平坦性续篇

引言

本章讨论平坦模与概形平坦态射的一些高阶结果及其应用。关于平坦性的多数结果 可见 Raynaud 与 Gruson 的论文 [GruRay]。

在阅读本章之前，建议读者先查看下列结果（此表也可作为先前结果的索引）：

1. 关于平坦模的一般讨论，见《代数》第 00H9 节。

2. \(\text{Tor}\) 群与平坦性之间的关系，见《代数》第 00LY 节。

3. 平坦性判据，见《代数》第 00MD 节 （诺特情形）、《代数》第 051E 节 （阿廷情形）、《代数》第 00R3 节 （非诺特情形），最后见《态射进阶》第 039A 节。

4. 一般平坦性，见《代数》第 051Q 节与 《态射》第 0529 节。

5. 平坦轨迹的开性，见《代数》第 00R8 节与 《态射进阶》第 0398 节。

6. 平坦化，见《代数进阶》诸节 0521, 05LJ, 05LK, 05LN 以及 05LV.

7. 其他结果见《代数进阶》诸节 052Y、 0549、 054A 以及 0535.

作为平坦性材料的应用，我们讨论以下主题：Grothendieck 存在定理的非诺特版本、 爆破与平坦性、Nagata 的紧化定理、h 拓扑、爆破方块与下降、弱正规化、 正特征下向量丛的下降，以及 h 拓扑中完美复形的局部结构。

关于 étale 局部化的引理

本节列出一些关于 étale 局部化的引理，它们将在本章后文中使用。 初次阅读时可以跳过本节。

引理

设 \(i : Z \to X\) 是仿射概形的闭浸入，\(Z' \to Z\) 是 étale 态射， 且 \(Z'\) 仿射。则存在 étale 态射 \(X' \to X\)，其中 \(X'\) 仿射， 使得作为 \(Z\) 上概形有 \(Z' \cong Z \times_X X'\)。

证明

见《代数》引理 04D1。

引理

设 \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l] \ar[d] \\ S & S' \ar[l] }\] 是概形的交换图，其中 \(X' \to X\) 与 \(S' \to S\) 均为 étale 态射。 设 \(s' \in S'\) 为一点。则 \[X' \times_{S'} \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \longrightarrow X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] 是 étale 态射。

证明

这是因为，作为 \(X\) 上 étale 概形之间的态射，\(X' \to X_{S'}\) 是 étale 的；见《态射》引理 02GW。 而且 étale 态射的基变换仍为 étale；见《态射》引理 02GO。

引理

设 \(X \to T \to S\) 是概形态射，且 \(T \to S\) 为 étale 态射。 设 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，\(x \in X\) 为一点。则 \[\mathcal{F}\text{ 在 }S\text{ 上于 }x\text{ 处平坦} \Leftrightarrow \mathcal{F}\text{ 在 }T\text{ 上于 }x\text{ 处平坦}\] 特别地，\(\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上平坦，当且仅当 \(\mathcal{F}\) 在 \(T\) 上平坦。

证明

Étale 态射是平坦态射（见《态射》引理 02GS），故蕴含 “\(\Leftarrow\)” 由《代数》引理 00HC 得出。反之，假设 \(\mathcal{F}\) 在点 \(x\) 处于 \(S\) 上平坦。记 \(\tilde x \in X \times_S T\) 为这样一点： 它在 \(X\) 中位于 \(x\) 上方，在 \(T\) 中位于 \(x\) 在 \(T\) 中的像上方。于是经由 \(\text{pr}_2 : X \times_S T \to T\)， \((X \times_S T \to X)^*\mathcal{F}\) 在点 \(\tilde x\) 处于 \(T\) 上平坦； 见《态射》引理 01U8。 对角态射 \(\Delta_{T/S} : T \to T \times_S T\) 是开浸入；合并《态射》引理 02GE 与 02GK 即得。因此可将 \(X\) 等同于 \(X \times_S T\) 的开子概形；\(\text{pr}_2\) 在此开子概形上的限制 就是给定态射 \(X \to T\)，点 \(\tilde x\) 对应于其中的点 \(x\)，并且 \((X \times_S T \to X)^*\mathcal{F}\) 在该开子概形上的限制就是 \(\mathcal{F}\)。由此可见，\(\mathcal{F}\) 在点 \(x\) 处于 \(T\) 上平坦。

引理

设 \(T \to S\) 是 étale 态射，\(t \in T\) 的像为 \(s \in S\)。 设 \(M\) 是 \(\mathcal{O}_{T, t}\)-模。则 \[M\text{ 在 }\mathcal{O}_{S, s}\text{ 上平坦} \Leftrightarrow M\text{ 在 }\mathcal{O}_{T, t}\text{ 上平坦}.\]

证明

可先用 \(s\) 的仿射邻域替换 \(S\)，再用 \(t\) 的仿射邻域替换 \(T\)。 置 \(\mathcal{F} = (\Spec(\mathcal{O}_{T, t}) \to T)_*\widetilde M\)。 这是 \(T\) 上的拟凝聚层（见概形章引理 01LC，或直接论证）， 其在 \(t\) 处的茎为 \(M\)（细节从略）。应用引理 05B9 即得。

引理

设 \(S\) 是概形，\(s \in S\) 为一点。记 \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) （分别地，\(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\)）为亨泽尔化（分别地，严格亨泽尔化）； 见《代数》定义 04GQ。 设 \(M^{sh}\) 是 \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\)-模。下列条件等价：

1. \(M^{sh}\) 在 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上平坦；

2. \(M^{sh}\) 在 \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) 上平坦；

3. \(M^{sh}\) 在 \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) 上平坦。

若 \(M^{sh} = M^h \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}^h} \mathcal{O}_{S, s}^{sh}\)， 则上述条件还等价于：

1. \(M^h\) 在 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上平坦；

2. \(M^h\) 在 \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) 上平坦。

若 \(M^h = M \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{S, s}^h\)， 则上述条件还等价于：

1. \(M\) 在 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上平坦。

证明

由《代数进阶》引理 07QM，局部环同态 \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{S, s}^h \to \mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) 是忠实平坦的。因此 (3) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (1) 与 (5) \(\Rightarrow\) (4) 由《代数》引理 00HC 得出。由忠实平坦性，等价关系 (6) \(\Leftrightarrow\) (5) 与 (5) \(\Leftrightarrow\) (3) 由《代数》引理 00HJ 得出。因此只需证明 (1) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (3) 与 (4) \(\Rightarrow\) (5)。 为此可假设 \(S\) 是仿射概形。

假设 (1) 成立。由引理 05BA， 对任意 étale 邻域 \((T, t) \to (S, s)\)，\(M^{sh}\) 在 \(\mathcal{O}_{T, t}\) 上平坦。由于 \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) 与 \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) 是形如 \(\mathcal{O}_{T, t}\) 的局部环的有向余极限 （见《代数》引理 04GV 与 04GW），由《代数》引理 05UU，\(M^{sh}\) 在 \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) 与 \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) 上平坦。 故 (1) 蕴含 (2) 与 (3)。将 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 替换为 \(\mathcal{O}_{S, s}^h\)，当然也得到 (2) \(\Rightarrow\) (3)。 同样的论证证明 (4) \(\Rightarrow\) (5)。

引理

设 \(S\) 是概形，\(s \in S\) 为一点。记 \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) （分别地，\(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\)）为亨泽尔化（分别地，严格亨泽尔化）； 见《代数》定义 04GQ。 设 \(M^{sh}\) 是 \(D(\mathcal{O}_{S, s}^{sh})\) 的对象， \(a, b \in \mathbf{Z}\)。下列条件等价：

1. \(M^{sh}\) 在 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上的 Tor 振幅包含于 \([a, b]\)；

2. \(M^{sh}\) 在 \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) 上的 Tor 振幅包含于 \([a, b]\)；

3. \(M^{sh}\) 在 \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) 上的 Tor 振幅包含于 \([a, b]\)。

若 \(M^{sh} = M^h \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}^h}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) 其中 \(M^h \in D(\mathcal{O}_{S, s}^h)\)，则上述条件还等价于：

1. \(M^h\) 在 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上的 Tor 振幅包含于 \([a, b]\)；

2. \(M^h\) 在 \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) 上的 Tor 振幅包含于 \([a, b]\)。

若 \(M^h = M \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{S, s}^h\) 其中 \(M \in D(\mathcal{O}_{S, s})\)，则上述条件还等价于：

1. \(M\) 在 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上的 Tor 振幅包含于 \([a, b]\)。

证明

由《代数进阶》引理 07QM，局部环同态 \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{S, s}^h \to \mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) 是忠实平坦的。因此 (3) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (1) 与 (5) \(\Rightarrow\) (4) 由《代数进阶》引理 066J 得出。由忠实平坦性， 等价关系 (6) \(\Leftrightarrow\) (5) 与 (5) \(\Leftrightarrow\) (3) 由 《代数进阶》引理 068S 得出。 因此只需证明 (1) \(\Rightarrow\) (3)、(2) \(\Rightarrow\) (3) 与 (4) \(\Rightarrow\) (5)。

假设 (1) 成立。特别地，\(M^{sh}\) 在次数 \(< a\) 与 \(> b\) 上的上同调为零。 故可用自由 \(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}\)-模复形 \(P^\bullet\) 表示 \(M^{sh}\)，且当 \(i > b\) 时 \(P^i = 0\)（例如见一般性很强的导出范畴章引理 05T7）。注意，对所有 \(n\)， \(P^n\) 在 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上平坦。考虑 \(\Coker(d_P^{a - 1})\)。 由《代数进阶》引理 0653，这是平坦 \(\mathcal{O}_{S, s}\)-模。故由引理 05VL， 它也是平坦 \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\)-模。因此 \(\tau_{\geq a}P^\bullet\) 是平坦 \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\)-模复形， 它在 \(D(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) 中表示 \(M^{sh}\)，于是可知 \(M^{sh}\) 的 Tor 振幅包含于 \([a, b]\)；见《代数进阶》引理 0654。故 (1) 蕴含 (3)。将 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 替换为 \(\mathcal{O}_{S, s}^h\)，当然也得到 (2) \(\Rightarrow\) (3)。同样的论证证明 (4) \(\Rightarrow\) (5)。

引理

设 \(g : T \to S\) 是概形的有限平坦态射，\(\mathcal{G}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-模。设 \(t \in T\) 的像为 \(s \in S\)。则 \[t \in \text{WeakAss}(g^*\mathcal{G}) \Leftrightarrow s \in \text{WeakAss}(\mathcal{G})\]

证明

蕴含 “\(\Leftarrow\)” 立即由《因子》引理 05F0 得出。假设 \(t \in \text{WeakAss}(g^*\mathcal{G})\)。设 \(\Spec(A) \subset S\) 是 \(s\) 的仿射开邻域，且 \(\mathcal{G}\) 是与 \(A\)-模 \(M\) 相伴的拟凝聚层。设 \(\mathfrak p \subset A\) 是与 \(s\) 对应的素理想。由于 \(g\) 有限平坦，对某个有限平坦 \(A\)-代数 \(B\)，有 \(g^{-1}(\Spec(A)) = \Spec(B)\)。注意，\(g^*\mathcal{G}\) 是与 \(B\)-模 \(M \otimes_A B\) 相伴的拟凝聚 \(\mathcal{O}_{\Spec(B)}\)-模， 而 \(g_*g^*\mathcal{G}\) 是与 \(A\)-模 \(M \otimes_A B\) 相伴的拟凝聚 \(\mathcal{O}_{\Spec(A)}\)-模。由《代数》引理 00NZ，对某个整数 \(n \geq 0\)，有 \(B_{\mathfrak p} \cong A_{\mathfrak p}^{\oplus n}\)。由于假设至少存在 一个位于 \(s\) 上方的 \(T\) 中点，故 \(n \geq 1\)。于是考察茎可知 \[s \in \text{WeakAss}(\mathcal{G}) \Leftrightarrow s \in \text{WeakAss}(g_*g^*\mathcal{G})\] 现在，由《因子》引理 05EZ， 假设 \(t \in \text{WeakAss}(g^*\mathcal{G})\) 蕴含 \(s \in \text{WeakAss}(g_*g^*\mathcal{G})\)，故由上式有 \(s \in \text{WeakAss}(\mathcal{G})\)。

引理

设 \(h : U \to S\) 是概形的 étale 态射，\(\mathcal{G}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-模。设 \(u \in U\) 的像为 \(s \in S\)。则 \[u \in \text{WeakAss}(h^*\mathcal{G}) \Leftrightarrow s \in \text{WeakAss}(\mathcal{G})\]

证明

用 \(s\) 与 \(u\) 的仿射邻域分别替换 \(S\) 与 \(U\) 后，可假设 \(g\) 是仿射概形的标准 étale 态射；见《态射》引理 02GT。

因此可假设 \(S = \Spec(A)\) 且 \(X = \Spec(A[x, 1/g]/(f))\)，其中 \(f\) 首一，且 \(f'\) 在 \(A[x, 1/g]\) 中可逆。注意， \(A[x, 1/g]/(f) = (A[x]/(f))_g\) 也是有限自由 \(A\)-代数 \(A[x]/(f)\) 的局部化。因此可将 \(U\) 看作概形 \(T = \Spec(A[x]/(f))\) 的开子概形，而后者在 \(S\) 上有限局部自由。 这就归结到上面的引理 05FN。

引理

设 \(S\) 是概形，\(s \in S\) 为一点。记 \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) （分别地，\(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\)）为亨泽尔化（分别地，严格亨泽尔化）； 见《代数》定义 04GQ。 设 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_S\)-模。下列条件等价：

1. \(s\) 是 \(\mathcal{F}\) 的弱伴随点；

2. \(\mathfrak m_s\) 是 \(\mathcal{F}_s\) 的弱伴随素理想；

3. \(\mathfrak m_s^h\) 是 \(\mathcal{F}_s \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{S, s}^h\) 的弱伴随素理想；

4. \(\mathfrak m_s^{sh}\) 是 \(\mathcal{F}_s \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) 的弱伴随素理想。

证明

(1) 与 (2) 的等价性就是定义；见《因子》定义 056L。将《因子》引理 05F0 应用于下列平坦态射 （见《代数进阶》引理 07QM）： \[\Spec(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}) \to \Spec(\mathcal{O}_{S, s}^h) \to \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\] 以及闭点，即得 (2) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (4)。 为证明 (4) \(\Rightarrow\) (2)，可用一个仿射邻域替换 \(S\)。假设 \(x \in \mathcal{F}_s \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) 是这样一个元素：其零化子之根基等于 \(\mathfrak m_s^{sh}\) （见《代数》引理 0566）。由《代数》引理 04GW， \(\mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) 等于当 étale 邻域 \(f : (U, u) \to (S, s)\) 变化时 \(\mathcal{O}_{U, u}\) 的极限， 故可假设 \(x\) 是某个 \(x' \in \mathcal{F}_s \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{U, u}\) 的像。局部环同态 \(\mathcal{O}_{U, u} \to \mathcal{O}_{S, s}^{sh}\) 忠实平坦（因为这是严格亨泽尔化），因而普遍单射（《代数》引理 05CK）。于是 \(x'\) 的零化子是 \(x\) 的零化子的逆像，故该零化子之根基等于 \(\mathfrak m_u\)。因此 \(u\) 是 \(f^*\mathcal{F}\) 的弱伴随点。 由引理 05FP，\(s\) 是 \(\mathcal{F}\) 的弱伴随点。

有限型模的局部结构

使本章许多论证得以成立的关键技术结果，是几何引理 057S。

引理

设 \(f : X \to S\) 是仿射概形的有限型态射，\(\mathcal{F}\) 是有限型 拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(x \in X\) 在 \(S\) 中的像为 \(s = f(x)\)，并置 \(\mathcal{F}_s = \mathcal{F}|_{X_s}\)。 则存在有限表示闭浸入 \(i : Z \to X\) 与有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模 \(\mathcal{G}\)，使得 \(i_*\mathcal{G} = \mathcal{F}\) 且 \(Z_s = \text{Supp}(\mathcal{F}_s)\)。

证明

设态射 \(f : X \to S\) 由环同态 \(A \to B\) 给出，并设 \(\mathcal{F}\) 是与 \(B\)-模 \(M\) 相伴的拟凝聚层。由《态射》引理 01T2，\(A \to B\) 是有限型环同态；由《性质》引理 01PB， \(M\) 是有限 \(B\)-模。特别地，\(\mathcal{F}\) 的支集是 \(\Spec(B)\) 中由 \(M\) 的零化子 \(I = \{x \in B \mid xm = 0\ \forall m \in M\}\) 截出的闭子概形；见《代数》引理 00L2。 设 \(\mathfrak q \subset B\) 是与 \(x\) 对应的素理想， \(\mathfrak p \subset A\) 是与 \(s\) 对应的素理想。注意， \(X_s = \Spec(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p))\)，而 \(\mathcal{F}_s\) 是与 \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\)-模 \(M \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) 相伴的拟凝聚层。由《态射》引理 056J，\(\mathcal{F}_s\) 的支集等于 \(V(I(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)))\)。由于 \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) 在 \(\kappa(\mathfrak p)\) 上有限型， 存在有限多个元素 \(f_1, \ldots, f_m \in I\)，使得 \[I(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)) = (f_1, \ldots, f_n)(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)).\]

记 \(i : Z \to X\) 为由 \((f_1, \ldots, f_m)\) 截出的闭子概形，即 \(Z = \Spec(B/(f_1, \ldots, f_m))\)。由于 \(I\) 零化 \(M\)，可将 \(M\) 视为 \(B/(f_1, \ldots, f_m)\)-模。换言之，\(\mathcal{F}\) 是 \(Z\) 上某个有限型模的推前。按构造有 \(Z_s = \text{Supp}(\mathcal{F}_s)\)，故引理得证。

引理

设 \(f : X \to S\) 是局部有限型概形态射，\(\mathcal{F}\) 是有限型 拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(x \in X\) 在 \(S\) 中的像为 \(s = f(x)\)。置 \(\mathcal{F}_s = \mathcal{F}|_{X_s}\) 且 \(n = \dim_x(\text{Supp}(\mathcal{F}_s))\)。则可构造：

1. 初等 étale 邻域 \(g : (X', x') \to (X, x)\) 与 \(e : (S', s') \to (S, s)\)；

2. 交换图 \[\xymatrix{ X \ar[dd]_f & X' \ar[dd] \ar[l]^g & Z' \ar[l]^i \ar[d]^\pi \\ & & Y' \ar[d]^h \\ S & S' \ar[l]_e & S' \ar@{=}[l] }\]

3. 点 \(z' \in Z'\)，满足 \(i(z') = x'\)、\(y' = \pi(z')\)、 \(h(y') = s'\)；

4. 有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_{Z'}\)-模 \(\mathcal{G}\)；

使得下列性质成立：

1. \(X'\)、\(Z'\)、\(Y'\)、\(S'\) 都是仿射概形；

2. \(i\) 是有限表示闭浸入；

3. \(i_*(\mathcal{G}) \cong g^*\mathcal{F}\)；

4. \(\pi\) 有限，且 \(\pi^{-1}(\{y'\}) = \{z'\}\)；

5. 扩张 \(\kappa(y')/\kappa(s')\) 是纯超越的；

6. \(h\) 是相对维数为 \(n\) 且纤维几何整的光滑态射。

证明

设 \(V \subset S\) 是 \(s\) 的仿射邻域，\(U \subset f^{-1}(V)\) 是 \(x\) 的仿射邻域。只需对 \(f|_U : U \to V\) 与 \(\mathcal{F}|_U\) 证明引理。 因此在余下证明中假设 \(X\) 与 \(S\) 均仿射。

首先假设 \(X_s = \text{Supp}(\mathcal{F}_s)\)；特别地， \(n = \dim_x(X_s)\)。应用《态射进阶》引理 057K 与 057L， 得到交换图 \[\xymatrix{ X \ar[dd] & X' \ar[l]^g \ar[d]^\pi \\ & Y' \ar[d]^h \\ S & S' \ar[l]_e }\] 以及点 \(x' \in X'\)。置 \(Z' = X'\)、\(i = \text{id}\) 且 \(\mathcal{G} = g^*\mathcal{F}\)，便得到此情形的解。

一般地，依引理 057Q 选取闭浸入 \(Z \to X\) 与 \(Z\) 上的层 \(\mathcal{G}\)。将上一段的结果应用于 \(Z \to S\) 与 \(\mathcal{G}\)，得到图表 \[\xymatrix{ X \ar[dd]_f & Z \ar[l] \ar[dd]_{f|_Z} & Z' \ar[l]^g \ar[d]^\pi \\ & & Y' \ar[d]^h \\ S & S \ar@{=}[l] & S' \ar[l]_e }\] 以及满足全部所需性质的点 \(z' \in Z'\)。我们将用引理 057R 把 \(Z'\) 嵌入一个在 \(X\) 上 étale 的概形中。 由于要求 \(X'\) 是 \(S'\) 上的概形，不能直接应用该引理。改为考虑态射 \[\xymatrix{ Z' \ar[r] & Z \times_S S' \ar[r] & X \times_S S' }\] 由《态射》引理 02GW，第一个态射为 étale；第二个态射是闭浸入的基变换，因而为闭浸入。最后，由于 \(X\)、\(S\)、\(S'\)、\(Z\)、\(Z'\) 均仿射，可应用引理 057R，得到仿射概形的 étale 态射 \(X' \to X \times_S S'\)，使得 \[Z' = (Z \times_S S') \times_{(X \times_S S')} X' = Z \times_X X'.\] 由于 \(Z \to X\) 是有限表示闭浸入，\(Z' \to X'\) 亦然。设 \(x' \in X'\) 为与 \(z' \in Z'\) 对应的点。于是补全后的图表 \[\xymatrix{ X \ar[dd] & X' \ar[dd] \ar[l] & Z' \ar[l]^i \ar[d]^\pi \\ & & Y' \ar[d]^h \\ S & S' \ar[l]_e & S' \ar@{=}[l] }\] 就是原问题的一个解。

引理

假设与记号同引理 057S。若 \(f\) 局部有限表示， 则 \(\pi\) 有限表示。在此情形，下列条件等价：

1. \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 的某个邻域上是有限表示 \(\mathcal{O}_X\)-模；

2. \(\mathcal{G}\) 在 \(z'\) 的某个邻域上是有限表示 \(\mathcal{O}_{Z'}\)-模；

3. \(\pi_*\mathcal{G}\) 在 \(y'\) 的某个邻域上是有限表示 \(\mathcal{O}_{Y'}\)-模。

仍假设 \(f\) 局部有限表示，则下列条件也彼此等价：

1. \(\mathcal{F}_x\) 是有限表示 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模；

2. \(\mathcal{G}_{z'}\) 是有限表示 \(\mathcal{O}_{Z', z'}\)-模；

3. \((\pi_*\mathcal{G})_{y'}\) 是有限表示 \(\mathcal{O}_{Y', y'}\)-模。

证明

假设 \(f\) 局部有限表示。由于 \(Z' \to S\) 是这类态射的复合，它也局部 有限表示；见《态射》引理 01TR。注意， \(Y' \to S\) 是光滑态射与 étale 态射的复合，因而也局部有限表示。 故《态射》引理 02FV 蕴含 \(\pi\) 局部有限表示。由于 \(\pi\) 有限，它也分离且拟紧， 因而 \(\pi\) 实际上有限表示。

为证明 (1)、(2)、(3) 等价，还考虑： (4) \(g^*\mathcal{F}\) 在 \(x'\) 的某个邻域上是有限表示 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模。有限表示模的拉回仍有限表示；见模章引理 01BQ。故 (1) \(\Rightarrow\) (4)。Étale 态射 \(g\) 是开的；见《态射》引理 03WT。因此，对 \(x'\) 的任意开邻域 \(U' \subset X'\)，像 \(g(U')\) 是 \(x\) 的开邻域，且 \(\{U' \to g(U')\}\) 是 étale 覆盖。于是由下降章引理 05B0，有 (4) \(\Rightarrow\) (1)。利用下降章引理 05B4 与一些简单拓扑论证 （见《态射进阶》引理 05B8），可知 (4) \(\Leftrightarrow\) (2) \(\Leftrightarrow\) (3)。

为证明 (a)、(b)、(c) 等价，考虑环同态 \[\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X', x'} \to \mathcal{O}_{Z', z'} \leftarrow \mathcal{O}_{Y', y'}\] 第一个环同态忠实平坦。因此 \(\mathcal{F}_x\) 在 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 上有限表示，当且仅当 \(g^*\mathcal{F}_{x'}\) 在 \(\mathcal{O}_{X', x'}\) 上有限表示；见《代数》引理 03C4。第二个环同态满射 （故有限），且按假设有限表示，因此 \(g^*\mathcal{F}_{x'}\) 在 \(\mathcal{O}_{X', x'}\) 上有限表示，当且仅当 \(\mathcal{G}_{z'}\) 在 \(\mathcal{O}_{Z', z'}\) 上有限表示；见《代数》引理 0564。由于 \(\pi\) 有限、 有限表示且 \(\pi^{-1}(\{y'\}) = \{x'\}\)，环同态 \(\mathcal{O}_{Y', y'} \leftarrow \mathcal{O}_{Z', z'}\) 有限且有限表示； 见《态射进阶》引理 05B8。

因此 \(\mathcal{G}_{z'}\) 在 \(\mathcal{O}_{Z', z'}\) 上有限表示， 当且仅当 \(\pi_*\mathcal{G}_{y'}\) 在 \(\mathcal{O}_{Y', y'}\) 上有限表示； 见《代数》引理 0564。

引理

假设与记号同引理 057S。下列条件等价：

1. \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 的某个邻域上于 \(S\) 上平坦；

2. \(\mathcal{G}\) 在 \(z'\) 的某个邻域上于 \(S'\) 上平坦；

3. \(\pi_*\mathcal{G}\) 在 \(y'\) 的某个邻域上于 \(S'\) 上平坦。

下列条件也等价：

1. \(\mathcal{F}_x\) 在 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上平坦；

2. \(\mathcal{G}_{z'}\) 在 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦；

3. \((\pi_*\mathcal{G})_{y'}\) 在 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦。

证明

为证明 (1)、(2)、(3) 等价，还考虑： (4) \(g^*\mathcal{F}\) 在 \(x'\) 的某个邻域上于 \(S\) 上平坦。 我们将使用引理 05B9，不再说明地把在 \(S\) 上平坦与在 \(S'\) 上平坦等同起来。Étale 态射 \(g\) 平坦且为开映射； 见《态射》引理 03WT。因此，对 \(x'\) 的任意 开邻域 \(U' \subset X'\)，像 \(g(U')\) 是 \(x\) 的开邻域，且态射 \(U' \to g(U')\) 满且平坦。故由《态射》引理 02JZ，有 (4) \(\Leftrightarrow\) (1)。注意 \[\Gamma(X', g^*\mathcal{F}) = \Gamma(Z', \mathcal{G}) = \Gamma(Y', \pi_*\mathcal{G})\] 因此，\(g^*\mathcal{F}\)、\(\mathcal{G}\) 与 \(\pi_*\mathcal{G}\) 在 \(S'\) 上平坦三者彼此等价（这里使用了 \(X'\)、\(Z'\)、\(Y'\)、\(S'\) 均仿射）。再用关于仿射邻域的若干略去的拓扑论证（比较《态射进阶》引理 05B8），便得到 (4) \(\Leftrightarrow\) (2) \(\Leftrightarrow\) (3)。

为证明 (a)、(b)、(c) 等价，考虑局部环同态的交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{X', x'} \ar[r]_\iota & \mathcal{O}_{Z', z'} & \mathcal{O}_{Y', y'} \ar[l]^\alpha & \mathcal{O}_{S', s'} \ar[l]^\beta \\ \mathcal{O}_{X, x} \ar[u]^\gamma & & & \mathcal{O}_{S, s} \ar[lll]_\varphi \ar[u]_\epsilon }\] 我们将使用引理 05BA，不再说明地把 在 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上平坦与在 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦 等同起来。同态 \(\gamma\) 忠实平坦。因此 \(\mathcal{F}_x\) 在 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上平坦，当且仅当 \(g^*\mathcal{F}_{x'}\) 在 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦；见《代数》引理 0584。作为 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-模，\(g^*\mathcal{F}_{x'}\)、 \(\mathcal{G}_{z'}\) 与 \(\pi_*\mathcal{G}_{y'}\) 全都同构；见《态射进阶》引理 05B8。 证明完毕。

一步 dévissage

本节解释模的一步 dévissage 是什么。一步 dévissage 在底与靶上 étale 局部存在。我们讨论一步 dévissage 的基变换、Zariski 缩小与 étale 局部化。

定义

设 \(S\) 是概形，\(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，\(\mathcal{F}\) 是有限型 拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，且 \(s \in S\) 为一点。所谓 \(s\) 上 \(\mathcal{F}/X/S\) 的一步 dévissage，是指给定 \(S\) 上概形的态射 \[\xymatrix{ X & Z \ar[l]_i \ar[r]^\pi & Y }\] 以及有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模 \(\mathcal{G}\)，满足：

1. \(X\)、\(S\)、\(Z\)、\(Y\) 均仿射；

2. \(i\) 是有限表示闭浸入；

3. \(\mathcal{F} \cong i_*\mathcal{G}\)；

4. \(\pi\) 有限；

5. 结构态射 \(Y \to S\) 光滑，且其纤维几何不可约、维数为 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s))\)。

此时称 \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G})\) 为 \(s\) 上 \(\mathcal{F}/X/S\) 的一步 dévissage。

注意，这样的一步 dévissage 只有在 \(X\) 与 \(S\) 仿射时才可能存在。 上述定义只要求 \(X\) 在 \(S\) 上（局部）有限型，下文仍在这一设定中工作。 在 [GruRay] 中，作者始终采用如下设定：\(X \to S\) 局部有限表示， 而 \(\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。这样选择的好处是， 询问 \(\mathcal{F}\) 作为 \(\mathcal{O}_X\)-模是否有限表示是“有意义”的， 而在我们的设定中则“没有意义”。有关讨论见《态射进阶》第 05GX 节； 其中的观察表明，在我们的设定下，可考虑 \(\mathcal{F}\) “相对于 \(S\) 局部有限表示”这一条件，并可始终使用该概念。不过，我们将依靠引理 057T 的结果与注记 05HY 中的观察，在问题出现时逐案处理。

定义

设 \(S\) 是概形，\(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，\(\mathcal{F}\) 是有限型 拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(x \in X\) 在 \(S\) 中的像为 \(s\)。 所谓 \(x\) 处 \(\mathcal{F}/X/S\) 的一步 dévissage，是指系统 \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G}, z, y)\)，其中 \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G})\) 是 \(s\) 上 \(\mathcal{F}/X/S\) 的一步 dévissage，并且

1. \(\dim_x(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)) = \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s))\),

2. \(z \in Z\) 是满足 \(i(z) = x\) 与 \(\pi(z) = y\) 的点；

3. \(\pi^{-1}(\{y\}) = \{z\}\)；

4. 扩张 \(\kappa(y)/\kappa(s)\) 是纯超越的。

\(x\) 处 \(\mathcal{F}/X/S\) 的一步 dévissage 只有在 \(X\) 与 \(S\) 仿射时才可能存在。结合定义 05H4 的条件 (5)，条件 (1) 保证 \(Y \to S\) 的相对维数等于 \(\dim_x(\text{Supp}(\mathcal{F}_s))\)。

引理

设 \(f : X \to S\) 是局部有限型概形态射，\(\mathcal{F}\) 是有限型 拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，且 \(x \in X\) 在 \(S\) 中的像为 \(s = f(x)\)。则存在带点概形的交换图 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d]_f & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] \\ }\] 使得 \((S', s') \to (S, s)\) 与 \((X', x') \to (X, x)\) 是初等 étale 邻域，且 \(g^*\mathcal{F}/X'/S'\) 在 \(x'\) 处有一步 dévissage。

证明

这立即由定义 05H5 与引理 057S 得出。

引理

设 \(S\)、\(X\)、\(\mathcal{F}\)、\(s\) 如定义 05H4，且 \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G})\) 是 \(s\) 上 \(\mathcal{F}/X/S\) 的一步 dévissage。设 \((S', s') \to (S, s)\) 是任意带点概形态射。 由这些数据，令 \(X', Z', Y', i', \pi'\) 分别为 \(X, Z, Y, i, \pi\) 沿 \(S' \to S\) 的基变换；令 \(\mathcal{F}'\) 为 \(\mathcal{F}\) 到 \(X'\) 的拉回，\(\mathcal{G}'\) 为 \(\mathcal{G}\) 到 \(Z'\) 的拉回。若 \(S'\) 仿射，则 \((Z', Y', i', \pi', \mathcal{G}')\) 是 \(s'\) 上 \(\mathcal{F}'/X'/S'\) 的一步 dévissage。

证明

仿射概形的纤维积仿射；见概形章引理 01JQ。基变换保持闭浸入、有限表示态射、 有限态射、光滑态射、纤维几何不可约的态射与相对维数为 \(n\) 的态射； 见《态射》诸引理 01QR、 01TS, 01WL, 01VB, 02NK 以及《态射进阶》引理 0555. 由于沿有限态射 \(i\) 的推前与基变换交换，有 \(i'_*\mathcal{G}' \cong \mathcal{F}'\)；见概形上同调章引理 02KG。又有 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)) = \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}'_{s'}))\) 这是因为下式成立，并可应用《态射》引理 02FY： \[\text{Supp}(\mathcal{F}_s) \times_s s' = \text{Supp}(\mathcal{F}'_{s'}).\] 引理得证。

引理

设 \(S\)、\(X\)、\(\mathcal{F}\)、\(x\)、\(s\) 如定义 05H5，且 \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G}, z, y)\) 是 \(x\) 处 \(\mathcal{F}/X/S\) 的一步 dévissage。设带点概形态射 \((S', s') \to (S, s)\) 诱导同构 \(\kappa(s) = \kappa(s')\)。 令 \((Z', Y', i', \pi', \mathcal{G}')\) 如引理 05H7 中所构造，并令 \(x' \in X'\) （分别地，\(z' \in Z'\)、\(y' \in Y'\)）为同时映到 \(x \in X\)（分别地，\(z \in Z\)、\(y \in Y\)）与 \(s' \in S'\) 的唯一一点。若 \(S'\) 仿射，则 \((Z', Y', i', \pi', \mathcal{G}', z', y')\) 是 \(x'\) 处 \(\mathcal{F}'/X'/S'\) 的一步 dévissage。

证明

由引理 05H7， \((Z', Y', i', \pi', \mathcal{G}')\) 是 \(s'\) 上 \(\mathcal{F}'/X'/S'\) 的一步 dévissage。由于假设 \(\kappa(s) = \kappa(s')\) 保证纤维 \(X'_{s'}\)、\(Z'_{s'}\)、\(Y'_{s'}\) 分别同构于 \(X_s\)、\(Z_s\)、\(Y_s\)，定义 05H5 的性质 (1) – (4) 对 \((Z', Y', i', \pi', \mathcal{G}', z', y')\) 成立。

