引言
本章专论代数空间中群胚的若干进阶主题。虽然各项结果均以代数空间中的 群胚来表述，读者仍应始终记住下面的 \(2\)-笛卡尔图： [04P6]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ R \ar[r] \ar[d] & U \ar[d] \\ U \ar[r] & [U/R] } } \end{equation}\] 其中 \([U/R]\) 是商叠，见《代数空间中的群胚》注 04M7。本章许多结果的动机都来自 对这张图的思考。例如可参见 Keel 和 Mori 的优美论文 [K-M]。
记号
我们继续遵循《代数空间中的群胚》第 043A 节中引入的约定和记号。
常用图表
为便于本章引用，我们简要重述《代数空间中的群胚》引理 043Z 和 0450 的结果。 设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间。 设 \((U, R, s, t, c)\) 为 \(B\) 上代数空间中的群胚。在交换图 [04P9]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ & U & \\ R \ar[d]_s \ar[ru]^t & R \times_{s, U, t} R \ar[l]^-{\text{pr}_0} \ar[d]^{\text{pr}_1} \ar[r]_-c & R \ar[d]^s \ar[lu]_t \\ U & R \ar[l]_t \ar[r]^s & U } } \end{equation}\] 中，下方两个方块都是纤维积方块。此外，上方三角形（其实是一个方块） 也是笛卡尔的。
图 [0451]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ R \times_{t, U, t} R \ar@<1ex>[r]^-{\text{pr}_1} \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_0} \ar[d]_{\text{pr}_0 \times c \circ (i, 1)} & R \ar[r]^t \ar[d]^{\text{id}_R} & U \ar[d]^{\text{id}_U} \\ R \times_{s, U, t} R \ar@<1ex>[r]^-c \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_0} \ar[d]_{\text{pr}_1} & R \ar[r]^t \ar[d]^s & U \\ R \ar@<1ex>[r]^s \ar@<-1ex>[r]_t & U } } \end{equation}\] 是交换的。上面两行通过所给竖直映射同构。左下方两个方块都是笛卡尔的。
局部结构
设 \(S\) 为概形，设 \((U, R, s, t, c, e, i)\) 为 \(S\) 上代数空间中的群胚。 设 \(\overline{u}\) 为 \(U\) 的一个几何点。本节说明我们在局部环 （《代数空间的性质》定义 04KG） \[A = \mathcal{O}_{U, \overline{u}} \quad\text{且}\quad B = \mathcal{O}_{R, e(\overline{u})}\] 上得到怎样的结构。我们约定，由态射 \(s,t,c,e,i\) 诱导的局部环同态仍以 相应字母表示。特别地，有局部环的交换图 \[\xymatrix{ A \ar[rd]_t \ar[rrd]^1 \\ & B \ar[r]^e & A \\ A \ar[ru]^s \ar[rru]_1 }\] 因此，若 \(I \subset B\) 表示 \(e : B \to A\) 的核，则 \(B = s(A) \oplus I = t(A) \oplus I\)。记 \[C = \mathcal{O}_{R \times_{s, U, t} R, (e, e)(\overline{u})}\] 于是 \[C = (B \otimes_{s, A, t} B)_{\mathfrak m_B \otimes B + B \otimes \mathfrak m_B}^h\] 因为局部化 \((B \otimes_{s, A, t} B)_{\mathfrak m_B \otimes B + B \otimes \mathfrak m_B}\) 的剩余域是可分闭的。设 \(J \subset C\) 为 \(C\) 的一个理想，它由 \(I \otimes B + B \otimes I\) 生成。于是 \(J\) 也正是局部环同态 \[(e, e) : C \longrightarrow A\] 的核。合成律 \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\) 对应于环映射 \[c : B \longrightarrow C\] 它把 \(I\) 映入 \(J\)。
