位点与层 · Stacks

引言

Grothendieck 引入位点这一概念，是为了研究概形的 étale 拓扑中的层。这一概念的基本参考文献或许是 [SGA4]。我们采用的位点概念与 [SGA4] 中的不同；我们所谓的位点，在 [SGA4, Exposé II, Définition 1.3] 中称为赋有预拓扑的范畴。之所以这样处理，是因为在代数几何中，使用一个给定的覆盖类往往很方便，例如定义概形的某个性质何时在给定拓扑中是局部性质时即是如此；见 Descent，第 0347 节。本文的论述将紧随 [ArtinTopologies]。我们不使用宇宙。

预层

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。一个集合预层是从 \(\mathcal{C}\) 到 \(\textit{Sets}\) 的反变函子 \(\mathcal{F}\)（见 Categories，备注 001E）。因此，对 \(\mathcal{C}\) 的每个对象 \(U\)，都有一个集合 \(\mathcal{F}(U)\)。这个集合的元素称为 \(\mathcal{F}\) 在 \(U\) 上的截面。对每个态射 \(f : V \to U\)，映射 \(\mathcal{F}(f) : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\) 称为限制映射，并且常记作 \(f^\ast : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\)。也可以说， \(f^*(s)\) 是 \(s\) 沿 \(f\) 的拉回。函子性意味着 \(g^* f^* (s) = (f \circ g)^*(s)\)。有时我们采用记号 \(s|_V := f^\ast(s)\)。这一记号与拓扑学中的函数限制概念相容，因为若 \(W \to V \to U\) 是 \(\mathcal{C}\) 中的态射，而 \(s\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(U\) 上的截面，则由 \(\mathcal{F}\) 的函子性可知 \(s|_W = (s|_V)|_W\)。当然，我们必须谨慎，因为态射 \(V \to U\) 很可能不止一个，而相应的拉回映射肯定未必相等。

定义

\(\mathcal{C}\) 上的一个集合预层，是从 \(\mathcal{C}\) 到 \(\textit{Sets}\) 的反变函子。预层态射是函子之间的变换。集合预层的范畴记作 \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\)。

注意，对 \(\mathcal{C}\) 的任意对象 \(U\)，点函子 \(h_U\)（见 Categories，例 001O）都是一个预层。这些预层称为 可表预层。它们具有如下良好性质：对任意预层 \(\mathcal{F}\)，都有 [090F]\[\begin{equation} \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_U, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U). \end{equation}\] 这就是 Yoneda 引理（Categories，引理 001P）。

类似地，我们可以定义阿贝尔群预层、环预层等概念。更一般地，还可以定义取值于某个范畴的预层。

定义

设 \(\mathcal{C}\)、\(\mathcal{A}\) 为范畴。\(\mathcal{C}\) 上一个取值于 \(\mathcal{A}\) 的预层 \(\mathcal{F}\)，是从 \(\mathcal{C}\) 到 \(\mathcal{A}\) 的反变函子，即 \(\mathcal{F} : \mathcal{C}^{opp} \to \mathcal{A}\)。 \(\mathcal{C}\) 上取值于 \(\mathcal{A}\) 的预层 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 的一个态射，是从函子 \(\mathcal{F}\) 到 \(\mathcal{G}\) 的一个变换。

这些分别构成 \(\mathcal{C}\) 上取值于 \(\mathcal{A}\) 的预层范畴的对象和态射。

注

如前所述，我们可以考虑取值于 Categories，备注 0015 所列任意一个“大全畴”的预层范畴。这些同样会是“大全畴”；随着论述推进，它们也会列入上述备注中。

预层的单射与满射

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，并设 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是集合预层的映射。

若对 \(\mathcal{C}\) 的每个对象 \(U\)，映射 \(\varphi_U : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\) 都是单射，则称 \(\varphi\) 是单射的。

若对 \(\mathcal{C}\) 的每个对象 \(U\)，映射 \(\varphi_U : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\) 都是满射，则称 \(\varphi\) 是满射的。

引理

上面定义的单射（相应地，满射）恰好是 \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\) 中的单态射（相应地，满态射）。一个映射是同构，当且仅当它既是单射又是满射。

证明

我们先证明 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是单射，当且仅当它是 \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\) 中的单态射。“仅当”方向是直接的，故只需证明 “当”方向。假设 \(\varphi\) 是单态射。取 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)；我们需要证明 \(\varphi_U\) 是单射。于是取满足 \(\varphi_U (a) = \varphi_U (b)\) 的 \(a, b \in \mathcal{F}(U)\)；需要验证 \(a = b\)。在同构 (090F) 下， \(\mathcal{F}(U)\) 的元素 \(a\) 和 \(b\) 对应于两个自然变换 \(a', b' \in \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_U, \mathcal{F})\)。类似地，在相应的同构 \(\Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_U, \mathcal{G}) = \mathcal{G}(U)\) 下，\(\mathcal{G}(U)\) 中两个相等的元素 \(\varphi_U (a)\) 和 \(\varphi_U (b)\) 对应于两个自然变换 \(\varphi \circ a', \varphi \circ b' \in \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_U, \mathcal{G})\)，因此这两个自然变换也必相等。故 \(\varphi \circ a' = \varphi \circ b'\)；由于 \(\varphi\) 是单态射，便有 \(a' = b'\)，进而 \(a = b\)。这就证明了 (1)。

下面证明 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是满射，当且仅当它是 \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\) 中的满态射。“仅当”方向是直接的，故只需证明 “当”方向。假设 \(\varphi\) 是满态射。

对 \(\textit{Sets}\) 范畴中的任意两个态射 \(f : A \to B\) 和 \(g : A \to C\)，用 \(\text{inl}_{f,g}\) 和 \(\text{inr}_{f,g}\) 表示从 \(B\) 和 \(C\) 到 \(B \coprod_A C\) 的两个典范映射。（这里，推出在 \(\textit{Sets}\) 中计算。）

现在定义 \(\mathcal{C}\) 上的集合预层 \(\mathcal{H}\)：对每个 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，令 \(\mathcal{H}(U) = \mathcal{G}(U) \coprod_{\mathcal{F}(U)} \mathcal{G}(U)\) （其中推出在 \(\textit{Sets}\) 中计算，并由映射 \(\varphi_U : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\) 诱导）；它在态射上的作用以显然的方式定义（利用推出的函子性）。于是存在两个自然变换 \(i_1 : \mathcal{G} \to \mathcal{H}\) 和 \(i_2 : \mathcal{G} \to \mathcal{H}\)，它们在对象 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 处的分量分别由映射 \(\text{inl}_{\varphi_U, \varphi_U}\) 和 \(\text{inr}_{\varphi_U, \varphi_U}\) 给出。推出的定义表明 \(i_1 \circ \varphi = i_2 \circ \varphi\)，因而 \(i_1 = i_2\)（因为 \(\varphi\) 是满态射）。所以对每个 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，都有 \(\text{inl}_{\varphi_U, \varphi_U} = \text{inr}_{\varphi_U, \varphi_U}\)。于是 \(\varphi_U\) 必为满射（一个简单的组合论论证表明，若 \(f : A \to B\) 是 \(\textit{Sets}\) 中的态射，则 \(\text{inl}_{f,f} = \text{inr}_{f,f}\) 当且仅当 \(f\) 是满射）。换言之， \(\varphi\) 是满射，(2) 得证。

最后证明 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 既是单射又是满射，当且仅当它是 \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\) 中的同构。这一次，“当”方向是直接的。为证明“仅当”方向，只须注意：若 \(\varphi\) 既单又满，则对每个 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，映射 \(\varphi_U\) 都可逆；对所有 \(U\)，这些映射的逆可组合成自然变换 \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)，它正是 \(\varphi\) 的逆。

定义

若对每个对象 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，集合 \(\mathcal{F}(U)\) 都是 \(\mathcal{G}(U)\) 的子集，并且这一关系与限制映射相容，则称 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{G}\) 的一个子预层。

换言之，包含映射 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\) 可以粘合成一个（单射的）预层态射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。假设 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上集合预层的态射。则存在唯一的子预层 \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{G}\)，使得 \(\varphi\) 分解为 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}' \to \mathcal{G}\)，并且第一个映射是满射。

证明

为证明存在性，只须对每个 \(U \in \Ob(C)\) 令

\(\mathcal{G}'(U) = \varphi_U \left(\mathcal{F}(U)\right)\) （并从 \(\mathcal{G}\) 继承其在态射上的作用），再证明这定义了 \(\mathcal{G}\) 的一个子预层，且 \(\varphi\) 分解为 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}' \to \mathcal{G}\)，其中第一个映射是满射。唯一性是直接的。

定义

采用引理 00V9 的记号。我们称 \(\mathcal{G}'\) 为 \(\varphi\) 的像。

预层的极限与余极限

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。范畴 \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\) 中存在极限和余极限。此外，对任意 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，函子 \[\textit{PSh}(\mathcal{C}) \longrightarrow \textit{Sets}, \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}(U)\] 与极限和余极限交换。或许证明这些陈述的最简便方法如下。给定一个图表 \(\mathcal{F} : \mathcal{I} \to \textit{PSh}(\mathcal{C})\)，定义预层 \[\mathcal{F}_{\lim} : U \longmapsto \lim_{i \in \mathcal{I}} \mathcal{F}_i(U) \text{ 且 } \mathcal{F}_{\colim} : U \longmapsto \colim_{i \in \mathcal{I}} \mathcal{F}_i(U)\] 显然存在投影映射 \(\mathcal{F}_{\lim} \to \mathcal{F}_i\) 和典范映射 \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_{\colim}\)。这些映射满足 Categories，定义 002E（相应地，Categories，定义 002F）中极限（相应地，余极限）映射的要求。事实上，它们显然在 \(\mathcal{F}\) 上构成一个锥，相应地构成一个余锥。此外，若 \((\mathcal{G}, q_i : \mathcal{G} \to \mathcal{F}_i)\) 是另一组这样的数据（如极限定义中那样），则对每个 \(U\)，我们得到一族满足适当函子性条件的映射 \(\mathcal{G}(U) \to \mathcal{F}_i(U)\)，因而得到唯一映射 \(\mathcal{G}(U) \to \mathcal{F}_{\lim}(U)\)。容易验证，随着 \(U\) 变化，这些映射彼此相容，并来自所需的映射 \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}_{\lim}\)。余极限情形的论证类似。

预层范畴的函子性

设 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 为范畴之间的函子。在这种情况下，记 \[u^p : \textit{PSh}(\mathcal{D}) \longrightarrow \textit{PSh}(\mathcal{C})\] 为这样的函子：它把 \(\mathcal{D}\) 上的预层 \(\mathcal{G}\) 送到预层 \(u^p\mathcal{G} = \mathcal{G} \circ u\)。注意，由上一节可知，这个函子与所有极限和余极限交换。

对 \(V \in \Ob(\mathcal{D})\)，用 \(\mathcal{I}^u_V\) 表示如下范畴： [053L]\[\begin{equation} \begin{matrix} \Ob(\mathcal{I}^u_V) & = & \{ (U, \phi) \mid U \in \Ob(\mathcal{C}), \phi : V \to u(U) \} \\ \Mor_{\mathcal{I}^u_V}((U, \phi), (U', \phi')) & = & \{ f : U \to U' \text{ 于 }\mathcal{C} \mid u(f) \circ \phi = \phi' \} \end{matrix} \end{equation}\] 有时我们省略记号中的上标 \({}^u\)，只写 \(\mathcal{I}_V\)。我们将利用这些范畴定义函子 \(u^p\) 的左伴随。在此之前，先证明几个技术性引理。

引理

设 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 为范畴之间的函子。假设 \(\mathcal{C}\) 有纤维积和等化子，且 \(u\) 与它们交换。那么范畴 \((\mathcal{I}_V)^{opp}\) 满足 Categories，引理 002X 的假设。

证明

需要验证两个条件。

首先，假设给定三个对象 \(\phi : V \to u(U)\)、\(\phi' : V \to u(U')\) 和 \(\phi'' : V \to u(U'')\)，以及态射 \(a : U' \to U\)、 \(b : U'' \to U\)，使得 \(u(a) \circ \phi' = \phi\) 且 \(u(b) \circ \phi'' = \phi\)。我们需要证明存在另一个对象 \(\phi''' : V \to u(U''')\) 以及态射 \(c : U''' \to U'\) 和 \(d : U''' \to U''\)，使得 \(u(c) \circ \phi''' = \phi'\)、\(u(d) \circ \phi''' = \phi''\) 且 \(a \circ c = b \circ d\)。取 \(U''' = U' \times_U U''\)，并以 \(c\) 和 \(d\) 为投影态射。由于 \(u\) 与纤维积交换，这一构造有效；验证从略。

其次，假设给定两个对象 \(\phi : V \to u(U)\) 和 \(\phi' : V \to u(U')\)，以及态射 \(a, b : (U, \phi) \to (U', \phi')\)。我们需要找到一个等化 \(a\) 和 \(b\) 的态射 \(c : (U'', \phi'') \to (U, \phi)\)。令 \(c : U'' \to U\) 为 \(\mathcal{C}\) 中 \(a\) 和 \(b\) 的等化子。由于 \(u\) 与等化子交换，并且 \(u(a) \circ \phi = u(b) \circ \phi = \phi'\)，我们得到一个态射 \(\phi'' : V \to u(U'')\)。

引理

设 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 为范畴之间的函子。假设

范畴 \(\mathcal{C}\) 有终对象 \(X\)，且 \(u(X)\) 是 \(\mathcal{D}\) 的终对象；

范畴 \(\mathcal{C}\) 有纤维积，且 \(u\) 与纤维积交换。

那么指标范畴 \((\mathcal{I}^u_V)^{opp}\) 是滤过的（见 Categories，定义 002V）。

证明

这些假设蕴含引理 00X4 的假设成立（见 Categories，第 04AS 节中的讨论）。由 Categories，引理 002X，可知 \(\mathcal{I}_V\) 是若干定向范畴的不交并（可能为空）。因此只需证明 \(\mathcal{I}_V\) 连通。

首先证明 \(\mathcal{I}_V\) 非空。事实上，令 \(X\) 为由假设存在的 \(\mathcal{C}\) 的终对象。又因假设 \(u(X)\) 是 \(\mathcal{D}\) 的终对象，便有态射 \(V \to u(X)\)。它给出 \(\mathcal{I}_V\) 的一个对象。

其次证明 \(\mathcal{I}_V\) 连通。设 \(\phi_1 : V \to u(U_1)\) 和 \(\phi_2 : V \to u(U_2)\) 属于 \(\Ob(\mathcal{I}_V)\)。由假设，\(U_1\times U_2\) 存在，且 \(u(U_1\times U_2) = u(U_1)\times u(U_2)\)。考虑由积的泛性质中 \((\phi_1, \phi_2)\) 所对应的态射 \(\phi : V \to u(U_1\times U_2)\)。显然，对象 \(\phi : V \to u(U_1\times U_2)\) 同时映到 \(\phi_1 : V \to u(U_1)\) 和 \(\phi_2 : V \to u(U_2)\)。

给定 \(\mathcal{D}\) 中的 \(g : V' \to V\)，在对象上令 \(\overline{g}(U, \phi) = (U, \phi \circ g)\)，便得到函子 \(\overline{g} : \mathcal{I}_V \to \mathcal{I}_{V'}\)。给定 \(\mathcal{C}\) 上的预层 \(\mathcal{F}\)，得到函子 \[\mathcal{F}_V : \mathcal{I}_V^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad (U, \phi) \longmapsto \mathcal{F}(U).\] 换言之，\(\mathcal{F}_V\) 是 \(\mathcal{I}_V\) 上的集合预层。注意， \(\mathcal{F}_{V'} \circ \overline{g} = \mathcal{F}_V\)。定义 \[u_p\mathcal{F}(V) = \colim_{\mathcal{I}_V^{opp}} \mathcal{F}_V\] 由余极限的性质，对每个 \((U, \phi) \in \Ob(\mathcal{I}_V)\)，得到典范映射 \(\mathcal{F}(U)\xrightarrow{c(\phi)}u_p\mathcal{F}(V)\)。对上述 \(g : V' \to V\)，由 Categories，引理 002K，存在一个与 \(\mathcal{F}_{V'} \circ \overline{g} = \mathcal{F}_V\) 相容的典范限制映射 \(g^* : u_p\mathcal{F}(V) \to u_p\mathcal{F}(V')\)。它是使得对所有 \((U, \phi) \in \Ob(\mathcal{I}_V)\)，图表 \[\xymatrix{ \mathcal{F}(U) \ar[r]^{c(\phi)} \ar[d]_{\text{id}} & u_p\mathcal{F}(V) \ar[d]^{g^*} \\ \mathcal{F}(U) \ar[r]^{c(\phi \circ g)} & u_p\mathcal{F}(V') }\] 交换的唯一映射。这些映射的唯一性表明，我们由此得到一个预层。这个预层记作 \(u_p\mathcal{F}\)。

引理

存在一个与限制映射（\(\mathcal{F}\) 上和 \(u_p\mathcal{F}\) 上的限制映射）相容的典范映射 \(\mathcal{F}(U) \to u_p\mathcal{F}(u(U))\)。

证明

这正是上面引入的映射 \(c(\text{id}_{u(U)})\)。

注意，预层的任意映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) 都给出函子之间的相容映射族 \(\mathcal{F}_V \to \mathcal{F}'_V\)，从而给出预层映射 \(u_p\mathcal{F} \to u_p\mathcal{F}'\)。换言之，我们定义了函子 \[u_p : \textit{PSh}(\mathcal{C}) \longrightarrow \textit{PSh}(\mathcal{D})\]

引理

函子 \(u_p\) 是函子 \(u^p\) 的左伴随。换言之，公式 \[\Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(\mathcal{F}, u^p\mathcal{G}) = \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{D})}(u_p\mathcal{F}, \mathcal{G})\] 对 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 双函子自然地成立。

证明

设 \(\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{D}\) 上的预层，\(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的预层。我们将通过构造两个方向的映射来证明所示公式；留给读者验证它们互为逆映射。

给定映射 \(\alpha : u_p \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)，得到 \(u^p\alpha : u^p u_p \mathcal{F} \to u^p \mathcal{G}\)。引理 00VD 表明存在映射 \(\mathcal{F} \to u^p u_p \mathcal{F}\)。两者复合即给出所需映射。（这一构造的好处是，它对眼前的一切显然都具有函子性。）

反过来，给定映射 \(\beta : \mathcal{F} \to u^p\mathcal{G}\)，得到映射 \(u_p\beta : u_p\mathcal{F} \to u_p u^p\mathcal{G}\)。取 \(V \in \Ob(\mathcal{D})\)。我们断言，\(\mathcal{I}_V\) 上的函子 \(u^p\mathcal{G}_V\) 到取常值 \(\mathcal{G}(V)\) 的常值函子有一个典范映射。事实上，对 \(\mathcal{I}_V\) 的每个对象 \((U, \phi)\)， \(u^p\mathcal{G}_V\) 在该对象上的值是 \(\mathcal{G}(u(U))\)，它通过 \(\mathcal{G}(\phi) = \phi^*\) 映到 \(\mathcal{G}(V)\)。由于 \(\mathcal{G}\) 本身是函子，这构成函子之间的变换。由此得到映射 \(u_p u^p \mathcal{G}(V) \to \mathcal{G}(V)\)。另一个直接验证表明，该映射对 \(V\) 具有函子性，从而给出预层映射 \(u_p u^p \mathcal{G} \to \mathcal{G}\)。复合 \(u_p\mathcal{F} \to u_p u^p\mathcal{G} \to \mathcal{G}\) 即为所需映射。

注

假设 \(\mathcal{A}\) 是这样一个范畴：任意图表 \(\mathcal{I}_Y \to \mathcal{A}\) 在 \(\mathcal{A}\) 中都有余极限。那么显然，在取值于 \(\mathcal{A}\) 的预层范畴上，也存在与上面完全相同方式定义的函子 \(u^p\) 和 \(u_p\)。此外，伴随对 \(u^p\) 与 \(u_p\) 的伴随性在此情形下仍然成立。

引理

设 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 为范畴之间的函子。对 \(\mathcal{C}\) 的任意对象 \(U\)，都有 \(u_ph_U = h_{u(U)}\)。

证明

由 \(u_p\) 与 \(u^p\) 的伴随性，有 \[\Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{D})}(u_ph_U, \mathcal{G}) = \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_U, u^p\mathcal{G}) = u^p\mathcal{G}(U) = \mathcal{G}(u(U))\] 因而由 Yoneda 引理可知，作为预层，\(u_ph_U = h_{u(U)}\)。

位点

我们的位点概念使用下面这类结构。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，见 Conventions，第 0005 节。\(\mathcal{C}\) 中一个 具有固定靶的态射族，由一个对象 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)、一个集合 \(I\)，以及对每个 \(i\in I\) 给出的一个靶为 \(U\) 的 \(\mathcal{C}\) 中态射 \(U_i \to U\) 构成。我们用记号 \(\{U_i \to U\}_{i\in I}\) 表示它。

集合 \(I\) 可能为空！这一记号意在提示拓扑学中的开覆盖。

定义

一个位点¹ 由一个范畴 \(\mathcal{C}\) 和一族具有固定靶的态射族 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) 所成的集合 \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) 给出；这些态射族称为 \(\mathcal{C}\) 的覆盖，并满足下列公理：

若 \(V \to U\) 是同构，则 \(\{V \to U\} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)。

若 \(\{U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)，且对每个 \(i\) 都有 \(\{V_{ij} \to U_i\}_{j\in J_i} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)，则 \(\{V_{ij} \to U\}_{i \in I, j\in J_i} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)。

若 \(\{U_i \to U\}_{i\in I}\in \text{Cov}(\mathcal{C})\)，且 \(V \to U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的态射，则对所有 \(i\)，纤维积 \(U_i \times_U V\) 都存在，并且 \(\{U_i \times_U V \to V \}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)。

作几点说明。在公理 (1) 中，我们要求存在 \(\mathcal{C}\) 的一个覆盖 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)，使得 \(I = \{i\}\) 是单元素集，且态射 \(U_i \to U\) 等于 (1) 中给定的态射 \(V \to U\)。下文中，我们经常用 \(\{V \to U\}\) 表示指标集为单元素集的具有固定靶的态射族。在公理 (3) 中，我们要求：对 \(i \in I\) 的纤维积 \(U_i \times_U V\) 的某种选择，所述覆盖存在。

注

（关于集合论问题——初读时可跳过。）引入位点的主要原因，是研究位点上的层范畴；它推广了在代数几何中极其重要的拓扑空间上的层范畴。为避免考虑“类的类” 之类的对象，与我们对范畴和 \(2\)-范畴的做法不同，我们不允许位点是“大全畴”。

假设 \(\mathcal{C}\) 是范畴，且 \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) 是满足上述 (1)、(2)、(3) 的覆盖真类。我们也不允许它作为位点，主要因为接下来要在覆盖上取极限。不过，有几种自然方法可以把 \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) 替换成覆盖的一个集合或稍有不同的结构，而所得层范畴不变。例如：

在 Sets，第 000W 节中，我们说明如何选取一个适当的覆盖集，使所得层范畴相同。

也可以取相伴拓扑（见定义 00ZD）。 \(\mathcal{C}\) 上所得拓扑具有相同的层范畴。两个拓扑的层范畴相同，当且仅当它们相等；见定理 00ZP。范畴上的拓扑由对象上的筛的选择给出。\(\mathcal{C}\) 上所有可能的筛，乃至所有可能的拓扑，所成的集合都是集合。

还可以略微修改位点的概念，见下面的备注 00ZF，从而得到一个典范的覆盖集。

每种方案都有一些小缺点。对第一种方案，需要验证后续构造不依赖于覆盖集的选择。对第二种方案，需要学习拓扑，并为位点重新完成许多论证。对第三种方案，见备注 00ZF 的最后一句。

我们将采用上述定义 00VH 中的位点。给定一个范畴 \(\mathcal{C}\) 以及如上的覆盖真类，我们用 Sets，引理 000X 将其替换为一个覆盖集，从而产生一个位点。下面的引理 00VY 将证明，所得层范畴（托扑斯）与这一选择无关。若读者愿意，可自行采用另外两种策略之一处理这些问题。

例

设 \(X\) 为拓扑空间。令 \(X_{Zar}\) 为这样的范畴：其对象是 \(X\) 中的所有开集 \(U\)，态射仅为包含映射。也就是说，\(X_{Zar}\) 的任意两个对象之间至多有一个态射。现在定义 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\in \text{Cov}(X_{Zar})\)，当且仅当 \(\bigcup U_i = U\)。上述条件 (1) 和 (2) 显然成立；一旦注意到在 \(X_{Zar}\) 中 \(U \times V = U \cap V\)，条件 (3) 也显然成立。特别要注意，空集必须是 \(X_{Zar}\) 的元素，否则一般而言这一构造无法成立。此外，正如稍后将看到的，同样重要的是允许空集的空覆盖作为一个覆盖！我们按照 Sets，引理 000X 选取适当的覆盖集 \(\text{Cov}(X_{Zar})_{\kappa, \alpha}\)，从而把 \(X_{Zar}\) 变成位点。

位点 \(X_{Zar}\) 上的预层和层（定义见下文），恰好与 Sheaves，第 006B 节所定义的拓扑空间上的通常预层和层概念一致。

例

设 \(G\) 为群。考虑范畴 \(G\textit{-Sets}\)，其对象是带左 \(G\)-作用的集合 \(X\)，态射是 \(G\)-等变映射。一个重要例子是 \({}_GG\)：它是一个 \(G\)-集合，其底层集合是 \(G\)，作用由左乘给出。这个范畴有纤维积，见 Categories，第 0020 节。若 \(\bigcup_{i\in I} \varphi_i(U_i) = U\)，则称 \(\{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I}\) 为覆盖。这在 \(G\textit{-Sets}\) 上给出一个覆盖类，容易看出它满足定义 00VH 的条件 (1)、(2)、(3)。所得结构还不是位点，因为底层范畴的对象汇集与覆盖汇集都是真类。

首先按照 Sets，引理 000U，把 \(G\textit{-Sets}\) 替换为一个全子范畴 \(G\textit{-Sets}_\alpha\)。然后如 Sets，引理 000X 那样适当限制覆盖汇集，所得位点 \((G\textit{-Sets}_\alpha, \text{Cov}_{\kappa, \alpha'}(G\textit{-Sets}_\alpha))\) 记作 \(\mathcal{T}_G\)。

特别地，若群 \(G\) 可数，则可令 \(\mathcal{T}_G\) 为可数 \(G\)-集合的范畴，并把所有指标集 \(I\) 可数的联合满态射族 \(\{\varphi_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) 取作覆盖。

例

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。有一种典范方式把它变成位点，其中 \(U\) 的覆盖正是 \(\{f : V \to U \mid f\text{ 为同构}\}\)。这个位点上的层就是 \(\mathcal{C}\) 上的预层。

相应的拓扑称为混沌拓扑或不可分拓扑。

层

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。在引入取值于一个范畴的层这一概念之前，我们先说明一个集合预层成为层是什么意思。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的集合预层，并设 \(\{U_i \to U\}_{i\in I}\) 是 \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) 的元素。根据假设，所有纤维积 \(U_i \times_U U_j\) 都在 \(\mathcal{C}\) 中存在。有两个自然映射 \[\xymatrix{ \prod\nolimits_{i\in I} \mathcal{F}(U_i) \ar@<1ex>[r]^-{\text{pr}_0^*} \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_1^*} & \prod\nolimits_{(i_0, i_1) \in I \times I} \mathcal{F}(U_{i_0} \times_U U_{i_1}) }\] 如所示，记为 \(\text{pr}^*_i\)，\(i = 0, 1\)。事实上，左端的一个元素对应于一族 \((s_i)_{i\in I}\)，其中每个 \(s_i\) 都是 \(\mathcal{F}\) 在 \(U_i\) 上的截面。对每一对 \((i_0, i_1) \in I \times I\)，都有投影态射 \[\text{pr}^{(i_0, i_1)}_{i_0} : U_{i_0} \times_U U_{i_1} \longrightarrow U_{i_0} \text{ 且 } \text{pr}^{(i_0, i_1)}_{i_1} : U_{i_0} \times_U U_{i_1} \longrightarrow U_{i_1}.\] 因此，可以通过第一个映射拉回截面 \(s_{i_0}\)，也可以通过第二个映射拉回截面 \(s_{i_1}\)。明确地说，上述映射为 \[\text{pr}_0^* : (s_i)_{i\in I} \longmapsto \Big( \text{pr}^{(i_0, i_1), *}_{i_0}(s_{i_0}) \Big)_{(i_0, i_1) \in I \times I}\] 和 \[\text{pr}_1^* : (s_i)_{i\in I} \longmapsto \Big( \text{pr}^{(i_0, i_1), *}_{i_1}(s_{i_1}) \Big)_{(i_0, i_1) \in I \times I}.\] 最后考虑自然映射 \[\mathcal{F}(U) \longrightarrow \prod\nolimits_{i\in I} \mathcal{F}(U_i), \quad s \longmapsto (s|_{U_i})_{i \in I}\] 这里用 \(s|_{U_i}\) 表示 \(s\) 沿映射 \(U_i \to U\) 的拉回。由 \(\mathcal{F}\) 的函子性及纤维积图表的交换性，显然有 \(\text{pr}_0^*( (s|_{U_i})_{i \in I} ) = \text{pr}_1^*( (s|_{U_i})_{i \in I} )\)。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上的集合预层。若对每个覆盖 \(\{U_i \to U\}_{i \in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)，图表 [00VN]\[\begin{equation} \xymatrix{ \mathcal{F}(U) \ar[r] & \prod\nolimits_{i\in I} \mathcal{F}(U_i) \ar@<1ex>[r]^-{\text{pr}_0^*} \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_1^*} & \prod\nolimits_{(i_0, i_1) \in I \times I} \mathcal{F}(U_{i_0} \times_U U_{i_1}) } \end{equation}\] 把第一个箭头表示为 \(\text{pr}_0^*\) 与 \(\text{pr}_1^*\) 的等化子，则称 \(\mathcal{F}\) 是一个层。

粗略地说，这意味着：若给定截面 \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\)，使得对所有 \((i, j) \in I \times I\)，在 \(\mathcal{F}(U_i \times_U U_j)\) 中都有 \[s_i|_{U_i \times_U U_j} = s_j|_{U_i \times_U U_j}\] 则存在唯一的 \(s \in \mathcal{F}(U)\)，使得 \(s_i = s|_{U_i}\)。

注

若覆盖 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) 是空族（即 \(I = \emptyset\)），则层条件表示 \(\mathcal{F}(U) = \{*\}\) 是单元素集。这是因为在 (00VN) 中，第二、第三个集合都是集合范畴中的空积；它们是集合范畴的终对象，因而是单元素集。

例

设 \(X\) 为拓扑空间，令 \(X_{Zar}\) 为例 00VJ 中构造的位点。\(X_{Zar}\) 上的层概念与 Sheaves，定义 006T 中引入的 \(X\) 上层的概念一致。

例

设 \(X\) 为拓扑空间。考虑位点 \(X'_{Zar}\)：除了不允许空集的空覆盖之外，它与例 00VJ 中的位点 \(X_{Zar}\) 相同。换言之，我们允许覆盖 \(\{\emptyset \to \emptyset\}\)，但不允许指标集为空的覆盖。容易证明，这仍然定义一个位点。不过，我们断言 \(X'_{Zar}\) 上的层与 \(X_{Zar}\) 上的层不同。例如，作为一个极端情形，考虑 \(X = \{p\}\) 为单元素集的情况。此时 \(X'_{Zar}\) 的对象是 \(\emptyset, X\)；\(\emptyset\) 的每个覆盖都可由 \(\{\emptyset \to \emptyset\}\) 加细，而 \(X\) 的每个覆盖都可由 \(\{X \to X\}\) 加细。显然，这里的一个层可由集合 \(\mathcal{F}(\emptyset)\) 的任意选择、集合 \(\mathcal{F}(X)\) 的任意选择，以及限制映射 \(\mathcal{F}(X) \to \mathcal{F}(\emptyset)\) 的任意选择给出。因此，\(X'_{Zar}\) 上的层等同于二点空间 \(\{\eta, p\}\) 上的通常层，其中开集为 \(\{\emptyset, \{\eta\}, \{p, \eta\}\}\)。一般而言，\(X'_{Zar}\) 上的层等同于空间 \(X \amalg \{\eta\}\) 上的层；该空间的开集是空集以及形如 \(U \cup \{\eta\}\) 的任意集合，其中 \(U \subset X\) 为开集。

定义

集合层范畴 \(\Sh(\mathcal{C})\) 是 \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\) 的全子范畴，其对象为集合层。

设 \(\mathcal{A}\) 为范畴。若对每个作为覆盖族指标集出现的 \(I\)， \(\mathcal{A}\) 中都存在以 \(I\) 和 \(I \times I\) 为指标的积，则上述定义 00VM 有意义，并定义了 \(\mathcal{C}\) 上取值于 \(\mathcal{A}\) 的层这一概念。注意，\(\mathcal{A}\) 中的图表 \[\xymatrix{ \mathcal{F}(U) \ar[r] & \prod\nolimits_{i\in I} \mathcal{F}(U_i) \ar@<1ex>[r]^-{\text{pr}_0^*} \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_1^*} & \prod\nolimits_{(i_0, i_1) \in I \times I} \mathcal{F}(U_{i_0} \times_U U_{i_1}) }\] 是等化子图表，当且仅当对 \(\mathcal{A}\) 的每个对象 \(X\)，集合图表 \[\xymatrix{ \Mor_\mathcal{A}(X, \mathcal{F}(U)) \ar[r] & \prod \Mor_\mathcal{A}(X, \mathcal{F}(U_i)) \ar@<1ex>[r]^-{\text{pr}_0^*} \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_1^*} & \prod \Mor_\mathcal{A}(X, \mathcal{F}(U_{i_0} \times_U U_{i_1})) }\] 是等化子图表。

现在假设 \(\mathcal{A}\) 任意。设 \(\mathcal{F}\) 为取值于 \(\mathcal{A}\) 的预层。任取对象 \(X\in \Ob(\mathcal{A})\)。由规则 \[\mathcal{F}_X(U) = \Mor_\mathcal{A}(X, \mathcal{F}(U)).\] 定义一个集合预层 \(\mathcal{F}_X\)。由上可知，要求所有预层 \(\mathcal{F}_X\) 都是集合层，便得到一个良好定义。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(\mathcal{A}\) 为范畴，\(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上取值于 \(\mathcal{A}\) 的预层。若对 \(\mathcal{A}\) 的所有对象 \(X\)，上面定义的集合预层 \(\mathcal{F}_X\) 都是层，则称 \(\mathcal{F}\) 是一个层。

具有固定靶的态射族

本节引入若干与具有相同靶的态射族有关的概念。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。设 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i\in I}\) 是 \(\mathcal{C}\) 中一个具有固定靶的态射族，\(\mathcal{V} = \{V_j \to V\}_{j\in J}\) 是另一个这样的态射族。

从 \(\mathcal{U}\) 到 \(\mathcal{V}\) 的一个 \(\mathcal{C}\) 中具有固定靶的映射族的态射，简称 从 \(\mathcal{U}\) 到 \(\mathcal{V}\) 的态射，由一个态射 \(U \to V\)、一个集合映射 \(\alpha : I \to J\)，以及对每个 \(i\in I\) 给出的一个态射 \(U_i \to V_{\alpha(i)}\) 构成，使得图表 \[\xymatrix{ U_i \ar[r] \ar[d] & V_{\alpha(i)} \ar[d] \\ U \ar[r] & V }\] 交换。

在 \(U = V\) 且 \(U \to V\) 是恒等态射的特殊情形下，我们称 \(\mathcal{U}\) 是态射族 \(\mathcal{V}\) 的一个加细。

一个平凡但重要的观察是：若 \(\mathcal{V} = \{V_j \to V\}_{j \in J}\) 是空映射族，即 \(J = \emptyset\)，则任何满足 \(I \not = \emptyset\) 的族 \(\mathcal{U} = \{U_i \to V\}_{i \in I}\) 都不能加细 \(\mathcal{V}\)！

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。设 \(\mathcal{U} = \{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I}\) 和 \(\mathcal{V} = \{\psi_j : V_j \to U\}_{j\in J}\) 是两个具有固定靶的态射族。

若存在映射 \(\alpha : I \to J\) 和 \(\beta : J\to I\)，使得 \(\varphi_i = \psi_{\alpha(i)}\) 且 \(\psi_j = \varphi_{\beta(j)}\)，则称 \(\mathcal{U}\) 与 \(\mathcal{V}\) 组合等价。

若存在映射 \(\alpha : I \to J\) 和 \(\beta : J\to I\)，并且对所有 \(i\in I\) 和 \(j \in J\) 都有交换图表 \[\xymatrix{ U_i \ar[rd] \ar[rr] & & V_{\alpha(i)} \ar[ld] & & V_j \ar[rd] \ar[rr] & & U_{\beta(j)} \ar[ld] \\ & U & & & & U & }\] 其中水平箭头都是同构，则称 \(\mathcal{U}\) 与 \(\mathcal{V}\) 自明等价。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。设 \(\mathcal{U} = \{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I}\) 和 \(\mathcal{V} = \{\psi_j : V_j \to U\}_{j\in J}\) 是两个具有相同固定靶的态射族。

若 \(\mathcal{U}\) 与 \(\mathcal{V}\) 组合等价，则它们自明等价。

若 \(\mathcal{U}\) 与 \(\mathcal{V}\) 自明等价，则 \(\mathcal{U}\) 是 \(\mathcal{V}\) 的加细，且 \(\mathcal{V}\) 是 \(\mathcal{U}\) 的加细。

“组合等价”关系是所有具有固定靶的态射族上的等价关系。

“自明等价”关系是所有具有固定靶的态射族上的等价关系。

“\(\mathcal{U}\) 加细 \(\mathcal{V}\) 且 \(\mathcal{V}\) 加细 \(\mathcal{U}\)”关系是所有具有固定靶的态射族上的等价关系。

证明

从略。

在下面的引理中，给定一个范畴 \(\mathcal{C}\)、\(\mathcal{C}\) 上的预层 \(\mathcal{F}\)，以及满足所有纤维积 \(U_i \times_U U_{i'}\) 都存在的态射族 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i\in I}\)，若图表 (00VN) 是等化子图表，我们就说 \(\mathcal{F}\) 关于 \(\mathcal{U}\) 的层条件成立。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。设 \(\mathcal{U} = \{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I}\) 和 \(\mathcal{V} = \{\psi_j : V_j \to U\}_{j\in J}\) 是两个具有相同固定靶的态射族。假设纤维积 \(U_i \times_U U_{i'}\) 和 \(V_j \times_U V_{j'}\) 都存在。若 \(\mathcal{U}\) 与 \(\mathcal{V}\) 自明等价，则对 \(\mathcal{C}\) 上任意预层 \(\mathcal{F}\)，\(\mathcal{F}\) 关于 \(\mathcal{U}\) 的层条件等价于 \(\mathcal{F}\) 关于 \(\mathcal{V}\) 的层条件。

证明

首先注意，若 \(\varphi : A \to B\) 是 \(\mathcal{C}\) 中的同构，则 \(\varphi^* : \mathcal{F}(B) \to \mathcal{F}(A)\) 是同构。设 \(\beta : J \to I\) 为映射，并设 \(\chi_j : V_j \to U_{\beta(j)}\) 是假设所保证的 \(U\) 上同构。我们证明， \(\mathcal{V}\) 的层条件蕴含 \(\mathcal{U}\) 的层条件。假设给定截面 \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\)，使得对所有 \((i, i') \in I \times I\)，在 \(\mathcal{F}(U_i \times_U U_{i'})\) 中有 \[s_i|_{U_i \times_U U_{i'}} = s_{i'}|_{U_i \times_U U_{i'}}\] 定义 \(s_j = \chi_j^*s_{\beta(j)}\)。对任意一对 \((j, j') \in J \times J\)，态射 \(\chi_j \times_{\text{id}_U} \chi_{j'} : V_j \times_U V_{j'} \to U_{\beta(j)} \times_U U_{\beta(j')}\) 也是同构。因此，由结构传递可知 \[s_j|_{V_j \times_U V_{j'}} = s_{j'}|_{V_j \times_U V_{j'}}\] \(\mathcal{V}\) 的层条件蕴含存在唯一的 \(s\)，使得对所有 \(j \in J\)，都有 \(s|_{V_j} = s_j\)。由证明开头的观察，这也蕴含对所有 \(i \in \Im(\beta)\)，都有 \(s|_{U_i} = s_i\)。现设 \(i \in I\) 且 \(i \not \in \Im(\beta)\)。对此 \(i\)，在 \(U\) 上有同构 \(U_i \to V_{\alpha(i)} \to U_{\beta(\alpha(i))}\)。它给出态射 \(U_i \to U_i \times_U U_{\beta(\alpha(i))}\)，且此态射是投影的截面。由于 \(s_i\) 和 \(s_{\beta(\alpha(i))}\) 在纤维积上限制为同一元素，可知 \(s_{\beta(\alpha(i))}\) 沿 \(U_i \to U_{\beta(\alpha(i))}\) 拉回为 \(s_i\)。因此也有 \(s_i = s|_{U_i}\)，正合所需。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。设 \(\mathcal{V} = \{V_j \to U\}_{j \in J} \to \mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) 是 \(\mathcal{C}\) 中具有固定靶的映射族的一个态射，由 \(\text{id} : U \to U\)、\(\alpha : J \to I\) 和 \(f_j : V_j \to U_{\alpha(j)}\) 给出。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的预层。若 \(\mathcal{F}(U) \to \prod_{j \in J} \mathcal{F}(V_j)\) 是单射，则 \(\mathcal{F}(U) \to \prod_{i \in I} \mathcal{F}(U_i)\) 也是单射。

证明

从略。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。设 \(\mathcal{V} = \{V_j \to U\}_{j \in J} \to \mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) 是 \(\mathcal{C}\) 中具有固定靶的映射族的一个态射，由 \(\text{id} : U \to U\)、\(\alpha : J \to I\) 和 \(f_j : V_j \to U_{\alpha(j)}\) 给出。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的预层。假设

纤维积 \(U_i \times_U U_{i'}\)、\(U_i \times_U V_j\)、 \(V_j \times_U V_{j'}\) 均存在；

\(\mathcal{F}\) 满足关于 \(\mathcal{V}\) 的层条件；

对每个 \(i \in I\)，映射 \(\mathcal{F}(U_i) \to \prod_{j \in J} \mathcal{F}(V_j \times_U U_i)\) 都是单射。

那么 \(\mathcal{F}\) 满足关于 \(\mathcal{U}\) 的层条件。

证明

由引理 0G1K，映射 \(\mathcal{F}(U) \to \prod \mathcal{F}(U_i)\) 是单射。假设给定 \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\)，使得对所有 \(i, i' \in I\)，都有 \(s_i|_{U_i \times_U U_{i'}} = s_{i'}|_{U_i \times_U U_{i'}}\)。令 \(s_j = f_j^*(s_{\alpha(j)}) \in \mathcal{F}(V_j)\)。由于态射 \(f_j\) 都是 \(U\) 上的态射，我们得到与投影映射下的 \(f_j, f_{j'}\) 相容的诱导态射

\(f_{jj'} : V_j \times_U V_{j'} \to U_{\alpha(i)} \times_U U_{\alpha(i')}\)。由此可得 \[s_j|_{V_j \times_U V_{j'}} = f_{jj'}^*(s_{\alpha(j)}|_{U_{\alpha(j)} \times_U U_{\alpha(j')}}) = f_{jj'}^*(s_{\alpha(j')}|_{U_{\alpha(j)} \times_U U_{\alpha(j')}}) = s_{j'}|_{V_j \times_U V_{j'}}\] 对所有 \(j, j' \in J\) 成立。因此，由 \(\mathcal{F}\) 关于 \(\mathcal{V}\) 的层条件，得到截面 \(s \in \mathcal{F}(U)\)，其在每个 \(V_j\) 上的限制为 \(s_j\)。若能证明对任意 \(i \in I\)，\(s\) 在 \(U_i\) 上的限制为 \(s_i\)，则证明完成。由于 \(\mathcal{F}\) 满足 (3)，只须证明对所有 \(j \in J\)，\(s\) 和 \(s_i\) 在 \(U_i \times_U V_j\) 上限制为同一元素。为此使用 \[s|_{U_i \times_U V_j} = s_j|_{U_i \times_U V_j} = (\text{id} \times f_j)^*s_{\alpha(j)}|_{U_i \times_U U_{\alpha(j)}} = (\text{id} \times f_j)^*s_i|_{U_i \times_U U_{\alpha(j)}} = s_i|_{U_i \times_U V_j}\] 正合所需。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。设 \(\text{Cov}_i\)，\(i = 1, 2\)，是两组具有固定靶的态射族集合，并且各自在 \(\mathcal{C}\) 上定义一个位点结构。

若每个 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}_1\) 都与某个 \(\mathcal{V} \in \text{Cov}_2\) 自明等价，则 \(\Sh(\mathcal{C}, \text{Cov}_2) \subset \Sh(\mathcal{C}, \text{Cov}_1)\)。若还对每个 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}_2\)，都存在某个与之自明等价的 \(\mathcal{V} \in \text{Cov}_1\)，则两个层范畴相等。

假设对每个 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}_1\)，都存在 \(\mathcal{V} \in \text{Cov}_2\)，使得 \(\mathcal{V}\) 加细 \(\mathcal{U}\)。在这种情况下 \(\Sh(\mathcal{C}, \text{Cov}_2) \subset \Sh(\mathcal{C}, \text{Cov}_1)\)。若还对每个 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}_2\)，都存在 \(\mathcal{V} \in \text{Cov}_1\)，使得 \(\mathcal{V}\) 加细 \(\mathcal{U}\)，则两个层范畴相等。

证明

(1) 直接由引理 00VW 和定义得到。

证明 (2)。设 \(\mathcal{F}\) 是位点 \((\mathcal{C}, \text{Cov}_2)\) 上的集合层。取 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}_1\)，写成 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\)。由假设，可以选择 \(\mathcal{U}\) 的一个加细 \(\mathcal{V} \in \text{Cov}_2\)；写成 \(\mathcal{V} = \{V_j \to U\}_{j \in J}\)，其加细数据由 \(\alpha : J \to I\) 和 \(f_j : V_j \to U_{\alpha(j)}\) 给出。注意， \(\mathcal{F}\) 满足 \(\mathcal{V}\) 的层条件，也满足覆盖 \(\{V_j \times_U U_i \to U_i\}_{j \in J}\) 的层条件，因为这些覆盖属于 \(\text{Cov}_2\)。故由引理 0G1L， \(\mathcal{F}\) 满足 \(\mathcal{U}\) 的层条件。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。设 \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) 是满足定义 00VH 中条件 (1)、(2)、(3) 的覆盖真类。设 \(\text{Cov}_1, \text{Cov}_2 \subset \text{Cov}(\mathcal{C})\) 是 \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) 的两个子集，它们都赋予 \(\mathcal{C}\) 位点结构。若每个覆盖 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\) 都与 \(\text{Cov}_1\) 中的某个覆盖组合等价，并且与 \(\text{Cov}_2\) 中的某个覆盖组合等价，则 \(\Sh(\mathcal{C}, \text{Cov}_1) = \Sh(\mathcal{C}, \text{Cov}_2)\)。

证明

由上述引理 00VX 和 00VV 即得，因为假设蕴含每个覆盖 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}_1 \subset \text{Cov}(\mathcal{C})\) 都与 \(\text{Cov}_2\) 的一个元素组合等价；交换 \(\text{Cov}_1\) 与 \(\text{Cov}_2\) 的角色亦然。

G-集合的例子

作为例子，考虑例 00VK 中的位点 \(\mathcal{T}_G\)。我们将描述 \(\mathcal{T}_G\) 上的层范畴。结果将与定义 \(\mathcal{T}_G\) 时所作的选择无关。事实上，在证明中只需要位点 \(\mathcal{T}_G\) 的下列性质：

\(\mathcal{T}_G\) 是 \(G\textit{-Sets}\) 的全子范畴；
\(\mathcal{T}_G\) 包含 \(G\)-集合 \({}_GG\)；
\(\mathcal{T}_G\) 有纤维积，且它们与 \(G\textit{-Sets}\) 中的相同；
给定 \(U \in \Ob(\mathcal{T}_G)\) 和 \(G\)-不变子集 \(O \subset U\)，存在 \(\mathcal{T}_G\) 的一个与 \(O\) 同构的对象；
任何满射映射族 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)，其中 \(U, U_i \in \Ob(\mathcal{T}_G)\)，都与 \(\mathcal{T}_G\) 的某个覆盖组合等价。

这些性质由 Sets，引理 000V 和 000X 成立。

注意，映射 \[\Hom_G({}_GG, {}_GG) \longrightarrow G^{opp}, \varphi \longmapsto \varphi(1)\] 是群同构。其逆映射把 \(g \in G\) 送到映射 \(R_g : s \mapsto sg\)（即右乘）。注意 \(R_{g_1g_2} = R_{g_2} \circ R_{g_1}\)，故必须取对群。

这意味着，对 \(\mathcal{T}_G\) 上的每个预层 \(\mathcal{F}\)，集合 \(\mathcal{F}({}_GG)\) 按如下方式继承一个 \(G\)-集合结构：对 \(g \in G\) 和 \(s \in \mathcal{F}({}_GG)\)，把 \(g \cdot s\) 定义为 \(\mathcal{F}(R_g)(s)\)。这是左作用，因为 \[(g_1g_2) \cdot s = \mathcal{F}(R_{g_1g_2})(s) = \mathcal{F}(R_{g_2}\circ R_{g_1})(s) = \mathcal{F}(R_{g_1})( \mathcal{F}(R_{g_2})(s)) = g_1 \cdot (g_2 \cdot s).\] 这里使用了 \(\mathcal{F}\) 的反变性。注意，若 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{T}_G\) 上集合预层的态射，则得到映射 \(\mathcal{F}({}_GG) \to \mathcal{G}({}_GG)\)，它与刚定义的 \(G\)-作用相容。综上，我们构造了函子 \[\textit{PSh}(\mathcal{T}_G) \longrightarrow G\textit{-Sets}, \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}({}_GG).\] 留给读者验证，这一构造具有如下良好性质：可表预层 \(h_U\) 被映到一个与 \(U\) 典范同构的对象。用公式表示，即 \(h_U({}_GG) = \Hom_G({}_GG, U) \cong U\)。

假设 \(S\) 是一个 \(G\)-集合。用公式² \[\mathcal{F}_S(U) = \Mor_{G\textit{-Sets}}(U, S).\] 定义预层 \(\mathcal{F}_S\)。这显然是一个预层。另一方面，假设 \(\{U_i \to U\}_{i\in I}\) 是 \(\mathcal{T}_G\) 中的覆盖。这蕴含 \(\coprod_i U_i \to U\) 是满射。因此映射 \[\mathcal{F}_S(U) = \Mor_{G\textit{-Sets}}(U, S) \longrightarrow \prod \mathcal{F}_S(U_i) = \prod \Mor_{G\textit{-Sets}}(U_i, S)\] 显然是单射。再给定一族 \(G\)-等变映射 \(s_i : U_i \to S\)，使得所有图表 \[\xymatrix{ U_i \times_U U_j \ar[d] \ar[r] & U_j \ar[d]^{s_j} \\ U_i \ar[r]^{s_i} & S }\] 都交换，则存在唯一的 \(G\)-等变映射 \(s : U \to S\)，使得 \(s_i\) 是复合 \(U_i \to U \to S\)。事实上，定义 \(s(u) = s_i(u_i)\)，其中 \(i\in I\) 是任一满足存在某个 \(u_i \in U_i\) 经映射 \(U_i \to U\) 映到 \(u\) 的指标。上述图表的交换性恰好蕴含这一构造是良定义的。综上，我们构造了函子 \[G\textit{-Sets} \longrightarrow \Sh(\mathcal{T}_G), \quad S \longmapsto \mathcal{F}_S .\]

现在得到如下范畴与函子的图表： \[\xymatrix{ \textit{PSh}(\mathcal{T}_G) \ar[rr]^{\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}({}_GG)} & & G\textit{-Sets} \ar[ld]_{S \mapsto \mathcal{F}_S} \\ & \Sh(\mathcal{T}_G) \ar[lu] & }\] 由定义立即可知 \(\mathcal{F}_S({}_GG) = \Mor_G({}_GG, S) = S\)，最后一个等号来自在 \(1\) 处取值。这几乎证明了下面的命题。

命题

函子 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}({}_GG)\) 和 \(S \mapsto \mathcal{F}_S\) 给出 \(\Sh(\mathcal{T}_G)\) 与 \(G\textit{-Sets}\) 之间的一对拟逆等价。

证明

我们已经看到，按一个方向复合这两个函子得到与恒等函子同构的函子。在另一个方向上，对任意层 \(\mathcal{H}\)，存在自然的层映射 \[can : \mathcal{H} \longrightarrow \mathcal{F}_{\mathcal{H}({}_GG)}.\] 事实上，对 \(\mathcal{T}_G\) 的任意对象 \(U\)，令 \(can_U\) 为映射 \[\begin{matrix} \mathcal{H}(U) & \longrightarrow & \mathcal{F}_{\mathcal{H}({}_GG)}(U) = \Mor_G(U, \mathcal{H}({}_GG)) \\ s & \longmapsto & (u \mapsto \alpha_u^*s). \end{matrix}\] 这里 \(\alpha_u : {}_GG \to U\) 是映射 \(\alpha_u(g) = gu\)，而 \(\alpha_u^* : \mathcal{H}(U) \to \mathcal{H}({}_GG)\) 是拉回映射。一个平凡但容易混淆的验证表明，这确实是预层映射。我们需要证明 \(can\) 是同构。为此，证明对所有 \(U \in \Ob(\mathcal{T}_G)\)，\(can_U\) 都是同构。把 \(U = {}_GG\) 这一重要但容易的情形留给读者。\(\mathcal{T}_G\) 的一般对象 \(U\) 是若干 \(G\)-轨道的不交并：\(U = \coprod_{i\in I} O_i\)。映射族 \(\{O_i \to U\}_{i \in I}\) 与 \(\mathcal{T}_G\) 中的某个覆盖自明等价（由本节开头列出的 \(\mathcal{T}_G\) 的性质）。故由引理 00VW，层 \(\mathcal{H}\) 满足关于 \(\{O_i \to U\}_{i \in I}\) 的层性质。这个覆盖的层性质蕴含 \(\mathcal{H}(U) = \prod_i \mathcal{H}(O_i)\)。因此，只须证明当 \(U\) 由单个 \(G\)-轨道构成时，\(can_U\) 是同构。取 \(u \in U\)，并令 \(H \subset G\) 为其稳定子。显然，\(\Mor_G(U, \mathcal{H}({}_GG)) = \mathcal{H}({}_GG)^H\) 等于 \(H\)-不变元素组成的子集。另一方面，考虑由 \(g \mapsto gu\) 给出的覆盖 \(\{{}_GG \to U\}\)（它同样只是与 \(\mathcal{T}_G\) 中的某个覆盖组合等价，而这同样无关紧要）。注意，纤维积 \(({}_GG)\times_U ({}_GG)\) 等于 \(\{(g, gh), g\in G, h\in H\} \cong \coprod_{h\in H} {}_GG\)。因此，这个覆盖的层性质表述为 \[\xymatrix{ \mathcal{H}(U) \ar[r] & \mathcal{H}({}_GG) \ar@<1ex>[r]^-{\text{pr}_0^*} \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_1^*} & \prod_{h \in H} \mathcal{H}({}_GG). }\] 到因子 \(\mathcal{H}({}_GG)\) 的两个映射 \(\text{pr}_i^*\) 相差乘以 \(h\)。现在，结论由此以及 \(can\) 在 \(U = {}_GG\) 时是同构这一事实得到。

