대수학의 추가 주제

서론

이 장에서는 가환대수학에 관한 결과 가운데 첫 번째 가환대수학 장의 결과보다 덜 초등적인 몇 가지를 증명한다. Algebra, Section 00AP을 보라. 참고문헌으로는 [MatCA]가 있다.

독자를 위한 안내

가환대수학 장에서보다도 이 장의 각 절은 서로 독립적이다. Section 0914부터는 환 위 가군의 (비유계) 유도 범주와 그에 딸린 모든 장치를 자유롭게 사용한다.

안정 자유 가군

다음은 일반적으로 받아들여지는 정의인 듯하다.

정의

\(R\)을 환이라 하자.

1. \(R\) 위의 두 가군 \(M\), \(N\)에 대하여 어떤 \(n, m \geq 0\)이 존재하여 \(R\)-가군으로서 \(M \oplus R^{\oplus m} \cong N \oplus R^{\oplus n}\) 이면 이 두 가군이 안정 동형이라고 한다.

2. 가군 \(M\)이 자유 가군과 안정 동형이면 이를 안정 자유라고 한다.

안정 자유 가군은 사영 가군임에 유의하라.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. 유한 생성 사영 \(R\)-가군의 짧은 완전열 \(0 \to P' \to P \to P'' \to 0\)이 주어졌다고 하자. 이 세 가군 가운데 \(2\)개가 안정 자유이면 나머지 \(3\)번째 가군도 안정 자유이다.

증명

가군들이 사영이므로 이 열은 분할된다. 따라서 동형 \(P = P' \oplus P''\)을 택할 수 있다. \(P' \oplus R^{\oplus n}\)과 \(P'' \oplus R^{\oplus m}\)이 자유이면 \(P \oplus R^{\oplus n + m}\)도 자유임을 알 수 있다. \(P'\)과 \(P\)가 안정 자유라고 하자. 즉, \(P \oplus R^{\oplus n}\)과 \(P' \oplus R^{\oplus m}\)이 자유라고 하자. 그러면 \[P'' \oplus (P' \oplus R^{\oplus m}) \oplus R^{\oplus n} = (P'' \oplus P') \oplus R^{\oplus m} \oplus R^{\oplus n} = (P \oplus R^{\oplus n}) \oplus R^{\oplus m}\] 은 자유이다. 따라서 \(P''\)은 안정 자유이다. 대칭성에 의해 나머지 경우도 얻는다.

보조정리

\(R\)을 환, \(I \subset R\)을 아이디얼이라 하자. \(1 + I\)의 모든 원소가 단원이라고 가정하자 (다시 말해 \(I\)는 \(R\)의 야코브슨 근기에 포함된다). 모든 유한 생성 안정 자유 \(R/I\)-가군 \(E\)에 대하여 \(M/IM \cong E\)를 만족하는 유한 생성 안정 자유 \(R\)-가군 \(M\)이 존재한다.

증명

어떤 \(n\), \(m\)과 동형 \(E \oplus (R/I)^{\oplus n} \cong (R/I)^{\oplus m}\)을 택한다. 사영 \((R/I)^{\oplus m} \to (R/I)^{\oplus n}\)과 단사 \((R/I)^{\oplus n} \to (R/I)^{\oplus m}\)을 각각 올리는 \(R\)-선형 사상 \(\varphi : R^{\oplus m} \to R^{\oplus n}\)과 \(\psi : R^{\oplus n} \to R^{\oplus m}\)을 택한다. 그러면 \(\varphi \circ \psi : R^{\oplus n} \to R^{\oplus n}\)은 \(I\)를 법으로 항등사상으로 내려간다. 따라서 \(I\)에 대한 가정에 의해 이 사상의 행렬식은 가역이다. 그러므로 \(P = \Ker(\varphi)\)는 안정 자유이고 \(E\)를 올린다.

보조정리

\(R\)을 환, \(I \subset R\)을 아이디얼이라 하자. \(1 + I\)의 모든 원소가 단원이라고 가정하자 (다시 말해 \(I\)는 \(R\)의 야코브슨 근기에 포함된다). \(M\)을 유한 생성 평탄 \(R\)-가군이라 하고 \(M/IM\)이 사영 \(R/I\)-가군이라고 하자. 그러면 \(M\)은 유한 생성 사영 \(R\)-가군이다.

증명

Algebra, Lemma 00NZ에 의해 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset R\)에 대하여 \(M_\mathfrak p\)는 유한 생성 자유 가군이다. Algebra, Lemma 00NX에 의해 함수 \(\rho_M : \mathfrak p \mapsto \dim_{\kappa(\mathfrak p)} M \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)가 \(\Spec(R)\) 위에서 국소 상수임을 보이면 충분하다. \(M/IM\)이 유한 생성 사영이므로 이는 \(V(I) \subset \Spec(R)\) 위에서 참이다. \(\Spec(R)\)의 모든 닫힌점이 \(V(I)\)에 있고, 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q \subset R\)에 대하여 \(\rho_M(\mathfrak p) = \rho_M(\mathfrak q)\)이므로, 여기서는 생략하는 위상공간에 관한 초등적인 논증으로 결론을 얻는다.

보조정리 0BC5의 올림은 다음 보조정리에 의해 동형을 제외하고 유일하다.

보조정리

\(R\)을 환, \(I \subset R\)을 아이디얼이라 하자. \(1 + I\)의 모든 원소가 단원이라고 가정하자 (다시 말해 \(I\)는 \(R\)의 야코브슨 근기에 포함된다). \(P\)와 \(P'\)을 유한 생성 사영 \(R\)-가군이라 하자. 그러면

1. \(\varphi : P \to P'\)이 동형 \(\overline{\varphi} : P/IP \to P'/IP'\)을 유도하는 \(R\)-가군 사상이면, \(\varphi\)는 동형이다.

2. \(P/IP \cong P'/IP'\)이면 \(P \cong P'\)이다.

증명

(1)의 증명. \(P'\)은 \(R\)-가군으로서 사영이므로 사상 \(P' \to P'/IP' \xrightarrow{\overline{\varphi}^{-1}} P/IP\)의 올림 \(\psi : P' \to P\)를 택할 수 있다. 나카야마 보조정리(Algebra, Lemma 00DV)에 의해 \(\psi \circ \varphi\)와 \(\varphi \circ \psi\)는 전사이다. 따라서 이 사상들은 동형이다 (Algebra, Lemma 05G8). 그러므로 \(\varphi\)는 동형이다.

(2)의 증명. 동형 \(P/IP \cong P'/IP'\)을 택한다. \(P\)가 사영이므로 사상 \(P \to P/IP \to P'/IP'\)의 올림 \(\varphi : P \to P'\)을 택할 수 있다. (1)에 의해 \(\varphi\)는 동형이다.

Artin–Rees 성질에 관한 논평

이 내용의 일부는 [conrad-dejong]에서 가져왔다. 추가 참고문헌을 포함한 일반적인 논의는 [Eis, Section 1]에서 찾을 수 있다.

\(A\)를 뇌터 환, \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. 유한 생성 \(A\)-가군의 준동형 \(f : M \to N\)이 주어지면 \[f(M) \cap I^nN \subset f(I^{n - c}M)\] 가 모든 \(n \geq c\)에 대하여 성립하는 \(c \geq 0\)이 존재한다. Algebra, Lemma 00IO을 보라. 이 상황에서는 \(c\)가 Artin–Rees 보조정리에서 \(f\)에 대하여 유효하다고 한다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하자. \(I \subset A\)를 \(A\)의 야코브슨 근기에 포함되는 아이디얼이라 하자. 다음과 같은 유한 생성 \(A\)-가군의 두 복합체 \[S : L \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} N \quad\text{and}\quad S' : L \xrightarrow{f'} M \xrightarrow{g'} N\] 가 주어졌다고 하자. 다음을 가정하자.

1. \(c\)가 Artin–Rees 보조정리에서 \(f\)와 \(g\)에 대하여 유효하다.

2. 복합체 \(S\)는 완전하다.

3. \(f' = f \bmod I^{c + 1}M\)이고 \(g' = g \bmod I^{c + 1}N\)이다.

그러면 \(c\)는 Artin–Rees 보조정리에서 \(g'\)에 대하여 유효하고, 복합체 \(S'\)은 완전하다.

증명

먼저 \(n \geq c\)일 때 \(g'(M) \cap I^nN \subset g'(I^{n - c}M)\)임을 보인다. \(g'(a) \in I^nN\)을 만족하는 \(M\)의 원소 \(a\)를 택한다. \(g'(a)\)를 바꾸지 않으면서 \(f'(L)\)의 원소로 \(a\)를 조정하여 \(a \in I^{n-c}M\)이 되게 하려 한다. \(r < n - c\)이고 \(a \in I^rM\)이라고 가정하자. 그러면 \[g(a) = g'(a) + (g - g')(a) \in I^n N + I^{r + c + 1}N = I^{r + c + 1}N.\] \(g\)에 대한 Artin–Rees 성질에 의해 \(g(a) \in g(I^{r + 1}M)\)이다. \(a_1 \in I^{r + 1}M\)인 원소를 택하여 \(g(a) = g(a_1)\)이라 쓰자. 열 \(S\)가 완전하므로 \(a - a_1 \in f(L)\)이다. 따라서 어떤 \(b \in L\)에 대하여 \(a = f(b) + a_1\)이라 쓸 수 있다. 그러면 \(f(b) = a - a_1 \in I^rM\)이다. \(f\)에 대한 Artin–Rees 성질에 의해 \(r \geq c\)이면 \(b\)를 \(I^{r - c}L\)의 원소로 바꿀 수 있다. 따라서 모든 경우에 \(a = f'(b) + a_2\)이고, 여기서 \(a_2 = (f - f')(b) + a_1 \in I^{r + 1}M\)이다. (실제로 \(c \geq r\)이면 가정에 의해 \((f - f')(b) \in I^{r + 1}M\)이고, \(c < r\)이면 \(b \in I^{r - c}\)이므로 다시 \((f - f')(b) \in I^{c + 1} I^{r - c} M = I^{r + 1}M\)이다.) 그러므로 \(f'(b) \in f'(L)\)로 \(a\)를 조정하여 \(r\)을 \(1\)만큼 늘릴 수 있다.

사실 위의 논증은 모든 \(n \geq c\)에 대하여 \((g')^{-1}(I^nN) \subset f'(L) + I^{n - c}M\)임을 보인다. 따라서 \[(g')^{-1}(0) = (g')^{-1}(\bigcap I^nN) \subset \bigcap f'(L) + I^{n - c}M = f'(L)\] 이다. 여기서는 \(I\)가 \(A\)의 야코브슨 근기에 포함됨을 사용했다. Algebra, Lemma 00IQ을 보라. 따라서 \(S'\)은 완전하다.

환 \(A\)의 아이디얼 \(I \subset A\)와 \(A\)-가군 \(M\)이 주어지면 \[\text{Gr}_I(M) = \bigoplus I^nM/I^{n + 1}M.\] 으로 둔다. 이를 등급 \(\text{Gr}_I(A)\)-가군으로 생각한다.

보조정리

가정은 보조정리 07VE에서와 같다. \(Q = \Coker(g)\)와 \(Q' = \Coker(g')\)이라 하자. 그러면 등급 \(\text{Gr}_I(A)\)-가군으로서 \(\text{Gr}_I(Q) \cong \text{Gr}_I(Q')\)이다.

증명

차수 \(n\)에서 \(\text{Gr}_I(Q)_n = I^nN/(I^{n + 1}N + g(M) \cap I^nN)\)이고 \(Q'\)에 대해서도 마찬가지이다. 다음을 주장한다. \[g(M) \cap I^nN \subset I^{n + 1}N + g'(M) \cap I^nN.\] 대칭성에 의해(이 주장의 증명은 \(c\)가 \(g\)에 대하여 유효하다는 사실만을 사용하고, 보조정리에 의해 이는 \(g'\)에 대해서도 성립한다) 이로부터 \[I^{n + 1}N + g(M) \cap I^nN = I^{n + 1}N + g'(M) \cap I^nN\] 가 따른다. 따라서 \(\text{Gr}_I(Q)_n\)과 \(\text{Gr}_I(Q')_n\)은 \(N\)의 부분몫으로서 일치하고, 보조정리가 따른다. \(g = g' \bmod I^{c + 1}N\)이므로 \(n \leq c\)일 때 주장은 명백하다. \(n > c\)이고 \(b \in g(M) \cap I^nN\)이라고 하자. \(a \in I^{n - c}M\)인 원소를 택하여 \(b = g(a)\)라고 쓴다. \(b' = g'(a)\)로 두면 \(b - b' = (g - g')(a) \in I^{n + 1}N\)이고, 원하는 바를 얻는다.

보조정리

\(A \to B\)를 뇌터 환의 평탄 사상이라 하자. \(I \subset A\)를 아이디얼, \(f : M \to N\)을 유한 생성 \(A\)-가군의 준동형이라 하자. \(c\)가 Artin–Rees 보조정리에서 \(f\)에 대하여 유효하다고 가정하자. 그러면 \(c\)는 아이디얼 \(IB\)에 관한 Artin–Rees 보조정리에서 \(f \otimes 1 : M \otimes_A B \to N \otimes_A B\)에 대하여 유효하다.

증명

다음에 유의하라. \[(f \otimes 1)(M) \cap I^n N \otimes_A B = (f \otimes 1)\left((f \otimes 1)^{-1}(I^n N \otimes_A B)\right)\] 한편, \[\begin{align*} (f \otimes 1)^{-1}(I^n N \otimes_A B) & = \Ker(M \otimes_A B \to N \otimes_A B/(I^n N \otimes_A B)) \\ & = \Ker(M \otimes_A B \to (N/I^nN) \otimes_A B) \end{align*}\] \(A \to B\)가 평탄하므로 핵과 여핵을 취하는 것은 \(B\)와의 텐서곱과 가환한다. 따라서 이는 \(f^{-1}(I^nN) \otimes_A B\)와 같다. 가정에 의해 \(f^{-1}(I^nN)\)은 \(\Ker(f) + I^{n - c}M\)에 포함된다. 그러므로 보조정리가 성립한다.

환의 섬유곱, I

환의 섬유곱은 스킴의 밂과 관련된다. 스킴의 밂 가운데 몇몇 경우는 More on Morphisms, Section 07RS에서 다룬다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(A \to B\)와 \(C \to B\)를 \(R\)-대수 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(R\)은 뇌터이다.

2. \(A\), \(B\), \(C\)는 \(R\) 위 유한형이다.

3. \(A \to B\)는 전사이다.

4. \(B\)는 \(C\) 위 유한이다.

그러면 \(A \times_B C\)는 \(R\) 위 유한형이다.

증명

\(D = A \times_B C\)로 두자. 완전한 행들을 갖는 다음 가환 그림이 있다. \[\xymatrix{ 0 & B \ar[l] & A \ar[l] & I \ar[l] & 0 \ar[l] \\ 0 & C \ar[l] \ar[u] & D \ar[l] \ar[u] & I \ar[l] \ar[u] & 0 \ar[l] }\] \(C\)-가군으로서 \(B\)의 생성원 \(y_1, \ldots, y_n \in B\)를 택한다. \(y_i\)로 가는 \(x_i \in A\)를 택한다. 그러면 \(1, x_1, \ldots, x_n\)은 \(D\)-가군으로서 \(A\)의 생성원이다. 사상 \(D \to A \times C\)는 단사이고, 환 \(A \times C\)는 \(D\)-가군으로서 유한이다(유한 \(D\)-가군 \(A\)와 \(C\)의 직합이기 때문이다). 따라서 Artin–Tate 보조정리 (Algebra, Lemma 00IS)에서 결론이 따른다.

보조정리

\(R\)을 뇌터 환이라 하고 \(I\)를 유한 집합이라 하자. \(\psi_i\)와 \(\varphi_i\)가 전사이고 \(Q\), \(A_i\), \(B_i\)가 \(R\) 위 유한형인 다음 데카르트 그림이 주어졌다고 하자. \[\xymatrix{ \prod B_i & \prod A_i \ar[l]^{\prod \varphi_i} \\ Q \ar[u]^{\prod \psi_i} & P \ar[u] \ar[l] }\] 그러면 \(P\)는 \(R\) 위 유한형이다.

증명

보조정리 00IT와 \(I\)의 크기에 대한 귀납법에서 따른다. 실제로 \(I = I' \amalg \{i_0\}\)라 하자. \(I'\)을 사용하여 보조정리의 그림으로 정의되는 환을 \(P'\)이라 하자. 귀납 가정에 의해 \(P'\)은 유한형이다. 마지막으로 \(P\)는 다음 섬유곱 그림에 놓인다. \[\xymatrix{ B_{i_0} & A_{i_0} \ar[l] \\ P' \ar[u] & P \ar[u] \ar[l] & }\] 여기에 보조정리를 적용할 수 있다.

보조정리

다음 환들의 데카르트 그림, 즉 \(B' = B \times_R R'\)이 주어졌다고 하자. \[\xymatrix{ R & R' \ar[l]^t \\ B \ar[u]_s & B'\ar[u] \ar[l] }\] \(h \in B'\)가 \(g \in B\)와 \(f \in R'\)에 대응하고 \(s(g) = t(f)\)라고 하자. 그러면 다음 그림도 데카르트이다. \[\xymatrix{ R_{s(g)} = R_{t(f)} & (R')_f \ar[l]^-t \\ B_g \ar[u]_s & (B')_h \ar[u] \ar[l] }\]

증명

등식 \(B' = B \times_R R'\)은 \(B'\)-가군의 열 \[0 \to B' \to B \oplus R' \xrightarrow{s, -t} R\] 이 완전함을 말한다. \(B'\)-가군으로서 \(B_g = B_h\), \(R'_f = R'_h\), \(R_{s(g)} = R_{t(f)} = R_h\)이다. 국소화의 완전성 (Algebra, Proposition 00CS)에 의해 \[0 \to B'_h \to B_g \oplus R'_f \xrightarrow{s, -t} R_{s(g)} = R_{t(f)}\] 가 완전함을 얻는다. 이로써 보조정리가 증명된다.

다음 환들의 가환 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ R & R' \ar[l] \\ B \ar[u] & B' \ar[u] \ar[l] }\] 다음 함자를 생각하자. 여기서 범주의 섬유곱은 Categories, Example 003R에서 구성한 것이다. [0D2E]\[\begin{equation} \text{Mod}_{B'} \longrightarrow \text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_R} \text{Mod}_{R'},\quad L' \longmapsto (L' \otimes_{B'} B, L' \otimes_{B'} R', can) \end{equation}\] 여기서 \(can\)은 표준 동일시 \(L' \otimes_{B'} B \otimes_B R = L' \otimes_{B'} R' \otimes_{R'} R\)이다. 이하에서는 오른쪽 범주의 대상을 \((N, M', \varphi)\)로 쓴다. 즉 \(N\)은 \(B\)-가군이고 \(M'\)은 \(R'\)-가군이며, \(\varphi : N \otimes_B R \to M' \otimes_{R'} R\)은 동형이다.

보조정리

다음 환들의 가환 그림이 주어졌다고 하자. \[\xymatrix{ R & R' \ar[l] \\ B \ar[u] & B' \ar[u] \ar[l] }\] 함자 (0D2E)는 오른쪽 수반 함자를 갖는다. 구체적으로 그 함자는 \[F : (N, M', \varphi) \longmapsto N \times_\varphi M'\] 이다(설명은 증명을 보라).

증명

범주 \(\text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_R} \text{Mod}_{R'}\)의 대상 \((N, M', \varphi)\)가 주어지면 \[N \times_\varphi M' = \{(n, m') \in N \times M' \mid \varphi(n \otimes 1) = m' \otimes 1\text{ in }M' \otimes_{R'} R\}\] 로 두고 이를 \(B'\)-가군으로 본다. 수반성 명제는 \(B'\)-가군 \(L'\)과 삼중항 \((N, M', \varphi)\)에 대하여 \[\Hom_{B'}(L', N \times_\varphi M') = \Hom_B(L' \otimes_{B'} B, N) \times_{\Hom_R(L' \otimes_{B'} R, M' \otimes_{R'} R)} \Hom_{R'}(L' \otimes_{B'} R', M')\] 이 성립한다는 것이다. Algebra, Lemma 05DQ에 의해 오른쪽 항은 \[\Hom_{B'}(L', N) \times_{\Hom_{B'}(L', M' \otimes_{R'} R)} \Hom_{B'}(L', M')\] 과 같다. 따라서 이 섬유곱의 원소쌍 \((g, f')\)에 대하여 \(B'\)-선형 사상 \(L' \to N \times_\varphi M'\), \(l' \mapsto (g(l'), f'(l'))\)을 얻음이 명백하다. 반대로 \(B'\)-선형 사상 \(g' : L' \to N \times_\varphi M'\)이 주어지면, \(g\)를 합성 \(L' \to N \times_\varphi M' \to N\)으로 두고 \(f'\)을 합성 \(L' \to N \times_\varphi M' \to M'\)으로 둘 수 있다. 이 두 구성은 서로 역이고 원하는 동형을 정의한다.

환의 섬유곱, II

이 절에서는 다음 상황에서의 섬유곱을 논의한다.

설정

이하에서는 환 사상 \[\xymatrix{ B \ar[r] & A & A' \ar[l] }\] 을 생각하며, 여기서 \(A' \to A\)는 핵이 \(I\)인 전사라고 가정한다. 이 상황에서 \(B' = B \times_A A'\)로 두면 데카르트 사각형 \[\xymatrix{ A & A' \ar[l] \\ B \ar[u] & B' \ar[l] \ar[u] }\] 을 얻는다.

보조정리

상황 08KH에서 위상공간으로서 \[\Spec(B') = \Spec(B) \amalg_{\Spec(A)} \Spec(A')\] 이다.

증명

\(B' = B \times_A A'\)이므로 스펙트럼의 가환 사각형을 얻는다. 그 원천이 위상공간의 범주에서의 밂이므로(이는 Topology, Section 0B1W에 의해 존재한다) 이 사각형은 연속 사상 \[can : \Spec(B) \amalg_{\Spec(A)} \Spec(A') \longrightarrow \Spec(B')\] 을 유도한다.

사상 \(can\)이 전사임을 보이기 위하여 소아이디얼 \(\mathfrak q' \subset B'\)을 택하자. \(I \subset \mathfrak q'\)이면 (여기와 이하에서는 \(I\)를 \(A'\)의 아이디얼일 뿐 아니라 \(B'\)의 아이디얼로도 간주한다) \(\mathfrak q'\)은 \(B\)의 소아이디얼에 대응하므로 상에 있다. 그렇지 않다면 \(h \in I\), \(h \not \in \mathfrak q'\)인 원소를 택한다. 이 경우 \(B_h = A_h = 0\)이고 환 사상 \(B'_h \to A'_h\)는 동형이다. 보조정리 01Z8를 보라. 따라서 \(\mathfrak q'\)은 \(I\)를 포함하지 않는 유일한 소아이디얼 \(\mathfrak p' \subset A'\)에 대응한다.

\(B' \to B\)가 전사이므로 \(can\)은 성분 \(\Spec(B)\) 위에서 단사이다. 위에서 \(\Spec(A') \to \Spec(B')\)가 \(V(I) \subset \Spec(A')\)의 여집합 위에서 단사임을 보았다. 또 \(V(I) \subset \Spec(A')\)는 정확히 \(\Spec(A) \to \Spec(A')\)의 상이므로, 자명한 집합론적 논증에 의해 \(can\)은 단사이다.

증명을 마치려면 \(can\)이 열린 사상임을 보여야 한다. 이를 위해 밂의 열린집합은 \(V \amalg U'\) 꼴임에 유의하자. 여기서 \(V \subset \Spec(B)\)와 \(U' \subset \Spec(A')\)는 열린집합이고, \(\Spec(A)\)에서의 역상들이 일치한다. \(v \in V\)라 하자. \(v \in D(g) \subset V\)인 \(g \in B\)를 찾을 수 있다. 그 상을 \(f \in A\)라 하고 \(f\)로 가는 \(f' \in A'\)을 택한다. 그러면 \(D(f') \cap U' \cap V(I) = D(f') \cap V(I)\)이다. 따라서 \(V(I) \cap D(f')\)와 \(D(f') \cap (U')^c\)는 \(D(f') = \Spec(A'_{f'})\)의 서로소인 닫힌 부분집합이다. 어떤 아이디얼 \(J \subset A'\)에 대하여 \((U')^c = V(J)\)라고 쓰자. 방금 보인 서로소성에 의해 \(A'_{f'} \to A'_{f'}/IA'_{f'} \times A'_{f'}/JA'_{f'}\) 는 전사이므로, \(A'_{f'}/IA'_{f'}\)에서 \(1\)로 가고 \(A'_{f'}/JA'_{f'}\)에서 영으로 가는 \(a'' \in A'_{f'}\)을 찾을 수 있다. 분모를 없애면 \(A\)에서 \(f^n\)으로 가는 원소 \(a' \in J\)를 얻는다. 그러면 \(D(a'f') \subset U'\)이다. \(h' = (g^{n + 1}, a'f') \in B'\)로 두자. 앞서 인용한 보조정리에 의해 \(B'_{h'} = B_{g^{n + 1}} \times_{A_{f^{n + 1}}} A'_{a'f'}\)이므로, \(D(h')\)의 역상은 밂에서 \(v\)의 열린 근방이다. 즉 \(V \amalg U'\)의 상은 \(v\)의 상의 열린 근방을 포함한다. \(u' \in U'\)이고 \(u' \not \in V(I)\)인 경우에도 같은 명제가 성립하며, 그 더 쉬운 증명은 생략한다.

보조정리

상황 08KH에서 \(B \to A\)가 정수적이면 \(B' \to A'\)도 정수적이다.

증명

\(a' \in A'\)이라 하고 그 상을 \(a \in A\)라 하자.

\(a\)가 만족하는, 계수가 \(B\)에 있는 모닉 다항식을 \(x^d + b_1 x^{d - 1} + \ldots + b_d\)라 하자. \(b_i \in B\)로 가는 \(b'_i \in B'\)을 택한다(이는 가능하다). 그러면 \((a')^d + b'_1 (a')^{d - 1} + \ldots + b'_d\)는 \(A' \to A\)의 핵에 속한다. \(\Ker(B' \to B) = \Ker(A' \to A)\)이므로 \(b'_d\)의 선택을 바꾸어 원하는 등식 \((a')^d + b'_1 (a')^{d - 1} + \ldots + b'_d = 0\)을 얻을 수 있다.

상황 08KH에서 \(A'\), \(A\), \(B\) 위의 가군을 이용하여 \(B'\)-가군을 이해하고자 한다. 이를 위하여 다음 함자를 생각한다. 여기서 범주의 섬유곱은 Categories, Example 003R에서 구성한 것이다. [08KI]\[\begin{equation} \text{Mod}_{B'} \longrightarrow \text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_A} \text{Mod}_{A'},\quad L' \longmapsto (L' \otimes_{B'} B, L' \otimes_{B'} A', can) \end{equation}\] 여기서 \(can\)은 표준 동일시 \(L' \otimes_{B'} B \otimes_B A = L' \otimes_{B'} A' \otimes_{A'} A\)이다. 이하에서는 오른쪽 범주의 대상을 \((N, M', \varphi)\)로 쓴다. 즉 \(N\)은 \(B\)-가군이고 \(M'\)은 \(A'\)-가군이며, \(\varphi : N \otimes_B A \to M' \otimes_{A'} A\)는 동형이다.

그러나 \(\varphi\)를 \(B\)-선형 사상 \(\varphi : N \to M'/IM'\)으로 생각하는 것이 흔히 더 편리하다. 이 사상은 동형 \(N \otimes_B A \to M' \otimes_{A'} A = M'/IM'\)을 유도한다.

보조정리

상황 08KH에서 함자 (08KI)는 오른쪽 수반 함자, 즉 \[F : (N, M', \varphi) \longmapsto N \times_{\varphi, M} M'\] 을 갖는다. 여기서 \(M = M'/IM'\)이다. 또한 \(F\)와 (08KI)의 합성은 \(\text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_A} \text{Mod}_{A'}\) 위의 항등함자이다. 다시 말해 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\)로 두면 \(N' \otimes_{B'} B = N\)이고 \(N' \otimes_{B'} A' = M'\)이다.

증명

수반성 명제는 더 일반적인 보조정리 0D2F에서 따른다. 마지막 명제를 증명하기 위하여 \(B' = B \times_A A'\)과 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\)을 상기하고, 이 등식들을 다음 두 그림으로 확장한다. \[\vcenter{ \xymatrix{ A & A' \ar[l] & I \ar[l] \\ B \ar[u] & B' \ar[l] \ar[u] & J \ar[l] \ar[u] } } \quad\text{and}\quad \vcenter{ \xymatrix{ M & M' \ar[l] & K \ar[l] \\ N \ar[u]_\varphi & N' \ar[l] \ar[u] & L \ar[l] \ar[u] } }\] 여기서 \(I, J, K, L\)은 원래 그림의 수평 사상들의 핵이다. 증명을 일련의 관찰로 제시한다.

1. \(K = IM'\)이다(보조정리의 명제를 보라).

2. \(B' \to B\)는 핵이 \(J\)인 전사이고 \(J \to I\)는 전단사이다.

3. \(N' \to N\)은 핵이 \(L\)인 전사이고 \(L \to K\)는 전단사이다.

4. \(JN' \subset L\)이다.

5. \(\Im(N \to M)\)은 \(A\)-가군으로서 \(M\)을 생성한다 (\(N \otimes_B A = M\)이기 때문이다).

6. \(\Im(N' \to M')\)은 \(A'\)-가군으로서 \(M'\)을 생성한다 (이를 \(K\)를 법으로 하면 성립하고, \(L\)은 \(K\)에 동형으로 사상되기 때문이다).

7. \(JN' = L\)이다(앞 명제에 의해 \(L \cong K = I M'\)은 \(x \in I\), \(n' \in N'\)인 원소 \(x n'\)의 상들로 생성되기 때문이다).

8. \(N' \otimes_{B'} B = N\)이다 (\(N = N'/L\), \(B = B'/J\)이고 앞 명제가 성립하기 때문이다).

9. 사상 \(\gamma : N' \otimes_{B'} A' \to M'\)이 있다.

10. \(\gamma\)는 전사이다(위를 보라).

11. 합성 \(N' \otimes_{B'} A' \to M' \to M\)의 핵은 \(l \in K\), \(n' \in N'\), \(x \in I\)인 원소 \(l \otimes 1\)과 \(n' \otimes x\)로 생성된다 (가정에 의해 \(M = N \otimes_B A\)이고 \(N' \to N\)과 \(A' \to A\)는 각각 핵이 \(L\)과 \(I\)인 전사이기 때문이다).

12. \(N' \otimes_{B'} A'\) 안에서 \(l \in L\), \(n' \in N'\), \(x \in I\)인 원소 \(l \otimes 1\)과 \(n' \otimes x\)로 생성되는 부분가군의 모든 원소는 어떤 \(l \in L\)에 대하여 \(l \otimes 1\)로 쓸 수 있다 (\(J\)가 \(I\)에 동형으로 사상되므로 \(N' \otimes_{B'} A'\)에서 \(n' \otimes x = n'x \otimes 1\)이고, 마찬가지로 \(n' \in N'\), \(x \in J\), \(a' \in A'\)일 때 \(N' \otimes_{B'} A'\)에서 \(x n' \otimes a' = n' \otimes xa' = n'(xa') \otimes 1\)이다. 이미 \(JN' = L\)임을 보였으므로 명제가 따른다).

13. \(\gamma\)의 핵은 영이다 ((10)과 (11)에 의해 핵의 모든 원소는 \(l \in L\)인 \(l \otimes 1\) 꼴이고, \(\gamma\)는 이를 \(l \in K \subset M'\)로 보내기 때문이다).

이로써 증명이 끝난다.

보조정리

보조정리 07RU의 상황에서 \(B'\)-가군 \(L'\)에 대한 수반 사상 \[L' \longrightarrow (L' \otimes_{B'} B) \times_{(L' \otimes_{B'} A)} (L' \otimes_{B'} A')\] 은 전사이지만 일반적으로 단사는 아니다.

증명

보조정리 07RU의 증명에서와 같이 \(J \subset B'\)를 사상 \(B' \to B\)의 핵이라 하자. 그러면 \(L' \otimes_{B'} B = L'/JL'\)이다. 따라서 전사성을 보이려면 섬유곱의 \((0, z)\) 꼴 원소들이 보조정리의 사상의 상에 있음을 보이면 충분하다. 사상 \(L' \otimes_{B'} A' \to L' \otimes_{B'} A\)의 핵은 \(L' \otimes_{B'} I \to L' \otimes_{B'} A'\)의 상이다. \(B' \to A'\)가 유도하는 사상 \(J \to I\)가 동형이므로 합성 \[L' \otimes_{B'} J \to L' \to (L' \otimes_{B'} B) \times_{(L' \otimes_{B'} A)} (L' \otimes_{B'} A')\] 은 \(L' \otimes_{B'} J\)에서 \((0, z)\) 꼴 원소들의 집합으로 전사이다. 이 사상이 일반적으로 단사가 아님을 보기 위해 간단한 예를 들자. 체 \(k\)를 택하고 \(B' = k[x, y]/(xy)\), \(A' = B'/(x)\), \(B = B'/(y)\), \(A = B'/(x, y)\), \(L' = B'/(x - y)\)로 두자. 이 경우 \(L'\)에서 \(x\)의 류는 영이 아니지만 위에 표시한 화살표에서 영으로 간다.

보조정리

상황 08KH에서 \((N_1, M'_1, \varphi_1) \to (N_2, M'_2, \varphi_2)\)를 \(\text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_A} \text{Mod}_{A'}\)의 사상이라 하자. \(N_1 \to N_2\)와 \(M'_1 \to M'_2\)가 전사이면 \[N_1 \times_{\varphi_1, M_1} M'_1 \to N_2 \times_{\varphi_2, M_2} M'_2\] 도 전사이다. 여기서 \(M_1 = M'_1/IM'_1\)이고 \(M_2 = M'_2/IM'_2\)이다.

증명

\((x_2, y_2) \in N_2 \times_{\varphi_2, M_2} M'_2\)를 택한다. \(x_2\)로 가는 \(x_1 \in N_1\)을 택한다. \(M'_1 \to M_1\)이 전사이므로 \(\varphi_1(x_1)\)로 가는 \(y_1 \in M'_1\)을 찾을 수 있다. 그러면 \((x_1, y_1)\)은 \(N_2 \times_{\varphi_2, M_2} M'_2\)에서 \((x_2, y'_2)\)로 간다. 따라서 \((0, y_2)\) 꼴 원소들이 사상의 상에 있음을 보이면 충분하다. 여기서 \(y_2 \in IM'_2\)이다. \(t_i \in I\)인 원소들을 사용하여 \(y_2 = \sum t_i y_{2, i}\)라고 쓰자. \(y_{2, i}\)로 가는 \(y_{1, i} \in M'_1\)을 택한다. 그러면 \(y_1 = \sum t_iy_{1, i} \in IM'_1\)이고 원소 \((0, y_1)\)이 원하는 일을 한다.

보조정리

\(A, A', B, B', I, M, M', N, \varphi\)가 보조정리 07RU에서와 같다고 하자.

\(N\)이 \(B\) 위 유한이고 \(M'\)이 \(A'\) 위 유한이면 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\)은 \(B'\) 위 유한이다.

증명

보조정리 07RU의 결과를 더 언급하지 않고 사용하겠다. \(B\) 위 \(N\)의 생성원 \(y_1, \ldots, y_r\)와 \(A'\) 위 \(M'\)의 생성원 \(x_1, \ldots, x_s\)를 택한다. \(N = N' \otimes_{B'} B\)이고 \(B' \to B\)가 전사이므로 \(N\)에서 \(y_1, \ldots, y_r\)로 가는 \(u_1, \ldots, u_r \in N'\)을 찾을 수 있다. \(M' = N' \otimes_{B'} A'\)이므로 어떤 \(a'_{ij} \in A'\)에 대하여 \(x_i = \sum v_j \otimes a'_{ij}\)가 되도록 하는 \(v_1, \ldots, v_t \in N'\)을 찾을 수 있다. 특히 \(v_j\)의 상 \(\overline{v}_j \in M'\)들은 \(A'\) 위에서 \(M'\)을 생성한다. \(u_1, \ldots, u_r, v_1, \ldots, v_t\)가 \(B'\)-가군으로서 \(N'\)을 생성한다고 주장한다. 실제로 \(\xi \in N'\)을 택하자. 먼저 \(\xi\)와 \(\sum b'_i u_i\)가 \(N\)의 같은 원소로 가도록 \(b'_1, \ldots, b'_r \in B'\)을 택한다. \(B' \to B\)가 전사이고 \(y_1, \ldots, y_r\)가 \(B\) 위에서 \(N\)을 생성하므로 이는 가능하다. 차 \(\xi - \sum b'_i u_i\)는 \(IM'\)에 속하는 어떤 \(\theta\)에 대하여 \((0, \theta)\) 꼴이다. \(t_j \in I\)를 사용하여 \(\theta\)를 \(\sum t_j\overline{v}_j\)라고 쓰자. \(J = \Ker(B' \to B)\)가 \(I\)에 동형으로 사상되므로 \(t_j\)로 가는 \(s_j \in J \subset B'\)을 택할 수 있다. \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\)이므로 원하는 대로 \(\xi = \sum b'_i u_i + \sum s_j v_j\)가 따른다.

보조정리

\(A, A', B, B', I\)가 상황 08KH에서와 같다고 하자.

1. \((N, M', \varphi)\)를 \(\text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_A} \text{Mod}_{A'}\)의 대상이라 하자. \(M'\)이 \(A'\) 위 평탄이고 \(N\)이 \(B\) 위 평탄이면 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\)은 \(B'\) 위 평탄이다.

2. \(L'\)이 평탄 \(B'\)-가군이면 \(L' = (L \otimes_{B'} B) \times_{(L \otimes_{B'} A)} (L \otimes_{B'} A')\)이다.

3. 평탄 \(B'\)-가군의 범주는 \(\text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_A} \text{Mod}_{A'}\)의 다음 충만한 부분범주와 동치이다. 이 부분범주의 대상은 \(N\)이 \(B\) 위 평탄이고 \(M'\)이 \(A'\) 위 평탄인 삼중항 \((N, M', \varphi)\)이다.

증명

증명에서는 보조정리 07RU를 더 언급하지 않고 사용한다.