引理
映射 \(I/I^2 \to J/J^2\) 由 \(c\) 诱导，它是复合 \[I/I^2 \xrightarrow{(1, 1)} I/I^2 \oplus I/I^2 \to J/J^2\] 其中第二个箭头来自等式 \(J = (I \otimes B + B \otimes I)C\)。 映射 \(i : B \to B\) 诱导映射 \(-1 : I/I^2 \to I/I^2\)。
证明
要描述从 \(C\) 到另一个亨泽尔局部环的局部同态，只须说明形如 \(b_1 \otimes b_2\) 的元素被映到哪里；例如可用《代数》引理 04GS。记住这一点，我们有两个典范映射 \[e_2 : C \to B,\ b_1 \otimes b_2 \mapsto b_1s(e(b_2)),\quad e_1 : C \to B,\ b_1 \otimes b_2 \mapsto t(e(b_1))b_2\] 它们对应于嵌入 \(R \to R \times_{s, U, t} R\)，分别由 \(r \mapsto (r, e(s(r)))\) 和 \(r \mapsto (e(t(r)), r)\) 给出。 这些映射定义了映射 \(J/J^2 \to I/I^2\)；二者合在一起给出引理中映射 \(I/I^2 \oplus I/I^2 \to J/J^2\) 的逆。因此，要证明该陈述，只须说明
\(e_1 \circ c : B \to B\) 和 \(e_2 \circ c : B \to B\) 都是恒等映射。 这来自如下事实：两个复合 \(R \to R \times_{s, U, t} R \to R\) 都是恒等映射。
关于 \(i\) 的陈述来自关于 \(c\) 的陈述以及等式 \(c \circ (1, i) = e \circ t\)。略去若干细节。
截面群胚
假设给定一个群胚 \((\text{Ob}, \text{Arrows}, s, t, c, e, i)\)。我们可以构造一个幺半群 \(\Gamma\)；它的元素是映射 \(\delta : \text{Ob} \to \text{Arrows}\)，满足 \(s \circ \delta = \text{id}_{\text{Ob}}\)，其合成定义为 \[\delta_1 \circ \delta_2 = c(\delta_1 \circ t \circ \delta_2, \delta_2)\] 换言之，\(\Gamma\) 的元素是一条规则 \(\delta\)，它从每个对象出发指定一个箭头， 而合成就是自然的做法。例如，用显然的记号有 \[\vcenter{ \xymatrix{ & \bullet \ar[dl] \\ \bullet \ar@(ul, dl)[] & \bullet \ar[d] \\ & \bullet \ar[lu] } } \quad\circ\quad \vcenter{ \xymatrix{ & \bullet \ar[d] \\ \bullet \ar[ru] & \bullet \ar[d] \\ & \bullet \ar[lu] } } \quad = \quad\quad \vcenter{ \xymatrix{ & \bullet \ar@/^/[dd] \\ \bullet \ar@(ul, dl)[] & \bullet \ar[l] \\ & \bullet \ar[lu] } }\]
同样的过程可用于代数空间中的群胚 \((U, R, s, t, c, e, i)\)； 这里群胚取在概形 \(S\) 上。具体地，令 \(\Gamma\) 的元素组成集合 \[\Gamma = \{\delta : U \to R \mid s \circ \delta = \text{id}_U\}\] 而合成 \(\circ : \Gamma \times \Gamma \to \Gamma\) 由上面的规则给出： [0CKC]\[\begin{equation} \delta_1 \circ \delta_2 = c(\delta_1 \circ t \circ \delta_2, \delta_2). \end{equation}\] 单位元由 \(e \in \Gamma\) 给出。
群胚 \(\Gamma\) 一般并不是群，因为可能存在没有逆元的元素 \(\delta \in \Gamma\)。显然，\(\delta \in \Gamma\) 有逆元当且仅当 \(t \circ \delta\) 是 \(U\) 的自同构；在这种情形下， \(\delta^{-1} = i \circ \delta \circ (t \circ \delta)^{-1}\)。
