概形的构造 · Stacks

引言

本章介绍由已知概形构造新概形的一些方法。一部基本参考文献是 [EGA]。

相对粘合

当我们试图构造概形 \(X\)（它位于 \(S\) 上），并且已经知道如何构造 \(X\) 在 \(S\) 的各仿射开集上的限制时，下面的引理正好适用。事实上，这个结果完全一般，在（局部）环层空间的框架下也成立；不过我们的证明采用概形的语言。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\mathcal{B}\) 为 \(S\) 的拓扑的一组基。假设给定以下数据：

对每个 \(U \in \mathcal{B}\)，给定概形 \(f_U : X_U \to U\)，它位于 \(U\) 上；

对 \(U, V \in \mathcal{B}\)，若 \(V \subset U\)，给定态射 \(\rho^U_V : X_V \to X_U\)，它位于 \(U\) 上。

假设：

每个 \(\rho^U_V\) 都诱导概形同构 \(X_V \to f_U^{-1}(V)\)，它位于 \(V\) 上；

每当 \(W, V, U \in \mathcal{B}\) 且 \(W \subset V \subset U\) 时，都有 \(\rho^U_W = \rho^U_V \circ \rho ^V_W\)。

则存在概形态射 \(f : X \to S\) 以及同构 \(i_U : f^{-1}(U) \to X_U\)（\(U \in \mathcal{B}\)），使得对 \(V, U \in \mathcal{B}\) 且 \(V \subset U\)，复合 \[\xymatrix{ X_V \ar[r]^{i_V^{-1}} & f^{-1}(V) \ar[rr]^{inclusion} & & f^{-1}(U) \ar[r]^{i_U} & X_U }\] 就是态射 \(\rho^U_V\)。此外，\(X\) 在 \(S\) 上唯一同构的意义下唯一。

证明

证明将使用《概形》引理 01JJ。首先定义从概形范畴到集合范畴的反变函子 \(F\)。具体地，对概形 \(T\)，令 \[F(T) = \left\{ \begin{matrix} (g, \{h_U\}_{U \in \mathcal{B}}), \ g : T \to S, \ h_U : g^{-1}(U) \to X_U, \\ f_U \circ h_U = g|_{g^{-1}(U)}, \ h_U|_{g^{-1}(V)} = \rho^U_V \circ h_V \ \forall\ V, U \in \mathcal{B}, V \subset U \end{matrix} \right\}.\] 限制映射 \(F(T) \to F(T')\) 由态射 \(T' \to T\) 给出，并且仅由复合得到。对任意 \(W \in \mathcal{B}\)，考虑子函子 \(F_W \subset F\)；它由满足条件的那些系统 \((g, \{h_U\})\) 组成；此条件是 \(g(T) \subset W\)。

先证明 \(F\) 满足 Zariski 拓扑的层性质。设 \(T\) 为概形， \(T = \bigcup V_i\) 为开覆盖，并且元素 \(\xi_i \in F(V_i)\) 满足 \(\xi_i|_{V_i \cap V_j} = \xi_j|_{V_i \cap V_j}\)。记 \(\xi_i = (g_i, \{h_{i, U}\})\)。立即可见，态射 \(g_i\) 粘合成唯一的整体态射 \(g : T \to S\)。此外，显然有 \(g^{-1}(U) = \bigcup g_i^{-1}(U)\)。因此态射 \(h_{i, U} : g_i^{-1}(U) \to X_U\) 粘合成唯一态射 \(h_U : g^{-1}(U) \to X_U\)。容易验证，系统 \((g, \{h_U\})\) 是 \(F(T)\) 的元素。因此 \(F\) 满足 Zariski 拓扑的层性质。

接着验证每个 \(F_W\)（\(W \in \mathcal{B}\)）都可表。也就是说，断言函子变换 \[F_W \longrightarrow \Mor(-, X_W), \ (g, \{h_U\}) \longmapsto h_W\] 是同构。为此，设 \(T\) 为概形，\(\alpha : T \to X_W\) 为态射，并令 \(g = f_W \circ \alpha\)。对任意 \(U \in \mathcal{B}\)，若 \(U \subset W\)，可以把 \(h_U : g^{-1}(U) \to X_U\) 定义为复合 \((\rho^W_U)^{-1} \circ \alpha|_{g^{-1}(U)}\)。这是可行的，因为像 \(\alpha(g^{-1}(U))\) 包含于 \(f_W^{-1}(U)\)，并且引理的条件 (a) 成立。显然，有 \(f_U \circ h_U = g|_{g^{-1}(U)}\)；这里的 \(U\) 如上。此外，若还有 \(V \in \mathcal{B}\) 且 \(V \subset U \subset W\)，则由引理的性质 (b)，有 \(\rho^U_V \circ h_V = h_U|_{g^{-1}(V)}\)。还需要定义 \(h_U\)（对任意元素 \(U \in \mathcal{B}\)）。由于 \(\mathcal{B}\) 是 \(S\) 的拓扑的一组基，可以找到开覆盖 \(U \cap W = \bigcup U_i\)，其中 \(U_i \in \mathcal{B}\)。因为 \(g\) 的像位于 \(W\) 中，所以 \(g^{-1}(U) = g^{-1}(U \cap W) = \bigcup g^{-1}(U_i)\). 考虑态射 \(h_i = \rho^U_{U_i} \circ h_{U_i} : g^{-1}(U_i) \to X_U\)。利用引理的条件 (b)，不难证明 \(h_i|_{g^{-1}(U_i) \cap g^{-1}(U_j)} = h_j|_{g^{-1}(U_i) \cap g^{-1}(U_j)}\). 因此这些态射粘合成所需的态射 \(h_U : g^{-1}(U) \to X_U\)。系统 \((g, \{h_U\})\) 是 \(F_W(T)\) 的元素，并且在上面显示的箭头下映到 \(\alpha\)；略去这一点的简单验证。

接着验证每个 \(F_W \subset F\) 都由开浸入可表。这由定义立即可见。

最后需要验证族 \((F_W)_{W \in \mathcal{B}}\) 覆盖 \(F\)。这由构造以及 \(\mathcal{B}\) 是 \(S\) 的拓扑的一组基立即可见。

设 \(X\) 为表示函子 \(F\) 的概形，并设 \((f, \{i_U\}) \in F(X)\) 为一个“泛族”。由于每个 \(F_W\) 都由 \(X_W\) 表示（通过上面显示的函子态射），可见 \(i_W : f^{-1}(W) \to X_W\) 正是所需的同构。引理得证。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\mathcal{B}\) 为 \(S\) 的拓扑的一组基。假设给定以下数据：

对每个 \(U \in \mathcal{B}\)，给定概形 \(f_U : X_U \to U\)，它位于 \(U\) 上；

对每个 \(U \in \mathcal{B}\)，给定拟凝聚层 \(\mathcal{F}_U\)，它定义在 \(X_U\) 上；

对每一对 \(U, V \in \mathcal{B}\)，若 \(V \subset U\)，给定态射 \(\rho^U_V : X_V \to X_U\)；

对每一对 \(U, V \in \mathcal{B}\)，若 \(V \subset U\)，给定态射 \(\theta^U_V : (\rho^U_V)^*\mathcal{F}_U \to \mathcal{F}_V\)。

假设：

每个 \(\rho^U_V\) 都诱导概形同构 \(X_V \to f_U^{-1}(V)\)，它位于 \(V\) 上；

每个 \(\theta^U_V\) 都是同构；

每当 \(W, V, U \in \mathcal{B}\) 且 \(W \subset V \subset U\) 时，都有 \(\rho^U_W = \rho^U_V \circ \rho ^V_W\)；

每当 \(W, V, U \in \mathcal{B}\) 且 \(W \subset V \subset U\) 时，都有 \(\theta^U_W = \theta^V_W \circ (\rho^V_W)^*\theta^U_V\)。

则存在概形态射 \(f : X \to S\)、拟凝聚层 \(\mathcal{F}\)（定义在 \(X\) 上），以及同构 \(i_U : f^{-1}(U) \to X_U\) 与 \(\theta_U : i_U^*\mathcal{F}_U \to \mathcal{F}|_{f^{-1}(U)}\) （\(U \in \mathcal{B}\)），使得对 \(V, U \in \mathcal{B}\) 且 \(V \subset U\)，复合 \[\xymatrix{ X_V \ar[r]^{i_V^{-1}} & f^{-1}(V) \ar[rr]^{inclusion} & & f^{-1}(U) \ar[r]^{i_U} & X_U }\] 就是态射 \(\rho^U_V\)，而复合 [01LJ]\[\begin{equation} (\rho^U_V)^*\mathcal{F}_U = (i_V^{-1})^*((i_U^*\mathcal{F}_U)|_{f^{-1}(V)}) \xrightarrow{\theta_U|_{f^{-1}(V)}} (i_V^{-1})^*(\mathcal{F}|_{f^{-1}(V)}) \xrightarrow{\theta_V^{-1}} \mathcal{F}_V \end{equation}\] 等于 \(\theta^U_V\)。此外，\((X, \mathcal{F})\) 在 \(S\) 上唯一同构的意义下唯一。

证明

由引理 01LH，得到概形 \(X\)（它位于 \(S\) 上）以及同构 \(i_U\)。令 \(\mathcal{F}'_U = i_U^*\mathcal{F}_U\)，其中 \(U \in \mathcal{B}\)。这是拟凝聚 \(\mathcal{O}_{f^{-1}(U)}\)-模。映射 \[\mathcal{F}'_U|_{f^{-1}(V)} = i_U^*\mathcal{F}_U|_{f^{-1}(V)} = i_V^*(\rho^U_V)^*\mathcal{F}_U \xrightarrow{i_V^*\theta^U_V} i_V^*\mathcal{F}_V = \mathcal{F}'_V\] 定义了同构 \((\theta')^U_V : \mathcal{F}'_U|_{f^{-1}(V)} \to \mathcal{F}'_V\) （其中 \(V \subset U\) 是 \(\mathcal{B}\) 的元素）。条件 (d) 恰好说明，当 \(W \subset V \subset U\) 是 \(\mathcal{B}\) 的三个元素时，这些同构彼此相容。由此可以得到良定义的同构 \[\varphi_{12} : \mathcal{F}'_{U_1}|_{f^{-1}(U_1 \cap U_2)} \longrightarrow \mathcal{F}'_{U_2}|_{f^{-1}(U_1 \cap U_2)}\] （其中 \(U_1, U_2 \in \mathcal{B}\)）：覆盖交集 \(U_1 \cap U_2 = \bigcup V_j\)，其中各 \(V_j\) 都属于 \(\mathcal{B}\)，并取 \[\varphi_{12}|_{V_j} = \left((\theta')^{U_2}_{V_j}\right)^{-1} \circ (\theta')^{U_1}_{V_j}.\] 略去这些映射确实粘合成 \(\varphi_{12}\) 的验证，也略去层的粘合数据所需的余循环条件的验证（见《层》第 00AK 节）。由《层》引理 00AL，得到 \(\mathcal{F}\)（定义在 \(X\) 上）。等式 (01LJ) 的验证从略。

注

引理 01LH 与 01LI 中说明的构造具有函子性。具体地，设给定引理 01LH 中的两组数据 \((f_U : X_U \to U, \rho^U_V)\) 与 \((g_U : Y_U \to U, \sigma^U_V)\)。假设对每个 \(U \in \mathcal{B}\)，给定态射 \(h_U : X_U \to Y_U\)，它位于 \(U\) 上，且与限制态射 \(\rho^U_V\) 和 \(\sigma^U_V\) 相容。函子性意味着，这会产生概形态射 \(h : X \to Y\)（它位于 \(S\) 上），它在各片上的限制就是态射 \(h_U\)；其中 \(f : X \to S\) 由数据 \((f_U : X_U \to U, \rho^U_V)\) 得到，而 \(g : Y \to S\) 由数据 \((g_U : Y_U \to U, \sigma^U_V)\) 得到。

类似地，设给定两组数据 \((f_U : X_U \to U, \mathcal{F}_U, \rho^U_V, \theta^U_V)\) 与 \((g_U : Y_U \to U, \mathcal{G}_U, \sigma^U_V, \eta^U_V)\) ，如引理 01LI 所述。假设对每个 \(U \in \mathcal{B}\)，给定态射 \(h_U : X_U \to Y_U\)，它位于 \(U\) 上，且与限制态射 \(\rho^U_V\) 和 \(\sigma^U_V\) 相容；还给定态射 \(\tau_U : h_U^*\mathcal{G}_U \to \mathcal{F}_U\)，它与映射 \(\theta^U_V\) 和 \(\eta^U_V\) 相容。函子性意味着，这些数据会产生概形态射 \(h : X \to Y\)（它位于 \(S\) 上），它在各片上的限制就是态射 \(h_U\)；还产生一个态射 \(h^*\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)，它在各片上的限制就是映射 \(h_U\)。这里，\((f : X \to S, \mathcal{F})\) 由数据 \((f_U : X_U \to U, \mathcal{F}_U, \rho^U_V, \theta^U_V)\) 得到，而 \((g : Y \to S, \mathcal{G})\) 由数据 \((g_U : Y_U \to U, \mathcal{G}_U, \sigma^U_V, \eta^U_V)\) 得到。

略去这些验证，也不再给出相对粘合数据与相对对象之间“范畴等价”的适当表述。

通过粘合构造相对谱

情形

这里 \(S\) 是概形，\(\mathcal{A}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-代数。这意味着 \(\mathcal{A}\) 是一层 \(\mathcal{O}_S\)-代数，并且作为 \(\mathcal{O}_S\)-模是拟凝聚的。

本节概述如何构造概形态射 \[\underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) \longrightarrow S\] 其方法是粘合各谱 \(\Spec(\Gamma(U, \mathcal{A}))\)，其中 \(U\) 遍历 \(S\) 的仿射开集。先证明 \(\mathcal{A}\) 在各仿射开集上的取值之谱组成一族适当的概形，如引理 01LH 所需。

引理

在情形 01LM 中，设 \(U \subset U' \subset S\) 为仿射开集。令 \(A = \mathcal{A}(U)\)，并令 \(A' = \mathcal{A}(U')\)。环映射 \(A' \to A\) 诱导态射 \(\Spec(A) \to \Spec(A')\)，且图 \[\xymatrix{ \Spec(A) \ar[r] \ar[d] & \Spec(A') \ar[d] \\ U \ar[r] & U' }\] 是笛卡尔图。

证明

令 \(R = \mathcal{O}_S(U)\)，并令 \(R' = \mathcal{O}_S(U')\)。注意，映射 \(R \otimes_{R'} A' \to A\) 是同构，因为 \(\mathcal{A}\) 拟凝聚（例如见《概形》引理 01I9）。结论来自《概形》引理 01I4 中对仿射概形纤维积的描述。

特别地，引理中的态射 \(\Spec(A) \to \Spec(A')\) 是开浸入。

引理

在情形 01LM 中，设 \(U \subset U' \subset U'' \subset S\) 为仿射开集。令 \(A = \mathcal{A}(U)\)、\(A' = \mathcal{A}(U')\) 以及 \(A'' = \mathcal{A}(U'')\)。引理 01LN 中的态射 \(\Spec(A) \to \Spec(A')\) 与 \(\Spec(A') \to \Spec(A'')\) 的复合，正是引理 01LN 中的态射 \(\Spec(A) \to \Spec(A'')\)。

证明

这是因为映射 \(A'' \to A\) 是 \(A'' \to A'\) 与 \(A' \to A\) 的复合（因为 \(\mathcal{A}\) 是层）。

引理

在情形 01LM 中，存在概形态射 \[\pi : \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) \longrightarrow S\] ，它具有以下性质：

对每个仿射开集 \(U \subset S\)，存在同构 \(i_U : \pi^{-1}(U) \to \Spec(\mathcal{A}(U))\)，它位于 \(U\) 上；

对仿射开集 \(U \subset U' \subset S\)，复合 \[\xymatrix{ \Spec(\mathcal{A}(U)) \ar[r]^{i_U^{-1}} & \pi^{-1}(U) \ar[rr]^{inclusion} & & \pi^{-1}(U') \ar[r]^{i_{U'}} & \Spec(\mathcal{A}(U')) }\] 就是上面引理 01LN 中的开浸入。

此外，\(\underline{\Spec}_S(\mathcal{A})\) 在 \(S\) 上唯一同构的意义下唯一。

证明

这立即由引理 01LH、 01LN 和 01LO 得出。唯一性正是引理 01LH 最后一句的内容。

作为函子的相对谱

沿用情形 01LM 的设定，即 \(S\) 是概形， \(\mathcal{A}\) 是一层拟凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-代数。

对任意 \(f : T \to S\)，拉回 \(f^*\mathcal{A}\) 是一层拟凝聚 \(\mathcal{O}_T\)-代数。我们要考虑二元组 \((f : T \to S, \varphi)\)，其中 \(f\) 是概形态射，而 \(\varphi : f^*\mathcal{A} \to \mathcal{O}_T\) 是 \(\mathcal{O}_T\)-代数态射。注意，这等价于给定 \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-代数同态 \(\varphi : f^{-1}\mathcal{A} \to \mathcal{O}_T\)；见《层》引理 008A。这也等价于给定 \(\mathcal{O}_S\)-代数映射 \(\varphi : \mathcal{A} \to f_*\mathcal{O}_T\)；见《层》引理 008Y。下文将不加说明地使用对 \(\varphi\) 的这三种理解方式。

给定这样的二元组 \((f : T \to S, \varphi)\) 以及态射 \(a : T' \to T\)，得到另一个二元组 \((f' = f \circ a, \varphi' = a^*\varphi)\)；称它为 \((f, \varphi)\) 的拉回。描述 \(\varphi' = a^*\varphi\) 的一种方式，是把它写成复合 \(\mathcal{A} \to f_*\mathcal{O}_T \to f'_*\mathcal{O}_{T'}\) ；其中第二个映射是 \(f_*a^\sharp\)，这里 \(a^\sharp : \mathcal{O}_T \to a_*\mathcal{O}_{T'}\)。由此定义了函子 [01LR]\[\begin{eqnarray} F : \Sch^{opp} & \longrightarrow & \textit{Sets} \\ T & \longmapsto & F(T) = \{\text{对 }(f, \varphi) \text{ 如上}\} \nonumber \end{eqnarray}\]

引理

在情形 01LM 中，令 \(F\) 为上面与 \((S, \mathcal{A})\) 对应的函子。设 \(g : S' \to S\) 为概形态射。令 \(\mathcal{A}' = g^*\mathcal{A}\)，并令 \(F'\) 为上面与 \((S', \mathcal{A}')\) 对应的函子。则存在函子的典范同构 \[F' \cong h_{S'} \times_{h_S} F\] 。

证明

二元组 \((f' : T \to S', \varphi' : (f')^*\mathcal{A}' \to \mathcal{O}_T)\) 等价于二元组 \((f, \varphi : f^*\mathcal{A} \to \mathcal{O}_T)\) 连同 \(f\) 的分解 \(f = g \circ f'\)。事实上，在这些记号下有 \((f')^* \mathcal{A}' = (f')^*g^*\mathcal{A} = f^*\mathcal{A}\). 引理得证。

引理

在情形 01LM 中，令 \(F\) 为上面与 \((S, \mathcal{A})\) 对应的函子。若 \(S\) 仿射，则 \(F\) 由仿射概形 \(\Spec(\Gamma(S, \mathcal{A}))\) 表示。

证明

写成 \(S = \Spec(R)\)，并令 \(A = \Gamma(S, \mathcal{A})\)。于是 \(A\) 是 \(R\)-代数，并且 \(\mathcal{A} = \widetilde A\)。环映射 \(R \to A\) 给出典范映射 \[f_{univ} : \Spec(A) \longrightarrow S = \Spec(R).\] 有 \(f_{univ}^*\mathcal{A} = \widetilde{A \otimes_R A}\) ；见《概形》引理 01I9。因此存在典范映射 \[\varphi_{univ} : f_{univ}^*\mathcal{A} = \widetilde{A \otimes_R A} \longrightarrow \widetilde A = \mathcal{O}_{\Spec(A)}\] ，它来自 \(A\)-模映射 \(A \otimes_R A \to A\)， \(a \otimes a' \mapsto aa'\)。断言在此情形下，二元组 \((f_{univ}, \varphi_{univ})\) 表示 \(F\)。换言之，断言对任意概形 \(T\)，映射 \[\Mor(T, \Spec(A)) \longrightarrow \{\text{对 } (f, \varphi)\},\quad a \longmapsto (f_{univ} \circ a, a^*\varphi_{univ})\] 是双射。

下面构造逆映射。对任意二元组 \((f : T \to S, \varphi)\)，得到诱导的环映射 \[\xymatrix{ A = \Gamma(S, \mathcal{A}) \ar[r]^{f^*} & \Gamma(T, f^*\mathcal{A}) \ar[r]^{\varphi} & \Gamma(T, \mathcal{O}_T) }\] 它诱导概形态射 \(T \to \Spec(A)\)；见《概形》引理 01I1。

略去这个映射是上面所显示映射之逆的验证。

引理

在情形 01LM 中，函子 \(F\) 由某个概形表示。

证明

将使用《概形》引理 01JJ。

先验证 \(F\) 满足 Zariski 拓扑的层性质。具体地，设 \(T\) 为概形， \(T = \bigcup_{i \in I} U_i\) 为开覆盖，并且 \((f_i, \varphi_i) \in F(U_i)\) 满足 \((f_i, \varphi_i)|_{U_i \cap U_j} = (f_j, \varphi_j)|_{U_i \cap U_j}\)。这蕴含态射 \(f_i : U_i \to S\) 粘合成概形态射 \(f : T \to S\)，且满足 \(f|_{U_i} = f_i\)；见《概形》第 01JA 节。因此 \(f_i^*\mathcal{A} = f^*\mathcal{A}|_{U_i}\)，而由假设，态射 \(\varphi_i\) 在 \(U_i \cap U_j\) 上相同。于是由《层》第 00AK 节，它们粘合成 \(\mathcal{O}_T\)-代数态射 \(f^*\mathcal{A} \to \mathcal{O}_T\)。这证明 \(F\) 满足 Zariski 拓扑的层条件。

设 \(S = \bigcup_{i \in I} U_i\) 为仿射开覆盖。令 \(F_i \subset F\) 为子函子，它由那些二元组 \((f : T \to S, \varphi)\) 组成；这些二元组满足 \(f(T) \subset U_i\)。

需要证明每个 \(F_i\) 都可表。由引理 01LS， \(F_i\) 与以下函子等同：它对应于 \(U_i\) 以及其上的拟凝聚 \(\mathcal{O}_{U_i}\)-代数 \(\mathcal{A}|_{U_i}\)。因此结论由引理 01LT 得出。

接着证明 \(F_i \subset F\) 由开浸入可表。设 \((f : T \to S, \varphi) \in F(T)\)，并考虑 \(V_i = f^{-1}(U_i)\)。由 \(F_i\) 的定义，对给定的 \(a : T' \to T\)，有 \(a^*(f, \varphi) \in F_i(T')\) 当且仅当 \(a(T') \subset V_i\)。这正是所需的结论。

最后需要证明族 \((F_i)_{i \in I}\) 覆盖 \(F\)。设 \((f : T \to S, \varphi) \in F(T)\)，并考虑 \(V_i = f^{-1}(U_i)\)。由于 \(S = \bigcup_{i \in I} U_i\) 是 \(S\) 的开覆盖，可见 \(T = \bigcup_{i \in I} V_i\) 是 \(T\) 的开覆盖。此外， \((f, \varphi)|_{V_i} \in F_i(V_i)\)。引理得证。

引理

在情形 01LM 中，引理 01LP 构造的概形 \(\pi : \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) \to S\) 与表示函子 \(F\) 的概形，作为 \(S\) 上的概形典范同构。

证明

设 \(X \to S\) 为表示函子 \(F\) 的概形。考虑 \(\mathcal{O}_S\)-代数层 \(\mathcal{R} = \pi_*\mathcal{O}_{\underline{\Spec}_S(\mathcal{A})}\). 按照 \(\underline{\Spec}_S(\mathcal{A})\) 的构造，有同构 \(\mathcal{A}(U) \to \mathcal{R}(U)\)（对每个仿射开集 \(U \subset S\)）；这由引理 01LP 的第 (1) 部分得出。对开集 \(U \subset U' \subset S\)，这些同构与限制映射相容；这由引理 01LP 的第 (2) 部分得出。因此由《层》引理 009U，这些同构来自一个 \(\mathcal{O}_S\)-代数同构 \(\varphi : \mathcal{A} \to \mathcal{R}\)。于是得到元素 \((\pi, \varphi) \in F(\underline{\Spec}_S(\mathcal{A}))\)。由于 \(X\) 表示函子 \(F\)，得到相应的概形态射 \(can : \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) \to X\)，它位于 \(S\) 上。

任取仿射开集 \(U \subset S\)。令 \(F_U \subset F\) 为 \(F\) 的子函子，它对应于二元组 \((f, \varphi)\)；这些二元组定义在概形 \(T\) 上，并满足 \(f(T) \subset U\)。显然，基变换 \(X_U\) 表示 \(F_U\)。此外，由引理 01LT，\(F_U\) 由 \(\Spec(\mathcal{A}(U)) = \pi^{-1}(U)\) 表示。换言之， \(X_U \cong \pi^{-1}(U)\)。略去以下验证：这个等同确实由态射 \(can\) 到 \(U\) 的基变换给出。

定义

设 \(S\) 为概形。设 \(\mathcal{A}\) 为一层拟凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-代数。把 \(\mathcal{A}\) 在 \(S\) 上的相对谱，或简称把 \(\mathcal{A}\) 在 \(S\) 上的谱，定义为引理 01LP 中构造并表示函子 \(F\)（01LR）的概形；见引理 01LV。把它记作 \(\pi : \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) \to S\)。 “泛族”是 \(\mathcal{O}_S\)-代数态射 \[\mathcal{A} \longrightarrow \pi_*\mathcal{O}_{\underline{\Spec}_S(\mathcal{A})}\]

下面的引理尤其说明，相对谱的构造与基变换可交换。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \(\mathcal{A}\) 为一层拟凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-代数。令 \(\pi : \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) \to S\) 为 \(\mathcal{A}\) 在 \(S\) 上的相对谱。

对每个仿射开集 \(U \subset S\)，逆像 \(\pi^{-1}(U)\) 是仿射的。

对每个态射 \(g : S' \to S\)，都有 \(S' \times_S \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) = \underline{\Spec}_{S'}(g^*\mathcal{A})\).

