曲线模空间

引言

本章讨论若干熟知的曲线模叠。一个参考文献是 Deligne 与 Mumford 的著名论文，见 [DM]。

约定与语言滥用

我们继续采用《叠的性质》中的章节 04XA 所引入的约定和语言滥用。 除非另有说明，基概形均为 \(\Spec(\mathbf{Z})\)。

曲线叠

本节是《Quot》中的章节 0D4Y 的续篇。 设 \(\Curvesstack\) 为这样一个叠：它在概形 \(S\) 上的截面范畴是 \(S\) 上曲线族的范畴。需要特别记住，所谓 曲线族，是指态射 \(f : X \to S\)，其中 \(X\) 是代数空间（！），而 \(f\) 平坦、真、有限表示且相对维数 \(\leq 1\)。我们已经知道 \(\Curvesstack\) 是 \(\mathbf{Z}\) 上的代数叠，见《Quot》中的定理 0D5A。 如果在叠的定义中不允许代数空间，则该定理并不成立。

基变换通常用下标表示，但对 \(\Curvesstack\) 不能采用这种记号， 因为 \(\Curvesstack_S\) 已用来表示 \(S\) 上的纤维范畴。 因此，我们在《Quot》中的注 0D54 里用 \(B\text{-}\Curvesstack\) 表示到代数空间 \(B\) 的基变换 \[B\text{-}\Curvesstack = \Curvesstack \times B\] 右侧的积取在终对象上，即取在 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上。 左侧对象是这样一个叠：它分类 \(B\) 上概形范畴中的曲线族。 特别地，若 \(k\) 是域，则 \[k\text{-}\Curvesstack = \Curvesstack \times \Spec(k)\] 是分类 \(k\) 上概形范畴中的曲线族的模叠。 在继续之前，先作如下相容性检验。

引理

设 \(T \to B\) 是代数空间的态射。范畴 \[\Mor_B(T, B\text{-}\Curvesstack) = \Mor(T, \Curvesstack)\] 就是 \(T\) 上曲线族的范畴。

证明

\(T\) 上的曲线族是代数空间的态射 \(f : X \to T\)，它平坦、真、 有限表示且相对维数 \(\leq 1\)（《空间的态射》中的定义 06LR）。 这与《Quot》中的情形 0D4Z 的定义完全相同， 不同之处仅在于允许基 \(T\) 为代数空间。 代数叠和代数空间的默认基范畴是概形范畴，因此本引理并不直接 由定义得出。不过，我们仍建议读者略过此证明。

由上面给出的 \(B\text{-}\Curvesstack\) 的积描述，只需证明绝对情形。 取概形 \(U\) 以及满的 étale 态射 \(p : U \to T\)。 令 \(R = U \times_T U\)，其投影为 \(s, t : R \to U\)。

设 \(v : T \to \Curvesstack\) 是态射。则 \(v \circ p\) 对应于曲线族 \(X_U \to U\)。典范 \(2\)-态射 \(v \circ p \circ t \to v \circ p \circ s\) 是一个同构 \(\varphi : X_U \times_{U, s} R \to X_U \times_{U, t} R\)。 该同构在 \(R \times_{s, t} R\) 上满足余圈条件。 由《自举》中的引理 0ADV， 得到代数空间的态射 \(X \to T\)；它在 \(U\) 上的拉回等于 \(X_U\)， 并与 \(\varphi\) 相容。由于 \(\{U \to T\}\) 是 étale 覆盖， 《空间的下降》中的引理 041W、 0422 和 041V 表明 \(X \to T\) 平坦、真且有限表示。 此外，\(X \to T\) 的相对维数 \(\leq 1\)，因为这是 étale 局部性质。 故 \(X \to T\) 是 \(T\) 上的曲线族。

反之，设 \(X \to T\) 是曲线族。则基变换 \(X_U\) 确定态射 \(w : U \to \Curvesstack\)，而典范同构 \(X_U \times_{U, s} R \to X_U \times_{U, t} R\) 确定满足余圈条件的 \(2\)-箭头 \(w \circ s \to w \circ t\)。

因此，由商 \([U/R]\) 的泛性质得到态射 \(v : T = [U/R] \to \Curvesstack\)；见《空间中的群胚》中的引理 044U。

（事实上，在此情形下，更容易回到引入语言滥用之前，直接构造函子 \(\Sch/T \to \Curvesstack\)；该函子“就是”态射 \(T \to \Curvesstack\)。）

我们略去如下验证：上述构造可扩张到对象之间的态射，且彼此拟逆。

极化曲线叠

本节展开《Quot》中的注 0D5C 所讨论的部分内容。 考虑 \(2\)-纤维积 \[\xymatrix{ \Curvesstack \times_{\Spacesstack'_{fp, flat, proper}} \Polarizedstack \ar[r] \ar[d] & \Polarizedstack \ar[d] \\ \Curvesstack \ar[r] & \Spacesstack'_{fp, flat, proper} }\] 我们将此 \(2\)-纤维积记为 \[\textit{PolarizedCurves} = \Curvesstack \times_{\Spacesstack'_{fp, flat, proper}} \Polarizedstack\] 该纤维积参数化极化曲线，即赋有相对丰沛可逆层的曲线族。 更确切地，\(\textit{PolarizedCurves}\) 的对象是二元组 \((X \to S, \mathcal{L})\)，其中

1. \(X \to S\) 是真、平坦、有限表示且相对维数 \(\leq 1\) 的概形态射；以及

2. \(\mathcal{L}\) 是在 \(X/S\) 上相对丰沛的可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。

\(\textit{PolarizedCurves}\) 的对象之间的态射 \((X' \to S', \mathcal{L}') \to (X \to S, \mathcal{L})\) 由三元组 \((f, g, \varphi)\) 给出，其中 \(f : X' \to X\) 和 \(g : S' \to S\) 是概形态射，并组成交换图 \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r]_f & X \ar[d] \\ S' \ar[r]^g & S }\] 该图诱导同构 \(X' \to S' \times_S X\)；换言之，该图是 Cartesian 的， 且 \(\varphi : f^*\mathcal{L} \to \mathcal{L}'\) 是同构。 复合按显然的方式定义。

引理

态射 \(\textit{PolarizedCurves} \to \Polarizedstack\) 是开闭浸入。

证明

这是因为 \(1\)-态射 \(\Curvesstack \to \Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) 可表为开闭浸入；见《Quot》中的引理 0D5B。

引理

态射 \(\textit{PolarizedCurves} \to \Curvesstack\) 光滑且满。

证明

满性。给定域 \(k\) 以及 \(k\) 上维数 \(\leq 1\) 的真代数空间 \(X\)，即 \(\Curvesstack\) 在 \(k\) 上的对象。 由《域上的空间》中的引理 0ADD， 代数空间 \(X\) 是概形。因此 \(X\) 是 \(k\) 上维数 \(\leq 1\) 的真概形。 由《簇》中的引理 0A26，

可见 \(X\) 在 \(\kappa\) 上是 H-射影的。 特别地，\(X\) 上存在丰沛可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\)。于是 \((X, \mathcal{L})\) 是 \(\textit{PolarizedCurves}\) 在 \(k\) 上的对象，并映到 \(X\)。

光滑性。设 \(X \to S\) 是 \(\Curvesstack\) 的对象，即态射 \(S \to \Curvesstack\)。显然 \[\textit{PolarizedCurves} \times_{\Curvesstack} S \subset \Picardstack_{X/S}\] 是由如下对象 \((T/S, \mathcal{L}/X_T)\) 构成的子叠： \(\mathcal{L}\) 在 \(X_T/T\) 上丰沛。由《空间的下降》中的引理 0D3D，这是开子叠。 又由《模叠》中的引理 0DPJ， \(\Picardstack_{X/S} \to S\) 光滑，结论遂得。

引理

设 \(X \to S\) 是曲线族。则存在 étale 覆盖 \(\{S_i \to S\}\)，使得 \(X_i = X \times_S S_i\) 是概形。 甚至可以假设 \(X_i\) 在 \(S_i\) 上是 H-射影的。

证明

这是引理 0DQ0 的直接推论。

具体而言，展开定义，该引理给出一个满光滑态射 \(S' \to S\)， 使得 \(X' = X \times_S S'\) 赋有在 \(X'/S'\) 上丰沛的可逆 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模 \(\mathcal{L}'\)。 于是可用一个 étale 覆盖 \(\{S_i \to S\}\) 加细光滑覆盖 \(\{S' \to S\}\)；见《态射进阶》中的引理 055V。 用适当开覆盖替换 \(S_i\) 后，可以假设 \(X_i \to S_i\) 是 H-射影的；见《态射》中的引理 0B5N 和 01WB （《态射进阶》中的章节 0B44 也对此作了详细讨论）。

曲线叠的性质

下面的引理对曲面的模空间并不成立；见注 0DSR。

引理

\(\Curvesstack\) 的对角态射分离且有限表示。

证明

回忆 \(\Curvesstack\) 是保持极限的代数叠；见《Quot》中的引理 0D55。 由《叠的极限》中的引理 0CMW，这蕴含

\(\Delta : \Polarizedstack \to \Polarizedstack \times \Polarizedstack\) 保持极限。因此，由《叠的极限》中的命题 0CMY， \(\Delta\) 局部有限表示。

下面证明 \(\Delta\) 分离。为此，只需说明：给定概形 \(U\) 以及 \(\Curvesstack\) 在 \(U\) 上的两个对象 \(Y \to U\) 和 \(X \to U\)， 代数空间 \[\mathit{Isom}_U(Y, X)\] 分离。

这已经由《模叠》中的引理 0DPN 和 0DPP 得出：目标是分离代数空间。

为完成证明，我们说明 \(\Delta\) 拟紧。由于 \(\Delta\) 可由代数空间表示，只需检验 \(\Delta\) 沿满光滑态射 \(U \to \Curvesstack \times \Curvesstack\) 的基变换拟紧 （例如见《叠的性质》中的引理 04XD）。 取 \(U = \coprod U_i\) 为仿射开集的不交并，并取满光滑态射 \[U \longrightarrow \textit{PolarizedCurves} \times \textit{PolarizedCurves}\] 由于引理 0DQ0 表明 \(\textit{PolarizedCurves} \to \Curvesstack\) 满且光滑， \(U \to \Curvesstack \times \Curvesstack\) 也满且光滑。 又因为 \(\textit{PolarizedCurves}\) 保持极限 （由《Artin 公理》中的引理 07XM 以及《Quot》中的引理 0D55、 0D43 和 0D1I），可见 \(\textit{PolarizedCurves} \to \Spec(\mathbf{Z})\) 局部有限表示， 因而 \(U_i \to \Spec(\mathbf{Z})\) 局部有限表示 （《叠的极限》中的命题 0CMY 以及《叠的态射》中的引理 06Q3 和 0DNP）。 特别地，\(U_i\) 是 Noether 仿射概形。这就化归到下一段所讨论的情形。

在本段中，给定 Noether 仿射概形 \(U\) 以及 \(\textit{PolarizedCurves}\) 在 \(U\) 上的两个对象 \((Y, \mathcal{N})\) 和 \((X, \mathcal{L})\)，我们证明代数空间 \[\mathit{Isom}_U(Y, X)\] 拟紧。由于 \(U\) 的连通分支既开又闭，可以用这些连通分支替换 \(U\)。因此可以并确实假设 \(U\) 连通。取一点 \(u \in U\)。 令 \(Q\)、\(P\) 为这些族的 Hilbert 多项式，即 \[Q(n) = \chi(Y_u, \mathcal{N}_u^{\otimes n}) \quad\text{且}\quad P(n) = \chi(X_u, \mathcal{L}_u^{\otimes n})\] 见《簇》中的引理 0BEM。 由于 \(U\) 连通，且函数 \(u \mapsto \chi(Y_u, \mathcal{N}_u^{\otimes n})\) 和 \(u \mapsto \chi(X_u, \mathcal{L}_u^{\otimes n})\) 局部常值（见《概形的导出范畴》中的引理 0B9T）， 可见在 \(U\) 的每一点都得到同一 Hilbert 多项式。令 \[\mathcal{M} = \text{pr}_1^*\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{O}_{Y \times_U X}} \text{pr}_2^*\mathcal{L}\] 为 \(Y \times_U X\) 上的模。给定 \(U\) 上某概形 \(T\) 以及

\((f, \varphi) \in \mathit{Isom}_U(Y, X)(T)\)，则对每个 \(t \in T\)， 有 \[\begin{align*} \chi(Y_t, (\text{id} \times f)^*\mathcal{M}^{\otimes n}) & = \chi(Y_t, \mathcal{N}_t^{\otimes n} \otimes_{\mathcal{O}_{Y_t}} f_t^*\mathcal{L}_t^{\otimes n}) \\ & = n\deg(\mathcal{N}_t) + n\deg(f_t^*\mathcal{L}_t) + \chi(Y_t, \mathcal{O}_{Y_t}) \\ & = Q(n) + n\deg(\mathcal{L}_t) \\ & = Q(n) + P(n) - P(0) \end{align*}\] 这里使用了真曲线的 Riemann–Roch；更确切地说，使用了 《簇》中的定义 0AYR、 引理 0AYX，以及 \(f_t\) 是同构这一事实。令 \(P'(t) = Q(t) + P(t) - P(0)\)，得到 \[\mathit{Isom}_U(Y, X) = \mathit{Isom}_U(Y, X) \cap \mathit{Mor}^{P', \mathcal{M}}_U(Y, X)\] 该交集是 \(\mathit{Mor}_U(Y, X)\) 的两个开子空间之交；见 《模叠》中的引理 0DPP 和注 0DPQ。 现在，\(\mathit{Mor}^{P', \mathcal{M}}_U(Y, X)\) 在 \(U\) 上有限表示，故由《模叠》中的引理 0DPR，它是 Noether 代数空间。 因此该交集也是 Noether 代数空间，证明完成。

注

引理 0DSQ 的证明中的有界性论证 对曲面的模空间并不适用；事实上，其结论也是错误的，例如域上的 K3 曲面可以具有无限离散自同构群。该论证不适用的“原因”是： 对于域上的射影曲面 \(S\)，给定 Hilbert 多项式分别为 \(Q\) 和 \(P\) 的丰沛可逆层 \(\mathcal{N}\) 和 \(\mathcal{L}\)， \(\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{L}\) 的 Hilbert 多项式 并不存在先验界。用相交论的语言来说，若 \(H_1\)、\(H_2\) 是 \(S\) 上的丰沛有效 Cartier 除子，则相交数 \(H_1 \cdot H_2\) 不能由 \(H_1 \cdot H_1\) 和 \(H_2 \cdot H_2\) 给出（上）界。

引理

态射 \(\Curvesstack \to \Spec(\mathbf{Z})\) 拟分离且局部有限表示。

证明

要检验 \(\Curvesstack \to \Spec(\mathbf{Z})\) 拟分离，需要证明其 对角态射拟紧且拟分离。这立即由引理 0DSQ 得出。 要证明 \(\Curvesstack \to \Spec(\mathbf{Z})\) 局部有限表示，只需证明 \(\Curvesstack\) 保持极限；见《叠的极限》中的命题 0CMY。 这就是《Quot》中的引理 0D55。