为后文使用，我们讨论子群胚 \(\Gamma_0\)；它是 \(\Gamma\) 中由与单位元 \(e\) 无穷小接近的截面构成。更确切地，假设给定一个 \(R\)-不变闭子空间 \(U_0 \subset U\)，并且 \(U\) 是 \(U_0\) 的一阶加厚。记 \(R_0 = s^{-1}(U_0) = t^{-1}(U_0)\)，并令 \((U_0, R_0, s_0, t_0, c_0, e_0, i_0)\) 为相应的代数空间中的群胚。置 \[\Gamma_0 = \{\delta \in \Gamma \mid \delta|_{U_0} = e_0\}\] 若 \(s\) 和 \(t\) 平坦，则 \(\Gamma_0\) 的每个元素都可逆。事实上， \(t \circ \delta\) 是态射 \(U \to U\)，并且在 \(\mathcal{O}_{U_0}\) 以及 \(\mathcal{C}_{U_0/U}\) 上都诱导恒等映射 （引理 0CKD）；再利用短正合列 \(0 \to \mathcal{C}_{U_0/U} \to \mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_{U_0} \to 0\) 即可得到结论。
引理
在本节所讨论的情形下，设 \(\delta \in \Gamma_0\)，并令 \(f = t \circ \delta : U \to U\)。若 \(s,t\) 平坦，则典范映射 \(\mathcal{C}_{U_0/U} \to \mathcal{C}_{U_0/U}\)（它由 \(f\) 诱导；见 《代数空间态射进阶》引理 04CP）是恒等映射。
证明
为说明这一点，把图 (0451) 的下部延拓如下： \[\xymatrix{ Y \ar[r] \ar[d] & R \times_{s, U, t} R \ar@<1ex>[r]^-c \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_0} \ar[d]_{\text{pr}_1} & R \ar[r]^t \ar[d]^s & U \\ U \ar[r]_\delta & R \ar@<1ex>[r]^s \ar@<-1ex>[r]_t & U }\] 其中左方块是笛卡尔的，这也就是我们对 \(Y\) 的定义；我们不需要知道 \(Y\) 的更多性质。把各处基变换到 \(U_0\)，得到具有同样性质的类似图。 我们要证明 \(\text{id}_U = s \circ \delta\) 和 \(f = t \circ \delta\) 在余法层上诱导相同映射。由于 \(s\) 平坦且满， 只须对沿顶行的两个复合 \(a,b : Y \to R\) 证明同样的事情。 注意 \(a_0=b_0\)，并且 \(a\)、\(b\) 中有一个是同构，因为已知 \(s \circ \delta\) 是同构。因此，两个态射 \(a,b : Y \to R\) 都是 \(U\) 上平坦代数空间之间的态射（分别通过态射 \(t : R \to U\) 和态射 \(t \circ a = t \circ b : Y \to U\)）。 这蕴含所需结论。事实上，由《代数空间态射进阶》引理 04G2 中与合成的相容性可知，两个映射 \(a_0^*\mathcal{C}_{R_0/R} \to \mathcal{C}_{Y_0/Y}\) 都嵌入交换图 \[\xymatrix{ a_0^*\mathcal{C}_{R_0/R} \ar[rr] & & \mathcal{C}_{Y_0/Y} \\ a_0^*t_0^*\mathcal{C}_{U_0/U} \ar[u] \ar@{=}[rr] & & (t_0 \circ a_0)^*\mathcal{C}_{U_0/U} \ar[u] }\] 中；由《代数空间态射进阶》引理 06BH，其中竖直箭头都是同构。 因此引理成立。
下面辨认群 \(\Gamma_0\)。把《代数空间态射进阶》注 0CK6 和 0CK7 中的讨论应用于图 \[\xymatrix{ (U_0 \subset U) \ar@{..>}[rr]_{(e_0, \delta)} \ar[rd]_{(\text{id}_{U_0}, \text{id}_U)} & & (R_0 \subset R) \ar[ld]^{(s_0, s)} \\ & (U_0 \subset U) }\] 可见 \(\delta = \theta \cdot e\)；这里相对于 \(\mathcal{O}_{U_0}\)， \(\theta : e_0^*\Omega_{R_0/U_0} \to \mathcal{C}_{U_0/U}\) 是唯一的线性映射。 于是，应用《代数空间态射进阶》引理 061C，我们得到双射 [0CKE]\[\begin{equation} \Hom_{\mathcal{O}_{U_0}}(e_0^*\Omega_{R_0/U_0}, \mathcal{C}_{U_0/U}) \longrightarrow \Gamma_0. \end{equation}\]
