Chow 同调与陈类

引言

本章讨论 Chow 同调群，以及把向量丛的陈类构造为运算 Chow 上同调群中元素的过程 （系数一律取自 \(\mathbf{Z}\)）。

本章首先给出关键引理 0EAX 的一个尽可能简短的代数证明。 我们先定义 Herbrand 商（第 02PF 节），并在若干情形下计算它 （第 0EAA 节）。随后证明一些简单的代数引理，说明经修改后存在适当的分解 （第 0EAD 节）。利用这些结果，我们在第 0EAH 节构造并定义驯顺符号。证明关键引理只需要驯顺符号最基本的性质； 该证明见第 0EAU 节。

接着，我们在第 02QK 节引入本章其余部分所采用的基本设置。为了使材料更具挑战性， 我们决定处理一个比通常情形稍为一般的情况。具体而言，假设概形 \(X\) 在一个固定的局部诺特基概形上 局部有限型，并且该基概形泛链状且配有一个维数函数。这些假设足以定义 Chow 同调群 \(\CH_*(X)\)， 以及以陈类同它们作帽积的作用。这表明，对这种基概形上局部有限型的代数栈，我们也应当能够作出同样的定义。

随后我们依照 [F] 的开头几章定义循环、平坦拉回、固有推前和有理等价；但对于所涉及循环的支撑， 我们的处理没有那么精细。

我们与 [F] 的论述方式有所不同：在第 0AYB 节利用上述关键引理证明一个基本的交换关系。 由此可证，与可逆层取交这一运算可下降到有理等价，并且满足交换律；见第 02TG 节。再次应用关键引理可证，有效 Cartier 除子的 Gysin 映射可下降到有理等价； 见第 02TK 节。证明这些结果以后，就可以直接定义向量丛的陈类，证明其可加性和分裂原理， 引入 Chern 特征与 Todd 类，并陈述 Grothendieck–Riemann–Roch 定理。

本章有两个附录。附录 A（第 0EAZ 节）讨论驯顺符号的另一种较长构造， 以及与之相应的关键引理证明。最后，在附录 B（第 0AYD 节）中， 我们简要讨论它同凝聚层 \(K\)-理论的关系，并讨论若干爆破引理。建议读者参阅这两个附录的引言以了解详情。

下一章将重新研究代数闭域上光滑射影簇的 Chow 群 \(\CH_*(X)\)。利用 [Samuel]、 [ChevalleyI] 和 [ChevalleyII] 中的移动引理，以及 Serre 的 Tor 公式 （见 [Serre_local_algebra] 或 [Serre_algebre_locale]），我们将在 \(\CH_*(X)\) 上定义环结构。 参见 Intersection Theory，第 0AZ7 节及以下各节。

周期复形与 Herbrand 商

周期复形当然有一个非常一般的概念。可以要求映射具有周期性，也可以要求对象具有周期性。 我们会在需要时补充这些情形；目前只需要以下几种情况。

定义

设 \(R\) 为环。

1. \(R\) 上的一个 \(2\)-周期复形由四元组 \((M, N, \varphi, \psi)\) 给出， 其中 \(M\)、\(N\) 是 \(R\)-模，\(\varphi : M \to N\)、\(\psi : N \to M\) 是 \(R\)-模同态，并且 \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & M \ar[r]^\varphi & N \ar[r]^\psi & M \ar[r]^\varphi & N \ar[r] & \ldots }\] 构成一个复形。在这种情形下，定义该复形的上同调模为 \(R\)-模 \[H^0(M, N, \varphi, \psi) = \Ker(\varphi)/\Im(\psi) \quad\text{且}\quad H^1(M, N, \varphi, \psi) = \Ker(\psi)/\Im(\varphi).\] 如果上同调群均为零，就称这个 \(2\)-周期复形是正合的。

2. \(R\) 上的一个 \((2, 1)\)-周期复形由三元组 \((M, \varphi, \psi)\) 给出， 其中 \(M\) 是 \(R\)-模，\(\varphi : M \to M\)、\(\psi : M \to M\) 是 \(R\)-模同态，并且 \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & M \ar[r]^\varphi & M \ar[r]^\psi & M \ar[r]^\varphi & M \ar[r] & \ldots }\] 构成一个复形。由于这是 \(2\)-周期复形的一种特殊情形，我们有它的上同调模 \(H^0(M, \varphi, \psi)\)、\(H^1(M, \varphi, \psi)\)，以及相应的正合性概念。

下文凡是对 \(2\)-周期复形证明的结果，都将不再另行说明而直接用于 \((2, 1)\)-周期复形。 显然，所有 \(2\)-周期复形组成一个范畴，其中态射 \((f, g) : (M, N, \varphi, \psi) \to (M', N', \varphi', \psi')\) 是满足 \(\varphi' \circ f = g \circ \varphi\) 和 \(\psi' \circ g = f \circ \psi\) 的一对态射 \(f : M \to M'\) 与 \(g : N \to N'\)。这样得到一个阿贝尔范畴；其中的核与余核如《同调代数》引理 010Y 所述。

定义

设 \((M, N, \varphi, \psi)\) 是环 \(R\) 上的一个 \(2\)-周期复形，并且它的上同调模均具有有限长度。 在这种情形下，定义 \((M, N, \varphi, \psi)\) 的重数为整数 \[e_R(M, N, \varphi, \psi) = \text{length}_R(H^0(M, N, \varphi, \psi)) - \text{length}_R(H^1(M, N, \varphi, \psi))\] 对于 \((2, 1)\)-周期复形 \((M, \varphi, \psi)\)，将这个整数记为 \(e_R(M, \varphi, \psi)\)，有时也称它为（加法）Herbrand 商。

如果 \((M, \varphi, \psi)\) 的上同调群是有限阿贝尔群，则通常把 \[q(M, \varphi, \psi) = \frac{\# H^0(M, \varphi, \psi)}{\# H^1(M, \varphi, \psi)}\] 称为（乘法）Herbrand 商。换言之，乘法 Herbrand 商就是 \(H^0\) 的元素个数除以 \(H^1\) 的元素个数。如果 \(R\) 是局部环，而且 \(R\) 的剩余域含有 \(q\) 个元素，那么 \[q(M, \varphi, \psi) = q^{e_R(M, \varphi, \psi)}\]

环 \(R\) 上 \((2, 1)\)-周期复形的一个例子是任意形如 \((M, 0, \psi)\) 的三元组， 其中 \(M\) 是 \(R\)-模，\(\psi\) 是 \(R\)-线性映射。如果 \(\psi\) 的核和余核都具有有限长度，则有 [0EA6]\[\begin{equation} e_R(M, 0, \psi) = \text{length}_R(\Coker(\psi)) - \text{length}_R(\Ker(\psi)) \end{equation}\] 下面陈述并证明关于这些记号的几个必要引理。

引理

设 \(R\) 为环，并设有一个 \(2\)-周期复形的短正合列 \[0 \to (M_1, N_1, \varphi_1, \psi_1) \to (M_2, N_2, \varphi_2, \psi_2) \to (M_3, N_3, \varphi_3, \psi_3) \to 0\] 如果其中两个复形的上同调模具有有限长度，那么第三个复形也具有这个性质，并且 \[e_R(M_2, N_2, \varphi_2, \psi_2) = e_R(M_1, N_1, \varphi_1, \psi_1) + e_R(M_3, N_3, \varphi_3, \psi_3).\]

证明

简记 \(A = (M_1, N_1, \varphi_1, \psi_1)\)、 \(B = (M_2, N_2, \varphi_2, \psi_2)\) 和 \(C = (M_3, N_3, \varphi_3, \psi_3)\)。 我们有上同调长正合列 \[\ldots \to H^1(C) \to H^0(A) \to H^0(B) \to H^0(C) \to H^1(A) \to H^1(B) \to H^1(C) \to \ldots\] 由此得到有限正合列 \[0 \to I \to H^0(A) \to H^0(B) \to H^0(C) \to H^1(A) \to H^1(B) \to K \to 0\] 以及滤过 \(0 \to K \to H^1(C) \to I \to 0\)。由长度函数的可加性 （《交换代数》引理 00IV）即得结论。

引理

设 \(R\) 为环。如果 \((M, N, \varphi, \psi)\) 是一个 \(2\)-周期复形，且 \(M\)、\(N\) 具有有限长度，那么 \(e_R(M, N, \varphi, \psi) = \text{length}_R(M) - \text{length}_R(N)\)。 特别地，如果 \((M, \varphi, \psi)\) 是一个 \((2, 1)\)-周期复形，且 \(M\) 具有有限长度，那么 \(e_R(M, \varphi, \psi) = 0\)。

证明

在由 \(M\)、\(N\) 均具有有限长度的 \(2\)-周期复形所成的范畴中，量 “\(\text{length}_R(M) - \text{length}_R(N)\)” 对短正合列具有可加性 （精确陈述留给读者）。考虑短正合列 \[0 \to (M, \Im(\varphi), \varphi, 0) \to (M, N, \varphi, \psi) \to (0, N/\Im(\varphi), 0, 0) \to 0\] 结合开头的观察与引理 0EA7 的可加性， 可将问题约化为以下两种情形：(a) \(M = 0\)；(b) \(\varphi\) 是满射。这两种情形留给读者。

引理

设 \(R\) 为环。设 \(f : (M, \varphi, \psi) \to (M', \varphi', \psi')\) 是两个 \((2, 1)\)-周期复形之间的映射，并且这两个复形的上同调模均具有有限长度。 如果 \(\Ker(f)\) 和 \(\Coker(f)\) 具有有限长度，那么 \(e_R(M, \varphi, \psi) = e_R(M', \varphi', \psi')\)。

证明

应用引理 0EA7 的可加性，并注意由 引理 0EA8， \((\Ker(f), \varphi, \psi)\) 和 \((\Coker(f), \varphi', \psi')\) 的重数均为零。

若干重数的计算

为了在后文证明某些循环相等，我们需要计算若干重数。除上一节关于重数的初等引理外， 主要工具是《交换代数》引理 02MI。

引理

设 \(R\) 为诺特局部环，\(M\) 为有限 \(R\)-模，并设 \(x \in R\)。假设

1. \(\dim(\text{Supp}(M)) \leq 1\)，并且

2. \(\dim(\text{Supp}(M/xM)) \leq 0\)。

写成 \(\text{Supp}(M) = \{\mathfrak m, \mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\}\)。 那么 \[e_R(M, 0, x) = \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, t} \text{ord}_{R/\mathfrak q_i}(x) \text{length}_{R_{\mathfrak q_i}}(M_{\mathfrak q_i}).\]

证明

先作一些准备性说明。如果 \(M\) 具有有限长度，即 \(t = 0\)，则引理成立； 因为此时等式两边都为零，见引理 0EA8。 此外，若满足 (1)、(2) 的模之间有短正合列 \(0 \to M \to M' \to M'' \to 0\)， 则只要引理对其中两个模成立，由长度的可加性（《交换代数》引理 00IV）和重数的可加性（引理 0EA7），它对第三个模也成立。

以 \(M_i\) 表示 \(M\) 在 \(M_{\mathfrak q_i}\) 中的像，于是 \(\text{Supp}(M_i) = \{\mathfrak m, \mathfrak q_i\}\)。 映射 \(M \to \bigoplus M_i\) 的核与余核的支撑均为 \(\{\mathfrak m\}\)，因而具有有限长度。 由上述准备性说明，只需对每个 \(M_i\) 证明引理。因此可以假设 \(\text{Supp}(M) = \{\mathfrak m, \mathfrak q\}\)。 此时，由《交换代数》引理 00L6，有有限滤过 \(M \supset \mathfrak qM \supset \mathfrak q^2M \supset \ldots \supset \mathfrak q^nM = 0\)。再次利用可加性可知，只需证明 \(M\) 被 \(\mathfrak q\) 零化的情形。 这时可把 \(M\) 看成 \(R/\mathfrak q\)-模；换言之，可以假设 \(R\) 是维数为 \(1\)、分式域为 \(K\) 的诺特局部整环。 再商去挠子模，即商去 \(M \to M \otimes_R K = V\) 的核（挠子模具有有限长度， 故可由准备性说明处理），便可假设 \(M \subset V\) 是一个格 （《交换代数》定义 02ME）。于是 \(x : M \to M\) 是单射，并且 \(\text{length}_R(M/xM) = d(M, xM)\) （《交换代数》定义 02MG）。由于 \(\text{length}_K(V) = \dim_K(V)\)，可知 \(\det(x : V \to V) = x^{\dim_K(V)}\)，且 \(\text{ord}_R(\det(x : V \to V)) = \dim_K(V) \text{ord}_R(x)\)。 因而在此情形下，所需等式由《交换代数》引理 02MI 得出。

引理

设 \(R\) 为诺特局部环，\(x \in R\)。如果 \(M\) 是有限 Cohen–Macaulay \(R\)-模，且 \(\dim(\text{Supp}(M)) = 1\)、\(\dim(\text{Supp}(M/xM)) = 0\)，那么 \[\text{length}_R(M/xM) = \sum\nolimits_i \text{length}_R(R/(x, \mathfrak q_i)) \text{length}_{R_{\mathfrak q_i}}(M_{\mathfrak q_i}).\] 这里 \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\) 是 \(M\) 的支撑的极小素理想。如果 \(I \subset R\) 是一个理想， \(x\) 在 \(R/I\) 上是非零因子，并且 \(\dim(R/I) = 1\)，那么 \[\text{length}_R(R/(x, I)) = \sum\nolimits_i \text{length}_R(R/(x, \mathfrak q_i)) \text{length}_{R_{\mathfrak q_i}}((R/I)_{\mathfrak q_i})\] 这里 \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_n\) 是包含 \(I\) 的极小素理想。

证明

这些都是引理 02QF 的特殊情形。

下面是在另一种可以确定重数取值的情形。

引理

设 \(R\) 为环，\(M\) 为 \(R\)-模。设 \(\varphi : M \to M\) 是自同态，\(n > 0\)，满足 \(\varphi^n = 0\)，并且 \(\Ker(\varphi)/\Im(\varphi^{n - 1})\) 作为 \(R\)-模具有有限长度。 那么对 \(i = 0, \ldots, n\) 均有 \[e_R(M, \varphi^i, \varphi^{n - i}) = 0\]

证明

按约定 \(\varphi^0 = \text{id}_M\)，所以 \(i = 0, n\) 的情形是显然的。 把 \(M\) 看成 \(R[t]\)-模，其中乘以 \(t\) 的作用由 \(\varphi\) 给出。记 \(K_i = \Ker(t^i : M \to M)\)，并令 \[a_i = \text{length}_R(K_i/t^{n - i}M),\quad b_i = \text{length}_R(K_i/tK_{i + 1}),\quad c_i = \text{length}_R(K_1/t^iK_{i + 1})\] 边界值为 \(a_0 = a_n = b_0 = c_0 = 0\)。当 \(i < n\) 时，\(c_i\) 是整数， 因为 \(K_1/t^iK_{i + 1}\) 是按假设具有有限长度的 \(K_1/t^{n - 1}M\) 的商。 下面将反复使用 \(K_i \cap t^jM = t^jK_{i + j}\)。对 \(0 < i < n - 1\)，有正合列 \[0 \to K_1/t^{n - i - 1}K_{n - i} \to K_{i + 1}/t^{n - i - 1}M \xrightarrow{t} K_i/t^{n - i}M \to K_i/tK_{i + 1} \to 0\] 对 \(i\) 作归纳可知，当 \(i < n\) 时 \(a_i\)、\(b_i\) 都是整数，并且 \[c_{n - i - 1} - a_{i + 1} + a_i - b_i = 0\] 对 \(0 < i < n - 1\)，还有短正合列 \[0 \to K_i/tK_{i + 1} \to K_{i + 1}/tK_{i + 2} \xrightarrow{t^i} K_1/t^{i + 1}K_{i + 2} \to K_1/t^iK_{i + 1} \to 0\] 因而 \[b_i - b_{i + 1} + c_{i + 1} - c_i = 0\] 由于 \(b_0 = c_0\)，可得对 \(i < n\) 均有 \(b_i = c_i\)。于是 \[a_2 = a_1 + b_{n - 2} - b_1,\quad a_3 = a_2 + b_{n - 3} - b_2,\quad \ldots\] 直接可见这蕴含所需的 \(a_i = a_{n - i}\)。

引理

设 \((R, \mathfrak m)\) 为诺特局部环。设 \((M, \varphi, \psi)\) 是 \(R\) 上的一个 \((2, 1)\)-周期复形，其中 \(M\) 有限，上同调群作为 \(R\)-模具有有限长度。 设 \(x \in R\) 满足 \(\dim(\text{Supp}(M/xM)) \leq 0\)。那么 \[e_R(M, x\varphi, \psi) = e_R(M, \varphi, \psi) - e_R(\Im(\varphi), 0, x)\] 并且 \[e_R(M, \varphi, x\psi) = e_R(M, \varphi, \psi) + e_R(\Im(\psi), 0, x)\]

证明

只证明第一个公式；第二个公式的证明完全相同。 设 \(M' = M[x^\infty]\) 为 \(M\) 的 \(x\)-幂挠子模，并考虑短正合列 \(0 \to M' \to M \to M'' \to 0\)。那么 \(M''\) 无 \(x\)-幂挠 （《代数进阶》引理 05EB）。 由于 \(\varphi\)、\(\psi\) 都把 \(M'\) 映入 \(M'\)，可得 \((2, 1)\)-周期复形的短正合列 \[0 \to (M', \varphi', \psi') \to (M, \varphi, \psi) \to (M'', \varphi'', \psi'') \to 0\] 此外还有短正合列 \(0 \to M' \cap \Im(\varphi) \to \Im(\varphi) \to \Im(\varphi'') \to 0\)。 由引理 0EA9，有 \(e_R(M', \varphi, \psi) = e_R(M', x\varphi, \psi) = e_R(M' \cap \Im(\varphi), 0, x) = 0\)。 再由可加性（引理 0EA7）可知， 只需对 \((M'', \varphi'', \psi'')\) 证明引理。这就约化到下一段所讨论的情形。

假设 \(x : M \to M\) 是单射。此时 \(\Ker(x\varphi) = \Ker(\varphi)\)。 另一方面，有短正合列 \[0 \to \Im(\varphi)/x\Im(\varphi) \to \Ker(\psi)/\Im(x\varphi) \to \Ker(\psi)/\Im(\varphi) \to 0\] 这与 (0EA6) 一起证明了该公式。

驯顺符号的准备工作

本节给出一些引理，以帮助我们在下一节定义驯顺符号。

引理

设 \(A\) 为诺特环，\(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_r\) 为 \(A\) 中两两不同的极大理想。 对 \(i = 1, \ldots, r\)，设 \(\varphi_i : A_{\mathfrak m_i} \to B_i\) 是环同态， 其核与余核均被 \(\mathfrak m_i\) 的某个幂零化。那么存在环同态 \(\varphi : A \to B\)，使得

1. \(\varphi\) 在 \(\mathfrak m_i\) 处的局部化同构于 \(\varphi_i\)；并且

2. \(\Ker(\varphi)\) 与 \(\Coker(\varphi)\) 均被 \(\mathfrak m_1 \cap \ldots \cap \mathfrak m_r\) 的某个幂零化。

此外，如果每个 \(\varphi_i\) 都是有限的、单射的或满射的，那么 \(\varphi\) 也分别具有相应性质。

证明

令 \(I = \mathfrak m_1 \cap \ldots \cap \mathfrak m_r\)，并令 \(A_i = A_{\mathfrak m_i}\)、\(A' = \prod A_i\)。那么 \(IA' = \prod \mathfrak m_i A_i\)，且 \(A \to A'\) 是满足 \(A/I \cong A'/IA'\) 的平坦环同态。 因此，由《代数进阶》引理 0ALK，存在 \(A\)-模同态 \(\varphi : A \to B\)，使 \(\varphi_i\) 同构于 \(\varphi\) 在 \(\mathfrak m_i\) 处的局部化。 再利用《代数进阶》注 05EU 中的讨论，可在 \(B\) 上赋予一个 \(A\)-代数结构，使其与 \(B_i\) 上给定的 \(A\)-代数结构相符。 由 \(\Ker(\varphi)_{\mathfrak m_i} \cong \Ker(\varphi_i)\) 和 \(\Coker(\varphi)_{\mathfrak m_i} \cong \Coker(\varphi_i)\)， 很容易得到引理的最后一个断言。

下面的引理与《交换代数》引理 00P9 非常相似。

引理

设 \((R, \mathfrak m)\) 是维数为 \(1\) 的诺特局部环，并设 \(a, b \in R\) 为非零因子。 那么存在有限环扩张 \(R \subset R'\)，其中 \(R'/R\) 被 \(\mathfrak m\) 的某个幂零化； 并且存在非零因子 \(t, a', b' \in R'\)，使得 \(a = ta'\)、\(b = tb'\) 且 \(R' = a'R' + b'R'\)。

证明

如果 \(a\) 或 \(b\) 是单位，则取 \(R = R'\) 即得引理。因此可以假设 \(a, b \in \mathfrak m\)。 令 \(I = (a, b)\)。基本思路是沿 \(I\) 爆破 \(R\)；我们不采用代数论证，而采用几何论证。 令 \(X = \text{Proj}(\bigoplus_{d \geq 0} I^d)\)。由《除子》引理 02OS，态射 \(X \to \Spec(R)\) 在去心谱 \(U = \Spec(R) \setminus \{\mathfrak m\}\) 上是同构。 因此可以而且将把 \(U\) 看作 \(X\) 的开子概形。由《除子》引理 02NS，态射 \(X \to \Spec(R)\) 是射影的。 此外，例如由《除子》引理 0BFM，\(X\) 的每个一般点都位于 \(U\) 中。 于是由《代数簇》引理 0AB7， \(X \to \Spec(R)\) 是有限态射。因此 \(X = \Spec(R')\) 是仿射的，且 \(R \to R'\) 有限。 由于 \(U = D(a)\)，有 \(R_a \cong R'_a\)。故 \(a\) 的某个幂零化有限 \(R\)-模 \(R'/R\)。 又因 \(\mathfrak m = \sqrt{(a)}\)，可知 \(R'/R\) 被 \(\mathfrak m\) 的某个幂零化。 由《除子》引理 02OS， \(IR'\) 是局部主理想。由于 \(R'\) 是半局部环，\(IR'\) 是主理想；见《交换代数》引理 02M9。设 \(IR' = (t)\)，则 \(a = a't\)、\(b = b't\)，其余结论均显然。

引理

设 \((R, \mathfrak m)\) 是维数为 \(1\) 的诺特局部环。设 \(a, b \in R\) 是非零因子，且 \(a \in \mathfrak m\)。存在整数 \(n = n(R, a, b)\)，使得对于任意有限环扩张 \(R \subset R'\)，如果对某个 \(c \in R'\) 有 \(b = a^m c\)，那么 \(m \leq n\)。

证明

取极小素理想 \(\mathfrak q \subset R\)。注意 \(\dim(R/\mathfrak q) = 1\)，特别地， \(R/\mathfrak q\) 不是域。可以选取一个与 \(R/\mathfrak q\) 有相同分式域并支配它的离散赋值环 \(A\)； 见《交换代数》引理 00P8。 由于 \(R\) 中的非零因子不属于 \(\mathfrak q\)，\(a\)、\(b\) 在 \(A\) 中的像均非零。 设 \(v\) 为 \(A\) 上的离散赋值。因 \(a \in \mathfrak m\)，有 \(v(a) > 0\)。 我们断言 \(n = v(b)/v(a)\) 可用。

给定 \(R \subset R'\)，令 \(A' = A \otimes_R R'\)。由于 \(\Spec(R') \to \Spec(R)\) 是满射 （《交换代数》引理 00GQ）， \(\Spec(A') \to \Spec(A)\) 也为满射 （《交换代数》引理 00FI）。 取位于 \((0) \subset A\) 上方的素理想 \(\mathfrak q' \subset A'\)。 那么 \(A \subset A'' = A'/\mathfrak q'\) 是有限环扩张（并且仍诱导谱上的满射）。 取位于 \(A\) 的极大理想上方的极大理想 \(\mathfrak m'' \subset A''\)，再取一个离散赋值环 \(A'''\)，它支配 \(A''_{\mathfrak m''}\)（见上引引理）。于是 \(A \to A'''\) 是离散赋值环的扩张，并且等式 \(b = a^m c\) 在 \(A'''\) 中成立。因此 \(v'''(b) \geq mv'''(a)\)。由于 \(v''' = ev\)，其中 \(e\) 是 \(A'''/A\) 的分歧指数，便得到所需的 \(m \leq n\)。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是维数为 \(1\) 的诺特局部环。设 \(r \geq 2\)，并设 \(a_1, \ldots, a_r \in A\) 是不全为单位的非零因子。那么存在

1. 有限环扩张 \(A \subset B\)，其中 \(B/A\) 被 \(\mathfrak m\) 的某个幂零化；

2. 对每个极大理想 \(\mathfrak m_j \subset B\)，存在非零因子 \(\pi_j \in B_j = B_{\mathfrak m_j}\)；并且

3. 在 \(B_j\) 中存在分解 \(a_i = u_{i, j} \pi_j^{e_{i, j}}\)， 其中 \(u_{i, j} \in B_j\) 为单位，\(e_{i, j} \geq 0\)。

证明

由于至少有一个 \(a_i\) 不是单位，\(\mathfrak m\) 不是 \(A\) 的伴随素理想。 此外，对陈述中任意的 \(A \subset B\)，\(\mathfrak m\) 不是 \(B\) 的伴随素理想， \(\mathfrak m_j\) 也不是 \(B_j\) 的伴随素理想。记住这一点有助于核查下面的论证。

首先断言，只需对 \(r = 2\) 证明引理。我们对 \(r\) 作归纳；建议读者跳过这段证明。 设已经给定 \(A \subset B\)、\(B_j = B_{\mathfrak m_j}\) 中的 \(\pi_j\)，以及在 \(B_j\) 中的分解 \(a_i = u_{i, j} \pi_j^{e_{i, j}}\)（\(i = 1, \ldots, r - 1\)）， 其中 \(u_{i, j} \in B_j\) 为单位且 \(e_{i, j} \geq 0\)。 把 \(r = 2\) 的情形用于 \(B_j\) 中的 \(\pi_j\) 与 \(a_r\)，便可找到扩张 \(B_j \subset C_j\)， 并且对 \(C_j\) 的每个极大理想 \(\mathfrak m_{j, k}\)，找到非零因子 \(\pi_{j, k} \in C_{j, k} = (C_j)_{\mathfrak m_{j, k}}\) 和引理所述的分解 \[\pi_j = v_{j, k} \pi_{j, k}^{f_{j, k}} \quad\text{且}\quad a_r = w_{j, k} \pi_{j, k}^{g_{j, k}}\] 由引理 0EAE，存在唯一的有限扩张 \(B \subset C\)，其中 \(C/B\) 被 \(\mathfrak m\) 的某个幂零化，并且对所有 \(j\) 都有 \(C_j \cong C_{\mathfrak m_j}\)。\(C\) 的极大理想与各局部化中的极大理想 \(\mathfrak m_{j, k}\) 构成 \(1\)-对-\(1\) 对应；在这些局部化中，对 \(i \leq r - 1\) 有 \[a_i = u_{i, j} \pi_j^{e_{i, j}} = u_{i, j} v_{j, k}^{e_{i, j}} \pi_{j, k}^{e_{i, j}f_{j, k}}\] 而 \(a_r\) 也有正确的分解，故归纳步骤得证。

下面证明 \(r = 2\) 的情形。对 \[\ell = \min(\text{length}_A(A/a_1A),\ \text{length}_A(A/a_2A)).\] 作归纳。如果 \(\ell = 0\)，则 \(a_1\) 或 \(a_2\) 是单位，取 \(A = B\) 即得引理。 因此可以而且将假设 \(\ell > 0\)。

设有有限环扩张 \(A \subset A'\)，其中 \(A'/A\) 被 \(\mathfrak m\) 的某个幂零化， 且 \(\mathfrak m\) 不是 \(A'\) 的伴随素理想。设 \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_r \subset A'\) 为极大理想，并令 \(A'_i = A'_{\mathfrak m_i}\)。如果能在每个 \(A'_i\) 中解决 \(a_1, a_2\) 的问题， 就可应用引理 0EAE 得到 \(A\) 中 \(a_1, a_2\) 的解。 选取 \(x \in \{a_1, a_2\}\)，使 \(\ell = \text{length}_A(A/xA)\)。 由引理 0EA9 与 (0EA6)，有 \(\text{length}_A(A/xA) = \text{length}_A(A'/xA')\)。另一方面，由《交换代数》引理 02M0，有 \[\text{length}_A(A'/xA') = \sum [\kappa(\mathfrak m_i) : \kappa(\mathfrak m)] \text{length}_{A'_i}(A'_i/xA'_i)\] 由于 \(x \in \mathfrak m\)，右边每一项都为正。因此，如果 \(r > 1\)，或者 \(r = 1\) 且 \([\kappa(\mathfrak m_1) : \kappa(\mathfrak m)] > 1\)，归纳假设可用于每个 \(A'_i\) 中的 \(a_1, a_2\)。由此可以假设，上述每个 \(A'\) 都是与 \(A\) 有相同剩余域的局部环。

应用上一段的讨论，可以把 \(A\) 替换为引理 02Q7 对 \(a_1, a_2 \in A\) 构造的环。 由于 \(A\) 是局部环，必要时交换 \(a_1\)、\(a_2\) 后，可设 \(a_2 \in (a_1)\)。 写成 \(a_2 = a_1^m c\)，其中 \(m > 0\) 取最大值。事实上，由引理 0EAF，即使把 \(A\) 换成上一段所述的任意有限扩张 \(A \subset A'\)，也可假设 \(m\) 仍为最大值。如果 \(c\) 是单位，证明结束；否则，把 \(A\) 替换为 引理 02Q7 对 \(a_1, c \in A\) 构造的环。 此时或者 (1) \(c = a_1 c'\)，或者 (2) \(a_1 = c a'_1\)。第一种情形不可能发生， 因为它给出 \(a_2 = a_1^{m + 1} c'\)，与 \(m\) 的最大性矛盾。第二种情形给出 \(a_1 = c a'_1\) 和 \(a_2 = c^{m + 1} (a'_1)^m\)。 因此只需对 \(A\) 以及 \(c, a'_1\) 证明引理。如果 \(a'_1\) 是单位，证明结束；否则， 由于 \(cA\) 严格大于 \(a_1A\)，有 \(\text{length}_A(A/cA) < \ell\)， 于是由归纳假设得到结论。

驯顺符号

考虑维数为 \(1\) 的诺特局部环 \((A, \mathfrak m)\)。以 \(Q(A)\) 表示 \(A\) 的全分式环；见 《交换代数》例 02C5。 驯顺符号将是一个映射 \[\partial_A(-, -) : Q(A)^* \times Q(A)^* \longrightarrow \kappa(\mathfrak m)^*\] 并满足以下性质：

1. \(\partial_A(f, gh) = \partial_A(f, g) \partial_A(f, h)\) [0EAI] 对 \(f, g, h \in Q(A)^*\) 成立；

2. \(\partial_A(f, g) \partial_A(g, f) = 1\) [0EAJ] 对 \(f, g \in Q(A)^*\) 成立；

3. \(\partial_A(f, 1 - f) = 1\) [0EAK] 对满足 \(1 - f \in Q(A)^*\) 的 \(f \in Q(A)^*\) 成立；

4. \(\partial_A(aa', b) = \partial_A(a, b)\partial_A(a', b)\) [0EAL] 和 \(\partial_A(a, bb') = \partial_A(a, b)\partial_A(a, b')\) 对非零因子 \(a, a', b, b' \in A\) 成立；

5. \(\partial_A(b, b) = (-1)^m\) [0EAM] 对非零因子 \(b \in A\) 成立，其中 \(m = \text{length}_A(A/bA)\)；

6. \(\partial_A(u, b) = u^m \bmod \mathfrak m\) [0EAN] 对单位 \(u \in A\) 和非零因子 \(b \in A\) 成立，其中 \(m = \text{length}_A(A/bA)\)；并且

7. \(\partial_A(a, b - a)\partial_A(b, b) = \partial_A(b, b - a)\partial_A(a, b)\) 对使 \(a, b, b - a\) 都是非零因子的 \(a, b \in A\) 成立。

由于处理 \(A\) 的元素比较方便，我们常把 \(\partial_A\) 看作定义在 \(A\) 的非零因子对上的映射， 满足 (0EAL)、(0EAM)、 (0EAN) 和 (0EAP)。 读者不难验证，令 \[\partial_A(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}) = \partial_A(a, c) \partial_A(a, d)^{-1} \partial_A(b, c)^{-1} \partial_A(b, d)\] 便得到良定义映射 \(Q(A)^* \times Q(A)^* \to \kappa(\mathfrak m)^*\)， 它满足 (0EAI)、(0EAJ)、(0EAK) 以及上述其他性质。

我们并不声称满足这些性质的映射是唯一的，而是给出构造这种映射的方法。 具体而言，给定非零因子 \(a_1, a_2 \in A\)，选择如引理 0EAG 中的环扩张 \(A \subset B\) 与局部分解。定义 [0EAQ]\[\begin{equation} \partial_A(a_1, a_2) = \prod\nolimits_j \text{Norm}_{\kappa(\mathfrak m_j)/\kappa(\mathfrak m)} ((-1)^{e_{1, j}e_{2, j}}u_{1, j}^{e_{2, j}}u_{2, j}^{-e_{1, j}} \bmod \mathfrak m_j)^{m_j} \end{equation}\] 其中 \(m_j = \text{length}_{B_j}(B_j/\pi_j B_j)\)，乘积遍历 \(B\) 的极大理想 \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_r\)。

引理

公式 (0EAQ) 确定 \(\kappa(\mathfrak m)^*\) 中一个良定义的元素。 换言之，右边不依赖于局部分解的选择，也不依赖于 \(B\) 的选择。

证明

先证与分解选择无关。设 \(B\) 是一个诺特 \(1\)-维局部环，\(a_1, a_2 \in B\)， 并设 \(\pi, \theta\) 为非零因子，使得 \[a_1 = u_1 \pi^{e_1} = v_1 \theta^{f_1},\quad a_2 = u_2 \pi^{e_2} = v_2 \theta^{f_2}\] 其中 \(e_i, f_i \geq 0\) 是整数，\(u_i, v_i\) 是 \(B\) 中的单位。由此可得 \[a_1^{e_2} = u_1^{e_2}u_2^{-e_1}a_2^{e_1},\quad a_1^{f_2} = v_1^{f_2}v_2^{-f_1}a_2^{f_1}\] 另一方面，令 \(m = \text{length}_B(B/\pi B)\)、\(k = \text{length}_B(B/\theta B)\)， 便有 \(e_2 m = \text{length}_B(B/a_2 B) = f_2 k\)。 用上式展开 \(a_1^{e_2m} = a_1^{f_2 k}\)，得到 \[(u_1^{e_2}u_2^{-e_1})^m = (v_1^{f_2}v_2^{-f_1})^k\] 这已证明除符号外的所需等式。为了验证符号一致，只须证明 \(me_1e_2\) 为偶数当且仅当 \(kf_1f_2\) 为偶数。由于 \(me_2 = kf_2\) 且 \(me_1 = kf_1\)（论证同上），结论成立。

再证与 \(B\) 的选择无关。设有引理 0EAG 中的两个扩张 \(A \subset B\) 和 \(A \subset B'\)。那么 \[C = (B \otimes_A B')/(\mathfrak m\text{-幂挠子})\] 给出第三个这样的扩张。因此可以假设 \(A \subset B \subset C\)，并已在 \(B\) 的各局部环中给定分解； 需要证明，在 \(C\) 的各局部环中使用同一组分解会得到 \(\kappa(\mathfrak m)\) 中的同一元素。 由范数的传递性（《域》引理 0BIJ）， 问题归结为：若 \(B\) 是维数为 \(1\) 的诺特局部环，且 \(\pi \in B\) 是非零因子，则 \[\lambda^m = \prod \text{Norm}_{\kappa_k/\kappa}(\lambda)^{m_k}\] 这里使用如下记号： (1) \(\kappa\) 是 \(B\) 的剩余域； (2) \(\lambda\) 是 \(\kappa\) 的一个元素； (3) \(\mathfrak m_k \subset C\) 是 \(C\) 的极大理想； (4) \(\kappa_k = \kappa(\mathfrak m_k)\) 是 \(C_k = C_{\mathfrak m_k}\) 的剩余域； (5) \(m = \text{length}_B(B/\pi B)\)；以及 (6) \(m_k = \text{length}_{C_k}(C_k/\pi C_k)\)。 上述等式成立，因为对 \(\lambda \in \kappa\) 有 \(\text{Norm}_{\kappa_k/\kappa}(\lambda) = \lambda^{[\kappa_k : \kappa]}\)， 且 \(m = \sum m_k[\kappa_k:\kappa]\)。首先，由引理 0EA9 与 (0EA6)，有 \(m = \text{length}_B(B/xB) = \text{length}_B(C/\pi C)\)。 最后，由《交换代数》引理 02M0，有 \(\text{length}_B(C/\pi C) = \sum m_k[\kappa_k:\kappa]\)。

引理

驯顺符号 (0EAQ) 满足 (0EAL)、(0EAM)、 (0EAN) 和 (0EAP)，因而给出映射 \(\partial_A : Q(A)^* \times Q(A)^* \to \kappa(\mathfrak m)^*\)， 它满足 (0EAI)、(0EAJ) 和 (0EAK)。

证明

先证明 (0EAL)。设非零因子 \(a_1, a_2, a_3 \in A\)。 为 \(a_1, a_2, a_3\) 选择引理 0EAG 中的 \(A \subset B\)。等式 \[\partial_A(a_1a_2, a_3) = \partial_A(a_1, a_3) \partial_A(a_2, a_3)\] 由 \(B_j\) 中的等式 \[(-1)^{(e_{1, j} + e_{2, j})e_{3, j}} (u_{1, j}u_{2, j})^{e_{3, j}}u_{3, j}^{-e_{1, j} - e_{2, j}} = (-1)^{e_{1, j}e_{3, j}} u_{1, j}^{e_{3, j}}u_{3, j}^{-e_{1, j}} (-1)^{e_{2, j}e_{3, j}} u_{2, j}^{e_{3, j}}u_{3, j}^{-e_{2, j}}\] 推出。性质 (0EAM) 和 (0EAN) 同样是立即可得的。

下面证明 (0EAP)。设 \(a_1, a_2, a_1 - a_2 \in A\) 为非零因子， 并令 \(a_3 = a_1 - a_2\)。为 \(a_1, a_2, a_3\) 选择引理 0EAG 中的 \(A \subset B\)。只需证明 \[(-1)^{e_{1, j}e_{2, j} + e_{1, j}e_{3, j} + e_{2, j}e_{3, j} + e_{2, j}} u_{1, j}^{e_{2, j} - e_{3, j}} u_{2, j}^{e_{3, j} - e_{1, j}} u_{3, j}^{e_{1, j} - e_{2, j}} \bmod \mathfrak m_j = 1\] 如果 \(e_{1, j} = e_{2, j} = e_{3, j}\)，这很显然。设 \(e_{1, j} > e_{2, j}\)。 由 \(a_3 = a_1 - a_2\) 可知 \(e_{3, j} = e_{2, j}\)，且 \(u_{3, j}\) 与 \(-u_{2, j}\) 有相同的剩余类。因此公式成立，符号也恰好相符； 这项核查正是 (0EAQ) 中如此选择符号的原因。 其他情形的处理完全相同。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 为维数为 \(1\) 的诺特局部环。设 \(A \subset B\) 是有限环扩张， \(B/A\) 被 \(\mathfrak m\) 的某个幂零化，并且 \(\mathfrak m\) 不是 \(B\) 的伴随素理想。 对非零因子 \(a, b \in A\)，有 \[\partial_A(a, b) = \prod \text{Norm}_{\kappa(\mathfrak m_j)/\kappa(\mathfrak m)}(\partial_{B_j}(a, b))\] 其中乘积遍历 \(B\) 的极大理想 \(\mathfrak m_j\)，且 \(B_j = B_{\mathfrak m_j}\)。