层化

为了定义层化，我们研究一个覆盖的第零 Čech 上同调群及其函子性。

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的集合预层，并设 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的一个覆盖。用记号 \(\mathcal{F}(\mathcal{U})\) 表示等化子 \[H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = \{ (s_i)_{i\in I} \in \prod\nolimits_i \mathcal{F}(U_i) \mid s_i|_{U_i \times_U U_j} = s_j|_{U_i \times_U U_j} \ \forall i, j \in I \}.\] 稍后将看到，这是 \(\mathcal{F}\) 在 \(U\) 上关于覆盖 \(\mathcal{U}\) 的第零 Čech 上同调。顺便指出，只要所有态射 \(U_i \to U\) 都可表，便可以定义 \(H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)；也就是说，\(\mathcal{U}\) 不必是该位点的覆盖。存在典范映射 \(\mathcal{F}(U) \to H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)。显然，覆盖的一个态射 \(\mathcal{U} \to \mathcal{V}\) 诱导交换图表 \[\xymatrix{ & U_i \ar[rr] & & V_{\alpha(i)} \\ U_i \times_U U_j \ar[rr] \ar[ur] \ar[dr] & & V_{\alpha(i)} \times_V V_{\alpha(j)} \ar[ur] \ar[dr] & \\ & U_j \ar[rr] & & V_{\alpha(j)} }.\] 它进而产生映射 \(H^0(\mathcal{V}, \mathcal{F}) \to H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)，并与映射 \(\mathcal{F}(V) \to \mathcal{F}(U)\) 相容。

由构造，预层 \(\mathcal{F}\) 是层，当且仅当对 \(\mathcal{C}\) 的每个覆盖 \(\mathcal{U}\)，自然映射 \(\mathcal{F}(U) \to H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) 都是双射。我们将用这一概念证明下面关于层的极限的简单引理。

引理

设 \(\mathcal{F} : \mathcal{I} \to \Sh(\mathcal{C})\) 是一个图表。那么 \(\lim_\mathcal{I} \mathcal{F}\) 存在，并且等于预层范畴中的极限。

证明

设 \(\lim_i \mathcal{F}_i\) 为作为预层的极限。我们证明它是层；由此立即可知，它也是层范畴中的极限。为证明层性质，设 \(\mathcal{V} = \{V_j \to V\}_{j\in J}\) 为覆盖。取 \((s_j)_{j\in J}\) 为 \(H^0(\mathcal{V}, \lim_i \mathcal{F}_i)\) 的元素。利用投影映射，得到 \(H^0(\mathcal{V}, \mathcal{F}_i)\) 中的元素 \((s_{j, i})_{j\in J}\)。由 \(\mathcal{F}_i\) 的层性质，存在唯一的 \(s_i \in \mathcal{F}_i(V)\)，使得 \(s_{j, i} = s_i|_{V_j}\)。设 \(\phi : i \to i'\) 是指标范畴的态射。我们要证明 \(\mathcal{F}(\phi) : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_{i'}\) 把 \(s_i\) 映到 \(s_{i'}\)。我们知道，对所有 \(j\)，这对截面 \(s_{i, j}\) 和 \(s_{i', j}\) 成立；故由 \(\mathcal{F}_{i'}\) 的层性质，所需结论成立。此时得到 \((\lim_i \mathcal{F}_i)(V)\) 的一个元素 \(s = (s_i)_{i \in \Ob(\mathcal{I})}\)。留给读者验证，该元素具有所需性质 \(s_j = s|_{V_j}\)。

例

一个特殊例子是空图表上的极限。它给出（预）层范畴中的终对象。该预层把一个单元素集赋给 \(\mathcal{C}\) 的每个对象 \(U\)，其限制映射均为唯一映射，并且这个预层还是层。我们常用 \(*\) 表示这个层。

令 \(\mathcal{J}_U\) 为 \(U\) 的所有覆盖组成的范畴。换言之， \(\mathcal{J}_U\) 的对象是 \(\mathcal{C}\) 中 \(U\) 的覆盖，态射是加细。根据我们对位点的约定，这确实是一个范畴，也就是说，其对象和态射的汇集都是集合。注意，\(\Ob(\mathcal{J}_U)\) 非空，因为 \(\{\text{id}_U\}\) 是其中一个对象。由上述讨论，构造 \(\mathcal{U} \mapsto H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) 是 \(\mathcal{J}_U\) 上的反变函子。定义 \[\mathcal{F}^{+}(U) = \colim_{\mathcal{J}_U^{opp}} H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] 关于极限和余极限的讨论，见 Categories，第 002D 节。我们指出，稍后将看到 \(\mathcal{F}^{+}(U)\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(U\) 上的第零 Čech 上同调。

在进一步讨论这个余极限的结构之前，先把集合族 \(\mathcal{F}^{+}(U)\)，\(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，变成一个预层。具体地，设 \(V \to U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的态射。由位点公理，存在函子³ \[\mathcal{J}_U \longrightarrow \mathcal{J}_V, \quad \{U_i \to U\} \longmapsto \{U_i \times_U V \to V\}.\] 注意，投影映射给出函子性的覆盖态射 \(\{U_i \times_U V \to V\} \to \{U_i \to U\}\)，从而由上述构造给出函子性的集合映射 \(H^0(\{U_i \to U\}, \mathcal{F}) \to H^0(\{U_i \times_U V \to V\}, \mathcal{F})\)。换言之，存在从函子 \(H^0(-, \mathcal{F}) : \mathcal{J}_U^{opp} \to \textit{Sets}\) 到复合 \(\mathcal{J}_U^{opp} \to \mathcal{J}_V^{opp} \xrightarrow{H^0(-, \mathcal{F})} \textit{Sets}\) 的函子变换。因此，由余极限的一般性质，得到典范映射 \(\mathcal{F}^+(U) \to \mathcal{F}^+(V)\)。用上面对集合 \(\mathcal{F}^+(U)\) 的描述来说，它把由 \(s = (s_i) \in H^0(\{U_i \to U\}, \mathcal{F})\) 所代表的元素送到由 \((s_i|_{V \times_U U_i}) \in H^0(\{U_i \times_U V \to V\}, \mathcal{F})\) 所代表的元素。

引理

上述构造定义一个预层 \(\mathcal{F}^+\)，并带有一个典范的预层映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^+\)。

证明

只须证明：给定态射 \(W \to V \to U\)，复合 \(\mathcal{F}^+(U) \to \mathcal{F}^+(V) \to \mathcal{F}^+(W)\) 等于映射 \(\mathcal{F}^+(U) \to \mathcal{F}^+(W)\)。可以直接证明这一点：验证对于给定的覆盖 \(\{U_i \to U\}\) 和 \(s = (s_i) \in H^0(\{U_i \to U\}, \mathcal{F})\)，存在典范同构 \(W \times_U U_i \cong W \times_V (V \times_U U_i)\)，并且经此同构， \(s_i|_{W \times_U U_i}\) 对应于 \((s_i|_{V \times_U U_i})|_{W \times_V (V \times_U U_i)}\)。

更间接地，引理 00W7 的结果表明，可以沿从 \(W\) 的任一覆盖到 \(\{U_i \to U\}\) 的任意态射拉回上述元素 \(s\)，而所得总是 \(\mathcal{F}^+(W)\) 中的同一元素。

引理

对应 \(\mathcal{F} \mapsto (\mathcal{F} \to \mathcal{F}^+)\) 是一个函子。

证明

我们不作证明，只准确陈述需要证明的内容。设 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是预层映射。证明下图交换： \[\xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}^{+} \ar[d] \\ \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{G}^{+} }\]

下面两个引理表明，上述余极限是定向集上的余极限。

引理

给定位点 \(\mathcal{C}\) 的某个对象 \(U\) 的一对覆盖 \(\{U_i \to U\}\) 和 \(\{V_j \to U\}\)，存在一个共同加细的覆盖。

证明

由于 \(\mathcal{C}\) 是位点，对每个 \(i\)，族 \(\{V_j \times_U U_i \to U_i\}_j\) 都是覆盖。于是，另一个公理蕴含 \(\{V_j \times_U U_i \to U\}_{i, j}\) 是 \(U\) 的覆盖。显然，这个覆盖加细两个给定覆盖。

引理

覆盖的任意两个态射 \(f, g: \mathcal{U} \to \mathcal{V}\)，若诱导同一个态射 \(U \to V\)，则诱导同一个映射 \(H^0(\mathcal{V}, \mathcal{F}) \to H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)。

证明

设 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i\in I}\)， \(\mathcal{V} = \{V_j \to V\}_{j\in J}\)。态射 \(f\) 由映射 \(U\to V\)、映射 \(\alpha : I \to J\) 以及映射 \(f_i : U_i \to V_{\alpha(i)}\) 构成。类似地，\(g\) 决定映射 \(\beta : I \to J\) 和映射 \(g_i : U_i \to V_{\beta(i)}\)。由于 \(f\) 与 \(g\) 诱导同一个映射 \(U\to V\)，图表 \[\xymatrix{ & V_{\alpha(i)} \ar[dr] \\ U_i \ar[ur]^{f_i} \ar[dr]_{g_i} & & V \\ & V_{\beta(i)} \ar[ur] }\] 对每个 \(i\in I\) 都交换。因此，\(f\) 与 \(g\) 通过纤维积分解： \[\xymatrix{ & V_{\alpha(i)} \\ U_i \ar[r]^-\varphi \ar[ur]^{f_i} \ar[dr]_{g_i} & V_{\alpha(i)} \times_V V_{\beta(i)} \ar[u]_{\text{pr}_1} \ar[d]^{\text{pr}_2} \\ & V_{\beta(i)}. }\] 现在取 \(s = (s_j)_j \in H^0(\mathcal{V}, \mathcal{F})\)。则对所有 \(i\in I\)： \[(f^*s)_i = f_i^*(s_{\alpha(i)}) = \varphi^*\text{pr}_1^*(s_{\alpha(i)}) = \varphi^*\text{pr}_2^*(s_{\beta(i)}) = g_i^*(s_{\beta(i)}) = (g^*s)_i,\] 其中中间的等号来自 \(H^0(\mathcal{V}, \mathcal{F})\) 的定义。这表明由 \(f\) 与 \(g\) 诱导的映射 \(H^0(\mathcal{V}, \mathcal{F}) \to H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) 相等。

注

特别地，这个引理表明，若 \(\mathcal{U}\) 是 \(\mathcal{V}\) 的加细，并且 \(\mathcal{V}\) 是 \(\mathcal{U}\) 的加细，则存在典范等同 \(H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = H^0(\mathcal{V}, \mathcal{F})\)。

由这两个引理以及 \(\mathcal{J}_U\) 非空这一事实，可知图表 \(H^0(-, \mathcal{F}) : \mathcal{J}_U^{opp} \to \textit{Sets}\) 是滤过的；见 Categories，定义 002V。因此，由 Categories，第 04AX 节，余极限 \(\mathcal{F}^{+}(U)\) 可以按如下直接方式描述。集合 \(\mathcal{F}^{+}(U)\) 中的每个元素，都来自某个 \(U\) 的覆盖 \(\mathcal{U}\) 的一个元素 \(s \in H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)。再给定一个元素 \(s' \in H^0(\mathcal{U}', \mathcal{F})\)，则 \(s\) 与 \(s'\) 决定余极限中的同一元素，当且仅当存在 \(U\) 的一个覆盖 \(\mathcal{V}\)，以及加细 \(f : \mathcal{V} \to \mathcal{U}\) 和 \(f' : \mathcal{V} \to \mathcal{U}'\)，使得在 \(H^0(\mathcal{V}, \mathcal{F})\) 中有 \(f^*s = (f')^*s'\)。由于平凡覆盖 \(\{\text{id}_U\}\) 是 \(\mathcal{J}_U\) 的对象，得到典范映射 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}^+(U)\)。

引理

映射 \(\theta : \mathcal{F} \to \mathcal{F}^+\) 具有如下性质：对 \(\mathcal{C}\) 的每个对象 \(U\) 及每个截面 \(s \in \mathcal{F}^+(U)\)，存在覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，使得 \(s|_{U_i}\) 属于 \(\theta : \mathcal{F}(U_i) \to \mathcal{F}^{+}(U_i)\) 的像。

证明

事实上，取一个覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，使 \(s\) 来自元素 \((s_i) \in H^0(\{U_i \to U\}, \mathcal{F})\)。由引理 00W7，为计算 \(s\) 拉回到 \(\mathcal{F}^+(U_i)\) 的元素，可以使用覆盖 \(\{U_i \to U_i\}\) 及显然的覆盖态射 \(\{U_i \to U_i\} \to \{U_i \to U\}\)。而使用这个覆盖时，\(s\) 在 \(U_i\) 上的限制恰好是 \(\theta(s_i)\)。

定义

若对所有覆盖 \(\{U_i \rightarrow U\}\)，映射 \(\mathcal{F}(U) \to \prod \mathcal{F}(U_i)\) 都是单射，则称位点 \(\mathcal{C}\) 上的集合预层 \(\mathcal{F}\) 是分离的。

定理

对上述 \(\mathcal{F}\)，有：

预层 \(\mathcal{F}^+\) 是分离的。

若 \(\mathcal{F}\) 是分离的，则 \(\mathcal{F}^+\) 是层，并且预层映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^+\) 是单射。

若 \(\mathcal{F}\) 是层，则 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^+\) 是同构。

预层 \(\mathcal{F}^{++}\) 总是层。

证明

证明 (00WC)。假设 \(s, s' \in \mathcal{F}^+(U)\)，并假设存在某个覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，使得对所有 \(i\)，都有 \(s|_{U_i} = s'|_{U_i}\)。现在有 \(U\) 的三个覆盖：上述覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，如引理 00W9 中用于 \(s\) 的覆盖 \(\mathcal{U}\)，以及用于 \(s'\) 的类似覆盖 \(\mathcal{U}'\)。由引理 00W6，可以找到一个共同加细，记作 \(\{W_j \to U\}\)。这意味着存在 \(s_j, s'_j \in \mathcal{F}(W_j)\)，使得 \(s|_{W_j} = \theta(s_j)\)，对 \(s'|_{W_j}\) 亦然，并且 \(\theta(s_j) = \theta(s'_j)\)。最后一个等式意味着存在某个覆盖 \(\{W_{jk} \to W_j\}\)，使得 \(s_j|_{W_{jk}} = s'_j|_{W_{jk}}\)。由于 \(\{W_{jk} \to U\}\) 是覆盖，可知 \(s, s'\) 映到 \(H^0(\{W_{jk} \to U\}, \mathcal{F})\) 的同一元素，正合所需。

证明 (00WD)。\(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^+\) 显然是单射，因为所有映射 \(\mathcal{F}(U) \to H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) 都是单射。同样显然，若 \(\mathcal{U} \to \mathcal{U}'\) 是加细，则 \(H^0(\mathcal{U}', \mathcal{F}) \to H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) 是单射。现在假设 \(\{U_i \to U\}\) 是覆盖，并设 \((s_i)\) 是一族 \(\mathcal{F}^+(U_i)\) 的元素，满足对所有 \(i, i' \in I\) 的层条件 \(s_i|_{U_i \times_U U_{i'}} = s_{i'}|_{U_i \times_U U_{i'}}\)。选择如引理 00W9 中的覆盖 \(\{U_{ij} \to U_i\}\)，使得 \(s_i|_{U_{ij}}\) 是唯一元素 \(s_{ij} \in \mathcal{F}(U_{ij})\) 的像。层条件蕴含 \(s_{ij}\) 与 \(s_{i'j'}\) 在 \(U_{ij} \times_U U_{i'j'}\) 上相等，因为该对象映到 \(U_i \times_U U_{i'}\)，而我们在那里已有等式。因此 \((s_{ij}) \in H^0(\{U_{ij} \to U\}, \mathcal{F})\) 产生一个元素 \(s \in \mathcal{F}^+(U)\)。留给读者验证 \(s|_{U_i} = s_i\)。

证明 (00WE)。这由定义立即得到，因为层性质恰好说明，对 \(U\) 的每个覆盖 \(\mathcal{U}\)，每个映射 \(\mathcal{F} \to H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) 都是双射。

陈述 (00WF) 现在是显然的。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的集合预层。层 \(\mathcal{F}^\# := \mathcal{F}^{++}\) 连同典范映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\#\)，称为与 \(\mathcal{F}\) 相伴的层。

命题

典范映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\#\) 具有如下泛性质：对任意映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)，其中 \(\mathcal{G}\) 是集合层，存在唯一映射 \(\mathcal{F}^\# \to \mathcal{G}\)，使得复合 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\# \to \mathcal{G}\) 等于给定映射。

证明

由引理 00W5，得到交换图表 \[\xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}^{+} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}^{++} \ar[d] \\ \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{G}^{+} \ar[r] & \mathcal{G}^{++} }\] 而由定理 00WB，下方的水平映射都是同构。唯一性来自引理 00W9；该引理说明，\(\mathcal{F}^\#\) 的每个截面在局部都来自 \(\mathcal{F}\) 的截面。

由此结果容易看出，函子 \(\mathcal{F} \mapsto (\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\#)\) 在函子的唯一同构意义下唯一。事实上，暂用 \(i : \Sh(\mathcal{C}) \to \textit{PSh}(\mathcal{C})\) 表示包含函子。上述结果实际上说明 \[\Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(\mathcal{F}, i(\mathcal{G})) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{F}^\#, \mathcal{G}).\] 换言之，层化函子是包含函子 \(i\) 的左伴随。

例

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(E\) 为集合。取常值 \(E\) 的常值层 \(\underline{E}\)，是取常值 \(E\) 的常值函子所给预层的层化。它由下列规则刻画：对 \(\mathcal{C}\) 上的每个层 \(\mathcal{F}\)， \(\Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\underline{E}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{Sets}}(E, \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F}))\)；这里的记号来自定义 06UN。

以几个引理结束本节。

引理

设 \(\mathcal{F} : \mathcal{I} \to \Sh(\mathcal{C})\) 是一个图表。那么 \(\colim_\mathcal{I} \mathcal{F}\) 存在，并且是预层范畴中余极限的层化。

证明

由于层化函子是左伴随，它与所有余极限交换；见 Categories，引理 0038。所以，由于 \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\) 有余极限，可知 \(\Sh(\mathcal{C})\) 也有余极限（它们是预层中余极限的层化）。

引理

函子 \(\textit{PSh}(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{C})\)， \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^\#\)，是正合的。

证明

由于它是左伴随，故右正合；见 Categories，引理 0039。另一方面，由引理 00W6 和引理 00W7， \(\mathcal{F}^+\) 的构造中的余极限实际上取在定向集 \(\Ob(\mathcal{J}_U)\) 上，其中 \(\mathcal{U} \geq \mathcal{U}'\) 当且仅当 \(\mathcal{U}\) 是 \(\mathcal{U}'\) 的加细。因此，由 Categories，引理 002W，可知 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^+\) 与有限极限交换（视为从预层到预层的函子）。再用引理 00W2 即得结论。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上的集合预层。记 \(\theta^2 : \mathcal{F} \to \mathcal{F}^\#\) 为从 \(\mathcal{F}\) 到其层化的典范映射。设 \(U\) 为 \(\mathcal{C}\) 的对象，并设 \(s \in \mathcal{F}^\#(U)\)。存在覆盖 \(\{U_i \to U\}\) 和截面 \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\)，使得

\(s|_{U_i} = \theta^2(s_i)\)；

对每个 \(i, j\)，存在 \(\mathcal{C}\) 的一个覆盖 \(\{U_{ijk} \to U_i \times_U U_j\}\)，使得 \(s_i\) 与 \(s_j\) 拉回到每个 \(U_{ijk}\) 后相等。

反过来，给定任意覆盖 \(\{U_i \to U\}\) 和满足 (2) 的元素 \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\)，则存在唯一的截面 \(s \in \mathcal{F}^\#(U)\)，使得 (1) 成立。

证明

从略。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。设 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上集合预层的映射。记 \(\mathcal{B}\) 为所有满足 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\) 是双射的 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 所成的集合。若 \(\mathcal{C}\) 的每个对象都有一个由 \(\mathcal{B}\) 的元素组成的覆盖，则 \(\mathcal{F}^\# \to \mathcal{G}^\#\) 是同构。

证明

取 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)。我们证明 \(\mathcal{F}^\#(U) \to \mathcal{G}^\#(U)\) 是满射。为此，我们将使用引理 00WK，不再另行说明。对任意 \(s \in \mathcal{G}^\#(U)\)，存在覆盖 \(\{U_i \to U\}\) 和截面 \(s_i \in \mathcal{G}(U_i)\)，使得

\(s|_{U_i}\) 是 \(s_i\) 经 \(\mathcal{G} \to \mathcal{G}^\#\) 的像；

对每个 \(i, j\)，存在 \(\mathcal{D}\) 的一个覆盖 \(\{U_{ijk} \to U_i \times_U U_j\}\)，使得 \(s_i\) 与 \(s_j\) 拉回到每个 \(U_{ijk}\) 后相等。

由假设，对每个 \(i\)，可以选择一个覆盖 \(\{U_{i, a} \to U_i\}\)，其中 \(U_{i, a} \in \mathcal{B}\)。于是 \(\{U_{i, a} \to U\}\) 是覆盖。用 \(s_{i, a}\) 表示 \(s_i\) 在 \(\mathcal{G}(U_{i, a})\) 中的像，可知 \(s_{i, a}\) 与 \(s_{j, b}\) 拉回到覆盖 \[\{(U_{i, a} \times_U U_{j, b}) \times_{U_i \times_U U_j} U_{ijk} \to U_{i, a} \times_U U_{j, b}\}\] 的成员上后相等。因此，可以假设 \(U_i \in \mathcal{B}\)。重复此论证，还可以假设对所有 \(i, j, k\) 都有 \(U_{ijk} \in \mathcal{B}\)（细节从略）。于是，由于引理陈述中对 \(\mathcal{B}\) 的定义保证 \(\mathcal{F}(U_i) \to \mathcal{G}(U_i)\) 是双射，得到唯一的 \(t_i \in \mathcal{F}(U_i)\) 映到 \(s_i\)。\(t_i\) 与 \(t_j\) 拉回到每个 \(U_{ijk}\) 后在 \(\mathcal{F}(U_{ijk})\) 中相等，因为 \(U_{ijk} \in \mathcal{B}\)，并且 \(t_i\) 与 \(t_j\) 已有相等性。

于是该引理表明，存在唯一的 \(t \in \mathcal{F}^\#(U)\)，使得 \(t|_{U_i}\) 是 \(t_i\) 的像。由此 \(t\) 映到 \(s\)。我们略去 \(\mathcal{F}^\#(U) \to \mathcal{G}^\#(U)\) 为单射的证明。

层的单射与满射

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，并设 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是集合层的映射。

若对 \(\mathcal{C}\) 的每个对象 \(U\)，映射 \(\varphi : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\) 都是单射，则称 \(\varphi\) 是单射的。

若对 \(\mathcal{C}\) 的每个对象 \(U\) 和每个截面 \(s\in \mathcal{G}(U)\)，都存在一个覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，使得对所有 \(i\)，限制 \(s|_{U_i}\) 都属于 \(\varphi : \mathcal{F}(U_i) \to \mathcal{G}(U_i)\) 的像，则称 \(\varphi\) 是满射的。

引理

上面定义的单射（相应地，满射）恰好是范畴 \(\Sh(\mathcal{C})\) 中的单态射（相应地，满态射）。层的映射是同构，当且仅当它既是单射又是满射。

证明

从略。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。设 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是集合层的满射。则图表 \[\xymatrix{ \mathcal{F} \times_\mathcal{G} \mathcal{F} \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{G}}\] 把 \(\mathcal{G}\) 表示为余等化子。

证明

设 \(\mathcal{H}\) 为集合层，并设 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{H}\) 是等化两个映射 \(\mathcal{F} \times_\mathcal{G} \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 的层映射。设 \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{G}\) 为映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 的预层像。由于积 \(\mathcal{F} \times_\mathcal{G} \mathcal{F}\) 可以在预层范畴中计算，可知它等于预层积 \(\mathcal{F} \times_{\mathcal{G}'} \mathcal{F}\)。因此 \(\varphi\) 诱导唯一的预层映射 \(\psi' : \mathcal{G}' \to \mathcal{H}\)。由引理 00WN，\(\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{G}'\) 的层化，故 \(\psi'\) 唯一延拓为层映射 \(\psi : \mathcal{G} \to \mathcal{H}\)。我们略去验证 \(\varphi\) 等于 \(\psi\) 与给定映射的复合。

可表层

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。典范拓扑是使所有可表预层都成为层的最细拓扑（它在定义 00ZA 中有形式定义，但这里不需要）。该拓扑未必总是 \(\mathcal{C}\) 上某个位点结构的相伴拓扑。若 \(\mathcal{C}\) 有纤维积，我们将给出生成此拓扑的一类覆盖。先给出下面的一般定义。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。若族 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) 中所有态射 \(U_i \to U\) 都可表（见 Categories，定义 001X），并且对任意 \(X\in \Ob(\mathcal{C})\)，序列 \[\xymatrix{ \Mor_\mathcal{C}(U, X) \ar[r] & \prod\nolimits_{i \in I} \Mor_\mathcal{C}(U_i, X) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod\nolimits_{(i, j) \in I^2} \Mor_\mathcal{C}(U_i \times_U U_j, X) }\] 是等化子图表，则称该族是一个有效满态射。若对任意态射 \(V \to U\)，基变换 \(\{U_i \times_U V \to V\}\) 都是有效满态射，则称族 \(\{U_i \to U\}\) 是一个泛有效满态射。

泛有效满态射族所成的类满足定义 00VH 的公理。若 \(\mathcal{C}\) 有纤维积，则相伴拓扑就是典范拓扑。（在这种情况下，要得到一个位点，可按 Sets，引理 000X 论证。）

反过来，假设 \(\mathcal{C}\) 是一个位点，且所有可表预层都是层。于是显然，所有覆盖都是泛有效满态射。因此，在位点语境中，下面的定义才是“正确”的。

定义

若 \(\mathcal{C}\) 的所有覆盖都是泛有效满态射，则称位点 \(\mathcal{C}\) 上的拓扑弱于典范拓扑，或称该拓扑是次典范的。

可表层是同时为层的可表预层。由于当拓扑不是次典范时最好避免这一术语，我们只在次典范情形下给出其形式定义。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为拓扑次典范的位点。Yoneda 嵌入 \(h\)（见 Categories，第 001L 节）把 \(\mathcal{C}\) 表示为 \(\mathcal{C}\) 的层范畴的全子范畴。在这种情况下，我们称形如 \(h_U\) 的层为 \(\mathcal{C}\) 上的可表层，其中 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)。记号：有时，与 \(U\) 相伴的可表层 \(h_U\) 记作 \(\underline{U}\)。

注意，在该定义的情形下，对每个层 \(\mathcal{F}\)，都有 \[\Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(h_U, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U)\] 因为该等式对预层成立；见 (090F)。一般而言，预层 \(h_U\) 不是层；要得到层，必须对它们作层化。在这种情况下，仍有 [090I]\[\begin{equation} \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(h_U^\#, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_U, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U) \end{equation}\] 对每个层 \(\mathcal{F}\) 成立。事实上，第一个等式来自 \(\#\) 的伴随性质，第二个等式就是 (090F)。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。若 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) 是位点 \(\mathcal{C}\) 的一个覆盖，则集合预层的态射 \[\coprod\nolimits_{i \in I} h_{U_i} \to h_U\] 经层化后成为满射。

证明

由上述引理 00WN，需要证明 \(\coprod\nolimits_{i \in I} h_{U_i}^\# \to h_U^\#\) 是满态射。设 \(\mathcal{F}\) 为集合层。态射 \(h_U^\# \to \mathcal{F}\) 对应于截面 \(s \in \mathcal{F}(U)\)。因此，映射 \(\Mor(h_U^\#, \mathcal{F}) \to \prod_i \Mor(h_{U_i}^\#, \mathcal{F})\) 的单射性直接来自 \(\mathcal{F}\) 的层性质。

下一个引理说明：在拓扑弱于典范拓扑的情况下，每个层在某种意义下都由可表层组成。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。设 \(E \subset \Ob(\mathcal{C})\) 是一个子集，使得 \(\mathcal{C}\) 的每个对象都有由 \(E\) 的元素组成的覆盖。设 \(\mathcal{F}\) 为集合层。存在集合层的图表 \[\xymatrix{ \mathcal{F}_1 \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \mathcal{F}_0 \ar[r] & \mathcal{F} }\] 把 \(\mathcal{F}\) 表示为余等化子，并且对 \(i = 0, 1\)，\(\mathcal{F}_i\) 都是形如 \(h_U^\#\)（其中 \(U \in E\)）的层的余积。

证明

首先证明存在所需类型的满态射 \(\mathcal{F}_0 \to \mathcal{F}\)。事实上，只须取 \[\mathcal{F}_0 = \coprod\nolimits_{U \in E, s \in \mathcal{F}(U)} (h_U)^\# \longrightarrow \mathcal{F}\] 这里，箭头限制在与 \((U, s)\) 对应的分量上时，把元素 \(\text{id}_U \in h_U^\#(U)\) 映到截面 \(s \in \mathcal{F}(U)\)。由引理 00WN 以及对 \(E\) 的条件，这是一条满态射。为构造 \(\mathcal{F}_1\)，先令 \(\mathcal{G} = \mathcal{F}_0 \times_\mathcal{F} \mathcal{F}_0\)，再像上面那样构造满态射 \(\mathcal{F}_1 \to \mathcal{G}\)。见引理 086K。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上的集合层。则存在图表 \(\mathcal{I} \to \mathcal{C}\)，\(i \mapsto U_i\)，使得 \[\mathcal{F} = \colim_{i \in \mathcal{I}} h_{U_i}^\#\] 此外，若 \(E \subset \Ob(\mathcal{C})\) 是一个子集，使 \(\mathcal{C}\) 的每个对象都有由 \(E\) 的元素组成的覆盖，则可假设对所有 \(i \in \Ob(\mathcal{I})\)，\(U_i\) 都是 \(E\) 的元素。

证明

令 \(\mathcal{I}\) 为如下范畴：其对象是二元组 \((U, s)\)，其中 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 且 \(s \in \mathcal{F}(U)\)；态射 \((U, s) \to (U', s')\) 是 \(\mathcal{C}\) 中满足 \(f^*s' = s\) 的态射 \(f : U \to U'\)。对 \(\mathcal{I}\) 的每个对象 \((U, s)\)，由 Yoneda 引理，元素 \(s\) 定义预层映射 \(s : h_U \to \mathcal{F}\)，从而由层化的泛性质得到映射 \(h_U^\# \to \mathcal{F}\)。立即可见，这些映射与范畴 \(\mathcal{I}\) 中的态射相容。因此，得到预层映射 \(\colim_{(U, s)} h_U \to \mathcal{F}\)（其中余极限在预层范畴中取），以及层映射 \(\colim_{(U, s)} (h_U)^\# \to \mathcal{F}\)（其中余极限在层范畴中取）。由于层化是包含函子 \(\Sh(\mathcal{C}) \to \textit{PSh}(\mathcal{C})\) 的左伴随（命题 00WH），由 Categories，引理 0038，有 \(\colim (h_U)^\# = (\colim h_U)^\#\)。因此只须证明 \(\colim_{(U, s)} h_U \to \mathcal{F}\) 是预层同构。为此，证明对 \(\mathcal{C}\) 的每个对象 \(X\)，映射 \(\colim_{(U, s)} h_U(X) \to \mathcal{F}(X)\) 是双射。事实上，它有如下逆映射：把元素 \(t \in \mathcal{F}(X)\) 送到集合 \(\colim_{(U, s)} h_U(X)\) 中由 \((X, t)\) 和 \(\text{id}_X \in h_X(X)\) 对应的元素。

最后一个陈述的证明从略。

连续函子

定义

设 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 为位点。若对每个 \(\{V_i \to V\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)，函子 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 都满足下列条件，则称它是 连续的：

\(\{u(V_i) \to u(V)\}_{i\in I}\) 属于 \(\text{Cov}(\mathcal{D})\)；

对 \(\mathcal{C}\) 中任意态射 \(T \to V\)，态射 \(u(T \times_V V_i) \to u(T) \times_{u(V)} u(V_i)\) 是同构。

回忆一下，给定上述函子 \(u\) 和 \(\mathcal{D}\) 上的集合预层 \(\mathcal{F}\)，我们已把 \(u^p\mathcal{F}\) 定义为预层 \(\mathcal{F} \circ u\)，换言之，对 \(\mathcal{C}\) 的每个对象 \(V\)，有 \[u^p\mathcal{F} (V) = \mathcal{F}(u(V))\]

引理

设 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 为位点。设 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 为连续函子。若 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{D}\) 上的层，则 \(u^p\mathcal{F}\) 也是层。

证明

设 \(\{V_i \to V\}\) 为覆盖。由假设，\(\{u(V_i) \to u(V)\}\) 是 \(\mathcal{D}\) 中的覆盖，并且 \(u(V_i \times_V V_j) = u(V_i)\times_{u(V)}u(V_j)\)。所以， \(u^p\mathcal{F}\) 关于覆盖 \(\{V_i \to V\}\) 的层条件，恰好就是 \(\mathcal{F}\) 关于覆盖 \(\{u(V_i) \to u(V)\}\) 的层条件。

为避免混淆，有时把 \(u^p\) 限制在集合层子范畴上所得的函子记作 \[u^s : \Sh(\mathcal{D}) \longrightarrow \Sh(\mathcal{C})\] 回忆一下，\(u^p\) 有左伴随 \(u_p : \textit{PSh}(\mathcal{C}) \to \textit{PSh}(\mathcal{D})\)；见第 00VC 节。

引理

在引理 00WW 的情形下，函子 \(u_s : \mathcal{G} \mapsto (u_p \mathcal{G})^\#\) 是 \(u^s\) 的左伴随。

证明

直接由引理 00VE 和命题 00WH 得到。

下面是一个技术性引理。

引理

在引理 00WW 的情形下，对 \(\mathcal{C}\) 上的任意预层 \(\mathcal{G}\)，都有 \((u_p\mathcal{G})^\# = (u_p(\mathcal{G}^\#))^\#\)。

证明

对 \(\mathcal{D}\) 上的任意层 \(\mathcal{F}\)，有 \[\begin{eqnarray*} \Mor_{\Sh(\mathcal{D})}(u_s(\mathcal{G}^\#), \mathcal{F}) & = & \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{G}^\#, u^s\mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(\mathcal{G}^\#, u^p\mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(\mathcal{G}, u^p\mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{D})}(u_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\Sh(\mathcal{D})}((u_p\mathcal{G})^\#, \mathcal{F}) \end{eqnarray*}\] 结论由 Yoneda 引理得到。

引理

设 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 为位点之间的连续函子。对 \(\mathcal{C}\) 的任意对象 \(U\)，都有 \(u_sh_U^\# = h_{u(U)}^\#\)。

证明

由引理 04D2 和 00WY 得到。

注

（初读时可跳过。）设 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 为位点。我们利用自明等价映射族的定义（见定义 00VU），（略微）削弱连续性的定义条件。设 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 为函子。若对每个 \(\mathcal{V} = \{V_i \to V\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)，都有下列性质，则称 \(u\) 是拟连续的：

映射族 \(\{u(V_i) \to u(V)\}_{i\in I}\) 与 \(\text{Cov}(\mathcal{D})\) 的一个元素自明等价；

对 \(\mathcal{C}\) 中任意态射 \(T \to V\)，态射 \(u(T \times_V V_i) \to u(T) \times_{u(V)} u(V_i)\) 是同构。

我们将看到，当 \(u\) 拟连续时，引理 00WW 和 00WX 同样成立。

首先注意，态射 \(u(V_i) \to u(V)\) 是可表的，因为由第一个条件，它们与可表态射同构。特别地，族 \(u(\mathcal{V}) = \{u(V_i) \to u(V)\}_{i\in I}\) 对 \(\mathcal{D}\) 上的任意预层 \(\mathcal{F}\) 都给出一个第零 Čech 上同调群 \(H^0(u(\mathcal{V}), \mathcal{F})\)。

设 \(\mathcal{U} = \{U_j \to u(V)\}_{j \in J}\) 是 \(\text{Cov}(\mathcal{D})\) 的一个元素，并且与 \(\{u(V_i) \to u(V)\}_{i \in I}\) 自明等价。注意，\(u(\mathcal{V})\) 是 \(\mathcal{U}\) 的加细，反之亦然。因此，由备注 00W8，有 \(H^0(u(\mathcal{V}), \mathcal{F}) = H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)。特别地，若 \(\mathcal{F}\) 是层，则由用第零 Čech 上同调群表述的层性质，有 \(\mathcal{F}(u(V)) = H^0(u(\mathcal{V}), \mathcal{F})\)。由此可知，若 \(\mathcal{F}\) 是层，则 \(u^p\mathcal{F}\) 是层，因为 \(H^0(\mathcal{V}, u^p\mathcal{F}) = H^0(u(\mathcal{V}), \mathcal{F})\)，而刚才已经看到，它等于 \(\mathcal{F}(u(V)) = u^p\mathcal{F}(V)\)。这样便证明了引理 00WW。引理 00WX 随即成立。

位点态射

定义

设 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 为位点。一个位点态射 \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\)，由连续函子 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 给出，并要求函子 \(u_s\) 正合。

注意，函子 \(u\) 的方向与态射 \(f\) 的方向相反。若 \(f \leftrightarrow u\) 是位点态射，则采用记号 \(f^{-1} = u_s\) 和 \(f_* = u^s\)。函子 \(f^{-1}\) 称为逆像函子，函子 \(f_*\) 称为直像函子。与拓扑学中一样，有下列伴随性质： \[\Mor_{\Sh(\mathcal{D})}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F})\] 这一定义的动机来自下面的例子。

例

设 \(f : X \to Y\) 是拓扑空间的连续映射。回忆一下，我们有位点 \(X_{Zar}\) 和 \(Y_{Zar}\)；见例 00VJ。考虑函子 \(u : Y_{Zar} \to X_{Zar}\)，\(V \mapsto f^{-1}(V)\)。这个函子显然连续，因为开覆盖的逆像仍是开覆盖。（实际上，这取决于如何为 \(X_{Zar}\) 与 \(Y_{Zar}\) 选择覆盖集。但无论如何，该函子是拟连续的；见备注 00WZ。）容易验证，函子 \(u^s\) 等于拓扑学中通常的直像函子 \(f_*\)。因此，由于 \(u_s\) 是伴随函子，而通常的拓扑逆像函子 \(f^{-1}\) 也是伴随函子，得到典范同构 \(f^{-1} \cong u_s\)。由于 \(f^{-1}\) 正合，可知 \(u_s\) 正合。故 \(u\) 定义位点态射 \(f : X_{Zar} \to Y_{Zar}\)；我们也可以把它记作 \(f\)，因为已经看到函子 \(u_s, u^s\) 与它们通常的概念一致。

例

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。设 \[\text{Cov}(\mathcal{C}) \supset \text{Cov}'(\mathcal{C})\] 是两组具有固定靶的态射族集合，并且都把 \(\mathcal{C}\) 变成位点。记 \(\mathcal{C}_\tau\) 为对应于 \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) 的位点，记 \(\mathcal{C}_{\tau'}\) 为对应于 \(\text{Cov}'(\mathcal{C})\) 的位点。我们断言， \(\mathcal{C}\) 上的恒等函子定义位点态射 \[\epsilon : \mathcal{C}_\tau \longrightarrow \mathcal{C}_{\tau'}\] 事实上，注意 \(\text{id} : \mathcal{C}_{\tau'} \to \mathcal{C}_\tau\) 连续，因为每个 \(\tau'\)-覆盖都是 \(\tau\)-覆盖。因此，函子 \(\epsilon_* = \text{id}^s\) 是底层预层上的恒等函子。故 \(\epsilon_*\) 的左伴随 \(\epsilon^{-1}\) 把 \(\tau'\)-层 \(\mathcal{F}\) 送到 \(\mathcal{F}\) 的 \(\tau\)-层化（由层化的泛性质）。\(\tau'\)-层的有限极限与预层的有限极限一致（引理 00W2），而 \(\tau\)-层化与有限极限交换（引理 00WJ）。因此，\(\epsilon^{-1}\) 左正合。又因为 \(\epsilon^{-1}\) 是左伴随，它也右正合（Categories，引理 0039）。所以 \(\epsilon^{-1}\) 正合，我们已经验证了定义 00X1 的全部条件。

引理

设 \(\mathcal{C}_i\)，\(i = 1, 2, 3\)，为位点。设 \(u : \mathcal{C}_2 \to \mathcal{C}_1\) 和 \(v : \mathcal{C}_3 \to \mathcal{C}_2\) 是诱导位点态射的连续函子。那么函子 \(u \circ v : \mathcal{C}_3 \to \mathcal{C}_1\) 连续，并定义位点态射 \(\mathcal{C}_1 \to \mathcal{C}_3\)。

证明

由定义立即可知 \(u \circ v\) 是连续函子。此外，显然有 \((u \circ v)^p = v^p \circ u^p\)，从而 \((u \circ v)^s = v^s \circ u^s\)。因此，函子 \((u \circ v)_s\) 与 \(u_s \circ v_s\) 都是 \((u \circ v)^s\) 的左伴随。故 \((u \circ v)_s \cong u_s \circ v_s\)，于是 \((u \circ v)_s\) 作为正合函子的复合是正合的。

定义

设 \(\mathcal{C}_i\)，\(i = 1, 2, 3\)，为位点。设 \(f : \mathcal{C}_1 \to \mathcal{C}_2\) 和 \(g : \mathcal{C}_2 \to \mathcal{C}_3\) 是位点态射，分别由连续函子 \(u : \mathcal{C}_2 \to \mathcal{C}_1\) 和 \(v : \mathcal{C}_3 \to \mathcal{C}_2\) 给出。复合 \(g \circ f\) 是对应于函子 \(u \circ v\) 的位点态射。

在这种情况下，有 \((g \circ f)_* = g_* \circ f_*\) 及 \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\)（见引理 03CB 的证明）。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 为位点，且 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 连续。假设第 00VC 节中的所有范畴 \((\mathcal{I}_V^u)^{opp}\) 都是滤过的。那么 \(u\) 定义位点态射 \(\mathcal{D} \to \mathcal{C}\)；换言之，\(u_s\) 正合。

证明

由于 \(u_s\) 是 \(u^s\) 的左伴随，\(u_s\) 右正合；见 Categories，引理 0039。因此只须证明 \(u_s\) 左正合，换言之，只须证明 \(u_s\) 与有限极限交换。由于范畴 \(\mathcal{I}_Y^{opp}\) 是滤过的，由 Categories，引理 002W，可知 \(u_p\) 与有限极限交换（这里也使用了 \(\textit{PSh}\) 中极限的描述，见第 00VB 节）。又因层化也与有限极限交换（引理 00WJ），结合 \(u_s = \# \circ u_p\) 即得结论。

命题

设 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 为位点。设 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 连续，并进一步假设：

范畴 \(\mathcal{C}\) 有终对象 \(X\)，且 \(u(X)\) 是 \(\mathcal{D}\) 的终对象；

范畴 \(\mathcal{C}\) 有纤维积，且 \(u\) 与纤维积交换。

那么 \(u\) 定义位点态射 \(\mathcal{D} \to \mathcal{C}\)；换言之，\(u_s\) 正合。

证明

这由引理 00X3 和 00X5 得到。

注

上述命题 00X6 的条件等价于说 \(u\) 左正合，即与有限极限交换。见 Categories，引理 002O 和 0035。用终对象和纤维积来表述似乎更自然，因为在例子中，这种表述似乎有更多几何意义。

引理 09VR 将提供另一种方法，证明连续函子产生位点态射。

注

（初读时可跳过。）设 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 为位点。仿照定义 00X1，我们说一个拟位点态射 \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\)，由一个拟连续函子 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)（见备注 00WZ）给出，并要求 \(u_s\) 正合。命题 00X6 在此情形下的类似命题，只须把“连续”替换为 “拟连续”，并把“态射”替换为“拟态射”。证明完全相同。

定义 00X1 中 \(u_s\) 正合这一条件不能省略。例如，若只假设 \(u\) 连续，下面引理的结论未必成立。

引理

设 \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 是由函子 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 给出的位点态射。给定 \(\mathcal{D}\) 的任意对象 \(V\)，存在覆盖 \(\{V_j \to V\}\)，使得对每个 \(j\)，都存在态射 \(V_j \to u(U_j)\)，其中 \(U_j\) 是 \(\mathcal{C}\) 的某个对象。

证明

由于 \(f^{-1} = u_s\) 正合，有 \(f^{-1}* = *\)，其中 \(*\) 表示层范畴的终对象（例 00W3）。由于 \(f^{-1}* = u_s*\) 是 \(u_p*\) 的层化，可知存在覆盖 \(\{V_j \to V\}\)，使得 \((u_p*)(V_j)\) 非空。又因为 \((u_p*)(V_j)\) 是范畴 \(\mathcal{I}^u_{V_j}\) 上的余极限，而该范畴的对象是态射 \(V_j \to u(U)\)，引理得证。

托扑斯

下面给出适合本文用途的托扑斯定义。托扑斯就是一个位点上的层范畴；要指定一个托扑斯，只须指定该位点。托扑斯与位点之间真正的区别在于态射的定义。事实上，有许多托扑斯态射并非来自底层位点的态射。

定义

一个托扑斯是某个位点 \(\mathcal{C}\) 上的层范畴 \(\Sh(\mathcal{C})\)。

设 \(\mathcal{C}\)、\(\mathcal{D}\) 为位点。从 \(\Sh(\mathcal{D})\) 到 \(\Sh(\mathcal{C})\) 的一个托扑斯态射 \(f\)，由一对函子 \(f_* : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\) 和 \(f^{-1} : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) 给出，并满足：

双函子自然地有 \[\Mor_{\Sh(\mathcal{D})}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F})\]

函子 \(f^{-1}\) 与有限极限交换，即它左正合。

设 \(\mathcal{C}\)、\(\mathcal{D}\)、\(\mathcal{E}\) 为位点。给定托扑斯态射 \(f :\Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\) 和 \(g :\Sh(\mathcal{E}) \to \Sh(\mathcal{D})\)，复合 \(f\circ g\) 是由函子 \((f \circ g)_* = f_* \circ g_*\) 和 \((f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}\) 定义的托扑斯态射。

假设 \(\alpha : \mathcal{S}_1 \to \mathcal{S}_2\) 是（可能为“大的”）范畴的等价。若 \(\mathcal{S}_1\)、\(\mathcal{S}_2\) 是托扑斯，则令 \(f_* = \alpha\)，并令 \(f^{-1}\) 等于 \(\alpha\) 的一个拟逆，便得到托扑斯态射 \(f : \mathcal{S}_1 \to \mathcal{S}_2\)。此外，这个态射是托扑斯 \(2\)-范畴中的等价（见第 04I9 节）。所以，若 \(\mathcal{S}\) 等价于某个位点上的层范畴（而不一定等于某个位点上的层范畴），说“\(\mathcal{S}\) 是一个托扑斯”是有意义的。我们偶尔采用这种记号滥用。

空托扑斯是位点 \(\mathcal{C}\) 上的层所成的托扑斯，其中 \(\mathcal{C}\) 是空范畴。我们有时用 \(\emptyset\) 表示这个位点。这个位点只有唯一一个层（因为 \(\emptyset\) 没有对象）。所以 \(\Sh(\emptyset)\) 等价于只有一个对象和一个态射的范畴。

点托扑斯是如下位点 \(\mathcal{C}\) 上的层所成的托扑斯：它只有一个对象 \(pt\) 和一个态射 \(\text{id}_{pt}\)，唯一的覆盖是 \(\{\text{id}_{pt}\}\)。我们简记这个位点为 \(pt\)。显然，层范畴 \(=\) 预层范畴 \(=\) 集合范畴。用公式表示： \(\Sh(pt) = \textit{Sets}\)。

设 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 为位点。设 \(f : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\) 为托扑斯态射。注意，\(f_*\) 与所有极限交换，而 \(f^{-1}\) 与所有余极限交换；见 Categories，引理 0038。特别地，上述定义中对 \(f^{-1}\) 的条件保证 \(f^{-1}\) 正合。托扑斯态射通常使用引理 00XO 或下一个引理来构造。

引理

给定与函子 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 对应的位点态射 \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\)，函子对 \((f^{-1} = u_s, f_* = u^s)\) 是托扑斯态射 \(\Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\)。

证明

这由定义 00X1 显然成立。

注

有许多位点产生托扑斯 \(\Sh(pt)\)。下面是一个有用的例子。假设 \(S\) 是一个（由集合组成的）集合，并且至少含有一个非空元素。令 \(\mathcal{S}\) 为这样的范畴：对象是 \(S\) 的元素，态射是任意集合映射。假设 \(\mathcal{S}\) 有纤维积。例如，若 \(S = \mathcal{P}(\text{无限集})\) 是任意无限集合的幂集，则此条件成立（集合论练习）。把满射映射族声明为覆盖，从而使 \(\mathcal{S}\) 成为位点（并如 Sets，第 000W 节那样选择一个适当且充分大的覆盖族集合）。我们断言 \(\Sh(\mathcal{S})\) 等价于集合范畴。

先证明 \(S\) 含有一个单元素集 \(e \in S\) 的情形。在此情形下，存在托扑斯等价 \(i : \Sh(pt) \to \Sh(\mathcal{S})\)，由函子 [05UW]\[\begin{equation} i^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{F}(e), \quad i_*E = (U \mapsto \Mor_{\textit{Sets}}(U, E)) \end{equation}\] 给出。事实上，假设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{S}\) 上的层。对任意 \(U \in \Ob(\mathcal{S}) = S\)，都可以找到覆盖 \(\{\varphi_u : e \to U\}_{u \in U}\)，其中 \(\varphi_u\) 把 \(e\) 的唯一元素映到 \(u \in U\)。此时层条件蕴含 \(\mathcal{F}(U) = \prod_{u \in U} \mathcal{F}(e)\)。换言之， \(\mathcal{F}(U) = \Mor_{\textit{Sets}}(U, \mathcal{F}(e))\)。此外，这条规则与限制映射相容。因此函子 \[i_* : \textit{Sets} = \Sh(pt) \longrightarrow \Sh(\mathcal{S}), \quad E \longmapsto (U \mapsto \Mor_{\textit{Sets}}(U, E))\] 是范畴等价，其逆就是上面给出的函子 \(i^{-1}\)。

若 \(\mathcal{S}\) 不含单元素集，则上述定义的函子 \(i_*\) 仍有意义。为证明它在此情形下仍为等价，任取一个非空的 \(\tilde e \in S\)，并取一个像为单元素集的映射 \(\varphi : \tilde e \to \tilde e\)。对任意层 \(\mathcal{F}\)，令 \[\mathcal{F}(e) := \Im( \mathcal{F}(\varphi) : \mathcal{F}(\tilde e) \longrightarrow \mathcal{F}(\tilde e) )\] 并证明这给出 \(i_*\) 的拟逆。细节从略。

注

（与托扑斯态射有关的集合论问题。初读时可跳过。）上述定义的一个托扑斯态射不是集合，而是类。换言之，它由数学公式而非数学对象给出。虽然可以考虑两个给定托扑斯之间所有态射的汇集，但把它作为数学对象引入并非好主意。另一方面，假设 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 是给定的位点。考虑函子 \(\Phi : \mathcal{C} \to \Sh(\mathcal{D})\)。这样的函子是集合，换言之，它是数学对象。可以依次对 \(\Phi\) 提出下列问题：

给定 \(\mathcal{D}\) 上的层 \(\mathcal{F}\)，规则 \(U \mapsto \Mor_{\Sh(\mathcal{D})}(\Phi(U), \mathcal{F})\) 是否定义 \(\mathcal{C}\) 上的层？若是，它定义函子 \(\Phi_* : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\)。

\(\Phi_*\) 是否有左伴随？若有，把这个左伴随记作 \(\Phi^{-1}\)。

\(\Phi^{-1}\) 是否正合？

若最后一个问题的答案仍为“是”，便得到托扑斯态射 \((\Phi_*, \Phi^{-1})\)。此外，给定任意托扑斯态射 \((f_*, f^{-1})\)，可令 \(\Phi(U) = f^{-1}(h_U^\#)\)，并得到上述函子 \(\Phi\)，使得 \(f_* \cong \Phi_*\) 且 \(f^{-1} \cong \Phi^{-1}\)（与伴随性质相容）。结论是：通过使用 \(\Phi\) 的汇集而非托扑斯态射，我们 (a) 把托扑斯态射概念替换为数学对象，并且 (b) \(\Phi\) 的汇集构成一个类（而不是类的汇集）。当然，还可以说得更多，例如可以更准确地阐明上述条件 (2) 和 (3) 的意义；我们在第 00Y3 节对托扑斯的点讨论这一点。

注

（初读时可跳过。）设 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 为位点。拟位点态射 \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\)（见备注 00X8）完全如引理 00XC 那样，产生从 \(\Sh(\mathcal{D})\) 到 \(\Sh(\mathcal{C})\) 的托扑斯态射 \(f\)。

G-集合与态射

设 \(\varphi : G \to H\) 为群同态。按照例 00VK 和第 00VZ 节，选择（适当的）位点 \(\mathcal{T}_G\) 和 \(\mathcal{T}_H\)。令 \(u : \mathcal{T}_H \to \mathcal{T}_G\) 为这样的函子：它把 \(H\)-集合 \(U\) 送到具有相同底层集合的 \(G\)-集合 \(U_\varphi\)，其 \(G\)-作用由 \(g \cdot \xi = \varphi(g)\xi\) 定义，其中 \(g \in G\) 且 \(\xi \in U\)。显然，\(u\) 与有限极限交换并且连续⁴。应用命题 00X6 和引理 00XC，得到与 \(\varphi\) 相伴的托扑斯态射 \[f : \Sh(\mathcal{T}_G) \longrightarrow \Sh(\mathcal{T}_H)\] 由命题 00W0，得到一对伴随函子 \[f_* : G\textit{-Sets} \longrightarrow H\textit{-Sets}, \quad f^{-1} : H\textit{-Sets} \longrightarrow G\textit{-Sets}.\] 下面具体求出这两个函子。

