于 \(2\)-纤维积： \(\mathcal{X}\) 与由 \(B'\) 关联的集合纤维化范畴在由 \(B\) 关联的集合纤维化范畴上的纤维积（备注 0DLI）。由《代数叠》第 03YJ 节的材料，态射 \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) 是满射且 étale。因此只需对 \(\mathcal{X}'\) 证明结论。换言之，可假设 \(B\) 是概形。

假设 \(B\) 是概形。在此情形可将 \(S\) 替换为 \(B\)，见《代数叠》第 04X4 节。因此可假设 \(S = B\)。

假设 \(S = B\)。取仿射开覆盖 \(S = \bigcup U_i\)。记 \(\mathcal{X}_i\) 为 \(\mathcal{X}\) 在 \((\Sch/U_i)_{fppf}\) 上的限制。若能找到概形 \(W_i\)（定义在 \(U_i\) 上）以及满射光滑态射 \(W_i \to \mathcal{X}_i\)，则令 \(W = \coprod W_i\)，得到满射光滑态射 \(W \to \mathcal{X}\)。因此可假设 \(S = B\) 是仿射的。

假设 \(S = B\) 仿射，记 \(S = \Spec(\Lambda)\)。将 \(\Lambda = \colim \Lambda_i\) 写成滤余极限，其中每个 \(\Lambda_i\) 在 \(\mathbf{Z}\) 上有限型。对某个 \(i\)，可找到代数空间态射 \(X_i \to \Spec(\Lambda_i)\)，它真、平坦且有限表示，并且其到 \(\Lambda\) 的基变换是 \(X\)。见《空间的极限》引理 07SK, 08K0，以及 08K1。若证明 \(\Complexesstack_{X_i/\Spec(\Lambda_i)}\) 是代数叠，则由基变换（备注 0DLI 以及《代数叠》第 04X4 节）可知 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。因此可假设 \(\Lambda\) 是有限型 \(\mathbf{Z}\)-代数。

假设 \(S = B = \Spec(\Lambda)\) 是有限型的仿射 \(\mathbf{Z}\)-代数。此时将验证《Artin 公理》引理 07Y4 的条件 (1)、(2)、(3)、(4)、(5)，从而推出 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。注意 \(\Lambda\) 是 G-环，见《更多代数》命题 07PX。因此 \(S\) 的所有局部环都是 G-环，故 (5) 成立。要检验 (2)，需验证《Artin 公理》第 07XJ 节的公理 [-1]、[0]、[1]、[2]、[3]。我们省略 [-1] 的验证；公理 [0]、[1]、[2]、[3] 分别对应引理 0DLH、 0DLJ, 0DLK, 0DLL。条件 (3) 由引理 0DLM 得出。条件 (1) 就是引理 0DLG。

剩下的是证明条件 (4)，即形式光滑性的开放性。为此将使用《Artin 公理》引理 0CXU。我们已经看到 \(\mathcal{X}\) 的对角态射由代数空间表示，满足 (RS*)，并保持极限（见上面使用的引理）。因此只需证明 \(\mathcal{X}\) 满足《Artin 公理》引理 0CXU 中表述的强形式有效性。这由引理 0DLM 得出，证明完成。

略去验证所引用引理的集合论条件 (3)。↩︎
这个假设并非必要；见第 08WB 节。↩︎
我们总是进行《Stacks 示例》引理 04UE 中所述的替换。↩︎
要检验覆盖 \(\{V_i \to V\}_{i \in I}\) 的层性质，先考虑 Čech fppf 超覆盖 \(a : V_\bullet \to V\)，其中 \(V_n = \coprod_{i_0 \ldots i_n} V_{i_0} \times_V \ldots \times_V V_{i_n}\) 然后令 \(U_\bullet = V_\bullet \times_{a, V} X_V\)。于是 \(U_\bullet \to X_V\) 是一个 fppf 超覆盖，可应用《单纯空间》引理 0DL9.↩︎
为检验这一点，先考虑 Čech fppf 超覆盖 \(a : T_\bullet \to T\)，其中 \(T_n = \coprod_{i_0 \ldots i_n} T_{i_0} \times_T \ldots \times_T T_{i_n}\) 然后令 \(U_\bullet = T_\bullet \times_{a, T} X_T\)。于是 \(U_\bullet \to X_T\) 是 fppf 超覆盖，可应用《单纯空间》引理 0DLA.↩︎