Compléments d’algèbre

Introduction

Dans ce chapitre, nous démontrons quelques résultats d’algèbre commutative qui sont moins élémentaires que ceux du premier chapitre consacré à l’algèbre commutative, voir Algèbre, section 00AP. On pourra consulter [MatCA].

Conseils au lecteur

Plus encore que dans le chapitre sur l’algèbre commutative, chacune des sections de ce chapitre peut être lue indépendamment. À partir de la section 0914, nous utilisons librement la catégorie dérivée (non bornée) des modules sur les anneaux, ainsi que tout l’appareil qui l’accompagne.

Modules stablement libres

Voici ce qui semble être la définition généralement admise.

Définition

Soit \(R\) un anneau.

1. Deux modules \(M\), \(N\) sur \(R\) sont dits stablement isomorphes s’il existe \(n, m \geq 0\) tels que \(M \oplus R^{\oplus m} \cong N \oplus R^{\oplus n}\) comme \(R\)-modules.

2. Un module \(M\) est stablement libre s’il est stablement isomorphe à un module libre.

Remarquons qu’un module stablement libre est projectif.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(0 \to P' \to P \to P'' \to 0\) une suite exacte courte de \(R\)-modules projectifs de type fini. Si \(2\) de ces \(3\) modules sont stablement libres, alors le troisième l’est aussi.

Démonstration

Puisque les modules sont projectifs, la suite est scindée. Nous pouvons donc choisir un isomorphisme \(P = P' \oplus P''\). Si \(P' \oplus R^{\oplus n}\) et \(P'' \oplus R^{\oplus m}\) sont libres, nous voyons alors que \(P \oplus R^{\oplus n + m}\) est libre. Supposons que \(P'\) et \(P\) soient stablement libres, disons que \(P \oplus R^{\oplus n}\) est libre et que \(P' \oplus R^{\oplus m}\) est libre. Alors \[P'' \oplus (P' \oplus R^{\oplus m}) \oplus R^{\oplus n} = (P'' \oplus P') \oplus R^{\oplus m} \oplus R^{\oplus n} = (P \oplus R^{\oplus n}) \oplus R^{\oplus m}\] est libre. Ainsi, \(P''\) est stablement libre. Par symétrie, nous obtenons le dernier des trois cas.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(I \subset R\) un idéal. Supposons que tout élément de \(1 + I\) soit inversible (autrement dit, \(I\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(R\)). Pour tout \(R/I\)-module \(E\) de type fini et stablement libre, il existe un \(R\)-module \(M\) de type fini et stablement libre tel que \(M/IM \cong E\).

Démonstration

Choisissons \(n\) et \(m\), ainsi qu’un isomorphisme \(E \oplus (R/I)^{\oplus n} \cong (R/I)^{\oplus m}\). Choisissons des applications \(R\)-linéaires \(\varphi : R^{\oplus m} \to R^{\oplus n}\) et \(\psi : R^{\oplus n} \to R^{\oplus m}\) relevant la projection \((R/I)^{\oplus m} \to (R/I)^{\oplus n}\) et l’injection \((R/I)^{\oplus n} \to (R/I)^{\oplus m}\). Alors \(\varphi \circ \psi : R^{\oplus n} \to R^{\oplus n}\) se réduit à l’identité modulo \(I\). Par notre hypothèse sur \(I\), le déterminant de cette application est donc inversible. Par conséquent, \(P = \Ker(\varphi)\) est stablement libre et relève \(E\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(I \subset R\) un idéal. Supposons que tout élément de \(1 + I\) soit inversible (autrement dit, \(I\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(R\)). Soit \(M\) un \(R\)-module plat de type fini tel que \(M/IM\) soit un \(R/I\)-module projectif. Alors \(M\) est un \(R\)-module projectif de type fini.

Démonstration

Par Algèbre, lemme 00NZ, nous voyons que \(M_\mathfrak p\) est libre de type fini pour tout idéal premier \(\mathfrak p \subset R\). D’après Algèbre, lemme 00NX, il suffit de montrer que la fonction \(\rho_M : \mathfrak p \mapsto \dim_{\kappa(\mathfrak p)} M \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) est localement constante sur \(\Spec(R)\). Comme \(M/IM\) est projectif de type fini, c’est vrai sur \(V(I) \subset \Spec(R)\). Puisque tout point fermé de \(\Spec(R)\) appartient à \(V(I)\) et que \(\rho_M(\mathfrak p) = \rho_M(\mathfrak q)\) lorsque \(\mathfrak p \subset \mathfrak q \subset R\) sont des idéaux premiers, nous concluons par un argument élémentaire sur les espaces topologiques, que nous omettons.

Le relèvement du lemme 0BC5 est unique à isomorphisme près d’après le lemme suivant.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(I \subset R\) un idéal. Supposons que tout élément de \(1 + I\) soit inversible (autrement dit, \(I\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(R\)). Si \(P\) et \(P'\) sont des \(R\)-modules projectifs de type fini, alors

1. si \(\varphi : P \to P'\) est un homomorphisme de \(R\)-modules induisant un isomorphisme \(\overline{\varphi} : P/IP \to P'/IP'\), alors \(\varphi\) est un isomorphisme ;

2. si \(P/IP \cong P'/IP'\), alors \(P \cong P'\).

Démonstration

Preuve de (1). Comme \(P'\) est projectif en tant que \(R\)-module, nous pouvons choisir un relèvement \(\psi : P' \to P\) de l’application \(P' \to P'/IP' \xrightarrow{\overline{\varphi}^{-1}} P/IP\). D’après le lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV), \(\psi \circ \varphi\) et \(\varphi \circ \psi\) sont surjectifs. Ces applications sont donc des isomorphismes (Algèbre, lemme 05G8). Ainsi, \(\varphi\) est un isomorphisme.

Preuve de (2). Choisissons un isomorphisme \(P/IP \cong P'/IP'\). Puisque \(P\) est projectif, nous pouvons choisir un relèvement \(\varphi : P \to P'\) de l’application \(P \to P/IP \to P'/IP'\). Alors \(\varphi\) est un isomorphisme d’après (1).

Un commentaire sur la propriété d’Artin-Rees

Une partie de ce matériel est tirée de [conrad-dejong]. On trouvera dans [Eis, section 1] une discussion générale accompagnée de références supplémentaires.

Soit \(A\) un anneau noethérien et soit \(I \subset A\) un idéal. Étant donné un homomorphisme \(f : M \to N\) de \(A\)-modules de type fini, il existe \(c \geq 0\) tel que \[f(M) \cap I^nN \subset f(I^{n - c}M)\] pour tout \(n \geq c\), voir Algèbre, lemme 00IO. Dans cette situation, nous dirons que \(c\) convient pour \(f\) dans le lemme d’Artin-Rees.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(I \subset A\) un idéal contenu dans le radical de Jacobson de \(A\). Soient \[S : L \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} N \quad\text{et}\quad S' : L \xrightarrow{f'} M \xrightarrow{g'} N\] les deux complexes de \(A\)-modules de type fini représentés ci-dessus. Supposons que

1. \(c\) convienne dans le lemme d’Artin-Rees pour \(f\) et \(g\) ;

2. le complexe \(S\) soit exact ; et

3. \(f' = f \bmod I^{c + 1}M\) et \(g' = g \bmod I^{c + 1}N\).

Alors \(c\) convient dans le lemme d’Artin-Rees pour \(g'\) et le complexe \(S'\) est exact.

Démonstration

Montrons d’abord que \(g'(M) \cap I^nN \subset g'(I^{n - c}M)\) pour \(n \geq c\). Soit \(a\) un élément de \(M\) tel que \(g'(a) \in I^nN\). Nous voulons modifier \(a\) par un élément de \(f'(L)\), c’est-à-dire sans changer \(g'(a)\), afin que \(a \in I^{n-c}M\). Supposons que \(a \in I^rM\), où \(r < n - c\). Alors \[g(a) = g'(a) + (g - g')(a) \in I^n N + I^{r + c + 1}N = I^{r + c + 1}N.\] Par Artin-Rees pour \(g\), nous avons \(g(a) \in g(I^{r + 1}M)\). Écrivons \(g(a) = g(a_1)\) avec \(a_1 \in I^{r + 1}M\). Comme la suite \(S\) est exacte, \(a - a_1 \in f(L)\). Nous écrivons donc \(a = f(b) + a_1\) pour un certain \(b \in L\). Alors \(f(b) = a - a_1 \in I^rM\). Artin-Rees pour \(f\) montre que, si \(r \geq c\), nous pouvons remplacer \(b\) par un élément de \(I^{r - c}L\). Dans tous les cas, \(a = f'(b) + a_2\), où \(a_2 = (f - f')(b) + a_1 \in I^{r + 1}M\). (En effet, soit \(c \geq r\) et \((f - f')(b) \in I^{r + 1}M\) par hypothèse, soit \(c < r\) et \(b \in I^{r - c}\), d’où à nouveau \((f - f')(b) \in I^{c + 1} I^{r - c} M = I^{r + 1}M\).) Nous pouvons donc modifier \(a\) par l’élément \(f'(b) \in f'(L)\) de façon à augmenter \(r\) de \(1\).

En fait, l’argument ci-dessus montre que \((g')^{-1}(I^nN) \subset f'(L) + I^{n - c}M\) pour tout \(n \geq c\). Par conséquent, \(S'\) est exact car \[(g')^{-1}(0) = (g')^{-1}(\bigcap I^nN) \subset \bigcap f'(L) + I^{n - c}M = f'(L)\] puisque \(I\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(A\), voir Algèbre, lemme 00IQ.

Étant donnés un idéal \(I \subset A\) d’un anneau \(A\) et un \(A\)-module \(M\), nous posons \[\text{Gr}_I(M) = \bigoplus I^nM/I^{n + 1}M.\] Nous le considérons comme un \(\text{Gr}_I(A)\)-module gradué.

Lemme

Faisons les hypothèses du lemme 07VE. Soient \(Q = \Coker(g)\) et \(Q' = \Coker(g')\). Alors \(\text{Gr}_I(Q) \cong \text{Gr}_I(Q')\) comme \(\text{Gr}_I(A)\)-modules gradués.

Démonstration

En degré \(n\), nous avons \(\text{Gr}_I(Q)_n = I^nN/(I^{n + 1}N + g(M) \cap I^nN)\) et de même pour \(Q'\). Nous affirmons que \[g(M) \cap I^nN \subset I^{n + 1}N + g'(M) \cap I^nN.\] Par symétrie (la preuve de l’affirmation utilisera seulement que \(c\) convient pour \(g\), ce qui vaut aussi pour \(g'\) d’après le lemme), cela impliquera que \[I^{n + 1}N + g(M) \cap I^nN = I^{n + 1}N + g'(M) \cap I^nN\] d’où \(\text{Gr}_I(Q)_n\) et \(\text{Gr}_I(Q')_n\) coïncident comme sous-quotients de \(N\), ce qui démontre le lemme. Remarquons que l’affirmation est claire pour \(n \leq c\) puisque \(g = g' \bmod I^{c + 1}N\). Si \(n > c\), supposons \(b \in g(M) \cap I^nN\). Écrivons \(b = g(a)\) avec \(a \in I^{n - c}M\). Posons \(b' = g'(a)\). Nous avons \(b - b' = (g - g')(a) \in I^{n + 1}N\), comme voulu.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme plat d’anneaux noethériens. Soit \(I \subset A\) un idéal. Soit \(f : M \to N\) un homomorphisme de \(A\)-modules de type fini. Supposons que \(c\) convienne pour \(f\) dans le lemme d’Artin-Rees. Alors \(c\) convient pour \(f \otimes 1 : M \otimes_A B \to N \otimes_A B\) dans le lemme d’Artin-Rees relatif à l’idéal \(IB\).

Démonstration

Notons que \[(f \otimes 1)(M) \cap I^n N \otimes_A B = (f \otimes 1)\left((f \otimes 1)^{-1}(I^n N \otimes_A B)\right)\] D’autre part, \[\begin{align*} (f \otimes 1)^{-1}(I^n N \otimes_A B) & = \Ker(M \otimes_A B \to N \otimes_A B/(I^n N \otimes_A B)) \\ & = \Ker(M \otimes_A B \to (N/I^nN) \otimes_A B) \end{align*}\] Comme \(A \to B\) est plat, la formation des noyaux et des conoyaux commute au produit tensoriel par \(B\), si bien que ceci est égal à \(f^{-1}(I^nN) \otimes_A B\). Par hypothèse, \(f^{-1}(I^nN)\) est contenu dans \(\Ker(f) + I^{n - c}M\). Le lemme en résulte.

Produits fibrés d’anneaux, I

Les produits fibrés d’anneaux sont liés aux sommes amalgamées de schémas. Certains cas de sommes amalgamées de schémas sont étudiés dans Compléments sur les morphismes, section 07RS.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \(A \to B\) et \(C \to B\) des homomorphismes de \(R\)-algèbres. Supposons que

1. \(R\) soit noethérien ;

2. \(A\), \(B\), \(C\) soient de type fini sur \(R\) ;

3. \(A \to B\) soit surjectif ; et

4. \(B\) soit fini sur \(C\).

Alors \(A \times_B C\) est de type fini sur \(R\).

Démonstration

Posons \(D = A \times_B C\). Il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 & B \ar[l] & A \ar[l] & I \ar[l] & 0 \ar[l] \\ 0 & C \ar[l] \ar[u] & D \ar[l] \ar[u] & I \ar[l] \ar[u] & 0 \ar[l] }\] à lignes exactes. Choisissons \(y_1, \ldots, y_n \in B\) qui engendrent \(B\) comme \(C\)-module. Choisissons \(x_i \in A\) d’image \(y_i\). Alors \(1, x_1, \ldots, x_n\) engendrent \(A\) comme \(D\)-module. L’application \(D \to A \times C\) est injective et l’anneau \(A \times C\) est fini comme \(D\)-module (car c’est la somme directe des \(D\)-modules finis \(A\) et \(C\)). Le lemme résulte donc du lemme d’Artin-Tate (Algèbre, lemme 00IS).

Lemme

Soit \(R\) un anneau noethérien. Soit \(I\) un ensemble fini. Considérons un diagramme cartésien \[\xymatrix{ \prod B_i & \prod A_i \ar[l]^{\prod \varphi_i} \\ Q \ar[u]^{\prod \psi_i} & P \ar[u] \ar[l] }\] où les \(\psi_i\) et les \(\varphi_i\) sont surjectifs, et où \(Q\), les \(A_i\) et les \(B_i\) sont de type fini sur \(R\). Alors \(P\) est de type fini sur \(R\).

Démonstration

Cela résulte du lemme 00IT et d’une récurrence sur le cardinal de \(I\). En effet, écrivons \(I = I' \amalg \{i_0\}\). Soit \(P'\) l’anneau défini par le diagramme du lemme pour \(I'\). Alors \(P'\) est de type fini par l’hypothèse de récurrence. Enfin, \(P\) s’insère dans un diagramme de produit fibré \[\xymatrix{ B_{i_0} & A_{i_0} \ar[l] \\ P' \ar[u] & P \ar[u] \ar[l] & }\] auquel le lemme s’applique.

Lemme

Considérons un diagramme cartésien d’anneaux \[\xymatrix{ R & R' \ar[l]^t \\ B \ar[u]_s & B'\ar[u] \ar[l] }\] c’est-à-dire \(B' = B \times_R R'\). Si \(h \in B'\) correspond à \(g \in B\) et à \(f \in R'\) tels que \(s(g) = t(f)\), alors le diagramme \[\xymatrix{ R_{s(g)} = R_{t(f)} & (R')_f \ar[l]^-t \\ B_g \ar[u]_s & (B')_h \ar[u] \ar[l] }\] est lui aussi cartésien.

Démonstration

L’égalité \(B' = B \times_R R'\) nous dit que \[0 \to B' \to B \oplus R' \xrightarrow{s, -t} R\] est une suite exacte de \(B'\)-modules. Nous avons \(B_g = B_h\), \(R'_f = R'_h\) et \(R_{s(g)} = R_{t(f)} = R_h\) comme \(B'\)-modules. Par exactitude de la localisation (Algèbre, proposition 00CS), nous obtenons que \[0 \to B'_h \to B_g \oplus R'_f \xrightarrow{s, -t} R_{s(g)} = R_{t(f)}\] est une suite exacte. Cela démontre le lemme.

Considérons un diagramme commutatif d’anneaux \[\xymatrix{ R & R' \ar[l] \\ B \ar[u] & B' \ar[u] \ar[l] }\] Considérons le foncteur (où le produit fibré de catégories est celui construit dans Catégories, exemple 003R) [0D2E]\[\begin{equation} \text{Mod}_{B'} \longrightarrow \text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_R} \text{Mod}_{R'},\quad L' \longmapsto (L' \otimes_{B'} B, L' \otimes_{B'} R', can) \end{equation}\] où \(can\) est l’identification canonique \(L' \otimes_{B'} B \otimes_B R = L' \otimes_{B'} R' \otimes_{R'} R\). Dans la suite, nous noterons \((N, M', \varphi)\) un objet du membre de droite, c’est-à-dire que \(N\) est un \(B\)-module, \(M'\) un \(R'\)-module et que \(\varphi : N \otimes_B R \to M' \otimes_{R'} R\) est un isomorphisme.

Lemme

Étant donné un diagramme commutatif d’anneaux \[\xymatrix{ R & R' \ar[l] \\ B \ar[u] & B' \ar[u] \ar[l] }\] le foncteur (0D2E) admet un adjoint à droite, à savoir le foncteur \[F : (N, M', \varphi) \longmapsto N \times_\varphi M'\] (voir la preuve pour plus de précisions).

Démonstration

Étant donné un objet \((N, M', \varphi)\) de la catégorie \(\text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_R} \text{Mod}_{R'}\) nous posons \[N \times_\varphi M' = \{(n, m') \in N \times M' \mid \varphi(n \otimes 1) = m' \otimes 1\text{ dans }M' \otimes_{R'} R\}\] considéré comme un \(B'\)-module. L’assertion d’adjonction signifie que, pour un \(B'\)-module \(L'\) et un triplet \((N, M', \varphi)\), nous avons \[\Hom_{B'}(L', N \times_\varphi M') = \Hom_B(L' \otimes_{B'} B, N) \times_{\Hom_R(L' \otimes_{B'} R, M' \otimes_{R'} R)} \Hom_{R'}(L' \otimes_{B'} R', M')\] D’après Algèbre, lemme 05DQ, le membre de droite est égal à \[\Hom_{B'}(L', N) \times_{\Hom_{B'}(L', M' \otimes_{R'} R)} \Hom_{B'}(L', M')\] Il est donc clair qu’un couple \((g, f')\) d’éléments de ce produit fibré nous donne une application \(B'\)-linéaire \(L' \to N \times_\varphi M'\), \(l' \mapsto (g(l'), f'(l'))\). Réciproquement, étant donnée une application \(B'\)-linéaire \(g' : L' \to N \times_\varphi M'\), nous pouvons prendre pour \(g\) la composée \(L' \to N \times_\varphi M' \to N\) et pour \(f'\) la composée \(L' \to N \times_\varphi M' \to M'\). Ces constructions sont inverses l’une de l’autre et définissent l’isomorphisme voulu.

Produits fibrés d’anneaux, II

Dans cette section, nous étudions les produits fibrés dans la situation suivante.

Situation

Dans la suite, nous considérerons des homomorphismes d’anneaux \[\xymatrix{ B \ar[r] & A & A' \ar[l] }\] où nous supposons que \(A' \to A\) est surjectif de noyau \(I\). Dans cette situation, nous posons \(B' = B \times_A A'\) afin d’obtenir un carré cartésien \[\xymatrix{ A & A' \ar[l] \\ B \ar[u] & B' \ar[l] \ar[u] }\]

Lemme

Dans la situation 08KH, nous avons \[\Spec(B') = \Spec(B) \amalg_{\Spec(A)} \Spec(A')\] comme espaces topologiques.

Démonstration

Puisque \(B' = B \times_A A'\), nous obtenons un carré commutatif de spectres, qui induit une application continue \[can : \Spec(B) \amalg_{\Spec(A)} \Spec(A') \longrightarrow \Spec(B')\] puisque la source est une somme amalgamée dans la catégorie des espaces topologiques (laquelle existe d’après Topologie, section 0B1W).

Pour montrer que l’application \(can\) est surjective, soit \(\mathfrak q' \subset B'\) un idéal premier. Si \(I \subset \mathfrak q'\) (ici et dans la suite, nous nous permettons de considérer \(I\) aussi bien comme un idéal de \(B'\) que comme un idéal de \(A'\)), alors \(\mathfrak q'\) correspond à un idéal premier de \(B\) et appartient à l’image. Sinon, choisissons \(h \in I\), \(h \not \in \mathfrak q'\). Dans ce cas, \(B_h = A_h = 0\) et l’homomorphisme d’anneaux \(B'_h \to A'_h\) est un isomorphisme, voir lemme 01Z8. Nous voyons donc que \(\mathfrak q'\) correspond à un unique idéal premier \(\mathfrak p' \subset A'\) qui ne contient pas \(I\).

Puisque \(B' \to B\) est surjectif, nous voyons que \(can\) est injective sur la composante \(\Spec(B)\). Nous avons vu ci-dessus que \(\Spec(A') \to \Spec(B')\) est injective sur le complémentaire de \(V(I) \subset \Spec(A')\). Comme \(V(I) \subset \Spec(A')\) est exactement l’image de \(\Spec(A) \to \Spec(A')\), un argument ensembliste immédiat montre que \(can\) est injective.

Pour achever la preuve, nous devons montrer que \(can\) est ouverte. Pour cela, remarquons qu’un ouvert de la somme amalgamée est de la forme \(V \amalg U'\), où \(V \subset \Spec(B)\) et \(U' \subset \Spec(A')\) sont des ouverts dont les images réciproques dans \(\Spec(A)\) coïncident. Soit \(v \in V\). Nous pouvons trouver \(g \in B\) tel que \(v \in D(g) \subset V\). Soit \(f \in A\) son image. Choisissons \(f' \in A'\) d’image \(f\). Alors \(D(f') \cap U' \cap V(I) = D(f') \cap V(I)\). Ainsi, \(V(I) \cap D(f')\) et \(D(f') \cap (U')^c\) sont des parties fermées disjointes de \(D(f') = \Spec(A'_{f'})\). Écrivons \((U')^c = V(J)\) pour un certain idéal \(J \subset A'\). Puisque \(A'_{f'} \to A'_{f'}/IA'_{f'} \times A'_{f'}/JA'_{f'}\) est surjectif par la disjonction qui vient d’être établie, nous pouvons trouver \(a'' \in A'_{f'}\) dont l’image vaut \(1\) dans \(A'_{f'}/IA'_{f'}\) et zéro dans \(A'_{f'}/JA'_{f'}\). En chassant les dénominateurs, nous trouvons un élément \(a' \in J\) d’image \(f^n\) dans \(A\). Alors \(D(a'f') \subset U'\). Soit \(h' = (g^{n + 1}, a'f') \in B'\). Puisque \(B'_{h'} = B_{g^{n + 1}} \times_{A_{f^{n + 1}}} A'_{a'f'}\) d’après un lemme cité précédemment, nous voyons que l’image réciproque de \(D(h')\) est un voisinage ouvert de \(v\) dans la somme amalgamée, c’est-à-dire que l’image de \(V \amalg U'\) contient un voisinage ouvert de l’image de \(v\). Nous omettons la preuve (plus facile) du même fait pour \(u' \in U'\) avec \(u' \not \in V(I)\).

Lemme

Dans la situation 08KH, si \(B \to A\) est entier, alors \(B' \to A'\) est entier.

Démonstration

Soit \(a' \in A'\) d’image \(a \in A\). Soit \(x^d + b_1 x^{d - 1} + \ldots + b_d\) un polynôme unitaire à coefficients dans \(B\) qui annule \(a\). Choisissons \(b'_i \in B'\) d’image \(b_i \in B\) (c’est possible). Alors \((a')^d + b'_1 (a')^{d - 1} + \ldots + b'_d\) appartient au noyau de \(A' \to A\). Puisque \(\Ker(B' \to B) = \Ker(A' \to A)\), nous pouvons modifier notre choix de \(b'_d\) afin d’obtenir \((a')^d + b'_1 (a')^{d - 1} + \ldots + b'_d = 0\), comme voulu.

Dans la situation 08KH, nous voudrions comprendre les \(B'\)-modules en termes de modules sur \(A'\), \(A\) et \(B\). À cette fin, nous considérons le foncteur (où le produit fibré de catégories est celui construit dans Catégories, exemple 003R) [08KI]\[\begin{equation} \text{Mod}_{B'} \longrightarrow \text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_A} \text{Mod}_{A'},\quad L' \longmapsto (L' \otimes_{B'} B, L' \otimes_{B'} A', can) \end{equation}\] où \(can\) est l’identification canonique \(L' \otimes_{B'} B \otimes_B A = L' \otimes_{B'} A' \otimes_{A'} A\). Dans la suite, nous noterons \((N, M', \varphi)\) un objet du membre de droite, c’est-à-dire que \(N\) est un \(B\)-module, \(M'\) un \(A'\)-module et que \(\varphi : N \otimes_B A \to M' \otimes_{A'} A\) est un isomorphisme. Il est toutefois souvent plus commode de considérer \(\varphi\) comme une application \(B\)-linéaire \(\varphi : N \to M'/IM'\) qui induit un isomorphisme \(N \otimes_B A \to M' \otimes_{A'} A = M'/IM'\).

Lemme

Dans la situation 08KH, le foncteur (08KI) admet un adjoint à droite, à savoir le foncteur \[F : (N, M', \varphi) \longmapsto N \times_{\varphi, M} M'\] où \(M = M'/IM'\). De plus, la composée de \(F\) avec (08KI) est le foncteur identité sur \(\text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_A} \text{Mod}_{A'}\). Autrement dit, en posant \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\), nous avons \(N' \otimes_{B'} B = N\) et \(N' \otimes_{B'} A' = M'\).

Démonstration

L’assertion d’adjonction résulte du lemme plus général 0D2F. Pour démontrer la dernière assertion, rappelons que \(B' = B \times_A A'\) et \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\), puis prolongeons ces égalités en \[\vcenter{ \xymatrix{ A & A' \ar[l] & I \ar[l] \\ B \ar[u] & B' \ar[l] \ar[u] & J \ar[l] \ar[u] } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ M & M' \ar[l] & K \ar[l] \\ N \ar[u]_\varphi & N' \ar[l] \ar[u] & L \ar[l] \ar[u] } }\] où \(I, J, K, L\) sont les noyaux des applications horizontales des diagrammes initiaux. Présentons la preuve comme une suite d’observations :

1. \(K = IM'\) (voir l’énoncé du lemme) ;

2. \(B' \to B\) est surjectif de noyau \(J\) et \(J \to I\) est bijectif ;

3. \(N' \to N\) est surjectif de noyau \(L\) et \(L \to K\) est bijectif ;

4. \(JN' \subset L\),

5. \(\Im(N \to M)\) engendre \(M\) comme \(A\)-module (car \(N \otimes_B A = M\)) ;

6. \(\Im(N' \to M')\) engendre \(M'\) comme \(A'\)-module (car cela vaut modulo \(K\) et \(L\) s’envoie isomorphiquement sur \(K\)) ;

7. \(JN' = L\) (car, d’après l’observation précédente, \(L \cong K = I M'\) est engendré par les images des éléments \(x n'\) avec \(x \in I\) et \(n' \in N'\)) ;

8. \(N' \otimes_{B'} B = N\) (car \(N = N'/L\), \(B = B'/J\), et par l’observation précédente) ;

9. il existe une application \(\gamma : N' \otimes_{B'} A' \to M'\) ;

10. \(\gamma\) est surjective (voir ci-dessus) ;

11. le noyau de la composée \(N' \otimes_{B'} A' \to M' \to M\) est engendré par les éléments \(l \otimes 1\) et \(n' \otimes x\) avec \(l \in K\), \(n' \in N'\), \(x \in I\) (car \(M = N \otimes_B A\) par hypothèse et parce que \(N' \to N\) et \(A' \to A\) sont surjectifs de noyaux \(L\) et \(I\)) ;

12. tout élément de \(N' \otimes_{B'} A'\) appartenant au sous-module engendré par les éléments \(l \otimes 1\) et \(n' \otimes x\) avec \(l \in L\), \(n' \in N'\), \(x \in I\) peut s’écrire \(l \otimes 1\) pour un certain \(l \in L\) (puisque \(J\) s’envoie isomorphiquement sur \(I\), nous voyons que \(n' \otimes x = n'x \otimes 1\) dans \(N' \otimes_{B'} A'\) ; de même, \(x n' \otimes a' = n' \otimes xa' = n'(xa') \otimes 1\) dans \(N' \otimes_{B'} A'\) lorsque \(n' \in N'\), \(x \in J\) et \(a' \in A'\) ; comme nous avons vu que \(JN' = L\), cela démontre l’assertion) ;

13. le noyau de \(\gamma\) est nul (car, d’après (10) et (11), tout élément du noyau est de la forme \(l \otimes 1\) avec \(l \in L\), lequel est envoyé sur \(l \in K \subset M'\) par \(\gamma\)).

Cela achève la preuve.

Lemme

Dans la situation du lemme 07RU, pour un \(B'\)-module \(L'\), l’application d’adjonction \[L' \longrightarrow (L' \otimes_{B'} B) \times_{(L' \otimes_{B'} A)} (L' \otimes_{B'} A')\] est surjective, mais n’est pas injective en général.

Démonstration

Comme dans la preuve du lemme 07RU, soit \(J \subset B'\) le noyau de l’application \(B' \to B\). Alors \(L' \otimes_{B'} B = L'/JL'\). Pour démontrer la surjectivité, il suffit donc de montrer que les éléments de la forme \((0, z)\) du produit fibré appartiennent à l’image de l’application du lemme. Le noyau de l’application \(L' \otimes_{B'} A' \to L' \otimes_{B'} A\) est l’image de \(L' \otimes_{B'} I \to L' \otimes_{B'} A'\). Puisque l’application \(J \to I\) induite par \(B' \to A'\) est un isomorphisme, la composée \[L' \otimes_{B'} J \to L' \to (L' \otimes_{B'} B) \times_{(L' \otimes_{B'} A)} (L' \otimes_{B'} A')\] induit une surjection de \(L' \otimes_{B'} J\) sur l’ensemble des éléments de la forme \((0, z)\). Pour voir que l’application n’est pas injective en général, donnons un exemple simple. Prenons un corps \(k\), posons \(B' = k[x, y]/(xy)\), \(A' = B'/(x)\), \(B = B'/(y)\), \(A = B'/(x, y)\) et \(L' = B'/(x - y)\). Dans ce cas, la classe de \(x\) dans \(L'\) est non nulle, mais elle est envoyée sur zéro par la flèche affichée.

Lemme

Dans la situation 08KH, soit \((N_1, M'_1, \varphi_1) \to (N_2, M'_2, \varphi_2)\) un morphisme de \(\text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_A} \text{Mod}_{A'}\) tel que \(N_1 \to N_2\) et \(M'_1 \to M'_2\) soient surjectifs. Alors \[N_1 \times_{\varphi_1, M_1} M'_1 \to N_2 \times_{\varphi_2, M_2} M'_2\] où \(M_1 = M'_1/IM'_1\) et \(M_2 = M'_2/IM'_2\), est surjectif.

Démonstration

Prenons \((x_2, y_2) \in N_2 \times_{\varphi_2, M_2} M'_2\). Choisissons \(x_1 \in N_1\) d’image \(x_2\). Puisque \(M'_1 \to M_1\) est surjectif, nous pouvons trouver \(y_1 \in M'_1\) d’image \(\varphi_1(x_1)\). Alors \((x_1, y_1)\) s’envoie sur \((x_2, y'_2)\) dans \(N_2 \times_{\varphi_2, M_2} M'_2\). Il suffit donc de montrer que les éléments de la forme \((0, y_2)\) appartiennent à l’image de l’application. Nous voyons ici que \(y_2 \in IM'_2\). Écrivons \(y_2 = \sum t_i y_{2, i}\) avec \(t_i \in I\). Choisissons \(y_{1, i} \in M'_1\) d’image \(y_{2, i}\). Alors \(y_1 = \sum t_iy_{1, i} \in IM'_1\) et l’élément \((0, y_1)\) convient.

Lemme

Soient \(A, A', B, B', I, M, M', N, \varphi\) comme dans le lemme 07RU. Si \(N\) est de type fini sur \(B\) et \(M'\) de type fini sur \(A'\), alors \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\) est de type fini sur \(B'\).

Démonstration

Nous utiliserons sans autre mention les résultats du lemme 07RU. Choisissons des générateurs \(y_1, \ldots, y_r\) de \(N\) sur \(B\) et des générateurs \(x_1, \ldots, x_s\) de \(M'\) sur \(A'\). Comme \(N = N' \otimes_{B'} B\) et que \(B' \to B\) est surjectif, nous pouvons trouver \(u_1, \ldots, u_r \in N'\) d’images \(y_1, \ldots, y_r\) dans \(N\). Comme \(M' = N' \otimes_{B'} A'\), nous pouvons trouver \(v_1, \ldots, v_t \in N'\) tels que \(x_i = \sum v_j \otimes a'_{ij}\) pour certains \(a'_{ij} \in A'\). En particulier, nous voyons que les images \(\overline{v}_j \in M'\) des \(v_j\) engendrent \(M'\) sur \(A'\). Nous affirmons que \(u_1, \ldots, u_r, v_1, \ldots, v_t\) engendrent \(N'\) comme \(B'\)-module. En effet, prenons \(\xi \in N'\). Choisissons d’abord \(b'_1, \ldots, b'_r \in B'\) tels que \(\xi\) et \(\sum b'_i u_i\) aient la même image dans \(N\). C’est possible car \(B' \to B\) est surjectif et \(y_1, \ldots, y_r\) engendrent \(N\) sur \(B\). La différence \(\xi - \sum b'_i u_i\) est de la forme \((0, \theta)\) pour un certain \(\theta\) dans \(IM'\). Écrivons \(\theta\) égal à \(\sum t_j\overline{v}_j\) avec \(t_j \in I\). Comme \(J = \Ker(B' \to B)\) s’envoie isomorphiquement sur \(I\), nous pouvons choisir \(s_j \in J \subset B'\) d’image \(t_j\). Puisque \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\), il s’ensuit que \(\xi = \sum b'_i u_i + \sum s_j v_j\), comme voulu.

Lemme

Soient \(A, A', B, B', I\) comme dans la situation 08KH.

1. Soit \((N, M', \varphi)\) un objet de \(\text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_A} \text{Mod}_{A'}\). Si \(M'\) est plat sur \(A'\) et \(N\) plat sur \(B\), alors \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\) est plat sur \(B'\).

2. Si \(L'\) est un \(B'\)-module plat, alors \(L' = (L \otimes_{B'} B) \times_{(L \otimes_{B'} A)} (L \otimes_{B'} A')\).

3. La catégorie des \(B'\)-modules plats est équivalente à la sous-catégorie pleine de \(\text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_A} \text{Mod}_{A'}\) formée des triplets \((N, M', \varphi)\) tels que \(N\) soit plat sur \(B\) et \(M'\) plat sur \(A'\).

Démonstration

Dans la preuve, nous utiliserons sans autre mention le lemme 07RU.

