代数空间上的平坦性

引言

本章在代数空间的框架下讨论平坦模与平坦态射的一些进阶结果。我们强烈建议读者先阅读概形框架下的对应章节，见《平坦性进阶》第 057N 节。一个参考文献是 Raynaud 与 Gruson 的论文 [GruRay]。

不纯性

本节是《平坦性进阶》第 05IW 节的对应版本。

情形

设 \(S\) 为概形。设 \(f : X \to Y\) 为有限型良态态射¹，它是 \(S\) 上代数空间之间的态射。另设 \(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。最后，设 \(y \in |Y|\) 为 \(Y\) 的一点。

在此情形下，考虑概形 \(T\)、态射 \(g : T \to Y\)、一点 \(t \in T\)（满足 \(g(t)=y\)）、特化 \(t' \leadsto t\)（在 \(T\) 中），以及一点 \(\xi \in |X_T|\)，它位于 \(t'\) 上方。这里 \(X_T = T \times_Y X\)。

图示为 [0CV7]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \xi \ar@{|->}[d] & \\ t' \ar@{~>}[r] & t \ar@{|->}[r] \ar[r] & y } } \quad\quad \vcenter{ \xymatrix{ X_T \ar[d]_{f_T} \ar[r] & X \ar[d]^f \\ T \ar[r]^g & Y } } \end{equation}\] 再用 \(\mathcal{F}_T\) 表示 \(\mathcal{F}\) 在 \(X_T\) 上的拉回。

定义

在情形 0CV6 中，称图 (0CV7) 定义了 \(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方的一个不纯性，如果 \(\xi \in \text{Ass}_{X_T/T}(\mathcal{F}_T)\) 且 \(t \not \in f_T(\overline{\{\xi\}})\)。我们把这表述为：“令 \((g : T \to Y, t' \leadsto t, \xi)\) 为 \(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方的一个不纯性。”

换一种说法：\((g : T \to Y, t' \leadsto t, \xi)\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方的一个不纯性，当且仅当不存在特化 \(\xi \leadsto \theta\)（在拓扑空间 \(|X_T|\) 中）满足 \(f_T(\theta)=t\)。非良态代数空间中的特化表现不佳。如果态射 \(f\) 是良态的，则 \(X_T\) 都是良态代数空间（对上述每个态射 \(g : T \to Y\)）；见《良态空间》定义 03KZ。

引理

在情形 0CV6 中，令

\((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) 为 \(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方的一个不纯性。假设 \(T = \lim_{i \in I} T_i\) 是 \(Y\) 上仿射概形的有向极限。那么对某个 \(i\)，三元组 \((T_i \to Y, t'_i \leadsto t_i, \xi_i)\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方的一个不纯性。

证明

陈述中的记号含义如下。令 \(p_i : T \to T_i\) 为投影态射，令 \(t_i=p_i(t)\) 和 \(t'_i=p_i(t')\)。最后，\(\xi_i \in |X_{T_i}|\) 是 \(\xi\) 的像。由《空间上的除子》引理 0CV2，有 \(\xi_i \in \text{Ass}_{X_{T_i}/T_i}(\mathcal{F}_{T_i})\)。因此只须证明 \(t_i \not \in f_{T_i}(\overline{\{\xi_i\}})\) 对某个 \(i\) 成立。

令 \(Z_i \subset X_{T_i}\) 为 \(\overline{\{\xi_i\}} \subset |X_{T_i}|\) 上的约化诱导概形结构，并令 \(Z \subset X_T\) 为 \(\overline{\{\xi\}} \subset |X_T|\) 上的约化诱导概形结构。于是由《空间的极限》引理 0CUK，有 \(Z=\lim Z_i\)（该引理适用，因为每个 \(X_{T_i}\) 都是良态的）。选取域 \(k\) 及态射 \(\Spec(k) \to T\)，其像为 \(t\)。则 \[\emptyset = Z \times_T \Spec(k) = (\lim Z_i) \times_{(\lim T_i)} \Spec(k) = \lim Z_i \times_{T_i} \Spec(k)\] 因为极限与纤维积交换（即极限彼此交换）。每个 \(Z_i \times_{T_i} \Spec(k)\) 都拟紧，因为 \(X_{T_i} \to T_i\) 有限型，从而 \(Z_i \to T_i\) 有限型。故 \(Z_i \times_{T_i} \Spec(k)\) 对某个 \(i\) 为空；这是由《空间的极限》引理 086W 得出的。由于复合态射 \(\Spec(k) \to T \to T_i\) 的像是 \(t_i\)，这就给出所需结论。

不纯性沿平坦基变换上升。

引理

在情形 0CV6 中，设 \((Y_1,y_1) \to (Y,y)\) 为 \(S\) 上带点代数空间之间的态射。假设 \(Y_1 \to Y\) 在 \(y_1\) 处平坦。如果 \((T \to Y,t' \leadsto t,\xi)\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方的一个不纯性，那么存在一个不纯性 \((T_1 \to Y_1,t_1' \leadsto t_1,\xi_1)\)：它是模 \(\mathcal{F}_1\) 的一个不纯性；这个模是 \(\mathcal{F}\) 在 \(X_1=Y_1\times_YX\) 上的拉回，并且它位于 \(y_1\) 上方；其中 \(T_1\) 在 \(Y_1\times_YT\) 上平展。

证明

选取平展态射 \(T_1 \to Y_1\times_YT\)，其中 \(T_1\) 是概形，并令 \(t_1\in T_1\) 为映到 \(y_1\) 和 \(t\) 的一点。由《空间的性质》引理 03H4，可以找到这样的二元组 \((T_1,t_1)\)。概形态射 \(T_1\to T\) 在 \(t_1\) 处平坦（使用《空间的态射》引理 03MO 以及代数空间平坦态射的定义）。

于是存在特化 \(t'_1\leadsto t_1\)，它位于 \(t'\leadsto t\) 上方；见《态射》引理 03HV。选取一点 \(\xi_1\in |X_{T_1}|\)，它映到 \(t'_1\) 和 \(\xi\)，并且 \(\xi_1\in \text{Ass}_{X_{T_1}/T_1}(\mathcal{F}_{T_1})\)；

它对应于 \(\Spec(\kappa(t'_1)\otimes_{\kappa(t')}\kappa(\xi))\) 的一点。由《空间上的除子》引理 0CV2，这样的选取是可能的。由于闭包 \(Z_1\)（即 \(\{\xi_1\}\) 在 \(|X_{T_1}|\) 中的闭包）映入 \(\{\xi\}\) 在 \(|X_T|\) 中的闭包，可知 \(Z_1\) 在 \(|T_1|\) 中的像不可能包含 \(t_1\)。因此，\((T_1\to Y_1,t'_1\leadsto t_1,\xi_1)\) 是 \(\mathcal{F}_1\) 在

\(Y_1\) 上方的一个不纯性。

引理

在情形 0CV6 中，设 \(\overline{y}\) 为位于 \(y\) 上方的几何点。令 \(\mathcal{O}=\mathcal{O}_{Y,\overline{y}}\) 为 \(Y\) 在 \(\overline{y}\) 处的平展局部环。记 \(Y^{sh}=\Spec(\mathcal{O})\)、\(X^{sh}=X\times_YY^{sh}\)，并以 \(\mathcal{F}^{sh}\) 表示 \(\mathcal{F}\) 在 \(X^{sh}\) 上的拉回。下列条件等价：

存在不纯性 \((Y^{sh}\to Y,y'\leadsto\overline{y},\xi)\)，它是 \(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方的不纯性；

\(\text{Ass}_{X^{sh}/Y^{sh}}(\mathcal{F}^{sh})\) 中的每一点都特化到闭纤维 \(X_{\overline{y}}\) 的一点；

存在不纯性 \((T\to Y,t'\leadsto t,\xi)\)，它是 \(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方的不纯性，并且 \((T,t)\to(Y,y)\) 是平展邻域；

存在不纯性 \((T\to Y,t'\leadsto t,\xi)\)，它是 \(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方的不纯性，并且 \(T\to Y\) 在 \(t\) 处拟有限。

证明

(1) 与 (2) 等价由定义立即可得。

回忆 \(\mathcal{O}=\mathcal{O}_{Y,\overline{y}}\) 是 \(\mathcal{O}(V)\) 的滤过余极限，其中 \((V,\overline{v})\to(Y,\overline{y})\) 遍历所有平展邻域（《空间的性质》引理 04JW）。此外，只须考虑仿射平展邻域 \(V\)。因此 \(Y^{sh}=\Spec(\mathcal{O})=\lim\Spec(\mathcal{O}(V))=\lim V\)。于是由引理 0CV9，(1) 蕴含 (3)。

由于平展态射局部拟有限（《空间的态射》引理 03XU），可知 (3) 蕴含 (4)。

最后，假设 (4) 成立。将 \(T\) 替换为一个包含 \(t\) 的开邻域后，可以假设 \(T\to Y\) 局部拟有限。由引理 0CVA，可找到不纯性 \((T_1\to Y^{sh},t_1'\leadsto t_1,\xi_1)\)，其中 \(T_1\to T\times_YY^{sh}\) 平展。由于平展态射局部拟有限，并使用《空间的态射》引理 03XL 及《态射》引理 01TL，可知 \(T_1\to Y^{sh}\) 局部拟有限。由于 \(\mathcal{O}\) 严格亨泽尔，可以应用《态射详论》引理 02LK；将 \(T_1\) 替换为一个包含 \(t_1\) 的既开又闭邻域后，可以假设 \(T_1\to Y^{sh}=\Spec(\mathcal{O})\) 有限。令 \(\theta\in|X^{sh}|\) 为 \(\xi_1\) 的像，令 \(y'\in\Spec(\mathcal{O})\) 为 \(t_1'\) 的像。由《空间上的除子》引理 0CV2，有 \(\theta\in\text{Ass}_{X^{sh}/Y^{sh}}(\mathcal{F}^{sh})\)。由于 \(\pi:X_{T_1}\to X^{sh}\) 有限，它诱导闭映射 \(|X_{T_1}|\to|X^{sh}|\)。所以 \(\overline{\{\xi_1\}}\) 的像是 \(\overline{\{\theta\}}\)。由此，\((Y^{sh}\to Y,y'\leadsto\overline{y},\theta)\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方的一个不纯性，证明完成。

相对纯模

本节是《平坦性进阶》第 05BB 节的对应版本。

定义

在情形 0CV6 中：

称 \(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方纯，如果引理 0CVB 中的等价条件均不成立。

称 \(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方普遍纯，如果不存在 \(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方的任何不纯性。

称 \(X\) 在 \(y\) 上方纯，如果 \(\mathcal{O}_X\) 在 \(y\) 上方纯。

称 \(\mathcal{F}\) 普遍 \(Y\)-纯，或称它 相对于 \(Y\) 普遍纯，如果 \(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方普遍纯，并且这对每个 \(y \in |Y|\) 均成立。

称 \(\mathcal{F}\) \(Y\)-纯，或称它 相对于 \(Y\) 纯，如果 \(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方纯，并且这对每个 \(y \in |Y|\) 均成立。

称 \(X\) \(Y\)-纯，或称它相对于 \(Y\) 纯，如果 \(\mathcal{O}_X\) 相对于 \(Y\) 纯。

下面给出一些必需的引理。

引理

在情形 0CV6 中，下列条件等价：

\(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方普遍纯；

对带点代数空间的每个态射 \((Y', y') \to (Y, y)\)，拉回 \(\mathcal{F}_{Y'}\) 在 \(y'\) 上方纯。

特别地，\(\mathcal{F}\) 相对于 \(Y\) 普遍纯，当且仅当每个基变换 \(\mathcal{F}_{Y'}\)（由 \(\mathcal{F}\) 得到）都相对于 \(Y'\) 纯。

证明

这是形式上的。

引理

在情形 0CV6 中，设 \((Y', y') \to (Y, y)\) 为带点代数空间之间的态射。如果 \(Y' \to Y\) 在 \(y'\) 处拟有限，并且 \(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方纯，那么 \(\mathcal{F}_{Y'}\) 在 \(y'\) 上方纯。

证明

如果 \((T \to Y', t' \leadsto t, \xi)\) 是 \(\mathcal{F}_{Y'}\) 在 \(y'\) 上方的一个不纯性，且 \(T \to Y'\) 在 \(t\) 处拟有限，那么

\((T \to Y, t' \to t, \xi)\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方的一个不纯性，且 \(T \to Y\) 在 \(t\) 处拟有限；见《空间的态射》引理 03XK。因此，该引理由纯性的定义立即得到。

纯性满足平坦下降。

引理

在情形 0CV6 中，设 \((Y_1, y_1) \to (Y, y)\) 为带点代数空间之间的态射。假设 \(Y_1 \to Y\) 在 \(y_1\) 处平坦。

如果 \(\mathcal{F}_{Y_1}\) 在 \(y_1\) 上方纯，那么 \(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方纯。

如果 \(\mathcal{F}_{Y_1}\) 在 \(y_1\) 上方普遍纯，那么 \(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方普遍纯。

