练习

代数

本节首先收录若干杂题。

练习

设 \(A\) 为环，\({\mathfrak m}\) 为极大理想。在 \(A[X]\) 中令 \(\tilde {\mathfrak m}_1 = ({\mathfrak m}, X)\) 且 \(\tilde {\mathfrak m}_2 = ({\mathfrak m}, X-1)\)。证明 \[A[X]_{\tilde {\mathfrak m}_1} \cong A[X]_{\tilde {\mathfrak m}_2}.\]

练习

求一个非 Noether 环 \(R\) 的例子，使得 \(R\) 的每个有限生成理想作为 \(R\)-模都是有限表示的。（若一个环具有后一性质，则称它是凝聚环。）

练习

设 \((A, {\mathfrak m}, k)\) 为 Noether 局部环。对任意有限 \(A\)-模 \(M\)， 定义 \(r(M)\) 为 \(M\) 作为 \(A\)-模的最少生成元个数。由 NAK，此数等于 \(\dim_k M/{\mathfrak m} M = \dim_k M \otimes_A k\)。

1. 证明 \(r(M \otimes_A N) = r(M)r(N)\)。

2. 设 \(I\subset A\) 为满足 \(r(I) > 1\) 的理想。证明 \(r(I^2) < r(I)^2\)。

3. 推出：若 \(A\) 中每个理想都是平坦模，则 \(A\) 是主理想整环 （或域）。

练习

设 \(k\) 为域。证明下列每一对 \(k\)-代数不同构：

1. \(k[x_1, \ldots, x_n]\) 与 \(k[x_1, \ldots, x_{n + 1}]\)， 其中 \(n\geq 1\) 任意；

2. \(k[a, b, c, d, e, f]/(ab + cd + ef)\) 与 \(k[x_1, \ldots, x_n]\)，其中 \(n = 5\)；

3. \(k[a, b, c, d, e, f]/(ab + cd + ef)\) 与 \(k[x_1, \ldots, x_n]\)，其中 \(n = 6\)。

注

当然，本练习的意图是在每种情形中找到简单论证，而不是应用某个“大”定理。 不过，以一般原理为指引仍然很有益。

练习

代数。（这是个很初等且应当容易的问题。）

1. 给出一个环 \(A\) 及一个不分裂的 \(A\)-模短正合列的例子 \[0 \to M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0.\]

2. 给出一个如上的不分裂 \(A\)-模正合列，以及一个忠实平坦映射 \(A \to B\)，使得 \[0 \to M_1\otimes_A B \to M_2\otimes_A B \to M_3\otimes_A B \to 0.\] 作为 \(B\)-模正合列是分裂的。

练习

设域 \(k\) 含有一个本原 \(n\) 次单位根 \(\zeta\)。这意味着 \(\zeta^n = 1\)，但 \(\zeta^m\not = 1\) 对 \(0 < m < n\) 成立。

1. 证明 \(k\) 的特征与 \(n\) 互素。

2. 设 \(a \in k\) 是 \(k\) 中一个元素。

   若 \(d\) 是 \(n\) 的任意满足 \(n \geq d > 1\) 的因子，则该元素在 \(k\) 中 不是 \(d\) 次幂。证明 \(k[x]/(x^n-a)\) 是域。（提示：考虑 \(x^n-a\) 的一个分裂域，并使用 Galois 理论。）

练习

设 \(\nu : k[x]\setminus \{0\} \to {\mathbf Z}\) 为满足下列性质的映射： 只要 \(f\)、\(g\) 非零，就有 \(\nu(fg) = \nu(f) + \nu(g)\)；只要 \(f\)、\(g\)、\(f + g\) 非零，就有

\(\nu(f + g) \geq min(\nu(f), \nu(g))\)；并且 \(\nu(c) = 0\) 对所有 \(c\in k^*\) 都成立。

1. 证明：若 \(f\)、\(g\) 和 \(f + g\) 均非零，且 \(\nu(f) \not = \nu(g)\)，则 \(\nu(f + g) = min(\nu(f), \nu(g))\)。

2. 证明：若 \(f = \sum a_i x^i\) 且 \(f\not = 0\)，则 \(\nu(f) \geq min(\{i\nu(x)\}_{a_i\not = 0})\)。何时等号成立？

3. 证明：若 \(\nu\) 取到负值，则 \(\nu(f) = -n \deg(f)\) 对某个 \(n\in {\mathbf N}\) 成立。

4. 设 \(\nu(x) \geq 0\)。证明 \(\{f \mid f = 0, \ or\ \nu(f) > 0\}\) 是 \(k[x]\) 的素理想。

5. 描述所有可能的 \(\nu\)。

设 \(A\) 为环。若元素 \(e \in A\) 满足 \(e^2 = e\)，则称它为幂等元。 元素 \(1\) 和 \(0\) 总是幂等元。

非平凡幂等元是一个不等于零的幂等元。若两个幂等元 \(e, e' \in A\) 满足 \(ee' = 0\)，则称它们正交。

练习

设 \(A\) 为环。证明：\(A\) 是两个非零环的直积，当且仅当 \(A\) 具有非平凡幂等元。

练习

设 \(A\) 为环，\(I \subset A\) 为局部幂零理想。证明映射 \(A \to A/I\) 在幂等元上诱导双射。（提示：先证明 \(I\) 为幂零理想时的结论， 这可能更容易。然后用“绝对 Noether 约化”化归到幂零情形。）

余极限

定义

有向集是一个非空集合 \(I\)，其上赋有预序 \(\leq\)，并且对任意一对 \(i, j \in I\)，存在 \(k \in I\) 使得 \(i \leq k\) 且 \(j \leq k\)。 \(I\) 上的一个环系由每个 \(i \in I\) 所对应的环 \(A_i\)，以及每当 \(i \leq j\) 时的环映射 \(\varphi_{ij} : A_i \to A_j\) 组成，并要求： 只要 \(i \leq j \leq k\)，复合 \(A_i \to A_j \to A_k\) 就等于 \(A_i \to A_k\)。

群系、固定环上的模系、域上的向量空间系等可类似定义。

练习

设 \(I\) 为有向集，\((A_i, \varphi_{ij})\) 为 \(I\) 上的环系。 证明存在环 \(A\) 及映射 \(\varphi_i : A_i \to A\)，使得对所有 \(i \leq j\) 都有 \(\varphi_j \circ \varphi_{ij} = \varphi_i\)，并具有 下列泛性质：给定任意环 \(B\) 及映射 \(\psi_i : A_i \to B\)，若对所有 \(i \leq j\) 都有 \(\psi_j \circ \varphi_{ij} = \psi_i\)，则存在唯一的 环映射 \(\psi : A \to B\) 使得 \(\psi_i = \psi \circ \varphi_i\)。

定义

练习 078J 中构造的环 \(A\) 称为该系统的 余极限，记作 \(\colim A_i\)。

练习

设 \((I, \geq)\) 为有向集，\((A_i, \varphi_{ij})\) 为 \(I\) 上的环系， 其余极限为 \(A\)。证明存在双射 \[\Spec(A) = \{(\mathfrak p_i)_{i \in I} \mid \mathfrak p_i \subset A_i \text{ 且 } \mathfrak p_i = \varphi_{ij}^{-1}(\mathfrak p_j)\ \forall i \leq j\} \subset \prod\nolimits_{i \in I} \Spec(A_i)\] 等式右侧的集合是各集合 \(\Spec(A_i)\) 的极限，记作 \(\lim \Spec(A_i)\)。

练习

设 \((I, \geq)\) 为有向集，\((A_i, \varphi_{ij})\) 为 \(I\) 上的环系， 其余极限为 \(A\)。设对所有 \(i \leq j\)，映射 \(\Spec(A_j) \to \Spec(A_i)\) 都是满射。证明对所有 \(i\)， \(\Spec(A) \to \Spec(A_i)\) 都是满射。（提示：可以尝试使用 Tychonoff 定理；不过，由《代数》引理 00E7 也可给出一个基本上平凡的直接代数证明。）

练习

设 \(A \subset B\) 为整环扩张。证明 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) 是满射。

使用上面的练习、课堂上已证明的有限环扩张情形，并证明 \(B = \colim B_i\) 是有限扩张 \(A \subset B_i\) 的有向余极限。

练习

设 \((I, \geq)\) 为有向集。设 \(A\) 为环， \((N_i, \varphi_{i, i'})\) 为由 \(I\) 标号的 \(A\)-模有向系，并设 \(M\) 为另一个 \(A\)-模。证明 \[\colim_{i\in I} M \otimes_A N_i\cong M \otimes_A \Big( \colim_{i\in I} N_i\Big).\]

定义

若 \(R\)-模 \(M\) 同构于有限秩自由模之间某个映射 \(R^{\oplus n} \to R^{\oplus m}\) 的余核，则称它在 \(R\) 上 有限表示。

练习

证明任意环上的任意模：

1. 是其有限生成子模的余极限；

2. 可按某种方式写成有限表示模的余极限。

加性范畴与 Abel 范畴

练习

设 \(k\) 为域，\(\mathcal{C}\) 为 \(k\) 上滤过向量空间所成的范畴。 任意范畴中滤过对象的定义见《同调代数》定义 0121。

1. 证明这是一个加性范畴（并仔细说明两个对象的直和是什么）。

2. 设 \(f : (V, F) \to (W, F)\) 为 \(\mathcal{C}\) 的一个态射。 证明 \(f\) 有核与余核（并准确说明 \(f\) 的核与余核是什么）。

3. 给出 \(\mathcal{C}\) 中一个映射的例子，使得典范映射 \(\Coim(f) \to \Im(f)\) 不是同构。

练习

设 \(R\) 为 Noether 整环，\(\mathcal{C}\) 为有限生成无挠 \(R\)-模 所成的范畴。

1. 证明这是一个加性范畴。

2. 设 \(f : N \to M\) 为 \(\mathcal{C}\) 的一个态射。证明 \(f\) 有核与余核（务必准确地定义 \(f\) 的核与余核）。

3. 给出一个 Noether 整环 \(R\) 以及 \(\mathcal{C}\) 中的一个映射， 使得典范映射 \(\Coim(f) \to \Im(f)\) 不是同构。

练习

给出一个加性且具有核与余核的范畴的例子，但它不同于练习 057Y 和 057Z 中的范畴。

张量积

张量积在《代数》第 00CV 节中引入。 设 \(R\) 为环，\(\text{Mod}_R\) 为 \(R\)-模范畴。我们称函子 \(F : \text{Mod}_R \to \text{Mod}_R\)

1. 是加性的，如果对任意 \(R\)-模 \(M, N\)，映射 \(F : \Hom_R(M, N) \to \Hom_R(F(M), F(N))\) 都是 Abel 群同态；见《同调代数》定义 00ZY；

2. 是 \(R\)-线性的，如果对任意 \(R\)-模 \(M, N\)，映射 \(F : \Hom_R(M, N) \to \Hom_R(F(M), F(N))\) 都是 \(R\)-线性的；

3. 是右正合的，如果对任意短正合列 \(0 \to M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0\)，序列 \(F(M_1) \to F(M_2) \to F(M_3) \to 0\) 都正合；

4. 是左正合的，如果对任意短正合列 \(0 \to M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0\)，序列 \(0 \to F(M_1) \to F(M_2) \to F(M_3)\) 都正合；

5. 与直和交换，如果给定集合 \(I\) 及 \(R\)-模 \(M_i\)，各映射 \(F(M_i) \to F(\bigoplus M_i)\) 诱导同构 \(\bigoplus F(M_i) = F(\bigoplus M_i)\)。

练习

设 \(R\) 为环，沿用上述记号。

1. 给出环 \(R\) 及加性函子 \(F : \text{Mod}_R \to \text{Mod}_R\) 的例子，使得该函子不是 \(R\)-线性的。

2. 设 \(N\) 为 \(R\)-模。证明函子 \(F(M) = M \otimes_R N\) 是 \(R\)-线性的、右正合的，并且与直和交换。

3. 反过来，证明任意函子 \(F : \text{Mod}_R \to \text{Mod}_R\)， 若它是 \(R\)-线性的、右正合的且与直和交换，则它具有形式 \(F(M) = M \otimes_R N\)，其中 \(N\) 是某个 \(R\)-模。

4. 证明：若在 (3) 中去掉 \(F\) 与直和交换的假设，则结论不再成立。

平坦环映射

练习

设 \(S\) 为环 \(A\) 的乘法子集。

1. 对 \(A\)-模 \(M\)，证明 \(S^{-1}M = S^{-1}A \otimes_A M\)。

2. 证明 \(S^{-1}A\) 在 \(A\) 上平坦。

练习

在下列各情形中，求一个 \(A\)-模单射 \(M_1 \to M_2\)，使得 \(M_1\otimes N \to M_2 \otimes N\) 不是单射：

1. \(A = k[x, y]\) 且 \(N = (x, y) \subset A\)。（这里及以下， \(k\) 都是域。）

2. \(A = k[x, y]\) 且 \(N = A/(x, y)\)。

练习

给出环 \(A\) 及有限 \(A\)-模 \(M\) 的例子，使得它是平坦的但不是 投射 \(A\)-模。

注

若 \(M\) 在 \(A\) 上有限表示且平坦，则 \(M\) 在 \(A\) 上投射。 因此，你的例子必须涉及一个非 Noether 环 \(A\)。我知道一个例子， 其中 \(A\) 是 \({\mathcal C}^\infty\)-函数在 \({\mathbf R}\) 上的环。

练习

求 \({\mathbf Z}_{(2)}\) 上一个平坦但不自由的模。

练习

平坦形变。

1. 设 \(k\) 为域，\(k[\epsilon]\) 为对偶数环 \(k[\epsilon] = k[x]/(x^2)\)，且 \(\epsilon = \bar x\)。证明：对任意 \(k\)-代数 \(A\)，存在平坦 \(k[\epsilon]\)-代数 \(B\)，使得 \(A\) 同构于 \(B/\epsilon B\)。

2. 设 \(k = {\mathbf F}_p = {\mathbf Z}/p{\mathbf Z}\) 且 \[A = k[x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6]/ (x_1^p, x_2^p, x_3^p, x_4^p, x_5^p, x_6^p).\] 证明存在平坦 \({\mathbf Z}/p^2{\mathbf Z}\)-代数 \(B\)，使得 \(B/pB\) 同构于 \(A\)。（因此，这里 \(p\) 扮演 \(\epsilon\) 的角色。）

3. 现在令 \(p = 2\)，并对 \(k = {\mathbf F}_2 = {\mathbf Z}/2{\mathbf Z}\) 及 \[A = k[x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6]/ (x_1^2, x_2^2, x_3^2, x_4^2, x_5^2, x_6^2, x_1x_2 + x_3x_4 + x_5x_6).\] 考虑同一问题。不过，在这种情形下证明：不存在平坦 \({\mathbf Z}/4{\mathbf Z}\)-代数 \(B\) 使得 \(B/2B\) 同构于 \(A\)。 （找出其中的窍门！同一例子对任意特征 \(p > 0\) 都成立，只是计算更困难。）

练习

设 \((A, {\mathfrak m}, k)\) 为局部环，\(k'/k\) 为有限域扩张。 证明存在局部环之间的平坦局部映射 \(A \to B\)，使得 \({\mathfrak m}_B = {\mathfrak m} B\)，并且 \(B/{\mathfrak m} B\) 作为 \(k\)-代数同构于 \(k'\)。（提示：先处理 \(k \subset k'\) 由单个元素生成的情形。）

注

同一结果对任意域扩张 \(K/k\) 都成立。

环的谱

练习

计算集合 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 并描述其拓扑。

练习

设 \(A\) 为任意环。对 \(f\in A\)，定义 \(D(f):= \{\mathfrak p \subset A \mid f \not \in \mathfrak p\}\)。 证明开子集 \(D(f)\) 构成 \(\Spec(A)\) 拓扑的一组基。

练习

证明映射 \(I\mapsto V(I)\) 定义一个自然双射 \[\{I\subset A\text{ 满足 }I = \sqrt{I}\} \longrightarrow \{T\subset \Spec(A)\text{ 为闭集}\}\]

定义

若对任意开覆盖 \(X = \bigcup_{i\in I} U_i\)，都存在有限子集 \(\{i_1, \ldots, i_n\}\subset I\) 使得 \(X = U_{i_1}\cup\ldots U_{i_n}\)，则称拓扑空间 \(X\) 拟紧。

练习

证明对任意环 \(A\)，\(\Spec(A)\) 都拟紧。

定义

若拓扑空间 \(X\) 中任意两个不同的点 \(x, y\in X\)，\(x\not = y\)， 都有一个开子集仅含其中一点而不含另一点，则称 \(X\) 满足分离公理 \(T_0\)。若对任意一对 \(x, y\in X\)，\(x\not = y\)，都存在不交的 开子集 \(U, V\)，使得 \(x\in U\) 且 \(y\in V\)，则称 \(X\) 豪斯多夫。

练习

证明一般而言 \(\Spec(A)\) 不是豪斯多夫的。 证明 \(\Spec(A)\) 满足 \(T_0\)。给出一个不满足 \(T_0\) 的拓扑空间 \(X\) 的例子。

注

“紧”一词通常保留给既拟紧又豪斯多夫的空间。

定义

若拓扑空间 \(X\) 非空，并且每当 \(X = Z_1\cup Z_2\)、其中 \(Z_1, Z_2\subset X\) 均为闭集时，都有 \(Z_1 = X\) 或 \(Z_2 = X\)，则称 \(X\) 不可约。拓扑空间的子集 \(T\subset X\) 若在 \(X\) 诱导的拓扑下是不可约拓扑空间，则称 \(T\) 不可约。由此定义可知，该子集不可约，当且仅当 \(T\) 在 \(X\) 中的闭包 \(\bar T\) 不可约。

练习

证明 \(\Spec(A)\) 不可约，当且仅当 \(Nil(A)\) 是素理想；并证明在 这种情形下，它是 \(A\) 的唯一极小素理想。

练习

证明闭子集 \(T\subset \Spec(A)\) 不可约，当且仅当存在素理想 \({\mathfrak p}\subset A\) 使它具有形式 \(T = V({\mathfrak p})\)。

定义

设 \(X\) 为不可约拓扑空间。若点 \(x\) 满足 \(X\) 等于单点子集 \(\{x\}\) 的闭包，则称其为 \(X\) 的泛点。

练习

证明在 \(T_0\) 空间 \(X\) 中，每个不可约闭子集至多有一个泛点。

练习

证明在 \(\Spec(A)\) 中，每个不可约闭子集确实有泛点。 事实上，证明映射 \({\mathfrak p} \mapsto \overline{\{{\mathfrak p}\}}\) 是从 \(\Spec(A)\) 到 \(X\) 的不可约 闭子集所成集合的双射。

练习

给出一个例子，说明 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 的不可约子集不一定有泛点。

定义

若 \(X\) 的任意闭子集降链 \(Z_1\supset Z_2 \supset Z_3\supset \ldots\) 都稳定，则称拓扑空间 \(X\) 是Noether 的。（若任意闭子集升链 都稳定，则称它是Artin 的。）

练习

证明：若环 \(A\) 是 Noether 环，则拓扑空间 \(\Spec(A)\) 是 Noether 空间。给出一个例子，说明逆命题不成立。（如果愿意，也可对 Artin 情形做同样的事。）

定义

极大不可约子集 \(T\subset X\) 称为 \(X\) 的一个 不可约分支。\(X\) 的任何不可约分支自动是 \(X\) 的闭子集。

练习

证明 \(X\) 的任意不可约子集都包含于 \(X\) 的某个不可约分支中。

练习

证明 Noether 拓扑空间 \(X\) 只有有限多个不可约分支，记为 \(X_1, \ldots, X_n\)，且 \(X = X_1\cup X_2\cup\ldots\cup X_n\)。 （注意，任意 \(X\) 总是其不可约分支的并；不过，例如若 \(X = {\mathbf R}\) 取通常拓扑，则 \(X\) 的不可约分支都是单点子集， 这并没有多大意思。）

练习

证明 \(\Spec(A)\) 的不可约分支对应于 \(A\) 的极小素理想。

定义

若 \(x\in X\) 满足 \(\overline{\{x\}} = \{ x\}\)，则称该点 为闭点。设 \(x, y\) 是 \(X\) 的点。若 \(x\in \overline{\{y\}}\)，则称 \(x\) 是 \(y\) 的一个专化， 或称 \(y\) 是 \(x\) 的一个一般化。

练习

证明 \(\Spec(A)\) 的闭点对应于 \(A\) 的极大理想。

练习

证明 \({\mathfrak p}\) 是 \(\Spec(A)\) 中 \({\mathfrak q}\) 的一般化， 当且仅当 \({\mathfrak p}\subset {\mathfrak q}\)。用一般化与专化 刻画闭点、极大理想、泛点和极小素理想。（这里采用如下术语： 可约拓扑空间 \(X\) 的一个点若是 \(X\) 某个不可约分支的泛点，就称它为

一个泛点。）

练习

设 \(I\) 和 \(J\) 为 \(A\) 的理想。\(V(I)\) 与 \(V(J)\) 不交的条件是什么？

定义

若拓扑空间 \(X\) 非空，且不能写成两个非空不交开子集的并，则称 它连通。它的极大连通子集称为 \(X\) 的一个 连通分支。\(X\) 的每个点都包含于 \(X\) 的某个连通分支中， 而 \(X\) 的每个连通分支在 \(X\) 中都是闭的。（但一般而言，连通分支 在 \(X\) 中未必是开的。）

练习

设 \(A\) 为非零环。证明 \(\Spec(A)\) 不连通，当且仅当对某些非零环 \(B, C\) 有 \(A\cong B \times C\)。

练习

设 \(T\) 为 \(\Spec(A)\) 的一个连通分支。证明 \(T\) 在一般化下稳定。 若 \(A\) 是 Noether 环，证明 \(T\) 是 \(\Spec(A)\) 的开子集。 （注：例如，当 \(A\) 是无穷多个 \({\mathbf F}_2\) 的直积时，该结论错误。 此环的谱由无穷多个闭点组成。）

练习

计算 \(\Spec(k[x])\)，即描述该环的素理想、可能的专化以及拓扑。 （在 \(k\) 为代数闭域时完成计算，也在 \(k\) 不是代数闭域时完成计算。）

练习

计算 \(\Spec(k[x, y])\)，其中 \(k\) 是代数闭域。 [提示：使用态射 \(\varphi : \Spec(k[x, y]) \to \Spec(k[x])\)；若 \(\varphi({\mathfrak p}) = (0)\)，则关于 \(S = \{f\in k[x] \mid f \not = 0\}\) 局部化，并使用课堂上关于 局部化与 \(\Spec\) 的结果。] （你认为代数几何学家为什么称它为仿射 2-空间？）

练习

计算 \(\Spec(\mathbf{Z}[y])\)。 [提示：同上。]（\(\mathbf{Z}\) 上的仿射 1-空间。）

局部化

练习

设 \(A\) 为环，\(S \subset A\) 为乘法子集，\(M\) 为 \(A\)-模， \(N \subset S^{-1}M\) 为 \(S^{-1}A\)-子模。证明存在 \(A\)-子模 \(N' \subset M\) 使得 \(N = S^{-1}N'\)。（这一有用结果特别适用于 \(S^{-1}A\) 的理想。）

练习

设 \(A\) 为环，\(M\) 为 \(A\)-模，\(m \in M\)。

1. 证明 \(I = \{a \in A \mid am = 0\}\) 是 \(A\) 的理想。

2. 对 \(A\) 的素理想 \(\mathfrak p\)，证明 \(m\) 在 \(M_\mathfrak p\) 中的像为零，当且仅当 \(I \not \subset \mathfrak p\)。

3. 证明 \(m\) 为零，当且仅当 \(m\) 在所有 \(A\) 的素理想 \(\mathfrak p\) 所对应的 \(M_\mathfrak p\) 中的像都为零。

4. 证明 \(m\) 为零，当且仅当 \(m\) 在所有 \(A\) 的极大理想 \(\mathfrak m\) 所对应的 \(M_\mathfrak m\) 中的像都为零。

5. 证明 \(M = 0\)，当且仅当对所有极大理想 \(\mathfrak m\)， \(M_{\mathfrak m}\) 都为零。

练习

求一对 \((A, f)\)，其中 \(A\) 是具有三个或更多两两不同素理想的整环， \(f \in A\) 是一个元素，并且主局部化 \(A_f = \{1, f, f^2, \ldots \}^{-1}A\) 是域。

练习

设 \(A\) 为环，\(M\) 为有限 \(A\)-模，\(S \subset A\) 为乘法集。 假设 \(S^{-1}M = 0\)。证明存在 \(f \in S\)，使得主局部化 \(M_f = \{1, f, f^2, \ldots \}^{-1}M\) 为零。

练习

给出三元组 \((A, I, S)\) 的例子，其中 \(A\) 是环， \(0 \not = I \not = A\) 是真非零理想，\(S \subset A\) 是乘法子集， 并且作为 \(A\)-代数有 \(A/I \cong S^{-1}A\)。

Nakayama 引理

练习

设 \(A\) 为环，\(I\) 为 \(A\) 的理想，\(M\) 为 \(A\)-模，并设 \(x_1, \ldots, x_n \in M\)。假设：

1. \(M/IM\) 由 \(x_1, \ldots, x_n\) 生成；

2. \(M\) 是有限 \(A\)-模；

3. \(I\) 包含于 \(A\) 的每个极大理想中。

证明 \(x_1, \ldots, x_n\) 生成 \(M\)。（建议解法：使用练习 0768 以及局部化的正合性，化归到 \(A\) 的一个极大理想处的局部化。然后考察 \(M\) 模去由 \(x_1, \ldots, x_n\) 生成的子模所得的商，化归到课堂上的 Nakayama 引理。）

长度

定义

设 \(A\) 为环，\(M\) 为 \(A\)-模。

\(M\) 作为 \(R\)-模的长度为 \[\text{length}_A(M) = \sup \{ n \mid \exists\ 0 = M_0 \subset M_1 \subset \ldots \subset M_n = M, \text{ }M_i \not = M_{i + 1} \}.\] 换言之，它是子模链长度的上确界。

练习

证明环 \(A\) 上的模 \(M\) 长度为 \(1\)，当且仅当它同构于 \(A/\mathfrak m\)，其中 \(\mathfrak m\) 是 \(A\) 的某个极大理想。

练习

计算下列各模在相应环上的长度。简要（！）说明你的答案。 （可自由使用短正合列中长度函数的可加性；见《代数》引理 00IV。）

1. \(\mathbf{Z}/120\mathbf{Z}\) 在 \(\mathbf{Z}\) 上的长度。

2. \(\mathbf{C}[x]/(x^{100} + x + 1)\) 在 \(\mathbf{C}[x]\) 上的长度。

3. \(\mathbf{R}[x]/(x^4 + 2x^2 + 1)\) 在 \(\mathbf{R}[x]\) 上的长度。

练习

设 \(A = k[x, y]_{(x, y)}\) 为仿射平面在原点处的局部环。 可对域 \(k\) 作任意你喜欢的假设。设 \(f = x^3 + x^2y^2 + y^{100}\) 且 \(g = y^3 - x^{999}\)。 \(A/(f, g)\) 作为 \(A\)-模的长度是多少？（一种可能的方法是： 考察 \(f\) 和 \(g\) 在形如

\(A/{\mathfrak m}_A^n= k[x, y]/(x, y)^n\) 的商中生成的理想，其中 \(n\) 变化。尝试寻找 \(n\)，使得 \(A/(f, g)+{\mathfrak m}_A^n \cong A/(f, g)+{\mathfrak m}_A^{n + 1}\)， 并使用 NAK。）

伴随素理想

伴随素理想在《代数》第 00L9 节中讨论。

练习

计算下列各模的伴随素理想集合。

1. \(R = k[x, y]\) 且 \(M = R/(xy(x + y))\)；

2. \(R = \mathbf{Z}[x]\) 且 \(M = R/(300x + 75)\)；

3. \(R = k[x, y, z]\) 且 \(M = R/(x^3, x^2y, xz)\)。

这里照例 \(k\) 是域。

练习

给出 Noether 环 \(R\) 及素理想 \(\mathfrak p\) 的例子，使得 \(\mathfrak p\) 不是 \(R/\mathfrak p^2\) 的唯一伴随素理想。

练习

设 \(R\) 为 Noether 环，具有不可比的素理想 \(\mathfrak p\)、\(\mathfrak q\)；即 \(\mathfrak p \not \subset \mathfrak q\) 且 \(\mathfrak q \not \subset \mathfrak p\)。

1. 证明对 \(N = R/(\mathfrak p \cap \mathfrak q)\) 有 \(\text{Ass}(N) = \{\mathfrak p, \mathfrak q\}\)。