定义

设 \(S\)、\(X\)、\(\mathcal{F}\)、\(x\)、\(s\) 如定义 05H5，且 \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G}, z, y)\) 是 \(x\) 处 \(\mathcal{F}/X/S\) 的一步 dévissage。此情形的一个 标准缩小，是指给定标准开集 \(S' \subset S\)、\(X' \subset X\)、 \(Z' \subset Z\)、\(Y' \subset Y\)，满足 \(s \in S'\)、\(x \in X'\)、 \(z \in Z'\)、\(y \in Y'\)，并且 \[(Z', Y', i|_{Z'}, \pi|_{Z'}, \mathcal{G}|_{Z'}, z, y)\] 是 \(x\) 处 \(\mathcal{F}|_{X'}/X'/S'\) 的一步 dévissage。

引理

假设与记号同定义 05H9。则：

1. 若 \(S' \subset S\) 是 \(s\) 的标准开邻域，则置 \(X' = X_{S'}\)、\(Z' = Z_{S'}\)、\(Y' = Y_{S'}\)，得到一个标准缩小。

2. 设 \(W \subset Y\) 是 \(y\) 的标准开邻域。则存在满足 \(Y' = W \times_S S'\) 的标准缩小。

3. 设 \(U \subset X\) 是 \(x\) 的开邻域。则存在满足 \(X' \subset U\) 的标准缩小。

证明

(1) 立即由引理 05H8 与如下事实得出： 仿射概形态射下标准开集的逆像仍为标准开集；见《代数》引理 00E2。

设 \(W \subset Y\) 如 (2)。由于 \(Y \to S\) 光滑，它是开映射；见《态射》引理 056G。故可找到包含于 \(W\) 之像中的 \(s\) 的标准开邻域 \(S'\)。于是 \(W_{S'} \to S'\) 的纤维是 \(Y \to S\) 在 \(S'\) 上各纤维的非空开子概形，因而也几何不可约。置 \(Y' = W_{S'}\) 与 \(Z' = \pi^{-1}(Y')\)，可见 \(Z' \subset Z\) 是 \(z\) 的标准开邻域。取函数 \(\overline{h} \in \Gamma(Z, \mathcal{O}_Z)\) 使 \(Z' = D(\overline{h})\)。由于 \(i : Z \to X\) 是闭浸入，可找到 \(h \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 使得 \(i^\sharp(h) = \overline{h}\)。取 \(X' = D(h) \subset X\)， 便得到 (2) 所述的标准缩小。

设 \(U \subset X\) 如 (3)。缩小 \(U\) 后，可假设 \(U\) 是标准开集。 由《态射进阶》引理 05B8， 存在 \(y\) 的标准开邻域 \(W \subset Y\)，使得 \(\pi^{-1}(W) \subset i^{-1}(U)\)。应用 (2)，得到标准缩小 \(X', S', Z', Y'\)，其中 \(Y' = W_{S'}\)。由于 \(Z' \subset \pi^{-1}(W) \subset i^{-1}(U)\)，可用 \(X' \cap U\) 替换 \(X'\)（因 \(U\) 也是标准开集，交集仍为标准开集），而不破坏 标准缩小定义中的任何条件。结论得证。

引理

设 \(S\)、\(X\)、\(\mathcal{F}\)、\(x\)、\(s\) 如定义 05H5，且 \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G}, z, y)\) 是 \(x\) 处 \(\mathcal{F}/X/S\) 的一步 dévissage。设 \[\xymatrix{ (Y, y) \ar[d] & (Y', y') \ar[l] \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] 是带点概形的交换图，且水平箭头为初等 étale 邻域。则存在交换图 \[\xymatrix{ & & (X'', x'') \ar[lld] \ar[d] & (Z'', z'') \ar[l] \ar[lld] \ar[d] \\ (X, x) \ar[d] & (Z, z) \ar[l] \ar[d] & (S'', s'') \ar[lld] & (Y'', y'') \ar[lld] \ar[l] \\ (S, s) & (Y, y) \ar[l] }\] 满足下列性质：

1. \((S'', s'') \to (S', s')\) 是初等 étale 邻域，且态射 \(S'' \to S\) 是复合 \(S'' \to S' \to S\)；

2. \(Y''\) 是 \(Y' \times_{S'} S''\) 的开子概形；

3. \(Z'' = Z \times_Y Y''\),

4. \((X'', x'') \to (X, x)\) 是初等 étale 邻域；

5. \((Z'', Y'', i'', \pi'', \mathcal{G}'', z'', y'')\) 是层 \(\mathcal{F}''\) 在 \(x''\) 处的一步 dévissage。

这里 \(\mathcal{F}''\)（分别地，\(\mathcal{G}''\)）是 \(\mathcal{F}\) （分别地，\(\mathcal{G}\)）沿态射 \(X'' \to X\)（分别地，\(Z'' \to Z\)） 的拉回，而 \(i'' : Z'' \to X''\) 与 \(\pi'' : Z'' \to Y''\) 如图所示。

证明

任取初等 étale 邻域 \((S'', s'') \to (S', s')\)，其中 \(S''\) 仿射。 任取包含点 \(y'' = (y', s'')\) 的仿射开邻域 \(Y'' \subset Y' \times_{S'} S''\)。由 (3) 得到仿射的 \((Z'', z'')\)。此外，\(Z_{S''} \to X_{S''}\) 是闭浸入，而 \(Z'' \to Z_{S''}\) 是 étale 态射。因此可应用引理 057R，找到仿射概形的 étale 态射 \(X'' \to X_{S'}\)，使 \(Z'' \cong X'' \times_{X_{S'}} Z_{S'}\)。

记 \(i'' : Z'' \to X''\) 为相应的闭浸入。置 \(x'' = i''(z'')\)， 得到引理所述的交换图。性质 (1)、(2)、(3)、(4) 按构造成立。 故只需为适当选择的 \((S'', s'') \to (S', s')\) 与 \(Y''\) 证明 (5)。

先列出对第一段中任意选择的 \((S'', s'') \to (S', s')\) 与 \(Y''\) 都成立的性质。按构造有 \(Z'' = X'' \times_X Z\)，故 \(i''_*\mathcal{G}'' = \mathcal{F}''\)（记号同引理陈述）；见概形上同调章 引理 02KG。置 \(n = \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)) = \dim_x(\text{Supp}(\mathcal{F}_s))\)。态射 \(Y'' \to S''\) 光滑且相对 维数为 \(n\)：事实上，\(Y' \to S'\) 是相对维数为 \(n\) 的 étale 态射与 相对维数为 \(n\) 的光滑态射之复合 \(Y' \to Y_{S'} \to S'\)，且基变换保持相对维数为 \(n\) 的光滑态射。又有 \(\kappa(y'') = \kappa(y)\) 与 \(\kappa(s) = \kappa(s'')\)，故 \(\kappa(y'')\) 是 \(\kappa(s'')\) 的纯超越扩张。纤维态射 \(X''_{s''} \to X_s\) 是 \(\kappa(s) = \kappa(s'')\) 上仿射概形的 étale 态射，把点 \(x''\) 映到点 \(x\)，并把 \(\mathcal{F}_s\) 拉回为 \(\mathcal{F}''_{s''}\)。因此 \[\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}''_{s''})) = \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)) = n = \dim_x(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)) = \dim_{x''}(\text{Supp}(\mathcal{F}''_{s''}))\] 这是因为维数在 étale 局部化下不变；见下降章引理 04N4。由于 \(\pi'' : Z'' \to Y''\) 是 \(\pi\) 的基变换，\(\pi''\) 有限；又因 \(\kappa(y) = \kappa(y'')\)，有 \(\pi^{-1}(\{y''\}) = \{z''\}\)。

至此，定义 05H4 的所有条件均已验证， 唯有尚未验证 \(Y'' \to S''\) 的纤维几何不可约。一般而言这当然未必成立， 此处将使用 \(\kappa(s) \subset \kappa(y)\) 为纯超越扩张。具体地， 设 \(T \subset Y'_{s'}\) 为包含 \(y' = (y, s')\) 的不可约分支。由于 \(Y'_{s'}\) 在 \(\kappa(s')\) 上光滑， \(T\) 是 \(Y'_{s'}\) 的开子概形。又因 \(\kappa(s') = \kappa(s)\) 在 \(\kappa(y') = \kappa(y)\) 中代数闭，由簇章引理 04KV， \(T\) 几何连通。由于 \(T\) 光滑，\(T\) 几何不可约。于是可应用《态射进阶》引理 057J，找到初等 étale 态射 \((S'', s'') \to (S', s')\) 与仿射开集 \(Y'' \subset Y'_{S''}\)，使得 \(Y'' \to S''\) 的全部纤维几何不可约， 且 \(T = Y''_{s''}\)。缩小（先缩小 \(Y''\)，再缩小 \(S''\)）后，可假设 \(Y''\) 与 \(S''\) 均仿射。引理得证。

引理

设 \(S\)、\(X\)、\(\mathcal{F}\)、\(s\) 如定义 05H4，且 \((Z, Y, i, \pi, \mathcal{G})\) 是 \(s\) 上 \(\mathcal{F}/X/S\) 的一步 dévissage。设 \(\xi \in Y_s\) 为（唯一的）一般点。 则存在整数 \(r > 0\) 与 \(\mathcal{O}_Y\)-模同态 \[\alpha : \mathcal{O}_Y^{\oplus r} \longrightarrow \pi_*\mathcal{G}\] 使得 \[\alpha : \kappa(\xi)^{\oplus r} \longrightarrow (\pi_*\mathcal{G})_\xi \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \xi}} \kappa(\xi)\] 为同构。此外，此时有 \[\dim(\text{Supp}(\Coker(\alpha)_s)) < \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)).\]

证明

按假设，概形 \(S\) 与 \(Y\) 仿射。写作 \(S = \Spec(A)\) 与 \(Y = \Spec(B)\)。由于 \(\pi\) 有限，\(\mathcal{O}_Y\)-模 \(\pi_*\mathcal{G}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模。因此对某个有限 \(B\)-模 \(N\)，有 \(\pi_*\mathcal{G} = \widetilde{N}\)。设 \(\mathfrak p \subset B\) 为与 \(\xi\) 对应的素理想。为得到 \(\alpha\)， 置 \(r = \dim_{\kappa(\mathfrak p)} N \otimes_B \kappa(\mathfrak p)\)， 并选取 \(x_1, \ldots, x_r \in N\)，使其构成 \(N \otimes_B \kappa(\mathfrak p)\) 的一组基。取 \(\alpha : B^{\oplus r} \to N\) 为公式 \(\alpha(b_1, \ldots, b_r) = \sum b_ix_i\) 给出的同态。显然， \(\alpha : \kappa(\mathfrak p)^{\oplus r} \to N \otimes_B \kappa(\mathfrak p)\) 如所需为同构。最后，设 \(\alpha\) 是任意具有此性质的同态。则 \(N' = \Coker(\alpha)\) 是有限 \(B\)-模， 且 \(N' \otimes \kappa(\mathfrak p) = 0\)。由 Nakayama 引理 （《代数》引理 00DV），有 \(N'_{\mathfrak p} = 0\)。纤维 \(Y_s\) 几何不可约、维数为 \(n\)，其一般点为 \(\xi\)；而刚刚已经看到 \(\xi\) 不在 \(\Coker(\alpha)\) 的支集中， 故引理最后一个断言成立。

完全 dévissage

本节解释模的完全 dévissage 是什么，并证明它存在。本节内容主要是记账工作。

定义

设 \(S\) 是概形，\(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，\(\mathcal{F}\) 是有限型 拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，且 \(s \in S\) 为一点。所谓 \(s\) 上 \(\mathcal{F}/X/S\) 的完全 dévissage，是指给定图表 \[\xymatrix{ X & Z_1 \ar[l]^{i_1} \ar[d]^{\pi_1} \\ & Y_1 & Z_2 \ar[l]^{i_2} \ar[d]^{\pi_2} \\ & & Y_2 & Z_3 \ar[l] \ar[d] \\ & & & ... & ... \ar[l] \ar[d] \\ & & & & Y_n }\] 其中各概形均在 \(S\) 上，并给定有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_{Z_k}\)-模 \(\mathcal{G}_k\) 与 \(\mathcal{O}_{Y_k}\)-模同态 \[\alpha_k : \mathcal{O}_{Y_k}^{\oplus r_k} \longrightarrow \pi_{k, *}\mathcal{G}_k, \quad k = 1, \ldots, n\] 满足下列性质：

1. \((Z_1, Y_1, i_1, \pi_1, \mathcal{G}_1)\) 是 \(s\) 上 \(\mathcal{F}/X/S\) 的一步 dévissage；

2. 同态 \(\alpha_k\) 诱导同构 \[\kappa(\xi_k)^{\oplus r_k} \longrightarrow (\pi_{k, *}\mathcal{G}_k)_{\xi_k} \otimes_{\mathcal{O}_{Y_k, \xi_k}} \kappa(\xi_k)\] 其中 \(\xi_k \in (Y_k)_s\) 是唯一的一般点；

3. 对 \(k = 2, \ldots, n\)，系统 \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k)\) 是 \(s\) 上 \(\Coker(\alpha_{k - 1})/Y_{k - 1}/S\) 的一步 dévissage；

4. \(\Coker(\alpha_n) = 0\).

此时称 \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k)_{k = 1, \ldots, n}\) 为 \(s\) 上 \(\mathcal{F}/X/S\) 的完全 dévissage。

定义

设 \(S\) 是概形，\(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，\(\mathcal{F}\) 是有限型 拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(x \in X\) 的像为 \(s \in S\)。 所谓 \(x\) 处 \(\mathcal{F}/X/S\) 的完全 dévissage，是指给定系统 \[(Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k, z_k, y_k)_{k = 1, \ldots, n}\] 使得 \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k)\) 是 \(s\) 上 \(\mathcal{F}/X/S\) 的完全 dévissage，并且

1. \((Z_1, Y_1, i_1, \pi_1, \mathcal{G}_1, z_1, y_1)\) 是 \(x\) 处 \(\mathcal{F}/X/S\) 的一步 dévissage；

2. 对 \(k = 2, \ldots, n\)，系统 \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, z_k, y_k)\) 是 \(y_{k - 1}\) 处 \(\Coker(\alpha_{k - 1})/Y_{k - 1}/S\) 的一步 dévissage。

再次注意，完全 dévissage 只有在 \(X\) 与 \(S\) 仿射时才可能存在。

引理

设 \(S\)、\(X\)、\(\mathcal{F}\)、\(s\) 如定义 05HH，且 \((S', s') \to (S, s)\) 是任意带点概形态射。设 \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k)_{k = 1, \ldots, n}\) 是 \(s\) 上 \(\mathcal{F}/X/S\) 的完全 dévissage。由这些数据， 令 \(X', Z'_k, Y'_k, i'_k, \pi'_k\) 分别为 \(X, Z_k, Y_k, i_k, \pi_k\) 沿 \(S' \to S\) 的基变换；令 \(\mathcal{F}'\) 为 \(\mathcal{F}\) 到 \(X'\) 的拉回，\(\mathcal{G}'_k\) 为 \(\mathcal{G}_k\) 到 \(Z'_k\) 的拉回，\(\alpha'_k\) 为 \(\alpha_k\) 到 \(Y'_k\) 的拉回。若 \(S'\) 仿射，则 \((Z'_k, Y'_k, i'_k, \pi'_k, \mathcal{G}'_k, \alpha'_k)_{k = 1, \ldots, n}\) 是 \(s'\) 上 \(\mathcal{F}'/X'/S'\) 的完全 dévissage。

证明

由引理 05H7，一步 dévissage 的基变换仍为 一步 dévissage。因此只需证明 \(\Coker(\alpha_k)\) 的形成与基变换交换， 且定义 05HH 的条件 (2) 在基变换下保持。 第一个断言成立，因为 \(\pi'_{k, *}\mathcal{G}'_k\) 是 \(\pi_{k, *}\mathcal{G}_k\) 的拉回（由概形上同调章引理 02KG），且 \(\otimes\) 右正合。 第二个断言成立，因为由同一理由有 \[(\pi_{k, *}\mathcal{G}_k)_{\xi_k} \otimes_{\mathcal{O}_{Y_k, \xi_k}} \kappa(\xi_k) \otimes_{\kappa(\xi_k)} \kappa(\xi'_k) \cong (\pi'_{k, *}\mathcal{G}'_k)_{\xi'_k} \otimes_{\mathcal{O}_{Y'_k, \xi'_k}} \kappa(\xi'_k)\] 其中记号含义显然。

引理

设 \(S\)、\(X\)、\(\mathcal{F}\)、\(x\)、\(s\) 如定义 05HI。设带点概形态射 \((S', s') \to (S, s)\) 诱导同构 \(\kappa(s) = \kappa(s')\)。设 \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k, z_k, y_k)_{k = 1, \ldots, n}\) 是 \(x\) 处 \(\mathcal{F}/X/S\) 的完全 dévissage。令 \((Z'_k, Y'_k, i'_k, \pi'_k, \mathcal{G}'_k, \alpha'_k)_{k = 1, \ldots, n}\) 如引理 05HJ 中所构造；令 \(x' \in X'\) （分别地，\(z'_k \in Z'\)、\(y'_k \in Y'\)）为同时映到 \(x \in X\)（分别地，\(z_k \in Z_k\)、\(y_k \in Y_k\)）与 \(s' \in S'\) 的唯一一点。若 \(S'\) 仿射，则 \((Z'_k, Y'_k, i'_k, \pi'_k, \mathcal{G}'_k, \alpha'_k, z'_k, y'_k)_{k = 1, \ldots, n}\) 是 \(x'\) 处 \(\mathcal{F}'/X'/S'\) 的完全 dévissage。

证明

合并引理 05HJ 与 05H8 即得。

定义

设 \(S\)、\(X\)、\(\mathcal{F}\)、\(x\)、\(s\) 如定义 05HI。考虑 \(x\) 处 \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k, z_k, y_k)_{k = 1, \ldots, n}\) 的 \(\mathcal{F}/X/S\) 完全 dévissage。此情形的一个 标准缩小，是指给定标准开集 \(S' \subset S\)、\(X' \subset X\)、 \(Z'_k \subset Z_k\)、\(Y'_k \subset Y_k\)，使得 \(s_k \in S'\)、 \(x_k \in X'\)、\(z_k \in Z'\)、\(y_k \in Y'\)，并且

\[(Z'_k, Y'_k, i'_k, \pi'_k, \mathcal{G}'_k, \alpha'_k, z_k, y_k)_{k = 1, \ldots, n}\] 是 \(x\) 处 \(\mathcal{F}'/X'/S'\) 的一步 dévissage，其中

\(\mathcal{G}'_k = \mathcal{G}_k|_{Z'_k}\)，且 \(\mathcal{F}' = \mathcal{F}|_{X'}\).

引理

假设与记号同定义 05HL。则：

1. 若 \(S' \subset S\) 是 \(s\) 的标准开邻域，则置 \(X' = X_{S'}\)、\(Z'_k = Z_{S'}\)、\(Y'_k = Y_{S'}\)，得到标准缩小。

2. 设 \(W \subset Y_n\) 是 \(y\) 的标准开邻域。则存在满足 \(Y'_n = W \times_S S'\) 的标准缩小。

3. 设 \(U \subset X\) 是 \(x\) 的开邻域。则存在满足 \(X' \subset U\) 的标准缩小。

证明

(1) 立即由引理 05HK 与 05HA 得出。

证明 (2)。为方便起见，记 \(X = Y_0\)。应用引理 05HA (05HC)，找到如下标准缩小： \(S', Y'_{n - 1}, Z'_n, Y'_n\) 它是 \(y_{n - 1}\) 处 \(\Coker(\alpha_{n - 1})/Y_{n - 1}/S\) 的一步 dévissage 的标准缩小，并满足 \(Y'_n = W \times_S S'\)。 重复此过程，找到标准缩小 \(S'', Y''_{n - 2}, Z''_{n - 1}, Y''_{n - 1}\) 它是 \(y_{n - 2}\) 处 \(\Coker(\alpha_{n - 2})/Y_{n - 2}/S\) 的一步 dévissage 的标准缩小，并满足 \(Y''_{n - 1} = Y'_{n - 1} \times_S S''\)。如此继续，直至得到 \(S^{(n)}, Y^{(n)}_0, Z^{(n)}_1, Y^{(n)}_1\). 此时显然，取 \(S^{(n)}\)、\(X^{(n)}\)、 \(Z_k^{(n - k)} \times_S S^{(n)}\) 与 \(Y_k^{(n - k)} \times_S S^{(n)}\)，便得到所需性质的标准缩小。

证明 (3)。对完全 dévissage 的长度作归纳。首先应用引理 05HA (05HD)，找到标准缩小 \(S', X', Z'_1, Y'_1\) 它来自 \(x\) 处 \(\mathcal{F}/X/S\) 的一步 dévissage，且 \(X' \subset U\)。若 \(n = 1\)，结论已得。若 \(n > 1\)，则由归纳假设， 可找到完全 dévissage 的标准缩小 \(S''\)、\(Y''_1\)、\(Z''_k\)、\(Y''_k\)： \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k, z_k, y_k)_{k = 2, \ldots, n}\) 它是 \(x\) 处 \(\Coker(\alpha_1)/Y_1/S\) 的完全 dévissage，且 \(Y''_1 \subset Y'_1\)。利用引理 05HA (05HC)，可找到 \(S''' \subset S'\)、 \(X''' \subset X'\)、\(Z'''_1\) 与 \(Y'''_1 = Y''_1 \times_S S'''\)，它们构成标准缩小。问题的解取为 \[S''', X''', Z'''_1, Y'''_1, Z''_2 \times_S S''', Y''_2 \times_S S''', \ldots, Z''_n \times_S S''', Y''_n \times_S S'''\] 引理证明完毕。

命题

设 \(S\) 是概形，\(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，\(x \in X\) 的像为 \(s \in S\)。则存在交换图 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] 其中水平箭头为初等 étale 邻域，且 \(g^*\mathcal{F}/X'/S'\) 在 \(x\) 处有完全 dévissage。

证明

对整数 \(d = \dim_x(\text{Supp}(\mathcal{F}_s))\) 作归纳。由引理 05H6，存在图表 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] 其中水平箭头为初等 étale 邻域，且 \(g^*\mathcal{F}/X'/S'\) 在 \(x'\) 处有一步 dévissage。由问题的局部性，可用 \((X', x') \to (S', s')\) 替换 \((X, x) \to (S, s)\)。替换后可假设 存在 \(\mathcal{F}/X/S\) 在 \(x\) 处的一步 dévissage \((Z_1, Y_1, i_1, \pi_1, \mathcal{G}_1)\)。

应用引理 05HF，找到同态 \[\alpha_1 : \mathcal{O}_{Y_1}^{\oplus r_1} \longrightarrow \pi_{1, *}\mathcal{G}_1\] 它诱导 \(\kappa(\xi_1)\) 上向量空间的同构，其中 \(\xi_1 \in Y_1\) 是 \(Y_1\) 在 \(s\) 上纤维的唯一一般点。此外， \(\dim_{y_1}(\text{Supp}(\Coker(\alpha_1)_s)) < d\)。 \(\Coker(\alpha_1)_s\) 在 \(y_1\) 处的茎可能为零。在此情形，由引理 05HA (05HC) 缩小 \(Y_1\) 后， 可假设 \(\Coker(\alpha_1) = 0\)，从而得到长度为零的完全 dévissage。

现在假设 \(\Coker(\alpha_1)_s\) 在 \(y_1\) 处的茎非零。在此情形， 由归纳假设存在交换图 [05HS]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ (Y_1, y_1) \ar[d] & (Y'_1, y'_1) \ar[l]^h \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] } } \end{equation}\] 其中水平箭头为初等 étale 邻域，且 \(h^*\Coker(\alpha_1)/Y'_1/S'\) 有完全 dévissage \[(Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k, z_k, y_k)_{k = 2, \ldots, n}\] 于 \(y'_1\)。（特别地，\(i_2 : Z_2 \to Y'_1\) 是到 \(Y'_2\) 的闭浸入。）

此时，把引理 05HE 应用于 \(S, X, \mathcal{F}, x, s\)、系统 \((Z_1, Y_1, i_1, \pi_1, \mathcal{G}_1)\) 与图 (05HS)，得到图表 \[\xymatrix{ & & (X'', x'') \ar[lld] \ar[d] & (Z''_1, z''_1) \ar[l] \ar[lld] \ar[d] \\ (X, x) \ar[d] & (Z_1, z_1) \ar[l] \ar[d] & (S'', s'') \ar[lld] & (Y''_1, y''_1) \ar[lld] \ar[l] \\ (S, s) & (Y_1, y_1) \ar[l] }\] 它具有所引引理列出的全部性质。特别地， \(Y''_1 \subset Y'_1 \times_{S'} S''\)。置 \(X_1 = Y'_1 \times_{S'} S''\)，并记 \(\mathcal{F}_1\) 为 \(\Coker(\alpha_1)\) 的拉回。由引理 05HK，系统 [05HT]\[\begin{equation} (Z_k \times_{S'} S'', Y_k \times_{S'} S'', i''_k, \pi''_k, \mathcal{G}''_k, \alpha''_k, z''_k, y''_k)_{k = 2, \ldots, n} \end{equation}\] 是 \(\mathcal{F}_1\) 到 \(X_1\) 的完全 dévissage。再次由问题的性质， 可用 \((X'', x'') \to (S'', s'')\) 替换 \((X, x) \to (S, s)\)。由此可假设：

1. 存在 \(\mathcal{F}/X/S\) 在 \(x\) 处的一步 dévissage \((Z_1, Y_1, i_1, \pi_1, \mathcal{G}_1)\)；

2. 存在 \(\alpha_1 : \mathcal{O}_{Y_1}^{\oplus r_1} \to \pi_{1, *}\mathcal{G}_1\)，使得 \(\alpha \otimes \kappa(\xi_1)\) 为同构；

3. \(Y_1 \subset X_1\) 是开集，\(y_1 = x_1\)，且 \(\mathcal{F}_1|_{Y_1} \cong \Coker(\alpha_1)\)；

4. 存在完全 dévissage \((Z_k, Y_k, i_k, \pi_k, \mathcal{G}_k, \alpha_k, z_k, y_k)_{k = 2, \ldots, n}\) 它是 \(\mathcal{F}_1/X_1/S\) 在 \(x_1\) 处的完全 dévissage。

为完成证明，只需缩小这一步 dévissage 与完全 dévissage，使二者拼接成 一个完全 dévissage。（建议读者用引理 05HA 与 05HM 自行完成，而不必阅读下述证明。） 由于 \(Y_1 \subset X_1\) 是 \(x_1\) 的开邻域，可应用引理 05HM (05HQ)， 找到数据 (d) 的标准缩小 \(S', X'_1, Z'_2, Y'_2, \ldots, Y'_n\)， 使 \(X'_1 \subset Y_1\)。注意，\(X'_1\) 也是仿射概形 \(Y_1\) 的标准开集。 接着如下缩小数据 (a)：先由引理 05HA (05HB) 把底 \(S\) 缩小到 \(S'\)，再用引理 05HA (05HC) 把所得结果缩小为 \(S''\)、\(X''\)、\(Z''_1\)、\(Y''_1\)，最终满足 \(Y''_1 = X'_1 \times_S S''\) 与 \(S'' \subset S'\)。于是 \[Z''_1, Y''_1, Z'_2 \times_{S'} S'', Y'_2 \times_{S'} S'', \ldots, Y'_n \times_{S'} S''\] 给出所求的完全 dévissage。

再做一些记账工作，得到下列推论。

引理

设 \(X \to S\) 是有限型概形态射，\(\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，且 \(s \in S\) 为一点。则存在初等 étale 邻域 \((S', s') \to (S, s)\) 与 étale 态射 \(h_i : Y_i \to X_{S'}\)，\(i = 1, \ldots, n\)，使得对每个 \(i\)， 在 \(s'\) 上存在 \(\mathcal{F}_i/Y_i/S'\) 的完全 dévissage，其中 \(\mathcal{F}_i\) 是 \(\mathcal{F}\) 到 \(Y_i\) 的拉回，并且 \(X_s = (X_{S'})_{s'} \subset \bigcup h_i(Y_i)\)。

证明

对每一点 \(x \in X_s\)，可找到图表 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] 其中水平箭头为初等 étale 邻域，且 \(g^*\mathcal{F}/X'/S'\) 在 \(x'\) 处有完全 dévissage。由于 \(X \to S\) 有限型，纤维 \(X_s\) 拟紧；又由于上述每个 \(g : X' \to X\) 都是开映射，可用有限多个 \(g(X'_{s'})\) 覆盖 \(X_s\)。因此可找到这类图表的有限族 \[\vcenter{ \xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X'_i, x'_i) \ar[l]^{g_i} \ar[d] \\ (S, s) & (S'_i, s'_i) \ar[l] } } \quad i = 1, \ldots, n\] 使得 \(X_s = \bigcup g_i(X'_i)\)。置 \(S' = S'_1 \times_S \ldots \times_S S'_n\)，并令 \(Y_i = X_i \times_{S'_i} S'\) 为 \(X'_i\) 到 \(S'\) 的基变换。 由引理 05HJ，\(\mathcal{F}\) 到 \(Y_i\) 的拉回在 \(s\) 上有完全 dévissage，结论得证。

代数表述

把具有完全 dévissage 的含义用代数语言写清楚或许有用。为此引入下列概念 （它并不十分有用，所以我们给它一个长得不可思议的名称）。

定义

设 \(R \to S\) 是环同态，\(\mathfrak q\) 是 \(S\) 中位于 \(R\) 的素理想 \(\mathfrak p\) 上方的素理想。所谓环同态 \(R \to S\) 在 \(\mathfrak q\) 处的初等 étale 局部化，是指给定环及相伴素理想的交换图 \[\xymatrix{ S \ar[r] & S' \\ R \ar[u] \ar[r] & R' \ar[u] } \quad\quad \xymatrix{ \mathfrak q \ar@{-}[r] & \mathfrak q' \\ \mathfrak p \ar@{-}[u] \ar@{-}[r] & \mathfrak p' \ar@{-}[u] }\] 使得 \(R \to R'\) 与 \(S \to S'\) 是 étale 环同态，且 \(\kappa(\mathfrak p) = \kappa(\mathfrak p')\) 与 \(\kappa(\mathfrak q) = \kappa(\mathfrak q')\)。

定义

设 \(R \to S\) 是有限型环同态，\(\mathfrak r\) 是 \(R\) 的素理想， \(N\) 是有限 \(S\)-模。所谓 \(\mathfrak r\) 上 \(N/S/R\) 的完全 dévissage，是指给定 \(R\)-代数同态 \[\xymatrix{ & A_1 & & A_2 & & ... & & A_n \\ S \ar[ru] & & B_1 \ar[lu] \ar[ru] & & ... \ar[lu] \ar[ru] & & ... \ar[lu] \ar[ru] & & B_n \ar[lu] }\] 有限 \(A_i\)-模 \(M_i\) 与 \(B_i\)-模同态 \(\alpha_i : B_i^{\oplus r_i} \to M_i\)，满足：

1. \(S \to A_1\) 满且有限表示；

2. \(B_i \to A_{i + 1}\) 满且有限表示；

3. \(B_i \to A_i\) 有限；

4. \(R \to B_i\) 光滑且纤维几何不可约；

5. 作为 \(S\)-模有 \(N \cong M_1\)；

6. 作为 \(B_i\)-模有 \(\Coker(\alpha_i) \cong M_{i + 1}\)；

7. 同态 \(\alpha_i : \kappa(\mathfrak p_i)^{\oplus r_i} \to M_i \otimes_{B_i} \kappa(\mathfrak p_i)\) 为同构， 其中 \(\mathfrak p_i = \mathfrak rB_i\)；

8. \(\Coker(\alpha_n) = 0\).

在此情形，称 \((A_i, B_i, M_i, \alpha_i)_{i = 1, \ldots, n}\) 为 \(\mathfrak r\) 上 \(N/S/R\) 的完全 dévissage。

注

注意，对所有 \(i\)，\(R\)-代数 \(B_i\) 在 \(R\) 上有限表示；当 \(i \geq 2\) 时，\(A_i\) 亦然。若 \(S\) 在 \(R\) 上有限表示，则 \(A_1\) 也在 \(R\) 上有限表示。在此情形，完全 dévissage 中的全部环同态均有限表示。 见《代数》引理 00F4。仍假设 \(S\) 在 \(R\) 上有限表示，则下列条件等价：

1. \(M\) 在 \(S\) 上有限表示；

2. \(M_1\) 在 \(A_1\) 上有限表示；

3. \(M_1\) 在 \(B_1\) 上有限表示；

4. 每个 \(M_i\) 作为 \(A_i\)-模与作为 \(B_i\)-模均有限表示。

等价关系 (1) \(\Leftrightarrow\) (2) 与 (2) \(\Leftrightarrow\) (3) 由《代数》引理 0564 得出。 若 \(M_1\) 有限表示，则 \(\Coker(\alpha_1)\) 也有限表示（见《代数》引理 0519），因而 \(M_2\) 有限表示，依此类推。

定义

设 \(R \to S\) 是有限型环同态，\(\mathfrak q\) 是 \(S\) 中位于 \(R\) 的素理想 \(\mathfrak r\) 上方的素理想，且 \(N\) 是有限 \(S\)-模。 所谓 \(N/S/R\) 在 \(\mathfrak q\) 处的完全 dévissage，是指给定 \(\mathfrak r\) 上 \(N/S/R\) 的完全 dévissage \((A_i, B_i, M_i, \alpha_i)_{i = 1, \ldots, n}\) 与位于 \(\mathfrak r\) 上方的素理想 \(\mathfrak q_i \subset B_i\)，使得

1. \(\kappa(\mathfrak r) \subset \kappa(\mathfrak q_i)\) 是纯超越扩张；

2. 存在唯一的素理想 \(\mathfrak q'_i \subset A_i\) 位于 \(\mathfrak q_i \subset B_i\) 上方；

3. \(\mathfrak q = \mathfrak q'_1 \cap S\)，且 \(\mathfrak q_i = \mathfrak q'_{i + 1} \cap A_i\),

4. \(R \to B_i\) 的相对维数为 \(\dim_{\mathfrak q_i}(\text{Supp}(M_i \otimes_R \kappa(\mathfrak r)))\).

