相对循环

引言

基础参考文献是 [SV]。

本章只定义 [SV] 中所谓的普遍整相对循环。与原文相比，这一选择使理论的 展开略为简洁，但当然也会损失一些内容。

固定 Noether 概形之间的有限型态射 \(X \to S\)。\(X/S\) 各纤维上的 \(r\)-循环族 \(\alpha\)，就是一个集合 \(\alpha = (\alpha_s)_{s \in S}\)， 其中 \(\alpha_s \in Z_r(X_s)\)。沿任意态射 \(g : S' \to S\) 对 \(\alpha\) 作基变换而得到 \(g^*\alpha\) 的方式是显然的。若 \(\alpha\) 与特化相容， 则称 \(\alpha\) 为 \(X/S\) 上的相对 \(r\)-循环。换言之，对任意态射 \(g : S' \to S\)，其中 \(S'\) 是一个离散赋值环的谱，我们要求 \(g^*\alpha\) 的一般纤维特化为 \(g^*\alpha\) 的闭纤维。见第 0H4Z 节。

约定与记号

关于固定 Noether 基上局部有限型概形之循环的约定与记号，请参阅 “Chow 同调与陈类”一章；见 Chow 同调，第 02QK 节及后文。

特别地，若 \(X\) 在域 \(k\) 上局部有限型，则 \(Z_r(X)\) 表示 \(r\) 维循环群； 见 Chow 同调，例 02QM 与第 02QQ 节。给定满足 \(\dim(Z) = r\) 的整闭子概形 \(Z \subset X\)，有 \([Z] \in Z_r(X)\)；若 \(X\) 拟紧，则 \(Z_r(X)\) 是以这些 类为基的自由阿贝尔群。

相对于域的循环

设 \(k\) 为域，\(X\) 为 \(k\) 上的局部代数概形，并设 \(r \geq 0\) 为整数。 在此情形下，我们有 \(X\) 上的 \(r\)-循环群 \(Z_r(X)\)；见第 0H4D 节。

基变换。 对任意域扩张 \(k'/k\)，都有基变换映射 \(Z_r(X) \to Z_r(X_{k'})\)；见 Chow 同调，第 0FVF 节。具体而言，给定维数为 \(r\) 的整闭子概形 \(Z \subset X\)，我们把 \([Z] \in Z_r(X)\) 映到与闭子概形 \(Z_{k'} \subset X_{k'}\) 相伴的 \(r\)-循环 \([Z_{k'}]_r \in Z_r(X_{k'})\)（一般而言，\(Z_{k'}\) 当然既不必不可约， 也不必既约）。基变换映射 \(Z_r(X) \to Z_r(X_{k'})\) 总是单射。

引理

设 \(K/k\) 为域扩张，\(Z\) 为 \(k\) 上的整局部代数概形。不可约分支 \(Z' \subset Z_K\) 的重数 \(m_{Z', Z_K}\) 等于 \(1\) 或 \(k\) 的特征的某个幂。

证明

若 \(k\) 的特征为零，则 \(k\) 完美，并且由“代数簇”引理 035X，\(X_K\) 既约，故重数总是 \(1\)。 现假设 \(k\) 的特征为 \(p > 0\)。设 \(L\) 为 \(Z\) 的函数域。由于 \(Z\) 在 \(k\) 上局部代数，域扩张 \(L/k\) 有限生成。环 \(K \otimes_k L\) 是 Noether 环 （代数，引理 045I）。转化为代数 语言，我们必须证明：对每个极小素理想 \(\mathfrak q\)，Artin 局部环 \((K \otimes_k L)_\mathfrak q\) 的长度都是 \(p\) 的幂。

设 \(L'/L\) 为有限纯不可分扩张，例如次数为 \(p^n\)。则 \(K \otimes_k L \subset K \otimes_k L'\) 是秩为 \(p^n\) 的有限自由环映射； 它在谱上诱导同胚，并诱导纯不可分的剩余域扩张。因此，对上述每个极小素 理想 \(\mathfrak q\)，都有唯一的极小素理想 \(\mathfrak q' \subset K \otimes_k L'\) 位于其上，并且 \[p^n \text{length}((K \otimes_k L)_\mathfrak q) = [\kappa(\mathfrak q') : \kappa(\mathfrak q)] \text{length}((K \otimes_k L')_{\mathfrak q'})\] 这是把代数，引理 02M0 应用于 \(M = (K \otimes_k L')_{\mathfrak q'} \cong (K \otimes_k L)_{\mathfrak q}^{\oplus p^n}\) 所得。由于 \([\kappa(\mathfrak q') : \kappa(\mathfrak q)]\) 是 \(p\) 的幂，可知只需对 \(L'\) 与 \(\mathfrak q'\) 证明该断言。

由前一段和代数，引理 030R，可以假设存在 子域塔 \(L/k'/k\)，使得 \(L/k'\) 可分且 \(k'/k\) 有限纯不可分。于是 \(K \otimes_k k'\) 是 Artin 局部环。前一段的论证（取 \(L = k\)、 \(L' = k'\)）表明 \(\text{length}(K \otimes_k k')\) 是 \(p\) 的幂。又由于 \(L/k'\) 是一个光滑 \(k'\)-代数的局部化（代数，引理 037X），故 \(S = (K \otimes_k L)_\mathfrak q\) 是某个光滑 \(R = K \otimes_k k'\)-代数在极小素理想处的局部化。因此 \(R \to S\) 是 Artin 局部环之间的平坦局部同态，且 \(\mathfrak m_R S = \mathfrak m_S\)。由代数，引理 02M1 得 \(\text{length}(K \otimes_k k') = \text{length}(R) = \text{length}(S) = \text{length}((K \otimes_k L)_\mathfrak q)\) 从而证明完成。

引理

设 \(k\) 为特征 \(p > 0\) 的域，其完美闭包为 \(k^{perf}\)。设 \(X\) 为 \(k\) 上的 代数概形，\(r \geq 0\) 为整数。单射 \(Z_r(X) \to Z_r(X_{k^{perf}})\) 的余核是 \(p\)-幂挠模（代数续篇，定义 05E6）。

证明

由于 \(X\) 拟紧，阿贝尔群 \(Z_r(X)\) 是自由的，其基由维数为 \(r\) 的整闭子概形 给出；\(Z_r(X_{k^{perf}})\) 亦然。由于 \(X_{k^{perf}} \to X\) 是同胚，映射 \(Z_r(X) \to Z_r(X_{k^{perf}})\) 为单射且余核为挠群。由引理 0H4F， 余核中的每个元素都是 \(p\)-幂挠的。

循环的特化

设 \(R\) 为离散赋值环，其分式域为 \(K\)，剩余域为 \(\kappa\)。设 \(X\) 为 \(R\) 上局部有限型的概形，并设 \(r \geq 0\)。存在特化映射 \[sp_{X/R} : Z_r(X_K) \longrightarrow Z_r(X_\kappa)\] 其定义如下。对维数为 \(r\) 的整闭子概形 \(Z \subset X_K\)，以 \(\overline{Z}\) 表示 \(Z \to X\) 的概形论像。令 \(sp_{X/R}\) 为满足下式的 唯一 \(\mathbf{Z}\)-线性映射： \[sp_{X/R}([Z]) = [\overline{Z}_\kappa]_r\] 简要说明该定义为何良定。首先，态射 \(X_K \to X\) 拟紧，故态射 \(Z \to X\) 拟紧。因此，由“态射”引理 081I，取 \(Z \to X\) 的概形论像与平坦基变换可交换。特别地，基变换回 \(X_K\) 后， 有 \(Z = \overline{Z}_K\)。由于 \(Z\) 是整的，\(\overline{Z}\) 当然也是整的； 事实上，它等于以 \(Z\) 的一般点（之像）为一般点的唯一整闭子概形。由 “代数簇”引理 0B2J， \(Z_\kappa\) 是维数为 \(r\) 的等维概形。

引理

设 \(R\) 为离散赋值环，其分式域为 \(K\)，剩余域为 \(\kappa\)。设 \(X\) 为 \(R\) 上局部有限型的概形，\(r \geq 0\)。设 \(\mathcal{F}\) 为在 \(R\) 上平坦的 凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_K)) \leq r\)。则 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_\kappa)) \leq r\)，并且 \[sp_{X/R}([\mathcal{F}_K]_r) = [\mathcal{F}_\kappa]_r\]

证明

关于维数的断言由“态射续篇”引理 0H3X 得出。 设 \(x\) 为维数 \(r\) 的整闭子概形 \(Z \subset X_\kappa\) 的一般点。为完成 证明，我们将说明等式左边 (L) 与右边 (R) 中 \([Z]\) 的系数相同。

令 \(A = \mathcal{O}_{X, x}\)、\(M = \mathcal{F}_x\)。注意，\(M\) 是在 \(R\) 上平坦的有限 \(A\)-模。取素元 \(\pi \in R\)，使得 \(A/\pi A = \mathcal{O}_{X_\kappa, x}\)。由 Chow 同调，引理 02QG，有 \[\sum\nolimits_i \text{length}_A(A/(\pi, \mathfrak q_i)) \text{length}_{A_{\mathfrak q_i}}(M_{\mathfrak q_i}) = \text{length}_A(M/\pi M)\] 其中求和遍历 \(M\) 的支撑中的极小素理想 \(\mathfrak q_i\)。由于 \(\pi\) 是 \(M\) 上的非零因子，有 \(\pi \not \in \mathfrak q_i\)；因此，这些素理想 对应于 \(\mathcal{F}_K\) 的支撑中那些特化到所选 \(x \in X_\kappa\) 的一般点 \(y_i \in X_K\)。所以左边就是 (L) 中 \([Z]\) 的系数。当然，\(\text{length}_A(M/\pi M)\) 是 (R) 中 \([Z]\) 的系数， 证明完成。

引理

设 \(R\) 为离散赋值环，其分式域为 \(K\)，剩余域为 \(\kappa\)。设 \(X\) 为 \(R\) 上局部有限型的概形，\(r \geq 0\)。设 \(W \subset X\) 为在 \(R\) 上平坦的 闭子概形。假设 \(\dim(W_K) \leq r\)。则 \(\dim(W_\kappa) \leq r\)，并且 \[sp_{X/R}([W_K]_r) = [W_\kappa]_r\]

证明

取 \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_W\)，这就是引理 0H4I 的特殊情形。见 Chow 同调，引理 02QY。

引理

设 \(R'/R\) 为离散赋值环的扩张，它诱导分式域扩张 \(K'/K\) 与剩余域扩张 \(\kappa'/\kappa\)（代数续篇，定义 09E4）。 设 \(X\) 在 \(R\) 上局部有限型，并记 \(X' = X_{R'}\)。则图 \[\xymatrix{ Z_r(X'_{K'}) \ar[rr]_{sp_{X'/R'}} & & Z_r(X'_{\kappa'}) \\ Z_r(X_K) \ar[rr]^{sp_{X/R}} \ar[u] & & Z_r(X_\kappa) \ar[u] }\] 可交换，其中 \(r \geq 0\)，竖直箭头是基变换映射。

证明

注意，\(X'_{K'} = X_{K'} = X_K \times_{\Spec(K)} \Spec(K')\)；闭纤维亦然， 故竖直箭头确有意义（见第 0H4E 节）。现设 \(Z \subset X_K\) 为整闭子概形，其概形论像为 \(\overline{Z} \subset X\)。 则 \(Z_{K'} \subset X_{K'}\) 是闭子概形，其概形论像为 \(\overline{Z}_{R'} \subset X_{R'}\)。按定义，\([Z]\) 的基变换是 \([Z_{K'}]_r = [\overline{Z}_{K'}]_r\)。我们有 \[sp_{X/R}([Z]) = [\overline{Z}_\kappa]_r \quad\text{且}\quad sp_{X'/R'}([\overline{Z}_{K'}]_r) = [(\overline{Z}_{R'})_{\kappa'}]_r\] 这是由引理 0H4I 得出的。又因为 \((\overline{Z}_{R'})_{\kappa'} = (\overline{Z}_\kappa)_{\kappa'}\)， 故得结论。

引理

设 \(R\) 为离散赋值环，其分式域为 \(K\)，剩余域为 \(\kappa\)。设 \(X\) 为 \(R\) 上局部有限型的概形。设 \(f : X' \to X\) 为局部有限型、平坦且相对 维数为 \(e\) 的态射。则图 \[\xymatrix{ Z_{r + e}(X'_K) \ar[rr]_{sp_{X'/R}} & & Z_{r + e}(X'_\kappa) \\ Z_r(X_K) \ar[rr]^{sp_{X/R}} \ar[u] & & Z_r(X_\kappa) \ar[u] }\] 可交换，其中 \(r \geq 0\)，竖直箭头由平坦拉回给出。

证明

设 \(Z \subset X\) 为支配 \(R\) 的整闭子概形。由 \(sp_{X/R}\) 的构造，有 \(sp_{X/R}([Z_K]) = [Z_\kappa]_r\)，而这刻画了特化映射。置 \(Z' = f^{-1}(Z) = X' \times_X Z\)。由于 \(R\) 是赋值环，\(Z\) 在 \(R\) 上 平坦。因此 \(Z'\) 在 \(R\) 上平坦，并且由引理 0H4J，有 \(sp_{X'/R}([Z'_K]_{r + e}) = [Z'_\kappa]_{r + e}\) 又由 Chow 同调，引理 02RE，有 \(f_K^*[Z_K] = [Z'_K]_{r + e}\) 及 \(f_\kappa^*[Z_\kappa]_r = [Z'_\kappa]_{r + e}\)，故得结论。

引理

设 \(R\) 为离散赋值环，其分式域为 \(K\)，剩余域为 \(\kappa\)。设 \(f : X \to Y\) 为 \(R\) 上局部有限型概形之间的固有态射。则图 \[\xymatrix{ Z_r(X_K) \ar[rr]_{sp_{X/R}} \ar[d] & & Z_r(X_\kappa) \ar[d] \\ Z_r(Y_K) \ar[rr]^{sp_{Y/R}} & & Z_r(Y_\kappa) }\] 可交换，其中 \(r \geq 0\)，竖直箭头由固有前推给出。

证明

设 \(Z \subset X\) 为支配 \(R\) 的整闭子概形。由 \(sp_{X/R}\) 的构造，有 \(sp_{X/R}([Z_K]) = [Z_\kappa]_r\)，而这刻画了特化映射。置 \(Z' = f(Z) \subset Y\)。则 \(Z'\) 是 \(Y\) 中支配 \(R\) 的整闭子概形。因此 \(sp_{Y/R}([Z'_K]) = [Z'_\kappa]_r\)。

可把 \([Z]\) 看成 \(Z_{r + 1}(X)\) 的元素。按定义，若 \(\dim(Z') < r + 1\)，则 \(f_*[Z] = 0\)；若 \(Z \to Z'\) 是次数为 \(d\) 的 一般有限态射，则 \(f_*[Z] = d[Z']\)。由于固有前推与沿 \(Y_K \to Y\) 的平坦拉回可交换（Chow 同调，引理 02RG），相应地有 \(f_{K, *}[Z_K] = 0\) 或 \(f_{K, *}[Z_K] = d[Z'_K]\)。对下列交换图应用 Chow 同调，引理 02TA： \[\xymatrix{ X_\kappa \ar[d] \ar[r]_i & X \ar[d] \\ Y_\kappa \ar[r]^j & Y }\] 由此得到 \(f_{\kappa, *}[Z_\kappa]_r = 0\)，或 \(f_{\kappa, *}[Z_\kappa] = d[Z'_\kappa]_r\)，因为显然有 \(i^*[Z] = [Z_k]_r\) 及 \(j^*[Z'] = [Z'_\kappa]_r\)。综合以上结果即得结论。

纤维上的循环族

设 \(f : X \to S\) 为概形的局部有限型态射，\(r \geq 0\) 为整数。 \(X/S\) 各纤维上的 \(r\)-循环族 \(\alpha\) 是一个族 \[\alpha = (\alpha_s)_{s \in S}\] 它以概形 \(S\) 的点 \(s\) 为指标，其中 \(\alpha_s \in Z_r(X_s)\) 是 \(f\) 在 \(s\) 处的概形论纤维 \(X_s\) 上的 \(r\)-循环。对纤维上的 \(r\)-循环族，可以 施行多种构造。

基变换。 设 \[\xymatrix{ X' \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] 为概形态射的笛卡尔方块，且 \(f\) 局部有限型。设 \(r \geq 0\) 为整数。 给定 \(X/S\) 各纤维上的 \(r\)-循环族 \(\alpha\)，定义 \(\alpha\) 的 基变换 \(g^*\alpha\) 为循环族 \[g^*\alpha = (\alpha'_{s'})_{s' \in S'}\] 其中 \(\alpha'_{s'} \in Z_r(X'_{s'})\) 是循环 \(\alpha_s\) 的基变换， \(s = g(s')\)；这里按第 0H4E 节，使用概形论纤维的 恒等式 \(X'_{s'} = X_s \times_{\Spec(\kappa(s))} \Spec(\kappa(s'))\)。