2. 用例子说明，模 \(M = R/\mathfrak p \mathfrak q\) 可以有一个 既不等于 \(\mathfrak p\) 也不等于 \(\mathfrak q\) 的伴随素理想。

Ext 群

Ext 群在《代数》第 00LO 节中定义。

练习

计算所给各模的全部 Ext 群 \(\Ext^i(M, N)\)；这里取 \(\mathbf{Z}\)-模范畴（亦称 Abel 群范畴）。

1. \(M = \mathbf{Z}\) 且 \(N = \mathbf{Z}\)；

2. \(M = \mathbf{Z}/4\mathbf{Z}\) 且 \(N = \mathbf{Z}/8\mathbf{Z}\)；

3. \(M = \mathbf{Q}\) 且 \(N = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\)；

4. \(M = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\) 且 \(N = \mathbf{Q}/\mathbf{Z}\)。

练习

设 \(R = k[x, y]\)，其中 \(k\) 是域。

1. 直接证明 Koszul 复形 \[0 \to R \xrightarrow{ \left( \begin{matrix} y \\ -x \end{matrix} \right) } R^{\oplus 2} \xrightarrow{(x, y)} R \xrightarrow{f \mapsto f(0, 0)} k \to 0\] 是正合的。

2. 计算 \(\Ext^i_R(k, k)\)，其中把 \(k = R/(x, y)\) 视为 \(R\)-模。

练习

给出 Noether 环 \(R\) 以及有限模 \(M\)、\(N\) 的例子，使得对所有 \(i \geq 0\)，\(\Ext^i_R(M, N)\) 都非零。

练习

给出环 \(R\) 和理想 \(I\) 的例子，使得 \(\Ext^1_R(R/I, R/I)\) 不是有限 \(R\)-模。 （由《代数》引理 08YR 可知，当 \(R\) 为 Noether 环时不可能发生这种情形。）

深度

深度在《代数》第 00LE 节中定义，并在 《对偶化复形》第 0AVY 节中进一步研究。

练习

设 \(R\) 为环，\(I \subset R\) 为理想，\(M\) 为 \(R\)-模。 在下列各情形中计算 \(\text{depth}_I(M)\)。

1. \(R = \mathbf{Z}\)，\(I = (30)\)，\(M = \mathbf{Z}\)；

2. \(R = \mathbf{Z}\)，\(I = (30)\)，\(M = \mathbf{Z}/(300)\)；

3. \(R = \mathbf{Z}\)，\(I = (30)\)，\(M = \mathbf{Z}/(7)\)；

4. \(R = k[x, y, z]/(x^2 + y^2 + z^2)\)，\(I = (x, y, z)\)，\(M = R\)；

5. \(R = k[x, y, z, w]/(xz, xw, yz, yw)\)，\(I = (x, y, z, w)\)， \(M = R\)。

这里 \(k\) 是域。在最后两种情形中，可自由地在极大理想 \(I\) 处局部化。

练习

给出深度 \(\geq 1\) 的 Noether 局部环 \((R, \mathfrak m, \kappa)\) 以及素理想 \(\mathfrak p\) 的例子，使得

1. \(\text{depth}_\mathfrak m(R) \geq 1\)；

2. \(\text{depth}_\mathfrak p(R_\mathfrak p) = 0\)；

3. \(\dim(R_\mathfrak p) \geq 1\)。

若不要求（3），这个练习就太容易了。为什么？

练习

设 \((R, \mathfrak m)\) 为 Noether 局部整环，\(M\) 为有限 \(R\)-模。

1. 若 \(M\) 无挠，证明 \(M\) 在 \(R\) 上的深度至少为 \(1\)。

2. 给出深度恰为 \(1\) 的例子。

练习

对每一对 \(m \geq n \geq 0\)，给出 Noether 局部环 \(R\) 的例子，使得 \(\dim(R) = m\) 且 \(\text{depth}(R) = n\)。

练习

设 \((R, \mathfrak m)\) 为 Noether 局部环，\(M\) 为有限 \(R\)-模。 证明存在典范短正合列 \[0 \to K \to M \to Q \to 0\] 满足下列条件：

1. \(\text{depth}(Q) \geq 1\)；

2. \(K\) 为零，或 \(\text{Supp}(K) = \{\mathfrak m\}\)；

3. \(\text{length}_R(K) < \infty\)。

提示：利用 Noether 性证明存在满足（2）的极大子模 \(K\)，再证明 \(Q = M/K\) 满足（1），且 \(K\) 满足（3）。

练习

设 \((R, \mathfrak m)\) 为 Noether 局部环，\(M\) 为深度 \(\geq 2\) 的有限 \(R\)-模。设 \(N \subset M\) 为非零子模。

1. 证明 \(\text{depth}(N) \geq 1\)。

2. 证明 \(\text{depth}(N) = 1\)，当且仅当商模 \(M/N\) 满足 \(\text{depth}(M/N) = 0\)。

3. 证明存在子模 \(N' \subset M\)，其中 \(N \subset N'\) 且余长度有限， 即 \(\text{length}_R(N'/N) < \infty\)，使得 \(N'\) 的深度 \(\geq 2\)。提示：把练习 0CSZ 应用于 \(M/N\)， 并取 \(N'\) 为 \(K\) 的逆像。

练习

设 \((R, \mathfrak m)\) 为 Noether 局部环。假设 \(R\) 既约，即 \(R\) 没有非零幂零元。再假设 \(R\) 有两个不同的极小素理想 \(\mathfrak p\) 和 \(\mathfrak q\)。

1. 证明 \(R\)-模序列

   \[0 \to R \to R/\mathfrak p \oplus R/\mathfrak q \to R/\mathfrak p + \mathfrak q \to 0\] 是正合的（逐处检查）。这些映射分别为 \(x \mapsto (x \bmod \mathfrak p, x \bmod \mathfrak q)\) 以及 \((y \bmod \mathfrak p, z \bmod \mathfrak q) \mapsto (y - z \bmod \mathfrak p + \mathfrak q)\)。

2. 证明若 \(\text{depth}(R) \geq 2\)，则 \(\dim(R/\mathfrak p + \mathfrak q) \geq 1\)。

3. 证明若 \(\text{depth}(R) \geq 2\)，则 \(U = \Spec(R) \setminus \{\mathfrak m\}\) 是连通拓扑空间。

这证明了 Hartshorne 连通性定理的一个非常特殊的情形。该定理断言： 深度 \(\text{depth} \geq 2\) 的 Noether 局部环之去心谱 \(U\) 是连通的。

练习

设 \((R, \mathfrak m)\) 为 Noether 局部环。设 \(x, y \in \mathfrak m\) 为长度 \(2\) 的正则序列。证明对任意 \(n \geq 2\)，不存在 \(a, b \in R\) 使得 \[x^{n - 1}y^{n - 1} = a x^n + b y^n\] 建议：先尝试 \(n = 2\)，以了解论证方法。 注：此结果有一个极为广泛的推广，称为单项式猜想。

Cohen–Macaulay 模与环

Cohen–Macaulay 模在《代数》第 00N2 节中研究， Cohen–Macaulay 环则在《代数》第 00N7 节中研究。

练习

请在下列各情形中回答“是”或“否”，无需解释或证明。

1. 设 \(p\) 为素数。局部环 \(\mathbf{Z}_{(p)}\) 是 Cohen–Macaulay 局部环吗？

2. 设 \(p\) 为素数。局部环 \(\mathbf{Z}_{(p)}\) 是正则局部环吗？

3. 设 \(k\) 为域。局部环 \(k[x]_{(x)}\) 是 Cohen–Macaulay 局部环吗？

4. 设 \(k\) 为域。局部环 \(k[x]_{(x)}\) 是正则局部环吗？

5. 设 \(k\) 为域。局部环 \((k[x, y]/(y^2 - x^3))_{(x, y)} = k[x, y]_{(x, y)}/(y^2 - x^3)\) 是 Cohen–Macaulay 局部环吗？

6. 设 \(k\) 为域。局部环 \((k[x, y]/(y^2, xy))_{(x, y)} = k[x, y]_{(x, y)}/(y^2, xy)\) 是 Cohen–Macaulay 局部环吗？

奇点

练习

任取域 \(k\)。设 \(A = k[[x, y]]/(f)\) 且 \(B = k[[u, v]]/(g)\)，其中 \(f = xy\)，\(g = uv + \delta\)，并且 \(\delta \in (u, v)^3\)。证明 \(A\) 与 \(B\) 是同构的环。

注

设曲线定义在域 \(k\) 上。若曲线在某点的完备局部环形如 \(k'[[x, y]]/(f)\)，其中（a）\(k'\) 是 \(k\) 的有限可分扩张； （b）\(f\) 的初始项次数为二，即形如 \(q = ax^2 + bxy + cy^2\)，其中 \(a, b, c\in k'\) 不全为零； （c）\(q\) 是 \(k'\) 上的非退化二次型（在特征 2 时，这意味着 \(b\) 非零），则称该点为普通二重点。一般而言，每个同构类的序对 \((k', q)\) 都对应这类环的一个同构类。

练习

设 \(R\) 为环，\(n \geq 1\)。设 \(A\)、\(B\) 为系数在 \(R\) 中的 \(n \times n\) 矩阵，并且对 \(R\) 中某个非零因子 \(f\) 有 \(AB = f 1_{n \times n}\)。令 \(S = R/(f)\)。证明 \[\ldots \to S^{\oplus n} \xrightarrow{B} S^{\oplus n} \xrightarrow{A} S^{\oplus n} \xrightarrow{B} S^{\oplus n} \to \ldots\] 是正合的。

可构造集

设 \(k\) 为代数闭域，例如复数域 \(\mathbf{C}\)。设 \(n \geq 0\)。 多项式 \(f \in k[x_1, \ldots, x_n]\) 通过取值给出函数 \(f : k^n \to k\)。若子集 \(Z \subset k^n\) 是一族多项式的公共零点集， 则称该子集为代数集。

练习

证明代数集总能写成有限多个多项式的零点集。

沿用上述记号。若子集 \(E \subset k^n\) 是有限多个形如 \(Z \cap \{f \not = 0\}\) 的集合之并，其中 \(f\) 是多项式， 则称该子集可构造。

练习

证明下列各点：

1. 可构造集的补集是可构造集；

2. 有限多个可构造集的并是可构造集；

3. 有限多个可构造集的交是可构造集；

4. 任意可构造集 \(E\) 都可写成有限不交并 \(E = \coprod E_i\)，其中每个 \(E_i\) 都形如 \(Z \cap \{f \not = 0\}\)，\(Z\) 为代数集，\(f\) 为多项式。

练习

设 \(R\) 为环，并设 \(f = a_d x^d + a_{d - 1} x^{d - 1} + \ldots + a_0 \in R[x]\)。 （照例，这一记号意味着 \(a_0, \ldots, a_d \in R\)。）设 \(g \in R[x]\)。 证明可以找到 \(N \geq 0\) 以及 \(r, q \in R[x]\)，使得 \[a_d^N g = q f + r\] 且 \(\deg(r) < d\)；即对某些 \(c_i \in R\) 有 \(r = c_0 + c_1 x + \ldots + c_{d - 1}x^{d - 1}\)。

Hilbert 零点定理

练习

一个仅用复数的有趣论证！ 设 \({\mathbf C}\) 为复数域，\(V\) 为 \({\mathbf C}\) 上的向量空间。 线性算子 \(T : V \to V\) 的谱，是满足算子 \(T - \lambda \text{id}_V\) 不可逆的复数 \(\lambda \in {\mathbf C}\) 所成的集合。

1. 证明 \(\mathbf{C}(X)\) 在 \({\mathbf C}\) 上具有不可数维数。

2. 证明：若 \(V\) 的维数有限或可数，则 \(V\) 上的任意线性算子 都有非空谱。

3. 证明：若有限生成 \({\mathbf C}\)-代数 \(R\) 是域，则映射 \({\mathbf C}\to R\) 是同构。

4. 证明 \({\mathbf C}[x_1, \ldots, x_n]\) 的任意极大理想 \({\mathfrak m}\) 都形如 \((x_1-\alpha_1, \ldots, x_n-\alpha_n)\)，其中某些 \(\alpha_i \in {\mathbf C}\)。

注

设 \(k\) 为域。那么，对每个整数 \(n\in {\mathbf N}\) 以及每个极大理想 \({\mathfrak m} \subset k[x_1, \ldots, x_n]\)，商 \(k[x_1, \ldots, x_n]/{\mathfrak m}\) 都是 \(k\) 的有限域扩张。 这将在课程后面证明。当然（请检查），它蕴含有限生成 \(k\)-代数之极大理想的类似结论。上面的练习在 \(k = {\mathbf C}\) 的情形证明了这一点。

练习

设 \(k\) 为域。请使用注 027M。

1. 设 \(R\) 为 \(k\)-代数。假设 \(\dim_k R < \infty\) 且 \(R\) 是整环。证明 \(R\) 是域。

2. 假设 \(R\) 是有限生成 \(k\)-代数，且 \(f\in R\) 不是幂零元。 证明存在极大理想 \({\mathfrak m} \subset R\)，使得 \(f\not\in {\mathfrak m}\)。

3. 用例子说明，当 \(R\) 不是域上的有限型代数时，该命题不成立。

4. 证明任意根理想 \(I \subset {\mathbf C}[x_1, \ldots, x_n]\) 都是所有包含它的极大理想之交。

注

这就是 Hilbert 零点定理。它断言 \(\Spec(k[x_1, \ldots, x_n])\) 的闭子集 （由前面的练习，它们对应于根理想）由其中包含的闭点决定。

练习

设 \(A = {\mathbf C}[x_{11}, x_{12}, x_{21}, x_{22}, y_{11}, y_{12}, y_{21}, y_{22}]\)。 设 \(I\) 为 \(A\) 中由矩阵 \(XY\) 的各个元素生成的理想，其中 \[X = \left( \begin{matrix} x_{11} & x_{12}\\ x_{21} & x_{22} \end{matrix} \right) \quad\text{且}\quad Y = \left( \begin{matrix} y_{11} & y_{12}\\ y_{21} & y_{22} \end{matrix} \right).\] 求 \(\Spec(A)\) 的闭子集 \(V(I)\) 的不可约分支。 （这里是要描述这些分支并给出每个分支的方程；不必证明所写方程定义 素理想。）提示：

1. 可以使用 Hilbert 零点定理；只需找出覆盖 \(V(I)\) 之闭点集的不可约局部闭子集。

2. 有两个容易找到的分支。

3. 不可约集在连续映射下的像不可约。

维数

练习

构造仅有有限多个素理想、但维数 \(> 1\) 的环 \(A\)。

练习

设 \(f \in \mathbf{C}[x, y]\) 为非常数多项式。 证明 \(\mathbf{C}[x, y]/(f)\) 的维数为 \(1\)。

练习

设 \((R, \mathfrak m)\) 为 Noether 局部环。设 \(n \geq 1\)。 在多项式环 \(R[x_1, \ldots, x_n]\) 中令 \(\mathfrak m' = (\mathfrak m, x_1, \ldots, x_n)\)。证明 \[\dim(R[x_1, \ldots, x_n]_{\mathfrak m'}) = \dim(R) + n.\]

链环

定义

若对任意三个素理想 \({\mathfrak p}_1 \subset {\mathfrak p}_2 \subset {\mathfrak p}_3\) 均有 \[ht({\mathfrak p}_3 / {\mathfrak p}_1) = ht({\mathfrak p}_3/{\mathfrak p}_2) + ht({\mathfrak p}_2/{\mathfrak p}_1).\] 则称 Noether 环 \(A\) 为链环。这里 \(ht(\mathfrak p/\mathfrak q)\) 表示 \(\mathfrak p/\mathfrak q\) 在环 \(A/\mathfrak q\) 中的高度。写成公式即 \[ht(\mathfrak p/\mathfrak q) = \dim(A_\mathfrak p/\mathfrak qA_\mathfrak p) = \dim((A/\mathfrak q)_\mathfrak p) = \dim((A/\mathfrak q)_{\mathfrak p/\mathfrak q})\] 若 \(T \subset T' \subset X\)，其中 \(T\) 与 \(T'\) 为闭不可约子集， 则存在一条不可约闭子集的极大链 \[T = T_0 \subset T_1 \subset \ldots \subset T_n = T'\] 并且每条这样的链都有相同的有限长度，则称拓扑空间 \(X\) 链状。

练习

证明：对 Noether 环而言，《代数》定义 00NI 中定义的链状性概念，与定义 027O 中的概念一致。

练习

证明维数为 \(2\) 的 Noether 局部整环是链环。

练习

设 \(k\) 为域。证明有限型 \(k\)-代数是链环。

练习

给出一个有限、清醒且链状的拓扑空间 \(X\)，使它不存在维数函数 \(\delta : X \to \mathbf{Z}\)。这里，映射 \(\delta : X \to \mathbf{Z}\) 称为维数函数，是指对 \(x, y \in X\) 有：

1. 若 \(x \leadsto y\) 且 \(x \not = y\)，则 \(\delta(x) > \delta(y)\)；

2. 若 \(x \leadsto y\) 且 \(\delta(x) \geq \delta(y) + 2\)， 则存在 \(z \in X\)，使得 \(x \leadsto z \leadsto y\) 且 \(\delta(x) > \delta(z) > \delta(y)\)。

清楚地描述你的空间，并简洁说明为什么它不可能有维数函数。

分式域

练习

考察整环 \[{\mathbf Q}[r, s, t]/(s^2-(r-1)(r-2)(r-3), t^2-(r + 1)(r + 2)(r + 3)).\] 找出一个形如 \({\mathbf Q}[x, y]/(f)\) 的整环，使其分式域与之同构。

超越次数

练习

设 \(K'/K/k\) 为域扩张，并且 \(K'\) 在 \(K\) 上代数。 证明 \(\text{trdeg}_k(K) = \text{trdeg}_k(K')\)。 （提示：证明若 \(x_1, \ldots, x_d \in K\) 在 \(k\) 上代数无关，且 \(d < \text{trdeg}_k(K')\)，则 \(k(x_1, \ldots, x_d) \subset K\) 不可能是代数扩张。）

练习

设 \(k\) 为域，\(K/k\) 为超越次数 \(d\) 的有限生成扩张。 若 \(V, W \subset K\) 是有限维 \(k\)-向量子空间，记 \[VW = \{f \in K \mid f = \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} v_i w_i \text{，其中某个 }n\text{ 且 }v_i \in V, w_i \in W\}\] 这是有限维 \(k\)-向量子空间。令 \(V^2 = VV\)、\(V^3 = V V^2\)，依此类推。

1. 证明可找到 \(V \subset K\) 和 \(\epsilon > 0\)，使得对所有 \(n \geq 1\) 都有 \(\dim V^n \geq \epsilon n^d\)。

2. 反过来，证明对每个有限维 \(V \subset K\)，存在 \(C > 0\)， 使得对所有 \(n \geq 1\) 都有 \(\dim V^n \leq C n^d\)。 （一种可能的做法是：先对 \(k[x_1, \ldots, x_d]\) 的向量子空间证明； 再对 \(k(x_1, \ldots, x_d)\) 的向量子空间证明；最后，若 \(K/k(x_1, \ldots, x_d)\) 是有限扩张，就选取 \(K\) 在 \(k(x_1, \ldots, x_d)\) 上的一组基，并按此基展开论证。）

3. 推出：可以用 \(K\) 的有限维向量子空间各次幂的增长来重新定义 超越次数。

这与 \(k\) 上（非交换）代数的 Gelfand–Kirillov 维数有关。

纤维维数

下面是一些与维数公式有关的问题；见《代数》第 02II 节。

练习

设 \(k\) 为你偏爱的代数闭域。下文中 \(k[x]\) 和 \(k[x, y]\) 表示多项式环。

1. 对每个整数 \(n \geq 0\)，找出整环的有限型扩张 \(k[x] \subset A\)，使得 \(A/xA\) 的谱恰有 \(n\) 个不可约分支。

2. 构造整环的有限型扩张 \(k[x] \subset A\)，使得对每个 \(\alpha \in k\)，\(A/(x - \alpha)A\) 的谱都非空且可约。

3. 构造整环的有限型扩张 \(k[x, y] \subset A\)，使得对所有 \((\alpha, \beta) \in k^2 \setminus \{(0, 0)\}\)， \(A/(x - \alpha, y - \beta)A\) 的谱都不可约 ¹，而 \(A/(x, y)A\) 的谱非空且可约。

练习

设 \(k\) 为你偏爱的代数闭域。设 \(n \geq 1\)。 令 \(k[x_1, \ldots, x_n]\) 为多项式环，并令 \(\mathfrak m = (x_1, \ldots, x_n)\)。设 \(k[x_1, \ldots, x_n] \subset A\) 为整环的有限型扩张。 令 \(d = \dim(A)\)。

1. 若 \(A/\mathfrak mA \not = 0\)，证明 \(d - 1 \geq \dim(A/\mathfrak m A) \geq d - n\)。

2. 用例子说明每个数值都能出现。

3. 用例子说明 \(\Spec(A/\mathfrak m A)\) 可以有维数不同的 不可约分支。

有限局部自由模

定义

设 \(A\) 为环。回忆：有限局部自由 \(A\)-模 \(M\)，是指满足如下条件的模： 对每个 \({\mathfrak p} \in \Spec(A)\)，都存在 \(f\in A\)、\(f \not \in {\mathfrak p}\)，使 \(M_f\) 是有限自由 \(A_f\)-模。若 \(M\) 是秩为 \(1\) 的有限局部自由模，即对每个 \({\mathfrak p} \in \Spec(A)\)，都存在 \(f\in A\)、\(f \not \in \mathfrak p\)，使得作为 \(A_f\)-模有 \(M_f \cong A_f\)，则称 \(M\) 为可逆模。

练习

证明有限局部自由模的张量积仍有限局部自由。证明两个可逆模的张量积 仍可逆。

定义

设 \(A\) 为环。\(A\) 的类群，有时也称 \(A\) 的Picard 群， 是可逆 \(A\)-模的同构类集合 \(\Pic(A)\)，其群运算由张量积定义 （见练习 078P）。

注意，\(A\) 的类群平凡，当且仅当每个可逆模都同构于秩为 1 的自由模。

练习

证明下列各环的类群平凡：

1. 多项式环 \(A = k[x]\)，其中 \(k\) 为域；

2. 整数环 \(A = \mathbf{Z}\)；

3. 多项式环 \(A = k[x, y]\)，其中 \(k\) 为域；

4. 商环 \(k[x, y]/(xy)\)，其中 \(k\) 为域。

练习

设 \(k\) 为特征不为 \(2\) 的域，并设 \(f(x) = (x - t_1) \ldots (x - t_n)\)，其中 \(t_1, \ldots, t_n \in k\) 两两不同，\(n \geq 3\) 为奇数。 证明环 \(A = k[x, y]/(y^2 - f(x))\) 的类群非平凡。 （提示：证明理想 \((y, x - t_1)\) 定义 \(\Pic(A)\) 的一个非平凡元素。）

练习

设 \(A\) 为环。

1. 假设 \(M\) 是有限局部自由 \(A\)-模，且 \(\varphi : M \to M\) 是自同态。定义或构造 \(\varphi\) 的迹 与行列式，并证明你的构造“关于三元组 \((A, M, \varphi)\) 具有函子性”。

2. 证明：若 \(M, N\) 是有限局部自由 \(A\)-模，并且 \(\varphi : M \to N\)、\(\psi : N \to M\)，则

   \(\text{Trace}(\varphi \circ \psi) = \text{Trace}(\psi \circ \varphi)\) 且 \(\det(\varphi \circ \psi) = \det(\psi \circ \varphi)\)。

3. 当 \(M\) 有限局部自由时，证明 \(\text{Trace}\) 定义 \(A\)-线性映射 \(\text{End}_A(M) \to A\)，而 \(\det\) 定义乘法映射 \(\text{End}_A(M) \to A\)。

练习

现在假设 \(B\) 是一个 \(A\)-代数，且作为 \(A\)-模有限局部自由； 换言之，\(B\) 是有限局部自由 \(A\)-代数。

1. 使用练习 02DU 中的 \(\text{Trace}\) 和 \(\det\) 定义 \(\text{Trace}_{B/A}\) 与 \(\text{Norm}_{B/A}\)。

2. 设 \(b\in B\)，并设 \(\pi : \Spec(B) \to \Spec(A)\) 为诱导态射。 证明 \(\pi(V(b)) = V(\text{Norm}_{B/A}(b))\)。 （回忆 \(V(f) = \{ {\mathfrak p} \mid f \in {\mathfrak p}\}\)。）

3. （基变换。）假设 \(i : A \to A'\) 是环映射。令 \(B' = B \otimes_A A'\)。说明为什么 \(i(\text{Norm}_{B/A}(b))\) 等于 \(\text{Norm}_{B'/A'}(b \otimes 1)\)。

4. 当 \(B = A \times A \times A \times \ldots \times A\) 且 \(b = (a_1, \ldots, a_n)\) 时，计算 \(\text{Norm}_{B/A}(b)\)。

5. 对有限平坦映射 \({\mathbf Q}[x] \to {\mathbf Q}[y]\)、\(x \to y^n\)，计算 \(y-y^3\) 的范数。（提示：使用“基变换” \(A = {\mathbf Q}[x] \subset A' = {\mathbf Q}(\zeta_n)(x^{1/n})\)。）

粘合

练习

假设 \(A\) 是环，\(M\) 是 \(A\)-模。设 \(f_i\)、\(i \in I\) 为 \(A\) 的一族元素，并且 \[\Spec(A) = \bigcup D(f_i).\]

1. 证明若 \(M_{f_i}\) 是有限 \(A_{f_i}\)-模，则 \(M\) 是有限 \(A\)-模。

2. 证明若 \(M_{f_i}\) 是平坦 \(A_{f_i}\)-模，则 \(M\) 是平坦 \(A\)-模。（仔细想想，这一点其实有些显然。）

注

用代数几何语言来说，这意味着“有限生成”或“平坦”这一性质 （在适当意义下）对 Zariski 拓扑是局部的。还可以对“有限表示”这一 性质证明相同结论。

练习

假设 \(A \to B\) 是环映射。设 \(f_i \in A\)、\(i \in I\) 以及 \(g_j \in B\)、\(j \in J\) 为两族元素，并且 \[\Spec(A) = \bigcup D(f_i) \quad\text{且}\quad \Spec(B) = \bigcup D(g_j).\] 证明：若对所有 \(i, j\)，\(A_{f_i} \to B_{f_ig_j}\) 都是有限型的， 则 \(A \to B\) 是有限型的。

上升与下降

定义

设 \(\phi : A \to B\) 为环同态。若满足下列条件，则称 \(\phi\) 满足上升定理：

• 对任意 \({\mathfrak p}, {\mathfrak p}' \in \Spec(A)\)，若 \({\mathfrak p} \subset {\mathfrak p}'\)，并且任取位于 \({\mathfrak p}\) 上方的 \(P \in \Spec(B)\)，都存在位于 \({\mathfrak p}'\) 上方的 \(P'\in \Spec(B)\)，使得 \(P \subset P'\)。

类似地，若满足下列条件，则称 \(\phi\) 满足下降定理：

• 对任意 \({\mathfrak p}, {\mathfrak p}' \in \Spec(A)\)，若 \({\mathfrak p} \subset {\mathfrak p}'\)，并且任取位于 \({\mathfrak p}'\) 上方的 \(P' \in \Spec(B)\)，都存在位于 \({\mathfrak p}\) 上方的 \(P\in \Spec(B)\)，使得 \(P \subset P'\)。

练习

在下列每一种情形中，判断（GU）与（GD）是否成立，并说明理由。 （可以使用能找到的任何命题、定理或引理，但要逐一检查假设。）

1. \(k\) 是域，\(A = k\)，\(B = k[x]\)。

2. \(k\) 是域，\(A = k[x]\)，\(B = k[x, y]\)。

3. \(A = {\mathbf Z}\)，\(B = {\mathbf Z}[1/11]\)。

4. \(k\) 是代数闭域，\(A = k[x, y]\)， \(B = k[x, y, z]/(x^2-y, z^2-x)\)。

5. \(A = {\mathbf Z}\)，\(B = {\mathbf Z}[i, 1/(2 + i)]\)。

6. \(A = {\mathbf Z}\)，\(B = {\mathbf Z}[i, 1/(14 + 7i)]\)。

7. \(k\) 是代数闭域，\(A = k[x]\)， \(B = k[x, y, 1/(xy-1)]/(y^2-y)\)。

练习

设 \(A\) 为环，\(B = A[x]\) 为 \(A\) 上的单变量多项式代数。设 \(f = a_0 + a_1 x + \ldots + a_r x^r \in B = A[x]\)。 仔细证明 \(D(f)\) 在 \(\Spec(A)\) 中的像等于 \(D(a_0) \cup \ldots \cup D(a_r)\)。