(1)의 증명. \(J = \Ker(B' \to B)\)로 두자. 이는 \(I = \Ker(A' \to A)\)에 동형으로 사상되는 \(B'\)의 아이디얼이다. \(\mathfrak b' \subset B'\)을 아이디얼이라 하자. Algebra, Lemma 00HD에 의해 \(\mathfrak b' \otimes_{B'} N' \to N'\)이 단사임을 보여야 한다. \(N\)이 \(B\) 위 평탄이므로 \[\mathfrak b'/(\mathfrak b' \cap J) \otimes_{B'} N' = \mathfrak b'/(\mathfrak b' \cap J) \otimes_B N \to N\] 은 단사이다. 열 \(\mathfrak b' \cap J \to \mathfrak b' \to \mathfrak b'/(\mathfrak b' \cap J) \to 0\)이 완전하므로 \((\mathfrak b' \cap J) \otimes_{B'} N' \to N'\)이 단사임을 보이면 충분하다고 결론 내린다. 따라서 \(\mathfrak b' \subset J\)라고 가정할 수 있다. 다음으로 \(J \to I\)가 동형이므로 \[J \otimes_{B'} N' = I \otimes_{A'} A' \otimes_{B'} N' = I \otimes_{A'} M'\] 이다. \(M'\)이 평탄 \(A'\)-가군이므로 이는 \(M'\)에 단사로 사상된다. 따라서 \(J \otimes_{B'} N' \to N'\)은 단사이고 \[\text{Tor}_1^{B'}(B'/J, N') = 0\] 이라고 결론 내린다. Algebra, Remark 00M6을 보라. 그러므로 \(B'\) 위의 \(N'\)과 아이디얼 \(J\)에 Algebra, Lemma 051C을 적용할 수 있다. 아이디얼 \(\mathfrak b' \subset J\)로 돌아가서 \(\mathfrak b' \subset \mathfrak b'' \subset J\)를 \(I\)에서의 상이 \(I\)의 \(A'\)-부분가군인 가장 작은 아이디얼이라 하자. 다시 말해 \(J = I\)를 \(A'\)-가군으로 보면 \(\mathfrak b'' = A' \mathfrak b'\)이다. 그러면 \(\mathfrak b''/\mathfrak b'\)은 \(J\)에 의해 소멸되고, 보조정리의 적용으로 얻는 \(\text{Tor}_1^{B'}(\mathfrak b''/\mathfrak b', N')\)의 소멸에 의해 짧은 완전열 \[0 \to \mathfrak b' \otimes_{B'} N' \to \mathfrak b'' \otimes_{B'} N' \to \mathfrak b''/\mathfrak b' \otimes_{B'} N' \to 0\] 을 얻는다. 따라서 \(\mathfrak b'\)을 \(\mathfrak b''\)로 바꿀 수 있다. 특히 \(\mathfrak b'\)이 \(A'\)-가군이고 \(A'\)의 아이디얼로 사상된다고 가정할 수 있다. 그러면 \[\mathfrak b' \otimes_{B'} N' = \mathfrak b' \otimes_{A'} A' \otimes_{B'} N' = \mathfrak b' \otimes_{A'} M'\] 이다. \(M'\)이 \(A'\) 위 평탄이라는 가정에 의해 이 텐서곱은 \(M'\)에 단사로 사상된다. 따라서 \(\mathfrak b' \otimes_{B'} N' \to N' \to M'\)은 단사이고, 원하는 대로 첫 번째 사상도 단사이다.

(2)의 증명. 짧은 완전열 \(0 \to B' \to B \oplus A' \to A \to 0\)을 \(B'\) 위에서 \(L'\)과 텐서하면 된다.

(3)의 증명. (1)과 (2)의 직접적인 귀결이다.

보조정리

\(A, A', B, B', I\)가 상황 08KH에서와 같다고 하자. 유한 생성 사영 \(B'\)-가군의 범주는 \(\text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_A} \text{Mod}_{A'}\)의 다음 충만한 부분범주와 동치이다. 이 부분범주의 대상은 \(N\)이 \(B\) 위 유한 생성 사영이고 \(M'\)이 \(A'\) 위 유한 생성 사영인 삼중항 \((N, M', \varphi)\)이다.

증명

가군이 유한 생성 사영일 필요충분조건은 유한 표시이고 평탄인 것이다. Algebra, Lemma 00NX를 보라. 보조정리 0D2I와 0D2H를 사용하면 다음을 보이는 문제로 환원된다. \(N\)이 \(B\) 위 유한 생성 사영이고 \(M'\)이 \(A'\) 위 유한 생성 사영이면 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\)은 유한 표시 \(B'\)-가군이다.

보조정리 0D2H에 의해 가군 \(N'\)은 \(B'\) 위 유한이다. 핵이 \(K'\)인 전사 \((B')^{\oplus n} \to N'\)을 택한다. 기저변환으로 핵이 각각 \(K_B\), \(K_{A'}\), \(K_A\)인 사상 \(B^{\oplus n} \to N\), \((A')^{\oplus n} \to M'\), \(A^{\oplus n} \to M\)을 얻는다. 표준 사상 \[K' \longrightarrow K_B \times_{K_A} K_{A'}\] 이 있다. 한편 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\)이고 \(B' = B \times_A A'\)이므로, 표시된 화살표의 역인 표준 사상 \(K_B \times_{K_A} K_{A'} \to K'\)도 있다. 따라서 표시된 사상은 동형이다. Algebra, Lemma 0519에 의해 가군 \(K_B\)와 \(K_{A'}\)은 유한이다. 보조정리 0D2H에 의해 \(K_B \to K_A\)와 \(K_{A'} \to K_A\)가 동형 \(K_B \otimes_B A = K_A = K_{A'} \otimes_{A'} A\)를 유도한다면 \(K'\)은 유한 \(B'\)-가군이라고 결론 내린다.

이는 평탄성 가정에 의해 텐서한 뒤에도 열 \[0 \to K_B \to B^{\oplus n} \to N \to 0 \quad\text{and}\quad 0 \to K_{A'} \to (A')^{\oplus n} \to M' \to 0\] 이 완전하게 남기 때문에 성립한다. Algebra, Lemma 00HL를 보라.

환의 섬유곱, III

이 절에서는 다음 상황에서의 섬유곱을 논의한다.

설정

\(A, A', B, B', I\)가 상황 08KH에서와 같다고 하자. \(B' \to D'\)을 환 사상이라 하자. \(D = D' \otimes_{B'} B\), \(C' = D' \otimes_{B'} A'\), \(C = D' \otimes_{B'} A\)로 두자. 그러면 환들의 큰 가환 그림 \[\xymatrix{ C & & & C' \ar[lll] \\ & A \ar[ul] & A' \ar[l] \ar[ru] \\ & B \ar[u] \ar[ld] & B' \ar[l] \ar[u] \ar[rd] \\ D \ar[uuu] & & & D' \ar[lll] \ar[uuu] }\] 을 얻는다. \(D' \to D \times_C C'\)가 동형이라고 가정하지 않음에 유의하라 ¹. 이 상황에서 (08KI)와 유사한 함자 [08KL]\[\begin{equation} \text{Mod}_{D'} \longrightarrow \text{Mod}_D \times_{\text{Mod}_C} \text{Mod}_{C'},\quad L' \longmapsto (L' \otimes_{D'} D, L' \otimes_{D'} C', can) \end{equation}\] 가 있다. 다음에 유의하라.

\(L' \otimes_{D'} D = L \otimes_{D'} (D' \otimes_{B'} B) = L \otimes_{B'} B\) 이고, 마찬가지로 \(L' \otimes_{D'} C' = L \otimes_{D'} (D' \otimes_{B'} A') = L \otimes_{B'} A'\)이다. 따라서 그림 \[\xymatrix{ \text{Mod}_{D'} \ar[r] \ar[d] & \text{Mod}_D \times_{\text{Mod}_C} \text{Mod}_{C'} \ar[d] \\ \text{Mod}_{B'} \ar[r] & \text{Mod}_B \times_{\text{Mod}_A} \text{Mod}_{A'} }\] 은 가환한다. 이하에서는 \(\text{Mod}_D \times_{\text{Mod}_C} \text{Mod}_{C'}\)의 대상을 \((N, M', \varphi)\)로 쓴다. 즉 \(N\)은 \(D\)-가군이고 \(M'\)은 \(C'\)-가군이며,

\(\varphi : N \otimes_B A \to M' \otimes_{A'} A\)는 \(C\)-가군의 동형이다.

그러나 \(\varphi\)를 \(D\)-선형 사상 \(\varphi : N \to M'/IM'\)으로 생각하는 것이 흔히 더 편리하다. 이 사상은 동형 \(N \otimes_B A \to M' \otimes_{A'} A = M'/IM'\)을 유도한다.

보조정리

상황 08KK에서 함자 (08KL)는 오른쪽 수반 함자, 즉 \[F : (N, M', \varphi) \longmapsto N \times_{\varphi, M} M'\] 을 갖는다. 여기서 \(M = M'/IM'\)이다. 또한 \(F\)와 (08KL)의 합성은 \(\text{Mod}_D \times_{\text{Mod}_C} \text{Mod}_{C'}\) 위의 항등함자이다. 다시 말해 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\)로 두면 \(N' \otimes_{D'} D = N\)이고 \(N' \otimes_{D'} C' = M'\)이다.

증명

수반성 명제는 더 일반적인 보조정리 0D2F에서 따른다. 마지막 명제는 보조정리 07RU의 대응하는 명제에서 따른다. 실제로 \(N' \otimes_{D'} D = N' \otimes_{D'} D' \otimes_{B'} B = N' \otimes_{B'} B\) 이고 \(N' \otimes_{D'} C' = N' \otimes_{D'} D' \otimes_{B'} A' = N' \otimes_{B'} A'\) 이기 때문이다.

보조정리

상황 08KK에서 \(J = \Ker(B' \to B)\)라 하면 사상 \(JD' \to IC'\)는 전사이다.

증명

\(C' = D' \otimes_{B'} A'\)이므로 \(IC'\)는 사상 \(D' \otimes_{B'} I = C' \otimes_{A'} I \to C'\)의 상이다. 환 사상 \(B' \to A'\)가 동형 \(J \to I\)를 유도하므로 보조정리가 따른다.

보조정리

\(A, A', B, B', C, C', D, D', I, M', M, N, \varphi\)가 보조정리 08KM에서와 같다고 하자.

\(N\)이 \(D\) 위 유한이고 \(M'\)이 \(C'\) 위 유한이면 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\)은 \(D'\) 위 유한이다.

증명

보조정리 08IG에 의해 \(D' \to D \times_C C'\)가 전사임을 상기하자. \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\)은 \(D \times_C C'\) 위의 가군임에 유의하라. 자료 \(C, C', D, D', IC', M', M, N, \varphi\)에 보조정리 0D2H를 적용하면 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\)이 \(D \times_C C'\) 위 유한임을 알 수 있다. 따라서 이는 \(D'\) 위 유한이다.

보조정리

\(A, A', B, B', C, C', D, D', I\)가 상황 08KK에서와 같다고 하자.

1. \((N, M', \varphi)\)를 \(\text{Mod}_D \times_{\text{Mod}_C} \text{Mod}_{C'}\)의 대상이라 하자. \(M'\)이 \(A'\) 위 평탄이고 \(N\)이 \(B\) 위 평탄이면 \(N' = N \times_{\varphi, M} M'\)은 \(B'\) 위 평탄이다.

2. \(L'\)이 \(B'\) 위 평탄인 \(D'\)-가군이면 \(L' = (L \otimes_{D'} D) \times_{(L \otimes_{D'} C)} (L \otimes_{D'} C')\)이다.

3. \(B'\) 위 평탄인 \(D'\)-가군의 범주는 \(\text{Mod}_D \times_{\text{Mod}_C} \text{Mod}_{C'}\)에서 \(N\)이 \(B\) 위 평탄이고 \(M'\)이 \(A'\) 위 평탄인 대상 \((N, M', \varphi)\)들의 범주와 동치이다.

증명

(1)은 보조정리 0D2I의 (1)에서 따른다.

(2)는 보조정리 0D2I의 (2)에서 따른다. 여기서는 \(L' \otimes_{D'} D = L' \otimes_{B'} B\), \(L' \otimes_{D'} C' = L' \otimes_{B'} A'\), \(L' \otimes_{D'} C = L' \otimes_{B'} A\)를 사용한다. 상황 08KK의 논의를 보라.

(3)은 (1)과 (2)의 직접적인 귀결이다.

다음 보조정리는 절대적 경우의 대응 명제 (보조정리 0D2J)보다 훨씬 흥미롭지만, 증명은 본질적으로 같다.

보조정리

\(A, A', B, B', C, C', D, D', I, M', M, N, \varphi\)가 보조정리 08KM에서와 같다고 하자. 다음을 가정하자.

1. \(N\)은 \(D\) 위 유한 표시이고 \(B\) 위 평탄이다.

2. \(M'\)은 \(C'\) 위 유한 표시이고 \(A'\) 위 평탄이다.

3. 환 사상 \(B' \to D'\)은 \(B' \to D'' \to D'\)으로 분해되며, \(B' \to D''\)은 평탄이고 \(D'' \to D'\)은 유한 표시이다.

그러면 \(N' = N \times_M M'\)은 \(D'\) 위 유한 표시이다.

증명

핵이 유한 생성인 전사 \(D''' = D''[x_1, \ldots, x_n] \to D'\)을 택하고 그 핵을 \(J\)라 하자. Algebra, Lemma 0564에 의해 \(N'\)이 \(D'''\)-가군으로서 유한 표시임을 보이면 충분하다. 또한 \(D''' \otimes_{B'} B \to D' \otimes_{B'} B = D\)와 \(D''' \otimes_{B'} A' \to D' \otimes_{B'} A' = C'\)은 전사이고, 그 핵들은 \(J\)의 상으로 생성된다. 따라서 다시 Algebra, Lemma 0564에 의해 \(N\)은 유한 표시 \(D''' \otimes_{B'} B\)-가군이고 \(M'\)은 유한 표시 \(D''' \otimes_{B'} A'\)-가군이다. 그러므로 \(D'\)을 \(D'''\)으로, \(D\)를 \(D''' \otimes_{B'} B\)로, 나머지도 마찬가지로 바꿀 수 있다. \(D'''\)은 \(B'\) 위 평탄이므로 \(B' \to D'\)이 평탄이라고 가정할 수 있다.

\(B' \to D'\)이 평탄하다고 가정하자. 보조정리 08IH에 의해 가군 \(N'\)은 \(D'\) 위 유한이다. 핵이 \(K'\)인 전사 \((D')^{\oplus n} \to N'\)을 택한다. 기저변환으로 핵이 각각 \(K_D\), \(K_{C'}\), \(K_C\)인 사상 \(D^{\oplus n} \to N\), \((C')^{\oplus n} \to M'\), \(C^{\oplus n} \to M\)을 얻는다. 표준 사상 \[K' \longrightarrow K_D \times_{K_C} K_{C'}\] 이 있다. 한편 \(N' = N \times_M M'\)이고 \(D' = D \times_C C'\)이므로 (평탄 \(B'\)-가군 \(D'\)에 적용한 보조정리 0D2I에 의해) 표시된 화살표의 역인 표준 사상 \(K_D \times_{K_C} K_{C'} \to K'\)도 있다. 따라서 표시된 사상은 동형이다. Algebra, Lemma 0519에 의해 가군 \(K_D\)와 \(K_{C'}\)은 유한이다. 보조정리 08IH에 의해 \(K_D \to K_C\)와 \(K_{C'} \to K_C\)가 동형 \(K_D \otimes_B A = K_C = K_{C'} \otimes_{A'} A\)를 유도한다면 \(K'\)은 유한 \(D'\)-가군이라고 결론 내린다.

이는 평탄성 가정에 의해 텐서한 뒤에도 열 \[0 \to K_D \to D^{\oplus n} \to N \to 0 \quad\text{and}\quad 0 \to K_{C'} \to (C')^{\oplus n} \to M' \to 0\] 이 완전하게 남기 때문에 성립한다. Algebra, Lemma 00HL를 보라.

보조정리

\(A, A', B, B', I\)가 상황 08KH에서와 같다고 하자.

\((D, C', \varphi)\)를 \(B\)-대수 \(D\), \(A'\)-대수 \(C'\), 동형 \(D \otimes_B A \to C'/IC' = C\)로 이루어진 계라 하자. \(D' = D \times_C C'\)로 두자 (보조정리 07RU에서와 같이). 그러면 다음이 성립한다.

1. \(B' \to D'\)이 유한형일 필요충분조건은 \(B \to D\)와 \(A' \to C'\)이 유한형인 것이다.

2. \(B' \to D'\)이 평탄일 필요충분조건은 \(B \to D\)와 \(A' \to C'\)이 평탄인 것이다.

3. \(B' \to D'\)이 평탄이고 유한 표시일 필요충분조건은 \(B \to D\)와 \(A' \to C'\)이 평탄이고 유한 표시인 것이다.

4. \(B' \to D'\)이 매끄러울 필요충분조건은 \(B \to D\)와 \(A' \to C'\)이 매끄러운 것이다.

5. \(B' \to D'\)이 에탈일 필요충분조건은 \(B \to D\)와 \(A' \to C'\)이 에탈인 것이다.

또 \(D'\)이 평탄 \(B'\)-대수이면 \(D' \to (D' \otimes_{B'} B) \times_{(D' \otimes_{B'} A)} (D' \otimes_{B'} A')\) 는 동형이다. 이 방식으로 평탄 \(B'\)-대수의 범주는 위와 같은 계 \((D, C', \varphi)\) 가운데 \(D\)가 \(B\) 위 평탄이고 \(C'\)이 \(A'\) 위 평탄인 것들의 범주와 동치이다.

증명

함의 “\(\Rightarrow\)”는 Algebra의 보조정리 05G5, 00HI, 00T4, 00U2에서 따른다. 실제로 보조정리 07RU에 의해 \(D' \otimes_{B'} B = D\)이고 \(D' \otimes_{B'} A' = C'\)이기 때문이다. 따라서 반대 방향의 함의들을 증명하면 충분하다.

(1)에 대하여.

\(D\)가 \(B\) 위 유한형이고 \(C'\)이 \(A'\) 위 유한형이라고 가정하자. 보조정리 07RU의 결과를 더 언급하지 않고 사용하겠다. \(B\) 위 \(D\)의 생성원 \(x_1, \ldots, x_r\)와 \(A'\) 위 \(C'\)의 생성원 \(y_1, \ldots, y_s\)를 택한다. \(D = D' \otimes_{B'} B\)이고 \(B' \to B\)가 전사이므로 \(D\)에서 \(x_1, \ldots, x_r\)로 가는 \(u_1, \ldots, u_r \in D'\)을 찾을 수 있다. \(C' = D' \otimes_{B'} A'\)이므로 어떤 \(a'_{ij} \in A'\)에 대하여 \(y_i = \sum v_j \otimes a'_{ij}\)가 되도록 하는 \(v_1, \ldots, v_t \in D'\)을 찾을 수 있다. 특히 \(C'\)에서 \(v_j\)들의 상은 \(A'\)-대수로서 \(C'\)을 생성한다. \(N = r + t\)로 두고 다음 환들의 정육면체를 생각하자. \[\xymatrix{ A[x_1, \ldots, x_N] & & A'[x_1, \ldots, x_N] \ar[ll] \\ & A \ar[lu] & & A' \ar[ll] \ar[lu] \\ B[x_1, \ldots, x_N] \ar[uu] & & B'[x_1, \ldots, x_N] \ar[uu] \ar[ll] \\ & B \ar[uu] \ar[lu] & & B' \ar[ll] \ar[uu] \ar[lu] }\] 뒤쪽 사각형도 데카르트임에 유의하라. 환 사상 \[B'[x_1, \ldots, x_N] \to D',\quad x_i \mapsto u_i \quad\text{and}\quad x_{r + j} \mapsto v_j.\] 을 생각하자. 그러면 유도된 사상 \(B[x_1, \ldots, x_N] \to D\)와 \(A'[x_1, \ldots, x_N] \to C'\)은 전사이고, 특히 유한이다. 보조정리 08IH에 의해 \(B'[x_1, \ldots, x_N] \to D'\)은 유한이다. 따라서 예를 들어 Algebra, Lemma 00F4에 의해 \(D'\)은 \(B'\) 위 유한형이다.

(2)에 대하여. 함의 “\(\Leftarrow\)”는 보조정리 07RW에서 따른다. 또 마지막 명제도 보조정리 07RW의 마지막 명제에서 따른다.

(3)에 대하여. \(B \to D\)와 \(A' \to C'\)이 평탄이고 유한 표시라고 가정하자. \(B' \to D'\)의 평탄성은 (2)에서 보았다. (1)에 의해 \(B' \to D'\)이 유한형임을 안다. 전사 \(B'[x_1, \ldots, x_N] \to D'\)을 택한다. Algebra, Lemma 00R2에 의해 환 \(D\)는 \(B[x_1, \ldots, x_N]\)-가군으로서 유한 표시이고, 환 \(C'\)은 \(A'[x_1, \ldots, x_N]\)-가군으로서 유한 표시이다. 보조정리 08KP에 의해 \(D'\)은 \(B'[x_1, \ldots, x_N]\)-가군으로서 유한 표시이다. 즉 \(B' \to D'\)은 유한 표시이다.

(4)에 대하여. \(B \to D\)와 \(A' \to C'\)이 매끄럽다고 가정하자. (3)에 의해 \(B' \to D'\)은 평탄이고 유한 표시이다. Algebra, Lemma 00TF에 의해 \(B'\) 위의 모든 체 \(k\)에 대하여 \(D' \otimes_{B'} k\)가 매끄러움을 확인하면 충분하다. 합성 \(J \to B' \to k\)가 영이면 \(B' \to k\)는 \(B' \to B \to k\)로 분해되고, \[D' \otimes_{B'} k = D' \otimes_{B'} B \otimes_B k = D \otimes_B k\] 임을 알 수 있다. \(B \to D\)가 매끄러우므로 이는 매끄럽다. 합성 \(J \to B' \to k\)가 영이 아니면 \(k\)에서 영으로 가지 않는 \(h \in J\)가 존재한다. 그러면 \(B' \to k\)는 \(B' \to B'_h \to k\)로 분해된다. \(h\)는 \(B\)에서 영으로 가므로 \(B_h = 0\)임에 유의하라. 따라서 보조정리 01Z8에 의해 \(B'_h = A'_h\)이고, \[D' \otimes_{B'} k = D' \otimes_{B'} B'_h \otimes_{B'_h} k = C'_h \otimes_{A'_h} k\] 를 얻는다. \(A' \to C'\)이 매끄러우므로 이는 매끄럽다.

(5)에 대하여. \(B \to D\)와 \(A' \to C'\)이 에탈이라고 가정하자. (4)에 의해 \(B' \to D'\)은 매끄럽다. 매끄러운 사상이 에탈인지 여부는 올들의 차원에서 읽을 수 있으므로 (4)의 증명에서처럼 논증하여 올을 동일시하면 (5)가 따른다. 몇몇 세부사항은 생략한다.

주

상황 08KK에서 \(B' \to D'\)이 유한 표시라고 가정하고 \(D'\)-가군 \(L'\)이 주어졌다고 하자. 다음 두 자료 사이에 전단사 대응이 있다고 주장한다.

1. \(Q'\)이 \(D'\) 위 유한 표시이고 \(B'\) 위 평탄인 \(D'\)-가군의 전사 \(L' \to Q'\),

2. 다음을 만족하는 가군의 전사쌍 \((L' \otimes_{D'} D \to Q_1, L' \otimes_{D'} C' \to Q_2)\):

   1. \(Q_1\)은 \(D\) 위 유한 표시이고 \(B\) 위 평탄이다.

   2. \(Q_2\)는 \(C'\) 위 유한 표시이고 \(A'\) 위 평탄이다.

   3. \(L' \otimes_{D'} C\)의 몫으로서 \(Q_1 \otimes_D C = Q_2 \otimes_{C'} C\)이다.

이 대응은 \(Q \mapsto (Q_1, Q_2)\)로 주어진다. 여기서 \(Q_1 = Q \otimes_{D'} D\)이고 \(Q_2 = Q \otimes_{D'} C'\)이다. 반대 방향에는 \(Q = Q_1 \times_{Q_{12}} Q_2\)를 사용한다. 여기서 \(Q_{12}\)은 \(L' \otimes_{D'} C\)의 공통 몫 \(Q_1 \otimes_D C = Q_2 \otimes_{C'} C\)이다. 몫사상으로는 다음을 사용한다. \[L' \longrightarrow (L' \otimes_{D'} D) \times_{(L' \otimes_{D'} C)} (L' \otimes_{D'} C') \longrightarrow Q_1 \times_{Q_{12}} Q_2 = Q\] 첫 번째 화살표는 보조정리 08IG에 의해 전사이고, 두 번째 화살표는 보조정리 08KJ에 의해 전사이다. 주장은 보조정리 07RW와 08KP에서 따른다.

Fitting 아이디얼

유한 가군의 Fitting 아이디얼은 보조정리 07Z8의 구성으로 정해지는 아이디얼이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(A\)를 \(R\)에 계수를 갖는 \(n \times m\) 행렬이라 하자. \(I_r(A)\)를 \(A\)의 \(r \times r\) 소행렬식들이 생성하는 아이디얼이라 하고, \(I_0(A) = R\)이며 \(r > \min(n, m)\)이면 \(I_r(A) = 0\)이라고 약속하자. 그러면

1. \(I_0(A) \supset I_1(A) \supset I_2(A) \supset \ldots\),

2. \(B\)가 \((n + n') \times m\) 행렬이고 \(A\)가 \(B\)의 처음 \(n\)개 행이면 \(I_{r + n'}(B) \subset I_r(A)\),

3. \(C\)가 \(n \times n\) 행렬이면 \(I_r(CA) \subset I_r(A)\).

4. \(A\)가 블록 행렬 \[\left( \begin{matrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{matrix} \right)\] 이면 \(I_r(A) = \sum_{r_1 + r_2 = r} I_{r_1}(A_1) I_{r_2}(A_2)\).

5. 여기에 더 추가할 것.

증명

생략한다. (힌트: 행렬식은 한 열이나 한 행을 따라 전개하여 계산할 수 있다.)

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(M\)을 유한 \(R\)-가군이라 하자. \(M\)의 표시 \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} R \longrightarrow R^{\oplus n} \longrightarrow M \longrightarrow 0.\] 를 택하자. \(A = (a_{ij})_{i = 1, \ldots, n, j \in J}\)를 사상 \(\bigoplus_{j \in J} R \to R^{\oplus n}\)의 행렬이라 하자. \(A\)의 \((n - k) \times (n - k)\) 소행렬식들이 생성하는 아이디얼 \(\text{Fit}_k(M)\)은 표시의 선택과 무관하다.

증명

\(K \subset R^{\oplus n}\)을 전사 \(R^{\oplus n} \to M\)의 핵이라 하자. \(z_1, \ldots, z_{n - k} \in K\)를 택하고 \(z_j = (z_{1j}, \ldots, z_{nj})\)로 쓰자. 아이디얼 \(\text{Fit}_k(M)\)은 이와 같이 얻는 모든 행렬 \((z_{ij})\)의 \((n - k) \times (n - k)\) 소행렬식들이 생성하는 아이디얼이라고도 기술할 수 있다.

이 전사를 핵이 \(K'\)인 전사 \(R^{\oplus n + n'} \to M\)으로 바꾼다고 하자. 여기서 \(R^{\oplus n + n'}\)의 처음 \(n\)개 표준 기저 원소에는 원래 사상을, 마지막 \(n'\)개 기저 벡터에는 \(0\)을 사용한다. 그러면 대응하는 아이디얼들은 같다. 실제로 위와 같이 \(z_1, \ldots, z_{n - k} \in K\)이면 \(j = 1, \ldots, n - k\)에 대하여 \(z'_j = (z_{1j}, \ldots, z_{nj}, 0, \ldots, 0) \in K'\)라 놓고 \(z'_{n + j'} = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots, 0) \in K'\)라 놓자. 그러면 \((z_{ij})\)의 \((n - k) \times (n - k)\) 소행렬식들의 아이디얼이 \((z'_{ij})\)의 \((n + n' - k) \times (n + n' - k)\) 소행렬식들의 아이디얼과 일치함을 알 수 있다. 이로써 한쪽 포함을 얻는다. 거꾸로 \(K'\) 안의 \(z'_1, \ldots, z'_{n + n' - k}\)가 주어졌다고 하자. 이들을 \(R^{\oplus n}\)으로 사영하여 \(K\) 안의 \(z_1, \ldots, z_{n + n' - k}\)를 얻을 수 있다. 보조정리 07Z7에 의해 \((z'_{ij})\)의 \((n + n' - k) \times (n + n' - k)\) 소행렬식들이 생성하는 아이디얼은 \((z_{ij})\)의 \((n - k) \times (n - k)\) 소행렬식들이 생성하는 아이디얼에 포함된다. 이로써 다른 쪽 포함을 얻는다.

\(R^{\oplus m} \to M\)을 핵이 \(L\)인 또 하나의 전사라 하자. Schanuel 보조정리(Algebra, Lemma 00O3)와 앞 문단의 결과에 의해 \(m = n\)이고 \(M\)으로의 전사들과 가환하는 동형 \(R^{\oplus n} \to R^{\oplus m}\)이 있다고 가정해도 된다. \(C = (c_{li})\)를 이 사상의 (가역) 행렬이라 하자 (\(n = m\)이므로 정사각행렬이다). 그러면 위와 같이 \(z'_1, \ldots, z'_{n - k} \in L\)이 주어졌을 때 \(z_1, \ldots, z_{n - k} \in K\)로서 \(z_1' = Cz_1, \ldots, z'_{n - k} = Cz_{n - k}\)인 것들을 찾을 수 있다. 보조정리 07Z7에 의해 한쪽 포함을 얻고, 대칭성에 의해 다른 쪽 포함을 얻는다.

정의

\(R\)을 환이라 하자. \(M\)을 유한 \(R\)-가군이라 하자. \(k \geq 0\)라 하자. \(M\)의 제 \(k\) Fitting 아이디얼은 보조정리 07Z8에서 구성한 아이디얼 \(\text{Fit}_k(M)\)이다. \(\text{Fit}_{-1}(M) = 0\)으로 놓는다.

Fitting 아이디얼은 큰 행렬의 소행렬식 아이디얼들이고 (보조정리 07Z7의 순서와 반대 순서로 번호가 붙는다), 어떤 \(t \gg 0\)에 대하여 \[0 = \text{Fit}_{-1}(M) \subset \text{Fit}_0(M) \subset \text{Fit}_1(M) \subset \ldots \subset \text{Fit}_t(M) = R\] 임을 알 수 있다. 다음은 Fitting 아이디얼의 몇 가지 기본 성질이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(M\)을 유한 \(R\)-가군이라 하자.

1. \(M\)이 \(n\)개의 원소로 생성될 수 있으면 \(\text{Fit}_n(M) = R\)이다.

2. 두 번째 유한 \(R\)-가군 \(M'\)이 주어지면 \(\text{Fit}_0(M \oplus M') = \text{Fit}_0(M)\text{Fit}_0(M')\)이고, 더 일반적으로 \[\text{Fit}_l(M \oplus M') = \sum\nolimits_{k + k' = l} \text{Fit}_k(M)\text{Fit}_{k'}(M')\]

3. \(R \to R'\)이 환 사상이면 \(\text{Fit}_k(M \otimes_R R')\)은 \(\text{Fit}_k(M)\)의 상이 \(R'\)에서 생성하는 아이디얼이다.

4. \(M\)이 유한 표시이면 \(\text{Fit}_k(M)\)은 유한 생성 아이디얼이다.

5. \(M \to M'\)이 전사이면 \(\text{Fit}_k(M) \subset \text{Fit}_k(M')\)이다.

6. \(\text{Fit}_0(M) \subset \text{Ann}_R(M)\)이다.

7. \(V(\text{Fit}_0(M)) = \text{Supp}(M)\)이다.

8. \(I\)가 \(R\)의 아이디얼이면 \(\text{Fit}_0(R/I) = I\)이다.

9. 여기에 더 추가할 것.

증명

(1)은 보조정리 07Z7에서 \(I_0(A) = R\)이라는 사실로부터 따른다.

(2)는 보조정리 07Z7의 대응하는 명제에서 따른다.

(3)은 \(\otimes_R R'\)가 오른쪽 완전이므로 따른다. 따라서 \(M\)의 표시를 기저변환한 것은 \(M \otimes_R R'\)의 표시이다.

(4)의 증명. 표시 \(R^{\oplus m} \xrightarrow{A} R^{\oplus n} \to M \to 0\)를 택하자. 그러면 \(\text{Fit}_k(M)\)은 행렬 \(A\)의 \((n - k) \times (n - k)\) 소행렬식들이 생성하는 아이디얼이다.

(5)는 정의에서 즉시 따른다.

(6)의 증명. 보조정리 07Z8에서와 같이 행렬 \(A\)를 갖는 \(M\)의 표시를 택하자. \(J' \subset J\)를 크기가 \(n\)인 부분집합이라 하자. \(f = \det(a_{ij})_{i = 1, \ldots, n, j \in J'}\)가 \(M\)을 영으로 만듦을 보이면 충분하다. 이는 다음 사상의 여핵이 \[R^{\oplus n} \xrightarrow{A' = (a_{ij})_{i = 1, \ldots, n, j \in J'}} R^{\oplus n} \to M \to 0\] \(f\)에 의해 영이 되므로 분명하다. 실제로 \(A' B = f1_{n \times n}\)인 행렬 \(B\)가 있다.

(7)의 증명. 보조정리 07Z8에서와 같이 행렬 \(A\)를 갖는 \(M\)의 표시를 택하자. Nakayama 보조정리(Algebra, Lemma 00DV)에 의해 \[M_\mathfrak p \not = 0 \Leftrightarrow M \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \not = 0 \Leftrightarrow \text{rank}(\text{image }A\text{ in }\kappa(\mathfrak p)) < n\] 이다. \(\text{Fit}_0(M)\)이 이 성질을 갖는 소아이디얼들의 집합을 정확히 잘라낸다는 것은 분명하다.

예

\(R\)을 환이라 하자. 유한 자유 가군 \(M = R^{\oplus n}\)의 Fitting 아이디얼은 \(k < n\)이면 \(\text{Fit}_k(M) = 0\)이고 \(k \geq n\)이면 \(\text{Fit}_k(M) = R\)이다.

예

\(R\)을 환이라 하고 \(I, J\subset R\)을 아이디얼이라 하자. 그러면 \(\text{Fit}_0(R/I) = I\), \(\text{Fit}_0(R/I \oplus R/J) = IJ\), \(\text{Fit}_1(R/I\oplus R/J) = I+J\)이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(M\)을 유한 \(R\)-가군이라 하자. \(k \geq 0\)라 하자. \(\mathfrak p \subset R\)을 소아이디얼이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(\text{Fit}_k(M) \not \subset \mathfrak p\),

2. \(\dim_{\kappa(\mathfrak p)} M \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \leq k\),

3. \(M_\mathfrak p\)는 \(R_\mathfrak p\) 위에서 \(k\)개의 원소로 생성될 수 있고,

4. 어떤 \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak p\)에 대하여 \(M_f\)는 \(R_f\) 위에서 \(k\)개의 원소로 생성될 수 있다.

증명

Nakayama 보조정리(Algebra, Lemma 00DV)에 의해 \(M \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)가 \(k\)개의 원소로 생성될 수 있으면 어떤 \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak p\)에 대하여 \(M_f\)는 \(R_f\) 위에서 \(k\)개의 원소로 생성될 수 있다. 따라서 (2), (3), (4)는 동치이다. 보조정리 07ZA의 (3)을 사용하면 문제는 \(R\)이 체이고 \(\mathfrak p = (0)\)인 경우로 귀착된다. 이 경우 결과는 예 07ZB에서 따른다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(M\)을 유한 \(R\)-가군이라 하자. \(r \geq 0\)라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(M\)은 랭크 \(r\)인 유한 국소 자유 가군이고 (Algebra, Definition 00NW),

2. \(\text{Fit}_{r - 1}(M) = 0\)이고 \(\text{Fit}_r(M) = R\)이며,

3. \(k < r\)이면 \(\text{Fit}_k(M) = 0\)이고 \(k \geq r\)이면 \(\text{Fit}_k(M) = R\)이다.

증명

Fitting 아이디얼들이 증가 아이디얼열을 이루므로 (2)와 (3)이 동치임은 즉시 알 수 있다. \(\text{Fit}_k(M)\)의 형성은 기저변환과 가환하므로 (보조정리 07ZA), 예 07ZB와 붙이기 결과 (Algebra, Section 00EN)에 의해 (1)은 (2)를 함의한다. 거꾸로 (2)를 가정하자. 보조정리 07ZC에 의해 \(M\)이 \(r\)개의 원소로 생성된다고 가정해도 된다.

따라서 표시 \(\bigoplus_{j \in J} R \to R^{\oplus r} \to M \to 0\)가 있다. 이제 \(\text{Fit}_{r - 1}(M) = 0\)이라는 가정은 사상 \(\bigoplus_{j \in J} R \to R^{\oplus r}\)의 행렬의 모든 성분이 영임을 함의한다. 따라서 \(M\)은 자유이다.

보조정리

\(R\)을 국소환이라 하자. \(M\)을 유한 \(R\)-가군이라 하자. \(k \geq 0\)라 하자. 어떤 \(f \in R\)에 대하여 \(\text{Fit}_k(M) = (f)\)라고 가정하자. \(M'\)을 \(M\)의 \(\{x \in M \mid fx = 0\}\)에 의한 몫이라 하자. 그러면 \(M'\)은 \(k\)개의 원소로 생성될 수 있다.

증명

전사 \(R^{\oplus n} \to M\)에 대응하는 생성원 \(x_1, \ldots, x_n \in M\)을 택하자. \(R\)이 국소환이므로 원소들의 집합 \(E \subset (f)\)가 \((f)\)를 생성하면 어떤 \(e \in E\)가 \((f)\)를 생성한다. Algebra, Lemma 00DV를 보라. 따라서 \(R^{\oplus n} \to M\)의 핵에서 \(z_1, \ldots, z_{n - k}\)를 택하여 \(n \times (n - k)\) 행렬 \(A = (z_{ij})\)의 어떤 \((n - k) \times (n - k)\) 소행렬식이 \((f)\)를 생성하게 할 수 있다. \(x_i\)의 번호를 다시 붙여 처음 소행렬식 \(\det(z_{ij})_{1 \leq i, j \leq n - k}\)이 \((f)\)를 생성한다고 가정해도 된다. 즉 어떤 단원 \(u \in R\)에 대하여 \(\det(z_{ij})_{1 \leq i, j \leq n - k} = uf\)이다. 다른 모든 소행렬식은 \(f\)의 배수이다. Algebra, Lemma 080R에 의해 \(n - k \times n - k\) 행렬 \(B\)가 존재하여 \[AB = f \left( \begin{matrix} u 1_{n - k \times n - k} \\ C \end{matrix} \right)\] 이다. 여기서 \(C\)는 \(R\)에 계수를 갖는 어떤 행렬이다. 이는 모든 \(i \leq n - k\)에 대하여 \(y_i = ux_i + \sum_j c_{ji}x_j\)가 \(f\)에 의해 영이 됨을 함의한다. \(M/\sum Ry_i\)가 \(x_{n - k + 1}, \ldots, x_n\)의 상들로 생성되므로 결론을 얻는다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(M\)을 유한 표시 \(R\)-가군이라 하자. \(k \geq 0\)라 하자. 어떤 영인자가 아닌 원소 \(f \in R\)에 대하여 \(\text{Fit}_k(M) = (f)\)이고 \(\text{Fit}_{k - 1}(M) = 0\)이라고 가정하자. 그러면

1. \(M\)의 사영 차원은 \(\leq 1\)이고,

2. \(M' = \Ker(f : M \to M)\)은 \(M\)의 \(f\)-멱 꼬임 부분가군이며,

3. \(M'\)의 사영 차원은 \(\leq 1\)이고,

4. \(M/M'\)은 랭크 \(k\)인 유한 국소 자유 가군이며,

5. \(M \cong M/M' \oplus M'\)이다.

증명

\(R\)에 계수를 갖는 어떤 행렬 \(A\)에 의한 표시 \[R^{\oplus m} \xrightarrow{A} R^{\oplus n} \to M \to 0\] 를 택하자.

먼저 \(R\)이 국소환일 때 보조정리를 증명한다. 명제에서처럼 \(M' = \{x \in M \mid fx = 0\}\)으로 놓자. 보조정리 080Z에 의해 \(M/M'\)을 생성하는 \(x_1, \ldots, x_k \in M\)을 택할 수 있다. 그러면 \(x_1, \ldots, x_k\)는 \(M_f = (M/M')_f\)를 생성한다. 따라서 \(M\) 안에 관계식 \(\sum a_ix_i = 0\)이 있으면 \(a_1, \ldots, a_k\)의 \(R_f\)에서의 상은 영이다. 그렇지 않으면 \(\text{Fit}_{k - 1}(M) R_f = \text{Fit}_{k - 1}(M_f)\)가 영이 아니기 때문이다. \(f\)는 영인자가 아니므로 \(a_1 = \ldots = a_k = 0\)이라고 결론짓는다. 따라서 \(M \cong R^{\oplus k} \oplus M'\)이다. 위 표시의 기저를 바꾸어 \(R^{\oplus n}\)의 처음 \(n - k\)개 기저 벡터는 \(M\)의 직합인자 \(M'\)으로 가고,

\(R^{\oplus n}\)의 마지막 \(k\)개 기저 벡터는 \(M\)의 직합인자 \(R^{\oplus k}\)의 기저 원소들로 간다고 가정해도 된다. 그러면 행렬 \(A\)의 마지막 \(k\)개 행은 영이다. 이렇게 하여 \(M\)을 \(M'\)으로, \(k\)를 \(0\)으로, \(n\)을 \(n - k\)로, \(A\)를 마지막 \(k\)개 행을 삭제한 부분행렬로 바꾸면 다음 문단에서 논할 경우로 귀착된다.

