空间上的层 · Stacks

引言

本文将说明拓扑空间上层的基本性质。可参见 [Godement]。

后续文档中关于站点上层的讨论将取代这里的内容。不过，在此简要定义其中一些概念或许仍有意义。

基本概念

下面列出拓扑学中的若干基本概念。

设 \(X\) 为拓扑空间。“设 \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\) 为一个开覆盖” 是指：\(I\) 是集合，并且对每个 \(i \in I\)，给定开子集 \(U_i \subset X\)，使得 \(U\) 是诸 \(U_i\) 之并。允许 \(I = \emptyset\)；此时不存在 \(U_i\)，并且 \(U = \emptyset\)。当 \(I \not = \emptyset\) 时，也允许任意一些乃至所有 \(U_i\) 为空。
等等，等等。

预层

定义

设 \(X\) 为拓扑空间。

\(X\) 上的一个集合预层 \(\mathcal{F}\)，是这样一条规则：对每个开集 \(U \subset X\) 指定一个集合 \(\mathcal{F}(U)\)，并对每个包含关系 \(V \subset U\) 指定一个映射 \(\rho^U_V : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\)，使得 \(\rho^U_U = \text{id}_{\mathcal{F}(U)}\)，且每当 \(W \subset V \subset U\) 时，都有 \(\rho^U_W = \rho^V_W \circ \rho ^U_V\)。

\(X\) 上集合预层的一个态射 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)，是这样一条规则：对每个开集 \(U \subset X\) 指定一个与限制映射相容的集合映射 \(\varphi : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\)；也就是说，每当 \(V \subset U \subset X\) 为开集时，图表 \[\xymatrix{ \mathcal{F}(U) \ar[r]^\varphi \ar[d]^{\rho^U_V} & \mathcal{G}(U) \ar[d]^{\rho^U_V} \\ \mathcal{F}(V) \ar[r]^\varphi & \mathcal{G}(V) }\] 交换。

\(X\) 上集合预层的范畴记作 \(\textit{PSh}(X)\)。

集合 \(\mathcal{F}(U)\) 的元素称为 \(\mathcal{F}\) 在 \(U\) 上的截面。对每个 \(V \subset U\)，映射 \(\rho^U_V : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\) 称为限制映射。若 \(s\in \mathcal{F}(U)\)，我们采用记号 \(s|_V := \rho^U_V(s)\)。这一记号与拓扑学中函数限制的概念相容，因为若 \(W \subset V \subset U\)，且 \(s\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(U\) 上的截面，则由上述定义中限制映射的性质，有 \(s|_W = (s|_V)|_W\)。

另一种常用记号是用符号 \(\Gamma(U, -)\) 或 \(H^0(U, -)\) 表示开集 \(U\) 上的截面。换言之，下列等式是恒真的： \[\Gamma(U, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U) = H^0(U, \mathcal{F}).\] 本章不使用这一记号，但其他章节会使用。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间，\(A\) 为集合。取值为 \(A\) 的常值预层，是把集合 \(A\) 指派给每个开集 \(U \subset X\)，并且所有限制映射均为 \(\text{id}_A\) 的预层。

阿贝尔预层

本节简要指出预层范畴的一些特征，它们使我们能够定义阿贝尔群预层。

例

设 \(X\) 为拓扑空间。考虑一条规则 \(\mathcal{F}\)，它把一个单元素集与 \(X\) 的每个开子集相联系。由于从任意集合到单元素集存在唯一映射，故存在唯一的限制映射 \(\rho^U_V\)。所得结构是 \(X\) 上的集合预层。由刚才所述的单元素集性质，它是 \(X\) 上集合预层范畴的终对象。因此，它在唯一同构的意义下也是唯一的。我们有时用 \(*\) 表示该预层。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。\(X\) 上集合预层的范畴有积（见 Categories，定义 002I）。此外，积 \(\mathcal{F} \times \mathcal{G}\) 在开集 \(U\) 上的截面集，等于 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 在 \(U\) 上的截面集之积。

证明

具体地，设 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 是拓扑空间 \(X\) 上的集合预层。考虑规则 \(U \mapsto \mathcal{F}(U) \times \mathcal{G}(U)\)，并将它记作 \(\mathcal{F} \times \mathcal{G}\)。若 \(V \subset U \subset X\) 为开集，则定义限制映射 \[(\mathcal{F} \times \mathcal{G})(U) \longrightarrow (\mathcal{F} \times \mathcal{G})(V)\] 为 \((s, t) \mapsto (s|_V, t|_V)\)。于是立即可见， \(\mathcal{F} \times \mathcal{G}\) 是一个预层。此外，还有投影映射 \(p : \mathcal{F} \times \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 和 \(q : \mathcal{F} \times \mathcal{G} \to \mathcal{G}\)。留给读者证明：对任意第三个预层 \(\mathcal{H}\)，都有 \(\Mor(\mathcal{H}, \mathcal{F} \times \mathcal{G}) = \Mor(\mathcal{H}, \mathcal{F}) \times \Mor(\mathcal{H}, \mathcal{G})\)。

回忆一下，若 \((A, + : A \times A \to A, - : A \to A, 0\in A)\) 是阿贝尔群，则零元映射和取负映射由加法律唯一确定。换言之，说“设 \((A, +)\) 为阿贝尔群” 是有意义的。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{F}\) 为集合预层。考虑 \(\mathcal{F}\) 上的以下几类结构：

对每个开集 \(U\)，在 \(\mathcal{F}(U)\) 上给定阿贝尔群结构，使所有限制映射均为阿贝尔群同态。

给定预层映射 \(+ : \mathcal{F} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)、预层映射 \(- : \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 以及映射 \(0 : * \to \mathcal{F}\)（见例 006H），并使它们满足通常阿贝尔群中 \(+, -, 0\) 的所有公理。

给定预层映射 \(+ : \mathcal{F} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)、预层映射 \(- : \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 以及映射 \(0 : * \to \mathcal{F}\)，使得对每个开集 \(U \subset X\)，四元组 \((\mathcal{F}(U), +, -, 0)\) 是阿贝尔群，

给定预层映射 \(+ : \mathcal{F} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)，使得对每个开集 \(U \subset X\)，映射 \(+ : \mathcal{F}(U) \times \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U)\) 定义一个阿贝尔群结构。

上述 (1)–(4) 各类数据的集合之间存在自然双射。

证明

略。

该引理说明，在预层范畴中给定一个阿贝尔群对象 \(\mathcal{F}\)，等价于给定一个集合预层 \(\mathcal{F}\)，使所有集合 \(\mathcal{F}(U)\) 都被赋予阿贝尔群结构，并使所有限制映射均为群同态。对于大多数代数结构，我们都将用这一方式处理此类对象的（预）层；也就是说，我们把此类对象的一个（预）层定义为集合（预）层 \(\mathcal{F}\)，其所有截面集 \(\mathcal{F}(U)\) 均以与限制映射相容的方式被赋予这一结构。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间。

\(X\) 上的一个阿贝尔群预层，或称 \(X\) 上的一个 阿贝尔预层，是集合预层 \(\mathcal{F}\)，使得对每个开集 \(U \subset X\)，集合 \(\mathcal{F}(U)\) 被赋予阿贝尔群结构，并且所有限制映射 \(\rho^U_V\) 都是阿贝尔群同态；见上面的引理 006J。

\(X\) 上阿贝尔预层的一个态射 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)，是集合预层的一个态射，并且对每个开集 \(U \subset X\)，它诱导阿贝尔群同态 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\)。

\(X\) 上阿贝尔群预层的范畴记作 \(\textit{PAb}(X)\)。

例

设 \(X\) 为拓扑空间。假设对每个 \(x \in X\) 给定阿贝尔群 \(M_x\)。对开集 \(U \subset X\)，令 \[\mathcal{F}(U) = \bigoplus\nolimits_{x \in U} M_x.\] 我们把该阿贝尔群的典型元素记作 \(\sum_{i = 1}^n m_{x_i}\)，其中 \(x_i \in U\) 且 \(m_{x_i} \in M_{x_i}\)。（当然，总可以选择一种表示，使 \(x_1, \ldots, x_n\) 两两不同。）对开集 \(V \subset U \subset X\)，定义限制映射 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\)，把元素 \(s = \sum_{i = 1}^n m_{x_i}\) 映到元素 \(s|_V = \sum_{x_i \in V} m_{x_i}\)。留给读者验证，这是一个阿贝尔群预层。

代数结构预层

我们来澄清代数结构预层的定义。假设 \(\mathcal{C}\) 是一个范畴，且 \(F : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 是忠实函子。通常，\(F\) 是一个“遗忘” 函子。对对象 \(M \in \Ob(\mathcal{C})\)，我们常把 \(F(M)\) 称为对象 \(M\) 的底层集合。若 \(M \to M'\) 是 \(\mathcal{C}\) 中的态射，则称 \(F(M) \to F(M')\) 为底层集合映射。事实上，我们常常不区分一个对象与其底层集合，对态射也同样如此。因此，若集合映射 \(F(M) \to F(M')\) 等于 \(\mathcal{C}\) 中某个态射 \(f : M \to M'\) 的 \(F(f)\)，则称它为一个 代数结构态射。

仿照上面的定义 006K，一个“\(\mathcal{C}\) 中对象的预层”可以由以下数据定义：

一个集合预层 \(\mathcal{F}\)，以及
对每个开集 \(U \subset X\)，选择一个对象 \(A(U) \in \Ob(\mathcal{C})\)。

这些数据须满足以下条件（采用上面的说法）：

对每个开集 \(U \subset X\)，集合 \(\mathcal{F}(U)\) 是 \(A(U)\) 的底层集合，并且
对每个开集 \(V \subset U \subset X\)，集合映射 \(\rho_V^U: \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\) 是代数结构态射。

换言之，对 \(X\) 中每个开集 \(V \subset U\)，限制映射 \(\rho^U_V\) 是范畴 \(\mathcal{C}\) 中某个唯一态射 \(\alpha^U_V : A(U) \to A(V)\) 的像 \(F(\alpha^U_V)\)。唯一性由 \(F\) 忠实这一条件所保证；它还蕴含：每当 \(W \subset V \subset U\) 为 \(X\) 中的开集时，有 \(\alpha^U_W = \alpha^V_W \circ \alpha^U_V\)。系统 \((A(-), \alpha^U_V)\) 就是我们将定义的 \(X\) 上取值于 \(\mathcal{C}\) 的预层；比较 Sites，定义 00V3。通过规则 \(\mathcal{F}(U) = F(A(U))\) 和 \(\rho_V^U = F(\alpha_V^U)\)，可以恢复我们的集合预层 \((\mathcal{F}, \rho_V^U)\)。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{C}\) 为范畴。

\(X\) 上一个取值于 \(\mathcal{C}\) 的预层 \(\mathcal{F}\)，由这样一条规则给出：对每个开集 \(U \subset X\) 指定 \(\mathcal{C}\) 的一个对象 \(\mathcal{F}(U)\)，并对每个包含关系 \(V \subset U\) 指定 \(\mathcal{C}\) 中的一个态射 \(\rho_V^U : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\)，使得每当 \(W \subset V \subset U\) 时，都有 \(\rho_W^U = \rho_W^V \circ \rho_V^U\)。

取值于 \(\mathcal{C}\) 的预层的一个态射 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)，由与限制态射相容的 \(\mathcal{C}\) 中的态射 \(\varphi : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\) 给出。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{C}\) 为范畴，并设 \(F : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 为忠实函子。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上取值于 \(\mathcal{C}\) 的预层。集合预层 \(U \mapsto F(\mathcal{F}(U))\) 称为 \(\mathcal{F}\) 的底层集合预层。

依照定义 006N 前的讨论，通常仍用同一字母 \(\mathcal{F}\) 表示其底层集合预层。特别地，“设 \(s \in \mathcal{F}(U)\)”或 “设 \(s\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(U\) 上的一个截面”是指 \(s \in F(\mathcal{F}(U))\)。

这些记号和定义尤其适用于：（不一定阿贝尔的）群、环、固定环上的模、固定域上的向量空间等的预层，以及它们之间的态射。

模预层

假设 \(\mathcal{O}\) 是 \(X\) 上的环预层。我们想定义 \(X\) 上 \(\mathcal{O}\)-模预层的概念。仿照定义 006K，很自然地会把它定义为集合预层 \(\mathcal{F}\)，使得对每个开集 \(U \subset X\)，集合 \(\mathcal{F}(U)\) 被赋予与（\(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{O}\) 的）限制映射相容的 \(\mathcal{O}(U)\)-模结构。不过，习惯上采用下面这个等价的定义。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{O}\) 为 \(X\) 上的环预层。

一个\(\mathcal{O}\)-模预层，由一个阿贝尔预层 \(\mathcal{F}\) 和一个集合预层映射 \[\mathcal{O} \times \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] 给出，使得对每个开集 \(U \subset X\)，映射 \(\mathcal{O}(U) \times \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U)\) 在阿贝尔群 \(\mathcal{F}(U)\) 上定义一个 \(\mathcal{O}(U)\)-模结构。

\(\mathcal{O}\)-模预层的一个态射 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)，是阿贝尔预层的一个态射 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)，使图表 \[\xymatrix{ \mathcal{O} \times \mathcal{F} \ar[r] \ar[d]_{\text{id} \times \varphi} & \mathcal{F} \ar[d]^{\varphi} \\ \mathcal{O} \times \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{G} }\] 交换。

上述 \(\mathcal{O}\)-模态射的集合记作 \(\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\)。

\(\mathcal{O}\)-模预层的范畴记作 \(\textit{PMod}(\mathcal{O})\)。

假设 \(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) 是 \(X\) 上环预层的一个态射。在此情形下，若 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{O}_2\)-模预层，则可以借助复合映射 \[\mathcal{O}_1 \times \mathcal{F} \to \mathcal{O}_2 \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}.\] 把 \(\mathcal{F}\) 看作 \(\mathcal{O}_1\)-模预层。为表明环的限制，有时把它记作 \(\mathcal{F}_{\mathcal{O}_1}\)。我们称之为 \(\mathcal{F}\) 的限制。由此得到限制函子 \[\textit{PMod}(\mathcal{O}_2) \longrightarrow \textit{PMod}(\mathcal{O}_1)\]

另一方面，给定 \(\mathcal{O}_1\)-模预层 \(\mathcal{G}\)，可以按规则 \[\left(\mathcal{O}_2 \otimes_{p, \mathcal{O}_1} \mathcal{G}\right)(U) = \mathcal{O}_2(U) \otimes_{\mathcal{O}_1(U)} \mathcal{G}(U)\] 构造 \(\mathcal{O}_2\)-模预层 \(\mathcal{O}_2 \otimes_{p, \mathcal{O}_1} \mathcal{G}\)。下标 \(p\) 表示 “预层”而不是“点”。该预层称为张量积预层。由此得到变环函子 \[\textit{PMod}(\mathcal{O}_1) \longrightarrow \textit{PMod}(\mathcal{O}_2)\]

引理

在上述 \(X\)、\(\mathcal{O}_1\)、\(\mathcal{O}_2\)、\(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 的条件下，存在典范双射 \[\Hom_{\mathcal{O}_1}(\mathcal{G}, \mathcal{F}_{\mathcal{O}_1}) = \Hom_{\mathcal{O}_2}( \mathcal{O}_2 \otimes_{p, \mathcal{O}_1} \mathcal{G}, \mathcal{F} )\] 换言之，限制函子与变环函子互为伴随。

证明

这由以下事实得出：对环同态 \(A \to B\)，限制函子与变环函子互为伴随。

层

本节说明层条件。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间。

\(X\) 上的一个集合层 \(\mathcal{F}\)，是满足以下附加性质的集合预层：给定任意开覆盖 \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\)，以及任意一族截面 \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\)，\(i \in I\)，使得 \(\forall i, j\in I\) 都有 \[s_i|_{U_i \cap U_j} = s_j|_{U_i \cap U_j}\] 则存在唯一截面 \(s \in \mathcal{F}(U)\)，使得对所有 \(i \in I\) 都有 \(s_i = s|_{U_i}\)。

一个集合层态射就是一个集合预层态射。

\(X\) 上集合层的范畴记作 \(\Sh(X)\)。

注

关于是否有必要说明层在空集 \(\emptyset \subset X\) 上的截面集，总会有一点混淆。确有必要；如果正确理解定义，我们其实已经作了说明。事实上，空集由空开覆盖覆盖，因此上述定义中的“截面族 \(s_i\)”实际构成空积的一个元素，而空积是层所取值范畴的终对象。换言之，正确理解定义便会自动推出 \(\mathcal{F}(\emptyset) = \textit{终对象}\)；对集合层而言，这就是一个单元素集。如果不喜欢这一论证，也可以直接要求 \(\mathcal{F}(\emptyset) = \{*\}\)。

特别地，该条件于是保证：若 \(U, V \subset X\) 为开集且不交，则 \[\mathcal{F}(U \cup V) = \mathcal{F}(U) \times \mathcal{F}(V).\] （因为终对象上的纤维积就是积。）

例

设 \(X\)、\(Y\) 为拓扑空间。考虑规则 \(\mathcal{F}\)，它把集合 \[\mathcal{F}(U) = \{ f : U \to Y \mid f \text{ 连续}\}\] 以及显然的限制映射与开集 \(U \subset X\) 相联系。我们断言 \(\mathcal{F}\) 是一个层。为此，假设 \(U = \bigcup_{i\in I} U_i\) 是开覆盖，并且 \(f_i \in \mathcal{F}(U_i)\)，\(i\in I\)，满足对所有 \(i, j \in I\) 都有 \(f_i |_{U_i \cap U_j} = f_j|_{U_i \cap U_j}\)。在此情形下，定义 \(f : U \to Y\) 如下：对任意满足 \(u \in U_i\) 的 \(i \in I\)，令 \(f(u)\) 等于 \(f_i(u)\) 的值。由假设，这是良定义的。此外，映射 \(f : U \to Y\) 在 \(U_i\) 上的限制与连续映射 \(f_i\) 相同。因此 \(f\) 显然连续！

可以利用该例的结果定义常值层。具体地，设 \(A\) 为集合，并在 \(A\) 上赋予离散拓扑。设 \(U \subset X\) 为开子集。于是 \[\{ f : U \to A \mid f\text{ 连续}\} = \{ f : U \to A \mid f\text{ 局部常值}\}.\] 因此，把所有到 \(A\) 的局部常值映射指派给一个开集的规则是一个层。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间，\(A\) 为集合。取值为 \(A\) 的常值层记作 \(\underline{A}\) 或 \(\underline{A}_X\)；它把所有局部常值映射 \(U \to A\) 组成的集合指派给开集 \(U \subset X\)，其限制映射由函数的限制给出。

例

设 \(X\) 为拓扑空间，并设 \((A_x)_{x \in X}\) 是由点 \(x \in X\) 标号的一族集合 \(A_x\)。我们将由这些数据构造一个集合层 \(\Pi\)。对开集 \(U \subset X\)，令 \[\Pi(U) = \prod\nolimits_{x \in U} A_x.\] 对开集 \(V \subset U \subset X\)，按下列规则定义限制映射：元素 \(s = (a_x)_{x\in U} \in \Pi(U)\) 限制为 \(s|_V = (a_x)_{x \in V}\)。这显然定义了一个集合预层。我们断言它是一个层。事实上，设 \(U = \bigcup U_i\) 为开覆盖。假设 \(s_i \in \Pi(U_i)\)，并且 \(s_i\) 与 \(s_j\) 在 \(U_i \cap U_j\) 上相同。写 \(s_i = (a_{i, x})_{x\in U_i}\)。相容性条件蕴含：每当 \(x \in U_i \cap U_j\) 时，集合 \(A_x\) 中有 \(a_{i, x} = a_{j, x}\)。因此，存在唯一元素 \(s = (a_x)_{x\in U}\) 属于 \(\Pi(U) = \prod_{x\in U} A_x\)，使得只要对某个 \(i\) 有 \(x \in U_i\)，就有 \(a_x = a_{i, x}\)。当然，对所有 \(i\)，该元素 \(s\) 都满足 \(s|_{U_i} = s_i\)。

例

设 \(X\) 为拓扑空间。假设对每个 \(x\in X\) 给定阿贝尔群 \(M_x\)。考虑例 006L 中定义的预层 \(\mathcal{F} : U \mapsto \bigoplus_{x \in U} M_x\)。一般而言，它不是一个层。例如，若 \(X\) 是赋予离散拓扑的无限集合，则层条件将蕴含 \(\mathcal{F}(X) = \prod_{x\in X} \mathcal{F}(\{x\})\)，但按照定义， \(\mathcal{F}(X) = \bigoplus_{x \in X} M_x = \bigoplus_{x \in X} \mathcal{F}(\{x\})\)。一般而言，无限直和不同于无限直积。

不过，若 \(X\) 是一个拓扑空间，且 \(X\) 的每个开集都拟紧，则 \(\mathcal{F}\) 的确是一个层。留给读者作为练习。

阿贝尔层

定义

设 \(X\) 为拓扑空间。

\(X\) 上的一个阿贝尔层，或称 \(X\) 上的一个阿贝尔群层，是 \(X\) 上的阿贝尔预层，并且其底层集合预层是一个层。

阿贝尔群层的范畴记作 \(\textit{Ab}(X)\)。

设 \(X\) 为拓扑空间。对阿贝尔预层 \(\mathcal{F}\)，关于开覆盖 \(U = \bigcup U_i\) 的层条件常表述为：阿贝尔群复形 \[0 \to \mathcal{F}(U) \to \prod\nolimits_i \mathcal{F}(U_i) \to \prod\nolimits_{(i_0, i_1)} \mathcal{F}(U_{i_0} \cap U_{i_1})\] 正合。第一个映射是通常的映射，而第二个映射把元素 \((s_i)_{i \in I}\) 映到元素 \[( s_{i_0}|_{U_{i_0} \cap U_{i_1}} - s_{i_1}|_{U_{i_0} \cap U_{i_1}} )_{(i_0, i_1)} \in \prod\nolimits_{(i_0, i_1)} \mathcal{F}(U_{i_0} \cap U_{i_1})\]