证明

为 \(a, b\) 选择引理 0EAG 中的 \(B_j \subset C_j\)。 由引理 0EAE，可选取有限环扩张 \(B \subset C\)， 使得对所有 \(j\) 都有 \(C_j \cong C_{\mathfrak m_j}\)。 设 \(\mathfrak m_{j, k} \subset C\) 是位于 \(\mathfrak m_j\) 上方的 \(C\) 的极大理想。设 \[a = u_{j, k}\pi_{j, k}^{f_{j, k}},\quad b = v_{j, k}\pi_{j, k}^{g_{j, k}}\] 为选择 \(C_j \cong C_{\mathfrak m_j}\) 后得到的局部分解。由定义， \[\partial_A(a, b) = \prod\nolimits_{j, k} \text{Norm}_{\kappa(\mathfrak m_{j, k})/\kappa(\mathfrak m)} ((-1)^{f_{j, k}g_{j, k}}u_{j, k}^{g_{j, k}}v_{j, k}^{-f_{j, k}} \bmod \mathfrak m_{j, k})^{m_{j, k}}\] 并且 \[\partial_{B_j}(a, b) = \prod\nolimits_k \text{Norm}_{\kappa(\mathfrak m_{j, k})/\kappa(\mathfrak m_j)} ((-1)^{f_{j, k}g_{j, k}}u_{j, k}^{g_{j, k}}v_{j, k}^{-f_{j, k}} \bmod \mathfrak m_{j, k})^{m_{j, k}}\] 对域塔 \(\kappa(\mathfrak m_{j, k})/\kappa(\mathfrak m_j)/\kappa(\mathfrak m)\) 应用范数的传递性即得结论；见《域》引理 0BIJ。

引理

设 \((A, \mathfrak m, \kappa) \to (A', \mathfrak m', \kappa')\) 是诺特局部环的局部同态。假设 \(A \to A'\) 平坦，且 \(\dim(A) = \dim(A') = 1\)。 令 \(m = \text{length}_{A'}(A'/\mathfrak mA')\)。 对非零因子 \(a_1, a_2 \in A\)，\(\partial_A(a_1, a_2)^m\) 经 \(\kappa \to \kappa'\) 映为 \(\partial_{A'}(a_1, a_2)\)。

证明

如果 \(a_1, a_2\) 都是单位，那么 \(\partial_A(a_1, a_2) = 1\) 且 \(\partial_{A'}(a_1, a_2) = 1\)，结论成立。否则，可以选择引理 0EAG 中的环扩张 \(A \subset B\) 与局部分解。 以 \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_m\) 表示 \(B\) 的极大理想。 设 \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_m\) 是 \(B\) 的极大理想，其剩余域为 \(\kappa_1, \ldots, \kappa_m\)。对每个 \(j \in \{1, \ldots, m\}\)， 以 \(\pi_j \in B_j = B_{\mathfrak m_j}\) 表示一个非零因子，使得有引理中的分解 \(a_i = u_{i, j}\pi_j^{e_{i, j}}\)。由定义， \[\partial_A(a_1, a_2) = \prod\nolimits_j \text{Norm}_{\kappa_j/\kappa} ((-1)^{e_{1, j}e_{2, j}}u_{1, j}^{e_{2, j}}u_{2, j}^{-e_{1, j}} \bmod \mathfrak m_j)^{m_j}\] 其中 \(m_j = \text{length}_{B_j}(B_j/\pi_j B_j)\)。

令 \(B' = A' \otimes_A B\)。由于 \(A'\) 在 \(A\) 上平坦，\(A' \subset B'\) 是环扩张， 且 \(B'/A'\) 被 \(\mathfrak m'\) 的某个幂零化。设 \[\mathfrak m'_{j, l},\quad l = 1, \ldots, n_j\] 为 \(B'\) 中位于 \(\mathfrak m_j\) 上方的极大理想。以 \(\kappa'_{j, l}\) 表示 \(\mathfrak m'_{j, l}\) 的剩余域，以 \(B'_{j, l}\) 表示 \(B'\) 在 \(\mathfrak m'_{j, l}\) 处的局部化。 在 \(B'_{j, l}\) 中分解 \(a_1\)、\(a_2\) 时，采用 \(B_j\) 中给定分解 \(a_i = u_{i, j} \pi_j^{e_{i, j}}\) 的像。由定义， \[\partial_{A'}(a_1, a_2) = \prod\nolimits_{j, l} \text{Norm}_{\kappa'_{j, l}/\kappa'} ((-1)^{e_{1, j}e_{2, j}}u_{1, j}^{e_{2, j}}u_{2, j}^{-e_{1, j}} \bmod \mathfrak m'_{j, l})^{m'_{j, l}}\] 其中 \(m'_{j, l} = \text{length}_{B'_{j, l}}(B'_{j, l}/\pi_j B'_{j, l})\)。

比较上述公式可知，只需证明：对每个 \(j\) 和任意单位 \(u \in B_j\)，都有 [0GU1]\[\begin{equation} \left(\text{Norm}_{\kappa_j/\kappa}(u \bmod \mathfrak m_j)^{m_j}\right)^m = \prod\nolimits_l \text{Norm}_{\kappa'_{j, l}/\kappa'}(u \bmod \mathfrak m'_{j, l})^{m'_{j, l}} \end{equation}\] 在 \(\kappa'\) 中成立。我们用《代数进阶》第 0GSX 节中有限长度模的自同态行列式构造证明这一点。 令 \(M = B_j/\pi_j B_j\)。由《代数进阶》引理 0GSZ，有 \[\text{Norm}_{\kappa_j/\kappa}(u \bmod \mathfrak m_j)^{m_j} = \det\nolimits_\kappa(u : M \to M)\] 因此，由《代数进阶》引理 0GT0， (0GU1) 的左边等于 \(\det_{\kappa'}(u : M \otimes_A A' \to M \otimes_A A')\)。 有 \(A'\)-模同构 \[M \otimes_A A' = (B_j/\pi_j B_j) \otimes_A A' = \bigoplus\nolimits_l B'_{j, l}/\pi_j B'_{j, l}\] 令 \(M'_l = B'_{j, l}/\pi_j B'_{j, l}\)。再次由《代数进阶》引理 0GSZ，可得 \(\text{Norm}_{\kappa'_{j, l}/\kappa'}(u \bmod \mathfrak m'_{j, l})^{m'_{j, l}} = \det_{\kappa'}(u_j : M'_l \to M'_l)\)。 所以 (0GU1) 由行列式构造的乘法性成立；见《代数进阶》引理 0GSY。

一个关键引理

本节应用上述结果证明引理 0EAX。 该引理是如下陈述的低次数情形：Milnor K-理论存在一个类似于 Quillen K-理论中 Gersten–Quillen 复形的复形。见注 0EAY。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是一个 \(2\)-维诺特局部环。设 \(t \in \mathfrak m\) 为非零因子，并写成 \(V(t) = \{\mathfrak m, \mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_r\}\)。 设 \(A_{\mathfrak q_i} \subset B_i\) 是有限环扩张，其中 \(B_i/A_{\mathfrak q_i}\) 被 \(t\) 的某个幂零化。那么存在保持剩余域相同的有限局部环扩张 \(A \subset B\)，使得 \(B_i \cong B_{\mathfrak q_i}\)，并且 \(B/A\) 被 \(t\) 的某个幂零化。

证明

选取 \(n > 0\)，使 \(B_i \subset t^{-n}A_{\mathfrak q_i}\)。 令 \(M \subset t^{-n}A\) 和 \(M' \subset t^{-2n}A\) 分别为 由如下元素组成的 \(A\)-子模： 它们在 \(t^{-n}A_{\mathfrak q_i}\) 和 \(t^{-2n}A_{\mathfrak q_i}\) 中分别 映入 \(B_i\)。 由于 \(A\) 诺特，\(M \subset M'\) 是有限 \(A\)-模；又因局部化正合， \(M_{\mathfrak q_i} = M'_{\mathfrak q_i} = B_i\)。因此对某个 \(c > 0\)， \(M'/M\) 被 \(\mathfrak m^c\) 零化。注意，在乘法 \(t^{-n}A \times t^{-n}A \to t^{-2n}A\) 下，有 \(M \cdot M \subset M'\)。 故 \(B = A + \mathfrak m^{c + 1}M\) 是有限 \(A\)-代数，并具有所需的局部化。 我们略去如下验证：\(B\) 是局部环，其极大理想为 \(\mathfrak m + \mathfrak m^{c + 1}M\)。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是一个 \(2\)-维诺特局部环，\(a, b \in A\) 是非零因子。那么 \[\sum \text{ord}_{A/\mathfrak q}(\partial_{A_{\mathfrak q}}(a, b)) = 0\] 其中求和遍历 \(A\) 中所有高度为 \(1\) 的素理想 \(\mathfrak q\)。

证明

若 \(\mathfrak q\) 是 \(A\) 中高度为 \(1\) 的素理想，并且 \(a, b\) 在 \(A_\mathfrak q\) 中的像是单位， 则 \(\partial_{A_\mathfrak q}(a, b) = 1\)。因此该和为有限和。事实上，若 \(V(ab) = \{\mathfrak m, \mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_r\}\)， 则求和遍历 \(i = 1, \ldots, r\)。对每个 \(i\)，为 \(a, b\) 选取引理 0EAG 中的扩张 \(A_{\mathfrak q_i} \subset B_i\)。 把引理 0EAV 用于 \(t = ab\) 与给定的素理想列表， 可假设存在有限局部扩张 \(A \subset B\)，其中 \(B/A\) 被 \(ab\) 的某个幂零化， 并且对每个 \(i\) 都有 \(B_{\mathfrak q_i} \cong B_i\)。 注意，若 \(\mathfrak q_{i, j}\) 是 \(B\) 中位于 \(\mathfrak q_i\) 上方的素理想，则由 引理 0EAT 和《交换代数》引理 02MJ，有 \[\text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(a, b)) = \sum\nolimits_j \text{ord}_{B/\mathfrak q_{i, j}}(\partial_{B_{\mathfrak q_{i, j}}}(a, b))\] 因此可以用 \(B\) 代替 \(A\)，并约化到下一段讨论的情形。

假设对每个 \(i\)，存在非零因子 \(\pi_i \in A_{\mathfrak q_i}\) 和单位 \(u_i, v_i \in A_{\mathfrak q_i}\)，使得对某些整数 \(e_i, f_i \geq 0\)，在 \(A_{\mathfrak q_i}\) 中有 \[a = u_i \pi_i^{e_i},\quad b = v_i \pi_i^{f_i}\] 令 \(m_i = \text{length}_{A_{\mathfrak q_i}}(A_{\mathfrak q_i}/\pi_i)\)。 根据定义， \(\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(a, b) = ((-1)^{e_if_i}u_i^{f_i}v_i^{-e_i})^{m_i}\)。 由于 \(a, b\) 是非零因子，\((2, 1)\)-周期复形 \((A/(ab), a, b)\) 的上同调为零。 以 \(M_i\) 表示 \(A/(ab)\) 在 \(A_{\mathfrak q_i}/(ab)\) 中的像。于是有映射 \[A/(ab) \longrightarrow \bigoplus M_i\] 其核与余核均支撑在 \(\{\mathfrak m\}\) 上，因而具有有限长度。因此，由引理 0EA9，有 \[\sum e_A(M_i, a, b) = 0\] 故只须证明 \(e_A(M_i, a, b) = - \text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(a, b))\)。

先证明 \(\pi_i, u_i, v_i\) 是某些元素 \(\pi_i, u_i, v_i \in A\) 的像这一情形 （使用相同符号不会引起混淆）。此时 \[\begin{align*} e_A(M_i, a, b) & = e_A(M_i, u_i\pi_i^{e_i}, v_i\pi_i^{f_i}) \\ & = e_A(M_i, \pi_i^{e_i}, \pi_i^{f_i}) - e_A(\pi_i^{e_i}M_i, 0, u_i) + e_A(\pi_i^{f_i}M_i, 0, v_i) \\ & = 0 - f_im_i\text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(u_i) + e_im_i\text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(v_i) \\ & = -m_i\text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(u_i^{f_i}v_i^{-e_i}) = -\text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(a, b)) \end{align*}\] 第二个等式来自引理 0EAC。注意 \(M_i \subset (M_i)_{\mathfrak q_i} = A_{\mathfrak q_i}/(\pi_i^{e_i + f_i})\)，并且 \((\pi_i^{e_i}M_i)_{\mathfrak q_i} \cong A_{\mathfrak q_i}/\pi_i^{f_i}\)、 \((\pi_i^{f_i}M_i)_{\mathfrak q_i} \cong A_{\mathfrak q_i}/\pi_i^{e_i}\)。 第三个等式中的 \(0\) 来自引理 0EAB， 另外两项来自引理 02QF。 最后两个等式由阶函数的乘法性和驯顺符号的定义得到。

在一般情形下，先选取 \(c \in A\)、\(c \not \in \mathfrak q_i\)，使 \(c\pi_i \in A\)。 以 \(c\pi_i\) 代替 \(\pi_i\)，以 \(c^{-e_i}u_i\) 代替 \(u_i\)，并以 \(c^{-f_i}v_i\) 代替 \(v_i\) 后，可以而且将假设 \(\pi_i\) 属于 \(A\)。 接着选取 \(c \in A\)、\(c \not \in \mathfrak q_i\)，使 \(cu_i, cv_i \in A\)。 由引理 02QF，有 \[e_A(M_i, ca, cb) = e_A(M_i, a, b) - e_A(aM_i, 0, c) + e_A(bM_i, 0, c)\] 另一方面，由于 \(c\) 是 \(A_{\mathfrak q_i}\) 中的单位，在 \(\kappa(\mathfrak q_i)^*\) 中有 \[\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(ca, cb) = c^{m_i(f_i - e_i)}\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(a, b)\] 上一段的论证表明 \(e_A(M_i, ca, cb) = - \text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(ca, cb))\)。 因此只须证明 \[e_A(aM_i, 0, c) = \text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(c^{m_if_i}) \quad\text{且}\quad e_A(bM_i, 0, c) = \text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(c^{m_ie_i})\] 这由引理 02QF 以及上文对在 \(\mathfrak q_i\) 处局部化所得情形的描述推出。

引理

设 \(A\) 是一个 \(2\)-维诺特局部整环，其分式域为 \(K\)。设 \(f, g \in K^*\)。 设 \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\) 是 \(A\) 中满足如下条件的高度为 \(1\) 的素理想 \(\mathfrak q\)：\(f\) 或 \(g\) 至少有一个不属于 \(A^*_{\mathfrak q}\)。那么 \[\sum\nolimits_{i = 1, \ldots, t} \text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(f, g)) = 0\] 也可以写成 \[\sum\nolimits_{\text{高度}(\mathfrak q) = 1} \text{ord}_{A/\mathfrak q}(\partial_{A_{\mathfrak q}}(f, g)) = 0\] 因为对 \(A\) 中任意高度为 \(1\) 的素理想 \(\mathfrak q\)，若 \(f, g \in A^*_{\mathfrak q}\)，则 \(\partial_{A_{\mathfrak q}}(f, g) = 1\)。

证明

驯顺符号 \(\partial_{A_{\mathfrak q}}(f, g)\) 是双线性的，而阶函数 \(\text{ord}_{A/\mathfrak q}\) 是可加的，所以只需在 \(f\)、\(g\) 都属于 \(A\) 时证明该公式。 这一情形已在引理 0EAW 中证明。

注

对域 \(k\)，以 \(K^M_*(k)\) 表示 \(k^*\) 上的张量代数对如下双边理想的商： 该理想由所有 \(x \in k \setminus \{0, 1\}\) 对应的元素 \(x \otimes 1 - x\) 生成。因此 \(K^M_0(k) = \mathbf{Z}\)、\(K_1^M(k) = k^*\)，并且 \[K^M_2(k) = k^* \otimes_\mathbf{Z} k^* / \langle x \otimes 1 - x \rangle\] 若 \(A\) 是分式域为 \(F = \text{Frac}(A)\)、剩余域为 \(\kappa\) 的离散赋值环， 则有如第 0EAH 节定义的驯顺符号 \[\partial_A : K_{i + 1}^M(F) \to K_i^M(\kappa)\] 见 [Kato-Milnor-K]。更一般地，利用正规化以及 \(K_i^M\) 上的范数映射，可以把这一映射推广到 \(A\) 为维数为 \(1\) 的优秀局部整环的情形；见 [Kato-Milnor-K]。 可以推测，第 0EAH 节的方法能够把驯顺符号 \(\partial_A\) 的构造推广到任意维数为 \(1\) 的诺特局部整环 \(A\)。接着，设 \(X\) 是带有维数函数 \(\delta\) 的诺特概形。 利用这些驯顺符号，可以得到下列箭头： \[\bigoplus\nolimits_{\delta(x) = j + 1} K^M_{i + 1}(\kappa(x)) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{\delta(x) = j} K^M_i(\kappa(x)) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{\delta(x) = j - 1} K^M_{i - 1}(\kappa(x))\] 但尚不清楚该复合是否为零，亦即是否由此得到一个阿贝尔群复形。 对优秀概形 \(X\)，这在 [Kato-Milnor-K] 中得到证明。 当 \(i = 1\) 而 \(j\) 任意时，结论来自引理 0EAX。

基本设置

在本章中，我们始终在一个配有维数函数 \(\delta\) 的局部诺特、泛链状基概形 \(S\) 上工作。 尽管本章的讨论（至少一部分）很可能可以推广，但这似乎是一个良好的第一步近似； 它恰好就是 [Thorup] 所讨论的一般程度。通常不假设所研究的概形是分离的或拟紧的。 许多有趣的代数栈并不分离和/或并不拟紧，因此这里也是研究如何为这些对象发展合理理论的一个好例子。 为了便于引用这些假设，我们为其编号。

情形

这里 \(S\) 是一个局部诺特且泛链状的概形。此外，假设 \(S\) 配有维数函数 \(\delta : S \longrightarrow \mathbf{Z}\)。

泛链状概形的概念见《概形态射》定义 02J8；维数函数的概念见《拓扑学》定义 02I9。回忆，任意局部诺特链状概形在局部都有维数函数； 见《概形的性质》引理 02IY。 此外，泛链状概形相当常见；见《概形态射》引理 02JB。

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。任意在 \(S\) 上局部有限型的概形 \(X\) 都是局部诺特且链状的。事实上，\(X\) 有一个与 \((f : X \to S, \delta)\) 相伴的典范维数函数 \[\delta = \delta_{X/S} : X \longrightarrow \mathbf{Z}\] 其规则为 \(\delta_{X/S}(x) = \delta(f(x)) + \text{trdeg}_{\kappa(f(x))}\kappa(x)\)。 见《概形态射》引理 02JW。 此外，若 \(h : X \to Y\) 是 \(S\) 上局部有限型概形之间的态射，且 \(x \in X\)、\(y = h(x)\)，则显然 \(\delta_{X/S}(x) = \delta_{Y/S}(y) + \text{trdeg}_{\kappa(y)}\kappa(x)\)。 下文将自由使用这个函数及其性质。

下面给出上述设置的基本例子。事实上，最值得关注的是基为一个域的谱， 或者基为 Dedekind 环的谱（例如 \(\mathbf{Z}\) 或离散赋值环）的情形。

例

这里 \(S = \Spec(k)\)，其中 \(k\) 是域。令 \(\delta(pt) = 0\)，其中 \(pt\) 表示 \(S\) 的唯一点。 \((S, \delta)\) 是情形 02QL 中设置的一个例子； 这来自《概形态射》引理 02JB。

例

这里 \(S = \Spec(A)\)，其中 \(A\) 是维数为 \(1\) 的诺特整环。例如可以取 \(A = \mathbf{Z}\)。 若 \(\mathfrak p\) 是极大理想，令 \(\delta(\mathfrak p) = 0\)；若 \(\mathfrak p = (0)\) 对应一般点，令 \(\delta(\mathfrak p) = 1\)。 这是情形 02QL 的一个例子； 结论来自《概形态射》引理 02JB。

例

这里 \(S\) 是 Cohen–Macaulay 概形。由《概形态射》引理 02JB，\(S\) 泛链状。令 \(\delta(s) = -\dim(\mathcal{O}_{S, s})\)。若 \(s' \leadsto s\) 是 \(S\) 中点的非平凡特殊化， 则 \(\mathcal{O}_{S, s'}\) 是 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 在非极大素理想 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{S, s}\) 处的局部化；见《概形》引理 01J7。因此由《交换代数》引理 00NA，有 \(\dim(\mathcal{O}_{S, s}) = \dim(\mathcal{O}_{S, s'}) + \dim(\mathcal{O}_{S, s}/\mathfrak p) > \dim(\mathcal{O}_{S, s'})\)。故 \(\delta(s') > \delta(s)\)。 若 \(s' \leadsto s\) 是紧邻特殊化，则 \(\mathfrak p\) 与 \(\mathfrak m_s\) 之间没有严格介于二者的素理想， 从而 \(\delta(s') = \delta(s) + 1\)。所以 \(\delta\) 是维数函数。 换言之，\((S, \delta)\) 是情形 02QL 的一个例子。

如果 \(S\) 是 Jacobson 概形，而 \(\delta\) 把闭点映为零，那么 \(\delta\) 就是把每个点映到其闭包维数的函数。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。进一步假设 \(S\) 是 Jacobson 概形， 并且对 \(S\) 的每个闭点 \(s\) 都有 \(\delta(s) = 0\)。设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。 设 \(Z \subset X\) 是整闭子概形，\(\xi \in Z\) 是它的一般点。下列整数相同：

1. \(\delta_{X/S}(\xi)\)；

2. \(\dim(Z)\)；以及

3. \(\dim(\mathcal{O}_{Z, z})\)，其中 \(z\) 是 \(Z\) 的闭点。

证明

设 \(X \to S\)、\(\xi \in Z \subset X\) 如引理所述。由于 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型， \(X\) 是 Jacobson 概形；见《概形态射》引理 02J5。因此，\(X\) 的闭点在 \(Z\) 的每个闭子集中稠密， 并映到 \(S\) 的闭点。所以，给定 \(Z\) 中不可约闭子集的任意链，可以用 \(Z\) 的某个闭点将其终结。 从而，当 \(z \in Z\) 遍历 \(Z\) 的闭点时， \(\dim(Z) = \sup_z(\dim(\mathcal{O}_{Z, z})\)； 见《概形的性质》引理 02IZ。 由维数函数的性质，\(\dim(\mathcal{O}_{Z, z}) = \delta(\xi) - \delta(z)\)。 对每个闭点 \(z \in Z\)，域扩张 \(\kappa(z)/\kappa(f(z))\) 有限；见《概形态射》引理 01TB。 因此，对闭点 \(z \in Z\)，有 \(\delta_{X/S}(z) = \delta(f(z)) = 0\)。 由此可知三个整数全都相等。

在上述引理的情形下，\(\delta\) 在一个闭不可约子集的一般点处的值，就是该不可约闭子集的维数。 但一般来说不能期待这一等式成立。例如，若 \(S = \Spec(\mathbf{C}[[t]])\) 且 \(X = \Spec(\mathbf{C}((t)))\)，则对 \(X\) 的唯一点有 \(\delta(x) = 1\)，但 \(\dim(X) = 0\)。尽管如此，我们仍希望把 \(\delta_{X/S}\) 视作给出不可约闭子概形的维数。 因此引入以下术语。

定义

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。对任意在 \(S\) 上局部有限型的概形 \(X\) 和任意不可约闭子集 \(Z \subset X\)，定义 \[\dim_\delta(Z) = \delta(\xi)\] 其中 \(\xi \in Z\) 是 \(Z\) 的一般点。称其为\(Z\) 的 \(\delta\)-维数。 如果 \(Z\) 是 \(X\) 的闭子概形，则定义 \(\dim_\delta(Z)\) 为其不可约分支的 \(\delta\)-维数的上确界。

循环

由于不假设所研究的概形拟紧，定义循环时必须稍加谨慎。例如，有理函数可能有无穷多个极点， 因此必须允许无穷和。不过，如果 \(X\) 拟紧，那么循环仍像通常一样是有限和。

定义

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，并设 \(k \in \mathbf{Z}\)。

1. \(X\) 上的一个循环是形式和 \[\alpha = \sum n_Z [Z]\] 其中求和遍历整闭子概形 \(Z \subset X\)，每个 \(n_Z \in \mathbf{Z}\)，并且集合 \(\{Z; n_Z \not = 0\}\) 局部有限 （《拓扑学》定义 0BDS）。

2. \(X\) 上的一个 \(k\)-循环是满足下述条件的循环 \[\alpha = \sum n_Z [Z]\] 即 \(n_Z \not = 0 \Rightarrow \dim_\delta(Z) = k\)。

3. \(X\) 上所有 \(k\)-循环构成的阿贝尔群记为 \(Z_k(X)\)。

换言之，\(X\) 上的 \(k\)-循环是 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的整闭子概形的局部有限形式 \(\mathbf{Z}\)-线性组合。\(k\)-循环 \(\alpha = \sum n_Z[Z]\) 与 \(\beta = \sum m_Z[Z]\) 的加法定义为 \[\alpha + \beta = \sum (n_Z + m_Z)[Z],\] 也就是把系数相加。

注

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，并设 \(k \in \mathbf{Z}\)。可以写成 \[Z_k(X) = \bigoplus\nolimits_{\delta(x) = k}' K_0^M(\kappa(x)) \quad\subset\quad \bigoplus\nolimits_{\delta(x) = k} K_0^M(\kappa(x))\] 其中采用以下记号与约定：

1. \(K_0^M(\kappa(x)) = \mathbf{Z}\) 是点 \(x \in X\) 的剩余域 \(\kappa(x)\) 的 Milnor K-理论的次数 \(0\) 部分（见注 0EAY）；

2. 右边的直和遍历满足 \(\delta(x) = k\) 的所有点 \(x \in X\)；

3. 记号 \(\bigoplus'_x\) 表示只取由局部有限元素构成的子群；也就是取满足如下条件的元素 \(\sum_x n_x\)：对每个拟紧开集 \(U \subset X\)，满足 \(n_x \not = 0\) 的点 \(x \in U\) 只有有限多个。

定义

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，并设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。 \(X\) 上循环 \(\alpha = \sum n_Z [Z]\) 的支撑为 \[\text{Supp}(\alpha) = \bigcup\nolimits_{n_Z \not = 0} Z \subset X\]

由于集合 \(\{Z; n_Z \not = 0\}\) 局部有限，\(\text{Supp}(\alpha)\) 是 \(X\) 的闭子集。 若 \(\alpha\) 是 \(k\)-循环，则 \(\text{Supp}(\alpha)\) 的每个不可约分支 \(Z\) 的 \(\delta\)-维数都为 \(k\)。

定义

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，并设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。 \(X\) 上的循环 \(\alpha\) 如果可以写成 \(\alpha =\sum n_Z [Z]\)，且对所有 \(Z\) 都有 \(n_Z \geq 0\)， 就称该循环是有效的。

所有有效循环构成一个幺半群，因为两个有效循环之和仍有效；但它不是群 （除非 \(X = \emptyset\)）。

与闭子概形相伴的循环

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型， 并设 \(Z \subset X\) 是闭子概形。

1. 设 \(Z' \subset Z\) 是一个不可约分支，\(\xi \in Z'\) 是它的一般点。那么 \[\text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}} \mathcal{O}_{Z, \xi} < \infty\]

2. 如果 \(\dim_\delta(Z) \leq k\)，并且 \(\xi \in Z\) 满足 \(\delta(\xi) = k\)，那么 \(\xi\) 是 \(Z\) 的某个不可约分支的一般点。

证明

设 \(Z' \subset Z\)、\(\xi \in Z'\) 如 (1) 所述。那么 \(\dim(\mathcal{O}_{Z, \xi}) = 0\)；例如见《概形的性质》引理 02IZ。因此 \(\mathcal{O}_{Z, \xi}\) 是维数为零的诺特局部环， 从而作为自身的模具有有限长度（见《交换代数》命题 00KJ）。所以它作为 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)-模也具有有限长度； 见《交换代数》引理 00IX。

假设 \(\xi \in Z\) 且 \(\delta(\xi) = k\)。考虑闭包 \(Z' = \overline{\{\xi\}}\)。根据定义，它是满足 \(\dim_\delta(Z') = k\) 的不可约闭子概形。 由于 \(\dim_\delta(Z) = k\)，它必为 \(Z\) 的一个不可约分支。因此 (2) 成立。

定义

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型， 并设 \(Z \subset X\) 是闭子概形。

1. 对任意一般点为 \(\xi\) 的不可约分支 \(Z' \subset Z\)，称整数 \(m_{Z', Z} = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}} \mathcal{O}_{Z, \xi}\) （引理 02QT）为 \(Z'\) 在 \(Z\) 中的重数。

2. 假设 \(\dim_\delta(Z) \leq k\)。定义与 \(Z\) 相伴的 \(k\)-循环为 \[[Z]_k = \sum m_{Z', Z}[Z']\] 其中求和遍历 \(Z\) 中 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的不可约分支。 （由《除子》引理 0BE1，这是一个 \(k\)-循环。）

必须注意，只有在 \(Z\) 的 \(\delta\)-维数不超过 \(k\) 时才定义 \([Z]_k\)。 换言之，按约定，只要写下 \([Z]_k\)，就隐含着 \(\dim_\delta(Z) \leq k\)。

与凝聚层相伴的循环

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型， 并设 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。

1. \(\mathcal{F}\) 的支撑的不可约分支所成集合局部有限。

2. 设 \(Z' \subset \text{Supp}(\mathcal{F})\) 是一个不可约分支， \(\xi \in Z'\) 是它的一般点。那么 \[\text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}} \mathcal{F}_\xi < \infty\]

3. 如果 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\)，并且 \(\xi \in \text{Supp}(\mathcal{F})\) 满足 \(\delta(\xi) = k\)，那么 \(\xi\) 是 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) 的某个不可约分支的一般点。

证明

由《概形上同调》引理 01Y5， \(\mathcal{F}\) 的支撑 \(Z\) 是 \(X\) 的闭子集。可以把 \(Z\) 看成 \(X\) 的约化闭子概形 （《概形》引理 01J3）。 因此，把《除子》引理 0BE1 用于 \(Z\) 即得 (1)， 把引理 02QT 用于 \(Z\) 即得 (3)。

设 \(\xi \in Z'\) 如 (2) 所述。在此情形下，对 \(X\) 中任意特殊化 \(\xi' \leadsto \xi\)，都有 \(\mathcal{F}_{\xi'} = 0\)。回忆， \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) 的非极大素理想对应于 \(X\) 中特殊化到 \(\xi\) 的点 （《概形》引理 01J7）。 因此 \(\mathcal{F}_\xi\) 是有限 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)-模，其支撑为 \(\{\mathfrak m_\xi\}\)。所以由《交换代数》引理 00L5， 它具有有限长度。

定义

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型， 并设 \(\mathcal{F}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。

1. 对任意一般点为 \(\xi\) 的不可约分支 \(Z' \subset \text{Supp}(\mathcal{F})\)，称整数 \(m_{Z', \mathcal{F}} = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}} \mathcal{F}_\xi\) （引理 02QW）为 \(Z'\) 在 \(\mathcal{F}\) 中的重数。

2. 假设 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\)。定义 与 \(\mathcal{F}\) 相伴的 \(k\)-循环为 \[[\mathcal{F}]_k = \sum m_{Z', \mathcal{F}}[Z']\] 其中求和遍历 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) 中 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的不可约分支。 （由引理 02QW，这是一个 \(k\)-循环。）

必须注意，只有当 \(\mathcal{F}\) 凝聚，且 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) 的 \(\delta\)-维数不超过 \(k\) 时，才定义 \([\mathcal{F}]_k\)。换言之，按约定，只要写下 \([\mathcal{F}]_k\)，就隐含着 \(\mathcal{F}\) 在 \(X\) 上凝聚，且 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\)。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型， 并设 \(Z \subset X\) 是闭子概形。如果 \(\dim_\delta(Z) \leq k\)，那么 \([Z]_k = [{\mathcal O}_Z]_k\)。

证明

这是因为在此情形下，重数 \(m_{Z', Z}\) 与 \(m_{Z', \mathcal{O}_Z}\) 依定义相等。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型， 并设 \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0\) 是 \(X\) 上凝聚层的短正合列。假设 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 与 \(\mathcal{H}\) 的支撑的 \(\delta\)-维数都满足 \(\leq k\)。那么 \([\mathcal{G}]_k = [\mathcal{F}]_k + [\mathcal{H}]_k\)。

证明

这立即来自长度的可加性；见《交换代数》引理 00IV。

固有推前的准备工作

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，设 \(X\)、\(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型， 并设 \(f : X \to Y\) 是态射。假设 \(X\)、\(Y\) 都是整概形，且 \(\dim_\delta(X) = \dim_\delta(Y)\)。那么，或者 \(f(X)\) 包含在 \(Y\) 的某个真闭子概形中， 或者 \(f\) 是支配态射，并且函数域扩张 \(R(X)/R(Y)\) 有限。

证明

由于 \(X\) 不可约，闭包 \(\overline{f(X)} \subset Y\) 不可约 （《拓扑学》引理 0379 和 004W）。如果 \(\overline{f(X)} \not = Y\)，结论已得。 如果 \(\overline{f(X)} = Y\)，则 \(f\) 支配；由《概形态射》引理 01RM， \(Y\) 的一般点 \(\eta_Y\) 位于 \(f\) 的像中。这当然蕴含 \(f(\eta_X) = \eta_Y\)， 其中 \(\eta_X \in X\) 是 \(X\) 的一般点。由于 \(\delta(\eta_X) = \delta(\eta_Y)\)， \(R(Y) = \kappa(\eta_Y) \subset \kappa(\eta_X) = R(X)\) 是超越次数为 \(0\) 的扩张。 所以由《概形态射》引理 02NX， \(R(Y) \subset R(X)\) 是有限扩张；该引理适用是由《概形态射》引理 01T8 保证的。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，设 \(X\)、\(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型， 并设 \(f : X \to Y\) 是态射。假设 \(f\) 拟紧，且 \(\{Z_i\}_{i \in I}\) 是 \(X\) 中闭子集的局部有限族。 那么 \(\{\overline{f(Z_i)}\}_{i \in I}\) 是 \(Y\) 中闭子集的局部有限族。

证明

设 \(V \subset Y\) 是拟紧开子集。由于 \(f\) 拟紧，开集 \(f^{-1}(V)\) 拟紧。 因此集合 \(\{i \in I \mid Z_i \cap f^{-1}(V) \not = \emptyset \}\) 有限； 这里略去一个简单的拓扑论证。这个集合与 \[\{i \in I \mid f(Z_i) \cap V \not = \emptyset \} = \{i \in I \mid \overline{f(Z_i)} \cap V \not = \emptyset \}\] 相同，故引理得证。

固有推前

定义

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，设 \(X\)、\(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型， 并设 \(f : X \to Y\) 是态射。假设 \(f\) 固有。

1. 设 \(Z \subset X\) 是满足 \(\dim_\delta(Z) = k\) 的整闭子概形。定义 \[f_*[Z] = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{若} & \dim_\delta(f(Z))< k, \\ \deg(Z/f(Z)) [f(Z)] & \text{若} & \dim_\delta(f(Z)) = k. \end{matrix} \right.\] 这里把 \(f(Z) \subset Y\) 看作整闭子概形。若 \(\dim_\delta(f(Z)) = \dim_\delta(Z)\)，则由引理 02R1， \(Z\) 在 \(f(Z)\) 上的次数有限。

2. 设 \(\alpha = \sum n_Z [Z]\) 是 \(X\) 上的 \(k\)-循环。定义 \(\alpha\) 的推前为和 \[f_* \alpha = \sum n_Z f_*[Z]\] 其中每个 \(f_*[Z]\) 如上定义。由引理 02R2，这个和局部有限。

依定义，循环的固有推前 \[f_* : Z_k(X) \longrightarrow Z_k(Y)\] 是阿贝尔群同态。它把 \(X \mapsto Z_k(X)\) 变成如下范畴上的协变函子： 对象是在 \(S\) 上局部有限型的概形，态射为固有态射。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，设 \(X\)、\(Y\)、\(Z\) 在 \(S\) 上局部有限型， 并设 \(f : X \to Y\)、\(g : Y \to Z\) 为固有态射。那么作为映射 \(Z_k(X) \to Z_k(Z)\)，有 \(g_* \circ f_* = (g \circ f)_*\)。

证明

设 \(W \subset X\) 是维数为 \(k\) 的整闭子概形。考虑 \(W' = f(W) \subset Y\) 与 \(W'' = g(f(W)) \subset Z\)。 由于 \(f\)、\(g\) 固有，\(W'\)（以及 \(W''\)）分别是 \(Y\)（以及 \(Z\)）的整闭子概形。 需要证明 \(g_*(f_*[W]) = (g \circ f)_*[W]\)。若 \(\dim_\delta(W'') < k\)， 则两边均为零。若 \(\dim_\delta(W'') = k\)，则所诱导的两个态射 \[W \longrightarrow W' \longrightarrow W''\] 都满足引理 02R1 的假设。因此 \[g_*(f_*[W]) = \deg(W/W')\deg(W'/W'')[W''], \quad (g \circ f)_*[W] = \deg(W/W'')[W''].\] 再应用《概形态射》引理 02NZ 即得结论。

闭浸入是固有态射。如果 \(i : Z \to X\) 是闭浸入，那么映射 \[i_* : Z_k(Z) \longrightarrow Z_k(X)\] 全都是单射。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，并设 \(X_1, X_2 \subset X\) 是闭子概形，使得在集合意义下 \(X = X_1 \cup X_2\)。 对每个 \(k \in \mathbf{Z}\)，阿贝尔群序列 \[\xymatrix{ Z_k(X_1 \cap X_2) \ar[r] & Z_k(X_1) \oplus Z_k(X_2) \ar[r] & Z_k(X) \ar[r] & 0 }\] 正合。这里 \(X_1 \cap X_2\) 是概形论交，映射都是推前映射，其中一个乘以 \(-1\)。

证明

先假设 \(X\) 拟紧。那么 \(Z_k(X)\) 是自由 \(\mathbf{Z}\)-模；它的一组基为元素 \([Z]\)， 其中 \(Z \subset X\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的整闭子概形。群 \(Z_k(X_1)\)、\(Z_k(X_2)\)、\(Z_k(X_1 \cap X_2)\) 分别由这些 \(Z\) 中满足 \(Z \subset X_1\)、\(Z \subset X_2\)、\(Z \subset X_1 \cap X_2\) 的子集自由生成。 这立即证明了此情形下的引理。一般情形相似，略去证明。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，并设 \(f : X \to Y\) 是在 \(S\) 上局部有限型的概形之间的固有态射。

1. 设 \(Z \subset X\) 是满足 \(\dim_\delta(Z) \leq k\) 的闭子概形。那么 \[f_*[Z]_k = [f_*{\mathcal O}_Z]_k.\]

2. 设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的凝聚层，且 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\)。那么 \[f_*[\mathcal{F}]_k = [f_*{\mathcal F}]_k.\]

该陈述有意义，因为由《概形上同调》命题 02O5，\(f_*\mathcal{F}\) 和 \(f_*\mathcal{O}_Z\) 都是凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模。

证明

(1) 由 (2) 和引理 02QY 推出。 设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的凝聚层，并假设 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\)。 由《概形上同调》引理 01Y5， 存在闭子概形 \(i : Z \to X\) 和凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模 \(\mathcal{G}\)，使得 \(i_*\mathcal{G} \cong \mathcal{F}\)，并且 \(\mathcal{F}\) 的支撑为 \(Z\)。 设 \(Z' \subset Y\) 是 \(f|_Z : Z \to Y\) 的概形论像。考虑概形的交换图 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_{f|_Z} & X \ar[d]^f \\ Z' \ar[r]^{i'} & Y }\] 沿该图的两条路径可得 \(f_*\mathcal{F} = f_*i_*\mathcal{G} = i'_*(f|_Z)_*\mathcal{G}\)。 假设已知结果对闭浸入以及 \(f|_Z\) 成立，则 \[f_*[\mathcal{F}]_k = f_*i_*[\mathcal{G}]_k = (i')_*(f|_Z)_*[\mathcal{G}]_k = (i')_*[(f|_Z)_*\mathcal{G}]_k = [(i')_*(f|_Z)_*\mathcal{G}]_k = [f_*\mathcal{F}]_k\] 如所需。闭浸入的情形直接可得，略去证明。注意 \(f|_Z : Z \to Z'\) 是支配态射；见《概形态射》引理 01R8。 因此已经约化到 \(\dim_\delta(X) \leq k\) 且 \(f : X \to Y\) 固有并支配的情形。