\(R\)이 국소환이고 \(k = 0\)이며 \(M\)이 \(f\)에 의해 영이 된다고 가정하자. 이제 \(M\)의 제 \(0\) Fitting 아이디얼은 \((f)\)이고, 크기가 \(n \times m\)인 행렬 \(A\)의 \(n \times n\) 소행렬식들이 생성한다. (특히 이는 \(m \geq n\)을 함의한다.) \(R\)이 국소환이므로 \(A\)의 어떤 \(n \times n\) 소행렬식은 어떤 단원 \(u \in R\)에 대하여 \(uf\)이다. 번호를 다시 붙여 이 소행렬식이 첫 번째 것이라고 가정해도 된다. 또한 \(A\)의 다른 모든 \(n \times n\) 소행렬식들은 \(f\)로 나누어진다. \(A = (A_1 A_2)\)로 블록 형태로 쓰자. 여기서 \(A_1\)은 \(n \times n\) 행렬이고 \(A_2\)는 \(n \times (m - n)\) 행렬이다. Algebra, Lemma 080R를 \(A\)의 전치에 적용하면 (!) 어떤 \(n \times n\) 행렬 \(B\)가 존재하여 \[BA = B(A_1 A_2) = f \left( \begin{matrix} u 1_{n \times n} & C \end{matrix} \right)\] 이다. 여기서 \(C\)는 \(R\)에 계수를 갖는 \(n \times (m - n)\) 행렬이다. 먼저 \(BA_1 = fu 1_{n \times n}\)을 얻는다. 따라서 \[BA_2 = fC = u^{-1}fuC = u^{-1}BA_1C\] 이다. \(B\)의 행렬식이 영인자가 아니므로 \(A_2 = u^{-1}A_1C\)라고 결론짓는다. 따라서 \(A\)의 상은 \(A_1\)의 상과 같고, 후자는 \(A_1\)의 행렬식이 영인자가 아니므로 \(R^{\oplus n}\)과 동형이다. 그러므로 \(M\)의 사영 차원은 \(\leq 1\)이다.

일반적인 환 \(R\)의 경우로 돌아가자. 국소적 경우에 의해 \(M/M'\)은 랭크 \(k\)인 유한 국소 자유 가군이다. Algebra, Lemma 00NX를 보라. 따라서 완전열 \(0 \to M' \to M \to M/M' \to 0\)은 분할된다. 그러므로 \(M'\)은 유한 표시 가군이다. 짧은 완전열 \(0 \to K \to R^{\oplus a} \to M' \to 0\)을 택하자. 그러면 \(K\)는 유한 \(R\)-가군이다. Algebra, Lemma 0519을 보라. 국소적 경우에 의해 모든 소아이디얼에 대하여 \(K_\mathfrak p \cong R_\mathfrak p^{\oplus a}\)이다. 따라서 다시 Algebra, Lemma 00NX에 의해 \(K\)는 랭크 \(a\)인 유한 국소 자유 가군이다. 그러므로 \(M'\)의 사영 차원은 \(\leq 1\)이고 보조정리가 증명되었다.

올림

이 절에서는 다음과 같은 종류의 올림 명제에 관한 몇 가지 보조정리를 모은다. \(A\)가 환이고 \(I \subset A\)가 아이디얼이며 \(\overline{\xi}\)가 \(A/I\) 위의 어떤 구조라면, \(\overline{\xi}\)를 \(A\) 위 또는 \(A\)의 어떤 에탈 확대 위의 비슷한 종류의 구조 \(\xi\)로 올릴 수 있는지를 다룬다. 다음은 이러한 구조 가운데 이미 몇 가지 결과를 증명한 것들이다.

1. 멱등원. Algebra, Lemmas 00J9와 05BU를 보라.

2. 사영 가군. Algebra, Lemmas 07LV과 0D47을 보라.

3. 유한 안정 자유 가군. 보조정리 0BC5를 보라.

4. 기저 원소. Algebra, Lemmas 051F와 051H를 보라.

5. 환 사상, 즉 어떤 대수들이 형식적으로 매끄러움을 증명하는 문제. Algebra, Lemma 00TK, Proposition 00TN, 그리고 Lemma 07K4를 보라.

6. 신토믹 환 사상. Algebra, Lemma 00T0을 보라.

7. 매끄러운 환 사상. Algebra, Lemma 04B1를 보라.

8. 에탈 환 사상. Algebra, Lemma 04D1을 보라.

9. 다항식의 인수분해. Algebra, Lemma 00UH을 보라.

10. Algebra, Section 04GE에서는 헨젤 국소환을 논한다.

관심 있는 독자는 Smoothing Ring Maps, Section 07CD, 특히 Smoothing Ring Maps, Proposition 07M8에서 이와 같은 결과를 더 찾을 수 있다.

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(\overline{\xi}\)를 \(A/I\) 위의 어떤 구조라 하자. 다음 보조정리들에서는 동형 \(A/I \to A'/IA'\)을 유도하는 에탈 환 사상 \(A \to A'\)과 \(\overline{\xi}\)를 올리는 \(A'\) 위의 대상 \(\xi'\)을 찾는다. 일반적으로 에탈 환 사상 \(A \to A' \to A''\)이 주어지고 \(A/I \cong A'/IA'\)이며 \(A'/IA' \cong A''/IA''\)이면, 합성 \(A \to A''\)도 에탈이고(Algebra, Lemma 00U2) 또한 \(A/I \cong A''/IA''\)을 만족한다. 이하의 보조정리들에서는 이를 더 언급하지 않고 자주 사용한다. 먼저 우리가 찾는 종류의 결과에 대한 자명한 예를 들자.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하며, \(\overline{u} \in A/I\)를 가역원이라 하자. 동형 \(A/I \to A'/IA'\)을 유도하는 에탈 환 사상 \(A \to A'\)과 \(\overline{u}\)를 올리는 가역원 \(u' \in A'\)이 존재한다.

증명

\(\overline{u}\)의 임의의 올림 \(f \in A\)를 택하고 \(A' = A_f\)로 놓으며, \(u\)를 \(A'\)에서 \(f\)의 상이라 하자.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하며, \(\overline{e} \in A/I\)를 멱등원이라 하자. 동형 \(A/I \to A'/IA'\)을 유도하는 에탈 환 사상 \(A \to A'\)과 \(\overline{e}\)를 올리는 멱등원 \(e' \in A'\)이 존재한다.

증명

\(\overline{e}\)의 임의의 올림 \(x \in A\)를 택하자. 다음과 같이 놓자. \[A' = A[t]/(t^2 - t)\left[\frac{1}{t - 1 + x}\right].\] \((2t - 1)\text{d}t = 0\)이고 \((2t - 1)(2t - 1) = 1\)은 가역이므로 환 사상 \(A \to A'\)은 에탈이다. \[A'/IA' = A/I[t]/(t^2 - t)[\frac{1}{t - 1 + \overline{e}}] \cong A/I\] 이며 마지막 사상은 \(t\)를 \(\overline{e}\)로 보낸다. \(\overline{e}\)가 \(t^2 - t\)의 근이므로 이 사상이 잘 정의된다. 이는 \(e'\)을 \(A'\)에서 \(t\)의 류로 놓아도 됨을 보인다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(\Spec(A/I) = \coprod_{j \in J} \overline{U}_j\)를 유한 서로소 열린 덮개라 하자. 그러면 동형 \(A/I \to A'/IA'\)을 유도하는 에탈 환 사상 \(A \to A'\)과 주어진 덮개를 올리는 유한 서로소 열린 덮개 \(\Spec(A') = \coprod_{j \in J} U'_j\)가 존재한다.

증명

보조정리 07LY와 스펙트럼의 열린닫힌 부분집합들이 멱등원과 대응한다는 사실에서 따른다. Algebra, Lemma 00EE을 보라.

보조정리

\(A \to B\)를 환 사상이라 하고 \(J \subset B\)를 아이디얼이라 하자. \(A \to B\)가 \(V(J)\)의 모든 소아이디얼에서 에탈이면, \(B/J\)에서 가역원으로 가는 \(g \in B\)가 존재하여 \(A' = B_g\)는 \(A\) 위 에탈이다.

증명

\(A \to B\)가 에탈이 아닌 \(\Spec(B)\)의 점들의 집합은 \(\Spec(B)\)의 닫힌 부분집합이다. Algebra, Definition 00U1을 보라. 이를 어떤 아이디얼 \(J' \subset B\)에 대해 \(V(J')\)로 쓰자. 그러면 \(V(J') \cap V(J) = \emptyset\)이므로 Algebra, Lemma 00E0에 의해 \(J + J' = B\)이다. \(f \in J\)이고 \(g \in J'\)인 \(1 = f + g\)를 쓰자. 그러면 \(g\)가 원하는 원소이다.

다음 세 보조정리는 다항식의 인수분해를 올릴 수 있음을 말한다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(f \in A[x]\)를 모닉 다항식이라 하자. \(\overline{f} = \overline{g} \overline{h}\)를 \(A/I[x]\)에서 \(f\)의 인수분해라 하되, \(\overline{g}\)와 \(\overline{h}\)는 모닉이고 \(A/I[x]\)에서 단위 아이디얼을 생성한다고 하자. 그러면 동형 \(A/I \to A'/IA'\)을 유도하는 에탈 환 사상 \(A \to A'\)과, 주어진 \(A/I\) 위의 인수분해를 올리는 \(g'\), \(h'\)가 모닉인 \(A'[x]\)에서의 인수분해 \(f = g' h'\)가 존재한다.

증명

앞에서 증명한 보편 인수분해에 관한 결과로부터 이를 유도하겠다. 하지만 독자가 이 방법을 사용하지 않는 독자적인 증명을 찾아보기를 권한다. \(\deg(\overline{g}) = n\)이고 \(\deg(\overline{h}) = m\)이라 하자. 그러면 \(\deg(f) = n + m\)이다. 어떤 \(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n + m} \in A\)에 대하여 \(f = x^{n + m} + \sum \alpha_i x^{n + m - i}\)로 쓰자. Algebra, Example 00UA의 환 사상 \[R = \mathbf{Z}[a_1, \ldots, a_{n + m}] \longrightarrow S = \mathbf{Z}[b_1, \ldots, b_n, c_1, \ldots, c_m]\] 을 생각하자. \(R \to A\)를 \(a_i\)를 \(\alpha_i\)로 보내는 환 사상이라 하자. 다음과 같이 놓자. \[B = A \otimes_R S\] 구성에 의해 \(B[x]\)에서 \(f\)의 상 \(f_B\)는 인수분해된다. 이를 \(f_B = g_B h_B\)라 쓰자. 여기서 \(g_B = x^n + \sum (1 \otimes b_i) x^{n - i}\)이고 \(h_B\)도 마찬가지이다. \(\overline{g} = x^n + \sum \overline{\beta}_i x^{n - i}\)와 \(\overline{h} = x^m + \sum \overline{\gamma}_i x^{m - i}\)로 쓰자. \(A\)-대수 사상 \[B \longrightarrow A/I, \quad 1 \otimes b_i \mapsto \overline{\beta}_i, \quad 1 \otimes c_i \mapsto \overline{\gamma}_i\] 은 \(g_B\)와 \(h_B\)를 \(A/I[x]\)의 \(\overline{g}\)와 \(\overline{h}\)로 보낸다. 표시된 사상은 전사이다. 그 핵을 \(J \subset B\)로 나타내자. Algebra, Example 00UA의 논의에서

\(A \to B\)가 \(V(J) \subset \Spec(B)\)의 모든 점에서 에탈임은 분명하다. 보조정리 07M0에서와 같은 \(g \in B\)를 택하고 \(A\)-대수 \(B_g\)를 생각하자. \(g\)가 \(B/J = A/I\)에서 단원으로 가므로 \(A/I\)-대수의 사상 \(B_g/I B_g \to A/I\)도 얻는다. \(A/I \to B_g/I B_g\)가 에탈이므로 \(B_g/IB_g \to A/I\)도 에탈이다 (Algebra, Lemma 00U7). 따라서 \(A/I = (B_g/I B_g)_e\)인 멱등원 \(e \in B_g/I B_g\)가 존재한다 (Algebra, Lemma 00U8). \(e\)의 올림 \(h \in B_g\)를 택하자. 그러면 \(A \to A' = (B_g)_h\)와 \(A'\)에서 \(f_B = g_B h_B\)의 상으로 주어지는 인수분해가 보조정리의 문제에 대한 해이다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(f \in A[x]\)를 모닉 다항식이라 하자. \(\overline{f} = \overline{g} \overline{h}\)를 \(A/I[x]\)에서 \(f\)의 인수분해라 하고 다음을 가정하자.

1. \(\overline{g}\)의 최고차항 계수는 \(A/I\)의 가역원이고,

2. \(\overline{g}\), \(\overline{h}\)는 \(A/I[x]\)에서 단위 아이디얼을 생성한다.

그러면 동형 \(A/I \to A'/IA'\)을 유도하는 에탈 환 사상 \(A \to A'\)과, 주어진 \(A/I\) 위의 인수분해를 올리는 \(A'[x]\)에서의 인수분해 \(f = g' h'\)가 존재한다.

증명

보조정리 07LX를 적용하여 \(\overline{g}\)의 최고차항 계수가 어떤 가역원 \(u \in A\)의 축소라고 가정해도 된다. 그러면 \(\overline{g}\)를 \(\overline{u}^{-1}\overline{g}\)로, \(\overline{h}\)를 \(\overline{u}\overline{h}\)로 바꿀 수 있다. 따라서 \(\overline{g}\)가 모닉이라고 가정해도 된다. \(f\)가 모닉이므로 \(\overline{h}\)도 모닉이라고 결론짓는다. 이 경우 결과는 보조정리 0ALH에서 따른다.

예

이 예는 보조정리 07M1에서 최고차항 계수에 관한 조건을 제거할 수 없음을 보인다. 실제로 \(A = \mathbf{Z}\), \(I = 4\mathbf{Z}\), \(f = 1\)이고 \(A/I[x]\)에서 \(\bar{g} = \bar{h} = 2x^2 + 2x + 1\)이라 하자. \(A \to A'\)이 에탈이고 \(A'/I A' = A/I\)이면 \(A'\)의 \(2\)-진 완비화는 \(\mathbf{Z}_2\)와 동형이다. 이제 \(\mathbf{Z}_2[x]\)에서 \(4\)를 법으로 \(2x^2 + 2x + 1\)과 합동인 임의의 다항식 \(g'\)은 \(\mathbf{Z}_2[x]\)에서 다항식 곱셈 역원을 갖지 않는다. 따라서 보조정리의 결론은 성립하지 않는다.

보조정리

\(R \to S\)를 환 사상이라 하자. \(I \subset R\)을 \(R\)의 아이디얼이라 하고 \(J \subset S\)를 \(S\)의 아이디얼이라 하자. \(V(J)\)의 \(\Spec(R)\)에서의 상의 폐포가 \(V(I)\)와 서로소이면, \(R/I\)에서 \(1\)로 가고 \(S\)에서 \(J\)의 원소로 가는 원소 \(f \in R\)이 존재한다.

증명

\(V(I')\)가 \(V(J)\)의 상의 폐포가 되는 아이디얼 \(I' \subset R\)을 택하자. 그러면 가정에 의해 \(V(I) \cap V(I') = \emptyset\)이고, Algebra, Lemma 00E0에 의해 \(I + I' = R\)이다. \(g \in I\)이고 \(f \in I'\)인 \(1 = g + f\)를 쓰자. \(f'\)이 \(S\)에서 \(f\)의 상이면 \(V(f') \supset V(J)\)이다. 따라서 어떤 \(n\)에 대하여 \((f')^n \in J\)이다. Algebra, Lemma 00E0를 보라. \(f\)를 \(f^n\)으로 바꾸면 결론을 얻는다.

보조정리

\(I\)를 환 \(A\)의 아이디얼이라 하자. \(A \to B\)를 정수적 환 사상이라 하자. \(b \in B\)가 \(B/IB\)에서 멱등원으로 간다고 하자. 그러면 어떤 \(d \geq 1\)에 대하여 \(f(b) = 0\)이고 \(f \bmod I = x^d(x - 1)^d\)인 모닉 \(f \in A[x]\)가 존재한다.

증명

\(z = b^2 - b\)가 \(IB\)의 원소임을 관찰하자. Algebra, Lemma 00H5에 의해, \(g(z) = 0\) in \(B\)이고 \(a_j \in I\)인 차수 \(d\)의 모닉 다항식 \(g(x) = x^d + \sum a_j x^j\)가 존재한다. 따라서 \(f(x) = g(x^2 - x) \in A[x]\)는 \(f(x) \equiv x^d(x - 1)^d \bmod I\)이고 \(B\)에서 \(f(b) = 0\)인 모닉 다항식이다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(A \to B\)를 정수적 환 사상이라 하자. \(\overline{e} \in B/IB\)를 멱등원이라 하자. 그러면 동형 \(A/I \to A'/IA'\)을 유도하는 에탈 환 사상 \(A \to A'\)과 \(\overline{e}\)를 올리는 멱등원 \(e' \in B \otimes_A A'\)이 존재한다.

증명

\(\overline{e}\)를 올리는 원소 \(y \in B\)를 택하자. \(y\)에 대하여 보조정리 09XG에서와 같은 \(f \in A[x]\)를 택하자. 보조정리 07M1에 의해 동형 \(A/I \to A'/IA'\)을 유도하는 에탈 환 사상 \(A \to A'\)을 찾아 다음을 만족하게 할 수 있다.

\(A[x]\)에서 \(f = gh\)이고, \(g(x) = x^d \bmod IA'\)이며 \(h(x) = (x - 1)^d \bmod IA'\)이다. \(A\)를 \(A'\)으로 바꾼 뒤 인수분해가 \(A\) 위에서 정의된다고 가정해도 된다. 이 경우 \(b_1 = g(y) \in B\)는 \(\overline{e}^d = \overline{e}\)의 올림이고, \(b_2 = h(y) \in B\)는 \((\overline{e} - 1)^d = (-1)^d (1 - \overline{e})^d = (-1)^d(1 - \overline{e})\) 의 올림이며, 또한 \(b_1b_2 = 0\)이다. 따라서 \((b_1, b_2)B/IB = B/IB\)이고 \(V(b_1, b_2) \subset \Spec(B)\)는 \(V(IB)\)와 서로소이다. \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)가 닫힌 사상이므로(Algebra, Lemmas 00GU과 00HZ를 보라), \(A/I\)에서 가역원으로 가고 \(B\)에서의 상이 \((b_1, b_2)\)에 속하는 \(a \in A\)를 찾을 수 있다. 보조정리 07M3를 보라. \(A\)를 국소화 \(A_a\)로 바꾼 뒤에는 \((b_1, b_2) = B\)이다. 그러면 \(\Spec(B) = D(b_1) \amalg D(b_2)\)이다. \(b_1b_2 = 0\)이므로 서로소 합이고, \((b_1, b_2) = B\)이므로 \(\Spec(B)\)를 덮는다. \(D(b_1)\)이라는 열린닫힌 부분집합에 대응하는 멱등원을 \(e \in B\)라 하자. Algebra, Lemma 00EE을 보라. \(b_1\)은 \(\overline{e}\)의 올림이고 \(b_2\)는 \(\pm (1 - \overline{e})\)의 올림이므로, Algebra, Lemma 00EE의 유일성 명제에 의해 \(e\)가 \(\overline{e}\)의 올림이라고 결론짓는다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(\overline{P}\)를 유한 사영 \(A/I\)-가군이라 하자. 그러면 동형 \(A/I \to A'/IA'\)을 유도하는 에탈 환 사상 \(A \to A'\)과 \(\overline{P}\)를 올리는 유한 사영 \(A'\)-가군 \(P'\)이 존재한다.

증명

어떤 정수 \(n\)과 어떤 \(R/I\)-가군 \(\overline{K}\)에 대한

직합 분해 \((A/I)^{\oplus n} = \overline{P} \oplus \overline{K}\)를 택할 수 있다. 직합인자 \(\overline{P}\)에 대응하는 사영자 \(\overline{p}\)의 올림 \(\varphi : A^{\oplus n} \to A^{\oplus n}\)을 택하자. \(f \in A[x]\)를 \(\varphi\)의 특성다항식이라 하자. \(B = A[x]/(f)\)로 놓자. Cayley–Hamilton에 의해 (Algebra, Lemma 00DX) \(x\)를 \(\varphi\)로 보내는 사상 \(B \to \text{End}_A(A^{\oplus n})\)이 있다. 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p \supset I\)에 대하여 \(\kappa(\mathfrak p)\)에서 \(f\)의 상은 \((x - 1)^rx^{n - r}\)이다. 여기서 \(r\)은 \(\overline{P} \otimes_{A/I} \kappa(\mathfrak p)\)의 차원이다. 따라서 모든 \(\mathfrak p \supset I\)에 대하여 \((x - 1)^nx^n\)은 \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\)에서 영으로 간다. 그러므로 \(x(1 - x)\)는 \(B/IB\)의 모든 소아이디얼에 속한다. 따라서 어떤 \(N \geq 1\)에 대하여 \(x^N(1 - x)^N\)은 \(IB\)에 속한다. 이로부터 \(x^N + (1 - x)^N\)은 \(B/IB\)의 단원이고 \[\overline{e} = \text{image of }\frac{x^N}{x^N + (1 - x)^N}\text{ in }B/IB\] 는 멱등원이다. 두 명제 모두 \(\mathbf{Z}[x]/(x^N(x - 1)^N)\)에서 성립하기 때문이다. \(\overline{e}\)의 \(\text{End}_{A/I}((A/I)^{\oplus n})\)에서의 상은 \[\frac{\overline{p}^N}{\overline{p}^N + (1 - \overline{p})^N} = \overline{p}\] 이다. 이는 \(\overline{p}\)가 멱등원이기 때문이다. 보조정리에서와 같이 \(A\)를 에탈 확대 \(A'\)으로 바꾼 뒤에는, 보조정리 07M4에 의해 \(B/IB\)에서 \(\overline{e}\)로 가는 멱등원 \(e \in B\)가 존재한다고 가정해도 된다. 그러면 사상 \[B = A[x]/(f) \longrightarrow \text{End}_A(A^{\oplus n}).\] 아래에서 \(e\)의 상은 \(\overline{p}\)를 올리는 멱등원 \(p\)이다. \(P = \Im(p)\)로 놓으면 결론을 얻는다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(0 \to K \to A^{\oplus m} \to M \to 0\)을 \(A\)-가군들의 열이라 하자. 전사 \(A^{\oplus m} \to M\)에서 오는 표시 \(\alpha : A[y_1, \ldots, y_m] \to C\)를 갖는 \(A\)-대수 \(C = \text{Sym}^*_A(M)\)을 생각하자. 그러면 \[\NL(\alpha) = (K \otimes_A C \to \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} C \text{d}y_j)\] 이고(Algebra, Section 00S0를 보라), 특히 \(\Omega_{C/A} = M \otimes_A C\)이다.

증명

\(J = \Ker(\alpha)\)로 놓자. 보조정리의 주장은 \(J/J^2 \cong K \otimes_A C\)이다. \(\alpha\)가 등급 대수들의 준동형임에 유의하자. 차수 \(d\)에서 \((J/J^2)_d = K \otimes_A C_{d - 1}\)임을 증명하겠다. 다음에 유의하자. \[J_d = \Ker(\text{Sym}^d_A(A^{\oplus m}) \to \text{Sym}^d_A(M)) = \Im(K \otimes_A \text{Sym}^{d - 1}_A(A^{\oplus m}) \to \text{Sym}^d_A(A^{\oplus m})),\] Algebra, Lemma 00DO를 보라. 이로부터 \((J^2)_d = \sum_{a + b = d} J_a \cdot J_b\)는 다음 사상의 상이다.

\[K \otimes_A K \otimes_A \text{Sym}^{d - 2}_A(A^{\otimes m}) \to \text{Sym}^d_A(A^{\oplus m}).\] 위에서 인용한 보조정리에 의해 사상 \(K \otimes_A \text{Sym}^{d - 2}_A(A^{\otimes m}) \to \text{Sym}^{d - 1}_A(A^{\oplus m})\)의 여핵은 \(\text{Sym}^{d - 1}_A(M)\)이다. 따라서 \((J/J^2)_d = J_d/(J^2)_d\)는 분명히 다음과 같다. \[\begin{align*} \Coker( K \otimes_A K \otimes_A \text{Sym}^{d - 2}_A(A^{\otimes m}) \to K \otimes_A \text{Sym}^{d - 1}_A(A^{\otimes m})) & = K \otimes_A \text{Sym}^{d - 1}_A(M) \\ & = K \otimes_A C_{d -1} \end{align*}\] 이는 원하는 결과이다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(M\)을 \(A\)-가군이라 하자. 그러면 \(C = \text{Sym}_A^*(M)\)가 \(A\) 위 매끄러운 것과 \(M\)이 유한 사영 \(A\)-가군인 것은 동치이다.

증명

\(\sigma : C \to A\)를 \(C\)의 차수 \(0\) 부분으로의 사영이라 하자. 그러면 \(J = \Ker(\sigma)\)는 차수 \(> 0\)인 부분이고, \(A\)-가군으로서 \(J/J^2 = M\)임을 알 수 있다. 따라서 \(A \to C\)가 매끄러우면 Algebra, Lemma 05D5에 의해 \(M\)은 유한 사영 \(A\)-가군이다.

거꾸로 \(M\)이 유한 사영이라고 가정하고, 핵이 \(K\)인 전사 \(A^{\oplus n} \to M\)을 택하자. \(M\)이 사영이므로 열 \(0 \to K \to A^{\oplus n} \to M \to 0\)은 물론 분할된다. 특히 \(K\)는 유한 \(A\)-가군이고, 따라서 \(C\)는 \(A\) 위 유한 표시이다. 실제로 \(C\)는 \(K \subset \bigoplus Ax_i\)가 생성하는 아이디얼에 의한 \(A[x_1, \ldots, x_n]\)의 몫이다. 보조정리 07EV의 계산은

\(\NL_{C/A}\)가 \((K \to M) \otimes_A C\)와 호모토피 동치임을 보인다. 따라서 \(\NL_{C/A}\)는 차수 \(0\)에 놓인 \(C \otimes_A M\)과 준동형이고, 이는 Algebra, Definition 00T2에 의해 \(C\)가 \(A\) 위 매끄럽다는 뜻이다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. 가환도식 \[\xymatrix{ B \ar[rd] \\ A \ar[u] \ar[r] & A/I }\] 을 생각하자. 여기서 \(B\)는 매끄러운 \(A\)-대수이다. 그러면 동형 \(A/I \to A'/IA'\)을 유도하는 에탈 환 사상 \(A \to A'\)과 환 사상 \(B \to A/I\)을 올리는 \(A\)-대수 사상 \(B \to A'\)이 존재한다.

증명

\(J \subset B\)를 \(B \to A/I\)의 핵이라 하자. 그러면 \(B/J = A/I\)이다. Algebra, Lemma 06A9에 의해 열 \[0 \to I/I^2 \to J/J^2 \to \Omega_{B/A} \otimes_B B/J \to 0\] 은 분할 완전열이다. 따라서 \(\overline{P} = J/(J^2 + IB) = \Omega_{B/A} \otimes_B B/J\)는 유한 사영 \(A/I\)-가군이다. 어떤 정수 \(n\)과 직합 분해

\(A/I^{\oplus n} = \overline{P} \oplus \overline{K}\)를 택하자. 보조정리 07M5에 의해 동형 \(A/I \to A'/IA'\)을 유도하는 에탈 환 사상 \(A \to A'\)과 \(\overline{K}\)를 올리는 유한 사영

\(A\)-가군 \(K\)를 찾을 수 있다. 이제 \(A\)를 \(A'\)으로 바꾼다. \(B' = B \otimes_A \text{Sym}_A^*(K)\)로 놓자. 보조정리 07M6에 의해 \(A \to \text{Sym}_A^*(K)\)가 매끄러우므로 \(B \to B'\)은 매끄럽고, 이는 다시 \(A \to B'\)이 매끄러움을 함의한다 (Algebra, Lemmas 00T4와 00TC를 보라). 또한 절단 \(\text{Sym}^*_A(K) \to A\)는 절단 \(B' \to B\)를 정한다. \(B' \to A/I\)를 합성 \(B' \to B \to A/I\)이라 하자. \(J' \subset B'\)을 \(B' \to A/I\)의 핵이라 하자. \(JB' \subset J'\)이고 \(B \otimes_A K \subset J'\)이다. 이 사상들은 합쳐져 동형 \[(A/I)^{\oplus n} \cong J/(J^2 + IB) \oplus \overline{K} \longrightarrow J'/((J')^2 + IB')\] 을 준다. 따라서 \(B\)를 \(B'\)으로 바꾼 뒤에는 \(J/(J^2 + IB) = \Omega_{B/A} \otimes_B B/J\)가 랭크 \(n\)인 자유 \(A/I\)-가군이라고 가정해도 된다.

이 경우 \(J/(J^2 + IB)\)의 기저로 가는 \(f_1, \ldots, f_n \in J\)를 택하자. 유한 표시 \(A\)-대수 \(C = B/(f_1, \ldots, f_n)\)을 생각하자. 완전열 \[0 \to H_1(L_{C/A}) \to (f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2 \to \Omega_{B/A} \otimes_B C \to \Omega_{C/A} \to 0\] 이 있음에 유의하자. Algebra, Lemma 00S2을 보라 (\(H_1(L_{B/A}) = 0\)이고 \(\Omega_{B/A}\)가 유한 사영이며, 특히 평탄이므로 Tor 군이 사라짐에 유의하라). \(B\)의 임의의 소아이디얼 \(\mathfrak q \supset J\)에 대하여 \(\Omega_{B/A, \mathfrak q}\)는 랭크 \(n\)인 자유 가군이다. 이는 \(\Omega_{B/A}\)가 유한 사영이고 \(\Omega_{B/A} \otimes_B B/J\)가 랭크 \(n\)인 자유 가군이기 때문이다 (Algebra, Lemma 00NX를 보라). \(f_1, \ldots, f_n\)의 선택에 의해 사상 \[\left((f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2\right)_{\mathfrak q} \to \Omega_{B/A, \mathfrak q}\] 은 \(J\)를 법으로 전사이다. 따라서 국소환 \(C_{\mathfrak q}\) 위 가군들의 이 사상은 동형이어야 한다 (Algebra, Lemma 00DV에 의해 사상은 전사이고, 예를 들어 Algebra, Lemma 05G8에 의해, \(((f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2)_{\mathfrak q}\)가 \(n\)개의 원소로 생성되므로 사상은 단사이다). 따라서 \(H_1(L_{C/A})_{\mathfrak q} = 0\)이고 \(\Omega_{C/A, \mathfrak q} = 0\)이다. Algebra, Lemma 07BU에 의해 \(A \to C\)가 \(\mathfrak q\)에 대응하는 \(C\)의 소아이디얼 \(\overline{\mathfrak q}\)에서 매끄러움을 알 수 있다. \(\Omega_{C/A, \mathfrak q} = 0\)이므로 실제로 \(\overline{\mathfrak q}\)에서 에탈이다. 따라서 \(A \to C\)는 \(JC\)를 포함하는 \(C\)의 모든 소아이디얼에서 에탈이다. 보조정리 07M0에 의해 \(C/JC\)에서 가역원으로 가고 \(A \to C_f\)가 에탈이 되게 하는 \(f \in C\)를 찾을 수 있다. \(f\)의 선택에 의해 여전히 \(C_f/JC_f = A/I\)이다. 사상 \(C_f/IC_f \to A/I\)은 전사이고, Algebra, Lemma 00U7에 의해 에탈이다. 따라서 \(A/I\)은 \(C_f/IC_f\)를 어떤 원소 \(g \in C\)에서 국소화한 것과 동형이다. Algebra, Lemma 00U8를 보라. \(A' = C_{fg}\)로 놓으면 증명이 끝난다.

Zariski 쌍

이 절과 다음 절에서 쌍은 환 \(A\)와 아이디얼 \(I \subset A\)로 이루어진 쌍 \((A, I)\)을 뜻한다. 쌍의 사상 \((A, I) \to (B, J)\)은 \(\varphi(I) \subset J\)를 만족하는 환 사상 \(\varphi : A \to B\)이다.

정의

Zariski 쌍은 \(I\)가 \(A\)의 야코브슨 근기에 포함되는 쌍 \((A, I)\)이다.

보조정리

\((A, I)\)을 Zariski 쌍이라 하자. \(A\)의 멱등원에서 \(A/I\)의 멱등원으로 가는 사상은 단사이다.

증명

국소환의 멱등원은 \(0\) 또는 \(1\)이다. 따라서 멱등원은 그것이 사라지는 극대 아이디얼들의 집합으로 정해진다. Algebra, Lemma 00HN을 보라.

보조정리

\((A, I)\)을 Zariski 쌍이라 하자. \(A/I \to B/IB\)가 동형이 되게 하는 평탄하고 정수적이며 유한 표시인 환 사상 \(A \to B\)가 주어졌다고 하자. 그러면 \(A \to B\)는 동형이다.

증명

Algebra, Lemma 02JJ에 의해 환 사상 \(A \to B\)는 유한이다. 따라서 Algebra, Lemma 0564에 의해 \(B\)는 \(A\)-가군으로서 유한 표시이다. 그러므로 Algebra, Lemma 00NX에 의해 \(B\)는 유한 국소 자유 \(A\)-가군이다. 가군 \(B\)는 \(V(I)\)을 따라 랭크 \(1\)이고 (Algebra, Lemma 00NX에서 설명한 랭크 함수를 보라), \((A, I)\)이 Zariski 쌍이므로 랭크가 모든 곳에서 \(1\)이라고 결론짓는다. 따라서 \(A \to B\)는 동형이다. 실제로 \(S\)가 랭크 \(1\)인 국소 자유 \(R\)-가군이 되게 하는 환 사상 \(R \to S\)가 동형임을 보이는 것은 흥미로운 연습문제이다(힌트: 국소환을 보라).

보조정리

\((A, I)\)을 Zariski 쌍이라 하자. \(A \to B\)를 유한 환 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(B/IB = B_1 \times B_2\)는 \(A/I\)-대수들의 곱이고

2. \(A/I \to B_1/IB_1\)은 전사이며,

3. \(b \in B\)는 이 곱에서 \((1, 0)\)으로 간다.

그러면 어떤 \(d \geq 1\)에 대하여 \(f(b) = 0\)이고 \(f \bmod I = (x - 1)x^d\)인 모닉 \(f \in A[x]\)가 존재한다.

증명

보조정리 07M4에 의해 동형 \(A/I \to A'/IA'\)을 유도하는 에탈 환 사상 \(A \to A'\)을 찾아, \(B' = B \otimes_A A'\)이 \(B'/IB'\)에서 \(b\)의 상을 올리는 멱등원 \(e'\)을 포함하게 할 수 있다. 이에 대응하는 \(A'\)-대수 분해 \[B' = B'_1 \times B'_2\] 를 생각하자. 이는 \(I\)을 법으로 축소했을 때 보조정리에 주어진 분해와 양립한다. 사상 \(A' \to B'_1\)은 \(IA'\)를 법으로 전사이다. Nakayama 보조정리(Algebra, Lemma 00DV)에 의해 어떤 \(i \in IA'\)를 찾아 \(A'\)을 \(A'_{1 + i}\)로 바꾼 뒤 사상 \(A' \to B'_1\)이 전사가 되게 할 수 있다. \(b\)의 상 \(b'_1 \in B'_1\)은 \(b'_1 - 1 \in IB'_1\)을 만족한다. 따라서 \(b'_1 - 1\)로 가는 \(a' \in IA'\)를 택할 수 있다. 한편 \(b\)의 상 \(b'_2 \in B'_2\)는 \(IB'_2\)에 속한다. Algebra, Lemma 00H5에 의해 \(a'_j \in IA'\)인 차수 \(d\)의 모닉 다항식 \(g(x) = x^d + \sum a'_j x^j\)가 존재하여 \(B'_2\)에서 \(g(b'_2) = 0\)이다. 따라서 \(b\)의 상 \(b' = (b'_1, b'_2) \in B'\)은 다항식 \((x - 1 - a')g(x)\)의 근이다. 그러므로 \[(b' - 1)(b')^d \in \sum\nolimits_{j = 0, \ldots, d} IA' \cdot (b')^j\] 이다. 이것이 \(B\)에서 \[(b - 1)b^d \in \sum\nolimits_{j = 0, \ldots, d} I \cdot b^j\] 를 함의한다고 주장한다. 이를 위해서는 환 사상 \(A \to A'\)이 충실 평탄임을 보면 충분하다. 실제로 조건은 \(B/\sum_{j = 0, \ldots, d} Ib^j\)에서 \((b - 1)b^d\)의 상이 영이라는 것이다 (Algebra, Lemma 05CK를 사용하라).

사상 \(A \to A'\)은 에탈이므로 평탄이다 (Algebra, Lemma 00U2). 한편 유도된 스펙트럼 사이의 사상은 열린 사상이고 (Algebra, Proposition 00I1과 앞에서 인용한 보조정리를 사용하라), 그 상은 \(V(I)\)를 포함한다. \(I\)가 \(A\)의 야코브슨 근기에 포함되므로 결론을 얻는다.

보조정리

\((A, I)\)을 Zariski 쌍이라 하고 \(A\)가 뇌터라고 하자. \(f \in I\)라 하자. 그러면 \(A_f\)는 야코브슨 환이다.

증명

Algebra, Lemma 00KX의 판정법을 사용하겠다. \(\mathfrak p_f = \mathfrak p A_f\)가 소아이디얼이지만 극대가 아니게 하는 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset A\)를 택하자. \(A_f/\mathfrak p_f = (A/\mathfrak p)_f\)가 무한히 많은 소아이디얼을 가짐을 보여야 한다. \(A\)를 \(A/\mathfrak p\)로 바꾸어 \(A\)가 정역이고 \(\dim A_f > 0\)이라고 가정해도 되며, 목표는 \(\Spec(A_f)\)가 무한임을 보이는 것이다. \(\dim A_f > 0\)이므로 \(f\)를 포함하지 않는 영이 아닌 소아이디얼 \(\mathfrak q \subset A\)를 찾을 수 있다. \(\mathfrak q\)를 포함하는 극대 아이디얼 \(\mathfrak m \subset A\)를 택하자. \((A, I)\)이 Zariski 쌍이므로 \(I \subset \mathfrak m\)이다. 따라서 \(\mathfrak m \not = \mathfrak q\)이고 \(\dim(A_\mathfrak m) > 1\)이다. 그러므로 Algebra, Lemma 02IG에 의해 \(\Spec((A_\mathfrak m)_f) \subset \Spec(A_f)\)는 무한이고 결론을 얻는다.

헨젤 쌍

절 07LW의 결과 가운데 일부는 헨젤 쌍에 관한 결과로 볼 수 있다. 이 절에서 쌍은 환 \(A\)와 아이디얼 \(I \subset A\)로 이루어진 쌍 \((A, I)\)을 뜻한다. 쌍의 사상 \((A, I) \to (B, J)\)은 \(\varphi(I) \subset J\)를 만족하는 환 사상 \(\varphi : A \to B\)이다. 절 07LW에서와 같이, \(A\) 위의 대상 \(\xi\)가 주어지면 \(\overline{\xi}\)로 \(\xi\)를 \(A/I\) 위의 대상으로 ‘기저변환’한 것을 나타낸다(이것이 의미를 갖는 경우에 한한다).