限制。 设 \(f : X \to S\) 为概形的局部有限型态射，\(r \geq 0\) 为整数。 设 \(U \subset X\) 与 \(V \subset S\) 为开子概形，并且 \(f(U) \subset V\)。 给定 \(X/S\) 各纤维上的 \(r\)-循环族 \(\alpha\)，可以把 \(\alpha\) 的 限制 \(\alpha|_U\) 定义为 \(U/V\) 各纤维上的 \(r\)-循环族 \[\alpha|_U = (\alpha_s|_{U_s})_{s \in V}\] 即限制到各概形论纤维所得的循环族。

平坦拉回。 设 \(X \to S\) 为概形的局部有限型态射，\(r, e \geq 0\) 为整数。设 \(f : X' \to X\) 为相对维数 \(e\) 的局部有限型平坦态射。 给定 \(X/S\) 各纤维上的 \(r\)-循环族 \(\alpha\)，定义 \(\alpha\) 的 平坦拉回 \(f^*\alpha\) 为各纤维上的 \((r + e)\)-循环族 \[f^*\alpha = (f_s^*\alpha_s)_{s \in S}\] 其中 \(f_s^*\alpha_s \in Z_{r + e}(X'_s)\) 是沿概形论纤维间相对维数为 \(e\) 的平坦态射 \(f_s : X'_s \to X_s\)，对 \(Z_r(X_s)\) 中的循环 \(\alpha_s\) 作平坦拉回所得。

固有前推。 设 \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[rd] & & Y \ar[ld] \\ & S }\] 为概形态射的交换图，其中 \(X\) 与 \(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型，且 \(f\) 固有。 设 \(r \geq 0\) 为整数。给定 \(X/S\) 各纤维上的 \(r\)-循环族 \(\alpha\)， 定义 \(\alpha\) 的固有前推 \(f_*\alpha\) 为 \(Y/S\) 各纤维上的 \(r\)-循环族 \[f_*\alpha = (f_{s, *}\alpha_s)_{s \in S}\] 其中 \(f_{s, *}\alpha_s \in Z_r(Y_s)\) 是沿概形论纤维间的固有态射 \(f_s : X_s \to Y_s\)，对 \(Z_r(X_s)\) 中的循环 \(\alpha_s\) 作固有前推所得。

引理

上述运算满足如下相容性： (1) 基变换具有函子性； (2) 限制是基变换与平坦拉回（的一个特殊情形）的复合； (3) 平坦拉回与基变换可交换； (4) 平坦拉回具有函子性； (5) 固有前推与基变换可交换； (6) 固有前推具有函子性； (7) 固有前推与平坦拉回可交换。

证明

把 Chow 同调一章中证明的相应结果应用于所涉概形在 \(S\) 上的各纤维， 即可直接得到这些相容性。我们略去精确陈述与详细证明，只列出若干出处。 第 (1) 点：Chow 同调，引理 0FVP。 第 (2) 点：显然。 第 (3) 点：Chow 同调，引理 0FVK。 第 (4) 点：Chow 同调，引理 02RD。 第 (5) 点：Chow 同调，引理 0FVL。 第 (6) 点：Chow 同调，引理 02R5。 第 (7) 点：Chow 同调，引理 02RG。

例

设 \(f : X \to S\) 为概形的局部有限型态射，\(r \geq 0\) 为整数。设 \(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。对 \(s \in S\)，以 \(\mathcal{F}_s\) 表示 \(\mathcal{F}\) 到 \(X_s\) 的拉回。假设对所有 \(s \in S\) 都有 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)) \leq r\)。于是可将 \(X/S\) 各纤维上的 \(r\)-循环族 \([\mathcal{F}/X/S]_r\) 与 \(\mathcal{F}\) 相伴；其定义公式为 \[[\mathcal{F}/X/S]_r = ([\mathcal{F}_s]_r)_{s \in S}\] 其中 \([\mathcal{F}_s]_r\) 由 Chow 同调，定义 02QX 给出。

引理

例 0H4Q 中的构造与基变换、限制和平坦拉回 相容。

证明

见 Chow 同调，引理 0FVI 与 02RE。

例

设 \(f : X \to S\) 为概形的局部有限型态射，\(r \geq 0\) 为整数。设 \(Z \subset X\) 为闭子概形。对 \(s \in S\)，以 \(Z_s\) 表示 \(Z\) 在 \(X_s\) 中的逆像；等价地，它是 \(Z\) 在 \(s\) 处的概形论纤维，并视为 \(X_s\) 的闭 子概形。假设对所有 \(s \in S\) 都有 \(\dim(Z_s) \leq r\)。于是可将 \(X/S\) 各纤维上的 \(r\)-循环族 \([Z/X/S]_r\) 与 \(Z\) 相伴；其定义公式为 \[[Z/X/S]_r = ([Z_s]_r)_{s \in S}\] 其中 \([Z_s]_r\) 由 Chow 同调，定义 02QU 给出。

引理

例 0H4S 中的构造与基变换、限制和平坦拉回 相容。

证明

取 \(\mathcal{F} = (Z \to X)_*\mathcal{O}_Z\)，这就是引理 0H4R 的特殊情形。见 Chow 同调，引理 02QY。

注

设 \(f : X \to S\) 为概形的局部有限型态射，\(r \geq 0\) 为整数。设 \(\alpha\) 为 \(X/S\) 各纤维上的 \(r\)-循环族。定义 \(\alpha\) 的支撑为 \[\text{Supp}(\alpha) = \bigcup\nolimits_{s \in S} \text{Supp}(\alpha_s) \subset X\] 这里 \(\text{Supp}(\alpha_s) \subset X_s\) 是循环 \(\alpha_s\) 的支撑； 见 Chow 同调，定义 0H46。支撑 \(\text{Supp}(\alpha)\) 很少是 \(X\) 的闭子集。

引理

按评注 0H4U 取支撑与基变换、限制和平坦拉回相容。

证明

略。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形的局部有限型态射，\(r \geq 0\) 为整数。设 \(g : S' \to S\) 为概形的满射。令 \(S'' = S' \times_S S'\)，并以 \(f' : X' \to S'\) 和 \(f'' : X'' \to S''\) 表示 \(f\) 的基变换。设 \(x \in X\) 满足 \(\text{trdeg}_{\kappa(f(x))}(\kappa(x)) = r\)。

1. 存在映到 \(x\) 的 \(x' \in X'\)，使得 \(\text{trdeg}_{\kappa(f'(x'))}(\kappa(x')) = r\)。

2. 若 \(x'_1, x'_2 \in X'\) 均满足 (1)，则存在 \(x'' \in X''\)，使得 \(\text{trdeg}_{\kappa(f''(x''))}(\kappa(x'')) = r\) 且 \(\text{pr}_i(x'') = x'_i\)。

证明

(1) 即“态射”引理 02FY。设 \(x'_1, x'_2\) 如 (2) 所述。由于 \(X'' = X' \times_X X'\)，存在 \(x'' \in X''\) 同时映到 \(x'_1\) 和 \(x'_2\)（例如见“下降”引理 02KI）。分别以 \(s'' \in S''\)、 \(s'_i \in S'\) 和 \(s \in S\) 表示 \(x''\)、\(x'_i\) 和 \(x\) 的像。 记 \(k = \kappa(s)\)，并令 \(Z \subset X_k\) 为以 \(x\) 为一般点的整闭子概形。 于是 \(x'_i\) 是 \(Z_{\kappa(s'_i)}\) 某个不可约分支的一般点。取包含 \(x''\) 的不可约分支 \(Z'' \subset Z_{\kappa(s'')}\)，并以 \(\xi'' \in Z''\) 表示其一般点。由于 \(\xi'' \leadsto x''\)，在两个投影下， \(\xi''\) 也必映到 \(x'_i\)。另一方面，由于它是 \(Z\) 的基变换的一个 不可约分支的一般点，故 \(\text{trdeg}_{\kappa(s'')}(\kappa(\xi'')) = r\)。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形的局部有限型态射，\(r \geq 0\) 为整数。设 \(g : S' \to S\) 为概形态射，并令 \(X' = S' \times_S X\)。假设对每个 \(s \in S\)，都存在点 \(s' \in S'\)，满足 \(g(s') = s\)，并且域扩张 \(\kappa(s')/\kappa(s)\) 可分。则：

1. 对 \(X/S\) 各纤维上的两个 \(r\)-循环族 \(\alpha_1\) 和 \(\alpha_2\)，若 \(g^*\alpha_1 = g^*\alpha_2\)，则 \(\alpha_1 = \alpha_2\)。

2. 给定 \(X'/S'\) 各纤维上的 \(r\)-循环族 \(\alpha'\)，若作为 \((S' \times_S S') \times_S X / (S' \times_S S')\) 各纤维上的 \(r\)-循环族，有 \(\text{pr}_1^*\alpha' = \text{pr}_2^*\alpha'\)，则存在唯一的 \(X/S\) 各纤维上的 \(r\)-循环族 \(\alpha\)，使得 \(g^*\alpha = \alpha'\)。

证明

(1) 由第 0H4E 节所述基变换映射的单射性得出。 （只要 \(S' \to S\) 满射，这一论证就成立。）

设 \(\alpha'\) 如 (2) 所述，并以 \(\alpha'' = \text{pr}_1^*\alpha' = \text{pr}_2^*\alpha'\) 表示其公共值。

令 \((X/S)^{(r)}\) 为所有满足 \(\text{trdeg}_{\kappa(f(x))}(\kappa(x)) = r\) 的 \(x \in X\) 所成之集， 并类似定义 \((X'/S')^{(r)}\) 和 \((X''/S'')^{(r)}\)。取系数后，可以把 \(\alpha'\) 和 \(\alpha''\) 看成函数 \(\alpha' : (X'/S')^{(r)} \to \mathbf{Z}\) 和 \(\alpha'' : (X''/S'')^{(r)} \to \mathbf{Z}\)。给定函数 \[\varphi : (X/S)^{(r)} \to \mathbf{Z}\] 仿照基变换运算，定义 \(g^*\varphi : (X'/S')^{(r)} \to \mathbf{Z}\)。具体地，设 \(x' \in (X'/S')^{(r)}\) 映到 \(x \in X\)、\(s' \in S'\) 和 \(s \in Z\)。 分别以 \(Z' \subset X'_{s'}\) 和 \(Z \subset X_s\) 表示以 \(x'\) 和 \(x\) 为 一般点的整闭子概形。注意 \(\dim(Z') = r\)。若 \(\dim(Z) < r\)，则令 \((g^*\varphi)(x') = 0\)。若 \(\dim(Z) = r\)，则 \(Z'\) 是 \(Z_{s'}\) 的一个 不可约分支，因而具有重数 \(m_{Z', Z_{s'}}\)；将其记作 \(m(x', g)\)。 定义 \[(g^*\varphi)(x') = m(x', g) \varphi(x)\] 注意，系数 \(m(x', g)\) 总是正整数（例如见引理 0H4F）。类似地，有基变换映射 \[\text{pr}_1^*, \text{pr}_2^* : \text{Map}((X'/S')^{(r)}, \mathbf{Z}) \longrightarrow \text{Map}((X''/S'')^{(r)}, \mathbf{Z})\] 由基变换的结合性， \(\text{pr}_1^* \circ g^* = \text{pr}_2^* \circ g^*\)（略去一个小细节）。 明确地说，就集合映射而言，该等式意味着对 \(x'' \in (X''/S'')^{(r)}\) 有 \[m(x'', \text{pr}_1) m(\text{pr}_1(x''), g) = m(x'', \text{pr}_2) m(\text{pr}_2(x''), g)\] 只要 \(\text{pr}_1(x'')\) 和 \(\text{pr}_2(x'')\) 属于 \((X''/S'')^{(r)}\)。由引理 0H4W、上述等式和一个 初等论证¹， 存在唯一映射 \[\alpha : (X/S)^{(r)} \to \mathbf{Q}\] 使得 \(g^*\alpha = \alpha'\)。为完成证明，只需说明 \(\alpha\) 取整数值 （略去一个小细节：还须说明 \(\alpha\) 在每条纤维上确定局部有限和；这由 \(\alpha'\) 的相应性质得出）。给定像为 \(s \in S\) 的任意 \(x \in (X/S)^{(r)}\)，可以选取点 \(s' \in S'\)，使得 \(\kappa(s')/\kappa(s)\) 可分。于是可选取 \(x' \in (X'/S')^{(r)}\)， 使其映到 \(s\) 和 \(x\)；此时 \(Z_{s'}\) 约化，故 \(m(x', g) = 1\)。 因此 \(\alpha(x) = \alpha'(x')\) 是整数。

引理

设 \(g : S' \to S\) 为诱导剩余域同构的概形双射态射。设 \(f : X \to S\) 局部有限型，并令 \(X' = S' \times_S X\)。设 \(r \geq 0\)。 则沿 \(g\) 的基变换在 \(X/S\) 各纤维上的 \(r\)-循环族之群与 \(X'/S'\) 各纤维上的 \(r\)-循环族之群之间确定一个双射。

证明

略。

相对循环

我们将使用如下定义；它与 [SV] 中定义的比较见第 0H6T 节。

定义

设 \(S\) 为局部 Noether 概形，\(f : X \to S\) 为概形的局部有限型态射， \(r \geq 0\) 为整数。\(X/S\) 上的一个相对 \(r\)-循环，是指 \(X/S\) 各纤维上的一个 \(r\)-循环族 \(\alpha\)，使得对每个态射 \(g : S' \to S\)，只要 \(S'\) 是离散赋值环的谱，就有 \[sp_{X'/S'}(\alpha_\eta) = \alpha_0\] 其中 \(sp_{X'/S'}\) 如第 0H4H 节所定义，而 \(\alpha_\eta\)（相应地，\(\alpha_0\)）是 \(\alpha\) 的基变换 \(g^*\alpha\) 在 \(S'\) 的一般点（相应地，闭点）处的值。\(X/S\) 上所有 相对 \(r\)-循环所成的群记作 \(z(X/S, r)\)。

引理

设 \(\alpha\) 是定义 0H50 所述的 \(X/S\) 上相对 \(r\)-循环。则 \(\alpha\) 的任意限制、基变换、平坦拉回或固有前推仍为相对 \(r\)-循环。

证明

平坦拉回的情形使用引理 0H4L。 限制是平坦拉回的特殊情形。基变换的情形使用基变换的传递性。 固有前推的情形使用引理 0H4M。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。假设 \(S\) 局部 Noether，且 \(f\) 局部有限型。 设 \(r \geq 0\) 为整数，\(\alpha\) 为 \(X/S\) 各纤维上的 \(r\)-循环族。设 \(\{g_i : S_i \to S\}\) 为一个 h-覆盖（“平坦性续篇”定义 0ETS）。则 \(\alpha\) 是相对 \(r\)-循环，当且仅当 每个基变换 \(g_i^*\alpha\) 都是相对 \(r\)-循环。

证明

若 \(\alpha\) 是相对 \(r\)-循环，则由引理 0H51，每个基变换 \(g_i^*\alpha\) 都是相对 \(r\)-循环。反之，假设每个 \(g_i^*\alpha\) 都是相对 \(r\)-循环。设 \(g : S' \to S\) 为态射，其中 \(S'\) 是离散赋值环的谱。把 \(S\) 替换为 \(S'\)、把 \(X\) 替换为 \(X' = X \times_S S'\)、把 \(\alpha\) 替换为 \(\alpha' = g^*\alpha\)，并利用 h-覆盖的基变换仍为 h-覆盖（“平坦性续篇” 引理 0ETY），便归约到下一段所研究的问题。

假设 \(S\) 是离散赋值环的谱，其闭点为 \(0\)、一般点为 \(\eta\)。需要证明 \(sp_{X/S}(\alpha_\eta) = \alpha_0\)。由于 h-覆盖按定义是 V-覆盖，存在 \(i\) 以及 \(S_i\) 中点的特化 \(s' \leadsto s\)，满足 \(g_i(s') = \eta\) 和 \(g_i(s) = 0\)；见“拓扑”引理 0ETN。由“性质”引理 054F，存在从离散 赋值环的谱 \(S'\) 出发的态射 \(h : S' \to S_i\)，它把一般点 \(\eta'\) 映到 \(s'\)，把闭点 \(0'\) 映到 \(s\)。记 \(\alpha' = h^*g_i^*\alpha\)。由假设， \(sp_{X'/S'}(\alpha'_{\eta'}) = \alpha'_{0'}\)。由于 \(g = g_i \circ h : S' \to S\) 是由离散赋值环扩张诱导的概形态射， \(sp_{X/S}\) 与 \(sp_{X'/S'}\) 和纤维上的基变换映射相容；见引理 0H4K。第 0H4E 节 已经说明基变换映射 \(Z_r(X_0) \to Z_r(X'_{0'})\) 是单射，故 \(sp_{X/S}(\alpha_\eta) = \alpha_0\)。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。假设 \(S\) 局部 Noether，且 \(f\) 局部有限型。 设 \(r, e \geq 0\) 为整数，\(\alpha\) 为 \(X/S\) 各纤维上的 \(r\)-循环族。 设 \(\{f_i : X_i \to X\}\) 为一族联合满射的局部有限型平坦态射，且其相对 维数为 \(e\)。则 \(\alpha\) 是相对 \(r\)-循环，当且仅当每个平坦拉回 \(f_i^*\alpha\) 都是相对 \(r\)-循环。