曲线叠的开子叠

下文常用代数空间态射的一个性质 \(P\) 来刻画 \(\Curvesstack\) 的开子叠。要说明 \(P\) 定义开子叠，只需检验

1. 给定曲线族 \(f : X \to S\)，存在最大开子概形 \(S' \subset S\)，使得 \(f|_{f^{-1}(S')} : f^{-1}(S') \to S'\) 具有性质 \(P\)， 并且 \(S'\) 的构造与任意基变换交换。

事实上，假设 (o) 成立。取概形 \(U\) 以及满光滑态射 \(m : U \to \Curvesstack\)。令 \(R = U \times_{\Curvesstack} U\)，并以 \(t, s : R \to U\) 表示投影。回忆 \(\Curvesstack = [U/R]\) 是一个展示；见 《代数叠》中的引理 04T5 和定义 04TI。 由 \(\Curvesstack\) 作为曲线叠的构造，态射 \(m\) 是曲线族 \(C \to U\) 的分类态射。图 \[\xymatrix{ R \ar[r]_s \ar[d]_t & U \ar[d] \\ U \ar[r] & \Curvesstack }\] 的 \(2\)-交换性蕴含 \(C \times_{U, s} R \cong C \times_{U, t} R\) （这是 \(R\) 上曲线族的同构）。令 \(W \subset U\) 为满足如下条件的 最大开子概形：

\(f|_{f^{-1}(W)} : f^{-1}(W) \to W\) 具有 (o) 中的性质 \(P\)。 由于按 (o)，\(W\) 的构造与基变换交换，再结合上述同构，得到 \(s^{-1}(W) = t^{-1}(W)\)。因此，由《叠的性质》中的引理 04YN， \(W \subset U\) 对应于开子叠 \[\Curvesstack^P \subset \Curvesstack\]

继续采用上一段的设定。我们断言开子叠 \(\Curvesstack^P\) 具有以下两个泛性质：

1. 给定曲线族 \(X \to S\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(S \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^P\) 分解；

   2. 态射 \(X \to S\) 具有性质 \(P\)；

2. 给定域 \(k\) 上维数 \(\leq 1\) 的真概形 \(X\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^P\) 分解；

   2. 态射 \(X \to \Spec(k)\) 具有性质 \(P\)。

这可通过考察 \(2\)-纤维积 \[\xymatrix{ T \ar[r]_p \ar[d]_q & U \ar[d] \\ S \ar[r] & \Curvesstack }\] 得到。注意，\(T \to S\) 是 \(U \to \Curvesstack\) 的基变换， 故满且光滑。因此，(o) 给出的开集 \(S' \subset S\) 由其在 \(T\) 中的逆像确定。然而，由 (o) 中这些开集在基变换下 的不变性，并且由 \(2\)-交换性有 \(X \times_S T \cong C \times_U T\)，得到 \(T\) 中开集的等式 \(q^{-1}(S') = p^{-1}(W)\)。这立即蕴含 (1)，而 (2) 是 (1) 的特例。

给定代数空间态射的两个性质 \(P\) 和 \(Q\)，假设已经证明 \(\Curvesstack^Q\) 是 \(\Curvesstack\) 的开子叠，则可以用完全相同的 方法证明 \(\Curvesstack^{Q, P} \subset \Curvesstack^Q\) 是开子叠。我们略去精确说明。

具有有限约化自同构群的曲线

设 \(X\) 是域 \(k\) 上维数 \(\leq 1\) 的真概形，即 \(\Curvesstack\) 在 \(k\) 上的对象。由引理 0DSQ，自同构群代数空间 \(\mathit{Aut}(X)\) 在 \(k\) 上有限型且分离。 特别地，\(\mathit{Aut}(X)\) 是群概形；见《空间中群胚进阶》中的引理 0B8F。 若 \(k\) 的特征为零，则 \(\mathit{Aut}(X)\) 约化，甚至在 \(k\) 上光滑（《群胚》中的引理 047N）。 然而，一般而言，即使 \(X\) 几何约化，\(\mathit{Aut}(X)\) 也不约化。

例

设 \(k\) 是特征 \(2\) 的代数闭域。令 \(Y = Z = \mathbf{P}^1_k\)。在 \(\mathbf{A}^1_k\) 中取三个两两不同的 \(k\)-值点 \(a, b, c\)。把

\(\mathbf{A}^1_k \subset \mathbf{P}^1_k = Y = Z\) 看作开子概形， 得到闭浸入 \[T = \Spec(k[t]/(t - a)^2) \amalg \Spec(k[t]/(t - b)^2) \amalg \Spec(k[t]/(t - c)^2) \longrightarrow \mathbf{P}^1_k\] 令 \(X\) 为图 \[\xymatrix{ T \ar[r] \ar[d] & Y \ar[d] \\ Z \ar[r] & X }\] 中的推出。令 \(U \subset X\) 为 \(\mathbf{A}^1_k \amalg \mathbf{A}^1_k\) 的像所构成的仿射开部分。 则有等化子图 \[\xymatrix{ \mathcal{O}_X(U) \ar[r] & k[t] \times k[t] \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & k[t]/(t - a)^2 \times k[t]/(t - b)^2 \times k[t]/(t - c)^2 }\] 在双数 \(A = k[\epsilon]\) 上，该等化子图有一个非平凡自同构， 它把 \(t\) 送到 \(t + \epsilon\)。留给读者验证：该自同构扩张为 \(X\) 在 \(A\) 上的自同构。另一方面，读者容易证明 \(X\) 在 \(k\) 上的自同构群有限。因此 \(\mathit{Aut}(X)\) 必不约化。

设 \(X\) 是域 \(k\) 上维数 \(\leq 1\) 的真概形，即 \(\Curvesstack\) 在 \(k\) 上的对象。即使 \(X\) 光滑且几何连通， 若 \(\mathit{Aut}(X)\) 几何约化，也未必有维数 \(0\)。

例

设 \(k\) 是代数闭域。若 \(X\) 是光滑的亏格 \(0\)、相应地 \(1\) 的曲线， 则其自同构群的维数为 \(3\)、相应地 \(1\)。 事实上，在亏格 \(0\) 的情形，由《代数曲线》中的命题 0C6U，有 \(X \cong \mathbf{P}^1_k\)。由于函子同构 \[\mathit{Aut}(\mathbf{P}^1_k) = \text{PGL}_{2, k}\] 可见维数为 \(3\)。另一方面，若 \(X\) 的亏格为 \(1\)，则映射 \(X = \underline{\Hilbfunctor}^1_{X/k} \to \underline{\Picardfunctor}^1_{X/k}\) 是同构；见 《曲线的 Picard 概形》中的引理 0BA0 以及 《代数曲线》中的定理 0BY1。 因此 \(X\) 具有阿贝尔簇结构 （因为 \(\underline{\Picardfunctor}^1_{X/k} \cong \underline{\Picardfunctor}^0_{X/k}\)）。

特别地，\(X\) 的（余）切丛平凡 （《群胚》中的引理 047I）。 由此得到 \(\dim_k H^0(X, T_X) = 1\)，故 \(\dim \mathit{Aut}(X) \leq 1\)。另一方面，平移 （把 \(X\) 看作群概形）给出 \(\text{Aut}(X)\) 的一个 \(1\)-维部分，

所以其维数确为 \(1\)。

事实表明，\(\Curvesstack\) 有一个开子叠，参数化自同构群 几何约化且有限的曲线。精确陈述如下。

引理

存在开子叠 \(\Curvesstack^{DM} \subset \Curvesstack\)，具有以下性质：

1. \(\Curvesstack^{DM} \subset \Curvesstack\) 是最大的 DM 开子叠；

2. 给定曲线族 \(X \to S\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(S \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{DM}\) 分解；

   2. 群代数空间 \(\mathit{Aut}_S(X)\) 在 \(S\) 上非分歧；

3. 给定域 \(k\) 上维数 \(\leq 1\) 的真概形 \(X\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{DM}\) 分解；

   2. \(\mathit{Aut}(X)\) 在 \(k\) 上几何约化且维数为 \(0\)；

   3. \(\mathit{Aut}(X) \to \Spec(k)\) 非分歧。

证明

具有性质 (1) 的开子叠之存在性由《叠的态射》中的引理 0DSM 给出。 由《叠的态射》中的引理 0DSN，该开子叠的点由 (3)(c) 刻画。(3)(b) 与 (3)(c) 的等价性是如下陈述： 若代数空间 \(G\) 在域 \(k\) 上局部有限型、几何约化且维数为 \(0\)， 则它在 \(k\) 上非分歧。首先，由《域上的空间》中的引理 06LZ， \(G\) 是概形。然后可在 \(G\) 中取一个仿射开集，注意到它在 \(k\) 上为真，并应用《簇》中的引理 0BUG。 略去次要细节。

由 (3)，(2) 成立。事实上，态射 \(\mathit{Aut}_S(X) \to S\) 局部有限型。因此，可以通过在概形 \(S\) 各点的纤维上检验，判断 \(\mathit{Aut}_S(X) \to S\) 是否在 \(\mathit{Aut}_S(X)\) 的所有点处非分歧；见 《空间的态射》中的引理 05W2。 但基变换到 \(S\) 的一点后，就回到 (3)(a) 与 (3)(c) 的等价性。

引理

设 \(X\) 是域 \(k\) 上维数 \(\leq 1\) 的真概形。则性质 (3)(a)、(b)、(c) 还等价于 \(\text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X) = 0\)。

证明

在上面的讨论中已经看到，\(G = \mathit{Aut}(X)\) 是 \(\Spec(k)\) 上有限型且分离的群概形；这里使用了引理 0DSQ 和《空间中群胚进阶》中的引理 0B8F。 于是，\(G\) 在 \(k\) 上非分歧当且仅当 \(\Omega_{G/k} = 0\) （《态射》中的引理 02G5）。 由《群胚》中的引理 047I， 若 \(T_{G/k, e} = 0\)，则上述消失成立；这里 \(T_{G/k, e}\) 是 \(G\) 在单位元 \(e \in G(k)\) 处的切空间，见《簇》中的定义 0B2C 以及《簇》中的引理 0B2D 里的公式。 由于 \(\kappa(e) = k\)，该切空间可用如下态射定义： \(\alpha : \Spec(k[\epsilon]) \to G = \mathit{Aut}(X)\)， 其在 \(\Spec(k)\) 上的限制为 \(e\)。于是，只需考察自同构

\[\alpha : X \times_{\Spec(k)} \Spec(k[\epsilon]) \longrightarrow X \times_{\Spec(k)} \Spec(k[\epsilon])\] 它在 \(\Spec(k[\epsilon])\) 上，且在 \(\Spec(k)\) 上的限制为 \(\text{id}_X\)。这样的自同构称为无穷小自同构。

\(X\) 的无穷小自同构与 \(\mathcal{O}_X\) 在 \(k\) 上的导子按 \(1\)-对-\(1\) 对应。 这由《态射进阶》中的引理 04FG 和 02H5 得出 （我们只需要第一个引理，因为不关心反方向；另请参见 《态射进阶》中的注 0CK2 的说明）。 关于证明该等式的另一种论证，参见《形变问题》中的引理 0DY9。

Cohen–Macaulay 曲线

\(\Curvesstack\) 有一个开子叠，参数化 Cohen–Macaulay “曲线”。

引理

存在开子叠 \(\Curvesstack^{CM} \subset \Curvesstack\)，使得：

1. 给定曲线族 \(X \to S\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(S \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{CM}\) 分解；

   2. 态射 \(X \to S\) 是 Cohen–Macaulay 态射；

2. 给定域 \(k\) 上的真概形 \(X\)，且 \(\dim(X) \leq 1\)， 下列条件等价：

   1. 分类态射 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{CM}\) 分解；

   2. \(X\) 是 Cohen–Macaulay 概形。

证明

设 \(f : X \to S\) 是曲线族。由《空间的态射进阶》中的引理 0E10，集合 \[W = \{x \in |X| : f \text{ 在下述点为 Cohen--Macaulay：}x\}\] 在 \(|X|\) 中是开的，并且这个开集的构造与任意基变换交换。 由于 \(f\) 为真，\(S\) 的子集 \[S' = S \setminus f(|X| \setminus W)\] 是开的，且 \(X \times_S S' \to S'\) 是 Cohen–Macaulay 态射。 此外，\(S'\) 的构造与任意基变换交换，因为 \(W\) 的构造具有此性质。

因此，由第 0E0E 节所讨论的方法，得到具有所需性质的开子叠。

引理

存在开子叠 \(\Curvesstack^{CM, 1} \subset \Curvesstack\)，使得：

1. 给定曲线族 \(X \to S\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(S \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{CM, 1}\) 分解；

   2. 态射 \(X \to S\) 是 Cohen–Macaulay 态射，且具有相对维数 \(1\) （《空间的态射》中的定义 06LR）；

2. 给定域 \(k\) 上的真概形 \(X\)，且 \(\dim(X) \leq 1\)， 下列条件等价：

   1. 分类态射 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{CM, 1}\) 分解；

   2. \(X\) 是 Cohen–Macaulay 概形，且 \(X\) 是维数为 \(1\) 的等维概形。

证明

由引理 0E0I，若该开子叠存在， 则显然有 \(\Curvesstack^{CM, 1} \subset \Curvesstack^{CM}\)。 设 \(f : X \to S\) 是曲线族，且 \(f\) 是 Cohen–Macaulay 态射。 由《空间的态射进阶》中的引理 0E11，有按开闭子空间的分解 \[X = X_0 \amalg X_1\] 使得 \(X_0 \to S\) 具有相对维数 \(0\)，而 \(X_1 \to S\) 具有相对维数 \(1\)。 由于 \(f\) 为真，\(S\) 的子集 \[S' = S \setminus f(|X_0|)\] 是开的，且 \(X \times_S S' \to S'\) 是相对维数为 \(1\) 的 Cohen–Macaulay 态射。此外，\(S'\) 的构造与任意基变换交换， 因为上述分解的构造具有此性质（相对维数在基变换下表现良好；见 《空间的态射》中的引理 04NS）。 因此，由第 0E0E 节所讨论的方法，得到具有所需性质的开子叠。

给定亏格的曲线

Stacks Project 采用如下约定：域 \(k\) 上的真 \(1\)-维概形 \(X\) 的亏格 \(g\) 仅在 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) 时定义。 在此情况下，\(g = \dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X)\)。 见《代数曲线》中的第 0BY6 节。 定义亏格所需的条件定义了一个开子叠；该开子叠又分解为开子叠的不交并， 每个亏格对应其中一个开子叠。

引理

存在开子叠 \(\Curvesstack^{h0, 1} \subset \Curvesstack\)，使得：

1. 给定曲线族 \(f : X \to S\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(S \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{h0, 1}\) 分解；