泛映射 \[\mathcal{A} \longrightarrow \pi_*\mathcal{O}_{\underline{\Spec}_S(\mathcal{A})}\] 是 \(\mathcal{O}_S\)-代数同构。

证明

第 (1) 部分来自相对谱的粘合描述；见引理 01LP。第 (2) 部分立即由引理 01LS 得出。第 (3) 部分在 \(S\) 上是局部的，而当 \(S\) 仿射时，例如由引理 01LT 可知它显然成立。

引理

设 \(f : X \to S\) 为拟紧且拟分离的概形态射。由《概形》引理 01LC，层 \(f_*\mathcal{O}_X\) 是一层拟凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-代数。存在典范态射 \[can : X \longrightarrow \underline{\Spec}_S(f_*\mathcal{O}_X)\] ，它是 \(S\) 上的概形态射。对任意仿射开集 \(U \subset S\)，限制 \(can|_{f^{-1}(U)}\) 与典范态射 \[f^{-1}(U) \longrightarrow \Spec(\Gamma(f^{-1}(U), \mathcal{O}_X))\] 等同；后者来自《概形》引理 01I1。

证明

按照把 \(\underline{\Spec}\) 定义为表示函子 \(F\) 的概形的方式，该态射来自典范映射 \(\varphi : f^*f_*\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X\)（由推前与拉回的伴随性，它对应于 \(\text{id} : f_*\mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_X\)）。关于在 \(f^{-1}(U)\) 上限制的断言，由仿射概形上相对谱的描述得出；见引理 01LT。

仿射 n 维空间

作为相对谱的一项应用，我们如下定义基概形上的仿射 \(n\) 维空间。设基概形为 \(S\)。对任意整数 \(n \geq 0\)，可以考虑拟凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-代数层 \(\mathcal{O}_S[T_1, \ldots, T_n]\)。它是拟凝聚的，因为把它看作 \(\mathcal{O}_S\)-模层时，它就是由多重指标标号的 \(\mathcal{O}_S\) 的诸副本之直和。

定义

设 \(S\) 为概形且 \(n \geq 0\)。概形 \[\mathbf{A}^n_S = \underline{\Spec}_S(\mathcal{O}_S[T_1, \ldots, T_n])\] 把它看作 \(S\) 上的概形，称为仿射 \(n\) 维空间（在 \(S\) 上）。若 \(S = \Spec(R)\) 是仿射的，则也称它为仿射 \(n\) 维空间（在 \(R\) 上），并记作 \(\mathbf{A}^n_R\)。

注意：

\(\mathbf{A}^n_R = \Spec(R[T_1, \ldots, T_n])\)。对概形的任意态射 \(g : S' \to S\)，有

\(g^*\mathcal{O}_S[T_1, \ldots, T_n] = \mathcal{O}_{S'}[T_1, \ldots, T_n]\) 。

因而 \(\mathbf{A}^n_{S'} = S' \times_S \mathbf{A}^n_S\) 是相应的基变换。所以也可用下式定义仿射 \(n\) 维空间： \[\mathbf{A}^n_S = S \times_{\Spec(\mathbf{Z})} \mathbf{A}^n_{\mathbf{Z}}.\] 此外，从 \(S\)-概形 \(f : X \to S\) 到 \(\mathbf{A}^n_S\) 的一个态射，由一个 \(\mathcal{O}_S\)-代数同态给出：

\(\mathcal{O}_S[T_1, \ldots, T_n] \to f_*\mathcal{O}_X\)。这显然等价于给出各 \(T_i\) 的像。换言之，从 \(X\) 到 \(\mathbf{A}^n_S\) 的 \(S\) 上态射，等价于给出 \(n\) 个元素：

\(h_1, \ldots, h_n \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)。

向量丛

设 \(S\) 为概形。设 \(\mathcal{E}\) 为一层拟凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-模。由《模》引理 01CL，对称代数 \(\text{Sym}(\mathcal{E})\)（即 \(\mathcal{E}\) 在 \(\mathcal{O}_S\) 上的对称代数）是一层拟凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-代数。因此可以对它取相对谱。

定义

设 \(S\) 为概形。设 \(\mathcal{E}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-模¹。 与 \(\mathcal{E}\) 关联的向量丛定义为 \[\mathbf{V}(\mathcal{E}) = \underline{\Spec}_S(\text{Sym}(\mathcal{E})).\]

与 \(\mathcal{E}\) 关联的向量丛带有一些附加结构。具体而言，有分次 \[\pi_*\mathcal{O}_{\mathbf{V}(\mathcal{E})} = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \text{Sym}^n(\mathcal{E}).\] 它使 \(\pi_*\mathcal{O}_{\mathbf{V}(\mathcal{E})}\) 成为分次 \(\mathcal{O}_S\)-代数。反过来，可以恢复 \(\mathcal{E}\)，方法是取它的次数 \(1\) 部分。因此如下定义抽象向量丛。

定义

设 \(S\) 为概形。向量丛 \(\pi : V \to S\)（在 \(S\) 上）是一个仿射概形态射，使得 \(\pi_*\mathcal{O}_V\) 带有分次 \(\mathcal{O}_S\)-代数结构 \(\pi_*\mathcal{O}_V = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{E}_n\) ，满足 \(\mathcal{E}_0 = \mathcal{O}_S\)，并且映射 \[\text{Sym}^n(\mathcal{E}_1) \longrightarrow \mathcal{E}_n\] 对所有 \(n \geq 0\) 都是同构。\(S\) 上向量丛的态射是态射 \(f : V \to V'\)，使得诱导映射 \[f^* : \pi'_*\mathcal{O}_{V'} \longrightarrow \pi_*\mathcal{O}_V\] 与给定的分次相容。

概形 \(S\) 上的向量丛有如下例子：仿射 \(n\) 维空间 \(\mathbf{A}^n_S\)（在 \(S\) 上）；见定义 01M0。这是因为 \(\mathcal{O}_S[T_1, \ldots, T_n] = \text{Sym}(\mathcal{O}_S^{\oplus n})\).

引理

概形 \(S\) 上的向量丛范畴与拟凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-模范畴反等价。

证明

略。提示：一个方向使用函子 \(\underline{\Spec}_S(\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_S}(-))\) ，另一个方向使用函子 \((\pi : V \to S) \leadsto (\pi_*\mathcal{O}_V)_1\)；这里下标表示取次数 \(1\) 部分。

锥

在代数几何中，锥对应于分次代数。按照我们的约定，分次环或分次代数 \(A\) 带有由非负整数给出的分次 \(A = \bigoplus_{d \geq 0} A_d\)；见《代数》章节 00JL。

定义

设 \(S\) 为概形。设 \(\mathcal{A}\) 为拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_S\)-代数。假设 \(\mathcal{O}_S \to \mathcal{A}_0\) 是同构²。与 \(\mathcal{A}\) 关联的锥，也称 与 \(\mathcal{A}\) 关联的仿射锥，定义为 \[C(\mathcal{A}) = \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}).\]

与一层分次 \(\mathcal{O}_S\)-代数关联的锥带有一些附加结构。具体而言，得到分次 \[\pi_*\mathcal{O}_{C(\mathcal{A})} = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{A}_n\] 因此可以如下定义抽象锥。

定义

设 \(S\) 为概形。锥 \(\pi : C \to S\)（在 \(S\) 上）是一个仿射概形态射，使得 \(\pi_*\mathcal{O}_C\) 带有分次 \(\mathcal{O}_S\)-代数结构 \(\pi_*\mathcal{O}_C = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{A}_n\) ，满足 \(\mathcal{A}_0 = \mathcal{O}_S\)。从 \(\pi : C \to S\) 到 \(\pi' : C' \to S\) 的锥态射，是态射 \(f : C \to C'\)，使得诱导映射 \[f^* : \pi'_*\mathcal{O}_{C'} \longrightarrow \pi_*\mathcal{O}_C\] 与给定的分次相容。

任意向量丛都是锥的一个例子。事实上，\(S\) 上的向量丛范畴是 \(S\) 上锥范畴的满子范畴。

分次环的 Proj

本节依照 [EGA, II, Section 2] 构造分次环的 Proj。

设 \(S\) 为分次环。考虑拓扑空间 \(\text{Proj}(S)\)，它与 \(S\) 关联；见《代数》章节 00JM。我们将在这个空间上赋予一层环 \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)，使所得二元组 \((\text{Proj}(S), \mathcal{O}_{\text{Proj}(S)})\) 成为概形。

回顾 \(\text{Proj}(S)\) 有一个由开集 \(D_{+}(f)\) 构成的基，其中 \(f \in S_d\) 且 \(d \geq 1\)；我们称这些开集为标准开集，见《代数》章节 00JM。即使不再明说，这一术语也总是蕴含 \(f\) 是正次数齐次元。此外，两个标准开集之交仍是标准开集： \(D_{+}(f) \cap D_{+}(g) = D_{+}(fg)\)，其中 \(f, g \in S\) 是正次数齐次元。

引理

设 \(S\) 为分次环。设 \(f \in S\) 为正次数齐次元。

若 \(g\in S\) 是正次数齐次元且 \(D_{+}(g) \subset D_{+}(f)\)，则

\(f\) 在 \(S_g\) 中可逆，且 \(f^{\deg(g)}/g^{\deg(f)}\) 在 \(S_{(g)}\) 中可逆；

有 \(g^e = af\)，其中 \(e \geq 1\)，且 \(a \in S\) 是齐次元；

存在典范 \(S\)-代数映射 \(S_f \to S_g\)；

存在典范 \(S_0\)-代数映射 \(S_{(f)} \to S_{(g)}\)，它与映射 \(S_f \to S_g\) 相容；

映射 \(S_{(f)} \to S_{(g)}\) 诱导同构 \[(S_{(f)})_{g^{\deg(f)}/f^{\deg(g)}} \cong S_{(g)},\]

这些映射诱导拓扑空间的交换图 \[\xymatrix{ D_{+}(g) \ar[d] & \{\mathbf{Z}\text{-分次素理想，位于 }S_g\} \ar[l] \ar[r] \ar[d] & \Spec(S_{(g)}) \ar[d] \\ D_{+}(f) & \{\mathbf{Z}\text{-分次素理想，位于 }S_f\} \ar[l] \ar[r] & \Spec(S_{(f)}) }\] ，其中水平映射是同胚，竖直映射是开浸入；

存在相互相容的典范 \(S_f\)-模映射和 \(S_{(f)}\)-模映射 \(M_f \to M_g\) 与 \(M_{(f)} \to M_{(g)}\)，它们对任意分次 \(S\)-模 \(M\) 都有定义；并且

映射 \(M_{(f)} \to M_{(g)}\) 诱导同构 \[(M_{(f)})_{g^{\deg(f)}/f^{\deg(g)}} \cong M_{(g)}.\]

\(D_{+}(f)\) 的任意开覆盖都可细化为形如 \(D_{+}(f) = \bigcup_{i = 1}^n D_{+}(g_i)\) 的有限开覆盖。

设 \(g_1, \ldots, g_n \in S\) 为正次数齐次元。则 \(D_{+}(f) \subset \bigcup D_{+}(g_i)\) 当且仅当 \(g_1^{\deg(f)}/f^{\deg(g_1)}, \ldots, g_n^{\deg(f)}/f^{\deg(g_n)}\) 在 \(S_{(f)}\) 中生成单位理想。

证明

回顾 \(D_{+}(g) = \Spec(S_{(g)})\)，其等同由环映射 \(S \to S_g \leftarrow S_{(g)}\) 给出；见《代数》引理 00JP。因此 \(f^{\deg(g)}/g^{\deg(f)}\) 是 \(S_{(g)}\) 中不属于任何素理想的元素，从而可逆；见《代数》引理 00E0。这证明了 (a)。把 \(f\) 在 \(S_g\) 中的逆元写成 \(a/g^d\)。可将 \(a\) 替换为它的次数 \(d\deg(g) - \deg(f)\) 齐次部分。这意味着 \(g^d - af\) 被 \(g\) 的某个幂零化，因而有 \(g^e = af\)，其中某个 \(a \in S\) 是次数为 \(e\deg(g) - \deg(f)\) 的齐次元。这证明了 (b)。关于 (c)，由局部化的泛性质以及 (a)，映射 \(S_f \to S_g\) 存在；也可把 \(b/f^n\) 映为 \(a^nb/g^{ne}\) 来定义它。这显然也诱导次数零元素子环之间的映射 \(S_{(f)} \to S_{(g)}\)。类似地，可定义 \(M_f \to M_g\) 和 \(M_{(f)} \to M_{(g)}\)，其定义是把 \(x/f^n\) 映为 \(a^nx/g^{ne}\)。由上述公式立刻可见， \(S_{(g)}\)（相应地 \(M_{(g)}\)）是 \(S_{(f)}\)（相应地 \(M_{(f)}\)）的主局部化。拓扑空间交换图中的映射对应于上述环映射。由《代数》引理 00JP，水平箭头是同胚。竖直箭头是开浸入，因为左侧箭头是开子集的包含映射。

开集 \(D_{+}(f)\) 是拟紧的，因为它同胚于 \(\Spec(S_{(f)})\)；见《代数》引理 00E8。因此第二个断言直接由标准开集构成拓扑基这一事实得出。

第三个断言直接由《代数》引理 00E0 得出。

在《层》章节 009H 中，我们定义了基上的层，并证明它与空间上的层本质上等价；见《层》引理 009N 和 009Q。此外，《层》引理 009L 证明，对每个标准开集，只须在开覆盖的一个共尾系统上检验层条件。由上面的引理，只须对由标准开集给出的有限覆盖作检验。

定义

设 \(S\) 为分次环。假设 \(D_{+}(f) \subset \text{Proj}(S)\) 是标准开集。 \(D_{+}(f)\) 的标准开覆盖是形如 \(D_{+}(f) = \bigcup_{i = 1}^n D_{+}(g_i)\) 的覆盖，其中 \(g_1, \ldots, g_n \in S\) 是正次数齐次元。

设 \(S\) 为分次环。设 \(M\) 为分次 \(S\)-模。我们将在标准开集构成的基上定义预层 \(\widetilde M\)。假设 \(U \subset \text{Proj}(S)\) 是标准开集。若 \(f, g \in S\) 是正次数齐次元且 \(D_{+}(f) = D_{+}(g)\)，则由上面的引理 01M4，存在互为逆映射的典范映射 \(M_{(f)} \to M_{(g)}\) 和 \(M_{(g)} \to M_{(f)}\)。因此可任选一个 \(f\)，使 \(U = D_{+}(f)\)，并定义 \[\widetilde M(U) = M_{(f)}.\] 注意，若 \(D_{+}(g) \subset D_{+}(f)\)，则由上面的引理 01M4 有典范映射 \[\widetilde M(D_{+}(f)) = M_{(f)} \longrightarrow M_{(g)} = \widetilde M(D_{+}(g)).\] 显然，这在标准开集构成的基上定义了阿贝尔群预层。若 \(M = S\)，则 \(\widetilde S\) 是该基上的环预层。对一般的 \(M\)，可见 \(\widetilde M\) 是该基上的 \(\widetilde S\)-模预层。

来计算 \(\widetilde M\) 在一点 \(x \in \text{Proj}(S)\) 处的茎。假设 \(x\) 对应于齐次素理想 \(\mathfrak p \subset S\)。由茎的定义可见 \[\widetilde M_x = \colim_{f\in S_d, d > 0, f\not\in \mathfrak p} M_{(f)}\] 。这里集合 \(\{f \in S_d, d > 0, f \not \in \mathfrak p\}\) 按如下规则预序： \(f \geq f' \Leftrightarrow D_{+}(f) \subset D_{+}(f')\)。若 \(f_1, f_2 \in S \setminus \mathfrak p\) 是正次数齐次元，则在此序中 \(f_1f_2 \geq f_1\)。在《代数》章节 00JM 中，我们把 \(M_{(\mathfrak p)}\) 定义为由分式 \(x/f\) 构成的模，其中 \(x, f\) 齐次，\(\deg(x) = \deg(f)\)，且 \(f \not \in \mathfrak p\)。由于 \(\mathfrak p \in \text{Proj}(S)\)，至少存在一个正次数齐次元 \(f_0 \in S\) 满足 \(f_0 \not\in \mathfrak p\)。于是 \(x/f = f_0x/ff_0\)，可见总能假设 \(M_{(\mathfrak p)}\) 中元素的分母具有正次数。由这些说明容易得出 \[\widetilde M_x = M_{(\mathfrak p)}.\]

接下来检验标准开覆盖的层条件。若 \(D_{+}(f) = \bigcup_{i = 1}^n D_{+}(g_i)\)，则这个覆盖的层条件等价于序列 \[0 \to M_{(f)} \to \bigoplus M_{(g_i)} \to \bigoplus M_{(g_ig_j)}.\] 的正合性。注意 \(D_{+}(g_i) = D_{+}(fg_i)\)，因此可将这个序列改写为 \[0 \to M_{(f)} \to \bigoplus M_{(fg_i)} \to \bigoplus M_{(fg_ig_j)}.\] 由引理 01M4 可见，

\(g_1^{\deg(f)}/f^{\deg(g_1)}, \ldots, g_n^{\deg(f)}/f^{\deg(g_n)}\)

在 \(S_{(f)}\) 中生成单位理想，而模 \(M_{(fg_i)}\)、\(M_{(fg_ig_j)}\) 是 \(S_{(f)}\)-模 \(M_{(f)}\) 关于这些元素及其乘积的主局部化。因此可将《代数》引理 00EK 应用于模 \(M_{(f)}\)（它在 \(S_{(f)}\) 上）以及元素

\(g_1^{\deg(f)}/f^{\deg(g_1)}, \ldots, g_n^{\deg(f)}/f^{\deg(g_n)}\).

从而该序列正合。由上述说明可见，\(\widetilde M\) 是标准开集构成的基上的层。

于是由《层》章节 009H 的内容可知，存在唯一的环层 \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)，它在标准开集上与 \(\widetilde S\) 一致。注意，由上面对茎的计算以及《代数》引理 00JR，这个环层的各个茎都是局部环。

类似地，对任意分次 \(S\)-模 \(M\)，存在唯一的 \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)-模层 \(\mathcal{F}\)，它在标准开集上与 \(\widetilde M\) 一致；见《层》引理 009T。

定义

设 \(S\) 为分次环。

齐次谱的结构层 \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)（关于 \(S\)）是唯一的环层 \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\) ，它在标准开集构成的基上与 \(\widetilde S\) 一致。

局部环层空间 \((\text{Proj}(S), \mathcal{O}_{\text{Proj}(S)})\) 称为 \(S\) 的齐次谱，记作 \(\text{Proj}(S)\)。

设有一个 \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)-模层，它把 \(\widetilde M\) 延拓到 \(\text{Proj}(S)\) 的所有开集；称此层为一个 \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)-模层，即与 \(M\) 关联的模层。这个层也记作 \(\widetilde M\)。

总结目前所得的结果。

引理

设 \(S\) 为分次环。设 \(M\) 为分次 \(S\)-模。设 \(\widetilde M\) 为一个 \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)-模层，即与 \(M\) 关联的层。

对每个正次数齐次元 \(f \in S\)，有 \[\Gamma(D_{+}(f), \mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}) = S_{(f)}.\]

对每个正次数齐次元 \(f\in S\)，有 \(\Gamma(D_{+}(f), \widetilde M) = M_{(f)}\)，这是 \(S_{(f)}\)-模的等式。

每当 \(D_{+}(g) \subset D_{+}(f)\) 时， \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\) 和 \(\widetilde M\) 上的限制映射，就是引理 01M4 中的映射 \(S_{(f)} \to S_{(g)}\) 和 \(M_{(f)} \to M_{(g)}\)。

设 \(\mathfrak p\) 为 \(S\) 的、不包含 \(S_{+}\) 的齐次素理想，并设 \(x \in \text{Proj}(S)\) 为相应的点。则有 \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S), x} = S_{(\mathfrak p)}\).

设 \(\mathfrak p\) 为 \(S\) 的、不包含 \(S_{+}\) 的齐次素理想，并设 \(x \in \text{Proj}(S)\) 为相应的点。则有 \((\widetilde M)_x = M_{(\mathfrak p)}\)，这是 \(S_{(\mathfrak p)}\)-模的等式。

存在典范环映射

\(S_0 \longrightarrow \Gamma(\text{Proj}(S), \widetilde S)\)

以及典范 \(S_0\)-模映射

\(M_0 \longrightarrow \Gamma(\text{Proj}(S), \widetilde M)\)

，它们与上面对标准开集上截面及茎的描述相容。

此外，所有这些等同都关于分次 \(S\)-模 \(M\) 具有函子性。特别地，函子 \(M \mapsto \widetilde M\) 是从分次 \(S\)-模范畴到 \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)-模范畴的正合函子。

证明

断言 (1)–(5) 由上述讨论即得。断言 (6) 成立，是因为存在与 (3) 中限制映射相容的典范映射 \(M_0 \to M_{(f)}\)、\(x \mapsto x/1\)。函子 \(M \mapsto \widetilde M\) 的正合性来自如下事实：函子 \(M \mapsto M_{(\mathfrak p)}\) 是正合的（见《代数》引理 00JR），而短正合序列的正合性可在茎上检验；见《模》引理 01AG。

注

从 \(M_0\) 到 \(\widetilde M\) 的整体截面的映射一般远非同构。一个平凡例子是取 \(S = k[x, y, z]\)，其中 \(1 = \deg(x) = \deg(y) = \deg(z)\) （也可取任意多个变量），再取 \(M = S/(x^{100}, y^{100}, z^{100})\)。容易看出 \(\widetilde M = 0\)，但 \(M_0 = k\)。

引理

设 \(S\) 为分次环。设 \(f \in S\) 为正次数齐次元。假设 \(D(g) \subset \Spec(S_{(f)})\) 是标准开集。则存在正次数齐次元 \(h \in S\)，使得在《代数》引理 00JP 的同胚下，\(D(g)\) 对应于 \(D_{+}(h) \subset D_{+}(f)\)。事实上，可取 \(h\) 使得 \(g = h/f^n\)，其中 \(n\) 为某个整数。

证明

写成 \(g = h/f^n\)，其中 \(h\) 是某个正次数齐次元，且 \(n \geq 1\)。若 \(D_{+}(h)\) 不包含于 \(D_{+}(f)\)，则把 \(h\) 替换为 \(hf\)，并把 \(n\) 替换为 \(n + 1\)。此时 \(h\) 具有所需形式，并且 \(D_{+}(h) \subset D_{+}(f)\) 对应于 \(D(g) \subset \Spec(S_{(f)})\)。

引理

设 \(S\) 为分次环。局部环层空间 \(\text{Proj}(S)\) 是概形。标准开集 \(D_{+}(f)\) 是仿射开集。对任意分次 \(S\)-模 \(M\)，层 \(\widetilde M\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)-模层。

证明

考虑标准开集 \(D_{+}(f) \subset \text{Proj}(S)\)。由引理 01M4 和 01M7，有 \(\Gamma(D_{+}(f), \mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}) = S_{(f)}\)，并有同胚 \(\varphi : D_{+}(f) \to \Spec(S_{(f)})\)。对任意标准开集 \(D(g) \subset \Spec(S_{(f)})\)，可按引理 01MA 选取 \(h \in S_{+}\)。于是 \(\varphi^{-1}(D(g)) = D_{+}(h)\)，并由引理 01M7 和 01M4 可得 \[\Gamma(D_{+}(h), \mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}) = S_{(h)} = (S_{(f)})_{h^{\deg(f)}/f^{\deg(h)}} = (S_{(f)})_g = \Gamma(D(g), \mathcal{O}_{\Spec(S_{(f)})}).\] 因此 \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\) 在 \(D_{+}(f)\) 上的限制，在同胚 \(\varphi\) 下恰好对应于层 \(\mathcal{O}_{\Spec(S_{(f)})}\)；后者按《概形》章节 01HR 定义。从而 \(D_{+}(f)\) 是仿射概形，并同构于 \(\Spec(S_{(f)})\)，同构由 \(\varphi\) 给出；因此 \(\text{Proj}(S)\) 是概形。

完全相同的论证表明，\(\widetilde M\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)-模层。具体而言，上述论证给出 \[\widetilde M|_{D_{+}(f)} \cong \varphi^*\left(\widetilde{M_{(f)}}\right)\] ，这表明 \(\widetilde M\) 是拟凝聚的。

引理

设 \(S\) 为分次环。概形 \(\text{Proj}(S)\) 是分离的。

证明

需要证明典范态射 \(\text{Proj}(S) \to \Spec(\mathbf{Z})\) 是分离的。使用《概形》引理 01KP。因此只须对任意一对标准开集 \(D_{+}(f)\) 和 \(D_{+}(g)\) 证明： \(D_{+}(f) \cap D_{+}(g) = D_{+}(fg)\) 是仿射的（这是显然的），并且环映射 \[S_{(f)} \otimes_{\mathbf{Z}} S_{(g)} \longrightarrow S_{(fg)}\] 是满射。任意元素 \(s\)（在 \(S_{(fg)}\) 中）都形如 \(s = h/(f^ng^m)\)，其中 \(h \in S\) 是次数为 \(n\deg(f) + m\deg(g)\) 的齐次元。可以把 \(h\) 乘以适当的单项式 \(f^ig^j\)，并假设 \(n = n' \deg(g)\) 且 \(m = m' \deg(f)\)。于是可将 \(s\) 改写为 \(s = h/f^{(n' + m')\deg(g)} \cdot f^{m'\deg(g)}/g^{m'\deg(f)}\)。所以 \(s\) 的确位于所示箭头的像中。