注

设 \(A \to B\) 是有限型环同态，\(N\) 是有限 \(B\)-模，\(\mathfrak q\) 是 \(B\) 中位于 \(A\) 的素理想 \(\mathfrak r\) 上方的素理想。置 \(X = \Spec(B)\)、\(S = \Spec(A)\)，并在 \(X\) 上置 \(\mathcal{F} = \widetilde{N}\)。设 \(x\) 为与 \(\mathfrak q\) 对应的点， \(s \in S\) 为与 \(\mathfrak p\) 对应的点。则

1. 若存在 \(s\) 上 \(\mathcal{F}/X/S\) 的完全 dévissage，则存在 \(\mathfrak p\) 上 \(N/B/A\) 的完全 dévissage；

2. 存在 \(\mathcal{F}/X/S\) 在 \(x\) 处的完全 dévissage，当且仅当存在 \(N/B/A\) 在 \(\mathfrak q\) 处的完全 dévissage。

这里有一点细微差别：在“\(\mathfrak p\) 上 \(N/B/A\) 的完全 dévissage”的表述中，我们省略了相对维数条件，所以 (1) 中的蕴含 只有一个方向。在 \(\mathfrak q\) 处完全 dévissage 的概念中已经包含 此条件。无论如何，我们只会使用如下事实：\(\mathcal{F}/X/S\) 存在完全 dévissage 蕴含 \(N/B/A\) 存在完全 dévissage。

引理

设 \(R \to S\) 是有限型环同态，\(M\) 是有限 \(S\)-模， \(\mathfrak q\) 是 \(S\) 的素理想。则存在环同态 \(R \to S\) 在 \(\mathfrak q\) 处的初等 étale 局部化 \(R' \to S', \mathfrak q', \mathfrak p'\)，使得 \((M \otimes_S S')/S'/R'\) 在 \(\mathfrak q'\) 处存在完全 dévissage。

证明

这是命题 05HR 经由注记 05I0 得到的重述。

局部化与普遍单射同态

引理

设 \(R \to S\) 是环同态，\(N\) 是 \(S\)-模。假设

1. \(R\) 是极大理想为 \(\mathfrak m\) 的局部环；

2. \(\overline{S} = S/\mathfrak m S\) 是诺特环；并且

3. \(\overline{N} = N/\mathfrak m_R N\) 是有限 \(\overline{S}\)-模。

令 \(\Sigma \subset S\) 为由在 \(\overline{N}\) 上不是零因子的元素组成的乘法子集。 则 \(\Sigma^{-1}S\) 是半局部环，其谱由包含于 \(\text{Ass}_S(\overline{N})\) 某一元素的素理想 \(\mathfrak q \subset S\) 组成。 此外，\(\Sigma^{-1}S\) 的任一极大理想都对应于 \(\overline{N}\) 作为 \(\overline{S}\)-模的一个伴随素理想。

证明

注意 \(\text{Ass}_S(\overline{N}) = \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\)，参见 代数，引理 05BY。 由代数，引理 00LC，这是有限集。 记 \(\{\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_r\} = \text{Ass}_S(\overline{N})\)。 由代数，引理 00LD，有 \(\Sigma = S \setminus (\bigcup \mathfrak q_i)\)。 结合代数，引理 00E3 中对 \(\Spec(\Sigma^{-1}S)\) 的描述和代数，引理 00DS， 可知 \(\Sigma^{-1}S\) 的素理想对应于 \(S\) 中包含于某个 \(\mathfrak q_i\) 的素理想。因此，\(\Sigma^{-1}S\) 的极大理想与集合 \(\{\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_r\}\) 中关于包含关系的极大元一一对应。 引理得证。

引理

采用引理 05DE 的假设与记号。再假设

1. \(S\) 是局部环，且 \(R \to S\) 是局部同态；

2. \(S\) 在 \(R\) 上本质有限表示；

3. \(N\) 是有限表示 \(S\)-模；并且

4. \(N\) 在 \(R\) 上平坦。

则每个 \(s \in \Sigma\) 都定义一个普遍单射的 \(R\)-模同态 \(s : N \to N\)，并且同态 \(N \to \Sigma^{-1}N\) 是 \(R\)-普遍单射的。

证明

由代数，引理 046Y，序列 \(0 \to N \to N \to N/sN \to 0\) 正合，且 \(N/sN\) 在 \(R\) 上平坦。 这说明 \(s : N \to N\) 普遍单射；参见代数，引理 00HL。同态 \(N \to \Sigma^{-1}N\) 是同态 \(s : N \to N\) 的有向余极限，因而普遍单射。

引理

设 \(R \to S\) 是环同态，\(N\) 是 \(S\)-模，\(S \to S'\) 是环同态。假设

1. \(R \to S\) 是局部环之间的局部同态；

2. \(S\) 在 \(R\) 上本质有限表示；

3. \(N\) 是有限表示 \(S\)-模；

4. \(N\) 在 \(R\) 上平坦；

5. \(S \to S'\) 平坦；并且

6. \(\Spec(S') \to \Spec(S)\) 的像包含 \(S\) 中位于 \(\mathfrak m_R\) 上方的所有素理想 \(\mathfrak q\)，其中 \(\mathfrak q\) 是 \(N/\mathfrak m_R N\) 的伴随素理想。

则 \(N \to N \otimes_S S'\) 是 \(R\)-普遍单射的。

证明

置 \(N' = N \otimes_R S'\)。考虑交换图 \[\xymatrix{ N \ar[d] \ar[r] & N' \ar[d] \\ \Sigma^{-1}N \ar[r] & \Sigma^{-1}N' }\] 其中 \(\Sigma \subset S\) 是由在 \(N/\mathfrak m_R N\) 上不是零因子的元素组成的集合。 若能证明同态 \(N \to \Sigma^{-1}N'\) 普遍单射，则 \(N \to N'\) 也普遍单射 （参见代数，引理 05CJ）。

由引理 05DE，环 \(\Sigma^{-1}S\) 是半局部环， 其极大理想对应于 \(N/\mathfrak m_R N\) 的伴随素理想。因此，由假设， \(\Spec(\Sigma^{-1}S') \to \Spec(\Sigma^{-1}S)\) 的像包含所有这些极大理想。 由代数，引理 00HQ，环同态 \(\Sigma^{-1}S \to \Sigma^{-1}S'\) 忠实平坦。因而 \(\Sigma^{-1}N \to \Sigma^{-1}N'\)，即同态 \[N \otimes_S \Sigma^{-1}S \longrightarrow N \otimes_S \Sigma^{-1}S'\] 普遍单射；参见代数，引理 05CK 和 05CH。最后应用引理 05DF，可知 \(N \to \Sigma^{-1}N\) 普遍单射。普遍单射模同态的复合仍普遍单射 （参见代数，引理 05CI）， 故 \(N \to \Sigma^{-1}N'\) 普遍单射，得证。

引理

设 \(R \to S\) 是环同态，\(N\) 是 \(S\)-模，\(S \to S'\) 是环同态。假设

1. \(R \to S\) 有限表示，且 \(N\) 是有限表示 \(S\)-模；

2. \(N\) 在 \(R\) 上平坦；

3. \(S \to S'\) 平坦；并且

4. \(\Spec(S') \to \Spec(S)\) 的像包含所有满足下述条件的素理想 \(\mathfrak q\)：若 \(\mathfrak p\) 是 \(\mathfrak q\) 在 \(R\) 中的逆像，则 \(\mathfrak q\) 是 \(N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) 的伴随素理想。

则 \(N \to N \otimes_S S'\) 是 \(R\)-普遍单射的。

证明

由代数，引理 05CL，只须证明： 对于 \(S\) 中位于 \(R\) 的 \(\mathfrak p\) 上方的任一素理想 \(\mathfrak q\)，

\(N_{\mathfrak q} \to (N \otimes_R S')_{\mathfrak q}\) 是 \(R_{\mathfrak p}\)-普遍单射的。因此可将引理 05DG 应用于环同态 \(R_{\mathfrak p} \to S_{\mathfrak q} \to S'_{\mathfrak q}\) 以及模 \(N_{\mathfrak q}\)。

读者不妨将下述引理与代数，引理 00ME、 046Y 以及 第 0ASZ 节的结果比较。 在每种情形中，结论都是同态 \(u : M \to N\) 普遍单射且余核平坦。

引理

设 \((R, \mathfrak m)\) 是局部环，\(u : M \to N\) 是 \(R\)-模同态。 若 \(M\) 是投射 \(R\)-模，\(N\) 是平坦 \(R\)-模，并且 \(\overline{u} : M/\mathfrak mM \to N/\mathfrak mN\) 单射， 则 \(u\) 普遍单射。

证明

由代数，定理 0593，模 \(M\) 自由。 只要对 \(M\) 的每个有限生成直和因子证明结论，引理便随之成立。因此可设 \(M\) 有限自由。将 \(N = \colim_i N_i\) 写成有限自由模的有向余极限； 参见代数，定理 058G。由于 \(M\) 有限自由， 同态 \(u : M \to N\) 对某个 \(i\) 通过 \(N_i\) 分解。将相应的 \(R\)-模同态记为 \(u_i : M \to N_i\)。因为 \(\overline{u}\) 单射，所以 \(\overline{u_i} : M/\mathfrak mM \to N_i/\mathfrak mN_i\) 单射， 并且对每个 \(i' \geq i\)，它与同态 \(N_i/\mathfrak mN_i \to N_{i'}/\mathfrak mN_{i'}\) 的复合仍单射。 由于 \(M\) 和 \(N_{i'}\) 都是局部环 \(R\) 上的有限自由模，这说明对每个 \(i' \geq i\)，\(M \to N_{i'}\) 都是分裂单射。因此，对任一 \(R\)-模 \(Q\)， 以及所有 \(i' \geq i\)，同态 \(M \otimes_R Q \to N_{i'} \otimes_R Q\) 均单射。又因为 \(- \otimes_R Q\) 与余极限交换，故可得

\(M \otimes_R Q \to N_{i'} \otimes_R Q\) 单射，如所要求。

引理

采用引理 05DE 的假设与记号。 再假设 \(N\) 作为 \(R\)-模是投射的。则每个 \(s \in \Sigma\) 都定义一个 普遍单射的 \(R\)-模同态 \(s : N \to N\)，并且同态 \(N \to \Sigma^{-1}N\) 是 \(R\)-普遍单射的。

证明

取 \(s \in \Sigma\)。由引理 05FQ， 同态 \(s : N \to N\) 普遍单射。同态 \(N \to \Sigma^{-1}N\) 是同态 \(s : N \to N\) 的有向余极限，因而普遍单射。

完备化与 Mittag-Leffler 模

引理

设 \(R\) 是环，\(I \subset R\) 是理想，\(A\) 是集合。 假设 \(R\) 是诺特环且关于 \(I\) 完备。则完备化 \((\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R)^\wedge\) 平坦且为 Mittag-Leffler 模。

证明

由《代数进阶》，引理 05BC，同态 \((\bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} R)^\wedge \to \prod_{\alpha \in A} R\) 普遍单射。因此，由代数，引理 058P 和 059N， 只须证明 \(\prod_{\alpha \in A} R\) 平坦且为 Mittag-Leffler 模。 由代数，命题 05CZ （以及代数，引理 05CY），可知 \(\prod_{\alpha \in A} R\) 平坦。又因为 \(R\) 的诸副本之积是 Mittag-Leffler 模，结论成立；参见代数，引理 05D0。

引理

设 \(R\) 是环，\(I \subset R\) 是理想，\(M\) 是 \(R\)-模。假设

1. \(R\) 是诺特环且 \(I\)-进完备；

2. \(M\) 在 \(R\) 上平坦；并且

3. \(M/IM\) 是投射 \(R/I\)-模。

则 \(I\)-进完备化 \(M^\wedge\) 是平坦 Mittag-Leffler \(R\)-模。

证明

选择满射 \(F \to M\)，其中 \(F\) 是自由 \(R\)-模。由代数，引理 05D3，模 \(M^\wedge\) 是模 \(F^\wedge\) 的直和因子。因此只须对 \(F\) 证明引理；此时结论由引理 05DJ 得出。

在引理 05DL 和 05DM 中，若 \(R \to S\) 有限型，则 \(S\) 为诺特环这一假设成立；参见代数，引理 00FN。

引理

设 \(R\) 是环，\(I \subset R\) 是理想，\(R \to S\) 是环同态， \(N\) 是 \(S\)-模。假设

1. \(R\) 是诺特环；

2. \(S\) 是诺特环；

3. \(N\) 是有限 \(S\)-模；并且

4. 对任一有限 \(R\)-模 \(Q\)，每个 \(\mathfrak q \in \text{Ass}_S(Q \otimes_R N)\) 均满足 \(IS + \mathfrak q \not = S\)。

则从 \(N\) 到 \(N\) 的 \(I\)-进完备化的同态 \(N \to N^\wedge\)， 作为 \(R\)-模同态是普遍单射的。

证明

须证明对任一有限 \(R\)-模 \(Q\)，同态 \(Q \otimes_R N \to Q \otimes_R N^\wedge\) 单射；参见代数，定理 058K。由于存在典范同态 \(Q \otimes_R N^\wedge \to (Q \otimes_R N)^\wedge\)，只须证明典范同态 \(Q \otimes_R N \to (Q \otimes_R N)^\wedge\) 单射。因此可用 \(Q \otimes_R N\) 替换 \(N\)，并且只须证明同态 \(N \to N^\wedge\) 单射。

令 \(K = \Ker(N \to N^\wedge)\)。由于 \(N\) 是 \(\prod_{\mathfrak q \in \text{Ass}(N)} N_{\mathfrak q}\) 的子模， 只须对每个 \(\mathfrak q \in \text{Ass}(N)\) 证明 \(K_{\mathfrak q} = 0\)；参见代数，引理 0311。取 \(\mathfrak q \in \text{Ass}(N)\)。由最后一个假设，存在素理想 \(\mathfrak q' \supset IS + \mathfrak q\)。由于 \(K_{\mathfrak q}\) 是 \(K_{\mathfrak q'}\) 的局部化，只须证明 \(K_{\mathfrak q'}\) 为零。 注意 \(K = \bigcap I^nN\)，故 \(K_{\mathfrak q'} \subset \bigcap I^nN_{\mathfrak q'}\)。 由代数，引理 00IP， \(K_{\mathfrak q'} = 0\)。

引理

设 \(R\) 是环，\(I \subset R\) 是理想，\(R \to S\) 是环同态， \(N\) 是 \(S\)-模。假设

1. \(R\) 是诺特环；

2. \(S\) 是诺特环；

3. \(N\) 是有限 \(S\)-模；

4. \(N\) 在 \(R\) 上平坦；并且

5. 对任一素理想 \(\mathfrak q \subset S\)，若它是 \(N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) 的伴随素理想，其中 \(\mathfrak p = R \cap \mathfrak q\)，则有 \(IS + \mathfrak q \not = S\)。

则从 \(N\) 到 \(N\) 的 \(I\)-进完备化的同态 \(N \to N^\wedge\)， 作为 \(R\)-模同态是普遍单射的。

证明

结论由引理 05DL 得出， 因为代数，引理 05C2 和注记 05E0 保证张量积 \(N \otimes_R Q\) 的伴随素理想集合包含于诸模 \(N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) 的伴随素理想集合之中。

投射模

下述引理可用于在基底上作诺特归纳以证明投射性；参见引理 05FS。

引理

设 \(R\) 是环，\(I \subset R\) 是理想，\(R \to S\) 是环同态， \(N\) 是 \(S\)-模。假设

1. \(R\) 是诺特环且 \(I\)-进完备；

2. \(R \to S\) 有限型；

3. \(N\) 是有限 \(S\)-模；

4. \(N\) 在 \(R\) 上平坦；

5. \(N/IN\) 作为 \(R/I\)-模是投射的；并且

6. 对任一素理想 \(\mathfrak q \subset S\)，若它是 \(N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) 的伴随素理想，其中 \(\mathfrak p = R \cap \mathfrak q\)，则有 \(IS + \mathfrak q \not = S\)。

则 \(N\) 作为 \(R\)-模是投射的。

证明

由引理 05DM，同态 \(N \to N^\wedge\) 普遍单射。由引理 05DK，模 \(N^\wedge\) 是 Mittag-Leffler 模。再由代数，引理 059N，\(N\) 是 Mittag-Leffler 模。 因此 \(N\) 作为 \(R\)-模可数生成、平坦且为 Mittag-Leffler 模， 故由代数，引理 059X，它是投射模。

引理

设 \(R\) 是环，\(R \to S\) 是环同态。假设

1. \(R\) 是诺特环；

2. \(R \to S\) 有限型且平坦；并且

3. 每个纤维环 \(S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) 在 \(\kappa(\mathfrak p)\) 上几何整。

则 \(S\) 作为 \(R\)-模是投射的。

证明

考虑集合 \[\{I \subset R \mid S/IS\text{ 作为 }R/I\text{-模不投射}\}\] 须证明此集合为空。反设它非空，则它含有极大元 \(I\)。 令 \(J = \sqrt{I}\) 为其根理想。若 \(I \not = J\)，则 \(S/JS\) 作为 \(R/J\)-模是投射的，\(S/IS\) 在 \(R/I\) 上平坦，并且 \(J/I\) 是 \(R/I\) 中的幂零理想。应用代数，引理 05CG，可知 \(S/IS\) 是投射 \(R/I\)-模，矛盾。因此可设 \(I\) 是根理想。换言之，问题归结为在下述情形 证明引理：\(R\) 是既约环，并且对 \(R\) 的每个非零理想 \(I\)， \(S/IS\) 都是投射 \(R/I\)-模。

假设 \(R\) 是既约环，并且对 \(R\) 的每个非零理想 \(I\)，\(S/IS\) 都是投射 \(R/I\)-模。由一般平坦性，即代数，引理 051R （应用于为整环的局部化 \(R_g\)），或更一般的代数，引理 051Z，存在非零元 \(f \in R\)， 使得 \(S_f\) 是自由 \(R_f\)-模。将 \(R\) 的 \((f)\)-进完备化记为 \(R^\wedge = \lim R/(f^n)\)。注意环同态 \[R \longrightarrow R_f \times R^\wedge\] 忠实平坦；参见代数，引理 00MB。 因此，由投射性的忠实平坦下降（参见代数，定理 05A9），只须证明 \(S \otimes_R R^\wedge\) 是投射 \(R^\wedge\)-模。为此将使用引理 05DP 的判据。首先注意， \(S/fS = (S \otimes_R R^\wedge)/f(S \otimes_R R^\wedge)\) 是投射 \(R/(f)\)-模，并且 \(S \otimes_R R^\wedge\) 作为相应性质的基变换， 在 \(R^\wedge\) 上平坦且有限型。其次，设 \(\mathfrak p^\wedge\) 是 \(R^\wedge\) 的素理想，令 \(\mathfrak p \subset R\) 为 \(R\) 中相应的素理想。 由于 \(R \to S\) 的纤维环几何整，任一基变换的纤维环也如此。因此

\(\mathfrak q^\wedge = \mathfrak p^\wedge(S \otimes_R R^\wedge)\) 是位于 \(\mathfrak p^\wedge\) 上方的素理想，并且是 \(S \otimes_R \kappa(\mathfrak p^\wedge)\) 的唯一伴随素理想。因此，只须有 \(f(S \otimes_R R^\wedge) + \mathfrak q^\wedge \not = S \otimes_R R^\wedge\) 便得证。这确实成立：\(f\) 位于 \(f\)-进完备环 \(R^\wedge\) 的雅可比根中， 所以 \(\mathfrak p^\wedge + fR^\wedge \not = R^\wedge\)；又因为各纤维非空 （不可约空间非空），\(R^\wedge \to S \otimes_R R^\wedge\) 在谱上满射。

引理

设 \(R\) 是环，\(R \to S\) 是环同态。假设

1. \(R \to S\) 有限表示且平坦；并且

2. 每个纤维环 \(S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) 在 \(\kappa(\mathfrak p)\) 上几何整。

则 \(S\) 作为 \(R\)-模是投射的。

证明

可以找到环的余笛卡儿图 \[\xymatrix{ S_0 \ar[r] & S \\ R_0 \ar[u] \ar[r] & R \ar[u] }\] 其中 \(R_0\) 在 \(\mathbf{Z}\) 上有限型，且同态 \(R_0 \to S_0\) 有限型、平坦并具有几何整纤维；参见《态射进阶》，引理 05FE、 05FG, 05FH, 以及 05FL。 由引理 05FS，\(S_0\) 是投射 \(R_0\)-模。因此 \(S = S_0 \otimes_{R_0} R\) 是投射 \(R\)-模； 参见代数，引理 05A3。

注

引理 05FT 是本章后续结果发展中的关键一步。该引理在 [GruRay] 中的对应结果是 [GruRay, I 命题 3.3.1]：若 \(R \to S\) 光滑且纤维几何整， 则 \(S\) 作为 \(R\)-模是投射的。这是引理 05FT 的特殊情形； 不过我们稍后终究会改进该引理，所以此时拥有一个更强结果并无太大收益。 下面简述 [GruRay] 中给出的证明。

1. 先如上归结到 \(R\) 为诺特环的情形。

2. 投射性沿忠实平坦环同态下降；参见代数，定理 05A9。因此可在 \(R\) 的 fppf 拓扑下局部工作，从而可设 \(R \to S\) 有截面 \(\sigma : S \to R\) （只须使用基变换到 \(S\) 的通常技巧）。置 \(I = \Ker(S \to R)\)。

3. 在 \(R\) 上再作一些局部化，可设 \(I/I^2\) 是自由 \(R\)-模，且 \(S\) 关于 \(I\) 的完备化 \(S^\wedge\) 同构于 \(R[[t_1, \ldots, t_n]]\)； 参见《态射》，引理 05D9。 这里使用了 \(R \to S\) 光滑这一事实。

4. 为证明 \(S\) 作为 \(R\)-模是投射的，只须证明 \(S\) 作为 \(R\)-模 平坦、可数生成且为 Mittag-Leffler 模；参见代数，引理 059X。前两个性质显然，故只须证明 \(S\) 作为 \(R\)-模是 Mittag-Leffler 模。由代数，引理 059T，模 \(R[[t_1, \ldots, t_n]]\) 在 \(R\) 上为 Mittag-Leffler 模。因此，代数，引理 059N 表明，只须证明

   \(S \to S^\wedge\) 作为 \(R\)-模同态普遍单射。

5. 应用引理 05DH 可知 \(S \to S^\wedge\) 是 \(R\)-普遍单射的。事实上，由于 \(R \to S\) 具有几何整纤维，任一纤维环的每个伴随点都只是该纤维环的一般点， 而这个一般点属于 \(\Spec(S^\wedge) \to \Spec(S)\) 的像。

刚才概述的证明与导向引理 05FT 之证明的论证发展 彼此类似。在二者中，完备化都起到关键作用；在两处，具有几何整纤维这一 假设都保证从 \(S\) 到 \(S\) 的完备化的同态是 \(R\)-普遍单射的。

有限型平坦模，第一部分

在某些情形下，给定有限表示环同态 \(R \to S\) 与有限 \(S\)-模 \(N\)， \(N\) 在 \(R\) 上平坦蕴含 \(N\) 有限表示。本节将证明这一结论“逐点”成立。 需要指出，命题 05I5 的第一个证明使用 第 057P 节的几何结果，但不使用完全 dévissage 的存在性。

引理

设 \((R, \mathfrak m)\) 是局部环，\(R \to S\) 是具有几何整纤维的有限表示 平坦环同态。记 \(\mathfrak p = \mathfrak mS\)。设 \(\mathfrak q \subset S\) 是位于 \(\mathfrak m\) 上方的素理想，\(N\) 是有限 \(S\)-模。存在 \(r \geq 0\) 以及 \(S\)-模同态 \[\alpha : S^{\oplus r} \longrightarrow N\] 使得 \(\alpha : \kappa(\mathfrak p)^{\oplus r} \to N \otimes_S \kappa(\mathfrak p)\) 是同构。对任一这样的 \(\alpha\)，下列条件等价：

1. \(N_{\mathfrak q}\) 在 \(R\) 上平坦；

2. \(\alpha\) 是 \(R\)-普遍单射的，且 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) 在 \(R\) 上平坦；

3. \(\alpha\) 单射，且 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) 在 \(R\) 上平坦；

4. \(\alpha_{\mathfrak p}\) 是同构，且 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) 在 \(R\) 上平坦；并且

5. \(\alpha_{\mathfrak q}\) 单射，且 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) 在 \(R\) 上平坦。

证明

为得到 \(\alpha\)，置 \(r = \dim_{\kappa(\mathfrak p)} N \otimes_S \kappa(\mathfrak p)\)，并选取 \(x_1, \ldots, x_r \in N\)，使其构成 \(N \otimes_S \kappa(\mathfrak p)\) 的一组基。定义 \(\alpha(s_1, \ldots, s_r) = \sum s_i x_i\)，便证明了存在性。

固定一个 \(\alpha\)。最有意义的蕴含是 (1) \(\Rightarrow\) (2)，先来证明它。 假设 (1)。因为 \(S/\mathfrak mS\) 是分式域为 \(\kappa(\mathfrak p)\) 的整环，可知 \((S/\mathfrak mS)^{\oplus r} \to N_{\mathfrak p}/\mathfrak mN_{\mathfrak p} = N \otimes_S \kappa(\mathfrak p)\) 单射。因此，由引理 05FQ 和 05FT. 同态 \(S^{\oplus r} \to N_{\mathfrak p}\) 是 \(R\)-普遍单射的。 于是 \(S^{\oplus r} \to N\) 是 \(R\)-普遍单射的；参见代数，引理 05CJ。其局部化 \(\alpha_{\mathfrak q}\) 也为 \(R\)-普遍单射；参见代数，引理 05CM。由代数，引理 058P，可知 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) 在 \(R\) 上平坦。

蕴含 (2) \(\Rightarrow\) (3) 是立即的。若 (3) 成立，则 \(\alpha_{\mathfrak p}\) 作为单射模同态的局部化是单射的。由 Nakayama 引理（代数，引理 00DV），\(\alpha_{\mathfrak p}\) 也满射。因此 (3) \(\Rightarrow\) (4)。若 (4) 成立，则 \(\alpha_{\mathfrak p}\) 是同构，而 \(S_{\mathfrak q} \to S_{\mathfrak p}\) 单射，故

\(\alpha\) 单射。事实上，结合引理 05FR 与 05FT，可知 \(S \setminus \mathfrak p\) 中的元素在 \(S\) 上都是非零因子。 因此 (4) \(\Rightarrow\) (5)。最后，若 (5) 成立，则 \(N_{\mathfrak q}\) 作为平坦模的扩张在 \(R\) 上平坦；参见代数，引理 00HM。故 (5) \(\Rightarrow\) (1)，证明完成。

引理

设 \((R, \mathfrak m)\) 是局部环，\(R \to S\) 是有限表示环同态， \(N\) 是有限 \(S\)-模，\(\mathfrak q\) 是 \(S\) 中位于 \(\mathfrak m\) 上方的素理想。假设 \(N_{\mathfrak q}\) 在 \(R\) 上平坦，并且在 \(\mathfrak q\) 处存在 \(N/S/R\) 的完全 dévissage。则 \(N\) 是有限表示 \(S\)-模，作为 \(R\)-模自由，并且存在 \(R\)-模同构 \[N \cong B_1^{\oplus r_1} \oplus \ldots \oplus B_n^{\oplus r_n}\] 其中每个 \(B_i\) 都是具有几何不可约纤维的光滑 \(R\)-代数。

证明

设 \((A_i, B_i, M_i, \alpha_i, \mathfrak q_i)_{i = 1, \ldots, n}\) 为给定的完全 dévissage。对 \(n\) 作归纳以证明引理。注意，\(N\) 作为 \(S\)-模有限表示，当且仅当 \(M_1\) 作为 \(B_1\)-模有限表示；参见注记 05HY。

还要注意，作为 \(R\)-模有 \(N_{\mathfrak q} \cong (M_1)_{\mathfrak q_1}\)， 因为：(a) \(N_{\mathfrak q} \cong (M_1)_{\mathfrak q'_1}\)，其中 \(\mathfrak q'_1\) 是 \(A_1\) 中位于 \(\mathfrak q_1\) 上方的唯一素理想； (b) 由代数，引理 00EA， \((A_1)_{\mathfrak q'_1} = (A_1)_{\mathfrak q_1}\)；从而 (c) \((M_1)_{\mathfrak q'_1} \cong (M_1)_{\mathfrak q_1}\)。 因此 \((M_1)_{\mathfrak q_1}\) 是平坦 \(R\)-模。为证明引理，故可用 \((B_1, M_1)\) 替换 \((S, N)\)。由引理 05I3，同态 \(\alpha_1 : B_1^{\oplus r_1} \to M_1\) 是 \(R\)-普遍单射的，并且

\(\Coker(\alpha_1)_{\mathfrak q}\) 在 \(R\) 上平坦。注意 \((A_i, B_i, M_i, \alpha_i, \mathfrak q_i)_{i = 2, \ldots, n}\) 是 \(\mathfrak q_1\) 处 \(\Coker(\alpha_1)/B_1/R\) 的完全 dévissage。 因此，归纳假设说明 \(\Coker(\alpha_1)\) 是有限表示 \(B_1\)-模， 作为 \(R\)-模自由，并且具有引理中的分解。这又说明 \(M_1\) 是有限表示 \(B_1\)-模；参见代数，引理 0519。进而，作为 \(R\)-模有 \(M_1 \cong B_1^{\oplus r_1} \oplus \Coker(\alpha_1)\)， 从而得到引理中的分解。最后，由引理 05FT，\(B_1\) 作为 \(R\)-模是投射的；再由代数，定理 0593，它作为 \(R\)-模自由。 证明完成。

命题

设 \(f : X \to S\) 是概形态射，\(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的拟凝聚层， \(x \in X\) 的像为 \(s \in S\)。假设

1. \(f\) 局部有限表示；

2. \(\mathcal{F}\) 有限型；并且

3. \(\mathcal{F}\) 在点 \(x\) 处于 \(S\) 上平坦。

则存在初等 étale 邻域 \((S', s') \to (S, s)\) 以及开子概形 \[V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] 它包含 \(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) 中映到 \(x\) 的唯一点， 并且 \(\mathcal{F}\) 在 \(V\) 上的拉回是有限表示 \(\mathcal{O}_V\)-模， 且在 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦。

证明

这个证明较长，但不使用完全 dévissage 的存在性。问题在 \(x\) 与 \(s\) 附近是局部的，故可设 \(X\) 和 \(S\) 仿射。在证明过程中，我们会有限次地

用 \((S, s)\) 的初等 étale 邻域替换 \(S\)。此时目标是在这样的替换之后， 找到包含 \(x\) 的开集 \(V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\)，使得 \(\mathcal{F}|_V\) 在 \(S\) 上平坦且有限表示。当然，在证明的任意阶段，也可 用 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 替换 \(S\)；也就是说，可设 \(S\) 为局部概形。 对整数 \(n = \dim_x(\text{Supp}(\mathcal{F}_s))\) 作归纳以证明命题。

可以选择

1. 初等 étale 邻域 \(g : (X', x') \to (X, x)\) 与 \(e : (S', s') \to (S, s)\)；

2. 交换图 \[\xymatrix{ X \ar[dd]_f & X' \ar[dd] \ar[l]^g & Z' \ar[l]^i \ar[d]^\pi \\ & & Y' \ar[d]^h \\ S & S' \ar[l]_e & S' \ar@{=}[l] }\]

3. 点 \(z' \in Z'\)，满足 \(i(z') = x'\)、\(y' = \pi(z')\)、 \(h(y') = s'\)；

4. 有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_{Z'}\)-模 \(\mathcal{G}\)；

如引理 057S 中所述。按照证明第一段的说明， 将用 \(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) 替换 \(S\)。考虑图 \[\xymatrix{ X_{\mathcal{O}_{S', s'}} \ar[ddr]_f & X'_{\mathcal{O}_{S', s'}} \ar[dd] \ar[l]^g & Z'_{\mathcal{O}_{S', s'}} \ar[l]^i \ar[d]^\pi \\ & & Y'_{\mathcal{O}_{S', s'}} \ar[dl]^h \\ & \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) }\] 这里通过 \(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \to S'\) 对 \(S'\) 上的概形 \(X', Z', Y'\) 作了基变换，并通过 \(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \to S\) 对 \(S\) 上的概形 \(X\) 作了基变换。 \(g\) 仍为 étale；参见引理 05H2。分别用 \(X_{\mathcal{O}_{S', s'}}\)、\(X'_{\mathcal{O}_{S', s'}}\)、 \(Z'_{\mathcal{O}_{S', s'}}\)、\(Y'_{\mathcal{O}_{S', s'}}\) 替换 \(X\)、\(X'\)、\(Z'\)、\(Y'\) 后，可设已有引理 057S 中的图，并且 \(S = S'\) 是闭点为 \(s\) 的局部概形。由引理 057T 和 057U，对 \(Y' \to S\)、层 \(\pi_*\mathcal{G}\) 与点 \(y'\) 的结论蕴含对 \(X \to S\)、\(\mathcal{F}\) 与 \(x\) 的结论。因此可设 \(S\) 局部，且 \(X \to S\) 是仿射概形之间的光滑态射，其纤维几何不可约、 维数为 \(n\)。

归纳的初始情形：\(n = 0\)。因为 \(X \to S\) 光滑，且纤维几何不可约、 维数为 \(0\)，所以 \(X \to S\) 是开浸入；参见下降章，引理 02LC。又因为 \(S\) 局部且闭点属于 \(X \to S\) 的像，故 \(X = S\)。于是 \(\mathcal{F}\) 对应于有限平坦 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 模。在此情形，结论由代数，引理 00NZ 得出；该引理说明 \(\mathcal{F}\) 事实上有限自由。

归纳步骤。假设只要闭纤维中支撑的维数 \(< n\)，结论就成立。记 \(S = \Spec(A)\)、\(X = \Spec(B)\)，并对某个 \(B\)-模 \(N\) 记 \(\mathcal{F} = \widetilde{N}\)。注意 \(A\) 是局部环，将其极大理想记为 \(\mathfrak m\)。由于 \(X \to S\) 的纤维几何不可约， \(\mathfrak p = \mathfrak mB\) 是位于 \(\mathfrak m\) 上方的唯一极小素理想。 最后，令 \(\mathfrak q \subset B\) 为与 \(x\) 对应的素理想。由引理 05I3 可选择同态 \[\alpha : B^{\oplus r} \to N\] 使得 \(\kappa(\mathfrak p)^{\oplus r} \to N \otimes_B \kappa(\mathfrak p)\) 是同构。此外，因为 \(N_{\mathfrak q}\) 在 \(A\) 上平坦，该引理还说明 \(\alpha\) 单射，且 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) 在 \(A\) 上平坦。 置 \(Q = \Coker(\alpha)\)。注意 \(Q/\mathfrak mQ\) 的支撑不包含 \(\mathfrak p\)，所以必有 \(\dim_{\mathfrak q}(\text{Supp}(Q/\mathfrak mQ)) < n\)。综合关于 \(Q\) 的全部已知信息，可将归纳假设应用于 \(Q\)。因此存在初等 étale 态射

\((S', s) \to (S, s)\)，使得结论对 \(B \otimes_A A'\) 上的 \(Q \otimes_A A'\) 成立，其中 \(A' = \mathcal{O}_{S', s'}\)。 用 \(A'\) 替换 \(A\) 后，有正合序列 \[0 \to B^{\oplus r} \to N \to Q \to 0\] （这里使用了上面提到的 \(\alpha\) 单射），其各项均为有限 \(B\)-模； 还得到元素 \(g \in B\)、\(g \not \in \mathfrak q\)，使得 \(Q_g\) 在 \(B_g\) 上有限表示且在 \(A\) 上平坦。由于局部化正合，序列 \[0 \to B_g^{\oplus r} \to N_g \to Q_g \to 0\] 仍正合。因为 \(B_g\) 和 \(Q_g\) 在 \(A\) 上平坦，所以 \(N_g\) 在 \(A\) 上平坦；参见代数，引理 00HM。又因为 \(B_g\) 和 \(Q_g\) 在 \(B_g\) 上有限表示，\(N_g\) 也如此；参见代数，引理 0519。