Preuve de (1). Posons \(J = \Ker(B' \to B)\). C’est un idéal de \(B'\) qui s’envoie isomorphiquement sur \(I = \Ker(A' \to A)\). Soit \(\mathfrak b' \subset B'\) un idéal. Nous devons montrer que \(\mathfrak b' \otimes_{B'} N' \to N'\) est injectif, voir Algèbre, lemme 00HD. Nous savons que \[\mathfrak b'/(\mathfrak b' \cap J) \otimes_{B'} N' = \mathfrak b'/(\mathfrak b' \cap J) \otimes_B N \to N\] est injectif puisque \(N\) est plat sur \(B\). Comme \(\mathfrak b' \cap J \to \mathfrak b' \to \mathfrak b'/(\mathfrak b' \cap J) \to 0\) est exacte, nous en concluons qu’il suffit de montrer que \((\mathfrak b' \cap J) \otimes_{B'} N' \to N'\) est injectif. Nous pouvons donc supposer que \(\mathfrak b' \subset J\). Ensuite, puisque \(J \to I\) est un isomorphisme, nous avons \[J \otimes_{B'} N' = I \otimes_{A'} A' \otimes_{B'} N' = I \otimes_{A'} M'\] qui s’injecte dans \(M'\) puisque \(M'\) est un \(A'\)-module plat. Ainsi, \(J \otimes_{B'} N' \to N'\) est injectif et nous en concluons que \(\text{Tor}_1^{B'}(B'/J, N') = 0\), voir Algèbre, remarque 00M6. Nous pouvons donc appliquer Algèbre, lemme 051C, à \(N'\) sur \(B'\) et à l’idéal \(J\). Revenons à notre idéal \(\mathfrak b' \subset J\) et soit \(\mathfrak b' \subset \mathfrak b'' \subset J\) le plus petit idéal dont l’image dans \(I\) soit un sous-\(A'\)-module de \(I\). Autrement dit, nous avons \(\mathfrak b'' = A' \mathfrak b'\) si nous considérons \(J = I\) comme un \(A'\)-module. Alors \(\mathfrak b''/\mathfrak b'\) est annulé par \(J\) et nous obtenons une suite exacte courte \[0 \to \mathfrak b' \otimes_{B'} N' \to \mathfrak b'' \otimes_{B'} N' \to \mathfrak b''/\mathfrak b' \otimes_{B'} N' \to 0\] grâce à l’annulation de \(\text{Tor}_1^{B'}(\mathfrak b''/\mathfrak b', N')\) que nous donne l’application du lemme. Nous pouvons donc remplacer \(\mathfrak b'\) par \(\mathfrak b''\). En particulier, nous pouvons supposer que \(\mathfrak b'\) est un \(A'\)-module et s’envoie sur un idéal de \(A'\). Alors \[\mathfrak b' \otimes_{B'} N' = \mathfrak b' \otimes_{A'} A' \otimes_{B'} N' = \mathfrak b' \otimes_{A'} M'\] Ce produit tensoriel s’injecte dans \(M'\) par notre hypothèse que \(M'\) est plat sur \(A'\). Nous en concluons que \(\mathfrak b' \otimes_{B'} N' \to N' \to M'\) est injectif, et donc que la première application est injective, comme voulu.

Preuve de (2). Cela résulte du produit tensoriel de la suite exacte courte \(0 \to B' \to B \oplus A' \to A \to 0\) par \(L'\) sur \(B'\).

Preuve de (3). C’est une conséquence immédiate de (1) et (2).

Lemme

Soient \(A, A', B, B', I\) comme dans la situation 08KH. La catégorie des \(B'\)-modules projectifs de type fini est équivalente à la sous-catégorie pleine de \(\text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_A} \text{Mod}_{A'}\) formée des triplets \((N, M', \varphi)\) tels que \(N\) soit projectif de type fini sur \(B\) et \(M'\) projectif de type fini sur \(A'\).

Démonstration

Rappelons qu’un module est projectif de type fini si et seulement s’il est de présentation finie et plat, voir Algèbre, lemme 00NX. En utilisant les lemmes 0D2I et 0D2H, nous nous ramenons à montrer que \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\) est un \(B'\)-module de présentation finie si \(N\) est projectif de type fini sur \(B\) et \(M'\) projectif de type fini sur \(A'\).

D’après le lemme 0D2H, le module \(N'\) est de type fini sur \(B'\). Choisissons une surjection \((B')^{\oplus n} \to N'\) de noyau \(K'\). Par changement de base, nous obtenons des applications \(B^{\oplus n} \to N\), \((A')^{\oplus n} \to M'\) et \(A^{\oplus n} \to M\) de noyaux respectifs \(K_B\), \(K_{A'}\) et \(K_A\). Il existe une application canonique \[K' \longrightarrow K_B \times_{K_A} K_{A'}\] D’autre part, puisque \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\) et \(B' = B \times_A A'\), il existe aussi une application canonique \(K_B \times_{K_A} K_{A'} \to K'\) inverse de la flèche affichée. L’application affichée est donc un isomorphisme. D’après Algèbre, lemme 0519, les modules \(K_B\) et \(K_{A'}\) sont de type fini. Nous concluons du lemme 0D2H que \(K'\) est un \(B'\)-module de type fini pourvu que \(K_B \to K_A\) et \(K_{A'} \to K_A\) induisent des isomorphismes \(K_B \otimes_B A = K_A = K_{A'} \otimes_{A'} A\). C’est vrai car les hypothèses de platitude impliquent que les suites \[0 \to K_B \to B^{\oplus n} \to N \to 0 \quad\text{et}\quad 0 \to K_{A'} \to (A')^{\oplus n} \to M' \to 0\] restent exactes après produit tensoriel, voir Algèbre, lemme 00HL.

Produits fibrés d’anneaux, III

Dans cette section, nous étudions les produits fibrés dans la situation suivante.

Situation

Soient \(A, A', B, B', I\) comme dans la situation 08KH. Soit \(B' \to D'\) un homomorphisme d’anneaux. Posons \(D = D' \otimes_{B'} B\), \(C' = D' \otimes_{B'} A'\) et \(C = D' \otimes_{B'} A\). Cela conduit à un grand diagramme commutatif \[\xymatrix{ C & & & C' \ar[lll] \\ & A \ar[ul] & A' \ar[l] \ar[ru] \\ & B \ar[u] \ar[ld] & B' \ar[l] \ar[u] \ar[rd] \\ D \ar[uuu] & & & D' \ar[lll] \ar[uuu] }\] d’anneaux. Remarquons que nous ne supposons pas que l’application \(D' \to D \times_C C'\) soit un isomorphisme¹. Dans cette situation, nous avons le foncteur [08KL]\[\begin{equation} \text{Mod}_{D'} \longrightarrow \text{Mod}_D \times_{\text{Mod}_C} \text{Mod}_{C'},\quad L' \longmapsto (L' \otimes_{D'} D, L' \otimes_{D'} C', can) \end{equation}\] analogue à (08KI). Remarquons que \(L' \otimes_{D'} D = L \otimes_{D'} (D' \otimes_{B'} B) = L \otimes_{B'} B\) et, de même, \(L' \otimes_{D'} C' = L \otimes_{D'} (D' \otimes_{B'} A') = L \otimes_{B'} A'\) de sorte que le diagramme \[\xymatrix{ \text{Mod}_{D'} \ar[r] \ar[d] & \text{Mod}_D \times_{\text{Mod}_C} \text{Mod}_{C'} \ar[d] \\ \text{Mod}_{B'} \ar[r] & \text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_A} \text{Mod}_{A'} }\] est commutatif. Dans la suite, nous noterons \((N, M', \varphi)\) un objet de \(\text{Mod}_D \times_{\text{Mod}_C} \text{Mod}_{C'}\), c’est-à-dire que \(N\) est un \(D\)-module, \(M'\) un \(C'\)-module et que \(\varphi : N \otimes_B A \to M' \otimes_{A'} A\) est un isomorphisme de \(C\)-modules. Il est toutefois souvent plus commode de considérer \(\varphi\) comme une application \(D\)-linéaire \(\varphi : N \to M'/IM'\) qui induit un isomorphisme \(N \otimes_B A \to M' \otimes_{A'} A = M'/IM'\).

Lemme

Dans la situation 08KK, le foncteur (08KL) admet un adjoint à droite, à savoir le foncteur \[F : (N, M', \varphi) \longmapsto N \times_{\varphi, M} M'\] où \(M = M'/IM'\). De plus, la composée de \(F\) avec (08KL) est le foncteur identité sur \(\text{Mod}_D \times_{\text{Mod}_C} \text{Mod}_{C'}\). Autrement dit, en posant \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\), nous avons \(N' \otimes_{D'} D = N\) et \(N' \otimes_{D'} C' = M'\).

Démonstration

L’assertion d’adjonction résulte du lemme plus général 0D2F. La dernière assertion résulte de l’assertion correspondante du lemme 07RU, car \(N' \otimes_{D'} D = N' \otimes_{D'} D' \otimes_{B'} B = N' \otimes_{B'} B\) et \(N' \otimes_{D'} C' = N' \otimes_{D'} D' \otimes_{B'} A' = N' \otimes_{B'} A'\).

Lemme

Dans la situation 08KK, l’application \(JD' \to IC'\) est surjective, où \(J = \Ker(B' \to B)\).

Démonstration

Puisque \(C' = D' \otimes_{B'} A'\), nous avons que \(IC'\) est l’image de \(D' \otimes_{B'} I = C' \otimes_{A'} I \to C'\). Comme l’homomorphisme d’anneaux \(B' \to A'\) induit un isomorphisme \(J \to I\), le lemme en résulte.

Lemme

Soient \(A, A', B, B', C, C', D, D', I, M', M, N, \varphi\) comme dans le lemme 08KM. Si \(N\) est de type fini sur \(D\) et \(M'\) de type fini sur \(C'\), alors \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\) est de type fini sur \(D'\).

Démonstration

Rappelons que \(D' \to D \times_C C'\) est surjectif d’après le lemme 08IG. Remarquons que \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\) est un module sur \(D \times_C C'\). Nous pouvons appliquer le lemme 0D2H aux données \(C, C', D, D', IC', M', M, N, \varphi\) pour voir que \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\) est de type fini sur \(D \times_C C'\). Il est donc de type fini sur \(D'\).

Lemme

Soient \(A, A', B, B', C, C', D, D', I\) comme dans la situation 08KK.

1. Soit \((N, M', \varphi)\) un objet de \(\text{Mod}_D \times_{\text{Mod}_C} \text{Mod}_{C'}\). Si \(M'\) est plat sur \(A'\) et \(N\) plat sur \(B\), alors \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\) est plat sur \(B'\).

2. Si \(L'\) est un \(D'\)-module plat sur \(B'\), alors \(L' = (L \otimes_{D'} D) \times_{(L \otimes_{D'} C)} (L \otimes_{D'} C')\).

3. La catégorie des \(D'\)-modules plats sur \(B'\) est équivalente à la catégorie des objets \((N, M', \varphi)\) de \(\text{Mod}_D \times_{\text{Mod}_C} \text{Mod}_{C'}\) tels que \(N\) soit plat sur \(B\) et \(M'\) plat sur \(A'\).

Démonstration

La partie (1) résulte de la partie (1) du lemme 0D2I.

La partie (2) résulte de la partie (2) du lemme 0D2I, compte tenu de \(L' \otimes_{D'} D = L' \otimes_{B'} B\), \(L' \otimes_{D'} C' = L' \otimes_{B'} A'\) et \(L' \otimes_{D'} C = L' \otimes_{B'} A\) ; voir la discussion dans la situation 08KK.

La partie (3) est une conséquence immédiate de (1) et (2).

Le lemme suivant est nettement plus intéressant que son analogue dans le cas absolu (lemme 0D2J), bien que la preuve soit essentiellement la même.

Lemme

Soient \(A, A', B, B', C, C', D, D', I, M', M, N, \varphi\) comme dans le lemme 08KM. Si

1. \(N\) est de présentation finie sur \(D\) et plat sur \(B\) ;

2. \(M'\) est de présentation finie sur \(C'\) et plat sur \(A'\) ; et

3. l’homomorphisme d’anneaux \(B' \to D'\) se factorise en \(B' \to D'' \to D'\), avec \(B' \to D''\) plat et \(D'' \to D'\) de présentation finie,

alors \(N' = N \times_M M'\) est de présentation finie sur \(D'\).

Démonstration

Choisissons une surjection \(D''' = D''[x_1, \ldots, x_n] \to D'\) de noyau \(J\) de type fini. D’après Algèbre, lemme 0564, il suffit de montrer que \(N'\) est de présentation finie comme \(D'''\)-module. De plus, \(D''' \otimes_{B'} B \to D' \otimes_{B'} B = D\) et \(D''' \otimes_{B'} A' \to D' \otimes_{B'} A' = C'\) sont des surjections dont les noyaux sont engendrés par l’image de \(J\) ; ainsi, \(N\) est un \(D''' \otimes_{B'} B\)-module de présentation finie et \(M'\) un \(D''' \otimes_{B'} A'\)-module de présentation finie, à nouveau d’après Algèbre, lemme 0564. Nous pouvons donc remplacer \(D'\) par \(D'''\) et \(D\) par \(D''' \otimes_{B'} B\), etc. Puisque \(D'''\) est plat sur \(B'\), il s’ensuit que nous pouvons supposer que \(B' \to D'\) est plat.

Supposons que \(B' \to D'\) soit plat. D’après le lemme 08IH, le module \(N'\) est de type fini sur \(D'\). Choisissons une surjection \((D')^{\oplus n} \to N'\) de noyau \(K'\). Par changement de base, nous obtenons des applications \(D^{\oplus n} \to N\), \((C')^{\oplus n} \to M'\) et \(C^{\oplus n} \to M\) de noyaux respectifs \(K_D\), \(K_{C'}\) et \(K_C\). Il existe une application canonique \[K' \longrightarrow K_D \times_{K_C} K_{C'}\] D’autre part, puisque \(N' = N \times_M M'\) et \(D' = D \times_C C'\) (d’après le lemme 0D2I, appliqué au \(B'\)-module plat \(D'\)), il existe aussi une application canonique \(K_D \times_{K_C} K_{C'} \to K'\) inverse de la flèche affichée. L’application affichée est donc un isomorphisme. D’après Algèbre, lemme 0519, les modules \(K_D\) et \(K_{C'}\) sont de type fini. Nous concluons du lemme 08IH que \(K'\) est un \(D'\)-module de type fini pourvu que \(K_D \to K_C\) et \(K_{C'} \to K_C\) induisent des isomorphismes \(K_D \otimes_B A = K_C = K_{C'} \otimes_{A'} A\). C’est vrai car les hypothèses de platitude impliquent que les suites \[0 \to K_D \to D^{\oplus n} \to N \to 0 \quad\text{et}\quad 0 \to K_{C'} \to (C')^{\oplus n} \to M' \to 0\] restent exactes après produit tensoriel, voir Algèbre, lemme 00HL.

Lemme

Soient \(A, A', B, B', I\) comme dans la situation 08KH. Soit \((D, C', \varphi)\) un système constitué d’une \(B\)-algèbre \(D\), d’une \(A'\)-algèbre \(C'\) et d’un isomorphisme \(D \otimes_B A \to C'/IC' = C\). Posons \(D' = D \times_C C'\) (comme dans le lemme 07RU). Alors

1. \(B' \to D'\) est de type fini si et seulement si \(B \to D\) et \(A' \to C'\) sont de type fini ;

2. \(B' \to D'\) est plat si et seulement si \(B \to D\) et \(A' \to C'\) sont plats ;

3. \(B' \to D'\) est plat et de présentation finie si et seulement si \(B \to D\) et \(A' \to C'\) sont plats et de présentation finie ;

4. \(B' \to D'\) est lisse si et seulement si \(B \to D\) et \(A' \to C'\) sont lisses ;

5. \(B' \to D'\) est étale si et seulement si \(B \to D\) et \(A' \to C'\) sont étales.

De plus, si \(D'\) est une \(B'\)-algèbre plate, alors \(D' \to (D' \otimes_{B'} B) \times_{(D' \otimes_{B'} A)} (D' \otimes_{B'} A')\) est un isomorphisme. De cette manière, la catégorie des \(B'\)-algèbres plates est équivalente à la catégorie des systèmes \((D, C', \varphi)\) ci-dessus avec \(D\) plat sur \(B\) et \(C'\) plat sur \(A'\).

Démonstration

L’implication « \(\Rightarrow\) » résulte des lemmes d’Algèbre 05G5, 00HI, 00T4 et 00U2, car nous avons \(D' \otimes_{B'} B = D\) et \(D' \otimes_{B'} A' = C'\) par le lemme 07RU. Il suffit donc de démontrer les implications dans l’autre sens.

Ad (1). Supposons que \(D\) soit de type fini sur \(B\) et \(C'\) de type fini sur \(A'\). Nous utiliserons sans autre mention les résultats du lemme 07RU. Choisissons des générateurs \(x_1, \ldots, x_r\) de \(D\) sur \(B\) et des générateurs \(y_1, \ldots, y_s\) de \(C'\) sur \(A'\). Comme \(D = D' \otimes_{B'} B\) et que \(B' \to B\) est surjectif, nous pouvons trouver \(u_1, \ldots, u_r \in D'\) s’envoyant sur \(x_1, \ldots, x_r\) dans \(D\). Comme \(C' = D' \otimes_{B'} A'\), nous pouvons trouver \(v_1, \ldots, v_t \in D'\) tels que \(y_i = \sum v_j \otimes a'_{ij}\) pour certains \(a'_{ij} \in A'\). En particulier, les images des \(v_j\) dans \(C'\) engendrent \(C'\) comme \(A'\)-algèbre. Posons \(N = r + t\) et considérons le cube d’anneaux \[\xymatrix{ A[x_1, \ldots, x_N] & & A'[x_1, \ldots, x_N] \ar[ll] \\ & A \ar[lu] & & A' \ar[ll] \ar[lu] \\ B[x_1, \ldots, x_N] \ar[uu] & & B'[x_1, \ldots, x_N] \ar[uu] \ar[ll] \\ & B \ar[uu] \ar[lu] & & B' \ar[ll] \ar[uu] \ar[lu] }\] Remarquons que le carré arrière est lui aussi cartésien. Considérons l’homomorphisme d’anneaux \[B'[x_1, \ldots, x_N] \to D',\quad x_i \mapsto u_i \quad\text{et}\quad x_{r + j} \mapsto v_j.\] Nous voyons alors que les applications induites \(B[x_1, \ldots, x_N] \to D\) et \(A'[x_1, \ldots, x_N] \to C'\) sont surjectives, en particulier finies. Nous concluons du lemme 08IH que \(B'[x_1, \ldots, x_N] \to D'\) est fini, ce qui implique que \(D'\) est de type fini sur \(B'\), par exemple d’après Algèbre, lemme 00F4.

Ad (2). L’implication « \(\Leftarrow\) » résulte du lemme 07RW. De plus, l’assertion finale résulte de l’assertion finale du lemme 07RW.

Ad (3). Supposons que \(B \to D\) et \(A' \to C'\) soient plats et de présentation finie. La platitude de \(B' \to D'\) a été démontrée en (2). Nous savons par (1) que \(B' \to D'\) est de type fini. Choisissons une surjection \(B'[x_1, \ldots, x_N] \to D'\). D’après Algèbre, lemme 00R2, l’anneau \(D\) est de présentation finie comme \(B[x_1, \ldots, x_N]\)-module et l’anneau \(C'\) est de présentation finie comme \(A'[x_1, \ldots, x_N]\)-module. D’après le lemme 08KP, \(D'\) est de présentation finie comme \(B'[x_1, \ldots, x_N]\)-module, c’est-à-dire que \(B' \to D'\) est de présentation finie.

Ad (4). Supposons que \(B \to D\) et \(A' \to C'\) soient lisses. D’après (3), \(B' \to D'\) est plat et de présentation finie. D’après Algèbre, lemme 00TF, il suffit de vérifier que \(D' \otimes_{B'} k\) est lisse pour tout corps \(k\) sur \(B'\). Si la composée \(J \to B' \to k\) est nulle, alors \(B' \to k\) se factorise par \(B' \to B \to k\) et nous voyons que \[D' \otimes_{B'} k = D' \otimes_{B'} B \otimes_B k = D \otimes_B k\] est lisse puisque \(B \to D\) est lisse. Si la composée \(J \to B' \to k\) n’est pas nulle, il existe alors \(h \in J\) dont l’image dans \(k\) n’est pas nulle. Ainsi, \(B' \to k\) se factorise par \(B' \to B'_h \to k\). Remarquons que \(h\) s’envoie sur zéro dans \(B\), d’où \(B_h = 0\). D’après le lemme 01Z8, nous avons donc \(B'_h = A'_h\) et nous obtenons \[D' \otimes_{B'} k = D' \otimes_{B'} B'_h \otimes_{B'_h} k = C'_h \otimes_{A'_h} k\] est lisse puisque \(A' \to C'\) est lisse.

Ad (5). Supposons que \(B \to D\) et \(A' \to C'\) soient étales. D’après (4), \(B' \to D'\) est lisse. Comme on peut déterminer si une application lisse est étale ou non à partir de la dimension de ses fibres, (5) est vérifié (raisonner comme dans la preuve de (4) pour identifier les fibres ; certains détails sont omis).

Remarque

Dans la situation 08KK, supposons que \(B' \to D'\) soit de présentation finie et qu’on se donne un \(D'\)-module \(L'\). Nous affirmons qu’il existe une correspondance bijective entre

1. les surjections de \(D'\)-modules \(L' \to Q'\) avec \(Q'\) de présentation finie sur \(D'\) et plat sur \(B'\) ; et

2. les paires de surjections de modules \((L' \otimes_{D'} D \to Q_1, L' \otimes_{D'} C' \to Q_2)\) avec

   1. \(Q_1\) de présentation finie sur \(D\) et plat sur \(B\) ;

   2. \(Q_2\) de présentation finie sur \(C'\) et plat sur \(A'\) ;

   3. \(Q_1 \otimes_D C = Q_2 \otimes_{C'} C\) comme quotients de \(L' \otimes_{D'} C\).

La correspondance est donnée par \(Q \mapsto (Q_1, Q_2)\) avec \(Q_1 = Q \otimes_{D'} D\) et \(Q_2 = Q \otimes_{D'} C'\). Réciproquement, nous posons \(Q = Q_1 \times_{Q_{12}} Q_2\), où \(Q_{12}\) est le quotient commun \(Q_1 \otimes_D C = Q_2 \otimes_{C'} C\) de \(L' \otimes_{D'} C\). Comme application quotient, nous utilisons \[L' \longrightarrow (L' \otimes_{D'} D) \times_{(L' \otimes_{D'} C)} (L' \otimes_{D'} C') \longrightarrow Q_1 \times_{Q_{12}} Q_2 = Q\] où la première flèche est surjective d’après le lemme 08IG et la seconde d’après le lemme 08KJ. L’affirmation résulte des lemmes 07RW et 08KP.

Idéaux de Fitting

Les idéaux de Fitting d’un module de type fini sont les idéaux déterminés par la construction du lemme 07Z8.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(A\) une matrice \(n \times m\) à coefficients dans \(R\). Soit \(I_r(A)\) l’idéal engendré par les mineurs \(r \times r\) de \(A\), avec la convention \(I_0(A) = R\) et \(I_r(A) = 0\) si \(r > \min(n, m)\). Alors

1. \(I_0(A) \supset I_1(A) \supset I_2(A) \supset \ldots\) ;

2. si \(B\) est une matrice \((n + n') \times m\) et si \(A\) est constituée des \(n\) premières lignes de \(B\), alors \(I_{r + n'}(B) \subset I_r(A)\) ;

3. si \(C\) est une matrice \(n \times n\), alors \(I_r(CA) \subset I_r(A)\) ;

4. si \(A\) est une matrice par blocs \[\left( \begin{matrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{matrix} \right)\] alors \(I_r(A) = \sum_{r_1 + r_2 = r} I_{r_1}(A_1) I_{r_2}(A_2)\) ;

5. Ajouter d’autres propriétés ici.

Démonstration

Omis. (Indication : utiliser le fait qu’un déterminant se calcule en développant suivant une colonne ou une ligne.)

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(M\) un \(R\)-module de type fini. Choisissons une présentation \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} R \longrightarrow R^{\oplus n} \longrightarrow M \longrightarrow 0.\] de \(M\). Soit \(A = (a_{ij})_{i = 1, \ldots, n, j \in J}\) la matrice de l’application \(\bigoplus_{j \in J} R \to R^{\oplus n}\). L’idéal \(\text{Fit}_k(M)\) engendré par les mineurs \((n - k) \times (n - k)\) de \(A\) est indépendant du choix de la présentation.

Démonstration

Soit \(K \subset R^{\oplus n}\) le noyau de la surjection \(R^{\oplus n} \to M\). Choisissons \(z_1, \ldots, z_{n - k} \in K\) et écrivons \(z_j = (z_{1j}, \ldots, z_{nj})\). Une autre description de l’idéal \(\text{Fit}_k(M)\) est l’idéal engendré par les mineurs \((n - k) \times (n - k)\) de toutes les matrices \((z_{ij})\) obtenues de cette façon.

Supposons que nous remplacions la surjection par la surjection \(R^{\oplus n + n'} \to M\) de noyau \(K'\), où nous utilisons l’application originale sur les \(n\) premiers vecteurs de base standard de \(R^{\oplus n + n'}\) et \(0\) sur les \(n'\) derniers. Les idéaux correspondants sont alors les mêmes. En effet, si \(z_1, \ldots, z_{n - k} \in K\) comme ci-dessus, posons \(z'_j = (z_{1j}, \ldots, z_{nj}, 0, \ldots, 0) \in K'\) pour \(j = 1, \ldots, n - k\) et \(z'_{n + j'} = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots, 0) \in K'\). Nous voyons alors que l’idéal des mineurs \((n - k) \times (n - k)\) de \((z_{ij})\) coïncide avec l’idéal des mineurs \((n + n' - k) \times (n + n' - k)\) de \((z'_{ij})\). Cela donne l’une des inclusions. Réciproquement, étant donnés \(z'_1, \ldots, z'_{n + n' - k}\) dans \(K'\), projetons-les sur \(R^{\oplus n}\) pour obtenir \(z_1, \ldots, z_{n + n' - k}\) dans \(K\). D’après le lemme 07Z7, nous voyons que l’idéal engendré par les mineurs \((n + n' - k) \times (n + n' - k)\) de \((z'_{ij})\) est contenu dans l’idéal engendré par les mineurs \((n - k) \times (n - k)\) de \((z_{ij})\). Cela donne l’autre inclusion.

Soit \(R^{\oplus m} \to M\) une autre surjection de noyau \(L\). D’après le lemme de Schanuel (Algèbre, lemme 00O3) et les résultats du paragraphe précédent, nous pouvons supposer \(m = n\) et qu’il existe un isomorphisme \(R^{\oplus n} \to R^{\oplus m}\) commutant aux surjections vers \(M\). Soit \(C = (c_{li})\) la matrice (inversible) de cette application (c’est une matrice carrée puisque \(n = m\)). Alors, pour des \(z'_1, \ldots, z'_{n - k} \in L\) comme ci-dessus, nous pouvons trouver \(z_1, \ldots, z_{n - k} \in K\) tels que \(z_1' = Cz_1, \ldots, z'_{n - k} = Cz_{n - k}\). D’après le lemme 07Z7, nous obtenons l’une des inclusions. Par symétrie, nous obtenons l’autre.

Définition

Soit \(R\) un anneau. Soit \(M\) un \(R\)-module de type fini. Soit \(k \geq 0\). L’idéal de Fitting d’indice \(k\) de \(M\) est l’idéal \(\text{Fit}_k(M)\) construit dans le lemme 07Z8. Posons \(\text{Fit}_{-1}(M) = 0\).

Comme les idéaux de Fitting sont les idéaux de mineurs d’une grande matrice (numérotés dans l’ordre inverse de celui du lemme 07Z7), nous voyons que \[0 = \text{Fit}_{-1}(M) \subset \text{Fit}_0(M) \subset \text{Fit}_1(M) \subset \ldots \subset \text{Fit}_t(M) = R\] pour un certain \(t \gg 0\). Voici quelques propriétés élémentaires des idéaux de Fitting.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(M\) un \(R\)-module de type fini.

1. Si \(M\) peut être engendré par \(n\) éléments, alors \(\text{Fit}_n(M) = R\).

2. Étant donné un second \(R\)-module \(M'\) de type fini, nous avons \(\text{Fit}_0(M \oplus M') = \text{Fit}_0(M)\text{Fit}_0(M')\) et plus généralement \[\text{Fit}_l(M \oplus M') = \sum\nolimits_{k + k' = l} \text{Fit}_k(M)\text{Fit}_{k'}(M')\]

3. Si \(R \to R'\) est un homomorphisme d’anneaux, alors \(\text{Fit}_k(M \otimes_R R')\) est l’idéal de \(R'\) engendré par l’image de \(\text{Fit}_k(M)\) ;

4. Si \(M\) est de présentation finie, alors \(\text{Fit}_k(M)\) est un idéal de type fini ;

5. Si \(M \to M'\) est une surjection, alors \(\text{Fit}_k(M) \subset \text{Fit}_k(M')\).

6. Nous avons \(\text{Fit}_0(M) \subset \text{Ann}_R(M)\) ;

7. Nous avons \(V(\text{Fit}_0(M)) = \text{Supp}(M)\) ;

8. Si \(I\) est un idéal de \(R\), alors \(\text{Fit}_0(R/I) = I\) ;

9. Ajouter d’autres propriétés ici.

Démonstration

La partie (1) résulte du fait que \(I_0(A) = R\) dans le lemme 07Z7.

La partie (2) résulte de l’énoncé correspondant du lemme 07Z7.

La partie (3) résulte du fait que \(\otimes_R R'\) est exact à droite, de sorte que le changement de base d’une présentation de \(M\) est une présentation de \(M \otimes_R R'\).

Preuve de (4). Soit \(R^{\oplus m} \xrightarrow{A} R^{\oplus n} \to M \to 0\) une présentation. Alors \(\text{Fit}_k(M)\) est l’idéal engendré par les mineurs \((n - k) \times (n - k)\) de la matrice \(A\).

La partie (5) est immédiate d’après la définition.

Preuve de (6). Choisissons une présentation de \(M\) de matrice \(A\) comme dans le lemme 07Z8. Soit \(J' \subset J\) une partie de cardinal \(n\). Il suffit de montrer que \(f = \det(a_{ij})_{i = 1, \ldots, n, j \in J'}\) annule \(M\). Cela est clair car le conoyau de \[R^{\oplus n} \xrightarrow{A' = (a_{ij})_{i = 1, \ldots, n, j \in J'}} R^{\oplus n} \to M \to 0\] est annulé par \(f\), puisqu’il existe une matrice \(B\) telle que \(A' B = f1_{n \times n}\).

Preuve de (7). Choisissons une présentation de \(M\) de matrice \(A\) comme dans le lemme 07Z8. D’après le lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV), nous avons \[M_\mathfrak p \not = 0 \Leftrightarrow M \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \not = 0 \Leftrightarrow \text{rang}(\text{image de }A\text{ dans }\kappa(\mathfrak p)) < n\] Clairement, \(\text{Fit}_0(M)\) définit exactement l’ensemble des idéaux premiers possédant cette propriété.

Exemple

Soit \(R\) un anneau. Les idéaux de Fitting du module libre de type fini \(M = R^{\oplus n}\) sont \(\text{Fit}_k(M) = 0\) pour \(k < n\) et \(\text{Fit}_k(M) = R\) pour \(k \geq n\).

Exemple

Soit \(R\) un anneau et soient \(I, J\subset R\) des idéaux. Alors \(\text{Fit}_0(R/I) = I\), \(\text{Fit}_0(R/I \oplus R/J) = IJ\), \(\text{Fit}_1(R/I\oplus R/J) = I+J\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(M\) un \(R\)-module de type fini. Soit \(k \geq 0\). Soit \(\mathfrak p \subset R\) un idéal premier. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\text{Fit}_k(M) \not \subset \mathfrak p\) ;

2. \(\dim_{\kappa(\mathfrak p)} M \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \leq k\) ;

3. \(M_\mathfrak p\) peut être engendré par \(k\) éléments sur \(R_\mathfrak p\) ;

4. \(M_f\) peut être engendré par \(k\) éléments sur \(R_f\) pour un certain \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak p\).

Démonstration

D’après le lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV), \(M_f\) peut être engendré par \(k\) éléments sur \(R_f\) pour un certain \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak p\), si \(M \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) peut être engendré par \(k\) éléments. Ainsi, (2), (3) et (4) sont équivalentes. En utilisant la partie (3) du lemme 07ZA, nous nous ramenons au cas où \(R\) est un corps et \(\mathfrak p = (0)\). Dans ce cas, le résultat découle de l’exemple 07ZB.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(M\) un \(R\)-module de type fini. Soit \(r \geq 0\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(M\) est localement libre de type fini de rang \(r\) (Algèbre, définition 00NW) ;

2. \(\text{Fit}_{r - 1}(M) = 0\) et \(\text{Fit}_r(M) = R\) ;

3. \(\text{Fit}_k(M) = 0\) pour \(k < r\) et \(\text{Fit}_k(M) = R\) pour \(k \geq r\).

Démonstration

Il est immédiat que (2) est équivalente à (3), car les idéaux de Fitting forment une suite croissante d’idéaux. Comme la formation de \(\text{Fit}_k(M)\) commute au changement de base (lemme 07ZA), (1) implique (2) d’après l’exemple 07ZB et les résultats de recollement (Algèbre, section 00EN). Réciproquement, supposons (2). D’après le lemme 07ZC, nous pouvons supposer que \(M\) est engendré par \(r\) éléments. Nous avons donc une présentation \(\bigoplus_{j \in J} R \to R^{\oplus r} \to M \to 0\). Mais l’hypothèse \(\text{Fit}_{r - 1}(M) = 0\) implique alors que toutes les entrées de la matrice de l’application \(\bigoplus_{j \in J} R \to R^{\oplus r}\) sont nulles. Ainsi, \(M\) est libre.

Lemme

Soit \(R\) un anneau local. Soit \(M\) un \(R\)-module de type fini. Soit \(k \geq 0\). Supposons que \(\text{Fit}_k(M) = (f)\) pour un certain \(f \in R\). Soit \(M'\) le quotient de \(M\) par \(\{x \in M \mid fx = 0\}\). Alors \(M'\) peut être engendré par \(k\) éléments.

Démonstration

Choisissons des générateurs \(x_1, \ldots, x_n \in M\) correspondant à la surjection \(R^{\oplus n} \to M\). Comme \(R\) est local, si une famille d’éléments \(E \subset (f)\) engendre \((f)\), alors un élément \(e \in E\) engendre \((f)\), voir Algèbre, lemme 00DV. Nous pouvons donc choisir \(z_1, \ldots, z_{n - k}\) dans le noyau de \(R^{\oplus n} \to M\) de sorte qu’un mineur \((n - k) \times (n - k)\) de la matrice \(n \times (n - k)\) \(A = (z_{ij})\) engendre \((f)\). Après renumérotation des \(x_i\), nous pouvons supposer que le premier mineur \(\det(z_{ij})_{1 \leq i, j \leq n - k}\) engendre \((f)\), c’est-à-dire que \(\det(z_{ij})_{1 \leq i, j \leq n - k} = uf\) pour une unité \(u \in R\). Tout autre mineur est un multiple de \(f\). D’après Algèbre, lemme 080R, il existe une matrice \(n - k \times n - k\) \(B\) telle que \[AB = f \left( \begin{matrix} u 1_{n - k \times n - k} \\ C \end{matrix} \right)\] pour une matrice \(C\) à coefficients dans \(R\). Cela implique que, pour tout \(i \leq n - k\), l’élément \(y_i = ux_i + \sum_j c_{ji}x_j\) est annulé par \(f\). Comme \(M/\sum Ry_i\) est engendré par les images de \(x_{n - k + 1}, \ldots, x_n\), le résultat est démontré.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(M\) un \(R\)-module de présentation finie. Soit \(k \geq 0\). Supposons que \(\text{Fit}_k(M) = (f)\) pour un élément \(f \in R\) qui n’est pas diviseur de zéro et que \(\text{Fit}_{k - 1}(M) = 0\). Alors

1. \(M\) est de dimension projective \(\leq 1\) ;

2. \(M' = \Ker(f : M \to M)\) est le sous-module de torsion \(f\)-primaire de \(M\) ;

3. \(M'\) est de dimension projective \(\leq 1\) ;

4. \(M/M'\) est localement libre de type fini de rang \(k\) ; et

5. \(M \cong M/M' \oplus M'\).

Démonstration

Choisissons une présentation \[R^{\oplus m} \xrightarrow{A} R^{\oplus n} \to M \to 0\] pour une matrice \(A\) à coefficients dans \(R\).

Nous démontrons d’abord le lemme lorsque \(R\) est local. Posons \(M' = \{x \in M \mid fx = 0\}\) comme dans l’énoncé. D’après le lemme 080Z, nous pouvons choisir \(x_1, \ldots, x_k \in M\) qui engendrent \(M/M'\). Alors \(x_1, \ldots, x_k\) engendrent \(M_f = (M/M')_f\). Ainsi, s’il existe une relation \(\sum a_ix_i = 0\) dans \(M\), nous voyons que \(a_1, \ldots, a_k\) s’envoient sur zéro dans \(R_f\), car sinon \(\text{Fit}_{k - 1}(M) R_f = \text{Fit}_{k - 1}(M_f)\) serait non nul. Comme \(f\) n’est pas diviseur de zéro, nous concluons \(a_1 = \ldots = a_k = 0\). Ainsi \(M \cong R^{\oplus k} \oplus M'\). Après un changement de base dans la présentation ci-dessus, nous pouvons supposer que les \(n - k\) premiers vecteurs de base de \(R^{\oplus n}\) s’envoient dans le facteur \(M'\) de \(M\) et que les \(k\) derniers vecteurs de base de \(R^{\oplus n}\) s’envoient sur des éléments de base du facteur \(R^{\oplus k}\) de \(M\). Les \(k\) dernières lignes de la matrice \(A\) sont alors nulles. En remplaçant \(M\) par \(M'\), \(k\) par \(0\), \(n\) par \(n - k\) et \(A\) par la sous-matrice obtenue en supprimant les \(k\) dernières lignes, nous nous ramenons au cas traité au paragraphe suivant.