证明

若 \(\alpha\) 是相对 \(r\)-循环，则由引理 0H51，每个拉回 \(f_i^*\alpha\) 都是相对 \(r\)-循环。反之，假设每个 \(f_i^*\alpha\) 都是相对 \(r\)-循环。设 \(g : S' \to S\) 为态射，其中 \(S'\) 是离散赋值环的谱。把 \(S\) 替换为 \(S'\)、把 \(X\) 替换为 \(X' = X \times_S S'\)、把 \(\alpha\) 替换为 \(\alpha' = g^*\alpha\)，便归约到下一段所研究的问题。

假设 \(S\) 是离散赋值环的谱，其闭点为 \(0\)、一般点为 \(\eta\)。需要证明 \(sp_{X/S}(\alpha_\eta) = \alpha_0\)。以 \(f_{i, 0} : X_{i, 0} \to X_0\) 表示 \(f_i\) 到 \(S\) 的闭点上的基变换； \(f_{i, \eta}\) 的记号类似。注意 \[f_{i, 0}^*sp_{X/S}(\alpha_\eta) = sp_{X_i/S}(f_{i, \eta}^*\alpha_\eta) = f_{i, 0}^*\alpha_0\] 其中第一个等式由引理 0H4L 得出， 第二个等式由假设得出。由于映射族 \(f_{i, 0}^* : Z_r(X_0) \to Z_r(X_{i, 0})\) 联合单射（这是因为 \(f_{i, 0}\) 联合满射），结论随即成立。

引理

设 \(S\) 为局部 Noether 概形，\(i : X \to Y\) 为 \(S\) 上局部有限型概形之间的 闭浸入。设 \(r \geq 0\)，并令 \(\alpha\) 为 \(X/S\) 各纤维上的 \(r\)-循环族。 则 \(\alpha\) 是 \(X/S\) 上的相对 \(r\)-循环，当且仅当 \(i_*\alpha\) 是 \(Y/S\) 上的相对 \(r\)-循环。

证明

由于基变换与 \(i_*\) 可交换（引理 0H4P），只需证明： 若 \(S\) 是离散赋值环的谱，其一般点为 \(\eta\)、闭点为 \(0\)，则 \(sp_{X/S}(\alpha_\eta) = \alpha_0\) 当且仅当 \(sp_{Y/S}(i_{\eta, *}\alpha_\eta) = i_{0, *}\alpha_0\)。这是因为 \(i_{0, *} : Z_r(X_0) \to Z_r(Y_0)\) 是单射，而且由引理 0H4M，有 \(i_{0, *}sp_{X/S}(\alpha_\eta) = sp_{Y/S}(i_{\eta, *}\alpha_\eta)\)。

下面的引理将在引理 0H5C 中得到加强。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。假设 \(S\) 局部 Noether，且 \(f\) 局部有限型。 设 \(r \geq 0\)，并令 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 为 \(X/S\) 上的相对 \(r\)-循环。 下列条件等价：

1. \(\alpha = \beta\)；

2. 对 \(S\) 的任一不可约分支的一般点 \(\eta \in S\)，都有 \(\alpha_\eta = \beta_\eta\)。

证明

(1) \(\Rightarrow\) (2) 显然。假设 (2)。对每个 \(s \in S\)，都可以找到 (2) 所述的一个 \(\eta\)，使其特化到 \(s\)。由“性质”引理 054F，存在从离散 赋值环的谱 \(S'\) 出发的态射 \(g : S' \to S\)，它把一般点 \(\eta'\) 映到 \(\eta\)，把闭点 \(0\) 映到 \(s\)。于是 \(\alpha_s\) 和 \(\beta_s\) 是 \(Z_r(X_s)\) 中的元素，并基变换为 \(Z_r(X_{0'})\) 中同一个元素，即 \(sp_{X_{S'}/S'}(\alpha_{\eta'})\)，其中 \(\alpha_{\eta'}\) 是 \(\alpha_\eta\) 的基变换。第 0H4E 节已经说明 基变换映射 \(Z_r(X_s) \to Z_r(X_{0'})\) 是单射，故 \(\alpha_s = \beta_s\)。

引理

在例 0H4Q 的情形中，假设 \(S\) 局部 Noether，且 \(\mathcal{F}\) 在维数 \(\geq r\) 处在 \(S\) 上平坦 （“平坦性续篇”定义 0CWG）。则 \([\mathcal{F}/X/S]_r\) 是 \(X/S\) 上的相对 \(r\)-循环。

证明

由“平坦性续篇”引理 0CWF，关于 \(\mathcal{F}\) 的假设在任意基变换下保持成立。此外，由引理 0H4R，\([\mathcal{F}/X/S]_r\) 的构造与任意 基变换相容。由于与特化相容这一条件是在基变换到离散赋值环的谱之后 检验的，问题归约到 \(S\) 是赋值环的谱的情形。此时集合 \(U = \{x \in X \mid \mathcal{F}\text{ 在点 }x\text{ 上平坦，底为 }S\}\) 由“平坦性续篇”引理 05IQ 是 \(X\) 中的开集。 根据假设，\(X\) 中 \(U\) 的补集在 \(S\) 上各纤维的维数 \(< r\)，故沿浸入 \(U \subset X\) 的限制在任意基变换后都诱导纤维上 \(r\)-循环群的同构， 并与特化映射及由 \(\mathcal{F}\) 所伴随相对循环的构造相容。因此，只需证明 \([\mathcal{F}|_U / U /S]_r\) 与特化相容。由于 \(\mathcal{F}|_U\) 在 \(S\) 上平坦，这由引理 0H4I 和定义得出。

引理

在例 0H4S 的情形中，假设 \(S\) 局部 Noether，且 \(Z\) 在维数 \(\geq r\) 处在 \(S\) 上平坦。则 \([Z/X/S]_r\) 是 \(X/S\) 上的相对 \(r\)-循环。

证明

该假设意味着 \(\mathcal{O}_Z\) 在维数 \(\geq r\) 处在 \(S\) 上平坦。于是对 \(\mathcal{F} = (Z \to X)_*\mathcal{O}_Z\) 应用引理 0H56 即得结论。

设 \(S\) 为局部 Noether 概形，\(f : X \to S\) 为有限型态射，并设 \(r \geq 0\)。以 \(Hilb(X/S, r)\) 表示所有闭子概形 \(Z \subset X\) 所成的 集合，其中 \(Z \to S\) 平坦且相对维数 \(\leq r\)。由引理 0H57，对每个 \(Z \in Hilb(X/S, r)\)，都有元素 \([Z/X/S]_r \in z(X/S, r)\)。因此得到群同态 [0H58]\[\begin{equation} \text{由下列集合生成的自由 Abel 群： }Hilb(X/S, r) \longrightarrow z(X/S, r) \end{equation}\] 它把 \(\sum n_i[Z_i]\) 映到 \(\sum n_i[Z_i/X/S]_r\)。相对 \(r\)-循环的一个 关键特征是：在适当拓扑下，它们局部地（在 \(X\) 和 \(S\) 上）属于该映射的像。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形的有限型态射，且 \(S\) Noether。设 \(r \geq 0\)， \(\alpha\) 为 \(X/S\) 上的相对 \(r\)-循环。则存在固有完全分解态射 （“态射续篇”定义 0GTI） \(g : S' \to S\)，使得 \(g^*\alpha\) 属于 (0H58) 的像。

证明

由 Noether 归纳法，可以假设：对任意不是同构的闭浸入 \(g : S' \to S\)，结论对 \(\alpha\) 的拉回成立。

令 \(S_1 \subset S\) 为一个不可约分支（视作整闭子概形）。令 \(S_2 \subset S\) 为 \(S'\) 的补集之闭包（视作约化闭子概形）。若 \(S_2 \not = \emptyset\)，则结论对沿 \(S_1 \to S\) 和 \(S_2 \to S\) 的 \(\alpha\) 拉回成立。若 \(g_1 : S'_1 \to S_1\) 和 \(g_2 : S'_2 \to S_2\) 是相应的固有完全分解态射，则 \(S' = S'_1 \amalg S'_2 \to S\) 是固有完全分解态射，且结论对 \(S\) 成立²。因此可以假设 \(S' \to S\) 是双射， 从而归约到下一段所述情形。

假设 \(S\) 整。令 \(\eta \in S\) 为一般点，并令 \(K = \kappa(\eta)\) 为 \(S\) 的函数域。于是 \(\alpha_\eta\) 是 \(X_K\) 上的 \(r\)-循环。写成 \(\alpha_\eta = \sum n_i[Y_i]\)。取 \(Y_i\) 的闭包，得到整闭子概形 \(Z_i \subset X\)，其到 \(\eta\) 的基变换为 \(Y_i\)。由一般平坦性（例如 “态射”命题 052A），对每个 \(i\)， \(Z_i\) 在 \(S\) 的某个非空开集 \(U\) 上平坦。应用“平坦性续篇”引理 081R，可以找到 \(U\)-容许的吹起 \(g : S' \to S\)，使得 \(Z_i\) 的严格变换 \(Z'_i \subset X_{S'}\) 在 \(S'\) 上平坦。于是 \(\beta = \sum n_i[Z'_i/X_{S'}/S']_r\) 属于 (0H58) 的像；由引理 0H55，\(\beta = g^*\alpha\)。

但这尚未完成证明，因为 \(S' \to S\) 未必完全分解。修正这一点很容易： 以 \(T \subset S\) 表示 \(U\) 的补集（视作闭子概形）。由 Noether 归纳法， 可以找到固有完全分解态射 \(T' \to T\)，使得 \((T' \to S)^*\alpha\) 属于 (0H58) 的像。于是 \(S' \amalg T' \to S\) 满足要求。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形的有限型态射，其中 \(S\) 是离散赋值环的谱。 设 \(r \geq 0\)。则 (0H58) 是满射。

证明

这当然由引理 0H59 得出，也可以如下直接看出。设 \(\alpha\) 是 \(X/S\) 上的相对 \(r\)-循环。写 \(\alpha_\eta = \sum n_i[Z_i]\)（该和有限）。如第 0H4H 节，以 \(\overline{Z}_i \subset X\) 表示 \(Z_i\) 的闭包。于是 \(\alpha = \sum n_i[\overline{Z}_i/X/S]\)。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射，\(r \geq 0\)。假设 \(S\) 局部 Noether，且 \(f\) 光滑、相对维数为 \(r\)。设 \(\alpha \in z(X/S, r)\)。则 \(\alpha\) 的支撑 在 \(X\) 中既开又闭（更精确的结论见证明）。

证明

设 \(x \in X\) 的像为 \(s \in S\)。由于 \(f\) 光滑，\(X_s\) 中存在唯一一个包含 \(x\) 的不可约分支 \(Z(x)\)。于是 \(\dim(Z(x)) = r\)。以 \(n_x\) 表示循环 \(\alpha_s\) 中 \(Z(x)\) 的系数。我们将证明函数 \(x \mapsto n_x\) 在 \(X\) 上 局部常值。

设 \(g : S' \to S\) 为局部 Noether 概形之间的态射。以 \(X'\) 表示 \(X\) 的 基变换，以 \(\alpha' = g^*\alpha\) 表示 \(\alpha\) 的基变换。设 \(x' \in X'\) 映到 \(s' \in S'\)、\(x \in X\) 和 \(s \in S\)。我们断言 \(n_{x'} = n_x\)。事实上，由于 \(Z(x)\) 在 \(\kappa(s)\) 上光滑，概形 \(Z(x) \times_{\Spec(\kappa(s))} \Spec(\kappa(s'))\) 是约化的。由于 \(Z(x')\) 是该概形的一个不可约分支，根据第 0H4E 节的基变换定义，\(\alpha'_{s'}\) 中 \(Z(x')\) 的系数 \(n_{x'}\) 等于 \(\alpha_s\) 中 \(Z(x)\) 的系数 \(n_x\)， 从而证明了该断言。

由于 \(X\) 局部 Noether，为证明 \(x \mapsto n_x\) 局部常值，只需证明： 若 \(x' \leadsto x\) 是 \(X\) 中的一个特化，则 \(n_{x'} = n_x\)。选取态射 \(S' \to X\)，其中 \(S'\) 是离散赋值环的谱，它把一般点 \(\eta\) 映到 \(x'\)， 把闭点 \(0\) 映到 \(x\)；见“性质”引理 054F。于是 \(f\) 沿 \(S' \to S\) 的基变换 \(X' \to S'\) 有一个截面 \(\sigma : S' \to X'\)，使得 \(\sigma(\eta) \leadsto \sigma(0)\) 是 \(X'\) 中点的特化，并映到 \(X\) 中的 \(x' \leadsto x\)。因此归约到下一段的断言。

设 \(S\) 是离散赋值环的谱，其一般点为 \(\eta\)、闭点为 \(0\)，并且给定截面 \(\sigma : S \to X\)。断言：\(n_{\sigma(\eta)} = n_{\sigma(0)}\)。由 “态射续篇”第 055K 节中的 讨论，特别是引理 055R，把 \(X\) 替换为一个 开子概形后，可以假设 \(X \to S\) 的纤维连通。由于这些纤维光滑，它们 不可约。于是 \(\alpha_\eta = n[X_\eta]\)，其中 \(n = n_{\sigma(\eta)}\)；关系 \(sp_{X/S}(\alpha_\eta) = \alpha_0\) 蕴含 \(\alpha_0 = n[X_0]\)，即所需的 \(n_{\sigma(0)} = n\)。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。假设 \(S\) 局部 Noether，且 \(f\) 局部有限型。 设 \(r \geq 0\) 且 \(\alpha, \beta \in z(X/S, r)\)。则集合 \(E = \{s \in S : \alpha_s = \beta_s\}\) 在 \(S\) 中闭。

证明

问题在 \(S\) 上是局部的，故可假设 \(S\) 仿射。取仿射开覆盖 \(X = \bigcup U_i\)，并令 \(E_i = \{s \in S : \alpha_s|_{U_{i, s}} = \beta_s|_{U_{i, s}}\}\)。 于是 \(E = \bigcap E_i\)。因此只需对 \(U_i \to S\) 以及 \(\alpha\)、\(\beta\) 到 \(U_i\) 的限制证明该引理。这就归约到下一段所述情形。

假设 \(X\) 和 \(S\) 拟紧。令 \(\gamma = \alpha - \beta\)，则 \(E = \{s \in S : \gamma_s = 0\}\)。由引理 0H57，存在有限族联合满射的 固有态射 \(\{g_i : S_i \to S\}\)，使得 \(g_i^*\gamma\) 属于 (0H58) 的像。注意，\(E_i = g_i^{-1}(E)\) 是所有满足 \((g_i^*\gamma)_t = 0\) 的点 \(t \in S_i\) 所成之集。若对所有 \(i\)，\(E_i\) 都闭， 则 \(E = \bigcup g_i(E_i)\) 也闭。这就归约到下一段所述情形。

假设 \(X\) 和 \(S\) 拟紧，且 \(\gamma = \sum n_i[Z_i/X/S]_r\)，其中只有有限个闭子概形 \(Z_i \subset X\)， 它们在 \(S\) 上平坦且相对维数 \(\leq r\)。令 \(X' = \bigcup Z_i\)（概形论并）。于是 \(i : X' \to X\) 是闭浸入，且 \(X'\) 在 \(S\) 上的相对维数 \(\leq r\)。此外，\(\gamma = i_*\gamma'\)，其中 \(\gamma' = \sum n_i[Z_i/X'/S]_r\)。显然 \(E = E' = \{s \in S : \gamma'_s = 0\}\)，故归约到下一段所述情形。

假设 \(X\) 在 \(S\) 上的相对维数 \(\leq r\)。取 \(s \in S\) 且 \(s \not \in E\)。我们将证明存在 \(s\) 的开邻域 \(V \subset S\)，使得 \(E \cap V\) 为空。假设 \(s \not \in E\) 意味着存在维数为 \(r\) 的整闭子概形 \(Z \subset X_s\)，使得 \(\gamma_s\) 中 \([Z]\) 的系数 \(n\) 非零。令 \(x \in Z\) 为一般点。由于 \(\dim(Z) = r\)，\(x\) 是 \(X_s\) 的一个不可约分支 （即 \(Z\)）的一般点。因此，把 \(X\) 替换为 \(x\) 的一个开邻域后，可以假设 \(Z\) 是 \(X_s\) 的唯一不可约分支。特别地，\(\gamma_s = n[Z]\)。