证明

应用命题 05HR，得到带点概形的交换图 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] 其中水平箭头都是初等 étale 邻域，并且

\(g^*\mathcal{F}/X'/S'\) 在 \(x\) 处有完全 dévissage（特别地，\(S'\) 和 \(X'\) 仿射）。由《态射》，引理 02JZ， \(g^*\mathcal{F}\) 在点 \(x'\) 处于 \(S\) 上平坦；再由引理 05B9，它在点 \(x'\) 处于 \(S'\) 上平坦。 由注记 05I0，可得 \[\Gamma(X', g^*\mathcal{F})/ \Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})/ \Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\] 在 \(\Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})\) 中与 \(x'\) 对应的素理想处有完全 dévissage。可将这个完全 dévissage 基变换到 \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\) 在与 \(s'\) 对应的素理想处的局部环 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)。因此，引理 05I4 说明 \[\Gamma(X', \mathcal{F}') \otimes_{\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})} \mathcal{O}_{S', s'}\] 在 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦，并且在 \(\Gamma(X', \mathcal{O}_{X'}) \otimes_{\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})} \mathcal{O}_{S', s'}\) 上有限表示。 换言之，\(\mathcal{F}\) 在 \(X' \times_{S'} \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) 上的限制有限表示，且在 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦。

由于态射 \(X' \times_{S'} \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) 是 étale 的（引理 05H2），其像 \(V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) 是开子概形；由 étale 下降，\(\mathcal{F}\) 在 \(V\) 上的限制有限表示，且在 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦。这里使用了《态射》，引理 03WT，下降章，引理 05B0，以及《态射》，引理 02JZ。

引理

设 \(f : X \to S\) 是局部有限型概形态射，\(\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，且 \(s \in S\)。则集合 \[\{x \in X_s \mid \mathcal{F}\text{ 在 }x\text{ 处于 }S\text{ 上平坦}\}\] 在纤维 \(X_s\) 中是开集。

证明

设 \(x \in U\)。按命题 05I5，选择初等 étale 邻域 \((S', s') \to (S, s)\) 与开集 \(V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\)。注意，由于 \(\kappa(s) = \kappa(s')\)，有 \(X_{s'} = X_s\)。若 \(x' \in V \cap X_{s'}\)，则 \(\mathcal{F}\) 在 \(X \times_S S'\) 上的拉回 在点 \(x'\) 处于 \(S'\) 上平坦。因此，\(\mathcal{F}\) 在点 \(x'\) 处于 \(S\) 上平坦；参见《态射》，引理 02JZ。 换言之，\(X_s \cap V \subset U\) 是 \(U\) 中点 \(x\) 的开邻域。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射，\(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的拟凝聚层， \(x \in X\) 的像为 \(s \in S\)。假设

1. \(f\) 局部有限型；

2. \(\mathcal{F}\) 有限型；并且

3. \(\mathcal{F}\) 在点 \(x\) 处于 \(S\) 上平坦。

则存在初等 étale 邻域 \((S', s') \to (S, s)\) 以及开子概形 \[V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] 它包含 \(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) 中映到 \(x\) 的唯一点， 并且 \(\mathcal{F}\) 在 \(V\) 上的拉回在 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦。

证明

（本引理与命题 05I5 的唯一区别是， 这里不假设 \(f\) 有限表示。）问题在 \(X\) 和 \(S\) 上是局部的，故可设 \(X\)、\(S\) 仿射。记 \(X = \Spec(B)\)、\(S = \Spec(A)\)，并写成 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/I\)。换言之，得到闭浸入 \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\)。记 \(t = i(x) \in \mathbf{A}^n_S\)。 将命题 05I5 应用于 \(\mathbf{A}^n_S \to S\)、层 \(i_*\mathcal{F}\) 与点 \(t\)，得到初等 étale 邻域 \((S', s') \to (S, s)\) 以及开子概形 \[W \subset \mathbf{A}^n_{\mathcal{O}_{S', s'}}\] 使得 \(i_*\mathcal{F}\) 在 \(W\) 上的拉回在 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦。 这意味着 \(V := W \cap \big(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\big)\) 就是所需的开子概形。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射，\(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的拟凝聚层， \(s \in S\)。假设

1. \(f\) 有限表示；

2. \(\mathcal{F}\) 有限型；并且

3. \(\mathcal{F}\) 在纤维 \(X_s\) 的每一点处于 \(S\) 上平坦。

则存在初等 étale 邻域 \((S', s') \to (S, s)\) 以及开子概形 \[V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] 它包含纤维 \(X_s = X \times_S s'\)，并且 \(\mathcal{F}\) 在 \(V\) 上的拉回 是有限表示 \(\mathcal{O}_V\)-模，且在 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦。

证明

对每个点 \(x \in X_s\)，可应用命题 05I5，找到初等 étale 邻域 \((S_x, s_x) \to (S, s)\) 与开集 \(V_x \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S_x, s_x})\)，使得 \(x \in X_s = X \times_S s_x\) 包含于 \(V_x\)，并且 \(\mathcal{F}\) 在 \(V_x\) 上的拉回是有限表示 \(\mathcal{O}_{V_x}\)-模，且在 \(\mathcal{O}_{S_x, s_x}\) 上平坦。特别地，可将纤维 \((V_x)_{s_x}\) 视为 \(X_s\) 中点 \(x\) 的开邻域。因为 \(X_s\) 拟紧，可找到有限个点 \(x_1, \ldots, x_n \in X_s\)，使得 \(X_s\) 是各 \((V_{x_i})_{s_{x_i}}\) 的并。选择支配每个邻域 \((S_{x_i}, s_{x_i})\) 的初等 étale 邻域 \((S' , s') \to (S, s)\)；参见《态射进阶》，引理 057B。 置 \(V = \bigcup V_i\)，其中 \(V_i\) 是开集 \(V_{x_i}\) 在态射

\[X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \longrightarrow X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S_{x_i}, s_{x_i}})\] 下的逆像。按构造，\(V\) 包含 \(X_s\)；同样按构造，\(\mathcal{F}\) 在 \(V\) 上的拉回是有限表示 \(\mathcal{O}_V\)-模，且在 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射，\(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的拟凝聚层， \(s \in S\)。假设

1. \(f\) 有限型；

2. \(\mathcal{F}\) 有限型；并且

3. \(\mathcal{F}\) 在纤维 \(X_s\) 的每一点处于 \(S\) 上平坦。

则存在初等 étale 邻域 \((S', s') \to (S, s)\) 以及开子概形 \[V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] 它包含纤维 \(X_s = X \times_S s'\)，并且 \(\mathcal{F}\) 在 \(V\) 上的拉回 在 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦。

证明

（本引理与引理 05KU 的唯一区别是， 这里不假设 \(f\) 有限表示。）对每个点 \(x \in X_s\)，可应用引理 05KT，找到初等 étale 邻域 \((S_x, s_x) \to (S, s)\) 与开集 \(V_x \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S_x, s_x})\)，使得 \(x \in X_s = X \times_S s_x\) 包含于 \(V_x\)，并且 \(\mathcal{F}\) 在 \(V_x\) 上的拉回在 \(\mathcal{O}_{S_x, s_x}\) 上平坦。特别地，可将纤维 \((V_x)_{s_x}\) 视为 \(X_s\) 中点 \(x\) 的开邻域。因为 \(X_s\) 拟紧， 可找到有限个点 \(x_1, \ldots, x_n \in X_s\)，使得 \(X_s\) 是各 \((V_{x_i})_{s_{x_i}}\) 的并。选择支配每个邻域 \((S_{x_i}, s_{x_i})\) 的初等 étale 邻域 \((S' , s') \to (S, s)\)；参见《态射进阶》，引理 057B。 置 \(V = \bigcup V_i\)，其中 \(V_i\) 是开集 \(V_{x_i}\) 在态射

\[X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \longrightarrow X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S_{x_i}, s_{x_i}})\] 下的逆像。按构造，\(V\) 包含 \(X_s\)；同样按构造，\(\mathcal{F}\) 在 \(V\) 上的拉回在 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦。

引理

设 \(S\) 是概形，\(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，\(x \in X\) 的像为 \(s \in S\)。若 \(X\) 在点 \(x\) 处于 \(S\) 上平坦，则存在初等 étale 邻域 \((S', s') \to (S, s)\) 以及开子概形 \[V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] 它包含 \(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) 中映到 \(x\) 的唯一点， 并且 \(V \to \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) 平坦且有限表示。

证明

问题在 \(X\) 和 \(S\) 上是局部的，故可设 \(X\)、\(S\) 仿射。记 \(X = \Spec(B)\)、\(S = \Spec(A)\)，并写成 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/I\)。换言之，得到闭浸入 \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\)。记 \(t = i(x) \in \mathbf{A}^n_S\)。 将命题 05I5 应用于 \(\mathbf{A}^n_S \to S\)、层 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{O}_X\) 与点 \(t\)， 得到初等 étale 邻域 \((S', s') \to (S, s)\) 以及开子概形 \[W \subset \mathbf{A}^n_{\mathcal{O}_{S', s'}}\] 使得 \(i_*\mathcal{O}_X\) 的拉回平坦且有限表示。这意味着 \(V := W \cap \big(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\big)\) 就是所需的开子概形。

引理

设 \(f : X \to S\) 是局部有限表示态射，\(\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。若 \(x \in X\)，且 \(\mathcal{F}\) 在点 \(x\) 处于 \(S\) 上平坦，则 \(\mathcal{F}_x\) 是有限表示 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模。

证明

令 \(s = f(x)\)。由命题 05I5， 存在初等 étale 邻域 \((S', s') \to (S, s)\)，使得 \(\mathcal{F}\) 在 \(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) 上的拉回，在与 \(x\) 对应的点 \(x' \in X_{s'} = X_s\) 的某个邻域中有限表示。环同态 \[\mathcal{O}_{X, x} \longrightarrow \mathcal{O}_{X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}), x'} = \mathcal{O}_{X \times_S S', x'}\] 作为 étale 环同态的局部化，是平坦局部同态。因此由下降， \(\mathcal{F}_x\) 在 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 上有限表示；参见代数，引理 03C4（还要使用平坦局部环同态 忠实平坦这一事实；参见代数，引理 00HR）。

引理

设 \(f : X \to S\) 是局部有限型态射，\(x \in X\) 的像为 \(s \in S\)。 若 \(f\) 在点 \(x\) 处于 \(S\) 上平坦，则 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 在 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上本质有限表示。

证明

可设 \(X\) 和 \(S\) 仿射。记 \(X = \Spec(B)\)、\(S = \Spec(A)\)，并写成 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/I\)。换言之，得到闭浸入 \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\)。记 \(t = i(x) \in \mathbf{A}^n_S\)。 将引理 05I7 应用于 \(\mathbf{A}^n_S \to S\)、层 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{O}_X\) 与点 \(t\)， 可得 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 在 \(\mathcal{O}_{\mathbf{A}^n_S, t}\) 上有限表示，这蕴含所求结论。

从开集延拓性质

本节汇集若干下述形式的结果：若 \(f : X \to S\) 是平坦概形态射，且 \(f\) 在 \(S\) 的某个稠密开集上满足某一性质，则 \(f\) 在整个 \(S\) 上满足同一性质。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射，\(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，\(U \subset S\) 是开集。假设

1. \(f\) 局部有限表示；

2. \(\mathcal{F}\) 有限型且在 \(S\) 上平坦；

3. \(U \subset S\) 逆紧且概形论稠密；

4. \(\mathcal{F}|_{f^{-1}U}\) 有限表示。

则 \(\mathcal{F}\) 有限表示。

证明

问题在 \(X\) 和 \(S\) 上是局部的，故可设 \(X\)、\(S\) 仿射。记 \(S = \Spec(A)\)、\(X = \Spec(B)\)。设 \(N\) 是有限 \(B\)-模，且 \(\mathcal{F}\) 是与 \(N\) 相伴的拟凝聚层。对某些 \(f_i \in A\)，有 \(U = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\)；参见代数，引理 00F6。因为 \(U\) 概形论稠密，同态 \(A \to A_{f_1} \times \ldots \times A_{f_n}\) 单射。取位于 \(\mathfrak p \subset A\) 上方的素理想 \(\mathfrak q \subset B\)；它对应于 映到 \(s \in S\) 的点 \(x \in X\)。由引理 05I7，模 \(N_\mathfrak q\) 在 \(B_\mathfrak q\) 上有限表示。选择 \(B\)-模满射 \(\varphi : B^{\oplus m} \to N\)。选择 \(k_1, \ldots, k_t \in \Ker(\varphi)\)，并置 \(N' = B^{\oplus m}/\sum Bk_j\)。存在典范满射 \(N' \to N\)，且 \(N\) 是以这种方式构造的 \(B\)-模 \(N'\) 的滤过余极限。因此可选择 \(k_1, \ldots, k_t\)，使得 (a) \(N'_{f_i} \cong N_{f_i}\)， \(i = 1, \ldots, n\)；以及 (b) \(N'_\mathfrak q \cong N_\mathfrak q\)。 特别地，这说明 \(N'_\mathfrak q\) 在 \(A\) 上平坦。由平坦性的开性 （参见代数，定理 00RC），存在 \(g \in B\)、\(g \not \in \mathfrak q\)，使得 \(N'_g\) 在 \(A\) 上平坦。 考虑交换图 \[\xymatrix{ N'_g \ar[r] \ar[d] & N_g \ar[d] \\ \prod N'_{gf_i} \ar[r] & \prod N_{gf_i} }\] 由 \(k_1, \ldots, k_t\) 的选择，底部箭头是同构。因为 \(A \to \prod A_{f_i}\) 单射且 \(N'_g\) 在 \(A\) 上平坦，左侧竖直箭头单射。 因此顶部水平箭头单射，从而是同构。这证明 \(N_g\) 在 \(B_g\) 上有限表示。 最后应用代数，引理 00EO 即得结论。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射，\(U \subset S\) 是开集。假设

1. \(f\) 局部有限型且平坦；

2. \(U \subset S\) 逆紧且概形论稠密；

3. \(f|_{f^{-1}U} : f^{-1}U \to U\) 局部有限表示。

则 \(f\) 局部有限表示。

证明

问题在 \(X\) 和 \(S\) 上是局部的，故可设 \(X\)、\(S\) 仿射。选择闭浸入 \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\)，并将引理 081N 应用于 \(i_*\mathcal{O}_X\)。省略若干细节。

引理

设 \(f : X \to S\) 是平坦且局部有限型的概形态射，\(U \subset S\) 是稠密 开集，并且 \(X_U \to U\) 的相对维数 \(\leq e\)；参见《态射》，定义 02NJ。若还满足下列条件之一：

1. \(f\) 局部有限表示；或

2. \(U \subset S\) 逆紧；

则 \(f\) 的相对维数 \(\leq e\)。

证明

先证明情形 (1)。设 \(W \subset X\) 是《态射进阶》下列引理中构造并研究的开子概形： 045U 和 054T. 注意，每个纤维的每个一般点都包含于 \(W\)，所以只须对 \(W\) 证明结论。 由于 \(W = \bigcup_{d \geq 0} U_d\)，只须证明当 \(d > e\) 时 \(U_d = \emptyset\)。因为 \(f\) 平坦且局部有限表示，所以它是开态射， 因而 \(f(U_d)\) 是开集（《态射》，引理 01UA）。 因此，若 \(U_d\) 非空，则 \(f(U_d) \cap U \not = \emptyset\)，如所需。

再证明情形 (2)。可用其既约化替换 \(S\)，此时 \(U\) 概形论稠密。 于是由引理 081P， \(f\) 局部有限表示。这样便归结到情形 (1)。

引理

设 \(f : X \to S\) 是平坦固有概形态射，\(U \subset S\) 是稠密开集， 且 \(X_U \to U\) 有限。若 \(f\) 局部有限表示或 \(U \subset S\) 逆紧， 则 \(f\) 有限。

证明

由引理 081L， \(f\) 的纤维维数为零。因此 \(f\) 拟有限（《态射》，引理 0397），从而具有有限 纤维（《态射》，引理 02NH）。故由《态射进阶》， 引理 02LS，\(f\) 有限。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射，\(U \subset S\) 是开集。若

1. \(f\) 分离、局部有限型且平坦；

2. \(f^{-1}(U) \to U\) 是同构；并且

3. \(U \subset S\) 逆紧且概形论稠密；

则 \(f\) 是开浸入。

证明

由引理 081P， 态射 \(f\) 局部有限表示。像 \(f(X) \subset S\) 是开集（《态射》，引理 01UA），故可用 \(f(X)\) 替换 \(S\)。于是须证明 \(f\) 是同构。可设 \(S\) 仿射。还可归结到 \(X\) 拟紧的情形，因为只须证明： 像为 \(S\) 的任一拟紧开集 \(X' \subset X\) 都同构地映到 \(S\)。因此可设 \(f\) 拟紧。由引理 081L，\(f\) 的全部纤维 维数都是 \(0\)。故 \(f\) 拟有限；参见《态射》，引理 0397。 取 \(s \in S\)。选择初等 étale 邻域 \(g : (T, t) \to (S, s)\)，使得 \(X \times_S T = V \amalg W\)，其中 \(V \to T\) 有限且 \(W_t = \emptyset\)；参见《态射进阶》，引理 02LP。将给定态射记为 \(\pi : V \amalg W \to T\)。因为 \(\pi\) 平坦且局部有限表示， \(\pi(V)\) 在 \(T\) 中是开集（《态射》，引理 01UA）。 缩小 \(T\) 后，可设 \(T = \pi(V)\)。由于 \(f\) 在 \(U\) 上是同构， \(\pi\) 在 \(g^{-1}U\) 上是同构。结合 \(\pi(V) = T\)，这说明 \(\pi^{-1}g^{-1}U\) 包含于 \(V\)。由《态射》，引理 081H， \(\pi^{-1}g^{-1}U \subset V \amalg W\) 概形论稠密。因此 \(W = \emptyset\)。于是 \(X \times_S T = V\) 在 \(T\) 上有限。这说明在用 \(s\) 的某个开邻域替换 \(S\) 后，\(f\) 有限；例如可用下降章，引理 02LA。此时 \(f\) 有限局部自由 （《态射》，引理 02KB）；再将 \(S\) 缩小为 \(s\) 的更小开邻域，可设 \(f\) 是某个次数 \(d\) 的有限局部自由态射 （《态射》，引理 04MH）。但由于在稠密 开集 \(U\) 上次数为 \(1\)，显然有 \(d = 1\)。故 \(f\) 是同构。

有限表示平坦模

在某些情形下，给定一个有限表示的环映射 \(R \to S\) 以及一个有限表示的 \(S\)-模 \(N\)，\(N\) 在 \(R\) 上的平坦性蕴含 \(N\) 作为 \(R\)-模是投射的， 至少在用一个 étale 扩张替换 \(S\) 之后如此。

本节汇集若干这类结果。

引理

设 \(R\) 是一个环。设 \(R \to S\) 是一个有限表示的平坦环映射， 其纤维几何整。设 \(\mathfrak q \subset S\) 是位于素理想 \(\mathfrak r \subset R\) 之上的一个素理想。置 \(\mathfrak p = \mathfrak r S\)。设 \(N\) 是一个有限表示的 \(S\)-模。 则存在 \(r \geq 0\) 以及一个 \(S\)-模映射 \[\alpha : S^{\oplus r} \longrightarrow N\] 使得 \(\alpha : \kappa(\mathfrak p)^{\oplus r} \to N \otimes_S \kappa(\mathfrak p)\) 是同构。对于任意这样的 \(\alpha\)，以下条件等价：

1. \(N_{\mathfrak q}\) 是 \(R\)-平坦的；

2. 存在 \(f \in R\)，\(f \not \in \mathfrak r\)，使得 \(\alpha_f : S_f^{\oplus r} \to N_f\) 是 \(R_f\)-普遍单射的，并且存在 \(g \in S\)，\(g \not \in \mathfrak q\)，使得 \(\Coker(\alpha)_g\) 是 \(R\)-平坦的；

3. \(\alpha_{\mathfrak r}\) 是 \(R_{\mathfrak r}\)-普遍单射的，并且 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) 是 \(R\)-平坦的；

4. \(\alpha_{\mathfrak r}\) 是单射，并且 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) 是 \(R\)-平坦的；

5. \(\alpha_{\mathfrak p}\) 是同构，并且 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) 是 \(R\)-平坦的；

6. \(\alpha_{\mathfrak q}\) 是单射，并且 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q}\) 是 \(R\)-平坦的。

证明

为得到 \(\alpha\)，置 \(r = \dim_{\kappa(\mathfrak p)} N \otimes_S \kappa(\mathfrak p)\)，并选取 \(x_1, \ldots, x_r \in N\)，使它们构成 \(N \otimes_S \kappa(\mathfrak p)\) 的一组基。定义 \(\alpha(s_1, \ldots, s_r) = \sum s_i x_i\)。这就证明了存在性。

固定 \(\alpha\) 的一个选择。我们可以将 引理 05I3 应用于映射 \(\alpha_{\mathfrak r} : S_{\mathfrak r}^{\oplus r} \to N_{\mathfrak r}\). 于是可见 (1)、(3)、(4)、(5) 和 (6) 彼此等价。 又因 (2) 蕴含 (3) 也是显然的，我们只需证明 (1) 蕴含 (2)。

假设 (1) 成立。由平坦性的开放性，参见 《代数》，定理 00RC，集合 \[U_1 = \{\mathfrak q' \subset S \mid N_{\mathfrak q'}\text{ 在 }R\text{ 上平坦}\}\] 在 \(\Spec(S)\) 中是开的。由假设，它包含 \(\mathfrak q\)，因而也包含 \(\mathfrak p\)。由于 \(S^{\oplus r}\) 和 \(N\) 都是有限表示的 \(S\)-模，集合 \[U_2 = \{\mathfrak q' \subset S \mid \alpha_{\mathfrak q'}\text{ 是同构}\}\] 在 \(\Spec(S)\) 中是开的，参见 《代数》，引理 05GF。 由 (5)，它包含 \(\mathfrak p\)。因为 \(R \to S\) 是有限表示且平坦的，映射 \(\Phi : \Spec(S) \to \Spec(R)\) 是开映射，参见 《代数》，命题 00I1。 对于任意素理想 \(\mathfrak r' \in \Phi(U_1 \cap U_2)\)，存在一个位于 \(\mathfrak r'\) 之上的素理想 \(\mathfrak q'\)，使得 \(N_{\mathfrak q'}\) 是平坦的且 \(\alpha_{\mathfrak q'}\) 是同构。这蕴含 \(\alpha \otimes \kappa(\mathfrak p')\) 是同构，其中 \(\mathfrak p' = \mathfrak r' S\)。因此，由蕴含关系 (1) \(\Rightarrow\) (3)，\(\alpha_{\mathfrak r'}\) 是 \(R_{\mathfrak r'}\)-普遍单射的。 故若选取 \(f \in R\)，\(f \not \in \mathfrak r\)，使得 \(D(f) \subset \Phi(U_1 \cap U_2)\)，则可推出 \(\alpha_f\) 是 \(R_f\)-普遍单射的，参见 《代数》，引理 05CL。 同样的论证还表明，对于任意 \(\mathfrak q' \in U_1 \cap \Phi^{-1}(\Phi(U_1 \cap U_2))\) 模 \(\Coker(\alpha)_{\mathfrak q'}\) 都是 \(R\)-平坦的。注意 \(\mathfrak q \in U_1 \cap \Phi^{-1}(\Phi(U_1 \cap U_2))\)。 因此可以找到 \(g \in S\)，\(g \not \in \mathfrak q\)，使得 \(D(g) \subset U_1 \cap \Phi^{-1}(\Phi(U_1 \cap U_2))\)，结论得证。

引理

设 \(R \to S\) 是一个有限表示的环映射。设 \(N\) 是一个有限表示的 \(S\)-模，并且在 \(R\) 上平坦。设 \(\mathfrak r \subset R\) 是一个素理想。 假设在 \(\mathfrak r\) 上存在 \(N/S/R\) 的一个完全 dévissage。 则存在 \(f \in R\)，\(f \not \in \mathfrak r\)，使得 \[N_f \cong B_1^{\oplus r_1} \oplus \ldots \oplus B_n^{\oplus r_n}\]

作为 \(R\)-模成立，其中每个 \(B_i\) 都是一个纤维几何不可约的光滑 \(R_f\)-代数。此外，\(N_f\) 作为 \(R_f\)-模是投射的。

证明

设 \((A_i, B_i, M_i, \alpha_i)_{i = 1, \ldots, n}\) 是给定的完全 dévissage。我们对 \(n\) 作归纳来证明该引理。注意，该引理的断言完全 关乎 \(N\) 作为 \(R\)-模的结构。因此可以用 \(M_1\) 替换 \(N\)，并将 \(M_1\) 视为一个 \(B_1\)-模。关于 \(M_1\) 为何是有限表示的 \(B_1\)-模，参见 注记 05HY。由 引理 05IA，在对某个 \(f \in R\)，\(f \not \in \mathfrak r\) 用 \(R_f\) 替换 \(R\) 之后，可以假设 映射 \(\alpha_1 : B_1^{\oplus r_1} \to M_1\) 是 \(R\)-普遍单射的。 由于 \(M_1\) 和 \(B_1^{\oplus r_1}\) 都是 \(R\)-平坦的，并且作为 \(B_1\)-模有限表示，可见 \(\Coker(\alpha_1)\) 是 \(R\)-平坦的 （《代数》，引理 058P）， 且作为 \(B_1\)-模有限表示。注意， \((A_i, B_i, M_i, \alpha_i)_{i = 2, \ldots, n}\) 是 \(\Coker(\alpha_1)\) 的一个完全 dévissage。因此，归纳假设蕴含： 在对某个 \(f \in R\)，\(f \not \in \mathfrak r\) 用 \(R_f\) 替换 \(R\) 后， 可以假设 \(\Coker(\alpha_1)\) 具有该引理所述的分解，并且是投射的。 特别地，

\(M_1 = B_1^{\oplus r_1} \oplus \Coker(\alpha_1)\). 这证明了关于分解的断言。关于投射性的断言来自以下事实：由 引理 05FT， \(B_1\) 作为 \(R\)-模是投射的。

注

引理 05IB 有如下变体：我们弱化平坦性条件，只假设 \(N\) 在位于 \(\mathfrak r\) 之上的某个给定素理想 \(\mathfrak q\) 处平坦；但同时加强 dévissage 条件，假设存在一个在 \(\mathfrak q\) 处的完全 dévissage。 与引理 05I4 比较。

以下是本节的主要结果。

命题

设 \(f : X \to S\) 是一个概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的一个 拟凝聚层。设 \(x \in X\) 的像为 \(s \in S\)。假设

1. \(f\) 局部有限表示；

2. \(\mathcal{F}\) 有限表示；

3. \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处于 \(S\) 上平坦。

则存在带基点概形的一个交换图 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] 其中水平箭头都是初等 étale 邻域，\(X'\)、\(S'\) 都是仿射的，并且 \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) 是一个投射的 \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)-模。

证明

由平坦性的开放性，参见 《态射进阶》，定理 0399， 可以用 \(x\) 的一个开邻域替换 \(X\)，并假设 \(\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上平坦。 接着应用命题 05HR，得到命题所述的 一个图，使得 \(g^*\mathcal{F}/X'/S'\) 在 \(s'\) 上有一个完全 dévissage。（特别地，\(S'\) 和 \(X'\) 都是仿射的。）由 《态射》，引理 02JZ，可见 \(g^*\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上平坦；再由 引理 05B9，可见它在 \(S'\) 上平坦。 通过注记 05I0，我们推出 \[\Gamma(X', g^*\mathcal{F})/ \Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})/ \Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\] 在 \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\) 中对应于 \(s'\) 的素理想上有一个完全 dévissage。因此，引理 05IB 蕴含： 用 \(s'\) 的一个标准开邻域替换 \(S'\) 后，命题的结论成立。

在本节余下部分，我们证明该结果的若干变体。第一个是一个“整体”版本。

引理

设 \(f : X \to S\) 是一个概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的一个 拟凝聚层。设 \(s \in S\)。假设

1. \(f\) 有限表示；

2. \(\mathcal{F}\) 有限表示；

3. \(\mathcal{F}\) 在纤维 \(X_s\) 的每一点处于 \(S\) 上平坦。

则存在一个初等 étale 邻域 \((S', s') \to (S, s)\) 以及概形的一个交换图 \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ S & S' \ar[l] }\] 使得 \(g\) 是 étale 的，\(X_s \subset g(X')\)，概形 \(X'\)、\(S'\) 都是 仿射的，并且 \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) 是一个投射的 \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)-模。

证明

对于每一点 \(x \in X_s\)，可以应用 命题 05ID 找到一个交换图 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (Y_x, y_x) \ar[l]^{g_x} \ar[d] \\ (S, s) & (S_x, s_x) \ar[l] }\] 其水平箭头都是初等 étale 邻域，\(Y_x\)、\(S_x\) 都是仿射的，并且 \(\Gamma(Y_x, g_x^*\mathcal{F})\) 是一个投射的 \(\Gamma(S_x, \mathcal{O}_{S_x})\)-模。特别地， \(g_x(Y_x) \cap X_s\) 是 \(X_s\) 中 \(x\) 的一个开邻域。 由于 \(X_s\) 拟紧，可以找到有限多个点 \(x_1, \ldots, x_n \in X_s\)， 使 \(X_s\) 是各 \(g_{x_i}(Y_{x_i}) \cap X_s\) 的并。选取一个支配每个邻域 \((S_{x_i}, s_{x_i})\) 的初等 étale 邻域 \((S' , s') \to (S, s)\)，参见《态射进阶》， 引理 057B。 还可以假设 \(S'\) 是仿射的。置 \(X' = \coprod Y_{x_i} \times_{S_{x_i}} S'\)，并赋予它显然的态射 \(g : X' \to X\)。由构造，\(g(X')\) 包含 \(X_s\)，并且 \[\Gamma(X', g^*\mathcal{F}) = \bigoplus \Gamma(Y_{x_i}, g_{x_i}^*\mathcal{F}) \otimes_{\Gamma(S_{x_i}, \mathcal{O}_{S_{x_i}})} \Gamma(S', \mathcal{O}_{S'}).\] 这是一个投射的 \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)-模，参见 《代数》，引理 05A3。

以下两个引理是上述结果在 \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_X\) 情形下的改述。

引理

设 \(f : X \to S\) 局部有限表示。设 \(x \in X\) 的像为 \(s \in S\)。 若 \(f\) 在 \(x\) 处于 \(S\) 上平坦，则存在带基点概形的一个交换图 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] 其水平箭头都是初等 étale 邻域，\(X'\)、\(S'\) 都是仿射的，并且 \(\Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})\) 是一个投射的 \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)-模。

证明

这是命题 05ID 的一个特例。

引理

设 \(f : X \to S\) 有限表示。设 \(s \in S\)。若 \(X\) 在 \(X_s\) 的所有点处 于 \(S\) 上平坦，则存在一个初等 étale 邻域 \((S', s') \to (S, s)\) 以及概形的一个交换图 \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ S & S' \ar[l] }\] 其中 \(g\) 是 étale 的，\(X_s \subset g(X')\)，\(X'\)、\(S'\) 都是仿射的， 并且 \(\Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})\) 是一个投射的 \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)-模。

证明

这是引理 05KW 的一个特例。

以下各引理说明命题 05ID 在只假设态射与层为有限型（而不必有限表示）时的推论。

引理

设 \(f : X \to S\) 是一个概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的一个 拟凝聚层。设 \(x \in X\) 的像为 \(s \in S\)。假设

1. \(f\) 局部有限表示；

2. \(\mathcal{F}\) 为有限型；

3. \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处于 \(S\) 上平坦。

则存在一个初等 étale 邻域 \((S', s') \to (S, s)\) 以及带基点概形的 一个交换图 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}), s') \ar[l] }\] 使得 \(X' \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) 是 étale 的， \(\kappa(x) = \kappa(x')\)，概形 \(X'\) 在 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上仿射且 有限表示，层 \(g^*\mathcal{F}\) 在 \(\mathcal{O}_{X'}\) 上有限表示，并且 \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) 是一个自由的 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-模。

证明

为证明该引理，可以用任意初等 étale 邻域替换 \((S, s)\)，也可以用 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 替换 \(S\)。因此，由 命题 05I5，可以假设 \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 的一个邻域中有限表示且在 \(S\) 上平坦。 在此情形下，结论来自 命题 05ID，因为 《代数》，定理 0593 保证在局部环上投射 \(=\) 自由。

引理

设 \(f : X \to S\) 是一个概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的一个 拟凝聚层。设 \(x \in X\) 的像为 \(s \in S\)。假设

1. \(f\) 局部有限型；

2. \(\mathcal{F}\) 为有限型；

3. \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处于 \(S\) 上平坦。

则存在一个初等 étale 邻域 \((S', s') \to (S, s)\) 以及带基点概形的 一个交换图 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}), s') \ar[l] }\] 使得 \(X' \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) 是 étale 的， \(\kappa(x) = \kappa(x')\)，概形 \(X'\) 是仿射的，并且 \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) 是一个自由的 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-模。

证明

（与引理 05KY 唯一的区别在于， 这里不假设 \(f\) 有限表示。）该问题在 \(X\) 与 \(S\) 上都是局部的。 因此可以假设 \(X\) 与 \(S\) 都是仿射的，例如 \(X = \Spec(B)\) 且 \(S = \Spec(A)\)。由于 \(B\) 是有限型 \(A\)-代数， 可以找到一个满射 \(A[x_1, \ldots, x_n] \to B\)。换言之，可以选取 一个闭浸入 \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\)。置 \(t = i(x)\) 且 \(\mathcal{G} = i_*\mathcal{F}\)。注意，作为 \(\mathcal{O}_{S, s}\)-模， \(\mathcal{G}_t \cong \mathcal{F}_x\)。故 \(\mathcal{G}\) 在 \(t\) 处于 \(S\) 上平坦。将引理 05KY 应用于态射 \(\mathbf{A}^n_S \to S\)、点 \(t\) 以及层 \(\mathcal{G}\)。 于是可以找到一个初等 étale 邻域 \((S', s') \to (S, s)\) 以及带基点 概形的一个交换图 \[\xymatrix{ (\mathbf{A}^n_S, t) \ar[d] & (Y, y) \ar[l]^h \ar[d] \\ (S, s) & (\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}), s') \ar[l] }\] 使得 \(Y \to \mathbf{A}^n_{\mathcal{O}_{S', s'}}\) 是 étale 的， \(\kappa(t) = \kappa(y)\)，概形 \(Y\) 是仿射的，并且 \(\Gamma(Y, h^*\mathcal{G})\) 是一个投射的 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-模。于是，\(Y\) 的闭子概形 \(X' = Y \times_{\mathbf{A}^n_S} X\) 给出原问题的一个解。

