叠态射的进一步讨论

引言

本章继续研究代数叠态射的性质。对于具有可表示对角态射的拟分离代数叠，可参见 [LM-B]。

约定与语言上的简化

我们继续采用《叠的性质》第 04XA 节中引入的约定与语言上的简化说法。

增厚

下面的术语或许并非完全标准，但使用起来很方便。若 \(\mathcal{Y}\) 是代数叠 \(\mathcal{X}\) 的闭子叠，则态射 \(\mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) 是可表示的。

定义

增厚。

若 \(\mathcal{X}\) 是代数叠 \(\mathcal{X}'\) 的闭子叠，且相应的拓扑空间相等，则称代数叠 \(\mathcal{X}'\) 是代数叠 \(\mathcal{X}\) 的一个增厚。

给定两个增厚 \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) 与 \(\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}'\)，所谓增厚的态射，是指代数叠的态射 \(f' : \mathcal{X}' \to \mathcal{Y}'\)，使得 \(f'|_\mathcal{X}\) 经过闭子叠 \(\mathcal{Y}\) 分解。在这种情形下，令 \(f = f'|_\mathcal{X} : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)，并称 \((f, f') : (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \to (\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}')\) 是一个增厚的态射。

设 \(\mathcal{Z}\) 为代数叠。类似地定义 \(\mathcal{Z}\) 上的增厚以及 \(\mathcal{Z}\) 上增厚的态射。这意味着代数叠 \(\mathcal{X}'\) 和 \(\mathcal{Y}'\) 都配备到 \(\mathcal{Z}\) 的结构态射，且 \(f'\) 位于一个适当的代数叠 \(2\)-交换图中。

设 \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) 为代数叠的增厚。设 \(U'\) 为概形，并设 \(U' \to \mathcal{X}'\) 为满光滑态射。令 \(U = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} U'\)，便得到增厚的态射 \[(U \subset U') \longrightarrow (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}')\] 且 \(U \to \mathcal{X}\) 是满光滑态射。我们经常可以从增厚 \(U \subset U'\) 的相应性质推出增厚 \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) 的性质。有时，作为语言上的简化，若态射 \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) 是闭浸入并诱导双射 \(|\mathcal{X}| \to |\mathcal{X}'|\)，也称它为一个增厚。

引理

设 \(i : \mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) 为代数叠的态射。下列条件等价：

\(i\) 是代数叠的增厚（采用上面的简化说法）；

\(i\) 可由代数空间表示，并且是《叠的性质》第 04XB 节意义下的增厚。

在这种情形下，\(i\) 是闭浸入及万有同胚。

证明

由《空间态射的进一步讨论》中的引理 0BPI 和 09ZX，代数空间的态射为（一阶）增厚这一性质 \(P\) 在基底上是 fpqc 局部的，且在基变换下稳定。因此，《叠的性质》第 04XB 节的讨论确实适用。至此，(1) 与 (2) 的等价性来自 \(P = P_1 + P_2\)，其中 \(P_1\) 是成为闭浸入的性质，而 \(P_2\) 是成为满态射的性质。

（严格说来，读者还应参阅《空间态射的进一步讨论》中的定义 05ZK、《叠的性质》中的定义 04YL 及其后的讨论、《空间的态射》中的引理 03MD，以及《叠的性质》第 04ZR 节，以确认所有这些概念彼此吻合。）最后一个断言由前述内容立即可得。

下文将不再另加说明地使用这个引理。利用该引理所用的同一组参考文献，即《空间态射的进一步讨论》中的引理 0BPI 和 09ZX，可以如下定义一阶增厚。

定义

若 \(\mathcal{X}\) 是代数叠 \(\mathcal{X}'\) 的闭子叠，且 \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) 是《叠的性质》第 04XB 节意义下的一阶增厚，则称代数叠 \(\mathcal{X}'\) 是代数叠 \(\mathcal{X}\) 的一个 一阶增厚。

若 \((U \subset U') \to (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}')\) 是如上的概形光滑覆盖，那么这恰好意味着 \(U \subset U'\) 是一阶增厚。下面陈述必需的几个引理。

引理

设 \(\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}'\) 为代数叠的增厚。设 \(\mathcal{X}' \to \mathcal{Y}'\) 为代数叠的态射，并令 \(\mathcal{X} = \mathcal{Y} \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\)。则 \((\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \to (\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}')\) 是增厚的态射。若 \(\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}'\) 是一阶增厚，则 \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) 也是一阶增厚。

证明

参见上面的讨论、《叠的性质》第 04XB 节，以及《空间态射的进一步讨论》中的引理 09ZX。

引理

若 \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) 与 \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}''\) 都是代数叠的增厚，则 \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}''\) 也是代数叠的增厚。

证明

参见上面的讨论、《叠的性质》第 04XB 节，以及《空间态射的进一步讨论》中的引理 0BPH

例

设 \(\mathcal{X}'\) 为代数叠。则 \(\mathcal{X}'\) 是其约化 \(\mathcal{X}'_{red}\) 的一个增厚，参见《叠的性质》中的定义 050C。此外，若 \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) 是代数叠的增厚，则 \(\mathcal{X}'_{red} = \mathcal{X}_{red} \subset \mathcal{X}\)。换言之，\(\mathcal{X} = \mathcal{X}'_{red}\) 当且仅当 \(\mathcal{X}\) 是约化代数叠。

引理

设 \((f, f') : (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \to (\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}')\) 为代数叠增厚的态射。则 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\) 是增厚，并且典范图表 \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[r]_-\Delta \ar[d] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[d] \\ \mathcal{X}' \ar[r]^-{\Delta'} & \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}' }\] 是笛卡儿图表。

证明

由于 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}'\) 经过闭子叠 \(\mathcal{Y}\) 分解，我们有 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} = \mathcal{X} \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}\)。因而 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\) 同构于复合 \[\mathcal{X} \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}' \to \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\] 其中两个态射都是增厚的基变换，故都是增厚（引理 0BPR）。因此其复合也是增厚（引理 0BPS）。由于 \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) 是单态射，将《叠的性质》中的引理 0CBB 应用于 \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}' \to \mathcal{Y}'\)，便得到引理的最后一个断言。

引理

设 \((f, f') : (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \to (\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}')\) 为代数叠增厚的态射。令 \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 与 \(\Delta' : \mathcal{X}' \to \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\) 为相应的对角态射。则下列各性质由 \(\Delta\) 满足，当且仅当由 \(\Delta'\) 满足： (a) 可由概形表示，(b) 仿射，(c) 满，(d) 拟紧， (e) 万有闭，(f) 整，(g) 拟分离，(h) 分离， (i) 万有单射，(j) 万有开，(k) 局部拟有限， (l) 有限，(m) 非分歧，(n) 单态射，(o) 浸入， (p) 闭浸入，以及 (q) 固有。

证明

注意到 \[(\Delta, \Delta') : (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \longrightarrow (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \subset \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}')\] 是增厚的态射（引理 0BPU）。此外，由《叠的态射》中的引理 04XS， \(\Delta\) 与 \(\Delta'\) 均可由代数空间表示。因此，结合《叠的性质》第 04XB 节的讨论，再应用《空间态射的进一步讨论》中的引理 09ZY，便得到情形 (a)、(b)、(c)、(d)、(e)、(f)、(g)、(h)、(i) 与 (j)。

引理 0BPU 告诉我们 \(\mathcal{X} = (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}) \times_{(\mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}')} \mathcal{X}'\)。此外，由前述《叠的态射》中的引理 04XS， \(\Delta\) 与 \(\Delta'\) 都是局部有限型的。

因此，对情形 (k)、(l)、(m)、(n)、(o)、(p) 与 (q)，应用《空间态射的进一步讨论》中的引理 0BPJ 即可得到结论。

作为推论，得到下面这个令人满意的结果。

引理

设 \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) 为代数叠的增厚。则

\(\mathcal{X}\) 是代数空间，当且仅当 \(\mathcal{X}'\) 是代数空间；

\(\mathcal{X}\) 是概形，当且仅当 \(\mathcal{X}'\) 是概形；

\(\mathcal{X}\) 是 DM，当且仅当 \(\mathcal{X}'\) 是 DM；

\(\mathcal{X}\) 是拟-DM，当且仅当 \(\mathcal{X}'\) 是拟-DM；

\(\mathcal{X}\) 是分离的，当且仅当 \(\mathcal{X}'\) 是分离的；

\(\mathcal{X}\) 是拟分离的，当且仅当 \(\mathcal{X}'\) 是拟分离的；并且

在此处补充更多内容。

证明

在每一种情形中，我们都把问题化归为关于对角态射的问题，再把引理 0BPV 应用于增厚的态射 \[(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \to \left(\Spec(\mathbf{Z}) \subset \Spec(\mathbf{Z})\right)\] 这里先通过《代数叠》中的定义 04X6，把 \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) 看成 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上代数叠的增厚。

情形 (1)。代数叠是代数空间，当且仅当其对角态射为单态射，参见《叠的态射》中的引理 0AHJ （这也可直接由《代数叠》中的命题 04SZ 得到）。

情形 (2)。由 (1)，可设 \(\mathcal{X}\) 与 \(\mathcal{X}'\) 均为代数空间，随后应用《空间态射的进一步讨论》中的引理 05ZR。

情形 (3)–(6)。每种情形都对应于对角态射的一个条件，参见《叠的态射》中的定义 04YW 和 050D。

增厚的态射

若 \((f, f') : (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \to (\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}')\) 是代数叠增厚的态射，那么态射 \(f\) 的性质往往由 \(f'\) 继承。这里有若干种变体。

引理

设 \((f, f') : (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \to (\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}')\) 为代数叠增厚的态射。则

\(f\) 是仿射态射，当且仅当 \(f'\) 是仿射态射；

\(f\) 是满态射，当且仅当 \(f'\) 是满态射；

\(f\) 是拟紧的，当且仅当 \(f'\) 是拟紧的；

\(f\) 是万有闭的，当且仅当 \(f'\) 是万有闭的；

\(f\) 是整态射，当且仅当 \(f'\) 是整态射；

\(f\) 是万有单射的，当且仅当 \(f'\) 是万有单射的；

\(f\) 是万有开的，当且仅当 \(f'\) 是万有开的；

\(f\) 是拟-DM 的，当且仅当 \(f'\) 是拟-DM 的；

\(f\) 是 DM 的，当且仅当 \(f'\) 是 DM 的；

\(f\) 是（拟）分离的，当且仅当 \(f'\) 是（拟）分离的；

\(f\) 是可表示的，当且仅当 \(f'\) 是可表示的；

\(f\) 可由代数空间表示，当且仅当 \(f'\) 可由代数空间表示；

在此处补充更多内容。

证明

由引理 0CJ7，态射 \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) 与 \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Y}'\) 都是万有同胚。因此，关于 \(|f| : |\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) 的任何条件，都等价于 \(|f'| : |\mathcal{X}'| \to |\mathcal{Y}'|\) 上的相应条件；在用任意态射 \(\mathcal{Z}' \to \mathcal{Y}'\) 作基变换后，同样成立。这证明了 (2)、(3)、(4)、(6)、(7)。

在情形 (8)、(9)、(10)、(12) 中，可以像引理 0BPV 那样，把 \(f\) 与 \(f'\) 上的条件转化为对角态射 \(\Delta\) 与 \(\Delta'\) 上的条件。参见《叠的态射》中的定义 04YW 和引理 0AHJ。因此，这些情形由引理 0BPV 得出。

(11) 的证明。若 \(f'\) 可表示，则 \(f\) 也可表示，因为对概形 \(T\) 及态射 \(T \to \mathcal{Y}\)，有 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} T = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} (\mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} T)\)，而 \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) 是闭浸入（因而可表示）。反过来，设 \(f\) 可表示，并设 \(T' \to \mathcal{Y}'\) 为态射，其中 \(T'\) 是概形。则 \[\mathcal{X} \times_{\mathcal{Y}} (\mathcal{Y} \times_{\mathcal{Y}'} T') = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} (\mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} T') \to \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} T'\] 是一个增厚（由引理 0BPR），且其源是概形。故由引理 0BPW，其靶也是概形。

在情形 (1) 与 (5) 中，若 \(f\) 或 \(f'\) 中任一个具有所述性质，则由 (11)，\(f\) 与 \(f'\) 都可表示。在这种情形下，选取代数空间 \(V'\) 及满光滑态射 \(V' \to \mathcal{Y}'\)。令 \(V = \mathcal{Y} \times_{\mathcal{Y}'} V'\)、 \(U' = \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} V'\)，以及 \(U = \mathcal{X} \times_{\mathcal{Y}'} V'\)。于是，由《叠的性质》中的引理 04XD 所给原则，所需结论可由代数空间增厚的态射 \((U \subset U') \to (V \subset V')\) 的相应结论得到。关于代数空间情形的相应结果，参见《空间态射的进一步讨论》中的引理 09ZY。

代数叠的无穷小形变

本节对应于《空间态射的进一步讨论》第 06BG 节。

引理

考虑代数叠增厚的交换图表 \[\xymatrix{ (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}') \ar[ld] \\ & (\mathcal{B} \subset \mathcal{B}') }\] 假设

\(\mathcal{Y}' \to \mathcal{B}'\) 是局部有限型的；

\(\mathcal{X}' \to \mathcal{B}'\) 是平坦且局部有限表示的；

\(f\) 是平坦的；并且

\(\mathcal{X} = \mathcal{B} \times_{\mathcal{B}'} \mathcal{X}'\) 且 \(\mathcal{Y} = \mathcal{B} \times_{\mathcal{B}'} \mathcal{Y}'\)。

则 \(f'\) 是平坦的，并且对 \(|f'|\) 的像中的每个 \(y' \in |\mathcal{Y}'|\)，态射 \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{B}'\) 在 \(y'\) 处平坦。

证明

选取代数空间 \(U'\) 及满光滑态射 \(U' \to \mathcal{B}'\)。选取代数空间 \(V'\) 及满光滑态射 \(V' \to U' \times_{\mathcal{B}'} \mathcal{Y}'\)。选取代数空间 \(W'\) 及满光滑态射 \(W' \to V' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\)。令 \(U, V, W\) 分别为 \(U', V', W'\) 沿 \(\mathcal{B} \to \mathcal{B}'\) 的基变换。于是，\(f'\) 的平坦性等价于 \(W' \to V'\) 的平坦性，而已知 \(W \to V\) 平坦。因此，可以把代数空间情形的引理应用于代数空间增厚的图表 \[\xymatrix{ (W \subset W') \ar[rr] \ar[rd] & & (V \subset V') \ar[ld] \\ & (U \subset U') }\] 参见《空间态射的进一步讨论》中的引理 0CGW。关于 \(\mathcal{Y}'/\mathcal{B}'\) 在 \(|f'|\) 像中各点处平坦的断言，也以同样方式得出。

引理

考虑代数叠增厚的交换图表 \[\xymatrix{ (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}') \ar[ld] \\ & (\mathcal{B} \subset \mathcal{B}') }\]

假设 \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{B}'\) 是局部有限型的， \(\mathcal{X}' \to \mathcal{B}'\) 是平坦且局部有限表示的， \(\mathcal{X} = \mathcal{B} \times_{\mathcal{B}'} \mathcal{X}'\)，并且 \(\mathcal{Y} = \mathcal{B} \times_{\mathcal{B}'} \mathcal{Y}'\)。则

\(f\) 平坦，当且仅当 \(f'\) 平坦； [0CJD]

\(f\) 是同构，当且仅当 \(f'\) 是同构； [0CJE]

\(f\) 是开浸入，当且仅当 \(f'\) 是开浸入； [0CJF]

\(f\) 是单态射，当且仅当 \(f'\) 是单态射； [0CJG]

\(f\) 是局部拟有限的，当且仅当 \(f'\) 是局部拟有限的； [0CJH]

\(f\) 是 syntomic 的，当且仅当 \(f'\) 是 syntomic 的； [0CJI]

\(f\) 是光滑的，当且仅当 \(f'\) 是光滑的； [0CJJ]

\(f\) 是非分歧的，当且仅当 \(f'\) 是非分歧的； [0CJK]

\(f\) 是 étale 的，当且仅当 \(f'\) 是 étale 的； [0CJL]

\(f\) 是有限的，当且仅当 \(f'\) 是有限的；并且 [0CJM]

在此处补充更多内容。

证明

在情形 (0CJD) 中，结论由引理 0CJB 得出。

在情形 (0CJI)、 (0CJJ) 中，可以采用引理 0CJB 证明中所用的方法。具体而言，选取代数空间 \(U'\) 及满光滑态射 \(U' \to \mathcal{B}'\)。选取代数空间 \(V'\) 及满光滑态射 \(V' \to U' \times_{\mathcal{B}'} \mathcal{Y}'\)。选取代数空间 \(W'\) 及满光滑态射 \(W' \to V' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\)。令 \(U, V, W\) 分别为 \(U', V', W'\) 沿 \(\mathcal{B} \to \mathcal{B}'\) 的基变换。

于是，\(f\)（相应地， \(f'\)）具有该性质，等价于 \(W' \to V'\)（相应地， \(W \to V\)）具有该性质。因此，可以把代数空间情形的引理应用于代数空间增厚的图表 \[\xymatrix{ (W \subset W') \ar[rr] \ar[rd] & & (V \subset V') \ar[ld] \\ & (U \subset U') }\] 参见《空间态射的进一步讨论》中的引理 0CGX。

在情形 (0CJK) 与 (0CJL) 中，首先由对 \(f\) 或 \(f'\) 的假设看出， \(f\) 与 \(f'\) 都是代数叠的 DM 态射，参见引理 0CJ9。然后选取代数空间 \(U'\) 及满光滑态射 \(U' \to \mathcal{B}'\)。选取代数空间 \(V'\) 及满光滑态射 \(V' \to U' \times_{\mathcal{B}'} \mathcal{Y}'\)。选取代数空间 \(W'\) 及满 étale(!) 态射 \(W' \to V' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\)。令 \(U, V, W\) 分别为 \(U', V', W'\) 沿 \(\mathcal{B} \to \mathcal{B}'\) 的基变换。于是 \(W \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 也满且 étale。

因此，\(f\)（相应地， \(f'\)）具有该性质，等价于 \(W' \to V'\)（相应地， \(W \to V\)）具有该性质。故可以把代数空间情形的引理应用于代数空间增厚的图表 \[\xymatrix{ (W \subset W') \ar[rr] \ar[rd] & & (V \subset V') \ar[ld] \\ & (U \subset U') }\] 参见《空间态射的进一步讨论》中的引理 0CGX。

在情形 (0CJE)、 (0CJF)、 (0CJG)、 (0CJM) 中，先由引理 0CJ9 得到 \(f\) 与 \(f'\) 都可由代数空间表示。因此，可以选取代数空间 \(U'\) 及满光滑态射 \(U' \to \mathcal{B}'\)，再选取代数空间 \(V'\) 及满光滑态射 \(V' \to U' \times_{\mathcal{B}'} \mathcal{Y}'\)；于是 \(W' = V' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\) 是代数空间。令 \(U, V, W\) 分别为 \(U', V', W'\) 沿 \(\mathcal{B} \to \mathcal{B}'\) 的基变换。此时同样有 \(W = V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)。接下来只需证明：\(W' \to V'\) 是同构，相应地为开浸入，相应地为单态射，相应地为有限态射，当且仅当 \(W \to V\) 具有同一性质。参见《叠的性质》中的引理 04XD。由此应用上述代数空间的结果便得到结论。

在情形 (0CJH) 中，首先由《叠的态射》中的引理 06U9 看到 \(f\) 与 \(f'\) 都是局部有限型的。另一方面，由引理 0CJ9，\(f\) 是拟-DM 的，当且仅当 \(f'\) 是拟-DM 的。要检验 \(f\) 或 \(f'\) 是否局部拟有限（《叠的态射》中的定义 06PU），最后还需检验一个关于底层拓扑空间的条件；由证明第一段的讨论，该条件对 \(f\) 成立，当且仅当对 \(f'\) 成立。

仿射概形的提升

考虑实线图表 \[\xymatrix{ W \ar[d] \ar@{..>}[r] & W' \ar@{..>}[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X}' }\] 其中 \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) 是代数叠的增厚， \(W\) 是仿射概形，且 \(W \to \mathcal{X}\) 光滑。本节所研究的问题是：能否找到 \(W'\) 及虚线箭头，使得该方形为笛卡儿方形，且 \(W' \to \mathcal{X}'\) 光滑。一般情形下我们不知道答案，但若 \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) 是一阶增厚，将证明答案是肯定的。

为研究这个问题，引入如下范畴。

注

考虑图表 \[\xymatrix{ W \ar[d]_x \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X}' }\] 其中 \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) 是代数叠的增厚， \(W\) 是代数空间，且 \(W \to \mathcal{X}\) 光滑。如下构造范畴 \(\mathcal{C}\) 及函子 \[p : \mathcal{C} \longrightarrow W_{spaces, \etale}\] （记号见《空间的性质》中的定义 03G0）。 \(\mathcal{C}\) 的一个对象是构成交换图表 [0CJQ]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_i & U' \ar[dd]^{x'} \\ W \ar[d]_x & \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X}' } } \end{equation}\] 的系统 \((U, U', a, i, x', \alpha)\)，其交换性由 \(2\)-态射 \(\alpha : x \circ a \to x' \circ i\) 见证，并且 \(U\) 与 \(U'\) 是代数空间，\(a : U \to W\) 是 étale 态射， \(x' : U' \to \mathcal{X}'\) 是光滑态射，且 \(U = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} U'\)。特别地，\(U \subset U'\) 是一个增厚。一个态射 \[(U, U', a, i, x', \alpha) \to (V, V', b, j, y', \beta)\] 由 \((f, f', \gamma)\) 给出，其中 \(f : U \to V\) 是 \(W\) 上的态射， \(f' : U' \to V'\) 是一个态射，其在 \(U\) 上的限制给出 \(f\)，并且 \(\gamma : x' \circ f' \to y'\) 是见证下图右侧三角形交换性的 \(2\)-态射：