정의

헨젤 쌍은 다음을 만족하는 쌍 \((A, I)\)이다.

1. \(I\)는 \(A\)의 야코브슨 근기에 포함되고,

2. 임의의 모닉 다항식 \(f \in A[T]\)와, 모닉이며 \(A/I[T]\)에서 단위 아이디얼을 생성하는 \(g_0, h_0 \in A/I[T]\)에 의한 인수분해 \(\overline{f} = g_0h_0\)에 대하여, \(g, h\)가 모닉이고 \(g_0 = \overline{g}\) 및 \(h_0 = \overline{h}\)인 \(A[T]\)에서의 인수분해 \(f = gh\)가 존재한다.

\(A\)가 국소환이고 \(I = \mathfrak m\)이 그 극대 아이디얼이면, \((A, I)\)이 헨젤 쌍인 것과 \(A\)가 헨젤 국소환인 것은 동치이다. Algebra, Lemma 04GG을 보라. 보조정리 09XI에서 헨젤 쌍의 여러 동치인 특성화를 주며 (시간이 지나면서 더 추가할 것이다).

보조정리

\((A, I)\)을 \(I\)가 국소 멱영인 쌍이라 하자. 그러면 함자 \(B \mapsto B/IB\)는 \(A\) 위 에탈 대수들의 범주와 \(A/I\) 위 에탈 대수들의 범주 사이의 동치를 유도한다. 또한 이 쌍은 헨젤이다.

증명

본질적 전사성은 Algebra, Lemma 04D1에서 따른다. \(B\), \(B'\)이 \(A\) 위 에탈이고 \(B/IB \to B'/IB'\)이 \(A/I\)-대수들의 사상이면, Algebra, Lemma 07K4에 의해 이를 올릴 수 있다. 마지막으로 \(f \bmod I = g \bmod I\)인 두 \(A\)-대수 사상 \(f, g : B \to B'\)이 주어졌다고 하자. 곱셈 사상 \(B \otimes_A B \to B\)의 핵을 생성하는 멱등원 \(e \in B \otimes_A B\)를 택하자. Algebra, Lemmas 02FL와 00UV을 보라 (에탈 사상이 비분기임을 사용한다). 그러면 \((f \otimes g)(e) \in IB'\)이다. \(IB'\)은 국소 멱영이므로(Algebra, Lemma 0544), Algebra, Lemma 00J9에 의해 이는 \((f \otimes g)(e) = 0\)을 함의한다. 따라서 \(f = g\)이다.

\(I\)가 \(A\)의 야코브슨 근기에 포함된다는 것은 분명하다. \(f \in A[T]\)를 모닉 다항식이라 하고, 모닉이며 \(A/I[T]\)에서 단위 아이디얼을 생성하는 \(g_0, h_0 \in A/I[T]\)에 의한 \(\overline{f} = f \bmod I\)의 인수분해 \(\overline{f} = g_0h_0\)가 주어졌다고 하자. 보조정리 0ALH에 의해 동형 \(A/I \to A'/IA'\)을 유도하는 에탈 환 사상 \(A \to A'\)이 존재하여, 인수분해가 \(A'\) 위 모닉 다항식들의 인수분해로 올라간다. 위 결과에 의해 \(A = A'\)이므로 인수분해는 \(A\) 위에 있다.

보조정리

\(A = \lim A_n\)이고 \((A_n)\)이 전이사상들이 전사이며 그 핵들이 국소 멱영인 환들의 역계라고 하자. 그러면 \(I_n = \Ker(A \to A_n)\)으로 놓을 때 \((A, I_n)\)은 헨젤 쌍이다.

증명

\(n\)을 고정하자. \(A_n\)에서 \(1\)로 가는 원소 \(a \in A\)를 택하자. Algebra, Lemma 0AMG에 의해 모든 \(m \geq n\)에 대하여 \(a\)는 \(A_m\)에서 단원으로 간다. 따라서 \(a\)는 \(A\)의 단원이다. 그러므로 Algebra, Lemma 0AME에 의해 아이디얼 \(I_n\)은 \(A\)의 야코브슨 근기에 포함된다. \(f \in A[T]\)를 모닉 다항식이라 하고, 모닉이며 \(A_n[T]\)에서 단위 아이디얼을 생성하는 \(g_n, h_n \in A_n[T]\)에 의한 \(\overline{f} = f \bmod I_n\)의 인수분해 \(\overline{f} = g_nh_n\)이 주어졌다고 하자. 보조정리 0ALI에 의해 이를 모든 \(m \geq n\)에 대하여 \(A_m[T]\)의 모닉 \(g_m, h_m\)에 의한 \(f \bmod I_m = g_m h_m\)으로 차례로 올릴 수 있다. 각 단계에서는 올림 \(g_m, h_m\)이

\(A_n[T]\)에서 단위 아이디얼을 생성하는지 확인해야 한다. 이는 \(g_n, h_n\)에 대한 대응하는 사실과 \(A_m \to A_n\)의 핵이 국소 멱영이어서 \(\Spec(A_n[T]) = \Spec(A_m[T])\)이라는 사실에서 따른다. \(A = \lim A_m\)이므로 증명이 끝난다.

보조정리

\((A, I)\)을 쌍이라 하자. \(A\)가 \(I\)-진 완비이면 이 쌍은 헨젤이다.

증명

Algebra, Lemma 05GI에 의해 아이디얼 \(I\)는 \(A\)의 야코브슨 근기에 포함된다. \(f \in A[T]\)를 모닉 다항식이라 하고, 모닉이며 \(A/I[T]\)에서 단위 아이디얼을 생성하는 \(g_0, h_0 \in A/I[T]\)에 의한 \(\overline{f} = f \bmod I\)의 인수분해 \(\overline{f} = g_0h_0\)가 주어졌다고 하자. 보조정리 0ALI에 의해 이를 모든 \(n \geq 1\)에 대하여 \(A/I^n[T]\)의 모닉 \(g_n, h_n\)에 의한 \(f \bmod I^n = g_n h_n\)으로 차례로 올릴 수 있다. \(A = \lim A/I^n\)이므로 증명이 끝난다.

보조정리

\((A, I)\)을 쌍이라 하자. \(A \to B\)를 유한형 환 사상이라 하고, \(B/IB = C_1 \times C_2\)이며 \(A/I \to C_1\)이 유한이라고 하자. \(B'\)을 \(B\) 안에서 \(A\)의 정수적 폐포라 하자. 그러면 곱 분해를 보존하는 사상 \(B'/IB' \to B/IB\)과 \(B'/IB' = C_1 \times C'_2\)로 쓸 수 있으며, \(C_1 \times C'_2\)에서 \((1, 0)\)으로 가는 \(g \in B'\)로서 \(B'_g \to B_g\)가 동형인 것이 존재한다.

증명

닫힌 부분집합 \(T = \Spec(C_1) \subset \Spec(B)\)의 모든 소아이디얼에서 \(A \to B\)가 준유한임을 관찰하자 (올환을 보면 알 수 있다. Algebra, Definition 00PL을 보라). 위상공간들의 도식 \[\xymatrix{ \Spec(B) \ar[rr]_\phi \ar[rd]_\psi & & \Spec(B') \ar[ld]^{\psi'} \\ & \Spec(A) }\] 을 생각하자. Algebra, Theorem 00Q9에 의해 모든 \(\mathfrak p \in T\)에 대하여 \(h_\mathfrak p \not \in \mathfrak p\)인 \(h_\mathfrak p \in B'\)가 존재하여

\(B'_h \to B_h\)가 동형이다. 합집합 \(U = \bigcup D(h_\mathfrak p)\)는 열린집합 \(U \subset \Spec(B')\)을 주고, \(\phi^{-1}(U) \to U\)는 위상동형이며 \(T \subset \phi^{-1}(U)\)이다. \(T\)가 \(\psi^{-1}(V(I))\)에서 열려 있으므로 \(\phi(T)\)는 \(U \cap (\psi')^{-1}(V(I))\)에서 열려 있다. 따라서 \(\phi(T)\)는 \((\psi')^{-1}(V(I))\)에서 열려 있다. 한편 \(C_1\)은 \(A/I\) 위 유한이므로 \(B'\) 위 유한이다. 그러므로 Algebra, Lemmas 00HZ와 00GU에 의해 \(\phi(T)\)는 \(\Spec(B')\)의 닫힌 부분집합이다. 따라서 \(\Spec(B'/IB') \supset \phi(T)\)는 열린닫힌 부분집합이다. Algebra, Lemma 00EM에 의해 이에 대응하는 곱 분해 \(B'/IB' = C'_1 \times C'_2\)를 얻는다. \(B'/IB' \to B/IB\)는 \(C'_1\)을 \(C_1\) 안으로, \(C'_2\)를 \(C_2\) 안으로 보낸다. 이는 스펙트럼에서 일어나는 일을 보면 알 수 있다 (힌트: \(\phi(T)\)의 역상은 정확히 \(T\)이다. 몇몇 세부사항은 생략한다). \(C'_1 \times C'_2\)에서 \((1, 0)\)으로 가고 \(D(g) \subset U\)인 \(g \in B'\)를 택하자. \(\Spec(C'_1)\)과 \(\Spec(C'_2)\)가 \(\Spec(B')\)에서 서로소인 닫힌집합이고 \(\Spec(C'_1)\)이 \(U\)에 포함되므로 이는 가능하다. 그러면 \(B'_g \to B_g\)는 스펙트럼 위 위상동형과 국소환 위 동형을 정한다(위에서 \(U\)를 그렇게 택했기 때문이다). 따라서 예를 들어 Algebra, Lemma 00HN에 의해 이는 동형이다. 마지막으로 \(C'_1 = C_1\)이 따르고 증명이 끝난다.

보조정리

\((A, I)\)을 쌍이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \((A, I)\)은 헨젤 쌍이다.

2. 에탈 환 사상 \(A \to A'\)과 \(A\)-대수 사상 \(\sigma : A' \to A/I\)이 주어지면, \(\sigma\)를 올리는 \(A\)-대수 사상 \(A' \to A\)이 존재한다.

3. 임의의 유한 \(A\)-대수 \(B\)에 대하여 사상 \(B \to B/IB\)는 멱등원들 위에서 전단사를 유도한다.

4. 임의의 정수적 \(A\)-대수 \(B\)에 대하여 사상 \(B \to B/IB\)는 멱등원들 위에서 전단사를 유도하며,

5. (Gabber) \(I\)는 \(A\)의 야코브슨 근기에 포함되고, 형태가 \[f(T) = T^n(T - 1) + a_n T^n + \ldots + a_1 T + a_0\] 이며 \(a_n, \ldots, a_0 \in I\)이고 \(n \ge 1\)인 모든 모닉 다항식 \(f(T) \in A[T]\)는 근 \(\alpha \in 1 + I\)를 갖는다.

또한 (5)에서 이 근은 유일하다.

증명

(2)가 성립한다고 가정하자. 그러면 \(I\)는 \(A\)의 야코브슨 근기에 포함된다. 그렇지 않으면 \(I\)를 법으로 \(1\)과 합동인 어떤 비단원 \(f \in A\)가 존재하고, 사상 \(A \to A_f\)가 (2)에 모순된다. 따라서 \(A\) 위 정수적인 \(B\)에 대하여 \(IB \subset B\)는 \(B\)의 야코브슨 근기에 포함된다. 실제로 Algebra, Lemmas 00HZ와 00GU에 의해 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)는 닫힌 사상이다. 그러므로 보조정리 09XF에 의해 \(B\)의 멱등원에서 \(B/IB\)의 멱등원으로 가는 사상은 단사이다. 한편 (2)가 성립하므로 보조정리 07M4에 의해 \(B/IB\)의 모든 멱등원은 \(B\)의 멱등원으로 올라간다. 이로써 (2)가 (4)를 함의함을 알 수 있다.

함의 (4) \(\Rightarrow\) (3)은 자명하다.

(3)을 가정하자. \(\mathfrak m\)을 극대 아이디얼이라 하고 유한 사상 \(A \to B = A/(I \cap \mathfrak m)\)를 생각하자. \(B \to B/IB\)가 멱등원들 위에서 전단사를 유도한다는 조건은 \(I \subset \mathfrak m\)을 함의한다 (그렇지 않으면 \(B = A/I \times A/\mathfrak m\)이고 \(B/IB = A/I\)이다). 따라서 \(I\)가 \(A\)의 야코브슨 근기에 포함됨을 알 수 있다. \(f \in A[T]\)를 모닉이라 하고, 모닉이며 \(A/I[T]\)에서 단위 아이디얼을 생성하는 \(g_0, h_0 \in A/I[T]\)에 의한 인수분해 \(\overline{f} = g_0h_0\)가 주어졌다고 하자. \(B = A[T]/(f)\)로 놓자. \(B/IB\)의 분해 \[B/IB = A/I[T]/(g_0) \times A/I[T]/(h_0)\] 에 대응하는 멱등원을 \(\overline{e}\)라 하자. 이는 \(A\)-대수들의 분해이다. (3)을 가정했으므로 존재하는 \(\overline{e}\)의 올림 멱등원 \(e \in B\)를 택하자. 이는 곱 분해 \[B = eB \times (1 - e)B\] 를 준다. \(B\)는 \(A\)-가군으로서 랭크 \(\deg(f)\)인 자유 가군임에 유의하자. 따라서 \(eB\)와 \((1 - e)B\)는 유한 국소 자유 \(A\)-가군이다. 그런데 \(eB\)와 \((1 - e)B\)는 \(A/I\) 위에서 각각 상수 랭크 \(\deg(g_0)\)와 \(\deg(h_0)\)를 가지므로, \(\Spec(A)\) 위에서도 마찬가지임을 알 수 있다. 따라서 \[\begin{align*} f & = \text{CharPol}_A(T : B \to B) \\ & = \text{CharPol}_A(T : eB \to eB) \text{CharPol}_A(T : (1 - e)B \to (1 - e)B) \end{align*}\] 이며, 이는 \(I\)을 법으로 주어진 인수분해로 축소되는 모닉 다항식들의 인수분해이다. 여기서 \(\text{CharPol}_A\)는 \(A\) 위 유한 국소 자유 가군의 자기준동형의 특성다항식을 나타낸다. 가군이 자유이면 \(\text{CharPol}_A\)는 대응하는 행렬의 특성다항식으로 정의하고, 일반적으로는 Algebra, Lemma 00EJ을 사용해 붙인다. 세부사항은 생략한다. 따라서 (3)은 (1)을 함의한다.

(1)을 가정하자. \(f\)를 (5)에서와 같다고 하자. \(f \bmod I\)의 \(T^n\)과 \(T - 1\)로의 인수분해는 정의 09XE에 의해 \(g\)와 \(h\)가 모닉인 인수분해 \(f = gh\)로 올라간다. 그러면 \(h\)의 차수는 \(1\)이어야 하고, \(f\)가 \(I\)을 법으로 \(1\)로 축소되는 근을 가짐을 알 수 있다. 마지막으로 헨젤 쌍의 정의에 의해 \(I\)는 야코브슨 근기에 포함된다. 따라서 (1)은 (5)를 함의한다.

마지막 단계의 증명을 주기 전에, (5)의 근 \(\alpha\)가 존재하면 유일함을 보이자. 실제로 \(f(T)\)의 명시적 형태로 인해 \(f'(\alpha) \in 1 + I\)이다. 여기서 \(f'\)은 \(T\)에 대한 \(f\)의 도함수이다. 초등적인 논증은 \[f(T) = f(\alpha + T - \alpha) = f(\alpha) + f'(\alpha) \cdot (T - \alpha) \bmod (T - \alpha)^2 A[T]\] 을 보인다. 이는 \(f(T)\)의 다른 임의의 근 \(\alpha' \in 1 + I\)가 어떤 \(i \in I\)에 대하여 \(0 = f(\alpha') - f(\alpha) = (\alpha' - \alpha)(1 + i)\)를 만족함을 보인다. \(1 + i\)는 \(A\)의 단원이므로 \(\alpha = \alpha'\)이다.

(5)를 가정하자. (2)가 성립함을 보이겠다. 다시 말해, 모든 에탈 사상 \(A \to A'\)에 대하여 \(I\)을 법으로 한 모든 절단 \(\sigma : A' \to A/I\)은 절단 \(A' \to A\)으로 올라간다. \(A \to A'\)이 에탈이므로 절단 \(\sigma\)는 \(A/I\)-대수의 분해 [0EM1]\[\begin{equation} A'/IA' \cong A/I \times C \end{equation}\] 을 정한다. 실제로 전사 환 사상 \(A'/IA' \to A/I\)은 Algebra, Lemma 00U7에 의해 에탈이고, 그 뒤 Algebra, Lemma 00U8에 의해 원하는 멱등원을 얻는다. 이 분해가 \(A'_1\)이 \(A\) 위 정수적인 \(A\)-대수의 분해 [0EM2]\[\begin{equation} A' \cong A'_1 \times A'_2 \end{equation}\] 로 올라감을 보이겠다. 그러면 \(A \to A'_1\)은 정수적이고 에탈이며 \(A/I \to A'_1/IA'_1\)은 동형이다. 따라서 보조정리 0ELZ에 의해 \(A \to A'_1\)은 동형이다 (여기서는 에탈 환 사상이 평탄이고 유한 표시라는 사실도 사용한다. Algebra, Lemma 00U2을 보라).

\(B'\)을 \(A'\) 안에서 \(A\)의 정수적 폐포라 하자. 보조정리 09XH에 의해, (0EM1)와 양립하는 \(A/I\)-대수들의 분해 [0EM3]\[\begin{equation} B'/IB' \cong A/I \times C' \end{equation}\] 를 택하고, \((1, 0)\)을 올리는 \(b \in B'\)로서 \(B'_b \to A'_b\)가 동형인 것을 찾을 수 있다. 분해 (0EM3)가 \(A\)-대수들의 분해 [0EM4]\[\begin{equation} B' \cong B'_1 \times B'_2 \end{equation}\] 로 올라가면, 유도된 분해 \(A' = A'_1 \times A'_2\)는 원하는 (0EM2)를 준다. 실제로 \(b\)는 \(B'_1\)의 단원이므로(세부사항은 생략한다) \(B'_1 \cong A'_1\)이고, 따라서 \(A'_1\)은 \(A\) 위 정수적이다.

\(b\)를 포함하는 유한 \(A\)-부분대수 \(B'' \subset B'\)을 택하자 (\(B'\)의 모든 유한 생성 \(A\)-부분대수는 \(A\) 위 유한임을 관찰하라). \(B''\)을 확대하여 \(b\)가 \(B''/IB''\)의 멱등원으로 가고 분해 [0EM5]\[\begin{equation} B''/IB'' \cong C''_1 \times C''_2 \end{equation}\] 를 만든다고 가정해도 된다. \(B'_b \cong A'_b\)이므로 \(B'_b\)는 \(A\) 위 유한형임을 알 수 있다. \(B'_b\)가 \(A\) 위에서 \(b_1/b^n, \ldots, b_t/b^n\)로 생성된다고 하고, \(B''\)을 확대하여 \(b_1, \ldots, b_t \in B''\)라 하자. 그러면 \(B''_b \to B'_b\)는 전사인 동시에 단사이고, 따라서 동형이다. 특히 \(C''_1 = A/I\)임을 알 수 있다! 따라서 \(A/I \to C''_1\)은 동형이고 특히 전사이다. 보조정리 0EM0에 의해 형태가 \[f(T) = T^n(T - 1) + a_n T^n + \ldots + a_1 T + a_0\] 이고 \(a_n, \ldots, a_0 \in I\)이며 \(n \ge 1\)이고 \(f(b) = 0\)인 \(f(T) \in A[T]\)를 찾을 수 있다.

특히 \(B'\)은 \(A[T]/(f)\)-대수임을 알 수 있다. (5)에 의해 \(f\)의 근 \(a \in 1 + I\)가 존재한다. 이는 \(B'/IB'\)의 분해 (0EM3)와 양립하는 곱 분해 \(A[T]/(f) = A[T]/(T - a) \times D\)를 만든다. 이로부터 유도되는 \(B'\)의 분해가 원하는 (0EM4)이다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(V(I) = V(J)\)인 아이디얼 \(I, J \subset A\)를 택하자. 그러면 \((A, I)\)이 헨젤인 것과 \((A, J)\)가 헨젤인 것은 동치이다.

증명

임의의 정수적 환 사상 \(A \to B\)에 대하여 \(V(IB) = V(JB)\)이다. 따라서 \(B/IB\)와 \(B/JB\)의 멱등원들은 전단사로 대응한다 (Algebra, Lemma 00EE). 그러므로 \(B \to B/IB\)가 멱등원들의 집합 위에서 전단사를 유도하는 것과 \(B \to B/JB\)가 멱등원들의 집합 위에서 전단사를 유도하는 것은 동치이다. 보조정리 09XI에 의해 결론을 얻는다.

보조정리

\((A, I)\)을 헨젤 쌍이라 하고 \(A \to B\)를 정수적 환 사상이라 하자. 그러면 \((B, IB)\)는 헨젤 쌍이다.

증명

보조정리 09XI의 네 번째 특성화와 정수적 환 사상들의 합성이 정수적이라는 사실에서 즉시 따른다.

보조정리

\(I \subset J \subset A\)를 환 \(A\)의 아이디얼들이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \((A, I)\)과 \((A/I, J/I)\)은 헨젤 쌍이고,

2. \((A, J)\)는 헨젤 쌍이다.

증명

(1)을 가정하자. \(B\)를 정수적 \(A\)-대수라 하자. 환 사상들 \[B \to B/IB \to B/JB\] 을 생각하자. 보조정리 09XI에 의해 두 화살표 모두 멱등원들 위에서 전단사를 유도한다. 따라서 합성도 그러하다. 그러므로 보조정리 09XI에 의해 \((A, J)\)는 헨젤 쌍이다.

거꾸로 (2)가 성립한다고 가정하자. 보조정리 09XK에 의해 \((A/I, J/I)\)은 헨젤 쌍이다. \(B\)를 정수적 \(A\)-대수라 하고 환 사상들 \[B \to B/IB \to B/JB\] 을 생각하자. 보조정리 09XI에 의해 합성과 두 번째 화살표는 멱등원들 위에서 전단사를 유도한다. 따라서 첫 번째 화살표도 그러하다. 그러므로 (다시 같은 보조정리에 의해) \((A, I)\)은 헨젤 쌍이다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \((A, I)\)과 \((A, I')\)을 헨젤 쌍이라 하자.

그러면 \((A, I + I')\)은 헨젤 쌍이다.

증명

보조정리 09XK에 의해 쌍 \((A/I, (I' + I)/I)\)은 헨젤이다. 따라서 보조정리 0DYD에서 결론을 얻는다.

보조정리

\(J\)를 집합이라 하고 \(\{ (A_j, I_j)\}_{j \in J}\)를 쌍들의 모임이라 하자. 그러면 \((\prod_{j \in J} A_j, \prod_{j\in J} I_j)\)가 헨젤인 것과 각 \((A_j, I_j)\)가 헨젤인 것은 동치이다.

증명

모든 \(j \in J\)에 대하여 사영 \(\prod_{j \in J} A_j \rightarrow A_j\)은 정수적 환 사상이다. 따라서 \((\prod_{j \in J} A_j, \prod_{j\in J} I_j)\)가 헨젤이면, 보조정리 09XK에 의해 각 \((A_j, I_j)\)가 헨젤이다.

거꾸로 각 \((A_j, I_j)\)가 헨젤 쌍이라고 가정하자. 그러면 \(x \in \prod_{j \in J} I_j\)인 모든 \(1 + x\)는 \(\prod_{j \in J} A_j\)에서 단원이다. 실제로 Algebra, Lemma 0AME과 정의 09XE에 의해 성분별로 그러하다. 따라서 다시 Algebra, Lemma 0AME에 의해 \(\prod_{j \in J} I_j\)는 \(\prod_{j \in J} A_j\)의 야코브슨 근기에 포함된다. 계속 성분별로 논증하면, 모든 모닉 \(f \in (\prod_{j \in J} A_j)[T]\)와, 모닉이며 \(g_0, h_0 \in (\prod_{j \in J} A_j / \prod_{j \in J} I_j)[T] = (\prod_{j \in J} A_j/I_j)[T]\)이고 \((\prod_{j \in J} A_j / \prod_{j \in J} I_j)[T]\)에서 단위 아이디얼을 생성하는 모든 인수분해 \(\overline{f} = g_0h_0\)에 대하여, \(g\), \(h\)가 모닉이고 \(g_0\), \(h_0\)로 축소되는 \((\prod_{j \in J} A_j)[T]\)에서의 인수분해 \(f = gh\)가 존재한다. 따라서 정의 09XE에 의해 \((\prod_{j \in J} A_j, \prod_{j\in J} I_j)\)는 헨젤 쌍이다.

보조정리

헨젤이라는 성질은 쌍들의 극한에서 보존된다. 더 정확히, \(J\)를 전순서집합이라 하고 \((A_j, I_j)\)를 \(J\) 위의 헨젤 쌍들의 역계라 하자. 그러면 아이디얼 \(I = \lim I_j\)를 갖춘 \(A = \lim A_j\)는 헨젤 쌍 \((A, I)\)이다.

증명

Categories, Lemma 002N에 의해 곱과 등화자만 생각하면 된다. 곱의 경우 주장은 보조정리 0ATD에서 따른다. 따라서 등화자 도식 \[\xymatrix{ (A, I) \ar[r] & (A', I') \ar@<1ex>[r]^{\varphi} \ar@<-1ex>[r]_{\psi} & (A'', I'') }\] 을 생각하자. 여기서 쌍 \((A', I')\)과 \((A'', I'')\)은 헨젤이다. 쌍 \((A, I)\)도 헨젤임을 확인하기 위해 보조정리 09XI의 Gabber 판정법을 사용하겠다. \(1 + I\)의 모든 원소는 \(A\)의 단원이다. 단원의 역원의 유일성 때문에 이를 \((A', I')\)에서 확인할 수 있기 때문이다. 따라서 \(I\)는 \(A\)의 야코브슨 근기에 포함된다. Algebra, Lemma 0AME을 보라. 이제

\[f(T) = T^{N - 1}(T - 1) + a_{N - 1} T^{N - 1} + \dotsb + a_1 T + a_0\] 를 \(a_{N - 1}, \dotsc, a_0 \in I\)이고 \(N \ge 1\)인 \(A[T]\)의 다항식이라 하자. \(A'[T]\)에서 \(f(T)\)의 상은 유일한 근 \(\alpha' \in 1 + I'\)를 가지며, \(A''[T]\)에서의 더 나아간 상도 마찬가지이다. 따라서 유일성에 의해 \(\varphi(\alpha') = \psi(\alpha')\)이고, 결국 \(\alpha'\)은 원하는 대로 \(1 + I\)에서 \(f(T)\)의 근을 정한다.

보조정리

헨젤이라는 성질은 쌍들의 여과 쌍대극한에서 보존된다. 더 정확히, \(J\)를 유향집합이라 하고 \((A_j, I_j)\)를 \(J\) 위의 헨젤 쌍들의 계라 하자. 그러면 아이디얼 \(I = \colim I_j\)를 갖춘 \(A = \colim A_j\)는 헨젤 쌍 \((A, I)\)이다.

증명

\(u \in 1 + I\)이면 어떤 \(j \in J\)에 대하여 \(u\)는 어떤 \(u_j \in 1 + I_j\)의 상이다. Algebra, Lemma 0AME과 \(I_j\)가 \(A_j\)의 야코브슨 근기에 포함된다는 가정에 의해 \(u_j\)는 \(A_j\)에서 가역이다. 따라서 \(u\)는 \(A\)에서 가역이다. 그러므로 (같은 보조정리에 의해) \(I\)는 \(A\)의 야코브슨 근기에 포함된다.

\(f \in A[T]\)를 모닉 다항식이라 하고, 모닉이며 \(A/I[T]\)에서 단위 아이디얼을 생성하는 \(g_0, h_0 \in A/I[T]\)에 의한 인수분해 \(\overline{f} = g_0 h_0\)가 주어졌다고 하자. 어떤 \(g'_0, h'_0 \in A/I[T]\)에 대하여 \(1 = g_0 g'_0 + h_0 h'_0\)로 쓰자. \(A = \colim A_j\)와 \(A/I = \colim A_j/I_j\)가 여과 쌍대극한이므로, 어떤 \(j \in J\)와

\(f_j \in A_j\) 및 인수분해 \(\overline{f}_j = g_{j, 0} h_{j, 0}\)을 찾을 수 있다. 여기서 \(g_{j, 0}, h_{j, 0} \in A_j/I_j[T]\)는 모닉이고, 어떤 \(g'_{j, 0}, h'_{j, 0} \in A_j/I_j[T]\)에 대하여 \(1 = g_{j, 0} g'_{j, 0} + h_{j, 0} h'_{j, 0}\)이며, \(f_j, g_{j, 0}, h_{j, 0}, g'_{j, 0}, h'_{j, 0}\)는 각각 \(f, g_0, h_0, g'_0, h'_0\)로 간다. \((A_j, I_j)\)가 헨젤 쌍이므로 \(\overline{f}_j = g_{j, 0} h_{j, 0}\)을 \(A_j\) 위의 인수분해로 올릴 수 있다. 그 상을 \(A\)에서 취하여 \(A\)의 대응하는 인수분해를 얻는다. 따라서 \((A, I)\)은 헨젤이다.

예

쌍대극한이 여과되지 않으면 보조정리 0FWT은 틀린다. 예를 들어 헨젤 쌍 \((\mathbf{Z}_p, (p))\)와 \((\mathbf{Z}_p, (p))\)의 쌍대곱을 취하면, \(A = \mathbf{Z}_p \otimes_\mathbf{Z} \mathbf{Z}_p\)인 \((A, pA)\)를 얻는다. 이는 헨젤 쌍이 아니다. \(A/pA = \mathbf{F}_p\)이므로,

\((A, pA)\)가 헨젤이면 \(A\)는 국소환이어야 한다. 그러나 \(\Spec(A)\)는 비연결이다. 예를 들어 홀수 소수 \(p\)에 대하여 자명하지 않은 멱등원 \[(1/2 \otimes 1) \left(1 \otimes 1 - (1 + p)^{-1}u \otimes u\right)\] 이 있다. 여기서 \(u \in \mathbf{Z}_p\)는 \(1 + p\)의 제곱근이다. 몇몇 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \((A, I)\)이 헨젤 쌍이 되게 하는 가장 큰 아이디얼 \(I \subset A\)가 존재한다.

증명

보조정리들 0DYD, 0G1R, 그리고 0FWT을 결합하라.

보조정리

\((A, I)\)을 헨젤 쌍이라 하자. \(\mathfrak p \subset A\)를 소아이디얼이라 하자. 그러면 \(V(\mathfrak p + I)\)는 연결이다.

증명

보조정리 09XK에 의해

\((A/\mathfrak p, I + \mathfrak p/\mathfrak p)\)는 헨젤 쌍이다. 따라서 다음을 증명하면 충분하다. \((A, I)\)이 헨젤 쌍이고 \(A\)가 정역이면 \(\Spec(A/I) = V(I)\)는 연결이다. 그렇지 않으면 Algebra, Lemma 00EF에 의해 \(A/I\)는 자명하지 않은 멱등원을 갖는다. 보조정리 09XI에 의해 이는 \(A\)가 자명하지 않은 멱등원을 가짐을 함의한다. 모순이다.

쌍의 헨젤화

절 09XD에서 시작한 논의를 계속한다.

보조정리

포함 함자 \[\text{category of henselian pairs} \longrightarrow \text{category of pairs}\] 는 왼쪽 수반 \((A, I) \mapsto (A^h, I^h)\)을 갖는다.

증명

\((A, I)\)을 쌍이라 하자. \(A/I \to B/IB\)가 동형이 되게 하는 에탈 환 사상 \(A \to B\)들로 이루어진 범주 \(\mathcal{C}\)를 생각하자. 범주 \(\mathcal{C}\)가 유향이고, 아이디얼 \(I^h = IA^h\)를 갖는 \(A^h = \colim_{B \in \mathcal{C}} B\)가 원하는 수반을 줌을 보이겠다.

먼저 \(\mathcal{C}\)가 유향임을 증명하자 (Categories, Definition 002V). \(\text{id} : A \to A\)가 대상이므로 공집합이 아니다. \(B\)와 \(B'\)이 \(\mathcal{C}\)의 두 대상이면 \(B'' = B \otimes_A B'\)도 \(\mathcal{C}\)의 대상이고 (Algebra, Lemma 00U2을 사용하라), 사상 \(B \to B''\)과 \(B' \to B''\)이 있다. \(f, g : B \to B'\)을 \(\mathcal{C}\)의 대상 사이의 두 사상이라 하자. 그러면 쌍대등화자는 \[(B' \otimes_{f, B, g} B') \otimes_{(B' \otimes_A B')} B'\] 이고, Algebra, Lemmas 00U2과 00U7에 의해 \(A\) 위 에탈이다. 따라서 범주 \(\mathcal{C}\)는 유향이다.

\(\mathcal{C}\)의 모든 대상 \(B\)에 대하여 \(B/IB = A/I\)이므로 \(A^h/I^h = A^h/IA^h = \colim B/IB = \colim A/I = A/I\)임을 알 수 있다.

다음으로 \(I^h = IA^h\)를 갖는 \(A^h = \colim_{B \in \mathcal{C}} B\)가 헨젤 쌍임을 보이자. 이를 위해 보조정리 09XI의 조건 (2)를 확인하겠다. 에탈 환 사상 \(A^h \to A'\)과 \(A^h\)-대수 사상 \(\sigma : A' \to A^h/I^h\)이 주어졌다고 하자. 그러면 어떤 \(B \in \mathcal{C}\)와 에탈 환 사상 \(B \to B'\)이 존재하여 \(A' = B' \otimes_B A^h\)이다. Algebra, Lemma 00U2을 보라. \(A^h/I^h = A/I\)이므로 사상 \(\sigma\)는 \(A\)-대수 사상 \(s : B' \to A/I\)을 유도한다. 그러면 \(A/I\)-대수로서 \(B'/IB' = A/I \times C\)이다.

여기서 \(C\)는 \(s\)가 유도하는 사상 \(B'/IB' \to A/I\)의 핵이다. \((1, 0) \in A/I \times C\)로 가는 \(g \in B'\)를 택하자. 그러면 \(B \to B'_g\)는 에탈이고 \(A/I \to B'_g/IB'_g\)는 동형이다. 즉 \(B'_g\)는 \(\mathcal{C}\)의 대상이다. 따라서 다음 두 도식이 가환하게 하는 표준 사상 \(B'_g \to A^h\)를 얻는다. \[\vcenter{ \xymatrix{ B'_g \ar[r] & A^h \\ B \ar[u] \ar[ur] } } \quad\text{and}\quad \vcenter{ \xymatrix{ B' \ar[r] \ar[rrd]_s & B'_g \ar[r] & A^h \ar[d] \\ & & A/I } }\] 이는 원하는 대로 \(\sigma\)와 양립하는 사상 \(A' = B' \otimes_B A^h \to A^h\)을 유도한다.

\((A, I) \to (A', I')\)을 \((A', I')\)이 헨젤인 쌍들의 사상이라 하자. 증명을 끝내기 위해 유일한 인수분해 \(A \to A^h \to A'\)이 있음을 보이겠다. 실제로 \(\mathcal{C}\) 안의 각 \(A \to B\)에 대하여 환 사상 \(A' \to B' = A' \otimes_A B\)는 에탈이고 동형 \(A'/I' \to B'/I'B'\)을 유도한다. 따라서 보조정리 09XI에 의해 절단 \(\sigma_B : B' \to A'\)이 있다. \(\mathcal{C}\) 안의 사상 \(B_1 \to B_2\)가 주어지면 도식 \[\xymatrix{ B'_1 \ar[rr] \ar[rd]_{\sigma_{B_1}} & & B'_2 \ar[ld]^{\sigma_{B_2}} \\ & A' }\] 이 가환한다고 주장한다. 이는 \(\mathcal{C}\)의 모든 \(B\)에 대하여 절단 \(\sigma_B\)가 유일한 \(A'\)-대수 사상 \(B' \to A'\)임을 증명하면 따른다. Algebra, Lemma 02FL에 의해 어떤 환 \(R\)에 대하여 \(B' \otimes_{A'} B' = B' \times R\)이다. 지금의 경우 \(B'/I'B' = A'/I'\)이므로 \(R/I'R = 0\)이다. 따라서 두 \(A'\)-대수 사상 \(\sigma_B, \sigma_B' : B' \to A'\)이 주어지면 \(e = (\sigma_B \otimes \sigma_B')(0, 1) \in A'\)은 \(I'\)에 포함되는 멱등원이다. 보조정리 09XF에 의해 \(e = 0\)이라고 결론짓는다. 따라서 원하는 대로 \(\sigma_B = \sigma_B'\)이다. 이 가환성을 사용하여 \[A^h = \colim_{B \in \mathcal{C}} B \to \colim_{B \in \mathcal{C}} A' \otimes_A B \xrightarrow{\colim \sigma_B} A'\] 을 얻는다. 사상 \(\sigma_B\)들의 유일성은 이 사상도 유일함을 보장한다. 따라서 \((A, I) \mapsto (A^h, I^h)\)은 원하는 수반이다.

보조정리

\((A, I)\)을 쌍이라 하고, \((A^h, I^h)\)를 보조정리 0A02에서와 같이 두자. 그러면 \(A \to A^h\)는 평탄이고, \(I^h = IA^h\)이며, 모든 \(n\)에 대하여 \(A/I^n \to A^h/I^nA^h\)는 동형이다.

증명

보조정리 0A02의 증명에서 \(A^h\)가 \(A/I \to B/IB\)가 동형이 되게 하는 에탈 \(A\)-대수 \(B\)들의 여과 쌍대극한이고 \(I^h = IA^h\)임을 보았다. 에탈 환 사상은 평탄이므로(Algebra, Lemma 00U2), Algebra, Lemma 05UT에 의해 \(A \to A^h\)가 평탄이라고 결론짓는다. 각 \(A \to B\)가 평탄이므로 사상 \(A/I^n \to B/I^nB\)도 동형이다 (예를 들어 Algebra, Lemma 051H에 의해). 쌍대극한을 취하면 원하는 대로 \(A/I^n = A^h/I^nA^h\)을 얻는다.

보조정리

보조정리 0A02의 함자는 국소환 \((A, \mathfrak m)\)에 그 헨젤화를 대응시킨다.

증명

\((A^h, \mathfrak m^h)\)를 보조정리 0A02에서 구성한 쌍 \((A, \mathfrak m)\)의 헨젤화라 하자. 보조정리 0AGU에 의해 \(\mathfrak m^h = \mathfrak m A^h\)는 극대 아이디얼이고, 야코브슨 근기에 포함되므로 \(A^h\)가 극대 아이디얼 \(\mathfrak m^h\)를 갖는 국소환이라고 결론짓는다. 이제 두 가지 방법으로 증명을 끝낼 수 있다.

첫 번째 증명: Algebra, Lemma 04GN의 증명에서 쌍대극한으로 주어지는 구성은 보조정리 0A02에서 \(A^h\)를 구성하는 데 사용한 쌍대극한과 같음을 관찰하자. 두 번째 증명: 헨젤화 \(A \to S\)와 보조정리 0A02의 \(A \to A^h\)는 모두 국소환 준동형이고, \(S\)와 \(A^h\)는 모두 에탈 \(A\)-대수들의 여과 쌍대극한이며, \(S\)와 \(A^h\)는 모두 헨젤 국소환이고, \(S\)와 \(A^h\)는 모두 \(\kappa(\mathfrak m)\)와 같은 잉여체를 갖는다 (두 번째 경우에는 보조정리 0AGU에 의해). 따라서 Algebra, Lemma 08HT에 의해 표준적으로 동형이다.