假设 \(\dim_\delta(X) \leq k\)，且 \(f : X \to Y\) 固有并支配。 由于 \(f\) 支配，对一般点为 \(\eta\) 的每个不可约分支 \(Z \subset Y\)， 都存在点 \(\xi \in X\) 使 \(f(\xi) = \eta\)。因此 \(\delta(\eta) \leq \delta(\xi) \leq k\)。所以在表达式 \[f_*[\mathcal{F}]_k = \sum n_Z[Z], \quad \text{且} \quad [f_*\mathcal{F}]_k = \sum m_Z[Z].\] 中，只要 \(n_Z \not = 0\) 或 \(m_Z \not = 0\)，整闭子概形 \(Z\) 实际上就是 \(Y\) 中 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的一个不可约分支。选取这样的整闭子概形 \(Z \subset Y\)， 并以 \(\eta\) 表示其一般点。注意，对任何满足 \(f(\xi) = \eta\) 的 \(\xi \in X\)， 都有 \(\delta(\xi) \geq k\)，因而 \(\xi\) 也是 \(X\) 中某个 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的不可约分支的一般点 （见引理 02QT）。由于 \(f\) 拟紧且 \(X\) 局部诺特， 这样的点只有有限多个，故 \(f^{-1}(\{\eta\})\) 有限。 由《概形态射》引理 02NW，存在开邻域 \(\eta \in V \subset Y\)，使 \(f^{-1}(V) \to V\) 有限。以 \(V\) 代替 \(Y\)， 以 \(f^{-1}(V)\) 代替 \(X\)，便约化到 \(Y\) 仿射且 \(f\) 有限的情形。

写成 \(Y = \Spec(R)\)、\(X = \Spec(A)\)；这是可能的，因为有限态射是仿射的。 那么 \(R\)、\(A\) 是诺特环，且 \(A\) 在 \(R\) 上有限。此外，对某个有限 \(A\)-模 \(M\)，有 \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\)。注意，\(f_*\mathcal{F}\) 对应于被视作 \(R\)-模的 \(M\)。 设 \(\mathfrak p \subset R\) 是对应于 \(\eta \in Y\) 的极小素理想。 \(Z\) 在 \([f_*\mathcal{F}]_k\) 中的系数显然为 \(\text{length}_{R_{\mathfrak p}}(M_{\mathfrak p})\)。 设 \(\mathfrak q_i\)（\(i = 1, \ldots, t\)）是 \(A\) 中位于 \(\mathfrak p\) 上方的素理想。 由于 \(A_{\mathfrak p}\) 在维数为零的诺特局部环 \(R_{\mathfrak p}\) 上有限， 它是 Artin 环，因而 \(A_{\mathfrak p} = \prod A_{\mathfrak q_i}\)。 \(Z\) 在 \(f_*[\mathcal{F}]_k\) 中的系数显然为 \[\sum\nolimits_{i = 1, \ldots, t} [\kappa(\mathfrak q_i) : \kappa(\mathfrak p)] \text{length}_{A_{\mathfrak q_i}}(M_{\mathfrak q_i})\] 所需等式于是来自《交换代数》引理 02M0。

平坦拉回的准备工作

回忆，若局部有限型态射 \(f : X \to Y\) 的每个非空纤维都是维数为 \(r\) 的等维概形， 就称它的相对维数为 \(r\)。见《概形态射》定义 02NJ。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，设 \(X\)、\(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型， 并设 \(f : X \to Y\) 是态射。假设 \(f\) 是相对维数为 \(r\) 的平坦态射。 对任何闭子集 \(Z \subset Y\)，只要 \(f^{-1}(Z)\) 非空，就有 \[\dim_\delta(f^{-1}(Z)) = \dim_\delta(Z) + r.\] 若 \(Z\) 不可约，而 \(Z' \subset f^{-1}(Z)\) 是一个不可约分支， 则 \(Z'\) 支配 \(Z\)，并且 \(\dim_\delta(Z') = \dim_\delta(Z) + r\)。

证明

只需证明最后一个断言。可以用整闭子概形 \(Z\) 代替 \(Y\)， 并用概形论逆像 \(f^{-1}(Z) = Z \times_Y X\) 代替 \(X\)。 因此可以假设 \(Z = Y\) 为整概形，且 \(f\) 是相对维数为 \(r\) 的平坦态射。 由于 \(Y\) 局部诺特，局部有限型态射 \(f\) 实际上局部有限呈示。 故《概形态射》引理 01UA 适用，并表明 \(f\) 是开态射。 设 \(\xi \in X\) 是 \(X\) 的某个不可约分支的一般点。由 \(f\) 的开性， \(f(\xi)\) 是 \(Z = Y\) 的一般点 \(\eta\)。因为 \(f\) 的相对维数为 \(r\)，有 \(\dim_\xi(X_\eta) = r\)。另一方面，由于 \(\xi\) 是 \(X\) 的一般点， \(\mathcal{O}_{X, \xi} = \mathcal{O}_{X_\eta, \xi}\) 只有一个素理想，因而维数为 \(0\)。 所以由《概形态射》引理 02FX， \(\kappa(\xi)\) 在 \(\kappa(\eta)\) 上的超越次数为 \(r\)。 换言之，\(\delta(\xi) = \delta(\eta) + r\)，如所需。

下面的引理将用于证明：闭子概形的局部有限族经平坦拉回后仍局部有限。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，设 \(X\)、\(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型， 并设 \(f : X \to Y\) 是态射。假设 \(\{Z_i\}_{i \in I}\) 是 \(Y\) 中闭子集的局部有限族， 那么 \(\{f^{-1}(Z_i)\}_{i \in I}\) 是 \(X\) 中闭子集的局部有限族。

证明

设 \(U \subset X\) 是拟紧开子集。由于像 \(f(U) \subset Y\) 是拟紧子集， 存在拟紧开集 \(V \subset Y\) 使 \(f(U) \subset V\)。注意 \[\{i \in I \mid f^{-1}(Z_i) \cap U \not = \emptyset \} \subset \{i \in I \mid Z_i \cap V \not = \emptyset \}.\] 右边依假设有限，故结论成立。

平坦拉回

下文以 \(f^{-1}(Z)\) 表示如下概形论逆像：对概形态射 \(f : X \to Y\) 与闭子概形 \(Z \subset Y\)，取该闭子概形的概形论逆像。回忆，概形论逆像是纤维积 \[\xymatrix{ f^{-1}(Z) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ Z \ar[r] & Y }\] 如果 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Y\) 是对应于 \(Y\) 中 \(Z\) 的拟凝聚理想层， 它也就是由拟凝聚理想层 \(f^{-1}(\mathcal{I})\mathcal{O}_X\) 截出的 \(X\) 的闭子概形。 对此的讨论见《概形》第 01HJ 节、 引理 01JU 和定义 01JV。

定义

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，设 \(X\)、\(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型， 并设 \(f : X \to Y\) 是态射。假设 \(f\) 是相对维数为 \(r\) 的平坦态射。

1. 设 \(Z \subset Y\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的整闭子概形。定义 \(f^*[Z]\) 为 \(X\) 上与概形论逆像相伴的 \((k+r)\)-循环 \[f^*[Z] = [f^{-1}(Z)]_{k+r}.\] 这是有意义的，因为由引理 02R8， \(\dim_\delta(f^{-1}(Z)) = k + r\)。

2. 设 \(\alpha = \sum n_i [Z_i]\) 是 \(Y\) 上的 \(k\)-循环。定义 \(\alpha\) 沿 \(f\) 的平坦拉回为和 \[f^* \alpha = \sum n_i f^*[Z_i]\] 其中每个 \(f^*[Z_i]\) 如上定义。由引理 02R9， 该和局部有限。

3. 将如此得到的阿贝尔群映射记为 \(f^* : Z_k(Y) \to Z_{k + r}(X)\)。

开浸入是平坦的。这是平坦态射的一个重要但平凡的特殊情形。如果 \(U \subset X\) 是开集， 有时把循环沿 \(j : U \to X\) 的拉回称为该循环在 \(U\) 上的限制。注意，此时映射 \[j^* : Z_k(X) \longrightarrow Z_k(U)\] 全都是满射。理由如下：给定任意整闭子概形 \(Z' \subset U\)， 可以在 \(X\) 中取 \(Z'\) 的闭包 \(Z\)，并把它看成 \(X\) 的约化闭子概形 （见《概形》引理 01J3）。 显然 \(Z \cap U = Z'\)，换言之 \(j^*[Z] = [Z']\)，故得满射性。事实上还有稍强的结论。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。 设 \(U \subset X\) 是开子概形，并把 \(i : Y = X \setminus U \to X\) 视作 \(X\) 的约化闭子概形。 对每个 \(k \in \mathbf{Z}\)，阿贝尔群复形 \[\xymatrix{ Z_k(Y) \ar[r]^{i_*} & Z_k(X) \ar[r]^{j^*} & Z_k(U) \ar[r] & 0 }\] 正合。

证明

先假设 \(X\) 拟紧。那么 \(Z_k(X)\) 是自由 \(\mathbf{Z}\)-模；它的一组基由元素 \([Z]\) 给出， 其中 \(Z \subset X\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的整闭子概形。 这样的基元素映到基元素 \([Z \cap U]\)，或者在 \(Z \subset Y\) 时映为零。 故此情形下引理显然。一般情形相似，略去证明。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，设 \(X, Y, Z\) 在 \(S\) 上局部有限型。 设 \(f : X \to Y\)、\(g : Y \to Z\) 分别是相对维数为 \(r\)、\(s\) 的平坦态射。 那么 \(g \circ f\) 是相对维数为 \(r + s\) 的平坦态射，并且 \[f^* \circ g^* = (g \circ f)^*\] 作为映射 \(Z_k(Z) \to Z_{k + r + s}(X)\) 成立。

证明

由《概形态射》引理 02NL， 复合是相对维数为 \(r + s\) 的平坦态射。假设

1. \(W \subset Z\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的闭整子概形；

2. \(W' \subset Y\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k + s\) 的闭整子概形，且 \(W' \subset g^{-1}(W)\)；以及

3. \(W'' \subset Y\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k + s + r\) 的闭整子概形，且 \(W'' \subset f^{-1}(W')\)。

需要证明，\([W'']\) 在 \((g \circ f)^*[W]\) 中的系数 \(n\)，等于 \([W'']\) 在 \(f^*(g^*[W])\) 中的系数 \(m\)。由引理 02R8，只核查这些情形已经足够。 设 \(\xi'' \in W''\)、\(\xi' \in W'\)、\(\xi \in W\) 分别为一般点。考虑局部环 \(A = \mathcal{O}_{Z, \xi}\)、\(B = \mathcal{O}_{Y, \xi'}\) 和 \(C = \mathcal{O}_{X, \xi''}\)。于是有平坦局部环同态 \(A \to B\)、\(B \to C\)，并且 \[n = \text{length}_C(C/\mathfrak m_AC), \quad \text{且} \quad m = \text{length}_C(C/\mathfrak m_BC) \text{length}_B(B/\mathfrak m_AB)\] 所需等式由《交换代数》引理 02M2 推出。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，设 \(X, Y\) 在 \(S\) 上局部有限型， 并设 \(f : X \to Y\) 是相对维数为 \(r\) 的平坦态射。

1. 设 \(Z \subset Y\) 是满足 \(\dim_\delta(Z) \leq k\) 的闭子概形。那么 \(\dim_\delta(f^{-1}(Z)) \leq k + r\)，并且在 \(Z_{k + r}(X)\) 中有 \([f^{-1}(Z)]_{k + r} = f^*[Z]_k\)。

2. 设 \(\mathcal{F}\) 是 \(Y\) 上满足 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\) 的凝聚层。那么 \(\dim_\delta(\text{Supp}(f^*\mathcal{F})) \leq k + r\)，并且 \[f^*[{\mathcal F}]_k = [f^*{\mathcal F}]_{k+r}\] 在 \(Z_{k + r}(X)\) 中成立。

证明

关于维数的断言立即来自引理 02R8。 (1) 由 (2)、引理 02QY 以及等式 \(f^*\mathcal{O}_Z = \mathcal{O}_{f^{-1}(Z)}\) 推出。

下面证明 (2)。由于 \(X\)、\(Y\) 局部诺特，可以应用《概形上同调》引理 01XZ，得知 \(\mathcal{F}\) 有限型；所以 \(f^*\mathcal{F}\) 有限型（《模层》引理 01B6）， 进而 \(f^*\mathcal{F}\) 凝聚（再次应用《概形上同调》引理 01XZ）。因此该引理有意义。 设 \(W \subset Y\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的整闭子概形，并设 \(W' \subset X\) 是维数为 \(k + r\)、经 \(f\) 映入 \(W\) 的整闭子概形。需要证明，\([W']\) 在 \(f^*[{\mathcal F}]_k\) 中的系数 \(n\) 等于 \([W']\) 在 \([f^*{\mathcal F}]_{k+r}\) 中的系数 \(m\)。 设 \(\xi \in W\)、\(\xi' \in W'\) 为一般点。令 \(A = \mathcal{O}_{Y, \xi}\)、\(B = \mathcal{O}_{X, \xi'}\)，并把 \(M = \mathcal{F}_\xi\) 看作 \(A\)-模。注意，由维数假设，\(M\) 具有有限长度， 但实际上无需验证这一点；见引理 02QW。 有 \(f^*\mathcal{F}_{\xi'} = B \otimes_A M\)，从而 \[n = \text{length}_B(B \otimes_A M) \quad \text{且} \quad m = \text{length}_A(M) \text{length}_B(B/\mathfrak m_AB)\] 所需等式来自《交换代数》引理 02M1。

推前与拉回

本节验证，在有意义时，固有推前与平坦拉回彼此相容。由上面的工作，这归结为上同调与基变换。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。设 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] 是在 \(S\) 上局部有限型的概形的纤维积图。假设 \(f : X \to Y\) 固有， 而 \(g : Y' \to Y\) 是相对维数为 \(r\) 的平坦态射。那么 \(f'\) 也固有， \(g'\) 也是相对维数为 \(r\) 的平坦态射。对 \(X\) 上任意 \(k\)-循环 \(\alpha\)，有 \[g^*f_*\alpha = f'_*(g')^*\alpha\] 在 \(Z_{k + r}(Y')\) 中成立。

证明

\(f'\) 固有的断言来自《概形态射》引理 01W4。 \(g'\) 平坦且相对维数为 \(r\) 的断言来自《概形态射》引理 02NK 和 01U9。只须在 \(\alpha = [W]\) 时证明循环等式， 其中 \(W \subset X\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的整闭子概形。 注意，此时有 \(\alpha = [\mathcal{O}_W]_k\)；见引理 02QY。所以由引理 02R6 和 02RE， 只须证明 \(f'_*(g')^*\mathcal{O}_W\) 同构于 \(g^*f_*\mathcal{O}_W\)。 这来自上同调与基变换；见《概形上同调》引理 02KH。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，设 \(X\)、\(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型。 设 \(f : X \to Y\) 是次数为 \(d\) 的有限局部自由态射 （见《概形态射》定义 02KA）。 那么 \(f\) 既固有，又是相对维数为 \(0\) 的平坦态射，并且对每个 \(\alpha \in Z_k(Y)\)，有 \[f_*f^*\alpha = d\alpha\]

证明

由《概形态射》引理 02KB，有限局部自由态射平坦且有限； 由《概形态射》引理 01WN，有限态射固有。 我们略去有限态射的相对维数为 \(0\) 的证明。因此该公式有意义。 为证明它，设 \(Z \subset Y\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的整闭子概形。 只须对 \(\alpha = [Z]\) 证明公式。有限局部自由态射的基变换仍有限局部自由 （《概形态射》引理 02KD）， 故 \(f_*f^*\mathcal{O}_Z\) 是 \(Z\) 上秩为 \(d\) 的有限局部自由层。因此 \[f_*f^*[Z] = f_*f^*[\mathcal{O}_Z]_k = [f_*f^*\mathcal{O}_Z]_k = d[Z]\] 这里使用了引理 02RE 和 02R6。

主除子的准备

本节的一部分材料与《除子》第 0BE0 节 中的讨论有所重叠。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，并假设 \(X\) 是整概形。

1. 若 \(Z \subset X\) 是整闭子概形，则下列条件等价：

   1. \(Z\) 是素除子；

   2. \(Z\) 在 \(X\) 中的余维数为 \(1\)；

   3. \(\dim_\delta(Z) = \dim_\delta(X) - 1\)。

2. 若 \(Z\) 是 \(X\) 上某个有效 Cartier 除子的不可约分支，则 \(\dim_\delta(Z) = \dim_\delta(X) - 1\)。

证明

(1) 由素除子的定义（《除子》定义 0BE2）和维数函数的定义（《拓扑学》定义 02I9）立即得到。 设 \(\xi \in Z\) 是有效 Cartier 除子 \(D \subset X\) 的某个不可约分支 \(Z\) 的一般点。 那么 \(\dim(\mathcal{O}_{D, \xi}) = 0\)，并且对某个非零因子 \(f \in \mathcal{O}_{X, \xi}\)，有 \(\mathcal{O}_{D, \xi} = \mathcal{O}_{X, \xi}/(f)\)（《除子》引理 0AG8）。 由《交换代数》引理 00KW， \(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi}) = 1\)。于是《概形的性质》引理 02IZ 表明 \(Z\) 满足 (1)，证明完毕。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射，\(\xi \in Y\) 是一点。假设

1. \(X\)、\(Y\) 都是整概形；

2. \(Y\) 局部诺特；

3. \(f\) 固有且支配，并且 \(R(Y) \subset R(X)\) 是有限扩张；

4. \(\dim(\mathcal{O}_{Y, \xi}) = 1\)。

那么存在 \(\xi\) 的开邻域 \(V \subset Y\)，使得 \(f|_{f^{-1}(V)} : f^{-1}(V) \to V\) 是有限态射。

证明

本引理是《代数簇》引理 0AB7 的特例。 这里给出本情形下的直接论证。由《概形上同调》引理 02OH， 只需证明 \(f^{-1}(\{\xi\})\) 是有限集。用一个仿射开集替换 \(Y\)，记为 \(Y = \Spec(R)\)。由于假设 \(Y\) 局部诺特，\(R\) 是诺特环。 由于 \(f\) 固有，它是拟紧的；因而可以取有限仿射开覆盖 \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_n\)，其中每个 \(U_i = \Spec(A_i)\)。 注意，\(R \to A_i\) 是整环之间有限型的单同态，且其诱导的分式域扩张有限。 因此该引理由《交换代数》引理 02MA 得出。

主除子

下面的定义是《除子》定义 0BE3 在当前设定下的对应形式。

定义

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，并假设 \(X\) 是整概形且 \(\dim_\delta(X) = n\)。设 \(f \in R(X)^*\)。定义与 \(f\) 相伴的主除子为 \((n - 1)\)-循环 \[\text{div}(f) = \text{div}_X(f) = \sum \text{ord}_Z(f) [Z]\] 其中右端定义见《除子》定义 0BE3。由引理 02RK，素除子的 \(\delta\)-维数为 \(n - 1\)， 故此定义有意义。

在该定义的情形下，对 \(f, g \in R(X)^*\)，在 \(Z_{n - 1}(X)\) 中有 \[\text{div}_X(fg) = \text{div}_X(f) + \text{div}_X(g)\] 见《除子》引理 02RP。 下面的引理将被更一般的引理 02S1 所涵盖。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\)、\(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型，并假设 \(X\)、\(Y\) 都是整概形，且 \(n = \dim_\delta(Y)\)。设 \(f : X \to Y\) 是相对维数为 \(r\) 的平坦态射， \(g \in R(Y)^*\)。那么在 \(Z_{n + r - 1}(X)\) 中有 \[f^*(\text{div}_Y(g)) = \text{div}_X(g)\]

证明

由于 \(f\) 平坦，它是支配态射，故 \(f\) 诱导嵌入 \(R(Y) \subset R(X)\)；因而可以把 \(g\) 看成 \(R(X)^*\) 的元素。 设 \(Z \subset X\) 是 \(\delta\)-维数为 \(n + r - 1\) 的整闭子概形， \(\xi \in Z\) 是其一般点。若 \(\dim_\delta(f(Z)) > n - 1\)， 则方程两端 \([Z]\) 的系数都为零。因此可以假设 \(Z' = \overline{f(Z)}\) 是 \(Y\) 中 \(\delta\)-维数为 \(n - 1\) 的整闭子概形。 令 \(\xi' = f(\xi)\)；它是 \(Z'\) 的一般点。置 \(A = \mathcal{O}_{Y, \xi'}\)、\(B = \mathcal{O}_{X, \xi}\)。 环同态 \(A \to B\) 是维数为 \(1\) 的诺特局部整环之间的平坦局部同态。 \(g\) 属于 \(A\) 的分式域。所需证明的是 \[\text{ord}_A(g) \text{length}_B(B/\mathfrak m_AB) = \text{ord}_B(g).\] 这由《交换代数》引理 02M1 得出 （细节从略）。

主除子与推前

第一个引理表明，沿一般有限态射推前主除子，所得仍是主除子。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\)、\(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型，并假设 \(X\)、\(Y\) 都是整概形，且 \(n = \dim_\delta(X) = \dim_\delta(Y)\)。设 \(p : X \to Y\) 是支配的固有态射， \(f \in R(X)^*\)。置 \[g = \text{Nm}_{R(X)/R(Y)}(f).\] 那么 \(p_*\text{div}(f) = \text{div}(g)\)。

证明

设 \(Z \subset Y\) 是 \(\delta\)-维数为 \(n - 1\) 的整闭子概形。 需要证明 \([Z]\) 在 \(p_*\text{div}(f)\) 与 \(\text{div}(g)\) 中的系数相等。 可以把引理 02RM 用于态射 \(p : X \to Y\) 和一般点 \(\xi \in Z\)。因此可以用 \(\xi\) 的仿射开邻域替换 \(Y\)， 并假设 \(p : X \to Y\) 是有限态射。写成 \(Y = \Spec(R)\)、\(X = \Spec(A)\)， 其中 \(p\) 由诺特整环间的有限同态 \(R \to A\) 诱导；该同态诱导分式域的有限扩张 \(L/K\)。现在有 \(f \in L\)、\(g = \text{Nm}(f) \in K\)，以及满足 \(\dim(R_{\mathfrak p}) = 1\) 的素理想 \(\mathfrak p \subset R\)。 \([Z]\) 在 \(\text{div}_Y(g)\) 中的系数为 \(\text{ord}_{R_\mathfrak p}(g)\)， 而 \([Z]\) 在 \(p_*\text{div}_X(f)\) 中的系数为 \[\sum\nolimits_{\mathfrak q\text{ 位于 }\mathfrak p\text{ 之上}} [\kappa(\mathfrak q) : \kappa(\mathfrak p)] \text{ord}_{A_{\mathfrak q}}(f)\] 所需等式于是由《交换代数》引理 02MJ 得出。

在主除子的讨论中，\(\mathbf{P}^1_S\) 上的“泛”主除子 \([0] - [\infty]\) 起着重要作用。为更精确地表述这一点，以 [0F93]\[\begin{equation} D_0, D_\infty \subset \mathbf{P}^1_S = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{O}_S[T_0, T_1]) \end{equation}\] 表示分别由 \(\mathcal{O}(1)\) 的截面 \(T_1\) 与 \(T_0\) 截出的闭子概形。 它们是有效 Cartier 除子；见《除子》定义 01WR 和引理 01X0。下面的引理说，粗略而言， “\(\text{div}(T_1/T_0) = [D_0] - [D_1]\)”，并且这是泛主除子。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，并假设 \(X\) 是整概形，且 \(n = \dim_\delta(X)\)。设 \(f \in R(X)^*\)。取非空开集 \(U \subset X\)， 使 \(f\) 对应于一个截面 \(f \in \Gamma(U, \mathcal{O}_X^*)\)。 令 \(Y \subset X \times_S \mathbf{P}^1_S\) 为 \(f : U \to \mathbf{P}^1_S\) 的图的闭包。那么

1. 投影态射 \(p : Y \to X\) 是固有的；

2. \(p|_{p^{-1}(U)} : p^{-1}(U) \to U\) 是同构；

3. 沿态射 \(q : Y \to \mathbf{P}^1_S\) 的拉回 \(Y_0 = q^{-1}D_0\) 和 \(Y_\infty = q^{-1}D_\infty\) 有定义 （《除子》定义 01WV）；

4. 有 \[\text{div}_Y(f) = [Y_0]_{n - 1} - [Y_\infty]_{n - 1}\]

5. 有 \[\text{div}_X(f) = p_*\text{div}_Y(f)\]

6. 若通过态射 \(p\) 把 \(Y_0\) 和 \(Y_\infty\) 看成 \(X\) 的闭子概形，则有 \[\text{div}_X(f) = [Y_0]_{n - 1} - [Y_\infty]_{n - 1}\]

证明

由于 \(X\) 是整概形，\(U\) 也是整概形。因此 \(Y\) 是整概形，且 \((1, f)(U) \subset Y\) 是稠密开子概形。还要注意，闭子概形 \(Y \subset X \times_S \mathbf{P}^1_S\) 与开集 \(U\) 的选择无关， 因为它终究是单点集 \(\{\eta'\} = \{(1, f)(\eta)\}\) 的闭包， 其中 \(\eta \in X\) 是一般点。下面证明引理的各个断言。

对于 (1)，注意 \(p\) 是闭浸入 \(Y \to X \times_S \mathbf{P}^1_S = \mathbf{P}^1_X\) 与固有态射 \(\mathbf{P}^1_X \to X\) 的复合。固有态射的复合仍固有 （《概形态射》引理 01W3），故结论成立。

显然 \(Y \cap U \times_S \mathbf{P}^1_S = (1, f)(U)\)，所以 (2) 成立； 同时也得到 \(\dim_\delta(Y) = n\)。

由于 \(f \in R(X)^*\)，\(q(\eta') = f(\eta)\) 不在 \(D_0\) 或 \(D_\infty\) 中。 因此 (3) 由《除子》引理 02OO 得到。 再由引理 02RK 得到 \(\dim_\delta(Y_0) = n - 1\) 和 \(\dim_\delta(Y_\infty) = n - 1\)。

考虑有效 Cartier 除子 \(Y_0\)。在每一点 \(\xi \in Y_0\)，都有 \(f \in \mathcal{O}_{Y, \xi}\)，且 \(Y_0\) 的局部方程由 \(f\) 给出。 特别地，若 \(\delta(\xi) = n - 1\)，从而 \(\xi\) 是某个 \(\delta\)-维数为 \(n - 1\) 的整闭子概形 \(Z\) 的一般点，则 \([Z]\) 在 \(\text{div}_Y(f)\) 中的系数为 \[\text{ord}_Z(f) = \text{length}_{\mathcal{O}_{Y, \xi}} (\mathcal{O}_{Y, \xi}/f\mathcal{O}_{Y, \xi}) = \text{length}_{\mathcal{O}_{Y, \xi}} (\mathcal{O}_{Y_0, \xi})\] 这正是 \([Z]\) 在 \([Y_0]_{n - 1}\) 中的系数。对有理函数 \(1/f\) 作类似论证， 可知 \(-[Y_\infty]\) 对应于 \(\text{div}_Y(f)\) 表达式中系数为负的各项。 故 (4) 成立。

注意 \(D_0 \to S\) 是同构，因而 \(X \times_S D_0 \to X\) 也是同构。 显然，在 \(X \times_S \mathbf{P}^1_S\) 中有 \(Y_0 = Y \cap X \times_S D_0\)（概形论交），故 \(Y_0 \to X\) 确实是闭浸入。 于是 \[p_*\mathcal{O}_{Y_0} = \mathcal{O}_{Y'_0}\] 其中 \(Y'_0 \subset X\) 是 \(Y_0 \to X\) 的像。由引理 02R6，有 \(p_*[Y_0]_{n - 1} = [Y'_0]_{n - 1}\)。对 \(D_\infty\) 和 \(Y_\infty\) 同样成立， 故 (6) 是 (5) 的推论。最后，(5) 立即由引理 02RT 得到。

下面的引理表明，固有曲线上主除子的次数为零。

引理

设 \(K\) 是任意域。设 \(X\) 是一个 \(1\)-维整概形，并带有固有态射 \(c : X \to \Spec(K)\)。设 \(f \in K(X)^*\) 是可逆有理函数。那么 \[\sum\nolimits_{x \in X \text{ 为闭点}} [\kappa(x) : K] \text{ord}_{\mathcal{O}_{X, x}}(f) = 0\] 其中 \(\text{ord}\) 如《交换代数》定义 02MD 所定义。 换言之，\(c_*\text{div}(f) = 0\)。

证明

考虑图表 \[\xymatrix{ Y \ar[r]_p \ar[d]_q & X \ar[d]^c \\ \mathbf{P}^1_K \ar[r]^-{c'} & \Spec(K) }\] 这是在引理 02RQ 中，从 \(S = \Spec(K)\) 上的 \(X\) 和有理函数 \(f\) 出发构造的。下文不再说明而直接使用该引理的全部结论。 需要证明 \(c_*\text{div}_X(f) = c_*p_*\text{div}_Y(f) = 0\)， 这等价于证明 \(c'_*q_*\text{div}_Y(f) = 0\)。 若 \(q(Y)\) 是 \(\mathbf{P}^1_K\) 的闭点，则 \(\text{div}_X(f) = 0\)，引理成立。 所以可以假设 \(q\) 是支配态射。假设能证明 \(q : Y \to \mathbf{P}^1_K\) 是次数为 \(d\) 的有限局部自由态射 （见《概形态射》定义 02KA）。 由于 \(\text{div}_Y(f) = [q^{-1}D_0]_0 - [q^{-1}D_\infty]_0\)， 由平坦拉回的定义可知 \(\text{div}_Y(f) = q^*([D_0]_0 - [D_\infty]_0)\)。 再由引理 02RH 得到 \(q_*\text{div}_Y(f) = d([D_0]_0 - [D_\infty]_0)\)。 而显然 \(c'_*[D_0]_0 = c'_*[D_\infty]_0\)，结论即得。

还须证明 \(q\) 是有限局部自由态射。（由于 \(\mathbf{P}^1_K\) 连通， 它会自动具有某个固定次数。）因为 \(\dim(\mathbf{P}^1_K) = 1\)， 例如由引理 02RM 可知 \(q\) 是有限态射。 \(\mathbf{P}^1_K\) 在各闭点处的局部环都是维数为 \(1\) 的正则局部环 （即离散赋值环），因为它们是 \(K[T]\) 的局部化；见《交换代数》引理 00OP。因此，对闭点 \(y\in Y\)，只要 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 无挠，它在 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_K, q(y)}\) 上就是平坦的 （《代数进阶》引理 0AUW）。 这显然成立，因为 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 是整环且 \(q\) 支配。 所以 \(q\) 平坦。最后由《概形态射》引理 02KB，\(q\) 是有限局部自由态射。

有理等价

本节定义 \(k\)-循环上的有理等价。我们将允许主除子的像 （沿闭浸入）的局部有限和。这会产生一些颇为奇特的现象；见例 02RY。然而，若不允许这种和，我们便不知道如何证明线丛陈类的帽积 可下降到有理等价类。

定义

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设概形 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，并设 \(k \in \mathbf{Z}\)。

1. 给定任意局部有限族 \(\{W_j \subset X\}\)，其中各成员是满足 \(\dim_\delta(W_j) = k + 1\) 的整闭子概形，并给定任意 \(f_j \in R(W_j)^*\)，可以考虑 \[\sum (i_j)_*\text{div}(f_j) \in Z_k(X)\] 其中 \(i_j : W_j \to X\) 是包含态射。该表达式有意义，因为态射 \(\coprod i_j : \coprod W_j \to X\) 是固有的。

2. 若 \(\alpha\) 是上述形式的循环，就称 \(\alpha \in Z_k(X)\) 有理等价于零。

3. 若 \(\alpha - \beta\) 有理等价于零，就称 \(\alpha, \beta \in Z_k(X)\) 有理等价，并记作 \(\alpha \sim_{rat} \beta\)。

4. 定义 \[\CH_k(X) = Z_k(X) / \sim_{rat}\] 为\(X\) 上 \(k\)-循环的 Chow 群。它有时也称为 \(X\) 上模有理等价的 \(k\)-循环 Chow 群。

还有许多其他有趣的（适当的）等价关系；有理等价是其中最粗的一个。

注

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，并设 \(k \in \mathbf{Z}\)。下面说明存在表现 \[\bigoplus\nolimits_{\delta(x) = k + 1}' K_1^M(\kappa(x)) \xrightarrow{\partial} \bigoplus\nolimits_{\delta(x) = k}' K_0^M(\kappa(x)) \to \CH_k(X) \to 0\] 这里采用注 0GU2 中引入的记号与约定，此外：

1. \(K_1^M(\kappa(x)) = \kappa(x)^*\) 是点 \(x \in X\) 的剩余域 \(\kappa(x)\) 的 Milnor K-理论的次数 \(1\) 部分；见注 0EAY；

2. 微分 \(\partial\) 定义如下：给定元素 \(\xi = \sum_x f_x\)， 以 \(W_x = \overline{x}\) 表示 \(X\) 中以 \(x\) 为一般点的整闭子概形，并置 \[\partial(\xi) = \sum (W_x \to X)_*\text{div}(f_x)\] 其属于 \(Z_k(X)\)。这是有意义的，因为注 0GU2 已说明该复形的第二项等于 \(Z_k(X)\)。

与定义 02RW 比较，立即可知这确实给出 \(\CH_k(X)\) 的一个表现。

下面是一个非常简单但很重要的引理。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设概形 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(U \subset X\) 是开子概形，并把 \(i : Y = X \setminus U \to X\) 记为 \(X\) 的约化闭子概形。设 \(k \in \mathbf{Z}\)，并设 \(\alpha, \beta \in Z_k(X)\)。 若 \(\alpha|_U \sim_{rat} \beta|_U\)，则存在循环 \(\gamma \in Z_k(Y)\)，使得 \[\alpha \sim_{rat} \beta + i_*\gamma.\] 换言之，Abel 群序列 \[\xymatrix{ \CH_k(Y) \ar[r]^{i_*} & \CH_k(X) \ar[r]^{j^*} & \CH_k(U) \ar[r] & 0 }\] 正合。

证明

设 \(\{W_j\}_{j \in J}\) 是 \(U\) 中 \(\delta\)-维数为 \(k + 1\) 的整闭子概形的 局部有限族，并设 \(f_j \in R(W_j)^*\) 满足定义中的等式 \((\alpha - \beta)|_U = \sum (i_j)_*\text{div}(f_j)\)。 令 \(W_j' \subset X\) 为 \(W_j\) 的闭包。设 \(V \subset X\) 是拟紧开集。 由于 \(V\) 是诺特的，\(V \cap U\) 也是 \(U\) 中的拟紧开集。因此集合 \(\{j \in J \mid W_j \cap V \not = \emptyset\} = \{j \in J \mid W'_j \cap V \not = \emptyset\}\) 是有限的，因为 \(\{W_j\}\) 局部有限。换言之，\(\{W'_j\}\) 也局部有限。 由于 \(R(W_j) = R(W'_j)\)，可知 \[\alpha - \beta - \sum (i'_j)_*\text{div}(f_j)\] 是支撑在 \(Y\) 上的循环，引理即得；见引理 02RC。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(X_1, X_2 \subset X\) 为闭子概形， 并且集合论上 \(X = X_1 \cup X_2\)。对每个 \(k \in \mathbf{Z}\)，Abel 群序列 \[\xymatrix{ \CH_k(X_1 \cap X_2) \ar[r] & \CH_k(X_1) \oplus \CH_k(X_2) \ar[r] & \CH_k(X) \ar[r] & 0 }\] 正合。这里 \(X_1 \cap X_2\) 是概形论交；各映射均为推前映射，其中一个乘以 \(-1\)。

证明

由引理 0F92，箭头 \(\CH_k(X_1) \oplus \CH_k(X_2) \to \CH_k(X)\) 是满射。 假设 \((\alpha_1, \alpha_2)\) 在此映射下为零。写成 \(\alpha_1 = \sum n_{1, i}[W_{1, i}]\) 和 \(\alpha_2 = \sum n_{2, i}[W_{2, i}]\)。于是得到 \(X\) 中 \(\delta\)-维数为 \(k + 1\) 的整闭子概形的局部有限族 \(\{W_j\}_{j \in J}\)，以及 \(f_j \in R(W_j)^*\)，使得 \[\sum n_{1, i}[W_{1, i}] + \sum n_{2, i}[W_{2, i}] = \sum (i_j)_*\text{div}(f_j)\] 作为 \(X\) 上的循环成立，其中 \(i_j : W_j \to X\) 为包含态射。 选择不交并分解 \(J = J_1 \amalg J_2\)，使得当 \(j \in J_1\) 时 \(W_j \subset X_1\)，当 \(j \in J_2\) 时 \(W_j \subset X_2\)。 这是可能的，因为各 \(W_j\) 都是整概形。于是上述等式可写成 \[\sum n_{1, i}[W_{1, i}] - \sum\nolimits_{j \in J_1} (i_j)_*\text{div}(f_j) = - \sum n_{2, i}[W_{2, i}] + \sum\nolimits_{j \in J_2} (i_j)_*\text{div}(f_j)\] 因此这个表达式是 \(X_1 \cap X_2\) 上的一个循环（！）。换言之， 元素 \((\alpha_1, \alpha_2)\) 属于第一个箭头的像，证明完毕。

例

下面是一个“奇特”的例子。设 \(S\) 是域 \(k\) 的谱，\(\delta\) 如例 02QM。设 \(X = C_1 \cup C_2 \cup \ldots\) 是曲线 \(C_j \cong \mathbf{P}^1_k\) 的无穷并，并按如下方式粘合：对 \(j = 1, 2, 3, \ldots\)，把点 \(\infty \in C_j\) 与点 \(0 \in C_{j + 1}\) 横截地粘合。取点 \(0 \in C_1\)，它给出零维循环 \([0] \in Z_0(X)\)。本情形的“奇特”之处在于，事实上 \([0] \sim_{rat} 0\)！具体地，可以选择有理函数 \(f_j \in R(C_j)\)， 使其在 \(0\) 处有一个一阶零点，在 \(\infty\) 处有一个一阶极点，且没有其他零点或极点。 于是和 \(\sum (i_j)_*\text{div}(f_j)\) 恰好就是 \(0\)-循环 \([0]\)。 事实上，在此例中 \(\CH_0(X) = 0\)。如果你觉得这过于离奇，只要始终要求所用空间拟紧即可 （这样 \(X\) 对你而言根本不会出现）。

注

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设概形 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。假设有 \(X\) 上 \(k\)-循环的无穷族 \(\alpha_i, \beta_i \in Z_k(X)\)，\(i \in I\)。假设 \(\alpha_i\) 与 \(\beta_i\) 的支撑构成 \(X\) 的闭子集的局部有限族，从而 \(\sum \alpha_i\) 和 \(\sum \beta_i\) 都定义了循环；再假设对每个 \(i\)， \(\alpha_i \sim_{rat} \beta_i\)。此时并不能直接断定 \(\sum \alpha_i \sim_{rat} \sum \beta_i\)。问题在于，这些有理等价可能由局部有限族 \(\{W_{i, j}, f_{i, j} \in R(W_{i, j})^*\}_{j \in J_i}\) 给出， 但它们的并 \(\{W_{i, j}\}_{i \in I, j\in J_i}\) 未必局部有限。

在许多实际情形中，存在闭子集的局部有限族 \(\{T_i\}_{i \in I}\)， 使 \(\alpha_i, \beta_i\) 都支撑在 \(T_i\) 上，并且在 \(\CH_k(T_i)\) 中 \(\alpha_i = \beta_i\)；换言之，各族 \(\{W_{i, j}, f_{i, j} \in R(W_{i, j})^*\}_{j \in J_i}\) 由子概形 \(W_{i, j} \subset T_i\) 组成。在这种情况下，\(X\) 上确实有 \(\sum \alpha_i \sim_{rat} \sum \beta_i\)，因为此时族 \(\{W_{i, j}\}_{i \in I, j\in J_i}\) 自动局部有限。