证明

这是因为不纯性沿平坦基变换上升；见引理 0CVA。例如，对 (1)，任取不纯性

\((T \to Y, t' \leadsto t, \xi)\)，它是 \(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方的不纯性，且 \(T \to Y\) 在 \(t\) 处拟有限；上述引理给出不纯性 \((T_1 \to Y_1, t_1' \leadsto t_1, \xi_1)\)，它是模 \(\mathcal{F}_1\) 的一个不纯性；该模是 \(\mathcal{F}\) 在 \(X_1 = Y_1 \times_Y X\) 上的拉回，并且这个不纯性位于 \(y_1\) 上方，其中 \(T_1\) 在 \(Y_1 \times_Y T\) 上平展。所以 \(T_1 \to Y_1\) 在 \(t_1\) 处拟有限，因为平展态射局部拟有限，而局部拟有限态射的复合仍局部拟有限（《空间的态射》引理 03XU 和 03XK）。对 (2) 的论证相同。

引理

在情形 0CV6 中，设 \(i : Z \to X\) 为闭浸入，并假设 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\)，其中 \(\mathcal{G}\) 是 \(Z\) 上某个有限型拟凝聚层。那么 \(\mathcal{G}\) 在 \(y\) 上方（普遍）纯，当且仅当 \(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方（普遍）纯。

证明

这由《空间上的除子》引理 0CV4 得出。

引理

在情形 0CV6 中：

如果 \(\mathcal{F}\) 的支集在 \(Y\) 上固有，那么 \(\mathcal{F}\) 相对于 \(Y\) 普遍纯。

如果 \(f\) 固有，那么 \(\mathcal{F}\) 相对于 \(Y\) 普遍纯。

如果 \(f\) 固有，那么 \(X\) 相对于 \(Y\) 普遍纯。

证明

先把 (1) 归约到 (2)。具体地，令 \(Z \subset X\) 为 \(\mathcal{F}\) 的概形论支集（《空间的态射》定义 07U1）。令 \(i : Z \to X\) 为相应的闭浸入，并写成 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\)，其中存在某个有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模 \(\mathcal{G}\)。在情形 (1) 中，\(Z \to Y\) 由假设是固有的。因此由引理 0CVH，情形 (1) 归约到情形 (2)。

假设 \(f\) 固有。令 \((g : T \to Y, t' \leadsto t, \xi)\) 为 \(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方的一个不纯性。由于 \(f\) 固有，它是普遍闭的。因此 \(f_T : X_T \to T\) 是闭映射。由于 \(f_T(\xi) = t'\)，这蕴含

\(t \in f(\overline{\{\xi\}})\)，矛盾。

有限型平坦模

请与《平坦性进阶》第 05I2、 05IF 和 05U8 节比较。

其中多数结果经平展局部化，立即给出代数空间情形的推论。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \(X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间之间的有限型态射。设 \(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(y \in |Y|\) 为一点。存在平展态射 \((Y', y') \to (Y, y)\)，其中 \(Y'\) 是仿射概形；还存在平展态射 \(h_i : W_i \to X_{Y'}\)，\(i = 1, \ldots, n\)，使得对每个 \(i\)，\(\mathcal{F}_i/W_i/Y'\) 在 \(y'\) 上存在一个完全逐层剥离，其中 \(\mathcal{F}_i\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(W_i\) 上的拉回，并且 \(|(X_{Y'})_{y'}| \subset \bigcup h_i(W_i)\)。

证明

所论问题在 \(Y\) 上是平展局部的，因而可以假设 \(Y\) 是仿射概形。于是 \(X\) 拟紧，所以可以选取仿射概形 \(X'\) 以及满平展态射 \(X' \to X\)。然后把《平坦性进阶》引理 05HU 应用于 \(X' \to Y\)、 \((X' \to Y)^*\mathcal{F}\) 和 \(y\)，即得所需结论。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上局部有限型的代数空间态射。设 \(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。令 \(y \in |Y|\) 且 \(F = f^{-1}(\{y\}) \subset |X|\)。则集合 \[\{x \in F \mid \mathcal{F} \text{ flat over }Y\text{ 在 }x\}\] 在 \(F\) 中开。

证明

选取概形 \(V\)、一点 \(v \in V\) 以及平展态射 \(V \to Y\)，此态射把 \(v\) 映到 \(y\)。再选取概形 \(U\) 以及满平展态射 \(U \to V \times_Y X\)。于是 \(|U_v| \to F\) 是拓扑空间的开连续映射，因为 \(|U| \to |X|\) 连续且开。因此结论由概形情形得到；后者即《平坦性进阶》引理 05M9。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上局部有限型的代数空间态射。设 \(x \in |X|\)，其像为 \(y \in |Y|\)。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上有限型拟凝聚层，设 \(\mathcal{G}\) 为 \(Y\) 上拟凝聚层。如果 \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处关于 \(Y\) 平坦，那么 \[x \in \text{WeakAss}_X(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}) \Leftrightarrow y \in \text{WeakAss}_Y(\mathcal{G}) \text{ 且 } x \in \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F}).\]

证明

选取交换图 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_g & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] 其中 \(U\) 和 \(V\) 是概形，且竖直箭头是满平展态射。选取 \(u \in U\) 映到 \(x\)。令 \(\mathcal{E} = \mathcal{F}|_U\)，并令 \(\mathcal{H} = \mathcal{G}|_V\)。令 \(v \in V\) 为 \(u\) 的像。于是 \(x \in \text{WeakAss}_X(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G})\) 当且仅当

\(u \in \text{WeakAss}_X(\mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_X} g^*\mathcal{H})\)；这是由《空间上的除子》定义 0CTX 得出的。类似地，\(y \in \text{WeakAss}_Y(\mathcal{G})\) 当且仅当 \(v \in \text{WeakAss}_V(\mathcal{H})\)。最后，由《空间上的除子》定义 0CV0， \(x \in \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\) 当且仅当 \(u \in \text{Ass}_{U_v}(\mathcal{E}|_{U_v})\)。注意，\(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处平坦等价于 \(\mathcal{E}\) 在 \(u\) 处平坦；见《空间的态射》定义 05VV。对 \(g : U \to V\)、\(\mathcal{E}\)、\(\mathcal{H}\)、\(u\) 和 \(v\) 的等价性，就是《平坦性进阶》引理 05IH。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上局部有限型的代数空间态射。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上有限型拟凝聚层，并且它在 \(Y\) 上平坦。设 \(\mathcal{G}\) 为 \(Y\) 上拟凝聚层。则 \[\text{WeakAss}_X(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}) = \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F}) \cap |f|^{-1}(\text{WeakAss}_Y(\mathcal{G}))\]

证明

这是引理 0CVK 的直接推论。

定理

设 \(S\) 为概形。设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间之间的态射。设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设

\(X \to Y\) 局部有限表示；

\(\mathcal{F}\) 是有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模；

\(Y\) 的弱伴随点集在 \(Y\) 中局部有限。

那么 \(U = \{x \in |X| : \mathcal{F}\text{ flat at }x\text{ 相对于 }Y\}\) 在 \(X\) 中开，且 \(\mathcal{F}|_U\) 是有限表示 \(\mathcal{O}_U\)-模并在 \(Y\) 上平坦。

证明

条件 (3) 的含义如下：如果 \(V \to Y\) 是满平展态射且 \(V\) 是概形，那么 \(V\) 的弱伴随点集在概形 \(V\) 上局部有限。（回忆，由《空间上的除子》定义 0CTX，\(V\) 的弱伴随点集恰为 \(Y\) 的弱伴随点集的逆像。）说明这一点之后，所论问题在 \(X\) 和 \(Y\) 上都是平展局部的，因而可以假设 \(X\) 和 \(Y\) 是概形。于是结论由《平坦性进阶》定理 05IK 得到。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间之间的态射。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上拟凝聚层。令 \(y \in |Y|\)，并置 \(F = f^{-1}(\{y\}) \subset |X|\)。假设

\(f\) 有限型；

\(\mathcal{F}\) 有限型；

\(\mathcal{F}\) 关于 \(Y\) 平坦，并且这在所有 \(x \in F\) 处均成立。

那么存在平展态射 \((Y', y') \to (Y, y)\)，其中 \(Y'\) 是概形，并且存在代数空间的交换图 \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ Y & \Spec(\mathcal{O}_{Y', y'}) \ar[l] }\] 使得 \(X' \to X \times_Y \Spec(\mathcal{O}_{Y', y'})\) 平展， \(|X'_{y'}| \to F\) 满射，\(X'\) 仿射，并且 \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) 是自由 \(\mathcal{O}_{Y', y'}\)-模。

证明

选取平展态射 \((Y', y') \to (Y, y)\)，其中 \(Y'\) 是仿射概形。于是 \(X \times_Y Y'\) 拟紧。选取仿射概形 \(X'\) 以及满平展态射 \(X' \to X \times_Y Y'\)。

图示为 \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ Y & Y' \ar[l] }\] 于是 \(\mathcal{F}' = g^*\mathcal{F}\) 在 \(Y'\) 上、在 \(X'_{y'}\) 的所有点处平坦；见《空间的态射》引理 05VW。因此可以把概形情形的引理（《平坦性进阶》引理 05L1）应用于态射 \(X' \to Y'\)、拟凝聚层 \(g^*\mathcal{F}\) 和点 \(y'\)。这给出平展态射 \((Y'', y'') \to (Y', y')\) 以及交换图 \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] & X'' \ar[l]^{g'} \ar[d] \\ Y & Y' \ar[l] & \Spec(\mathcal{O}_{Y'', y''}) \ar[l] }\] 为得到所需结论，取 \((Y'', y'') \to (Y, y)\) 以及 \(g \circ g' : X'' \to X\) 即可。

定理

设 \(S\) 为概形。设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上局部有限型的代数空间态射。设 \(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(x \in |X|\)，其像为 \(y \in |Y|\)。置 \(F = f^{-1}(\{y\}) \subset |X|\)。考虑下列条件：

\(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处关于 \(Y\) 平坦；

对每个 \(x' \in F \cap \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\)，如果它特化到 \(x\)，那么 \(\mathcal{F}\) 在 \(x'\) 处关于 \(Y\) 平坦。

总有 (2) \(\Rightarrow\) (1)。如果 \(X\) 和 \(Y\) 良态，那么 (1) \(\Rightarrow\) (2)。

证明

假设 (2)。选取概形 \(V\) 以及满平展态射 \(V \to Y\)。选取概形 \(U\) 以及满平展态射 \(U \to V \times_Y X\)。选取 \(u \in U\) 映到 \(x\)。令 \(v \in V\) 为 \(u\) 的像。我们将由 \(\mathcal{F}|_U = (U \to X)^*\mathcal{F}\)、点 \(u\) 和相应的概形情形推出结论。

\(U_v\)。这是可行的，因为 \(\text{Ass}_{U/V}(\mathcal{F}|_U) \cap |U_v|\) 等于 \(\text{Ass}_{U_v}(\mathcal{F}|_{U_v})\)，也等于 \(F \cap \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\) 的逆像。由于映射 \(|U_v| \to F\) 连续，\(|U_v|\) 中的特化映到 \(F\) 中的特化。因此条件 (2) 由 \(U \to V\)、 \(\mathcal{F}|_U\) 和点 \(u\) 继承。于是《平坦性进阶》定理 05UA 适用，从而 (1) 成立。

如果 \(Y\) 良态，那么点 \(y\) 可以由拟紧单态射 \(\Spec(k) \to Y\) 表示（这由良态空间的定义得到，见《良态空间》定义 03I8）。于是 \(F = |X_k|\)；见《良态空间》引理 0AC8。如果再假设 \(X\) 良态（更一般地，如果 \(f\) 良态；见《良态空间》定义 03KZ 和《良态空间》引理 0ABX），那么 \(X_y\) 也是良态空间。此外，\(F\) 中的特化可以提升为 \(U_v \to X_y\) 中的特化；见《良态空间》引理 03IL。据此，反向蕴含显然成立，因为它在概形情形中成立。

引理

设 \(S\) 为局部概形，闭点为 \(s\)。设 \(f : X \to S\) 为从代数空间 \(X\) 到 \(S\) 的局部有限型态射。设 \(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设

\(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) 中每一点都特化到闭纤维 \(X_s\) 的一点²；

\(\mathcal{F}\) 关于 \(S\) 平坦，并且这在 \(X_s\) 的每一点处都成立。

那么 \(\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上平坦。

证明

由定理 0CWL，只须在 \(\mathcal{F}\) 关于 \(S\) 的相对伴随点处检验平坦性；结论立即得出。

平坦有限表示模

本节是《平坦性进阶》第 05I9 节的对应版本。

命题

设 \(S\) 为概形。设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间之间的态射。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上拟凝聚层。设 \(x \in |X|\)，其像为 \(y \in |Y|\)。假设

\(f\) 局部有限表示；

\(\mathcal{F}\) 有限表示；

\(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处关于 \(Y\) 平坦。

那么存在带点概形的交换图 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (Y, y) & (Y', y') \ar[l] }\] 其水平箭头平展，\(X'\)、\(Y'\) 仿射，并且 \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) 是投射 \(\Gamma(Y', \mathcal{O}_{Y'})\)-模。