[0CJR]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ & V \ar[ld]_f \ar[ldd]^b \ar[rr]_j & & V' \ar[ld]_{f'} \ar[lddd]^{y'} \\ U \ar[d]_a \ar[rr]_i & & U' \ar[dd]_{x'} \\ W \ar[d]_x & \\ \mathcal{X} \ar[rr] & & \mathcal{X}' } } \end{equation}\] 最后，要求 \(\gamma\) 与 \(\alpha\)、\(\beta\) 相容：按照《范畴论》第 003D 节及第 003G 节中的 \(2\)-范畴演算，这写成 \[\beta = (\gamma \star \text{id}_j) \circ (\alpha \star \text{id}_f)\] （更简洁地说：\(\beta = j^*\gamma \circ f^*\alpha\)）。另一种表述是：对象是带有若干附加性质的交换图表 (0CJQ)，态射则是交换图表 (0CJR)；这些图表位于《叠的性质》中的注 04ZQ 所引入的范畴 \(\textit{Spaces}/\mathcal{X}'\) 中。由此清楚可见，\(\mathcal{C}\) 是范畴，而把 \((U, U', a, i, x', \alpha)\) 送到 \(a : U \to W\) 的规则 \(p : \mathcal{C} \to W_{spaces, \etale}\) 是函子。

引理

对任意态射 (0CJR)，映射 \(f' : V' \to U'\) 都是 étale 的。

证明

事实上，\(f : V \to U\) 作为 \(W_{spaces, \etale}\) 中的态射是 étale 的；又因为 \(U' \to \mathcal{X}'\) 与 \(V' \to \mathcal{X}'\) 光滑，并且 \(U = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} U'\)、 \(V = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} V'\)，所以可以应用引理 0CJC。

引理

注 0CJP 中构造的范畴 \(p : \mathcal{C} \to W_{spaces, \etale}\) 是群胚纤维化的。

证明

我们断言 \(p\) 的各纤维范畴都是群胚。若 (0CJR) 中的 \((f, f', \gamma')\) 是态射，且 \(f : U \to V\) 为同构，则由引理 0CJC，\(f'\) 也是同构，因而 \((f, f', \gamma')\) 是同构。

考虑 \(W_{spaces, \etale}\) 中的态射 \(f : V \to U\)，以及 \(\mathcal{C}\) 中位于 \(U\) 上的对象 \(\xi = (U, U', a, i, x', \alpha)\)。我们构造位于 \(V\) 上的“拉回” \(f^*\xi\)。令 \(b = a \circ f\)。令 \(f' : V' \to U'\) 为其在 \(V\) 上的限制是 \(f\) 的 étale 态射（《空间态射的进一步讨论》中的引理 07VW）。以 \(j : V \to V'\) 记相应的增厚。令 \(y' = x' \circ f'\)，并令 \(\gamma = \text{id} : x' \circ f' \to y'\)。置 \[\beta = \alpha \star \text{id}_f : x \circ b = x \circ a \circ f \to x' \circ i \circ f = x' \circ f' \circ j = y' \circ j\] 显然，\((f, f', \gamma) : (V, V', b, j, y', \beta) \to (U, U', a, i, x', \alpha)\) 是 (0CJR) 中的态射。如此构造的态射 \((f, f', \gamma)\) 是强笛卡儿的（《范畴论》中的定义 02XK）。略去详细证明，但其根本原因如下。给定 \(\mathcal{C}\) 中的态射 \((g, g', \epsilon) : (Y, Y', c, k, z', \delta) \to (U, U', a, i, x', \alpha)\)，若 \(g\) 对某个 \(h : Y \to V\) 有 \(g = f \circ h\)，则由《空间态射的进一步讨论》中的引理 07VW，得到唯一分解 \(g' = f' \circ h'\)；此后可构造所需的 \(\zeta\)，使得 \((h, h', \zeta) : (Y, Y', c, k, z', \delta) \to (V, V', b, j, y', \beta)\) 是 \(\mathcal{C}\) 的态射，并满足 \((g, g', \epsilon) = (f, f', \gamma) \circ (h, h', \zeta)\)。

因此，\(p : \mathcal{C} \to W_\etale\) 是纤维化范畴（《范畴论》中的定义 02XM）。结合上面已经看到的各纤维范畴都是群胚这一事实，再由《范畴论》中的引理 003V，得到 \(p : \mathcal{C} \to W_\etale\) 是群胚纤维化的。

引理

注 0CJP 中构造的范畴 \(p : \mathcal{C} \to W_{spaces, \etale}\) 是一个群胚叠。

证明

由引理 0CJT，可见《叠》中的定义 02ZI 的第一个条件成立。按照惯例，我们检验对象的下降，而把态射的下降留给读者。因此，设在 \(W_{spaces, \etale}\) 中给定 \(a : U \to W\)、 \(W_{spaces, \etale}\) 中的覆盖 \(\{U_k \to U\}_{k \in K}\)、 \(\mathcal{C}\) 中位于 \(U_k\) 上的对象 \(\xi_k = (U_k, U'_k, a_k, i_k, x'_k, \alpha_k)\)，以及满足余圈条件的限制之间的态射 \[\varphi_{kk'} = (f_{kk'}, f'_{kk'}, \gamma_{kk'}) : \xi_k|_{U_k \times_U U_{k'}} \to \xi_{k'}|_{U_k \times_U U_{k'}}\] 为了证明有效性，可以先细化覆盖。因此，可以假设每个 \(U_k\) 都是概形（如果愿意，甚至可假设为仿射概形）。写成

\[\xi_k|_{U_k \times_U U_{k'}} = (U_k \times_U U_{k'}, U'_{kk'}, a_{kk'}, x'_{kk'}, \alpha_{kk'})\] 于是，把 \(\mathcal{C}\) 中态射 \(\xi_k|_{U_k \times_U U_{k'}} \to \xi_k\) 的第二个分量取出，便得到 étale 态射 \(s_{kk'} : U'_{kk'} \to U'_k\) （由引理 0CJS）。类似地，考察复合的第二个分量 \[\xi_k|_{U_k \times_U U_{k'}} \xrightarrow{\varphi_{kk'}} \xi_{k'}|_{U_k \times_U U_{k'}} \to \xi_{k'}\] 便得到 étale 态射 \(t_{kk'} : U'_{kk'} \to U'_{k'}\)。我们断言 \[j : \coprod\nolimits_{(k, k') \in K \times K} U'_{kk'} \xrightarrow{(\coprod s_{kk'}, \coprod t_{kk'})} (\coprod\nolimits_{k \in K} U'_k) \times (\coprod\nolimits_{k \in K} U'_k)\] 是一个 étale 等价关系。首先，已经看到所示态射的两个分量 \(s, t\) 都是 étale 的。用 \((\coprod U_k) \times (\coprod U_k) \to (\coprod U'_k) \times (\coprod U'_k)\) 对态射 \(j\) 作基变换，得到单态射 \[\coprod\nolimits_{(k, k') \in K \times K} U_k \times_U U_{k'} \longrightarrow (\coprod\nolimits_{k \in K} U_k) \times (\coprod\nolimits_{k \in K} U_k)\] 因此，由《态射的进一步讨论》中的引理 0BPG， \(j\) 是单态射。最后，关系 \(j\) 的对称性来自 \(\varphi_{kk'}^{-1}\) 是 \(\varphi_{k'k}\) 的“翻转”（参见《叠》中的注 026C），而传递性来自余圈条件（略去细节）。于是，\(\coprod U'_k\) 关于 \(j\) 的商是代数空间 \(U'\) （《空间》中的定理 02WW）。上面已经说明存在增厚 \(i : U \to U'\)，因为 \(j\) 在 \(\coprod U_k\) 上的限制给出 \((\coprod U_k) \times_U (\coprod U_k)\)。最后，暂时把 \(1\)-态射 \(x'_k : U'_k \to \mathcal{X}'\) 视为叠 \(\mathcal{X}'\) 在 \(U'_k\) 上的对象，则可见这些对象配备了相对于 étale 覆盖 \(\{U'_k \to U'\}\) 的下降数据；该数据由 \(\mathcal{C}\) 中态射 \(\varphi_{kk'}\) 的第三个分量 \(\gamma_{kk'}\) 给出。由于 \(\mathcal{X}'\) 是叠，该下降数据有效；翻译回原语言，得到 \(1\)-态射 \(x' : U' \to \mathcal{X}'\)，使各复合 \(U'_k \to U' \to \mathcal{X}'\) 配备到 \(x'_k\) 的同构，并与 \(\gamma_{kk'}\) 相容。这意味着态射 \(\alpha_k : x \circ a_k \to x'_k \circ i_k\) 粘合成态射 \(\alpha : x \circ a \to x' \circ i\)。于是 \(\xi = (U, U', a, i, x', \alpha)\) 就是所求的位于 \(U\) 上的对象。

引理

设 \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) 是代数叠的一个增厚。设 \(W\) 是代数空间，且 \(W \to \mathcal{X}\) 是光滑态射。存在一个 étale 覆盖 \(\{W_i \to W\}_{i \in I}\)，并且对每个 \(i\)，存在笛卡儿图表 \[\xymatrix{ W_i \ar[r] \ar[d] & W_i' \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X}' }\] 其中 \(W_i' \to \mathcal{X}'\) 是光滑的。

证明

选取一个概形 \(U'\) 以及一个满光滑态射 \(U' \to \mathcal{X}'\)。像往常一样，置 \(U = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} U'\)。于是 \(U \to \mathcal{X}\) 是满光滑态射。因此，基变换 \[V = W \times_{\mathcal{X}} U \longrightarrow W\] 是代数空间的满光滑态射。由《空间上的拓扑》中的引理 0CFV，可以找到一个 étale 覆盖 \(\{W_i \to W\}\)，使得 \(W_i \to W\) 经由 \(V \to W\) 分解。再用仿射概形覆盖 \(W_i\) （《空间的性质》中的引理 03FX），便可假设每个 \(W_i\) 都是仿射的。我们可以并且确实以 \(W_i\) 代替 \(W\)，从而归结到下一段讨论的情形。

假设 \(W\) 是仿射的，并且给定态射 \(W \to \mathcal{X}\) 经由 \(U\) 分解。图示为 \[W \xrightarrow{i} U \to \mathcal{X}\] 由于 \(W\) 和 \(U\) 在 \(\mathcal{X}\) 上都是光滑的，可见 \(i\) 是局部有限型的（《叠的态射》中的引理 06U9）。以 \(\mathbf{A}^n_U\) 代替 \(U\) 后，可以假设 \(i\) 是浸入；参见《态射》中的引理 04II。由《叠的态射》中的引理 0CJ6，态射 \(i\) 是局部完全交。因此，\(i\) 是 Koszul-正则浸入（定义见《除子》中的定义 063J）；这由《态射的进一步讨论》中的引理 069G 得出。

我们仍可用仿射开覆盖代替 \(W\)。对每个点 \(w \in W\)，可以选取仿射开集 \(U'_w \subset U'\)，使得若 \(U_w \subset U\) 是对应的仿射开集，则 \(w \in i^{-1}(U_w)\)，并且 \(i^{-1}(U_w) \to U_w\) 是由 Koszul-正则序列 \(f_1, \ldots, f_r \in \Gamma(U_w, \mathcal{O}_{U_w})\) 截出的闭浸入。这由 Koszul-正则浸入的定义和《除子》中的引理 063G 得出。置 \(W_w = i^{-1}(U_w)\)；这是 \(w \in W\) 的一个仿射开邻域。选取 \(f_1, \ldots, f_r\) 的提升 \(f'_1, \ldots, f'_r \in \Gamma(U'_w, \mathcal{O}_{U'_w})\)。这是可行的，因为 \(U_w \to U'_w\) 是仿射概形的闭浸入。令 \(W'_w \subset U'_w\) 为由 \(f'_1, \ldots, f'_r\) 截出的闭子概形。我们断言 \(W'_w \to \mathcal{X}'\) 是光滑的。该断言完成证明，因为依构造 \(W_w = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} W'_w\)。

为检验该断言，只须对每个在 \(\mathcal{X}'\) 上光滑的仿射概形 \(X'\)，检验基变换 \(W'_w \times_{\mathcal{X}'} X' \to X'\) 是光滑的。选取一个 étale 态射 \[Y' \to U'_w \times_{\mathcal{X}'} X'\] 其中 \(Y'\) 是仿射的。由于这些态射的像覆盖 \(U'_w \times_{\mathcal{X}'} X'\)，只须证明 \(Y'\) 中由 \(f'_1, \ldots, f'_r\) 截出的闭子概形 \(Z'\) 在 \(X'\) 上光滑。图示为 \[\xymatrix{ Z' \ar[r] \ar[d] & Y' \ar[d] \\ W'_w \times_{\mathcal{X}'} X' \ar[d] \ar[r] & U'_w \times_{\mathcal{X}'} X' \ar[d] \ar[r] & X' \\ W'_w = V(f'_1, \ldots, f'_r) \ar[r] & U'_w }\] 置 \(X = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} X'\)、 \(Y = X \times_{X'} Y' = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} Y'\)，以及 \(Z = Y \times_{Y'} Z' = X \times_{X'} Z' = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} Z'\)。于是 \((Z \subset Z') \to (Y \subset Y') \subset (X \subset X')\) 是仿射概形增厚之间的（笛卡儿）态射，并且已知 \(Z \to X\) 和 \(Y' \to X'\) 都是光滑的。最后，由于 \(Y' \to U'_w\) 光滑从而平坦，函数序列 \(f'_1, \ldots, f'_r\) 由《代数的进一步讨论》中的引理 062H 映成 \(\Gamma(Y', \mathcal{O}_{Y'})\) 中的 Koszul-正则序列。由《代数的进一步讨论》中的引理 0CER （并利用 Koszul-正则序列是拟正则序列这一事实；参见《代数的进一步讨论》中的引理 062F、 0CEM 和 062I），得出 \(Z' \to X'\) 如所需是光滑的。

引理

设 \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) 是代数叠的一个增厚。考虑交换图表 \[\xymatrix{ W'' \ar[d]_{x''} & W \ar[l] \ar[r] \ar[d]_x & W' \ar[d]^{x'} \\ \mathcal{X}' & \mathcal{X} \ar[l] \ar[r] & \mathcal{X}' }\] 其中两个方形都是笛卡儿的，\(W', W, W''\) 是代数空间，且竖直箭头都是光滑的。那么存在

一个 étale 覆盖 \(\{f'_k : W'_k \to W'\}_{k \in K}\)，

étale 态射 \(f''_k : W'_k \to W''\)，以及

\(2\)-态射 \(\gamma_k : x'' \circ f''_k \to x' \circ f'_k\)，

使得 (a) \((f'_k)^{-1}(W) = (f''_k)^{-1}(W)\)，(b) \(f'_k|_{(f'_k)^{-1}(W)} = f''_k|_{(f''_k)^{-1}(W)}\)，并且 (c) 把 \(\gamma_k\) 拉回到 (a) 中的闭子概形所得的态射，与初始图表在 \(W\) 上的交换性给出的 \(2\)-态射一致。

证明

把给定的增厚记作 \(i : W \to W'\) 和 \(i'' : W \to W''\)。引理陈述中图表的交换性意味着存在一个 \(2\)-态射

\(\delta : x' \circ i' \to x'' \circ i''\)。这就是陈述的 (c) 中所指的 \(2\)-态射。考虑代数空间 \[I' = W' \times_{x', \mathcal{X}', x''} W''\] 以及投影 \(p' : I' \to W'\) 和 \(q' : I' \to W''\)。注意，存在一个“万有的”\(2\)-态射 \(\gamma : x' \circ p' \to x'' \circ q'\)（稍后将用到它）。 \(\delta\) 的选择定义了态射 \[\xymatrix{ W \ar[rr]_\delta & & I' \ar[ld]^{p'} \ar[rd]_{q'} \\ & W' & & W'' }\] 使得复合 \(W \to I' \to W'\) 和 \(W \to I' \to W''\) 分别为 \(i : W \to W'\) 和

\(i' : W \to W''\)。由于 \(x''\) 是光滑的，态射 \(p' : I' \to W'\) 作为 \(x''\) 的基变换是光滑的。

假设可以找到一个 étale 覆盖 \(\{f'_k : W'_k \to W'\}\) 和态射 \(\delta_k : W'_k \to I'\)，使得 \(\delta_k\) 在

\(W_k = (f'_k)^{-1}\) 上的限制等于 \(\delta \circ f_k\)，其中 \(f_k = f'_k|_{W_k}\)。图示为 \[\xymatrix{ W_k \ar[r]^{f_k} \ar[d] & W \ar[r]^\delta & I' \ar[d]^{p'} \\ W'_k \ar[rr]^{f'_k} \ar[rru]^{\delta_k} & & W' }\] 换言之，我们希望在可能以一个 étale 覆盖代替 \(W'\) 后，把 \(p'\) 的给定截面 \(\delta : W \to I'\) 延拓为 \(W'\) 上的截面。

若此事成立，则可置 \(f''_k = q' \circ \delta_k\) 和 \(\gamma_k = \gamma \star \text{id}_{\delta_k}\)（更简洁地说， \(\gamma_k = \delta_k^*\gamma\)）。也就是说，剩下只须证明

态射 \(f''_k\) 是 étale 的。依构造，态射 \(x' \circ p'\) 与 \(x'' \circ q'\) 是 \(2\)-同构的。因此，\(x'' \circ f''_k\) 与 \(x' \circ f'_k\) 是 \(2\)-同构的。由此，复合 \[W'_k \xrightarrow{f''_k} W'' \xrightarrow{x''} \mathcal{X}'\] 是光滑的，因为 \(x' \circ f'_k\) 是光滑的。由于 \(f_k\) 是 étale 的，由引理 0CJC 得出 \(f''_k\) 是 étale 的。

如果该增厚是一阶增厚，那么可以选取任何使 \(W_k'\) 为仿射的

étale 覆盖 \(\{W'_k \to W'\}\)。事实上，由于 \(p'\) 是光滑的，无穷小提升判据表明 \(p'\) 是形式光滑的（《空间态射的进一步讨论》中的引理 04AM）。由于 \(W_k\) 是仿射的，并且 \(W_k \to W'_k\) 是一阶增厚（它是 \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) 的基变换；参见引理 0BPR），便得到所需的 \(\delta_k\)。

在一般情形下，覆盖和态射 \(\delta_k\) 的存在性由《空间态射的进一步讨论》中的引理 0CHJ 得出。

引理

注 0CJP 中构造的范畴 \(p : \mathcal{C} \to W_{spaces, \etale}\) 是一个胚。

证明

在引理 0CJU 中已经看到，它是一个群胚叠。因此只须检验《叠》中的定义 06NZ 的条件 (2) 和 (3)。条件 (2) 由引理 0CJV 得出。条件 (3) 由引理 0CJW 得出。

引理

在注 0CJP 中，假设 \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) 是一阶增厚。那么

注 0CJP 中构造的胚 \(p : \mathcal{C} \to W_{spaces, \etale}\) 的对象的自同构层都是阿贝尔的；并且

《叠》中的引理 0CJY 所构造的群层 \(\mathcal{G}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_W\)-模。

证明

我们将同时证明两个断言。具体而言，给定对象 \(\xi = (U, U', a, i, x', \alpha)\)，我们将在 \(U_{spaces, \etale}\) 上赋予 \(\mathit{Aut}(\xi)\) 一个拟凝聚 \(\mathcal{O}_U\)-模结构，并证明该结构与拉回相容。由层的粘合（《格址》第 04TP 节）、《叠》中的引理 0CJY 的证明中把 \(\mathcal{G}\) 构造为自同构层 \(\mathit{Aut}(\xi)\) 的粘合，以及只须在取一个 étale 覆盖之后检验模的拟凝聚性这一事实（《空间的性质》中的引理 03M0），这便足够了。

我们将采用引理 0CJW 的证明中所用的相同方法来描述层 \(\mathit{Aut}(\xi)\)。考虑代数空间 \[I' = U' \times_{x', \mathcal{X}', x'} U'\] 及其投影 \(p' : I' \to U'\) 和 \(q' : I' \to U'\)。在 \(I'\) 上有一个万有 \(2\)-态射 \(\gamma : x' \circ p' \to x' \circ q'\)。恒等态射 \(x' \to x'\) 定义了对角态射 \[\xymatrix{ U' \ar[rr]_{\Delta'} & & I' \ar[ld]^{p'} \ar[rd]_{q'} \\ & U' & & U' }\] 使复合 \(U' \to I' \to U'\) 和 \(U' \to I' \to U'\) 都是恒等态射。我们用 \(U, I, p, q, \Delta\) 表示 \(U', I', p', q', \Delta'\) 到 \(\mathcal{X}\) 的基变换。

由于 \(W' \to \mathcal{X}'\) 是光滑的，可见 \(p' : I' \to U'\) 作为基变换是光滑的。

\(\mathit{Aut}(\xi)\) 在 \(U\) 上的一个截面是态射 \(\delta' : U' \to I'\)，它满足 \(\delta'|_U = \Delta\) 且 \(p' \circ \delta' = \text{id}_{U'}\)。明确地说， \((\text{id}_U, q' \circ \delta', (\delta')^*\gamma) : \xi \to \xi\) 是相应自同构的公式。更一般地，若 \(f : V \to U\) 是 étale 态射，则存在增厚 \(j : V \to V'\) 和 étale 态射 \(f' : V' \to U'\)，后者在 \(V\) 上的限制为 \(f\)；而 \(f^*\xi\) 对应于 \((V, V', a \circ f, j, x' \circ f', f^*\alpha)\)，参见引理 0CJT 的证明。

\(\mathit{Aut}(\xi)\) 在 \(V\) 上的一个截面是态射 \(\delta' : V' \to I'\)，它满足 \(\delta'|_V = \Delta \circ f\) 且 \(p' \circ \delta' = f'\)¹。

由此可知，\(\mathit{Aut}(\xi)\) 作为集合层，与《空间态射的进一步讨论》中的注 0CK7 为增厚 \((U \subset U')\) 和 \((I \subset I')\) 所定义的层一致；它们通过 \(\text{id}_{U'}\) 和 \(p'\) 位于 \((U \subset U')\) 上。对角态射 \(\Delta'\) 是该层的一个截面；用《空间态射的进一步讨论》中的引理 061C 作用于这个截面，得到同构 [0CKH]\[\begin{equation} \SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\Delta^*\Omega_{I/U}, \mathcal{C}_{U/U'}) \longrightarrow \mathit{Aut}(\xi) \end{equation}\] 在 \(U_{spaces, \etale}\) 上成立。