练习

设 \(k\) 为代数闭域。计算下列映射在 \(\Spec(k[x, y])\) 中的像：

1. \(\Spec(k[x, yx^{-1}]) \to \Spec(k[x, y])\)，其中 \(k[x, y] \subset k[x, yx^{-1}] \subset k[x, y, x^{-1}]\)。 （提示：为避免混淆，给元素 \(yx^{-1}\) 另取一个名字。）

2. \(\Spec(k[x, y, a, b]/(ax-by-1))\to \Spec(k[x, y])\)。

3. \(\Spec(k[t, 1/(t-1)]) \to \Spec(k[x, y])\)，它由 \(x \mapsto t^2\) 和 \(y \mapsto t^3\) 诱导。

4. \(k = {\mathbf C}\)（复数）， \(\Spec(k[s, t]/(s^3 + t^3-1)) \to \Spec(k[x, y])\)，其中 \(x\mapsto s^2\)，\(y \mapsto t^2\)。

注

求上述像通常要使用消元理论。

Fitting 理想

练习

设 \(R\) 为环，\(M\) 为有限 \(R\)-模。选取 \(M\) 的一个表示 \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} R \longrightarrow R^{\oplus n} \longrightarrow M \longrightarrow 0.\] 注意，映射 \(R^{\oplus n} \to M\) 由 \(M\) 的一列元素 \(x_1, \ldots, x_n\) 给出；这些元素 \(x_i\) 是 \(M\) 的生成元。 映射 \(\bigoplus_{j \in J} R \to R^{\oplus n}\) 由系数在 \(R\) 中的 \(n \times J\) 矩阵 \(A\) 给出。换言之， \(A = (a_{ij})_{i = 1, \ldots, n, j \in J}\)。\(A\) 的各列 \((a_{1j}, \ldots, a_{nj})\)（\(j \in J\)）称为关系。 任何满足 \(\sum r_i x_i = 0\) 的向量 \((r_i) \in R^{\oplus n}\) 都是 \(A\) 的各列的线性组合。当然，每个有限 \(R\)-模都有许多不同的表示。

1. 证明由 \(A\) 的 \((n - k) \times (n - k)\) 子式生成的理想 与表示的选择无关。该理想称为 \(M\) 的第 \(k\) 个 Fitting 理想， 记作 \(Fit_k(M)\)。

2. 证明 \(Fit_0(M) \subset Fit_1(M) \subset Fit_2(M) \subset \ldots\)。 （提示：利用按一列展开来计算行列式。）

3. 证明下列条件等价：

   1. \(Fit_{r - 1}(M) = (0)\) 且 \(Fit_r(M) = R\)；

   2. \(M\) 是秩为 \(r\) 的局部自由模。

Hilbert 函数

定义

数值多项式是满足如下条件的多项式 \(f(x) \in {\mathbf Q}[x]\)：对每个整数 \(n\)，都有 \(f(n) \in {\mathbf Z}\)。

定义

环 \(A\) 上的分次模 \(M\)，是带有 \(A\)-子模直和分解 \(\bigoplus\nolimits_{n \in {\mathbf Z}} M_n\) 的 \(A\)-模 \(M\)。若所有 \(M_n\) 都是有限 \(A\)-模，则称 \(M\) 局部有限。假设 \(A\) 是 Noether 环，并且 \(\varphi\) 是有限 \(A\)-模上的一个Euler–Poincaré 函数。 这意味着：对每个有限生成 \(A\)-模 \(M\)，给定一个整数 \(\varphi(M) \in {\mathbf Z}\)；并且对每个短正合列 \[0 \longrightarrow M' \longrightarrow M \longrightarrow M'' \longrightarrow 0\] 都有 \(\varphi(M) = \varphi(M') + \varphi(M'')\)。 局部有限分次模 \(M\)（关于 \(\varphi\)）的Hilbert 函数是函数 \(\chi_\varphi(M, n) = \varphi(M_n)\)。若存在某个数值多项式 \(P_\varphi\)，使得对所有充分大的整数 \(n\) 都有 \(\chi_\varphi(M, n) = P_\varphi(n)\)，则称 \(M\) 有 Hilbert 多项式。

定义

分次 \(A\)-代数是分次 \(A\)-模 \(B = \bigoplus_{n \geq 0} B_n\)，连同一个 \(A\)-双线性映射 \[B \times B \longrightarrow B, \ (b, b') \longmapsto bb'\] 使 \(B\) 成为 \(A\)-代数，且 \(B_n \cdot B_m \subset B_{n + m}\)。 最后，分次 \(A\)-代数 \(B\) 上的分次模 \(M\)，由一个分次 \(A\)-模 \(M\) 连同一个相容的 \(B\)-模结构给出，并满足 \(B_n \cdot M_d \subset M_{n + d}\)。现在可以定义 分次模或分次环的同态、分次子模、分次理想、 分次模的正合列等等。

练习

设 \(A = k\) 为域。在此情形中，有限 \(A\)-模上所有可能的 Euler–Poincaré 函数是什么？

练习

设 \(A ={\mathbf Z}\)。在此情形中，有限 \(A\)-模上所有可能的 Euler–Poincaré 函数是什么？

练习

设 \(A = k[x, y]/(xy)\)，其中 \(k\) 代数闭。在此情形中，有限 \(A\)-模上所有可能的 Euler–Poincaré 函数是什么？

练习

假设 \(A\) 是 Noether 环。证明局部有限分次 \(A\)-模之间的映射之核 仍局部有限。

练习

设 \(k\) 为域，\(A = k\)，并设 \(B = k[x, y]\) 的分次由 \(\deg(x) = 2\) 与 \(\deg(y) = 3\) 决定。令 \(\varphi(M) = \dim_k(M)\)。计算 \(B\) 作为分次 \(k\)-模的 Hilbert 函数。在此情形中有 Hilbert 多项式吗？

练习

设 \(k\) 为域，\(A = k\)，并设 \(B = k[x, y]/(x^2, xy)\) 的分次由 \(\deg(x) = 2\) 与 \(\deg(y) = 3\) 决定。令 \(\varphi(M) = \dim_k(M)\)。计算 \(B\) 作为分次 \(k\)-模的 Hilbert 函数。在此情形中有 Hilbert 多项式吗？

练习

设 \(k\) 为域，\(A = k\)。令 \(\varphi(M) = \dim_k(M)\)。 固定 \(d\in {\mathbf N}\)。考察分次 \(A\)-代数 \(B = k[x, y, z]/(x^d + y^d + z^d)\)，其中 \(x, y, z\) 各自的次数都是 \(1\)。计算 \(B\) 的 Hilbert 函数。在此情形中 有 Hilbert 多项式吗？

环的 Proj

定义

设 \(R\) 为分次环。齐次理想就是同时也是 \(R\) 的分次子模的理想 \(I \subset R\)。等价地，它是由齐次元素生成的理想。再等价地，若 \(f \in I\)，并且 \[f = f_0 + f_1 + \ldots + f_n\] 是 \(f\) 在 \(R\) 中分解为齐次部分的分解，则对每个 \(i\) 都有 \(f_i \in I\)。

定义

定义分次环 \(R\) 的齐次谱 \(\text{Proj}(R)\)为 \(R\) 的 齐次素理想 \({\mathfrak p}\) 所成的集合，其中要求 \(R_{+} \not \subset {\mathfrak p}\)。注意 \(\text{Proj}(R)\) 是 \(\Spec(R)\) 的子集，因而带有自然的诱导拓扑。

定义

设 \(R = \oplus_{d \geq 0} R_d\) 为分次环，设 \(f\in R_d\)，并假设 \(d \geq 1\)。定义 \(R_{(f)}\) 为 \(R_f\) 的子环，由所有形如 \(r/f^n\) 的元素组成，其中 \(r\) 齐次且 \(\deg(r) = nd\)。此外，定义 \[D_{+}(f) = \{ {\mathfrak p} \in \text{Proj}(R) | f \not\in {\mathfrak p} \}.\] 最后，对齐次理想 \(I \subset R\)，定义 \(V_{+}(I) = V(I) \cap \text{Proj}(R)\)。

练习

关于 \(\text{Proj}(R)\) 上的拓扑。使用上述定义与记号，证明下列命题。

1. 证明 \(D_{+}(f)\) 在 \(\text{Proj}(R)\) 中是开的。

2. 证明 \(D_{+}(ff') = D_{+}(f) \cap D_{+}(f')\)。

3. 设 \(g = g_0 + \ldots + g_m\) 是 \(R\) 的元素，其中 \(g_i \in R_i\)。用 \(D_{+}(g_i)\)（\(i \geq 1\)）以及 \(D(g_0) \cap \text{Proj}(R)\) 表示 \(D(g) \cap \text{Proj}(R)\)。无需证明。

4. 设 \(g\in R_0\) 为次数 \(0\) 的齐次元素。用一族适当的 正次数齐次元素 \(f_\alpha \in R\) 的 \(D_{+}(f_\alpha)\) 表示 \(D(g) \cap \text{Proj}(R)\)。

5. 证明开集族 \(\{D_{+}(f)\}\) 构成 \(\text{Proj}(R)\) 拓扑的一组基。

6. 证明存在典范双射 \(D_{+}(f) \to \Spec(R_{(f)})\)。

   （提示：模仿 \(\Spec\) 情形的证明，但在某一步加入一个理想的根。）

7. 证明（078U）中的映射是同胚。

8. 给出 \(R\) 的例子，使得 \(\text{Proj}(R)\) 不拟紧。无需证明。

9. 证明任意闭子集 \(T \subset \text{Proj}(R)\) 都形如 \(V_{+}(I)\)，其中 \(I \subset R\) 是某个齐次理想。

注

存在连续映射 \(\text{Proj}(R) \longrightarrow \Spec(R_0)\)。

练习

若 \(R = A[X]\) 且 \(\deg(X) = 1\)，证明自然映射 \(\text{Proj}(R) \to \Spec(A)\) 是双射，事实上是同胚。

练习

爆破：第一部分。 在本练习中，\(R = Bl_I(A) = A \oplus I \oplus I^2 \oplus \ldots\)。 考察自然映射 \(b : \text{Proj}(R) \to \Spec(A)\)。 令 \(U = \Spec(A) - V(I)\)。证明 \[b : b^{-1}(U) \longrightarrow U\] 是同胚。因此可以把 \(U\) 看作 \(\text{Proj}(R)\) 的开子集。 设 \(Z \subset \Spec(A)\) 为不可约闭子概形，泛点为 \(\xi \in Z\)。假设 \(\xi \not\in V(I)\)；换言之， \(Z \not\subset V(I)\)；换言之，\(\xi \in U\)；换言之， \(Z\cap U \not = \emptyset\)。定义 \(Z\) 的严格变换 \(Z'\) 为位于 \(\xi\) 上方的唯一一点 \(\xi'\) 的闭包。另一种说法是， \(Z'\) 是局部闭子集 \(Z\cap U \subset U \subset \text{Proj}(R)\) 在 \(\text{Proj}(R)\) 中的闭包。

练习

爆破：第二部分。 设 \(A = k[x, y]\)，其中 \(k\) 是域，并设 \(I = (x, y)\)。 设 \(R\) 为 \(A\) 关于 \(I\) 的爆破代数。

1. 证明 \(Z_1 = V(\{x\})\) 与 \(Z_2 = V(\{y\})\) 的严格变换不交。

2. 证明 \(Z_1 = V(\{x\})\) 与 \(Z_2 = V(\{x-y^2\})\) 的严格变换相交。

3. 找出理想 \(J \subset A\)，使得 \(V(J) = V(I)\)，并且 \(Z_1 = V(\{x\})\) 与 \(Z_2 = V(\{x-y^2\})\) 在沿 \(J\) 的爆破中的严格变换不交。

练习

设 \(R\) 为分次环。

1. 证明若对所有 \(n >> 0\) 都有 \(R_n = (0)\)，则 \(\text{Proj}(R)\) 为空。

2. 证明若 \(R\) 是整环且 \(R_{+}\) 非零，则 \(\text{Proj}(R)\) 是不可约拓扑空间。（回忆：空拓扑空间不可约。）

练习

爆破：第三部分。 考察严格变换定义中的 \(A\)、\(I\)、\(U\) 与 \(Z\)。设 \(Z = V({\mathfrak p})\)，其中 \({\mathfrak p}\) 为素理想。令 \(\bar A = A/{\mathfrak p}\)，并令 \(\bar I\) 为 \(I\) 在 \(\bar A\) 中的像。

1. 证明存在满环映射

   \(R: = Bl_I(A) \to \bar R: = Bl_{\bar I}(\bar A)\)。

2. 证明上述环映射诱导从 \(\text{Proj}(\bar R)\) 到 \(Z\) 的严格变换 \(Z'\) 上的双射。（这并不容易。

   提示：使用上面的 5(b)。）

3. 推出严格变换 \(Z' = V_{+}(P)\)，其中 \(P \subset R\) 是由 \(P_d = I^d \cap {\mathfrak p}\) 定义的齐次理想。

4. 假设 \(Z_1 = V({\mathfrak p})\) 与 \(Z_2 = V({\mathfrak q})\) 是由素理想定义的不可约闭子集，并且 \(Z_1 \not \subset Z_2\)、\(Z_2 \not \subset Z_1\)。 证明爆破理想 \(I = {\mathfrak p} + {\mathfrak q}\) 会分离 \(Z_1\) 与 \(Z_2\) 的严格变换；即 \(Z_1' \cap Z_2' = \emptyset\)。（提示：考察（c）中的齐次理想 \(P\) 与 \(Q\)，并考察 \(V(P + Q)\)。）

一维 Cohen–Macaulay 环

定义

若 Noether 局部环 \(A\) 的维数为 \(d\)，并且 \(A\) 存在参数系 \(x_1, \ldots, x_d\)，使得对 \(i = 1, \ldots, d\)，\(x_i\) 在 \(A/(x_1, \ldots, x_{i-1})\) 中都是非零因子，则称该环 为维数 \(d\) 的Cohen–Macaulay 环。

练习

一维 Cohen–Macaulay 环。第一部分：理论。

1. 设 \((A, {\mathfrak m})\) 为局部 Noether 环，且 \(\dim A = 1\)。证明若 \(x\in {\mathfrak m}\) 不是零因子，则

   1. \(\dim A/xA = 0\)；换言之，\(A/xA\) 是 Artin 环；再换言之， \(\{x\}\) 是 \(A\) 的参数系。

   2. \(A\) 没有嵌入素理想。

2. 反过来，设 \((A, {\mathfrak m})\) 为维数为 \(1\) 的局部 Noether 环。 证明若 \(A\) 没有嵌入素理想，则 \({\mathfrak m}\) 中存在非零因子。

练习

一维 Cohen–Macaulay 环。第二部分：例子。

1. 设 \(A\) 为 \(k[x, y]/(x^2, xy)\) 在 \((x, y)\) 处的局部环。

   1. 证明 \(A\) 的维数为 1。

   2. 证明 \({\mathfrak m}\subset A\) 的每个元素都是零因子。

   3. 找出 \(z\in {\mathfrak m}\)，使得 \(\dim A/zA = 0\) （无需证明）。

2. 设 \(A\) 为 \(k[x, y]/(x^2)\) 在 \((x, y)\) 处的局部环。 在 \({\mathfrak m}\) 中找出一个非零因子（无需证明）。

练习

嵌入维数为 \(1\) 的局部环。 假设 \((A, {\mathfrak m}, k)\) 是嵌入维数为 \(1\) 的 Noether 局部环， 即 \[\dim_k {\mathfrak m}/{\mathfrak m}^2 = 1.\] 证明函数 \(f(n) = \dim_k {\mathfrak m}^n/{\mathfrak m}^{n + 1}\) 或者恒等于 \(1\)，或者其值依次为 \[1, 1, \ldots, 1, 0, 0, 0, 0, 0, \ldots\]

练习

维数为 \(1\) 的正则局部环。 假设 \((A, {\mathfrak m}, k)\) 是维数为 \(1\) 的正则 Noether 局部环。 回忆：这意味着 \(A\) 的维数为 \(1\)，嵌入维数也为 \(1\)，即 \[\dim_k {\mathfrak m}/{\mathfrak m}^2 = 1.\] 任取 \(x\in{\mathfrak m}\)，使其在 \({\mathfrak m}/{\mathfrak m}^2\) 中的类非零。

1. 证明对 \({\mathfrak m}\) 的每个元素 \(y\)，都存在整数 \(n\)， 使得 \(y\) 可写成 \(y = ux^n\)，其中 \(u\in A^\ast\) 是单位。

2. 证明 \(x\) 在 \(A\) 中是非零因子。

3. 推出 \(A\) 是整环。

练习

设 \((A, {\mathfrak m}, k)\) 为 Noether 局部环，其伴随分次环为 \(Gr_{\mathfrak m}(A)\)。

1. 假设 \(x\in {\mathfrak m}^d\) 映到 \(Gr_{\mathfrak m}(A)\) 的次数 \(d\) 部分中的非零因子 \(\bar x \in {\mathfrak m}^d/{\mathfrak m}^{d + 1}\)。 证明 \(x\) 是非零因子。

2. 假设 \(A\) 的深度至少为 \(1\)；也就是说，假设存在非零因子 \(y \in {\mathfrak m}\)。在此情形中可以加强结论：只假设 \(x\in {\mathfrak m}^d\) 映到 \(Gr_{\mathfrak m}(A)\) 的次数 \(d\) 部分中的元素 \(\bar x \in {\mathfrak m}^d/{\mathfrak m}^{d + 1}\)， 且它在充分高的次数上是非零因子：即 \(\exists N\)，使得对所有 \(n \geq N\)，乘以 \(\bar x\) 的映射 \[{\mathfrak m}^n/{\mathfrak m}^{n + 1} \longrightarrow {\mathfrak m}^{n + d}/{\mathfrak m}^{n + d + 1}\] 都是单射。证明此时 \(x\) 是非零因子。

练习

假设 \((A, {\mathfrak m}, k)\) 是维数为 \(1\) 的 Noether 局部环。 再假设 \(A\) 的嵌入维数为 \(2\)，即 \[\dim_k {\mathfrak m}/{\mathfrak m}^2 = 2.\] 记号：\(f(n) = \dim_k {\mathfrak m}^n/{\mathfrak m}^{n + 1}\)。 选取生成元 \(x, y \in {\mathfrak m}\)，并对某个齐次理想 \(I\) 写成 \(Gr_{\mathfrak m}(A) = k[\bar x, \bar y]/I\)。

1. 证明存在齐次元素 \(F\in k[\bar x, \bar y]\)，使得 \(I \subset (F)\)，并且在所有充分高的次数上取等号。

2. 证明 \(f(n) \leq n + 1\)。

3. 证明若 \(f(n) < n + 1\)，则 \(n \geq \deg(F)\)。

4. 证明若 \(f(n) < n + 1\)，则 \(f(n + 1) \leq f(n)\)。

5. 证明对所有 \(n >> 0\)，都有 \(f(n) = \deg(F)\)。

练习

维数为 1、嵌入维数为 2 的 Cohen–Macaulay 环。 假设 \((A, {\mathfrak m}, k)\) 是维数为 \(1\) 的 Cohen–Macaulay Noether 局部环。再假设 \(A\) 的嵌入维数为 \(2\)，即 \[\dim_k {\mathfrak m}/{\mathfrak m}^2 = 2.\] 记号 \(f\)、\(F\)、\(x, y\in {\mathfrak m}\)、\(I\) 同练习 02EL。请自由使用上面各题的结果。

1. 假设 \(z\in {\mathfrak m}\) 的类在 \({\mathfrak m}/{\mathfrak m}^2\) 中是线性形式 \(\alpha \bar x + \beta \bar y \in k[\bar x, \bar y]\)，并且它与 \(F\) 互素。

   1. 证明 \(z\) 在 \(A\) 上是非零因子。

   2. 令 \(d = \deg(F)\)。证明对所有充分大的 \(n\) 都有 \({\mathfrak m}^n = z^{n + 1-d}{\mathfrak m}^{d-1}\)。 （提示：先利用关于 \(Gr_{\mathfrak m}(A)\) 的已知结果，证明 \(z^{n + 1-d}{\mathfrak m}^{d-1} \to {\mathfrak m}^n/{\mathfrak m}^{n + 1}\) 是满射，再使用 NAK。）

2. \(k\) 满足什么条件才能保证存在这样的 \(z\)？ （无需证明；这太容易了。）

   现在假设存在上述 \(z\)。事实证明这是无害的假设（其含义是： 为了得到下文（d）和（e）的结果，可以化归到它成立的情形）。

3. 证明对所有 \(\ell \geq d\) 都有 \({\mathfrak m}^\ell = z^{\ell - d + 1} {\mathfrak m}^{d-1}\)。

4. 推出 \(I = (F)\)。

5. 推出函数 \(f\) 的值依次为 \[2, 3, 4, \ldots, d-1, d, d, d, d, d, d, d, \ldots\]

注

这表明，维数为 1、嵌入维数为 2 的 Cohen–Macaulay 局部 Noether 环 应当形如 \(B/FB\)，其中 \(B\) 是二维正则局部环。在环具有适当“良好性” 的条件下，这基本上是正确的。

无穷多个素数

本节收集了一些关于无穷多个素数不可逆之环的奇特问题。

练习

给出具有下列两个性质的有限型 \({\mathbf Z}\)-代数 \(R\)：

1. 不存在环映射 \(R \to {\mathbf Q}\)。

2. 对每个素数 \(p\)，都存在极大理想 \({\mathfrak m} \subset R\)， 使得 \(R/{\mathfrak m} \cong {\mathbf F}_p\)。

练习

对 \(f \in {\mathbf Z}[x, u]\)，定义 \(f_p(x) = f(x, x^p) \bmod p \in {\mathbf F}_p[x]\)。 给出满足下列两个性质的 \(f \in {\mathbf Z}[x, u]\)：

1. 有无穷多个 \(p\)，使 \(f_p\) 在 \({\mathbf F}_p\) 中没有零点。

2. 对所有 \(p >> 0\)，多项式 \(f_p\) 都有一次因子或二次因子。

练习

对 \(f \in {\mathbf Z}[x, y, u, v]\)，定义 \(f_p(x, y) = f(x, y, x^p, y^p) \bmod p \in {\mathbf F}_p[x, y]\)。 给出一个“有趣”的 \(f\)，使得对所有

\(p >> 0\)，\(f_p\) 都可约。例如，\(f = xv-yu\) 对应 \(f_p = xy^p-x^py = xy(x^{p-1}-y^{p-1})\)，这是“无趣”的； 任何仅依赖 \(x, u\) 的 \(f\) 也是“无趣”的；等等。

注

设 \(h \in {\mathbf Z}[y]\) 为次数 \(d\) 的首一多项式。那么：

1. 映射 \(A = {\mathbf Z}[x] \to B ={\mathbf Z}[y]\)、 \(x \mapsto h\) 是秩为 \(d\) 的有限局部自由映射。

2. 对所有素数 \(p\)，映射 \(A_p = {\mathbf F}_p[x]\to B_p = {\mathbf F}_p[y]\)、 \(y \mapsto h(y) \bmod p\) 都是秩为 \(d\) 的有限局部自由映射。

练习

设 \(h, A, B, A_p, B_p\) 同上注。对 \(f \in {\mathbf Z}[x, u]\)， 定义 \(f_p(x) = f(x, x^p) \bmod p \in {\mathbf F}_p[x]\)。 对 \(g \in {\mathbf Z}[y, v]\)，定义 \(g_p(y) = g(y, y^p) \bmod p \in {\mathbf F}_p[y]\)。

1. 给出 \(h\) 和 \(g\) 的例子，使得不存在满足下述性质的 \(f\)：

   \[f_p = Norm_{B_p/A_p}(g_p).\]

2. 证明对上述任意 \(h\) 和 \(g\)，都存在非零 \(f\)，使得对所有 \(p\) 都有 \[Norm_{B_p/A_p}(g_p)\quad\text{整除}\quad f_p .\] 如果愿意，可以只处理 \(h = y^n\) 甚至 \(n = 2\) 的情形， 不过一般情形也成立。

3. 讨论这与前一题组的练习 6 和 7 有何关系。

练习

未解决的问题。它们可能非常困难，也可能很容易。我不知道。

1. 是否存在 \(f \in {\mathbf Z}[x, u]\)，使得 \(f_p\) 对无穷多个 \(p\) 都不可约？（提示：是的，\(f(x, u) = u - x - 1\) 会发生这种情形， \(f(x, u) = u^2 - x^2 + 1\) 也会。）

2. 设 \(f \in {\mathbf Z}[x, u]\) 非零，并假设对所有充分大的 \(p\)，都有 \(\deg_x(f_p) = dp + d'\)。（换言之， \(\deg_u(f) = d\)，且 \(f\) 中 \(u^d\) 的系数 \(c\) 满足 \(\deg_x(c) = d'\)。）假设可以写成 \(d = d_1 + d_2\) 和 \(d' = d'_1 + d'_2\)，其中 \(d_1, d_2 > 0\) 且 \(d'_1, d'_2 \geq 0\)；并且对所有充分大的 \(p\)，存在分解 \[f_p = f_{1, p} f_{2, p}\] 满足 \(\deg_x(f_{1, p}) = d_1p + d'_1\)。 \(f\) 是否必定来自练习 4 中的范数构造？（更准确地说，是否存在 \(h\) 和 \(g\)，使得

   \(Norm_{B_p/A_p}(g_p)\) 对所有

   \(p >> 0\) 都整除 \(f_p\)？）

3. 与（b）类似的问题，但现在假设 \(f \in {\mathbf Z}[x_1, x_2, u_1, u_2]\) 不可约，并且只假设 \(f_p(x_1, x_2) = f(x_1, x_2, x_1^p, x_2^p) \bmod p\) 对所有

   \(p >> 0\) 都可分解。

滤过导出范畴

为完成本节练习，请阅读《同调代数》第 0120 节的材料。我们说 \(A\) 是 \(\mathcal{A}\) 的滤过对象，是指 \(A\) 带有一个滤过 \(F\)， 但在记号中略去它。

练习

设 \(\mathcal{A}\) 为 Abel 范畴，\(I\) 为 \(\mathcal{A}\) 的滤过对象。 假设 \(I\) 上的滤过有限，并且每个 \(\text{gr}^p(I)\) 都是 \(\mathcal{A}\) 的内射对象。证明存在同构 \(I \cong \bigoplus \text{gr}^p(I)\)，使得滤过 \(F^p(I)\) 对应于

\(\bigoplus_{p' \geq p} \text{gr}^p(I)\)。

练习

设 \(\mathcal{A}\) 为 Abel 范畴，\(I\) 为 \(\mathcal{A}\) 的滤过对象。 假设 \(I\) 上的滤过有限。证明下列条件等价：

1. 对任意滤过对象的实线图 \[\xymatrix{ A \ar[r]_\alpha \ar[d] & B \ar@{-->}[ld] \\ I & }\] 若（i）\(A\) 与 \(B\) 上的滤过有限，并且

   （ii）\(\text{gr}(\alpha)\) 为单射，则存在使图交换的虚线箭头。

2. 每个 \(\text{gr}^p I\) 都是内射对象。

注意，给定有限滤过对象间的态射 \(\alpha : A \to B\)，

\(\text{gr}(\alpha)\) 为单射，等价于 \(\alpha\) 在范畴 \(\text{Fil}(\mathcal{A})\) 中是严格单态射。事实上，成为单态射 意味着 \(\Ker(\alpha) = 0\)，而严格意味着这还蕴含 \(\Ker(\text{gr}(\alpha)) = 0\)。见《同调代数》引理 0127。（我们只把“单射”一词用于 Abel 范畴中的态射，尽管它在任何具有核的加性范畴中都有意义。）

上面的练习说明了下述定义的合理性。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为 Abel 范畴，\(I\) 为 \(\mathcal{A}\) 的滤过对象。 假设 \(I\) 上的滤过有限。若每个 \(\text{gr}^p(I)\) 都是 \(\mathcal{A}\) 的内射对象，则称 \(I\) 滤过内射。

作如下定义，以免处处重复“具有有限滤过”。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为 Abel 范畴。记 \(\text{Fil}(\mathcal{A})\) 的全子范畴 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) 为这样的对象 \(A \in \Ob(\text{Fil}(\mathcal{A}))\) 所成的范畴：其滤过有限。