先求 \(f_*\) 的公式。回忆一下，给定 \(G\)-集合 \(S\)，\(\mathcal{T}_G\) 上的相应层 \(\mathcal{F}_S\) 由规则 \(\mathcal{F}_S(U) = \Mor_G(U, S)\) 给出。另一方面，给定 \(\mathcal{T}_H\) 上的层 \(\mathcal{G}\)，相应的 \(H\)-集合由规则 \(\mathcal{G}({}_HH)\) 给出。因此 \[f_*S = \Mor_{G\textit{-Sets}}(({}_HH)_\varphi, S).\] 进一步展开，得到 \[f_*S = \{ a : H \to S \mid a(gh) = ga(h) \}\] 其左 \(H\)-作用由 \((h \cdot a)(h') = a(h'h)\) 给出，其中 \(a \in f_*S\) 任意。

接着显式计算 \(f^{-1}\)。注意，由于 \(\mathcal{T}_G\) 和 \(\mathcal{T}_H\) 上的拓扑都是次典范的，所有可表预层都是层。此外，给定 \(\mathcal{T}_H\) 的对象 \(V\)，可知 \(f^{-1}h_V\) 等于 \(h_{u(V)}\)（见引理 04D3）。所以，对可表层有 \(f^{-1}S = S_\varphi\)。由于 \(\mathcal{T}_H\) 上的每个层都是可表层的余积，可知一般情形下也成立。因此，对任意 \(H\)-集合 \(T\)，有 \[f^{-1}T = T_\varphi.\] \(f^{-1}\) 与 \(f_*\) 之间的伴随性由公式 \[\Mor_{G\textit{-Sets}}(T_\varphi, S) = \Mor_{H\textit{-Sets}}(T, f_*S)\] 体现，其中 \(f_*S\) 如上。这也可以直接证明。此外，由此显然可知 \((f^{-1}, f_*)\) 构成伴随对，且 \(f^{-1}\) 正合。因此，也可以不用上述构造，而直接以这种方式定义托扑斯态射 \(f : G\textit{-Sets} \to H\textit{-Sets}\)。

拟紧对象与余极限

为能使用与拓扑空间情形相同的语言，我们引入如下术语。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。若对 \(\mathcal{C}\) 中任一覆盖 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\)，都存在另一个覆盖 \(\mathcal{V} = \{V_j \to U\}_{j \in J}\)，以及一个由 \(\text{id} : U \to U\)、\(\alpha : J \to I\) 和 \(V_j \to U_{\alpha(j)}\) 给出的具有固定靶的态射族之态射 \(\mathcal{V} \to \mathcal{U}\)（见定义 00VT），使得 \(\alpha\) 的像是 \(I\) 的有限子集，则称 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(U\) 是拟紧的。

当然，通常的概念足以推出 \(U\) 拟紧。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(U\) 为 \(\mathcal{C}\) 的对象。考虑下列条件：

\(U\) 拟紧；

对 \(\mathcal{C}\) 中每个覆盖 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)，都存在 \(\mathcal{C}\) 中加细 \(\mathcal{U}\) 的有限覆盖 \(\{V_j \to U\}_{j = 1, \ldots, m}\)；

对 \(\mathcal{C}\) 中每个覆盖 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)，都存在有限子集 \(I' \subset I\)，使得 \(\{U_i \to U\}_{i \in I'}\) 是 \(\mathcal{C}\) 中的覆盖。

则总有 (3) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (1)，但反向蕴含一般不成立。

证明

这些蕴含由定义立即可得。令 \(X = [0, 1] \subset \mathbf{R}\) 为拓扑空间（带通常的 \(\epsilon\)-\(\delta\) 拓扑）。令 \(\mathcal{C}\) 为 \(X\) 的开子空间所成的范畴，以包含映射为态射，并取通常的开覆盖（与例 00VJ 比较）。不过，我们随后改变 \(\mathcal{C}\) 中覆盖的概念：除形如 \(\{U \to U\}\) 的覆盖外，排除所有有限覆盖。容易看出，这会成为定义 00VH 所述的位点。在这个位点中，对象 \(X = U = [0, 1]\) 在定义 090H 的意义下拟紧，但 \(U\) 不满足 (2)。留给读者构造满足 (2) 而不满足 (3) 的例子。

下面给出拟紧对象的托扑斯论含义。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(U\) 为 \(\mathcal{C}\) 的对象。下列条件等价：

\(U\) 拟紧；

对每个层的满射 \(\coprod_{i \in I} \mathcal{F}_i \to h_U^\#\)，都存在有限子集 \(J \subset I\)，使得 \(\coprod_{i \in J} \mathcal{F}_i \to h_U^\#\) 是满射。

证明

假设 (1) 成立，并设 \(\coprod_{i \in I} \mathcal{F}_i \to h_U^\#\) 为满射。则 \(\text{id}_U\) 是 \(h_U^\#\) 在 \(U\) 上的截面。因此存在覆盖 \(\{U_a \to U\}_{a \in A}\)，并且对每个 \(a \in A\)，存在 \(\coprod_{i \in I} \mathcal{F}_i\) 在 \(U_a\) 上的截面 \(s_a\)，它映到 \(\text{id}_U\)。根据把预层余积层化以构造余积的方法（引理 00WI），对每个 \(a\) 都存在覆盖 \(\{U_{ab} \to U_a\}_{b \in B_a}\)；对所有 \(b \in B_a\)，都存在 \(\iota(b) \in I\) 以及 \(\mathcal{F}_{\iota(b)}\) 在 \(U_{ab}\) 上的截面 \(s_{b}\)，它映到 \(\text{id}_U|_{U_{ab}}\)。因此，用 \(\{U_{ab} \to U\}_{a \in A, b \in B_a}\) 代替覆盖 \(\{U_a \to U\}_{a \in A}\) 后，可以假设有映射 \(\iota : A \to I\)，且对每个 \(a \in A\)，有 \(\mathcal{F}_{\iota(a)}\) 在 \(U_a\) 上的截面 \(s_a\)，它映到 \(\text{id}_U\)。由于 \(U\) 拟紧，存在覆盖 \(\{V_c \to U\}_{c \in C}\)、像为有限集的映射 \(\alpha : C \to A\)，以及 \(U\) 上的态射 \(V_c \to U_{\alpha(c)}\)。于是 \(J = \Im(\iota \circ \alpha) \subset I\) 满足要求，因为 \(\coprod_{c \in C} h_{V_c}^\# \to h_U^\#\) 是满射（引理 00WT），并且经由 \(\coprod_{i \in J} \mathcal{F}_i \to h_U^\#\) 分解。（这里用到复合 \(h_{V_c}^\# \to h_{U_{\alpha(c)}} \xrightarrow{s_{\alpha(c)}} \mathcal{F}_{\iota(\alpha(c))} \to h_U^\#\) 就是由态射 \(V_c \to U\) 诱导的映射 \(h_{V_c}^\# \to h_U^\#\)，因为 \(s_{\alpha(c)}\) 映到 \(\text{id}_U|_{U_{\alpha(c)}}\)。）

假设 (2) 成立。令 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) 为覆盖。由引理 00WT 可知 \(\coprod_{i \in I} h_{U_i}^\# \to h_U^\#\) 是满射。因此可找到有限子集 \(J \subset I\)，使得 \(\coprod_{j \in J} h_{U_j}^\# \to h_U^\#\) 是满射。再按上述论证，得到 \(\mathcal{C}\) 中 \(U\) 的覆盖 \(\{V_c \to U\}_{c \in C}\) 和映射 \(\iota : C \to J\)，使得 \(\text{id}_U\) 可提升为 \(h_{U_{\iota(c)}}^\#\) 在 \(V_c\) 上的截面 \(s_c\)。

进一步加细该覆盖后，可以假设 \(s_c \in h_{U_{\iota(c)}}(V_c)\) 映到 \(\text{id}_U\)。于是 \(s_c : V_c \to U_{\iota(c)}\) 是 \(U\) 上的态射，结论成立。

上述引理启发如下定义。

定义

若对 \(\Sh(\mathcal{C})\) 中任一满射 \(\coprod_{i \in I} \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\)，都存在有限子集 \(J \subset I\)，使得 \(\coprod_{i \in J} \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\) 是满射，则称对象 \(\mathcal{F}\) 是拟紧的。若托扑斯 \(\Sh(\mathcal{C})\) 的终对象 \(*\) 是拟紧对象，则称 \(\Sh(\mathcal{C})\) 是拟紧的。

由引理 0D06，若位点 \(\mathcal{C}\) 有终对象 \(X\)，则 \(\Sh(\mathcal{C})\) 拟紧当且仅当 \(X\) 拟紧。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。

若 \(U \to V\) 是 \(\mathcal{C}\) 的态射，且 \(h_U^\# \to h_V^\#\) 是满射，而 \(U\) 拟紧，则 \(V\) 拟紧。

若 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是集合层的满射，且 \(\mathcal{F}\) 拟紧，则 \(\mathcal{G}\) 拟紧。

证明

略。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。若 \(n \geq 1\)，且 \(\mathcal{F}_1, \ldots, \mathcal{F}_n\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的拟紧层，则 \(\coprod_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{F}_i\) 拟紧。

证明

略。

下列两个引理是 Sheaves，引理 009F 对位点的类似结果。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，且 \(\mathcal{I} \to \Sh(\mathcal{C})\)，\(i \mapsto \mathcal{F}_i\) 是集合层的滤过图表。设 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)。考虑典范映射 \[\Psi : \colim_i \mathcal{F}_i(U) \longrightarrow \left(\colim_i \mathcal{F}_i\right)(U)\] 采用上面引入的术语：

若所有转移映射都是单射，则对任意 \(U\)，\(\Psi\) 都是单射。

若 \(U\) 拟紧，则 \(\Psi\) 是单射。

若 \(U\) 拟紧，且所有转移映射都是单射，则 \(\Psi\) 是同构。

若 \(U\) 有一个由覆盖 \(\{U_j \to U\}_{j \in J}\) 组成的共尾系，其中 \(J\) 有限，且对所有 \(j, j' \in J\)， \(U_j \times_U U_{j'}\) 都拟紧，则 \(\Psi\) 是双射。

证明

假设所有转移映射都是单射。此时预层 \(\mathcal{F}' : V \mapsto \colim_i \mathcal{F}_i(V)\) 是分离的（见定义 00WA）。由引理 00WI 有 \((\mathcal{F}')^\# = \colim_i \mathcal{F}_i\)。由定理 00WB 可知 \(\mathcal{F}' \to (\mathcal{F}')^\#\) 是单射。这证明了 (1)。

假设 \(U\) 拟紧。设 \(s \in \mathcal{F}_i(U)\) 和 \(s' \in \mathcal{F}_{i'}(U)\) 在左边给出的元素经 \(\Psi\) 后具有相同的像。这意味着可以选择覆盖 \(\{U_a \to U\}_{a \in A}\)，并且对每个 \(a \in A\) 选择指标 \(i_a \in I\)，其中 \(i_a \geq i\)、\(i_a \geq i'\)，使得 \(\varphi_{ii_a}(s) = \varphi_{i'i_a}(s')\)。因为 \(U\) 拟紧，可以选择覆盖 \(\{V_b \to U\}_{b \in B}\)、像为有限集的映射 \(\alpha : B \to A\)，以及 \(U\) 上的态射 \(V_b \to U_{\alpha(b)}\)。选择 \(i''\in I\)，使它不小于（即 \(\geq\)）所有 \(i_{\alpha(b)}\)；这是可能的，因为 \(\alpha\) 的像有限。于是对所有 \(b \in B\)，\(\varphi_{ii''}(s)\) 和 \(\varphi_{i'i''}(s)\) 在 \(V_b\) 上相等，从而 \(\varphi_{ii''}(s) = \varphi_{i'i''}(s)\)。这证明了 (2)。

假设 \(U\) 拟紧，且所有转移映射都是单射。令 \(s\) 为 \(\Psi\) 的靶中的元素。存在覆盖 \(\{U_a \to U\}_{a \in A}\)；对每个 \(a \in A\)，存在指标 \(i_a \in I\) 和截面 \(s_a \in \mathcal{F}_{i_a}(U_a)\)，使得对所有 \(a \in A\)，\(s|_{U_a}\) 都来自 \(s_a\)。因为 \(U\) 拟紧，可以选择覆盖 \(\{V_b \to U\}_{b \in B}\)、像为有限集的映射 \(\alpha : B \to A\)，以及 \(U\) 上的态射 \(V_b \to U_{\alpha(b)}\)。选择 \(i \in I\)，使它不小于（即 \(\geq\)）所有 \(i_{\alpha(b)}\)；这是可能的，因为 \(\alpha\) 的像有限。由 (1)，截面 \(s_b = \varphi_{i_{\alpha(b)} i}(s_{\alpha(b)})|_{V_b}\) 在 \(V_b \times_U V_{b'}\) 上相符。因此它们粘合为截面 \(s' \in \mathcal{F}_i(U)\)，该截面经 \(\Psi\) 映到 \(s\)。这证明了 (3)。

假设 (4) 的假设成立。由引理 0D05，对象 \(U\) 拟紧，故由 (2)，\(\Psi\) 是单射。为证明满射性，令 \(s\) 为 \(\Psi\) 的靶中的元素。根据假设，存在有限覆盖 \(\{U_j \to U\}_{j = 1, \ldots, m}\)，使得对所有 \(1 \leq j, j' \leq m\)，\(U_j \times_U U_{j'}\) 都拟紧；并且对每个 \(j\) 存在指标 \(i_j \in I\) 和 \(s_j \in \mathcal{F}_{i_j}(U_j)\)，使得 \(s|_{U_j}\) 是 \(s_j\) 的像，对所有 \(j\) 都成立。由于 \(U_j \times_U U_{j'}\) 拟紧，可以应用 (2)，从而存在 \(i_{jj'} \in I\)，满足 \(i_{jj'} \geq i_j\)、 \(i_{jj'} \geq i_{j'}\)，并使 \(\varphi_{i_ji_{jj'}}(s_j)\) 与 \(\varphi_{i_{j'}i_{jj'}}(s_{j'})\) 在 \(U_j \times_U U_{j'}\) 上相等。选择指标 \(i \in I\)，使其不小于所有 \(i_{jj'}\)。于是 \(\mathcal{F}_i\) 的截面 \(\varphi_{i_ji}(s_j)\) 粘合成 \(\mathcal{F}_i\) 在 \(U\) 上的截面。该截面按要求映到元素 \(s\)。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，且 \(\mathcal{I} \to \Sh(\mathcal{C})\)，\(i \mapsto \mathcal{F}_i\) 是集合层的滤过图表。考虑典范映射 \[\Psi : \colim_i \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F}_i) \longrightarrow \Gamma(\mathcal{C}, \colim_i \mathcal{F}_i)\] 有下列结论：

若所有转移映射都是单射，则 \(\Psi\) 是单射。

若 \(\Sh(\mathcal{C})\) 拟紧，则 \(\Psi\) 是单射。

若 \(\Sh(\mathcal{C})\) 拟紧，且所有转移映射都是单射，则 \(\Psi\) 是同构。

假设存在集合 \(S \subset \Ob(\Sh(\mathcal{C}))\)，具有如下性质：

对每个满射 \(\mathcal{F} \to *\)，都存在 \(\mathcal{K} \in S\) 和映射 \(\mathcal{K} \to \mathcal{F}\)，使得 \(\mathcal{K} \to *\) 是满射；

对 \(\mathcal{K} \in S\)，积 \(\mathcal{K} \times \mathcal{K}\) 拟紧。

则 \(\Psi\) 是双射。

证明

(1) 的证明。假设所有转移映射都是单射。此时预层 \(\mathcal{F}' : V \mapsto \colim_i \mathcal{F}_i(V)\) 是分离的（见定义 00WA）。由引理 00WI 有 \((\mathcal{F}')^\# = \colim_i \mathcal{F}_i\)。由定理 00WB 可知 \(\mathcal{F}' \to (\mathcal{F}')^\#\) 是单射。这证明了 (1)。

(2) 的证明。假设 \(\Sh(\mathcal{C})\) 拟紧。回忆一下，对 \(\Sh(\mathcal{C})\) 中的所有 \(\mathcal{F}\)，都有 \(\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F}) = \Mor(*, \mathcal{F})\)。令 \(a_i, b_i : * \to \mathcal{F}_i\)；对 \(i' \geq i\)，以 \(a_{i'}, b_{i'} : * \to \mathcal{F}_{i'}\) 表示它们与系统转移映射的复合。令 \(a = \colim_{i' \geq i} a_{i'}\)，并对 \(b\) 作类似定义。对 \(i' \geq i\)，记 \[E_{i'} = \text{Equalizer}(a_{i'}, b_{i'}) \subset * \quad\text{且}\quad E = \text{Equalizer}(a, b) \subset *\] 由 Categories，引理 002W，有 \(E = \colim_{i' \geq i} E_{i'}\)。从而 \(\coprod_{i' \geq i} E_{i'} \to E\) 是层的满射。因此，若 \(E = *\)，即 \(a = b\)，则因为 \(*\) 拟紧，可知对某个 \(i' \geq i\) 有 \(E_{i'} = *\)，进而对某个 \(i' \geq i\) 有 \(a_{i'} = b_{i'}\)。这证明了 (2)。

(3) 的证明。假设 \(\Sh(\mathcal{C})\) 拟紧，且所有转移映射都是单射。令 \(a : * \to \colim \mathcal{F}_i\) 为映射。则 \(E_i = a^{-1}(\mathcal{F}_i) \subset *\) 是子层，并且 \(\colim E_i = *\)（由上面的引用）。故对某个 \(i\) 有 \(E_i = *\)，从而 \(a\) 的像按要求包含在 \(\mathcal{F}_i\) 中。

(4) 的证明。设 \(S \subset \Ob(\Sh(\mathcal{C}))\) 满足 (4)(a)、(b)。把 (4)(a) 应用于 \(\text{id} : * \to *\)，可找到 \(\mathcal{K} \in S\)，使得 \(\mathcal{K} \to *\) 是满射。映射 \(\mathcal{K} \times \mathcal{K} \to \mathcal{K} \to *\) 都是满射。由 (4)(b) 和引理 0GMP，可知 \(\mathcal{K}\) 与 \(\Sh(\mathcal{C})\) 都拟紧。因此由 (2)，\(\Psi\) 是单射。令 \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\)，并令 \(s : * \to \mathcal{F}\) 为该余极限的整体截面。由于 \(\coprod \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\) 是满射，投影 \[\coprod\nolimits_{i \in I} * \times_{s, \mathcal{F}} \mathcal{F}_i \to *\] 是满射。由 (4)(a)，得到 \(\mathcal{K} \in S\) 和映射 \(\mathcal{K} \to \coprod_{i \in I} * \times_{s, \mathcal{F}} \mathcal{F}_i\)，其中 \(\mathcal{K} \to *\) 是满射。因为 \(\mathcal{K}\) 拟紧，对某个有限子集 \(I' \subset I\)，可得到分解 \(\mathcal{K} \to \coprod_{i' \in I'} * \times_{s, \mathcal{F}} \mathcal{F}_{i'}\)。令 \(i \in I\) 为有限子集 \(I'\) 的一个上界。转移映射定义映射 \(\coprod_{i' \in I'} \mathcal{F}_{i'} \to \mathcal{F}_i\)，后者又产生映射 \(\mathcal{K} \to * \times_{s, \mathcal{F}} \mathcal{F}_i\)。换言之，得到 \(\mathcal{K} \in S\)，其中 \(\mathcal{K} \to *\) 是满射，并有交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{K} \times \mathcal{K} \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \mathcal{K} \ar[d] \ar[r] & {*} \ar[d]^s \\ & \mathcal{F}_i \ar[r] & \mathcal{F} \ar@{=}[r] & \colim \mathcal{F}_i }\] 注意该图的顶行是余等化子。因此，只需证明增大 \(i\) 后，两个诱导映射 \(a_i, b_i : \mathcal{K} \times \mathcal{K} \to \mathcal{F}_i\) 相等即可。下一段使用与 (2) 的证明完全相同的论证来说明这一点；建议读者跳过证明的剩余部分。

对 \(i' \geq i\)，以 \(a_{i'}, b_{i'} : \mathcal{K} \times \mathcal{K} \to \mathcal{F}_{i'}\) 表示 \(a_i, b_i\) 与系统转移映射的复合。令 \(a = \colim_{i' \geq i} a_{i'} : \mathcal{K} \times \mathcal{K} \to \mathcal{F}\)，并对 \(b\) 作类似定义。由上图的交换性，有 \(a = b\)。对 \(i' \geq i\)，记 \[E_{i'} = \text{Equalizer}(a_{i'}, b_{i'}) \subset \mathcal{K} \times \mathcal{K} \quad\text{且}\quad E = \text{Equalizer}(a, b) \subset \mathcal{K} \times \mathcal{K}\] 由 Categories，引理 002W，有 \(E = \colim_{i' \geq i} E_{i'}\)。从而 \(\coprod_{i' \geq i} E_{i'} \to E\) 是层的满射。因为 \(a = b\)，有 \(E = \mathcal{K} \times \mathcal{K}\)。又因为由 (4)(b)， \(\mathcal{K} \times \mathcal{K}\) 拟紧，所以对某个 \(i' \geq i\) 有 \(E_{i'} = \mathcal{K} \times \mathcal{K}\)，进而对某个 \(i' \geq i\) 有 \(a_{i'} = b_{i'}\)。

注

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。可以用多种方式保证引理 0GMR 第 (4) 部分的假设成立。下面列出几种。

假设存在集合 \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\)，具有如下性质：

对每个满射 \(\mathcal{F} \to *\)，都存在 \(m \geq 0\) 和 \(U_1, \ldots, U_m \in \mathcal{B}\)，使得 \(\mathcal{F}(U_j)\) 非空，且 \(\coprod h_{U_j}^\# \to *\) 是满射；

对 \(U, U' \in \mathcal{B}\)，层 \(h_U^\# \times h_{U'}^\#\) 拟紧。

假设存在集合 \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\)，具有如下性质：

存在 \(m \geq 0\) 和 \(U_1, \ldots, U_m \in \mathcal{B}\)，使得 \(\coprod h_{U_j}^\# \to *\) 是满射；

对 \(U \in \mathcal{B}\)，\(U\) 的任意覆盖都可由有限覆盖 \(\{U_j \to U\}_{j = 1, \ldots, m}\) 加细，其中 \(U_j \in \mathcal{B}\)；

对 \(U, U' \in \mathcal{B}\)，存在 \(m \geq 0\)、 \(U_1, \ldots, U_m \in \mathcal{B}\)，以及态射 \(U_j \to U\) 和 \(U_j \to U'\)，使得 \(\coprod h_{U_j}^\# \to h_U^\# \times h_{U'}^\#\) 是满射。

假设：

\(\Sh(\mathcal{C})\) 拟紧；

\(\mathcal{C}\) 的每个对象都有一个覆盖，其成员均为拟紧对象；

若 \(U\) 和 \(U'\) 拟紧，则层 \(h_U^\# \times h_{U'}^\#\) 拟紧。

在情形 (1) 和 (2) 中，令 \(S \subset \Ob(\Sh(\mathcal{C}))\) 为由 \(U \in \mathcal{B}\) 的层 \(h_U^\#\) 的有限余积组成的集合。在情形 (3) 中，令 \(S \subset \Ob(\Sh(\mathcal{C}))\) 为由拟紧对象 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 的层 \(h_U^\#\) 的有限余积组成的集合。

以后将需要如下关于余极限可能情形的界。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(\beta\) 为序数。设 \(\beta \to \Sh(\mathcal{C})\)，\(\alpha \mapsto \mathcal{F}_\alpha\) 为 \(\beta\) 上的层系。对 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，考虑典范映射 \[\colim_{\alpha < \beta} \mathcal{F}_\alpha(U) \longrightarrow \left(\colim_{\alpha < \beta} \mathcal{F}_\alpha \right)(U)\] 若 \(\beta\) 的共尾性足够大，则该映射对所有 \(U\) 都是双射。

证明

左边是预层范畴中所取余极限 \(\mathcal{F}_{\colim}\) 在 \(U\) 上的值，见第 00VB 节。回忆一下， \(\colim_{\alpha < \beta} \mathcal{F}_\alpha\) 是 \(\mathcal{F}_{\colim}\) 的层化 \(\mathcal{F}_{\colim}^\#\)，见引理 00WI。令 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) 为 \(\mathcal{C}\) 的覆盖所成集合 \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) 的元素。若 \(\beta\) 的共尾性大于 \(I\) 的基数，则断言 \[H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F}_{\colim}) = \colim H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F}_\alpha) = \colim \mathcal{F}_\alpha(U) = \mathcal{F}_{\colim}(U)\] 第二、第三个等号显然。对第一个等号，设 \(s = (s_i) \in H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F}_{\colim})\)。则对每个 \(i\)，元素 \(s_i\) 来自某个 \(\alpha_i < \beta\) 的元素 \(s_{i, \alpha_i} \in \mathcal{F}_{\alpha_i}(U_i)\)。由共尾性假设，可选择与 \(i\) 无关的 \(\alpha_i = \alpha\)。

于是对某个 \(\alpha_{i, j} < \beta\)，\(s_i\) 和 \(s_j\) 映到 \(\mathcal{F}_{\alpha_{i, j}}(U_i \times_U U_j)\) 中的同一元素。由于 \(I \times I\) 的基数也小于 \(\beta\) 的共尾性，增大 \(\alpha\) 后，可以假设对所有 \(i, j\) 都有 \(\alpha_{i, j} = \alpha\)。这证明自然映射 \(\colim H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F}_\alpha) \to H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F}_{\colim})\) 是满射。非常类似的论证表明它是单射。特别地，\(\mathcal{F}_{\colim}\) 对 \(\mathcal{U}\) 满足层条件。因此，若 \(\beta\) 的共尾性大于所有覆盖的指标集 \(I\) 的基数所成集合的上确界，便得到结论。

位点的余极限

当位点是一个位点逆系统的极限时，我们需要引理 0738 的类似结果。为简单起见，只说明覆盖的指标集有限时的构造。

情形

这里给定：

余滤过指标范畴 \(\mathcal{I}\)；

对 \(i \in \Ob(\mathcal{I})\)，给定位点 \(\mathcal{C}_i\)，使得 \(\mathcal{C}_i\) 中每个覆盖都有有限指标集；

对 \(\mathcal{I}\) 中的态射 \(a : i \to j\)，给定由连续函子 \(u_a : \mathcal{C}_j \to \mathcal{C}_i\) 所确定的位点态射 \(f_a : \mathcal{C}_i \to \mathcal{C}_j\)。

并且只要 \(\mathcal{I}\) 中 \(c = a \circ b\)，就有 \(f_a \circ f_b = f_c\)。

引理

在情形 0A34 中，可以如下构造位点 \((\mathcal{C}, \text{Cov}(\mathcal{C}))\)：

作为范畴，\(\mathcal{C} = \colim \mathcal{C}_i\)；

\(\text{Cov}(\mathcal{C})\) 是各个 \(\text{Cov}(\mathcal{C}_i)\) 在 \(u_i : \mathcal{C}_i \to \mathcal{C}\) 下之像的并集。

证明

我们对位点态射复合的定义蕴含：只要 \(\mathcal{I}\) 中 \(c = a \circ b\)，就有 \(u_b \circ u_a = u_c\)。公式 \(\mathcal{C} = \colim \mathcal{C}_i\) 意味着 \(\Ob(\mathcal{C}) = \colim \Ob(\mathcal{C}_i)\) 且 \(\text{Arrows}(\mathcal{C}) = \colim \text{Arrows}(\mathcal{C}_i)\)。于是源、靶和复合都从各个 \(\text{Arrows}(\mathcal{C}_i)\) 上的源、靶和复合继承而来。这样便得到一个范畴。以 \(u_i : \mathcal{C}_i \to \mathcal{C}\) 表示显然的函子。注意，给定 \(\mathcal{C}\) 中任意有限图表，都存在某个 \(i\)，使该图表是 \(\mathcal{C}_i\) 中一个图表的像。

令 \(\{U^t \to U\}\) 为 \(\mathcal{C}\) 的覆盖。先证明：若 \(V \to U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的态射，则 \(U^t \times_U V\) 存在。由上述说明和覆盖的定义，可以找到 \(i\)、\(\mathcal{C}_i\) 的覆盖 \(\{U_i^t \to U_i\}\) 以及态射 \(V_i \to U_i\)，它们在 \(u_i\) 下的像就是给定数据。断言 \(U^t \times_U V\) 是 \(U^t_i \times_{U_i} V_i\) 在 \(u_i\) 下的像。事实上，对 \(\mathcal{I}\) 中每个 \(a : j \to i\)，函子 \(u_a\) 连续，所以 \(u_a(U^t_i \times_{U_i} V_i) = u_a(U^t_i) \times_{u_a(U_i)} u_a(V_i)\)。特别地，如有需要，可以用 \(j\) 代替 \(i\)。因此，若 \(W\) 是 \(\mathcal{C}\) 的另一个对象，则可以假设 \(W = u_i(W_i)\)，并得到 \[\begin{align*} & \Mor_\mathcal{C}(W, u_i(U^t_i \times_{U_i} V_i)) \\ & = \colim_{a : j \to i} \Mor_{\mathcal{C}_j}(u_a(W_i), u_a(U^t_i \times_{U_i} V_i)) \\ & = \colim_{a : j \to i} \Mor_{\mathcal{C}_j}(u_a(W_i), u_a(U^t_i)) \times_{\Mor_{\mathcal{C}_j}(u_a(W_i), u_a(U_i))} \Mor_{\mathcal{C}_j}(u_a(W_i), u_a(V_i)) \\ & = \Mor_\mathcal{C}(W, U^t) \times_{\Mor_\mathcal{C}(W, U)} \Mor_\mathcal{C}(W, V) \end{align*}\] 因为滤过余极限与有限极限交换（Categories，引理 002W）。同时可知 \(\{U^t \times_U V \to V\}\) 是 \(\mathcal{C}\) 中的覆盖。这样就验证了定义 00VH 的公理 (3)。

为验证定义 00VH 的公理 (2)，令 \(\{U^t \to U\}_{t \in T}\) 为 \(\mathcal{C}\) 的覆盖，并且对每个 \(t\)，令 \(\{U^{ts} \to U^t\}\) 为 \(\mathcal{C}\) 的覆盖。可以找到 \(i\) 和 \(\mathcal{C}_i\) 的覆盖 \(\{U^t_i \to U_i\}_{t \in T}\)，其在 \(u_i\) 下的像是 \(\{U^t \to U\}\)。因为 \(T\) 是有限的，可以选择 \(\mathcal{I}\) 中的 \(a : j \to i\) 和 \(\mathcal{C}_j\) 中的覆盖 \(\{U^{ts}_j \to u_a(U^t_i)\}\)，使它们在 \(u_j\) 下的像给出 \(\{U^{ts} \to U^t\}\)。于是，把公理 (2) 应用于位点 \(\mathcal{C}_j\)，可知 \(\{U^{ts} \to U\}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的覆盖。

定义 00VH 的公理 (1) 的证明从略。

引理

在情形 0A34 中，令 \(u_i : \mathcal{C}_i \to \mathcal{C}\) 如引理 09YL 中所构造。则 \(u_i\) 定义位点态射 \(f_i : \mathcal{C} \to \mathcal{C}_i\)。对 \(U_i \in \Ob(\mathcal{C}_i)\) 以及 \(\mathcal{C}_i\) 上的层 \(\mathcal{F}\)，有 [09YM]\[\begin{equation} f_i^{-1}\mathcal{F}(u_i(U_i)) = \colim_{a : j \to i} f_a^{-1}\mathcal{F}(u_a(U_i)) \end{equation}\]

证明

由引理 09YL 证明中的论证，立即可知各函子 \(u_i\) 连续。为完成证明，必须说明 \(f_i^{-1} := u_{i, s}\) 是正合函子 \(\Sh(\mathcal{C}_i) \to \Sh(\mathcal{C})\)。事实上，只需证明 \(f_i^{-1}\) 左正合，因为它作为左伴随是右正合的（Categories，引理 0039）。先证明 (09YM)，然后由此推出正合性。

对 \(\mathcal{C}\) 的任意对象 \(V\)，可以选取 \(a : j \to i\) 和对象 \(V_j \in \Ob(\mathcal{C})\)，使得 \(V = u_j(V_j)\)。然后可令

\[\mathcal{G}(V) = \colim_{b : k \to j} f_{a \circ b}^{-1}\mathcal{F}(u_b(V_j))\] 该余极限的值 \(\mathcal{G}(V)\) 与 \(b : j \to i\) 的选择以及满足 \(u_j(V_j) = V\) 的对象 \(V_j\) 的选择无关；验证从略。

此外，若 \(\alpha : V \to V'\) 是 \(\mathcal{C}\) 的态射，则可以选择 \(b : j \to i\) 和态射 \(\alpha_j : V_j \to V'_j\)，使得 \(u_j(\alpha_j) = \alpha\)。利用沿态射 \(u_b(\alpha_j) : u_b(V_j) \to u_b(V'_j)\) 的限制映射，可诱导映射 \(\mathcal{G}(V') \to \mathcal{G}(V)\)。验证表明 \(\mathcal{G}\) 是预层（从略）。事实上，\(\mathcal{G}\) 满足层条件。任一 \(\mathcal{C}\) 中的覆盖 \(\mathcal{U} = \{U^t \to U\}\) 都来自某个有限层级。设 \(\mathcal{U}_j = \{U^t_j \to U_j\}\) 在 \(\mathcal{I}\) 中某个 \(a : j \to i\) 下由 \(u_j\) 映到 \(\mathcal{U}\)。则 \[H^0(\mathcal{U}, \mathcal{G}) = \colim_{b : k \to j} H^0(u_b(\mathcal{U}_j), f_{b \circ a}^{-1}\mathcal{F}) = \colim_{b : k \to j} f_{b \circ a}^{-1}\mathcal{F}(u_b(U_j)) = \mathcal{G}(U)\] 如所需。第一个等号成立是因为滤过余极限与有限极限交换（Categories，引理 002W）。

根据构造，\(\mathcal{G}(U)\) 由 (09YM) 的右边给出。因此，如果能证明 \(\mathcal{G}\) 等于 \(f_i^{-1}\mathcal{F}\)，则 (09YM) 成立。

本段验证 \(\mathcal{G}\) 与 \(f_i^{-1}\mathcal{F}\) 典范同构。强烈建议读者跳过本段。为验证这一点，必须证明有双射 \(\Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{G}, \mathcal{H}) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C}_i)}(\mathcal{F}, f_{i, *}\mathcal{H})\)，并且它对 \(\mathcal{C}\) 上的层 \(\mathcal{H}\) 是函子性的，其中 \(f_{i, *} = u_i^p\)。映射 \(\mathcal{G} \to \mathcal{H}\) 等价于相容的映射系 \[\varphi_{a, b, V_j} : f_{a \circ b}^{-1}\mathcal{F}(u_b(V_j)) \longrightarrow \mathcal{H}(u_j(V_j))\] 这里 \(a : j \to i\)、\(b : k \to j\) 且 \(V_j \in \Ob(\mathcal{C}_j)\) 任意。相容性迫使映射 \(\varphi_{a, b, V_j}\) 等于 \(\varphi_{a \circ b, \text{id}, u_b(V_j)}\)。给定 \(a : j \to i\)，映射族 \(\varphi_{a, \text{id}, V_j}\) 对应于层的映射 \(\varphi_a : f_a^{-1}\mathcal{F} \to f_{j, *}\mathcal{H}\)。 \(\varphi_{a, \text{id}, u_a(V_i)}\) 与 \(\varphi_{\text{id}, \text{id}, V_i}\) 之间的相容性蕴含： \(\varphi_a\) 是映射 \(\varphi_{id}\) 关于下列等式给出的伴随： \[\Mor_{\Sh(\mathcal{C}_j)}(f_a^{-1}\mathcal{F}, f_{j, *}\mathcal{H}) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C}_i)}(\mathcal{F}, f_{a, *}f_{j, *}\mathcal{H}) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C}_i)}(\mathcal{F}, f_{i, *}\mathcal{H})\]

最终可知，整个映射系 \(\varphi_{a, b, V_j}\) 由映射 \(\varphi_{id} : \mathcal{F} \to f_{i, *}\mathcal{H}\) 决定。反过来，给定这样的映射 \(\psi : \mathcal{F} \to f_{i, *}\mathcal{H}\)，反向阅读刚才的论证即可构造映射族 \(\varphi_{a, b, V_j}\)。这便完成了 \(\mathcal{G} = f_i^{-1}\mathcal{F}\) 的证明。

假设 (09YM) 成立。则函子 \(\mathcal{F} \mapsto f_i^{-1}\mathcal{F}(U)\) 与有限极限交换，因为层的有限极限在预层范畴中计算（引理 00W2），各函子 \(f_a^{-1}\) 与有限极限交换，并且滤过余极限与有限极限交换。为说明对 \(\mathcal{C}\) 的一般对象 \(V\)，函子 \(\mathcal{F} \mapsto f_i^{-1}\mathcal{F}(V)\) 与有限极限交换，可以对上面给出的 \(f_i^{-1}\mathcal{F}(V) = \mathcal{G}(V)\) 公式使用同一论证。因此 \(f_i^{-1}\) 左正合，引理得证。

引理

在情形 0A34 中，假设给定：

对所有 \(i \in \Ob(\mathcal{I})\)，给定 \(\mathcal{C}_i\) 上的层 \(\mathcal{F}_i\)；

对 \(a : j \to i\)，给定 \(\mathcal{C}_j\) 上的层映射 \(\varphi_a : f_a^{-1}\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_j\)。

并且只要 \(c = a \circ b\)，就有 \(\varphi_c = \varphi_b \circ f_b^{-1}\varphi_a\)。在引理 09YL 的位点 \(\mathcal{C}\) 上，令 \(\mathcal{F} = \colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i\)。设 \(i \in \Ob(\mathcal{I})\) 且 \(X_i \in \text{Ob}(\mathcal{C}_i)\)。则 \[\colim_{a : j \to i} \mathcal{F}_j(u_a(X_i)) = \mathcal{F}(u_i(X_i))\]

证明

形式论证表明 \[\colim_{a : j \to i} \mathcal{F}_i(u_a(X_i)) = \colim_{a : j \to i} \colim_{b : k \to j} f_b^{-1}\mathcal{F}_j(u_{a \circ b}(X_i))\]

由 (09YM)，内层余极限等于 \(f_j^{-1}\mathcal{F}_j(u_i(X_i))\)，故由引理 0738 得到结论。

引理

在情形 0A34 中，假设有 \(\mathcal{C}\) 上的层 \(\mathcal{F}\)。则 \[\mathcal{F} = \colim f_i^{-1}f_{i, *}\mathcal{F}\] 其中对 \(a : j \to i\)，转移映射是 \(f_j^{-1}\varphi_a\)；这里 \(\varphi_a : f_a^{-1}f_{i, *}\mathcal{F} \to f_{j, *}\mathcal{F}\) 是典范映射，满足与引理 09YN 中相同的余圈条件。

证明

对态射 \[\varphi_a : f_a^{-1}f_{i, *}\mathcal{F} \to f_{j, *}\mathcal{F}\] 我们取恒等映射 \[f_{i, *}\mathcal{F} \to f_{a, *}f_{j, *}\mathcal{F}\] 的伴随。因此 \(\varphi_a\) 是伴随对 \((f_a^{-1}, f_{a, *})\) 的余单位。必须证明，对所有 \(a : j \to i\) 和 \(b : k \to i\)，若复合 \(c = a \circ b\)，则 \(\varphi_c = \varphi_b \circ f_b^{-1}\varphi_a\)。

这由 Categories，引理 0DV0 得出。最后，必须证明由伴随给出的映射 \[\colim_{i \in I} f_i^{-1}f_{i, *}\mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] 是同构。对 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(U\)，需要证明映射 \[(\colim_{i \in I} f_i^{-1}\mathcal{F}_i)(U) \to \mathcal{F}(U)\] 是双射。选择 \(i\) 和 \(\mathcal{C}_i\) 的对象 \(U_i\)，使得 \(u_i(U_i) = U\)。则由引理 09YN，左边等于

\[(\colim_{i \in I} f_i^{-1}\mathcal{F}_i)(U) = \colim_{a : j \to i} f_{j, *}\mathcal{F}(u_a(U_i))\] 因为 \(u_j(u_a(U_i)) = U\)，根据定义，对所有 \(a : j \to i\) 都有 \(f_{j, *}\mathcal{F}(u_a(U_i)) = \mathcal{F}(U)\)。因此该余极限的值是 \(\mathcal{F}(U)\)，证明完成。

预层的进一步函子性

本节重新讨论第 00VC 节的内容。设 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 为范畴之间的函子。回忆 \[u^p : \textit{PSh}(\mathcal{D}) \longrightarrow \textit{PSh}(\mathcal{C})\] 是这样的函子：它把 \(\mathcal{D}\) 上的 \(\mathcal{G}\) 送到预层 \(u^p\mathcal{G} = \mathcal{G} \circ u\)。事实表明，该函子不仅有左伴随（即 \(u_p\)），而且还有右伴随。

具体地，对任意 \(V \in \Ob(\mathcal{D})\)，定义范畴 \({}_V\mathcal{I} = {}_V^u\mathcal{I}\)。其对象是序对 \((U, \psi : u(U) \to V)\)。注意，这里的箭头方向与第 00VC 节定义范畴 \(\mathcal{I}_V^u\) 时所用的箭头方向相反。态射 \((U, \psi) \to (U', \psi')\) 由满足 \(\psi = \psi' \circ u(\alpha)\) 的态射 \(\alpha : U \to U'\) 给出。此外，给定 \(\mathcal{C}\) 上任意集合预层 \(\mathcal{F}\)，引入函子 \({}_V\mathcal{F} : {}_V\mathcal{I}^{opp} \to \textit{Sets}\)，由规则 \({}_V\mathcal{F}(U, \psi) = \mathcal{F}(U)\) 定义。令 \[{}_pu(\mathcal{F})(V) := \lim_{{}_V\mathcal{I}^{opp}} {}_V\mathcal{F}\] 作为极限，对 \({}_V\mathcal{I}\) 的每个对象 \((U, \psi)\)，都有投影映射 \(c(\psi) : {}_pu(\mathcal{F})(V) \to \mathcal{F}(U)\)。事实上， \[{}_pu(\mathcal{F})(V) = \left\{ \begin{matrix} \text{族 } s_{(U, \psi)} \in \mathcal{F}(U) \\ \forall \beta : (U_1, \psi_1) \to (U_2, \psi_2) \text{ 于 }{}_V\mathcal{I} \\ \text{ 有 } \beta^*s_{(U_2, \psi_2)} = s_{(U_1, \psi_1)} \end{matrix} \right\}\] 其中对应由 \(s \mapsto s_{(U, \psi)} = c(\psi)(s)\) 给出。留给读者定义与 \(\mathcal{D}\) 的任意态射 \(V' \to V\) 相伴的限制映射 \({}_pu(\mathcal{F})(V) \to {}_pu(\mathcal{F})(V')\)。所得预层记为 \({}_pu\mathcal{F}\)。

引理

存在与限制映射相容的典范映射 \({}_pu\mathcal{F}(u(U)) \to \mathcal{F}(U)\)。

证明

这就是上面的投影映射 \(c(\text{id}_{u(U)})\)。

注意，预层的任意映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) 都产生函子间相容的映射系 \({}_V\mathcal{F} \to {}_V\mathcal{F}'\)，从而产生预层的映射 \({}_pu\mathcal{F} \to {}_pu\mathcal{F}'\)。换言之，我们定义了函子 \[{}_pu : \textit{PSh}(\mathcal{C}) \longrightarrow \textit{PSh}(\mathcal{D})\]

引理

函子 \({}_pu\) 是函子 \(u^p\) 的右伴随。换言之，公式 \[\Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(u^p\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{D})}(\mathcal{G}, {}_pu\mathcal{F})\] 关于 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{G}\) 双函子地成立。

证明

证明与引理 00VE 的证明完全相同。注意，引理 00XG 中的映射 \(u^p{}_pu \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 正是用于从右边得到左边的映射。

另一种证法是：把 \(\mathcal{C}\) 上的集合预层 \(\mathcal{F}\) 看作 \(\mathcal{C}^{opp}\) 上取值于 \(\textit{Sets}^{opp}\) 的预层 \(\mathcal{F}'\)，并对 \(\mathcal{D}\) 作类似处理。验证 \(({}_pu \mathcal{F})' = u_p(\mathcal{F}')\) 且 \((u^p\mathcal{G})' = u^p(\mathcal{G}')\)。由备注 00VF，对取值于 \(\textit{Sets}^{opp}\) 的预层，\(u_p\) 与 \(u^p\) 互为伴随。结论由此形式地得到。

因此，给定范畴的函子 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)，可在预层范畴之间得到函子序列 \[u_p, u^p, {}_pu\] 其中每一对相邻函子中，前者是后者的左伴随。

引理

设 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 和 \(v : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 为范畴的函子。假设 \(v\) 是 \(u\) 的右伴随。则：

对 \(\mathcal{D}\) 中任意 \(V\)，有 \(u^ph_V = h_{v(V)}\)；

范畴 \(\mathcal{I}^v_U\) 有始对象；

范畴 \({}_V^u\mathcal{I}\) 有终对象；

\({}_pu = v^p\)；

\(u^p = v_p\)。

证明

(1) 的证明。设 \(V\) 为 \(\mathcal{D}\) 的对象。由假设， \(u^ph_V = h_{v(V)}\)，因为 \(u^ph_V(U) = \Mor_\mathcal{D}(u(U), V) = \Mor_\mathcal{C}(U, v(V))\)。

(2) 的证明。设 \(U\) 为 \(\mathcal{C}\) 的对象。令 \(\eta : U \to v(u(U))\) 为映射 \(\text{id} : u(U) \to u(U)\) 的伴随映射。断言 \((u(U), \eta)\) 是 \(\mathcal{I}_U^v\) 的始对象。事实上，给定 \(\mathcal{I}_U^v\) 的对象 \((V, \phi : U \to v(V))\)，态射 \(\phi\) 的伴随是映射 \(\psi : u(U) \to V\)，后者定义态射 \((u(U), \eta) \to (V, \phi)\)。

(3) 的证明。设 \(V\) 为 \(\mathcal{D}\) 的对象。令 \(\xi : u(v(V)) \to V\) 为映射 \(\text{id} : v(V) \to v(V)\) 的伴随映射。断言 \((v(V), \xi)\) 是 \({}_V^u\mathcal{I}\) 的终对象。事实上，给定 \({}_V^u\mathcal{I}\) 的对象 \((U, \psi : u(U) \to V)\)，态射 \(\psi\) 的伴随是映射 \(\phi : U \to v(V)\)，后者定义态射 \((U, \psi) \to (v(V), \xi)\)。

因此，对 \(\mathcal{C}\) 上任意预层 \(\mathcal{F}\)，有 \[\begin{eqnarray*} v^p\mathcal{F}(V) & = & \mathcal{F}(v(V)) \\ & = & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_{v(V)}, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(u^ph_V, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{D})}(h_V, {}_pu\mathcal{F}) \\ & = & {}_pu\mathcal{F}(V) \end{eqnarray*}\] 这证明了 (4)。由伴随函子的唯一性，(5) 随之成立。

余连续函子

还有另一种构造托扑斯态射的方法。它使用位点之间的余连续函子，定义如下。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 为位点，并设 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 为函子。若对每个 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 以及 \(\mathcal{D}\) 的每个覆盖 \(\{V_j \to u(U)\}_{j \in J}\)，都存在 \(\mathcal{C}\) 的覆盖 \(\{U_i \to U\}_{i\in I}\)，使得态射族 \(\{u(U_i) \to u(U)\}_{i \in I}\) 加细覆盖 \(\{V_j \to u(U)\}_{j \in J}\)，则称函子 \(u\) 是余连续的。

注意，\(\{u(U_i) \to u(U)\}_{i \in I}\) 一般不是位点 \(\mathcal{D}\) 的覆盖。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 为位点， \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 余连续，并设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\mathcal{C}\) 上的层。则 \({}_pu\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{D}\) 上的层，将其记为 \({}_su\mathcal{F}\)。

证明

令 \(\{V_j \to V\}_{j \in J}\) 为位点 \(\mathcal{D}\) 的覆盖。必须证明 \[\xymatrix{ &\ \phantom{}_pu\mathcal{F}(V) \ar[r] & \prod {}_pu\mathcal{F}(V_j) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod {}_pu\mathcal{F}(V_j \times_V V_{j'}) & }\] 是等化子图。因为 \({}_pu\) 是 \(u^p\) 的右伴随，有 \[{}_pu\mathcal{F}(V) = \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{D})}(h_V, {}_pu\mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(u^ph_V, \mathcal{F}) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}((u^ph_V)^\#, \mathcal{F})\] 因此，只需证明 [07GF]\[\begin{equation} \xymatrix{ \coprod u^p h_{V_j \times_V V_{j'}} \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \coprod u^p h_{V_j} \ar[r] & u^p h_V } \end{equation}\] 在层化后成为余等化子图。（回忆一下，层范畴中的余积是预层范畴中余积的层化，见引理 00WI。）

先证明 (07GF) 的第二个箭头在层化后成为满射。为此使用引理 00WN。因此，只需证明：\(u^ph_V\) 在 \(U\) 上的截面 \(s\) 可在 \(U\) 的某个覆盖的各成员上提升为 \(\coprod u^p h_{V_j}\) 的截面。注意，\(s\) 是态射 \(s : u(U) \to V\)。于是 \(\{V_j \times_{V, s} u(U) \to u(U)\}\) 是 \(\mathcal{D}\) 的覆盖。因为 \(u\) 余连续，存在覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，使得 \(\{u(U_i) \to u(U)\}\) 加细 \(\{V_j \times_{V, s} u(U) \to u(U)\}\)。这意味着每个限制 \(s|_{U_i} : u(U_i) \to V\) 都经由某个 \(j\) 的态射 \(s_i : u(U_i) \to V_j\) 分解；换言之，\(s|_{U_i}\) 按要求在 \(u^ph_{V_j}(U_i) \to u^ph_V(U_i)\) 的像中。

设 \(s, s' \in (\coprod u^ph_{V_j})^\#(U)\) 映到 \((u^ph_V)^\#(U)\) 中同一元素。为完成引理的证明，说明把 \(U\) 替换为某个覆盖的各成员后，\(s, s'\) 是 \(\coprod u^p h_{V_j \times_V V_{j'}}\) 的同一截面在 (07GF) 的两个映射下的像。先把 \(U\) 替换为某个覆盖的各成员，从而可以假设 \(s \in u^ph_{V_j}(U)\) 且 \(s' \in u^ph_{V_{j'}}(U)\)。再次作这样的替换，可以保证 \(s\) 和 \(s'\) 在 \(u^ph_V(U)\) 中，而不只是在层化中，具有相同的像。因此 \(s : u(U) \to V_j\) 和 \(s' : u(U) \to V_{j'}\) 是 \(\mathcal{D}\) 的态射，使得 \[\xymatrix{ u(U) \ar[r]_{s'} \ar[d]_s & V_{j'} \ar[d] \\ V_j \ar[r] & V }\] 交换。于是得到 \(t = (s, s') : u(U) \to V_j \times_V V_{j'}\)，即截面 \(t \in u^ph_{V_j \times_V V_{j'}}(U)\)，它按要求映到 \(s, s'\)。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 为位点， \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 余连续。函子 \(\Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\)， \(\mathcal{G} \mapsto (u^p\mathcal{G})^\#\) 是上面引理 00XK 中引入的函子 \({}_su\) 的左伴随。此外，它是正合的。

证明

如下证明伴随性质： \[\begin{eqnarray*} \Mor_{\Sh(\mathcal{C})} ((u^p\mathcal{G})^\#, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})} (u^p\mathcal{G}, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{D})} (\mathcal{G}, {}_pu\mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\Sh(\mathcal{D})} (\mathcal{G}, {}_su\mathcal{F}). \end{eqnarray*}\] 因此它是左伴随，从而右正合，见 Categories，引理 0039。已经看到层化是左正合的，见引理 00WJ。此外，由引理 00W2，包含函子 \(i : \Sh(\mathcal{D}) \to \textit{PSh}(\mathcal{D})\) 左正合。最后，函子 \(u^p\) 左正合，因为它是右伴随（即 \(u_p\) 的右伴随）。因此，该函子是左正合函子之复合 \({}^\# \circ u^p \circ i\)，所以左正合。

以一个技术性引理结束本节。

引理

在引理 00XL 的情形中。对 \(\mathcal{D}\) 上任意预层 \(\mathcal{G}\)，有 \((u^p\mathcal{G})^\# = (u^p(\mathcal{G}^\#))^\#\)。

证明

对 \(\mathcal{C}\) 上任意层 \(\mathcal{F}\)，有 \[\begin{eqnarray*} \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}((u^p(\mathcal{G}^\#))^\#, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\Sh(\mathcal{D})}(\mathcal{G}^\#, {}_su\mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\Sh(\mathcal{D})}(\mathcal{G}^\#, {}_pu\mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{D})}(\mathcal{G}, {}_pu\mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(u^p\mathcal{G}, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}((u^p\mathcal{G})^\#, \mathcal{F}) \end{eqnarray*}\] 结论由米田引理得出。

注

设 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 为范畴之间的函子。给定 \(\mathcal{D}\) 中的态射 \(g : u(U) \to V\) 和 \(f : W \to V\)，可以考虑函子 \[\mathcal{C}^{opp} \longrightarrow \textit{Sets},\quad T \longmapsto \Mor_\mathcal{C}(T, U) \times_{\Mor_\mathcal{D}(u(T), V)} \Mor_\mathcal{D}(u(T), W)\] 若该函子可表，以 \(U \times_{g, V, f} W\) 表示 \(\mathcal{C}\) 中相应的对象。假设 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 是位点。考虑性质 \(P\)：对 \(\mathcal{D}\) 的每个覆盖 \(\{f_j : V_j \to V\}\) 和任意态射 \(g : u(U) \to V\)，有：

对所有 \(i\)，\(U \times_{g, V, f_i} V_i\) 存在；

\(\{U \times_{g, V, f_i} V_i \to U\}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的覆盖。