还有三件事需要检验：

(0CKH) 的构造与 étale 局部化交换；

\(\SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\Delta^*\Omega_{I/U}, \mathcal{C}_{U/U'})\) 是 \(U\) 上的拟凝聚模；

\(\mathit{Aut}(\xi)\) 中的复合对应于这个拟凝聚模中截面的加法。

我们将依次检验这些事项。

为说明 (1)，必须证明：若 \(f : V \to U\) 是 étale 的，则在 \(U\) 上用 \(\xi\) 构造的 (0CKH) 限制为映射 (0CKH) \[\SheafHom_{\mathcal{O}_V}( \Delta_V^*\Omega_{V \times_\mathcal{X} V/V}, \mathcal{C}_{V/V'}) \to \mathit{Aut}(\xi|_V)\] 其中后一个映射是在 \(V\) 上用 \(\xi|_V\) 构造的，并定义于 \(V_{spaces, \etale}\) 上。这由上面脚注中的讨论和《空间态射的进一步讨论》中的引理 0CK8 得出。

(2) 的证明。由于 \(p'\) 是光滑的，态射 \(I \to U\) 是光滑的，因而相对微分模 \(\Omega_{I/U}\) 是有限局部自由的（《空间态射的进一步讨论》中的引理 0CK5）。另一方面，\(\mathcal{C}_{U/U'}\) 是拟凝聚的（《空间态射的进一步讨论》中的定义 04CN）。由《空间的性质》中的引理 03M1 即得结论。

(3) 的证明。存在态射 \(c' : I' \times_{p', U', q'} I' \to I'\)，使得 \((U', I', p', q', c')\) 是以 \(\Delta'\) 为恒等元的代数空间群胚。例如参见《代数叠》中的引理 04T4。 \(\mathit{Aut}(\xi)\) 中的复合由态射 \(c'\) 如下诱导。假设有两个态射 \[\delta'_1, \delta'_2 : U' \longrightarrow I'\] 如上对应于 \(\mathit{Aut}(\xi)\) 在 \(U\) 上的截面；换言之，

有 \(\delta'_i|U = \Delta_U\) 且 \(p' \circ \delta'_i = \text{id}_{U'}\)。那么 \(\mathit{Aut}(\xi)\) 中的复合为 \[\delta'_1 \circ \delta'_2 = c'(\delta'_1 \circ q' \circ \delta'_2, \delta'_2)\] 我们略去详细检验²。因此，正处于《空间中群胚的进一步讨论》第 0CKB 节所描述的情形，而所需结论由《空间中群胚的进一步讨论》中的引理 0CKF 得出。

命题

设 \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) 是代数叠的一阶增厚。设 \(W\) 是仿射概形，且 \(W \to \mathcal{X}\) 是光滑态射。那么存在笛卡儿图表 \[\xymatrix{ W \ar[d] \ar[r] & W' \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X}' }\] 其中 \(W' \to \mathcal{X}'\) 是光滑的，并且 \(W'\) 是仿射的。

证明

考虑注 0CJP 中引入的范畴 \(p : \mathcal{C} \to W_{spaces, \etale}\)。该命题断言存在 \(\mathcal{C}\) 中位于 \(W\) 上的对象。具体而言，如果有这样的对象 \((W, W', a, i, y', \alpha)\)，则 \(W = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} W'\)。因而 \(W \to W'\) 是代数空间的增厚，所以由《空间态射的进一步讨论》中的引理 05ZR 和《态射的进一步讨论》中的引理 06AD，\(W'\) 是仿射的。

引理 0CJX 告诉我们，\(\mathcal{C}\) 是 \(W_{spaces, \etale}\) 上的胚。这意味着可以在 étale 局部找到解，并且这些局部解在 étale 局部同构；这一部分不需要增厚是一阶的假设。由引理 0CKG，该胚的对象的自同构层是阿贝尔的，并且粘合成 \(W_{spaces, \etale}\) 上的拟凝聚模 \(\mathcal{G}\)。我们将检验《格址上的上同调》中的引理 0CK0 的条件 (1) 和 (2)，以推出存在 \(\mathcal{C}\) 中位于 \(W\) 上的对象。条件 (1) 成立：其中每个 \(W_i\) 都是仿射的 étale 覆盖 \(\{W_i \to W\}\) 在所有覆盖组成的集合中共终。对这样的覆盖，\(W_i\) 和 \(W_i \times_W W_j\) 都是仿射的，而 \(H^1(W_i, \mathcal{G})\) 和 \(H^1(W_i \times_W W_j, \mathcal{G})\) 都为零：例如，由《空间的上同调》中的命题 072B，仿射代数空间上拟凝聚模的上同调为零。最后，条件 (2) 是对于拟凝聚层 \(\mathcal{G}\) 有 \(H^2(W, \mathcal{G}) = 0\)；这同样由《空间的上同调》中的命题 072B 得出。证明完毕。

无穷小形变

我们继续《Artin 公理》第 07Y6 节中的讨论。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是概形 \(S\) 上的代数叠。假设 \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 是局部有限表示的。设 \(A \to B\) 是平坦的 \(S\)-代数同态。设 \(x\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(A\) 上的对象，并置 \(y = x|_B\)。那么 \(\text{Inf}_x(M) \otimes_A B = \text{Inf}_y(M \otimes_A B)\)。

证明

回忆，\(\text{Inf}_x(M)\) 是 \(x\) 到 \(A[M]\) 的平凡形变的自同构组成的集合，这些自同构在 \(A\) 上诱导 \(x\) 的恒等自同构。该平凡形变是经由 \(\Spec(A[M]) \to \Spec(A)\) 把 \(x\) 拉回到 \(\Spec(A[M])\) 所得的。令 \(G \to \Spec(A)\) 为 \(x\) 的自同构群代数空间

（它存在是因为 \(\mathcal{X}\) 是代数空间）。令 \(e : \Spec(A) \to G\) 为单位元。《空间态射的进一步讨论》第 0617 节的讨论给出 \[\text{Inf}_x(M) = \Hom_A(e^*\Omega_{G/A}, M)\] 同理， \[\text{Inf}_y(M \otimes_A B) = \Hom_B(e_B^*\Omega_{G_B/B}, M \otimes_A B)\] 由于依假设 \(G \to \Spec(A)\) 是局部有限表示的，可见 \(\Omega_{G/A}\) 是局部有限表示的；参见《空间态射的进一步讨论》中的引理 05ZF。因此，\(e^*\Omega_{G/A}\) 是有限表示 \(A\)-模。此外，由《空间态射的进一步讨论》中的引理 05ZC， \(\Omega_{G_B/B}\) 是 \(\Omega_{G/A}\) 的拉回。因此 \(e_B^*\Omega_{G_B/B} = e^*\Omega_{G/A} \otimes_A B\)。

由《代数的进一步讨论》中的引理 087R 即得结论。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是基概形 \(S\) 上的代数叠。假设 \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 是局部有限表示的。设 \((A' \to A, x)\) 是一个形变情形。那么函子 \[F : B' \longmapsto \{\text{提升 }x|_{B' \otimes_{A'} A}\text{ 至 } B'\}/\text{同构}\] 是《拓扑》中的定义 021S 所定义的格址 \((\textit{Aff}/\Spec(A'))_{fppf}\) 上的层。

证明

设 \(\{T'_i \to T'\}_{i = 1, \ldots n}\) 是 \(A'\) 上仿射概形的一个标准 fppf 覆盖。写成 \(T' = \Spec(B')\)。像往常一样，记 \[T'_{i_0 \ldots i_p} = T'_{i_0} \times_{T'} \ldots \times_{T'} T'_{i_p} = \Spec(B'_{i_0 \ldots i_p})\] 其中该环是适当的张量积。置 \(B = B' \otimes_{A'} A\) 以及 \(B_{i_0 \ldots i_p} = B'_{i_0 \ldots i_p} \otimes_{A'} A\)。记 \(y = x|_B\) 和 \(y_{i_0 \ldots i_p} = x|_{B_{i_0 \ldots i_p}}\)。设 \(\gamma_i \in F(B'_i)\)，并假设 \(\gamma_{i_0}\) 与 \(\gamma_{i_1}\) 在 \(F(B'_{i_0i_1})\) 中的像相同。必须找到唯一的 \(\gamma \in F(B')\)，它在 \(F(B'_i)\) 中映到 \(\gamma_i\)。

在同构类 \(\gamma_i\) 中选取 \(\textit{Lift}(y_i, B'_i)\) 的一个具体对象 \(y'_i\)。选取范畴 \(\textit{Lift}(y_{i_0i_1}, B'_{i_0i_1})\) 中的同构 \(\varphi_{i_0i_1} : y'_{i_0}|_{B'_{i_0i_1}} \to y'_{i_1}|_{B'_{i_0i_1}}\)。如果这些映射 \(\varphi_{i_0i_1}\) 满足余圈条件，那么由于 \(\mathcal{X}\) 是 fppf 拓扑中的叠，便得到所需的对象 \(\gamma\)。余圈条件是复合 \[y'_{i_0}|_{B'_{i_0i_1i_2}} \xrightarrow{\varphi_{i_0i_1}|_{B'_{i_0i_1i_2}}} y'_{i_1}|_{B'_{i_0i_1i_2}} \xrightarrow{\varphi_{i_1i_2}|_{B'_{i_0i_1i_2}}} y'_{i_2}|_{B'_{i_0i_1i_2}} \xrightarrow{\varphi_{i_2i_0}|_{B'_{i_0i_1i_2}}} y'_{i_0}|_{B'_{i_0i_1i_2}}\] 是恒等态射。若非如此，则这些映射给出元素 \[\delta_{i_0i_1i_2} \in \text{Inf}_{y_{i_0i_1i_2}}(J_{i_0i_1i_2}) = \text{Inf}_y(J) \otimes_B B_{i_0i_1i_2}\] 这里 \(J = \Ker(B' \to B)\)，而 \(J_{i_0 \ldots i_p} = \Ker(B'_{i_0 \ldots i_p} \to B_{i_0 \ldots i_p})\)。所示等式由引理 0DNR 得出；在应用该引理时取

\(B' \to B'_{i_0 \ldots i_p}\) 以及 \(y\) 和 \(y_{i_0 \ldots i_p}\)。映射 \(B' \to B'_{i_0 \ldots i_p}\) 的平坦性还保证 \(J_{i_0 \ldots i_p} = J \otimes_{B'} B'_{i_0 \ldots i_p}\)。一个略去的计算表明，\(\delta_{i_0i_1i_2}\) 给出 Čech 复形中的一个 \(2\)-余圈 \[\prod \text{Inf}_y(J) \otimes_B B_{i_0} \to \prod \text{Inf}_y(J) \otimes_B B_{i_0i_1} \to \prod \text{Inf}_y(J) \otimes_B B_{i_0i_1i_2} \to \ldots\] 由《下降》中的引理 03FJ，该复形在正次数上无上同调，并且 \(H^0 = \text{Inf}_y(J)\)。由于 \(\text{Inf}_{y_{i_0i_1}}(J_{i_0i_1})\) 作用在态射上（《Artin 公理》中的注 07YB），这意味着可以修改 \(\varphi_{i_0i_1}\) 的选取，从而归结到 \(\delta_{i_0i_1i_2} = 0\) 的情形。

唯一性。还须证明，至多存在一个对所有 \(i\) 都限制为 \(\gamma_i\) 的 \(\gamma\)。假设有 \(\textit{Lift}(y, B')\) 的对象 \(y', z'\)，以及 \(\textit{Lift}(y_i, B'_i)\) 中的同构 \(\psi_i : y'|_{B'_i} \to z'|_{B'_i}\)。于是可以考察 \[\psi_{i_1}^{-1} \circ \psi_{i_0} \in \text{Inf}_{y_{i_0i_1}}(J_{i_0i_1}) = \text{Inf}_y(J) \otimes_B B_{i_0i_1}\] 与上面相同地论证可知，在 \(B'\) 上寻找 \(y'\) 与 \(z'\) 之间同构的障碍，是上述 Čech 复形的 \(H^1\) 中的一个元素，而该群为零。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是概形 \(S\) 上的代数叠，并且其结构态射 \(\mathcal{X} \to S\) 是局部有限表示的。设 \(A \to B\) 是平坦的 \(S\)-代数同态。设 \(x\) 是 \(\mathcal{X}\) 在 \(A\) 上的对象。那么

\(T_x(M) \otimes_A B = T_y(M \otimes_A B)\)。

证明

选取一个概形 \(U\) 以及一个满光滑态射 \(U \to \mathcal{X}\)。首先把该引理归结到 \(x\) 可提升至 \(U\) 的情形。回忆，\(T_x(M)\) 是 \(x\) 到 \(A[M]\) 的提升的同构类组成的集合。因此，引理 0DNS ³ 表明，规则 \[A_1 \mapsto T_{x|_{A_1}}(M \otimes_A A_1)\] 是 \(\Spec(A)\) 的小 étale 格址上的层；这里需要张量积，才能使 \(A[M] \to A_1[M \otimes_A A_1]\) 成为平坦环映射。可以选取一个忠实平坦 étale 环映射 \(A \to A_1\)，使 \(x|_{A_1}\) 可提升为态射 \(u_1 : \Spec(A_1) \to U\)；例如参见《叠上的层》中的引理 06XH。写成 \(A_2 = A_1 \otimes_A A_1\)，并置 \(B_1 = B \otimes_A A_1\) 和 \(B_2 = B \otimes_A A_2\)。考虑图表 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & T_y(M \otimes_A B) \ar[r] & T_{y|_{B_1}}(M \otimes_A B_1) \ar[r] & T_{y|_{B_2}}(M \otimes_A B_2) \\ 0 \ar[r] & T_x(M) \ar[r] \ar[u] & T_{x|_{A_1}}(M \otimes_A A_1) \ar[r] \ar[u] & T_{x|_{A_2}}(M \otimes_A A_2) \ar[u] }\] 两行由层条件可知都是正合的。又有 \(M \otimes_A B_i = (M \otimes_A A_i) \otimes_{A_i} B_i\)。因此，只要对中间和右边的竖直箭头证明结论，所需结果便成立。这把问题归结到下一段讨论的情形。

假设 \(x\) 是态射 \(u : \Spec(A) \to U\) 的像。注意， \(T_u(M) \to T_x(M)\) 是满射，因为 \(U \to \mathcal{X}\) 光滑且可由代数空间表示；参见《可表示性判据》中的引理 06D3 （解释见其前的讨论）以及《空间态射的进一步讨论》中的引理 04AM。置 \(R = U \times_\mathcal{X} U\)。回忆，我们得到代数空间中的群胚 \((U, R, s, t, c, e, i)\)，并且 \(\mathcal{X} = [U/R]\)。由《Artin 公理》中的引理 0DNN，有正合列 \[T_{e \circ u}(M) \to T_u(M) \oplus T_u(M) \to T_x(M) \to 0\] 其中右端的零由上面已经证明。对到 \(B\) 的基变换也有类似的序列。因此，只要对 \(T_u(M)\) 和 \(T_{e \circ u}(M)\) 证明该引理的结论，便得到所需结果。这把问题归结到下一段讨论的情形。

假设 \(\mathcal{X} = X\) 是 \(S\) 上局部有限表示的代数空间。那么 \[T_x(M) = \Hom_A(x^*\Omega_{X/S}, M)\] 这由《空间态射的进一步讨论》第 0617 节的讨论得出。同理， \[T_y(M \otimes_A B) = \Hom_B(y^*\Omega_{X/S}, M \otimes_A B)\] 由于 \(X \to S\) 是局部有限表示的，可见 \(\Omega_{X/S}\) 是局部有限表示的；参见《空间态射的进一步讨论》中的引理 05ZF。因此，\(x^*\Omega_{X/S}\) 是有限表示 \(A\)-模。显然， \(y^*\Omega_{X/S} = x^*\Omega_{X/S} \otimes_A B\)。

由《代数的进一步讨论》中的引理 087R 即得结论。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是概形 \(S\) 上的代数叠，并且其结构态射 \(\mathcal{X} \to S\) 是局部有限表示的。设 \((A' \to A, x)\) 是一个形变情形。如果存在一个忠实平坦有限表示 \(A'\)-代数 \(B'\)，以及 \(\mathcal{X}\) 在 \(B'\) 上的对象 \(y'\)，它提升 \(x|_{B' \otimes_{A'} A}\)，那么存在 \(A'\) 上提升 \(x\) 的对象 \(x'\)。

证明

令 \(I = \Ker(A' \to A)\)。置 \(B'_1 = B' \otimes_{A'} B'\) 和 \(B'_2 = B' \otimes_{A'} B' \otimes_{A'} B'\)。令 \(J = IB'\)、\(J_1 = IB'_1\)、\(J_2 = IB'_2\)，以及 \(B = B'/J\)、\(B_1 = B'_1/J_1\)、\(B_2 = B'_2/J_2\)。置 \(y = x|_B\)、\(y_1 = x|_{B_1}\)、\(y_2 = x|_{B_2}\)。令 \(F\) 为引理 0DNS 中的 fppf 层（它适用；参见引理 0DNT 的证明中的脚注）。于是有等化子图表 \[\xymatrix{ F(A') \ar[r] & F(B') \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & F(B'_1) }\] 另一方面，采用《Artin 公理》第 07Y6 节的术语，有 \(F(B') = \text{Lift}(y, B')\)、 \(F(B'_1) = \text{Lift}(y_1, B'_1)\) 和 \(F(B'_2) = \text{Lift}(y_2, B'_2)\)。这些集合非空，并且分别是 \(T_y(J)\)、\(T_{y_1}(J_1)\)、\(T_{y_2}(J_2)\) 的（典范）主齐性空间；参见《Artin 公理》中的引理 07Y9。因此，\(y'\) 在 \(F(B'_1)\) 中的两个像之差是一个元素 \[\delta_1 \in T_{y_1}(J_1) = T_x(I) \otimes_A B_1\] 所示等式由引理 0DNT 得出；在应用该引理时取

\(A' \to B'_1\) 以及 \(x\) 和 \(y_1\)。映射 \(A' \to B'_1\) 的平坦性还保证 \(J_1 = I \otimes_{A'} B'_1\)。对于 \(B'\) 和 \(B'_2\) 也有类似的等式。一个略去的计算表明，\(\delta_1\) 给出 Čech 复形中的一个 \(1\)-余圈 \[T_x(I) \otimes_A B \to T_x(I) \otimes_A B_1 \to T_x(I) \otimes_A B_2 \to \ldots\] 由《下降》中的引理 03FJ，该复形在正次数上无上同调，并且 \(H^0 = T_x(I)\)。因此，可以选取 \(T_x(I) \otimes_A B = T_y(J)\) 中边界为 \(\delta_1\) 的一个元素。以该元素作用所得结果代替 \(y'\)，便得到满足 \(\delta_1 = 0\) 的新选择 \(y'\)。于是 \(y'\) 在两个映射 \(F(B') \to F(B'_1)\) 下映到同一元素，并且由层条件得到

\(F(A')\) 的一个元素。

形式光滑态射

本节引入代数叠的形式光滑态射 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 的概念。这种态射的特征是：当 \(T\) 仿射时，\(\mathcal{X}\) 的 \(T\)-值点可以提升到 \(T\) 的无穷小增厚。主要结果是，形式光滑且局部有限表示的态射是光滑的；参见引理 0DP0。事实证明，该判据通常比雅可比判据更容易使用。

定义

若代数叠的态射 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 作为群胚纤维化范畴中的 \(1\)-态射在对象上形式光滑（见《可表示性判据》第 06CZ 节的解释），则称它是 形式光滑的。

我们把该定义的条件翻译成当前使用的语言（参见《叠的性质》第 04XA 节）。设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。考虑一个 \(2\)-交换的实线图表 [0DNX]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ T \ar[r]_-x \ar[d]_i & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ T' \ar[r]^-y \ar@{..>}[ru] & \mathcal{Y} } } \end{equation}\] 其中 \(i : T \to T'\) 是仿射概形的一阶增厚。令 \[\gamma : y \circ i \longrightarrow f \circ x\] 为见证该图表 \(2\)-交换性的 \(2\)-态射。（记号同《范畴论》第 003D 节和第 003G 节。）给定 (0DNX) 和 \(\gamma\)，一个 虚线箭头是三元组 \((x', \alpha, \beta)\)，其中包含态射 \(x' : T' \to \mathcal{X}\) 和 \(2\)-箭头 \(\alpha : x' \circ i \to x\)、\(\beta : y \to f \circ x'\)，并满足 \(\gamma = (\text{id}_f \star \alpha) \circ (\beta \star \text{id}_i)\)；换言之，图表 \[\xymatrix{ & f \circ x' \circ i \ar[rd]^{\text{id}_f \star \alpha} \\ y \circ i \ar[ru]^{\beta \star \text{id}_i} \ar[rr]^\gamma & & f \circ x }\] 交换。虚线箭头的一个态射 \((x'_1, \alpha_1, \beta_1) \to (x'_2, \alpha_2, \beta_2)\) 是 \(2\)-箭头 \(\theta : x'_1 \to x'_2\)，它满足 \(\alpha_1 = \alpha_2 \circ (\theta \star \text{id}_i)\) 和 \(\beta_2 = (\text{id}_f \star \theta) \circ \beta_1\)。

刚才描述的虚线箭头范畴是《范畴论》中的定义 0H18 的一个特例。

引理

代数叠的态射 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是形式光滑的（定义 0DNW），当且仅当对于每个图表 (0DNX) 和 \(\gamma\)，虚线箭头范畴都非空。

证明

略去不同语言之间的翻译。

引理

代数叠的形式光滑态射沿任意代数叠态射的基变换仍然形式光滑。

证明

这由《范畴论》中的引理 0H1A 和定义得出。

引理

代数叠的形式光滑态射的复合仍然形式光滑。

证明

这由《范畴论》中的引理 0H1B 和定义得出。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是可由代数空间表示的代数叠态射。那么下列条件等价：

\(f\) 形式光滑；

对每个概形 \(T\) 和态射 \(T \to \mathcal{Y}\)，态射 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} T \to T\) 作为代数空间的态射是形式光滑的。

证明

这由《范畴论》中的引理 0H1A 和定义得出。

引理

设 \(T \to T'\) 是仿射概形的一阶增厚。设 \(\mathcal{X}'\) 是 \(T'\) 上的代数叠，并且其结构态射 \(\mathcal{X}' \to T'\) 是光滑的。设 \(x : T \to \mathcal{X}'\) 是 \(T'\) 上的态射。那么存在 \(T'\) 上的