引理

设 \(f : X \to S\) 是一个概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的一个 拟凝聚层。设 \(s \in S\)。假设

1. \(f\) 有限表示；

2. \(\mathcal{F}\) 为有限型；

3. \(\mathcal{F}\) 在 \(X_s\) 的所有点处于 \(S\) 上平坦。

则存在一个初等 étale 邻域 \((S', s') \to (S, s)\) 以及概形的一个交换图 \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ S & \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \ar[l] }\] 使得 \(X' \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) 是 étale 的， \(X_s = g((X')_{s'})\)，概形 \(X'\) 在 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上仿射且 有限表示，层 \(g^*\mathcal{F}\) 在 \(\mathcal{O}_{X'}\) 上有限表示，并且 \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) 是一个自由的 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-模。

证明

对于每一点 \(x \in X_s\)，可以应用 引理 05KY 找到一个初等 étale 邻域 \((S_x , s_x) \to (S, s)\) 以及一个交换图 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (Y_x, y_x) \ar[l]^{g_x} \ar[d] \\ (S, s) & (\Spec(\mathcal{O}_{S_x, s_x}), s_x) \ar[l] }\] 使得 \(Y_x \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S_x, s_x})\) 是 étale 的， \(\kappa(x) = \kappa(y_x)\)，概形 \(Y_x\) 在 \(\mathcal{O}_{S_x, s_x}\) 上 仿射且有限表示，层 \(g_x^*\mathcal{F}\) 在 \(\mathcal{O}_{Y_x}\) 上有限表示， 并且 \(\Gamma(Y_x, g_x^*\mathcal{F})\) 是一个自由的 \(\mathcal{O}_{S_x, s_x}\)-模。特别地，\(g_x((Y_x)_{s_x})\) 是 \(X_s\) 中 \(x\) 的一个开邻域。由于 \(X_s\) 拟紧，可以找到有限多个点 \(x_1, \ldots, x_n \in X_s\)，使 \(X_s\) 是各 \(g_{x_i}((Y_{x_i})_{s_{x_i}})\) 的并。选取一个支配每个邻域 \((S_{x_i}, s_{x_i})\) 的初等 étale 邻域 \((S' , s') \to (S, s)\)，参见《态射进阶》， 引理 057B。置 \[X' = \coprod Y_{x_i} \times_{\Spec(\mathcal{O}_{S_{x_i}, s_{x_i}})} \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] 并赋予它显然的态射 \(g : X' \to X\)。由构造， \(X_s = g(X'_{s'})\)，并且 \[\Gamma(X', g^*\mathcal{F}) = \bigoplus \Gamma(Y_{x_i}, g_{x_i}^*\mathcal{F}) \otimes_{\mathcal{O}_{S_{x_i}, s_{x_i}}} \mathcal{O}_{S', s'}.\] 这是自由模经基变换所得模的直和，因而是一个自由的 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-模。略去若干次要细节。

引理

设 \(f : X \to S\) 是一个概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的一个 拟凝聚层。设 \(s \in S\)。假设

1. \(f\) 有限型；

2. \(\mathcal{F}\) 为有限型；

3. \(\mathcal{F}\) 在 \(X_s\) 的所有点处于 \(S\) 上平坦。

则存在一个初等 étale 邻域 \((S', s') \to (S, s)\) 以及概形的一个交换图 \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ S & \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \ar[l] }\] 使得 \(X' \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) 是 étale 的， \(X_s = g((X')_{s'})\)，概形 \(X'\) 是仿射的，并且 \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) 是一个自由的 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-模。

证明

（与引理 05L0 唯一的区别在于， 这里不假设 \(f\) 有限表示。）对于每一点 \(x \in X_s\)，可以应用 引理 05KZ 找到一个初等 étale 邻域 \((S_x , s_x) \to (S, s)\) 以及一个交换图 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (Y_x, y_x) \ar[l]^{g_x} \ar[d] \\ (S, s) & (\Spec(\mathcal{O}_{S_x, s_x}), s_x) \ar[l] }\] 使得 \(Y_x \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S_x, s_x})\) 是 étale 的， \(\kappa(x) = \kappa(y_x)\)，概形 \(Y_x\) 是仿射的，并且 \(\Gamma(Y_x, g_x^*\mathcal{F})\) 是一个自由的 \(\mathcal{O}_{S_x, s_x}\)-模。特别地，\(g_x((Y_x)_{s_x})\) 是 \(X_s\) 中 \(x\) 的一个开邻域。由于 \(X_s\) 拟紧，可以找到有限多个点 \(x_1, \ldots, x_n \in X_s\)，使 \(X_s\) 是各 \(g_{x_i}((Y_{x_i})_{s_{x_i}})\) 的并。选取一个支配每个邻域 \((S_{x_i}, s_{x_i})\) 的初等 étale 邻域 \((S' , s') \to (S, s)\)，参见《态射进阶》， 引理 057B。置 \[X' = \coprod Y_{x_i} \times_{\Spec(\mathcal{O}_{S_{x_i}, s_{x_i}})} \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\] 并赋予它显然的态射 \(g : X' \to X\)。由构造， \(X_s = g(X'_{s'})\)，并且 \[\Gamma(X', g^*\mathcal{F}) = \bigoplus \Gamma(Y_{x_i}, g_{x_i}^*\mathcal{F}) \otimes_{\mathcal{O}_{S_{x_i}, s_{x_i}}} \mathcal{O}_{S', s'}.\] 这是自由模经基变换所得模的直和，因而是一个自由的 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-模。

有限型平坦模，第二部分

我们将需要以下引理。

引理

设 \(R \to S\) 是一个有限表示的环映射。设 \(N\) 是一个有限表示的 \(S\)-模。设 \(\mathfrak q \subset S\) 是一个位于 \(\mathfrak p \subset R\) 之上的素理想。置 \(\overline{S} = S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)， \(\overline{\mathfrak q} = \mathfrak q \overline{S}\)，以及 \(\overline{N} = N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)。则可以找到 \(g \in S\)，\(g \not \in \mathfrak q\)，使得 \(\overline{g} \in \mathfrak r\) 对所有满足 \(\mathfrak r \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\) 且 \(\mathfrak r \not \subset \overline{\mathfrak q}\) 的素理想成立。

证明

事实上，若 \(\text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N}) = \{\mathfrak r_1, \ldots, \mathfrak r_n\}\)（有限性来自《代数》， 引理 00LC），则重新编号后可以假设 \[\mathfrak r_1 \subset \overline{\mathfrak q}, \ldots, \mathfrak r_r \subset \overline{\mathfrak q}, \quad \mathfrak r_{r + 1} \not \subset \overline{\mathfrak q}, \ldots, \mathfrak r_n \not \subset \overline{\mathfrak q}\] 由于 \(\overline{\mathfrak q}\) 是素理想，乘积 \(\mathfrak r_{r + 1} \ldots \mathfrak r_n\) 不包含于 \(\overline{\mathfrak q}\)。因此，可以选取 \(\overline{S}\) 中的一个元素 \(a\)，它属于 \(\mathfrak r_{r + 1}, \ldots, \mathfrak r_n\)，但不属于 \(\overline{\mathfrak q}\)。若存在映到 \(a\) 的 \(g \in S\)，则这个 \(g\) 可用。一般而言，可以找到一个非零元素 \(\lambda \in \kappa(\mathfrak p)\)，使得 \(\lambda a\) 是某个 \(g \in S\) 的像。

以下引理在下文有一个稍强的变体，即引理 05II。

引理

设 \(R \to S\) 是一个有限表示的环映射。设 \(N\) 是一个有限表示的 \(S\)-模，并且作为 \(R\)-模平坦。设 \(M\) 是一个 \(R\)-模。 设 \(\mathfrak q\) 是 \(S\) 中位于 \(\mathfrak p \subset R\) 之上的一个 素理想。则 \[\mathfrak q \in \text{WeakAss}_S(M \otimes_R N) \Leftrightarrow \Big( \mathfrak p \in \text{WeakAss}_R(M) \text{ 且 } \overline{\mathfrak q} \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N}) \Big)\] 这里 \(\overline{S} = S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)， \(\overline{\mathfrak q} = \mathfrak q \overline{S}\)，并且 \(\overline{N} = N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\).

证明

按引理 0CU6 选取 \(g \in S\)。 将命题 05ID 应用于概形态射 \(\Spec(S_g) \to \Spec(R)\)、与 \(N_g\) 对应的拟凝聚模， 以及分别对应于素理想 \(\mathfrak qS_g\) 和 \(\mathfrak p\) 的点。 翻译成代数语言，我们得到环的一个交换图 \[\xymatrix{ S \ar[r] & S_g \ar[r] & S' \\ & R \ar[lu] \ar[u] \ar[r] & R' \ar[u] } \quad\quad \xymatrix{ \mathfrak q \ar@{-}[r] \ar@{-}[rd] & \mathfrak qS_g \ar@{-}[d] \ar@{-}[r] & \mathfrak q' \ar@{-}[d] \\ & \mathfrak p \ar@{-}[r] & \mathfrak p' }\] 并带有图中所示的素理想；水平箭头都是 étale 的，并且 \(N \otimes_S S'\) 作为 \(R'\)-模是投射的。置 \(N' = N \otimes_S S'\), \(M' = M \otimes_R R'\),

\(\overline{S}' = S' \otimes_{R'} \kappa(\mathfrak q')\), \(\overline{\mathfrak q}' = \mathfrak q' \overline{S}'\), 以及 \[\overline{N}' = N' \otimes_{R'} \kappa(\mathfrak p') = \overline{N} \otimes_{\overline{S}} \overline{S}'\] 由引理 05FP，有 \[\begin{align*} \text{WeakAss}_{S'}(M' \otimes_{R'} N') & = (\Spec(S') \to \Spec(S))^{-1}\text{WeakAss}_S(M \otimes_R N) \\ \text{WeakAss}_{R'}(M') & = (\Spec(R') \to \Spec(R))^{-1}\text{WeakAss}_R(M) \\ \text{Ass}_{\overline{S}'}(\overline{N}') & = (\Spec(\overline{S}') \to \Spec(\overline{S}))^{-1} \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N}) \end{align*}\] 对 \(\overline{N}\) 和 \(\overline{N}'\) 应用《代数》， 引理 058A。特别地，有 \[\begin{align*} \mathfrak q \in \text{WeakAss}_S(M \otimes_R N) & \Leftrightarrow \mathfrak q' \in \text{WeakAss}_{S'}(M' \otimes_{R'} N') \\ \mathfrak p \in \text{WeakAss}_R(M) & \Leftrightarrow \mathfrak p' \in \text{WeakAss}_{R'}(M') \\ \overline{\mathfrak q} \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N}) & \Leftrightarrow \overline{\mathfrak q}' \in \text{WeakAss}_{\overline{S}'}(\overline{N}') \end{align*}\] 对 \(g\) 的审慎选择以及上面关于 \(\text{Ass}_{\overline{S}'}(\overline{N}')\) 的公式表明 [0CU7]\[\begin{equation} \text{若 }\mathfrak r' \in \text{Ass}_{\overline{S}'}(\overline{N}') \text{ 位于 }\mathfrak r \subset \overline{S}\text{ 上方，则 } \mathfrak r \subset \overline{\mathfrak q} \end{equation}\] 这将是证明后面部分的一个关键观察。下文将不加说明地使用 《代数》，引理 0566 给出的弱伴随素理想 刻画。

假设 \(\overline{\mathfrak q} \not \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\)。 那么 \(\overline{\mathfrak q}' \not \in \text{Ass}_{\overline{S}'}(\overline{N}')\)。 由《代数》，引理 00LD、 00LC 和 00DS ，存在一个元素 \(\overline{a}' \in \overline{\mathfrak q}'\)，它不是 \(\overline{N}'\) 上的零因子。对某个非零 \(\lambda \in \kappa(\mathfrak p)\) 用 \(\lambda \overline{a}'\) 替换 \(\overline{a}'\) 后，可以找到映到 \(\overline{a}'\) 的 \(a' \in \mathfrak q'\)。由 引理 05FR，映射 \(a' : N'_{\mathfrak p'} \to N'_{\mathfrak p'}\) 是 \(R'_{\mathfrak p'}\)-普遍单射的。特别地，映射 \(a' : M' \otimes_{R'} N' \to M' \otimes_{R'} N'\) 在 \(\mathfrak p'\) 处局部化后是单射，因而在 \(\mathfrak q'\) 处局部化后 也是单射。显然，这蕴含 \(\mathfrak q' \not \in \text{WeakAss}_{S'}(M' \otimes_{R'} N')\)。 我们得出：\(\mathfrak q \in \text{WeakAss}_S(M \otimes_R N)\) 蕴含 \(\overline{\mathfrak q} \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\)。

假设 \(\mathfrak q \in \text{WeakAss}_S(M \otimes_R N)\)。我们要证明

\(\mathfrak p \in \text{WeakAss}_S(M)\)。取元素 \(z \in M \otimes_R N\)，使得 \(\mathfrak q\) 是包含 \(J = \text{Ann}_S(z)\) 的极小素理想。设 \(f_i \in \mathfrak p\)， \(i \in I\) 是理想 \(\mathfrak p\) 的一组生成元。由于 \(\mathfrak q\) 位于 \(\mathfrak p\) 之上，对于每个 \(i\)，可以选取 \(n_i \geq 1\) 以及 \(g_i \in S\)，\(g_i \not \in \mathfrak q\)，使得 \(g_i f_i^{n_i} \in J\)，即 \(g_i f_i^{n_i} z = 0\)。 设 \(z' \in (M' \otimes_{R'} N')_{\mathfrak p'}\) 为 \(z\) 的像。 注意，\(z'\) 非零，因为 \(z\) 在 \((M \otimes_R N)_\mathfrak q\) 中的像非零， 并且 \(S_\mathfrak q \to S'_{\mathfrak q'}\) 忠实平坦。我们断言 \(f_i^{n_i} z' = 0\)。

断言的证明：设 \(g'_i \in S'\) 为 \(g_i\) 的像。由关键观察 (0CU7)，可见像 \(\overline{g}'_i \in \overline{S}'\) 不属于 \(\mathfrak r'\)，其中

\(\mathfrak r' \in \text{Ass}_{\overline{S}'}(\overline{N})\)。 于是由引理 05FR，可见 \(g'_i : N'_{\mathfrak p'} \to N'_{\mathfrak p'}\) 是 \(R'_{\mathfrak p'}\)-普遍单射的。特别地，映射 \(g'_i : M' \otimes_{R'} N' \to M' \otimes_{R'} N'\) 在 \(\mathfrak p'\) 处局部化后是单射。由于 \(g_i f_i^{n_i} z' = 0\)， 断言得证。

我们的断言表明，\(z'\) 在 \(R'_{\mathfrak p'}\) 中的零化理想包含各元素 \(f_i^{n_i}\)。由于 \(R \to R'\) 是 étale 的，由《代数》， 引理 00U4，有 \(\mathfrak p'R'_{\mathfrak p'} = \mathfrak pR'_{\mathfrak p'}\) 。因此，\(z'\) 在 \(R'_{\mathfrak p'}\) 中的零化理想的根等于

\(\mathfrak p' R_{\mathfrak p'}\)（这里使用了 \(z'\) 非零）。另一方面， \[z' \in (M' \otimes_{R'} N')_{\mathfrak p'} = M'_{\mathfrak p'} \otimes_{R'_{\mathfrak p'}} N'_{\mathfrak p'}\] 模 \(N'_{\mathfrak p'}\) 在局部环 \(R'_{\mathfrak p'}\) 上投射，因而自由 （《代数》，定理 0593）。 因此，可以找到一个有限自由直和项 \(F' \subset N'_{\mathfrak p'}\)， 使得 \(z' \in M'_{\mathfrak p'} \otimes_{R'_{\mathfrak p'}} F'\)。 若 \(F'\) 的秩为 \(n\)，则可推出 \(\mathfrak p' R'_{\mathfrak p'} \in \text{WeakAss}_{R'_{\mathfrak p'}}({M'_{\mathfrak p'}}^{\oplus n})\). 这蕴含 \(\mathfrak p'R'_{\mathfrak p'} \in \text{WeakAss}(M'_{\mathfrak p'})\) ，例如可由《代数》，引理 0548 得到。 于是 \(\mathfrak p' \in \text{WeakAss}_{R'}(M')\)，进而得到 \(\mathfrak p \in \text{WeakAss}_R(M)\)。这就完成了引理中等价关系的 蕴含“\(\Rightarrow\)”的证明。

假设 \(\mathfrak p \in \text{WeakAss}_R(M)\) 且 \(\overline{\mathfrak q} \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\)。 我们要证明 \(\mathfrak q\) 是 \(M \otimes_R N\) 的一个弱伴随素理想。 注意，\(\overline{\mathfrak q}'\) 是 \(\text{Ass}_{\overline{S}'}(\overline{N}')\) 的一个极大元。 这来自 (0CU7)，以及如下事实： \(\overline{S}'\) 中位于 \(\overline{\mathfrak q}\) 之上的各素理想之间 不存在包含关系（因为 étale 态射的纤维是离散的，参见《态射》， 引理 02GL）。因此，用 \(R', S', \mathfrak p', \mathfrak q', M', N'\) 分别替换 \(R, S, \mathfrak p, \mathfrak q, M, N\) 后，除引理的假设外，还可假设

1. \(\mathfrak p \in \text{WeakAss}_R(M)\)；

2. \(\overline{\mathfrak q} \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\)；

3. \(N\) 作为 \(R\)-模是投射的；

4. \(\overline{\mathfrak q}\) 在 \(\text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\) 中是极大的。

还有一步约化：可以用 \(R, S, M, N\) 在 \(\mathfrak p\) 处的局部化分别 替换它们。这又给出一个条件，即

1. \(R\) 是极大理想为 \(\mathfrak p\) 的局部环。

最后我们将证明 (1) – (5) 蕴含 \(\mathfrak q \in \text{WeakAss}(M \otimes_R N)\).

由于 \(R\) 是局部的且 \(\mathfrak p \in \text{WeakAss}_R(M)\)，可以选取 \(y \in M\)，使其零化理想 \(I\) 的根等于 \(\mathfrak p\)。 对某些 \(\overline{g}_i \in \overline{S}\)，写成 \(\overline{\mathfrak q} = (\overline{g}_1, \ldots, \overline{g}_n)\)。 选取映到 \(\overline{g}_i\) 的 \(g_i \in S\)。那么 \(\mathfrak q = \mathfrak pS + g_1S + \ldots + g_nS\)。考虑映射 \[\Psi : N/IN \longrightarrow (N/IN)^{\oplus n}, \quad z \longmapsto (g_1z, \ldots, g_nz).\] 这是投射 \(R/I\)-模之间的一个同态。由于 \(\mathfrak p/I\) 局部幂零， 局部环 \(R/I\) 是自伴随的（《代数进阶》， 定义 05GM）。映射 \(\Psi \otimes \kappa(\mathfrak p)\) 不是单射，因为 \(\overline{\mathfrak q} \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\)。 因此，《代数进阶》，引理 05GQ 蕴含 \(\Psi\) 不是单射。在 \(\Psi\) 的核中选取一个非零元 \(z \in N/IN\)。由构造，零化理想 \(J = \text{Ann}_S(z)\) 包含 \(IS\) 以及各 \(g_i\)。因此，\(\sqrt{J} \subset S\) 包含 \(\mathfrak q\)。 设 \(\mathfrak s \subset S\) 是包含 \(J\) 的一个极小素理想。那么 \(\mathfrak q \subset \mathfrak s\)，\(\mathfrak s\) 位于 \(\mathfrak p\) 之上，并且 \(\mathfrak s \in \text{WeakAss}_S(N/IN)\)。 最后一个事实来自弱伴随素理想的定义。将该引理已证明的 “\(\Rightarrow\)”部分应用于环映射 \(R \to S\) 以及模 \(R/I\) 和 \(N\)， 得到 \(\overline{\mathfrak s} \in \text{Ass}_{\overline{S}}(\overline{N})\). 由于 \(\overline{\mathfrak q} \subset \overline{\mathfrak s}\)， \(\overline{\mathfrak q}\) 的极大性（见上面的条件 (4)）蕴含 \(\overline{\mathfrak q} = \overline{\mathfrak s}\)。这表明 \(\mathfrak q = \mathfrak s\)，从而得到所需结论。

引理

设 \(S\) 是一个概形。设 \(f : X \to S\) 局部有限型。设 \(x \in X\) 的像为 \(s \in S\)。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的一个有限型拟凝聚层， \(\mathcal{G}\) 是 \(S\) 上的一个拟凝聚层。若 \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处于 \(S\) 上平坦，则 \[x \in \text{WeakAss}_X(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}) \Leftrightarrow s \in \text{WeakAss}_S(\mathcal{G}) \text{ 且 } x \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s).\]

证明

本段将问题约化到 \(f\) 有限表示的情形。该问题在 \(X\) 与 \(S\) 上都是 局部的，故可假设 \(X\) 与 \(S\) 都是仿射的。写成 \(X = \Spec(B)\)、\(S = \Spec(A)\)，并写 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/I\)。换言之，我们得到 \(S\) 上的一个闭浸入 \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\)。记 \(t = i(x) \in \mathbf{A}^n_S\)。 注意，\(i_*\mathcal{F}\) 是 \(\mathbf{A}^n_S\) 上的一个有限型拟凝聚层， 它在 \(t\) 处于 \(S\) 上平坦；并且 \[i_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}) = i_*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{\mathbf{A}^n_S}} p^*\mathcal{G}\] 其中 \(p : \mathbf{A}^n_S \to S\) 是投影。注意，\(t\) 是 \(i_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G})\) 的弱伴随点， 当且仅当 \(x\) 是 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}\) 的弱伴随点，参见 《除子》，引理 05EZ。 类似地，\(x \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\) 当且仅当 \(t \in \text{Ass}_{\mathbf{A}^n_s}((i_*\mathcal{F})_s)\)（参见 《代数》，引理 05BY）。 因此，只需在 \(X = \mathbf{A}^n_S\) 的情形下证明该引理。 于是可以假设 \(X \to S\) 有限表示。

本段将问题约化到 \(\mathcal{F}\) 有限表示且在 \(S\) 上平坦的情形。 按命题 05I5 选取一个初等 étale 邻域 \(e : (S', s') \to (S, s)\) 以及一个开集 \(V \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\)。 设 \(x' \in X' = X \times_S S'\) 是映到 \(x\) 与 \(s'\) 的唯一一点。 那么只需对 \(X' \to S'\)、\(x'\)、\(s'\)、 \((X' \to X)^*\mathcal{F}\) 以及 \(e^*\mathcal{G}\) 证明该断言，参见 引理 05FP。

设 \(v \in V\) 是映到 \(x'\) 的唯一一点，并设 \(s' \in \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) 为闭点。那么 \(\mathcal{O}_{V, v} = \mathcal{O}_{X', x'}\)，且 \(\mathcal{O}_{\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}), s'} = \mathcal{O}_{S', s'}\)；\(\mathcal{F}\) 与 \(\mathcal{G}\) 的拉回的茎也同样。 此外，\(V_{s'} \subset X'_{s'}\) 是一个开子概形。由于一个点为弱伴随点 这一条件只依赖于层的茎，可以将 \(X' \to S'\)、\(x'\)、\(s'\)、\((X' \to X)^*\mathcal{F}\) 以及 \(e^*\mathcal{G}\) 替换为 \(V \to \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\), \(v\), \(s'\), \((V \to X)^*\mathcal{F}\), 以及 \((\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \to S)^*\mathcal{G}\)。 因此可以假设 \(f\) 有限表示，并且 \(\mathcal{F}\) 有限表示且在 \(S\) 上平坦。

假设 \(f\) 有限表示且 \(\mathcal{F}\) 有限表示并在 \(S\) 上平坦。 将 \(X\) 与 \(S\) 分别缩小为 \(x\) 与 \(s\) 的仿射邻域后，此情形由 引理 05IG 处理。

引理

设 \(R \to S\) 是一个本质有限型的环映射。设 \(N\) 是某个有限 \(S\)-模的 一个局部化，并且在 \(R\) 上平坦。设 \(M\) 是一个 \(R\)-模。则 \[\text{WeakAss}_S(M \otimes_R N) = \bigcup\nolimits_{\mathfrak p \in \text{WeakAss}_R(M)} \text{Ass}_{S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)}(N \otimes_R \kappa(\mathfrak p))\]

证明

该引理是引理 05IH 用代数语言作出的翻译。略去翻译的细节。

引理

设 \(f : X \to S\) 是一个局部有限型的态射。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的一个有限型拟凝聚层，并且在 \(S\) 上平坦。设 \(\mathcal{G}\) 是 \(S\) 上的一个拟凝聚层。则有 \[\text{WeakAss}_X(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}) = \bigcup\nolimits_{s \in \text{WeakAss}_S(\mathcal{G})} \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\]

证明

这是引理 05IH 的直接推论。

定理

设 \(f : X \to S\) 是一个概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 是一个拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设

1. \(X \to S\) 局部有限表示；

2. \(\mathcal{F}\) 是有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模；

3. \(S\) 的弱伴随点集在 \(S\) 中局部有限。

则 \(U = \{x \in X \mid \mathcal{F}\text{ 在 }x\text{ 处于 }S\text{ 上平坦}\}\) 在 \(X\) 中是开的，并且 \(\mathcal{F}|_U\) 是有限表示的 \(\mathcal{O}_U\)-模且在 \(S\) 上平坦。

证明

设 \(x \in X\)，使得 \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处于 \(S\) 上平坦。 我们必须找到 \(x\) 的一个开邻域，使 \(\mathcal{F}\) 在该邻域上的限制 是一个有限表示的 \(S\)-平坦模。该问题在 \(X\) 与 \(S\) 上都是局部的， 故可假设 \(X\) 与 \(S\) 都是仿射的。由 引理 05I7，\(\mathcal{F}_x\) 是 一个有限表示的 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-模。因此，由 《代数》，引理 05GJ， 存在一个有限表示的 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}'\) 以及一个映射 \(\varphi : \mathcal{F}' \to \mathcal{F}\)，它诱导同构 \(\varphi_x : \mathcal{F}'_x \to \mathcal{F}_x\)。特别地，可见 \(\mathcal{F}'\) 在 \(x\) 处于 \(S\) 上平坦。因此，由平坦性的开放性 （《态射进阶》，定理 0399）， 缩小 \(X\) 后，可以假设 \(\mathcal{F}'\) 在 \(S\) 上平坦。 由于 \(\mathcal{F}\) 为有限型，再次缩小 \(X\) 后可以假设 \(\varphi\) 是 满射，参见《模》，引理 01B8； 也可以使用 Nakayama 引理（《代数》，引理 00DV）。 由引理 05IJ，有 \[\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}') \subset \bigcup\nolimits_{s \in \text{WeakAss}(S)} \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}'_s)\] 由假设，\(\text{WeakAss}(S)\) 是有限的；又由《除子》， 引理 05AF， \(\text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}'_s)\) 是有限的，故可推出 \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}')\) 是有限的。利用《代数》， 引理 00DS，再次缩小 \(X\) 后，可以假设 \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}')\) 包含于 \(x\) 的一般化点集。 现在考虑 \(\mathcal{K} = \Ker(\varphi)\)。我们有 \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K}) \subset \text{WeakAss}_X(\mathcal{F}')\) （由《除子》，引理 05AN）。 另一方面，\(\varphi_x\) 是同构，而且对于所有 \(x' \leadsto x\)， \(\varphi_{x'}\) 也是同构。我们推出 \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K}) = \emptyset\)，从而由《除子》， 引理 05AP，有 \(\mathcal{K} = 0\)。

引理

设 \(R \to S\) 是一个有限表示的环映射。设 \(M\) 是一个有限 \(S\)-模。 假设 \(\text{WeakAss}_R(R)\) 是有限的。则 \[U = \{\mathfrak q \subset S \mid M_{\mathfrak q}\text{ 在 }R\text{ 上平坦}\}\] 在 \(\Spec(S)\) 中是开的；并且对于每个满足 \(D(g) \subset U\) 的 \(g \in S\)，局部化 \(M_g\) 是一个有限表示的 \(S_g\)-模，且在 \(R\) 上平坦。

证明

这立即来自定理 05IK。

引理

设 \(f : X \to S\) 是一个局部有限型的概形态射。假设 \(S\) 的弱伴随点集 在 \(S\) 中局部有限。则 \(f\) 平坦的各点 \(x \in X\) 构成一个开子概形 \(U \subset X\)，并且 \(U \to S\) 平坦且局部有限表示。

证明

该问题在 \(X\) 与 \(S\) 上都是局部的，故可假设 \(X\) 与 \(S\) 都是仿射的。 那么 \(X \to S\) 对应于一个有限型环映射 \(A \to B\)。选取一个满射 \(A[x_1, \ldots, x_n] \to B\)，并将 \(B\) 视为一个 \(A[x_1, \ldots, x_n]\)-模。应用 引理 05IL 即完成证明。

引理

设 \(f : X \to S\) 是一个局部有限型且平坦的概形态射。若 \(S\) 是整的， 则 \(f\) 局部有限表示。

证明

这是引理 05IM 的特例。

命题

设 \(R\) 是一个整环。设 \(R \to S\) 是一个有限型环映射。 设 \(M\) 是一个有限 \(S\)-模。

1. 若 \(S\) 在 \(R\) 上平坦，则 \(S\) 是一个有限表示的 \(R\)-代数。

2. 若 \(M\) 作为 \(R\)-模平坦，则 \(M\) 作为 \(S\)-模有限表示。

证明

(1) 是引理 05IN 的一个特例。 对于 (2)，选取一个满射 \(R[x_1, \ldots, x_n] \to S\)。 由引理 05IL，可见 \(M\) 作为 \(R[x_1, \ldots, x_n]\)-模有限表示。最后应用《代数》， 引理 0561。

引理

设 \(f : X \to S\) 是一个概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 是一个拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设

1. \(X \to S\) 局部有限型；

2. \(\mathcal{F}\) 是有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模；

3. \(S\) 的弱伴随点集在 \(S\) 中局部有限。

则 \(U = \{x \in X \mid \mathcal{F}\text{ 在 }x\text{ 处于 }S\text{ 上平坦}\}\) 在 \(X\) 中是开的，并且 \(\mathcal{F}|_U\) 在 \(S\) 上平坦且局部相对于 \(S\) 有限表示（参见《态射进阶》，定义 05H1).

证明

该问题在 \(X\) 与 \(S\) 上都是局部的。因此可以假设 \(X\) 与 \(S\) 都是 仿射的。那么可以选取一个闭浸入 \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\)。 将定理 05IK 应用于 \(X' = \mathbf{A}^n_S \to S\) 以及有限型拟凝聚模 \(\mathcal{F}' = i_*\mathcal{F}\)，可得 \[U' = \{x' \in X' \mid \mathcal{F}'\text{ 在 }x'\text{ 处于 }S\text{ 上平坦}\}\] 在 \(X'\) 中是开的，并且 \(\mathcal{F}'|_{U'}\) 有限表示。 由于 \(\mathcal{F}'\) 在 \(X' \setminus i(X)\) 上的限制为零，且对于所有 \(x \in X\) 都有 \(\mathcal{F}'_{i(x)} \cong \mathcal{F}_x\)，可见 \[U' = i(U) \amalg (X' \setminus i(X))\] 因此 \(U = i^{-1}(U')\) 是开的。此外，显然 \(\mathcal{F}'|_{U'} = (i|_U)_*(\mathcal{F}|_U)\). 故由《态射进阶》，引理 09T8 和 09T9. 可推出 \(\mathcal{F}|_U\) 相对于 \(S\) 有限表示。

引理

设 \(R \to S\) 是一个有限型环映射。设 \(M\) 是一个有限 \(S\)-模。 假设 \(\text{WeakAss}_R(R)\) 是有限的。则 \[U = \{\mathfrak q \subset S \mid M_{\mathfrak q}\text{ 在 }R\text{ 上平坦}\}\] 在 \(\Spec(S)\) 中是开的；并且对于每个满足 \(D(g) \subset U\) 的 \(g \in S\)，局部化 \(M_g\) 在 \(R\) 上平坦，且作为 \(S_g\)-模相对于 \(R\) 有限表示（参见《代数进阶》，定义 05GZ).

