判别式与不同

引言

本章研究概形的局部拟有限态射的不同理想与判别式。 其中部分内容可参考 [Kunz]。

给定 Noetherian 概形的拟有限态射 \(f : Y \to X\)， 存在相对对偶化模 \(\omega_{Y/X}\)。 第 0BUK 节利用 Zariski 主定理和 étale 局部化方法从头构造这个模。 关键性质如下：给定交换图 \[\xymatrix{ Y' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & Y \ar[d]^f \\ X' \ar[r]^g & X }\] 其中 \(g : X' \to X\) 平坦，\(Y' \subset X' \times_X Y\) 为开子集，且 \(f' : Y' \to X'\) 有限，则存在典范同构 \[f'_*(g')^*\omega_{Y/X} = \SheafHom_{\mathcal{O}_{X'}}(f'_*\mathcal{O}_{Y'}, \mathcal{O}_{X'})\] 作为 \(f'_*\mathcal{O}_{Y'}\)-模层。第 0BSY 节证明：若 \(f\) 平坦，则存在典范整体截面 \(\tau_{Y/X} \in H^0(Y, \omega_{Y/X})\)，使得对每个如上的交换图， \((g')^*\tau_{Y/X}\) 映到有限局部自由态射 \(f'\) 在第 0BVH 节中的迹映射。 第 0BTC 节把 Noetherian 概形的平坦拟有限态射之 不同理想定义为 \(\tau_{Y/X} : \mathcal{O}_X \to \omega_{Y/X}\) 的余核的零化子。

本章的主要目标是证明：对拟有限 syntomic 态射¹\(f\)，其不同理想与 Kähler 不同理想一致。 Kähler 不同理想是 \(\Omega_{Y/X}\) 的第零 Fitting 理想；见第 0BVV 节。 这一相等并非显然；第 0BWB 节采用 Tate 提出的一个精巧论证。沿途还将讨论 Noether 不同理想与 Dedekind 不同理想。

直到本章末尾的第 0DWM 和 0C14 节，我们才把这些内容与概形对偶理论中 较为深入的材料联系起来。

拟有限环同态的对偶化模

设 \(A \to B\) 是 Noetherian 环的拟有限同态。由 Zariski 主定理 （《代数》，引理 00QB）， 存在分解 \(A \to B' \to B\)，其中 \(A \to B'\) 有限，而 \(B' \to B\) 在谱上诱导开浸入。此时令 [0BSZ]\[\begin{equation} \omega_{B/A} = \Hom_A(B', A) \otimes_{B'} B \end{equation}\] 可将它看成一种相对对偶化模；见引理 0BUL 和 0C0I。 本节将用初等交换代数方法证明：\(\omega_{B/A}\) 不依赖于分解的选取， 并且 \(\omega_{B/A}\) 的形成与平坦基变换可交换。 为证明分解无关性，先比较任意给定的两个分解。

引理

设 \(A \to B\) 是拟有限环同态。给定两个分解 \(A \to B' \to B\) 与 \(A \to B'' \to B\)，其中 \(A \to B'\) 和 \(A \to B''\) 有限，而 \(\Spec(B) \to \Spec(B')\) 与 \(\Spec(B) \to \Spec(B'')\) 均为开浸入。则存在 一个 \(A\)-子代数 \(B''' \subset B\)，它在 \(A\) 上有限，并且 \(\Spec(B) \to \Spec(B''')\) 是开浸入，且 \(B' \to B\) 与 \(B'' \to B\) 均经过 \(B'''\).

证明

令 \(B''' \subset B\) 为 \(B' \to B\) 与 \(B'' \to B\) 的像所生成的 \(A\)-子代数。由于 \(B'\) 和 \(B''\) 都由有限多个在 \(A\) 上整的元素生成， 可知 \(B'''\) 也由有限多个在 \(A\) 上整的元素生成，因而 \(B'''\) 在 \(A\) 上有限 （《代数》，引理 02JJ）。 考虑映射 \[B = B' \otimes_{B'} B \to B''' \otimes_{B'} B \to B \otimes_{B'} B = B\] 末一个等号成立是因为 \(\Spec(B) \to \Spec(B')\) 是开浸入， 因而是单态射。第二个箭头为单射，因为 \(B' \to B\) 平坦。 因此两个箭头均为同构。这意味着 \[\xymatrix{ \Spec(B''') \ar[d] & \Spec(B) \ar[d] \ar[l] \\ \Spec(B') & \Spec(B) \ar[l] }\] 是笛卡尔图。开浸入的基变换仍为开浸入，故得结论。

引理

模 (0BSZ) 是良定义的，即与分解的选取无关。

证明

令 \(B', B'', B'''\) 如引理 0BT0 所述。 得到典范映射 \[\omega''' = \Hom_A(B''', A) \otimes_{B'''} B \longrightarrow \Hom_A(B', A) \otimes_{B'} B = \omega'\] 以及一个涉及 \(B''\) 的类似映射。只要证明这些映射都是同构即可。 取 \(g \in B'\)，使 \(B'_g \to B_g\) 是同构；于是 \(B'_g \to (B''')_g \to B_g\) 都是同构。只需证明 \((\omega''')_g \to \omega'_g\) 是同构。环同态 \(B' \to B'''\) 的核和余核都是有限 \(A\)-模，且为 \(g\)-幂挠模， 因而被 \(g\) 的某个幂零化。由此容易推出结论。

引理

设 \(A \to B\) 是 Noetherian 环的拟有限同态。

1. 若对某个 \(f \in A\)，\(A \to B\) 分解为 \(A \to A_f \to B\)， 则 \(\omega_{B/A} = \omega_{B/A_f}\)。

2. 若 \(g \in B\)，则 \((\omega_{B/A})_g = \omega_{B_g/A}\)。

3. 若 \(f \in A\)，则 \(\omega_{B_f/A_f} = (\omega_{B/A})_f\)。

证明

设 \(A \to B' \to B\) 是一个分解，其中 \(A \to B'\) 有限，且 \(\Spec(B) \to \Spec(B')\) 是开浸入。在情形 (1) 中，可以用分解 \(A_f \to B'_f \to B\) 计算 \(\omega_{B/A_f}\)，再应用《代数》，引理 0583。 在情形 (2) 中，用分解 \(A \to B' \to B_g\) 即得结论。 (3) 由 (1) 与 (2) 结合而得。

设 \(A \to B\) 是 Noetherian 环的拟有限同态，\(A \to A_1\) 是 Noetherian 环的任意同态，并令 \(B_1 = B \otimes_A A_1\)。得到余笛卡尔图 \[\xymatrix{ B \ar[r] & B_1 \\ A \ar[u] \ar[r] & A_1 \ar[u] }\] 注意 \(A_1 \to B_1\) 也是拟有限的（《代数》，引理 00PP）。 在此情形下定义一个典范的 \(B\)-线性基变换映射 [0BVB]\[\begin{equation} \omega_{B/A} \longrightarrow \omega_{B_1/A_1} \end{equation}\] 具体地，按照 \(\omega_{B/A}\) 的构造选取分解 \(A \to B' \to B\)。 此时 \(B'_1 = B' \otimes_A A_1\) 在 \(A_1\) 上有限，而在构造 \(\omega_{B_1/A_1}\) 时可采用分解 \(A_1 \to B'_1 \to B_1\)。 因此需要构造映射 \[\Hom_A(B', A) \otimes_{B'} B \longrightarrow \Hom_{A_1}(B' \otimes_A A_1, A_1) \otimes_{B'_1} B_1\] 只需构造一个 \(B'\)-线性映射 \(\Hom_A(B', A) \to \Hom_{A_1}(B' \otimes_A A_1, A_1)\)， 记为 \(\varphi \mapsto \varphi_1\)。给定 \(A\)-线性映射 \(\varphi : B' \to A\)，令 \(\varphi_1\) 满足 \(\varphi_1(b' \otimes a_1) = \varphi(b')a_1\)。 这显然是 \(A_1\)-线性的，构造完成。

引理

基变换映射 (0BVB) 与分解 \(A \to B' \to B\) 的选取无关。给定环同态 \(A \to A_1 \to A_2\)， \(A \to A_1\) 与 \(A_1 \to A_2\) 的基变换映射之复合，等于 \(A \to A_2\) 的基变换映射。

证明

略。提示：完全仿照引理 0BT1 的论证， 并使用引理 0BT0。

引理

若 \(A \to A_1\) 平坦，则基变换映射 (0BVB) 诱导同构 \(\omega_{B/A} \otimes_B B_1 \to \omega_{B_1/A_1}\)。

证明

假设 \(A \to A_1\) 平坦。由 \(\omega_{B/A}\) 的构造，可设 \(A \to B\) 有限。 此时 \(\omega_{B/A} = \Hom_A(B, A)\)，且 \(\omega_{B_1/A_1} = \Hom_{A_1}(B_1, A_1)\)。由于 \(B_1 = B \otimes_A A_1\)，结论由《代数进阶》，引理 087R 得出。

引理

设 \(A \to B \to C\) 是 Noetherian 环的拟有限同态。则存在典范映射 \(\omega_{B/A} \otimes_B \omega_{C/B} \to \omega_{C/A}\)。

证明

选取 \(A \to B' \to B\)，使 \(A \to B'\) 有限，且 \(\Spec(B) \to \Spec(B')\) 是开浸入。此时 \(B' \to C\) 也拟有限。 选取 \(B' \to C' \to C\)，使 \(B' \to C'\) 有限，且 \(\Spec(C) \to \Spec(C')\) 是开浸入。于是该箭头的源为 \[\Hom_A(B', A) \otimes_{B'} B \otimes_B \Hom_B(B \otimes_{B'} C', B) \otimes_{B \otimes_{B'} C'} C\] 它等于 \[\Hom_A(B', A) \otimes_{B'} \Hom_{B'}(C', B) \otimes_{C'} C\] 而映射的复合 \(\Hom_A(B', A) \times \Hom_{B'}(C', B) \to \Hom_A(C', A)\) 确实给出它到 \(\Hom_A(C', A) \otimes_{C'} C = \omega_{C/A}\) 的典范映射。

引理

设 \(A \to B\) 和 \(A \to C\) 是 Noetherian 环的拟有限同态。 则作为 \(B \times C\) 上的模， \(\omega_{B \times C/A} = \omega_{B/A} \times \omega_{C/A}\)。

证明

选取分解 \(A \to B' \to B\) 和 \(A \to C' \to C\)，使得 \(A \to B'\) 与 \(A \to C'\) 有限，而 \(\Spec(B) \to \Spec(B')\) 与 \(\Spec(C) \to \Spec(C')\) 是开浸入。则 \(A \to B' \times C' \to B \times C\) 是同类分解。 用它计算 \(\omega_{B \times C/A}\) 即得结论。

引理

设 \(A \to B\) 是 Noetherian 环的拟有限同态。则 \(\text{Ass}_B(\omega_{B/A})\) 是 \(B\) 中位于 \(A\) 的伴随素理想之上的 所有素理想所成的集合。

证明

选取分解 \(A \to B' \to B\)，其中 \(A \to B'\) 有限，而 \(B' \to B\) 在谱上诱导开浸入。由于 \(\omega_{B/A} = \omega_{B'/A} \otimes_{B'} B\)，只需对 \(\omega_{B'/A}\) 证明该断言。因此可设 \(A \to B\) 有限。

设 \(\mathfrak p \in \text{Ass}(A)\)，且 \(\mathfrak q\) 是 \(B\) 中位于 \(\mathfrak p\) 之上的素理想。取 \(x \in A\)，使其零化子为 \(\mathfrak p\)。选取非零的 \(\kappa(\mathfrak p)\)-线性映射 \(\lambda : \kappa(\mathfrak q) \to \kappa(\mathfrak p)\)。 由于 \(A/\mathfrak p \subset B/\mathfrak q\) 是有限环扩张，存在 \(f \in A\)、\(f \not \in \mathfrak p\)，使 \(f\lambda\) 把 \(B/\mathfrak q\) 映入 \(A/\mathfrak p\)。于是得到非零的 \(A\)-线性映射 \[B \to B/\mathfrak q \to A/\mathfrak p \to A,\quad b \mapsto f\lambda(b)x\] 直接计算可知，\(\omega_{B/A}\) 的这个元素的零化子是 \(\mathfrak q\)，故 \(\mathfrak q \in \text{Ass}(\omega_{B/A})\)。

反之，设素理想 \(\mathfrak q \subset B\) 位于素理想 \(\mathfrak p \subset A\) 之上，且后者不是 \(A\) 的伴随素理想。 需证明 \(\mathfrak q \not \in \text{Ass}_B(\omega_{B/A})\)。 把 \(A\) 换成 \(A_\mathfrak p\)，并把 \(B\) 换成 \(B_\mathfrak p\)， 可设 \(\mathfrak p\) 是 \(A\) 的极大理想。引理 0BT3 与《代数》，引理 05BZ 说明这一步是允许的。 于是存在 \(f \in \mathfrak m\)，它是 \(A\) 上的非零因子。 那么 \(f\) 也是 \(\omega_{B/A}\) 上的非零因子，故 \(\mathfrak q\) 不是这个模的伴随素理想。

引理

设 \(A \to B\) 是 Noetherian 环的平坦拟有限同态。则 \(\omega_{B/A}\) 是平坦 \(A\)-模。

证明

设素理想 \(\mathfrak q \subset B\) 位于 \(\mathfrak p \subset A\) 之上。 我们证明局部化 \(\omega_{B/A, \mathfrak q}\) 在 \(A_\mathfrak p\) 上平坦。 由《代数》，引理 00HT，这就足够了。 由《代数》，引理 00UJ， 可找到 étale 环同态 \(A \to A'\) 和位于 \(\mathfrak p\) 之上的素理想 \(\mathfrak p' \subset A'\)，使得 \(\kappa(\mathfrak p') = \kappa(\mathfrak p)\)， 并且 \[B' = B \otimes_A A' = C \times D\] 其中 \(A' \to C\) 有限，且 \(B \otimes_A A'\) 中同时位于 \(\mathfrak q\) 与 \(\mathfrak p'\) 之上的唯一素理想 \(\mathfrak q'\) 对应于 \(C\) 的一个素理想。由引理 0BT3 和《代数》，引理 00MQ，只需证明 \(\omega_{B'/A', \mathfrak q'}\) 在 \(A'_{\mathfrak p'}\) 上平坦。 又由引理 0BT5， \(\omega_{B'/A'} = \omega_{C/A'} \times \omega_{D/A'}\)， 故归结为 \(B\) 在 \(A\) 上有限平坦的情形。此时 \(B\) 是有限局部自由 \(A\)-模，而 \(\omega_{B/A} = \Hom_A(B, A)\) 是其对偶有限局部自由 \(A\)-模。

引理

若 \(A \to B\) 平坦，则基变换映射 (0BVB) 诱导同构 \(\omega_{B/A} \otimes_B B_1 \to \omega_{B_1/A_1}\)。

证明

若 \(A \to B\) 有限平坦，则 \(B\) 是有限局部自由 \(A\)-模。 此时 \(\omega_{B/A} = \Hom_A(B, A)\) 是其对偶有限局部自由 \(A\)-模， 而这个模的形成与任意基变换可交换，故引理在此情形下成立。 下一段把一般的拟有限平坦情形归结为刚讨论的有限平坦情形。

设 \(\mathfrak q_1 \subset B_1\) 是素理想。我们证明该映射在 \(\mathfrak q_1\) 处的局部化是同构；由《代数》，引理 00HN，这就足够了。 令 \(\mathfrak q \subset B\) 与 \(\mathfrak p \subset A\) 为 \(\mathfrak q_1\) 下方的素理想。由《代数》，引理 00UJ， 可找到 étale 环同态 \(A \to A'\) 和位于 \(\mathfrak p\) 之上的素理想 \(\mathfrak p' \subset A'\)，使得 \(\kappa(\mathfrak p') = \kappa(\mathfrak p)\)， 并且 \[B' = B \otimes_A A' = C \times D\] 其中 \(A' \to C\) 有限，且 \(B \otimes_A A'\) 中同时位于 \(\mathfrak q\) 与 \(\mathfrak p'\) 之上的唯一素理想 \(\mathfrak q'\) 对应于 \(C\) 的一个素理想。令 \(A'_1 = A' \otimes_A A_1\)，并考察环同态 \(A \to A' \to A'_1\) 与 \(A \to A_1 \to A'_1\) 的基变换映射 (0BVB)，如下图所示： \[\xymatrix{ \omega_{B'/A'} \otimes_{B'} B'_1 \ar[r] & \omega_{B'_1/A'_1} \\ \omega_{B/A} \otimes_B B'_1 \ar[r] \ar[u] & \omega_{B_1/A_1} \otimes_{B_1} B'_1 \ar[u] }\] 其中 \(B' = B \otimes_A A'\)、\(B_1 = B \otimes_A A_1\)，且 \(B_1' = B \otimes_A (A' \otimes_A A_1)\)。由引理 0BVC，该图交换。由引理 0BT3，竖直箭头都是同构。 由于 \(B_1 \to B'_1\) 是 étale 的，因而平坦，只需证明上方水平箭头 在 \(B'_1\) 中位于 \(\mathfrak q\) 之上的某个素理想 \(\mathfrak q'_1\) 处局部化后是同构（这样的素理想存在，并应用《代数》，引理 00HR）。 因此可设 \(B = C \times D\)，其中 \(A \to C\) 有限，且 \(\mathfrak q\) 对应于 \(C\) 的一个素理想。此时对偶化模 \(\omega_{B/A}\) 也有相应分解 （引理 0BT5），于是问题归结为上面已处理的 有限平坦情形 \(A \to C\)。

注

设 \(f : Y \to X\) 是局部 Noetherian 概形之间的局部拟有限态射。 由引理 0BT2 显然可知，\(Y\) 上存在唯一的凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模 \(\omega_{Y/X}\)，使得对每一对满足 \(f(V) \subset U\) 的仿射开集 \(\Spec(B) = V \subset Y\)、 \(\Spec(A) = U \subset X\)，都存在典范同构 \[H^0(V, \omega_{Y/X}) = \omega_{B/A}\] 且这些同构与限制映射相容。

引理

设 \(A \to B\) 是 Noetherian 环的拟有限同态。令 \(\omega_{B/A}^\bullet \in D(B)\) 为《对偶化复形》第 0E9M 节讨论的 代数相对对偶化复形。则存在一个（非唯一的）同构 \(\omega_{B/A} = H^0(\omega_{B/A}^\bullet)\)。