보조정리

\((A, I)\)을 \(A\)가 뇌터인 쌍이라 하고, \((A^h, I^h)\)를 보조정리 0A02에서와 같이 두자. 그러면 \(I\)-진 완비화들의 사상 \[A^\wedge \to (A^h)^\wedge\] 은 동형이다. 또한 \(A^h\)는 뇌터이고, 사상 \(A \to A^h \to A^\wedge\)은 평탄이며, \(A^h \to A^\wedge\)은 충실 평탄이다.

증명

첫 번째 명제는 보조정리 0AGU의 즉각적인 결과이며, 사실 \(A\)가 뇌터라는 가정 없이도 성립한다. 보조정리 0A02의 증명에서 \(A^h\)는 \(A/I \to B/IB\)가 동형이 되게 하는 에탈 \(A\)-대수 \(B\)들의 여과 쌍대극한임을 보았다. 각각의 그러한 \(A \to B\)에 대하여 유도된 사상 \(A^\wedge \to B^\wedge\)은 동형이다 (보조정리 0AGU의 증명을 보라). Algebra, Lemma 00MB에 의해 각 \(B\)에 대하여 환 사상 \(B \to A^\wedge = B^\wedge = (A^h)^\wedge\)은 평탄하다. 따라서 Algebra, Lemma 05UU에 의해 \(A^h \to A^\wedge = (A^h)^\wedge\)은 평탄하다. \(I^h = IA^h\)가 \(A^h\)의 야코브슨 근기에 포함되고 \(A^h \to A^\wedge\)이 동형 \(A^h/I^h \to A/I\)을 유도하므로, Algebra, Lemma 00HP에 의해 \(A^h \to A^\wedge\)은 충실 평탄이다. Algebra, Lemma 0316에 의해 환 \(A^\wedge\)은 뇌터이다. 따라서 Algebra, Lemma 033E에 의해 \(A^h\)가 뇌터라고 결론짓는다.

보조정리

\((A, I) = \colim (A_i, I_i)\)를 쌍들의 여과 쌍대극한이라 하자. 보조정리 0A02의 함자는 \(A^h = \colim A_i^h\)와 \(I^h = \colim I_i^h\)를 준다.

이 보조정리는 여과되지 않은 쌍대극한에는 거짓이다. 예 0FWU를 보라.

증명

Categories, Lemma 0038에 의해 \((A^h, I^h)\)은 헨젤 쌍들의 범주에서 계 \((A_i^h, I_i^h)\)의 쌍대극한이다. 따라서 헨젤 쌍 \((B, J)\)에 대하여 \[\Mor((A^h, I^h), (B, J)) = \lim \Mor((A_i^h, I_i^h), (B, J)) = \Mor(\colim (A_i^h, I_i^h), (B, J))\] 이다. 여기서 쌍대극한은 쌍들의 범주에서 취한다. 쌍대극한이 여과되었으므로 쌍들의 범주에서 \(\colim (A_i^h, I_i^h) = (\colim A_i^h, \colim I_i^h)\)를 얻는다. 세부사항은 생략한다.

다시 쌍대극한이 여과되었다는 사실을 사용하면, 이는 헨젤 쌍이다(보조정리 0FWT). 따라서 Yoneda 보조정리에 의해 \((A^h, I^h) = (\colim A_i^h, \colim I_i^h)\)를 얻는다.

보조정리

\(A\)를 아이디얼 \(I\)와 \(J\)를 갖는 환이라 하자. \(V(I) = V(J)\)이면 보조정리 0A02의 함자는 쌍 \((A, I)\)과 쌍 \((A, J)\)에 같은 환을 만든다.

증명

\((A', IA')\)을 쌍 \((A, I)\)에서 시작하여 보조정리 0A02으로 만든 쌍이라 하자. 보조정리 0AGU을 보라. \((A'', JA'')\)을 쌍 \((A, J)\)에서 시작하여 보조정리 0A02으로 만든 쌍이라 하자. 보조정리 09XJ에 의해 \((A', JA')\)는 헨젤 쌍이고 \((A'', IA'')\)도 헨젤 쌍이다. 구성의 보편 성질에 의해 유일한 \(A\)-대수 사상 \(A'' \to A'\)과 \(A' \to A''\)을 얻는다. 유일성은 이들이 서로 역임을 보인다.

보조정리

\((A, I) \to (B, J)\)를 \(V(J) = V(IB)\)인 쌍들의 사상이라 하자. \((A^h , I^h) \to (B^h, J^h)\)를 헨젤화 위에서 유도된 사상이라 하자 (보조정리 0A02). \(A \to B\)가 정수적이면 유도된 사상 \(A^h \otimes_A B \to B^h\)은 동형이다.

증명

보조정리 0F0L에 의해 \(J = IB\)라고 가정해도 된다. 보조정리 09XK에 의해 쌍 \((A^h \otimes_A B, I^h(A^h \otimes_A B))\)는 헨젤이다. \((B^h, IB^h)\)의 보편 성질에 의해 사상 \(B^h \to A^h \otimes_A B\)를 얻는다. 이 사상이 보조정리의 사상의 역이라는 증명은 생략한다.

보조정리

\(I_1, I_2, \dots, I_n \subset A\)를 환 \(A\)의 아이디얼들이라 하자. \(i \not = j\), \(1 \leq i, j \leq n\)이면 \(I_i + I_j = A\)라고 가정하자. \(A^h\)로 쌍 \((A, I_1 \cap \ldots \cap I_n)\)의 헨젤화를 나타내고, \(A_i^h\)로 쌍 \((A, I_i)\)의 헨젤화를 나타내자. 그러면 자연스러운 사상 \[A^h \to \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} A^h_i\] 은 동형이다.

증명

이 사상은 구성의 함자성에서 나온다. \(n = 1\)이면 결과는 즉시 따른다. \(n > 1\)이면 아이디얼들에 대한 조건으로부터 \((I_1 \cap \ldots \cap I_{n - 1}) + I_n = A\)임을 관찰하자. 따라서 \(n = 2\)에 대해 보조정리를 증명하면 모든 \(n\)에 대한 보조정리가 귀납법으로 따른다.

\(n = 2\)인 경우. \(f_1 + f_2 = 1\)인 \(f_i \in I_i\)를 택하자. \(A^h\)가 \(A \to B\)가 에탈이고

\(A/I_1 \cap I_2 \to B/(I_1 \cap I_2)B\)가 동형이 되게 하는 \(A\)-대수 \(B\)들의 쌍대극한으로 구성됨을 상기하자. 보조정리 0A02의 증명을 보라. 그러한 \(A\)-대수 \(B\)들의 범주를 \(Hens\)로 나타내자. 마찬가지로 \(i = 1, 2\)에 대하여 \(Hens_i\)로 \(A/I_i \to B/I_iB\)가 동형이 되게 하는 에탈 \(A\)-대수 \(B\)들의 범주를 나타내자.

\(f_2\)가 가역인 \(B\)들로 이루어진 부분범주 \(Hens_1(f_2) \subset Hens_1\)을 생각하자. 이는 공종 부분범주이다. 실제로 \(B\)가 \(Hens_1\)에 속하면 \(B_{f_2}\)도 \(Hens_1\)에 속한다 (힌트: \(f_2\)는 \(I_1\)을 법으로 단원이므로 \(B_{f_2}/I_1B_{f_2} = (B/I_1B)_{f_2} = B/I_1B\)이다). 마찬가지로 부분범주 \(Hens_2(f_1) \subset Hens_2\)도 공종이다. 따라서 \(A_1^h\)와 \(A_2^h\)를 계산할 때

이 더 작은 범주들을 사용해도 된다. Categories, Lemma 04E7을 보라.

함자 \[Hens_1(f_2) \times Hens_2(f_1) \to Hens,\quad (B_1, B_2) \mapsto B_1 \times B_2\] 를 생각하자. 이 함자는 다음 계산 때문에 잘 정의된다. \[\begin{align*} (B_1 \times B_2)/(I_1 \cap I_2)(B_1 \times B_2) & = B_1/(I_1 \cap I_2)B_1 \times B_2/(I_1 \cap I_2)B_2 \\ & = B_1/I_1B_1 \times B_2/I_2B_2 \\ & = A/I_1 \times A/I_2 \\ & = A/(I_1 \cap I_2) \end{align*}\] 두 번째 등식은 \(f_2 \in I_2\)가 \(B_1\)에서 가역이어서 \((I_1 \cap I_2)B_1 = I_1B_1 \cap I_2B_1 = I_1B_1\)이므로 성립한다 (Algebra, Lemma 0BBY도 사용했다). 마지막 등식은 Algebra, Lemma 00DT에 의해 성립한다. 증명을 끝내려면 표시된 함자가 공종임을 증명하면 충분하다 (위에서 인용한 보조정리를 보라). Categories, Definition 04E6의 첫 번째 조건은 \(Hens\)의 대상 \(B\)가 함자의 상에 속하는 \(B_{f_2} \times B_{f_1}\)로 사상되므로 성립한다. 두 번째 조건은 항상 성립한다. 실제로 \(B \to B_1 \times B_2\)와 \(B \to B'_1 \times B'_2\)가 주어지고 \(B_1, B'_1 \in Hens_1(f_2)\) 및 \(B_2, B'_2 \in Hens_2(f_1)\)이면, \(Hens_1(f_2)\)에 속하는 \(B''_1 = B_1 \otimes_B B'_1\)로 놓을 수 있고, 마찬가지로

\(Hens_2(f_1)\) 안에서 \(B''_2 = B_2 \otimes_B B''_2\)로 놓아 가환도식에 들어가는 사상 \(B \to B''_1 \times B''_2\)를 찾을 수 있다. \[\xymatrix{ & B \ar[ld] \ar[d] \ar[rd] \\ B_1 \times B_2 \ar[r] & B_1'' \times B_2'' & B_1' \times B_2' \ar[l] }\] 이로써 증명이 끝난다.

올림과 헨젤 쌍

이 절에서는 주로 절 07LW과 09XD의 결과를 결합한다.

보조정리

\((R, I)\)을 헨젤 쌍이라 하자. 사상 \[P \longrightarrow P/IP\] 은 유한 사영 \(R\)-가군들의 동형류 집합과 유한 사영 \(R/I\)-가군들의 동형류 집합 사이의 전단사를 유도한다. 특히 임의의 유한 사영 \(R/I\)-가군은 어떤 유한 사영 \(R\)-가군 \(P\)에 대하여 \(P/IP\)와 동형이다.

증명

먼저 마지막 명제를 증명하자. \(\overline{P}\)를 유한 사영 \(R/I\)-가군이라 하자. \(R\) 위 에탈이고 \(R/I = R'/IR'\)인 어떤 \(R'\) 위의 유한 사영 가군 \(P'\)로서 \(P'/IP'\)가 \(\overline{P}\)와 동형인 것을 찾을 수 있다. 보조정리 07M5을 보라. 그러면 \((R, I)\)이 헨젤 쌍이므로 에탈 환 사상 \(R \to R'\)은 절단 \(\tau : R' \to R\)을 갖는다 (보조정리 09XI). \(P = P' \otimes_{R', \tau} R\)로 놓으면 \(P/IP\)가 \(\overline{P}\)와 동형이라고 결론짓는다. 물론 이는 보조정리의 명제에 있는 사상이 전사임을 말한다.

단사성. \(P_1\)과 \(P_2\)를 \(R/I\)-가군으로서 \(P_1/IP_1 \cong P_2/IP_2\)인 유한 사영 \(R\)-가군들이라 하자. \(P_1\)이 사영이므로 주어진 동형을 올리는 \(R\)-가군 사상 \(u : P_1 \to P_2\)를 찾을 수 있다. 그러면 Nakayama 보조정리(Algebra, Lemma 00DV)에 의해 \(u\)는 전사이다. 마찬가지로 전사 \(v : P_2 \to P_1\)을 찾는다. Algebra, Lemma 05G8에 의해 사상 \(v \circ u\)는 동형이고, 따라서 \(u\)가 동형이라고 결론짓는다.

보조정리

\((A, I)\)을 헨젤 쌍이라 하자. 함자 \(B \to B/IB\)는 유한 에탈 \(A\)-대수들과 유한 에탈 \(A/I\)-대수들 사이의 동치를 정한다.

증명

\(B, B'\)을 \(A\) 위 유한 에탈인 두 \(A\)-대수라 하자. 그러면 \(B' \to B'' = B \otimes_A B'\)도 유한 에탈이다 (Algebra, Lemmas 00U2과 02JK). 이제 다음 사이에 \(1\) 대 \(1\) 대응이 있다.

1. \(A\)-대수 사상 \(B \to B'\),

2. \(B' \to B''\)의 절단,

3. \(B' \to B'' \to eB''\)가 동형이 되게 하는 \(B''\)의 멱등원 \(e\).

(2)와 (3) 사이의 전단사는 \(\sigma : B'' \to B'\)을, Algebra, Lemmas 00U7과 00U8에 의해 존재하는 \(\sigma\)의 핵을 생성하는 멱등원이 \((1 - e)\)가 되게 하는 \(e\)로 보낸다. \(A/I\)-대수 사상 \(B/IB \to B'/IB'\)과, \(B'/IB' \to B''/IB'' \to \overline{e}(B''/IB'')\)가 동형이 되게 하는 \(B''/IB''\)의 멱등원 \(\overline{e}\) 사이에도 비슷한 대응이 있다. 그런데 \(B''/IB''\)의 모든 멱등원 \(\overline{e}\)는 \(B''\)의 멱등원 \(e\)로 유일하게 올라간다 (보조정리 09XI). 또한 \(B'/IB' \to \overline{e}(B''/IB'')\)가 동형이면 Nakayama 보조정리(Algebra, Lemma 00DV)에 의해 \(B' \to eB''\)도 동형이다. 이로부터 함자가 충만충실임을 알 수 있다.

본질적 전사성. \(A/I \to C\)를 유한 에탈 사상이라 하자. Algebra, Lemma 04D1에 의해 \(B/IB \cong C\)가 되게 하는 에탈 사상 \(A \to B\)가 존재한다. \(B'\)을 \(B\) 안에서 \(A\)의 정수적 폐포라 하자. 보조정리 09XH에 의해 어떤 환 \(C'\)에 대해 \(B'/IB' = C \times C'\)이고, \((1, 0) \in C \times C'\)로 가는 어떤 \(g \in B'\)에 대하여 \(B'_g \cong B_g\)이다. 멱등원들이 올라가므로(보조정리 09XI), \(C = B'_1/IB'_1\)이고 \(C' = B'_2/IB'_2\)인 \(B' = B'_1 \times B'_2\)를 얻는다. \(B'_1\)에서 \(g\)의 상은 가역이다.

그러면 \(B_g = B'_g = B'_1 \times (B_2)_g\)이고, 이는 \(A \to B'_1\)이 에탈임을 함의한다. 따라서 \(B'_1\)은 \(A\) 위 유한 에탈이라고 결론짓고 증명이 끝난다 (예를 들어 Algebra, Lemma 02JJ에 의해 정수적 에탈은 유한 에탈이다).

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(S\)를 매끄러운 \(R\)-대수라 하자. \(A\)가 \(R\)-대수이고 \((A,I)\)가 헨젤 쌍이라고 가정하자. 그러면 임의의 \(R\)-대수 사상 \(S \to A/I\)은 \(R\)-대수 사상 \(S \to A\)로 올라간다.

증명

\(\tau : S \to A/I\)를 \(R\)-대수 사상이라 하자. Algebra, Lemma 00T4에 의해 \(S \otimes_R A\)는 매끄러운 \(A\)-대수임을 관찰하자. 따라서 보조정리 07M7에 의해, 유도된 사상 \(S \otimes_R A \to A/I\)을

\(A\)-대수 준동형 \(S \otimes_R A \to A'\)으로 올릴 수 있다. 여기서 \(A \to A'\)은 에탈이고 동형 \(A/I \to A'/IA'\)을 유도한다. \((A, I)\)이 헨젤이므로 \(A\)-대수 사상 \(A' \to A\)가 있다. 보조정리 09XI를 보라. 합성 \(S \to S \otimes_R A \to A' \to A\)가 원하는 올림이다.

보조정리

\(A = \lim A_n\)을 환들의 역계 \((A_n)\)의 극한이라 하자. \(A_n\)-가군 \(M_n\)들과 \(A_{n + 1}\)-가군 사상 \(M_{n + 1} \to M_n\)이 주어졌다고 하자. 다음을 가정하자.

1. 전이사상 \(A_{n + 1} \to A_n\)은 전사이고 그 핵은 국소 멱영이다.

2. \(M_1\)은 유한 사영 \(A_1\)-가군이다.

3. \(M_n\)은 유한 평탄 \(A_n\)-가군이다.

4. 사상들은 동형 \(M_{n + 1} \otimes_{A_{n + 1}} A_n \to M_n\)을 유도한다.

그러면 \(M = \lim M_n\)은 유한 사영 \(A\)-가군이고, 모든 \(n\)에 대하여 \(M \otimes_A A_n \to M_n\)은 동형이다.

증명

보조정리 0CT7에 의해 쌍 \((A, \Ker(A \to A_1))\)은 헨젤이다. 보조정리 0D4A에 의해 유한 사영 \(A\)-가군 \(P\)와 동형 \(P \otimes_A A_1 \to M_1\)을 택할 수 있다. \(P\)가 사영이므로 \(A\)-가군 사상 \(P \to M_1\)을 차례로 \(A\)-가군 사상 \(P \to M_2\), \(P \to M_3\) 등으로 올릴 수 있다. 따라서 사상 \[P \longrightarrow M\] 을 얻는다. \(P\)가 유한 사영이므로 어떤 \(m \geq 0\)과 \(A\)-가군 \(Q\)에 대하여 \(A^{\oplus m} = P \oplus Q\)로 쓸 수 있다. \(A = \lim A_n\)이므로 \(P = \lim P \otimes_A A_n\)이라고 결론짓는다. 따라서 표시된 \(A\)-가군 사상이 동형임을 보이려면 사상 \(P \otimes_A A_n \to M_n\)들이 동형임을 보이면 충분하다. 보조정리 0D48에 의해 \(M_n\)은 유한 사영 가군이다. 보조정리 0BC6에 의해 사상 \(P \otimes_A A_n \to M_n\)들은 동형이다.

절대 정수적 폐포

다음과 같이 정의한다.

정의

모든 모닉 다항식 \(f \in A[T]\)가 일차 인자들의 곱이면 환 \(A\)를 절대 정수적으로 닫혔다고 한다.

주의하자. \(f\)를 일차 인자들의 곱으로 쓰는 방법은 여러 가지일 수 있다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(A\)는 절대 정수적으로 닫혀 있다.

2. 임의의 모닉 다항식 \(f \in A[T]\)는 \(A\) 안에 근을 갖는다.

증명

생략한다.

보조정리

\(A\)가 절대 정수적으로 닫혀 있다고 하자.

1. \(A\)의 임의의 몫환 \(A/I\)는 절대 정수적으로 닫혀 있다.

2. 임의의 국소화 \(S^{-1}A\)는 절대 정수적으로 닫혀 있다.

증명

생략한다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(S \subset A\)를 영인자가 아닌 원소들로 이루어진 곱셈적 부분집합이라 하자. \(S^{-1}A\)가 절대 정수적으로 닫혀 있고 \(A \subset S^{-1}A\)가 \(S^{-1}A\) 안에서 정수적으로 닫혀 있으면, \(A\)도 절대 정수적으로 닫혀 있다.

증명

생략한다.

보조정리

\(A\)를 정규 정역이라 하자. 그러면 \(A\)가 절대 정수적으로 닫혀 있을 필요충분조건은 그 분수체가 대수적으로 닫혀 있는 것이다.

증명

체가 대수적으로 닫혀 있을 필요충분조건은 환으로서 절대 정수적으로 닫혀 있는 것임을 관찰하자. 따라서 보조정리는 보조정리 0DCN와 0DCP에서 따른다.

보조정리

임의의 환 \(A\)에 대하여 다음을 만족하는 확대 \(A \subset B\)가 존재한다.

1. \(B\)는 유한 자유 \(A\)-대수들의 여과 쌍대극한이다.

2. \(B\)는 \(A\)-가군으로서 자유이다.

3. \(B\)는 절대 정수적으로 닫혀 있다.

증명

\(I\)를 \(A\) 위의 모닉 다항식들의 집합이라 하자. 각 \(i \in I\)에 대하여

\(x_i\)를 변수라 하고 \(P_i\)를 변수 \(x_i\)에 대응하는 모닉 다항식이라 하자. 다음과 같이 놓는다. \[F(A) = A[x_i; i \in I]/(P_i; i \in I)\] 기호가 시사하듯이 \(F\)는 환들의 범주에서 자기 자신으로 가는 함자이다. \(A \subset F(A)\)이고, \(F(A)\)가 \(A\)-가군으로서 자유이며, \(F(A)\)가 유한 자유 \(A\)-대수들의 여과 쌍대극한임을 주목하자. 이제 \[B = \colim F^n(A)\] 로 놓는다. 여기서 전이사상들은 포함 \(F^n(A) \subset F(F^n(A)) = F^{n + 1}(A)\)이다. 계수가 \(B\)에 속하는 임의의 모닉 다항식은 실제로 어떤 \(n\)에 대하여 \(F^n(A)\)에 속하는 계수를 가지므로 구성에 의해 \(F^{n + 1}(A)\) 안에 해를 갖는다. 보조정리 0DCM에 의해 이는 \(B\)가 절대 정수적으로 닫혀 있음을 함의한다. 다른 성질들의 증명은 생략한다.

보조정리

\(A\)가 절대 정수적으로 닫혀 있다고 하자. \(\mathfrak p \subset A\)를 소아이디얼이라 하자. 그러면 국소환 \(A_\mathfrak p\)는 강 헨젤 환이다.

증명

보조정리 0DCN에 의해 \(A\)가 국소환이고 \(\mathfrak p\)가 그 극대아이디얼이라고 가정해도 된다. 잉여체는 보조정리 0DCN에 의해 대수적으로 닫혀 있다. 모든 모닉 다항식은 일차 인자들로 완전히 분해되므로 Algebra, Definition 04GF이 직접 적용된다.

보조정리

\(A\)가 절대 정수적으로 닫혀 있다고 하자. \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. 다음 조건들이 성립하면(또 그때에만) \((A, I)\)은 헨젤 쌍이다.

1. \(I\)는 \(A\)의 야코브슨 근기에 포함된다.

2. \(A \to A/I\)는 멱등원들 사이의 전단사를 유도한다.

증명

\(f \in A[T]\)를 모닉 다항식이라 하고, \(f \bmod I = g_0 h_0\)를 \(A/I\) 위의 분해라 하자. 여기서 \(g_0\), \(h_0\)는 모닉이고 \(g_0\)와 \(h_0\)는 \(A/I[T]\)의 단위아이디얼을 생성한다고 하자. 이는 다음을 뜻한다. \[A/I[T]/(f) = A/I[T]/(g_0) \times A/I[T]/(h_0)\]

\(e \in A/I[T]/(f)\)를 오른쪽 환의 멱등원 \((1, 0)\)에 대응하는 원소라 하자. \(a_i \in A\)인 원소들을 사용하여 \(f = (T - a_1) \ldots (T - a_d)\)로 쓰자. 각 \(i \in \{1, \ldots, d\}\)에 대하여 \(A\)-대수 사상 \(\varphi_i : A[T]/(f) \to A\), \(T \mapsto a_i\)를 얻으며, 이는 비슷한 \(A/I\)-대수 사상 \(\overline{\varphi}_i : A/I[T]/(f) \to A/I\)를 유도한다. \(e_i = \overline{\varphi}_i(e) \in A/I\)로 놓자. 이들은 멱등원이다. 가정 (2)에 의해 \(e_i\)를 \(A\)의 멱등원으로 올릴 수 있다. 이는 \(A = \prod A_j\)를 환들의 유한곱으로 써서, 각 \(A_j/IA_j\)에서 각 \(e_i\)가 \(0\) 또는 \(1\)이 되게 할 수 있음을 뜻한다. 몇몇 세부사항은 생략한다. \(A_j\)는 \(A\)의 몫환이므로 절대 정수적으로 닫혀 있음을 관찰하자. \(f\)의 \(A_j/IA_j\) 위 분해를 \(A_j\)로 올리는 것으로 충분하다. 이로써 다음 단락에서 논의하는 상황으로 환원된다.

\(i = 1, \ldots, r\)에 대하여 \(e_i = 1\)이고 \(i = r + 1, \ldots, d\)에 대하여 \(e_i = 0\)이라고 가정하자. \((g_0, h_0) = A/I[T]\)이므로 \(g_0 k_0 + h_0 l_0 = 1\)이 되게 하는 \(k_0, l_0 \in A/I[T]\)가 존재한다. \(e = h_0 l_0\)이고 \(e_i = h_0(a_i) l_0(a_i)\)임을 알 수 있다. 따라서 \(i = 1, \dots ,r\)에 대하여 \(h_0(a_i)\)는 단원이라고 결론짓는다. \(f(a_i) = 0\)이므로 \(0 = h_0(a_i)g_0(a_i)\)를 얻고, \(i = 1, \ldots, r\)에 대하여 \(g_0(a_i) = 0\)이라고 결론짓는다. 따라서 \((T - a_1)\)은 \(A/I[T]\) 안에서 \(g_0\)를 나누며, \(g_0 = (T - a_1) g_0'\)로 쓸 수 있다. \(f' = (T - a_2) \ldots (T - a_d)\)와 \(h'_0 = h_0\)로 놓자.

\(d\)에 관한 귀납법으로 분해 \(f' \bmod I = g'_0 h'_0\)을 \(A\) 위의 분해 \(f' = g' h'\)로 올릴 수 있으며, 이는 원하는 대로 분해 \(f \bmod I = g_0 h_0\)를 올리는 분해 \(f = (T - a_1) g' h'\)을 준다.

자기 동반 환

이 내용의 일부는 [Autour]에 있다.

정의

환 \(R\)이 국소환이고 그 극대아이디얼 \(\mathfrak m\)이 \(R\)에 약하게 동반되면 \(R\)을 자기 동반 환이라 한다.

보조정리

자기 동반 환 \(R\)은 다음 성질을 갖는다. (P) 모든 진 유한 생성 아이디얼 \(I \subset R\)은 영이 아닌 소멸자를 갖는다.

증명

가정에 의해 모든 \(f \in \mathfrak m\)에 대하여 \(f^n x = 0\)인 영이 아닌 원소 \(x \in R\)이 존재한다.

\(I = (f_1, \ldots, f_r)\)로 쓰자. 그러면 \(x\)는 \(R \to \bigoplus R_{f_i}\)의 핵에 속한다. 따라서 모든 \(i\)에 대하여 \(f_i y = 0\)인 영이 아닌 \(y \in R\)이 존재함을 알 수 있다. Algebra, Lemma 0565을 보라. \(y \in \text{Ann}_R(I)\)이므로 증명이 끝난다.

보조정리

\(R\)을 보조정리 05GN의 성질 (P)를 갖는 환이라 하자. \(u : N \to M\)을 사영 \(R\)-가군들의 준동형이라 하자. 그러면 \(u\)가 보편 단사일 필요충분조건은 \(u\)가 단사인 것이다.

증명

\(u\)가 단사라고 가정하자. 목표는 \(u\)가 보편 단사임을 보이는 것이다. 먼저 \(N \oplus Q\)가 자유가 되게 하는 가군 \(Q\)를 택한다. 사상 \(N \oplus Q \to M \oplus Q\)를 생각하면 \(N\)이 자유인 경우에 보조정리를 증명하는 것으로 충분함을 알 수 있다. 이 경우 \(N\)은 유한 자유 \(R\)-가군들의 유향 쌍대극한이다. 따라서 \(N\)이 유한 자유 \(R\)-가군인 경우로 환원되며, \(N = R^{\oplus n}\)으로 쓰자. \(n\)에 관한 귀납법으로 보조정리를 증명한다. \(n = 0\)인 경우는 자명하다.

\(u : R^{\oplus n} \to M\)을 \(M\)이 사영인 단사 가군 사상이라 하자. \(M \oplus Q\)가 자유가 되게 하는 \(R\)-가군 \(Q\)를 택한다. \(u\)를 합성 \(R^{\oplus n} \to M \to M \oplus Q\)로 바꾸면 \(M\)이 자유라고 가정해도 됨을 알 수 있다. 그러면 \(u(R^{\oplus n}) \subset R^{\oplus m}\)이 되게 하는 직접합인자 \(R^{\oplus m} \subset M\)을 찾을 수 있다. 따라서 \(M = R^{\oplus m}\)이라고 가정해도 된다. 이 경우 \(u\)는 행렬 \(A = (a_{ij})\)로 주어지며 \(u(x_1, \ldots, x_n) = (\sum x_i a_{i1}, \ldots, \sum x_i a_{im})\)이다. \(u\)가 단사이므로 특히 \(x \not = 0\)이면 \(u(x, 0, \ldots, 0) = (xa_{11}, xa_{12}, \ldots, xa_{1m}) \not = 0\)이고, \(R\)이 성질 (P)를 가지므로 \(a_{11}R + a_{12}R + \ldots + a_{1m}R = R\)임을 알 수 있다.

따라서 \(R(a_{11}, \ldots, a_{1m}) \subset R^{\oplus m}\)이 \(R^{\oplus m}\)의 직접합인자임을 알 수 있으며, 특히 \(R^{\oplus m}/R(a_{11}, \ldots, a_{1m})\)은 사영 \(R\)-가군이다. 행들이 분할 완전인 가환도식 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & R \ar[rr] \ar[d]^1 & & R^{\oplus n} \ar[r] \ar[d]^u & R^{\oplus n - 1} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & R \ar[rr]^{(a_{11}, \ldots, a_{1m})} & & R^{\oplus m} \ar[r] & R^{\oplus m}/R(a_{11}, \ldots, a_{1m}) \ar[r] & 0 }\] 를 얻는다. 따라서 오른쪽 수직 화살표는 단사이며, 귀납가정을 적용하여 오른쪽 수직 화살표가 보편 단사라고 결론 내릴 수 있다. 그러므로 가운데 수직 화살표도 보편 단사이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(R\)은 보조정리 05GN의 성질 (P)를 갖는다.

2. 사영 \(R\)-가군들의 임의의 단사 사상은 보편 단사이다.

3. \(u : N \to M\)이 단사이고 \(N\), \(M\)이 유한 사영 \(R\)-가군이면 \(\Coker(u)\)는 유한 사영 \(R\)-가군이다.

4. \(N \subset M\)이고 \(N\), \(M\)이 \(R\)-가군으로서 유한 사영이면 \(N\)은 \(M\)의 직접합인자이다.

5. 임의의 단사 사상 \(R \to R^{\oplus n}\)은 분할 단사이다.

증명

함의 (1) \(\Rightarrow\) (2)는 보조정리 05GP이다. (3)과 (4)가 동치임은 명백하다. Algebra, Lemma 058L에 의해 (2) \(\Rightarrow\) (3), (4)이다. (5)는 (4)의 특수한 경우이다. (5)를 가정하자. \(I = (a_1, \ldots, a_n)\)을 \(R\)의 진 유한 생성 아이디얼이라 하자. \(I \not = R\)이므로 \(R \to R^{\oplus n}\), \(x \mapsto (xa_1, \ldots, xa_n)\)은 분할 단사가 아님을 알 수 있다. 따라서 그 핵은 영이 아니며, \(\text{Ann}_R(I) \not = 0\)이라고 결론짓는다. 그러므로 (1)이 성립한다.

예

보조정리 05GQ의 동치인 조건들이 성립하더라도, 자유 \(R\)-가군들의 모든 단사 사상이 항상 분할 단사인 것은 아니다. 예를 들어 \(R = k[x_1, x_2, x_3, \ldots]/(x_i^2)\)라고 하자. 이는 자기 동반 환이다. 자유 \(R\)-가군들의 사상 \[u : \bigoplus\nolimits_{i \geq 1} Re_i \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \geq 1} Rf_i, \quad e_i \longmapsto f_i - x_if_{i + 1}.\] 를 생각하자. 임의의 정수 \(n\)에 대하여 \(u\)를 \(\bigoplus_{i = 1, \ldots, n} Re_i\)에 제한하면 단사이다. 상 \(u(e_1), \ldots, u(e_n)\)이 \(R\)-선형 독립이기 때문이다. 따라서 \(u\)는 단사이고, 보조정리에 의해 보편 단사이다. \(u \otimes \text{id}_k\)가 전단사이므로, \(u\)가 분할 단사라면 \(u\)는 전사여야 함을 알 수 있다. 그러나 \(u\)는 전사가 아니다. \(f_1\)의 역상이 될 원소 \[\sum\nolimits_{i \geq 0} x_1 \ldots x_ie_{i + 1} = e_1 + x_1e_2 + x_1x_2e_3 + \ldots\] 는 직접합의 원소가 아니기 때문이다. 덧붙여 \(\Coker(u)\)는 (\(u\)가 보편 단사이므로) 평탄하고, (\(u\)가 분할되지 않으므로) 사영이 아닌 가산 생성 \(R\)-가군이며, 따라서 Mittag-Leffler 가군이 아니다 (Algebra, Lemma 059X를 보라).

다음 보조정리는 국소환이 뇌터 환인 경우에는 Algebra, Proposition 00N1의 특수한 경우이다.

보조정리

\((R, \mathfrak m)\)을 국소환이라 하자. \(\varphi : R^m \to R^n\)이 유한 자유 가군들의 사상이라고 하자. 다음은 동치이다.

1. \(\varphi\)는 단사이다.

2. \(\varphi\)의 계수는 \(m\)이고, \(R\) 안에서 \(I(\varphi)\)의 소멸자는 영이다.

\(R\)이 뇌터 환이면 이들은 다음과도 동치이다.

1. \(\varphi\)의 계수는 \(m\)이고, \(I(\varphi) = R\)이거나 이 아이디얼이 영인자가 아닌 원소를 포함한다.

여기서 \(\varphi\)의 계수와 \(I(\varphi)\)는 Algebra, Definition 00MV에서와 같이 정의된다.

증명

\(\varphi\)의 행렬 계수 중 하나가 \(\mathfrak m\)에 속하지 않으면, Algebra, Lemma 00MT를 적용하여 \(\varphi\)를 \(1 : R \to R\)과 사상 \(\varphi' : R^{m-1} \to R^{n-1}\)의 합으로 쓴다. \(\varphi'\)에 대한 보조정리가 \(\varphi\)에 대한 보조정리를 함의함은 쉽게 알 수 있다. 따라서 처음부터 \(\varphi\)의 모든 행렬 계수가 \(\mathfrak m\)에 속한다고 가정해도 된다.

\(\varphi\)가 단사라고 하자. \(m > 0\)이라고 가정해도 된다. \(\mathfrak q \in \text{WeakAss}(R)\)라 하면 \(R_\mathfrak q\)는 자기 동반 환이다. 그러면 \(\varphi\)는 단사 사상 \(R_\mathfrak q^m \to R_\mathfrak q^n\)을 유도하며, 이는 보조정리 05GN와 05GP에 의해 보편 단사이다. 따라서 \(\varphi : \kappa(\mathfrak q)^m \to \kappa(\mathfrak q)^n\)은 단사이다. 그러므로 \(\varphi \bmod \mathfrak q\)의 계수는 \(m\)이고 \(I(\varphi \otimes \kappa(\mathfrak q))\)는 영아이디얼이 아니다. \(m\)은 \(\varphi\)가 가질 수 있는 최대 계수이므로, \(\varphi\)의 계수 역시 \(m\)이라고 결론짓는다 (행렬의 계수는 기저변환 뒤에 감소할 수만 있다). 따라서 \(I(\varphi) \cdot \kappa(\mathfrak q) = I(\varphi \otimes \kappa(\mathfrak q))\)는 영이 아니다. 그러므로 \(I(\varphi)\)는 \(\mathfrak q\)에 포함되지 않는다. 따라서 \(R\)의 약한 동반 소아이디얼 중 어느 것도 \(R\)-가군 \(\text{Ann}_R I(\varphi)\)의 약한 동반 소아이디얼이 아니다. 그러므로 \(\text{Ann}_R I(\varphi)\)는 약한 동반 소아이디얼을 갖지 않는다. Algebra, Lemma 0548를 보라. Algebra, Lemma 0588에 의해 \(\text{Ann}_R I(\varphi)\)는 영이다.

거꾸로 (2)를 가정하자. 계수가 \(m\)이므로 \(n \geq m\)이다. \(I(\varphi)\)는 유한 생성이므로 \(I(\varphi) = (f_1, \ldots, f_r)\)로 쓸 수 있다. Algebra, Lemma 07DQ에 의해

\(\psi \circ \varphi = f_i \text{id}_{R^m}\)이 되게 하는 사상 \(\psi_i : R^n \to R^m\)을 찾을 수 있다. 따라서 \(\varphi(x) = 0\)이면 \(i = 1, \ldots, r\)에 대하여 \(f_i x = 0\)이다. 이는 \(x = 0\)을 함의하므로 \(\varphi\)는 단사이다.

뇌터 국소환의 경우 (1)과 (3)의 동치는 Algebra, Proposition 00N1를 보라. 환 \(R\)이 뇌터 환이지만 국소환은 아니면 독자는 국소적인 경우에서 이를 도출할 수 있다. 세부사항은 생략한다. 또 다른 방법은 동반 소아이디얼들이 유한 개라는 사실, 소아이디얼 회피 정리, 그리고 뇌터 환에서 영인자가 아닌 원소들은 어느 동반 소아이디얼에도 포함되지 않는 원소들이라는 특징짓기를 사용하여, 위 논증을 동반 소아이디얼들로 다시 수행하는 것이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자.

\(\varphi : R^n \to R^n\)이 계수가 같은 유한 자유 가군들의 단사 사상이라고 하자. 그러면 \(\Hom_R(\Coker(\varphi), R) = 0\)이다.

증명

\(\varphi^t : R^n \to R^n\)을 \(\varphi\)의 전치라 하자. 보조정리는 \(\varphi^t\)가 단사임을 주장한다. 보조정리 00MX의 기호를 사용하면 \(\varphi^t\)의 계수는 \(n\)이고 \(I(\varphi) = I(\varphi^t)\)임을 알 수 있다. 따라서 그 보조정리의 (1)과 (2)의 동치에 의해 결론을 얻는다.

평탄화 층화

\(R \to S\)를 환 사상이라 하고 \(M\)을 \(S\)-가군이라 하자. 임의의 \(R\)-대수 \(R'\)에 대하여 기저변환 \(S' = S \otimes_R R'\)과 \(M' = M \otimes_R R'\)을 생각할 수 있다. 가군 \(M'\)이 \(R'\) 위 평탄이면 \(R \to R'\)이 \(M\)을 평탄화한다고 한다. \(M\)을 평탄화하는 환 사상 \(R \to R'\)들의 모임의 구조를 이해하고자 한다. 특히 \(M\)의 보편 평탄화 \(R \to R_{univ}\)가 존재하는지 알고 싶다. 이는 \(M\)을 평탄화하는 환 사상 \(R \to R_{univ}\)로서, \(M\)을 평탄화하는 임의의 환 사상 \(R \to R'\)이 \(R \to R_{univ}\)를 통하여 분해되는 성질을 갖는 것을 말한다. 이러한 보편해는 대개 존재하지 않는다.

보편 평탄화와 평탄화 층화는 스킴론적 상황 \(\mathcal{F}/X/S\)에서 More on Flatness, Section 052F에서 논의할 것이다. 보편 평탄화 \(R \to R_{univ}\)가 존재하면, 스킴 사상 \(\Spec(R_{univ}) \to \Spec(R)\)은 \(\Spec(S)\) 위의 준연접 가군 \(\widetilde{M}\)의 보편 평탄화이다.

이 절과 다음 몇 절에서는 이와 관련된 몇 가지 기본적인 대수적 사실을 증명한다. 아마도 가장 기본적인 결과는 다음일 것이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(M\)을 \(R\)-가군이라 하고 \(I_1\), \(I_2\)를 \(R\)의 아이디얼이라 하자. \(M/I_1M\)이 \(R/I_1\) 위 평탄이고 \(M/I_2M\)이 \(R/I_2\) 위 평탄이면, \(M/(I_1 \cap I_2)M\)은 \(R/(I_1 \cap I_2)\) 위 평탄이다.