代数结构层

我们来澄清某些类型结构之层的定义。首先重新表述层条件。设 \(\mathcal{F}\) 是拓扑空间 \(X\) 上的集合预层。层条件可以表述如下。设 \(U = \bigcup_{i\in I} U_i\) 为开覆盖。考虑图表 \[\xymatrix{ \mathcal{F}(U) \ar[r] & \prod\nolimits_{i\in I} \mathcal{F}(U_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod\nolimits_{(i_0, i_1) \in I \times I} \mathcal{F}(U_{i_0} \cap U_{i_1}) }\] 这里，左侧映射由规则 \(s \mapsto \prod_{i \in I} s|_{U_i}\) 定义。右侧的两个映射分别是 \[\prod\nolimits_i s_i \mapsto \prod\nolimits_{(i_0, i_1)} s_{i_0}|_{U_{i_0} \cap U_{i_1}} \text{ 分别 } \prod\nolimits_i s_i \mapsto \prod\nolimits_{(i_0, i_1)} s_{i_1}|_{U_{i_0} \cap U_{i_1}}.\] 层条件恰好说明，左侧箭头是右侧两个箭头的等化子。只要一个范畴有积，这一表述就立即推广到取值于该范畴的预层。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{C}\) 为有积的范畴。若 \(X\) 上取值于 \(\mathcal{C}\) 的预层 \(\mathcal{F}\) 对每个开覆盖都有图表 \[\xymatrix{ \mathcal{F}(U) \ar[r] & \prod\nolimits_{i\in I} \mathcal{F}(U_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod\nolimits_{(i_0, i_1) \in I \times I} \mathcal{F}(U_{i_0} \cap U_{i_1}) }\] 在范畴 \(\mathcal{C}\) 中是等化子图表，则称它为一个层。

假设 \(\mathcal{C}\) 是范畴，且 \(F : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 是忠实函子。一个值得牢记的例子是：\(\mathcal{C}\) 是阿贝尔群范畴，而 \(F\) 是遗忘函子。考虑 \(X\) 上取值于 \(\mathcal{C}\) 的预层 \(\mathcal{F}\)。我们希望用其底层集合预层（定义 006O）重新表述上述条件。注意，底层集合预层是集合层，当且仅当施加遗忘函子 \(F\) 后，所有集合图表 \[\xymatrix{ F(\mathcal{F}(U)) \ar[r] & \prod\nolimits_{i\in I} F(\mathcal{F}(U_i)) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod\nolimits_{(i_0, i_1) \in I \times I} F(\mathcal{F}(U_{i_0} \cap U_{i_1})) }\] 都是等化子图表！因此，我们希望 \(\mathcal{C}\) 有积和等化子，并希望 \(F\) 与它们可交换。这等价于 \(\mathcal{C}\) 有极限且 \(F\) 与极限可交换；见 Categories，引理 002N。但这仍不充分（见例 0075）；还需要 \(F\) 反映同构。这一性质是指：给定 \(\mathcal{C}\) 中的态射 \(f : A \to A'\)，若（且仅若）\(F(f)\) 是双射，则 \(f\) 是同构。

引理

假设范畴 \(\mathcal{C}\) 和函子 \(F : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 满足：

\(F\) 忠实，

\(\mathcal{C}\) 有极限，并且 \(F\) 与极限可交换，以及

函子 \(F\) 反映同构。

设 \(X\) 为拓扑空间，并设 \(\mathcal{F}\) 是取值于 \(\mathcal{C}\) 的预层。则 \(\mathcal{F}\) 是层，当且仅当其底层集合预层是层。

证明

假设 \(\mathcal{F}\) 是层。则 \(\mathcal{F}(U)\) 是上述图表的等化子；由假设， \(F(\mathcal{F}(U))\) 是相应集合图表的等化子。因此 \(F(\mathcal{F})\) 是集合层。

反之，假设 \(F(\mathcal{F})\) 是层。令 \(E \in \Ob(\mathcal{C})\) 为定义 0072 中两个平行箭头的等化子。仅由 \(\mathcal{F}\) 是预层，就得到典范态射 \(\mathcal{F}(U) \to E\)。由假设，诱导映射 \(F(\mathcal{F}(U)) \to F(E)\) 是同构，因为 \(F(E)\) 是相应集合图表的等化子。因此，由引理的条件 (3)，可知 \(\mathcal{F}(U) \to E\) 是同构。

该引理特别适用于群、环、固定环上的代数、固定环上的模、固定域上的向量空间等的层。换言之，它们是群、环、固定环上的模、固定域上的向量空间等的预层，并且其底层集合预层是层。

例

设 \(X\) 为拓扑空间。对每个开集 \(U \subset X\)，考虑 \(\mathbf{R}\)-代数 \(\mathcal{C}^{0}(U) = \{ f : U \to \mathbf{R} \mid f\text{ 连续}\}\)。存在显然的限制映射，使其成为 \(X\) 上的 \(\mathbf{R}\)-代数预层。由例 006V，它是集合层。因此，由引理 0073，它是 \(X\) 上的 \(\mathbf{R}\)-代数层。

例

考虑拓扑空间范畴 \(\textit{Top}\)。存在自然的忠实函子 \(\textit{Top} \to \textit{Sets}\)，它与积和等化子可交换，但不反映同构。事实上，结果表明引理 0073 的类似命题是错误的。具体地，设 \(X = \mathbf{N}\) 并赋予离散拓扑。设 \(A_i\)， \(i \in \mathbf{N}\)，为离散拓扑空间。对任意子集 \(U \subset \mathbf{N}\)，定义 \(\mathcal{F}(U) = \prod_{i\in U} A_i\)，并赋予离散拓扑。于是这是一个拓扑空间预层，其底层集合预层是层，见例 006X。然而，如果每个 \(A_i\) 至少有两个元素，那么按照定义 0072，它并不是拓扑空间层。读者可以验证，若在每个 \(\mathcal{F}(U) = \prod_{i\in U} A_i\) 上赋予 积拓扑，则确实得到 \(X\) 上的拓扑空间层。

模层

定义

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{O}\) 为 \(X\) 上的环层。

一个\(\mathcal{O}\)-模层，是一个 \(\mathcal{O}\)-模预层 \(\mathcal{F}\)（见定义 006Q），并且其底层阿贝尔群预层 \(\mathcal{F}\) 是层。

一个\(\mathcal{O}\)-模层态射，是一个 \(\mathcal{O}\)-模预层态射。

给定 \(\mathcal{O}\)-模层 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\)，用 \(\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) 表示 \(\mathcal{O}\)-模层态射的集合。

\(\mathcal{O}\)-模层的范畴记作 \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\)。

即使 \(\mathcal{O}\) 只是一个环预层，这一定义也有某种意义；不过，我们不知它有什么有用的例子，并且当 \(\mathcal{O}\) 不是环层时，将避免使用 “\(\mathcal{O}\)-模层”这一术语。

茎

设 \(X\) 为拓扑空间，\(x \in X\) 为一点，并设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的集合预层。\(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处的茎是集合 \[\mathcal{F}_x = \colim_{x\in U} \mathcal{F}(U)\] 其中余极限遍历 \(X\) 中 \(x\) 的开邻域 \(U\) 所成集合。开邻域集合按（反向）包含关系偏序：规定 \(U \geq U' \Leftrightarrow U \subset U'\)。系统中的转移映射由 \(\mathcal{F}\) 的限制映射给出。关于系统上（余）极限的记号和术语，见 Categories，第 002Z 节。注意，这一余极限是有向余极限。因此，很容易描述 \(\mathcal{F}_x\)。具体地， \[\mathcal{F}_x = \{ (U, s) \mid x\in U, s\in \mathcal{F}(U) \}/\sim\] 其中等价关系定义为：\((U, s) \sim (U', s')\)，当且仅当存在开集 \(U'' \subset U \cap U'\)，满足 \(x \in U''\) 且 \(s|_{U''} = s'|_{U''}\)。给定一对 \((U, s)\)，有时用 \(s_x\) 表示 \(\mathcal{F}_x\) 中与 \((U, s)\) 的等价类相应的元素。有时也说“\(s\) 在 \(\mathcal{F}_x\) 中的像”来指 \(s_x\)。例如，给定两对 \((U, s)\) 和 \((U', s')\)，有时说“\(s\) 与 \(s'\) 在 \(\mathcal{F}_x\) 中相等”，表示 \(s_x = s'_x\)。其他作者使用“\(s\) 在 \(x\) 处的芽”这一术语。

该定义的一个显然推论是：对任意开集 \(U \subset X\)，存在典范映射 \[\mathcal{F}(U) \longrightarrow \prod\nolimits_{x \in U} \mathcal{F}_x\] 由 \(s \mapsto \prod_{x \in U} (U, s)\) 定义。请想一想！

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是拓扑空间 \(X\) 上的集合层。对每个开集 \(U \subset X\)，映射 \[\mathcal{F}(U) \longrightarrow \prod\nolimits_{x \in U} \mathcal{F}_x\] 是单射。

证明

假设 \(s, s' \in \mathcal{F}(U)\) 对所有 \(x \in U\) 都映到每个茎 \(\mathcal{F}_x\) 中的同一元素。这意味着，对每个 \(x \in U\)，存在开集 \(V^x \subset U\)，\(x \in V^x\)，使得 \(s|_{V^x} = s'|_{V^x}\)。但 \(U = \bigcup_{x \in U} V^x\) 是一个开覆盖。因此，由层条件中的唯一性，可知 \(s = s'\)。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间。若对每个开集 \(U \subset X\)，映射 \(\mathcal{F}(U) \to \prod_{x \in U} \mathcal{F}_x\) 都是单射，则称 \(X\) 上的集合预层 \(\mathcal{F}\) 是分离的。

另一个观察是，茎 \(\mathcal{F}_x\) 的构造关于预层 \(\mathcal{F}\) 是函子性的。换言之，它给出函子 \[\textit{PSh}(X) \longrightarrow \textit{Sets}, \ \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}_x.\] 该函子称为茎函子。具体地，若 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是预层态射，则按规则 \((U, s) \mapsto (U, \varphi(s))\) 定义 \(\varphi_x : \mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\)。为验证这确实可行，需要检查：若 \((U, s) = (U', s')\) 在 \(\mathcal{F}_x\) 中成立，则 \((U, \varphi(s)) = (U', \varphi(s'))\) 在 \(\mathcal{G}_x\) 中也成立。这由 \(\varphi\) 与限制映射相容显然可得。

例

设 \(X\) 为拓扑空间，\(A\) 为集合。暂用 \(A_p\) 表示取值为 \(A\) 的常值预层（\(p\) 表示预层，而不是点）。存在到取值为 \(A\) 的常值层的典范预层映射 \(A_p \to \underline{A}\)。对每个点，都有典范双射 \(A = (A_p)_x = \underline{A}_x\)；其中第二个映射由函子性从映射 \(A_p \to \underline{A}\) 诱导。

例

假设 \(X = \mathbf{R}^n\) 并赋予 Euclid 拓扑。考虑 \(X\) 上的 \(\mathcal{C}^\infty\) 函数预层，记作 \(\mathcal{C}^\infty_{\mathbf{R}^n}\)。换言之， \(\mathcal{C}^\infty_{\mathbf{R}^n}(U)\) 是 \(\mathcal{C}^\infty\) 函数 \(f : U \to \mathbf{R}\) 所成集合。与例 006V 一样，容易证明这是一个层。事实上，它是 \(\mathbf{R}\)-向量空间层。

接着，设 \(x \in X = \mathbf{R}^n\) 为一点。应如何理解茎 \(\mathcal{C}^\infty_{\mathbf{R}^n, x}\) 中的元素？这样的元素由定义域包含 \(x\) 的一个 \(\mathcal{C}^\infty\) 函数 \(f\) 给出。两个这样的函数 \(f\)、\(g\) 确定同一个茎元素，当且仅当它们在 \(x\) 的某个邻域上一致。换言之， \(\mathcal{C}^\infty_{\mathbf{R}^n, x}\) 的一个元素，就是有时所谓的 \(\mathcal{C}^\infty\) 函数在 \(x\) 处的芽。

例

设 \(X\) 为拓扑空间，并对每个 \(x \in X\) 设 \(A_x\) 为一个集合。考虑例 006X 中的层 \(\mathcal{F} : U \mapsto \prod_{x\in U} A_x\)。这里只想指出， \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处的茎 \(\mathcal{F}_x\) 一般不等于集合 \(A_x\)。当然，存在映射 \(\mathcal{F}_x \to A_x\)，但一般能说的仅此而已。例如，假设 \(x = \lim x_n\)，且对所有 \(n \not = m\) 都有 \(x_n \not = x_m\)，并假设对所有 \(y \in X\) 都有 \(A_y = \{0, 1\}\)。则 \(\mathcal{F}_x\) 映满由 \(0\) 和 \(1\) 组成的序列尾所成的（无限）集合。事实上，\(x\) 的每个开邻域都包含几乎所有 \(x_n\)。另一方面，若 \(x\) 的每个邻域都包含一点 \(y\)，使得 \(A_y = \emptyset\)，则 \(\mathcal{F}_x = \emptyset\)。

阿贝尔预层的茎

我们先处理阿贝尔群的情形，以此作为一般情形的模型。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的阿贝尔群预层。在 \(\mathcal{F}_x\) 上存在唯一的阿贝尔群结构，使得对每个开集 \(U \subset X\)，\(x\in U\)，映射 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}_x\) 是群同态。此外， \[\mathcal{F}_x = \colim_{x\in U} \mathcal{F}(U)\] 在阿贝尔群范畴中成立。

证明

把两个元素 \((U, s)\) 和 \((V, t)\) 之和定义为 \((U \cap V, s|_{U\cap V} + t|_{U \cap V})\)。其余性质容易验证。

上述证明的关键在于，开邻域的偏序集是有向集（Categories，定义 00D3）。事实上，两个阿贝尔群 \(A, B\) 的余积是直和 \(A \oplus B\)，而集合范畴中的余积是不交并 \(A \amalg B\)；这表明一般而言，阿贝尔群范畴中的余极限不同于集合范畴中的余极限。

代数结构预层的茎

对任何一种使得有向余极限与遗忘函子可交换的代数结构，引理 007F 的证明都同样适用。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(F : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 为函子。假设：

\(F\) 忠实，并且

\(\mathcal{C}\) 中存在有向余极限，且 \(F\) 与它们可交换。

设 \(X\) 为拓扑空间，\(x \in X\)，并设 \(\mathcal{F}\) 是取值于 \(\mathcal{C}\) 的预层。则 \[\mathcal{F}_x = \colim_{x\in U} \mathcal{F}(U)\] 在 \(\mathcal{C}\) 中存在。它的底层集合等于 \(\mathcal{F}\) 的底层集合预层的茎。此外，构造 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_x\) 是从取值于 \(\mathcal{C}\) 的预层范畴到 \(\mathcal{C}\) 的函子。

证明

略。

按照定义，所有态射 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}_x\) 都是范畴 \(\mathcal{C}\) 中的态射；施加遗忘函子 \(F\) 后，它们成为底层集合层的相应

映射。与往常一样，我们不区分 \(\mathcal{C}\) 中的态射与其底层集合映射；由于 \(F\) 忠实，这是允许的。

该引理特别适用于：（不一定阿贝尔的）群、环、固定环上的模、固定域上的向量空间的预层。

模预层的茎

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{O}\) 为 \(X\) 上的环预层，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}\)-模预层，并设 \(x \in X\)。由乘法映射 \(\mathcal{O} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 得到的典范映射 \(\mathcal{O}_x \times \mathcal{F}_x \to \mathcal{F}_x\)，在阿贝尔群 \(\mathcal{F}_x\) 上定义一个 \(\mathcal{O}_x\)-模结构。

证明

略。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{O} \to \mathcal{O}'\) 是 \(X\) 上环预层的一个态射，\(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{O}\)-模预层，并设 \(x \in X\)。作为 \(\mathcal{O}'_x\)-模，有 \[\mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_x} \mathcal{O}'_x = (\mathcal{F} \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{O}')_x\]

证明

略。

代数结构

本节对上述各节中遇到的概念作轻度形式化。

定义

一种代数结构类型由一个范畴 \(\mathcal{C}\) 和一个函子 \(F : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 给出，并满足以下性质：

\(F\) 忠实，

\(\mathcal{C}\) 有极限，且 \(F\) 与极限可交换，

\(\mathcal{C}\) 有滤过余极限，且 \(F\) 与它们可交换，以及

\(F\) 反映同构。

我们作此定义，是为了明确指出下文若干论证中将用到的性质。不过，我们实际上不会深入研究这一概念，因为按照约定，除 Categories，评注 0015 所列者外，我们不得研究“大”范畴。其中，以下范畴具有所需性质。

引理

下列范畴在配备显然的遗忘函子后，定义代数结构类型：

带基点集合的范畴。

阿贝尔群范畴。

群范畴。

幺半群范畴。

环范畴。

固定环 \(R\) 上的 \(R\)-模范畴。

固定域上的 Lie 代数范畴。

证明

略。

从现在起，我们将借助底层集合（预）层来理解代数结构的（预）层及其茎。由引理 0073 和 007H，这是允许的。

本节余下部分指出一些以后会用到的代数结构结果。

引理

设 \((\mathcal{C}, F)\) 为一种代数结构类型。

\(\mathcal{C}\) 有终对象 \(0\)，且 \(F(0) = \{ * \}\)。

\(\mathcal{C}\) 有积，且 \(F(\prod A_i) = \prod F(A_i)\)。

\(\mathcal{C}\) 有纤维积，且 \(F(A \times_B C) = F(A)\times_{F(B)}F(C)\)。

\(\mathcal{C}\) 有等化子；若 \(E \to A\) 是 \(a, b : A \to B\) 的等化子，则 \(F(E) \to F(A)\) 是 \(F(a), F(b) : F(A) \to F(B)\) 的等化子。

\(A \to B\) 是单态射，当且仅当 \(F(A) \to F(B)\) 是单射。

若 \(F(a) : F(A) \to F(B)\) 是满射，则 \(a\) 是满态射。

给定 \(A_1 \to A_2 \to A_3 \to \ldots\)，则 \(\colim A_i\) 存在，且 \(F(\colim A_i) = \colim F(A_i)\)；对任意滤过余极限更一般地也成立。

证明

略。唯一值得说明的是 (5)：\(A \to B\) 是单态射，当且仅当 \(A \to A \times_B A\) 是同构；再利用 \(F\) 反映同构即可。

引理

设 \((\mathcal{C}, F)\) 为一种代数结构类型。假设 \(A, B, C \in \Ob(\mathcal{C})\)，并设 \(f : A \to B\) 和 \(g : C \to B\) 是 \(\mathcal{C}\) 的态射。若 \(F(g)\) 是单射，且 \(\Im(F(f)) \subset \Im(F(g))\)，则 \(f\) 可作如下分解：存在态射 \(t : A \to C\)，使得 \(f = g \circ t\)。

证明

考虑 \(A \times_B C\)。假设蕴含 \(F(A \times_B C) = F(A) \times_{F(B)} F(C) = F(A)\)。由于 \(F\) 反映同构，所以 \(A = A \times_B C\)。结论随即得出。

例

该引理将经常应用于以下情形。假设在 \(\mathcal{C}\) 中有图表 \[\xymatrix{ A \ar[r] & B \ar[d] \\ C \ar[r] & D }\] 假设 \(C \to D\) 在底层集合上为单射，并且复合映射 \(A \to B \to D\) 在底层集合上的像包含于 \(C \to D\) 的像中。于是，在 \(\mathcal{C}\) 中得到交换图表 \[\xymatrix{ A \ar[r] \ar[d] & B \ar[d] \\ C \ar[r] & D }\]

例

设 \(F : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 为一种代数结构。设 \(X\) 为拓扑空间。假设对每个 \(x \in X\) 给定对象 \(A_x \in \Ob(\mathcal{C})\)。考虑 \(X\) 上取值于 \(\mathcal{C}\) 的预层 \(\Pi\)，它由规则 \(\Pi(U) = \prod_{x \in U} A_x\) 定义（限制映射是显然的）。注意，相应的集合预层 \(U \mapsto F(\Pi(U)) = \prod_{x \in U} F(A_x)\) 由例 006X 是一个层。因此，\(\Pi\) 是类型 \((\mathcal{C} , F)\) 的代数结构层。这给出了许多阿贝尔群层、群层、环层等例子。

正合性与点

在任意范畴中，都有满态射、单态射、同构等概念。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，并设 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 为 \(X\) 上集合层的态射。

映射 \(\varphi\) 是层范畴中的单态射，当且仅当对所有 \(x \in X\)，映射 \(\varphi_x : \mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\) 都是单射。

映射 \(\varphi\) 是层范畴中的满态射，当且仅当对所有 \(x \in X\)，映射 \(\varphi_x : \mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\) 都是满射。

映射 \(\varphi\) 是层范畴中的同构，当且仅当对所有 \(x \in X\)，映射 \(\varphi_x : \mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\) 都是双射。

证明

略。

由此可见，在集合层范畴中，满态射与单态射可描述如下。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间。

若对每个开集 \(U \subset X\) 都有 \(\mathcal{F}(U) \subset \mathcal{G}(U)\)，且 \(\mathcal{G}\) 的限制映射诱导出 \(\mathcal{F}\) 的限制映射，则称预层 \(\mathcal{F}\) 是预层 \(\mathcal{G}\) 的一个子预层。若 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 都是层，则称 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{G}\) 的一个子层。有时用记号 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{G}\) 表示这一关系。

\(X\) 上集合预层的态射 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 称为单射的，当且仅当对 \(X\) 中每个开集 \(U\)，映射 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\) 都是单射。

\(X\) 上集合预层的态射 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 称为满射的，当且仅当对 \(X\) 中每个开集 \(U\)，映射 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\) 都是满射。

\(X\) 上集合层的态射 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 称为单射的，当且仅当对 \(X\) 中每个开集 \(U\)，映射 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\) 都是单射。

\(X\) 上集合层的态射 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 称为满射的，当且仅当对 \(X\) 的每个开集 \(U\) 及 \(\mathcal{G}(U)\) 的每个截面 \(s\)，都存在开覆盖 \(U = \bigcup U_i\)，使得对所有 \(i\)，\(s|_{U_i}\) 都属于 \(\mathcal{F}(U_i) \to \mathcal{G}(U_i)\) 的像。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。

预层范畴中的满态射（相应地，单态射）恰为预层的满射映射（相应地，单射映射）。

层范畴中的满态射（相应地，单态射）恰为层的满射映射（相应地，单射映射），也恰为在所有茎上均满射（相应地，单射）的映射。

证明

略。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。设 \((\mathcal{C}, F)\) 为一种代数结构类型。假设 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 是 \(X\) 上取值于 \(\mathcal{C}\) 的层。设 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 为底层集合层之间的映射。若对所有点 \(x \in X\)，映射 \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\) 都是代数结构的态射，则 \(\varphi\) 是代数结构层的态射。

证明

设 \(U\) 为 \(X\) 的开子集。考虑下列（底层）集合图表 \[\xymatrix{ \mathcal{F}(U) \ar[r] \ar[d] & \prod_{x \in U} \mathcal{F}_x \ar[d] \\ \mathcal{G}(U) \ar[r] & \prod_{x \in U} \mathcal{G}_x }\] 由假设及前面的结果，除左侧竖直箭头外，其余箭头都是代数结构的态射。此外，底部水平箭头是单射；见引理 0079。因此，由引理 007P 可得结论；另见例 007Q。