   2. \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\)，该等式在任意基变换后仍成立， 且 \(f\) 的纤维维数为 \(1\)；

2. 给定域 \(k\) 上的真概形 \(X\)，且 \(\dim(X) \leq 1\)， 下列条件等价：

   1. 分类态射 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{h0, 1}\) 分解；

   2. \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) 且 \(\dim(X) = 1\)。

证明

给定曲线族 \(X \to S\)，由《空间的导出范畴》中的引理 0E0R，满足 \(\kappa(s) = H^0(X_s, \mathcal{O}_{X_s})\) 的 \(s \in S\) 所成集合在 \(S\) 中是开的。又由《空间的态射进阶》中的引理 0D4R， \(S\) 中纤维维数为 \(1\) 的点所成集合也是开的。 此外，若 \(f : X \to S\) 是所有纤维维数均为 \(1\) 的曲线族 （特别地，\(f\) 是满射），则条件 (1)(b) 等价于对每个 \(s \in S\) 都有 \(\kappa(s) = H^0(X_s, \mathcal{O}_{X_s})\)；见《空间的导出范畴》中的引理 0E6B。 因此，该引理由第 0E0E 节的一般讨论得出。

引理

作为 \(\Curvesstack\) 的开子叠，有 \(\Curvesstack^{h0, 1} \subset \Curvesstack^{CM, 1}\)。

证明

见《代数曲线》中的引理 0BY5 以及引理 0E6I 和 0E1F。

引理

设 \(f : X \to S\) 是曲线族，并且对所有 \(s \in S\) 都有 \(\kappa(s) = H^0(X_s, \mathcal{O}_{X_s})\)；换言之，分类态射 \(S \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{h0, 1}\) 分解 （引理 0E6I）。则：

1. \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\)，且该等式普遍成立；

2. \(R^1f_*\mathcal{O}_X\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_S\)-模；

3. 对任意态射 \(h : S' \to S\)，若 \(f' : X' \to S'\) 是其基变换， 则 \(h^*(R^1f_*\mathcal{O}_X) = R^1f'_*\mathcal{O}_{X'}\)。

证明

应用《空间的导出范畴》中的引理 0E6B。这证明了 (1)。 它还蕴含：在 \(S\) 上局部可写成 \(Rf_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S \oplus P\)，其中 \(P\) 是 Tor 振幅位于 \([1, \infty)\) 的完美对象。回忆 \(Rf_*\mathcal{O}_X\) 的构造与任意基变换交换 （《空间的导出范畴》中的引理 0CTM）。 因此，对 \(s \in S\)，有 \[H^i(P \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} \kappa(s)) = H^i(X_s, \mathcal{O}_{X_s}) \text{，其中 }i \geq 1\] 由于 \(X_s\) 是 \(1\)-维 Noether 概形，除非 \(i = 1\)，上式为零；见 《上同调》中的命题 02UZ。 于是 \(P = H^1(P)[-1]\)，并且 \(H^1(P)\) 有限局部自由；例如可由 《代数进阶》中的引理 0BCD 得出。 由于所有构造都与基变换相容，(3) 也成立。

引理

存在开闭子叠的不交并分解 \[\Curvesstack^{h0, 1} = \coprod\nolimits_{g \geq 0} \Curvesstack_g\] 其中每个 \(\Curvesstack_g\) 由下列条件刻画：

1. 给定曲线族 \(f : X \to S\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(S \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack_g\) 分解；

   2. \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\)，该等式在任意基变换后仍成立， \(f\) 的纤维维数为 \(1\)，且 \(R^1f_*\mathcal{O}_X\) 是秩为 \(g\) 的局部自由 \(\mathcal{O}_S\)-模；

2. 给定域 \(k\) 上的真概形 \(X\)，且 \(\dim(X) \leq 1\)， 下列条件等价：

   1. 分类态射 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack_g\) 分解；

   2. \(\dim(X) = 1\)、\(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)，且 \(X\) 的亏格为 \(g\)。

证明

由引理 0E6I，已经知道 \(\Curvesstack^{h0, 1}\) 作为 \(\Curvesstack\) 的开子叠存在， 并由本引理中不涉及 \(R^1f_*\) 或 \(H^1\) 的条件刻画。 由第 0E0E 节的讨论和引理 0E1J， 立即得到开闭子叠分解的存在性。这证明了 (1) 中的刻画。 (2) 中的刻画由《代数曲线》中的定义 0BY7 得出。

几何约化曲线

\(\Curvesstack\) 有一个开子叠，参数化几何约化的 “曲线”。

引理

存在开子叠 \(\Curvesstack^{geomred} \subset \Curvesstack\)，使得：

1. 给定曲线族 \(X \to S\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(S \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{geomred}\) 分解；

   2. 态射 \(X \to S\) 的纤维几何约化 （《空间的态射进阶》中的定义 0E08）；

2. 给定域 \(k\) 上的真概形 \(X\)，且 \(\dim(X) \leq 1\)， 下列条件等价：

   1. 分类态射 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{geomred}\) 分解；

   2. \(X\) 在 \(k\) 上几何约化。

证明

设 \(f : X \to S\) 是曲线族。由《空间的态射进阶》中的引理 0E0C，集合 \[E = \{s \in S : \text{态射 }X \to S\text{ 在 }s \text{ 处的纤维几何约化}\}\] 在 \(S\) 中是开的。由《空间的态射进阶》中的引理 0E09， 这个开集的构造与任意基变换交换。因此，由第 0E0E 节所讨论的方法，得到具有所需性质的开子叠。

引理

作为 \(\Curvesstack\) 的开子叠，有 \(\Curvesstack^{geomred} \subset \Curvesstack^{CM}\)。

证明

这是因为维数 \(\leq 1\) 的约化 Noether 概形是 Cohen–Macaulay 概形。 见《代数》中的引理 031R。

几何约化且连通的曲线

\(\Curvesstack\) 有一个开子叠，参数化几何约化且连通的 “曲线”。 我们将立即排除 \(0\)-维对象。

引理

存在开子叠 \(\Curvesstack^{grc, 1} \subset \Curvesstack\)，使得：

1. 给定曲线族 \(X \to S\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(S \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{grc, 1}\) 分解；

   2. 态射 \(X \to S\) 的几何纤维约化、连通且维数为 \(1\)；

2. 给定域 \(k\) 上的真概形 \(X\)，且 \(\dim(X) \leq 1\)， 下列条件等价：

   1. 分类态射 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{grc, 1}\) 分解；

   2. \(X\) 几何约化、几何连通且维数为 \(1\)。

证明

由引理 0E0G、 0E1G、0E0I 和 0E1F，若所求开子叠存在，则显然有 \[\Curvesstack^{grc, 1} \subset \Curvesstack^{geomred} \cap \Curvesstack^{CM, 1}\] 设 \(f : X \to S\) 是曲线族，其中 \(f\) 是 Cohen–Macaulay 态射， 具有几何约化纤维且相对维数为 \(1\)。由《空间的态射进阶》中的引理 0E0D，在 Stein 分解 \[X \to T \to S\] 中，态射 \(T \to S\) 是 étale 态射。这蕴含存在开闭子概形 \(S' \subset S\)，使得 \(X \times_S S' \to S'\) 具有几何连通纤维 （在《态射》中的引理 04MH 对有限局部自由态射 \(T \to S\) 给出的分解中，这对应于 \(S_1\)）。 这个开集的构造与任意基变换交换，因为几何纤维的连通分支数在基变换下不变 （在当前特殊情形中，Stein 分解本身也与基变换交换，但得出结论并不需要这一点）。 因此，由第 0E0E 节所讨论的方法，得到具有所需性质的开子叠。

引理

作为 \(\Curvesstack\) 的开子叠，有 \(\Curvesstack^{grc, 1} \subset \Curvesstack^{h0, 1}\)。 特别地，给定几何纤维约化、连通且维数为 \(1\) 的曲线族 \(f : X \to S\)，则

\(R^1f_*\mathcal{O}_X\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_S\)-模， 且其构造与任意基变换交换。

证明

这由《簇》中的引理 0BUG 以及引理 0E6I 和 0E1I 得出。 最后一个陈述由引理 0E1J 得出。

引理

存在开闭子叠的不交并分解 \[\Curvesstack^{grc, 1} = \coprod\nolimits_{g \geq 0} \Curvesstack^{grc, 1}_g\] 其中每个 \(\Curvesstack^{grc, 1}_g\) 由下列条件刻画：

1. 给定曲线族 \(f : X \to S\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(S \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{grc, 1}_g\) 分解；

   2. 态射 \(f : X \to S\) 的几何纤维约化、连通且维数为 \(1\)，并且 \(R^1f_*\mathcal{O}_X\) 是秩为 \(g\) 的局部自由 \(\mathcal{O}_S\)-模；

2. 给定域 \(k\) 上的真概形 \(X\)，且 \(\dim(X) \leq 1\)， 下列条件等价：

   1. 分类态射 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{grc, 1}_g\) 分解；

   2. \(X\) 几何约化、几何连通、维数为 \(1\) 且亏格为 \(g\)。

证明

第一种证明：令 \(\Curvesstack^{grc, 1}_g = \Curvesstack^{grc, 1} \cap \Curvesstack_g\)， 再结合引理 0E6L 和 0E6K。 第二种证明：由第 0E0E 节的讨论和引理 0E6L，立即得到开闭子叠分解的存在性。 这证明了 (1) 中的刻画。由于几何约化且连通的真 \(1\)-维概形 \(X/k\) 的亏格有定义（《代数曲线》中的定义 0BY7 和《簇》中的引理 0BUG）， 且等于 \(\dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X)\)，故 (2) 中的刻画也成立。

Gorenstein 曲线

\(\Curvesstack\) 有一个开子叠，参数化 Gorenstein “曲线”。

引理

存在开子叠 \(\Curvesstack^{Gorenstein} \subset \Curvesstack\)，使得：

1. 给定曲线族 \(X \to S\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(S \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{Gorenstein}\) 分解；

   2. 态射 \(X \to S\) 是 Gorenstein 态射；

2. 给定域 \(k\) 上的真概形 \(X\)，且 \(\dim(X) \leq 1\)， 下列条件等价：

   1. 分类态射 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{Gorenstein}\) 分解；

   2. \(X\) 是 Gorenstein 概形。

证明

设 \(f : X \to S\) 是曲线族。由《空间的态射进阶》中的引理 0E19，集合 \[W = \{x \in |X| : f \text{ 在下述点是 Gorenstein：}x\}\] 在 \(|X|\) 中是开的，并且这个开集的构造与任意基变换交换。 由于 \(f\) 为真，\(S\) 的子集 \[S' = S \setminus f(|X| \setminus W)\] 是开的，且 \(X \times_S S' \to S'\) 是 Gorenstein 态射。 此外，\(S'\) 的构造与任意基变换交换，因为 \(W\) 的构造具有此性质。

因此，由第 0E0E 节所讨论的方法，得到具有所需性质的开子叠。

引理

存在开子叠 \(\Curvesstack^{Gorenstein, 1} \subset \Curvesstack\)，使得：

1. 给定曲线族 \(X \to S\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(S \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{Gorenstein, 1}\) 分解；

   2. 态射 \(X \to S\) 是 Gorenstein 态射，且具有相对维数 \(1\) （《空间的态射》中的定义 06LR）；

2. 给定域 \(k\) 上的真概形 \(X\)，且 \(\dim(X) \leq 1\)， 下列条件等价：

   1. 分类态射 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{Gorenstein, 1}\) 分解；

   2. \(X\) 是 Gorenstein 概形，且 \(X\) 是维数为 \(1\) 的等维概形。

证明

回忆 Gorenstein 概形是 Cohen–Macaulay 概形 （《概形的对偶性》中的引理 0C00），并且

Gorenstein 态射是 Cohen–Macaulay 态射 （《概形的对偶性》中的引理 0C06）。 因此，可以令 \(\Curvesstack^{Gorenstein, 1}\) 等于 \(\Curvesstack\) 内 \(\Curvesstack^{Gorenstein}\) 与 \(\Curvesstack^{CM, 1}\) 的交，并使用引理 0E1M 和 0E1F。

局部完全交曲线

\(\Curvesstack\) 有一个开子叠，参数化局部完全交 “曲线”。

引理

存在开子叠 \(\Curvesstack^{lci} \subset \Curvesstack\)，使得：

1. 给定曲线族 \(X \to S\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(S \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{lci}\) 分解；

   2. \(X \to S\) 是局部完全交态射；

   3. \(X \to S\) 是 syntomic 态射。

2. 给定域 \(k\) 上维数 \(\leq 1\) 的真概形 \(X\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{lci}\) 分解；

   2. \(X\) 在 \(k\) 上是局部完全交。

证明

回忆 syntomic 态射等价于平坦的局部完全交态射；见 《空间的态射进阶》中的引理 06C9。因此 (1)(b) 等价于 (1)(c)。 在第 0E0E 节中已经看到，只需证明：给定曲线族 \(f : X \to S\)，存在开子概形 \(S' \subset S\)，使得 \(S' \times_S X \to S'\) 是局部完全交态射，并且 \(S'\) 的构造 与任意基变换交换。这由更一般的《空间的态射进阶》中的引理 06CE 得出。

具有孤立奇点的曲线

可以考察 \(\Curvesstack\) 中参数化仅有有限多个奇点的 “曲线” 所构成的开子叠（在我们的设定中，这些奇点可能对应于 \(0\)-维分支）。

引理

存在开子叠 \(\Curvesstack^{+} \subset \Curvesstack\)，使得：

1. 给定曲线族 \(X \to S\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(S \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{+}\) 分解；

   2. 赋予 \(X \to S\) 的奇异轨迹任意一个（或某一个）闭子空间结构后， 它在 \(S\) 上有限。

2. 给定域 \(k\) 上维数 \(\leq 1\) 的真概形 \(X\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{+}\) 分解；

   2. \(X \to \Spec(k)\) 除有限多个点外处处光滑。

证明

为证明该引理，只需证明：给定曲线族 \(f : X \to S\)，存在开子概形 \(S' \subset S\)，使得 \(S' \times_S X \to S'\) 的纤维具有性质 (2)。

（该开集的构造将自动与基变换交换。）按定义，\(X \to S\) 不光滑的点所成轨迹 \(T \subset |X|\) 是闭的。令 \(Z \subset X\) 为在 \(T\) 上赋予约化诱导代数空间结构所得到的闭子空间 （《空间的性质》中的定义 047X）。 现在，若 \(s \in S\) 是使 \(Z_s\) 有限的点，则存在 \(s\) 的开邻域 \(U_s \subset S\)，使得 \(Z \cap f^{-1}(U_s) \to U_s\) 有限；见 《空间的态射进阶》中的引理 0A4Y。 这证明了该引理。

曲线叠的光滑轨迹

态射 \[\Curvesstack \longrightarrow \Spec(\mathbf{Z})\] 在一个最大的开子叠上光滑；见《叠的态射》中的引理 0DZR。我们希望给出曲线属于该轨迹的判据。 为此将使用少量形变理论。