证明

按此表述，该命题立即归约到概形情形；后者即《平坦性进阶》命题 05ID。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间之间的态射。设 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 上拟凝聚层。令 \(y \in |Y|\)，并置 \(F = f^{-1}(\{y\}) \subset |X|\)。假设

\(f\) 有限表示；

\(\mathcal{F}\) 有限表示；

\(\mathcal{F}\) 关于 \(Y\) 平坦，并且这在所有 \(x \in F\) 处均成立。

那么存在代数空间的交换图 \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ Y & Y' \ar[l]_h }\] 使得 \(h\) 和 \(g\) 平展，存在一点 \(y' \in |Y'|\) 映到 \(y\)，有 \(F \subset g(|X'|)\)，代数空间 \(X'\)、\(Y'\) 仿射，并且 \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) 是投射 \(\Gamma(Y', \mathcal{O}_{Y'})\)-模。

证明

按此表述，该引理立即归约到概形情形；后者即《平坦性进阶》引理 05KW。

纯性判据

本节是《平坦性进阶》第 05L2 节的对应版本。

引理

设 \(S\) 为概形，设 \(X\) 为 \(S\) 上局部有限型的良态代数空间。设 \(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。

设 \(s \in S\)，并且 \(\mathcal{F}\) 关于 \(S\) 平坦，这一点在 \(X_s\) 的所有点处都成立。设 \(x' \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)。如果 \(\{x'\}\) 在 \(|X|\) 中的闭包与 \(|X_s|\) 相交，那么该闭包与 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F}) \cap |X_s|\) 相交。

证明

注意，\(|X_s| \subset |X|\) 是 \(|X|\) 中位于 \(s \in S\) 上方的点集；见《良态空间》引理 0AC8。令 \(t \in |X_s|\) 为 \(x'\) 在 \(|X|\) 中的一个特化。选取仿射概形 \(U\)、一点 \(u \in U\)，以及平展态射 \(\varphi : U \to X\)；该态射把 \(u\) 映到 \(t\)。由《良态空间》引理 03IL，可以选取特化 \(u' \leadsto u\)，其中 \(u'\) 映到 \(x'\)。置

\(g = f \circ \varphi\)。注意，\(s' = g(u') = f(x')\) 特化到 \(s\)。按 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) 的定义，有 \(u' \in \text{Ass}_{U/S}(\varphi^*\mathcal{F})\)。由该引理的概形版本（《平坦性进阶》引理 05L3），可知存在特化 \(u' \leadsto u\)，且 \(u \in \text{Ass}_{U_s}(\varphi^*\mathcal{F}_s) = \text{Ass}_{U/S}(\varphi^*\mathcal{F}) \cap U_s\)。因此 \(x = \varphi(u) \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) 位于 \(s\) 上方，引理得证。

引理

设 \(Y\) 为概形 \(S\) 上的代数空间。设 \(g : X' \to X\) 为 \(Y\) 上代数空间之间的态射，其中 \(X\) 在 \(Y\) 上局部有限型。设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。如果 \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F}) \subset g(|X'|)\)，那么对任意态射 \(Z \to Y\)，都有 \(\text{Ass}_{X_Z/Z}(\mathcal{F}_Z) \subset g_Z(|X'_Z|)\)。

证明

由《空间的性质》引理 03H4，映射 \(|X'_Z| \to |X_Z| \times_{|X|} |X'|\) 满射，因为 \(X'_Z\) 等于 \(X_Z \times_X X'\)。由《空间上的除子》引理 0CV2，映射 \(|X_Z| \to |X|\) 把 \(\text{Ass}_{X_Z/Z}(\mathcal{F}_Z)\) 映入 \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\)。引理得证。

引理

设 \(Y\) 为概形 \(S\) 上的代数空间。设 \(g : X' \to X\) 为 \(Y\) 上代数空间之间的平展态射。假设结构态射 \(X' \to Y\) 和 \(X \to Y\) 良态且有限型。设 \(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(y \in |Y|\)。置

\(F = f^{-1}(\{y\}) \subset |X|\)。

如果 \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F}) \subset g(|X'|)\)，且 \(g^*\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方（普遍）纯，那么 \(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方（普遍）纯。

如果 \(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方纯，\(g(|X'|)\) 包含 \(F\)，且 \(Y\) 是以 \(y\) 为闭点的仿射局部概形，那么 \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F}) \subset g(|X'|)\)。

如果 \(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方纯，\(\mathcal{F}\) 在 \(F\) 的所有点处平坦，\(g(|X'|)\) 包含 \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F}) \cap F\)，且 \(Y\) 是以 \(y\) 为闭点的仿射局部概形，那么 \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F}) \subset g(|X'|)\)。

此处添加更多内容。

证明

关于 \(X \to Y\) 和 \(X' \to Y\) 的假设保证我们可以把第 0CV5 节和第 0CVC 节的材料应用于这些态射以及层 \(\mathcal{F}\) 和 \(g^*\mathcal{F}\)。由于 \(g\) 平展，可知 \(\text{Ass}_{X'/Y}(g^*\mathcal{F})\) 是 \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\) 的逆像，并且基变换后仍然如此。

证明 (1)。假设 \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F}) \subset g(|X'|)\)。设 \((T \to Y, t' \leadsto t, \xi)\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方的一个不纯性。由引理 0CW2，有 \(\text{Ass}_{X_T/T}(\mathcal{F}_T) \subset g_T(|X'_T|)\)，所以可以选取一点 \(\xi' \in |X'_T|\) 映到 \(\xi\)。由上可知 \((T \to Y, t' \leadsto t, \xi')\) 是 \(g^*\mathcal{F}\) 在

\(y'\) 上方的一个不纯性。这就证明了 (1)。

证明 (2)。这是因为 \(g(|X'|)\) 在 \(|X|\) 中开，并且由纯性， \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\) 中每一点都特化到 \(F\) 的一点。

证明 (3)。这是因为 \(g(|X'|)\) 在 \(|X|\) 中开，并且结合纯性与引理 0CW1， \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\) 中每一点都特化到 \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F}) \cap F\) 的一点。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间之间的态射。设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(y \in |Y|\)。假设

\(f\) 良态且有限型；

\(\mathcal{F}\) 有限型；

\(\mathcal{F}\) 关于 \(Y\) 平坦，并且这在所有位于 \(y\) 上方的点处成立；

\(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方纯。

那么 \(\mathcal{F}\) 在 \(y\) 上方普遍纯。

证明

考虑态射

\(\Spec(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}) \to Y\)。这是一个从严格亨泽尔局部环之谱出发的平坦态射，并把闭点映到 \(y\)。由引理 0CVG，可归约到下一段所述情形。

假设 \(Y\) 是严格亨泽尔局部环 \(R\) 的谱，其闭点为 \(y\)。由引理 0CVW，存在平展态射 \(g : X' \to X\)，使得 \(g(|X'|) \supset |X_y|\)、\(X'\) 仿射，并且 \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) 是自由 \(R\)-模。于是 \(g^*\mathcal{F}\) 相对于 \(Y\) 普遍纯；见《平坦性进阶》引理 05K6。因此，由引理 0CW3 的 (1)，只须证明 \(g(|X'|)\) 包含 \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\)。而这又由引理 0CW3 的 (2) 得出。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间之间的良态有限型态射。设 \(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设 \(\mathcal{F}\) 在 \(Y\) 上平坦。在这种情形下，\(\mathcal{F}\) 相对于 \(Y\) 纯，当且仅当 \(\mathcal{F}\) 相对于 \(Y\) 普遍纯。

证明

这是引理 0CW4 与各定义的直接推论。

引理

设 \(Y\) 为概形 \(S\) 上的代数空间。设 \(g : X' \to X\) 为 \(Y\) 上代数空间之间的平坦态射，其中 \(X\) 在 \(Y\) 上局部有限型。设 \(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，并且它在 \(Y\) 上平坦。如果 \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F}) \subset g(|X'|)\)，那么典范映射 \[\mathcal{F} \longrightarrow g_*g^*\mathcal{F}\] 单射，并且在任意基变换后仍为单射。

证明

最后一个断言的含义是：映射 \(\mathcal{F}_Z \to (g_Z)_*g_Z^*\mathcal{F}_Z\) 对任意态射 \(Z \to Y\) 都单射。由于关于相对伴随点集的假设在基变换下保持（引理 0CW2），只须证明所显示的箭头单射。

令 \(\mathcal{K} = \Ker(\mathcal{F} \to g_*g^*\mathcal{F})\)。目标是证明 \(\mathcal{K} = 0\)。为此，只须证明 \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K}) = \emptyset\)；见《空间上的除子》引理 0CU0。由《空间上的除子》引理 0CTZ，有 \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K}) \subset \text{WeakAss}_X(\mathcal{F})\)。由于 \(\mathcal{F}\) 平坦，引理 0CVL 给出 \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}) \subset \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\)。按假设，任一点 \(x\)（属于 \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\)）都是某个 \(x' \in |X'|\) 的像。由于 \(g\) 平坦，局部环映射 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \to \mathcal{O}_{X', \overline{x}'}\) 忠实平坦，因而映射 \[\mathcal{F}_{\overline{x}} \longrightarrow (g^*\mathcal{F})_{\overline{x}'} = \mathcal{F}_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}} \mathcal{O}_{X', \overline{x}'}\] 单射（见《代数》引理 05CK）。由于所显示的箭头经由 \(\mathcal{F}_{\overline{x}} \to (g_*g^*\mathcal{F})_{\overline{x}}\) 分解，可知 \(\mathcal{K}_{\overline{x}} = 0\)。因此 \(x\) 不可能是 \(\mathcal{K}\) 的弱伴随点，结论得证。

平坦化函子

本节是《平坦性进阶》第 05MG 节的对应版本。我们建议读者初次阅读时跳过本节。

情形

设 \(S\) 为概形。设 \(f : X \to B\) 为 \(S\) 上代数空间之间的态射。设 \(u : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模之间的同态。对任意概形 \(T\)（在 \(B\) 上），以 \(u_T : \mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T\) 表示 \(u\) 到 \(T\) 的基变换；换言之，\(u_T\) 是 \(u\) 经投影态射 \(X_T = X \times_B T \to X\) 的拉回。在此情形下，可以考虑函子 [083G]\[\begin{equation} F_{iso} : (\Sch/B)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad T \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{如果 }u_T\text{ 是同构}, \\ \emptyset & \text{否则。} \end{matrix} \right. \end{equation}\] 还有变体 \(F_{inj}\)、\(F_{surj}\)、\(F_{zero}\)，其中分别要求 \(u_T\) 为单射、满射或零映射。

在情形 083F 中，有时把函子 \(F_{iso}\)、\(F_{inj}\)、\(F_{surj}\) 和 \(F_{zero}\) 看作从 \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\) 的函子，并分别带有态射 \(F_{iso} \to B\)、\(F_{inj} \to B\)、\(F_{surj} \to B\) 和 \(F_{zero} \to B\)。具体地，如果 \(T\) 是 \(S\) 上概形，那么元素 \(h \in F_{iso}(T)\) 是态射 \(h : T \to B\)，使得 \(u\) 经 \(h\) 的基变换是同构。特别地，当我们说 \(F_{iso}\) 是代数空间时，是指相应函子 \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\) 是代数空间。

引理

在情形 083F 中，函子 \(F_{iso}\)、\(F_{inj}\)、\(F_{surj}\)、\(F_{zero}\) 中的每一个都满足 fpqc 拓扑的层性质。

证明

设 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 为 \(B\) 上概形的 fpqc 覆盖。置

\(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\) 及 \(u_i = u_{T_i}\)。注意，\(\{X_i \to X_T\}_{i \in I}\) 是 \(X_T\) 的 fpqc 覆盖；见《空间上的拓扑》引理 03MR。特别地，对每个 \(x \in |X_T|\)，存在 \(i \in I\) 以及 \(x_i \in |X_i|\) 映到 \(x\)。由于

\(\mathcal{O}_{X_T, \overline{x}} \to \mathcal{O}_{X_i, \overline{x_i}}\) 平坦，因而忠实平坦（见《空间的态射》第 03MK 节），可知 \((u_i)_{x_i}\) 为单射、满射、双射或零映射，当且仅当 \((u_T)_x\) 相应地为单射、满射、双射或零映射。引理得证。

引理

在情形 083F 中，设 \(X' \to X\) 为代数空间的平坦态射。以 \(u' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\) 表示 \(u\) 到 \(X'\) 的拉回。以 \(F'_{iso}\)、\(F'_{inj}\)、\(F'_{surj}\)、\(F'_{zero}\) 表示 \(\Sch/B\) 上由 \(u'\) 得到的函子。

如果 \(\mathcal{G}\) 有限型，且 \(|X'| \to |X|\) 的像包含 \(\mathcal{G}\) 的支集，那么 \(F_{surj} = F'_{surj}\) 且 \(F_{zero} = F'_{zero}\)。

如果 \(\mathcal{F}\) 有限型，且 \(|X'| \to |X|\) 的像包含 \(\mathcal{F}\) 的支集，那么 \(F_{inj} = F'_{inj}\) 且 \(F_{zero} = F'_{zero}\)。