请注意这与连续函子定义的相似之处。若 \(u\) 具有 \(P\)，则 \(u\) 余连续（细节从略）。我们将遇到的许多余连续函子都满足 \(P\)。

余连续函子与托扑斯态射

由上文清楚可知，余连续函子 \(u\) 给出一个与 \(u\) 同方向的托扑斯态射。因此，这与定义 00X1、命题 00X6 和引理 00XC 中在某些条件下与连续 \(u\) 相伴的托扑斯态射方向相反。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 为位点，并设 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 余连续。函子 \(g_* = {}_su\) 和 \(g^{-1} = (u^p\ )^\#\) 定义从 \(\Sh(\mathcal{C})\) 到 \(\Sh(\mathcal{D})\) 的托扑斯态射 \(g\)。

证明

这正是引理 00XL 的内容。

引理

设 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 和 \(v : \mathcal{D} \to \mathcal{E}\) 为余连续函子。则 \(v \circ u\) 余连续，并且 \(h = g \circ f\)，其中 \(f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\)、相应地 \(g : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{E})\)、相应地 \(h : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{E})\)，分别是与 \(u\)、相应地 \(v\)、相应地 \(v \circ u\) 相伴的托扑斯态射。

证明

令 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)。设 \(\{E_i \to v(u(U))\}\) 是 \(\mathcal{E}\) 中 \(U\) 的一个覆盖。根据假设，存在 \(\mathcal{D}\) 中的覆盖 \(\{D_j \to u(U)\}\)，使得 \(\{v(D_j) \to v(u(U))\}\) 加细 \(\{E_i \to v(u(U))\}\)。同样根据假设，存在 \(\mathcal{C}\) 中的覆盖 \(\{C_l \to U\}\)，使得 \(\{u(C_l) \to u(U)\}\) 加细 \(\{D_j \to u(U)\}\)。于是 \(\{v(u(C_l)) \to v(u(U))\}\) 确实加细覆盖 \(\{E_i \to v(u(U))\}\)。这证明 \(v \circ u\) 余连续。

为证明最后的断言，只需说明 \({}_sv \circ {}_su = {}_s(v \circ u)\)。由引理 00XK，只需证明 \({}_pv \circ {}_pu = {}_p(v \circ u)\)。因为 \({}_pu\)、相应地 \({}_pv\)、相应地 \({}_p(v \circ u)\)，分别是 \(u^p\)、相应地 \(v^p\)、相应地 \((v \circ u)^p\) 的右伴随，所以只需证明 \(u^p \circ v^p = (v \circ u)^p\)。这直接由定义得出。

例

设 \(X\) 为拓扑空间，\(j : U \to X\) 为开子空间的包含映射。回忆一下，我们有位点 \(X_{Zar}\) 和 \(U_{Zar}\)，见例 00VJ。还记得，与 \(j\) 相伴的函子 \(u : X_{Zar} \to U_{Zar}\) 连续，并产生位点态射 \(U_{Zar} \to X_{Zar}\)，见例 00X2。它也给出托扑斯态射 \((j_*, j^{-1})\)。接着考虑函子 \(v : U_{Zar} \to X_{Zar}\)，\(V \mapsto v(V) = V\)（仍是同一个开集，但现在把它看作 \(X_{Zar}\) 的对象）。该函子余连续。事实上，若 \(v(V) = \bigcup_{j \in J} W_j\) 是 \(X\) 中的开覆盖，则每个 \(W_j\) 必为 \(U\) 的子集，因而形如 \(v(V_j)\)，而且显然 \(V = \bigcup_{j \in J} V_j\) 是 \(U\) 中的开覆盖。由上面的引理 00XO，可知有与 \(v\) 相伴的托扑斯态射 \[\Sh(U) \longrightarrow \Sh(X)\] 由 \({}_sv\) 和 \((v^p\ )^\#\) 给出。断言事实上 \((v^p\ )^\# = j^{-1}\) 且 \({}_sv = j_*\)；换言之，这与上面给出的托扑斯态射相同。看出这一点的最简便方法或许是注意：对 \(X\) 上任意层 \(\mathcal{G}\)，有 \(v^p\mathcal{G}(V) = \mathcal{G}(V)\)；根据 Sheaves，引理 00A0，这描述了 \(j^{-1}\mathcal{G}\)（因此在此情形无需层化）。\({}_sv\) 与 \(j_*\) 的相等由伴随函子的唯一性得出（也可直接计算）。

例

这是例 00XP 的一个小推广。设 \(f : X \to Y\) 为拓扑空间的连续映射，并假设 \(f\) 是开映射。回忆一下，我们有位点 \(X_{Zar}\) 和 \(Y_{Zar}\)，见例 00VJ。还记得，与 \(f\) 相伴的函子 \(u : Y_{Zar} \to X_{Zar}\) 连续，并产生位点态射 \(X_{Zar} \to Y_{Zar}\)，见例 00X2。它也给出托扑斯态射 \((f_*, f^{-1})\)。接着考虑函子 \(v : X_{Zar} \to Y_{Zar}\)，\(U \mapsto v(U) = f(U)\)。该函子余连续。事实上，若 \(f(U) = \bigcup_{j \in J} V_j\) 是 \(Y\) 中的开覆盖，则令 \(U_j = f^{-1}(V_j) \cap U\)，可得开覆盖 \(U = \bigcup U_j\)，使得 \(f(U) = \bigcup f(U_j)\) 加细 \(f(U) = \bigcup V_j\)。由上面的引理 00XO，可知有与 \(v\) 相伴的托扑斯态射 \[\Sh(X) \longrightarrow \Sh(Y)\] 由 \({}_sv\) 和 \((v^p\ )^\#\) 给出。断言事实上 \((v^p\ )^\# = f^{-1}\) 且 \({}_sv = f_*\)；换言之，这与上面给出的托扑斯态射相同。对 \(Y\) 上任意层 \(\mathcal{G}\)，有 \(v^p\mathcal{G}(U) = \mathcal{G}(f(U))\)。另一方面，可以计算 \(u_p\mathcal{G}(U) = \colim_{f(U) \subset V} \mathcal{G}(V) = \mathcal{G}(f(U))\)，因为显然 \((f(U), U \subset f^{-1}(f(U)))\) 是第 00VC 节中范畴 \(\mathcal{I}_U^u\) 的始对象。因此 \(u_p = v^p\)，从而 \(f^{-1} = u_s = (v^p\ )^\#\)。\({}_sv\) 与 \(f_*\) 的相等由伴随函子的唯一性得出（也可直接计算）。

在第一个例 00XP 中，函子 \(v\) 也连续。但在第二个例 00XQ 中，它一般不连续，因为定义 00WV 的条件 (2) 可能不成立。因此下述引理适用于第一个例，但不适用于第二个例。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 为位点，并设 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 为函子。假设：

\(u\) 余连续；

\(u\) 连续。

令 \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) 为相伴的托扑斯态射。则：

公式 \(g^{-1} = (u^p\ )^\#\) 中无需层化，换言之， \(g^{-1}(\mathcal{G})(U) = \mathcal{G}(u(U))\)；

\(g^{-1}\) 有左伴随 \(g_{!} = (u_p\ )^\#\)；

\(g^{-1}\) 与任意极限和余极限交换。

证明

由引理 00WW，对 \(\mathcal{D}\) 上任意层 \(\mathcal{G}\)，预层 \(u^p\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的层（记为 \(u^s\mathcal{G}\)）。由引理 00WX，函子 \(\mathcal{F} \mapsto (u_p\mathcal{F})^\#\) 是 \(u^s\) 的左伴随。关于极限和余极限的断言由 Categories，第 0036 节中的讨论得出。

在上述引理 00XR 的情形中，可知有伴随函子序列 \[g_{!}, \ g^{-1}, \ g_*.\] 函子 \(g_!\) 一般不正合，因为一般而言，它不把 \(\Sh(\mathcal{C})\) 的终对象变为 \(\Sh(\mathcal{D})\) 的终对象。见 Sheaves，备注 00AC。另一方面，在例 00XP 的拓扑情形中，函子 \(j_!\) 在阿贝尔层上正合，见 Modules，引理 01AK。下述引理把它推广到位点情形。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 为位点，并设 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 为函子。假设：

\(u\) 余连续；

\(u\) 连续；

\(\mathcal{C}\) 中存在纤维积和等化子，并且 \(u\) 与它们交换。

此时上述函子 \(g_!\) 与纤维积和等化子交换（更一般地，与有限连通极限交换）。

证明

假设 (a)、(b)、(c)。有 \(g_! = (u_p\ )^\#\)。回忆一下（引理 00W2），层的极限等于相应的预层极限，而层化与有限极限交换（引理 00WJ）。因此，只需说明 \(u_p\) 与纤维积和等化子交换。为此，只需第 00VC 节中的范畴 \((\mathcal{I}_V^u)^{opp}\) 上的余极限与纤维积和等化子交换。这由引理 00X4 和 Categories，引理 002Y 得出。

下述引理处理一种甚至更像与拓扑空间开浸入相伴之态射的情形。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 为位点，并设 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 为函子。假设：

\(u\) 余连续；

\(u\) 连续；

\(u\) 全忠实。

对上述 \(g_!, g^{-1}, g_*\)，任意 \(\mathcal{C}\) 上的层 \(\mathcal{F}\) 的典范映射 \(\mathcal{F} \to g^{-1}g_!\mathcal{F}\) 和 \(g^{-1}g_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 都是同构。

证明

设 \(X\) 为 \(\mathcal{C}\) 的对象。引理 00XK 和 00XR 已经表明，对函子 \(g^{-1} = (u^p\ )^\#\) 和 \(g_{*} = ({}_pu\ )^\#\)，层化不是必需的。可以计算 \((g^{-1}g_{*}\mathcal{F})(X) = g_{*}\mathcal{F}(u(X)) = \lim \mathcal{F}(Y)\)。这里的极限遍历序对 \((Y, u(Y) \to u(X))\) 所成的范畴，其中不要求态射 \(u(Y) \to u(X)\) 形如 \(u(\alpha)\)，\(\alpha\) 为 \(\mathcal{C}\) 的态射。由假设 (c)，它们自动来自 \(\mathcal{C}\) 的态射，因而该极限是在 \((X, u(\text{id}_X))\) 上的值，即 \(\mathcal{F}(X)\)。这证明 \(g^{-1}g_{*}\mathcal{F} = \mathcal{F}\)。

另一方面，\((g^{-1}g_{!}\mathcal{F})(X) = g_{!}\mathcal{F}(u(X)) = (u_p\mathcal{F})^\#(u(X))\)，并且 \(u_p\mathcal{F}(u(X)) = \colim \mathcal{F}(Y)\)。这里的余极限遍历序对 \((Y, u(X) \to u(Y))\) 所成的范畴，其中不要求态射 \(u(X) \to u(Y)\) 形如 \(u(\alpha)\)，\(\alpha\) 为 \(\mathcal{C}\) 的态射。由假设 (c)，它们自动来自 \(\mathcal{C}\) 的态射，因而该余极限是在 \((X, u(\text{id}_X))\) 上的值，即 \(\mathcal{F}(X)\)。因此，对每个 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)，有 \(u_p\mathcal{F}(u(X)) = \mathcal{F}(X)\)。由于 \(u\) 余连续且连续， \(\mathcal{D}\) 中 \(u(X)\) 的任意覆盖都可由 \(\mathcal{D}\) 的一个覆盖 (!) \(\{u(X_i) \to u(X)\}\) 加细，其中 \(\{X_i \to X\}\) 是 \(\mathcal{C}\) 中的覆盖。这也蕴含 \((u_p\mathcal{F})^+(u(X)) = \mathcal{F}(X)\)，因为在定义 \((u_p\mathcal{F})^+\) 在 \(u(X)\) 上之值的余极限中，可以限制到上述覆盖 \(\{u(X_i) \to u(X)\}\) 所成的共尾系。因此，对 \(\mathcal{C}\) 的所有对象 \(X\)，同样有 \((u_p\mathcal{F})^+(u(X)) = \mathcal{F}(X)\)。再重复一次该论证，便对 \(\mathcal{C}\) 的所有对象 \(X\) 得到 \((u_p\mathcal{F})^\#(u(X)) = \mathcal{F}(X)\)。这产生所需等式 \(g^{-1}g_!\mathcal{F} = \mathcal{F}\)。

最后给出一种没有相应拓扑例子的情形。我们将用该引理考察在保持相同拓扑的同时扩大概形的“部分宇宙”时会发生什么。在引理的情形中，托扑斯态射 \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) 把 \(\Sh(\mathcal{C})\) 识别为 \(\Sh(\mathcal{D})\) 的子托扑斯（第 08LT 节），而且给定嵌入还有一个收缩。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 为位点，并设 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 为函子。假设：

\(u\) 余连续；

\(u\) 连续；

\(u\) 全忠实；

\(\mathcal{C}\) 中存在纤维积，且 \(u\) 与纤维积交换；

存在终对象 \(e_\mathcal{C} \in \Ob(\mathcal{C})\)、 \(e_\mathcal{D} \in \Ob(\mathcal{D})\)，使得 \(u(e_\mathcal{C}) = e_\mathcal{D}\)。

令 \(g_!, g^{-1}, g_*\) 如上。则 \(u\) 定义位点态射 \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\)，并且 \(f_* = g^{-1}\)、 \(f^{-1} = g_!\)。复合 \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}) \ar[r]^g & \Sh(\mathcal{D}) \ar[r]^f & \Sh(\mathcal{C}) }\] 同构于托扑斯 \(\Sh(\mathcal{C})\) 的恒等态射。此外，函子 \(f^{-1}\) 全忠实。

证明

由假设，函子 \(u\) 满足命题 00X6 的假设。因此， \(u\) 定义位点态射，从而定义引理 00XC 中的托扑斯态射 \(f\)。公式 \(f_* = g^{-1}\) 和 \(f^{-1} = g_!\) 由所引引理及引理 00XR 清楚可得。由引理 00XT，有 \(f_* \circ g_* = g^{-1} \circ g_* \cong \text{id}\)，以及 \(g^{-1} \circ f^{-1} = g^{-1} \circ g_! \cong \text{id}\)。

还须证明 \(f^{-1}\) 全忠实。令 \(\mathcal{F}, \mathcal{G} \in \Ob(\Sh(\mathcal{C}))\)。必须证明映射 \[\Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \longrightarrow \Mor_{\Sh(\mathcal{D})}(f^{-1}\mathcal{F}, f^{-1}\mathcal{G})\] 是双射。但右边等于 \[\begin{align*} \Mor_{\Sh(\mathcal{D})}(f^{-1}\mathcal{F}, f^{-1}\mathcal{G}) & = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{F}, f_*f^{-1}\mathcal{G}) \\ & = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{F}, g^{-1}f^{-1}\mathcal{G}) \\ & = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \end{align*}\] （第一个等号由伴随得到），这证明了所需结论。

例

设 \(X\) 为拓扑空间，\(i : Z \to X\) 为一个子集（赋以诱导拓扑）的包含映射。考虑函子 \(u : X_{Zar} \to Z_{Zar}\)， \(U \mapsto u(U) = Z \cap U\)。乍看之下，该函子似乎也余连续。毕竟，既然 \(Z\) 带有诱导拓扑，\(U\cap Z\) 的任意覆盖难道不应来自 \(X\) 中 \(U\) 的某个覆盖吗？并非如此！例如，若 \(U \cap Z = \emptyset\) 会怎样？此时空覆盖是 \(U \cap Z\) 的覆盖，而空覆盖只能由空覆盖加细。因此得到 \(u\) 余连续 \(\Rightarrow\) \(X\) 的每个非空开集 \(U\) 都与 \(Z\) 有非空交。

但这并不充分。例如，若 \(X = \mathbf{R}\) 是带通常拓扑的实数直线，且 \(Z = \mathbf{R} \setminus \{0\}\)，则 \(Z\) 有开覆盖 \(Z = \{x < 0\} \cup \bigcup_n \{1/n < x\}\)，它不可能由 \(X\) 的任何开覆盖之限制来加细。

具有右伴随的余连续函子

设 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 为位点。设 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 和 \(v : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 为底层范畴的函子，并且 \(v\) 是 \(u\) 的右伴随。在此情形中，若 \(v\) 连续，则 \(u\) 余连续（引理 09VR）。若 \(u\) 余连续，则常常（但并非总是如此，见例 0H6Z）\(v\) 连续；若确实如此，则 \(v\) 定义一个位点态射，其相伴托扑斯态射与 \(u\) 所定义的相同。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 为位点，设 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 和 \(v : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 为函子。假设 \(u\) 余连续，且 \(v\) 是 \(u\) 的右伴随。令 \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) 为与 \(u\) 相伴的托扑斯态射，见引理 00XO。则：

对 \(\mathcal{C}\) 上的层 \(\mathcal{F}\)，层 \(g_*\mathcal{F}\) 等于预层 \(v^p\mathcal{F}\)；换言之， \((g_*\mathcal{F})(V) = \mathcal{F}(v(V))\)；

对 \(\mathcal{D}\) 上的层 \(\mathcal{G}\)，有 \(g^{-1}\mathcal{G} = (v_p\mathcal{G})^\#\)。

证明

对 (1) 中的 \(\mathcal{F}\)，有 \[g_*\mathcal{F} = {}_su\mathcal{F} = {}_pu\mathcal{F} = v^p\mathcal{F} = \mathcal{F} \circ v\] 第一个等号是引理 00XO。第二个等号是引理 00XK。第三个等号是引理 09VQ。最后一个等号是第 00VC 节中 \(v^p\) 的定义。这证明 (1)。对 (2) 中的 \(\mathcal{G}\)，有 \[g^{-1}\mathcal{G} = (u^p\mathcal{G})^\# = (v_p\mathcal{G})^\#\] 第一个等号是引理 00XO。第二个等号是引理 09VQ。

引理

记号与假设同引理 00XX。若另外 \(v\) 连续，则 \(v\) 定义位点态射 \(f : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)，其相伴托扑斯态射等于 \(g\)。

证明

使用引理 00XX 的结果而不再另行说明。为证明 \(v\) 定义引理所述的位点态射 \(f\)，必须说明 \(v_s\) 是正合函子（见定义 00X1）。由于 \(v_s\mathcal{G} = (v_p\mathcal{G})^\# = g^{-1}\mathcal{G}\)，这由 \(g\) 是托扑斯态射这一事实得出。于是 \(f^{-1} = v_s = g^{-1}\)，从而发现 \(f = g\) 作为托扑斯态射成立。

例

本例延续例 0EWI 的讨论，并沿用其中的记号 \(\mathcal{C}, \tau, \tau', \epsilon\)。注意，恒等函子 \(v : \mathcal{C}_{\tau'} \to \mathcal{C}_\tau\) 连续，而恒等函子 \(u : \mathcal{C}_\tau \to \mathcal{C}_{\tau'}\) 余连续。此外，\(u\) 是 \(v\) 的左伴随。因此，引理 00XX 和 00XY 的结果适用，从而 \(v\) 定义位点态射，即 \[\epsilon : \mathcal{C}_\tau \longrightarrow \mathcal{C}_{\tau'}\] 其相应托扑斯态射与余连续函子 \(u\) 所伴随的托扑斯态射相同。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 为位点，并设 \(v : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 为连续函子。假设 \(v\) 有左伴随 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)。则：

\(u\) 余连续；

引理 00XX 和 00XY 的结论成立。

特别地，\(v\) 定义位点态射 \(f : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)。

证明

令 \(U\) 为 \(\mathcal{C}\) 的对象，并令 \(\{V_j \to u(U)\}_{j \in J}\) 为 \(\mathcal{D}\) 中的覆盖。则 \(\{v(V_j) \to v(u(U))\}_{i \in I}\) 是 \(\mathcal{C}\) 中的覆盖。通过伴随映射 \(U \to v(u(U))\)，可以基变换为覆盖 \(\{W_j \to U\}_{j \in J}\)，其中 \(W_j = v(V_j) \times_{v(u(U))} U\)。以 \(p_j : W_j \to v(V_j)\) 表示第一投影，得到映射

\[u(W_j) \xrightarrow{u(p_j)} u(v(V_j)) \longrightarrow V_j\] 其中第二个箭头是伴随映射。这确定具有固定靶的态射族之态射 \(\{u(W_j) \to u(U)\} \to \{V_j \to u(U)\}\)，表明 \(u\) 的确余连续。其余断言由引理 00XX 和 00XY 立即得出。

例

设 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 为位点。设 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 和 \(v : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 为底层范畴的函子，并且 \(v\) 是 \(u\) 的右伴随。引理 09VR 表明，若 \(v\) 连续，则 \(u\) 余连续。反过来，若 \(u\) 余连续，不能由此断定 \(v\) 连续。

将用概形的大 étale 位点和平滑位点给出这一现象的例子，不过大概也有初等例子。具体而言，考虑概形 \(S\) 以及位点 \((\Sch/S)_\etale\) 和 \((\Sch/S)_{smooth}\)。可以假设这些位点具有同一底层范畴，见 Topologies，备注 03FF。令 \(u = v = \text{id}\)。则作为从 \((\Sch/S)_\etale\) 到 \((\Sch/S)_{smooth}\) 的函子，\(u\) 余连续，因为概形的每个平滑覆盖都可由 étale 覆盖加细，见 More on Morphisms，引理 055V。反之，从 \((\Sch/S)_{smooth}\) 到 \((\Sch/S)_\etale\) 的函子 \(v\) 不连续，因为平滑覆盖一般不是 étale 覆盖。

具有左伴随的余连续函子

余连续函子 \(u\) 可能有左伴随 \(w\)。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 为位点。令 \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) 为与连续且余连续的函子 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 相伴的托扑斯态射，见引理 00XO 和 00XR。

若 \(w : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 是 \(u\) 的左伴随，则：

\(g_!\mathcal{F}\) 是与预层 \(w^p\mathcal{F}\) 相伴的层；

\(g_!\) 正合。

若 \(w\) 是连续的左伴随，则 \(g_!\) 有左伴随。

若 \(w\) 是余连续的左伴随，则 \(g_! = h^{-1}\) 且 \(g^{-1} = h_*\)，其中 \(h : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\) 是与 \(w\) 相伴的托扑斯态射。

证明

回忆一下，\(g_!\mathcal{F}\) 是 \(u_p\mathcal{F}\) 的层化。因此，(1)(a) 由引理 09VQ 中 \(u_p = w^p\) 这一事实得出。

为说明 (1)(b)，注意 \(g_!\) 作为左伴随与所有余极限交换（Categories，引理 0038）。令 \(i \mapsto \mathcal{F}_i\) 为 \(\Sh(\mathcal{C})\) 中的有限图表。则 \(\lim \mathcal{F}_i\) 在预层范畴中计算（引理 00W2）。因为 \(w^p\) 是右伴随（引理 00VE），有 \(w^p \lim \mathcal{F}_i = \lim w^p\mathcal{F}_i\)。层化正合（引理 00WJ），故结论由 (1)(a) 得出。

假设 \(w\) 连续。则 \(g_! = (w^p\ )^\# = w^s\)，但层化不是必需的，并且 \(g_!\) 有左伴随 \(w_s\)，见引理 00WW 和 00WX。

假设 \(w\) 余连续。等式 \(g_! = h^{-1}\) 由 (1)(a) 和定义得出。等式 \(g^{-1} = h_*\) 由 \(g_! = h^{-1}\) 和伴随函子的唯一性得出。或者，也可由引理 00XX 推出。

下惊叹号的存在性

本节讨论托扑斯态射 \(f\) 的一些情形；在这些情形中，\(f^{-1}\) 有左伴随 \(f_!\)。

引理

设 \(\mathcal{C}\)、\(\mathcal{D}\) 为两个位点。设 \(f : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\) 为托扑斯态射。设 \(E \subset \Ob(\mathcal{D})\) 为子集，满足：

对 \(V \in E\)，存在 \(\mathcal{C}\) 上的层 \(\mathcal{G}\)，使得 \(f^{-1}\mathcal{F}(V) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\) 对 \(\Sh(\mathcal{C})\) 中的 \(\mathcal{F}\) 函子地成立；

\(\mathcal{D}\) 的每个对象都有一个由 \(E\) 中对象组成的覆盖。

则 \(f^{-1}\) 有左伴随 \(f_!\)。

证明

由米田引理（Categories，引理 001P），与 \(V \in E\) 对应的层 \(\mathcal{G}_V\) 由公式 \(f^{-1}\mathcal{F}(V) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{G}_V, \mathcal{F})\) 在唯一同构意义下确定。回忆一下， \(f^{-1}\mathcal{F}(V) = \Mor_{\Sh(\mathcal{D})}(h_V^\#, f^{-1}\mathcal{F})\)。以 \(i_V : h_V^\# \to f^{-1}\mathcal{G}_V\) 表示与 \(\Mor(\mathcal{G}_V, \mathcal{G}_V)\) 中的 \(\text{id}\) 对应的映射。(1) 中的函子性蕴含该双射由下式给出： \[\Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{G}_V, \mathcal{F}) \to \Mor_{\Sh(\mathcal{D})}(h_V^\#, f^{-1}\mathcal{F}),\quad \varphi \mapsto f^{-1}\varphi \circ i_V\] 对任意 \(V_1, V_2 \in E\)，存在典范映射 \[\Mor_{\Sh(\mathcal{D})}(h^\#_{V_2}, h^\#_{V_1}) \to \Hom_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{G}_{V_2}, \mathcal{G}_{V_1}),\quad \varphi \mapsto f_!(\varphi)\] 其特征为 \(f^{-1}(f_!(\varphi)) \circ i_{V_2} = i_{V_1} \circ \varphi\)。注意， \(\varphi \mapsto f_!(\varphi)\) 与复合相容；这可直接由上述刻画看出。因此， \(h_V^\# \mapsto \mathcal{G}_V\) 和 \(\varphi \mapsto f_!\varphi\) 构成一个以 \(\Sh(\mathcal{D})\) 的全子范畴为定义域的函子，其中该全子范畴的对象是各个 \(h_V^\#\)。

设 \(J\) 为集合，并设 \(J \to E\)，\(j \mapsto V_j\) 为映射。利用上述双射的乘积，得到函子性双射 \[\Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\coprod \mathcal{G}_{V_j}, \mathcal{F}) \longrightarrow \Mor_{\Sh(\mathcal{D})}(\coprod h_{V_j}^\#, f^{-1}\mathcal{F})\] 因此，可以把函子 \(f_!\) 扩张到 \(\Sh(\mathcal{D})\) 的全子范畴，该全子范畴的对象是 \(V \in E\) 的 \(h_V^\#\) 的余积。

给定 \(\mathcal{D}\) 上任意层 \(\mathcal{H}\)，选择余等化子图 \[\xymatrix{ \mathcal{H}_1 \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \mathcal{H}_0 \ar[r] & \mathcal{H} }\] 其中 \(\mathcal{H}_i = \coprod h_{V_{i, j}}^\#\) 是一个余积，且 \(V_{i, j} \in E\)。由假设 (2)，这是可能的，见引理 00WS（对于担心集合论问题的读者，注意引理 00WS 中给出的构造是典范的）。把 \(f_!(\mathcal{H})\) 定义为 \(\mathcal{C}\) 上使 \[\xymatrix{ f_!\mathcal{H}_1 \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & f_!\mathcal{H}_0 \ar[r] & f_!\mathcal{H} }\] 成为余等化子图的层。于是 \[\begin{align*} \Mor(f_!\mathcal{H}, \mathcal{F}) & = \text{Equalizer}( \xymatrix{ \Mor(f_!\mathcal{H}_0, \mathcal{F}) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \Mor(f_!\mathcal{H}_1, \mathcal{F}) } ) \\ & = \text{Equalizer}( \xymatrix{ \Mor(\mathcal{H}_0, f^{-1}\mathcal{F}) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \Mor(\mathcal{H}_1, f^{-1}\mathcal{F}) } ) \\ & = \Hom(\mathcal{H}, f^{-1}\mathcal{F}) \end{align*}\] 因此可把 \(f_!\) 扩张到 \(\mathcal{D}\) 上整个层范畴。

局部化

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，并设 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)。关于 \(U\) 上对象所成范畴 \(\mathcal{C}/U\) 的定义，见 Categories，例 001G。如下把 \(\mathcal{C}/U\) 变为位点：当且仅当 \(U\) 上对象的态射族 \(\{V_j \to V\}\) 是 \(\mathcal{C}\) 中的覆盖时，才宣称它是 \(\mathcal{C}/U\) 的覆盖。考虑遗忘函子 \[j_U : \mathcal{C}/U \longrightarrow \mathcal{C}.\] 它显然余连续且连续。因此，由引理 00XR，得到托扑斯态射 \[j_U : \Sh(\mathcal{C}/U) \longrightarrow \Sh(\mathcal{C})\] 由 \(j_U^{-1}\) 和 \(j_{U*}\) 给出，并有 \(j_U^{-1}\) 的左伴随函子 \(j_{U!}\)。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，并设 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)。

位点 \(\mathcal{C}/U\) 称为位点 \(\mathcal{C}\) 在对象 \(U\) 处的局部化。

托扑斯态射 \(j_U : \Sh(\mathcal{C}/U) \to \Sh(\mathcal{C})\) 称为局部化态射。

函子 \(j_{U*}\) 称为直像函子。

对 \(\mathcal{C}\) 上的层 \(\mathcal{F}\)，层 \(j_U^{-1}\mathcal{F}\) 称为 \(\mathcal{F}\) 到 \(\mathcal{C}/U\) 的限制。

对 \(\mathcal{C}/U\) 上的层 \(\mathcal{G}\)，层 \(j_{U!}\mathcal{G}\) 称为 \(\mathcal{G}\) 以空集的延拓。

如所预期，限制 \(j_U^{-1}\mathcal{F}\) 是由规则 \(j_U^{-1}\mathcal{F}(X/U) = \mathcal{F}(X)\) 定义的层。在此情形中，以空集的延拓也有非常简单的描述，如下。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，并设 \(\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{C}/U\) 上的预层。则 \(j_{U!}(\mathcal{G}^\#)\) 是与下述预层相伴的层： \[V \longmapsto \coprod\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \mathcal{G}(V \xrightarrow{\varphi} U)\] 其限制映射显然。

证明

由引理 00XR，有 \(j_{U!}(\mathcal{G}^\#) = ((j_U)_p\mathcal{G}^\#)^\#\)。由引理 00WY，它等于 \(((j_U)_p\mathcal{G})^\#\)。因此，只需证明对 \(\mathcal{C}/U\) 上任意预层 \(\mathcal{G}\)，\((j_U)_p\) 由上述公式给出。现在，根据第 00VC 节中的定义，有

\[(j_U)_p\mathcal{G}(V) = \colim_{(W/U, V \to W)} \mathcal{G}(W)\] 显然，对每个 \(\varphi : V \to U\)，序对 \((W/U, V \to W)\) 所成范畴都有对象 \(O_\varphi = (\varphi : V \to U, \text{id} : V \to V)\)；而且从某个 \(O_\varphi\) 到任意对象恰有一个态射。结论随之成立。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，并设 \(X/U\) 为 \(\mathcal{C}/U\) 的对象。则 \(j_{U!}(h_{X/U}^\#) = h_X^\#\)。

证明

以 \(p : X \to U\) 表示 \(X\) 的结构态射。由引理 03CD，\(j_{U!}(h_{X/U}^\#)\) 是与下述预层相伴的层： \[V \longmapsto \coprod\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \{\psi : V \to X \mid p \circ \psi = \varphi\}\] 这显然就是 \(\Mor_\mathcal{C}(V, X)\)，故引理成立。

由上述任一引理，有 \(j_{U!}(*) = h_U^\#\)。因此，对 \(\mathcal{C}/U\) 上的每个层 \(\mathcal{G}\)，都有层的典范映射 \(j_{U!}\mathcal{G} \to h_U^\#\)。这刻画了 \(j_{U!}\) 本质像中的层。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(U \in \Ob(\mathcal{C})\)。函子 \(j_{U!}\) 给出范畴等价 \[\Sh(\mathcal{C}/U) \longrightarrow \Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\]

证明

把 \(\mathcal{C}/U\) 的对象记作序对 \((X, a)\)，其中 \(X\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象，\(a : X \to U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的态射。类似地， \(\Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\) 的对象是序对 \((\mathcal{F}, \varphi)\)。函子 \(\Sh(\mathcal{C}/U) \to \Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\) 把 \(\mathcal{G}\) 送到序对 \((j_{U!}\mathcal{G}, \gamma)\)，其中 \(\gamma\) 是 \(j_{U!}\mathcal{G} \to j_{U!}*\) 与等同 \(j_{U!}* = h_U^\#\) 的复合。

构造从 \(\Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\) 到 \(\Sh(\mathcal{C}/U)\) 的函子。假设给定 \((\mathcal{F}, \varphi)\)。对 \(\mathcal{C}/U\) 的对象 \((X, a)\)，考虑集合 \(\mathcal{F}_\varphi(X, a)\)；它由 \(s \in \mathcal{F}(X)\) 中经 \(\varphi\) 映到 \(a \in \Mor_\mathcal{C}(X, U) = h_U(X)\) 在 \(h_U^\#(X)\) 中之像的元素组成。容易看出， \((X, a) \mapsto \mathcal{F}_\varphi(X, a)\) 是 \(\mathcal{C}/U\) 上的层。显然，规则 \((\mathcal{F}, \varphi) \mapsto \mathcal{F}_\varphi\) 定义函子 \(\Sh(\mathcal{C})/h_U^\# \to \Sh(\mathcal{C}/U)\)。

还考虑函子 \(\textit{PSh}(\mathcal{C})/h_U \to \textit{PSh}(\mathcal{C}/U)\)， \((\mathcal{F}, \varphi) \mapsto \mathcal{F}_\varphi\)，其中 \(\mathcal{F}_\varphi(X, a)\) 定义为 \(\mathcal{F}(X)\) 中映到 \(a \in h_U(X)\) 的元素所成的集合。断言图 \[\xymatrix{ \textit{PSh}(\mathcal{C})/h_U \ar[r] \ar[d] & \textit{PSh}(\mathcal{C}/U) \ar[d] \\ \Sh(\mathcal{C})/h_U^\# \ar[r] & \Sh(\mathcal{C}/U) }\] 交换，其中竖直箭头由层化给出。为看出这一点⁵，只需证明该构造与引理 00W4、00W5 及定理 00WB 中的函子 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^+\) 交换。与 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^+\) 的交换性来自如下事实：给定 \((X, a)\)，\(\mathcal{C}/U\) 中 \((X, a)\) 的覆盖范畴与 \(\mathcal{C}\) 中 \(X\) 的覆盖范畴典范等同。

接着，令 \(\textit{PSh}(\mathcal{C}/U) \to \textit{PSh}(\mathcal{C})/h_U\) 把 \(\mathcal{G}\) 送到序对 \((j_{U!}^{PSh}\mathcal{G}, \gamma)\)，其中 \(j_{U!}^{PSh}\mathcal{G}\) 是由引理 03CD 中公式定义的预层，而 \(\gamma\) 是 \(j_{U!}^{PSh}\mathcal{G} \to j_{U!}*\) 与等同 \(j_{U!}^{PSh}* = h_U\) 的复合（由公式显然可知）。

于是立即清楚可知图 \[\xymatrix{ \textit{PSh}(\mathcal{C}/U) \ar[r] \ar[d] & \textit{PSh}(\mathcal{C})/h_U \ar[d] \\ \Sh(\mathcal{C}/U) \ar[r] & \Sh(\mathcal{C})/h_U^\# }\] 交换，其中竖直箭头是层化。综合上述各点，只需证明：对 \(\textit{PSh}(\mathcal{C}/U)\) 中的 \(\mathcal{G}\)，有函子性同构 \((j_{U!}^{PSh}\mathcal{G})_\gamma = \mathcal{G}\)；并且对 \(\textit{PSh}(\mathcal{C})/h_U\) 中的 \((\mathcal{F}, \varphi)\)，有 \(j_{U!}^{PSh}\mathcal{F}_\varphi = \mathcal{F}\)。预层 \((j_{U!}^{PSh}\mathcal{G})_\gamma\) 在 \((X, a)\) 上的值是映射 \[\coprod\nolimits_{a' : X \to U} \mathcal{G}(X, a') \to \Mor_\mathcal{C}(X, U)\] 在 \(a\) 上的纤维，即 \(\mathcal{G}(X, a)\)。这证明第一个等式。预层 \(j_{U!}^{PSh}\mathcal{F}_\varphi\) 在 \(X\) 上的值是

\[\coprod\nolimits_{a : X \to U} \mathcal{F}_\varphi(X, a) = \mathcal{F}(X)\] 因为给定集合映射 \(S \to S'\)，集合 \(S\) 是其各纤维的无交并。

引理 00Y1 说明，函子 \(j_{U!}\) 是复合 \[\Sh(\mathcal{C}/U) \rightarrow \Sh(\mathcal{C})/h_U^\# \rightarrow \Sh(\mathcal{C})\] 其中第一个箭头是等价。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(U \in \Ob(\mathcal{C})\)。函子 \(j_{U!}\) 与纤维积和等化子交换（更一般地，与有限连通极限交换）。特别地，若 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{F}'\) 于 \(\Sh(\mathcal{C}/U)\) 中，则 \(j_{U!}\mathcal{F} \subset j_{U!}\mathcal{F}'\)。

证明

利用引理 00Y1 以及范畴等价与所有极限交换这一事实，问题归结为函子 \(\Sh(\mathcal{C})/h_U^\# \rightarrow \Sh(\mathcal{C})\) 与纤维积和等化子交换。也可以使用引理 03CD 中对 \(j_{U!}\) 的描述，并利用层化是正合的，直接证明这一点。（此外，当 \(\mathcal{C}\) 有纤维积和等化子时，结论也由引理 00XS 得出。）

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(U \in \Ob(\mathcal{C})\)。函子 \(j_{U!}\) 反映单射与满射。

证明

我们必须证明 \(j_{U!}\) 反映单态射与满态射，见引理 00WN。利用引理 00Y1，这归结为函子 \(\Sh(\mathcal{C})/h_U^\# \to \Sh(\mathcal{C})\) 反映单态射与满态射这一事实。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(U \in \Ob(\mathcal{C})\)。对 \(\mathcal{C}\) 上的任意层 \(\mathcal{F}\)，有 \(j_{U!}j_U^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{F} \times h_U^\#\)。

证明

这由引理 03CD 中对 \(j_{U!}\) 的描述显然可知。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。设 \(f : V \to U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的态射。则存在连续且余连续函子构成的交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{C}/V \ar[rd]_{j_V} \ar[rr]_j & & \mathcal{C}/U \ar[ld]^{j_U} \\ & \mathcal{C} & }\] 函子 \(j : \mathcal{C}/V \to \mathcal{C}/U\)， \((a : W \to V) \mapsto (f \circ a : W \to U)\)，通过等同 \((\mathcal{C}/U)/(V/U) = \mathcal{C}/V\) 与函子 \(j_{V/U} : (\mathcal{C}/U)/(V/U) \to \mathcal{C}/U\) 等同。此外，有 \(j_{V!} = j_{U!} \circ j_!\)、 \(j_V^{-1} = j^{-1} \circ j_U^{-1}\) 以及 \(j_{V*} = j_{U*} \circ j_*\)。

证明

图的交换性是立即的。\(j\) 与 \(j_{V/U}\) 相符由定义得出。由引理 03L5，可见下列拓扑斯态射图 [04IK]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}/V) \ar[rd]_{j_V} \ar[rr]_j & & \Sh(\mathcal{C}/U) \ar[ld]^{j_U} \\ & \Sh(\mathcal{C}) & } } \end{equation}\] 交换。这证明 \(j_V^{-1} = j^{-1} \circ j_U^{-1}\) 和 \(j_{V*} = j_{U*} \circ j_*\)。等式 \(j_{V!} = j_{U!} \circ j_!\) 由伴随性质形式地得出。

引理

记号 \(\mathcal{C}\)、\(f : V \to U\)、\(j_U\)、\(j_V\) 和 \(j\) 如引理 03EH。通过引理 00Y1 的等同 \(\Sh(\mathcal{C}/V) = \Sh(\mathcal{C})/h_V^\#\) 与 \(\Sh(\mathcal{C}/U) = \Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\)，有

函子 \(j^{-1}\) 有如下描述： \[j^{-1}(\mathcal{H} \xrightarrow{\varphi} h_U^\#) = (\mathcal{H} \times_{\varphi, h_U^\#, f} h_V^\# \to h_V^\#).\]

函子 \(j_!\) 有如下描述： \[j_!(\mathcal{H} \xrightarrow{\varphi} h_V^\#) = (\mathcal{H} \xrightarrow{h_f \circ \varphi} h_U^\#)\]

证明

先证明 (2)。回忆等同 \(\Sh(\mathcal{C}/V) \to \Sh(\mathcal{C})/h_V^\#\) 把 \(\mathcal{G}\) 送到 \(j_{V!}\mathcal{G} \to j_{V!}(*) = h_V^\#\)，而 \(\Sh(\mathcal{C}/U) \to \Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\) 的情形也类似。因此， \(j_!\mathcal{G}\) 被送到 \(j_{U!}(j_!\mathcal{G}) \to j_{U!}(*) = h_U^\#\)；又由引理 03EH 有 \(j_{U!}j_! = j_{V!}\)，故 (2) 成立。

读者现在可以利用 \(j^{-1}\) 是 \(j_!\) 的右伴随，并利用 (1) 中的规则是 (2) 中规则的右伴随，来证明 (1)。下面给出直接证明。假设 \(\varphi : \mathcal{H} \to h_U^\#\) 是 \(\Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\) 的对象。由引理 00Y1 的证明，它对应于 \(\mathcal{C}/U\) 上按规则 \[(a : W \to U) \longmapsto \{ s \in \mathcal{H}(W) \mid \varphi(s) = a\}\] 定义的层 \(\mathcal{H}_\varphi\)。这个 \(\mathcal{C}/U\) 上的层到 \(\mathcal{C}/V\) 的拉回 \(j^{-1}\mathcal{H}_\varphi\) 由规则 \[(a : W \to V) \longmapsto \{ s \in \mathcal{H}(W) \mid \varphi(s) = f \circ a\}\] 给出，这是因为把 \(j^{-1} = j_{U/V}^{-1}\) 描述为 \(\mathcal{H}_\varphi\) 到 \(\mathcal{C}/V\) 的限制。

另一方面，把该规则应用于 \(\Sh(\mathcal{C})/h_V^\#\) 的对象 \[\xymatrix{ \mathcal{H}' = \mathcal{H} \times_{\varphi, h_U^\#, f} h_V^\# \ar[rr]^-{\varphi'} & & h_V^\# }\] 便得到 \(\mathcal{H}'_{\varphi'}\)，它由 \[\begin{align*} (a : W \to V) \longmapsto & \{ s' \in \mathcal{H}'(W) \mid \varphi'(s') = a\} \\ = & \{ (s, a') \in \mathcal{H}(W) \times h_V^\#(W) \mid a' = a \text{ 且 } \varphi(s) = f \circ a'\} \end{align*}\] 给出。这恰与上面对 \(j^{-1}\mathcal{H}_\varphi\) 的描述是同一规则。

注

局部化与预层。设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象。严格地说，函子 \(j_U^{-1}\)、\(j_{U*}\) 与 \(j_{U!}\) 尚未对预层定义。不过，我们当然可以把预层视为 \(\mathcal{C}\) 上混沌拓扑的层（见例 07GE）。因此也得到函子 \[j_U^{-1} : \textit{PSh}(\mathcal{C}) \longrightarrow \textit{PSh}(\mathcal{C}/U)\] 以及函子 \[j_{U*}, j_{U!} : \textit{PSh}(\mathcal{C}/U) \longrightarrow \textit{PSh}(\mathcal{C})\] 它们分别是 \(j_U^{-1}\) 的右、左伴随。由引理 03CD 可见，\(j_{U!}\mathcal{G}\) 是预层 \[V \longmapsto \coprod\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \mathcal{G}(V \xrightarrow{\varphi} U)\] 此外，函子 \(j_{U!}\) 与纤维积和等化子交换。

注

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(U \to V\) 是 \(\mathcal{C}\) 的态射。余连续函子 \(\mathcal{C}/U \to \mathcal{C}\) 与 \(j : \mathcal{C}/U \to \mathcal{C}/V\)（引理 03EH）满足备注 09W7 的性质 \(P\)。例如，若有对象 \((X/U)\)、\((W/V)\)、态射 \(g : j(X/U) \to (W/V)\) 以及覆盖 \(\{f_i : (W_i/V) \to (W/V)\}\)，则 \((X \times_W W_i/U)\) 是 \((X/U) \times_{g, (W/V), f_i} (W_i/V)\) 的一个化身，而族 \(\{(X \times_W W_i/U) \to (X/U)\}\) 是 \(\mathcal{C}/U\) 的覆盖。

层的粘合

本节类似于《层》，第 00AK 节。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(\{U_i \to U\}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的覆盖， \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的层。给定一族层映射 \[\varphi_i : \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i} \longrightarrow \mathcal{G}|_{\mathcal{C}/U_i}\] 使得对所有 \(i, j \in I\)，映射 \(\varphi_i, \varphi_j\) 在相应交叠上的限制为同一映射 \(\varphi_{ij} : \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i \times_U U_j} \to \mathcal{G}|_{\mathcal{C}/U_i \times_U U_j}\)，则存在唯一的层映射 \[\varphi : \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U} \longrightarrow \mathcal{G}|_{\mathcal{C}/U}\] 其到每个 \(\mathcal{C}/U_i\) 的限制都与 \(\varphi_i\) 相符。

证明

引理中所用的限制是引理 03EH 中的限制。设 \(V/U\) 是 \(\mathcal{C}/U\) 的对象。令 \(V_i = U_i \times_U V\)，并记 \(\mathcal{V} = \{V_i \to V\}\)。注意 \((U_i \times_U U_j) \times_U V = V_i \times_V V_j\)。于是有 \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i}(V_i/U_i) = \mathcal{F}(V_i)\)，以及 \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i \times_U U_j}(V_i \times_V V_j/U_i \times_U U_j) = \mathcal{F}(V_i \times_V V_j)\)，对 \(\mathcal{G}\) 也类似。因此，可以把 \(V\) 上截面间的 \(\varphi\) 定义为图中的虚线箭头： \[\xymatrix{ \mathcal{F}(V) \ar@{=}[r] & H^0(\mathcal{V}, \mathcal{F}) \ar@{..>}[d] \ar[r] & \prod \mathcal{F}(V_i) \ar[d]_{\prod \varphi_i} \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod \mathcal{F}(V_i \times_V V_j) \ar[d]_{\prod \varphi_{ij}} \\ \mathcal{G}(V) \ar@{=}[r] & H^0(\mathcal{V}, \mathcal{G}) \ar[r] & \prod \mathcal{G}(V_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod \mathcal{G}(V_i \times_V V_j) }\] 等号来自层条件；记号 \(H^0(\mathcal{V}, -)\) 见第 00W1 节。我们略去这些映射与限制映射相容的验证。

前一引理蕴含：给定位点 \(\mathcal{C}\) 上的两个层 \(\mathcal{F}\)、 \(\mathcal{G}\)，规则 \[U \longmapsto \Mor_{\Sh(\mathcal{C}/U)}( \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}, \mathcal{G}|_{\mathcal{C}/U})\] 定义一个层 \(\SheafHom(\mathcal{F},\mathcal{G})\)。这是一种 内 Hom 层。在集合层的语境中很少使用它，而在模层的语境中更常用；见《位点上的模》，第 04TT 节。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 与 \(\mathcal{H}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的层。存在典范双射 \[\Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{F}\times\mathcal{G},\mathcal{H}) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{F},\SheafHom(\mathcal{G},\mathcal{H}))\] 并且它关于三个变元都是函子性的。

证明

引理断言函子 \(-\times\mathcal{G}\) 与 \(\SheafHom(\mathcal{G},-)\) 互为伴随。为证明这一点，我们使用单位和余单位的概念，见《范畴》，第 0036 节。单位 \[\eta_\mathcal{F} : \mathcal{F} \longrightarrow \SheafHom(\mathcal{G},\mathcal{F}\times\mathcal{G})\] 把 \(s \in \mathcal{F}(U)\) 送到映射 \(\mathcal{G}|_{\mathcal{C}/U} \to \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}\times\mathcal{G}|_{\mathcal{C}/U}\)；该映射在 \(V/U\) 上由 \[\mathcal{G}(V) \longrightarrow \mathcal{F}(V)\times \mathcal{G}(V), \quad t \longmapsto (s|_{V},t).\] 给出。余单位 \[\epsilon_{\mathcal{H}} : \SheafHom(\mathcal{G}, \mathcal{H}) \times \mathcal{G} \longrightarrow \mathcal{H}\] 是求值映射。它由规则 \[\Mor_{\Sh(\mathcal{C}/U)}( \mathcal{G}|_{\mathcal{C}/U}, \mathcal{H}|_{\mathcal{C}/U}) \times \mathcal{G}(U) \longrightarrow \mathcal{H}(U),\quad (\varphi, s) \longmapsto \varphi(s).\] 给出。于是，对每个 \(\varphi : \mathcal{F} \times \mathcal{G} \to \mathcal{H}\)，相应的态射 \(\mathcal{F} \to \SheafHom(\mathcal{G},\mathcal{H})\) 把每个截面 \(s \in \mathcal{F}(U)\) 送到 \(\mathcal{C}/U\) 上的层态射；该态射在 \(V/U\) 上的截面间由 \[\mathcal{G}(V) \longrightarrow \mathcal{H}(V),\quad t \longmapsto \varphi(s|_V, t).\] 给出。反过来，对每个 \(\psi : \mathcal{F} \to \SheafHom(\mathcal{G}, \mathcal{H})\)，相应的态射 \(\mathcal{F} \times \mathcal{G} \to \mathcal{H}\) 在对象 \(U\) 上的截面间由 \[\mathcal{F}(U) \times \mathcal{G}(U) \longrightarrow \mathcal{H}(U),\quad (s, t) \longmapsto \psi(s)(t)\] 给出。我们略去证明这些构造互逆的细节。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(U \in \Ob(\mathcal{C})\)。则对 \(\Sh(\mathcal{C})\) 中的 \(\mathcal{F}\)，有 \(\SheafHom(h_U^\#, \mathcal{F}) = j_*(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U})\)。

证明

可以直接构造层的同构来证明。这里改用如下论证。设 \(\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的层。则 \[\begin{align*} \Mor(\mathcal{G}, j_*(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U})) & = \Mor(\mathcal{G}|_{\mathcal{C}/U}, \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}) \\ & = \Mor(j_!(\mathcal{G}|_{\mathcal{C}/U}), \mathcal{F}) \\ & = \Mor(\mathcal{G} \times h_U^\#, \mathcal{F}) \\ & = \Mor(\mathcal{G}, \SheafHom(h_U^\#, \mathcal{F})) \end{align*}\] 由米田引理即可得出结论。这里使用了引理 0BWQ 和 03EE。

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的覆盖。对每个 \(i \in I\)，设 \(\mathcal{F}_i\) 是 \(\mathcal{C}/U_i\) 上的集合层。对每一对 \(i, j \in I\)，设 \[\varphi_{ij} : \mathcal{F}_i|_{\mathcal{C}/U_i \times_U U_j} \longrightarrow \mathcal{F}_j|_{\mathcal{C}/U_i \times_U U_j}\] 是集合层的同构。再假设，对指标的每个三元组 \(i, j, k \in I\)，下图交换： \[\xymatrix{ \mathcal{F}_i|_{\mathcal{C}/U_i \times_U U_j \times_U U_k} \ar[rr]_{\varphi_{ik}} \ar[rd]_{\varphi_{ij}} & & \mathcal{F}_k|_{\mathcal{C}/U_i \times_U U_j \times_U U_k} \\ & \mathcal{F}_j|_{\mathcal{C}/U_i \times_U U_j \times_U U_k} \ar[ru]_{\varphi_{jk}} }\] 我们把这样一族数据 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ij})\) 称为 关于覆盖 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) 的集合层粘合数据。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的覆盖。给定关于覆盖 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) 的任意集合层粘合数据 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ij})\)，存在 \(\mathcal{C}/U\) 上的集合层 \(\mathcal{F}\) 以及同构 \[\varphi_i : \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i} \to \mathcal{F}_i\] 使得下列各图交换： \[\xymatrix{ \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i \times_U U_j} \ar[d]_{\text{id}} \ar[r]_{\varphi_i} & \mathcal{F}_i|_{\mathcal{C}/U_i \times_U U_j} \ar[d]^{\varphi_{ij}} \\ \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i \times_U U_j} \ar[r]^{\varphi_j} & \mathcal{F}_j|_{\mathcal{C}/U_i \times_U U_j} }\]

证明

说明如何构造 \(\mathcal{C}/U\) 上的层 \(\mathcal{F}\)。设 \(a : V \to U\) 是 \(\mathcal{C}/U\) 的对象。则 \[\mathcal{F}(V/U) = \{ (s_i)_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{F}_i(U_i \times_U V/U_i) \mid \varphi_{ij}(s_i|_{U_i \times_U U_j \times_U V}) = s_j|_{U_i \times_U U_j \times_U V} \}\] 我们略去限制映射的构造，略去这是一个层的验证，也略去同构 \(\varphi_i\) 的构造以及引理中各图交换性的证明。

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的覆盖，\(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}/U\) 上的层。与 \(\mathcal{F}\) 相伴的典范粘合数据由限制 \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i}\) 以及典范同构 \[\left(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i}\right)|_{\mathcal{C}/U_i \times_U U_j} = \left(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_j}\right)|_{\mathcal{C}/U_i \times_U U_j}\] 给出；这些同构来自如下事实：复合函子 \(\mathcal{C}/U_i \times_U U_j \to \mathcal{C}/U_i \to \mathcal{C}/U\) 与 \(\mathcal{C}/U_i \times_U U_j \to \mathcal{C}/U_j \to \mathcal{C}/U\) 相等。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的覆盖。把 \(\mathcal{C}/U\) 上的 \(\mathcal{F}\) 送到其典范粘合数据的函子，给出范畴 \(\Sh(\mathcal{C}/U)\) 与粘合数据范畴之间的等价。

证明

在引理 04TQ 中，我们看到该函子是全忠实的；在引理 04TR 中，我们证明它是本质满的（方法是显式构造一个拟逆函子）。

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。下面讨论在整个位点 \(\mathcal{C}\) 上粘合层的一个版本。对 \(\mathcal{C}\) 的每个对象 \(U\)，设 \(\mathcal{F}_U\) 是 \(\mathcal{C}/U\) 上的层。回忆：对 \(\mathcal{C}\) 中的每个态射 \(f : V \rightarrow U\)，都有相伴函子 \(j_f : \mathcal{C}/V \rightarrow \mathcal{C}/U\)，它由 \((a : W \to V) \mapsto (f \circ a : W \to U)\) 给出。对每个这样的 \(f\)，设 \[c_f : j_f^{-1} \mathcal{F}_U \to \mathcal{F}_V\] 是层的同构。再假设，对 \(\mathcal{C}\) 中任意两个箭头 \(f : V \to U\) 与 \(g : W \to V\)，复合 \(c_g \circ j_{g}^{-1} c_f\) 等于 \(c_{f \circ g}\)。我们把这样一族数据 \((\mathcal{F}_{U}, c_f)\) 称为\(\mathcal{C}\) 上集合层的绝对粘合数据。绝对粘合数据间的态射 \((\mathcal{F}_{U}, c_f) \to (\mathcal{G}_{U}, c'_f)\) 由一族层态射 \((\varphi_U)\) 给出，其中 \(\varphi_U : \mathcal{F}_U \to \mathcal{G}_U\)，并且 \[\xymatrix{ j_f^{-1} \mathcal{F}_U \ar[r]_{c_f} \ar[d]_{j_f^{-1} \varphi_U} & \mathcal{F}_V \ar[d]^{\varphi_V} \\ j_f^{-1} \mathcal{G}_U \ar[r]^{c'_f} & \mathcal{G}_V }\] 对 \(\mathcal{C}\) 中每个态射 \(f : V \to U\) 都交换。