设 \(k\) 是域，\(X\) 是 \(k\) 上维数 \(\leq 1\) 的真概形。 为 \(k\) 选取一个 Cohen 环 \(\Lambda\)；见《代数》中的引理 0328。于是处于《形变问题》中的例 0DY7 和引理 0DY8 所描述的情形。因此，在剩余域为 \(k\) 的 Artin 局部 \(\Lambda\)-代数所成范畴 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 上， 得到形变范畴 \(\Deformationcategory_X\)。

引理

在上述情形中，下列条件等价：

1. 分类态射 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack \to \Spec(\mathbf{Z})\) 光滑的开集分解；

2. 形变范畴 \(\Deformationcategory_X\) 是无阻碍的。

证明

由于 \(\Curvesstack \longrightarrow \Spec(\mathbf{Z})\) 局部有限表示 （引理 0DSS），\(\Curvesstack \longrightarrow \Spec(\mathbf{Z})\) 光滑的开子叠之构造与平坦基变换交换 （《叠的态射》中的引理 0DZR）。 由于 Cohen 环 \(\Lambda\) 在 \(\mathbf{Z}\) 上平坦，可以在 \(\Lambda\) 上工作。 换言之，要证明 \[\Lambda\text{-}\Curvesstack \longrightarrow \Spec(\Lambda)\] 在由 \(X/k\) 定义的点 \(x_0 : \Spec(k) \to \Lambda\text{-}\Curvesstack\) 的一个开邻域上光滑， 当且仅当 \(\Deformationcategory_X\) 无阻碍。

该引理现在由《叠的几何》中的引理 0DZS 和等式 \[\Deformationcategory_X = \mathcal{F}_{\Lambda\text{-}\Curvesstack, k, x_0}\] 得出。建立这个等式并非完全平凡。事实上，左边是分类 \(X\) 作为 \(A \in \Ob(\mathcal{C}_\Lambda)\) 上概形的所有平坦形变 \(Y \to \Spec(A)\) 的形变范畴。右边是分类特殊纤维为 \(X\) 的所有平坦态射 \(Y \to \Spec(A)\) 的形变范畴，其中 \(Y\) 是代数空间， 且 \(Y \to \Spec(A)\) 为真、有限表示并具有相对维数 \(\leq 1\)。 由于 \(A\) 是 Artin 的，例如由《域上的空间》中的引理 0ADD 可知 \(Y\) 是概形。因此还需证明：\(X\) 作为剩余域为 \(k\) 的 Artin 局部环 \(A\) 上概形的平坦形变 \(Y \to \Spec(A)\) 为真、有限表示且相对维数 \(\leq 1\)。相对维数按纤维定义，故因为 \(X/k\) 具有此性质， \(Y/A\) 也自动具有此性质。态射 \(Y \to \Spec(A)\) 为真且局部有限表示， 因为 \(X \to \Spec(k)\) 具有这些性质；见《态射进阶》中的引理 06AG。

下面给出曲线叠中包含于光滑轨迹的一个 “大” 开子叠。

引理

开子叠 \[\Curvesstack^{lci+} = \Curvesstack^{lci} \cap \Curvesstack^{+} \subset \Curvesstack\] 具有以下性质：

1. \(\Curvesstack^{lci+} \to \Spec(\mathbf{Z})\) 光滑；

2. 给定曲线族 \(X \to S\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(S \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{lci+}\) 分解；

   2. \(X \to S\) 是局部完全交态射，并且赋予 \(X \to S\) 的奇异轨迹任意一个（或某一个）闭子空间结构后，它在 \(S\) 上有限；

3. 给定域 \(k\) 上维数 \(\leq 1\) 的真概形 \(X\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{lci+}\) 分解；

   2. \(X\) 在 \(k\) 上是局部完全交，并且 \(X \to \Spec(k)\) 除有限多个点外处处光滑。

证明

若能证明存在开子叠 \(\Curvesstack^{lci+}\)，其点由 (2) 刻画， 则结合引理 0DZU 与《形变问题》中的引理 0DZQ，可知 (1) 成立。由于 \[\Curvesstack^{lci+} = \Curvesstack^{lci} \cap \Curvesstack^{+}\] 在 \(\Curvesstack\) 内成立，由引理 0DZV 和 0DZW 即得结论。

光滑曲线

本节研究 \(\Curvesstack\) 中参数化光滑 “曲线” 的开子叠。

引理

存在开子叠 \[\Curvesstack^{smooth, 1} \subset \Curvesstack^{smooth} \subset \Curvesstack\] 使得：

1. 给定曲线族 \(f : X \to S\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(S \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{smooth}\)、 相应地， \(\Curvesstack^{smooth, 1}\) 分解；

   2. \(f\) 光滑、相应地， 为相对维数 \(1\) 的光滑态射；

2. 给定域 \(k\) 上的真概形 \(X\)，且 \(\dim(X) \leq 1\)， 下列条件等价：

   1. 分类态射 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{smooth}\)、 相应地， \(\Curvesstack^{smooth, 1}\) 分解；

   2. \(X\) 在 \(k\) 上光滑；相应地， \(X\) 在 \(k\) 上光滑，且 \(X\) 是维数为 \(1\) 的等维概形。

证明

为证明关于 \(\Curvesstack^{smooth}\) 的陈述，只需证明：给定曲线族 \(f : X \to S\)，存在开子概形 \(S' \subset S\)，使得 \(S' \times_S X \to S'\) 光滑，并且这个开集的构造与基变换交换。 已知存在最大的开集 \(U \subset X\)，使得 \(U \to S\) 光滑， 而且 \(U\) 的构造与任意基变换交换；见《空间的态射》中的引理 0DZI。若 \(T = |X| \setminus |U|\)，则因为 \(f\) 为真，\(f(T)\) 在 \(S\) 中闭。 令 \(S' = S \setminus f(T)\)，便得到所需开集。

设 \(f : X \to S\) 是曲线族，且 \(f\) 光滑。则纤维 \(X_s\) 在 \(\kappa(s)\) 上光滑，因而是 Cohen–Macaulay 概形 （例如可使用《代数》中的引理 00T5 和 00SB 看出）。因此，可以令 \[\Curvesstack^{smooth, 1} = \Curvesstack^{smooth} \cap \Curvesstack^{CM, 1}\] 而所需等价性由已经对 \(\Curvesstack^{smooth}\) 证明的结果以及引理 0E1F 得出。

引理

态射 \(\Curvesstack^{smooth} \to \Spec(\mathbf{Z})\) 光滑。

证明

由 \(\Curvesstack^{smooth} \subset \Curvesstack^{lci+}\) 和引理 0DZX 立即得出。

引理

存在开子叠 \(\Curvesstack^{smooth, h0} \subset \Curvesstack\)，使得：

1. 给定曲线族 \(f : X \to S\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(S \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{smooth}\) 分解；

   2. \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\)，该等式在任意基变换后仍成立， 且 \(f\) 是相对维数为 \(1\) 的光滑态射；

2. 给定域 \(k\) 上的真概形 \(X\)，且 \(\dim(X) \leq 1\)， 下列条件等价：

   1. 分类态射 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{smooth, h0}\) 分解；

   2. \(X\) 光滑，\(\dim(X) = 1\)，且 \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)；

   3. \(X\) 光滑，\(\dim(X) = 1\)，且 \(X\) 几何连通；

   4. \(X\) 光滑，\(\dim(X) = 1\)，且 \(X\) 几何整；

   5. \(X_{\overline{k}}\) 是光滑曲线。

证明

若令 \[\Curvesstack^{smooth, h0} = \Curvesstack^{smooth} \cap \Curvesstack^{h0, 1}\] 则由引理 0E6I 和 0DZZ 可知 (1) 成立。事实上，这也给出 (2)(a) 与 (2)(b) 的等价性。为完成证明，需要说明 (2)(b) 分别等价于 (2)(c)、(2)(d) 和 (2)(e)。

域上的光滑概形几何正规 （《簇》中的引理 056T）， 光滑性在基变换下保持 （《态射》中的引理 01VB）， 并且光滑性在目标上是 fpqc 局部的 （《下降》中的引理 02VL）。 牢记这些事实，(2)(b)、(2)(c)、

(2)(d) 和 (2)(e) 的等价性由《簇》中的引理 0FD3 得出。

定义

我们用 \(\mathcal{M}\) 表示引理 0E81 中引入的参数化曲线族的代数叠 \(\Curvesstack^{smooth, h0}\)， 并称其为光滑真曲线的模叠。 对 \(g \geq 0\)，我们用 \(\mathcal{M}_g\) 表示引理 0E83 中引入的代数叠， 并称其为亏格为 \(g\) 的光滑真曲线的模叠。

下面是必备引理。

引理

存在开闭子叠的不交并分解 \[\mathcal{M} = \coprod\nolimits_{g \geq 0} \mathcal{M}_g\] 其中每个 \(\mathcal{M}_g\) 由下列条件刻画：

1. 给定曲线族 \(f : X \to S\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(S \to \Curvesstack\) 经 \(\mathcal{M}_g\) 分解；

   2. \(X \to S\) 光滑，\(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\)， 该等式在任意基变换后仍成立，且 \(R^1f_*\mathcal{O}_X\) 是秩为 \(g\) 的局部自由 \(\mathcal{O}_S\)-模；

2. 给定域 \(k\) 上的真概形 \(X\)，且 \(\dim(X) \leq 1\)， 下列条件等价：

   1. 分类态射 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) 经 \(\mathcal{M}_g\) 分解；

   2. \(X\) 光滑，\(\dim(X) = 1\)，\(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)， 且 \(X\) 的亏格为 \(g\)；

   3. \(X\) 光滑，\(\dim(X) = 1\)，\(X\) 几何连通，且 \(X\) 的亏格为 \(g\)；

   4. \(X\) 光滑，\(\dim(X) = 1\)，\(X\) 几何整，且 \(X\) 的亏格为 \(g\)；

   5. \(X_{\overline{k}}\) 是亏格为 \(g\) 的光滑曲线。

证明

结合引理 0E81 和 0E6K。也可以改用引理 0E1K。

引理

态射 \(\mathcal{M} \to \Spec(\mathbf{Z})\) 和 \(\mathcal{M}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\) 都光滑。

证明

由于 \(\mathcal{M}\) 是 \(\Curvesstack^{lci+}\) 的开子叠， 该结论由引理 0DZX 得出。

光滑曲线的稠密性

本节标题有些误导，因为我们并不声称 \(\Curvesstack^{smooth}\) 在 \(\Curvesstack\) 中稠密。事实上，这是错误的，Mumford 已在 [PathologiesIV] 中证明这一点。不过，我们将看到光滑 “曲线” 在一个大开集中稠密。

引理

包含关系 \[|\Curvesstack^{smooth}| \subset |\Curvesstack^{lci+}|\] 给出一个开稠密子集。

证明

由《叠的性质》中的第 04XE 节所构造的 \(|\Curvesstack^{lci+}|\) 上的拓扑，\(|\Curvesstack^{smooth}|\) 是开子集。设 \(\xi \in |\Curvesstack^{lci+}|\) 是一点。 则存在域 \(k\) 和 \(k\) 上的概形 \(X\)，使得 \(X\) 在 \(k\) 上为真， \(\dim(X) \leq 1\)，\(X\) 在 \(k\) 上是局部完全交，并且

\(X\) 在 \(k\) 上除有限多个点外处处光滑，而且 \(\xi\) 是由 \(X\) 确定的分类态射 \(\Spec(k) \to \Curvesstack^{lci+}\) 的等价类。 见引理 0DZX。由《形变问题》中的引理 0E7Y， 存在平坦射影态射 \(Y \to \Spec(k[[t]])\)，其泛纤维光滑， 其特殊纤维同构于 \(X\)。考虑由 \(Y\) 确定的分类态射 \[\Spec(k[[t]]) \longrightarrow \Curvesstack^{lci+}\] 闭点的像为 \(\xi\)，而泛点的像属于 \(|\Curvesstack^{smooth}|\)。 由于泛点在 \(|\Spec(k[[t]])|\) 中特化到闭点，故 \(\xi\) 属于 \(|\Curvesstack^{smooth}|\) 的闭包，如所求。

结点曲线

结点曲线在代数几何中扮演特殊角色。建议读者简要浏览《代数曲线》中的 第 0C46 节和第 0C58 节，以及《空间的态射进阶》中的 第 0DSD 节的部分讨论。

引理

存在开子叠 \(\Curvesstack^{nodal} \subset \Curvesstack\)，使得：

1. 给定曲线族 \(f : X \to S\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(S \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{nodal}\) 分解；

   2. \(f\) 是相对维数为 \(1\)、至多有结点奇性的态射；

2. 给定域 \(k\) 上的真概形 \(X\)，且 \(\dim(X) \leq 1\)， 下列条件等价：

   1. 分类态射 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{nodal}\) 分解；

   2. \(X\) 的奇点至多为结点，且 \(X\) 是维数为 \(1\) 的等维概形。

证明

事实上，只需证明：给定曲线族 \(f : X \to S\)，存在开子概形 \(S' \subset S\)，使得 \(S' \times_S X \to S'\) 是相对维数为 \(1\)、 至多有结点奇性的态射，并且 \(S'\) 的构造与任意基变换交换。 由《空间的态射进阶》中的引理 0DSH，存在最大的开子空间 \(X' \subset X\)，使得 \(f|_{X'} : X' \to S\) 是相对维数为 \(1\)、 至多有结点奇性的态射。此外，\(X'\) 的构造与基变换交换。 因此，可以取 \[S' = S \setminus |f|(|X| \setminus |X'|)\] 它是开的，因为真态射按定义普遍闭。

引理

态射 \(\Curvesstack^{nodal} \to \Spec(\mathbf{Z})\) 光滑。

证明

由 \(\Curvesstack^{nodal} \subset \Curvesstack^{lci+}\) 和引理 0DZX 立即得出。

相对对偶层

本节主要用于在曲线族的情形引入记号。大部分工作已经在对偶性一章中完成。

设 \(f : X \to S\) 是曲线族。\(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 中存在对象 \(\omega_{X/S}^\bullet\)，称为相对对偶复形，具有如下性质： 对每个基变换图 \[\xymatrix{ X_U \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ U \ar[r]^g & S }\] 若 \(U = \Spec(A)\) 仿射，则复形 \(\omega_{X_U/U}^\bullet = L(g')^*\omega_{X/S}^\bullet\) 表示函子 \[D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_U}) \longrightarrow \text{Mod}_A,\quad K \longmapsto \Hom_U(Rf_*K, \mathcal{O}_U)\] 更精确地，令 \((\omega_{X/S}^\bullet, \tau)\) 为《空间的对偶性》中的定义 0E5X 所定义的该曲线族的相对对偶复形。其存在性由《空间的对偶性》中的引理 0E61 证明。 此外，\((\omega_{X/S}^\bullet, \tau)\) 的构造与任意基变换交换 （这本质上源于定义；精确参考是《空间的对偶性》中的引理 0E6C）。 从现在起，我们将 \(\omega_{X/S}^\bullet\) 的基变换与基变换后曲线族的 相对对偶复形等同，不再另行说明。