引理
双射 (0CKE) 是群同构。
证明
设 \(\delta_1, \delta_2 \in \Gamma_0\) 分别对应于如上的 \(\theta_1,\theta_2\)，并设合成 \(\delta = \delta_1 \circ \delta_2\) 在 \(\Gamma_0\) 中对应于 \(\theta\)。我们要证明 \(\theta = \theta_1 + \theta_2\)。回忆《代数空间态射进阶》引理 04D0： \(\theta_1,\theta_2,\theta\) 分别对应于导子 \(D_1,D_2,D : e_0^{-1}\mathcal{O}_{R_0} \to \mathcal{C}_{U_0/U}\)， 其中 \(D_1 = \theta_1 \circ \text{d}_{R_0/U_0}\)，其余依此类推。 只须检验 \(D=D_1+D_2\)。
这一等式可在茎上检验。设 \(\overline{u}\) 为 \(U\) 的一个几何点，并使用 第 0CK9 节中引入的局部环 \(A,B,C\)。 态射 \(\delta_i\) 对应于环映射 \(\delta_i:B\to A\)。设 \(K\subset A\) 为 平方为零的理想，且 \(A/K=\mathcal{O}_{U_0,\overline{u}}\)。换言之， \(K\) 是 \(\mathcal{C}_{U_0/U}\) 在 \(\overline{u}\) 处的茎。 \(\delta_i\in\Gamma_0\) 这一事实恰好意味着 \(\delta_i(I)\subset K\)。 导子 \(D_i\) 就是映射 \(\delta_i-e:B\to A\)。由于 \(B=s(A)\oplus I\)，可见 \(D_i\) 由它在 \(I\) 上的限制决定，而这个限制正是 \(\delta_i|_I\)。此外，\(D_i\) 乃至 \(\delta_i\) 都消去 \(I^2\)，因为
\(I = \Ker(I)\)。
为完成证明，注意 \(\delta\) 对应于复合 \[B \to C = (B \otimes_{s, A, t} B)^h_{\mathfrak m_B \otimes B + B \otimes \mathfrak m_B} \to A\] 其中第一个箭头是 \(c\)，而由 (0CKC)，第二个箭头由规则 \(b_1 \otimes b_2 \mapsto \delta_2(t(\delta_1(b_1))) \delta_2(b_2)\) 决定。由引理 0CKA，元素 \(\zeta\) 属于 \(I\)，并被映到 \(\zeta\otimes 1+1\otimes\zeta\) 加上高阶项。因此 \[D(\zeta) = (\delta_2 \circ t)\left(D_1(\zeta)\right) + D_2(\zeta)\] 然而，由引理 0CKD， \(\delta_2\circ t\) 在 \(K=\mathcal{C}_{U_0/U,\overline{u}}\) 上的作用是恒等， 结论即得。
群胚的性质
本节是《群胚进阶》第 02YD 节的类似版本。 强烈建议读者先阅读该节。
下面的引理是《群胚进阶》引理 03JC 的类似版本。
引理
设 \(B \to S\) 如第 04P7 节中所述。 设 \((U, R, s, t, c)\) 为 \(B\) 上代数空间中的群胚。设 \(\tau \in \{fppf, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic\}\)。 设 \(\mathcal{P}\) 为代数空间态射的一个性质，并且它在目标上对 \(\tau\) 是局部的（《代数空间的下降》定义 03YH）。 假设 \(\{s : R \to U\}\) 和 \(\{t : R \to U\}\) 是 \(\tau\)-拓扑的覆盖。设 \(W\subset U\) 为最大的开子空间，使得 \(s^{-1}(W)\to W\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。那么 \(W\) 是 \(R\)-不变的 （《代数空间中的群胚》定义 044F）。
证明
开子空间 \(W\subset U\) 的存在性及其性质见《代数空间的下降》引理 06R2。 在图 (04P9) 中，令 \(W_1\subset R\) 为最大的开子概形， 使得其上的态射 \(\text{pr}_1:R\times_{s,U,t}R\to R\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。
由上述《代数空间的下降》引理 06R2 以及 \(\{s:R\to U\}\) 和 \(\{t:R\to U\}\) 是 \(\tau\)-拓扑覆盖这一假设，得到 \(t^{-1}(W)=W_1=s^{-1}(W)\)，正是所需结论。