证明

选取分解 \(A \to B' \to B\)，其中 \(A \to B'\) 有限，且 \(\Spec(B') \to \Spec(B)\) 是开浸入。由《对偶化复形》，引理 0BZT、 0C0H 以及 \(\omega_{B/A}^\bullet\) 的定义，有 \(\omega_{B/A}^\bullet = \omega_{B'/A}^\bullet \otimes_B^\mathbf{L} B'\)。 因此只需在 \(A \to B\) 有限时证明存在该同构。在这种情形下， 《对偶化复形》，引理 0C0G 给出 \(\omega_{B/A}^\bullet = R\Hom(B, A)\)，从而如所需有 \(H^0(\omega^\bullet_{B/A}) = \Hom_A(B, A)\)。

有限局部自由态射的判别式

设 \(X\) 是概形，\(\mathcal{F}\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_X\)-模。 则存在典范的迹映射 \[\text{Trace} : \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{F}) \longrightarrow \mathcal{O}_X\] 见《练习》，练习 02DU。这个映射满足： \(\text{Trace}(\text{id})\) 是 \(\mathcal{O}_X\) 上对应于 \(\mathcal{F}\) 的秩的局部常值函数。

设 \(\pi : X \to Y\) 是有限局部自由概形态射。则存在典范的 \(\pi\) 的迹，即一个 \(\mathcal{O}_Y\)-线性映射 \[\text{Trace}_\pi : \pi_*\mathcal{O}_X \longrightarrow \mathcal{O}_Y\] 它把 \(\pi_*\mathcal{O}_X\) 的局部截面 \(f\) 映到 \(\pi_*\mathcal{O}_X\) 上乘以 \(f\) 的映射之迹。在仿射开集上， 这恢复《练习》，练习 02DV 中的构造。 复合 \[\mathcal{O}_Y \xrightarrow{\pi^\sharp} \pi_*\mathcal{O}_X \xrightarrow{\text{Trace}_\pi} \mathcal{O}_Y\] 等于乘以 \(\pi\) 的次数（这是 \(Y\) 上的局部常值函数）。仿照 《域论》，第 0BIE 节，可定义迹配对 \[Q_\pi : \pi_*\mathcal{O}_X \times \pi_*\mathcal{O}_X \longrightarrow \mathcal{O}_Y\] 其规则为 \((f, g) \mapsto \text{Trace}_\pi(fg)\)。可把 \(Q_\pi\) 看成 相同秩的局部自由模之间的线性映射 \(\pi_*\mathcal{O}_X \to \SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(\pi_*\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_Y)\)， 因而得到行列式 \[\det(Q_\pi) : \wedge^{top}(\pi_*\mathcal{O}_X) \longrightarrow \wedge^{top}(\pi_*\mathcal{O}_X)^{\otimes -1}\] 换言之，得到整体截面 \[\det(Q_\pi) \in \Gamma(Y, \wedge^{top}(\pi_*\mathcal{O}_X)^{\otimes -2})\] 按定义，\(\pi\) 的判别式是由这个整体截面定义的闭子概形 \(D_\pi \subset Y\)。显然，\(D_\pi\) 是 \(Y\) 的局部主闭子概形。

引理

设 \(\pi : X \to Y\) 是有限局部自由概形态射。则 \(\pi\) 是 étale 的， 当且仅当其判别式为空。

证明

由《态射》，引理 02GM， 只需检验 \(\pi\) 的纤维为 étale。迹配对的构造与基变换可交换， 故问题归结为：设 \(k\) 是域，\(A\) 是有限维 \(k\)-代数，证明 \(A\) 在 \(k\) 上为 étale，当且仅当迹配对 \(Q_{A/k} : A \times A \to k\)、\((a, b) \mapsto \text{Trace}_{A/k}(ab)\) 非退化。

假设 \(Q_{A/k}\) 非退化。若 \(a \in A\) 是幂零元，则对每个 \(b \in A\)， \(ab\) 都是幂零的，从而 \(Q_{A/k}(a, -)\) 恒为零。因此 \(A\) 是既约的。 于是可写成乘积 \(A = K_1 \times \ldots \times K_n\)，其中每个 \(K_i\) 都是域（见《代数》，引理 00J6、 00JB 和 00EU）。 此时二次空间 \((A, Q_{A/k})\) 是各空间 \((K_i, Q_{K_i/k})\) 的正交直和。由《域论》，引理 0BIL，每个 \(K_i\) 在 \(k\) 上可分。 由《代数》，引理 00U3，这说明 \(A\) 在 \(k\) 上为 étale。反向结论可将上述论证倒读得到。

平坦拟有限环同态的迹

本节标题中的迹，与《概形的对偶理论》第 0AWG 节讨论的迹性质完全不同。这里所指的是 《域论》第 0BIE 节讨论并在《练习》，练习 02DU 和 02DV 中推广的迹。

设 \(A \to B\) 是 Noetherian 环的有限平坦同态。则 \(B\) 作为 \(A\)-模 有限平坦，因而有限局部自由（《代数》，引理 00NX）。给定 \(b \in B\)，可考察 \(B\) 上乘以 \(b\) 所给出的 \(A\)-线性映射 \(B \to B\) 的 迹 \(\text{Trace}_{B/A}(b)\)。由上述参考资料，这定义了 \(A\)-线性映射 \(\text{Trace}_{B/A} : B \to A\)。由于 \(A \to B\) 有限， \(\omega_{B/A} = \Hom_A(B, A)\)，故 \(\text{Trace}_{B/A} \in \omega_{B/A}\)。

对一般的平坦拟有限环同态，按如下方式定义迹的概念。

定义

设 \(A \to B\) 是 Noetherian 环的平坦拟有限同态。 迹元是唯一的²元素 \(\tau_{B/A} \in \omega_{B/A}\)，它满足如下性质：对任意 Noetherian \(A\)-代数 \(A_1\)，若 \(B_1 = B \otimes_A A_1\) 有乘积分解 \(B_1 = C \times D\)，且 \(A_1 \to C\) 有限，则 \(\tau_{B/A}\) 在 \(\omega_{C/A_1}\) 中的像为 \(\text{Trace}_{C/A_1}\)。 这里利用基变换映射 (0BVB) 和引理 0BT5 得到 \(\omega_{B/A} \to \omega_{B_1/A_1} \to \omega_{C/A_1}\)。

先证明迹元的唯一性，再证明其存在性。

引理

设 \(A \to B\) 是 Noetherian 环的平坦拟有限同态。则 \(\omega_{B/A}\) 中至多有一个迹元。

证明

设素理想 \(\mathfrak q \subset B\) 位于素理想 \(\mathfrak p \subset A\) 之上。由《代数》，引理 00UJ， 可找到 étale 环同态 \(A \to A_1\) 和位于 \(\mathfrak p\) 之上的 素理想 \(\mathfrak p_1 \subset A_1\)，使得 \(\kappa(\mathfrak p_1) = \kappa(\mathfrak p)\)，并且 \[B_1 = B \otimes_A A_1 = C \times D\] 其中 \(A_1 \to C\) 有限，且 \(B \otimes_A A_1\) 中同时位于 \(\mathfrak q\) 与 \(\mathfrak p_1\) 之上的唯一素理想 \(\mathfrak q_1\) 对应于 \(C\) 的一个素理想。注意 \(\omega_{C/A_1} = \omega_{B/A} \otimes_B C\) （结合引理 0BT3 和 0BT5）。按此方式得到的环同态族 \(B \to C\) 是由平坦映射组成的联合单射族，而 \(\tau_{B/A}\) 在 \(\omega_{C/A_1}\) 中的像已被规定，故唯一性成立。

下面作一个合理性检验。

引理

设 \(A \to B\) 是 Noetherian 环的有限平坦同态。则 \(\text{Trace}_{B/A} \in \omega_{B/A}\) 是迹元。

证明

设有环同态 \(A \to A_1\)，其中 \(A_1\) 为 Noetherian，并有乘积分解 \(B \otimes_A A_1 = C \times D\)，其中 \(A_1 \to C\) 有限。 当然，此时 \(A_1 \to D\) 也有限。令 \(B_1 = B \otimes_A A_1\)。 迹的构造与基变换可交换，故 \(\text{Trace}_{B/A}\) 映到 \(\text{Trace}_{B_1/A_1}\)。再注意，在引理 0BT5 的同构 \(\omega_{B_1/A_1} = \omega_{C/A_1} \times \omega_{D/A_1}\) 下，有 \(\text{Trace}_{B_1/A_1} = (\text{Trace}_{C/A_1}, \text{Trace}_{D/A_1})\)， 证明即告完成。

引理

设 \(A \to B\) 是 Noetherian 环的平坦拟有限同态， \(\tau \in \omega_{B/A}\) 是迹元。

1. 若 \(A \to A_1\) 是环同态，且 \(A_1\) 为 Noetherian，则令 \(B_1 = A_1 \otimes_A B\) 后，\(\tau\) 在 \(\omega_{B_1/A_1}\) 中的像是迹元。

2. 若对某个环 \(R\) 与 \(f \in R\) 有 \(A = R_f\)，则 \(\tau\) 是 \(\omega_{B/R}\) 中的迹元。

3. 若 \(g \in B\)，则 \(\tau\) 在 \(\omega_{B_g/A}\) 中的像是迹元。

4. 若 \(B = B_1 \times B_2\)，则 \(\tau\) 在 \(\omega_{B_1/A}\) 和 \(\omega_{B_2/A}\) 中的像都是迹元。

证明

(1) 是定义的形式推论。

由引理 0BT2， \(\omega_{B/R} = \omega_{B/A}\)，故 (2) 的陈述有意义。把 \(\tau\) 视为 \(\omega_{B/R}\) 的元素，并将其记作 \(\tau'\)。为证明 (2)，设有 \(R \to R_1\)，其中 \(R_1\) 为 Noetherian，并有乘积分解 \(B \otimes_R R_1 = C \times D\)，其中 \(R_1 \to C\) 有限。 令 \(A_1 = (R_1)_f\)，则 \(B \otimes_A A_1 = C \times D\)。 由于 \(R_1 \to C\) 有限，当然 \(A_1 \to C\) 也有限。因此， 由 \(\tau\) 的定义性质可得 \(\tau'\) 的相应性质。

由引理 0BT2， \(\omega_{B_g/A} = (\omega_{B/A})_g\)，故 (3) 的陈述有意义。 证明与 (2) 类似。设有 \(A \to A_1\)，其中 \(A_1\) 为 Noetherian， 并有乘积分解 \(B_g \otimes_A A_1 = C \times D\)，其中 \(A_1 \to C\) 有限。令 \(B_1 = B \otimes_A A_1\)。由于 \(B_g \otimes_A A_1 = (B_1)_g\)，\(\Spec(C) \to \Spec(B_1)\) 是开浸入； 又因 \(A_1 \to C\) 有限，所以 \(B_1 \to C\) 有限，其像是闭的。 因此 \(B_1 = C \times D_1\) 且 \(D = (D_1)_g\)。 应用 \(\tau\) 的定义性质，即得 \(\tau\) 在 \(\omega_{B_g/A}\) 中之像的相应性质。

由引理 0BT5， \(\omega_{B/A} = \omega_{B_1/A} \times \omega_{B_2/A}\)，故 (4) 有意义。 设有 \(A \to A'\)，其中 \(A'\) 为 Noetherian，并有乘积分解 \(B \otimes_A A' = C \times D\)，其中 \(A' \to C\) 有限。 显然可把该乘积分解细化为 \(B \otimes_A A' = C_1 \times C_2 \times D_1 \times D_2\)， 其中 \(A' \to C_i\) 有限，且 \(B_i \otimes_A A' = C_i \times D_i\)。 由 \(\tau\) 的定义性质可得 \(\tau\) 在 \(\omega_{B_i/A}\) 中之像的相应性质。 这里用到显然的事实：在分解 \(\omega_{C/A'} = \omega_{C_1/A'} \times \omega_{C_2/A'}\) 下， \(\text{Trace}_{C/A'} = (\text{Trace}_{C_1/A'}, \text{Trace}_{C_2/A'})\)。

引理

设 \(A \to B\) 是 Noetherian 环的平坦拟有限同态。 设 \(g_1, \ldots, g_m \in B\) 生成单位理想，并设 \(\tau \in \omega_{B/A}\) 的像在每个 \(\omega_{B_{g_i}/A}\) 中 都是 \(A \to B_{g_i}\) 的迹元。则 \(\tau\) 是迹元。

证明

设有 \(A \to A_1\)，其中 \(A_1\) 为 Noetherian，并有乘积分解 \(B \otimes_A A_1 = C \times D\)，其中 \(A_1 \to C\) 有限。 需证明 \(\tau\) 在 \(\omega_{C/A_1}\) 中的像为 \(\text{Trace}_{C/A_1}\)。注意 \(g_1, \ldots, g_m\) 在 \(B_1 = B \otimes_A A_1\) 中生成单位理想；由引理 0BT9，\(\tau\) 映到 \(\omega_{(B_1)_{g_i}/A_1}\) 中的迹元。因此可以用 \(A_1\) 替换 \(A\)， 并用 \(B_1\) 替换 \(B\)，归结为下一段所述情形。

这里假设 \(B = C \times D\)，且 \(A \to C\) 有限。令 \(\tau_C\) 为 \(\tau\) 在 \(\omega_{C/A}\) 中的像。需证明在 \(\omega_{C/A}\) 中有 \(\tau_C = \text{Trace}_{C/A}\)。由迹元与乘积的相容性 （引理 0BT9），\(\tau_C\) 映到 \(\omega_{C_{g_i}/A}\) 中的迹元。因此，用 \(C\) 替换 \(B\) 后， 可设 \(A \to B\) 有限平坦。

假设 \(A \to B\) 有限平坦。由引理 0BT8， \(\text{Trace}_{B/A}\) 是迹元。因此，由引理 0BT9，\(\text{Trace}_{B/A}\) 映到 \(\omega_{B_{g_i}/A}\) 中的迹元。迹元是唯一的（引理 0BT7），故 \(\text{Trace}_{B/A}\) 与 \(\tau\) 在 \(\omega_{B_{g_i}/A} = (\omega_{B/A})_{g_i}\) 中的像相同。 由于 \(g_1, \ldots, g_m\) 生成 \(B\) 的单位理想，映射 \(\omega_{B/A} \to \prod \omega_{B_{g_i}/A}\) 为单射， 从而如所需有 \(\tau_C = \text{Trace}_{B/A}\)。

引理

设 \(A \to B\) 是 Noetherian 环的平坦拟有限同态。则存在迹元 \(\tau \in \omega_{B/A}\)。

证明

选取分解 \(A \to B' \to B\)，其中 \(A \to B'\) 有限，且 \(\Spec(B) \to \Spec(B')\) 是开浸入。取 \(g_1, \ldots, g_n \in B'\)， 使得作为 \(\Spec(B')\) 的开集有 \(\Spec(B) = \bigcup D(g_i)\)。假设能证明拟有限平坦环同态 \(A \to B_{g_i}\) 的迹元 \(\tau_i\) 存在。由引理 0BT9，对所有 \(i, j\)，元素 \(\tau_i\) 与 \(\tau_j\) 都映到 \(\omega_{B_{g_ig_j}/A}\) 中的迹元。由迹元的唯一性 （引理 0BT7），它们映到同一元素。因此， \(\omega_{B/A}\) 所对应拟凝聚模的层条件（见《代数》，引理 00EK）给出元素 \(\tau \in \omega_{B/A}\)。由引理 0BTA， \(\tau\) 是迹元。这样便归结为下一段处理的情形。

假设 \(A \to B'\) 有限，\(g \in B'\)，且 \(B = B'_g\) 在 \(A\) 上平坦。 任务是在 \(\omega_{B/A} = \Hom_A(B', A) \otimes_{B'} B\) 中构造迹元。 选取由有限自由 \(A\)-模 \(F_0\) 与 \(F_1\) 构成的 \(B'\) 的解消 \(F_1 \to F_0 \to B' \to 0\)。于是有正合列 \[0 \to \Hom_A(B', A) \to F_0^\vee \to F_1^\vee\] 其中 \(F_i^\vee = \Hom_A(F_i, A)\) 是对偶有限自由模。类似地有正合列 \[0 \to \Hom_A(B', B') \to F_0^\vee \otimes_A B' \to F_1^\vee \otimes_A B'\] 构造 \(\tau\) 的想法是利用图 \[B' \xrightarrow{\mu} \Hom_A(B', B') \leftarrow \Hom_A(B', A) \otimes_A B' \xrightarrow{ev} A\] 其中第一个箭头把 \(b' \in B'\) 映到乘以 \(b'\) 所给出的 \(A\)-线性算子， 末一个箭头是取值映射。问题在于中间的箭头——它把 \(\lambda' \otimes b'\) 映到 \(b'' \mapsto \lambda'(b'')b'\)——并非同构。 若 \(B'\) 在 \(A\) 上平坦，上述正合列说明它是同构，并且从左到右的复合 就是通常的迹 \(\text{Trace}_{B'/A}\)。一般情形下，考察图 \[\xymatrix{ & \Hom_A(B', A) \otimes_A B' \ar[r] \ar[d] & \Hom_A(B', A) \otimes_A B'_g \ar[d] \\ B' \ar[r]_-\mu \ar@{..>}[rru] \ar@{..>}[ru]^\psi & \Hom_A(B', B') \ar[r] & \Ker(F_0^\vee \otimes_A B'_g \to F_1^\vee \otimes_A B'_g) }\] 由 \(A \to B'_g\) 的平坦性，右侧竖直箭头是同构。因此得到未标记的虚箭头。 由于 \(B'_g = \colim \frac{1}{g^n}B'\)，余极限与张量积可交换， 且 \(B'\) 是有限表现 \(A\)-模，所以可找到 \(n \geq 0\) 以及一个 \(B'\)-线性映射（对右 \(B'\)-模结构而言） \(\psi : B' \to \Hom_A(B', A) \otimes_A B'\)， 使它与左侧竖直箭头的复合为 \(g^n\mu\)。再与 \(ev\) 复合，得到元素 \(ev \circ \psi \in \Hom_A(B', A)\)。令 \[\tau = (ev \circ \psi) \otimes g^{-n} \in \Hom_A(B', A) \otimes_{B'} B'_g = \omega_{B'_g/A} = \omega_{B/A}\] 略去这个元素与上述 \(n\) 和 \(\psi\) 的选取无关的直接验证。