设 \(\{S_i \to S\}\) 是一个 étale 覆盖，其中 \(S_i\) 仿射，且 \(X_i = X \times_S S_i\) 是概形；见引理 0E6F。由《空间的对偶性》中的引理 0E6E，\(\omega_{X_i/S_i}^\bullet\) 与《概形的对偶性》中的注 0B6S 所讨论的概形间真、平坦、 有限表示态射 \(f_i : X_i \to S_i\) 的相对对偶复形一致。 因此，为证明 \(\omega_{X/S}^\bullet\) 的某个 étale 局部性质， 可以假设 \(X \to S\) 是概形间态射，并使用概形对偶性一章中发展的理论。 更一般地，对 \(X\) 的任意为概形的基变换，相对对偶复形都与 《概形的对偶性》中的注 0B6S 的相对对偶复形一致。 从现在起，我们将使用这个等同，不再另行说明。

特别地，设 \(\Spec(k) \to S\) 是态射，其中 \(k\) 是域。

用 \(X_k\) 表示该基变换（由《域上的空间》中的引理 0ADD， 这是概形）。则 \(\omega_{X_k/k}^\bullet\) 同构于《代数曲线》中的引理 0BS2 的复形 \(\omega_{X_k}^\bullet\) （两者表示同一个函子，故可使用 Yoneda 引理；而这实际上由上述评注得出）。 由此，余调层 \(H^i(\omega_{X_k/k}^\bullet)\) 仅在 \(i = 0, -1\) 时可能非零。若 \(X_k\) 是维数为 \(1\) 的等维 Cohen–Macaulay 概形， 则仅有 \(H^{-1}\)；若 \(X_k\) 还为 Gorenstein 概形，则

\(H^{-1}(\omega_{X_k/k})\) 可逆；见《代数曲线》中的引理 0BS3 和 0BS6。

引理

设 \(X \to S\) 是纤维为维数 \(1\) 的等维 Cohen–Macaulay 概形的曲线族 （引理 0E1F）。则 \(\omega_{X/S}^\bullet = \omega_{X/S}[1]\)，其中 \(\omega_{X/S}\) 是一个在 \(S\) 上平坦的伪凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，且其构造与任意基变换交换。

证明

我们建议读者由上面对基变换到域后情形的讨论直接推出此结论。 我们的证明将使用一种稍显繁琐的归约，将问题化到 Noether 概形的情形。

一旦证明 \(\omega_{X/S}^\bullet = \omega_{X/S}[1]\) 且 \(\omega_{X/S}\) 在 \(S\) 上平坦，关于基变换的陈述就由 \(\omega_{X/S}^\bullet\) 的构造与任意基变换交换这一已知事实得出。 此外，伪凝聚性将自动成立，因为按定义 \(\omega_{X/S}^\bullet\) 是伪凝聚的。其他余调层的消失与平坦性可在 étale 局部检验。 因此，可以假设 \(f : X \to S\) 是概形间态射，且 \(S\) 仿射 （见上面的讨论）。将 \(S = \lim S_i\) 写成在 \(\mathbf{Z}\) 上有限型的 仿射概形 \(S_i\) 的余滤极限。由于 \(\Curvesstack^{CM, 1}\) 在 \(\mathbf{Z}\) 上局部有限表示（它是 \(\Curvesstack\) 的开子叠；见引理 0E1F 和 0DSS）， 可以找到一个 \(i\) 以及曲线族 \(X_i \to S_i\)，其拉回为 \(X \to S\) （《叠的极限》中的引理 0CMV）。 必要时增大 \(i\)，可假设 \(X_i\) 是概形；见《空间的极限》中的引理 07SR。由于 \(\omega_{X/S}^\bullet\) 的构造与任意基变换交换，可以用 \(S_i\) 代替 \(S\)。 这样便可以并且确实假设 \(S_i\) 是 Noether 概形。此时，由我们对纤维的假设， \(f\) 显然是 Cohen–Macaulay 态射 （《态射进阶》中的定义 045R）。 此外，由《概形的对偶性》中的第 0A9Y 节对 \(f^!\) 的构造，有 \(\omega_{X/S}^\bullet = f^!\mathcal{O}_S\)。

因此，该引理由《概形的对偶性》中的引理 0C0Z 得出。

定义

设 \(f : X \to S\) 是纤维为维数 \(1\) 的等维 Cohen–Macaulay 概形的曲线族 （引理 0E1F）。则引理 0E6P 中研究的 \(\mathcal{O}_X\)-模 \[\omega_{X/S} = H^{-1}(\omega_{X/S}^\bullet)\] 称为 \(f\) 的相对对偶层。

在定义 0E6Q 的情形， 相对对偶层 \(\omega_{X/S}\) 具有以下性质（而且该性质在 \(S\) 上局部刻画它）： 对每个基变换图 \[\xymatrix{ X_U \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ U \ar[r]^g & S }\] 若 \(U = \Spec(A)\) 仿射，则模 \(\omega_{X_U/U} = (g')^*\omega_{X/S}\) 表示函子 \[\QCoh(\mathcal{O}_{X_U}) \longrightarrow \text{Mod}_A,\quad \mathcal{F} \longmapsto \Hom_A(H^1(X, \mathcal{F}), A)\] 这由上面给出的相对对偶复形的相应性质立即得出。特别地，若 \(A = k\) 是域，则恢复《代数曲线》中的引理 0BS2、 0BS3 和 0BS6 所引入并研究的 \(X_k\) 的对偶模。

引理

设 \(X \to S\) 是纤维为维数 \(1\) 的等维 Gorenstein 概形的曲线族 （引理 0E6M）。则相对对偶层 \(\omega_{X/S}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，且其构造与任意基变换交换。

证明

这是因为由上面的讨论，相对对偶模到任一纤维的拉回均可逆。 或者，也可以完全仿照引理 0E6P 的证明， 再由《概形的对偶性》中的引理 0C08 得到结论。

预稳定曲线

下述定义等价于通常公认的预稳定曲线族概念。

定义

设 \(f : X \to S\) 是曲线族。若满足下列条件，便称 \(f\) 是一个 预稳定曲线族：

1. \(f\) 是相对维数为 \(1\)、至多有结点奇性的态射；并且

2. \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\)，而且该等式在任意基变换后仍成立 ¹。

设 \(X\) 是域 \(k\) 上的真概形，且 \(\dim(X) \leq 1\)。 则 \(X \to \Spec(k)\) 是曲线族，因此可以问它在上述定义的意义下是否预稳定 ²。 展开定义可见，下列条件等价：

1. \(X\) 预稳定；

2. \(X\) 的奇点至多为结点，\(\dim(X) = 1\)，且 \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)；

3. \(X_{\overline{k}}\) 连通，并且除有限多个结点外， 它在 \(\overline{k}\) 上光滑 （《代数曲线》中的定义 0C1W）。

这说明我们的定义与文献中的大多数定义一致。

引理

存在开子叠 \(\Curvesstack^{prestable} \subset \Curvesstack\)，使得：

1. 给定曲线族 \(f : X \to S\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(S \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{prestable}\) 分解；

   2. \(X \to S\) 是预稳定曲线族；

2. 给定域 \(k\) 上的真概形 \(X\)，且 \(\dim(X) \leq 1\)， 下列条件等价：

   1. 分类态射 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{prestable}\) 分解；

   2. \(X\) 的奇点至多为结点，\(\dim(X) = 1\)，且 \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)。

证明

给定曲线族 \(X \to S\)，它预稳定，当且仅当分类态射同时经 \(\Curvesstack^{nodal}\) 和 \(\Curvesstack^{h0, 1}\) 分解。 也可以使用 \(\Curvesstack^{grc, 1}\)（因为结点曲线几何约化， 所以它的 \(H^0\) 等于基域，当且仅当它连通）。用公式表示即 \[\Curvesstack^{prestable} = \Curvesstack^{nodal} \cap \Curvesstack^{h0, 1} = \Curvesstack^{nodal} \cap \Curvesstack^{grc, 1}\] 因此，该引理由引理 0E6I 和 0DSY 得出。

对每个亏格 \(g \geq 0\)，都有分类亏格为 \(g\) 的预稳定曲线的代数叠。 事实上，从现在起，我们称 \(X \to S\) 是一个亏格为 \(g\) 的预稳定曲线族，当且仅当分类态射 \(S \to \Curvesstack\) 经引理 0E6V 的开子叠 \(\Curvesstack^{prestable}_g\) 分解。

引理

存在开闭子叠的分解 \[\Curvesstack^{prestable} = \coprod\nolimits_{g \geq 0} \Curvesstack^{prestable}_g\] 其中每个 \(\Curvesstack^{prestable}_g\) 由下列性质刻画：

1. 给定曲线族 \(f : X \to S\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(S \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{prestable}_g\) 分解；

   2. \(X \to S\) 是预稳定曲线族，且 \(R^1f_*\mathcal{O}_X\) 是秩为 \(g\) 的局部自由 \(\mathcal{O}_S\)-模；

2. 给定域 \(k\) 上的真概形 \(X\)，且 \(\dim(X) \leq 1\)， 下列条件等价：

   1. 分类态射 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{prestable}_g\) 分解；

   2. \(X\) 的奇点至多为结点，\(\dim(X) = 1\)， \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)，且 \(X\) 的亏格为 \(g\)。

证明

我们已经看到 \(\Curvesstack^{prestable}\) 包含于 \(\Curvesstack^{h0, 1}\)，故结论由引理 0E6U 和 0E6K 得出。

引理

态射 \(\Curvesstack^{prestable} \to \Spec(\mathbf{Z})\) 和 \(\Curvesstack^{prestable}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\) 光滑。

证明

由于 \(\Curvesstack^{prestable}\) 是 \(\Curvesstack^{nodal}\) 的开子叠， 结论由引理 0E00 得出。

半稳定曲线

下述引理将帮助我们理解半稳定曲线族。

引理

设 \(f : X \to S\) 是亏格为 \(g \geq 1\) 的预稳定曲线族。 设 \(s \in S\) 是基概形上的一点，并设 \(m \geq 2\)。下列条件等价：

1. \(X_s\) 没有有理尾 （《代数曲线》中的例 0E3H）；

2. 对某个开子集 \(s \in U \subset S\)，态射

   \(f^*f_*\omega_{X/S}^{\otimes m} \to \omega_{X/S}^{\otimes m}\) 在 \(f^{-1}(U)\) 上满射。

证明

假设 (2)。利用第 0E6N 节的内容， 可知 \(\omega_{X_s}^{\otimes m}\) 整体生成。然而，若 \(C \subset X_s\) 是有理尾，则由《代数曲线》中的引理 0E63，有 \(\deg(\omega_{X_s}|_C) < 0\)，故由《簇》中的引理 0B40，有 \(H^0(C, \omega_{X_s}|_C) = 0\)；这与它整体生成矛盾。 这证明了 (1)。

假设 (1)。先假设 \(g \geq 2\)。由《代数曲线》中的引理 0E3L，假设 (1) 蕴含 \(\omega_{X_s}^{\otimes m}\) 整体生成。此外，由对偶性，有 \[\Hom_{\kappa(s)}(H^1(X_s, \omega_{X_s}^{\otimes m}), \kappa(s)) = H^0(X_s, \omega_{X_s}^{\otimes 1 - m})\] 见《代数曲线》中的引理 0BS3。 由于 \(\omega_{X_s}^{\otimes m}\) 整体生成，它在每个不可约分支上的限制

次数非负。因此，\(\omega_{X_s}^{\otimes 1 - m}\) 在每个不可约分支上的 限制次数非正。又由 Riemann–Roch（《代数曲线》中的引理 0BS6），有 \(\deg(\omega_{X_s}^{\otimes 1 - m}) = (1 - m)(2g - 2) < 0\)， 故由《簇》中的引理 0E22， 可知该 \(H^0\) 为零。由上同调与基变换可知 \[E = Rf_*\omega_{X/S}^{\otimes m}\] 是完美复形，且其构造与任意基变换交换 （《空间的导出范畴》中的引理 0CTM）。 上面证明的消失说明 \(E \otimes^\mathbf{L} \kappa(s)\) 等于置于次数 \(0\) 的 \(H^0(X_s, \omega_{X_s}^{\otimes m})\)。缩小 \(S\) 后可得， \(E = f_*\omega_{X/S}^{\otimes m}\) 是置于次数 \(0\) 的局部自由 \(\mathcal{O}_S\)-模（而且如前所述，其构造与任意基变换交换）；见 《空间的导出范畴》中的引理 0E6A。 态射 \(f^*f_*\omega_{X/S}^{\otimes m} \to \omega_{X/S}^{\otimes m}\) 限制到 \(X_s\) 后满射。因此，它在 \(X_s\) 的某个开邻域上满射。 由于 \(f\) 是真态射，该开邻域包含 \(f^{-1}(U)\)，其中 \(U\) 是 \(S\) 中 \(s\) 的某个开邻域。

假设 (1) 且 \(g = 1\)。由《代数曲线》中的引理 0E3L，假设 (1) 意味着 \(\omega_{X_s}\) 同构于 \(\mathcal{O}_{X_s}\)。若能证明缩小 \(S\) 后

可逆层 \(\omega_{X/S}\) 变为平凡层，结论便成立。可以假设 \(S\) 仿射。 进一步缩小 \(S\) 后，可以写成 \[Rf_*\mathcal{O}_X = (\mathcal{O}_S \xrightarrow{0} \mathcal{O}_S)\] 它位于次数 \(0\) 和 \(1\)，且与进一步的基变换相容；见引理 0E1J。由对偶性，这意味着 \[Rf_*\omega_{X/S} = (\mathcal{O}_S \xrightarrow{0} \mathcal{O}_S)\] 位于次数 \(0\) 和 \(1\)³。 特别地，可以得到与基变换相容的同构 \(\mathcal{O}_S \to f_*\omega_{X/S}\)，因为 \(Rf_*\omega_{X/S}\) 的构造与基变换相容（见上面给出的参考）。 由伴随性，得到整体截面 \(\sigma \in \Gamma(X, \omega_{X/S})\)。 该截面在纤维 \(X_s\) 上的限制非零（事实上是一个基元素）；而且由于 \(\omega_{X_s}\) 在该纤维上平凡，该截面在 \(X_s\) 上处处非零。

因此，它在 \(X_s\) 的某个开邻域上处处非零。由于 \(f\) 是真态射， 该开邻域包含 \(f^{-1}(U)\)，其中 \(U\) 是 \(S\) 中 \(s\) 的某个开邻域。

受引理 0E6Y 启发，我们作如下定义。

定义

设 \(f : X \to S\) 是曲线族。若

1. \(X \to S\) 是预稳定曲线族；并且

2. 对所有 \(s \in S\)，\(X_s\) 的亏格均为 \(\geq 1\)，且没有有理尾，

则称 \(f\) 是一个半稳定曲线族。

特别地，亏格为 \(0\) 的预稳定曲线族绝不半稳定。 设 \(X\) 是域 \(k\) 上的真概形，且 \(\dim(X) \leq 1\)。 则 \(X \to \Spec(k)\) 是曲线族，因而可以问它是否半稳定。 展开定义可见，下列条件等价：