证明

这是引理 05IQ 用代数语言作出的翻译。

相对纯模的例子

在本节中，我们讨论一些结果的例子；它们将为稍后引入的 相对纯模概念和 非纯性概念提供动机。每个例子都表述为一个 引理。请注意，关于伴随素理想的条件与下列引理中出现的条件相似： 引理 05DH、 05DL, 05DM 和 05DP。 另请参见《代数》，引理 05GB， 其中有相关讨论。

引理

设 \(R\) 是极大理想为 \(\mathfrak m\) 的局部环。设 \(R \to S\) 是一个环映射。 设 \(N\) 是一个 \(S\)-模。假设

1. \(N\) 作为 \(R\)-模是投射的；

2. \(S/\mathfrak mS\) 是 Noether 环，并且 \(N/\mathfrak mN\) 是有限的 \(S/\mathfrak mS\)-模。

则对于任意素理想 \(\mathfrak q \subset S\)，若它是 \(N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) 的伴随素理想，其中 \(\mathfrak p = R \cap \mathfrak q\)，则有 \(\mathfrak q + \mathfrak m S \not = S\)。

证明

注意，引理 05DE 与 05FR 的假设都满足。以下不再另行说明， 直接使用这两个引理的结论。令 \(\Sigma \subset S\) 为在 \(N/\mathfrak mN\) 上不是零因子的元素所成的乘法集。映射 \(N \to \Sigma^{-1}N\) 是 \(R\)-普遍单射的。因此，任何作为 \(N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) 伴随素理想的 \(\mathfrak q \subset S\)，也是 \(\Sigma^{-1}N \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) 的伴随素理想。 显然，这蕴含 \(\mathfrak q\) 对应于 \(\Sigma^{-1}S\) 的一个素理想。 于是 \(\mathfrak q \subset \mathfrak q'\)，其中 \(\mathfrak q'\) 对应于 \(N/\mathfrak mN\) 的一个伴随素理想，结论得证。

以下引理给出这一现象的另一个（稍显无聊的）例子。

引理

设 \(R\) 是一个环。设 \(I \subset R\) 是一个理想。设 \(R \to S\) 是一个环映射。 设 \(N\) 是一个 \(S\)-模。若 \(N\) 是 \(I\)-进完备的，则对于任意 \(R\)-模 \(M\)， 以及任意素理想 \(\mathfrak q \subset S\)，若它是 \(N \otimes_R M\) 的伴随素理想，则有 \(\mathfrak q + I S \not = S\)。

证明

令 \(S^\wedge\) 表示 \(S\) 的 \(I\)-进完备化。注意，\(N\) 是一个 \(S^\wedge\)-模，因而 \(N \otimes_R M\) 也是一个 \(S^\wedge\)-模。 取 \(z \in N \otimes_R M\)，使得 \(\mathfrak q = \text{Ann}_S(z)\)。 由于 \(z \not = 0\)，可见 \(\text{Ann}_{S^\wedge}(z) \not = S^\wedge\)， 从而 \(\mathfrak q S^\wedge \not = S^\wedge\)。因此存在一个极大理想 \(\mathfrak m \subset S^\wedge\)，使得 \(\mathfrak q S^\wedge \subset \mathfrak m\)。 由《代数》，引理 05GI， \(IS^\wedge \subset \mathfrak m\)，结论得证。

注意，以下引理给出引理 05FV 的另一种证明， 因为局部环上的投射模是自由模，参见《代数》，定理 0593。

引理

设 \(R\) 是极大理想为 \(\mathfrak m\) 的局部环。设 \(R \to S\) 是一个环映射。 设 \(N\) 是一个 \(S\)-模，并假设 \(N\) 作为 \(R\)-模同构于有限 \(R\)-模的一个直和。 则对于任意 \(R\)-模 \(M\)， 以及任意素理想 \(\mathfrak q \subset S\)，若它是 \(N \otimes_R M\) 的伴随素理想， 则有 \(\mathfrak q + \mathfrak m S \not = S\)。

证明

写 \(N = \bigoplus_{i \in I} M_i\)，其中每个 \(M_i\) 都是有限的 \(R\)-模。 设 \(M\) 是一个 \(R\)-模，设 \(\mathfrak q \subset S\) 是 \(N \otimes_R M\) 的伴随素理想，并且 \(\mathfrak q + \mathfrak m S = S\)。 取 \(z \in N \otimes_R M\)，使得 \(\mathfrak q = \text{Ann}_S(z)\)。 稍微调整直和分解后，可以假设对于某个 \(1 \in I\) 有 \(z \in M_1 \otimes_R M\)。写成 \(1 = f + \sum x_j g_j\)，其中 \(f \in \mathfrak q\)、\(x_j \in \mathfrak m\)、 \(g_j \in S\)。对于任意 \(g \in S\)，记 \(g'\) 为以下 \(R\)-线性映射： \[M_1 \to N \xrightarrow{g} N \to M_1\] 其中第一个箭头是包含映射，第二个箭头是乘以 \(g\)，第三个箭头是投影映射。 由于每个 \(x_j \in R\)，我们得到等式 \[f' + \sum x_j g'_j = \text{id}_{M_1} \in \text{End}_R(M_1)\] 由 Nakayama 引理（《代数》，引理 00DV），可见 \(f'\) 是满射；于是由《代数》，引理 05G8，可见 \(f'\) 是同构。 特别地，以下映射 \[M_1 \otimes_R M \to N \otimes_R M \xrightarrow{f} N \otimes_R M \to M_1 \otimes_R M\] 是同构。这与 \(fz = 0\) 的假设矛盾。

引理

设 \(R\) 是极大理想为 \(\mathfrak m\) 的 Hensel 局部环。设 \(R \to S\) 是一个环映射。 设 \(N\) 是一个 \(S\)-模。假设 \(N\) 作为 \(R\)-模是可数生成的且为 Mittag-Leffler 模。则对于任意 \(R\)-模 \(M\) 以及任意素理想 \(\mathfrak q \subset S\)，若它是 \(N \otimes_R M\) 的伴随素理想，则有 \(\mathfrak q + \mathfrak m S \not = S\).

证明

由《代数》，引理 05D6，该引理约化为 引理 05IU。

设 \(f : X \to S\) 是一个概形态射，\(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的一个 拟凝聚模。设 \(\xi \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)，并令 \(Z = \overline{\{\xi\}}\)。图示如下： \[\xymatrix{ \xi \ar@{|->}[d] & Z \ar[r] \ar[rd] & X \ar[d]^f \\ f(\xi) & & S }\] 注意，\(f(Z) \subset \overline{\{f(\xi)\}}\)，并且 \(f(Z)\) 是闭集 当且仅当等式成立，即 \(f(Z) = \overline{\{f(\xi)\}}\)。 由引理 05FV 可知，若 \(S\)、\(X\) 都是仿射的， 纤维 \(X_s\) 是 Noether 概形，\(\mathcal{F}\) 是有限型的，并且 \(\Gamma(X, \mathcal{F})\) 是投射的 \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-模， 则 \(f(Z) = \overline{\{f(\xi)\}}\) 是一个闭子集。 对于下列情形，也有略有不同但类似的陈述： 引理 05IT、 05IU 和 05IV.

非纯性

我们想用 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) 中点的特化来形式化 第 05IS 节中举例说明的现象。 我们还希望在 \(s \in S\) 的附近局部地工作。为此作出以下定义。

情形

这里 \(S\)、\(X\) 是概形，且 \(f : X \to S\) 是有限型态射。 此外，\(\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。 最后，\(s\) 是 \(S\) 的一个点。

在此情形下，考虑一个态射 \(g : T \to S\)、一个满足 \(g(t) = s\) 的 点 \(t \in T\)、一个特化 \(t' \leadsto t\)，以及 \(X\) 的基变换中位于 \(t'\) 之上的一点 \(\xi \in X_T\)。图示如下： [05IX]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \xi \ar@{|->}[d] & \\ t' \ar@{~>}[r] & t \ar@{|->}[r] & s } } \quad\quad \vcenter{ \xymatrix{ X_T \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ T \ar[r]^g & S } } \end{equation}\] 此外，记 \(\mathcal{F}_T\) 为 \(\mathcal{F}\) 到 \(X_T\) 的拉回。

定义

在情形 05FW 中，如果 图 (05IX) 满足 \(\xi \in \text{Ass}_{X_T/T}(\mathcal{F}_T)\) 且 \(\overline{\{\xi\}} \cap X_t = \emptyset\)，则称它定义了 \(\mathcal{F}\) 在 \(s\) 之上的一个 非纯性。 我们将用如下说法表示这一点：“设 \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(s\) 之上的 一个非纯性”。

引理

在情形 05FW 中，若存在 \(\mathcal{F}\) 在 \(s\) 之上的 一个非纯性，则存在一个 \(\mathcal{F}\) 在 \(s\) 之上的非纯性 \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\)，使得 \(g\) 局部有限表示，且 \(t\) 是 \(g\) 在 \(s\) 之上的纤维中的闭点。

证明

设 \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(s\) 之上的 任意非纯性。将《极限》，引理 05BD 应用于 \(t \in T\) 与 \(Z = \overline{\{\xi\}}\)，得到 \(t\) 的一个开邻域 \(V \subset T\)、一个交换图 \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & T' \ar[d]^b \\ T \ar[r]^g & S, }\] 以及一个闭子概形 \(Z' \subset X_{T'}\)，满足

1. 态射 \(b : T' \to S\) 局部有限表示；

2. \(Z' \cap X_{a(t)} = \emptyset\)；

3. \(Z \cap X_V\) 通过态射 \(X_V \to X_{T'}\) 映入 \(Z'\)。

由于 \(t'\) 特化到 \(t\)，可以用 \(t\) 的开邻域 \(V\) 替换 \(T\)。 于是有交换图 \[\xymatrix{ X_T \ar[d] \ar[r] & X_{T'} \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ T \ar[r]^a & T' \ar[r]^b & S }\] 其中 \(b \circ a = g\)。令 \(\xi' \in X_{T'}\) 表示 \(\xi\) 的像。由 《除子》，引理 05DC， 可见 \(\xi' \in \text{Ass}_{X_{T'}/T'}(\mathcal{F}_{T'})\)。 此外，按构造，\(\overline{\{\xi'\}}\) 的闭包包含于闭子集 Z’ 中， 而 \(Z'\) 避开纤维 \(X_{a(t)}\)。因此 \((T' \to S, a(t') \leadsto a(t), \xi')\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(s\) 之上的 一个非纯性。

因此可以假设 \(g : T \to S\) 局部有限表示。令 \(Z = \overline{\{\xi\}}\)。由假设 \(Z_t = \emptyset\)。由《态射进阶》， 引理 054W，这意味着对于 \(\overline{\{t\}}\) 的某个开子集中的 \(t''\)，有 \(Z_{t''} = \emptyset\)。 由于 \(T \to S\) 在 \(s\) 上的纤维是 Jacobson 概形，参见《态射》， 引理 02J6，可以找到 \(t'' \in \overline{\{t\}}\) 中的一个闭点，使 \(Z_{t''} = \emptyset\)。 于是 \((g : T \to S, t' \leadsto t'', \xi)\) 就是所需的非纯性。

引理

在情形 05FW 中，设 \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(s\) 之上的一个 非纯性。假设 \(T = \lim_{i \in I} T_i\) 是 \(S\) 上仿射概形的一个有向极限。 则对于某个 \(i\)，三元组 \((T_i \to S, t'_i \leadsto t_i, \xi_i)\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(s\) 之上的 一个非纯性。

证明

命题中的记号含义如下：令 \(p_i : T \to T_i\) 为投影态射，令 \(t_i = p_i(t)\) 且 \(t'_i = p_i(t')\)。最后，\(\xi_i \in X_{T_i}\) 是 \(\xi\) 的像。由《除子》，引理 05DC， \(\xi_i\) 确实是 \(\mathcal{F}_{T_i}\) 关于 \(T_i\) 的相对伴随点。 因此唯一需要证明的是：对某个 \(i\)，有 \(\overline{\{\xi_i\}} \cap X_{t_i} = \emptyset\)。

第一种证明。令 \(Z_i = \overline{\{\xi_i\}} \subset X_{T_i}\)， \(Z = \overline{\{\xi\}} \subset X_T\)，并赋予它们约化的诱导概形结构。 由《极限》，引理 0CUG， \(Z = \lim Z_i\)。取一个域 \(k\) 以及一个像为 \(t\) 的态射 \(\Spec(k) \to T\)。则 \[\emptyset = Z \times_T \Spec(k) = (\lim Z_i) \times_{(\lim T_i)} \Spec(k) = \lim Z_i \times_{T_i} \Spec(k)\] 这是因为极限与纤维积交换（极限与极限交换）。每个 \(Z_i \times_{T_i} \Spec(k)\) 都是拟紧的，因为 \(X_{T_i} \to T_i\) 有限型，从而 \(Z_i \to T_i\) 有限型。由《极限》，引理 01Z2，因此对于某个 \(i\)， \(Z_i \times_{T_i} \Spec(k)\) 为空。由于复合态射 \(\Spec(k) \to T \to T_i\) 的像是 \(t_i\)，所需结论成立。

第二种证明。置 \(Z = \overline{\{\xi\}}\)。将《极限》，引理 05BD 应用于此情形，得到 \(t\) 的一个开邻域 \(V \subset T\)、一个交换图 \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & T' \ar[d]^b \\ T \ar[r]^g & S, }\] 以及一个闭子概形 \(Z' \subset X_{T'}\)，满足

1. 态射 \(b : T' \to S\) 局部有限表示；

2. \(Z' \cap X_{a(t)} = \emptyset\)；

3. \(Z \cap X_V\) 通过态射 \(X_V \to X_{T'}\) 映入 \(Z'\)。

可以假设 \(V\) 是 \(T\) 的仿射开子集，因此由《极限》，引理 01Z4 和 01Z6， 可以找到某个 \(i\) 和一个仿射开子集 \(V_i \subset T_i\)，使得 \(V = f_i^{-1}(V_i)\)。由《极限》，命题 01ZC， 在必要时将 \(i\) 增大后，可以找到态射 \(a_i : V_i \to T'\)，使得 \(a = a_i \circ f_i|_V\)。诱导的态射 \(X_{V_i} \to X_{T'}\) 将 \(\xi_i\) 映入 \(Z'\)。由于 \(Z' \cap X_{a(t)} = \emptyset\)，可得 \((T_i \to S, t'_i \leadsto t_i, \xi_i)\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(s\) 之上的 一个非纯性。

引理

在情形 05FW 中，若存在一个 \(\mathcal{F}\) 在 \(s\) 之上的 非纯性 \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\)，且 \(g\) 在 \(t\) 处拟有限， 则存在一个非纯性 \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\)，使 \((T, t) \to (S, s)\) 是初等 étale 邻域。

证明

设 \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(s\) 之上的一个 非纯性，且 \(g\) 在 \(t\) 处拟有限。缩小 \(T\) 后，可以假设 \(g\) 局部有限型。 将《态射进阶》，引理 02LK 应用于 \(T \to S\) 与 \(t \mapsto s\)，得到图 \[\xymatrix{ T \ar[d] & T \times_S U \ar[l] \ar[d] & V \ar[l] \ar[ld] \\ S & U \ar[l] }\] 其中 \((U, u) \to (S, s)\) 是一个初等 étale 邻域，且 \(V \subset T \times_S U\) 是 \(v = (t, u)\) 的一个开邻域，满足 \(V \to U\) 有限，并且 \(v\) 是 \(V\) 中位于 \(u\) 之上的唯一点。 由于态射 \(V \to T\) 是 étale 的，因而平坦，可见存在一个特化 \(v' \leadsto v\)，使得 \(v' \mapsto t'\)。注意 \(\kappa(t') \subset \kappa(v')\) 是有限可分扩张。任取 任取点 \(\zeta \in X_{v'}\)，它映到 \(\xi \in X_{t'}\)。由《除子》，引理 05DC，可见 \(\zeta \in \text{Ass}_{X_V/V}(\mathcal{F}_V)\)。 此外，\(\overline{\{\zeta\}}\) 不与纤维 \(X_v\) 相交，因为按假设 \(\overline{\{\xi\}}\) 不与 \(X_t\) 相交。换言之， \((V \to S, v' \leadsto v, \zeta)\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(S\) 之上的一个 非纯性。

接着，令 \(u' \in U'\) 为 \(v'\) 的像，令 \(\theta \in X_U\) 为 \(\zeta\) 的像。 则 \(\theta \mapsto u'\) 且 \(u' \leadsto u\)。由《除子》，引理 05DC，可见 \(\theta \in \text{Ass}_{X_U/U}(\mathcal{F})\)。 此外，由于 \(\pi : X_V \to X_U\) 是有限的，有 \(\pi\big(\overline{\{\zeta\}}\big) = \overline{\{\pi(\zeta)\}}\)。 由于 \(v\) 是 \(V\) 中位于 \(u\) 之上的唯一点，可见 \(X_u \cap \overline{\{\pi(\zeta)\}} = \emptyset\)，因为 \(X_v \cap \overline{\{\zeta\}} = \emptyset\)。因此 \((U \to S, u' \leadsto u, \theta)\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(s\) 之上的一个 非纯性，结论得证。

引理

在情形 05FW 中，假设 \(S\) 局部 Noether。 若存在 \(\mathcal{F}\) 在 \(s\) 之上的一个非纯性，则存在一个 \(\mathcal{F}\) 在 \(s\) 之上的非纯性 \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\)， 使得 \(g\) 在 \(t\) 处拟有限。

证明

可以用 \(s\) 的一个仿射邻域替换 \(S\)。由引理 05FX，可以假设存在一个非纯性 \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\)，其中 \(g\) 局部有限型，且 \(t\) 是 \(g\) 在 \(s\) 之上的纤维中的闭点。可以用 \(\overline{\{t'\}}\) 上的约化诱导概形结构替换 \(T\)。令 \(Z = \overline{\{\xi\}} \subset X_T\)。由假设 \(Z_t = \emptyset\)，且 \(Z \to T\) 的像包含 \(t'\)。由《态射进阶》，引理 05F1，存在 Z 的一个非空开子集 \(V \subset Z\)，使得对于任意 \(w \in f(V)\)， \(V_w\) 的任意一般点 \(\xi'\) 都属于 \(\text{Ass}_{X_T/T}(\mathcal{F}_T)\)。由《态射进阶》，引理 05F5，存在一个非空开集 \(W \subset T\)，满足 \(W \subset f(V)\)。由《态射进阶》，引理 05GU， 存在一个闭子概形 \(T' \subset T\)，使得 \(t \in T'\)，\(T' \to S\) 在 \(t\) 处拟有限，并且存在 \(z \in T' \cap W\)，满足 \(z \leadsto t\) 且不映到 \(s\)。 取非空概形 \(V_z\) 的任意一般点 \(\xi'\)。则 \((T' \to S, z \leadsto t, \xi')\) 是所需的非纯性。

下文将使用 \(S\) 在 \(s\) 处的 Hensel 化 \(S^h = \Spec(\mathcal{O}_{S, s}^h)\)，参见《Étale 上同调》，定义 03PS。 由于 \(S^h \to S\) 将 \(S^h\) 的闭点映到 \(s\)，并诱导剩余域的同构， 我们也用 \(s \in S^h\) 表示这个闭点。因此 \((S^h, s) \to (S, s)\) 是带基点概形的一个态射。

引理

在情形 05FW 中，若存在 \(\mathcal{F}\) 在 \(s\) 之上的 非纯性 \((S^h \to S, s' \leadsto s, \xi)\)，则存在一个 \(\mathcal{F}\) 在 \(s\) 之上的非纯性 \((T \to S, t' \leadsto t, \xi)\)， 其中 \((T, t) \to (S, s)\) 是初等 étale 邻域。

证明

可以用 \(s\) 的一个仿射邻域替换 \(S\)。设 \(S = \Spec(A)\)，且 \(s\) 对应于 \(\mathfrak p \subset A\)。则 \(\mathcal{O}_{S, s}^h = \colim_{(T, t)} \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\)， 其中极限遍历 \((S, s)\) 的仿射初等 étale 邻域 \((T, t)\) 所成的 余滤范畴的相反范畴，参见《态射进阶》，引理 05KS 及其证明。因此 \(S^h = \lim_i T_i\)，由引理 05IZ 即得结论。

引理

在情形 05FW 中，以下各条件等价：

1. 存在 \(\mathcal{F}\) 在 \(s\) 之上的非纯性 \((S^h \to S, s' \leadsto s, \xi)\)，其中 \(S^h\) 是 \(S\) 在 \(s\) 处的 Hensel 化；

2. 存在 \(\mathcal{F}\) 在 \(s\) 之上的非纯性 \((T \to S, t' \leadsto t, \xi)\)，使 \((T, t) \to (S, s)\) 是初等 étale 邻域；

3. 存在 \(\mathcal{F}\) 在 \(s\) 之上的非纯性 \((T \to S, t' \leadsto t, \xi)\)，使 \(T \to S\) 在 \(t\) 处拟有限。

证明

由于 étale 态射局部拟有限，(2) 蕴含 (3) 是显然的。在引理 05J0 中已经证明 (3) 蕴含 (2)。 在引理 05J2 中已经证明 (1) 蕴含 (2)。 最后，若 \((T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(s\) 之上的 一个非纯性，且 \((T, t) \to (S, s)\) 是初等 étale 邻域，则可以选取 结构态射 \(S^h \to T \to S\) 的分解 \(S^h \to S\)。 选取任意点 \(s' \in S^h\)，它映到 \(t'\)，并选取任意 \(\xi' \in X_{s'}\)，它映到 \(\xi \in X_{t'}\)。则 \((S^h \to S, s' \leadsto s, \xi')\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(s\) 之上的 一个非纯性。细节略去。

相对纯模

相对于底空间纯的模这一概念由 [GruRay] 引入。

定义

设 \(f : X \to S\) 是有限型概形态射。 设 \(\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。

1. 设 \(s \in S\)。若不存在 \(\mathcal{F}\) 在 \(s\) 之上的非纯性 \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\)，且 \((T, t) \to (S, s)\) 是一个 初等 étale 邻域，则称 \(\mathcal{F}\) 沿 \(X_s\) 纯。

2. 若不存在 \(\mathcal{F}\) 在 \(s\) 之上的任何非纯性，则称 \(\mathcal{F}\) 沿 \(X_s\) 普遍纯。

3. 若 \(\mathcal{O}_X\) 沿 \(X_s\) 纯，则称 \(X\) 沿 \(X_s\) 纯。

4. 若对每个 \(s \in S\)，\(\mathcal{F}\) 都沿 \(X_s\) 普遍纯，则称 \(\mathcal{F}\) 普遍 \(S\)-纯，或称其 相对于 \(S\) 普遍纯。

5. 若对每个 \(s \in S\)，\(\mathcal{F}\) 都沿 \(X_s\) 纯，则称 \(\mathcal{F}\) \(S\)-纯，或称其 相对于 \(S\) 纯。

6. 若 \(\mathcal{O}_X\) 相对于 \(S\) 纯，则称 \(X\) \(S\)-纯，或称其 相对于 \(S\) 纯。

这里我们有意将范围限制为有限型态射，而不只是局部有限型态射；讨论见 注记 05J5。在该定义的情形下，引理 05J3 告诉我们，下列条件等价：

1. \(\mathcal{F}\) 沿 \(X_s\) 纯；

2. 不存在非纯性 \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\)，且 \(g\) 在 \(t\) 处拟有限；

3. 不存在形如 \((S^h \to S, s' \leadsto s, \xi)\) 的非纯性，其中 \(S^h\) 是 \(S\) 在 \(s\) 处的 Hensel 化。

记 \(X^h = X \times_S S^h\)，并令 \(\mathcal{F}^h\) 为 \(\mathcal{F}\) 到 \(X^h\) 的拉回，则最后一个条件可以用下面更积极的方式表述：

1. \(\text{Ass}_{X^h/S^h}(\mathcal{F}^h)\) 的所有点都专化到 \(X_s\) 中的点。

特别地，显然 \(\mathcal{F}\) 沿 \(X_s\) 纯，当且仅当 \(\mathcal{F}\) 拉回到 \(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 后沿 \(X_s\) 纯。

注

设 \(f : X \to S\) 是局部有限型态射，且 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模。在此情形，(1) 与 (2) 仍然等价，因为引理 05J0 的证明并未使用 \(f\) 是拟紧的 事实。(3) 与 (4) 等价也很清楚。不过，我们不知道 (1) 与 (3) 是否等价。 此时有时使用等价条件 (3) 和 (4) 来定义纯性会更方便，正如 [GruRay] 中所做的那样。另一方面，对于许多应用，正确的概念似乎 确实应当是普遍纯。

一个自然问题是，相对于底空间纯这一性质是否在基变换下保持；也就是说， 纯是否等同于普遍纯。事实证明，在 Noether 环概形上（见引理 05J8），或者层是平坦的情况下（见引理 05L5 与 05L6），答案是肯定的。 一般而言这并不成立，即使态射和层都是有限表示的也不成立；反例见 例子一节 05JJ。首先，我们将 这里对“普遍”的用法与通常的概念对应起来。

引理

设 \(f : X \to S\) 是有限型概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(s \in S\)。下列条件等价：

1. \(\mathcal{F}\) 沿 \(X_s\) 普遍纯；

2. 对每个带点概形态射 \((S', s') \to (S, s)\)，拉回 \(\mathcal{F}_{S'}\) 沿 \(X_{s'}\) 纯。

特别地，\(\mathcal{F}\) 相对于 \(S\) 普遍纯，当且仅当 \(\mathcal{F}\) 的每个 基变换 \(\mathcal{F}_{S'}\) 都相对于 \(S'\) 纯。

证明

这是形式性的。

引理

设 \(f : X \to S\) 是有限型概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(s \in S\)。设 \((S', s') \to (S, s)\) 是带点概形态射。 若 \(S' \to S\) 在 \(s'\) 处拟有限，且 \(\mathcal{F}\) 沿 \(X_s\) 纯，则 \(\mathcal{F}_{S'}\) 沿 \(X_{s'}\) 纯。

证明

若 \((T \to S', t' \leadsto t, \xi)\) 是 \(\mathcal{F}_{S'}\) 在 \(s'\) 之上的 一个非纯性，且 \(T \to S'\) 在 \(t\) 处拟有限，则 \((T \to S, t' \to t, \xi)\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(s\) 之上的非纯性，且 \(T \to S\) 在 \(t\) 处拟有限；见《态射》，引理 01TL。因此，立即由 05J4 之后给出的纯性刻画 (2) 得到本引理。

引理

设 \(f : X \to S\) 是有限型概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(s \in S\)。若 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 是 Noether 环， 则 \(\mathcal{F}\) 沿 \(X_s\) 纯，当且仅当 \(\mathcal{F}\) 沿 \(X_s\) 普遍纯。

证明

首先可以将 \(S\) 替换为 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\)，即可以假设 \(S\) 是 Noether 环。然后使用引理 05J1 和 05J4 之后讨论中给出的纯性刻画 (2)，即可得出结论。

纯性满足平坦下降。

引理

设 \(f : X \to S\) 是有限型概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(s \in S\)。设 \((S', s') \to (S, s)\) 是带点概形态射。 假设 \(S' \to S\) 在 \(s'\) 处平坦。

1. 若 \(\mathcal{F}_{S'}\) 沿 \(X_{s'}\) 纯，则 \(\mathcal{F}\) 沿 \(X_s\) 纯。

2. 若 \(\mathcal{F}_{S'}\) 沿 \(X_{s'}\) 普遍纯，则 \(\mathcal{F}\) 沿 \(X_s\) 普遍纯。

证明

设 \((T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(s\) 之上的非纯性。 置 \(T_1 = T \times_S S'\)，并令 \(t_1\) 为 \(T_1\) 中映到 \(t\) 和 \(s'\) 的唯一点。 由于 \(T_1 \to T\) 在 \(t_1\) 处平坦，见《态射》，引理 01U9，存在位于 \(t' \leadsto t\) 之上的 专化 \(t'_1 \leadsto t_1\)，见《代数》，一节 00HU。选取 \(\xi_1 \in X_{t'_1}\)，使其对应于 \(\Spec(\kappa(t'_1) \otimes_{\kappa(t')} \kappa(\xi))\) 的一个泛点，见 《概形》，引理 01JT。由《除子》，引理 05DC，有 \(\xi_1 \in \text{Ass}_{X_{T_1}/T_1}(\mathcal{F}_{T_1})\)。 由于 \(\{\xi_1\}\) 在 \(X_{T_1}\) 中的 Zariski 闭包映入 \(\{\xi\}\) 在 \(X_T\) 中的 Zariski 闭包，我们得到该闭包与 \(X_{t_1}\) 不相交。因此 \((T_1 \to S', t'_1 \leadsto t_1, \xi_1)\) 是 \(\mathcal{F}_{S'}\) 在 \(s'\) 之上的非纯性。换言之，我们证明了本引理第 (2) 部分的逆否命题。最后，若 \((T, t) \to (S, s)\) 是初等 étale 邻域，则 \((T_1, t_1) \to (S', s')\) 也是初等 étale 邻域，由此可见 (1) 成立。

引理

设 \(i : Z \to X\) 是在概形 \(S\) 上有限型概形的闭浸入。设 \(s \in S\)。 设 \(\mathcal{F}\) 是 \(Z\) 上的有限型拟凝聚层。则 \(\mathcal{F}\) 沿 \(Z_s\) （普遍）纯，当且仅当 \(i_*\mathcal{F}\) 沿 \(X_s\)（普遍）纯。

证明

这由《除子》，引理 0CUD 得出。

相对纯层的例子

下面给出一些可以看出纯性含义的例子情形。

引理

设 \(f : X \to S\) 是有限型概形态射。 设 \(\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。

1. 若 \(\mathcal{F}\) 的支集在 \(S\) 上适当，则 \(\mathcal{F}\) 相对于 \(S\) 普遍纯。

2. 若 \(f\) 适当，则 \(\mathcal{F}\) 相对于 \(S\) 普遍纯。

3. 若 \(f\) 适当，则 \(X\) 相对于 \(S\) 普遍纯。

证明

首先将 (1) 归约为 (2)。具体地，令 \(Z \subset X\) 为 \(\mathcal{F}\) 的 概形论支集。令 \(i : Z \to X\) 为相应的闭浸入，并写成 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\)，其中 \(\mathcal{G}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_Z\)-模，见《态射》，一节 056H。 在情形 (1) 中，按假设 \(Z \to S\) 适当。因此由引理 05K1，情形 (1) 归约为情形 (2)。

假设 \(f\) 适当。设 \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) 是 \(\mathcal{F}\) 在 \(s \in S\) 之上的非纯性。由于 \(f\) 适当，它是普遍闭的。因此 \(f_T : X_T \to T\) 是闭态射。由于 \(f_T(\xi) = t'\)，这蕴含 \(t \in f(\overline{\{\xi\}})\)，矛盾。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形的分离有限型态射。设 \(\mathcal{F}\) 是有限型 拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设对每个 \(s \in S\)，\(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)\) 都是有限的。则下列条件等价：

1. \(\mathcal{F}\) 相对于 \(S\) 纯；

2. \(\mathcal{F}\) 的概形论支集在 \(S\) 上有限；

3. \(\mathcal{F}\) 相对于 \(S\) 普遍纯。

特别地，给定拟有限分离态射 \(X \to S\)，可知 \(X\) 相对于 \(S\) 纯，当且仅当 \(X \to S\) 有限。

证明

令 \(Z \subset X\) 为 \(\mathcal{F}\) 的概形论支集，见《态射》，定义 05JV。则 \(Z \to S\) 是带有 有限纤维的分离有限型概形态射。因此它是分离且拟有限的，见《态射》，引理 02NH。由引理 05K1， 只需对 \(Z \to S\) 以及视为 \(Z\) 上有限型拟凝聚模的层 \(\mathcal{F}\) 证明本引理。 于是可以假设 \(X \to S\) 分离且拟有限，并且 \(\text{Supp}(\mathcal{F}) = X\)。

由引理 05K3 以及《态射》，引理 01WN，(2) 蕴含 (3)。显然 (3) 蕴含 (1)。 假设 (1) 成立。我们证明 (2) 成立。显然可以假设 \(S\) 仿射。由《态射进阶》， 引理 05K0， 可以找到图表 \[\xymatrix{ X \ar[rd]_f \ar[rr]_j & & T \ar[ld]^\pi \\ & S & }\] 其中 \(\pi\) 有限，\(j\) 是拟紧开浸入。若证明 \(j\) 是闭的，则 \(j\) 是闭浸入， 从而 \(f = \pi \circ j\) 有限。要证明 \(j\) 闭，只需证明专化沿 \(j\) 可提升，见 《概形》，引理 01K9。令 \(x \in X\)，置 \(t' = j(x)\)，并设 \(t' \leadsto t\) 是一个专化。我们要证明 \(t \in j(X)\)。 置 \(s' = f(x)\)、\(s = \pi(t)\)，于是 \(s' \leadsto s\)。由《态射进阶》，引理 02LN， 可以找到初等 étale 邻域 \((U, u) \to (S, s)\) 以及分解 \[T_U = T \times_S U = V \amalg W\] 为开闭子概形，使得 \(V \to U\) 有限，并且 \(V\) 中存在唯一映到 \(u\) 的点 \(v\)， 且 \(v\) 在 \(T\) 中映到 \(t\)。由于 \(V \to T\) 是 étale，可以提升一般化，见 《态射》，引理 03HV 与 02GS。因此存在专化 \(v' \leadsto v\)，使得 \(v'\) 映到 \(t' \in T\)。特别地，\(v' \in X_U \subset T_U\)。记 \(u' \in U\) 为 \(t'\) 的像。 注意，由于 \(X_{u'}\) 是有限离散集且 \(X_{u'} = \text{Supp}(\mathcal{F}_{u'})\)，有 \(v' \in \text{Ass}_{X_U/U}(\mathcal{F})\)。由于 \(\mathcal{F}\) 相对于 \(S\) 纯， 可知 \(v'\) 必须专化到 \(X_u\) 中的一个点。由于 \(v\) 是 \(V\) 中位于 \(u\) 之上的唯一点 （且 \(W\) 中没有点能成为 \(v'\) 的专化），可知 \(v \in X_u\)。故 \(t \in X\)。

引理

设 \(f : X \to S\) 是有限型平坦概形态射，且纤维几何整。则 \(X\) 在 \(S\) 上 普遍纯。

证明

令 \(\xi \in X\)，其中 \(s' = f(\xi)\)，并设 \(s' \leadsto s\) 是 \(S\) 中的专化。 若 \(\xi\) 是 \(X_{s'}\) 的伴随点，则 \(\xi\) 是唯一的泛点，因为 \(X_{s'}\) 是整概形。 令 \(\xi_0\) 为 \(X_s\) 的唯一泛点。由于 \(X \to S\) 平坦，可以在 \(X\) 中将 \(s' \leadsto s\) 提升为专化 \(\xi' \leadsto \xi_0\)，见《态射》，引理 03HV。由于 \(\xi\) 是 \(X_{s'}\) 的泛点，

有 \(\xi \leadsto \xi'\)，从而 \(\xi \leadsto \xi_0\)。这意味着 \((\text{id}_S, s' \to s, \xi)\) 不是 \(\mathcal{O}_X\) 在 \(s\) 之上的非纯性。 由于“\(f\) 有限型、平坦且纤维几何整”这一假设在基变换下保持，可知任意基变换后 都不存在非纯性。因此 \(X\) 是普遍 \(S\)-纯。

引理

设 \(f : X \to S\) 是有限型仿射概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，且 \(f_*\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上局部投射，见《性质》，定义 05JP。则 \(\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上普遍纯。

证明

将情形归约到 \(S\) 是 Hensel 局部环的谱后，这由引理 05FV 得出。

纯性的一个判据

我们首先证明，对于有限型拟凝聚层的一个平坦族，相对伴随点会专化到邻近 纤维的相对伴随点（如果它们确实发生专化）。

引理

设 \(f : X \to S\) 是有限型概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(s \in S\)。假设 \(\mathcal{F}\) 在 \(X_s\) 的所有点处 都在 \(S\) 上平坦。设 \(x' \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)，满足 \(f(x') = s'\)，且 \(s' \leadsto s\) 是 \(S\) 中的专化。若 \(x'\) 专化到 \(X_s\) 中的一个点，则 \(x' \leadsto x\)，其中 \(x \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\)。

证明

设 \(x' \leadsto t\)，其中 \(t \in X_s\)。则可以找到专化 \(x' \leadsto x \leadsto t\)，使得 \(x\) 对应于 \(\overline{\{x'\}} \cap f^{-1}(\{s\})\) 的某个不可约分支的泛点。按假设， \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处在 \(S\) 上平坦。由《态射进阶》，引理 0GSI，可知 \(x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)，即得所需结论。

引理

设 \(f : X \to S\) 是有限型概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(s \in S\)。设 \((S', s') \to (S, s)\) 是一个 初等 étale 邻域，并设 \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ S & S' \ar[l] }\] 是概形态射的交换图表。假设

1. \(\mathcal{F}\) 在 \(X_s\) 的所有点处都在 \(S\) 上平坦；

2. \(X' \to S'\) 是有限型的；

3. \(g^*\mathcal{F}\) 沿 \(X'_{s'}\) 纯；

4. \(g : X' \to X\) 是 étale；

5. \(g(X')\) 包含 \(\text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\)。

在此情形，\(\mathcal{F}\) 沿 \(X_s\) 纯，当且仅当 \(X' \to X \times_S S'\) 的像 包含 \(\text{Ass}_{X \times_S S'/S'}(\mathcal{F} \times_S S')\) 中位于 \(S'\) 内专化到 \(s'\) 的点之上的那些点。