练习

设 \(\mathcal{A}\) 为 Abel 范畴，并假设 \(\mathcal{A}\) 有足够多内射对象。 设 \(A\) 为 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) 的对象。证明存在严格单态射 \(\alpha : A \to I\)，把 \(A\) 嵌入 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) 的滤过内射对象 \(I\)。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为 Abel 范畴，并设 \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) 为 \(\text{Fil}(\mathcal{A})\) 中复形的态射。若对每个 \(p \in \mathbf{Z}\)，态射 \(\text{gr}^p(K^\bullet) \to \text{gr}^p(L^\bullet)\) 都是拟同构，则称 \(\alpha\) 为滤过拟同构。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为 Abel 范畴，并设 \(K^\bullet\) 为 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) 中的复形。若对每个 \(p \in \mathbf{Z}\)，复形 \(\text{gr}^p(K^\bullet)\) 都无环， 则称 \(K^\bullet\) 滤过无环。

练习

设 \(\mathcal{A}\) 为 Abel 范畴，并设 \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) 为 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) 中下有界复形的态射。 （注意上标 \(f\)。）证明下列条件等价：

1. \(\alpha\) 是滤过拟同构；

2. 对每个 \(p \in \mathbf{Z}\)，映射 \(\alpha : F^pK^\bullet \to F^pL^\bullet\) 是拟同构；

3. 对每个 \(p \in \mathbf{Z}\)，映射 \(\alpha : K^\bullet/F^pK^\bullet \to L^\bullet/F^pL^\bullet\) 是拟同构；

4. \(\alpha\) 的锥（见《导出范畴》定义 014E）是滤过无环复形。

此外，证明若 \(\alpha\) 是滤过拟同构，则 \(\alpha\) 也是通常的拟同构。

练习

设 \(\mathcal{A}\) 为 Abel 范畴，并假设 \(\mathcal{A}\) 有足够多内射对象。 设 \(A\) 为 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) 的对象。证明存在 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) 的复形 \(I^\bullet\)，以及态射 \(A[0] \to I^\bullet\)，使得

1. 每个 \(I^p\) 都滤过内射；

2. 当 \(p < 0\) 时 \(I^p = 0\)；

3. \(A[0] \to I^\bullet\) 是滤过拟同构。

练习

设 \(\mathcal{A}\) 为 Abel 范畴，并假设 \(\mathcal{A}\) 有足够多内射对象。 设 \(K^\bullet\) 为 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) 的对象所成的 下有界复形。证明存在滤过拟同构 \(\alpha : K^\bullet \to I^\bullet\)，其中 \(I^\bullet\) 是 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) 的复形，其各项 \(I^n\) 滤过内射， 并且它下有界。事实上，可以选取 \(\alpha\)，使每个 \(\alpha^n\) 都是严格单态射。

练习

设 \(\mathcal{A}\) 为 Abel 范畴。考察实线图 \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r]_\alpha \ar[d]_\gamma & L^\bullet \ar@{-->}[dl]^\beta \\ I^\bullet }\] 其中各对象是 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) 中的复形。假设 \(K^\bullet\)、\(L^\bullet\)、\(I^\bullet\) 下有界，并且每个 \(I^n\) 都是滤过内射对象。再假设 \(\alpha\) 是滤过拟同构。

1. 存在复形的映射 \(\beta\)，使图在同伦意义下交换。

2. 若 \(\alpha\) 在每个次数上都是严格单态射，则可以找到 使图严格交换的 \(\beta\)。

练习

设 \(\mathcal{A}\) 为 Abel 范畴。

设 \(K^\bullet\)、\(K^\bullet\) 为 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) 中的复形。 假设

1. \(K^\bullet\) 下有界且滤过无环；

2. \(I^\bullet\) 下有界，并且由滤过内射对象组成。

则任意态射 \(K^\bullet \to I^\bullet\) 都同伦于零。

练习

设 \(\mathcal{A}\) 为 Abel 范畴。考察实线图 \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r]_\alpha \ar[d]_\gamma & L^\bullet \ar@{-->}[dl]^{\beta_i} \\ I^\bullet }\] 其中各对象是 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) 中的复形。 假设 \(K^\bullet\)、\(L^\bullet\)、\(I^\bullet\) 下有界，每个 \(I^n\) 都是滤过内射对象，并且 \(\alpha\) 是滤过拟同构。任何两个使图在 同伦意义下交换的态射 \(\beta_1, \beta_2\) 彼此同伦。

正则函数

练习

考察由 \(\mathbf{C}^2\) 中方程 \(t^2 = s^5 + 8\) 给出的仿射曲线 \(X\)，坐标为 \(s, t\)。设 \(x \in X\) 为坐标 \((1, 3)\) 的点。 令 \(U = X \setminus \{x\}\)。证明 \(U\) 上存在一个正则函数， 它不是 \(\mathbf{C}^2\) 上正则函数的限制；也就是说，它不是 \(s\) 与 \(t\) 的多项式在 \(U\) 上的限制。

练习

设 \(n \geq 2\)，并设 \(E \subset \mathbf{C}^n\) 为有限子集。 证明 \(\mathbf{C}^n \setminus E\) 上的任意正则函数都是多项式。

练习

设 \(X \subset \mathbf{C}^n\) 为仿射簇。若 \(x = (a_1, \ldots, a_n) \in X\) 且 \(\lambda \in \mathbf{C}\) 蕴含 \((\lambda a_1, \ldots, \lambda a_n) \in X\)，则称 \(X\) 为锥。当然，若 \(\mathfrak p \subset \mathbf{C}[x_1, \ldots, x_n]\) 是由 \(x_1, \ldots, x_n\) 的齐次多项式生成的素理想，则仿射簇 \(X = V(\mathfrak p) \subset \mathbf{C}^n\) 是锥。证明反过来， 与锥对应的素理想 \(\mathfrak p \subset \mathbf{C}[x_1, \ldots, x_n]\) 也可由 \(x_1, \ldots, x_n\) 的齐次多项式生成。

练习

给出一个为锥的仿射簇 \(X \subset \mathbf{C}^n\)（见练习 0E9F），以及 \(U = X \setminus \{(0, \ldots, 0)\}\) 上的正则函数 \(f\)，使它不是 \(\mathbf{C}^n\) 上多项式函数的限制。

练习

本练习考察非代数闭域上的正则函数。设 \(k\) 为域。 设 \(Z \subset k^n\) 为 Zariski 局部闭子集；即存在理想 \(I \subset J \subset k[x_1, \ldots, x_n]\)，使得 \[Z = \{a \in k^n \mid f(a) = 0\ \forall\ f \in I,\ \exists\ g \in J,\ g(a) \not = 0\}.\] 若对每个 \(z \in Z\)，都存在 Zariski 开邻域 \(z \in U \subset Z\) 和多项式 \(f, g \in k[x_1, \ldots, x_n]\)， 使得对所有 \(u \in U\) 都有 \(g(u) \not = 0\)，并且对所有 \(u \in U\) 都有 \(\varphi(u) = f(u)/g(u)\)，则称函数 \(\varphi : Z \to k\) 正则。

1. 若 \(k = \bar k\) 且 \(Z = k^n\)，证明正则函数由多项式给出。 （只在以前未见过这一论证时完成此题。）

2. 若 \(k\) 有限，证明（a）每个函数 \(\varphi\) 都正则； （b）正则函数环在 \(k\) 上有限维。（如果愿意，可以取 \(Z = k^n\)，甚至取 \(n = 1\)。）

3. 若 \(k = \mathbf{R}\)，给出 \(Z = \mathbf{R}\) 上不由多项式 给出的正则函数。

4. 若 \(k = \mathbf{Q}_p\)，给出 \(Z = \mathbf{Q}_p\) 上不由 多项式给出的正则函数。

层

范畴 \(\mathcal{C}\) 的态射 \(f : X \to Y\) 称为单态射， 是指对每一对态射 \(a, b : W \to X\)，都有 \(f \circ a = f \circ b \Rightarrow a = b\)。集合范畴中的单态射 就是集合的单射。

练习

仔细证明：集合层的映射是单态射（在集合层范畴中），当且仅当它在 所有茎上诱导的映射都是单射。

范畴 \(\mathcal{C}\) 的态射 \(f : X \to Y\) 称为同构， 是指存在态射 \(g : Y \to X\)，使得 \(f \circ g = \text{id}_Y\) 且 \(g \circ f = \text{id}_X\)。 集合范畴中的同构就是集合的双射。

练习

仔细证明：集合层的映射是同构（在集合层范畴中），当且仅当它在 所有茎上诱导的映射都是双射。

范畴 \(\mathcal{C}\) 的态射 \(f : X \to Y\) 称为满态射， 是指对每一对态射 \(a, b : Y \to Z\)，都有 \(a \circ f = b \circ f \Rightarrow a = b\)。集合范畴中的满态射 就是集合的满射。

练习

仔细证明：集合层的映射是满态射（在集合层范畴中），当且仅当它在 所有茎上诱导的映射都是满射。

练习

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间的映射。证明集合层的推前 \(f_\ast\) 与拉回 \(f^{-1}\) 构成一对伴随函子。

练习

设 \(j : U \to X\) 为开浸入。证明：

1. 拉回 \(j^{-1} : \Sh(X) \to \Sh(U)\) 有左伴随 \(j_{!} : \Sh(U) \to \Sh(X)\)，称为以空集延拓。

2. 刻画 \(j_{!}({\mathcal G})\) 的茎，其中 \(\mathcal{G} \in \Sh(U)\)。

3. 拉回 \(j^{-1} : \textit{Ab}(X) \to \textit{Ab}(U)\) 有左伴随 \(j_{!} : \textit{Ab}(U) \to \textit{Ab}(X)\)，称为零延拓。

4. 刻画 \(j_{!}({\mathcal G})\) 的茎，其中 \(\mathcal{G} \in \textit{Ab}(U)\)。

注意，零延拓与以空集延拓不同！

练习

令 \(X = \mathbf{R}\)，取通常拓扑。令 \(\mathcal{O}_X = \underline{\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}}_X\)。 令 \(i : Z = \{0\} \to X\) 为包含映射，并令 \(\mathcal{O}_Z = \underline{\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}}_Z\)。 证明下列各点（前三点直接来自定义；若定义尚不清楚，应借此阐明）：

1. \(i_*\mathcal{O}_Z\) 是摩天层。

2. 存在典范满射 \(\underline{\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}}_X \to i_*\underline{\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}}_Z\)。记其核为 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)。

3. \(\mathcal{I}\) 是 \(\mathcal{O}_X\) 的理想层。

4. \(X\) 上的层 \(\mathcal{I}\) 不可能由截面局部生成 （含义见《模》定义 01B2）。

练习

设 \(X\) 为拓扑空间，\({\mathcal F}\) 为 \(X\) 上的 Abel 群层。 证明 \({\mathcal F}\) 是某个（可能非常大的）层直和的商，其中每一项 都形如 \[j_{!}(\underline{{\mathbf Z}}_U)\] 这里 \(U \subset X\) 开，\(\underline{{\mathbf Z}}_U\) 表示 \(U\) 上取值为 \({\mathbf Z}\) 的常值层。

注

设 \(X\) 为拓扑空间。在 Abel 群层范畴中，一族层 \(\{{\mathcal F}_i\}_{i\in I}\) 的直和，是预层

\(U \mapsto \oplus {\mathcal F}_i(U)\) 的层化。因此直和在点 \(x\) 处的茎，是各 \({\mathcal F}_i\) 在 \(x\) 处之茎的直和。

练习

设 \(X\) 为拓扑空间，并给定由 \(x \in X\) 标号的一族 Abel 群 \(A_x\)。证明规则 \(U \mapsto \prod_{x \in U} A_x\) 配以显然的限制映射， 定义 Abel 群层 \(\mathcal{G}\)。用例子说明，通常对 \(x \in X\) 并没有 \(\mathcal{G}_x = A_x\)。

练习

设 \(X\)、\(A_x\)、\(\mathcal{G}\) 同练习 078Z。设 \(\mathcal{B}\) 为 \(X\) 拓扑的一组基；见《拓扑》定义 004P。 对 \(U \in \mathcal{B}\)，设 \(A_U\) 为子群 \(A_U \subset \mathcal{G}(U) = \prod_{x \in U} A_x\)。假设当 \(U \subset V\) 且 \(U, V \in \mathcal{B}\) 时，限制映射把 \(A_V\) 映入 \(A_U\)。对开集 \(U \subset X\)，令 \[\mathcal{F}(U) = \left\{ (s_x)_{x \in U} \middle| \begin{matrix} \text{ 对每个 }x\text{ 属于 }U\text{，存在 } V \in \mathcal{B} \\ x \in V \subset U\text{，使得 } (s_y)_{y \in V} \in A_V \end{matrix} \right\}\] 证明 \(\mathcal{F}\) 定义 \(X\) 上的 Abel 群层。用例子说明， 通常对 \(U \in \mathcal{B}\) 并没有 \(\mathcal{F}(U) = A_U\)。

练习

给出拓扑空间 \(X\) 和函子 \[F : \Sh(X) \longrightarrow \textit{Sets}\] 的例子，使该函子正合（与有限积、等化子、有限余积及余等化子交换； 见《范畴》 0033 节），但不存在 \(x \in X\)，使 \(F\) 同构于茎函子 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_x\)。

概形

令 \(LRS\) 为局部环空间范畴。仿射概形是 \(LRS\) 中与某个形如 \((\Spec(A), {\mathcal O}_{\Spec(A)})\) 的序对在 \(LRS\) 中同构的对象。 概形是 \(LRS\) 的对象 \((X, {\mathcal O}_X)\)，并满足：每个点 \(x\in X\) 都有开邻域 \(U \subset X\)，使得序对 \((U, {\mathcal O}_X|_U)\) 是仿射概形。

练习

找出一个不是概形的 \(1\)-点局部环空间。

练习

假设概形 \(X\) 的底拓扑空间有 2 个点。证明 \(X\) 是仿射概形。

练习

假设概形 \(X\) 的底拓扑空间是有限离散集。证明 \(X\) 是仿射概形。

练习

证明存在具有三个点的非仿射概形。

练习

假设 \(X\) 是非空拟紧概形。证明 \(X\) 有闭点。

注

若 \((X, {\mathcal O}_X)\) 是环空间，且 \(U \subset X\) 是开子集， 则 \((U, {\mathcal O}_X|_U)\) 是环空间。记 \({\mathcal O}_U = {\mathcal O}_X|_U\)。

存在典范的环空间态射 \[j : (U, {\mathcal O}_U) \longrightarrow (X, {\mathcal O}_X).\] 若 \((X, {\mathcal O}_X)\) 是局部环空间，则 \((U, {\mathcal O}_U)\) 也是局部环空间，且 \(j\) 是局部环空间态射。 若 \((X, {\mathcal O}_X)\) 是概形，则 \((U, {\mathcal O}_U)\) 也是概形，且 \(j\) 是概形态射。称 \((U, {\mathcal O}_U)\) 为 \((X, {\mathcal O}_X)\) 的开子概形，并称 \(j\) 为开浸入。 更一般地，任何态射 \(j' : (V, {\mathcal O}_V) \to (X, {\mathcal O}_X)\)，若与上述某个 态射 \(j : (U, {\mathcal O}_U) \to (X, {\mathcal O}_X)\) 同构，也称为开浸入。

练习

给出仿射概形 \((X, {\mathcal O}_X)\) 以及开集 \(U \subset X\) 的例子， 使得

\((U, {\mathcal O}_X|U)\) 不是仿射概形。

练习

给出一对仿射概形 \((X, {\mathcal O}_X)\)、\((Y, {\mathcal O}_Y)\)， \(X\) 的开子概形 \((U, {\mathcal O}_X|_U)\)，以及概形态射 \((U, {\mathcal O}_X|_U) \to (Y, {\mathcal O}_Y)\)，使它不能延拓为 概形态射 \((X, {\mathcal O}_X) \to (Y, {\mathcal O}_Y)\)。

练习

（这相当困难。）

给出概形 \(X\)、开子概形 \(U \subset X\) 和闭子概形 \(Z \subset U\) 的例子，使 \(Z\) 不能延拓为 \(X\) 的闭子概形。

练习

给出概形 \(X\)、域 \(K\) 以及环空间态射 \(\Spec(K) \to X\) 的例子，使该态射不是概形态射。

练习

完成 [H, Chapter II] 第 1 节与第 2 节中的所有练习……   开玩笑！

定义

若概形 \(X\) 非空，并且对每个非空仿射开集 \(U \subset X\)，环 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_X) = \mathcal{O}_X(U)\) 都是整环， 则称 \(X\) 整。

练习

给出整概形的态射 \(f : X \to Y\) 的例子，使得对所有 \(x\in X\)，诱导映射 \({\mathcal O}_{Y, f(x)} \to {\mathcal O}_{X, x}\) 都是满射， 但 \(f\) 不是闭浸入。

练习

给出纤维积 \(X \times_S Y\) 的例子，使 \(X\) 与 \(Y\) 都仿射， 但 \(X \times_S Y\) 不仿射。

注

事实证明，当 \(S\) 分离时，这不可能发生。你知道为什么吗？

练习

给出概形 \(V\) 的例子，使它是 \({\mathbf Q}\) 上有限型的一维整概形， 但 \(\Spec({\mathbf C}) \times_{\Spec({\mathbf Q})} V\) 不整。

练习

给出概形 \(V\) 的例子，使它是域 \(k\) 上有限型的一维整概形， 但对某个有限域扩张 \(k'/k\)， \(\Spec(k') \times_{\Spec(k)} V\) 不是既约的。

注

若你的概形是仿射的，则其维数等于底层环的 Krull 维数。 因此可以利用上学期的结果来计算维数。

态射

一个重要问题是：给定态射 \(\pi : X \to S\)， 该态射是否有截面或有理截面。下面是一些例题。

练习

考虑概形态射 \[\pi : X = \Spec(\mathbf{C}[x, t, 1/xt]) \longrightarrow S = \Spec(\mathbf{C}[t]).\]

1. 证明不存在态射 \(\sigma : S \to X\) 使得 \(\pi \circ \sigma = \text{id}_S\)。

2. 证明存在非空开集 \(U \subset S\) 以及态射 \(\sigma : U \to X\)，使得 \(\pi \circ \sigma = \text{id}_U\)。

练习

考虑概形态射 \[\pi : X = \Spec(\mathbf{C}[x, t]/(x^2 + t)) \longrightarrow S = \Spec(\mathbf{C}[t]).\] 证明不存在非空开集 \(U \subset S\) 以及态射 \(\sigma : U \to X\)，使得 \(\pi \circ \sigma = \text{id}_U\)。

练习

设 \(A, B, C \in \mathbf{C}[t]\) 为非零多项式。考虑概形态射 \[\pi : X = \Spec(\mathbf{C}[x, y, t]/(A + Bx^2 + Cy^2)) \longrightarrow S = \Spec(\mathbf{C}[t]).\] 证明存在非空开集 \(U \subset S\) 以及态射 \(\sigma : U \to X\)，使得 \(\pi \circ \sigma = \text{id}_U\)。 （提示：在形式上，对某个 \(d\)，把 \(x = X/Z\)、\(y = Y/Z\) 写成次数 \(\leq d\) 的某些 \(X, Y, Z \in \mathbf{C}[t]\)，并求出它们解此方程的条件。

然后用维数理论证明：若 \(d >> 0\)，便可找到解此方程的非零 \(X, Y, Z\)。）

注

练习 0296 是“Tsen 定理”的一个特例。 练习 0297 表明，此方法仅限于低次方程 （当底与纤维的维数均为 1 时，即二次曲线）。

练习

考虑概形态射 \[\pi : X = \Spec(\mathbf{C}[x, y, t] /(1 + t x^3 + t^2 y^3)) \longrightarrow S = \Spec(\mathbf{C}[t])\] 证明不存在非空开集 \(U \subset S\) 以及态射 \(\sigma : U \to X\)，使得 \(\pi \circ \sigma = \text{id}_U\)。

练习

考虑概形 \[X = \Spec(\mathbf{C}[\{x_i\}_{i = 1}^{8}, s, t] /(1 + s x_1^3 + s^2 x_2^3 + t x_3^3 + st x_4^3 + s^2t x_5^3 + t^2 x_6^3 + st^2 x_7^3 + s^2t^2 x_8^3))\] 以及 \[S = \Spec(\mathbf{C}[s, t])\] 和概形态射 \[\pi : X \longrightarrow S\] 证明不存在非空开集 \(U \subset S\) 以及态射 \(\sigma : U \to X\)，使得 \(\pi \circ \sigma = \text{id}_U\)。

练习

（给数论学家。）给出闭子概形 \[Z \subset \Spec\left({\mathbf Z}[x, \frac{1 }{ x(x-1)(2x-1)}]\right)\] 使得态射 \(Z \to \Spec({\mathbf Z})\) 有限且满。

练习

若你不喜欢数论，可以尝试如下变体。考察 \[\Spec\left({\mathbf F}_p[t, x, \frac{1 }{ x(x-t)(tx-1)}]\right) \longrightarrow \Spec({\mathbf F}_p[t])\] 并试着找出上方概形的一个闭子概形，使其有限满射到下方概形。

（这里取有限基域有理论上的原因；不过在这个特例中可能并非必要。）

注

在练习 0299 与 029A 中，给定态射 \(f : X \to S\)， 其中 \(S\) 是 Dedekind 环 \(A\) 的谱，而 \(f\) 平坦且满，并具有 几何不可约的泛纤维。在两种情形中，结论都是：存在有限满态射 \(S' \to S\)，使得基变换 \(X_{S'} \to S'\) 确有截面。 事实证明，若 \(A\) 优良，其极大理想处的剩余域是有限域的代数扩张， 且当 \(A'\) 是 \(A\) 在其分式域的有限扩张中的整闭包时 \(\Pic(A')\) 为挠群，则上述结论成立；见 [MB1]。 例如，\(A = \mathbf{Z}\) 或 \(A = \mathbf{F}_p[x]\)，或它们的有限扩张， 都满足这一条件。然而，存在一个 Dedekind 环 \(A\)，其极大素理想处的 剩余域有限，而其 Picard 群含有非挠元；见 [Goldman]。 对这种环的谱，上述结论为假。 练习 029B 给出了该结论不成立的几何例子。

练习

证明存在 \(f \in \mathbf{C}[x, t]\)，它不被任意 \(\alpha \in \mathbf{C}\) 所对应的 \(t - \alpha\) 整除，并且不存在 任何 \(Z \subset \Spec(\mathbf{C}[x, t, 1/f])\) 有限满射到 \(\Spec(\mathbf{C}[t])\)。 （我认为 \(f(x, t) = (xt - 2)(x - t + 3)\) 可行。 不过我觉得，要证明任一候选式具有所需性质并不容易。）

练习

设 \(A \to B\) 为有限型环映射。假设 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) 可分解为某个 \(n\) 下的闭浸入 \(\Spec(B) \to \mathbf{P}^n_A\)。 证明 \(A \to B\) 是有限环映射，即 \(B\) 作为 \(A\)-模是有限的。 提示：若 \(A\) Noether（请直接假设这一点），则可利用如下事实论证： 对每个闭子概形 \(Z \subset \mathbf{P}^n_A\) 和每个 \(i \in \mathbf{Z}\)，\(H^i(Z, \mathcal{O}_Z)\) 都是有限 \(A\)-模。

练习

设 \(k\) 为代数闭域。设 \(f : X \to Y\) 为射影簇的态射， 并且对每个闭点 \(y \in Y\)，\(f^{-1}(\{y\})\) 都是有限集。 证明 \(f\) 作为概形态射是有限的。 提示：（a）有限性是局部性质；（b）试着归约到练习 0EG6；（c）利用闭浸入 \(X \to \mathbf{P}^n_k\) 得到 \(Y\) 上的闭浸入 \(X \to \mathbf{P}^n_Y\)。

切空间

定义

对任意环 \(R\)，用 \(R[\epsilon]\) 表示对偶数环。 作为 \(R\)-模，它以 \(1\)、\(\epsilon\) 为基自由。 环结构由规定 \(\epsilon^2 = 0\) 得到。

练习

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。设 \(x \in X\) 为一点，并令 \(s = f(x)\)。考虑实线所成的交换图 \[\xymatrix{ \Spec(\kappa(x)) \ar[r] \ar[dr] \ar@/^1pc/[rr] & \Spec(\kappa(x)[\epsilon]) \ar@{.>}[r] \ar[d]& X \ar[d] \\ & \Spec(\kappa(s)) \ar[r] & S }\] 其中弯曲箭头是 \(\Spec(\kappa(x))\) 到 \(X\) 的典范态射。

若 \(\kappa(x) = \kappa(s)\)，证明使该图交换的虚线箭头集合 与线性映射集合 \[\Hom_{\kappa(x)}( \frac{\mathfrak m_x}{\mathfrak m_x^2 + \mathfrak m_s\mathcal{O}_{X, x}}, \kappa(x))\] 一一对应。换言之，请描述这样的双射。 （当 \(\kappa(x) \supset \kappa(s)\) 为可分代数扩张时， 这一结论更一般地也成立。）

定义

设 \(f : X \to S\) 为概形态射，\(x \in X\)。 我们把练习 029E 中的虚线箭头集合 称为\(X\) 在 \(S\) 上的切空间，并记作 \(T_{X/S, x}\)。 此空间的一个元素称为 \(X/S\) 在 \(x\) 处的切向量。

练习

对任意域 \(K\)，证明图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & \Spec(K[\epsilon_1]) \ar[d] \\ \Spec(K[\epsilon_2]) \ar[r] & \Spec(K[\epsilon_1, \epsilon_2]/(\epsilon_1\epsilon_2)) }\] 是概形范畴中的推出图。 （这里仍有 \(\epsilon_i^2 = 0\)。）

练习

设 \(f : X \to S\) 为概形态射，\(x \in X\)。 利用练习 029G 以及适当的态射 \[\Spec(K[\epsilon]) \longrightarrow \Spec(K[\epsilon_1, \epsilon_2]/(\epsilon_1\epsilon_2)).\] 定义切向量的加法。类似地，定义切向量的标量乘法（这更容易）。 证明你的构造使 \(T_{X/S, x}\) 成为 \(\kappa(x)\)-向量空间。

练习

设 \(k\) 为域。考虑结构态射 \(f : X = \mathbf{A}^1_k \to \Spec(k) = S\)。

1. 设 \(x \in X\) 为闭点。\(T_{X/S, x}\) 的维数是多少？

2. 设 \(\eta \in X\) 为泛点。\(T_{X/S, \eta}\) 的维数是多少？

3. 现在把 \(X\) 看作 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上的概形。 \(T_{X/\mathbf{Z}, x}\) 与 \(T_{X/\mathbf{Z}, \eta}\) 的维数分别是多少？

注

练习 029I 说明了为何必须考虑 \(X\) 在 \(S\) 上的切空间，才能得到良好的概念。

练习

考虑概形态射 \[f : X = \Spec(\mathbf{F}_p(t)) \longrightarrow \Spec(\mathbf{F}_p(t^p)) = S\] 计算 \(X/S\) 在 \(X\) 的唯一一点处的切空间。 这不是很奇怪吗？若取与 \(\mathbf{F}_p[t^p] \to \mathbf{F}_p[t]\) 对应的概形态射， 你认为会发生什么？

练习

设 \(k\) 为域。对 \(X = \Spec(k[x, y]/(x^2 - y^3))\)，计算 \(X/k\) 在点 \(x = (0, 0)\) 处的切空间。

练习

设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上的概形态射。设 \(x \in X\)， 并令 \(y = f(x)\)。假设自然映射 \(\kappa(y) \to \kappa(x)\) 为双射。利用定义证明 \(f\) 诱导自然线性映射 \[\text{d}f : T_{X/S, x} \longrightarrow T_{Y/S, y}.\] 在 \(\kappa(x) = \kappa(s)\) 的情形下，通过练习 029E 将它与局部环上的情形对应起来。

练习

设 \(k\) 为代数闭域。设

\[\begin{eqnarray*} f : \mathbf{A}_k^n & \longrightarrow & \mathbf{A}^m_k \\ (x_1, \ldots, x_n) & \longmapsto & (f_1(x_i), \ldots, f_m(x_i)) \end{eqnarray*}\] 为 \(k\) 上的概形态射。它由 \(n\) 个变量中的 \(m\) 个多项式 \(f_1, \ldots, f_m\) 给出。考虑矩阵

\[A = \left( \frac{\partial f_j}{\partial x_i} \right)\] 设 \(x \in \mathbf{A}^n_k\) 为闭点，并令 \(y = f(x)\)。 证明切空间上的映射 \(T_{\mathbf{A}^n_k/k, x} \to T_{\mathbf{A}^m_k/k, y}\) 由矩阵 \(A\) 在点 \(x\) 处的取值给出。

拟凝聚层

定义

设 \(X\) 为概形。若对每个仿射开集 \(\Spec(R) = U \subset X\)，\(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}\) 的限制 \(\mathcal{F}|_U\) 都可写成某个 \(R\)-模 \(M\) 所对应的 \(\widetilde M\)，则称它 是拟凝聚的。