引理

设 \(S\) 为分次环。概形 \(\text{Proj}(S)\) 拟紧，当且仅当存在有限多个齐次元 \(f_1, \ldots, f_n \in S_{+}\)，使得 \(S_{+} \subset \sqrt{(f_1, \ldots, f_n)}\)。在这种情形下， \(\text{Proj}(S) = D_+(f_1) \cup \ldots \cup D_+(f_n)\)。

证明

给定这样一族元素，由《代数》引理 00JP，标准仿射开集 \(D_{+}(f_i)\) 覆盖 \(\text{Proj}(S)\)。反过来，若 \(\text{Proj}(S)\) 拟紧，则可用有限多个标准开集 \(D_{+}(f_i)\)， \(i = 1, \ldots, n\) 覆盖它；由上述引理可见 \(S_{+} \subset \sqrt{(f_1, \ldots, f_n)}\)。

引理

设 \(S\) 为分次环。概形 \(\text{Proj}(S)\) 有一个到仿射概形 \(\Spec(S_0)\) 的典范态射，它与《代数》定义 00JN 给出的拓扑空间映射一致。

证明

上文已经看到，我们对 \(\widetilde S\)（相应地 \(\widetilde M\)）的构造给出一层 \(S_0\)-代数（相应地 \(S_0\)-模）。因此由《概形》引理 01I1 得到一个态射。这个态射限制到 \(D_{+}(f)\) 时，来自典范环映射 \(S_0 \to S_{(f)}\)。映射 \(S \to S_f\)、\(S_{(f)} \to S_f\) 都是 \(S_0\)-代数映射；见引理 01M4。因此，若齐次素理想 \(\mathfrak p \subset S\) 对应于 \(\mathbf{Z}\)-分次素理想 \(\mathfrak p' \subset S_f\) 以及（通常意义下的）素理想 \(\mathfrak p'' \subset S_{(f)}\)，则它们在 \(S_0\) 中的逆像相同。

引理

设 \(S\) 为分次环。若 \(S\) 作为 \(S_0\) 上的代数有限生成，则态射 \(\text{Proj}(S) \to \Spec(S_0)\) 满足赋值判据的存在性部分与唯一性部分；见《概形》定义 01KD。

证明

唯一性部分来自 \(\text{Proj}(S)\) 是分离的这一事实（引理 01MC 以及《概形》引理 01KZ）。选取齐次元 \(x_i \in S_{+}\)，\(i = 1, \ldots, n\)；它们生成 \(S\)，作为 \(S_0\)-代数。令 \(d_i = \deg(x_i)\)，并置 \(d = \text{lcm}\{d_i\}\)。假设给定交换图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & \text{Proj}(S) \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & \Spec(S_0) }\] ，如《概形》定义 01KD 所述。记 \(v : K^* \to \Gamma\) 为 \(A\) 的赋值；见《代数》定义 00IE。可以选取齐次元 \(f \in S_{+}\)，使 \(\Spec(K)\) 映入 \(D_{+}(f)\)。于是得到环映射的交换图 \[\xymatrix{ K & S_{(f)} \ar[l]^{\varphi} \\ A \ar[u] & S_0 \ar[l] \ar[u] }\] 重新编号后，可以假设 \(\varphi(x_i^{\deg(f)}/f^{d_i})\) 对 \(i = 1, \ldots, r\) 非零，而对 \(i = r + 1, \ldots, n\) 为零。由于开集 \(D_{+}(x_i)\) 覆盖 \(\text{Proj}(S)\)，可见 \(r \geq 1\)。取指标 \(i_0 \in \{1, \ldots, r\}\)，使 \(\gamma_i = (d/d_i)v(\varphi(x_i^{\deg(f)}/f^{d_i}))\) 在 \(\Gamma\) 中最小。为方便起见，置 \(x_0 = x_{i_0}\) 与 \(d_0 = d_{i_0}\)。环映射 \(\varphi\) 分解经过映射 \(\varphi' : S_{(fx_0)} \to K\)，后者给出环映射 \(S_{(x_0)} \to S_{(fx_0)} \to K\)。代数 \(S_{(x_0)}\) 在 \(S_0\) 上由元素 \(x_1^{e_1} \ldots x_n^{e_n}/x_0^{e_0}\) 生成，其中 \(\sum e_i d_i = e_0 d_0\)。若 \(e_i > 0\) 对某个 \(i > r\) 成立，则 \(\varphi'(x_1^{e_1} \ldots x_n^{e_n}/x_0^{e_0}) = 0\)。若 \(e_i = 0\) 对 \(i > r\) 成立，则 \[\begin{align*} d \deg(f) v(\varphi'(x_1^{e_1} \ldots x_r^{e_r}/x_0^{e_0})) & = d v(\varphi'(x_1^{e_1 \deg(f)} \ldots x_r^{e_r \deg(f)}/x_0^{e_0 \deg(f)})) \\ & = d \sum e_i v(\varphi'(x_i^{\deg(f)}/f^{d_i})) - e_0 v(\varphi'(x_0^{\deg(f)}/f^{d_0})) \\ & = \sum e_i d_i \gamma_i - e_0 d_0 \gamma_0 \\ & \geq \sum e_i d_i \gamma_0 - e_0 d_0 \gamma_0 = 0 \end{align*}\] ，因为 \(\gamma_0\) 在诸 \(\gamma_i\) 中最小。这说明 \(S_{(x_0)}\) 映入 \(A\)，映射由 \(\varphi'\) 给出。相应的概形态射 \(\Spec(A) \to \Spec(S_{(x_0)}) = D_{+}(x_0) \subset \text{Proj}(S)\) 给出嵌入本证明第一个交换图中的所需态射。

在引理 01MF 的证明中已经看到，在该引理的假设下，态射 \(\text{Proj}(S) \to \Spec(S_0)\) 也是拟紧的。因此由《概形》命题 01KF，在该引理的情形中 \(\text{Proj}(S) \to \Spec(S_0)\) 是万有闭的。下面给出若干例子，说明若不对分次环 \(S\) 作某种假设，这些结果不成立。

例

设 \(\mathbf{C}[X_1, X_2, X_3, \ldots]\) 为分次 \(\mathbf{C}\)-代数，其中每个 \(X_i\) 的次数都是 \(1\)。考虑环映射 \[\mathbf{C}[X_1, X_2, X_3, \ldots] \longrightarrow \mathbf{C}[t^\alpha ; \alpha \in \mathbf{Q}_{\geq 0}]\] ，它把 \(X_i\) 映为 \(t^{1/i}\)。右端成为赋值环 \(A\)，这是在理想 \(\mathfrak m = (t^\alpha ; \alpha > 0)\) 处局部化后得到的。设 \(K\) 为 \(A\) 的分式域。上述映射给出态射 \(\Spec(K) \to \text{Proj}(\mathbf{C}[X_1, X_2, X_3, \ldots])\)，它不能延拓为定义在整个 \(\Spec(A)\) 上的态射。理由是，\(\Spec(A)\) 的像将包含于某个 \(D_{+}(X_i)\) 中，但此时 \(X_{i + 1}/X_i\) 应映为 \(A\) 中的元素；事实上并非如此，因为它映为 \(t^{1/(i + 1) - 1/i}\)。

例

设 \(R = \mathbf{C}[t]\)，并令 \[S = R[X_1, X_2, X_3, \ldots]/(X_i^2 - tX_{i + 1}).\] 分次满足 \(R = S_0\) 且 \(\deg(X_i) = 2^{i - 1}\)。注意，若 \(\mathfrak p \in \text{Proj}(S)\)，则 \(t \not \in \mathfrak p\)；否则 \(\mathfrak p\) 必须包含所有 \(X_i\)，这对齐次谱的元素是不允许的。因此有 \(D_{+}(X_i) = D_{+}(X_{i + 1})\)，对所有 \(i\) 均成立。所以 \(\text{Proj}(S)\) 是拟紧的；事实上它是仿射的，因为它等于 \(D_{+}(X_1)\)。容易看出，\(\text{Proj}(S) \to \Spec(R)\) 的像是 \(D(t)\)。因此态射 \(\text{Proj}(S) \to \Spec(R)\) 不是闭态射。所以赋值判据不能适用，因为它会蕴含该态射是闭的（见《概形》命题 01KF）。

例

设 \(A\) 为环。令 \(S = A[T]\) 为分次 \(A\)-代数，其中 \(T\) 的次数为 \(1\)。则典范态射 \(\text{Proj}(S) \to \Spec(A)\)（见引理 01ME）是同构。

例

设 \(X = \Spec(A)\) 为仿射概形，并设 \(U \subset X\) 为开子概形。给 \(A[T]\) 分次，规定 \(\deg T = 1\)。定义 \(S\) 为 \(A[T]\) 的如下子环：它由 \(A\) 和所有 \(fT^i\) 生成，其中 \(i \ge 0\)，而 \(f \in A\) 满足 \(D(f) \subset U\)。我们断言 \(S\) 是满足 \(S_0 = A\) 的分次环，并且 \(\text{Proj}(S) \cong U\)；此同构把引理 01ME 的典范态射 \(\text{Proj}(S) \to \Spec(A)\) 与包含映射 \(U \subset X\) 等同起来。

假设 \(\mathfrak p \in \text{Proj}(S)\) 满足每个 \(fT \in S_1\) 都属于 \(\mathfrak p\)。则每个生成元 \(fT^i\)（其中 \(i \ge 1\)）都属于 \(\mathfrak p\)，因为 \((fT^i)^2 = (fT)(fT^{2i-1}) \in \mathfrak p\)，且 \(\mathfrak p\) 是根理想。但这会给出 \(\mathfrak p \supset S_+\)，不可能。因此 \(\text{Proj}(S)\) 由标准仿射开子集 \(\{D_+(fT)\}_{fT \in S_1}\) 覆盖。

注意，若 \(fT \in S_1\)，则包含映射 \(S \subset A[T]\) 诱导 \(S[(fT)^{-1}]\) 与 \(A[T, T^{-1}, f^{-1}]\) 的分次同构。因此标准开子集 \(D_+(fT) \cong \Spec(S_{(fT)})\) 同构于 \(\Spec(A[T, T^{-1}, f^{-1}]_0) = \Spec(A[f^{-1}])\)。显然，此同构是典范态射 \(\text{Proj}(S) \to \Spec(A)\) 的限制。若还有 \(gT \in S_1\)，则 \(S[(fT)^{-1}, (gT)^{-1}] \cong A[T, T^{-1}, f^{-1}, g^{-1}]\) 是分次环同构，故 \(D_+(fT) \cap D_+(gT) \cong \Spec(A[f^{-1}, g^{-1}])\)。因此 \(\text{Proj}(S)\) 是诸开子概形 \(D_+(fT)\) 的并；在典范态射下，它们同构于开子概形 \(D(f) \subset X\)，并且这些开子概形在 \(\text{Proj}(S)\) 中的相交方式与它们在 \(X\) 中的相交方式相同。由此可知，典范态射给出 \(\text{Proj}(S)\) 与所有 \(D(f) \subset U\) 之并的同构，而这个并就是 \(U\)。

Proj 上的拟凝聚层

设 \(S\) 为分次环。设 \(M\) 为分次 \(S\)-模。在引理 01M7 中，我们已经构造了拟凝聚模层 \(\widetilde{M}\)（它位于 \(\text{Proj}(S)\) 上）以及映射 [0AG1]\[\begin{equation} M_0 \longrightarrow \Gamma(\text{Proj}(S), \widetilde{M}) \end{equation}\] ，它把次数 \(0\) 部分（属于 \(M\)）映到 \(\widetilde{M}\) 的整体截面。考虑次数 \(0\) 部分：它在第 \(n\) 次扭转 \(M(n)\) 中（原分次模为 \(M\)；见《代数》章节 00JL）等于 \(M_n\)。因此得到映射 [0AG2]\[\begin{equation} M_n \longrightarrow \Gamma(\text{Proj}(S), \widetilde{M(n)}). \end{equation}\] 我们希望对任意拟凝聚层 \(\mathcal{F}\)（在 \(\text{Proj}(S)\) 上）都能执行此操作。为此，将与结构层的第 \(n\) 次扭转作张量积；见定义 01MN。为联系这两个概念，将使用下面的引理。

引理

设 \(S\) 为分次环。设 \((X, \mathcal{O}_X) = (\text{Proj}(S), \mathcal{O}_{\text{Proj}(S)})\) 为引理 01MB 中的概形。设 \(f \in S_{+}\) 为齐次元。设 \(x \in X\) 为对应于齐次素理想 \(\mathfrak p \subset S\) 的点。设 \(M\)、\(N\) 为分次 \(S\)-模。存在典范的 \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)-模映射 \[\widetilde M \otimes_{\mathcal{O}_X} \widetilde N \longrightarrow \widetilde{M \otimes_S N}\] ，它诱导典范映射 \(M_{(f)} \otimes_{S_{(f)}} N_{(f)} \to (M \otimes_S N)_{(f)}\) （在 \(D_{+}(f)\) 上的截面上），并诱导典范映射 \(M_{(\mathfrak p)} \otimes_{S_{(\mathfrak p)}} N_{(\mathfrak p)} \to (M \otimes_S N)_{(\mathfrak p)}\) （在点 \(x\) 的茎上）。此外，下图交换： \[\xymatrix{ M_0 \otimes_{S_0} N_0 \ar[r] \ar[d] & (M \otimes_S N)_0 \ar[d] \\ \Gamma(X, \widetilde M \otimes_{\mathcal{O}_X} \widetilde N) \ar[r] & \Gamma(X, \widetilde{M \otimes_S N}) }\] 其中竖直映射由（0AG1）给出。

证明

构造所示态射等价于构造 \(\mathcal{O}_X\)-双线性映射 \[\widetilde M \times \widetilde N \longrightarrow \widetilde{M \otimes_S N}\] ；见《模》章节 01CA。只须在开集 \(D_{+}(f)\) 上的截面上定义它，并使之与限制映射相容。在 \(D_{+}(f)\) 上，使用 \(S_{(f)}\)-双线性映射 \(M_{(f)} \times N_{(f)} \to (M \otimes_S N)_{(f)}\), \((x/f^n, y/f^m) \mapsto (x \otimes y)/f^{n + m}\)。细节从略。

注

一般而言，上面引理 01MK 中构造的映射不是同构。下面给出一个例子。设 \(k\) 为域。设 \(S = k[x, y, z]\)，其中 \(k\) 的次数为 \(0\)，而 \(\deg(x) = 1\)、\(\deg(y) = 2\)、\(\deg(z) = 3\)。设 \(M = S(1)\) 且 \(N = S(2)\)；记号见《代数》章节 00JL。于是 \(M \otimes_S N = S(3)\)。注意 \[\begin{eqnarray*} S_z & = & k[x, y, z, 1/z] \\ S_{(z)} & = & k[x^3/z, xy/z, y^3/z^2] \cong k[u, v, w]/(uw - v^3) \\ M_{(z)} & = & S_{(z)} \cdot x + S_{(z)} \cdot y^2/z \subset S_z \\ N_{(z)} & = & S_{(z)} \cdot y + S_{(z)} \cdot x^2 \subset S_z \\ S(3)_{(z)} & = & S_{(z)} \cdot z \subset S_z \end{eqnarray*}\] 考虑极大理想 \(\mathfrak m = (u, v, w) \subset S_{(z)}\)。不难看出， \(M_{(z)}/\mathfrak mM_{(z)}\) 和 \(N_{(z)}/\mathfrak mN_{(z)}\) 的维数都是 \(2\)（在 \(\kappa(\mathfrak m)\) 上）。但 \(S(3)_{(z)}/\mathfrak mS(3)_{(z)}\) 的维数是 \(1\)。因此映射 \(M_{(z)} \otimes N_{(z)} \to S(3)_{(z)}\) 不是同构。

Proj 上的可逆层

回顾《代数》章节 00JL 中，对分次环上的分次模所关联的扭转模 \(M(n)\) 之构造。

定义

设 \(S\) 为分次环。设 \(X = \text{Proj}(S)\)。

定义 \(\mathcal{O}_X(n) = \widetilde{S(n)}\)。它称为第 \(n\) 个 \(\text{Proj}(S)\) 的结构层扭转。

对任意 \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}\)，置 \(\mathcal{F}(n) = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(n)\).

将使用引理 01MK 构造一些典范映射。由于 \(S(n) \otimes_S S(m) = S(n + m)\)，可见存在典范映射 [01MO]\[\begin{equation} \mathcal{O}_X(n) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(m) \longrightarrow \mathcal{O}_X(n + m). \end{equation}\] 这些映射一般不是同构；见注记 01ML 中的例子。同一个例子表明，\(\mathcal{O}_X(n)\) 一般不是 \(X\) 上的可逆层。与任意 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\) 作张量积，得到映射 [03GJ]\[\begin{equation} \mathcal{O}_X(n) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}(m) \longrightarrow \mathcal{F}(n + m). \end{equation}\] 整体截面上的映射（0AG2）给出分次环映射 [01MP]\[\begin{equation} S \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{O}_X(n)). \end{equation}\] 而对任意 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，映射（03GJ）给出分次模结构 [03GK]\[\begin{equation} \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{O}_X(n)) \times \bigoplus\nolimits_{m \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \mathcal{F}(m)) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{m \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \mathcal{F}(m)) \end{equation}\] ，并且通过（01MP）也得到 \(S\)-模结构。更一般地，给定任意分次 \(S\)-模 \(M\)，有 \(M(n) = M \otimes_S S(n)\)。因此得到映射 [01MQ]\[\begin{equation} \widetilde M(n) = \widetilde M \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(n) \longrightarrow \widetilde{M(n)}. \end{equation}\] 在整体截面上，（0AG2）定义分次 \(S\)-模映射 [01MR]\[\begin{equation} M \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \widetilde{M(n)}). \end{equation}\] 下面是一个基本上直接由定义得出的重要事实。

引理

设 \(S\) 为分次环。置 \(X = \text{Proj}(S)\)。设 \(f \in S\) 为次数 \(d > 0\) 的齐次元。层 \(\mathcal{O}_X(nd)|_{D_{+}(f)}\) 是可逆的；事实上，对所有 \(n \in \mathbf{Z}\) 它们都是平凡的（见《模》定义 01CS）。映射（01MO）限制到 \(D_{+}(f)\) 后为 \[\mathcal{O}_X(nd)|_{D_{+}(f)} \otimes_{\mathcal{O}_{D_{+}(f)}} \mathcal{O}_X(m)|_{D_{+}(f)} \longrightarrow \mathcal{O}_X(nd + m)|_{D_{+}(f)},\] 映射（03GJ）限制到 \(D_+(f)\) 后为 \[\mathcal{O}_X(nd)|_{D_{+}(f)} \otimes_{\mathcal{O}_{D_{+}(f)}} \mathcal{F}(m)|_{D_{+}(f)} \longrightarrow \mathcal{F}(nd + m)|_{D_{+}(f)},\] 而映射（01MQ）限制到 \(D_{+}(f)\) 后为 \[\widetilde M(nd)|_{D_{+}(f)} = \widetilde M|_{D_{+}(f)} \otimes_{\mathcal{O}_{D_{+}(f)}} \mathcal{O}_X(nd)|_{D_{+}(f)} \longrightarrow \widetilde{M(nd)}|_{D_{+}(f)}\] ；对所有 \(n, m \in \mathbf{Z}\)，这些映射都是同构。

证明

分次 \(S\)-模映射 \(S \to S(nd)\) 与 \(M \to M(nd)\) 由 \(x \mapsto f^n x\) 给出；在使 \(f\) 可逆后，它们成为同构。第一个映射表明 \(S_{(f)} \cong S(nd)_{(f)}\)，从而给出同构 \(\mathcal{O}_{D_{+}(f)} \cong \mathcal{O}_X(nd)|_{D_{+}(f)}\)。第二个映射表明 \(S(nd)_{(f)} \otimes_{S_{(f)}} M_{(f)} \to M(nd)_{(f)}\) 是同构。映射（03GJ）的情形由映射（01MO）的情形得出。

引理

设 \(S\) 为分次环。设 \(M\) 为分次 \(S\)-模。置 \(X = \text{Proj}(S)\)。假设 \(X\) 由标准开集 \(D_+(f)\) 覆盖，其中 \(f \in S_1\)；例如，当 \(S\) 由 \(S_1\) 在 \(S_0\) 上生成时即如此。则层 \(\mathcal{O}_X(n)\) 是可逆的，而映射（01MO）、（03GJ）与（01MQ）都是同构。特别地，它们诱导同构 \[\mathcal{O}_X(1)^{\otimes n} \cong \mathcal{O}_X(n) \quad \text{且} \quad \widetilde{M} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(n) = \widetilde{M}(n) \cong \widetilde{M(n)}\] 因此（0AG2）成为映射 [0AG3]\[\begin{equation} M_n \longrightarrow \Gamma(X, \widetilde{M}(n)) \end{equation}\] ，而（01MR）成为映射 [0AG4]\[\begin{equation} M \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \widetilde{M}(n)). \end{equation}\]

证明

在本引理的假设下，\(X\) 由开子集 \(D_{+}(f)\) 覆盖，其中 \(f \in S_1\)；于是本引理由上面的引理 01MS 得出。

引理

设 \(S\) 为分次环。置 \(X = \text{Proj}(S)\)。固定整数 \(d \geq 1\)。 \(X\) 的下列开子集相等：

最大开子集 \(W = W_d \subset X\)，满足每个 \(\mathcal{O}_X(dn)|_W\) 都可逆，且所有乘法映射 \(\mathcal{O}_X(nd)|_W \otimes_{\mathcal{O}_W} \mathcal{O}_X(md)|_W \to \mathcal{O}_X(nd + md)|_W\) （见 01MO）都是同构。

开子集 \(D_{+}(fg)\) 的并，其中 \(f, g \in S\) 齐次且 \(\deg(f) = \deg(g) + d\)。

此外，所有映射 \(\widetilde M(nd)|_W = \widetilde M|_W \otimes_{\mathcal{O}_W} \mathcal{O}_X(nd)|_W \to \widetilde{M(nd)}|_W\) （见 01MQ）都是同构。

证明

若 \(x \in D_{+}(fg)\) 且 \(\deg(f) = \deg(g) + d\)，则在 \(D_{+}(fg)\) 上，层 \(\mathcal{O}_X(dn)\) 由元素 \((f/g)^n = f^{2n}/(fg)^n\) 生成。像引理 01MS 的证明那样论证，可知 \(x\) 属于 (1) 中定义的开子集 \(W\)。

反过来，假设 \(\mathcal{O}_X(dn)\) 对所有 \(n\) 都在一个开邻域 \(V\) （它是点 \(x \in X\) 的邻域）上秩一自由，并且所有乘法映射 \(\mathcal{O}_X(nd)|_V \otimes_{\mathcal{O}_V} \mathcal{O}_X(md)|_V \to \mathcal{O}_X(nd + md)|_V\) 都是同构。可选取齐次元 \(h \in S_{+}\)，使得 \(x \in D_{+}(h) \subset V\)。由结构层扭转的定义可知，存在元素 \(s\)（属于 \((S_h)_d\)），使 \(s^n\) 是 \((S_h)_{nd}\) 作为 \(S_{(h)}\)-模的一组基；此事对所有 \(n \in \mathbf{Z}\) 成立。可以写成 \(s = f/h^m\)，其中 \(m \geq 1\) 且 \(f \in S_{d + m \deg(h)}\)。置 \(g = h^m\)，于是 \(s = f/g\)。由构造可知 \(x \in D_{+}(g)\)。注意 \(g^d \in (S_h)_{d\deg(g)}\)。由假设，可把它写成 \(s^{\deg(g)} = f^{\deg(g)}/g^{\deg(g)}\) 的倍数，即 \(g^d = a/g^e \cdot f^{\deg(g)}/g^{\deg(g)}\)。于是得到 \(g^{d + e + \deg(g)} = a f^{\deg(g)}\)，从而还有 \(x \in D_{+}(f)\)。所以 \(x\) 属于 (2) 中定义的集合。

生成截面 \(s = f/g\) 的存在性（它位于仿射开集 \(D_{+}(fg)\) 上），连同其各次幂自由生成模层 \(\mathcal{O}_X(nd)\)；这容易蕴含乘法映射 \(\widetilde M(nd)|_W = \widetilde M|_W \otimes_{\mathcal{O}_W} \mathcal{O}_X(nd)|_W \to \widetilde{M(nd)}|_W\) （见 01MQ）是同构。可与引理 01MS 的证明比较。

回顾《模》引理 01CY：给定可逆层 \(\mathcal{L}\) （在局部环层空间 \(X\) 上），并给定整体截面 \(s\)（属于 \(\mathcal{L}\)），则集合 \(X_s = \{x \in X \mid s \not \in \mathfrak m_x\mathcal{L}_x\}\) 是开的。

引理

设 \(S\) 为分次环。置 \(X = \text{Proj}(S)\)。固定整数 \(d \geq 1\)。设 \(W = W_d \subset X\) 为引理 01MU 中定义的开子概形。设 \(n \geq 1\) 且 \(f \in S_{nd}\)。用 \(s \in \Gamma(W, \mathcal{O}_W(nd))\) 表示如下截面：它是 \(f\) 经由（01MP）在 \(W\) 上的限制所得的像。则 \[W_s = D_{+}(f) \cap W.\]

证明

设 \(D_{+}(ab) \subset W\) 为标准仿射开集，其中 \(a, b \in S\) 齐次且 \(\deg(a) = \deg(b) + d\)。注意 \(D_{+}(ab) \cap D_{+}(f) = D_{+}(abf)\)。另一方面，\(s\) 在 \(D_{+}(ab)\) 上的限制对应于元素 \(f/1 = b^nf/a^n (a/b)^n \in (S_{ab})_{nd}\)。在引理 01MU 的证明中已经看到，\((a/b)^n\) 是 \(\mathcal{O}_W(nd)\) 在 \(D_{+}(ab)\) 上的生成元。因此 \(W_s \cap D_{+}(ab)\) 是与 \(b^nf/a^n \in \mathcal{O}_X(D_{+}(ab))\) 关联的主开集。本引理的结论由此显然。