Supposons \(R\) local, \(k = 0\) et \(M\) annulé par \(f\). Alors le \(0\)-ième idéal de Fitting de \(M\) est \((f)\) et est engendré par les mineurs \(n \times n\) de la matrice \(A\) de taille \(n \times m\). (Cela implique en particulier \(m \geq n\).) Comme \(R\) est local, un mineur \(n \times n\) de \(A\) vaut \(uf\) pour une unité \(u \in R\). Après renumérotation, nous pouvons supposer qu’il s’agit du premier. De plus, tous les autres mineurs \(n \times n\) de \(A\) sont divisibles par \(f\). Écrivons \(A = (A_1 A_2)\) par blocs, où \(A_1\) est une matrice \(n \times n\) et \(A_2\) une matrice \(n \times (m - n)\). D’après Algèbre, lemme 080R, appliqué à la transposée de \(A\) (!), il existe une matrice \(n \times n\) \(B\) telle que \[BA = B(A_1 A_2) = f \left( \begin{matrix} u 1_{n \times n} & C \end{matrix} \right)\] pour une matrice \(n \times (m - n)\) \(C\) à coefficients dans \(R\). Nous concluons d’abord \(BA_1 = fu 1_{n \times n}\). Ainsi \[BA_2 = fC = u^{-1}fuC = u^{-1}BA_1C\] Comme le déterminant de \(B\) n’est pas diviseur de zéro, nous concluons \(A_2 = u^{-1}A_1C\). L’image de \(A\) est donc égale à celle de \(A_1\), laquelle est isomorphe à \(R^{\oplus n}\) puisque le déterminant de \(A_1\) n’est pas diviseur de zéro. Ainsi, \(M\) est de dimension projective \(\leq 1\).

Revenons au cas d’un anneau général \(R\). Par le cas local, nous voyons que \(M/M'\) est localement libre de type fini de rang \(k\), voir Algèbre, lemme 00NX. L’extension \(0 \to M' \to M \to M/M' \to 0\) est donc scindée. Il s’ensuit que \(M'\) est un module de présentation finie. Choisissons une suite exacte courte \(0 \to K \to R^{\oplus a} \to M' \to 0\). Alors \(K\) est un \(R\)-module de type fini, voir Algèbre, lemme 0519. Par le cas local, nous voyons que \(K_\mathfrak p \cong R_\mathfrak p^{\oplus a}\) pour tout idéal premier. Ainsi, à nouveau par Algèbre, lemme 00NX, \(K\) est localement libre de type fini de rang \(a\). Il s’ensuit que \(M'\) est de dimension projective \(\leq 1\) et le lemme est démontré.

Relèvements

Dans cette section, nous rassemblons quelques lemmes concernant des relèvements d’énoncés de la forme suivante : si \(A\) est un anneau et \(I \subset A\) un idéal, et si \(\overline{\xi}\) est une structure d’un certain type sur \(A/I\), alors nous pouvons relever \(\overline{\xi}\) en une structure du même type \(\xi\) sur \(A\) ou sur une extension étale de \(A\). Voici quelques types de structures pour lesquels nous avons déjà démontré des résultats :

1. les idempotents, voir Algèbre, lemmes 00J9 et 05BU,

2. les modules projectifs, voir Algèbre, lemmes 07LV et 0D47,

3. les modules stablement libres de type fini, voir le lemme 0BC5 ;

4. les éléments d’une base, voir Algèbre, lemmes 051F et 051H,

5. les homomorphismes d’anneaux, c’est-à-dire la preuve que certaines algèbres sont formellement lisses, voir Algèbre, lemme 00TK, proposition 00TN et lemme 07K4,

6. les homomorphismes d’anneaux syntomiques, voir Algèbre, lemme 00T0,

7. les homomorphismes d’anneaux lisses, voir Algèbre, lemme 04B1,

8. les homomorphismes d’anneaux étales, voir Algèbre, lemme 04D1,

9. la factorisation des polynômes, voir Algèbre, lemme 00UH, et

10. Algèbre, section 04GE, traite des anneaux locaux henséliens.

Le lecteur intéressé trouvera d’autres résultats de cette nature dans Compléments sur les homomorphismes d’anneaux, section 07CD, en particulier la proposition 07M8.

Soit \(A\) un anneau et soit \(I \subset A\) un idéal. Soit \(\overline{\xi}\) une structure d’un certain type sur \(A/I\). Dans les lemmes suivants, nous cherchons des homomorphismes d’anneaux étales \(A \to A'\) qui induisent des isomorphismes \(A/I \to A'/IA'\) et des objets \(\xi'\) sur \(A'\) relevant \(\overline{\xi}\). Remarquons en général que, pour des homomorphismes d’anneaux étales \(A \to A' \to A''\) tels que \(A/I \cong A'/IA'\) et \(A'/IA' \cong A''/IA''\), alors la composée \(A \to A''\) est également étale (Algèbre, lemme 00U2) et satisfait aussi \(A/I \cong A''/IA''\). Nous utiliserons fréquemment ce fait dans les lemmes suivants sans autre mention. Voici un exemple trivial du type de résultat recherché.

Lemme

Soit \(A\) un anneau, soit \(I \subset A\) un idéal et soit \(\overline{u} \in A/I\) un élément inversible. Il existe un homomorphisme d’anneaux étale \(A \to A'\) qui induit un isomorphisme \(A/I \to A'/IA'\) et un élément inversible \(u' \in A'\) relevant \(\overline{u}\).

Démonstration

Choisissons un relèvement quelconque \(f \in A\) de \(\overline{u}\) et posons \(A' = A_f\) et \(u\) égal à l’image de \(f\) dans \(A'\).

Lemme

Soit \(A\) un anneau, soit \(I \subset A\) un idéal et soit \(\overline{e} \in A/I\) un idempotent. Il existe un homomorphisme d’anneaux étale \(A \to A'\) qui induit un isomorphisme \(A/I \to A'/IA'\) et un idempotent \(e' \in A'\) relevant \(\overline{e}\).

Démonstration

Choisissons un relèvement quelconque \(x \in A\) de \(\overline{e}\). Posons \[A' = A[t]/(t^2 - t)\left[\frac{1}{t - 1 + x}\right].\] L’homomorphisme d’anneaux \(A \to A'\) est étale car \((2t - 1)\text{d}t = 0\) et \((2t - 1)(2t - 1) = 1\), qui est inversible. Nous avons \(A'/IA' = A/I[t]/(t^2 - t)[\frac{1}{t - 1 + \overline{e}}] \cong A/I\) la dernière application envoyant \(t\) sur \(\overline{e}\), ce qui convient car \(\overline{e}\) est une racine de \(t^2 - t\). Cela montre aussi que prendre \(e'\) égal à la classe de \(t\) dans \(A'\) convient.

Lemme

Soit \(A\) un anneau, soit \(I \subset A\) un idéal. Soit \(\Spec(A/I) = \coprod_{j \in J} \overline{U}_j\) un recouvrement ouvert fini et disjoint. Il existe alors un homomorphisme d’anneaux étale \(A \to A'\) qui induit un isomorphisme \(A/I \to A'/IA'\) et un recouvrement ouvert fini et disjoint \(\Spec(A') = \coprod_{j \in J} U'_j\) relevant le recouvrement donné.

Démonstration

Cela résulte du lemme 07LY et du fait que les parties ouvertes et fermées des spectres correspondent aux idempotents, voir Algèbre, lemme 00EE.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux et soit \(J \subset B\) un idéal. Si \(A \to B\) est étale en tout idéal premier de \(V(J)\), il existe alors \(g \in B\) dont l’image dans \(B/J\) est inversible, tel que \(A' = B_g\) soit étale sur \(A\).

Démonstration

L’ensemble des points de \(\Spec(B)\) où \(A \to B\) n’est pas étale est une partie fermée de \(\Spec(B)\), voir Algèbre, définition 00U1. Écrivons-le \(V(J')\) pour un idéal \(J' \subset B\). Alors \(V(J') \cap V(J) = \emptyset\), d’où \(J + J' = B\) d’après Algèbre, lemme 00E0. Écrivons \(1 = f + g\) avec \(f \in J\) et \(g \in J'\). Alors \(g\) convient.

Nous avons ensuite trois lemmes affirmant que l’on peut relever des factorisations de polynômes.

Lemme

Soit \(A\) un anneau, soit \(I \subset A\) un idéal et soit \(f \in A[x]\) un polynôme unitaire. Soit \(\overline{f} = \overline{g} \overline{h}\) une factorisation de \(f\) dans \(A/I[x]\) telle que \(\overline{g}\) et \(\overline{h}\) soient unitaires et engendrent l’idéal unité de \(A/I[x]\). Il existe alors un homomorphisme d’anneaux étale \(A \to A'\) qui induit un isomorphisme \(A/I \to A'/IA'\) et une factorisation \(f = g' h'\) dans \(A'[x]\), avec \(g'\) et \(h'\) unitaires relevant la factorisation donnée sur \(A/I\).

Démonstration

Nous déduirons ceci des résultats sur la factorisation universelle démontrés précédemment ; toutefois, nous encourageons le lecteur à trouver sa propre preuve sans ce procédé. Posons \(\deg(\overline{g}) = n\) et \(\deg(\overline{h}) = m\), de sorte que \(\deg(f) = n + m\). Écrivons \(f = x^{n + m} + \sum \alpha_i x^{n + m - i}\) pour certains \(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n + m} \in A\). Considérons l’homomorphisme d’anneaux \[R = \mathbf{Z}[a_1, \ldots, a_{n + m}] \longrightarrow S = \mathbf{Z}[b_1, \ldots, b_n, c_1, \ldots, c_m]\] de Algèbre, exemple 00UA. Soit \(R \to A\) l’homomorphisme d’anneaux qui envoie \(a_i\) sur \(\alpha_i\). Posons \[B = A \otimes_R S\] Par construction, l’image \(f_B\) de \(f\) dans \(B[x]\) se factorise, disons \(f_B = g_B h_B\) avec \(g_B = x^n + \sum (1 \otimes b_i) x^{n - i}\) et de même pour \(h_B\). Écrivons \(\overline{g} = x^n + \sum \overline{\beta}_i x^{n - i}\) et \(\overline{h} = x^m + \sum \overline{\gamma}_i x^{m - i}\). L’homomorphisme de \(A\)-algèbres \[B \longrightarrow A/I, \quad 1 \otimes b_i \mapsto \overline{\beta}_i, \quad 1 \otimes c_i \mapsto \overline{\gamma}_i\] envoie \(g_B\) et \(h_B\) sur \(\overline{g}\) et \(\overline{h}\) dans \(A/I[x]\). L’application affichée est surjective ; notons \(J \subset B\) son noyau. D’après la discussion de l’algèbre, exemple 00UA, il est clair que \(A \to B\) est étale en tout point de \(V(J) \subset \Spec(B)\). Choisissons \(g \in B\) comme dans le lemme 07M0 et considérons la \(A\)-algèbre \(B_g\). Comme \(g\) s’envoie sur une unité dans \(B/J = A/I\), nous obtenons aussi une application \(B_g/I B_g \to A/I\) de \(A/I\)-algèbres. Puisque \(A/I \to B_g/I B_g\) est étale, il en va de même de \(B_g/IB_g \to A/I\) (Algèbre, lemme 00U7). Il existe donc un idempotent \(e \in B_g/I B_g\) tel que \(A/I = (B_g/I B_g)_e\) (Algèbre, lemme 00U8). Choisissons un relèvement \(h \in B_g\) de \(e\). Alors \(A \to A' = (B_g)_h\), muni de la factorisation donnée par l’image de \(f_B = g_B h_B\) dans \(A'\), est une solution au problème posé par le lemme.

Lemme

Soit \(A\) un anneau, soit \(I \subset A\) un idéal et soit \(f \in A[x]\) un polynôme unitaire. Soit \(\overline{f} = \overline{g} \overline{h}\) une factorisation de \(f\) dans \(A/I[x]\) et supposons que

1. le coefficient dominant de \(\overline{g}\) soit un élément inversible de \(A/I\) ;

2. \(\overline{g}\) et \(\overline{h}\) engendrent l’idéal unité de \(A/I[x]\).

Alors il existe un homomorphisme d’anneaux étale \(A \to A'\) qui induit un isomorphisme \(A/I \to A'/IA'\) et une factorisation \(f = g' h'\) dans \(A'[x]\) relevant la factorisation donnée sur \(A/I\).

Démonstration

En appliquant le lemme 07LX, nous pouvons supposer que le coefficient dominant de \(\overline{g}\) est la réduction d’un élément inversible \(u \in A\). Nous pouvons alors remplacer \(\overline{g}\) par \(\overline{u}^{-1}\overline{g}\) et \(\overline{h}\) par \(\overline{u}\overline{h}\). Nous pouvons donc supposer que \(\overline{g}\) est unitaire. Puisque \(f\) est unitaire, nous concluons que \(\overline{h}\) l’est aussi. Dans ce cas, le résultat découle du lemme 0ALH.

Exemple

Cet exemple montre qu’on ne peut pas supprimer la condition sur le coefficient dominant dans le lemme 07M1. En effet, prenons \(A = \mathbf{Z}\), \(I = 4\mathbf{Z}\), \(f = 1\) et \(\bar{g} = \bar{h} = 2x^2 + 2x + 1\) dans \(A/I[x]\). Si \(A \to A'\) est étale et \(A'/I A' = A/I\), alors le complété \(2\)-adique de \(A'\) est isomorphe à \(\mathbf{Z}_2\). Or aucun polynôme \(g'\) de \(\mathbf{Z}_2[x]\) congru à \(2x^2 + 2x + 1\) modulo \(4\) n’a d’inverse multiplicatif polynomial dans \(\mathbf{Z}_2[x]\), d’où la conclusion du lemme qui ne peut être vraie.

Lemme

Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(I \subset R\) un idéal de \(R\) et soit \(J \subset S\) un idéal de \(S\). Si l’adhérence de l’image de \(V(J)\) dans \(\Spec(R)\) est disjointe de \(V(I)\), il existe un élément \(f \in R\) dont l’image vaut \(1\) dans \(R/I\) et est un élément de \(J\) dans \(S\).

Démonstration

Soit \(I' \subset R\) un idéal tel que \(V(I')\) soit l’adhérence de l’image de \(V(J)\). Alors \(V(I) \cap V(I') = \emptyset\) par hypothèse et donc \(I + I' = R\) d’après Algèbre, lemme 00E0. Écrivons \(1 = g + f\) avec \(g \in I\) et \(f \in I'\). Nous avons \(V(f') \supset V(J)\), où \(f'\) est l’image de \(f\) dans \(S\). Ainsi, \((f')^n \in J\) pour un certain \(n\), voir Algèbre, lemme 00E0. Remplaçons \(f\) par \(f^n\) pour conclure.

Lemme

Soit \(I\) un idéal d’un anneau \(A\). Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux entier. Soit \(b \in B\) dont l’image dans \(B/IB\) est un idempotent. Il existe alors un polynôme unitaire \(f \in A[x]\) tel que \(f(b) = 0\) et \(f \bmod I = x^d(x - 1)^d\) pour un certain \(d \geq 1\).

Démonstration

Remarquons que \(z = b^2 - b\) est un élément de \(IB\). D’après Algèbre, lemme 00H5, il existe un polynôme unitaire \(g(x) = x^d + \sum a_j x^j\) de degré \(d\), avec \(a_j \in I\), tel que \(g(z) = 0\) dans \(B\). Ainsi, \(f(x) = g(x^2 - x) \in A[x]\) est un polynôme unitaire tel que \(f(x) \equiv x^d(x - 1)^d \bmod I\) et tel que \(f(b) = 0\) dans \(B\).

Lemme

Soit \(A\) un anneau, soit \(I \subset A\) un idéal et soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux entier. Soit \(\overline{e} \in B/IB\) un idempotent. Il existe alors un homomorphisme d’anneaux étale \(A \to A'\) qui induit un isomorphisme \(A/I \to A'/IA'\) et un idempotent \(e' \in B \otimes_A A'\) relevant \(\overline{e}\).

Démonstration

Choisissons un élément \(y \in B\) relevant \(\overline{e}\). Choisissons \(f \in A[x]\) comme dans le lemme 09XG pour \(y\). D’après le lemme 07M1, nous pouvons trouver un homomorphisme d’anneaux étale \(A \to A'\) qui induit un isomorphisme \(A/I \to A'/IA'\) et tel que \(f = gh\) dans \(A[x]\), avec \(g(x) = x^d \bmod IA'\) et \(h(x) = (x - 1)^d \bmod IA'\). Après remplacement de \(A\) par \(A'\), nous pouvons supposer que la factorisation est définie sur \(A\). Dans ce cas, nous voyons que \(b_1 = g(y) \in B\) est un relèvement de \(\overline{e}^d = \overline{e}\) et \(b_2 = h(y) \in B\) est un relèvement de \((\overline{e} - 1)^d = (-1)^d (1 - \overline{e})^d = (-1)^d(1 - \overline{e})\) et, de plus, \(b_1b_2 = 0\). Ainsi \((b_1, b_2)B/IB = B/IB\) et \(V(b_1, b_2) \subset \Spec(B)\) est disjoint de \(V(IB)\). Comme \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) est fermé (voir les lemmes d’Algèbre 00GU et 00HZ), nous pouvons trouver \(a \in A\) dont l’image dans \(A/I\) est inversible et dont l’image dans \(B\) appartient à \((b_1, b_2)\), voir le lemme 07M3. Après remplacement de \(A\) par la localisation \(A_a\), nous avons \((b_1, b_2) = B\). Alors \(\Spec(B) = D(b_1) \amalg D(b_2)\) ; cette union est disjointe car \(b_1b_2 = 0\) et couvre \(\Spec(B)\) puisque \((b_1, b_2) = B\). Soit \(e \in B\) l’idempotent correspondant à la partie ouverte et fermée \(D(b_1)\), voir Algèbre, lemme 00EE. Puisque \(b_1\) relève \(\overline{e}\) et \(b_2\) relève \(\pm (1 - \overline{e})\), nous concluons que \(e\) relève \(\overline{e}\) par l’assertion d’unicité du lemme d’Algèbre 00EE.

Lemme

Soit \(A\) un anneau, soit \(I \subset A\) un idéal. Soit \(\overline{P}\) un \(A/I\)-module projectif de type fini. Il existe alors un homomorphisme d’anneaux étale \(A \to A'\) qui induit un isomorphisme \(A/I \to A'/IA'\) et un \(A'\)-module projectif de type fini \(P'\) relevant \(\overline{P}\).

Démonstration

Nous pouvons choisir un entier \(n\) et une décomposition en somme directe \((A/I)^{\oplus n} = \overline{P} \oplus \overline{K}\) pour un certain \(R/I\)-module \(\overline{K}\). Choisissons un relèvement \(\varphi : A^{\oplus n} \to A^{\oplus n}\) du projecteur \(\overline{p}\) associé au facteur direct \(\overline{P}\). Soit \(f \in A[x]\) le polynôme caractéristique de \(\varphi\). Posons \(B = A[x]/(f)\). D’après Cayley-Hamilton (Algèbre, lemme 00DX), il existe une application \(B \to \text{End}_A(A^{\oplus n})\) qui envoie \(x\) sur \(\varphi\). Pour tout idéal premier \(\mathfrak p \supset I\), l’image de \(f\) dans \(\kappa(\mathfrak p)\) est \((x - 1)^rx^{n - r}\), où \(r\) est la dimension de \(\overline{P} \otimes_{A/I} \kappa(\mathfrak p)\). Ainsi \((x - 1)^nx^n\) s’envoie sur zéro dans \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) pour tout \(\mathfrak p \supset I\). Donc \(x(1 - x)\) appartient à tout idéal premier de \(B/IB\). Par conséquent, \(x^N(1 - x)^N\) appartient à \(IB\) pour un certain \(N \geq 1\). Il s’ensuit que \(x^N + (1 - x)^N\) est une unité dans \(B/IB\) et que \[\overline{e} = \text{image de }\frac{x^N}{x^N + (1 - x)^N}\text{ dans }B/IB\] est un idempotent, car les deux assertions valent dans \(\mathbf{Z}[x]/(x^N(x - 1)^N)\). L’image de \(\overline{e}\) dans \(\text{End}_{A/I}((A/I)^{\oplus n})\) est \[\frac{\overline{p}^N}{\overline{p}^N + (1 - \overline{p})^N} = \overline{p}\] car \(\overline{p}\) est un idempotent. Après remplacement de \(A\) par une extension étale \(A'\) comme dans le lemme, nous pouvons supposer qu’il existe un idempotent \(e \in B\) qui s’envoie sur \(\overline{e}\) dans \(B/IB\), voir le lemme 07M4. Alors l’image de \(e\) par l’application \[B = A[x]/(f) \longrightarrow \text{End}_A(A^{\oplus n}).\] est un élément idempotent \(p\) qui relève \(\overline{p}\). En posant \(P = \Im(p)\), le résultat est démontré.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(0 \to K \to A^{\oplus m} \to M \to 0\) une suite de \(A\)-modules. Considérons la \(A\)-algèbre \(C = \text{Sym}^*_A(M)\) munie de sa présentation \(\alpha : A[y_1, \ldots, y_m] \to C\) issue de la surjection \(A^{\oplus m} \to M\). Alors \[\NL(\alpha) = (K \otimes_A C \to \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} C \text{d}y_j)\] (voir Algèbre, section 00S0), en particulier \(\Omega_{C/A} = M \otimes_A C\).

Démonstration

Soit \(J = \Ker(\alpha)\). Le lemme affirme que \(J/J^2 \cong K \otimes_A C\). Remarquons que \(\alpha\) est un homomorphisme d’algèbres graduées. Nous montrerons qu’en degré \(d\) nous avons \((J/J^2)_d = K \otimes_A C_{d - 1}\). Remarquons que \[J_d = \Ker(\text{Sym}^d_A(A^{\oplus m}) \to \text{Sym}^d_A(M)) = \Im(K \otimes_A \text{Sym}^{d - 1}_A(A^{\oplus m}) \to \text{Sym}^d_A(A^{\oplus m})),\] voir Algèbre, lemme 00DO. Il s’ensuit que \((J^2)_d = \sum_{a + b = d} J_a \cdot J_b\) est l’image de \[K \otimes_A K \otimes_A \text{Sym}^{d - 2}_A(A^{\otimes m}) \to \text{Sym}^d_A(A^{\oplus m}).\] Le conoyau de l’application \(K \otimes_A \text{Sym}^{d - 2}_A(A^{\otimes m}) \to \text{Sym}^{d - 1}_A(A^{\oplus m})\) est \(\text{Sym}^{d - 1}_A(M)\) d’après le lemme cité ci-dessus. Il est donc clair que \((J/J^2)_d = J_d/(J^2)_d\) est égal à \[\begin{align*} \Coker( K \otimes_A K \otimes_A \text{Sym}^{d - 2}_A(A^{\otimes m}) \to K \otimes_A \text{Sym}^{d - 1}_A(A^{\otimes m})) & = K \otimes_A \text{Sym}^{d - 1}_A(M) \\ & = K \otimes_A C_{d -1} \end{align*}\] comme voulu.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(M\) un \(A\)-module. Alors \(C = \text{Sym}_A^*(M)\) est lisse sur \(A\) si et seulement si \(M\) est un \(A\)-module projectif de type fini.

Démonstration

Soit \(\sigma : C \to A\) la projection sur la partie de degré \(0\) de \(C\). Alors \(J = \Ker(\sigma)\) est la partie de degré \(> 0\) et nous voyons que \(J/J^2 = M\) comme \(A\)-module. Ainsi, si \(A \to C\) est lisse, alors \(M\) est un \(A\)-module projectif de type fini d’après Algèbre, lemme 05D5.

Réciproquement, supposons que \(M\) soit projectif de type fini et choisissons une surjection \(A^{\oplus n} \to M\) de noyau \(K\). La suite \(0 \to K \to A^{\oplus n} \to M \to 0\) est scindée puisque \(M\) est projectif. En particulier, \(K\) est un \(A\)-module de type fini et donc \(C\) est de présentation finie sur \(A\), car \(C\) est un quotient de \(A[x_1, \ldots, x_n]\) par l’idéal engendré par \(K \subset \bigoplus Ax_i\). Le calcul du lemme 07EV montre que \(\NL_{C/A}\) est homotopiquement équivalent à \((K \to M) \otimes_A C\). Ainsi, \(\NL_{C/A}\) est quasi-isomorphe à \(C \otimes_A M\) placé en degré \(0\), ce qui signifie que \(C\) est lisse sur \(A\) d’après Algèbre, définition 00T2.

Lemme

Soit \(A\) un anneau, soit \(I \subset A\) un idéal. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ B \ar[rd] \\ A \ar[u] \ar[r] & A/I }\] où \(B\) est une \(A\)-algèbre lisse. Alors il existe un morphisme d’anneaux étale \(A \to A'\) qui induit un isomorphisme \(A/I \to A'/IA'\) et un morphisme de \(A\)-algèbres \(B \to A'\) relevant le morphisme d’anneaux \(B \to A/I\).

Démonstration

Soit \(J \subset B\) le noyau de \(B \to A/I\), de sorte que \(B/J = A/I\). D’après le lemme d’algèbre 06A9, la suite \[0 \to I/I^2 \to J/J^2 \to \Omega_{B/A} \otimes_B B/J \to 0\] est exacte scindée. Ainsi \(\overline{P} = J/(J^2 + IB) = \Omega_{B/A} \otimes_B B/J\) est un \(A/I\)-module projectif de type fini. Choisissons un entier \(n\) et une décomposition en somme directe \(A/I^{\oplus n} = \overline{P} \oplus \overline{K}\). D’après le lemme 07M5, on peut trouver un morphisme d’anneaux étale \(A \to A'\) qui induit un isomorphisme \(A/I \to A'/IA'\) et un \(A\)-module projectif de type fini \(K\) qui relève \(\overline{K}\). Nous remplaçons désormais \(A\) par \(A'\). Posons \(B' = B \otimes_A \text{Sym}_A^*(K)\). Comme \(A \to \text{Sym}_A^*(K)\) est lisse d’après le lemme 07M6, on voit que \(B \to B'\) est lisse, ce qui implique à son tour que \(A \to B'\) est lisse (voir les lemmes d’algèbre 00T4 et 00TC). De plus, la section \(\text{Sym}^*_A(K) \to A\) détermine une section \(B' \to B\) et nous définissons \(B' \to A/I\) comme la composée \(B' \to B \to A/I\). Soit \(J' \subset B'\) le noyau de \(B' \to A/I\). Nous avons \(JB' \subset J'\) et \(B \otimes_A K \subset J'\). Ces morphismes se combinent pour donner un isomorphisme \[(A/I)^{\oplus n} \cong J/(J^2 + IB) \oplus \overline{K} \longrightarrow J'/((J')^2 + IB')\] Ainsi, après avoir remplacé \(B\) par \(B'\), nous pouvons supposer que \(J/(J^2 + IB) = \Omega_{B/A} \otimes_B B/J\) est un \(A/I\)-module libre de rang \(n\).

Dans ce cas, choisissons \(f_1, \ldots, f_n \in J\) dont les images forment une base de \(J/(J^2 + IB)\). Considérons la \(A\)-algèbre de présentation finie \(C = B/(f_1, \ldots, f_n)\). Remarquons que nous avons une suite exacte \[0 \to H_1(L_{C/A}) \to (f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2 \to \Omega_{B/A} \otimes_B C \to \Omega_{C/A} \to 0\] voir le lemme d’algèbre 00S2 (remarquons que \(H_1(L_{B/A}) = 0\) et que \(\Omega_{B/A}\) est projectif de type fini, en particulier plat, de sorte que le groupe de Tor s’annule). Pour tout idéal premier \(\mathfrak q \supset J\) de \(B\), le module \(\Omega_{B/A, \mathfrak q}\) est libre de rang \(n\), car \(\Omega_{B/A}\) est projectif de type fini et car \(\Omega_{B/A} \otimes_B B/J\) est libre de rang \(n\) (voir le lemme d’algèbre 00NX). Par notre choix de \(f_1, \ldots, f_n\), le morphisme \[\left((f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2\right)_{\mathfrak q} \to \Omega_{B/A, \mathfrak q}\] est surjectif modulo \(J\). Nous en déduisons que ce morphisme de modules sur l’anneau local \(C_{\mathfrak q}\) doit être un isomorphisme (d’après le lemme d’algèbre 00DV, le morphisme est surjectif, et, par exemple d’après le lemme d’algèbre 05G8, comme \(((f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2)_{\mathfrak q}\) est engendré par \(n\) éléments, le morphisme est injectif). Ainsi \(H_1(L_{C/A})_{\mathfrak q} = 0\) et \(\Omega_{C/A, \mathfrak q} = 0\). D’après le lemme d’algèbre 07BU, \(A \to C\) est lisse au premier \(\overline{\mathfrak q}\) de \(C\) correspondant à \(\mathfrak q\). Puisque \(\Omega_{C/A, \mathfrak q} = 0\), il est en fait étale en \(\overline{\mathfrak q}\). Ainsi \(A \to C\) est étale en tous les idéaux premiers de \(C\) contenant \(JC\). D’après le lemme 07M0, on peut trouver un \(f \in C\) dont l’image est un élément inversible de \(C/JC\) tel que \(A \to C_f\) soit étale. Par notre choix de \(f\), on a encore \(C_f/JC_f = A/I\). Le morphisme \(C_f/IC_f \to A/I\) est surjectif et étale d’après le lemme d’algèbre 00U7. Ainsi \(A/I\) est isomorphe à la localisation de \(C_f/IC_f\) en un élément \(g \in C\), voir le lemme d’algèbre 00U8. Posons \(A' = C_{fg}\), ce qui conclut la démonstration.

Paires de Zariski

Dans cette section et la suivante, une paire est une paire \((A, I)\) où \(A\) est un anneau et \(I \subset A\) un idéal. Un morphisme de paires \((A, I) \to (B, J)\) est un morphisme d’anneaux \(\varphi : A \to B\) tel que \(\varphi(I) \subset J\).

Définition

Une paire de Zariski est une paire \((A, I)\) telle que \(I\) soit contenu dans le radical de Jacobson de \(A\).

Lemme

Soit \((A, I)\) une paire de Zariski. Alors le morphisme des idempotents de \(A\) vers les idempotents de \(A/I\) est injectif.

Démonstration

Un idempotent d’un anneau local vaut soit \(0\), soit \(1\). Ainsi, un idempotent est déterminé par l’ensemble des idéaux maximaux où il s’annule, d’après le lemme d’algèbre 00HN.

Lemme

Soit \((A, I)\) une paire de Zariski. Soit \(A \to B\) un morphisme d’anneaux plat, entier et de présentation finie tel que \(A/I \to B/IB\) soit un isomorphisme. Alors \(A \to B\) est un isomorphisme.

Démonstration

Le morphisme d’anneaux \(A \to B\) est fini d’après le lemme d’algèbre 02JJ. Ainsi \(B\) est de présentation finie comme \(A\)-module d’après le lemme d’algèbre 0564. Ainsi \(B\) est un \(A\)-module localement libre de type fini d’après le lemme d’algèbre 00NX. Comme le module \(B\) est de rang \(1\) sur \(V(I)\) (voir la fonction de rang décrite dans le lemme d’algèbre 00NX), et puisque \((A, I)\) est une paire de Zariski, nous concluons que le rang vaut \(1\) partout. Il s’ensuit que \(A \to B\) est un isomorphisme : il est facile de vérifier qu’un morphisme d’anneaux \(R \to S\) tel que \(S\) soit un \(R\)-module localement libre de rang \(1\) est un isomorphisme (indication : regarder les anneaux locaux).

Lemme

Soit \((A, I)\) une paire de Zariski. Soit \(A \to B\) un morphisme d’anneaux fini. Supposons

1. \(B/IB = B_1 \times B_2\) soit un produit de \(A/I\)-algèbres ;

2. \(A/I \to B_1/IB_1\) soit surjectif ;

3. \(b \in B\) s’envoie sur \((1, 0)\) dans le produit.

Alors il existe un polynôme unitaire \(f \in A[x]\) tel que \(f(b) = 0\) et \(f \bmod I = (x - 1)x^d\) pour un certain \(d \geq 1\).

Démonstration

D’après le lemme 07M4, on peut trouver un morphisme d’anneaux étale \(A \to A'\) induisant un isomorphisme \(A/I \to A'/IA'\) tel que \(B' = B \otimes_A A'\) contienne un idempotent \(e'\) relevant l’image de \(b\) dans \(B'/IB'\). Considérons la décomposition correspondante en \(A'\)-algèbres \[B' = B'_1 \times B'_2\] qui est compatible avec celle donnée dans le lemme après réduction modulo \(I\). Le morphisme \(A' \to B'_1\) est surjectif modulo \(IA'\). D’après le lemme de Nakayama (lemme d’algèbre 00DV), on peut trouver \(i \in IA'\) tel qu’après avoir remplacé \(A'\) par \(A'_{1 + i}\), le morphisme \(A' \to B'_1\) soit surjectif. Remarquons que l’image \(b'_1 \in B'_1\) de \(b\) vérifie \(b'_1 - 1 \in IB'_1\). Nous pouvons donc choisir \(a' \in IA'\) s’envoyant sur \(b'_1 - 1\). D’autre part, l’image \(b'_2 \in B'_2\) de \(b\) appartient à \(IB'_2\). D’après le lemme d’algèbre 00H5, il existe un polynôme unitaire \(g(x) = x^d + \sum a'_j x^j\) de degré \(d\), avec \(a'_j \in IA'\), tel que \(g(b'_2) = 0\) dans \(B'_2\). Ainsi l’image \(b' = (b'_1, b'_2) \in B'\) de \(b\) est une racine du polynôme \((x - 1 - a')g(x)\). Nous en déduisons que \[(b' - 1)(b')^d \in \sum\nolimits_{j = 0, \ldots, d} IA' \cdot (b')^j\] Nous affirmons que cela implique \[(b - 1)b^d \in \sum\nolimits_{j = 0, \ldots, d} I \cdot b^j\] dans \(B\). Pour cela, il suffit de voir que le morphisme d’anneaux \(A \to A'\) est fidèlement plat, car la condition signifie que l’image de \((b - 1)b^d\) est nulle dans \(B/\sum_{j = 0, \ldots, d} Ib^j\) (utiliser le lemme d’algèbre 05CK). Le morphisme \(A \to A'\) est plat car il est étale (lemme d’algèbre 00U2). D’autre part, le morphisme induit sur les spectres est ouvert (voir la proposition d’algèbre 00I1 et utiliser le lemme précédent cité), et l’image contient \(V(I)\). Puisque \(I\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(A\), nous concluons.

Lemme

Soit \((A, I)\) une paire de Zariski avec \(A\) noethérien. Soit \(f \in I\). Alors \(A_f\) est un anneau de Jacobson.

Démonstration

Nous utiliserons le critère du lemme d’algèbre 00KX. Soit \(\mathfrak p \subset A\) un idéal premier tel que \(\mathfrak p_f = \mathfrak p A_f\) soit premier et non maximal. Nous devons montrer que \(A_f/\mathfrak p_f = (A/\mathfrak p)_f\) possède une infinité d’idéaux premiers. Après avoir remplacé \(A\) par \(A/\mathfrak p\), nous pouvons supposer que \(A\) est un domaine, que \(\dim A_f > 0\), et notre but est de montrer que \(\Spec(A_f)\) est infini. Puisque \(\dim A_f > 0\), nous pouvons trouver un idéal premier non nul \(\mathfrak q \subset A\) qui ne contient pas \(f\). Choisissons un idéal maximal \(\mathfrak m \subset A\) contenant \(\mathfrak q\). Comme \((A, I)\) est une paire de Zariski, on a \(I \subset \mathfrak m\). Ainsi \(\mathfrak m \not = \mathfrak q\) et \(\dim(A_\mathfrak m) > 1\). Par conséquent \(\Spec((A_\mathfrak m)_f) \subset \Spec(A_f)\) est infini d’après le lemme d’algèbre 02IG, ce qui conclut.