阿贝尔层的短正合列等内容将在模层一章中讨论。见 Modules，第 01AF 节。

层化

本节说明如何对拓扑空间上的预层作层化。在这种情形下，我们将用茎来描述层化。这不同于 Sites，第 00W1 节所述的一般过程，并且或许更易理解。

基本构造如下。设 \(\mathcal{F}\) 为拓扑空间 \(X\) 上的集合预层。对每个开集 \(U \subset X\)，定义 \[\mathcal{F}^{\#}(U) = \{ (s_u) \in \prod\nolimits_{u \in U} \mathcal{F}_u \text{ 使得 }(*) \}\] 其中 \((*)\) 是如下性质：

对每个 \(u \in U\)，存在开邻域 \(u \in V \subset U\) 以及截面 \(\sigma \in \mathcal{F}(V)\)，使得对所有 \(v \in V\)，在 \(\mathcal{F}_v\) 中都有 \(s_v = (V, \sigma)\)。

注意，\((*)\) 是对每个 \(u \in U\) 的条件；给定 \(u \in U\) 后，该条件是否成立，只依赖于各值 \(s_v\)，其中 \(v\) 位于 \(u\) 的任一开邻域中。因此显然，若 \(V \subset U \subset X\) 为开集，则投影映射 \[\prod\nolimits_{u \in U} \mathcal{F}_u \longrightarrow \prod\nolimits_{v \in V} \mathcal{F}_v\] 把 \(\mathcal{F}^{\#}(U)\) 的元素映入 \(\mathcal{F}^{\#}(V)\)。以这些映射作为限制映射，就使 \(\mathcal{F}^\#\) 成为 \(X\) 上的集合预层。

此外，第 0078 节中描述的映射 \(\mathcal{F}(U) \to \prod_{u \in U} \mathcal{F}_u\) 显然以 \(\mathcal{F}^{\#}(U)\) 为其像的容纳集合。又若 \(V \subset U \subset X\) 为开集，则有交换图表 \[\xymatrix{ \mathcal{F}(U) \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}^{\#}(U) \ar[r] \ar[d] & \prod_{u\in U} \mathcal{F}_u \ar[d] \\ \mathcal{F}(V) \ar[r] & \mathcal{F}^{\#}(V) \ar[r] & \prod_{v\in V} \mathcal{F}_v }\] 其中竖直映射均由限制映射诱导。因此得到一个典范预层态射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^{\#}\)。

在例 006X 中，我们已经看到，规则 \(\Pi(\mathcal{F}) : U \mapsto \prod_{u\in U} \mathcal{F}_u\) 配备显然的限制映射后是一个层。按构造，\(\mathcal{F}^{\#}\) 是它的一个子预层。换言之，有预层态射 \[\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\# \to \Pi(\mathcal{F}).\] 此外，把上述序列赋给 \(\mathcal{F}\) 的规则显然对预层 \(\mathcal{F}\) 具有函子性。下面各引理的证明中将使用这一记号。

引理

预层 \(\mathcal{F}^{\#}\) 是一个层。

证明

与其阅读这里的证明，读者或许更适合自己找出解释。事实上，该引理成立的理由与连续函数预层是层的理由相同；见例 006V（利用“espace étalé”可将这一类比精确化）。

无论如何，设 \(U = \bigcup U_i\) 为开覆盖。假设 \(s_i = (s_{i, u})_{u \in U_i} \in \mathcal{F}^{\#}(U_i)\)，且 \(s_i\) 与 \(s_j\) 在 \(U_i \cap U_j\) 上一致。由于 \(\Pi(\mathcal{F})\) 是层，可在 \(\prod_{u\in U} \mathcal{F}_u\) 中找到元素 \(s = (s_u)_{u\in U}\)，其在 \(U_i\) 上的限制为 \(s_i\)。还需验证性质 \((*)\)。取 \(u \in U\)。则对某个 \(i\) 有 \(u \in U_i\)。由 \(s_i\) 的性质 \((*)\)，存在开集 \(V\)、\(u \in V \subset U_i\) 以及 \(\sigma \in \mathcal{F}(V)\)，使得对所有 \(v \in V\)，在 \(\mathcal{F}_v\) 中有 \(s_{i, v} = (V, \sigma)\)。由于 \(s_{i, v} = s_v\)，便得到 \(s\) 的性质 \((*)\)。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的集合预层，并设 \(x \in X\)。则 \(\mathcal{F}_x = \mathcal{F}^\#_x\)。

证明

映射 \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}^\#_x\) 是单射，因为映射 \(\mathcal{F}_x \to \Pi(\mathcal{F})_x\) 已经是单射。事实上，有典范映射 \(\Pi(\mathcal{F})_x \to \mathcal{F}_x\)，它是映射 \(\mathcal{F}_x \to \Pi(\mathcal{F})_x\) 的左逆；见例 007D。为证明满射性，设 \(\overline{s} \in \mathcal{F}^\#_x\)。可找到 \(x\) 的开邻域 \(U\)，使得 \(\overline{s}\) 是 \((U, s)\) 的等价类，其中 \(s \in \mathcal{F}^\#(U)\)。按定义，这意味着存在 \(x\) 的开邻域 \(V \subset U\) 以及截面 \(\sigma \in \mathcal{F}(V)\)，使得 \(s|_V\) 是 \(\sigma\) 在 \(\Pi(\mathcal{F})(V)\) 中的像。显然，\((V, \sigma)\) 的类给出 \(\mathcal{F}_x\) 的一个元素，并映到 \(\overline{s}\)。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的集合预层。任何映入集合层的映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 都唯一分解为 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\# \to \mathcal{G}\)。

证明

显然有交换图表 \[\xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}^\# \ar[r] \ar[d] & \Pi(\mathcal{F}) \ar[d] \\ \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{G}^\# \ar[r] & \Pi(\mathcal{G}) \\ }\] 因此，只需证明 \(\mathcal{G} = \mathcal{G}^\#\)。由引理 007T，只需证明对每个点 \(x \in X\)，映射 \(\mathcal{G}_x \to \mathcal{G}^\#_x\) 都是双射。这正是上面的引理 007Z。

这个引理实际上说明有一对伴随函子： \(i : \Sh(X) \to \textit{PSh}(X)\)（包含）和 \(\# : \textit{PSh}(X) \to \Sh(X)\)（层化）。公式为 \[\Mor_{\textit{PSh}(X)}(\mathcal{F}, i(\mathcal{G})) = \Mor_{\Sh(X)}(\mathcal{F}^\#, \mathcal{G})\] 这说明层化是包含函子的左伴随。见 Categories，第 0036 节。

例

记号见例 007B。映射 \(A_p \to \underline{A}\) 诱导出映射 \(A_p^\# \to \underline{A}\)。容易看出后者是同构。换言之：取值为 \(A\) 的常值预层的层化，就是取值为 \(A\) 的常值层。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。预层 \(\mathcal{F}\) 是分离的（见定义 007A），当且仅当典范映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\#\) 是单射。

证明

这由本节中 \(\mathcal{F}^\#\) 的构造立即可见。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。集合预层的满射（相应地，单射）态射经层化后仍为满射（相应地，单射）。

证明

略。

阿贝尔预层的层化

下面这个看似奇怪的引理很可能并非必需，但在处理代数结构预层的层化时非常方便。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的集合预层，并设 \(U \subset X\) 为开集。存在典范纤维积图表 \[\xymatrix{ \mathcal{F}^\#(U) \ar[d] \ar[r] & \Pi(\mathcal{F})(U) \ar[d] \\ \prod_{x \in U} \mathcal{F}_x \ar[r] & \prod_{x \in U} \Pi(\mathcal{F})_x }\] 其中各映射如下：

左侧竖直映射的各分量为 \(\mathcal{F}^\#(U) \to \mathcal{F}^\#_x = \mathcal{F}_x\)，其中等式来自引理 007Z。

顶部水平映射来自第 007X 节所述的预层映射 \(\mathcal{F} \to \Pi(\mathcal{F})\)。

右侧竖直映射有显然的分量映射 \(\Pi(\mathcal{F})(U) \to \Pi(\mathcal{F})_x\)。

底部水平映射的各分量为 \(\mathcal{F}_x \to \Pi(\mathcal{F})_x\)；它们来自第 007X 节所述的预层映射 \(\mathcal{F} \to \Pi(\mathcal{F})\)。

证明

该图表显然交换。需要证明它是纤维积图表。底部水平箭头是单射，因为所有映射 \(\mathcal{F}_x \to \Pi(\mathcal{F})_x\) 都是单射（见引理 007Z 的证明开头）。截面 \(s \in \Pi(\mathcal{F})(U)\) 属于 \(\mathcal{F}^\#\)，当且仅当 \((*)\) 成立。而 \((*)\) 表示，在每一点附近，截面 \(s\) 都来自 \(\mathcal{F}\) 的一个截面。按茎函子的定义，这等价于：\(s\) 在每个茎 \(\Pi(\mathcal{F})_x\) 中的值都来自茎 \(\mathcal{F}_x\) 的某个元素。引理得证。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的阿贝尔预层。则 \(\mathcal{F}^\#\) 上存在唯一的阿贝尔层结构，使得 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\#\) 是阿贝尔预层的态射。此外，有如下伴随性： \[\Mor_{\textit{PAb}(X)}(\mathcal{F}, i(\mathcal{G})) = \Mor_{\textit{Ab}(X)}(\mathcal{F}^\#, \mathcal{G}).\]

证明

回忆第 007X 节定义的集合层 \(\Pi(\mathcal{F})\)。所有茎 \(\mathcal{F}_x\) 都是阿贝尔群；见引理 007F。因此，由例 007R， \(\Pi(\mathcal{F})\) 是阿贝尔群层。映射 \(\mathcal{F} \to \Pi(\mathcal{F})\) 显然也是阿贝尔预层的态射。若能证明第 007X 节中的条件 \((*)\) 对每个开子集 \(U \subset X\) 都定义 \(\Pi(\mathcal{F})(U)\) 的一个子群，则 \(\mathcal{F}^\#\) 便典范地继承阿贝尔层结构。直接证明这一点相当容易，我们把寻找一个简洁论证留给读者。这里采用的论证可推广到代数结构预层，如下所述：

引理 0084 表明 \(\mathcal{F}^\#(U)\) 是一个阿贝尔群图表的纤维积。因此，\(\mathcal{F}^\#\) 如所需地成为阿贝尔子群。

注意，此时由引理 007F， \(\mathcal{F}^\#_x\) 是阿贝尔群；而 \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}^\#_x\) 是双射（引理 007Z），也是阿贝尔群同态。因此 \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}^\#_x\) 是阿贝尔群同构。下文将直接使用这一点，不再另行说明。

为证明伴随性，使用集合预层层化的伴随性。例如，若 \(\psi : \mathcal{F} \to i(\mathcal{G})\) 是预层态射，则得到层态射 \(\psi' : \mathcal{F}^\# \to \mathcal{G}\)。需要验证它是阿贝尔层的态射。例如，可以先由引理 007Z 注意到这在各茎上成立，再使用上面的引理 007W。

代数结构预层的层化

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\((\mathcal{C}, F)\) 为一种代数结构类型，并设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上取值于 \(\mathcal{C}\) 的预层。则存在取值于 \(\mathcal{C}\) 的层 \(\mathcal{F}^\#\) 以及取值于 \(\mathcal{C}\) 的预层态射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\#\)，并具有以下性质：

映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\#\) 将 \(\mathcal{F}^\#\) 的底层集合层等同于 \(\mathcal{F}\) 的底层集合预层的层化。

对任意态射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)，其中 \(\mathcal{G}\) 为取值于 \(\mathcal{C}\) 的层，都存在唯一分解 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\# \to \mathcal{G}\)。

证明

证明与引理 0085 的证明相同，只需反复应用引理 007P（另见例 007Q）。不过，主要思想是把 \(\mathcal{F}^\#(U)\) 定义为 \(\mathcal{C}\) 中下列图表的纤维积 \[\xymatrix{ & \Pi(\mathcal{F})(U) \ar[d] \\ \prod_{x \in U} \mathcal{F}_x \ar[r] & \prod_{x \in U} \Pi(\mathcal{F})_x }\] 对照引理 0084。

模预层的层化

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{O}\) 为 \(X\) 上的环预层，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}\)-模预层。设 \(\mathcal{O}^\#\) 为 \(\mathcal{O}\) 的层化，并设 \(\mathcal{F}^\#\) 为 \(\mathcal{F}\) 作为阿贝尔群预层的层化。存在集合层的映射 \[\mathcal{O}^\# \times \mathcal{F}^\# \longrightarrow \mathcal{F}^\#\] 使得图表 \[\xymatrix{ \mathcal{O} \times \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[d] \\ \mathcal{O}^\# \times \mathcal{F}^\# \ar[r] & \mathcal{F}^\# }\] 交换，并使 \(\mathcal{F}^\#\) 成为 \(\mathcal{O}^\#\)-模层。此外，若 \(\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{O}^\#\)-模层，则任何 \(\mathcal{O}\)-模预层态射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)（其靶是限制为 \(\mathcal{O}\)-模的 \(\mathcal{G}\)）都唯一分解为 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\# \to \mathcal{G}\)，其中 \(\mathcal{F}^\# \to \mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{O}^\#\)-模态射。

证明

略。

这实际上意味着函子 \(i : \textit{Mod}(\mathcal{O}^\#) \to \textit{PMod}(\mathcal{O})\) （它把限制与将层包含进预层结合起来）和引理中的层化函子 \({}^\# : \textit{PMod}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}^\#)\) 互为伴随。公式为 \[\Mor_{\textit{PMod}(\mathcal{O})}(\mathcal{F}, i\mathcal{G}) = \Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O}^\#)}(\mathcal{F}^\#, \mathcal{G})\]

设 \(X\) 为拓扑空间，并设 \(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) 为 \(X\) 上环层的态射。在第 006P 节中，我们已经定义了与此情形相伴的模预层限制函子和变环函子。

若 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{O}_2\)-模层，则 \(\mathcal{F}\) 的限制 \(\mathcal{F}_{\mathcal{O}_1}\) 显然是 \(\mathcal{O}_1\)-模层。由此得到限制函子 \[\textit{Mod}(\mathcal{O}_2) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_1)\]

另一方面，给定 \(\mathcal{O}_1\)-模层 \(\mathcal{G}\)， \(\mathcal{O}_2\)-模预层 \(\mathcal{O}_2 \otimes_{p, \mathcal{O}_1} \mathcal{G}\) 一般并不是层。因此，定义张量积层 \(\mathcal{O}_2 \otimes_{\mathcal{O}_1} \mathcal{G}\) 为 \[\mathcal{O}_2 \otimes_{\mathcal{O}_1} \mathcal{G} = (\mathcal{O}_2 \otimes_{p, \mathcal{O}_1} \mathcal{G})^\#\] 即预层构造的层化。由此得到变环函子 \[\textit{Mod}(\mathcal{O}_1) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_2)\]

引理

在上述 \(X\)、\(\mathcal{O}_1\)、\(\mathcal{O}_2\)、\(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 下，存在典范双射 \[\Hom_{\mathcal{O}_1}(\mathcal{G}, \mathcal{F}_{\mathcal{O}_1}) = \Hom_{\mathcal{O}_2}( \mathcal{O}_2 \otimes_{\mathcal{O}_1} \mathcal{G}, \mathcal{F} )\] 换言之，限制函子与变环函子互为伴随。

证明

这由引理 006R 以及如下事实得出： \(\Hom_{\mathcal{O}_2}( \mathcal{O}_2 \otimes_{\mathcal{O}_1} \mathcal{G}, \mathcal{F} ) = \Hom_{\mathcal{O}_2}( \mathcal{O}_2 \otimes_{p, \mathcal{O}_1} \mathcal{G}, \mathcal{F} )\)，因为 \(\mathcal{F}\) 是层。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。设 \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}'\) 为 \(X\) 上环层的态射，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}\)-模层，并设 \(x \in X\)。则作为 \(\mathcal{O}'_x\)-模，有 \[\mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_x} \mathcal{O}'_x = (\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}')_x\]

证明

这直接由引理 007K 以及取茎与层化可交换这一事实得到。

连续映射与层

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间的连续映射。我们将定义预层与层的直像函子和逆像函子。

设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的集合预层。定义 \(\mathcal{F}\) 的直像为如下规则 \[f_*\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(f^{-1}(V))\] 其中 \(V \subset Y\) 为任意开集。给定开集 \(V_1 \subset V_2 \subset Y\)，限制映射由下图的交换性给出 \[\xymatrix{ f_*\mathcal{F}(V_2) \ar[d] \ar@{=}[r] & \mathcal{F}(f^{-1}(V_2)) \ar[d]^{\text{下列对象的限制： }\mathcal{F}} \\ f_*\mathcal{F}(V_1) \ar@{=}[r] & \mathcal{F}(f^{-1}(V_1)) }\] 显然，这定义了一个集合预层。该构造显然对预层 \(\mathcal{F}\) 具有函子性，因而得到函子 \[f_* : \textit{PSh}(X) \longrightarrow \textit{PSh}(Y).\]

引理

设 \(f : X \to Y\) 为连续映射，\(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的集合层。则 \(f_*\mathcal{F}\) 是 \(Y\) 上的层。

证明

这立即来自如下事实：若 \(V = \bigcup V_j\) 是 \(Y\) 中的开覆盖，则 \(f^{-1}(V) = \bigcup f^{-1}(V_j)\) 是 \(X\) 中的开覆盖。

因此得到函子 \[f_* : \Sh(X) \longrightarrow \Sh(Y).\] 它与复合以如下强意义相容。

引理

设 \(f : X \to Y\) 和 \(g : Y \to Z\) 为拓扑空间的连续映射。函子 \((g \circ f)_*\) 与 \(g_* \circ f_*\) 相等（对集合预层和集合层均如此）。

证明

这是因为 \((g \circ f)_*\mathcal{F}(W) = \mathcal{F}((g \circ f)^{-1}W)\)， \((g_* \circ f_*)\mathcal{F}(W) = \mathcal{F}(f^{-1} g^{-1} W)\)，并且 \((g \circ f)^{-1}W = f^{-1} g^{-1} W\)。

设 \(\mathcal{G}\) 为 \(Y\) 上的集合预层。给定预层 \(\mathcal{G}\) 的 逆像预层 \(f_p\mathcal{G}\)，定义为预层上直像 \(f_*\) 的左伴随。换言之，它应当是 \(X\) 上的预层 \(f_p \mathcal{G}\)，满足 \[\Mor_{\textit{PSh}(X)}(f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PSh}(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] 由米田引理，这唯一确定了逆像。事实上，它确实存在。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为连续映射。存在函子 \(f_p : \textit{PSh}(Y) \to \textit{PSh}(X)\)，它是 \(f_*\) 的左伴随。对预层 \(\mathcal{G}\)，该函子由规则 \[f_p\mathcal{G}(U) = \colim_{f(U) \subset V} \mathcal{G}(V)\] 确定，其中余极限取遍 \(Y\) 中 \(f(U)\) 的所有开邻域 \(V\)。这些余极限取遍有向偏序集。（\(f_p\mathcal{G}\) 的限制映射将在证明中说明。）

证明

余极限取遍所有包含 \(f(U)\) 的开子集 \(V \subset Y\) 所成的偏序集，次序取反向包含。这是有向偏序集，因为若 \(V, V'\) 属于其中，则 \(V \cap V'\) 也属于其中。此外，若 \(U_1 \subset U_2\)，则 \(f(U_2)\) 的每个开邻域也是 \(f(U_1)\) 的开邻域。因此，定义 \(f_p\mathcal{G}(U_2)\) 的系统是定义 \(f_p\mathcal{G}(U_1)\) 的系统的子系统，从而得到限制映射（例如应用 Categories，引理 002K 中的一般结论）。

注意，余极限的构造显然对 \(\mathcal{G}\) 具有函子性，限制映射亦然。因此，我们已经把 \(f_p\) 定义为函子。

一个有用的小观察是，存在典范映射 \(\mathcal{G}(U) \to f_p\mathcal{G}(f^{-1}(U))\)，因为 \(f(f^{-1}(U))\) 的开邻域系统包含元素 \(U\)。它与限制映射相容。换言之，存在典范映射 \(i_\mathcal{G} : \mathcal{G} \to f_* f_p \mathcal{G}\)。

设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的集合预层。假设 \(\psi : f_p\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 是集合预层的映射。相应的映射 \(\mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}\) 为 \(f_*\psi \circ i_\mathcal{G} : \mathcal{G} \to f_* f_p \mathcal{G} \to f_* \mathcal{F}\)。

另一个有用的小观察是，存在典范映射 \(c_\mathcal{F} : f_p f_* \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)。事实上，设 \(U \subset X\) 为开集。对 \(Y\) 中每个开邻域 \(V \supset f(U)\)，都存在映射 \(f_*\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(f^{-1}(V))\to \mathcal{F}(U)\)，即 \(\mathcal{F}\) 上的限制映射。并且，这与 \(\mathcal{F}\) 在包含 \(f(U)\) 的各个开集之 \(f^{-1}\) 上取值之间的限制映射相容。因此得到典范映射 \(f_p f_* \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U)\)。另一个平凡的验证表明，这些映射与限制映射相容，并定义了集合预层的映射 \(c_\mathcal{F}\)。

假设 \(\varphi : \mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}\) 是集合预层的映射。考虑 \(f_p\varphi : f_p \mathcal{G} \to f_p f_* \mathcal{F}\)。再与 \(c_\mathcal{F}\) 后复合，便得到所需映射 \(c_\mathcal{F} \circ f_p\varphi : f_p\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)。我们略去验证此构造与上面给出的反向构造互为逆过程。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为连续映射，\(x \in X\)，并设 \(\mathcal{G}\) 为 \(Y\) 上的集合预层。存在茎的典范双射 \((f_p\mathcal{G})_x = \mathcal{G}_{f(x)}\)。

证明

可如下看出这一点 \[\begin{eqnarray*} (f_p\mathcal{G})_x & = & \colim_{x \in U} f_p\mathcal{G}(U) \\ & = & \colim_{x \in U} \colim_{f(U) \subset V} \mathcal{G}(V) \\ & = & \colim_{f(x) \in V} \mathcal{G}(V) \\ & = & \mathcal{G}_{f(x)} \end{eqnarray*}\] 这里使用了 Categories，引理 002M，以及如下事实：\(Y\) 中任意包含 \(f(x)\) 的开集 \(V\) 都出现在上面的第三种描述中。细节略去。

设 \(\mathcal{G}\) 为 \(Y\) 上的集合层。定义逆像层 \(f^{-1}\mathcal{G}\) 为 \[f^{-1}\mathcal{G} = (f_p\mathcal{G})^\# .\] 逆像 \(f^{-1}\) 是层上直像的左伴随。换言之， \[\Mor_{\Sh(X)}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\Sh(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] 事实上，有 \[\begin{eqnarray*} \Mor_{\Sh(X)}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\textit{PSh}(X)}(f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{PSh}(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\Sh(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}) \end{eqnarray*}\] 第一个等式使用了层化是层到预层之包含的左伴随；第二个等式使用了在预层上 \(f_p\) 是 \(f_*\) 的左伴随。我们将在引理 008K 的证明中回到这一陈述。