如果 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 都有限型，且 \(|X'| \to |X|\) 的像包含 \(\mathcal{F}\) 与 \(\mathcal{G}\) 的支集，那么 \(F_{iso} = F'_{iso}\)。

证明

设 \(v : \mathcal{H} \to \mathcal{E}\) 为代数空间 \(Y\) 上拟凝聚模之间的映射，设 \(\varphi : Y' \to Y\) 为代数空间的满平坦态射。那么 \(v\) 为同构、单射、满射或零映射，当且仅当 \(\varphi^*v\) 相应地为同构、单射、满射或零映射。确实，对每个 \(y \in |Y|\)，存在 \(y' \in |Y'|\)，并且局部环映射 \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \to \mathcal{O}_{Y', \overline{y'}}\) 忠实平坦（见《空间的态射》第 03MK 节）。当然，检验单射性或零性时，只须考察 \(\mathcal{H}\) 的支集中的点；检验满射性时，只须考察 \(\mathcal{E}\) 的支集中的点。此外，在引理陈述中的有限型假设下，取支集与基变换交换；见《空间的态射》引理 07TZ。因此引理成立。

回忆，我们已在《空间的态射》定义 07U1 中定义了有限型拟凝聚模的概形论支集。

引理

在情形 083F 中：

如果 \(\mathcal{G}\) 有限型，且 \(\mathcal{G}\) 的概形论支集在 \(B\) 上拟紧，那么 \(F_{surj}\) 保极限。

如果 \(\mathcal{F}\) 有限型，且 \(\mathcal{F}\) 的概形论支集在 \(B\) 上拟紧，那么 \(F_{zero}\) 保极限。

如果 \(\mathcal{F}\) 有限型、\(\mathcal{G}\) 有限表示，且 \(\mathcal{F}\) 与 \(\mathcal{G}\) 的概形论支集在 \(B\) 上拟紧，那么 \(F_{iso}\) 保极限。

证明

证明 (1)。令 \(i : Z \to X\) 为 \(\mathcal{G}\) 的概形论支集，并把 \(\mathcal{G}\) 看作 \(Z\) 上有限型拟凝聚模。可以把 \(X\) 替换为 \(Z\)，并把 \(u\) 替换为映射 \(i^*\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) （略去细节）。因此可以假设 \(f\) 拟紧且 \(\mathcal{G}\) 有限型。设 \(T = \lim_{i \in I} T_i\) 为仿射 \(B\)-概形的有向极限，并假设 \(u_T\) 满射。置

\(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\) 以及 \(u_i = u_{T_i} : \mathcal{F}_i = \mathcal{F}_{T_i} \to \mathcal{G}_i = \mathcal{G}_{T_i}\)。为证明 (1)，须说明 \(u_i\) 对某个 \(i\) 满射。选取 \(0 \in I\)，并把 \(I\) 替换为 \(\{i \mid i \geq 0\}\)。由于 \(f\) 拟紧，\(X_0\) 拟紧。因此可以选取满平展态射 \(\varphi_0 : W_0 \to X_0\)，其中 \(W_0\) 为仿射概形。置 \(W = W_0 \times_{T_0} T\)，并置 \(W_i = W_0 \times_{T_0} T_i\)（\(i \geq 0\)）。这些都是仿射概形，

并带有满平展态射 \(\varphi : W \to X_T\) 和 \(\varphi_i : W_i \to X_i\)。注意 \(W = \lim W_i\)。于是 \(\varphi^*u_T\) 满射，而只须证明 \(\varphi_i^*u_i\) 对某个 \(i\) 满射。这样便归约到仿射情形，即《代数》引理 05LI 的 (2)。

证明 (2)。假设 \(\mathcal{F}\) 有限型，并且其概形论支集

\(Z \subset B\) 在 \(B\) 上拟紧。设 \(T = \lim_{i \in I} T_i\) 为仿射 \(B\)-概形的有向极限，并假设 \(u_T\) 为零映射。置 \(X_i = T_i \times_B X\)，并以 \(u_i : \mathcal{F}_i \to \mathcal{G}_i\) 表示拉回。选取 \(0 \in I\)，并把 \(I\) 替换为 \(\{i \mid i \geq 0\}\)。置 \(Z_0 = Z \times_X X_0\)。由《空间的态射》引理 07TZ，

\(\mathcal{F}_i\) 的支集是 \(|Z_0|\)。由于 \(|Z_0|\) 拟紧，可以找到仿射概形 \(W_0\) 及平展态射 \(W_0 \to X_0\)，使得 \(|Z_0| \subset \Im(|W_0| \to |X_0|)\)。置 \(W = W_0 \times_{T_0} T\)，并置 \(W_i = W_0 \times_{T_0} T_i\)（\(i \geq 0\)）。这些是带有平展态射 \(\varphi : W \to X_T\) 和 \(\varphi_i : W_i \to X_i\) 的仿射概形。注意 \(W = \lim W_i\)，并且 \(\mathcal{F}_T\) 与 \(\mathcal{F}_i\) 的支集分别包含在 \(|W| \to |X_T|\) 与 \(|W_i| \to |X_i|\) 的像中。

现在 \(\varphi^*u_T\) 单射，而只须证明 \(\varphi_i^*u_i\) 对某个 \(i\) 单射。这样便归约到仿射情形，即《代数》引理 05LI 的 (1)。

证明 (3)。可以完全类似于前两段，使用《代数》引理 05LI 的 (3) 来证明。也可以如下由 (1) 和 (2) 推出。设 \(T = \lim_{i \in I} T_i\) 为仿射 \(B\)-概形的有向极限，并假设 \(u_T\) 是同构。由 (1)，存在 \(0 \in I\)，使得 \(u_{T_0}\) 满射。置 \(\mathcal{K} = \Ker(u_{T_0})\)，并考虑拟凝聚模的映射 \(v : \mathcal{K} \to \mathcal{F}_{T_0}\)。对 \(i \geq 0\)，基变换 \(v_{T_i}\) 为零映射，当且仅当 \(u_i\) 是同构。此外， \(v_T\) 为零映射。由于 \(\mathcal{G}_{T_0}\) 有限表示、 \(\mathcal{F}_{T_0}\) 有限型且 \(u_{T_0}\) 满射，可知 \(\mathcal{K}\) 有限型（《位形上的模》引理 082T）。显然，\(\mathcal{K}\) 的支集包含在 \(\mathcal{F}_{T_0}\) 的支集中，而后者在 \(T_0\) 上拟紧。因此可以应用 (2)，得 \(v_{T_i}\) 对某个 \(i\) 为零映射。

引理

在情形 083F 中，假设给定正合列 \[\mathcal{F} \xrightarrow{u} \mathcal{G} \xrightarrow{v} \mathcal{H} \to 0\] 那么按显然的记号，有 \(F_{v, iso} = F_{u, zero}\)。

证明

由于拉回右正合，可见 \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T \to \mathcal{H}_T \to 0\) 对每个概形 \(T\)（在 \(B\) 上）正合。因此

\(u_T\) 满射，当且仅当 \(v_T\) 是同构。

引理

在情形 083F 中，假设给定仿射态射 \(i : Z \to X\) 以及拟凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模 \(\mathcal{H}\)，使得 \(\mathcal{G} = i_*\mathcal{H}\)。设 \(v : i^*\mathcal{F} \to \mathcal{H}\) 为与 \(u\) 伴随的映射。那么

\(F_{v, zero} = F_{u, zero}\)；

如果 \(i\) 是闭浸入，那么 \(F_{v, surj} = F_{u, surj}\)。

证明

设 \(T\) 为 \(B\) 上概形。以 \(i_T : Z_T \to X_T\) 表示 \(i\) 的基变换，以 \(\mathcal{H}_T\) 表示 \(\mathcal{H}\) 到 \(Z_T\) 的拉回。注意 \((i^*\mathcal{F})_T = i_T^*\mathcal{F}_T\) 且 \(i_{T, *}\mathcal{H}_T = (i_*\mathcal{H})_T\)。第一条等式来自拉回的交换性，第二条来自《空间的上同调》引理 07U8。因此 \(u_T\) 与 \(v_T\) 仍是伴随映射。故 \(u_T = 0\) 当且仅当 \(v_T = 0\)，这证明了 (1)。在情形 (2) 中，\(u_T\) 满射当且仅当 \(v_T\) 满射，因为 \(u_T\) 分解为 \[\mathcal{F}_T \to i_{T, *}i_T^*\mathcal{F}_T \xrightarrow{i_{T, *}v_T} i_{T, *}\mathcal{H}_T\] 并且 \(i_{T, *}\) 是正合函子，把 \(Z_T\) 上拟凝聚模范畴完全忠实地嵌入拟凝聚 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-模范畴。见《空间的态射》引理 04CJ。

引理

在情形 083F 中，假设给定仿射态射 \(g : X \to X'\)。置

\(u' = f_*u : f_*\mathcal{F} \to f_*\mathcal{G}\)。那么 \(F_{u, iso} = F_{u', iso}\)、\(F_{u, inj} = F_{u', inj}\)、 \(F_{u, surj} = F_{u', surj}\) 且 \(F_{u, zero} = F_{u', zero}\)。

证明

由《空间的上同调》引理 07U8，有 \(g_{T, *}u_T = u'_T\)。此外，

\(g_{T, *} : \QCoh(\mathcal{O}_{X_T}) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\) 是忠实正合函子，并且反映同构、单射和满射。

情形

设 \(S\) 为概形。设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间之间的态射。设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。对任意概形 \(T\)（在 \(Y\) 上），以 \(\mathcal{F}_T\) 表示 \(\mathcal{F}\) 到 \(T\) 的基变换；换言之，\(\mathcal{F}_T\) 是 \(\mathcal{F}\) 经投影态射 \(X_T = X \times_Y T \to X\) 的拉回。由于平坦模的基变换仍平坦，得到函子 [0CWY]\[\begin{equation} F_{flat} : (\Sch/Y)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad T \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{如果 } \mathcal{F}_T \text{ 平坦于 }T, \\ \emptyset & \text{否则。} \end{matrix} \right. \end{equation}\]

在情形 0CWX 中，有时把 \(F_{flat}\) 看作函子 \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\)，并赋有态射 \(F_{flat} \to Y\)。具体地，如果 \(T\) 是 \(S\) 上概形，那么元素 \(h \in F_{flat}(T)\) 是态射 \(h : T \to Y\)，使得 \(\mathcal{F}\) 经 \(h\) 的基变换在 \(T\) 上平坦。特别地，当我们说 \(F_{flat}\) 是代数空间时，是指相应函子 \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\) 是代数空间。

引理

在情形 0CWX 中：

函子 \(F_{flat}\) 满足 fpqc 拓扑的层性质。

如果 \(f\) 拟紧且局部有限表示，并且 \(\mathcal{F}\) 有限表示，那么函子 \(F_{flat}\) 保极限。

证明

(1) 由下述事实得到：如果 \(T' \to T\) 是 \(Y\) 上代数空间的满平坦态射，那么 \(\mathcal{F}_{T'}\) 在 \(T'\) 上平坦，当且仅当 \(\mathcal{F}_T\) 在 \(T\) 上平坦；见《空间的态射》引理 05VW。如果 \(f\) 还拟分离（即 \(f\) 有限表示），则 (2) 由《空间的极限》引理 08K0 得出。一般情形下，先归约到基仿射的情形，再用有限多个仿射开覆盖 \(X\)，归约到拟分离情形。略去细节。

使映射为零

本节在关于概形的对应章节中没有类似内容。

情形

设 \(S = \Spec(R)\) 为仿射概形。设 \(X\) 为 \(S\) 上代数空间。设 \(u : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模之间的映射。

假设 \(\mathcal{G}\) 在 \(S\) 上平坦。

引理

在情形 0CWA 中，设 \(T \to S\) 为概形的拟紧态射，并且基变换 \(u_T\) 为零映射。

那么存在闭子概形 \(Z \subset S\)，使得 (a) \(T \to S\) 分解经过 \(Z\)，且 (b) 基变换 \(u_Z\) 为零映射。如果 \(\mathcal{F}\) 是有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模，且 \(\mathcal{F}\) 的概形论支集拟紧，那么可以取 \(Z \to S\) 为有限表示。

证明

设 \(U \to X\) 为代数空间的满平展态射，其中 \(U = \coprod U_i\) 是仿射概形的不交并（见《空间的性质》引理 03FX）。由引理 083I，可以把 \(X\) 替换为 \(U\)。换言之，可以假设 \(X = \coprod X_i\) 是仿射概形 \(X_i\) 的不交并。假设对 \(u_i = u|_{X_i}\) 可以证明本引理。于是得到闭子概形 \(Z_i \subset S\)，使得 \(T \to S\) 分解经过 \(Z_i\)，并且 \(u_{i, Z_i}\) 为零映射。如果 \(Z_i = \Spec(R/I_i) \subset \Spec(R) = S\)，那么取 \(Z = \Spec(R/\sum I_i)\) 即可。因此可以假设 \(X = \Spec(A)\) 为仿射概形。