有理等价与推前、拉回

本节证明平坦拉回与固有推前都保持有理等价。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设概形 \(X\)、\(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型。假设 \(Y\) 是整概形且 \(\dim_\delta(Y) = k\)。设 \(f : X \to Y\) 是相对维数为 \(r\) 的平坦态射。 那么对 \(g \in R(Y)^*\)，有 \[f^*\text{div}_Y(g) = \sum n_j i_{j, *}\text{div}_{X_j}(g \circ f|_{X_j})\] 作为 \(X\) 上的 \((k + r - 1)\)-循环成立；其中求和遍历 \(X\) 的不可约分支 \(X_j\)，而 \(n_j\) 是 \(X_j\) 在 \(X\) 中的重数。

证明

设 \(Z \subset X\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k + r - 1\) 的整闭子概形。 需要证明 \([Z]\) 在 \(f^*\text{div}(g)\) 中的系数 \(n\)，等于 \([Z]\) 在 \(\sum i_{j, *} \text{div}(g \circ f|_{X_j})\) 中的系数 \(m\)。 设 \(Z'\) 是 \(f(Z)\) 的闭包；它是 \(Y\) 的整闭子概形。由引理 02R8，有 \(\dim_\delta(Z') \geq k - 1\)。因此，要么 \(Z' = Y\)，要么 \(Z'\) 是 \(Y\) 上的素除子。若 \(Z' = Y\)，则系数 \(n\) 和 \(m\) 都为零： 对 \(n\)，这由 \(f^*\) 的定义显然；对 \(m\)，这是因为 \(g \circ f|_{X_j}\) 在 \(X_j\) 中任何映到 \(Y\) 一般点的点处都是单位。 因此可以假设 \(Z' \subset Y\) 是素除子。

下面把 \(n\) 与 \(m\) 相等这一断言转化为代数等式。具体地，令 \(\xi' \in Z'\) 和 \(\xi \in Z\) 为一般点，置 \(A = \mathcal{O}_{Y, \xi'}\)、 \(B = \mathcal{O}_{X, \xi}\)。注意 \(A\)、\(B\) 都是诺特环，\(A \to B\) 是平坦局部同态，\(A\) 是整环，而 \(\mathfrak m_AB\) 是局部环 \(B\) 的定义理想。 有理函数 \(g\) 是 \(A\) 的分式域 \(Q(A)\) 的元素。按构造，与 \(\xi\) 相交的闭子概形 \(X_j\) 以 \(1\) 对 \(1\) 的方式对应于极小素理想 \[\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_s \subset B\] 相应的整数 \(n_j\) 是长度 \[n_i = \text{length}_{B_{\mathfrak q_i}}(B_{\mathfrak q_i})\] 有理函数 \(g \circ f|_{X_j}\) 对应于 \(g \in Q(A)\) 的像 \(g_i \in \kappa(\mathfrak q_i)^*\)。综合起来，有 \[n = \text{ord}_A(g) \text{length}_B(B/\mathfrak m_AB)\] 并且 \[m = \sum \text{ord}_{B/\mathfrak q_i}(g_i) \text{length}_{B_{\mathfrak q_i}}(B_{\mathfrak q_i})\] 将该有理函数写成 \(g = x/y\)，其中非零的 \(x, y \in A\)。于是只需证明 \[\text{length}_A(A/(x)) \text{length}_B(B/\mathfrak m_AB) = \text{length}_B(B/xB)\] （此等式使用《交换代数》引理 02M1）等于 \[\sum\nolimits_{i = 1, \ldots, s} \text{length}_{B/\mathfrak q_i}(B/(x, \mathfrak q_i)) \text{length}_{B_{\mathfrak q_i}}(B_{\mathfrak q_i})\] 并对 \(y\) 证明类似等式。由于 \(A \to B\) 平坦，\(x\) 是 \(B\) 中的非零因子。 故所需等式由引理 02QG 得出。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设概形 \(X\)、\(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(f : X \to Y\) 是相对维数为 \(r\) 的平坦态射。设 \(\alpha \sim_{rat} \beta\) 是 \(Y\) 上有理等价的 \(k\)-循环。那么，作为 \(X\) 上的 \((k + r)\)-循环， \(f^*\alpha \sim_{rat} f^*\beta\)。

证明

需要证明什么？假设给定一族闭浸入 \[i_j : W_j \longrightarrow Y\] 其中每个 \(W_j\) 都是 \(\delta\)-维数为 \(k + 1\) 的整概形，并给定有理函数 \(g_j \in R(W_j)^*\)。再假设族 \(\{i_j(W_j)\}_{j \in J}\) 在 \(Y\) 上局部有限。 那么需要证明 \[f^*(\sum i_{j, *}\text{div}(g_j)) = \sum f^*i_{j, *}\text{div}(g_j)\] 在 \(X\) 上有理等价于零。由引理 02R9，\(\{W_j\}\) 在 \(X\) 中局部有限， 故右端的和有意义。

考虑纤维积 \[i'_j : W'_j = W_j \times_Y X \longrightarrow X.\] 并以 \(f_j : W'_j \to W_j\) 表示第一投影。由引理 02RG，上述和可写为 \[\sum i'_{j, *}(f_j^*\text{div}(g_j))\] 由引理 0EPH， 每个 \(f_j^*\text{div}(g_j)\) 在 \(W'_j\) 上有理等价于零。 因此每个 \(i'_{j, *}(f_j^*\text{div}(g_j))\) 都有理等价于零。 由注 02RZ 中的讨论， 展示的和也有同样的性质。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设概形 \(X\)、\(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型，并设 \(p : X \to Y\) 是固有态射。 假设 \(\alpha, \beta \in Z_k(X)\) 有理等价。那么 \(p_*\alpha\) 与 \(p_*\beta\) 有理等价。

证明

需要证明什么？假设给定一族闭浸入 \[i_j : W_j \longrightarrow X\] 其中每个 \(W_j\) 都是 \(\delta\)-维数为 \(k + 1\) 的整概形，并给定有理函数 \(f_j \in R(W_j)^*\)。再假设族 \(\{i_j(W_j)\}_{j \in J}\) 在 \(X\) 上局部有限。 那么需要证明 \[p_*\left(\sum i_{j, *}\text{div}(f_j)\right)\] 在 \(X\) 上有理等价于零。

注意该和等于 \[\sum p_*i_{j, *}\text{div}(f_j).\] 设 \(W'_j \subset Y\) 是 \(p \circ i_j\) 的像这一整闭子概形。 由引理 02R2，族 \(\{W'_j\}\) 在 \(Y\) 中局部有限。因此，只须对给定的 \(j\) 证明：要么 \(p_*i_{j, *}\text{div}(f_j) = 0\)，要么它等于 \(i'_{j, *}\text{div}(g_j)\)，其中某个 \(g_j \in R(W'_j)^*\)。

上述论证把问题约化到一个 \(\delta\)-维数为 \(k + 1\) 的整闭子概形 \(W \subset X\)。设 \(f \in R(W)^*\)，并如上令 \(W' = p(W)\)。 得到态射的交换图 \[\xymatrix{ W \ar[r]_i \ar[d]_{p'} & X \ar[d]^p \\ W' \ar[r]^{i'} & Y }\] 由引理 02R5， \(p_*i_*\text{div}(f) = i'_*(p')_*\text{div}(f)\)。如上所述， 需要证明 \((p')_*\text{div}(f)\) 要么是 \(W'\) 上某个有理函数的除子，要么为零。 分三种情形。

情形 \(\dim_\delta(W') < k\)。此时自动有 \((p')_*\text{div}(f) = 0\)， 无须再证。

情形 \(\dim_\delta(W') = k\)。下面证明此时 \((p')_*\text{div}(f) = 0\)。 设 \(\eta \in W'\) 为一般点。注意 \(c : W_\eta \to \Spec(K)\) 是域 \(K = \kappa(\eta)\) 上的固有整曲线，其函数域 \(K(W_\eta)\) 与 \(R(W)\) 等同。 有图表 \[\xymatrix{ W_\eta \ar[r] \ar[d]_c & W \ar[d]^{p'} \\ \Spec(K) \ar[r] & W' }\] 以 \(f_\eta \in K(W_\eta)^*\) 表示对应于 \(f \in R(W)^*\) 的有理函数。 此外，\(W_\eta\) 的闭点 \(\xi\) 按 \(1 - 1\) 对应于其中满足 \(p'(Z) = W'\) 的 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的闭整子概形 \(Z = Z_\xi \subset W\)。注意 \(Z_\xi\) 在 \(\text{div}(f)\) 中的重数等于 \(\text{ord}_{\mathcal{O}_{W_\eta, \xi}}(f_\eta)\)，这只是因为局部环 \(\mathcal{O}_{W_\eta, \xi}\) 与 \(\mathcal{O}_{W, \xi}\) 作为各自分式域的子环彼此等同。 因此 \([W']\) 在 \((p')_*\text{div}(f)\) 中的重数等于 \([\Spec(K)]\) 在 \(c_*\text{div}(f_\eta)\) 中的重数。 由引理 02RU，该重数为零。

情形 \(\dim_\delta(W') = k + 1\)。此时可应用引理 02RT，从而确有 \(p'_*\text{div}(f) = \text{div}(g)\)，其中某个 \(g \in R(W')^*\)，正合所需。

有理等价与射影直线

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，并设概形 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。给定任意闭子概形 \(Z \subset X \times_S \mathbf{P}^1_S = X \times \mathbf{P}^1\)， 分别令 \(Z_0\)、 \(Z_\infty\) 为概形论闭子概形 \(Z_0 = \text{pr}_2^{-1}(D_0)\)、 \(Z_\infty = \text{pr}_2^{-1}(D_\infty)\)。 这里 \(D_0\)、\(D_\infty\) 如 (0F93) 中所定义。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设概形 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(W \subset X \times_S \mathbf{P}^1_S\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k + 1\) 的整闭子概形。 假设 \(W \not = W_0\) 且 \(W \not = W_\infty\)。那么

1. \(W_0\)、\(W_\infty\) 是 \(W\) 的有效 Cartier 除子；

2. 可以把 \(W_0\)、\(W_\infty\) 看成 \(X\) 的闭子概形，并且 \[[W_0]_k \sim_{rat} [W_\infty]_k,\]

3. 对任意局部有限族的整闭子概形 \(W_i \subset X \times_S \mathbf{P}^1_S\)，若其 \(\delta\)-维数为 \(k + 1\)， 且 \(W_i \not = (W_i)_0\)、\(W_i \not = (W_i)_\infty\)，则在 \(X\) 上有 \(\sum ([(W_i)_0]_k - [(W_i)_\infty]_k) \sim_{rat} 0\)；

4. 对任意满足 \(\alpha \sim_{rat} 0\) 的 \(\alpha \in Z_k(X)\)， 存在如上的整闭子概形局部有限族 \(W_i \subset X \times_S \mathbf{P}^1_S\)，使得 \(\alpha = \sum ([(W_i)_0]_k - [(W_i)_\infty]_k)\)。

证明

由假设，\(W\) 的一般点在投影 \(X \times_S \mathbf{P}^1_S \to \mathbf{P}^1_S\) 下不映入 \(D_0\) 或 \(D_\infty\)，所以 (1) 由《除子》引理 02OO 得出。

由于 \(X \times_S D_0 \to X\) 是闭浸入，\(W_0\) 同构于 \(X\) 的某个闭子概形； \(W_\infty\) 同理。态射 \(p : W \to X\) 是闭浸入 \(W \to X \times_S \mathbf{P}^1_S\) 与固有态射 \(X \times_S \mathbf{P}^1_S \to X\) 的复合，故它固有。 由引理 02RQ，作为 \(W\) 上的循环，有 \([W_0]_k \sim_{rat} [W_\infty]_k\)。而显然 \(p_*[W_0]_k = [W_0]_k\)，对 \(W_\infty\) 也一样，所以 (2) 由引理 02S2 得出。

在已知 (1)、(2) 后，断言 (3) 唯一需要说明的是：族 \(\{(W_i)_0, (W_i)_\infty\}\) 是 \(X\) 的闭子概形的局部有限族。这是显然的。

假设 \(\alpha \sim_{rat} 0\)。按定义，存在 \(\delta\)-维数为 \(k + 1\) 的整闭子概形 \(V_i \subset X\) 和有理函数 \(f_i \in R(V_i)^*\)，使得族 \(\{V_i\}_{i \in I}\) 在 \(X\) 中局部有限，并且 \(\alpha = \sum (V_i \to X)_*\text{div}(f_i)\)。令 \[W_i \subset V_i \times_S \mathbf{P}^1_S \subset X \times_S \mathbf{P}^1_S\] 为引理 02RQ 中有理映射 \(f_i\) 的图的闭包。 由同一引理，\((V_i \to X)_*\text{div}(f_i)\) 等于 \([(W_i)_0]_k - [(W_i)_\infty]_k\)，结论显然。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设概形 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，并设 \(Z\) 是 \(X \times \mathbf{P}^1\) 的闭子概形。假设

1. \(\dim_\delta(Z) \leq k + 1\)；

2. \(\dim_\delta(Z_0) \leq k\)、\(\dim_\delta(Z_\infty) \leq k\)；

3. 对 \(Z\) 的任意嵌入点 \(\xi\)（《除子》定义 05AK），要么 \(\xi \not \in Z_0 \cup Z_\infty\)，要么 \(\delta(\xi) < k\)。

那么，作为 \(X\) 上的 \(k\)-循环，有 \([Z_0]_k \sim_{rat} [Z_\infty]_k\)。

证明

设 \(\{W_i\}_{i \in I}\) 是 \(Z\) 中 \(\delta\)-维数为 \(k + 1\) 的不可约分支的集合。 按定义写成 \[[Z]_{k + 1} = \sum n_i[W_i]\] 其中 \(n_i > 0\)。由《除子》引理 0BE1，\(\{W_i\}\) 是 \(X \times_S \mathbf{P}^1_S\) 的闭子集的局部有限族。我们断言 \[[Z_0]_k = \sum n_i[(W_i)_0]_k\] 并且对 \([Z_\infty]_k\) 也有类似等式。一旦证明此点，引理即由引理 02S4 得出。

设 \(Z' \subset X\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的整闭子概形。 为证明上述等式，只须证明 \([Z']\) 在 \([Z_0]_k\) 中的系数 \(n\)， 等于 \([Z']\) 在 \(\sum n_i[(W_i)_0]_k\) 中的系数 \(m\)。 设 \(\xi' \in Z'\) 为一般点，并置 \(\xi = (\xi', 0) \in X \times_S \mathbf{P}^1_S\)。 考虑局部环 \(A = \mathcal{O}_{X \times_S \mathbf{P}^1_S, \xi}\)。 设 \(I \subset A\) 是截出 \(Z\) 的理想，即 \(A/I = \mathcal{O}_{Z, \xi}\)。 设 \(t \in A\) 是截出 \(X \times_S D_0\) 的元素（即把 \(\mathbf{P}^1\) 在零点处的坐标拉回）。由 \(\xi' \in Z'\) 的选择， \(\delta(\xi) = k\)，故 \(\dim(A/I) = 1\)。由假设 (3)，\(\xi\) 不是嵌入点， 所以 \(A/I\) 是 Cohen–Macaulay 环。由于 \(\dim_\delta(Z_0) = k\)， 有 \(\dim(A/(t, I)) = 0\)，这蕴含 \(t\) 是 \(A/I\) 上的非零因子。 最后，经过 \(\xi\) 的不可约闭子概形 \(W_i\) 对应于位于 \(I\) 上方的极小素理想 \(I \subset \mathfrak q_i\)。重数 \(n_i\) 对应于长度 \(\text{length}_{A_{\mathfrak q_i}}(A/I)_{\mathfrak q_i}\)。因此 \[n = \text{length}_A(A/(t, I))\] 并且 \[m = \sum \text{length}_A(A/(t, \mathfrak q_i)) \text{length}_{A_{\mathfrak q_i}}(A/I)_{\mathfrak q_i}\] 结论于是由引理 02QG 得出。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设概形 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X \times \mathbf{P}^1\) 上的凝聚层。设 \(i_0, i_\infty : X \to X \times \mathbf{P}^1\) 是满足 \(i_t(x) = (x, t)\) 的闭浸入。记 \(\mathcal{F}_0 = i_0^*\mathcal{F}\)、\(\mathcal{F}_\infty = i_\infty^*\mathcal{F}\)。 假设

1. \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k + 1\)；

2. \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F}_0)) \leq k\)、 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F}_\infty)) \leq k\)；

3. 对 \(\mathcal{F}\) 的任意嵌入伴随点 \(\xi\)，要么 \(\xi \not \in (X \times \mathbf{P}^1)_0 \cup (X \times \mathbf{P}^1)_\infty\)， 要么 \(\delta(\xi) < k\)。

那么，作为 \(X\) 上的 \(k\)-循环，有 \([\mathcal{F}_0]_k \sim_{rat} [\mathcal{F}_\infty]_k\)。

证明

设 \(\{W_i\}_{i \in I}\) 是 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) 中 \(\delta\)-维数为 \(k + 1\) 的不可约分支的集合。按定义写成 \[[\mathcal{F}]_{k + 1} = \sum n_i[W_i]\] 其中 \(n_i > 0\)。由引理 02QW，\(\{W_i\}\) 是 \(X \times_S \mathbf{P}^1_S\) 的闭子集的局部有限族。我们断言 \[[\mathcal{F}_0]_k = \sum n_i[(W_i)_0]_k\] 并且对 \([\mathcal{F}_\infty]_k\) 也有类似等式。一旦证明此点，引理即由引理 02S4 得出。

设 \(Z' \subset X\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的整闭子概形。 为证明上述等式，只须证明 \([Z']\) 在 \([\mathcal{F}_0]_k\) 中的系数 \(n\)， 等于 \([Z']\) 在 \(\sum n_i[(W_i)_0]_k\) 中的系数 \(m\)。 设 \(\xi' \in Z'\) 为一般点，并置 \(\xi = (\xi', 0) \in X \times_S \mathbf{P}^1_S\)。 考虑局部环 \(A = \mathcal{O}_{X \times_S \mathbf{P}^1_S, \xi}\)， 并把 \(M = \mathcal{F}_\xi\) 看成 \(A\)-模。设 \(t \in A\) 是截出 \(X \times_S D_0\) 的元素（即把 \(\mathbf{P}^1\) 在零点处的坐标拉回）。 由 \(\xi' \in Z'\) 的选择，\(\delta(\xi) = k\)，故 \(\dim(\text{Supp}(M)) = 1\)。由假设 (3)，\(\xi\) 不是 \(\mathcal{F}\) 的伴随点， 所以 \(M\) 是 Cohen–Macaulay 模。由于 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F}_0)) = k\)，有 \(\dim(\text{Supp}(M/tM)) = 0\)，这蕴含 \(t\) 是 \(M\) 上的非零因子。 最后，经过 \(\xi\) 的不可约闭子概形 \(W_i\) 对应于 \(\text{Ass}(M)\) 的极小素理想 \(\mathfrak q_i\)。重数 \(n_i\) 对应于长度 \(\text{length}_{A_{\mathfrak q_i}}M_{\mathfrak q_i}\)。因此 \[n = \text{length}_A(M/tM)\] 并且 \[m = \sum \text{length}_A(A/(t, \mathfrak q_i)A) \text{length}_{A_{\mathfrak q_i}}M_{\mathfrak q_i}\] 结论于是由引理 02QG 得出。

Chow 群与包络

定义如下。

定义

设 \(X\) 为概形。所谓包络，是指完全分解的固有态射 \(f : Y \to X\) （《态射进阶》定义 0GTI）。

引理 0GU8 的正合序列是采用该定义的主要动机。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设概形 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。若 \(f : Y \to X\) 和 \(g : Z \to Y\) 都是包络，则 \(f \circ g\) 也是包络。

证明

这由《概形态射》引理 01W3 和 《态射进阶》引理 0GTJ 得出。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X' \to X\) 是在 \(S\) 上局部有限型的概形之间的态射。 若 \(f : Y \to X\) 是包络，则 \(f\) 的基变换 \(f' : Y' \to X'\) 也是包络。

证明

这由《概形态射》引理 01W4 和 《态射进阶》引理 0GTK 得出。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设概形 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，并设 \(f : Y \to X\) 是包络。 那么对所有 \(k \in \mathbf{Z}\)，有正合序列 \[\CH_k(Y \times_X Y) \xrightarrow{p_* - q_*} \CH_k(Y) \xrightarrow{f_*} \CH_k(X) \to 0\] 其中 \(p, q : Y \times_X Y \to Y\) 是投影。

证明

由于 \(f\) 是包络，\(f\) 是固有态射，故循环及循环类的推前都有定义；见第 02R3 节和 02RF。 类似地，态射 \(p\) 和 \(q\) 是 \(f\) 的基变换，所以也固有。两个箭头的复合为零，因为 \(f_* \circ p_* = (p \circ f)_* = (q \circ f)_* = f_* \circ q_*\)； 见引理 02R5。

先证明 \(f_* : Z_k(Y) \to Z_k(X)\) 是满射。设 \(\alpha = \sum n_i[Z_i] \in Z_k(X)\)，其中 \(Z_i \subset X\) 是整闭子概形的 局部有限族。令 \(x_i \in Z_i\) 为一般点。由于 \(f\) 是包络，因而完全分解， 存在点 \(y_i \in Y\)，满足 \(f(y_i) = x_i\)，且 \(\kappa(y_i)/\kappa(x_i)\) 是平凡扩张。令 \(W_i \subset Y\) 为以 \(y_i\) 为一般点的 整闭子概形。由于 \(f\) 是闭映射，\(f(W_i) = Z_i\)。由此，闭子概形族 \(W_i\) 在 \(Y\) 上局部有限。由于 \(\kappa(y_i)/\kappa(x_i)\) 平凡，有 \(\dim_\delta(W_i) = \dim_\delta(Z_i) = k\)。因此 \(\beta = \sum n_i[W_i]\) 属于 \(Z_k(Y)\)。最后，因为 \(\kappa(y_i)/\kappa(x_i)\) 平凡，支配态射 \(f|_{W_i} : W_i \to Z_i\) 的次数为 \(1\)，故 \(f_*\beta = \alpha\)。

既然 \(f_* : Z_k(Y) \to Z_k(X)\) 是满射，映射 \(f_* : \CH_k(Y) \to \CH_k(X)\) 自然更是满射。

设 \(\beta \in Z_k(Y)\)，且 \(f_*\beta\) 在 \(\CH_k(X)\) 中为零。 这意味着可以找到整闭子概形的局部有限族 \(Z_j \subset X\)，满足 \(\dim_\delta(Z_j) = k + 1\)，以及 \(f_j \in R(Z_j)^*\)，使得作为循环有 \[f_*\beta = \sum (Z_j \to X)_*\text{div}(f_j)\] 其中 \(i_j : Z_j \to X\) 是给定的闭浸入。完全照上述方式，可以找到整闭子概形的 局部有限族 \(W_j \subset Y\)，使得 \(f(W_j) = Z_j\) 且 \(W_j \to Z_j\) 是双有理态射，即诱导同构 \(R(Z_j) = R(W_j)\)。 以 \(g_j \in R(W_j)^*\) 表示对应于 \(f_j\) 的元素。注意 \(W_j \to Z_j\) 固有， 且在 \(Z_j\) 上作为循环有 \((W_j \to Z_j)_*\text{div}(g_j) = \text{div}(f_j)\)。 由此，若把 \(\beta\) 替换为与其有理等价的循环 \[\beta' = \beta - \sum (W_j \to Y)_*\text{div}(g_j)\] 则 \(f_*\beta' = 0\)。（这里使用引理 02R5。） 因此，要完成引理的证明，只须证明下一段中的断言。

断言：若 \(\beta \in Z_k(Y)\) 且 \(f_*\beta = 0\)，则对某个 \(\gamma \in Z_k(Y \times_X Y)\)，在 \(Z_k(Y)\) 中有 \(\beta = \delta + p_*\gamma - q_*\gamma\)。具体地，写成 \(\beta = \sum_{j \in J} n_j[W_j]\)，其中 \(\{W_j\}_{j \in J}\) 是 \(Y\) 中 满足 \(\dim_\delta(W_j) = k\) 的整闭子概形的局部有限族。 固定一个整闭子概形 \(Z \subset X\)，并考虑子集 \(J_Z = \{j \in J : f(W_j) = Z\}\)。这是有限集。分三种情形：

1. \(J_Z = \emptyset\)。此时置 \(\gamma_Z = 0\)。

2. \(J_Z \not = \emptyset\) 且 \(\dim_\delta(Z) = k\)。 考察 \(Z\) 的系数，条件 \(f_*\beta = 0\) 蕴含 \(\sum_{j \in J_Z} n_j\deg(W_j/Z) = 0\)。此时选择双有理地映到 \(Z\) 的整闭子概形 \(W \subset Y\)（见上文）。考察一般点可知，\(W_j \times_Z W\) 有唯一一个 不可约分支 \(W'_j \subset W_j \times_Z W \subset Y \times_X Y\)， 它双有理地映到 \(W_j\)。于是 \(W'_j \to W\) 支配，且 \(\deg(W'_j/W) = \deg(W_j/W)\)。因此，若置 \(\gamma_Z = \sum_{j \in J_Z} n_j[W'_j]\)，则 \(p_*\gamma_Z = \sum_{j \in J_Z} n_j[W_j]\)，并且 \(q_*\gamma_Z = \sum_{j \in J_Z} n_j\deg(W'_j/W)[W] = 0\)。

3. \(J_Z \not = \emptyset\) 且 \(\dim_\delta(Z) < k\)。 此时选择双有理地映到 \(Z\) 的整闭子概形 \(W \subset Y\)（见上文）。 考察一般点可知，\(W_j \times_Z W\) 有唯一一个不可约分支 \(W'_j \subset W_j \times_Z W \subset Y \times_X Y\)，它双有理地映到 \(W_j\)。 于是 \(W'_j \to W\) 支配，且 \(k = \dim_\delta(W'_j) > \dim_\delta(W) = \dim_\delta(Z)\)。 因此，若置 \(\gamma_Z = \sum_{j \in J_Z} n_j[W'_j]\)，则 \(p_*\gamma_Z = \sum_{j \in J_Z} n_j[W_j]\)，并且 \(q_*\gamma_Z = 0\)。

由于整闭子概形族 \(\{f(W_j)\}\) 在 \(X\) 上局部有限 （引理 02R2），\(Y \times_X Y\) 上的 \(k\)-循环 \[\gamma = \sum\nolimits_{Z \subset X\text{ 为闭整子概形}} \gamma_Z\] 有良好定义。由上述计算，\(p_*\gamma_Z = \beta\) 且 \(q_*\gamma_Z = 0\)， 这就蕴含所需结论。

Chow 群与 K-群

本节比较凝聚层范畴的 \(K_0\) 与 Chow 群。

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设概形 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。以 \(\textit{Coh}(X) = \textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) 表示 \(X\) 上凝聚层的范畴。 这是 Abel 范畴；见《概形上同调》引理 01Y0。对任意 \(k \in \mathbf{Z}\)，以 \(\textit{Coh}_{\leq k}(X)\) 表示 \(\textit{Coh}(X)\) 的全子范畴，其对象是满足 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\) 的凝聚层 \(\mathcal{F}\)。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设概形 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。范畴 \(\textit{Coh}_{\leq k}(X)\) 是 Abel 范畴 \(\textit{Coh}(X)\) 的 Serre 子范畴。

证明

Serre 子范畴的定义见《同调代数》定义 02MO。该引理的证明直接，故略去。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设概形 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。映射 \[Z_k(X) \longrightarrow K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X)), \quad \sum n_Z[Z] \mapsto \left[\bigoplus\nolimits_{n_Z > 0} \mathcal{O}_Z^{\oplus n_Z}\right] - \left[\bigoplus\nolimits_{n_Z < 0} \mathcal{O}_Z^{\oplus -n_Z}\right]\] 与映射 \[K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X)) \longrightarrow Z_k(X),\quad \mathcal{F} \longmapsto [\mathcal{F}]_k\] 是互逆同构。

证明

注意，若 \(\sum n_Z[Z]\) 属于 \(Z_k(X)\)，则直和 \(\bigoplus\nolimits_{n_Z > 0} \mathcal{O}_Z^{\oplus n_Z}\) 与 \(\bigoplus\nolimits_{n_Z < 0} \mathcal{O}_Z^{\oplus -n_Z}\) 都是 \(X\) 上的凝聚层，因为族 \(\{Z \mid n_Z > 0\}\) 在 \(X\) 上局部有限。 映射 \(\mathcal{F} \to [\mathcal{F}]_k\) 在 \(\textit{Coh}_{\leq k}(X)\) 上可加；见引理 02QZ。而若 \(\mathcal{F} \in \textit{Coh}_{\leq k - 1}(X)\)，则 \([\mathcal{F}]_k = 0\)。由《同调代数》引理 02MX 的 (1)，第二个映射也有良好定义。 显然，先应用第一个映射再应用第二个映射所得复合是恒等映射。

反过来，设从 \(X\) 上的凝聚层 \(\mathcal{F}\) 出发。写成 \([\mathcal{F}]_k = \sum_{i \in I} n_i[Z_i]\)，其中 \(n_i > 0\)，而 \(Z_i \subset X\)、\(i \in I\) 是两两不同、\(\delta\)-维数为 \(k\) 的整闭子概形。 需要证明 \[[\mathcal{F}] = [\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_{Z_i}^{\oplus n_i}]\] 在 \(K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\) 中成立。 以 \(\xi_i \in Z_i\) 表示一般点。若置 \[\mathcal{F}' = \Ker(\mathcal{F} \to \bigoplus \xi_{i, *}\mathcal{F}_{\xi_i})\] 则 \(\mathcal{F}'\) 是 \(\mathcal{F}\) 的、支撑维数 \(\leq k - 1\) 的最大凝聚子模。 特别地，\(\mathcal{F}\) 与 \(\mathcal{F}/\mathcal{F}'\) 在 \(K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\) 中具有同一类。 因此，以 \(\mathcal{F}/\mathcal{F}'\) 替换 \(\mathcal{F}\) 后，可以并且将假设 上面展示的核 \(\mathcal{F}'\) 为零。

对每个 \(i \in I\)，选择滤过 \[\mathcal{F}_{\xi_i} = \mathcal{F}_i^0 \supset \mathcal{F}_i^1 \supset \ldots \supset \mathcal{F}_i^{n_i} = 0\] 使各相继商在 \(\xi_i\) 处的剩余域上维数为 \(1\)。这是可能的，因为 \(\mathcal{F}_{\xi_i}\) 作为 \(\mathcal{O}_{X, \xi_i}\)-模的长度为 \(n_i\)。 对 \(p > n_i\)，置 \(\mathcal{F}_i^p = 0\)。对 \(p \geq 0\)，记 \[\mathcal{F}^p = \Ker\left(\mathcal{F} \longrightarrow \bigoplus \xi_{i, *}(\mathcal{F}_{\xi_i}/\mathcal{F}_i^p)\right)\] 那么 \(\mathcal{F}^p\) 凝聚，\(\mathcal{F}^0 = \mathcal{F}\)；并且在 \(\xi_i\) 的某个开邻域内，\(\mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}\) 同构于秩为 \(1\) 的自由 \(\mathcal{O}_{Z_i}\)-模（若 \(n_i > p\)），或同构于 \(0\) （若 \(n_i \leq p\)）。此外，\(\mathcal{F}' = \bigcap \mathcal{F}^p = 0\)。 由于每个拟紧开集 \(U \subset X\) 只包含有限多个 \(\xi_i\)，可知当 \(p \gg 0\) 时 \(\mathcal{F}^p|_U\) 为零。因此 \(\bigoplus_{p \geq 0} \mathcal{F}^p\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。 考虑短正合列 \[0 \to \bigoplus\nolimits_{p > 0} \mathcal{F}^p \to \bigoplus\nolimits_{p \geq 0} \mathcal{F}^p \to \bigoplus\nolimits_{p > 0} \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1} \to 0\] 和 \[0 \to \bigoplus\nolimits_{p > 0} \mathcal{F}^p \to \bigoplus\nolimits_{p \geq 0} \mathcal{F}^p \to \mathcal{F} \to 0\] 它们都是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的短正合列。这已经表明 \[[\mathcal{F}] = [\bigoplus \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}]\] 在 \(K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\) 中成立。 接下来，对每个满足 \(n_i > p\) 的 \(p \geq 0\) 与 \(i \in I\)， 选择非零理想层 \(\mathcal{I}_{i, p} \subset \mathcal{O}_{Z_i}\)，并选择 \(X\) 上的映射 \(\mathcal{I}_{i, p} \to \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}\)，使其在上述 \(\xi_i\) 的开邻域上为同构。《概形上同调》引理 0FD0 保证可以这样选择。然后考虑短正合列 \[0 \to \bigoplus\nolimits_{p \geq 0, i \in I, n_i > p} \mathcal{I}_{i, p} \to \bigoplus \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1} \to \mathcal{Q} \to 0\] 以及短正合列 \[0 \to \bigoplus\nolimits_{p \geq 0, i \in I, n_i > p} \mathcal{I}_{i, p} \to \bigoplus\nolimits_{p \geq 0, i \in I, n_i > p} \mathcal{O}_{Z_i} \to \mathcal{Q}' \to 0\] 注意 \(\mathcal{Q}\) 和 \(\mathcal{Q}'\) 在各点 \(\xi_i\) 的某个邻域内都为零， 且都支撑在 \(\bigcup Z_i\) 上。因此 \(\mathcal{Q}\) 和 \(\mathcal{Q}'\) 属于 \(\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X)\)。由于 \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_{Z_i}^{\oplus n_i} \cong \bigoplus\nolimits_{p \geq 0, i \in I, n_i > p} \mathcal{O}_{Z_i}\] 证明完成。

引理

设 \(\pi : X \to Y\) 是在情形 02QL 中 \((S, \delta)\) 上局部有限型的概形之间的有限态射。那么 \(\pi_* : \textit{Coh}(X) \to \textit{Coh}(Y)\) 是正合函子；它把 \(\textit{Coh}_{\leq k}(X)\) 送入 \(\textit{Coh}_{\leq k}(Y)\)，并在这些范畴及其商范畴的 \(K_0\) 上诱导同态。引理 02S9 的映射构成交换图 \[\xymatrix{ Z_k(X) \ar[d]^{\pi_*} \ar[r] & K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X)) \ar[d]^{\pi_*} \ar[r] & Z_k(X) \ar[d]^{\pi_*} \\ Z_k(Y) \ar[r] & K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(Y)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(Y)) \ar[r] & Z_k(Y) }\]

证明

有限态射是仿射态射，所以由《概形上同调》引理 01XC，沿 \(\pi\) 推前拟凝聚模是正合函子。 有限态射是固有态射，所以 \(\pi_*\) 把凝聚层送到凝聚层；见《概形上同调》命题 02O5。 关于支撑维数的断言显然。右侧的交换性立即由引理 02R6 得到。由于各水平箭头是双射，左侧也交换。

引理

设 \(X\) 是情形 02QL 中在 \((S, \delta)\) 上局部有限型的概形。 存在典范映射 \[\CH_k(X) \longrightarrow K_0(\textit{Coh}_{\leq k + 1}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\] 它由引理 02S9 中的映射 \(Z_k(X) \to K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\) 诱导。

证明

需要证明：\(Z_k(X)\) 中有理等价于零的元素 \(\alpha\)，在 \(K_0(\textit{Coh}_{\leq k + 1}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\) 中映到零。按照定义 02RW 写成 \(\alpha = \sum (i_j)_*\text{div}(f_j)\)。注意 \[\pi = \coprod i_j : W = \coprod W_j \longrightarrow X\] 是有限态射，因为每个 \(i_j : W_j \to X\) 都是闭浸入，且 \(W_j\) 的族在 \(X\) 中局部有限。因此可以使用引理 0FDR 把问题约化到 \(W\) 的情形。由于 \(W\) 是整概形的不交并，进一步约化到下一段讨论的情形。

假设 \(X\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k + 1\) 的整概形。设 \(f\) 是 \(X\) 上的非零有理函数， 并令 \(\alpha = \text{div}(f)\)。需要证明 \(\alpha\) 在 \(K_0(\textit{Coh}_{\leq k + 1}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\) 中映到零。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 是 \(f\) 的分母理想；见《除子》定义 02P1。 于是有短正合列 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X/\mathcal{I} \to 0\] 和 \[0 \to \mathcal{I} \xrightarrow{f} \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X/f\mathcal{I} \to 0\] 见《除子》引理 02P0。我们断言 \[[\mathcal{O}_X/\mathcal{I}]_k - [\mathcal{O}_X/f\mathcal{I}]_k = \text{div}(f)\] 该断言表明，元素 \(\alpha = \text{div}(f)\) 在 \(K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\) 中由 \([\mathcal{O}_X/\mathcal{I}] - [\mathcal{O}_X/f\mathcal{I}]\) 表示。 上述短正合列于是表明，该元素在 \(K_0(\textit{Coh}_{\leq k + 1}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\) 中映到零。

为证明该断言，设 \(Z \subset X\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的整闭子概形， \(\xi \in Z\) 是其一般点。那么 \(I = \mathcal{I}_\xi \subset A = \mathcal{O}_{X, \xi}\) 是满足 \(fI \subset A\) 的理想。\([Z]\) 在 \(\text{div}(f)\) 中的系数是 \(\text{ord}_A(f)\)。（当然，与往常一样，把 \(X\) 的函数域与 \(A\) 的分式域等同。） 另一方面，\([Z]\) 在 \([\mathcal{O}_X/\mathcal{I}] - [\mathcal{O}_X/f\mathcal{I}]\) 中的系数为 \[\text{length}_A(A/I) - \text{length}_A(A/fI)\] 利用《交换代数》定义 02MG 的距离函数， 可将其改写为 \[d(A, I) - d(A, fI) = d(I, fI) = \text{ord}_A(f)\] 这些等式由《交换代数》引理 02MH 和 02MI 得出。 使用这些引理并非必要，但很方便。

注

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设概形 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。稍后将在引理 02SC 中看到，引理 0FDS 的映射 \[\CH_k(X) \longrightarrow K_0(\textit{Coh}_{k + 1}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\] 是单射。将它与典范映射 \[K_0(\textit{Coh}_{k + 1}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X)) \longrightarrow K_0(\textit{Coh}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\] 复合，得到典范映射 \[\CH_k(X) \longrightarrow K_0(\textit{Coh}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X)).\] 关于这个映射是否应为单射，我们未能在文献中找到相关断言或猜想。 合理的预期似乎是其核为挠群。稍后将回到这个问题（插入未来引用）。

引理

设 \(X\) 是局部诺特概形，\(Z \subset X\) 是闭子概形。以 \(\textit{Coh}_Z(X) \subset \textit{Coh}(X)\) 表示这样的凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模构成的 Serre 子范畴：其集合论支撑包含在 \(Z\) 中。 那么正合包含函子 \(\textit{Coh}(Z) \to \textit{Coh}_Z(X)\) 诱导同构 \[K'_0(Z) = K_0(\textit{Coh}(Z)) \longrightarrow K_0(\textit{Coh}_Z(X))\]