引理

设 \(x \in X\)，并设 \(\mathcal{G}\) 为 \(Y\) 上的集合层。存在茎的典范双射 \((f^{-1}\mathcal{G})_x = \mathcal{G}_{f(x)}\)。

证明

这是引理 007Z 与 008G 的结合。

引理

设 \(f : X \to Y\) 和 \(g : Y \to Z\) 为拓扑空间的连续映射。函子 \((g \circ f)^{-1}\) 与 \(f^{-1} \circ g^{-1}\) 典范同构。类似地，在预层上有 \((g \circ f)_p \cong f_p \circ g_p\)。

证明

使用伴随函子在唯一同构意义下唯一这一事实，以及引理 008E 即可看出。

定义

设 \(f : X \to Y\) 为连续映射，\(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上的集合层，并设 \(\mathcal{G}\) 为 \(Y\) 上的集合层。一个\(f\)-映射 \(\xi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)，是由开子集 \(V \subset Y\) 索引的一族映射 \(\xi_V : \mathcal{G}(V) \to \mathcal{F}(f^{-1}(V))\)，使得 \[\xymatrix{ \mathcal{G}(V) \ar[r]_{\xi_V} \ar[d]_{\text{下列对象的限制： }\mathcal{G}} & \mathcal{F}(f^{-1}V) \ar[d]^{\text{下列对象的限制： }\mathcal{F}} \\ \mathcal{G}(V') \ar[r]^{\xi_{V'}} & \mathcal{F}(f^{-1}V') }\] 对所有开集 \(V' \subset V \subset Y\) 均交换。

文献中有时采用引理 008K 第 (4) 项那样的另一种定义，但该引理表明二者实际上没有区别。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为连续映射。以下四个集合之间存在双射：

映射 \(\mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}\) 的集合；

映射 \(f^{-1}\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 的集合；

\(f\)-映射 \(\xi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 的集合；以及

对所有满足 \(f(U) \subset V\) 的开集 \(U \subset X\) 和 \(V \subset Y\)，映射 \(\xi_{U, V} : \mathcal{G}(V) \to \mathcal{F}(U)\) 的所有与各限制映射相容的族所成的集合。

这些双射对 \(\mathcal{F} \in \Sh(X)\) 和 \(\mathcal{G} \in \Sh(Y)\) 具有函子性。

证明

按定义，层映射 \(a : \mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}\) 是如下规则：对 \(Y\) 的每个开集 \(V\)，指定映射 \(a_V : \mathcal{G}(V) \to f_*\mathcal{F}(V)\)，而且有 \(f_*\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(f^{-1}(V))\)。因此，至少其“数据”恰好对应于从 \(\mathcal{G}\) 到 \(\mathcal{F}\) 的 \(f\)-映射 \(\xi\) 所需的数据。为证明 (1) 与 (3) 中的集合双射，只需观察：\(a\) 是层映射，当且仅当相应的映射族 \(a_V\) 满足定义 008J 中的条件。

回忆 \(f^{-1}\mathcal{G}\) 是 \(f_p\mathcal{G}\) 的层化。由层化的泛性质，层映射 \(b : f^{-1}\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 等价于预层映射 \(b_p : f_p\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)，其中 \(f_p\) 是本节前面定义的函子。给出这样的映射 \(b_p\)，就需要对 \(X\) 的每个开集 \(U\) 指定映射 \[b_{p, U} : \colim_{f(U) \subset V} \mathcal{G}(V) \longrightarrow \mathcal{F}(U)\] 并使其与限制映射相容。我们可以并且将把 \(b_{p, U}\) 看成映射族 \(b_{p, U, V} : \mathcal{G}(V) \to \mathcal{F}(U)\)，其中 \(V\) 取遍 \(Y\) 中满足 \(f(U) \subset V\) 的开集。这些映射必须与所有可能的限制映射相容。换言之，\(b_p\) 对应于 (4) 中的一个映射族。当然，反过来，这样的映射族定义映射 \(b_p\)，继而定义映射 \(b : f^{-1}\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)。

为完成引理的证明，必须说明如下“遗忘结构”规则是双射：它把 (4) 中的族 \(\xi_{U, V}\) 送到满足 \(\xi_V = \xi_{f^{-1}(V), V}\) 的 \(f\)-映射 \(\xi\)。为此，若 \(\xi\) 是通常意义下的 \(f\)-映射，只需把 \(\tilde \xi_{U, V}\) 定义为 \(\xi_V : \mathcal{G}(V) \to \mathcal{F}(f^{-1}(V))\) 与限制映射

\(\mathcal{F}(f^{-1}(V)) \to \mathcal{F}(U)\) 的复合。它恰因 \(f(U) \subset V\)，亦即 \(U \subset f^{-1}(V)\)，而有定义。证明完成。

有时，考虑 \(f\)-映射比考虑 \(X\) 或 \(Y\) 上各层之间的映射更为方便。如下定义 \(f\)-映射的复合。

定义

假设 \(f : X \to Y\) 和 \(g : Y \to Z\) 是拓扑空间的连续映射。假设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的层，\(\mathcal{G}\) 是 \(Y\) 上的层，且 \(\mathcal{H}\) 是 \(Z\) 上的层。设 \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 为 \(f\)-映射。

设 \(\psi : \mathcal{H} \to \mathcal{G}\) 为 \(g\)-映射。 \(\varphi\) 与 \(\psi\) 的复合是 \((g \circ f)\)-映射 \(\varphi \circ \psi\)，由下列图表的交换性定义 \[\xymatrix{ \mathcal{H}(W) \ar[rr]_{(\varphi \circ \psi)_W} \ar[rd]_{\psi_W} & & \mathcal{F}(f^{-1}g^{-1}W) \\ & \mathcal{G}(g^{-1}W) \ar[ru]_{\varphi_{g^{-1}W}} }\]

我们把验证此定义确实可行留给读者。另一种理解方式是把 \(\varphi \circ \psi\) 看成复合 \[\mathcal{H} \xrightarrow{\psi} g_*\mathcal{G} \xrightarrow{g_*\varphi} g_* f_* \mathcal{F} = (g \circ f)_* \mathcal{F}\] 现在，是否觉得使用 \(f\)-映射思考多少会更容易一些？

最后，给定连续映射 \(f : X \to Y\) 和 \(f\)-映射 \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)，对所有 \(x \in X\) 都有自然的茎映射 \[\varphi_x : \mathcal{G}_{f(x)} \longrightarrow \mathcal{F}_x\] \(\mathcal{G}_{f(x)}\) 中元素的代表 \((V, s)\) 被映到 \(\mathcal{F}_x\) 中以 \((f^{-1}V, \varphi_V(s))\) 为代表的元素。我们把验证它良定义留给读者。另一种说法是：它是使所有图表 \[\xymatrix{ \mathcal{F}(f^{-1}V) \ar[r] & \mathcal{F}_x \\ \mathcal{G}(V) \ar[r] \ar[u]^{\varphi_V} & \mathcal{G}_{f(x)} \ar[u]^{\varphi_x} }\] （其中 \(f(x) \in V \subset Y\) 为开集）交换的唯一映射。

引理

假设 \(f : X \to Y\) 和 \(g : Y \to Z\) 是拓扑空间的连续映射。假设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的层，\(\mathcal{G}\) 是 \(Y\) 上的层，且 \(\mathcal{H}\) 是 \(Z\) 上的层。设 \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 为 \(f\)-映射。

设 \(\psi : \mathcal{H} \to \mathcal{G}\) 为 \(g\)-映射。设 \(x \in X\) 为一点。茎映射 \((\varphi \circ \psi)_x : \mathcal{H}_{g(f(x))} \to \mathcal{F}_x\) 是如下复合 \[\mathcal{H}_{g(f(x))} \xrightarrow{\psi_{f(x)}} \mathcal{G}_{f(x)} \xrightarrow{\varphi_x} \mathcal{F}_x\]

证明

这立即来自定义 008L 及上面对茎映射的定义。

连续映射与阿贝尔层

设 \(f : X \to Y\) 为连续映射。我们断言存在函子 \[\begin{eqnarray*} f_* : \textit{PAb}(X) & \longrightarrow & \textit{PAb}(Y) \\ f_* : \textit{Ab}(X) & \longrightarrow & \textit{Ab}(Y) \\ f_p : \textit{PAb}(Y) & \longrightarrow & \textit{PAb}(X) \\ f^{-1} : \textit{Ab}(Y) & \longrightarrow & \textit{Ab}(X) \end{eqnarray*}\] 它们具有与第 008C 节中相应函子类似的性质。为说明这一点，作如下论证。

每个函子的构造方式都与第 008C 节中相应函子的构造方式相同。之所以可行，是因为该节中的所有余极限都是有向余极限（不过下面仍会详细说明）。

首先，给定 \(X\) 上的阿贝尔预层 \(\mathcal{F}\) 和 \(Y\) 上的阿贝尔预层 \(\mathcal{G}\)，将 \[\begin{eqnarray*} f_*\mathcal{F}(V) & = & \mathcal{F}(f^{-1}(V)) \\ f_p\mathcal{G}(U) & = & \colim_{f(U) \subset V} \mathcal{G}(V) \end{eqnarray*}\] 定义为阿贝尔群。限制映射与集合预层的限制映射相同（而且它们全是阿贝尔群同态）。

赋值 \(\mathcal{F} \mapsto f_*\mathcal{F}\) 和

\(\mathcal{G} \to f_p\mathcal{G}\) 是阿贝尔群预层范畴上的函子。这是显然的：例如，阿贝尔预层的映射 \(\mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2\) 给出有向系统之间的映射 \(\{\mathcal{G}_1(V)\}_{f(U) \subset V} \to \{\mathcal{G}_2(V)\}_{f(U) \subset V}\)，其中所有映射都是同态，因而又给出阿贝尔群同态 \(f_p\mathcal{G}_1(U) \to f_p\mathcal{G}_2(U)\)。

函子 \(f_*\) 与 \(f_p\) 在阿贝尔群预层范畴上互为伴随，即 \[\Mor_{\textit{PAb}(X)}(f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PAb}(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] 为证明这一点，注意引理 008F 的证明中的映射 \(i_\mathcal{G} : \mathcal{G} \to f_* f_p\mathcal{G}\) 是阿贝尔预层的映射。因此，若 \(\psi : f_p\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 是阿贝尔预层的映射，则相应的映射 \(\mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}\)，即映射 \(f_*\psi \circ i_\mathcal{G} : \mathcal{G} \to f_* f_p \mathcal{G} \to f_* \mathcal{F}\)，也是阿贝尔预层的映射。反过来，指出引理 008F 的证明中的映射 \(c_\mathcal{F} : f_p f_* \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 也是阿贝尔预层的映射（因为它由 \(\mathcal{F}\) 的限制映射构成，而这些限制映射全是同态）。因此，给定阿贝尔预层的映射 \(\varphi : \mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}\)，映射 \(c_\mathcal{F} \circ f_p\varphi : f_p\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 同样是阿贝尔预层的映射。由于作为集合预层映射上的构造， \(\psi \mapsto f_*\psi\) 与 \(\varphi \mapsto c_\mathcal{F} \circ f_p\varphi\) 互为逆构造，它们在阿贝尔预层的映射上也互为逆构造。

若 \(\mathcal{F}\) 是 \(Y\) 上的阿贝尔层，则 \(f_*\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的阿贝尔层。这由阿贝尔层的定义以及集合层情形下的相应事实得出；见引理 008D。这定义了阿贝尔层范畴上的函子 \(f_*\)。

仍像以前一样，定义 \(f^{-1}\mathcal{G} = (f_p\mathcal{G})^\#\)。 \(f_*\) 与 \(f^{-1}\) 的伴随性如集合预层情形一样形式地得出。论证如下： \[\begin{eqnarray*} \Mor_{\textit{Ab}(X)}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\textit{PAb}(X)}(f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{PAb}(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{Ab}(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}) \end{eqnarray*}\]

引理

设 \(f : X \to Y\) 为连续映射。

设 \(\mathcal{G}\) 为 \(Y\) 上的阿贝尔预层，并设 \(x \in X\)。引理 008G 的双射 \(\mathcal{G}_{f(x)} \to (f_p\mathcal{G})_x\) 是阿贝尔群同构。

设 \(\mathcal{G}\) 为 \(Y\) 上的阿贝尔层，并设 \(x \in X\)。引理 008H 的双射 \(\mathcal{G}_{f(x)} \to (f^{-1}\mathcal{G})_x\) 是阿贝尔群同构。

证明

略。

给定连续映射 \(f : X \to Y\)，以及 \(X\) 上的阿贝尔群层 \(\mathcal{F}\) 和 \(Y\) 上的阿贝尔群层 \(\mathcal{G}\)，阿贝尔群层的 \(f\)-映射 \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)这一概念有意义。可以完全仿照定义 008J 来定义（把集合映射换为阿贝尔群同态），也可以直接说它等同于阿贝尔层的映射 \(\mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}\)。下文将自由使用这一概念。 \(\mathcal{G}\) 与 \(\mathcal{F}\) 之间的 \(f\)-映射所成的群，与群 \(\Mor_{\textit{Ab}(X)}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F})\) 及 \(\Mor_{\textit{Ab}(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F})\) 典范双射。

\(f\)-映射的复合完全仿照集合层的 \(f\)-映射情形定义。此外，给定如上的 \(f\)-映射 \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)，其诱导的茎映射 \[\varphi_x : \mathcal{G}_{f(x)} \longrightarrow \mathcal{F}_x\] 是阿贝尔群同态。

连续映射与代数结构层

设 \((\mathcal{C}, F)\) 为一种代数结构类型。对拓扑空间 \(X\)，引入记号：

\(\textit{PSh}(X, \mathcal{C})\) 表示取值于 \(\mathcal{C}\) 的预层范畴。
\(\Sh(X, \mathcal{C})\) 表示取值于 \(\mathcal{C}\) 的层范畴。

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间的连续映射。与上一节相同的论证表明，存在函子 \[\begin{eqnarray*} f_* : \textit{PSh}(X, \mathcal{C}) & \longrightarrow & \textit{PSh}(Y, \mathcal{C}) \\ f_* : \Sh(X, \mathcal{C}) & \longrightarrow & \Sh(Y, \mathcal{C}) \\ f_p : \textit{PSh}(Y, \mathcal{C}) & \longrightarrow & \textit{PSh}(X, \mathcal{C}) \\ f^{-1} : \Sh(Y, \mathcal{C}) & \longrightarrow & \Sh(X, \mathcal{C}) \end{eqnarray*}\] 其构造方式及性质均与为阿贝尔（预）层构造的函子相同。特别地，有交换图表 \[\xymatrix{ \textit{PSh}(X, \mathcal{C}) \ar[r]^{f_*} \ar[d]^F & \textit{PSh}(Y, \mathcal{C}) \ar[d]^F & \Sh(X, \mathcal{C}) \ar[r]^{f_*} \ar[d]^F & \Sh(Y, \mathcal{C}) \ar[d]^F \\ \textit{PSh}(X) \ar[r]^{f_*} & \textit{PSh}(Y) & \Sh(X) \ar[r]^{f_*} & \Sh(Y) \\ \textit{PSh}(Y, \mathcal{C}) \ar[r]^{f_p} \ar[d]^F & \textit{PSh}(X, \mathcal{C}) \ar[d]^F & \Sh(Y, \mathcal{C}) \ar[r]^{f^{-1}} \ar[d]^F & \Sh(X, \mathcal{C}) \ar[d]^F \\ \textit{PSh}(Y) \ar[r]^{f_p} & \textit{PSh}(X) & \Sh(Y) \ar[r]^{f^{-1}} & \Sh(X) }\]

应当牢记的主要公式如下 \[\begin{eqnarray*} f_*\mathcal{F}(V) & = & \mathcal{F}(f^{-1}(V)) \\ f_p\mathcal{G}(U) & = & \colim_{f(U) \subset V} \mathcal{G}(V) \\ f^{-1}\mathcal{G} & = & (f_p\mathcal{G})^\# \\ (f_p\mathcal{G})_x & = & \mathcal{G}_{f(x)} \\ (f^{-1}\mathcal{G})_x & = & \mathcal{G}_{f(x)} \end{eqnarray*}\] 每个公式都在范畴 \(\mathcal{C}\) 中成立；取底层集合后，便得到集合预层的相应公式。此外，还有伴随性 \[\begin{eqnarray*} \Mor_{\textit{PSh}(X, \mathcal{C})}(f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\textit{PSh}(Y, \mathcal{C})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}) \\ \Mor_{\Sh(X, \mathcal{C})}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\Sh(Y, \mathcal{C})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}). \end{eqnarray*}\] 为证明这些性质，主要步骤是把引理 008F 的证明中出现的映射 \[i_\mathcal{G} : \mathcal{G} \longrightarrow f_*f_p\mathcal{G}\] 和 \[c_\mathcal{F} : f_p f_* \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] 构造为取值于 \(\mathcal{C}\) 的预层态射。由于这些构造与集合预层情形完全相同，可放心地留给读者。

给定连续映射 \(f : X \to Y\)，以及 \(X\) 上的代数结构层 \(\mathcal{F}\) 和 \(Y\) 上的代数结构层 \(\mathcal{G}\)，代数结构层的 \(f\)-映射 \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)这一概念有意义。可以完全仿照定义 008J 来定义（把集合映射换为 \(\mathcal{C}\) 中的态射），也可以直接说它等同于代数结构层的映射 \(\mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}\)。下文将自由使用这一概念。 \(\mathcal{G}\) 与 \(\mathcal{F}\) 之间的 \(f\)-映射所成的集合，与集合 \(\Mor_{\Sh(X, \mathcal{C})}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F})\) 及 \(\Mor_{\Sh(Y, \mathcal{C})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F})\) 典范双射。

\(f\)-映射的复合完全仿照集合层的 \(f\)-映射情形定义。此外，给定如上的 \(f\)-映射 \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)，其诱导的茎映射 \[\varphi_x : \mathcal{G}_{f(x)} \longrightarrow \mathcal{F}_x\] 是代数结构的同态。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间的连续映射。假设给定 \(X\) 上的代数结构层 \(\mathcal{F}\) 和 \(Y\) 上的代数结构层 \(\mathcal{G}\)。设 \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 为底层集合层的 \(f\)-映射。若对每个开集 \(V \subset Y\)，集合映射 \(\varphi_V : \mathcal{G}(V) \to \mathcal{F}(f^{-1}V)\) 都是 \(\mathcal{C}\) 中某个态射在底层集合上的作用，则 \(\varphi\) 来自代数结构层之间唯一的 \(f\)-态射。

证明

略。

连续映射与模层

模层的情形更为复杂。原因在于，定义逆像函子与直像函子的自然背景是赋环空间，我们将在下面定义它。先陈述几个显然的引理。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间的连续映射。设 \(\mathcal{O}\) 为 \(X\) 上的环预层，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}\)-模预层。存在底层集合预层的自然映射 \[f_*\mathcal{O} \times f_*\mathcal{F} \longrightarrow f_*\mathcal{F}\] 使 \(f_*\mathcal{F}\) 成为 \(f_*\mathcal{O}\)-模预层。该构造对 \(\mathcal{F}\) 具有函子性。

证明

设 \(V \subset Y\) 为开集。将引理中的映射定义为 \[f_*\mathcal{O}(V) \times f_*\mathcal{F}(V) = \mathcal{O}(f^{-1}V) \times \mathcal{F}(f^{-1}V) \to \mathcal{F}(f^{-1}V) = f_*\mathcal{F}(V).\] 其中间的箭头是 \(X\) 上的乘法映射。我们把验证它与限制映射相容并在 \(f_*\mathcal{F}\) 上定义 \(f_*\mathcal{O}\)-模结构留给读者。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间的连续映射。设 \(\mathcal{O}\) 为 \(Y\) 上的环预层，\(\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}\)-模预层。存在底层集合预层的自然映射 \[f_p\mathcal{O} \times f_p\mathcal{G} \longrightarrow f_p\mathcal{G}\] 使 \(f_p\mathcal{G}\) 成为 \(f_p\mathcal{O}\)-模预层。该构造对 \(\mathcal{G}\) 具有函子性。

证明

设 \(U \subset X\) 为开集。将引理中的映射定义为 \[\begin{eqnarray*} f_p\mathcal{O}(U) \times f_p\mathcal{G}(U) & = & \colim_{f(U) \subset V} \mathcal{O}(V) \times \colim_{f(U) \subset V} \mathcal{G}(V) \\ & = & \colim_{f(U) \subset V} (\mathcal{O}(V)\times \mathcal{G}(V)) \\ & \to & \colim_{f(U) \subset V} \mathcal{G}(V) \\ & = & f_p\mathcal{G}(U). \end{eqnarray*}\] 其中间的箭头是 \(Y\) 上的乘法映射。第二个等式成立，是因为有向余极限与有限极限可交换；见 Categories，引理 002W。我们把验证它与限制映射相容并在 \(f_p\mathcal{G}\) 上定义 \(f_p\mathcal{O}\)-模结构留给读者。

设 \(f : X \to Y\) 为连续映射。设 \(\mathcal{O}_X\) 为 \(X\) 上的环预层， \(\mathcal{O}_Y\) 为 \(Y\) 上的环预层。于是目前已经定义了函子 \[\begin{eqnarray*} f_* : \textit{PMod}(\mathcal{O}_X) & \longrightarrow & \textit{PMod}(f_*\mathcal{O}_X) \\ f_p : \textit{PMod}(\mathcal{O}_Y) & \longrightarrow & \textit{PMod}(f_p\mathcal{O}_Y) \end{eqnarray*}\] 它们满足如下相容性。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间的连续映射。设 \(\mathcal{O}\) 为 \(Y\) 上的环预层，\(\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}\)-模预层，并设 \(\mathcal{F}\) 为 \(f_p\mathcal{O}\)-模预层。则 \[\Mor_{\textit{PMod}(f_p\mathcal{O})}(f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PMod}(\mathcal{O})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] 这里使用引理 008T 和 008S，并通过映射 \(i_\mathcal{O} : \mathcal{O} \to f_*f_p\mathcal{O}\) 把 \(f_*\mathcal{F}\) 看作 \(\mathcal{O}\)-模（该映射最初在引理 008F 的证明中定义）。