先在一个特殊情形中证明上一段构造的 \(\tau\) 具有所需性质。 具体地，设 \(B' = C' \times D'\)，\(g = (f, h)\)，其中 \(A \to C'\) 平坦，\(D'_h\) 平坦，且 \(f\) 是 \(C'\) 中的单位。 需证明：\(\tau\) 在 \(\omega_{C'/A}\) 中映到 \(\text{Trace}_{C'/A}\)。 先如上为一对 \((D', h)\) 选取 \(n_D\) 以及 \(\psi_D : D' \to \Hom_A(D', A) \otimes_A D'\)，并令 \(\psi_C : C' \to \Hom_A(C', A) \otimes_A C' = \Hom_A(C', C')\) 把 \(c' \in C'\) 映到乘以 \(c'\)。然后取 \(n = n_D\) 和 \(\psi = (f^{n_D} \psi_C, \psi_D)\)。 由上述 \(\text{Trace}_{C'/A} = ev \circ \psi_C\)，所需相容性显然成立。

为证明一般情形下的所需性质，设给定 \(A \to A_1\)，其中 \(A_1\) 为 Noetherian，并有乘积分解 \(B'_g \otimes_A A_1 = C \times D\)， 其中 \(A_1 \to C\) 有限。令 \(B'_1 = B' \otimes_A A_1\)。 由于 \(B'_g \otimes_A A_1 = (B'_1)_g\)， \(\Spec(C) \to \Spec(B'_1)\) 是开浸入；又因 \(A_1 \to C\) 有限， \(B'_1 \to C\) 也有限，故其像为闭集。因此 \(B'_1 = C \times D'\) 且 \(D'_g = D\)。可见 \(A_1\) 上的 \(B'_1 = C \times D'\) 与 \(g\) 正是上一段的情形。 上述显示图的形成与基变换可交换，因此 \(\tau\) 的形成与基变换 \(A \to A_1\) 可交换（略去细节；可用解消 \(F_1 \otimes_A A_1 \to F_0 \otimes_A A_1 \to B'_1 \to 0\) 看出这一点）。所需相容性遂由上一段的结论得出。

注

设 \(f : Y \to X\) 是局部 Noetherian 概形之间的平坦局部拟有限态射， 并令 \(\omega_{Y/X}\) 如注记 0BVG 所述。由迹元的唯一性、 存在性以及与局部化的相容性（引理 0BT7、 0BTB 和 0BT9）， 显然存在整体截面 \[\tau_{Y/X} \in \Gamma(Y, \omega_{Y/X})\] 使得对每一对满足 \(f(V) \subset U\) 的仿射开集 \(\Spec(B) = V \subset Y\)、\(\Spec(A) = U \subset X\)， 元素 \(\tau_{Y/X}\) 在典范同构 \(H^0(V, \omega_{Y/X}) = \omega_{B/A}\) 下映到 \(\tau_{B/A}\)。

引理

设 \(k\) 是域，\(A\) 是有限 \(k\)-代数。假设 \(A\) 为局部环，其剩余域为 \(k'\)。则下列条件等价：

1. \(\text{Trace}_{A/k}\) 非零；

2. \(\tau_{A/k} \in \omega_{A/k}\) 非零；

3. \(k'/k\) 可分，且 \(\text{length}_A(A)\) 与 \(k\) 的特征互素。

证明

由引理 0BT8，条件 (1) 与 (2) 等价。 设 \(\mathfrak m \subset A\)。由于 \(\dim_k(A) < \infty\)，显然 \(A\) 作为 \(A\)-模具有有限长度。选取理想滤过 \[A = I_0 \supset \mathfrak m = I_1 \supset I_2 \supset \ldots I_n = 0\] 使得作为 \(A\)-模有 \(I_i/I_{i + 1} \cong k'\)。参见《代数》，引理 00J3；该引理还说明 \(n = \text{length}_A(A)\)。若 \(a \in \mathfrak m\)，则 \(aI_i \subset I_{i + 1}\)，从而显然有 \(\text{Trace}_{A/k}(a) = 0\)。 若 \(a \not \in \mathfrak m\)，其像为 \(\lambda \in k'\)，则得到 \[\text{Trace}_{A/k}(a) = \sum\nolimits_{i = 0, \ldots, n - 1} \text{Trace}_k(a : I_i/I_{i - 1} \to I_i/I_{i - 1}) = n \text{Trace}_{k'/k}(\lambda)\] 最后应用《域论》，引理 0BIL， 即得引理。

有限态射

本节汇集前面各节的构造在有限态射情形下的若干说明。 设 \(f : Y \to X\) 是局部 Noetherian 概形的有限态射，并令 \(\omega_{Y/X}\) 如注记 0BVG 所述。

第一点说明是，作为 \(f_*\mathcal{O}_Y\)-模层有 \[f_*\omega_{Y/X} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(f_*\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_X)\] 由于 \(f\) 是仿射的，这个公式唯一刻画 \(\omega_{Y/X}\)；见《态射》，引理 01SB。该公式成立是因为： 若 \(\Spec(A) = U \subset X\) 是仿射开集，则逆像 \(V = f^{-1}(U)\) 是某个有限 \(A\)-代数 \(B\) 的谱，因而按构造有 \[H^0(U, f_*\omega_{Y/X}) = H^0(V, \omega_{Y/X}) = \omega_{B/A} = \Hom_A(B, A) = H^0(U, \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(f_*\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_X))\] 特别地，得到典范取值映射 \[f_*\omega_{Y/X} \longrightarrow \mathcal{O}_X\] 若把 \(f_*\omega_{Y/X}\) 看成层 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(f_*\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_X)\)， 这个映射由在 \(1\) 处取值得到。

第二点说明是，利用取值映射，可以典范地得到等同 \[\Hom_Y(\mathcal{F}, f^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \omega_{Y/X}) = \Hom_X(f_*\mathcal{F}, \mathcal{G})\] 它关于 \(Y\) 上的拟凝聚模 \(\mathcal{F}\) 和 \(X\) 上的有限局部自由模 \(\mathcal{G}\) 具有函子性。若 \(\mathcal{G} = \mathcal{O}_X\)， 这立即由上述内容和《代数》，引理 08YP 得出。对一般的 \(\mathcal{G}\)， 可应用同一引理以及 \(f_*\mathcal{O}_Y\)-模的同构 \[f_*(f^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \omega_{Y/X}) = \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(f_*\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_X) = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(f_*\mathcal{O}_Y, \mathcal{G})\] 其中第一个等号是投影公式 （《上同调》，引理 01E8）。 也可以在仿射局部作直接计算来证明该公式。

第三点说明是，若 \(f\) 还平坦，则复合 \[f_*\mathcal{O}_Y \xrightarrow{f_*\tau_{Y/X}} f_*\omega_{Y/X} \longrightarrow \mathcal{O}_X\] 等于第 0BVH 节讨论的迹映射 \(\text{Trace}_f\)。在仿射开集上考察即可立即看出这一点。

第四点说明是，若 \(f\) 平坦且 \(X\) 为 Noetherian，则对任意 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) 中的 \(K\) 和 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 中的 \(M\)，有 \[\Hom_Y(K, Lf^*M \otimes_{\mathcal{O}_Y} \omega_{Y/X}) = \Hom_X(Rf_*K, M)\] 这可由《概形的对偶理论》第 0E4H 节的内容得出， 但在这里也可直接证明如下。首先，若 \(X\) 仿射，则由《对偶化复形》，引理 0A70 和 0BZE³以及《概形的导出范畴》，引理 06Z0，结论成立。然后使用归纳原理 （《概形的上同调》，引理 08DR）与 Mayer–Vietoris（采用《上同调》，引理 08BW 的形式）完成证明。

Noether 不同理想

文献中有许多不同的“不同理想”。本节及下节列出其中一些； 更多信息建议读者参阅 [Kunz]。

设 \(A \to B\) 是环同态。将乘法映射记为 \[\mu : B \otimes_A B \longrightarrow B,\quad b \otimes b' \longmapsto bb'\] 并令 \(I = \Ker(\mu)\)。显然，\(I\) 由所有 \(b \in B\) 对应的元素 \(b \otimes 1 - 1 \otimes b\) 生成。因此，\(I\) 的零化子 \(J \subset B \otimes_A B\) 典范地成为 \(B\)-模。 \(B\) 在 \(A\) 上的 Noether 不同理想是 \(J\) 在映射 \(\mu : B \otimes_A B \to B\) 下的像。等价地，Noether 不同理想是映射 \[J = \Hom_{B \otimes_A B}(B, B \otimes_A B) \longrightarrow B,\quad \varphi \longmapsto \mu(\varphi(1))\] 的像。先证明若干必要的引理。

引理

设 \(A \to B_i\)（\(i = 1, 2\)）为环同态，并令 \(B = B_1 \times B_2\)。

1. \(\Ker(B \otimes_A B \to B)\) 的零化子 \(J\) 等于 \(J_1 \times J_2\)，其中 \(J_i\) 是 \(\Ker(B_i \otimes_A B_i \to B_i)\) 的零化子。

2. \(B\) 在 \(A\) 上的 Noether 不同理想 \(\mathfrak{D}\) 等于 \(\mathfrak{D}_1 \times \mathfrak{D}_2\)，其中 \(\mathfrak{D}_i\) 是 \(B_i\) 在 \(A\) 上的 Noether 不同理想。

证明

略。

引理

设 \(A \to B\) 是有限型环同态，\(A \to A'\) 是平坦环同态，并令 \(B' = B \otimes_A A'\)。

1. \(\Ker(B' \otimes_{A'} B' \to B')\) 的零化子 \(J'\) 等于 \(J \otimes_A A'\)，其中 \(J\) 是 \(\Ker(B \otimes_A B \to B)\) 的零化子。

2. \(B'\) 在 \(A'\) 上的 Noether 不同理想 \(\mathfrak{D}'\) 等于 \(\mathfrak{D}B'\)，其中 \(\mathfrak{D}\) 是 \(B\) 在 \(A\) 上的 Noether 不同理想。

证明

选取 \(B\) 作为 \(A\)-代数的一组生成元 \(b_1, \ldots, b_n\)。则 \[J = \Ker(B \otimes_A B \xrightarrow{b_i \otimes 1 - 1 \otimes b_i} (B \otimes_A B)^{\oplus n})\] 因此 \(J\) 的形成与平坦基变换可交换。关于 Noether 不同理想的结论 立即由此得出。

引理

设 \(A \to B' \to B\) 是环同态，其中 \(A \to B'\) 为有限型， 而 \(B' \to B\) 在谱上诱导开浸入。

1. \(\Ker(B \otimes_A B \to B)\) 的零化子 \(J\) 等于 \(J' \otimes_{B'} B\)，其中 \(J'\) 是 \(\Ker(B' \otimes_A B' \to B')\) 的零化子。

2. \(B\) 在 \(A\) 上的 Noether 不同理想 \(\mathfrak{D}\) 等于 \(\mathfrak{D}'B\)，其中 \(\mathfrak{D}'\) 是 \(B'\) 在 \(A\) 上的 Noether 不同理想。

证明

记 \(I = \Ker(B \otimes_A B \to B)\)，并记 \(I' = \Ker(B' \otimes_A B' \to B')\)。由于 \(\Spec(B) \to \Spec(B')\) 是开浸入，得到 \(B = (B \otimes_A B) \otimes_{B' \otimes_A B'} B'\)。 因此 \(I = I'(B \otimes_A B)\)。由于 \(I'\) 有限生成，且 \(B' \otimes_A B' \to B \otimes_A B\) 平坦，有 \(J = J'(B \otimes_A B)\)；见《代数》，引理 07T8。 由于 \(J'\) 的 \(B' \otimes_A B'\)-模结构经过 \(B' \otimes_A B' \to B'\) 分解，故 (1) 成立。(2) 是 (1) 的推论。

注

设 \(A \to B\) 是 Noetherian 环的拟有限同态，并令 \(J\) 为 \(\Ker(B \otimes_A B \to B)\) 的零化子。存在典范的 \(B\)-双线性配对 [0BVQ]\[\begin{equation} \omega_{B/A} \times J \longrightarrow B \end{equation}\] 其定义如下。选取分解 \(A \to B' \to B\)，其中 \(A \to B'\) 有限， 而 \(B' \to B\) 在谱上诱导开浸入。令 \(J'\) 为 \(\Ker(B' \otimes_A B' \to B')\) 的零化子。先定义 \[\Hom_A(B', A) \times J' \longrightarrow B',\quad (\lambda, \sum b_i \otimes c_i) \longmapsto \sum \lambda(b_i)c_i\] 这恰为 \(B'\)-双线性的，因为对 \(\xi \in J'\) 与 \(b \in B'\)，有 \((b \otimes 1)\xi = (1 \otimes b)\xi\)。由引理 0BVN 以及 \(\omega_{B/A} = \Hom_A(B', A) \otimes_{B'} B\)， 可将它扩张为上面所示的 \(B\)-双线性配对。

引理

设 \(A \to B\) 是 Noetherian 环的拟有限同态。

1. 若 \(A \to A'\) 是 Noetherian 环的平坦同态，则 \[\xymatrix{ \omega_{B/A} \times J \ar[r] \ar[d] & B \ar[d] \\ \omega_{B'/A'} \times J' \ar[r] & B' }\] 交换，其中记号同引理 0BVM， 水平箭头由 (0BVQ) 给出。

2. 若 \(B = B_1 \times B_2\)，则 \[\xymatrix{ \omega_{B/A} \times J \ar[r] \ar[d] & B \ar[d] \\ \omega_{B_i/A} \times J_i \ar[r] & B_i }\] 对 \(i = 1, 2\) 交换，其中记号同引理 0BVL，水平箭头由 (0BVQ) 给出。

证明

由注记 0BVP 中配对的构造， (1) 与 (2) 都归结为 \(A \to B\) 有限的情形。此时 (1) 由收缩映射 \(\Hom_A(M, A) \otimes_A M \otimes_A M \to M\)、 \(\lambda \otimes m \otimes m' \mapsto \lambda(m)m'\) 与基变换可交换这一事实得出。为证明 (2)，使用 \(J = J_1 \times J_2\) 包含于 \(B \otimes_A B\) 的直和分量 \(B_1 \otimes_A B_1\) 与 \(B_2 \otimes_A B_2\) 中这一事实。

引理

设 \(A \to B\) 是 Noetherian 环的平坦拟有限同态。注记 0BVP 的配对诱导同构 \(J \to \Hom_B(\omega_{B/A}, B)\)。

证明

先在 \(A \to B\) 有限平坦时证明。此时可在 \(A\) 上局部化，并假设 \(B\) 作为 \(A\)-模是有限自由的。设 \(b_1, \ldots, b_n\) 是 \(B\) 作为 \(A\)-模的一组基，并将 \(\omega_{B/A}\) 的对偶基记为 \(b_1^\vee, \ldots, b_n^\vee\)。注意 \(\sum b_i \otimes c_i \in J\) 映到 \(\Hom_B(\omega_{B/A}, B)\) 中 把 \(b_i^\vee\) 送到 \(c_i\) 的元素。设 \(\varphi : \omega_{B/A} \to B\) 为 \(B\)-线性映射。断言 \(\xi = \sum b_i \otimes \varphi(b_i^\vee)\) 属于 \(J\)。 事实上，\(\varphi\) 的 \(B\)-线性恰好蕴含：对每个 \(b \in B\)， \((b \otimes 1)\xi = (1 \otimes b)\xi\)。因此该映射有逆，故为同构。

设素理想 \(\mathfrak q \subset B\) 位于 \(\mathfrak p \subset A\) 之上。 我们证明局部化 \[J_\mathfrak q \longrightarrow \Hom_B(\omega_B/A, B)_\mathfrak q\] 是同构。由《代数》，引理 00HN， 这就足够了。由《代数》，引理 00UJ， 可找到 étale 环同态 \(A \to A'\) 以及位于 \(\mathfrak p\) 之上的素理想 \(\mathfrak p' \subset A'\)，使得 \(\kappa(\mathfrak p') = \kappa(\mathfrak p)\)， 并且 \[B' = B \otimes_A A' = C \times D\] 其中 \(A' \to C\) 有限，且 \(B \otimes_A A'\) 中同时位于 \(\mathfrak q\) 与 \(\mathfrak p'\) 之上的唯一素理想 \(\mathfrak q'\) 对应于 \(C\) 的一个素理想。令 \(J'\) 为 \(\Ker(B' \otimes_{A'} B' \to B')\) 的零化子。由引理 0BT3、 0BVM 和 0BVR，映射 \(J' \to \Hom_{B'}(\omega_{B'/A'}, B')\) 是对映射 \(J \to \Hom_B(\omega_{B/A}, B)\) 应用函子 \(- \otimes_B B'\) 得到的。 由于 \(B_\mathfrak q \to B'_{\mathfrak q'}\) 忠实平坦，只需对 \((A' \to B', \mathfrak q')\) 证明结论。再由引理 0BT5、 0BVL 和 0BVR，归结为证明第一段已经处理的情形。

引理

设 \(A \to B\) 是 Noetherian 环的平坦拟有限同态。图 \[\xymatrix{ J \ar[rr] \ar[rd]_\mu & & \Hom_B(\omega_{B/A}, B) \ar[ld]^{\varphi \mapsto \varphi(\tau_{B/A})} \\ & B }\] 交换，其中水平箭头是引理 0BVS 的同构。 因此，\(B\) 在 \(A\) 上的 Noether 不同理想是映射 \(\Hom_B(\omega_{B/A}, B) \to B\) 的像。