现在应用“态射续篇”引理 052E，得到图 \[\xymatrix{ X \ar[dd] & X' \ar[l]^g \ar[d]^\pi & x \ar@{|->}[dd] & x' \ar@{|->}[l] \ar@{|->}[d] \\ & Y \ar[d]^h & & y \ar@{|->}[d] \\ S \ar@{=}[r] & S & s & s \ar@{=}[l] }\] 并具有该引理列出的全部性质。令 \(\gamma' = g^*\gamma\) 为平坦拉回。 注意 \(E \subset E' = \{s \in S: \gamma'_s = 0\}\)，并且 \(s \not \in E'\)，因为 \(\gamma'_s\) 中 \(Z'\) 的系数非零；这里 \(Z' \subset X'_s\) 是 \(x'\) 的闭包。类似地，令 \(\gamma'' = \pi_*\gamma'\)。于是 \(E' \subset E'' = \{s \in S: \gamma''_s = 0\}\)，且 \(s \not \in E''\)，因为 \(\gamma''_s\) 中 \(Z''\) 的系数非零；这里 \(Z'' \subset Y_s\) 是 \(y\) 的闭包。由引理 0H5B 和 \(Y \to S\) 的开性，\(s\) 的某个开邻域 与 \(E''\) 不交，证明完成。

引理

设 \(S = \lim_{i \in I} S_i\) 是一个 Noether 概形有向逆系统的极限，且转移 态射均为仿射态射。设 \(0 \in I\)，并令 \(X_0 \to S_0\) 为概形的有限型态射。 对 \(i \geq 0\)，令 \(X_i = S_i \times_{S_0} X_0\)，并令 \(X = S \times_{S_0} X_0\)。若 \(S\) 也 Noether，则 \[z(X/S, r) = \colim_{i \geq 0} z(X_i/S_i, r)\] 其中转移映射由相对 \(r\)-循环的基变换给出。

证明

假设 \(i \geq 0\) 且 \(\alpha_i, \beta_i \in z(X_i/S_i, r)\) 映到 \(z(X/S, r)\) 中同一个元素。则 \(S \to S_i\) 的像包含在引理 0H5C 的闭子集 \(E \subset S_i\) 中。因此，对某个 \(j \geq i\)，态射 \(S_j \to S_i\) 的像包含在 \(E\) 中；见“极限”引理 05F4。所以 \(\alpha_i\) 和 \(\beta_i\) 到 \(S_j\) 的基变换相等。故该映射为单射。

设 \(\alpha \in z(X/S, r)\)。应用引理 0H59，得到固有完全 分解态射 \(g : S' \to S\)，使得 \(g^*\alpha\) 属于 (0H58) 的像。令 \(X' = S' \times_S X\)。可以写成 \(g^*\alpha = \sum n_a [Z_a/X'/S']_r\)，其中 \(Z_a \subset X'\) 是在 \(S'\) 上平坦且相对维数 \(\leq r\) 的闭子概形。

现在运用“极限”第 01ZL 节的工具。 可以找到 \(i \geq 0\)，使得存在：

1. 固有完全分解态射 \(g_i : S'_i \to S_i\)，它到 \(S\) 的基变换为 \(g : S' \to S\)；

2. 令 \(X'_i = S'_i \times_{S_i} X_i\)，则有闭子概形 \(Z_{ai} \subset X'_i\)，它们在 \(S'_i\) 上平坦、相对维数 \(\leq r\)，且到 \(S'\) 的基变换为 \(Z_a\)。

这里使用了“极限”引理 01ZM, 01ZP, 04AI, 081F 和 05M5 以及“态射续篇”引理 0GTM。考虑 \(\alpha'_i = \sum n_a [Z_{ai}/X'_i/S'_i]_r \in z(X'_i/S'_i, r)\). 依构造，\(\alpha'_i\) 在 \(z(X'/S', r)\) 中的像等于基变换 \(g^*\alpha\)。

令 \(S''_i = S'_i \times_{S_i} S'_i\)、 \(X''_i = S''_i \times_{S_i} X_i\)，并令 \(S'' = S' \times_S S'\)、 \(X'' = S'' \times_S X\)。以 \(\text{pr}_1, \text{pr}_2 : S'' \to S'\) 和 \(\text{pr}_1, \text{pr}_2 : S''_i \to S'_i\) 表示投影。两个基变换 \(\text{pr}_1^*\alpha'_i\) 和 \(\text{pr}_1^*\alpha'_i\) 映到 \(z(X''/S'', r)\) 中同一个元素，因为 \(\text{pr}_1^*g^*\alpha = \text{pr}_1^*g^*\alpha\)。因此增大 \(i\) 后， 由证明的第一段，可以假设 \(\text{pr}_1^*\alpha'_i = \text{pr}_1^*\alpha'_i\)。由引理 0H4X，得到 \(X_i/S_i\) 各纤维上唯一的 \(r\)-循环族 \(\alpha_i\)，使得 \(g_i^*\alpha_i = \alpha'_i\)（这里用到 \(S'_i \to S_i\) 完全分解）。由引理 0H52，\(\alpha_i \in z(X_i/S_i, r)\)。 引理 0H4X 中的唯一性说明 \(\alpha_i\) 在 \(z(X/S, r)\) 中的像为 \(\alpha\)，证明完成。

引理

设 \(S\) 为局部 Noether 概形，\(i : X \to X'\) 为 \(S\) 上局部有限型概形之间的 加厚。设 \(r \geq 0\)。则 \(i_* : z(X/S, r) \to z(X'/S, r)\) 是双射。

证明

由于 \(i_s : X_s \to X'_s\) 是加厚，显然 \(i_*\) 在 \(X/S\) 各纤维上的 \(r\)-循环族与 \(X'/S\) 各纤维上的 \(r\)-循环族之间诱导双射。此外，对 \(X/S\) 各纤维上的 \(r\)-循环族 \(\alpha\)，由引理 0H54， \(\alpha \in z(X/S, r) \Leftrightarrow i_*\alpha \in z(X'/S, r)\)。 引理得证。

引理

设 \(S\) 为局部 Noether 概形，\(X\) 为 \(S\) 上局部有限型概形。设 \(r \geq 0\)。设 \(U \subset X\) 为开集，使得 \(X \setminus U\) 在 \(S\) 上的 相对维数 \(< r\)；换言之，对所有 \(s \in S\)，都有 \(\dim(X_s \setminus U_s) < r\)。则限制确定双射 \(z(X/S, r) \to z(U/S, r)\)。

证明

由维数假设，\(Z_r(X_s) \to Z_r(U_s)\) 是双射，所以限制在 \(X/S\) 各纤维上的 \(r\)-循环族与 \(U/S\) 各纤维上的 \(r\)-循环族之间诱导双射。这些限制映射 \(Z_r(X_s) \to Z_r(U_s)\) 与基变换和特化相容；见引理 0H4P 和 0H4L。 引理由此容易得出；细节略。

引理

设 \(g : S' \to S\) 为局部 Noether 概形之间诱导剩余域同构的泛同胚。设 \(f : X \to S\) 局部有限型，并令 \(X' = S' \times_S X\)。设 \(r \geq 0\)。 则沿 \(g\) 的基变换确定双射 \(z(X/S, r) \to z(X'/S', r)\)。

证明

由引理 0H4Y，\(X/S\) 各纤维上的 \(r\)-循环族之群与 \(X'/S'\) 各纤维上的 \(r\)-循环族之群之间存在双射。设 \(\alpha\) 为 \(X/S\) 各纤维上的一个 \(r\)-循环族，\(\alpha' = g^*\alpha\) 为其 基变换。若 \(R\) 是离散赋值环，则任意态射 \(h : \Spec(R) \to S\) 都唯一地 分解为 \(g \circ h'\)，其中 \(h' : \Spec(R) \to S'\)。事实上，态射 \(S' \times_S \Spec(R) \to \Spec(R)\) 是在剩余域上诱导双射的泛同胚， 因而有截面（例如因为 \(R\) 是半正规环；见“态射”第 0EUK 节）。因此，\(\alpha\) 与特化相容 （即为相对 \(r\)-循环）这一条件，等价于 \(\alpha'\) 与特化相容。

等维相对循环

定义如下。

定义

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。假设 \(S\) 局部 Noether，且 \(f\) 局部有限型。 设 \(r \geq 0\) 为整数。如果 \(X/S\) 上相对 \(r\)-循环 \(\alpha\) 的支撑 （评注 0H4U）包含在闭子集 \(W \subset X\) 中，且后者 在 \(S\) 上的相对维数 \(\leq r\)，则称 \(\alpha\) 等维。 \(X/S\) 上所有等维相对 \(r\)-循环所成的群记作 \(z_{equi}(X/S, r)\)。

例

存在并非等维的相对 \(r\)-循环。具体地，设 \(k\) 为域，并令 \(X = \Spec(k[x, y, t])\) 位于 \(S = \Spec(k[x, y])\) 之上。设 \(s\) 为 \(S\) 的一点，并以 \(a, b \in \kappa(s)\) 表示 \(x\) 和 \(y\) 的像。考虑如下定义的 \(X/S\) 各纤维上的 \(0\)-循环族 \(\alpha\)：

1. 若 \(b = 0\)，则 \(\alpha_s = 0\)；否则

2. \(\alpha_s = [p] - [q]\)，其中 \(p\)（相应地，\(q\)）是 \(\Spec(\kappa(s)[t])\) 的 \(\kappa(s)\)-有理点，满足 \(t = a/b\) （相应地，\(t = (a + b^2)/b\)）。

留给读者证明它与特化相容；思路是，对 \(\kappa(s)\) 上任意满足 \(v(b) > 0\) 的赋值 \(v\)，\(a/b\) 与 \((a + b^2)/b = a/b + b\) 在其剩余域上的 \(\mathbf{P}^1\) 中趋于同一点。另一方面，\(\alpha\) 的支撑之闭包包含 \((0, 0)\) 上的整条纤维。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。假设 \(S\) 局部 Noether，且 \(f\) 局部有限型。 设 \(r \geq 0\) 为整数，并令 \(\alpha\) 为 \(X/S\) 上的相对 \(r\)-循环。若 \(\alpha\) 等维，则 \(\alpha\) 的任意限制、基变换或平坦拉回都等维。

证明

略。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。假设 \(S\) 局部 Noether，且 \(f\) 局部有限型。 设 \(r \geq 0\) 为整数，并令 \(\alpha\) 为 \(X/S\) 上的相对 \(r\)-循环。则检验 \(\alpha\) 等维时，可以在 \(X\) 和 \(S\) 上 Zariski 局部地进行。

证明

确实，\(\alpha\) 等维这一条件恰好意味着 \(\alpha\) 的支撑之闭包在 \(S\) 上的 相对维数 \(\leq r\)。由于取闭包与限制到开集可交换，引理得证 （略去一个小细节）。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。假设 \(S\) 局部 Noether，且 \(f\) 局部有限型。 设 \(r \geq 0\) 为整数，并令 \(\alpha\) 为 \(X/S\) 上的相对 \(r\)-循环。设 \(\{g_i : S_i \to S\}\) 为 fppf-覆盖。则 \(\alpha\) 等维，当且仅当每个 基变换 \(g_i^*\alpha\) 都等维。

证明

若 \(\alpha\) 等维，则由引理 0H5K， 每个 \(g_i^*\alpha\) 也等维。反之，假设每个 \(g_i^*\alpha\) 都等维。以 \(W\) 表示 \(\text{Supp}(\alpha)\) 在 \(X\) 中的闭包。由于 \(g_i : S_i \to S\) 泛开（因为它平坦且局部有限表示），态射 \(f_i : X_i = S_i \times_S X \to X\) 也泛开。记 \(\alpha_i = g_i^*\alpha\)。 由引理 0H4V， \(\text{Supp}(\alpha_i) = f_i^{-1}(\text{Supp}(\alpha))\)。由于 \(f_i\) 开， \(W_i = f_i^{-1}(W)\) 是 \(\text{Supp}(\alpha_i)\) 的闭包。因此根据假设， 态射 \(W_i \to S_i\) 的相对维数 \(\leq r\)。由“态射”引理 02FY（以及态射 \(S_i \to S\) 联合满射这一事实），可知 \(W \to S\) 的相对维数 \(\leq r\)。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。假设 \(S\) 局部 Noether，且 \(f\) 局部有限型。 设 \(r, e \geq 0\) 为整数，并令 \(\alpha\) 为 \(X/S\) 上的相对 \(r\)-循环。 设 \(\{f_i : X_i \to X\}\) 为一族联合满射的局部有限型平坦态射，且其相对 维数为 \(e\)。则 \(\alpha\) 等维，当且仅当每个平坦拉回 \(f_i^*\alpha\) 都等维。

证明

略。提示：仿照引理 0H5M 的证明， 可证 \(\alpha\) 的支撑之闭包 \(W\) 沿 \(f_i\) 的逆像，是 \(f_i^*\alpha\) 的支撑之 闭包 \(W_i\)。于是，若对所有 \(i\)，\(W_i \to S\) 的相对维数 \(\leq r + e\)，则 \(W \to S\) 的相对维数 \(\leq r\)。

权函数与相对零循环

本节说明，对拟有限态射，相对零循环与“态射续篇”第 0F38 节所定义的权函数密切相关。

设 \(S\) 为局部 Noether 概形，\(f : X \to S\) 为概形的局部拟有限态射。则 \(z(X/S, 0) = z_{equi}(X/S, 0)\)，并且当 \(r > 0\) 时 \(z(X/S, r) = 0\)。 给定 \(\alpha \in z(X/S, 0)\)，定义映射 \[w_\alpha : X \longrightarrow \mathbf{Z},\quad x \mapsto \alpha(x) [\kappa(x) : \kappa(s)]_i \quad\text{其中 }s = f(x)\] 这里 \(\alpha(x)\) 表示纤维 \(X_s\) 上的 \(0\)-循环 \(\alpha_s\) 中 \(x\) 的系数， 而 \([K : k]_i\) 表示有限域扩张的不可分次数。

引理

在上述情形中，若 \(g : S' \to S\) 为局部 Noether 概形之间的态射，则 \(w_{g^*\alpha} = w_\alpha \circ g'\)，其中 \(g' : X' \to X\) 是投影 \(X' = S' \times_S X \to X\)。

证明

设 \(x' \in X'\) 在 \(S', S, X\) 中的像分别为 \(s', s, x\)。则沿 \(\kappa(s')/\kappa(s)\) 对 \([x]\) 作基变换后，\([x']\) 的系数等于局部环 \((\kappa(s') \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x))_\mathfrak q\) 的长度；这里 \(\mathfrak q\) 是与 \(x'\) 对应的素理想。因此，只需证明 \[[\kappa(x) : \kappa(s)]_i = \text{length}((\kappa(s') \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x))_\mathfrak q) [\kappa(x') : \kappa(s')]_i\] 即可得到与基变换的相容性。设 \(k/\kappa(s')\) 为一个代数闭包。选取位于 \(\mathfrak q\) 之上的素理想 \(\mathfrak p \subset k \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x)\)。假设能够证明 \[[\kappa(x) : \kappa(s)]_i = \text{length}((k \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x))_\mathfrak p) \quad\text{且}\quad [\kappa(x') : \kappa(s')]_i = \text{length}((k \otimes_{\kappa(s')} \kappa(x'))_\mathfrak p)\] 则结论成立，因为 \[\text{length}((\kappa(s') \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x))_\mathfrak q) \text{length}((k \otimes_{\kappa(s')} \kappa(x'))_\mathfrak p) = \text{length}((k \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x))_\mathfrak p)\] 由“代数”引理 02M1 以及 \(\kappa(s') \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x) \to k \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x)\) 的平坦性得出。为证明上述两个等式，只需证明第一个。令 \(\kappa(x)/\kappa/\kappa(s)\) 为“域”引理 030K 中构造的子域。于是 \[k \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x) = \prod\nolimits_{\sigma : \kappa \to k} k \otimes_{\sigma, \kappa} \kappa(x)\] 且每个因子都是次数为 \([\kappa(x) : \kappa] = [\kappa(x) : \kappa(s)]_i\) 的局部环，正合所需。

引理

设 \(S\) 为局部 Noether 概形，\(f : X \to S\) 为概形的局部拟有限态射。

1. 对 \(\alpha \in z(X/S, 0)\)，上述构造的映射 \(w_\alpha : X \to \mathbf{Z}\) 是权函数。

2. 若 \(X\) 拟紧，则给定权函数 \(w : X \to \mathbf{Z}\)，存在整数 \(n > 0\)，使得对某个 \(\alpha \in z(X/S, 0)\) 有 \(nw = w_\alpha\)。