态射 \(x' : T' \to \mathcal{X}'\)，满足 \(x'|_T = x\)。

证明

可以应用引理 0DNU 的结果。因此，只须构造一个光滑满态射 \(W' \to T'\)，其中 \(W'\) 仿射，并使

\(x|_{T \times_{W'} T'}\) 可提升到 \(W'\)。（我们促请读者使用已经建立的代数空间的类似结果，自行找出这一事实的证明。）选取一个概形 \(U'\) 以及一个满光滑态射 \(U' \to \mathcal{X}'\)。注意， \(U' \to T'\) 是光滑的，并且投影 \(T \times_{\mathcal{X}'} U' \to T\) 是满光滑的。选取一个仿射概形 \(W\) 和一个 étale 态射 \(W \to T \times_{\mathcal{X}'} U'\)，使 \(W \to T\) 是满射。于是 \(W \to T\) 是仿射概形的光滑态射。以若干主仿射开集的不交并代替 \(W\) 后，可以假设存在仿射概形的光滑态射 \(W' \to T'\)，使得 \(W = T \times_{T'} W'\)；参见《代数》中的引理 04B1。由《空间态射的进一步讨论》中的引理 04AM，可以找到 \(T'\) 上的态射 \(W' \to U'\)，它提升给定态射 \(W \to U'\)。证明完毕。

下面的引理是本节的主要结果。结合《叠的极限》中的命题 0CMY，它表明，可以用群胚叠的 \(1\)-态射 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 的“简单”性质来判定代数叠的态射 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是否光滑。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。下列条件等价：

态射 \(f\) 是光滑的。

态射 \(f\) 是局部有限表示且形式光滑的。

证明

假设 \(f\) 光滑。由《叠的态射》中的引理 0DNP， \(f\) 是局部有限表示的。因此，给定一个图表 (0DNX) 和 \(\gamma : y \circ i \to f \circ x\)，只须找到一个虚线箭头（参见引理 0DNY）。构造纤维积，得到 \[\xymatrix{ T \ar[d] \ar[r] & T' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d] \\ T' \ar[r] & T' \ar[r] & \mathcal{Y} }\] 由此可见，只须在左方形中找到虚线箭头。由于 \(T' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to T'\) 是光滑的（《叠的态射》中的引理 075W），引理 0DNZ 保证左方形中的虚线箭头存在。

反过来，假设 \(f\) 是局部有限表示且形式光滑的。选取一个概形 \(U\) 以及一个满光滑态射 \(U \to \mathcal{X}\)。那么 \(a : U \to \mathcal{X}\) 和 \(b : U \to \mathcal{Y}\) 均可由代数空间表示且局部有限表示（使用《叠的态射》中的引理 06Q3 以及上面已见的光滑态射是局部有限表示的事实）。我们将应用《代数叠》中的引理 045F 所给出的一般原理，以《空间态射的进一步讨论》中的引理 04AM 的等价性为输入，同时使用《可表示性判据》中的引理 06D3 的翻译。首先把它应用于 \(a\)，可见 \(a\) 在对象上形式光滑。其次，利用依假设 \(f\) 在对象上形式光滑（参见引理 0DNY）以及《可表示性判据》中的引理 06D2，可见 \(b = f \circ a\) 在对象上形式光滑。然后再次应用该原理，得出 \(b\) 光滑。由代数叠态射之光滑性的定义，这意味着 \(f\) 光滑，证明完毕。

吹起与平坦性

本节简要讨论，对于代数空间上的代数叠，可以从《空间态射的进一步讨论》第 087A 节和第 087D 节推出哪些结论。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to Y\) 是从代数叠到代数空间的态射。设 \(V \subset Y\) 是开子空间。假设

\(Y\) 是拟紧且拟分离的；

\(f\) 是有限型且拟分离的；

\(V\) 是拟紧的；并且

\(\mathcal{X}_V\) 在 \(V\) 上平坦且局部有限表示。

那么存在一个 \(V\)-可容许吹起 \(Y' \to Y\)，以及闭子叠 \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}_{Y'}\)，满足 \(\mathcal{X}'_V = \mathcal{X}_V\)，使得 \(\mathcal{X}' \to Y'\) 平坦且有限表示。

证明

注意，\(\mathcal{X}\) 是拟紧的。选取一个仿射概形 \(U\) 以及一个满光滑态射 \(U \to \mathcal{X}\)。令 \(R = U \times_\mathcal{X} U\)，于是得到 \(Y\) 上代数空间中的群胚 \((U, R, s, t, c)\)，并且 \(\mathcal{X} = [U/R]\) （《代数叠》中的引理 04T5）。可以把《空间态射的进一步讨论》中的引理 087E 应用于 \(U \to Y\) 和开子空间 \(V \subset Y\)。于是得到一个 \(V\)-可容许吹起 \(Y' \to Y\)，使得严格变换 \(U' \subset U_{Y'}\) 在 \(Y'\) 上平坦且有限表示。令 \(R' \subset R_{Y'}\) 为 \(R\) 的严格变换。由于 \(s\) 和 \(t\) 都是光滑的（特别地也是平坦的），由《空间上的除子》中的引理 0865，有笛卡儿图表 \[\vcenter{ \xymatrix{ R' \ar[r] \ar[d] & R_{Y'} \ar[d]^{s_{Y'}} \\ U' \ar[r] & U_{Y'} } } \quad\text{以及}\quad \vcenter{ \xymatrix{ R' \ar[r] \ar[d] & R_{Y'} \ar[d]^{t_{Y'}} \\ U' \ar[r] & U_{Y'} } }\] 换言之，\(U'\) 是 \(U_{Y'}\) 的一个 \(R_{Y'}\)-不变闭子空间。因此，由《叠的性质》中的引理 0507， \(U'\) 定义闭子叠 \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}_{Y'}\)。态射 \(\mathcal{X}' \to Y'\) 平坦且局部有限表示，因为 \(U' \to Y'\) 具有这些性质。另一方面，已经知道 \(\mathcal{X}' \to Y'\) 是拟紧且拟分离的（由对 \(f\) 的假设以及闭浸入具有这些性质）。证明完毕。

代数叠的 Chow 引理

本节讨论代数叠的 Chow 引理。

引理

设 \(Y\) 是拟紧拟分离代数空间。设 \(V \subset Y\) 是拟紧开子空间。设 \(f : \mathcal{X} \to V\) 是满、平坦且局部有限表示的态射。那么存在有限满态射 \(g : Y' \to Y\)，使得

\(V' = g^{-1}(V) \to Y\) 在 Zariski 局部经由 \(f\) 分解。

证明

先证明 \(Y\) 是概形的情形。可以选取一个概形 \(U\) 以及一个满光滑态射 \(U \to \mathcal{X}\)。于是 \(\{U \to V\}\) 是概形的 fppf 覆盖。由《态射的进一步讨论》中的引理 0CP0，存在有限满态射 \(V' \to V\)，使 \(V' \to V\) 在 Zariski 局部经由 \(U\) 分解。由《态射的进一步讨论》中的引理 0CNY，可以找到有限满态射 \(Y' \to Y\)，它在 \(V\) 上的限制如所需为 \(V' \to V\)。

若 \(Y\) 是代数空间，则先沿一个有限满态射 \(Y' \to Y\) 作有限基变换，其中 \(Y'\) 是概形，便可看出该引理成立。参见《空间的极限》中的命题 09YC。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to Y\) 是从代数叠到代数空间的态射。设 \(V \subset Y\) 是开子空间。假设

\(f\) 是分离且有限型的；

\(Y\) 是拟紧且拟分离的；

\(V\) 是拟紧的；并且

\(\mathcal{X}_V\) 是 \(V\) 上的胚。

那么存在交换图表 \[\xymatrix{ \overline{Z} \ar[rd]_{\overline{g}} & Z \ar[l]^j \ar[d]_g \ar[r]_h & \mathcal{X} \ar[ld]^f \\ & Y }\] 其中 \(j\) 是开浸入，\(\overline{g}\) 和 \(h\) 是固有的，并且 \(|V|\) 包含于 \(|g|\) 的像中。

证明

假设有交换图表 \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[d]_{f'} \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ Y' \ar[r] & Y }\] 以及拟紧开子空间 \(V' \subset Y'\)，使得 \(Y' \to Y\) 是代数空间的固有态射，\(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) 是代数叠的固有态射，\(V' \subset Y'\) 满射到 \(V\)，并且 \(\mathcal{X}'_{V'}\) 是 \(V'\) 上的胚。那么只须对二元组 \((f' : \mathcal{X}' \to Y', V')\) 证明该引理。略去一些细节。

证明的总体策略。我们将反复应用上面的注记，把问题归结到 \(f\) 的像是开集且 \(f\) 在该开集上有截面的情形。每一步都很直接，但步骤相当多，因而证明稍显繁复。

使用《空间的极限》中的命题 09YC，把问题归结到 \(Y\) 是概形的情形。（取一个有限满态射 \(Y' \to Y\)，其中 \(Y'\) 是概形。置 \(\mathcal{X}' = \mathcal{X}_{Y'}\)，并应用证明开头的注记。）

使用引理 0CQ4 （并使用《叠的态射》中的引理 06QI 说明胚是平坦且局部有限表示的），把问题归结到 \(f\) 平坦且有限表示的情形。

由于 \(f\) 平坦且局部有限表示，可见 \(|f|\) 的像是开集 \(W \subset Y\)。又因为 \(\mathcal{X}\) 拟紧（这是因为 \(f\) 有限型且 \(Y\) 拟紧），所以 \(W\) 拟紧。由引理 0CQ6，可以找到有限满态射 \(g : Y' \to Y\)，使 \(g^{-1}(W) \to Y\) 在 Zariski 局部经由 \(\mathcal{X} \to Y\) 分解。以 \(Y'\) 代替 \(Y\)，并以 \(\mathcal{X} \times_Y Y'\) 代替 \(\mathcal{X}\) 后，归结到下一段所描述的情形。

假设存在 \(n \geq 0\)、拟紧开集 \(W_i \subset Y\) （\(i = 1, \ldots, n\)），以及态射 \(x_i : W_i \to \mathcal{X}\)，使得 (a) \(f \circ x_i = \text{id}_{W_i}\)， (b) \(W = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} W_i\) 包含 \(V\)，并且 (c) \(W\) 是 \(|f|\) 的像。对 \(n\) 作归纳。起始情形为 \(n = 0\)：这蕴含 \(V = \emptyset\)，此时可取 \(\overline{Z} = \emptyset\)。若 \(n > 0\)，则对 \(i = 1, \ldots, n\)，考虑约化闭子概形 \(Y_i\)，其底拓扑空间为 \(Y \setminus W_i\)。考虑有限态射 \[Y' = Y \amalg \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} Y_i \longrightarrow Y\] 以及拟紧开集 \[V' = (W_1 \cap \ldots \cap W_n \cap V) \amalg \coprod_{i = 1, \ldots, n} (V \cap Y_i).\] 由证明开头的注记，只要能对二元组 \[(\mathcal{X} \to Y, W_1 \cap \ldots \cap W_n \cap V) \quad\text{以及}\quad (\mathcal{X} \times_Y Y_i \to Y_i, V \cap Y_i),\quad i = 1, \ldots, n\] 证明该引理，所需结果便成立。这里使用集合论等式 \(V = (W_1 \cap \ldots \cap W_n \cap V) \cup \bigcup\nolimits_{i = 1, \ldots n} (V \cap Y_i)\)。归纳假设适用于上述第二类二元组。因此归结到下一段所描述的情形。

假设存在 \(n \geq 0\)、拟紧开集 \(W_i \subset Y\) （\(i = 1, \ldots, n\)），以及态射 \(x_i : W_i \to \mathcal{X}\)，使得 (a) \(f \circ x_i = \text{id}_{W_i}\)， (b) \(W = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} W_i\) 包含 \(V\)， (c) \(W\) 是 \(|f|\) 的像，并且 (d) \(V \subset W_1 \cap \ldots \cap W_n\)。态射 \[T_{ij} = \mathit{Isom}_\mathcal{X}(x_i|_{W_i \cap W_j \cap V}, x_j|_{W_i \cap W_j \cap V}) \longrightarrow W_i \cap W_j \cap V\] 是满、平坦且局部有限表示的（《叠的态射》中的引理 0CPR）。对每个拟紧开集 \(W_i \cap W_j \cap V\) 和态射 \(T_{ij} \to W_i \cap W_j \cap V\) 应用引理 0CQ6，得到有限满态射 \(Y'_{ij} \to Y\)。以所有 \(Y'_{ij}\) 在 \(Y\) 上的纤维积代替 \(Y\) 后，归结到下一段所描述的情形。

假设存在 \(n \geq 0\)、拟紧开集 \(W_i \subset Y\) （\(i = 1, \ldots, n\)），以及态射 \(x_i : W_i \to \mathcal{X}\)，使得 (a) \(f \circ x_i = \text{id}_{W_i}\)， (b) \(W = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} W_i\) 包含 \(V\)， (c) \(W\) 是 \(|f|\) 的像， (d) \(V \subset W_1 \cap \ldots \cap W_n\)，并且 (e) \(x_i\) 与 \(x_j\) 在 \(W_i \cap W_j \cap V\) 上 Zariski 局部同构。任取 \(y \in V\)。假设能找到拟紧开邻域 \(y \in V_y \subset V\)，使得该引理对二元组 \((\mathcal{X} \to Y, V_y)\) 成立，设其解为 \(\overline{Z}_y, Z_y, \overline{g}_y, g_y, h_y\)。由于 \(V\) 拟紧，可以找到有限多个点 \(y_1, \ldots, y_m\)，使 \(V = V_{y_1} \cup \ldots \cup V_{y_m}\)。于是置 \[\overline{Z} = \coprod \overline{Z}_{y_j},\quad Z = \coprod Z_{y_j},\quad \overline{g} = \coprod \overline{g}_{y_j},\quad g = \coprod g_{y_j},\quad h = \coprod h_{y_j}\] 便给出该引理的一个解。给定 \(y\)，由条件 (e)，可以选取拟紧开邻域 \(y \in V_y \subset V\)，以及同构 \(\varphi_i : x_1|_{V_y} \to x_i|_{V_y}\)（\(i = 2, \ldots, n\)）。置 \(\varphi_{ij} = \varphi_j \circ \varphi_i^{-1}\)。这把问题带到下一段所描述的情形。

假设存在 \(n \geq 0\)、拟紧开集 \(W_i \subset Y\) （\(i = 1, \ldots, n\)），以及态射 \(x_i : W_i \to \mathcal{X}\)，使得 (a) \(f \circ x_i = \text{id}_{W_i}\)， (b) \(W = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} W_i\) 包含 \(V\)， (c) \(W\) 是 \(|f|\) 的像， (d) \(V \subset W_1 \cap \ldots \cap W_n\)，并且 (f) 存在同构 \(\varphi_{ij} : x_i|_V \to x_j|_V\)，满足 \(\varphi_{jk} \circ \varphi_{ij} = \varphi_{ik}\)。态射 \[I_{ij} = \mathit{Isom}_\mathcal{X}(x_i|_{W_i \cap W_j}, x_j|_{W_i \cap W_j}) \longrightarrow W_i \cap W_j\] 是固有的，因为 \(f\) 分离（《叠的态射》中的引理 0CPL）。注意，\(\varphi_{ij}\) 定义 \(I_{ij} \to W_i \cap W_j\) 在 \(V\) 上的截面 \(V \to I_{ij}\)。由《空间态射的进一步讨论》中的引理 0CPI，可以找到 \(V\)-可容许吹起 \(p_{ij} : Y_{ij} \to Y\)，使

\(s_{ij}\) 延拓到 \(p_{ij}^{-1}(W_i \cap W_j)\)。以所有 \(Y_{ij}\) 在 \(Y\) 上的纤维积代替 \(Y\) 后，到达下一段所描述的情形。

假设存在 \(n \geq 0\)、拟紧开集 \(W_i \subset Y\) （\(i = 1, \ldots, n\)），以及态射 \(x_i : W_i \to \mathcal{X}\)，使得 (a) \(f \circ x_i = \text{id}_{W_i}\)， (b) \(W = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} W_i\) 包含 \(V\)， (c) \(W\) 是 \(|f|\) 的像， (d) \(V \subset W_1 \cap \ldots \cap W_n\)，并且 (g) 存在同构 \(\varphi_{ij} : x_i|_{W_i \cap W_j} \to x_j|_{W_i \cap W_j}\)，满足 \[\varphi_{jk}|_V \circ \varphi_{ij}|_V = \varphi_{ik}|_V.\] 必要时再次以一个 \(V\)-可容许吹起代替 \(Y\)，可以假设 \(V\) 在 \(Y\) 中稠密且概形论稠密，从而在 \(Y\) 的任意包含 \(V\) 的开子空间中也如此。作此代替后，由《空间的态射》中的引理 084N 以及

\(I_{ik} \to W_i \cap W_j\) 固有（因而分离）这一事实，得出 \[\varphi_{jk}|_{W_i \cap W_j \cap W_k} \circ \varphi_{ij}|_{W_i \cap W_j \cap W_k} = \varphi_{ik}|_{W_i \cap W_j \cap W_k}\] 当然，这意味着 \((x_i, \varphi_{ij})\) 是一个

下降数据；由于 \(\mathcal{X}\) 是叠，得到态射 \(x : W \to \mathcal{X}\)，它在 \(W_i\) 上与 \(x_i\) 一致。由于 \(x\) 是分离态射 \(\mathcal{X} \to W\) 的一个截面，可见 \(x\) 是固有的（《叠的态射》中的引理 050J）。因此，该引理现在对 \(\overline{Z} = Y\)、\(Z = W\)、\(\overline{g} = \text{id}_Y\)、 \(g = \text{id}_W\)、\(h = x\) 成立。

定理

设 \(f : \mathcal{X} \to Y\) 是从代数叠到代数空间的态射。假设

\(Y\) 是拟紧且拟分离的；

\(f\) 是分离有限型的。

那么存在交换图表 \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[rd] & X \ar[l] \ar[d] \ar[r] & \overline{X} \ar[ld] \\ & Y }\] 其中 \(X \to \mathcal{X}\) 是固有满态射， \(X \to \overline{X}\) 是开浸入，并且

\(\overline{X} \to Y\) 是代数空间的固有态射。

证明

粗略的想法是利用 \(\mathcal{X}\) 有一个稠密开子叠为胚（《叠的态射》中的命题 06RC），并诉诸引理 0CQ7。该方法不能直接奏效的原因是，这个开子叠可能并不拟紧，从而会遇到技术困难。因此先作一个（标准的）归约，化到 Noether 情形。

首先选取闭浸入 \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\)，其中 \(\mathcal{X}'\) 是 \(Y\) 上分离且有限型的代数叠。参见《叠的极限》中的引理 0CQ2。显然，只须对 \(\mathcal{X}'\) 证明该定理；因此可以假设 \(\mathcal{X} \to Y\) 是分离且有限表示的。

假设 \(\mathcal{X} \to Y\) 是分离且有限表示的。由《空间的极限》中的命题 07SU，可以把 \(Y = \lim Y_i\) 写成一个由 Noether 代数空间组成、转移态射仿射的系统的有向极限。由《叠的极限》中的引理 0CN4，存在某个 \(i\) 以及从代数叠到 \(Y_i\) 的有限表示态射 \(\mathcal{X}_i \to Y_i\)，使得 \(\mathcal{X} = Y \times_{Y_i} \mathcal{X}_i\)。增大 \(i\) 后，可以假设 \(\mathcal{X}_i \to Y_i\) 分离；参见《叠的极限》中的引理 0CPZ。于是只须对 \(\mathcal{X}_i \to Y_i\) 证明该定理。这把问题归结到下一段讨论的情形。

假设 \(Y\) 是 Noether 的。可以用其约化代替 \(\mathcal{X}\)（《叠的性质》中的定义 050C）。这把问题归结到下一段讨论的情形。

假设 \(Y\) 是 Noether 的且 \(\mathcal{X}\) 是约化的。由于 \(\mathcal{X} \to Y\) 分离且 \(Y\) 拟分离，可见 \(\mathcal{X}\) 作为代数叠是拟分离的。因此惰性态射 \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 是拟紧的。于是，由《叠的态射》中的命题 06RC，存在一个作为胚的稠密开子叠 \(\mathcal{V} \subset \mathcal{X}\)。令 \(\mathcal{V} \to V\) 为把 \(\mathcal{V}\) 表示成代数空间 \(V\) 上的胚的态射。关于 \(\mathcal{V} \to V\) 的构造，参见《叠的态射》中的引理 06QD。特别地，该构造表明态射 \(\mathcal{V} \to Y\) 分解为 \(\mathcal{V} \to V \to Y\)。图示为 \[\xymatrix{ \mathcal{V} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ V \ar[r] & Y }\] 由于态射 \(\mathcal{V} \to V\) 是满、平坦且有限表示的（《叠的态射》中的引理 06QI），并且 \(\mathcal{V} \to Y\) 是局部有限表示的，可知 \(V \to Y\) 是局部有限表示的（《叠的态射》中的引理 06Q9）。注意，\(\mathcal{V} \to V\) 是万有同胚（《叠的态射》中的引理 06R9）。由于 \(\mathcal{V}\) 拟紧（参见《叠的态射》中的引理 0CPM），可见 \(V\) 拟紧。最后，由于 \(\mathcal{V} \to Y\) 分离， \(V \to Y\) 也分离；这是把《叠的态射》中的引理 0CPQ 应用于 \(\mathcal{V} \to V \to Y\) 所得的（其假设如上所见均满足）。