证明

注意，由第 008N 节，有 \[\Mor_{\textit{PAb}(X)}(f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PAb}(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] 因此，需要证明在此对应下，模映射所成的子集彼此对应。此外，该对应由规则 \[(\psi : f_p\mathcal{G} \to \mathcal{F}) \longmapsto (f_*\psi \circ i_\mathcal{G} : \mathcal{G} \to f_* \mathcal{F})\] 确定，反方向则由规则 \[(\varphi : \mathcal{G} \to f_* \mathcal{F}) \longmapsto (c_\mathcal{F} \circ f_p\varphi : f_p\mathcal{G} \to \mathcal{F})\] 确定，其中 \(i_\mathcal{G}\) 和 \(c_\mathcal{F}\) 如第 008N 节所述。因此，利用 \(f_*\) 与 \(f_p\) 的函子性，只需验证映射 \(i_\mathcal{G} : \mathcal{G} \to f_* f_p \mathcal{G}\) 和 \(c_\mathcal{F} : f_p f_* \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 与模结构相容；这留给读者。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间的连续映射。设 \(\mathcal{O}\) 为 \(X\) 上的环预层，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}\)-模预层，并设 \(\mathcal{G}\) 为 \(f_*\mathcal{O}\)-模预层。则 \[\Mor_{\textit{PMod}(\mathcal{O})}( \mathcal{O} \otimes_{p, f_pf_*\mathcal{O}} f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PMod}(f_*\mathcal{O})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] 这里使用引理 008T 和 008S，并在张量积的定义中使用映射 \(c_\mathcal{O} : f_pf_*\mathcal{O} \to \mathcal{O}\)。

证明

这由下列等式得到 \[\begin{eqnarray*} \Mor_{\textit{PMod}(\mathcal{O})}( \mathcal{O} \otimes_{p, f_pf_*\mathcal{O}} f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\textit{PMod}(f_pf_*\mathcal{O})}( f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}_{f_pf_*\mathcal{O}}) \\ & = & \Mor_{\textit{PMod}(f_*\mathcal{O})}(\mathcal{G}, f_*(\mathcal{F}_{f_pf_*\mathcal{O}})) \\ & = & \Mor_{\textit{PMod}(f_*\mathcal{O})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}). \end{eqnarray*}\] 第一个等式是引理 006R。第二个等式是引理 008U。第三个等式由阿贝尔层的等式 \(f_*(\mathcal{F}_{f_pf_*\mathcal{O}}) = f_*\mathcal{F}\) 给出，且该等式是 \(f_*\mathcal{O}\)-线性的。事实上，在引理 008F 的证明所述伴随下， \(\text{id}_{f_*\mathcal{O}}\) 对应于 \(c_\mathcal{O}\)，因而 \(\text{id}_{f_*\mathcal{O}} = f_*c_\mathcal{O} \circ i_{f_*\mathcal{O}}\)。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间的连续映射。设 \(\mathcal{O}\) 为 \(X\) 上的环层，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}\)-模层。引理 008S 中定义的直像 \(f_*\mathcal{F}\) 是 \(f_*\mathcal{O}\)-模层。

证明

由定义和引理 008D 显然可得。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间的连续映射。设 \(\mathcal{O}\) 为 \(Y\) 上的环层，\(\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}\)-模层。存在底层集合预层的自然映射 \[f^{-1}\mathcal{O} \times f^{-1}\mathcal{G} \longrightarrow f^{-1}\mathcal{G}\] 使 \(f^{-1}\mathcal{G}\) 成为 \(f^{-1}\mathcal{O}\)-模层。

证明

回忆 \(f^{-1}\) 定义为函子 \(f_p\) 与层化的复合。因此，该引理是引理 008T 和引理 0089 的结合。

设 \(f : X \to Y\) 为连续映射。设 \(\mathcal{O}_X\) 为 \(X\) 上的环层， \(\mathcal{O}_Y\) 为 \(Y\) 上的环层。于是现在已经定义了函子 \[\begin{eqnarray*} f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) & \longrightarrow & \textit{Mod}(f_*\mathcal{O}_X) \\ f^{-1} : \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y) & \longrightarrow & \textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{O}_Y) \end{eqnarray*}\] 它们满足如下相容性。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间的连续映射。设 \(\mathcal{O}\) 为 \(Y\) 上的环层，\(\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}\)-模层，并设 \(\mathcal{F}\) 为 \(f^{-1}\mathcal{O}\)-模层。则 \[\Mor_{\textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{O})}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] 这里使用引理 008X 和 008W，并通过 \(\mathcal{O} \to f_*f^{-1}\mathcal{O}\) 限制标量，把 \(f_*\mathcal{F}\) 看作 \(\mathcal{O}\)-模。

证明

使用下列等式论证 \[\begin{eqnarray*} \Mor_{\textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{O})}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\textit{Mod}(f_p\mathcal{O})}(f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}). \end{eqnarray*}\] 其中第二个等式来自引理 008U，第一个等式来自引理 0089。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间的连续映射。设 \(\mathcal{O}\) 为 \(X\) 上的环层，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}\)-模层，并设 \(\mathcal{G}\) 为 \(f_*\mathcal{O}\)-模层。则 \[\Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}( \mathcal{O} \otimes_{f^{-1}f_*\mathcal{O}} f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{Mod}(f_*\mathcal{O})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] 这里使用引理 008X 和 008W，并在张量积的定义中使用典范映射 \(f^{-1}f_*\mathcal{O} \to \mathcal{O}\)。

证明

这由下列等式得到 \[\begin{eqnarray*} \Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}( \mathcal{O} \otimes_{f^{-1}f_*\mathcal{O}} f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\textit{Mod}(f^{-1}f_*\mathcal{O})}( f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}_{f^{-1}f_*\mathcal{O}}) \\ & = & \Mor_{\textit{Mod}(f_*\mathcal{O})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}). \end{eqnarray*}\] 它们是引理 008A 与 008Y 的结合。

设 \(f : X \to Y\) 为连续映射。设 \(\mathcal{O}_X\) 为 \(X\) 上的环（预）层， \(\mathcal{O}_Y\) 为 \(Y\) 上的环（预）层。于是目前已经定义了函子 \[\begin{eqnarray*} f_* : \textit{PMod}(\mathcal{O}_X) & \longrightarrow & \textit{PMod}(f_*\mathcal{O}_X) \\ f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) & \longrightarrow & \textit{Mod}(f_*\mathcal{O}_X) \\ f_p : \textit{PMod}(\mathcal{O}_Y) & \longrightarrow & \textit{PMod}(f_p\mathcal{O}_Y) \\ f^{-1} : \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y) & \longrightarrow & \textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{O}_Y) \end{eqnarray*}\] 显然，模层上的函子对 \((f_*, f^{-1})\) 通常并不伴随，因为它们的靶范畴不相同。确切地说，如上所见，只有在环层 \(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_Y\) 奇迹般地满足关系 \(\mathcal{O}_X = f^{-1}\mathcal{O}_Y\) 和 \(\mathcal{O}_Y = f_*\mathcal{O}_X\) 时才成立，而实践中几乎从不如此。我们暂时中断讨论，定义恰当的态射概念；对于这种态射，模层上存在适当的伴随函子对。

赋环空间

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{O}_X\) 为 \(X\) 上的环层。应当把环层 \(\mathcal{O}_X\) 看作 \(X\) 上的函数层。若 \(f : X \to Y\) 是“适当的” 映射，则通过复合，\(Y\) 上的函数变成 \(X\) 上的函数。因此，应当存在从 \(\mathcal{O}_Y\) 到 \(\mathcal{O}_X\) 的自然 \(f\)-映射；见定义 008J 和引理 008K。一个具体例子见下面的例 0092。相关的抽象定义如下。

定义

一个赋环空间是一个二元组 \((X, \mathcal{O}_X)\)，其中 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{O}_X\) 为 \(X\) 上的环层。一个赋环空间态射 \((X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) 是一个二元组，由连续映射 \(f : X \to Y\) 和环层的 \(f\)-映射 \(f^\sharp : \mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\) 组成。

例

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间的连续映射。考虑 \(X\) 上的连续实值函数层 \(\mathcal{C}^0_X\) 和 \(Y\) 上的连续实值函数层 \(\mathcal{C}^0_Y\)；见例 0074。我们断言，存在与 \(f\) 相伴的自然 \(f\)-映射 \(f^\sharp : \mathcal{C}^0_Y \to \mathcal{C}^0_X\)。事实上，只需用规则 \[\begin{eqnarray*} \mathcal{C}^0_Y(V) & \longrightarrow & \mathcal{C}^0_X(f^{-1}V) \\ h & \longmapsto & h \circ f \end{eqnarray*}\] 来定义。严格说来，应写作 \(f^\sharp(h) = h \circ f|_{f^{-1}(V)}\)。显然，这是定义 008J 中那样的映射族，并与 \(\mathbf{R}\)-代数结构相容。因此，它是 \(\mathbf{R}\)-代数层的 \(f\)-映射；见引理 008Q。

当然，在许多其他情形下，某种几何态射也有典范的赋环空间态射与之相伴。例如，若 \(M\)、\(N\) 是 \(\mathcal{C}^\infty\)-流形，且 \(f : M \to N\) 是无穷次可微映射，则 \(f\) 诱导典范赋环空间态射 \((M, \mathcal{C}_M^\infty) \to (N, \mathcal{C}^\infty_N)\)。其构造（与上述构造完全相同）留给读者。

赋环空间态射如何复合也许并非完全显然，因此在此明确写出。

定义

设 \((f, f^\sharp) : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) 和 \((g, g^\sharp) : (Y, \mathcal{O}_Y) \to (Z, \mathcal{O}_Z)\) 为赋环空间态射。用规则 \[(g, g^\sharp) \circ (f, f^\sharp) = (g \circ f, f^\sharp \circ g^\sharp).\] 定义赋环空间态射的复合。这里使用定义 008L 中定义的 \(f\)-映射复合。

赋环空间态射与模

现在已经引入足够的记号，可以定义沿赋环空间态射的模之逆像与直像。

定义

设 \((f, f^\sharp) : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) 为赋环空间态射。

设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层。将 \(\mathcal{F}\) 的直像定义为如下 \(\mathcal{O}_Y\)-模层：作为阿贝尔群层，它等于 \(f_*\mathcal{F}\)；其模结构是把引理 008W 给出的模结构沿 \(f^\sharp : \mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X\) 限制所得的结构。

设 \(\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_Y\)-模层。将逆像 \(f^*\mathcal{G}\) 定义为由公式 \[f^*\mathcal{G} = \mathcal{O}_X \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} f^{-1}\mathcal{G}\] 给出的 \(\mathcal{O}_X\)-模层，其中环映射 \(f^{-1}\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\) 是对应于 \(f^\sharp\) 的映射，模结构则由引理 008X 给出。

于是已经定义函子 \[\begin{eqnarray*} f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) & \longrightarrow & \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y) \\ f^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y) & \longrightarrow & \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \end{eqnarray*}\] 关于这些函子的最后一个结果是：它们确如预期那样互为伴随。

引理

设 \((f, f^\sharp) : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) 为赋环空间态射。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层， \(\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_Y\)-模层。存在典范双射 \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(f^*\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Hom_{\mathcal{O}_Y}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] 换言之，函子 \(f^*\) 是 \(f_*\) 的左伴随。

证明

这由前面的工作得到： \[\begin{eqnarray*} \Hom_{\mathcal{O}_X}(f^*\mathcal{G}, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)}( \mathcal{O}_X \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{O}_Y)}( f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}_{f^{-1}\mathcal{O}_Y}) \\ & = & \Hom_{\mathcal{O}_Y}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}). \end{eqnarray*}\] 这里使用引理 008A 和 008Y。

引理

设 \(f : X \to Y\) 和 \(g : Y \to Z\) 为赋环空间态射。函子 \((g \circ f)_*\) 与 \(g_* \circ f_*\) 相等，并有函子的典范同构 \((g \circ f)^* \cong f^* \circ g^*\)。

证明

关于直像的结论来自引理 008E 及我们的定义。关于逆像的结论则由与引理 008I 的证明相同的论证得到。

给定赋环空间态射 \((f, f^\sharp) : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)， \(\mathcal{O}_X\)-模层 \(\mathcal{F}\)，以及 \(Y\) 上的 \(\mathcal{O}_Y\)-模层 \(\mathcal{G}\)，模层的 \(f\)-映射 \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)这一概念有意义。可以把它定义为阿贝尔层的 \(f\)-映射 \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)（见定义 008J 和引理 008K），并要求对所有开集 \(V \subset Y\)，映射 \[\mathcal{G}(V) \longrightarrow \mathcal{F}(f^{-1}V)\] 都是 \(\mathcal{O}_Y(V)\)-模映射。这里通过映射 \(f^\sharp_V : \mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(f^{-1}V)\)，把 \(\mathcal{F}(f^{-1}V)\) 看作 \(\mathcal{O}_Y(V)\)-模。 \(\mathcal{G}\) 与 \(\mathcal{F}\) 之间的 \(f\)-映射所成的集合，与集合 \(\Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)}(f^*\mathcal{G}, \mathcal{F})\) 及 \(\Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O}_Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F})\) 典范双射。见上文。

\(f\)-映射的复合完全仿照集合层的 \(f\)-映射情形定义。此外，给定如上的 \(f\)-映射 \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 和 \(x \in X\)，诱导的茎映射 \[\varphi_x : \mathcal{G}_{f(x)} \longrightarrow \mathcal{F}_x\] 是 \(\mathcal{O}_{Y, f(x)}\)-模映射，其中 \(\mathcal{F}_x\) 上的 \(\mathcal{O}_{Y, f(x)}\)-模结构来自 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模结构以及映射 \(f^\sharp_x : \mathcal{O}_{Y, f(x)} \to \mathcal{O}_{X, x}\)。下面是一个相关引理。

引理

设 \((f, f^\sharp) : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) 为赋环空间态射。设 \(\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_Y\)-模层，并设 \(x \in X\)。则作为 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模，有 \[(f^*\mathcal{G})_x = \mathcal{G}_{f(x)} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, f(x)}} \mathcal{O}_{X, x}\] 其中右侧的张量积使用 \(f^\sharp_x : \mathcal{O}_{Y, f(x)} \to \mathcal{O}_{X, x}\)。

证明

这由引理 008B 以及 \(x\) 处逆像层的茎与 \(f(x)\) 处相应茎的等同得到。例如，见第 008P 节中的公式。

摩天楼层与茎

定义

设 \(X\) 为拓扑空间。

设 \(x \in X\) 为一点。记 \(i_x : \{x\} \to X\) 为包含映射。设 \(A\) 为集合，并把 \(A\) 看作单点空间 \(\{x\}\) 上的层。称 \(i_{x, *}A\) 为在 \(x\) 处取值为 \(A\) 的摩天楼层。

若上述 (1) 中的 \(A\) 是阿贝尔群，则把 \(i_{x, *}A\) 看作 \(X\) 上的阿贝尔群层。

若上述 (1) 中的 \(A\) 是代数结构，则把 \(i_{x, *}A\) 看作代数结构层。

若 \((X, \mathcal{O}_X)\) 是赋环空间，则把 \(i_x : \{x\} \to X\) 看作赋环空间态射 \((\{x\}, \mathcal{O}_{X, x}) \to (X, \mathcal{O}_X)\)；若 \(A\) 是 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模，则把 \(i_{x, *}A\) 看作 \(\mathcal{O}_X\)-模层。

若存在 \(X\) 的一点 \(x\) 和集合 \(A\)，使得 \(\mathcal{F} \cong i_{x, *}A\)，则称集合层 \(\mathcal{F}\) 为 摩天楼层。

若存在 \(X\) 的一点 \(x\) 和阿贝尔群 \(A\)，使得 \(\mathcal{F} \cong i_{x, *}A\) 在阿贝尔群层意义下成立，则称阿贝尔群层 \(\mathcal{F}\) 为摩天楼层。

若存在 \(X\) 的一点 \(x\) 和代数结构 \(A\)，使得 \(\mathcal{F} \cong i_{x, *}A\) 在代数结构层意义下成立，则称代数结构层 \(\mathcal{F}\) 为摩天楼层。

若 \((X, \mathcal{O}_X)\) 是赋环空间，\(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{O}_X\)-模层，并且存在一点 \(x \in X\) 和 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模 \(A\)，使得 \(\mathcal{F} \cong i_{x, *}A\) 在 \(\mathcal{O}_X\)-模层意义下成立，则称 \(\mathcal{F}\) 为摩天楼层。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(x \in X\) 为一点，\(A\) 为集合。对任意点 \(x' \in X\)，在 \(x\) 处取值为 \(A\) 的摩天楼层在 \(x'\) 处的茎为 \[(i_{x, *}A)_{x'} = \left\{ \begin{matrix} A & \text{若} & x' \in \overline{\{x\}} \\ \{*\} & \text{若} & x' \not\in \overline{\{x\}} \end{matrix} \right.\] 阿贝尔群、代数结构及模层情形下有类似描述。

证明

略。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(x \in X\) 为一点。函子 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_x\) 与 \(A \mapsto i_{x, *}A\) 互为伴随。公式为 \[\Mor_{\textit{Sets}}(\mathcal{F}_x, A) = \Mor_{\Sh(X)}(\mathcal{F}, i_{x, *}A).\] 阿贝尔群和代数结构情形下也有类似陈述。对模层则有 \[\Hom_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, A) = \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, i_{x, *}A).\]

证明

略。提示：茎函子可视为态射 \(i_x : \{x\} \to X\) 的逆像函子。于是，伴随性来自 \(i_x^{-1}\) 与 \(i_{x, *}\) 的伴随性（对模层则来自 \(i_x^*\) 与 \(i_{x, *}\) 的伴随性）。

预层的极限与余极限

设 \(X\) 为拓扑空间，并设 \(\mathcal{I} \to \textit{PSh}(X)\)，\(i \mapsto \mathcal{F}_i\) 为图表。

\(\lim_i \mathcal{F}_i\) 与 \(\colim_i \mathcal{F}_i\) 都存在。
对任意开集 \(U \subset X\)，有 \[(\lim_i \mathcal{F}_i)(U) = \lim_i \mathcal{F}_i(U)\] 以及 \[(\colim_i \mathcal{F}_i)(U) = \colim_i \mathcal{F}_i(U).\]
设 \(x \in X\) 为一点。一般而言，\(\lim_i \mathcal{F}_i\) 在 \(x\) 处的茎不等于各茎的极限。但若指标范畴有限，则二者相等。换言之，茎函子是左正合的（见 Categories，定义 0034）。
设 \(x \in X\)。总有 \[(\colim_i \mathcal{F}_i)_x = \colim_i \mathcal{F}_{i, x}.\]

所有证明都很容易。

层的极限与余极限

设 \(X\) 为拓扑空间，并设 \(\mathcal{I} \to \Sh(X)\)，\(i \mapsto \mathcal{F}_i\) 为图表。

\(\lim_i \mathcal{F}_i\) 与 \(\colim_i \mathcal{F}_i\) 都存在。
包含函子 \(i : \Sh(X) \to \textit{PSh}(X)\) 与极限可交换。换言之，可以把层范畴中的极限作为预层范畴中的极限来计算。特别地，对任意开集 \(U \subset X\)，有 \[(\lim_i \mathcal{F}_i)(U) = \lim_i \mathcal{F}_i(U).\]
包含函子 \(i : \Sh(X) \to \textit{PSh}(X)\) 一般不与余极限可交换（甚至不与有限余极限可交换——想想满射）。余极限的计算方法是：先在预层范畴中取余极限，再层化，即 \[\colim_i \mathcal{F}_i = \Big(U \mapsto \colim_i \mathcal{F}_i(U)\Big)^\#.\]
设 \(x \in X\) 为一点。一般而言，\(\lim_i \mathcal{F}_i\) 在 \(x\) 处的茎不等于各茎的极限。但若指标范畴有限，则二者相等。换言之，茎函子是左正合的。
设 \(x \in X\)。总有 \[(\colim_i \mathcal{F}_i)_x = \colim_i \mathcal{F}_{i, x}.\]
层化函子 \({}^\# : \textit{PSh}(X) \to \Sh(X)\) 与所有余极限及有限极限可交换，但不与所有极限可交换。

所有证明都很容易。下面给出一个关于层的有向余极限的结论。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(I\) 为有向集。设 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ii'})\) 为 \(I\) 上的集合层系统；见 Categories，第 002Z 节。设 \(U \subset X\) 为开子集。考虑典范映射 \[\Psi : \colim_i \mathcal{F}_i(U) \longrightarrow \left(\colim_i \mathcal{F}_i\right)(U)\]

若所有转移映射都是单射，则对任意开集 \(U\)，\(\Psi\) 都是单射。

若 \(U\) 拟紧，则 \(\Psi\) 是单射。

若 \(U\) 拟紧且所有转移映射都是单射，则 \(\Psi\) 是同构。

若 \(U\) 有一个开覆盖的共尾系 \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{j\in J} U_j\)，其中 \(J\) 有限，且对所有 \(j, j' \in J\)，\(U_j \cap U_{j'}\) 均拟紧，则 \(\Psi\) 是双射。

证明

假设所有转移映射都是单射。此时，预层 \(\mathcal{F}' : V \mapsto \colim_i \mathcal{F}_i(V)\) 是分离的（见定义 007A）。由上述讨论，有 \((\mathcal{F}')^\# = \colim_i \mathcal{F}_i\)。由引理 0082，映射 \(\mathcal{F}' \to (\mathcal{F}')^\#\) 是单射。这证明了 (1)。

假设 \(U\) 拟紧。设 \(s \in \mathcal{F}_i(U)\) 和 \(s' \in \mathcal{F}_{i'}(U)\) 在左侧给出的元素经 \(\Psi\) 后有相同的像。由于 \(U\) 拟紧，这意味着存在有限开覆盖 \(U = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\)，并且对每个 \(j\)，存在指标 \(i_j \in I\)，\(i_j \geq i\)，\(i_j \geq i'\)，使得 \(\varphi_{ii_j}(s)\) 与 \(\varphi_{i'i_j}(s')\) 在 \(U_j\) 上的限制相同。取 \(i''\in I\)，使其相对于所有 \(i_j\) 均为 \(\geq\)。于是，对所有 \(j\)， \(\varphi_{ii''}(s)\) 与 \(\varphi_{i'i''}(s')\) 在开集 \(U_j\) 上一致，从而 \(\varphi_{ii''}(s) = \varphi_{i'i''}(s')\)。这证明了 (2)。

假设 \(U\) 拟紧且所有转移映射都是单射。设 \(s\) 为 \(\Psi\) 的靶中的元素。由于 \(U\) 拟紧，存在有限开覆盖 \(U = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\)；对每个 \(j\)，存在指标 \(i_j \in I\) 及 \(s_j \in \mathcal{F}_{i_j}(U_j)\)，使得对所有 \(j\)， \(s|_{U_j}\) 都来自 \(s_j\)。取 \(i \in I\)，使其相对于所有 \(i_j\) 均为 \(\geq\)。由 (1)，各截面 \(\varphi_{i_ji}(s_j)\) 在交集 \(U_j \cap U_{j'}\) 上一致。因此，它们粘合成截面 \(s' \in \mathcal{F}_i(U)\)，且该截面经 \(\Psi\) 映到 \(s\)。这证明了 (3)。