3. 若 \(S\) 是 \(\mathbf{F}_p\) 上的概形，则 (2) 中的整数 \(n\) 可以取为 素数 \(p\) 的幂。

证明

设 \(\alpha \in z(X/S, 0)\)，并选取图 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & U \ar[l]^h \ar[d]^\pi \\ Y & V \ar[l]_g }\] 如“态射续篇”定义 0F3A 所述。以 \(\beta \in z(U/V, 0)\) 表示基变换 \(g^*\alpha\) 的限制。由与基变换的相容性 （引理 relative-cycles-lemma-weightings-pre），\(w_\beta = w_\alpha \circ h\)，所以只需 证明 \(\int_\pi w_\beta\) 在 \(V\) 上局部常值。注意 \[\begin{align*} \left( \int_\pi w_\beta \right)(v) & = \sum\nolimits_{u \in U, \pi(u) = v} \beta(u) [\kappa(u) : \kappa(v)]_i [\kappa(u) : \kappa(v)]_s \\ & = \sum\nolimits_{u \in U, \pi(u) = v} \beta(u)[\kappa(u) : \kappa(v)] \end{align*}\] 最后一个表达式是 \(\pi_*\beta \in z(V/V, 0)\) 中 \(v\) 的系数。由引理 0H5B，该函数在 \(V\) 上局部常值。

反之，设 \(w : X \to S\) 为权函数，且 \(X\) 拟紧。选取充分可除的整数 \(n\)。 令 \(\alpha\) 为 \(X/S\) 各纤维上的 \(0\)-循环族，使得对 \(s \in S\) 有 \[\alpha_s = \sum\nolimits_{f(x) = s} \frac{n w(x)}{[\kappa(x) : \kappa(s)]_i} [x]\] 作为 \(X_s\) 上的零循环。这一定义有意义，因为 \(f\) 的纤维普遍有界 （“态射”引理 03JA）， 故可以选取 \(n\)，使右边对所有 \(s \in S\) 都取整数。只要证明 \(\alpha\) 是相对 \(0\)-循环，引理的最后一个断言也随之成立。为此，需要证明 \(\alpha\) 与沿离散赋值环的特化相容。注意，\(w_\alpha\) 的构造以及引理 relative-cycles-lemma-weightings-pre 的证明都没有使用 \(\alpha\) 是相对循环这一点。 因此 \(w_\alpha = nw\)，且该等式在基变换后仍成立。此外，权函数的基变换 仍是权函数；见“态射续篇”引理 0F3B。从而归约到下一段所述问题。

假设 \(S\) 是离散赋值环的谱，其一般点为 \(\eta\)、闭点为 \(0\)。设 \(w : X \to S\) 为权函数，且 \(X\) 在 \(S\) 上拟有限。令 \(\alpha\) 为上一段 构造的 \(X/S\) 各纤维上的 \(0\)-循环族（取适当的 \(n\)）。需要证明 \(sp_{X/S}(\alpha_\eta) = \alpha_0\)。令 \(\beta \in z(X/S, 0)\) 为 \(X/S\) 上的相对 \(0\)-循环，满足 \(\beta_\eta = \alpha_\eta\) 且 \(\beta_0 = sp_{X/S}(\alpha_\eta)\)。于是 \(w' = w_\beta - nw : X \to \mathbf{Z}\) 是权函数（使用上面的结论）， 并在 \(X\) 中映到 \(\eta\) 的点处为零。由“态射续篇”引理 more-morphisms-lemma-weighting-specialization，\(w' = 0\)。这意味着 \(w_\beta = nw\)，故如所需，\(\alpha = \beta\)。

例

设 \(p\) 为素数，\(k'/k\) 为次数 \(p^f\) 的纯不可分域扩张。令 \(X = \Spec(k')\)、\(S = \Spec(k)\)。把 \(X\) 的唯一一点 \(x\) 映到 \(1\) 的映射 \(w : X \to \mathbf{Z}\) 是 \(X \to S\) 的权函数。另一方面，群 \(z(X/S, 0)\) 由循环 \(\alpha = [x]\) 自由生成。因此在此情形中，引理 0H5P 所需的最小整数 \(n\) 是 \(n = p^f\)。

例

上述讨论可以用来“解释” A.S. Merkurjev 的一个例子 [SV, Example 3.5.10]。设 \(p\) 为素数，并令 \(k = \mathbf{F}_p(a, b)\) 为 \(\mathbf{F}_p\) 关于 \(a\) 和 \(b\) 的纯超越扩张。 令 \[A = k[x, y, z]/(a x^p + b y^p - z^p)\] 这是 \(k\) 上有限型的正规整环。谱 \(S = \Spec(A)\) 除了唯一的奇点 \(s\) 外 正则；该点对应于 \(A\) 的极大理想 \((x, y, z)\)，其剩余域为 \(k\)。令 \(k' = k(a^{1/p}, b^{1/p})\)、\(B = k'[x, y]\)。利用嵌入 \(k \to k'\)，考虑 映射 \(A \to B\)：它把 \(x\) 映到 \(x\)、把 \(y\) 映到 \(y\)、把 \(z\) 映到 \(a^{1/p}x + b^{1/p}y\)。令 \(X = \Spec(B)\)，并考虑与环映射 \(A \to B\) 对应的态射 \(f : X \to S\)。由“态射续篇”引理 0F3E 为 \(f\) 产生的 权函数 \(w : X \to \mathbf{Z}\) 恒等于 \(1\)，因为 \(B\) 的分式域在 \(A\) 上 纯不可分！令 \(V = f^{-1}(U) \subset X\)。由奇迹平坦性，\(V \to U\) 平坦， 次数为 \(p\)。因此循环 \(\alpha = [V/V/U]_0 \in z(V/U, 0)\) 满足 \(w_\alpha = pw|_V\)。然而，位于 \(s\) 上方的 \(X\) 的唯一一点 \(x\) 的剩余域 为 \(k'\)，它在 \(k\) 上的次数为 \(p^2\)；故不存在 \(z(X/S, 0)\) 中限制为 \(\alpha\) 的元素 \(\beta\)。事实上，由“态射续篇”引理 more-morphisms-lemma-weighting-specialization，权函数 \(pw - w_\beta\) 必为零；这将由上面引理证明中的公式蕴含 \[\beta_s = \frac{pw(x)}{[\kappa(x) : \kappa(s)]_i} [x] = \frac{1}{p}[x]\] 于 \(Z_0(X_s)\) 中，而这是不可能的³。当然，循环 \(p\alpha\) 是 \(z(X/S, 0)\) 中 唯一一个元素的限制。

有效相对循环

定义如下。

定义

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。假设 \(S\) 局部 Noether，且 \(f\) 局部有限型。 设 \(r \geq 0\) 为整数。若对所有 \(s \in S\)，\(\alpha_s\) 都是有效循环 （Chow 同调，定义 0H47），则称 \(X/S\) 上的 相对 \(r\)-循环 \(\alpha\) 有效。\(X/S\) 上所有有效相对 \(r\)-循环所成的 幺半群记作 \(z^{eff}(X/S, r)\)。

下面将证明有效相对循环等维；见引理 0H5X。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。假设 \(S\) 局部 Noether，且 \(f\) 局部有限型。 设 \(r \geq 0\) 为整数，并令 \(\alpha\) 为 \(X/S\) 上的相对 \(r\)-循环。若 \(\alpha\) 有效，则 \(\alpha\) 的任意限制、基变换、平坦拉回或固有前推都有效。

证明

略。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。假设 \(S\) 局部 Noether，且 \(f\) 局部有限型。 设 \(r \geq 0\) 为整数，并令 \(\alpha\) 为 \(X/S\) 上的相对 \(r\)-循环。则检验 \(\alpha\) 有效时，可以在 \(X\) 和 \(S\) 上 Zariski 局部地进行。

证明

略。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。假设 \(S\) 局部 Noether，且 \(f\) 局部有限型。 设 \(r \geq 0\) 为整数，并令 \(\alpha\) 为 \(X/S\) 上的相对 \(r\)-循环。设 \(g : S' \to S\) 为满射。则 \(\alpha\) 有效，当且仅当基变换 \(g^*\alpha\) 有效。

证明

略。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。假设 \(S\) 局部 Noether，且 \(f\) 局部有限型。 设 \(r, e \geq 0\) 为整数，并令 \(\alpha\) 为 \(X/S\) 上的相对 \(r\)-循环。 设 \(\{f_i : X_i \to X\}\) 为一族联合满射的局部有限型平坦态射，且其相对 维数为 \(e\)。则 \(\alpha\) 有效，当且仅当每个平坦拉回 \(f_i^*\alpha\) 都有效。

证明

略。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。假设 \(S\) 局部 Noether，且 \(f\) 局部有限型。 设 \(r, e \geq 0\) 为整数，并令 \(\alpha\) 为 \(X/S\) 上的相对 \(r\)-循环。 若 \(\alpha\) 有效，则 \(\text{Supp}(\alpha)\) 在 \(X\) 中闭。

证明

设 \(g : S' \to S\) 是一个不可约分支的浸入，并把该分支视作整闭子概形。 由引理 0H5S 和 0H4V，只需证明基变换 \(g^*\alpha\) 的支撑在 \(S' \times_S S\) 中闭。因此可以假设 \(S\) 为一般点是 \(\eta\) 的整概形。 我们将证明 \(\text{Supp}(\alpha)\) 是 \(\text{Supp}(\alpha_\eta)\) 的闭包。 为此，任取 \(s \in S\)。存在态射 \(g : S' \to S\)，其中 \(S'\) 是离散赋值环 的谱，它把一般点 \(\eta' \in S'\) 映到 \(\eta\)，把闭点 \(0 \in S'\) 映到 \(s\)；见“性质”引理 054F。于是只需证明 \(g^*\alpha\) 的支撑等于 \(\text{Supp}((g^\alpha)_{\eta'})\) 的闭包。这就 归约到下一段所述情形。

此处 \(S\) 是离散赋值环的谱，其一般点为 \(\eta\)、闭点为 \(0\)。需要证明 \(\text{Supp}(\alpha)\) 是 \(\text{Supp}(\alpha_\eta)\) 的闭包。由于 \(\alpha\) 有效，可以写成 \(\alpha_\eta = \sum n_i[Z_i]\)，其中 \(n_i > 0\)，且 \(Z_i \subset X_\eta\) 是维数为 \(r\) 的整闭子概形。由于 \(\alpha_0 = sp_{X/S}(\alpha_\eta)\)，有 \(\alpha_0 = \sum n_i [\overline{Z}_{i, 0}]_r\)，其中 \(\overline{Z}_i\) 是 \(Z_i\) 的闭包。由“代数簇”引理 0B2J， \(\overline{Z}_{i, 0}\) 是维数为 \(r\) 的等维概形。由于 \(n_i > 0\)， \(\text{Supp}(\alpha_0)\) 等于所有 \(\overline{Z}_{i, 0}\) 的并；它就是 \(\bigcup \overline{Z}_i\) 在 \(0\) 上的纤维，而后者又是 \(\bigcup Z_i\) 的 闭包，正合所需。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。假设 \(S\) 局部 Noether，且 \(f\) 局部有限型。 设 \(r, e \geq 0\) 为整数，并令 \(\alpha\) 为 \(X/S\) 上的相对 \(r\)-循环。 若 \(\alpha\) 有效，则 \(\alpha\) 等维。

证明

假设 \(\alpha\) 有效。由引理 0H5W，支撑 \(\text{Supp}(\alpha)\) 在 \(X\) 中闭。由于 \(\text{Supp}(\alpha) \to S\) 的 纤维是循环 \(\alpha_s\) 的支撑，因而维数为 \(r\)，所以 \(\alpha\) 等维。

注

设 \(f : X \to S\) 为概形态射，其中 \(S\) 局部 Noether，且 \(f\) 局部有限型。 我们可以问，下述反变函子 \[\begin{matrix} \text{局部有限型的概形 }S'\text{，} \\ \text{其底概形为 }S \end{matrix} \longrightarrow z^{eff}(X'/S', r)\text{，其中 }X' = S' \times_S X\] 是否可表。由于 \(z(X'/S', r) = z(X'_{red}/S'_{red}, r)\)，答案不可能为是 （我们把构造一个实际反例留给读者）。更合适的问题是：能否在左端找到一个 子范畴，使该函子限制在其上后可表。引理 0H5G 提示我们至少应限制到 \(S\) 上半正规概形的范畴。

若 \(S/\Spec(\mathbf{Q})\) 是 Nagata 的，且 \(f\) 为投射态射，则事实证明， \(S' \mapsto z^{eff}(X'/S', r)\) 在半正规的 \(S'\) 所成范畴上可表。 粗略地说，这正是 [KRC, Theorem 3.21] 的内容。

若 \(S\) 有正特征点，那么即使把半正规性换成弱正规性，上述结论也不再成立； 若对任意双有理泛同胚 \(T' \to T\) 都存在截面，则称局部 Noether 概形 \(T\) 为弱正规的。一个例子是取 \(S = \Spec(k)\)，其中 \(k\) 为特征 \(2\) 的域，并考虑 \(X = \mathbf{A}^2_k\) 上次数为 \(2\) 的 \(0\)-循环。具体而言，在 \(W = X \times_S X\) 上有一个典范相对 \(0\)-循环 \(\alpha \in z^{eff}(X_W/W, 0)\)：对 \(w = (x_1, x_2) \in W = X^2\)，有 \(\alpha_w = [x_1] + [x_2]\)。此循环在交换两因子的对合 \(\sigma : W \to W\) 下不变。由于 \(W\) 光滑（从而正规，进而弱正规），若 \(z(-/-, r)\) 在 \(k\) 上有限型弱正规概形的范畴上由 \(M\) 表示，我们便得到从 \(W\) 到 \(M\) 的一个 \(\sigma\)-不变态射。它继而定义从商概形 \(\text{Sym}^2_S(X) = W/\langle \sigma \rangle\) 到 \(M\) 的态射。由于 \(\text{Sym}^2_S(X)\) 正规，由 \(M\) 的模性质，我们会在 \(X \times_S \text{Sym}^2_S(X) / \text{Sym}^2_S(X)\) 上得到一个相对 \(0\)-循环 \(\beta\)，其到 \(W\) 的拉回为 \(\alpha\)。然而，这样的循环 \(\beta\) 并不存在。事实上，写 \(X = \Spec(k[u, v])\)，则概形 \(\text{Sym}^2_S(X)\) 是下述环的谱： \[k[u_1 + u_2, u_1u_2, v_1 + v_2, v_1v_2, u_1v_1 + u_2v_2] \subset k[u_1, u_2, v_1, v_2]\] 对角线 \(u_1 = u_2, v_1 = v_2\) 在 \(\text{Sym}^2_S(X)\) 中的像是闭子概形 \(V = \Spec(k[u_1^2, v_1^2])\)；这里用到了 \(k\) 的特征为 \(2\)。考察 \(V\) 的 一般点 \(\eta\)，则 \(\beta_\eta\) 会是 \(\mathbf{A}^2_{k(u_1^2, v_1^2)}\) 上次数为 \(2\) 的零维循环，而它到 \(\mathbf{A}^2_{k(u_1, u_2)}\) 的拉回将是 \(2[\text{坐标为 } (u_1, v_2)]\)。这显然不可能。

上述讨论并不与 [KRC, Theorem 4.13] 矛盾，因为该定理中的 Chow 簇只对 一个函子给出粗表示（事实上是两个不同的函子；经过一些工作可以看出，在 \(X\) 投射时只有其中一个与我们的函子一致）。类似地， [SV, Section 4.4] 证明：当 \(X/S\) 投射时，预层 \(S' \mapsto z^{eff}(S' \times_S X/S', r)\) 的 \(h\)-层化等于某个可表函子的 \(h\)-层化。

注

设 \(f : X \to S\) 为概形态射，\(r \geq 0\)，并设 \(Z \subset X\) 为闭子概形。 假设

1. \(S\) 是 Noether 且几何单枝的，

2. \(f\) 有限型，并且

3. \(Z \to S\) 的相对维数 \(\leq r\)。

则对所有充分可除的整数 \(n \geq 1\)，存在唯一的 \(X/S\) 上有效相对 \(r\)-循环 \(\alpha\)，使得对 \(S\) 的每个一般点 \(\eta\) 都有 \(\alpha_\eta = n[Z_\eta]_r\)。这是 [SV, Theorem 3.4.2] 的一种改述。 若以后需要这一结果，我们将在此准确陈述并证明它。