以上说明，《空间的极限》中的引理 088N 的假设适用于态射 \(V \to Y\)。因此可以找到稠密开子空间 \(V' \subset V\) 以及 \(Y\) 上的浸入 \(V' \to \mathbf{P}^n_Y\)。显然，可以用 \(V'\) 代替 \(V\)，并用 \(V'\) 在 \(\mathcal{V}\) 中的逆像代替 \(\mathcal{V}\) （回忆，如上所见 \(|\mathcal{V}| = |V|\)）。于是可以假设有图表 \[\xymatrix{ \mathcal{V} \ar[rr] \ar[d] & & \mathcal{X} \ar[d] \\ V \ar[r] & \mathbf{P}^n_Y \ar[r] & Y }\] 其中箭头 \(V \to \mathbf{P}^n_Y\) 是浸入。令 \(\mathcal{X}'\) 为态射 \[j : \mathcal{V} \longrightarrow \mathbf{P}^n_Y \times_Y \mathcal{X}\] 的概形论像，并令 \(Y'\) 为态射 \(V \to \mathbf{P}^n_Y\) 的概形论像。得到交换图表 \[\xymatrix{ \mathcal{V} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X}' \ar[r] \ar[d] & \mathbf{P}^n_Y \times_Y \mathcal{X} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d] \\ V \ar[r] & Y' \ar[r] & \mathbf{P}^n_Y \ar[r] & Y }\] （参见《叠的态射》中的引理 0CPV）。我们断言 \(\mathcal{V} = V \times_{Y'} \mathcal{X}'\)，并且引理 0CQ7 适用于态射 \(\mathcal{X}' \to Y'\) 和开子空间 \(V \subset Y'\)。若该断言成立，则得到 \[\xymatrix{ \overline{X} \ar[rd]_{\overline{g}} & X \ar[l] \ar[d]_g \ar[r]_h & \mathcal{X}' \ar[ld]^f \\ & Y' }\] 其中 \(X \to \overline{X}\) 是开浸入， \(\overline{g}\) 和 \(h\) 是固有的，并且 \(|V|\) 包含于 \(|g|\) 的像中。于是复合 \(X \to \mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) 是固有的（因为它是固有态射的复合），且其像包含 \(|\mathcal{V}|\)；因此该复合是满射。类似地，\(\overline{X} \to Y' \to Y\) 作为固有态射的复合是固有的。

最后一步是证明该断言。注意，\(\mathcal{X}' \to Y'\) 是分离且有限型的，\(Y'\) 是拟紧且拟分离的，而 \(V\) 是拟紧的（我们完全略去对所有细节的检验）。其次，注意 \(b : \mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) 在 \(\mathcal{V}\) 上是同构；这由《叠的态射》中的引理 0CPW 得出。特别地，\(\mathcal{V}\) 被识别为 \(\mathcal{X}'\) 的开子叠。态射 \(j\) 是拟紧的（源拟紧且目标拟分离），所以由《叠的态射》中的引理 0CMK， \(j\) 的概形论像的形成与平坦基变换交换。特别地， \(V \times_{Y'} \mathcal{X}'\) 是态射 \(\mathcal{V} \to V \times_{Y'} \mathcal{X}'\) 的概形论像。然而，由《叠的态射》中的引理 0CPT， \(|\mathcal{V}| \to |V \times_{Y'} \mathcal{X}'|\) 的像是闭的（使用如上所见 \(\mathcal{V} \to V\) 是万有同胚，从而是万有闭的）。此外，该像是稠密的（把刚才所述与《叠的态射》中的引理 0CML 结合）。

因此 \(|\mathcal{V}| = |V \times_{Y'} \mathcal{X}'|\)。于是 \(\mathcal{V} \to V \times_{Y'} \mathcal{X}'\) 是同构，该断言证毕。

Noether 赋值判据

本节讨论 Noether 情形下，仅使用离散赋值环来表述的代数叠态射的（精细）赋值判据。判据有许多不同变体；今后将按需在此增补。

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠（或代数空间或概形）的态射。所谓精细赋值判据，是指给定一个具有某些性质的态射 \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\)，并且只考察如下形式的实线图表中虚线箭头的存在性或唯一性： \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[d] \ar[r] & \mathcal{U} \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{..>}[rru] & & \mathcal{Y} }\] 下文用这一术语描述

迄今得到的结果。

代数叠态射的非 Noether 赋值判据：

《叠的态射》第 0CLQ 节（用于对角态射的分离性）；
《叠的态射》第 0CLS 节（用于分离性）；
《叠的态射》第 0CLV 节（用于万有闭性）；
《叠的态射》第 0CLY 节（用于固有性）。

对于代数空间，有下列赋值判据：

《空间的态射》第 03K9 节（用于万有闭性）；
《空间的态射》中的引理 089G （万有闭性的精细判据）；
《空间的态射》第 03KT 节（用于分离性）；
《空间的态射》第 0CKZ 节（用于固有性）；
《良好空间》第 06NP 节（用于良好空间的万有闭性）；
《良好空间》中的引理 03M6 （用于代数空间之间良好态射的万有闭性）；
《空间的上同调》第 0ARI 节包含 Noether 赋值判据：
1. 《空间的上同调》中的引理 0ARJ （使用离散赋值环判定分离性）；
2. 《空间的上同调》中的引理 0ARK （使用离散赋值环判定固有性）；
3. 《空间的上同调》中的注 0ARL （讨论如何归约到完备离散赋值环）。
《空间的极限》第 0CMB 节讨论 Noether 赋值判据：
1. 《空间的极限》中的引理 0H1W （使用离散赋值环和泛点判定分离性）；
2. 《空间的极限》中的引理 0H1X （使用离散赋值环和泛点判定固有性）；
3. 《空间的极限》中的引理 0H1Y （使用离散赋值环判定万有闭性）。
《空间的极限》第 0H1Z 节讨论精细 Noether 赋值判据：
1. 《空间的极限》中的引理 0CMD 和 0CMF （使用离散赋值环给出的固有性精细判据）；
2. 《空间的极限》中的引理 0CME （使用离散赋值环给出的分离性精细判据）。

对于概形，有下列赋值判据：

《概形》第 01KA 节（用于万有闭性）；
《概形》第 01KY 节（用于分离性）；
《态射》第 0BX4 节（用于固有性）；
《态射》中的引理 0894 （万有闭性的精细判据）；
《极限》第 0CM1 节讨论 Noether 赋值判据：
1. 《极限》中的引理 0207 （使用离散赋值环和泛点判定分离性）；
2. 《极限》中的引理 0208 （使用离散赋值环和泛点判定固有性）；
3. 《极限》中的引理 05JY （使用离散赋值环判定万有闭性）。
《极限》第 0H1P 节讨论精细 Noether 赋值判据：
1. 《极限》中的引理 0CM3 和 0CM5 （使用离散赋值环给出的固有性精细判据）；
2. 《极限》中的引理 0CM4 （使用离散赋值环给出的分离性精细判据）。
《极限》第 0GWU 节讨论 Noether 基底上的赋值判据；在该情形下，可以得到在基底上本质有限型的离散赋值环。

至此结束对先前结果的列举。

本节的许多结果都可以（而且或许应该）诉诸下面的引理来证明，尽管我们并非始终这样做。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。假设

\(f\) 有限型且 \(\mathcal{Y}\) 局部 Noether。设 \(y \in |\mathcal{Y}|\) 是 \(|f|\) 的像的闭包中的一点。那么存在代数叠的交换图表 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r] & \mathcal{Y} }\] 其中 \(A\) 是离散赋值环，\(K\) 是其分式域，并且 \(\Spec(A)\) 的闭点映到 \(y\)。

证明

选取一个仿射概形 \(V\)、一点 \(v \in V\)，以及把 \(v\) 映到 \(y\) 的光滑态射 \(V \to \mathcal{Y}\)。映射 \(|V| \to |\mathcal{Y}|\) 是开的；并且由《叠的性质》中的引理 04XH， \(|\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V| \to |V|\) 的像是 \(|f|\) 的像的逆像。因此，点 \(v\) 属于 \(|\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V| \to |V|\) 的像的闭包。若对 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) 和点 \(v\) 证明该引理，则对 \(f\) 和 \(y\) 也得到该引理。这样便归结到下一段所描述的情形。

假设有引理中那样的 \(f : \mathcal{X} \to Y\) 和 \(y \in |Y|\)，其中 \(Y\) 是 Noether 仿射概形。由于 \(f\) 拟紧，可知 \(\mathcal{X}\) 拟紧。因此可以选取一个仿射概形 \(W\) 以及一个满光滑态射 \(W \to \mathcal{X}\)。于是 \(|f|\) 的像与 \(|W| \to |Y|\) 的像相同。这样便归结到概形的情形，即《极限》中的引理 0CM2。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。假设

\(\mathcal{Y}\) 局部 Noether；

\(f\) 局部有限型且拟分离；

对每个交换图表 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_x \ar[d]_j & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r]^y \ar@{-->}[ru] & \mathcal{Y} }\] 其中 \(A\) 是离散赋值环、\(K\) 是其分式域，并且对任意 \(2\)-箭头 \(\gamma : y \circ j \to f \circ x\)，虚线箭头范畴（《叠的态射》中的定义 0CLA）或者为空，或者是恰有一个同构类的集合胚（setoid）。

那么 \(f\) 分离。

证明

为证明 \(f\) 分离，必须证明 \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 固有。已经知道 \(\Delta\) 可由代数空间表示且局部有限型（《叠的态射》中的引理 04XS），并且拟紧、拟分离（由 \(f\) 拟分离的定义）。选取一个概形 \(U\) 以及一个满光滑态射 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)。置 \[V = \mathcal{X} \times_{\Delta, \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}} U\] 只须证明代数空间的态射 \(V \to U\) 固有（《叠的性质》中的引理 04XD）。注意，\(U\) 局部 Noether（使用《叠的态射》中的引理 06R6 以及 \(U \to \mathcal{Y}\) 局部有限型这一事实），而 \(V \to U\) 有限型且拟分离（它是 \(\Delta\) 的基变换，并使用上面列出的 \(\Delta\) 的性质）。应用《空间的上同调》中的引理 0ARK，只须证明：给定交换图表 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_v \ar[d]_j & V \ar[d]^g \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d]^\Delta \\ \Spec(A) \ar[r]^u \ar@{-->}[ru] \ar@{..>}[rru] & U \ar[r] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} }\] 其中 \(A\) 是离散赋值环、\(K\) 是其分式域，存在唯一使图表交换的虚线箭头。由《叠的态射》中的引理 0CLE，虚线箭头与点线箭头的范畴等价。假设 (3) 蕴含存在唯一的点线箭头（在同构意义下）；参见《叠的态射》中的引理 0E8L。因此如所需，存在唯一的虚线箭头。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 和 \(h : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) 是代数叠的态射。假设 \(\mathcal{Y}\) 局部 Noether，\(f\) 和 \(h\) 都是有限型的， \(f\) 分离，并且 \(|h| : |\mathcal{U}| \to |\mathcal{X}|\) 的像在 \(|\mathcal{X}|\) 中稠密。如果给定任意 \(2\)-交换图表 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_-u \ar[d]_j & \mathcal{U} \ar[r]_h & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[rr]^-y & & \mathcal{Y} }\] 其中 \(A\) 是分式域为 \(K\) 的离散赋值环，并给定

\(\gamma : y \circ j \to f \circ h \circ u\)，存在域扩张 \(K'/K\) 和支配 \(A\) 的赋值环 \(A' \subset K'\)，使诱导图表 \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar[r]_-{x'} \ar[d]_{j'} & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A') \ar[r]^-{y'} \ar@{..>}[ru] & \mathcal{Y} }\] 对于诱导的 \(2\)-箭头 \(\gamma' : y' \circ j' \to f \circ x'\) 的虚线箭头范畴非空（《叠的态射》中的定义 0CLA），那么 \(f\) 固有。

证明

只须证明 \(f\) 万有闭。设 \(V \to \mathcal{Y}\) 是光滑态射，其中 \(V\) 是仿射概形。由《叠的性质》中的引理 04XH， \(|\mathcal{U} \times_\mathcal{Y} V| \to |\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V|\) 的像 \(I\) 是 \(|h|\) 的像的逆像。由于 \(|\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V| \to |\mathcal{X}|\) 是开映射（《叠的态射》中的引理 06R7），可知 \(I\) 在 \(|\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V|\) 中稠密。此外，由于虚线箭头范畴在基变换下表现良好（《叠的态射》中的引理 0CLE），关于（扩张后）虚线箭头存在性的假设被态射 \(\mathcal{U} \times_\mathcal{Y} V \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) 继承。因此，该引理的假设对态射 \(\mathcal{U} \times_\mathcal{Y} V \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) 成立。于是可以假设 \(\mathcal{Y}\) 是仿射概形。

假设 \(\mathcal{Y} = Y\) 是仿射概形。（从现在起，不必再操心 \(2\)-箭头 \(\gamma\) 和 \(\gamma'\)；参见《叠的态射》中的引理 0CLD。）于是 \(\mathcal{U}\) 拟紧。选取一个仿射概形 \(U\) 以及一个满光滑态射 \(U \to \mathcal{U}\)。可以并且确实用 \(U\) 代替 \(\mathcal{U}\)。因此，可以假设 \(\mathcal{U}\) 是仿射概形。

假设 \(\mathcal{Y} = Y\) 和 \(\mathcal{U} = U\) 都是仿射概形。由 Chow 引理（定理 0CQ8），可以选取一个满固有态射 \(X \to \mathcal{X}\)，其中 \(X\) 是代数空间。下文将使用 \(X \to Y\) 作为分离态射的复合是分离的这一事实。考虑代数空间 \(W = X \times_\mathcal{X} U\)。投影态射 \(W \to X\) 是有限型的。可以用 \(W \to X\) 的概形论像代替 \(X\)，从而假设 \(|W|\) 在 \(|X|\) 中的像在 \(|X|\) 中稠密（这里使用 \(|h|\) 的像在 \(|\mathcal{X}|\) 中稠密，所以作此代替后，态射 \(X \to \mathcal{X}\) 仍然是满射）。我们断言，对于每个实线交换图表 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & W \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{..>}[rru] & & Y }\] 其中 \(A\) 是分式域为 \(K\) 的离散赋值环，存在使图表交换的点线箭头。首先，只须在以一个扩张代替 \(K\)、并以该扩张中支配 \(A\) 的一个赋值环代替 \(A\) 后证明点线箭头存在；参见《空间的态射》中的引理 0ARH。由该引理的假设，得到扩张 \(K'/K\)、支配 \(A\) 的赋值环 \(A' \subset K'\)，以及一个箭头 \(\Spec(A') \to \mathcal{X}\)；该箭头提升复合 \(\Spec(A') \to \Spec(A) \to Y\)，并与复合 \(\Spec(K') \to \Spec(K) \to W \to X\) 相容。由于 \(X \to \mathcal{X}\) 固有，可以使用固有性的赋值判据（《叠的态射》中的引理 0CLZ），找到扩张 \(K''/K'\)、支配 \(A'\) 的赋值环 \(A'' \subset K''\)，以及态射 \(\Spec(A'') \to X\)；该态射提升复合 \(\Spec(A'') \to \Spec(A') \to \mathcal{X}\)，并与复合 \(\Spec(K'') \to \Spec(K') \to \Spec(K) \to X\) 相容。于是

\(K''/K\)、\(A'' \subset K''\) 和态射 \(\Spec(A'') \to X\) 是上述问题的一个解，故断言成立。

由代数空间情形的该引理（《空间的极限》中的引理 0CMD），该断言蕴含态射 \(X \to Y\) 固有。由《叠的态射》中的引理 0CQK，得出 \(\mathcal{X} \to Y\) 如所需固有。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 和 \(h : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) 是代数叠的态射。假设 \(\mathcal{Y}\) 局部 Noether，\(f\) 局部有限型且拟分离， \(h\) 有限型，并且 \(|h| : |\mathcal{U}| \to |\mathcal{X}|\) 的像在 \(|\mathcal{X}|\) 中稠密。如果对任意给定的 \(2\)-交换图表 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_-u \ar[d]_j & \mathcal{U} \ar[r]_h & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[rr]^-y \ar@{..>}[rru] & & \mathcal{Y} }\] 其中 \(A\) 是分式域为 \(K\) 的离散赋值环，并且 \(\gamma : y \circ j \to f \circ h \circ u\)，虚线箭头范畴或者为空，或者是恰有一个同构类的集合胚（setoid），那么 \(f\) 分离。

证明

我们必须证明 \(\Delta\) 是固有态射。先假设 \(\Delta\) 分离。那么可以将引理 0CQM 应用于态射 \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\) 和 \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)。注意，由于 \(f\) 拟分离，\(\Delta\) 拟紧。当然，\(\Delta\) 局部有限型（这对任意对角态射都成立，参见《叠的态射》中的引理 04XS）。最后，假设给定一个 \(2\)-交换图表 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_-u \ar[d]_j & \mathcal{U} \ar[r]_h & \mathcal{X} \ar[d]^\Delta \\ \Spec(A) \ar[rr]^-y \ar@{..>}[rru] & & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} }\] 其中 \(A\) 是分式域为 \(K\) 的离散赋值环，并且 \(\gamma : y \circ j \to \Delta \circ h \circ u\)。由《叠的态射》中的引理 0E8L 以及本引理中的假设，可知存在唯一的点线箭头。这证明引理 0CQM 的最后一个假设成立，从而得到结论。

在一般情形下，只须证明 \(\Delta\) 分离，因为这样便回到前一种情形。事实上，我们断言本引理的假设对 \[\mathcal{U} \to \mathcal{X} \quad\text{和}\quad \Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\] 成立。确实，由于 \(\Delta\) 可由代数空间表示，上一段那种图表的虚线箭头范畴是一个集合胚（例如参见《叠的态射》中的引理 0CLC）。上一段的论证表明，这些范畴或者为空，或者恰有一个同构类。因此 \(\Delta\) 分离。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 是代数叠的态射。假设 \(\mathcal{Y}\) 局部 Noether，并且 \(f\) 有限型。如果对任意给定的 \(2\)-交换图表 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_-x \ar[d]_j & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r]^-y & \mathcal{Y} }\] 其中 \(A\) 是分式域为 \(K\) 的离散赋值环，

并且 \(\gamma : y \circ j \to f \circ x\)，存在域扩张 \(K'/K\) 以及支配 \(A\) 的赋值环 \(A' \subset K'\)，使得诱导图表 \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar[r]_-{x'} \ar[d]_{j'} & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A') \ar[r]^-{y'} \ar@{..>}[ru] & \mathcal{Y} }\] 连同诱导 \(2\)-箭头 \(\gamma' : y' \circ j' \to f \circ x'\) 的虚线箭头范畴非空（《叠的态射》中的定义 0CLA），那么 \(f\) 万有闭。

证明

设 \(V \to \mathcal{Y}\) 是光滑态射，其中 \(V\) 是仿射概形。虚线箭头范畴在基变换下表现良好（《叠的态射》中的引理 0CLE）。因此，关于（扩张后）虚线箭头存在性的假设被态射 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) 继承。所以本引理的假设对态射 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) 成立。于是可以假设 \(\mathcal{Y}\) 是仿射概形。

假设 \(\mathcal{Y} = Y\) 是 Noether 仿射概形。（从现在起，不必再操心 \(2\)-箭头 \(\gamma\) 和 \(\gamma'\)；参见《叠的态射》中的引理 0CLD。）为证明 \(f\) 万有闭，由《叠的极限》中的引理 0H2A，只须证明对所有 \(n\)，映射 \(|\mathcal{X} \times \mathbf{A}^n| \to |Y \times \mathbf{A}^n|\) 都是闭映射。由于本引理的假设被乘积态射 \(\mathcal{X} \times \mathbf{A}^n \to Y \times \mathbf{A}^n\) 继承（略去细节），问题约化为证明 \(|\mathcal{X}| \to |Y|\) 是闭映射。

假设 \(Y\) 是 Noether 仿射概形。设 \(T \subset |\mathcal{X}|\) 是闭子集。我们必须证明 \(T\) 在 \(|Y|\) 中的像是闭的。可以用 \(T\) 上的约化诱导闭子空间结构代替 \(\mathcal{X}\)；略去验证关于虚线箭头存在性的性质在该代替下保持不变。因此，问题约化为证明 \(|\mathcal{X}| \to |Y|\) 的像是闭的。

设 \(y \in |Y|\) 是 \(|\mathcal{X}| \to |Y|\) 的像之闭包中的一点。由引理 0H2B，可以选取交换图表 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r] & Y }\] 其中 \(A\) 是离散赋值环，\(K\) 是其分式域，并且 \(\Spec(A)\) 的闭点映到 \(y\)。由本引理的假设立即可知， \(y\) 位于 \(|\mathcal{X}| \to |Y|\) 的像中，证明完成。

模空间

本节讨论从代数叠到代数空间的态射 \(f : \mathcal{X} \to Y\)。在适当假设下，称 \(Y\) 是 \(\mathcal{X}\) 的一个模空间。如果 \(\mathcal{X} = [U/R]\) 是一个表现，那么可得到一个 \(R\)-不变态射 \(U \to Y\)，并且（在适当假设下）\(Y\) 是群胚 \((U, R, s, t, c)\) 的一个商。关于不同类型商的讨论，可从《群胚的商》第 048B 节开始查阅。

定义

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。设 \(f : \mathcal{X} \to Y\) 是到代数空间 \(Y\) 的态射。

如果任意到代数空间 \(W\) 的态射 \(\mathcal{X} \to W\) 都唯一地经由 \(f\) 分解，则称 \(f\) 是一个 范畴模空间。

如果对代数空间的任意平坦态射 \(Y' \to Y\)，基变换 \(f' : Y' \times_Y \mathcal{X} \to Y'\) 都是范畴模空间，则称 \(f\) 是一个一致范畴模空间。

设 \(\mathcal{C}\) 是代数空间范畴的一个全子范畴。

如果 \(Y \in \Ob(\mathcal{C})\)，并且对任意 \(W \in \Ob(\mathcal{C})\)，每个态射 \(\mathcal{X} \to W\) 都唯一地经由 \(f\) 分解，则称 \(f\) 是一个 \(\mathcal{C}\) 中的范畴模空间。

如果 \(Y \in \Ob(\mathcal{C})\)，并且对 \(\mathcal{C}\) 中的每个平坦态射 \(Y' \to Y\)，基变换 \(f' : Y' \times_Y \mathcal{X} \to Y'\) 都是 \(\mathcal{C}\) 中的范畴模空间，则称其为一个 \(\mathcal{C}\) 中的一致范畴模空间。

由 Yoneda 引理，范畴模空间若存在便是唯一的。下面将它与此前为商引入的语言相对应。

引理

设 \((U, R, s, t, c)\) 是代数空间中的群胚，其中 \(s, t : R \to U\) 平坦且局部有限表现。考虑代数叠 \(\mathcal{X} = [U/R]\)。给定代数空间 \(Y\)，态射 \(f : \mathcal{X} \to Y\) 与 \(R\)-不变态射 \(\phi : U \to Y\) 之间存在一个 \(1\)-到-\(1\) 对应。