引理
设 \(B\to S\) 如第 04P7 节中所述。 设 \((U,R,s,t,c)\) 为 \(B\) 上代数空间中的群胚。 设 \(G\to U\) 为它的稳定子群代数空间。设 \(\tau \in \{fppf, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic\}\)。 设 \(\mathcal{P}\) 为代数空间态射的一个性质，并且它在目标上对 \(\tau\) 是局部的。假设 \(\{s:R\to U\}\) 和 \(\{t:R\to U\}\) 是 \(\tau\)-拓扑的覆盖。设 \(W\subset U\) 为最大的开子空间，使得 \(G_W\to W\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。那么 \(W\) 是 \(R\)-不变的（见 《代数空间中的群胚》定义 044F）。
证明
开子空间 \(W\subset U\) 的存在性及其性质见《代数空间的下降》引理 06R2。态射 \[G \times_{U, t} R \longrightarrow R \times_{s, U} G, \quad (g, r) \longmapsto (r, r^{-1} \circ g \circ r)\] 是 \(R\) 上代数空间的同构（其中 \(\circ\) 表示群胚中的合成）。因此， 有 \(s^{-1}(W)=t^{-1}(W)\)；这是由上述《代数空间的下降》引理 06R2 中证明的 \(W\) 的性质得到的。
比较纤维
本节是《群胚进阶》第 04LJ 节的类似版本。 强烈建议读者先阅读该节。
引理
设 \(B\to S\) 如第 04P7 节中所述。 设 \((U,R,s,t,c)\) 为 \(B\) 上代数空间中的群胚。设 \(K\) 为域，并设 \(r,r':\Spec(K)\to R\) 为满足 \(t\circ r=t\circ r':\Spec(K)\to U\) 的态射。 置 \(u=s\circ r\)、\(u'=s\circ r'\)，并以 \(F_u=\Spec(K)\times_{u,U,s}R\) 和 \(F_{u'}=\Spec(K)\times_{u',U,s}R\) 表示相应纤维积。 那么 \(F_u\cong F_{u'}\)；这是 \(K\) 上代数空间的同构。
证明
我们使用图 (04P9) 的存在性和性质。 存在态射 \(\xi:\Spec(K)\to R\times_{s,U,t}R\)，使得 \(\text{pr}_0\circ\xi=r\) 且 \(c\circ\xi=r'\)。 令 \(\tilde r=\text{pr}_1\circ\xi:\Spec(K)\to R\)。 考察图 (04P9) 下方的两个方块，可见 \(F_u\) 和 \(F_{u'}\) 都与代数空间 \(\Spec(K)\times_{\tilde r,R,\text{pr}_1}(R\times_{s,U,t}R)\) 等同。
实际上，在引理的情形下，成对态射 \(s:(R,r)\to(U,u)\) 和 \(s:(R,r')\to(U,u')\) 在 \(\tau\)-拓扑中局部同构，只要 \(\{s:R\to U\}\) 是一个 \(\tau\)-覆盖。
如果有需要，我们会在这里加入一个精确陈述。
限制群胚
本节汇集一批关于群胚性质的引理；这些性质会遗传给限制。 其中大多数引理都可通过考察限制的定义图 [04RN]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ R' \ar[d] \ar[r] \ar@/_3pc/[dd]_{t'} \ar@/^1pc/[rr]^{s'}& R \times_{s, U} U' \ar[r] \ar[d] & U' \ar[d]^g \\ U' \times_{U, t} R \ar[d] \ar[r] & R \ar[r]^s \ar[d]_t & U \\ U' \ar[r]^g & U } } \end{equation}\] 得到。见《代数空间中的群胚》引理 044B。
引理
设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间。 设 \((U,R,s,t,c)\) 为 \(B\) 上代数空间中的群胚。 设 \(g:U'\to U\) 为 \(B\) 上代数空间的态射。 设 \((U',R',s',t',c')\) 为 \((U,R,s,t,c)\) 经 \(g\) 的限制。
若 \(s,t\) 局部有限型且 \(g\) 局部有限型，则 \(s',t'\) 局部有限型。
若 \(s,t\) 局部有限表示且 \(g\) 局部有限表示，则 \(s',t'\) 局部有限表示。