Paires henséliennes

Certains des résultats de la section 07LW peuvent être vus comme des résultats sur les paires henséliennes. Dans cette section, une paire est une paire \((A, I)\) où \(A\) est un anneau et \(I \subset A\) un idéal. Un morphisme de paires \((A, I) \to (B, J)\) est un morphisme d’anneaux \(\varphi : A \to B\) tel que \(\varphi(I) \subset J\). Comme dans la section 07LW, pour un objet \(\xi\) au-dessus de \(A\), nous notons \(\overline{\xi}\) le « changement de base » de \(\xi\) vers un objet au-dessus de \(A/I\) (lorsque cela a un sens).

Définition

Une paire hensélienne est une paire \((A, I)\) satisfaisant

1. \(I\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(A\) ;

2. pour tout polynôme unitaire \(f \in A[T]\) et toute factorisation \(\overline{f} = g_0h_0\) avec \(g_0, h_0 \in A/I[T]\) unitaires engendrant l’idéal unité de \(A/I[T]\), il existe une factorisation \(f = gh\) dans \(A[T]\) avec \(g, h\) unitaires et \(g_0 = \overline{g}\) et \(h_0 = \overline{h}\).

Remarquons que si \(A\) est un anneau local et \(I = \mathfrak m\) est l’idéal maximal, alors \((A, I)\) est une paire hensélienne si et seulement si \(A\) est un anneau local hensélien, voir le lemme d’algèbre 04GG. Dans le lemme 09XI, nous donnons plusieurs caractérisations équivalentes des paires henséliennes (et nous en ajouterons d’autres au fil du temps).

Lemme

Soit \((A, I)\) une paire avec \(I\) localement nilpotent. Alors le foncteur \(B \mapsto B/IB\) induit une équivalence entre la catégorie des algèbres étale sur \(A\) et la catégorie des algèbres étale sur \(A/I\). De plus, la paire est hensélienne.

Démonstration

La surjectivité essentielle résulte du lemme d’algèbre 04D1. Si \(B\), \(B'\) sont étales sur \(A\) et si \(B/IB \to B'/IB'\) est un morphisme d’\(A/I\)-algèbres, nous pouvons le relever d’après le lemme d’algèbre 07K4. Enfin, supposons que \(f, g : B \to B'\) soient deux morphismes de \(A\)-algèbres avec \(f \bmod I = g \bmod I\). Choisissons un idempotent \(e \in B \otimes_A B\) engendrant le noyau du morphisme de multiplication \(B \otimes_A B \to B\), voir les lemmes d’algèbre 02FL et 00UV (pour voir que étale est non ramifié). Alors \((f \otimes g)(e) \in IB'\). Comme \(IB'\) est localement nilpotent (lemme d’algèbre 0544), cela implique \((f \otimes g)(e) = 0\) d’après le lemme d’algèbre 00J9. Ainsi \(f = g\).

Il est clair que \(I\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(A\). Soit \(f \in A[T]\) un polynôme unitaire et soit \(\overline{f} = g_0h_0\) une factorisation de \(\overline{f} = f \bmod I\) avec \(g_0, h_0 \in A/I[T]\) unitaires engendrant l’idéal unité de \(A/I[T]\). D’après le lemme 0ALH, il existe un morphisme d’anneaux étale \(A \to A'\) qui induit un isomorphisme \(A/I \to A'/IA'\) tel que la factorisation se relève en une factorisation en polynômes unitaires sur \(A'\). D’après ce qui précède, nous avons \(A = A'\) et la factorisation est sur \(A\).

Lemme

Soit \(A = \lim A_n\), où \((A_n)\) est un système inverse d’anneaux dont les morphismes de transition sont surjectifs et ont des noyaux localement nilpotents. Alors \((A, I_n)\) est une paire hensélienne, où \(I_n = \Ker(A \to A_n)\).

Démonstration

Fixons \(n\). Soit \(a \in A\) un élément qui s’envoie sur \(1\) dans \(A_n\). D’après le lemme d’algèbre 0AMG, \(a\) s’envoie sur une unité de \(A_m\) pour tout \(m \geq n\). Ainsi \(a\) est une unité de \(A\). Donc, d’après le lemme d’algèbre 0AME, l’idéal \(I_n\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(A\). Soit \(f \in A[T]\) un polynôme unitaire et soit \(\overline{f} = g_nh_n\) une factorisation de \(\overline{f} = f \bmod I_n\) avec \(g_n, h_n \in A_n[T]\) unitaires engendrant l’idéal unité de \(A_n[T]\). D’après le lemme 0ALI, nous pouvons relever successivement cette factorisation en \(f \bmod I_m = g_m h_m\) avec \(g_m, h_m\) unitaires dans \(A_m[T]\) pour tout \(m \geq n\). À chaque étape, nous devons vérifier que nos relèvements \(g_m, h_m\) engendrent l’idéal unité dans \(A_n[T]\) ; cela résulte du fait correspondant pour \(g_n, h_n\) et du fait que \(\Spec(A_n[T]) = \Spec(A_m[T])\) car le noyau de \(A_m \to A_n\) est localement nilpotent. Comme \(A = \lim A_m\), cela conclut la démonstration.

Lemme

Soit \((A, I)\) une paire. Si \(A\) est complet pour la topologie \(I\)-adique, alors la paire est hensélienne.

Démonstration

D’après le lemme d’algèbre 05GI, l’idéal \(I\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(A\). Soit \(f \in A[T]\) un polynôme unitaire et soit \(\overline{f} = g_0h_0\) une factorisation de \(\overline{f} = f \bmod I\) avec \(g_0, h_0 \in A/I[T]\) unitaires engendrant l’idéal unité de \(A/I[T]\). D’après le lemme 0ALI, nous pouvons relever successivement cette factorisation en \(f \bmod I^n = g_n h_n\) avec \(g_n, h_n\) unitaires dans \(A/I^n[T]\) pour tout \(n \geq 1\). Comme \(A = \lim A/I^n\), cela conclut la démonstration.

Lemme

Soit \((A, I)\) une paire. Soit \(A \to B\) un morphisme d’anneaux de type fini tel que \(B/IB = C_1 \times C_2\) avec \(A/I \to C_1\) fini. Soit \(B'\) la clôture intégrale de \(A\) dans \(B\). Alors on peut écrire \(B'/IB' = C_1 \times C'_2\) de sorte que le morphisme \(B'/IB' \to B/IB\) préserve les décompositions en produits et qu’il existe un \(g \in B'\) s’envoyant sur \((1, 0)\) dans \(C_1 \times C'_2\) tel que \(B'_g \to B_g\) soit un isomorphisme.

Démonstration

Remarquons que \(A \to B\) est quasi-fini en tout idéal premier du fermé \(T = \Spec(C_1) \subset \Spec(B)\) (cela résulte de l’examen des anneaux des fibres, voir la définition d’algèbre 00PL). Considérons le diagramme d’espaces topologiques \[\xymatrix{ \Spec(B) \ar[rr]_\phi \ar[rd]_\psi & & \Spec(B') \ar[ld]^{\psi'} \\ & \Spec(A) }\] D’après le théorème d’algèbre 00Q9, pour tout \(\mathfrak p \in T\), il existe un \(h_\mathfrak p \in B'\), \(h_\mathfrak p \not \in \mathfrak p\) tel que \(B'_h \to B_h\) soit un isomorphisme. L’union \(U = \bigcup D(h_\mathfrak p)\) donne un ouvert \(U \subset \Spec(B')\) tel que \(\phi^{-1}(U) \to U\) soit un homéomorphisme et \(T \subset \phi^{-1}(U)\). Puisque \(T\) est ouvert dans \(\psi^{-1}(V(I))\), nous en déduisons que \(\phi(T)\) est ouvert dans \(U \cap (\psi')^{-1}(V(I))\). Ainsi \(\phi(T)\) est ouvert dans \((\psi')^{-1}(V(I))\). D’autre part, puisque \(C_1\) est fini sur \(A/I\), il est fini sur \(B'\). Donc \(\phi(T)\) est un fermé de \(\Spec(B')\) d’après les lemmes d’algèbre 00HZ et 00GU. Nous concluons que \(\Spec(B'/IB') \supset \phi(T)\) est à la fois ouvert et fermé. D’après le lemme d’algèbre 00EM, nous obtenons une décomposition en produit correspondante \(B'/IB' = C'_1 \times C'_2\). Le morphisme \(B'/IB' \to B/IB\) envoie \(C'_1\) dans \(C_1\) et \(C'_2\) dans \(C_2\), comme on le voit en examinant ce qui se passe sur les spectres (indication : l’image réciproque de \(\phi(T)\) est exactement \(T\) ; certains détails sont omis). Choisissons un \(g \in B'\) s’envoyant sur \((1, 0)\) dans \(C'_1 \times C'_2\) tel que \(D(g) \subset U\) ; cela est possible car \(\Spec(C'_1)\) et \(\Spec(C'_2)\) sont disjoints et fermés dans \(\Spec(B')\) et \(\Spec(C'_1)\) est contenu dans \(U\). Alors \(B'_g \to B_g\) définit un homéomorphisme sur les spectres et un isomorphisme sur les anneaux locaux (par notre choix de \(U\)). C’est donc un isomorphisme, comme le montre par exemple le lemme d’algèbre 00HN. Enfin, il s’ensuit que \(C'_1 = C_1\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \((A, I)\) une paire. Les assertions suivantes sont équivalentes

1. \((A, I)\) est une paire hensélienne ;

2. étant donné un morphisme d’anneaux étale \(A \to A'\) et un morphisme de \(A\)-algèbres \(\sigma : A' \to A/I\), il existe un morphisme de \(A\)-algèbres \(A' \to A\) relevant \(\sigma\) ;

3. pour toute \(A\)-algèbre finie \(B\), le morphisme \(B \to B/IB\) induit une bijection sur les idempotents ;

4. pour toute \(A\)-algèbre entière \(B\), le morphisme \(B \to B/IB\) induit une bijection sur les idempotents ;

5. (Gabber) \(I\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(A\) et tout polynôme unitaire \(f(T) \in A[T]\) de la forme \[f(T) = T^n(T - 1) + a_n T^n + \ldots + a_1 T + a_0\] avec \(a_n, \ldots, a_0 \in I\) et \(n \ge 1\) possède une racine \(\alpha \in 1 + I\).

De plus, dans (5), la racine est unique.

Démonstration

Supposons (2). Alors \(I\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(A\), car sinon il existerait un \(f \in A\) non inversible congru à \(1\) modulo \(I\), et le morphisme \(A \to A_f\) contredirait (2). Ainsi \(IB \subset B\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(B\) pour \(B\) entière sur \(A\), car \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) est fermé d’après les lemmes d’algèbre 00HZ et 00GU. Ainsi le morphisme des idempotents de \(B\) vers ceux de \(B/IB\) est injectif d’après le lemme 09XF. D’autre part, puisque (2) est vérifiée, tout idempotent de \(B/IB\) se relève en un idempotent de \(B\) d’après le lemme 07M4. Nous voyons ainsi que (2) implique (4).

L’implication (4) \(\Rightarrow\) (3) est triviale.

Supposons (3). Soit \(\mathfrak m\) un idéal maximal et considérons le morphisme fini \(A \to B = A/(I \cap \mathfrak m)\). La condition selon laquelle \(B \to B/IB\) induit une bijection sur les idempotents implique que \(I \subset \mathfrak m\) (sinon \(B = A/I \times A/\mathfrak m\) et \(B/IB = A/I\)). Nous voyons donc que \(I\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(A\). Soit \(f \in A[T]\) unitaire et supposons donnée une factorisation \(\overline{f} = g_0h_0\) avec \(g_0, h_0 \in A/I[T]\) unitaires engendrant l’idéal unité dans \(A/I[T]\). Posons \(B = A[T]/(f)\). Soit \(\overline{e}\) l’idempotent de \(B/IB\) correspondant à la décomposition \[B/IB = A/I[T]/(g_0) \times A/I[T]/(h_0)\] en \(A\)-algèbres. Soit \(e \in B\) un idempotent relevant \(\overline{e}\), qui existe puisque nous avons supposé (3). Cela donne une décomposition en produit \[B = eB \times (1 - e)B\] Remarquons que \(B\) est libre de rang \(\deg(f)\) comme \(A\)-module. Ainsi \(eB\) et \((1 - e)B\) sont des \(A\)-modules localement libres de type fini. Cependant, puisque \(eB\) et \((1 - e)B\) ont des rangs constants \(\deg(g_0)\) et \(\deg(h_0)\) sur \(A/I\), nous trouvons qu’il en est de même sur \(\Spec(A)\). Nous concluons que \[\begin{align*} f & = \text{CharPol}_A(T : B \to B) \\ & = \text{CharPol}_A(T : eB \to eB) \text{CharPol}_A(T : (1 - e)B \to (1 - e)B) \end{align*}\] est une factorisation en polynômes unitaires se réduisant sur la factorisation donnée modulo \(I\). Ici \(\text{CharPol}_A\) désigne le polynôme caractéristique d’un endomorphisme d’un module localement libre de type fini sur \(A\). Si le module est libre, \(\text{CharPol}_A\) est défini comme le polynôme caractéristique de la matrice correspondante et, en général, on utilise le lemme d’algèbre 00EJ pour recoller. Détails omis. Ainsi (3) implique (1).

Supposons (1). Soit \(f\) comme dans (5). La factorisation de \(f \bmod I\) en \(T^n\) fois \(T - 1\) se relève en une factorisation \(f = gh\) avec \(g\) et \(h\) unitaires par la définition 09XE. Alors \(h\) doit être de degré \(1\), et nous voyons que \(f\) possède une racine qui se réduit à \(1\) modulo \(I\). Enfin, \(I\) est contenu dans le radical de Jacobson par la définition d’une paire hensélienne. Ainsi (1) implique (5).

Avant de donner la preuve de la dernière étape, montrons que la racine \(\alpha\) de (5), si elle existe, est unique. En effet, en raison de la forme explicite de \(f(T)\), nous avons \(f'(\alpha) \in 1 + I\), où \(f'\) est la dérivée de \(f\) par rapport à \(T\). Un argument élémentaire montre que \[f(T) = f(\alpha + T - \alpha) = f(\alpha) + f'(\alpha) \cdot (T - \alpha) \bmod (T - \alpha)^2 A[T]\] Cela montre que toute autre racine \(\alpha' \in 1 + I\) de \(f(T)\) vérifie \(0 = f(\alpha') - f(\alpha) = (\alpha' - \alpha)(1 + i)\) pour un certain \(i \in I\) ; puisque \(1 + i\) est une unité de \(A\), nous avons donc \(\alpha = \alpha'\).

Supposons (5). Nous allons montrer que (2) est vérifiée, autrement dit que pour tout morphisme étale \(A \to A'\), toute section \(\sigma : A' \to A/I\) modulo \(I\) se relève en une section \(A' \to A\). Puisque \(A \to A'\) est étale, la section \(\sigma\) détermine une décomposition [0EM1]\[\begin{equation} A'/IA' \cong A/I \times C \end{equation}\] en \(A/I\)-algèbres. En effet, le morphisme d’anneaux surjectif \(A'/IA' \to A/I\) est étale d’après le lemme d’algèbre 00U7, et nous obtenons alors l’idempotent voulu par le lemme d’algèbre 00U8. Nous montrerons que cette décomposition se relève en une décomposition [0EM2]\[\begin{equation} A' \cong A'_1 \times A'_2 \end{equation}\] en \(A\)-algèbres avec \(A'_1\) entier sur \(A\). Alors \(A \to A'_1\) est entier et étale et \(A/I \to A'_1/IA'_1\) est un isomorphisme, donc \(A \to A'_1\) est un isomorphisme d’après le lemme 0ELZ (nous utilisons aussi ici qu’un morphisme d’anneaux étale est plat et de présentation finie, voir le lemme d’algèbre 00U2).

Soit \(B'\) la clôture intégrale de \(A\) dans \(A'\). D’après le lemme 09XH, nous pouvons décomposer [0EM3]\[\begin{equation} B'/IB' \cong A/I \times C' \end{equation}\] en \(A/I\)-algèbres, de manière compatible avec (0EM1), et trouver \(b \in B'\) qui relève \((1, 0)\) tel que \(B'_b \to A'_b\) soit un isomorphisme. Si la décomposition (0EM3) se relève en une décomposition [0EM4]\[\begin{equation} B' \cong B'_1 \times B'_2 \end{equation}\] en \(A\)-algèbres, alors la décomposition induite \(A' = A'_1 \times A'_2\) donnera la décomposition voulue (0EM2) : en effet, puisque \(b\) est une unité dans \(B'_1\) (détails omis), nous aurons \(B'_1 \cong A'_1\), de sorte que \(A'_1\) sera entier sur \(A\).

Choisissons une \(A\)-sous-algèbre finie \(B'' \subset B'\) contenant \(b\) (remarquons que toute \(A\)-sous-algèbre de type fini de \(B'\) est finie sur \(A\)). Après avoir agrandi \(B''\), nous pouvons supposer que \(b\) s’envoie sur un idempotent dans \(B''/IB''\) donnant [0EM5]\[\begin{equation} B''/IB'' \cong C''_1 \times C''_2 \end{equation}\] Puisque \(B'_b \cong A'_b\), nous voyons que \(B'_b\) est de type fini sur \(A\). Supposons que \(B'_b\) soit engendré par \(b_1/b^n, \ldots, b_t/b^n\) sur \(A\) et agrandissons \(B''\) de sorte que \(b_1, \ldots, b_t \in B''\). Alors \(B''_b \to B'_b\) est à la fois surjectif et injectif, donc est un isomorphisme. En particulier, nous voyons que \(C''_1 = A/I\) ! Donc \(A/I \to C''_1\) est un isomorphisme, en particulier surjectif. Par le lemme 0EM0, nous pouvons trouver un \(f(T) \in A[T]\) de la forme \[f(T) = T^n(T - 1) + a_n T^n + \ldots + a_1 T + a_0\] avec \(a_n, \ldots, a_0 \in I\) et \(n \ge 1\) tel que \(f(b) = 0\). En particulier, nous trouvons que \(B'\) est une \(A[T]/(f)\)-algèbre. D’après (5), il existe une racine \(a \in 1 + I\) de \(f\). Cela produit une décomposition en produit \(A[T]/(f) = A[T]/(T - a) \times D\) compatible avec la décomposition (0EM3) de \(B'/IB'\). La décomposition induite de \(B'\) est alors la décomposition voulue (0EM4).

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soient \(I, J \subset A\) des idéaux tels que \(V(I) = V(J)\). Alors \((A, I)\) est hensélienne si et seulement si \((A, J)\) est hensélienne.

Démonstration

Pour tout morphisme d’anneaux entier \(A \to B\), on a \(V(IB) = V(JB)\). Les idempotents de \(B/IB\) et \(B/JB\) sont donc en correspondance bijective (lemme d’algèbre 00EE). Il s’ensuit que \(B \to B/IB\) induit une bijection sur les ensembles des idempotents si et seulement si \(B \to B/JB\) induit une bijection sur les ensembles d’idempotents. Nous concluons donc par le lemme 09XI.

Lemme

Soit \((A, I)\) une paire hensélienne et soit \(A \to B\) un morphisme d’anneaux entier. Alors \((B, IB)\) est une paire hensélienne.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la quatrième caractérisation des paires henséliennes dans le lemme 09XI et du fait que la composée de morphismes d’anneaux entiers est entière.

Lemme

Soient \(I \subset J \subset A\) des idéaux d’un anneau \(A\). Les assertions suivantes sont équivalentes

1. \((A, I)\) et \((A/I, J/I)\) sont des paires henséliennes ;

2. \((A, J)\) est une paire hensélienne.

Démonstration

Supposons (1). Soit \(B\) une \(A\)-algèbre entière. Considérons les morphismes d’anneaux \[B \to B/IB \to B/JB\] D’après le lemme 09XI, les deux flèches induisent des bijections sur les idempotents. Il en est donc de même de la composée. Ainsi \((A, J)\) est une paire hensélienne d’après le lemme 09XI.

Réciproquement, supposons (2). Alors \((A/I, J/I)\) est une paire hensélienne d’après le lemme 09XK. Soit \(B\) une \(A\)-algèbre entière. Considérons les morphismes d’anneaux \[B \to B/IB \to B/JB\] D’après le lemme 09XI, la composée et la seconde flèche induisent des bijections sur les idempotents. Il en est donc de même de la première flèche. Il s’ensuit que \((A, I)\) est une paire hensélienne (par le même lemme).

Lemme

Soit \(A\) un anneau et soient \((A, I)\) et \((A, I')\) des paires henséliennes. Alors \((A, I + I')\) est une paire hensélienne.

Démonstration

D’après le lemme 09XK, la paire \((A/I, (I' + I)/I)\) est hensélienne. Nous obtenons donc la conclusion du lemme 0DYD.

Lemme

Soit \(J\) un ensemble et soit \(\{ (A_j, I_j)\}_{j \in J}\) une collection de paires. Alors \((\prod_{j \in J} A_j, \prod_{j\in J} I_j)\) est hensélienne si et seulement si chaque \((A_j, I_j)\) l’est.

Démonstration

Pour tout \(j \in J\), la projection \(\prod_{j \in J} A_j \rightarrow A_j\) est un morphisme d’anneaux entier ; le lemme 09XK montre donc que chaque \((A_j, I_j)\) est hensélienne si \((\prod_{j \in J} A_j, \prod_{j\in J} I_j)\) l’est.

Réciproquement, supposons que chaque \((A_j, I_j)\) soit une paire hensélienne. Alors tout \(1 + x\) avec \(x \in \prod_{j \in J} I_j\) est une unité de \(\prod_{j \in J} A_j\), car il en est ainsi composante par composante d’après le lemme d’algèbre 0AME et la définition 09XE. Ainsi, de nouveau par le lemme d’algèbre 0AME, \(\prod_{j \in J} I_j\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(\prod_{j \in J} A_j\). En travaillant encore composante par composante, il s’ensuit de même que pour tout polynôme unitaire \(f \in (\prod_{j \in J} A_j)[T]\) et toute factorisation \(\overline{f} = g_0h_0\) avec \(g_0, h_0 \in (\prod_{j \in J} A_j / \prod_{j \in J} I_j)[T] = (\prod_{j \in J} A_j/I_j)[T]\) unitaires et engendrant l’idéal unité dans \((\prod_{j \in J} A_j / \prod_{j \in J} I_j)[T]\), il existe une factorisation \(f = gh\) dans \((\prod_{j \in J} A_j)[T]\) avec \(g\), \(h\) unitaires et se réduisant à \(g_0\), \(h_0\). En conclusion, d’après la définition 09XE, \((\prod_{j \in J} A_j, \prod_{j\in J} I_j)\) est une paire hensélienne.

Lemme

La propriété d’être hensélienne est préservée par les limites de paires. Plus précisément, soit \(J\) un ensemble préordonné et soit \((A_j, I_j)\) un système projectif de paires henséliennes indexé par \(J\). Alors \(A = \lim A_j\), muni de l’idéal \(I = \lim I_j\), est une paire hensélienne \((A, I)\).

Démonstration

D’après Catégories, lemme 002N, il suffit de considérer les produits et les égalisateurs. Pour les produits, l’assertion découle du lemme 0ATD. Considérons donc un diagramme égalisateur \[\xymatrix{ (A, I) \ar[r] & (A', I') \ar@<1ex>[r]^{\varphi} \ar@<-1ex>[r]_{\psi} & (A'', I'') }\] dans lequel les paires \((A', I')\) et \((A'', I'')\) sont henséliennes. Pour vérifier que la paire \((A, I)\) est elle aussi hensélienne, nous utiliserons le critère de Gabber du lemme 09XI. Tout élément de \(1 + I\) est une unité de \(A\) car, par unicité de l’inverse d’une unité, cela peut se vérifier dans \((A', I')\). Ainsi \(I\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(A\), voir Algèbre, lemme 0AME. Soit donc \[f(T) = T^{N - 1}(T - 1) + a_{N - 1} T^{N - 1} + \dotsb + a_1 T + a_0\] un polynôme de \(A[T]\) avec \(a_{N - 1}, \dotsc, a_0 \in I\) et \(N \ge 1\). L’image de \(f(T)\) dans \(A'[T]\) admet une unique racine \(\alpha' \in 1 + I'\) et il en est de même de son image dans \(A''[T]\). Ainsi, par unicité, \(\varphi(\alpha') = \psi(\alpha')\), de sorte que \(\alpha'\) définit une racine de \(f(T)\) dans \(1 + I\), comme souhaité.

Lemme

La propriété d’être hensélienne est préservée par les colimites filtrantes de paires. Plus précisément, soit \(J\) un ensemble dirigé et soit \((A_j, I_j)\) un système de paires henséliennes indexé par \(J\). Alors \(A = \colim A_j\), muni de l’idéal \(I = \colim I_j\), est une paire hensélienne \((A, I)\).

Démonstration

Si \(u \in 1 + I\), alors pour un certain \(j \in J\), \(u\) est l’image d’un \(u_j \in 1 + I_j\). Alors \(u_j\) est inversible dans \(A_j\) d’après le lemme d’algèbre 0AME et l’hypothèse que \(I_j\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(A_j\). Ainsi \(u\) est inversible dans \(A\). Donc \(I\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(A\) (d’après le lemme).

Soit \(f \in A[T]\) un polynôme unitaire et soit \(\overline{f} = g_0 h_0\) une factorisation avec \(g_0, h_0 \in A/I[T]\) unitaires engendrant l’idéal unité dans \(A/I[T]\). Écrivons \(1 = g_0 g'_0 + h_0 h'_0\) pour certains \(g'_0, h'_0 \in A/I[T]\). Comme \(A = \colim A_j\) et \(A/I = \colim A_j/I_j\) sont des colimites filtrantes, on peut trouver un \(j \in J\), un \(f_j \in A_j\) et une factorisation \(\overline{f}_j = g_{j, 0} h_{j, 0}\) avec \(g_{j, 0}, h_{j, 0} \in A_j/I_j[T]\) unitaires et \(1 = g_{j, 0} g'_{j, 0} + h_{j, 0} h'_{j, 0}\) pour certains \(g'_{j, 0}, h'_{j, 0} \in A_j/I_j[T]\), tels que \(f_j, g_{j, 0}, h_{j, 0}, g'_{j, 0}, h'_{j, 0}\) s’envoient respectivement sur \(f, g_0, h_0, g'_0, h'_0\). Puisque \((A_j, I_j)\) est une paire hensélienne, nous pouvons relever \(\overline{f}_j = g_{j, 0} h_{j, 0}\) en une factorisation sur \(A_j\) et, en prenant l’image dans \(A\), nous obtenons une factorisation correspondante dans \(A\). Ainsi \((A, I)\) est hensélienne.

Exemple

Le lemme 0FWT est faux si la colimite n’est pas filtrante. Par exemple, si nous prenons le coproduit des paires henséliennes \((\mathbf{Z}_p, (p))\) et \((\mathbf{Z}_p, (p))\), nous obtenons \((A, pA)\) avec \(A = \mathbf{Z}_p \otimes_\mathbf{Z} \mathbf{Z}_p\). Ce n’est pas une paire hensélienne : \(A/pA = \mathbf{F}_p\) ; donc si \((A, pA)\) était hensélienne, \(A\) devrait être local. Cependant, \(\Spec(A)\) est déconnecté ; par exemple, pour les nombres premiers impairs \(p\), nous avons l’idempotent non trivial \[(1/2 \otimes 1) \left(1 \otimes 1 - (1 + p)^{-1}u \otimes u\right)\] où \(u \in \mathbf{Z}_p\) est une racine carrée de \(1 + p\). Certains détails sont omis.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Il existe un plus grand idéal \(I \subset A\) tel que \((A, I)\) soit une paire hensélienne.

Démonstration

Combinons les lemmes 0DYD, 0G1R et 0FWT.

Lemme

Soit \((A, I)\) une paire hensélienne. Soit \(\mathfrak p \subset A\) un idéal premier. Alors \(V(\mathfrak p + I)\) est connexe.

Démonstration

D’après le lemme 09XK, nous voyons que \((A/\mathfrak p, I + \mathfrak p/\mathfrak p)\) est une paire hensélienne. Il suffit donc de démontrer : si \((A, I)\) est une paire hensélienne et \(A\) est un domaine, alors \(\Spec(A/I) = V(I)\) est connexe. Sinon, \(A/I\) possède un idempotent non trivial d’après le lemme d’algèbre 00EF. D’après le lemme 09XI, cela impliquerait que \(A\) possède un idempotent non trivial. C’est une contradiction.

Hensélisation des paires

Nous poursuivons la discussion commencée dans la section 09XD.

Lemme

Le foncteur d’inclusion \[\text{catégorie des paires henséliennes} \longrightarrow \text{catégorie des paires}\] admet un adjoint à gauche \((A, I) \mapsto (A^h, I^h)\).

Démonstration

Soit \((A, I)\) une paire. Considérons la catégorie \(\mathcal{C}\) constituée des morphismes d’anneaux étale \(A \to B\) tels que \(A/I \to B/IB\) soit un isomorphisme. Nous montrerons que la catégorie \(\mathcal{C}\) est dirigée et que \(A^h = \colim_{B \in \mathcal{C}} B\), munie de l’idéal \(I^h = IA^h\), donne l’adjoint voulu.

Nous démontrons d’abord que \(\mathcal{C}\) est dirigée (définition de catégories 002V). Elle est non vide car \(\text{id} : A \to A\) est un objet. Si \(B\) et \(B'\) sont deux objets de \(\mathcal{C}\), alors \(B'' = B \otimes_A B'\) est un objet de \(\mathcal{C}\) (utiliser le lemme d’algèbre 00U2) et il existe des morphismes \(B \to B''\) et \(B' \to B''\). Supposons que \(f, g : B \to B'\) soient deux morphismes entre objets de \(\mathcal{C}\). Alors un coégaliseur est \[(B' \otimes_{f, B, g} B') \otimes_{(B' \otimes_A B')} B'\] qui est étale sur \(A\) d’après les lemmes d’algèbre 00U2 et 00U7. Ainsi la catégorie \(\mathcal{C}\) est dirigée.

Comme \(B/IB = A/I\) pour tout objet \(B\) de \(\mathcal{C}\), nous voyons que \(A^h/I^h = A^h/IA^h = \colim B/IB = \colim A/I = A/I\).

Ensuite, nous montrons que \(A^h = \colim_{B \in \mathcal{C}} B\), avec \(I^h = IA^h\), est une paire hensélienne. Pour cela, nous vérifierons la condition (2) du lemme 09XI. Supposons donné un morphisme d’anneaux étale \(A^h \to A'\) et un morphisme de \(A^h\)-algèbres \(\sigma : A' \to A^h/I^h\). Alors il existe un \(B \in \mathcal{C}\) et un morphisme d’anneaux étale \(B \to B'\) tels que \(A' = B' \otimes_B A^h\). Voir le lemme d’algèbre 00U2. Comme \(A^h/I^h = A/I\), le morphisme \(\sigma\) induit un morphisme de \(A\)-algèbres \(s : B' \to A/I\). Alors \(B'/IB' = A/I \times C\) comme \(A/I\)-algèbre, où \(C\) est le noyau du morphisme \(B'/IB' \to A/I\) induit par \(s\). Soit \(g \in B'\) s’envoyant sur \((1, 0) \in A/I \times C\). Alors \(B \to B'_g\) est étale et \(A/I \to B'_g/IB'_g\) est un isomorphisme, c’est-à-dire que \(B'_g\) est un objet de \(\mathcal{C}\). Nous obtenons donc un morphisme canonique \(B'_g \to A^h\) tel que \[\vcenter{ \xymatrix{ B'_g \ar[r] & A^h \\ B \ar[u] \ar[ur] } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ B' \ar[r] \ar[rrd]_s & B'_g \ar[r] & A^h \ar[d] \\ & & A/I } }\] commutent. Cela induit un morphisme \(A' = B' \otimes_B A^h \to A^h\) compatible avec \(\sigma\), comme voulu.

Soit \((A, I) \to (A', I')\) un morphisme de paires avec \((A', I')\) hensélienne. Nous montrerons qu’il existe une factorisation unique \(A \to A^h \to A'\), ce qui achèvera la démonstration. En effet, pour chaque \(A \to B\) dans \(\mathcal{C}\), le morphisme d’anneaux \(A' \to B' = A' \otimes_A B\) est étale et induit un isomorphisme \(A'/I' \to B'/I'B'\). Il existe donc une section \(\sigma_B : B' \to A'\) d’après le lemme 09XI. Étant donné un morphisme \(B_1 \to B_2\) dans \(\mathcal{C}\), nous affirmons que le diagramme \[\xymatrix{ B'_1 \ar[rr] \ar[rd]_{\sigma_{B_1}} & & B'_2 \ar[ld]^{\sigma_{B_2}} \\ & A' }\] commute. Cela résulte du fait que, pour tout \(B\) dans \(\mathcal{C}\), la section \(\sigma_B\) est l’unique morphisme de \(A'\)-algèbres \(B' \to A'\). Nous avons \(B' \otimes_{A'} B' = B' \times R\) pour un certain anneau \(R\), voir le lemme d’algèbre 02FL. Dans notre cas, \(R/I'R = 0\) puisque \(B'/I'B' = A'/I'\). Ainsi, étant donnés deux morphismes de \(A'\)-algèbres \(\sigma_B, \sigma_B' : B' \to A'\), alors \(e = (\sigma_B \otimes \sigma_B')(0, 1) \in A'\) est un idempotent contenu dans \(I'\). Nous concluons que \(e = 0\) d’après le lemme 09XF. Ainsi \(\sigma_B = \sigma_B'\), comme voulu. Par commutativité, nous obtenons \[A^h = \colim_{B \in \mathcal{C}} B \to \colim_{B \in \mathcal{C}} A' \otimes_A B \xrightarrow{\colim \sigma_B} A'\] comme voulu. L’unicité des morphismes \(\sigma_B\) garantit également que ce morphisme est unique. Ainsi \((A, I) \mapsto (A^h, I^h)\) est l’adjoint voulu.

Lemme

Soit \((A, I)\) une paire. Soit \((A^h, I^h)\) comme dans le lemme 0A02. Alors \(A \to A^h\) est plat, \(I^h = IA^h\) et \(A/I^n \to A^h/I^nA^h\) est un isomorphisme pour tout \(n\).

Démonstration

Dans la preuve du lemme 0A02, nous avons vu que \(A^h\) est une colimite filtrante d’\(A\)-algèbres étale \(B\) telles que \(A/I \to B/IB\) soit un isomorphisme, et nous avons vu que \(I^h = IA^h\). Comme un morphisme d’anneaux étale est plat (lemme d’algèbre 00U2), nous concluons que \(A \to A^h\) est plat d’après le lemme d’algèbre 05UT. Comme chaque \(A \to B\) est plat, nous trouvons que les morphismes \(A/I^n \to B/I^nB\) sont également des isomorphismes (par exemple d’après le lemme d’algèbre 051H). En prenant la colimite, nous trouvons \(A/I^n = A^h/I^nA^h\), comme voulu.

Lemme

Le foncteur du lemme 0A02 associe à un anneau local \((A, \mathfrak m)\) son hensélisé.

Démonstration

Soit \((A^h, \mathfrak m^h)\) le hensélisé de la paire \((A, \mathfrak m)\) construit dans le lemme 0A02. Alors \(\mathfrak m^h = \mathfrak m A^h\) est un idéal maximal d’après le lemme 0AGU et, puisqu’il est contenu dans le radical de Jacobson, nous concluons que \(A^h\) est local d’idéal maximal \(\mathfrak m^h\). Cela dit, il y a deux façons d’achever la démonstration.

Première preuve : remarquons que la construction comme colimite dans la preuve du lemme d’algèbre 04GN est la même que la colimite utilisée pour construire \(A^h\) dans le lemme 0A02. Deuxième preuve : les deux hensélisés \(A \to S\) et \(A \to A^h\) du lemme 0A02 sont des homomorphismes d’anneaux locaux, \(S\) et \(A^h\) sont des colimites filtrantes d’\(A\)-algèbres étale, \(S\) et \(A^h\) sont des anneaux locaux henséliens, et \(S\) et \(A^h\) ont pour corps résiduels \(\kappa(\mathfrak m)\) (d’après le lemme 0AGU dans le second cas). Ils sont donc canoniquement isomorphes d’après le lemme d’algèbre 08HT.