证明

完全仿照引理 0BVS 的证明， 归结为有限自由同态 \(A \to B\) 的情形。此时 \(\tau_{B/A} = \text{Trace}_{B/A}\)。选取 \(B\) 作为 \(A\)-模的一组基 \(b_1, \ldots, b_n\)。令 \(\xi = \sum b_i \otimes c_i \in J\)，则 \(\mu(\xi) = \sum b_i c_i\)。另一方面，\(\xi\) 在 \(\Hom_B(\omega_{B/A}, B)\) 中的像把 \(\text{Trace}_{B/A}\) 映到 \(\sum \text{Trace}_{B/A}(b_i)c_i\)。因此需证明 \[\sum b_ic_i = \sum \text{Trace}_{B/A}(b_i)c_i\] 其中 \(\xi = \sum b_i \otimes c_i \in J\)。写成 \(b_i b_j = \sum_k a_{ij}^k b_k\)，其中 \(a_{ij}^k \in A\)。 则右端为 \(\sum_{i, j} a_{ij}^j c_i\)。另一方面，\(\xi \in J\) 蕴含 \[(b_j \otimes 1)(\sum\nolimits_i b_i \otimes c_i) = (1 \otimes b_j)(\sum\nolimits_i b_i \otimes c_i)\] 从而 \(b_j c_i = \sum_k a_{jk}^i c_k\)。因此左端为 \(\sum_{i, j} a_{ij}^i c_j\)。由于 \(a_{ij}^k = a_{ji}^k\)，等式成立。

引理

设 \(A \to B\) 是有限型环同态，\(\mathfrak{D} \subset B\) 是 Noether 不同理想。则 \(V(\mathfrak{D})\) 是所有使 \(A \to B\) 在 \(\mathfrak q\) 处分歧的素理想 \(\mathfrak q \subset B\) 所成的集合。

证明

假设 \(A \to B\) 在 \(\mathfrak q\) 处非分歧。对某个 \(g \in B\)、\(g \not \in \mathfrak q\)，用 \(B_g\) 替换 \(B\) 后， 可设 \(A \to B\) 非分歧（《代数》，定义 00UT 以及引理 0BVN）。此时 \(\Omega_{B/A} = 0\)。因此，若 \(I = \Ker(B \otimes_A B \to B)\)， 则由《代数》，引理 00RW， \(I/I^2 = 0\)。由于 \(A \to B\) 为有限型，\(I\) 有限生成。 于是由 Nakayama 引理（《代数》，引理 00DV）， 存在形如 \(1 + i\) 的元素零化 \(I\)。从而 \(\mathfrak{D} = B\)。

反之，假设 \(\mathfrak{D} \not \subset \mathfrak q\)。 按上述方式用一个主局部化替换 \(B\) 后，可设 \(\mathfrak{D} = B\)。 这意味着 \(I\) 的零化子中存在形如 \(1 + i\) 的元素。 反过来，这又蕴含 \(I/I^2 = \Omega_{B/A}\) 为零，故得结论。

Kähler 不同理想

设 \(A \to B\) 是有限型环同态。Kähler 不同理想是 \(\Omega_{B/A}\) 作为 \(B\)-模的第零 Fitting 理想。将该定义整体化如下。

定义

设 \(f : Y \to X\) 是局部有限型概形态射。Kähler 不同理想 是 \(\Omega_{Y/X}\) 的第 \(0\) 个 Fitting 理想。

Kähler 不同理想是 \(Y\) 上的拟凝聚理想层。

引理

考虑概形的笛卡尔图 \[\xymatrix{ Y' \ar[d]_{f'} \ar[r] & Y \ar[d]^f \\ X' \ar[r]^g & X }\] 其中 \(f\) 局部为有限型。令 \(R \subset Y\)、相应地 令 \(R' \subset Y'\) 为分别由 \(f\)、相应地 由 \(f'\) 的 Kähler 不同理想 定义的闭子概形。则 \(Y' \to Y\) 诱导同构 \(R' \to R \times_Y Y'\)。

证明

这是因为 \(\Omega_{Y'/X'}\) 是 \(\Omega_{Y/X}\) 的拉回 （《态射》，引理 01V0）， 然后可应用《代数进阶》，引理 07ZA。

引理

设 \(f : Y \to X\) 是局部有限型概形态射，并令 \(R \subset Y\) 为 Kähler 不同理想所定义的闭子概形。则 \(R \subset Y\) 恰为 \(f\) 分歧的点集。

证明

这是《除子》，引理 0C3J 的同一证明。

引理

设 \(A\) 是环，\(n \geq 1\)，且 \(f_1, \ldots, f_n \in A[x_1, \ldots, x_n]\)。令 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\)。 则 \(B\) 在 \(A\) 上的 Kähler 不同理想是由 \(\det(\partial f_i/\partial x_j)\) 生成的 \(B\) 的理想。

证明

这是因为由《代数》，引理 00RU， \(\Omega_{B/A}\) 有表现 \[\bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} B f_i \xrightarrow{\text{d}} \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, n} B \text{d}x_j \rightarrow \Omega_{B/A} \rightarrow 0\]

Dedekind 不同理想

设 \(A \to B\) 是环同态。若 \(A\) 为 Noetherian、\(A \to B\) 有限、 \(A\) 上的每个非零因子在 \(B\) 上仍为非零因子，并且当 \(K = Q(A)\)、\(L = B \otimes_A K\) 时 \(K \to L\) 为 étale， 则称Dedekind 不同理想有定义。此时 \(K \subset L\) 有限 étale，且 \[\mathcal{L}_{B/A} = \{x \in L \mid \text{Trace}_{L/K}(bx) \in A \text{ 对所有 }b \in B\}\] 是 Dedekind 补模。在这种情形下，Dedekind 不同理想是 \[\mathfrak{D}_{B/A} = \{x \in L \mid x\mathcal{L}_{B/A} \subset B\}\] 把它看成 \(L\) 的 \(B\)-子模。由引理 0BW1，若 \(A\) 正规，或 \(B\) 在 \(A\) 上平坦， 则 Dedekind 不同理想是 \(B\) 的理想。

引理

假设 \(A \to B\) 的 Dedekind 不同理想有定义。考虑下列陈述：

1. \(A \to B\) 平坦；

2. \(A\) 是正规环；

3. \(\text{Trace}_{L/K}(B) \subset A\)；

4. \(1 \in \mathcal{L}_{B/A}\)；

5. Dedekind 不同理想 \(\mathfrak{D}_{B/A}\) 是 \(B\) 的理想。

则有 (1) \(\Rightarrow\) (3)、(2) \(\Rightarrow\) (3)、 (3) \(\Leftrightarrow\) (4) 以及 (4) \(\Rightarrow\) (5)。

证明

(3) 与 (4) 的等价以及蕴含 (4) \(\Rightarrow\) (5) 都是立即的。

若 \(A \to B\) 平坦，则 \(\text{Trace}_{B/A} : B \to A\) 有定义， 而 \(\text{Trace}_{L/K}\) 是其基变换。因此 (3) 成立。

若 \(A\) 正规，则 \(A\) 是有限多个正规整环的乘积，故归结为正规整环情形。 此时 \(K\) 是 \(A\) 的分式域，而 \(L = \prod L_i\) 是有限多个 \(K\) 的有限可分域扩张之乘积。于是 \(\text{Trace}_{L/K}(b) = \sum \text{Trace}_{L_i/K}(b_i)\)， 其中 \(b_i \in L_i\) 是 \(b\) 的像。由于 \(B\) 在 \(A\) 上有限， \(b\) 在 \(A\) 上整，故这些迹属于 \(A\)。事实上，\(b_i\) 在 \(K\) 上的 极小多项式的系数属于 \(A\)（《代数》，引理 00H7），并且 \(\text{Trace}_{L_i/K}(b_i)\) 是其中某个系数的整数倍 （《域论》，引理 0BIH）。

引理

若 \(A \to B\) 的 Dedekind 不同理想有定义，则存在典范同构 \(\mathcal{L}_{B/A} \to \omega_{B/A}\)。

证明

回忆 \(A \to B\) 有限，故 \(\omega_{B/A} = \Hom_A(B, A)\)。 把 \(x \in \mathcal{L}_{B/A}\) 映到映射 \(b \mapsto \text{Trace}_{L/K}(bx)\)。反之，给定 \(A\)-线性映射 \(\varphi : B \to A\)，得到 \(K\)-线性映射 \(\varphi_K : L \to K\)。 由于 \(K \to L\) 有限 étale，迹配对非退化（引理 0BJF），故存在 \(x \in L\)，使得对每个 \(y \in L\)， \(\varphi_K(y) = \text{Trace}_{L/K}(xy)\)。于是 \(x \in \mathcal{L}_{B/A}\) 在 \(\omega_{B/A}\) 中映到 \(\varphi\)。

引理

若 \(A \to B\) 的 Dedekind 不同理想有定义，且 \(A \to B\) 平坦，则

1. 典范同构 \(\mathcal{L}_{B/A} \to \omega_{B/A}\) 把 \(1 \in \mathcal{L}_{B/A}\) 映到迹元 \(\tau_{B/A} \in \omega_{B/A}\)；

2. Dedekind 不同理想为 \(\mathfrak{D}_{B/A} = \{b \in B \mid b\omega_{B/A} \subset B\tau_{B/A}\}\)。

证明

第一个断言由引理 0BW1 的证明和引理 0BT8 得出。第二个断言立即由第一个断言和定义得出。

不同理想

下面定义的动机在于：正如下文将看到的，它在有限平坦情形下恢复 Dedekind 不同理想。

定义

设 \(f : Y \to X\) 是局部 Noetherian 概形之间的平坦局部拟有限态射。 令 \(\omega_{Y/X}\) 为相对对偶化模，并令 \(\tau_{Y/X} \in \Gamma(Y, \omega_{Y/X})\) 为迹元 （注记 0BVG 和 0BVJ）。 \[\Coker(\mathcal{O}_Y \xrightarrow{\tau_{Y/X}} \omega_{Y/X})\] 的零化子称为 \(Y/X\) 的不同理想。它是凝聚理想 \(\mathfrak{D}_f \subset \mathcal{O}_Y\)。

下文注记 0BWM 将推广这个定义。 注意，若 \(\omega_{Y/X}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-模，则 \(\mathfrak{D}_f\) 局部由一个元素生成。先陈述它与 Dedekind 不同理想的一致性。

引理

设 \(f : Y \to X\) 是 Noetherian 概形的平坦拟有限态射。 设 \(V = \Spec(B) \subset Y\)、\(U = \Spec(A) \subset X\) 是满足 \(f(V) \subset U\) 的仿射开子概形。若 \(A \to B\) 的 Dedekind 不同理想有定义，则作为 \(V\) 上的凝聚理想层有 \[\mathfrak{D}_f|_V = \widetilde{\mathfrak{D}_{B/A}}\]

证明

这由引理 0BW1 和 0BW3 显然成立。

引理

设 \(f : Y \to X\) 是 Noetherian 概形的平坦拟有限态射。 设 \(V = \Spec(B) \subset Y\)、\(U = \Spec(A) \subset X\) 是满足 \(f(V) \subset U\) 的仿射开子概形。若 \(\omega_{Y/X}|_V\) 可逆， 即若 \(\omega_{B/A}\) 是可逆 \(B\)-模，则作为 \(V\) 上的凝聚理想层有 \[\mathfrak{D}_f|_V = \widetilde{\mathfrak{D}}\] 其中 \(\mathfrak{D} \subset B\) 是 \(B\) 在 \(A\) 上的 Noether 不同理想。

证明

考虑映射 \[\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(\omega_{Y/X}, \mathcal{O}_Y) \longrightarrow \mathcal{O}_Y,\quad \varphi \longmapsto \varphi(\tau_{Y/X})\] 在仿射开集上，该映射的像对应于 Noether 不同理想；见引理 0BVT。因此结论归结为如下初等事实： 给定可逆模 \(\omega\) 与整体截面 \(\tau\)，映射 \(\tau : \SheafHom(\omega, \mathcal{O}) = \omega^{\otimes -1} \to \mathcal{O}\) 的像等于 \(\Coker(\tau : \mathcal{O} \to \omega)\) 的零化子。

引理

考虑 Noetherian 概形的笛卡尔图 \[\xymatrix{ Y' \ar[d]_{f'} \ar[r] & Y \ar[d]^f \\ X' \ar[r]^g & X }\] 其中 \(f\) 平坦且拟有限。令 \(R \subset Y\)、相应地 令 \(R' \subset Y'\) 为由不同理想 \(\mathfrak{D}_f\)、相应地 由 \(\mathfrak{D}_{f'}\) 定义的闭子概形。则 \(Y' \to Y\) 诱导双射闭浸入 \(R' \to R \times_Y Y'\)。若 \(g\) 平坦，或者 \(\omega_{Y/X}\) 可逆， 则 \(R' = R \times_Y Y'\)。

证明

立即归结为 \(X\)、\(X'\)、\(Y\)、\(Y'\) 都仿射的情形。换言之， 有 Noetherian 环的余笛卡尔图 \[\xymatrix{ B' & B \ar[l] \\ A' \ar[u] & A \ar[l] \ar[u] }\] 其中 \(A \to B\) 平坦且拟有限。基变换映射 \(\omega_{B/A} \otimes_B B' \to \omega_{B'/A'}\) 是同构 （引理 0BVF），并把迹元 \(\tau_{B/A}\) 映到迹元 \(\tau_{B'/A'}\) （引理 0BT9）。因此有限 \(B\)-模 \(Q = \Coker(\tau_{B/A} : B \to \omega_{B/A})\) 满足 \(Q \otimes_B B' = \Coker(\tau_{B'/A'} : B' \to \omega_{B'/A'})\)。 所以 \(\mathfrak{D}_{B/A}B' \subset \mathfrak{D}_{B'/A'}\)， 即得到闭浸入 \(R' \to R \times_Y Y'\)。由于 \(R = \text{Supp}(Q)\) 且 \(R' = \text{Supp}(Q \otimes_B B')\) （《代数》，引理 00L2），由《代数》，引理 0BUR， \(R' \to R \times_Y Y'\) 为双射。若 \(B \to B'\) 平坦，例如 \(A \to A'\) 平坦，则等式 \(\mathfrak{D}_{B/A}B' = \mathfrak{D}_{B'/A'}\) 成立；见《代数》，引理 07T8。 最后，若 \(\omega_{B/A}\) 可逆，则可局部化并设 \(\omega_{B/A} = B \lambda\)。写成 \(\tau_{B/A} = b\lambda\)，可见 \(Q = B/bB\) 且 \(\mathfrak{D}_{B/A} = bB\)。在 \(B'\) 上作同样论证， 得到 \(\mathfrak{D}_{B'/A'} = bB'\)，引理得证。

引理

设 \(f : Y \to X\) 是 Noetherian 概形的有限平坦态射。则 \(\text{Norm}_f : f_*\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\) 把 \(f_*\mathfrak{D}_f\) 映入判别式 \(D_f\) 的理想层。

证明

范数映射构造于《除子》，引理 0BD2，而 \(f\) 的判别式 构造于第 0BVH 节。问题是仿射局部的，故可设 \(X = \Spec(A)\)、\(Y = \Spec(B)\)，且 \(f\) 由有限局部自由环同态 \(A \to B\) 给出。进一步局部化后，可设 \(B\) 作为 \(A\)-模是有限自由的。 选取 \(B\) 作为 \(A\)-模的一组基 \(b_1, \ldots, b_n \in B\)，并将 \(\omega_{B/A} = \Hom_A(B, A)\) 作为 \(A\)-模的对偶基记为 \(b_1^\vee, \ldots, b_n^\vee\)。由于 \(b\) 的范数是 \(A\)-线性映射 \(b : B \to B\) 的行列式，故 \(\text{Norm}_{B/A}(b) = \det(b_i^\vee(bb_j))\)。 判别式是 \(\Spec(A)\) 中由 \(\det(\text{Trace}_{B/A}(b_ib_j))\) 定义的主闭子概形。若 \(b \in \mathfrak{D}_{B/A}\)，则存在 \(c_i \in B\)，使得 \(b \cdot b_i^\vee = c_i \cdot \text{Trace}_{B/A}\)；这里用圆点表示 \(\omega_{B/A}\) 上的 \(B\)-模结构。写成 \(c_i = \sum a_{il} b_l\)。则 \[\begin{align*} \text{Norm}_{B/A}(b) & = \det(b_i^\vee(bb_j)) \\ & = \det( (b \cdot b_i^\vee)(b_j)) \\ & = \det((c_i \cdot \text{Trace}_{B/A})(b_j)) \\ & = \det(\text{Trace}_{B/A}(c_ib_j)) \\ & = \det(a_{il}) \det(\text{Trace}_{B/A}(b_l b_j)) \end{align*}\] 这就证明了引理。

引理

设 \(f : Y \to X\) 是 Noetherian 概形的平坦拟有限态射。 由不同理想 \(\mathfrak{D}_f\) 定义的闭子概形 \(R \subset Y\) 恰为 \(f\) 非 étale（等价地，分歧）的点集。

证明

由于 \(f\) 为有限表现且平坦，它在一点为 étale，当且仅当在该点非分歧。 此外，分歧点轨迹的形成与基变换可交换。见《态射》，第 02GH 节，特别是《态射》，引理 0476。由引理 0BW7，\(R\) 的形成在集合意义下与基变换可交换。 故只需在 \(X\) 是某个域的谱时证明。另一方面， \((\omega_{Y/X}, \tau_{Y/X})\) 的构造在 \(Y\) 上是局部的。 由于 \(Y\) 在域上拟有限，所以是有限离散空间，故可设 \(Y\) 只有一个点。

设 \(X = \Spec(k)\)、\(Y = \Spec(B)\)，其中 \(k\) 是域，而 \(B\) 是 有限局部 \(k\)-代数。若 \(Y \to X\) 为 étale，则 \(B\) 是 \(k\) 的有限可分扩张。由《域论》，引理 0BIL，迹元 \(\text{Trace}_{B/k}\) 是 \(\omega_{B/k}\) 的一个基元素。因此此时 \(\mathfrak{D}_{B/k} = B\)。反之，若 \(\mathfrak{D}_{B/k} = B\)， 则由引理 0BW8 以及 \(1\) 的范数为 \(1\) 这一事实可知，判别式为空。因此由引理 0BJF，\(Y \to X\) 为 étale。

引理

设 \(f : Y \to X\) 是 Noetherian 概形的平坦拟有限态射，并令 \(R \subset Y\) 为 \(\mathfrak{D}_f\) 所定义的闭子概形。