证明

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\textit{Coh}_Z(X)\) 的对象。设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 是 \(Z\) 的拟凝聚理想层。考虑降滤过 \[\ldots \subset \mathcal{F}^p = \mathcal{I}^p \mathcal{F} \subset \mathcal{F}^{p - 1} \subset \ldots \subset \mathcal{F}^0 = \mathcal{F}\] 完全如引理 0FDS 的证明，这个滤过局部有限，因而 \(\bigoplus_{p \geq 0} \mathcal{F}^p\)、 \(\bigoplus_{p \geq 1} \mathcal{F}^p\) 与 \(\bigoplus_{p \geq 0} \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}\) 都是支撑在 \(Z\) 上的凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。因此，与引理 0FDS 的证明完全一样，在 \(K_0(\textit{Coh}_Z(X))\) 中有 \[[\mathcal{F}] = [\bigoplus\nolimits_{p \geq 0} \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}]\] 凝聚模 \(\bigoplus_{p \geq 0} \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}\) 被 \(\mathcal{I}\) 零化，所以 \([\mathcal{F}]\) 属于该像。事实上，我们断言映射 \[\mathcal{F} \longmapsto c(\mathcal{F}) = [\bigoplus\nolimits_{p \geq 0} \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}]\] 可通过 \(K_0(\textit{Coh}_Z(X))\) 分解，并且是引理所述映射的逆。 为此只须证明：若 \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0\] 是 \(\textit{Coh}_Z(X)\) 中的短正合列，则 \(c(\mathcal{G}) = c(\mathcal{F}) + c(\mathcal{H})\)。 注意，对所有 \(q \geq 0\)，有短正合列 \[0 \to (\mathcal{F} \cap \mathcal{I}^q\mathcal{G})/ (\mathcal{F} \cap \mathcal{I}^{q + 1}\mathcal{G}) \to \mathcal{G}^q/\mathcal{G}^{q + 1} \to \mathcal{H}^q/\mathcal{H}^{q + 1} \to 0\] 对 \(p, q \geq 0\)，考虑凝聚子模 \[\mathcal{F}^{p, q} = \mathcal{I}^p\mathcal{F} \cap \mathcal{I}^q\mathcal{G}\] 完全照上述方式，并利用滤过 \(\mathcal{F}^p = \mathcal{I}^p\mathcal{F}\) 与 \(\mathcal{F} \cap \mathcal{I}^q\mathcal{G}\) 都局部有限，得到 \[[\bigoplus\nolimits_{p \geq 0} \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}] = [\bigoplus\nolimits_{p, q \geq 0} \mathcal{F}^{p, q}/(\mathcal{F}^{p + 1, q} + \mathcal{F}^{p, q + 1})] = [\bigoplus\nolimits_{q \geq 0} (\mathcal{F} \cap \mathcal{I}^q\mathcal{G})/ (\mathcal{F} \cap \mathcal{I}^{q + 1}\mathcal{G})]\] 其位于 \(K_0(\textit{Coh}(Z))\) 中。结合上述正合列即可得到所需结论。 若干细节从略。

与可逆层相伴的除子

下面的定义是《除子》定义 0BE6 在当前设定下的对应形式。

定义

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，并假设 \(X\) 是整概形且 \(n = \dim_\delta(X)\)。设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。

1. 对 \(\mathcal{L}\) 的任意非零亚纯截面 \(s\)，定义与 \(s\) 相伴的 Weil 除子为 \((n - 1)\)-循环 \[\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) [Z]\] 其定义见《除子》定义 0BE6。由引理 02RK，Weil 除子的 \(\delta\)-维数为 \(n - 1\)， 故此定义有意义。

2. 定义与 \(\mathcal{L}\) 相伴的 Weil 除子为 \[c_1(\mathcal{L}) \cap [X] = \text{div}_\mathcal{L}(s)\text{ 的类} \in \CH_{n - 1}(X)\] 其中 \(s\) 是 \(X\) 上 \(\mathcal{L}\) 的任意非零亚纯截面。由《除子》引理 02SH，此定义与选择无关。

设 \(X\)、\(S\) 如上面的定义 02SJ， 并置 \(n = \dim_\delta(X)\)。由定义显然有 \(Cl(X) = \CH_{n - 1}(X)\)，其中 \(Cl(X)\) 是《除子》定义 0BE4 中定义的 \(X\) 的 Weil 除子类群。映射 \[\Pic(X) \longrightarrow \CH_{n - 1}(X), \quad \mathcal{L} \longmapsto c_1(\mathcal{L}) \cap [X]\] 与 Divisors, Equation (0BE7) 对任意局部诺特整概形构造的映射 \(\Pic(X) \to Cl(X)\) 相同。特别地，该映射是 Abel 群同态；若 \(X\) 正规，则它是单射； 若 \(X\) 的所有局部环都是 UFD，则它是同构。见《除子》引理 0BE8 和 0BE9。 在某些情形下，与可逆层相伴的 Weil 除子很容易计算。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，并假设 \(X\) 是整概形且 \(n = \dim_\delta(X)\)。设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模， \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) 是非零整体截面。那么在 \(Z_{n - 1}(X)\) 中 \[\text{div}_\mathcal{L}(s) = [Z(s)]_{n - 1}\] 并且在 \(\CH_{n - 1}(X)\) 中 \[c_1(\mathcal{L}) \cap [X] = [Z(s)]_{n - 1}\]

证明

设 \(Z \subset X\) 是 \(\delta\)-维数为 \(n - 1\) 的整闭子概形， \(\xi \in Z\) 是其一般点。选择生成元 \(s_\xi \in \mathcal{L}_\xi\)，并对某个 \(f \in \mathcal{O}_{X, \xi}\) 写成 \(s = fs_\xi\)。由 \(Z(s)\) 的定义 （见《除子》定义 02OQ）， \(Z(s)\) 由拟凝聚理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 截出，且 \(\mathcal{I}_\xi = (f)\)。因此 \(\text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}}(\mathcal{O}_{Z(s), \xi}) = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}}(\mathcal{O}_{X, \xi}/(f)) = \text{ord}_{\mathcal{O}_{X, \xi}}(f)\)，正合所需。

下面的引理将被更一般的引理 02SS 所涵盖。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\)、\(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型，并假设 \(X\)、\(Y\) 都是整概形且 \(n = \dim_\delta(Y)\)。设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-模， \(f : X \to Y\) 是相对维数为 \(r\) 的平坦态射。那么在 \(\CH_{n + r - 1}(X)\) 中 \[f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap [Y]) = c_1(f^*\mathcal{L}) \cap [X]\]

证明

设 \(s\) 是 \(\mathcal{L}\) 的非零亚纯截面。我们将证明实际上有 \(f^*\text{div}_\mathcal{L}(s) = \text{div}_{f^*\mathcal{L}}(f^*s)\)， 从而引理成立。为此，设 \(\xi \in Y\) 是一点，且 \(s_\xi \in \mathcal{L}_\xi\) 是生成元。对某个 \(g \in R(Y)^*\) 写成 \(s = gs_\xi\)。存在 \(\xi\) 的开邻域 \(V \subset Y\)，使得 \(s_\xi \in \mathcal{L}(V)\)，且 \(s_\xi\) 生成 \(\mathcal{L}|_V\)。因此 \[\text{div}_\mathcal{L}(s)|_V = \text{div}_Y(g)|_V.\] 完全类似地，由于 \(f^*s_\xi\) 在 \(f^{-1}(V)\) 上生成 \(f^*\mathcal{L}\)， 且 \(f^*s = g f^*s_\xi\)，还有 \[\text{div}_\mathcal{L}(f^*s)|_{f^{-1}(V)} = \text{div}_X(g)|_{f^{-1}(V)}.\] 于是，\(f^{-1}(V)\) 上所需的循环等式由主除子拉回的相应结论得到；见引理 02RR。

与可逆层相交

本节研究如下构造。

定义

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，并设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。对每个整数 \(k\)，定义运算 \[c_1(\mathcal{L}) \cap - : Z_{k + 1}(X) \to \CH_k(X)\] 称为与 \(\mathcal{L}\) 的第一陈类相交。

1. 给定满足 \(\dim_\delta(W) = k + 1\) 的整闭子概形 \(i : W \to X\)，定义 \[c_1(\mathcal{L}) \cap [W] = i_*(c_1({i^*\mathcal{L}}) \cap [W])\] 其中右端由定义 02SJ 定义。

2. 对一般的 \((k + 1)\)-循环 \(\alpha = \sum n_i [W_i]\)，置 \[c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = \sum n_i c_1(\mathcal{L}) \cap [W_i]\]

将每个 \(c_1(\mathcal{L}) \cap W_i = \sum_j n_{i, j} [Z_{i, j}]\) 写成上述形式， 其中 \(\{Z_{i, j}\}_j\) 是 \(W_i\) 的整闭子概形的局部有限和。 由于 \(\{W_i\}\) 是 \(X\) 上整闭子概形的局部有限族，容易看出 \(\{Z_{i, j}\}_{i, j}\) 是 \(X\) 的闭子概形的局部有限族。因此 \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = \sum n_in_{i, j}[Z_{i, j}]\) 是循环。 另一种更方便的理解方式是注意到态射 \(\coprod W_i \to X\) 固有。 因此可将 \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\) 看作 \(\CH_k(\coprod W_i) = \prod \CH_k(W_i)\) 中某个类的推前。 这也说明所得结果在 \(X\) 上模有理等价有良好定义。

接下来几节的主要目标，是证明与 \(c_1(\mathcal{L})\) 相交可下降到有理等价类。 这并非平凡事实。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(\mathcal{L}\)、\(\mathcal{N}\) 是 \(X\) 上的可逆层。 那么对每个 \(\alpha \in Z_{k + 1}(X)\)，在 \(\CH_k(X)\) 中有 \[c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha + c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha = c_1(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N}) \cap \alpha\] 此外，对所有 \(\alpha\)，有 \(c_1(\mathcal{O}_X) \cap \alpha = 0\)。

证明

可加性直接由《除子》引理 02SL 与定义得到。 为说明 \(c_1(\mathcal{O}_X) \cap \alpha = 0\)，考虑截面 \(1 \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)。它在任意整闭子概形 \(W \subset X\) 上限制为处处非零的截面。因此 \(c_1(\mathcal{O}_X) \cap [W] = 0\)，正合所需。

回忆，\(Z(s) \subset X\) 表示概形 \(X\) 上某个可逆层的整体截面 \(s\) 的零点概形； 见《除子》定义 02OQ。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-模，并设 \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{L})\)。假设

1. \(\dim_\delta(Y) \leq k + 1\)；

2. \(\dim_\delta(Z(s)) \leq k\)；

3. 对 \(Z(s)\) 中 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的任意不可约分支的一般点 \(\xi\)， 乘以 \(s\) 诱导单射 \(\mathcal{O}_{Y, \xi} \to \mathcal{L}_\xi\)。

写成 \([Y]_{k + 1} = \sum n_i[Y_i]\)，其中 \(Y_i \subset Y\) 是 \(Y\) 中 \(\delta\)-维数为 \(k + 1\) 的不可约分支。置 \(s_i = s|_{Y_i} \in \Gamma(Y_i, \mathcal{L}|_{Y_i})\)。那么，作为 \(Y\) 上的 \(k\)-循环，有 [02SR]\[\begin{equation} [Z(s)]_k = \sum n_i[Z(s_i)]_k \end{equation}\]

证明

设 \(Z \subset Y\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的整闭子概形， \(\xi \in Z\) 是其一般点。要比较 \([Z]\) 在表达式 \(\sum n_i[Z(s_i)]_k\) 中的系数 \(n\) 与 \([Z]\) 在表达式 \([Z(s)]_k\) 中的系数 \(m\)。 选择生成元 \(s_\xi \in \mathcal{L}_\xi\)。写成 \(A = \mathcal{O}_{Y, \xi}\)、\(L = \mathcal{L}_\xi\)。那么 \(L = As_\xi\)。对某个唯一的 \(f \in A\) 写成 \(s = f s_\xi\)。 假设 (3) 意味着 \(f : A \to A\) 是单射。由于 \(\dim_\delta(Y) \leq k + 1\) 且 \(\dim_\delta(Z) = k\)，有 \(\dim(A) = 0\) 或 \(1\)。并且 \[m = \text{length}_A(A/(f))\] 在两种情形下都是有限的。

若 \(\dim(A) = 0\)，则 \(f : A \to A\) 为单射蕴含 \(f \in A^*\)。 所以此时 \(m\) 为零。此外，条件 \(\dim(A) = 0\) 意味着 \(\xi\) 不位于任何 \(\delta\)-维数为 \(k + 1\) 的不可约分支上，即 \(n = 0\)。

现在设 \(\dim(A) = 1\)。由于 \(A\) 是诺特局部环，它只有有限多个极小素理想 \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\)。它们与经过 \(\xi'\) 的 \(Y_i\) 一一对应。 此外，\(n_i = \text{length}_{A_{\mathfrak q_i}}(A_{\mathfrak q_i})\)。 \([Z]\) 在 \([Z(s_i)]_k\) 中的重数为 \(\text{length}_A(A/(f, \mathfrak q_i))\)。因此，此时需要证明的等式是 \[\text{length}_A(A/(f)) = \sum \text{length}_{A_{\mathfrak q_i}}(A_{\mathfrak q_i}) \text{length}_A(A/(f, \mathfrak q_i))\] 它由引理 02QG 得出。

下面的引理可用于计算可逆层的 \(c_1\) 与闭子概形所对应循环的交积。 回忆，\(Z(s) \subset X\) 表示概形 \(X\) 上某个可逆层的整体截面 \(s\) 的零点概形； 见《除子》定义 02OQ。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，\(Y \subset X\) 是闭子概形，且 \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{L}|_Y)\)。假设

1. \(\dim_\delta(Y) \leq k + 1\)；

2. \(\dim_\delta(Z(s)) \leq k\)；

3. 对 \(Z(s)\) 中 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的任意不可约分支的一般点 \(\xi\)， 乘以 \(s\) 诱导单射 \(\mathcal{O}_{Y, \xi} \to (\mathcal{L}|_Y)_\xi\)¹。

那么在 \(\CH_k(X)\) 中有 \[c_1(\mathcal{L}) \cap [Y]_{k + 1} = [Z(s)]_k\]

证明

写成 \[[Y]_{k + 1} = \sum n_i[Y_i]\] 其中 \(Y_i \subset Y\) 是 \(Y\) 中 \(\delta\)-维数为 \(k + 1\) 的不可约分支， 且 \(n_i > 0\)。由假设，限制 \(s_i = s|_{Y_i} \in \Gamma(Y_i, \mathcal{L}|_{Y_i})\) 非零，因而是正则截面。 由引理 02SK，\([Z(s_i)]_k\) 表示 \(c_1(\mathcal{L}|_{Y_i})\)。所以按定义 \[c_1(\mathcal{L}) \cap [Y]_{k + 1} = \sum n_i[Z(s_i)]_k\] 结论于是由引理 0EPI 得出。

与可逆层相交及推前、拉回

本节证明运算 \(c_1(\mathcal{L}) \cap -\) 与平坦拉回、固有推前交换。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\)、\(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(f : X \to Y\) 是相对维数为 \(r\) 的平坦态射，\(\mathcal{L}\) 是 \(Y\) 上的可逆层。假设 \(Y\) 是整概形且 \(n = \dim_\delta(Y)\)。设 \(s\) 是 \(\mathcal{L}\) 的非零亚纯截面。那么 \[f^*\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum n_i\text{div}_{f^*\mathcal{L}|_{X_i}}(s_i)\] 在 \(Z_{n + r - 1}(X)\) 中成立。这里求和遍历其中 \(\delta\)-维数为 \(n + r\) 的不可约分支 \(X_i \subset X\)；截面 \(s_i = f|_{X_i}^*(s)\) 是 \(s\) 的拉回；而 \(n_i = m_{X_i, X}\) 是 \(X_i\) 在 \(X\) 中的重数。

证明

为证明这个循环等式，可以在 \(Y\) 上局部工作。因此可以假设 \(Y\) 仿射，且对某些非零截面 \(p \in \Gamma(Y, \mathcal{L})\) 和 \(q \in \Gamma(Y, \mathcal{O})\)，有 \(s = p/q\)。若能同时证明 \[f^*\text{div}_\mathcal{L}(p) = \sum n_i\text{div}_{f^*\mathcal{L}|_{X_i}}(p_i) \quad\text{且}\quad f^*\text{div}_\mathcal{O}(q) = \sum n_i\text{div}_{\mathcal{O}_{X_i}}(q_i)\] （记号含义显然），则由可加性即得结论；见《除子》引理 02SL。所以可以假设 \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{L})\)。此时应用等式 (02SR)，得到 \[[Z(f^*(s))]_{k + r - 1} = \sum n_i\text{div}_{f^*\mathcal{L}|_{X_i}}(s_i)\] 其中 \(f^*(s) \in f^*\mathcal{L}\) 表示 \(s\) 到 \(X\) 的拉回。另一方面，有 \[f^*\text{div}_\mathcal{L}(s) = f^*[Z(s)]_{k - 1} = [f^{-1}(Z(s))]_{k + r - 1},\] 这由引理 02SK 和 02RE 得出。 由于 \(Z(f^*(s)) = f^{-1}(Z(s))\)，结论成立。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\)、\(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(f : X \to Y\) 是相对维数为 \(r\) 的平坦态射，\(\mathcal{L}\) 是 \(Y\) 上的可逆层，\(\alpha\) 是 \(Y\) 上的 \(k\)-循环。那么在 \(\CH_{k + r - 1}(X)\) 中 \[f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha) = c_1(f^*\mathcal{L}) \cap f^*\alpha\]

证明

写成 \(\alpha = \sum n_i[W_i]\)。我们将通过在 \(X\) 的闭子概形 \(f^{-1}(W_i)\) 上构造有理等价，证明在 \(\CH_{k + r - 1}(X)\) 中 \[f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap [W_i]) = c_1(f^*\mathcal{L}) \cap f^*[W_i]\] 注 02RZ 中的讨论于是表明， 引理的等式成立。

设 \(W \subset Y\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的整闭子概形。 考虑闭子概形 \(W' = f^{-1}(W) = W \times_Y X\)，从而有纤维积图 \[\xymatrix{ W' \ar[r] \ar[d]_h & X \ar[d]^f \\ W \ar[r] & Y }\] 需要证明 \(f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap [W]) = c_1(f^*\mathcal{L}) \cap f^*[W]\)。 选择 \(\mathcal{L}|_W\) 的非零亚纯截面 \(s\)。设 \(W'_i \subset W'\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k + r\) 的不可约分支。 按定义写成 \([W']_{k + r} = \sum n_i[W'_i]\)，其中 \(n_i\) 是 \(W'_i\) 在 \(W'\) 中的重数。因此在 \(Z_{k + r}(X)\) 中有 \(f^*[W] = \sum n_i[W'_i]\)。由于每个 \(W'_i \to W\) 都支配， 对每个 \(i\)，\(s_i = s|_{W'_i}\) 都是非零亚纯截面。由引理 0EPJ，有循环等式 \[h^*\text{div}_{\mathcal{L}|_W}(s) = \sum n_i\text{div}_{f^*\mathcal{L}|_{W'_i}}(s_i)\] 其位于 \(Z_{k + r - 1}(W')\) 中。证明由此完成：左端是 \(W'\) 上的循环， 其在 \(\CH_{k + r - 1}(X)\) 中推前为 \(f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap [W])\)；右端也是 \(W'\) 上的循环，其在 \(\CH_{k + r - 1}(X)\) 中推前为 \(c_1(f^*\mathcal{L}) \cap f^*[W]\)。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\)、\(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(f : X \to Y\) 是固有态射， \(\mathcal{L}\) 是 \(Y\) 上的可逆层。设 \(s\) 是 \(Y\) 上 \(\mathcal{L}\) 的非零亚纯截面， 并将该截面记为 \(s\)。假设 \(X\)、\(Y\) 都是整概形，\(f\) 支配，且 \(\dim_\delta(X) = \dim_\delta(Y)\)。那么，作为 \(Y\) 上的循环， \[f_*\left(\text{div}_{f^*\mathcal{L}}(f^*s)\right) = [R(X) : R(Y)]\text{div}_\mathcal{L}(s).\] 特别地， \[f_*(c_1(f^*\mathcal{L}) \cap [X]) = [R(X) : R(Y)] c_1(\mathcal{L}) \cap [Y] = c_1(\mathcal{L}) \cap f_*[X]\]

证明

由定义，\(f_*[X] = [R(X) : R(Y)][Y]\)，所以最后一个等式由第一个等式得出。 可以再次使用引理 02RT 来证明第一个等式。 因为所证的是循环等式，可以在 \(Y\) 上局部工作。因此可以假设 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_Y\)。此时 \(s\) 对应于有理函数 \(g \in R(Y)\)， 而所需证明的只是 \[f_*\left(\text{div}_X(g)\right) = [R(X) : R(Y)]\text{div}_Y(g).\] 与上述引理 02RT 的结果比较， 由 \(g \in R(Y)^*\) 时 \(\text{Nm}_{R(X)/R(Y)}(g) = g^{[R(X) : R(Y)]}\)，即得该等式。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\)、\(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(p : X \to Y\) 是固有态射， \(\alpha \in Z_{k + 1}(X)\)，而 \(\mathcal{L}\) 是 \(Y\) 上的可逆层。 那么在 \(\CH_k(Y)\) 中有 \[p_*(c_1(p^*\mathcal{L}) \cap \alpha) = c_1(\mathcal{L}) \cap p_*\alpha\]

证明

先假设 \(p\) 具有如下性质：对每个整闭子概形 \(W \subset X\)，映射 \(p|_W : W \to Y\) 都是闭浸入。那么由与 \(c_1(\mathcal{L})\) 作帽积的定义， 引理成立。

利用这一观察约化到特殊情形。写成 \(\alpha = \sum n_i[W_i]\)，其中 \(n_i \not = 0\)，且各 \(W_i\) 两两不同。设 \(W'_i \subset Y\) 是 \(W_i\) 的像 （视为整闭子概形）。考虑图表 \[\xymatrix{ X' = \coprod W_i \ar[r]_-q \ar[d]_{p'} & X \ar[d]^p \\ Y' = \coprod W'_i \ar[r]^-{q'} & Y. }\] 由于 \(\{W_i\}\) 在 \(X\) 上局部有限，且 \(p\) 固有，可知 \(\{W'_i\}\) 在 \(Y\) 上局部有限，并且 \(q, q', p'\) 也都是固有态射。 还可以把 \(\sum n_i[W_i]\) 看成 \(k\)-循环 \(\alpha' \in Z_k(X')\)。显然 \(q_*\alpha' = \alpha\)。由证明开头的观察，有 \(q_*(c_1(q^*p^*\mathcal{L}) \cap \alpha') = c_1(p^*\mathcal{L}) \cap q_*\alpha'\) 以及 \((q')_*(c_1((q')^*\mathcal{L}) \cap p'_*\alpha') = c_1(\mathcal{L}) \cap q'_*p'_*\alpha'\)。因此只须对态射 \(p'\) 和循环 \(\sum n_i[W_i]\) 证明引理。显然，这意味着可以假设 \(X\)、\(Y\) 都是整概形， \(f : X \to Y\) 支配，且 \(\alpha = [X]\)。此时结论由引理 02ST 得出。

关键公式

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，并假设 \(X\) 是整概形且 \(\dim_\delta(X) = n\)。 设 \(\mathcal{L}\) 和 \(\mathcal{N}\) 是 \(X\) 上的可逆层。 设 \(s\) 是 \(\mathcal{L}\) 的非零亚纯截面，而 \(t\) 是 \(\mathcal{N}\) 的非零亚纯截面。 设 \(Z_i \subset X\)（\(i \in I\)）是一族局部有限的余维 \(1\) 不可约闭子集，并具有如下性质： 若 \(Z \not \in \{Z_i\}\) 且 \(\xi\) 是其一般点，则 \(s\) 是 \(\mathcal{L}_\xi\) 的生成元，而 \(t\) 是 \(\mathcal{N}_\xi\) 的生成元。 由《除子》引理 02SG，这样的集合存在。 于是 \[\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{L}}(s) [Z_i]\] 并且类似地， \[\text{div}_\mathcal{N}(t) = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{N}}(t) [Z_i]\] 进一步展开定义：对每个 \(i\) 选取生成元 \(s_i \in \mathcal{L}_{\xi_i}\) 和 \(t_i \in \mathcal{N}_{\xi_i}\)， 其中 \(\xi_i\) 是 \(Z_i\) 的一般点。于是可以写成 \[s = f_i s_i \quad\text{且}\quad t = g_i t_i\] 置 \(B_i = \mathcal{O}_{X, \xi_i}\)。由定义， \[\text{ord}_{Z_i, \mathcal{L}}(s) = \text{ord}_{B_i}(f_i) \quad\text{且}\quad \text{ord}_{Z_i, \mathcal{N}}(t) = \text{ord}_{B_i}(g_i)\] 因为 \(t_i\) 是 \(\mathcal{N}_{\xi_i}\) 的生成元，它在纤维 \(\mathcal{N}_{\xi_i} \otimes \kappa(\xi_i)\) 中的像是 \(\mathcal{N}|_{Z_i}\) 的非零亚纯截面。将此像记为 \(t_i|_{Z_i}\)。由定义可得 \[c_1(\mathcal{N}) \cap \text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum \text{ord}_{B_i}(f_i) (Z_i \to X)_*\text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i})\] 以及类似的等式 \[c_1(\mathcal{L}) \cap \text{div}_\mathcal{N}(t) = \sum \text{ord}_{B_i}(g_i) (Z_i \to X)_*\text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i})\] 它们位于 \(\CH_{n - 2}(X)\) 中。下面要找出这两个循环之间的有理等价。 为此，考虑驯顺符号 \[\partial_{B_i}(f_i, g_i) \in \kappa(\xi_i)^*\] 见第 0EAH 节。

引理

在上述情形中，循环 \[\sum (Z_i \to X)_*\left( \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i}) - \text{ord}_{B_i}(g_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i}) \right)\] 等于循环 \[\sum (Z_i \to X)_*\text{div}(\partial_{B_i}(f_i, g_i))\]

证明

先考察用 \(us_i\) 替换 \(s_i\) 时会发生什么，其中 \(u\) 是 \(B_i\) 中的单位。 此时 \(f_i\) 被 \(u^{-1} f_i\) 替换。因此，引理第一个表达式的第一部分不变， 而在第二部分中增加 \[-\text{ord}_{B_i}(g_i)\text{div}(u|_{Z_i})\] （其中 \(u|_{Z_i}\) 是 \(u\) 在剩余域中的像）；这是 《除子》引理 02SH 的结论。第二个表达式中则增加 \[\text{div}(\partial_{B_i}(u^{-1}, g_i))\] 这是驯顺符号双线性的结果。由驯顺符号的性质 (0EAN)，这两项相等。

设 \(Z \subset X\) 是满足 \(\dim_\delta(Z) = n - 2\) 的不可约闭子集。 为证明引理中两个循环的 \(Z\) 系数相同，可以像上一段那样作替换 \(s_i \mapsto us_i\)。完全类似地，也可以用 \(t_i \mapsto vt_i\) 作替换，其中 \(v\) 是 \(B_i\) 的单位。

由于所证的是循环相等，可以逐个系数论证。因此，选取满足 \(\dim_\delta(Z) = n - 2\) 的不可约闭子集 \(Z \subset X\)，并比较其系数。 设 \(\xi \in Z\) 为一般点，并置 \(A = \mathcal{O}_{X, \xi}\)。 这是一个维数为 \(2\) 的 Noether 局部整环。选取 \(\mathcal{L}_\xi\) 和 \(\mathcal{N}_\xi\) 的生成元 \(\sigma\) 和 \(\tau\)。 缩小 \(X\) 后，可以并且确实假设 \(\sigma\) 和 \(\tau\) 在整个 \(X\) 上 给出可逆层 \(\mathcal{L}\) 和 \(\mathcal{N}\) 的平凡化。 由于缩小 \(X\) 后 \(Z_i\) 局部有限，可以假设对所有 \(i \in I\) 都有 \(Z \subset Z_i\)，并且 \(I\) 有限。此时 \(\xi_i\) 对应于高度为 \(1\) 的素理想 \(\mathfrak q_i \subset A\)。可以写成 \(s_i = a_i \sigma\) 和 \(t_i = b_i \tau\)，其中 \(a_i\) 和 \(b_i\) 是 \(A_{\mathfrak q_i}\) 中的单位。 由上述讨论，只须在所有 \(i\) 都满足 \(a_i = b_i = 1\) 时证明引理。

假设所有 \(i\) 都有 \(a_i = b_i = 1\)。由于所选 \(\sigma\) 和 \(\tau\) 是平凡化截面，引理的第一个表达式为零。写 \(s = f\sigma\) 和 \(t = g \tau\)，其中 \(f\)、\(g\) 属于 \(A\) 的分式域。 由上一段，问题已约化到对所有 \(i\) 都有 \(f_i = f\) 和 \(g_i = g\) 的情形。 此外，若 \(A\) 的高度 \(1\) 素理想 \(\mathfrak q\) 不在 \(\{\mathfrak q_i\}\) 中，则 \(f\)、\(g\) 都是 \(A_\mathfrak q\) 中的单位 （这是由引理之前讨论中对族 \(\{Z_i\}\) 的选取所得）。因此，引理第二个 表达式中 \(Z\) 的系数为 \[\sum\nolimits_i \text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(\partial_{B_i}(f, g))\] 而关键引理引理 0EAX 说明它为零。

注

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，并设 \(k \in \mathbf{Z}\)。 我们断言存在复形 \[\bigoplus\nolimits_{\delta(x) = k + 2}' K_2^M(\kappa(x)) \xrightarrow{\partial} \bigoplus\nolimits_{\delta(x) = k + 1}' K_1^M(\kappa(x)) \xrightarrow{\partial} \bigoplus\nolimits_{\delta(x) = k}' K_0^M(\kappa(x))\] 这里采用注 0GU3 中引入的记号和约定， 并另作如下约定：

1. \(K_2^M(\kappa(x))\) 是点 \(x \in X\) 的剩余域 \(\kappa(x)\) 的 Milnor K-理论的次数 \(2\) 部分（见注 0EAY）；它是 \(\kappa(x)^* \otimes_\mathbf{Z} \kappa(x)^*\) 关于由形如 \(\lambda \otimes (1 - \lambda)\) 的元素生成的子群所取的商， 其中 \(\lambda \in \kappa(x) \setminus \{0, 1\}\)；以及

2. 第一个微分 \(\partial\) 定义如下：给定第一项中的元素 \(\xi = \sum_x \alpha_x\)，置 \[\partial(\xi) = \sum\nolimits_{x \leadsto x',\ \delta(x') = k + 1} \partial_{\mathcal{O}_{W_x, x'}}(\alpha_x)\] 其中 \(\partial_{\mathcal{O}_{W_x, x'}} : K_2^M(\kappa(x)) \to K_1^M(\kappa(x))\) 是第 0EAH 节中构造的驯顺符号。

我们断言所得确为复形，即 \(\partial \circ \partial = 0\)。 为此，只须取上述元素 \(\xi\) 以及满足 \(\delta(x'') = k\) 的点 \(x'' \in X\)，并验证元素 \(\partial(\partial(\xi))\) 中 \(x''\) 的系数为零。 由于 \(\xi = \sum \alpha_x\) 是局部有限和，利用可加性，实际上可以假设 \(\xi = \alpha_x\)，其中某个 \(x \in X\) 满足 \(\delta(x) = k + 2\)，且 \(\alpha_x \in K_2^M(\kappa(x))\)。再由线性性，可以假设 \(\alpha_x = f \otimes g\)，其中 \(f, g \in \kappa(x)^*\)。 以 \(W \subset X\) 表示一般点为 \(x\) 的整闭子概形。若 \(x'' \not \in W\)，则立即可见，\(\partial(\partial(\xi))\) 中 \(x\) 的系数为零。 若 \(x'' \in W\)，则 \(\partial(\partial(x))\) 中 \(x''\) 的系数等于 \[\sum\nolimits_{x \leadsto x' \leadsto x'',\ \delta(x') = k + 1} \text{ord}_{\mathcal{O}_{\overline{\{x'\}}, x''}}( \partial_{\mathcal{O}_{W, x'}}(f, g))\] 关键代数引理引理 0EAX 恰好说明这个和为零。

注

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，并设 \(k \in \mathbf{Z}\)。 注 0GU9 中的复形以及注 0GU3 中 \(\CH_k(X)\) 的表示提示我们， 可以定义第一高阶 Chow 群 \[\CH^M_k(X, 1) = H_1(\text{the complex of Remark \href{chow.html#chow-remark-higher-chow-pointwise}{0GU9}})\] 我们使用上标 \({}^M\)，以区别于文献中定义的高阶 Chow 群， 例如 Spencer Bloch 的论文（[Bloch] 和 [Bloch-moving]）中的定义。 设 \(U \subset X\) 是开子集，其补集为 \(Y \subset X\)（视为既约闭子概形）。 于是对 \(i = 2, 1, 0\) 有分裂短正合列 \[0 \to \bigoplus\nolimits_{y \in Y, \delta(y) = k + i}' K_i^M(\kappa(y)) \to \bigoplus\nolimits_{x \in X, \delta(x) = k + i}' K_i^M(\kappa(x)) \to \bigoplus\nolimits_{u \in U, \delta(u) = k + i}' K_i^M(\kappa(u)) \to 0\] 它与注 0GU9 中各复形的边界映射相容。 应用蛇形引理（见《同调代数》引理 0111），得到六项正合列 \[\CH^M_k(Y, 1) \to \CH^M_k(X, 1) \to \CH^M_k(U, 1) \to \CH_k(Y) \to \CH_k(X) \to \CH_k(U) \to 0\] 它延拓了引理 02RX 的典范正合列。 稍作进一步工作，还可以为第一高阶 Chow 群 \(\CH^M_k(X, 1)\) 定义平坦拉回与固有推前。我们将在后文回到这一点 （此处插入未来引用）。

与可逆层相交及有理等价

应用关键引理，可以得到与可逆层相交的基本性质。特别地，我们将看到 \(c_1(\mathcal{L}) \cap -\) 下降到有理等价类，并且不同可逆层所给出的 这类运算彼此交换。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，并假设 \(X\) 是整概形且 \(\dim_\delta(X) = n\)。设 \(\mathcal{L}\)、\(\mathcal{N}\) 是 \(X\) 上的可逆层。 选取 \(\mathcal{L}\) 的非零亚纯截面 \(s\) 和 \(\mathcal{N}\) 的非零亚纯截面 \(t\)。置 \(\alpha = \text{div}_\mathcal{L}(s)\) 及 \(\beta = \text{div}_\mathcal{N}(t)\)。则 \[c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha = c_1(\mathcal{L}) \cap \beta\] 在 \(\CH_{n - 2}(X)\) 中成立。

证明

这立即由关键引理引理 0AYC 及其之前的讨论得出。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，\(\mathcal{L}\) 是 \(X\) 上的可逆层。 运算 \(\alpha \mapsto c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\) 下降到有理等价类， 从而给出运算 \[c_1(\mathcal{L}) \cap - : \CH_{k + 1}(X) \to \CH_k(X)\]

证明

设 \(\alpha \in Z_{k + 1}(X)\) 且 \(\alpha \sim_{rat} 0\)。 需要证明定义 02SO 所定义的 \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\) 为零。 由定义 02RW，存在局部有限族 \(\{W_j\}\)，其成员都是满足 \(\dim_\delta(W_j) = k + 2\) 的整闭子概形；还存在有理函数 \(f_j \in R(W_j)^*\)，使得 \[\alpha = \sum (i_j)_*\text{div}_{W_j}(f_j)\] 注意，\(p : \coprod W_j \to X\) 是固有态射。因此 \(\alpha = p_*\alpha'\)，其中 \(\alpha' \in Z_{k + 1}(\coprod W_j)\) 是主除子 \(\text{div}_{W_j}(f_j)\) 之和。 由引理 02SU， \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = p_*(c_1(p^*\mathcal{L}) \cap \alpha')\)。 故只须证明每个 \(c_1(\mathcal{L}|_{W_j}) \cap \text{div}_{W_j}(f_j)\) 都为零。 换言之，可以假设 \(X\) 是整概形，并且对某个 \(f \in R(X)^*\) 有 \(\alpha = \text{div}_X(f)\)。

假设 \(X\) 是整概形，且对某个 \(f \in R(X)^*\) 有 \(\alpha = \text{div}_X(f)\)。可以把 \(f\) 看成可逆层 \(\mathcal{N} = \mathcal{O}_X\) 的正则亚纯截面。选取 \(\mathcal{L}\) 的 一个亚纯截面 \(s\)，并记 \(\beta = \text{div}_\mathcal{L}(s)\)。 由引理 02TH 可得 \[c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = c_1(\mathcal{O}_X) \cap \beta.\] 然而引理 02SP 说明右边在 \(\CH_k(X)\) 中为零， 正合所需。

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，\(\mathcal{L}\) 是 \(X\) 上的可逆层。 将运算 \(c_1(\mathcal{L}) \cap -\) 记为 \[c_1(\mathcal{L}) \cap - : \CH_{k + 1}(X) \to \CH_k(X)\] 由引理 02TI，这个记法有意义。对所有 \(s \geq 0\)， 以 \(c_1(\mathcal{L})^s \cap -\) 表示该运算的 \(s\) 次迭代。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，\(\mathcal{L}\)、\(\mathcal{N}\) 是 \(X\) 上的 可逆层。对任意 \(\alpha \in \CH_{k + 2}(X)\)，都有 \[c_1(\mathcal{L}) \cap c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha = c_1(\mathcal{N}) \cap c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\] 作为 \(\CH_k(X)\) 中的元素。

证明

将其写成 \(\alpha = \sum m_j[Z_j]\)，其中 \(Z_j \subset X\) 是满足 \(\dim_\delta(Z_j) = k + 2\) 的一族局部有限的 整闭子概形。考虑固有态射 \(p : \coprod Z_j \to X\)。 把 \(\alpha' = \sum m_j[Z_j]\) 视为 \(\coprod Z_j\) 上的 \((k + 2)\)-循环。反复应用引理 02SU，得到 \(c_1(\mathcal{L}) \cap c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha = p_*(c_1(p^*\mathcal{L}) \cap c_1(p^*\mathcal{N}) \cap \alpha')\) 以及 \(c_1(\mathcal{N}) \cap c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = p_*(c_1(p^*\mathcal{N}) \cap c_1(p^*\mathcal{L}) \cap \alpha')\)。 因此，只须在 \(X\) 为整概形且 \(\alpha = [X]\) 的情形证明该公式。 此时结论由引理 02TH 和定义得出。

Gysin 同态

本节为可逆层的一个截面的零点概形 \(D\) 定义 Gysin 映射。 当 \(D\) 是有效 Cartier 除子时会出现一个重要情形；但把定义推广到任意 \(D\)，可以更灵活地表述各种相容性，见注 0B6Y 以及引理 02TA、0B71 和 0B73。 这些结果还可以推广到带有虚法丛的局部主闭子概形 （注 0B70），或推广到伪除子 （注 0B7D）。

回忆，有效 Cartier 除子与配对 \((\mathcal{L}, s)\) 的同构类按 \(1\) 对 \(1\) 对应， 其中 \(\mathcal{L}\) 是可逆层，而 \(s\) 是正则整体截面；见 《除子》引理 01X0。 若 \(D\) 对应于 \((\mathcal{L}, s)\)，则 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(D)\)。阅读本节时请记住这一点。

定义

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \((\mathcal{L}, s)\) 是由一个可逆层 和一个整体截面 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) 组成的配对。 设 \(D = Z(s)\) 是 \(s\) 的零点概形，并以 \(i : D \to X\) 表示闭浸入。对每个整数 \(k\)，按如下规则定义一个 Gysin 同态 \[i^* : Z_{k + 1}(X) \to \CH_k(D).\]

1. 给定满足 \(\dim_\delta(W) = k + 1\) 的整闭子概形 \(W \subset X\)，定义

   1. 若 \(W \not \subset D\)，则令 \(i^*[W] = [D \cap W]_k\)， 把它视为 \(D\) 上的 \(k\)-循环；以及

   2. 若 \(W \subset D\)，则令 \(i^*[W] = i'_*(c_1(\mathcal{L}|_W) \cap [W])\)， 其中 \(i' : W \to D\) 是诱导的闭浸入。

2. 对一般的 \((k + 1)\)-循环 \(\alpha = \sum n_j[W_j]\)，置 \[i^*\alpha = \sum n_j i^*[W_j]\]

3. 若 \(D\) 是有效 Cartier 除子，则以 \(D \cdot \alpha = i_*i^*\alpha\) 表示类 \(i^*\alpha\) 推前后所得的 \(X\) 上的类。

事实上，正如下文将看到的，这个 Gysin 同态 \(i^*\) 可以视为非平坦拉回 的一个例子。因此，有时也非正式地把类 \(i^*\alpha\) 称为类 \(\alpha\) 的 拉回。