1. \(X\) 半稳定；

2. \(X\) 预稳定，亏格为 \(\geq 1\)，且没有有理尾；

3. \(X_{\overline{k}}\) 连通，除有限多个结点外在 \(\overline{k}\) 上光滑， 亏格为 \(\geq 1\)，并且没有同构于 \(\mathbf{P}^1_{\overline{k}}\) 且仅在一点与 \(X_{\overline{k}}\) 的其余部分相交的不可约分支。

要看出 (2) 与 (3) 等价，使用《代数曲线》中的引理 0E3L：\(X\) 没有有理尾， 当且仅当 \(X_{\overline{k}}\) 没有有理尾。 这说明我们的定义与文献中的大多数定义一致。

引理

存在开子叠 \(\Curvesstack^{semistable} \subset \Curvesstack\)，使得：

1. 给定曲线族 \(f : X \to S\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(S \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{semistable}\) 分解；

   2. \(X \to S\) 是半稳定曲线族；

2. 给定域 \(k\) 上的真概形 \(X\)，且 \(\dim(X) \leq 1\)， 下列条件等价：

   1. 分类态射 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{semistable}\) 分解；

   2. \(X\) 的奇点至多为结点，\(\dim(X) = 1\)， \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)，\(X\) 的亏格为 \(\geq 1\)，且 \(X\) 没有有理尾；

   3. \(X\) 的奇点至多为结点，\(\dim(X) = 1\)， \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)，而且对 \(m \geq 2\)，

      \(\omega_{X_s}^{\otimes m}\) 整体生成。

证明

(2)(b) 与 (2)(c) 的等价性是《代数曲线》中的引理 0E3L。 在证明的其余部分，我们将按照定义 0E6Z 使用 (2)(b)。

由第 0E0E 节的讨论，只需考虑预稳定曲线族 \(f : X \to S\)。由引理 0E6Y，得到所求轨迹的开性。 该开集的构造与任意基变换交换，因为由《代数曲线》中的引理 0E3L，有理尾的存在或不存在 不受基域扩张影响。

引理

存在开闭子叠的分解 \[\Curvesstack^{semistable} = \coprod\nolimits_{g \geq 1} \Curvesstack^{semistable}_g\] 其中每个 \(\Curvesstack^{semistable}_g\) 由下列性质刻画：

1. 给定曲线族 \(f : X \to S\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(S \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{semistable}_g\) 分解；

   2. \(X \to S\) 是半稳定曲线族，且 \(R^1f_*\mathcal{O}_X\) 是秩为 \(g\) 的局部自由 \(\mathcal{O}_S\)-模；

2. 给定域 \(k\) 上的真概形 \(X\)，且 \(\dim(X) \leq 1\)， 下列条件等价：

   1. 分类态射 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{semistable}_g\) 分解；

   2. \(X\) 的奇点至多为结点，\(\dim(X) = 1\)， \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)，\(X\) 的亏格为 \(g\)，且 \(X\) 没有有理尾；

   3. \(X\) 的奇点至多为结点，\(\dim(X) = 1\)， \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)，\(X\) 的亏格为 \(g\)，而且对 \(m \geq 2\)，

      \(\omega_{X_s}^{\otimes m}\) 整体生成。

证明

合并引理 0E70 和 0E6V 即得。

引理

态射 \(\Curvesstack^{semistable} \to \Spec(\mathbf{Z})\) 和 \(\Curvesstack^{semistable}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\) 光滑。

证明

由于 \(\Curvesstack^{semistable}\) 是 \(\Curvesstack^{nodal}\) 的开子叠， 结论由引理 0E00 得出。

稳定曲线

下述引理将帮助我们理解稳定曲线族。

引理

设 \(f : X \to S\) 是亏格为 \(g \geq 2\) 的预稳定曲线族， 并设 \(s \in S\) 是基概形上的一点。下列条件等价：

1. \(X_s\) 没有有理尾，也没有有理桥 （《代数曲线》中的例 0E3H 和 0E3M）；

2. 对某个开子集 \(s \in U \subset S\)，\(\omega_{X/S}\) 在 \(f^{-1}(U)\) 上丰沛。

证明

假设 (2)。则 \(\omega_{X_s}\) 在 \(X_s\) 上丰沛。 由《代数曲线》中的引理 0E63 和 0E64，可知 (1) 成立 （还使用《簇》中的引理 0B5Y 对丰沛可逆层的刻画）。

假设 (1)。则由《代数曲线》中的引理

0E3Q，\(\omega_{X_s}\) 在 \(X_s\) 上丰沛。结论由《空间的下降》中的引理 0D3D 得出。

受引理 0E74 启发，我们作如下定义。

定义

设 \(f : X \to S\) 是曲线族。若

1. \(X \to S\) 是预稳定曲线族；并且

2. 对所有 \(s \in S\)，\(X_s\) 的亏格均为 \(\geq 2\)， 且没有有理尾或有理桥，

则称 \(f\) 是一个稳定曲线族。

特别地，亏格为 \(0\) 或 \(1\) 的预稳定曲线族绝不稳定。 设 \(X\) 是域 \(k\) 上的真概形，且 \(\dim(X) \leq 1\)。 则 \(X \to \Spec(k)\) 是曲线族，因而可以问它是否稳定。 展开定义可见，下列条件等价：

1. \(X\) 稳定；

2. \(X\) 预稳定，亏格为 \(\geq 2\)，没有有理尾，也没有有理桥；

3. \(X\) 几何连通，除有限多个结点外在 \(k\) 上光滑，且 \(\omega_X\) 丰沛。

要看出 (2) 与 (3) 等价，使用上面的引理 0E74。 这说明我们的定义与文献中的大多数定义一致。

引理

存在开子叠 \(\Curvesstack^{stable} \subset \Curvesstack\)，使得：

1. 给定曲线族 \(f : X \to S\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(S \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{stable}\) 分解；

   2. \(X \to S\) 是稳定曲线族；

2. 给定域 \(k\) 上的真概形 \(X\)，且 \(\dim(X) \leq 1\)， 下列条件等价：

   1. 分类态射 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{stable}\) 分解；

   2. \(X\) 的奇点至多为结点，\(\dim(X) = 1\)， \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)，\(X\) 的亏格为 \(\geq 2\)， 且 \(X\) 没有有理尾或有理桥；

   3. \(X\) 的奇点至多为结点，\(\dim(X) = 1\)， \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)，且

      \(\omega_{X_s}\) 丰沛。

证明

由第 0E0E 节的讨论，只需考虑预稳定曲线族 \(f : X \to S\)。由引理 0E74，得到所求轨迹的开性。 该开集的构造与任意基变换交换：一方面，由《代数曲线》中的引理 0E3L 和 0E3Q，有理尾或有理桥的 存在或不存在不受基域扩张影响；另一方面，由《下降》中的引理 0D2P，丰沛性也不受基域扩张影响。

定义

我们用 \(\overline{\mathcal{M}}\) 表示引理 0E76 中引入的、参数化稳定曲线族的代数叠 \(\Curvesstack^{stable}\)， 并称它为稳定曲线模叠。对 \(g \geq 2\)，我们用 \(\overline{\mathcal{M}}_g\) 表示引理 0E78 中引入的代数叠， 并称它为亏格为 \(g\) 的稳定曲线模叠。

下面是必不可少的引理。

引理

存在开闭子叠的分解 \[\overline{\mathcal{M}} = \coprod\nolimits_{g \geq 2} \overline{\mathcal{M}}_g\] 其中每个 \(\overline{\mathcal{M}}_g\) 由下列性质刻画：

1. 给定曲线族 \(f : X \to S\)，下列条件等价：

   1. 分类态射 \(S \to \Curvesstack\) 经 \(\overline{\mathcal{M}}_g\) 分解；

   2. \(X \to S\) 是稳定曲线族，且 \(R^1f_*\mathcal{O}_X\) 是秩为 \(g\) 的局部自由 \(\mathcal{O}_S\)-模；

2. 给定域 \(k\) 上的真概形 \(X\)，且 \(\dim(X) \leq 1\)， 下列条件等价：

   1. 分类态射 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) 经 \(\overline{\mathcal{M}}_g\) 分解；

   2. \(X\) 的奇点至多为结点，\(\dim(X) = 1\)， \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)，\(X\) 的亏格为 \(g\)，且 \(X\) 没有有理尾或有理桥；

   3. \(X\) 的奇点至多为结点，\(\dim(X) = 1\)， \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)，\(X\) 的亏格为 \(g\)，且

      \(\omega_{X_s}\) 丰沛。

证明

合并引理 0E76 和 0E6V 即得。

引理

态射 \(\overline{\mathcal{M}} \to \Spec(\mathbf{Z})\) 和 \(\overline{\mathcal{M}}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\) 光滑。

证明

由于 \(\overline{\mathcal{M}}\) 是 \(\Curvesstack^{nodal}\) 的开子叠， 结论由引理 0E00 得出。

引理

叠 \(\overline{\mathcal{M}}\) 和 \(\overline{\mathcal{M}}_g\) 是 \(\Curvesstack^{DM}\) 的开子叠。特别地， \(\overline{\mathcal{M}}\) 和 \(\overline{\mathcal{M}}_g\) 既是 DM 叠 （《叠的态射》中的定义 050D）， 也是 Deligne–Mumford 叠 （《代数叠》中的定义 03YO）。

证明

先证第一个断言。设 \(X\) 是域 \(k\) 上的真概形，其奇点至多为结点， \(\dim(X) = 1\)，\(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)，\(X\) 的亏格为 \(\geq 2\)，而且 \(X\) 没有有理尾或有理桥。需要证明分类态射 \(\Spec(k) \to \overline{\mathcal{M}} \to \Curvesstack\) 经 \(\Curvesstack^{DM}\) 分解。可以先用代数闭包替换 \(k\) （因为已经知道相关的叠是代数叠 \(\Curvesstack\) 的开子叠）。 由引理 0E76、0DSW 和 0E6G，只需证明 \(\text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X) = 0\)。 这已在《代数曲线》中的引理 0E69 中证明。

由于 \(\Curvesstack^{DM}\) 是 \(\Curvesstack\) 中为 DM 的最大开子叠， 可知 \(\Curvesstack^{DM}\) 的开子叠 \(\overline{\mathcal{M}}\) 也具有此性质。最后，由《叠的态射》中的定理 06N3，DM 代数叠是 Deligne–Mumford 叠。

引理

设 \(g \geq 2\)。包含关系 \[|\mathcal{M}_g| \subset |\overline{\mathcal{M}}_g|\] 把左边实现为右边的开稠密子集。

证明

由于 \(\overline{\mathcal{M}}_g \subset \Curvesstack^{lci+}\) 是开的， 且 \(\Curvesstack^{smooth} \cap \overline{\mathcal{M}}_g = \mathcal{M}_g\)， 结论立即由引理 0E86 得出。

收缩态射

我们建议读者在继续本节之前，先熟悉《代数曲线》中的第 0E3G、 0E7M 和 0E7N 节。本节的主要结果是“稳定化”态射 \[\Curvesstack^{prestable}_g \longrightarrow \overline{\mathcal{M}}_g\] 的存在性；见引理 0E8B。粗略地说， 该态射把亏格为 \(g\) 的结点曲线的模点送到相伴稳定曲线的模点； 后者构造于《代数曲线》中的引理 0E7Q。

引理

设 \(S\) 是概形，\(s \in S\) 是一点。设 \(f : X \to S\) 和 \(g : Y \to S\) 是曲线族，并设 \(c : X \to Y\) 是 \(S\) 上的态射。 若 \(c_{s, *}\mathcal{O}_{X_s} = \mathcal{O}_{Y_s}\) 且 \(R^1c_{s, *}\mathcal{O}_{X_s} = 0\)，则以 \(s\) 的一个开邻域替换 \(S\) 后， 有 \(\mathcal{O}_Y = c_*\mathcal{O}_X\) 和 \(R^1c_*\mathcal{O}_X = 0\)，而且经任意态射 \(S' \to S\) 基变换后 这些等式仍成立。

证明

设 \((U, u) \to (S, s)\) 是一个 étale 邻域，使得 \(\mathcal{O}_{Y_U} = (X_U \to Y_U)_*\mathcal{O}_{X_U}\) 且 \(R^1(X_U \to Y_U)_*\mathcal{O}_{X_U} = 0\)，并且经任意 \(U' \to U\) 基变换后也有相同结论。然后用 \(U \to S\) 的开像替换 \(S\)。 给定 \(S' \to S\)，置 \(U' = U \times_S S'\)，便得到 étale 覆盖 \(\{U' \to S'\}\) 和 \(\{Y_{U'} \to Y_{S'}\}\)。 因此，\(c\) 经 \(S' \to S\) 基变换后命题成立，可由 \(X_U \to Y_U\) 经 \(U' \to U\) 基变换后命题成立推出。 换言之，该问题在 \(S\) 的 étale 拓扑下是局部的。 因此，由引理 0E6F，可以假设 \(X\) 和 \(Y\) 是概形。由《态射进阶》中的引理 0E7L，存在包含 \(Y_s\) 的开子概形 \(V \subset Y\)，使得 \(c_*\mathcal{O}_X|_V = \mathcal{O}_V\) 且 \(R^1c_*\mathcal{O}_X|_V = 0\)，并且经任意 \(S' \to S\) 基变换后 这些等式仍成立。由于 \(g : Y \to S\) 是真态射，可以找到 \(s\) 的开邻域 \(U \subset S\)，使得 \(g^{-1}(U) \subset V\)。这个 \(U\) 即可。

引理

设 \(S\) 是概形，\(s \in S\) 是一点。设 \(f : X \to S\) 和 \(g_i : Y_i \to S\)（\(i = 1, 2\)）是曲线族，并设 \(c_i : X \to Y_i\) 是 \(S\) 上的态射。假设存在与 \(c_{1, s}\) 和 \(c_{2, s}\) 相容的纤维同构 \(Y_{1, s} \cong Y_{2, s}\)。 若 \(c_{1, s, *}\mathcal{O}_{X_s} = \mathcal{O}_{Y_{1, s}}\) 且 \(R^1c_{1, s, *}\mathcal{O}_{X_s} = 0\)，则存在 \(s\) 的开邻域 \(U\) 以及 \(U\) 上曲线族的同构 \(Y_{1, U} \cong Y_{2, U}\)；该同构与给定的 纤维同构以及 \(c_1\)、\(c_2\) 相容。

证明

回顾 \(\mathcal{O}_{S, s} = \colim \mathcal{O}_S(U)\)，其中余极限取遍 \(s\) 的仿射邻域 \(U\) 所成的系统。因此，局部环上有限表示代数空间的范畴 是 \(s\) 的仿射邻域上有限表示代数空间范畴的余极限。见《空间的极限》中的引理 07SK。 这样便归约到 \(S\) 是某个局部环的谱且 \(s\) 是闭点的情形。