只需在 \(X\) 的一个仿射开覆盖的成员上检验此条件即可。 更多结果见概形篇第 01LA 节。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间，\(x, x' \in X\)。 当且仅当 \(x \in \overline{\{x'\}}\) 时，称 \(x\) 是 \(x'\) 的 特化。

练习

设 \(X\) 为概形，\(x, x' \in X\)，并设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模的拟凝聚层。假设（a）\(x\) 是 \(x'\) 的特化， 并且（b）\(\mathcal{F}_{x'} \not = 0\)。 证明 \(\mathcal{F}_x \not = 0\)。

练习

找出概形 \(X\)、点 \(x, x' \in X\) 以及 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}\) 的例子，使得 （a）\(x\) 是 \(x'\) 的特化，并且（b） \(\mathcal{F}_{x'} \not = 0\) 而 \(\mathcal{F}_x = 0\)。

定义

当且仅当对每个点 \(x \in X\)，都存在仿射开集 \(\Spec(R) = U \subset X\)，其中 \(R\) 为 Noether 环时， 称概形 \(X\) 局部 Noether。若概形局部 Noether 且拟紧， 则称其为 Noether 概形。

若 \(X\) 局部 Noether，则 \(X\) 的任意仿射开集都是 Noether 环的谱； 见性质篇引理 01OW。

定义

设 \(X\) 为局部 Noether 概形，并设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模的拟凝聚层。若对每个点 \(x \in X\)， 都存在仿射开集 \(\Spec(R) = U \subset X\)，使得 \(\mathcal{F}|_U\) 同构于某个有限 \(R\)-模 \(M\) 所对应的 \(\widetilde M\)，则称 \(\mathcal{F}\) 凝聚。

练习

设 \(X = \Spec(R)\) 为仿射概形。

1. 设 \(f \in R\)，并设 \(\mathcal{G}\) 为开子概形 \(D(f)\) 上的拟凝聚 \(\mathcal{O}_{D(f)}\)-模层。 证明存在拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}\)， 使 \(\mathcal{G} = \mathcal{F}|_{D(f)}\)。

2. 设 \(I \subset R\) 为理想。令 \(i : Z \to X\) 为与 \(I\) 对应的 \(X\) 的闭子概形。设 \(\mathcal{G}\) 为闭子概形 \(Z\) 上的 拟凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模层。证明存在拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}\)，使得 \(\mathcal{G} = i^*\mathcal{F}\)。（为什么这很显然？）

3. 假设 \(R\) Noether。设 \(f \in R\)，并设 \(\mathcal{G}\) 为开子概形 \(D(f)\) 上的凝聚 \(\mathcal{O}_{D(f)}\)-模层。 证明存在凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}\)， 使 \(\mathcal{G} = \mathcal{F}|_{D(f)}\)。

注

若 \(U \to X\) 是拟紧浸入，则 \(U\) 上任意拟凝聚层都是 \(X\) 上 某个拟凝聚层的限制。若 \(X\) 为 Noether 概形且 \(U \subset X\) 为开集，则 \(U\) 上任意凝聚层都是 \(X\) 上某个凝聚层的限制。 当然，上面的练习更容易，不应使用这些一般事实。

Proj 与射影概形

练习

给出分次环 \(S\) 的例子，使得

1. \(\text{Proj}(S)\) 仿射且非空；

2. \(\text{Proj}(S)\) 整且非空，但对任意 \(n\geq 0\)、 任意环 \(A\)，均不同构于 \({\mathbf P}^n_A\)。

练习

给出 \(\Spec({\mathbf C})\) 上概形的非常值态射 \({\mathbf P}^1_{\mathbf C} \to {\mathbf P}^5_{\mathbf C}\) 的例子。

练习

给出概形同构的例子 \[{\mathbf P}^1_{\mathbf C} \to \text{Proj}({\mathbf C}[X_0, X_1, X_2]/(X_0^2 + X_1^2 + X_2^2))\]

练习

给出概形态射 \(f : X \to {\mathbf A}^1_{\mathbf C} = \Spec({\mathbf C}[T])\) 的例子，使 \(f\) 在 \(t \in {\mathbf A}^1_{\mathbf C}\) 上的 （概形论）纤维 \(X_t\) 满足： （a）当 \(t\) 是不等于 \(0\) 的闭点时，它同构于 \({\mathbf P}^1_{\mathbf C}\)； （b）当 \(t = 0\) 时，它不同构于 \({\mathbf P}^1_{\mathbf C}\)。 我们把 \(X_0\) 称为该态射的特殊纤维。 这可以用许多许多种方式做到。试着给出还满足下列每一项附加限制的例子 （除非不可能）：

1. 能否使特殊纤维射影？

2. 能否使特殊纤维不可约且射影？

3. 能否使特殊纤维整且射影？

4. 能否使特殊纤维光滑且射影？

5. 能否使 \(f\) 为平坦态射？ 这仅表示：对每个仿射开集 \(\Spec(A) \subset X\)，诱导环映射 \(\mathbf{C}[t] \to A\) 都平坦；在本例中，这表示 \(t\) 的任意 非零多项式在 \(A\) 上都是非零因子。

6. 能否使 \(f\) 为平坦射影态射？

7. 能否使 \(f\) 平坦、射影且特殊纤维既约？

8. 能否使 \(f\) 平坦、射影且特殊纤维不可约？

9. 能否使 \(f\) 平坦、射影且特殊纤维整？

若把 \({\mathbf P}^1_{\mathbf C}\) 换成 \({\mathbf C}\) 上的另一个簇， 你认为会发生什么？ （取决于你要求上述哪个变体，这可能会变得非常困难。）

练习

设 \(n \geq 1\) 为任意正整数。给出以仿射概形 \(X\) 为源的满态射 \(X \to {\mathbf P}^n_{\mathbf C}\) 的例子。

练习

\(\text{Proj}\) 之间的映射。设 \(R\) 与 \(S\) 为分次环。 假设有环映射 \[\psi : R \to S\] 以及整数 \(e \geq 1\)，使得对所有 \(d \geq 0\)， \(\psi(R_d) \subset S_{de}\)。 （按我们的约定，除非 \(e = 1\)，这不是分次环同态。）

1. 对哪些元素 \(\mathfrak p \in \text{Proj}(S)\)， \(\text{Proj}(R)\) 中有定义良好的对应点？换言之，找出适当的开集 \(U \subset \text{Proj}(S)\)，使 \(\psi\) 定义连续映射 \(r_\psi : U \to \text{Proj}(R)\)。

2. 给出 \(U \not = \text{Proj}(S)\) 的例子。

3. 给出 \(U = \text{Proj}(S)\) 的例子。

4. （不要把它写下来。）说服自己：连续映射 \(U \to \text{Proj}(R)\) 典范地带有层上的映射，从而 \(r_\psi\) 是概形态射： \[\text{Proj}(S) \supset U \longrightarrow \text{Proj}(R).\]

5. 若 \(R = \bigoplus_{d \geq 0} S_{de}\)（作为分次环，把 \(S_e\)、\(S_{2e}\) 等分别放在次数 \(1\)、\(2\) 等处），且 \(\psi\) 是包含映射，你能对该映射说些什么？

记号。设 \(R\) 为如上的分次环，\(n \geq 0\) 为整数， 并令 \(X = \text{Proj}(R)\)。则 \(X\) 上存在唯一的拟凝聚 \({\mathcal O}_X\)-模 \({\mathcal O}_X(n)\)，使得对每个正次数齐次元 \(f \in R\)，\({\mathcal O}_X |_{D_{+}(f)}\) 是与 \(R_{(f)} = (R_f)_0\)-模 \((R_f)_n\) 相伴的拟凝聚层

（\(=\)在 \(R_f = R[1/f]\) 中次数为 \(n\) 的齐次元）。 见 [H, page 116+]。注意，存在自然映射 \[{\mathcal O}_X(n_1) \otimes_{{\mathcal O}_X} {\mathcal O}_X(n_2) \longrightarrow {\mathcal O}_X(n_1 + n_2)\]

练习

\(\text{Proj}\) 中的病态现象。 给出如上的 \(R\) 的例子，使得

1. \({\mathcal O}_X(1)\) 不是可逆 \({\mathcal O}_X\)-模。

2. \({\mathcal O}_X(1)\) 可逆，但自然映射 \({\mathcal O}_X(1) \otimes_{{\mathcal O}_X} {\mathcal O}_X(1) \to {\mathcal O}_X(2)\) 不是同构。

练习

设 \(S\) 为分次环，并令 \(X = \text{Proj}(S)\)。 证明 \(X\) 的任意有限点集都包含在某个标准仿射开集中。

练习

设 \(S\) 为分次环，\(X = \text{Proj}(S)\)。 设 \(Z, Z' \subset X\) 为两个闭子概形，并设 \(\varphi : Z \to Z'\) 为同构。假设 \(Z \cap Z' = \emptyset\)。 证明：对任意 \(z \in Z\)，都存在仿射开集 \(U \subset X\)，使得 \(z \in U\)、\(\varphi(z) \in U\) 且 \(\varphi(Z \cap U) = Z' \cap U\)。 （提示：使用练习 02A4 以及类似于概形篇引理 01IW 的方法。）

从射影直线出发的态射

本节研究从 \(\mathbf{P}^1\) 到射影概形的态射。

练习

设 \(k\) 为域，并设 \(k[t] \subset k(t)\) 为多项式环到其分式域的包含。 设 \(X\) 为 \(k\) 上有限型概形。证明：对任意 \(k\) 上的态射 \[\varphi : \Spec(k(t)) \longrightarrow X\] 都存在非零 \(f \in k[t]\) 以及 \(k\) 上的态射 \(\psi : \Spec(k[t, 1/f]) \to X\)，使 \(\varphi\) 为复合 \[\Spec(k(t)) \longrightarrow \Spec(k[t, 1/f]) \longrightarrow X\]

练习

设 \(k\) 为域，并设 \(k[t] \subset k(t)\) 为多项式环到其分式域的包含。 证明：对任意 \(k\) 上的态射 \[\varphi : \Spec(k(t)) \longrightarrow \mathbf{P}^n_k\] 都存在 \(k\) 上的态射 \(\psi : \Spec(k[t]) \to \mathbf{P}^n_k\)，使 \(\varphi\) 为复合 \[\Spec(k(t)) \longrightarrow \Spec(k[t]) \longrightarrow \mathbf{P}^n_k\] 提示：\(\varphi\) 的像包含在某个 \(i\) 所对应的标准开集 \(D_+(T_i)\) 中；然后证明可以“清除分母”。

练习

设 \(k\) 为域，并设 \(k[t] \subset k(t)\) 为多项式环到其分式域的包含。 设 \(X\) 为 \(k\) 上的射影概形。证明：对任意 \(k\) 上的态射 \[\varphi : \Spec(k(t)) \longrightarrow X\] 都存在 \(k\) 上的态射 \(\psi : \Spec(k[t]) \to X\)， 使 \(\varphi\) 为复合 \[\Spec(k(t)) \longrightarrow \Spec(k[t]) \longrightarrow X\] 提示：使用练习 0DJ2。

练习

设 \(k\) 为域，\(X\) 为 \(k\) 上的射影概形。 令 \(K\) 为 \(\mathbf{P}^1_k\) 的函数域（见下方提示）。 证明：对任意 \(k\) 上的态射 \[\varphi : \Spec(K) \longrightarrow X\] 都存在 \(k\) 上的态射 \(\psi : \mathbf{P}^1_k \to X\)， 使 \(\varphi\) 为复合 \[\Spec(k(t)) \longrightarrow \mathbf{P}^1_k \longrightarrow X\] 提示：对仿射开覆盖 \(\mathbf{P}^1_k = D_+(T_0) \cup D_+(T_1)\) 的两个部分分别使用 练习 0DJ3；利用 \(D_+(T_0)\) 是多项式环的谱，并且 \(K\) 是该多项式环的分式域。

从曲面到曲线的态射

练习

设 \(R\) 为环。设 \(R \to k\) 为从 \(R\) 到某个域的映射。 设 \(n \geq 0\)。证明 \[\Mor_{\Spec(R)}(\Spec(k), \mathbf{P}^n_R) = (k^{n + 1} \setminus \{0\})/k^*\] 其中 \(k^*\) 通过标量乘法作用在 \(k^{n + 1}\) 上。 此后，用 \((x_0 : \ldots : x_n)\) 表示与元素 \((x_0, \ldots, x_n) \in k^{n + 1} \setminus \{0\}\) 的等价类 对应的态射 \(\Spec(k) \to \mathbf{P}^n_k\)。

练习

设 \(k\) 为域，并设 \(Z \subset \mathbf{P}^2_k\) 为不可约既约闭子概形。 证明下列三种情形之一成立：（a）\(Z\) 是闭点；或

（b）存在次数 \(> 0\) 的齐次不可约多项式 \(F \in k[X_0, X_1, X_2]\)，使 \(Z = V_{+}(F)\)；或 （c）\(Z = \mathbf{P}^2_k\)。（提示：考察一个标准仿射开集。）

练习

设 \(k\) 为域。设 \(Z_1, Z_2 \subset \mathbf{P}^2_k\) 为形如 \(V_{+}(F)\) 的不可约闭子概形，其中 \(F_i \in k[X_0, X_1, X_2]\) 是次数 \(> 0\) 的齐次不可约多项式。 证明 \(Z_1 \cap Z_2\) 非空。 （提示：用维数理论估计 \(k[X_0, X_1, X_2]/(F_1, F_2)\) 在 \(0\) 处局部环的维数。）

练习

证明不存在 \(\Spec(\mathbf{C})\) 上概形的非常值态射 \(\mathbf{P}^2_{\mathbf{C}} \to \mathbf{P}^1_{\mathbf{C}}\)。 这里，常值态射是指其像仅为一个点的态射。 （提示：若态射不是常值的，考察 \(0\) 与 \(\infty\) 上的纤维， 并论证它们必然相交，从而得到矛盾。）

练习

设 \(k\) 为域。假设 \(X \subset \mathbf{P}^3_k\) 是由单个齐次方程 \(F \in k[X_0, X_1, X_2, X_3]\) 给出的闭子概形。换言之， \[X = \text{Proj}(k[X_0, X_1, X_2, X_3]/(F)) \subset \mathbf{P}^3_k\] 如课程中所述。假设 \[F = X_0 G + X_1 H\] 其中 \(G, H \in k[X_0, X_1, X_2, X_3]\) 是正次数齐次多项式。 证明：若 \(X_0, X_1, G, H\) 没有公共零点，则存在 \(\Spec(k)\) 上概形的非常值态射 \[X \longrightarrow \mathbf{P}^1_k\] 它在域值点上（见练习 02A7）， 只要 \(x_0\) 或 \(x_1\) 非零，就表现为 \((x_0 : x_1 : x_2 : x_3) \mapsto (x_0 : x_1)\)。

可逆层

定义

设 \(X\) 为局部环空间。\(X\) 上的一个 可逆 \({\mathcal O}_X\)-模，是 \({\mathcal O}_X\)-模层 \({\mathcal L}\)，使得每一点都有开邻域 \(U \subset X\)， 且 \({\mathcal L}|_U\) 作为 \({\mathcal O}_U\)-模同构于 \({\mathcal O}_U\)。若 \({\mathcal L}\) 作为 \({\mathcal O}_X\)-模同构于 \({\mathcal O}_X\)，则称它平凡。

练习

一般事实。

1. 证明概形 \(X\) 上的可逆 \({\mathcal O}_X\)-模是拟凝聚的。

2. 假设 \(X\to Y\) 是局部环空间的态射，并且

   \({\mathcal L}\) 是可逆 \({\mathcal O}_Y\)-模。

   证明 \(f^\ast {\mathcal L}\) 是可逆 \({\mathcal O}_X\) 模。

练习

代数。

1. 证明仿射概形 \(\Spec(A)\) 上的可逆 \({\mathcal O}_X\)-模对应于 \(A\)-模 \(M\)，后者 （i）有限，（ii）射影，（iii）局部自由且秩为 1， 从而（iv）平坦，并且（v）有限表现。

   （可以随意引用上学期课程中的结论，或代数教材中的结论。）

2. 假设 \(A\) 为整环，\(M\) 是（a）中那样的模。

   证明 \(M\) 作为 \(A\)-模同构于某个理想 \(I \subset A\)， 且对每个素理想 \({\mathfrak p}\)，\(IA_{\mathfrak p}\) 都是主理想。

定义

设 \(R\) 为环。所谓可逆模 \(M\)，是指 \(R\)-模 \(M\) 满足：\(\widetilde M\) 是 \(R\) 的谱上的可逆层。 若 \(M\) 作为 \(R\)-模满足 \(M \cong R\)，则称该模平凡。

换言之，当且仅当 \(M\) 满足以下全部条件时，它才可逆： 它平坦、有限表现、射影，并且局部自由且秩为 1。 （当然，仅要求它局部自由且秩为 1 就足够了。）

练习

简单例子。

1. 设 \(k\) 为域，\(A = k[x]\)。 证明 \(X = \Spec(A)\) 仅有平凡的可逆 \({\mathcal O}_X\)-模。换言之，证明每个可逆 \(A\)-模都自由且秩为 1。

2. 设 \(A\) 为环 \[A = \{ f\in k[x] \mid f(0) = f(1) \}.\] 证明除非 \(k = {\mathbf F}_2\)，否则存在非平凡可逆 \(A\)-模。 （提示：把 \(\Spec(A)\) 视为在 \({\mathbf A}^1_k = \Spec(k[x])\) 中将 \(0\) 与 \(1\) 粘合。）

3. 对环 \(A = k[x^2, x^3] \subset k[x]\) 回答 （02AJ）中的同一问题 （但现在 \(k = {\mathbf F}_2\) 也可行）。

练习

更高维情形。

1. 证明二维仿射空间上的每个可逆层都平凡。更精确地，设 \({\mathbf A}^2_k = \Spec(k[x, y])\)，其中 \(k\) 为域。 证明 \({\mathbf A}^2_k\) 上的每个可逆层都平凡。 （提示：一种做法是考察对应模 \(M\)，再考察 \(M \otimes_{k[x, y]} k(x)[y]\)，然后用练习 02AH （02AI）找出它的一个生成元；之后你仍需思考。

   另一种做法是使用练习 02AF， 并利用我们关于多项式环中理想的知识：高度一的素理想由一个 不可约多项式生成；之后你仍需思考。）

2. 证明二维仿射空间的任意开子概形上的每个可逆层都平凡。 更精确地，设 \(U \subset {\mathbf A}^2_k\) 为开子概形，其中 \(k\) 为域。证明 \(U\) 上的每个可逆层都平凡。提示：证明 \(U\) 上每个 可逆层都可延拓为 \({\mathbf A}^2_k\) 上的可逆层。这并不容易， 但可在 [H] 中找到。

3. 找出域上去掉顶点的锥面上的一个非平凡可逆层。 更精确地，设 \(k\) 为域，\(C = \Spec(k[x, y, z]/(xy-z^2))\)。 令 \(U = C \setminus \{ (x, y, z) \}\)。找出 \(U\) 上的一个 非平凡可逆层。提示：计算 \(U\) 上可逆层的同构类群，可能比 仅找出一个更容易。注意，\(U\) 被开集 \(\Spec(k[x, y, z, 1/x]/(xy-z^2))\) 与 \(\Spec(k[x, y, z, 1/y]/(xy-z^2))\) 覆盖， 而它们是“容易”处理的。

定义

设 \(X\) 为局部环空间。\(X\) 的Picard 群是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模的同构类集合 \(\Pic(X)\)，其加法由张量积给出。 见模篇定义 01CX。 对环 \(R\)，令 \(\Pic(R) = \Pic(\Spec(R))\)。

练习

设 \(R\) 为环。

1. 证明：若 \(R\) 是 Noether 正规整环，则 \(\Pic(R) = \Pic(R[t])\)。[提示：存在映射 \(R[t] \to R\)， \(t \mapsto 0\)，它是映射 \(R \to R[t]\) 的左逆。 因此只需证明：若可逆 \(R[t]\)-模 \(M\) 满足 \(M/tM \cong R\)，则它自由且秩为 \(1\)。令 \(K\) 为 \(R\) 的分式域。 选取平凡化 \(K[t] \to M \otimes_{R[t]} K[t]\)；由练习 02AH（02AI）， 这是可能的。调整它，使其与上面 \(M/tM\) 的平凡化相容。 证明它事实上是 \(M\) 在 \(R[t]\) 上的一个平凡化 （正规性在此处起作用）。]

2. 设 \(k\) 为域。证明 \(\Pic(k[x^2, x^3, t]) \not = \Pic(k[x^2, x^3])\)。

Čech 上同调

练习

Čech 上同调。这里 \(k\) 为域。

1. 设 \(X\) 为带有开覆盖 \({\mathcal U} : X = U_1 \cup U_2\) 的概形，其中 \(U_1 = \Spec(k[x])\)、\(U_2 = \Spec(k[y])\)， \(U_1 \cap U_2 = \Spec(k[z, 1/z])\)，而开浸入 \(U_1 \cap U_2 \to U_1\) 与 \(U_1 \cap U_2 \to U_2\) 分别由 \(x \mapsto z\) 与 \(y \mapsto z\) 决定 （我确实就是这个意思）。 （我们已在讲课中见过这样的 \(X\) 存在；它是原点加倍的仿射直线。） 计算 \({\check H}^1({\mathcal U}, {\mathcal O})\)； 例如，给出它作为 \(k\)-向量空间的一组基。

2. 对 \({\check H}^1({\mathcal U}, {\mathcal O})\) 中的每个元素， 构造 \({\mathcal O}_X\)-模层的正合列 \[0 \to {\mathcal O}_X \to E \to {\mathcal O}_X \to 0\] 使边界 \(\delta(1) \in {\check H}^1({\mathcal U}, {\mathcal O})\) 等于给定元素。 （问题的一部分是赋予这句话意义；另见下文。 抽象地证明这样的对象必然存在也可以。）

定义

（delta 的定义。）假设 \[0 \to {\mathcal F}_1 \to {\mathcal F}_2 \to {\mathcal F}_3 \to 0\] 是任意拓扑空间 \(X\) 上 Abel 层的短正合列。边界映射 \(\delta : H^0(X, {\mathcal F}_3) \to {\check H}^1(X, {\mathcal F}_1)\) 定义如下。取元素 \(\tau \in H^0(X, {\mathcal F}_3)\)。 选取开覆盖 \({\mathcal U} : X = \bigcup_{i\in I} U_i\)，使对每个 \(i\)，都存在截面 \(\tilde \tau_i \in {\mathcal F}_2\)， 它提升 \(\tau\) 在 \(U_i\) 上的限制。然后考虑赋值 \[(i_0, i_1) \longmapsto \tilde \tau_{i_0}|_{U_{i_0i_1}} - \tilde \tau_{i_1}|_{U_{i_0i_1}}.\] 这是 Čech 复形 \({\check C}^\ast({\mathcal U}, {\mathcal F}_2)\) 中显然的 1-余边界。 但注意到（把 \({\mathcal F}_1\) 看作 \({\mathcal F}_2\) 的子层）， 右端总是 \(U_{i_0i_1}\) 上 \({\mathcal F}_1\) 的截面。

因此可见，该赋值在复形 \({\check C}^\ast({\mathcal U}, {\mathcal F}_2)\) 中定义了一个 1-上链。按照定义，这个 1-上链的上同调类就是 \(\delta(\tau)\)。

上同调

练习

令 \(X = \mathbf{R}\)，赋予通常的 Euclid 拓扑。 仅使用上同调的形式性质（函子性与长正合上同调列），证明存在 \(X\) 上的层 \(\mathcal{F}\)，使 \(H^1(X, \mathcal{F})\) 非零。

练习

设拓扑空间 \(X = U \cup V\) 写成两个开集的并。 则有 Mayer–Vietoris 长正合列 \[0 \to H^0(X, \mathcal{F}) \to H^0(U, \mathcal{F}) \oplus H^0(V, \mathcal{F}) \to H^0(U \cap V, \mathcal{F}) \to H^1(X, \mathcal{F}) \to \ldots\] 内射层的什么性质对于构造 Mayer–Vietoris 长正合列至关重要？ 为什么该性质成立？

练习

设 \(X\) 为拓扑空间。

1. 若 \(X\) 至多有 \(2\) 个点，证明对 \(i > 0\)， \(H^i(X, \mathcal{F})\) 为零。

2. 若 \(X\) 有 \(3\) 个点，又如何？

练习

设 \(X\) 为局部环的谱。证明：对任意 Abel 群层 \(\mathcal{F}\) 和任意 \(i > 0\)，\(H^i(X, \mathcal{F})\) 为零。

练习

设 \(f : X \to Y\) 为概形的仿射态射。证明：对任意拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)， \(H^i(X, \mathcal{F}) = H^i(Y, f_*\mathcal{F})\)。 你可以随意对 \(X\) 与 \(Y\) 加上一些条件，并使用如下相合性： 对分离概形的仿射开覆盖与拟凝聚层，Čech 上同调与上同调相合。

练习

设 \(A\) 为环，并设 \(\mathbf{P}^n_A = \text{Proj}(A[T_0, \ldots, T_n])\) 为 \(A\) 上的射影空间。

令 \(\mathbf{A}^{n + 1}_A = \Spec(A[T_0, \ldots, T_n])\)，并令 \[U = \bigcup\nolimits_{i = 0, \ldots, n} D(T_i) \subset \mathbf{A}^{n + 1}_A\] 为闭浸入 \(0 : \Spec(A) \to \mathbf{A}^{n + 1}_A\) 的像的补集。 构造仿射满态射 \[f : U \longrightarrow \mathbf{P}^n_A\] 并证明 \(f_*\mathcal{O}_U = \bigoplus_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_A}(d)\)。 更一般地，证明对分次 \(A[T_0, \ldots, T_n]\)-模 \(M\) 有 \[f_*(\widetilde{M}|_U) = \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \widetilde{M(d)}\] 其中左端的 \(\widetilde{M}\) 是 \(\mathbf{A}^{n + 1}_A\) 上 与 \(M\) 相伴的拟凝聚层，而右端的 \(\widetilde{M(d)}\) 是与分次模 \(M(d)\) 相伴的拟凝聚层。

练习

设 \(A\) 为环，并设 \(\mathbf{P}^n_A = \text{Proj}(A[T_0, \ldots, T_n])\) 为 \(A\) 上的射影空间。仔细计算 \(\mathbf{P}^n_A\) 上结构层的 Serre 扭曲 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_A}(d)\) 的上同调。 你可以使用 Čech 上同调，以及分离概形的仿射开覆盖与 拟凝聚层所具有的 Čech 上同调和上同调相合性。

练习

设 \(A\) 为环，并设 \(\mathbf{P}^n_A = \text{Proj}(A[T_0, \ldots, T_n])\) 为 \(A\) 上的射影空间。设 \(F \in A[T_0, \ldots, T_n]\) 为次数 \(d\) 的齐次多项式。令 \(X \subset \mathbf{P}^n_A\) 为与 \(A[T_0, \ldots, T_n]\) 的分次理想 \((F)\) 对应的闭子概形。 关于 \(H^i(X, \mathcal{O}_X)\)，你能说些什么？

练习

设环 \(R\) 满足：对任意左正合函子 \(F : \text{Mod}_R \to \textit{Ab}\)，对 \(i > 0\) 都有 \(R^iF = 0\)。证明 \(R\) 是有限多个域的乘积。

更多上同调

练习

设 \(k\) 为域。设 \(X \subset \mathbf{P}^n_k\) 为“坐标十字”。 具体地，令 \(X\) 由齐次方程 \[T_i T_j = 0\text{ 对 }i > j > 0\] 定义；照例写 \(\mathbf{P}^n_k = \text{Proj}(k[T_0, \ldots, T_n])\)。 换言之，\(X\) 是与多项式环的商 \(k[T_0, \ldots, T_n]/(T_iT_j; i > j > 0)\) 对应的闭子概形。 对所有 \(i\) 计算 \(H^i(X, \mathcal{O}_X)\)。 提示：使用 Čech 上同调。

练习

设 \(A\) 为环，\(I = (f_1, \ldots, f_t)\) 为 \(A\) 的有限生成理想。 令 \(U \subset \Spec(A)\) 为 \(V(I)\) 的补集。 对任意 \(A\)-模 \(M\)，写出一个 \(A\)-模复形 （用 \(A\)、\(f_1, \ldots, f_t\)、\(M\) 表示）， 使其上同调群给出 \(H^n(U, \widetilde{M})\)。

练习

设 \(k\) 为域。令 \(U \subset \mathbf{A}^d_k\) 为 \(\mathbf{A}^d_k\) 中闭点 \(0\) 的补集。 对所有 \(n\) 计算 \(H^n(U, \mathcal{O}_U)\)。