1. 若 \(\omega_{Y/X}\) 可逆，则 \(R\) 是 \(Y\) 的局部主闭子概形。

2. 若 \(\omega_{Y/X}\) 可逆且 \(f\) 有限，则 \(R\) 的范数是 \(f\) 的判别式 \(D_f\)。

3. 若 \(\omega_{Y/X}\) 可逆，且 \(f\) 在 \(Y\) 的伴随点处为 étale， 则 \(R\) 是有效 Cartier 除子，并存在同构 \(\mathcal{O}_Y(R) = \omega_{Y/X}\)。

证明

(1) 的证明。可以在 \(Y\) 上局部工作，故可设 \(\omega_{Y/X}\) 是秩为 \(1\) 的自由模。设 \(\omega_{Y/X} = \mathcal{O}_Y\lambda\)。 写成 \(\tau_{Y/X} = h \lambda\)，则 \(R\) 由 \(h\) 定义，即 \(R\) 局部为主的。

(2) 的证明。可设 \(Y \to X\) 由有限自由环同态 \(A \to B\) 给出， 且 \(\omega_{B/A}\) 作为 \(B\)-模是秩为 \(1\) 的自由模。选取 \(\omega_{B/A}\) 的一个 \(B\)-基元素 \(\lambda\)，并对某个 \(b \in B\) 写成 \(\text{Trace}_{B/A} = b \cdot \lambda\)。则 \(\mathfrak{D}_{B/A} = (b)\)，而 \(D_f\) 由 \(\det(\text{Trace}_{B/A}(b_ib_j))\) 定义，其中 \(b_1, \ldots, b_n\) 是 \(B\) 作为 \(A\)-模的一组基。令 \(b_1^\vee, \ldots, b_n^\vee\) 为对偶基。写成 \(b_i^\vee = c_i \cdot \lambda\)，可见 \(c_1, \ldots, c_n\) 也是 \(B\) 的一组基。因此，当 \(c_i = \sum a_{il}b_l\) 时， \(\det(a_{il})\) 是 \(A\) 中的单位。显然 \(b \cdot b_i^\vee = c_i \cdot \text{Trace}_{B/A}\)， 故由引理 0BW8 证明中的计算可知， \(\text{Norm}_{B/A}(b)\) 等于 \(\det(\text{Trace}_{B/A}(b_ib_j))\) 乘以一个单位。

(3) 的证明。在上述记号下，由引理 0BW9 和假设可知，\(h\) 在 \(Y\) 的伴随点处不消失，这蕴含 \(h\) 是非零因子。 典范同构把 \(1\) 映到 \(\tau_{Y/X}\)；见《除子》，引理 01X0。

拟有限 syntomic 态射

本节讨论拟有限 syntomic 态射具有可逆相对对偶化模这一事实。

引理

设 \(f : Y \to X\) 是概形态射。下列条件等价：

1. \(f\) 局部拟有限且 syntomic；

2. \(f\) 局部拟有限、平坦且为局部完全交态射；

3. \(f\) 局部拟有限、平坦、局部有限表现，且 \(f\) 的纤维为局部完全交；

4. \(f\) 局部拟有限，并且对每个 \(y \in Y\)，存在仿射开集 \(y \in V = \Spec(B) \subset Y\)、\(U = \Spec(A) \subset X\)， 满足 \(f(V) \subset U\)，还存在整数 \(n\) 以及 \(h, f_1, \ldots, f_n \in A[x_1, \ldots, x_n]\)，使得 \(B = A[x_1, \ldots, x_n, 1/h]/(f_1, \ldots, f_n)\)；

5. 对每个 \(y \in Y\)，存在仿射开集 \(y \in V = \Spec(B) \subset Y\)、\(U = \Spec(A) \subset X\)， 满足 \(f(V) \subset U\)，且 \(A \to B\) 是形如 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\) 的相对整体完全交；

6. \(f\) 局部拟有限、平坦、局部有限表现，且 \(\NL_{Y/X}\) 的 Tor 振幅在 \([-1, 0]\) 中；

7. \(f\) 平坦、局部有限表现，\(\NL_{Y/X}\) 是秩为 \(0\)、 Tor 振幅在 \([-1, 0]\) 中的完美复形。

证明

(1) 与 (2) 的等价性是《态射进阶》，引理 069K。(1) 与 (3) 的等价性是《态射》，引理 01UF。

若 \(A \to B\) 如 (4) 所述，则 \(B = A[x, x_1, \ldots, x_n]/(xh - 1, f_1, \ldots, f_n)\) 是相对整体完全交；见《代数》，定义 00SP。 因此 (4) 蕴含 (5)，而 (5) 蕴含 (4) 是显然的。

条件 (5) 蕴含 (1)：由《代数》，引理 00SW， 相对整体完全交是 syntomic 的；而相对整体完全交的定义保证， 含 \(n\) 个变量和 \(n\) 个方程的相对整体完全交是拟有限的；见《代数》，定义 00SP 和引理 00PK。

《代数》，引理 00SY 或《态射》，引理 01UE 均说明 (1) 蕴含 (5)。

《态射进阶》，引理 0FK3 说明 (6) 与 (1) 等价。若等价条件 (1)–(6) 成立，则在仿射局部， \(Y \to X\) 由相对整体完全交 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\) 给出， 其变量数与方程数相同。利用这个表现可见 \[\NL_{B/A} =\left( (f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2 \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} B \text{d} x_i\right)\] 由《代数》，引理 00SV， 模 \((f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2\) 是自由的， 其生成元为元素 \(f_1, \ldots, f_n\) 的同余类。因此 \(\NL_{B/A}\) 的秩为 \(0\)，\(\NL_{Y/X}\) 亦然。于是 (1)–(6) 蕴含 (7)。

最后假设 (7)。由《态射进阶》，引理 0FK3，\(f\) 是 syntomic 的。 因此在适当的仿射开集上，\(f\) 由相对整体完全交 \(A \to B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\) 给出；见《态射》，引理 01UE。 完全仿照上述论证，\(\NL_{B/A}\) 是秩为 \(n - m\) 的完美复形。 因此 \(n = m\)，故 (5) 成立。证明完成。

引理

相对对偶化模的可逆性。

1. 若 \(A \to B\) 是 Noetherian 环的拟有限平坦同态，则 \(\omega_{B/A}\) 是可逆 \(B\)-模，当且仅当对所有素理想 \(\mathfrak p \subset A\)，\(\omega_{B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)/\kappa(\mathfrak p)}\) 是可逆 \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\)-模。

2. 若 \(Y \to X\) 是 Noetherian 概形的拟有限平坦态射，则 \(\omega_{Y/X}\) 可逆，当且仅当对所有 \(x \in X\)， \(\omega_{Y_x/x}\) 可逆。

证明

(1) 的证明。由于 \(A \to B\) 平坦，模 \(\omega_{B/A}\) 为 \(A\)-平坦； 见引理 0BVE。因此， \(\omega_{B/A}\) 是可逆 \(B\)-模，当且仅当对每个素理想 \(\mathfrak p \subset A\)，\(\omega_{B/A} \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) 是可逆 \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\)-模；见《态射进阶》，引理 080Q。 仍利用 \(A \to B\) 平坦这一点，\(\omega_{B/A}\) 的形成与基变换可交换； 见引理 0BVF。因此在平坦性成立时， 相对对偶化模可逆，等价于对映射 \(\kappa(\mathfrak p) \to B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\)， 其相对对偶化模可逆。

(2) 由 (1) 以及如下事实得出：在仿射局部，对偶化模由其代数对应物给出； 见注记 0BVG。

引理

设 \(k\) 是域，并设 \(B = k[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\) 是 \(k\) 上维数为 \(0\) 的整体完全交。则 \(\omega_{B/k}\) 可逆。

证明

由 Noether 正规化，见《代数》，引理 00OY，存在有限单射 \(k \to B\)， 即 \(\dim_k(B) < \infty\)。因此作为 \(B\)-模有 \(\omega_{B/k} = \Hom_k(B, k)\)。由《对偶化复形》，引理 0AX0，\(R\Hom(B, k)\) 是 \(B\) 的对偶复形； 又由《对偶化复形》，引理 0A71， \(R\Hom(B, k)\) 等于放在次数 \(0\) 的 \(\omega_{B/k}\)。 故只需证明 \(B\) 为 Gorenstein（《对偶化复形》，引理 0DW9）。这由《对偶化复形》，引理 0DWA 成立。

引理

设 \(f : Y \to X\) 是局部 Noetherian 概形的态射。若 \(f\) 满足引理 0BWE 的等价条件，则 \(\omega_{Y/X}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-模。

证明

可设 \(A \to B\) 是形如 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\) 的相对整体完全交， 而需证明 \(\omega_{B/A}\) 可逆。这由结合引理 0DWK 与 0DWL 得出。

例

设 \(n \geq 1\) 与 \(d \geq 1\) 为整数。令 \(T\) 为满足 \(e_i \geq 0\) 且 \(\sum e_i \leq d\) 的多重指标 \(E = (e_1, \ldots, e_n)\) 所成的集合。考虑环 \[A = \mathbf{Z}[a_{i, E} ; 1 \leq i \leq n, E \in T]\] 在 \(A[x_1, \ldots, x_n]\) 中考虑元素 \(f_i = \sum_{E \in T} a_{i, E} x^E\)，其中按惯例 \(x^E = x_1^{e_1} \ldots x_n^{e_n}\)。考虑 \(A\)-代数 \[B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\] 记 \(X_{n, d} = \Spec(A)\)，并令 \(Y_{n, d} \subset \Spec(B)\) 为使态射 \(\Spec(B) \to \Spec(A) = X_{n, d}\) 的限制拟有限的最大开子概形； 见《代数》，引理 00QA。

引理

沿用例 0FK8 的记号， 概形 \(X_{n, d}\) 与 \(Y_{n, d}\) 都正则且不可约，态射 \(Y_{n, d} \to X_{n, d}\) 局部拟有限且 syntomic，并存在稠密开子概形 \(V \subset Y_{n, d}\)，使 \(Y_{n, d} \to X_{n, d}\) 在其上限制为 étale 态射 \(V \to X_{n, d}\)。

证明

概形 \(X_{n, d}\) 是多项式环 \(A\) 的谱。因此 \(X_{n, d}\) 正则且不可约。由于可写成 \[f_i = a_{i, (0, \ldots, 0)} + \sum\nolimits_{E \in T, E \not = (0, \ldots, 0)} a_{i, E} x^E\] 环 \(B\) 同构于以 \(x_1, \ldots, x_n\) 以及所有满足 \(E \not = (0, \ldots, 0)\) 的 \(a_{i, E}\) 为变量的多项式环。 因此 \(\Spec(B)\) 是不可约正则概形，其开集 \(Y_{n, d}\) 亦然。 由引理 0BWE，态射 \(Y_{n, d} \to X_{n, d}\) 局部拟有限且 syntomic。为找到 \(V\)， 只需找到一点，使 \(Y_{n, d} \to X_{n, d}\) 在该点为 étale （按定义，态射为 étale 的点轨迹为开集）。因此只需找到 \(X_{n, d}\) 的一点，使 \(Y_{n, d} \to X_{n, d}\) 的纤维非空且为 étale；见《态射》，引理 02GU。 选择对应于环同态 \(\chi : A \to \mathbf{Q}\) 的点，该同态把 \(f_i\) 映到 \(x_i^d - 1\)。于是 \[B \otimes_{A, \chi} \mathbf{Q} = \mathbf{Q}[x_1, \ldots, x_n]/(x_1^d - 1, \ldots, x_n^d - 1)\] 这是 \(\mathbf{Q}\) 上的非零 étale 代数。

引理

设 \(f : Y \to X\) 是概形态射。若 \(f\) 满足引理 0BWE 的等价条件，则对每个 \(y \in Y\)， 存在 \(n, d\) 以及交换图 \[\xymatrix{ Y \ar[d] & V \ar[d] \ar[l] \ar[r] & Y_{n, d} \ar[d] \\ X & U \ar[l] \ar[r] & X_{n, d} }\] 其中 \(U \subset X\) 与 \(V \subset Y\) 为满足 \(y \in V\) 的开集， \(Y_{n, d} \to X_{n, d}\) 如例 0FK8 所述，而右侧方块为笛卡尔图。

证明

由引理 0BWE，可选取仿射的 \(U\) 与 \(V\)， 使 \(U = \Spec(R)\)、\(V = \Spec(S)\)，其中 \(S = R[y_1, \ldots, y_n]/(g_1, \ldots, g_n)\)。 沿用例 0FK8 的记号， 若选取充分大的 \(d\)，则每个 \(g_i\) 可写成 \(g_i = \sum_{E \in T} g_{i, E}y^E\)，其中 \(g_{i, E} \in R\)。 将 \(a_{i, E}\) 映到 \(g_{i, E}\) 的映射 \(A \to R\)，以及将 \(x_i \to y_i\) 的映射 \(B \to S\)，给出环的余笛卡尔图 \[\xymatrix{ S & B \ar[l] \\ R \ar[u] & A \ar[l] \ar[u] }\] 引理得证。

有限 syntomic 态射

本节给出第 0DWJ 节关于有限 syntomic 态射的对应版本。

引理

设 \(f : Y \to X\) 是概形态射。下列条件等价：

1. \(f\) 有限且 syntomic；

2. \(f\) 有限、平坦，且为局部完全交态射；

3. \(f\) 有限、平坦、局部有限表现，且 \(f\) 的纤维为局部完全交；

4. \(f\) 有限，并且对每个 \(x \in X\)，存在仿射开集 \(x \in U = \Spec(A) \subset X\)、整数 \(n\) 以及 \(f_1, \ldots, f_n \in A[x_1, \ldots, x_n]\)，使得 \(f^{-1}(U)\) 同构于 \(A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\) 的谱；

5. \(f\) 有限、平坦、局部有限表现，且 \(\NL_{X/Y}\) 的 Tor 振幅在 \([-1, 0]\) 中；

6. \(f\) 有限、平坦、局部有限表现，且 \(\NL_{X/Y}\) 是秩为 \(0\)、 Tor 振幅在 \([-1, 0]\) 中的完美复形。

证明

(1)、(2)、(3)、(5)、(6) 的等价性以及 (4) \(\Rightarrow\) (1)， 均立即由引理 0BWE 得出。 假设等价条件 (1)、(2)、(3)、(5)、(6) 成立。 取一点 \(x \in X\) 以及 \(X\) 中包含 \(x\) 的仿射开集 \(U = \Spec(A)\)， 并设 \(x\) 对应于素理想 \(\mathfrak p \subset A\)。写成 \(f^{-1}(U) = \Spec(B)\) 及 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/I\)。 由 (6)，\(\NL_{B/A}\) 是 Tor 振幅在 \([-1, 0]\) 中的完美复形， 故 \(I/I^2\) 是秩为 \(n\) 的有限局部自由 \(B\)-模。 由于 \(B_\mathfrak p\) 是半局部环，\((I/I^2)_\mathfrak p\) 是秩为 \(n\) 的自由模；见《代数》，引理 02M9。 因此用不属于 \(\mathfrak p\) 的某个元素作主局部化并以所得环替换 \(A\) 后， 可设 \(I/I^2\) 是秩为 \(n\) 的自由 \(B\)-模。 于是由《代数》，引理 07CF， 可找到 \(B\) 在 \(A\) 上变量数与方程数相同的一个表现。换言之，可设 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\)。这证明了 (4)。

例

设 \(d \geq 1\) 为整数。考虑变量 \(a_{ij}^l\)，其中 \(1 \leq i, j, l \leq d\)，并记 \[A_d = \mathbf{Z}[a_{ij}^k]/J\] 其中 \(J\) 是由下列元素生成的理想： \[\left\{ \begin{matrix} \sum_l a_{ij}^la_{lk}^m - \sum_l a_{il}^ma_{jk}^l & \forall i, j, k, m \\ a_{ij}^k - a_{ji}^k & \forall i, j, k \\ a_{i1}^j - \delta_{ij} & \forall i, j \end{matrix} \right.\] 其中 \(\delta_{ij}\) 表示 Kronecker delta 函数。如下定义一个 \(A_d\)-代数 \(B_d\)：作为 \(A_d\)-模，令 \[B_d = A_d e_1 \oplus \ldots \oplus A_d e_d\] 代数结构由把 \(1\) 映到 \(e_1\) 的映射 \(A_d \to B_d\) 给出。 \(B_d\) 上的乘法是 \(A_d\)-双线性映射 \[m : B_d \times B_d \longrightarrow B_d, \quad m(e_i, e_j) = \sum a_{ij}^k e_k\] 直接验证可知，上述关系恰好保证这给出一个 \(A_d\)-代数结构。态射 \[\pi_d : Y_d = \Spec(B_d) \longrightarrow \Spec(A_d) = X_d\] 是秩为 \(d\) 的“泛”有限自由态射。

引理

沿用例 0FKZ 的记号，存在开子概形 \(U_d \subset X_d\)，具有如下性质：概形态射 \(X \to X_d\) 通过 \(U_d\) 分解，当且仅当 \(Y_d \times_{X_d} X \to X\) 为 syntomic。

证明

回忆：syntomic 等价于平坦且为局部完全交态射；见《态射进阶》，引理 069K。令 \(W_d \subset Y_d\) 为 \(\pi_d\) 为 Koszul 的点集。它在 \(Y_d\) 中是开集，而且其形成与任意基变换可交换； 见《态射进阶》，引理 06B8。 由于 \(\pi_d\) 有限，从而是闭态射，故 \(Z = \pi_d(Y_d \setminus W_d)\) 为闭集。显然 \(U_d = X_d \setminus Z\)，而且其形成与基变换可交换， 故引理成立。

引理

沿用例 0FKZ 的记号，并令 \(U_d\) 如引理 0FL0 所述，则 \(U_d\) 在 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上光滑。