假设 \(S = \Spec(A)\)，其中 \(A\) 是局部环，\(s\) 是闭点。 将 \(A = \colim A_j\) 写成局部 Noether 环 \(A_j\) 的余极限 （例如可取在 \(\mathbf{Z}\) 上本质有限型），其过渡同态均为局部同态。 置 \(S_j = \Spec(A_j)\)，其闭点为 \(s_j\)。可以找到一个 \(j\) 以及曲线族 \(X_j \to S_j\)、\(Y_{j, i} \to S_j\)；见引理 0DSS 和《叠的极限》中的引理 0CMV。 必要时增大 \(j\)，可以找到态射 \(c_{j, i} : X_j \to Y_{j, i}\)， 其到 \(s\) 的基变换为 \(c_i\)；见《空间的极限》中的引理 07SK。 由于 \(\kappa(s) = \colim \kappa(s_j)\)，同样可以假设存在与 \(c_{j, 1, s_j}\) 和 \(c_{j, 2, s_j}\) 相容的同构 \(Y_{j, 1, s_j} \cong Y_{j, 2, s_j}\)。最后，假设 \(c_{1, s, *}\mathcal{O}_{X_s} = \mathcal{O}_{Y_{1, s}}\) 和 \(R^1c_{1, s, *}\mathcal{O}_{X_s} = 0\) 可由 \(c_{j, 1, s_j}\) 继承，因为

\(\{s_j \to s\}\) 是 fpqc 覆盖，而 \(c_{1, s}\) 是 \(c_{j, 1, s_j}\) 经该覆盖的基变换（细节略去）。 这样便把引理归约到下一段所讨论的情形。

假设 \(S\) 是 Noether 局部环 \(\Lambda\) 的谱，\(s\) 是闭点。 考虑态射 \[(c_1, c_2) : X \longrightarrow Y_1 \times_S Y_2\] 的概形论像 \(Z\)。引理的陈述等价于断言：\(Z\) 经投影态射同构地映到 \(Y_1\) 和 \(Y_2\)。由于取该态射的概形论像与平坦基变换交换

（《空间的态射》中的引理 089E， 可以用 \(\Lambda\) 的完备化替换它 （《代数进阶》中的第 07NU 节）。

假设 \(S\) 是完备 Noether 局部环 \(\Lambda\) 的谱。 注意，此时 \(X\)、\(Y_1\)、\(Y_2\) 都是概形 （《空间的态射进阶》中的引理 0AE7）。

用 \(X_n\)、\(Y_{1, n}\)、\(Y_{2, n}\) 表示 \(X\)、\(Y_1\)、\(Y_2\) 到 \(\Spec(\Lambda/\mathfrak m^{n + 1})\) 的基变换。回顾箭头 \[\Deformationcategory_{X_s \to Y_{2, s}} \cong \Deformationcategory_{X_s \to Y_{1, s}} \longrightarrow \Deformationcategory_{X_s}\] 是等价；见《形变问题》中的引理 0E3X。 因此，在 \(\Deformationcategory_{X_s \to Y_{1, s}}\) 中存在形式对象的同构 \((X_n \to Y_{1, n}) \cong (X_n \to Y_{2, n})\)。 最后，由 Grothendieck 代数化定理（《概形的上同调》中的引理 0A42），这给出与 \(c_1\) 和 \(c_2\) 相容的同构 \(Y_1 \to Y_2\)。

引理

设 \(f : X \to S\) 是曲线族，\(s \in S\) 是一点。设 \(h_0 : X_s \to Y_0\) 是到 \(\kappa(s)\) 上真概形 \(Y_0\) 的态射， 满足 \(h_{0, *}\mathcal{O}_{X_s} = \mathcal{O}_{Y_0}\) 且 \(R^1h_{0, *}\mathcal{O}_{X_s} = 0\)。则存在基本 étale 邻域 \((U, u) \to (S, s)\)、曲线族 \(Y \to U\) 以及 \(U\) 上的态射 \(h : X_U \to Y\)，使得它在 \(u\) 上的纤维同构于 \(h_0\)。

证明

先作一些归约；建议读者跳到后面。该问题在 \(S\) 上是局部的， 故可以假设 \(S\) 仿射。将 \(S = \lim S_i\) 写成在 \(\mathbf{Z}\) 上 有限型仿射概形 \(S_i\) 的余滤极限。对某个 \(i\)，可以找到曲线族 \(X_i \to S_i\)，其基变换为 \(X \to S\)。这由引理 0DSS 和《叠的极限》中的引理 0CMV 得出。 设 \(s_i \in S_i\) 是 \(s\) 的像。注意 \(\kappa(s) = \colim \kappa(s_i)\)，而且 \(X_s\) 是概形 （《域上的空间》中的引理 0ADD）。 增大 \(i\) 后，可以假设存在 \(\kappa(s_i)\) 上有限型概形之间的态射 \(h_{i, 0} : X_{i, s_i} \to Y_i\)，其到 \(\kappa(s)\) 的基变换为 \(h_0\)； 见《极限》中的引理 01ZM。 再次增大 \(i\) 后，可以假设 \(Y_i\) 在 \(\kappa(s_i)\) 上为真； 见《极限》中的引理 081F。

设 \(g_{i, 0} : Y_0 \to Y_{i, 0}\) 为投影。注意，它作为 \(\Spec(\kappa(s)) \to \Spec(\kappa(s_i))\) 的基变换，是忠实平坦态射。 由平坦基变换，有 \[h_{0, *}\mathcal{O}_{X_s} = g_{i, 0}^*h_{i, 0, *}\mathcal{O}_{X_{i, s_i}} \quad\text{且}\quad R^1h_{0, *}\mathcal{O}_{X_s} = g_{i, 0}^*Rh_{i, 0, *}\mathcal{O}_{X_{i, s_i}}\] 见《概形的上同调》中的引理 02KH。 由忠实平坦性可知，\(X_i \to S_i\)、\(s_i \in S_i\) 和

\(X_{i, s_i} \to Y_i\) 满足该引理的全部假设。 这便归约到下一段所讨论的情形。

假设 \(S\) 在 \(\mathbf{Z}\) 上仿射且有限型。设 \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) 是 \(S\) 在 \(s\) 处局部环的 Hensel 化。 由《代数进阶》中的引理 07QR 和命题 07PX， \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) 是 G-环。假设能够构造曲线族 \(Y' \to \Spec(\mathcal{O}_{S, s}^h)\) 以及 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}^h)\) 上的态射 \[h' : X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, s}^h) \longrightarrow Y'\] 其到闭点的基变换为 \(h_0\)。这已经足够。事实上，首先使用 \[\mathcal{O}_{S, s}^h = \colim_{(U, u)} \mathcal{O}_U(U)\] 其中余极限取遍基本 étale 邻域所成的滤过范畴 （《态射进阶》中的引理 05KS）。 其次，再次使用如下事实：给定 \(Y'\) 后，可以把它下降为某个 \(U\) 上的 \(Y \to U\)（见上面给出的参考）。然后使用《极限》中的引理 01ZM，把 \(h'\) 下降为某个 \(h\)。 这便归约到下一段所讨论的情形。

假设 \(S = \Spec(\Lambda)\)，其中 \((\Lambda, \mathfrak m, \kappa)\) 是 Hensel Noether 局部 G-环， 而 \(s\) 是 \(S\) 的闭点。回顾映射 \[\Deformationcategory_{X_s \to Y_0} \to \Deformationcategory_{X_s}\] 是等价；见《形变问题》中的引理 0E3X。 （这是证明中唯一重要的一步；其余全是技巧。）

用 \(\Lambda^\wedge\) 表示 \(\mathfrak m\)-进完备化。 \(X\) 到 \(\Lambda/\mathfrak m^{n + 1}\) 的拉回 \(X_n\) 在 \(\Lambda^\wedge\) 上定义了 \(\Deformationcategory_{X_s}\) 的形式对象 \(\xi\)。由上述等价，得到 \(\Lambda^\wedge\) 上 \(\Deformationcategory_{X_s \to Y_0}\) 的形式对象 \(\xi'\)。 因此得到一个巨大的交换图 \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & X_n \ar[r] \ar[d] & X_{n - 1} \ar[r] \ar[d] & \ldots \ar[r] & X_s \ar[d] \\ \ldots \ar[r] & Y_n \ar[r] \ar[d] & Y_{n - 1} \ar[r] \ar[d] & \ldots \ar[r] & Y_0 \ar[d] \\ \ldots \ar[r] & \Spec(\Lambda/\mathfrak m^{n + 1}) \ar[r] & \Spec(\Lambda/\mathfrak m^n) \ar[r] & \ldots \ar[r] & \Spec(\kappa) }\] 由《Quot》中的引理 0D58， 形式对象 \((Y_n)\) 来自曲线族 \(Y' \to \Spec(\Lambda^\wedge)\)。 由《空间的态射进阶》中的引理 0A4Z，得到态射 \(h' : X_{\Lambda^\wedge} \to Y'\)，它对所有 \(n\) 都诱导给定态射 \(X_n \to Y_n\)，特别地诱导给定态射 \(X_s \to Y_0\)。

最后作一个标准的代数化/逼近论证。首先注意，可以找到有限生成 \(\Lambda\)-子代数 \(\Lambda \subset A \subset \Lambda^\wedge\)、 曲线族 \(Y'' \to \Spec(A)\) 以及 \(A\) 上的态射 \(h'' : X_A \to Y''\)，其到 \(\Lambda^\wedge\) 的基变换为 \(h'\)。 这是因为 \(\Lambda^\wedge\) 是这些环 \(A\) 的滤过余极限；可以像前面那样， 利用 \(\Curvesstack\) 局部有限表示这一事实（由《叠的极限》中的引理 0CMV 得到 \(A\) 上的 \(Y''\)），并使用《空间的极限》中的引理 07SK， 把 \(h'\) 下降为某个 \(h''\)。然后，可以使用 G-环的逼近性质 （采用《环同态的光滑化》中的定理 07QY 的形式）， 找到映射 \(A \to \Lambda\)，它所诱导的 \(A \to \kappa\) 与 \(A \to \Lambda^\wedge\) 所诱导的映射相同。 把 \(h''\) 基变换到 \(\Lambda\)，证明即告完成。

引理

设 \(f : X \to S\) 是亏格为 \(g \geq 2\) 的预稳定曲线族。 \(f\) 存在分解 \(X \to Y \to S\)，其中

\(g : Y \to S\) 是稳定曲线族，而 \(c : X \to Y\) 具有下列性质：

1. \(\mathcal{O}_Y = c_*\mathcal{O}_X\) 且 \(R^1c_*\mathcal{O}_X = 0\)，并且经任意态射 \(S' \to S\) 基变换后这些等式仍成立；

2. 对任意 \(s \in S\)，态射 \(c_s : X_s \to Y_s\) 是 《代数曲线》中的第 0E7N 节 所讨论的有理尾和有理桥的收缩。

此外，\(c : X \to Y\) 在唯一同构意义下唯一。

证明

设 \(s \in S\)。令 \(c_0 : X_s \to Y_0\) 为《代数曲线》中的第 0E7N 节的收缩 （更精确地说，见《代数曲线》中的引理 0E7Q）。 由引理 0E7C，存在基本 étale 邻域 \((U, u)\) 以及 \(U\) 上曲线族之间的态射 \(c : X_U \to Y\)， 其在 \(u\) 处的纤维恢复 \(c_0\)。由于 \(\omega_{Y_0}\) 丰沛， 必要时缩小 \(U\) 后，由引理 0E76 和 0E78 所蕴含的开性可知， \(Y \to U\) 是亏格为 \(g\) 的稳定曲线族。必要时再次缩小 \(U\) 后， 引理 0E88 给出 \(c : X_U \to Y\) 的断言 (1)。 此外，(2) 由《代数曲线》中的引理 0E7Q 的唯一性成立。 由此可知，引理中的态射 \(c\) 在 \(S\) 上 étale 局部存在。 更精确地，存在 étale 覆盖 \(\{U_i \to S\}\) 以及 \(U_i\) 上的态射 \(c_i : X_{U_i} \to Y_i\)，其中 \(Y_i \to U_i\) 是具有引理中性质 (1) 和 (2) 的稳定曲线族。

为完成证明，只需证明 \(c : X \to Y\) 的唯一性（在唯一同构意义下）。 事实上，一旦完成这一步，便得到同构

\[\varphi_{ij} : Y_i \times_{U_i} (U_i \times_S U_j) \longrightarrow Y_i \times_{U_j} (U_i \times_S U_j)\]

它们在 \(U_i \times U_j \times U_k\) 上满足上链条件（由唯一性）。

由于 \(\overline{\mathcal{M}_g}\) 是代数叠，下降数据有效， 从而得到 \(Y \to S\)。态射 \(c_i\) 下降为 \(S\) 上的态射 \(c : X \to Y\)。最后，\(c\) 的性质 (1) 和 (2) 立即由 \(c_i\) 的性质 (1) 和 (2) 得出。

最后，若

\(c_1 : X \to Y_i\)（\(i = 1, 2\)）是到 \(S\) 上两个

稳定曲线族的态射，并满足 (1) 和 (2)，则由引理 0E89，至少在 \(S\) 上局部， 得到与 \(c_1\) 和 \(c_2\) 相容的态射 \(Y_1 \to Y_2\)。 略去验证这些态射唯一的过程（提示：这由 \(c_1\) 的概形论像是 \(Y_1\) 这一事实得出）。因此，这些局部给出的态射可以粘合，证明完成。

引理

设 \(g \geq 2\)。存在 \(\mathbf{Z}\) 上代数叠之间的态射

\[stabilization : \Curvesstack^{prestable}_g \longrightarrow \overline{\mathcal{M}}_g\] 它把亏格为 \(g\) 的预稳定曲线族 \(X \to S\) 送到引理 0E8A 中与之相伴的稳定曲线族 \(Y \to S\)。

证明

为说明这一点，只需检验引理 0E8A 的构造与基变换相容 （也与同构相容，但这是立即的）；见《叠的性质》中的第 04XA 节所引入的关于代数叠的 （语言滥用）约定。为此，只需检验引理 0E8A 的性质 (1) 和 (2) 在基变换下稳定。对 (1)，这立即清楚。对 (2)，一方面， 《代数曲线》中的引理 0E3L 和 0E3Q 的收缩在基域扩张下稳定； 另一方面，《代数曲线》中的引理 0E7Q 对纤维上态射的刻画条件在基域扩张下保持。因此 (2) 成立。