Lemme

Soit \((A, I)\) une paire avec \(A\) noethérien. Soit \((A^h, I^h)\) comme dans le lemme 0A02. Alors le morphisme des complétés \(I\)-adiques \[A^\wedge \to (A^h)^\wedge\] est un isomorphisme. De plus, \(A^h\) est noethérien, les morphismes \(A \to A^h \to A^\wedge\) sont plats et \(A^h \to A^\wedge\) est fidèlement plat.

Démonstration

La première assertion est une conséquence immédiate du lemme 0AGU et, en fait, reste vraie sans supposer \(A\) noethérien. Dans la preuve du lemme 0A02, nous avons vu que \(A^h\) est une colimite filtrante d’\(A\)-algèbres étale \(B\) telles que \(A/I \to B/IB\) soit un isomorphisme. Pour chaque tel \(A \to B\), le morphisme induit \(A^\wedge \to B^\wedge\) est un isomorphisme (voir la preuve du lemme 0AGU). D’après le lemme d’algèbre 00MB, le morphisme d’anneaux \(B \to A^\wedge = B^\wedge = (A^h)^\wedge\) est plat pour chaque \(B\). Ainsi \(A^h \to A^\wedge = (A^h)^\wedge\) est plat d’après le lemme d’algèbre 05UU. Comme \(I^h = IA^h\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(A^h\) et que \(A^h \to A^\wedge\) induit un isomorphisme \(A^h/I^h \to A/I\), nous voyons que \(A^h \to A^\wedge\) est fidèlement plat d’après le lemme d’algèbre 00HP. D’après le lemme d’algèbre 0316, l’anneau \(A^\wedge\) est noethérien. Nous concluons donc que \(A^h\) est noethérien d’après le lemme d’algèbre 033E.

Lemme

Soit \((A, I) = \colim (A_i, I_i)\) une colimite filtrante de paires. Le foncteur du lemme 0A02 donne \(A^h = \colim A_i^h\) et \(I^h = \colim I_i^h\).

Ce lemme est faux pour les colimites non filtrantes, voir l’exemple 0FWU.

Démonstration

D’après Catégories, lemme 0038, nous voyons que \((A^h, I^h)\) est la colimite du système \((A_i^h, I_i^h)\) dans la catégorie des paires henséliennes. Ainsi, pour une paire hensélienne \((B, J)\), nous avons \[\Mor((A^h, I^h), (B, J)) = \lim \Mor((A_i^h, I_i^h), (B, J)) = \Mor(\colim (A_i^h, I_i^h), (B, J))\] Ici, la colimite est prise dans la catégorie des paires. Comme la colimite est filtrante, nous obtenons \(\colim (A_i^h, I_i^h) = (\colim A_i^h, \colim I_i^h)\) dans la catégorie des paires ; les détails sont omis. En utilisant de nouveau le fait que la colimite est filtrante, c’est une paire hensélienne (lemme 0FWT). Il s’ensuit par le lemme de Yoneda que \((A^h, I^h) = (\colim A_i^h, \colim I_i^h)\).

Lemme

Soit \(A\) un anneau muni d’idéaux \(I\) et \(J\). Si \(V(I) = V(J)\), alors le foncteur du lemme 0A02 produit le même anneau pour la paire \((A, I)\) que pour la paire \((A, J)\).

Démonstration

Soit \((A', IA')\) la paire produite par le lemme 0A02 à partir de la paire \((A, I)\), voir le lemme 0AGU. Soit \((A'', JA'')\) la paire produite par le lemme 0A02 à partir de la paire \((A, J)\). D’après le lemme 09XJ, nous voyons que \((A', JA')\) et \((A'', IA'')\) sont des paires henséliennes. Par la propriété universelle de la construction, nous obtenons d’uniques morphismes de \(A\)-algèbres \(A'' \to A'\) et \(A' \to A''\). Leur unicité montre qu’ils sont inverses l’un de l’autre.

Lemme

Soit \((A, I) \to (B, J)\) un morphisme de paires tel que \(V(J) = V(IB)\). Soit \((A^h , I^h) \to (B^h, J^h)\) le morphisme induit sur les hensélisés (lemme 0A02). Si \(A \to B\) est entier, alors le morphisme induit \(A^h \otimes_A B \to B^h\) est un isomorphisme.

Démonstration

D’après le lemme 0F0L, nous pouvons supposer \(J = IB\). D’après le lemme 09XK, la paire \((A^h \otimes_A B, I^h(A^h \otimes_A B))\) est hensélienne. Par la propriété universelle de \((B^h, IB^h)\), nous obtenons un morphisme \(B^h \to A^h \otimes_A B\). Nous omettons la démonstration du fait que ce morphisme est l’inverse de celui du lemme.

Lemme

Soient \(I_1, I_2, \dots, I_n \subset A\) des idéaux d’un anneau \(A\). Supposons \(I_i + I_j = A\) pour \(i \not = j\), \(1 \leq i, j \leq n\). Notons \(A^h\) l’hensélisé de la paire \((A, I_1 \cap \ldots \cap I_n)\) et \(A_i^h\) l’hensélisé de la paire \((A, I_i)\). Alors le morphisme naturel \[A^h \to \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} A^h_i\] est un isomorphisme.

Démonstration

Le morphisme découle de la fonctorialité de la construction. Si \(n = 1\), le résultat est immédiat. Si \(n > 1\), remarquons que \((I_1 \cap \ldots \cap I_{n - 1}) + I_n = A\) d’après notre hypothèse sur les idéaux. Ainsi, si nous démontrons le lemme pour \(n = 2\), alors le lemme s’ensuit pour tout \(n\) par récurrence.

Le cas \(n = 2\). Choisissons \(f_i \in I_i\) de sorte que \(f_1 + f_2 = 1\). Rappelons que \(A^h\) est construit comme la colimite des \(A\)-algèbres \(B\) telles que \(A \to B\) soit étale et que \(A/I_1 \cap I_2 \to B/(I_1 \cap I_2)B\) soit un isomorphisme. Voir la preuve du lemme 0A02. Notons \(Hens\) la catégorie de ces \(A\)-algèbres \(B\). De même, notons \(Hens_i\), \(i = 1, 2\), la catégorie des \(A\)-algèbres étales \(B\) telles que \(A/I_i \to B/I_iB\) soit un isomorphisme.

Considérons la sous-catégorie \(Hens_1(f_2) \subset Hens_1\) formée des \(B\) tels que \(f_2\) soit inversible. C’est une sous-catégorie cofinale car, si \(B\) appartient à \(Hens_1\), alors \(B_{f_2}\) appartient aussi à \(Hens_1\) (indication : \(B_{f_2}/I_1B_{f_2} = (B/I_1B)_{f_2} = B/I_1B\) car \(f_2\) est une unité modulo \(I_1\)). De même, la sous-catégorie \(Hens_2(f_1) \subset Hens_2\) est cofinale. Ainsi, pour calculer \(A_1^h\) et \(A_2^h\), nous pouvons travailler avec ces catégories plus petites, voir Catégories, lemme 04E7.

Considérons le foncteur \[Hens_1(f_2) \times Hens_2(f_1) \to Hens,\quad (B_1, B_2) \mapsto B_1 \times B_2\] Ce foncteur est bien défini car \[\begin{align*} (B_1 \times B_2)/(I_1 \cap I_2)(B_1 \times B_2) & = B_1/(I_1 \cap I_2)B_1 \times B_2/(I_1 \cap I_2)B_2 \\ & = B_1/I_1B_1 \times B_2/I_2B_2 \\ & = A/I_1 \times A/I_2 \\ & = A/(I_1 \cap I_2) \end{align*}\] La deuxième égalité est vraie car \((I_1 \cap I_2)B_1 = I_1B_1 \cap I_2B_1 = I_1B_1\) puisque \(f_2 \in I_2\) est inversible dans \(B_1\) (nous avons aussi utilisé Algèbre, lemme 0BBY). La dernière égalité résulte d’Algèbre, lemme 00DT. Pour achever la démonstration, il suffit de montrer que le foncteur affiché est cofinal (voir le lemme cité ci-dessus). La première condition de Catégories, définition 04E6, est satisfaite car un objet \(B\) de \(Hens\) s’envoie sur \(B_{f_2} \times B_{f_1}\), qui appartient à l’image du foncteur. La seconde est toujours satisfaite car, si nous avons \(B \to B_1 \times B_2\) et \(B \to B'_1 \times B'_2\) avec \(B_1, B'_1 \in Hens_1(f_2)\) et \(B_2, B'_2 \in Hens_2(f_1)\), alors nous pouvons poser \(B''_1 = B_1 \otimes_B B'_1\), qui appartient à \(Hens_1(f_2)\), et de même \(B''_2 = B_2 \otimes_B B''_2\) dans \(Hens_2(f_1)\), pour trouver un morphisme \(B \to B''_1 \times B''_2\) s’insérant dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ & B \ar[ld] \ar[d] \ar[rd] \\ B_1 \times B_2 \ar[r] & B_1'' \times B_2'' & B_1' \times B_2' \ar[l] }\] Cela achève la démonstration.

Relèvement et couples henséliens

Dans cette section, nous combinons principalement des résultats des sections 07LW et 09XD.

Lemme

Soit \((R, I)\) un couple hensélien. L’application \[P \longrightarrow P/IP\] induit une bijection entre les ensembles de classes d’isomorphisme de \(R\)-modules projectifs de type fini et de \(R/I\)-modules projectifs de type fini. En particulier, tout \(R/I\)-module projectif de type fini est isomorphe à \(P/IP\) pour un certain \(R\)-module projectif de type fini \(P\).

Démonstration

Commençons par démontrer la dernière assertion. Soit \(\overline{P}\) un \(R/I\)-module projectif de type fini. Il existe un module projectif de type fini \(P'\) sur une certaine \(R'\) étale sur \(R\) telle que \(R/I = R'/IR'\) et tel que \(P'/IP'\) soit isomorphe à \(\overline{P}\) ; voir le lemme 07M5. Puisque \((R, I)\) est un couple hensélien, le morphisme d’anneaux étale \(R \to R'\) admet une section \(\tau : R' \to R\) (lemme 09XI). En posant \(P = P' \otimes_{R', \tau} R\), nous en déduisons que \(P/IP\) est isomorphe à \(\overline{P}\). Cela montre bien sûr que l’application de l’énoncé du lemme est surjective.

Injectivité. Supposons que \(P_1\) et \(P_2\) soient des \(R\)-modules projectifs de type fini tels que \(P_1/IP_1 \cong P_2/IP_2\) comme \(R/I\)-modules. Puisque \(P_1\) est projectif, il existe un homomorphisme de \(R\)-modules \(u : P_1 \to P_2\) relevant l’isomorphisme donné. Le lemme de Nakayama montre alors que \(u\) est surjectif (Algèbre, lemme 00DV). De même, il existe une surjection \(v : P_2 \to P_1\). D’après Algèbre, lemme 05G8, l’application \(v \circ u\) est un isomorphisme ; nous en concluons que \(u\) est un isomorphisme.

Lemme

Soit \((A, I)\) un couple hensélien. Le foncteur \(B \to B/IB\) définit une équivalence entre les \(A\)-algèbres finies étales et les \(A/I\)-algèbres finies étales.

Démonstration

Soient \(B, B'\) deux \(A\)-algèbres finies étales sur \(A\). Alors \(B' \to B'' = B \otimes_A B'\) est également fini étale (Algèbre, lemmes 00U2 et 02JK). Nous avons des correspondances \(1\)-à-\(1\) bijectives entre

1. les homomorphismes de \(A\)-algèbres \(B \to B'\),

2. les sections de \(B' \to B''\), et

3. les idempotents \(e\) de \(B''\) tels que \(B' \to B'' \to eB''\) soit un isomorphisme.

La bijection entre (2) et (3) associe à \(\sigma : B'' \to B'\) l’élément \(e\) tel que \((1 - e)\) soit l’idempotent engendrant le noyau de \(\sigma\) ; celui-ci existe d’après Algèbre, lemmes 00U7 et 00U8. De même, les homomorphismes de \(A/I\)-algèbres \(B/IB \to B'/IB'\) correspondent aux idempotents \(\overline{e}\) de \(B''/IB''\) tels que \(B'/IB' \to B''/IB'' \to \overline{e}(B''/IB'')\) soit un isomorphisme. Or tout idempotent \(\overline{e}\) de \(B''/IB''\) se relève de manière unique en un idempotent \(e\) de \(B''\) (lemme 09XI). De plus, si \(B'/IB' \to \overline{e}(B''/IB'')\) est un isomorphisme, alors le lemme de Nakayama montre que \(B' \to eB''\) est aussi un isomorphisme (Algèbre, lemme 00DV). Ainsi, le foncteur est pleinement fidèle.

Surjectivité essentielle. Soit \(A/I \to C\) un morphisme fini étale. D’après Algèbre, lemme 04D1, il existe un morphisme étale \(A \to B\) tel que \(B/IB \cong C\). Soit \(B'\) la clôture intégrale de \(A\) dans \(B\). D’après le lemme 09XH, on a \(B'/IB' = C \times C'\) pour un certain anneau \(C'\), et \(B'_g \cong B_g\) pour un certain \(g \in B'\) dont l’image est \((1, 0) \in C \times C'\). Puisque les idempotents se relèvent (lemme 09XI), nous obtenons \(B' = B'_1 \times B'_2\), avec \(C = B'_1/IB'_1\) et \(C' = B'_2/IB'_2\). L’image de \(g\) dans \(B'_1\) est inversible. Alors \(B_g = B'_g = B'_1 \times (B_2)_g\), ce qui implique que \(A \to B'_1\) est étale. Nous en concluons que \(B'_1\) est fini étale sur \(A\) (par exemple, un morphisme intégral et étale est fini étale d’après Algèbre, lemme 02JJ), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soient \(R\) un anneau et \(S\) une \(R\)-algèbre lisse. Supposons que \(A\) soit une \(R\)-algèbre et que \((A,I)\) soit un couple hensélien. Alors tout homomorphisme de \(R\)-algèbres \(S \to A/I\) se relève en un homomorphisme de \(R\)-algèbres \(S \to A\).

Démonstration

Soit \(\tau : S \to A/I\) un homomorphisme de \(R\)-algèbres. Remarquons que \(S \otimes_R A\) est une \(A\)-algèbre lisse d’après Algèbre, lemme 00T4. Ainsi, le lemme 07M7 permet de relever l’homomorphisme induit \(S \otimes_R A \to A/I\) en un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(S \otimes_R A \to A'\), où \(A \to A'\) est étale et induit un isomorphisme \(A/I \to A'/IA'\). Comme \((A, I)\) est hensélien, il existe un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(A' \to A\) ; voir le lemme 09XI. La composée \(S \to S \otimes_R A \to A' \to A\) est le relèvement cherché.

Lemme

Soit \(A = \lim A_n\) la limite projective d’un système projectif \((A_n)\) d’anneaux. Supposons donnés des \(A_n\)-modules \(M_n\) et des homomorphismes de \(A_{n + 1}\)-modules \(M_{n + 1} \to M_n\). Supposons que

1. les morphismes de transition \(A_{n + 1} \to A_n\) sont surjectifs et leurs noyaux sont localement nilpotents,

2. \(M_1\) est un \(A_1\)-module projectif de type fini,

3. \(M_n\) est un \(A_n\)-module plat de type fini, et

4. les homomorphismes induisent des isomorphismes \(M_{n + 1} \otimes_{A_{n + 1}} A_n \to M_n\).

Alors \(M = \lim M_n\) est un \(A\)-module projectif de type fini et \(M \otimes_A A_n \to M_n\) est un isomorphisme pour tout \(n\).

Démonstration

D’après le lemme 0CT7, le couple \((A, \Ker(A \to A_1))\) est hensélien. D’après le lemme 0D4A, nous pouvons choisir un \(A\)-module projectif de type fini \(P\) et un isomorphisme \(P \otimes_A A_1 \to M_1\). Comme \(P\) est projectif, nous pouvons relever successivement l’homomorphisme de \(A\)-modules \(P \to M_1\) en des homomorphismes de \(A\)-modules \(P \to M_2\), \(P \to M_3\), et ainsi de suite. Nous obtenons donc un homomorphisme \[P \longrightarrow M\] Comme \(P\) est projectif de type fini, on peut écrire \(A^{\oplus m} = P \oplus Q\) pour un certain \(m \geq 0\) et un certain \(A\)-module \(Q\). Puisque \(A = \lim A_n\), il vient \(P = \lim P \otimes_A A_n\). Pour montrer que l’homomorphisme de \(A\)-modules affiché est un isomorphisme, il suffit donc de montrer que les homomorphismes \(P \otimes_A A_n \to M_n\) sont des isomorphismes. Le lemme 0D48 montre que \(M_n\) est un module projectif de type fini. D’après le lemme 0BC6, les homomorphismes \(P \otimes_A A_n \to M_n\) sont des isomorphismes.

Clôture intégrale absolue

Voici notre définition.

Définition

Un anneau \(A\) est absolument intégralement clos si tout polynôme unitaire \(f \in A[T]\) est un produit de facteurs linéaires.

Attention : il peut être possible d’écrire \(f\) comme produit de facteurs linéaires de nombreuses manières différentes.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(A\) est absolument intégralement clos, et

2. tout polynôme unitaire \(f \in A[T]\) possède une racine dans \(A\).

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(A\) un anneau absolument intégralement clos.

1. Tout anneau quotient \(A/I\) de \(A\) est absolument intégralement clos.

2. Tout localisé \(S^{-1}A\) est absolument intégralement clos.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(S \subset A\) une partie multiplicative formée de non-diviseurs de zéro. Si \(S^{-1}A\) est absolument intégralement clos et si \(A \subset S^{-1}A\) est intégralement clos dans \(S^{-1}A\), alors \(A\) est absolument intégralement clos.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(A\) un anneau intègre normal. Alors \(A\) est absolument intégralement clos si et seulement si son corps des fractions est algébriquement clos.

Démonstration

Remarquons qu’un corps est algébriquement clos si et seulement s’il est absolument intégralement clos en tant qu’anneau. Le lemme résulte donc des lemmes 0DCN et 0DCP.

Lemme

Pour tout anneau \(A\), il existe une extension \(A \subset B\) telle que

1. \(B\) est une colimite filtrante de \(A\)-algèbres libres de type fini,

2. \(B\) est libre comme \(A\)-module, et

3. \(B\) est absolument intégralement clos.

Démonstration

Soit \(I\) l’ensemble des polynômes unitaires sur \(A\). Pour \(i \in I\), notons \(x_i\) une indéterminée et \(P_i\) le polynôme unitaire correspondant en l’indéterminée \(x_i\). Posons \[F(A) = A[x_i; i \in I]/(P_i; i \in I)\] Comme la notation le suggère, \(F\) est un foncteur de la catégorie des anneaux dans elle-même. Notons que \(A \subset F(A)\), que \(F(A)\) est libre comme \(A\)-module et que \(F(A)\) est une colimite filtrante de \(A\)-algèbres libres de type fini. Prenons ensuite \[B = \colim F^n(A)\] où les morphismes de transition sont les inclusions \(F^n(A) \subset F(F^n(A)) = F^{n + 1}(A)\). Tout polynôme unitaire à coefficients dans \(B\) a en fait ses coefficients dans \(F^n(A)\) pour un certain \(n\) et possède donc, par construction, une solution dans \(F^{n + 1}(A)\). Le lemme 0DCM implique que \(B\) est absolument intégralement clos. Nous omettons la démonstration des autres propriétés.

Lemme

Soit \(A\) un anneau absolument intégralement clos. Soit \(\mathfrak p \subset A\) un idéal premier. Alors l’anneau local \(A_\mathfrak p\) est strictement hensélien.

Démonstration

D’après le lemme 0DCN, nous pouvons supposer que \(A\) est un anneau local et que \(\mathfrak p\) est son idéal maximal. Le corps résiduel est algébriquement clos d’après le lemme 0DCN. Tout polynôme unitaire se décompose entièrement en facteurs linéaires ; Algèbre, définition 04GF, s’applique donc directement.

Lemme

Soit \(A\) un anneau absolument intégralement clos. Soit \(I \subset A\) un idéal. Alors \((A, I)\) est un couple hensélien si (et seulement si) les conditions suivantes sont satisfaites :

1. \(I\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(A\),

2. \(A \to A/I\) induit une bijection sur les idempotents.

Démonstration

Soit \(f \in A[T]\) un polynôme unitaire et soit \(f \bmod I = g_0 h_0\) une factorisation sur \(A/I\), avec \(g_0\) et \(h_0\) unitaires, telle que \(g_0\) et \(h_0\) engendrent l’idéal unité de \(A/I[T]\). Cela signifie que \[A/I[T]/(f) = A/I[T]/(g_0) \times A/I[T]/(h_0)\] Notons \(e \in A/I[T]/(f)\) l’élément correspondant à l’idempotent \((1, 0)\) de l’anneau de droite. Écrivons \(f = (T - a_1) \ldots (T - a_d)\) avec \(a_i \in A\). Pour chaque \(i \in \{1, \ldots, d\}\), nous obtenons un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(\varphi_i : A[T]/(f) \to A\), \(T \mapsto a_i\), qui induit un homomorphisme analogue de \(A/I\)-algèbres \(\overline{\varphi}_i : A/I[T]/(f) \to A/I\). Notons \(e_i = \overline{\varphi}_i(e) \in A/I\). Ce sont des idempotents. D’après notre hypothèse (2), nous pouvons relever \(e_i\) en un idempotent de \(A\). Nous pouvons donc écrire \(A = \prod A_j\) comme produit fini d’anneaux de sorte que, dans \(A_j/IA_j\), chaque \(e_i\) soit égal à \(0\) ou à \(1\). Nous omettons certains détails. Remarquons que \(A_j\) est absolument intégralement clos comme anneau quotient de \(A\). Il suffit de relever la factorisation de \(f\) sur \(A_j/IA_j\) dans \(A_j\). Nous sommes ainsi ramenés à la situation étudiée dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(e_i = 1\) pour \(i = 1, \ldots, r\) et que \(e_i = 0\) pour \(i = r + 1, \ldots, d\). Comme \((g_0, h_0) = A/I[T]\), il existe \(k_0, l_0 \in A/I[T]\) tels que \(g_0 k_0 + h_0 l_0 = 1\). On voit que \(e = h_0 l_0\) et que \(e_i = h_0(a_i) l_0(a_i)\). Nous en déduisons que \(h_0(a_i)\) est une unité pour \(i = 1, \dots ,r\). Comme \(f(a_i) = 0\), nous avons \(0 = h_0(a_i)g_0(a_i)\), d’où \(g_0(a_i) = 0\) pour \(i = 1, \ldots, r\). Ainsi, \((T - a_1)\) divise \(g_0\) dans \(A/I[T]\) ; écrivons \(g_0 = (T - a_1) g_0'\). Posons \(f' = (T - a_2) \ldots (T - a_d)\) et \(h'_0 = h_0\). Par récurrence sur \(d\), nous pouvons relever la factorisation \(f' \bmod I = g'_0 h'_0\) en une factorisation \(f' = g' h'\) sur \(A\), qui fournit la factorisation \(f = (T - a_1) g' h'\) relevant la factorisation \(f \bmod I = g_0 h_0\), comme voulu.

Anneaux auto-associés

Une partie de ce qui suit se trouve dans [Autour].

Définition

On dit qu’un anneau \(R\) est auto-associé si \(R\) est local et si son idéal maximal \(\mathfrak m\) est faiblement associé à \(R\).

Lemme

Un anneau auto-associé \(R\) possède la propriété suivante : (P) Tout idéal de type fini propre \(I \subset R\) possède un annulateur non nul.

Démonstration

Par hypothèse, il existe un élément non nul \(x \in R\) tel que, pour tout \(f \in \mathfrak m\), on ait \(f^n x = 0\). Écrivons \(I = (f_1, \ldots, f_r)\). Alors \(x\) appartient au noyau de \(R \to \bigoplus R_{f_i}\). Il existe donc un élément non nul \(y \in R\) tel que \(f_i y = 0\) pour tout \(i\) ; voir Algèbre, lemme 0565. Comme \(y \in \text{Ann}_R(I)\), le résultat est démontré.

Lemme

Soit \(R\) un anneau possédant la propriété (P) du lemme 05GN. Soit \(u : N \to M\) un homomorphisme de \(R\)-modules projectifs. Alors \(u\) est universellement injectif si et seulement si \(u\) est injectif.

Démonstration

Supposons \(u\) injectif. Il s’agit de montrer que \(u\) est universellement injectif. Choisissons d’abord un module \(Q\) tel que \(N \oplus Q\) soit libre. En considérant l’homomorphisme \(N \oplus Q \to M \oplus Q\), on voit qu’il suffit de démontrer le lemme lorsque \(N\) est libre. Dans ce cas, \(N\) est une colimite filtrante de \(R\)-modules libres de type fini. Nous sommes donc ramenés au cas où \(N\) est un \(R\)-module libre de type fini, disons \(N = R^{\oplus n}\). Démontrons le lemme par récurrence sur \(n\). Le cas \(n = 0\) est trivial.

Soit \(u : R^{\oplus n} \to M\) un homomorphisme injectif de modules, avec \(M\) projectif. Choisissons un \(R\)-module \(Q\) tel que \(M \oplus Q\) soit libre. En remplaçant \(u\) par la composée \(R^{\oplus n} \to M \to M \oplus Q\), on voit que l’on peut supposer \(M\) libre. Il existe alors un facteur direct \(R^{\oplus m} \subset M\) tel que \(u(R^{\oplus n}) \subset R^{\oplus m}\). Nous pouvons donc supposer que \(M = R^{\oplus m}\). Dans ce cas, \(u\) est donné par une matrice \(A = (a_{ij})\) telle que \(u(x_1, \ldots, x_n) = (\sum x_i a_{i1}, \ldots, \sum x_i a_{im})\). Comme \(u\) est injectif, on a en particulier \(u(x, 0, \ldots, 0) = (xa_{11}, xa_{12}, \ldots, xa_{1m}) \not = 0\) si \(x \not = 0\), et, puisque \(R\) possède la propriété (P), on voit que \(a_{11}R + a_{12}R + \ldots + a_{1m}R = R\). Par conséquent, \(R(a_{11}, \ldots, a_{1m}) \subset R^{\oplus m}\) est un facteur direct de \(R^{\oplus m}\) ; en particulier, \(R^{\oplus m}/R(a_{11}, \ldots, a_{1m})\) est un \(R\)-module projectif. Nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & R \ar[rr] \ar[d]^1 & & R^{\oplus n} \ar[r] \ar[d]^u & R^{\oplus n - 1} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & R \ar[rr]^{(a_{11}, \ldots, a_{1m})} & & R^{\oplus m} \ar[r] & R^{\oplus m}/R(a_{11}, \ldots, a_{1m}) \ar[r] & 0 }\] dont les lignes sont exactes et scindées. La flèche verticale de droite est donc injective et l’hypothèse de récurrence montre qu’elle est universellement injective. Il en résulte que la flèche verticale du milieu est universellement injective.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(R\) possède la propriété (P) du lemme 05GN,

2. tout homomorphisme injectif de \(R\)-modules projectifs est universellement injectif,

3. si \(u : N \to M\) est injectif et si \(N\), \(M\) sont des \(R\)-modules projectifs de type fini, alors \(\Coker(u)\) est un \(R\)-module projectif de type fini,

4. si \(N \subset M\) et si \(N\), \(M\) sont projectifs de type fini comme \(R\)-modules, alors \(N\) est un facteur direct de \(M\), et

5. tout homomorphisme injectif \(R \to R^{\oplus n}\) est une injection scindée.

Démonstration

L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) est le lemme 05GP. Il est clair que (3) et (4) sont équivalentes. L’implication (2) \(\Rightarrow\) (3), (4) résulte d’Algèbre, lemme 058L. L’assertion (5) est un cas particulier de (4). Supposons (5). Soit \(I = (a_1, \ldots, a_n)\) un idéal propre de type fini de \(R\). Comme \(I \not = R\), l’homomorphisme \(R \to R^{\oplus n}\), \(x \mapsto (xa_1, \ldots, xa_n)\) n’est pas une injection scindée. Son noyau est donc non nul, et nous en concluons que \(\text{Ann}_R(I) \not = 0\). Ainsi, (1) est satisfaite.

Exemple

Même lorsque les conditions équivalentes du lemme 05GQ sont satisfaites, tout homomorphisme injectif de \(R\)-modules libres n’est pas nécessairement une injection scindée. Par exemple, supposons que \(R = k[x_1, x_2, x_3, \ldots]/(x_i^2)\). C’est un anneau auto-associé. Considérons l’homomorphisme de \(R\)-modules libres \[u : \bigoplus\nolimits_{i \geq 1} Re_i \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \geq 1} Rf_i, \quad e_i \longmapsto f_i - x_if_{i + 1}.\] Pour tout entier \(n\), la restriction de \(u\) à \(\bigoplus_{i = 1, \ldots, n} Re_i\) est injective, car les images \(u(e_1), \ldots, u(e_n)\) sont \(R\)-linéairement indépendantes. Ainsi, \(u\) est injectif et donc universellement injectif d’après le lemme. Comme \(u \otimes \text{id}_k\) est bijectif, si \(u\) était une injection scindée, alors \(u\) serait surjectif. Or \(u\) n’est pas surjectif, car l’antécédent de \(f_1\) serait l’élément \[\sum\nolimits_{i \geq 0} x_1 \ldots x_ie_{i + 1} = e_1 + x_1e_2 + x_1x_2e_3 + \ldots\] qui n’appartient pas à la somme directe. Remarquons au passage que \(\Coker(u)\) est plat (car \(u\) est universellement injectif), est un \(R\)-module engendré par une famille dénombrable, qui n’est pas projectif (car \(u\) n’est pas scindé), et n’est donc pas de Mittag-Leffler (voir Algèbre, lemme 059X).

Le lemme suivant est un cas particulier d’Algèbre, proposition 00N1, lorsque l’anneau local est noethérien.

Lemme

Soit \((R, \mathfrak m)\) un anneau local. Supposons que \(\varphi : R^m \to R^n\) soit un homomorphisme de modules libres de type fini. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(\varphi\) est injectif,

2. le rang de \(\varphi\) est \(m\) et l’annulateur de \(I(\varphi)\) dans \(R\) est nul.

Si \(R\) est noethérien, elles sont aussi équivalentes à

1. le rang de \(\varphi\) est \(m\) et soit \(I(\varphi) = R\), soit il contient un non-diviseur de zéro.

Ici, le rang de \(\varphi\) et \(I(\varphi)\) sont définis comme dans Algèbre, définition 00MV.

Démonstration

Si l’un des coefficients de la matrice de \(\varphi\) n’appartient pas à \(\mathfrak m\), nous appliquons Algèbre, lemme 00MT, pour écrire \(\varphi\) comme somme de \(1 : R \to R\) et d’un homomorphisme \(\varphi' : R^{m-1} \to R^{n-1}\). On vérifie aisément que le lemme pour \(\varphi'\) implique le lemme pour \(\varphi\). Nous pouvons donc supposer dès le départ que tous les coefficients de la matrice de \(\varphi\) appartiennent à \(\mathfrak m\).

Supposons \(\varphi\) injectif. Nous pouvons supposer \(m > 0\). Soit \(\mathfrak q \in \text{WeakAss}(R)\), de sorte que \(R_\mathfrak q\) soit un anneau auto-associé. Alors \(\varphi\) induit un homomorphisme injectif \(R_\mathfrak q^m \to R_\mathfrak q^n\) qui est universellement injectif d’après les lemmes 05GN et 05GP. Ainsi, \(\varphi : \kappa(\mathfrak q)^m \to \kappa(\mathfrak q)^n\) est injectif. Le rang de \(\varphi \bmod \mathfrak q\) vaut donc \(m\) et \(I(\varphi \otimes \kappa(\mathfrak q))\) n’est pas l’idéal nul. Comme \(m\) est le rang maximal que \(\varphi\) puisse avoir, nous en concluons que \(\varphi\) est également de rang \(m\) (le rang d’une matrice ne peut que décroître après un changement de base). Par conséquent, \(I(\varphi) \cdot \kappa(\mathfrak q) = I(\varphi \otimes \kappa(\mathfrak q))\) n’est pas nul. Ainsi, \(I(\varphi)\) n’est pas contenu dans \(\mathfrak q\). Aucun idéal premier faiblement associé à \(R\) n’est donc faiblement associé au \(R\)-module \(\text{Ann}_R I(\varphi)\). Par suite, \(\text{Ann}_R I(\varphi)\) n’a aucun idéal premier faiblement associé ; voir Algèbre, lemme 0548. Il résulte d’Algèbre, lemme 0588, que \(\text{Ann}_R I(\varphi)\) est nul.

Réciproquement, supposons (2). Puisque le rang vaut \(m\), on a \(n \geq m\). Écrivons \(I(\varphi) = (f_1, \ldots, f_r)\), ce qui est possible puisque \(I(\varphi)\) est de type fini. D’après Algèbre, lemme 07DQ, il existe des homomorphismes \(\psi_i : R^n \to R^m\) tels que \(\psi \circ \varphi = f_i \text{id}_{R^m}\). Ainsi, \(\varphi(x) = 0\) implique \(f_i x = 0\) pour \(i = 1, \ldots, r\). Il en résulte que \(x = 0\) et donc que \(\varphi\) est injectif.

Pour l’équivalence de (1) et (3) dans le cas local noethérien, nous renvoyons à Algèbre, proposition 00N1. Si l’anneau \(R\) est noethérien mais non local, le lecteur peut la déduire du cas local ; nous omettons les détails. On peut aussi reprendre l’argument ci-dessus en utilisant les idéaux premiers associés, leur finitude, l’évitement des idéaux premiers et la caractérisation des non-diviseurs de zéro comme les éléments d’un anneau noethérien qui n’appartiennent à aucun idéal premier associé.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Supposons que \(\varphi : R^n \to R^n\) soit un homomorphisme injectif de modules libres de type fini de même rang. Alors \(\Hom_R(\Coker(\varphi), R) = 0\).

Démonstration

Soit \(\varphi^t : R^n \to R^n\) la transposée de \(\varphi\). Le lemme affirme que \(\varphi^t\) est injectif. Avec les notations du lemme 00MX, on voit que le rang de \(\varphi^t\) vaut \(n\) et que \(I(\varphi) = I(\varphi^t)\). On conclut donc par l’équivalence de (1) et (2) dans ce lemme.

Stratification par platification

Soient \(R \to S\) un morphisme d’anneaux et \(M\) un \(S\)-module. Pour toute \(R\)-algèbre \(R'\), nous pouvons considérer les changements de base \(S' = S \otimes_R R'\) et \(M' = M \otimes_R R'\). Nous disons que \(R \to R'\) platifie \(M\) si le module \(M'\) est plat sur \(R'\). Nous voudrions comprendre la structure de la collection des morphismes d’anneaux \(R \to R'\) qui platifient \(M\). Nous voudrions notamment savoir s’il existe une platification universelle \(R \to R_{univ}\) de \(M\), c’est-à-dire un morphisme d’anneaux \(R \to R_{univ}\) qui platifie \(M\) et tel que tout morphisme d’anneaux \(R \to R'\) qui platifie \(M\) se factorise par \(R \to R_{univ}\). Il s’avère qu’une telle solution universelle n’existe généralement pas.

Nous étudierons les platifications universelles et les stratifications par platification dans le cadre schématique \(\mathcal{F}/X/S\) dans Compléments sur la platitude, section 052F. Si la platification universelle \(R \to R_{univ}\) existe, alors le morphisme de schémas \(\Spec(R_{univ}) \to \Spec(R)\) est la platification universelle du module quasi-cohérent \(\widetilde{M}\) sur \(\Spec(S)\).

Dans cette section et les quelques suivantes, nous démontrons des faits algébriques élémentaires qui s’y rapportent. Le résultat le plus élémentaire est peut-être le suivant.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(M\) un \(R\)-module. Soient \(I_1\), \(I_2\) des idéaux de \(R\). Si \(M/I_1M\) est plat sur \(R/I_1\) et \(M/I_2M\) est plat sur \(R/I_2\), alors \(M/(I_1 \cap I_2)M\) est plat sur \(R/(I_1 \cap I_2)\).