练习

设 \(k\) 为域。显式找出 \(k\) 上射影、维数为 \(1\) 的概形 \(X\)， 使 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) 且 \(\dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X) = 100\)。

练习

设 \(f : X \to Y\) 为次数 \(2\) 的有限局部自由态射。 假设 \(X\) 与 \(Y\) 都是整概形，并且 \(2\) 在 \(Y\) 的结构层中可逆， 即 \(2 \in \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\) 可逆。 证明 \(\mathcal{O}_Y\)-模映射 \[f^\sharp : \mathcal{O}_Y \longrightarrow f_*\mathcal{O}_X\] 有左逆，即存在 \(\mathcal{O}_Y\)-模映射 \(\tau : f_*\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y\)，使得 \(\tau \circ f^\sharp = \text{id}\)。 由此推出 \(H^n(Y, \mathcal{O}_Y) \to H^n(X, \mathcal{O}_X)\) 为单射²。

练习

设 \(X\) 为概形（或局部环空间）。规则 \(U \mapsto \mathcal{O}_X(U)^*\) 定义一个群层，记为 \(\mathcal{O}_X^*\)。简要说明为何 \(X\) 的 Picard 群 （定义 02AM）等于 \(H^1(X, \mathcal{O}_X^*)\)。

练习

给出具有非平凡 \(\Pic(X)\) 的仿射概形 \(X\) 的例子。 利用练习 0DAP 推出：对任意这样的 \(X\)， \(H^1(X, -)\) 都不是零函子。

练习

设 \(A\) 为环，\(I = (f_1, \ldots, f_t)\) 为 \(A\) 的有限生成理想， 并令 \(U \subset \Spec(A)\) 为 \(V(I)\) 的补集。 给定拟凝聚 \(\mathcal{O}_{\Spec(A)}\)-模 \(\mathcal{F}\) 以及满足 \(p > 0\) 的 \(\xi \in H^p(U, \mathcal{F})\)， 证明存在 \(n > 0\)，使得对 \(i = 1, \ldots, t\) 有 \(f_i^n \xi = 0\)。提示：一种可能的做法是使用你在练习 0DAK 中找到的复形。

练习

设 \(A\) 为环，\(I = (f_1, \ldots, f_t)\) 为 \(A\) 的有限生成理想， 并令 \(U \subset \Spec(A)\) 为 \(V(I)\) 的补集。 设 \(M\) 为 \(A\)-模，其 \(I\)-挠子模为零，即 \(0 = \Ker((f_1, \ldots, f_t) : M \to M^{\oplus t})\)。 证明存在典范同构 \[H^0(U, \widetilde{M}) = \colim \Hom_A(I^n, M).\] 警告：这并非显然。

练习

设 \(A\) 为 Noether 环，\(I\) 为 \(A\) 的理想，\(M\) 为 \(A\)-模。 令 \(M[I^\infty]\) 为由下式定义的 \(I\)-幂挠元集合： \[M[I^\infty] = \{x \in M \mid \text{ there exists an }n \geq 1\text{ 使得 }I^nx = 0\}\] 令 \(M' = M/M[I^\infty]\)。则 \(M'\) 的 \(I\)-幂挠子模为零。 证明 \[\colim \Hom_A(I^n, M) = \colim \Hom_A(I^n, M').\] 警告：这并非显然。提示：（1）试着归约到 \(M\) 有限； （2）若 \(N = M[I^\infty]\) 且 \(M\) 有限，证明 \(\Ext^1_A(I^n, N)\) 的任意元素对某个 \(m > 0\) 映到 \(\Ext^1_A(I^{n + m}, N)\) 中的零； （3）对 \(\Hom_A(I^n, N)\) 证明与（2）相同的结论；

（3）考察长正合列 \[0 \to \Hom_A(I^n, M[I^\infty]) \to \Hom_A(I^n, M) \to \Hom_A(I^n, M') \to \Ext^1_A(I^n, M[I^\infty])\] 其中 \(M\) 有限，并与 \(I^{n + m}\) 所对应的正合列比较以得出结论。

再论上同调

练习

构造如下例子：一个域 \(k\)、\(k\) 上的一条曲线 \(X\)、 一个可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\)，以及上同调类 \(\xi \in H^1(X, \mathcal{L})\)，使其具有如下性质： 对概形的每个有限满态射 \(\pi : Y \to X\)，元素 \(\xi\) 都拉回为 \(H^1(Y, \pi^*\mathcal{L})\) 中的非零元素。 提示：构造 \(X\)、\(k\)、\(\mathcal{L}\)，使得存在短正合列 \(0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z \to 0\)， 其中 \(Z \subset X\) 是由多于 \(1\) 个闭点组成的闭子概形。

然后考察拉回时会发生什么。

练习

设 \(k\) 为代数闭域，\(X\) 为 \(1\)-维射影概形。 假设 \(X\) 含有一个曲线圈，即假设存在 \(n \geq 2\)、 两两不同的 \(1\)-维整闭子概形 \(C_1, \ldots, C_n\) 以及两两不同的闭点 \(x_1, \ldots, x_n \in X\)，使得 \(x_n \in C_n \cap C_1\)， 且对 \(i = 1, \ldots, n - 1\) 有 \(x_i \in C_i \cap C_{i + 1}\)。 证明 \(H^1(X, \mathcal{O}_X)\) 非零。 提示：令 \(\mathcal{F}\) 为映射

\(\mathcal{O}_X \to \bigoplus \mathcal{O}_{C_i}\) 的像， 并利用 \(\kappa(x_i) = k\) 与 \(H^0(C_i, \mathcal{O}_{C_i}) = k\)，证明 \(H^1(X, \mathcal{F})\) 非零。 还要利用 Grothendieck 定理所给出的 \(H^2(X, -) = 0\)。

练习

设 \(X\) 为代数闭域 \(k\) 上的射影曲面。 证明存在真闭子概形 \(Z \subset X\)，使 \(H^1(Z, \mathcal{O}_Z)\) 非零。提示：使用练习 0DB5。

练习

设 \(X\) 为代数闭域 \(k\) 上的射影曲面。 证明对每个 \(n \geq 0\)，都存在真闭子概形 \(Z \subset X\)， 使得 \(\dim_k H^1(Z, \mathcal{O}_Z) > n\)。 只需说明如何修改练习 0DB6 与 0DB5 中的论证；不必给出全部细节。

练习

设 \(X\) 为代数闭域 \(k\) 上的射影曲面。 证明存在凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，使得 \(H^2(X, \mathcal{F})\) 非零。 提示：使用练习 0DB7 的结论以及一个巧妙选取的 正合列。

练习

设 \(X\) 与 \(Y\) 为域 \(k\) 上的概形 （可以随意假设 \(X\) 与 \(Y\) 性质良好，例如在 \(k\) 上 qcqs 或射影）。 令 \(X \times Y = X \times_{\Spec(k)} Y\)，其投影为 \(p : X \times Y \to X\) 与 \(q : X \times Y \to Y\)。 对拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\) 和拟凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模 \(\mathcal{G}\)，证明 \[H^n(X \times Y, p^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} q^*\mathcal{G}) = \bigoplus\nolimits_{a + b = n} H^a(X, \mathcal{F}) \otimes_k H^b(Y, \mathcal{G})\] 或者只证明取维数后该等式成立。 “干净”的解答可获额外加分。

练习

设 \(k\) 为域。令

\(X = \mathbf{P}|^1 \times \mathbf{P}^1\) 为 \(k\) 上射影直线与自身的乘积，投影为 \(p : X \to \mathbf{P}^1_k\) 与 \(q : X \to \mathbf{P}^1_k\)。 令 \[\mathcal{O}(a, b) = p^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_k}(a) \otimes_{\mathcal{O}_X} q^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_k}(b)\] 对所有 \(i, a, b\)，计算 \(H^i(X, \mathcal{O}(a, b))\) 的维数。 提示：使用练习 0DB9。

上同调与 Hilbert 多项式

情形

设 \(k\) 为域。设 \(X = \mathbf{P}^n_k\) 为 \(n\)-维射影空间， 并设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。回顾 \[\chi(X, \mathcal{F}) = \sum\nolimits_{i = 0}^n (-1)^i \dim_k H^i(X, \mathcal{F})\] 回顾，\(\mathcal{F}\) 的Hilbert 多项式是函数 \[t \longmapsto \chi(X, \mathcal{F}(t))\] 还回顾 \(\mathcal{F}(t) = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(t)\)， 其中 \(\mathcal{O}_X(t)\) 是结构层的第 \(t\) 次扭曲，如构造篇定义 01MN。 我们已在簇篇第 08A9 小节证明， Hilbert 多项式是 \(t\) 的多项式。

练习

在情形 0DCE 中：

1. 若 \(P(t)\) 是 \(\mathcal{F}\) 的 Hilbert 多项式， \(\mathcal{F}(-13)\) 的 Hilbert 多项式是什么？

2. 若 \(P_i\) 是 \(\mathcal{F}_i\) 的 Hilbert 多项式， \(\mathcal{F}_1 \oplus \mathcal{F}_2\) 的 Hilbert 多项式是什么？

3. 若 \(P_i\) 是 \(\mathcal{F}_i\) 的 Hilbert 多项式， 且 \(\mathcal{F}\) 是满射 \(\mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2\) 的核， \(\mathcal{F}\) 的 Hilbert 多项式是什么？

练习

在情形 0DCE 中，假设 \(n \geq 1\)。 找出 Hilbert 多项式为 \(t - 101\) 的凝聚层。

练习

在情形 0DCE 中，假设 \(n \geq 2\)。 找出 Hilbert 多项式为 \(t^2/2 + t/2 - 1\) 的凝聚层。 （这有点棘手；只证明存在这样的凝聚层即可。）

练习

在情形 0DCE 中，假设 \(n \geq 2\) 且 \(k\) 代数闭。设 \(C \subset X\) 为维数 \(1\) 的整闭子概形。 换言之，\(C\) 是射影曲线。 设 \(d t + e\) 为 \(\mathcal{O}_C\) 作为 \(X\) 上凝聚层的 Hilbert 多项式。

1. 给出 \(e\) 的一个上界。（提示：利用 \(\mathcal{O}_C(t)\) 仅在次数 \(0\) 与 \(1\) 有上同调， 并研究 \(H^0(C, \mathcal{O}_C)\)。）

2. 选取 \(\mathcal{O}_X(1)\) 的整体截面 \(s\)，使它与 \(C\) 横截相交，即存在两两不同的闭点 \(c_1, \ldots, c_r \in C\) 以及短正合列 \[0 \to \mathcal{O}_C \xrightarrow{s} \mathcal{O}_C(1) \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, r} k_{c_i} \to 0\] 其中 \(k_{c_i}\) 是在 \(c_i\) 处取值为 \(k\) 的摩天层。 （这样的 \(s\) 存在；请直接使用这一点。） 证明 \(r = d\)。（提示：扭曲该正合列并观察所得结果。）

3. 扭曲该短正合列后，对任意 \(t\) 得到 \(k\)-线性映射 \(\varphi_t : \Gamma(C, \mathcal{O}_C(t)) \to \bigoplus_{i = 1, \ldots, d} k\)。

   证明若 \(t \geq d - 1\)，该映射为满射。

4. 用 \(d\) 给出 \(e\) 的一个下界。（提示：使用（3）的结果和消失性， 证明 \(H^1(C, \mathcal{O}_C(d - 2)) = 0\)。）

练习

在情形 0DCE 中，假设 \(n = 2\)。 设 \(s_1, s_2, s_3 \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X(2))\) 为三个二次方程。考虑凝聚层 \[\mathcal{F} = \Coker\left(\mathcal{O}_X(-2)^{\oplus 3} \xrightarrow{s_1, s_2, s_3} \mathcal{O}_X\right)\] 列出这样的 \(\mathcal{F}\) 所有可能的 Hilbert 多项式。 （试着把射影平面中二次曲线的交可视化。）

曲线

练习

设 \(k\) 为代数闭域，\(X\) 为 \(k\) 上的射影曲线。 设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，并设 \(s_0, \ldots, s_n \in H^0(X, \mathcal{L})\) 为 \(\mathcal{L}\) 的整体截面。证明存在自然闭子概形 \[Z \subset \mathbf{P}^n \times X\] 使闭点 \(((\lambda_0 : \ldots : \lambda_n), x)\) 属于 \(Z\) 当且仅当截面 \(\lambda_0 s_0 + \ldots + \lambda_n s_n\) 在 \(x\) 处消失。（提示：在仿射局部描述 \(Z\)。）

练习

设 \(k\) 为代数闭域，\(X\) 为 \(k\) 上的光滑曲线。 设 \(r \geq 1\)。证明闭子集 \[D \subset X \times X^r = X^{r + 1}\] 具有可逆理想层；其闭点是满足某个 \(i\) 下 \(x = x_i\) 的元组 \((x, x_1, \ldots, x_r)\)。换言之，证明 \(D\) 是有效 Cartier 除子。

提示：归约到 \(r = 1\)，并利用 \(X\) 是光滑曲线这一点来研究对角线 （可查阅书籍）。

练习

设 \(k\) 为代数闭域，\(X\) 为 \(k\) 上的光滑射影曲线。 设 \(T\) 为 \(k\) 上有限型概形，并设 \[D_1 \subset X \times T \quad\text{且}\quad D_2 \subset X \times T\] 为两个有效 Cartier 除子，使对 \(t \in T\)，纤维 \(D_{i, t} \subset X_t\) 不稠密（即不含曲线 \(X_t\) 的泛点）。 证明存在典范闭子概形 \(Z \subset T\)，使闭点 \(t \in T\) 属于 \(Z\)，当且仅当 \(D_1\)、\(D_2\) 的概形论纤维 \(D_{1, t}\)、\(D_{2, t}\) 满足 \[D_{1, t} \subset D_{2, t}\] （作为 \(X_t\) 的闭子概形）。 提示：证明可以在缩小 \(T\) 后假设 \(T = \Spec(A)\) 仿射， 并存在仿射开集 \(U \subset X\) 使 \(D_i \subset U \times T\)。 然后证明 \(M_1 = \Gamma(D_1, \mathcal{O}_{D_1})\) 是有限局部自由 \(A\)-模（这里需要一些非平凡的代数——问问你的朋友）。 缩小 \(T\) 后，可假设 \(M_1\) 是自由 \(A\)-模。然后考察 \[\Gamma(U \times T, \mathcal{I}_{D_2}) \to M_1 = A^{\oplus N}\] 并把 \(Z\) 定义为由该映射像中向量的系数所生成的理想切出的闭子概形。 说明这为何成立（这里可能还需要一点交换代数）。

练习

设 \(k\) 为代数闭域，\(X\) 为 \(k\) 上的光滑射影曲线。 设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，并设 \(s_0, \ldots, s_n \in H^0(X, \mathcal{L})\) 为 \(\mathcal{L}\) 的整体截面。设 \(r \geq 1\)。证明存在自然闭子概形 \[Z \subset \mathbf{P}^n \times X \times \ldots \times X = \mathbf{P}^n \times X^r\] 使闭点 \(((\lambda_0 : \ldots : \lambda_n), x_1, \ldots, x_r)\) 属于 \(Z\)，当且仅当截面 \(s_\lambda = \lambda_0 s_0 + \ldots + \lambda_n s_n\) 在除子 \(D = x_1 + \ldots + x_r\) 上消失，即截面 \(s_\lambda\) 属于 \(\mathcal{L}(-D)\)。

提示：说明如何由练习 0EGA 与 0EGB 的结论结合得出这一点。

练习

设 \(k\) 为代数闭域，\(X\) 为 \(k\) 上的光滑射影曲线。 设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。 证明存在自然闭子集 \[Z \subset X^r\] 使 \(X^r\) 的闭点 \((x_1, \ldots, x_r)\) 属于 \(Z\)，当且仅当 \(\mathcal{L}(-x_1 - \ldots -x_r)\) 有非零整体截面。 提示：使用练习 0EGC。

练习

设 \(k\) 为代数闭域，\(X\) 为 \(k\) 上的光滑射影曲线。 设 \(r \geq s\) 为整数。证明存在自然闭子集 \[Z \subset X^r \times X^s\] 使 \(X^r \times X^s\) 的闭点 \((x_1, \ldots, x_r, y_1, \ldots, y_s)\) 属于 \(Z\)，当且仅当 \(x_1 + \ldots + x_r - y_1 - \ldots - y_s\) 线性等价于某个有效除子。

提示：选取次数非常高的辅助可逆模 \(\mathcal{L}\)，使对任意次数 为 \(r\) 的有效除子 \(D\)，\(\mathcal{L}(-D)\) 都有非消失截面。 然后两次使用练习 0EGD 的结论。

练习

选择你最喜欢的代数闭域 \(k\)。尽你所能，确定某条亏格为 \(7\) 的 曲线上可能存在的所有 \(\mathfrak g^r_d\)。同时还要试着：

1. 确定在哪些情形下 \(\mathfrak g^r_d\) 无基点；

2. 确定在哪些情形下 \(\mathfrak g^r_d\) 给出到 \(\mathbf{P}^r\) 的闭嵌入。

若假设曲线是“一般的”，完成同样的工作 （自行给出“一般”的概念——这可能比上面的问题容易）。 若假设曲线是超椭圆曲线，完成同样的工作。 若假设曲线是三角曲线（且不是超椭圆曲线），完成同样的工作。等等。

模空间

本节考察代数几何对象的模空间的一些朴素处理方式。

设 \(k\) 为代数闭域。假设 \(M\) 是 \(k\) 上的一个模问题。 这里不精确定义其含义，但在每个练习中，我们的意思应当是清楚的。 要理解下面的内容，只需知道 \(M\) 在 \(k\) 上有哪些对象、\(M\) 在 \(k\) 上的对象之间有哪些同构，以及簇上的 \(M\)-对象族是什么。

若下列命题成立，就称 \(M\) 的模数为 \(d \geq 0\)：

1. 存在有限多个族 \(X_i \to V_i\)（\(i = 1, \ldots, n\)）， 使 \(M\) 在 \(k\) 上的每个对象都同构于其中某个族的一条纤维， 且 \(\max \dim(V_i) = d\)；

2. 不可能用更小的 \(d\) 做到这一点。

这实际上只是文献中更好概念的一种非常粗略的近似。

练习

设 \(k\) 为代数闭域，并设 \(d \geq 1\)、\(n \geq 1\)。 规定 \(P^n\) 中 \(d\) 次超曲面的模空间如下：

1. 一个对象是次数为 \(d\) 的超曲面 \(X \subset \mathbf{P}^n_k\)；

2. 两个对象 \(X \subset \mathbf{P}^n_k\) 与 \(Y \subset \mathbf{P}^n_k\) 之间的一个同构，是满足

   \(g(X) = Y\) 的元素 \(g \in \text{PGL}_n(k)\)；

3. 簇 \(V\) 上的一个超曲面族，是闭子概形 \(X \subset \mathbf{P}^n_V\)，使对所有 \(v \in V\)， \(X \to V\) 的概形论纤维 \(X_v\) 是 \(\mathbf{P}^n_v\) 中的一条

   超曲面。

计算下列模数（如果可以的话——它们会逐渐变难）：

1. \(n = 1\) 而 \(d\) 任意时的模数；

2. \(n = 2\) 且 \(d = 1\) 时的模数；

3. \(n = 2\) 且 \(d = 2\) 时的模数；

4. \(n \geq 1\) 且 \(d = 2\) 时的模数；

5. \(n = 2\) 且 \(d = 3\) 时的模数；

6. \(n = 3\) 且 \(d = 3\) 时的模数；

7. \(n = 2\) 且 \(d = 4\) 时的模数。

练习

设 \(k\) 为代数闭域，并设 \(g \geq 2\)。 规定亏格 \(g\) 的超椭圆曲线的模空间如下：

1. 一个对象是亏格 \(g\) 的光滑射影超椭圆曲线 \(X\)；

2. 两个对象 \(X\) 与 \(Y\) 之间的一个同构，是 \(k\) 上概形的同构 \(X \to Y\)；

3. 簇 \(V\) 上亏格 \(g\) 的一个超椭圆曲线族，是一个 真平坦³态射

   \(X \to Y\)，使 \(X \to V\) 的所有概形论纤维都是亏格 \(g\) 的 光滑射影超椭圆曲线。

证明其模数为 \(2g - 1\)。

整体 Ext

练习

设 \(k\) 为域，\(X = \mathbf{P}^3_k\)。设 \(L \subset X\) 与 \(P \subset X\) 分别为直线和平面，把它们看作分别由 \(1\) 个和 \(2\) 个线性方程切出的闭子概形。对所有 \(i\)，计算 \[\Ext^i_X(\mathcal{O}_L, \mathcal{O}_P)\] 的维数。务必同时处理 \(L\) 包含在 \(P\) 中以及 \(L\) 不包含在 \(P\) 中的情形。

练习

设 \(k\) 为域，\(X = \mathbf{P}^n_k\)。 设 \(Z \subset X\) 为一个闭的 \(k\)-有理点，并把它看作闭子概形； 例如，齐次坐标为 \((1 : 0 : \ldots : 0)\) 的点。 对所有 \(i\)，计算 \[\Ext^i_X(\mathcal{O}_Z, \mathcal{O}_Z)\] 的维数。

练习

设 \(X\) 为环空间。对 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}, \mathcal{G}, \mathcal{H}\) 定义杯积映射 \[\Ext^i_X(\mathcal{G}, \mathcal{H}) \times \Ext^j_X(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \longrightarrow \Ext^{i + j}_X(\mathcal{F}, \mathcal{H})\] （提示：这是一个极其一般的构造。）

练习

设 \(X\) 为环空间。设 \(\mathcal{E}\) 为有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模，其对偶为 \(\mathcal{E}^\vee = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{E}, \mathcal{O}_X)\)。 证明下列命题：

1. \(\SheafExt^i_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{E}, \mathcal{G}) = \SheafExt^i_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F}, \mathcal{E}^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}) = \SheafExt^i_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F}, \mathcal{G}) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{E}^\vee\)；

2. \(\Ext^i_X( \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{E}, \mathcal{G}) = \Ext^i_X(\mathcal{F}, \mathcal{E}^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G})\)。

这里 \(\mathcal{F}\) 与 \(\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{O}_X\)-模。 推出 \[\Ext^i_X(\mathcal{E}, \mathcal{G}) = H^i(X, \mathcal{E}^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G})\]

练习

设 \(X\) 为环空间，\(\mathcal{E}\) 为有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模。对所有 \(i\) 构造迹映射 \[\Ext^i_X(\mathcal{E}, \mathcal{E}) \to H^i(X, \mathcal{O}_X)\] 把它推广为对任意 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\) 的迹映射 \[\Ext^i_X(\mathcal{E}, \mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}) \to H^i(X, \mathcal{F})\]

练习

设 \(k\) 为域，\(X = \mathbf{P}^d_k\)。令 \(\omega_{X/k} = \mathcal{O}_X(-d - 1)\)。 证明：对有限局部自由模 \(\mathcal{E}\)、\(\mathcal{F}\)， Ext 上的杯积与 Ext 上的迹映射结合得到 \[\Ext^i_X(\mathcal{E}, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \omega_{X/k}) \times \Ext^{d - i}_X(\mathcal{F}, \mathcal{E}) \to \Ext_X^d(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \omega_{X/k}) \to H^d(X, \omega_{X/k}) = k\] 是非退化配对。提示：你可以在此设定中重新证明对偶性， 也可以归约到层上同调，再应用讲课中证明的 Serre 对偶定理。

除子

为方便起见，我们把所有相关定义汇集于此。

定义

以下始终令 \(S\) 为任意概形，并令 \(X\) 为 Noether 整概形。

1. \(X\) 上的一个Weil 除子是素除子 \(Z_i\) 的整数系数形式线性组合 \(\Sigma n_i[Z_i]\)。

2. 所谓素除子，是整闭子概形 \(Z \subset X\)，其泛点 \(\xi \in Z\) 满足 \({\mathcal O}_{X, \xi}\) 的维数为 \(1\)。 当 \(\xi \in Z \subset X\) 如上时，我们使用记号 \({\mathcal O}_{X, Z} = {\mathcal O}_{X, \xi}\)。 注意，\({\mathcal O}_{X, Z} \subset K(X)\) 是 \(X\) 的函数域的子环。

3. 与有理函数 \(f \in K(X)^\ast\) 相伴的 Weil 除子 是和 \(\Sigma v_Z(f)[Z]\)。这里 \(v_Z(f)\) 定义如下：

   1. 若 \(f \in {\mathcal O}_{X, Z}^\ast\)，则 \(v_Z(f) = 0\)。

   2. 若 \(f \in {\mathcal O}_{X, Z}\)，则 \[v_Z(f) = \text{length}_{{\mathcal O}_{X, Z}}({\mathcal O}_{X, Z}/(f)).\]

   3. 若 \(f = \frac{a}{b}\)，其中 \(a, b \in {\mathcal O}_{X, Z}\)，则 \[v_Z(f) = \text{length}_{{\mathcal O}_{X, Z}}({\mathcal O}_{X, Z}/(a)) - \text{length}_{{\mathcal O}_{X, Z}}({\mathcal O}_{X, Z}/(b)).\]

4. 概形 \(S\) 上的一个有效 Cartier 除子是闭子概形 \(D \subset S\)，使得每个点 \(d\in D\) 都有 \(S\) 中的仿射开邻域

   \(\Spec(A) = U \subset S\)，并且 \(D \cap U = \Spec(A/(f))\)， 其中 \(f \in A\) 为非零因子。

5. 与 Noether 整概形 \(X\) 的有效 Cartier 除子 \(D \subset X\) 相伴的 Weil 除子 \([D]\)定义为和 \(\Sigma v_Z(D)[Z]\)，其中 \(v_Z(D)\) 定义如下：

   1. 若 \(Z\) 的泛点 \(\xi\) 不属于 \(D\)，则 \(v_Z(D) = 0\)。

   2. 若 \(Z\) 的泛点 \(\xi\) 属于 \(D\)，则 \[v_Z(D) = \text{length}_{{\mathcal O}_{X, Z}}({\mathcal O}_{X, Z}/(f))\] 其中 \(f \in {\mathcal O}_{X, Z} = {\mathcal O}_{X, \xi}\) 是在 \(\xi\) 的某个仿射邻域中定义 \(D\) 的非零因子 （如上面的（4））。

6. 设 \(S\) 为概形。全商环层 \({\mathcal K}_S\)是 \({\mathcal O}_S\)-代数层，它是如下预层 \({\mathcal K}'\) 的层化。 对开集 \(U \subset S\)，令 \({\mathcal K}'(U) = S_U^{-1}{\mathcal O}_S(U)\)，其中 \(S_U \subset {\mathcal O}_S(U)\) 是由如下截面组成的乘法子集： \(f \in {\mathcal O}_S(U)\)，且对每个 \(u\in U\)，\(f\) 在 \({\mathcal O}_{S, u}\) 中的芽都是非零因子。 特别地，\(S_U\) 的元素全都是非零因子。因此 \({\mathcal O}_S\) 是 \({\mathcal K}_S\) 的子层，并得到短正合列 \[0 \to {\mathcal O}_S^\ast \to {\mathcal K}_S^\ast \to {\mathcal K}_S^\ast/{\mathcal O}_S^\ast \to 0.\]

7. 概形 \(S\) 上的一个Cartier 除子是商层 \({\mathcal K}_S^\ast/{\mathcal O}_S^\ast\) 的整体截面。

8. 在 Noether 整概形 \(X\) 上，与 Cartier 除子 \(\tau \in \Gamma(X, {\mathcal K}_X^\ast/{\mathcal O}_X^\ast)\) 相伴的 Weil 除子是和 \(\Sigma v_Z(\tau)[Z]\)，其中

   \(v_Z(\tau)\) 按下列步骤定义：

   1. 若 \(\tau\) 在 \(Z\) 的泛点 \(\xi\) 处的芽为零——换言之， \(\tau\) 在茎 \(({\mathcal K}^\ast/{\mathcal O}^\ast)_\xi\) 中的像 为“零”——则 \(v_Z(\tau) = 0\)。

   2. 找出仿射开邻域 \(\Spec(A) = U \subset X\)，使 \(\tau|_U\) 是某个截面 \(f \in {\mathcal K}(U)\) 的像， 而且 \(f = a/b\)，其中 \(a, b \in A\)。然后令 \[v_Z(f) = \text{length}_{{\mathcal O}_{X, Z}}({\mathcal O}_{X, Z}/(a)) - \text{length}_{{\mathcal O}_{X, Z}}({\mathcal O}_{X, Z}/(b)).\]