稳定约化定理

在半稳定约化一章中，我们已经证明了著名的曲线半稳定约化定理。 设 \(K\) 是离散赋值环 \(R\) 的分式域。设 \(C\) 是 \(K\) 上的射影光滑曲线， 满足 \(K = H^0(C, \mathcal{O}_C)\)。按照《半稳定约化》中的定义 0CDH，若 \(R\) 上存在泛纤维为 \(C\) 的预稳定曲线族，或者 \(C\) 在 \(R\) 上的某个（等价地，任意） 极小正则模型预稳定，则称 \(C\) 具有半稳定约化。 本节将说明，对亏格为 \(g \geq 2\) 的曲线，这也等价于稳定约化。

引理

设 \(R\) 是分式域为 \(K\) 的离散赋值环。设 \(C\) 是 \(K\) 上亏格为 \(g \geq 2\) 的光滑射影曲线，满足 \(K = H^0(C, \mathcal{O}_C)\)。 下列条件等价：

1. \(C\) 具有半稳定约化 （《半稳定约化》中的定义 0CDH）；

2. \(R\) 上存在泛纤维为 \(C\) 的稳定曲线族。

证明

稳定曲线族也是预稳定曲线族，故 (2) 蕴含 (1) 是立即的。 反过来，给定 \(R\) 上泛纤维为 \(C\) 的预稳定曲线族， 由引理 0E8A，可以把它收缩成稳定曲线族。 由于泛纤维已经稳定，该过程不改变泛纤维，证明完成。

下述引理说明，引理 0E8D 所保证的 \(R\) 上稳定曲线族在唯一同构意义下唯一。

引理

设 \(R\) 是分式域为 \(K\) 的离散赋值环。设 \(C\) 是 \(K\) 上亏格为 \(g\) 的光滑真曲线，满足 \(K = H^0(C, \mathcal{O}_C)\)。 若 \(X\) 和 \(X'\) 是 \(C\) 的模型 （《半稳定约化》中的第 0C2R 节）， 而且 \(X\) 和 \(X'\) 是 \(R\) 上亏格为 \(g\) 的稳定曲线族， 则存在唯一的模型同构 \(X \to X'\)。

证明

设 \(Y\) 是 \(C\) 的极小模型。回顾 \(Y\) 存在且唯一， 并且在 \(R\) 上是相对维数为 \(1\)、至多有结点奇性的态射； 见《半稳定约化》中的命题 0C2W 以及引理 0C6B 和 0CDG（后者适用是因为我们有 \(X\)）。 存在收缩态射 \[Y \longrightarrow Z\] 使得 \(Z\) 是 \(R\) 上亏格为 \(g\) 的稳定曲线族 （引理 0E8A）。我们断言， 存在唯一的模型同构 \(X \to Z\)。由对称性，对 \(X'\) 也有相同结论， 从而完成证明。

由《半稳定约化》中的引理 0CDE，存在序列 \[X_m \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] 使得 \(X_{i + 1} \to X_i\) 是 \(X_i\) 的奇异闭点 \(x_i\) 的吹起， \(X_i \to \Spec(R)\) 是相对维数为 \(1\)、至多有结点奇性的态射， 而 \(X_m\) 正则。由《半稳定约化》中的引理 0CD9，存在 \(C\) 的真正则模型序列 \[X_m = Y_n \to Y_{n - 1} \to \ldots \to Y_1 \to Y_0 = Y\] 使得每个态射都是第一类例外曲线的收缩⁴。 由《半稳定约化》中的引理 0CDF，每个 \(Y_i\) 在 \(R\) 上都是相对维数为 \(1\)、至多有结点奇性的态射。 为证明该断言，只需证明存在同构 \(X \to Z\)，它与态射 \(X_m \to X\) 和 \(X_m = Y_n \to Y \to Z\) 相容。 设 \(s \in \Spec(R)\) 是闭点。由引理 0E89 或引理 0E8A，问题归约为证明态射 \(X_{m, s} \to X_s\) 和 \(X_{m, s} \to Z_s\) 都等于《代数曲线》中的引理 0E7Q 的典范态射。

对 \(\kappa(s)\) 上概形之间的态射 \(c : U \to V\)，若对 \(v \in V\) 有 \(\dim(U_v) \leq 1\)，并且 \(\mathcal{O}_V = c_*\mathcal{O}_U\)、\(R^1c_*\mathcal{O}_U = 0\)， 则称 \(c\) 具有性质 (*)。该性质在复合下稳定。 由于 \(X_s\) 和 \(Z_s\) 都是 \(\kappa(s)\) 上亏格为 \(g\) 的稳定曲线， 只需证明态射 \(Y_s \to Z_s\)、\(X_{i + 1, s} \to X_{i, s}\) 和

\(Y_{i + 1, s} \to Y_{i, s}\) 中的每一个都满足性质 (*)；见 《代数曲线》中的引理 0E7Q。

性质 (*) 对 \(Y_s \to Z_s\) 由构造成立。

态射 \(c : X_{i + 1, s} \to X_{i, s}\) 构造并研究于 《半稳定约化》中的引理 0CDE 的证明中。 只需在 \(X_{i, s}\) 上 étale 局部检验 (*)。 因而只需对《半稳定约化》中的例 0CDC 的态射“\(X_1 \to X_0\)”到 \(R/\pi R\) 的基变换检验 (*)。 把具体计算留给读者。

态射 \(c : Y_{i + 1, s} \to Y_{i, s}\) 是第一类例外曲线 \(E \subset Y_{i + 1}\) 的吹下的限制；也就是说， \(b : Y_{i + 1} \to Y_i\) 是 \(E\) 的收缩，也就是说，\(b\) 是曲面 \(Y_i\) 上一个正则点的吹起 （《曲面的解消》中的第 0C2I 节）。 于是 \(\mathcal{O}_{Y_i} = b_*\mathcal{O}_{Y_{i + 1}}\) 且 \(R^1b_*\mathcal{O}_{Y_{i + 1}} = 0\)；例如见《曲面的解消》中的引理 0AGS。 由《态射进阶》中的引理 0E7F、 0E7G 和 0E7I，可知 \(\mathcal{O}_{Y_{i, s}} = c_*\mathcal{O}_{Y_{i + 1, s}}\) 且 \(R^1c_*\mathcal{O}_{Y_{i + 1, s}} = 0\) （最后一个引理只给出 \(\mathcal{O}_{Y_{i, s}} \to c_*\mathcal{O}_{Y_{i + 1, s}}\) 的满射性，但单射性容易由如下事实得出：\(Y_{i, s}\) 约化， 而 \(c\) 只改变一个闭点上方的部分）。证明完成。

由引理 0E8D 和《半稳定约化》中的定理 0CDN，立即得到稳定约化定理。

定理

设 \(R\) 是分式域为 \(K\) 的离散赋值环。设 \(C\) 是 \(K\) 上亏格为 \(g \geq 2\) 的光滑射影曲线，满足 \(H^0(C, \mathcal{O}_C) = K\)。则：

1. 存在离散赋值环扩张 \(R \subset R'\)，它诱导分式域的有限可分扩张 \(K'/K\)；并且存在该环上亏格为 \(g\) 的稳定曲线族 \(Y \to \Spec(R')\)，满足在 \(K'\) 上 \(Y_{K'} \cong C_{K'}\)；

2. 存在有限可分扩张 \(L/K\) 以及亏格为 \(g\) 的稳定曲线族 \(Y \to \Spec(A)\)，其中 \(A \subset L\) 是 \(R\) 在 \(L\) 中的整闭包， 并且在 \(L\) 上有 \(Y_L \cong C_L\)。

证明

(1) 立即由引理 0E8D 和《半稳定约化》中的定理 0CDN 得出。

证明 (2)。设 \(L/K\) 是《半稳定约化》中的定理 0CDN 第 (3) 部分所得的有限可分扩张。 设 \(A \subset L\) 是 \(R\) 的整闭包。回顾 \(A\) 是 \(R\) 上有限的 Dedekind 整环，具有有限多个极大理想 \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_n\)；见《代数进阶》中的注 09E8。 置 \(S = \Spec(A)\)、\(S_i = \Spec(A_{\mathfrak m_i})\)、 \(U = \Spec(L)\) 和 \(U_i = S_i \setminus \{\mathfrak m_i\}\)。 注意，对 \(i = 1, \ldots, n\)，有 \(U \cong U_i\)。 置 \(X = C_L\)，把它视为 \(S\) 的开子概形 \(U\) 上的概形。 由 \(L\)、\(A\) 的选取以及引理 0E8D， 存在稳定曲线族 \(X_i \to S_i\) 以及同构 \(X \times_U U_i \cong X_i \times_{S_i} U_i\)。 由《空间的极限》中的引理 0E92， 可以找到有限表示态射 \(Y \to S\)，它到每个 \(S_i\) 的基变换 都同构于 \(X_i\)（\(i = 1, \ldots, n\)）。或者，可以使用如下事实： \(S = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} S_i\) 是 \(S\) 的开覆盖，且当 \(i \not = j\) 时 \(S_i \cap S_j = U\)；再应用 \(n - 1\) 次 《空间的极限》中的引理 0E8Z， 得到 \(Y \to S\)，它到每个 \(S_i\) 的基变换都同构于 \(X_i\) （\(i = 1, \ldots, n\)）。显然，\(Y \to S\) 正是所求的稳定曲线族。

稳定曲线叠的性质

本节证明 \(g \geq 2\) 时 \(\overline{\mathcal{M}}_g\) 的基本结构结果。

引理

设 \(g \geq 2\)。叠 \(\overline{\mathcal{M}}_g\) 分离。

证明

该陈述意味着态射 \(\overline{\mathcal{M}}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\) 分离。 我们将使用《叠的态射进阶》中的引理 0E95 所陈述的精细 Noether 赋值判据来证明这一点。

由于 \(\overline{\mathcal{M}}_g\) 是 \(\Curvesstack\) 的开子叠， 由引理 0DSS 可知， \(\overline{\mathcal{M}}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\) 拟分离且局部有限表示。 特别地，叠 \(\overline{\mathcal{M}}_g\) 局部 Noether （《叠的态射》中的引理 06R6）。 由引理 0E87，开浸入 \(\mathcal{M}_g \to \overline{\mathcal{M}}_g\) 的像稠密。 此外，\(\mathcal{M}_g \to \overline{\mathcal{M}}_g\) 拟紧 （《叠的态射》中的引理 0CPM）， 因而是有限型的。因此，《叠的态射进阶》中的引理 0E95 对态射 \[\mathcal{M}_g \to \overline{\mathcal{M}}_g \quad\text{且}\quad \overline{\mathcal{M}}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\] 的所有预备假设均成立，只需检验以下条件：给定任意 \(2\)-交换图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & \mathcal{M}_g \ar[r] & \overline{\mathcal{M}}_g \ar[d] \\ \Spec(R) \ar[rr] \ar@{..>}[rru] & & \Spec(\mathbf{Z}) }\] 其中 \(R\) 是分式域为 \(K\) 的离散赋值环，则虚线箭头范畴或者为空， 或者是恰有一个同构类的 setoid。（注意，无需过多担心 \(2\)-箭头； 见《叠的态射》中的引理 0CLD。） 展开其含义，并使用如下事实：\(\mathcal{M}_g\) 和 \(\overline{\mathcal{M}}_g\) 分别是参数化亏格为 \(g\) 的光滑曲线族和 稳定曲线族的代数叠，便发现所需证明的正是引理 0E97 中陈述并证明的唯一性结果。

引理

设 \(g \geq 2\)。叠 \(\overline{\mathcal{M}}_g\) 拟紧。

证明

我们使用第 0DPY 节的记号。考虑点集 \[T \subset |\textit{PolarizedCurves}|\] 其中的点 \(\xi\) 满足：存在域 \(k\) 以及 \(k\) 上表示 \(\xi\) 的偶 \((X, \mathcal{L})\)，且具有下列两个性质：

1. \(X\) 是亏格为 \(g\) 的稳定曲线；

2. \(\mathcal{L} = \omega_X^{\otimes 3}\)。

显然，在连续映射 \[|\textit{PolarizedCurves}| \longrightarrow |\Curvesstack|\] 下，集合 \(T\) 的像恰为开子集 \[|\overline{\mathcal{M}}_g| \subset |\Curvesstack|\] 因此，只需证明 \(T\) 拟紧。由引理 0DPZ，可知 \[|\textit{PolarizedCurves}| \subset |\Polarizedstack|\] 是开闭浸入。因此，只需证明 \(T\) 作为 \(|\Polarizedstack|\) 的子集拟紧。为此，使用《模叠》中的引理 0E96 的判据。首先注意，对上述 \((X, \mathcal{L})\)，由 Riemann–Roch，Hilbert 多项式 \(P\) 是函数 \(P(t) = (6g - 6)t + (1 - g)\)；见《代数曲线》中的引理 0BS6。其次，由《代数曲线》中的引理 0E8X，有 \(H^1(X, \mathcal{L}) = 0\)， 而且 \(\mathcal{L}\) 极丰沛。这恰好意味着：取

\(n = P(3) - 1\)，存在闭浸入 \[i : X \longrightarrow \mathbf{P}^n_k\] 使得

\(\mathcal{L} = i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_k}(1)\)，如所求。

下面是本节的主要定理。

定理

设 \(g \geq 2\)。代数叠 \(\overline{\mathcal{M}}_g\) 是 Deligne–Mumford 叠，在 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上真且光滑。 此外，参数化光滑曲线的轨迹 \(\mathcal{M}_g\) 是稠密开子叠。

证明

陈述中提到的大多数性质已经证明。光滑性是引理 0E79；Deligne–Mumford 性是引理 0E7A；\(\mathcal{M}_g\) 的开性是引理 0E87。 由引理 0E9A，已知 \(\overline{\mathcal{M}}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\) 分离； 由引理 0E9B，已知 \(\overline{\mathcal{M}}_g\) 拟紧。因此，为证明 \(\overline{\mathcal{M}}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\) 为真并完成证明， 可以对态射 \(\mathcal{M}_g \to \overline{\mathcal{M}}_g\) 和 \(\overline{\mathcal{M}}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\) 应用 《叠的态射进阶》中的引理 0CQM。 因而只需检验以下条件：给定任意 \(2\)-交换图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d]_j & \mathcal{M}_g \ar[r] & \overline{\mathcal{M}}_g \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[rr] & & \Spec(\mathbf{Z}) }\] 其中 \(A\) 是分式域为 \(K\) 的离散赋值环，则存在域扩张 \(K'/K\) 以及支配 \(A\) 的赋值环 \(A' \subset K'\)，使得所诱导的图 \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar[r] \ar[d]_{j'} & \overline{\mathcal{M}}_g \ar[d] \\ \Spec(A') \ar[r] \ar@{..>}[ru] & \Spec(\mathbf{Z}) }\] 的虚线箭头范畴非空 （《叠的态射》中的定义 0CLA）。 （注意，无需过多担心 \(2\)-箭头；见《叠的态射》中的引理 0CLD。） 展开其含义，并使用如下事实：\(\mathcal{M}_g\) 和 \(\overline{\mathcal{M}}_g\) 分别是参数化亏格为 \(g\) 的光滑曲线族和 稳定曲线族的代数叠，便发现所需证明的正是稳定约化定理， 即定理 0E98 所含的结果。