注

设 \(X\) 是情形 02QL 中那样在 \(S\) 上局部有限型 的概形。设 \((D, \mathcal{N}, \sigma)\) 是如下三元组：局部主闭子概形 （《除子》定义 01WR） \(i : D \to X\)、可逆 \(\mathcal{O}_D\)-模 \(\mathcal{N}\)，以及 \(\mathcal{O}_D\)-模的满射 \(\sigma : \mathcal{N}^{\otimes -1} \to i^*\mathcal{I}_D\) ²。 应把 \(\mathcal{N}\) 看作\(D\) 在 \(X\) 中的虚法丛。 定义 02T8 中的构造 \(i^* : Z_{k + 1}(X) \to \CH_k(D)\) 可以推广到这类三元组，见 第 0FBI 节。

注

设 \(X\) 是情形 02QL 中那样在 \(S\) 上局部有限型 的概形。在 [F] 中，\(X\) 上的伪除子定义为三元组 \(D = (\mathcal{L}, Z, s)\)，其中 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，\(Z \subset X\) 是闭子集，而 \(s \in \Gamma(X \setminus Z, \mathcal{L})\) 是处处非零截面。 与上述情形类似，对 \(\CH_{k + 1}(X)\) 中每个 \(\alpha\)， 可以在 \(\CH_k(Z \cap |\alpha|)\) 中定义乘积 \(D \cdot \alpha\)， 其中 \(|\alpha|\) 是 \(\alpha\) 的支撑。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，并设 \(X\) 在 \(S\) 上 局部有限型。设 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) 如定义 02T8，而 \(\alpha\) 是 \(X\) 上的 \((k + 1)\)-循环。那么在 \(\CH_k(X)\) 中， \(i_*i^*\alpha = c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\)。 特别地，若 \(D\) 是有效 Cartier 除子，则 \(D \cdot \alpha = c_1(\mathcal{O}_X(D)) \cap \alpha\)。

证明

写 \(\alpha = \sum n_j[W_j]\)，其中 \(i_j : W_j \to X\) 是满足 \(\dim_\delta(W_j) = k\) 的整闭子概形。 由于 \(D\) 是 \(s\) 的零点概形，\(D \cap W_j\) 是限制 \(s|_{W_j}\) 的零点概形。 因此，对每个满足 \(W_j \not \subset D\) 的 \(j\)，由引理 02SQ 有 \(c_1(\mathcal{L}) \cap [W_j] = [D \cap W_j]_k\)。于是，由定义 02SO，在 \(\CH_k(X)\) 中有 \[c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = \sum\nolimits_{W_j \not \subset D} n_j[D \cap W_j]_k + \sum\nolimits_{W_j \subset D} n_j i_{j, *}(c_1(\mathcal{L})|_{W_j}) \cap [W_j])\] 右边逐项等于定义 02T8 中 \(D\) 上的类 \(i^*\alpha\) 的推前。因此结论成立。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) 如定义 02T8。

1. 设 \(Z \subset X\) 是满足 \(\dim_\delta(Z) \leq k + 1\) 的闭子概形， 并且 \(D \cap Z\) 是 \(Z\) 上的有效 Cartier 除子。则 \(i^*[Z]_{k + 1} = [D \cap Z]_k\)。

2. 设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的凝聚层，满足 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k + 1\)，并且 \(s : \mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}\) 是单射。则 \[i^*[\mathcal{F}]_{k + 1} = [i^*\mathcal{F}]_k\] 在 \(\CH_k(D)\) 中成立。

证明

设 \(Z \subset X\) 如 (1)，并置 \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_Z\)。 \(D \cap Z\) 是有效 Cartier 除子的假设等价于 \(s : \mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}\) 为单射的假设。此外， \([Z]_{k + 1} = [\mathcal{F}]_{k + 1}]\)，并且 \([D \cap Z]_k = [\mathcal{O}_{D \cap Z}]_k = [i^*\mathcal{F}]_k\)。 见引理 02QY。因此 (1) 由 (2) 得出。

写 \([\mathcal{F}]_{k + 1} = \sum m_j[W_j]\)，其中 \(m_j > 0\)， 而 \(W_j \subset X\) 是两两不同、\(\delta\)-维数为 \(k + 1\) 的整闭子概形。 \(s : \mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}\) 为单射这一假设蕴含对所有 \(j\) 都有 \(W_j \not \subset D\)。 由定义， \[i^*[\mathcal{F}]_{k + 1} = \sum m_j [D \cap W_j]_k.\] 我们断言循环等式 \[\sum [D \cap W_j]_k = [i^*\mathcal{F}]_k\] 成立。 设 \(Z \subset D\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的整闭子概形。 设 \(\xi \in Z\) 为其一般点，\(A = \mathcal{O}_{X, \xi}\)， \(M = \mathcal{F}_\xi\)。设 \(f \in A\) 生成 \(D\) 的理想，即满足 \(\mathcal{O}_{D, \xi} = A/fA\)。根据假设， \(\dim(\text{Supp}(M)) = 1\)，映射 \(f : M \to M\) 是单射，并且 \(\text{length}_A(M/fM) < \infty\)。此外，\(\text{length}_A(M/fM)\) 是 \([i^*\mathcal{F}]_k\) 中 \([Z]\) 的系数。另一方面，设 \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\) 是 \(M\) 的支撑中的极小素理想。 那么 \[\sum \text{length}_{A_{\mathfrak q_i}}(M_{\mathfrak q_i}) \text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(f)\] 是 \(\sum [D \cap W_j]_k\) 中 \([Z]\) 的系数。 因此，该等式由引理 02QG 得出。

注

设 \(X \to S\)、\(\mathcal{L}\)、\(s\)、\(i : D \to X\) 如定义 02T8，并假设 \(\mathcal{L}|_D \cong \mathcal{O}_D\)。在这种情形，可以在循环上定义 典范映射 \(i^* : Z_{k + 1}(X) \to Z_k(D)\)：每当 \(W \subset D\) 是整闭子概形时，要求 \(i^*[W] = 0\)。 这种做法将在后文有用。

注

设 \(f : X' \to X\) 是情形 02QL 中那样的 \(S\) 上局部有限型概形间的态射。设 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) 是定义 02T8 中的三元组。可以置 \(\mathcal{L}' = f^*\mathcal{L}\)、\(s' = f^*s\) 以及 \(D' = X' \times_X D = Z(s')\)。这给出交换图 \[\xymatrix{ D' \ar[d]_g \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^f \\ D \ar[r]^i & X }\] 于是可以考察 \(i^*\) 与 \((i')^*\) 之间的各种相容性。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(f : X' \to X\) 是 \(S\) 上局部有限型概形间的固有态射。 设 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) 如定义 02T8。依注 0B6Y 构成图表 \[\xymatrix{ D' \ar[d]_g \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^f \\ D \ar[r]^i & X }\] 对 \(X'\) 上任意 \((k + 1)\)-循环 \(\alpha'\)，在 \(\CH_k(D)\) 中有 \(i^*f_*\alpha' = g_*(i')^*\alpha'\) （这是有意义的，因为 \(f_*\) 已在循环层次上定义）。

证明

设对某个整闭子概形 \(W' \subset X'\) 有 \(\alpha = [W']\)。 令 \(W = f(W') \subset X\)。若 \(W' \not \subset D'\)，则 \(W \not \subset D\)，并且 \[[W' \cap D']_k = \text{div}_{\mathcal{L}'|_{W'}}({s'|_{W'}}) \quad\text{且}\quad [W \cap D]_k = \text{div}_{\mathcal{L}|_W}(s|_W)\] 因此，由引理 02ST，第一个循环沿 \(f_*\) 的像等于第二个循环，故等式作为循环成立。 若 \(W' \subset D'\)，则 \(W \subset D\)；由引理 02ST 的第二个断言， \(f_*(c_1(\mathcal{L}|_{W'}) \cap [W'])\) 在 \(\CH_k(W)\) 中等于 \(c_1(\mathcal{L}|_W) \cap [W]\)。 由注 02RZ， 对一般的 \(\alpha'\) 也得到结论。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。设 \(f : X' \to X\) 是 \(S\) 上局部有限型概形间相对维数为 \(r\) 的平坦态射。 设 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) 如定义 02T8。依注 0B6Y 构成图表 \[\xymatrix{ D' \ar[d]_g \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^f \\ D \ar[r]^i & X }\] 对 \(X\) 上任意 \((k + 1)\)-循环 \(\alpha\)，在 \(\CH_{k + r}(D')\) 中有 \((i')^*f^*\alpha = g^*i^*\alpha\) （这是有意义的，因为 \(f^*\) 已在循环层次上定义）。

证明

设对某个整闭子概形 \(W \subset X\) 有 \(\alpha = [W]\)。 令 \(W' = f^{-1}(W) \subset X'\)。若 \(W \not \subset D\)，则 \(W' \not \subset D'\)，并且 \[W' \cap D' = g^{-1}(W \cap D)\] 作为 \(D'\) 的闭子概形。故等式作为循环成立；见 引理 02RE。 若 \(W \subset D\)，则 \(W' \subset D'\) 且 \(W' = g^{-1}(W)\)， 并有 \([W']_{k + 1 + r} = g^*[W]\)；此时等式由引理 02SS 在 \(\CH_{k + r}(D')\) 中成立。 由注 02RZ， 对一般的 \(\alpha'\) 也得到结论。

Gysin 同态与有理等价

本节使用关键公式证明 Gysin 同态下降到有理等价类。还将证明一个重要的交换性。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(X\) 为整概形，并且 \(n = \dim_\delta(X)\)。设 \(i : D \to X\) 是有效 Cartier 除子。 设 \(\mathcal{N}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，而 \(t\) 是 \(\mathcal{N}\) 的非零亚纯截面。则 \(i^*\text{div}_\mathcal{N}(t) = c_1(\mathcal{N}|_D) \cap [D]_{n - 1}\) 在 \(\CH_{n - 2}(D)\) 中成立。

证明

对某些 \(\delta\)-维数为 \(n - 1\) 的整闭子概形 \(Z_i \subset X\)，写 \(\text{div}_\mathcal{N}(t) = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{N}}(t)[Z_i]\)。 可以假设族 \(\{Z_i\}\) 局部有限；在 \(U = X \setminus \bigcup Z_i\) 上，\(t \in \Gamma(U, \mathcal{N}|_U)\) 是生成元；而且 \(D\) 的每个不可约分支都是某个 \(Z_i\)。见 《除子》引理 0BE1、 02RL 和 02SG。

置 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(D)\)。以 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X(D)) = \Gamma(X, \mathcal{L})\) 表示典范截面。将把第 0AYB 节中的讨论应用于当前情形。 对每个 \(i\)，设 \(\xi_i \in Z_i\) 是其一般点，并置 \(B_i = \mathcal{O}_{X, \xi_i}\)。对每个 \(i\)，选取 \(B_i\) 上的生成元 \(s_i \in \mathcal{L}_{\xi_i}\) 和 \(t_i \in \mathcal{N}_{\xi_i}\)； 但若 \(Z_i \not \subset D\)，则坚持选取 \(s_i = s\)。 写 \(s = f_i s_i\) 及 \(t = g_i t_i\)，其中 \(f_i, g_i \in B_i\)。 于是 \(\text{ord}_{Z_i, \mathcal{N}}(t) = \text{ord}_{B_i}(g_i)\)。 另一方面，\(f_i \in B_i\)，并且由于对 \(s_i\) 的选取，有 \[[D]_{n - 1} = \sum \text{ord}_{B_i}(f_i)[Z_i]\] 我们断言循环等式 \[i^*\text{div}_\mathcal{N}(t) = \sum \text{ord}_{B_i}(g_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i})\] 成立。更准确地说，右边是表示左边的循环。事实上，这由 \(\text{div}_\mathcal{N}(t)\) 的公式及如下事实直接得到：当 \(Z_i \not \subset D\) 时， \(\text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i}) = [Z(s_i|_{Z_i})]_{n - 2} = [Z_i \cap D]_{n - 2}\)，因为在这种情形， \(s_i|_{Z_i} = s|_{Z_i}\) 是正则截面；见引理 02SK。类似地， \[c_1(\mathcal{N}) \cap [D]_{n - 1} = \sum \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i})\] 关键公式（引理 0AYC）给出循环等式 \[\sum \left( \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i}) - \text{ord}_{B_i}(g_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i}) \right) = \sum \text{div}_{Z_i}(\partial_{B_i}(f_i, g_i))\] 若 \(Z_i \not \subset D\)，则 \(f_i = 1\)，从而 \(\text{div}_{Z_i}(\partial_{B_i}(f_i, g_i)) = 0\)。因此，在 \(D\) 上， 表示 \(i^*\text{div}_\mathcal{N}(t)\) 和 \(c_1(\mathcal{N}) \cap [D]_{n - 1}\) 的上述具体循环有理等价。 证明完毕。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) 如定义 02T8。Gysin 同态下降到有理等价类， 从而给出映射 \(i^* : \CH_{k + 1}(X) \to \CH_k(D)\)。

证明

设 \(\alpha \in Z_{k + 1}(X)\)，并假设 \(\alpha \sim_{rat} 0\)。 这意味着存在一族局部有限的整闭子概形 \(W_j \subset X\)， 其 \(\delta\)-维数为 \(k + 2\)；并存在 \(f_j \in R(W_j)^*\)，使得 \(\alpha = \sum i_{j, *}\text{div}_{W_j}(f_j)\)。 置 \(X' = \coprod W_i\)，并考虑注 0B6Y 中的图表 \[\xymatrix{ D' \ar[d]_q \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^p \\ D \ar[r]^i & X }\] 由于 \(X' \to X\) 固有，由引理 02TA 有 \(i^*p_* = q_*(i')^*\)。又因 \(q_*\) 下降到有理等价类 （引理 02S2）， 只须对 \(X'\) 上的 \(\alpha' = \sum \text{div}_{W_j}(f_j)\) 证明结论。 显然，这把问题约化到 \(X\) 为整概形，且对某个 \(f \in R(X)^*\) 有 \(\alpha = \text{div}(f)\) 的情形。

假设 \(X\) 是整概形，且对某个 \(f \in R(X)^*\) 有 \(\alpha = \text{div}(f)\)。若 \(X = D\)，则 \(i^*\alpha\) 等于 \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\)，而由引理 02TI， 它有理等价于零。若 \(D \not = X\)，则由引理 02TM，\(i^*\text{div}_X(f)\) 在 \(\CH_{n - 2}(D)\) 中等于 \(c_1(\mathcal{O}_D) \cap [D]_{n - 1}\)。当然，与 \(c_1(\mathcal{O}_D)\) 作帽积是零映射 （引理 02SP）。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，并设 \(X\) 在 \(S\) 上 局部有限型。设 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) 如定义 02T8。则 \(i^*i_* : \CH_k(D) \to \CH_{k - 1}(D)\) 把 \(\alpha\) 映为 \(c_1(\mathcal{L}|_D) \cap \alpha\)。

证明

这立即由循环上 \(i_*\) 的定义以及定义 02T8 中 \(i^*\) 的定义得出。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，并设 \(X\) 在 \(S\) 上 局部有限型。设 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) 是定义 02T8 中的三元组。 设 \(\mathcal{N}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。则对所有 \(\alpha \in \CH_k(X)\)，在 \(\CH_{k - 2}(D)\) 中有 \(i^*(c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha) = c_1(i^*\mathcal{N}) \cap i^*\alpha\)。

证明

采用与引理 02TO 完全相同的证明， 结论由引理 02SU、 02TJ 和 02TM 得出。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，并设 \(X\) 在 \(S\) 上 局部有限型。设 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) 和 \((\mathcal{L}', s', i' : D' \to X)\) 是定义 02T8 中的两个三元组。则图表 \[\xymatrix{ \CH_k(X) \ar[r]_{i^*} \ar[d]_{(i')^*} & \CH_{k - 1}(D) \ar[d]^{j^*} \\ \CH_{k - 1}(D') \ar[r]^{(j')^*} & \CH_{k - 2}(D \cap D') }\] 交换，其中每个映射都是 Gysin 映射。

证明

以 \(j : D \cap D' \to D\) 和 \(j' : D \cap D' \to D'\) 表示分别对应于 \((\mathcal{L}|_{D'}, s|_{D'}\) 和 \((\mathcal{L}'_D, s|_D)\) 的闭浸入。 需要证明对所有 \(\alpha \in \CH_k(X)\) 都有 \((j')^*i^*\alpha = j^* (i')^*\alpha\)。 设 \(W \subset X\) 是维数为 \(k\) 的整闭子概形。先在 \(\alpha = [W]\) 的情形证明等式，并由关键公式推出它。

令 \(\sigma\) 为 \(\mathcal{L}|_W\) 的一个非零亚纯截面；若 \(W \not \subset D\)，则要求它等于 \(s|_W\)。 令 \(\sigma'\) 为 \(\mathcal{L}'|_W\) 的一个非零亚纯截面；若 \(W \not \subset D'\)，则要求它等于 \(s'|_W\)。写 \[\text{div}_{\mathcal{L}|_W}(\sigma) = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{L}|_W}(\sigma)[Z_i] = \sum n_i[Z_i]\] 以及类似的等式 \[\text{div}_{\mathcal{L}'|_W}(\sigma') = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{L}'|_W}(\sigma')[Z_i] = \sum n'_i[Z_i]\] 如第 0AYB 节的讨论。于是，若 \(n_i \not = 0\)， 则 \(Z_i \subset D\)；若 \(n'_i \not = 0\)，则 \(Z'_i \subset D'\)。 对每个 \(i\)，设 \(\xi_i \in Z_i\) 为一般点。与第 0AYB 节中一样，对每个 \(i\) 选取元素 \(\sigma_i \in \mathcal{L}_{\xi_i}\)，以及相应的 \(\sigma'_i \in \mathcal{L}'_{\xi_i}\)；它们分别生成 \(B_i = \mathcal{O}_{W, \xi_i}\) 上的相应模，并且若 \(Z_i \not \subset D\)，则前者等于 \(s\) 的像； 相应地，若 \(Z_i \not \subset D'\)，则 后者等于 \(s'\) 的像。 写 \(\sigma = f_i \sigma_i\) 及 \(\sigma' = f'_i\sigma'_i\)，使得 \(n_i = \text{ord}_{B_i}(f_i)\) 且 \(n'_i = \text{ord}_{B_i}(f'_i)\)。由定义，作为循环有 \[(j')^*i^*[W] = \sum \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{L}'|_{Z_i}}(\sigma'_i|_{Z_i})\] 以及 \[j^*(i')^*[W] = \sum \text{ord}_{B_i}(f'_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(\sigma_i|_{Z_i})\] 此时关键公式（引理 0AYC）给出循环等式 \[\sum \left( \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{L}'|_{Z_i}}(\sigma'_i|_{Z_i}) - \text{ord}_{B_i}(f'_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(\sigma_i|_{Z_i}) \right) = \sum \text{div}_{Z_i}(\partial_{B_i}(f_i, f'_i))\] 注意，若 \(Z_i \not \subset D \cap D'\)，则 \(f_i = 1\) 或 \(f'_i = 1\)，从而 \(\text{div}_{Z_i}(\partial_{B_i}(f_i, f'_i)) = 0\)。 因此，在 \(D \cap D' \cap W\) 上，表示 \((j')^*i^*[W]\) 与 \(j^*(i')^*[W]\) 的上述具体循环有理等价。 由注 02RZ， 对一般的 \(\alpha\) 也得到结论。

相对有效 Cartier 除子

相对有效 Cartier 除子在《除子》第 056P 节中定义并研究。 为建立向量丛陈类的基本结果，只需考虑周围概形和有效 Cartier 除子 都在基底上平坦的情形。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\)、\(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(p : X \to Y\) 是相对维数为 \(r\) 的平坦态射。设 \(i : D \to X\) 是相对有效 Cartier 除子 （《除子》定义 062T）。 置 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(D)\)。对任意 \(\alpha \in \CH_{k + 1}(Y)\)，在 \(\CH_{k + r}(D)\) 中有 \[i^*p^*\alpha = (p|_D)^*\alpha\] 并且在 \(\CH_{k + r}(X)\) 中有 \[c_1(\mathcal{L}) \cap p^*\alpha = i_* ((p|_D)^*\alpha)\]

证明

设 \(W \subset Y\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k + 1\) 的整闭子概形。 由《除子》引理 056Q， \(D \cap p^{-1}W\) 是 \(p^{-1}W\) 上的有效 Cartier 除子。 由引理 02TB，下式中的第一个等式成立： \[i^*[p^{-1}W]_{k + r + 1} = [D \cap p^{-1}W]_{k + r} = [(p|_D)^{-1}(W)]_{k + r}.\] 第二个等式成立，是因为作为概形有 \(D \cap p^{-1}(W) = (p|_D)^{-1}(W)\)。 又因定义给出 \(p^*[W] = [p^{-1}W]_{k + r + 1}\)，可知作为循环有 \(i^*p^*[W] = (p|_D)^*[W]\)。若 \(\alpha = \sum m_j[W_j]\) 是一般的 \(k + 1\) 循环，则作为循环有 \(i^*\alpha = \sum m_j i^*p^*[W_j] = \sum m_j(p|_D)^*[W_j]\)。 这就证明了第一个等式。再应用引理 02T9，即可由第一个等式推出第二个。

仿射丛

对仿射丛而言，Chow 群上的拉回映射是满射。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\)、\(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(f : X \to Y\) 是相对维数为 \(r\) 的平坦态射。假设对每个 \(y \in Y\)，都存在开邻域 \(U \subset Y\)，使得 \(f|_{f^{-1}(U)} : f^{-1}(U) \to U\) 可与态射 \(U \times \mathbf{A}^r \to U\) 等同。则对所有 \(k \in \mathbf{Z}\)，映射 \(f^* : \CH_k(Y) \to \CH_{k + r}(X)\) 都是满射。

证明

设 \(\alpha \in \CH_{k + r}(X)\)。写 \(\alpha = \sum m_j[W_j]\)，其中 \(m_j \not = 0\)，而 \(W_j\) 是两两不同、\(\delta\)-维数为 \(k + r\) 的整闭子概形。 于是族 \(\{W_j\}\) 在 \(X\) 中局部有限。对任意拟紧开集 \(V \subset Y\)，只有有限多个 \(j\) 使 \(f^{-1}(V) \cap W_j\) 非空。因此，像的闭包所成的族 \(Z_j = \overline{f(W_j)}\) 是 \(Y\) 中局部有限的一族整闭子概形。

考虑纤维积图表 \[\xymatrix{ f^{-1}(Z_j) \ar[r] \ar[d]_{f_j} & X \ar[d]^f \\ Z_j \ar[r] & Y }\] 假设对某个 \(k\)-循环 \(\beta_j \in \CH_k(Z_j)\)， \([W_j] \in Z_{k + r}(f^{-1}(Z_j))\) 与 \(f_j^*\beta_j\) 有理等价。 那么 \(\beta = \sum m_j \beta_j\) 是 \(Y\) 上的 \(k\)-循环，而 \(f^*\beta = \sum m_j f_j^*\beta_j\) 与 \(\alpha\) 有理等价 （见注 02RZ）。 这把问题约化到如下情形：\(Y\) 是整概形，并且 \(\alpha = [W]\)，其中所指的是支配 \(Y\) 的 \(X\) 中整闭子概形。 特别地，可以假设 \(d = \dim_\delta(Y) < \infty\)。

于是可以对 \(d = \dim_\delta(Y)\) 作归纳。若 \(d < k\)，则 \(\CH_{k + r}(X) = 0\)，引理成立。由假设，存在稠密开集 \(V \subset Y\)，使得作为 \(V\) 上的概形有 \(f^{-1}(V) \cong V \times \mathbf{A}^r\)。 假设能够证明对某个 \(\beta \in Z_k(V)\) 有 \(\alpha|_{f^{-1}(V)} = f^*\beta\)。由引理 02RC，对某个 \(\beta' \in Z_k(Y)\) 有 \(\beta = \beta'|_V\)。由引理 02RX 的正合列 \(\CH_k(f^{-1}(Y \setminus V)) \to \CH_k(X) \to \CH_k(f^{-1}(V))\)， 可知 \(\alpha - f^*\beta'\) 来自某个循环 \(\alpha' \in \CH_{k + r}(f^{-1}(Y \setminus V))\)。 由于 \(\dim_\delta(Y \setminus V) < d\)，对 \(d\) 使用归纳即可。

所以可以假设 \(X = Y \times \mathbf{A}^r\)。此时可以把 \(f\) 分解为 \[X = Y \times \mathbf{A}^r \to Y \times \mathbf{A}^{r - 1} \to \ldots \to Y \times \mathbf{A}^1 \to Y.\] 故只须处理 \(r = 1\) 的情形。由证明第二段中的论证，问题约化到 \(\alpha = [W]\)、\(Y\) 为整概形且 \(W \to Y\) 支配的情形。 仍可对 \(d = \dim_\delta(Y)\) 作归纳。若 \(W = Y \times \mathbf{A}^1\)，则 \([W] = f^*[Y]\)。 最后，若 \(W \subset Y \times \mathbf{A}^1\) 是真包含，则 \(W \to Y\) 诱导有限域扩张 \(R(W)/R(Y)\)。 设 \(P(T) \in R(Y)[T]\) 是首一不可约多项式，使得 \(W \to Y\) 的一般纤维在 \(\mathbf{A}^1_{R(Y)}\) 中由 \(P\) 截出。 选取非空开集 \(V \subset Y\)，使 \(P \in \Gamma(V, \mathcal{O}_Y)[T]\)， 并且 \(W \cap f^{-1}(V)\) 仍由 \(P\) 截出。于是 \(\alpha|_{f^{-1}(V)} \sim_{rat} 0\)，故对 \((Y \setminus V) \times \mathbf{A}^1\) 上某个循环 \(\alpha'\) 有 \(\alpha \sim_{rat} \alpha'\)。对维数应用归纳即可。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，\(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \[p : L = \underline{\Spec}(\text{Sym}^*(\mathcal{L})) \longrightarrow X\] 是 \(X\) 上相应的向量丛。则对所有 \(k\)， \(p^* : \CH_k(X) \to \CH_{k + 1}(L)\) 都是同构。

证明

满射性见引理 02TT。 设 \(o : X \to L\) 是 \(L \to X\) 的零截面，即对应于满射 \(\text{Sym}^*(\mathcal{L}) \to \mathcal{O}_X\) 的态射；该满射对所有 \(n > 0\) 都把 \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) 映为零。 于是 \(p \circ o = \text{id}_X\)，且 \(o(X)\) 是 \(L\) 上的有效 Cartier 除子。故由引理 02TR， \(o^* \circ p^* = \text{id}\)，从而 \(p^*\) 也是单射。

注

后文将看到（引理 02TY），若 \(X\) 是 \(Y\) 上秩为 \(r\) 的向量丛，则拉回映射 \(\CH_k(Y) \to \CH_{k + r}(X)\) 是同构。 只要 \(X \to Y\) 满足引理 02TT 的假设，这一结论就成立； 见 [Totaro-group, Lemma 2.2]。在注 0GUB 中，我们将用高阶 Chow 群勾勒一个证明。

引理

在引理 0B74 的情形中，以 \(o : X \to L\) 表示零截面（见该引理的证明）。则有

1. \(o(X)\) 是 \(p^*\mathcal{L}^{\otimes -1}\) 的某个正则整体截面的 零点概形；

2. 因为 \(o\) 是闭浸入，有 \(o_* : \CH_k(X) \to \CH_k(L)\)；

3. 因为 \(o(X)\) 是有效 Cartier 除子，有 \(o^* : \CH_{k + 1}(L) \to \CH_k(X)\)；

4. \(o^* p^* : \CH_k(X) \to \CH_k(X)\) 是恒等映射；

5. 对任意 \(\alpha \in \CH_k(X)\)，有 \(o_*\alpha = - p^*(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha)\)；以及

6. \(o^* o_* : \CH_k(X) \to \CH_{k - 1}(X)\) 等于映射 \(\alpha \mapsto - c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\)。

证明

由于 \(p_*\mathcal{O}_L = \text{Sym}^*(\mathcal{L})\)，投影公式 （《层上同调》引理 01E8）给出 \(p_*(p^*\mathcal{L}^{\otimes -1}) = \text{Sym}^*(\mathcal{L}) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes -1}\)， 而 (1) 中提到的截面是典范平凡化 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes -1}\)。 这里略去证明该截面的零点轨迹恰为 \(o(X)\)。这证明了 (1)。

(2)、(3) 和 (4) 已在引理 0B74 的证明过程中看到。 当然，(4) 正是引理 02TR 中的第一个公式。

(5) 由引理 02TR 中的第二个公式、 与 \(c_1\) 作帽积的可加性（引理 02SP）， 以及与 \(c_1\) 作帽积和平坦拉回交换这一事实 （引理 02SS）得出。

(6) 由引理 0F95 以及 \(o^*p^*\mathcal{L} = \mathcal{L}\) 得出。

引理

设 \(Y\) 是概形。设 \(\mathcal{L}_i\)（\(i = 1, 2\)）是可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-模。设 \(s\) 是 \(\mathcal{L}_1 \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{L}_2\) 的整体截面， 并以 \(i : D \to Y\) 表示 \(s\) 的零点概形。则存在交换图 \[\xymatrix{ D_1 \ar[r]_{i_1} \ar[d]_{p_1} & L \ar[d]^p & D_2 \ar[l]^{i_2} \ar[d]^{p_2} \\ D \ar[r]^i & Y & D \ar[l]_i }\] 以及 \(p^*\mathcal{L}_i\) 的截面 \(s_i\)，使得：

1. \(p^*s = s_1 \otimes s_2\)；

2. \(p\) 有限型、平坦且相对维数为 \(1\)；

3. \(D_i\) 是 \(s_i\) 的零点概形；

4. 对 \(i = 1, 2\)，在 \(D\) 上有 \(D_i \cong \underline{\Spec}(\text{Sym}^*(\mathcal{L}_{3 - i}^{\otimes -1})|_D))\)；

5. \(p^{-1}D = D_1 \cup D_2\)（概形论并）；

6. \(D_1 \cap D_2\)（概形论交）同构地映到 \(D\)；以及

7. 对 \(i = 1, 2\)，\(D_1 \cap D_2 \to D_i\) 是线丛 \(D_i \to D\) 的零截面。

此外，该图表和各截面 \(s_i\) 的形成与任意基变换交换。

证明

设 \(p : X \to Y\) 是如下拟凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-代数层的相对谱： \[\mathcal{A} = \left(\bigoplus\nolimits_{a_1, a_2 \geq 0} \mathcal{L}_1^{\otimes -a_1} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{L}_2^{\otimes -a_2}\right)/\mathcal{J}\] 其中 \(\mathcal{J}\) 是由形如 \(st - t\) 的局部截面生成的理想； 这里 \(t\) 是满足 \(a_1, a_2 > 0\) 的任意直和项 \(\mathcal{L}_1^{\otimes -a_1} \otimes \mathcal{L}_2^{\otimes -a_2}\) 的局部截面。把截面 \(s_i\) 看作映射 \(p^*\mathcal{L}_i^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X\)，则它们定义为映射 \(\mathcal{L}_i^{\otimes -1} \to \mathcal{A} = p_*\mathcal{O}_X\) 的伴随映射。对任意 \(y \in Y\)，可以选取包含 \(y\) 的仿射开集 \(V \subset Y\)，设 \(V = \Spec(A)\)，并选取平凡化 \(z_i : \mathcal{O}_V \to \mathcal{L}_i^{\otimes -1}|_V\)。 注意，\(f = s(z_1z_2) \in A\) 截出闭子概形 \(D\)。显然 \[p^{-1}(V) = \Spec(B[z_1, z_2]/(z_1 z_2 - f))\] 由于 \(D_i\) 由 \(z_i\) 截出，其余各点都很清楚。

引理

在引理 0F97 的情形中，假设 \(Y\) 是 情形 02QL 中那样在 \((S, \delta)\) 上局部有限型。 则对所有 \(\alpha \in \CH_k(Y)\)，在 \(\CH_k(D_1)\) 中有 \(i_1^*p^*\alpha = p_1^*i^*\alpha\)。

证明

设 \(W \subset Y\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的整闭子概形。 分两种情形讨论。

假设 \(W \subset D\)。由 Gysin 同态的定义以及引理 02SP 的可加性，在 \(\CH_{k - 1}(D)\) 中有 \(i^*[W] = c_1(\mathcal{L}_1) \cap [W] + c_1(\mathcal{L}_2) \cap [W]\)。 因此 \(p_1^*i^*[W] = p_1^*(c_1(\mathcal{L}_1) \cap [W]) + p_1^*(c_1(\mathcal{L}_2) \cap [W])\)。 另一方面，平坦拉回的构造给出 \(p^*[W] = [p^{-1}(W)]_{k + 1}\)。由该引理 \(p^{-1}(W) = W_1 \cup W_2\)（概形论地），其中 \(W_i = p_i^{-1}(W)\) 是 \(W\) 上的线丛 （因为图表的形成与基变换交换）。于是 \([p^{-1}(W)]_{k + 1} = [W_1] + [W_2]\)，因为 \(W_i\) 是 \(L\) 中 \(\delta\)-维数为 \(k + 1\) 的整闭子概形。因此 \[\begin{align*} i_1^*p^*[W] & = i_1^*[p^{-1}(W)]_{k + 1} \\ & = i_1^*([W_1] + [W_2]) \\ & = c_1(p_1^*\mathcal{L}_1) \cap [W_1] + [W_1 \cap W_2]_k \\ & = c_1(p_1^*\mathcal{L}_1) \cap p_1^*[W] + [W_1 \cap W_2]_k \\ & = p_1^*(c_1(\mathcal{L}_1) \cap [W]) + [W_1 \cap W_2]_k \end{align*}\] 这里使用了 Gysin 同态的构造、平坦拉回的定义（用于第二个等式）， 以及 \(c_1 \cap -\) 与平坦拉回的相容性 （引理 02SS）。 由于 \(W_1 \cap W_2\) 是线丛 \(W_1 \to W\) 的零截面，引理 0F96 给出 \([W_1 \cap W_2]_k = p_1^*(c_1(\mathcal{L}_2) \cap [W])\)。 注意，这里使用了 \(D_1\) 是 \(\mathcal{L}_2\) 的逆的相对谱所给出的线丛 这一事实。因此所得结果与前式相同。

假设 \(W \not \subset D\)。此时，\(i_1^*p^*[W]\) 与 \(p_1^*i^*[W]\) 都由 \(W\) 在 \(D_1\) 中的概形论逆像所关联的 \(k - 1\) 循环表示。

引理

在情形 02QL 中，设 \(X\) 是 \(S\) 上局部有限型的概形。 设 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) 是定义 02T8 中的三元组。则存在交换图 \[\xymatrix{ D' \ar[r]_{i'} \ar[d]_p & X' \ar[d]^g \\ D \ar[r]^i & X }\] 满足

1. \(p\) 和 \(g\) 有限型、平坦且相对维数为 \(1\)；

2. 对所有 \(k\)，\(p^* : \CH_k(D) \to \CH_{k + 1}(D')\) 都是单射；

3. \(D' \subset X'\) 是某个整体截面 \(s' \in \Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})\) 的零点概形；

4. 作为映射 \(\CH_k(X) \to \CH_k(D')\)，有 \(p^*i^* = (i')^*g^*\)。

此外，经由局部有限型态射 \(Y \to X\) 作任意基变换后，这些性质仍成立。

证明

注意，\((i')^*\) 已有定义，因为存在定义 02T8 中那样的三元组 \((\mathcal{O}_{X'}, s', i' : D' \to X')\)。因此该陈述有意义。

置 \(\mathcal{L}_1 = \mathcal{O}_X\)、\(\mathcal{L}_2 = \mathcal{L}\)， 并把引理 0F97 应用于 \(\mathcal{L} = \mathcal{L}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}_2\) 的截面 \(s\)。取 \(D' = D_1\)。此时结论由该引理和引理 0F98 得出，而单射性由引理 0B74 得出。

注

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型，\(r \geq 0\)，而 \(f : X \to Y\) 是概形态射。假设每个 \(y \in Y\) 都包含于某个开集 \(V \subset Y\)，并且作为 \(V\) 上的概形有 \(f^{-1}(V) \cong V \times \mathbf{A}^r\)。 本注记勾勒事实 \(f^* : \CH_k(Y) \to \CH_{k + r}(X)\) 为同构的一个证明。 首先，由引理 02TT， 该映射是满射。设 \(\alpha \in \CH_k(Y)\) 且 \(f^*\alpha = 0\)。 下面证明 \(\alpha = 0\)。

第 1 步。可以假设 \(\dim_\delta(Y) < \infty\)。（实际遇到的所有情形中， 这一点都是立即成立的，所以建议读者略过本步。）事实上，在 \(X\) 上见证 \(f^*\alpha = 0\) 的任一有理等价会用到一族局部有限、维数为 \(k + r + 1\) 的整闭子概形。取它们在 \(Y\) 中各像的闭包之并， 得到满足 \(\dim_\delta(Y') \leq k + r + 1\) 的闭子概形 \(Y' \subset Y\)，使得 \(\alpha\) 是某个 \(\alpha' \in \CH_k(Y')\) 的像， 并且 \((f')^*\alpha = 0\)，其中 \(f'\) 是 \(f\) 到 \(Y'\) 的基变换。

第 2 步。假设 \(d = \dim_\delta(Y) < \infty\)，并对 \(d\) 作归纳。 若 \(d < k\)，则 \(\alpha = 0\)，结论成立；这是归纳的初始情形。 一般地，对 \(f\) 的假设表明，可以选取稠密开集 \(V \subset Y\)，使 \(U = f^{-1}(V) = \mathbf{A}^r_V\)。 以 \(Y' \subset Y\) 表示 \(V\) 的补集，视为既约闭子概形，并置 \(X' = f^{-1}(Y')\)。考虑 \[\xymatrix{ \CH^M_{k + r}(U, 1) \ar[r] & \CH_{k + r}(X') \ar[r] & \CH_{k + r}(X) \ar[r] & \CH_{k + r}(U) \ar[r] & 0 \\ \CH^M_k(V, 1) \ar[r] \ar[u] & \CH_k(Y') \ar[r] \ar[u] & \CH_k(Y) \ar[r] \ar[u] & \CH_k(V) \ar[r] \ar[u] & 0 }\] 这里使用了 \(V\) 和 \(U\) 的第一高阶 Chow 群、注 0GUA 中构造的六项正合列，以及这些高阶 Chow 群 上的平坦拉回和平坦拉回与六项正合列的相容性。 由于 \(U = \mathbf{A}^r_V\)，右侧竖直映射是同构。 根据对 \(d\) 的归纳，映射 \(\CH_k(Y') \to \CH_{k + r}(X')\) 是双射。 所以只须证明 \[\CH^M_k(V, 1) \longrightarrow \CH^M_{k + r}(U, 1)\] 为满射即可完成论证。仿照引理 02TT 的证明进行论证， 这又约化到下面的第 3 步。

第 3 步。设 \(F\) 是域。则 \(\CH^M_0(\mathbf{A}^1_F, 1) = 0\)。 （在上述引理的证明中，我们类似地证明了 \(\CH_0(\mathbf{A}^1_F) = 0\)。）有 \[\CH^M_0(\mathbf{A}^1_F, 1) = \Coker\left( \partial : K^M_2(F(T)) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{\mathfrak p \subset F[T]\text{ 为极大理想}} \kappa(\mathfrak p)^*\right)\] 证明该余核为零的经典论证，是对 \(\kappa(\mathfrak p)/F\) 的次数作归纳， 证明对应于 \(\mathfrak p\) 的直和项在像中。 若 \(\mathfrak p\) 由首一不可约多项式 \(P(T) \in F[T]\) 生成，而 \(u \in \kappa(x)^*\) 是某个满足 \(\deg(Q) < \deg(P)\) 的 \(Q(T) \in F[T]\) 的剩余类，则可以证明 \(\partial(Q, P)\) 在 \(\mathfrak p\) 处给出元素 \(u\)，并且可能还在整除 \(Q\) 的一些次数更低 的素理想处给出其他单位。这就完成了证明概要。