证明

利用《态射进阶》，引理 02HX 来证明 \(U_d \to \Spec(\mathbf{Z})\) 光滑。具体地，设有态射 \(\Spec(A) \to U_d\)，且 \(A' \to A\) 是小扩张。则 \(B = A \otimes_{A_d} B_d\) 是在 \(A\) 上 syntomic 的有限自由 \(A\)-代数（由 \(U_d\) 的构造）。由《环映射的光滑化》，命题 07M8，存在 syntomic 环同态 \(A' \to B'\)，使得 \(B \cong B' \otimes_{A'} A\)。 令 \(e'_1 = 1 \in B'\)。对 \(1 < i \leq d\)，选取元素 \(1 \otimes e_i \in A \otimes_{A_d} B_d = B\) 的提升 \(e'_i \in B'\)。 于是 \(e'_1, \ldots, e'_d\) 是 \(B'\) 在 \(A'\) 上的一组基 （例如见《代数》，引理 051F）。 因此可唯一地写成 \(e'_i e'_j = \sum \alpha_{ij}^l e'_l\)，其中 \(\alpha_{ij}^l \in A'\) 满足 \(A'\) 中的关系 \(\sum_l \alpha_{ij}^l \alpha_{lk}^m = \sum_l \alpha_{il}^m \alpha _{jk}^l\)、 \(\alpha_{ij}^k = \alpha_{ji}^k\) 以及 \(\alpha_{i1}^j = \delta_{ij}\)。 把 \(a_{ij}^l \in A_d\) 映到 \(\alpha_{ij}^l \in A'\)，便确定了态射 \(\Spec(A') \to X_d\)。该态射与给定态射 \(\Spec(A) \to U_d\) 相容。 由于 \(\Spec(A')\) 与 \(\Spec(A)\) 具有相同的底层拓扑空间， 由此得到所需提升 \(\Spec(A') \to U_d\)，并得出 \(U_d\) 在 \(\mathbf{Z}\) 上光滑。

引理

沿用例 0FKZ 的记号，考虑使 \(\pi_d\) 为 étale 的开子概形 \(U'_d \subset X_d\)。则 \(U'_d\) 是引理 0FL0 中开集 \(U_d\) 的稠密子集。

证明

完全仿照引理 0FL0 的证明，并应用《态射》，引理 0476，可得一个最大的开集 \(U'_d \subset X_d\)，使得 \(\pi_d\) 在其上为 étale。此外，由于 étale 态射是 syntomic 的，有 \(U'_d \subset U_d\)。 为完成证明，需证 \(U'_d \subset U_d\) 稠密。设 \(u : \Spec(k) \to U_d\) 为态射，其中 \(k\) 是域。令 \(B = k \otimes_{A_d} B_d\)，如引理 0FL1 的证明所述。 我们将证明：存在剩余域为 \(k\) 的局部整环 \(A'\)，以及有限 syntomic \(A'\)-代数 \(B'\)，满足 \(B = k \otimes_{A'} B'\)，且其泛纤维为 étale。 完全仿照上一段，这将确定态射 \(\Spec(A') \to U_d\)，它把泛点映入 \(U'_d\)，把闭点映到 \(u\)，从而完成证明。

由引理 0FKY 的 (4)，可选取表现 \(B = k[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\)。 令 \(d'\) 为多项式 \(f_1, \ldots, f_n\) 的最大总次数，并令 \(Y_{n, d'} \to X_{n, d'}\) 如例 0FK8 所述。由构造，存在态射 \(u' : \Spec(k) \to X_{n, d'}\)，使得 \[\Spec(B) \cong Y_{n, d'} \times_{X_{n, d'}, u'} \Spec(k)\] 记 \(A = \mathcal{O}_{X_{n, d'}, u'}^h\) 为 \(X_{n, d'}\) 在 \(u'\) 的像处的 局部环之 Hensel 化。则可写成 \[Y_{n, d'} \times_{X_{n, d'}} \Spec(A) = Z \amalg W\] 其中 \(Z \to \Spec(A)\) 有限，而 \(W \to \Spec(A)\) 的闭纤维为空； 见《代数》，引理 04GG 的 (13)， 或《态射进阶》，第 04HF 节中的讨论。 由引理 0FK9，局部环 \(A\) 正则 （这里还使用《代数进阶》，引理 06LN），且态射 \(Z \to \Spec(A)\) 在 \(\Spec(A)\) 的泛点上为 étale （因为它映到 \(X_{d, n'}\) 的泛点）。由构造， \(Z \times_{\Spec(A)} \Spec(k) \cong \Spec(B)\)。 这已证明所需结论，唯一的例外是 \(A\) 的剩余域到 \(k\) 的映射未必为同构。 由《代数》，引理 03C3， 存在平坦局部环同态 \(A \to A'\)，使 \(A'\) 的剩余域为 \(k\)。 若 \(A'\) 不是整环，则取极小素理想 \(\mathfrak p \subset A'\)； 由平坦性，它位于 \(A\) 的唯一极小素理想之上。然后以 \(A'/\mathfrak p\) 替换 \(A'\)。令 \(B'\) 为唯一的 \(A'\)-代数，使得 \(Z \times_{\Spec(A)} \Spec(A') = \Spec(B')\)。证明完成。

注

设 \(\pi_d : Y_d \to X_d\) 如例 0FKZ 所述。令 \(U_d \subset X_d\) 为使 \(V_d = \pi_d^{-1}(U_d)\) 如引理 0FL0 中那样有限 syntomic 的最大开集。 则 \(V_d\) 在 \(\mathbf{Z}\) 上也光滑。 （当然，当 \(d \geq 2\) 时，态射 \(V_d \to U_d\) 并不光滑。） 仿照引理 0FL1 的证明， 这对应于如下形变问题：给定小扩张 \(C' \to C\)，以及带有截面 \(B \to C\) 的有限 syntomic \(C\)-代数 \(B\)，求一个有限 syntomic \(C'\)-代数 \(B'\) 及截面 \(B' \to C'\)，使其与 \(C\) 的张量积恢复 \(B \to C\)。由引理 0FKY，可把 \(B = C[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\) 写成相对整体完全交。 作坐标变换后，可设 \(x_1, \ldots, x_n\) 都在 \(B \to C\) 的核中， 于是多项式 \(f_i\) 的常数项为零。任取 \(f_i\) 的提升 \(f'_i \in C'[x_1, \ldots, x_n]\)，并使其常数项为零。则 \(B' = C'[x_1, \ldots, x_n]/(f'_1, \ldots, f'_n)\) 配上把 \(x_i\) 映到零的截面 \(B' \to C'\) 即满足要求。

引理

设 \(f : Y \to X\) 是概形态射。若 \(f\) 满足引理 0FKY 的等价条件，则对每个 \(x \in X\)， 存在 \(d\) 以及交换图 \[\xymatrix{ Y \ar[d] & V \ar[d] \ar[l] \ar[r] & V_d \ar[d] \ar[r] & Y_d \ar[d]^{\pi_d}\\ X & U \ar[l] \ar[r] & U_d \ar[r] & X_d }\] 具有如下性质：

1. \(U \subset X\) 为开集，\(x \in U\)，且 \(V = f^{-1}(U)\)；

2. \(\pi_d : Y_d \to X_d\) 如例 0FKZ 所述；

3. \(U_d \subset X_d\) 如引理 0FL0 所述， 且 \(V_d = \pi_d^{-1}(U_d) \subset Y_d\)；

4. 中间方块为笛卡尔图。

证明

选取 \(x\) 的仿射开邻域 \(U = \Spec(A) \subset X\)，并写成 \(V = f^{-1}(U) = \Spec(B)\)。则 \(B\) 是有限局部自由 \(A\)-模， 而包含关系 \(A \subset B\) 在局部上是直和项。缩小 \(U\) 后， 可选取 \(B\) 作为 \(A\)-模的一组基 \(1 = e_1, e_2, \ldots, e_d\)。 唯一地写成 \(e_i e_j = \sum \alpha_{ij}^l e_l\)，其中 \(\alpha_{ij}^l \in A\) 满足 \(A\) 中的关系 \(\sum_l \alpha_{ij}^l \alpha_{lk}^m = \sum_l \alpha_{il}^m \alpha _{jk}^l\)、 \(\alpha_{ij}^k = \alpha_{ji}^k\) 以及 \(\alpha_{i1}^j = \delta_{ij}\)。 把 \(a_{ij}^l \in A_d\) 映到 \(\alpha_{ij}^l \in A\)，便确定态射 \(\Spec(A) \to X_d\)。由构造，\(V \cong \Spec(A) \times_{X_d} Y_d\)。 由 \(U_d\) 的定义，\(\Spec(A) \to X_d\) 通过 \(U_d\) 分解。证明完成。

不同理想的一个公式

本节讨论 [Mazur-Roberts, Appendix A] 附录 A 中 Tate 的材料。 用本章的语言来说，这将证明：对平坦、拟有限的局部完全交态射， 不同理想等于 Kähler 不同理想。首先在一个特殊情形中计算 Noether 不同理想。

引理

设 \(A \to P\) 是环同态，且 \(f_1, \ldots, f_n \in P\) 是 Koszul 正则序列。 假设 \(B = P/(f_1, \ldots, f_n)\) 在 \(A\) 上平坦。设 \(g_1, \ldots, g_n \in P \otimes_A B\) 是生成乘法映射 \(P \otimes_A B \to B\) 之核的 Koszul 正则序列。写成 \(f_i \otimes 1 = \sum g_{ij} g_j\)。则 \(\Ker(B \otimes_A B \to B)\) 的零化子是由 \(\det(g_{ij})\) 的像生成的主理想。

证明

Koszul 复形 \(K_\bullet = K(P, f_1, \ldots, f_n)\) 是由有限自由 \(P\)-模组成的 \(B\) 的消解。Koszul 复形 \(M_\bullet = K(P \otimes_A B, g_1, \ldots, g_n)\) 是由有限自由 \(P \otimes_A B\)-模组成的 \(B\) 的消解。存在复形映射 \[K_\bullet \longrightarrow M_\bullet\] 它在次数 \(1\) 由矩阵 \((g_{ij})\) 给出，在次数 \(n\) 由 \(\det(g_{ij})\) 给出；见《代数进阶》，引理 0624。由于 \(B\) 是平坦 \(A\)-模， 可把 \(M_\bullet\) 看作平坦 \(P\)-模的复形 （通过 \(P \to P \otimes_A B\)，\(p \mapsto p \otimes 1\)）。 因此可用这两个复形计算 \(\text{Tor}_*^P(B, B)\)，从而显示中的映射 与 \(B\) 张量后给出拟同构。显然 \(H_n(K_\bullet \otimes_P B) = B\)。 另一方面，\(H_n(M_\bullet \otimes_P B)\) 是下列映射的核： \[B \otimes_A B \xrightarrow{g_1, \ldots, g_n} (B \otimes_A B)^{\oplus n}\] 由于 \(g_1, \ldots, g_n\) 生成 \(B \otimes_A B \to B\) 的核，引理得证。

引理

设 \(A\) 是环，\(n \geq 1\)，且 \(h, f_1, \ldots, f_n \in A[x_1, \ldots, x_n]\)。令 \(B = A[x_1, \ldots, x_n, 1/h]/(f_1, \ldots, f_n)\)， 并假设 \(B\) 在 \(A\) 上拟有限。则

1. \(B\) 在 \(A\) 上平坦，且 \(A \to B\) 是相对局部完全交；

2. \(I = \Ker(B \otimes_A B \to B)\) 的零化子 \(J\) 作为 \(B\)-模自由且秩为 \(1\)；

3. \(B\) 在 \(A\) 上的 Noether 不同理想由 \(B\) 中的 \(\det(\partial f_i/\partial x_j)\) 生成。

证明

注意 \(B = A[x, x_1, \ldots, x_n]/(xh - 1, f_1, \ldots, f_n)\) 是 \(A\) 上的相对整体完全交；见《代数》，定义 00SP。 由《代数》，引理 00SW， \(B\) 在 \(A\) 上平坦。

写成 \(P' = A[x, x_1, \ldots, x_n]\) 以及 \(P = P'/(xh - 1) = A[x_1, \ldots, x_n, 1/h]\)。于是有 \(P' \to P \to B\)。由《代数进阶》，引理 07D2， \(xh - 1, f_1, \ldots, f_n\) 是 \(P'\) 中的 Koszul 正则序列。 又因 \(xh - 1\) 是 \(P'\) 中长度为一的 Koszul 正则序列 （例如同样由该引理），故由《代数进阶》，引理 068M， \(f_1, \ldots, f_n\) 是 \(P\) 中的 Koszul 正则序列。

令 \(g_i \in P \otimes_A B\) 为 \(x_i \otimes 1 - 1 \otimes x_i\) 的像。 在 \(A[x_1, \ldots, x_n] \otimes_A A[x_1, \ldots, x_n]\) 中简记 \(y_i = x_i \otimes 1\)、\(z_i = 1 \otimes x_i\)，于是 \(g_i\) 是 \(y_i - z_i\) 的像。对多项式 \(f \in A[x_1, \ldots, x_n]\)， 在上述张量积中记 \(f(y) = f \otimes 1\) 及 \(f(z) = 1 \otimes f\)。 于是 \[P \otimes_A B/(g_1, \ldots, g_n) = \frac{A[y_1, \ldots, y_n, z_1, \ldots, z_n, \frac{1}{h(y)h(z)}]} {(f_1(z), \ldots, f_n(z), y_1 - z_1, \ldots, y_n - z_n)}\] 显然同构于 \(B\)。因此仿照上述论证， \(f_1(z), \ldots, f_n(z), y_1 - z_1, \ldots, y_n - z_n\) 是 \(A[y_1, \ldots, y_n, z_1, \ldots, z_n, \frac{1}{h(y)h(z)}]\) 中的 Koszul 正则序列。序列 \(f_1(z), \ldots, f_n(z)\) 也是 \(A[y_1, \ldots, y_n, z_1, \ldots, z_n, \frac{1}{h(y)h(z)}]\) 中的 Koszul 正则序列，因为映射 \[P \longrightarrow A[y_1, \ldots, y_n, z_1, \ldots, z_n, \textstyle{\frac{1}{h(y)h(z)}}],\quad x_i \longmapsto z_i\] 平坦，并可应用《代数进阶》，引理 062H。 再由《代数进阶》，引理 068M，得出 \(g_1, \ldots, g_n\) 是 \(P \otimes_A B\) 中的正则序列。

至此，以上述 \(P\)、\(f_1, \ldots, f_n\) 及 \(g_i \in P \otimes_A B\)，已验证引理 0BWC 的全部假设。 特别地，\(I\) 的零化子 \(J\) 在 \(B\) 上由一个元素 \(\delta\) 自由生成。 令 \(f_{ij} = \partial f_i/\partial x_j \in A[x_1, \ldots, x_n]\)。 初等计算表明，可写成 \[f_i(y) = f_i(z_1 + g_1, \ldots, z_n + g_n) = f_i(z) + \sum\nolimits_j f_{ij}(z) g_j + \sum\nolimits_{j, j'} F_{ijj'}g_jg_{j'}\] 其中 \(F_{ijj'} \in A[y_1, \ldots, y_n, z_1, \ldots, z_n]\)。 取其在 \(P \otimes_A B\) 中的像，项 \(f_i(z)\) 映到零，因而得到 \[f_i \otimes 1 = \sum\nolimits_j \left(1 \otimes f_{ij} + \sum\nolimits_{j'} F_{ijj'}g_{j'}\right)g_j\] 于是由引理 0BWC，有 \(\delta = \det(g_{ij})\)，其中 \(g_{ij} = 1 \otimes f_{ij} + \sum_{j'} F_{ijj'}g_{j'}\)。 由于 \(g_{j'}\) 在 \(B\) 中的像为零，故 \(\det(\partial f_i/\partial x_j)\) 在 \(B\) 中的像生成 \(B\) 在 \(A\) 上的 Noether 不同理想。

引理

设 \(f : Y \to X\) 是 Noetherian 概形的态射。若 \(f\) 满足引理 0BWE 的等价条件，则 \(f\) 的不同理想 \(\mathfrak{D}_f\) 等于 \(f\) 的 Kähler 不同理想。

证明

由引理 0BW6 及 0BWF，\(f\) 的不同理想在仿射局部 等于 Noether 不同理想。再应用引理 0BVZ 与 0BWD 对标准仿射块上的 Noether 不同理想和 Kähler 不同理想所作的计算，即得结论。

引理

设 \(A\) 是环，\(n \geq 1\)，且 \(h, f_1, \ldots, f_n \in A[x_1, \ldots, x_n]\)。令 \(B = A[x_1, \ldots, x_n, 1/h]/(f_1, \ldots, f_n)\)， 并假设 \(B\) 在 \(A\) 上拟有限。则存在同构 \(B \to \omega_{B/A}\)， 把 \(\det(\partial f_i/\partial x_j)\) 映到 \(\tau_{B/A}\)。

证明

令 \(J\) 为 \(\Ker(B \otimes_A B \to B)\) 的零化子。由引理 0BWD，映射 \(A \to B\) 平坦， 且 \(J\) 是自由 \(B\)-模，其生成元 \(\xi\) 在 \(B\) 中映到 \(\det(\partial f_i/\partial x_j)\)。于是结论由引理 0BVT 以及如下事实得出： \(\omega_{B/A}\) 是可逆 \(B\)-模（引理 0BWF）。 （警告：必须证明 \(\omega_{B/A}\) 可逆，因为满足 \(\Hom_B(M, B) \cong B\) 的有限 \(B\)-模 \(M\) 未必自由。）

例

设 \(A\) 是 Noetherian 环，且 \(f, h \in A[x]\) 满足 \[B = (A[x]/(f))_h = A[x, 1/h]/(f)\] 在 \(A\) 上拟有限。令 \(f' \in A[x]\) 为 \(f\) 关于 \(x\) 的导数。 理想 \(\mathfrak{D} = (f') \subset B\) 既是 \(B\) 在 \(A\) 上的 Noether 不同理想，也是 \(B\) 在 \(A\) 上的 Kähler 不同理想； 此外，它所对应的拟凝聚理想层正是 \(\Spec(B)\) 在 \(\Spec(A)\) 上的不同理想。

引理

设 \(S\) 是 Noetherian 概形，\(X\)、\(Y\) 是 \(S\) 上相对维数为 \(n\) 的光滑概形， 而 \(f : Y \to X\) 是 \(S\) 上局部拟有限的态射。则 \(f\) 平坦，且由 \(f\) 的 不同理想切出的闭子概形 \(R \subset Y\)，就是由下列截面切出的局部主闭子概形： \[\wedge^n(\text{d}f) \in \Gamma(Y, (f^*\Omega^n_{X/S})^{\otimes -1} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \Omega^n_{Y/S})\] 若 \(f\) 在 \(Y\) 的伴随点处为 étale，则 \(R\) 是有效 Cartier 除子，并且 \[f^*\Omega^n_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}(R) = \Omega^n_{Y/S}\] 是 \(Y\) 上可逆层的等式。