固有相对循环

在我们的设定中，下面大概是恰当的定义。

定义

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。假设 \(S\) 局部 Noether，且 \(f\) 局部有限型。 设 \(r \geq 0\) 为整数。若 \(\alpha\) 的支撑（注记 0H4U）包含在某个在 \(S\) 上固有的闭子集 \(W \subset X\) 中（概形上同调，定义 0CYM），则称 \(X/S\) 上的相对 \(r\)-循环 \(\alpha\) 为固有相对循环。\(X/S\) 上所有固有相对 \(r\)-循环所成的群记为 \(c(X/S, r)\)。

由概形上同调，引理 0CYN， 这恰好意味着支撑的闭包在底上固有。要看出这些循环构成一个群，可用 概形上同调，引理 0CYR。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。假设 \(S\) 局部 Noether，且 \(f\) 局部有限型。 设 \(r \geq 0\) 为整数，并令 \(\alpha\) 为 \(X/S\) 上的相对 \(r\)-循环。若 \(\alpha\) 固有，则 \(\alpha\) 的任意基变换都固有。

证明

略。

引理

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。假设 \(S\) 局部 Noether，且 \(f\) 局部有限型。 设 \(r \geq 0\) 为整数，令 \(\alpha\) 为 \(X/S\) 上的相对 \(r\)-循环，并设 \(\{g_i : S_i \to S\}\) 为一个 h-覆盖。则 \(\alpha\) 固有，当且仅当每个 基变换 \(g_i^*\alpha\) 都固有。

证明

若 \(\alpha\) 固有，则由引理 0H62，每个 \(g_i^*\alpha\) 也固有。反之，假设每个 \(g_i^*\alpha\) 都固有。为证明 \(\alpha\) 固有，显然只需在 \(S\) 上仿射局部地工作，故可设 \(S\) 仿射。 于是可用一族 \(\{T_j \to S\}\) 加细覆盖 \(\{S_i \to S\}\)，其中 \(g : T \to S\) 是固有满态射，且 \(T = \bigcup T_j\) 为开覆盖。 因此，\(\beta = g^*\alpha\) 在 \(Y = T \times_S X\) 上作为 \(T\) 上的循环是 固有的。由引理 0H4V，\(\beta\) 的支撑是 \(\alpha\) 的 支撑在态射 \(f : Y \to X\) 下的逆像。因此，\(f^{-1}\text{Supp}(\alpha)\) 在该概形中的闭包 \(W \subset Y\) 在 \(T\) 上固有。又因态射 \(T \to S\) 固有，所以 \(W\) 在 \(S\) 上固有。于是由概形上同调，引理 0CYQ，像 \(f(W) \subset X\) 是在 \(S\) 上固有的闭子集。由于 \(f(W)\) 包含 \(\text{Supp}(\alpha)\)，故 \(\alpha\) 固有。

固有且等维的相对循环

设 \(f : X \to S\) 为概形态射。假设 \(S\) 局部 Noether，且 \(f\) 局部有限型。 设 \(r \geq 0\) 为整数。若 \(X/S\) 上的相对 \(r\)-循环 \(\alpha\) 既等维 （定义 0H5I）又固有（定义 0H61），则称 \(\alpha\) 为固有且等维的相对循环。 \(X/S\) 上所有固有且等维的相对 \(r\)-循环所成的群记为 \(c_{equi}(X/S, r)\)。

类似地，若 \(X/S\) 上的相对 \(r\)-循环 \(\alpha\) 既有效（定义 0H5R）又固有（定义 0H61）， 则称 \(\alpha\) 为固有且有效的相对循环。\(X/S\) 上所有固有且有效的相对 \(r\)-循环所成的幺半群记为 \(c^{eff}(X/S, r)\)。注意，由引理 0H5X，这些循环都是等维的。

于是有如下包含映射图： \[\xymatrix{ c^{eff}(X/S, r) \ar[r] \ar[d] & c_{equi}(X/S, r) \ar[r] \ar[d] & c(X/S, r) \ar[d] \\ z^{eff}(X/S, r) \ar[r] & z_{equi}(X/S, r) \ar[r] & z(X/S, r) }\]

循环上的作用

设 \(S\) 为局部 Noether、普遍链状的概形，并赋予维数函数 \(\delta\)，参见 Chow 同调，第 02QK 节。设 \(X \to Y\) 为 \(S\) 上的 概形态射，且二者均在 \(S\) 上局部有限型。设 \(r \geq 0\)。最后，令 \(\alpha\) 为 \(X/Y\) 的纤维上的 \(r\)-循环族。对 \(e \in \mathbf{Z}\)， 我们将构造运算 \[\alpha \cap - : Z_e(Y) \longrightarrow Z_{r + e}(X)\] 具体而言，给定 \(\beta \in Z_e(Y)\)，写成 \(\beta = \sum n_i[Z_i]\)，其中 \(Z_i \subset Y\) 是 \(\delta\)-维数为 \(e\) 的整闭子概形，且族 \(Z_i\) 在概形 \(Y\) 中局部有限。令 \(y_i \in Z_i\) 为一般点，并写 \(\alpha_{y_i} = \sum m_{ij} [V_{ij}]\)。于是 \(V_{ij} \subset X_{y_i}\) 是维数为 \(r\) 的整闭子概形，且族 \(V_{ij}\) 在概形 \(X_{y_i}\) 中局部有限。 定义 \[\alpha \cap \beta = \sum n_i m_{ij} [\overline{V}_{ij}] \quad\in\quad Z_{r + e}(X)\] 这里，\(\overline{V}_{ij} \subset X\) 是态射 \(V_{ij} \to X_{y_i} \to X\) 的概形论像；等价地，\(\overline{V}_{ij} \subset X\) 是一个支配地映到 \(Z_i \subset Y\)、且一般纤维为 \(V_{ij}\) 的整闭子概形。容易推出 \(\dim_\delta(\overline{V}_{ij}) = r + e\)，并且闭子概形族 \(\overline{V}_{ij} \subset X\) 局部有限（验证从略）。因此 \(\alpha \cap \beta\) 的确是 \(Z_{r + e}(X)\) 的元素。

引理

上述构造是双线性的，即 \((\alpha_1 + \alpha_2) \cap \beta = \alpha_1 \cap \beta + \alpha_2 \cap \beta\)，且 \(\alpha \cap (\beta_1 + \beta_2) = \alpha \cap \beta_1 + \alpha \cap \beta_2\).

证明

略。

引理

若 \(U \subset X\) 与 \(V \subset Y\) 为开集，且 \(f(U) \subset V\)，则 \((\alpha \cap \beta)|_U\) 等于 \(\alpha|_U \cap \beta|_V\)。

证明

由上面对 \(\alpha \cap \beta\) 的显式描述立即可得。

引理

构造 \(\alpha \cap \beta\) 与平坦基变换和平坦拉回相容（详见证明）。

证明

令 \((S, \delta)\)、\((S', \delta')\)、\(g : S' \to S\) 与 \(c \in \mathbf{Z}\) 如 Chow 同调，情形 0FVG 所述。设 \(X \to Y\) 为 \(S\) 上局部有限型的概形态射，记 \(X' \to Y'\) 为 \(X \to Y\) 沿 \(g\) 的基变换。令 \(\alpha\) 为 \(X/Y\) 的纤维上的 \(r\)-循环族，并令 \(\beta \in Z_e(Y)\)。记 \(\alpha'\) 为 \(\alpha\) 沿 \(Y' \to Y\) 的基变换，记 \(\beta' = g^*\beta \in Z_{e + c}(Y')\) 为 \(\beta\) 沿 \(g\) 的拉回，参见 Chow 同调，第 0FVF 节。与基变换相容，是指 \(\alpha' \cap \beta'\) 是 \(\alpha \cap \beta\) 的基变换。

先证与基变换相容。由于要证明的是 \(X'\) 上循环的等式，由引理 0H67，可以在 \(Y\) 上局部地工作。因此可设 \(Y\) 仿射。 特别地，\(\beta\) 是素循环的有限线性组合。由于 \(- \cap -\) 关于第二个 变量线性（引理 0H66），只需在 \(\beta = [Z]\) 时证明该等式，其中 \(Z \subset Y\) 是 \(\delta\)-维数为 \(e\) 的整闭子概形。

令 \(y \in Z\) 为一般点。写 \(\alpha_y = \sum m_j [V_j]\)，并令 \(\overline{V}_j\) 为 \(V_j\) 在 \(X\) 中的闭包。则 \[\alpha \cap \beta = \sum m_j[\overline{V}_j]\] \(\beta\) 的基变换是 \(Y' = Y \times_S S'\) 上的循环 \(\beta' = \sum [Z \times_S S']_{e + c}\)。令 \(Z'_a \subset Z \times_S S'\) 为不可约分支，记 \(y'_a \in Z'_a\) 为其 一般点，并记 \(n_a\) 为 \(Z'_a\) 在 \(Z \times_S S'\) 中的重数。我们有 \[\beta' = \sum [Z \times_S S']_{e + c} = \sum n_a[Z'_a]\] 由于 \(\alpha'\) 是 \(\alpha\) 沿 \(Y' \to Y\) 的基变换，故 \(\alpha'_{y'_a} = \sum m_j [V_{j, \kappa(y'_a)}]_r\)。令 \(V'_{jab} \subset V_{j, \kappa(y'_a)}\) 为不可约分支，并记 \(m_{jab}\) 为 \(V'_{jab}\) 在 \(V_{j, \kappa(y'_a)}\) 中的重数。我们有 \[\alpha'_{y'_a} = \sum m_j [V_{j, \kappa(y'_a)}]_r = \sum m_j m_{jab} [V'_{jab}]\] 因此 \[\alpha' \cap \beta' = \sum n_a m_j m_{jab} [\overline{V}'_{jab}]\] 其中 \(\overline{V}'_{jab}\) 是 \(V'_{jab}\) 在 \(X'\) 中的闭包。因此，为证明 所需等式，只需证明

1. \(\overline{V}_j \times_S S'\) 的不可约分支是概形 \(\overline{V}'_{jab}\)，并且

2. \(\overline{V}'_{jab}\) 在 \(\overline{V}_j \times_S S'\) 中的重数等于 \(n_a m_{jab}\)。

注意，\(V_j \to \overline{V}_j\) 是整概形间的双有理态射。态射 \(V_j \times_S S' \to V_j\) 与 \(\overline{V}_j \times_S S' \to \overline{V}_j\) 都是平坦的，因而把 不可约分支的一般点分别映到 \(V_j\) 与 \(\overline{V}_j\) 的（唯一）一般点。 由此，\(V_j \times_S S' \to \overline{V}_j \times_S S'\) 是双有理态射， 故在不可约分支之间诱导双射，并识别其重数。这意味着只需证明 \(V_j \times_S S'\) 的不可约分支是概形 \(V'_{jab}\)，且 \(V'_{jab}\) 在 \(V_j \times_S S'\) 中的重数等于 \(n_a m_{jab}\)。然而，这正是在断言图 \[\xymatrix{ Z_r(V_j) \ar[r] & Z_{r + c}(V_j \times_S S') \\ Z_0(\Spec(\kappa(y))) \ar[r] \ar[u] & Z_c(\Spec(\kappa(y)) \times_S S') \ar[u] }\] 交换，其中水平箭头是沿 \(\Spec(\kappa(y)) \times_S S' \to \Spec(\kappa(y))\) 的基变换，竖直箭头 是平坦拉回。这已在 Chow 同调，引理 0FVK 中证明。

引理中关于平坦拉回的陈述含义如下。令 \((S, \delta)\)、\(X \to Y\)、 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 如上面构造 \(\alpha \cap \beta\) 时所述。设 \(Y' \to Y\) 是局部有限型、相对维数为 \(c\) 的平坦态射。令 \(\alpha'\) 为 \(\alpha\) 沿 \(Y' \to Y\) 的基变换，令 \(\beta'\) 为 \(\beta\) 的平坦拉回。 与平坦拉回相容，是指 \(\alpha' \cap \beta'\) 是 \(\alpha \cap \beta\) 沿 \(X \times_Y Y' \to Y\) 的平坦拉回。事实上，令 \(S = Y\) 且 \(S' = Y'\)，这就是上面讨论的特例。

引理

令 \((S, \delta)\) 与 \(f : X \to Y\) 如上。设 \(\mathcal{F}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，且对所有 \(y \in Y\) 都有 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_y)) \leq r\)。设 \(\mathcal{G}\) 为凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模，且 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{G})) \leq e\)。 令 \(\alpha = [\mathcal{F}/X/Y]_r\)（例 0H4Q），并令 \(\beta = [\mathcal{G}]_e\) （Chow 同调，定义 02QX）。若 \(\mathcal{F}\) 在 \(Y\) 上平坦，则 \(\alpha \cap \beta = [\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}]_{r + e}\)。

证明

注意 \[\text{Supp}(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}) = \text{Supp}(\mathcal{F}) \cap f^{-1}\text{Supp}(\mathcal{G}) = \bigcup\nolimits_{y \in \text{Supp}(\mathcal{G})} \text{Supp}(\mathcal{F}_y)\] 由此，它是 \(\delta\)-维数 \(\leq r + e\) 的闭子集。因此表达式 \([\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}]_{r + e}\) 有意义。

沿用构造 \(\alpha \cap \beta\) 时引入的记号 \(\beta = \sum n_i[Z_i]\)、\(y_i \in Z_i\)、 \(\alpha_{y_i} = \sum m_{ij} [V_{ij}]\) 与 \(\overline{V}_{ij}\)。由于 \(\beta = [\mathcal{G}]_e\)，可知 \(Z_i\) 是 \(\text{Supp}(\mathcal{G})\) 中 \(\delta\)-维数为 \(e\) 的不可约分支。 类似地，\(V_{ij}\) 是 \(\text{Supp}(\mathcal{F}_{y_i})\) 中维数为 \(r\) 的 不可约分支。结合这一点与第一段中的等式可知，\(\overline{V}_{ij}\) 是 \(\text{Supp}(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G})\) 中 \(\delta\)-维数为 \(r + e\) 的不可约分支。因此，为证明本引理，只需证明 \[\text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi_{ij}}}( (\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G})_{\xi_{ij}}) = \text{length}_{\mathcal{O}_{X_{y_i}, \xi_{ij}}}((\mathcal{F}_{y_i})_{\xi_{ij}}) \cdot \text{length}_{\mathcal{O}_{Y, y_i}}(\mathcal{G}_{y_i})\] 由证明第一段，左端等于下述 \(B = \mathcal{O}_{X, \xi_{ij}}\)-模的长度： \[\mathcal{G}_{y_i} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y_i}} \mathcal{F}_{\xi_{ij}} = M \otimes_A N\] 这里，\(M = \mathcal{G}_{y_i}\) 是有限长度的 \(A = \mathcal{O}_{Y, y_i}\)-模，而 \(N = \mathcal{F}_{\xi_{ij}}\) 是有限 \(B\)-模，并且 \(N/\mathfrak m_AN\) 长度有限。由于 \(\mathcal{F}\) 在 \(Y\) 上平坦，模 \(N\) 是 \(A\)-平坦的。公式右端等于 \[\text{length}_B(N/\mathfrak m_A N) \cdot \text{length}_A(M)\] 因此，公式左端与右端都关于 \(M\) 可加（使用 \(N\) 在 \(A\) 上的平坦性）。 故只需在 \(M = \kappa_A\) 为剩余域时证明该公式，而此时结论立即成立。

引理

令 \((S, \delta)\) 与 \(f : X \to Y\) 如上。设 \(Z \subset X\) 为在 \(Y\) 上相对维数 \(\leq r\) 的闭子概形。令 \(\alpha = [Z/X/Y]_r\)（例 0H4S）。设 \(W \subset Y\) 为 \(\delta\)-维数 \(\leq e\) 的闭子概形。令 \(\beta = [W]_e\)（Chow 同调， 定义 02QU）。若 \(Z\) 在 \(Y\) 上平坦，则 \(\alpha \cap \beta = [Z \times_Y W]_{r + e}\)。

证明

在引理 0H69 中取 \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_Z\) 和 \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_W\) 即得。

引理

令 \((S, \delta)\) 与 \(f : X \to Y\) 如上。假设 \(f\) 平坦，且相对维数为 \(e\)。对 \(\beta \in Z_r(Y)\)，在 \(Z_{e + r}(X)\) 中有 \(f^*\beta = [X/X/Y]_e \cap \beta\)。

证明

只需在 \(X\) 上局部地证明该等式，故可设 \(Y\) 仿射。此时 \(\beta\) 是素循环的 有限整数线性组合。由于等式两端都关于 \(\beta\) 可加，可设 \(\beta = [W]\)，其中 \(W\) 是 \(Y\) 中 \(\delta\)-维数为 \(r\) 的整闭子概形。 令 \(f^{-1}(W) = W \times_Y X\) 为 \(W\) 在 \(X\) 中的概形论逆像。由引理 0H6A，有 \([X/X/Y]_e \cap \beta = [W \times_Y X]_{r + e}\)；而由 Chow 同调，定义 02RB，有 \(f^*\beta = [f^{-1}(W)]_{r + e}\)。故得到所需等式。