증명

\(R\)을 \(R/(I_1 \cap I_2)\)로, \(M\)을 \(M/(I_1 \cap I_2)M\)으로 바꾸면 \(I_1 \cap I_2 = 0\)이라고 가정해도 된다. \(J \subset R\)을 아이디얼이라 하자. \(M\)이 \(R\) 위 평탄임을 증명하려면 \(J \otimes_R M \to M\)이 단사임을 보여야 한다. Algebra, Lemma 00HD을 보라. \(M/I_1M\)이 \(R/I_1\) 위 평탄이므로 사상 \[J/(J \cap I_1) \otimes_R M = (J + I_1)/I_1 \otimes_{R/I_1} M/I_1M \longrightarrow M/I_1M\] 은 단사이다. \(0 \to (J \cap I_1) \to J \to J/(J \cap I_1) \to 0\)이 완전하므로 도식 \[\xymatrix{ (J \cap I_1) \otimes_R M \ar[r] \ar[d] & J \otimes_R M \ar[r] \ar[d] & J/(J \cap I_1) \otimes_R M \ar[r] \ar[d] & 0 \\ M \ar@{=}[r] & M \ar[r] & M/I_1M }\] 을 얻는다. 따라서 \((J \cap I_1) \otimes_R M \to M\)이 단사임을 보이면 충분하다. \(I_1 \cap I_2 = 0\)이므로 아이디얼 \(J \cap I_1\)은 아이디얼 \(J' \subset R/I_2\)에 동형으로 사상되며, \((J \cap I_1) \otimes_R M = J' \otimes_{R/I_2} M/I_2M\)임을 알 수 있다. \(M/I_2M\)이 \(R/I_2\) 위 평탄이므로 사상 \(J' \otimes_{R/I_2} M/I_2M \to M/I_2M\)은 단사이며, 이는 분명히 \((J \cap I_1) \otimes_R M \to M\)이 단사임을 함의한다.

아르틴 환 위의 평탄화

기저환이 아르틴 국소환이면 보편 평탄화가 존재한다. 이는 임의의 가군에 대하여 존재한다.

따라서 나중에 보겠지만, 기저 스킴이 아르틴 국소환의 스펙트럼이면 평탄화 층화가 존재한다.

보조정리

\(R\)을 아르틴 환이라 하자. \(M\)을 \(R\)-가군이라 하자. 그러면 \(M/IM\)이 \(R/I\) 위 평탄이 되게 하는 가장 작은 아이디얼 \(I \subset R\)이 존재한다.

증명

이는 보조정리 0522과 아르틴 성질에서 직접 따른다.

이 아이디얼은 다음 보편 성질을 갖는다.

보조정리

\(R\)을 아르틴 환이라 하고 \(M\)을 \(R\)-가군이라 하자. \(I \subset R\)을 \(M/IM\)이 \(R/I\) 위 평탄이 되게 하는 가장 작은 아이디얼 \(I \subset R\)이라 하자. 그러면 \(I\)는 다음 보편 성질을 갖는다. 모든 환 사상 \(\varphi : R \to R'\)에 대하여 다음이 성립한다. \[R' \otimes_R M\text{ is flat over }R' \Leftrightarrow \text{we have }\varphi(I) = 0.\]

증명

보조정리 0524에 의해 \(I\)가 존재함을 주목하자.

함의 \(\Rightarrow\)는 Algebra, Lemma 00HI에서 따른다. \(\varphi : R \to R'\)이 \(M \otimes_R R'\)을 \(R'\) 위 평탄하게 하는 사상이라 하자. \(J = \Ker(\varphi)\)로 두자. Algebra, Lemma 051L에 의해, 그리고 \(R' \otimes_R M = R' \otimes_{R/J} M/JM\)이 \(R'\) 위 평탄이므로, \(M/JM\)이 \(R/J\) 위 평탄이라고 결론짓는다. 따라서 원하는 대로 \(I \subset J\)이다.

기저의 닫힌 부분집합 위의 평탄화

\(R \to S\)를 환 사상이라 하자. \(I \subset R\)을 아이디얼이라 하자. \(M\)을 \(S\)-가군이라 하자. 이하에서는 다음 조건을 생각한다. [052W]\[\begin{equation} \forall \mathfrak q \in V(IS) \subset \Spec(S) : M_{\mathfrak q}\text{ is flat over }R. \end{equation}\] 기하학적으로 이는 \(M\)이 \(\Spec(S)\) 안에서 \(V(I)\)의 역상을 따라 \(R\) 위 평탄임을 뜻한다. \(R\)과 \(S\)가 뇌터 환이고 \(M\)이 유한 \(S\)-가군이면, (052W)는 모든 \(n \geq 1\)에 대하여 \(M/I^nM\)이 \(R/I^n\) 위 평탄이라는 조건과 동치이다. Algebra, Lemma 0523를 보라.

보조정리

\(R \to S\)를 환 사상이라 하자. \(I \subset R\)을 아이디얼이라 하고 \(M\)을 \(S\)-가군이라 하자. \(R \to R'\)을 환 사상이라 하고 \(IR' \subset I' \subset R'\)을 아이디얼이라 하자. \((R \to S, I, M)\)에 대하여 (052W)가 성립하면, \((R' \to S \otimes_R R', I', M \otimes_R R')\)에 대해서도 (052W)가 성립한다.

증명

\((R \to S, I \subset R, M)\)에 대하여 (052W)가 성립한다고 가정하자. \(I'(S \otimes_R R') \subset \mathfrak q'\)를 \(S \otimes_R R'\)의 소아이디얼이라 하자. \(\mathfrak q \subset S\)를 이에 대응하는 \(S\)의 소아이디얼이라 하자. 그러면 \(IS \subset \mathfrak q\)이다. \((M \otimes_R R')_{\mathfrak q'}\)는 기저변환 \(M_{\mathfrak q} \otimes_R R'\)의 국소화임을 주목하자. 따라서 \((M \otimes_R R')_{\mathfrak q'}\)는 평탄 가군의 국소화이므로 \(R'\) 위 평탄이다. Algebra, Lemmas 00HI와 00HT을 보라.

보조정리

\(R \to S\)를 환 사상이라 하자. \(I \subset R\)을 아이디얼이라 하고 \(M\)을 \(S\)-가군이라 하자. \(R \to R'\)을 환 사상이라 하고 \(IR' \subset I' \subset R'\)을 다음 조건을 만족하는 아이디얼이라 하자.

1. \(\Spec(R') \to \Spec(R)\)이 유도하는 사상 \(V(I') \to V(I)\)는 전사이다.

2. 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p' \in V(I')\)에 대하여 \(R'_{\mathfrak p'}\)는 \(R\) 위 평탄이다.

\((R' \to S \otimes_R R', I', M \otimes_R R')\)에 대하여 (052W)가 성립하면, \((R \to S, I, M)\)에 대하여 (052W)가 성립한다.

증명

\((R' \to S \otimes_R R', IR', M \otimes_R R')\)에 대하여 (052W)가 성립한다고 가정하자. 소아이디얼 \(IS \subset \mathfrak q \subset S\)를 택한다. \(I \subset \mathfrak p \subset R\)을 이에 대응하는 \(R\)의 소아이디얼이라 하자. 가정에 의해 \(\mathfrak p\) 위에 놓이는 \(R'\)의 소아이디얼 \(\mathfrak p' \in V(I')\)가 존재하고, \(R_{\mathfrak p} \to R'_{\mathfrak p'}\)는 평탄이다. 소아이디얼 \(\overline{\mathfrak q}' \subset \kappa(\mathfrak q) \otimes_{\kappa(\mathfrak p)} \kappa(\mathfrak p')\)를 택한다. 이는 \(\mathfrak q\) 위이면서 \(\mathfrak p'\) 위에 놓이는 소아이디얼 \(\mathfrak q' \subset S \otimes_R R'\)에 대응한다. \((S \otimes_R R')_{\mathfrak q'}\)는 \(S_{\mathfrak q} \otimes_{R_{\mathfrak p}} R'_{\mathfrak p'}\)의 국소화임을 주목하자. 가정에 의해 가군 \((M \otimes_R R')_{\mathfrak q'}\)는 \(R'_{\mathfrak p'}\) 위 평탄이다. 따라서 Algebra, Lemma 00MQ은 \(M_{\mathfrak q}\)가 \(R_{\mathfrak p}\) 위 평탄임을 함의한다. 이것이 증명하고자 한 바이다.

보조정리

\(R \to S\)를 유한 표시 환 사상이라 하자. \(M\)을 유한 표시 \(S\)-가군이라 하자. \(R' = \colim_{\lambda \in \Lambda} R_\lambda\)를 \(R\)-대수들의 유향 쌍대극한이라 하자. \(I_\lambda \subset R_\lambda\)를 모든 \(\mu \geq \lambda\)에 대하여 \(I_\lambda R_\mu \subset I_\mu\)를 만족하는 아이디얼들이라 하고 \(I' = \colim_\lambda I_\lambda\)로 놓자. \((R' \to S \otimes_R R', I', M \otimes_R R')\)에 대하여 (052W)가 성립하면, \((R_\lambda \to S \otimes_R R_\lambda, I_\lambda, M \otimes_R R_\lambda)\)에 대하여 (052W)가 성립하는 \(\lambda \in \Lambda\)가 존재한다.

증명

\(S_\lambda = S \otimes_R R_\lambda\), \(S' = S \otimes_R R'\), \(M_\lambda = M \otimes_R R_\lambda\), \(M' = M \otimes_R R'\)로 쓰겠다. 기저변환 \(S'\)는 \(R'\) 위 유한 표시이고 \(M'\)는 \(S'\) 위 유한 표시이며, 첨자 \(\lambda\)가 있는 경우도 마찬가지이다. Algebra, Lemma 05G5를 보라. Algebra, Theorem 00RC에 의해 집합 \[U' = \{\mathfrak q' \in \Spec(S') \mid M'_{\mathfrak q'}\text{ is flat over }R'\}\] 는 \(\Spec(S')\)에서 열려 있다. \(V(I'S')\)는 준콤팩트 공간이며 가정에 의해 \(U'\)에 포함됨을 주목하자. 따라서 \(D(g'_j) \subset U'\)이고 \(V(I'S') \subset \bigcup D(g'_j)\)인 유한 개의 \(g'_j \in S'\), \(j = 1, \ldots, m\)이 존재한다. 특히 \((M')_{g'_j}\)는 \(R'\) 위 평탄 가군임을 주목하자.

점점 더 큰 원소 \(\lambda \in \Lambda\)를 택하겠다. 먼저 \(g'_j\)로 가는 \(g_{j, \lambda} \in S_{\lambda}\)를 찾을 수 있을 만큼 충분히 크게 택한다. 포함 \(V(I'S') \subset \bigcup D(g'_j)\)는 \(I'S' + (g'_1, \ldots, g'_m) = S'\)를 뜻하며, 이는 어떤 \(z_s \in I'\), \(h_s, f_j \in S'\)를 사용하여 \(1 = \sum z_sh_s + \sum f_jg'_j\)로 나타낼 수 있다. \(\lambda\)를 더 크게 하면 이러한 등식이 \(S_\lambda\)에서 성립한다고 가정해도 된다. 따라서 \(V(I_\lambda S_\lambda) \subset \bigcup D(g_{j, \lambda})\)라고 가정할 수 있다. Algebra, Lemma 02JO에 의해 충분히 큰 어떤 \(\lambda\)에 대하여 가군 \((M_\lambda)_{g_{j, \lambda}}\)들이 \(R_\lambda\) 위 평탄임을 알 수 있다. 특히 가군 \(M_\lambda\)는 아이디얼 \(I_\lambda\) 위에 놓이는 모든 소아이디얼에서 \(R_\lambda\) 위 평탄이다.

정의역과 기저의 닫힌 부분집합 위의 평탄화

이 절에서는 절 05LK의 논의를 조금 일반화한다. 독자는 먼저 그 절을 읽고 이해하기를 강력히 권한다.

설정

\(R \to S\)를 환 사상이라 하자. \(J \subset S\)를 아이디얼이라 하고 \(M\)을 \(S\)-가군이라 하자.

이 상황에서 \(R\)-대수 \(R'\)과 아이디얼 \(I' \subset R'\)이 주어지면 \(S' = S \otimes_R R'\)과 \(M' = M \otimes_R R'\)로 놓는다. 다음 조건을 생각하겠다. [05LQ]\[\begin{equation} \forall \mathfrak q' \in V(I'S' + JS') \subset \Spec(S') : M'_{\mathfrak q'}\text{ is flat over }R'. \end{equation}\] 기하학적으로 이는 \(M'\)가 \(V(I')\)의 역상과 \(V(J)\)의 역상의 교집합을 따라 \(R'\) 위 평탄임을 뜻한다. \((R \to S, J, M)\)이 고정되어 있으므로 조건 (05LQ)는 쌍 \((R', I')\)에만 의존한다. 여기서 \(R'\)은 \(R\)-대수로 본다.

보조정리

상황 05LP에서 \(R' \to R''\)을 \(R\)-대수 사상이라 하자. \(I' \subset R'\)과 \(I'R'' \subset I'' \subset R''\)을 아이디얼이라 하자. \((R', I')\)에 대하여 (05LQ)가 성립하면, \((R'', I'')\)에 대해서도 (05LQ)가 성립한다.

증명

\((R', I')\)에 대하여 (05LQ)가 성립한다고 가정하자. \(I''S'' + JS'' \subset \mathfrak q''\)를 \(S''\)의 소아이디얼이라 하자. \(\mathfrak q' \subset S'\)를 이에 대응하는 \(S'\)의 소아이디얼이라 하자. 그러면 \(\mathfrak q''\)에 대하여 대응하는 조건들이 성립하므로 \(I'S' \subset \mathfrak q'\)와 \(JS' \subset \mathfrak q'\)가 모두 성립한다.

\((M'')_{\mathfrak q''}\)는 기저변환 \(M'_{\mathfrak q'} \otimes_R R''\)의 국소화임을 주목하자. 따라서 \((M'')_{\mathfrak q''}\)는 평탄 가군의 국소화이므로 \(R''\) 위 평탄이다. Algebra, Lemmas 00HI와 00HT을 보라.

보조정리

상황 05LP에서 \(R' \to R''\)을 \(R\)-대수 사상이라 하자. \(I' \subset R'\)과 \(I'R'' \subset I'' \subset R''\)을 아이디얼이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(\Spec(R'') \to \Spec(R')\)이 유도하는 사상 \(V(I'') \to V(I')\)는 전사이다.

2. 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p'' \in V(I'')\)에 대하여 \(R''_{\mathfrak p''}\)는 \(R'\) 위 평탄이다.

\((R'', I'')\)에 대하여 (05LQ)가 성립하면, \((R', I')\)에 대해서도 (05LQ)가 성립한다.

증명

\((R'', I'')\)에 대하여 (05LQ)가 성립한다고 가정하자. 소아이디얼 \(I'S' + JS' \subset \mathfrak q' \subset S'\)를 택한다. \(I' \subset \mathfrak p' \subset R'\)을 이에 대응하는 \(R'\)의 소아이디얼이라 하자. 가정에 의해 \(\mathfrak p'\) 위에 놓이는 \(R''\)의 소아이디얼 \(\mathfrak p'' \in V(I'')\)가 존재하고, \(R'_{\mathfrak p'} \to R''_{\mathfrak p''}\)는 평탄이다. 소아이디얼 \(\overline{\mathfrak q}'' \subset \kappa(\mathfrak q') \otimes_{\kappa(\mathfrak p')} \kappa(\mathfrak p'')\)를 택한다. 이는 \(\mathfrak q'\) 위이면서 \(\mathfrak p''\) 위에 놓이는 소아이디얼 \(\mathfrak q'' \subset S'' = S' \otimes_{R'} R''\)에 대응한다. 특히 \(I''S'' \subset \mathfrak q''\)이고 \(JS'' \subset \mathfrak q''\)임을 알 수 있다. \((S' \otimes_{R'} R'')_{\mathfrak q''}\)는 \(S'_{\mathfrak q'} \otimes_{R'_{\mathfrak p'}} R''_{\mathfrak p''}\)의 국소화임을 주목하자. 가정에 의해 가군 \((M' \otimes_{R'} R'')_{\mathfrak q''}\)는 \(R''_{\mathfrak p''}\) 위 평탄이다. 따라서 Algebra, Lemma 00MQ은 \(M'_{\mathfrak q'}\)가 \(R'_{\mathfrak p'}\) 위 평탄임을 함의한다. 이것이 증명하고자 한 바이다.

보조정리

상황 05LP에서 \(R \to S\)가 본질적으로 유한 표시이고 \(M\)이 유한 표시 \(S\)-가군이라고 가정하자. \(R' = \colim_{\lambda \in \Lambda} R_\lambda\)를 \(R\)-대수들의 유향 쌍대극한이라 하자. \(I_\lambda \subset R_\lambda\)를 모든 \(\mu \geq \lambda\)에 대하여 \(I_\lambda R_\mu \subset I_\mu\)를 만족하는 아이디얼들이라 하고 \(I' = \colim_\lambda I_\lambda\)로 놓자. \((R', I')\)에 대하여 (05LQ)가 성립하면, \((R_\lambda, I_\lambda)\)에 대하여 (05LQ)가 성립하는 \(\lambda \in \Lambda\)가 존재한다.

증명

먼저 \(R \to S\)가 유한 표시인 경우에 보조정리를 증명한 다음, 일반적인 경우에 무엇을 바꿔야 하는지 설명하겠다. \(S_\lambda = S \otimes_R R_\lambda\), \(S' = S \otimes_R R'\), \(M_\lambda = M \otimes_R R_\lambda\), \(M' = M \otimes_R R'\)로 쓰겠다. 기저변환 \(S'\)는 \(R'\) 위 유한 표시이고 \(M'\)는 \(S'\) 위 유한 표시이며, 첨자 \(\lambda\)가 있는 경우도 마찬가지이다. Algebra, Lemma 05G5를 보라. Algebra, Theorem 00RC에 의해 집합 \[U' = \{\mathfrak q' \in \Spec(S') \mid M'_{\mathfrak q'}\text{ is flat over }R'\}\] 는 \(\Spec(S')\)에서 열려 있다. \(V(I'S' + JS')\)는 준콤팩트 공간이며 가정에 의해 \(U'\)에 포함됨을 주목하자. 따라서 \(D(g'_j) \subset U'\)이고 \(V(I'S' + JS') \subset \bigcup D(g'_j)\)인 유한 개의 \(g'_j \in S'\), \(j = 1, \ldots, m\)이 존재한다. 특히 \((M')_{g'_j}\)는 \(R'\) 위 평탄 가군임을 주목하자.

점점 더 큰 원소 \(\lambda \in \Lambda\)를 택하겠다. 먼저 \(g'_j\)로 가는 \(g_{j, \lambda} \in S_{\lambda}\)를 찾을 수 있을 만큼 충분히 크게 택한다. 포함 \(V(I'S' + JS') \subset \bigcup D(g'_j)\)는 \(I'S' + JS' + (g'_1, \ldots, g'_m) = S'\)를 뜻하며, 이는 어떤 \(z_s \in I'\), \(y_t \in J\), \(k_t, h_s, f_j \in S'\)를 사용하여 \[1 = \sum y_tk_t + \sum z_sh_s + \sum f_jg'_j\] 로 나타낼 수 있다. \(\lambda\)를 더 크게 하면 이러한 등식이 \(S_\lambda\)에서 성립한다고 가정해도 된다. 따라서 \(V(I_\lambda S_\lambda + J S_\lambda) \subset \bigcup D(g_{j, \lambda})\)라고 가정할 수 있다. Algebra, Lemma 02JO에 의해 충분히 큰 어떤 \(\lambda\)에 대하여 가군 \((M_\lambda)_{g_{j, \lambda}}\)들이 \(R_\lambda\) 위 평탄임을 알 수 있다. 특히 가군 \(M_\lambda\)는 \(V(I_\lambda S_\lambda + J S_\lambda)\)의 점들에 대응하는 모든 소아이디얼에서 \(R_\lambda\) 위 평탄이다.

\(S\)가 본질적으로 유한 표시인 경우에는 \(S = \Sigma^{-1}C\)로 쓸 수 있다. 여기서 \(R \to C\)는 유한 표시이고 \(\Sigma \subset C\)는 곱셈적 부분집합이다. 또한 어떤 유한 표시 \(C\)-가군 \(N\)에 대하여 \(M = \Sigma^{-1}N\)으로 쓸 수 있다. Algebra, Lemma 05N5을 보라. 이제 \(C_\lambda\), \(C'\), \(N_\lambda\), \(N'\)를 도입한다. 그러면 위 논의에서 \(N'\)가 \(R'\) 위 평탄이 되는 열린집합 \(U' \subset \Spec(C')\)를 얻는다. (05LQ)가 성립한다는 가정은 \(V(I'S' + JS')\)가 \(U'\) 안으로 사상됨을 뜻한다. 소아이디얼 \(\mathfrak r' \subset C'\)에 대응하는 소아이디얼 \(\mathfrak q' \subset S'\)에 대하여 \(M'_{\mathfrak q'} = N'_{\mathfrak r'}\)이기 때문이다. 따라서 \(\bigcup D(g'_j)\)가 \(V(I'S' + JS')\)의 상을 포함하도록 하는 \(g'_j \in C'\)를 찾을 수 있다. 나머지 증명은 앞의 경우와 완전히 같다.

보조정리

상황 05LP에서 \(I \subset R\)을 아이디얼이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(R\)은 뇌터 환이다.

2. \(S\)는 뇌터 환이다.

3. \(M\)은 유한 \(S\)-가군이다.

4. 각 \(n \geq 1\)과 임의의 소아이디얼 \(\mathfrak q \in V(J + IS)\)에 대하여 가군 \((M/I^n M)_{\mathfrak q}\)는 \(R/I^n\) 위 평탄이다.

그러면 \((R, I)\)에 대하여 (05LQ)가 성립한다. 즉 모든 소아이디얼 \(\mathfrak q \in V(J + IS)\)에 대하여 국소화 \(M_{\mathfrak q}\)는 \(R\) 위 평탄이다.

증명

\(\mathfrak q \in V(J + IS)\)라 하자. 그러면 Algebra, Lemma 0523를 \(R \to S_{\mathfrak q}\)와 \(M_{\mathfrak q}\)에 적용하면 \(M_{\mathfrak q}\)가 \(R\) 위 평탄임을 얻는다.

뇌터 완비 국소환 위의 평탄화

다음 세 보조정리는 기저가 완비 뇌터 국소환 \(R\)이고 주어진 가군이 유한형 \(R\)-대수 \(S\) 위 유한일 때, “국소적” 평탄화 층화가 존재한다는 사실의 순전히 대수적인 증명을 준다.

보조정리

\(R \to S\)를 환 사상이라 하고 \(M\)을 \(S\)-가군이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \((R, \mathfrak m)\)은 완비 뇌터 국소환이다.

2. \(S\)는 뇌터 환이다.

3. \(M\)은 \(S\) 위 유한이다.

그러면 다음을 만족하는 아이디얼 \(I \subset \mathfrak m\)이 존재한다.

1. \(\mathfrak m\) 위에 놓이는 \(S/IS\)의 모든 소아이디얼 \(\mathfrak q\)에 대하여 \((M/IM)_{\mathfrak q}\)는 \(R/I\) 위 평탄이다.

2. \(J \subset R\)이 \(\mathfrak m\) 위에 놓이는 모든 소아이디얼 \(\mathfrak q\)에 대하여 \((M/JM)_{\mathfrak q}\)를 \(R/J\) 위 평탄하게 하는 아이디얼이면, \(I \subset J\)이다.

다시 말해 \(I\)는 \((\overline{R} \to \overline{S}, \overline{\mathfrak m}, \overline{M})\)에 대하여 (052W)가 성립하도록 하는 \(R\)의 가장 작은 아이디얼이다. 여기서 \(\overline{R} = R/I\), \(\overline{S} = S/IS\), \(\overline{\mathfrak m} = \mathfrak m/I\), \(\overline{M} = M/IM\)이다.

증명

\(J \subset R\)을 아이디얼이라 하자. Algebra, Lemma 0523를 환 \(R/J\) 위의 가군 \(M/JM\)에 적용한다.

그러면 \(S/JS\)의 모든 소아이디얼 \(\mathfrak q\)에 대하여 \((M/JM)_{\mathfrak q}\)가 \(R/J\) 위 평탄일 필요충분조건은 모든 \(n \geq 1\)에 대하여 \(M/(J + \mathfrak m^n)M\)이 \(R/(J + \mathfrak m^n)\) 위 평탄인 것임을 알 수 있다. 아래에서 이 관찰을 사용하겠다.

모든 \(n \geq 1\)에 대하여 국소환 \(R/\mathfrak m^n\)은 아르틴 환이다. 따라서 보조정리 0524에 의해 \(M/I_nM\)이 \(R/I_n\) 위 평탄이 되게 하는 가장 작은 아이디얼 \(I_n \supset \mathfrak m^n\)이 존재한다.

\(I_{n + 1} + \mathfrak m^n\)이 \(I_n\)을 포함함은 명백하고, 보조정리 0522을 적용하면 \(I_n = I_{n + 1} + \mathfrak m^n\)임을 알 수 있다. \(R = \lim_n\ R/\mathfrak m^n\)이므로 \(I = \lim_n\ I_n/\mathfrak m^n\)은 모든 \(n \geq 1\)에 대하여 \(I_n = I + \mathfrak m^n\)을 만족하는 \(R\)의 아이디얼임을 알 수 있다. 증명 첫머리의 관찰에 의해 \(I\)가 (1)과 (2)를 만족함을 알 수 있다. 몇몇 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(R \to S\), \(M\), \(I\)의 기호와 가정은 보조정리 0526에서와 같다고 하자. \(R'\)이 뇌터 환인 국소환들의 국소 준동형 \(\varphi : (R, \mathfrak m) \to (R', \mathfrak m')\)를 생각하자. 그러면 다음은 동치이다.

1. \((R' \to S \otimes_R R', \mathfrak m', M \otimes_R R')\)에 대하여 조건 (052W)가 성립한다.

2. \(\varphi(I) = 0\)이다.

증명

함의 (2) \(\Rightarrow\) (1)은 보조정리 052X에서 따른다. \(\varphi : R \to R'\)이 보조정리에서와 같이 (1)을 만족한다고 하자. \(\varphi(I) = 0\)임을 보여야 한다. 이는 \(\varphi(I)R' = 0\)이라는 조건과 동치이다. 뇌터 국소환 \(R'\)에서의 Artin-Rees 정리 (Algebra, Lemma 00IP를 보라)에 의해 이는 모든 \(n > 0\)에 대하여 \(\varphi(I)R' + (\mathfrak m')^n = (\mathfrak m')^n\)이라는 조건과 동치이다. 따라서 이는 각 \(n\)에 대하여 합성 \(\varphi_n : R \to R' \to R'/(\mathfrak m')^n\)이 \(I\)를 소멸시키는 조건과 동치이다. 이제 \(\varphi\)에 대한 가정 (1)은 보조정리 052X에 의해 \(\varphi_n\)에 대한 가정 (1)을 함의한다. 이로써 \(R'\)이 아르틴 국소환인 경우로 환원된다.

\(R'\)이 아르틴 환이라고 가정하자. \(J = \Ker(\varphi)\)로 놓자. \(I \subset J\)임을 보여야 한다. 보조정리 0526에서의 \(I\)의 구성에 의해, \(\mathfrak m\) 위에 놓이는 \(S/JS\)의 모든 소아이디얼 \(\mathfrak q\)에 대하여 \((M/JM)_{\mathfrak q}\)가 \(R/J\) 위 평탄임을 보이면 충분하다. \(R'\)이 아르틴 환이므로 조건 (1)은 \(M \otimes_R R'\)이 \(R'\) 위 평탄임을 뜻한다. \(R'\)이 아르틴 환이고 \(R/J \to R'\)이 국소 단사 환 사상이므로 \(R/J\)도 아르틴 환이다. 따라서 \(M \otimes_R R' = M/JM \otimes_{R/J} R'\)이 \(R'\) 위 평탄이라는 사실은 Algebra, Lemma 051L에 의해 \(M/JM\)이 \(R/J\) 위 평탄임을 함의한다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(R \to S\), \(M\), \(I\)의 기호와 가정은 보조정리 0526에서와 같다고 하자. 또한 \(R \to S\)가 유한형이라고 가정하자. 그러면 임의의 국소환들의 국소 준동형 \(\varphi : (R, \mathfrak m) \to (R', \mathfrak m')\)에 대하여 다음은 동치이다.

1. \((R' \to S \otimes_R R', \mathfrak m', M \otimes_R R')\)에 대하여 조건 (052W)가 성립한다.

2. \(\varphi(I) = 0\)이다.

증명

함의 (2) \(\Rightarrow\) (1)은 보조정리 052X에서 따른다. \(\varphi : R \to R'\)이 보조정리에서와 같이 (1)을 만족한다고 하자. \(R\)이 뇌터 환이므로 \(R \to S\)는 유한 표시이고 \(M\)은 유한 표시 \(S\)-가군임을 알 수 있다. \(R' = \colim_\lambda R_\lambda\)를 국소 \(R\)-부분대수 \(R_\lambda \subset R'\)들의 유향 쌍대극한으로 쓰자. 이들의 극대아이디얼은 \(\mathfrak m_\lambda = R_\lambda \cap \mathfrak m'\)이고, 각 \(R_\lambda\)는 \(R\) 위 본질적으로 유한형이라고 하자. 보조정리 05LM에 의해 어떤 \(\lambda\)에 대하여 \((R_\lambda \to S \otimes_R R_\lambda, \mathfrak m_\lambda, M \otimes_R R_\lambda)\)에 대한 조건 (052W)가 성립함을 알 수 있다. 따라서 보조정리 0527을 환 사상 \(R \to R_\lambda\)에 적용하면 \(I\)가 \(R_\lambda\)에서 영으로 사상됨을 알 수 있고, 따라서 당연히 \(R'\)에서도 영으로 사상된다.

정수적 사상을 따른 평탄성의 내림

먼저 몇 가지 간단한 보조정리를 제시한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(P(T)\)를 계수가 \(R\)에 속하는 모닉 다항식이라 하자. \(\alpha \in R\)이 \(P(\alpha) = 0\)을 만족한다고 하자. 그러면 어떤 모닉 다항식 \(Q(T) \in R[T]\)에 대하여 \(P(T) = (T - \alpha)Q(T)\)이다.

증명

\(P\)의 차수에 관한 귀납법을 사용한다. \(\deg(P) = 1\)이면 \(P(T) = T - \alpha\)이므로 결과가 성립한다. \(\deg(P) > 1\)이면 다항식 나눗셈에 의해 차수가 \(< \deg(P)\)인 어떤 다항식 \(Q \in R[T]\)와 어떤 \(r \in R\)에 대하여 \(P(T) = (T - \alpha)Q(T) + r\)로 쓸 수 있다. 가정에 의해 \(0 = P(\alpha) = (\alpha - \alpha)Q(\alpha) + r = r\)이므로 원하는 대로 \(r = 0\)이라고 결론짓는다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(P(T)\)를 계수가 \(R\)에 속하는 모닉 다항식이라 하자. 어떤 \(\alpha \in R'\)과 어떤 모닉 다항식 \(Q(T) \in R'[T]\)에 대하여 \(P(T) = (T - \alpha)Q(T)\)가 되게 하는 유한 자유 환 사상 \(R \to R'\)이 존재한다.

증명

\(P(T) = T^d + a_1T^{d - 1} + \ldots + a_0\)로 쓰자. \(R' = R[x]/(x^d + a_1x^{d - 1} + \ldots + a_0)\)로 놓는다. \(\alpha\)를 \(x\)의 합동류로 놓는다. 그러면 \(P(\alpha) = 0\)임은 명백하다. 따라서 보조정리 052Z에 의해 결론을 얻는다.

보조정리

\(R \to S\)를 유한 환 사상이라 하자. \(S \otimes_R R'\)이 다음 꼴의 환의 몫환이 되게 하는 유한 자유 환 확대 \(R \subset R'\)이 존재한다. \[R'[T_1, \ldots, T_n]/(P_1(T_1), \ldots, P_n(T_n))\] 여기서 어떤 \(\alpha_{ij} \in R'\)에 대하여 \(P_i(T) = \prod_{j = 1, \ldots, d_i} (T - \alpha_{ij})\)이다.

증명

\(x_1, \ldots, x_n \in S\)를 \(R\) 위에서 \(S\)의 생성원들이라 하자. 각 \(i\)에 대하여 \(S\)에서 \(P_i(x_i) = 0\)이 되게 하는 모닉 다항식 \(P_i(T) \in R[T]\)를 택할 수 있다. Algebra, Lemma 00GK을 보라. \(\deg(P_i) = d_i\)로 쓰자. 보조정리 0530를 \(\sum d_i\)번 적용하면, 각 \(P_i\)가 완전히 분해되는 유한 자유 환 확대 \(R \subset R'\)이 존재한다. \[P_i(T) = \prod\nolimits_{j = 1, \ldots, d_i} (T - \alpha_{ij})\]

여기서 \(\alpha_{ik} \in R'\)이다. \(R'[T_1, \ldots, T_n] \to S \otimes_R R'\)을 \(T_i\)를 \(x_i \otimes 1\)로 보내는 \(R'\)-대수 사상이라 하자. 이는 \(P_i(T_i)\)를 영으로 보내므로 원하는 전사를 유도한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(S = R[T_1, \ldots, T_n]/J\)라 하자. \(J\)가 \(P_i(T_i)\) 꼴의 원소들을 포함한다고 가정하자. 여기서 어떤 \(\alpha_{ij} \in R\)에 대하여 \(P_i(T) = \prod_{j = 1, \ldots, d_i} (T - \alpha_{ij})\)이다. \(1 \leq k_i \leq d_i\)인 \(\underline{k} = (k_1, \ldots, k_n)\)에 대하여 환 사상 \[\Phi_{\underline{k}} : R[T_1, \ldots, T_n] \to R, \quad T_i \longmapsto \alpha_{ik_i}\] 를 생각하자. \(J_{\underline{k}} = \Phi_{\underline{k}}(J)\)로 놓는다. 그러면 \(\Spec(S) \to \Spec(R)\)의 상은 \(V(\bigcap J_{\underline{k}})\)와 같다.

증명

이 보조정리는 자명하다. 힌트: \(V(\bigcap J_{\underline{k}}) = \bigcup V(J_{\underline{k}})\).

다음 결과는 Ferrand의 것이다. [Ferrand]를 보라.

보조정리

\(R \to S\)를 뇌터 환들의 유한 단사 준동형이라 하자. \(M\)을 \(R\)-가군이라 하자. \(M \otimes_R S\)가 평탄 \(S\)-가군이면 \(M\)은 평탄 \(R\)-가군이다.

증명

\(M\)을 \(M \otimes_R S\)가 \(S\) 위 평탄인 \(R\)-가군이라 하자. Algebra, Lemma 00HJ에 의해, \(M\)이 평탄임을 증명하려면 \(R\)을 임의의 충실 평탄 환 확대로 바꾸어도 된다. 보조정리 0531에 의해 유한 국소 자유 환 확대 \(R \subset R'\)로서 \(S' = S \otimes_R R' = R'[T_1, \ldots, T_n]/J\)가 되는 것을 찾을 수 있다. 여기서 어떤 \(\alpha_{ij} \in R'\)에 대하여 \(P_i(T) = \prod_{j = 1, \ldots, d_i} (T - \alpha_{ij})\)인 \(P_i(T_i)\) 꼴의 원소들을 포함하는 아이디얼 \(J \subset R'[T_1, \ldots, T_n]\)이 있다.

\(R'\)이 뇌터 환이고 \(R' \subset S'\)이 환들의 유한 확대임을 주목하자. 따라서 \(R\)을 \(R'\)로 바꾸고 \(S\)가 보조정리 0532에서와 같은 표시를 갖는다고 가정해도 된다. \(\Spec(S) \to \Spec(R)\)이 전사임을 주목하자. Algebra, Lemma 00GQ를 보라. 따라서 보조정리 0532를 사용하면 \(I = \bigcap J_{\underline{k}}\)는 \(V(I) = \Spec(R)\)을 만족하는 아이디얼이라고 결론짓는다. 이는 \(I \subset \sqrt{(0)}\)임을 뜻하며, \(R\)이 뇌터 환이므로 \(I\)는 멱영이다. 사상 \(\Phi_{\underline{k}}\)들은 가환도식 \[\xymatrix{ S \ar[rr] & & R/J_{\underline{k}} \\ & R \ar[lu] \ar[ru] }\] 을 유도한다. 이로부터 \(M/J_{\underline{k}}M\)이 \(R/J_{\underline{k}}\) 위 평탄이라고 결론짓는다. 보조정리 0522에 의해 \(M/IM\)이 \(R/I\) 위 평탄임을 알 수 있다. 마지막으로 Algebra, Lemma 051J를 적용하여 \(M\)이 \(R\) 위 평탄이라고 결론짓는다.

보조정리

\(R \to S\)를 단사 정수적 환 사상이라 하자. \(M\)을 \(R[x_1, \ldots, x_n]\) 위의 유한 표시 가군이라 하자. \(M \otimes_R S\)가 \(S\) 위 평탄이면 \(M\)은 \(R\) 위 평탄이다.

증명

표시 \[R[x_1, \ldots, x_n]^{\oplus t} \to R[x_1, \ldots, x_n]^{\oplus r} \to M \to 0.\] 를 택한다. 첫 번째 사상이 \(f_{ij} \in R[x_1, \ldots, x_n]\)인 \(r \times t\) 행렬 \(T = (f_{ij})\)로 주어진다고 하자. \(f_{ij, I} \in R\)을 사용하여 \(f_{ij} = \sum f_{ij, I} x^I\)로 쓴다 (다중지표 표기). 도식 \[\xymatrix{ R \ar[r] & S \\ R_\lambda \ar[u] \ar[r] & S_\lambda \ar[u] }\] 을 생각하자. 여기서 \(R_\lambda\)는 모든 \(f_{ij, I}\)를 포함하는 \(R\)의 유한 생성 \(\mathbf{Z}\)-부분대수이고, \(S_\lambda\)는 \(S\)의 유한 \(R_\lambda\)-부분대수이다. \(M_\lambda\)를 위와 같은 표시로 정의되는 유한 \(R_\lambda[x_1, \ldots, x_n]\)-가군이라 하자. 같은 행렬 \(T\)를 사용하되 이제 이를 \(R_\lambda[x_1, \ldots, x_n]\) 위의 행렬로 본다. \(S\)가 \(S_\lambda\)들의 유향 쌍대극한임을 주목하자 (세부사항은 생략한다). Algebra, Lemma 02JO에 의해 어떤 \(\lambda\)에 대하여 가군 \(M_\lambda \otimes_{R_\lambda} S_\lambda\)가 \(S_\lambda\) 위 평탄임을 알 수 있다. 보조정리 0533에 의해 \(M_\lambda\)가 \(R_\lambda\) 위 평탄이라고 결론짓는다. \(M = M_\lambda \otimes_{R_\lambda} R\)이므로 Algebra, Lemma 00HI에 의해 결론을 얻는다.

보조정리

\(R \to S\)를 뇌터 환들의 유한 단사 준동형이라 하자. \(P\)를 \(R\)-가군이라 하자. \(P \otimes_R S\)가 사영 \(S\)-가군이면 \(P\)는 사영 \(R\)-가군이다.

증명

\(P\)를 \(P \otimes_R S\)가 \(S\) 위 사영인 \(R\)-가군이라 하자. Algebra, Theorem 05A9에 의해, \(P\)가 사영임을 증명하려면 \(R\)을 임의의 충실 평탄 환 확대로 바꾸어도 된다. 보조정리 0531에 의해 유한 국소 자유 환 확대 \(R \subset R'\)로서 \(S' = S \otimes_R R' = R'[T_1, \ldots, T_n]/J\)가 되는 것을 찾을 수 있다. 여기서 어떤 \(\alpha_{ij} \in R'\)에 대하여 \(P_i(T) = \prod_{j = 1, \ldots, d_i} (T - \alpha_{ij})\)인 \(P_i(T_i)\) 꼴의 원소들을 포함하는 아이디얼 \(J \subset R'[T_1, \ldots, T_n]\)이 있다.