选取有限仿射开覆盖 \(T = T_1 \cup \ldots \cup T_m\)。显然，可以把 \(T\) 替换为 \(\coprod_{j = 1, \ldots, m} T_j\)。因此可以假设 \(T\) 仿射，记 \(T = \Spec(R')\)。

设 \(u : M \to N\) 为 \(A\)-模同态，它对应于 \(u : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)。于是 \(N\) 是平坦 \(R\)-模，因为 \(\mathcal{G}\) 在 \(S\) 上平坦。引理的假设意味着映射 \[M \otimes_R R' \to N \otimes_R R'\] 为零。设 \(z \in M\)。由 Lazard 定理（《代数》定理 058G）以及 \(\otimes\) 与余极限交换这一事实，可以找到自由 \(R\)-模 \(F_z\)、元素 \(\tilde z \in F_z\) 以及映射 \(F_z \to N\)，使得 \(u(z)\) 是 \(\tilde z\) 的像，并且 \(\tilde z\) 在 \(F_z \otimes_R R'\) 中的像为零。选取一组基 \(\{e_{z, \alpha}\}\) 作为 \(F_z\) 的基，并写成 \(\tilde z = \sum f_{z, \alpha} e_{z, \alpha}\)，其中 \(f_{z, \alpha} \in R\)。令 \(I \subset R\) 为由元素 \(f_{z, \alpha}\) 生成的理想，其中 \(z\) 遍历 \(M\) 的所有元素。由构造，\(I\) 在 \(R'\) 中的像为零，而各元素 \(\tilde z\) 在 \(F_z/IF_z\) 中、从而在 \(N/IN\) 中的像为零。因此在这种情形下， \(Z = \Spec(R/I)\) 是所求解答。

假设 \(\mathcal{F}\) 有限型，并且其概形论支集拟紧。写 \(Z = \Spec(R/I)\)。把 \(I = \bigcup I_\lambda\) 写成有限生成理想的滤过并。置 \(Z_\lambda = \Spec(R/I_\lambda)\)，于是

\(Z = \colim Z_\lambda\)。由于 \(u_Z\) 为零映射，由引理 083J 可知，\(u_{Z_\lambda}\) 对某个 \(\lambda\) 为零映射。这就完成了引理的证明。

引理

设 \(A\) 为环，设 \(u : M \to N\) 为 \(A\)-模之间的映射。如果 \(N\) 作为 \(A\)-模是投射的，那么存在理想 \(I \subset A\)，使得对任意环同态 \(\varphi : A \to B\)，下列条件等价：

\(u \otimes 1 : M \otimes_A B \to N \otimes_A B\) 为零映射；

\(\varphi(I) = 0\)。

证明

由于 \(N\) 投射，可以找到投射 \(A\)-模 \(C\)，使得

\(F = N \oplus C\) 是自由 \(R\)-模。把 \(u\) 替换为

\(u \oplus 1 : F = M \oplus C \to N \oplus C\)，可知可以假设 \(N\) 自由。在此情形下，令 \(I\) 为 \(A\) 的理想：它由 \(\Im(u)\) 中所有元素相对于 \(N\) 的某组（固定）基的系数生成。

引理

在情形 0CWA 中，设 \(T \subset S\) 为子集，设 \(s \in S\) 位于 \(T\) 的闭包中。对 \(t \in T\)，令 \(u_t\) 为 \(u\) 在 \(X_t\) 上的拉回，并令 \(u_s\) 为 \(u\) 在 \(X_s\) 上的拉回。如果 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限表示、\(\mathcal{G}\) 有限表示³，并且都有 \(u_t = 0\)（对所有 \(t \in T\)），那么 \(u_s = 0\)。

证明

检验 \(u_s\) 是否为零在纤维 \(X_s\) 上是平展局部的。因此可以选取一点 \(x \in |X_s| \subset |X|\)，并在一个平展邻域中检验。选取 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] 如命题 0CVY 中所示。令 \(T' \subset S'\) 为 \(T\) 的逆像。注意，\(s'\) 位于 \(T'\) 的闭包中，因为 \(S' \to S\) 是开映射。因此归约到下一段所述的代数问题。

有一个 \(R\)-模映射 \(u : M \to N\)，其中 \(N\) 作为 \(R\)-模投射，并且映射 \(u_t : M \otimes_R \kappa(t) \to N \otimes_R \kappa(t)\) 对每个 \(t \in T\) 都为零。问题是证明 \(u_s = 0\)。令 \(I \subset R\) 为引理 083L 中定义的理想。那么 \(I\) 在 \(\kappa(t)\) 中的像对所有 \(t \in T\) 都为零。因此 \(T \subset V(I)\)。由于 \(s\) 位于 \(T\) 的闭包中，可知 \(s \in V(I)\)，故 \(u_s = 0\)。

若能为引理 0CWC 或引理 083M 找到一个“简单”的直接证明，并使用引理 083K 和 0CWB 中所用的论证，将会很有意思。当 \(f : X \to B\) 是投射态射且 \(B\) 是诺特概形时，此引理的一个“经典”证明如下：(a) 选取相对丰沛可逆层 \(\mathcal{O}_X(1)\)；(b) 置 \(u_n : f_*\mathcal{F}(n) \to f_*\mathcal{G}(n)\)； (c) 注意，\(f_*\mathcal{G}(n)\) 对所有 \(n \gg 0\) 都是有限局部自由层； (d) \(F_{zero}\) 由 \(u_n\) 的零化轨迹表示，其中某个 \(n \gg 0\)。

引理

在情形 083F 中，假设：

\(f\) 有限表示；

\(\mathcal{G}\) 有限表示、在 \(B\) 上平坦且相对于 \(B\) 纯。

那么 \(F_{zero}\) 是代数空间，并且 \(F_{zero} \to B\) 是闭浸入。如果 \(\mathcal{F}\) 有限型，那么 \(F_{zero} \to B\) 有限表示。

证明

由引理 0CW5，模 \(\mathcal{G}\) 相对于 \(B\) 普遍纯。为证明 \(F_{zero}\) 是代数空间，只须说明 \(F_{zero} \to B\) 可表；见《空间》引理 02WY。设 \(B' \to B\) 为态射，其中 \(B'\) 是概形；设 \(u' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\) 为 \(u\) 在 \(X' = X_{B'}\) 上的拉回。那么相应函子 \(F'_{zero}\) 等于 \(F_{zero} \times_B B'\)。这把问题归约到 \(B\) 是概形的情形。

假设 \(B\) 是概形。我们将说明 \(F_{zero}\) 可由 \(B\) 的闭子概形表示。由引理 083H 以及《下降》引理 03I0 和 02W5，这个问题对于 \(B\) 上的平展拓扑是局部的。设 \(b \in B\)。先把 \(B\) 替换为 \(b\) 的一个仿射邻域。选取图表 \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ B & B' \ar[l] }\] 以及 \(b' \in B'\)，它映到 \(b \in B\)，如引理 0CVZ 中所示。由于我们在平展局部工作，可以把 \(B\) 替换为 \(B'\)，并假设有图表 \[\xymatrix{ X \ar[rd] & & X' \ar[ll]^g \ar[ld] \\ & B }\] 其中 \(B\) 和 \(X'\) 都仿射，\(\Gamma(X', g^*\mathcal{G})\) 是投射 \(\Gamma(B, \mathcal{O}_B)\)-模，并且 \(g(|X'|) \supset |X_b|\)。令 \(U \subset X\) 为满足 \(|U| = g(|X'|)\) 的开子空间。由《空间上的除子》引理 0CVV，集合 \[E = \{t \in B : \text{Ass}_{X_t}(\mathcal{G}_t) \subset |U_t|\} = \{t \in B : \text{Ass}_{X/B}(\mathcal{G}) \cap |X_t| \subset |U_t|\}\] 在 \(B\) 中可构。由引理 0CW3 的 (2)，可知 \(E\) 包含 \(\Spec(\mathcal{O}_{B, b})\)。再由《态射》引理 05LW，可知 \(E\) 包含 \(b\) 的一个开邻域。因此把 \(B\) 替换为 \(b\) 的一个更小仿射邻域后，可以假设 \(\text{Ass}_{X/B}(\mathcal{G}) \subset g(|X'|)\)。

由引理 0CW6 可知，

\(u : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 单射，当且仅当 \(g^*u : g^*\mathcal{F} \to g^*\mathcal{G}\) 单射；而且任意基变换后仍然如此。因此已归约到如下情形：除了

定理中的假设外，\(X \to B\) 还是仿射概形之间的态射，并且 \(\Gamma(X, \mathcal{G})\) 是投射 \(\Gamma(B, \mathcal{O}_B)\)-模。此情形立即由引理 083L 得出。

还须说明：\(F_{zero} \to B\) 在 \(\mathcal{F}\) 有限型时有限表示。这由引理 083J 与《空间的极限》命题 04AK 合并得出。

引理

在情形 083F 中，假设：

\(f\) 局部有限表示；

\(\mathcal{G}\) 是有限表示的 \(\mathcal{O}_X\)-模，并且在 \(B\) 上平坦；

\(\mathcal{G}\) 的支集在 \(B\) 上是固有的。

那么函子 \(F_{zero}\) 是代数空间，并且 \(F_{zero} \to B\) 是闭浸入。如果 \(\mathcal{F}\) 有限型，那么 \(F_{zero} \to B\) 有限表示。

证明

如果 \(f\) 有限表示，那么结论立即由引理 0CWC 和 0CVI 得出。这是唯一有意义的情形；我们建议读者跳过证明的其余部分。其余部分处理如下可能性（本引理的假设允许这一可能性）：\(f\) 不拟分离或不拟紧。

设 \(i : Z \to X\) 为由 \(\mathcal{G}\) 的第零 Fitting 理想截出的闭子空间（《空间上的除子》第 0CZ3 节）。由假设，\(Z \to B\) 是固有的（见《空间的导出范畴》第 0CZB 节）。另一方面，\(i\) 有限表示（《空间上的除子》引理 0CZ5 以及《空间的态射》引理 084Q）。存在有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模 \(\mathcal{H}\)，使得 \(i_*\mathcal{H} = \mathcal{G}\)（《空间上的除子》引理 0CZ6）。事实上，由《代数》引理 0561， \(\mathcal{H}\) 作为 \(\mathcal{O}_Z\)-模有限表示（略去细节）。于是 \(F_{zero}\) 与函子 \(F_{zero}\) 相同；后一个函子对应于映射 \(i^*\mathcal{F} \to \mathcal{H}\)，该映射与 \(u\) 伴随。见引理 0CW7。层 \(\mathcal{H}\) 相对于 \(B\) 平坦，因为 \(\mathcal{G}\) 具有同一性质（在茎上检验；略去细节）。此外，注意，如果 \(\mathcal{F}\) 有限型，那么 \(i^*\mathcal{F}\) 有限型。因此已把本引理归约到证明第一段讨论的情形。

映射的平坦化

本节是《平坦性进阶》第 05PC 节的对应版本。特别地，下述结果是《平坦性进阶》定理 05PF 的一个变体。

定理

在情形 083F 中，假设：

\(f\) 有限表示；

\(\mathcal{F}\) 有限表示、在 \(B\) 上平坦且相对于 \(B\) 纯；

\(u\) 满射。

那么 \(F_{iso}\) 可由闭浸入 \(Z \to B\) 表示。此外，

\(Z \to S\) 在 \(\mathcal{G}\) 有限表示时有限表示。

证明

令 \(\mathcal{K} = \Ker(u)\)，并以 \(v : \mathcal{K} \to \mathcal{F}\) 表示包含映射。由引理 0CVM，有 \(F_{u, iso} = F_{v, zero}\)。把引理 0CWC 应用于 \(v\)，可知 \(F_{u, iso} = F_{v, zero}\) 可由 \(B\) 的闭子空间表示。注意， \(\mathcal{K}\) 在 \(\mathcal{G}\) 有限表示时有限型；见《位形上的模》引理 082T。

因此也得到引理的最后一个断言。

引理

在情形 083F 中，假设：

\(f\) 局部有限表示；

\(\mathcal{F}\) 局部有限表示且在 \(B\) 上平坦；

\(\mathcal{F}\) 的支集在 \(B\) 上固有；

\(u\) 满射。

那么函子 \(F_{iso}\) 是代数空间，并且 \(F_{iso} \to B\) 是闭浸入。如果 \(\mathcal{G}\) 有限表示，那么 \(F_{iso} \to B\) 有限表示。

证明

令 \(\mathcal{K} = \Ker(u)\)，并以 \(v : \mathcal{K} \to \mathcal{F}\) 表示包含映射。由引理 0CVM，有 \(F_{u, iso} = F_{v, zero}\)。把引理 083M 应用于 \(v\)，可知 \(F_{u, iso} = F_{v, zero}\) 可由 \(B\) 的闭子空间表示。注意， \(\mathcal{K}\) 在 \(\mathcal{G}\) 有限表示时有限型；见《位形上的模》引理 082T。因此也得到引理的最后一个断言。