引理

令 \((S, \delta)\) 如上。设 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_f \ar[d] & X \ar[d] \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] 是 \(S\) 上局部有限型概形的笛卡尔图，且 \(g\) 固有。设 \(r, e \geq 0\)， 令 \(\alpha\) 为 \(X/Y\) 的纤维上的 \(r\)-循环族，并令 \(\beta' \in Z_e(Y')\)。则 \(f_*(g^*\alpha \cap \beta') = \alpha \cap g_*\beta'\)。

证明

由于要证明的是 \(X\) 上循环的等式，由引理 0H67，可在 \(Y\) 上局部地工作。因此可设 \(Y\) 仿射，从而 \(Y'\) 拟紧。特别地， \(\beta'\) 是素循环的有限线性组合。由于 \(- \cap -\) 关于第二个变量线性 （引理 0H66），只需在 \(\beta' = [Z']\) 时证明该 等式，其中 \(Z' \subset Y'\) 是 \(\delta\)-维数为 \(e\) 的整闭子概形。令 \(Z = g(Z')\)。这是 \(Y\) 中 \(\delta\)-维数 \(\leq e\) 的整闭子概形。为简便 起见，我们假设 \(Z\) 的 \(\delta\)-维数等于 \(e\)，并把另一种（更容易的） 情形留给读者。令 \(y \in Z\) 与 \(y' \in Z'\) 为一般点。写 \(\alpha_y = \sum m_j[V_j]\)，其中 \(V_j \subset X_y\) 是维数为 \(r\) 的 整闭子概形。

先假设 \(g\) 为闭浸入。于是 \(g_*\beta' = [Z]\) 且 \((g^*\alpha)_{y'} = \sum n_j[V_j]\)；这是有意义的，因为 \(V_j\) 包含在 \(X_y\) 的闭子概形 \(X'_{y'}\) 中。因此，此时等式显然：两边都得到 \(\sum m_j[\overline{V}_j]\)，其中 \(\overline{V}_j\) 是 \(V_j\) 在闭子概形 \(X' \subset X\) 中的闭包。

回到上述 \(\beta' = [Z']\) 的一般情形。令 \(W = Z \times_Y X\) 且 \(W' = Z' \times_{Y'} X'\)。考虑笛卡尔方块 \[\xymatrix{ W \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ Z \ar[r] & Y } \quad \xymatrix{ W' \ar[r] \ar[d] & X' \ar[d] \\ Z' \ar[r] & Y' } \quad \xymatrix{ W' \ar[r] \ar[d] & W \ar[d] \\ Z' \ar[r] & Z }\] 由上一段已知前两个方块的结论，一个形式论证表明，只需对最后一个方块与 元素 \(\beta' = [Z'] \in Z_e(Z')\) 证明结论。于是归结为下一段讨论的情形。

假设 \(Y' \to Y\) 是 \(\delta\)-维数为 \(e\) 的整概形之间的一般有限态射，且 \(\beta' = [Y']\)。此时，\(f_*(g^*\alpha \cap \beta')\) 与 \(\alpha \cap g_*\beta'\) 都可写成支配 \(Y\) 的素循环之和。因此，为检验 等式，可以把 \(Y\) 换成一个非空开子概形。作此替换后，可设 \(g\) 有限且 平坦，譬如次数为 \(d \geq 1\)。当然，这意味着 \(g_*\beta' = g_*[Y'] = d[Y]\)。又有 \(\beta' = [Y'] = g^*[Y]\)。因此 \[f_*(g^*\alpha \cap \beta') = f_*(g^*\alpha \cap g^*[Y]) = f_*f^*(\alpha \cap [Y]) = d (\alpha \cap [Y]) = \alpha \cap g_*\beta'\] 正合所需。第二个等号来自引理 0H68，第三个等号 来自 Chow 同调，引理 02RH。

Chow 群上的作用

当 \(\alpha\) 为相对 \(r\)-循环时，第 0H65 节的运算 \(\alpha \cap -\) 可经由有理等价因子化，并定义一个双变类。

引理

令 \((S, \delta)\) 如第 0H65 节所述。设 \(f : X' \to X\) 为 \(S\) 上局部有限型概形之间的固有态射。令 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) 如 Chow 同调，定义 02T8 所述。构造图 \[\xymatrix{ D' \ar[d]_g \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^f \\ D \ar[r]^i & X }\] 如 Chow 同调，注记 0B6Y 所述。若 \(\mathcal{L}|_D \cong \mathcal{O}_D\)，则对任意 \(\alpha' \in Z_{k + 1}(X')\)，在 \(Z_k(D)\) 中有 \(i^*f_*\alpha' = g_*(i')^*\alpha'\)。

证明

该陈述有意义，因为所有运算都在循环层面定义；关于 Gysin 映射，参见 Chow 同调，注记 0B6Z。假设对某个整闭子概形 \(W' \subset X'\) 有 \(\alpha = [W']\)。令 \(W = f(W') \subset X\)。若 \(W' \not \subset D'\)，则 \(W \not \subset D\)，并且 \[[W' \cap D']_k = \text{div}_{\mathcal{L}'|_{W'}}({s'|_{W'}}) \quad\text{且}\quad [W \cap D]_k = \text{div}_{\mathcal{L}|_W}(s|_W)\] 因此，由 Chow 同调，引理 02ST，第一个循环 在 \(f_*\) 下的像等于第二个循环。故等式在循环层面成立。若 \(W' \subset D'\)，则 \(W \subset D\)，且按构造两端都为零。

引理

令 \((S, \delta)\) 如第 0H65 节所述。设 \(X \to Y\) 为 \(S\) 上局部有限型概形之间的态射。设 \(r \geq 0\)，并令 \(\alpha \in z(X/Y, r)\) 为 \(X/Y\) 上的相对 \(r\)-循环。令 \((\mathcal{L}, s, i : D \to Y)\) 如 Chow 同调，定义 02T8 所述。构造笛卡尔图 \[\xymatrix{ E \ar[d] \ar[r]_j & X \ar[d] \\ D \ar[r]^i & Y }\] 参见 Chow 同调，注记 0B6Y。若 \(\mathcal{L}|_D \cong \mathcal{O}_D\)，则对 \(e \in \mathbf{Z}\)，图 \[\xymatrix{ Z_e(D) \ar[rr]_{i^*\alpha \cap -} & & Z_{e + r}(E) \\ Z_{e + 1}(Y) \ar[u]^{i^*} \ar[rr]^{\alpha \cap -} & & Z_{r + e + 1}(X) \ar[u]_{j^*} }\] 交换，其中竖直箭头 \(i^*\) 与 \(j^*\) 是 Chow 同调，注记 0B6Z 中的循环 Gysin 映射。

证明

先作预备说明。假设 \(g : Y' \to Y\) 为包络（Chow 同调，定义 0GU5）。分别用 \(D', i', E', j', X', \alpha'\) 表示 \(D, i, E, j, X, \alpha\) 沿 \(g\) 的基变换，并记 \(f : X' \to X\) 为投影。假设本引理对 \(D', i', E', j', X', Y', \alpha'\) 成立。于是，若 \(\beta' \in Z_{e + 1}(Y')\)，则 \[\begin{align*} i^*\alpha \cap i^*g_*\beta' & = i^*\alpha \cap f_*(i')^*\beta' \\ & = f_*(f^*i^*\alpha \cap (i')^*\beta') \\ & = f_*((i')^*\alpha' \cap (i')^*\beta') \\ & = f_*((j')^*(\alpha' \cap \beta')) \\ & = j^*(f_*(f^*\alpha \cap \beta')) \\ & = j^*(\alpha \cap g_*\beta') \end{align*}\] 这里，第一个等号来自引理 0H6D，第二个等号来自 引理 0H6B，第三个等号是 \(\alpha'\) 的定义，第四个 等号来自本引理对 \(D', i', E', j', X', \alpha'\) 成立的假设，第五个等号 来自引理 0H6D，第六个等号来自引理 0H6B。因此，本引理对 \(g_* : Z_{e + 1}(Y') \to Z_e(Y)\) 的像成立。然而，由于 \(g\) 完全分解， 此映射满射，故本引理对 \(D, i, E, j, X, Y, \alpha\) 成立。

令 \(\beta \in Z_{e + 1}(Y)\)。我们须证明，在 \(E\) 上作为循环有 \((D \to Y)^*\alpha \cap i^*\beta = j^*(\alpha \cap \beta)\)。这一问题在 \(E\) 上是局部的，因而可以把 \(X\) 与 \(Y\) 换成开子概形。（这里用到运算 \(i^*\)、\(j^*\)、\(\alpha \cap -\) 与 \((D \to Y)^*\alpha \cap -\) 的构造 均与局部化交换。对 Gysin 映射这是显然的；对其余运算则由引理 0H67 得到。）因此可设 \(X\) 与 \(Y\) 仿射，并归结到 下一段讨论的情形。

假设 \(X\) 与 \(Y\) 拟紧。由证明第一段与引理 0H59，还可设 \(\alpha\) 属于 (0H58) 的像。由所涉运算的线性， 可设 \(\alpha = [Z/X/Y]_r\)，其中 \(Z \subset X\) 是在 \(Y\) 上平坦且相对维数 \(\leq r\) 的闭子概形。又因 \(Y\) 拟紧，循环 \(\beta\) 是素循环的有限线性 组合。由于所涉运算是线性的，只需在 \(\beta = [W]\) 时证明等式，其中 \(W \subset Y\) 是 \(\delta\)-维数为 \(e + 1\) 的整闭子概形。

若 \(W \subset D\)，则一方面 \(i^*[W] = 0\)，另一方面 \(\alpha \cap [W]\) 支撑在 \(E\) 上，故也有 \(j^*(\alpha \cap [W]) = 0\)。因此此时等式成立。

设 \(W \not \subset D\)。于是 \(i^*[W] = [D \cap W]_e\)。注意， \(\alpha = [Z/X/Y]_r\) 沿 \(i\) 的拉回 \(i^*\alpha\) 是 \([(E \cap Z)/E/D]_r\)，而且 \((E \cap Z) = E \times_Y Z = D \times_Y Z\) 在 \(D\) 上平坦。因此，两次 使用引理 0H6A 可得 \[i^*\alpha \cap i^*[W] = [(E \cap Z) \times_D (D \cap W)]_{r + e} = [E \cap (Z \times_Y W)]_{r + e} = j^*(\alpha \cap [W])\] 正合所需。

命题

令 \((S, \delta)\) 如第 0H65 节所述。设 \(X \to Y\) 为 \(S\) 上局部有限型概形之间的态射。设 \(r \geq 0\)，并令 \(\alpha \in z(X/Y, r)\) 为 \(X/Y\) 上的相对 \(r\)-循环。对每个局部有限型 态射 \(g : Y' \to Y\) 与每个 \(e \in \mathbf{Z}\)，考虑运算 \[g^*\alpha \cap - : Z_e(Y') \to Z_{r + e}(X')\] 其中 \(X' = Y' \times_Y X\)。这族运算可经由有理等价因子化，从而定义双变类 \(c(\alpha) \in A^{-r}(X \to Y)\)。

证明

由引理 0H6E 与 Chow 同调，引理 0B7A，该运算可经由有理等价 因子化。由 Chow 同调，引理 0F9A 以及引理 0H6B、0H68 和 0H6E，所得 Chow 群上的运算是双变类。

注

令 \((S, \delta)\) 如第 0H65 节所述。设 \(X \to Y\) 为 \(S\) 上局部有限型概形之间的态射，并设 \(r \geq 0\)。设 \(c\) 是一条规则， 它给每个局部有限型态射 \(g : Y' \to Y\) 与每个 \(e \in \mathbf{Z}\) 配置运算 \[c \cap - : Z_e(Y') \to Z_{r + e}(X')\] 并且它按引理 0H6E 的意义与固有前推、平坦拉回和 Gysin 映射相容。则我们断言，存在 \(X/Y\) 上的相对 \(r\)-循环 \(\alpha\)， 使得对上述每个 \(g\) 都有 \(c \cap = g^*\alpha \cap -\)。若以后需要这一 结论，我们将在此仔细陈述并证明它。

纤维上循环族的复合

设 \(X \to Y \to S\) 为概形态射，且二者均局部有限型。设 \(r, e \geq 0\)。令 \(\alpha\) 为 \(X/Y\) 的纤维上的 \(r\)-循环族，令 \(\beta\) 为 \(Y/S\) 的纤维上的 \(e\)-循环族。定义 \[(\alpha \circ \beta)_s = (Y_s \to Y)^*\alpha \cap \beta_s\] 便得到 \(X/S\) 的纤维上的 \((r + e)\)-循环族 \(\alpha \circ \beta\)。更准确地， 表达式 \((Y_s \to Y)^*\alpha\) 表示 \(\alpha\) 沿 \(Y_s \to Y\) 的基变换， 所得为 \(X_s/Y_s\) 的纤维上的 \(r\)-循环族；运算 \(- \cap -\) 已在第 0H65 节中定义并研究⁴。

引理

上述构造是双线性的，即有 \((\alpha_1 + \alpha_2) \circ \beta \alpha_1 \circ \beta + \alpha_1 \circ \beta\)，且 \(\alpha \circ (\beta_1 + \beta_2) = \alpha \circ \beta_1 + \alpha \circ \beta_2\).

证明

略。提示：由引理 0H66，该构造在纤维上双线性。

引理

若 \(U \subset X\) 与 \(V \subset Y\) 为开集，且 \(f(U) \subset V\)，则 \((\alpha \circ \beta)|_U\) 等于 \(\alpha|_U \circ \beta|_V\)。

证明

略。提示：在纤维上使用引理 0H67。

引理

\(\alpha \circ \beta\) 的构造与基变换相容。

证明

设 \(g : S' \to S\) 为概形态射。记 \(X' \to Y'\) 为 \(X \to Y\) 沿 \(g\) 的 基变换，记 \(\alpha'\) 为 \(\alpha\) 沿 \(Y' \to Y\) 的基变换，并记 \(\beta'\) 为 \(\beta\) 沿 \(S' \to S\) 的基变换。断言的含义是， \(\alpha' \circ \beta'\) 是 \(\alpha \circ \beta\) 沿 \(g : S' \to S\) 的基变换。

设 \(s' \in S'\) 为像是 \(s \in S\) 的点。则 \[(\alpha' \circ \beta')_{s'} = (Y'_{s'} \to Y')^*\alpha' \cap \beta'_{s'}\] 注意 \[(Y'_{s'} \to Y')^*\alpha' = (Y'_{s'} \to Y')^*(Y' \to Y)^*\alpha = (Y'_{s'} \to Y_s)^*(Y_s \to Y)^*\alpha\] 而 \(\beta'_{s'}\) 是 \(\beta_s\) 沿 \(s' = \Spec(\kappa(s')) \to \Spec(\kappa(s)) = s\) 的基变换。因此，把引理 0H68 应用于 \((Y_s \to Y)^*\alpha\)、\(\beta_s\)、 \(X_s \to Y_s \to s\) 以及沿 \(s' \to s\) 的基变换，即得结论。

引理

设 \(f : X \to Y\) 与 \(Y \to S\) 为概形态射，且二者均局部有限型。设 \(r, e \geq 0\)。设 \(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，且对 所有 \(y \in Y\) 有 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_y)) \leq r\)。设 \(\mathcal{G}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模，且对所有 \(s \in S\) 有 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{G}_s)) \leq e\)。若 \(\alpha = [\mathcal{F}/X/Y]_r\) 且 \(\beta = [\mathcal{G}/Y/S]_e\)（例 0H4Q），并且 \(\mathcal{F}\) 在 \(Y\) 上 平坦，则 \(\alpha \circ \beta = [\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}/X/S]_{r + e}\)。

证明

首先，\(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(s \in S\)。注意 \[(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G})_s = \mathcal{F}_s \otimes_{\mathcal{O}_{X_s}} f_s^*\mathcal{G}_s\] 这来自张量积的右正合性。此外，\(\mathcal{F}_s\) 作为平坦模的基变换，在 \(Y_s\) 上平坦。因此，由引理 0H69 得到等式 \((\alpha \circ \beta)_s = [(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G})_s]_{r + e}\)。

引理

设 \(f : X \to Y\) 与 \(Y \to S\) 为概形态射，且二者均局部有限型。设 \(r, e \geq 0\)。设 \(Z \subset X\) 为在 \(Y\) 上相对维数 \(\leq r\) 的闭子概形， 并设 \(W \subset Y\) 为在 \(S\) 上相对维数 \(\leq e\) 的闭子概形。若 \(\alpha = [Z/X/Y]_r\) 且 \(\beta = [W/Y/S]_e\)（例 0H4S），并且 \(Z\) 在 \(Y\) 上平坦，则 \(\alpha \circ \beta = [Z \times_Y W/X/S]_{r + e}\)。