下面的引理陈述若干性质；以后将用它们刻画带有丰沛可逆层的概形。

引理

设 \(S\) 为分次环。设 \(X = \text{Proj}(S)\)。设 \(Y \subset X\) 为拟紧开子概形。用 \(\mathcal{O}_Y(n)\) 表示 \(\mathcal{O}_X(n)\) 在 \(Y\) 上的限制。存在整数 \(d \geq 1\)，使得

子概形 \(Y\) 包含于引理 01MU 中定义的开集 \(W_d\)；

层 \(\mathcal{O}_Y(dn)\) 对所有 \(n \in \mathbf{Z}\) 都可逆；

所有映射 \(\mathcal{O}_Y(nd) \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_Y(m) \longrightarrow \mathcal{O}_Y(nd + m)\) （来自等式（01MO））都是同构；

所有映射 \(\widetilde M(nd)|_Y = \widetilde M|_Y \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_X(nd)|_Y \to \widetilde{M(nd)}|_Y\) （见 01MQ）都是同构；

给定 \(f \in S_{nd}\)，用 \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y(nd))\) 表示 \(f\) 经由（01MP）在 \(Y\) 上限制所得的像，则 \(D_{+}(f) \cap Y = Y_s\)；

\(Y\) 的拓扑有一个基，它由开集 \(Y_s\) 构成，其中 \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y(nd))\) 且 \(n \geq 1\)；并且

\(Y\) 的拓扑有一个基，它由那些仿射开集 \(Y_s \subset Y\) 构成，其中 \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y(nd))\) 且 \(n \geq 1\)。

证明

由于 \(Y\) 拟紧，存在有限多个齐次元 \(f_i \in S_{+}\)， \(i = 1, \ldots, n\)，使标准开集 \(D_{+}(f_i)\) 给出 \(Y\) 的开覆盖。令 \(d_i = \deg(f_i)\)，并置 \(d = d_1 \ldots d_n\)。注意 \(D_{+}(f_i) = D_{+}(f_i^{d/d_i})\)，因此由引理 01MU 的刻画 (2)，或使用引理 01MS 的 (1)，立刻可见 \(Y \subset W_d\)。注意，由引理 01MU，(1) 蕴含 (2)、(3) 与 (4)。（注意 (3) 是 (4) 的特殊情形。）断言 (5) 来自引理 01MV。断言 (6) 和 (7) 成立，是因为开子集 \(D_{+}(f)\) 构成 \(X\) 的拓扑基，并且都是仿射的。

引理

设 \(S\) 为分次环。置 \(X = \text{Proj}(S)\)。设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。利用（03GK）和（01MP），把 \(M = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \mathcal{F}(n))\) 视为分次 \(S\)-模。则存在典范 \(\mathcal{O}_X\)-模映射 \[\widetilde{M} \longrightarrow \mathcal{F}\] ，它关于 \(\mathcal{F}\) 具有函子性，并且诱导映射 \(M_0 \to \Gamma(X, \mathcal{F})\) 是恒等映射。

证明

设 \(f \in S\) 为次数 \(d > 0\) 的齐次元。回顾由引理 01M7，\(\widetilde{M}|_{D_{+}(f)}\) 对应于 \(S_{(f)}\)-模 \(M_{(f)}\)。因此可以定义典范映射 \[M_{(f)} \longrightarrow \Gamma(D_+(f), \mathcal{F}),\quad m/f^n \longmapsto m|_{D_+(f)} \otimes f|_{D_+(f)}^{-n}\] ；它有意义，因为 \(f|_{D_+(f)}\) 是可逆层 \(\mathcal{O}_X(d)|_{D_+(f)}\) 的平凡化截面；见引理 01MS 及其证明。由于 \(\widetilde{M}\) 拟凝聚，这给出典范映射 \[\widetilde{M}|_{D_+(f)} \longrightarrow \mathcal{F}|_{D_+(f)}\] ；这里使用《概形》引理 01I7。若证明所示映射可在交叠处粘合，就得到整体映射。这一点的证明从略。最后一个断言的证明也从略。

Proj 的函子性

分次环映射 \(\psi : A \to B\) 不总能给出相应射影齐次谱之间的态射。原因是，逆像 \(\psi^{-1}(\mathfrak q)\)（其中 \(\mathfrak q \subset B\) 是齐次素理想）可能包含无关素理想 \(A_{+}\)，即使 \(\mathfrak q\) 不包含 \(B_{+}\)。正确的结果如下。

引理

设 \(A\)、\(B\) 为两个分次环。置 \(X = \text{Proj}(A)\) 且 \(Y = \text{Proj}(B)\)。设 \(\psi : A \to B\) 为分次环映射。置 \[U(\psi) = \bigcup\nolimits_{f \in A_{+}\ \text{齐次}} D_{+}(\psi(f)) \subset Y.\] 则存在典范概形态射 \[r_\psi : U(\psi) \longrightarrow X\] 以及 \(\mathbf{Z}\)-分次 \(\mathcal{O}_{U(\psi)}\)-代数映射 \[\theta = \theta_\psi : r_\psi^*\left( \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_X(d) \right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{U(\psi)}(d).\] 三元组 \((U(\psi), r_\psi, \theta)\) 由下列性质刻画：

对每个 \(d \geq 0\)，图 \[\xymatrix{ A_d \ar[d] \ar[rr]_{\psi} & & B_d \ar[d] \\ \Gamma(X, \mathcal{O}_X(d)) \ar[r]^-\theta & \Gamma(U(\psi), \mathcal{O}_Y(d)) & \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y(d)) \ar[l] }\] 交换。

对任意齐次元 \(f \in A_{+}\)，有 \(r_\psi^{-1}(D_{+}(f)) = D_{+}(\psi(f))\)，并且 \(r_\psi\) 在 \(D_{+}(\psi(f))\) 上的限制，对应于环映射 \(A_{(f)} \to B_{(\psi(f))}\)；此映射由 \(\psi\) 诱导。

证明

显然，条件 (2) 唯一确定概形态射与开子集 \(U(\psi)\)。选取 \(f \in A_d\)，其中 \(d \geq 1\)。注意，\(\mathcal{O}_X(n)|_{D_{+}(f)}\) 对应于 \(A_{(f)}\)-模 \((A_f)_n\)，而 \(\mathcal{O}_Y(n)|_{D_{+}(\psi(f))}\) 对应于 \(B_{(\psi(f))}\)-模 \((B_{\psi(f)})_n\)。换言之，\(\theta\) 限制到 \(D_{+}(\psi(f))\) 时，对应于 \(\mathbf{Z}\)-分次 \(B_{(\psi(f))}\)-代数映射 \[A_f \otimes_{A_{(f)}} B_{(\psi(f))} \longrightarrow B_{\psi(f)}\] 条件 (1) 确定 \(A\) 的所有元素之像。由于 \(f\) 是可逆元且映为 \(\psi(f)\)，可见 \(1/f^m\) 映为 \(1/\psi(f)^m\)。由此容易看出， \(\theta\) 被唯一确定；具体由规则 \[a/f^m \otimes b/\psi(f)^e \longmapsto \psi(a)b/\psi(f)^{m + e}.\] 给出。为证明存在性，注意上述唯一性证明给出如下良定义规则：把态射 \(r\) 和映射 \(\theta\) 限制到每个形如 \(D_{+}(\psi(f)) \subset U(\psi)\) 的标准开集，并映入 \(D_{+}(f)\)。称它们为 \(r_f\) 与 \(\theta_f\)。因此只须验证：若 \(D_{+}(f) \subset D_{+}(g)\) 对某些齐次元 \(f, g \in A_{+}\) 成立，则 \(r_g\) 在 \(D_{+}(\psi(f))\) 上的限制与 \(r_f\) 一致。这由上面对 \(r\) 与 \(\theta\) 给出的公式显然成立。

引理

设 \(A\)、\(B\) 与 \(C\) 为分次环。置 \(X = \text{Proj}(A)\)、 \(Y = \text{Proj}(B)\) 与 \(Z = \text{Proj}(C)\)。设 \(\varphi : A \to B\)、\(\psi : B \to C\) 为分次环映射。则有 \[U(\psi \circ \varphi) = r_\psi^{-1}(U(\varphi)) \quad \text{且} \quad r_{\psi \circ \varphi} = r_\varphi \circ r_\psi|_{U(\psi \circ \varphi)}.\] 此外有 \[\theta_\psi \circ r_\psi^*\theta_\varphi = \theta_{\psi \circ \varphi}\] ，其中记号含义显然。

证明

略。

引理

沿用上面引理 01MY 的假设与记号。假设 \(A_d \to B_d\) 对所有 \(d \gg 0\) 都是满射。则

\(U(\psi) = Y\),

\(r_\psi : Y \to X\) 是闭浸入；并且

映射 \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_X(n) \to \mathcal{O}_Y(n)\) 都是满射，但一般不是同构（即使 \(A \to B\) 是满射）。

证明

第 (1) 部分来自 \(U(\psi)\) 的定义以及如下事实： \(D_{+}(f) = D_{+}(f^n)\) 对任意 \(n > 0\) 成立。对齐次元 \(f \in A_{+}\)，可见 \(A_{(f)} \to B_{(\psi(f))}\) 是满射，因为 \(B_{(\psi(f))}\) 的任意元素都可表示为分式 \(b/\psi(f)^n\)，其中 \(n\) 可任意大（这迫使 \(b \in B\) 的次数很大）。这证明了 (2)。同一论证表明映射 \[A_f \to B_{\psi(f)}\] 是满射，从而证明 \(\theta\) 的满射性。作为这个映射不是同构的例子，考虑分次环 \(A = k[x, y]\)，其中 \(k\) 为域，且 \(\deg(x) = 1\)、 \(\deg(y) = 2\)。置 \(I = (x)\)，从而 \(B = k[y]\)。注意在此情形下 \(\mathcal{O}_Y(1) = 0\)。但容易看出 \(r_\psi^*\mathcal{O}_X(1)\) 非零。（也有不那么愚蠢的例子。）

引理

沿用上面引理 01MY 的假设与记号。假设 \(A_d \to B_d\) 对所有 \(d \gg 0\) 都是同构。则

\(U(\psi) = Y\),

\(r_\psi : Y \to X\) 是同构；并且

映射 \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_X(n) \to \mathcal{O}_Y(n)\) 都是同构。

证明

由引理 01N0 得到 (1)。设 \(f \in A_{+}\) 为齐次元。关于 \(\psi\) 的假设蕴含 \(A_f \to B_f\) 是同构（细节从略）。因此显然 \(r_\psi\) 与 \(\theta\) 限制到 \(D_{+}(f)\) 上都是同构。本引理得证。

引理

沿用上面引理 01MY 的假设与记号。假设 \(A_d \to B_d\) 对于 \(d \gg 0\) 是满射，并且 \(A\) 由 \(A_1\) 在 \(A_0\) 上生成。则

\(U(\psi) = Y\),

\(r_\psi : Y \to X\) 是闭浸入；并且

各映射 \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_X(n) \to \mathcal{O}_Y(n)\) 均为同构。

证明

由引理 07ZE 与 01MZ 可知，我们可将 \(B\) 替换为 \(A \to B\) 的像，而不改变 \(X\) 或各层 \(\mathcal{O}_X(n)\)。因此可假设 \(A \to B\) 是满射。由引理 01N0 得到 (1)、(2) 以及 (3) 中映射的满射性。由引理 01MT 可知， \(\mathcal{O}_X(n)\) 与 \(\mathcal{O}_Y(n)\) 都是可逆层。因此 \(\theta\) 是同构。

引理

沿用上面引理 01MY 的假设与记号。假设存在环同态 \(R \to A_0\) 与环同态 \(R \to R'\)，使得 \(B = R' \otimes_R A\)。则

\(U(\psi) = Y\),

图表 \[\xymatrix{ Y = \text{Proj}(B) \ar[r]_{r_\psi} \ar[d] & \text{Proj}(A) = X \ar[d] \\ \Spec(R') \ar[r] & \Spec(R) }\] 是纤维积方块；并且

各映射 \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_X(n) \to \mathcal{O}_Y(n)\) 均为同构。

证明

只需考察标准开集 \(D_{+}(f)\)（其中 \(f \in A_{+}\)）上的情形，即刻可得结论。

引理

沿用上面引理 01MY 的假设与记号。假设存在 \(g \in A_0\)，使得 \(\psi\) 诱导同构 \(A_g \to B\)。则 \(U(\psi) = Y\)，\(r_\psi : Y \to X\) 是开浸入，并诱导 \(Y\) 与 \(D(g) \subset \Spec(A_0)\) 的逆像之间的同构。此外，映射 \(\theta\) 是同构。

证明

这是上面引理 01N2 的特殊情形。

引理

设 \(S\) 为分次环。设 \(d \geq 1\)。采用代数章第 00JL 节的记号，置 \(S' = S^{(d)}\)。置 \(X = \text{Proj}(S)\) 与 \(X' = \text{Proj}(S')\)。存在概形的典范同构 \(i : X \to X'\)，使得

对任一分次 \(S\)-模 \(M\)，置 \(M' = M^{(d)}\)，都有典范同构 \(\widetilde{M} \to i^*\widetilde{M'}\)；

有典范同构 \(\mathcal{O}_{X}(nd) \to i^*\mathcal{O}_{X'}(n)\)

且这些同构与引理 01MK 的乘法映射相容，从而与下列映射相容： (01MO), (03GJ), (01MP), (03GK), (01MQ)，以及 (01MR)（精确表述见证明。

证明

单射环同态 \(S' \to S\)（按我们的约定，它不是分次环同态）诱导映射 \(j : \Spec(S) \to \Spec(S')\)。给定分次素理想 \(\mathfrak p \subset S\)，可见 \(\mathfrak p' = j(\mathfrak p) = S' \cap \mathfrak p\) 是 \(S'\) 的分次素理想。此外，若 \(f \in S_+\) 齐次且 \(f \not \in \mathfrak p\)，则 \(f^d \in S'_+\) 且 \(f^d \not \in \mathfrak p'\)。反之，若 \(\mathfrak p' \subset S'\) 是不含某个齐次元 \(f \in S'_+\) 的分次素理想，则 \(\mathfrak p = \{g \in S \mid g^d \in \mathfrak p'\}\) 是 \(S\) 的一个不含 \(f\) 的分次素理想，并且它在 \(j\) 下的像是 \(\mathfrak p'\)。为说明 \(\mathfrak p\) 是理想，注意若 \(g, h \in \mathfrak p\)，则由二项式公式有 \((g + h)^{2d} \in \mathfrak p'\)，进而 \(g + h \in \mathfrak p'\)，因为 \(\mathfrak p'\) 是素理想。由此可见，\(j\) 诱导同胚 \(i : X \to X'\)。此外，给定齐次元 \(f \in S_+\)，有 \(S_{(f)} \cong S'_{(f^d)}\)。由于这些同构与引理 01M4 的限制映射相容，可知存在结构层的同构 \(i^\sharp : i^{-1}\mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X\)，它位于 \(X\) 与 \(X'\) 上，因而 \(i\) 是概形的同构。

设 \(M\) 为分次 \(S\)-模。给定齐次元 \(f \in S_+\)，有 \(M_{(f)} \cong M'_{(f^d)}\)，故以与上面完全相同的方式得到 (1) 中的同构。(2) 中的同构是 (1) 在 \(M = S(nd)\) 时的特殊情形，此时 \(M' = S'(n)\)。设 \(M\) 与 \(N\) 为分次 \(S\)-模。于是有 \[M' \otimes_{S'} N' = (M \otimes_S N)^{(d)} = (M \otimes_S N)'\] 这可由定义直接验证。于是，与引理 01MK 的乘法映射相容，正是指下图交换： \[\xymatrix{ \widetilde M \otimes_{\mathcal{O}_X} \widetilde N \ar[d]_{(1) \otimes (1)} \ar[r] & \widetilde{M \otimes_S N} \ar[d]^{(1)} \\ i^*(\widetilde{M'} \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} \widetilde{N'}) \ar[r] & i^*(\widetilde{M' \otimes_{S'} N'}) }\] 考察开集 \(D_+(f) = D_+(f^d)\) 上这些映射的构造即可看出这一点：上方水平箭头由映射 \(M_{(f)} \times N_{(f)} \to (M \otimes_S N)_{(f)}\) 给出，而下方水平箭头由映射 \(M'_{(f^d)} \times N'_{(f^d)} \to (M' \otimes_{S'} N')_{(f^d)}\) 给出。由于这些映射经由诸如 \(M_{(f)} = M'_{(f^d)}\) 等识别彼此相同，便得到所需的相容性。其余相容性的证明从略。

到 Proj 的态射

设 \(S\) 为分次环。设 \(X = \text{Proj}(S)\) 为 \(S\) 的齐次谱。设 \(d \geq 1\) 为整数。考虑开子概形 [01N5]\[\begin{equation} U_d = \bigcup\nolimits_{f \in S_d} D_{+}(f) \quad\subset\quad X = \text{Proj}(S) \end{equation}\] 注意 \(d | d' \Rightarrow U_d \subset U_{d'}\)，且 \(X = \bigcup_d U_d\)。\(X\) 与 \(U_d\) 都不必拟紧，见代数章引理 00JP。记 \(\mathcal{O}_{U_d}(n) = \mathcal{O}_X(n)|_{U_d}\)。由引理 01MS 可知， \(\mathcal{O}_{U_d}(nd)\)（\(n \in \mathbf{Z}\)）是可逆 \(\mathcal{O}_{U_d}\)-模，并且所有乘法映射 \(\mathcal{O}_{U_d}(nd) \otimes_{\mathcal{O}_{U_d}} \mathcal{O}_{U_d}(m) \to \mathcal{O}_{U_d}(nd + m)\)，即 (01MO) 中的映射，都是同构。特别地，有 \(\mathcal{O}_{U_d}(nd) \cong \mathcal{O}_{U_d}(d)^{\otimes n}\). 整体截面上的分次环映射 (01MP) 与到 \(U_d\) 的限制合在一起给出分次环同态 [01N6]\[\begin{equation} \psi^d : S^{(d)} \longrightarrow \Gamma_*(U_d, \mathcal{O}_{U_d}(d)). \end{equation}\] 关于记号 \(S^{(d)}\)，见代数章第 00JL 节。关于记号 \(\Gamma_*\)，见模章定义 01CV。此外，由于 \(U_d\) 被诸开集 \(D_{+}(f)\)（\(f \in S_d\)）覆盖，可知 \(\mathcal{O}_{U_d}(d)\) 由下列映射像中的截面整体生成： \(\psi^d_1 : S^{(d)}_1 = S_d \to \Gamma(U_d, \mathcal{O}_{U_d}(d))\)，见模章定义 01AM。

设 \(Y\) 为概形，并设 \(\varphi : Y \to X\) 为概形态射。假设像 \(\varphi(Y)\) 包含于开子概形 \(U_d\) 中，后者是 \(X\) 的开子概形。由模章定义 01CV 后的讨论，得到分次环同态 \[\Gamma_*(U_d, \mathcal{O}_{U_d}(d)) \longrightarrow \Gamma_*(Y, \varphi^*\mathcal{O}_X(d)).\] 它与 \(\psi^d\) 的复合给出分次环同态 [01N7]\[\begin{equation} \psi_\varphi^d : S^{(d)} \longrightarrow \Gamma_*(Y, \varphi^*\mathcal{O}_X(d)) \end{equation}\] 并且可逆层 \(\varphi^*\mathcal{O}_X(d)\) 由下列映射像中的截面整体生成：

\((S^{(d)})_1 = S_d \to \Gamma(Y, \varphi^*\mathcal{O}_X(d))\).

引理

设 \(S\) 为分次环，并置 \(X = \text{Proj}(S)\)。设 \(d \geq 1\)，且 \(U_d \subset X\) 如上。设 \(Y\) 为概形。设 \(\mathcal{L}\) 为 \(Y\) 上的可逆层。设 \(\psi : S^{(d)} \to \Gamma_*(Y, \mathcal{L})\) 为分次环同态，并且 \(\mathcal{L}\) 由下列映射像中的截面生成： \(\psi|_{S_d} : S_d \to \Gamma(Y, \mathcal{L})\). 则存在态射 \(\varphi : Y \to X\)，满足 \(\varphi(Y) \subset U_d\)，并存在同构 \(\alpha : \varphi^*\mathcal{O}_{U_d}(d) \to \mathcal{L}\)，使得 \(\psi_\varphi^d\) 与 \(\psi\) 经由 \(\alpha\) 一致： \[\xymatrix{ \Gamma_*(Y, \mathcal{L}) & \Gamma_*(Y, \varphi^*\mathcal{O}_{U_d}(d)) \ar[l]^-\alpha & \Gamma_*(U_d, \mathcal{O}_{U_d}(d)) \ar[l]^-{\varphi^*} \\ S^{(d)} \ar[u]^\psi & & S^{(d)} \ar[u]^{\psi^d} \ar[ul]^{\psi^d_\varphi} \ar[ll]_{\text{id}} }\] 该图交换。此外，二元组 \((\varphi, \alpha)\) 是唯一的。

证明

取 \(f \in S_d\)。记 \(s = \psi(f) \in \Gamma(Y, \mathcal{L})\)。在开集 \(Y_s\) 上，\(s\) 不消失；乘以 \(s\) 诱导同构 \(\mathcal{O}_{Y_s} \to \mathcal{L}|_{Y_s}\)，见模章引理 01CY。我们将此映射的逆记为 \(x \mapsto x/s\)，对 \(\mathcal{L}\) 的幂也采用类似记号。利用这一点，定义环同态 \(\psi_{(f)} : S_{(f)} \to \Gamma(Y_s, \mathcal{O}_Y)\)，它将分式 \(a/f^n\) 映到 \(\psi(a)/s^n\)。由概形章引理 01I1，这对应于态射 \(\varphi_f : Y_s \to \Spec(S_{(f)}) = D_{+}(f)\)。再引入同构 \(\alpha_f : \varphi_f^*\mathcal{O}_{D_{+}(f)}(d) \to \mathcal{L}|_{Y_s}\)，它将平凡化截面 \(f\) 在 \(D_{+}(f)\) 上的拉回映到平凡化截面 \(s\) 在 \(Y_s\) 上的限制。按此选择，引理中的图在将 \(Y\) 替换为 \(Y_s\)、将 \(\varphi\) 替换为 \(\varphi_f\)、将 \(\alpha\) 替换为 \(\alpha_f\) 后交换；验证从略。

设 \(f' \in S_d\) 是第二个元素，并记 \(s' = \psi(f') \in \Gamma(Y, \mathcal{L})\)。于是 \(Y_s \cap Y_{s'} = Y_{ss'}\)，且类似地， \(D_{+}(f) \cap D_{+}(f') = D_{+}(ff')\)。在引理 01MW 中已经看到， \(D_{+}(f') \cap D_{+}(f)\) 正是 \(D_{+}(f)\) 中 \(\mathcal{O}_X(d)\) 的由 \(f'\) 所定义的截面不消失的点集。因此 \(\varphi_f^{-1}(D_{+}(f') \cap D_{+}(f)) = Y_s \cap Y_{s'} = \varphi_{f'}^{-1}(D_{+}(f') \cap D_{+}(f))\). 在 \(D_{+}(f) \cap D_{+}(f')\) 上，分式 \(f/f'\) 是结构层的可逆截面，其逆为 \(f'/f\)。注意 \(\psi_{(f')}(f/f') = \psi(f)/s' = s/s'\)，且 \(\psi_{(f)}(f'/f) = \psi(f')/s = s'/s\)。我们断言，存在唯一的环同态 \(S_{(ff')} \to \Gamma(Y_{ss'}, \mathcal{O}_Y)\)，它使下图交换： \[\xymatrix{ \Gamma(Y_s, \mathcal{O}_Y) \ar[r] & \Gamma(Y_{ss'}, \mathcal{O}_Y) & \Gamma(Y_{s, '} \mathcal{O}_Y) \ar[l]\\ S_{(f)} \ar[r] \ar[u]^{\psi_{(f)}} & S_{(ff')} \ar[u] & S_{(f')} \ar[l] \ar[u]^{\psi_{(f')}} }\] 该同态存在，因为可以使用规则 \(x/(ff')^n \mapsto \psi(x)/(ss')^n\)；由上面的公式可知这一规则“成立”。由于 \(\text{Proj}(S)\) 是分离的，唯一性由引理 01MC 及其证明得出。这表明态射 \(\varphi_f\) 与 \(\varphi_{f'}\) 在 \(Y_s \cap Y_{s'}\) 上一致。 \(\alpha_f\) 与 \(\alpha_{f'}\) 的限制在 \(Y_s \cap Y_{s'}\) 上一致，因为正则函数 \(s/s'\) 与 \(\psi_{(f')}(f/f')\) 一致。这证明态射 \(\psi_f\) 可黏合为从 \(Y\) 到 \(U_d \subset X\) 的整体态射，且各映射 \(\alpha_f\) 黏合为满足引理条件的同构。