讨论 Quot 函子时，我们将使用下述（容易的）结果。

引理

在情形 083F 中，假设：

\(f\) 局部有限表示；

\(\mathcal{G}\) 有限型；

\(\mathcal{G}\) 的支集在 \(B\) 上固有。

那么 \(F_{surj}\) 是代数空间，并且 \(F_{surj} \to B\) 是开浸入。

证明

考虑 \(\Coker(u)\)。注意，\(\Coker(u_T) = \Coker(u)_T\) 对任意 \(T/B\) 成立。有限型拟凝聚模的支集的形成与拉回交换（《空间的态射》引理 07TY）。因此 \(F_{surj}\) 可由 \(B\) 的如下开子空间表示：它对应于开集 \[|B| \setminus |f|(\text{Supp}(\Coker(u)))\] 见《空间的性质》引理 03BZ。

这是开集，因为 \(|f|\) 在 \(\text{Supp}(\mathcal{G})\) 上是闭映射，而 \(\text{Supp}(\Coker(u))\) 是 \(\text{Supp}(\mathcal{G})\) 的闭子集。

局部情形下的平坦化

本节是《平坦性进阶》第 05MZ 节的对应版本。

引理

设 \(S\) 是亨泽尔局部环的谱，其闭点为 \(s\)。设 \(X \to S\) 为局部有限型的代数空间态射。设 \(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(E \subset |X_s|\) 为子集。存在闭子概形 \(Z \subset S\)，具有下述性质：对任意带点概形的态射 \((T, t) \to (S, s)\)，下列条件等价：

\(\mathcal{F}_T\) 在 \(T\) 上平坦，所指的是在 \(|X_t|\) 中所有映到 \(E \subset |X_s|\) 中一点的点处平坦；

\(\Spec(\mathcal{O}_{T, t}) \to S\) 分解经过 \(Z\)。

此外，如果 \(X \to S\) 局部有限表示、\(\mathcal{F}\) 有限表示，并且 \(E \subset |X_s|\) 闭且拟紧，那么 \(Z \to S\) 有限表示。

证明

选取概形 \(U\) 和平展态射 \(\varphi : U \to X\)。令 \(E' \subset |U_s|\) 为 \(E\) 的逆像。如果 \(E' \to E\) 满射，那么条件 (1) 等价于：\((\varphi^*\mathcal{F})_T\) 在 \(T\) 上平坦，所指的是在 \(|U_t|\) 中所有映到

\(E' \subset |U_t|\) 中一点的点处平坦。选取 \(\varphi\) 为满射，

我们便归约到概形的情形，即《平坦性进阶》引理 05PI。如果 \(E\) 闭且拟紧，那么可以选取 \(U\) 仿射，使得 \(E' \to E\) 满射。此时 \(E'\) 闭且拟紧，最后一个断言由《平坦性进阶》引理 05PI 的最后一个断言得出。

普遍平坦化

本节是《平坦性进阶》第 05PS 节的对应版本。我们的主要目标是证明引理 0CX2。不过，我们没有看到直接从概形的对应结果推出这一结果的方法，因此必须在这里重新建立部分材料。但先给出一个定义。

定义

设 \(S\) 为概形。设 \(X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间之间的态射。设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。我们称 \(\mathcal{F}\) 的普遍平坦化存在，如果情形 0CWX 中定义的函子 \(F_{flat}\) 是代数空间。我们称\(X\) 的普遍平坦化存在，如果 \(\mathcal{O}_X\) 的普遍平坦化存在。

这有些不令人满意，因为我们不知道代数空间的每个单态射是否可表（《空间的态射进阶》第 0B89 节），所以此处的普遍平坦化定义与概形情形所用的定义并不一致。希望这永远不会引起混淆。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \(f : X \to Y\) 为局部有限型的代数空间态射。设 \(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，设 \(n \geq 0\)。下列条件等价：

对某个交换图 \[\xymatrix{ U \ar[d]_\varphi \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 其竖直箭头满且平展，\(U\) 和 \(V\) 为概形，并且层 \(\varphi^*\mathcal{F}\) 在 \(V\) 上于维数 \(\geq n\) 处平坦（《平坦性进阶》定义 0CWG）；

对每个交换图 \[\xymatrix{ U \ar[d]_\varphi \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 其竖直箭头平展，\(U\) 和 \(V\) 为概形，并且层 \(\varphi^*\mathcal{F}\) 在 \(V\) 上于维数 \(\geq n\) 处平坦；

对任意 \(x \in |X|\)，若 \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处不在 \(Y\) 上平坦，则 \(x/f(x)\) 的超越次数 \(< n\)（《空间的态射》定义 04NM）。

如果这些条件成立，那么任意基变换 \(Y' \to Y\) 后仍成立。

证明

假设有 (1) 中的图。由《平坦性进阶》引理 0CWF 中各条件的等价性，可知 (1) 与 (3) 等价。而条件 (3) 由 \(\varphi^*\mathcal{F}\) 继承；这对 (2) 中任意 \(U \to V\) 都适用。因此再次使用概形情形的结果，可知 (3) 蕴含 (2)。概形情形的结果也蕴含关于基变换的断言。

定义

设 \(S\) 为概形。设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上局部有限型的代数空间态射。设 \(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(n \geq 0\)。如果引理 0CWS 中的等价条件成立，则称 \(\mathcal{F}\) 在 \(Y\) 上于维数 \(\geq n\) 处平坦。

情形

设 \(S\) 为概形。设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上局部有限型的代数空间态射。设 \(\mathcal{F}\) 为有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。对任意概形 \(T\)（在 \(Y\) 上），以 \(\mathcal{F}_T\) 表示 \(\mathcal{F}\) 到 \(T\) 的基变换；换言之， \(\mathcal{F}_T\) 是 \(\mathcal{F}\) 经投影态射 \(X_T = X \times_Y T \to X\) 的拉回。注意，

\(f_T : X_T \to T\) 有限型，并且 \(\mathcal{F}_T\) 是有限型 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-模（《空间的态射》引理 03XH 和《位形上的模》引理 03DO）。设 \(n \geq 0\)。由定义 0CWT 和引理 0CWS，得到函子 [0CWV]\[\begin{equation} F_n : (\Sch/Y)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad T \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{如果 }\mathcal{F}_T\text{ 对 }T\text{ 而言在 }\dim \geq n, \\ \emptyset & \text{否则。} \end{matrix} \right. \end{equation}\]

在情形 0CWU 中，有时把 \(F_n\) 看作函子 \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\)，并赋有态射 \(F_n \to Y\)。具体地，如果 \(T\) 是 \(S\) 上概形，那么元素 \(h \in F_n(T)\) 是态射 \(h : T \to Y\)，使得 \(\mathcal{F}\) 经 \(h\) 的基变换在 \(T\) 上于 \(\dim \geq n\) 处平坦。特别地，当我们说 \(F_n\) 是代数空间时，是指相应函子 \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\) 是代数空间。

引理

在情形 0CWU 中：

函子 \(F_n\) 满足 fpqc 拓扑的层性质。

如果 \(f\) 拟紧且局部有限表示，并且 \(\mathcal{F}\) 有限表示，那么函子 \(F_n\) 保极限。

证明

证明 (1)。假设 \(\{T_i \to T\}\) 是概形 \(T\)（在 \(Y\) 上）的 fpqc 覆盖。须说明：如果 \(F_n(T_i)\) 对所有 \(i\) 都非空，那么 \(F_n(T)\) 非空。选取引理 0CWS 的 (1) 中的图。以 \(F'_n\) 表示 \(\varphi^*\mathcal{F}\) 和态射 \(U \to V\) 所对应的函子。由《平坦性进阶》引理 05MV，\(F'_n\) 具有层性质。因此 \(F_n\) 具有层性质，因为对 \(T \to Y\)，由引理 0CWS 有 \(F_n(T) = F'_n(V \times_Y T)\)，并且 \(\{V \times_Y T_i \to V \times_Y T\}\) 是 fpqc 覆盖。

证明 (2)。假设 \(T = \lim_{i \in I} T_i\) 是仿射概形 \(T_i\)（在 \(Y\) 上）的滤过极限，并假设 \(F_n(T)\) 非空。须说明 \(F_n(T_i)\) 对某个 \(i\) 非空。选取引理 0CWS 的 (1) 中的图。固定 \(i \in I\)，并选取仿射开集 \(W_i \subset V \times_Y T_i\)，它满射到 \(T_i\)。对 \(i' \geq i\)，令 \(W_{i'}\) 为 \(W_i\) 在 \(V \times_Y T_{i'}\) 中的逆像；令 \(W \subset V \times_Y T\) 为 \(W_i\) 的逆像。于是

\(W = \lim_{i' \geq i} W_i\) 是 \(V\) 上仿射概形的滤过极限。再次由引理 0CWS，只须说明 \(F'_n(W_{i'})\) 对某个 \(i' \geq i\) 非空。但 \(F'_n(W)\) 非空，因为假设 \(F_n(T) = F'_n(V \times_Y T)\) 非空。因此可以应用《平坦性进阶》引理 05MV 得出结论。

引理

在情形 0CWU 中，设 \(h : X' \to X\) 为平展态射。置 \(\mathcal{F}' = h^*\mathcal{F}\) 和 \(f' = f \circ h\)。令 \(F_n'\) 为与 \((f' : X' \to Y, \mathcal{F}')\) 相联系的 (0CWV)。那么 \(F_n\) 是 \(F_n'\) 的子函子；如果 \(h(X') \supset \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\)，那么 \(F_n = F'_n\)。

证明

选取引理 0CWS 的 (1) 中的 \(U \to X\)、\(V \to Y\)、\(U \to V\)。选取满平展态射 \(U' \to U \times_X X'\)，其中 \(U'\) 是概形。于是，对于由两个函子 \(F_{U, n}\) 与 \(F_{U', n}\)，本引理成立；这两个函子由 \(U' \to U\) 和 \(\mathcal{F}|_U\)（在 \(V\) 上）确定；见《平坦性进阶》引理 05UD。另一方面，引理 0CWS 告诉我们：给定 \(T \to Y\)，有 \(F_n(T) = F_{U, n}(V \times_Y T)\) 以及 \(F'_n(T) = F_{U', n}(V \times_Y T)\)。这证明了引理。

定理

在情形 0CWU 中。进一步假设 \(f\) 有限表示， \(\mathcal{F}\) 是有限表示的 \(\mathcal{O}_X\)-模，并且 \(\mathcal{F}\) 相对于 \(Y\) 纯。那么 \(F_n\) 是代数空间，并且 \(F_n \to Y\) 是有限表示的单态射。

证明

由引理 0CWW，函子 \(F_n\) 是 fppf 拓扑的层。因为 \(F_n \to Y\) 是位点 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上层的单态射，所以 \(\Delta : F_n \to F_n \times F_n\) 是对角态射 \(\Delta_Y : Y \to Y \times_S Y\) 的拉回。因此，\(\Delta_Y\) 的可表性蕴含 \(F_n\) 的同一性质。故只须证明：存在概形 \(W\)（在 \(S\) 上）以及满平展态射 \(W \to F_n\)。

为构造 \(W \to F_n\)，选取平展覆盖 \(\{Y_i \to Y\}\)，其中 \(Y_i\) 是概形。令 \(X_i = X \times_Y Y_i\)，并令 \(\mathcal{F}_i\) 为 \(\mathcal{F}\) 到 \(X_i\) 的拉回。于是，或者由定义，或者由引理 0CVF，\(\mathcal{F}_i\) 相对于 \(Y_i\) 纯。定理的其他假设也都保持。最后，\(F_n\) 在 \(Y_i\) 上的限制就是函子 \(F_n\)；后者对应于 \(X_i \to Y_i\) 和 \(\mathcal{F}_i\)。因此只须证明：给定定理陈述中的 \(\mathcal{F}\) 和 \(f : X \to Y\)，其中 \(Y\) 是概形，函子 \(F_n\) 可由概形 \(Z_n\) 表示，并且 \(Z_n \to Y\) 是有限表示的单态射。

注意，有限表示的单态射是分离且拟有限的（《态射》引理 0CT8）。因此，结合《下降》引理 02W5、《态射进阶》引理 02W8

以及《下降》引理 02YK 和 02L0，可知这个问题对于 \(Y\) 上的平展拓扑是局部的。

特别地，这一情形对于 \(Y\) 上的 Zariski 拓扑是局部的，因而可以假设 \(Y\) 仿射。此时 \(f\) 的纤维维数有上界，故可知 \(F_n\) 在 \(n\) 足够大时可表。因此可以对 \(n\) 作降序归纳。假设已知 \(F_{n + 1}\) 可由有限表示的单态射 \(Z_{n + 1} \to Y\) 表示。考虑基变换 \(X_{n + 1} = Z_{n + 1} \times_Y X\)，并令 \(\mathcal{F}_{n + 1}\) 为 \(\mathcal{F}\) 到 \(X_{n + 1}\) 的拉回。态射 \(Z_{n + 1} \to Y\) 是有限表示的单态射，因而拟有限；故引理 0CVF 蕴含 \(\mathcal{F}_{n + 1}\) 相对于 \(Z_{n + 1}\) 纯。因为 \(F_n\) 是 \(F_{n + 1}\) 的子函子，所以为了对 \(F_n\) 证明结果，只须对情形 \(\mathcal{F}_{n + 1}/X_{n + 1}/Z_{n + 1}\) 所对应的函子证明结果。这样便把问题归约为对 \(F_n\) 证明结果，其中