证明

《可表示性判据》中的定理 06FI 告诉我们 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。给定态射 \(f : \mathcal{X} \to Y\)，令 \(\phi : U \to Y\) 为复合 \(U \to \mathcal{X} \to Y\)。由于 \(R = U \times_\mathcal{X} U\)（《空间中的群胚》中的引理 04M9），立即可知 \(\phi\) 是 \(R\)-不变的。反之，如果 \(\phi : U \to Y\) 是到代数空间的 \(R\)-不变态射，那么由《空间中的群胚》中的引理 044U，可得到态射 \(f : \mathcal{X} \to Y\)。也可以利用《空间中的群胚》中的引理 044X 对商叠的显式描述，从 \(\phi\) 构造 \(f\)。

引理

采用引理 0DUH 中的假设和记号。那么 \(f\) 是（一致）范畴模空间，当且仅当 \(\phi\) 是（一致）范畴商。对于全子范畴中的模空间也有类似结论。

证明

由引理 0DUH 中建立的 \(1\)-到-\(1\) 对应，立即可知 \(f\) 是范畴模空间，当且仅当 \(\phi\) 是范畴商（《群胚的商》中的定义 048J）。如果 \(Y' \to Y\) 是态射，那么 \(U' = Y' \times_Y U \to Y' \times_Y \mathcal{X} = \mathcal{X}'\) 作为 \(U \to \mathcal{X}\) 的基变换，是满、平坦且局部有限表现的态射（《可表示性判据》中的引理 06FH）。又由纤维积的传递性，\(R' = Y' \times_Y R\) 等于 \(U' \times_{\mathcal{X}'} U'\)。因此 \(\mathcal{X}' = [U'/R']\)；参见《代数叠》中的备注 04WY。所以，把我们的情形基变换到 \(Y'\) 后，仍得到本引理陈述中的情形。由此立即可知，\(f\) 是一致范畴模空间，当且仅当 \(\phi\) 是一致范畴商。

引理

设 \(f : \mathcal{X} \to Y\) 是从代数叠到代数空间的态射。如果对每个仿射概形 \(Y'\) 和平坦态射 \(Y' \to Y\)，基变换 \(f' : Y' \times_Y \mathcal{X} \to Y'\) 都是范畴模空间，那么 \(f\) 是一致范畴模空间。

证明

选取一个 étale 覆盖 \(\{Y_i \to Y\}\)，其中 \(Y_i\) 是仿射概形。

对每个 \(i\) 和 \(j\)，选取一个仿射开覆盖 \(Y_i \times_Y Y_j = \bigcup Y_{ijk}\)。置 \(\mathcal{X}_i = Y_i \times_Y \mathcal{X}\) 和 \(\mathcal{X}_{ijk} = Y_{ijk} \times_Y \mathcal{X}\)。设 \(g : \mathcal{X} \to W\) 是到代数空间的态射。考虑图表 \[\xymatrix{ \mathcal{X}_i \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \ar[r]_g & W \\ Y_i \ar[r] \ar@{..>}[rru] & Y }\] \(\mathcal{X}_i \to Y_i\) 是范畴模空间这一假设给出唯一的点线箭头 \(h_i : Y_i \to W\)。\(\mathcal{X}_{ijk} \to Y_{ijk}\) 是范畴模空间这一假设说明

\(h_i\) 和 \(h_j\) 在 \(Y_{ijk}\) 上的限制相等。因此，\(h_i\) 和 \(h_j\) 在 \(Y_i \times_Y Y_j\) 上相同。由于 \(Y = \coprod Y_i / \coprod Y_i \times_Y Y_j\) （由《空间》第 0261 节），可知存在唯一的态射 \(Y \to W\)，使得 \(g\) 经由它分解。因此 \(f\) 是范畴模空间。相同论证可在平坦基变换后应用，故 \(f\) 是一致范畴模空间。

Keel–Mori 定理

本节开始在代数叠的框架下讨论 Keel 和 Mori 的定理。关于相关文献的讨论，请参见《文献指南》中的第 04UX 小节。

定义

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。如果存在仿射概形 \(U\) 和一个满、平坦、有限且有限表现的态射 \(U \to \mathcal{X}\)，则称 \(\mathcal{X}\) 是近乎仿射的。

我们给这个性质取了一个多少有些荒唐的名字，因为并不打算过多使用它。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。下列条件等价：

\(\mathcal{X}\) 近乎仿射；

存在群胚概形 \((U, R, s, t, c)\)，其中 \(U\) 和 \(R\) 仿射， \(s, t : R \to U\) 有限局部自由，并且 \(\mathcal{X} = [U/R]\)。

若这些条件成立，则 \(\mathcal{X}\) 拟紧、拟-DM 且分离。

证明

假设 \(\mathcal{X}\) 近乎仿射。选取仿射概形 \(U\) 和一个满、平坦、有限且有限表现的态射 \(U \to \mathcal{X}\)。置 \(R = U \times_\mathcal{X} U\)。于是得到代数空间中的群胚 \((U, R, s, t, c)\) 和同构 \([U/R] \to \mathcal{X}\)；参见《代数叠》中的引理 04T4 及备注 04WY。由于 \(s, t : R \to U\) 是平坦、有限且有限表现的态射

（作为 \(U \to \mathcal{X})\) 的基变换），可知 \(s, t\) 有限局部自由（《态射》中的引理 02KB）。这蕴含 \(R\) 仿射（因为有限态射是仿射的），故 (2) 成立。

假设有一个群胚概形 \((U, R, s, t, c)\)，其中 \(U\) 和 \(R\) 仿射，并且 \(s, t : R \to U\) 有限局部自由。置 \(\mathcal{X} = [U/R]\)。由《可表示性判据》中的定理 06FI， \(\mathcal{X}\) 是代数叠（严格来说，这里并不需要这一点，但无论怎样强调其正确性都不为过）。由《可表示性判据》中的引理 06FH，态射 \(U \to \mathcal{X}\) 满、平坦且局部有限表现。因此，根据《叠的性质》中的引理 04XD，可以通过检验投影 \(U \times_\mathcal{X} U \to U\) 是否有限，来检验 \(U \to \mathcal{X}\) 是否有限。由《空间中的群胚》中的引理 04M9， \(U \times_\mathcal{X} U = R\)，故确实如此。因此 \(\mathcal{X}\) 近乎仿射。

最后证明末一断言。由《叠的性质》中的引理 04YC， \(\mathcal{X}\) 拟紧。由《叠的态射》中的引理 0DTY， \(\mathcal{X} = [U/R]\) 拟-DM 且分离。

引理

设代数叠 \(\mathcal{X}\) 近乎仿射。

如果 \(\mathcal{X}\) 是代数空间，那么它是仿射的。

如果 \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) 是代数叠的仿射态射，那么 \(\mathcal{X}'\) 近乎仿射。

证明

(1) 立即由《空间的极限》中的引理 07VS 得出。不过，这未免大材小用，因为把引理 0DUM 与《群胚》中的命题 03BM 结合也可得到 (1)。

为证明 (2)，选取仿射概形 \(U\) 和一个满、平坦、有限且有限表现的态射 \(U \to \mathcal{X}\)。那么 \(U' = \mathcal{X}' \times_\mathcal{X} U\) 到 \(U\) 有仿射态射（《叠的态射》中的引理 0CHR）。因此 \(U'\) 是仿射概形。当然，\(U' \to \mathcal{X}'\) 作为 \(U \to \mathcal{X}\) 的基变换，是满、平坦、有限且有限表现的。

引理

设代数叠 \(\mathcal{X}\) 近乎仿射。在仿射概形范畴中存在一致范畴模空间 \[f : \mathcal{X} \longrightarrow M\] 而且 \(f\) 分离、拟紧，并且是万有同胚。

证明

写作 \(\mathcal{X} = [U/R]\)，其中 \((U, R, s, t, c)\) 如引理 0DUM 所述。设 \(C\) 是 \(U\) 上 \(R\)-不变函数组成的环；参见《群胚》第 03BE 节。置 \(M = \Spec(C)\)。由引理 0DUH，\(R\)-不变态射 \(U \to M\) 对应于态射 \(f : \mathcal{X} \to M\)。《概形》中的引理 01I1 给出的到仿射概形态射的刻画立即保证

\(\phi : U \to M\) 是仿射概形范畴中的范畴商。因此 \(f\) 是仿射概形范畴中的范畴模空间（引理 0DUI）。

由引理 0DUM，\(\mathcal{X}\) 分离，故由《叠的态射》中的引理 050M，\(f\) 分离。

由于 \(U \to \mathcal{X}\) 满，并且 \(U \to M\) 拟紧，由《叠的态射》中的引理 050X，可知 \(f\) 拟紧。

由《群胚》中的引理 03BJ，复合 \[U \to \mathcal{X} \to M\] 是仿射概形的整态射。特别地，它万有闭（《态射》中的引理 01WM）。由于 \(U \to \mathcal{X}\) 满，可知 \(\mathcal{X} \to M\) 万有闭（《叠的态射》中的引理 0CQK）。为得出 \(\mathcal{X} \to M\) 是万有同胚，只须证明它万有双射，即它满且万有单射。

由《叠的态射》中的引理 0DTZ，有 \(|\mathcal{X}| = |U|/|R|\)。因此，由《群胚》中的引理 03BL，\(|f|\) 满，甚至是双射。

设 \(C \to C'\) 是环映射。设 \((U', R', s', t', c')\) 是 \((U, R, s, t, c)\) 沿 \(M' = \Spec(C') \to M\) 的基变换。置 \(\mathcal{X}' = [U'/R']\)。由《群胚的商》中的引理 0DTG，有 \(M' \times_M \mathcal{X} = \mathcal{X}'\)。设 \(C^1\) 是 \(U'\) 上 \(R'\)-不变函数组成的环。置 \(M^1 = \Spec(C^1)\)，并考虑图表 \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[d]^{f'} \ar[r] & \mathcal{X} \ar[dd]^f \\ M^1 \ar[d] \\ M' \ar[r] & M }\] 由《群胚》中的引理 03BK 和《代数》中的引理 09EF，态射 \(M^1 \to M'\) 是同胚。另一方面，把上一段应用于 \((U', R', s', t', c')\)，可知 \(|f'|\) 是双射。我们得出，沿任意仿射概形作基变换后，\(f\) 都诱导点集之间的双射。因此，由《叠的态射》中的引理 0DTN， \(f\) 万有单射。

最后，还须证明 \(f\) 是仿射概形范畴中的

一致模空间。这由以上讨论以及下述事实得出：如果环映射 \(C \to C'\) 平坦，那么由《群胚》中的引理 03BK，\(C' \to C^1\) 是同构。

引理

设 \(h : \mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) 是代数叠的态射。假设 \(\mathcal{X}'\) 和 \(\mathcal{X}\) 近乎仿射，\(h\) 是 étale 的，并且 \(h\) 在自同构群上诱导同构（《叠的态射》中的备注 0DTW）。那么存在笛卡儿图表 \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d] \\ M' \ar[r] & M }\] 其中 \(M' \to M\) 是 étale 的，竖直箭头是引理 0DUP 中构造的模空间。

证明

由《叠的态射》中的诸引理 0DU9 和 0DU7，注意到 \(h\) 可由代数空间表示。选取仿射概形 \(U\) 和一个满、平坦、有限且有限表现的态射 \(U \to \mathcal{X}\)。于是 \(U' = \mathcal{X}' \times_\mathcal{X} U\) 是代数空间，并且有一个有限（特别地，仿射）态射 \(U' \to \mathcal{X}'\)。由引理 0DUN，可知 \(U'\) 仿射。置 \(R = U \times_\mathcal{X} U\) 和 \(R' = U' \times_{\mathcal{X}'} U'\)，便得到群胚 \((U, R, s, t, c)\) 和 \((U', R', s', t', c')\)，使得 \(\mathcal{X} = [U/R]\) 且 \(\mathcal{X}' = [U'/R']\)；参见引理 0DUM 的证明。

可见下列图表 \[\xymatrix{ R' \ar[d]_{s'} \ar[r]_f & R \ar[d]^s \\ U' \ar[r]^f & U } \quad \quad \xymatrix{ R' \ar[d]_{t'} \ar[r]_f & R \ar[d]^t \\ U' \ar[r]^f & U } \quad \quad \xymatrix{ G' \ar[d] \ar[r]_f & G \ar[d] \\ U' \ar[r]^f & U }\] 都是笛卡儿的，其中 \(G\) 和 \(G'\) 是稳定子群概形。前两个图表的断言由纤维积的传递性得出；最后一个图表的断言则是因为它是同构 \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}'} \to \mathcal{X}' \times_\mathcal{X} \mathcal{I}_\mathcal{X}\) 的拉回（由已经使用过的《叠的态射》中的引理 0DU9）。回顾引理 0DUP 中的构造：\(M\)，相应地， \(M'\)，分别是 \(U\) 上 \(R\)-不变函数环的谱和相应地， \(U'\) 上 \(R'\)-不变函数环的谱。因此，由《群胚》中的引理 0DT9， \(M' \to M\) 是 étale 的，并且 \(U' = M' \times_M U\)。由此可得

\(R' = M' \times_M U\)；换言之，群胚 \((U', R', s', t', c')\) 是 \((U, R, s, t, c)\) 沿 \(M' \to M\) 的基变换。由《群胚的商》中的引理 0DTG，这蕴含本引理中的图表为笛卡儿图表。

引理

设代数叠 \(\mathcal{X}\) 近乎仿射。引理 0DUP 中的态射 \[f : \mathcal{X} \longrightarrow M\] 是一致范畴模空间。

证明

我们已经知道

\(M\) 是仿射概形范畴中的一致范畴模空间。由引理 0DUJ，只须证明：对于仿射概形的任意平坦态射 \(M' \to M\)，基变换 \(f' : M' \times_M \mathcal{X} \to M'\) 是范畴模空间。由引理 0DUN，注意到 \(\mathcal{X}' = M' \times_M \mathcal{X}\) 近乎仿射。

如此，以 \(\mathcal{X}'\) 代替 \(\mathcal{X}\) 并以 \(M'\) 代替 \(M\) 后，问题约化为证明 \(f\) 是范畴模空间。

设 \(g : \mathcal{X} \to Y\) 是态射，其中 \(Y\) 是代数空间。必须证明 \(g = h \circ f\)，其中 \(h : M \to Y\) 是唯一的态射。

唯一性。假设有两个态射 \(h_i : M \to Y\)，满足 \(g = h_1 \circ f = h_2 \circ f\)。设 \(M' \subset M\) 是 \(h_1\) 和 \(h_2\) 的等化子。那么 \(M' \to M\) 是单态射，并且 \(f : \mathcal{X} \to M\) 经由 \(M'\) 分解。因此 \(M' \to M\) 是万有同胚。由此可知 \(M'\) 仿射（《态射》中的引理 04DF）。但由于 \(f : \mathcal{X} \to M\) 是仿射概形范畴中的范畴模空间，于是 \(M' = M\)。

存在性。下面将证明：对每个 \(p \in M\)，存在笛卡儿方形 \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ M' \ar[r] & M }\] 其中 \(M' \to M\) 是仿射概形之间的 étale 态射，\(p\) 位于其像中，并且复合 \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X} \to Y\) 经由 \(M'\) 分解。这意味着可以在 \(M\) 上 étale 局部地构造映射 \(h : M \to Y\)。由于 \(Y\) 是 étale 拓扑的层，再由以上证明的唯一性，这便足够了（略去一个小细节）。

设 \(y \in |Y|\) 是 \(p\) 的像。设 \((V, v) \to (Y, y)\) 是 étale 态射，其中 \(V\) 仿射。考虑 \(\mathcal{X}' = V \times_Y \mathcal{X}\)。注意， \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) 作为 \(V \to Y\) 的基变换，是分离且 étale 的。此外，\(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) 在自同构群上诱导同构（《叠的态射》中的备注 0DTW），因为 \(V \to Y\) 具有这一性质；参见《叠的态射》中的引理 0DUB。选取如引理 0DUM 中的表现 \(\mathcal{X} = [U/R]\)。置 \(U' = \mathcal{X}' \times_\mathcal{X} U = V \times_Y U\)，并选取 \(u' \in U'\)，使它映到 \(p\) 和 \(v\)（这是可行的，由《空间的性质》中的引理 03H4）。由于 \(U' \to U\) 分离且 étale，由《态射进阶》中的引理 07S0，可知 \(U'\) 的任意有限点集都包含在一个仿射开集中。另一方面，态射 \(U' \to \mathcal{X}'\) 满、有限、平坦且局部有限表现。置 \(R' = U' \times_{\mathcal{X}'} U'\)，可知 \(s', t' : R' \to U'\) 有限局部自由。由《群胚》中的引理 03JE，存在包含 \(u'\) 的 \(R'\)-不变仿射开子概形 \(U'' \subset U'\)。设 \(\mathcal{X}'' \subset \mathcal{X}'\) 是相应的开子叠。那么 \(\mathcal{X}''\) 近乎仿射。由引理 0DUQ，得到笛卡儿方形 \[\xymatrix{ \mathcal{X}'' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ M'' \ar[r] & M }\] 其中 \(M'' \to M\) 是 étale 的。由于 \(\mathcal{X}'' \to M''\) 是仿射概形范畴中的范畴模空间，得到态射 \(M'' \to V\)，使复合 \(\mathcal{X}'' \to \mathcal{X}' \to V\) 等于复合 \(\mathcal{X}'' \to M'' \to V\)。这证明了断言并完成证明。

引理

设 \(h : \mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) 是代数叠的态射。假设 \(\mathcal{X}\) 近乎仿射，\(h\) 是 étale 的，\(h\) 分离，并且 \(h\) 在自同构群上诱导同构（《叠的态射》中的备注 0DTW）。那么存在笛卡儿图表 \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d] \\ M' \ar[r] & M }\] 其中 \(M' \to M\) 是概形之间分离的 étale 态射，并且 \(\mathcal{X} \to M\) 是引理 0DUP 中构造的模空间。

证明

选取仿射概形 \(U\) 和一个满、平坦、有限且局部有限表现的态射 \(U \to \mathcal{X}\)。由于 \(h\) 可由代数空间表示（《叠的态射》中的诸引理 0DU9 和 0DU7），可知 \(U' = \mathcal{X}' \times_\mathcal{X} U\) 是代数空间。由于 \(U' \to U\) 分离且 étale，可知 \(U'\) 是概形，并且 \(U'\) 的任意有限点集都包含在一个仿射开集中；参见《空间的态射》中的引理 0418 和《态射进阶》中的引理 07S0。置 \(R' = U' \times_{\mathcal{X}'} U'\)，可知 \(s', t' : R' \to U'\) 有限局部自由。由《群胚》中的引理 03JE，存在由 \(R'\)-不变仿射开子概形 \(U'_i \subset U'\) 组成的开覆盖 \(U' = \bigcup U'_i\)。设 \(\mathcal{X}'_i \subset \mathcal{X}'\) 是相应的开子叠。它们近乎仿射，因为 \(U'_i \to \mathcal{X}'_i\) 满、平坦、有限且有限表现。由引理 0DUQ，得到笛卡儿图表 \[\xymatrix{ \mathcal{X}'_i \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ M'_i \ar[r] & M }\] 其中 \(M'_i \to M\) 是仿射概形之间的 étale 态射，而竖直箭头如引理 0DUP 所述。注意 \(\mathcal{X}'_{ij} = \mathcal{X}'_i \cap \mathcal{X}'_j\)

是 \(\mathcal{X}'_i\) 和 \(\mathcal{X}'_j\) 的开子空间。因此得到相应的开子概形 \(V_{ij} \subset M'_i\) 和 \(V_{ji} \subset M'_j\)。由引理 0DUR 的结论，可知 \(\mathcal{X}'_{ij} \to V_{ij}\) 和 \(\mathcal{X}'_{ji} \to V_{ji}\) 都是范畴模空间！因此得到唯一同构 \(\varphi_{ij} : V_{ij} \to V_{ji}\)，使得 \[\xymatrix{ \mathcal{X}'_i \ar[d] & & \mathcal{X}'_i \cap \mathcal{X}'_j \ar[rr] \ar[ll] \ar[ld] \ar[rd] & & \mathcal{X}'_j \ar[d] \\ M'_i & V_{ij} \ar[l] \ar[rr]^{\varphi_{ij}} & & V_{ji} \ar[r] & M'_j }\] 交换。这些同构满足《概形》第

01JA 节的余圈条件；这一点可由一个计算（以及再次应用前一引理）得出，我们略去该计算。因此，可以把这些

仿射概形黏合成概形 \(M'\)；参见《概形》中的引理 01JB。把 \(M'_i\) 与它在 \(M'\) 中的像等同起来。我们断言存在态射 \(\mathcal{X}' \to M'\)，使它嵌入笛卡儿图表 \[\xymatrix{ \mathcal{X}'_i \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X}' \ar[d] \\ M'_i \ar[r] & M' }\] 这由《概形》中的引理 01JB 对到黏合概形 \(M'\) 的态射之描述以及下述事实显然可见：给出态射

\(\mathcal{X}' \to M'\) 等价于对任意态射 \(T \to \mathcal{X}'\) 给定态射 \(T \to M'\)。类似地，存在态射 \(M' \to M\)，其在 \(M'_i\) 上的限制是给定态射 \(M'_i \to M\)。态射 \(M' \to M\) 是 étale 的（因为它在一个 étale 覆盖的成员上是 étale 的），而纤维积性质成立，因为可以在（仿射）开覆盖 \(M' = \bigcup M'_i\) 的成员上检验它。最后，\(M' \to M\) 分离，因为复合 \(U' \to \mathcal{X}' \to M'\) 满且万有闭，所以可以应用《态射》中的引理 09MQ。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。假设 \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 有限。那么存在集合 \(I\)，并且对每个 \(i \in I\)，存在代数叠的态射 \[g_i : \mathcal{X}_i \longrightarrow \mathcal{X}\] 具有下列性质：

\(|\mathcal{X}| = \bigcup |g_i|(|\mathcal{X}_i|)\)；

\(\mathcal{X}_i\) 近乎仿射；

\(\mathcal{I}_{\mathcal{X}_i} \to \mathcal{X}_i \times_\mathcal{X} \mathcal{I}_\mathcal{X}\) 是同构；