还需证明二元组 \((\varphi, \alpha)\) 唯一。设 \((\varphi', \alpha')\) 是第二个这样的二元组。设 \(f \in S_d\)。由引理中的图交换可知，\(D_{+}(f)\) 在 \(\varphi\) 与 \(\varphi'\) 下的逆像都等于 \(Y_{\psi(f)}\)。由于诸开集 \(D_{+}(f)\) 构成 \(X\) 的拓扑的一组基，而 \(X\) 是清醒拓扑空间（见概形章引理 01IS），这意味着映射 \(\varphi\) 与 \(\varphi'\) 在底拓扑空间上相同。用 \(s = \psi(f)\) 将可逆层 \(\mathcal{L}\) 在 \(Y_{\psi(f)}\) 上平凡化。由这些图的交换性，有 \(\alpha^{\otimes n}(\psi^d_{\varphi}(x)) = \psi(x) = (\alpha')^{\otimes n}(\psi^d_{\varphi'}(x))\) 对所有 \(x \in S_{nd}\) 成立。由 \(\psi^d_{\varphi}\) 与 \(\psi^d_{\varphi'}\) 的构造，有 \(\psi^d_{\varphi}(x) = \varphi^\sharp(x/f^n) \psi^d_{\varphi}(f^n)\) 在 \(Y_{\psi(f)}\) 上成立，对 \(\psi^d_{\varphi'}\) 也类似。由引理中的图交换可得 \(\varphi^\sharp(x/f^n) = (\varphi')^\sharp(x/f^n)\). 这证明 \(\varphi\) 与 \(\varphi'\) 诱导从 \(Y_{\psi(f)}\) 到仿射概形 \(D_{+}(f) = \Spec(S_{(f)})\) 的同一个态射。因此 \(\varphi\) 与 \(\varphi'\) 作为态射相同。最后，还需证明，在给定 \(\varphi\) 后，引理中图的交换性唯一确定 \(\alpha\)。验证从略。

我们继续引理前的讨论。设 \(S\) 为分次环。设 \(Y\) 为概形。我们考虑三元组 \((d, \mathcal{L}, \psi)\)，其中

\(d \geq 1\) 是整数；
\(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-模；并且
\(\psi : S^{(d)} \to \Gamma_*(Y, \mathcal{L})\) 是分次环同态，且 \(\mathcal{L}\) 由整体截面 \(\psi(f)\)（其中 \(f \in S_d\)）生成。

给定态射 \(h : Y' \to Y\) 与三元组 \((d, \mathcal{L}, \psi)\)（它位于 \(Y\) 上），可将它拉回为三元组 \((d, h^*\mathcal{L}, h^* \circ \psi)\)。给定两个三元组 \((d, \mathcal{L}, \psi)\) 与 \((d, \mathcal{L}', \psi')\)，它们具有相同的整数 \(d\)；若存在同构 \(\beta : \mathcal{L} \to \mathcal{L}'\)，使得作为分次环同态有 \(\beta \circ \psi = \psi'\)，其中这些同态为 \(S^{(d)} \to \Gamma_*(Y, \mathcal{L}')\)，则称它们严格等价。

对每个整数 \(d \geq 1\)，定义 \[\begin{eqnarray*} F_d : \Sch^{opp} & \longrightarrow & \textit{Sets}, \\ Y & \longmapsto & \{\text{三元组的严格等价类： } (d, \mathcal{L}, \psi) \text{ 如上}\} \end{eqnarray*}\] 其拉回按上面所述定义。

引理

设 \(S\) 为分次环。设 \(X = \text{Proj}(S)\)。开子概形 \(U_d \subset X\)（01N5）表示函子 \(F_d\)，且上面定义的三元组 \((d, \mathcal{O}_{U_d}(d), \psi^d)\) 是泛族（见概形章第 01JF 节）。

证明

这是引理 01N8 的重新表述。

引理

设 \(S\) 为分次环，它作为 \(S_0\)-代数由 \(S_1\) 中的元素生成。在这种情形下，概形 \(X = \text{Proj}(S)\) 表示如下函子：它将概形 \(Y\) 映到二元组 \((\mathcal{L}, \psi)\) 的集合，其中

\(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-模；并且

\(\psi : S \to \Gamma_*(Y, \mathcal{L})\) 是分次环同态，且 \(\mathcal{L}\) 由整体截面 \(\psi(f)\)（其中 \(f \in S_1\)）生成，

并按上述严格等价关系取等价类。

证明

在本引理的假设下有 \(X = U_1\)，而本引理正是上面引理 01N9 的重新表述。

本节最后讨论一般分次环的 \(\text{Proj}(S)\) 所对应的函子，其中该环记为 \(S\)。建议读者跳过本节余下部分。

固定任意分次环 \(S\)。设 \(T\) 为概形。称两个三元组 \((d, \mathcal{L}, \psi)\) 与 \((d', \mathcal{L}', \psi')\)（它们在 \(T\) 上，并允许整数 \(d\)、\(d'\) 不同）等价，如果存在同构 \(\beta : \mathcal{L}^{\otimes d'} \to (\mathcal{L}')^{\otimes d}\)，它是 \(T\) 上可逆层的同构，使得 \(\beta \circ \psi|_{S^{(dd')}}\) 与 \(\psi'|_{S^{(dd')}}\) 作为分次环同态 \(S^{(dd')} \to \Gamma_*(Y, (\mathcal{L}')^{\otimes dd'})\) 一致。

引理

设 \(S\) 为分次环。置 \(X = \text{Proj}(S)\)。设 \(T\) 为概形。设 \((d, \mathcal{L}, \psi)\) 与 \((d', \mathcal{L}', \psi')\) 为 \(T\) 上的两个三元组。下列条件等价：

设 \(n = \text{lcm}(d, d')\)。写成 \(n = ad = a'd'\)。存在同构 \(\beta : \mathcal{L}^{\otimes a} \to (\mathcal{L}')^{\otimes a'}\) 使得 \(\beta \circ \psi|_{S^{(n)}}\) 与 \(\psi'|_{S^{(n)}}\) 作为分次环同态 \(S^{(n)} \to \Gamma_*(Y, (\mathcal{L}')^{\otimes n})\) 一致。

三元组 \((d, \mathcal{L}, \psi)\) 与 \((d', \mathcal{L}', \psi')\) 等价。

对某个正整数 \(n = ad = a'd'\)，存在同构 \(\beta : \mathcal{L}^{\otimes a} \to (\mathcal{L}')^{\otimes a'}\) 使得 \(\beta \circ \psi|_{S^{(n)}}\) 与 \(\psi'|_{S^{(n)}}\) 作为分次环同态 \(S^{(n)} \to \Gamma_*(Y, (\mathcal{L}')^{\otimes n})\) 一致。

态射 \(\varphi : T \to X\) 与 \(\varphi' : T \to X\) （它们分别与 \((d, \mathcal{L}, \psi)\) 及 \((d', \mathcal{L}', \psi')\) 相伴）相等。

证明

显然，限制到可被更多整数整除的次数并取可逆层的幂，可得 (1) 蕴含 (2)，且 (2) 蕴含 (3)。由引理 01N8 中的唯一性陈述， (3) 也蕴含 (4)。因此只需证明 (4) 蕴含 (1)。假设 (4)，即 \(\varphi = \varphi'\)。注意，这意味着可写成 \(\mathcal{L} = \varphi^*\mathcal{O}_X(d)\)，且 \(\mathcal{L}' = \varphi^*\mathcal{O}_X(d')\). 此外，经由这些识别，分次环同态 \(\psi\) 与 \(\psi'\) 对应于典范分次环同态 \[S \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{O}_X(n))\] 到 \(S^{(d)}\) 与 \(S^{(d')}\) 的限制，再与 \(\varphi\) 的拉回复合（再次使用引理 01N8）。因此取 \(\beta\) 为同构 \[(\varphi^*\mathcal{O}_X(d))^{\otimes a} = \varphi^*\mathcal{O}_X(n) = (\varphi^*\mathcal{O}_X(d'))^{\otimes a'}\] 即可。

设 \(S\) 为分次环。设 \(X = \text{Proj}(S)\)。在开子概形 \(U_d \subset X = \text{Proj}(S)\) （01N5）上，有三元组 \((d, \mathcal{O}_{U_d}(d), \psi^d)\)。显然，若 \(d | d'\)，则三元组 \((d, \mathcal{O}_{U_d}(d), \psi^d)\) 与 \((d', \mathcal{O}_{U_{d'}}(d'), \psi^{d'})\) 限制到开集 \(U_d\) （它是 \(U_{d'}\) 的子集）后等价。结合引理 01N8，这表明态射 \(Y \to X\) 大致对应于 \(Y\) 上三元组的等价类。这并不完全正确，因为若 \(Y\) 不是拟紧的，可能不存在一个处处适用的单一三元组。因此，定义相应函子时必须稍加谨慎。

以下是一种可行的处理方式。假设 \(d' = ad\)。考虑函子变换 \(F_d \to F_{d'}\)，它将三元组 \((d, \mathcal{L}, \psi)\)（位于 \(T\) 上）映为三元组 \((d', \mathcal{L}^{\otimes a}, \psi|_{S^{(d')}})\)。引理 01NB 的一个推论是：变换 \(F_d \to F_{d'}\) 是单射！对拟紧概形 \(T\)，定义 \[F(T) = \bigcup\nolimits_{d \in \mathbf{N}} F_d(T)\] 其中转移映射如上所述。显然，这在拟紧概形范畴上定义了一个取值于集合的反变函子。对一般概形 \(T\)，定义 \[F(T) = \lim_{V \subset T\text{ 拟紧开}} F(V).\] 换言之，一个元素 \(\xi\)（属于 \(F(T)\)）对应于一族相容的选择 \(\xi_V \in F(V)\)，其中 \(V\) 遍历 \(T\) 的拟紧开集。拉回映射 \(F(T) \to F(T')\)（对应于概形态射 \(T' \to T\)）的定义从略。由此定义了函子 \[\begin{eqnarray*} F : \Sch^{opp} & \longrightarrow & \textit{Sets} \end{eqnarray*}\]

引理

设 \(S\) 为分次环。设 \(X = \text{Proj}(S)\)。上面定义的函子 \(F\) 由概形 \(X\) 表示。

证明

上面已看到，函子 \(F_d\) 对应于开子概形 \(U_d \subset X\)。此外，上面定义的函子变换 \(F_d \to F_{d'}\)（若 \(d | d'\)）对应于包含态射 \(U_d \to U_{d'}\)（见上面的讨论）。因此，要证明 \(F\) 由 \(X\) 表示，只需证明：态射 \(T \to X\) 在概形 \(T\) 拟紧时其像落在某个 \(U_d\) 中；并且对一般概形 \(T\) 有 \[\Mor(T, X) = \lim_{V \subset T\text{ 拟紧开}} \Mor(V, X).\] 这些验证从略。

射影空间

射影空间是代数几何所研究的基本对象之一。本节只给出它作为多项式环之 \(\text{Proj}\) 的构造。稍后我们将发现它的许多优美性质。

引理

设 \(S = \mathbf{Z}[T_0, \ldots, T_n]\)，其中 \(\deg(T_i) = 1\)。概形 \[\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}} = \text{Proj}(S)\] 表示如下函子：它将概形 \(Y\) 映到二元组 \((\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))\) 的集合，其中

\(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-模；并且

\(s_0, \ldots, s_n\) 是 \(\mathcal{L}\) 的整体截面，且生成 \(\mathcal{L}\)，

并按下列等价关系取等价类： \((\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n)) \sim (\mathcal{N}, (t_0, \ldots, t_n))\) \(\Leftrightarrow\) 存在同构 \(\beta : \mathcal{L} \to \mathcal{N}\)，使得 \(\beta(s_i) = t_i\) 对 \(i = 0, \ldots, n\) 成立。

证明

这是上面引理 01NA 的特殊情形。事实上，对任意分次环 \(A\) 有 \[\begin{eqnarray*} \Mor_{\text{分次环}}(\mathbf{Z}[T_0, \ldots, T_n], A) & = & A_1 \times \ldots \times A_1 \\ \psi & \mapsto & (\psi(T_0), \ldots, \psi(T_n)) \end{eqnarray*}\] 且次数 \(1\) 部分在 \(\Gamma_*(Y, \mathcal{L})\) 中正是 \(\Gamma(Y, \mathcal{L})\)。

定义

概形 \(\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}} = \text{Proj}(\mathbf{Z}[T_0, \ldots, T_n])\) 称为射影 \(n\) 维空间（在 \(\mathbf{Z}\) 上）。它的基变换 \(\mathbf{P}^n_S\)（到概形 \(S\)）称为 射影 \(n\) 维空间（在 \(S\) 上）。若 \(R\) 为环，则到 \(\Spec(R)\) 的基变换记为 \(\mathbf{P}^n_R\)，并称为 射影 \(n\) 维空间（在 \(R\) 上）。

给定概形 \(Y\)（它在 \(S\) 上）以及引理 01NE 中的二元组 \((\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))\)，其诱导的到 \(\mathbf{P}^n_S\) 的态射记为 \[\varphi_{(\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))} : Y \longrightarrow \mathbf{P}^n_S\] 这是有意义的，因为该二元组定义了到 \(\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}}\) 的态射，而我们已有到 \(S\) 的结构态射；二者合在一起给出到 \(\mathbf{P}^n_S = \mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}} \times S\) 的态射。借助引理 01O3，可将 \(\mathbf{P}^n_S\) 识别为分次 \(\mathcal{O}_S\)-代数 \(\mathcal{O}_S[T_0, \ldots, T_n]\) 的相对 Proj，并可将 \(\varphi_{(\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))}\) 刻画为唯一的 \(S\)-态射，满足 \[\mathcal{L} = \varphi_{(\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))}^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_S}(1) \quad \text{且} \quad s_i = \varphi_{(\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))}^*T_i\] 这里把 \(T_i\) 看作 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_S}(1)\) 的整体截面；所用映射为 \(\psi\)，见引理 01NR；细节从略。

引理

射影 \(n\) 维空间（在 \(\mathbf{Z}\) 上）由 \(n + 1\) 个标准开集覆盖： \[\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}} = \bigcup\nolimits_{i = 0, \ldots, n} D_{+}(T_i)\] 其中每个 \(D_{+}(T_i)\) 都同构于 \(\mathbf{A}^n_{\mathbf{Z}}\)，即仿射 \(n\) 维空间（在 \(\mathbf{Z}\) 上）。

证明

这是因为 \(\mathbf{Z}[T_0, \ldots, T_n]_{+} = (T_0, \ldots, T_n)\)，并且并且 \[\Spec \left( \mathbf{Z} \left[\frac{T_0}{T_i}, \ldots, \frac{T_n}{T_i} \right] \right) \cong \mathbf{A}^n_{\mathbf{Z}}\] 以显然的方式成立。

引理

设 \(S\) 为概形。结构态射 \(\mathbf{P}^n_S \to S\) 具有下列性质：

分离；

拟紧；

满足赋值判据的存在性部分与唯一性部分；并且

万有闭。

证明

这些性质在基变换下都稳定（对后两个性质这是显然的；对前两个性质，见概形章引理 01KU 与 01K5). 因此只需对态射 \(\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}} \to \Spec(\mathbf{Z})\). 证明这些性质。分离性是引理 01MC。拟紧性由引理 01NG 得出。赋值判据的存在性与唯一性由引理 01MF 得出。万有闭性由以上结果与概形章命题 01KF 得出。

注

上述性质列表中还缺少什么？当然还缺少有限型性质。这里不列出它，是因为到目前为止我们还没有定义有限型的概念。（另一个缺少的性质是 “光滑性”。相信读者还能想到许多其他性质。）

引理

设 \(S\) 为概形。存在闭浸入 \[\mathbf{P}^n_S \times_S \mathbf{P}^m_S \longrightarrow \mathbf{P}^{nm + n + m}_S\] 称为Segre 嵌入。

证明

只需在 \(S = \Spec(\mathbf{Z})\) 时证明。于是略去下标 \(S\)，在绝对情形下工作。写成 \(\mathbf{P}^n = \text{Proj}(\mathbf{Z}[X_0, \ldots, X_n])\)， \(\mathbf{P}^m = \text{Proj}(\mathbf{Z}[Y_0, \ldots, Y_m])\), 以及 \(\mathbf{P}^{nm + n + m} = \text{Proj}(\mathbf{Z}[Z_0, \ldots, Z_{nm + n + m}])\). 为了映到 \(\mathbf{P}^{nm + n + m}\)，必须在左边写下一个可逆层 \(\mathcal{L}\)，以及生成它的 \((n + 1)(m + 1)\) 个截面 \(s_i\)。见引理 01NE。所取的可逆层为 \[\mathcal{L} = \text{pr}_1^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n}(1) \otimes \text{pr}_2^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^m}(1)\] 所取的截面为 \[s_0 = X_0Y_0, \ s_1 = X_1Y_0, \ldots, \ s_n = X_nY_0, \ s_{n + 1} = X_0Y_1, \ldots, \ s_{nm + n + m} = X_nY_m.\] 这些截面生成 \(\mathcal{L}\)，因为截面 \(X_i\) 生成 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n}(1)\)，而截面 \(Y_j\) 生成 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^m}(1)\)。诱导态射 \(\varphi\) 满足 \[\varphi^{-1}(D_{+}(Z_{i + (n + 1)j})) = D_{+}(X_i) \times D_{+}(Y_j).\] 因此它是仿射态射。在情形 \((i, j) = (0, 0)\) 下，相应的环同态为 \[\mathbf{Z}[Z_1/Z_0, \ldots, Z_{nm + n + m}/Z_0] \longrightarrow \mathbf{Z}[X_1/X_0, \ldots, X_n/X_0, Y_1/Y_0, \ldots, Y_n/Y_0]\] 它将 \(Z_i/Z_0\) 映到元素 \(X_i/X_0\)（对 \(i \leq n\)），并将元素 \(Z_{(n + 1)j}/Z_0\) 映到元素 \(Y_j/Y_0\)。因此它是满射。对其他仿射开子集也可作类似论证。因此态射 \(\varphi\) 是闭浸入（见概形章引理 01HL 与例 01IG）。

下面两个引理是稍后更一般结果的特殊情形，但现在在这里直接证明它们或许更为合适。第一个是除子章引理 0801 的特殊情形。

引理

设 \(R\) 为环。设 \(Z \subset \mathbf{P}^n_R\) 为闭子概形。令 \[I_d = \Ker\left( R[T_0, \ldots, T_n]_d \longrightarrow \Gamma(Z, \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d)|_Z)\right)\] 则 \(I = \bigoplus I_d \subset R[T_0, \ldots, T_n]\) 是分次理想，并且 \(Z = \text{Proj}(R[T_0, \ldots, T_n]/I)\)。

证明

显然 \(I\) 是分次理想。置 \(Z' = \text{Proj}(R[T_0, \ldots, T_n]/I)\)。由引理 01N1 可知， \(Z'\) 是 \(\mathbf{P}^n_R\) 的闭子概形。要验证等式 \(Z = Z'\)，只需在标准仿射开集 \(D_{+}(T_i)\) 上验证。通过重编号齐次坐标，可假设 \(i = 0\)。设 \(Z \cap D_{+}(T_0)\) 与 \(Z' \cap D_{+}(T_0)\) 分别由理想 \(J\) 与 \(J'\) 截出；这些理想位于 \(R[T_1/T_0, \ldots, T_n/T_0]\) 中。则 \(J'\) 是由元素 \(F/T_0^{\deg(F)}\) 生成的理想，其中 \(F \in I\) 为齐次元。假设 \(F \in I\) 的次数为 \(d\)。由于 \(F\) 作为 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d)\) 限制到 \(Z\) 上的截面消失，可知 \(F/T_0^d\) 是 \(J\) 的元素。因此 \(J' \subset J\)。

反之，假设 \(f \in J\)。若 \(f\) 的总次数为 \(d\)（视为 \(T_1/T_0, \ldots, T_n/T_0\) 的多项式），则可写成 \(f = F/T_0^d\)，其中 \(F \in R[T_0, \ldots, T_n]_d\)。取 \(i \in \{1, \ldots, n\}\)。则 \(Z \cap D_{+}(T_i)\) 由某个理想 \(J_i \subset R[T_0/T_i, \ldots, T_n/T_i]\) 截出。此外， \[J \cdot R\left[ \frac{T_1}{T_0}, \ldots, \frac{T_n}{T_0}, \frac{T_0}{T_i}, \ldots, \frac{T_n}{T_i} \right] = J_i \cdot R\left[ \frac{T_1}{T_0}, \ldots, \frac{T_n}{T_0}, \frac{T_0}{T_i}, \ldots, \frac{T_n}{T_i} \right]\] 左边是 \(J\) 关于元素 \(T_i/T_0\) 的局部化，右边是 \(J_i\) 关于元素 \(T_0/T_i\) 的局部化。因此， \(T_0^{d_i}F/T_i^{d + d_i}\) 是 \(J_i\) 的元素，其中 \(d_i\) 充分大。这证明 \(T_0^{\max(d_i)}F\) 是 \(I\) 的元素，因为它在每个标准仿射开集 \(D_{+}(T_i)\) 上的限制都在闭子概形 \(Z \cap D_{+}(T_i)\) 上消失。因此 \(f \in J'\)，从而得到所需的 \(J \subset J'\)。

下面的引理是性质章引理 01QJ 或 0AG5 这一更一般结果的特殊情形。

引理

设 \(R\) 为环。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathbf{P}^n_R\) 上的拟凝聚层。对 \(d \geq 0\)，置 \[M_d = \Gamma(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d)) = \Gamma(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}(d))\] 则 \(M = \bigoplus_{d \geq 0} M_d\) 是分次 \(R[T_0, \ldots, R_n]\)-模，并且存在典范同构 \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\)。

证明

乘法映射 \[R[T_0, \ldots, R_n]_e \times M_d \longrightarrow M_{d + e}\] 来自自然同构 \[\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(e) \otimes_{\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}} \mathcal{F}(d) \longrightarrow \mathcal{F}(e + d)\] 见方程 (03GK)。来构造映射 \(c : \widetilde{M} \to \mathcal{F}\)。在每个标准仿射开集 \(U_i = D_{+}(T_i)\) 上，可见 \(\Gamma(U_i, \widetilde{M}) = (M[1/T_i])_0\)，其中下标 \({}_0\) 表示次数 \(0\) 部分。其中的元素可写成 \(m/T_i^d\)，其中 \(m \in M_d\)。由于 \(T_i\) 是 \(\mathcal{O}(1)\) 的一个生成元（在 \(U_i\) 上），总可以写成 \(m|_{U_i} = m_i \otimes T_i^d\)，其中 \(m_i \in \Gamma(U_i, \mathcal{F})\) 是唯一截面。因此自然的猜测是 \(c(m/T_i^d) = m_i\)。一个略去的小论证表明，这会给出良定义映射 \(c : \widetilde{M} \to \mathcal{F}\)，只要能证明 \[(T_i/T_j)^d m_i|_{U_i \cap U_j} = m_j|_{U_i \cap U_j}\] 在 \(M[1/T_iT_j]\) 中成立。而这是显然的，因为在交叠上，生成元 \(T_i\) 与 \(T_j\) （它们属于 \(\mathcal{O}(1)\)）相差可逆函数 \(T_i/T_j\)。

\(c\) 的单射性。可在仿射开集 \(U_i\) 上检验单射性。设 \(i \in \{0, \ldots, n\}\)，并设 \(s\) 为元素 \(s = m/T_i^d \in \Gamma(U_i, \widetilde{M})\)，满足 \(c(m/T_i^d) = 0\)。由上面对 \(c\) 的描述，这意味着 \(m_i = 0\)，故 \(m|_{U_i} = 0\)。因此 \(T_i^em = 0\) 在 \(M\) 中成立，其中 \(e\) 为某个整数。于是如所需，\(s = m/T_i^d = T_i^e/T_i^{e + d} = 0\)。

\(c\) 的满射性。可在仿射开集 \(U_i\) 上检验满射性。通过重编号，只需在 \(U_0\) 上检验。设 \(s \in \mathcal{F}(U_0)\)。写成 \(\mathcal{F}|_{U_i} = \widetilde{N_i}\)；这里所用的是某个 \(R[T_0/T_i, \ldots, T_0/T_i]\)-模 \(N_i\)。这是可能的，因为 \(\mathcal{F}\) 拟凝聚。于是 \(s\) 对应于元素 \(x \in N_0\)。此时有 \[(N_i)_{T_j/T_i} \cong (N_j)_{T_i/T_j}\] （下标表示“关于该元的主局部化”），它们是下列环上的模： \[R\left[ \frac{T_0}{T_i}, \ldots, \frac{T_n}{T_i}, \frac{T_0}{T_j}, \ldots, \frac{T_n}{T_j} \right].\] 这意味着，对某个充分大的整数 \(d\)，存在元素 \(s_i \in N_i\)（\(i = 1, \ldots, n\)），使得 \[s = (T_i/T_0)^d s_i\] 在 \(U_0 \cap U_i\) 上成立。接下来考察差 \[t_{ij} = s_i - (T_j/T_i)^d s_j\] 在 \(U_i \cap U_j\) 上（\(0 < i < j\)）。由对 \(s_i\) 的选择可知 \(t_{ij}|_{U_0 \cap U_i \cap U_j} = 0\)。因此存在充分大的整数 \(e\)，使得 \((T_0/T_i)^et_{ij} = 0\)。置 \(s_i' = (T_0/T_i)^es_i\)，并置 \(s_0' = s\)。于是有 \[s_a' = (T_b/T_a)^{e + d} s_b'\] 在 \(U_a \cap U_b\) 上对所有 \(a, b\) 成立。这恰好是诸元素 \(s'_a\) 黏合为整体截面 \(m \in \Gamma(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}(e + d))\) 的条件。此外，由构造有 \(c(m/T_0^{e + d}) = s\)。因此 \(c\) 是满射，证毕。

引理

设 \(X\) 为概形。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆层，并设 \(s_0, \ldots, s_n\) 为生成 \(\mathcal{L}\) 的整体截面。设 \(\mathcal{F}\) 为诱导映射 \(\mathcal{O}_X^{\oplus n + 1} \to \mathcal{L}\) 的核。则 \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}\) 整体生成。

证明

事实上，当 \(X\) 是任意局部环层空间时，结论仍成立。层 \(\mathcal{F}\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模，秩为 \(n\)。诸元素 \[s_{ij} = (0, \ldots, 0, s_j, 0, \ldots, 0, -s_i, 0, \ldots, 0) \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\oplus n + 1})\] 中，\(s_j\) 位于第 \(i\) 个位置，\(-s_i\) 位于第 \(j\) 个位置；它们在 \(\mathcal{L}^{\otimes 2}\) 中映为零。因此 \(s_{ij} \in \Gamma(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L})\). 局部计算表明，这些截面生成 \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}\)。

另一证明。考虑态射 \(\varphi : X \to \mathbf{P}^n_\mathbf{Z}\)，它与二元组 \((\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))\) 相伴。由于 \(\mathcal{O}(1)\) 的拉回是 \(\mathcal{L}\)，且 \(T_i\) 的拉回是 \(s_i\)，只需在 \(\mathbf{P}^n_\mathbf{Z}\) 的情形证明本引理。在这种情形下，层 \(\mathcal{F}\) 对应于分次 \(S = \mathbf{Z}[T_0, \ldots, T_n]\)-模 \(M\)，它适合短正合列 \[0 \to M \to S^{\oplus n + 1} \to S(1) \to 0\] 其中第二个映射由 \(T_0, \ldots, T_n\) 给出。在这种情形下，上述陈述转化为：诸元素 \[T_{ij} = (0, \ldots, 0, T_j, 0, \ldots, 0, -T_i, 0, \ldots, 0) \in M(1)_0\] 生成分次模 \(M(1)\)（作为 \(S\)-模）。细节从略。

可逆层与到 Proj 的态射

设 \(T\) 为概形，并设 \(\mathcal{L}\) 为 \(T\) 上的可逆层。对截面 \(s \in \Gamma(T, \mathcal{L})\)，用 \(T_s\) 表示 \(s\) 不消失的点所成开子集。见模章引理 01CY。可将下面的引理看作引理 01NA 的轻微推广。它也是引理 01MY 的推广。

引理

设 \(A\) 为分次环。置 \(X = \text{Proj}(A)\)。设 \(T\) 为概形。设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_T\)-模。设 \(\psi : A \to \Gamma_*(T, \mathcal{L})\) 为分次环同态。置 \[U(\psi) = \bigcup\nolimits_{f \in A_{+}\text{ 齐次}} T_{\psi(f)}\] 态射 \(\psi\) 诱导概形的典范态射 \[r_{\mathcal{L}, \psi} : U(\psi) \longrightarrow X\] 以及 \(\mathbf{Z}\)-分次 \(\mathcal{O}_T\)-代数的映射 \[\theta : r_{\mathcal{L}, \psi}^*\left( \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_X(d) \right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes d}|_{U(\psi)}.\] 三元组 \((U(\psi), r_{\mathcal{L}, \psi}, \theta)\) 由下列性质刻画：

对齐次元 \(f \in A_{+}\)，有 \(r_{\mathcal{L}, \psi}^{-1}(D_{+}(f)) = T_{\psi(f)}\).