注

下面是一些简单的说明。

1. 在 Noether 整概形 \(X\) 上，层 \({\mathcal K}_X\) 是取值为 函数域 \(K(X)\) 的常层。

2. 为使上述定义有意义，需要证明：对一维 Noether 局部整环 \({\mathcal O}\) 的任意一对非零元素 \((a, b)\)，有 \[\text{length}_{\mathcal O}({\mathcal O}/(ab)) = \text{length}_{\mathcal O}({\mathcal O}/(a)) + \text{length}_{\mathcal O}({\mathcal O}/(b))\] 这将在讲课中完成。

练习

（在任意概形上。）描述如何给一个有效 Cartier 除子指派 一个 Cartier 除子。

练习

（在整概形上。）描述如何给有理函数 \(f\) 指派 Cartier 除子 \(D\)，使与 \(D\) 相伴的 Weil 除子和与 \(f\) 相伴的 Weil 除子相同。 （这很显然。）

练习

给出簇上的 Weil 除子的例子，使它不是与任何 Cartier 除子相伴的 Weil 除子。

练习

给出簇上的 Weil 除子 \(D\) 的例子，使它不是与任何 Cartier 除子 相伴的 Weil 除子，但对某个 \(n > 1\)，\(nD\) 是与一个 Cartier 除子相伴的 Weil 除子。

练习

给出簇上的 Weil 除子 \(D\) 的例子，使它不是与任何 Cartier 除子 相伴的 Weil 除子，并且对任意 \(n > 1\)，\(nD\) 都不是与任何 Cartier 除子相伴的 Weil 除子。 （提示：考虑一个锥，例如 \(\mathbf{A}^4_k\) 中的 \(X : xy - zw = 0\)。试着证明 \(D = [x = 0, z = 0]\) 可行。）

练习

在域上有限型分离概形 \(X\) 上： 给出一个 Cartier 除子，使它不能写成两个有效 Cartier 除子的差。 提示：找一个没有任何非空有效 Cartier 除子的 \(X\)，例如 [H, III Exercise 5.9] 中构造的概形。 甚至有 \(X\) 为簇的例子——即练习 02AS 中的簇。

练习

非射影真簇的例子。设 \(k\) 为域。设 \(L \subset \mathbf{P}^3_k\) 为直线，\(C \subset \mathbf{P}^3_k\) 为非奇异二次曲线。 假设 \(C \cap L = \emptyset\)。选取同构 \(\varphi : L \to C\)。 令 \(X\) 为通过 \(\varphi\) 将 \(C\) 与 \(L\) 粘合所得的 \(k\)-簇。 换言之，存在满的真双有理态射 \[\pi : \mathbf{P}^3_k \longrightarrow X\] 以及开集 \(U \subset X\)，使 \(\pi : \pi^{-1}(U) \to U\) 是同构， \(\pi^{-1}(U) = \mathbf{P}^3_k \setminus (L \cup C)\)， 且 \(\pi|_L = \pi|_C \circ \varphi\)。 （这些条件尚不能唯一确定 \(X\)。为此还需指定 \(X\) 在 \(Z = X \setminus U\) 的点处的结构层。） 证明 \(X\) 存在、是真簇，但不是射影的。 （提示：存在性使用练习 02A5 的结论； 非射影性使用 \(\Pic(\mathbf{P}^3_k) = \mathbf{Z}\)，证明 \(X\) 不可能有充足可逆层。）

微分

定义与结果。Kähler 微分。

1. 设 \(R \to A\) 为环映射。\(A\) 在 \(R\) 上的 Kähler 微分模记作 \(\Omega_{A/R}\)。 它由元素 \(\text{d}a\)（\(a \in A\)）生成，并满足关系： \[\text{d}(a_1 + a_2) = \text{d}a_1 + \text{d}a_2,\quad \text{d}(a_1a_2) = a_1\text{d}a_2 + a_2\text{d}a_1,\quad \text{d}r = 0\] 典范泛 \(R\)-导子 \(\text{d} : A \to \Omega_{A/R}\) 把 \(a\mapsto \text{d}a\)。

2. 考虑定义理想 \(I\) 的短正合列 \[0 \to I \to A \otimes_R A \to A \to 0\] 存在典范导子 \(\text{d} : A \to I/I^2\)，把 \(a\) 映到 \(a \otimes 1 - 1 \otimes a\) 的类。这给出了 \(A\) 在 \(R\) 上的 微分模的另一种表示，换言之， \[(I/I^2, \text{d}) \cong (\Omega_{A/R}, \text{d}).\]

3. 对满足 \(S_R \subset R\) 的像包含在 \(S_A \subset A\) 中的 乘法子集 \(S_R\)、\(S_A\)，有 \[\Omega_{S_A^{-1}A / S_R^{-1}R} = S_A^{-1}\Omega_{A/R}.\]

4. 若 \(A\) 是有限表现 \(R\)-代数，则 \(\Omega_{A/R}\) 是有限表现 \(A\)-模。因此，在这种情形下，\(\Omega_{A/R}\) 的 Fitting 理想有定义。

5. 设 \(f : X \to S\) 为概形态射。存在拟凝聚 \({\mathcal O}_X\)-模层 \(\Omega_{X/S}\) 以及

   \({\mathcal O}_S\)-线性导子 \[\text{d} : {\mathcal O}_X \longrightarrow \Omega_{X/S}\] 使得对满足 \(f(U) \subset V\) 的任意仿射开集 \(\Spec(A) = U \subset X\)、\(\Spec(R) = V \subset S\)， 都有 \[\Gamma(\Spec(A), \Omega_{X/S}) = \Omega_{A/R}\] 并且与 \(\text{d}\) 相容。

练习

设 \(k[\epsilon]\) 为域 \(k\) 上的对偶数环，即 \(\epsilon^2 = 0\)。

1. 考虑环映射 \[R = k[\epsilon] \to A = k[x, \epsilon]/(\epsilon x)\] 证明 \(\Omega_{A/R}\) 的 Fitting 理想为 （从第零 Fitting 理想开始） \[(\epsilon), A, A, \ldots\]

2. 考虑映射 \(R = k[t] \to A = k[x, y, t]/(x(y-t)(y-1), x(x-t))\)。 证明 \(\Omega_{A/R}\) 在 \(A\) 中的 Fitting 理想为 （为简单起见，假设 \(k\) 的特征为零） \[x(2x-t)(2y-t-1)A, \ (x, y, t)\cap (x, y-1, t), \ A, \ A, \ldots\]

   因此，第 \(0\)-个 Fitting 理想由 \(A\) 的单个元素切出， 第 \(1\) 个 Fitting 理想定义 \(\Spec(A)\) 的两个闭点， 其余理想全都平凡。

3. 考虑映射 \(R = k[t] \to A = k[x, y, t]/(xy-t^n)\)。 计算 \(\Omega_{A/R}\) 的 Fitting 理想。

注

\(\Omega_{X/S}\) 的第 \(k\) 个 Fitting 理想常用于定义态射 \(X \to S\) 的奇异概形，其中 \(X\) 在 \(S\) 上的相对维数为 \(k\)。

但正如（a）表明的，当族的纤维维数不是“常数”（例如它不平坦）时， 这样做必须小心。正如（b）表明的，平坦性也不保证这种做法有效 （而且，这确实是一个平坦族）。在“良好情形”中——例如（c）—— 对于曲线族，我们期望第 \(0\) 个 Fitting 理想为零，而第 \(1\) 个 Fitting 理想在概形论意义下定义奇异轨迹。

练习

假设 \(R\) 是环且 \[A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n).\] 注意，我们假设 \(A\) 的表示中方程数与变量数相同。因此偏导矩阵 \[( \partial f_i / \partial x_j )\] 是 \(n \times n\) 矩阵，即方阵。假设其行列式作为 \(A\) 的元素可逆。 注意，在有 \(n\) 个生成元与 \(n\) 个关系的本情形中，这恰好是条件 \(\Omega_{A/R} = (0)\)。设 \(\pi : B' \to B\) 为 \(R\)-代数的满射， 其核 \(J\) 的平方为零（作为 \(B'\) 的理想）。 设 \(\varphi : A \to B\) 为 \(R\)-代数同态。 证明存在唯一的 \(R\)-代数同态 \(\varphi' : A \to B'\)， 使得 \(\varphi = \pi \circ \varphi'\)。

练习

把练习 02FE 的结论推广到 \(A = R[x, y]/(f)\) 的情形。

练习

设 \(k\) 为域， \(f_1, \ldots, f_c \in k[x_1, \ldots, x_n]\)，并令 \(A = k[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\)。 假设 \(f_j(0, \ldots, 0) = 0\)。这意味着 \(\mathfrak m = (x_1, \ldots, x_n)A\) 是极大理想。 证明：若矩阵 \[(\partial f_j/ \partial x_i)|_{(x_1, \ldots, x_n) = (0, \ldots, 0)}\] 的秩为 \(c\)，则局部环 \(A_\mathfrak m\) 正则。 在这种情形下，\(A_\mathfrak m\) 的维数是多少？ 给出 \(A_\mathfrak m\) 正则但上述秩小于 \(c\) 的例子， 以证明逆命题为假；在你的例子中，\(A_\mathfrak m\) 的维数是多少？

概形，2007 年秋季期末考试

这些是哥伦比亚大学 2007 年春季一门概形课程的期末考试题。

练习

给出下列概念的定义。

1. \(X\) 是概形

2. 概形态射 \(f : X \to Y\) 是有限的

3. 概形态射 \(f : X \to Y\) 是有限型的

4. 概形 \(X\) 是Noether 的

5. 概形 \(X\) 上的 \({\mathcal O}_X\)-模 \({\mathcal L}\) 是 可逆的

6. 代数闭域上非奇异射影曲线的亏格

练习

设 \(X = \Spec({\mathbf Z}[x, y])\)，并设 \({\mathcal F}\) 为拟凝聚 \({\mathcal O}_X\)-模。假设 \({\mathcal F}\) 限制到标准仿射开集 \(D(x)\) 后为零。

1. 证明 \({\mathcal F}\) 的每个整体截面 \(s\) 都被 \(x\) 的某个幂 消去，即对某个 \(n\in {\mathbf N}\) 有 \(x^ns = 0\)。

2. 若不假设 \({\mathcal F}\) 拟凝聚，你认为同一结论仍成立吗？

练习

假设 \(X \to \Spec(R)\) 是真态射，\(R\) 是剩余域为 \(k\) 的离散赋值环。 假设 \(X \times_{\Spec(R)} \Spec(k)\) 是空概形。 证明 \(X\) 是空概形。

练习

考虑复数域 \({\mathbf C}\) 上的射影⁴簇 \[{\mathbf P}^1 \times {\mathbf P}^1 = {\mathbf P}^1_{{\mathbf C}} \times_{\Spec({\mathbf C})} {\mathbf P}^1_{\mathbf C}\] 它被四个仿射块覆盖，分别对应于 \({\mathbf P}^1_{\mathbf C}\) 两个因子的标准仿射块对。例如，在第一个因子上使用齐次坐标 \(X_0, X_1\)，在第二个因子上使用 \(Y_0, Y_1\)。 令 \(x = X_1/X_0\)、\(y = Y_1/Y_0\)。则四个仿射开块是下列环的谱： \[{\mathbf C}[x, y], \quad {\mathbf C}[x^{-1}, y], \quad {\mathbf C}[x, y^{-1}], \quad {\mathbf C}[x^{-1}, y^{-1}].\] 设 \(X \subset {\mathbf P}^1 \times {\mathbf P}^1\) 为闭子概形， 它是第一个仿射块中由方程 \[y^3(x^4 + 1) = x^4 -1.\] 给出的闭子集的闭包。

1. 证明 \(X\) 包含在四个仿射开块中第一个与最后一个的并中。

2. 证明 \(X\) 是非奇异射影曲线。

3. 考虑态射 \(pr_2 : X \to {\mathbf P}^1\)（到第一个因子的投影）。 在第一个仿射块上，它是映射 \((x, y) \mapsto x\)。 简要说明为何它的次数为 \(3\)。

4. 计算映射 \(pr_2 : X \to {\mathbf P}^1\) 的分歧点与分歧指数。

5. 计算 \(X\) 的亏格。

练习

设 \(X \to \Spec({\mathbf Z})\) 为有限型态射。 假设有无穷多个素数 \(p\)，使得 \(X \times_{\Spec({\mathbf Z})} \Spec({\mathbf F}_p)\) 非空。

1. 证明 \(X \times_{\Spec({\mathbf Z})}\Spec(\mathbf{Q})\) 非空。

2. 若把“有限型”条件换成“局部有限型”条件，你认为同一结论仍成立吗？

概形，2009 年春季期末考试

这些是哥伦比亚大学 2009 年春季一门概形课程的期末考试题。

练习

设 \(X\) 为 Noether 概形，\(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的凝聚层， \(x \in X\) 为一点。假设 \(\text{Supp}(\mathcal{F}) = \{ x \}\)。

1. 证明 \(x\) 是 \(X\) 的闭点。

2. 证明 \(H^0(X, \mathcal{F})\) 非零。

3. 证明 \(\mathcal{F}\) 由整体截面生成。

4. 证明对 \(p > 0\)，\(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\)。

注

设 \(k\) 为域，并令 \(\mathbf{P}^2_k = \text{Proj}(k[X_0, X_1, X_2])\)。 \(\mathbf{P}^2_k\) 上的任意可逆层都同构于某个 \(n \in \mathbf{Z}\) 所对应的 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(n)\)。回顾 \[\Gamma(\mathbf{P}^2_k, \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(n)) = k[X_0, X_1, X_2]_n\] 是多项式环的次数 \(n\) 部分。对 \(\mathbf{P}^2_k\) 上的拟凝聚层 \(\mathcal{F}\)，照例令 \(\mathcal{F}(n) = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(n)\)。

练习

设 \(k\) 为域。设 \(\mathcal{E}\) 为 \(\mathbf{P}^2_k\) 上的向量丛， 即有限局部自由 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}\)-模。

若 \(\mathcal{E}\) 同构于可逆 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}\)-模的直和，则称 \(\mathcal{E}\) 分裂。

1. 证明 \(\mathcal{E}\) 分裂当且仅当 \(\mathcal{E}(n)\) 分裂。

2. 证明若 \(\mathcal{E}\) 分裂，则对所有 \(n \in \mathbf{Z}\)， \(H^1({\mathbf{P}^2_k}, \mathcal{E}(n)) = 0\)。

3. 设 \[\varphi : \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k} \longrightarrow \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(1) \oplus \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(1) \oplus \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(1)\] 由线性形式 \(L_0, L_1, L_2 \in \Gamma(\mathbf{P}^2_k, \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(1))\) 给出。假设对某个 \(i\) 有 \(L_i \not = 0\)。 \(L_0, L_1, L_2\) 应满足什么条件，才能使 \(\varphi\) 的余核为向量丛？ 为什么？

4. 给出这样的 \(\varphi\) 的例子。

5. 证明 \(\Coker(\varphi)\) 不分裂（若它是向量丛）。

注

可以自由使用下列维数理论事实（若需要，还可自行添加）。

1. 概形的维数是不可约闭子集链长度的上确界。

2. 域上有限型概形的维数是其仿射开集维数的最大值。

3. Noether 概形的维数是其不可约分支维数的最大值。

4. 仿射概形的维数等于对应环的维数。

5. 设 \(k\) 为域，\(A\) 为有限型 \(k\)-代数。

   若 \(A\) 是整环且 \(x \not = 0\)，则 \(\dim(A) = \dim(A/xA) + 1\)。

练习

设 \(k\) 为域，\(X\) 为 \(k\) 上射影既约概形。 设 \(f : X \to \mathbf{P}^1_k\) 为 \(k\) 上的概形态射。 假设存在整数 \(d \geq 0\)，使对每个点 \(t \in \mathbf{P}^1_k\)，纤维 \(X_t = f^{-1}(t)\) 都不可约且维数为 \(d\)。（回顾：不可约空间非空。）

1. 证明 \(\dim(X) = d + 1\)。

2. 设 \(X_0 \subset X\) 为 \(X\) 的一个维数为 \(d + 1\) 的不可约分支。证明对每个 \(t \in \mathbf{P}^1_k\)， 纤维 \(X_{0, t}\) 的维数为 \(d\)。

3. 由上面各项，关于 \(X_t\) 与 \(X_{0, t}\) 能得出什么结论？

4. 证明 \(X\) 不可约。

注

给定域 \(k\) 上的射影概形 \(X\) 以及 \(X\) 上的凝聚层 \(\mathcal{F}\)，令 \[\chi(X, \mathcal{F}) = \sum\nolimits_{i \geq 0} (-1)^i\dim_k H^i(X, \mathcal{F}).\]

练习

设 \(k\) 为域。写 \(\mathbf{P}^3_k = \text{Proj}(k[X_0, X_1, X_2, X_3])\)。 设 \(C \subset \mathbf{P}^3_k\) 为 \((5, 6)\) 型完全交曲线。这意味着存在 \(F \in k[X_0, X_1, X_2, X_3]_5\) 与 \(G \in k[X_0, X_1, X_2, X_3]_6\)，使 \[C = \text{Proj}(k[X_0, X_1, X_2, X_3]/(F, G))\] 是维数为 \(1\) 的簇。（簇意味着既约且不可约，但若愿意， 可以直接假设 \(C\) 非奇异。） 令 \(i : C \to \mathbf{P}^3_k\) 为相应的闭浸入。 完全交还意味着 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{O}_{\mathbf{P}^3_k}(-11) \ar[r]^-{ \left( \begin{matrix} -G \\ F \end{matrix} \right) } & \mathcal{O}_{\mathbf{P}^3_k}(-5) \oplus \mathcal{O}_{\mathbf{P}^3_k}(-6) \ar[r]^-{(F, G)} & \mathcal{O}_{\mathbf{P}^3_k} \ar[r] & i_*\mathcal{O}_C \ar[r] & 0 }\] 是层的正合列。请使用这些事实：

1. 对任意 \(n \in \mathbf{Z}\) 计算 \(\chi(C, i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^3_k}(n))\)；

2. 计算 \(H^1(C, \mathcal{O}_C)\) 的维数。

练习

设 \(k\) 为域。考虑环 \[\begin{align*} A & = k[x, y]/(xy) \\ B & = k[u, v]/(uv) \\ C & = k[t, t^{-1}] \times k[s, s^{-1}] \end{align*}\] 以及 \(k\)-代数映射 \[\begin{matrix} A \longrightarrow C, & x \mapsto (t, 0), & y \mapsto (0, s) \\ B \longrightarrow C, & u \mapsto (t^{-1}, 0), & v \mapsto (0, s^{-1}) \end{matrix}\] 事实是，这些映射诱导同构 \(A_{x + y} \to C\) 与 \(B_{u + v} \to C\)。因此映射 \(A \to C\) 与 \(B \to C\) 把 \(\Spec(C)\) 分别等同于 \(\Spec(A)\) 与 \(\Spec(B)\) 的开子集。 令 \(X\) 为沿 \(\Spec(C)\) 粘合 \(\Spec(A)\) 与 \(\Spec(B)\) 所得的概形： \[X = \Spec(A) \amalg_{\Spec(C)} \Spec(B).\] 正如课程中所见，这样的概形存在，并有仿射开集 \(\Spec(A) \subset X\) 与 \(\Spec(B) \subset X\)； 它们的交恰好是 \(\Spec(C)\)，通过上述映射与二者各自的一个开集等同。

1. 为什么 \(X\) 分离？

2. 为什么 \(X\) 在 \(k\) 上有限型？

3. 计算 \(H^1(X, \mathcal{O}_X)\)，或者说，它的维数是多少？

4. 如何以更几何的方式描述 \(X\)？

概形，2010 年秋季期末考试

这些是哥伦比亚大学 2010 年秋季一门概形课程的期末考试题。

练习

给出下列概念的定义。

1. 分离概形；

2. 概形的拟紧态射；

3. 概形的仿射态射；

4. 环的乘法子集；

5. Noether 概形；

6. 簇。

练习

素理想回避。

1. 设 \(A\) 为环，\(I \subset A\) 为理想，并设 \(\mathfrak q_1\)、\(\mathfrak q_2\) 为满足 \(I \not \subset \mathfrak q_i\) 的素理想。 证明 \(I \not \subset \mathfrak q_1 \cup \mathfrak q_2\)。

2. （1）的几何解释是什么？

3. 设 \(X = \text{Proj}(S)\)，其中 \(S\) 为某个分次环。 设 \(x_1, x_2 \in X\)。证明存在同时包含 \(x_1\) 与 \(x_2\) 的标准开集 \(D_{+}(F)\)。

练习

为什么仿射态射的复合仍是仿射态射？

练习

给出下列对象的例子：

1. 域 \(k\) 上的可约射影概形；

2. 具有 100 个点的概形；

3. 概形的非仿射态射。

练习

Chevalley 定理与 Hilbert 零点定理。

1. 设 \(\mathfrak p \subset \mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n]\) 为极大理想。Chevalley 定理对 \(\mathfrak p \cap \mathbf{Z}\) 蕴含什么？

2. 进而，Hilbert 零点定理对 \(\kappa(\mathfrak p)\) 蕴含什么？

练习

设 \(A\) 为环。令 \(S = A[X]\)，把它看成分次 \(A\)-代数， 其中 \(X\) 的次数为 \(1\)。证明 \(\text{Proj}(S) \cong \Spec(A)\)（作为 \(A\) 上的概形）。

练习

设 \(A \to B\) 为有限环映射。 证明 \(\Spec(B)\) 是 \(\Spec(A)\) 上的 H-射影概形。

练习

给出域 \(k\) 上概形 \(X\) 的例子，使 \(X\) 不可约， 但对某个有限扩张 \(k'/k\)，基变换 \(X_{k'} = X \times_{\Spec(k)} \Spec(k')\) 连通但可约。

概形，2011 年春季期末考试

这些是哥伦比亚大学 2011 年春季一门概形课程的期末考试题。

练习

给出斜体概念的定义。

1. 分离概形；

2. 概形的普遍闭态射；

3. 对包含在同一个域中的局部环 \(A, B\)，所谓 \(A\) 控制 \(B\)；

4. 概形 \(X\) 的维数；

5. 概形 \(X\) 的不可约闭子概形 \(Y\) 的余维数。

练习

陈述某个与课程中讨论的事实形式等价的命题。

1. 例如，簇的态射 \(X \to Y\) 的真性赋值判别法。

2. 对域 \(k\) 上的簇 \(X\)，\(\dim(X)\) 与 \(X\) 的函数域 \(k(X)\) 之间的关系。

3. 填空：\(k\) 上非奇异射影曲线与非常值态射的范畴， 反等价于 \(\ldots\ldots\ldots\)。

4. Noether 正规化。

5. Jacobian 判别法。

练习

设 \(k\) 为域。设 \(F \in k[X_0, X_1, X_2]\) 为次数 \(d\) 的齐次形式。 假设 \(C = V_{+}(F) \subset \mathbf{P}^2_k\) 是 \(k\) 上的光滑曲线。

记 \(i : C \to \mathbf{P}^2_k\) 为相应的闭浸入。

1. 证明 \(\mathbf{P}^2_k\) 上存在凝聚层的短正合列 \[0 \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(-d) \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k} \to i_*\mathcal{O}_C \to 0\] 请说明映射是什么，并简要说明为何该列正合。

2. 推出 \(H^0(C, \mathcal{O}_C) = k\)。

3. 计算 \(C\) 的亏格。

4. 现在假设 \(P = (0 : 0 : 1)\) 不在 \(C\) 上。 证明由 \((a_0 : a_1 : a_2) \mapsto (a_0 : a_1)\) 给出的 \(\pi : C \to \mathbf{P}^1_k\) 的次数为 \(d\)。

5. 假设 \(k\) 代数闭，所有分歧指数（“\(e_i\)”）均为 \(1\) 或 \(2\)，且 \(k\) 的特征不等于 \(2\)。 \(\pi : C \to \mathbf{P}^1_k\) 有多少个分歧点？

6. 用 \(F\) 表示，你认为 \(\pi\) 的分歧点集合的一组方程是什么？

7. 你能猜出 \(K_C\) 吗？

练习

设 \(k\) 为域。设 \(X\) 为 \(k\) 上的一个“三角形”，即取三份 \(\mathbf{A}^1_k\)，把第一份的 \(0\) 与第二份的 \(1\) 粘合， 第二份的 \(0\) 与第三份的 \(1\) 粘合，再把第三份的 \(0\) 与第一份的 \(1\) 粘合，从而得到 \(X\)。事实证明， \(X\) 同构于 \(\Spec(k[x, y]/(xy(x + y + 1)))\)；可以直接使用这一点。 计算 \(X\) 的 Picard 群。

练习

设 \(k\) 为域。设 \(\pi : X \to Y\) 为曲线的有限双有理态射， 其中 \(X\) 是 \(k\) 上的射影非奇异曲线。 由课程内容可知，\(Y\) 是真曲线，\(\pi\) 是 \(Y\) 的正规化态射。 课程中还已看到，存在稠密开集 \(V \subset Y\)，使 \(U = \pi^{-1}(V)\) 是 \(X\) 中的稠密开集，且 \(\pi : U \to V\) 是同构。

1. 证明存在有效 Cartier 除子 \(D \subset X\)，使 \(D \subset U\)，并且 \(\mathcal{O}_X(D)\) 在 \(X\) 上充足。

2. 设 \(D\) 如（1）。证明 \(E = \pi(D)\) 是 \(Y\) 上的有效 Cartier 除子。

3. 简要说明为何：

   1. 映射 \(\mathcal{O}_Y \to \pi_*\mathcal{O}_X\) 有凝聚余核 \(Q\)，且它支撑在 \(Y \setminus V\) 上；

   2. 对每个 \(n\)，都有相应映射 \(\mathcal{O}_Y(nE) \to \pi_*\mathcal{O}_X(nD)\)， 其余核同构于 \(Q\)。

4. 证明 \(\dim_k H^0(X, \mathcal{O}_X(nD)) - \dim_k H^0(Y, \mathcal{O}_Y(nE))\) 有界（被什么量所界？），并推出当 \(n\) 很大时，可逆层 \(\mathcal{O}_Y(nE)\) 有许多截面（为什么？）。

概形，2011 年秋季期末考试

这些是哥伦比亚大学 2011 年秋季一门交换代数课程的期末考试题。

练习

给出斜体概念的定义。

1. Noether 环；

2. Noether 概形；

3. 有限环同态；

4. 概形的有限态射；

5. 环的维数。

练习

陈述某个与课程中讨论的事实形式等价的命题。

1. Zariski 主定理。

2. Noether 正规化。

3. 中国剩余定理。

4. 有限环映射的上升定理。

练习

设 \((A, \mathfrak m, \kappa)\) 为 Noether 局部环， 其剩余域的特征不为 \(2\)。 假设 \(\mathfrak m\) 由三个元素 \(x, y, z\) 生成， 并且在 \(A\) 中 \(x^2 + y^2 + z^2 = 0\)。

1. \(\dim(A)\) 的可能取值是什么？

2. 给出例子，说明每个取值都可能出现。

3. 证明若 \(\dim(A) = 2\)，则 \(A\) 是整环。 （提示：考察 \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathfrak m^n/\mathfrak m^{n + 1}\)。）

练习

设 \(A\) 为环，\(S \subset T \subset A\) 为乘法子集。假设 \[\{\mathfrak q \mid \mathfrak q \cap S = \emptyset\} = \{\mathfrak q \mid \mathfrak q \cap T = \emptyset\}.\] 证明 \(S^{-1}A \to T^{-1}A\) 是同构。

练习

设 \(k\) 为代数闭域。令 \[V_0 = \{ A \in \text{Mat}(3 \times 3, k) \mid \text{rank}(A) = 1\} \subset \text{Mat}(3 \times 3, k) = k^9.\]

1. 证明 \(V_0\) 是某个（Zariski）局部闭子集 \(V \subset \mathbf{A}^9_k\) 的闭点集合。

2. \(V\) 不可约吗？

3. \(\dim(V)\) 是多少？

练习

证明 \(\mathbf{C}[x, y]\) 中的理想 \((x^2, xy, y^2)\) 不能由 \(2\) 个元素生成。

练习

设 \(f \in \mathbf{C}[x, y]\) 为非常值多项式。 证明对某些 \(\alpha, \beta \in \mathbf{C}\)，\(\mathbf{C}\)-代数映射 \[\mathbf{C}[t] \longrightarrow \mathbf{C}[x, y]/(f),\quad t \longmapsto \alpha x + \beta y\] 是有限的。

练习

证明：给定有限多个点 \(p_1, \ldots, p_n \in \mathbf{C}^2\)，概形 \(\mathbf{A}^2_\mathbf{C} \setminus \{p_1, \ldots, p_n\}\) 是两个仿射开集的并。

练习

证明存在概形的满态射 \(\mathbf{A}^1_\mathbf{C} \to \mathbf{P}^1_\mathbf{C}\)。 （“满”仅表示在底层点集上为满射。）