证明

为证明 \(f\) 平坦，只需对所有 \(s \in S\) 证明 \(Y_s \to X_s\) 平坦 （《态射进阶》，引理 039D）。 \(Y_s \to X_s\) 的平坦性由《代数》，引理 00R4 得出。由《态射进阶》，引理 069M，态射 \(f\) 是局部完全交态射。 因此关于不同理想的断言，由引理 0BWG 及 Kähler 不同理想的相应断言得出。 最后，由《态射》，引理 01UX，有正合序列 \[f^*\Omega_{X/S} \xrightarrow{\text{d}f} \Omega_{Y/S} \to \Omega_{Y/X} \to 0\] 而 \(\Omega_{X/S}\) 与 \(\Omega_{Y/S}\) 都是秩为 \(n\) 的有限局部自由模 （《态射》，引理 02G1）， 故由第零 Fitting 理想的定义，关于 Kähler 不同理想的断言是显然的。 若 \(f\) 在 \(Y\) 的伴随点处为 étale，则 \(\wedge^n\text{d}f\) 在 \(Y\) 的伴随点处不消失，因而 \(R\) 的局部方程是非零因子。 所以 \(R\) 是有效 Cartier 除子。典范同构把 \(1\) 映到 \(\wedge^n\text{d}f\)；见《除子》，引理 01X0。

Tate 映射

本节对局部 Noetherian 概形的局部拟有限 syntomic 态射，构造相对余切复形的 行列式与相对对偶化模之间的同构。依照 [Garel, 1.4.4]， 我们把这个同构称为 Tate 映射。我们的做法是尽量避免局部计算。

设 \(Y \to X\) 是概形的局部拟有限 syntomic 态射。本节将不再说明地使用 引理 0BWE 中关于这一概念的全部等价条件。 特别地，\(\NL_{Y/X}\) 是 \(D(\mathcal{O}_Y)\) 中 Tor 振幅在 \([-1, 0]\) 内的完美对象。因此在 \(Y\) 上有典范可逆模 \(\det(\NL_{Y/X})\) 以及整体截面 \[\delta(\NL_{Y/X}) \in \Gamma(Y, \det(\NL_{Y/X}))\] 见《概形的导出范畴》，引理 0FJX。设给定概形交换图 \[\xymatrix{ Y' \ar[r]_b \ar[d] & Y \ar[d] \\ X' \ar[r] & X }\] 其中竖直箭头均局部拟有限且 syntomic，并且该图把 \(Y'\) 同构到 \(X' \times_X Y\) 的一个开子概形。则典范映射 \[Lb^*\NL_{Y/X} \longrightarrow \NL_{Y'/X'}\] 由《态射进阶》，引理 0FK0 可知是拟同构。因此得到典范同构 \(b^*\det(\NL_{Y/X}) \to \det(\NL_{Y'/X'})\)，它把典范截面 \(\delta(\NL_{Y/X})\) 映到 \(\delta(\NL_{Y'/ X'})\)；见《概形的导出范畴》，注记 0FJY。

注

设 \(Y \to X\) 是概形的局部拟有限 syntomic 态射。序对 \((\det(\NL_{Y/X}), \delta(\NL_{Y/X}))\) 在局部上是什么样？选取仿射开集 \(V = \Spec(B) \subset Y\)、\(U = \Spec(A) \subset X\)，满足 \(f(V) \subset U\)；再取整数 \(n\) 以及 \(f_1, \ldots, f_n \in A[x_1, \ldots, x_n]\)，使得 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\)。则 \[\NL_{B/A} = \left( (f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2 \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} B \text{d} x_i\right)\] 且 \((f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2\) 是自由模， 其生成元为同余类 \(\overline{f}_i\)；见引理 0BWE 的证明。因此 \(\det(L_{B/A})\) 由下列生成元自由生成： \[\text{d}x_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}x_n \otimes (\overline{f}_1 \wedge \ldots \wedge \overline{f}_n)^{\otimes -1}\] 而截面 \(\delta(\NL_{B/A})\) 按定义为元素 \[\delta(\NL_{B/A}) = \det(\partial f_j/ \partial x_i) \cdot \text{d}x_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}x_n \otimes (\overline{f}_1 \wedge \ldots \wedge \overline{f}_n)^{\otimes -1}\]

设 \(Y \to X\) 是局部 Noetherian 概形的局部拟有限 syntomic 态射。 由注记 0BVG 及 0BVJ，有凝聚 \(\mathcal{O}_Y\)-模 \(\omega_{Y/X}\) 以及典范整体截面 \[\tau_{Y/X} \in \Gamma(Y, \omega_{Y/X})\] 它在仿射局部恢复序对 \(\omega_{B/A}, \tau_{B/A}\)。 由引理 0BWF，模 \(\omega_{Y/X}\) 可逆。设给定局部 Noetherian 概形交换图 \[\xymatrix{ Y' \ar[r]_b \ar[d] & Y \ar[d] \\ X' \ar[r] & X }\] 其中竖直箭头均局部拟有限且 syntomic，并且该图把 \(Y'\) 同构到 \(X' \times_X Y\) 的一个开子概形。则有典范基变换映射 \[b^*\omega_{Y/X} \longrightarrow \omega_{Y'/X'}\] 这是把 \(\tau_{Y/X}\) 映到 \(\tau_{Y'/X'}\) 的同构。事实上，仿射情形中的 基变换映射就是 (0BVB)；由引理 0BVF，它是同构；而由引理 0BT9 的 (1)，它把 \(\tau_{Y/X}\) 映到 \(\tau_{Y'/X'}\)。

命题

存在唯一的规则，它对局部 Noetherian 概形的每个局部拟有限 syntomic 态射 \(Y \to X\) 指派同构 \[c_{Y/X} : \det(\NL_{Y/X}) \longrightarrow \omega_{Y/X}\] 并满足下列两个性质：

1. 截面 \(\delta(\NL_{Y/X})\) 被映到 \(\tau_{Y/X}\)；

2. 该规则与限制到开集以及基变换相容。

证明

先重述命题。考虑范畴 \(\mathcal{C}\)：其对象记为 \(Y/X\)， 是局部 Noetherian 概形的局部拟有限 syntomic 态射 \(Y \to X\)； 其态射 \(b/a : Y'/X' \to Y/X\) 是交换图 \[\xymatrix{ Y' \ar[d] \ar[r]_b & Y \ar[d] \\ X' \ar[r]^a & X }\] 并且该图把 \(Y'\) 同构到 \(X' \times_X Y\) 的一个开子概形。 命题意味着：对 \(\mathcal{C}\) 的每个对象 \(Y/X\)，有同构 \(c_{Y/X} : \det(\NL_{Y/X}) \to \omega_{Y/X}\)，满足 \(c_{Y/X}(\delta(\NL_{Y/X})) = \tau_{Y/X}\)；而对 \(\mathcal{C}\) 的每个态射 \(b/a : Y'/X' \to Y/X\)，在上述识别 \(b^*\det(\NL_{Y/X}) = \det(\NL_{Y'/X'})\) 及 \(b^*\omega_{Y/X} = \omega_{Y'/X'}\) 下，有 \(b^*c_{Y/X} = c_{Y'/X'}\)。

给定 \(\mathcal{C}\) 中的 \(Y/X\) 及 \(y \in Y\)，可找到仿射开集 \(V \subset Y\)、\(U \subset X\)，满足 \(y \in V\) 及 \(f(V) \subset U\)， 使得存在同构 \[\det(\NL_{Y/X})|_V \longrightarrow \omega_{Y/X}|_V\] 把 \(\delta(\NL_{Y/X})|_V\) 映到 \(\tau_{Y/X}|_V\)。 这是因为可按引理 0BWE 的 (5) 选取仿射开集， 再应用注记 0FKC 中 \(\delta(\NL_{Y/X})\) 的仿射局部描述以及引理 0BWH。 若截面 \(\tau_{Y/X}\) 的零化子为零，则这些局部映射唯一，且自动可以粘合。 因此，只要 \(\tau_{Y/X}\) 的零化子为零，就存在唯一同构 \(c_{Y/X} : \det(\NL_{Y/X}) \to \omega_{Y/X}\)，满足 \(c_{Y/X}(\delta(\NL_{Y/X})) = \tau_{Y/X}\)。 若 \(b/a : Y'/X' \to Y/X\) 是 \(\mathcal{C}\) 中的态射，且 \(\tau_{Y'/X'}\) 的零化子也为零，则 \(b^*c_{Y/X}\) 是唯一同构 \(c_{Y'/X'} : \det(\NL_{Y'/X'}) \to \omega_{Y'/X'}\)，满足 \(c_{Y'/X'}(\delta(\NL_{Y'/X'})) = \tau_{Y'/X'}\)。 这由等式 \(b^*\delta(\NL_{Y/X}) = \delta(\NL_{Y'/X'})\) 及 \(b^*\tau_{Y/X} = \tau_{Y'/X'}\) 形式地得出。

上一段可概括如下。令 \(\mathcal{C}_{nice} \subset \mathcal{C}\) 表示由满足 \(\tau_{Y/X}\) 的零化子为零的 \(Y/X\) 构成的全子范畴。 这样就在 \(\mathcal{C}_{nice}\) 上解决了问题。对 \(\mathcal{C}_{nice}\) 中的 \(Y/X\)，仍以 \(c_{Y/X}\) 表示刚得到的解。

考虑 \(\mathcal{C}\) 中的态射 \[Y_1/X_1 \xleftarrow{b_1/a_1} Y/X \xrightarrow{b_2/a_2} Y_2/X_2\] 并设 \(Y_1/X_1\) 与 \(Y_2/X_2\) 是 \(\mathcal{C}_{nice}\) 的对象。 断言。\(b_1^*c_{Y_1/X_1} = b_2^*c_{Y_2/X_2}\)。 先证明该断言蕴含命题，然后再证明断言。

设 \(d, n \geq 1\)，并考虑例 0FK8 中构造的局部拟有限 syntomic 态射 \(Y_{n, d} \to X_{n, d}\)。则 \(Y_{n, d}\) 是不可约正则概形，且态射 \(Y_{n, d} \to X_{n, d}\) 局部拟有限、syntomic，并在某个稠密开集上为 étale；见引理 0FK9。 例如由引理 0BW9， \(\tau_{Y_{n, d}/X_{n, d}}\) 非零。而不可约正则概形上的可逆模之非零截面 其零化子为零。因此 \(Y_{n, d}/X_{n, d}\) 是 \(\mathcal{C}_{nice}\) 的对象。

设 \(Y/X\) 是 \(\mathcal{C}\) 的任意对象，并取 \(y \in Y\)。 由引理 0FKA，可找到 \(n, d \geq 1\) 以及 \(\mathcal{C}\) 中的态射 \[Y/X \leftarrow V/U \xrightarrow{b/a} Y_{n, d}/X_{n, d}\] 其中 \(V \subset Y\) 与 \(U \subset X\) 为开集。因此可用 \(b\) 把上面构造的 典范态射 \(c_{Y_{n, d}/X_{n, d}}\) 拉回到 \(V\)。该断言保证这些局部同构能够粘合， 从而得到良定义的整体同构 \(c_{Y/X} : \det(\NL_{Y/X}) \to \omega_{Y/X}\)， 满足 \(c_{Y/X}(\delta(\NL_{Y/X})) = \tau_{Y/X}\)。 若 \(b/a : Y'/X' \to Y/X\) 是 \(\mathcal{C}\) 中的态射，则该断言还表明， 以同样方式构造的映射 \(c_{Y'/X'}\) 是局部构造的映射 \(c_{Y/X}\) 经 \(b\) 的拉回。 故只需证明断言。

在证明的其余部分证明该断言。可取一点 \(y \in Y\)，并证明这些映射在 \(y\) 的某个开邻域中一致。因此，可用 \(y\) 在 \(Y_1\)、\(Y_2\) 中的像之开邻域 分别替换 \(Y_1\)、\(Y_2\)。于是可设 \(Y, X, Y_1, X_1, Y_2, X_2\) 都仿射， 即分别为环 \(B, A, B_1, A_1, B_2, A_2\) 的谱。图示为 \[\xymatrix{ B_1 \ar[r] & B & B_2 \ar[l] \\ A_1 \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] & A_2 \ar[l] \ar[u] }\] 由假设，\(B\) 的谱同时是 \(A \otimes_{A_1} B_1\) 的谱以及 \(A \otimes_{A_2} B_2\) 的谱中的仿射开集。进一步缩小后，可设存在元素 \(g_i \in A \otimes_{A_i} B_i\)，使给定映射诱导同构 \((A \otimes_{A_i} B_i)_{g_i} = B\)；见《性质》，引理 0H9B。取足够多的变量 \(x_\alpha\)、\(y_\beta\)，使得可以选取 \(A_1\)-代数和 \(A_2\)-代数的满射 \[A'_1 = A_1[x_\alpha] \to A \quad\text{且}\quad A'_2 = A_2[y_\beta] \to A\] 再选取 \(g_i \in A \otimes_{A_i} B_i\) 的提升 \(h_i \in A'_i \otimes_{A_i} B_i\)，并考虑图 \[\xymatrix{ (A'_1 \otimes_{A_1} B_1)_{h_1} \ar[r] & B & (A'_2 \otimes_{A_1} B_2)_{h_2} \ar[l] \\ A'_1 \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] & A'_2 \ar[l] \ar[u] }\] 由构造，两个方块均为余笛卡尔图。接着考虑环同态 \[A' = A'_1 \times_A A'_2 \longrightarrow B' = (A'_1 \otimes_{A_1} B_1)_{h_1} \times_B (A'_2 \otimes_{A_1} B_2)_{h_2}\] 由《代数进阶》，引理 07RU，有 \(A'_1 \otimes_{A'} B' = (A'_1 \otimes_{A_1} B_1)_{h_1}\) 以及 \(A'_2 \otimes_{A'} B' = (A'_2 \otimes_{A_2} B_2)_{h_2}\)。 特别地，态射 \(Y' = \Spec(B') \to \Spec(A') = X'\) 的纤维是态射 \(Y_i \to X_i\) 的纤维经基变换所得概形的开子概形，因而是有限局部完全交 （见引理 0BWE）。 由《代数进阶》，引理 08KQ， 环同态 \(A' \to B'\) 平坦且有限表现。因此由引理 0BWE 的 (3)，\(Y' \to X'\) 局部拟有限且 syntomic。 从而得到交换图 \[\xymatrix{ & & Y/X \ar[ld] \ar@/_2pc/[lldd]_{b_1/a_1} \ar[rd] \ar@/^2pc/[rrdd]^{b_2/a_2} \\ & Y'_1/X'_1 \ar[rd] \ar[ld] & & Y'_2/X'_2 \ar[ld] \ar[rd] \\ Y_1/X_1 & & Y'/X' & & Y_2/X_2 }\] 其中 \(Y'_i/X'_i\) 对应于 \(A'_i \to (A'_i \otimes_{A_i} B_i)_{h_i}\)。

本段用极限论证处理 \(A'\) 与 \(A'_i\) 可能不是 Noetherian 环的问题； 建议读者略过本段。可找到有限生成的 \(\mathbf{Z}\)-子代数 \(A'' \subset A'\) 以及拟有限 syntomic 环同态 \(A'' \to B''\)，使得 \(B' = A' \otimes_{A''} B''\)。这由《极限》，引理 01ZM、 0C3L 及 094M 得出。 于是环同态 \(A'' \to A'_1 = A_1[x_\alpha]\) 将通过某个有限多项式子代数 \(A_i[x_1, \ldots, x_n\) 分解，而环同态 \(A'' \to A'_2 = A_2[y_\beta]\) 将通过 \(A_2[y_1, \ldots, y_m]\) 分解。 扩大变量集合后，还可设 \(h_1 \in A_1[x_1, \ldots, x_n] \otimes_{A_1} B_1\) 及 \(h_2 \in A_2[y_1, \ldots, y_m] \otimes_{A_2} B_2\)。 再扩大一次变量集合，可设映射 \(B'' \to (A'_i \otimes_{A_i} B_i)_{h_i}\) 分别通过 \((A_1[x_1, \ldots, x_n] \otimes_{A_1} B_1)_{h_1}\) 与 \((A_2[y_1, \ldots, y_m] \otimes_{A_2} B_2)_{h_2}\) 分解。 分别用下列环的谱替换 \(Y'\)、\(X'\)、\(Y'_1\)、\(X'_1\)、\(Y'_2\)、\(X'_2\)： \(B''\)、\(A''\)、\((A_1[x_1, \ldots, x_n] \otimes_{A_1} B_1)_{h_1}\)、 \(A_1[x_1, \ldots, x_n]\)、\((A_2[y_1, \ldots, y_m] \otimes_{A_2} B_2)_{h_2}\)、 \(A_2[y_1, \ldots, y_m]\)。这样得到如上图，其中所有概形均为 Noetherian。

注意，\(Y'_i/X'_i\) 是 \(\mathcal{C}_{nice}\) 的对象，因为它通过在某个仿射空间与 \(Y_i/X_i\) 的乘积中取开子概形而得到。特别地，\(c_{Y_i/X_i}\) 经 \((b_i/a_i)\) 的拉回，等于 \(c_{Y'_i/X'_i}\) 经 \(Y/X \to Y'_i/X'_i\) 的拉回。若 \(Y'/X'\) 是 \(\mathcal{C}_{nice}\) 的对象，则证明已经完成（但这很可能不成立）： 沿方块两边拉回 \(c_{Y'/X'}\) 即得到所需结论。 为绕过 \(Y'/X'\) 不属于 \(\mathcal{C}_{nice}\) 的问题，注意上述论证表明， 在必要时缩小全部概形 \(X, Y, X'_1, Y'_1, X'_2, Y'_2, X', Y'\) 后， 可找到 \(n, d \geq 1\)，并把图扩充为 \[\xymatrix{ & Y/X \ar[ld] \ar[rd] \\ Y'_1/X'_1 \ar[rd] & & Y'_2/X'_2 \ar[ld] \\ & Y'/X' \ar[d] \\ & Y_{n, d}/X_{n, d} }\] 于是可从 \(c_{Y_{n, d}/X_{n, d}}\) 拉回，并应用已经给出的论证。证明完成。