与 \(\mathcal{C}\) 上任意层 \(\mathcal{F}\) 相伴的，是其典范绝对粘合数据 \((\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U},c_f)\)；其中，对 \(f : V \to U\)，典范同构 \(c_f : j_f^{-1} \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U} \to \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/V}\) 来自引理 03EH 中的关系 \(j_V = j_U \circ j_f\)。\(\mathcal{C}\) 的层之间的任意态射 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 都诱导典范绝对粘合数据间的态射 \((\varphi|_{\mathcal{C}/U})\)。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。把 \(\mathcal{C}\) 上的 \(\mathcal{F}\) 送到其典范绝对粘合数据的函子，给出范畴 \(\Sh(\mathcal{C})\) 与绝对粘合数据范畴之间的等价。

证明

给定绝对粘合数据 \((\mathcal{F}_U, c_f)\)，令 \(\mathcal{F}(U) = \mathcal{F}_U(U)\)，从而构造 \(\mathcal{C}\) 上的层 \(\mathcal{F}\)；沿 \(f : V \to U\) 的限制由交换图给出：

\[\xymatrix{ \mathcal{F}_U(U) \ar[r] \ar@{=}[d] & \mathcal{F}_U(V) \ar[r]^{c_f} & \mathcal{F}_V(V) \ar@{=}[d] \\ \mathcal{F}(U) \ar[rr] & & \mathcal{F}(V) }\] 相容条件 \(c_g \circ j_{g}^{-1} c_f = c_{f \circ g}\) 保证 \(\mathcal{F}\) 是预层，也保证映射 \(c_f : \mathcal{F}_U(V) \to \mathcal{F}(V)\) 对每个 \(U\) 都定义同构 \(\mathcal{F}_U \to \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}\)。由于每个 \(\mathcal{F}_U\) 都是层，这也蕴含 \(\mathcal{F}\) 是层。刚才构造的函子 \((\mathcal{F}_U, c_f) \mapsto \mathcal{F}\) 是把 \(\mathcal{C}\) 上的层送到其典范粘合数据的函子的拟逆。其余细节略去。

注

引理 0GWK 有一个会在代数几何中出现的变体。具体地，假设 \(\mathcal{C}\) 是具有所有纤维积的位点，并且对每个 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，都给定满足下列性质的满子范畴 \(U_\tau \subset \mathcal{C}/U\)：

\(U/U\) 属于 \(U_\tau\)；

对 \(U_\tau\) 中的 \(V/U\) 以及 \(\mathcal{C}\) 的覆盖 \(\{V_j \to V\}\)，有 \(V_j/U\) 属于 \(U_\tau\)；且

对 \(\mathcal{C}\) 的态射 \(U' \to U\) 以及 \(U_\tau\) 中的 \(V/U\)，基变换 \(V' = V \times_U U'\) 属于 \(U'_\tau\)。

在此情形，对 \(\mathcal{C}\) 中所有 \(U\)，\(U_\tau\) 都是位点；并且对 \(\mathcal{C}\) 的每个态射 \(f : U' \to U\)，基变换函子 \(U_\tau \to U'_\tau\) 定义位点态射 \(f_\tau : U_\tau \to U'_\tau\)。此时所得粘合陈述如下：\(\mathcal{C}\) 上的层 \(\mathcal{F}\) 由下列数据给出：

对每个 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，给定 \(U_\tau\) 上的层 \(\mathcal{F}_U\)；

对 \(\mathcal{C}\) 中每个 \(f : U' \to U\)，给定映射 \(c_f : f_\tau^{-1}\mathcal{F}_U \to \mathcal{F}_{U'}\)。

这些数据须满足下列条件：

给定 \(\mathcal{C}\) 中的 \(f : U' \to U\) 和 \(g : U'' \to U'\)，复合 \(c_g \circ g_\tau^{-1}c_f\) 等于 \(c_{f \circ g}\)；且

若 \(f : U' \to U\) 属于 \(U_\tau\)，则 \(c_f\) 是同构。

如果以后需要这一结果，我们会在此精确陈述并证明。（注意，这一结果与上述陈述略有不同，因为这里并不要求所有映射 \(c_f\) 都是同构！）

进一步的局部化

本节证明几个关于局部化的引理，其中会对位点或作局部化的对象施加一些附加假设。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(U \in \Ob(\mathcal{C})\)。若 \(\mathcal{C}\) 上的拓扑是次典范的，见定义 00WQ，并且 \(\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{C}/U\) 上的层，则 \[j_{U!}(\mathcal{G})(V) = \coprod\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \mathcal{G}(V \xrightarrow{\varphi} U),\] 换言之，引理 03CD 中无需层化。

证明

设 \(\mathcal{V} = \{V_i \to V\}_{i \in I}\) 是位点 \(\mathcal{C}\) 中 \(V\) 的覆盖。我们直接验证引理 03CD 中预层 \(\mathcal{H}\) 的层条件。设 \((s_i, \varphi_i)_{i \in I} \in \prod_i \mathcal{H}(V_i)\)。这意味着 \(\varphi_i : V_i \to U\) 是 \(\mathcal{C}\) 中的态射，并且 \(s_i \in \mathcal{G}(V_i \xrightarrow{\varphi_i} U)\)。

序对 \((s_i, \varphi_i)\) 到 \(V_i \times_V V_j\) 的限制是 \((s_i|_{V_i \times_V V_j/U}, \text{pr}_1 \circ \varphi_i)\)；类似地，序对 \((s_j, \varphi_j)\) 到 \(V_i \times_V V_j\) 的限制是 \((s_j|_{V_i \times_V V_j/U}, \text{pr}_2 \circ \varphi_j)\)。因此，若族 \((s_i, \varphi_i)\) 属于 \(\check{H}^0(\mathcal{V}, \mathcal{H})\)，则可见 \(\text{pr}_1 \circ \varphi_i = \text{pr}_2 \circ \varphi_j\)。 \(\mathcal{C}\) 上的拓扑弱于典范拓扑这一条件于是蕴含：存在唯一态射 \(\varphi : V \to U\)，使 \(\varphi_i\) 是 \(V_i \to V\) 与 \(\varphi\) 的复合。此时，\(\mathcal{G}\) 的层条件保证各截面 \(s_i\) 粘合为唯一截面 \(s \in \mathcal{G}(V \xrightarrow{\varphi} U)\)。故如所需， \((s, \varphi) \in \mathcal{H}(V)\)。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(U \in \Ob(\mathcal{C})\)。假设 \(\mathcal{C}\) 有任意两个对象的积。则

函子 \(j_U\) 有连续的右伴随，即函子 \(v(X) = X \times U / U\)；

函子 \(v\) 定义位点态射 \(\mathcal{C}/U \to \mathcal{C}\)，其相伴的拓扑斯态射等于 \(j_U : \Sh(\mathcal{C}/U) \to \Sh(\mathcal{C})\)；且

有 \(j_{U*}\mathcal{F}(X) = \mathcal{F}(X \times U/U)\)。

证明

函子 \(v\) 是 \(j_U\) 的右伴随，意即给定 \(Y/U\) 和 \(X\) 时有 \[\Mor_\mathcal{C}(Y, X) = \Mor_{\mathcal{C}/U}(Y/U, X \times U/U)\] 这是显然的。为验证 \(v\) 连续，设 \(\{X_i \to X\}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的覆盖。由位点的第三条公理（定义 00VH），可见 \[\{X_i \times_X (X \times U) \to X \times_X (X \times U)\} = \{X_i \times U \to X \times U\}\] 也是 \(\mathcal{C}\) 的覆盖。因此 \(v\) 连续。引理的其余陈述由引理 00XX 和 00XY 得出。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(U \to V\) 是 \(\mathcal{C}\) 的态射。假设 \(\mathcal{C}\) 有纤维积。设 \(j\) 如引理 03EH。则

函子 \(j : \mathcal{C}/U \to \mathcal{C}/V\) 有连续的右伴随，即函子 \(v : (X/V) \mapsto (X \times_V U/U)\)；

函子 \(v\) 定义位点态射 \(\mathcal{C}/U \to \mathcal{C}/V\)，其相伴的拓扑斯态射等于 \(j\)；且

有 \(j_*\mathcal{F}(X/V) = \mathcal{F}(X \times_V U/U)\)。

证明

由引理 03CE 得出，因为根据引理 03EH，\(j\) 可以视为局部化函子。

开浸入的一条基本性质是：先限制直像，或者先作空集延拓再限制，都会还原原来的层。对上面与 \(j_U\) 相伴的函子，这并不总成立。当 \(U\) 是“终对象的子对象” 时则成立。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(U \in \Ob(\mathcal{C})\)。假设 \(\mathcal{C}\) 中每个 \(X\) 至多有一个到 \(U\) 的态射。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}/U\) 上的层。典范映射 \(\mathcal{F} \to j_U^{-1}j_{U!}\mathcal{F}\) 与 \(j_U^{-1}j_{U*}\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 都是同构。

证明

这是引理 00XT 的特殊情形，因为对 \(U\) 的假设等价于局部化函子 \(\mathcal{C}/U \to \mathcal{C}\) 的全忠实性。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。设 \[\xymatrix{ U' \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ V' \ar[r] & V }\] 是 \(\mathcal{C}\) 的交换图。引理 03EH 的态射给出连续且余连续函子的交换图以及拓扑斯的交换图 \[\vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{C}/U' \ar[d]_{j_{U'/V'}} \ar[r]_{j_{U'/U}} & \mathcal{C}/U \ar[d]^{j_{U/V}} \\ \mathcal{C}/V' \ar[r]^{j_{V'/V}} & \mathcal{C}/V } } \quad\text{且}\quad \vcenter{ \xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}/U') \ar[d]_{j_{U'/V'}} \ar[r]_{j_{U'/U}} & \Sh(\mathcal{C}/U) \ar[d]^{j_{U/V}} \\ \Sh(\mathcal{C}/V') \ar[r]^{j_{V'/V}} & \Sh(\mathcal{C}/V) } }\] 此外，若 \(\mathcal{C}\) 的初始图是笛卡尔的，则 \(j_{V'/V}^{-1} \circ j_{U/V, *} = j_{U'/V', *} \circ j_{U'/U}^{-1}\)。

证明

引理第一条陈述中左方形的交换性由定义立即得出。由引理 03L5，它蕴含拓扑斯图的交换性。假设该图是笛卡尔的。由伴随函子的唯一性，要证明 \(j_{V'/V}^{-1} \circ j_{U/V, *} = j_{U'/V', *} \circ j_{U'/U}^{-1}\)，等价于证明 \(j_{U/V}^{-1} \circ j_{V'/V!} = j_{U'/U!} \circ j_{U'/V'}^{-1}\)。借助引理 00Y1 的等同，可以把拓扑斯图看作 \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C})/h_{U'}^\# \ar[d] \ar[r] & \Sh(\mathcal{C})/h_U^\# \ar[d] \\ \Sh(\mathcal{C})/h_{V'}^\# \ar[r] & \Sh(\mathcal{C})/h_V^\# }\] 而由引理 04IL，我们知道如何解释函子 \(j^{-1}\) 与 \(j_!\)。因此必须证明：给定 \(\mathcal{F} \to h_{V'}^\#\)，有 \[\mathcal{F} \times_{h_{V'}^\#} h_{U'}^\# = \mathcal{F} \times_{h_V^\#} h_U^\#\] 作为带有到 \(h_U^\#\) 的映射的层。这是真的，因为 \(h_{U'} = h_{V'} \times_{h_V} h_U\)；而且由于层化是正合的，也有 \[h_{U'}^\# = h_{V'}^\# \times_{h_V^\#} h_U^\#\]

局部化与态射

为理解局部化与位点及拓扑斯的态射之间的关系，下列引理很重要。

引理

设 \(f : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 是对应于连续函子 \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 的位点态射。设 \(V \in \Ob(\mathcal{D})\)，并令 \(U = u(V)\)。则函子 \(u' : \mathcal{D}/V \to \mathcal{C}/U\)， \(V'/V \mapsto u(V')/U\)，确定一个位点态射 \(f' : \mathcal{C}/U \to \mathcal{D}/V\)。态射 \(f'\) 嵌入拓扑斯的交换图 \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}/U) \ar[r]_{j_U} \ar[d]_{f'} & \Sh(\mathcal{C}) \ar[d]^f \\ \Sh(\mathcal{D}/V) \ar[r]^{j_V} & \Sh(\mathcal{D}). }\] 利用引理 00Y1 的等同 \(\Sh(\mathcal{C}/U) = \Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\) 与 \(\Sh(\mathcal{D}/V) = \Sh(\mathcal{D})/h_V^\#\)，函子 \((f')^{-1}\) 可由规则 \[(f')^{-1}(\mathcal{H} \xrightarrow{\varphi} h_V^\#) = (f^{-1}\mathcal{H} \xrightarrow{f^{-1}\varphi} h_U^\#).\] 描述。最后，有 \(f'_*j_U^{-1} = j_V^{-1}f_*\)。

证明

显然 \(u'\) 连续，因而得到函子 \(f'_* = (u')^s = (u')^p\)（见第 00VC 节与第 00WU 节）以及伴随 \((f')^{-1} = (u')_s = ((u')_p\ )^\#\)。断言 \(f'_*j_U^{-1} = j_V^{-1}f_*\) 来自 \[(j_V^{-1}f_*\mathcal{F})(V'/V) = f_*\mathcal{F}(V') = \mathcal{F}(u(V')) = (j_U^{-1}\mathcal{F})(u(V')/U) = (f'_*j_U^{-1}\mathcal{F})(V'/V)\] 这甚至对预层也成立。先验并不清楚的是：\((f')^{-1}\) 是正合的、该图交换，并且对 \((f')^{-1}\) 的描述成立。

设 \(\mathcal{H}\) 是 \(\mathcal{D}/V\) 上的层。计算 \(j_{U!}(f')^{-1}\mathcal{H}\)。有 \[\begin{eqnarray*} j_{U!}(f')^{-1}\mathcal{H} & = ((j_U)_p(u'_p\mathcal{H})^\#)^\# \\ & = ((j_U)_pu'_p\mathcal{H})^\# \\ & = (u_p(j_V)_p\mathcal{H})^\# \\ & = f^{-1}j_{V!}\mathcal{H} \end{eqnarray*}\] 第一个等式由展开定义得出。第二个等式由引理 00WY 得出。第三个等式来自 \(u \circ j_V = j_U \circ u'\)。第四个等式再次由引理 00WY 得出。

上述等式全都是函子同构，因此可以把它解释为下列范畴与函子图交换： \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}/U) \ar[r]_{j_{U!}} & \Sh(\mathcal{C})/h_U^\# \ar[r] & \Sh(\mathcal{C}) \\ \Sh(\mathcal{D}/V) \ar[r]^{j_{V!}} \ar[u]^{(f')^{-1}} & \Sh(\mathcal{D})/h_V^\# \ar[r] \ar[u]^{f^{-1}} & \Sh(\mathcal{D}) \ar[u]^{f^{-1}} }\] 中间箭头有意义，因为 \(f^{-1}h_V^\# = (h_{u(V)})^\# = h_U^\#\)；见引理 04D3。特别地，这证明了引理陈述中对 \((f')^{-1}\) 的描述。根据引理 00Y1，左侧水平箭头是等价；又因为根据假设 \(f^{-1}\) 是正合的，故得出 \((f')^{-1} = u'_s\) 是正合的。具体地，因为它是左伴随，所以已经右正合（《范畴》，引理 0038）。因此只需证明它把终对象变为终对象，并且与纤维积交换（《范畴》，引理 0035）。对诱导函子 \(f^{-1} : \Sh(\mathcal{D})/h_V^\# \to \Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\)，两点都显然。这证明 \(f'\) 是位点态射。

还须验证 \((f')^{-1}j_V^{-1} = j_U^{-1}f^{-1}\)。为此，使用上面的公式以及引理 03EE 中的描述。具体地，二者结合给出：对 \(\mathcal{D}\) 上的任意层 \(\mathcal{G}\)，有 \[j_{U!}(f')^{-1}j_V^{-1}\mathcal{G} = f^{-1}j_{V!}j_V^{-1}\mathcal{G} = f^{-1}(\mathcal{G} \times h_V^\#) = f^{-1}\mathcal{G} \times h_U^\# = j_{U!}j_U^{-1}f^{-1}\mathcal{G}.\] 由于函子 \(j_{U!}\) 诱导等价 \(\Sh(\mathcal{C}/U) \to \Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\)，结论成立。

下列引理是上面更一般的引理 03CF 的特殊情形。

引理

设 \(\mathcal{C}\)、\(\mathcal{D}\) 为位点， \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 为函子。设 \(V \in \Ob(\mathcal{D})\)，令 \(U = u(V)\)。假设

\(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 有所有有限极限；

\(u\) 连续；且

\(u\) 与有限极限交换。

存在位点态射的交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{C}/U \ar[r]_{j_U} \ar[d]_{f'} & \mathcal{C} \ar[d]^f \\ \mathcal{D}/V \ar[r]^{j_V} & \mathcal{D} }\] 其中右竖直箭头对应于 \(u\)，左竖直箭头对应于函子 \(u' : \mathcal{D}/V \to \mathcal{C}/U\)， \(V'/V \mapsto u(V')/u(V)\)；水平箭头则对应于引理 03CE 中的函子 \(\mathcal{C} \to \mathcal{C}/U\)，\(X \mapsto X \times U\)，以及 \(\mathcal{D} \to \mathcal{D}/V\)，\(Y \mapsto Y \times V\)。

此外，相伴的拓扑斯态射图等于引理 03CF 的图。特别地，有 \(f'_*j_U^{-1} = j_V^{-1}f_*\)。

证明

注意，\(u\) 满足命题 00X6 的假设，因此由该命题诱导位点态射 \(f : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)。显然，\(u\) 诱导所述函子 \(u'\)。显然，这一函子也满足命题 00X6 的假设。因此得到位点态射 \(f' : \mathcal{C}/U \to \mathcal{D}/V\)。根据我们对位点态射复合的定义（见定义 03CC），并且由于 \[u(Y \times V) = u(Y) \times u(V) = u(Y) \times U\] 表明与引理之图相反的范畴与函子图交换，故原图交换。

至此，我们可以局部化一个位点，知道如何再次局部化，也可以在下方位点的一个对象处局部化位点态射。把这些结合起来，就得到下列类型的图。

引理

设 \(f : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 是对应于连续函子 \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 的位点态射。设 \(V \in \Ob(\mathcal{D})\)、\(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，且 \(c : U \to u(V)\) 是 \(\mathcal{C}\) 的态射。存在拓扑斯的交换图 \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}/U) \ar[r]_{j_U} \ar[d]_{f_c} & \Sh(\mathcal{C}) \ar[d]^f \\ \Sh(\mathcal{D}/V) \ar[r]^{j_V} & \Sh(\mathcal{D}). }\] 有 \(f_c = f' \circ j_{U/u(V)}\)，其中 \(f' : \Sh(\mathcal{C}/u(V)) \to \Sh(\mathcal{D}/V)\) 如引理 03CF，而 \(j_{U/u(V)} : \Sh(\mathcal{C}/U) \to \Sh(\mathcal{C}/u(V))\) 如引理 03EH。利用引理 00Y1 的等同 \(\Sh(\mathcal{C}/U) = \Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\) 与 \(\Sh(\mathcal{D}/V) = \Sh(\mathcal{D})/h_V^\#\)，函子 \((f_c)^{-1}\) 可由规则 \[(f_c)^{-1}(\mathcal{H} \xrightarrow{\varphi} h_V^\#) = (f^{-1}\mathcal{H} \times_{f^{-1}\varphi, h_{u(V)}^\#, c} h_U^\# \rightarrow h_U^\#).\] 描述。最后，给定任意态射 \(b : V' \to V\)、\(a : U' \to U\) 以及 \(c' : U' \to u(V')\)，使得 \[\xymatrix{ U' \ar[r]_-{c'} \ar[d]_a & u(V') \ar[d]^{u(b)} \\ U \ar[r]^-c & u(V) }\] 交换，则图 \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}/U') \ar[r]_{j_{U'/U}} \ar[d]_{f_{c'}} & \Sh(\mathcal{C}/U) \ar[d]^{f_c} \\ \Sh(\mathcal{D}/V') \ar[r]^{j_{V'/V}} & \Sh(\mathcal{D}/V). }\] 交换。

证明

这一引理可谓自证，它更多是把理论发展到此处已经知道的事项汇集起来。例如，第一个方形的交换性来自图 (04IK) 的交换性以及引理 03CF 中图的交换性。对 \(f_c^{-1}\) 的描述来自合并引理 04IL 与引理 03CF。最后一个方形的交换性随即由等式 \[f^{-1}\mathcal{H} \times_{h_{u(V)}^\#, c} h_U^\# \times_{h_U^\#} h_{U'}^\# = f^{-1}(\mathcal{H} \times_{h_V^\#} h_{V'}^\#) \times_{h_{u(V'), c'}^\#} h_{U'}^\#\] 得出；这在利用 \(f^{-1}h_V^\# = h_{u(V)}^\#\) 和 \(f^{-1}h_{V'}^\# = h_{u(V')}^\#\) 后是形式的，见引理 04D3。

下列引理给出另一种局部化的函子性，适用于拓扑斯态射来自余连续函子的情形。这里的图与引理 03CF 中的图不同；特别地，引理 03CF 中的等式 \(f'_*j_U^{-1} = j_V^{-1}f_*\) 在下列引理的情形中一般不成立。

引理

设 \(\mathcal{C}\)、\(\mathcal{D}\) 为位点， \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 是余连续函子。设 \(U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象，并令 \(V = u(U)\)。有交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{C}/U \ar[r]_{j_U} \ar[d]_{u'} & \mathcal{C} \ar[d]^u \\ \mathcal{D}/V \ar[r]^-{j_V} & \mathcal{D} }\] 其中左竖直箭头为 \(u' : \mathcal{C}/U \to \mathcal{D}/V\)，\(U'/U \mapsto V'/V\)。

则 \(u'\) 也余连续，并且得到拓扑斯的交换图 \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}/U) \ar[r]_{j_U} \ar[d]_{f'} & \Sh(\mathcal{C}) \ar[d]^f \\ \Sh(\mathcal{D}/V) \ar[r]^-{j_V} & \Sh(\mathcal{D}) }\] 其中 \(f\)（相应地 \(f'\)）对应于 \(u\)（相应地 \(u'\)）。

证明

第一个图的交换性是显然的。只要证明 \(u'\) 余连续，它就蕴含第二个图交换。

设 \(U'/U\) 是 \(\mathcal{C}/U\) 的对象。设 \(\{V_j/V \to u(U')/V\}_{j \in J}\) 是 \(\mathcal{D}/V\) 中 \(u(U')/V\) 的覆盖。由于 \(u\) 余连续，存在覆盖 \(\{U_i' \to U'\}_{i \in I}\)，使族 \(\{u(U_i') \to u(U')\}\) 加细 \(\mathcal{D}\) 中的覆盖 \(\{V_j \to u(U')\}\)。换言之，存在指标集映射 \(\alpha : I \to J\) 以及在 \(U'\) 上的态射 \(\phi_i : u(U_i') \to V_{\alpha(i)}\)。

通过复合 \(U'_i \to U' \to U\)，把 \(U_i'\) 看作 \(U\) 上的对象。则 \(\{U'_i/U \to U'/U\}\) 是 \(\mathcal{C}/U\) 的覆盖，使 \(\{u(U_i')/V \to u(U')/V\}\) 加细 \(\{V_j/V \to u(U')/V\}\)（使用同一个 \(\alpha\) 和同一些映射 \(\phi_i\)）。因此 \(u' : \mathcal{C}/U \to \mathcal{D}/V\) 余连续。

引理

设 \(\mathcal{C}\)、\(\mathcal{D}\) 为位点， \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 是余连续函子。设 \(V\) 是 \(\mathcal{D}\) 的对象。令 \({}^u_V\mathcal{I}\) 为第 00XF 节引入的范畴。有交换图 \[\vcenter{ \xymatrix{ \,_V^u\mathcal{I} \ar[r]_j \ar[d]_{u'} & \mathcal{C} \ar[d]^u \\ \mathcal{D}/V \ar[r]^-{j_V} & \mathcal{D} } } \quad\text{其中}\quad \begin{matrix} j : (U, \psi) \mapsto U \\ u' : (U, \psi) \mapsto (\psi : u(U) \to V) \end{matrix}\] 规定 \({}^u_V\mathcal{I}\) 的一族态射 \(\{(U_i, \psi_i) \to (U, \psi)\}\) 是覆盖，当且仅当 \(\{U_i \to U\}\) 是 \(\mathcal{C}\) 中的覆盖。则

\({}^u_V\mathcal{I}\) 是位点；

\(j\) 连续且余连续；

\(u'\) 余连续；

得到拓扑斯的交换图 \[\xymatrix{ \Sh({}^u_V\mathcal{I}) \ar[r]_j \ar[d]_{f'} & \Sh(\mathcal{C}) \ar[d]^f \\ \Sh(\mathcal{D}/V) \ar[r]^-{j_V} & \Sh(\mathcal{D}) }\] 其中 \(f\)（相应地 \(f'\)）对应于 \(u\)（相应地 \(u'\)）；且

有 \(f'_*j^{-1} = j_V^{-1}f_*\)。

证明

(1)、(2)、(3) 和 (4) 是定义以及函子 \(j\) 与纤维积交换这一事实的直接推论。细节略去。为证明 (5)，回忆 \(f_*\) 由 \({}_su = {}_pu\) 给出。因此， \(j_V^{-1}f_*\mathcal{F}\) 在 \(V'/V\) 上的值，是 \({}_pu\mathcal{F}\) 在 \(V'\) 上的值，也就是 \(\mathcal{F}\) 在范畴 \({}^u_{V'}\mathcal{I}\) 上各值的极限。显然有范畴等价 \[{}^u_{V'}\mathcal{I} \to {}^{u'}_{V'/V}\mathcal{I}\] 另一方面，\(f'_*j^{-1}\mathcal{F}\) 在 \(V'/V\) 上的值由 \(j^{-1}\mathcal{F}\) 在范畴 \({}^{u'}_{V'/V}\mathcal{I}\) 上各值的极限给出；而且 \(j^{-1}\mathcal{F}\) 在 \({}^u_V\mathcal{I}\) 的对象上的值正是 \(\mathcal{F}\) 的值（由引理 00XR，因为 \(j\) 连续且余连续），故 (5) 成立。

下列两个结果的性质略有不同。

引理

假设给定位点 \(\mathcal{C}', \mathcal{C}, \mathcal{D}', \mathcal{D}\) 以及函子 \[\xymatrix{ \mathcal{C}' \ar[r]_{v'} \ar[d]_{u'} & \mathcal{C} \ar[d]^u \\ \mathcal{D}' \ar[r]^v & \mathcal{D} }\] 假设

\(u\)、\(u'\)、\(v\) 与 \(v'\) 余连续，并由引理 00XO 分别产生拓扑斯态射 \(f\)、\(f'\)、\(g\) 与 \(g'\)；

\(v \circ u' = u \circ v'\)；

\(v\) 与 \(v'\) 既连续又余连续；且

对 \(\mathcal{D}'\) 的任意对象 \(V'\)，由 \(v\) 给出的函子 \({}^{u'}_{V'}\mathcal{I} \to {}^{\ \ \ u}_{v(V')}\mathcal{I}\) 是余终的。

则 \(f'_* \circ (g')^{-1} = g^{-1} \circ f_*\)，并且 \(g'_! \circ (f')^{-1} = f^{-1} \circ g_!\)。

证明

范畴 \({}^{u'}_{V'}\mathcal{I}\) 与 \({}^{\ \ \ u}_{v(V')}\mathcal{I}\) 定义于第 00XF 节。条件 (4) 中的函子把 \({}^{u'}_{V'}\mathcal{I}\) 的对象 \(\psi : u'(U') \to V'\) 送到 \({}^{\ \ \ u}_{v(V')}\mathcal{I}\) 的对象 \(v(\psi) : uv'(U') = vu'(U') \to v(V')\)。回忆，\(g^{-1}\) 由 \(v^p\) 给出（引理 00XR），而 \(f_*\) 由 \({}_su = {}_pu\) 给出。因此，\(g^{-1}f_*\mathcal{F}\) 在 \(V'\) 上的值，是 \({}_pu\mathcal{F}\) 在 \(v(V')\) 上的值，即极限 \[\lim_{u(U) \to v(V') \in \Ob({}^{\ \ \ u}_{v(V')}\mathcal{I}^{opp})} \mathcal{F}(U)\] 同理，\(f'_*(g')^{-1}\mathcal{F}\) 在 \(V'\) 上的值由极限 \[\lim_{u'(U') \to V' \in \Ob({}^{u'}_{V'}\mathcal{I}^{opp})} \mathcal{F}(v'(U'))\] 给出。因此，假设 (4) 及《范畴》，引理 002R 表明二者相同，从而证明引理的第一个等式。第二个等式由第一个等式及伴随函子的唯一性得出。

引理

假设给定位点 \(\mathcal{C}', \mathcal{C}, \mathcal{D}', \mathcal{D}\) 以及函子 \[\xymatrix{ \mathcal{C}' \ar[r]_{v'} & \mathcal{C} \\ \mathcal{D}' \ar[r]^v \ar[u]^{u'} & \mathcal{D} \ar[u]_u }\] 沿用第 00X0 节与第 00XN 节的记号，假设

\(u\) 与 \(u'\) 连续，并产生位点态射 \(f\) 与 \(f'\)；

\(v\) 与 \(v'\) 余连续，并产生拓扑斯态射 \(g\) 与 \(g'\)；

\(u \circ v = v' \circ u'\)；且

\(v\) 与 \(v'\) 既连续又余连续。

则⁶ \(f'_* \circ (g')^{-1} = g^{-1} \circ f_*\)，并且 \(g'_! \circ (f')^{-1} = f^{-1} \circ g_!\)。

证明

具体地，有 \[f'_*(g')^{-1}\mathcal{F} = (u')^p((v')^p\mathcal{F})^\# = (u')^p(v')^p\mathcal{F}\] 第一个等式由定义得出，第二个等式由引理 00XR 得出。又有 \[g^{-1}f_*\mathcal{F} = (v^pu^p\mathcal{F})^\# = ((u')^p(v')^p\mathcal{F})^\# = (u')^p(v')^p\mathcal{F}\] 第一个等式由定义得出，第二个等式来自 \(u \circ v = v' \circ u'\)，第三个等式则因为已经看到 \((u')^p(v')^p\mathcal{F}\) 是层。这证明 \(f'_* \circ (g')^{-1} = g^{-1} \circ f_*\)；而等式 \(g'_! \circ (f')^{-1} = f^{-1} \circ g_!\) 由左伴随的唯一性得出。

拓扑斯的态射

本节证明，每个拓扑斯态射都等价于一个来自位点态射的拓扑斯态射。请与 [SGA4, Exposé III, Proposition 4.9.4] 比较。

引理

设 \(\mathcal{C}\)、\(\mathcal{D}\) 为位点， \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 为函子。假设

\(u\) 余连续；

\(u\) 连续；

给定 \(\mathcal{C}\) 中的 \(a, b : U' \to U\)，若 \(u(a) = u(b)\)，则 \(\mathcal{C}\) 中存在覆盖 \(\{f_i : U'_i \to U'\}\)，使 \(a \circ f_i = b \circ f_i\)；

给定 \(U', U \in \Ob(\mathcal{C})\) 以及 \(\mathcal{D}\) 中的态射 \(c : u(U') \to u(U)\)，存在 \(\mathcal{C}\) 中的覆盖 \(\{f_i : U_i' \to U'\}\) 以及态射 \(c_i : U_i' \to U\)，使 \(u(c_i) = c \circ u(f_i)\)；且

给定 \(V \in \Ob(\mathcal{D})\)，\(\mathcal{D}\) 中存在一个形如 \(\{u(U_i) \to V\}_{i \in I}\) 的 \(V\) 的覆盖。

则由引理 00XO 与余连续函子 \(u\) 相伴的拓扑斯态射 \[g : \Sh(\mathcal{C}) \longrightarrow \Sh(\mathcal{D})\] 是等价。

证明

假设 \(u\) 满足性质 (1) – (5)。将证明伴随映射 \[\mathcal{G} \longrightarrow g_*g^{-1}\mathcal{G} \quad\text{且}\quad g^{-1}g_*\mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] 是同构。

注意，引理 00XR 适用，并且对 \(\mathcal{D}\) 上任意层 \(\mathcal{G}\)，有 \(g^{-1}\mathcal{G}(U) = \mathcal{G}(u(U))\)。接着，设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的层，\(V\) 是 \(\mathcal{D}\) 的对象。由定义，有 \(g_*\mathcal{F}(V) = \lim_{u(U) \to V} \mathcal{F}(U)\)。因此 \[g^{-1}g_*\mathcal{F}(U) = \lim_{U', u(U') \to u(U)} \mathcal{F}(U')\] 其中态射 \(\psi : u(U') \to u(U)\) 不一定具有形式 \(u(\alpha)\)。这样一些序对 \((U', \psi)\) 所成的范畴有终对象，即 \((U, \text{id})\)，它产生从该极限到 \(\mathcal{F}(U)\) 的映射。

设 \((s_{(U', \psi)})\) 是该极限的一个元素。要证明 \(s_{(U', \psi)}\) 由值 \(s_{(U, \text{id})} \in \mathcal{F}(U)\) 唯一确定。由性质 (4)，给定任意 \((U', \psi)\)，都存在覆盖 \(\{U'_i \to U'\}\)，使复合 \(u(U'_i) \to u(U') \to u(U)\) 具有形式 \(u(c_i)\)，其中 \(c_i : U'_i \to U\) 是 \(\mathcal{C}\) 中的态射。因此 \[s_{(U', \psi)}|_{U'_i} = c_i^*(s_{(U, \text{id})}).\] 因为 \(\mathcal{F}\) 是层，确实可得 \(s_{(U', \psi)}\) 由 \(s_{(U, \text{id})}\) 确定。这证明唯一性。

为证明存在性，任取 \(s \in \mathcal{F}(U)\)、\(\psi : u(U') \to u(U)\)、 \(\{f_i : U_i' \to U'\}\) 以及如上的 \(c_i : U_i' \to U\)，使 \(\psi \circ u(f_i) = u(c_i)\)。我们断言存在（唯一的）元素 \(s_{(U', \psi)} \in \mathcal{F}(U')\)，使 \[s_{(U', \psi)}|_{U'_i} = c_i^*(s).\] 事实上，先验并不清楚元素 \(c_i^*(s)|_{U_i' \times_{U'} U_j'}\) 与 \(c_j^*(s)|_{U_i' \times_{U'} U_j'}\) 是否相等，因为图 \[\xymatrix{ U_i' \times_{U'} U_j' \ar[r]_-{\text{pr}_2} \ar[d]_{\text{pr}_1} & U_j' \ar[d]^{c_j} \\ U_i' \ar[r]^{c_i} & U}\] 不一定交换。但引理的条件 (3) 保证存在覆盖 \(\{f_{ijk} : U'_{ijk} \to U_i' \times_{U'} U_j'\}_{k \in K_{ij}}\)，使 \(c_i \circ \text{pr}_1 \circ f_{ijk} = c_j \circ \text{pr}_2 \circ f_{ijk}\)。因此 \[f_{ijk}^* \left(c_i^*s|_{U_i' \times_{U'} U_j'}\right) = f_{ijk}^* \left(c_j^*s|_{U_i' \times_{U'} U_j'}\right)\] 所以，由 \(\mathcal{F}\) 的层条件， \(c_i^*(s)|_{U_i' \times_{U'} U_j'} = c_j^*(s)|_{U_i' \times_{U'} U_j'}\)；再由 \(\mathcal{F}\) 的层条件，\(s_{(U', \psi)}\) 存在。唯一性保证如此得到的族 \((s_{(U', \psi)})\) 是该极限的元素，并且 \(s_{(U, \psi)} = s\)。这证明 \(g^{-1}g_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 是同构。

设 \(\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{D}\) 上的层，\(V\) 是 \(\mathcal{D}\) 的对象。于是 \[g_*g^{-1}\mathcal{G}(V) = \lim_{U, \psi : u(U) \to V} \mathcal{G}(u(U))\] 由前一段可见，层 \(g_*g^{-1}\mathcal{G}\) 在形如 \(V = u(U)\) 的对象 \(V\) 上的值等于 \(\mathcal{G}(u(U))\)。（形式地，这是因为 \(g^{-1}g_*g^{-1} \cong g^{-1}\) 以及证明开头给出的 \(g^{-1}\) 的描述；非形式地，只需比较这里和上面的极限。）因此，伴随映射 \(\mathcal{G} \to g_*g^{-1}\mathcal{G}\) 在每个形如 \(u(U)\) 的对象上的截面间都是双射。由公理 (5)，存在由形如 \(u(U)\) 的对象构成的 \(V\) 的覆盖，因而容易看出该伴随映射是同构。

给引理 03A0 中那样的余连续函子一个名称会很方便。

定义

设 \(\mathcal{C}\)、\(\mathcal{D}\) 为位点。从 \(\mathcal{C}\) 到 \(\mathcal{D}\) 的特殊余连续函子 \(u\)，是满足引理 03A0 的假设与结论的余连续函子 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)。

引理

设 \(\mathcal{C}\)、\(\mathcal{D}\) 为位点， \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 是特殊余连续函子。对 \(\mathcal{C}\) 的每个对象 \(U\)，都有引理 03EG 中那样的交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{C}/U \ar[r]_{j_U} \ar[d] & \mathcal{C} \ar[d]^u \\ \mathcal{D}/u(U) \ar[r]^-{j_{u(U)}} & \mathcal{D} }\] 左竖直箭头是特殊余连续函子。因此，在拓扑斯的交换图 \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}/U) \ar[r]_{j_U} \ar[d] & \Sh(\mathcal{C}) \ar[d]^u \\ \Sh(\mathcal{D}/u(U)) \ar[r]^-{j_{u(U)}} & \Sh(\mathcal{D}) }\] 中，竖直箭头都是等价。

证明

引理 03EG 已经给出这些图的存在性与交换性。我们必须对诱导函子 \(u : \mathcal{C}/U \to \mathcal{D}/u(U)\) 验证引理 03A0 的假设 (1) – (5)。这完全是机械的。

性质 (1)。这是引理 03EG。

性质 (2)。设 \(\{U_i'/U \to U'/U\}_{i \in I}\) 是 \(\mathcal{C}/U\) 中 \(U'/U\) 的覆盖。由于 \(u\) 连续， \(\{u(U_i')/u(U) \to u(U')/u(U)\}_{i \in I}\) 是 \(\mathcal{D}/u(U)\) 中 \(u(U')/u(U)\) 的覆盖。因此，(2) 对 \(u : \mathcal{C}/U \to \mathcal{D}/u(U)\) 成立。

性质 (3)。设 \(a, b : U''/U \to U'/U\) 是 \(\mathcal{C}/U\) 中满足 \(u(a) = u(b)\) 于 \(\mathcal{D}/u(U)\) 中的态射。由于 \(u\) 满足 (3)，存在 \(\mathcal{C}\) 中的覆盖 \(\{f_i : U''_i \to U''\}\)，使 \(a \circ f_i = b \circ f_i\)。这给出 \(\mathcal{C}/U\) 中的覆盖 \(\{f_i : U''_i/U \to U''/U\}\)，使 \(a \circ f_i = b \circ f_i\)。因此，(3) 对 \(u : \mathcal{C}/U \to \mathcal{D}/u(U)\) 成立。

性质 (4)。给定 \(U''/U, U'/U \in \Ob(\mathcal{C}/U)\) 以及 \(\mathcal{D}/u(U)\) 中的态射 \(c : u(U'')/u(U) \to u(U')/u(U)\)。由于 \(u\) 满足性质 (4)，存在 \(\mathcal{C}\) 中的覆盖 \(\{f_i : U_i'' \to U''\}\) 以及态射 \(c_i : U_i'' \to U'\)，使 \(u(c_i) = c \circ u(f_i)\)。通过复合 \(U_i'' \to U'' \to U\)，把 \(U_i''\) 看作 \(U\) 上的对象。\(c_i\) 未必是 \(U\) 上的态射！但由于 \(u(c_i)\) 是 \(u(U)\) 上的态射，可以应用 \(u\) 的性质 (3)，找到覆盖 \(\{f_{ik} : U''_{ik} \to U''_i\}\)，使 \(c_{ik} = c_i \circ f_{ik} : U''_{ik} \to U'\) 是 \(U\) 上的态射。因此， \(\{f_i \circ f_{ik} : U''_{ik}/U \to U''/U\}\) 是 \(\mathcal{C}/U\) 中的覆盖，使 \(u(c_{ik}) = c \circ u(f_{ik})\)。

因此，(4) 对 \(u : \mathcal{C}/U \to \mathcal{D}/u(U)\) 成立。

性质 (5)。设 \(h : V \to u(U)\) 是 \(\mathcal{D}/u(U)\) 的对象。由于 \(u\) 满足性质 (5)，\(\mathcal{D}\) 中存在覆盖 \(\{c_i : u(U_i) \to V\}\)。由性质 (4)，可以找到覆盖 \(\{f_{ij} : U_{ij} \to U_i\}\) 和态射 \(c_{ij} : U_{ij} \to U\)，使 \(u(c_{ij}) = h \circ c_i \circ u(f_{ij})\)。因此， \(\{u(U_{ij})/u(U) \to V/u(U)\}\) 是 \(\mathcal{D}/u(U)\) 中具有所需形式的覆盖，从而得出 (5) 对 \(u : \mathcal{C}/U \to \mathcal{D}/u(U)\) 成立。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。设 \(\mathcal{C}' \subset \Sh(\mathcal{C})\) 是满足下列条件的满子范畴（其对象构成一个集合）：

对所有 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，有 \(h_U^\# \in \Ob(\mathcal{C}')\)；且

\(\mathcal{C}'\) 在 \(\Sh(\mathcal{C})\) 中的纤维积下保持不变。

规定 \(\mathcal{C}'\) 的覆盖是任意一族映射 \(\{\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\}_{i \in I}\)，使 \(\coprod_{i \in I} \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\) 是层的满射。则

\(\mathcal{C}'\) 是位点（选择一个覆盖集之后，见《集合》，引理 000X）；

\(\mathcal{C}'\) 上的可表预层是层（即 \(\mathcal{C}'\) 上的拓扑是次典范的，见定义 00WQ）；

函子 \(v : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\)，\(U \mapsto h_U^\#\) 是特殊余连续函子，因而诱导等价 \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{C}')\)；

对任意 \(\mathcal{F} \in \Ob(\mathcal{C}')\)，有 \(g^{-1}h_\mathcal{F} = \mathcal{F}\)；且

对任意 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，有 \(g_*h_U^\# = h_{v(U)} = h_{h_U^\#}\)。

证明

提醒：上面的某些陈述乍看可能有些令人困惑；这是因为 \(\mathcal{C}'\) 的对象也可以看作 \(\mathcal{C}\) 上的层！

我们略去证明引理所述的 \(\mathcal{C}'\) 的覆盖满足定义 00VH 的条件。

假设 \(\{\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\}\) 是层态射的满族。设 \(\mathcal{G}\) 是另一个层。引理的 (2) 断言下图 \[\xymatrix{ \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}( \coprod_{i \in I} \mathcal{F}_i, \mathcal{G}) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}( \coprod_{(i_0, i_1) \in I \times I} \mathcal{F}_{i_0} \times_\mathcal{F} \mathcal{F}_{i_1}, \mathcal{G}) }\] 的等化子是 \(\Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{F}, \mathcal{G}).\) 这是显然的（例如使用引理 086K）。

为证明 (3)，必须验证引理 03A0 的条件 (1) – (5)。 \(v\) 余连续这一事实等价于引理 00WN 中对层满射的描述。函子 \(v\) 连续，因为 \(U \mapsto h_U^\#\) 与纤维积交换，并且把覆盖变为覆盖（见引理 00WJ 和引理 00WT）。引理 03A0 的性质 (3)、(4) 是关于态射 \(f : h_{U'}^\# \to h_U^\#\) 的陈述。这样的态射等同于 \(h_U^\#(U')\) 的元素。因此，(3) 和 (4) 由层化的构造立即得出。引理 03A0 的性质 (5) 是引理 00WS。以 \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{C}')\) 表示由引理 03A0 与 \(v\) 相伴的拓扑斯等价。

设 \(\mathcal{F}\) 如引理的 (4)。对任意 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，有 \[g^{-1}h_\mathcal{F}(U) = h_\mathcal{F}(v(U)) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(h_U^\#, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U)\] 第一个等式由引理 00XR 得出。因此 (4) 成立。

设 \(\mathcal{F} \in \Ob(\mathcal{C}')\)，并设 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)。则 \[\begin{align*} g_*h_U^\#(\mathcal{F}) & = \Mor_{\Sh(\mathcal{C}')}(h_\mathcal{F}, g_*h_U^\#) \\ & = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(g^{-1}h_\mathcal{F}, h_U^\#) \\ & = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{F}, h_U^\#) \\ & = \Mor_{\mathcal{C}'}(\mathcal{F}, h_U^\#) \end{align*}\] 如所需（其中第三个等式已在上面证明）。

利用这一点，可以把任意拓扑斯整理为定义在具有所有有限极限的位点上。

引理

设 \(\Sh(\mathcal{C})\) 为拓扑斯，\(\{\mathcal{F}_i\}_{i \in I}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的一个层集。存在拓扑斯等价 \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{C}')\)；它由位点间的特殊余连续函子 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) 诱导，并且

\(\mathcal{C}'\) 具有次典范拓扑；

\(\mathcal{C}'\) 的一族态射 \(\{V_j \to V\}\) 是（组合等价于） \(\mathcal{C}'\) 的覆盖，当且仅当 \(\coprod h_{V_j} \to h_V\) 是满射；

\(\mathcal{C}'\) 有纤维积和终对象（即 \(\mathcal{C}'\) 有所有有限极限）；

\(\mathcal{C}'\) 上可表层的每个子层都是可表的；且

每个 \(g_*\mathcal{F}_i\) 都是可表层。

证明

考虑满子范畴 \(\mathcal{C}_1 \subset \Sh(\mathcal{C})\)，其对象包括所有 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 对应的 \(h_U^\#\)、给定的层 \(\mathcal{F}_i\)，以及终层 \(*\)（见例 00W3）。我们将归纳定义满子范畴 \[\mathcal{C}_1 \subset \mathcal{C}_2 \subset \mathcal{C}_2 \subset \ldots \subset \Sh(\mathcal{C})\]

具体地，给定 \(\mathcal{C}_n\)，令 \(\mathcal{C}_{n + 1}\) 为由 \(\mathcal{C}_n\) 的对象的一切纤维积和子层组成的满子范畴。（注意， \(\mathcal{C}_{n + 1}\) 有一个对象集。）令 \(\mathcal{C}' = \bigcup_{n \geq 1} \mathcal{C}_n\)。 \(\mathcal{C}'\) 中的覆盖是 \(\mathcal{C}'\) 的对象间的任意一族态射 \(\{\mathcal{G}_j \to \mathcal{G}\}_{j \in J}\)，使 \(\coprod \mathcal{G}_j \to \mathcal{G}\) 作为 \(\mathcal{C}\) 上的层映射是满射。函子 \(v : \mathcal{C} \to \mathcal{C'}\) 由 \(U \mapsto h_U^\#\) 给出。应用引理 03A1。

下面是本节的目标。

引理

设 \(\mathcal{C}\)、\(\mathcal{D}\) 为位点。设 \(f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) 是拓扑斯态射。则存在位点 \(\mathcal{C}'\) 以及函子图 \[\xymatrix{ \mathcal{C} \ar[r]_v & \mathcal{C}' & \mathcal{D} \ar[l]^u }\] 使得

函子 \(v\) 是特殊余连续函子；

函子 \(u\) 与纤维积交换、连续，并定义位点态射 \(\mathcal{C}' \to \mathcal{D}\)；且

拓扑斯态射 \(f\) 与拓扑斯态射的复合 \[\Sh(\mathcal{C}) \longrightarrow \Sh(\mathcal{C}') \longrightarrow \Sh(\mathcal{D})\] 相符，其中第一个箭头由引理 03A0 从 \(v\) 得到，第二个箭头由引理 00XC 从 \(u\) 得到。

证明

考虑满子范畴 \(\mathcal{C}_1 \subset \Sh(\mathcal{C})\)，其对象包括对所有 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 和所有 \(V \in \Ob(\mathcal{D})\) 的 \(h_U^\#\) 与 \(f^{-1}h_V^\#\)。令 \(\mathcal{C}_{n + 1}\) 为由 \(\mathcal{C}_n\) 的对象的一切纤维积组成的满子范畴。令 \(\mathcal{C}' = \bigcup_{n \geq 1} \mathcal{C}_n\)。 \(\mathcal{C}'\) 中的覆盖是任意一族 \(\{\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\}_{i \in I}\)，使 \(\coprod_{i \in I} \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\) 作为 \(\mathcal{C}\) 上的层映射是满射。函子 \(v : \mathcal{C} \to \mathcal{C'}\) 由 \(U \mapsto h_U^\#\) 给出。函子 \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C'}\) 由 \(V \mapsto f^{-1}h_V^\#\) 给出。

(1) 由引理 03A1 得出。

证明引理的 (2) 与 (3)。函子 \(u\) 与纤维积交换，因为 \(V \mapsto h_V^\#\) 和 \(f^{-1}\) 都如此。此外，由于 \(f^{-1}\) 正合并且与任意余极限交换，可见它把覆盖变为层态射的满族。因此 \(u\) 连续。为证明它定义位点态射，还须证明 \(u_s\) 正合。为此，将证明 \(g^{-1} \circ u_s = f^{-1}\)。事实上，届时因为 \(g^{-1}\) 是等价并且 \(f^{-1}\) 正合，即可得出结论。因为 \(g^{-1}\) 伴随于 \(g_*\)，\(u_s\) 伴随于 \(u^s\)，而 \(f^{-1}\) 伴随于 \(f_*\)，所以证明 \(u^s \circ g_* = f_*\) 也足够。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的层， \(V\) 是 \(\mathcal{D}\) 的对象。则 \[\begin{align*} (u^s g_{\ast}\mathcal{F})(V) & = (g_{\ast}\mathcal{F})(f^{-1}h_V^\#) \\ & = \Mor_{Sh(\mathcal{C}')}(h_{f^{-1}h_V^\#},g_{\ast}\mathcal{F}) \\ & = \Mor_{Sh(\mathcal{C})}(g^{-1}h_{f^{-1}h_V^\#},\mathcal{F}) \\ & = \Mor_{Sh(\mathcal{C})}(f^{-1}h_V^\#,\mathcal{F}) \\ & = \Mor_{Sh(\mathcal{D})}(h_V^\#,f_{\ast}\mathcal{F}) \\ & = f_{\ast}\mathcal{F}(V) \end{align*}\] 第一个等式是因为 \(u^s = u^p\)。第二个等式是米田引理。第三个等式由 \(g^{-1}\) 与 \(g_*\) 的伴随性得出。第四个等式由引理 03A1 (4) 得出。第五个等式由 \(f^{-1}\) 与 \(f_*\) 的伴随性得出。第六个等式由米田引理得出。因此 \(u^s g_*\mathcal{F} = f_*\mathcal{F}\)，从而完成引理的证明。

注

记号和假设如引理 03A2。若位点 \(\mathcal{D}\) 有终对象和纤维积，则函子 \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}'\) 满足命题 00X6 的所有假设。事实上，除引理中所述的性质外， \(u\) 还把 \(\mathcal{D}\) 的终对象变为 \(\mathcal{C}'\) 的终对象。这由 \(u\) 的构造显然可知。因此，若先把引理 03CI 应用于 \(\mathcal{D}\)，再把引理 03A2 应用于所得拓扑斯态射 \(\Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D}')\)，便得到下列陈述：

任意拓扑斯态射 \(f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) 都嵌入交换图 \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}) \ar[d]_g \ar[r]_f & \Sh(\mathcal{D}) \ar[d]^e \\ \Sh(\mathcal{C}') \ar[r]^{f'} & \Sh(\mathcal{D}') }\] 并满足下列性质：

态射 \(e\) 与 \(g\) 是由特殊余连续函子 \(\mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) 和 \(\mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) 给出的等价；

位点 \(\mathcal{C}'\) 与 \(\mathcal{D}'\) 有纤维积、终对象，并具有次典范拓扑；

态射 \(f' : \mathcal{C}' \to \mathcal{D}'\) 来自一个位点态射，它对应于命题 00X6 适用的函子 \(u : \mathcal{D}' \to \mathcal{C}'\)；且

给定 \(\mathcal{C}\)（相应地 \(\mathcal{D}\)）上的任意层集 \(\mathcal{F}_i\)（相应地 \(\mathcal{G}_j\)），可以假设其中每个层在 \(\mathcal{C}'\)（相应地 \(\mathcal{D}'\)）上都是可表层。

把 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 替换为 \(\mathcal{C}'\) 和 \(\mathcal{D}'\) 往往很有用。

注

记号和假设如引理 03A2。进一步假设原拓扑斯态射 \(\Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) 是等价。则引理 03A2 的证明中的构造给出两个函子 \[\mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}' \leftarrow \mathcal{D}\] 它们都是特殊余连续函子。因此，在这种情况下，实际上可以把拓扑斯态射分解为复合 \[\Sh(\mathcal{C}) \rightarrow \Sh(\mathcal{C}') = \Sh(\mathcal{D}') \leftarrow \Sh(\mathcal{D})\] 如备注 03CJ，但中间态射为恒等态射。

拓扑斯的局部化

我们把局部化的部分材料重复到表面上更一般的拓扑斯情形。实际上，这并不更一般，因为总可以扩张底层位点，从而假设在位点的对象处作局部化。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的层。则范畴 \(\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}\) 是拓扑斯。存在典范拓扑斯态射 \[j_\mathcal{F} : \Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F} \longrightarrow \Sh(\mathcal{C})\] 它是第 00XZ 节意义下的局部化，并且

函子 \(j_\mathcal{F}^{-1}\) 是函子 \(\mathcal{H} \mapsto \mathcal{H} \times \mathcal{F}/\mathcal{F}\)；且