证明

由于态射 \(S' \to S\) 是 étale，若 \(\mathcal{F}\) 沿 \(X_s\) 纯，则 \(\mathcal{F} \times_S S'\) 沿 \(X_s\) 纯，见引理 05J7。由于纯性满足平坦下降，见引理 05J9，若 \(\mathcal{F} \times_S S'\) 沿 \(X_{s'}\) 纯， 则 \(\mathcal{F}\) 沿 \(X_s\) 纯。因此可以用 \(S'\) 替换 \(S\)，并假设 \(S = S'\)， 于是 \(g : X' \to X\) 是 \(S\) 上有限型概形之间的 étale 态射。此外，可以用 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 替换 \(S\)，并假设 \(S\) 是局部的。

首先假设 \(\mathcal{F}\) 沿 \(X_s\) 纯。在此情形，由纯性 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) 的每个点都专化到 \(X_s\) 中的某个点。因此由 引理 05L3，可知 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) 的每个点都专化到 \(\text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\) 中的某个点。于是 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) 的每个点都在 \(g\) 的像中（因为该像是开集， 并包含 \(\text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\)）。

反之，假设 \(g(X')\) 包含 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)。令 \(S^h = \Spec(\mathcal{O}_{S, s}^h)\) 为 \(S\) 在 \(s\) 处的 Hensel 化。记 \(g^h : (X')^h \to X^h\) 为沿 \(S^h \to S\) 对 \(g\) 作的基变换，并记 \(\mathcal{F}^h\) 为 \(\mathcal{F}\) 到 \(X^h\) 的拉回。由《除子》，引理 05DC 和注记 05KL，相对伴随点集 \(\text{Ass}_{X^h/S^h}(\mathcal{F}^h)\) 是经投影 \(X^h \to X\) 的 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) 的逆像。由于假设 \(g(X')\) 包含 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)，可知基变换 \(g^h((X')^h) = g(X') \times_S S^h\) 包含 \(\text{Ass}_{X^h/S^h}(\mathcal{F}^h)\)。因此可以归约到 \(S\) 是 Hensel 局部环的谱的情形。 令 \(x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)。要完成引理的证明，需要证明 \(x\) 专化到 \(X_s\) 中的一个点；这正是 05J4 之后关于纯性的讨论中的 判据 (4)。按假设，存在 \(x' \in X'\) 使得 \(g(x') = x\)。由于 \(g : X' \to X\) 是 étale，可知 \(x' \in \text{Ass}_{X'/S}(g^*\mathcal{F})\)，见 引理 05FP（应用于纤维态射 \(X'_w \to X_w\)，其中 \(w \in S\) 是 \(x'\) 的像）。由于 \(g^*\mathcal{F}\) 沿 \(X'_s\) 纯，可知对某个 \(y \in X'_s\) 有 \(x' \leadsto y\)。于是 \(x = g(x') \leadsto g(y)\)，且 \(g(y) \in X_s\)，即得所需结论。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(s \in S\)。假设

1. \(f\) 是有限型的；

2. \(\mathcal{F}\) 是有限型的；

3. \(\mathcal{F}\) 在 \(X_s\) 的所有点处都在 \(S\) 上平坦；

4. \(\mathcal{F}\) 沿 \(X_s\) 纯。

则 \(\mathcal{F}\) 沿 \(X_s\) 普遍纯。

证明

先作一个预备说明。设 \((S', s') \to (S, s)\) 是初等 étale 邻域。记 \(\mathcal{F}'\) 为 \(\mathcal{F}\) 到 \(X' = X \times_S S'\) 的拉回。 由 05J4 之后的讨论可知，\(\mathcal{F}'\) 沿 \(X'_{s'}\) 纯。 此外，\(\mathcal{F}'\) 沿 \(X'_{s'}\) 在 \(S'\) 上平坦。因此只需证明 \(\mathcal{F}'\) 沿 \(X'_{s'}\) 普遍纯。事实上，给定带点概形的任意态射 \((T, t) \to (S, s)\)，纤维积 \((T', t') = (T \times_S S', (t, s'))\) 在 \((T, t)\) 上平坦；因此若 \(\mathcal{F}_{T'}\) 沿 \(X_{t'}\) 纯，则由引理 05J9，\(\mathcal{F}_T\) 沿 \(X_t\) 纯。 所以在证明过程中总可以用初等 étale 邻域替换 \((s, S)\)。 由于问题具有局部性，也可以用 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 替换 \(S\)。

选取初等 étale 邻域 \((S', s') \to (S, s)\) 以及交换图表 \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ S & \Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \ar[l] }\] 使得 \(X' \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) 是 étale， \(X_s = g((X')_{s'})\)，概形 \(X'\) 仿射，并且 \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) 是自由的 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-模；见引理 05L1。注意， \(X' \to \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) 是有限型的（因为它是一个拟紧态射， 由一个 étale 态射与一个有限型态射的基变换复合而成）。根据证明第一段的 预备说明，可以用 \(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) 替换 \(S\)。因此可以假设存在 交换图表 \[\xymatrix{ X \ar[dr] & & X' \ar[ll]^g \ar[ld] \\ & S & }\] 其中的概形都是 \(S\) 上有限型的，\(g\) 是 étale，\(X_s \subset g(X')\)， \(S\) 是闭点为 \(s\) 的局部概形，\(X'\) 仿射，并且 \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) 是自由的 \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-模。 注意此时 \(g^*\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上普遍纯，见引理 05K6。

在此情形，应用引理 05L4，由 \(\mathcal{F}\) 沿 \(X_s\) 纯且 沿 \(X_s\) 在 \(S\) 上平坦的假设，可推出 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F}) \subset g(X')\)。由《除子》，引理 05DC 及注记 05KL，对任意带点概形态射 \((T, t) \to (S, s)\)，有 \[\text{Ass}_{X_T/T}(\mathcal{F}_T) \subset (X_T \to X)^{-1}(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})) \subset g(X') \times_S T = g_T(X'_T).\] 因此，将所显示图表基变换到 \((T, t)\) 后应用引理 05L4， 可得 \(\mathcal{F}_T\) 沿 \(X_t\) 纯，这就是所需结论。

引理

设 \(f : X \to S\) 是有限型概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设 \(\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上平坦。在此情形， \(\mathcal{F}\) 相对于 \(S\) 纯，当且仅当 \(\mathcal{F}\) 相对于 \(S\) 普遍纯。

证明

这是引理 05L5 与定义的 直接推论。

引理

设 \(I\) 是有向集。设 \((S_i, g_{ii'})\) 是 \(I\) 上的仿射概形逆系统。 置 \(S = \lim_i S_i\)，并令 \(s \in S\)。记 \(g_i : S \to S_i\) 为投影，并置 \(s_i = g_i(s)\)。假设 \(f : X \to S\) 是有限表示态射，\(\mathcal{F}\) 是有限表示的 拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，沿 \(X_s\) 纯，并且在 \(X_s\) 的所有点处都在 \(S\) 上平坦。 则存在 \(i \in I\)、有限表示态射 \(X_i \to S_i\) 以及有限表示的拟凝聚 \(\mathcal{O}_{X_i}\)-模 \(\mathcal{F}_i\)，使得沿 \((X_i)_{s_i}\) 纯， 并在 \((X_i)_{s_i}\) 的所有点处在 \(S_i\) 上平坦，且 \(X \cong X_i \times_{S_i} S\)，并且 \(\mathcal{F}_i\) 到 \(X\) 的拉回同构于 \(\mathcal{F}\)。

证明

令 \(U \subset X\) 为 \(\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上平坦的点集。由《态射进阶》，定理 0399，这是 \(X\) 的开子概形。按假设 \(X_s \subset U\)。由于 \(X_s\) 拟紧，可以找到一个拟紧开集 \(U' \subset U\)，满足 \(X_s \subset U'\)。由《极限》，引理 01ZM， 可以找到 \(i \in I\) 以及有限表示态射 \(f_i : X_i \to S_i\)，其到 \(S\) 的基变换 同构于 \(f_i\)。固定这样的选择，并置 \(X_{i'} = X_i \times_{S_i} S_{i'}\)。 于是 \(X = \lim_{i'} X_{i'}\)，过渡态射是仿射的。由《极限》，引理 01ZR，增大 \(i\) 后可以假设存在 有限表示的拟凝聚 \(\mathcal{O}_{X_i}\)-模 \(\mathcal{F}_i\)，其到 \(S\) 的基变换同构于 \(\mathcal{F}\)。由《极限》，引理 01Z4，再增大 \(i\) 后可以 假设存在开集 \(U'_i \subset X_i\)，其在 \(X\) 中的逆像为 \(U'\)。特别注意 \((X_i)_{s_i} \subset U'_i\)。由《极限》，引理 05LY（再一次增大 \(i\) 后）， 可以假设 \(\mathcal{F}_i\) 在 \(U'_i\) 上平坦。特别地，\(\mathcal{F}_i\) 沿 \((X_i)_{s_i}\) 平坦。

接下来，使用引理 05KW，选取初等 étale 邻域 \((S_i', s_i') \to (S_i, s_i)\) 以及概形的交换图表 \[\xymatrix{ X_i \ar[d] & X_i' \ar[l]^{g_i} \ar[d] \\ S_i & S_i' \ar[l] }\] 使得 \(g_i\) 是 étale，\((X_i)_{s_i} \subset g_i(X_i')\)，概形 \(X_i'\)、\(S_i'\) 都 仿射，并且 \(\Gamma(X_i', g_i^*\mathcal{F}_i)\) 是 \(\Gamma(S_i', \mathcal{O}_{S_i'})\)-投射模。注意 \(g_i^*\mathcal{F}_i\) 在 \(S'_i\) 上普遍纯，见引理 05K6。对任意 \(i' \geq i\)， 可以将上述图表基变换为 \(S_{i'}\) 上带有态射 \((S'_{i'}, s'_{i'}) \to (S_{i'}, s_{i'})\) 和 \(g_{i'} : X'_{i'} \to X_{i'}\) 的图表；也可以将图表基变换为 \(S\) 上带有态射 \((S', s') \to (S, s)\) 和 \(g : X' \to X\) 的图表。

此时可以使用纯性判据。令 \(W'_i \subset X_i \times_{S_i} S'_i\) 等于 étale 态射 \(X'_i \to X_i \times_{S_i} S'_i\) 的像。对每个 \(i' \geq i\)， 类似地有像 \(W'_{i'} \subset X_{i'} \times_{S_{i'}} S'_{i'}\)，并有像 \(W' \subset X \times_S S'\)。取像与基变换交换，故 \(W'_{i'} = W'_i \times_{S'_i} S'_{i'}\) 且 \(W' = W_i \times_{S'_i} S'\)。 由于 \(\mathcal{F}\) 沿 \(X_s\) 纯，引理 05L4 蕴含 [05MB]\[\begin{equation} f^{-1}(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'})) \cap \text{Ass}_{X \times_S S'/S'}(\mathcal{F} \times_S S') \subset W' \end{equation}\] 由《态射进阶》，引理 05KR，可知 \[E = \{t \in S' \mid \text{Ass}_{X_t}(\mathcal{F}_t) \subset W' \} \quad\text{且}\quad E_{i'} = \{t \in S'_{i'} \mid \text{Ass}_{X_t}(\mathcal{F}_{i', t}) \subset W'_{i'} \}\] 是 \(S'\) 与 \(S'_{i'}\) 的局部可构造子集。由《态射进阶》，引理 05KQ，可知 \(E_{i'}\) 是关于态射 \(S'_{i'} \to S'_i\) 的 \(E_i\) 逆像，而 \(E\) 是关于态射 \(S' \to S'_i\) 的 \(E_i\) 逆像。因此，等式（05MB）等价于 \(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) 映入 \(E_i\)。由于 \(\mathcal{O}_{S', s'} = \colim_{i' \geq i} \mathcal{O}_{S'_{i'}, s'_{i'}}\)， 可知对某个 \(i' \geq i\)，\(\Spec(\mathcal{O}_{S'_{i'}, s'_{i'}})\) 映入 \(E_i\)；见 《极限》，引理 05F4。然后将引理 05L4 应用于 \(S_{i'}\) 上的情形，得到 \(\mathcal{F}_{i'}\) 沿 \((X_{i'})_{s_{i'}}\) 纯。

引理

设 \(f : X \to S\) 是有限表示态射。设 \(\mathcal{F}\) 是在 \(S\) 上平坦的有限表示 拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。则集合 \[U = \{s \in S \mid \mathcal{F}\text{ 沿 }X_s\text{ 纯}\}\] 在 \(S\) 中是开的。

证明

设 \(s \in U\)。使用引理 05KW，可以 找到初等 étale 邻域 \((S', s') \to (S, s)\) 以及交换图表 \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ S & S' \ar[l] }\] 使得 \(g\) 是 étale，\(X_s \subset g(X')\)，概形 \(X'\)、\(S'\) 都仿射，且 \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) 是 \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)-投射模。 注意 \(g^*\mathcal{F}\) 在 \(S'\) 上普遍纯，见引理 05K6。令 \(W' \subset X \times_S S'\) 等于 étale 态射 \(X' \to X \times_S S'\) 的像。 注意 \(W\) 在 \(S'\) 上是开且拟紧的。 置 \[E = \{t \in S' \mid \text{Ass}_{X_t}(\mathcal{F}_t) \subset W' \}.\] 由《态射进阶》，引理 05KR，\(E\) 是 \(S'\) 中的 可构造子集。由引理 05L4，可知 \(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'}) \subset E\)。由《态射》，引理 05LW，可知 \(E\) 包含 \(s'\) 的 一个开邻域 \(V'\)。再次应用引理 05L4，可知对 \(V'\) 在 \(S\) 中像内 的任意点 \(s_1\)，层 \(\mathcal{F}\) 沿 \(X_{s_1}\) 纯。由于 \(S' \to S\) 是 étale， \(V'\) 在 \(S\) 中的像是开的，结论得证。

纯性的应用

下面给出一些使用纯性的例子。第一个引理实际上使用了稍弱形式的纯性。

引理

设 \(f : X \to S\) 是有限型概形态射。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上有限型拟凝聚层。 假设 \(S\) 是闭点为 \(s\) 的局部概形。假设 \(\mathcal{F}\) 沿 \(X_s\) 纯，且 \(\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上平坦。设 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是 拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的态射。下列条件等价：

1. 对所有 \(x \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\)，茎上的映射 \(\varphi_x\) 都是单射；

2. \(\varphi\) 是单射。

证明

令 \(\mathcal{K} = \Ker(\varphi)\)。我们的目标是证明 \(\mathcal{K} = 0\)。为此， 只需证明 \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K}) = \emptyset\)，见《除子》，引理 05AP。有 \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K}) \subset \text{WeakAss}_X(\mathcal{F})\)，见 《除子》，引理 05AN。由于 \(\mathcal{F}\) 平坦， 由引理 05IJ 可知 \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}) \subset \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)。 由纯性，\(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) 的任意点 \(x'\) 都是 \(X_s\) 中某点的 一般化，因此由引理 05L3，它是某个 \(x \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\) 的专化。于是 \(\varphi_x\) 的单射性蕴含 \(\varphi_{x'}\) 的单射性，从而 \(\mathcal{K}_{x'} = 0\)。

命题

设 \(f : X \to S\) 是概形的仿射有限表示态射。设 \(\mathcal{F}\) 是有限表示、 在 \(S\) 上平坦的拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。下列条件等价：

1. \(f_*\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上局部投射；

2. \(\mathcal{F}\) 相对于 \(S\) 纯。

特别地，给定有限表示环映射 \(A \to B\) 以及在 \(A\) 上平坦的有限表示 \(B\)-模 \(N\)，有：\(N\) 作为 \(A\)-模投射，当且仅当 \(\widetilde{N}\) 在 \(\Spec(B)\) 上相对于 \(\Spec(A)\) 纯。

证明

蕴含 (1) \(\Rightarrow\) (2) 正是引理 05K6。 假设 \(\mathcal{F}\) 相对于 \(S\) 纯。注意，由引理 05L5，这蕴含 \(\mathcal{F}\) 在任意基变换后仍然纯。由《下降》，引理 05JZ，只需证明 \(f_*\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上 fpqc 局部投射。取 \(s \in S\)。我们证明 \(f_*\mathcal{F}\) 限制到 \(s\) 的 某个 étale 邻域后局部投射。具体地，由引理 05KW，用 \(s\) 的一个仿射初等 étale 邻域替换 \(S\) 后，可以假设存在图表 \[\xymatrix{ X \ar[dr] & & X' \ar[ll]^g \ar[ld] \\ & S & }\] 其中概形都是 \(S\) 上仿射且有限表示的，\(g\) 是 étale，\(X_s \subset g(X')\)，且 \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) 是 \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-投射模。 注意此时 \(g^*\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上普遍纯，见引理 05K6。因此由引理 05L4， 可知开集 \(g(X')\) 包含 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) 中位于 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 之上的点。置 \[E = \{t \in S \mid \text{Ass}_{X_t}(\mathcal{F}_t) \subset g(X') \}.\] 由《态射进阶》，引理 05KR，\(E\) 是 \(S\) 中的 可构造子集。我们已经看到 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \subset E\)。由《态射》， 引理 05LW，可知 \(E\) 包含 \(s\) 的 一个开邻域。因此用 \(s\) 的仿射邻域替换 \(S\) 后，可以假设 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F}) \subset g(X')\)。由引理 05DH，这意味着 \[\Gamma(X, \mathcal{F}) \longrightarrow \Gamma(X', g^*\mathcal{F})\] 是 \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-普遍单射。由《代数》，引理 059N，可知 \(\Gamma(X, \mathcal{F})\) 作为 \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-模是 Mittag-Leffler 的。由于 \(\Gamma(X, \mathcal{F})\) 是可数生成且作为 \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-模平坦的， 由《代数》，引理 059X，可知它是投射模。

我们可以利用该命题改进之前的一些结果。下面的引理改进了命题 05ID。

引理

设 \(f : X \to S\) 是局部有限表示态射。设 \(\mathcal{F}\) 是有限表示的 拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(x \in X\)，且 \(s = f(x) \in S\)。 若 \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处在 \(S\) 上平坦，则存在仿射初等 étale 邻域 \((S', s') \to (S, s)\) 以及包含 \(x' = (x, s')\) 的仿射开集 \(U' \subset X \times_S S'\)，使得 \(\Gamma(U', \mathcal{F}|_{U'})\) 是 \(\Gamma(S', \mathcal{O}_{S'})\)-投射模。

证明

在证明过程中，可以用 \(x\) 的一个开邻域替换 \(X\)，并用 \(s\) 的初等 étale 邻域替换 \(S\)。因此，由平坦性的开性（见《态射进阶》，定理 0399），可以假设 \(\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上平坦。还可以假设 \(S\) 和 \(X\) 都仿射。再缩小 \(X\) 后，可以假设 \(\text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\) 的每个点都是 \(x\) 的一般化。将 \((S, s)\) 替换为初等 étale 邻域时这一性质保持。因此可以应用引理 05KW，归约到存在图表的情形 \[\xymatrix{ X \ar[dr] & & X' \ar[ll]^g \ar[ld] \\ & S & }\] 其中概形都是 \(S\) 上仿射且有限表示的，\(g\) 是 étale，\(X_s \subset g(X')\)，且 \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) 是 \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-投射模。 注意此时 \(g^*\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上普遍纯，见引理 05K6。

令 \(U \subset g(X')\) 为包含 \(x\) 的仿射开邻域。我们断言 \(\mathcal{F}|_U\) 沿 \(U_s\) 纯。若证得此点，则由引理 05MC，缩小 \(S\) 后 \(\mathcal{F}|_U\) 相对于 \(S\) 纯，从而由命题 05MD 得到投射性。 为证明断言，需要证明：将 \((S, s)\) 替换为任意初等 étale 邻域后， \(\text{Ass}_{U/S}(\mathcal{F}|_U)\) 中位于某个 \(s' \in S\) 之上的任意点 \(\xi\)（其中 \(s' \leadsto s\)）都专化到 \(U_s\) 中的点。由于 \(U \subset g(X')\)， 可找到 \(\xi' \in X'\) 使 \(g(\xi') = \xi\)。由于 \(g^*\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上纯， 应用引理 05L3，可知存在专化 \(\xi' \leadsto x'\)，其中 \(x' \in \text{Ass}_{X'_s}(g^*\mathcal{F}_s)\)。 于是 \(g(x') \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\)（例如见引理 05FP，应用于 Noether 概形的 étale 态射 \(X'_s \to X_s\)），因而按上面对 \(X\) 的选择有 \(g(x') \leadsto x\)！由于 \(x \in U\)， 可知 \(g(x') \in U\)。于是 \(\xi = g(\xi') \leadsto g(x') \in U_s\)，即得所需结论。

下面的引理改进了引理 05KZ。

引理

设 \(f : X \to S\) 是局部有限型态射。设 \(\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(x \in X\)，且 \(s = f(x) \in S\)。若 \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处在 \(S\) 上平坦，则存在仿射初等 étale 邻域 \((S', s') \to (S, s)\) 以及 包含 \(x' = (x, s')\) 的仿射开集 \(U' \subset X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\)，使得 \(\Gamma(U', \mathcal{F}|_{U'})\) 是自由的 \(\mathcal{O}_{S', s'}\)-模。

证明

问题在 \(X\) 和 \(S\) 上都是 Zariski 局部的。因此可以假设 \(X\) 和 \(S\) 仿射。 于是可找到 \(S\) 上的闭浸入 \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\)。显然，只需对 \(\mathbf{A}^n_S\) 上的层 \(i_*\mathcal{F}\) 和点 \(i(x)\) 证明引理即可。这样问题 归约到 \(X \to S\) 有限表示的情形。用 \(\Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) 替换 \(S\)， 并用 \(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S', s'})\) 的一个开子集替换 \(X\) 后，可以假设 \(\mathcal{F}\) 有限表示，见命题 05I5。 此时应用引理 05ME 和《代数》，定理 0593，即可得出结论。

引理

设 \(A \to B\) 是本质有限型局部环之间的局部环映射。设 \(N\) 是有限 \(B\)-模， 作为 \(A\)-模平坦。若 \(A\) 是 Hensel 环，则 \(N\) 是自由 \(A\)-模 \(F_i\) 的滤过余极限 \[N = \colim_i F_i\] 其中系统的所有过渡映射 \(u_i : F_i \to F_{i'}\) 都诱导单射 \(\overline{u}_i : F_i/\mathfrak m_AF_i \to F_{i'}/\mathfrak m_AF_{i'}\)。 此外，\(N\) 是 Mittag-Leffler \(A\)-模。

证明

可以找到有限型态射 \(X \to S = \Spec(A)\)、位于 \(S\) 闭点 \(s\) 之上的点 \(x \in X\)，以及有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，使得作为 \(A\)-模 \(\mathcal{F}_x \cong N\)。缩小 \(X\) 后，可以假设 \(\text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\) 的每个点都专化到 \(x\)。由引理 05MF，存在 \(x\) 的仿射开邻域 基本系 \(U_i \subset X\)，使得 \(\Gamma(U_i, \mathcal{F})\) 是自由 \(A\)-模 \(F_i\)。 注意，若 \(U_{i'} \subset U_i\)，则 \[F_i/\mathfrak m_AF_i = \Gamma(U_{i, s}, \mathcal{F}_s) \longrightarrow \Gamma(U_{i', s}, \mathcal{F}_s) = F_{i'}/\mathfrak m_AF_{i'}\] 是单射，因为核中的一个截面会支撑在 \(X_s\) 的某个不含 \(x\) 的闭子集上， 这与上面对 \(X\) 的选择矛盾。由于映射 \(F_i \to F_{i'}\) 是 \(A\)-普遍单射 （引理 05FQ），由《代数》，引理 0AS7，可知 \(N\) 是 Mittag-Leffler 模。

如果是第一次通读，可以跳过下面的引理。

引理

设 \(A \to B\) 是本质有限型局部环之间的局部环映射。设 \(N\) 是有限 \(B\)-模， 作为 \(A\)-模平坦。若 \(A\) 是赋值环，则 \(N\) 的任意元素都有内容理想 \(I \subset A\)（见《代数进阶》，定义 0ASA）。此外，\(I\) 是主理想。

证明

最后一个断言由 \(I\) 是有限生成理想这一事实得出；见《代数进阶》，引理 0ASB 与《代数》，引理 090Q。

\(I\) 存在性的证明。令 \(A \subset A^h\) 为 Hensel 化。令 \(B'\) 为 \(B \otimes_A A^h\) 在极大理想 \(\mathfrak m_B \otimes A^h + B \otimes \mathfrak m_{A^h}\) 处的局部化。 则 \(B \to B'\) 平坦，因而忠实平坦。令 \(N' = N \otimes_B B'\)。令 \(x \in N\)，并令 \(x' \in N'\) 为其像。我们断言，对理想 \(I \subset A\)，有 \(x \in IN \Leftrightarrow x' \in IN'\)。事实上，\(N/IN \to N'/IN'\) 是将 \(B \to B'\) 与 \(N/IN\) 张量所得的映射，而由《代数》，引理 05CK，\(B \to B'\) 普遍单射。 由《代数进阶》，引理 0ASK， 以及《代数》，引理 00IH，映射 \(A \to A^h\) 在理想集上给出保持包含关系的双射 \(I \mapsto IA^h\)。因此，\(x\) 在 \(A\) 中有内容 理想，当且仅当 \(x'\) 在 \(A^h\) 中有内容理想。对于 \(x' \in N'\) 的断言由引理 05U7 和《代数》，引理 0AS6 得出。

应用如下。

引理

设 \(X \to \Spec(R)\) 是适当平坦态射，其中 \(R\) 是赋值环。若特殊纤维约化， 则 \(X\) 以及 \(X \to \Spec(R)\) 的每个纤维都约化。

证明

假设特殊纤维 \(X_s\) 约化。令 \(x \in X\) 为任意点，我们证明 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 约化；这将证明 \(X\) 约化。令 \(x \leadsto x'\) 是一个专化， 其中 \(x'\) 位于特殊纤维中；这样的专化存在，因为适当态射是闭的。考虑局部环 \(A = \mathcal{O}_{X, x'}\)。则 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是 \(A\) 的局部化，所以只需证明 \(A\) 约化。令 \(a \in A\) 非零，并令 \(I = (\pi) \subset R\) 为其内容理想，见引理 0ASX。于是 \(a = \pi a'\)， 且 \(a'\) 映到 \(A/\mathfrak mA\) 中的非零元素，其中 \(\mathfrak m \subset R\) 是极大理想。 若 \(a\) 幂零，则 \(a'\) 也幂零，因为由 \(A\) 在 \(R\) 上平坦，\(\pi\) 不是零因子。 但是 \(a'\) 映到约化环 \(A/\mathfrak m A = \mathcal{O}_{X_s, x'}\) 中的非零元素。 除非 \(A\) 约化，否则这矛盾；而这正是要证明的结论。

当然，若 \(X\) 约化，则 \(X\) 在 \(R\) 上的泛纤维也约化。若 \(\mathfrak p \subset R\) 是素理想，则由《代数》，引理 088Y， \(R/\mathfrak p\) 是赋值环。因此将 \(X\) 基变换到 \(R/\mathfrak p\) 后重复上述论证， 即可证明位于 \(\mathfrak p\) 之上的纤维约化。

扁平化函子

设 \(S\) 是概形。回顾：若对每个以仿射概形组成、极限为 \(T\) 的有向逆系统 \(\{T_i\}_{i \in I}\)，都有 \(F(T) = \colim_i F(T_i)\)，则称函子 \(F : (\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\) 保持极限。

情形

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。设 \(u : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的同态。对于任意在 \(S\) 上的概形 \(T\)，记 \(u_T : \mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T\) 为 \(u\) 到 \(T\) 的基变换；换言之， \(u_T\) 是沿投影态射 \(X_T = X \times_S T \to X\) 对 \(u\) 的拉回。 在此情形可以考虑函子 [05MI]\[\begin{equation} F_{iso} : (\Sch/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad T \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{若} & u_T \text{ 是同构}, \\ \emptyset & \text{否则。} & \end{matrix} \right. \end{equation}\] 还有变体 \(F_{inj}\)、\(F_{surj}\)、\(F_{zero}\)，分别要求 \(u_T\) 是单射、满射或零映射。

引理

在情形 05MH 中。

1. 函子 \(F_{iso}\)、\(F_{inj}\)、\(F_{surj}\)、\(F_{zero}\) 都满足 fpqc 拓扑的层性质。

2. 若 \(f\) 拟紧且 \(\mathcal{G}\) 有限型，则 \(F_{surj}\) 保持极限。

3. 若 \(f\) 拟紧且 \(\mathcal{F}\) 有限型，则 \(F_{zero}\) 保持极限。

4. 若 \(f\) 拟紧、\(\mathcal{F}\) 有限型且 \(\mathcal{G}\) 有限表示，则 \(F_{iso}\) 保持极限。

证明

设 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 \(S\) 上概形的 fpqc 覆盖。置 \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\)，并置 \(u_i = u_{T_i}\)。注意 \(\{X_i \to X_T\}_{i \in I}\) 是 \(X_T\) 的 fpqc 覆盖，见《拓扑》，引理 022D。特别地，对每个 \(x \in X_T\)，存在 \(i \in I\) 以及 映到 \(x\) 的 \(x_i \in X_i\)。由于 \(\mathcal{O}_{X_T, x} \to \mathcal{O}_{X_i, x_i}\) 平坦，因而忠实平坦（见《代数》， 引理 00HR），可知 \((u_i)_{x_i}\) 是单射、满射、双射 或零映射，当且仅当 \((u_T)_x\) 具有相应性质。这就证明了引理的第 (1) 部分。

(2) 的证明。假设 \(f\) 拟紧且 \(\mathcal{G}\) 有限型。令 \(T = \lim_{i \in I} T_i\) 为仿射 \(S\)-概形的有向极限，并假设 \(u_T\) 是满射。 置 \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\)，以及 \(u_i = u_{T_i} : \mathcal{F}_i = \mathcal{F}_{T_i} \to \mathcal{G}_i = \mathcal{G}_{T_i}\)。为证明 (2)，需证明对某个 \(i\)，\(u_i\) 是满射。 取 \(i_0 \in I\)，并用 \(\{i \mid i \geq i_0\}\) 替换 \(I\)。由于 \(f\) 拟紧，概形 \(X_{i_0}\) 拟紧。因此可以选择仿射开集 \(W_1, \ldots, W_m \subset X\) 以及仿射开覆盖 \(X_{i_0} = U_{1, i_0} \cup \ldots \cup U_{m, i_0}\)，使得 \(U_{j, i_0}\) 在投影态射 \(X_{i_0} \to X\) 下映入 \(W_j\)。对任意 \(i \in I\)，令 \(U_{j, i}\) 为 \(U_{j, i_0}\) 的逆像。置 \(U_j = \lim_i U_{j, i}\)，则 \(X_T = U_1 \cup \ldots \cup U_m\) 是 \(X_T\) 的仿射开覆盖。现在只需证明：对给定 \(j \in \{1, \ldots, m\}\)，存在 \(i = i(j) \in I\) 使 \(u_i|_{U_{j, i}}\) 为满射。由《性质》，引理 01PB，这转化为下列代数问题： 设 \(A\) 是环，\(u : M \to N\) 是 \(A\)-模映射。假设 \(R = \colim_{i \in I} R_i\) 是 \(A\)-代数的有向余极限。若 \(N\) 是有限 \(A\)-模，且 \(u \otimes 1 : M \otimes_A R \to N \otimes_A R\) 是满射，则对某个 \(i\)，映射 \(u \otimes 1 : M \otimes_A R_i \to N \otimes_A R_i\) 是满射。这就是《代数》， 引理 05LI 的第 (2) 部分。

(3) 的证明。与 (2) 的证明完全相同的论证将其归约为下列代数问题： 设 \(A\) 是环，\(u : M \to N\) 是 \(A\)-模映射。假设 \(R = \colim_{i \in I} R_i\) 是 \(A\)-代数的有向余极限。若 \(M\) 是有限 \(A\)-模，且 \(u \otimes 1 : M \otimes_A R \to N \otimes_A R\) 为零，则对某个 \(i\)，映射 \(u \otimes 1 : M \otimes_A R_i \to N \otimes_A R_i\) 为零。这就是《代数》， 引理 05LI 的第 (1) 部分。

(4) 的证明。假设 \(f\) 拟紧且 \(\mathcal{F}, \mathcal{G}\) 有限表示。以与上一段 完全相同的方式论证（另外使用《性质》，引理 01PC），(3) 转化为下列代数断言： 设 \(A\) 是环，\(u : M \to N\) 是 \(A\)-模映射。假设 \(R = \colim_{i \in I} R_i\) 是 \(A\)-代数的有向余极限。假设 \(M\) 是有限 \(A\)-模， \(N\) 是有限表示 \(A\)-模，且 \(u \otimes 1 : M \otimes_A R \to N \otimes_A R\) 是同构。则对某个 \(i\)，映射 \(u \otimes 1 : M \otimes_A R_i \to N \otimes_A R_i\) 是同构。这就是《代数》， 引理 05LI 的第 (3) 部分。

情形

设 \((A, \mathfrak m_A)\) 为局部环。 记 \(\mathcal{C}\) 为如下范畴：其对象是 \(A\)-代数 \(A'\)， 其中这些环是局部环，且代数结构 \(A \to A'\) 是局部环之间的局部同态。 \(\mathcal{C}\) 中对象 \(A', A''\) 之间的态射是 \(A\)-代数的 局部同态 \(A' \to A''\)。 设 \(A \to B\) 是局部环之间的局部环映射，且 \(M\) 是 \(B\)-模。 若 \(A'\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象，则置 \(B' = B \otimes_A A'\)， 并将 \(M' = M \otimes_A A'\) 视为 \(B'\)-模。 给定 \(A' \in \Ob(\mathcal{C})\)，考虑条件 [05ML]\[\begin{equation} \forall \mathfrak q \in V(\mathfrak m_{A'}B' + \mathfrak m_B B') \subset \Spec(B') : M'_{\mathfrak q}\text{ 在 }A'\text{ 上平坦}. \end{equation}\] 注意这与《代数进阶》，方程 (05LQ) 相似。 特别地，若 \(A' \to A''\) 是 \(\mathcal{C}\) 中的态射，且 (05ML) 对 \(A'\) 成立，则它对 \(A''\) 也成立，见《代数进阶》， 引理 05LR。 因此得到函子 [05MM]\[\begin{equation} F_{lf} : \mathcal{C} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad A' \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{若 }(\href{flat.html#flat-equation-flat-at-primes}{05ML})\text{ 成立}, \\ \emptyset & \text{否则。} & \end{matrix} \right. \end{equation}\]

引理

在情形 05MK 中。

1. 若 \(A' \to A''\) 是 \(\mathcal{C}\) 中的平坦态射， 则 \(F_{lf}(A') = F_{lf}(A'')\)。

2. 若 \(A \to B\) 本质有限表示，且 \(M\) 是有限表示的 \(B\)-模，则 \(F_{lf}\) 保持极限： 若 \(\{A_i\}_{i \in I}\) 是 \(\mathcal{C}\) 中对象的有向系统，则 \(F_{lf}(\colim_i A_i) = \colim_i F_{lf}(A_i)\).