对每个 \(d \geq 0\)，图 \[\xymatrix{ A_d \ar[d]_{(\href{constructions.html#constructions-equation-global-sections}{01MP})} \ar[r]_{\psi} & \Gamma(T, \mathcal{L}^{\otimes d}) \ar[d]^{restrict} \\ \Gamma(X, \mathcal{O}_X(d)) \ar[r]^{\theta} & \Gamma(U(\psi), \mathcal{L}^{\otimes d}) }\] 交换。

此外，对任意 \(d \geq 1\) 与任意开子概形 \(V \subset T\)，若 \(\psi(A_d)\) 中的截面生成 \(\mathcal{L}^{\otimes d}|_V\)，则态射 \(r_{\mathcal{L}, \psi}|_V\) 与态射 \(\varphi : V \to \text{Proj}(A)\) 一致，且映射 \(\theta|_V\) 与映射 \(\alpha : \varphi^*\mathcal{O}_X(d) \to \mathcal{L}^{\otimes d}|_V\) 一致；这里 \((\varphi, \alpha)\) 是引理 01N8 中与 \(\psi|_{A^{(d)}} : A^{(d)} \to \Gamma_*(V, \mathcal{L}^{\otimes d})\). 相伴的二元组。

证明

假设有两个满足 (1) 与 (2) 的三元组 \((U, r : U \to X, \theta)\) 和 \((U', r' : U' \to X, \theta')\)。性质 (1) 蕴含 \(U = U' = U(\psi)\)，并且 \(r = r'\) 作为底拓扑空间的映射相等，因为诸开集 \(D_{+}(f)\) 构成 \(X\) 的拓扑的一组基，而且 \(X\) 是清醒拓扑空间（见代数章第 00JM 节与概形章引理 01IS）。设 \(f \in A_{+}\) 为齐次元。注意 \(\Gamma(D_{+}(f), \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_X(n)) = A_f\) 作为 \(\mathbf{Z}\)-分次代数成立。考虑两个 \(\mathbf{Z}\)-分次环同态 \[\theta, \theta' : A_f \longrightarrow \Gamma(T_{\psi(f)}, \bigoplus \mathcal{L}^{\otimes n}).\] 已知乘以 \(f\)（相应地，乘以 \(\psi(f)\)）在左边（相应地，右边）是同构。还由 (2) 知道， \(\theta(x/1) = \theta'(x/1) = \psi(x)|_{T_{\psi(f)}}\) 对所有 \(x \in A\) 都成立。因此容易推出所需的 \(\theta = \theta'\)。考察次数 \(0\) 部分可得 \(r^\sharp = (r')^\sharp\)，即 \(r = r'\) 作为概形态射相等。这证明了唯一性。

现在证明存在性。由刚证明的唯一性，只需局部构造二元组 \((r, \theta)\)，其所在概形为 \(T\)。因此可假设 \(T = \Spec(R)\) 仿射， \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_T\)，并且对某个齐次元 \(f \in A_{+}\)， \(\psi(f)\) 生成 \(\mathcal{O}_T = \mathcal{O}_T^{\otimes \deg(f)}\)。换言之，\(\psi(f) = u \in R^*\) 是单位。在这种情形下，映射 \(\psi\) 是分次环同态 \[A \longrightarrow R[x] = \Gamma_*(T, \mathcal{O}_T)\] 它将 \(f\) 映到 \(ux^{\deg(f)}\)。显然，这唯一地延拓为 \(\mathbf{Z}\)-分次环同态 \(\theta : A_f \to R[x, x^{-1}]\)，方式是将 \(1/f\) 映到 \(u^{-1}x^{-\deg(f)}\)。此映射的次数零部分给出环同态 \(A_{(f)} \to R\)，后者给出态射 \(r : T = \Spec(R) \to \Spec(A_{(f)}) = D_{+}(f) \subset X\)。因此在这一特殊情形中构造出了 \((r, \theta)\)。

最后证明引理的最后一个陈述。根据引理 01N8，那里构造的态射是使其陈述中所示图交换的唯一态射。本引理中图的交换性蕴含其限制到 \(V\) 与 \(A^{(d)}\) 后仍交换。结论随即得出。

注

假设与上面引理 01NK 相同。态射 \(r_{\mathcal{L}, \psi}\) 的像不必包含于层 \(\mathcal{O}_X(1)\) 可逆的轨迹中。下面给出一个例子。设 \(k\) 为域。设 \(S = k[A, B, C]\) 按 \(\deg(A) = 1\)、\(\deg(B) = 2\)、\(\deg(C) = 3\) 分次。置 \(X = \text{Proj}(S)\)。设 \(T = \mathbf{P}^2_k = \text{Proj}(k[X_0, X_1, X_2])\)。回忆 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_T(1)\) 可逆，且 \(\mathcal{O}_T(n) = \mathcal{L}^{\otimes n}\)。考虑这些映射的复合 \(\psi\)： \[S \to k[X_0, X_1, X_2] \to \Gamma_*(T, \mathcal{L}).\] 这里第一个映射为 \(A \mapsto X_0\)、\(B \mapsto X_1^2\)、 \(C \mapsto X_2^3\)，第二个映射为 (01MP)。由本引理，这对应于态射 \(r_{\mathcal{L}, \psi} : T \to X = \text{Proj}(S)\) 并且容易看出它是满射。另一方面，在注记 01ML 中，我们已经说明层 \(\mathcal{O}_X(1)\) 并非在 \(X\) 的所有点处都可逆。

通过黏合构造相对 Proj

情形

这里 \(S\) 为概形，\(\mathcal{A}\) 为拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_S\)-代数。

本节概述如何构造概形态射 \[\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \longrightarrow S\] 其方法是黏合齐次谱 \(\text{Proj}(\Gamma(U, \mathcal{A}))\)，其中 \(U\) 遍历 \(S\) 的仿射开集。首先说明，\(\mathcal{A}\) 在诸仿射开集上的取值之齐次谱构成一族合适的概形，如引理 01LH 所述。

引理

在情形 01NN 中。假设 \(U \subset U' \subset S\) 为仿射开集。设 \(A = \mathcal{A}(U)\) 且 \(A' = \mathcal{A}(U')\)。分次环同态 \(A' \to A\) 诱导态射 \(r : \text{Proj}(A) \to \text{Proj}(A')\)，且图 \[\xymatrix{ \text{Proj}(A) \ar[r] \ar[d] & \text{Proj}(A') \ar[d] \\ U \ar[r] & U' }\] 是笛卡尔的。此外，存在与乘法映射相容的典范同构

\(\theta : r^*\mathcal{O}_{\text{Proj}(A')}(n) \to \mathcal{O}_{\text{Proj}(A)}(n)\)。

证明

设 \(R = \mathcal{O}_S(U)\) 且 \(R' = \mathcal{O}_S(U')\)。注意，映射 \(R \otimes_{R'} A' \to A\) 是同构，因为 \(\mathcal{A}\) 拟凝聚（例如见概形章引理 01I9）。因此本引理由引理 01N2 得出。

特别地，引理中的态射 \(\text{Proj}(A) \to \text{Proj}(A')\) 是开浸入。

引理

在情形 01NN 中。假设 \(U \subset U' \subset U'' \subset S\) 为仿射开集。设 \(A = \mathcal{A}(U)\)、\(A' = \mathcal{A}(U')\) 且 \(A'' = \mathcal{A}(U'')\)。引理 01NO 中态射 \(r : \text{Proj}(A) \to \text{Proj}(A')\) 与 \(r' : \text{Proj}(A') \to \text{Proj}(A'')\) 的复合，等于同一引理中的态射 \(r'' : \text{Proj}(A) \to \text{Proj}(A'')\)，即引理 01NO 的相应态射。对同构 \(\theta\) 也有类似陈述。

证明

这由引理 01MZ 得出，因为映射 \(A'' \to A\) 是 \(A'' \to A'\) 与 \(A' \to A\) 的复合。

引理

在情形 01NN 中。存在概形态射 \[\pi : \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \longrightarrow S\] 具有下列性质：

对每个仿射开集 \(U \subset S\)，存在同构 \(i_U : \pi^{-1}(U) \to \text{Proj}(A)\)，其中 \(A = \mathcal{A}(U)\)；并且

对仿射开集 \(U \subset U' \subset S\)，复合 \[\xymatrix{ \text{Proj}(A) \ar[r]^{i_U^{-1}} & \pi^{-1}(U) \ar[rr]^{inclusion} & & \pi^{-1}(U') \ar[r]^{i_{U'}} & \text{Proj}(A') }\] （其中 \(A = \mathcal{A}(U)\)、\(A' = \mathcal{A}(U')\)）是上面引理 01NO 的开浸入。

证明

这立即由引理 01LH、 01NO 与 01NP. 得出。

引理

在情形 01NN 中。引理 01NQ 的态射 \(\pi : \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \to S\) 带有下列附加结构。存在拟凝聚 \(\mathbf{Z}\)-分次 \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}\)-代数层 \(\bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n)\), 以及分次 \(\mathcal{O}_S\)-代数的态射 \[\psi : \mathcal{A} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \pi_*\left(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n)\right)\] 它们由下列性质唯一确定：对每个仿射开集 \(U \subset S\)，若 \(A = \mathcal{A}(U)\)，则存在同构 \[\theta_U : i_U^*\left( \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\text{Proj}(A)}(n) \right) \longrightarrow \left( \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n) \right)|_{\pi^{-1}(U)}\] （它是 \(\mathbf{Z}\)-分次 \(\mathcal{O}_{\pi^{-1}(U)}\)-代数的同构），使得图 \[\xymatrix{ A_n \ar[rr]_\psi \ar[dr]_-{(\href{constructions.html#constructions-equation-global-sections}{01MP})} & & \Gamma(\pi^{-1}(U), \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n)) \\ & \Gamma(\text{Proj}(A), \mathcal{O}_{\text{Proj}(A)}(n)) \ar[ru]_-{\theta_U} & }\] 交换。

证明

我们将使用引理 01LI，把各 \(\mathbf{Z}\)-分次代数层 \(\bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\text{Proj}(A)}(n)\) 黏合起来；这里 \(A = \mathcal{A}(U)\)，\(U \subset S\) 为仿射开集，黏合所得概形为 \(\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\)。所需数据已在引理 01NO 中构造，并且引理 01LI 的条件 (d) 已在引理 01NP 中检验。因此得到 \(\mathbf{Z}\)-分次 \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}\)-代数层 \(\bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n)\) 以及同构 \(\theta_U\)，它们对所有仿射开集 \(U \subset S\) 与所有 \(n \in \mathbf{Z}\) 都存在。对每个仿射开集 \(U \subset S\)，若 \(A = \mathcal{A}(U)\)，则有映射 \(A \to \Gamma(\text{Proj}(A), \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{O}_{\text{Proj}(A)}(n))\). 因此由相对黏合的函子性，映射 \(\psi\) 存在，见注记 01LK。引理中的图由构造可知交换。这刻画了 \(\mathbf{Z}\)-分次 \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}\)-代数层 \(\bigoplus \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n)\) 因为引理 01MY 的证明表明，要求这些图交换会唯一确定各映射 \(\theta_U\)。略去一些细节。

作为函子的相对 Proj

我们处于情形 01NN。因此 \(S\) 为概形，且 \(\mathcal{A} = \bigoplus_{d \geq 0} \mathcal{A}_d\) 为拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_S\)-代数。本节通过构造一个由相对齐次谱表示的函子，将 \(\text{Proj}\) 的构造相对化。由此将构造概形态射 \[\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \longrightarrow S\] 它在 \(S\) 的仿射开集上看起来像分次环的齐次谱。讨论仿照第 01LQ 节对相对谱的讨论。较容易的方法是黏合形如 \(\text{Proj}(A)\) 的概形，其中 \(A = \Gamma(U, \mathcal{A})\)， \(U \subset S\) 为仿射开集；该方法见第 01NM 节，并将证明本节结果与之同构。

暂时固定整数 \(d \geq 1\)。仿照代数章第 00JL 节的记号，记 \(\mathcal{A}^{(d)} = \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{A}_{nd}\)。设 \(T\) 为概形。考虑四元组 \((d, f : T \to S, \mathcal{L}, \psi)\) （在 \(T\) 上），其中

\(d\) 是上面固定的整数；
\(f : T \to S\) 是概形态射；
\(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_T\)-模；并且
\(\psi : f^*\mathcal{A}^{(d)} \to \bigoplus_{n \geq 0}\mathcal{L}^{\otimes n}\) 是分次 \(\mathcal{O}_T\)-代数同态，且 \(f^*\mathcal{A}_d \to \mathcal{L}\) 是满射。

给定态射 \(h : T' \to T\) 与四元组 \((d, f, \mathcal{L}, \psi)\)（在 \(T\) 上），可将它拉回为四元组 \((d, f \circ h, h^*\mathcal{L}, h^*\psi)\)（在 \(T'\) 上）。给定两个四元组 \((d, f, \mathcal{L}, \psi)\) 与 \((d, f', \mathcal{L}', \psi')\)（在 \(T\) 上且整数 \(d\) 相同），若 \(f = f'\)，并存在同构 \(\beta : \mathcal{L} \to \mathcal{L}'\)，使得 \(\beta \circ \psi = \psi'\) 作为分次 \(\mathcal{O}_T\)-代数同态 \(f^*\mathcal{A}^{(d)} \to \bigoplus_{n \geq 0} (\mathcal{L}')^{\otimes n}\) 成立，则称它们严格等价。

对每个整数 \(d \geq 1\)，定义 \[\begin{eqnarray*} F_d : \Sch^{opp} & \longrightarrow & \textit{Sets}, \\ T & \longmapsto & \{\text{下列对象的严格等价类： } (d, f : T \to S, \mathcal{L}, \psi) \text{ 如上}\} \end{eqnarray*}\] 其拉回按上面所述定义。

引理

在情形 01NN 中。设 \(d \geq 1\)。设 \(F_d\) 为上面与 \((S, \mathcal{A})\) 相伴的函子。设 \(g : S' \to S\) 为概形态射。置 \(\mathcal{A}' = g^*\mathcal{A}\)。设 \(F_d'\) 为上面与 \((S', \mathcal{A}')\) 相伴的函子。则存在函子的典范同构 \[F'_d \cong h_{S'} \times_{h_S} F_d\]

证明

四元组 \((d, f' : T \to S', \mathcal{L}', \psi' : (f')^*(\mathcal{A}')^{(d)} \to \bigoplus_{n \geq 0} (\mathcal{L}')^{\otimes n})\) 等同于一个四元组 \((d, f, \mathcal{L}, \psi : f^*\mathcal{A}^{(d)} \to \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes n})\) 连同 \(f\) 的分解 \(f = g \circ f'\)。具体而言，该对应由 \(f = g \circ f'\)、\(\mathcal{L} = \mathcal{L}'\) 与 \(\psi = \psi'\) 给出，其中使用识别 \((f')^*(\mathcal{A}')^{(d)} = (f')^*g^*(\mathcal{A}^{(d)}) = f^*\mathcal{A}^{(d)}\)。引理得证。

引理

在情形 01NN 中。设 \(F_d\) 为上面与 \((d, S, \mathcal{A})\) 相伴的函子。若 \(S\) 仿射，则 \(F_d\) 由开子概形 \(U_d\)（01N5）表示；该开子概形位于概形 \(\text{Proj}(\Gamma(S, \mathcal{A}))\) 中。

证明

写成 \(S = \Spec(R)\) 且 \(A = \Gamma(S, \mathcal{A})\)。则 \(A\) 是分次 \(R\)-代数，且 \(\mathcal{A} = \widetilde A\)。为证明本引理，必须把函子 \(F_d\) 与第 01N4 节定义的三元组函子 \(F_d^{triples}\) 识别起来。

设 \((d, f : T \to S, \mathcal{L}, \psi)\) 为四元组。可将 \(\psi\) 看作 \(\mathcal{O}_S\)-模同态 \(\mathcal{A}^{(d)} \to \bigoplus_{n \geq 0} f_*\mathcal{L}^{\otimes n}\). 由于 \(\mathcal{A}^{(d)}\) 拟凝聚，这等同于 \(R\)-线性的分次环同态 \(A^{(d)} \to \Gamma(S, \bigoplus_{n \geq 0} f_*\mathcal{L}^{\otimes n})\). 显然，\(\Gamma(S, \bigoplus_{n \geq 0} f_*\mathcal{L}^{\otimes n}) = \Gamma_*(T, \mathcal{L})\)。因此可将三元组 \((d, \mathcal{L}, \psi)\) 与该四元组相伴。

反之，设 \((d, \mathcal{L}, \psi)\) 为三元组。复合 \(R \to A_0 \to \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\) 确定态射 \(f : T \to S = \Spec(R)\)，见概形章引理 01I1。按此选择 \(f\)，映射 \(A^{(d)} \to \Gamma(S, \bigoplus_{n \geq 0} f_*\mathcal{L}^{\otimes n})\) 是 \(R\)-线性的，因而对应于 \(\psi\)；它可用于四元组 \((d, f : T \to S, \mathcal{L}, \psi)\)。由此建立函子同构 \(F_d = F_d^{triples}\) 的验证从略。

引理

在情形 01NN 中。函子 \(F_d\) 可由概形表示。

证明

我们将使用概形章引理 01JJ。

首先检验 \(F_d\) 对 Zariski 拓扑满足层性质。设 \(T\) 为概形， \(T = \bigcup_{i \in I} U_i\) 为开覆盖，并且 \((d, f_i, \mathcal{L}_i, \psi_i) \in F_d(U_i)\)，使得 \((d, f_i, \mathcal{L}_i, \psi_i)|_{U_i \cap U_j}\) 与 \((d, f_j, \mathcal{L}_j, \psi_j)|_{U_i \cap U_j}\) 严格等价。这蕴含态射 \(f_i : U_i \to S\) 黏合为概形态射 \(f : T \to S\)，满足 \(f|_{I_i} = f_i\)，见概形章第 01JA 节。因此 \(f_i^*\mathcal{A}^{(d)} = f^*\mathcal{A}^{(d)}|_{U_i}\)。它还蕴含存在同构 \(\beta_{ij} : \mathcal{L}_i|_{U_i \cap U_j} \to \mathcal{L}_j|_{U_i \cap U_j}\) 使得 \(\beta_{ij} \circ \psi_i = \psi_j\) 在 \(U_i \cap U_j\) 上成立。注意，同构 \(\beta_{ij}\) 由这一要求唯一确定，因为映射 \(f_i^*\mathcal{A}_d \to \mathcal{L}_i\) 是满射。特别地，可见 \(\beta_{jk} \circ \beta_{ij} = \beta_{ik}\) 在 \(U_i \cap U_j \cap U_k\) 上成立。因此由层章第 00AK 节，可逆层 \(\mathcal{L}_i\) 黏合为可逆 \(\mathcal{O}_T\)-模 \(\mathcal{L}\)，而态射 \(\psi_i\) 黏合为 \(\mathcal{O}_T\)-代数的态射 \(\psi : f^*\mathcal{A}^{(d)} \to \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes n}\). 这证明 \(F_d\) 对 Zariski 拓扑满足层条件。

设 \(S = \bigcup_{i \in I} U_i\) 为仿射开覆盖。设 \(F_{d, i} \subset F_d\) 为由二元组 \((f : T \to S, \varphi)\) 所组成的子函子，其中 \(f(T) \subset U_i\)。

必须证明每个 \(F_{d, i}\) 都可表示。由引理 01NT， \(F_{d, i}\) 与下述函子识别：它与 \(U_i\) 以及其上的拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_{U_i}\)-代数 \(\mathcal{A}|_{U_i}\) 相伴。因此结论由引理 01NU 得出。

接着证明 \(F_{d, i} \subset F_d\) 可由开浸入表示。设 \((f : T \to S, \varphi) \in F_d(T)\)。考虑 \(V_i = f^{-1}(U_i)\)。由 \(F_{d, i}\) 的定义，对任意 \(a : T' \to T\)，有 \(a^*(f, \varphi) \in F_{d, i}(T')\) 当且仅当 \(a(T') \subset V_i\)。这正是所需结论。

最后必须证明族 \((F_{d, i})_{i \in I}\) 覆盖 \(F_d\)。设 \((f : T \to S, \varphi) \in F_d(T)\)。考虑 \(V_i = f^{-1}(U_i)\)。由于 \(S = \bigcup_{i \in I} U_i\) 是 \(S\) 的开覆盖，可见 \(T = \bigcup_{i \in I} V_i\) 是 \(T\) 的开覆盖。此外， \((f, \varphi)|_{V_i} \in F_{d, i}(V_i)\)。引理证毕。

现在可以在当前相对情形下重做第 01N4 节末尾的内容，并定义一个由 \(\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\) 表示的函子。为此，引入两个四元组 \((d, f : T \to S, \mathcal{L}, \psi)\) 与 \((d', f' : T \to S, \mathcal{L}', \psi')\) 之间的等价概念，其中整数 \(d, d'\) 可以取不同值。具体而言，若 \(f = f'\)，并存在同构 \(\beta : \mathcal{L}^{\otimes d'} \to (\mathcal{L}')^{\otimes d}\)，使得 \(\beta \circ \psi|_{f^*\mathcal{A}^{(dd')}} = \psi'|_{f^*\mathcal{A}^{(dd')}}\). 则称它们等价。下面的引理蕴含这确实定义了等价关系。（这并非完全平凡。）

引理

在情形 01NN 中。设 \(T\) 为概形。设 \((d, f, \mathcal{L}, \psi)\)、\((d', f', \mathcal{L}', \psi')\) 为 \(T\) 上的两个四元组。下列条件等价：

设 \(m = \text{lcm}(d, d')\)。写成 \(m = ad = a'd'\)。有 \(f = f'\)，并且存在同构 \(\beta : \mathcal{L}^{\otimes a} \to (\mathcal{L}')^{\otimes a'}\) 使得 \(\beta \circ \psi|_{f^*\mathcal{A}^{(m)}}\) 与 \(\psi'|_{f^*\mathcal{A}^{(m)}}\) 作为分次环同态 \(f^*\mathcal{A}^{(m)} \to \bigoplus_{n \geq 0} (\mathcal{L}')^{\otimes mn}\). 一致。

四元组 \((d, f, \mathcal{L}, \psi)\) 与 \((d', f', \mathcal{L}', \psi')\) 等价。

有 \(f = f'\)，并且对某个正整数 \(m = ad = a'd'\)，存在同构 \(\beta : \mathcal{L}^{\otimes a} \to (\mathcal{L}')^{\otimes a'}\) 使得 \(\beta \circ \psi|_{f^*\mathcal{A}^{(m)}}\) 与 \(\psi'|_{f^*\mathcal{A}^{(m)}}\) 作为分次环同态 \(f^*\mathcal{A}^{(m)} \to \bigoplus_{n \geq 0} (\mathcal{L}')^{\otimes mn}\). 一致。