函子 \(j_{\mathcal{F}!}\) 是遗忘函子 \(\mathcal{G}/\mathcal{F} \mapsto \mathcal{G}\)。

证明

应用引理 03CI。这意味着可以假设 \(\mathcal{C}\) 是具有次典范拓扑的位点，并且对某个 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 有 \(\mathcal{F} = h_U = h_U^\#\)。因此，第 00XZ 节的材料适用。特别地，存在等价 \(\Sh(\mathcal{C}/U) = \Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\)，使复合 \[\Sh(\mathcal{C}/U) \to \Sh(\mathcal{C})/h_U^\# \to \Sh(\mathcal{C})\] 等于 \(j_{U!}\)，见引理 00Y1。以 \(a : \Sh(\mathcal{C})/h_U^\# \to \Sh(\mathcal{C}/U)\) 表示逆函子，于是 \(j_{\mathcal{F}!} = j_{U!} \circ a\)、 \(j_\mathcal{F}^{-1} = a^{-1} \circ j_U^{-1}\)，以及 \(j_{\mathcal{F}, *} = j_{U, *} \circ a\)。

对 \(j_{\mathcal{F}!}\) 的描述由上述内容得出。对 \(j_\mathcal{F}^{-1}\) 的描述由引理 03EE 得出。

引理

在引理 04GZ 的情形中，函子 \(j_{\mathcal{F}, *}\) 把 \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 送到层 \[U \longmapsto \{\alpha : \mathcal{F}|_U \to \mathcal{G}|_U \text{ 使得 } \alpha \text{ 是下列映射的右逆： }\varphi|_U \}.\]

证明

对任意 \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)，用记号 \(\mathcal{G}/\mathcal{F}\) 表示 \(\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}\) 的相应对象。有 \[(j_{\mathcal{F}, *}(\mathcal{G}/\mathcal{F}))(U) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(h_U^\#, j_{\mathcal{F}, *}(\mathcal{G}/\mathcal{F})) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}}(j_{\mathcal{F}}^{-1}h_U^{\#}, (\mathcal{G}/\mathcal{F})).\] 由引理 04GZ，该集合是在集合映射 \[\Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(h_U^\# \times \mathcal{F}, \mathcal{G}) \xrightarrow{\varphi \circ} \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(h_U^\# \times \mathcal{F}, \mathcal{F}).\] 下元素 \(h_U^\# \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 上的纤维。由引理 0BWQ 中的伴随，有 \[\begin{align*} \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(h_U^{\#}\times\mathcal{F}, \mathcal{G}) & = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(h_U^{\#},\SheafHom(\mathcal{F}, \mathcal{G})) \\ & = \Mor_{\Sh(\mathcal{C}/U)}(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}, \mathcal{G}|_{\mathcal{C}/U}), \\ \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(h_U^{\#} \times \mathcal{F}, \mathcal{F}) & = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(h_U^{\#},\SheafHom(\mathcal{F},\mathcal{F})) \\ & = \Mor_{\Sh(\mathcal{C}/U)}(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}, \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}), \end{align*}\] 在此伴随下，映射 \(\varphi\circ\) 变为映射 \[\Mor_{\Sh(\mathcal{C}/U)}(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}, \mathcal{G}|_{\mathcal{C}/U}) \longrightarrow \Mor_{\Sh(\mathcal{C}/U)}(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}, \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}),\quad \psi \longmapsto \varphi|_{\mathcal{C}/U} \circ \psi,\] 而元素 \(h_U^\# \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 变为 \(\text{id}_{\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}}\)。因此 \((j_{\mathcal{F}, *}\mathcal{G}/\mathcal{F})(U)\) 同构于映射 \[\Mor_{\Sh(\mathcal{C}/U)}(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}, \mathcal{G}|_{\mathcal{C}/U}) \xrightarrow{\varphi|_{\mathcal{C}/U}\circ} \Mor_{\Sh(\mathcal{C}/U)}(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}, \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}),\] 在 \(\text{id}_{\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}}\) 上的纤维，即 \(\{\alpha : \mathcal{F}|_U \to \mathcal{G}|_U \text{ 使得 } \alpha \text{ 是下列映射的右逆： }\varphi|_U \}\)，如所需。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的层。令 \(\mathcal{C}/\mathcal{F}\) 为序对 \((U, s)\) 所成的范畴，其中 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 且 \(s \in \mathcal{F}(U)\)。规定 \(\mathcal{C}/\mathcal{F}\) 的覆盖是一族 \(\{(U_i, s_i) \to (U, s)\}\)，使 \(\{U_i \to U\}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的覆盖。则 \(j : \mathcal{C}/\mathcal{F} \to \mathcal{C}\) 是位点的连续且余连续函子，它诱导拓扑斯态射 \(j : \Sh(\mathcal{C}/\mathcal{F}) \to \Sh(\mathcal{C})\)。事实上，存在等价 \(\Sh(\mathcal{C}/\mathcal{F}) = \Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}\)，它把 \(j\) 变为 \(j_\mathcal{F}\)。

证明

我们略去验证 \(\mathcal{C}/\mathcal{F}\) 是位点以及 \(j\) 连续且余连续。由引理 00XR，存在所述拓扑斯态射 \(j\)，满足 \(j^{-1}\mathcal{G}(U, s) = \mathcal{G}(U)\)，并且 \(j^{-1}\) 有左伴随 \(j_!\)。\(\mathcal{C}/\mathcal{F}\) 上的态射 \(\varphi : * \to j^{-1}\mathcal{G}\)，等同于一条规则：给每个序对 \((U, s)\) 指定截面 \(\varphi(s) \in \mathcal{G}(U)\)，并与限制映射相容。因此，这又等同于 \(\mathcal{C}\) 上的态射 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)。得出 \(j_!* = \mathcal{F}\)。特别地，对每个 \(\mathcal{H} \in \Sh(\mathcal{C}/\mathcal{F})\)，都有典范映射 \[j_!\mathcal{H} \to j_!* = \mathcal{F}\] 也就是说，得到函子 \(j'_! : \Sh(\mathcal{C}/\mathcal{F}) \to \Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}\)。该函子的逆，是把 \(\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}\) 的对象 \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 送到层 \[a(\mathcal{G}/\mathcal{F}) : (U, s) \longmapsto \{t \in \mathcal{G}(U) \mid \varphi(t) = s\}\] 的规则。我们略去验证 \(a(\mathcal{G}/\mathcal{F})\) 是层以及 \(a\) 是 \(j'_!\) 的逆。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的层。

拓扑斯 \(\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}\) 称为 拓扑斯 \(\Sh(\mathcal{C})\) 在 \(\mathcal{F}\) 处的局部化。

引理 04GZ 的拓扑斯态射 \(j_\mathcal{F} : \Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F} \to \Sh(\mathcal{C})\) 称为局部化态射。

我们将证明：每当层 \(\mathcal{F}\) 对位点的某个对象 \(U\) 等于 \(h_U^\#\) 时，拓扑斯的局部化就等于位点在 \(U\) 处的局部化上的层范畴。此外，还将验证所有函子性都与这一等同相容。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，对 \(\mathcal{C}\) 的某个对象 \(U\)，令 \(\mathcal{F} = h_U^\#\)。则引理 04GZ 构造的 \(j_\mathcal{F} : \Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F} \to \Sh(\mathcal{C})\) 与第 00XZ 节构造的拓扑斯态射 \(j_U : \Sh(\mathcal{C}/U) \to \Sh(\mathcal{C})\) 相符；这里使用引理 00Y1 的等同 \(\Sh(\mathcal{C}/U) = \Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\)。

证明

我们已在引理 00Y1 中看到，复合 \(\Sh(\mathcal{C}/U) \to \Sh(\mathcal{C})/h_U^\# \to \Sh(\mathcal{C})\) 是 \(j_{U!}\)。由引理 04GZ，函子 \(\Sh(\mathcal{C})/h_U^\# \to \Sh(\mathcal{C})\) 是 \(j_{\mathcal{F}!}\)。因此，在这一等同下 \(j_{\mathcal{F}!} = j_{U!}\)。所以 \(j_\mathcal{F}^{-1} = j_U^{-1}\)（由伴随性），进而 \(j_{\mathcal{F}, *} = j_{U, *}\)（再次由伴随性）。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。若 \(s : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的层态射，则存在自然交换的拓扑斯态射图式 \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C})/\mathcal{G} \ar[rd]_{j_\mathcal{G}} \ar[rr]_j & & \Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F} \ar[ld]^{j_\mathcal{F}} \\ & \Sh(\mathcal{C}) & }\] 其中 \(j = j_{\mathcal{G}/\mathcal{F}}\) 是拓扑斯 \(\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}\) 在对象 \(\mathcal{G}/\mathcal{F}\) 处的局部化。特别地，有 \[j^{-1}(\mathcal{H} \to \mathcal{F}) = (\mathcal{H} \times_\mathcal{F} \mathcal{G} \to \mathcal{G})\] 以及 \[j_!(\mathcal{E} \xrightarrow{e} \mathcal{G}) = (\mathcal{E} \xrightarrow{s \circ e} \mathcal{F}).\]

证明

对 \(j^{-1}\) 与 \(j_!\) 的描述来自引理 04GZ 中对这些函子的描述。由这些函子作为遗忘函子的描述，函子等式 \(j_{\mathcal{G}!} = j_{\mathcal{F}!} \circ j_!\) 是清楚的。由伴随性还得到等式 \(j_\mathcal{G}^{-1} = j^{-1} \circ j_\mathcal{F}^{-1}\) 以及 \(j_{\mathcal{G}, *} = j_{\mathcal{F}, *} \circ j_*\)。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 与 \(s : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 如引理 04IR 中所述。若 \(\mathcal{G} = h_V^\#\)、\(\mathcal{F} = h_U^\#\)，且 \(s : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 来自 \(\mathcal{C}\) 的态射 \(V \to U\)，则引理 04IR 中的图式等同于图式 (04IK)；这里使用等同 \(\Sh(\mathcal{C}/V) = \Sh(\mathcal{C})/h_V^\#\) 与 \(\Sh(\mathcal{C}/U) = \Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\)，它们来自引理 00Y1。

证明

这是因为对 \(j^{-1}\) 的描述相符。见引理 04IL 与引理 04IR。

局部化与拓扑斯态射

本节是第 04I8 节对拓扑斯态射的类似版本。

引理

设 \(f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) 为拓扑斯态射，\(\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{D}\) 上的层。令 \(\mathcal{F} = f^{-1}\mathcal{G}\)。则存在拓扑斯的交换图式 \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F} \ar[r]_{j_\mathcal{F}} \ar[d]_{f'} & \Sh(\mathcal{C}) \ar[d]^f \\ \Sh(\mathcal{D})/\mathcal{G} \ar[r]^{j_\mathcal{G}} & \Sh(\mathcal{D}). }\] 态射 \(f'\) 由性质 \[(f')^{-1}(\mathcal{H} \xrightarrow{\varphi} \mathcal{G}) = (f^{-1}\mathcal{H} \xrightarrow{f^{-1}\varphi} \mathcal{F})\] 刻画，并且有 \(f'_*j_\mathcal{F}^{-1} = j_\mathcal{G}^{-1}f_*\)。

证明

由于命题是关于拓扑斯的，并不涉及底层位点，我们可以任意更换位点。因此，由评注 03CJ 中的讨论，可以假设 \(f\) 由连续函子 \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 给出；该函子满足命题 00X6 的假设，两个位点都具有所有有限极限与次典范拓扑，并且对 \(\mathcal{D}\) 的某个对象 \(V\) 有 \(\mathcal{G} = h_V\)。于是由引理 04D3， \(\mathcal{F} = f^{-1}h_V = h_{u(V)}\)。由引理 03CF，得到拓扑斯态射的交换图式

\[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}/U) \ar[r]_{j_U} \ar[d]_{f'} & \Sh(\mathcal{C}) \ar[d]^f \\ \Sh(\mathcal{D}/V) \ar[r]^{j_V} & \Sh(\mathcal{D}), }\] 并有 \(f'_*j_U^{-1} = j_V^{-1}f_*\)。由引理 04IQ，可以把 \(j_\mathcal{F}\) 与 \(j_U\) 等同，把 \(j_\mathcal{G}\) 与 \(j_V\) 等同。对 \((f')^{-1}\) 的描述见引理 03CF。

引理

设 \(f : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 是由连续函子 \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 给出的位点态射。设 \(V\) 是 \(\mathcal{D}\) 的对象，令 \(U = u(V)\)。令 \(\mathcal{G} = h_V^\#\)，并令 \(\mathcal{F} = h_U^\# = f^{-1}h_V^\#\)（见引理 04D3）。则引理 04H1 的拓扑斯态射图式与引理 03CF 的拓扑斯态射图式相符；这里使用引理 04IQ 的等同 \(j_\mathcal{F}= j_U\) 与 \(j_\mathcal{G} = j_V\)。

证明

这并非全然平凡，因为在引理 04H1 的证明中，为给出 \(f\) 而选取的位点态射，可能不同于本引理给定的位点态射。但在两种情形下，函子 \((f')^{-1}\) 都由同一规则描述。因此它们相符，所关联的拓扑斯态射也相同。略去一些细节。

引理

设 \(f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) 为拓扑斯态射。设 \(\mathcal{G} \in \Sh(\mathcal{D})\)、 \(\mathcal{F} \in \Sh(\mathcal{C})\)，且 \(s : \mathcal{F} \to f^{-1}\mathcal{G}\) 是层态射。存在拓扑斯的交换图式 \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F} \ar[r]_{j_\mathcal{F}} \ar[d]_{f_s} & \Sh(\mathcal{C}) \ar[d]^f \\ \Sh(\mathcal{D})/\mathcal{G} \ar[r]^{j_\mathcal{G}} & \Sh(\mathcal{D}). }\] 有 \(f_s = f' \circ j_{\mathcal{F}/f^{-1}\mathcal{G}}\)，其中 \(f' : \Sh(\mathcal{C})/f^{-1}\mathcal{G} \to \Sh(\mathcal{D})/\mathcal{F}\)

如引理 04H1 中所述，而 \(j_{\mathcal{F}/f^{-1}\mathcal{G}} : \Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F} \to \Sh(\mathcal{C})/f^{-1}\mathcal{G}\) 如引理 04IR 中所述。函子 \((f_s)^{-1}\) 由规则 \[(f_s)^{-1}(\mathcal{H} \xrightarrow{\varphi} \mathcal{G}) = (f^{-1}\mathcal{H} \times_{f^{-1}\varphi, f^{-1}\mathcal{G}, s} \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{F}).\] 刻画。最后，给定任意态射 \(b : \mathcal{G}' \to \mathcal{G}\)、 \(a : \mathcal{F}' \to \mathcal{F}\) 与 \(s' : \mathcal{F}' \to f^{-1}\mathcal{G}'\)，使得 \[\xymatrix{ \mathcal{F}' \ar[r]_-{s'} \ar[d]_a & f^{-1}\mathcal{G}' \ar[d]^{f^{-1}b} \\ \mathcal{F} \ar[r]^-s & f^{-1}\mathcal{G} }\] 交换，则图式 \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}' \ar[r]_{j_{\mathcal{F}'/\mathcal{F}}} \ar[d]_{f_{s'}} & \Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F} \ar[d]^{f_s} \\ \Sh(\mathcal{D})/\mathcal{G}' \ar[r]^{j_{\mathcal{G}'/\mathcal{G}}} & \Sh(\mathcal{D})/\mathcal{G}. }\] 交换。

证明

第一个方块的交换性由引理 04IR 中图式的交换性与引理 04H1 中图式的交换性得出。对 \(f_s^{-1}\) 的描述，则由引理 04H1 中对 \((f')^{-1}\) 的描述与引理 04IR 中对 \((j_{\mathcal{F}/f^{-1}\mathcal{G}})^{-1}\) 的描述合并得出。最后一个方块的交换性于是由等式 \[f^{-1}\mathcal{H} \times_{f^{-1}\mathcal{G}, s} \mathcal{F} \times_\mathcal{F} \mathcal{F}' = f^{-1}(\mathcal{H} \times_\mathcal{G} \mathcal{G}') \times_{f^{-1}\mathcal{G}', s'} \mathcal{F}'\] 得出，该等式是形式的。

引理

设 \(f : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 是由连续函子 \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 给出的位点态射。设 \(V\) 是 \(\mathcal{D}\) 的对象，\(c : U \to u(V)\) 是态射。令 \(\mathcal{G} = h_V^\#\) 且 \(\mathcal{F} = h_U^\# = f^{-1}h_V^\#\)。

令 \(s : \mathcal{F} \to f^{-1}\mathcal{G}\) 为 \(c\) 诱导的映射。则引理 04IN 的拓扑斯态射图式与引理 04IV 的拓扑斯态射图式相符；这里使用引理 04IQ 的等同 \(j_\mathcal{F} = j_U\) 与 \(j_\mathcal{G} = j_V\)。

证明

这由合并引理 04IS 与 04IU 得出。

点

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。it 拓扑斯 \(\Sh(\mathcal{C})\) 的点，是从 \(\Sh(pt)\) 到 \(\Sh(\mathcal{C})\) 的拓扑斯态射 \(p\)。

我们将用函子 \(u : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 定义位点的点。稍后会看到， \(u\) 将定义一个位点态射，它诱导与 \(\mathcal{C}\) 关联的拓扑斯的一个点，见引理 04EL。

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。令 \(p = u\) 为函子 \(u : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\)。引入这种看似奇特的说法，是因为谈论函子的邻域似乎有些古怪；因此，我们把“点” \(p\) 看作由一个范畴数据——即函子 \(u\)——给出的几何对象。\(p\) 实际上等于 \(u\) 这一事实并不重要。\(p\) 的一个 it 邻域是序对 \((U, x)\)，其中 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 且 \(x \in u(U)\)。一个it 邻域态射 \((V, y) \to (U, x)\)，由 \(\mathcal{C}\) 的态射 \(\alpha :V \to U\) 给出，并满足 \(u(\alpha)(y) = x\)。注意，邻域范畴不是一个“大”范畴。

我们把预层 \(\mathcal{F}\) 在 \(p\) 处的it 茎定义为 [04EH]\[\begin{equation} \mathcal{F}_p = \colim_{\{(U, x)\}^{opp}} \mathcal{F}(U). \end{equation}\] 该余极限取遍 \(p\) 的邻域范畴的反范畴。换言之，\(\mathcal{F}_p\) 的一个元素由三元组 \((U, x, s)\) 给出，其中 \((U, x)\) 是 \(p\) 的邻域，且 \(s \in \mathcal{F}(U)\)。三元组的相等关系，是由 \((U, x, s) \sim (V, y, \alpha^*s)\) 生成的等价关系，其中 \(\alpha\) 如上。

注意，若 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是集合预层的态射，则得到典范茎映射 \(\varphi_p : \mathcal{F}_p \to \mathcal{G}_p\)。因而得到一个it 茎函子 \[\textit{PSh}(\mathcal{C}) \longrightarrow \textit{Sets}, \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}_p.\] 我们用任意函子 \(p = u : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 定义了茎函子；此定义无需任何条件便能成立⁷。另一方面，除非 \(p\) 确实是一个点（见下述定义），否则最好不要使用这一概念，因为一般来说茎函子不具有良好性质。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。位点 \(\mathcal{C}\) 的一个it 点 \(p\)，由函子 \(u : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 给出，并且满足

对 \(\mathcal{C}\) 的每个覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，映射 \(\coprod u(U_i) \to u(U)\) 是满射。

对 \(\mathcal{C}\) 的每个覆盖 \(\{U_i \to U\}\) 以及每个态射 \(V \to U\)，映射 \(u(U_i \times_U V) \to u(U_i) \times_{u(U)} u(V)\) 都是双射。

茎函子 \(\Sh(\mathcal{C}) \to \textit{Sets}\)， \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_p\)，是左正合的。

这些条件应当很熟悉，因为它们仿照定义 00WV 与 00X1 中的条件。注意，(3) 蕴含 \(*_p = \{*\}\)，见例 00W3。因此至少对某个 \(U\) 有 \(u(U) \not = \emptyset\)（因为空余极限给出空集）。我们将在下文证明（引理 00YA），这确实会诱导拓扑斯 \(\Sh(\mathcal{C})\) 的一个点。在此之前，先对一般函子 \(u\) 证明若干引理。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(p = u : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 是函子。对 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，存在函子性的同构 \((h_U)_p = u(U)\)。

证明

\((h_U)_p\) 的一个元素由三元组 \((V, y, f)\) 给出，其中 \(V \in \Ob(\mathcal{C})\)、\(y\in u(V)\) 且 \(f \in h_U(V) = \Mor_\mathcal{C}(V, U)\)。若存在态射 \(\phi : V \to V'\)，满足 \(u(\phi)(y) = y'\) 与 \(f' \circ \phi = f\)，则两个三元组 \((V, y, f)\)、\((V', y', f')\) 确定同一元素；一般还必须取这类等同的链，才能得到正确的等价关系。无论如何，每个 \((V, y, f)\) 都等价于元素 \((U, u(f)(y), \text{id}_U)\)。若存在上述 \(\phi\)，则三元组 \((V, y, f)\)、\((V', y', f')\) 确定同一个元素 \((U, u(f)(y), \text{id}_U) = (U, u(f')(y'), \text{id}_U)\)。

这证明了映射 \(u(U) \to (h_U)_p\)，\(x \mapsto \text{下列对象的类： }(U, x, \text{id}_U)\) 是双射。

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(p = u : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 是函子。类比第 00VC 节中的构造，对给定集合 \(E\)，按规则 [04EI]\[\begin{equation} U \longmapsto u^pE(U) = \Mor_{\textit{Sets}}(u(U), E) = \text{Map}(u(U), E). \end{equation}\] 定义预层 \(u^pE\)。这定义了函子 \(u^p : \textit{Sets} \to \textit{PSh}(\mathcal{C})\)，\(E \mapsto u^pE\)。

引理

对任意函子 \(u : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\)，函子 \(u^p\) 是预层上的茎函子的右伴随。

证明

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的预层，\(E\) 是集合。态射 \(\mathcal{F} \to u^pE\) 由一族相容映射 \(\mathcal{F}(U) \to \text{Map}(u(U), E)\) 给出，也就是由一族相容映射 \(\mathcal{F}(U) \times u(U) \to E\) 给出。而按 \(\mathcal{F}_p\) 的定义，映射 \(\mathcal{F}_p \to E\) 由一条规则给出：它给每个三元组 \((U, x, \sigma)\) 指定 \(E\) 中的一个元素，并使等价三元组映到同一元素；见围绕方程 (04EH) 的讨论。这也正是一族相容映射 \(\mathcal{F}(U) \times u(U) \to E\)。

类比第 00WU 节，有如下引理。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(p = u : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 是函子。假设对 \(\mathcal{C}\) 的每个覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，

映射 \(\coprod u(U_i) \to u(U)\) 是满射；且

映射 \(u(U_i \times_U U_j) \to u(U_i) \times_{u(U)} u(U_j)\) 是满射。

则有

对所有集合 \(E\)，预层 \(u^pE\) 都是层，将它记为 \(u^sE\)；

茎函子 \(\Sh(\mathcal{C}) \to \textit{Sets}\) 与函子 \(u^s: \textit{Sets} \to \Sh(\mathcal{C})\) 互为伴随；且

对每个集合预层 \(\mathcal{F}\)，都有 \(\mathcal{F}_p = \mathcal{F}^\#_p\)。

证明

第一条断言直接来自层的定义、假设 (1) 和 (2) 以及 \(u^pE\) 的定义。第二条是 \(u^p\) 与茎函子之间的伴随性（引理 00Y7）限制到层之后的重述。第三条断言是因为，对任意集合 \(E\)，由层化的伴随性质有 \[\text{Map}(\mathcal{F}_p, E) = \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(\mathcal{F}, u^pE) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{F}^\#, u^sE) = \text{Map}(\mathcal{F}^\#_p, E)\]

特别地，当 \(p = u\) 是点时，引理 00Y8 成立。在这种情形下，我们把层 \(u^sE\) 看作在 \(p\) 处取值 \(E\) 的“摩天楼”层。

定义

设 \(p\) 是由函子 \(u\) 给出的位点 \(\mathcal{C}\) 的点。对集合 \(E\)，定义 \(p_*E = u^sE\)，即上述引理 00Y8 描述的层。我们有时称它为it 摩天楼层。

特别地，摩天楼层与茎具有如下伴随性质： \[\Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{F}, p_*E) = \text{Map}(\mathcal{F}_p, E)\] 这说明记号 \(p^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{F}_p\) 是自然的，我们有时会使用它。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。

设 \(p\) 是位点 \(\mathcal{C}\) 的点。则上面引入的函子对 \((p_*, p^{-1})\) 定义拓扑斯态射 \(\Sh(pt) \to \Sh(\mathcal{C})\)。

设 \(p = (p_*, p^{-1})\) 是拓扑斯 \(\Sh(\mathcal{C})\) 的点。则函子 \(u : U \mapsto p^{-1}(h_U^\#)\) 诱导位点 \(\mathcal{C}\) 的点 \(p'\)，其关联的拓扑斯态射 \((p'_*, (p')^{-1})\) 等于 \(p\)。

证明

(1) 的证明。由上述结果，函子 \(p_*\) 与 \(p^{-1}\) 互为伴随。根据定义 00Y5，函子 \(p^{-1}\) 必须是正合的。因此定义 00XA 中施加的条件全都满足，故 (1) 成立。

(2) 的证明。设 \(\{U_i \to U\}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的覆盖。则 \(\coprod (h_{U_i})^\# \to h_U^\#\) 是满射，见引理 00WT。由于 \(p^{-1}\) 是正合的（由拓扑斯态射的定义），得出 \(\coprod u(U_i) \to u(U)\) 是满射。这证明了定义 00Y5 的第 (1) 条。层化是正合的，见引理 00WJ。因此，若 \(U \times_V W\) 在 \(\mathcal{C}\) 中存在，则 \[h_{U \times_V W}^\# = h_U^\# \times_{h_V^\#} h_W^\#\] 又因 \(p^{-1}\) 正合，看到 \(u(U \times_V W) = u(U) \times_{u(V)} u(W)\)。这证明了定义 00Y5 的第 (2) 条。令 \(p' = u\)，并令 \(\mathcal{F}_{p'}\) 为用 \(u\) 按方程 (04EH) 定义的茎函子。存在典范比较映射 \(c : \mathcal{F}_{p'} \to \mathcal{F}_p = p^{-1}\mathcal{F}\)。具体而言，给定表示 \(\mathcal{F}_{p'}\) 的元素 \(\xi\) 的三元组 \((U, x, \sigma)\)，把 \(\sigma\) 看作映射 \(\sigma : h_U^\# \to \mathcal{F}\)；由于 \(x \in u(U) = p^{-1}(h_U^\#)\)，可以令 \(c(\xi) = p^{-1}(\sigma)(x)\)。由引理 00Y6，有 \((h_U)_{p'} = u(U)\)。因为定义 00Y5 的条件 (1) 与 (2) 对 \(p'\) 成立，由引理 00Y8，还有 \((h_U^\#)_{p'} = (h_U)_{p'}\)。因此 \[(h_U^\#)_{p'} = (h_U)_{p'} = u(U) = p^{-1}(h_U^\#)\] 我们断言这个双射等于比较映射 \(c : (h_U^\#)_{p'} \to p^{-1}(h_U^\#)\)（略去验证）。\(\mathcal{C}\) 上任意层都是形如 \(h_U^\#\) 的层的余积之间映射的余等化子，见引理 00WS。茎函子 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{p'}\) 与函子 \(p^{-1}\) 都与任意余极限交换（因为二者都是左伴随）。得出对每个层 \(\mathcal{F}\)，\(c\) 都是同构。因此茎函子 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{p'}\) 同构于 \(p^{-1}\)，特别地，它是正合的。这证明了定义 00Y5 的条件 (3) 成立，且 \(p'\) 是点。最后一条断言已在上面证明，因为我们已经看到 \(p^{-1} = (p')^{-1}\)。

事实上，一个点总对应于某个位点态射，如下一个引理所示。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(p\) 是由 \(u : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 给出的 \(\mathcal{C}\) 的点。设 \(S_0\) 为无限集，使得对所有 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 都有 \(u(U) \subset S_0\)。令 \(\mathcal{S}\) 为评注 00XD 中由幂集 \(S = \mathcal{P}(S_0)\) 构造的位点。则

存在等价 \(i : \Sh(pt) \to \Sh(\mathcal{S})\)；

函子 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{S}\) 诱导位点态射 \(f : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)；且

复合 \[\Sh(pt) \to \Sh(\mathcal{S}) \to \Sh(\mathcal{C})\] 是引理 00YA 的拓扑斯态射 \((p_*, p^{-1})\)。

证明

第 (1) 条已在评注 00XD 中看到。此外，回忆该等价把集合 \(E\) 关联到 \(\mathcal{S}\) 上的层 \(i_*E\)，它由规则 \(V \mapsto \Mor_{\textit{Sets}}(V, E)\) 定义。第 (2) 条由 \(\mathcal{C}\) 的点的定义（定义 00Y5）与位点态射的定义（定义 00X1）直接得出。最后，考虑 \(f_*i_*E\)。按构造有 \[f_*i_*E(U) = i_*E(u(U)) = \Mor_{\textit{Sets}}(u(U), E)\] 这等于 \(p_*E(U)\)，见方程 (04EI)。这证明了 (3)。

与拓扑情形不同，取值 \(E\) 的摩天楼层的茎不总是 \(E\)。一般成立的是如下结论。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点， \(p : \Sh(pt) \to \Sh(\mathcal{C})\) 是与 \(\mathcal{C}\) 关联的拓扑斯的点。对任意集合 \(E\)，存在典范映射 \[E \longrightarrow (p_*E)_p \longrightarrow E\] 其复合为 \(\text{id}_E\)。

证明

总有伴随映射 \((p_*E)_p = p^{-1}p_*E \to E\)。当 \(E = \{*\}\) 时，这一映射是同构，因为 \(p_*\) 与 \(p^{-1}\) 都是左正合的，因而把终对象变为终对象。因此，给定 \(e \in E\)，可以考虑映射 \(i_e : \{*\} \to E\)，它给出 \[\xymatrix{ p^{-1}p_*\{*\} \ar[rr]_{p^{-1}p_*i_e} \ar[d]_{\cong} & & p^{-1}p_*E \ar[d] \\ \{*\} \ar[rr]^{i_e} & & E }\] 由此得到所需映射 \(E \to (p_*E)_p = p^{-1}p_*E\)。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点， \(p : \Sh(pt) \to \Sh(\mathcal{C})\) 是与 \(\mathcal{C}\) 关联的拓扑斯的点。函子 \(p_* : \textit{Sets} \to \Sh(\mathcal{C})\) 具有如下性质：它与任意极限交换；它是左正合的；它是忠实的；它把满射变为满射；它与余等化子交换；它反映单射、满射和同构。

证明

因为 \(p_*\) 是右伴随，所以它与任意极限交换且左正合。\(p^{-1}p_*E \to E\) 是典范分裂满射这一事实，蕴含 \(p_*\) 是忠实的，并反映单射、满射与同构。由引理 00YA，可以假设 \(p\) 来自底层位点 \(\mathcal{C}\) 的一个点 \(u : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\)。在此情形下，层 \(p_*E\) 由 \[p_*E(U) = \Mor_{\textit{Sets}}(u(U), E)\] 给出，见方程 04EI 与定义 00Y9。从该公式立即得出，\(p_*\) 把满射变为满射，并把余等化子变为余等化子。

构造点

本节给出判据，判断从位点到集合范畴的函子何时定义该位点的点。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(p = u : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 是函子。若 \(p\) 的邻域范畴是余滤过的，则茎函子 (04EH) 是左正合的。

证明

设 \(\mathcal{I} \to \Sh(\mathcal{C})\)， \(i \mapsto \mathcal{F}_i\) 是层的有限图式。需要证明该系统极限的茎与茎的极限相符。令 \(\mathcal{F}\) 为该系统作为it 预层的极限。根据引理 00W2，它是层，也是层范畴中的极限。因此只须证明 \(\mathcal{F}_p = \lim_\mathcal{I} \mathcal{F}_{i, p}\)。还要回忆 \(\mathcal{F}\) 具有简单描述，见第 00VB 节。故只须证明 \[\lim_i \colim_{\{(U, x)\}^{opp}} \mathcal{F}_i(U) = \colim_{\{(U, x)\}^{opp}} \lim_i \mathcal{F}_i(U).\] 这由 Categories, Lemma 002W 成立，因为按假设，邻域范畴的反范畴是滤过的。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。假设 \(\mathcal{C}\) 有终对象 \(X\) 和纤维积。设 \(p = u : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 是函子，满足

\(u(X)\) 是单点集；且

对每一对具有同一余域的态射 \(U \to W\) 与 \(V \to W\)，映射 \(u(U \times_W V) \to u(U) \times_{u(W)} u(V)\) 是双射。

则 \(p\) 的邻域范畴是余滤过的，因而茎函子 \(\Sh(\mathcal{C}) \to \textit{Sets}\)， \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}_p\)，与有限极限交换。

证明

请注意它与引理 00X3 的相似性。关于 \(\mathcal{C}\) 的假设蕴含 \(\mathcal{C}\) 有有限极限。见 Categories, Lemma 002O。假设 (1) 蕴含邻域范畴非空。设 \((U, x)\) 与 \((V, y)\) 是邻域。则由 (2)， \(u(U \times V) = u(U \times_X V) = u(U) \times_{u(X)} u(V) = u(U) \times u(V)\)。因此存在同时映到 \((U, x)\) 与 \((V, y)\) 的邻域 \((U \times_X V, z)\)。设 \(a, b : (V, y) \to (U, x)\) 是邻域范畴中的两个态射。令 \(W\) 为 \(a, b : V \to U\) 的等化子。与 Categories, Lemma 002O 的证明相同，可以用纤维积写出 \(W\)： \[W = (V \times_{a, U, b} V) \times_{(pr_1, pr_2), V \times V, \Delta} V\] (2) 中的双射性保证存在 \(z \in u(W)\) 映到 \(((y, y), y)\)。于是 \((W, z) \to (V, y)\) 如所需地等化 \(a, b\)。“因而”部分就是引理 0F4E。

命题

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，并假设 \(\mathcal{C}\) 中存在有限极限（即 \(\mathcal{C}\) 有纤维积和终对象）。这种位点 \(\mathcal{C}\) 的一个点 \(p\)，由函子 \(u : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 给出，并满足

\(u\) 与有限极限交换；且

若 \(\{U_i \to U\}\) 是覆盖，则 \(\coprod_i u(U_i) \to u(U)\) 是满射。

证明

先设 \(p\) 是由函子 \(u\) 给出的点（定义 00Y5）。条件 (2) 直接由点的定义满足。由引理 00Y6，有 \((h_U)_p = u(U)\)。由引理 00Y8，有 \((h_U^\#)_p = (h_U)_p\)。因此看到 \(u\) 等于函子的复合 \[\mathcal{C} \xrightarrow{h} \textit{PSh}(\mathcal{C}) \xrightarrow{{}^\#} \Sh(\mathcal{C}) \xrightarrow{()_p} \textit{Sets}\] 这些函子中的每一个都是左正合的，故 \(u\) 满足 (1)。

反之，设 \(u\) 满足 (1) 和 (2)。此时立即看出，\(u\) 满足定义 00Y5 的前两个条件。它的茎函子是正合的，因为由引理 00Y8 它是左伴随，而由引理 00YB 它与有限极限交换。

注

事实上，设 \(\mathcal{C}\) 为位点，假设 \(\mathcal{C}\) 有终对象 \(X\) 与纤维积。设 \(p = u: \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 为函子，满足

\(u(X) = \{*\}\) 是单点集；

对每一对具有同一余域的态射 \(U \to W\) 与 \(V \to W\)，映射 \(u(U \times_W V) \to u(U) \times_{u(W)} u(V)\) 是满射。

对每个覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，映射 \(\coprod u(U_i) \to u(U)\) 是满射。

一般来说，\(p\) 不是 \(\mathcal{C}\) 的点。一个例子是具有两个对象 \(\{U, X\}\) 的范畴 \(\mathcal{C}\)，其中恰有一个非恒等箭头，即 \(U \to X\)。在 \(\mathcal{C}\) 上赋予平凡拓扑，即仅有的覆盖是 \(\{U \to U\}\) 与 \(\{X \to X\}\)。层 \(\mathcal{F}\) 与预层是一回事，并由三元组 \((A, B, A \to B)\) 组成：即 \(A = \mathcal{F}(X)\)、 \(B = \mathcal{F}(U)\)，而 \(A \to B\) 是对应于 \(U \to X\) 的限制映射。注意 \(U \times_X U = U\)，故纤维积存在。考虑函子 \(u = p\)，其中 \(u(X) = \{*\}\) 且 \(u(U) = \{*_1, *_2\}\)。它满足 (1)、(2) 和 (3)，但相应的茎函子 (04EH) 是函子 \[(A, B, A \to B) \longmapsto B \amalg_A B\] 它不是正合的。具体来说，考虑层的单射 \((\emptyset, \{1\}, \emptyset \to \{1\}) \to (\{1\}, \{1\}, \{1\} \to \{1\})\)，茎函子把它变为集合间的非单射 \[\{1\} \amalg \{1\} \longrightarrow \{1\} \amalg_{\{1\}} \{1\}\]

例

设 \(X\) 为拓扑空间，\(X_{Zar}\) 是例 00VJ 的位点。设 \(x \in X\) 是一点。考虑函子 \[u : X_{Zar} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad U \mapsto \left\{ \begin{matrix} \emptyset & \text{若} & x \not \in U \\ \{*\} & \text{若} & x \in U \end{matrix} \right.\] 该函子与积和纤维积交换，并把覆盖变为满射族。因此得到位点 \(X_{Zar}\) 的一个点 \(p\)。立即可验证，茎函子与 Sheaves, Section 0078 中定义的 \(x\) 处的茎相符。

例

设 \(X\) 为拓扑空间。拓扑斯 \(\Sh(X)\) 的点是什么？为看清这一点，令 \(X_{Zar}\) 为例 00VJ 的位点。由引理 00YA，\(\Sh(X)\) 的点对应于该位点的点。设 \(p\) 是由函子 \(u : X_{Zar} \to \textit{Sets}\) 给出的位点 \(X_{Zar}\) 的点。我们将使用命题 00YC 中对此类 \(u\) 的刻画。它立即蕴含 \(u(\emptyset) = \emptyset\) 与 \(u(U \cap V) = u(U) \times u(V)\)。特别地，通过对角映射有 \(u(U) = u(U) \times u(U)\)，这蕴含 \(u(U)\) 或为单点集，或为空集。此外，若 \(U = \bigcup U_i\) 是开覆盖，则 \[u(U) = \emptyset \Rightarrow \forall i, \ u(U_i) = \emptyset \quad\text{且}\quad u(U) \not = \emptyset \Rightarrow \exists i, \ u(U_i) \not = \emptyset.\] 由此得出，存在唯一的最大开集 \(W \subset X\) 满足 \(u(W) = \emptyset\)，即所有满足 \(u(U) = \emptyset\) 的开集 \(U\) 的并。令 \(Z = X \setminus W\)。若 \(Z = Z_1 \cup Z_2\)，其中 \(Z_i \subset Z\) 闭，则 \(W = (X \setminus Z_1) \cap (X \setminus Z_2)\)，故 \(\emptyset = u(W) = u(X \setminus Z_1) \times u(X \setminus Z_2)\)；于是 \(u(X \setminus Z_1) = \emptyset\) 或 \(u(X \setminus Z_2) = \emptyset\)。这意味着 \(X \setminus Z_1 = W\) 或 \(X \setminus Z_2 = W\)。换言之，\(Z\) 不可约。现在看到 \(u\) 由规则 \[u : X_{Zar} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad U \mapsto \left\{ \begin{matrix} \emptyset & \text{若} & Z \cap U = \emptyset \\ \{*\} & \text{若} & Z \cap U \not = \emptyset \end{matrix} \right.\] 描述。注意，对任意不可约闭子集 \(Z \subset X\)，该函子都满足命题 00YC 的假设 (1)、(2)，因而定义一个点。换言之，位点 \(X_{Zar}\) 的点与 \(X\) 的不可约闭子集一一对应。特别地，若 \(X\) 是清醒拓扑空间，则 \(X_{Zar}\) 的点与 \(X\) 的点一一对应，见例 00YE。

例

考虑例 00VK 与第 00VZ 节描述的位点 \(\mathcal{T}_G\)。遗忘函子 \(u : \mathcal{T}_G \to \textit{Sets}\) 与积和纤维积交换，并把覆盖变为满射族。因此它定义 \(\mathcal{T}_G\) 的一个点。我们把 \(\Sh(\mathcal{T}_G)\) 与 \(G\textit{-Sets}\) 等同。茎函子 \[p^{-1} : \Sh(\mathcal{T}_G) = G\textit{-Sets} \longrightarrow \textit{Sets}\] 就是遗忘函子。正向像 \(p_*\) 是函子 \[\textit{Sets} \longrightarrow \Sh(\mathcal{T}_G) = G\textit{-Sets}\] 它把集合 \(S\) 映到 \(G\)-集合 \(\text{Map}(G, S)\)，作用为 \(g \cdot \psi = \psi \circ R_g\)，其中 \(R_g\) 是右乘。特别地，作为集合有 \(p^{-1}p_*S = \text{Map}(G, S)\)，而引理 05UX 的映射 \(S \to \text{Map}(G, S) \to S\) 就是显然的映射。

例

设 \(\mathcal{C}\) 是赋予混沌拓扑的范畴（例 07GE）。对 \(\mathcal{C}\) 的每个对象 \(U_0\)，函子 \(u : U \mapsto \Mor_\mathcal{C}(U_0, U)\) 都定义 \(\mathcal{C}\) 的一个点 \(p\)。事实上，定义 00Y5 的条件 (1) 与 (2) 是直接的，因为仅有的覆盖由恒等映射给出。条件 (3) 成立，因为 \(\mathcal{F}_p = \mathcal{F}(U_0)\)，并且由于该拓扑是混沌拓扑，在 \(U_0\) 上取截面是正合函子。

点与拓扑斯态射

本节对点与拓扑斯态射作若干评注。

引理

设 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 是函子， \(v : \mathcal{D} \to \textit{Sets}\) 是函子，并令 \(w = v \circ u\)。分别以 \(q\)、\(p\) 表示与 \(v\)、\(w\) 关联的茎函子 (04EH)。则对 \(\mathcal{C}\) 上的预层 \(\mathcal{F}\)，函子性地有 \((u_p\mathcal{F})_q = \mathcal{F}_p\)。

证明

这是一个简单的范畴事实。我们有 \[\begin{align*} (u_p\mathcal{F})_q & = \colim_{(V, y)} \colim_{U, \phi : V \to u(U)} \mathcal{F}(U) \\ & = \colim_{(V, y, U, \phi : V \to u(U))} \mathcal{F}(U) \\ & = \colim_{(U, x)} \mathcal{F}(U) \\ & = \mathcal{F}_p \end{align*}\] 第一个等式由 \(u_p\) 的定义与茎函子的定义成立。注意 \(y \in v(V)\)。在第二个等式中，只是合并了余极限。为说明第三个等式，把 Categories, Lemma 05US 应用于按规则 \[F((V, y, U, \phi : V \to u(U))) = (U, v(\phi)(y)).\] 定义的图式范畴之间的函子 \(F\)。这是有意义的，因为 \(w(U) = v(u(U))\)。来验证 Categories, Lemma 05US 的假设。注意 \(F\) 有右逆 \((U, x) \mapsto (u(U), x, U, \text{id} : u(U) \to u(U))\)。这同样有意义，因为 \(x \in w(U) = v(u(U))\)。另一方面，总有 \((U, x)\) 上的纤维范畴中的态射 \[(V, y, U, \phi : V \to u(U)) \longrightarrow (u(U), v(\phi)(y), U, \text{id} : u(U) \to u(U))\] 这表明各纤维范畴连通。第四个也是最后一个等式是清楚的。

引理

设 \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 是由连续函子 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 给出的位点态射。设 \(q\) 是由函子 \(v : \mathcal{D} \to \textit{Sets}\) 给出的 \(\mathcal{D}\) 的点，见定义 00Y5。则函子 \(v \circ u : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 定义 \(\mathcal{C}\) 的一个点 \(p\)；此外，对 \(\mathcal{C}\) 上的任意层 \(\mathcal{F}\)，存在典范等同 \[(f^{-1}\mathcal{F})_q = \mathcal{F}_p\]

证明

注意，由于 \(u\) 连续且 \(v\) 定义一个点，\(v \circ u\) 立即满足定义 00Y5 的条件 (1) 与 (2)。来证明所显示的等式。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的层。则 \[(f^{-1}\mathcal{F})_q = (u_s\mathcal{F})_q = (u_p \mathcal{F})_q = \mathcal{F}_p\] 第一个等式因为 \(f^{-1} = u_s\)，第二个等式由引理 00Y8，第三个等式由引理 0F4F。现在又看到，\(p\) 也满足定义 00Y5 的条件 (3)，因为它是正合函子的复合。证明完毕。

证明

由引理 04EL，可把 \((q_*, q^{-1})\) 分解为 \[\Sh(pt) \xrightarrow{i} \Sh(\mathcal{S}) \xrightarrow{h} \Sh(\mathcal{D})\] 其中第二个拓扑斯态射来自由函子 \(v : \mathcal{D} \to \mathcal{S}\) 诱导的位点态射 \(h : \mathcal{S} \to \mathcal{D}\)（这是有意义的，因为 \(\mathcal{S} \subset \textit{Sets}\) 是包含 \(v\) 的像中每个对象的满子范畴）。由引理 03CB，复合 \(v \circ u : \mathcal{C} \to \mathcal{S}\) 定义位点态射 \(g : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)。特别地，函子 \(v \circ u : \mathcal{C} \to \mathcal{S}\) 连续；根据 \(\mathcal{S}\) 中覆盖的定义（见评注 00XD），这意味着 \(v \circ u\) 满足定义 00Y5 的条件 (1) 与 (2)。另一方面，看到 \[g_*i_*E(U) = i_*E(v(u(U)) = \Mor_{\textit{Sets}}(v(u(U)), E)\]

这是由评注 00XD 中对 \(i\) 的构造得出的。注意，这与如下函子的公式相同，而它等于 \((v \circ u)^pE\)，见方程 (04EI)。

由引理 00Y8，函子 \(g_*i_* = (v \circ u)^p = (v \circ u)^s\) 是茎函子 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_q\) 的右伴随。

因此看到茎函子 \(p^{-1}\) 典范同构于 \(i^{-1} \circ g^{-1}\)。所以它是正合的，并得出 \(p\) 是点。最后，由构造有 \(g = f \circ h\)，故 \(p^{-1} = i^{-1} \circ h^{-1} \circ f^{-1} = q^{-1} \circ f^{-1}\)；也就是说，得到本引理所显示的公式。

引理

设 \(f : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\) 是拓扑斯态射， \(q : \Sh(pt) \to \Sh(\mathcal{D})\) 是一个点。则 \(p = f \circ q\) 是拓扑斯 \(\Sh(\mathcal{C})\) 的点，而且对 \(\mathcal{C}\) 上的任意层 \(\mathcal{F}\)，存在典范等同 \[(f^{-1}\mathcal{F})_q = \mathcal{F}_p\]

证明

这由定义以及拓扑斯态射可以复合这一事实立即得出。

局部化与点

本节证明，局部化 \(\mathcal{C}/U\) 的点可以用简单方式从 \(\mathcal{C}\) 的点构造。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(p\) 是由 \(u : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 给出的 \(\mathcal{C}\) 的点。设 \(U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象，且 \(x \in u(U)\)。函子 \[v : \mathcal{C}/U \longrightarrow \textit{Sets}, \quad (\varphi : V \to U) \longmapsto \{y \in u(V) \mid u(\varphi)(y) = x\}\] 定义位点 \(\mathcal{C}/U\) 的一个点 \(q\)，使图式 \[\xymatrix{ & \Sh(pt) \ar[d]^p \ar[ld]_q \\ \Sh(\mathcal{C}/U) \ar[r]^{j_U} & \Sh(\mathcal{C}) }\] 交换。换言之，对 \(\mathcal{C}\) 上的任意层有 \(\mathcal{F}_p = (j_U^{-1}\mathcal{F})_q\)。

证明

如引理 04EL 中那样选取 \(S\) 与 \(\mathcal{S}\)。可以如该引理中一样等同 \(\Sh(pt) = \Sh(\mathcal{S})\)，并把由 \(u\) 诱导的拓扑斯态射写成 \(p = f : \Sh(\mathcal{S}) \to \Sh(\mathcal{C})\)。由引理 03CF，得到拓扑斯的交换图式 \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{S}/u(U)) \ar[r]_-{j_{u(U)}} \ar[d]_{p'} & \Sh(\mathcal{S}) \ar[d]^p \\ \Sh(\mathcal{C}/U) \ar[r]^{j_U} & \Sh(\mathcal{C}), }\] 其中 \(p'\) 由函子 \(u' : \mathcal{C}/U \to \mathcal{S}/u(U)\) 给出， \(V/U \mapsto u(V)/u(U)\)。考虑函子 \(j_x : \mathcal{S} \cong \mathcal{S}/x\)，它把集合 \(E\) 关联到集合 \(E\)，并赋予取常值 \(x\) 的常值映射 \(E \to u(U)\)。则 \(j_x\) 是全忠实的余连续函子，并有连续右伴随 \(v_x : (\psi : E \to u(U)) \mapsto \psi^{-1}(\{x\})\)。注意 \(j_{u(U)} \circ j_x = \text{id}_\mathcal{S}\) 且 \(v_x \circ u' = v\)。这些观察蕴含如下拓扑斯交换图式 \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{S}) \ar[rd]^a \ar[rdd]_q \ar `r[rrr] `d[dd]^p [rrdd] & & & \\ & \Sh(\mathcal{S}/u(U)) \ar[r]_-{j_{u(U)}} \ar[d]^{p'} & \Sh(\mathcal{S}) \ar[d]^p & \\ & \Sh(\mathcal{C}/U) \ar[r]^{j_U} & \Sh(\mathcal{C}) & }\] 具体如下：

态射 \(a : \Sh(\mathcal{S}) \to \Sh(\mathcal{S}/u(U))\) 是与余连续函子 \(j_x\) 关联的拓扑斯态射；它等于与连续函子 \(v_x\) 关联的态射，见引理 00XO 与第 00XW 节。

复合 \(p \circ j_{u(U)} \circ a = p\)，因为 \(j_{u(U)} \circ j_x = \text{id}_\mathcal{S}\)。

复合 \(p' \circ a\) 给出拓扑斯态射。此外，它是与连续函子 \(v_x \circ u' = v\) 关联的拓扑斯态射。因此 \(v\) 确实定义 \(\mathcal{C}/U\) 的一个点 \(q\)，并且由构造它嵌入上述图式。

本引理的证明结束。

引理

设 \(\mathcal{C}\)、\(p\)、\(u\)、\(U\) 如引理 04H2 中所述。引理 04H2 的构造，在位于 \(p\) 上方的 \(\mathcal{C}/U\) 的点 \(q\) 与 \(u(U)\) 的元素 \(x\) 之间给出一一对应。

证明

设 \(q\) 是由函子 \(v : \mathcal{C}/U \to \textit{Sets}\) 给出的 \(\mathcal{C}/U\) 的点，并且作为拓扑斯态射有 \(j_U \circ q = p\)。回忆对 \(\mathcal{C}\) 的任意对象 \(V\)，有 \(u(V) = p^{-1}(h_V^\#)\)，见引理 00YA。类似地，对 \(\mathcal{C}/U\) 的任意对象 \(V/U\)，有 \(v(V/U) = q^{-1}(h_{V/U}^\#)\)。考虑如下两个图式 \[\vcenter{ \xymatrix{ \Mor_{\mathcal{C}/U}(W/U, V/U) \ar[r] \ar[d] & \Mor_\mathcal{C}(W, V) \ar[d] \\ \Mor_{\mathcal{C}/U}(W/U, U/U) \ar[r] & \Mor_\mathcal{C}(W, U) } } \quad \vcenter{ \xymatrix{ h_{V/U}^\# \ar[r] \ar[d] & j_U^{-1}(h_V^\#) \ar[d] \\ h_{U/U}^\# \ar[r] & j_U^{-1}(h_U^\#) } }\] 右侧图式是 \(\mathcal{C}/U\) 上预层图式的层化，该预层图式把 \(W/U\) 映到左侧的集合图式。（这里有一个小技术点，即 \((j_U^{-1}h_V)^\# = j_U^{-1}(h_V^\#)\)，对 \(h_U\) 亦然；见引理 00XM。）注意左侧的集合图式是笛卡尔的。由于层化正合（引理 00WJ），得出右侧图式也是笛卡尔的。

把正合函子 \(q^{-1}\) 应用于右侧图式，得到集合的笛卡尔图式 \[\xymatrix{ v(V/U) \ar[r] \ar[d] & u(V) \ar[d] \\ v(U/U) \ar[r] & u(U) }\] 这里使用了 \(q^{-1} \circ j^{-1} = p^{-1}\)。

由于 \(U/U\) 是 \(\mathcal{C}/U\) 的终对象，\(v(U/U)\) 是单点集。因此 \(v(U/U)\) 在 \(u(U)\) 中的像是一个元素 \(x\)，而顶部水平映射给出双射 \(v(V/U) \to \{y \in u(V) \mid y \mapsto x\text{ 于 }u(U)\}\)，如所需。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(p\) 是由 \(u : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 给出的 \(\mathcal{C}\) 的点，\(U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象。对 \(\mathcal{C}/U\) 上任意层 \(\mathcal{G}\)，有 \[(j_{U!}\mathcal{G})_p = \coprod\nolimits_q \mathcal{G}_q\] 其中余积取遍按引理 04H2 与元素 \(x \in u(U)\) 关联的 \(\mathcal{C}/U\) 的点 \(q\)。

证明

使用引理 03CD 中的描述： \(j_{U!}\mathcal{G}\) 是预层 \(V \mapsto \coprod\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \mathcal{G}(V/_\varphi U)\) 所关联的层。此外，由引理 00Y8，\(j_{U!}\mathcal{G}\) 在 \(p\) 处的茎等于该预层的茎。因此 \[(j_{U!}\mathcal{G})_p = \colim_{(V, y)} \coprod\nolimits_{\varphi : V \to U} \mathcal{G}(V/_\varphi U)\] 对该余极限的每个元素 \((V, y, \varphi, s)\)，可以指定 \(x = u(\varphi)(y) \in u(U)\)。因此得到 \[(j_{U!}\mathcal{G})_p = \coprod\nolimits_{x \in u(U)} \colim_{(\varphi : V \to U, y), \ u(\varphi)(y) = x} \mathcal{G}(V/_\varphi U).\] 根据我们对点 \(q\) 的构造，这等于本引理中的表达式。