Démonstration

En remplaçant \(R\) par \(R/(I_1 \cap I_2)\) et \(M\) par \(M/(I_1 \cap I_2)M\), nous pouvons supposer \(I_1 \cap I_2 = 0\). Soit \(J \subset R\) un idéal. Pour démontrer que \(M\) est plat sur \(R\), nous devons montrer que \(J \otimes_R M \to M\) est injectif ; voir Algèbre, lemme 00HD. La platitude de \(M/I_1M\) sur \(R/I_1\) montre que l’homomorphisme \[J/(J \cap I_1) \otimes_R M = (J + I_1)/I_1 \otimes_{R/I_1} M/I_1M \longrightarrow M/I_1M\] est injectif. Puisque \(0 \to (J \cap I_1) \to J \to J/(J \cap I_1) \to 0\) est exacte, nous obtenons un diagramme \[\xymatrix{ (J \cap I_1) \otimes_R M \ar[r] \ar[d] & J \otimes_R M \ar[r] \ar[d] & J/(J \cap I_1) \otimes_R M \ar[r] \ar[d] & 0 \\ M \ar@{=}[r] & M \ar[r] & M/I_1M }\] Il suffit donc de montrer que \((J \cap I_1) \otimes_R M \to M\) est injectif. Comme \(I_1 \cap I_2 = 0\), l’idéal \(J \cap I_1\) s’envoie isomorphiquement sur un idéal \(J' \subset R/I_2\), et l’on a \((J \cap I_1) \otimes_R M = J' \otimes_{R/I_2} M/I_2M\). Par platitude de \(M/I_2M\) sur \(R/I_2\), l’homomorphisme \(J' \otimes_{R/I_2} M/I_2M \to M/I_2M\) est injectif, ce qui implique clairement que \((J \cap I_1) \otimes_R M \to M\) est injectif.

Platification sur un anneau artinien

Une platification universelle existe lorsque l’anneau de base est un anneau local artinien. Elle existe pour un module quelconque. Par conséquent, comme nous le verrons plus loin, une stratification par platification existe lorsque le schéma de base est le spectre d’un anneau local artinien.

Lemme

Soit \(R\) un anneau artinien. Soit \(M\) un \(R\)-module. Alors il existe un plus petit idéal \(I \subset R\) tel que \(M/IM\) soit plat sur \(R/I\).

Démonstration

Cela résulte directement du lemme 0522 et de la propriété artinienne.

Cet idéal possède la propriété universelle suivante.

Lemme

Soit \(R\) un anneau artinien. Soit \(M\) un \(R\)-module. Soit \(I \subset R\) le plus petit idéal \(I \subset R\) tel que \(M/IM\) soit plat sur \(R/I\). Alors \(I\) possède la propriété universelle suivante : pour tout morphisme d’anneaux \(\varphi : R \to R'\), on a \[R' \otimes_R M\text{ est plat sur }R' \Leftrightarrow \text{on a }\varphi(I) = 0.\]

Démonstration

Notons que \(I\) existe d’après le lemme 0524. L’implication \(\Rightarrow\) résulte d’Algèbre, lemme 00HI. Soit \(\varphi : R \to R'\) tel que \(M \otimes_R R'\) soit plat sur \(R'\). Soit \(J = \Ker(\varphi)\). D’après Algèbre, lemme 051L, comme \(R' \otimes_R M = R' \otimes_{R/J} M/JM\) est plat sur \(R'\), nous en concluons que \(M/JM\) est plat sur \(R/J\). Ainsi, \(I \subset J\), comme voulu.

Platification au-dessus d’une partie fermée de la base

Soit \(R \to S\) un morphisme d’anneaux. Soit \(I \subset R\) un idéal. Soit \(M\) un \(S\)-module. Dans la suite, nous considérerons la condition suivante : [052W]\[\begin{equation} \forall \mathfrak q \in V(IS) \subset \Spec(S) : M_{\mathfrak q}\text{ est plat sur }R. \end{equation}\] Géométriquement, cela signifie que \(M\) est plat sur \(R\) le long de l’image réciproque de \(V(I)\) dans \(\Spec(S)\). Si \(R\) et \(S\) sont des anneaux noethériens et si \(M\) est un \(S\)-module de type fini, alors (052W) équivaut à demander que \(M/I^nM\) soit plat sur \(R/I^n\) pour tout \(n \geq 1\) ; voir Algèbre, lemme 0523.

Lemme

Soit \(R \to S\) un morphisme d’anneaux. Soit \(I \subset R\) un idéal. Soit \(M\) un \(S\)-module. Soient \(R \to R'\) un morphisme d’anneaux et \(IR' \subset I' \subset R'\) un idéal. Si (052W) est satisfaite pour \((R \to S, I, M)\), alors (052W) est satisfaite pour \((R' \to S \otimes_R R', I', M \otimes_R R')\).

Démonstration

Supposons (052W) satisfaite pour \((R \to S, I \subset R, M)\). Soit \(I'(S \otimes_R R') \subset \mathfrak q'\) un idéal premier de \(S \otimes_R R'\). Soit \(\mathfrak q \subset S\) l’idéal premier correspondant de \(S\). Alors \(IS \subset \mathfrak q\). Remarquons que \((M \otimes_R R')_{\mathfrak q'}\) est un localisé du changement de base \(M_{\mathfrak q} \otimes_R R'\). Par conséquent, \((M \otimes_R R')_{\mathfrak q'}\) est plat sur \(R'\), car c’est un localisé d’un module plat ; voir Algèbre, lemmes 00HI et 00HT.

Lemme

Soit \(R \to S\) un morphisme d’anneaux. Soit \(I \subset R\) un idéal. Soit \(M\) un \(S\)-module. Soient \(R \to R'\) un morphisme d’anneaux et \(IR' \subset I' \subset R'\) un idéal tels que

1. l’application \(V(I') \to V(I)\) induite par \(\Spec(R') \to \Spec(R)\) soit surjective, et

2. \(R'_{\mathfrak p'}\) soit plat sur \(R\) pour tout idéal premier \(\mathfrak p' \in V(I')\).

Si (052W) est satisfaite pour \((R' \to S \otimes_R R', I', M \otimes_R R')\), alors (052W) est satisfaite pour \((R \to S, I, M)\).

Démonstration

Supposons (052W) satisfaite pour \((R' \to S \otimes_R R', IR', M \otimes_R R')\). Choisissons un idéal premier \(IS \subset \mathfrak q \subset S\). Soit \(I \subset \mathfrak p \subset R\) l’idéal premier correspondant de \(R\). Par hypothèse, il existe un idéal premier \(\mathfrak p' \in V(I')\) de \(R'\) au-dessus de \(\mathfrak p\), et \(R_{\mathfrak p} \to R'_{\mathfrak p'}\) est plat. Choisissons un idéal premier \(\overline{\mathfrak q}' \subset \kappa(\mathfrak q) \otimes_{\kappa(\mathfrak p)} \kappa(\mathfrak p')\) qui corresponde à un idéal premier \(\mathfrak q' \subset S \otimes_R R'\) au-dessus de \(\mathfrak q\) et de \(\mathfrak p'\). Remarquons que \((S \otimes_R R')_{\mathfrak q'}\) est un localisé de \(S_{\mathfrak q} \otimes_{R_{\mathfrak p}} R'_{\mathfrak p'}\). Par hypothèse, le module \((M \otimes_R R')_{\mathfrak q'}\) est plat sur \(R'_{\mathfrak p'}\). Algèbre, lemme 00MQ, implique donc que \(M_{\mathfrak q}\) est plat sur \(R_{\mathfrak p}\), ce qu’il fallait démontrer.

Lemme

Soit \(R \to S\) un morphisme d’anneaux de présentation finie. Soit \(M\) un \(S\)-module de présentation finie. Soit \(R' = \colim_{\lambda \in \Lambda} R_\lambda\) une colimite filtrante de \(R\)-algèbres. Soient \(I_\lambda \subset R_\lambda\) des idéaux tels que \(I_\lambda R_\mu \subset I_\mu\) pour tout \(\mu \geq \lambda\), et posons \(I' = \colim_\lambda I_\lambda\). Si (052W) est satisfaite pour \((R' \to S \otimes_R R', I', M \otimes_R R')\), alors il existe \(\lambda \in \Lambda\) tel que (052W) soit satisfaite pour \((R_\lambda \to S \otimes_R R_\lambda, I_\lambda, M \otimes_R R_\lambda)\).

Démonstration

Notons \(S_\lambda = S \otimes_R R_\lambda\), \(S' = S \otimes_R R'\), \(M_\lambda = M \otimes_R R_\lambda\) et \(M' = M \otimes_R R'\). Le changement de base \(S'\) est de présentation finie sur \(R'\), et \(M'\) est de présentation finie sur \(S'\) ; il en va de même des versions indicées par \(\lambda\) ; voir Algèbre, lemme 05G5. D’après Algèbre, théorème 00RC, l’ensemble \[U' = \{\mathfrak q' \in \Spec(S') \mid M'_{\mathfrak q'}\text{ est plat sur }R'\}\] est ouvert dans \(\Spec(S')\). Remarquons que \(V(I'S')\) est un espace quasi-compact contenu dans \(U'\) par hypothèse. Il existe donc un nombre fini d’éléments \(g'_j \in S'\), \(j = 1, \ldots, m\), tels que \(D(g'_j) \subset U'\) et \(V(I'S') \subset \bigcup D(g'_j)\). En particulier, \((M')_{g'_j}\) est un module plat sur \(R'\).

Nous allons choisir des éléments \(\lambda \in \Lambda\) de plus en plus grands. Choisissons-le d’abord assez grand pour qu’il existe des \(g_{j, \lambda} \in S_{\lambda}\) s’envoyant sur \(g'_j\). L’inclusion \(V(I'S') \subset \bigcup D(g'_j)\) signifie que \(I'S' + (g'_1, \ldots, g'_m) = S'\), ce qui peut s’écrire \(1 = \sum z_sh_s + \sum f_jg'_j\) pour certains \(z_s \in I'\) et \(h_s, f_j \in S'\). En agrandissant \(\lambda\), nous pouvons supposer qu’une telle égalité vaut dans \(S_\lambda\). Nous pouvons donc supposer que \(V(I_\lambda S_\lambda) \subset \bigcup D(g_{j, \lambda})\). D’après Algèbre, lemme 02JO, pour \(\lambda\) assez grand, les modules \((M_\lambda)_{g_{j, \lambda}}\) sont plats sur \(R_\lambda\). En particulier, le module \(M_\lambda\) est plat sur \(R_\lambda\) en tout idéal premier au-dessus de l’idéal \(I_\lambda\).

Platification au-dessus de parties fermées de la source et de la base

Dans cette section, nous généralisons légèrement l’étude de la section 05LK. Nous conseillons vivement au lecteur de commencer par lire et comprendre cette section.

Situation

Soit \(R \to S\) un morphisme d’anneaux. Soit \(J \subset S\) un idéal. Soit \(M\) un \(S\)-module.

Dans cette situation, étant donnés une \(R\)-algèbre \(R'\) et un idéal \(I' \subset R'\), nous posons \(S' = S \otimes_R R'\) et \(M' = M \otimes_R R'\). Nous considérerons la condition [05LQ]\[\begin{equation} \forall \mathfrak q' \in V(I'S' + JS') \subset \Spec(S') : M'_{\mathfrak q'}\text{ est plat sur }R'. \end{equation}\] Géométriquement, cela signifie que \(M'\) est plat sur \(R'\) le long de l’intersection de l’image réciproque de \(V(I')\) et de l’image réciproque de \(V(J)\). Puisque \((R \to S, J, M)\) sont fixés, la condition (05LQ) ne dépend que du couple \((R', I')\), où \(R'\) est considérée comme une \(R\)-algèbre.

Lemme

Dans la situation 05LP, soit \(R' \to R''\) un morphisme de \(R\)-algèbres. Soient \(I' \subset R'\) et \(I'R'' \subset I'' \subset R''\) des idéaux. Si (05LQ) est satisfaite pour \((R', I')\), alors (05LQ) est satisfaite pour \((R'', I'')\).

Démonstration

Supposons (05LQ) satisfaite pour \((R', I')\). Soit \(I''S'' + JS'' \subset \mathfrak q''\) un idéal premier de \(S''\). Soit \(\mathfrak q' \subset S'\) l’idéal premier correspondant de \(S'\). Alors \(I'S' \subset \mathfrak q'\) et \(JS' \subset \mathfrak q'\), puisque les conditions correspondantes sont satisfaites pour \(\mathfrak q''\). Remarquons que \((M'')_{\mathfrak q''}\) est un localisé du changement de base \(M'_{\mathfrak q'} \otimes_R R''\). Par conséquent, \((M'')_{\mathfrak q''}\) est plat sur \(R''\), car c’est un localisé d’un module plat ; voir Algèbre, lemmes 00HI et 00HT.

Lemme

Dans la situation 05LP, soit \(R' \to R''\) un morphisme de \(R\)-algèbres. Soient \(I' \subset R'\) et \(I'R'' \subset I'' \subset R''\) des idéaux. Supposons que

1. l’application \(V(I'') \to V(I')\) induite par \(\Spec(R'') \to \Spec(R')\) soit surjective, et

2. \(R''_{\mathfrak p''}\) soit plat sur \(R'\) pour tout idéal premier \(\mathfrak p'' \in V(I'')\).

Si (05LQ) est satisfaite pour \((R'', I'')\), alors (05LQ) est satisfaite pour \((R', I')\).

Démonstration

Supposons (05LQ) satisfaite pour \((R'', I'')\). Choisissons un idéal premier \(I'S' + JS' \subset \mathfrak q' \subset S'\). Soit \(I' \subset \mathfrak p' \subset R'\) l’idéal premier correspondant de \(R'\). Par hypothèse, il existe un idéal premier \(\mathfrak p'' \in V(I'')\) de \(R''\) au-dessus de \(\mathfrak p'\), et \(R'_{\mathfrak p'} \to R''_{\mathfrak p''}\) est plat. Choisissons un idéal premier \(\overline{\mathfrak q}'' \subset \kappa(\mathfrak q') \otimes_{\kappa(\mathfrak p')} \kappa(\mathfrak p'')\). Celui-ci correspond à un idéal premier \(\mathfrak q'' \subset S'' = S' \otimes_{R'} R''\) au-dessus de \(\mathfrak q'\) et de \(\mathfrak p''\). En particulier, on voit que \(I''S'' \subset \mathfrak q''\) et \(JS'' \subset \mathfrak q''\). Remarquons que \((S' \otimes_{R'} R'')_{\mathfrak q''}\) est un localisé de \(S'_{\mathfrak q'} \otimes_{R'_{\mathfrak p'}} R''_{\mathfrak p''}\). Par hypothèse, le module \((M' \otimes_{R'} R'')_{\mathfrak q''}\) est plat sur \(R''_{\mathfrak p''}\). Algèbre, lemme 00MQ, implique donc que \(M'_{\mathfrak q'}\) est plat sur \(R'_{\mathfrak p'}\), ce qu’il fallait démontrer.

Lemme

Dans la situation 05LP, supposons que \(R \to S\) soit essentiellement de présentation finie et que \(M\) soit un \(S\)-module de présentation finie. Soit \(R' = \colim_{\lambda \in \Lambda} R_\lambda\) une colimite filtrante de \(R\)-algèbres. Soient \(I_\lambda \subset R_\lambda\) des idéaux tels que \(I_\lambda R_\mu \subset I_\mu\) pour tout \(\mu \geq \lambda\), et posons \(I' = \colim_\lambda I_\lambda\). Si (05LQ) est satisfaite pour \((R', I')\), alors il existe \(\lambda \in \Lambda\) tel que (05LQ) soit satisfaite pour \((R_\lambda, I_\lambda)\).

Démonstration

Démontrons d’abord le lemme lorsque \(R \to S\) est de présentation finie, puis expliquons les modifications nécessaires dans le cas général. Notons \(S_\lambda = S \otimes_R R_\lambda\), \(S' = S \otimes_R R'\), \(M_\lambda = M \otimes_R R_\lambda\) et \(M' = M \otimes_R R'\). Le changement de base \(S'\) est de présentation finie sur \(R'\), et \(M'\) est de présentation finie sur \(S'\) ; il en va de même des versions indicées par \(\lambda\) ; voir Algèbre, lemme 05G5. D’après Algèbre, théorème 00RC, l’ensemble \[U' = \{\mathfrak q' \in \Spec(S') \mid M'_{\mathfrak q'}\text{ est plat sur }R'\}\] est ouvert dans \(\Spec(S')\). Remarquons que \(V(I'S' + JS')\) est un espace quasi-compact contenu dans \(U'\) par hypothèse. Il existe donc un nombre fini d’éléments \(g'_j \in S'\), \(j = 1, \ldots, m\), tels que \(D(g'_j) \subset U'\) et \(V(I'S' + JS') \subset \bigcup D(g'_j)\). En particulier, \((M')_{g'_j}\) est un module plat sur \(R'\).

Nous allons choisir des éléments \(\lambda \in \Lambda\) de plus en plus grands. Choisissons-le d’abord assez grand pour qu’il existe des \(g_{j, \lambda} \in S_{\lambda}\) s’envoyant sur \(g'_j\). L’inclusion \(V(I'S' + JS') \subset \bigcup D(g'_j)\) signifie que \(I'S' + JS' + (g'_1, \ldots, g'_m) = S'\), ce qui peut s’écrire \[1 = \sum y_tk_t + \sum z_sh_s + \sum f_jg'_j\] pour certains \(z_s \in I'\), \(y_t \in J\) et \(k_t, h_s, f_j \in S'\). En agrandissant \(\lambda\), nous pouvons supposer qu’une telle égalité vaut dans \(S_\lambda\). Nous pouvons donc supposer que \(V(I_\lambda S_\lambda + J S_\lambda) \subset \bigcup D(g_{j, \lambda})\). D’après Algèbre, lemme 02JO, pour \(\lambda\) assez grand, les modules \((M_\lambda)_{g_{j, \lambda}}\) sont plats sur \(R_\lambda\). En particulier, le module \(M_\lambda\) est plat sur \(R_\lambda\) en tous les idéaux premiers correspondant à des points de \(V(I_\lambda S_\lambda + J S_\lambda)\).

Lorsque \(S\) est essentiellement de présentation finie, nous pouvons écrire \(S = \Sigma^{-1}C\), où \(R \to C\) est de présentation finie et \(\Sigma \subset C\) est une partie multiplicative. Nous pouvons aussi écrire \(M = \Sigma^{-1}N\) pour un certain \(C\)-module de présentation finie \(N\) ; voir Algèbre, lemme 05N5. Introduisons alors \(C_\lambda\), \(C'\), \(N_\lambda\), \(N'\). Dans l’argument ci-dessus, nous obtenons un ouvert \(U' \subset \Spec(C')\) sur lequel \(N'\) est plat sur \(R'\). L’hypothèse que (05LQ) est satisfaite signifie que \(V(I'S' + JS')\) s’envoie dans \(U'\), car, pour un idéal premier \(\mathfrak q' \subset S'\) correspondant à un idéal premier \(\mathfrak r' \subset C'\), on a \(M'_{\mathfrak q'} = N'_{\mathfrak r'}\). Il existe donc des \(g'_j \in C'\) tels que \(\bigcup D(g'_j)\) contienne l’image de \(V(I'S' + JS')\). La suite de la démonstration est exactement la même que précédemment.

Lemme

Plaçons-nous dans la situation 05LP. Soit \(I \subset R\) un idéal. Supposons que

1. \(R\) soit un anneau noethérien,

2. \(S\) soit un anneau noethérien,

3. \(M\) soit un \(S\)-module de type fini, et

4. pour chaque \(n \geq 1\) et tout idéal premier \(\mathfrak q \in V(J + IS)\), le module \((M/I^n M)_{\mathfrak q}\) soit plat sur \(R/I^n\).

Alors (05LQ) est satisfaite pour \((R, I)\) ; c’est-à-dire que, pour tout idéal premier \(\mathfrak q \in V(J + IS)\), le localisé \(M_{\mathfrak q}\) est plat sur \(R\).

Démonstration

Soit \(\mathfrak q \in V(J + IS)\). Algèbre, lemme 0523, appliqué à \(R \to S_{\mathfrak q}\) et à \(M_{\mathfrak q}\), implique alors que \(M_{\mathfrak q}\) est plat sur \(R\).

Platification sur un anneau local noethérien complet

Les trois lemmes suivants donnent une démonstration entièrement algébrique de l’existence de la stratification « locale » par platification lorsque la base est un anneau local noethérien complet \(R\) et que le module donné est de type fini sur une \(R\)-algèbre de type fini \(S\).

Lemme

Soit \(R \to S\) un morphisme d’anneaux. Soit \(M\) un \(S\)-module. Supposons que

1. \((R, \mathfrak m)\) soit un anneau local noethérien complet,

2. \(S\) soit un anneau noethérien, et

3. \(M\) soit de type fini sur \(S\).

Alors il existe un idéal \(I \subset \mathfrak m\) tel que

1. \((M/IM)_{\mathfrak q}\) soit plat sur \(R/I\) pour tout idéal premier \(\mathfrak q\) de \(S/IS\) au-dessus de \(\mathfrak m\), et

2. si \(J \subset R\) est un idéal tel que \((M/JM)_{\mathfrak q}\) soit plat sur \(R/J\) pour tout idéal premier \(\mathfrak q\) au-dessus de \(\mathfrak m\), alors \(I \subset J\).

Autrement dit, \(I\) est le plus petit idéal de \(R\) tel que (052W) soit satisfaite pour \((\overline{R} \to \overline{S}, \overline{\mathfrak m}, \overline{M})\) où \(\overline{R} = R/I\), \(\overline{S} = S/IS\), \(\overline{\mathfrak m} = \mathfrak m/I\) et \(\overline{M} = M/IM\).

Démonstration

Soit \(J \subset R\) un idéal. Appliquons Algèbre, lemme 0523, au module \(M/JM\) sur l’anneau \(R/J\). On voit alors que \((M/JM)_{\mathfrak q}\) est plat sur \(R/J\) pour tout idéal premier \(\mathfrak q\) de \(S/JS\) si et seulement si \(M/(J + \mathfrak m^n)M\) est plat sur \(R/(J + \mathfrak m^n)\) pour tout \(n \geq 1\). Nous utiliserons cette remarque ci-dessous.

Pour tout \(n \geq 1\), l’anneau local \(R/\mathfrak m^n\) est artinien. Le lemme 0524 assure donc l’existence d’un plus petit idéal \(I_n \supset \mathfrak m^n\) tel que \(M/I_nM\) soit plat sur \(R/I_n\). Il est clair que \(I_{n + 1} + \mathfrak m^n\) contient \(I_n\) et, en appliquant le lemme 0522, on voit que \(I_n = I_{n + 1} + \mathfrak m^n\). Puisque \(R = \lim_n\ R/\mathfrak m^n\), on voit que \(I = \lim_n\ I_n/\mathfrak m^n\) est un idéal de \(R\) tel que \(I_n = I + \mathfrak m^n\) pour tout \(n \geq 1\). Les remarques initiales de la démonstration montrent que \(I\) vérifie (1) et (2). Nous omettons certains détails.

Lemme

Reprenons les notations \(R \to S\), \(M\) et \(I\), ainsi que les hypothèses du lemme 0526. Considérons un homomorphisme local d’anneaux locaux \(\varphi : (R, \mathfrak m) \to (R', \mathfrak m')\) tel que \(R'\) soit noethérien. Les assertions suivantes sont alors équivalentes :

1. la condition (052W) est satisfaite pour \((R' \to S \otimes_R R', \mathfrak m', M \otimes_R R')\), et

2. \(\varphi(I) = 0\).

Démonstration

L’implication (2) \(\Rightarrow\) (1) résulte du lemme 052X. Soit \(\varphi : R \to R'\) comme dans le lemme, satisfaisant (1). Nous devons montrer que \(\varphi(I) = 0\). Cela équivaut à \(\varphi(I)R' = 0\). Le lemme d’Artin-Rees dans l’anneau local noethérien \(R'\) (voir Algèbre, lemme 00IP) montre que cette condition équivaut à \(\varphi(I)R' + (\mathfrak m')^n = (\mathfrak m')^n\) pour tout \(n > 0\). Elle équivaut donc à demander que la composée \(\varphi_n : R \to R' \to R'/(\mathfrak m')^n\) annule \(I\) pour chaque \(n\). Or l’hypothèse (1) pour \(\varphi\) implique l’hypothèse (1) pour \(\varphi_n\) d’après le lemme 052X. Nous sommes ainsi ramenés au cas où \(R'\) est local artinien.

Supposons \(R'\) artinien. Soit \(J = \Ker(\varphi)\). Il faut montrer que \(I \subset J\). Par la construction de \(I\) dans le lemme 0526, il suffit de montrer que \((M/JM)_{\mathfrak q}\) est plat sur \(R/J\) pour tout idéal premier \(\mathfrak q\) de \(S/JS\) au-dessus de \(\mathfrak m\). Puisque \(R'\) est artinien, la condition (1) signifie que \(M \otimes_R R'\) est plat sur \(R'\). Comme \(R'\) est artinien et que \(R/J \to R'\) est un morphisme local injectif d’anneaux, \(R/J\) est également artinien. Par conséquent, la platitude de \(M \otimes_R R' = M/JM \otimes_{R/J} R'\) sur \(R'\) implique celle de \(M/JM\) sur \(R/J\) d’après Algèbre, lemme 051L. Cela achève la démonstration.

Lemme

Reprenons les notations \(R \to S\), \(M\) et \(I\), ainsi que les hypothèses du lemme 0526. Supposons de plus que \(R \to S\) soit de type fini. Alors, pour tout homomorphisme local d’anneaux locaux \(\varphi : (R, \mathfrak m) \to (R', \mathfrak m')\) les assertions suivantes sont équivalentes :

1. la condition (052W) est satisfaite pour \((R' \to S \otimes_R R', \mathfrak m', M \otimes_R R')\), et

2. \(\varphi(I) = 0\).

Démonstration

L’implication (2) \(\Rightarrow\) (1) résulte du lemme 052X. Soit \(\varphi : R \to R'\) comme dans le lemme, satisfaisant (1). Comme \(R\) est noethérien, \(R \to S\) est de présentation finie et \(M\) est un \(S\)-module de présentation finie. Écrivons \(R' = \colim_\lambda R_\lambda\) comme colimite filtrante de sous-\(R\)-algèbres locales \(R_\lambda \subset R'\), d’idéaux maximaux \(\mathfrak m_\lambda = R_\lambda \cap \mathfrak m'\), tels que chaque \(R_\lambda\) soit essentiellement de type fini sur \(R\). D’après le lemme 05LM, la condition (052W) est satisfaite pour \((R_\lambda \to S \otimes_R R_\lambda, \mathfrak m_\lambda, M \otimes_R R_\lambda)\) pour un certain \(\lambda\). Le lemme 0527 s’applique donc au morphisme d’anneaux \(R \to R_\lambda\), et l’on voit que \(I\) s’envoie sur zéro dans \(R_\lambda\) ; à plus forte raison, il s’envoie sur zéro dans \(R'\).

Descente de la platitude le long de morphismes intégraux

Commençons par quelques lemmes simples.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(P(T)\) un polynôme unitaire à coefficients dans \(R\). Soit \(\alpha \in R\) tel que \(P(\alpha) = 0\). Alors \(P(T) = (T - \alpha)Q(T)\) pour un certain polynôme unitaire \(Q(T) \in R[T]\).

Démonstration

Par récurrence sur le degré de \(P\). Si \(\deg(P) = 1\), alors \(P(T) = T - \alpha\) et le résultat est vrai. Si \(\deg(P) > 1\), la division euclidienne permet d’écrire \(P(T) = (T - \alpha)Q(T) + r\) pour un polynôme \(Q \in R[T]\) de degré \(< \deg(P)\) et un certain \(r \in R\). Par hypothèse, \(0 = P(\alpha) = (\alpha - \alpha)Q(\alpha) + r = r\), et nous obtenons \(r = 0\), comme voulu.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(P(T)\) un polynôme unitaire à coefficients dans \(R\). Il existe un morphisme d’anneaux fini et libre \(R \to R'\) tel que \(P(T) = (T - \alpha)Q(T)\) pour un certain \(\alpha \in R'\) et un certain polynôme unitaire \(Q(T) \in R'[T]\).

Démonstration

Écrivons \(P(T) = T^d + a_1T^{d - 1} + \ldots + a_0\). Posons \(R' = R[x]/(x^d + a_1x^{d - 1} + \ldots + a_0)\). Soit \(\alpha\) la classe de congruence de \(x\). Il est alors clair que \(P(\alpha) = 0\). Le résultat résulte donc du lemme 052Z.

Lemme

Soit \(R \to S\) un morphisme d’anneaux fini. Il existe une extension d’anneaux finie et libre \(R \subset R'\) telle que \(S \otimes_R R'\) soit un quotient d’un anneau de la forme \[R'[T_1, \ldots, T_n]/(P_1(T_1), \ldots, P_n(T_n))\] où \(P_i(T) = \prod_{j = 1, \ldots, d_i} (T - \alpha_{ij})\) pour certains \(\alpha_{ij} \in R'\).

Démonstration

Soient \(x_1, \ldots, x_n \in S\) des générateurs de \(S\) sur \(R\). Pour chaque \(i\), nous pouvons choisir un polynôme unitaire \(P_i(T) \in R[T]\) tel que \(P_i(x_i) = 0\) dans \(S\) ; voir Algèbre, lemme 00GK. Écrivons \(\deg(P_i) = d_i\). D’après le lemme 0530 (appliqué \(\sum d_i\) fois), il existe une extension d’anneaux finie et libre \(R \subset R'\) telle que chaque \(P_i\) se scinde complètement : \[P_i(T) = \prod\nolimits_{j = 1, \ldots, d_i} (T - \alpha_{ij})\] pour certains \(\alpha_{ik} \in R'\). Soit \(R'[T_1, \ldots, T_n] \to S \otimes_R R'\) l’homomorphisme de \(R'\)-algèbres qui envoie \(T_i\) sur \(x_i \otimes 1\). Comme il envoie \(P_i(T_i)\) sur zéro, il induit la surjection cherchée.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(S = R[T_1, \ldots, T_n]/J\). Supposons que \(J\) contienne des éléments de la forme \(P_i(T_i)\), avec \(P_i(T) = \prod_{j = 1, \ldots, d_i} (T - \alpha_{ij})\) pour certains \(\alpha_{ij} \in R\). Pour \(\underline{k} = (k_1, \ldots, k_n)\) tel que \(1 \leq k_i \leq d_i\), considérons l’homomorphisme d’anneaux \[\Phi_{\underline{k}} : R[T_1, \ldots, T_n] \to R, \quad T_i \longmapsto \alpha_{ik_i}\] Posons \(J_{\underline{k}} = \Phi_{\underline{k}}(J)\). Alors l’image de \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) est égale à \(V(\bigcap J_{\underline{k}})\).

Démonstration

Ce lemme est immédiat. Indication : \(V(\bigcap J_{\underline{k}}) = \bigcup V(J_{\underline{k}})\).

Le résultat suivant est dû à Ferrand ; voir [Ferrand].

Lemme

Soit \(R \to S\) un homomorphisme injectif fini d’anneaux noethériens. Soit \(M\) un \(R\)-module. Si \(M \otimes_R S\) est un \(S\)-module plat, alors \(M\) est un \(R\)-module plat.

Démonstration

Soit \(M\) un \(R\)-module tel que \(M \otimes_R S\) soit plat sur \(S\). D’après Algèbre, lemme 00HJ, pour démontrer que \(M\) est plat, nous pouvons remplacer \(R\) par une extension d’anneaux fidèlement plate quelconque. D’après le lemme 0531, il existe une extension d’anneaux finie et localement libre \(R \subset R'\) telle que \(S' = S \otimes_R R' = R'[T_1, \ldots, T_n]/J\) pour un idéal \(J \subset R'[T_1, \ldots, T_n]\) contenant des éléments de la forme \(P_i(T_i)\), avec \(P_i(T) = \prod_{j = 1, \ldots, d_i} (T - \alpha_{ij})\) pour certains \(\alpha_{ij} \in R'\). Remarquons que \(R'\) est noethérien et que \(R' \subset S'\) est une extension finie d’anneaux. Nous pouvons donc remplacer \(R\) par \(R'\) et supposer que \(S\) admet une présentation comme dans le lemme 0532. Remarquons que \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) est surjectif ; voir Algèbre, lemme 00GQ. Ainsi, en utilisant le lemme 0532, nous concluons que \(I = \bigcap J_{\underline{k}}\) est un idéal tel que \(V(I) = \Spec(R)\). Cela signifie que \(I \subset \sqrt{(0)}\) et, puisque \(R\) est noethérien, que \(I\) est nilpotent. Les applications \(\Phi_{\underline{k}}\) induisent des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ S \ar[rr] & & R/J_{\underline{k}} \\ & R \ar[lu] \ar[ru] }\] desquels nous concluons que \(M/J_{\underline{k}}M\) est plat sur \(R/J_{\underline{k}}\). D’après le lemme 0522, on voit que \(M/IM\) est plat sur \(R/I\). Enfin, en appliquant Algèbre, lemme 051J, nous concluons que \(M\) est plat sur \(R\).

Lemme

Soit \(R \to S\) un morphisme d’anneaux entier injectif. Soit \(M\) un module de présentation finie sur \(R[x_1, \ldots, x_n]\). Si \(M \otimes_R S\) est plat sur \(S\), alors \(M\) est plat sur \(R\).

Démonstration

Choisissons une présentation \[R[x_1, \ldots, x_n]^{\oplus t} \to R[x_1, \ldots, x_n]^{\oplus r} \to M \to 0.\] Disons que le premier homomorphisme est donné par la matrice \(r \times t\) \(T = (f_{ij})\), avec \(f_{ij} \in R[x_1, \ldots, x_n]\). Écrivons \(f_{ij} = \sum f_{ij, I} x^I\) avec \(f_{ij, I} \in R\) (notation multi-indice). Considérons les diagrammes \[\xymatrix{ R \ar[r] & S \\ R_\lambda \ar[u] \ar[r] & S_\lambda \ar[u] }\] où \(R_\lambda\) est une sous-algèbre de type fini sur \(\mathbf{Z}\) de \(R\) contenant tous les \(f_{ij, I}\) et où \(S_\lambda\) est une \(R_\lambda\)-sous-algèbre finie de \(S\). Soit \(M_\lambda\) le \(R_\lambda[x_1, \ldots, x_n]\)-module de type fini défini par une présentation comme ci-dessus, en utilisant la même matrice \(T\), maintenant considérée comme matrice sur \(R_\lambda[x_1, \ldots, x_n]\). Remarquons que \(S\) est la colimite filtrante des \(S_\lambda\) (détails omis). D’après Algèbre, lemme 02JO, il existe un \(\lambda\) tel que le module \(M_\lambda \otimes_{R_\lambda} S_\lambda\) soit plat sur \(S_\lambda\). Le lemme 0533 implique alors que \(M_\lambda\) est plat sur \(R_\lambda\). Comme \(M = M_\lambda \otimes_{R_\lambda} R\), le résultat découle d’Algèbre, lemme 00HI.

Lemme

Soit \(R \to S\) un homomorphisme injectif fini d’anneaux noethériens. Soit \(P\) un \(R\)-module. Si \(P \otimes_R S\) est un \(S\)-module projectif, alors \(P\) est un \(R\)-module projectif.

Démonstration

Soit \(P\) un \(R\)-module tel que \(P \otimes_R S\) soit projectif sur \(S\). D’après Algèbre, théorème 05A9, pour démontrer que \(P\) est projectif, nous pouvons remplacer \(R\) par une extension d’anneaux fidèlement plate quelconque. D’après le lemme 0531, il existe une extension d’anneaux finie et localement libre \(R \subset R'\) telle que \(S' = S \otimes_R R' = R'[T_1, \ldots, T_n]/J\) pour un idéal \(J \subset R'[T_1, \ldots, T_n]\) contenant des éléments de la forme \(P_i(T_i)\), avec \(P_i(T) = \prod_{j = 1, \ldots, d_i} (T - \alpha_{ij})\) pour certains \(\alpha_{ij} \in R'\). Remarquons que \(R'\) est noethérien et que \(R' \subset S'\) est une extension finie d’anneaux. Nous pouvons donc remplacer \(R\) par \(R'\) et supposer que \(S\) admet une présentation comme dans le lemme 0532. Remarquons que \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) est surjectif ; voir Algèbre, lemme 00GQ. Ainsi, en utilisant le lemme 0532, nous concluons que \(I = \bigcap J_{\underline{k}}\) est un idéal tel que \(V(I) = \Spec(R)\). Cela signifie que \(I \subset \sqrt{(0)}\) et, puisque \(R\) est noethérien, que \(I\) est nilpotent. Les applications \(\Phi_{\underline{k}}\) induisent des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ S \ar[rr] & & R/J_{\underline{k}} \\ & R \ar[lu] \ar[ru] }\] desquels nous concluons que \(P/J_{\underline{k}}P\) est projectif sur \(R/J_{\underline{k}}\). D’après Algèbre, lemme 0H7M, on voit que \(P/IP\) est projectif sur \(R/I\). Comme \(P\) est plat sur \(R\) d’après le lemme 0533, nous pouvons appliquer Algèbre, lemme 05CG, pour conclure que \(P\) est projectif sur \(R\).