练习

设 \(k\) 为代数闭域，\(A \subset B\) 为整环扩张，并且二者都是 有限型 \(k\)-代数。用下列步骤证明 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) 的像包含 \(\Spec(A)\) 的一个非空开子集：

1. 当 \(A \to B\) 还是有限映射时证明该结论。

2. 当 \(B\) 的分式域是 \(A\) 的分式域的有限扩张时证明该结论。

3. 把命题归约到前一种情形。

概形，2013 年秋季期末考试

这些是哥伦比亚大学 2013 年秋季一门交换代数课程的期末考试题。

练习

给出斜体概念的定义。

1. 环的根理想；

2. 有限型环同态；

3. Weil 式微分；

4. 概形。

练习

陈述某个与课程中讨论的事实形式等价的命题。

1. 关于分次模的 Hilbert 多项式的结果。

2. Noether 局部环 \((R, \mathfrak m)\) 的维数与 \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathfrak m^n/\mathfrak m^{n + 1}\)。

3. Riemann–Roch 定理。

4. Clifford 定理。

5. Chevalley 定理。

练习

设 \(A \to B\) 为环映射，\(S \subset A\) 为乘法子集。 假设 \(A \to B\) 有限型，并且 \(S^{-1}A \to S^{-1}B\) 为满射。证明存在 \(f \in S\)， 使 \(A_f \to B_f\) 为满射。

练习

给出局部环的单射局部同态 \(A \to B\) 的例子，使得 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) 不满。

情形

设 \(k\) 为代数闭域。设 \(F(X_0, X_1, X_2) \in k[X_0, X_1, X_2]\) 为次数 \(d\) 的 齐次不可约多项式。令 \[D = V(F) \subset \mathbf{P}^2\] 为 \(F\) 的零点所给出的射影平面曲线。

令 \(x = X_1/X_0\)、\(y = X_2/X_0\)，并令 \(f(x, y) = X_0^{-d}F(X_0, X_1, X_2) = F(1, x, y)\)。

用 \(K\) 表示整环 \(k[x, y]/(f)\) 的分式域。 令 \(C\) 为与 \(K\) 对应的抽象曲线。 回顾（来自讲课）：存在满映射 \(C \to D\)，它在 \(D\) 的非奇异轨迹上 为双射，并且当 \(D\) 非奇异时为同构。 令 \(f_x = \partial f/\partial x\)、\(f_y = \partial f/\partial y\)。 最后，用 \(\omega = \text{d}x/f_y = - \text{d}y/f_x\) 表示讲课中讨论的 \(\Omega_{K/k}\) 的元素。用 \(K_C\) 表示 \(\omega\) 的零点与极点除子。

练习

在情形 09U0 中，假设 \(d \geq 3\)， 且曲线 \(D\) 恰有一个奇点，即 \(P = (1 : 0 : 0)\)。 进一步假设在 \(P = (0, 0)\) 附近有展开式 \[f(x, y) = xy + h.o.t\] 则 \(C\) 在 \(P\) 上方有两个点 \(v\) 与 \(w\)，由下式刻画： \[v(x) = 1, v(y) > 1 \quad\text{且}\quad w(x) > 1, w(y) = 1\]

1. 证明 \(\Omega_{K/k}\) 的元素 \(\omega = \text{d}x/f_y = - \text{d}y/f_x\) 在 \(v\) 与 \(w\) 处都有一阶极点。 （\(\omega\) 在非奇异点处的行为如讲课中所述。）

2. 讲课中已证明，\(\omega\) 在通过映射 \(C \to D\) 拉回到 \(C\) 的除子 \(X_0 = 0\) 处消失至 \(d - 3\) 阶。 结合（1）的信息，\(C\) 上 \(\omega\) 的零点与极点除子的次数是多少？

3. 曲线 \(C\) 的亏格是多少？

练习

在情形 09U0 中，假设 \(d = 5\)， 且曲线 \(C = D\) 非奇异。讲课中已证明 \(C\) 的亏格为 \(6\)， 而线性系 \(K_C\) 由 \[L(K_C) = \{h\omega \mid h \in k[x, y],\ \deg(h) \leq 2\}\] 给出，其中 \(\deg\) 表示总次数⁵。 设 \(P_1, P_2, P_3, P_4, P_5 \in D\) 为位于仿射开集 \(X_0 \not = 0\) 中的两两不同的点。 用 \(\sum P_i = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 + P_5\) 表示 \(C\) 的相应除子。

1. 用多项式描述 \(L(K_C - \sum P_i)\)。

2. \(l(\sum P_i)\) 有哪些可能值？

练习

写出情形 09U0 中的一个 \(F\)， 使 \(d = 100\) 且 \(C\) 的亏格为 \(0\)。

练习

设 \(k\) 为代数闭域。设 \(K/k\) 为超越次数 \(1\) 的有限生成域扩张。

令 \(C\) 为与 \(K\) 对应的抽象曲线。设 \(V \subset K\) 为一个 \(g^r_d\)，\(\Phi : C \to \mathbf{P}^r\) 为相应态射。 证明：若 \(V\) 是完备线性系，且 \(d\) 相对于 \(C\) 的亏格足够大， 则 \(C\) 的像包含在某个二次超曲面中⁶。（加分题：给出所需次数的良好界。）

练习

记号如情形 09U0。 设 \(U \subset \mathbf{P}^2_k\) 为补集是 \(D\) 的开子概形。 描述 \(k\)-代数 \(A = \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(U)\)。 给出 \(A\) 作为 \(k\)-代数的生成元个数的上界。

概形，2014 年春季期末考试

这些是哥伦比亚大学 2014 年春季一门概形课程的期末考试题。

练习

设 \((X, \mathcal{O}_X)\) 为概形。给出斜体概念的定义。

1. \(X\) 在点 \(x\) 处的局部环；

2. \(\mathcal{O}_X\)-模的拟凝聚层；

3. \(\mathcal{O}_X\)-模的凝聚层（请假设 \(X\) 局部 Noether；

4. \(X\) 的仿射开集；

5. 概形的有限态射 \(X \to Y\)。

练习

对每一项，精确陈述讲课中讨论的一个相关非平凡事实。

1. 关于簇的多重亏格的双有理不变性；

2. 仿射态射是局部性质；

3. 态射的概形论纤维的拓扑；

4. 真性赋值判别法。

练习

设 \(X = \mathbf{A}^2_\mathbf{C}\)，其中 \(\mathbf{C}\) 为复数域。 所谓直线，是指由一个线性方程 \(ax + by + c = 0\) 定义的 \(X\) 的闭子概形，其中 \(a, b, c \in \mathbf{C}\) 且 \((a, b) \not = (0, 0)\)。 所谓曲线，是指维数为 \(1\) 的不可约（因而非空）闭子概形 \(C \subset X\)。所谓二次曲线，是指由一个二次方程 \(ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0\) 定义的曲线，其中 \(a, b, c, d, e, f \in \mathbf{C}\) 且 \((a, b, c) \not = (0, 0, 0)\)。

1. 找一条曲线 \(C\)，使每条直线都与 \(C\) 有非空交。

2. 找一条曲线 \(C\)，使每条直线与每条二次曲线都与 \(C\) 有非空交。

3. 证明对每条曲线 \(C\)，都存在另一条曲线，使 \(C \cap C' = \emptyset\)。

练习

设 \(k\) 为域。设 \(b : X \to \mathbf{A}^2_k\) 为仿射平面在原点处的爆破。 换言之，若 \(\mathbf{A}^2_k = \Spec(k[x, y])\)，则 \(X = \text{Proj}(\bigoplus_{n \geq 0} \mathfrak m^n)\)， 其中 \(\mathfrak m = (x, y) \subset k[x, y]\)。 证明下列命题：

1. \(b\) 在原点上的概形论纤维 \(E\) 同构于 \(\mathbf{P}^1_k\)；

2. \(E\) 是 \(X\) 上的有效 Cartier 除子；

3. \(\mathcal{O}_X(-E)\) 限制到 \(E\) 后是次数为 \(1\) 的线丛。

（回顾：\(\mathcal{O}_X(-E)\) 是 \(E\) 在 \(X\) 中的理想层。）

练习

设 \(k\) 为域，\(X\) 为 \(k\) 上的射影簇。 证明存在 \(k\) 上的仿射簇 \(U\) 以及簇的满态射 \(U \to X\)。

练习

设 \(k\) 为特征 \(p > 0\) 且不同于 \(2,3\) 的域。 考虑 \(\mathbf{P}^n_k\) 中由下列方程定义的闭子概形 \(X\)： \[\sum\nolimits_{i = 0, \ldots, n} X_i = 0,\quad \sum\nolimits_{i = 0, \ldots, n} X_i^2 = 0,\quad \sum\nolimits_{i = 0, \ldots, n} X_i^3 = 0\]

对哪些数对 \((n, p)\)，这个簇是奇异的？

交换代数，2016 年秋季期末考试

这些是哥伦比亚大学 2016 年秋季一门交换代数课程的期末考试题。

练习

设 \(R\) 为环。给出斜体概念的定义。

1. \(R\) 在素理想 \(\mathfrak p\) 处的局部环；

2. 有限 \(R\)-模；

3. 有限表现 \(R\)-模；

4. \(R\) 是正则的；

5. \(R\) 是链状的；

6. \(R\) 是Cohen–Macaulay 的。

练习

对每一项，精确陈述讲课中讨论的一个相关非平凡事实。

1. 正则环；

2. Cohen–Macaulay 模的相伴素理想；

3. 域上有限型整环的维数；

4. Chevalley 定理。

练习

设 \(A \to B\) 为满足下列条件的环映射：

1. \(A\) 是极大理想为 \(\mathfrak m\) 的局部环；

2. \(A \to B\) 是有限环映射⁷；

3. \(A \to B\) 是单射（把 \(A\) 看作 \(B\) 的子环）。

证明存在素理想 \(\mathfrak q \subset B\)，使 \(\mathfrak m = A \cap \mathfrak q\)。

练习

设 \(k\) 为域，\(R = k[x, y, z, w]\)。考虑理想 \(I = (xy, xz, xw)\)。\(V(I) \subset \Spec(R)\) 的不可约分支是什么， 其维数分别是多少？

练习

设 \(k\) 为域，\(A = k[x, x^{-1}]\)、\(B = k[y]\)。 证明任意 \(k\)-代数映射 \(\varphi : A \to B\) 都把 \(x\) 映到常数。

练习

考虑环 \(R = \mathbf{Z}[x, y]/(xy - 7)\)。 证明 \(R\) 正则。

给定 Noether 局部环 \((R, \mathfrak m, \kappa)\)，对 \(n \geq 0\) 令 \(\varphi_R(n) = \dim_\kappa(\mathfrak m^n/\mathfrak m^{n + 1})\)。

练习

是否存在 Noether 局部环 \(R\)，使对所有 \(n \geq 0\) 都有 \(\varphi_R(n) = n + 1\)？

练习

设 \(R\) 为 Noether 局部环。假设 \(\varphi_R(0) = 1\)、\(\varphi_R(1) = 3\)、 \(\varphi_R(2) = 5\)。证明 \(\varphi_R(3) \leq 7\)。

概形，2017 年春季期末考试

这些是哥伦比亚大学 2017 年春季一门概形课程的期末考试题。

练习

设 \(f : X \to Y\) 为概形态射。简要给出斜体概念的定义。

1. \(f\) 在 \(y \in Y\) 处的概形论纤维；

2. \(f\) 是有限态射；

3. 拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模；

4. \(X\) 是簇；

5. \(f\) 是光滑态射；

6. \(f\) 是真态射。

练习

对每一项，精确而简要地陈述讲课中讨论的一个相关非平凡事实。

1. 拟凝聚层的前推；

2. 射影簇上凝聚层的上同调；

3. 域上射影概形的 Serre 对偶；

4. Riemann–Hurwitz 公式。

练习

设 \(k\) 为代数闭域。设 \(\ell > 100\) 为不同于 \(k\) 的特征的素数。 设 \(X\) 为仿射曲线 \[y^\ell = x(x - 1)^3\] 在 \(\mathbf{A}^2_k\) 中所给出的非奇异射影模型。回答下列问题：

1. \(X\) 的亏格是多少？

2. 给出 \(X\) 的脉性⁸的一个上界。

练习

设 \(k\) 为代数闭域。设 \(X\) 为 \(k\) 上既约射影概形， 其所有不可约分支的维数都等于 \(1\)。 设 \(\omega_{X/k}\) 为相对对偶模。 证明若 \(\dim_k H^1(X, \omega_{X/k}) > 1\)，则 \(X\) 不连通。

练习

给出概形 \(X\) 与非平凡可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\) 的例子，使 \(H^0(X, \mathcal{L})\) 与 \(H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes -1})\) 均非零。

练习

设 \(k\) 为代数闭域，\(g \geq 3\)。 设 \(X\) 与 \(X'\) 为 \(k\) 上亏格分别为 \(g\) 与 \(g + 1\) 的 光滑射影曲线。设 \(Y \subset X \times X'\) 为曲线，并且投影 \(Y \to X\) 与 \(Y \to X'\) 都不是常值的。 证明 \(Y\) 的非奇异射影模型的亏格 \(\geq 2g + 1\)。

练习

设 \(k\) 为有限域，\(g > 1\)。勾勒下列命题的证明： \(k\) 上亏格为 \(g\) 的光滑射影曲线仅有有限多个同构类。 （即使只是尝试作答也可得分。）

交换代数，2017 年秋季期末考试

这些是哥伦比亚大学 2017 年秋季一门交换代数课程的期末考试题。

练习

简要给出斜体概念的定义。

1. 函子 \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 的左伴随；

2. 域扩张 \(L/K\) 的超越次数；

3. 经典仿射簇 \(X \subset k^n\) 上的正则函数；

4. 拓扑空间上的层；

5. 局部环；

6. 概形态射 \(f : X \to Y\) 是仿射的。

练习

对每一项，精确而简要地陈述讲课中讨论的一个相关非平凡事实 （若不止一个，只需任选其一）。

1. Yoneda 引理；

2. Mayer–Vietoris；

3. 维数与上同调；

4. Hilbert 多项式；

5. 射影空间的对偶性。

练习

设 \(k\) 为代数闭域。考虑带 Zariski 拓扑与坐标 \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\) 的 \(k^5\) 中由方程 \[x_1^2 - x_4 = 0,\quad x_2^5 - x_5 = 0,\quad x_3^2 + x_3 + x_4 + x_5 = 0\] 给出的闭子集 \(X\)。\(X\) 的维数是多少？为什么？

练习

设 \(k\) 为域，\(X = \mathbf{P}^1_k\) 为 \(k\) 上的 \(1\)-维射影空间。 设 \(\mathcal{E}\) 为有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模。 对 \(d \in \mathbf{Z}\)，用 \(\mathcal{E}(d) = \mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(d)\) 表示 \(\mathcal{E}\) 的第 \(d\) 次 Serre 扭曲，并令 \(h^i(X, \mathcal{E}(d)) = \dim_k H^i(X, \mathcal{E}(d))\)。

1. 为什么不存在满足 \(h^0(X, \mathcal{E}) = 5\) 且 \(h^0(X, \mathcal{E}(1)) = 4\) 的 \(\mathcal{E}\)？

2. 为什么不存在满足 \(h^1(X, \mathcal{E}(1)) = 5\) 且 \(h^1(X, \mathcal{E}) = 4\) 的 \(\mathcal{E}\)？

3. 对哪些 \(a \in \mathbf{Z}\)，可能存在 \(X\) 上的向量丛 \(\mathcal{E}\)，使 \[\begin{matrix} h^0(X, \mathcal{E})\phantom{(1)} = 1 & h^1(X, \mathcal{E})\phantom{(1)} = 1 \\ h^0(X, \mathcal{E}(1)) = 2 & h^1(X, \mathcal{E}(1)) = 0 \\ h^0(X, \mathcal{E}(2)) = 4 & h^1(X, \mathcal{E}(2)) = a \end{matrix}\]

欢迎并鼓励不完整的答案。

练习

设拓扑空间 \(X\) 是两个闭子集 \(Y\) 与 \(Z\) 的并 \(X = Y \cup Z\)，其交记为 \(W = Y \cap Z\)。 用 \(i : Y \to X\)、\(j : Z \to X\) 与 \(k : W \to X\) 表示包含映射。

1. 证明存在层的短正合列 \[0 \to \underline{\mathbf{Z}}_X \to i_*(\underline{\mathbf{Z}}_Y) \oplus j_*(\underline{\mathbf{Z}}_Z) \to k_*(\underline{\mathbf{Z}}_W) \to 0\] 其中 \(\underline{\mathbf{Z}}_X\) 表示 \(X\) 上取值为 \(\mathbf{Z}\) 的常层，等等。

2. 关于 \(\mathbf{Z}\)-系数的 \(X\)、\(Y\)、\(Z\)、\(W\) 上同调群之间的关系，能得出什么结论？

练习

设 \(k\) 为域。令 \(A = k[x_1, x_2, x_3, \ldots]\) 为无穷多个变量的 多项式环。用 \(\mathfrak m\) 表示由所有变量生成的 \(A\) 的极大理想。 令 \(X = \Spec(A)\)，\(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\)。

1. 证明 \(H^1(U, \mathcal{O}_U) = 0\)。 提示：作 Čech 上同调计算。

2. 对 \(i \geq 1\)，你猜测 \(H^i(U, \mathcal{O}_U)\) 是什么？

练习

设 \(A\) 为局部环，\(a \in A\) 为非零因子。 设 \(I, J \subset A\) 为满足 \(IJ = (a)\) 的理想。 证明理想 \(I\) 是主理想，即由一个元素生成 （该元素也将是非零因子）。

概形，2018 年春季期末考试

这些是哥伦比亚大学 2018 年春季一门概形课程的期末考试题。

练习

简要给出斜体概念的定义。 设 \(k\) 为代数闭域，\(X\) 为 \(k\) 上的射影曲线。

1. \(k\) 上的光滑代数；

2. \(X\) 上可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模的次数；

3. \(X\) 的亏格；

4. \(X\) 的Weil 除子类群；

5. \(X\) 是超椭圆的；

6. \(k\) 上光滑射影曲面中两条曲线的交数。

练习

对每一项，精确而简要地陈述讲课中讨论的一个相关非平凡事实 （若不止一个，只需任选其一）。

1. Riemann–Hurwitz 定理；

2. Clifford 定理；

3. 光滑射影曲面之间映射的分解；

4. Hodge 指标定理；

5. 有限域上曲线的 Riemann 猜想。

练习

设 \(k\) 为代数闭域。设 \(X \subset \mathbf{P}^3_k\) 为次数 \(d\)、 亏格 \(\geq 2\) 的光滑曲线。假设 \(X\) 不包含在任何平面中， 并且 \(\mathbf{P}^3_k\) 中有一条直线 \(\ell\) 与 \(X\) 交于 \(d - 2\) 个点。证明 \(X\) 是超椭圆曲线。

练习

设 \(k\) 为代数闭域。设 \(X\) 为射影曲线，其两两不同的奇点为 \(p_1, \ldots, p_n\)。说明为何 \(X\) 的正规化的亏格至多为 \(-n + \dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X)\)。

练习

设 \(k\) 为域，\(X = \Spec(k[x, y])\) 为仿射 \(2\)-空间。令 \[I = (x^3, x^2y, xy^2, y^3) \subset k[x, y].\] 令 \(Y \subset X\) 为与 \(I\) 对应的闭子概形。 设 \(b : X' \to X\) 为理想 \((x, y)\) 的爆破，即仿射空间在原点处的 爆破。

1. 证明概形论逆像 \(b^{-1}Y \subset X'\) 是有效 Cartier 除子。

2. 给出理想 \(J \subset k[x, y]\) 的例子，使 \(I \subset J \subset (x, y)\)，并且若 \(Z \subset X\) 是与 \(J\) 对应的闭子概形，则概形论逆像 \(b^{-1}Z\) 不是有效 Cartier 除子。

练习

设 \(k\) 为代数闭域。考虑下列类型的曲面：

1. \(S = C_1 \times C_2\)，其中 \(C_1\) 与 \(C_2\) 是光滑射影曲线；

2. \(S = C_1 \times C_2\)，其中 \(C_1\) 与 \(C_2\) 是光滑射影曲线， 且 \(C_1\) 的亏格 \(> 0\)；

3. \(S \subset \mathbf{P}^3_k\) 是次数 \(4\) 的超曲面；

4. \(S \subset \mathbf{P}^3_k\) 是次数 \(4\) 的光滑超曲面。

对每种类型，简要说明为何该类型的曲面类包含或不包含有理曲面。

练习

设 \(k\) 为代数闭域。设 \(S \subset \mathbf{P}^3_k\) 为次数 \(d\) 的光滑超曲面。假设 \(S\) 包含直线 \(\ell\)。

把 \(\ell\) 看作 \(S\) 上的除子时，它的自交数是多少？

交换代数，2019 年秋季期末考试

以下是哥伦比亚大学 2019 年秋季交换代数课程期末考试的试题。

练习

简要定义下列斜体概念。

1. Noether 拓扑空间的一个 可构造子集，

2. \(R\)-模 \(M\) 在素理想 \(\mathfrak p\) 处的 局部化，

3. Noether 局部环 \((A, \mathfrak m, \kappa)\) 上模的 长度，

4. 环 \(R\) 上的 射影模，以及

5. Noether 局部环 \((A, \mathfrak m, \kappa)\) 上的 Cohen–Macaulay 模。

练习

对下列每一项，准确而简要地陈述一个课堂上讨论过的相关非平凡事实 （若有多个，只需任选一个）。

1. 可构造集的像，

2. Hilbert 零点定理，

3. 域上有限型代数的维数，

4. Noether 正规化，以及

5. 正则局部环。

回顾：对于环 \(R\) 与理想 \(I \subset R\)，\(V(I)\) 表示点 \(\mathfrak p \in \Spec(R)\) 所成的集合，其中 \(I \subset \mathfrak p\)。

练习

构造无穷多个互不相同的素理想 \(\mathfrak p \subset \mathbf{C}[x, y]\)， 使 \(V(\mathfrak p)\) 包含 \((x, y)\) 与 \((x - 1, y - 1)\)。

练习

令 \(R = \mathbf{C}[x, y, z]/(xy)\)。简要论证：不存在素理想 \(\mathfrak p \subset R\)，使得 \(V(\mathfrak p)\) 同时包含 \((x, y - 1, z - 5)\) 与 \((x - 1, y, z - 7)\)。

练习

令 \(p\) 为素数（为简化公式，你可以假设 \(p = 2\)）。 令 \(R\) 为满足 \(R\) 中 \(p = 0\) 的环。

1. 证明映射 \(F : R \to R\)，\(x \mapsto x^p\)，是环同态。

2. 证明 \(\Spec(F) : \Spec(R) \to \Spec(R)\) 是恒等映射。

回顾：拓扑空间中点的一个 特化 \(x \leadsto y\)，仅仅意指 \(y\) 位于 \(x\) 的闭包中。若不存在异于 \(x\) 与 \(y\) 的点 \(z\)， 使 \(x \leadsto z\) 且 \(z \leadsto y\)，则称 \(x \leadsto y\) 为 直接特化。

练习

设索伯拓扑空间 \(X\) 含有 \(5\) 个互不相同的点 \(x, y, z, u, v\)，它们之间有如下特化关系： \[\xymatrix{ x \ar[d] \ar[r] & u & v \ar[l] \ar[dl] \\ y \ar[r] & z }\] 这样的 \(X\) 至少可以是多少维？若 \(X\) 是域上有限型代数的谱， 且 \(x \leadsto u\) 是直接特化，那么关于特化 \(v \leadsto z\) 你能得出什么结论？

练习

令 \(R = \mathbf{C}[x, y, z]\)。令 \(M = R/(x, z)\) 且 \(N = R/(y, z)\)。对于哪些 \(i \in \mathbf{Z}\)， \(\text{Tor}_i^R(M, N)\) 非零？

练习

令 \(A \to B\) 为 Noether 局部环之间的平坦局部同态。 证明：若 \(A\) 的深度为 \(k\)，则 \(B\) 的深度至少为 \(k\)。

代数几何，2020 年春季期末考试

以下是哥伦比亚大学 2020 年春季代数几何课程期末考试的试题。

练习

简要定义下列斜体概念。

1. 一个 概形，

2. 概形的一个 态射，

3. 概形上的一个 拟凝聚模，

4. 域 \(k\) 上的一个 代数簇，

5. 域 \(k\) 上的一条 曲线，

6. 概形的一个 有限态射，

7. 拓扑空间上阿贝尔群层 \(\mathcal{F}\) 的 上同调，其所在空间为 \(X\)，

8. 概形 \(X\)（维数为 \(d\)，在域 \(k\) 上适当）上的 对偶层，以及

9. 从代数簇 \(X\) 到代数簇 \(Y\) 的一个 有理映射。

练习

对下列每一项，准确而简要地陈述一个课堂上讨论过的相关非平凡事实 （若有多个，只需任选一个）。

1. Noether 拓扑空间 \(X\)（维数为 \(d\)）上阿贝尔层的上同调，

2. 域 \(k\) 上光滑代数簇的微分层 \(\Omega^1_{X/k}\)，

3. 光滑射影代数簇的对偶层 \(\omega_X\)（代数簇为 \(X\)，定义在域 \(k\) 上），

4. 代数闭域 \(k\) 上一条光滑适当的亏格 \(0\) 曲线，以及

5. 次数为 \(d\) 的平面曲线的亏格。

练习

设 \(k\) 为域，\(X\) 为 \(k\) 上的概形。假设 \(X = X_1 \cup X_2\) 是一个开覆盖，其中 \(X_1\)、\(X_2\) 都同构于 \(\mathbf{P}^1_k\)， 而 \(X_1 \cap X_2\) 同构于 \(\mathbf{A}^1_k\)。（例如，将 \(\mathbf{P}^1_k\) 的 \(\infty\) 点复制一份就可得到这样的概形。） 证明 \(\dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X)\) 是无穷的。

练习

设 \(k\) 为代数闭域。令 \(Y\) 为亏格 \(10\) 的光滑射影曲线。 为一条光滑射影曲线 \(X\) 的亏格给出一个好的下界，使得存在一个 非恒定态射 \(f : X \to Y\)，且它不是同构。

练习

设 \(k\) 为特征 \(0\) 的代数闭域。令 \[X : T_0^d + T_1^d - T_2^d = 0 \subset \mathbf{P}^2_k\] 为次数 \(d \geq 3\) 的 Fermat 曲线。考虑 \(X\) 上的闭点 \(p = [1 : 0 : 1]\) 与 \(q = [0 : 1 : 1]\)。置 \(D = [p] - [q]\)。

1. 证明 \(D\) 在 Weil 除子类群中非平凡。

2. 证明 \(d D\) 在 Weil 除子类群中平凡。 （提示：尝试证明 \(d[p]\) 与 \(d[q]\) 都是平面中一条直线 与 \(X\) 的交。）

练习

设 \(k\) 为代数闭域。考虑 \(2\)-重嵌入 \[\varphi : \mathbf{P}^2 \longrightarrow \mathbf{P}^5\] 按照课堂材料/记号，这是态射 \[\varphi = \varphi_{\mathcal{O}_{\mathbf{P}^2}(2)} : \mathbf{P}^2 \longrightarrow \mathbf{P}(\Gamma(\mathbf{P}^2, \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2}(2)))\] 用齐次坐标表示，它为 \[[a_0 : a_1 : a_2] \longmapsto [a_0^2 : a_0a_1 : a_0a_2 : a_1^2 : a_1a_2 : a_2^2]\] 这是一个闭浸入（请直接使用这一点）。令 \(I \subset k[T_0, \ldots, T_5]\) 为 \(\varphi(\mathbf{P}^2)\) 的齐次理想； 也就是说，齐次部分 \(I_d\) 的元素是次数为 \(d\) 的齐次多项式 \(F(T_0, \ldots, T_5)\)，它们在闭子概形 \(\varphi(\mathbf{P}^2)\) 上的限制为零。计算 \(\dim_k I_d\) 关于 \(d\) 的函数。

练习

设 \(k\) 为代数闭域。令 \(X\) 为维数为 \(d\) 的 \(k\)-上适当概形， 其对偶模为 \(\omega_X\)。已知：

1. \(\text{Ext}^i_X(\mathcal{F}, \omega_X) \times H^{d - i}(X, \mathcal{F}) \to H^d(X, \omega_X) \xrightarrow{t} k\) 对所有 \(i\) 以及所有相干 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)， 均为非退化的，以及

2. \(\omega_X\) 是某个秩 \(r\) 的有限局部自由模。

证明 \(r = 1\)。（提示：考察取一个支集在闭点上的适当模时会发生什么， 例如取 \(\mathcal{F}\)。）