假设 (4) 的条件成立。特别地，\(U\) 拟紧，因而由 (2)，\(\Psi\) 是单射。设 \(s\) 为 \(\Psi\) 的靶中的元素。由假设，存在有限开覆盖 \(U = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\)，其中对所有 \(j, j' \in J\)， \(U_j \cap U_{j'}\) 均拟紧；并且对每个 \(j\)，存在指标 \(i_j \in I\) 及 \(s_j \in \mathcal{F}_{i_j}(U_j)\)，使得对所有 \(j\)，\(s|_{U_j}\) 是 \(s_j\) 的像。由于 \(U_j \cap U_{j'}\) 拟紧，可以应用 (2)，从而存在 \(i_{jj'} \in I\)，满足 \(i_{jj'} \geq i_j\)、\(i_{jj'} \geq i_{j'}\)，并使 \(\varphi_{i_ji_{jj'}}(s_j)\) 与 \(\varphi_{i_{j'}i_{jj'}}(s_{j'})\) 在 \(U_j \cap U_{j'}\) 上一致。选择指标 \(i \in I\) 大于等于所有 \(i_{jj'}\)。于是， \(\mathcal{F}_i\) 的各截面 \(\varphi_{i_ji}(s_j)\) 粘合成 \(U\) 上的一个 \(\mathcal{F}_i\) 截面。该截面如所需地映到元素 \(s\)。

例

令 \(X = \{s_1, s_2, \xi_1, \xi_2, \xi_3, \ldots\}\) 为集合。规定子集 \(U \subset X\) 为开集，当且仅当 \(s_1 \in U\) 或 \(s_2 \in U\) 蕴含 \(U\) 包含所有 \(\xi_i\)。令 \(U_n = \{\xi_n, \xi_{n + 1}, \ldots\}\)，并令 \(j_n : U_n \to X\) 为包含映射。置 \(\mathcal{F}_n = j_{n, *}\underline{\mathbf{Z}}\)。存在转移映射 \(\mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1}\)。令 \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_n\)。注意，若 \(m < n\)，则 \(\mathcal{F}_{n, \xi_m} = 0\)，因为 \(\{\xi_m\}\) 是 \(X\) 的开子集，且与 \(U_n\) 不相交。因此，对所有 \(n\)，都有 \(\mathcal{F}_{\xi_n} = 0\)。另一方面，茎 \(\mathcal{F}_{s_i}\)，\(i = 1, 2\)，是余极限 \[M = \colim_n \prod\nolimits_{m \geq n} \mathbf{Z}\] 它并不为零。由此得出，层 \(\mathcal{F}\) 是在闭点 \(s_1\) 与 \(s_2\) 处取值为 \(M\) 的摩天楼层之直和。因此 \(\Gamma(X, \mathcal{F}) = M \oplus M\)。另一方面，读者可以验证 \(\colim_n \Gamma(X, \mathcal{F}_n) = M\)。所以，上面的引理 009F 第 (4) 项确实需要某种条件。

前一引理还有一个处理谱空间图表上各层的版本。为陈述它，引入一些记号。设 \(\mathcal{I}\) 为余滤过指标范畴。设 \(i \mapsto X_i\) 为 \(\mathcal{I}\) 上的谱空间图表，使得对 \(\mathcal{I}\) 中的 \(a : j \to i\)，相应映射 \(f_a : X_j \to X_i\) 是谱映射。置 \(X = \lim X_i\)，并记 \(p_i : X \to X_i\) 为投影。

引理

在上述情形下，设 \(i \in \Ob(\mathcal{I})\)，\(\mathcal{G}\) 为 \(X_i\) 上的层。对拟紧开集 \(U_i \subset X_i\)，有 \[p_i^{-1}\mathcal{G}(p_i^{-1}(U_i)) = \colim_{a : j \to i} f_a^{-1}\mathcal{G}(f_a^{-1}(U_i))\]

证明

先证明典范映射 \(\colim_{a : j \to i} f_a^{-1}\mathcal{G}(f_a^{-1}(U_i)) \to p_i^{-1}\mathcal{G}(p_i^{-1}(U_i))\) 是单射。设 \(s, s'\) 是某个 \(a : j \to i\) 下 \(f_a^{-1}(U_i)\) 上 \(f_a^{-1}\mathcal{G}\) 的截面。对 \(b : k \to j\)，令 \(Z_k \subset f_{a \circ b}^{-1}(U_i)\) 为如下点 \(x\) 所成的闭子集：\(s\) 与 \(s'\) 在茎 \((f_{a \circ b}^{-1}\mathcal{G})_x\) 中的像不同。若对所有 \(b : k \to j\)，\(Z_k\) 都非空，则由 Topology，引理 0A2W， \(\lim_{b : k \to j} Z_k\) 也非空。于是，对 \(x \in \lim_{b : k \to j} Z_k \subset X\)（注意 \(\mathcal{I}/j \to \mathcal{I}\) 是始函子），\(s\) 与 \(s'\) 在 \(p_i^{-1}\mathcal{G}\) 的 \(x\) 处茎中的像也不同，因为对上述所有 \(b : k \to j\)，都有

\((p_i^{-1}\mathcal{G})_x = (f_{b \circ a}^{-1}\mathcal{G})_{p_k(x)}\)。因此，若 \(s\) 与 \(s'\) 在 \(p_i^{-1}\mathcal{G}(p_i^{-1}(U_i))\) 中的像相同，则对某个 \(b : k \to j\)，\(Z_k\) 为空。这证明了单射性。

再证满射性。设 \(s\) 为 \(p_i^{-1}(U_i)\) 上 \(p_i^{-1}\mathcal{G}\) 的截面。由 Topology，引理 0A2Z，集合 \(p_i^{-1}(U_i)\) 是谱空间 \(X\) 的拟紧开集。按逆像层的构造，可以找到开覆盖 \(p_i^{-1}(U_i) = \bigcup_{l \in L} W_l\)、开集 \(V_{l, i} \subset X_i\) 以及截面 \(s_{l, i} \in \mathcal{G}(V_{l, i})\)，使得 \(p_i(W_l) \subset V_{l, i}\) 且 \(p_i^{-1}s_{l, i}|_{W_l} = s|_{W_l}\)。由于 \(X\) 和 \(X_i\) 都是谱空间，且 \(p_i^{-1}(U_i)\) 是拟紧开集，可以假设 \(L\) 有限，并且对所有 \(l\)， \(W_l\) 与 \(V_{l, i}\) 都是拟紧开集。于是可应用 Topology，引理 0A30，找到 \(a : j \to i\) 和由拟紧开集组成的开覆盖 \(f_a^{-1}(U_i) = \bigcup_{l \in L} W_{l, j}\)；它拉回到 \(X\) 后是开覆盖 \(p_i^{-1}(U_i) = \bigcup_{l \in L} W_l\)，并且还有 \(W_{l, j} \subset f_a^{-1}(V_{l, i})\)。把 \(s_{l, i}\) 经 \(f_a\) 拉回后限制到 \(W_{l, j}\)，记为 \(s_{l, j}\)。于是，\(s_{l, j}\) 与 \(s_{l', j}\) 在 \((f_a^{-1}\mathcal{G})(W_{l, j} \cap W_{l', j})\) 中限制所得的元素，拉回后成为 \((p_i^{-1}\mathcal{G})(W_l \cap W_{l'})\) 中同一个元素，即 \(s\) 的限制。因此，由单射性，可找到 \(b : k \to j\)，使各截面 \(f_b^{-1}s_{l, j}\) 如所需地粘合成 \(f_{a \circ b}^{-1}(U_i)\) 上的截面。

接下来，除谱空间的余滤过系统 \(X_i\) 外，再假设给定

对每个 \(i \in \Ob(\mathcal{I})\)，给定 \(X_i\) 上的层 \(\mathcal{F}_i\)；
对 \(a : j \to i\)，给定 \(f_a\)-映射 \(\varphi_a : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_j\)。

并且每当 \(c = a \circ b\) 时，满足 \(\varphi_c = \varphi_b \circ \varphi_a\)。在 \(X\) 上置 \(\mathcal{F} = \colim p_i^{-1}\mathcal{F}_i\)。

引理

在上述情形下，设 \(i \in \Ob(\mathcal{I})\)，并设 \(U_i \subset X_i\) 为拟紧开集。则 \[\colim_{a : j \to i} \mathcal{F}_j(f_a^{-1}(U_i)) = \mathcal{F}(p_i^{-1}(U_i))\]

证明

回忆 \(p_i^{-1}(U_i)\) 是谱空间 \(X\) 的拟紧开集；见 Topology，引理 0A2Z。因此，引理 009F 适用，并有 \[\mathcal{F}(p_i^{-1}(U_i)) = \colim_{a : j \to i} p_j^{-1}\mathcal{F}_j(p_i^{-1}(U_i)).\] 形式论证表明 \[\colim_{a : j \to i} \mathcal{F}_j(f_a^{-1}(U_i)) = \colim_{a : j \to i} \colim_{b : k \to j} f_b^{-1}\mathcal{F}_j(f_{a \circ b}^{-1}(U_i))\] 因此，只需证明 \[p_j^{-1}\mathcal{F}_j(p_i^{-1}(U_i)) = \colim_{b : k \to j} f_b^{-1}\mathcal{F}_j(f_{a \circ b}^{-1}(U_i))\] 这正是把引理 0A32 应用于 \(\mathcal{F}_j\) 及拟紧开集 \(f_a^{-1}(U_i)\)。

基与层

有时，拓扑存在一个由比一般开集更易处理的开集组成的基。为便于在这种情形下处理（预）层，这里给出一些定义和简单引理。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{B}\) 为 \(X\) 的拓扑基。

\(\mathcal{B}\) 上的集合预层 \(\mathcal{F}\)是如下规则：对每个 \(U \in \mathcal{B}\) 指定集合 \(\mathcal{F}(U)\)；对 \(\mathcal{B}\) 中元素的每个包含关系 \(V \subset U\) 指定映射 \(\rho^U_V : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\)；并且对所有 \(U \in \mathcal{B}\) 都有 \(\rho^U_U = \text{id}_{\mathcal{F}(U)}\)，每当 \(\mathcal{B}\) 中有 \(W \subset V \subset U\) 时，都有 \(\rho^U_W = \rho^V_W \circ \rho ^U_V\)。

\(\mathcal{B}\) 上集合预层的态射 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)是如下规则：对每个元素 \(U \in \mathcal{B}\) 指定与限制映射相容的集合映射

\(\varphi : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\)。

与通常的预层情形一样，我们使用截面、截面的限制等术语。特别地，可把 \(\mathcal{F}\) 在一点 \(x \in X\) 处的茎定义为余极限 \[\mathcal{F}_x = \colim_{U\in \mathcal{B}, x\in U} \mathcal{F}(U).\] 与 \(X\) 上预层的茎一样，这个极限是有向的。原因在于，所有满足 \(U\in \mathcal{B}\)、\(x \in U\) 的元素构成 \(x\) 的开邻域基本系。

很容易构造例子，说明 \(X\) 上预层的概念与 \(X\) 的拓扑基上预层的概念相差很大。层的情形则不会发生这种现象。因此，下述概念更为有用。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{B}\) 为 \(X\) 的拓扑基。

\(\mathcal{B}\) 上的集合层 \(\mathcal{F}\)是 \(\mathcal{B}\) 上满足下述附加性质的集合预层：给定任意 \(U \in \mathcal{B}\)、任意覆盖 \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\)（其中 \(U_i \in \mathcal{B}\)），以及任意覆盖 \(U_i \cap U_j = \bigcup_{k \in I_{ij}} U_{ijk}\)（其中 \(U_{ijk} \in \mathcal{B}\)），层条件成立：

对任意截面族 \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\)，\(i \in I\)，若对 \(\forall i, j\in I\)、\(\forall k\in I_{ij}\) 均有 \[s_i|_{U_{ijk}} = s_j|_{U_{ijk}}\] 则存在唯一截面 \(s \in \mathcal{F}(U)\)，使得对所有 \(i \in I\) 都有 \(s_i = s|_{U_i}\)。

\(\mathcal{B}\) 上集合层的态射就是集合预层的态射。

首先说明，只需在一个覆盖的共尾系上验证层条件 \((**)\)。在上述定义的情形下，设 \(U \in \mathcal{B}\)。暂记 \(\text{Cov}_\mathcal{B}(U)\) 为所有由 \(\mathcal{B}\) 中元素组成的 \(U\) 之覆盖所成的集合。注意，\(\text{Cov}_\mathcal{B}(U)\) 按加细关系成为预序集。若对每个 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}_\mathcal{B}(U)\)，都存在一个加细 \(\mathcal{U}\) 的覆盖 \(\mathcal{V} \in C\)，则称子集 \(C \subset \text{Cov}_\mathcal{B}(U)\) 为共尾系。

引理

沿用上述记号。对每个 \(U \in \mathcal{B}\)，设 \(C(U) \subset \text{Cov}_\mathcal{B}(U)\) 为共尾系。对每个 \(U \in \mathcal{B}\) 以及 \(C(U)\) 中的每个覆盖 \(\mathcal{U} : U = \bigcup U_i\)，给定覆盖 \(\mathcal{U}_{ij} : U_i \cap U_j = \bigcup U_{ijk}\)，其中 \(U_{ijk} \in \mathcal{B}\)。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{B}\) 上的集合预层。则以下条件等价：

预层 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{B}\) 上的层。

对每个 \(U \in \mathcal{B}\) 以及 \(C(U)\) 中的每个覆盖 \(\mathcal{U} : U = \bigcup U_i\)，层条件 \((**)\) 都成立（相对于给定的覆盖 \(\mathcal{U}_{ij}\)）。

证明

需要证明 (2) 蕴含 (1)。假设 \(U \in \mathcal{B}\)，且 \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i\in I} U_i\) 是由 \(\mathcal{B}\) 中元素组成的任意覆盖。由于系统 \(C(U)\) 共尾，可找到 \(C(U)\) 中加细 \(\mathcal{U}\) 的元素 \(\mathcal{V} : U = \bigcup_{j \in J} V_j\)。这表示存在映射 \(\alpha : J \to I\)，使得 \(V_j \subset U_{\alpha(j)}\)。

注意，若截面 \(s, s' \in \mathcal{F}(U)\) 满足 \(s|_{U_i} = s'|_{U_i}\)，则 \[s|_{V_j} = (s|_{U_{\alpha(j)}})|_{V_j} = (s'|_{U_{\alpha(j)}})|_{V_j} = s'|_{V_j}\] 对所有 \(j\) 成立。因此，由覆盖 \(\mathcal{V}\) 的 \((**)\) 中的唯一性，得到 \(s = s'\)。这样便证明了任意覆盖 \(\mathcal{U}\) 的 \((**)\) 中的唯一性部分。

再假设 \(U_i \cap U_{i'} = \bigcup_{k \in I_{ii'}} U_{ii'k}\) 是由 \(U_{ii'k} \in \mathcal{B}\) 组成的任意覆盖。尝试证明系统 \((\mathcal{U}, \mathcal{U}_{ij})\) 的 \((**)\) 中的存在性部分。为此，设 \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\)，并假设对所有 \(i, i', k\) 均有 \[s_i|_{U_{ii'k}} = s_{i'}|_{U_{ii'k}}\] 置 \(t_j = s_{\alpha(j)}|_{V_j}\)，其中 \(\mathcal{V}\) 和 \(\alpha\) 如上。

此处论证有一个小障碍。设 \(\mathcal{V}_{jj'} : V_j \cap V_{j'} = \bigcup_{l \in J_{jj'}} V_{jj'l}\) 为引理陈述中给定的覆盖。事先并不清楚对所有 \(j, j', l\) 是否有 \[t_j|_{V_{jj'l}} = t_{j'}|_{V_{jj'l}}\] 为说明这一点，注意，由对元素族 \(s_i\) 的假设，对所有 \(k \in I_{\alpha(j)\alpha(j')}\)，确有 \[t_j|_W = t_{j'}|_W \text{ 对所有 } W \in \mathcal{B}, W \subset V_{jj'l} \cap U_{\alpha(j)\alpha(j')k}\] 又因为 \(V_j \cap V_{j'} \subset U_{\alpha(j)} \cap U_{\alpha(j')}\)，可见 \(t_j|_{V_{jj'l}}\) 与 \(t_{j'}|_{V_{jj'l}}\) 在由 \(\mathcal{B}\) 中元素组成的 \(V_{jj'l}\) 的某个覆盖的各成员上相同。因此，由上面已经证明的唯一性部分，最终得到所需的 \(t_j|_{V_{jj'l}}\) 与 \(t_{j'}|_{V_{jj'l}}\) 的等式。随后，由 \((\mathcal{V}, \mathcal{V}_{jj'})\) 的性质 \((**)\)，得到元素 \(t \in \mathcal{F}(U)\) 的存在性。

这里又有一个小问题。已知 \(t\) 在 \(V_j\) 上限制为 \(t_j\)，但尚不知道 \(t\) 在 \(U_i\) 上限制为 \(s_i\)。为得出结论，注意各集合 \(U_i \cap V_j\)，\(j \in J\)，覆盖 \(U_i\)。因而，各集合 \(U_{i \alpha(j) k} \cap V_j\)，\(j\in J\)，\(k \in I_{i\alpha(j)}\)，也覆盖 \(U_i\)。我们把如下验证留给读者：在包含于某个开集 \(U_{i \alpha(j) k} \cap V_j\)（其中 \(j\in J\)、 \(k \in I_{i\alpha(j)}\)）的任意 \(W \in \mathcal{B}\) 上，\(t\) 与 \(s_i\) 限制为 \(\mathcal{F}\) 的同一个截面。因此，由上述唯一性部分即得结论。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{B}\) 为 \(X\) 的拓扑基。假设对每个三元组 \(U, U', U'' \in \mathcal{B}\)，只要 \(U' \subset U\) 且 \(U'' \subset U\)，便有 \(U' \cap U'' \in \mathcal{B}\)。对每个 \(U \in \mathcal{B}\)，设 \(C(U) \subset \text{Cov}_\mathcal{B}(U)\) 为共尾系。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{B}\) 上的集合预层。则以下条件等价：

预层 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{B}\) 上的层。

对每个 \(U \in \mathcal{B}\)、\(C(U)\) 中的每个覆盖 \(\mathcal{U} : U = \bigcup U_i\)，以及每个满足 \(s_i|_{U_i \cap U_j} = s_j|_{U_i \cap U_j}\) 的截面族 \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\)，都存在唯一截面 \(s \in \mathcal{F}(U)\)，其在 \(U_i\) 上限制为 \(s_i\)。

证明

这是上面引理 009K 在每个覆盖 \(\mathcal{U}_{ij}\) 只含一个元素这一特殊情形下的改述。不过，这一情形也简单得多，直接证明是一个容易的练习。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{B}\) 为 \(X\) 的拓扑基， \(U \in \mathcal{B}\)，并设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{B}\) 上的集合层。映射 \[\mathcal{F}(U) \to \prod\nolimits_{x \in U} \mathcal{F}_x\] 将 \(\mathcal{F}(U)\) 与满足下述性质的元素 \((s_x)_{x\in U}\) 等同：

对任意 \(x \in U\)，存在 \(V \in \mathcal{B}\)，满足 \(x \in V \subset U\)，以及截面 \(\sigma \in \mathcal{F}(V)\)，使得对所有 \(y \in V\)，在 \(\mathcal{F}_y\) 中都有 \(s_y = (V, \sigma)\)。

证明

首先，由定义 009J 的层条件中的唯一性，映射 \(\mathcal{F}(U) \to \prod\nolimits_{x \in U} \mathcal{F}_x\) 是单射。设 \((s_x)\) 为右侧满足 \((*)\) 的任意元素。显然，这意味着可以找到覆盖 \(U = \bigcup U_i\)，\(U_i \in \mathcal{B}\)，使得 \((s_x)_{x \in U_i}\) 来自某个 \(\sigma_i \in \mathcal{F}(U_i)\)。对每个 \(y \in U_i \cap U_j\)，截面 \(\sigma_i\) 与 \(\sigma_j\) 在茎 \(\mathcal{F}_y\) 中一致。因此，存在元素 \(V_{ijy} \in \mathcal{B}\)，\(y \in V_{ijy}\)，使得 \(\sigma_i|_{V_{ijy}} = \sigma_j|_{V_{ijy}}\)。于是，定义 009J 的层条件 \((**)\) 可应用于系统 \(\sigma_i\)，从而得到具有所需性质的截面 \(s \in \mathcal{F}(U)\)。

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{B}\) 为 \(X\) 的拓扑基。从 \(X\) 上的集合层范畴到 \(\mathcal{B}\) 上的集合层范畴，有自然的限制函子。事实上，它是范畴等价。用具体的语言来说，这意味着如下结果。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{B}\) 为 \(X\) 的拓扑基，并设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{B}\) 上的集合层。存在唯一的 \(X\) 上集合层 \(\mathcal{F}^{ext}\)，使得对所有 \(U \in \mathcal{B}\)，有 \(\mathcal{F}^{ext}(U) = \mathcal{F}(U)\)，且与限制映射相容。

证明

先构造具有所需性质的预层 \(\mathcal{F}^{ext}\)。具体地，对任意开集 \(U \subset X\)，把 \(\mathcal{F}^{ext}(U)\) 定义为满足引理 009M 的 \((*)\) 的元素 \((s_x)_{x \in U}\) 所成的集合。显然，存在限制映射使 \(\mathcal{F}^{ext}\) 成为集合预层。又由引理 009M，每当 \(U\) 是基 \(\mathcal{B}\) 的元素时，都有 \(\mathcal{F}(U) = \mathcal{F}^{ext}(U)\)。要说明 \(\mathcal{F}^{ext}\) 是层，可仿照引理 007Y 的证明论证。

注意，在该引理的情形下有 \[\mathcal{F}_x = \mathcal{F}_x^{ext}\] 这是因为 \(\mathcal{B}\) 中包含 \(x\) 的元素构成 \(x\) 的开邻域基本系。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{B}\) 为 \(X\) 的拓扑基。记 \(\Sh(\mathcal{B})\) 为 \(\mathcal{B}\) 上的层范畴。存在范畴等价 \[\Sh(X) \longrightarrow \Sh(\mathcal{B})\] 它把 \(X\) 上的层送到其在 \(\mathcal{B}\) 各成员上的限制。

证明

逆函子由上面的引理 009N 给出。验证显然的函子性留给读者。

至此结束对基 \(\mathcal{B}\) 上集合层的讨论。设 \((\mathcal{C}, F)\) 为一种代数结构类型。本节末尾将指出，上述构造对取值于 \(\mathcal{C}\) 的层也成立。先简要定义相关概念。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{B}\) 为 \(X\) 的拓扑基，并设 \((\mathcal{C}, F)\) 为一种代数结构类型。

\(\mathcal{B}\) 上取值于 \(\mathcal{C}\) 的预层 \(\mathcal{F}\)是如下规则：对每个 \(U \in \mathcal{B}\) 指定 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(\mathcal{F}(U)\)；对 \(\mathcal{B}\) 中元素的每个包含关系 \(V \subset U\)，指定 \(\mathcal{C}\) 中的态射 \(\rho^U_V : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\)；并且对所有 \(U \in \mathcal{B}\) 都有 \(\rho^U_U = \text{id}_{\mathcal{F}(U)}\)，每当 \(\mathcal{B}\) 中有 \(W \subset V \subset U\) 时，都有 \(\rho^U_W = \rho^V_W \circ \rho ^U_V\)。