注

警告：引理 04H4 的结果对 \(j_{U, *}\) 没有类似结论。

拓扑斯的 2-态射

本节简要讨论拓扑斯的 \(2\)-态射这一概念。

定义

设 \(f, g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) 是两个拓扑斯态射。一个it 从 \(f\) 到 \(g\) 的 2-态射由函子间的变换 \(t : f_* \to g_*\) 给出。

在图示中，我们有时把 \(t\) 表示如下： \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}) \rrtwocell^f_g{t} & & \Sh(\mathcal{D}) }\] 注意，由于 \(f^{-1}\) 伴随于 \(f_*\)，\(g^{-1}\) 伴随于 \(g_*\)，\(t\) 还诱导函子间的变换 \(t : g^{-1} \to f^{-1}\)（通常用同一符号表示）；它由下列图式交换这一条件唯一刻画： \[\xymatrix{ \Mor_{\Sh(\mathcal{D})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}) \ar[d]_{t \circ -} \ar@{=}[r] & \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) \ar[d]^{- \circ t} \\ \Mor_{\Sh(\mathcal{D})}(\mathcal{G}, g_*\mathcal{F}) \ar@{=}[r] & \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(g^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) }\] 由于集合论上的困难（见评注 00XB），我们得不到拓扑斯的 2-范畴。不过仍可定义水平复合与垂直复合，并证明 Categories, Section 003G 所列的严格 2-范畴公理成立。具体来说， 2-态射的垂直复合是清楚的（只须复合函子间的变换）；1-态射的复合已在定义 00XA 中定义；而 \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}) \rtwocell^f_g{t} & \Sh(\mathcal{D}) \rtwocell^{f'}_{g'}{s} & \Sh(\mathcal{E}) }\] 的水平复合，由 Categories, Definition 003E 中引入的函子间变换 \(s \star t\) 定义。明确地说，\(s \star t\) 由 \[\xymatrix{ f'_*f_*\mathcal{F} \ar[r]^{f'_*t} & f'_*g_*\mathcal{F} \ar[r]^s & g'_*g_*\mathcal{F} } \quad\text{或}\quad \xymatrix{ f'_*f_*\mathcal{F} \ar[r]^s & g'_*f_*\mathcal{F} \ar[r]^{g'_*t} & g'_*g_*\mathcal{F} }\] 给出（这些映射相等）。由于这些定义与 Categories, Section 003D 中的定义相符，由 Categories, Lemma 003F 得出：在这些定义下，严格 2-范畴的公理成立。

点之间的态射

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点， \(u, u' : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 是两个函子，而 \(t : u' \to u\) 是函子间的变换。则得到典范茎函子变换 \(t_{stalk} : \mathcal{F}_{p'} \to \mathcal{F}_p\)；通过引理 00Y6 中的等同，它与 \(t\) 相符。

证明

略。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。设 \(p, p'\) 是由函子 \(u, u' : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 给出的 \(\mathcal{C}\) 的点。一个 it 态射 \(f : p \to p'\)，由函子间的变换 \[f_u : u' \to u.\] 给出。

注意函子间的变换沿相反方向。正如稍后会看到的，这可以通过把态射 \(f\) 看作一种 \(2\)-箭头来理解；图示如下： \[\xymatrix{ \textit{Sets} = \Sh(pt) \rrtwocell^p_{p'}{f} & & \Sh(\mathcal{C}) }\] 具体来说，稍后会看到，\(f_u\) 在摩天楼层构造之间诱导典范函子变换 \(p_* \to p'_*\)。

这是一个相当重要的概念，值得在此作更完整的处理。期望事项如下：

描述例 00YF 中所述 \(\mathcal{T}_G\) 的点的自同构。
用 \(\Mor(p_*, p'_*)\) 描述 \(\Mor(p, p')\)。
拓扑空间中点的特殊化。证明：若在拓扑空间 \(X\) 中 \(x' \in \overline{\{x\}}\)，则存在态射 \(p \to p'\)，其中 \(p\)（相应地，\(p'\)）是 \(X_{Zar}\) 中与 \(x\)（相应地，\(x'\)）关联的点。

有足够多点的位点

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。

若每个层映射 \(\phi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)，只要在所有茎 \(\mathcal{F}_{p_i} \to \mathcal{G}_{p_i}\) 上都是同构，就必为同构，则称点族 \(\{p_i\}_{i\in I}\) 是it 保守的。

若存在一个保守点族，则称 \(\mathcal{C}\) it 有足够多的点。

事实证明，这时可以在茎上检验“正合性”。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(\{p_i\}_{i\in I}\) 是保守点族。则

给定任意层映射 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)， \(\forall i, \varphi_{p_i}\) 为单射蕴含 \(\varphi\) 为单射。

给定任意层映射 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)， \(\forall i, \varphi_{p_i}\) 为满射蕴含 \(\varphi\) 为满射。

给定任意一对层映射 \(\varphi_1, \varphi_2 : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)， \(\forall i, \varphi_{1, p_i} = \varphi_{2, p_i}\) 蕴含 \(\varphi_1 = \varphi_2\)。

给定有限图式 \(\mathcal{G} : \mathcal{J} \to \Sh(\mathcal{C})\)、层 \(\mathcal{F}\) 以及态射 \(q_j : \mathcal{F} \to \mathcal{G}_j\)，则 \((\mathcal{F}, q_j)\) 是该图式的极限，当且仅当对每个 \(i\)，茎 \((\mathcal{F}_{p_i}, (q_j)_{p_i})\) 是相应极限。

给定有限图式 \(\mathcal{F} : \mathcal{J} \to \Sh(\mathcal{C})\)、层 \(\mathcal{G}\) 以及态射 \(e_j : \mathcal{F}_j \to \mathcal{G}\)，则 \((\mathcal{G}, e_j)\) 是该图式的余极限，当且仅当对每个 \(i\)，茎 \((\mathcal{G}_{p_i}, (e_j)_{p_i})\) 是相应余极限。

证明

将反复使用如下事实：所有茎函子都与任意有限极限和余极限交换，因而与积、纤维积等交换。还将使用单射就是单态射、满射就是满态射这一事实。层映射 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 为单射，当且仅当 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F} \times_\mathcal{G} \mathcal{F}\) 是同构。因此 (1) 成立。类似地， \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 为满射，当且仅当 \(\mathcal{G} \amalg_\mathcal{F} \mathcal{G} \to \mathcal{G}\) 是同构。因此 (2) 成立。映射 \(a, b : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 相等，当且仅当 \(\text{Equalizer}(a, b : \mathcal{F} \to \mathcal{G}) \to \mathcal{F}\) 是同构⁸。因此 (3) 成立。断言 (4) 与 (5) 直接由定义及本证明开头的评注得出。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(\{(p_i, u_i)\}_{i\in I}\) 是点族。该族保守，当且仅当对每个层 \(\mathcal{F}\)、每个 \(U\in \Ob(\mathcal{C})\) 以及每一对互异截面 \(s, s' \in \mathcal{F}(U)\)，\(s \not = s'\)，都存在 \(i\) 与 \(x\in u_i(U)\)，使三元组 \((U, x, s)\) 与 \((U, x, s')\) 定义 \(\mathcal{F}_{p_i}\) 的不同元素。

证明

设该族保守，且 \(\mathcal{F}\)、\(U\) 与 \(s, s'\) 如引理中所述。截面 \(s\)、\(s'\) 定义两个不同映射 \(a, a' : (h_U)^\# \to \mathcal{F}\)。因此由引理 00YL，存在 \(i\) 使 \(a_{p_i} \not = a'_{p_i}\)。回忆由引理 00Y6 与 00Y8，有 \((h_U)^\#_{p_i} = u_i(U)\)。因此存在 \(x \in u_i(U)\)，使 \(\mathcal{F}_{p_i}\) 中 \(a_{p_i}(x) \not = a'_{p_i}(x)\)。展开定义便看到 \((U, x, s)\) 与 \((U, x, s')\) 如本引理的陈述所述。

为证明逆命题，假设本引理关于点的存在性的条件。设 \(\phi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是在所有茎上都为同构的层映射。需要证明 \(\phi\) 既单又满，见引理 00WN。单射性是该假设的直接推论。为证明满射性，需要证明 \(\mathcal{G} \amalg_\mathcal{F} \mathcal{G} \to \mathcal{G}\) 是同构（Categories, Lemma 08LR）。由于该映射显然满，只须检验其单射性；这又由假设中 \(\mathcal{G} \amalg_\mathcal{F} \mathcal{G} \to \mathcal{G}\) 在所有茎上都是单射得出。

在下一个引理中，根据引理 04H3，点 \(q_{i, x}\) 恰好是位于点 \(p_i\) 上方的 \(\mathcal{C}/U\) 的所有点。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象。设 \(\{(p_i, u_i)\}_{i\in I}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的点族。对 \(x \in u_i(U)\)，令 \(q_{i, x}\) 为引理 04H2 中构造的 \(\mathcal{C}/U\) 的点。若 \(\{p_i\}\) 是保守点族，则 \(\{q_{i, x}\}_{i \in I, x \in u_i(U)}\) 是 \(\mathcal{C}/U\) 的保守点族。特别地，若 \(\mathcal{C}\) 有足够多的点，则每个局部化 \(\mathcal{C}/U\) 也如此。

证明

我们知道 \(j_{U!}\) 诱导等价 \(j_{U!} : \Sh(\mathcal{C}/U) \to \Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\)，见引理 00Y1。此外，还知道 \((j_{U!}\mathcal{G})_{p_i} = \coprod_x \mathcal{G}_{q_{i, x}}\)，见引理 04H4。因此结论形式地成立。

下一个引理告诉我们，可以在位点上局部地检验点的存在性。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(\{U_i\}_{i \in I}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象族。假设

\(\coprod h_{U_i}^\# \to *\) 是层的满射；且

每个局部化 \(\mathcal{C}/U_i\) 都有足够多的点。

则 \(\mathcal{C}\) 有足够多的点。

证明

对每个 \(i \in I\)，设 \(\{p_j\}_{j \in J_i}\) 是 \(\mathcal{C}/U_i\) 的保守点族。对 \(j \in J_i\)，以 \(q_j : \Sh(pt) \to \Sh(\mathcal{C})\) 表示 \(p_j\) 与局部化态射 \(\Sh(\mathcal{C}/U_i) \to \Sh(\mathcal{C})\) 的复合。

则 \(q_j\) 是点，见引理 05V2。我们断言点族 \(\{q_j\}_{j \in \coprod J_i}\) 保守。事实上，设 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的层映射，使得对所有 \(j \in \coprod J_i\)，映射 \(\mathcal{F}_{q_j} \to \mathcal{G}_{q_j}\) 都是同构。设 \(W\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象。由假设 (1)，存在覆盖 \(\{W_a \to W\}\) 与态射 \(W_a \to U_{i(a)}\)。由于由引理 05V2 有 \((\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_{i(a)}})_{p_j} = \mathcal{F}_{q_j}\) 与 \((\mathcal{G}|_{\mathcal{C}/U_{i(a)}})_{p_j} = \mathcal{G}_{q_j}\)，而点族 \(\{p_j\}_{j \in J_{i(a)}}\) 保守，所以 \(\mathcal{F}|_{U_{i(a)}} \to \mathcal{G}|_{U_{i(a)}}\) 是同构。因此对每个 \(a\)， \(\mathcal{F}(W_a) \to \mathcal{G}(W_a)\) 是双射。类似地，对每个 \(a, b\)， \(\mathcal{F}(W_a \times_W W_b) \to \mathcal{G}(W_a \times_W W_b)\) 是双射。由层条件，这表明 \(\mathcal{F}(W) \to \mathcal{G}(W)\) 是双射，即 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是同构。

引理

设 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 是位点的连续函子。设 \(\{(q_i, v_i)\}_{i\in I}\) 是 \(\mathcal{D}\) 的保守点族。若每个函子 \(u_i = v_i \circ u\) 都定义 \(\mathcal{C}\) 的一个点，则 \(u\) 定义位点态射 \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\)。

证明

以 \(p_i\) 表示 \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\) 上与函子 \(u_i\) 对应的茎函子 (04EH)。有 \[(f^{-1}\mathcal{F})_{q_i} = (u_s\mathcal{F})_{q_i} = (u_p\mathcal{F})_{q_i} = \mathcal{F}_{p_i}\]

第一个等式因为 \(f^{-1} = u_s\)，第二个等式由引理 00Y8，第三个等式由引理 0F4F。因此，若 \(p_i\) 是点，则先沿 \(f\) 拉回、再在 \(q_i\) 处取茎是正合函子。由于点族 \(\{q_i\}\) 保守，这蕴含 \(f^{-1}\) 是正合函子；于是由定义 00X1，看到 \(f\) 是位点态射。

点的存在性判据

本节对应于 Deligne 为 [SGA4, Exposé VI] 所写的附录。事实上，两者几乎逐字相同。

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。假设 \((I, \geq)\) 是有向集，并且 \((U_i, f_{ii'})\) 是 \(I\) 上的逆系统，见 Categories, Definition 0030。给定数据 \((I, \geq, U_i, f_{ii'})\)，定义 \[u : \mathcal{C} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad u(V) = \colim_i \Mor_\mathcal{C}(U_i , V)\] 令 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_p\) 为第 00Y3 节中与 \(u\) 关联的茎函子。由定义直接可见，在这种特殊情形下，实际上有 \[\mathcal{F}_p = \colim_i \mathcal{F}(U_i)\] 注意，\(u\) 与所有有限极限（指 \(\mathcal{C}\) 中可表示的那些）交换，因为每个函子 \(V \mapsto \Mor_\mathcal{C}(U_i , V)\) 都如此；见 Categories, Lemma 002W。

若 \(J \subset I\)，\(J\) 上的序由 \(I\) 上的序诱导，并且 \(V_j = U_j\)、\(g_{jj'} = f_{jj'}\)（换言之，\(J\) 上的逆系统由 \(I\) 上的逆系统诱导），则称系统 \((I, \geq, U_i, f_{ii'})\) 是 \((J, \geq, V_j, g_{jj'})\) 的一个it 加细。

令 \(u\) 为与 \((I, \geq, U_i, f_{ii'})\) 关联的函子，\(u'\) 为与 \((J, \geq, V_j, g_{jj'})\) 关联的函子。这诱导函子间的变换 \[u' \longrightarrow u\] 原因仅仅是 \(u'\) 的余极限取遍 \(u\) 的余极限中各系统的一个子系统。特别地，得到关联的茎函子变换 \(\mathcal{F}_{p'} \to \mathcal{F}_p\)，见引理 00YH。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。设 \((J, \geq, V_j, g_{jj'})\) 是上述系统，关联的函子对为 \((u', p')\)。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的层， \(s, s' \in \mathcal{F}_{p'}\) 是不同元素。设 \(\{W_k \to W\}\) 是 \(\mathcal{C}\) 的有限覆盖，且 \(f \in u'(W)\)。则存在 \((J, \geq, V_j, g_{jj'})\) 的一个加细 \((I, \geq, U_i, f_{ii'})\)，使 \(s, s'\) 映到 \(\mathcal{F}_p\) 的不同元素，而且 \(f\) 在 \(u(W)\) 中的像落在某个 \(u(W_k)\) 的像中。

证明

存在 \(j_0 \in J\)，使 \(f\) 由 \(f' : V_{j_0} \to W\) 定义。对 \(j \geq j_0\)，令 \(V_{j, k} = V_j \times_{f'\circ f_{j j_0}, W} W_k\)。

则 \(\{V_{j, k} \to V_j\}\) 是位点 \(\mathcal{C}\) 中的有限覆盖。因此 \(\mathcal{F}(V_j) \subset \prod_k \mathcal{F}(V_{j, k})\)。再次由 Categories, Lemma 002W，看到 \[\mathcal{F}_{p'} = \colim_j \mathcal{F}(V_j) \longrightarrow \prod\nolimits_k \colim_j \mathcal{F}(V_{j, k})\] 是单射。因此存在 \(k\)，使 \(s\) 与 \(s'\) 在 \(\colim_j \mathcal{F}(V_{j, k})\) 中的像不同。令 \(J_0 = \{j \in J, j \geq j_0\}\) 且 \(I = J \amalg J_0\)。在 \(I\) 上规定序，使第二个并项的任何元素都不小于第一个并项的任何元素，而其余次序使用 \(J\) 上的序。若 \(j \in I\) 位于第一个并项，就使用 \(V_j\)；若 \(j \in I\) 位于第二个并项，就使用 \(V_{j, k}\)。略去该逆系统的转移映射的定义。由上述结果，\(s, s'\) 在 \(\mathcal{F}_p\) 中的像不同。此外，由构造，\(f'\) 在 \(V_{j, k}\) 上的限制分解经过 \(W_k\)。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。设 \((J, \geq, V_j, g_{jj'})\) 是上述系统，关联的函子对为 \((u', p')\)。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的层， \(s, s' \in \mathcal{F}_{p'}\) 是不同元素。则存在 \((J, \geq, V_j, g_{jj'})\) 的一个加细 \((I, \geq, U_i, f_{ii'})\)，使 \(s, s'\) 映到 \(\mathcal{F}_p\) 的不同元素，并且对位点 \(\mathcal{C}\) 的每个有限覆盖 \(\{W_k \to W\}\) 以及任意 \(f \in u'(W)\)，\(f\) 在 \(u(W)\) 中的像都落在某个 \(u(W_k)\) 的像中。

证明

令 \(E\) 为序对 \((\{W_k \to W\}, f\in u'(W))\) 所成的集合。考虑序对 \((E' \subset E, (I, \geq, U_i, f_{ii'}))\)，满足

\((I, \geq, U_i, g_{ii'})\) 是 \((J, \geq, V_j, g_{jj'})\) 的加细；

\(s, s'\) 映到 \(\mathcal{F}_p\) 的不同元素；且

对每个序对 \((\{W_k \to W\}, f\in u'(W)) \in E'\)，\(f\) 在 \(u(W)\) 中的像都落在某个 \(u(W_k)\) 的像中。

在第一因子上按包含关系、第二因子上按加细关系对这些序对排序。以 \(\mathcal{S}\) 表示所有上述序对 \((E' \subset E, (I, \geq, U_i, f_{ii'}))\) 所成的类。

我们断言 \(\mathcal{S}\) 满足 Zorn 引理的假设。事实上，设 \((E'_a, (I_a, \geq, U_i, f_{ii'}))_{a \in A}\) 是 \(\mathcal{S}\) 的全序子集。则可以定义 \(E' = \bigcup_{a \in A} E'_a\)，并令 \(I = \bigcup_{a \in A} I_a\)。我们断言相应序对 \((E' , (I, \geq, U_i, f_{ii'}))\) 是 \(\mathcal{S}\) 的元素。条件 (1) 与 (3) 是清楚的。对条件 (2)，注意 \[u = \colim_{a \in A} u_a \text{ 并相应地 } \mathcal{F}_p = \colim_{a \in A} \mathcal{F}_{p_a}\] \(s, s'\) 的像在该茎中互异，由集合的有向余极限的描述得出；见 Categories, Section 04AX。在这种情形下，我们将简写为 \((E', (I, \ldots)) = \bigcup_{a \in A}(E'_a, (I_a, \ldots))\)。

好；若 \(\mathcal{S}\) 是集合，则 Zorn 引理适用，并与上面的引理 00YO 结合而容易证明本引理。但它并不适用，因为 \(\mathcal{S}\) 是类。为绕开这一点，在 \(E\) 上选取一个良序。对 \(e \in E\)，令 \(E'_e = \{e' \in E \mid e' \leq e\}\)。用超限递归构造序对 \((E'_e, (I_e, \ldots)) \in \mathcal{S}\)，使得 \(e_1 \leq e_2 \Rightarrow (E'_{e_1}, (I_{e_1}, \ldots)) \leq (E'_{e_2}, (I_{e_2}, \ldots))\)。设 \(e \in E\)，比如 \(e = (\{W_k \to W\}, f\in u'(W))\)。若 \(e\) 有前驱 \(e - 1\)，就按引理 00YO 对系统 \(e = (\{W_k \to W\}, f\in u'(W))\) 取 \((I_{e - 1}, \ldots)\) 的一个加细 \((I_e, \ldots)\)。若 \(e\) 没有前驱，就对系统 \(e = (\{W_k \to W\}, f\in u'(W))\) 取 \(\bigcup_{e' < e} (I_{e'}, \ldots)\) 的一个加细 \((I_e, \ldots)\)。最后，并 \(\bigcup_{e \in E} I_e\) 就是本引理所提出问题的一个解。

命题

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。假设

\(\mathcal{C}\) 中存在有限极限；且

每个覆盖 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) 都有一个由 \(\mathcal{C}\) 的有限覆盖给出的加细。

则 \(\mathcal{C}\) 有足够多的点。

证明

需要证明：给定 \(\mathcal{C}\) 上任意层 \(\mathcal{F}\)、任意 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 以及任意两个不同截面 \(s, s' \in \mathcal{F}(U)\)，存在一点 \(p\)，使 \(s, s'\) 在 \(\mathcal{F}_p\) 中的像不同。见引理 00YM。考虑系统 \((J, \geq, V_j, g_{jj'})\)，其中 \(J = \{1\}\)、\(V_1 = U\)、\(g_{11} = \text{id}_U\)。应用引理 00YP。由该引理的结果，得到加细原系统的系统 \((I, \geq, U_i, f_{ii'})\)，使 \(s_p \not = s'_p\)，而且对位点 \(\mathcal{C}\) 的每个有限覆盖 \(\{W_k \to W\}\)，映射 \(\coprod_k u(W_k) \to u(W)\) 都是满射。由于 \(\mathcal{C}\) 的每个覆盖都可以由有限覆盖加细，得出对位点 \(\mathcal{C}\) 的任意覆盖 \(\{W_k \to W\}\)， \(\coprod_k u(W_k) \to u(W)\) 都是满射。这蕴含 \(u = p\) 是点，见命题 00YC（以及本节开头保证 \(u\) 与有限极限交换的讨论）。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。设 \(I\) 是集合，并且对每个 \(i \in I\)，设 \(U_i\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象，满足

\(\coprod h_{U_i}\) 满射到 \(\Sh(\mathcal{C})\) 的终对象；且

\(\mathcal{C}/U_i\) 满足命题 00YQ 的假设。

则 \(\mathcal{C}\) 有足够多的点。

证明

由假设 (2) 与上述命题，\(\mathcal{C}/U_i\) 有足够多的点。通过引理 05V1 的过程，\(\mathcal{C}/U_i\) 的点给出 \(\mathcal{C}\) 的点。因此只须证明：若 \(\phi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的层映射，且对所有 \(i\)，\(\phi|_{\mathcal{C}/U_i}\) 都是同构，则 \(\phi\) 是同构。由假设 (1)，对 \(\mathcal{C}\) 的每个对象 \(W\)，存在覆盖 \(\{W_j \to W\}_{j \in J}\)，使对每个 \(j \in J\)，存在 \(i \in I\) 与态射 \(f_j : W_j \to U_i\)。于是映射 \(\mathcal{F}(W_j) \to \mathcal{G}(W_j)\) 都是双射；类似地， \(\mathcal{F}(W_j \times_W W_{j'}) \to \mathcal{G}(W_j \times_W W_{j'})\) 也都是双射。层条件告诉我们，\(\mathcal{F}(W) \to \mathcal{G}(W)\) 是双射，如所需。

弱可缩对象

位点的一个弱可缩对象，是指满足下述引理中各等价条件的对象。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象。下列条件等价：

对每个覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，存在层映射 \(h_U^\# \to \coprod h_{U_i}^\#\)，它是 \(\coprod h_{U_i} \to h_U\) 的层化的右逆。

对每个集合层的满射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)，映射 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\) 都是满射。

证明

假设 (1)，并设 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是集合层的满射。对 \(s \in \mathcal{G}(U)\)，存在覆盖 \(\{U_i \to U\}\) 以及 \(t_i \in \mathcal{F}(U_i)\)，其像为 \(s|_{U_i}\)；见定义 00WM。通过 (090I)，把 \(t_i\) 看成映射 \(t_i : h_{U_i}^\# \to \mathcal{F}\)。将 \(\coprod t_i : \coprod h_{U_i}^\# \to \mathcal{F}\) 与 (1) 给出的映射 \(h_U^\# \to \coprod h_{U_i}^\#\) 复合，就得到映到 \(s\) 的截面 \(t \in \mathcal{F}(U)\)。因此 (2) 成立。

假设 (2) 成立。设 \(\{U_i \to U\}\) 为覆盖。则 \(\coprod h_{U_i}^\# \to h_U^\#\) 是满射（引理 00WT）。因此由 (2)，存在 \(\coprod h_{U_i}^\#\) 的截面 \(s\)，映到 \(h_U^\#\) 的截面 \(\text{id}_U\)。该截面对应于映射 \(h_U^\# \to \coprod h_{U_i}^\#\)，它是 \(\coprod h_{U_i} \to h_U\) 的层化的右逆，从而证明 (1)。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。

若引理 090K 的等价条件成立，则称 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(U\) 是弱可缩的。

若 \(\mathcal{C}\) 的每个对象 \(U\) 都有一个覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，且对所有 \(i\)，\(U_i\) 都是弱可缩的，则称该位点有 足够多的弱可缩对象。

更一般地，若 \(P\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象的一种性质，并且 \(\mathcal{C}\) 的每个对象 \(U\) 都有覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，使所有对所有 \(i\)，\(U_i\) 都具有 \(P\)，则称 \(\mathcal{C}\) 有足够多的 \(P\) 对象。

\(\mathbf{A}^1_\mathbf{C}\) 的小 étale 位点没有任何弱可缩对象。另一方面，任意概形的小 pro-étale 位点都有足够多的可缩对象。

正像的正合性

设 \(f\) 为拓扑斯态射。一般而言，函子 \(f_*\) 仅左正合。可以对此函子附加许多条件，以挑出特定类别的拓扑斯态射。我们在此汇集这些条件，并指出其中若干逻辑依赖关系。下述引理有些部分纯属范畴论（也就是说，它们不依赖于拓扑斯态射；有一对伴随函子就足够了）。

引理

设 \(f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) 是拓扑斯态射。考虑下列性质（针对集合层）：

\(f_*\) 是忠实函子；

\(f_*\) 是全忠实函子；

对 \(\Sh(\mathcal{C})\) 中的所有 \(\mathcal{F}\)， \(f^{-1}f_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 都是满射；

\(f_*\) 将满射映为满射；

\(f_*\) 与余等化子交换；

\(f_*\) 与推出交换；

对 \(\Sh(\mathcal{C})\) 中的所有 \(\mathcal{F}\)， \(f^{-1}f_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 都是同构；

\(f_*\) 反映单射；

\(f_*\) 反映满射；

\(f_*\) 反映双射；且

对任意满射 \(\mathcal{F} \to f^{-1}\mathcal{G}\)，存在满射 \(\mathcal{G}' \to \mathcal{G}\)，使 \(f^{-1}\mathcal{G}' \to f^{-1}\mathcal{G}\) 通过 \(\mathcal{F} \to f^{-1}\mathcal{G}\) 分解。

则有下列蕴含关系：

(2) \(\Rightarrow\) (1),

(3) \(\Rightarrow\) (1),

(7) \(\Rightarrow\) (1), (2), (3), (8), (9), (10).

(3) \(\Leftrightarrow\) (9),

(6) \(\Rightarrow\) (4) and (5) \(\Rightarrow\) (4),

(4) \(\Leftrightarrow\) (11),

(9) \(\Rightarrow\) (8), (10), and

(2) \(\Leftrightarrow\) (7).

图示如下： \[\xymatrix{ (6) \ar@{=>}[rd] & & & & & (9) \ar@{=>}[r] \ar@{=>}[rd] & (8) \\ & (4) \ar@{<=>}[r] & (11) & (2) \ar@{<=>}[r] & (7) \ar@{=>}[ru] \ar@{=>}[rd] & & (10) \\ (5) \ar@{=>}[ur] & & & & & (3) \ar@{=>}[r] & (1) }\]

证明

(a) 的证明：由定义立即得出。

(b) 的证明。设 \(a, b : \mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的层映射。若 \(f_*a = f_*b\)，则 \(f^{-1}f_*a = f^{-1}f_*b\)。考虑交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{F} \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[r] & \mathcal{F}' \\ f^{-1}f_*\mathcal{F} \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[r] \ar[u] & f^{-1}f_*\mathcal{F}' \ar[u] }\] 若下面两条箭头相等而竖直箭头为满射，则上面两条箭头相等。因此 (b) 得证。

(c) 的证明。设 \(a : \mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的层映射。考虑交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{F}' \\ f^{-1}f_*\mathcal{F} \ar[r] \ar[u] & f^{-1}f_*\mathcal{F}' \ar[u] }\] 若 (7) 成立，则竖直箭头均为同构。因此，若 \(f_*a\) 为单射（相应地，满射或双射），则下面的箭头为单射（相应地，满射或双射），从而上面的箭头也为单射（相应地，满射或双射）。于是 (7) 蕴含 (8)、(9)、(10)。显然 (7) 蕴含 (3)。蕴含关系 (7) \(\Rightarrow\) (2), (1) 由下面将证明的 (a) 和 (h) 得出。

(d) 的证明。假设 (3)。设 \(a : \mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的层映射，并且 \(f_*a\) 是满射。由于 \(f^{-1}\) 正合，这蕴含 \(f^{-1}f_*a : f^{-1}f_*\mathcal{F} \to f^{-1}f_*\mathcal{F}'\) 为满射。结合 (3)，得出 \(a\) 是满射。这就是说 (9) 成立。假设 (9)。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的层。需要证明映射 \(f^{-1}f_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 是满射。只须证明 \(f_*f^{-1}f_*\mathcal{F} \to f_*\mathcal{F}\) 是满射。而这是成立的，因为存在典范映射 \(f_*\mathcal{F} \to f_*f^{-1}f_*\mathcal{F}\)，它是该映射的一侧逆。

(e) 的证明。以下不再说明地使用 Categories, Lemma 08LR。若 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) 是满射，则 \(\mathcal{F}' \amalg_\mathcal{F} \mathcal{F}' \to \mathcal{F}'\) 是同构。因此 (6) 蕴含 \[f_*\mathcal{F}' \amalg_{f_*\mathcal{F}} f_*\mathcal{F}' = f_*(\mathcal{F}' \amalg_\mathcal{F} \mathcal{F}') \longrightarrow f_*\mathcal{F}'\] 也是同构。进而这蕴含 \(f_*\mathcal{F} \to f_*\mathcal{F}'\) 是满射。因此 (6) 蕴含 (4)。若 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) 是满射，则由引理 086K，\(\mathcal{F}'\) 是两个投影 \(\mathcal{F} \times_{\mathcal{F}'} \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 的余等化子。因此若 (5) 成立，则 \(f_*\mathcal{F}'\) 是两个投影 \[f_*(\mathcal{F} \times_{\mathcal{F}'} \mathcal{F}) = f_*\mathcal{F} \times_{f_*\mathcal{F}'} f_*\mathcal{F} \longrightarrow f_*\mathcal{F}\] 的余等化子，而这显然意味着 \(f_*\mathcal{F} \to f_*\mathcal{F}'\) 是满射。因此 (5) 也蕴含 (4)。

(f) 的证明。假设 (4)。设 \(\mathcal{F} \to f^{-1}\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的层的满射。由 (4)， \(f_*\mathcal{F} \to f_*f^{-1}\mathcal{G}\) 是满射。令 \(\mathcal{G}'\) 为纤维积 \[\xymatrix{ f_*\mathcal{F} \ar[r] & f_*f^{-1}\mathcal{G} \\ \mathcal{G}' \ar[u] \ar[r] & \mathcal{G} \ar[u] }\] 于是 \(\mathcal{G}' \to \mathcal{G}\) 也是满射。考虑交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r] & f^{-1}\mathcal{G} \\ f^{-1}f_*\mathcal{F} \ar[r] \ar[u] & f^{-1}f_*f^{-1}\mathcal{G} \ar[u] \\ f^{-1}\mathcal{G}' \ar[u] \ar[r] & f^{-1}\mathcal{G} \ar[u] }\] 由此得到所需结论。反过来，假设 (11)。设 \(a : \mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的层的满射。

考虑纤维积图 \[\xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{F}' \\ \mathcal{F}'' \ar[u] \ar[r] & f^{-1}f_*\mathcal{F}' \ar[u] }\] 由于下面的水平箭头是满射，由 (11) 可找到满射 \(\gamma : \mathcal{G}' \to f_*\mathcal{F}'\)，使 \(f^{-1}\gamma\) 通过 \(\mathcal{F}'' \to f^{-1}f_*\mathcal{F}'\) 分解： \[\xymatrix{ & \mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{F}' \\ f^{-1}\mathcal{G}' \ar[r] & \mathcal{F}'' \ar[u] \ar[r] & f^{-1}f_*\mathcal{F}' \ar[u] }\] 用 \(f_*\) 将其向下推，得到交换图 \[\xymatrix{ & f_*\mathcal{F} \ar[r] & f_*\mathcal{F}' \\ f_*f^{-1}\mathcal{G}' \ar[r] & f_*\mathcal{F}'' \ar[u] \ar[r] & f_*f^{-1}f_*\mathcal{F}' \ar[u] \\ \mathcal{G}' \ar[u] \ar[rr] & & f_*\mathcal{F}' \ar[u] }\] 这证明了 (4)。

(g) 的证明。假设 (9)。以下不再说明地使用 Categories, Lemma 08LR。设 \(a : \mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的层映射，且 \(f_*a\) 是单射。这意味着 \(f_*\mathcal{F} \to f_*\mathcal{F} \times_{f_*\mathcal{F}'} f_*\mathcal{F} = f_*(\mathcal{F} \times_{\mathcal{F}'} \mathcal{F})\) 是同构。于是由 (9)， \(\mathcal{F} \to \mathcal{F} \times_{\mathcal{F}'} \mathcal{F}\) 是满射，即为同构。因此 \(a\) 是单射，也就是说 (8) 成立。由于 (10) 显然等价于 (8) \(+\) (9)，(g) 得证。

(h) 的证明。这就是 Categories, Lemma 07RB。

下面给出位点态射的一个条件，它保证函子 \(f_*\) 将满射映为满射。

引理

设 \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 是由连续函子 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 所关联的位点态射。假设对 \(\mathcal{C}\) 的任意对象 \(U\) 以及 \(\mathcal{D}\) 中的任意覆盖 \(\{V_j \to u(U)\}\)，都存在 \(\mathcal{C}\) 中的覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，使层映射 \[\coprod h_{u(U_i)}^\# \to h_{u(U)}^\#\] 通过层映射 \[\coprod h_{V_j}^\# \to h_{u(U)}^\#.\] 分解。则 \(f_*\) 将层的满射映为层的满射。

证明

设 \(a : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{D}\) 上层的满射。设 \(U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象，并设 \(s \in f_*\mathcal{G}(U) = \mathcal{G}(u(U))\)。由假设，存在覆盖 \(\{V_j \to u(U)\}\) 以及截面 \(s_j \in \mathcal{F}(V_j)\)，使 \(a(s_j) = s|_{V_j}\)。现在可以把截面 \(s\)、\(s_j\) 与 \(a\) 看成给出下列层映射交换图： \[\xymatrix{ \coprod h_{V_j}^\# \ar[r]_-{\coprod s_j} \ar[d] & \mathcal{F} \ar[d]^a \\ h_{u(U)}^\# \ar[r]^s & \mathcal{G} }\] 由假设，存在覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，使上面的交换图可以扩充如下： \[\xymatrix{ & \coprod h_{V_j}^\# \ar[r]_-{\coprod s_j} \ar[d] & \mathcal{F} \ar[d]^a \\ \coprod h_{u(U_i)}^\# \ar[r] \ar[ur] & h_{u(U)}^\# \ar[r]^s & \mathcal{G} }\] 因为 \(\mathcal{F}\) 是层，从左下角到右上角的映射对应于一族截面 \(s_i \in \mathcal{F}(u(U_i))\)，即截面 \(s_i \in f_*\mathcal{F}(U_i)\)。图的交换性蕴含 \(a(s_i)\) 等于 \(s\) 在 \(U_i\) 上的限制。换言之，我们已经证明 \(f_*a\) 是层的满射。

例

假设 \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 满足引理 04D7 的假设。一般而言，\(f_*\) 并不与余等化子或推出交换。事实上，设 \(f\) 是拓扑空间态射 \(X = \{1, 2\} \to Y = \{*\}\) 所关联的位点态射（见例 00X2），其中 \(Y\) 是单点空间，而 \(X = \{1, 2\}\) 是具有两个点的离散空间。\(X\) 上的层 \(\mathcal{F}\) 由一对集合 \((A_1, A_2)\) 给出。于是 \(f_*\mathcal{F}\) 对应于集合 \(A_1 \times A_2\)。因此，若 \(a = (a_1, a_2), b = (b_1, b_2) : (A_1, A_2) \to (B_1, B_2)\) 是 \(X\) 上的层映射，则 \(a, b\) 的余等化子为 \((C_1, C_2)\)，其中 \(C_i\) 是 \(a_i, b_i\) 的余等化子；而 \(f_*a, f_*b\) 的余等化子是 \[a_1 \times a_2, b_1 \times b_2 : A_1 \times A_2 \longrightarrow B_1 \times B_2\] 的余等化子，一般不同于 \(C_1 \times C_2\)。事实上，若 \(A_2 = \emptyset\)，则 \(A_1 \times A_2 = \emptyset\)，故所示两箭头的余等化子为 \(B_1 \times B_2\)；但一般而言 \(C_1 \not = B_1\)。对推出可作类似例子。

下述引理给出一个判据，用以判断何时位点态射的函子 \(f_*\) 反映单射与满射。注意，这也蕴含 \(f_*\) 是忠实函子，并且映射 \(f^{-1}f_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 总是满射。

引理

设 \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 是由函子 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 给出的位点态射。假设对 \(\mathcal{D}\) 的每个对象 \(V\)，都存在 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(U_i\) 以及态射 \(u(U_i) \to V\)，使 \(\{u(U_i) \to V\}\) 是 \(\mathcal{D}\) 的覆盖。在这种情形下，函子 \(f_* : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\) 反映单射与满射。

证明

设 \(\alpha : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{D}\) 上的层映射。

由假设，对 \(\mathcal{D}\) 的每个对象 \(V\)，层条件给出 \(\mathcal{F}(V) \subset \prod \mathcal{F}(u(U_i)) = \prod f_*\mathcal{F}(U_i)\)，其中 \(U_i \in \Ob(\mathcal{C})\) 适当；对 \(\mathcal{G}\) 亦然。因此，若 \(f_*\alpha\) 是单射，则显然 \(\alpha\) 是单射。换言之，\(f_*\) 反映单射。

假设 \(f_*\alpha\) 是满射。对上述 \(V, U_i, u(U_i) \to V\) 以及截面 \(s \in \mathcal{G}(V)\)，存在覆盖 \(\{U_{ij} \to U_i\}\)，使 \(s|_{u(U_{ij})}\) 落在 \(\mathcal{F}(u(U_{ij}))\) 的像中。由于 \(\{u(U_{ij}) \to V\}\) 是覆盖（因为 \(u\) 连续，并由位点公理），我们得出 \(s\) 局部落在像中。因此 \(\alpha\) 是满射。换言之，\(f_*\) 反映满射。

例

我们构造一个满足引理 04D9 假设的态射 \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\)。具体地，设 \(\varphi : G \to H\) 是有限群的态射。考虑可数 \(G\)-集合与 \(H\)-集合的位点 \(\mathcal{D} = \mathcal{T}_G\) 与 \(\mathcal{C} = \mathcal{T}_H\)，其覆盖为联合满射的可数态射族（例 00VK）。设 \(u : \mathcal{T}_H \to \mathcal{T}_G\) 是节 04D4 中描述的函子，而 \(f : \mathcal{T}_G \to \mathcal{T}_H\) 是相应的位点态射。若 \(\varphi\) 是单射，则每个可数 \(G\)-集合，作为 \(G\)-集合，都是某个可数 \(H\)-集合的商（若 \(\varphi\) 不是单射，这一点不成立）。因此 \(f\) 满足引理 04D9 的假设。若 \(\mathcal{T}_G\) 上的层 \(\mathcal{F}\) 对应于 \(G\)-集合 \(S\)，则典范映射 \[f^{-1}f_*\mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] 对应于映射 \[\text{Map}_G(H, S) \longrightarrow S,\quad a \longmapsto a(1_H)\] 若 \(\varphi\) 单射但不满射，则该映射是满射（正如引理 04D9 所应有的结论），但一般不是单射（例如取 \(G = \{1\}\)、\(H = \{1, \sigma\}\) 以及 \(S = \{1, 2\}\)）。此外，函子 \(f_*\) 不与余等化子或推出交换（取 \(G = \{1\}\) 且 \(H = \{1, \sigma\}\)）。

几乎余连续的函子

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。范畴 \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\) 有始对象，即把空集赋给 \(\mathcal{C}\) 的每个对象的预层。将该预层记为 \(\emptyset\)。由层化的性质， \(\emptyset\) 的层化 \(\emptyset^\#\) 是 \(\mathcal{C}\) 上层的范畴 \(\Sh(\mathcal{C})\) 的始对象。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。若 \(\emptyset^\# \to h_U^\#\) 是层的同构，则称 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(U\) 在层论意义下为空。

下述引理把这个概念表述得更明确。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象。下列条件等价：

\(U\) 在层论意义下为空；

对每个层 \(\mathcal{F}\)，\(\mathcal{F}(U)\) 都是单点集；

\(\emptyset^\#(U)\) 是单点集；

\(\emptyset^\#(U)\) 非空；且

空族是 \(\mathcal{C}\) 中 \(U\) 的一个覆盖。

此外，若 \(U\) 在层论意义下为空，则对 \(\mathcal{C}\) 的任意态射 \(U' \to U\)，对象 \(U'\) 也在层论意义下为空。

证明

对任意层 \(\mathcal{F}\)，有 \(\mathcal{F}(U) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(h_U^\#, \mathcal{F})\)。因此 (1) 与 (2) 等价。显然 (2) 蕴含 (3)，而 (3) 蕴含 (4)。若 \(U\) 的每个覆盖都由非空族给出，则由加号构造的定义， \(\emptyset^+(U)\) 为空。注意 \(\emptyset^+ = \emptyset^\#\)，因为 \(\emptyset\) 是分离预层；见定理 00WB。所以 (4) 蕴含 (5)。若 (5) 成立，则由 \(\mathcal{F}\) 的层条件，对每个层 \(\mathcal{F}\)， \(\mathcal{F}(U)\) 都是单点集；见注 04B3。因此 (5) 蕴含 (2)，从而 (1) – (5) 等价。引理的最后一个断言由定义 00VH 的公理 (3) 对 \(U\) 的空覆盖应用而得。

定义

设 \(\mathcal{C}\)、\(\mathcal{D}\) 为位点，并设 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 为函子。若对 \(\mathcal{C}\) 的每个对象 \(U\) 以及每个覆盖 \(\{V_j \to u(U)\}_{j \in J}\)，都存在 \(\mathcal{C}\) 中的覆盖 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)，使对 \(I\) 中每个 \(i\)，下列两个条件至少有一个成立：

\(u(U_i)\) 在层论意义下为空；或

对某个 \(j \in J\)，态射 \(u(U_i) \to u(U)\) 通过 \(V_j\) 分解，

则称 \(u\) 是几乎余连续的。

该定义的动机来自拓扑空间的闭浸入 \(i : Z \to X\)。如例 00XV 所讨论的，连续函子 \(X_{Zar} \to Z_{Zar}\)，\(U \mapsto Z \cap U\) 并不余连续，但它在上述意义下几乎余连续。我们知道，\(i_*\) 对集合层虽不正合，对阿贝尔群层却正合；见 Sheaves, Remark 00AI。

这对连续且几乎余连续的函子普遍成立。

引理

设 \(\mathcal{C}\)、\(\mathcal{D}\) 为位点，并设 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 为函子。假设 \(u\) 连续且几乎余连续。设 \(\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{D}\) 上的预层，并且每当 \(V\) 在层论意义下为空时， \(\mathcal{G}(V)\) 都是单点集。则 \((u^p\mathcal{G})^\# = u^p(\mathcal{G}^\#)\)。

证明

设 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)。需要证明 \((u^p\mathcal{G})^\#(U) = u^p(\mathcal{G}^\#)(U)\)。只须证明 \((u^p\mathcal{G})^+(U) = u^p(\mathcal{G}^+)(U)\)，因为 \(\mathcal{G}^+\) 仍是满足本引理假设的预层。我们有 \[u^p(\mathcal{G}^+)(U) = \mathcal{G}^+(u(U)) = \colim_\mathcal{V} \check H^0(\mathcal{V}, \mathcal{G})\] 其中余极限遍历 \(\mathcal{D}\) 中 \(u(U)\) 的所有覆盖 \(\mathcal{V}\)。另一方面， \[u^p(\mathcal{G})^+(U) = \colim_\mathcal{U} \check H^0(u(\mathcal{U}), \mathcal{G})\] 其中余极限遍历 \(\mathcal{C}\) 中 \(U\) 的覆盖 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) 所成的范畴，并且 \(u(\mathcal{U}) = \{u(U_i) \to u(U)\}_{i \in I}\)。\(u\) 连续这一条件意味着每个 \(u(\mathcal{U})\) 都是覆盖。写成 \(I = I_1 \amalg I_2\)，其中 \[I_2 = \{i \in I \mid u(U_i)\text{ 在层论意义下为空}\}\] 则 \(u(\mathcal{U})' = \{u(U_i) \to u(U)\}_{i \in I_1}\) 仍是该对象的覆盖，

因为其余每一块都可由空族覆盖，所以可以由定义 00VH 的公理 (2) 删去。此外，由我们对 \(\mathcal{G}\) 的假设， \(\check H^0(u(\mathcal{U}), \mathcal{G}) = \check H^0(u(\mathcal{U})', \mathcal{G})\)。最后，\(u\) 几乎余连续这一条件蕴含：对 \(u(U)\) 的每个覆盖 \(\mathcal{V}\)，都存在 \(U\) 的覆盖 \(\mathcal{U}\)，使 \(u(\mathcal{U})'\) 加细 \(\mathcal{V}\)。所以，上面两个余极限具有相同的值，如所需。

引理

设 \(\mathcal{C}\)、\(\mathcal{D}\) 为位点，并设 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 为函子。假设 \(u\) 连续且几乎余连续。则 \(u^s = u^p : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\) 与推出和余等化子交换（更一般地，与有限连通余极限交换）。

证明

设 \(\mathcal{I}\) 为有限连通指标范畴。设 \(\mathcal{I} \to \Sh(\mathcal{D})\)，\(i \mapsto \mathcal{G}_i\) 为一个图。

我们知道，该图的余极限是预层范畴中余极限的层化；见引理 00WI。以 \(\colim^{Psh}\) 表示预层范畴中的余极限。由于 \(\mathcal{I}\) 有限且连通，预层 \(\colim^{Psh}_i \mathcal{G}_i\) 满足引理 04B8 的假设（因为单点集的有限连通余极限是单点集）。所以该引理给出 \[\begin{align*} u^s(\colim_i \mathcal{G}_i) & = u^s((\colim^{Psh}_i \mathcal{G}_i)^\#) \\ & = (u^p(\colim^{Psh}_i \mathcal{G}_i))^\# \\ & = (\colim^{PSh}_i u^p(\mathcal{G}_i))^\# \\ & = \colim_i u^s(\mathcal{G}_i) \end{align*}\] 如所需。

引理

设 \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 是与连续函子 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 关联的位点态射。若 \(u\) 几乎余连续，则 \(f_*\) 与推出和余等化子交换（更一般地，与有限连通余极限交换）。

证明

这是引理 04B9 的特例。

子拓扑斯

定义如下。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 为位点。若 \(f_*\) 全忠实，则称拓扑斯态射 \(f : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\) 为一个嵌入。

由引理 04D6，这等价于要求：对 \(\mathcal{D}\) 上的每个层 \(\mathcal{F}\)，伴随映射 \(f^{-1}f_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 都是同构。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。若存在拓扑斯嵌入 \(f : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\)，使严格满子范畴 \(E \subset \Sh(\mathcal{C})\) 等于函子 \(f_*\) 的本质像，则称 \(E\) 为一个 子拓扑斯。

下述引理构造的子拓扑斯将在后面的定义中称为“开”的。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的层。下列条件等价：

\(\mathcal{F}\) 是 \(\Sh(\mathcal{C})\) 的终对象的子对象；且

拓扑斯 \(\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}\) 是 \(\Sh(\mathcal{C})\) 的子拓扑斯。

证明

我们已在引理 04GZ 中看到， \(\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}\) 是拓扑斯。这里回顾其证明。先应用引理 03CI，可假设 \(\mathcal{C}\) 是具有次典范拓扑、纤维积、终对象 \(X\) 以及满足 \(\mathcal{F} = h_U\) 的对象 \(U\) 的位点。引理 04GZ 的证明表明，拓扑斯态射 \(j_\mathcal{F} : \Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F} \to \Sh(\mathcal{C})\) （在某些识别下）等于局部化态射 \(j_U : \Sh(\mathcal{C}/U) \to \Sh(\mathcal{C})\)。

假设 (2)。这意味着对 \(\mathcal{C}/U\) 上的所有层 \(\mathcal{G}\)， \(j_U^{-1}j_{U, *}\mathcal{G} \to \mathcal{G}\) 都是同构。对 \(\mathcal{C}/U\) 的任意对象 \(Z/U\)，由引理 03CE，有 \[(j_{U, *}h_{Z/U})(U) = \Mor_{\mathcal{C}/U}(U \times_X U/U, Z/U)\] 在上面的等式中令 \(\mathcal{G} = h_{Z/U}\)，便对所有 \(Z/U\) 得到 \[\Mor_{\mathcal{C}/U}(U \times_X U/U, Z/U) = \Mor_{\mathcal{C}/U}(U, Z/U)\] 由 Yoneda 引理（Categories, Lemma 001P），这蕴含 \(U \times_X U = U\)。由 Categories, Lemma 08LR，\(U \to X\) 是单态射；换言之， (1) 成立。

假设 (1)。则由引理 00Y2， \(j_U^{-1} j_{U, *} = \text{id}\)。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。若存在 \(\Sh(\mathcal{C})\) 的终对象的子层 \(\mathcal{F}\)，使严格满子范畴 \(E \subset \Sh(\mathcal{C})\) 是引理 08LW 所述的子拓扑斯 \(\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}\)，则称 \(E\) 为一个开子拓扑斯。

这意味着 \(\Sh(\mathcal{C})\) 的开子拓扑斯之集，与 \(\Sh(\mathcal{C})\) 的终对象的子对象之集之间存在双射。给定一个开子拓扑斯，存在一个“闭”补。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点，\(\mathcal{F}\) 是 \(\Sh(\mathcal{C})\) 的终对象 \(*\) 的子层。由所有满足 \(\mathcal{F} \times \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 为同构的层 \(\mathcal{G}\) 组成的满子范畴，是 \(\Sh(\mathcal{C})\) 的子拓扑斯。

证明

应用引理 03CI，可假设 \(\mathcal{C}\) 是具有该引理所列性质的位点。特别地，\(\mathcal{C}\) 有终对象 \(X\)（因而 \(* = h_X\)），也有满足 \(\mathcal{F} = h_U\) 的对象 \(U\)。

令 \(\mathcal{D} = \mathcal{C}\) 作为范畴，但规定一族态射 \(\{V_j \to V\}\) 是覆盖，当且仅当 \(\{V_i \to V\} \cup \{U \times_X V \to V\}\) 是覆盖。

由我们对 \(\mathcal{C}\) 的选择，这恰好意味着 \[h_{U \times_X V} \amalg \coprod h_{V_i} \longrightarrow h_V\] 是满射。我们断言 \(\mathcal{D}\) 是位点，即覆盖满足定义 00VH 的条件 (1)、(2)、(3)。条件 (1) 成立。对条件 (2)，设 \(\{V_i \to V\}\) 与 \(\{V_{ij} \to V_i\}\) 是 \(\mathcal{D}\) 的覆盖。则复合 \[\coprod \left( h_{U \times_X V_i} \amalg \coprod h_{V_{ij}} \right) \longrightarrow h_{U \times_X V} \amalg \coprod h_{V_i} \longrightarrow h_V\] 是满射。由于每个态射 \(U \times_X V_i \to V\) 都通过 \(U \times_X V\) 分解，得出 \[h_{U \times_X V} \amalg \coprod h_{V_{ij}} \longrightarrow h_V\] 是满射，即 \(\{V_{ij} \to V\}\) 是 \(\mathcal{D}\) 中 \(V\) 的覆盖。条件 (3) 类似地得出，因为层的满射在基变换下仍是满射。

注意，（恒等）函子 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 连续，并与纤维积及终对象交换。因此得到位点态射 \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\)（命题 00X6）。注意 \(f_*\) 在底层预层上是恒等函子，因而全忠实。为完成证明，需要说明 \(f_*\) 的本质像正是本引理指定的满子范畴 \(E \subset \Sh(\mathcal{C})\)。为此，注意 \(\mathcal{G} \in \Ob(\Sh(\mathcal{C}))\) 属于 \(E\)，当且仅当对 \(\mathcal{C}\) 的所有对象 \(V\)，\(\mathcal{G}(U \times_X V)\) 都是单点集。因此，这样的层对 \(\mathcal{D}\) 的所有覆盖都满足层性质（论证略）。反过来，若 \(\mathcal{G}\) 对 \(\mathcal{D}\) 的所有覆盖都满足层性质，则 \(\mathcal{G}(U \times_X V)\) 是单点集，因为在 \(\mathcal{D}\) 中，对象 \(U \times_X V\) 由空覆盖覆盖。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。若存在 \(\Sh(\mathcal{C})\) 的终对象的子层 \(\mathcal{F}\)，使严格满子范畴 \(E \subset \Sh(\mathcal{C})\) 是引理 08LY 所述的子拓扑斯，则称 \(E\) 为一个 闭子拓扑斯。

现在可以定义拓扑斯的闭浸入与开浸入。

定义

设 \(f : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\) 为拓扑斯态射。

若 \(f\) 是嵌入，且 \(f_*\) 的本质像是开子拓扑斯，则称 \(f\) 是 开浸入。

若 \(f\) 是嵌入，且 \(f_*\) 的本质像是闭子拓扑斯，则称 \(f\) 是 闭浸入。

引理

设 \(i : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\) 为拓扑斯的闭浸入。则 \(i_*\) 全忠实，将满射映为满射，与余等化子交换，与推出交换，并反映单射、满射与双射。

证明

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\Sh(\mathcal{C})\) 的终对象 \(*\) 的子层，并设 \(E \subset \Sh(\mathcal{C})\) 是由所有满足 \(\mathcal{F} \times \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 为同构的 \(\mathcal{G}\) 组成的满子范畴。由引理 08LY，函子 \(i_*\) 同构于包含函子 \(\iota : E \to \Sh(\mathcal{C})\)。