\(g_i : \mathcal{X}_i \to \mathcal{X}\) 可由代数空间表示、分离且 étale。

证明

对任意 \(x \in |\mathcal{X}|\)，可以像《叠的态射》中的引理 0DU4 那样选取 \(g : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\)、\(\mathcal{U} = [U/R]\) 和 \(u\)。于是，由《叠的态射》中的引理 0DUA，存在包含 \(u\) 的开子叠 \(\mathcal{U}' \subset \mathcal{U}\)，使得 \(\mathcal{I}_{\mathcal{U}'} \to \mathcal{U}' \times_\mathcal{X} \mathcal{I}_\mathcal{X}\) 是同构。设 \(U' \subset U\) 是与开子叠 \(\mathcal{U}'\) 对应的 \(R\)-不变开集。设 \(u' \in U'\) 是 \(U'\) 中映到 \(u\) 的一点。注意，由于 \(s : R \to U\) 有限，\(t(s^{-1}(\{u'\}))\) 是有限集。由《性质》中的引理 01ZY 和《群胚》中的引理 03JE，可以找到包含 \(u'\) 的 \(R\)-不变仿射开集 \(U'' \subset U'\)。设 \(R''\) 是 \(R\) 在 \(U''\) 上的限制。那么 \(\mathcal{U}'' = [U''/R'']\) 是 \(\mathcal{U}'\) 中包含 \(u\) 的开子叠，它近乎仿射，并且 \(\mathcal{I}_{\mathcal{U}''} \to \mathcal{U}'' \times_\mathcal{X} \mathcal{I}_\mathcal{X}\) 是同构，而 \(\mathcal{U}'' \to \mathcal{X}\)

可由代数空间表示且 étale。最后，\(\mathcal{U}'' \to \mathcal{X}\) 分离，因为 \(\mathcal{U}''\) 分离（引理 0DUM），

\(\mathcal{X}\) 的对角态射分离（《叠的态射》中的引理 0CL0），并且分离性由《叠的态射》中的引理 050M 得出。由于点 \(x \in |\mathcal{X}|\) 是任意的，证明完成。

定理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。假设 \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 有限。那么存在一致范畴模空间 \[f : \mathcal{X} \longrightarrow M\] 并且 \(f\) 分离、拟紧且为万有同胚。

证明

选取集合 \(I\)⁴，并对每个 \(i \in I\) 选取如引理 0DUE 中的代数叠态射 \(g_i : \mathcal{X}_i \to \mathcal{X}\)；我们将不再特别说明地使用该引理所列的全部性质。令 \[f_i : \mathcal{X}_i \to M_i\] 如引理 0DUP 所述。对 \(i, j \in I\)，考虑叠 \[\mathcal{X}_{ij} = \mathcal{X}_i \times_{g_i, \mathcal{X}, g_j} \mathcal{X}_j\] 由《叠的态射》中的引理 050F，投影 \(\mathcal{X}_{ij} \to \mathcal{X}_i\) 和 \(\mathcal{X}_{ij} \to \mathcal{X}_j\) 分离；由《叠的态射》中的引理 0CIN，它们是 étale 的；它们还在自同构群上诱导同构（如《叠的态射》中的备注 0DTW），这一点由《叠的态射》中的引理 0DUB 得出。因此，可以应用引理 0DUS 得到交换图表 \[\xymatrix{ \mathcal{X}_i \ar[d]_{f_i} & \mathcal{X}_{ij} \ar[d]_{f_{ij}} \ar[l] \ar[r] & \mathcal{X}_j \ar[d]_{f_j} \\ M_i & M_{ij} \ar[l] \ar[r] & M_j }\] 其中两个方形都是笛卡儿方形，而 \(M_{ij} \to M_i\) 和 \(M_{ij} \to M_j\) 是概形之间分离的 étale 态射；这里还由引理 0DUR 使用了

\(f_i\) 是一致范畴商这一点。断言： \[\coprod M_{ij} \longrightarrow \coprod M_i \times \coprod M_i\] 是 étale 等价关系。

证明该断言。置 \(R = \coprod M_{ij}\) 和 \(U = \coprod M_i\)。已经看到 \(t : R \to U\) 和 \(s : R \to U\) 是 étale 的。我们构造与 \(\text{pr}_{13} : U \times U \times U \to U \times U\) 相容的态射 \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\)。具体而言，对 \(i, j, k \in I\)，考虑 \[\mathcal{X}_{ijk} = \mathcal{X}_i \times_{g_i, \mathcal{X}, g_j} \mathcal{X}_j \times_{g_j, \mathcal{X}, g_k} \mathcal{X}_k = \mathcal{X}_{ij} \times_{\mathcal{X}_j} \mathcal{X}_{jk}\] 完全沿用上一段的论证，可知 \(M_{ijk} = M_{ij} \times_{M_j} M_{jk}\) 是 \(\mathcal{X}_{ijk}\) 的范畴模空间。特别地，由投影 \(\mathcal{X}_{ijk} \to \mathcal{X}_{ik}\) 得到典范态射 \(M_{ijk} = M_{ij} \times_{M_j} M_{jk} \to M_{ik}\)。把这些态射合在一起，便得到态射 \(c\)。类似地，构造与 \(\Delta : U \to U \times U\) 相容的态射 \(e : U \to R\)，以及与对换 \(U \times U \to U \times U\) 相容的态射 \(i : R \to R\)。设 \(k\) 是代数闭域。那么 \[\Mor(\Spec(k), \mathcal{X}_i) \to \Mor(\Spec(k), M_i) = M_i(k)\] 在同构类上是双射，并且沿任意态射

\(M' \to M\) 作基变换后仍然如此。这由 \(f_i\) 的选取以及《叠的态射》中的诸引理 0CPN 和 0DTM 得出。由 \(2\)-纤维积的构造，图表 \[\xymatrix{ \Mor(\Spec(k), \mathcal{X}_{ij}) \ar[d] \ar[r] & \Mor(\Spec(k), \mathcal{X}_j) \ar[d] \\ \Mor(\Spec(k), \mathcal{X}_i) \ar[r] & \Mor(\Spec(k), \mathcal{X}) }\] 是范畴的纤维积。由 \(g_i\) 的选取，该图表中的函子在自同构群上诱导双射。因此，该图表在同构类集合上诱导纤维积图表！于是 \[R(k) = U(k) \times_{|\Mor(\Spec(k), \mathcal{X})|} U(k)\] 其中 \(|\Mor(\Spec(k), \mathcal{X})|\) 表示同构类集合。特别地，对任意代数闭域 \(k\)，

在 \(k\)-值点上的映射是等价关系。由《群胚》中的引理 0DT7，断言得证。

设 \(M = U/R\) 为上述 étale 等价关系的商代数空间；参见《空间》中的定理 02WW。存在典范态射 \(f : \mathcal{X} \to M\)，它嵌入交换图表 [0DUU]\[\begin{equation} \xymatrix{ \mathcal{X}_i \ar[r]_{g_i} \ar[d]_{f_i} & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ M_i \ar[r] & M } \end{equation}\] 具体而言，这样的态射 \(f\) 由对任意概形 \(T\) 都与基变换相容的函子 \[f : \Mor(T, \mathcal{X}) \longrightarrow \Mor(T, M)\] 给出。设 \(a : T \to \mathcal{X}\) 是左端的一个对象。得到 étale 覆盖 \(\{T_i \to T\}\)，其中 \(T_i = \mathcal{X}_i \times_\mathcal{X} T\)，以及态射 \(a_i : T_i \to \mathcal{X}_i\)。于是得到 \(b_i = f_i \circ a_i : T_i \to M_i\)。由于 \(T_i \times_T T_j = \mathcal{X}_{ij} \times_\mathcal{X} T\)，还得到态射 \(a_{ij} : T_i \times_T T_j \to \mathcal{X}_{ij}\)。置 \(b_{ij} = f_{ij} \circ a_{ij}\)，可知 \(b_i \times b_j\) 经由单态射 \(M_{ij} \to M_i \times M_j\) 分解。因此，诸态射 \[T_i \xrightarrow{b_i} M_i \to M\] 在 \(T_i \times_T T_j\) 上相同。由于 \(M\) 是 étale 拓扑的层，这些态射黏合成唯一态射 \(b = f(a) : T \to M\)。我们略去验证该构造与基变换相容，也略去验证图表 (0DUU) 交换。

断言：图表 (0DUU) 是笛卡儿的。为看出这一点，考察诱导态射 \[h_i : \mathcal{X}_i \longrightarrow M_i \times_M \mathcal{X}\] 这是 \(\mathcal{X}\) 上叠的 étale 态射，所以 \(h_i\) 是 étale 的（《叠的态射》中的引理 0CIR）。由于 \(g_i\) 分离，可知 \(h_i\) 分离（使用《叠的态射》中的引理 050M 以及以上看到的 \(\mathcal{X}\) 的对角态射分离这一事实）。态射 \(h_i\) 在自同构群上诱导同构（《叠的态射》中的备注 0DTW），因为 \(g_i\) 具有这一性质。对代数闭域 \(k\)，图表 \[\xymatrix{ \Mor(\Spec(k), M_i \times_M \mathcal{X}) \ar[r] \ar[d] & \Mor(\Spec(k), \mathcal{X}) \ar[d] \\ M_i(k) \ar[r] & M(k) }\]

是范畴的笛卡儿图表，并且上方箭头在自同构群上诱导双射。另一方面，由以上所述，有 \[M(k) = U(k)/R(k) = U(k)/ U(k) \times_{|\Mor(\Spec(k), \mathcal{X})|} U(k) = |\Mor(\Spec(k), \mathcal{X})|\] 因此，上方笛卡儿图表的右竖直箭头在同构类上是双射。可知 \(|\Mor(\Spec(k), M_i \times_M \mathcal{X})| \to M_i(k)\) 是双射。总结：

\(h_i\) 分离、étale，在自同构群上诱导同构（如《叠的态射》中的备注 0DTW），并且在代数闭域上的纤维范畴上诱导等价。因此，由《叠的态射》中的引理 0DUD，它是同构。

特别地，由该断言得到：存在满 étale 态射 \(U \to M\)，使得 \(f\) 的基变换分离、拟紧且为万有同胚。由此可知 \(f\) 分离、拟紧且为万有同胚。参见《叠的态射》中的诸引理 06TZ、 0DTL 和

0DTQ

为完成证明，必须证明 \(f : \mathcal{X} \to M\) 是一致范畴模空间。为此，只须证明：给定代数空间的平坦态射 \(M' \to M\)，基变换 \[M' \times_M \mathcal{X} \longrightarrow M'\] 是范畴模空间。为此考虑态射 \[\theta : M' \times_M \mathcal{X} \longrightarrow E\] 其中 \(E\) 是代数空间。对每个 \(i\)，已知 \(f_i\) 是一致范畴模空间。因此得到 \[\xymatrix{ M' \times_M \mathcal{X}_i \ar[d] \ar[r] & M' \times_M \mathcal{X} \ar[d]^\theta \\ M' \times_M M_i \ar[r]^{\psi_i} & E }\] 由于 \(\{M' \times_M M_i \to M'\}\) 是 étale 覆盖，为得到所需态射 \(\psi : M' \to E\)，只须证明 \(\psi_i\) 和 \(\psi_j\) 在 \(M' \times_M M_i \times_M M_j = M' \times_M M_{ij}\) 上相同。这容易由下述事实得出：

\(f_{ij} : \mathcal{X}_{ij} = \mathcal{X}_i \times_\mathcal{X} \mathcal{X}_j \to M_{ij}\) 是一致范畴商；略去细节。最后，再证明 \(\psi\) 嵌入交换图表 \[\xymatrix{ M' \times_M \mathcal{X} \ar[d] \ar[rd]^\theta \\ M' \ar[r]^\psi & E }\] 因为“\(\{M' \times_M \mathcal{X}_i \to M' \times_M \mathcal{X}\}\) 是一个 étale 覆盖”，而诸态射 \(\psi_i\) 按照构造嵌入相应的交换图表。这完成了 Keel–Mori 定理的证明。

下一个引理强调该构造的 étale 局部性质。

引理

设 \(h : \mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) 是代数叠的态射。假设

\(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 有限；

\(h\) 是 étale 且分离的，并且在自同构群上诱导同构（《叠的态射》中的备注 0DTW）。

那么存在笛卡儿图表 \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d] \\ M' \ar[r] & M }\] 其中 \(M' \to M\) 是代数空间之间分离的 étale 态射，而竖直箭头是定理 0DUT 中构造的模空间。

证明

由《叠的态射》中的引理 0DU9，可知 \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}'} \to \mathcal{X}' \times_\mathcal{X} \mathcal{I}_\mathcal{X}\) 是同构。因此，\(\mathcal{I}_{\mathcal{X}'} \to \mathcal{X}'\) 作为 \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 的基变换而有限。设 \(f' : \mathcal{X}' \to M'\) 和 \(f : \mathcal{X} \to M\) 如定理 0DUT 所述。因为

\(f'\) 是范畴模空间，得到本引理中的交换图表。像引理 0DUE 中那样选取 \(I\) 和 \(g'_i : \mathcal{X}'_i \to \mathcal{X}'\)。注意， \(g_i = h \circ g'_i\) 是 étale 且分离的，并在自同构群上诱导同构（《叠的态射》中的备注 0DTW）。设 \(f'_i : \mathcal{X}'_i \to M'_i\) 如引理 0DUP 所述。在定理 0DUT 的证明中已经看到，图表 \[\xymatrix{ \mathcal{X}'_i \ar[d]_{f'_i} \ar[r]_{g'_i} & \mathcal{X}' \ar[d]^{f'} \\ M'_i \ar[r] & M' } \quad\text{以及}\quad \xymatrix{ \mathcal{X}'_i \ar[d]_{f'_i} \ar[r]_{g_i} & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ M'_i \ar[r] & M }\] 都是笛卡儿的，并且 \(M'_i \to M'\) 和 \(M'_i \to M\) 是 étale 的（完全以同样方式论证，这也直接由

迄今所列态射 \(g'_i, g_i, f', f'_i, f\) 的性质得出）。这首先蕴含 \(M' \to M\) 是 étale 的，其次蕴含本引理中的图表是笛卡儿的。仍须证明 \(M' \to M\) 分离。为此考察图表 \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X}' \times_\mathcal{X} \mathcal{X}' \ar[d] \\ M' \ar[r] & M' \times_M M' }\] 由于 \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) 分离，上方水平箭头万有闭。竖直箭头如定理 0DUT 中所述（是 \(\mathcal{X} \to M\) 的平坦基变换），因而是万有同胚。所以，下方水平箭头万有闭。这一点与它是代数空间的 étale 单态射结合，证明它如所需为闭浸入。

模空间的性质

一旦证明模空间存在，就可以（而且通常很直接地）确定这些模空间的性质。

引理

设 \(p : \mathcal{X} \to Y\) 是从代数叠到代数空间的态射。假设

\(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 有限；

\(Y\) 局部 Noether；

\(p\) 局部有限型。

设 \(f : \mathcal{X} \to M\) 是定理 0DUT 中构造的模空间。那么 \(M \to Y\) 局部有限型。

证明

由于 \(f\) 是一致范畴模空间，得到态射 \(M \to Y\)。只须在 \(M\) 和 \(Y\) 上 étale 局部地检验 \(M \to Y\) 局部有限型。由于 \(f\) 是一致范畴模空间，可以先用一个在 \(Y\) 上 étale 的仿射概形代替 \(Y\)。接着，可以像引理 0DUE 中那样选取 \(I\) 和 \(g_i : \mathcal{X}_i \to \mathcal{X}\)。然后由引理 0DUV，问题约化为 \(\mathcal{X} = \mathcal{X}_i\) 的情形。换言之，可以假设 \(\mathcal{X}\) 近乎仿射。在这种情形下， \(Y = \Spec(A_0)\)，\(\mathcal{X} = [U/R]\) 且 \(U = \Spec(A)\)，并且 \(M = \Spec(C)\)，其中 \(C \subset A\) 是 \(U\) 上所有 \(R\)-不变函数组成的集合。参见引理 0DUM 和 0DUP。于是 \(A_0\) 是 Noether 环，而 \(A_0 \to A\) 有限型。此外，由《群胚》中的引理 03BJ，\(A\) 在 \(C\) 上整，因而在 \(C\) 上有限（因为它在 \(A_0\) 上有限型）。最后应用《代数》中的引理 00IS 即得结论。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是代数叠。假设 \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 有限。设 \(f : \mathcal{X} \to M\) 是定理 0DUT 中构造的模空间。

如果 \(\mathcal{X}\) 拟分离，那么 \(M\) 拟分离。

如果 \(\mathcal{X}\) 分离，那么 \(M\) 分离。

此处还应添加更多内容，例如上述结论的相对版本。

证明

为证明这些断言，考虑图表 \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[d]_f \ar[r]_{\Delta_\mathcal{X}} & \mathcal{X} \times \mathcal{X} \ar[d]^{f \times f} \\ M \ar[r]^{\Delta_M} & M \times M }\] 由于 \(f\) 是万有同胚，可知 \(f \times f\) 是万有同胚。

如果 \(\mathcal{X}\) 分离，那么 \(\Delta_\mathcal{X}\) 固有，故 \(\Delta_\mathcal{X}\) 万有闭，进而 \(\Delta_M\) 万有闭，所以由《空间的态射》中的引理 04Y0，\(M\) 分离。

如果 \(\mathcal{X}\) 拟分离，那么 \(\Delta_\mathcal{X}\) 拟紧，故 \(\Delta_M\) 拟紧，所以 \(M\) 拟分离。

引理

设 \(p : \mathcal{X} \to Y\) 是从代数叠到代数空间的态射。假设

\(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 有限；

\(p\) 固有；

\(Y\) 局部 Noether。

设 \(f : \mathcal{X} \to M\) 是定理 0DUT 中构造的模空间。那么 \(M \to Y\) 固有。

证明

由引理 0DUX，可知 \(M \to Y\) 局部有限型。由引理 0DUY，可知 \(M \to Y\) 分离。当然，\(M \to Y\) 拟紧且万有闭，因为这些是拓扑性质， \(\mathcal{X} \to Y\) 具有这些性质，而 \(\mathcal{X} \to M\) 是万有同胚。

叠与 fpqc 覆盖

某些代数叠满足 fpqc 下降。本节对代数空间的对应结论见《空间的性质》第 03W8 节。

命题

设 \(\mathcal{X}\) 是对角态射拟仿射⁵的代数叠。那么 \(\mathcal{X}\) 对 fpqc 覆盖满足下降。

证明

我们的约定是：\(\mathcal{X}\) 是基概形 \(S\) 上概形范畴（赋予 fppf 拓扑）之上的群胚叠 \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\)。该陈述的含义如下：给定 \(S\) 上概形的 fpqc 覆盖 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\)，函子 \[\mathcal{X}_U \longrightarrow DD(\mathcal{U})\] 是等价。左边是 \(\mathcal{X}\) 在 \(U\) 上的对象范畴，右边是 \(\mathcal{X}\) 中相对于 \(\mathcal{U}\) 的下降数据范畴。参见《叠》第 02ZC 节的讨论。

全忠实性。假设有 \(\mathcal{X}\) 在 \(U\) 上的两个对象 \(x, y\)。那么 \(I = \mathit{Isom}(x, y)\) 是 \(U\) 上的代数空间。因此，\(I\) 在 \(U_i\) 上的一族截面，若其限制在 \(U_i \times_U U_j\) 上相同，则由代数空间的对应命题来自 \(U\) 上的唯一截面；参见《空间的性质》中的命题 0APL。所以该函子全忠实。

本质满射性。这里给定 \(U_i\) 上的对象 \(x_i\) 和 \(U_i \times_U U_j\) 上的同构 \(\varphi_{ij} : \text{pr}_0^*x_i \to \text{pr}_1^*x_j\)，它们在

\(U_i \times_U U_j \times_U U_k\) 上满足余圈条件。

设 \(W\) 是仿射概形，并设 \(W \to \mathcal{X}\) 是态射。对每个 \(i\)，可以形成 \[W_i = U_i \times_{x_i, \mathcal{X}} W\] 投影 \(W_i \to U_i\) 拟仿射，因为 \(\mathcal{X}\) 的对角态射拟仿射。对每对 \(i, j \in I\)，同构 \(\varphi_{ij}\) 诱导同构 \[W_i \times_U U_j = (U_i \times_U U_j) \times_{x_i \circ \text{pr}_0, \mathcal{X}} W \to (U_i \times_U U_j) \times_{x_j \circ \text{pr}_1, \mathcal{X}} W = U_i \times_U W_j\] 而且，这些同构在 \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\) 上满足余圈条件。换言之，这些同构定义了概形 \(W_i/U_i\) 相对于 \(\mathcal{U}\) 的下降数据。由《下降》中的引理 0247，该下降数据有效 ⁶。因此，存在拟仿射态射 \(W' \to U\) 和交换图表 \[\xymatrix{ W' \ar[d] & W_i \ar[l] \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] \\ U & U_i \ar[l] \ar[r]^{x_i} & \mathcal{X} }\] 其中两个方形都是笛卡儿的。由于 \(\{W_i \to W'\}_{i \in I}\) 是 \(\mathcal{U}\) 沿 \(W' \to U\) 的基变换，它是 fpqc 覆盖。由于 \(W\) 对 fpqc 覆盖满足层条件，得到唯一态射 \(W' \to W\)，使 \(W_i \to W' \to W\) 为给定态射 \(W_i \to W\)。换言之，有交换图表 \[\xymatrix{ W_i \ar[d] \ar[r] & W' \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] \\ U_i \ar[r] \ar@/_1pc/[rr]_{x_i} & U & \mathcal{X} }\] 它们与同构 \(\varphi_{ij}\) 相容，并且其中的方形和矩形都是笛卡儿的。

选取一族仿射概形 \(W_\alpha\)（\(\alpha \in A\)）以及光滑态射 \(W_\alpha \to \mathcal{X}\)，使得 \(\coprod W_\alpha \to \mathcal{X}\) 满。通过上一段的步骤，对每个 \(\alpha\) 产生图表 \[\xymatrix{ W_{\alpha, i} \ar[d] \ar[r] & W_\alpha' \ar[d] \ar[r] & W_\alpha \ar[d] \\ U_i \ar[r] \ar@/_1pc/[rr]_{x_i} & U & \mathcal{X} }\] 于是诸态射 \(W_\alpha' \to U\) 光滑且联合满射。