\(\mathcal{B}\) 上取值于 \(\mathcal{C}\) 的预层态射 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)是如下规则：对每个元素 \(U \in \mathcal{B}\) 指定一个与限制映射相容的代数结构态射

\(\varphi : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\)。

给定 \(\mathcal{B}\) 上取值于 \(\mathcal{C}\) 的预层 \(\mathcal{F}\)，称 \(U \mapsto F(\mathcal{F}(U))\) 为底层集合预层。

\(\mathcal{B}\) 上取值于 \(\mathcal{C}\) 的层 \(\mathcal{F}\)是 \(\mathcal{B}\) 上取值于 \(\mathcal{C}\)、且其底层集合预层为层的预层。

此时，可把 \(\mathcal{B}\) 上取值于 \(\mathcal{C}\) 的预层在 \(x \in X\) 处的茎定义为有向余极限 \[\mathcal{F}_x = \colim_{U\in \mathcal{B}, x\in U} \mathcal{F}(U).\] 由对 \(\mathcal{C}\) 的假设，它作为 \(\mathcal{C}\) 的对象存在。此外，\(\mathcal{F}_x\) 的底层集合正是 \(\mathcal{B}\) 上底层集合预层的茎。

注意，引理 009K、 009L 和 009M 涉及的层性质，是用相伴集合预层定义的。因此，它们原封不动地推广到取值于 \(\mathcal{C}\) 的预层。引理

009N 的类似结果需要稍加谨慎。陈述如下。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\((\mathcal{C}, F)\) 为一种代数结构类型， \(\mathcal{B}\) 为 \(X\) 的拓扑基，并设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{B}\) 上取值于 \(\mathcal{C}\) 的层。存在唯一的 \(X\) 上取值于 \(\mathcal{C}\) 的层 \(\mathcal{F}^{ext}\)，使得对所有 \(U \in \mathcal{B}\)，有 \(\mathcal{F}^{ext}(U) = \mathcal{F}(U)\)，且与限制映射相容。

证明

由对二元组 \((\mathcal{C}, F)\) 施加的条件，只需找出一个预层 \(\mathcal{F}^{ext}\)，它在底层集合预层的层面上完成正确的构造。因此，首要任务是对每个开集 \(U \subset X\) 构造合适的对象 \(\mathcal{F}^{ext}(U)\)。可以在 \(\mathcal{B}\) 上预层的背景下仿照引理 0084 来做。不过，下面这种略有不同（但基本等价）的方法也可以：把它定义为有向余极限 \[\mathcal{F}^{ext}(U) := \colim_\mathcal{U} FIB(\mathcal{U})\] 其中余极限取遍所有由 \(U_i \in \mathcal{B}\) 组成的覆盖 \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i\in I} U_i\)，相应对象由下列纤维积图表定义 \[\xymatrix{ FIB(\mathcal{U}) \ar[r] \ar[d] & \prod\nolimits_{x\in U} \mathcal{F}_x \ar[d] \\ \prod\nolimits_{i\in I} \mathcal{F}(U_i) \ar[r] & \prod\nolimits_{i \in I} \prod\nolimits_{x\in U_i} \mathcal{F}_x }\] 由通常的论证，见引理 007P 和例 007Q，只需说明此构造在底层集合上的结果与上面用 \((**)\) 所作的定义相同。细节留给读者。

注意，在该引理的情形下，作为 \(\mathcal{C}\) 中的对象，有 \[\mathcal{F}_x = \mathcal{F}_x^{ext}\] 这是因为 \(\mathcal{B}\) 中包含 \(x\) 的元素构成 \(x\) 的开邻域基本系。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{B}\) 为 \(X\) 的拓扑基，并设 \((\mathcal{C}, F)\) 为一种代数结构类型。记 \(\Sh(\mathcal{B}, \mathcal{C})\) 为 \(\mathcal{B}\) 上取值于 \(\mathcal{C}\) 的层范畴。存在范畴等价 \[\Sh(X, \mathcal{C}) \longrightarrow \Sh(\mathcal{B}, \mathcal{C})\] 它把 \(X\) 上的层送到其在 \(\mathcal{B}\) 各成员上的限制。

证明

逆函子由上面的引理 009Q 给出。验证显然的函子性留给读者。

最后讨论基上的模（预）层。我们将使用如下容易的事实：基上的集合预层范畴有积，而且积通过在基的各元素上逐项取值之积来描述。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{B}\) 为 \(X\) 的拓扑基，并设 \(\mathcal{O}\) 为 \(\mathcal{B}\) 上的环预层。

\(\mathcal{B}\) 上的 \(\mathcal{O}\)-模预层 \(\mathcal{F}\)是 \(\mathcal{B}\) 上的阿贝尔群预层，连同一个集合预层态射 \(\mathcal{O} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)，使得对所有 \(U \in \mathcal{B}\)，映射 \(\mathcal{O}(U) \times \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U)\) 都把群 \(\mathcal{F}(U)\) 变成 \(\mathcal{O}(U)\)-模。

\(\mathcal{B}\) 上 \(\mathcal{O}\)-模预层的态射 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)是 \(\mathcal{B}\) 上的阿贝尔预层态射，它对每个 \(U \in \mathcal{B}\) 都诱导 \(\mathcal{O}(U)\)-模同态 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\)。

假设 \(\mathcal{O}\) 是 \(\mathcal{B}\) 上的环层。 \(\mathcal{B}\) 上的 \(\mathcal{O}\)-模层 \(\mathcal{F}\)是 \(\mathcal{B}\) 上的 \(\mathcal{O}\)-模预层，且其底层阿贝尔群预层是层。

可把 \(\mathcal{B}\) 上的 \(\mathcal{O}\)-模预层在 \(x \in X\) 处的茎定义为有向余极限 \[\mathcal{F}_x = \colim_{U\in \mathcal{B}, x\in U} \mathcal{F}(U).\] 它是 \(\mathcal{O}_x\)-模。

注意，引理 009K、 009L 和 009M 涉及的层性质，是用相伴集合预层定义的。因此，它们原封不动地推广到 \(\mathcal{O}\)-模预层。引理 009N 的类似结果如下。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{B}\) 为 \(X\) 的拓扑基， \(\mathcal{O}\) 为 \(\mathcal{B}\) 上的环层，并设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{B}\) 上的 \(\mathcal{O}\)-模层。设 \(\mathcal{O}^{ext}\) 为扩张 \(\mathcal{O}\) 的 \(X\) 上环层，并设 \(\mathcal{F}^{ext}\) 为扩张 \(\mathcal{F}\) 的 \(X\) 上阿贝尔层；见引理 009Q。存在典范映射 \[\mathcal{O}^{ext} \times \mathcal{F}^{ext} \longrightarrow \mathcal{F}^{ext}\] 它在 \(\mathcal{B}\) 的各元素上与给定映射相同，并赋予 \(\mathcal{F}^{ext}\) 一个 \(\mathcal{O}^{ext}\)-模结构。

证明

只需在集合预层层面构造乘法映射。看出这一点也许最容易的方式，是直接证明：若 \((f_x)_{x \in U}\)、\(f_x \in \mathcal{O}_x\) 与 \((m_x)_{x \in U}\)、\(m_x \in \mathcal{F}_x\) 都满足 \((*)\)，则元素 \((f_xm_x)_{x \in U}\) 也满足 \((*)\)。于是得到所需结论，因为在引理 009N 的证明中，我们用满足 \((*)\) 的茎元素族来构造扩张。

注意，在该引理的情形下，作为 \(\mathcal{O}_x\)-模，有 \[\mathcal{F}_x = \mathcal{F}_x^{ext}\] 这是因为 \(\mathcal{B}\) 中包含 \(x\) 的元素构成 \(x\) 的开邻域基本系；也可以简单地说，这是因为底层集合上的结论成立。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(\mathcal{B}\) 为 \(X\) 的拓扑基，并设 \(\mathcal{O}\) 为 \(X\) 上的环层。记 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}|_\mathcal{B})\) 为 \(\mathcal{B}\) 上 \(\mathcal{O}|_\mathcal{B}\)-模层的范畴。存在范畴等价 \[\textit{Mod}(\mathcal{O}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}|_\mathcal{B})\] 它把 \(X\) 上的 \(\mathcal{O}\)-模层送到其在 \(\mathcal{B}\) 各成员上的限制。

证明

逆函子由上面的引理 009T 给出。验证显然的函子性留给读者。

最后讨论这一理论与连续映射的关系。由于上面的工作，这现在很容易。先处理在靶上给定一个基的情形。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间的连续映射，\((\mathcal{C}, F)\) 为一种代数结构类型，\(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上取值于 \(\mathcal{C}\) 的层， \(\mathcal{G}\) 为 \(Y\) 上取值于 \(\mathcal{C}\) 的层，并设 \(\mathcal{B}\) 为 \(Y\) 的拓扑基。假设对每个 \(V \in \mathcal{B}\) 给定 \(\mathcal{C}\) 中的态射 \[\varphi_V : \mathcal{G}(V) \longrightarrow \mathcal{F}(f^{-1}V)\] 并且它们与限制映射相容。则存在唯一的 \(f\)-映射（见定义 008J 及第 008P 节中对 \(f\)-映射的讨论） \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)，它对 \(V \in \mathcal{B}\) 恢复 \(\varphi_V\)。

证明

这是平凡的，因为这族映射等同于 \(\mathcal{G}\) 与 \(f_*\mathcal{F}\) 在 \(\mathcal{B}\) 上的限制之间的态射。由引理 009R，这等同于给定从 \(\mathcal{G}\) 到 \(f_*\mathcal{F}\) 的态射；由引理 008K，又等同于 \(f\)-映射。关于如何处理代数结构层的情形，另见引理 008Q 及其前面的讨论。

下面是赋环空间的类似结果。

引理

设 \((f, f^\sharp) : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) 为赋环空间态射，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层， \(\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_Y\)-模层，并设 \(\mathcal{B}\) 为 \(Y\) 的拓扑基。假设对每个 \(V \in \mathcal{B}\) 给定 \(\mathcal{O}_Y(V)\)-模映射 \[\varphi_V : \mathcal{G}(V) \longrightarrow \mathcal{F}(f^{-1}V)\] （其中 \(\mathcal{F}(f^{-1}V)\) 通过 \(f^\sharp_V : \mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(f^{-1}V)\) 获得模结构），并且它们与限制映射相容。则存在唯一的 \(f\)-映射（见第 0094 节中对 \(f\)-映射的讨论） \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)，它对 \(V \in \mathcal{B}\) 恢复 \(\varphi_V\)。

证明

与上面代数结构层相应引理的证明相同。

引理

设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间的连续映射，\((\mathcal{C}, F)\) 为一种代数结构类型，\(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上取值于 \(\mathcal{C}\) 的层， \(\mathcal{G}\) 为 \(Y\) 上取值于 \(\mathcal{C}\) 的层。设 \(\mathcal{B}_Y\) 为 \(Y\) 的拓扑基，\(\mathcal{B}_X\) 为 \(X\) 的拓扑基。假设对每个 \(V \in \mathcal{B}_Y\) 和每个满足 \(f(U) \subset V\) 的 \(U \in \mathcal{B}_X\)，给定 \(\mathcal{C}\) 中的态射 \[\varphi_V^U : \mathcal{G}(V) \longrightarrow \mathcal{F}(U)\] 并且它们与限制映射相容。则存在唯一的 \(f\)-映射（见定义 008J 及第 008P 节中对 \(f\)-映射的讨论） \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)，使得对上述每一对 \((U, V)\)， \(\varphi_V^U\) 恢复为复合 \[\mathcal{G}(V) \xrightarrow{\varphi_V} \mathcal{F}(f^{-1}(V)) \xrightarrow{\text{restr.}} \mathcal{F}(U)\]

证明

先对集合层证明这一点。固定开集 \(V \subset Y\)，并取 \(s \in \mathcal{G}(V)\)。我们将构造元素 \(\varphi_V(s) \in \mathcal{F}(f^{-1}V)\)。对每个 \(x \in f^{-1}V\)，可在茎 \(\mathcal{F}_x\) 中定义一个值 \(\varphi(s)_x\)：选取满足 \(x \in U \subset f^{-1}V\) 的 \(U \in \mathcal{B}_X\)，并令 \(\varphi(s)_x\) 等于茎中 \((U, \varphi_V^U(s))\) 的等价类。显然，族 \((\varphi(s)_x)_{x \in f^{-1}V}\) 满足条件 \((*)\)，因为当 \(U\) 变化时，各映射 \(\varphi_V^U\) 与层 \(\mathcal{F}\) 中的限制相容。因此，由引理 009N 的证明， \((\varphi(s)_x)_{x \in f^{-1}V}\) 对应于 \(\mathcal{F}(f^{-1}V)\) 的唯一元素 \(\varphi_V(s)\)。这样便定义了集合映射 \(\varphi_V : \mathcal{G}(V) \to \mathcal{F}(f^{-1}V)\)。 \(\varphi_V\) 与 \(\varphi_V^U\) 之间的相容性由引理 009M 得出。

我们把如下验证留给读者：当 \(V \in \mathcal{B}_Y\) 变化时， \(\varphi_V\) 的构造与限制映射相容。因此，可应用上面的引理 009V，将它们“粘合”为所需的 \(f\)-映射。

最后，注意这样构造的集合层映射具有如下性质：茎映射 \[\mathcal{G}_{f(x)} \longrightarrow \mathcal{F}_x\] 是如下映射系统的余极限：\(V \in \mathcal{B}_Y\) 取遍包含 \(f(x)\) 的元素，\(U \in \mathcal{B}_X\) 取遍包含 \(x\) 的元素，而映射为 \(\varphi_V^U\)。特别地，若 \(\mathcal{G}\) 与 \(\mathcal{F}\) 是代数结构层的底层集合层，则可见各茎上的映射是代数结构的态射。因此，相伴的底层集合层映射 \(f^{-1}\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 满足引理 008Q 的假设。由此得出 \(f^{-1}\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 是取值于 \(\mathcal{C}\) 的层态射。而由伴随性，这意味着 \(\varphi\) 是代数结构层的 \(f\)-映射。

引理

设 \((f, f^\sharp) : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) 为赋环空间态射，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}_X\)-模层， \(\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{O}_Y\)-模层。设 \(\mathcal{B}_Y\) 为 \(Y\) 的拓扑基，\(\mathcal{B}_X\) 为 \(X\) 的拓扑基。假设对每个 \(V \in \mathcal{B}_Y\) 和每个满足 \(f(U) \subset V\) 的 \(U \in \mathcal{B}_X\)，给定 \(\mathcal{O}_Y(V)\)-模映射 \[\varphi_V^U : \mathcal{G}(V) \longrightarrow \mathcal{F}(U)\] 并且它们与限制映射相容。这里，\(\mathcal{F}(U)\) 上的 \(\mathcal{O}_Y(V)\)-模结构来自 \(\mathcal{O}_X(U)\)-模结构以及映射 \(f^\sharp_V : \mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(f^{-1}V) \to \mathcal{O}_X(U)\)。则存在唯一的模层 \(f\)-映射（见定义 008J 及第 0094 节中对 \(f\)-映射的讨论） \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)，使得对上述每一对 \((U, V)\)， \(\varphi_V^U\) 恢复为复合 \[\mathcal{G}(V) \xrightarrow{\varphi_V} \mathcal{F}(f^{-1}(V)) \xrightarrow{\text{restr.}} \mathcal{F}(U)\]

证明

与上面的证明类似，略去。

开浸入与（预）层

设 \(X\) 为拓扑空间，并设 \(j : U \to X\) 为开子集 \(U\) 到 \(X\) 的包含。在第 008C 节中，我们已经定义函子 \(j_*\) 与 \(j^{-1}\)，使得 \(j_*\) 是 \(j^{-1}\) 的右伴随。对开浸入， \(j^{-1}\) 还有一个左伴随，记作 \(j_!\)。先指出，在开浸入情形下， \(j^{-1}\) 有特别简单的描述。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，并设 \(j : U \to X\) 为开子集 \(U\) 到 \(X\) 的包含。

设 \(\mathcal{G}\) 为 \(X\) 上的集合预层。预层 \(j_p\mathcal{G}\)（见第 008C 节）由规则 \(V \mapsto \mathcal{G}(V)\) 给出，其中 \(V \subset U\) 为开集。

设 \(\mathcal{G}\) 为 \(X\) 上的集合层。层 \(j^{-1}\mathcal{G}\) 由规则 \(V \mapsto \mathcal{G}(V)\) 给出，其中 \(V \subset U\) 为开集。

对任意点 \(u \in U\) 及 \(X\) 上的任意层 \(\mathcal{G}\)，有茎的典范等同 \[j^{-1}\mathcal{G}_u = (\mathcal{G}|_U)_u = \mathcal{G}_u.\]

在 \(U\) 的预层范畴上，有 \(j_pj_* = \text{id}\)。

在 \(U\) 的层范畴上，有 \(j^{-1}j_* = \text{id}\)。

同样的描述对阿贝尔群（预）层、代数结构（预）层及模（预）层均成立。

证明

\(j_p\mathcal{G}(V)\) 定义中的余极限取遍所有满足 \(V \subset W\) 的 \(X\) 中开集 \(W \subset X\)，次序取反向包含。因此，它有最大元，即 \(V\)。这证明了 (1)。而 (2) 成立，是因为若 \(\mathcal{G}\) 是层，则对 \(V \subset U\) 为开集的赋值 \(V \mapsto \mathcal{G}(V)\) 显然也是层。断言 (3) 由 (2) 得出，因为包含于 \(U\) 的 \(u\) 的开邻域在 \(X\) 中 \(u\) 的所有开邻域中共尾。(4) 与 (5) 由计算 \(j^{-1}j_*\mathcal{F}(V) = j_*\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(V)\) 得出。

完全相同的论证适用于阿贝尔群（预）层和代数结构（预）层。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间，并设 \(j : U \to X\) 为开子集的包含。

设 \(\mathcal{G}\) 为 \(X\) 上的集合、阿贝尔群或代数结构预层。引理 00A0 中描述的预层 \(j_p\mathcal{G}\) 称为 \(\mathcal{G}\) 在 \(U\) 上的限制，记作 \(\mathcal{G}|_U\)。

设 \(\mathcal{G}\) 为 \(X\) 上的集合层、阿贝尔群层或代数结构层。层 \(j^{-1}\mathcal{G}\) 称为\(\mathcal{G}\) 在 \(U\) 上的限制，记作 \(\mathcal{G}|_U\)。

若 \((X, \mathcal{O})\) 是赋环空间，则二元组 \((U, \mathcal{O}|_U)\) 称为与 \(U\) 相伴的 \((X, \mathcal{O})\) 的开子空间。

若 \(\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{O}\)-模预层，则 \(\mathcal{G}|_U\) 连同乘法映射 \(\mathcal{O}|_U \times \mathcal{G}|_U \to \mathcal{G}|_U\) （见引理 008X）称为 \(\mathcal{G}\) 在 \(U\) 上的限制。

我们把模预层的限制之定义留给读者。好了，本节将讨论限制函子的一个左伴随。先给出集合（预）层情形下的定义。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间，并设 \(j : U \to X\) 为开子集的包含。

设 \(\mathcal{F}\) 为 \(U\) 上的集合预层。定义 \(\mathcal{F}\) 的以空集延拓 \(j_{p!}\mathcal{F}\)为 \(X\) 上由规则 \[j_{p!}\mathcal{F}(V) = \left\{ \begin{matrix} \emptyset & \text{若} & V \not \subset U \\ \mathcal{F}(V) & \text{若} & V \subset U \end{matrix} \right.\] 定义的集合预层，其限制映射是显然的。

设 \(\mathcal{F}\) 为 \(U\) 上的集合层。定义 \(\mathcal{F}\) 的以空集延拓 \(j_!\mathcal{F}\)为预层 \(j_{p!}\mathcal{F}\) 的层化。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，并设 \(j : U \to X\) 为开子集的包含。

函子 \(j_{p!}\) 是限制函子 \(j_p\) 的左伴随（见引理 00A0）。

函子 \(j_!\) 是限制的左伴随；公式为 \[\Mor_{\Sh(X)}(j_!\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Mor_{\Sh(U)}(\mathcal{F}, j^{-1}\mathcal{G}) = \Mor_{\Sh(U)}(\mathcal{F}, \mathcal{G}|_U)\] 它对 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 双函子地成立。

设 \(\mathcal{F}\) 为 \(U\) 上的集合层。层 \(j_!\mathcal{F}\) 的茎描述如下 \[j_{!}\mathcal{F}_x = \left\{ \begin{matrix} \emptyset & \text{若} & x \not \in U \\ \mathcal{F}_x & \text{若} & x \in U \end{matrix} \right.\]

在 \(U\) 的预层范畴上，有 \(j_pj_{p!} = \text{id}\)。

在 \(U\) 的层范畴上，有 \(j^{-1}j_! = \text{id}\)。

证明

要把 \(j_{p!}\mathcal{F}\) 映入 \(\mathcal{G}\)，只需在每当 \(V \subset U\) 时给出与限制映射相容的映射 \(\mathcal{F}(V) \to \mathcal{G}(V)\)。而由引理 00A0，映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}|_U\) 也有同样的描述。\(j_!\) 与限制的伴随性由此及层化的性质得出。茎的等同由以空集延拓的定义和茎的定义显然可得。(4) 与 (5) 由计算层在 \(U\) 的任意开集上的取值得出。

注意，若 \(\mathcal{F}\) 是 \(U\) 上的阿贝尔群层，则一般而言，按上述定义的 \(j_!\mathcal{F}\) 不是阿贝尔群层，例如因为它的一些茎为空（因而当然不是阿贝尔群）。所以，需要依据所考虑层的类型修改 \(j_!\) 的定义。在以空集延拓的定义中选择空集，是因为它是集合范畴的始对象。因此，在阿贝尔群情形下使用 \(0\)（更一般地，对取值于任意阿贝尔范畴的层也如此）。

定义

设 \(X\) 为拓扑空间，并设 \(j : U \to X\) 为开子集的包含。

设 \(\mathcal{F}\) 为 \(U\) 上的阿贝尔预层。定义 \(\mathcal{F}\) 的以 \(0\) 延拓 \(j_{p!}\mathcal{F}\)为 \(X\) 上由规则 \[j_{p!}\mathcal{F}(V) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{若} & V \not \subset U \\ \mathcal{F}(V) & \text{若} & V \subset U \end{matrix} \right.\] 定义的阿贝尔预层，其限制映射是显然的。

设 \(\mathcal{F}\) 为 \(U\) 上的阿贝尔层。定义 \(\mathcal{F}\) 的以 \(0\) 延拓 \(j_!\mathcal{F}\)为阿贝尔预层 \(j_{p!}\mathcal{F}\) 的层化。