证明

在引理 0H6L 中取 \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_Z\) 与 \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_W\) 即得。

引理

设 \(f : X \to Y\) 与 \(Y \to S\) 为概形态射，且二者均局部有限型。假设 \(f\) 平坦，且相对维数为 \(e\)。令 \(\beta\) 为 \(Y/S\) 的纤维上的 \(r\)-循环族。则作为 \(X/S\) 的纤维上的 \((e + r)\)-循环族，有 \(f^*\beta = [X/X/Y]_e \circ \beta\)。

证明

展开定义，并使用 \([X/X/Y]_e\) 的构造与基变换相容这一事实（引理 0H4T），即可由引理 relative-cycles-lemma-flat-pullback-as-action 得到结论。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_f \ar[d] & X \ar[d] \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] 是 \(S\) 上局部有限型概形的笛卡尔图，且 \(g\) 固有。设 \(r, e \geq 0\)。 令 \(\alpha\) 为 \(X/Y\) 的纤维上的 \(r\)-循环族，并令 \(\beta'\) 为 \(Y'/S\) 的纤维上的 \(e\)-循环族。则 \(f_*(g^*(\alpha) \circ \beta') = \alpha \circ g_*\beta'\)。

证明

展开定义后，结论来自引理 0H6B。

引理

令 \((S, \delta)\) 如 Chow 同调，情形 02QL 所述。设 \(X \to Y \to Z\) 为 \(S\) 上局部有限型概形之间的态射。设 \(r, s, e \geq 0\)。则 \[(\alpha \circ \beta) \cap \gamma = \alpha \cap (\beta \cap \gamma) \quad\text{在}\quad Z_{r + s + e}(X)\] 其中 \(\alpha\) 为 \(X/Y\) 的纤维上的 \(r\)-循环族，\(\beta\) 为 \(Y/Z\) 的纤维 上的 \(s\)-循环族，且 \(\gamma \in Z_e(Z)\)。

证明

由于要证明的是 \(X\) 上循环的等式，由引理 0H67，可在 \(Z\) 上局部地工作。因此可设 \(Z\) 仿射。特别地，\(\gamma\) 是素循环的有限 线性组合。由于 \(- \cap -\) 关于第二个变量线性（引理 0H66），只需在 \(\gamma = [W]\) 时证明等式，其中 \(W \subset Z\) 是 \(\delta\)-维数为 \(e\) 的整闭子概形。

令 \(z \in W\) 为一般点。在 \(Z_s(Y_z)\) 中写 \(\beta_z = \sum m_j[V_j]\)。于是 \(\beta \cap \gamma\) 等于 \(\sum m_j[\overline{V}_j]\)，其中 \(\overline{V}_j \subset Y\) 是一个在 \(Y \to Z\) 下映入 \(W\)、且一般纤维为 \(V_j\) 的整闭子概形。令 \(y_j \in V_j\) 为一般点。我们也把它看成 \(\overline{V}_j\) 的一般点 （它映到 \(W\) 中的 \(z\)）。在 \(Z_r(X_{y_j})\) 中写 \(\alpha_{y_j} = \sum n_{jk} [W_{jk}]\)。则 \(\alpha \cap (\beta \cap \gamma)\) 等于 \[\sum m_j n_{jk} [\overline{W}_{jk}]\] 其中 \(\overline{W}_{jk} \subset X\) 是一个在 \(X \to Y\) 下映入 \(\overline{V}_j\)、且一般纤维为 \(W_{jk}\) 的整闭子概形。

另一方面，考虑 \[(\alpha \circ \beta)_z = (Y_z \to Y)^*\alpha \cap \beta_z = (Y_z \to Y)^*\alpha \cap (\sum m_j [V_j])\] 由 \(- \cap -\) 的构造，它等于 \(X_z\) 上的循环 \[\sum m_j n_{jk} [(\overline{W}_{jk})_z]\] 因此按定义得到 \[(\alpha \circ \beta) \cap [W] = \sum m_j n_{jk} [\widetilde{W}_{jk}]\] 其中 \(\widetilde{W}_{jk} \subset X\) 是一个在 \(X \to Z\) 下映入 \(W\)、且 一般纤维为 \((\overline{W}_{jk})_z\) 的整闭子概形。显然必有 \(\widetilde{W}_{jk} = \overline{W}_{jk}\)，证明完成。

相对循环的复合

设 \(S\) 为局部 Noether 概形。设 \(X \to Y\) 为 \(S\) 上局部有限型概形之间的 态射。我们将利用第 0H6H 节的构造定义映射 \[z(X/Y, r) \otimes_\mathbf{Z} z(Y/S, e) \longrightarrow z(X/S, r + e),\quad \alpha \otimes \beta \longmapsto \alpha \circ \beta\] 我们已经知道该构造是双线性的（引理 0H6I）， 故只要证明下述结论，就得到所显示的箭头。

引理

若 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 都是相对循环，则 \(\alpha \circ \beta\) 也是相对循环。

证明

由引理 0H6K，\(\alpha \circ \beta\) 的构造与 基变换相容。因此可设 \(S\) 是某个离散赋值环的谱，其一般点为 \(\eta\)、 闭点为 \(0\)；我们须证明 \(sp_{X/S}((\alpha \circ \beta)_\eta) = (\alpha \circ \beta)_0\)。由于要 证明的是循环的等式，可在 \(Y\) 与 \(X\) 上局部地工作（这里使用引理 0H6J 与 0H4L 看出各构造与限制交换）。故可设 \(X\) 与 \(Y\) 仿射。由引理 0H59，可找到固有完全分解态射 \(g : Y' \to Y\)，使得 \(g^*\alpha\) 属于 (0H58) 的像。

由于态射族 \(g_\eta : Y'_\eta \to Y_\eta\) 完全分解，可找到 \(\beta'_\eta \in Z_e(Y'_\eta)\)，使得 \(\beta_\eta = \sum g_{\eta, *}\beta'_\eta\)，参见 Chow 同调，引理 0GU8。令 \(\beta'_0 = sp_{Y'/S}(\beta'_\eta)\)，从而 \(\beta' = (\beta'_\eta, \beta'_0)\) 是 \(Y'/S\) 上的相对 \(e\)-循环。于是 \(g_*\beta'\) 与 \(\beta\) 是 \(Y/S\) 上的相对 \(e\)-循环（引理 0H51），并且它们在 \(\eta\) 处取值相同， 故二者相等（引理 0H55）。由线性（引理 0H6I），只需证明 \(\alpha \circ g_*\beta'\) 是相对 \((r + e)\)-循环。

令 \(X' = X \times_Y Y'\)，并记 \(f : X' \to X\) 为投影。由引理 0H6N，有 \(\alpha \circ g_*\beta' = f_*(g^*\alpha \circ \beta')\)。由引理 0H51，只需证明 \(g^*\alpha \circ \beta'\) 是相对 \((r + e)\)-循环。使用引理 0H5A 与双线性，即归结到下一段讨论的情形。

假设 \(\alpha = [Z/X/Y]_r\) 且 \(\beta = [W/Y/S]\)，其中 \(Z \subset X\) 是在 \(Y\) 上平坦且相对维数 \(\leq r\) 的闭子概形，而 \(W \subset Y\) 是在 \(S\) 上平坦且相对维数 \(\leq e\) 的闭子概形。由引理 0H6M 可知 \[\alpha \circ \beta = [Z \times_X W/X/S]_{r + e}\] 而 \(Z \times_X W \subset X\) 是在 \(S\) 上平坦、相对维数 \(\leq r + e\) 的闭子概形。由引理 0H57，这是相对 \((r + e)\)-循环。

引理

设 \(f : X \to Y\) 与 \(g : Y \to S\) 为概形态射。假设 \(S\) 局部 Noether， \(g\) 局部有限型且平坦、相对维数为 \(e \ge 0\)，并且 \(f\) 局部有限型且平坦、 相对维数为 \(r \geq 0\)。则在 \(z(X/S, r + e)\) 中有 \([X/X/Y]_r \circ [Y/Y/S]_e = [X/X/S]_{r + e}\)。

证明

这是引理 0H6M 的特例。

与 Suslin–Voevodsky 的比较

除循环记号取自 Chow 同调，第 02QQ 节及后续内容外， 我们尽量采用与 [SV] 相同的记号。比较如下：

1. [SV, Section 3.1] 中有“相对循环”、“维数为 \(r\) 的相对循环” 以及“维数为 \(r\) 的等维相对循环”的概念。本章中没有相应概念。因此，各群 \(Cycl(X/S, r)\), \(Cycl_{equi}(X/S, r)\), \(PropCycl(X/S, r)\) 与 \(PropCycl_{equi}(X/S, r)\) 在本章中没有对应物。

2. 在 [SV, page 36] 页底定义了各群 \(z(X/S, r)\), \(c(X/S, r)\), \(z_{equi}(X/S, r)\), \(c_{equi}(X/S, r)\) 。当 \(S\) 是分离 Noether 概形且 \(X \to S\) 分离有限型时，这些定义与我们的 概念一致。

3. 在 [SV] 中，符号 \(z(X/S, r)\) 有时用来表示 \(S\) 上有限型概形 范畴上的预层 \(S' \mapsto z(S' \times_S X/S', r)\)。符号 \(c(X/S, r)\)、\(z_{equi}(X/S, r)\) 与 \(c_{equi}(X/S, r)\)。 也作类似使用。

4. [SV] 中定义的基变换、平坦拉回和固有前推，在两套定义都适用时 与我们的定义一致。

5. 对 \(\alpha \in z(X/S, r)\)，第 0H65 节定义的运算 \(\alpha \cap - : Z_e(S) \to Z_{e + r}(X)\)，在两者都有定义时，与 [SV, Section 3.7] 中的运算 \(Cor(\alpha, -)\) 一致。

6. 对 \(X \to Y \to S\)，第 0H6Q 节定义的复合律 \(z(X/Y, r) \otimes_\mathbf{Z} z(Y/S, e) \longrightarrow z(X/S, r + e)\) 与 [SV, Corollary 3.7.5] 中的运算 \(Cor_{X/Y}(-, -)\) 一致。

非 Noether 情形下的相对循环

我们强烈建议读者跳过本节。

设 \(f : X \to S\) 为有限表示的概形态射。设 \(r \geq 0\)。用 \(Hilb(X/S, r)\) 表示所有满足下述条件的闭子概形 \(Z \subset X\) 所成的集合： \(Z \to S\) 平坦、有限表示且相对维数 \(\leq r\)。考虑群同态 [0H6V]\[\begin{equation} \begin{matrix} \text{自由 Abel 群} \\ \text{以 }Hilb(X/S, r) \end{matrix} \longrightarrow \begin{matrix} \text{纤维上的 }r\text{-循环族}\\ \text{对应于 }X/S \end{matrix} \end{equation}\] 它把 \(\sum n_i[Z_i]\) 映到 \(\sum n_i[Z_i/X/S]_r\)。

引理

设 \(S\) 为拟紧拟分离概形，\(f : X \to S\) 为有限表示态射。设 \(r \geq 0\)，并令 \(\alpha\) 为 \(X/S\) 的纤维上的 \(r\)-循环族。下列条件等价：

1. 存在笛卡尔图 \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & X_0 \ar[d] \\ S \ar[r] & S_0 }\] 其中 \(X_0 \to S_0\) 是 Noether 概形之间的有限型态射，且存在 \(\alpha_0 \in z(X_0/S_0, r)\)，使得 \(\alpha\) 是 \(\alpha_0\) 沿 \(S \to S_0\) 的基变换；

2. 存在有限表示的固有完全分解态射 \(g : S' \to S\)，使得 \(g^*\alpha\) 属于 (0H6V) 的像。

证明

给定 (1) 中的图与 \(\alpha_0 \in z(X_0/S_0, r)\)。由引理 0H59，存在固有完全分解态射 \(g_0 : S'_0 \to S_0\)， 使得 \(g_0^*\alpha_0\) 属于 (0H6V) 的像。 事实上，由于 \(S'_0\) 是 Noether 的，\(S'_0 \times_{S_0} X_0\) 的每个闭子概形 在 \(S'_0\) 上都有限表示。令 \(S' = S \times_{S_0} S'_0\)，并沿 \(S' \to S'_0\) 作基变换，即知 (2) 成立。

反之，假设 (2) 成立。选取有限表示的固有完全分解态射 \(g : S' \to S\)， 使得 \(g^*\alpha\) 属于 (0H6V) 的像。令 \(X' = S' \times_S X\)。对某些闭子概形 \(Z_a \subset X'\)，写 \(g^*\alpha = \sum n_a [Z_a/X'/S']_r\)，其中这些子概形在 \(S'\) 上平坦、 有限表示且相对维数 \(\leq r\)。

把 \(S = \lim S_i\) 写成转移态射为仿射态射的有向极限，其中 \(S_i\) 在 \(\mathbf{Z}\) 上有限型，参见极限，命题 01ZA。 可找到充分大的 \(i\)，使得存在

1. 固有完全分解态射 \(g_i : S'_i \to S_i\)，它到 \(S\) 的基变换是 \(g : S' \to S\)；

2. 令 \(X'_i = S'_i \times_{S_i} X_i\)，存在闭子概形 \(Z_{ai} \subset X'_i\)，其在 \(S'_i\) 上平坦且相对维数 \(\leq r\)，并且到 \(S'\) 的基变换是 \(Z_a\)。

为此要使用极限中的各引理 01ZM, 01ZP, 04AI, 07RR, 081F 和 05M5 以及更多态射，引理 0GTM。考虑 \(\alpha'_i = \sum n_a [Z_{ai}/X'_i/S_i]_r \in z(X'_i/S'_i, r)\)。按构造， \(\alpha'_i\) 基变换为 \(X'/S'\) 的纤维上的 \(r\)-循环族后，与基变换 \(g^*\alpha\) 一致。

令 \(S''_i = S'_i \times_{S_i} S'_i\)、\(X''_i = S''_i \times_{S_i} X_i\)， 并令 \(S'' = S' \times_S S'\)、\(X'' = S'' \times_S X\)。用 \(\text{pr}_1, \text{pr}_2 : S'' \to S'\) 与 \(\text{pr}_1, \text{pr}_2 : S''_i \to S'_i\) 表示投影。\(X''_i/S''_i\) 上的相对 \(r\)-循环 \(\text{pr}_1^*\alpha'_i\) 与 \(\text{pr}_1^*\alpha'_i\) 基变换后，成为 \(X''/S''\) 的纤维上同一个 \(r\)-循环族，因为 \(\text{pr}_1^*g^*\alpha = \text{pr}_1^*g^*\alpha\)。因此态射 \(S'' \to S''_i\) 映入 \(E = \{s \in S''_i : (\text{pr}_1^*\alpha'_i)_s = (\text{pr}_1^*\alpha'_i)_s\}\)。由引理 0H5C， 这是闭子集。由于 \(S'' = \lim_{i' \geq i} S''_{i'}\)，由极限，引理 05F4 可知，对某个 \(i' \geq i\)，态射 \(S''_{i'} \to S''_i\) 映入 \(E\)。因此，把 \(i\) 换成 \(i'\) 后，可设 \(\text{pr}_1^*\alpha'_i = \text{pr}_1^*\alpha'_i\)。由引理 0H4X，得到 \(X_i/S_i\) 的纤维上唯一的 \(r\)-循环族 \(\alpha_i\)，满足 \(g_i^*\alpha_i = \alpha'_i\)（这里使用了 \(S'_i \to S_i\) 完全分解）。由引理 0H52， 有 \(\alpha_i \in z(X_i/S_i, r)\)。引理 0H4X 中的 唯一性蕴含 \(\alpha_i\) 的基变换是 \(\alpha\)，故 (1) 成立。

讨论。 若 \(f : X \to S\)、\(r\) 与 \(\alpha\) 如引理 0H6W 所述，则当引理 0H6W 的等价条件 (1) 与 (2) 成立时，可以称 \(\alpha\) 为\(X/S\) 上的相对 \(r\)-循环。这个定义有 许多良好性质；例如，当 \(S\) 为 Noether 概形时，它与先前的定义不冲突， 且第 0H4Z 节的大多数结果都推广到这一 设定。

还可作如下进一步推广。设 \(S\) 任意，且 \(f : X \to S\) 局部有限表示。设 \(r \geq 0\)，并令 \(\alpha\) 为 \(X/S\) 的纤维上的 \(r\)-循环族 \(\alpha\)。 如果对任意满足 \(f(U) \subset V\) 的仿射开集 \(U \subset X\) 与 \(V \subset S\)，限制 \(\alpha|_U\) 都是上一段意义下 \(U/V\) 上的相对 \(r\)-循环，则称 \(\alpha\) 为\(X/S\) 上的相对 \(r\)-循环。同样，先前的 许多结果都推广到这一设定。

若以后需要这些推广，我们将在此仔细陈述并证明它们。