双变相交理论

为妥善讨论向量丛的高阶陈类，我们依照 [F] 引入双变 Chow 类。 我们的定义与 [F] 有两点不同：(1) 所处的框架不同；(2) 仅要求 双变类与可逆模截面的零点概形所给出的 Gysin 同态交换 （第 02T7 节）。 后文将在引理 0FBP 中看到，我们的双变类 与所有高余维 Gysin 同态交换，因而满足 [F] 中要求的全部性质； 另见 [F, Theorem 17.1]。

定义

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(f : X \to Y\) 是 \(S\) 上局部有限型概形间的态射，并设 \(p \in \mathbf{Z}\)。\(f\) 的次数为 \(p\) 的双变类 \(c\)由如下规则给出： 对每个局部有限型态射 \(Y' \to Y\) 及每个 \(k\)，指定映射 \[c \cap - : \CH_k(Y') \longrightarrow \CH_{k - p}(X')\] 其中 \(X' = Y' \times_Y X\)，并满足以下条件：

1. 若 \(Y'' \to Y'\) 是固有态射，则对 \(Y''\) 上所有 \(\alpha''\)， 有 \(c \cap (Y'' \to Y')_*\alpha'' = (X'' \to X')_*(c \cap \alpha'')\)， 其中 \(X'' = Y'' \times_Y X\)；

2. 若 \(Y'' \to Y'\) 是相对维数固定、局部有限型的平坦态射， 则对 \(Y'\) 上所有 \(\alpha'\)，有 \(c \cap (Y'' \to Y')^*\alpha' = (X'' \to X')^*(c \cap \alpha')\)；以及

3. 若 \((\mathcal{L}', s', i' : D' \to Y')\) 如定义 02T8，且其到 \(X'\) 的拉回为 \((\mathcal{N}', t', j' : E' \to X')\)，则对 \(Y'\) 上所有 \(\alpha'\)，有 \(c \cap (i')^*\alpha' = (j')^*(c \cap \alpha')\)。

\(f\) 的所有次数为 \(p\) 的双变类所成的集合记为 \(A^p(X \to Y)\)。

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。设 \(X \to Y\) 和 \(Y \to Z\) 是 \(S\) 上局部有限型概形间的态射，并设 \(p \in \mathbf{Z}\)。显然，\(A^p(X \to Y)\) 是 Abel 群。 此外，显然存在结合的双线性复合 \[A^p(X \to Y) \times A^q(Y \to Z) \to A^{p + q}(X \to Z)\]

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(f : X \to Y\) 是 \(S\) 上局部有限型概形间相对维数为 \(r\) 的平坦态射。 对 \(Y' \to Y\) 指定 \((f')^* : \CH_k(Y') \to \CH_{k + r}(X')\) 的规则是次数为 \(-r\) 的双变类， 其中 \(X' = X \times_Y Y'\)。

证明

这由引理 02S1、 02RD、 02RG 和 0B71 得出。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) 是定义 02T8 中的三元组。 对 \(f : X' \to X\) 指定 \((i')^* : \CH_k(X') \to \CH_{k - 1}(D')\) 的规则是次数为 \(1\) 的双变类， 其中 \(D' = D \times_X X'\)。

证明

这由引理 02TO、 02TA、0B71 和 0B73 得出。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(f : X \to Y\) 和 \(g : Y \to Z\) 是 \(S\) 上局部有限型概形间的态射。 设 \(c \in A^p(X \to Z)\)，并假设 \(f\) 固有。 对 \(Z' \to Z\) 指定 \(\alpha \longmapsto f'_*(c \cap \alpha)\) 的规则是双变类， 记为 \(f_* \circ c \in A^p(Y \to Z)\)。

证明

这由引理 02R5、 02RG 和 02TA 得出。

注

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。设 \(X \to Y\) 和 \(Y' \to Y\) 是 \(S\) 上局部有限型概形间的态射，并置 \(X' = Y' \times_Y X\)。则有明显的限制映射 \[A^p(X \to Y) \longrightarrow A^p(X' \to Y'),\quad c \longmapsto res(c)\] 其构造如下：把 \(Y'\) 上局部有限型的概形 \(Y''\) 视为 \(Y\) 上局部有限型 的概形，并对任意 \(\alpha'' \in \CH_k(Y'')\) 置 \(res(c) \cap \alpha'' = c \cap \alpha''\)。这个限制运算显然与复合相容。

注

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，并设 \(X\) 在 \(S\) 上 局部有限型。对 \(i = 1, 2\)，设 \(Z_i \to X\) 是局部有限型概形的态射。 设 \(c_i \in A^{p_i}(Z_i \to X)\)（\(i = 1, 2\)）是双变类。 对任意 \(\alpha \in \CH_k(X)\)，可以问在 \(\CH_{k - p_1 - p_2}(Z_1 \times_X Z_2)\) 中是否有 \[c_1 \cap c_2 \cap \alpha = c_2 \cap c_1 \cap \alpha\] 若该等式成立，并且经任意局部有限型基变换 \(X' \to X\) 后仍成立， 就称 \(c_1\) 和 \(c_2\) 交换。当然，这等价于在 \(A^{p_1 + p_2}(Z_1 \times_X Z_2 \to X)\) 中有 \[res(c_1) \circ c_2 = res(c_2) \circ c_1\] 这里 \(res(c_1) \in A^{p_1}(Z_1 \times_X Z_2 \to Z_2)\) 是注 0F9Z 中那样的 \(c_1\) 的限制； \(res(c_2)\) 类似。

例

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，并设 \(X\) 在 \(S\) 上 局部有限型。设 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) 是定义 02T8 中的三元组。 设 \(Z \to X\) 是局部有限型概形的态射，而 \(c \in A^p(Z \to X)\) 是双变类。则引理 0B79 的双变 Gysin 类 \(c' \in A^1(D \to X)\) 按注 0FA2 的意义与 \(c\) 交换。 这正是定义 0B76 中条件 (3) 的重述。

注

文献似乎没有考虑如下更一般类型的双变类。设给定图表 \[X \longrightarrow Z \longleftarrow Y\] 其中各概形如情形 02QL 中那样在 \((S, \delta)\) 上局部有限型。设 \(p \in \mathbf{Z}\)。 可以考虑如下规则 \(c\)：对每个局部有限型态射 \(Z' \to Z\) 及所有 \(k \in \mathbf{Z}\)，指定映射 \[c \cap - : \CH_k(Y') \longrightarrow \CH_{k - p}(X')\] 其中 \(X' = X \times_Z Z'\) 且 \(Y' = Z' \times_Z Y\)，并与以下运算相容：

1. 给定固有态射 \(Z'' \to Z'\) 时的固有推前；

2. 给定相对维数固定的平坦态射 \(Z'' \to Z'\) 时的平坦拉回；以及

3. 给定定义 02T8 中那样的 \(D' \subset Z'\) 时的 Gysin 映射。

这里略去详细表述。把所有这类运算所成的集合记为 \(A^p(X \to Z \leftarrow Y)\)。这个概念有用的一个简单例子，是存在固有态射 \(f : X_2 \to X_1\) 的情形。此时，按定义 0B76 的意义，\(f_*\) 不是双变运算； 但按上述推广意义它是，即 \(f_* \in A^0(X_1 \to X_1 \leftarrow X_2)\)。

Chow 上同调与第一陈类

我们最关心的是 \(A^p(X) = A^p(X \to X)\)；它始终指 \(\text{id}_X\) 的双变上同调类。陈类正是位于这里。

定义

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。\(X\) 的Chow 上同调是分次 \(\mathbf{Z}\)-代数 \(A^*(X)\)，其次数 \(p\) 分量为 \(A^p(X \to X)\)。

警告：尚不清楚 \(A^*(X)\) 上的 \(\mathbf{Z}\)-代数结构是否交换； 但我们将看到陈类位于其中心。

注

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(f : Y' \to Y\) 是 \(S\) 上局部有限型概形间的态射。 作为注 0F9Z 的一个特例， 存在典范 \(\mathbf{Z}\)-代数映射 \(res : A^*(Y) \to A^*(Y')\)。 文献中常把这个映射记为 \(f^*\)。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，\(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。对 \(f : X' \to X\) 指定 \(c_1(f^*\mathcal{L}) \cap - : \CH_k(X') \to \CH_{k - 1}(X')\) 的规则是次数为 \(1\) 的双变类。

证明

这由引理 02TI、02SU、 02SS 和 0B72 得出。

上述引理终于使我们能够作出如下定义。

定义

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。设 \(X\) 在 \(S\) 上 局部有限型，\(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。 \(\mathcal{L}\) 的第一陈类 \(c_1(\mathcal{L}) \in A^1(X)\) 是引理 0B77 的双变类。

有限局部自由模的陈类将在第 02U4 节中构造。下面证明 \(c_1(\mathcal{L})\) 位于 \(A^*(X)\) 的中心。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，\(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。则

1. \(c_1(\mathcal{L}) \in A^1(X)\) 位于 \(A^*(X)\) 的中心；以及

2. 若 \(f : X' \to X\) 局部有限型，且 \(c \in A^*(X' \to X)\)， 则 \(c \circ c_1(\mathcal{L}) = c_1(f^*\mathcal{L}) \circ c\)。

证明

当然，(2) 蕴含 (1)。设 \(p : L \to X\) 如引理 0B74，并设 \(o : X \to L\) 为零截面。 以 \(p' : L' \to X'\) 和 \(o' : X' \to L'\) 表示它们的基变换。 由引理 0F96，有 \[p^*(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha) = - o_* \alpha \quad\text{且}\quad (p')^*(c_1(f^*\mathcal{L}) \cap \alpha') = - o'_* \alpha'\] 由于 \(c\) 是双变类，有 \[\begin{align*} (p')^*(c \cap c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha) & = c \cap p^*(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha) \\ & = - c \cap o_* \alpha \\ & = - o'_*(c \cap \alpha) \\ & = (p')^*(c_1(f^*\mathcal{L}) \cap c \cap \alpha) \end{align*}\] 由上述某个引理，\((p')^*\) 是单射，故 \(c \cap c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = c_1(f^*\mathcal{L}) \cap c \cap \alpha\)。 经任意局部有限型基变换 \(Y \to X\) 后，同一结论仍成立， 所以得到 (2) 所述双变类的等式。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 是 \(S\) 上有限型且具有充足可逆层的概形。假设 \(d = \dim(X) < \infty\)（这里确实指维数，而不是 \(\delta\)-维数）。 则对 \(X\) 上任意可逆层 \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_{d + 1}\)，在 \(A^{d + 1}(X)\) 中有 \(c_1(\mathcal{L}_1) \circ \ldots \circ c_1(\mathcal{L}_{d + 1}) = 0\)。

证明

对 \(d\) 作归纳。初始情形 \(d = 0\) 成立，因为此时 \(X\) 是有限个闭点所成的 集合，所以每个可逆模都平凡。假设 \(d > 0\)。由《除子》引理 0AYM， 对某些有效 Cartier 除子 \(D, D' \subset X\)，可以写成 \(\mathcal{L}_{d + 1} \cong \mathcal{O}_X(D) \otimes \mathcal{O}_X(D')^{\otimes -1}\)。于是 \(c_1(\mathcal{L}_{d + 1})\) 是 \(c_1(\mathcal{O}_X(D))\) 与 \(c_1(\mathcal{O}_X(D'))\) 之差，故可以假设 对某个有效 Cartier 除子有 \(\mathcal{L}_{d + 1} = \mathcal{O}_X(D)\)。

以 \(i : D \to X\) 表示包含态射，并以 \(i^* \in A^1(D \to X)\) 表示引理 0B79 中由 Gysin 同态给出的双变类。 由引理 02T9，在 \(A^1(X)\) 中有 \(i_* \circ i^* = c_1(\mathcal{L}_{d + 1})\) （左边的意义由引理 0EPK 保证）。 由于 \(c_1(\mathcal{L}_i)\) 同时与 \(i_*\) 和 \(i^*\) 交换 （根据双变类的定义），可得 \[c_1(\mathcal{L}_1) \circ \ldots \circ c_1(\mathcal{L}_{d + 1}) = i_* \circ c_1(\mathcal{L}_1) \circ \ldots \circ c_1(\mathcal{L}_d) \circ i^* = i_* \circ c_1(\mathcal{L}_1|_D) \circ \ldots \circ c_1(\mathcal{L}_d|_D) \circ i^*\] 于是由对 \(d\) 的归纳得到结论。事实上，因为 \(X\) 的一般点都不在 \(D\) 中， 有 \(\dim(D) < d\)。

注

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(Z \to X\) 是 \(S\) 上局部有限型概形间的闭浸入，且 \(p \geq 0\)。 在这种框架下定义 \[A^{(p)}(Z \to X) = \prod\nolimits_{i \leq p - 1} A^i(X) \times \prod\nolimits_{i \geq p} A^i(Z \to X).\] 于是 \(A^{(p)}(Z \to X)\) 典范地带有分次代数结构。 事实上，更一般地存在乘法 \[A^{(p)}(Z \to X) \times A^{(q)}(Z \to X) \longrightarrow A^{(\max(p, q))}(Z \to X)\] 为定义这些乘法，定义映射 \[\begin{align*} A^i(Z \to X) \times A^j(X) & \to A^{i + j}(Z \to X) \\ A^i(X) \times A^j(Z \to X) & \to A^{i + j}(Z \to X) \\ A^i(Z \to X) \times A^j(Z \to X) & \to A^{i + j}(Z \to X) \end{align*}\] 对第一个映射，使用双变类的复合。对第二个映射，使用限制 \(A^i(X) \to A^i(Z)\)（注 0F9Z） 以及复合 \(A^i(Z) \times A^j(Z \to X) \to A^{i + j}(Z \to X)\)。 对第三个映射，把 \((c, c')\) 映为 \(res(c) \circ c'\)，其中 \(res : A^i(Z \to X) \to A^i(Z)\) 是限制映射 （见注 0F9Z）。 这里略去验证这些乘法在适当意义下具有结合性。

注

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(Z \to X\) 是 \(S\) 上局部有限型概形间的闭浸入。 以 \(res : A^p(Z \to X) \to A^p(Z)\) 表示注 0F9Z 的限制映射。 对 \(c \in A^p(Z \to X)\) 和 \(\alpha \in \CH_*(Z)\)，有 \(res(c) \cap \alpha = c \cap i_*\alpha\)。事实上， \(res(c) \cap \alpha = c \cap \alpha\)，而 \(c\) 与固有推前的相容性给出 \((Z \to Z)_*(c \cap \alpha) = c \cap (Z \to X)_*\alpha\)。

关于双变类的引理

本节证明若干关于双变类的初等结果。先给出判断一个运算能否下降到 有理等价类的判据。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(f : X \to Y\) 是 \(S\) 上局部有限型概形间的态射，并设 \(p \in \mathbf{Z}\)。假设给定如下规则：对每个局部有限型态射 \(Y' \to Y\) 及每个 \(k\)，指定映射 \[c \cap - : Z_k(Y') \longrightarrow \CH_{k - p}(X')\] 其中 \(Y' = X' \times_X Y\)；并且每当 \(\mathcal{L}'|_{D'} \cong \mathcal{O}_{D'}\) 时，该规则满足定义 0B76 的条件 (3)。则 \(c \cap -\) 下降到有理等价类。

证明

该陈述有意义：若给定定义 02T8 中那样的三元组 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\)，且 \(\mathcal{L}|_D \cong \mathcal{O}_D\)，则运算 \(i^*\) 已在循环层次上定义；见注 0B6Z。 设 \(\alpha \in Z_k(X')\) 是有理等价于零的循环。需要证明 \(c \cap \alpha = 0\)。由引理 02S4， 存在循环 \(\beta \in Z_{k + 1}(X' \times \mathbf{P}^1)\)，使得 \(\alpha = i_0^*\beta - i_\infty^*\beta\)，其中 \(i_0, i_\infty : X' \to X' \times \mathbf{P}^1\) 是位于 \(0, \infty\) 上的 \(X'\) 的闭浸入。它们是具有平凡法丛的有效 Cartier 除子的例子，所以 \(c \cap i_0^*\beta = j_0^*(c \cap \beta)\) 且 \(c \cap i_\infty^*\beta = j_\infty^*(c \cap \beta)\)，其中 \(j_0, j_\infty : Y' \to Y' \times \mathbf{P}^1\) 是与前述相同的闭浸入。 又因 \(j_0^*(c \cap \beta) \sim_{rat} j_\infty^*(c \cap \beta)\) （由引理 02S4），结论成立。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(f : X \to Y\) 是 \(S\) 上局部有限型概形间的态射，并设 \(p \in \mathbf{Z}\)。假设给定如下规则：对每个局部有限型态射 \(Y' \to Y\) 及每个 \(k\)，指定映射 \[c \cap - : \CH_k(Y') \longrightarrow \CH_{k - p}(X')\] 其中 \(Y' = X' \times_X Y\)；该规则满足定义 0B76 的条件 (1)、(2)，并且每当 \(\mathcal{L}'|_{D'} \cong \mathcal{O}_{D'}\) 时满足条件 (3)。 则 \(c \cap -\) 是双变类。

证明

设 \(Y' \to Y\) 是局部有限型概形态射。设 \((\mathcal{L}', s', i' : D' \to Y')\) 如定义 02T8，其到 \(X'\) 的拉回为 \((\mathcal{N}', t', j' : E' \to X')\)。 需要证明对所有 \(\alpha' \in \CH_k(Y')\)，都有 \(c \cap (i')^*\alpha' = (j')^*(c \cap \alpha')\)。

以 \(g : Y'' \to Y'\) 表示引理 0F99 中构造的相对维数为 \(1\) 的光滑态射，并同时采用其中的 \(i'' : D'' \to Y''\) 和 \(p : D'' \to D'\)。（警告：\(D''\) 不是 \(D'\) 的完整逆像。） 以 \(f : X'' \to X'\) 和 \(E'' \subset X''\) 表示它们经 \(X' \to Y'\) 的基变换。图示为 \[\xymatrix{ & X'' \ar[rr] \ar'[d][dd]_h & & Y'' \ar[dd]^g \\ E'' \ar[rr] \ar[dd]_q \ar[ru]^{j''} & & D'' \ar[dd]^p \ar[ru]^{i''} & \\ & X' \ar'[r][rr] & & Y' \\ E' \ar[rr] \ar[ru]^{j'} & & D' \ar[ru]^{i'} }\] 由该引理所给性质，\(\beta' = (i')^*\alpha'\) 是满足 \(p^*\beta' = (i'')^*g^*\alpha'\) 的 \(\CH_{k - 1}(D')\) 中唯一元素。 类似地，\(\gamma' = (j')^*(c \cap \alpha')\) 是满足 \(q^*\gamma' = (j'')^*h^*(c \cap \alpha')\) 的 \(\CH_{k - 1 - p}(E')\) 中唯一元素。由对 \(c\) 的假设，已知 \[(j'')^*h^*(c \cap \alpha') = (j'')^*(c \cap g^*\alpha') = c \cap (i'')^*g^*\alpha'\] 注意，引理陈述中所假设的条件 (3) 的修改版适用于 \(i''\) 及其基变换 \(j''\)。类似地，已知 \[q^*(c \cap \beta') = c \cap p^*\beta'\] 由上述唯一性，得到 \(\gamma' = c \cap \beta'\)。

下面给出双变类为零的判据。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(f : X \to Y\) 是 \(S\) 上局部有限型概形间的态射。 设 \(c \in A^p(X \to Y)\)。对 \(Y'' \to Y' \to Y\)，置 \(X'' = Y'' \times_Y X\) 及 \(X' = Y' \times_Y X\)。以下条件等价：

1. \(c\) 为零；

2. 对每个在 \(Y\) 上局部有限型的整概形 \(Y'\)，在 \(\CH_*(X')\) 中有 \(c \cap [Y'] = 0\)；以及

3. 对每个在 \(Y\) 上局部有限型的整概形 \(Y'\)，存在固有双有理态射 \(Y'' \to Y'\)，使得在 \(\CH_*(X'')\) 中有 \(c \cap [Y''] = 0\)。

证明

蕴含关系 (1) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (3) 是显然的。 条件 (3) 蕴含 (2)，因为 \((Y'' \to Y')_*[Y''] = [Y']\)，并且由于 \(c\) 是双变类，有 \(c \cap [Y'] = (X'' \to X')_*(c \cap [Y''])\)。现在假设 (2)。 设 \(Y' \to Y\) 局部有限型，并设 \(\alpha \in \CH_k(Y')\)。 写 \(\alpha = \sum n_i [Y'_i]\)，其中 \(Y'_i \subset Y'\) 是一族局部有限、 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的整闭子概形。于是 \(\alpha\) 是循环 \(\alpha' = \sum n_i[Y'_i]\) 在 \(Y'' = \coprod Y'_i\) 上沿固有态射 \(Y'' \to Y'\) 的推前。由双变类的性质，只须证明 \(c \cap \alpha' = 0\) 在 \(\CH_{k - p}(X'')\) 中成立。 有 \(\CH_{k - p}(X'') = \prod \CH_{k - p}(X'_i)\)，其中 \(X'_i = Y'_i \times_Y X\)；这立即由定义得出。投影映射 \(\CH_{k - p}(X'') \to \CH_{k - p}(X'_i)\) 由平坦拉回给出。 由于与 \(c\) 作帽积和平坦拉回交换，只须证明 \(c \cap [Y'_i]\) 在 \(\CH_{k - p}(X'_i)\) 中为零，而这由假设成立。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(f : X \to Y\) 是 \(S\) 上局部有限型概形间的态射。 假设由开闭子概形给出不交并分解 \(X = \coprod_{i \in I} X_i\) 和 \(Y = \coprod_{j \in J} Y_j\)， 并且存在集合映射 \(a : I \to J\)，使得 \(f(X_i) \subset Y_{a(i)}\)。则 \[A^p(X \to Y) = \prod\nolimits_{i \in I} A^p(X_i \to Y_{a(i)})\]

证明

设给定元素 \((c_i) \in \prod_i A^p(X_i \to Y_{a(i)})\)。 对 \(\beta \in \CH_k(Y)\)，可把它映到 \(\CH_{k - p}(X)\) 中的如下元素： 其到 \(X_i\) 的限制为 \(c_i \cap \beta|_{Y_{a(i)}}\)。 这是可行的，因为 \(\CH_{k - p}(X) = \prod_i \CH_{k - p}(X_i)\)。 经任意局部有限型基变换 \(Y' \to Y\) 后，同一构造仍可进行， 从而得到 \(c \in A^p(X \to Y)\)。于是得到从公式右边到左边的映射 \(\Psi\)。反之，给定 \(c \in A^p(X \to Y)\) 和元素 \(\beta_i \in \CH_k(Y_{a(i)})\)，可以考虑 \(\CH_{k - p}(X_i)\) 中的元素 \((c \cap (Y_{a(i)} \to Y)_*\beta_i)|_{X_i}\)。 经任意局部有限型基变换 \(Y' \to Y\) 后，同样可行，从而得到 \(c_i \in A^p(X_i \to Y_{a(i)})\)。于是得到从公式左边到右边的映射 \(\Phi\)。显然，\(\Phi \circ \Psi = \text{id}\)。 对反向复合，设 \(c \in A^p(X \to Y)\) 且 \(\beta \in \CH_k(Y)\)。 设 \(\Phi(c) = (c_i)\)，并取 \(j \in J\)。因为 \(c\) 与平坦拉回交换，有 \[(c \cap \beta)|_{\coprod_{a(i) = j} X_i} = c \cap \beta|_{Y_j}\] 又因为 \(c\) 与固有推前交换，有 \[(\coprod\nolimits_{a(i) = j} X_i \to X)_* ((c \cap \beta)|_{\coprod_{a(i) = j} X_i}) = c \cap (Y_j \to Y)_*\beta|_{Y_j}\] 左边是 \(X\) 上的循环：对满足 \(a(i) = j\) 的 \(i \in I\)， 其到 \(X_i\) 的限制为 \((c \cap \beta)|_{X_i}\)，其余分量上为 \(0\)。 右边是 \(X\) 上的循环：对满足 \(a(i) = j\) 的 \(i \in I\)， 其到 \(X_i\) 的限制为 \(c_i \cap \beta|_{Y_j}\)。 所以如所需有 \(c \cap \beta = \Psi((c_i))\)。

注

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(f : X \to Y\) 是 \(S\) 上局部有限型概形间的态射。 设 \(X = \coprod_{i \in I} X_i\) 和 \(Y = \coprod_{j \in J} Y_j\) 分别是 \(X\)、\(Y\) 到各连通分支的分解 （因为 \(X\)、\(Y\) 局部 Noether，连通分支是开的；见《拓扑学》引理 04MF 和 《概形的性质》引理 01OZ）。 设 \(a(i) \in J\) 是满足 \(f(X_i) \subset Y_{a(i)}\) 的指标。 由引理 0FDZ， \(A^p(X \to Y) = \prod A^p(X_i \to Y_{a(i)})\)。 在此框架下，置 \[A^*(X \to Y)^\wedge = \prod\nolimits_i A^*(X_i \to Y_{a(i)})\] 较为方便。这个“完备化”的双变群是子集 \[A^*(X \to Y)^\wedge \quad\subset\quad \prod\nolimits_{p \geq 0} A^p(X \to Y)\] 它由如下元素组成：\(c = (c_0, c_1, c_2, \ldots)\)，且对每个连通分支 \(X_i\)，\(c_p\) 在 \(A^p(X_i \to Y_{a(i)})\) 中的像仅对有限多个 \(p\) 非零。若 \(Y \to Z\) 是第二个态射，则复合 \(A^*(X \to Y) \times A^*(Y \to Z) \to A^*(X \to Z)\) 延拓为完备化之间的复合 \(A^*(X \to Y)^\wedge \times A^*(Y \to Z)^\wedge \to A^*(X \to Z)^\wedge\)。 有时把 \(A^*(X)^\wedge = A^*(X \to X)^\wedge\) 称为 \(X\) 的 完备双变上同调环。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(f : X \to Y\) 是 \(S\) 上局部有限型概形间的态射。 设 \(g : Y' \to Y\) 是包络（定义 0GU5）， 并记 \(X' = Y' \times_Y X\)。设 \(p \in \mathbf{Z}\) 且 \(c' \in A^p(X' \to Y')\)。若两个限制 \[res_1(c') = res_2(c') \in A^p(X' \times_X X' \to Y' \times_Y Y')\] 相等（见证明），则存在唯一的 \(c \in A^p(X \to Y)\)，使其在 \(A^p(X' \to Y')\) 中的限制满足 \(res(c) = c'\)。

证明

有交换图 \[\xymatrix{ X' \times_X X' \ar[d]^{f''} \ar@<1ex>[r]^-a \ar@<-1ex>[r]_-b & X' \ar[d]^{f'} \ar[r]_h & X \ar[d]^f \\ Y' \times_Y Y' \ar@<1ex>[r]^-p \ar@<-1ex>[r]_-q & Y' \ar[r]^g & Y }\] 元素 \(res_1(c')\) 是 \(c'\) 关于由态射 \(a, f', p, f''\) 组成的 Cartesian 方块的限制（见注 0F9Z）； 元素 \(res_2(c')\) 是 \(c'\) 关于由态射 \(b, f', q, f''\) 组成的 Cartesian 方块的限制。假设 \(res_1(c') = res_2(c')\)，并设 \(\beta \in \CH_k(Y)\)。由引理 0GU8，可以找到 \(\beta' \in \CH_k(Y')\)，使 \(g_*\beta' = \beta\)。于是置 \[c \cap \beta = h_*(c' \cap \beta')\] 为证明这与 \(\beta'\) 的选取无关，只须证明对 \(\gamma \in \CH_k(Y' \times_Y Y')\)， \(h_*(c' \cap (p_*\gamma - q_*\gamma))\) 为零。 因为 \(c'\) 是双变类，有 \[h_*(c' \cap (p_*\gamma - q_*\gamma)) = h_*(a_*(c' \cap \gamma) - b_*(c' \cap \gamma)) = 0\] 最后一个等式成立，是因为 \(h \circ a = h \circ b\)，从而 \(h_* \circ a_* = h_* \circ b_*\)。

注意，要求 \(res(c) = c'\) 以及双变类与固有推前相容，已经唯一地强制 了对 \(c \cap \beta\) 的上述选取。

当然，为定义双变类 \(c\)，还需要对任意局部有限型态射 \(Y_1 \to Y\) 构造满足定义 0B76 所列条件的映射 \(c \cap -: \CH_k(Y_1) \to \CH_{k + p}(Y_1 \times_Y X)\)。 记 \(Y'_1 = Y' \times_Y Y_1\)、\(X_1 = X \times_Y Y_1\)。 由引理 0GU7，态射 \(Y'_1 \to Y_1\) 是包络。因此可以使用基变换后的图表 \[\xymatrix{ X'_1 \times_{X_1} X'_1 \ar[d]^{f''_1} \ar@<1ex>[r]^-{a_1} \ar@<-1ex>[r]_-{b_1} & X'_1 \ar[d]^{f'_1} \ar[r]_{h_1} & X_1 \ar[d]^{f_1} \\ Y'_1 \times_{Y_1} Y'_1 \ar@<1ex>[r]^-{p_1} \ar@<-1ex>[r]_-{q_1} & Y'_1 \ar[r]^{g_1} & Y_1 }\] 并用同样的论证得到如前良定义的映射 \(c \cap - : \CH_k(Y_1) \to \CH_{k + p}(X_1)\)。

接下来，需要验证 \(c\) 满足定义 0B76 的条件 (1)、(2)、(3)。 例如，假设 \(t : Y_2 \to Y_1\) 是 \(Y\) 上局部有限型概形间的固有态射。 像上面一样，以下标 \({}_1\)、相应地 \({}_2\) 表示第一幅图到 \(Y_1\)、相应地 \(Y_2\) 的基变换。以 \(t' : Y'_2 \to Y'_1\)、 \(s : X_2 \to X_1\) 和 \(s' : X'_2 \to X'_1\) 表示 \(t\) 到 \(Y'\)、\(X\) 和 \(X'\) 的基变换。需要证明 \[s_*(c \cap \beta_2) = c \cap t_*\beta_2\] 对 \(\beta_2 \in \CH_k(Y_2)\) 成立。选取 \(\beta'_2 \in \CH_k(Y'_2)\)，使 \(g_{2, *}\beta'_2 = \beta_2\)。 由于 \(c'\) 是双变类，且图表 \[\vcenter{ \xymatrix{ X'_2 \ar[d]_{s'} \ar[r]_{h_2} & X_2 \ar[d]^s \\ X'_1 \ar[r]^{h_1} & X_1 } } \quad\text{且}\quad \vcenter{ \xymatrix{ X'_2 \ar[d]_{s'} \ar[r]_{f'_2} & Y'_2 \ar[d]^{t'} \\ X'_2 \ar[r]^{f'_1} & Y'_1 } }\] 都是 Cartesian 的，故有 \[s_*(c \cap \beta_2) = s_*(h_{2, *}(c' \cap \beta'_2)) = h_{1, *}s'_*(c' \cap \beta'_2) = h_{1, *}(c' \cap (t'_*\beta'_2))\] 按构造，最后一个表达式计算 \(c \cap t_*\beta_2\)：类 \(t'_*\beta'_2 \in \CH_k(Y'_1)\) 沿 \(g_{1, *}\) 的像是 \(t_*\beta_2\)。这证明了条件 (1)。其余条件用同样方法证明， 这里略去详细论证。

射影空间丛公式

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。考虑秩为 \(r\) 的有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{E}\)。我们的约定是，与 \(\mathcal{E}\) 关联的射影丛是 \(X\) 上的态射 \[\xymatrix{ \mathbf{P}(\mathcal{E}) = \underline{\text{Proj}}_X(\text{Sym}^*(\mathcal{E})) \ar[r]^-\pi & X }\] 其中 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\) 规范化为满足 \(\pi_*(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)) = \mathcal{E}\)。 特别地，存在满射 \(\pi^*\mathcal{E} \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\)。 下文将非正式地说“设 \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) 是与 \(\mathcal{E}\) 关联的射影丛”，以表示 \(P = \mathbf{P}(\mathcal{E})\) 且 \(\mathcal{O}_P(1) = \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\) 的情形。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(\mathcal{E}\) 是秩为 \(r\) 的有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{E}\)。设 \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) 是与 \(\mathcal{E}\) 关联的射影丛。 对任意 \(\alpha \in \CH_k(X)\)，元素 \[\pi_*\left( c_1(\mathcal{O}_P(1))^s \cap \pi^*\alpha \right) \in \CH_{k + r - 1 - s}(X)\] 在 \(s < r - 1\) 时为 \(0\)，在 \(s = r - 1\) 时等于 \(\alpha\)。

证明

设 \(Z \subset X\) 是 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的整闭子概形。 注意，\(\pi^*[Z] = [\pi^{-1}(Z)]\)，因为 \(\pi^{-1}(Z)\) 是 \(\delta\)-维数为 \(r - 1\) 的整概形。若 \(s < r - 1\)，则根据构造， \(c_1(\mathcal{O}_P(1))^s \cap \pi^*[Z]\) 由一个支撑在 \(\pi^{-1}(Z)\) 上的 \((k + r - 1 - s)\)-循环表示。 因此，由维数原因，该循环的推前为零。

设 \(s = r - 1\)。由上述论证，对某个 \(n \in \mathbf{Z}\) 有 \(\pi_*(c_1(\mathcal{O}_P(1))^s \cap \pi^*\alpha) = n [Z]\)。 需要证明 \(n = 1\)。由同样的维数原因，只须在用 \(X \setminus T\) 替换 \(X\) 后证明这一结果，其中 \(T \subset Z\) 是真闭子集。设 \(\xi\) 是 \(Z\) 的一般点。 可以选取元素 \(e_1, \ldots, e_{r - 1} \in \mathcal{E}_\xi\)， 使它们构成 \(\mathcal{E}_\xi\) 的某个基的一部分。 它们给出 \(\mathcal{O}_P(1)|_{\pi^{-1}(Z)}\) 的有理截面 \(s_1, \ldots, s_{r - 1}\)；这些截面的公共零点集是态射 \(\mathbf{P}(\mathcal{E}|_Z) \to Z\) 的一个有理截面之像的闭包， 并上一个支撑映到 \(Z\) 的真闭子集 \(T\) 的闭子集。 从 \(X\) 中移除 \(T\)（相应地从 \(P\) 中移除 \(\pi^{-1}(T)\)）后， \(s_1, \ldots, s_n\) 构成一列整体截面 \(s_i \in \Gamma(\pi^{-1}(Z), \mathcal{O}_{\pi^{-1}(Z)}(1))\)， 其公共零点集是某个截面 \(Z \to \pi^{-1}(Z)\) 的像。 因此，反复应用引理 02SQ，依次得到 \[\begin{eqnarray*} \pi^*[Z] & = & [\pi^{-1}(Z)] \\ c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*[Z] & = & [Z(s_1)] \\ c_1(\mathcal{O}_P(1))^2 \cap \pi^*[Z] & = & [Z(s_1) \cap Z(s_2)] \\ \ldots & = & \ldots \\ c_1(\mathcal{O}_P(1))^{r - 1} \cap \pi^*[Z] & = & [Z(s_1) \cap \ldots \cap Z(s_{r - 1})] \end{eqnarray*}\] 由于 \(\pi\) 在 \(Z\) 上的一个截面的像沿 \(\pi\) 的推前显然为 \([Z]\)， 在 \(\alpha = [Z]\) 时便得到结论。这里略去验证这些论证对一般循环 \(\alpha = \sum n_j [Z_j]\) 也给出结论。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。 设 \(\mathcal{E}\) 是秩为 \(r\) 的有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{E}\)。设 \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) 是与 \(\mathcal{E}\) 关联的射影丛。映射 \[\bigoplus\nolimits_{i = 0}^{r - 1} \CH_{k + i}(X) \longrightarrow \CH_{k + r - 1}(P),\] \[(\alpha_0, \ldots, \alpha_{r-1}) \longmapsto \pi^*\alpha_0 + c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_P(1))^{r - 1} \cap \pi^*\alpha_{r-1}\] 是同构。

证明

固定 \(k \in \mathbf{Z}\)。先证该映射为单射。 设 \((\alpha_0, \ldots, \alpha_{r - 1})\) 是左端的一个元素， 且映到零。由引理 02TW 可知 \[0 = \pi_*(\pi^*\alpha_0 + c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_P(1))^{r - 1} \cap \pi^*\alpha_{r-1}) = \alpha_{r - 1}\] 接着可知 \[0 = \pi_*(c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap (\pi^*\alpha_0 + c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_P(1))^{r - 2} \cap \pi^*\alpha_{r - 2})) = \alpha_{r - 2}\] 依此类推。因此该映射为单射。

还须证明该映射为满射。 设 \(X_i\)（\(i \in I\)）为 \(X\) 的不可约分支。 则 \(P_i = \mathbf{P}(\mathcal{E}|_{X_i})\)（\(i \in I\)） 是 \(P\) 的不可约分支。考虑交换图 \[\xymatrix{ \coprod P_i \ar[d]_{\coprod \pi_i} \ar[r]_p & P \ar[d]^\pi \\ \coprod X_i \ar[r]^q & X }\] 注意 \(p_*\) 为满射。若 \(\beta \in \CH_k(\coprod X_i)\)，则 \(\pi^* q_* \beta = p_*(\coprod \pi_i)^* \beta\)，参见 引理 02RG。由 引理 02SU，与 \(c_1(\mathcal{O}(1))\) 作帽积时也有类似结论。 因此，若引理中的映射对每个态射 \(\pi_i : P_i \to X_i\) 都是满射， 则它对 \(\pi : P \to X\) 也是满射。故可设 \(X\) 不可约。 于是 \(\dim_\delta(X) < \infty\)，特别地，可以对 \(\dim_\delta(X)\) 作归纳。

若 \(\dim_\delta(X) < k\)，结论显然成立。 设 \(\alpha \in \CH_{k + r - 1}(P)\)。 对任意局部闭子概形 \(T \subset X\)，记 \(\gamma_T : \bigoplus \CH_{k + i}(T) \to \CH_{k + r - 1}(\pi^{-1}(T))\) 为映射 \[\gamma_T(\alpha_0, \ldots, \alpha_{r - 1}) = \pi^*\alpha_0 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_{\pi^{-1}(T)}(1))^{r - 1} \cap \pi^*\alpha_{r - 1}.\] 设对某个非空开集 \(U \subset X\) 有 \(\alpha|_{\pi^{-1}(U)} = \gamma_U(\alpha_0, \ldots, \alpha_{r - 1})\)。 此时可以选取提升 \(\alpha'_i \in \CH_{k + i}(X)\)，并由 引理 02RX 看出， \(\alpha - \gamma_X(\alpha'_0, \ldots, \alpha'_{r - 1})\) 有理等价于 \(P_Y = \mathbf{P}(\mathcal{E}|_Y)\) 上的一个 \(k\)-循环， 其中 \(Y = X \setminus U\) 赋予既约闭子概形结构。 注意 \(\dim_\delta(Y) < \dim_\delta(X)\)。 由归纳假设，结论对 \(P_Y \to Y\) 成立，从而对 \(\alpha\) 也成立。 因此，可以用 \(X\) 的任意非空开集替换 \(X\)。