\(R'\)이 뇌터 환이고 \(R' \subset S'\)이 환들의 유한 확대임을 주목하자. 따라서 \(R\)을 \(R'\)로 바꾸고 \(S\)가 보조정리 0532에서와 같은 표시를 갖는다고 가정해도 된다. \(\Spec(S) \to \Spec(R)\)이 전사임을 주목하자. Algebra, Lemma 00GQ를 보라. 따라서 보조정리 0532를 사용하면 \(I = \bigcap J_{\underline{k}}\)는 \(V(I) = \Spec(R)\)을 만족하는 아이디얼이라고 결론짓는다. 이는 \(I \subset \sqrt{(0)}\)임을 뜻하며, \(R\)이 뇌터 환이므로 \(I\)는 멱영이다. 사상 \(\Phi_{\underline{k}}\)들은 가환도식 \[\xymatrix{ S \ar[rr] & & R/J_{\underline{k}} \\ & R \ar[lu] \ar[ru] }\] 을 유도한다. 이로부터 \(P/J_{\underline{k}}P\)가 \(R/J_{\underline{k}}\) 위 사영이라고 결론짓는다. Algebra, Lemma 0H7M에 의해 \(P/IP\)가 \(R/I\) 위 사영임을 알 수 있다. 보조정리 0533에 의해 \(P\)가 \(R\) 위 평탄이므로, Algebra, Lemma 05CG를 적용하여 \(P\)가 \(R\) 위 사영이라고 결론 내릴 수 있다.

비틀림 없는 가군

이 절에서는 비틀림 없는 가군과 평탄성 사이의 관계를, 특히 차원 1인 환 위에서 논의한다.

정의

\(R\)을 정역이라 하자. \(M\)을 \(R\)-가군이라 하자.

1. \(fx = 0\)인 영이 아닌 \(f \in R\)이 존재하면 원소 \(x \in M\)을 비틀림 원소라 한다.

2. \(M\)의 비틀림 원소가 \(0\)뿐이면 \(M\)에 비틀림이 없다고 한다.

3. \(M\)의 모든 원소가 비틀림 원소이면 \(M\)을 비틀림 가군이라 한다.

\(R\)을 정역이라 하고 \(S = R \setminus \{0\}\)을 \(R\)의 영이 아닌 원소들의 곱셈적 집합이라 하자. 그러면 \(R\)-가군 \(M\)에 비틀림이 없을 필요충분조건은 \(M \to S^{-1}M\)이 단사인 것이다. 다시 말해 이는 \(K = S^{-1}R\)을 \(R\)의 분수체라 할 때 사상 \(M \to M \otimes_R K\)가 단사인 것과 동치이다.

보조정리

\(R\)을 정역이라 하고 \(M\)을 \(R\)-가군이라 하자. \(M\)의 비틀림 원소들의 집합 \(M_{tors}\)는 사상 \(M \to M \otimes_R K\)의 핵이다. 따라서 \(M_{tors}\)는 \(M\)의 \(R\)-부분가군이다. 몫가군 \(M/M_{tors}\)에는 비틀림이 없다.

증명

위의 논의를 보라.

보조정리

\(R\)을 정역이라 하자. \(M\)을 비틀림 없는 \(R\)-가군이라 하자. 임의의 곱셈적 집합 \(S \subset R\)에 대하여 가군 \(S^{-1}M\)은 비틀림 없는 \(S^{-1}R\)-가군이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(R \to R'\)을 정역들의 평탄 준동형이라 하자. \(M\)이 비틀림 없는 \(R\)-가군이면 \(M \otimes_R R'\)은 비틀림 없는 \(R'\)-가군이다.

증명

\(M\)에 비틀림이 없으면 \(M \subset M \otimes_R K\)는 단사이다. 여기서 \(K\)는 \(R\)의 분수체이다. \(R'\)이 \(R\) 위 평탄이므로 \(M \otimes_R R' \to (M \otimes_R K) \otimes_R R'\)은 단사임을 알 수 있다. \(M \otimes_R K\)는 \(K\)의 복사본들의 직접합과 동형이므로 \(K \otimes_R R'\)에 비틀림이 없음을 보이면 충분하다. 이는 \(R'\)의 국소화이므로 성립한다.

보조정리

\(R\)을 정역이라 하자. \(0 \to M \to M' \to M'' \to 0\)을 \(R\)-가군들의 짧은 완전열이라 하자. \(M\)과 \(M''\)에 비틀림이 없으면 \(M'\)에도 비틀림이 없다.

증명

생략한다.

보조정리

\(R\)을 정역이라 하고 \(M\)을 \(R\)-가군이라 하자. 그러면 \(M\)에 비틀림이 없을 필요충분조건은 \(R\)의 모든 극대아이디얼 \(\mathfrak m\)에 대하여 \(M_\mathfrak m\)이 비틀림 없는 \(R_\mathfrak m\)-가군인 것이다.

증명

생략한다. 힌트: 보조정리 0AUR과 Algebra, Lemma 00HN을 사용하라.

보조정리

\(R\)을 정역이라 하자. \(M\)을 유한 \(R\)-가군이라 하자. 그러면 \(M\)에 비틀림이 없을 필요충분조건은 \(M\)이 유한 자유 가군의 부분가군인 것이다.

증명

\(M\)이 \(R^{\oplus n}\)의 부분가군이면 \(M\)에는 비틀림이 없다. 거꾸로 \(M\)에 비틀림이 없다고 가정하자. \(K\)를 \(R\)의 분수체라 하자. 그러면 \(M \otimes_R K\)는 유한 차원 \(K\)-벡터 공간이다. 이 벡터 공간의 기저 \(e_1, \ldots, e_r\)를 택한다. \(x_1, \ldots, x_n\)을 \(M\)의 생성원들이라 하자. \(b_{ij} \not = 0\)인 어떤 \(a_{ij}, b_{ij} \in R\)을 사용하여 \(x_i = \sum (a_{ij}/b_{ij}) e_j\)로 쓰자. \(b = \prod_{i, j} b_{ij}\)로 놓는다. \(M\)에 비틀림이 없으므로 사상 \(M \to M \otimes_R K\)는 단사이고, 그 상은 \(R^{\oplus r} = R e_1/b \oplus \ldots \oplus Re_r/b\)에 포함된다.

보조정리

\(R\)을 뇌터 정역이라 하자. \(M\)을 영이 아닌 유한 \(R\)-가군이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(M\)에는 비틀림이 없다.

2. \(M\)은 유한 자유 가군의 부분가군이다.

3. \((0)\)은 \(M\)의 유일한 동반 소아이디얼이다.

4. \((0)\)이 \(M\)의 지지집합에 속하고 \(M\)은 성질 \((S_1)\)을 갖는다.

5. \((0)\)이 \(M\)의 지지집합에 속하고 \(M\)은 매장된 동반 소아이디얼을 갖지 않는다.

증명

(1)과 (2)의 동치는 보조정리 0AUU에서 보았다. (4)와 (5)의 동치는 Algebra, Lemma 031Q에서 보았다. (3)과 (5)의 동치는 정의에서 바로 따른다. 비틀림 없는 가군의 국소화에는 비틀림이 없으므로 (보조정리 0AUR),

\(M\)이 \((0)\)과 다른 동반 소아이디얼을 갖지 않음은 명백하다. 따라서 (1)은 (5)를 함의한다. 거꾸로 (5)를 가정하자. \(M\)에 비틀림이 있으면 \(R\)의 어떤 영이 아닌 아이디얼 \(I\)에 대하여 매장 \(R/I \subset M\)이 존재한다. 따라서 \(M\)은 \((0)\)과 다른 동반 소아이디얼을 갖는다 (Algebra, Lemmas 02M3와 0587를 보라). 이는 매장된 동반 소아이디얼이므로 가정과 모순이다.

보조정리

\(R\)을 정역이라 하자. 임의의 평탄 \(R\)-가군에는 비틀림이 없다.

증명

\(x \in R\)이 영이 아니면 \(x : R \to R\)은 단사이다. 따라서 \(M\)이 \(R\) 위 평탄이면 \(x : M \to M\)은 단사이다. 그러므로 \(M\)이 \(R\) 위 평탄이면 \(M\)에는 비틀림이 없다.

보조정리

\(A\)를 값매김환이라 하자. \(A\)-가군 \(M\)이 \(A\) 위 평탄일 필요충분조건은 \(M\)에 비틀림이 없는 것이다.

증명

함의 “평탄 \(\Rightarrow\) 비틀림 없음”은 보조정리 0538이다. 거꾸로 \(M\)에 비틀림이 없다고 가정하자. 평탄성의 방정식 판정법(Algebra, Lemma 00HK를 보라)에 의해 \(M\)의 모든 관계식이 자명함을 보여야 한다. 이를 위해 \(x_i \in M\), \(a_i \in A\)에 대하여 \(\sum_{i = 1, \ldots, n} a_i x_i = 0\)이라고 가정하자. 번호를 다시 매기면 모든 \(i\)에 대하여 \(v(a_1) \leq v(a_i)\)라고 가정해도 된다. 따라서 어떤 \(a'_i \in A\)에 대하여 \(a_i = a'_i a_1\)로 쓸 수 있다. \(a'_1 = 1\)임을 주목하자. \(M\)에 비틀림이 없으므로 \(x_1 = - \sum_{i \geq 2} a'_i x_i\)임을 알 수 있다. 따라서 \(y_i = x_i\), \(i = 2, \ldots, n\)으로 택하면 \[x_1 = \sum\nolimits_{j \geq 2} -a'_j y_j, \quad x_i = y_i, (i \geq 2)\quad 0 = a_1 \cdot (-a'_j) + a_j \cdot 1 (j \geq 2)\] 은 관계식이 자명했음을 보인다. 명시적으로 쓰면 원소 \(a_{ij}\)들은 \(a_{11} = 0\), \(j > 1\)에 대하여 \(a_{1j} = -a'_j\), \(i, j \geq 2\)에 대하여 \(a_{ij} = \delta_{ij}\)로 정의한다.

보조정리

\(A\)를 데데킨트 정역이라 하자 (예를 들어 이산 값매김환, 더 일반적으로는 주아이디얼 정역).

1. \(A\)-가군이 평탄일 필요충분조건은 비틀림이 없는 것이다.

2. 유한 비틀림 없는 \(A\)-가군은 유한 국소 자유이다.

3. \(A\)가 주아이디얼 정역이면 유한 비틀림 없는 \(A\)-가군은 유한 자유이다.

증명

(보조정리의 명제에서 괄호 안의 설명에 대해서는 Algebra, Lemma 0AUQ를 보라.) (1)의 증명. 보조정리 0AUT과 Algebra, Lemma 00HT에 의해 극대아이디얼 \(\mathfrak m \subset A\)에 대하여 \(A_\mathfrak m\) 위에서 명제를 확인하면 충분하다. \(A_\mathfrak m\)은 이산 값매김환이므로 (Algebra, Lemma 034X), 보조정리 0539에 의해 결론을 얻는다.

(2)의 증명. Algebra, Lemma 00NX와 (1)에서 따른다.

(3)의 증명. \(A\)를 주아이디얼 정역이라 하고 \(M\)을 유한 비틀림 없는 가군이라 하자. 보조정리 0AUU에 의해 어떤 \(n\)에 대하여 \(M \subset A^{\oplus n}\)임을 알 수 있다. \(n\)에 관한 귀납법으로 \(M\)이 자유임을 보이자. \(n = 1\)인 경우는 정확히 \(A\)가 주아이디얼 정역이라는 사실을 나타낸다. \(n > 1\)이면 \(M' \subset A^{\oplus n - 1}\)을 \(A^{\oplus n}\)의 마지막 \(n - 1\)개 직접합인자로의 사영의 상이라 하자. 그러면 짧은 완전열 \(0 \to I \to M \to M' \to 0\)을 얻는다. 여기서 \(I\)는 \(M\)과 \(A^{\oplus n}\)의 첫 번째 직접합인자 \(A\)의 교집합이다. 귀납법에 의해 \(M\)이 유한 자유 \(A\)-가군들의 확대임을 알 수 있으므로 유한 자유이다.

보조정리

\(R\)을 정역이라 하자. \(M\), \(N\)을 \(R\)-가군이라 하자. \(N\)에 비틀림이 없으면 \(\Hom_R(M, N)\)에도 비틀림이 없다.

증명

전사 \(\bigoplus_{i \in I} R \to M\)을 택한다. 그러면 \(\Hom_R(M, N) \subset \prod_{i \in I} N\)이다.

가군의 계수

다음과 같이 정의한다.

정의

\(R\)을 분수체가 \(K\)인 정역이라 하자. \(R\)-가군 \(M\)의 계수는 \(\dim_K(M \otimes_R K)\)이다.

두 정의를 모두 적용할 수 있는 경우, 이 정의는 Algebra, Definition 00NW에 나오는 계수 \(r\)의 국소 자유 가군이라는 개념과 충돌하지 않는다.

보조정리

\(R\)을 정역이라 하자. \(M \to M'\)이 핵과 여핵이 비틀림 가군인 \(R\)-가군들의 사상이면, \(M\)의 계수는 \(M'\)의 계수와 같다.

증명

생략한다. 힌트: \(K\)가 \(R\)의 분수체이면 유도된 사상 \(M \otimes_R K \to M' \otimes_R K\)는 동형이다.

보조정리

\(R\)을 정역이라 하자. \(0 \to M \to M' \to M'' \to 0\)을 \(R\)-가군들의 짧은 완전열이라 하자. 그러면 \(M'\)의 계수는 \(M\)의 계수와 \(M''\)의 계수의 합이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(R\)을 정역이라 하자. \(M\)과 \(N\)을 \(R\)-가군이라 하자.

1. \(M \otimes_R N\)의 계수는 \(M\)의 계수와 \(N\)의 계수의 곱이다.

2. \(M\)이 유한 표시 \(R\)-가군이면 \(\Hom_R(M, N)\)의 계수는 \(M\)의 계수와 \(N\)의 계수의 곱이다.

증명

(1)은 벡터 공간에 대한 같은 사실에서 따른다. \(M\)이 \(R\)-가군으로서 유한 표시라고 가정하자. 그러면 Algebra, Lemma 0583에 의해 \(\Hom_R(M, N) \otimes_R K\)는 \(K\)-벡터 공간으로서 \(\Hom_K(M \otimes_R K, N \otimes_R K)\)와 동형이다. 또한 \(M \otimes_R K\)는 유한 차원이므로 벡터 공간에 대한 대응하는 사실에서 결론을 얻는다.

보조정리

\(R \subset R'\)을 정역들의 확대라 하자. \(M\)이 \(R\)-가군이면 \(R\) 위에서 \(M\)의 계수는 \(R'\) 위에서 \(M \otimes_R R'\)의 계수와 같다.

증명

벡터 공간의 차원은 기초체의 확대에 대해 불변이므로 성립한다.

보조정리

\(R\)을 정역이라 하자. \(M\)을 유한 \(R\)-가군이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(M\)은 유한 계수 \(r \geq 0\)을 갖는다.

2. 핵과 여핵이 비틀림 가군인 사상 \(M \to R^{\oplus r}\)이 존재한다.

3. \(M_f\)가 계수 \(r\)의 자유 가군이 되게 하는 \(f \in R\), \(f \not = 0\)이 존재한다.

4. 여핵이 비틀림 가군인 단사 사상 \(R^{\oplus r} \to M\)이 존재한다.

증명

\(M\)이 유한이므로 \(M \otimes_R K\)는 \(R\)의 분수체 \(K\) 위의 유한 차원 벡터 공간이다. 따라서 계수 \(r\)은 유한하다.

\(M\)의 생성원 \(x_1, \ldots, x_n\)을 택한다. \(M \otimes_R K\)의 기저 \(e_1, \ldots, e_r\)를 택한다.

\(b_{ij} \not = 0\)인 어떤 \(a_{ij} , b_{ij} \in R\)을 사용하여 \(x_i \otimes 1 = \sum (a_{ij}/b_{ij}) e_j\)로 쓸 수 있다. \(b = \prod b_{ij}\)로 놓고 \(a_{ij}\)를 \(a_{ij}b/b_{ij}\)로 바꾸면 \(x_i \otimes 1 = \sum (a_{ij}/b) e_j\)라고 가정할 수 있다. \(M\)에서 관계식 \(\sum r_i x_i = 0\)이 성립하면 모든 \(j = 1, \ldots, r\)에 대하여 \(R\)에서 \(\sum r_ia_{ij} = 0\)이 성립함을 주목하자.

(2)의 증명. 위의 마지막 관찰에 의해 \(x_i\)를 \(\sum a_{ij} e_j\)로 보내는

사상 \(M \to \bigoplus Re_j\)는 잘 정의된다. \(e_1, \ldots, e_r\)가 \(M \otimes_R K\)의 기저를 이룬다는 사실은 이 사상이 \(K\)와 텐서하면 동형이 됨을 말해 준다. 따라서 이는 (2)에서와 같은 사상이다.

(3)의 증명. (2)에서 구성한 사상 \(M \to R^{\oplus r}\)의 여핵은 유한 비틀림 가군이다. 따라서 이 여핵을 소멸시키는 \(g \in R\), \(g \not = 0\)을 찾을 수 있다.

다시 말해 사상 \(M_g \to R_g^{\oplus r}\)은 전사이다. 그러면 분할 \(M_g = N \oplus R_g^{\oplus r}\)을 택할 수 있다. 이때 \(N\)은 \(N \otimes_{R_g} K = 0\)인 유한 \(R_g\)-가군이다. 다시 말해 \(N\)은 비틀림 가군이고 \(R_g\) 위 유한이다. 따라서 \(N\)을 소멸시키는 \(g' \in R\)을 찾을 수 있다. \(f= gg'\)로 놓으면 (3)이 성립함을 알 수 있다.

(4)를 증명하기 위해 \(M_f\)의 기저 \(y_1, \ldots, y_r\)를 택한다. 여기서 \(f\)는 (3)에서와 같다. 그러면 어떤 \(m_j \in M\)과 \(t_j \geq 0\)에 대하여 \(y_j = m_j/f^{t_j}\)로 쓴다. \(j\)번째 기저벡터를 \(m_j\)로 보내는 사상 \(R^{\oplus r} \to M\)은 (4)에서와 같은 사상이 된다. 세부사항은 생략한다.

반사 가군

다음과 같이 정의한다.

정의

\(R\)을 정역이라 하자. 자연스러운 사상 \[j : M \longrightarrow \Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\] 이 동형이면 \(R\)-가군 \(M\)을 반사 가군이라 한다. 이 사상은 \(m \in M\)을, 각 \(\varphi \in \Hom_R(M, R)\)을 \(\varphi(m) \in R\)로 보내는 사상에 대응시킨다.

더 일반적인 환에 대해서도 이 정의를 할 수 있지만 위 정의에도 이미 단점이 있다. 뇌터 정역과 유한 비틀림 없는 가군으로 제한하고, (아마도) \(R\)에 몇 가지 정칙성 조건을 부과하는 것이 현명할 것이다 (예를 들어 \(R\)이 정규라는 조건).

보조정리

\(R\)을 정역이라 하고 \(M\)을 \(R\)-가군이라 하자.

1. \(M\)이 반사 가군이면 \(M\)에는 비틀림이 없다.

2. \(M\)이 유한이면 \(j : M \to \Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\)의 핵과 여핵은 비틀림 가군이다.

3. \(M\)이 유한이면 \(j\)가 단사일 필요충분조건은 \(M\)에 비틀림이 없는 것이다.

증명

(1)을 보려면 보조정리 0AUX에 의해 \(M\)의 이중 쌍대에 비틀림이 없다는 사실을 사용한다. \(M\)이 유한이라고 가정하자. \(R\) 위에서 \(M\)의 생성원 \(x_1, \ldots, x_n\)을 택한다. \(K\)를 \(R\)의 분수체라 하자. 번호를 다시 매기면 어떤 \(0 \leq r \leq n\)에 대하여 원소 \(x_1, \ldots, x_r\)가 \(K\) 위에서 \(M \otimes_R K\)의 기저로 사상된다고 가정해도 된다. \(r < i \leq n\)에 대하여 \(k_{ij} \in K\)를 사용하여 \(x_i \otimes 1 = \sum_{1 \leq j \leq r} x_j \otimes k_{ij}\)로 쓰자. \(a_{ij} = ck_{ij} \in R\)이고 \(M\)에서

\(cx_i = \sum_{1 \leq j \leq r} a_{ij} x_j\)가 되게 하는 \(c \in R\)을 택한다 (작은 세부사항은 생략한다). 그러면 사상들 \[R^{\oplus r} \xrightarrow{\alpha} M \xrightarrow{\beta} R^{\oplus r} \xrightarrow{\alpha} M\] 을 얻으며, \(\alpha \circ \beta\)와 \(\beta \circ \alpha\)는 모두 \(c\)를 곱하는 사상으로 주어진다. 여기서 \(\alpha\)는 \(x_1, \ldots, x_r\)를 사용하고, \(\beta\)는 \(1 \leq i \leq r\)일 때 \(x_i\)를 \(i\)번째 기저벡터의 \(c\)배로, \(r < i \leq n\)일 때는 벡터 \((a_{i1}, \ldots, a_{ir})\)로 보낸다. 가환도식 \[\xymatrix{ R^{\oplus r} \ar[r] \ar[d]^{\text{id}} & M \ar[r] \ar[d]^j & R^{\oplus r} \ar[d]^{\text{id}} \ar[r] & M \ar[d]^j \\ R^{\oplus r} \ar[r] & \Hom_R(\Hom_R(M, R), R) \ar[r] & R^{\oplus r} \ar[r] & \Hom_R(\Hom_R(M, R), R) }\] 을 생각하자. 물론 아래 행에서 연속한 두 화살표의 합성은 \(c\)를 곱하는 사상과 같다. 이 도식은 \(j\)의 핵과 여핵이 \(c\)에 의해 소멸됨을 보이며, 이로써 (2)가 증명된다. (3)에 대해서는 \(M\)에 비틀림이 없으면 \(\beta\)가 단사이고, 이로부터 \(j\)가 단사임을 주목하자. 거꾸로의 함의는 \(M\)의 이중 쌍대에 비틀림이 없음을 이미 보았으므로 명백하다.

보조정리

\(R\)을 이산 값매김환이라 하고 \(M\)을 유한 \(R\)-가군이라 하자. 그러면 사상 \(j : M \to \Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\)은 전사이다.

증명

\(M_{tors} \subset M\)을 비틀림 부분가군이라 하자. 그러면 \(\Hom_R(M, R) = \Hom_R(M/M_{tors}, R)\)이다 (이는 임의의 정역 위에서 성립한다). 따라서 \(M\)에 비틀림이 없다고 가정해도 된다. 그러면 보조정리 0AUW에 의해 \(M\)은 자유 가군이므로 보조정리는 명백하다.

보조정리

\(R\)을 뇌터 정역이라 하자. \(M\)을 유한 \(R\)-가군이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(M\)은 반사 가군이다.

2. 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset R\)에 대하여 \(M_\mathfrak p\)는 반사 \(R_\mathfrak p\)-가군이다.

3. \(R\)의 모든 극대아이디얼 \(\mathfrak m\)에 대하여 \(M_\mathfrak m\)은 반사 \(R_\mathfrak m\)-가군이다.

증명

\(j : M \to \Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\)을 소아이디얼 \(\mathfrak p\)에서 국소화하면, 뇌터 국소 정역 \(R_\mathfrak p\) 위의 가군 \(M_\mathfrak p\)에 대한 대응하는 사상을 얻는다. Algebra, Lemma 0583를 보라. 따라서 Algebra, Lemma 00HN에 의해 보조정리가 성립한다.

보조정리

\(R\)을 뇌터 정역이라 하자.

\(0 \to M \to M' \to M''\)을 유한 \(R\)-가군들의 완전열이라 하자. \(M'\)이 반사 가군이고 \(M''\)에 비틀림이 없으면 \(M\)은 반사 가군이다.

증명

임의의 유한 \(R\)-가군 \(N\)과 \(N'\)에 대하여 \(\Hom_R(N, N')\)가 유한 \(R\)-가군이라는 사실을 더 언급하지 않고 사용하겠다. Algebra, Lemma 08YR을 보라. 쌍대를 취하면 열 \[\Hom_R(M, R) \leftarrow \Hom_R(M', R) \leftarrow \Hom_R(M'', R)\] 을 얻는다. 다시 쌍대를 취하면 가환도식 \[\xymatrix{ \Hom_R(\Hom_R(M, R), R) \ar[r]_j & \Hom_R(\Hom_R(M', R), R) \ar[r] & \Hom_R(\Hom_R(M'', R), R) \\ M \ar[u] \ar[r] & M' \ar[u] \ar[r] & M'' \ar[u] }\] 을 얻는다. 위 행이 완전한지는 알 수 없다. 그러나 가정에 의해 가운데 수직 화살표는 동형이고 오른쪽 수직 화살표는 단사이다(보조정리 0AV0). \(j\)가 단사라고 주장한다. 이 주장을 가정하면 도식 추적으로 왼쪽 수직 화살표가 동형임을 알 수 있다. 즉 \(M\)은 반사 가군이다.

주장의 증명. \(Q\)를 정의하는 완전열 \(\Hom_R(M',R)\to \Hom_R(M,R)\to Q \to 0\)을 생각하자. Algebra, Lemma 0583를 적용하면 \[\Hom_K(M'\otimes_R K,K) \to \Hom_K(M\otimes_R K,K) \to Q\otimes_R K\to 0\] 을 얻는다. 그런데 \(M \otimes_R K \to M' \otimes_R K\)는 벡터 공간들의 단사 사상이므로 분할 단사이다. 따라서 \(Q \otimes_R K = 0\)이다. 즉 \(Q\)는 비틀림 가군이다. 그러면 완전열 \[0 \to \Hom_R(Q,R) \to \Hom_R(\Hom_R(M,R),R) \to \Hom_R(\Hom_R(M',R),R)\] 을 얻으며, \(Q\)가 비틀림 가군이므로 \(\Hom_R(Q,R)=0\)이다.

보조정리

\(R\)을 뇌터 정역이라 하자. \(M\)을 유한 \(R\)-가군이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(M\)은 반사 가군이다.

2. \(F\)가 유한 자유이고 \(N\)에 비틀림이 없는 짧은 완전열 \(0 \to M \to F \to N \to 0\)이 존재한다.

증명

유한 자유 가군은 반사 가군임을 관찰하자. 보조정리 0EB8에 의해 (2)가 (1)을 함의함을 알 수 있다. \(M\)이 반사 가군이라고 가정하자. 표시 \(R^{\oplus m} \to R^{\oplus n} \to \Hom_R(M, R) \to 0\)을 택한다. 쌍대를 취하면 완전열 \[0 \to \Hom_R(\Hom_R(M, R), R) \to R^{\oplus n} \to N \to 0\] 을 얻으며, \(N = \Im(R^{\oplus n} \to R^{\oplus m})\)은 비틀림 없는 가군이다. \(M = \Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\)이므로 (2)에서와 같은 완전열을 얻는다.

보조정리

\(R \to R'\)을 뇌터 정역들의 평탄 준동형이라 하자. \(M\)이 유한 반사 \(R\)-가군이면 \(M \otimes_R R'\)은 유한 반사 \(R'\)-가군이다.

증명

\(F\)가 유한 자유이고 \(N\)에 비틀림이 없는 짧은 완전열 \(0 \to M \to F \to N \to 0\)을 택한다. 보조정리 0AV2를 보라. \(R \to R'\)이 평탄이므로 짧은 완전열 \(0 \to M \otimes_R R' \to F \otimes_R R' \to N \otimes_R R' \to 0\)을 얻는다. 여기서 \(F \otimes_R R'\)은 유한 자유이고 \(N \otimes_R R'\)에는 비틀림이 없다 (보조정리 0AXM). 따라서 보조정리 0AV2에 의해 \(M \otimes_R R'\)은 반사 가군이다.

보조정리

\(R\)을 뇌터 정역이라 하자. \(M\)을 유한 \(R\)-가군이라 하고 \(N\)을 유한 반사 \(R\)-가군이라 하자. 그러면 \(\Hom_R(M, N)\)은 반사 가군이다.

증명

표시 \(R^{\oplus m} \to R^{\oplus n} \to M \to 0\)을 택한다. 그러면 \[0 \to \Hom_R(M, N) \to N^{\oplus n} \to N' \to 0\] 을 얻으며, \(N' = \Im(N^{\oplus n} \to N^{\oplus m})\)에는 비틀림이 없다. 보조정리 0EB8에 의해 결론을 얻는다.

정의

\(R\)을 뇌터 정역이라 하자. \(M\)을 유한 \(R\)-가군이라 하자. 가군 \(M^{**} = \Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\)을 \(M\)의 반사 포락이라 한다.

보조정리 0AV3에 의해 반사 포락은 반사 가군이므로 이 정의는 타당하다. 대응 \(M \mapsto M^{**}\)은 함자이다. \(\varphi : M \to N\)이 반사 \(R\)-가군 \(N\)으로 가는 \(R\)-가군 사상이면, \(\varphi\)는 \(M\)의 반사 포락을 통하여 \(M \to M^{**} \to N\)으로 분해된다. 달리 말하면 반사 포락을 취하는 것은 뇌터 정역 \(R\) 위의 포함 함자 \[\text{finite reflexive modules} \subset \text{finite modules}\] 의 왼쪽 수반이다.

보조정리

\(R\)을 뇌터 국소환이라 하자. \(M\), \(N\)을 유한 \(R\)-가군이라 하자.

1. \(N\)의 깊이가 \(\geq 1\)이면 \(\Hom_R(M, N)\)의 깊이는 \(\geq 1\)이다.

2. \(N\)의 깊이가 \(\geq 2\)이면 \(\Hom_R(M, N)\)의 깊이는 \(\geq 2\)이다.

증명

표시 \(R^{\oplus m} \to R^{\oplus n} \to M \to 0\)을 택한다. 쌍대를 취하면 완전열 \[0 \to \Hom_R(M, N) \to N^{\oplus n} \to N' \to 0\] 을 얻으며, \(N' = \Im(N^{\oplus n} \to N^{\oplus m})\)이다. 깊이가 \(\geq 1\)인 가군의 부분가군은 깊이가 \(\geq 1\)이다. 이는 정의에서 바로 따른다. 따라서 (1)은 명백하다.

(2)에 대해서는 가정과 앞의 관찰로부터 \(N'\)의 깊이가 \(\geq 1\)임을 주목하자. 가군 \(N^{\oplus n}\)의 깊이는 \(\geq 2\)이다. Algebra, Lemma 00LX에 의해 \(\Hom_R(M, N)\)의 깊이가 \(\geq 2\)라고 결론짓는다.

보조정리

\(R\)을 뇌터 환이라 하자. \(M\), \(N\)을 유한 \(R\)-가군이라 하자.

1. \(N\)이 성질 \((S_1)\)을 가지면 \(\Hom_R(M, N)\)도 성질 \((S_1)\)을 갖는다.

2. \(N\)이 성질 \((S_2)\)를 가지면 \(\Hom_R(M, N)\)도 성질 \((S_2)\)를 갖는다.

3. \(R\)이 정역이고 \(N\)에 비틀림이 없으며 \((S_2)\)이면, \(\Hom_R(M, N)\)에는 비틀림이 없고 성질 \((S_2)\)를 갖는다.

증명

유한 \(R\)-가군에 대해서는 소아이디얼에서의 국소화가 \(\Hom_R\)을 취하는 것과 교환하므로(Algebra, Lemma 08YR), (1)과 (2)는 보조정리 0AV5에서 바로 따른다. (3)은 (2)와 보조정리 0AUX에서 따른다.

보조정리

\(R\)을 뇌터 환이라 하자. \(\varphi : M \to N\)을 \(R\)-가군들의 사상이라 하자. \(R\)의 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p\)에 대하여 다음 중 적어도 하나가 성립한다고 가정하자.

1. \(M_\mathfrak p \to N_\mathfrak p\)는 단사이다.

2. \(\mathfrak p \not \in \text{Ass}(M)\)이다.

그러면 \(\varphi\)는 단사이다.

증명

\(\mathfrak p\)를 \(\Ker(\varphi)\)의 동반 소아이디얼이라 하자. 그러면 \(M_\mathfrak p \to N_\mathfrak p\)의 핵에 속하고 소멸자가 \(\mathfrak pR_\mathfrak p\)인 원소 \(x \in M_\mathfrak p\)가 존재한다 (Algebra, Lemma 0310). 이는 두 경우 모두 불가능하다. 따라서 \(\text{Ass}(\Ker(\varphi)) = \emptyset\)이고, Algebra, Lemma 0587에 의해 \(\Ker(\varphi) = 0\)이라고 결론짓는다.

보조정리

\(R\)을 뇌터 환이라 하자. \(\varphi : M \to N\)을 \(R\)-가군들의 사상이라 하자. \(M\)이 유한이고 \(R\)의 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p\)에 대하여 다음 중 하나가 성립한다고 가정하자.

1. \(M_\mathfrak p \to N_\mathfrak p\)는 동형이다.

2. \(\text{depth}(M_\mathfrak p) \geq 2\)이고 \(\mathfrak p \not \in \text{Ass}(N)\)이다.

그러면 \(\varphi\)는 동형이다.

증명

보조정리 0AV7에 의해 \(\varphi\)는 단사임을 알 수 있다.

\(N' \subset N\)을 \(M\)의 상을 포함하는 유한 생성 \(R\)-가군이라 하자.

그러면 \(\text{Ass}(N_\mathfrak p) = \emptyset\)이면 \(\text{Ass}(N'_\mathfrak p) = \emptyset\)이다. 따라서 \(M \to N'\)에 대하여 보조정리의 가정들이 성립한다. \(\varphi\)가 동형임을 증명하려면 그러한 모든 \(N' \subset N\)에 대하여 같은 사실을 증명하면 충분하다. 따라서 \(N\)이 유한 \(R\)-가군이라고 가정해도 된다. 이 경우 Algebra, Lemma 00LL에 의해 \(\mathfrak p \not \in \text{Ass}(N) \Rightarrow \text{depth}(N_\mathfrak p) \geq 1\)이다. \(Q\)를 정의하는 짧은 완전열 \[0 \to M \to N \to Q \to 0\] 을 생각하자. 조건들을 보면 (1)의 경우에는 \(Q_\mathfrak p = 0\)이고, (2)의 경우에는 Algebra, Lemma 00LX에 의해 \(\text{depth}(Q_\mathfrak p) \geq 1\)임을 알 수 있다. 이는 \(Q\)가 동반 소아이디얼을 갖지 않음을 함의하므로, Algebra, Lemma 0587에 의해 \(Q = 0\)이다.

보조정리

\(R\)을 뇌터 정역이라 하자. \(\varphi : M \to N\)을 \(R\)-가군들의 사상이라 하자. \(M\)이 유한이고 \(N\)에 비틀림이 없으며, \(R\)의 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p\)에 대하여 다음 중 하나가 성립한다고 가정하자.

1. \(M_\mathfrak p \to N_\mathfrak p\)는 동형이다.

2. \(\text{depth}(M_\mathfrak p) \geq 2\)이다.

그러면 \(\varphi\)는 동형이다.

증명

이는 보조정리 0AV8의 특수한 경우이다.

보조정리

\(R\)을 뇌터 정역이라 하자. \(M\)을 유한 \(R\)-가군이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(M\)은 반사 가군이다.

2. \(R\)의 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p\)에 대하여 다음 중 하나가 성립한다.

   1. \(M_\mathfrak p\)는 반사 \(R_\mathfrak p\)-가군이다.

   2. \(\text{depth}(M_\mathfrak p) \geq 2\)이다.

증명

(1)이 성립하면 보조정리 0AV1에 의해 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p\)에 대하여 \(M_\mathfrak p\)는 반사 가군이다. 따라서 (1) \(\Rightarrow\) (2)이다. (2)를 가정하자. \(N = \Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\)로 놓으면 \(R\)의 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p\)에 대하여 다음이 성립한다. \[N_\mathfrak p = \Hom_{R_\mathfrak p}( \Hom_{R_\mathfrak p}(M_\mathfrak p, R_\mathfrak p), R_\mathfrak p)\] Algebra, Lemma 0583를 보라. 보조정리 0AV9를 사상 \(j : M \to N\)에 적용한다. \(M\)이 유한이고 보조정리 0AUX에 의해 \(N\)에 비틀림이 없으므로 적용할 수 있다. (2)(a)의 경우 사상 \(M_\mathfrak p \to N_\mathfrak p\)는 동형이고, (2)(b)의 경우에는 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) \geq 2\)이다.

보조정리

\(R\)을 뇌터 정역이라 하자. \(M\)을 유한 반사 \(R\)-가군이라 하자. \(\mathfrak p \subset R\)을 소아이디얼이라 하자.

1. \(\text{depth}(R_\mathfrak p) \geq 2\)이면 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) \geq 2\)이다.

2. \(R\)이 \((S_2)\)이면 \(M\)도 \((S_2)\)이다.

증명

반사 포락 \(\Hom_R(\Hom_R(M, R), R)\)을 취하는 것이 국소화와 교환하므로 (Algebra, Lemma 0583), (1)은 보조정리 0AV5에서 따른다. (2)는 보조정리 0AV6에서 바로 따른다.

예

위와 아래의 결과들은 반사성이 \((S_2)\) 조건과 관련되어 있음을 시사한다. 지나치게 낙관적인 추측을 막기 위해 예를 하나 제시한다. \(k\)를 체라 하자. \(R\)을 \(1, y, x^2, xy, x^3\)으로 생성되는 \(k[x, y]\)의 \(k\)-부분대수라 하자. 그러면 \(R\)은 \((S_2)\)가 아니다. 따라서 \(R\)을 \(R\)-가군으로 보면 이는 \((S_2)\)가 아닌 반사 \(R\)-가군의 예이다. \(M = k[x, y]\)를 \(R\)-가군으로 보자. 그러면 \[\Hom_R(M, R) = \mathfrak m = (y, x^2, xy, x^3) \quad\text{and}\quad \Hom_R(\mathfrak m, R) = M\] 이므로 \(M\)은 반사 \(R\)-가군이고, \(M\)은 \(R\)-가군으로서 \((S_2)\)이다(계산은 생략한다). 따라서 \(R\)은 반사 \((S_2)\) 가군을 가지는 뇌터 정역이지만 \(R\) 자체는 \((S_2)\)가 아니다.

보조정리

\(R\)을 분수체가 \(K\)인 뇌터 정규 정역이라 하자. \(M\)을 유한 \(R\)-가군이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(M\)은 반사 가군이다.

2. \(M\)에는 비틀림이 없고 성질 \((S_2)\)를 갖는다.

3. \(M\)에는 비틀림이 없고 \(M = \bigcap_{\text{height}(\mathfrak p) = 1} M_{\mathfrak p}\)이다. 여기서 교집합은 \(M_K = M \otimes_R K\) 안에서 취한다.

증명

Algebra, Lemma 031S에 의해 \(R\)이 \((R_1)\)과 \((S_2)\)를 만족함을 알 수 있다.

(1)을 가정하자. 그러면 보조정리 0AV0에 의해 \(M\)에는 비틀림이 없고, 보조정리 0EBA에 의해 \((S_2)\)를 만족한다. 따라서 (2)가 성립한다.