\(Y_{n + 1} = Y\)；换言之，可以假设 \(\mathcal{F}\) 于维数 \(\geq n + 1\) 处在 \(Y\) 上平坦。

固定 \(n\)，并假设 \(\mathcal{F}\) 于维数 \(\geq n + 1\) 处在仿射概形 \(Y\) 上平坦。为完成证明，须说明 \(F_n\) 可由有限表示的单态射

\(Z_n \to S\) 表示。由于这个问题对于 \(Y\) 上的平展拓扑是局部的，只须说明：对每个 \(y \in Y\)，都存在平展邻域 \((Y', y') \to (Y, y)\)，使得基变换到 \(Y'\) 后结果成立。因此，由引理 0CWJ，可以假设存在平展态射 \(h_j : W_j \to X\)，\(j = 1, \ldots, m\)，使得对每个 \(j\)， \(\mathcal{F}_j/W_j/Y\) 在 \(y\) 上都有完全逐层剥离，其中 \(\mathcal{F}_j\) 是 \(\mathcal{F}\) 到 \(W_j\) 的拉回，并且 \(|X_y| \subset \bigcup h_j(W_j)\)。由于 \(h_j\) 平展，由引理 0CWS，

层 \(\mathcal{F}_j\) 仍于维数 \(\geq n + 1\) 处在 \(Y\) 上平坦。置 \(W = \bigcup h_j(W_j)\)，这是 \(X\) 的拟紧开集。由于 \(\mathcal{F}\) 沿 \(X_y\) 纯，可知

\[E = \{t \in |Y| : \text{Ass}_{X_t}(\mathcal{F}_t) \subset W \}.\] 包含 \(y\) 的所有一般化。由《空间上的除子》引理 0CVV，\(E\) 是 \(Y\) 的可构子集。我们已经看到 \(\Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \subset E\)。由《态射》引理 05LW，可知 \(E\) 包含 \(y\) 的一个开邻域。因此缩小 \(Y\) 后，可以假设

\(E = Y\)。由引理 0CX0，只须对函子 \(F_n\) 证明本引理；该函子与 \(X = \coprod W_j\) 和 \(\mathcal{F} = \coprod \mathcal{F}_j\) 相联系。若 \(F_{j, n}\) 表示 \(W_j \to Y\) 和层 \(\mathcal{F}_j\) 所对应的函子，则 \(F_n = \prod F_{j, n}\)。因此只须证明每个 \(F_{j, n}\) 都可由某个有限表示的单态射 \(Z_{j, n} \to Y\) 表示，因为此时

\[Z_n = Z_{1, n} \times_Y \ldots \times_Y Z_{m, n}\] 这样便把定理归约到《平坦性进阶》引理 05UF 所处理的特殊情形。

于是终于得到所需结果。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间之间的态射。设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。

如果 \(f\) 有限表示，\(\mathcal{F}\) 是有限表示的 \(\mathcal{O}_X\)-模，并且 \(\mathcal{F}\) 相对于 \(Y\) 纯，那么存在普遍平坦化 \(Y' \to Y\)，其对象是 \(\mathcal{F}\)。此外，\(Y' \to Y\) 是有限表示的单态射。

如果 \(f\) 有限表示，并且 \(X\) 相对于 \(Y\) 纯，那么存在普遍平坦化 \(Y' \to Y\)，其对象是 \(X\)。此外，\(Y' \to Y\) 是有限表示的单态射。

如果 \(f\) 固有且有限表示，并且 \(\mathcal{F}\) 是有限表示的 \(\mathcal{O}_X\)-模，那么存在普遍平坦化 \(Y' \to Y\)，其对象是 \(\mathcal{F}\)。此外，\(Y' \to Y\) 是有限表示的单态射。

如果 \(f\) 固有且有限表示，那么存在普遍平坦化 \(Y' \to Y\)，其对象是 \(X\)。

证明

把定理 0CX1 应用于 \(F_0 = F_{flat}\)，再利用 \(f\) 固有时 \(\mathcal{F}\) 自动相对于基纯这一事实，便立即得到这些陈述；见引理 0CVI。

Grothendieck 存在定理

本节是《平坦性进阶》第 0CTB 节的对应版本，并继续《空间的态射进阶》第 089N 节的讨论。我们将在下述情形中工作。

情形

这里有一个环的逆系统 \((A_n)\)，其转移映射满且核局部幂零。置 \(A = \lim A_n\)。有一个代数空间 \(X\)，它在 \(A\) 上分离且有限表示。置 \(X_n = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A_n)\)，并把它视为 \(X\) 的闭子空间。进一步假设给定系统 \((\mathcal{F}_n, \varphi_n)\)，其中 \(\mathcal{F}_n\) 是有限表示的 \(\mathcal{O}_{X_n}\)-模，在 \(A_n\) 上平坦，其支撑在 \(A_n\) 上固有，并且 \[\varphi_n : \mathcal{F}_n \otimes_{\mathcal{O}_{X_n}} \mathcal{O}_{X_{n - 1}} \longrightarrow \mathcal{F}_{n - 1}\] 是同构（这里采用《空间的态射》引理 04CJ 中等价性所给出的记号）。

我们的目标是考察能否找到拟凝聚层 \(\mathcal{F}\)（在 \(X\) 上），使得 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_{X_n}\) 对所有 \(n\) 都成立。

引理

在情形 0CX4 中，考虑 \[K = R\lim_{D_\QCoh(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{F}_n) = DQ_X(R\lim_{D(\mathcal{O}_X)}\mathcal{F}_n)\] 那么 \(K\) 属于 \(D^b_{\QCoh}(\mathcal{O}_X)\)；事实上，\(K\) 只有次数 \(\geq 0\) 的上同调层可能非零。

证明

这是《空间的导出范畴》例 0CST 的特殊情形。

引理

在情形 0CX4 中，设 \(K\) 如引理 0CX5 所示。对任意完美对象 \(E\)（属于 \(D(\mathcal{O}_X)\)），有：

\(M = R\Gamma(X, K \otimes^\mathbf{L} E)\) 是 \(D(A)\) 的完美对象，并且有典范同构 \(R\Gamma(X_n, \mathcal{F}_n \otimes^\mathbf{L} E|_{X_n}) = M \otimes_A^\mathbf{L} A_n\)，它位于 \(D(A_n)\) 中；

\(N = R\Hom_X(E, K)\) 是 \(D(A)\) 的完美对象，并且有典范同构 \(R\Hom_{X_n}(E|_{X_n}, \mathcal{F}_n) = N \otimes_A^\mathbf{L} A_n\)，它位于 \(D(A_n)\) 中。

两个陈述中的 \(E|_{X_n}\) 都表示 \(E\) 到 \(X_n\) 的导出拉回。

证明

证明 (2)。记 \(E_n = E|_{X_n}\)，并置 \(N_n = R\Hom_{X_n}(E_n, \mathcal{F}_n)\)。回顾 \(R\Hom_{X_n}(-, -)\) 等于 \(R\Gamma(X_n, R\SheafHom(-, -))\)；见《位形上的上同调》第 0B6E 节。因此，由《空间的导出范畴》引理 0A1R，可知 \(N_n\) 是 \(D(A_n)\) 的完美对象，其构造与基变换交换。故映射 \(N_n \otimes_{A_n}^\mathbf{L} A_{n - 1} \to N_{n - 1}\)（由 \(\varphi_n\) 得到）都是同构。由《代数进阶》引理 0CQG，可知 \(R\lim N_n\) 完美，并且把它基变换回 \(A_n\) 即恢复 \(N_n\)。另一方面，三角范畴的正合函子 \(R\Hom_X(E, -) : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(A)\) 与积交换，因而也与导出极限交换，所以 \[R\Hom_X(E, K) = R\lim R\Hom_X(E, \mathcal{F}_n) = R\lim R\Hom_X(E_n, \mathcal{F}_n) = R\lim N_n\] 这证明了 (2)。利用《位形上的上同调》引理 08JJ 把 (1) 转化为 (2)，便可看出 (1) 成立。

引理

在情形 0CX4 中，设 \(K\) 如引理 0CX5 所示。那么 \(K\) 相对于 \(A\) 伪凝聚。

证明

结合引理 0CX6 和《空间的导出范畴》引理 0CWH，可知 \(R\Gamma(X, K \otimes^\mathbf{L} E)\) 是 \(D(A)\) 中的伪凝聚对象；这对所有伪凝聚对象 \(E\)（属于 \(D(\mathcal{O}_X)\)）都成立。因此，本引理由《空间的态射进阶》引理 0CTT 得出。

引理

在情形 0CX4 中，设 \(K\) 如引理 0CX5 所示。对任意平展态射 \(U \to X\)，其中 \(U\) 拟紧且拟分离，有 \[R\Gamma(U, K) \otimes_A^\mathbf{L} A_n = R\Gamma(U_n, \mathcal{F}_n)\] 这是 \(D(A_n)\) 中的等式，其中 \(U_n = U \times_X X_n\)。

证明

固定 \(n\)。由《空间的导出范畴》引理 0CRW，存在完美复形系统 \(E_m\)（在 \(X\) 上），使得 \(R\Gamma(U, K) = \text{hocolim} R\Gamma(X, K \otimes^\mathbf{L} E_m)\)。事实上，这个公式不只对 \(K\) 成立，而且对 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 的每个对象都成立。把它应用于 \(\mathcal{F}_n\)，得到 \[\begin{align*} R\Gamma(U_n, \mathcal{F}_n) & = R\Gamma(U, \mathcal{F}_n) \\ & = \text{hocolim}_m R\Gamma(X, \mathcal{F}_n \otimes^\mathbf{L} E_m) \\ & = \text{hocolim}_m R\Gamma(X_n, \mathcal{F}_n \otimes^\mathbf{L} E_m|_{X_n}) \end{align*}\] 利用引理 0CX6 以及 \(- \otimes_A^\mathbf{L} A_n\) 与同伦余极限交换这一事实，便得到结果。

引理

在情形 0CX4 中，设 \(K\) 如引理 0CX5 所示。以 \(X_0 \subset |X|\) 表示由位于 \(\Spec(A_1) = \Spec(A_2) = \ldots\) 这个 \(\Spec(A)\) 的闭子集上方的点组成的闭子集。存在开子空间 \(W \subset X\)，它包含 \(X_0\)，并使得

\(H^i(K)|_W\) 为零，除非 \(i = 0\)；

\(\mathcal{F} = H^0(K)|_W\) 有限表示；

\(\mathcal{F}_n = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_{X_n}\)。

证明

固定 \(n \geq 1\)。由构造，有典范映射 \(K \to \mathcal{F}_n\)（在 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 中），从而有拟凝聚层的典范映射 \(H^0(K) \to \mathcal{F}_n\)。这说明了 (3) 的含义。

设 \(x \in X_0\) 为一点。我们将找出开邻域 \(W\)，它包含 \(x\)，并使 (1)、(2)、 (3) 成立。由于 \(X_0\) 拟紧，这将证明引理。设 \(U \to X\) 为平展态射，其中 \(U\) 仿射，且 \(u \in U\) 映到 \(x\)。由于 \(|U| \to |X|\) 是开映射，只须找出 \(u\) 的开邻域（在 \(U\) 中），使 (1)、(2)、(3) 成立。记 \(U = \Spec(B)\)。选取满射 \(P \to B\)，其中 \(P\) 在 \(A\) 上光滑。由引理 0CX7 和相对伪凝聚性的定义，存在上有界复形 \(F^\bullet\)，它由有限自由 \(P\)-模组成，并且表示

\(Ri_*K\)；这里 \(i : U \to \Spec(P)\) 是该表示所诱导的闭浸入。令 \(M_n\) 为 \(B\)-模；它对应于 \(\mathcal{F}_n|_U\)。由引理 0CX8， \[H^i(F^\bullet \otimes_A A_n) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{如果} & i \not = 0 \\ M_n & \text{如果} & i = 0 \end{matrix} \right.\] 设 \(i\) 为使 \(F^i\) 非零的最大指标。如果 \(i \leq 0\)，那么 (1)、(2)、 (3) 成立。否则 \(i > 0\)，而且映射 \[F^{i - 1} \to F^i\]

在点 \(u\) 处的秩最大。因此，在 \(u\) 的一个开邻域上（该邻域取在 \(\Spec(P)\) 中），其秩最大。故把 \(P\) 替换为一个主局部化后，可以假设所显示的映射满。由于 \(F^i\) 有限自由，可以选取分裂 \(F^{i - 1} = F' \oplus F^i\)。于是可以把 \(F^\bullet\) 替换为复形 \[\ldots \to F^{i - 2} \to F' \to 0 \to \ldots\] 再对 \(i\) 作归纳即得结论。

引理

在情形 0CX4 中，设 \(K\) 如引理 0CX5 所示。设 \(W \subset X\) 如引理 0CX9 所示。置 \(\mathcal{F} = H^0(K)|_W\)。那么，必要时缩小开集 \(W\) 后，\(\mathcal{F}\) 的支撑在 \(A\) 上固有。