用 \(x_\alpha\) 表示 \(\mathcal{X}\) 在 \(W_\alpha'\) 上与 \(W_\alpha' \to W_\alpha \to \mathcal{X}\) 对应的对象。由于 \(\mathcal{X}\) 是 fppf 叠，并且 \(\{W_\alpha' \to U\}\) 是 fppf 覆盖，只须证明在 \(W_\alpha' \times_U W'_\beta\) 上存在满足余圈条件的同构 \(\text{pr}_0^*x_\alpha \to \text{pr}_1^*x_\beta\)。然而，拉回到 \(W_{\alpha, i}\) 后，确实在 \(W_{\alpha, i} \times_{U_i} W_{\beta, i} = U_i \times_U (W_\alpha' \times_U W'_\beta)\) 上有这样的同构，因为 \(x_\alpha\) 到 \(W_{\alpha, i}\) 的拉回同构于 \(x_i\) 到 \(W_{\alpha, i}\) 的拉回。由于 \(\{U_i \times_U (W_\alpha' \times_U W'_\beta) \to W_\alpha' \times_U W'_\beta\}_{i \in I}\) 是 fpqc 覆盖，又由于上述图表与 \(\varphi_{ij}\) 的相容性，这些同构下降到 \(W_\alpha' \times_U W'_\beta\)，证明完成。

张量函子

设 \(f : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) 是 Noether 代数叠的态射。拉回函子 \[f^* : \textit{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow \textit{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\] 是右正合张量函子：它可加、右正合，并与凝聚模的张量积交换。可以问，任意右正合张量函子 \(F : \textit{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) 在多大程度上来自某个态射 \(f : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\)。关于这种类型的一个非常一般的结论，读者可查阅 [Hall-Rydh-coherent]。本节的目标是简短证明定理 0GRR，作为这些思想的入门。

先给出几个引理。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 和 \(\mathcal{Y}\) 是 Noether 代数叠。任意右正合张量函子 \(F : \textit{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) 都唯一延拓为与所有余极限交换的右正合张量函子 \(F : \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\)。

证明

这种延拓的存在性和唯一性是一般事实；参见《范畴论》中的引理 0FWY。为看出该引理适用，注意局部 Noether 代数叠上的凝聚模按定义就是有限表现模；参见《叠的上同调》中的定义 0GR6。因此，由《叠的上同调》中的引理 0GQZ， \(\mathcal{X}\) 上的凝聚模是 \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 的范畴紧对象。最后，由《叠的上同调》中的引理 0GRF，每个拟凝聚模都是其凝聚子模的滤过余极限。

由于 \(F\) 可加，\(F\) 的延拓也可加（略去细节）。由于 \(F\) 是张量函子，而模的余极限与取张量积交换，\(F\) 的延拓也是张量函子（略去细节）。

本段证明该延拓与任意直和交换。如果 \(\mathcal{F} = \bigoplus_{j \in J} \mathcal{H}_j\)，其中 \(\mathcal{H}_j\) 拟凝聚。

于是 \(\mathcal{F} = \colim_{J' \subset J\text{，且为有限集}} \bigoplus_{j \in J'} \mathcal{H}_j\)。仍用 \(F\) 表示 \(F\) 的延拓，得到 \[\begin{align*} F(\mathcal{F}) & = \colim_{J' \subset J\text{，且为有限集}} F(\bigoplus\nolimits_{j \in J'} \mathcal{H}_j) \\ & = \colim_{J' \subset J\text{，且为有限集}} \bigoplus\nolimits_{j \in J'} F(\mathcal{H}_j) \\ & = \bigoplus\nolimits_{j \in J} F(\mathcal{H}_j) \end{align*}\] 因此 \(F\) 与任意直和交换。

本段证明该延拓右正合。假设 \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F}'' \to 0\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-模的短正合列。把 \(\mathcal{F}' = \bigcup \mathcal{F}'_i\) 写成其凝聚子模之并（见以上所给参考文献）。

用 \(\mathcal{F}''_i \subset \mathcal{F}''\) 表示 \(\mathcal{F}'_i\) 的像，并置 \(\mathcal{F}_i = \mathcal{F} \cap \mathcal{F}'_i = \Ker(\mathcal{F}'_i \to \mathcal{F}''_i)\)。于是显然有 \(\mathcal{F} = \bigcup \mathcal{F}_i\) 和 \(\mathcal{F}'' = \bigcup \mathcal{F}''_i\)，并有短正合列 \[0 \to \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_i' \to \mathcal{F}_i'' \to 0\] 由于该延拓与滤过余极限交换，有 \(F(\mathcal{F}) = \colim_{i \in I} F(\mathcal{F}_i)\)、 \(F(\mathcal{F}') = \colim_{i \in I} F(\mathcal{F}'_i)\) 和 \(F(\mathcal{F}'') = \colim_{i \in I} F(\mathcal{F}''_i)\)。

由于模层的滤过余极限正合，可知 \(F\) 的延拓右正合。

证明完成，因为与所有余积交换的右正合函子与所有余极限交换；参见《范畴论》中的引理 002P。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是对角态射仿射的代数叠。设 \(B\) 是环。设 \(F : \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \text{Mod}_B\) 是与直和交换的右正合张量函子。设 \(g : U \to \mathcal{X}\) 是态射，其中 \(U = \Spec(A)\) 仿射。那么

\(C = F(g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U)\) 是交换 \(B\)-代数；

存在环映射 \(A \to C\)；

使得 \(F \circ g_{\QCoh, *} : \text{Mod}_A \to \text{Mod}_B\) 把 \(M\) 映为视作 \(B\)-模的 \(M \otimes_A C\)。

证明

注意 \(g\) 拟紧且拟分离；参见《叠的态射》中的引理 075S。在《叠的上同调》中的命题 077A 中，已经构造函子 \(g_{\QCoh, *} : \QCoh(\mathcal{O}_U) \to \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)。由《叠的上同调》中的诸备注 0GQR 和 0GQM，得到乘法 \[\mu : g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \longrightarrow g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U\] 它使 \(g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U\) 成为交换 \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-代数。因此 \(C = F(g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U)\) 是 \(\text{Mod}_B\) 中的交换代数对象；换言之，\(C\) 是交换 \(B\)-代数。注意，有映射 \(\kappa : A \to \text{End}_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U)\)，使得对任意 \(a \in A\)，图表

\[\xymatrix{ g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \ar[d]_{\kappa(r) \otimes 1} \ar[rr]_-\mu & & g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \ar[d]^{\kappa(r)} \\ g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \ar[rr]^-\mu & & g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U }\] 交换。由此得到映射 \(\kappa' = F(\kappa) : A \to \text{End}_B(C)\)，满足 \(\kappa'(a)(c) c' = \kappa'(a)(cc')\)；当然，这意味着 \(a \mapsto \kappa'(a)(1)\) 是环映射 \(A \to C\)。

态射 \(g : U \to \mathcal{X}\) 仿射；参见《叠的态射》中的引理 0GQE。因此，由《叠的上同调》中的引理 0GQY， \(g_{\QCoh, *}\) 正合且与直和交换。所以 \(F \circ g_{\QCoh, *} : \text{Mod}_A \to \text{Mod}_B\) 是与直和交换的右正合函子，并且把 \(A\) 映为 \(C\)。由《函子与态射》中的引理 0GNS，函子 \(F \circ g_{\QCoh, *}\) 把 \(A\)-模 \(M\) 映为视作 \(B\)-模的 \(M \otimes_A C\)。

引理

记号如引理 0GRK。假设 \(\mathcal{X}\) 是 Noether 的，并且 \(g\) 满且平坦。那么 \(B \to C\) 万有单射。

证明

考虑 \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 中的自然映射 \(1 : \mathcal{O}_\mathcal{X} \to g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U\)。拉回到 \(U\) 并使用伴随，可知复合 \[\mathcal{O}_U = g^*\mathcal{O}_\mathcal{X} \xrightarrow{g^*1} g^*g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_U\] 是 \(\QCoh(\mathcal{O}_U)\) 中的恒等态射。把 \(g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U = \colim \mathcal{F}_i\) 写成凝聚 \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-模的滤过余极限；参见《叠的上同调》中的引理 0GRF。当 \(i\) 足够大时，映射 \(1 : \mathcal{O}_\mathcal{X} \to g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U\) 经由 \(\mathcal{F}_i\) 分解；参见《叠的上同调》中的引理 0GQZ。设 \(s : \mathcal{O}_\mathcal{X} \to \mathcal{F}_i\) 为该分解。那么 \[\mathcal{O}_U \xrightarrow{g^*s} g^*\mathcal{F}_i \to g^*g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_U\] 是恒等态射。换言之，\(s\) 拉回到 \(U\) 后成为一个直和项的嵌入。按《叠的上同调》中的引理 0GQN 的记号，置 \(\mathcal{F}_i^\vee = hom(\mathcal{F}_i, \mathcal{O}_\mathcal{X})\)。特别地，存在求值映射 \(ev : \mathcal{F}_i \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} \mathcal{F}_i^\vee \to \mathcal{O}_\mathcal{X}\)。在 \(s\) 处求值定义映射 \(s^\vee : \mathcal{F}_i^\vee \to \mathcal{O}_\mathcal{X}\)。与关于 \(s\) 的陈述对偶，可知 \(g^*(s^\vee)\) 满；关于 \(hom\) 和 \(\otimes\) 与限制到 \(U\) 的相容性，参见

《叠的上同调》第 0GQS 节。由于 \(g\) 满且平坦，可知 \(s^\vee\) 满（见同一出处）。由于 \(F\) 右正合，可知 \(F(\mathcal{F}_i^\vee) \to F(\mathcal{O}_\mathcal{X}) = B\) 满。选取 \(\lambda \in F(\mathcal{F}_i^\vee)\)，使它映到 \(1 \in B\)。

用 \(e = F(s)(1) \in F(\mathcal{F}_i)\) 表示 \(1\) 在映射 \(F(s) : B = F(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to F(\mathcal{F}_i)\) 下的像。那么映射 \[F(ev) : F(\mathcal{F}_i) \otimes_B F(\mathcal{F}_i^\vee) = F(\mathcal{F}_i \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} \mathcal{F}_i^\vee) \longrightarrow F(\mathcal{O}_\mathcal{X}) = B\] 按照构造把 \(e \otimes \lambda\) 映到 \(1\)。因此映射 \(B \to F(\mathcal{F}_i)\)、\(b \mapsto be\) 万有单射，因为它有单侧逆 \(F(\mathcal{F}_i) \to B\)、\(\xi \mapsto F(ev)(\xi \otimes \lambda)\)。这对所有足够大的 \(i\) 都成立，故得结论。

引理

设 \(B \to C\) 是环映射。如果

余投影 \(C \to C \otimes_B C\) 平坦；

\(B \to C\) 万有单射，

那么 \(B \to C\) 忠实平坦。

证明

由于 \(B \to C\) 万有单射，映射 \(\Spec(C) \to \Spec(B)\) 满。因此只须证明 \(B \to C\) 平坦，而这由《下降》中的定理 08XD 得出。

下面这个非常简单的 Künneth 版本在我们写出关于代数叠上拟凝聚模上同调的 Künneth 定理一节后，

应当变得过时。

引理

设 \(a : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) 和 \(b : \mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) 可由概形表示、拟紧、拟分离且平坦。那么 \(a_{\QCoh, *}\mathcal{O}_\mathcal{Y} \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} b_{\QCoh, *}\mathcal{O}_\mathcal{Z} = f_{\QCoh, *}\mathcal{O}_{\mathcal{Y} \times_\mathcal{X} \mathcal{Z}}\)，其中 \(f : \mathcal{Y} \times_\mathcal{X} \mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) 是显然的态射。

证明

简记 \(\mathcal{P} = \mathcal{Y} \times_\mathcal{X} \mathcal{Z}\)。由于 \(a \circ \text{pr}_1 = f\) 且 \(b \circ \text{pr}_2 = f\)，得到映射 \(a_*\mathcal{O}_\mathcal{Y} \to f_*\mathcal{O}_\mathcal{P}\) 和 \(b_*\mathcal{O}_\mathcal{Z} \to f_*\mathcal{O}_\mathcal{P}\) （使用相对拉回映射；参见《位点》第 06UM 节）。因此得到相对杯积 \[\mu : a_*\mathcal{O}_\mathcal{Y} \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} b_*\mathcal{O}_\mathcal{Z} \longrightarrow f_*\mathcal{O}_{\mathcal{Y} \times_\mathcal{X} \mathcal{Z}}\] 应用 \(Q\) 及其与张量积的相容性（《叠的上同调》中的备注 0GQM），得到 \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 中的箭头 \(Q(\mu) : a_{\QCoh, *}\mathcal{O}_\mathcal{Y} \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} b_{\QCoh, *}\mathcal{O}_\mathcal{Z} \to f_{\QCoh, *}\mathcal{O}_{\mathcal{Y} \times_\mathcal{X} \mathcal{Z}}\)。接着，选取概形 \(U\) 和满光滑态射 \(U \to \mathcal{X}\)。只须证明 \(Q(\mu)\) 到 \(U_\etale\) 的限制是同构；参见《叠的上同调》第 0GQS 节。继而，由同一节的材料，只须证明 \(\mu\) 到 \(U_\etale\) 的限制是同构（这里使用 \(\mu\) 的源和靶都是具有基变换性质的局部拟凝聚模）。此外，可以在 étale 拓扑中计算直像；参见《叠的上同调》中的命题 0771。最后可见 \(a_*\mathcal{O}_\mathcal{Y}|_{U_\etale} = (V \to U)_{small, *}\mathcal{O}_V\)，其中 \(V = U \times_\mathcal{X} \mathcal{Y}\)。\(b_*\) 和 \(f_*\) 的情形类似。因此，结论由概形之间平坦、拟紧、拟分离态射的 Künneth 公式得出；参见《概形的导出范畴》中的引理 0FLQ。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是对角态射仿射的代数叠。设 \(B\) 是环。设 \(f_i : \Spec(B) \to \mathcal{X}\)（\(i = 1, 2\)）是两个态射。设 \(t : f_1^* \to f_2^*\) 是张量函子 \(f_i^* : \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \text{Mod}_B\) 的同构。那么存在诱导 \(t\) 的 \(2\)-箭头 \(f_1 \to f_2\)。

证明

选取仿射概形 \(U = \Spec(A)\) 和满光滑态射 \(g : U \to \mathcal{X}\)；参见《叠的性质》中的引理 04YC。由于 \(\mathcal{X}\) 的对角态射仿射，可知 \(U_i = \Spec(B) \times_{f_i, \mathcal{X}, g} U\) 仿射。设 \(U_i = \Spec(C_i)\)。那么 \(C_i\) 是引理 0GRK 中利用函子 \(F = f_i^*\) 构造的带有环映射 \(A \to C_i\) 的 \(B\)-代数。因此，\(t\) 诱导与环映射 \(A \to C_1\) 和 \(A \to C_2\) 相容的 \(B\)-代数同构 \(C_1 \to C_2\)。换言之，我们有

交换图表 \[\xymatrix{ U_i \ar[r] \ar[d] & U \ar[d]^g \\ \Spec(B) \ar[r]^{f_i} & \mathcal{X} } \quad\quad \xymatrix{ & U_2 \ar[ld] \ar[d]^{\cong} \ar[rd] \\ \Spec(B) & U_1 \ar[l] \ar[r] & U }\] 这已经表明，\(\mathcal{X}\) 在 \(\Spec(B)\) 上的对象 \(f_1\) 和 \(f_2\) 在光滑覆盖 \(\{U_1 \to \Spec(B)\}\) 后同构。为证明该同构下降为 \(\Spec(B)\) 上 \(f_1\) 和 \(f_2\) 的同构，必须证明我们的同构（它来自以上交换图表）与 \(U_1 \times_{\Spec(B)} U_1\) 上的下降数据相容。为此，注意 \(U \times_\mathcal{X} U\) 也仿射，存在态射 \(g' : U \times_\mathcal{X} U \to \mathcal{X}\)，并且 \[U_i \times_{\Spec(B)} U_i = \Spec(B) \times_{f_i, \mathcal{X}, g'} (U \times_\mathcal{X} U)\] 由此可知，来自同构 \(C_1 \to C_2\) 的同构 \(C_1 \otimes_B C_1 \to C_2 \otimes_B C_2\) 与态射 \(U_i \times_{\Spec(B)} U_i \to U \times_\mathcal{X} U\) 相容。略去一些细节。

引理

设 \(\mathcal{X}\) 是对角态射仿射的 Noether 代数叠。设 \(B\) 是环。设 \(F : \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \text{Mod}_B\) 是与直和交换的右正合张量函子。那么 \(F\) 来自唯一态射 \(\Spec(B) \to \mathcal{X}\)。

证明

选取满光滑态射 \(g : U \to \mathcal{X}\)，其中 \(U = \Spec(A)\) 仿射；参见《叠的性质》中的引理 04YC。应用引理 0GRK，得到有限型交换 \(B\)-代数 \(C = F(g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U)\) 和环映射 \(A \to C\)。由引理 0GRL，环映射 \(B \to C\) 万有单射。考虑代数 \[C \otimes_B C = F(g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U)\] 由于 \(g\) 平坦、拟紧且拟分离，由引理 0GRN，下式第一个等号成立： \[g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U = f_{\QCoh, *}\mathcal{O}_{U \times_\mathcal{X} U} = g_{\QCoh, *}(\text{pr}_{2, *}\mathcal{O}_{U \times_\mathcal{X} U})\] 其中 \(f : U \times_\mathcal{X} U \to \mathcal{X}\) 是显然的态射，而 \(\text{pr}_2 : U \times_\mathcal{X} U \to U\) 是第二投影。第二个等号由《叠的上同调》中的引理 0783 及 \(f = g \circ \text{pr}_2\) 得出。由于 \(\mathcal{X}\) 的对角态射仿射，可知 \(U \times_\mathcal{X} U = \Spec(R)\) 仿射。用 \(\text{pr}_2 : A \to R\) 把 \(R\) 视为 \(A\)-代数。综上，得到 \[C \otimes_B C = F(g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U) = F(g_{\QCoh, *}(\text{pr}_{2, *}\mathcal{O}_{U \times_\mathcal{X} U})) = R \otimes_A C\] 其中最后一个等号由引理 0GRK 的末一断言得出。由于 \(A \to R\) 平坦（因为 \(\text{pr}_2\) 作为 \(U \to \mathcal{X}\) 的基变换而平坦），可知 \(C \otimes_B C\) 在 \(C\) 上平坦。由引理 0GRM，可知 \(B \to C\) 忠实平坦。

我们断言存在实线交换图表 \[\xymatrix{ \Spec(C \otimes_B C) \ar@<1ex>[d] \ar@<-1ex>[d] \ar[r] & U \times_\mathcal{X} U \ar@<1ex>[d] \ar@<-1ex>[d] \\ \Spec(C) \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ \Spec(B) \ar@{..>}[r] & \mathcal{X} }\] 箭头 \(\Spec(C) \to U = \Spec(A)\) 来自引理 0GRK 陈述中的环映射 \(A \to C\)。类似地，箭头 \(\Spec(C \otimes_B C) \to U \times_\mathcal{X} U\) 来自环映射 \(R \to C \otimes_B C\)。为验证上方方形交换，使用引理 0GRP；略去细节。由命题 0GRH，可知得到点线箭头 \(\Spec(B) \to \mathcal{X}\)。

\(F\) 是与该点线箭头的拉回相对应的函子这一陈述，也由此以及引理 0GRK 中的对应陈述显然可见。略去细节。

对环 \(B\)，用 \(\text{Mod}^{fg}_B\) 表示有限生成 \(B\)-模（亦称有限 \(B\)-模）的范畴。

定理

设 \(\mathcal{X}\) 是对角态射仿射的 Noether 代数叠。设 \(B\) 是 Noether 环。设 \(F : \text{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \text{Mod}^{fg}_B\) 是右正合张量函子。那么 \(F\) 来自唯一态射 \(\Spec(B) \to \mathcal{X}\)。

证明

由引理 0GRJ，可以把 \(F\) 唯一延拓为右正合张量函子 \(F : \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \text{Mod}_B\)，并且它与所有

直和交换。于是可以应用引理 0GRQ。

相应自同构的一个公式是 \((\text{id}_V, h', (\delta')^*\gamma)\)。这里 \(h' : V' \to V'\) 是唯一的（同构）态射，满足 \(h'|_V = \text{id}_V\)，并使 \[\xymatrix{ V' \ar[r]_{h'} \ar[rd]_{q' \circ \delta'} & V' \ar[d]^{f'} \\ & U' }\] 交换。\(h'\) 的唯一性和存在性来自 étale 格址的拓扑不变性；

参见《空间态射的进一步讨论》中的定理 05ZH。读者可能觉得，我们反而应该考察态射 \(\delta'' : V' \to V' \times_{\mathcal{X}'} V'\)，使得 \(\delta'' \circ j = \Delta_{V'/\mathcal{X}'}\) 且 \(\text{pr}_1 \circ \delta'' = \text{id}_{V'}\)。这样做也可以：由于 \(V' \times_{\mathcal{X}'} V' \to I'\) 是 étale 的，同一拓扑不变性表明，把 \(\delta''\) 送到 \(\delta' = (V' \times_{\mathcal{X}'} V' \to I') \circ \delta''\)，给出了两组态射之间的双射。↩︎
读者可以立即看出，必须用 \(q' \circ \delta'_2\) 预复合 \(\delta'_1\)，才能得到纤维积 \(I' \times_{p', U', q'} I'\) 的一个良定义的 \(U'\)-值点。↩︎
该引理适用： \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_S \mathcal{X}\) 由《叠的态射》中的引理 06Q6 以及 \(\mathcal{X} \to S\) 是局部有限表示的假设可知是局部有限表示的。因此，\(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) 作为 \(\Delta\) 的基变换是局部有限表示的。↩︎
仍在留意集合论问题的读者应当确认 \(I\) 不会过大。↩︎
假设对角态射为 ind-拟仿射便已足够。↩︎
在对角态射为 ind-拟仿射的情形，也可使用《群胚进阶》中的引理 0APK。↩︎