设 \(j_{\mathcal{F}} : \Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F} \to \Sh(\mathcal{C})\) 为局部化函子（引理 04GZ）。注意，\(E\) 也可以描述为所有满足 \(j_\mathcal{F}^{-1}\mathcal{G} = *\) 的层 \(\mathcal{G}\) 之集。

设 \(a, b : \mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2\) 是 \(E\) 的两个态射。

要证明 \(\iota\) 与余等化子交换，只须证明 \(a\)、\(b\) 在 \(\Sh(\mathcal{C})\) 中的余等化子属于 \(E\)。这是清楚的，因为两个态射 \(* \to *\) 的余等化子是 \(*\)，并且 \(j_\mathcal{F}^{-1}\) 正合。推出的情形类似。

因此 \(i_*\) 满足引理 04D6 的性质 (5)、(6)、(7)，从而态射 \(i\) 满足该引理中提到的所有性质，特别是本引理提到的那些性质。

代数结构层

在 Sheaves, Section 007L 中，我们把一种代数结构类型定义为序对 \((\mathcal{A}, s)\)，其中 \(\mathcal{A}\) 是范畴，而 \(s : \mathcal{A} \to \textit{Sets}\) 是满足下列条件的函子：

\(s\) 忠实；
\(\mathcal{A}\) 有极限，且 \(s\) 与极限交换；
\(\mathcal{A}\) 有滤过余极限，且 \(s\) 与它们交换；且
\(s\) 反映同构。

对这样的代数结构类型，我们已经看到：空间 \(X\) 上取值于 \(\mathcal{A}\) 的预层 \(\mathcal{F}\) 是层，当且仅当与它关联的集合预层是层。此外，我们阐明了茎的概念；并且给定连续映射 \(f : X \to Y\)，定义了代数结构层上的伴随函子正像与逆像，它们与底层集合层上的正像与逆像一致。再者，把基上的代数结构层扩张到空间的所有开集，也如预期那样运作。

这部分材料在位点与层的框架中仍然成立。设 \((\mathcal{A}, s)\) 为一种代数结构类型， \(\mathcal{C}\) 为位点。分别以 \(\textit{PSh}(\mathcal{C}, \mathcal{A})\) 与 \(\Sh(\mathcal{C}, \mathcal{A})\) 表示 \(\mathcal{C}\) 上取值于 \(\mathcal{A}\) 的预层范畴与层范畴。

(\(\alpha\)) 取值于 \(\mathcal{A}\) 的预层是层，当且仅当其底层集合预层是层。见 Sheaves, Lemma 0073 的证明。
(\(\beta\)) 给定取值于 \(\mathcal{A}\) 的预层 \(\mathcal{F}\)，预层 \({\mathcal{F}}^\# = (\mathcal{F}^+)^+\) 是层。这是因为层化过程中出现的余极限是滤过的，甚至是遍历有向集的余极限（见节 00W1，特别是引理 00WJ 的证明），并且 \(s\) 与滤过余极限交换。
(\(\gamma\)) 得到交换图 \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}, \mathcal{A}) \ar@<1ex>[r] \ar[d]_s & \textit{PSh}(\mathcal{C}, \mathcal{A}) \ar@<1ex>[l]^{{}^\#} \ar[d]^s\\ \Sh(\mathcal{C}) \ar@<1ex>[r] & \textit{PSh}(\mathcal{C}) \ar@<1ex>[l] }\]
(\(\delta\)) 当且仅当 \(\mathcal{F}\) 是代数结构层时， \(\mathcal{F} = \mathcal{F}^\#\)。
(\(\epsilon\)) 函子 \({}^\#\) 左伴随于包含函子： \[\Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C}, \mathcal{A})}(\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C}, \mathcal{A})}(\mathcal{G}^\#, \mathcal{F})\] 其证明与命题 00WH 的证明相同。
(\(\zeta\)) 函子 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^\#\) 左正合。其证明与引理 00WJ 的证明相同。

定义

设 \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 是由函子 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 给出的位点态射。对代数结构预层，按规则 \(u^p\mathcal{F}(U) = \mathcal{F}(uU)\) 定义正像函子；对代数结构层，以同一规则定义，即 \(f_*\mathcal{F}(U) = \mathcal{F}(uU)\)。

问题出现在试图定义逆像时。原因是节 00VC 中定义函子 \(u_p\) 的余极限未必滤过。因此，一般而言，上面的公理不足以定义代数结构（预）层的逆像。尽管如此，几乎在所有情形中，下述引理都足以定义代数结构（预）层的正像与逆像。

引理

假设函子 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 满足命题 00X6 的假设，因而产生位点态射 \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\)。在这种情形下，逆像函子 \(f^{-1}\)（相应地，\(u_p\)）与正像函子 \(f_*\)（相应地，\(u^p\)）扩张为代数结构层（相应地，预层）范畴上的一对伴随函子。此外，这些函子与取底层集合层（相应地，预层）的操作交换。

证明

上面已经定义了 \(f_* = u^p\)。在命题 00X6 的证明过程中，我们看到，在该命题的假设下，定义 \(u_p\) 所用的所有余极限都是滤过的。因此由代数结构类型的定义，可以用完全相同的余极限在代数结构预层上定义 \(u_p\)。\(u_p\) 与 \(u^p\) 的伴随性，其证明与引理 00VE 的证明完全相同。上面对代数结构预层之层化的讨论，于是蕴含可以定义 \(f^{-1}(\mathcal{F}) = (u_p\mathcal{F})^\#\)。

下面简要讨论如何处理一般位点态射、更一般地任意拓扑斯态射的逆像与正像。

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。在 \(\mathcal{A} = \textit{Ab}\) 的情形，可以把 \(\mathcal{C}\) 上的阿贝尔（预）层看成四元组 \((\mathcal{F}, +, 0, i)\)。其中数据为

\(\mathcal{F}\) 是集合层；
\(+ : \mathcal{F} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 是集合层的态射；
\(0 : * \to \mathcal{F}\) 是从单点层（见例 00W3）到 \(\mathcal{F}\) 的态射；且
\(i : \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 是集合层的态射。

这些数据必须满足下列公理：

\(+\) 结合且交换；
\(0\) 是 \(+\) 的单位元；且
\(+ \circ (1, i) = 0 \circ (\mathcal{F} \to *)\)。

对照 Sheaves, Lemma 006J。设 \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 为位点态射。注意，由于 \(f^{-1}\) 正合，有 \(f^{-1}* = *\) 以及 \(f^{-1}(\mathcal{F} \times \mathcal{F}) = f^{-1}\mathcal{F} \times f^{-1}\mathcal{F}\)。因此可以直接把 \(f^{-1}\mathcal{F}\) 定义为四元组 \((f^{-1}\mathcal{F}, f^{-1}+, f^{-1}0, f^{-1}i)\)。由于 \(f^{-1}\) 是与有限极限交换的函子，这些公理得以保持。最后，不难验证 \(f_*\) 与 \(f^{-1}\) 如通常那样伴随。

在 [SGA4] 中使用了这种方法。他们引入所谓 “espèce the structure algébrique \(\ll\)définie par limites projectives finie\(\gg\)”。对这样的 espèce，可以用上述方法定义一对伴随函子 \(f^{-1}\) 与 \(f_*\)。这显然适用于实践中遇到的大多数代数结构。我们不把该构造形式化，而只列出这种方法适用的代数结构（逐一验证）。事实上，该方法适用于任意拓扑斯态射。

命题

设 \(\mathcal{C}\)、\(\mathcal{D}\) 为位点。设 \(f = (f^{-1}, f_*)\) 为从 \(\Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\) 的拓扑斯态射。上述方法对下列代数结构类型给出代数结构层上的一对伴随函子 \((f^{-1}, f_*)\)，且与取底层集合层相容：

带基点集合；

阿贝尔群；

群；

幺半群；

环；

固定环上的模；且

固定域上的李代数。

此外，在每种情形中，上面标为 (\(\alpha\))、(\(\beta\))、(\(\gamma\))、(\(\delta\))、 (\(\epsilon\))、(\(\zeta\)) 的结果都成立。

证明

命题的最后一个断言成立，是因为每个所列范畴配备显然的遗忘函子后，确实都是本节开头所解释意义下的一种代数结构类型。见 Sheaves, Lemma 007N。

(2) 的证明。按照命题前的讨论，把阿贝尔群层看成四元组 \((\mathcal{F}, +, 0, i)\)。若 \((\mathcal{F}, +, 0, i)\) 定义在 \(\mathcal{C}\) 上，则其逆像定义为 \((f^{-1}\mathcal{F}, f^{-1}+, f^{-1}0, f^{-1}i)\)。若 \((\mathcal{G}, +, 0, i)\) 定义在 \(\mathcal{D}\) 上，则其正像定义为 \((f_*\mathcal{G}, f_*+, f_*0, f_*i)\)。这是可行的，因为 \(f_*(\mathcal{G} \times \mathcal{G}) = f_*\mathcal{G} \times f_*\mathcal{G}\)。伴随性由集合层函子的伴随性得出，因为 \[\Mor_{\textit{Ab}(\mathcal{C})} ((\mathcal{F}_1, +, 0, i), (\mathcal{F}_2, +, 0, i)) = \left\{ \begin{matrix} \varphi \in \Mor_{\Sh(\mathcal{C})} (\mathcal{F}_1, \mathcal{F}_2) \\ \varphi \text{ 与下列映射相容： }+, 0, i \end{matrix} \right\}\] 细节留给读者。

这种方法也适用于环层：把一个（有单位元的）环层看成满足初等代数教材中所列公理的六元组 \((\mathcal{O}, + , 0, i, \cdot, 1)\) 即可。

带基点集合层是序对 \((\mathcal{F}, p)\)，其中 \(\mathcal{F}\) 是集合层，而 \(p : * \to \mathcal{F}\) 是集合层的映射。

群层由带有适当公理的四元组 \((\mathcal{F}, \cdot, 1, i)\) 给出。

幺半群层由带有适当公理的序对 \((\mathcal{F}, \cdot)\) 给出。

设 \(R\) 为环。\(R\)-模层由五元组 \((\mathcal{F}, +, 0, i, \{\lambda_r\}_{r \in R})\) 给出，其中四元组 \((\mathcal{F}, +, 0, i)\) 是上述阿贝尔群层，而 \(\lambda_r : \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) 是满足下列条件的一族集合层态射：

\(\lambda_r \circ 0 = 0\)， \(\lambda_r \circ + = + \circ (\lambda_r, \lambda_r)\)， \(\lambda_{r + r'} = + \circ \lambda_r \times \lambda_{r'} \circ (\text{id}, \text{id})\)， \(\lambda_{rr'} = \lambda_r \circ \lambda_{r'}\)， \(\lambda_1 = \text{id}\)，\(\lambda_0 = 0 \circ (\mathcal{F} \to *)\)。

我们将在 Modules on Sites, Section 03CV 中讨论环层上的模层范畴。

注

设 \(\mathcal{C}\)、\(\mathcal{D}\) 为位点。设 \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) 是连续函子，它产生位点态射 \(\mathcal{C} \to \mathcal{D}\)。注意，即使在阿贝尔群的情形，我们也尚未定义阿贝尔群预层的逆像函子。由于阿贝尔群范畴中所有余极限均可表出，当然可以用定义集合预层上 \(u_p\) 时所用的相同余极限，在阿贝尔预层上定义函子 \(u_p^{ab}\)。在阿贝尔预层范畴上， \(u_p^{ab}\) 也将左伴随于 \(u^p\)。然而，在底层集合预层上，\(u_p^{ab}\) 未必总与 \(u_p\) 一致。

拉回映射

有时位点 \(\mathcal{C}\) 没有终对象。在这种情形下，按如下方式定义整体截面函子。

定义

位点 \(\mathcal{C}\) 上的集合预层 \(\mathcal{F}\) 的整体截面是集合 \[\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(*, \mathcal{F})\] 其中 \(*\) 是 \(\mathcal{C}\) 上预层范畴的终对象，即把单点集赋给每个对象的预层。

当然，同一定义也适用于层。下面给出一种计算整体截面的方式。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为位点。设 \(a, b : V \to U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的态射，使 \[\xymatrix{ h_V^\# \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & h_U^\# \ar[r] & {*} }\] 是 \(\Sh(\mathcal{C})\) 中的余等化子。则 \(\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F})\) 是 \(a^*, b^* : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\) 的等化子。

证明

因为 \(\Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(h_U^\#, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U)\)，这由定义即得。

现在设 \(f : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\) 为拓扑斯态射。则对 \(\mathcal{C}\) 上的任意层 \(\mathcal{F}\)，存在拉回映射 \[f^{-1} : \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F}) \longrightarrow \Gamma(\mathcal{D}, f^{-1}\mathcal{F})\] 事实上，由于 \(f^{-1}\) 正合，它把 \(*\) 映为 \(*\)。所以 \(\mathcal{F}\) 在 \(\mathcal{C}\) 上的整体截面 \(s\)，即层映射 \(s : * \to \mathcal{F}\)，可以拉回为 \(f^{-1}s : * = f^{-1}* \to f^{-1}\mathcal{F}\)。

可以稍作推广：考虑分别定义在 \(\mathcal{C}\)、\(\mathcal{D}\) 上的一对层 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\)，连同一个映射 \(f^{-1}\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)。将上述构造与显然的映射 \(\Gamma(\mathcal{D}, f^{-1}\mathcal{F}) \to \Gamma(\mathcal{D}, \mathcal{G})\) 复合，便得到映射 \[\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F}) \longrightarrow \Gamma(\mathcal{D}, \mathcal{G})\] 该映射有时也称为拉回映射。

自然出现的一个稍微更一般的构造如下。假设有拓扑斯态射的交换图 \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{D}) \ar[rd]_h \ar[rr]_f & & \Sh(\mathcal{C}) \ar[ld]^g \\ & \Sh(\mathcal{B}) }\] 再假设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的层。则存在拉回映射 \[f^{-1} : g_*\mathcal{F} \longrightarrow h_*f^{-1}\mathcal{F}\] 它正是由识别 \(g_*f_*f^{-1}\mathcal{F} = h_*f^{-1}\mathcal{F}\)，以及对典范映射 \(\mathcal{F} \to f_*f^{-1}\mathcal{F}\) 应用 \(g_*\) 所得到的映射。若 \(g\) 是恒等态射，则该映射在整体截面上与上面的拉回映射一致。

在前一段的情形下，再设有分别定义在 \(\mathcal{C}\)、\(\mathcal{D}\) 上的一对层 \(\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\)，连同一个映射 \(f^{-1}\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)。把上述拉回映射与对 \(f^{-1}\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 应用 \(h_*\) 所得的映射复合，得到 \[g_*\mathcal{F} \longrightarrow h_*\mathcal{G}\] 限制到 \(\mathcal{B}\) 的某个对象上的截面，就恢复上面讨论的整体截面“拉回映射” （选取适当位点）。

更一般地，设有拓扑斯的交换图 \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{D}) \ar[d]_h \ar[r]_f & \Sh(\mathcal{C}) \ar[d]^g \\ \Sh(\mathcal{B}) \ar[r]^e & \Sh(\mathcal{A}) }\] 以及 \(\mathcal{C}\) 上的层 \(\mathcal{G}\)。则存在基变换映射 \[e^{-1}g_*\mathcal{G} \longrightarrow h_*f^{-1}\mathcal{G}.\] 该映射伴随于映射 \(g_*\mathcal{G} \to e_*h_*f^{-1}\mathcal{G} = (e \circ h)_*f^{-1}\mathcal{G}\)，后者就是刚才描述的拉回映射。

注

考虑交换图 \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{B}') \ar[r]_k \ar[d]_{f'} & \Sh(\mathcal{B}) \ar[d]^f \\ \Sh(\mathcal{C}') \ar[r]^l \ar[d]_{g'} & \Sh(\mathcal{C}) \ar[d]^g \\ \Sh(\mathcal{D}') \ar[r]^m & \Sh(\mathcal{D}) }\] 则两个方块的基变换映射复合后给出外部矩形的基变换映射。更精确地，复合 \[\begin{align*} m^{-1} \circ (g \circ f)_* & = m^{-1} \circ g_* \circ f_* \\ & \to g'_* \circ l^{-1} \circ f_* \\ & \to g'_* \circ f'_* \circ k^{-1} \\ & = (g' \circ f')_* \circ k^{-1} \end{align*}\] 是该矩形的基变换映射。验证略去。

注

考虑交换图 \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}'') \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f''} & \Sh(\mathcal{C}') \ar[r]_g \ar[d]_{f'} & \Sh(\mathcal{C}) \ar[d]^f \\ \Sh(\mathcal{D}'') \ar[r]^{h'} & \Sh(\mathcal{D}') \ar[r]^h & \Sh(\mathcal{D}) }\] 的环化拓扑斯。则两个方块的基变换映射复合后给出外部矩形的基变换映射。更精确地，复合 \[\begin{align*} (h \circ h')^{-1} \circ f_* & = (h')^{-1} \circ h^{-1} \circ f_* \\ & \to (h')^{-1} \circ f'_* \circ g^{-1} \\ & \to f''_* \circ (g')^{-1} \circ g^{-1} \\ & = f''_* \circ (g \circ g')^{-1} \end{align*}\] 是该矩形的基变换映射。验证略去。

与 SGA4 的比较

节 00VC 中函子 \(u^p\)、\(u_p\) 的记号，以及节 00WU 中 \(u^s\)、\(u_s\) 的记号，取自 [ArtinTopologies, pages 14 and 42]。作出这些选择之后，节 00XF 中函子 \({}_pu\) 与节 00XI 中函子 \({}_su\) 的记号看起来也很合理。本节将我们的记号与 SGA4 的记号比较。

预层：设 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 为范畴间的函子。在 [SGA4, Exposee I, Section 5] 中，函子 \(u^p\) 记为 \(u^*\)。在 [SGA4, Exposee I, Proposition 5.1] 中，函子 \(u_p\) 记为 \(u_!\)；在 [SGA4, Exposee I, Proposition 5.1] 中，函子 \({}_pu\) 记为 \(u_*\)。换言之， \[u_p, u^p, {}_pu\quad(SP) \quad\text{与}\quad u_!, u^*, u_*\quad(SGA4)\] 需要提醒读者，SGA4 的不同部分对这些函子使用不同记号。

层与连续函子：假设 \(\mathcal{C}\) 与 \(\mathcal{D}\) 为位点，而 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 是连续函子（定义 00WV）。在 [SGA4, Exposee III, 1.11] 中，函子 \(u^s\) 记为 \(u_s\)；在 [SGA4, Exposee III, Proposition 1.2] 中，函子 \(u_s\) 记为 \(u^s\)。换言之， \[u_s, u^s\quad(SP) \quad\text{与}\quad u^s, u_s\quad(SGA4)\] 当 \(u\) 定义位点态射 \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\)（定义 00X1）时，相应的拓扑斯态射（引理 00XC）与 [SGA4, Exposee IV, (4.9.1.1)] 中的相同。

层与余连续函子：假设 \(\mathcal{C}\) 与 \(\mathcal{D}\) 为位点，而 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 是余连续函子（定义 00XJ）。在 [SGA4, Exposee III, Proposition 2.3] 中，函子 \({}_su\)（引理 00XK）记为 \(u_*\)；在 [SGA4, Exposee III, Proposition 2.3] 中，函子 \((u^p\ )^\#\) 记为 \(u^*\)。换言之， \[(u^p\ )^\#, {}_su\quad(SP) \quad\text{与}\quad u^*, u_*\quad(SGA4)\] 因此，引理 00XO 中与 \(u\) 关联的拓扑斯态射，与 [SGA4, Exposee IV, 4.7] 中的相同。

拓扑斯态射：若 \(f\) 是由函子 \((f^{-1}, f_*)\) 给出的拓扑斯态射，则在 [SGA4, Exposee IV, Definition 3.1] 中，函子 \(f^{-1}\) 记为 \(f^*\)。我们将用 \(f^{-1}\) 表示集合层、或更一般地代数结构层的逆像（节 00YR）。对于环化拓扑斯的态射，我们将用 \(f^*\) 表示模层的逆像（Modules on Sites, Definition 03D6）。

拓扑

本节按照 [SGA4] 定义范畴上的拓扑。可以用这种语言发展层与拓扑斯的全部理论。关于这些材料的现代论述见 [KS]。不过，对代数几何最重要的情形，是位点在其底层范畴上定义的拓扑。因此，我们强烈建议初次阅读的读者 跳过本节以及本章后面的所有其他章节！

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(U \in \Ob(\mathcal{C})\)。\(U\) 上的一个 筛 \(S\) 是子预层 \(S \subset h_U\)。

换言之，\(U\) 上的筛对每个对象 \(T \in \Ob(\mathcal{C})\)，从所有态射 \(T \to U\) 所成的集合中选出一个子集 \(S(T)\)。事实上，对子集族 \(S(T) \subset h_U(T) = \Mor_\mathcal{C}(T, U)\) 的唯一要求是下列规则： [00YY]\[\begin{equation} \left. \begin{matrix} (\alpha : T \to U) \in S(T) \\ g : T' \to T \end{matrix} \right\} \Rightarrow (\alpha \circ g : T' \to U) \in S(T') \end{equation}\] 一个有用的直观图景，是把映射 \(S \to h_U\) 看成“从 \(S\) 到 \(U\) 的态射”。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(U \in \Ob(\mathcal{C})\)。

\(U\) 上所有筛构成集合。

包含关系在该集合上定义偏序。

筛的并与交仍是筛。

给定 \(\mathcal{C}\) 中以 \(U\) 为目标的态射族 \(\{U_i \to U\}_{i\in I}\)，存在唯一最小的 \(U\) 上的筛 \(S\)，使每个 \(U_i \to U\) 都属于 \(S(U_i)\)。

筛 \(S = h_U\) 是最大筛。

空子预层是最小筛。

证明

由子预层的定义，预层 \(\mathcal{F}\) 的所有子预层所成的集族，是 \(\prod_{U \in \Ob(\mathcal{C})} \mathcal{P}(\mathcal{F}(U))\) 的子集。后者是集合。（这里 \(\mathcal{P}(A)\) 表示 \(A\) 的幂集。）因此 \(U\) 上所有筛构成集合。

偏序定义如下：\(S \leq S'\) 当且仅当对所有 \(T \to U\)，有 \(S(T) \subset S'(T)\)。记作 \(S \subset S'\)。

给定 \(U\) 上的一族筛 \(S_i\)（\(i \in I\)），可以把 \(\bigcup S_i\) 定义为满足 \((\bigcup S_i)(T) = \bigcup S_i(T)\)（对所有 \(T \in \Ob(\mathcal{C})\)）的筛。交 \(\bigcap S_i\) 以同样方式定义。

给定命题中的 \(\{U_i \to U\}_{i\in I}\)，考虑预层态射 \(h_{U_i} \to h_U\)。直接把 \(S\) 定义为这些预层映射之像（定义 00VA）的并。

引理的最后两个断言显然。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。给定 \(\mathcal{C}\) 中以 \(U\) 为目标的态射族 \(\{f_i : U_i \to U\}_{i\in I}\)，称引理 00YZ 第 (00Z0) 部分所述的 \(U\) 上的筛 \(S\) 为 由态射 \(f_i\) 生成的 \(U\) 上的筛。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(f : V \to U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的态射，而 \(S \subset h_U\) 是筛。定义 \(S\) 沿 \(f\) 的拉回为 \(V\) 上的筛 \(S \times_U V\)，规则为 \[(\alpha : T \to V) \in (S \times_U V)(T) \Leftrightarrow (f \circ \alpha : T \to U) \in S(T)\]

留给读者验证这确实是筛（提示：使用等式 00YY）。有时也称 \(S \times_U V\) 为 \(S\) 沿 \(f : V \to U\) 的基变换。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，而 \(S\) 是 \(U\) 上的筛。若 \(f : V \to U\) 属于 \(S\)，则 \(S \times_U V = h_V\) 是最大筛。

证明

由定义显然。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。\(\mathcal{C}\) 上的一个拓扑，是把 \(U\) 上所有筛所成集合的一个子集 \(J(U)\) 赋给每个 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 的规则，并满足：

对 \(\mathcal{C}\) 中每个态射 \(f : V \to U\) 以及每个 \(S \in J(U)\)，拉回 \(S \times_U V\) 属于 \(J(V)\)。

若 \(S\)、\(S'\) 是 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 上的筛，\(S \in J(U)\)，并且对所有 \(f \in S(V)\)，拉回 \(S' \times_U V\) 都属于 \(J(V)\)，则 \(S'\) 属于 \(J(U)\)。

对每个 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，最大筛 \(S = h_U\) 属于 \(J(U)\)。

在这种情形下，属于 \(J(U)\) 的筛称为覆盖筛。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(J\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的拓扑，而 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)。

\(J(U)\) 中元素的有限交仍属于 \(J(U)\)。

若 \(S \in J(U)\) 且 \(S' \supset S\)，则 \(S' \in J(U)\)。

证明

(1) 的证明。空族之交的情形由定义 00Z4 的条件 (3) 得出。设 \(S, S' \in J(U)\)，并考虑 \(S'' = S \cap S'\)。对 \(S(V)\) 中的每个 \(V \to U\)，有 \[S' \times_U V = S'' \times_U V\] 这是因为 \(V \to U\) 已经属于 \(S\)。所以由定义的第二条公理， \(S'' \in J(U)\)。

(2) 的证明。设 \(S \in J(U)\) 且 \(S' \supset S\)。对 \(S(V)\) 中的每个 \(V \to U\)，由引理 00Z3，有 \(S' \times_U V = h_V\)。所以由第三条公理，\(S' \times_U V \in J(V)\)；再由第二条公理，\(S' \in J(U)\)。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(J\)、\(J'\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的两个拓扑。若对 \(\mathcal{C}\) 的每个对象 \(U\) 都有 \(J'(U) \subset J(U)\)，则称 \(J\) 比 \(J'\) 更细或更强。在这种情形下，也称 \(J'\) 比 \(J\) 更粗或更弱。

换言之，\(J'\) 的任意覆盖筛都是 \(J\) 的覆盖筛。\(\mathcal{C}\) 上存在最细拓扑，即每个筛都是覆盖筛的拓扑，称为 \(\mathcal{C}\) 的离散拓扑。也存在最粗拓扑，即对所有对象 \(U\) 都有 \(J(U) = \{h_U\}\) 的拓扑，称为混沌拓扑或 平凡拓扑。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，而 \(\{J_i\}_{i\in I}\) 是一族拓扑。

规则 \(J(U) = \bigcap J_i(U)\) 定义 \(\mathcal{C}\) 上的拓扑。

存在比所有拓扑 \(J_i\) 都更细的最粗拓扑。

证明

第一部分由定义直接得出。第二部分由取所有比各 \(J_i\) 都更细的拓扑之交得出。

至此，可以不加任何动机地定义层。

定义

设范畴 \(\mathcal{C}\) 配备拓扑 \(J\)，而 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的集合预层。若对每个 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 以及 \(U\) 的每个覆盖筛 \(S\)，典范映射 \[\Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_U, \mathcal{F}) \longrightarrow \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(S, \mathcal{F})\] 都是双射，则称 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的层。

回忆所示公式的左端等于 \(\mathcal{F}(U)\)。换言之，\(\mathcal{F}\) 是层，当且仅当 \(\mathcal{F}\) 在 \(U\) 上的一个截面，等同于由 \((\alpha : T \to U) \in S(T)\) 参数化的一族相容截面 \(s_{T, \alpha} \in \mathcal{F}(T)\)；并且这对 \(U\) 上每个覆盖筛 \(S\) 都成立。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(\{ \mathcal{F}_i \}_{i\in I}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的一族集合预层。对每个 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，以 \(J(U)\) 表示 \(U\) 上满足下列性质的筛 \(S\) 所成的集合：对每个态射 \(V \to U\)，映射

\[\Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_V, \mathcal{F}_i) \longrightarrow \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(S \times_U V, \mathcal{F}_i)\] 对所有 \(i \in I\) 都是双射。则 \(J\) 定义 \(\mathcal{C}\) 上的拓扑。它是使所有 \(\mathcal{F}_i\) 都成为层的最细拓扑。

证明

首先注意，若 \(J\) 是拓扑，则引理的最后一个断言立即成立。

对每个 \(i \in I\) 与 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，令 \(J_i(U)\) 为 \(U\) 上满足下列性质的筛 \(S\) 所成的集合：对每个态射 \(V \to U\)，映射 \[\Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_V, \mathcal{F}_i) \longrightarrow \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(S \times_U V, \mathcal{F}_i)\] 是双射。注意 \(J(U) = \bigcap J_i(U)\)。因此，若证明 \(J_i\) 定义拓扑，就由引理 00Z7 得到结论。于是归约到下一段讨论的情形。

证明当预层族仅含一个预层 \(\mathcal{F}\) 时，\(J\) 是拓扑。拓扑的第一条和第三条公理立即得到验证。设有对象 \(U\) 以及 \(U\) 上的筛 \(S, S'\)，使 \(S \in J(U)\)，并且对 \(S(V)\) 中的所有 \(V \to U\)，都有 \(S' \times_U V \in J(V)\)。需要证明 \(S' \in J(U)\)。换言之，需要证明对任意 \(f : W \to U\)，映射 \[\mathcal{F}(W) = \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_W, \mathcal{F}) \longrightarrow \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(S' \times_U W, \mathcal{F})\] 都是双射。取元素 \(\varphi \in \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(S' \times_U W, \mathcal{F})\)。我们将构造映到 \(\varphi\) 的截面 \(s \in \mathcal{F}(W)\)。

设 \(\alpha : V \to W\) 是 \(S \times_U W\) 的一个元素。由拉回的定义，复合 \(f \circ \alpha : V \to W \to U\) 属于 \(S\)。因此，由对筛对 \(S, S'\) 的假设， \(S' \times_U V\) 属于 \(J(V)\)。现在有预层的交换图 \[\xymatrix{ S' \times_U V \ar[r] \ar[d] & h_V \ar[d] \\ S' \times_U W \ar[r] & h_W }\] \(\varphi\) 在 \(S' \times_U V\) 上的限制对应于元素 \(s_{V, \alpha} \in \mathcal{F}(V)\)。这是由 \(J\) 的定义以及 \(S' \times_U V\) 属于 \(J(V)\) 得出的。留给读者验证：规则 \((V, \alpha) \mapsto s_{V, \alpha}\) 定义元素 \(\psi \in \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(S \times_U W, \mathcal{F})\)。由于 \(S \in J(U)\)，从 \(J\) 的定义立即看出，\(\psi\) 对应于 \(\mathcal{F}(W)\) 的一个元素 \(s\)。

留给读者验证：构造 \(\varphi \mapsto s\) 是上面所示自然映射的逆。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。使所有可表预层均为层的 \(\mathcal{C}\) 上最细拓扑（见引理 00Z9），称为 \(\mathcal{C}\) 的 典范拓扑。

位点定义的拓扑

假设 \(\mathcal{C}\) 是范畴，而 \(\text{Cov}_1(\mathcal{C})\) 与 \(\text{Cov}_2(\mathcal{C})\) 是在 \(\mathcal{C}\) 上定义位点结构的两组覆盖。在这种情形下，\(\text{Cov}_1(\mathcal{C})\) 与 \(\text{Cov}_2(\mathcal{C})\) 的（集合）层范畴可能相同；例如见引理 00VX。

事实上，\(\mathcal{C}\) 关于某个拓扑 \(J\) 的层范畴与 \(J\) 彼此决定。这是一个非平凡的断言，稍后将在定理 00ZP 中讨论。

暂且接受这一点，研究位点所决定的拓扑就是合理的。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是覆盖为 \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) 的位点。对 \(\mathcal{C}\) 的每个对象 \(U\)，令 \(J(U)\) 为 \(U\) 上具有下述性质的筛 \(S\) 所成的集合：存在覆盖 \(\{f_i : U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)，使由 \(f_i\) 生成的筛 \(S'\)（见定义 00Z1）包含于 \(S\)。

该 \(J\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的拓扑。

预层 \(\mathcal{F}\) 是该拓扑的层（见定义 00Z8），当且仅当它是该位点上的层（见定义 00VM）。

证明

为证明第一个断言，只需注意位点定义（定义 00VH）的公理 (1)、(2)、(3) 分别直接蕴含拓扑定义（定义 00Z4）的公理 (3)、(2)、(1)。作为例子，证明 \(J\) 具有性质 (2)。设 \(U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象，而 \(S, S'\) 是 \(U\) 上的筛，满足 \(S \in J(U)\)，并且对 \(S(V)\) 中的每个 \(V \to U\) 都有 \(S' \times_U V \in J(V)\)。由 \(J(U)\) 的定义，可找到该位点的覆盖 \(\{f_i : U_i \to U\}\)，使 \(S\)，即 \(h_{U_i} \to h_U\) 的像所成的筛，包含于 \(S\)。

由于每个 \(S'\times_U U_i\) 属于 \(J(U_i)\)，可见存在该位点的覆盖 \(\{U_{ij} \to U_i\}\)，使 \(h_{U_{ij}} \to h_{U_i}\) 包含于 \(S' \times_U U_i\)。由基变换的定义，这意味着 \(h_{U_{ij}} \to h_U\) 包含于子预层 \(S' \subset h_U\)。由位点的公理 (2)， \(\{U_{ij} \to U\}\) 是 \(U\) 的覆盖；再由 \(J\) 的定义，得出 \(S' \in J(U)\)。

设 \(\mathcal{F}\) 为预层。假设 \(\mathcal{F}\) 是拓扑 \(J\) 的层。我们将证明 \(\mathcal{F}\) 也是该位点上的层。设 \(\{f_i : U_i \to U\}_{i\in I}\) 是该位点的覆盖，而 \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\) 是满足 \(s_i|_{U_i \times_U U_j} = s_j|_{U_i \times_U U_j}\)（对所有 \(i, j\)）的一族截面。需要证明存在唯一的截面 \(s \in \mathcal{F}(U)\)，其在各 \(U_i\) 上的限制为 \(s_i\)。设 \(S \subset h_U\) 为由 \(f_i\) 生成的筛。按定义，\(S \in J(U)\)。与其直接构造 \(s\)，由拓扑中的层条件，只须构造元素

\[\varphi \in \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(S, \mathcal{F}).\] 对某个对象 \(T \in \mathcal{U}\)，取 \(\alpha \in S(T)\)。

这恰好意味着 \(\alpha : T \to U\) 是一个通过某个 \(i\in I\) 的 \(f_i\) 分解的态射（可能通过多于 \(1\) 个）。选取这样的指标 \(i\) 与分解 \(\alpha = f_i \circ \alpha_i\)，并定义 \(\varphi(\alpha) = \alpha_i^* s_i\)。若 \(i'\)、\(\alpha = f_i \circ \alpha_{i'}'\) 是第二种选择，则

\(\alpha_i^* s_i = (\alpha_{i'}')^* s_{i'}\)，这恰由对所有 \(i, j\) 的条件 \(s_i|_{U_i \times_U U_j} = s_j|_{U_i \times_U U_j}\) 得出。因此 \(\varphi(\alpha)\) 良定义。留给读者验证：\(\varphi\)（它进而决定 \(s\)）是正确的，即 \(s\) 的相应限制为 \(s_i\)。

设 \(\mathcal{F}\) 为预层。假设 \(\mathcal{F}\) 是位点 \((\mathcal{C}, \text{Cov}(\mathcal{C}))\) 上的层。我们将证明 \(\mathcal{F}\) 也是拓扑 \(J\) 的层。设 \(U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象，而 \(S\) 是 \(U\) 上关于拓扑 \(J\) 的覆盖筛。设 \[\varphi \in \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(S, \mathcal{F}).\] 需要证明 \(\mathcal{F}(U) = \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_U, \mathcal{F})\) 中存在唯一元素，限制为 \(\varphi\)。由定义，存在覆盖 \(\{f_i : U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)，使 \(f_i : U_i \to U\) 属于 \(S(U_i)\)。因此可以令 \(s_i = \varphi(f_i) \in \mathcal{F}(U_i)\)。容易验证，对所有 \(i, j\)，有 \(s_i|_{U_i \times_U U_j} = s_j|_{U_i \times_U U_j}\)。于是由 \(\mathcal{F}\) 在位点 \((\mathcal{C}, \text{Cov}(\mathcal{C}))\) 上的层条件，得到所需截面 \(s\)。细节留给读者。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 是覆盖为 \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) 的位点。上面引理 00ZC 中构造的拓扑 \(J\)，称为 与 \(\mathcal{C}\) 关联的拓扑。

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。设 \(\text{Cov}_1(\mathcal{C})\) 与 \(\text{Cov}_2(\mathcal{C})\) 是在 \(\mathcal{C}\) 上定义位点结构的两组覆盖。它们定义的拓扑完全可能相同。若如此，则称 \(\text{Cov}_1(\mathcal{C})\) 与 \(\text{Cov}_2(\mathcal{C})\) 在 \(\mathcal{C}\) 上定义相同的拓扑。并且在这种情形下，由引理 00ZC，层范畴相同。

通常，我们只关心一组覆盖所定义的拓扑，并把选择不同覆盖集的可能性看作研究该拓扑的工具。

注

扩大覆盖类。显然，若 \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) 在 \(\mathcal{C}\) 上定义位点结构，则可以向 \(\mathcal{C}\) 加入任意一组具有固定目标的态射族，只要它们与 \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) 的元素恒真等价（见定义 00VU），而不改变拓扑。

注

缩小覆盖类。设 \(\mathcal{C}\) 为位点。考虑集合 \[\mathcal{S} = P(\text{Arrows}(\mathcal{C})) \times \Ob(\mathcal{C})\] 其中 \(P(\text{Arrows}(\mathcal{C}))\) 是态射集的幂集，即由所有态射集组成的集合。令 \(\mathcal{S}_\tau \subset \mathcal{S}\) 为所有满足下列条件的 \((T, U) \in \mathcal{S}\) 所成的子集： (a) 所有 \(\varphi \in T\) 的目标都是 \(U\)； (b) 族 \(\{\varphi\}_{\varphi \in T}\) 与 \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) 中的某个覆盖恒真等价（见定义 00VU）。显然，若把 \(\mathcal{S}_\tau\) 的元素看作覆盖，并不会恰好得到定义 00VH 中所定义的位点概念。所得结构 \((\mathcal{C}, \mathcal{S}_\tau)\) 满足略经修改的条件。修改后的条件为：

\(\text{Cov}(\mathcal{C}) \subset P(\text{Arrows}(\mathcal{C})) \times \Ob(\mathcal{C})\),

若 \(V \to U\) 是同构，则 \((\{V \to U\}, U) \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)。

若 \((T, U) \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)，并且对 \(T\) 中的 \(f : U' \to U\) 给定 \((T_f, U') \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)，则令 \(T' = \{f \circ f' \mid f \in T,\ f' \in T_f\}\)，有 \((T', U) \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)。

若 \((T, U) \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)，且 \(g : V \to U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的态射，则

对 \(T\) 中的 \(f : U' \to U\)，\(U' \times_{f, U, g} V\) 存在；且

对纤维积的某种选择令 \(T' = \{\text{pr}_2 : U' \times_{f, U, g} V \to V \mid f : U' \to U \in T\}\)，则 \((T', V) \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)。

容易验证：给定满足上述 (0’) – (3’) 的结构，适当扩大 \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) 后（对照 Sets, Section 000W），得到一个位点。至少从拓扑角度看，该概念与实际的位点概念显然差别不大。它有两个好处：由上面的条件 (0’)，覆盖自动构成集合；同样由 (0’)，所有这类结构的总体也构成集合。代价是必须到处写“恒真等价”。

拓扑中的层化

本节说明拓扑中与层化构造对应的构造。

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(J\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的拓扑，而 \(\mathcal{F}\) 是集合预层。对每个 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)，把 \[L\mathcal{F}(U) = \colim_{S \in J(U)^{opp}} \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(S, \mathcal{F})\] 定义为一个余极限。这里把 \(J(U)\) 看成按包含关系排序的偏序集；见引理 00YZ。该系统的转移映射定义如下。若 \(S \subset S'\) 属于 \(J(U)\)，则 \(S \to S'\) 是预层态射，因而存在自然的限制映射 \[\Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(S', \mathcal{F}) \longrightarrow \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(S, \mathcal{F}).\] 所以，只要反转 \(J(U)\) 上的次序（这正是上标 \({}^{opp}\) 所表示的意思）， \(S \mapsto \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(S, \mathcal{F})\) 就是 Categories, Definition 0030 意义下的有向系统。特别地，因为 \(h_U \in J(U)\)，存在来自识别 \(\mathcal{F}(U) = \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_U, \mathcal{F})\) 的典范映射 \[\ell : \mathcal{F}(U) \longrightarrow L\mathcal{F}(U)\] 此外，定义 \(L\mathcal{F}(U)\) 的余极限是有向的，因为对 \(U\) 上任意一对覆盖筛 \(S, S'\)，筛 \(S \cap S'\) 仍是覆盖筛；见引理 00YZ。

设 \(f : V \to U\) 是 \(\mathcal{C}\) 中的态射，并设 \(S \in J(U)\)。有交换图 \[\xymatrix{ S \times_U V \ar[r] \ar[d] & h_V \ar[d] \\ S \ar[r] & h_U }\] 可以用左侧竖直映射得到典范限制映射 \[\Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(S, \mathcal{F}) \to \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(S \times_U V, \mathcal{F}).\] 基变换 \(S \mapsto S \times_U V\) 诱导保序映射 \(J(U) \to J(V)\)，而限制映射定义 Categories, Lemma categories-lemma-functorial-colimit 所述的函子变换。

所以得到自然的限制映射 \[L\mathcal{F}(U) \longrightarrow L\mathcal{F}(V).\]

引理

在上述情形中：

赋值 \(U \mapsto L\mathcal{F}(U)\) 连同上面定义的限制映射构成预层。

各映射 \(\ell\) 粘合为预层态射 \(\ell : \mathcal{F} \to L\mathcal{F}\)。

规则 \(\mathcal{F} \mapsto (\mathcal{F} \xrightarrow{\ell} L\mathcal{F})\) 是函子。

若 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{G}\) 的子预层，则 \(L\mathcal{F}\) 是 \(L\mathcal{G}\) 的子预层。

映射 \(\ell : \mathcal{F} \to L\mathcal{F}\) 具有下列性质：对每个截面 \(s \in L\mathcal{F}(U)\)，存在 \(U\) 上的覆盖筛 \(S\) 以及元素 \(\varphi \in \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(S, \mathcal{F})\)，使 \(\ell(\varphi)\) 等于 \(s\) 在 \(S\) 上的限制。

证明

略。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，而 \(J\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的拓扑。若对每个对象 \(U\) 以及 \(U\) 上的每个覆盖筛 \(S\)，典范映射 \(\mathcal{F}(U) \to \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(S, \mathcal{F})\) 都是单射，则称集合预层 \(\mathcal{F}\) 是分离的。

定理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，\(J\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的拓扑，而 \(\mathcal{F}\) 是集合预层。

预层 \(L\mathcal{F}\) 是分离的。

若 \(\mathcal{F}\) 分离，则 \(L\mathcal{F}\) 是层，并且预层映射 \(\mathcal{F} \to L\mathcal{F}\) 是单射。

若 \(\mathcal{F}\) 是层，则 \(\mathcal{F} \to L\mathcal{F}\) 是同构。

预层 \(LL\mathcal{F}\) 总是层。

证明

(3) 由 \(L\) 的定义与层的定义（定义 00Z8）立即得出。(4) 形式地由其余部分得出。

概述 (1) 的证明。设 \(S\) 是对象 \(U\) 的覆盖筛。设 \(\varphi_i \in L\mathcal{F}(U)\)（\(i = 1, 2\)）在 \(\Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(S, L\mathcal{F})\) 中映到同一元素。可以找到 \(U\) 上的一个覆盖筛 \(S'\)，使两个 \(\varphi_i\) 都由元素 \(\varphi_i \in \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(S', \mathcal{F})\) 表示。把 \(S\) 与 \(S'\) 都替换为仍是覆盖筛的 \(S' \cap S\)（见引理 00YZ），可假设 \(S' = S\)。设 \(V\in \Ob(\mathcal{C})\)，而 \(\alpha : V \to U\) 属于 \(S(V)\)。则 \(S \times_U V = h_V\)；见引理 00Z3。所以 \(\varphi_i\) 沿 \(V \to U\) 的限制对应于 \(\mathcal{F}\) 在 \(V\) 上的截面 \(s_{i, V, \alpha}\)。假设意味着存在 \(V\) 的覆盖筛 \(S_{V, \alpha}\)，使 \(s_{i, V, \alpha}\) 在 \(\Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(S_{V, \alpha}, \mathcal{F})\) 中限制为同一元素。考虑 \(U\) 上由下列规则定义的筛 \(S''\)： [00ZK]\[\begin{eqnarray} (f : T \to U) \in S''(T) & \Leftrightarrow & \exists\ V , \ \alpha : V \to U, \ \alpha \in S(V), \nonumber \\ & & \exists\ g : T \to V, \ g \in S_{V, \alpha}(T), \\ & & f = \alpha \circ g \nonumber \end{eqnarray}\] 由拓扑的公理 (2)，\(S''\) 是 \(U\) 上的覆盖筛。由构造， \(\varphi_1\) 与 \(\varphi_2\) 在 \(\Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(S'', L\mathcal{F})\) 中限制为同一元素，如所需。

概述 (2) 的证明。假设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上关于拓扑 \(J\) 分离的集合预层。设 \(S\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象 \(U\) 的覆盖筛。假设 \(\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(S, L\mathcal{F})\)。需要找到限制为 \(\varphi\) 的元素 \(s \in L\mathcal{F}(U)\)。

设 \(V\in \Ob(\mathcal{C})\)，而 \(\alpha : V \to U\) 属于 \(S(V)\)。值 \(\varphi(\alpha) \in L\mathcal{F}(V)\) 由 \(V\) 的一个覆盖筛 \(S_{V, \alpha}\) 以及预层态射 \(\varphi_{V, \alpha} : S_{V, \alpha} \to \mathcal{F}\) 给出。与上面的证明一样，通过等式 (00ZK) 定义 \(U\) 上的覆盖筛 \(S''\)。用下列简单规则定义 \[\varphi'' : S'' \longrightarrow \mathcal{F}\] ：对每个 \(f : T \to U\)、\(f \in S''(T)\)，按照等式 (00ZK) 选取 \(V, \alpha, g\)，然后令 \[\varphi''(f) = \varphi_{V, \alpha}(g).\] 我们断言这与 \(V, \alpha, g\) 的选择无关。考虑另一个这样的选择\(V', \alpha', g'\)。

\(\varphi_{V, \alpha}\) 与 \(\varphi_{V', \alpha'}\) 在 \(T\) 上下列两个覆盖筛之交上的限制相同： \[(S_{V, \alpha} \times_{V, g} T) \cap (S_{V', \alpha'} \times_{V', g'} T)\] 事实上，这两个限制都对应于 \(\varphi\) 通过 \(f\) 在 \(T\) 上的限制，而所需等式由 \(\mathcal{F}\) 分离得出。把公共限制记为 \(\psi\)。

选择无关性由 \(\varphi_{V, \alpha}(g) = \psi(\text{id}_T) = \varphi_{V', \alpha'}(g')\) 得出。于是 \(\varphi''\) 给出元素 \(s \in L\mathcal{F}(U)\)。留给读者检查 \(s\) 限制为 \(\varphi\)。

定义

设范畴 \(\mathcal{C}\) 配备拓扑 \(J\)，而 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的集合预层。层 \(\mathcal{F}^\# := LL\mathcal{F}\) 连同典范映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\#\)，称为与 \(\mathcal{F}\) 关联的层。

命题

设范畴 \(\mathcal{C}\) 配备一个拓扑，而 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的集合预层。典范映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\#\) 具有下列泛性质：对任意映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)，其中 \(\mathcal{G}\) 是集合层，存在唯一映射 \(\mathcal{F}^\# \to \mathcal{G}\)，使 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\# \to \mathcal{G}\) 等于给定映射。

证明

与命题 00WH 的证明相同。

拓扑与层

引理

设范畴 \(\mathcal{C}\) 配备拓扑 \(J\)，\(U\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象，而 \(S\) 是 \(U\) 上的筛。下列条件等价：

筛 \(S\) 是覆盖筛。

映射 \(S \to h_U\) 的层化 \(S^\# \to h_U^\#\) 是同构。

证明

先作两点一般说明。将使用 \(S^\# = LLS\) 与 \(h_U^\# = LLh_U\)。特别地，由引理 00ZH，\(S^\# \to h_U^\#\) 是单射。注意 \(\text{id}_U \in h_U(U)\)。因此，它产生 \(Lh_U\) 以及 \(h_U^\# = LLh_U\) 在 \(U\) 上的截面，我们也将这些截面记为 \(\text{id}_U\)。

假设 \(S\) 是覆盖筛。显然，只须找到态射 \(h_U \to S^\#\)，使其与前述单射的复合 \(h_U \to h_U^\#\) 是典范映射。为找到这种映射，只须找到限制为 \(\text{id}_U\) 的截面 \(s \in S^\#(U)\)。但由于 \(S\) 是覆盖筛，元素 \(\text{id}_S \in \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(S, S)\) 产生 \(LS\) 在 \(U\) 上的一个截面，它在 \(Lh_U\) 中限制为 \(\text{id}_U\)。所以结论成立。

假设 \(S^\# \to h_U^\#\) 是同构。设 \(1 \in S^\#(U)\) 是与 \(h_U^\#(U)\) 中的 \(\text{id}_U\) 对应的元素。由于 \(S^\# = LLS\)，存在 \(U\) 上的覆盖筛 \(S'\)，使 \(1\) 来自 \[\varphi \in \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(S', LS).\] 这又意味着，对每个 \(\alpha : V \to U\)、\(\alpha\in S'(V)\)，存在 \(V\) 上的覆盖筛 \(S_{V, \alpha}\)，使 \(\varphi(\alpha)\) 对应于预层态射 \(S_{V, \alpha} \to S\)。换言之，\(S_{V, \alpha}\) 包含于 \(S \times_U V\)。由拓扑的第二条公理，\(S\) 是覆盖筛。

定理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，而 \(J\)、\(J'\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的拓扑。下列条件等价：

\(J = J'\)；

拓扑 \(J\) 的层与拓扑 \(J'\) 的层相同。

证明

若 \(J = J'\)，则层的概念相同，这是恒真式。反过来，引理 00ZO 用层化函子刻画覆盖筛。而层化函子 \(\textit{PSh}(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{C}, J)\) 左伴随于包含函子 \(\Sh(\mathcal{C}, J) \to \textit{PSh}(\mathcal{C})\)。因此，若子范畴 \(\Sh(\mathcal{C}, J)\) 与 \(\Sh(\mathcal{C}, J')\) 相同，则层化函子相同，因而覆盖筛族相同。

引理

假设与记号如定理 00ZP。则 \(J \subset J'\) 当且仅当拓扑 \(J'\) 的每个层都是拓扑 \(J\) 的层。

证明

一个方向是清楚的。对另一个方向，假设 \(\Sh(\mathcal{C}, J') \subset \Sh(\mathcal{C}, J)\)。由形式论证，这蕴含：若 \(\mathcal{F}\) 是集合预层，而 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\#\)、相应地 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^{\#, \prime}\) 是关于 \(J\)、相应地 \(J'\) 的层化，则存在典范映射 \(\mathcal{F}^\# \to \mathcal{F}^{\#, \prime}\)，使 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\# \to \mathcal{F}^{\#, \prime}\) 等于典范映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^{\#, \prime}\)。当然， \(\mathcal{F}^\# \to \mathcal{F}^{\#, \prime}\) 把第二个层识别为第一个层关于拓扑 \(J'\) 的层化。把它应用于引理 00ZO 的映射 \(S \to h_U\)，得到交换图 \[\xymatrix{ S \ar[r] \ar[d] & S^\# \ar[r] \ar[d] & S^{\#, \prime} \ar[d] \\ h_U \ar[r] & h_U^\# \ar[r] & h_U^{\#, \prime} }\] 显然，若 \(S\) 是拓扑 \(J\) 的覆盖筛，则中间的竖直映射是同构（由该引理），从而右侧竖直映射也是同构，因为它是中间竖直映射关于 \(J'\) 的层化。再次由该引理， \(S\) 也是 \(J'\) 的覆盖筛。

拓扑与连续函子

说明连续函子如何在层上给出一对伴随函子。

点与拓扑

回忆节 00Y3：给定函子 \(p = u : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\)，可以定义茎函子 \[\textit{PSh}(\mathcal{C}) \longrightarrow \textit{Sets}, \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}_p.\]

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴，而 \(J\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的拓扑。该拓扑的一个 点 \(p\) 由满足下列条件的函子 \(u : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 给出：

对 \(U\) 上的每个覆盖筛 \(S\)，映射 \(S_p \to (h_U)_p\) 是满射。

茎函子 \(\Sh(\mathcal{C}) \to \textit{Sets}\)， \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}_p\)，是正合的。

如引言所述，这一记号与 [SGA4] 中的不同。↩︎
它看起来可能是由 \(S\) 定义的可表预层，但未必如此，因为 \(S\) 可能不是 \(\mathcal{T}_G\) 的对象；该位点被选成一个足够大的 \(G\)-集合之集。↩︎
这一构造实际上涉及对纤维积 \(U_i \times_U V\) 的选择，因而涉及选择公理。所得映射与所作选择无关；见下文。↩︎
集合论说明：先选择 \(\mathcal{T}_H\)，再选择 \(\mathcal{T}_G\)，使其包含 \(u(\mathcal{T}_H)\)，并使 \(\mathcal{T}_H\) 中的每个覆盖都对应于 \(\mathcal{T}_G\) 中的覆盖。这可由 Sets，引理 000U、 000V 和 000X 实现。↩︎
另一种做法是，对预层用笛卡尔图 \[\vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{F}_\varphi \ar[r] \ar[d] & {*} \ar[d] \\ \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U} \ar[r] & h_U|_{\mathcal{C}/U} } } \quad\text{对预层以及}\quad \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{F}_\varphi \ar[r] \ar[d] & {*} \ar[d] \\ \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U} \ar[r] & h_U^\#|_{\mathcal{C}/U} } }\] 描述 \(\mathcal{F}_\varphi\)，并对层使用后一图，再利用到 \(\mathcal{C}/U\) 的限制与层化交换这一事实。↩︎
在这一一般性下，我们不知道 \(f \circ g'\) 与 \(g \circ f'\) 作为拓扑斯态射是否相等（从前者到后者有典范 \(2\)-箭头，但它未必是同构）。↩︎
应当尽量避免对所有 \(U\) 都有 \(u(U) = \emptyset\) 的情形。↩︎
等化子可以用积与纤维积表示；见 Categories, Lemma 002O 的证明。↩︎