特别地，可以设 \(\mathcal{E} \cong \mathcal{O}_X^{\oplus r}\)。 此时 \(\mathbf{P}(\mathcal{E}) = X \times \mathbf{P}^{r - 1}\)。 采用分层 \[\mathbf{P}^{r - 1} = \mathbf{A}^{r - 1} \amalg \mathbf{A}^{r - 2} \amalg \ldots \amalg \mathbf{A}^0\] 每一层的闭包都是一个 \(\mathbf{P}^{r - 1 - i}\)，它表示 \(c_1(\mathcal{O}(1))^i \cap [\mathbf{P}^{r - 1}]\)。 因此 \(P\) 有类似的分层 \[P = U^{r - 1} \amalg U^{r - 2} \amalg \ldots \amalg U^0\] 设 \(P^i\) 为 \(U^i\) 的闭包，设 \(\pi^i : P^i \to X\) 为 \(\pi\) 在 \(P^i\) 上的限制。 设 \(\alpha \in \CH_{k + r - 1}(P)\)。由 引理 02TT， 可对某个 \(\alpha_0 \in \CH_k(X)\) 写成 \(\alpha|_{U^{r - 1}} = \pi^*\alpha_0|_{U^{r - 1}}\)。 因此差 \(\alpha - \pi^*\alpha_0\) 是某个 \(\alpha' \in \CH_{k + r - 1}(P^{r - 2})\) 的像。 再次应用引理 02TT， 可对某个 \(\alpha_1 \in \CH_{k + 1}(X)\) 写成 \(\alpha'|_{U^{r - 2}} = (\pi^{r - 2})^*\alpha_1|_{U^{r - 2}}\)。 由引理 02TR， \((\pi^{r - 2})^*\alpha_1\) 的像表示 \(c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1\)。 还可看出， \(\alpha - \pi^*\alpha_0 - c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1\) 是某个 \(\alpha'' \in \CH_{k + r - 1}(P^{r - 3})\) 的像。 依此类推。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。 设 \(\mathcal{E}\) 是 \(X\) 上秩为 \(r\) 的有限局部自由层。令 \[p : E = \underline{\Spec}(\text{Sym}^*(\mathcal{E})) \longrightarrow X\] 为 \(X\) 上相应的向量丛。则对所有 \(k\)， \(p^* : \CH_k(X) \to \CH_{k + r}(E)\) 都是同构。

证明

（秩一向量丛的情形见引理 0B74。） 满射性见引理 02TT。 设 \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) 是与有限局部自由层 \(\mathcal{E} \oplus \mathcal{O}_X\) 关联的射影空间丛。 设 \(s \in \Gamma(P, \mathcal{O}_P(1))\) 对应于整体截面 \((0, 1) \in \Gamma(X, \mathcal{E} \oplus \mathcal{O}_X)\)。 令 \(D = Z(s) \subset P\)。注意， \((\pi|_D : D \to X , \mathcal{O}_P(1)|_D)\) 是与 \(\mathcal{E}\) 关联的射影空间丛。记 \(\pi_D = \pi|_D\) 且 \(\mathcal{O}_D(1) = \mathcal{O}_P(1)|_D\)。 此外，\(D\) 是 \(P\) 上的有效 Cartier 除子。因此 \(\mathcal{O}_P(D) = \mathcal{O}_P(1)\) （见《除子》引理 01X0）。 还有一个同构 \(E \cong P \setminus D\)。记 \(j : E \to P\) 为相应的开浸入。 为证明单射性，使用如下事实： \[j^* : \CH_{k + r}(P) \longrightarrow \CH_{k + r}(E)\] 的核由支撑在有效 Cartier 除子 \(D\) 上的循环组成，见 引理 02RX。所以，若 \(p^*\alpha = 0\)， 则对某个 \(\beta \in \CH_{k + r}(D)\) 有 \(\pi^*\alpha = i_*\beta\)。由 引理 02TX，可写成 \[\beta = \pi_D^*\beta_0 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_D(1))^{r - 1} \cap \pi_D^* \beta_{r - 1}.\] 其中 \(\beta_i \in \CH_{k + i}(X)\)。由引理 02TR 和 02SU，这推出 \[\pi^*\alpha = i_*\beta = c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\beta_0 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_D(1))^r \cap \pi^*\beta_{r - 1}.\] 由于 \(\mathcal{E} \oplus \mathcal{O}_X\) 的秩为 \(r + 1\)， 除非 \(\alpha\) 以及所有 \(\beta_i\) 都为零，否则这与 引理 02SU 矛盾。

向量丛的陈类

可以利用射影空间丛公式，通过把 \(c_1(\mathcal{O}(1))^r\) 展开成较低次幂来定义秩为 \(r\) 的向量丛的陈类，见公式 (02U1)。其中符号的缘由稍后说明。

定义

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。假设 \(X\) 整且 \(n = \dim_\delta(X)\)。设 \(\mathcal{E}\) 是 \(X\) 上秩为 \(r\) 的有限局部自由层。设 \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) 是与 \(\mathcal{E}\) 关联的射影空间丛。

1. 由引理 02TX，存在元素 \(c_i \in \CH_{n - i}(X)\)（\(i = 0, \ldots, r\)）， 使得 \(c_0 = [X]\)，且 [02U1]\[\begin{equation} \sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*c_{r - i} = 0. \end{equation}\]

2. 采用上述记号，令 \(c_i(\mathcal{E}) \cap [X] = c_i\)， 视为 \(\CH_{n - i}(X)\) 的元素。称它们为 \(X\) 上 \(\mathcal{E}\) 的陈类。

3. \(X\) 上 \(\mathcal{E}\) 的全陈类是组合 \[c({\mathcal E}) \cap [X] = c_0({\mathcal E}) \cap [X] + c_1({\mathcal E}) \cap [X] + \ldots + c_r({\mathcal E}) \cap [X]\] 它是 \(\CH_*(X) = \bigoplus_{k \in \mathbf{Z}} \CH_k(X)\) 的元素。

下面验证，当向量丛秩为 \(1\) 时，这并未给出新的概念。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。假设 \(X\) 整且 \(n = \dim_\delta(X)\)。设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。定义 02U0 所定义的 \(X\) 上 \(\mathcal{L}\) 的第一陈类，等于 定义 02SJ 赋予 \(\mathcal{L}\) 的 Weil 除子。

证明

本证明用 \(c_1(\mathcal{L}) \cap [X]\) 表示 定义 02SJ 中的构造。 由于 \(\mathcal{L}\) 的秩为 \(1\)，根据我们的规范化有 \(\mathbf{P}(\mathcal{L}) = X\) 且 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{L})}(1) = \mathcal{L}\)。 因此 (02U1) 成为 \[(-1)^1 c_1(\mathcal{L}) \cap c_0 + (-1)^0 c_1 = 0\] 由于 \(c_0 = [X]\)，可得所需的 \(c_1 = c_1(\mathcal{L}) \cap [X]\)。

注

也可以把方程 02U1 改写为 [05M8]\[\begin{equation} \sum\nolimits_{i = 0}^r c_1(\mathcal{O}_P(-1))^i \cap \pi^*c_{r - i} = 0. \end{equation}\] 不过，相比其对偶，我们认为使用重言商层 \(\mathcal{O}_P(1)\) 更为方便。

与陈类相交

本节把 \(X\) 上向量丛的陈类定义为 \(X\) 上的双变类，参见 引理 0B7H 及该引理之后的讨论。 我们的构造遵循熟知的模式：先在素循环上定义运算，再求和。 在引理 02U6 中，将证明结果由 相应射影丛上的通常公式所确定。随后证明，与陈类作帽积可下降到 有理等价，并与正常推前、平坦拉回以及有效 Cartier 除子嵌入的 Gysin 映射交换。也可以直接使用 引理 02U6 中的刻画和 引理 0EPK，从而避开这些引理； 希望看到具体推导的读者可参阅《空间的 Chow 群》引理 0ERY。

定义

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(\mathcal{E}\) 是 \(X\) 上秩为 \(r\) 的有限局部自由层。对每个整数 \(k\) 及任意 \(0 \leq j \leq r\)，定义运算 \[c_j(\mathcal{E}) \cap - : Z_k(X) \to \CH_{k - j}(X)\] 称为与 \(\mathcal{E}\) 的第 \(j\) 陈类相交。

1. 给定一个 \(\delta\)-维数为 \(k\) 的整闭子概形 \(i : W \to X\)，定义 \[c_j(\mathcal{E}) \cap [W] = i_*(c_j({i^*\mathcal{E}}) \cap [W]) \in \CH_{k - j}(X)\] 其中 \(c_j({i^*\mathcal{E}}) \cap [W]\) 如 定义 02U0 中所定义。

2. 对一般的 \(k\)-循环 \(\alpha = \sum n_i [W_i]\)，令 \[c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha = \sum n_i c_j(\mathcal{E}) \cap [W_i]\]

若 \(\mathcal{E}\) 的秩为 \(1\)，则这与此前的定义 （定义 02SO）一致，这是 引理 02U2 的结论。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(\mathcal{E}\) 是 \(X\) 上秩为 \(r\) 的有限局部自由层。设 \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) 是与 \(\mathcal{E}\) 关联的射影丛。 对 \(\alpha \in Z_k(X)\)，元素 \(c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha\) 是 \(\CH_{k - j}(X)\) 中满足 \(\alpha_0 = \alpha\) 以及 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*(\alpha_{r - i}) = 0\] 在 \(P\) 的 Chow 群中成立的唯一元素 \(\alpha_j\)。

证明

满足 \(\alpha_0 = \alpha\) 及所示方程的 \(\alpha_0, \ldots, \alpha_r\) 的唯一性，来自射影空间丛公式 引理 02TX。 当 \(\alpha = [W]\) 且 \(W\) 是 \(X\) 的整闭子概形时，该恒等式依定义成立。 对 \(X\) 上一般的 \(k\)-循环 \(\alpha\)，写成 \(\alpha = \sum n_a[W_a]\)，其中 \(n_a \not = 0\)，且 \(i_a : W_a \to X\) 是两两不同的整闭子概形。于是族 \(\{W_a\}\) 在 \(X\) 上局部有限。令 \(P_a = \pi^{-1}(W_a) = \mathbf{P}(\mathcal{E}|_{W_a})\)， 并记 \(i'_a : P_a \to P\) 为相应的闭浸入。考虑纤维积图 \[\xymatrix{ P' \ar@{=}[r] \ar[d]_{\pi'} & \coprod P_a \ar[d]_{\coprod \pi_a} \ar[r]_{\coprod i'_a} & P \ar[d]^\pi \\ X' \ar@{=}[r] & \coprod W_a \ar[r]^{\coprod i_a} & X }\] 态射 \(p : X' \to X\) 是正常的。此外， \(\pi' : P' \to X'\) 连同可逆层 \(\mathcal{O}_{P'}(1) = \coprod \mathcal{O}_{P_a}(1)\) 是与 \(\mathcal{E}' = p^*\mathcal{E}\) 关联的射影丛；该可逆层也正是 \(\mathcal{O}_P(1)\) 的拉回。依定义， \[c_j(\mathcal{E}) \cap [\alpha] = \sum i_{a, *}(c_j(\mathcal{E}|_{W_a}) \cap [W_a]).\] 记 \(\beta_{a, j} = c_j(\mathcal{E}|_{W_a}) \cap [W_a]\)， 它是 \(\CH_{k - j}(W_a)\) 的元素。根据定义，对每个 \(a\) 有 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P_a}(1))^i \cap \pi_a^*(\beta_{a, r - i}) = 0\] 因而显然有 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P'}(1))^i \cap (\pi')^*(\beta_{r - i}) = 0\] 其中 \(\beta_j = \sum n_a\beta_{a, j} \in \CH_{k - j}(X')\)。 记 \(p' : P' \to P\) 为态射 \(\coprod i'_a\)。由 引理 02RG，有 \(\pi^*p_*\beta_j = p'_*(\pi')^*\beta_j\)。 再由引理 02SU 的投影公式，得到 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*(p_*\beta_j) = 0\] 由于 \(p_*\beta_j\) 表示 \(c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha\)，故得证。

下文将始终使用陈类的这一刻画来证明更多性质。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(\mathcal{E}\) 是 \(X\) 上秩为 \(r\) 的有限局部自由层。若 \(\alpha \sim_{rat} \beta\) 是 \(X\) 上 有理等价的 \(k\)-循环，则在 \(\CH_{k - j}(X)\) 中有 \(c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha = c_j(\mathcal{E}) \cap \beta\)。

证明

由引理 02U6，元素 \(\alpha_j = c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha\)（\(j \geq 1\)）与 \(\beta_j = c_j(\mathcal{E}) \cap \beta\)（\(j \geq 1\)），由与 \(\mathcal{E}\) 关联的射影丛的 Chow 群中的同一个方程唯一确定。 （这当然用到了平坦拉回与有理等价相容这一事实，见 引理 02S1。）因此它们相等。

换言之，与有限局部自由层的陈类作帽积可下降到有理等价，从而给出映射 \[c_j(\mathcal{E}) \cap - : \CH_k(X) \to \CH_{k - j}(X).\] 下一步是证明陈类是双变类，见 定义 0B76。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\)、\(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(\mathcal{E}\) 是 \(X\) 上秩为 \(r\) 的有限局部自由层。设 \(p : X \to Y\) 是正常态射， 设 \(\alpha\) 是 \(X\) 上的 \(k\)-循环，并设 \(\mathcal{E}\) 是 \(Y\) 上 的有限局部自由层。则 \[p_*(c_j(p^*\mathcal{E}) \cap \alpha) = c_j(\mathcal{E}) \cap p_*\alpha\]

证明

设 \((\pi : P \to Y, \mathcal{O}_P(1))\) 是与 \(\mathcal{E}\) 关联的射影丛。 则 \(P_X = X \times_Y P\) 是与 \(p^*\mathcal{E}\) 关联的射影丛，且 \(\mathcal{O}_{P_X}(1)\) 是 \(\mathcal{O}_P(1)\) 的拉回。记 \(\alpha_j = c_j(p^*\mathcal{E}) \cap \alpha\)，于是 \(\alpha_0 = \alpha\)。由引理 02U6，有 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi_X^*(\alpha_{r - i}) = 0\] 在 \(P_X\) 的 Chow 群中成立。考虑纤维积图 \[\xymatrix{ P_X \ar[r]_-{p'} \ar[d]_{\pi_X} & P \ar[d]^\pi \\ X \ar[r]^p & Y }\] 对上述等式施以正常推前 \(p'_*\) （引理 02S2）。 利用引理 02SU 和 02RG，得到 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*(p_*\alpha_{r - i}) = 0\] 在 \(P\) 的 Chow 群中成立。由 引理 02U6 的刻画即得结论。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\)、\(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(\mathcal{E}\) 是 \(Y\) 上秩为 \(r\) 的有限局部自由层。设 \(f : X \to Y\) 是相对维数为 \(r\) 的平坦态射，设 \(\alpha\) 是 \(Y\) 上的 \(k\)-循环。则 \[f^*(c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha) = c_j(f^*\mathcal{E}) \cap f^*\alpha\]

证明

记 \(\alpha_j = c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha\)，于是 \(\alpha_0 = \alpha\)。由引理 02U6，有 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*(\alpha_{r - i}) = 0\] 在与 \(\mathcal{E}\) 关联的射影丛 \((\pi : P \to Y, \mathcal{O}_P(1))\) 的 Chow 群中成立。 考虑纤维积图 \[\xymatrix{ P_X = \mathbf{P}(f^*\mathcal{E}) \ar[r]_-{f'} \ar[d]_{\pi_X} & P \ar[d]^\pi \\ X \ar[r]^f & Y }\] 注意 \(\mathcal{O}_{P_X}(1)\) 是 \(\mathcal{O}_P(1)\) 的拉回。 对上述方程施以平坦拉回 \((f')^*\) （引理 02S1）。由 引理 02SS 和 02RD 可知 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P_X}(1))^i \cap \pi_X^*(f^*\alpha_{r - i}) = 0\] 在 \(P_X\) 的 Chow 群中成立。由 引理 02U6 的刻画即得结论。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(\mathcal{E}\) 是 \(X\) 上秩为 \(r\) 的有限局部自由层。设 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) 如定义 02T8。 则对所有 \(\alpha \in \CH_k(X)\) 有 \(c_j(\mathcal{E}|_D) \cap i^*\alpha = i^*(c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha)\)。

证明

记 \(\alpha_j = c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha\)，于是 \(\alpha_0 = \alpha\)。由引理 02U6，有 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*(\alpha_{r - i}) = 0\] 在与 \(\mathcal{E}\) 关联的射影丛 \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) 的 Chow 群中成立。 考虑纤维积图 \[\xymatrix{ P_D = \mathbf{P}(\mathcal{E}|_D) \ar[r]_-{i'} \ar[d]_{\pi_D} & P \ar[d]^\pi \\ D \ar[r]^i & X }\] 注意 \(\mathcal{O}_{P_D}(1)\) 是 \(\mathcal{O}_P(1)\) 的拉回。 对上述方程施以 Gysin 映射 \((i')^*\) （引理 02TO）。应用引理 0B72 和 0B71，得到 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P_D}(1))^i \cap \pi_D^*(i^*\alpha_{r - i}) = 0\] 在 \(P_D\) 的 Chow 群中成立。由 引理 02U6 的刻画即得结论。

至此已有足够材料证明，与陈类作帽积定义了一个双变类。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(\mathcal{E}\) 是秩为 \(r\) 的局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模，并设 \(0 \leq p \leq r\)。则把 \(f : X' \to X\) 映为 \(c_p(f^*\mathcal{E}) \cap - : \CH_k(X') \to \CH_{k - p}(X')\) 的规则，是一个次数为 \(p\) 的双变类。

证明

这立即来自引理 02U7、 02U9、 02U8、 0B7G 以及定义 0B76。

借助这个引理，可以如下定义有限局部自由模的陈类。

定义

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(\mathcal{E}\) 是秩为 \(r\) 的局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模。对 \(i = 0, \ldots, r\)，\(\mathcal{E}\) 的 第 \(i\) 陈类是引理 0B7H 所构造的次数为 \(i\) 的双变类 \(c_i(\mathcal{E}) \in A^i(X)\)。\(\mathcal{E}\) 的 全陈类是形式和 \[c(\mathcal{E}) = c_0(\mathcal{E}) + c_1(\mathcal{E}) + \ldots + c_r(\mathcal{E})\] 并将它视为 \(X\) 上的非齐次双变类。

由定义 02U5 后的注记， 若 \(\mathcal{E}\) 可逆，则这个定义与 定义 0FDW 一致。 下面说明陈类位于双变 Chow 上同调环 \(A^*(X)\) 的中心。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(\mathcal{E}\) 是秩为 \(r\) 的局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模。则

1. \(c_j(\mathcal{E}) \in A^j(X)\) 位于 \(A^*(X)\) 的中心；

2. 若 \(f : X' \to X\) 局部有限型且 \(c \in A^*(X' \to X)\)，则 \(c \circ c_j(\mathcal{E}) = c_j(f^*\mathcal{E}) \circ c\)。

特别地，若 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上另一个秩为 \(s\) 的局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模，则对所有 \(\alpha \in \CH_k(X)\)， \[c_i(\mathcal{E}) \cap c_j(\mathcal{F}) \cap \alpha = c_j(\mathcal{F}) \cap c_i(\mathcal{E}) \cap \alpha\] 作为 \(\CH_{k - i - j}(X)\) 的元素成立。

证明

(2) 推出 (1) 是立即的。设 \(\alpha \in \CH_k(X)\)，并记 \(\alpha_j = c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha\)，于是 \(\alpha_0 = \alpha\)。由引理 02U6，有 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*(\alpha_{r - i}) = 0\] 在与 \(\mathcal{E}\) 关联的射影丛 \((\pi : P \to Y, \mathcal{O}_P(1))\) 的 Chow 群中成立。 记 \(\pi' : P' \to X'\) 为 \(\pi\) 沿 \(f\) 的基变换。利用 引理 0B7B 及双变类的性质，得到 \[\begin{align*} 0 & = c \cap \left(\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*(\alpha_{r - i})\right) \\ & = \sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P'}(1))^i \cap (\pi')^*(c \cap \alpha_{r - i}) \end{align*}\] 在 \(P'\) 的 Chow 群中成立（略去计算）。因此，由 引理 02U6 的刻画， \(c \cap \alpha_j\) 等于 \(c_j(f^*\mathcal{E}) \cap (c \cap \alpha)\)。引理得证。

注

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(\mathcal{E}\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模。即使 \(\mathcal{E}\) 的秩不是常数，仍可定义 \(\mathcal{E}\) 的陈类。 事实上，此时可写成 \[X = X_0 \amalg X_1 \amalg X_2 \amalg \ldots\] 其中 \(X_r \subset X\) 是 \(\mathcal{E}\) 秩为 \(r\) 的开闭子空间。 由引理 0FDZ，有 \(A^p(X) = \prod A^p(X_r)\)。因此，可以把 \(c_p(\mathcal{E})\) 定义为各 \(A^p(X_r)\) 中的类 \(c_p(\mathcal{E}|_{X_r})\) 之积。 明确地说，若 \(X' \to X\) 是局部有限型态射，则通过拉回得到 \(X'\) 的相应分解，并由定义有 \[\CH_*(X') = \prod\nolimits_{r \geq 0} \CH_*(X'_r)\] 此时 \(c_p(\mathcal{E}) \in A^p(X)\) 是保持这些直积分解， 并在各因子上由已经定义的运算 \(c_i(\mathcal{E}|_{X_r}) \cap -\) 作用的双变类。 注意，在这种情形下，可能有无穷多个 \(p\) 使 \(c_p(\mathcal{E})\) 非零。因此，全陈类是完备化双变上同调环中的元素 \[c(\mathcal{E}) = c_0(\mathcal{E}) + c_1(\mathcal{E}) + c_2(\mathcal{E}) + \ldots \in A^*(X)^\wedge\] 参见注 0FE0。 在这里，把 \(\mathcal{E}\) 的“秩”定义为元素 \(r(\mathcal{E}) \in A^0(X)\)，即把 \((\alpha_r) \in \prod \CH_*(X'_r)\) 映到 \((r\alpha_r) \in \prod \CH_*(X'_r)\) 的双变运算。 仍然有 \(c_p(\mathcal{E})\) 和 \(r(\mathcal{E})\) 位于 \(A^*(X)\) 的中心。

注

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，并设 \(\mathcal{E}\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模。一般地，如 注 0ESW 写成 \(X = \coprod X_r\)。若仅有有限多个 \(X_r\) 非空，则可令 \[c_{top}(\mathcal{E}) = \sum\nolimits_r c_r(\mathcal{E}|_{X_r}) \in A^*(X) = \bigoplus A^*(X_r)\] 其中等式来自引理 0FDZ。 若有无穷多个 \(X_r\) 非空，则用同一记号表示 \[c_{top}(\mathcal{E}) = \prod c_r(\mathcal{E}|_{X_r}) \in \prod A^r(X_r) \subset A^*(X)^\wedge\] 记号参见注 0FE0。

陈类之间的多项式关系

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL，设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，并设 \(\mathcal{E}_i\) 是 \(X\) 上有限局部自由层的有限族。 由引理 02UA，陈类 \[c_j(\mathcal{E}_i) \in A^*(X)\] 生成 Chow 上同调代数 \(A^*(X)\) 的一个交换（甚至中心的） \(\mathbf{Z}\)-子代数。因此，可以说明这些陈类的多项式为零， 或者两个多项式相等，具体是什么意思。例如，等式 \(c_1(\mathcal{E}_1)^5 + c_2(\mathcal{E}_2)c_3(\mathcal{E}_3) = 0\) 表示：对所有局部有限型态射 \(f : Y \to X\)，运算 \[\CH_k(Y) \longrightarrow \CH_{k - 5}(Y), \quad \alpha \longmapsto c_1(\mathcal{E}_1)^5 \cap \alpha + c_2(\mathcal{E}_2) \cap c_3(\mathcal{E}_3) \cap \alpha\] 都为零。由引理 02UC，这等价于如下要求： 对任意态射 \(f : Y \to X\)，其中 \(Y\) 是 \(S\) 上局部有限型的整概形，循环 \[c_1(\mathcal{E}_1)^5 \cap [Y] + c_2(\mathcal{E}_2) \cap c_3(\mathcal{E}_3) \cap [Y]\] 在 \(\CH_{\dim(Y) - 5}(Y)\) 中为零。

一个具体例子是引理 02SP 中证明的关系 \[c_1(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N}) = c_1(\mathcal{L}) + c_1(\mathcal{N})\] 更一般地，下面说明任意局部自由层与可逆层张量时的情形。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(\mathcal{E}\) 是 \(X\) 上秩为 \(r\) 的有限局部自由层，并设 \(\mathcal{L}\) 是 \(X\) 上的可逆层。则在 \(A^*(X)\) 中有 [02UE]\[\begin{equation} c_i({\mathcal E} \otimes {\mathcal L}) = \sum\nolimits_{j = 0}^i \binom{r - i + j}{j} c_{i - j}({\mathcal E}) c_1({\mathcal L})^j \end{equation}\]

证明

该式应对任意三元组 \((X, \mathcal{E}, \mathcal{L})\) 成立。 特别地，它应在 \(X\) 整时成立；由引理 02UC， 只须对这样的 \(X\) 证明与 \([X]\) 作帽积后的等式。因此设 \(X\) 整。 令 \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\)，resp. \((\pi' : P' \to X, \mathcal{O}_{P'}(1))\) 分别为与 \(\mathcal{E}\)，resp. \(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}\) 关联的射影空间丛。考虑规范态射 \[\xymatrix{ P \ar[rd]_\pi \ar[rr]_g & & P' \ar[ld]^{\pi'} \\ & X & }\] 参见《概形的构造》引理 02NC。 它满足 \(g^*\mathcal{O}_{P'}(1) = \mathcal{O}_P(1) \otimes \pi^* {\mathcal L}\)。 这意味着 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i (\xi + x)^i \cap \pi^*(c_{r - i}(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}) \cap [X]) = 0\] 在 \(\CH_*(P)\) 中成立，其中 \(\xi\) 表示 \(c_1(\mathcal{O}_P(1))\)，而 \(x\) 表示 \(c_1(\pi^*\mathcal{L})\)。由简单的代数运算，这等价于 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i \xi^i \left( \sum\nolimits_{j = i}^r (-1)^{j - i} \binom{j}{i} x^{j - i} \cap \pi^*(c_{r - j}(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}) \cap [X]) \right) = 0\] 与 Equation (02U1) 比较，可得 \[c_{r - i}(\mathcal{E}) \cap [X] = \sum\nolimits_{j = i}^r \binom{j}{i} (-c_1(\mathcal{L}))^{j - i} \cap c_{r - j}(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}) \cap [X]\] 重新整理（消去负号并重新编号）便得到所需关系。

(02UE) 的一些具体情形为 \[\begin{align*} c_1(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}) & = c_1(\mathcal{E}) + r c_1(\mathcal{L}) \\ c_2(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}) & = c_2(\mathcal{E}) + (r - 1) c_1(\mathcal{E}) c_1(\mathcal{L}) + \binom{r}{2} c_1(\mathcal{L})^2 \\ c_3(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}) & = c_3(\mathcal{E}) + (r - 2) c_2(\mathcal{E})c_1(\mathcal{L}) + \binom{r - 1}{2} c_1(\mathcal{E})c_1(\mathcal{L})^2 + \binom{r}{3} c_1(\mathcal{L})^3 \end{align*}\]

陈类的可加性

所有预备引理都从最终结果立即推出。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(\mathcal{E}\)、\(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上秩分别为 \(r\)、\(r - 1\) 的有限局部自由层，且嵌入短正合列 \[0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{E} \to \mathcal{F} \to 0\] 则在 \(A^*(X)\) 中有 \[c_r(\mathcal{E}) = 0, \quad c_j(\mathcal{E}) = c_j(\mathcal{F}), \quad j = 0, \ldots, r - 1\]

证明

由引理 02UC，只须证明：若 \(X\) 整，则 \(c_j(\mathcal{E}) \cap [X] = c_j(\mathcal{F}) \cap [X]\)。 令 \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\)，resp. \((\pi' : P' \to X, \mathcal{O}_{P'}(1))\) 分别表示与 \(\mathcal{E}\)，resp. \(\mathcal{F}\) 关联的射影空间丛。 满射 \(\mathcal{E} \to \mathcal{F}\) 给出 \(X\) 上的闭浸入 \[i : P' \longrightarrow P\] 此外，元素 \(1 \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X) \subset \Gamma(X, \mathcal{E})\) 给出整体截面 \(s \in \Gamma(P, \mathcal{O}_P(1))\)，其零点集恰为 \(P'\)。因此 \(P'\) 是 \(P\) 上的有效 Cartier 除子，并满足 \(\mathcal{O}_P(P') \cong \mathcal{O}_P(1)\)。故由 引理 02TR，对 \(X\) 上任意循环类 \(\alpha\) 有 \[c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha = i_*((\pi')^*\alpha)\] 由引理 02U6， \(\alpha_j = c_j(\mathcal{F}) \cap [X]\)（\(j = 0, \ldots, r - 1\)）满足 \[\sum\nolimits_{j = 0}^{r - 1} (-1)^jc_1(\mathcal{O}_{P'}(1))^j \cap (\pi')^*\alpha_j = 0\] 把它推前到 \(P\)，并使用上述注记及 引理 02SU，得到 \[\sum\nolimits_{j = 0}^{r - 1} (-1)^j c_1(\mathcal{O}_P(1))^{j + 1} \cap \pi^*\alpha_j = 0\] 由引理 02U6 中的唯一性，可得 \(c_r(\mathcal{E}) \cap [X] = 0\)，并且 \(c_j(\mathcal{E}) \cap [X] = \alpha_j = c_j(\mathcal{F}) \cap [X]\) 对 \(j = 0, \ldots, r - 1\) 成立。引理得证。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \(\mathcal{E}\)、\(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上秩分别为 \(r\)、\(r - 1\) 的有限局部自由层，且嵌入短正合列 \[0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{E} \to \mathcal{F} \to 0\] 其中 \(\mathcal{L}\) 是可逆层。则在 \(A^*(X)\) 中有 \[c(\mathcal{E}) = c(\mathcal{L}) c(\mathcal{F})\]

证明

这个关系实际上就是 \(c_i(\mathcal{E}) = c_i(\mathcal{F}) + c_1(\mathcal{L})c_{i - 1}(\mathcal{F})\)。 由引理 02UG，对 \(j = 0, \ldots, r\) 有 \(c_j(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}^{\otimes -1}) = c_j(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes -1})\)，其中约定 \(c_r(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{-1}) = 0\)。 应用引理 02UD，得到 \[\sum_{j = 0}^i \binom{r - i + j}{j} (-1)^j c_{i - j}({\mathcal E}) c_1({\mathcal L})^j = \sum_{j = 0}^i \binom{r - 1 - i + j}{j} (-1)^j c_{i - j}({\mathcal F}) c_1({\mathcal L})^j\] 令 \(c_i(\mathcal{E}) = c_i(\mathcal{F}) + c_1(\mathcal{L})c_{i - 1}(\mathcal{F})\)， 便给出这个方程的一个“解”。若证明这是唯一可能的解，引理即得。 这里略去验证。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 是 \(S\) 上局部有限型概形。假设 \({\mathcal E}\) 位于秩为 \(r_i\) 的有限局部自由层 \(\mathcal{E}_i\) 的正合列 \[0 \to {\mathcal E}_1 \to {\mathcal E} \to {\mathcal E}_2 \to 0\] 中。则全陈类在 \(A^*(X)\) 中满足 \[c({\mathcal E}) = c({\mathcal E}_1) c({\mathcal E}_2)\]

证明

由引理 02UC，可设 \(X\) 整，并只须证明与 \([X]\) 作帽积后的恒等式。对 \(r_1\) 归纳。当 \(r_1 = 1\) 时，结论是 引理 02UH。设 \(r_1 > 1\)。 令 \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) 表示与 \(\mathcal{E}_1\) 关联的射影空间丛。注意

1. \(\pi^* : \CH_*(X) \to \CH_*(P)\) 是单射；

2. \(\pi^*\mathcal{E}_1\) 位于短正合列 \(0 \to \mathcal{F} \to \pi^*\mathcal{E}_1 \to \mathcal{L} \to 0\) 中，其中 \(\mathcal{L}\) 可逆。

第一点来自射影空间丛公式，第二点来自射影空间丛的定义。 （事实上 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_P(1)\)。）令 \(Q = \pi^*\mathcal{E}/\mathcal{F}\)，它位于正合列 \(0 \to \mathcal{L} \to Q \to \pi^*\mathcal{E}_2 \to 0\) 中。 由归纳假设， \[\begin{eqnarray*} c(\pi^*\mathcal{E}) \cap [P] & = & c(\mathcal{F}) \cap c(\pi^*\mathcal{E}/\mathcal{F}) \cap [P] \\ & = & c(\mathcal{F}) \cap c(\mathcal{L}) \cap c(\pi^*\mathcal{E}_2) \cap [P] \\ & = & c(\pi^*\mathcal{E}_1) \cap c(\pi^*\mathcal{E}_2) \cap [P] \end{eqnarray*}\] 由于 \([P] = \pi^*[X]\)，由 引理 02U8 即得结论。

引理

设 \((S, \delta)\) 如情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。设 \({\mathcal L}_i\)（\(i = 1, \ldots, r\)） 是 \(X\) 上的可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(\mathcal{E}\) 是赋有滤过 \[0 = \mathcal{E}_0 \subset \mathcal{E}_1 \subset \mathcal{E}_2 \subset \ldots \subset \mathcal{E}_r = \mathcal{E}\] 的局部自由秩 \(\mathcal{O}_X\)-模，且 \(\mathcal{E}_i/\mathcal{E}_{i - 1} \cong \mathcal{L}_i\)。 令 \(c_1({\mathcal L}_i) = x_i\)。则在 \(A^*(X)\) 中有 \[c(\mathcal{E}) = \prod\nolimits_{i = 1}^r (1 + x_i)\]

证明

应用引理 02UH 并作归纳。

零维循环的次数

先定义域上的正常概形上零维循环的次数。一种做法是如 引理 0AZ2 直接定义， 再由引理 02RU 证明它良定义。 这里改用如下定义。

定义

设 \(k\) 是域（例 02QM），并设 \(p : X \to \Spec(k)\) 正常。\(X\) 上零维循环的次数由正常推前 \[p_* : \CH_0(X) \to \CH_0(\Spec(k))\] （引理 02S2） 与把 \([\Spec(k)]\) 映到 \(1\) 的自然同构 \(\CH_0(\Spec(k)) = \mathbf{Z}\) 复合给出。记作 \(\deg(\alpha)\)。

进一步把它写明如下。

引理

设 \(k\) 是域，\(X\) 在 \(k\) 上正常，并设 \(\alpha = \sum n_i[Z_i]\) 属于 \(Z_0(X)\)。则 \[\deg(\alpha) = \sum n_i\deg(Z_i)\] 其中 \(\deg(Z_i)\) 是 \(Z_i \to \Spec(k)\) 的次数，即 \(\deg(Z_i) = \dim_k \Gamma(Z_i, \mathcal{O}_{Z_i})\)。

证明

这正是正常推前的定义 （定义 02R4）。

下面把它与《代数簇》第 0AYQ 节 所定义的域上 \(1\)-维正常概形上的向量丛次数联系起来。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是 \(k\) 上维数 \(\leq 1\) 的正常概形。 设 \(\mathcal{E}\) 是常秩有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \[\deg(\mathcal{E}) = \deg(c_1(\mathcal{E}) \cap [X]_1)\] 其中左端由《代数簇》定义 0AYR 定义。

证明

设 \(C_i \subset X\)（\(i = 1, \ldots, t\)）是赋予诱导既约概形结构的 \(1\) 维不可约分支，并设 \(m_i\) 是 \(C_i\) 在 \(X\) 中的重数。则 \([X]_1 = \sum m_i[C_i]\)，且 \(c_1(\mathcal{E}) \cap [X]_1\) 是循环 \(m_i c_1(\mathcal{E}|_{C_i}) \cap [C_i]\) 的推前之和。 由《代数簇》引理 0AYW， \(\mathcal{E}\) 的次数也有类似分解，故只须证明 \(X\) 是 \(k\) 上正常曲线的情形。

假设 \(X\) 是 \(k\) 上正常曲线。由《除子》引理 0AYP，存在修改 \(f : X' \to X\)，使 \(f^*\mathcal{E}\) 有一个滤过，其逐次商是可逆 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模。由于 \(f_*[X']_1 = [X]_1\)，由 引理 02U9 可得 \[\deg(c_1(\mathcal{E}) \cap [X]_1) = \deg(c_1(f^*\mathcal{E}) \cap [X']_1)\] 由《代数簇》引理 0AYU， 次数也满足类似关系，因此归约到 \(\mathcal{E}\) 有逐次商为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模的滤过这一情形。此时利用次数的可加性 （《代数簇》引理 0AYS）以及第一陈类的可加性 （引理 02UI），可归约到下一段的情形。

假设 \(X\) 是 \(k\) 上正常曲线，且 \(\mathcal{E}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。由《除子》引理 0AYM， \(\mathcal{E}\) 同构于 \(\mathcal{O}_X(D) \otimes \mathcal{O}_X(D')^{\otimes -1}\)， 其中 \(D, D'\) 是 \(X\) 上的有效 Cartier 除子（这里还用到 \(X\) 射影； 例如参见《代数簇》引理 0A26）。 利用可逆层张量积下次数的可加性 （《代数簇》引理 0AYX） 以及可逆层张量积下 \(c_1\) 的可加性 （引理 02SP 或 02UD）， 归约到 \(\mathcal{E} = \mathcal{O}_X(D)\) 的情形。此时左端给出 \(\deg(D)\)（《代数簇》引理 0AYY），而由 引理 02SQ，右端给出 \(\deg([D]_0)\)。 根据定义， \[[D]_0 = \sum\nolimits_{x \in D} \text{length}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{O}_{D, x}) [x] = \sum\nolimits_{x \in D} \text{length}_{\mathcal{O}_{D, x}}(\mathcal{O}_{D, x}) [x]\] 因此 \[\deg([D]_0) = \sum\nolimits_{x \in D} \text{length}_{\mathcal{O}_{D, x}}(\mathcal{O}_{D, x}) [\kappa(x) : k] = \dim_k \Gamma(D, \mathcal{O}_D) = \deg(D)\] 倒数第二个等式由《交换代数》引理 02M0 以及 \(D\) 为仿射这一事实得到。

最后，把以上内容与《代数簇》第 0BEL 节所定义的数值交数联系起来。

引理

设 \(k\) 是域，\(X\) 是 \(k\) 上正常概形，\(Z \subset X\) 是维数为 \(d\) 的闭子概形，并设 \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_d\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。则 \[(\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z) = \deg( c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [Z]_d)\] 其中左端由《代数簇》定义 0BEP 定义。特别地， 若 \(\mathcal{L}\) 是充足可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，则 \[\deg_\mathcal{L}(Z) = \deg(c_1(\mathcal{L})^d \cap [Z]_d)\]

证明

对 \(d\) 归纳。若 \(d = 0\)，结论由《代数簇》引理 0AYT 成立。设 \(d > 0\)。

设 \(Z_i \subset Z\)（\(i = 1, \ldots, t\)）是赋予诱导既约概形结构的 \(d\) 维不可约分支，并设 \(m_i\) 是 \(Z_i\) 在 \(Z\) 中的重数。则 \([Z]_d = \sum m_i[Z_i]\)，且 \(c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [Z]_d\) 是循环 \(m_i c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [Z_i]\) 之和。由《代数簇》引理 0BEN， \((\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z)\) 也有类似分解， 故只须证明 \(Z = X\) 是 \(k\) 上 \(d\) 维正常簇的情形。

由 Chow 引理，存在双有理正常态射 \(f : Y \to X\)，其中 \(Y\) 在 \(k\) 上 H-射影。参见《概形上同调》引理 0200 和注 0201。此时，由《代数簇》引理 0BET 有 \[(f^*\mathcal{L}_1 \cdots f^*\mathcal{L}_d \cdot Y) = (\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot X)\] 并由引理 02SU 有 \[f_*(c_1(f^*\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(f^*\mathcal{L}_d) \cap [Y]) = c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [X]\] 因此可用 \(Y\) 替换 \(X\)，并设 \(X\) 在 \(k\) 上射影。

若 \(X\) 是正常的 \(d\) 维射影簇，则由《除子》引理 0AYM， 可对某些有效 Cartier 除子 \(D, D' \subset X\) 写成 \(\mathcal{L}_1 = \mathcal{O}_X(D) \otimes \mathcal{O}_X(D')^{\otimes -1}\)。 利用等式两端的可加性（《代数簇》引理 0BER 和 引理 02SP），可归约到 \(\mathcal{L}_1 = \mathcal{O}_X(D)\)，其中 \(D\) 是有效 Cartier 除子。 由《代数簇》引理 0BEU，有 \[(\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot X) = (\mathcal{L}_2 \cdots \mathcal{L}_d \cdot D)\] 而由引理 02SQ，有 \[c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [X] = c_1(\mathcal{L}_2) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [D]_{d - 1}\] 归纳假设即给出结论。