证明

固定 \(n \geq 1\)。令 \(I_n = \Ker(A \to A_n)\)。由《代数进阶》引理 0CT7，对 \((A, I_n)\) 是 Hensel 的。令 \(Z \subset W\) 为 \(\mathcal{F}\) 的概形论支撑。由于 \(\mathcal{F}\) 有限表示，这是闭子空间。由引理 0CX9 的 (3)，可知 \(Z \times_{\Spec(A)} \Spec(A_n)\) 等于 \(\mathcal{F}_n\) 的支撑，因而在

\(\Spec(A/I)\) 上固有。由《空间的态射进阶》引理 0CWI，可以写成 \(Z = Z_1 \amalg Z_2\)，其中 \(Z_1, Z_2\) 在 \(Z\) 中开且闭，\(Z_1\) 在 \(A\) 上固有，并且 \(Z_1 \times_{\Spec(A)} \Spec(A/I_n)\) 等于 \(\mathcal{F}_n\) 的支撑。换言之，\(|Z_2|\) 不与 \(X_0\) 相交。因此把 \(W\) 替换为 \(W \setminus Z_2\) 后，便得到引理。

定理

在情形 0CX4 中，存在有限表示的 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，它在 \(A\) 上平坦，支撑在 \(A\) 上固有，并且有 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_{X_n}\)；对所有 \(n\)，这些等式均与映射 \(\varphi_n\) 相容。

证明

应用引理 0CX5、 0CX6、 0CX7、 0CX8、 0CX9 和 0CXA，得到开子空间 \(W \subset X\)，它包含所有位于 \(\Spec(A_n)\) 上方的点，还得到有限表示的 \(\mathcal{O}_W\)-模 \(\mathcal{F}\)，其支撑在 \(A\) 上固有，并且有 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_W} \mathcal{O}_{X_n}\)；这个等式对所有 \(n \geq 1\) 成立。（这是有意义的，因为 \(X_n \subset W\)。）由引理 0CVI，可知 \(\mathcal{F}\) 相对于 \(\Spec(A)\) 普遍纯。由定理 0CX1（解释见引理 0CX2），存在普遍平坦化 \(S' \to \Spec(A)\)，其所针对的模为 \(\mathcal{F}\)；此外，态射 \(S' \to \Spec(A)\) 是有限表示的单态射。特别地，\(S'\) 是概形（这可由定理的证明得出；也可

事后由《空间的态射》命题 03XX 得出）。由于 \(\mathcal{F}\) 到 \(\Spec(A_n)\) 的基变换是 \(\mathcal{F}_n\)，可知态射 \(\Spec(A_n) \to \Spec(A)\)（唯一地）分解经过 \(S'\)；这对每个 \(n\) 成立。由《平坦性进阶》引理 0CTJ，可知 \(S' = \Spec(A)\)。这意味着 \(\mathcal{F}\) 在 \(A\) 上平坦。最后，令 \(Z\) 为 \(\mathcal{F}\) 的概形论支撑。由于这一支撑在 \(\Spec(A)\) 上固有，态射 \(Z \to X\) 是闭的。因此，推前 \((W \to X)_*\mathcal{F}\) 支撑在 \(W\) 上，并具有全部所需性质。

Grothendieck 存在定理，再论

本节沿用第 0CX3 节中处理拟凝聚模的方法，证明导出范畴中的 Grothendieck 存在定理之对应形式。本节是《平坦性进阶》第 0DIA 节对代数空间的对应形式。经典情形（对代数空间而言）见《空间的态射进阶》第 089N 节。我们将在下述情形中工作。

情形

这里有环的逆系统 \((A_n)\)，其过渡映射为满射，且各核局部幂零。置 \(A = \lim A_n\)。我们有代数空间 \(X\)，它在 \(A\) 上固有、平坦且有限表示。置 \(X_n = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A_n)\)，并把它看作 \(X\) 的闭子空间。再假设给定系统 \((K_n, \varphi_n)\)，其中 \(K_n\) 是 \(D(\mathcal{O}_{X_n})\) 的伪凝聚对象，而 \[\varphi_n : K_n \longrightarrow K_{n - 1}\] 是 \(D(\mathcal{O}_{X_n})\) 中的映射，它诱导同构 \(K_n \otimes_{\mathcal{O}_{X_n}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X_{n - 1}} \to K_{n - 1}\)；该同构位于 \(D(\mathcal{O}_{X_{n - 1}})\) 中。

更精确地说，应当写成 \(\varphi_n : K_n \to Ri_{n - 1, *}K_{n - 1}\)，其中 \(i_{n - 1} : X_{n - 1} \to X_n\) 是包含态射；在这种记号下，条件是伴随映射 \(Li_{n - 1}^*K_n \to K_{n - 1}\) 为同构。我们的目标是找出伪凝聚对象 \(K \in D(\mathcal{O}_X)\)，使得 \(K_n = K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X_n}\) 对所有 \(n\) 成立（沿用同样的记号滥用）。

引理

在情形 0DIK 中，考虑 \[K = R\lim_{D_\QCoh(\mathcal{O}_X)}(K_n) = DQ_X(R\lim_{D(\mathcal{O}_X)} K_n)\] 那么 \(K\) 属于 \(D^-_{\QCoh}(\mathcal{O}_X)\)。

证明

函子 \(DQ_X\) 存在，因为 \(X\) 拟紧且拟分离，见《空间的导出范畴》引理 0CR4。由于 \(DQ_X\) 是右伴随，它与积交换，因而也与导出极限交换。这便给出引理陈述中的等式。

由《空间的导出范畴》引理 0CSS，函子 \(DQ_X\) 具有有界的上同调维数。因此，只须证明 \(R\lim K_n \in D^-(\mathcal{O}_X)\)。为此，设 \(U \to X\) 为平展态射，其中 \(U\) 仿射。由《位形上的上同调》引理 0D6K，有典范正合序列 \[0 \to R^1\lim H^{m - 1}(U, K_n) \to H^m(U, R\lim K_n) \to \lim H^m(U, K_n) \to 0\] 由于 \(U\) 仿射，且 \(K_n\) 伪凝聚（从而其上同调层拟凝聚，见《空间的导出范畴》引理 08JL），由《概形的导出范畴》引理 06Z0，有 \(H^m(U, K_n) = H^m(K_n)(U)\)。因此，只须证明 \(K_n\) 的上有界界限与 \(n\) 无关。

由于 \(K_n\) 伪凝聚，有 \(K_n \in D^-(\mathcal{O}_{X_n})\)。

假设 \(a_n\) 是使 \(H^{a_n}(K_n)\) 非零的最大整数。当然， \(a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \ldots\)。注意，\(H^{a_n}(K_n)\) 是有限表示的 \(\mathcal{O}_{X_n}\)-模（《位形上的上同调》引理 08FX）。我们有 \(H^{a_n}(K_{n - 1}) = H^{a_n}(K_n) \otimes_{\mathcal{O}_{X_n}} \mathcal{O}_{X_{n - 1}}\)。由于 \(X_{n - 1} \to X_n\) 是加厚，由 Nakayama 引理（《代数》引理 00DV）可知，如果 \(H^{a_n}(K_n) \otimes_{\mathcal{O}_{X_n}} \mathcal{O}_{X_{n - 1}}\) 为零，那么 \(H^{a_n}(K_n)\) 也为零（例如可在茎上检验；略去这一小细节）。

所以 \(a_{n - 1} = a_n\) 对所有 \(n\) 都成立，结论随即成立。

引理

在情形 0DIK 中，设 \(K\) 如引理 0DIL 所示。对任意完美对象 \(E\)（属于 \(D(\mathcal{O}_X)\)），导出上同调对象 \[M = R\Gamma(X, K \otimes^\mathbf{L} E)\] 是 \(D(A)\) 的伪凝聚对象，并且有典范同构 \[R\Gamma(X_n, K_n \otimes^\mathbf{L} E|_{X_n}) = M \otimes_A^\mathbf{L} A_n\] 这是 \(D(A_n)\) 中的同构。这里 \(E|_{X_n}\) 表示 \(E\) 到 \(X_n\) 的导出拉回。

证明

记 \(E_n = E|_{X_n}\)，并记 \(M_n = R\Gamma(X_n, K_n \otimes^\mathbf{L} E|_{X_n})\)。由《空间的导出范畴》引理 0CTN，可知 \(M_n\) 是 \(D(A_n)\) 的伪凝聚对象，且其构造与基变换交换。因此，映射 \(M_n \otimes_{A_n}^\mathbf{L} A_{n - 1} \to M_{n - 1}\) （由 \(\varphi_n\) 得到）都是同构。由《代数进阶》引理 0CQF，可知 \(R\lim M_n\) 伪凝聚，并且把它基变换回 \(A_n\) 即恢复 \(M_n\)。另一方面，三角范畴的正合函子 \(R\Gamma(X, -) : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(A)\) 与积交换，因而也与导出极限交换，所以 \[R\Gamma(X, E \otimes^\mathbf{L} K) = R\lim R\Gamma(X, E \otimes^\mathbf{L} K_n) = R\lim R\Gamma(X_n, E_n \otimes^\mathbf{L} K_n) = R\lim M_n\] 这正是所需结论。

引理

在情形 0DIK 中，设 \(K\) 如引理 0DIL 所示。那么 \(K\) 在 \(X\) 上伪凝聚。

证明

结合引理 0DIM 和《空间的导出范畴》引理 0CWH，可知 \(R\Gamma(X, K \otimes^\mathbf{L} E)\) 是 \(D(A)\) 中的伪凝聚对象；这对所有伪凝聚对象 \(E\)（属于 \(D(\mathcal{O}_X)\)）均成立。因此，由《空间的态射进阶》引理 0CTT，可知 \(K\) 相对于 \(A\) 伪凝聚。

由于 \(X\) 在 \(A\) 上平坦且有限表示，这等价于在 \(X\) 上伪凝聚，见《空间的态射进阶》引理 0DII。

引理

在情形 0DIK 中，设 \(K\) 如引理 0DIL 所示。对任意平展态射 \(U \to X\)，其中 \(U\) 拟紧且拟分离，有 \[R\Gamma(U, K) \otimes_A^\mathbf{L} A_n = R\Gamma(U_n, K_n)\] 这是 \(D(A_n)\) 中的等式，其中 \(U_n = U \times_X X_n\)。

证明

固定 \(n\)。由《空间的导出范畴》引理 0CRW，存在完美复形系统 \(E_m\)（在 \(X\) 上），使得 \(R\Gamma(U, K) = \text{hocolim} R\Gamma(X, K \otimes^\mathbf{L} E_m)\)。事实上，这个公式不只对 \(K\) 成立，而且对 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 的每个对象都成立。把它应用于 \(K_n\)，得到 \[\begin{align*} R\Gamma(U_n, K_n) & = R\Gamma(U, K_n) \\ & = \text{hocolim}_m R\Gamma(X, K_n \otimes^\mathbf{L} E_m) \\ & = \text{hocolim}_m R\Gamma(X_n, K_n \otimes^\mathbf{L} E_m|_{X_n}) \end{align*}\] 利用引理 0DIM 以及 \(- \otimes_A^\mathbf{L} A_n\) 与同伦余极限交换这一事实，便得到结果。

定理

在情形 0DIK 中，存在伪凝聚对象 \(K\)（属于 \(D(\mathcal{O}_X)\)），使得 \(K_n = K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X_n}\)；对所有 \(n\)，这些等式均与映射 \(\varphi_n\) 相容。

证明

应用引理 0DIL、 0DIM、 0DIN，得到伪凝聚对象 \(K\)（属于 \(D(\mathcal{O}_X)\)）。在引理 0DIP 中选取仿射的 \(U\)，立即可知 \(K\) 的限制为 \(K_n\)（这里限制到 \(X_n\)）。

注

本节的结果可以推广。很可能只须假设 \(X \to \Spec(A)\) 分离且有限表示，并假设 \(K_n\) 相对于 \(A_n\) 伪凝聚，且支撑在 \(X_n\) 的某个在 \(A_n\) 上固有的闭子集上，结论便仍然正确。所得对象将是 \(K\)，它相对于 \(A\) 伪凝聚，并支撑在某个在 \(A\) 上固有的闭子集上。若今后需要这一结果，我们将在此给出精确陈述并加以证明。

拟分离态射是良态的，见《良态空间》引理 03M5。对任意态射 \(\Spec(k) \to Y\)，其中 \(k\) 是域，代数空间 \(X_k\) 在 \(k\) 上有限表示；这是因为它在 \(k\) 上有限型，并且由《良态空间》引理 0BB6 知它是拟分离的。↩︎
例如，当 \(f\) 有限型且 \(\mathcal{F}\) 沿 \(X_s\) 纯，或当 \(f\) 固有时，该条件成立。↩︎
只要求 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型且 \(\mathcal{G}\) 相对于 \(S\) 有限表示便已足够，但在代数空间框架下尚未定义这一概念。关于概形的定义见《态射进阶》第 05GX 节。↩︎