不同理想的一种推广

本节推广定义 0BW4，以涵盖 Dedekind 不同理想有定义且 \(1 \in \mathcal{L}_{B/A}\) 的所有环同态 \(A \to B\)。先解释条件： “\(A \to B\) 把非零因子映到非零因子，并诱导平坦映射 \(Q(A) \to Q(A) \otimes_A B\)”。

引理

设 \(A \to B\) 是 Noetherian 环同态。考虑条件：

1. \(A\) 的非零因子映到 \(B\) 的非零因子；

2. (1) 成立，且 \(Q(A) \to Q(A) \otimes_A B\) 平坦；

3. 对每个 \(\mathfrak q \in \text{Ass}(B)\)，\(A \to B_\mathfrak q\) 平坦；

4. (3) 成立，且对位于 \(\text{Ass}(A)\) 中某元素之上的每个 \(\mathfrak q\)，\(A \to B_\mathfrak q\) 平坦。

则有蕴含关系 \[\xymatrix{ (1) & (2) \ar@{=>}[l] \ar@{=>}[d] \\ (3) \ar@{=>}[u] & (4) \ar@{=>}[l] }\] 若 \(A \to B\) 满足上升性质，则 (2) 与 (4) 等价。

证明

图中的水平蕴含是平凡的。令 \(S \subset A\) 为非零因子的集合，于是 \(Q(A) = S^{-1}A\) 且 \(Q(A) \otimes_A B = S^{-1}B\)。回忆 \(S = A \setminus \bigcup_{\mathfrak p \in \text{Ass}(A)} \mathfrak p\)； 见《代数》，引理 00LD。 设素理想 \(\mathfrak q \subset B\) 位于 \(\mathfrak p \subset A\) 之上。

假设 (2)。若 \(\mathfrak q \in \text{Ass}(B)\)，则 \(\mathfrak q\) 由零因子组成，所以 (1) 表明 \(\mathfrak p\) 也如此。因此 \(\mathfrak p\) 对应于 \(S^{-1}A\) 的一个素理想。由假设 (2)， \(A \to B_\mathfrak q\) 平坦。若 \(\mathfrak q\) 位于 \(A\) 的伴随素理想 \(\mathfrak p\) 之上，则当然 \(\mathfrak p \in \Spec(S^{-1}A)\)，同一论证适用。

假设 (3)。令 \(f \in A\) 为非零因子。若 \(f\) 是 \(B\) 上的零因子， 则 \(f\) 包含在 \(B\) 的某个伴随素理想 \(\mathfrak q\) 中。 由假设，\(A \to B_\mathfrak q\) 平坦；再由《代数》，引理 0312，得出 \(\mathfrak p\) 是 \(A\) 的伴随素理想。 这将推出 \(f\) 是 \(A\) 上的零因子，矛盾。

假设 (4)，并且 \(A \to B\) 满足上升性质。已经知道 (1) 成立。 若 \(\mathfrak q\) 对应于 \(S^{-1}B\) 的一个素理想，则 \(\mathfrak p\) 包含在 \(A\) 的某个伴随素理想 \(\mathfrak p'\) 中。由上升性质，存在包含 \(\mathfrak q\) 且位于 \(\mathfrak p\) 之上的素理想 \(\mathfrak q'\)。 由 (4)，\(A \to B_{\mathfrak q'}\) 平坦。因此作为局部化， \(A \to B_{\mathfrak q}\) 平坦。故 \(A \to S^{-1}B\) 平坦， \(S^{-1}A \to S^{-1}B\) 也平坦；见《代数》，引理 00HT。

注

可以推广定义 0BW4。设 \(f : Y \to X\) 是 Noetherian 概形的拟有限态射，具有如下性质：

1. \(f\) 平坦的开集 \(V \subset Y\) 包含 \(\text{Ass}(\mathcal{O}_Y)\) 与 \(f^{-1}(\text{Ass}(\mathcal{O}_X))\)；

2. 迹元 \(\tau_{V/X}\) 来自某个截面 \(\tau \in \Gamma(Y, \omega_{Y/X})\)。

由引理 0BVD，条件 (1) 蕴含 \(V\) 包含 \(\omega_{Y/X}\) 的伴随点。特别地，若 \(\tau\) 存在，则它唯一 （《除子》，引理 0B3L）。 给定 \(\tau\)，可把不同理想 \(\mathfrak{D}_f\) 定义为 \(\Coker(\tau : \mathcal{O}_Y \to \omega_{Y/X})\) 的零化子。 在许多情形中，这与 Dedekind 不同理想一致（引理 0BWN）。不过，对非正规环之间的非平坦映射， 这一推广不再度量态射的分歧；见例 0BWP。

引理

假设 \(A \to B\) 的 Dedekind 不同理想有定义。令 \(X = \Spec(A)\)、\(Y = \Spec(B)\)。注记 0BWM 的推广适用于态射 \(f : Y \to X\)，当且仅当 \(1 \in \mathcal{L}_{B/A}\) （例如，当 \(A\) 正规时如此；见引理 0BW1）。在此情形中， \(\mathfrak{D}_{B/A}\) 是 \(B\) 的理想，而且作为 \(Y\) 上的凝聚理想层有 \[\mathfrak{D}_f = \widetilde{\mathfrak{D}_{B/A}}\]

证明

由于 \(A \to B\) 的 Dedekind 不同理想有定义，可应用引理 0BWL，得知 \(Y \to X\) 满足注记 0BWM 的条件 (1)。回忆存在典范同构 \(c : \mathcal{L}_{B/A} \to \omega_{B/A}\)；见引理 0BW2。如上令 \(K = Q(A)\) 及 \(L = K \otimes_A B\)。由构造，映射 \(c\) 嵌入交换图 \[\xymatrix{ \mathcal{L}_{B/A} \ar[r] \ar[d]_c & L \ar[d] \\ \omega_{B/A} \ar[r] & \Hom_K(L, K) }\] 其中右侧竖直箭头把 \(x \in L\) 映到映射 \(y \mapsto \text{Trace}_{L/K}(xy)\)，下方水平箭头是 \(\omega_{B/A}\) 的基变换映射 (0BVB)。 可把下方水平映射分解为 \[\omega_{B/A} = \Gamma(Y, \omega_{Y/X}) \to \Gamma(V, \omega_{V/X}) \to \Hom_K(L, K)\] 由于 \(\omega_{V/X}\) 的所有伴随点都映到 \(A\) 的伴随素理想 （引理 0BVD），第二个映射为单射。 由迹元的定义（定义 0BT6），元素 \(\tau_{V/X}\) 在 \(\Hom_K(L, K)\) 中映到 \(\text{Trace}_{L/K}\)。 因此，注记 0BWM 条件 (2) 中的 \(\tau\) 存在，当且仅当 \(1 \in \mathcal{L}_{B/A}\)；此时 \(\tau = c(1)\)。在这种情形下，由引理 0BW1，有 \(\mathfrak{D}_{B/A} \subset B\)。最后，从定义以及上面得到的 \(\tau = c(1)\) 立即可知 \(\mathfrak{D}_f\) 与 \(\mathfrak{D}_{B/A}\) 一致。

例

设 \(k\) 是域，\(A = k[x, y]/(xy)\)、\(B = k[u, v]/(uv)\)，并令 \(A \to B\) 由 \(x \mapsto u^n\) 及 \(y \mapsto v^m\) 给出，其中 \(n, m \in \mathbf{N}\) 与 \(k\) 的特征互素。则 \(A_{x + y} \to B_{x + y}\) 是（有限）étale，故处在 Dedekind 不同理想 有定义的情形。计算表明 \[\text{Trace}_{L/K}(1) = (nx + my)/(x + y),\quad \text{Trace}_{L/K}(u^i) = 0,\quad \text{Trace}_{L/K}(v^j) = 0\] 其中 \(1 \leq i < n\) 且 \(1 \leq j < m\)。由此 \(1 \in \mathcal{L}_{B/A}\) 当且仅当 \(n = m\)。此外，计算表明，若 \(n = m\)，则 \(\mathcal{L}_{B/A} = B\)，且 Dedekind 不同理想也等于 \(B\)。换言之，注记 0BWM 中的不同理想 对 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) 有定义，当且仅当 \(n = m\)；在此情形中， 不同理想为单位理想。因此在非平坦情形中，不同理想非零并不能保证态射为 étale 或非分歧。

与对偶理论的比较

本节把上述初等代数构造与概形对偶理论一章中的构造作比较。

引理

设 \(f : Y \to X\) 是 Noetherian 概形之间的拟有限分离态射。 对每一对仿射开集 \(\Spec(B) = V \subset Y\)、 \(\Spec(A) = U \subset X\)，若 \(f(V) \subset U\)，则存在同构 \[H^0(V, f^!\mathcal{O}_X) = \omega_{B/A}\] 其中 \(f^!\) 如《概形对偶》第 0A9Y 节所述。这些同构与限制映射相容， 并给出典范同构 \(H^0(f^!\mathcal{O}_X) = \omega_{Y/X}\)， 其中 \(\omega_{Y/X}\) 如注 0BVG 所述。类似地，若 \(f : Y \to X\) 是具有对偶复形 \(\omega_S^\bullet\) 的 Noetherian 基概形 \(S\) 上有限型概形之间的拟有限态射， 则 \(H^0(f_{new}^!\mathcal{O}_X) = \omega_{Y/X}\)。

证明

由 Zariski 主定理，可选取分解 \(f = f' \circ j\)，其中 \(j : Y \to Y'\) 是开浸入，而 \(f' : Y' \to X\) 是有限态射；见 《态射进阶》，引理 05K0。 由《概形对偶》，引理 0AA0 中的构造，有 \(f^! = j^* \circ a'\)，其中 \(a' : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y'})\) 是《概形对偶》，引理 0A9E 中 \(Rf'_*\) 的右伴随。由《概形对偶》，引理 0AX2，可知在 \(D_\QCoh^+(f'_*\mathcal{O}_{Y'})\) 中 \(\Phi(a'(\mathcal{O}_X)) = R\SheafHom(f'_*\mathcal{O}_{Y'}, \mathcal{O}_X)\)。 特别地，\(a'(\mathcal{O}_X)\) 在次数 \(< 0\) 的上同调层均为零。 其第零上同调层由下列同构确定： \[f'_*H^0(a'(\mathcal{O}_X)) = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(f'_*\mathcal{O}_{Y'}, \mathcal{O}_X)\] 这里借助《态射》，引理 01SB 的等价， 把两边视为 \(f'_*\mathcal{O}_{Y'}\)-模。记 \((f')^{-1}U = V' = \Spec(B')\)，便得到 \[H^0(V', a'(\mathcal{O}_X)) = \Hom_A(B', A).\] 由于 \(a'(\mathcal{O}_X)\) 的第零上同调层是拟凝聚模， 其在 \(V\) 上的限制如所需由 \(\omega_{B/A} = \Hom_A(B', A) \otimes_{B'} B\) 给出。

关于限制映射的断言是指：经由上述同构，拟凝聚 \(\mathcal{O}_{Y'}\)-模 \(H^0(a'(\mathcal{O}_X))\) 对 \(Y'\) 中开集的限制映射， 与引理 0BT2 为模 \(\omega_{B/A}\) 定义的映射一致。这是显然的。

设 \(f : Y \to X\) 是具有对偶复形 \(\omega_S^\bullet\) 的 Noetherian 基概形 \(S\) 上有限型概形之间的拟有限态射。取开集 \(V \subset Y\) 与 \(U \subset X\)，使得 \(f(V) \subset U\)，且 \(V\)、\(U\) 均在 \(S\) 上分离。以 \(f|_V : V \to U\) 表示 \(f\) 的限制。 由上面的讨论以及《概形对偶》，引理 0AUE，存在典范同构 \[H^0(f_{new}^!\mathcal{O}_X)|_V = H^0((f|_V)^!\mathcal{O}_U) = \omega_{V/U} = \omega_{Y/X}|_V\] 我们略去验证这些同构可粘合成整体同构 \(H^0(f_{new}^!\mathcal{O}_X) \to \omega_{Y/X}\)。

引理

设 \(f : Y \to X\) 是 Noetherian 概形之间的有限平坦态射。第 0BVH 节的映射 \[\text{Trace}_f : f_*\mathcal{O}_Y \longrightarrow \mathcal{O}_X\] 对应于映射 \(\mathcal{O}_Y \to f^!\mathcal{O}_X\)（见证明）。 以 \(\tau_{Y/X} \in H^0(Y, f^!\mathcal{O}_X)\) 表示 \(1\) 的像。 经引理 0BUL 的同构 \(H^0(f^!\mathcal{O}_X) = \omega_{X/Y}\)，这与注 0BVJ 中的构造一致。

证明

函子 \(f^!\) 定义于《概形对偶》第 0A9Y 节。由于 \(f\) 有限（因而为恰当态射）， \(f^!\) 由 \(f\) 的推前函子的右伴随给出。在《概形对偶》第 0AWZ 节中，我们已具体写出这一伴随。 特别地，对象 \(f^!\mathcal{O}_X\) 仅有一个置于次数 \(0\) 的上同调层， 并且对该层有 \[f_*f^!\mathcal{O}_X = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(f_*\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_X)\] 这里还用到：由于 \(f\) 是 Noetherian 概形之间的有限平坦态射， \(f_*\mathcal{O}_Y\) 有限局部自由，故所有高次 Ext 层均为零。 略去若干细节。最终得到 \[\text{Trace}_f \in \Hom_{\mathcal{O}_X}(f_*\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_X) = \Gamma(X, f_*f^!\mathcal{O}_X) = \Gamma(Y, f^!\mathcal{O}_X)\] 另一方面，由引理 0BUL 的识别，有 \(f^!\mathcal{O}_X = \omega_{Y/X}\)。因此在 \[\Gamma(Y, f^!\mathcal{O}_X) = \Gamma(Y, \omega_{Y/X})\] 中现在有两个元素：\(\text{Trace}_f\)，以及注 0BVJ 中的 \(\tau_{Y/X}\)；本引理断言二者相同。

设 \(U = \Spec(A) \subset X\) 是仿射开集，其逆像为 \(V = \Spec(B) \subset Y\)。由于 \(f\) 有限，\(A \to B\) 有限， 故由构造有 \(\omega_{Y/X}(V) = \Hom_A(B,A)\)；这一同构与上面所述 把 \(f_*f^!\mathcal{O}_Y\) 识别为 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(f_*\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_X)\) 的识别一致。 于是 \(\text{Trace}_f\) 与 \(\tau_{Y/X}\) 的一致性，由引理 0BT8 中 \(\tau_{B/A} = \text{Trace}_{B/A}\) 这一事实得出。

拟有限 Gorenstein 态射

本节讨论拟有限 Gorenstein 态射。

引理

设 \(f : Y \to X\) 是 Noetherian 概形之间的拟有限态射。下列条件等价：

1. \(f\) 是 Gorenstein 态射；

2. \(f\) 平坦，且 \(f\) 的纤维均为 Gorenstein；

3. \(f\) 平坦，且 \(\omega_{Y/X}\) 可逆 （注 0BVG）；

4. 对每个 \(y \in Y\)，存在仿射开集 \(y \in V = \Spec(B) \subset Y\)、\(U = \Spec(A) \subset X\)， 使得 \(f(V) \subset U\)、\(A \to B\) 平坦，且 \(\omega_{B/A}\) 是可逆 \(B\)-模。

证明

由定义，(1) 与 (2) 等价。由注 0BVG 中 \(\omega_{Y/X}\) 的构造，(3) 与 (4) 等价。因此只需证明 (1)–(2) 与 (3)–(4) 等价。

第一种证明。仿射局部地工作，可假设 \(f\) 是分离态射。 应用引理 0BUL 可知， \(\omega_{Y/X}\) 是 \(f^!\mathcal{O}_X\) 的第零上同调层。 在两组条件下，\(f\) 都平坦且拟有限，故 \(f^!\mathcal{O}_X\) 同构于 \(\omega_{Y/X}[0]\)；见《概形对偶》，引理 0BV7。 于是所需等价性由《概形对偶》，引理 0C08 得出。

第二种证明。由引理 0DWK， 只需在 \(X\) 是域 \(k\) 的谱时证明 (2) 与 (3) 等价。 此时 \(Y = \Spec(B)\)，其中 \(B\) 是有限 \(k\)-代数。 在这种情形下，置于次数 \(0\) 的 \(\omega_{B/A} = \omega_{B/k} = \Hom_k(B, k)\) 是 \(B\) 的对偶复形； 见《对偶复形》，引理 0AX0。 因此所需等价性由《对偶复形》，引理 0DW9 得出。

注

设 \(f : Y \to X\) 是 Noetherian 概形之间的拟有限 Gorenstein 态射。 令 \(\mathfrak D_f \subset \mathcal{O}_Y\) 为不同理想，并令 \(R \subset Y\) 为由 \(\mathfrak D_f\) 切出的闭子概形。则有：

1. \(\mathfrak D_f\) 是局部主理想；

2. \(R\) 是局部主闭子概形；

3. 仿射局部地，\(\mathfrak D_f\) 与 Noether 不同理想相同；

4. \(R\) 的形成与基变换相容；

5. 若 \(f\) 有限，则 \(R\) 的范数是 \(f\) 的判别式；

6. 若 \(f\) 在 \(Y\) 的伴随点处为 étale，则 \(R\) 是有效 Cartier 除子，且 \(\omega_{Y/X} = \mathcal{O}_Y(R)\)。

这些结论由引理 0BW6、 0BW7 和 0BWA 得出。

注

设 \(S\) 是配备对偶复形 \(\omega_S^\bullet\) 的 Noetherian 概形。 设 \(f : Y \to X\) 是 \(S\) 上可紧化概形之间的拟有限 Gorenstein 态射。 再假设 \(Y\)、\(X\) 均为 Cohen–Macaulay，且 \(f\) 在 \(Y\) 的一般点处为 étale。结合《概形对偶》，注 0C10 与注 0C17，可知有典范同构 \[\omega_Y = f^*\omega_X \otimes_{\mathcal{O}_Y} \omega_{Y/X} = f^*\omega_X \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_Y(R)\] 这是 \(\mathcal{O}_Y\)-模的同构。若进一步 \(f\) 有限，则同构 \(\mathcal{O}_Y(R) = \omega_{Y/X}\) 来自整体截面 \(\tau_{Y/X} \in H^0(Y, \omega_{Y/X})\)；经对偶，该截面对应于映射 \(\text{Trace}_f : f_*\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\)；见引理 0BVI。