Modules sans torsion

Dans cette section, nous étudions les modules sans torsion et leur relation avec la platitude (en particulier sur les anneaux de dimension 1).

Définition

Soit \(R\) un anneau intègre. Soit \(M\) un \(R\)-module.

1. Nous disons qu’un élément \(x \in M\) est de la torsion s’il existe un \(f \in R\) non nul tel que \(fx = 0\).

2. Nous disons que \(M\) est sans torsion si le seul élément de \(M\) qui soit de la torsion est \(0\).

3. Nous disons que \(M\) est un module de torsion si tout élément de \(M\) est de la torsion.

Soit \(R\) un anneau intègre et soit \(S = R \setminus \{0\}\) la partie multiplicative des éléments non nuls de \(R\). Alors un \(R\)-module \(M\) est sans torsion si et seulement si \(M \to S^{-1}M\) est injectif. Autrement dit, si et seulement si l’homomorphisme \(M \to M \otimes_R K\) est injectif, où \(K = S^{-1}R\) est le corps des fractions de \(R\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau intègre. Soit \(M\) un \(R\)-module. L’ensemble des éléments de torsion \(M_{tors}\) de \(M\) est le noyau de l’homomorphisme \(M \to M \otimes_R K\). Ainsi, \(M_{tors}\) est un sous-module \(R\)-de \(M\). Le module quotient \(M/M_{tors}\) est sans torsion.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Lemme

Soit \(R\) un anneau intègre. Soit \(M\) un \(R\)-module sans torsion. Pour toute partie multiplicative \(S \subset R\), le module \(S^{-1}M\) est un \(S^{-1}R\)-module sans torsion.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(R \to R'\) un homomorphisme plat d’anneaux intègres. Si \(M\) est un \(R\)-module sans torsion, alors \(M \otimes_R R'\) est un \(R'\)-module sans torsion.

Démonstration

Si \(M\) est sans torsion, alors \(M \subset M \otimes_R K\) est injectif, où \(K\) est le corps des fractions de \(R\). Comme \(R'\) est plat sur \(R\), \(M \otimes_R R' \to (M \otimes_R K) \otimes_R R'\) est injectif. Comme \(M \otimes_R K\) est isomorphe à une somme directe de copies de \(K\), il suffit de voir que \(K \otimes_R R'\) est sans torsion. Cela est vrai car il est un localisé de \(R'\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau intègre. Soit \(0 \to M \to M' \to M'' \to 0\) une suite exacte courte de \(R\)-modules. Si \(M\) et \(M''\) sont sans torsion, alors \(M'\) est sans torsion.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(R\) un anneau intègre. Soit \(M\) un \(R\)-module. Alors \(M\) est sans torsion si et seulement si \(M_\mathfrak m\) est un \(R_\mathfrak m\)-module sans torsion pour tout idéal maximal \(\mathfrak m\) de \(R\).

Démonstration

Démonstration omise. Indication : utiliser le lemme 0AUR et Algèbre, lemme 00HN.

Lemme

Soit \(R\) un anneau intègre. Soit \(M\) un \(R\)-module de type fini. Alors \(M\) est sans torsion si et seulement si \(M\) est un sous-module d’un module libre de type fini.

Démonstration

Si \(M\) est un sous-module de \(R^{\oplus n}\), alors \(M\) est sans torsion. Réciproquement, supposons \(M\) sans torsion. Soit \(K\) le corps des fractions de \(R\). Alors \(M \otimes_R K\) est un espace vectoriel de dimension finie sur \(K\). Choisissons une base \(e_1, \ldots, e_r\) de cet espace vectoriel. Soient \(x_1, \ldots, x_n\) des générateurs de \(M\). Écrivons \(x_i = \sum (a_{ij}/b_{ij}) e_j\) pour certains \(a_{ij}, b_{ij} \in R\) avec \(b_{ij} \not = 0\). Posons \(b = \prod_{i, j} b_{ij}\). Comme \(M\) est sans torsion, l’homomorphisme \(M \to M \otimes_R K\) est injectif et son image est contenue dans \(R^{\oplus r} = R e_1/b \oplus \ldots \oplus Re_r/b\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau intègre noethérien. Soit \(M\) un \(R\)-module de type fini non nul. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(M\) est sans torsion,

2. \(M\) est un sous-module d’un module libre de type fini,

3. \((0)\) est le seul idéal premier associé à \(M\),

4. \((0)\) appartient au support de \(M\) et \(M\) possède la propriété \((S_1)\), et

5. \((0)\) appartient au support de \(M\) et \(M\) n’a aucun idéal premier associé immergé.

Démonstration

Nous avons vu l’équivalence de (1) et (2) dans le lemme 0AUU. Nous avons vu l’équivalence de (4) et (5) dans Algèbre, lemme 031Q. L’équivalence de (3) et (5) est immédiate d’après la définition. Le localisé d’un module sans torsion est sans torsion (lemme 0AUR); il est donc clair que \(M\) n’a aucun idéal premier associé différent de \((0)\). Ainsi, (1) implique (5). Réciproquement, supposons (5). Si \(M\) possède de la torsion, il existe une immersion \(R/I \subset M\) pour un idéal non nul \(I\) de \(R\). Ainsi, \(M\) possède un idéal premier associé différent de \((0)\) (voir Algèbre, lemmes 02M3 et 0587). C’est un idéal premier associé immergé, ce qui contredit l’hypothèse.

Lemme

Soit \(R\) un anneau intègre. Tout \(R\)-module plat est sans torsion.

Démonstration

Si \(x \in R\) est non nul, alors \(x : R \to R\) est injectif, et donc, si \(M\) est plat sur \(R\), \(x : M \to M\) est injectif. Ainsi, si \(M\) est plat sur \(R\), alors \(M\) est sans torsion.

Lemme

Soit \(A\) un anneau de valuation. Un \(A\)-module \(M\) est plat sur \(A\) si et seulement si \(M\) est sans torsion.

Démonstration

L’implication « plat \(\Rightarrow\) sans torsion » est le lemme 0538. Réciproquement, supposons \(M\) sans torsion. D’après le critère équationnel de platitude (voir Algèbre, lemme 00HK), nous devons montrer que toute relation dans \(M\) est triviale. Supposons donc \(\sum_{i = 1, \ldots, n} a_i x_i = 0\) avec \(x_i \in M\) et \(a_i \in A\). Après renumérotation, nous pouvons supposer que \(v(a_1) \leq v(a_i)\) pour tout \(i\). Nous pouvons donc écrire \(a_i = a'_i a_1\) pour un certain \(a'_i \in A\). Notons que \(a'_1 = 1\). Comme \(M\) est sans torsion, on voit que \(x_1 = - \sum_{i \geq 2} a'_i x_i\). Ainsi, en choisissant \(y_i = x_i\), \(i = 2, \ldots, n\), on obtient \[x_1 = \sum\nolimits_{j \geq 2} -a'_j y_j, \quad x_i = y_i, (i \geq 2)\quad 0 = a_1 \cdot (-a'_j) + a_j \cdot 1 (j \geq 2)\] ce qui montre que la relation est triviale (explicitement, les éléments \(a_{ij}\) sont définis par \(a_{11} = 0\), \(a_{1j} = -a'_j\) pour \(j > 1\) et \(a_{ij} = \delta_{ij}\) pour \(i, j \geq 2\)).

Lemme

Soit \(A\) un anneau de Dedekind (par exemple un anneau de valuation discrète ou, plus généralement, un anneau principal).

1. Un \(A\)-module est plat si et seulement s’il est sans torsion.

2. Un \(A\)-module de type fini sans torsion est localement libre de type fini.

3. Un \(A\)-module de type fini sans torsion est libre de type fini si \(A\) est un anneau principal.

Démonstration

(Pour la remarque entre parenthèses dans l’énoncé du lemme, voir Algèbre, lemme 0AUQ.) Démonstration de (1). D’après le lemme 0AUT et Algèbre, lemme 00HT, il suffit de vérifier l’assertion sur \(A_\mathfrak m\) pour \(\mathfrak m \subset A\) maximal. Comme \(A_\mathfrak m\) est un anneau de valuation discrète (Algèbre, lemme 034X), le résultat découle du lemme 0539.

Démonstration de (2). Cela résulte d’Algèbre, lemme 00NX, et de (1).

Démonstration de (3). Soit \(A\) un anneau principal et soit \(M\) un module de type fini sans torsion. D’après le lemme 0AUU, on a \(M \subset A^{\oplus n}\) pour un certain \(n\). Montrons que \(M\) est libre par récurrence sur \(n\). Le cas \(n = 1\) exprime précisément le fait que \(A\) est principal. Si \(n > 1\), soit \(M' \subset A^{\oplus n - 1}\) l’image de la projection sur les \(n - 1\) derniers facteurs de \(A^{\oplus n}\). Nous obtenons alors une suite exacte courte \(0 \to I \to M \to M' \to 0\), où \(I\) est l’intersection de \(M\) avec le premier facteur \(A\) de \(A^{\oplus n}\). Par récurrence, \(M\) est une extension de \(A\)-modules libres de type fini, donc est libre de type fini.

Lemme

Soit \(R\) un anneau intègre. Soient \(M\), \(N\) des \(R\)-modules. Si \(N\) est sans torsion, alors \(\Hom_R(M, N)\) est sans torsion.

Démonstration

Choisissons une surjection \(\bigoplus_{i \in I} R \to M\). Alors \(\Hom_R(M, N) \subset \prod_{i \in I} N\).

Rangs des modules

Voici notre définition.

Définition

Soit \(R\) un anneau intègre de corps des fractions \(K\). Le rang d’un \(R\)-module \(M\) est \(\dim_K(M \otimes_R K)\).

Cette définition n’entre pas en conflit avec la notion de module localement libre de rang \(r\) d’Algèbre, définition 00NW, lorsque les deux définitions s’appliquent.

Lemme

Soit \(R\) un anneau intègre. Si \(M \to M'\) est un homomorphisme de \(R\)-modules dont le noyau et le conoyau sont de torsion, alors le rang de \(M\) est égal au rang de \(M'\).

Démonstration

Démonstration omise. Indication : l’homomorphisme induit \(M \otimes_R K \to M' \otimes_R K\) est un isomorphisme lorsque \(K\) est le corps des fractions de \(R\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau intègre. Soit \(0 \to M \to M' \to M'' \to 0\) une suite exacte courte de \(R\)-modules. Alors le rang de \(M'\) est la somme des rangs de \(M\) et \(M''\).

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(R\) un anneau intègre. Soient \(M\) et \(N\) des \(R\)-modules.

1. Le rang de \(M \otimes_R N\) est le produit des rangs de \(M\) et \(N\).

2. Si \(M\) est un \(R\)-module de présentation finie, alors le rang de \(\Hom_R(M, N)\) est le produit des rangs de \(M\) et \(N\).

Démonstration

L’assertion (1) résulte du fait analogue pour les espaces vectoriels. Supposons que \(M\) soit de présentation finie comme \(R\)-module. Alors \(\Hom_R(M, N) \otimes_R K\) est isomorphe à \(\Hom_K(M \otimes_R K, N \otimes_R K)\) comme espace vectoriel sur \(K\), d’après Algèbre, lemme 0583. Comme \(M \otimes_R K\) est également de dimension finie, on conclut par le fait correspondant pour les espaces vectoriels.

Lemme

Soit \(R \subset R'\) une extension d’anneaux intègres. Si \(M\) est un \(R\)-module, alors le rang de \(M\) sur \(R\) est égal au rang de \(M \otimes_R R'\) sur \(R'\).

Démonstration

Cela est vrai car la dimension d’un espace vectoriel est invariante par extension du corps de base.

Lemme

Soit \(R\) un anneau intègre. Soit \(M\) un \(R\)-module de type fini. Alors

1. \(M\) est de rang fini \(r \geq 0\),

2. il existe un homomorphisme \(M \to R^{\oplus r}\) dont le noyau et le conoyau sont des modules de torsion,

3. il existe un \(f \in R\), \(f \not = 0\), tel que \(M_f\) soit libre de rang \(r\), et

4. il existe un homomorphisme injectif \(R^{\oplus r} \to M\) dont le conoyau est un module de torsion.

Démonstration

Comme \(M\) est de type fini, \(M \otimes_R K\) est un espace vectoriel de dimension finie sur le corps des fractions \(K\) de \(R\). Le rang \(r\) est donc fini.

Choisissons des générateurs \(x_1, \ldots, x_n\) de \(M\). Choisissons une base \(e_1, \ldots, e_r\) de \(M \otimes_R K\). Nous pouvons écrire \(x_i \otimes 1 = \sum (a_{ij}/b_{ij}) e_j\) pour certains \(a_{ij} , b_{ij} \in R\) avec \(b_{ij} \not = 0\). En posant \(b = \prod b_{ij}\) et en remplaçant \(a_{ij}\) par \(a_{ij}b/b_{ij}\), nous pouvons supposer que \(x_i \otimes 1 = \sum (a_{ij}/b) e_j\). Remarquons que si nous avons une relation \(\sum r_i x_i = 0\) dans \(M\), alors \(\sum r_ia_{ij} = 0\) dans \(R\) pour tout \(j = 1, \ldots, r\).

Démonstration de (2). La dernière remarque montre que l’homomorphisme \(M \to \bigoplus Re_j\) qui envoie \(x_i\) sur \(\sum a_{ij} e_j\) est bien défini. Le fait que \(e_1, \ldots, e_r\) forment une base de \(M \otimes_R K\) montre que cet homomorphisme devient un isomorphisme après tensorisation par \(K\). C’est donc un homomorphisme comme dans (2).

Démonstration de (3). Le conoyau de l’homomorphisme \(M \to R^{\oplus r}\) construit en (2) est de type fini et de torsion. Il existe donc un \(g \in R\), \(g \not = 0\), qui annule ce conoyau. Autrement dit, \(M_g \to R_g^{\oplus r}\) est surjectif. Nous pouvons alors choisir une section \(M_g = N \oplus R_g^{\oplus r}\). Le module \(N\) est un \(R_g\)-module de type fini tel que \(N \otimes_{R_g} K = 0\). Autrement dit, \(N\) est de torsion et de type fini sur \(R_g\). Il existe donc un \(g' \in R\) qui annule \(N\). En posant \(f= gg'\), on voit que (3) est satisfaite.

Pour démontrer (4), choisissons une base \(y_1, \ldots, y_r\) de \(M_f\), où \(f\) est comme dans (3). Écrivons alors \(y_j = m_j/f^{t_j}\) pour un certain \(m_j \in M\) et \(t_j \geq 0\). L’homomorphisme \(R^{\oplus r} \to M\) qui envoie le \(j\)-ième vecteur de base sur \(m_j\) est celui de (4). Détails omis.

Modules réflexifs

Voici notre définition.

Définition

Soit \(R\) un anneau intègre. Nous disons qu’un \(R\)-module \(M\) est réflexif si l’homomorphisme naturel \[j : M \longrightarrow \Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\] qui envoie \(m \in M\) sur l’homomorphisme qui envoie \(\varphi \in \Hom_R(M, R)\) sur \(\varphi(m) \in R\) est un isomorphisme.

On peut donner cette définition pour des anneaux plus généraux, mais la définition ci-dessus présente déjà des inconvénients. Il serait judicieux de se restreindre aux anneaux intègres noethériens et aux modules de type fini sans torsion et (peut-être) d’imposer à \(R\) certaines conditions de régularité (par exemple, que \(R\) soit normal).

Lemme

Soit \(R\) un anneau intègre et soit \(M\) un \(R\)-module.

1. Si \(M\) est réflexif, alors \(M\) est sans torsion.

2. Si \(M\) est de type fini, alors le noyau et le conoyau de \(j : M \to \Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\) sont des modules de torsion.

3. Si \(M\) est de type fini, alors \(j\) est injectif si et seulement si \(M\) est sans torsion.

Démonstration

Pour voir (1), utiliser le fait que le bidual de \(M\) est sans torsion d’après le lemme 0AUX. Supposons \(M\) de type fini. Choisissons des générateurs \(x_1, \ldots, x_n\) de \(M\) sur \(R\). Soit \(K\) le corps des fractions de \(R\). Après renumérotation, nous pouvons supposer que, pour un certain \(0 \leq r \leq n\), les éléments \(x_1, \ldots, x_r\) ont pour images une base de \(M \otimes_R K\) sur \(K\). Pour \(r < i \leq n\), écrivons \(x_i \otimes 1 = \sum_{1 \leq j \leq r} x_j \otimes k_{ij}\), avec \(k_{ij} \in K\). Choisissons \(c \in R\) tel que \(a_{ij} = ck_{ij} \in R\) et tel que \(cx_i = \sum_{1 \leq j \leq r} a_{ij} x_j\) dans \(M\) (un petit détail est omis). Nous obtenons alors les homomorphismes \[R^{\oplus r} \xrightarrow{\alpha} M \xrightarrow{\beta} R^{\oplus r} \xrightarrow{\alpha} M\] avec \(\alpha \circ \beta\) et \(\beta \circ \alpha\) donnés par la multiplication par \(c\). Ici, \(\alpha\) utilise \(x_1, \ldots, x_r\) et \(\beta\) envoie \(x_i\) sur \(c\) fois le \(i\)-ième vecteur de base pour \(1 \leq i \leq r\), et sur le vecteur \((a_{i1}, \ldots, a_{ir})\) pour \(r < i \leq n\). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ R^{\oplus r} \ar[r] \ar[d]^{\text{id}} & M \ar[r] \ar[d]^j & R^{\oplus r} \ar[d]^{\text{id}} \ar[r] & M \ar[d]^j \\ R^{\oplus r} \ar[r] & \Hom_R(\Hom_R(M, R), R) \ar[r] & R^{\oplus r} \ar[r] & \Hom_R(\Hom_R(M, R), R) }\] Bien sûr, les composées de deux flèches consécutives de la ligne inférieure sont égales à la multiplication par \(c\). Le diagramme montre que le noyau et le conoyau de \(j\) sont annulés par \(c\), ce qui démontre (2). Pour (3), remarquons que si \(M\) est sans torsion, alors \(\beta\) est injectif, ce qui implique que \(j\) est injectif. La réciproque est claire puisque nous avons déjà vu que le bidual de \(M\) est sans torsion.

Lemme

Soit \(R\) un anneau de valuation discrète et soit \(M\) un \(R\)-module de type fini. Alors l’homomorphisme \(j : M \to \Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\) est surjectif.

Démonstration

Soit \(M_{tors} \subset M\) le sous-module de torsion. Alors \(\Hom_R(M, R) = \Hom_R(M/M_{tors}, R)\) (ceci vaut sur tout anneau intègre). Nous pouvons donc supposer que \(M\) est sans torsion. Alors \(M\) est libre d’après le lemme 0AUW, et le lemme est clair.

Lemme

Soit \(R\) un anneau intègre noethérien. Soit \(M\) un \(R\)-module de type fini. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(M\) est réflexif,

2. \(M_\mathfrak p\) est un \(R_\mathfrak p\)-module réflexif pour tout idéal premier \(\mathfrak p \subset R\), et

3. \(M_\mathfrak m\) est un \(R_\mathfrak m\)-module réflexif pour tout idéal maximal \(\mathfrak m\) de \(R\).

Démonstration

Le localisé de \(j : M \to \Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\) en un idéal premier \(\mathfrak p\) est l’homomorphisme correspondant pour le module \(M_\mathfrak p\) sur l’anneau local intègre noethérien \(R_\mathfrak p\). Voir Algèbre, lemme 0583. Le lemme résulte donc d’Algèbre, lemme 00HN.

Lemme

Soit \(R\) un anneau intègre noethérien. Soit \(0 \to M \to M' \to M''\) une suite exacte de \(R\)-modules de type fini. Si \(M'\) est réflexif et \(M''\) est sans torsion, alors \(M\) est réflexif.

Démonstration

Nous utiliserons sans autre mention le fait que \(\Hom_R(N, N')\) est un \(R\)-module de type fini pour tous \(R\)-modules de type fini \(N\) et \(N'\) ; voir Algèbre, lemme 08YR. Prenons les duaux pour obtenir une suite \[\Hom_R(M, R) \leftarrow \Hom_R(M', R) \leftarrow \Hom_R(M'', R)\] En prenant de nouveau les duaux, nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Hom_R(\Hom_R(M, R), R) \ar[r]_j & \Hom_R(\Hom_R(M', R), R) \ar[r] & \Hom_R(\Hom_R(M'', R), R) \\ M \ar[u] \ar[r] & M' \ar[u] \ar[r] & M'' \ar[u] }\] Nous ne savons pas si la ligne supérieure est exacte. Cependant, par hypothèse, la flèche verticale du milieu est un isomorphisme et la flèche verticale de droite est injective (lemme 0AV0). Nous affirmons que \(j\) est injectif. En admettant cette assertion, une chasse dans le diagramme montre que la flèche verticale de gauche est un isomorphisme, c’est-à-dire que \(M\) est réflexif.

Démonstration de l’assertion. Considérons la suite exacte \(\Hom_R(M',R)\to \Hom_R(M,R)\to Q \to 0\) définissant \(Q\). On applique Algèbre, lemme 0583, pour obtenir \[\Hom_K(M'\otimes_R K,K) \to \Hom_K(M\otimes_R K,K) \to Q\otimes_R K\to 0\] Mais \(M \otimes_R K \to M' \otimes_R K\) est un homomorphisme injectif d’espaces vectoriels, donc une injection scindée ; ainsi \(Q \otimes_R K = 0\), c’est-à-dire que \(Q\) est de torsion. On obtient alors la suite exacte \[0 \to \Hom_R(Q,R) \to \Hom_R(\Hom_R(M,R),R) \to \Hom_R(\Hom_R(M',R),R)\] et \(\Hom_R(Q,R)=0\) puisque \(Q\) est de torsion.

Lemme

Soit \(R\) un anneau intègre noethérien. Soit \(M\) un \(R\)-module de type fini. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(M\) est réflexif,

2. il existe une suite exacte courte \(0 \to M \to F \to N \to 0\) avec \(F\) libre de type fini et \(N\) sans torsion.

Démonstration

Remarquons qu’un module libre de type fini est réflexif. D’après le lemme 0EB8, (2) implique (1). Supposons \(M\) réflexif. Choisissons une présentation \(R^{\oplus m} \to R^{\oplus n} \to \Hom_R(M, R) \to 0\). En prenant les duaux, nous obtenons une suite exacte \[0 \to \Hom_R(\Hom_R(M, R), R) \to R^{\oplus n} \to N \to 0\] avec \(N = \Im(R^{\oplus n} \to R^{\oplus m})\) un module sans torsion. Comme \(M = \Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\), nous obtenons une suite exacte comme dans (2).

Lemme

Soit \(R \to R'\) un homomorphisme plat d’anneaux intègres noethériens. Si \(M\) est un \(R\)-module réflexif de type fini, alors \(M \otimes_R R'\) est un \(R'\)-module réflexif de type fini.

Démonstration

Choisissons une suite exacte courte \(0 \to M \to F \to N \to 0\) avec \(F\) libre de type fini et \(N\) sans torsion, voir le lemme 0AV2. Comme \(R \to R'\) est plat, nous obtenons une suite exacte courte \(0 \to M \otimes_R R' \to F \otimes_R R' \to N \otimes_R R' \to 0\) avec \(F \otimes_R R'\) libre de type fini et \(N \otimes_R R'\) sans torsion (lemme 0AXM). Ainsi, \(M \otimes_R R'\) est réflexif d’après le lemme 0AV2.

Lemme

Soit \(R\) un anneau intègre noethérien. Soit \(M\) un \(R\)-module de type fini. Soit \(N\) un \(R\)-module réflexif de type fini. Alors \(\Hom_R(M, N)\) est réflexif.

Démonstration

Choisissons une présentation \(R^{\oplus m} \to R^{\oplus n} \to M \to 0\). Nous obtenons alors \[0 \to \Hom_R(M, N) \to N^{\oplus n} \to N' \to 0\] avec \(N' = \Im(N^{\oplus n} \to N^{\oplus m})\) sans torsion. Nous concluons par le lemme 0EB8.

Définition

Soit \(R\) un anneau intègre noethérien. Soit \(M\) un \(R\)-module de type fini. Le module \(M^{**} = \Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\) est appelé l’enveloppe réflexive de \(M\).

Cela a un sens car l’enveloppe réflexive est réflexive d’après le lemme 0AV3. L’opération \(M \mapsto M^{**}\) est un foncteur. Si \(\varphi : M \to N\) est un homomorphisme de \(R\)-modules à valeurs dans un \(R\)-module réflexif \(N\), alors \(\varphi\) se factorise sous la forme \(M \to M^{**} \to N\) par l’enveloppe réflexive de \(M\). Autrement dit, prendre l’enveloppe réflexive est l’adjoint à gauche du foncteur d’inclusion \[\text{modules réflexifs de type fini} \subset \text{modules de type fini}\] sur un anneau intègre noethérien \(R\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau local noethérien. Soient \(M\), \(N\) des \(R\)-modules de type fini.

1. Si \(N\) est de profondeur \(\geq 1\), alors \(\Hom_R(M, N)\) est de profondeur \(\geq 1\).

2. Si \(N\) est de profondeur \(\geq 2\), alors \(\Hom_R(M, N)\) est de profondeur \(\geq 2\).

Démonstration

Choisissons une présentation \(R^{\oplus m} \to R^{\oplus n} \to M \to 0\). En prenant les duaux, nous obtenons une suite exacte \[0 \to \Hom_R(M, N) \to N^{\oplus n} \to N' \to 0\] avec \(N' = \Im(N^{\oplus n} \to N^{\oplus m})\). Un sous-module d’un module de profondeur \(\geq 1\) est de profondeur \(\geq 1\) ; cela résulte immédiatement de la définition. L’assertion (1) est donc claire. Pour (2), remarquons que l’hypothèse et la remarque précédente impliquent que \(N'\) est de profondeur \(\geq 1\). Le module \(N^{\oplus n}\) est de profondeur \(\geq 2\). D’après Algèbre, lemme 00LX, nous en concluons que \(\Hom_R(M, N)\) est de profondeur \(\geq 2\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau noethérien. Soient \(M\), \(N\) des \(R\)-modules de type fini.

1. Si \(N\) possède la propriété \((S_1)\), alors \(\Hom_R(M, N)\) possède la propriété \((S_1)\).

2. Si \(N\) possède la propriété \((S_2)\), alors \(\Hom_R(M, N)\) possède la propriété \((S_2)\).

3. Si \(R\) est intègre, si \(N\) est sans torsion et vérifie \((S_2)\), alors \(\Hom_R(M, N)\) est sans torsion et possède la propriété \((S_2)\).

Démonstration

Comme la localisation en des idéaux premiers commute à la formation de \(\Hom_R\) pour des \(R\)-modules de type fini (Algèbre, lemme 08YR), les assertions (1) et (2) résultent immédiatement du lemme 0AV5. L’assertion (3) résulte de (2) et du lemme 0AUX.

Lemme

Soit \(R\) un anneau noethérien. Soit \(\varphi : M \to N\) une application de \(R\)-modules. Supposons que pour tout idéal premier \(\mathfrak p\) de \(R\), au moins l’une des propriétés suivantes soit vérifiée

1. \(M_\mathfrak p \to N_\mathfrak p\) est injective, ou

2. \(\mathfrak p \not \in \text{Ass}(M)\).

Alors \(\varphi\) est injective.

Démonstration

Soit \(\mathfrak p\) un idéal premier associé de \(\Ker(\varphi)\). Alors il existe un élément \(x \in M_\mathfrak p\) qui appartient au noyau de \(M_\mathfrak p \to N_\mathfrak p\) et dont l’annulateur est \(\mathfrak pR_\mathfrak p\) (Algèbre, lemme 0310). Cela est impossible dans les deux cas. Donc \(\text{Ass}(\Ker(\varphi)) = \emptyset\) et nous concluons \(\Ker(\varphi) = 0\) par le lemme d’Algèbre 0587.

Lemme

Soit \(R\) un anneau noethérien. Soit \(\varphi : M \to N\) une application de \(R\)-modules. Supposons que \(M\) soit de type fini et que, pour tout idéal premier \(\mathfrak p\) de \(R\), l’une des propriétés suivantes soit vérifiée

1. \(M_\mathfrak p \to N_\mathfrak p\) est un isomorphisme, ou

2. \(\text{profondeur}(M_\mathfrak p) \geq 2\) et \(\mathfrak p \not \in \text{Ass}(N)\).

Alors \(\varphi\) est un isomorphisme.

Démonstration

Par le lemme 0AV7, nous voyons que \(\varphi\) est injective. Soit \(N' \subset N\) un \(R\)-module de type fini contenant l’image de \(M\). Alors \(\text{Ass}(N_\mathfrak p) = \emptyset\) implique \(\text{Ass}(N'_\mathfrak p) = \emptyset\). Les hypothèses du lemme sont donc vérifiées pour \(M \to N'\). Pour démontrer que \(\varphi\) est un isomorphisme, il suffit de démontrer la même chose pour tout sous-module \(N' \subset N\) de ce type. Nous pouvons donc supposer que \(N\) est un \(R\)-module de type fini. Dans ce cas, \(\mathfrak p \not \in \text{Ass}(N) \Rightarrow \text{profondeur}(N_\mathfrak p) \geq 1\), voir le lemme d’Algèbre 00LL. Considérons la suite exacte courte \[0 \to M \to N \to Q \to 0\] définissant \(Q\). En examinant les conditions, nous voyons que soit \(Q_\mathfrak p = 0\) dans le cas (1), soit \(\text{profondeur}(Q_\mathfrak p) \geq 1\) dans le cas (2), par le lemme d’Algèbre 00LX. Cela implique que \(Q\) n’a aucun idéal premier associé, d’où \(Q = 0\) par le lemme d’Algèbre 0587.

Lemme

Soit \(R\) un anneau intègre noethérien. Soit \(\varphi : M \to N\) une application de \(R\)-modules. Supposons que \(M\) soit de type fini, que \(N\) soit sans torsion et que, pour tout idéal premier \(\mathfrak p\) de \(R\), l’une des propriétés suivantes soit vérifiée

1. \(M_\mathfrak p \to N_\mathfrak p\) est un isomorphisme, ou

2. \(\text{profondeur}(M_\mathfrak p) \geq 2\).

Alors \(\varphi\) est un isomorphisme.

Démonstration

Il s’agit d’un cas particulier du lemme 0AV8.

Lemme

Soit \(R\) un anneau intègre noethérien. Soit \(M\) un \(R\)-module de type fini. Les propriétés suivantes sont équivalentes

1. \(M\) est réflexif,

2. pour tout idéal premier \(\mathfrak p\) de \(R\), l’une des propriétés suivantes est vérifiée

   1. \(M_\mathfrak p\) est un \(R_\mathfrak p\)-module réflexif, ou

   2. \(\text{profondeur}(M_\mathfrak p) \geq 2\).

Démonstration

Si (1) est vraie, alors \(M_\mathfrak p\) est un module réflexif pour tout idéal premier \(\mathfrak p\), par le lemme 0AV1. Ainsi (1) \(\Rightarrow\) (2). Supposons (2). Posons \(N = \Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\), de sorte que \[N_\mathfrak p = \Hom_{R_\mathfrak p}( \Hom_{R_\mathfrak p}(M_\mathfrak p, R_\mathfrak p), R_\mathfrak p)\] pour tout idéal premier \(\mathfrak p\) de \(R\). Voir le lemme d’Algèbre 0583. Nous appliquons le lemme 0AV9 à l’application \(j : M \to N\). Cela est permis car \(M\) est de type fini et \(N\) est sans torsion par le lemme 0AUX. Dans le cas (2)(a), l’application \(M_\mathfrak p \to N_\mathfrak p\) est un isomorphisme et, dans le cas (2)(b), nous avons \(\text{profondeur}(M_\mathfrak p) \geq 2\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau intègre noethérien. Soit \(M\) un \(R\)-module réflexif de type fini. Soit \(\mathfrak p \subset R\) un idéal premier.

1. Si \(\text{profondeur}(R_\mathfrak p) \geq 2\), alors \(\text{profondeur}(M_\mathfrak p) \geq 2\).

2. Si \(R\) possède la propriété \((S_2)\), alors \(M\) possède la propriété \((S_2)\).

Démonstration

Puisque la formation de l’enveloppe réflexive \(\Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\) commute à la localisation (Algèbre, lemme 0583), la partie (1) découle du lemme 0AV5. La partie (2) est immédiate d’après le lemme 0AV6.

Exemple

Les résultats précédents et suivants suggèrent que la réflexivité est liée à la propriété \((S_2)\) ; voici un exemple qui empêche des conjectures trop optimistes. Soit \(k\) un corps. Soit \(R\) la \(k\)-sous-algèbre de \(k[x, y]\) engendrée par \(1, y, x^2, xy, x^3\). Alors \(R\) ne possède pas la propriété \((S_2)\). Ainsi, \(R\) considéré comme \(R\)-module est un exemple de module \(R\) réflexif qui ne possède pas la propriété \((S_2)\). Soit \(M = k[x, y]\) considéré comme un \(R\)-module. Alors \(M\) est un \(R\)-module réflexif car \[\Hom_R(M, R) = \mathfrak m = (y, x^2, xy, x^3) \quad\text{et}\quad \Hom_R(\mathfrak m, R) = M\] et \(M\) possède la propriété \((S_2)\) comme \(R\)-module (calculs omis). Ainsi, \(R\) est un anneau intègre noethérien possédant un module réflexif ayant la propriété \((S_2)\), alors que \(R\) lui-même ne possède pas \((S_2)\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau intègre normal noethérien de corps des fractions \(K\). Soit \(M\) un \(R\)-module de type fini. Les propriétés suivantes sont équivalentes

1. \(M\) est réflexif,

2. \(M\) est sans torsion et possède la propriété \((S_2)\),

3. \(M\) est sans torsion et \(M = \bigcap_{\text{hauteur}(\mathfrak p) = 1} M_{\mathfrak p}\) où l’intersection est prise dans \(M_K = M \otimes_R K\).

Démonstration

Par le lemme d’Algèbre 031S, nous voyons que \(R\) possède les propriétés \((R_1)\) et \((S_2)\).

Supposons (1). Alors \(M\) est sans torsion par le lemme 0AV0 et possède \((S_2)\) par le lemme 0EBA. Ainsi (2) est vraie.

Supposons (2). Par définition, \(M' = \bigcap_{\text{hauteur}(\mathfrak p) = 1} M_{\mathfrak p}\) est le noyau de l’application \[M_K \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{\text{hauteur}(\mathfrak p) = 1} M_K/M_\mathfrak p \subset \prod\nolimits_{\text{hauteur}(\mathfrak p) = 1} M_K/M_\mathfrak p\] Observons que notre application se factorise bien par la somme directe comme indiqué, car pour \(a/b \in K\) il n’existe qu’un nombre fini d’idéaux premiers de hauteur \(1\) \(\mathfrak p\) tels que \(b \in \mathfrak p\). Soit \(\mathfrak p_0\) un idéal premier de hauteur \(1\). Alors \((M_K/M_\mathfrak p)_{\mathfrak p_0} = 0\) sauf si \(\mathfrak p = \mathfrak p_0\), auquel cas \((M_K/M_\mathfrak p)_{\mathfrak p_0} = M_K/M_{\mathfrak p_0}\). Ainsi, par exactitude de la localisation et puisque la localisation commute aux sommes directes, nous voyons que \(M'_{\mathfrak p_0} = M_{\mathfrak p_0}\). Puisque \(M\) est de profondeur \(\geq 2\) aux idéaux premiers de hauteur \(> 1\), l’application \(M \to M'\) est un isomorphisme par le lemme 0AV9. Ainsi (3) est vraie.

Supposons (3). Soit \(\mathfrak p\) un idéal premier de hauteur \(1\). Alors \(R_\mathfrak p\) est un anneau de valuation discrète par \((R_1)\). Par le lemme 0AUW, nous voyons que \(M_\mathfrak p\) est libre de type fini, en particulier réflexif. Ainsi l’application \(M \to M^{**}\) induit un isomorphisme en chacun des idéaux premiers \(\mathfrak p\) de hauteur \(1\). Donc la condition \(M = \bigcap_{\text{hauteur}(\mathfrak p) = 1} M_{\mathfrak p}\) implique \(M = M^{**}\) et (1) est vraie.