证明

显然，通过限制到可被更多整数整除的次数并取可逆层的幂， (1) 蕴含 (2)，且 (2) 蕴含 (3)。假设 (3) 对某个整数 \(m = ad = a'd'\) 成立。置 \(m_0 = \text{lcm}(d, d')\)，并写成 \(m_0 = a_0d = a'_0d'\)。给定同构 \(\beta : \mathcal{L}^{\otimes a} \to (\mathcal{L}')^{\otimes a'}\) 满足 (3) 所述性质。要寻找同构 \(\beta_0 : \mathcal{L}^{\otimes a_0} \to (\mathcal{L}')^{\otimes a'_0}\) 也满足该性质。由于按假设映射 \(\psi : f^*\mathcal{A}_d \to \mathcal{L}\) 与 \(\psi' : (f')^*\mathcal{A}_{d'} \to \mathcal{L}'\) 是满射，下列映射也同样是满射： \(\psi : f^*\mathcal{A}_{m_0} \to \mathcal{L}^{\otimes a_0}\) 以及 \(\psi' : (f')^*\mathcal{A}_{m_0} \to (\mathcal{L}')^{\otimes a_0}\)。因此，若 \(\beta_0\) 存在，则由条件 \(\beta_0 \circ \psi = \psi'\) 唯一确定。这意味着可以在 \(T\) 上局部工作。因此可假设 \(f = f' : T \to S\) 的像落在某个仿射开集中，换言之可假设 \(S\) 仿射。此时结论由三元组的相应结果（见引理 01NB）以及仿射底情形下三元组与四元组之间的对应（见引理 01NU 的证明）得出。

假设 \(d' = ad\)。考虑函子变换 \(F_d \to F_{d'}\)，它将四元组 \((d, f, \mathcal{L}, \psi)\)（在 \(T\) 上）映为四元组 \((d', f, \mathcal{L}^{\otimes a}, \psi|_{f^*\mathcal{A}^{(d')}})\). 引理 01NW 的一个推论是：变换 \(F_d \to F_{d'}\) 是单射！对拟紧概形 \(T\)，定义 \[F(T) = \bigcup\nolimits_{d \in \mathbf{N}} F_d(T)\] 其中转移映射如上所述。显然，这在拟紧概形范畴上定义了取值于集合的反变函子。对一般概形 \(T\)，定义 \[F(T) = \lim_{V \subset T\text{ 拟紧开}} F(V).\] 换言之，一个元素 \(\xi\)（属于 \(F(T)\)）对应于一族相容的选择 \(\xi_V \in F(V)\)，其中 \(V\) 遍历 \(T\) 的拟紧开集。拉回映射 \(F(T) \to F(T')\)（对应概形态射 \(T' \to T\)）的定义从略。由此定义函子 [01NX]\[\begin{equation} F : \Sch^{opp} \longrightarrow \textit{Sets} \end{equation}\]

引理

在情形 01NN 中。上面的函子 \(F\) 可由概形表示。

证明

设 \(U_d \to S\) 为表示上面函子 \(F_d\) 的概形。设 \(\mathcal{L}_d\) 与 \(\psi^d : \pi_d^*\mathcal{A}^{(d)} \to \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{L}_d^{\otimes n}\) 为泛对象。若 \(d | d'\)，则可考虑四元组 \((d', \pi_d, \mathcal{L}_d^{\otimes d'/d}, \psi^d|_{\mathcal{A}^{(d')}})\) 它确定典范态射 \(U_d \to U_{d'}\)（在 \(S\) 上）。由构造，此态射对应于上面定义的函子变换 \(F_d \to F_{d'}\)。

对每个仿射开集 \(\Spec(R) = V \subset S\)，置 \(A = \Gamma(V, \mathcal{A})\)，则基变换 \(U_{d, V}\) 与 \(\text{Proj}(A)\) 的相应开子概形有典范识别，见引理 01NU。此外，上面构造的态射 \(U_{d, V} \to U_{d', V}\) 对应于 \(\text{Proj}(A)\) 中开集的包含。因此 \(U_d \to U_{d'}\) 是开浸入。

于是可构造 \(X\)：将概形 \(U_d\) 沿开浸入 \(U_d \to U_{d'}\) 黏合。技术上，方便的做法是选取序列 \(d_1 | d_2 | d_3 | \ldots\)，使每个正整数整除某个 \(d_i\)，然后利用上述开浸入直接取 \(X = \bigcup U_{d_i}\)。接着容易证明 \(X\) 表示函子 \(F\)。

引理

在情形 01NN 中。引理 01NQ 构造的概形 \(\pi : \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \to S\)，与表示函子 \(F\) 的概形，作为 \(S\) 上的概形典范同构。

证明

设 \(X\) 为表示函子 \(F\) 的概形。注意，\(X\) 是 \(S\) 上的概形，因为函子 \(F\) 带有自然变换 \(F \to h_S\)。写成 \(Y = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\)。必须证明 \(X \cong Y\) 作为 \(S\)-概形成立。给出两个论证。

第一个论证使用引理 01NY 的证明中将 \(X\) 构造为诸概形 \(U_d\)（它们表示 \(F_d\)）之并的做法。在 \(S\) 的每个仿射开集上，可将 \(X\) 与 \(\mathcal{A}\) 在该开集上的截面之齐次谱识别，因为对开集 \(U_d\) 已经如此。此外，这些识别与进一步限制到更小的仿射开集相容。另一方面，\(Y\) 正是通过黏合这些齐次谱构造的。因此可黏合这些同构，得到 \(X\) 与 \(\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\) 之间所需的同构。细节从略。

下面是第二个论证。引理 01NR 表明存在分次代数的态射 \[\psi : \pi^*\mathcal{A} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{O}_Y(n)\] 它位于 \(Y\) 上，并且在 \(S\) 的仿射开集上的截面层面与 (01MP) 一致。因此对每个 \(y \in Y\)，存在开邻域 \(V \subset Y\)（它是 \(y\) 的邻域）与整数 \(d \geq 1\)，使得当 \(d | n\) 时，层 \(\mathcal{O}_Y(n)|_V\) 可逆，且乘法映射 \(\mathcal{O}_Y(n)|_V \otimes_{\mathcal{O}_V} \mathcal{O}_Y(m)|_V \to \mathcal{O}_Y(n + m)|_V\) 都是同构。因此，将 \(\psi\) 限制到层 \(\pi^*\mathcal{A}^{(d)}|_V\)，得到 \(F_d(V)\) 的一个元素。由于诸开集 \(V\) 覆盖 \(Y\)，可见“\(\psi\)”给出 \(F(Y)\) 的一个元素，从而给出典范态射 \(Y \to X\)（在 \(S\) 上）。由于此构造完全典范，为验证它是同构，可以在 \(S\) 上局部工作。因此归约到 \(S\) 仿射的情形，此时结论显然。

定义

设 \(S\) 为概形。设 \(\mathcal{A}\) 为拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_S\)-代数层。 \(\mathcal{A}\) 在 \(S\) 上的相对齐次谱，或 \(\mathcal{A}\) 在 \(S\) 上的齐次谱，或 \(\mathcal{A}\) 在 \(S\) 上的相对 Proj，是引理 01NQ 中构造且表示函子 \(F\) （01NX）的概形，见引理 01NZ。将它记为 \(\pi : \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \to S\)。

相对 Proj 带有拟凝聚 \(\mathbf{Z}\)-分次代数层 \(\bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n)\) （结构层的扭转），以及分次代数的“泛”同态 \[\psi_{univ} : \mathcal{A} \longrightarrow \pi_*\left( \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n) \right)\] 见引理 01NR。也可将其视为同态 \[\psi_{univ} : \pi^*\mathcal{A} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n)\] 。下面的引理表述了此对象的泛性质。

引理

在情形 01NN 中。设 \((f : T \to S, d, \mathcal{L}, \psi)\) 为四元组。设 \(r_{d, \mathcal{L}, \psi} : T \to \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\) 为相伴的 \(S\)-态射。存在 \(\mathbf{Z}\)-分次 \(\mathcal{O}_T\)-代数的同构 \[\theta : r_{d, \mathcal{L}, \psi}^*\left( \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(nd) \right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes n}\] 使得下图交换： \[\xymatrix{ \mathcal{A}^{(d)} \ar[rr]_-{\psi} \ar[rd]_-{\psi_{univ}} & & f_*\left( \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes n} \right) \\ & \pi_*\left( \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(nd) \right) \ar[ru]_\theta }\] 此图的交换性唯一确定 \(\theta\)。

证明

注意，四元组 \((f : T \to S, d, \mathcal{L}, \psi)\) 定义了 \(F_d(T)\) 的一个元素。设 \(U_d \subset \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\) 为下述轨迹：层 \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(d)\) 可逆，并由下列映射的像生成： \(\psi_{univ} : \pi^*\mathcal{A}_d \to \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(d)\). 回忆 \(U_d\) 表示函子 \(F_d\)，见引理 01NY 的证明。因此，只需证明四元组 \((U_d \to S, d, \mathcal{O}_{U_d}(d), \psi_{univ}|_{\mathcal{A}^{(d)}})\) 是泛族，即 \(F_d(U_d)\) 中的表示对象。可以在限制到 \(S\) 的仿射开集后证明，因为 (a) 函子 \(F_d\) 的形成与基变换交换（见引理 01NT），且 (b) 二元组 \((\bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n), \psi_{univ})\) 是在 \(S\) 的仿射开集上黏合构造的（见引理 01NR）。因此可假设 \(S\) 仿射。此时，四元组函子 \(F_d\) 与三元组函子 \(F_d\) 一致（见引理 01NU 的证明），而且引理 01N9 表明 \((d, \mathcal{O}_{U_d}(d), \psi^d)\) 是 \(U_d\) 上的泛三元组。逆向追溯引理 01NU 证明中的各项识别，可知 \((U_d \to S, d, \mathcal{O}_{U_d}(d), \psi_{univ}|_{\mathcal{A}^{(d)}})\) 正是所需的泛四元组。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\mathcal{A}\) 为拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_S\)-代数层。态射 \(\pi : \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \to S\) 是分离的。

证明

要证明态射分离，可以在底上局部工作，见概形章第 01KH 节。由构造， \(\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\) 在任意仿射开集 \(U \subset S\) 上都同构于 \(\text{Proj}(A)\)，其中 \(A = \mathcal{A}(U)\)。由引理 01MC 可见 \(\text{Proj}(A)\) 分离。因此 \(\text{Proj}(A) \to U\) 分离（见概形章引理 01KV），如所需。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\mathcal{A}\) 为拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_S\)-代数层。设 \(g : S' \to S\) 为任意概形态射。则存在典范同构 \[r : \underline{\text{Proj}}_{S'}(g^*\mathcal{A}) \longrightarrow S' \times_S \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\] 以及相应的同构 \[\theta : r^*\text{pr}_2^*\left(\bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(d)\right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_{S'}(g^*\mathcal{A})}(d)\] ，它是 \(\mathbf{Z}\)-分次 \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_{S'}(g^*\mathcal{A})}\)-代数的同构。

证明

这由引理 01NT 以及引理 01NY 中将 \(\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\) 构造为诸概形 \(U_d\) （它们表示函子 \(F_d\)）之并的做法得出。用通过黏合构造相对 Proj 的语言，此同构由引理 01N2 中构造的同构给出，后者也提供同构 \(\theta\)。略去一些细节。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \(\mathcal{A}\) 为拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_S\)-代数层，它作为 \(\mathcal{A}_0\)-代数由 \(\mathcal{A}_1\) 生成。在这种情形下，概形 \(X = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\) 表示函子 \(F_1\)；该函子将概形 \(f : T \to S\)（在 \(S\) 上）映到二元组 \((\mathcal{L}, \psi)\) 的集合，其中

\(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_T\)-模；并且

\(\psi : f^*\mathcal{A} \to \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes n}\) 是分次 \(\mathcal{O}_T\)-代数同态，且 \(f^*\mathcal{A}_1 \to \mathcal{L}\) 是满射，

并按上述严格等价关系取等价类。此外，在这种情形下，所有拟凝聚层 \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}(\mathcal{A})}(n)\) 都是可逆 \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}(\mathcal{A})}\)-模，并且乘法映射诱导同构 \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}(\mathcal{A})}(n) \otimes_{\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}(\mathcal{A})}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}(\mathcal{A})}(m) = \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}(\mathcal{A})}(n + m)\).

证明

在本引理的假设下，诸层 \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}(\mathcal{A})}(n)\) 可逆，且乘法映射是同构；这在 \(S\) 的仿射开集上由引理 01NY 与引理 01NA 得出。因此 \(X\) 的确表示函子 \(F_1\)，见引理 01NY 的证明。

相对 Proj 上的拟凝聚层

我们简要讨论如何在相对情形下处理分次模。

我们置身于情形 01NN。因此 \(S\) 是一个概形，而 \(\mathcal{A}\) 是一个拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_S\)-代数。设 \(\mathcal{M} = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{M}_n\) 是一个分次 \(\mathcal{A}\)-模，并且作为 \(\mathcal{O}_S\)-模是拟凝聚的。我们将描述 \(\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\) 上与之相伴的拟凝聚模层。首先描述这个层在映入相对 Proj 的概形 \(T\) 上的值。

设 \(T\) 是一个概形，并设 \((d, f : T \to S, \mathcal{L}, \psi)\) 为第 01NS 节所述的 \(T\) 上四元组。我们如下定义一个拟凝聚层 \(\widetilde{\mathcal{M}}_T\)，它是一个 \(\mathcal{O}_T\)-模层： [01O6]\[\begin{equation} \widetilde{\mathcal{M}}_T = \left( f^*\mathcal{M}^{(d)} \otimes_{f^*\mathcal{A}^{(d)}} \left(\bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes n}\right) \right)_0 \end{equation}\] 因此 \(\widetilde{\mathcal{M}}_T\) 是 \(0\) 次部分；它取自两个分次 \(f^*\mathcal{A}^{(d)}\)-模 \(\mathcal{M}^{(d)}\) 与 \(\bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes n}\) 的张量积。注意，尽管记号中略去了这种依赖，层 \(\widetilde{\mathcal{M}}_T\) 仍依赖于该四元组。这个构造具有如下良好性质：给定任意态射 \(g : T' \to T\)，都有 \(\widetilde{\mathcal{M}}_{T'} = g^*\widetilde{\mathcal{M}}_T\)，其中 \(\widetilde{\mathcal{M}}_{T'}\) 表示与拉回四元组 \((d, f \circ g, g^*\mathcal{L}, g^*\psi)\) 相伴的拟凝聚层。

由于 (01O6) 中的所有层都是拟凝聚的，我们可以在仿射开集 \(\Spec(C) = V \subset T\) 上具体写出这个构造；该开集映入仿射开集 \(\Spec(R) = U \subset S\)。具体而言，设 \(\mathcal{A}|_U\) 对应于分次 \(R\)-代数 \(A\)， \(\mathcal{M}|_U\) 对应于分次 \(A\)-模 \(M\)，而 \(\mathcal{L}|_V\) 对应于可逆 \(C\)-模 \(L\)。映射 \(\psi\) 诱导一个分次 \(R\)-代数映射 \(\gamma : A^{(d)} \to \bigoplus_{n \geq 0} L^{\otimes n}\)。（这里 \(L\) 的张量幂均取在 \(C\) 上。）于是 \((\widetilde{\mathcal{M}}_T)|_V\) 就是与下列 \(C\)-模相伴的拟凝聚层： \[N_{R, C, A, M, \gamma} = \left( M^{(d)} \otimes_{A^{(d)}, \gamma} \left(\bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} L^{\otimes n}\right) \right)_0\] 根据假设，我们甚至可以用若干仿射开集覆盖 \(T\)；这些开集记为 \(V\)，并且存在某个 \(a \in A_d\)，使得 \(\gamma(a) \in L\) 是一个 \(C\)-基，即模 \(L\) 的一组基。在这种情况下，\(N_{R, C, A, M, \gamma}\) 的任意元素都是纯张量之和 \(\sum m_i \otimes \gamma(a)^{-n_i}\)，其中 \(m_i \in M_{n_id}\)。事实上，我们可以把每个 \(m_i\) 乘以 \(a\) 的某个适当正幂，然后合并各项，由此看出 \(N_{R, C, A, M, \gamma}\) 的每个元素都可写成 \(m \otimes \gamma(a)^{-n}\)，其中 \(m \in M_{nd}\) 且 \(n \gg 0\)。换言之，在此情形下有 \[N_{R, C, A, M, \gamma} = M_{(a)} \otimes_{A_{(a)}} C\] 其中映射 \(A_{(a)} \to C\) 是 \(x/a^n \mapsto \gamma(x)/\gamma(a)^n\)。换言之，这是 \(\widetilde{M}\) 在 \(D_{+}(a) \subset \text{Proj}(A)\) 上的值拉回到 \(\Spec(C)\) 后所得的模；这里使用的是态射 \(\Spec(C) \to D_{+}(a)\)，它来自 \(\gamma\)。

引理

在情形 01NN 中，给定任意拟凝聚分次 \(\mathcal{A}\)-模层 \(\mathcal{M}\)（它位于 \(S\) 上），都存在一个典范相伴的 \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}\)-模层 \(\widetilde{\mathcal{M}}\)，它具有如下性质：

给定概形 \(T\) 以及四元组 \((T \to S, d, \mathcal{L}, \psi)\)（它位于 \(T\) 上），若该四元组对应于态射 \(h : T \to \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\)，则存在典范同构 \(\widetilde{\mathcal{M}}_T = h^*\widetilde{\mathcal{M}}\)，其中 \(\widetilde{\mathcal{M}}_T\) 由 (01O6) 定义。

(1) 中的同构与拉回相容。

存在典范映射 \[\pi^*\mathcal{M}_0 \longrightarrow \widetilde{\mathcal{M}}.\]

构造 \(\mathcal{M} \mapsto \widetilde{\mathcal{M}}\) 关于 \(\mathcal{M}\) 是函子性的。

构造 \(\mathcal{M} \mapsto \widetilde{\mathcal{M}}\) 是正合的。

存在如下典范映射 \[\widetilde{\mathcal{M}} \otimes_{\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}} \widetilde{\mathcal{N}} \longrightarrow \widetilde{\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}}\] 它们与引理 01MK 中的映射相同。

存在典范映射 \[\pi^*\mathcal{M} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \widetilde{\mathcal{M}(n)}\] 它们推广了 (01MR)。

\(\widetilde{\mathcal{M}}\) 的形成与基变换可交换。

证明

从略。我们应当把这个引理拆成若干部分，并分别证明各部分。

相对 Proj 的函子性

本节是相对 Proj 情形下第 01MX 节的类比。设 \(S\) 是一个概形。分次 \(\mathcal{O}_S\)-代数映射 \(\psi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 并不总能诱导相伴相对 Proj 之间的态射。正确的结果如下。

引理

设 \(S\) 是一个概形。设 \(\mathcal{A}\)、\(\mathcal{B}\) 是两个分次拟凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-代数。置 \(p : X = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \to S\) 及 \(q : Y = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{B}) \to S\)。设 \(\psi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 是分次 \(\mathcal{O}_S\)-代数同态。存在典范开集 \(U(\psi) \subset Y\) 以及典范概形态射 \[r_\psi : U(\psi) \longrightarrow X\] 它在 \(S\) 上；此外还存在一个 \(\mathbf{Z}\)-分次 \(\mathcal{O}_{U(\psi)}\)-代数映射 \[\theta = \theta_\psi : r_\psi^*\left( \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_X(d) \right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{U(\psi)}(d).\] 三元组 \((U(\psi), r_\psi, \theta)\) 由如下性质刻画：对任意仿射开集 \(W \subset S\)，三元组 \[(U(\psi) \cap p^{-1}W,\quad r_\psi|_{U(\psi) \cap p^{-1}W} : U(\psi) \cap p^{-1}W \to q^{-1}W,\quad \theta|_{U(\psi) \cap p^{-1}W})\] 等于与 \(\psi : \mathcal{A}(W) \to \mathcal{B}(W)\) 相伴的三元组，即引理 01MY 中的三元组；这里采用恒等 \(p^{-1}W = \text{Proj}(\mathcal{A}(W))\) 与 \(q^{-1}W = \text{Proj}(\mathcal{B}(W))\)，它们来自第 01NM 节。

证明

把这些局部三元组粘合起来，便立即得到本引理。

引理

设 \(S\) 是一个概形。设 \(\mathcal{A}\)、\(\mathcal{B}\) 和 \(\mathcal{C}\) 是拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_S\)-代数。置 \(X = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\)、 \(Y = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{B})\) 及 \(Z = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{C})\)。设 \(\varphi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)、 \(\psi : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\) 是分次 \(\mathcal{O}_S\)-代数映射。则有 \[U(\psi \circ \varphi) = r_\varphi^{-1}(U(\psi)) \quad \text{且} \quad r_{\psi \circ \varphi} = r_\varphi \circ r_\psi|_{U(\psi \circ \varphi)}.\] 此外还有 \[\theta_\psi \circ r_\psi^*\theta_\varphi = \theta_{\psi \circ \varphi}\] 其中记号含义显然。

证明

从略。

引理

沿用上述引理 07ZG 的假设与记号。假设 \(\mathcal{A}_d \to \mathcal{B}_d\) 对 \(d \gg 0\) 是满射。则

\(U(\psi) = Y\),

\(r_\psi : Y \to X\) 是闭浸入，并且

映射 \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_X(n) \to \mathcal{O}_Y(n)\) 是满射，但一般不是同构（即使 \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 是满射）。

证明

由引理 07ZG 与引理 01N0 合并即得。

引理

沿用上述引理 07ZG 的假设与记号。假设 \(\mathcal{A}_d \to \mathcal{B}_d\) 对所有 \(d \gg 0\) 都是同构。则

\(U(\psi) = Y\),

\(r_\psi : Y \to X\) 是同构，并且

映射 \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_X(n) \to \mathcal{O}_Y(n)\) 是同构。

证明

由引理 07ZG 与引理 07ZE 合并即得。

引理

沿用上述引理 07ZG 的假设与记号。假设 \(\mathcal{A}_d \to \mathcal{B}_d\) 对 \(d \gg 0\) 是满射，并且 \(\mathcal{A}\) 由 \(\mathcal{A}_1\) 在 \(\mathcal{A}_0\) 上生成。则

\(U(\psi) = Y\),

\(r_\psi : Y \to X\) 是闭浸入，并且

映射 \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_X(n) \to \mathcal{O}_Y(n)\) 是同构。

证明

由引理 07ZG 与引理 01N1 合并即得。

可逆层与映入相对 Proj 的态射

下述引理似乎会在某处用到。情形如下：

设 \(S\) 是一个概形。
设 \(\mathcal{A}\) 是一个拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_S\)-代数。
记 \(\pi : \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \to S\) 为 \(S\) 上的相对齐次谱。
设 \(f : X \to S\) 是一个概形态射。
设 \(\mathcal{L}\) 是一个可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。
设 \(\psi : f^*\mathcal{A} \to \bigoplus_{d \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes d}\) 是一个分次 \(\mathcal{O}_X\)-代数同态。

给定这些数据，置 \[U(\psi) = \bigcup\nolimits_{(U, V, a)} U_{\psi(a)}\] 其中 \((U, V, a)\) 满足：

\(V \subset S\) 是仿射开集，
\(U = f^{-1}(V)\)，并且
\(a \in \mathcal{A}(V)_{+}\) 是齐次的。

此时 \(\psi(a) \in \Gamma(U, \mathcal{L}^{\otimes \deg(a)})\)，而 \(U_{\psi(a)}\) 是对应的开集（见《模》中的引理 01CY）。

引理

沿用上述假设与记号。态射 \(\psi\) 诱导如下 \(S\) 上的典范概形态射： \[r_{\mathcal{L}, \psi} : U(\psi) \longrightarrow \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\] 并且还诱导如下分次 \(\mathcal{O}_{U(\psi)}\)-代数映射： \[\theta : r_{\mathcal{L}, \psi}^*\left( \bigoplus\nolimits_{d \geq 0} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(d) \right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes d}|_{U(\psi)}\] 它们由下列性质刻画：

对每个开集 \(V \subset S\) 以及每个 \(d \geq 0\)，图 \[\xymatrix{ \mathcal{A}_d(V) \ar[d]_{\psi} \ar[r]_{\psi} & \Gamma(f^{-1}(V), \mathcal{L}^{\otimes d}) \ar[d]^{restrict} \\ \Gamma(\pi^{-1}(V), \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(d)) \ar[r]^{\theta} & \Gamma(f^{-1}(V) \cap U(\psi), \mathcal{L}^{\otimes d}) }\] 是交换的。

对任意 \(d \geq 1\) 以及任意开子概形 \(W \subset X\)，若 \(\psi|_W : f^*\mathcal{A}_d|_W \to \mathcal{L}^{\otimes d}|_W\) 是满射，则态射 \(r_{\mathcal{L}, \psi}\) 的限制与态射 \(W \to \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\) 一致；后者由相对齐次谱的构造存在，见定义 01O0。

对任意仿射开集 \(V \subset S\)，限制 \[(U(\psi) \cap f^{-1}(V), r_{\mathcal{L}, \psi}|_{U(\psi) \cap f^{-1}(V)}, \theta|_{U(\psi) \cap f^{-1}(V)})\] 经由 \(i_V\)（见引理 01NQ）与三元组 \((U(\psi'), r_{\mathcal{L}, \psi'}, \theta')\) 一致；这是引理 01NK 中与映射 \(\psi' : A = \mathcal{A}(V) \to \Gamma_*(f^{-1}(V), \mathcal{L}|_{f^{-1}(V)})\) 相伴的三元组，而该映射由 \(\psi\) 诱导。

证明

利用刻画 (3) 构造态射 \(r_{\mathcal{L}, \psi}\) 与 \(\theta\)；这个构造是在 \(S\) 上局部进行的。利用引理 01NK 的唯一性说明这些构造能够粘合。细节从略。

可逆层扭曲与相对 Proj

设 \(S\) 是一个概形。设 \(\mathcal{A} = \bigoplus_{d \geq 0} \mathcal{A}_d\) 是一个拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_S\)-代数。设 \(\mathcal{L}\) 是 \(S\) 上的一个可逆层。在这种情形下，我们得到另一个拟凝聚分次 \(\mathcal{O}_S\)-代数，即 \[\mathcal{B} = \bigoplus\nolimits_{d \geq 0} \mathcal{A}_d \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{L}^{\otimes d}\] 事实表明，\(\mathcal{A}\) 与 \(\mathcal{B}\) 具有同构的相对齐次谱。