设 \(\mathcal{C}\) 为具有始对象 \(e\) 的范畴，\(\mathcal{F}\) 为 \(U\) 上取值于 \(\mathcal{C}\) 的预层。定义 \(\mathcal{F}\) 的以 \(e\) 延拓 \(j_{p!}\mathcal{F}\)为 \(X\) 上取值于 \(\mathcal{C}\)、且由规则 \[j_{p!}\mathcal{F}(V) = \left\{ \begin{matrix} e & \text{若} & V \not \subset U \\ \mathcal{F}(V) & \text{若} & V \subset U \end{matrix} \right.\] 定义的预层，其限制映射是显然的。

设 \((\mathcal{C}, F)\) 为一种代数结构类型，且 \(\mathcal{C}\) 有始对象 \(e\)。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(U\) 上（给定类型的）代数结构层。定义\(\mathcal{F}\) 的以 \(e\) 延拓 \(j_!\mathcal{F}\)为上述预层 \(j_{p!}\mathcal{F}\) 的层化。

设 \(\mathcal{O}\) 为 \(X\) 上的环预层，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}|_U\)-模预层。在这种情形下，把以 \(0\) 延拓定义为如下 \(\mathcal{O}\)-模预层：作为阿贝尔预层，它等于 \(j_{p!}\mathcal{F}\)，并配备乘法映射 \(\mathcal{O} \times j_{p!}\mathcal{F} \to j_{p!}\mathcal{F}\)。

设 \(\mathcal{O}\) 为 \(X\) 上的环层，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{O}|_U\)-模层。在这种情形下，把以 \(0\) 延拓定义为如下 \(\mathcal{O}\)-模：作为阿贝尔层，它等于 \(j_!\mathcal{F}\)，并配备乘法映射 \(\mathcal{O} \times j_!\mathcal{F} \to j_!\mathcal{F}\)。

确实可以在代数结构层的背景下定义 \(j_!\)（见下文）。不过，所得对象取决于所涉及的代数结构类型。例如，若 \(\mathcal{O}\) 是 \(U\) 上的环层，则 \(j_{!, rings}\mathcal{O} \not = j_{!, abelian}\mathcal{O}\)，因为环范畴的始对象是 \(\mathbf{Z}\)，而阿贝尔群范畴的始对象是 \(0\)。特别地，与迄今所见的情形不同，函子 \(j_!\) 不与取底层集合层可交换！像往常一样，分别处理阿贝尔群（预）层、代数结构（预）层和模（预）层的情形。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，并设 \(j : U \to X\) 为开子集的包含。考虑阿贝尔（预）层的限制函子与以 \(0\) 延拓函子。

函子 \(j_{p!}\) 是限制函子 \(j_p\) 的左伴随（见引理 00A0）。

函子 \(j_!\) 是限制的左伴随；公式为 \[\Mor_{\textit{Ab}(X)}(j_!\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Mor_{\textit{Ab}(U)}(\mathcal{F}, j^{-1}\mathcal{G}) = \Mor_{\textit{Ab}(U)}(\mathcal{F}, \mathcal{G}|_U)\] 它对 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 双函子地成立。

设 \(\mathcal{F}\) 为 \(U\) 上的阿贝尔层。层 \(j_!\mathcal{F}\) 的茎描述如下 \[j_{!}\mathcal{F}_x = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{若} & x \not \in U \\ \mathcal{F}_x & \text{若} & x \in U \end{matrix} \right.\]

在 \(U\) 的阿贝尔预层范畴上，有 \(j_pj_{p!} = \text{id}\)。

在 \(U\) 的阿贝尔层范畴上，有 \(j^{-1}j_! = \text{id}\)。

证明

略。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，并设 \(j : U \to X\) 为开子集的包含。设 \((\mathcal{C}, F)\) 为一种代数结构类型，且 \(\mathcal{C}\) 有始对象 \(e\)。考虑上面定义的代数结构（预）层的限制函子与以 \(e\) 延拓函子。

函子 \(j_{p!}\) 是限制函子 \(j_p\) 的左伴随（见引理 00A0）。

函子 \(j_!\) 是限制的左伴随；公式为 \[\Mor_{\Sh(X, \mathcal{C})}(j_!\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Mor_{\Sh(U, \mathcal{C})}(\mathcal{F}, j^{-1}\mathcal{G}) = \Mor_{\Sh(U, \mathcal{C})}(\mathcal{F}, \mathcal{G}|_U)\] 它对 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 双函子地成立。

设 \(\mathcal{F}\) 为 \(U\) 上的层。层 \(j_!\mathcal{F}\) 的茎描述如下 \[j_{!}\mathcal{F}_x = \left\{ \begin{matrix} e & \text{若} & x \not \in U \\ \mathcal{F}_x & \text{若} & x \in U \end{matrix} \right.\]

在 \(U\) 上的代数结构预层范畴中，有 \(j_pj_{p!} = \text{id}\)。

在 \(U\) 上的代数结构层范畴中，有 \(j^{-1}j_! = \text{id}\)。

证明

略。

引理

设 \((X, \mathcal{O})\) 为赋环空间，并设 \(j : (U, \mathcal{O}|_U) \to (X, \mathcal{O})\) 为开子空间。考虑上面定义的模（预）层的限制函子与以 \(0\) 延拓函子。

函子 \(j_{p!}\) 是限制的左伴随；公式为 \[\Mor_{\textit{PMod}(\mathcal{O})}(j_{p!}\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Mor_{\textit{PMod}(\mathcal{O}|_U)}(\mathcal{F}, \mathcal{G}|_U)\] 它对 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 双函子地成立。

函子 \(j_!\) 是限制的左伴随；公式为 \[\Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}(j_!\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O}|_U)}(\mathcal{F}, \mathcal{G}|_U)\] 它对 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 双函子地成立。

设 \(\mathcal{F}\) 为 \(U\) 上的 \(\mathcal{O}\)-模层。层 \(j_!\mathcal{F}\) 的茎描述如下 \[j_{!}\mathcal{F}_x = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{若} & x \not \in U \\ \mathcal{F}_x & \text{若} & x \in U \end{matrix} \right.\]

在 \(U\) 上的 \(\mathcal{O}|_U\)-模层范畴中，有 \(j^{-1}j_! = \text{id}\)。

证明

略。

注意，由上述各引理，函子 \(j_*\) 和 \(j_!\) 都是从 \(U\) 上的层范畴到 \(X\) 上的层范畴的全忠实嵌入。只有对函子 \(j_!\)，才能容易地描述其本质像。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，并设 \(j : U \to X\) 为开子集的包含。函子 \[j_! : \Sh(U) \longrightarrow \Sh(X)\] 是全忠实的。其本质像恰由如下层 \(\mathcal{G}\) 组成：对所有 \(x \in X \setminus U\)，都有 \(\mathcal{G}_x = \emptyset\)。

证明

全忠实性由 \(j^{-1} j_! = \text{id}\) 形式地得出。已经看到，函子像中的任意层都具有引理所述的茎性质。反过来，假设 \(\mathcal{G}\) 具有指定性质。那么很容易验证 \[j_! j^{-1} \mathcal{G} \to \mathcal{G}\] 在所有茎上都是同构，因而是同构。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，并设 \(j : U \to X\) 为开子集的包含。函子 \[j_! : \textit{Ab}(U) \longrightarrow \textit{Ab}(X)\] 是全忠实的。其本质像恰由如下层 \(\mathcal{G}\) 组成：对所有 \(x \in X \setminus U\)，都有 \(\mathcal{G}_x = 0\)。

证明

略。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，并设 \(j : U \to X\) 为开子集的包含。设 \((\mathcal{C}, F)\) 为一种代数结构类型，且 \(\mathcal{C}\) 有始对象 \(e\)。函子 \[j_! : \Sh(U, \mathcal{C}) \longrightarrow \Sh(X, \mathcal{C})\] 是全忠实的。其本质像恰由如下层 \(\mathcal{G}\) 组成：对所有 \(x \in X \setminus U\)，都有 \(\mathcal{G}_x = e\)。

证明

略。

引理

设 \((X, \mathcal{O})\) 为赋环空间，并设 \(j : (U, \mathcal{O}|_U) \to (X, \mathcal{O})\) 为开子空间。函子 \[j_! : \textit{Mod}(\mathcal{O}|_U) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O})\] 是全忠实的。其本质像恰由如下层 \(\mathcal{G}\) 组成：对所有 \(x \in X \setminus U\)，都有 \(\mathcal{G}_x = 0\)。

证明

略。

注

设 \(j : U \to X\) 如上为拓扑空间的开浸入。设 \(x \in X\)、 \(x \not \in U\)，并设 \(\mathcal{F}\) 为 \(U\) 上的集合层。由引理 00A3，有 \(j_!\mathcal{F}_x = \emptyset\)。因此，除非 \(U = X\)，\(j_!\) 不会把 \(\Sh(U)\) 的终对象变为 \(\Sh(X)\) 的终对象。按照 Categories，第 0033 节中的约定，这意味着作为集合层范畴之间的函子，\(j_!\) 不是左正合的。稍后将证明阿贝尔层上的 \(j_!\) 是正合的；见 Modules，引理 01AK。

闭浸入与（预）层

设 \(X\) 为拓扑空间，并设 \(i : Z \to X\) 为闭子集 \(Z\) 到 \(X\) 的包含。在第 008C 节中，我们已经定义函子 \(i_*\) 与 \(i^{-1}\)，使得 \(i_*\) 是 \(i^{-1}\) 的右伴随。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(i : Z \to X\) 为闭子集 \(Z\) 到 \(X\) 的包含，并设 \(\mathcal{F}\) 为 \(Z\) 上的集合层。\(i_*\mathcal{F}\) 的茎描述如下 \[i_*\mathcal{F}_x = \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{若} & x \not \in Z \\ \mathcal{F}_x & \text{若} & x \in Z \end{matrix} \right.\] 其中 \(\{*\}\) 表示单元素集合。此外，在 \(Z\) 上的集合层范畴中， \(i^{-1}i_* = \text{id}\)。对 \(Z\) 上的阿贝尔层、相应地对 \(Z\) 上的代数结构层，同一结论也成立；此时必须把 \(\{*\}\) 分别换为 \(0\)、相应地换为代数结构范畴的终对象。

证明

若 \(x \not \in Z\)，则存在任意小且与 \(Z\) 不相交的 \(x\) 的开邻域 \(U\)。由于 \(\mathcal{F}\) 是层，对任意这样的 \(U\)，都有 \(\mathcal{F}(i^{-1}(U)) = \{*\}\)；见评注 006U。这证明了第一种情形。第二种情形来自如下事实：对 \(z \in Z\)，\(z\) 的任意开邻域都形如 \(Z \cap U\)，其中 \(U\) 是 \(X\) 的某个开集。为证明 \(i^{-1}i_* = \text{id}\)，考虑典范映射 \(i^{-1}i_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\)。由上可知，它在各茎上是同构，因而是同构。

对阿贝尔群层和代数结构层，作同样的论证。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，并设 \(i : Z \to X\) 为闭子集的包含。函子 \[i_* : \Sh(Z) \longrightarrow \Sh(X)\] 是全忠实的。其本质像恰由如下层 \(\mathcal{G}\) 组成：对所有 \(x \in X \setminus Z\)，都有 \(\mathcal{G}_x = \{*\}\)。

证明

全忠实性由 \(i^{-1} i_* = \text{id}\) 形式地得出。已经看到，函子像中的任意层都具有引理所述的茎性质。反过来，假设 \(\mathcal{G}\) 具有指定性质。那么很容易验证 \[\mathcal{G} \to i_* i^{-1} \mathcal{G}\] 在所有茎上都是同构，因而是同构。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，并设 \(i : Z \to X\) 为闭子集的包含。函子 \[i_* : \textit{Ab}(Z) \longrightarrow \textit{Ab}(X)\] 是全忠实的。其本质像恰由如下层 \(\mathcal{G}\) 组成：对所有 \(x \in X \setminus Z\)，都有 \(\mathcal{G}_x = 0\)。

证明

略。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，并设 \(i : Z \to X\) 为闭子集的包含。设 \((\mathcal{C}, F)\) 为具有终对象 \(0\) 的一种代数结构类型。函子 \[i_* : \Sh(Z, \mathcal{C}) \longrightarrow \Sh(X, \mathcal{C})\] 是全忠实的。其本质像恰由如下层 \(\mathcal{G}\) 组成：对所有 \(x \in X \setminus Z\)，都有 \(\mathcal{G}_x = 0\)。

证明

略。

注

设 \(i : Z \to X\) 如上为拓扑空间的闭浸入。设 \(x \in X\)、 \(x \not \in Z\)，并设 \(\mathcal{F}\) 为 \(Z\) 上的集合层。由引理 00AE，有 \((i_*\mathcal{F})_x = \{ * \}\)。因此，若 \(\mathcal{F} = * \amalg *\)，其中 \(*\) 是单元素层，则

\(i_*\mathcal{F}_x = \{*\} \not = i_*(*)_x \amalg i_*(*)_x\)，因为后者是二元素集合。按照 Categories，第 0033 节中的约定，这意味着作为集合层范畴之间的函子，\(i_*\) 不是右正合的。特别地，它不可能有右伴随；见 Categories，引理 0039。

另一方面，稍后将看到（见 Modules，引理 01AZ），阿贝尔层上的 \(i_*\) 是正合的，而且确实有右伴随，即把 \(X\) 上的阿贝尔层送到其支撑于 \(Z\) 的截面层的函子。

注

我们尚未讨论闭浸入与赋环空间之间的关系。这是因为，赋环空间闭浸入的概念最好在拟凝聚层的背景下讨论；见 Modules，第 01C1 节。

层的粘合

本节将粘合定义在 \(X\) 的一个覆盖的各成员上的层。先处理映射。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(X = \bigcup U_i\) 为开覆盖，并设 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 为 \(X\) 上的集合层。给定一族层映射 \[\varphi_i : \mathcal{F}|_{U_i} \longrightarrow \mathcal{G}|_{U_i}\] 使得对所有 \(i, j \in I\)，映射 \(\varphi_i, \varphi_j\) 在 \(\mathcal{F}|_{U_i \cap U_j} \to \mathcal{G}|_{U_i \cap U_j}\) 上限制为同一个映射，则存在唯一的层映射 \[\varphi : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{G}\] 其在每个 \(U_i\) 上的限制与 \(\varphi_i\) 相同。

证明

对每个开子集 \(U \subset X\)，定义 \[\varphi_U : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U), \quad s \mapsto \varphi_U(s)\] 其中 \(\varphi_U(s)\) 是满足 \[(\varphi_U(s))|_{U \cap U_i} = (\varphi_i)_{U \cap U_i}(s|_{U \cap U_i}).\] 的唯一截面。由层公理以及如下事实，这样的截面存在且唯一： \[\begin{align*} ((\varphi_i)_{U \cap U_i}(s|_{U \cap U_i}))|_{U \cap U_i \cap U_j} &= (\varphi_i)_{U \cap U_i \cap U_j}(s|_{U \cap U_i \cap U_j})\\ &= (\varphi_j)_{U \cap U_i \cap U_j}(s|_{U \cap U_i \cap U_j})\\ &= ((\varphi_j)_{U \cap U_j}(s|_{U \cap U_j}))|_{U \cap U_i \cap U_j}. \end{align*}\] 这族映射确实给出层映射：若 \(V \subset U \subset X\) 为开子集，则 \[(\varphi_U(s))|_V = \varphi_V(s|_V)\] 因为对每个 \(i \in I\) 都有 \[\begin{align*} (\varphi_U(s))|_{V \cap U_i} &= ((\varphi_U(s))|_{U \cap U_i})|_{V \cap U_i}\\ &= ((\varphi_i)_{U \cap U_i}(s|_{U \cap U_i}))|_{V \cap U_i}\\ &= (\varphi_i)_{V \cap U_i}(s|_{V \cap U_i})\\ &= \varphi_V(s_{V})|_{V \cap U_i}. \end{align*}\] 此外，它在每个 \(U_i\) 上的限制都与 \(\varphi_i\) 相同，因为给定开子集 \(U \subset X\) 和 \(s \in \mathcal{F}(U \cap U_i)\)，有 \[\begin{align*} \varphi_{U \cap U_i}(s) &= \varphi_{U \cap U_i}(s)|_{U \cap U_i}\\ &= (\varphi_i)_{U \cap U_i}(s|_{U \cap U_i})\\ &= (\varphi_i)_{U \cap U_i}(s). \end{align*}\]

前一引理说明，给定拓扑空间 \(X\) 上的两个层 \(\mathcal{F}\)、 \(\mathcal{G}\)，规则 \[U \longmapsto \Mor_{\Sh(U)}( \mathcal{F}|_U, \mathcal{G}|_U)\] 定义一个层。这是一种内部 Hom 层。它在集合层的背景下很少使用，在模层的背景下更常用；见 Modules，第 01CM 节。

设 \(X\) 为拓扑空间，\(X = \bigcup_{i\in I} U_i\) 为开覆盖。对每个 \(i \in I\)，设 \(\mathcal{F}_i\) 为 \(U_i\) 上的集合层。对每一对 \(i, j \in I\)，设 \[\varphi_{ij} : \mathcal{F}_i|_{U_i \cap U_j} \longrightarrow \mathcal{F}_j|_{U_i \cap U_j}\] 为集合层的同构。再假设对每个指标三元组 \(i, j, k \in I\)，下图交换 \[\xymatrix{ \mathcal{F}_i|_{U_i \cap U_j \cap U_k} \ar[rr]_{\varphi_{ik}} \ar[rd]_{\varphi_{ij}} & & \mathcal{F}_k|_{U_i \cap U_j \cap U_k} \\ & \mathcal{F}_j|_{U_i \cap U_j \cap U_k} \ar[ru]_{\varphi_{jk}} }\] 称这样的一族数据 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ij})\) 为 关于覆盖 \(X = \bigcup U_i\) 的集合层粘合数据。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(X = \bigcup_{i\in I} U_i\) 为开覆盖。给定任意关于覆盖 \(X = \bigcup U_i\) 的集合层粘合数据 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ij})\)，则存在 \(X\) 上的集合层 \(\mathcal{F}\)，连同同构 \[\varphi_i : \mathcal{F}|_{U_i} \to \mathcal{F}_i\] 使图表 \[\xymatrix{ \mathcal{F}|_{U_i \cap U_j} \ar[r]_{\varphi_i} \ar[d]_{\text{id}} & \mathcal{F}_i|_{U_i \cap U_j} \ar[d]^{\varphi_{ij}} \\ \mathcal{F}|_{U_i \cap U_j} \ar[r]^{\varphi_j} & \mathcal{F}_j|_{U_i \cap U_j} }\] 交换。

证明

第一种证明。在此证明中，给出 \(\mathcal{F}\) 在开集 \(W \subset X\) 上截面集合的公式。具体地，定义 \[\mathcal{F}(W) = \{ (s_i)_{i \in I} \mid s_i \in \mathcal{F}_i(W \cap U_i), \varphi_{ij}(s_i|_{W \cap U_i \cap U_j}) = s_j|_{W \cap U_i \cap U_j} \}.\] 对 \(W' \subset W\)，限制映射通过把每个 \(s_i\) 限制到 \(W' \cap U_i\) 来定义。\(\mathcal{F}\) 的层条件立即由每个 \(\mathcal{F}_i\) 的层条件得出。

还需证明 \(\mathcal{F}|_{U_i}\) 同构地映到 \(\mathcal{F}_i\)。设 \(W \subset U_i\)。此时，\(\mathcal{F}(W)\) 定义中的条件蕴含 \(s_j = \varphi_{ij}(s_i|_{W \cap U_j})\)。而粘合数据定义中的各图表交换，保证可以从任意截面 \(s \in \mathcal{F}_i(W)\) 出发，通过令 \(s_i = s\) 和 \(s_j = \varphi_{ij}(s_i|_{W \cap U_j})\) 得到相容族。

第二种证明（概述）。设 \(\mathcal{B}\) 为所有满足如下条件的开集 \(U \subset X\) 所成的集合：对某个 \(i \in I\)，有 \(U \subset U_i\)。则 \(\mathcal{B}\) 是 \(X\) 的拓扑基。对 \(U \in \mathcal{B}\)，选取满足 \(U \subset U_i\) 的 \(i \in I\)，并置 \(\mathcal{F}(U) = \mathcal{F}_i(U)\)。利用同构 \(\varphi_{ij}\)，可见这一规定“不依赖于 \(i\) 的选择”。利用 \(\mathcal{F}_i\) 的限制映射，可知 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{B}\) 上的层。最后，使用引理 009N，把 \(\mathcal{F}\) 扩张为 \(X\) 上的唯一层 \(\mathcal{F}\)。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(X = \bigcup U_i\) 为开覆盖。设 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ij})\) 为阿贝尔群层、相应地代数结构层、相应地某个 \(X\) 上环层 \(\mathcal{O}\) 的 \(\mathcal{O}\)-模层的粘合数据。则上面引理 00AL 的证明中的构造，分别给出阿贝尔群层、代数结构层、\(\mathcal{O}\)-模层。

证明

这是因为在该构造中，开集 \(W\) 上的截面集合 \(\mathcal{F}(W)\) 是下列映射的等化子 \[\xymatrix{ \prod_{i \in I} \mathcal{F}_i(W \cap U_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod_{i, j\in I} \mathcal{F}_i(W \cap U_i \cap U_j) }\] 在所考虑的每种情形下，该等化子都给出相关范畴中的对象，其底层集合就是所引用引理中考虑的对象。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间，\(X = \bigcup_{i\in I} U_i\) 为开覆盖。把集合层 \(\mathcal{F}\) 送到关于覆盖 \(X = \bigcup U_i\) 的如下粘合数据的函子 \[(\mathcal{F}|_{U_i}, (\mathcal{F}|_{U_i})|_{U_i \cap U_j} \to (\mathcal{F}|_{U_j})|_{U_i \cap U_j} )\] 定义了 \(\Sh(X)\) 与粘合数据范畴之间的范畴等价。对阿贝尔层、相应地代数结构层、相应地 \(\mathcal{O}\)-模层，也有类似陈述。

证明

由引理 04TN，该函子全忠实；由引理 00AL，它本质满（通过一个显式给出的拟逆函子）。

这个引理意味着：若层 \(\mathcal{F}\) 由粘合数据 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ij})\) 构造，且 \(\mathcal{G}\) 是 \(X\) 上的层，则态射 \(f : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 由一族与粘合映射 \(\varphi_{ij}\) 相容的层态射 \[f_i : \mathcal{F}_i \longrightarrow \mathcal{G}|_{U_i}\] 给出。类似地，给定层态射 \(g : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)，等价于给定一族与粘合映射 \(\varphi_{ij}\) 相容的层态射 \[g_i : \mathcal{G}|_{U_i} \longrightarrow \mathcal{F}_i\]