Lemme

Soit \(R\) un anneau intègre normal noethérien. Soit \(M\) un \(R\)-module de type fini. Alors l’enveloppe réflexive de \(M\) est l’intersection \[M^{**} = \bigcap\nolimits_{\text{hauteur}(\mathfrak p) = 1} M_{\mathfrak p}/(M_\mathfrak p)_{tors} = \bigcap\nolimits_{\text{hauteur}(\mathfrak p) = 1} (M/M_{tors})_\mathfrak p\] prise dans \(M \otimes_R K\).

Démonstration

Soit \(\mathfrak p\) un idéal premier de hauteur \(1\). Le noyau de \(M_\mathfrak p \to M \otimes_R K\) est le sous-module de torsion \((M_\mathfrak p)_{tors}\) de \(M_\mathfrak p\). De plus, nous avons \((M/M_{tors})_\mathfrak p = M_\mathfrak p/(M_\mathfrak p)_{tors}\) et c’est un module libre de type fini sur l’anneau de valuation discrète \(R_\mathfrak p\) (lemme 0AUW). Alors \(M_\mathfrak p/(M_\mathfrak p)_{tors} \to (M_\mathfrak p)^{**} = (M^{**})_\mathfrak p\) est un isomorphisme ; le lemme est donc une conséquence du lemme 0AVB.

Lemme

Soit \(A\) un anneau intègre normal noethérien de corps des fractions \(K\). Soit \(L\) une extension finie de \(K\). Si la clôture intégrale \(B\) de \(A\) dans \(L\) est de type fini sur \(A\), alors \(B\) est réflexif comme \(A\)-module.

Démonstration

Il suffit de montrer que \(B = \bigcap B_\mathfrak p\), où l’intersection porte sur les idéaux premiers de hauteur \(1\), avec \(\mathfrak p \subset A\) ; voir le lemme 0AVB. Soit \(b \in \bigcap B_\mathfrak p\). Soit \(x^d + a_1x^{d - 1} + \ldots + a_d\) le polynôme minimal de \(b\) sur \(K\). Nous voulons montrer que \(a_i \in A\). Par le lemme d’Algèbre 00H7, nous voyons que \(a_i \in A_\mathfrak p\) pour tout \(i\) et tout idéal premier \(\mathfrak p\) de hauteur un. Nous obtenons donc le résultat voulu par le lemme d’Algèbre 031T (ou par le lemme déjà cité, puisque \(A\) est réflexif comme module sur lui-même).

Idéaux de contenu

La définition n’est peut-être pas celle à laquelle vous vous attendez.

Définition

Soit \(A\) un anneau. Soit \(M\) un \(A\)-module plat. Soit \(x \in M\). Si l’ensemble des idéaux \(I\) de \(A\) tels que \(x \in IM\) possède un plus petit élément, nous l’appelons idéal de contenu de \(x\).

Notons que, puisque \(M\) est plat sur \(A\), pour deux idéaux \(I, I'\) de \(A\) nous avons \(IM \cap I'M = (I \cap I')M\), comme on le voit en tensorisant la suite exacte \(0 \to I \cap I' \to I \oplus I' \to I + I' \to 0\) par \(M\).

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(M\) un \(A\)-module plat. Soit \(x \in M\). L’idéal de contenu de \(x\), s’il existe, est de type fini.

Démonstration

Supposons \(x \in IM\). Alors nous pouvons écrire \(x = \sum_{i = 1, \ldots, n} f_i x_i\) avec \(f_i \in I\) et \(x_i \in M\). Ainsi \(x \in I'M\) avec \(I' = (f_1, \ldots, f_n)\).

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local. Soit \(u : M \to N\) une application de \(A\)-modules plats telle que \(\overline{u} : M/\mathfrak m M \to N/\mathfrak m N\) soit injective. Si \(x \in M\) a pour idéal de contenu \(I\), alors \(u(x)\) a également pour idéal de contenu \(I\).

Démonstration

Il est clair que \(u(x) \in IN\). Si \(u(x) \in I'N\), alors \(u(x) \in (I' \cap I)N\), voir la discussion qui suit la définition 0ASA. Il suffit donc de montrer que si \(x \in I'N\) et \(I' \subset I\), \(I' \not = I\), alors \(u(x) \not \in I'N\). Puisque \(I/I'\) est un \(A\)-module non nul de type fini (lemme 0ASB), il existe une application non nulle \(\chi : I/I' \to A/\mathfrak m\) de \(A\)-modules, par le lemme de Nakayama (lemme d’Algèbre 00DV). Puisque \(I\) est l’idéal de contenu de \(x\), nous voyons que \(x \not \in I''M\), où \(I'' = \Ker(\chi)\). Ainsi \(x\) n’appartient pas au noyau de l’application \[IM = I \otimes_A M \xrightarrow{\chi \otimes 1} A/\mathfrak m \otimes M \cong M/\mathfrak m M\] En appliquant notre hypothèse sur \(\overline{u}\), nous concluons que \(u(x)\) ne s’envoie pas sur zéro par l’application \[IN = I \otimes_A N \xrightarrow{\chi \otimes 1} A/\mathfrak m \otimes N \cong N/\mathfrak m N\] et nous concluons.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(M\) un module de Mittag-Leffler plat. Alors tout élément de \(M\) possède un idéal de contenu.

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme d’Algèbre 059S.

Conditions de platitude et de finitude

Dans cette section, nous examinons quelques conséquences de l’implication « plat \(+\) de type fini \(\Rightarrow\) de présentation finie ». Nous reviendrons sur ce résultat dans le chapitre consacré à la platitude, voir Plus de platitude, section 057N. Un premier résultat de ce type a été démontré dans le lemme d’Algèbre 052U.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(S = R[x_1, \ldots, x_n]\) un anneau de polynômes sur \(R\). Soit \(M\) un \(S\)-module. Supposons que

1. il existe un nombre fini d’idéaux premiers \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_m\) de \(R\) tels que l’application \(R \to \prod R_{\mathfrak p_j}\) soit injective,

2. \(M\) est un \(S\)-module de type fini,

3. \(M\) est plat sur \(R\), et

4. pour tout idéal premier \(\mathfrak p\) de \(R\), le module \(M_{\mathfrak p}\) est de présentation finie sur \(S_{\mathfrak p}\).

Alors \(M\) est de présentation finie sur \(S\).

Démonstration

Choisissons une présentation \[0 \to K \to S^{\oplus r} \to M \to 0\] de \(M\) comme \(S\)-module. Soit \(\mathfrak q\) un idéal premier de \(S\) au-dessus d’un idéal premier \(\mathfrak p\) de \(R\). Par hypothèse, il existe un nombre fini d’éléments \(k_1, \ldots, k_t \in K\) tels que, si nous posons \(K' = \sum Sk_j \subset K\), alors \(K'_{\mathfrak p} = K_{\mathfrak p}\) et \(K'_{\mathfrak p_j} = K_{\mathfrak p_j}\) pour \(j = 1, \ldots, m\). En posant \(M' = S^{\oplus r}/K'\), nous déduisons en particulier que \(M'_{\mathfrak q} = M_{\mathfrak q}\). Par ouverture de la platitude, voir le théorème d’Algèbre 00RC, nous concluons qu’il existe un \(g \in S\), \(g \not \in \mathfrak q\), tel que \(M'_g\) soit plat sur \(R\). Ainsi \(M'_g \to M_g\) est une application surjective de \(R\)-modules plats. Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ M'_g \ar[r] \ar[d] & M_g \ar[d] \\ \prod (M'_g)_{\mathfrak p_j} \ar[r] & \prod (M_g)_{\mathfrak p_j} }\] La flèche inférieure est un isomorphisme par le choix de \(k_1, \ldots, k_t\). La flèche verticale de gauche est injective car \(R \to \prod R_{\mathfrak p_j}\) est injective et \(M'_g\) est plat sur \(R\). La flèche horizontale supérieure est donc injective, et par conséquent un isomorphisme. Cela montre que \(M_g\) est de présentation finie sur \(S_g\). Nous concluons en appliquant le lemme d’Algèbre 00EO.

Lemme

Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux. Supposons que

1. il existe un nombre fini d’idéaux premiers \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_m\) de \(R\) tels que l’application \(R \to \prod R_{\mathfrak p_j}\) soit injective,

2. \(R \to S\) est de type fini,

3. \(S\) est plat sur \(R\), et

4. pour tout idéal premier \(\mathfrak p\) de \(R\), l’anneau \(S_{\mathfrak p}\) est de présentation finie sur \(R_{\mathfrak p}\).

Alors \(S\) est de présentation finie sur \(R\).

Démonstration

Par hypothèse, \(S\) est un quotient d’un anneau de polynômes sur \(R\). Le résultat découle donc directement du lemme 053A.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(S = R[x_1, \ldots, x_n]\) une algèbre de polynômes graduée sur \(R\), c’est-à-dire \(\deg(x_i) > 0\), sans que ces degrés soient nécessairement égaux à \(1\). Soit \(M\) un \(S\)-module gradué. Supposons que

1. \(R\) est un anneau local,

2. \(M\) est un \(S\)-module de type fini, et

3. \(M\) est plat sur \(R\).

Alors \(M\) est de présentation finie comme \(S\)-module.

Démonstration

Écrivons \(M = \bigoplus M_d\) pour la graduation de \(M\). Choisissons des générateurs homogènes \(m_1, \ldots, m_r \in M\) de \(M\). Posons \(\deg(m_i) = d_i \in \mathbf{Z}\). Cela fournit une présentation \[0 \to K \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, r} S(-d_i) \to M \to 0\] qui, en chaque degré \(d\), donne la suite exacte courte \[0 \to K_d \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, r} S_{d - d_i} \to M_d \to 0.\] Par hypothèse, chaque \(M_d\) est un \(R\)-module plat de type fini. Par le lemme d’Algèbre 00NZ, cela implique que chaque \(M_d\) est un \(R\)-module libre de type fini. Nous voyons donc que chaque \(K_d\) est un \(R\)-module de type fini. De plus, chaque \(K_d\) est plat sur \(R\) par le lemme d’Algèbre 00HM. Nous concluons donc que chaque \(K_d\) est libre de type fini, à nouveau par le lemme d’Algèbre 00NZ.

Soit \(\mathfrak m\) l’idéal maximal de \(R\). Par platitude de \(M\) sur \(R\), les suites exactes courtes ci-dessus restent exactes après tensorisation par \(\kappa = \kappa(\mathfrak m)\). Comme l’anneau \(S \otimes_R \kappa\) est noethérien, il existe des éléments homogènes \(k_1, \ldots, k_t \in K\) tels que leurs images \(\overline{k}_j\) engendrent \(K \otimes_R \kappa\) sur \(S \otimes_R \kappa\). Posons \(\deg(k_j) = e_j\). Ainsi, pour tout \(d\), l’application \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, t} S_{d - e_j} \longrightarrow K_d\] devient surjective après tensorisation par \(\kappa\). Par le lemme de Nakayama (lemme d’Algèbre 00DV), cela implique que l’application est surjective sur \(R\). Ainsi \(K\) est engendré par \(k_1, \ldots, k_t\) sur \(S\), ce qui conclut la preuve.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(S = \bigoplus_{n \geq 0} S_n\) une \(R\)-algèbre graduée. Soit \(M = \bigoplus_{d \in \mathbf{Z}} M_d\) un \(S\)-module gradué. Supposons que \(S\) soit de type fini comme \(R\)-algèbre, que \(S_0\) soit une \(R\)-algèbre de type fini, et qu’il existe un nombre fini d’idéaux premiers \(\mathfrak p_j\), \(i = 1, \ldots, m\), tels que \(R \to \prod R_{\mathfrak p_j}\) soit injective.

1. Si \(S\) est plat sur \(R\), alors \(S\) est une \(R\)-algèbre de présentation finie.

2. Si \(M\) est plat comme \(R\)-module et de type fini comme \(S\)-module, alors \(M\) est de présentation finie comme \(S\)-module.

Démonstration

Comme \(S\) est de type fini comme \(R\)-algèbre, il est de type fini comme \(S_0\)-algèbre, disons par des éléments homogènes \(t_1, \ldots, t_n \in S\) de degrés \(d_1, \ldots, d_n > 0\). Posons \(P = R[x_1, \ldots, x_n]\) avec \(\deg(x_i) = d_i\). L’application d’anneaux \(P \to S\), \(x_i \to t_i\), est finie puisque \(S_0\) est un \(R\)-module de type fini. Pour démontrer (1), il suffit de démontrer que \(S\) est un \(P\)-module de présentation finie. Pour démontrer (2), il suffit de démontrer que \(M\) est un \(P\)-module de présentation finie. Il suffit donc de prouver que si \(S = P\) est un anneau de polynômes gradué et si \(M\) est un \(S\)-module de type fini plat sur \(R\), alors \(M\) est de présentation finie comme \(S\)-module. Par le lemme 053C, nous voyons que \(M_{\mathfrak p}\) est un \(S_{\mathfrak p}\)-module de présentation finie pour tout idéal premier \(\mathfrak p\) de \(R\). Le résultat découle donc du lemme 053A.

Remarque

Soit \(R\) un anneau. Quand \(R\) satisfait-il la condition mentionnée dans les lemmes 053A, 053B et 053D ? C’est le cas si

1. \(R\) est local,

2. \(R\) est noethérien,

3. \(R\) est intègre,

4. \(R\) est un anneau réduit ayant un nombre fini d’idéaux premiers minimaux, ou

5. \(R\) possède un nombre fini d’idéaux premiers faiblement associés, voir le lemme d’Algèbre 05CB.

Ainsi, ces lemmes s’appliquent dans tous les cas énumérés ci-dessus.

Le lemme suivant sera amélioré dans Plus de platitude, proposition 053G.

Lemme

Soit \(A\) un anneau de valuation. Soit \(A \to B\) une application d’anneaux de type fini. Soit \(M\) un \(B\)-module de type fini.

1. Si \(B\) est plat sur \(A\), alors \(B\) est une \(A\)-algèbre de présentation finie.

2. Si \(M\) est plat comme \(A\)-module, alors \(M\) est de présentation finie comme \(B\)-module.

Démonstration

Nous utiliserons qu’un \(A\)-module est plat si et seulement s’il est sans torsion, voir le lemme 0539. Par le lemme d’Algèbre 052N, nous pouvons trouver une \(A\)-algèbre graduée \(S\) avec \(S_0 = A\), engendrée par un nombre fini d’éléments de degré \(1\), un élément \(f \in S_1\) et un \(S\)-module gradué de type fini \(N\) tels que \(B \cong S_{(f)}\) et \(M \cong N_{(f)}\). Si \(M\) est sans torsion, nous pouvons choisir \(N\) sans torsion en le remplaçant par \(N/N_{tors}\), voir le lemme 0537. De même, si \(B\) est sans torsion, nous pouvons choisir \(S\) sans torsion en le remplaçant par \(S/S_{tors}\). Ainsi, dans le cas (1), nous pouvons appliquer le lemme 053D pour voir que \(S\) est une \(A\)-algèbre de présentation finie, ce qui implique que \(B = S_{(f)}\) est une \(A\)-algèbre de présentation finie. Pour (2), nous pouvons d’abord remplacer \(S\) par un anneau de polynômes gradué, puis appliquer le lemme 053C pour conclure.

Lemme

Soit \(A\) un anneau de valuation. Soit \(A \to B\) un homomorphisme local essentiellement de type fini. Soit \(M\) un \(B\)-module de type fini.

1. Si \(B\) est plat sur \(A\), alors \(B\) est essentiellement de présentation finie sur \(A\).

2. Si \(M\) est plat comme \(A\)-module, alors \(M\) est de présentation finie comme \(B\)-module.

Démonstration

Par hypothèse, nous pouvons écrire \(B\) comme quotient de la localisation d’une algèbre de polynômes \(P = A[x_1, \ldots, x_n]\) en un idéal premier \(\mathfrak q\). Dans le cas (1), nous considérons \(M = B\) comme module de type fini sur \(P_\mathfrak q\) et, dans le cas (2), nous considérons \(M\) comme module de type fini sur \(P_\mathfrak q\). Dans les deux cas, nous devons montrer qu’il s’agit d’un \(P_\mathfrak q\)-module de présentation finie ; voir le lemme d’Algèbre 0561 dans le cas (2).

Choisissons une présentation \(0 \to K \to P_\mathfrak q^{\oplus r} \to M \to 0\), possible puisque \(M\) est de type fini sur \(P_\mathfrak q\). Soit \(L = P^{\oplus r} \cap K\). Alors \(K = L_\mathfrak q\), voir le lemme d’Algèbre 00CU. Alors \(N = P^{\oplus r}/L\) est un sous-module de \(M\) et donc plat par le lemme 0539. Comme \(N\) est également un \(P\)-module de type fini, nous voyons que \(N\) est de présentation finie comme \(P\)-module par le lemme 053E. Puisque la localisation est exacte (proposition d’Algèbre 00CS), nous voyons que \(N_\mathfrak q = M\) et nous concluons.

Éclatement et platitude

Dans cette section, nous commençons l’étude de résultats de la forme : « Après un éclatement, la transformée stricte devient plate ». D’autres résultats de ce type se trouvent dans Diviseurs, section 0F84, et Plus de platitude, section 080X.

Définition

Soit \(R\) un anneau. Soit \(I \subset R\) un idéal et \(a \in I\). Soit \(R[\frac{I}{a}]\) l’algèbre d’éclatement affine, voir la définition d’Algèbre 052Q. Soit \(M\) un \(R\)-module. La transformée stricte de \(M\) le long de \(R \to R[\frac{I}{a}]\) est le \(R[\frac{I}{a}]\)-module \[M' = \left(M \otimes_R R[\textstyle{\frac{I}{a}}]\right)/\text{torsion par les puissances de }a\]

Le résultat suivant est une version très faible de la platification par éclatement, mais il est déjà parfois utile.

Lemme

Soit \((R, \mathfrak m)\) un anneau local intègre de corps des fractions \(K\). Soit \(S\) une \(R\)-algèbre de type fini. Soit \(M\) un \(S\)-module de type fini. Pour tout anneau de valuation \(A \subset K\) dominant \(R\), il existe un idéal \(I \subset \mathfrak m\) et un élément non nul \(a \in I\) tels que

1. \(I\) est de type fini,

2. \(A\) a un centre sur \(R[\frac{I}{a}]\),

3. l’anneau fibre de \(R \to R[\frac{I}{a}]\) en \(\mathfrak m\) n’est pas nul, et

4. la transformée stricte \(S_{I, a}\) de \(S\) le long de \(R \to R[\frac{I}{a}]\) est plate et de présentation finie sur \(R\), et la transformée stricte \(M_{I, a}\) de \(M\) le long de \(R \to R[\frac{I}{a}]\) est plate sur \(R\) et de présentation finie sur \(S_{I, a}\).

Démonstration

Écrivons \(S = R[x_1, \ldots, x_n]/J\) et notons \(N = S \oplus M\), considéré comme module sur \(P = R[x_1, \ldots, x_n]\). Si nous pouvons démontrer le lemme lorsque \(S\) est une algèbre de polynômes sur \(R\), alors nous pouvons trouver \(I, a\) satisfaisant (1), (2), (3) tels que la transformée stricte \(N_{I, a}\) de \(N\) le long de \(R \to R[\frac{I}{a}]\) soit plate sur \(R\) et de présentation finie comme module sur la transformée stricte \(P_{I, a}\) de \(P\). Puisque \(P_{I, a} = R[\frac{I}{a}][x_1, \ldots, x_n]\) (un détail est omis), nous voyons que le facteur direct \(S_{I, a} \subset N_{I, a}\) est plat sur \(R\) et de présentation finie comme module sur \(R[\frac{I}{a}][x_1, \ldots, x_n]\). Ainsi \(S_{I, a}\) est de présentation finie comme \(R[\frac{I}{a}]\)-algèbre. De plus, le facteur direct \(M_{I, a} \subset N_{I, a}\) est plat sur \(R\) et de présentation finie comme module sur \(P_{I, a}\), donc aussi de présentation finie comme module sur \(S_{I, a}\), voir le lemme d’Algèbre 0561. Cela nous ramène au cas étudié au paragraphe suivant.

Supposons \(S = R[x_1, \ldots, x_n]\). Choisissons une présentation \[0 \to K \to S^{\oplus r} \to M \to 0.\] Soit \(M_A\) le quotient de \(M \otimes_R A\) par son sous-module de torsion, voir le lemme 0537. Alors \(M_A\) est un module de type fini sur \(S_A = A[x_1, \ldots, x_n]\). Par le lemme 0539, nous voyons que \(M_A\) est plat sur \(A\). Par le lemme 053E, nous voyons que \(M_A\) est de présentation finie. Il existe donc un nombre fini d’éléments \(k_1, \ldots, k_t \in S_A^{\oplus r}\) qui engendrent le noyau de la présentation \(S_A^{\oplus r} \to M_A\) comme \(S_A\)-module. Pour tout choix de \(a \in I \subset \mathfrak m\) satisfaisant (1), (2) et (3), notons \(M_{I, a}\) la transformée stricte de \(M\) le long de \(R \to R[\frac{I}{a}]\). C’est un module de type fini sur \(S_{I, a} = R[\frac{I}{a}][x_1, \ldots, x_n]\). Par le lemme d’Algèbre 052M, nous avons \(A = \colim_{I, a} R[\frac{I}{a}]\). Cela implique que \(S_A = \colim S_{I, a}\) et \[\colim M \otimes_R R[\textstyle{\frac{I}{a}}] = M \otimes_R A\] Choisissons \(I, a\) et des relèvements \(k_1, \ldots, k_t \in S_{I, a}^{\oplus r}\). Puisque \(M_A\) est le quotient de \(M \otimes_R A\) par la torsion, nous voyons que les images de \(k_1, \ldots, k_t\) dans \(M \otimes_R A\) sont annihilées par un élément non nul \(\alpha \in A\). Après avoir remplacé \(I, a\) par un autre couple (rappelons que la colimite est filtrante), nous pouvons supposer \(\alpha = x/a^n\) pour un certain \(x \in I^n\) non nul. Alors \(x k_1, \ldots, x k_t\) s’envoient sur zéro dans \(M \otimes_R A\). Après un nouveau remplacement de \(I, a\), nous pouvons donc supposer que \(x k_1, \ldots, x k_t\) s’envoient sur zéro dans \(M \otimes_R R[\frac{I}{a}]\) pour un certain \(x \in R\) non nul. Enfin, en remplaçant \(I, a\) par \(xI, xa\), nous pouvons supposer que \(k_1, \ldots, k_t\) s’envoient sur des éléments de torsion par une puissance de \(a\) de \(M \otimes_R R[\frac{I}{a}]\). Pour tout couple \((I, a)\) de ce type, posons \[M'_{I, a} = S_{I, a}^{\oplus r}/ \sum S_{I, a}k_j.\] Puisque \(M_A = S_A^{\oplus r}/ \sum S_Ak_j\), nous voyons que \(M_A = \colim_{I, a} M'_{I, a}\). À ce stade, nous appliquons enfin le lemme d’Algèbre 02JO (3) pour conclure que \(M'_{I, a}\) est plat pour un certain couple \((I, a)\) comme ci-dessus. Ce lemme ne s’applique a priori pas au système des transformées strictes \[M_{I, a} = (M \otimes_R R[\textstyle{\frac{I}{a}}])/\text{torsion par les puissances de }a\] car les applications de transition peuvent ne pas satisfaire les hypothèses du lemme. Mais maintenant, puisque la platitude implique l’absence de torsion (lemme 0538) et puisque \(M_{I, a}\) est le quotient de \(M'_{I, a}\) (car nous avons fait en sorte que les éléments \(k_1, \ldots, k_t\) s’envoient sur zéro dans \(M_{I, a}\)) par le sous-module de torsion par une puissance de \(a\), nous concluons également que \(M'_{I, a} = M_{I, a}\) pour un tel couple, ce qui conclut la preuve.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(M\) un \(R\)-module de type fini. Soit \(k \geq 0\) et \(I = \text{Fit}_k(M)\). Pour tout \(a \in I\), avec \(R' = R[\frac{I}{a}]\), la transformée stricte \[M' = (M \otimes_R R')/\text{torsion par les puissances de }a\] vérifie \(\text{Fit}_k(M') = R'\).

Démonstration

Observons d’abord que \(\text{Fit}_k(M \otimes_R R') = IR' = aR'\). La première égalité vient du lemme 07ZA, partie (3), et la seconde du lemme d’Algèbre 07Z3. Par le lemme 080Z et l’exactitude de la localisation, nous voyons que \(M'_{\mathfrak p'}\) peut être engendré par \(\leq k\) éléments pour tout idéal premier \(\mathfrak p'\) de \(R'\). Alors \(\text{Fit}_k(M') = R'\), par exemple par le lemme 07ZC.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(M\) un \(R\)-module de type fini. Soit \(k \geq 0\) et \(I = \text{Fit}_k(M)\). Supposons que \(M_\mathfrak p\) soit libre de rang \(k\) pour tout \(\mathfrak p \not \in V(I)\). Alors, pour tout \(a \in I\), avec \(R' = R[\frac{I}{a}]\), la transformée stricte \[M' = (M \otimes_R R')/\text{torsion par les puissances de }a\] est localement libre de rang \(k\).

Démonstration

Par le lemme 0CZM, nous avons \(\text{Fit}_k(M') = R'\). Par le lemme 07ZD, il suffit de montrer que \(\text{Fit}_{k - 1}(M') = 0\). Rappelons que \(R' \subset R'_a = R_a\), voir le lemme d’Algèbre 07Z3. Il suffit donc de prouver que \(\text{Fit}_{k - 1}(M')\) s’envoie sur zéro dans \(R'_a = R_a\). Puisque \((M')_a = M_a\), cela se réduit à montrer que \(\text{Fit}_{k - 1}(M_a) = 0\), car la formation des idéaux de Fitting commute au changement de base d’après le lemme 07ZA, partie (3). Cela résulte de notre hypothèse que \(M_a\) est localement libre de type fini de rang \(k\) (voir le lemme d’Algèbre 00NX) et du lemme déjà cité 07ZD.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(M\) un \(R\)-module de type fini. Soit \(f \in R\) tel que \(M_f\) soit localement libre de type fini de rang \(r\). Alors il existe un idéal \(I \subset R\) de type fini avec \(V(f) = V(I)\) tel que, pour tout \(a \in I\) avec \(R' = R[\frac{I}{a}]\), la transformée stricte \[M' = (M \otimes_R R')/\text{torsion par les puissances de }a\] soit localement libre de rang \(r\).

Démonstration

Choisissons une surjection \(R^{\oplus n} \to M\). Choisissons un sous-module \(K \subset \Ker(R^{\oplus n} \to M)\) de type fini tel que \(R^{\oplus n}/K \to M\) devienne un isomorphisme après inversion de \(f\). C’est possible car \(M_f\) est de présentation finie, par exemple par le lemme d’Algèbre 00NX. Posons \(M_1 = R^{\oplus n}/K\) et supposons le lemme démontré pour \(M_1\). Soit \(I \subset R\) l’idéal correspondant. Alors, pour \(a \in I\), l’application \[M_1' = (M_1 \otimes_R R')/\text{torsion par les puissances de }a \longrightarrow M' = (M \otimes_R R')/\text{torsion par les puissances de }a\] est surjective. C’est également un isomorphisme après inversion de \(a\) dans \(R'\), car \(R'_a = R_f\), voir le lemme d’Algèbre 080U. Mais \(a\) est un non-diviseur de zéro sur \(M'_1\), d’où le fait que l’application affichée est un isomorphisme. Il suffit donc de démontrer le lemme lorsque \(M\) est un \(R\)-module de présentation finie.

Supposons que \(M\) soit un \(R\)-module de présentation finie. Alors \(J = \text{Fit}_r(M) \subset S\) est un idéal de type fini. Nous affirmons que \(I = fJ\) convient.

Vérifions d’abord que \(V(f) = V(I)\). L’inclusion \(V(f) \subset V(I)\) est claire. Réciproquement, si \(f \not \in \mathfrak p\), alors \(\mathfrak p\) n’appartient pas à \(V(J)\) par le lemme 07ZC. Ainsi \(\mathfrak p \not \in V(fJ) = V(I)\).

Soit \(a \in I\) et posons \(R' = R[\frac{I}{a}]\). Nous pouvons écrire \(a = fb\) pour un certain \(b \in J\). Par les lemmes d’Algèbre 07Z3 et 0BBI, nous voyons que \(J R' = b R'\) et que \(b\) est un non-diviseur de zéro dans \(R'\). Soit \(\mathfrak p' \subset R' = R[\frac{I}{a}]\) un idéal premier. Alors \(JR'_{\mathfrak p'}\) est engendré par \(b\). Il résulte du lemme 080Z que \(M'_{\mathfrak p'}\) peut être engendré par \(r\) éléments. Puisque \(M'\) est de type fini, il existe \(m_1, \ldots, m_r \in M'\) et \(g \in R'\), \(g \not \in \mathfrak p'\), tels que l’application correspondante \((R')^{\oplus r} \to M'\) devienne surjective après inversion de \(g\).

Enfin, considérons l’idéal \(J' = \text{Fit}_{k - 1}(M')\). Notons que \(J' R'_g\) est engendré par les coefficients des relations entre \(m_1, \ldots, m_r\) (compatibilité de l’idéal de Fitting au changement de base). Il suffit donc de montrer que \(J' = 0\), voir le lemme 07ZD. Puisque \(R'_a = R_f\) (lemme d’Algèbre 080U) et que \(M'_a = M_f\) est libre de rang \(r\), nous voyons que \(J'_a = 0\). Comme \(a\) est un non-diviseur de zéro dans \(R'\), nous concluons que \(J' = 0\), ce qui achève la preuve.

Complétion et platitude

Dans cette section, nous examinons quand la complétion d’un module plat « grand » est plate.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(I \subset R\) un idéal. Soit \(A\) un ensemble. Supposons que \(R\) soit noethérien et complet pour \(I\). Il existe une application canonique \[\left(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R\right)^\wedge \longrightarrow \prod\nolimits_{\alpha \in A} R\] de la complétion \(I\)-adique de la somme directe vers le produit, qui est universellement injective.

Démonstration

Par définition, un élément \(x\) du membre de gauche est \(x = (x_n)\), où \(x_n = (x_{n, \alpha}) \in \bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R/I^n\) et \(x_{n, \alpha} = x_{n + 1, \alpha} \bmod I^n\). Comme \(R = R^\wedge\), nous voyons que, pour tout \(\alpha\), il existe un \(y_\alpha \in R\) tel que \(x_{n, \alpha} = y_\alpha \bmod I^n\). Notons que, pour chaque \(n\), il n’y a qu’un nombre fini de \(\alpha\) tels que les éléments \(x_{n, \alpha}\) soient non nuls. Réciproquement, étant donné \((y_\alpha) \in \prod_\alpha R\) tel que, pour chaque \(n\), il n’y ait qu’un nombre fini de \(\alpha\) pour lesquels \(y_{\alpha} \bmod I^n\) soit non nul, nous obtenons un élément du membre de gauche. Nous pouvons donc voir un élément du membre de gauche comme une « somme convergente » infinie \(\sum_\alpha y_\alpha\), avec \(y_\alpha \in R\), telle que, pour chaque \(n\), il n’y ait qu’un nombre fini de \(y_\alpha\) non nuls modulo \(I^n\). L’application affichée envoie cet élément sur l’élément \((y_\alpha)\) du produit. En particulier, elle est injective.

Soit \(Q\) un \(R\)-module de type fini. Nous devons montrer que l’application \[Q \otimes_R \left(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R\right)^\wedge \longrightarrow Q \otimes_R \left(\prod\nolimits_{\alpha \in A} R\right)\] est injective, voir le théorème d’Algèbre 058K. Choisissons une présentation \(R^{\oplus k} \to R^{\oplus m} \to Q \to 0\) et notons \(q_1, \ldots, q_m \in Q\) les générateurs correspondants de \(Q\). Par Artin-Rees (lemme d’Algèbre 00IN), il existe une constante \(c\) telle que \(\Im(R^{\oplus k} \to R^{\oplus m}) \cap (I^N)^{\oplus m} \subset \Im((I^{N - c})^{\oplus k} \to R^{\oplus m})\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ \bigoplus_{l = 1}^k \left(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R\right)^\wedge \ar[r] \ar[d] & \bigoplus_{j = 1}^m \left(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R\right)^\wedge \ar[r] \ar[d] & Q \otimes_R \left(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R\right)^\wedge \ar[r] \ar[d] & 0 \\ \bigoplus_{l = 1}^k \left(\prod\nolimits_{\alpha \in A} R\right) \ar[r] & \bigoplus_{j = 1}^m \left(\prod\nolimits_{\alpha \in A} R\right) \ar[r] & Q \otimes_R \left(\prod\nolimits_{\alpha \in A} R\right) \ar[r] & 0 }\] à lignes exactes. Prenons un élément \(\sum_j \sum_\alpha y_{j, \alpha}\) de \(\bigoplus_{j = 1, \ldots, m} \left(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R\right)^\wedge\). Si cet élément s’envoie sur zéro dans le module \(Q \otimes_R \left(\prod\nolimits_{\alpha \in A} R\right)\), nous voyons en particulier que \(\sum_j q_j \otimes y_{j, \alpha} = 0\) dans \(Q\) pour tout \(\alpha\). Il existe donc un élément \((z_{1, \alpha}, \ldots, z_{k, \alpha}) \in \bigoplus_{l = 1, \ldots, k} R\) qui s’envoie sur \((y_{1, \alpha}, \ldots, y_{m, \alpha}) \in \bigoplus_{j = 1, \ldots, m} R\). De plus, si \(y_{j, \alpha} \in I^{N_\alpha}\) pour \(j = 1, \ldots, m\), alors nous pouvons supposer que \(z_{l, \alpha} \in I^{N_\alpha - c}\) pour \(l = 1, \ldots, k\). Ainsi la somme \(\sum_l \sum_\alpha z_{l, \alpha}\) est « convergente » et définit un élément de \(\bigoplus_{l = 1, \ldots, k} \left(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R\right)^\wedge\) qui s’envoie sur l’élément \(\sum_j \sum_\alpha y_{j, \alpha}\) de départ. La flèche verticale de droite est donc injective, ce qui conclut la preuve.

Le lemme suivant peut également se déduire du lemme 0912 ci-dessous.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(I \subset R\) un idéal. Soit \(A\) un ensemble. Supposons que \(R\) soit noethérien. La complétion \((\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R)^\wedge\) est un \(R\)-module plat.

Démonstration

Notons \(R^\wedge\) la complétion de \(R\) pour \(I\). Comme \(R \to R^\wedge\) est plat par le lemme d’Algèbre 00MB, il suffit de démontrer que \((\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R)^\wedge\) est un \(R^\wedge\)-module plat (utiliser le lemme d’Algèbre 00HC). Puisque \[(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R)^\wedge = (\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R^\wedge)^\wedge\] Nous pouvons remplacer \(R\) par \(R^\wedge\) et supposer que \(R\) est complet pour \(I\) (voir le lemme d’Algèbre 031C). Dans ce cas, le lemme 05BC nous dit que l’application \((\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R)^\wedge \to \prod_{\alpha \in A} R\) est universellement injective. Ainsi, par le lemme d’Algèbre 058P, il suffit de montrer que \(\prod_{\alpha \in A} R\) est plat. Par la proposition d’Algèbre 05CZ (et le lemme d’Algèbre 05CY), nous voyons que \(\prod_{\alpha \in A} R\) est plat.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(I\) un idéal de \(A\). Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Pour tout \(p > 0\), il existe un \(c > 0\) tel que \(\text{Tor}_p^A(M, A/I^n) \to \text{Tor}_p^A(M, A/I^{n - c})\) qui est nulle pour tout \(n \geq c\).

Démonstration

Preuve pour \(p = 1\). Choisissons une suite exacte courte \(0 \to K \to A^{\oplus t} \to M \to 0\). Alors \(\text{Tor}_1^A(M, A/I^n) = K \cap (I^n)^{\oplus t}/I^nK\). Par Artin-Rees (lemme d’Algèbre 00IN), il existe une constante \(c \geq 0\) telle que \(K \cap (I^n)^{\oplus t} \subset I^{n - c}K\) pour \(n \geq c\). Cela donne le résultat pour \(p = 1\). Pour \(p > 1\), nous avons \(\text{Tor}_p^A(M, A/I^n) = \text{Tor}^A_{p - 1}(K, A/I^n)\). Le lemme se déduit donc par récurrence.