引理

沿用上述记号 \(S\)、\(\mathcal{A}\)、\(\mathcal{L}\) 和 \(\mathcal{B}\)。存在典范同构 \[\xymatrix{ P = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \ar[rr]_g \ar[rd]_\pi & & \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{B}) = P' \ar[ld]^{\pi'} \\ & S & }\] 它具有如下性质：

存在同构 \(\theta_n : g^*\mathcal{O}_{P'}(n) \to \mathcal{O}_P(n) \otimes \pi^*\mathcal{L}^{\otimes n}\) 它们拼合为如下 \(\mathbf{Z}\)-分次代数同构： \[\theta : g^*\left( \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{P'}(n) \right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_P(n) \otimes \pi^*\mathcal{L}^{\otimes n}\]

对每个开集 \(V \subset S\)，图 \[\xymatrix{ \mathcal{A}_n(V) \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}(V) \ar[r]_{multiply} \ar[d]^{\psi \otimes \pi^*} & \mathcal{B}_n(V) \ar[dd]^\psi \\ \Gamma(\pi^{-1}V, \mathcal{O}_P(n)) \otimes \Gamma(\pi^{-1}V, \pi^*\mathcal{L}^{\otimes n}) \ar[d]^{multiply} \\ \Gamma(\pi^{-1}V, \mathcal{O}_P(n) \otimes \pi^*\mathcal{L}^{\otimes n}) & \Gamma(\pi'^{-1}V, \mathcal{O}_{P'}(n)) \ar[l]_-{\theta_n} }\] 都是交换的。

视需要在此补充更多内容。

证明

当 \(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_S\) 时，这就是恒等映射。一般地，选取 \(S\) 的一个开覆盖，使得 \(\mathcal{L}\) 在各片上平凡化，再粘合相应的映射。细节从略。

射影丛

设 \(S\) 是一个概形。设 \(\mathcal{E}\) 是一个拟凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-模层。由《模》中的引理 01CL，对称代数 \(\text{Sym}(\mathcal{E})\)，即 \(\mathcal{E}\) 在 \(\mathcal{O}_S\) 上的对称代数，是一个拟凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-代数层。注意，它由 \(1\) 次部分在 \(\mathcal{O}_S\) 上生成。因此可以对它应用上一节的构造，特别是引理 01NY 和 01O4。

定义

设 \(S\) 是一个概形。设 \(\mathcal{E}\) 是一个拟凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-模³。我们记 \[\pi : \mathbf{P}(\mathcal{E}) = \underline{\text{Proj}}_S(\text{Sym}(\mathcal{E})) \longrightarrow S\] 并称它为与 \(\mathcal{E}\) 相伴的射影丛。记号 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(n)\) 表示引理 01O4 中的可逆 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}\)-模，称为结构层的第 \(n\) 次扭曲。

由引理 01NR，存在典范 \(\mathcal{O}_S\)-模同态 \[\text{Sym}^n(\mathcal{E}) \longrightarrow \pi_*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(n) \quad\text{等价地}\quad \pi^*\text{Sym}^n(\mathcal{E}) \longrightarrow \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(n)\] 对所有 \(n \geq 0\) 都成立。特别地，当 \(n = 1\) 时有 \[\mathcal{E} \longrightarrow \pi_*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1) \quad\text{等价地}\quad \pi^*\mathcal{E} \longrightarrow \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\] 并且由引理 01O4，映射 \(\pi^*\mathcal{E} \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\) 是满射。这是记忆我们如何规范化 \(\mathbf{P}(\mathcal{E})\) 的构造的一种好方法。

警告：在有些文献中，概形 \(\mathbf{P}(\mathcal{E})\) 仅当 \(\mathcal{E}\) 在 \(S\) 上有限局部自由时才有定义。此外，有时 \(\mathbf{P}(\mathcal{E})\) 实际上被定义为我们记作 \(\mathbf{P}(\mathcal{E}^\vee)\) 的概形，其中 \(\mathcal{E}^\vee\) 是 \(\mathcal{E}\) 的对偶（并且这种定义也只在 \(\mathcal{E}\) 有限局部自由时采用）。

设 \(S\)、\(\mathcal{E}\)、\(\mathbf{P}(\mathcal{E}) \to S\) 如定义 01OB 所述。设 \(f : T \to S\) 是 \(S\) 上的一个概形。设 \(\psi : f^*\mathcal{E} \to \mathcal{L}\) 是满射，其中 \(\mathcal{L}\) 是一个可逆 \(\mathcal{O}_T\)-模。所诱导的分次 \(\mathcal{O}_T\)-代数映射 \[f^*\text{Sym}(\mathcal{E}) = \text{Sym}(f^*\mathcal{E}) \to \text{Sym}(\mathcal{L}) = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes n}\] 对应于态射 \[\varphi_{\mathcal{L}, \psi} : T \longrightarrow \mathbf{P}(\mathcal{E})\] 它位于 \(S\) 上。这来自我们把相对 Proj 构造为表示第 01NS 节中函子 \(F\) 的概形。另一方面，给定态射 \(\varphi : T \to \mathbf{P}(\mathcal{E})\)（它位于 \(S\) 上），可以置 \(\mathcal{L} = \varphi^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\)，并令 \(\psi : f^*\mathcal{E} \to \mathcal{L}\) 等于沿 \(\varphi\) 拉回典范满射 \(\pi^*\mathcal{E} \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\) 所得的映射。由引理 01O4，这些构造给出如下两个集合之间的互逆双射：偶对 \((\mathcal{L}, \psi)\) 的同构类集合，以及态射 \(\varphi : T \to \mathbf{P}(\mathcal{E})\)（它位于 \(S\) 上）的集合。因此 \(\mathbf{P}(\mathcal{E})\) 表示这样的函子：它给 \(f : T \to S\) 配上所有 \(\mathcal{O}_T\)-模商，其中被取商的模是 \(f^*\mathcal{E}\)，并且这些商局部自由秩为 \(1\)。

例

设 \(k\) 是一个域。设 \(V\) 是一个 \(k\)-向量空间。相应的射影空间是 \(k\)-概形 \[\mathbf{P}(V) = \text{Proj}(\text{Sym}(V))\] 其中 \(\text{Sym}(V)\) 是 \(V\) 在 \(k\) 上的对称代数。显然有 \(\mathbf{P}(V) \cong \mathbf{P}^n_k\)，只要 \(\dim(V) = n + 1\)，因为此时 \(V\) 的对称代数同构于一个含 \(n + 1\) 个变量的多项式环。若把 \(V\) 看作 \(\Spec(k)\) 上的拟凝聚模，则 \(\mathbf{P}(V)\) 是 \(\Spec(k)\) 上相应的射影空间丛。由上述讨论，一个 \(k\)-值点 \(p\)（属于 \(\mathbf{P}(V)\)）对应于一个 \(k\)-向量空间满射 \(V \to L_p\)，其中 \(\dim(L_p) = 1\)。更一般地，设 \(X\) 是 \(k\) 上的概形，设 \(\mathcal{L}\) 是一个可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，并设 \(\psi : V \to \Gamma(X, \mathcal{L})\) 是一个 \(k\)-线性映射，使得 \(\mathcal{L}\) 作为 \(\mathcal{O}_X\)-模由 \(\psi\) 像中的截面生成。于是上述讨论给出典范态射 \[\varphi_{\mathcal{L}, \psi} : X \longrightarrow \mathbf{P}(V)\] 它是 \(k\) 上的概形态射，并且存在同构 \(\theta : \varphi_{\mathcal{L}, \psi}^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(V)}(1) \to \mathcal{L}\)，同时 \(\psi\) 与下列复合一致： \[V \to \Gamma(\mathbf{P}(V), \mathcal{O}_{\mathbf{P}(V)}(1)) \to \Gamma(X, \varphi_{\mathcal{L}, \psi}^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(V)}(1)) \to \Gamma(X, \mathcal{L})\] 见引理 01NK。若 \(V \subset \Gamma(X, \mathcal{L})\) 是一个子空间，则把上述构造的态射简记为 \(\varphi_{\mathcal{L}, V}\)。若 \(\dim(V) = n + 1\)，并选定一组基 \(v_0, \ldots, v_n\)（它是 \(V\) 的基），则图 \[\xymatrix{ X \ar@{=}[d] \ar[rr]_{\varphi_{\mathcal{L}, \psi}} & & \mathbf{P}(V) \ar[d]^{\cong} \\ X \ar[rr]^{\varphi_{(\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))}} & & \mathbf{P}^n_k }\] 是交换的，其中 \(s_i = \psi(v_i) \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)， \(\varphi_{(\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))}\) 如第 01ND 节所述，而右侧竖直箭头对应于同构 \(k[T_0, \ldots, T_n] \to \text{Sym}(V)\)；该同构把 \(T_i\) 映到 \(v_i\)。

例

映射 \(\text{Sym}^n(\mathcal{E}) \to \pi_*(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(n))\) 在 \(\mathcal{E}\) 局部自由时是同构，但一般不必是同构。事实上，我们将给出一个该映射在 \(n = 1\) 时不是单射的例子。置 \(S = \Spec(A)\)，其中 \[A = k[u, v, s_1, s_2, t_1, t_2]/I\] 这里 \(k\) 是一个域，并且 \[I = (-us_1 + vt_1 + ut_2, vs_1 + us_2 - vt_2, vs_2, ut_1).\] 记 \(\overline{u}\) 为 \(u\) 在 \(A\) 中的类；其他变量也采用类似记号。设 \(M = (Ax \oplus Ay)/A(\overline{u}x + \overline{v}y)\)，于是 \[\text{Sym}(M) = A[x, y]/(\overline{u}x + \overline{v}y) = k[x, y, u, v, s_1, s_2, t_1, t_2]/J\] 其中 \[J = (-us_1 + vt_1 + ut_2, vs_1 + us_2 - vt_2, vs_2, ut_1, ux + vy).\] 在这种情形下，与拟凝聚层 \(\mathcal{E} = \widetilde{M}\)（它位于 \(S = \Spec(A)\) 上）相伴的射影丛是概形 \[P = \text{Proj}(\text{Sym}(M)).\] 注意，这个概形具有仿射开覆盖 \(P = D_{+}(x) \cup D_{+}(y)\). 考虑元素 \(m \in M\)，它是元素 \(us_1x + vt_2y\) 的像。注意 \[x(us_1x + vt_2y) = (s_1x + s_2y)(ux + vy) \bmod I\] 并且 \[y(us_1x + vt_2y) = (t_1x + t_2y)(ux + vy) \bmod I.\] 第一个等式蕴含 \(m\) 作为 \(\mathcal{O}_P(1)\) 在 \(D_{+}(x)\) 上的截面映到零，第二个等式则蕴含它作为 \(\mathcal{O}_P(1)\) 在 \(D_{+}(y)\) 上的截面映到零。这说明 \(m\) 在 \(\Gamma(P, \mathcal{O}_P(1))\) 中映到零。另一方面，我们断言 \(m \not = 0\)；因此 \(m\) 给出 \(\mathcal{E}\) 的一个非零整体截面映到 \(\Gamma(P, \mathcal{O}_P(1))\) 中零的例子。反设 \(m = 0\)，以求矛盾。此时存在元素 \(f \in k[u, v, s_1, s_2, t_1, t_2]\)，使得 \[us_1x + vt_2y = f(ux + vy) \bmod I\] 由于 \(I\) 由次数为 \(2\) 的齐次多项式生成，我们可以把 \(f\) 分解为各齐次分量，并取其次数为 1 的分量。换言之，可以假设 \[f = au + bv + \alpha_1s_1 + \alpha_2s_2 + \beta_1t_1 + \beta_2t_2\] 其中 \(a, b, \alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2 \in k\)。所得条件为 \[\begin{matrix} us_1 - u(au + bv + \alpha_1s_1 + \alpha_2s_2 + \beta_1t_1 + \beta_2t_2) \in I \\ vt_2 - v(au + bv + \alpha_1s_1 + \alpha_2s_2 + \beta_1t_1 + \beta_2t_2) \in I \end{matrix}\] 生成元中没有项 \(u^2, uv, v^2\)；这里说的是 \(I\) 的生成元。因此可见 \(a = b = 0\)。于是得到关系 \[\begin{matrix} us_1 - u(\alpha_1s_1 + \alpha_2s_2 + \beta_1t_1 + \beta_2t_2) \in I \\ vt_2 - v(\alpha_1s_1 + \alpha_2s_2 + \beta_1t_1 + \beta_2t_2) \in I \end{matrix}\] 可以用 \(I\) 的第一个生成元把每次出现的 \(us_1\) 替换为 \(vt_1 + ut_2\)，用 \(I\) 的第二个生成元把每次出现的 \(vs_1\) 替换为 \(-us_2 + vt_2\)，用第三个生成元消去 \(vs_2\)，再用第三个生成元消去 \(ut_1\)。于是得到关系 \[\begin{matrix} (1 - \alpha_1)vt_1 + (1 - \alpha_1)ut_2 - \alpha_2us_2 - \beta_2ut_2 = 0 \\ (1 - \alpha_1)vt_2 + \alpha_1us_2 - \beta_1vt_1 - \beta_2vt_2 = 0 \end{matrix}\] 这蕴含 \(\alpha_1\) 必须同时等于 \(0\) 和 \(1\)，这正是所需的矛盾。

引理

设 \(S\) 是一个概形。结构态射 \(\mathbf{P}(\mathcal{E}) \to S\) （它来自 \(S\) 上的一个射影丛）是分离的。

证明

由引理 01O2 立即可得。

引理

设 \(S\) 是一个概形。设 \(n \geq 0\)。则 \(\mathbf{P}^n_S\) 是 \(S\) 上的一个射影丛。

证明

注意 \[\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}} = \text{Proj}(\mathbf{Z}[T_0, \ldots, T_n]) = \underline{\text{Proj}}_{\Spec(\mathbf{Z})} \left(\widetilde{\mathbf{Z}[T_0, \ldots, T_n]}\right)\] 其中环 \(\mathbf{Z}[T_0, \ldots, T_n]\) 的分次由 \(\deg(T_i) = 1\) 给出，而 \(\mathbf{Z}\) 的元素位于 \(0\) 次。回忆 \(\mathbf{P}^n_S\) 定义为 \(\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}} \times_{\Spec(\mathbf{Z})} S\)。此外，相对齐次谱的形成与基变换可交换，见引理 01O3。对任意概形 \(g : S \to \Spec(\mathbf{Z})\)，有 \(g^*\mathcal{O}_{\Spec(\mathbf{Z})}[T_0, \ldots, T_n] = \mathcal{O}_S[T_0, \ldots, T_n]\). 综合以上结果可见 \[\mathbf{P}^n_S = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{O}_S[T_0, \ldots, T_n]).\] 最后注意 \(\mathcal{O}_S[T_0, \ldots, T_n] = \text{Sym}(\mathcal{O}_S^{\oplus n + 1})\)。因此 \(\mathbf{P}^n_S\) 是 \(S\) 上的一个射影丛。

格拉斯曼概形

本节引入标准的格拉斯曼函子，并说明它们可由概形表示。选取整数 \(k\)、\(n\)，满足 \(0 < k < n\)。我们将构造函子 [089S]\[\begin{equation} G(k, n) : \Sch \longrightarrow \textit{Sets} \end{equation}\] 粗略地说，它参数化 \(k\) 维子空间，这些子空间位于 \(n\) 维空间中。不过，出于技术原因，参数化 \((n - k)\) 维商空间更为方便，我们将采用这种做法。

更准确地说，\(G(k, n)\) 给概形 \(S\) 配上集合 \(G(k, n)(S)\)，其元素是如下满射的同构类： \[q : \mathcal{O}_S^{\oplus n} \longrightarrow \mathcal{Q}\] 其中 \(\mathcal{Q}\) 是一个有限局部自由 \(\mathcal{O}_S\)-模，其秩为 \(n - k\)。这确实是一个集合，例如可由《模》中的引理 01BC 得知；也可以注意到，满射 \(q\) 的同构类由 \(q\) 的核决定（而给定一个层，其子层构成一个集合）。给定概形态射 \(f : T \to S\)，令 \(G(k, n)(f) : G(k, n)(S) \to G(k, n)(T)\) 把 \(q : \mathcal{O}_S^{\oplus n} \longrightarrow \mathcal{Q}\) 的同构类映到 \(f^*q : \mathcal{O}_T^{\oplus n} \longrightarrow f^*\mathcal{Q}\) 的同构类。这是有意义的，因为 (1) \(f^*\mathcal{O}_S = \mathcal{O}_T\)； (2) \(f^*\) 是可加的；(3) \(f^*\) 保持局部自由模（《模》，引理 01C8）；(4) \(f^*\) 是右正合的（《模》，引理 01AJ）。

引理

设 \(0 < k < n\)。则 (089S) 中的函子 \(G(k, n)\) 可由概形表示。

证明

置 \(F = G(k, n)\)。为证明本引理，我们使用《概形》中的引理 01JJ 所给判据。\(F\) 对 Zariski 拓扑满足层性质，这是因为层可以粘合；见《层》第 00AK 节（略去一些细节）。

子函子族 \(F_i\)。设 \(I\) 是 \(\{1, \ldots, n\}\) 的所有基数为 \(n - k\) 的子集所成的集合。给定概形 \(S\) 以及 \(j \in \{1, \ldots, n\}\)，记 \(e_j\) 为整体截面 \[e_j = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots, 0)\quad(1\text{ 于 }j\text{次位置})\] 它属于 \(\mathcal{O}_S^{\oplus n}\)。显然，这些截面自由生成 \(\mathcal{O}_S^{\oplus n}\)。类似地，对 \(j \in \{1, \ldots, n - k\}\)，记 \(f_j\) 为 \(\mathcal{O}_S^{\oplus n - k}\) 的整体截面；除第 \(j\) 个分量取 \(1\) 外，其余分量均为零。对 \(i \in I\)，令 \[s_i : \mathcal{O}_S^{\oplus n - k} \longrightarrow \mathcal{O}_S^{\oplus n}\] 它是余投射 \(\mathcal{O}_S \to \mathcal{O}_S^{\oplus n}\) 的直和；这些余投射对应于 \(I\) 的元素。更准确地，若 \(i = \{i_1, \ldots, i_{n - k}\}\) 且 \(i_1 < i_2 < \ldots < i_{n - k}\)，则 \(s_i\) 把 \(f_j\) 映到 \(e_{i_j}\)，其中 \(j \in \{1, \ldots, n - k\}\)。用此记号，置 \[F_i(S) = \{q : \mathcal{O}_S^{\oplus n} \to \mathcal{Q} \in F(S) \mid q \circ s_i \text{ 为满射}\} \subset F(S)\] 给定概形态射 \(f : T \to S\)，拉回 \(f^*s_i\) 是 \(T\) 上相应的映射。由于 \(f^*\) 是右正合的（《模》，引理 01AJ），可知 \(F_i\) 是 \(F\) 的子函子。

\(F_i\) 的可表示性。为证明这一点，重新编号后可以假设 \(i = \{1, \ldots, n - k\}\)。这意味着 \(s_i\) 是前 \(n - k\) 个直和分量的嵌入。注意，若 \(q \circ s_i\) 是满射，则 \(q \circ s_i\) 是同秩有限局部自由模之间的满射，因而是同构（《模》，引理 089Q）。因此，若 \(q : \mathcal{O}_S^{\oplus n} \to \mathcal{Q}\) 是 \(F_i(S)\) 的元素，则可以用 \(q \circ s_i\) 把 \(\mathcal{Q}\) 与 \(\mathcal{O}_S^{\oplus n - k}\) 等同。这样便得到 \[q : \mathcal{O}_S^{\oplus n} \longrightarrow \mathcal{O}_S^{\oplus n - k}\] 它把 \(e_j\) 映到 \(f_j\)（记号同上），其中 \(j = 1, \ldots, n - k\)。为了完全确定 \(q\)，必须指定 \(q(e_{n - k + 1}), \ldots, q(e_n)\) 在 \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S^{\oplus n - k})\) 中的像。因此 \(F_i\) 同构于函子 \[S \longmapsto \prod\nolimits_{j = n - k + 1, \ldots, n} \Gamma(S, \mathcal{O}_S^{\oplus n - k})\] 这个函子同构于 \(k(n - k)\) 重自积；该自积取自函子 \(S \mapsto \Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)。由《概形》中的例 01JH，后一个函子由 \(\mathbf{A}^1_\mathbf{Z}\) 表示。因此 \(F_i\) 由 \(\mathbf{A}^{k(n - k)}_\mathbf{Z}\) 表示，因为在概形范畴中，积就是在 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上的纤维积。

嵌入 \(F_i \subset F\) 可由开浸入表示。设 \(S\) 是一个概形，并设 \(q : \mathcal{O}_S^{\oplus n} \to \mathcal{Q}\) 是 \(F(S)\) 的元素。由《模》中的引理 01B8，集合 \(U_i = \{s \in S \mid (q \circ s_i)_s\text{ 满射}\}\) 在 \(S\) 中是开的。由于 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 是局部环，而 \(\mathcal{Q}_s\) 是有限 \(\mathcal{O}_{S, s}\)-模，由 Nakayama 引理（《代数》，引理 00DV）可得 \[s \in U_i \Leftrightarrow \left( \text{映射 } \kappa(s)^{\oplus n - k} \to \mathcal{Q}_s/\mathfrak m_s\mathcal{Q}_s \text{ 由下列对象诱导： } (q \circ s_i)_s \text{ 为满射} \right)\] 设 \(f : T \to S\) 是一个概形态射，并设 \(t \in T\) 是映到 \(s \in S\) 的点。有 \((f^*\mathcal{Q})_t = \mathcal{Q}_s \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{T, t}\) （《层》，引理 0098），其余类似。因此映射 \[\kappa(t)^{\oplus n - k} \to (f^*\mathcal{Q})_t/\mathfrak m_t(f^*\mathcal{Q})_t\] 由 \((f^*q \circ f^*s_i)_t\) 诱导，它是上述映射 \(\kappa(s)^{\oplus n - k} \to \mathcal{Q}_s/\mathfrak m_s\mathcal{Q}_s\) 沿域扩张 \(\kappa(t)/\kappa(s)\) 的基变换。因此 \(s \in U_i\) 当且仅当 \(t\) 属于 \(f^*q\) 所对应的开集。特别地，\(T \to S\) 通过 \(U_i\) 分解，当且仅当 \(f^*q \in F_i(T)\)，这正是所需的结论。

族 \(F_i\)（\(i \in I\)）覆盖 \(F\)。设 \(q : \mathcal{O}_S^{\oplus n} \to \mathcal{Q}\) 是 \(F(S)\) 的元素。我们必须说明，对每个点 \(s\)（它属于 \(S\)），都存在 \(i \in I\)，使得 \(s_i\) 在 \(s\) 的某个邻域上是满射。因此必须说明，下列复合之一 \[\kappa(s)^{\oplus n - k} \xrightarrow{s_i} \kappa(s)^{\oplus n} \rightarrow \mathcal{Q}_s/\mathfrak m_s\mathcal{Q}_s\] 是满射（见上一段）。由于 \(\mathcal{Q}_s/\mathfrak m_s\mathcal{Q}_s\) 是维数为 \(n - k\) 的向量空间，这由向量空间理论可得。

定义

设 \(0 < k < n\)。概形 \(\mathbf{G}(k, n)\) 表示函子 \(G(k, n)\)，它称为\(\mathbf{Z}\) 上的格拉斯曼概形。其基变换 \(\mathbf{G}(k, n)_S\)（取到概形 \(S\)）称为\(S\) 上的格拉斯曼概形。若 \(R\) 是一个环，则到 \(\Spec(R)\) 的基变换记为 \(\mathbf{G}(k, n)_R\)，称为 \(R\) 上的格拉斯曼概形。

这个定义是有意义的，因为我们已在引理 089T 中说明这些函子确实可表示。

引理

设 \(n \geq 1\)。存在典范同构 \(\mathbf{G}(n, n + 1) = \mathbf{P}^n_\mathbf{Z}\)。

证明

由引理 01NE，概形 \(\mathbf{P}^n_\mathbf{Z}\) 表示如下函子：它给概形 \(S\) 配上偶对 \((\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))\) 的同构类集合；这样的偶对由可逆模 \(\mathcal{L}\) 以及一个 \((n + 1)\) 元整体截面组构成，该截面组生成 \(\mathcal{L}\)。给定这样的偶对，得到一个商 \[\mathcal{O}_S^{\oplus n + 1} \longrightarrow \mathcal{L},\quad (h_0, \ldots, h_n) \longmapsto \sum h_i s_i.\] 反过来，给定元素 \(q : \mathcal{O}_S^{\oplus n + 1} \to \mathcal{Q}\)，它属于 \(G(n, n + 1)(S)\)，便得到这样的偶对，即 \((\mathcal{Q}, (q(e_1), \ldots, q(e_{n + 1})))\)。这里 \(e_i\)（ \(i = 1, \ldots, n + 1\)）是自由模 \(\mathcal{O}_S^{\oplus n + 1}\) 的标准生成截面。这些构造定义函子之间互逆变换的验证从略。

读者或许会预期这里要求 \(\mathcal{E}\) 是有限局部自由的。为了与 [EGA, II, Definition 1.7.8] 保持一致，我们不作此要求。↩︎
通常还会假设 \(\mathcal{A}\) 由 \(\mathcal{A}_1\) 在 \(\mathcal{O}_S\) 上生成。为了与 [EGA, II, (8.3.1)] 保持一致，我们不作此假设。↩︎
读者或许预期这里要求 \(\mathcal{E}\) 是有限局部自由的。为了与 [EGA, II, Definition 4.1.1] 保持一致，我们不作此要求。↩︎