(2)를 가정하자. 정의에 의해 \(M' = \bigcap_{\text{height}(\mathfrak p) = 1} M_{\mathfrak p}\)는 사상 \[M_K \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{\text{height}(\mathfrak p) = 1} M_K/M_\mathfrak p \subset \prod\nolimits_{\text{height}(\mathfrak p) = 1} M_K/M_\mathfrak p\] 의 핵이다. 주어진 \(a/b \in K\)에 대하여 \(b \in \mathfrak p\)인 높이 \(1\)의 소아이디얼 \(\mathfrak p\)는 유한 개뿐이므로, 위 사상은 실제로 표시한 직접합을 통하여 분해됨을 관찰하자. \(\mathfrak p_0\)를 높이 \(1\)의 소아이디얼이라 하자. 그러면 \(\mathfrak p = \mathfrak p_0\)인 경우를 제외하면 \((M_K/M_\mathfrak p)_{\mathfrak p_0} = 0\)이고, 그 경우에는 \((M_K/M_\mathfrak p)_{\mathfrak p_0} = M_K/M_{\mathfrak p_0}\)을 얻는다. 따라서 국소화의 완전성과 국소화가 직접합과 교환한다는 사실에 의해 \(M'_{\mathfrak p_0} = M_{\mathfrak p_0}\)임을 알 수 있다. \(M\)은 높이가 \(> 1\)인 소아이디얼에서 깊이가 \(\geq 2\)이므로, 보조정리 0AV9에 의해 \(M \to M'\)은 동형임을 알 수 있다. 따라서 (3)이 성립한다.

(3)을 가정하자. \(\mathfrak p\)를 높이 \(1\)의 소아이디얼이라 하자. 그러면 \((R_1)\)에 의해 \(R_\mathfrak p\)는 이산 값매김환이다. 보조정리 0AUW에 의해 \(M_\mathfrak p\)는 유한 자유 가군이며, 특히 반사 가군임을 알 수 있다. 따라서 사상 \(M \to M^{**}\)은 높이 \(1\)의 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p\)에서 동형을 유도한다. 그러므로 조건 \(M = \bigcap_{\text{height}(\mathfrak p) = 1} M_{\mathfrak p}\)는 \(M = M^{**}\)를 함의하고 (1)이 성립한다.

보조정리

\(R\)을 뇌터 정규 정역이라 하자. \(M\)을 유한 \(R\)-가군이라 하자. 그러면 \(M\)의 반사 포락은 \(M \otimes_R K\) 안에서 취한 교집합 \[M^{**} = \bigcap\nolimits_{\text{height}(\mathfrak p) = 1} M_{\mathfrak p}/(M_\mathfrak p)_{tors} = \bigcap\nolimits_{\text{height}(\mathfrak p) = 1} (M/M_{tors})_\mathfrak p\] 이다.

증명

\(\mathfrak p\)를 높이 \(1\)의 소아이디얼이라 하자. \(M_\mathfrak p \to M \otimes_R K\)의 핵은 \(M_\mathfrak p\)의 비틀림 부분가군 \((M_\mathfrak p)_{tors}\)이다. 또한 \((M/M_{tors})_\mathfrak p = M_\mathfrak p/(M_\mathfrak p)_{tors}\)이고, 이는 이산 값매김환 \(R_\mathfrak p\) 위의 유한 자유 가군이다 (보조정리 0AUW). 그러면 \(M_\mathfrak p/(M_\mathfrak p)_{tors} \to (M_\mathfrak p)^{**} = (M^{**})_\mathfrak p\)는 동형이므로, 보조정리는 보조정리 0AVB의 귀결이다.

보조정리

\(A\)를 분수체가 \(K\)인 뇌터 정규 정역이라 하자. \(L\)을 \(K\)의 유한 확대라 하자. \(L\) 안에서 \(A\)의 정수적 폐포 \(B\)가 \(A\) 위 유한이면, \(B\)는 \(A\)-가군으로서 반사 가군이다.

증명

\(B = \bigcap B_\mathfrak p\)임을 보이면 충분하다. 여기서 교집합은 높이 \(1\)의 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset A\)들에 걸쳐 취한다. 보조정리 0AVB을 보라. \(b \in \bigcap B_\mathfrak p\)라 하자. \(x^d + a_1x^{d - 1} + \ldots + a_d\)를 \(K\) 위에서 \(b\)의 최소다항식이라 하자. \(a_i \in A\)임을 보이고자 한다. Algebra, Lemma 00H7에 의해 모든 \(i\)와 높이 1의 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p\)에 대하여 \(a_i \in A_\mathfrak p\)임을 알 수 있다. 따라서 Algebra, Lemma 031T에서 원하는 결론을 얻는다 (또는 \(A\)가 자기 자신 위의 반사 가군이므로 이미 인용한 보조정리를 사용해도 된다).

내용 아이디얼

정의가 독자가 예상하는 것과 다를 수도 있다.

정의

\(A\)를 환이라 하고 \(M\)을 평탄 \(A\)-가군이라 하자. \(x \in M\)이라 하자. \(x \in IM\)인 \(A\)의 아이디얼 \(I\)들의 집합이 가장 작은 원소를 가지면, 이를 \(x\)의 내용 아이디얼이라 한다.

\(M\)이 \(A\) 위 평탄이므로 \(A\)의 두 아이디얼 \(I, I'\)에 대하여 \(IM \cap I'M = (I \cap I')M\)임을 주목하자. 이는 완전열 \(0 \to I \cap I' \to I \oplus I' \to I + I' \to 0\)을 \(M\)과 텐서하면 알 수 있다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(M\)을 평탄 \(A\)-가군이라 하자. \(x \in M\)이라 하자. \(x\)의 내용 아이디얼이 존재하면 이는 유한 생성이다.

증명

\(x \in IM\)이라 하자. 그러면 \(f_i \in I\)와 \(x_i \in M\)을 사용하여 \(x = \sum_{i = 1, \ldots, n} f_i x_i\)로 쓸 수 있다. 따라서 \(I' = (f_1, \ldots, f_n)\)에 대하여 \(x \in I'M\)이다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 국소환이라 하자. \(u : M \to N\)을 \(\overline{u} : M/\mathfrak m M \to N/\mathfrak m N\)이 단사인 평탄 \(A\)-가군들의 사상이라 하자. \(x \in M\)의 내용 아이디얼이 \(I\)이면 \(u(x)\)의 내용 아이디얼도 \(I\)이다.

증명

\(u(x) \in IN\)임은 명백하다. \(u(x) \in I'N\)이면 \(u(x) \in (I' \cap I)N\)이다. 정의 0ASA 뒤의 논의를 보라. 따라서 다음을 보이면 충분하다.

\(x \in I'N\)이고 \(I' \subset I\), \(I' \not = I\)이면 \(u(x) \not \in I'N\)이다. \(I/I'\)는 영이 아닌 유한 \(A\)-가군이므로 (보조정리 0ASB), Nakayama 보조정리(Algebra, Lemma 00DV)에 의해 영이 아닌 \(A\)-가군 사상 \(\chi : I/I' \to A/\mathfrak m\)이 존재한다. \(I\)가 \(x\)의 내용 아이디얼이므로 \(I'' = \Ker(\chi)\)에 대하여 \(x \not \in I''M\)임을 알 수 있다. 따라서 \(x\)는 사상 \[IM = I \otimes_A M \xrightarrow{\chi \otimes 1} A/\mathfrak m \otimes M \cong M/\mathfrak m M\] 의 핵에 속하지 않는다. \(\overline{u}\)에 대한 가정을 적용하면 \(u(x)\)는 사상 \[IN = I \otimes_A N \xrightarrow{\chi \otimes 1} A/\mathfrak m \otimes N \cong N/\mathfrak m N\] 아래에서 영으로 가지 않는다고 결론지으며, 증명이 끝난다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(M\)을 평탄 Mittag-Leffler 가군이라 하자. 그러면 \(M\)의 모든 원소는 내용 아이디얼을 갖는다.

증명

이는 Algebra, Lemma 059S의 특수한 경우이다.

평탄성과 유한성 조건

이 절에서는 “평탄 \(+\) 유한형 \(\Rightarrow\) 유한 표시” 꼴의 몇 가지 함의를 논의한다. 평탄성에 관한 장에서 이 결과를 다시 다룰 것이다. More on Flatness, Section 057N을 보라. 이러한 유형의 첫 번째 결과는 Algebra, Lemma 052U에서 증명하였다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(S = R[x_1, \ldots, x_n]\)을 \(R\) 위의 다항식환이라 하고 \(M\)을 \(S\)-가군이라 하자. 다음을 가정하자.

1. 사상 \(R \to \prod R_{\mathfrak p_j}\)가 단사가 되게 하는 \(R\)의 유한 개의 소아이디얼 \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_m\)이 존재한다.

2. \(M\)은 유한 \(S\)-가군이다.

3. \(M\)은 \(R\) 위 평탄이다.

4. \(R\)의 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p\)에 대하여 가군 \(M_{\mathfrak p}\)는 \(S_{\mathfrak p}\) 위 유한 표시이다.

그러면 \(M\)은 \(S\) 위 유한 표시이다.

증명

\(M\)의 \(S\)-가군으로서의 표시 \[0 \to K \to S^{\oplus r} \to M \to 0\] 를 택한다. \(\mathfrak q\)를 \(R\)의 소아이디얼 \(\mathfrak p\) 위에 놓이는 \(S\)의 소아이디얼이라 하자. 가정에 의해 유한 개의 원소 \(k_1, \ldots, k_t \in K\)가 존재하여 \(K' = \sum Sk_j \subset K\)로 놓으면 \(K'_{\mathfrak p} = K_{\mathfrak p}\)이고 \(j = 1, \ldots, m\)에 대하여 \(K'_{\mathfrak p_j} = K_{\mathfrak p_j}\)이다. \(M' = S^{\oplus r}/K'\)로 놓으면 특히 \(M'_{\mathfrak q} = M_{\mathfrak q}\)라고 결론 내릴 수 있다. 평탄성의 열린성(Algebra, Theorem 00RC를 보라)에 의해 \(M'_g\)가 \(R\) 위 평탄이 되게 하는 \(g \in S\), \(g \not \in \mathfrak q\)가 존재한다고 결론짓는다. 따라서 \(M'_g \to M_g\)는 평탄 \(R\)-가군들의 전사 사상이다. 가환도식 \[\xymatrix{ M'_g \ar[r] \ar[d] & M_g \ar[d] \\ \prod (M'_g)_{\mathfrak p_j} \ar[r] & \prod (M_g)_{\mathfrak p_j} }\] 을 생각하자. 아래 화살표는 \(k_1, \ldots, k_t\)의 선택에 의해 동형이다. \(R \to \prod R_{\mathfrak p_j}\)가 단사이고 \(M'_g\)가 \(R\) 위 평탄이므로 왼쪽 수직 화살표는 단사이다. 따라서 위 수평 화살표는 단사이며, 따라서 동형이다. 이로써 \(M_g\)가 \(S_g\) 위 유한 표시임이 증명된다. Algebra, Lemma 00EO를 적용하여 결론을 얻는다.

보조정리

\(R \to S\)를 환 준동형이라 하자. 다음을 가정하자.

1. 사상 \(R \to \prod R_{\mathfrak p_j}\)가 단사가 되게 하는 \(R\)의 유한 개의 소아이디얼 \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_m\)이 존재한다.

2. \(R \to S\)는 유한형이다.

3. \(S\)는 \(R\) 위 평탄이다.

4. \(R\)의 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p\)에 대하여 환 \(S_{\mathfrak p}\)는 \(R_{\mathfrak p}\) 위 유한 표시이다.

그러면 \(S\)는 \(R\) 위 유한 표시이다.

증명

가정에 의해 \(S\)는 \(R\) 위 다항식환의 몫환이다. 따라서 결과는 보조정리 053A에서 직접 따른다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(S = R[x_1, \ldots, x_n]\)을 \(R\) 위의 등급 다항식 대수라 하자. 즉 \(\deg(x_i) > 0\)이지만 반드시 \(1\)일 필요는 없다. \(M\)을 등급 \(S\)-가군이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(R\)은 국소환이다.

2. \(M\)은 유한 \(S\)-가군이다.

3. \(M\)은 \(R\) 위 평탄이다.

그러면 \(M\)은 \(S\)-가군으로서 유한 표시이다.

증명

\(M = \bigoplus M_d\)를 \(M\)의 등급이라 하자. \(M\)의 동차 생성원 \(m_1, \ldots, m_r \in M\)을 택한다. \(\deg(m_i) = d_i \in \mathbf{Z}\)로 쓰자. 이로부터 표시 \[0 \to K \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, r} S(-d_i) \to M \to 0\] 를 얻으며, 각 차수 \(d\)에서 짧은 완전열 \[0 \to K_d \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, r} S_{d - d_i} \to M_d \to 0.\] 을 얻는다. 가정에 의해 각 \(M_d\)는 유한 평탄 \(R\)-가군이다. Algebra, Lemma 00NZ에 의해 이는 각 \(M_d\)가 유한 자유 \(R\)-가군임을 함의한다. 따라서 각 \(K_d\)는 유한 \(R\)-가군임을 알 수 있다. 또한 Algebra, Lemma 00HM에 의해 각 \(K_d\)는 \(R\) 위 평탄이다. 그러므로 다시 Algebra, Lemma 00NZ에 의해 각 \(K_d\)는 유한 자유라고 결론짓는다.

\(\mathfrak m\)을 \(R\)의 극대아이디얼이라 하자. \(M\)이 \(R\) 위 평탄이므로 위의 짧은 완전열들은 \(\kappa = \kappa(\mathfrak m)\)와 텐서한 뒤에도 짧은 완전열로 남는다. 환 \(S \otimes_R \kappa\)가 뇌터 환이므로, 그 상 \(\overline{k}_j\)들이 \(S \otimes_R \kappa\) 위에서 \(K \otimes_R \kappa\)를 생성하는 동차 원소 \(k_1, \ldots, k_t \in K\)가 존재함을 알 수 있다. \(\deg(k_j) = e_j\)로 쓰자. 따라서 임의의 \(d\)에 대하여 사상 \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, t} S_{d - e_j} \longrightarrow K_d\] 은 \(\kappa\)와 텐서한 뒤 전사가 된다. Nakayama 보조정리(Algebra, Lemma 00DV)에 의해 이는 사상이 \(R\) 위에서 전사임을 함의한다. 따라서 \(K\)는 \(S\) 위에서 \(k_1, \ldots, k_t\)로 생성되므로 결론을 얻는다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(S = \bigoplus_{n \geq 0} S_n\)을 등급 \(R\)-대수라 하자. \(M = \bigoplus_{d \in \mathbf{Z}} M_d\)를 등급 \(S\)-가군이라 하자. \(S\)가 \(R\)-대수로서 유한 생성이고 \(S_0\)가 유한 \(R\)-대수이며,

\(R \to \prod R_{\mathfrak p_j}\)가 단사가 되게 하는 유한 개의 소아이디얼 \(\mathfrak p_j\), \(i = 1, \ldots, m\)이 존재한다고 가정하자.

1. \(S\)가 \(R\) 위 평탄이면 \(S\)는 유한 표시 \(R\)-대수이다.

2. \(M\)이 \(R\)-가군으로서 평탄이고 \(S\)-가군으로서 유한이면 \(M\)은 \(S\)-가군으로서 유한 표시이다.

증명

\(S\)가 \(R\)-대수로서 유한 생성이므로 \(S_0\)-대수로서 유한 생성이며, 차수가 \(d_1, \ldots, d_n > 0\)인 동차 원소 \(t_1, \ldots, t_n \in S\)로 생성된다고 하자. \(\deg(x_i) = d_i\)로 두고 \(P = R[x_1, \ldots, x_n]\)으로 놓는다. \(S_0\)가 유한 \(R\)-가군이므로 환 사상 \(P \to S\), \(x_i \to t_i\)는 유한이다. (1)을 증명하려면 \(S\)가 유한 표시 \(P\)-가군임을 보이면 충분하다.

(2)를 증명하려면 \(M\)이 유한 표시 \(P\)-가군임을 보이면 충분하다. 따라서 \(S = P\)가 등급 다항식환이고 \(M\)이 \(R\) 위 평탄인 유한 \(S\)-가군이면 \(M\)이 \(S\)-가군으로서 유한 표시임을 보이면 충분하다. 보조정리 053C에 의해 \(R\)의 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p\)에 대하여 \(M_{\mathfrak p}\)는 유한 표시 \(S_{\mathfrak p}\)-가군임을 알 수 있다. 따라서 결과는 보조정리 053A에서 따른다.

주

\(R\)을 환이라 하자. \(R\)은 언제 보조정리 053A, 053B, 053D에 언급된 조건을 만족하는가? 다음의 경우에 성립한다.

1. \(R\)은 국소환이다.

2. \(R\)은 뇌터 환이다.

3. \(R\)은 정역이다.

4. \(R\)은 최소 소아이디얼이 유한 개인 축약환이다.

5. \(R\)은 약한 동반 소아이디얼이 유한 개이다. Algebra, Lemma 05CB를 보라.

따라서 이 보조정리들은 위에 나열한 모든 경우에 성립한다.

다음 보조정리는 More on Flatness, Proposition 053G에서 개선될 것이다.

보조정리

\(A\)를 값매김환이라 하자. \(A \to B\)를 유한형 환 사상이라 하고 \(M\)을 유한 \(B\)-가군이라 하자.

1. \(B\)가 \(A\) 위 평탄이면 \(B\)는 유한 표시 \(A\)-대수이다.

2. \(M\)이 \(A\)-가군으로서 평탄이면 \(M\)은 \(B\)-가군으로서 유한 표시이다.

증명

\(A\)-가군이 평탄일 필요충분조건은 비틀림이 없는 것이라는 사실을 사용하겠다. 보조정리 0539을 보라. Algebra, Lemma 052N에 의해, \(S_0 = A\)이고 차수 \(1\)인 유한 개의 원소로 생성되는 등급 \(A\)-대수 \(S\), 원소 \(f \in S_1\), 그리고 \(B \cong S_{(f)}\)와 \(M \cong N_{(f)}\)가 되게 하는 유한 등급 \(S\)-가군 \(N\)을 찾을 수 있다. \(M\)에 비틀림이 없으면 \(N\)을 \(N/N_{tors}\)로 바꾸어 비틀림이 없게 할 수 있다. 보조정리 0537을 보라. 마찬가지로 \(B\)에 비틀림이 없으면 \(S\)를 \(S/S_{tors}\)로 바꾸어 비틀림이 없게 할 수 있다. 따라서 (1)의 경우에는 보조정리 053D을 적용하여 \(S\)가 유한 표시 \(A\)-대수임을 알 수 있으며, 이는 \(B = S_{(f)}\)가 유한 표시 \(A\)-대수임을 함의한다. (2)를 보려면 먼저 \(S\)를 등급 다항식환으로 바꾼 뒤, 보조정리 053C을 적용하여 결론을 얻으면 된다.

보조정리

\(A\)를 값매김환이라 하자. \(A \to B\)를 본질적으로 유한형인 국소 준동형이라 하고 \(M\)을 유한 \(B\)-가군이라 하자.

1. \(B\)가 \(A\) 위 평탄이면 \(B\)는 \(A\) 위 본질적으로 유한 표시이다.

2. \(M\)이 \(A\)-가군으로서 평탄이면 \(M\)은 \(B\)-가군으로서 유한 표시이다.

증명

가정에 의해 \(B\)는 다항식 대수 \(P = A[x_1, \ldots, x_n]\)를 소아이디얼 \(\mathfrak q\)에서 국소화한 환의 몫환으로 쓸 수 있다. (1)의 경우에는 \(M = B\)를 \(P_\mathfrak q\) 위의 유한 가군으로 보고, (2)의 경우에는 \(M\)을 \(P_\mathfrak q\) 위의 유한 가군으로 본다. 두 경우 모두 이것이 유한 표시 \(P_\mathfrak q\)-가군임을 보여야 한다. (2)의 경우에 대해서는 Algebra, Lemma 0561을 보라.

표시 \(0 \to K \to P_\mathfrak q^{\oplus r} \to M \to 0\)을 택한다. \(M\)이 \(P_\mathfrak q\) 위 유한이므로 가능하다. \(L = P^{\oplus r} \cap K\)로 놓는다. 그러면 \(K = L_\mathfrak q\)이다. Algebra, Lemma 00CU을 보라. 이때 \(N = P^{\oplus r}/L\)은 \(M\)의 부분가군이므로 보조정리 0539에 의해 평탄이다. 또한 \(N\)은 유한 \(P\)-가군이므로 보조정리 053E에 의해 \(N\)은 \(P\)-가군으로서 유한 표시임을 알 수 있다. 국소화는 완전하므로(Algebra, Proposition 00CS), \(N_\mathfrak q = M\)임을 알 수 있고 결론을 얻는다.

블로업과 평탄성

이 절에서는 “블로업 뒤에 엄밀 변환이 평탄해진다”는 형태의 결과들에 대한 논의를 시작한다. 이러한 유형의 다른 결과들은 Divisors, Section 0F84과 More on Flatness, Section 080X에서 찾을 수 있다.

정의

\(R\)을 환이라 하자. \(I \subset R\)을 아이디얼이라 하고 \(a \in I\)라 하자. \(R[\frac{I}{a}]\)를 아핀 블로업 대수라 하자. Algebra, Definition 052Q을 보라. \(M\)을 \(R\)-가군이라 하자. \(R \to R[\frac{I}{a}]\)를 따른 \(M\)의 엄밀 변환은 다음 \(R[\frac{I}{a}]\)-가군이다. \[M' = \left(M \otimes_R R[\textstyle{\frac{I}{a}}]\right)/a\text{-power torsion}\]

다음은 블로업에 의한 평탄화의 매우 약한 형태이지만, 이 정도만으로도 때로는 유용한 결과이다.

보조정리

\((R, \mathfrak m)\)을 분수체가 \(K\)인 국소 정역이라 하자. \(S\)를 유한형 \(R\)-대수라 하고 \(M\)을 유한 \(S\)-가군이라 하자. \(R\)을 지배하는 모든 값매김환 \(A \subset K\)에 대하여, 다음을 만족하는 아이디얼 \(I \subset \mathfrak m\)과 영이 아닌 원소 \(a \in I\)가 존재한다.

1. \(I\)는 유한 생성이다.

2. \(A\)는 \(R[\frac{I}{a}]\) 위에 중심을 갖는다.

3. \(\mathfrak m\)에서의 \(R \to R[\frac{I}{a}]\)의 섬유환은 영이 아니다.

4. \(R \to R[\frac{I}{a}]\)를 따른 \(S\)의 엄밀 변환 \(S_{I, a}\)는 \(R\) 위 평탄이고 유한 표시이며, \(R \to R[\frac{I}{a}]\)를 따른 \(M\)의 엄밀 변환 \(M_{I, a}\)는 \(R\) 위 평탄이고 \(S_{I, a}\) 위 유한 표시이다.

증명

\(S = R[x_1, \ldots, x_n]/J\)로 쓰고 \(N = S \oplus M\)을 \(P = R[x_1, \ldots, x_n]\) 위의 가군으로 보자. \(S\)가 \(R\) 위의 다항식 대수인 경우에 보조정리를 증명할 수 있다면, (1), (2), (3)을 만족하고 \(R \to R[\frac{I}{a}]\)를 따른 \(N\)의 엄밀 변환 \(N_{I, a}\)가 \(R\) 위 평탄이며 \(P\)의 엄밀 변환 \(P_{I, a}\) 위의 가군으로서 유한 표시가 되게 하는 \(I, a\)를 찾을 수 있다. \(P_{I, a} = R[\frac{I}{a}][x_1, \ldots, x_n]\)이므로 (작은 세부사항은 생략한다), 직접합인자 \(S_{I, a} \subset N_{I, a}\)가 \(R\) 위 평탄이고 \(R[\frac{I}{a}][x_1, \ldots, x_n]\) 위의 가군으로서 유한 표시임을 얻는다. 따라서 \(S_{I, a}\)는 \(R[\frac{I}{a}]\)-대수로서 유한 표시이다. 또한 직접합인자 \(M_{I, a} \subset N_{I, a}\)는 \(R\) 위 평탄이고 \(P_{I, a}\) 위의 가군으로서 유한 표시이므로, \(S_{I, a}\) 위의 가군으로서도 유한 표시이다. Algebra, Lemma 0561을 보라. 이로써 다음 단락에서 논의하는 경우로 환원된다.

\(S = R[x_1, \ldots, x_n]\)이라고 가정하자. 표시 \[0 \to K \to S^{\oplus r} \to M \to 0.\] 를 택한다. \(M_A\)를 \(M \otimes_R A\)를 그 비틀림 부분가군으로 나눈 몫가군이라 하자. 보조정리 0537을 보라. 그러면 \(M_A\)는 \(S_A = A[x_1, \ldots, x_n]\) 위의 유한 가군이다. 보조정리 0539에 의해 \(M_A\)는 \(A\) 위 평탄임을 알 수 있다. 보조정리 053E에 의해 \(M_A\)는 유한 표시임을 알 수 있다. 따라서 표시 \(S_A^{\oplus r} \to M_A\)의 핵을 \(S_A\)-가군으로서 생성하는 유한 개의 원소 \(k_1, \ldots, k_t \in S_A^{\oplus r}\)가 존재한다. (1), (2), (3)을 만족하는 임의의 \(a \in I \subset \mathfrak m\)에 대하여 \(M_{I, a}\)로 \(R \to R[\frac{I}{a}]\)를 따른 \(M\)의 엄밀 변환을 나타내자. 이는 \(S_{I, a} = R[\frac{I}{a}][x_1, \ldots, x_n]\) 위의 유한 가군이다. Algebra, Lemma 052M에 의해 \(A = \colim_{I, a} R[\frac{I}{a}]\)이다. 이는 \(S_A = \colim S_{I, a}\)와 다음을 함의한다. \[\colim M \otimes_R R[\textstyle{\frac{I}{a}}] = M \otimes_R A\] \(I, a\)와 올림 \(k_1, \ldots, k_t \in S_{I, a}^{\oplus r}\)를 택한다. \(M_A\)는 \(M \otimes_R A\)를 비틀림으로 나눈 몫이므로, \(M \otimes_R A\) 안에서 \(k_1, \ldots, k_t\)의 상들은 영이 아닌 원소 \(\alpha \in A\)에 의해 소멸됨을 알 수 있다. \(I, a\)를 다른 쌍으로 바꾸면(쌍대극한이 여과되어 있음을 상기하라), 영이 아닌 어떤 \(x \in I^n\)에 대하여 \(\alpha = x/a^n\)이라고 가정해도 된다. 그러면 \(x k_1, \ldots, x k_t\)는 \(M \otimes_R A\)에서 영으로 간다. 따라서 \(I, a\)를 다른 쌍으로 바꾸면 영이 아닌 어떤 \(x \in R\)에 대하여 \(x k_1, \ldots, x k_t\)가 \(M \otimes_R R[\frac{I}{a}]\)에서 영으로 간다고 가정해도 된다. 마지막으로 \(I, a\)를 \(xI, xa\)로 바꾸면, \(k_1, \ldots, k_t\)가 \(M \otimes_R R[\frac{I}{a}]\)의 \(a\)의 거듭제곱에 의해 소멸되는 비틀림 원소들로 간다고 가정할 수 있다. 그러한 모든 쌍 \((I, a)\)에 대하여 다음과 같이 놓는다. \[M'_{I, a} = S_{I, a}^{\oplus r}/ \sum S_{I, a}k_j.\] \(M_A = S_A^{\oplus r}/ \sum S_Ak_j\)이므로 \(M_A = \colim_{I, a} M'_{I, a}\)임을 알 수 있다. 이제 마지막으로 Algebra, Lemma 02JO (3)을 적용하여, 위와 같은 어떤 쌍 \((I, a)\)에 대하여 \(M'_{I, a}\)가 평탄이라고 결론짓는다. 이 보조정리는 전이사상들이 보조정리의 가정들을 만족하지 않을 수 있으므로, 엄밀 변환들의 계 \[M_{I, a} = (M \otimes_R R[\textstyle{\frac{I}{a}}])/a\text{-power torsion}\] 에 처음부터 적용할 수는 없다. 그러나 이제 평탄성은 비틀림이 없음을 함의하고 (보조정리 0538), \(M_{I, a}\)는 \(M'_{I, a}\)를 \(a\)의 거듭제곱에 의해 소멸되는 비틀림 부분가군으로 나눈 몫이므로(원소 \(k_1, \ldots, k_t\)가 \(M_{I, a}\)에서 영으로 가도록 해 두었기 때문이다), 그러한 쌍에 대하여 \(M'_{I, a} = M_{I, a}\)라고도 결론짓고 증명이 끝난다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(M\)을 유한 \(R\)-가군이라 하자. \(k \geq 0\)이라 하고 \(I = \text{Fit}_k(M)\)이라 하자. 모든 \(a \in I\)에 대하여 \(R' = R[\frac{I}{a}]\)로 놓으면 엄밀 변환 \[M' = (M \otimes_R R')/a\text{-power torsion}\] 은 \(\text{Fit}_k(M') = R'\)을 만족한다.

증명

먼저 \(\text{Fit}_k(M \otimes_R R') = IR' = aR'\)임을 관찰하자. 첫 번째 등식은 보조정리 07ZA의 (3)에 의해, 두 번째 등식은 Algebra, Lemma 07Z3에 의해 성립한다. 보조정리 080Z과 국소화의 완전성에 의해 \(R'\)의 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p'\)에 대하여 \(M'_{\mathfrak p'}\)가 \(\leq k\)개의 원소로 생성될 수 있음을 알 수 있다. 그러면 예를 들어 보조정리 07ZC에 의해 \(\text{Fit}_k(M') = R'\)이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(M\)을 유한 \(R\)-가군이라 하자. \(k \geq 0\)이라 하고 \(I = \text{Fit}_k(M)\)이라 하자. 모든 \(\mathfrak p \not \in V(I)\)에 대하여 \(M_\mathfrak p\)가 계수 \(k\)의 자유 가군이라고 가정하자. 그러면 모든 \(a \in I\)에 대하여 \(R' = R[\frac{I}{a}]\)로 놓으면 엄밀 변환 \[M' = (M \otimes_R R')/a\text{-power torsion}\] 은 계수 \(k\)의 국소 자유 가군이다.

증명

보조정리 0CZM에 의해 \(\text{Fit}_k(M') = R'\)이다. 보조정리 07ZD에 의해 \(\text{Fit}_{k - 1}(M') = 0\)임을 보이면 충분하다. \(R' \subset R'_a = R_a\)임을 상기하자. Algebra, Lemma 07Z3을 보라. 따라서 \(\text{Fit}_{k - 1}(M')\)가 \(R'_a = R_a\)에서 영으로 감을 증명하면 충분하다. 명백히 \((M')_a = M_a\)이므로 이는 \(\text{Fit}_{k - 1}(M_a) = 0\)임을 보이는 문제로 환원된다. 보조정리 07ZA의 (3)에 의해 Fitting 아이디얼을 취하는 것이 기저변환과 교환하기 때문이다. 이는 \(M_a\)가 계수 \(k\)의 유한 국소 자유 가군이라는 가정 (Algebra, Lemma 00NX를 보라)과 이미 인용한 보조정리 07ZD에 의해 성립한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(M\)을 유한 \(R\)-가군이라 하자. \(f \in R\)이 \(M_f\)를 계수 \(r\)의 유한 국소 자유 가군이 되게 하는 원소라고 하자. 그러면 \(V(f) = V(I)\)인 유한 생성 아이디얼 \(I \subset R\)이 존재하여, 모든 \(a \in I\)에 대하여 \(R' = R[\frac{I}{a}]\)로 놓으면 엄밀 변환 \[M' = (M \otimes_R R')/a\text{-power torsion}\] 은 계수 \(r\)의 국소 자유 가군이다.

증명

전사 \(R^{\oplus n} \to M\)을 택한다. \(R^{\oplus n}/K \to M\)이 \(f\)를 가역화한 뒤 동형이 되게 하는 유한 부분가군 \(K \subset \Ker(R^{\oplus n} \to M)\)을 택한다. 예를 들어 Algebra, Lemma 00NX에 의해 \(M_f\)가 유한 표시이므로 가능하다. \(M_1 = R^{\oplus n}/K\)로 놓고 \(M_1\)에 대하여 보조정리를 증명할 수 있다고 하자. \(I \subset R\)을 이에 대응하는 아이디얼이라 하자. 그러면 \(a \in I\)에 대하여 사상 \[M_1' = (M_1 \otimes_R R')/a\text{-power torsion} \longrightarrow M' = (M \otimes_R R')/a\text{-power torsion}\] 은 전사이다. 또한 \(R'\)에서 \(a\)를 가역화한 뒤 동형이다.

\(R'_a = R_f\)이기 때문이다. Algebra, Lemma 080U을 보라. 그러나 \(a\)는 \(M'_1\) 위의 영인자가 아니므로 표시된 사상은 동형이다. 따라서 \(M\)이 유한 표시 \(R\)-가군인 경우에 보조정리를 증명하면 충분하다.

\(M\)이 유한 표시 \(R\)-가군이라고 가정하자.

그러면 \(J = \text{Fit}_r(M) \subset S\)는 유한 생성 아이디얼이다. \(I = fJ\)가 원하는 조건을 만족한다고 주장한다.

먼저 \(V(f) = V(I)\)임을 확인하자. 포함 \(V(f) \subset V(I)\)는 명백하다. 거꾸로 \(f \not \in \mathfrak p\)이면 보조정리 07ZC에 의해 \(\mathfrak p\)는 \(V(J)\)의 원소가 아니다. 따라서 \(\mathfrak p \not \in V(fJ) = V(I)\)이다.

\(a \in I\)라 하고 \(R' = R[\frac{I}{a}]\)로 놓자. 어떤 \(b \in J\)에 대하여 \(a = fb\)로 쓸 수 있다. Algebra, Lemmas 07Z3과 0BBI에 의해 \(J R' = b R'\)이고 \(b\)는 \(R'\)의 영인자가 아님을 알 수 있다. \(\mathfrak p' \subset R' = R[\frac{I}{a}]\)를 소아이디얼이라 하자. 그러면 \(JR'_{\mathfrak p'}\)는 \(b\)로 생성된다. 보조정리 080Z에 의해 \(M'_{\mathfrak p'}\)는 \(r\)개의 원소로 생성될 수 있다. \(M'\)이 유한이므로, 대응하는 사상 \((R')^{\oplus r} \to M'\)이 \(g\)를 가역화한 뒤 전사가 되게 하는 \(m_1, \ldots, m_r \in M'\)과 \(g \in R'\), \(g \not \in \mathfrak p'\)가 존재한다.

마지막으로 아이디얼 \(J' = \text{Fit}_{k - 1}(M')\)을 생각하자. \(J' R'_g\)는 \(m_1, \ldots, m_r\) 사이의 관계식들의 계수로 생성됨을 주목하자 (Fitting 아이디얼과 기저변환의 양립성). 따라서 \(J' = 0\)임을 보이면 충분하다. 보조정리 07ZD를 보라.

\(R'_a = R_f\)이고(Algebra, Lemma 080U), \(M'_a = M_f\)가 계수 \(r\)의 자유 가군이므로 \(J'_a = 0\)임을 알 수 있다. \(a\)는 \(R'\)의 영인자가 아니므로 \(J' = 0\)이라고 결론짓고 증명이 끝난다.

완비화와 평탄성

이 절에서는 “큰” 평탄 가군의 완비화가 언제 평탄인지를 논의한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(I \subset R\)을 아이디얼이라 하고 \(A\)를 집합이라 하자. \(R\)이 Noether 환이고 \(I\)에 관하여 완비라고 가정하자. 직접합의 \(I\)-진 완비화에서 곱으로 가는 표준 사상 \[\left(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R\right)^\wedge \longrightarrow \prod\nolimits_{\alpha \in A} R\] 이 존재하며, 이 사상은 보편적으로 단사이다.

증명

정의에 의해 왼쪽의 원소 \(x\)는 \(x = (x_n)\)의 형태이고, \(x_n = (x_{n, \alpha}) \in \bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R/I^n\)이며 \(x_{n, \alpha} = x_{n + 1, \alpha} \bmod I^n\)을 만족한다. \(R = R^\wedge\)이므로 모든 \(\alpha\)에 대하여 \(x_{n, \alpha} = y_\alpha \bmod I^n\)인 \(y_\alpha \in R\)이 존재함을 알 수 있다. 각 \(n\)에 대하여 원소 \(x_{n, \alpha}\)가 영이 아닌 \(\alpha\)는 유한 개뿐임을 주목하자. 거꾸로 \((y_\alpha) \in \prod_\alpha R\)이 주어지고, 각 \(n\)에 대하여 \(y_{\alpha} \bmod I^n\)이 영이 아닌 \(\alpha\)가 유한 개뿐이면, 이는 왼쪽의 원소를 정의한다. 따라서 왼쪽의 원소를 \(y_\alpha \in R\)로 이루어진 무한 “수렴합” \(\sum_\alpha y_\alpha\)로 생각할 수 있다. 여기서 각 \(n\)에 대하여 \(I^n\)을 법으로 영이 아닌 \(y_\alpha\)는 유한 개뿐이다.

표시된 사상은 이 원소를 곱 안의 원소 \((y_\alpha)\)로 보낸다. 특히 이 사상은 단사이다.

\(Q\)를 유한 \(R\)-가군이라 하자. 사상 \[Q \otimes_R \left(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R\right)^\wedge \longrightarrow Q \otimes_R \left(\prod\nolimits_{\alpha \in A} R\right)\] 이 단사임을 보여야 한다. Algebra, Theorem 058K를 보라. 표시 \(R^{\oplus k} \to R^{\oplus m} \to Q \to 0\)을 택하고, 이에 대응하는 \(Q\)의 생성원들을 \(q_1, \ldots, q_m \in Q\)로 나타내자. Artin–Rees 보조정리 (Algebra, Lemma 00IN)에 의해 \(\Im(R^{\oplus k} \to R^{\oplus m}) \cap (I^N)^{\oplus m} \subset \Im((I^{N - c})^{\oplus k} \to R^{\oplus m})\)인 상수 \(c\)가 존재한다. 행들이 완전한 다음 도표를 생각하자. \[\xymatrix{ \bigoplus_{l = 1}^k \left(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R\right)^\wedge \ar[r] \ar[d] & \bigoplus_{j = 1}^m \left(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R\right)^\wedge \ar[r] \ar[d] & Q \otimes_R \left(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R\right)^\wedge \ar[r] \ar[d] & 0 \\ \bigoplus_{l = 1}^k \left(\prod\nolimits_{\alpha \in A} R\right) \ar[r] & \bigoplus_{j = 1}^m \left(\prod\nolimits_{\alpha \in A} R\right) \ar[r] & Q \otimes_R \left(\prod\nolimits_{\alpha \in A} R\right) \ar[r] & 0 }\] \(\bigoplus_{j = 1, \ldots, m} \left(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R\right)^\wedge\)의 원소 \(\sum_j \sum_\alpha y_{j, \alpha}\)를 택하자. 이 원소가 가군 \(Q \otimes_R \left(\prod\nolimits_{\alpha \in A} R\right)\)에서 영으로 가면, 특히 각 \(\alpha\)에 대하여 \(Q\)에서 \(\sum_j q_j \otimes y_{j, \alpha} = 0\)임을 알 수 있다. 따라서 \((y_{1, \alpha}, \ldots, y_{m, \alpha}) \in \bigoplus_{j = 1, \ldots, m} R\)로 가는 원소 \((z_{1, \alpha}, \ldots, z_{k, \alpha}) \in \bigoplus_{l = 1, \ldots, k} R\)을 찾을 수 있다. 또한 \(j = 1, \ldots, m\)에 대하여 \(y_{j, \alpha} \in I^{N_\alpha}\)이면, \(l = 1, \ldots, k\)에 대하여 \(z_{l, \alpha} \in I^{N_\alpha - c}\)라고 가정해도 된다. 따라서 합 \(\sum_l \sum_\alpha z_{l, \alpha}\)는 “수렴”하며, \(\bigoplus_{l = 1, \ldots, k} \left(\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R\right)^\wedge\)의 원소를 정의한다. 이 원소는 처음에 택한 원소 \(\sum_j \sum_\alpha y_{j, \alpha}\)로 간다. 따라서 오른쪽 수직 화살표는 단사이고 증명이 끝난다.