证明

第 (1) 部分是《代数进阶》引理 05LS 的特例。 第 (2) 部分是《代数进阶》引理 05LT 的特例。

引理

在情形 05MK 中。设 \(B \to C\) 是局部 \(A\)-代数之间的局部映射，且 \(N\) 是 \(C\)-模。记 \(F'_{lf} : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 为与对 \((C, N)\) 关联的函子。 若 \(M \cong N\) 作为 \(B\)-模且 \(B \to C\) 有限，则 \(F_{lf} = F'_{lf}\).

证明

设 \(A'\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象。置 \(C' = C \otimes_A A'\)， 并仿照情形 05MK 中 \(B'\)、\(M'\) 的定义 置 \(N' = N \otimes_A A'\)。 注意 \(M' \cong N'\) 作为 \(B'\)-模。 假设 \(B \to C\) 有限，则有两个结论： (a) \(\mathfrak m_C = \sqrt{\mathfrak m_B C}\)，且 (b) \(B' \to C'\) 有限。结论 (a) 蕴含 \[V(\mathfrak m_{A'}C' + \mathfrak m_C C') = \left( \Spec(C') \to \Spec(B') \right)^{-1}V(\mathfrak m_{A'}B' + \mathfrak m_B B').\] 设 \(\mathfrak q \subset V(\mathfrak m_{A'}B' + \mathfrak m_B B')\)。 则 \(M'_{\mathfrak q}\) 在 \(A'\) 上平坦，当且仅当 \(C'_{\mathfrak q}\)-模 \(N'_{\mathfrak q}\) 在 \(A'\) 上平坦 （因为它们作为 \(A'\)-模同构），当且仅当 \(C'_{\mathfrak q}\) 的每个极大理想 \(\mathfrak r\) 都满足 \(N'_{\mathfrak r}\) 在 \(A'\) 上平坦（见《代数》，引理 00HT）。 由 (b)，\(B'_{\mathfrak q} \to C'_{\mathfrak q}\) 有限， \(C'_{\mathfrak q}\) 的极大理想恰好对应于 位于 \(\mathfrak q\) 之上的 \(C'\) 的素理想（见《代数》，引理 00GU）， 而根据上面的显示方程，这些素理想全都包含在 \(V(\mathfrak m_{A'}C' + \mathfrak m_C C')\) 中。因此引理得证。

引理

在情形 05MK 中，设 \(B \to C\) 是局部 环之间的平坦局部同态。置 \(N = M \otimes_B C\)。记 \(F'_{lf} : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\) 为与对 \((C, N)\) 关联 的函子。则 \(F_{lf} = F'_{lf}\)。

证明

设 \(A'\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象。置 \(C' = C \otimes_A A'\)， 并仿照情形 05MK 中 \(B'\)、\(M'\) 的定义 置 \(N' = N \otimes_A A' = M' \otimes_{B'} C'\)。注意 \[V(\mathfrak m_{A'}B' + \mathfrak m_B B') = \Spec( \kappa(\mathfrak m_B) \otimes_A \kappa(\mathfrak m_{A'}) )\] 并且对 \(V(\mathfrak m_{A'}C' + \mathfrak m_C C')\) 也有类似等式。 环映射 \[\kappa(\mathfrak m_B) \otimes_A \kappa(\mathfrak m_{A'}) \longrightarrow \kappa(\mathfrak m_C) \otimes_A \kappa(\mathfrak m_{A'})\] 是忠实平坦的，因此 \(V(\mathfrak m_{A'}C' + \mathfrak m_C C') \to V(\mathfrak m_{A'}B' + \mathfrak m_B B')\) 是满射。 最后，若 \(\mathfrak r \in V(\mathfrak m_{A'}C' + \mathfrak m_C C')\) 映到 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak m_{A'}B' + \mathfrak m_B B')\)，则 \(M'_{\mathfrak q}\) 在 \(A'\) 上平坦，当且仅当 \(N'_{\mathfrak r}\) 在 \(A'\) 上平坦，因为 \(B' \to C'\) 平坦，见 《代数》，引理 0584。 引理由这些观察形式地推出。

情形

设 \(f : X \to S\) 是具有几何不可约纤维的光滑态射。 设 \(\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。对任意 \(S\) 上的概形 \(T\)，记 \(\mathcal{F}_T\) 为 \(\mathcal{F}\) 到 \(T\) 的基变换， 换言之，\(\mathcal{F}_T\) 是沿投影态射 \(X_T = X \times_S T \to X\) 的 \(\mathcal{F}\) 的拉回。注意 \(X_T \to T\) 是具有几何不可约纤维的光滑态射，见《态射》引理 01VB 及《态射进阶》引理 0555。 设 \(p \geq 0\) 为整数。给定点 \(t \in T\)，考虑条件 [05MQ]\[\begin{equation} \mathcal{F}_T\text{ 在 }\xi_t\text{ 的一个邻域内自由且秩为 }p \end{equation}\] 其中 \(\xi_t\) 是纤维 \(X_t\) 的泛点。对所有 \(t \in T\)，此条件在基变换下稳定， 因此得到函子 [05MR]\[\begin{equation} H_p : (\Sch/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad T \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{若 }\mathcal{F}_T\text{ 满足 (\href{flat.html#flat-equation-free-at-generic-point-fibre}{05MQ}) }\forall t\in T, \\ \emptyset & \text{否则。} \end{matrix} \right. \end{equation}\]

引理

在情形 05MP 中。

1. 函子 \(H_p\) 对 fpqc 拓扑满足层性质。

2. 若 \(\mathcal{F}\) 有限表示，则函子 \(H_p\) 保持极限。

证明

设 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是概形在 \(S\) 上的 fpqc¹ 覆盖。 置 \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\)，记 \(\mathcal{F}_i\) 为 \(\mathcal{F}\) 到 \(X_i\) 的拉回。 假设对所有 \(i\)，\(\mathcal{F}_i\) 都满足 (05MQ)。 取 \(t \in T\)，令 \(\xi_t \in X_T\) 表示 \(X_t\) 的泛点。 我们需要证明 \(\mathcal{F}\) 在 \(\xi_t\) 的某个邻域内自由。 对某个 \(i \in I\)，可找到映到 \(t\) 的 \(t_i \in T_i\)。 令 \(\xi_i \in X_i\) 表示 \(X_{t_i}\) 的泛点，于是 \(\xi_i\) 映到 \(\xi_t\)。 由于 \(\mathcal{F}_i\) 在 \(\xi_i\) 的某个邻域内秩为 \(p\) 的自由性，得到 \((\mathcal{F}_i)_{x_i} \cong \mathcal{O}_{X_i, x_i}^{\oplus p}\) 这蕴含 \(\mathcal{F}_{T, \xi_t} \cong \mathcal{O}_{X_T, \xi_t}^{\oplus p}\) 因为 \(\mathcal{O}_{X_T, \xi_t} \to \mathcal{O}_{X_i, x_i}\) 平坦，见例如 《代数》，引理 00O1。 因此在 \(X_T\) 中存在 \(\xi_t\) 的仿射邻域 \(U\) 以及满射 \(\mathcal{O}_U^{\oplus p} \to \mathcal{F}_U = \mathcal{F}_T|_U\)，见 《模》，引理 01B8。 缩小 \(T\) 后可假设 \(U \to T\) 是满射。因此 \(U \to T\) 是具有几何不可约 纤维的仿射光滑态射。此外，对每个 \(t' \in T\)，诱导映射 \[\alpha : \mathcal{O}_{U, \xi_{t'}}^{\oplus p} \longrightarrow \mathcal{F}_{U, \xi_{t'}}\] 是同构（因为由同样的论证，右侧的模是秩为 \(p\) 的自由模）。由引理 05I3 得 \[\Gamma(U, \mathcal{O}_U^{\oplus p}) \otimes_{\Gamma(T, \mathcal{O}_T)} \mathcal{O}_{T, t'} \longrightarrow \Gamma(U, \mathcal{F}_U) \otimes_{\Gamma(T, \mathcal{O}_T)} \mathcal{O}_{T, t'}\] 对每个 \(t' \in T\) 都是单射。因此满射 \(\alpha\) 是同构。这就完成了 (1) 的证明。

假设 \(\mathcal{F}\) 有限表示。 设 \(T = \lim_{i \in I} T_i\) 是仿射 \(S\)-概形的有向极限， 并假设 \(\mathcal{F}_T\) 满足 (05MQ). 置 \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\)，记 \(\mathcal{F}_i\) 为 \(\mathcal{F}\) 到 \(X_i\) 的拉回。 记 \(U \subset X_T\) 为 \(\mathcal{F}_T\) 在 \(T\) 上平坦的点所成的开子概形，见 《态射进阶》，定理 0399。 由假设，每个纤维的泛点都是 \(U\) 中的点，即 \(U \to T\) 是具有几何不可约纤维的光滑满射。可稍微缩小 \(U\)，并假设 \(U\) 是拟紧的。 利用《极限》引理 01Z4， 可找到 \(i \in I\) 及拟紧开集 \(U_i \subset X_i\)， 使其在 \(X_T\) 中的逆像为 \(U\)。增大 \(i\) 后可假设 \(\mathcal{F}_i|_{U_i}\) 在 \(T_i\) 上平坦，见《极限》引理 05LY。 特别地，\(\mathcal{F}_i|_{U_i}\) 有限局部自由， 因此定义局部常值的 秩函数 \(\rho : U_i \to \{0, 1, 2, \ldots \}\)。 令 \((U_i)_p \subset U_i\) 表示 \(\rho\) 取值为 \(p\) 的开闭子集。令 \(V_i \subset T_i\) 为 \((U_i)_p\) 的像；注意 \(V_i\) 是开且拟紧的。 由假设，\(T \to T_i\) 的像包含于 \(V_i\) 中。 因此由《极限》引理 01Z4， 存在 \(i' \geq i\) 使 \(T_{i'} \to T_i\) 经由 \(V_i\) 分解。 于是 \(\mathcal{F}_{i'}\) 满足 (05MQ)，如所需。细节略去。

引理

设 \(f : X \to S\) 是局部有限型的概形态射。 设 \(\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(n \geq 0\)。 以下条件等价：

1. 对于 \(s \in S\)，令 \(Z \subset X_s\) 为 \(\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上不平坦的点所成的闭子集（见引理 05M9），则 \(\dim(Z) < n\)，并且

2. 对于 \(x \in X\)，若 \(\mathcal{F}\) 在 \(x\) 处不是在 \(S\) 上平坦的，则 \(\text{trdeg}_{\kappa(f(x))}(\kappa(x)) < n\)。

若这些条件成立，则在任意基变换后仍成立。

证明

设 \(x \in X\) 是位于 \(s \in S\) 之上的点。 由《簇》引理 0A21， \(\{x\}\) 在 \(X_s\) 中的闭包的维数为 \(\text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x))\)。 反之，若 \(Z \subset X_s\) 是维数为 \(d\) 的闭子集，则存在 \(x \in Z\)， 使 \(\text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)) = d\)（同一引理）。 因此 (1) 与 (2) 等价（甚至逐纤维成立）。 基变换的断言由《态射》引理 01U8 和 02FY 得出。

定义

设 \(f : X \to S\) 是局部有限型的概形态射。 设 \(\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。设 \(n \geq 0\)。 若引理 0CWF 的等价条件成立， 则称 \(\mathcal{F}\) 在维数 \(\geq n\) 上关于 \(S\) 平坦。

情形

设 \(f : X \to S\) 是局部有限型的概形态射。 设 \(\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。对任意 \(S\) 上的概形 \(T\)，记 \(\mathcal{F}_T\) 为 \(\mathcal{F}\) 到 \(T\) 的基变换， 换言之，\(\mathcal{F}_T\) 是沿投影态射 \(X_T = X \times_S T \to X\) 的 \(\mathcal{F}\) 的拉回。注意 \(X_T \to T\) 是有限型的， 且 \(\mathcal{F}_T\) 是有限型 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-模（《态射》引理 01T4 及《模》引理 01B6）。 设 \(n \geq 0\)。由定义 0CWG 与引理 0CWF 得到函子 [05MU]\[\begin{equation} F_n : (\Sch/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad T \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{若 }\mathcal{F}_T\text{ 在 }T\text{ 上于 }\dim \geq n\text{ 的部分平坦}, \\ \emptyset & \text{否则。} \end{matrix} \right. \end{equation}\]

引理

在情形 05MT 中。

1. 函子 \(F_n\) 对 fpqc 拓扑满足层性质。

2. 若 \(f\) 拟紧且局部有限表示，并且 \(\mathcal{F}\) 有限表示， 则函子 \(F_n\) 保持极限。

证明

设 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 \(S\) 上概形的 fpqc 覆盖。 置 \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\)，记 \(\mathcal{F}_i\) 为 \(\mathcal{F}\) 到 \(X_i\) 的拉回。假设对所有 \(i\)，\(\mathcal{F}_i\) 在维数 \(\geq n\) 上关于 \(T_i\) 平坦。取 \(t \in T\)。 选取指标 \(i\) 及映到 \(t\) 的点 \(t_i \in T_i\)。 考虑笛卡尔图 \[\xymatrix{ X_{\Spec(\mathcal{O}_{T, t})} \ar[d] & X_{\Spec(\mathcal{O}_{T_i, t_i})} \ar[d] \ar[l] \\ \Spec(\mathcal{O}_{T, t}) & \Spec(\mathcal{O}_{T_i, t_i}) \ar[l] }\] 由于下方水平态射平坦，由《态射进阶》引理 047C，\(\mathcal{F}_i\) 在 \(T_i\) 上不平坦的集合 \(Z_i \subset X_{t_i}\) 与 \(\mathcal{F}_T\) 在 \(T\) 上不平坦的 集合 \(Z \subset X_t\) 满足关系 \(Z_i = Z_{\kappa(t_i)}\)。 于是由《态射》引理 02FY， 得到 \(\mathcal{F}_T\) 在维数 \(\geq n\) 上关于 \(T\) 平坦。

假设 \(f\) 拟紧且局部有限表示，并且 \(\mathcal{F}\) 有限表示。 本段先将 (2) 的证明约化到 \(f\) 有限表示的情形。 设 \(T = \lim_{i \in I} T_i\) 是仿射 \(S\)-概形的有向极限， 并假设 \(\mathcal{F}_T\) 在维数 \(\geq n\) 上平坦。置 \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\)，记 \(\mathcal{F}_i\) 为 \(\mathcal{F}\) 到 \(X_i\) 的拉回。 我们需要证明对某个 \(i\)，\(\mathcal{F}_i\) 在维数 \(\geq n\) 上平坦。 取 \(i_0 \in I\)，并将 \(I\) 换为 \(\{i \mid i \geq i_0\}\)。 由于 \(T_{i_0}\) 仿射（因而拟紧），存在有限个仿射开集 \(W_j \subset S\)（\(j = 1, \ldots, m\)）以及一个仿射开覆盖 \(T_{i_0} = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} V_{j, i_0}\)， 使得 \(T_{i_0} \to S\) 将 \(V_{j, i_0}\) 映入 \(W_j\)。 对 \(i \geq i_0\)，记 \(V_{j, i}\) 为 \(V_{j, i_0}\) 在 \(T_i\) 中的逆像。 若能对每个 \(j\) 证明存在某个 \(i\) 使 \(\mathcal{F}_{V_{j, i_0}}\) 在维数 \(\geq n\) 上平坦，则结论成立。这样便可约化到 \(S\) 仿射的情形。 此时 \(X\) 拟紧，可取有限仿射开覆盖 \(X = W_1 \cup \ldots \cup W_m\)。 此时 \((X \to S, \mathcal{F})\) 的结论等价于 \((\coprod W_j, \coprod \mathcal{F}|_{W_j})\) 的结论。因此可假设 \(f\) 有限表示。

假设 \(f\) 有限表示且 \(\mathcal{F}\) 有限表示。记 \(U \subset X_T\) 为 \(\mathcal{F}_T\) 在 \(T\) 上平坦的点所成的开子概形，见《态射进阶》定理 0399。 由假设，\(Z = X_T \setminus U\) 在 \(T\) 上每个纤维的维数都为 \(< n\)。 由《极限》引理 05M6， 可找到闭子概形 \(Z \subset Z' \subset X_T\)，使对所有 \(t \in T\) 都有 \(\dim(Z'_t) < n\)，且 \(Z' \to X_T\) 有限表示。由《极限》引理 01ZM 和 01ZP， 存在 \(i \in I\) 及有限表示闭子概形 \(Z'_i \subset X_i\)， 其到 \(T\) 的基变换为 \(Z'\)。由《极限》引理 05M5，可假设 \(Z'_i \to T_i\) 的所有纤维维数都为 \(< n\)。 由《极限》引理 05LY， 可假设 \(\mathcal{F}_i|_{X_i \setminus T'_i}\) 在 \(T_i\) 上平坦。 这蕴含 \(\mathcal{F}_i\) 在维数 \(\geq n\) 上平坦；这里使用 \(Z' \to X_T\) 有限表示，因而补集 \(X_T \setminus Z'\) 拟紧！ 于是 (2) 得证，引理的证明完成。

情形

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。 设 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。 对任意 \(S\) 上的概形 \(T\)，记 \(\mathcal{F}_T\) 为 \(\mathcal{F}\) 到 \(T\) 的 基变换，换言之，\(\mathcal{F}_T\) 是沿投影态射 \(X_T = X \times_S T \to X\) 的 \(\mathcal{F}\) 的拉回。由于平坦模的基变换 仍平坦，得到函子 [05MX]\[\begin{equation} F_{flat} : (\Sch/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad T \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{若 } \mathcal{F}_T\text{ 在 }T\text{ 上平坦}, \\ \emptyset & \text{否则。} \end{matrix} \right. \end{equation}\]

引理

在情形 05MW 中。

1. 函子 \(F_{flat}\) 对 fpqc 拓扑满足层性质。

2. 若 \(f\) 拟紧且局部有限表示，并且 \(\mathcal{F}\) 有限表示， 则函子 \(F_{flat}\) 保持极限。

证明

第 (1) 部分由以下断言推出：若 \(T' \to T\) 是 \(S\) 上概形的满射平坦态射， 则 \(\mathcal{F}_{T'}\) 在 \(T'\) 上平坦，当且仅当 \(\mathcal{F}_T\) 在 \(T\) 上平坦，见 《态射进阶》引理 047C。 第 (2) 部分在将 \(X\)、\(S\) 约化到仿射情形后，由《极限》引理 05LY 得出（比较引理 05MV 的证明）。

扁平化分层

这里只给出定义。寻找“泛平坦性分层”的读者应参阅 《态射进阶》第 0H3Y 节。

定义

设 \(X \to S\) 是概形态射。 设 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。 若情形 05MW 中定义的函子 \(F_{flat}\) 可由 \(S\) 上的概形 \(S'\) 表示，则称 \(\mathcal{F}\) 的泛扁平化存在。 若 \(\mathcal{O}_X\) 的泛扁平化存在，则称 \(X\) 的泛扁平化存在。

注意，若 \(\mathcal{F}\) 的泛扁平化 \(S'\)² 存在， 则态射 \(S' \to S\) 是概形的满射单射，\(\mathcal{F}_{S'}\) 在 \(S'\) 上平坦， 并且态射 \(T \to S\) 穿过 \(S'\) 分解，当且仅当 \(\mathcal{F}_T\) 在 \(T\) 上平坦。

例

设 \(X = S = \Spec(k[x, y])\)，其中 \(k\) 是域。令 \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\)，其中 \(M = k[x, x^{-1}, y]/(y)\)。 对 \(k[x, y]\)-代数 \(A\)，置 \(F_{flat}(A) = F_{flat}(\Spec(A))\)。 则对所有 \(n\) 有 \(F_{flat}(k[x, y]/(x, y)^n) = \{*\}\)，但 \(F_{flat}(k[[x, y]]) = \emptyset\)。这意味着 \(F_{flat}\) 不可表示 （甚至不能由代数空间表示，见《形式概形》引理 0AQH）。 因此在此情形泛扁平化不存在。

我们定义（比较《拓扑》注记 09Y2）：概形 \(S\) 的（局部有限的、 概形论的）分层 由偏序集 \(I\) 所指标的一族闭子概形 \(Z_i \subset S\) 给出， 满足 \(S = \bigcup Z_i\)（集合论意义下），\(S\) 的每个点都有一个邻域只与有限多个 \(Z_i\) 相交，并且满足 \[Z_i \cap Z_j = \bigcup\nolimits_{k \leq i, j} Z_k.\] 置 \(S_i = Z_i \setminus \bigcup_{j < i} Z_j\)，实际的分层是将 该概形分解为局部闭子概形的 \(S = \coprod S_i\)。我们常只标出分层 \(S_i\)，把闭子概形 \(Z_i\) 的构造留给读者。给定一个分层，可得到单射 \[S' = \coprod\nolimits_{i \in I} S_i \longrightarrow S.\] 称之为与该分层关联的 单射。用此术语可定义扁平化分层的含义。

定义

设 \(X \to S\) 是概形态射。 设 \(\mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。 若情形 05MW 中定义的函子 \(F_{flat}\) 可由单射 \(S' \to S\) 表示，且该单射与由局部闭子概形给出的 \(S\) 的一个分层关联，则称 \(\mathcal{F}\) 有 扁平化分层。 若 \(\mathcal{O}_X\) 有扁平化分层，则称 \(X\) 有 扁平化分层。

当扁平化分层存在时，理解给分层编号的指标集及其偏序通常很重要。 这往往与模的秩有关。例如，当 \(X = S\) 且 \(\mathcal{F}\) 是有限表示的 \(\mathcal{O}_S\)-模时，扁平化分层存在，并由 \(\mathcal{F}\) 的 Fitting 理想给出，见 《因子》引理 05P9。

Artin 环上的扁平化分层

当底概形是 Artin 环的谱时，扁平化分层存在。

引理

设 \(S\) 是 Artin 环的谱。 对 \(S\) 上任意概形 \(X\) 及任意拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模， 泛扁平化存在。事实上，泛扁平化由闭浸入 \(S' \to S\) 给出， 因而也是 \(\mathcal{F}\) 的扁平化分层。

证明

取仿射开覆盖 \(X = \bigcup U_i\)。 则 \(F_{flat}\) 是与各对 \((U_i, \mathcal{F}|_{U_i})\) 关联的函子的乘积。 因此只需对每个 \((U_i, \mathcal{F}|_{U_i})\) 证明结论。 在仿射情形，引理由《代数进阶》引理 0525 立即推出。

态射的扁平化

定理 05PF 是后续扁平化论断的关键。

引理

设 \(S\) 是概形。 设 \(g : X' \to X\) 是 \(S\) 上概形的平坦态射，且 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。 设 \(\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模，并且在 \(S\) 上平坦。 若 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F}) \subset g(X')\)，则典范映射 \[\mathcal{F} \longrightarrow g_*g^*\mathcal{F}\] 是单射，并且在任意基变换后仍为单射。

证明

最后的断言意味着，对任意态射 \(T \to S\)，映射 \(\mathcal{F}_T \to (g_T)_*g_T^*\mathcal{F}_T\) 是单射。条件 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F}) \subset g(X')\) 在基变换下保持，见《因子》引理 05DC 及注记 05KL。 平坦性与有限型的假设也具有同样性质。 因此只需证明所显示箭头的单射性。 令 \(\mathcal{K} = \Ker(\mathcal{F} \to g_*g^*\mathcal{F})\)。 目标是证明 \(\mathcal{K} = 0\)。 为此只需证明 \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K}) = \emptyset\)，见《因子》引理 05AP。 我们有 \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K}) \subset \text{WeakAss}_X(\mathcal{F})\)，见《因子》引理 05AN。 由于 \(\mathcal{F}\) 平坦，由引理 05IJ 得 \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}) \subset \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)。 由假设，\(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) 的任意点 \(x\) 都是某个 \(x' \in X'\) 的像。 由于 \(g\) 平坦，局部环映射 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X', x'}\) 忠实平坦，故映射 \[\mathcal{F}_x \longrightarrow g^*\mathcal{F}_{x'} = \mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{X', x'}\] 是单射（见《代数》引理 05CK）。 这就蕴含 \(\mathcal{K}_x = 0\)，即得所需结论。

引理

设 \(A\) 是环，\(u : M \to N\) 是 \(A\)-模的满射。 若 \(M\) 是投射 \(A\)-模，则存在理想 \(I \subset A\)，使对任意环映射 \(\varphi : A \to B\)，以下条件等价：

1. \(u \otimes 1 : M \otimes_A B \to N \otimes_A B\) 是同构；

2. \(\varphi(I) = 0\).

证明

由于 \(M\) 投射，可取投射 \(A\)-模 \(C\)，使 \(F = M \oplus C\) 是自由 \(A\)-模。 将 \(u\) 替换为 \(u \oplus 1 : F = M \oplus C \to N \oplus C\) 后， 可假设 \(M\) 自由。在此情形，令 \(I\) 为相对于 \(M\) 的某个（固定）基， \(\Ker(u)\) 中所有元素的系数在 \(A\) 中生成的理想。 这是因为 \(u\) 满射且 \(\otimes_A B\) 右正合，所以 \(\Ker(u \otimes 1)\) 是 \(\Ker(u) \otimes_A B\) 在 \(M \otimes_A B\) 中的像。

定理

在情形 05MH 中，假设

1. \(f\) 有限表示；

2. \(\mathcal{F}\) 有限表示、在 \(S\) 上平坦且相对于 \(S\) 纯；

3. \(u\) 是满射。

则 \(F_{iso}\) 可由闭浸入 \(Z \to S\) 表示。 此外，若 \(\mathcal{G}\) 有限表示，则 \(Z \to S\) 有限表示。

证明

下文不再特别说明，我们使用 \(\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上普遍纯这一事实，见引理 05L5。 由引理 05MJ 以及《下降》引理 03I0 和 02W5，该问题对 \(S\) 上的 étale 拓扑是局部的。 因此只需证明：给定 \(s \in S\)，存在 \((S, s)\) 的一个 étale 邻域，使定理成立。

利用引理 05KW， 并将 \(S\) 替换为 \(s\) 的一个初等 étale 邻域后，可假设存在交换图 \[\xymatrix{ X \ar[dr] & & X' \ar[ll]^g \ar[ld] \\ & S & }\] 其中概形均在 \(S\) 上有限表示，且 \(g\) 是 étale，\(X_s \subset g(X')\)， 概形 \(X'\) 与 \(S\) 仿射，并且 \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) 是 \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-投射模。 注意 \(g^*\mathcal{F}\) 在 \(S\) 上普遍纯，见引理 05K6。 因此由引理 05L4，开集 \(g(X')\) 包含 位于 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 之上的 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) 中的点。置 \[E = \{t \in S \mid \text{Ass}_{X_t}(\mathcal{F}_t) \subset g(X') \}.\] 由《态射进阶》引理 05KR，\(E\) 是 \(S\) 的可构造子集。 我们已知 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \subset E\)。由《态射》引理 05LW，\(E\) 包含 \(s\) 的一个开邻域。 因此将 \(S\) 替换为 \(s\) 的较小仿射邻域后，可假设 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F}) \subset g(X')\)。

由于假设 \(u\) 是满射，有 \(F_{iso} = F_{inj}\)。由引理 05PD，\(u : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) 是单射， 当且仅当 \(g^*u : g^*\mathcal{F} \to g^*\mathcal{G}\) 是单射；在任意基变换后 同样成立。因此可约化到如下情形：除定理假设外，\(X \to S\) 是仿射概形的态射， 且 \(\Gamma(X, \mathcal{F})\) 是 \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)-投射模。 此情形立即由引理 05PE 得出。

若 \(\mathcal{G}\) 有限表示，则将引理 05MJ 第 (4) 部分与《极限》注记 05LX 合并，即得 \(Z\) 有限表示。

引理

设 \(f:X\to S\) 是有限表示、平坦且纯的概形态射。设 \(Y\) 是 \(X\) 的闭子概形。 令 \(F=f_*Y\) 为沿 \(f\) 的 \(Y\) 的 Weil 限制函子，定义为 \[F : (\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}, \quad T \mapsto \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{若} & Y_T\to X_T \text{ 是同构，}\\ \emptyset & \text{否则。} & \end{matrix} \right.\] 则 \(F\) 可由闭浸入 \(Z\to S\) 表示。此外，若 \(Y\to S\) 有限表示， 则 \(Z\to S\) 有限表示。

证明

令 \(\mathcal{I}\) 是 \(X\) 中定义 \(Y\) 的理想层，并令 \(u:\mathcal{O}_X\to\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\) 为满射。 对 \(S\)-概形 \(T\)，闭浸入 \(Y_T\to X_T\) 是同构，当且仅当 \(u_T\) 是同构。因此结论由定理 05PF 得出。

局部情形下的扁平化

本节开始应用前面的材料，得到扁平化分层的一个影子。

定理

在情形 05MK 中，假设 \(A\) 是 Hensel 环， \(B\) 是 \(A\) 上本质有限型的，且 \(M\) 是有限 \(B\)-模。 则存在理想 \(I \subset A\)，使 \(A/I\) 在范畴 \(\mathcal{C}\) 上共表示函子 \(F_{lf}\)。 换言之，给定局部环的局部同态 \(\varphi : A \to A'\)，其中 \(B' = B \otimes_A A'\) 且 \(M' = M \otimes_A A'\)， 以下条件等价：

1. \(\forall \mathfrak q \in V(\mathfrak m_{A'}B' + \mathfrak m_B B') \subset \Spec(B') : M'_{\mathfrak q}\text{ 在 }A'\text{ 上平坦}\)，且

2. \(\varphi(I) = 0\)。

若 \(B\) 在 \(A\) 上本质有限表示且 \(M\) 在 \(B\) 上有限表示， 则 \(I\) 是有限生成理想。

证明

取有限型环映射 \(A \to C\)、有限 \(C\)-模 \(N\) 及 \(C\) 的素理想 \(\mathfrak q\)，使 \(B = C_{\mathfrak q}\) 且 \(M = N_{\mathfrak q}\)。 下文中，当我们说 “对 \((N/C/A, \mathfrak q)\) 定理成立”是指 是指它对 \((A \to B, M)\) 成立，其中 \(B = C_{\mathfrak q}\) 且 \(M = N_{\mathfrak q}\)。由引理 05P5， 若将 \(B\) 替换为在 \(B\) 上平坦的局部环，函子 \(F_{lf}\) 不变。 因此由于 \(A\) 是 Hensel 环，可应用引理 05I1， 并假设 \(N/C/A\) 在 \(\mathfrak q\) 处存在完全 dévissage。

令 \((A_i, B_i, M_i, \alpha_i, \mathfrak q_i)_{i = 1, \ldots, n}\) 为 \(N/C/A\) 在 \(\mathfrak q\) 处的一个完全 dévissage。令 \(\mathfrak q'_i \subset A_i\) 为位于 \(\mathfrak q_i \subset B_i\) 之上的唯一素理想， 如定义 05HZ 所述。 由于 \(C \to A_1\) 满射且 \(N \cong M_1\) 作为 \(C\)-模，由引理 05P4，只需证明定理对 \((M_1/A_1/A, \mathfrak q'_1)\) 成立。 由于 \(B_1 \to A_1\) 有限，且 \(\mathfrak q_1\) 是位于 \(\mathfrak q'_1\) 之上的 \(B_1\) 的唯一素理想，故 \((A_1)_{\mathfrak q'_1} \to (B_1)_{\mathfrak q_1}\) 有限 （见《代数》引理 00EA 或《态射进阶》引理 05B8）。 因此由引理 05P4，只需证明定理对 \((M_1/B_1/A, \mathfrak q_1)\) 成立。

此时可对 dévissage 的长度 \(n\) 作归纳，假设定理对 \((M_2/B_2/A, \mathfrak q_2)\) 成立。（若 \(n = 1\)，则 \(M_2 = 0\)， 它在 \(A\) 上平坦。）反向执行上一段的最后几个步骤，并使用 \(M_2 \cong \Coker(\alpha_2)\) 作为 \(B_1\)-模这一事实，可知定理对 \((\Coker(\alpha_1)/B_1/A, \mathfrak q_1)\) 成立。

设 \(A'\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象。此时应用引理 05I3：若对 \(B_1 \otimes_A A'\) 中位于 \(\mathfrak m_{A'}\) 之上的素理想 \(\mathfrak q'\)，有 \((M_1 \otimes_A A')_{\mathfrak q'}\) 在 \(A'\) 上平坦，则 \((\Coker(\alpha_1) \otimes_A A')_{\mathfrak q'}\) 在 \(A'\) 上平坦。 因此 \(F_{lf}\) 是与 \((B_1)_{\mathfrak q_1}\) 上的模 \(\Coker(\alpha_1)_{\mathfrak q_1}\) 关联的函子 \(F'_{lf}\) 的子函子。 由上一段，\(F'_{lf}\) 由某个理想 \(J \subset A\) 的商环 \(A/J\) 共表示。 故可将 \(A\) 替换为 \(A/J\)，并假设 \(\Coker(\alpha_1)_{\mathfrak q_1}\) 在 \(A\) 上平坦。

由于 \(\Coker(\alpha_1)\) 是 \(B_1\)-模，且 \(N_1/B_1/A\) 在 \(\mathfrak q_1\) 处 存在完全 dévissage，又由引理 05I4， \(\Coker(\alpha_1)_{\mathfrak q_1}\) 在 \(A\) 上平坦， 可知 \(\Coker(\alpha_1)\) 是自由 \(A\)-模，特别地在 \(A\) 上平坦。因此由引理 05I3，\(F_{lf}(A')\) 非空，当且仅当 \(\alpha \otimes 1_{A'}\) 是单射。令 \(N_1 = \Im(\alpha_1) \subset M_1\)，于是有正合列 \[0 \to N_1 \to M_1 \to \Coker(\alpha_1) \to 0 \quad\text{且}\quad B_1^{\oplus r_1} \to N_1 \to 0\] 由于 \(\Coker(\alpha_1)\) 平坦，第一列在普遍意义下正合（见《代数》引理 058M）。 因此 \(\alpha \otimes 1_{A'}\) 是单射，当且仅当 \(B_1^{\oplus r_1} \otimes_A A' \to N_1 \otimes_A A'\) 是同构。 最后，应用定理 05PF，可知该函子由某个理想 \(I\) 的商环 \(A/I\) 共表示，从而 \(F_{lf}\) 也由 \(A/I\) 共表示。

为证明最后的断言，假设 \(A \to B\) 本质有限表示，且 \(M\) 在 \(B\) 上有限表示。 令 \(I \subset A\) 为使 \(F_{lf}\) 由 \(A/I\) 共表示的理想。 写成 \(I = \bigcup I_\lambda\)，其中 \(I_\lambda\) 遍历包含于 \(I\) 中的有限生成理想。 由于 \(F_{lf}(A/I) = \{*\}\)，由引理 05MN 第 (2) 部分可知， 对某个 \(\lambda\) 有 \(F_{lf}(A/I_\lambda) = \{*\}\)。 显然这蕴含 \(I = I_\lambda\)。