若 \(s,t\) 平坦且 \(g\) 平坦，则 \(s',t'\) 平坦。
在这里补充更多内容。
证明
局部有限型这一性质在合成和任意基变换下稳定，见《代数空间的态射》引理 03XG 和 03XH。 因此，由图 (04RN) 可知 (1) 是显然的。 其他情形见《代数空间的态射》引理 03XQ、 03XR、 03MN 和 03MO。
域上的群与域上的群胚的性质
建议读者先考察群胚概形的相应各节，见《群胚》第 047J 节和 《群胚进阶》第 04LL 节。
情形
这里 \(S\) 是概形，\(k\) 是 \(S\) 上的域，而 \((G, m)\) 是 \(\Spec(k)\) 上的群代数空间。
情形
这里 \(S\) 是概形，\(B\) 是代数空间，而 \((U, R, s, t, c)\) 是 \(B\) 上代数空间中的群胚，其中 \(U = \Spec(k)\)，这里 \(k\) 是某个域。
注意，在情形 06DX 中，我们得到代数空间中的群胚 [06DZ]\[\begin{equation} (\Spec(k), G, p, p, m) \end{equation}\] 其中 \(p : G \to \Spec(k)\) 是 \(G\) 的结构态射，见 《空间中的群胚》引理 0444。 这是情形 06DY 中的情形。 本节下文将不再说明地使用这一点。
引理
在情形 06DY 中，合成态射 \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\) 是平坦且普遍开的。 在情形 06DX 中，群律 \(m : G \times_k G \to G\) 是平坦且普遍开的。
证明
由图 (0451)，合成同构于投影映射 \(\text{pr}_1 : R \times_{t, U, t} R \to R\)。 该投影作为平坦态射 \(t\) 的基变换是平坦的；由《代数空间的态射》引理 06DN，它也是开的。 第二个断言立即由第一个断言得到，因为在 (06DZ) 中 \(m\) 与 \(c\) 相符。
注意，以下引理特别适用于拟分离或局部分离的代数空间 （《良态空间》引理 088J）。
引理
在情形 06DY 中，假设 \(R\) 是良态空间。 那么 \(R\) 是分离代数空间。在情形 06DX 中， 假设 \(G\) 是良态代数空间。那么 \(G\) 是分离代数空间。
证明
我们先证明第二个断言。由《空间中的群胚》引理 06P6， 我们必须证明 \(e : S \to G\) 是闭浸入。
这由《良态空间》引理 08AL 得到。
接着证明第一个断言。为此，可以把 \(B\) 替换为 \(S\)。 由上段，稳定子群概形 \(G \to U\) 是分离的。
由《空间中的群胚》引理 0455，态射 \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\) 是分离的。 由于 \(U\) 是域的谱，概形 \(U \times_S U\) 是仿射的 （由《概形》第 01JO 节中纤维积的构造）。 因此 \(R\) 是分离的，见《代数空间的态射》引理 04ZH。
引理
在情形 06DY 中。
设 \(k'/k\) 为域扩张，\(U' = \Spec(k')\)，并设 \((U', R', s', t', c')\) 是 \((U, R, s, t, c)\) 经 \(U' \to U\) 的限制。 在定义图 \[\xymatrix{ R' \ar[d] \ar[r] \ar@/_3pc/[dd]_{t'} \ar@/^1pc/[rr]^{s'} \ar@{..>}[rd] & R \times_{s, U} U' \ar[r] \ar[d] & U' \ar[d] \\ U' \times_{U, t} R \ar[d] \ar[r] & R \ar[r]^s \ar[d]_t & U \\ U' \ar[r] & U }\] 中，所有态射都是满、平坦且普遍开的。此外，虚线箭头 \(R' \to R\) 是仿射的。
证明
态射 \(U' \to U\) 等于 \(\Spec(k') \to \Spec(k)\)， 因而是仿射、满且平坦的。由《态射》引理 0383， 态射 \(s, t : R \to U\) 和态射 \(U' \to U\) 是普遍开的。
由于 \(R\) 非空且 \(U\) 是域的谱，态射 \(s, t : R \to U\) 是满且平坦的。 然后使用《代数空间的态射》引理 03MH、 03MG、 03Z4、 03WI、 03WH、 03MO 和 03MN 即可得出结论。
引理
在情形 06DY 中。
对任意点 \(r \in |R|\)，存在
域扩张 \(k'/k\)，其中 \(k'\) 代数闭；
点 \(r' : \Spec(k') \to R'\)，其中 \((U', R', s', t', c')\) 是 \((U, R, s, t, c)\) 经 \(\Spec(k') \to \Spec(k)\) 的限制，
使得
点 \(r'\) 映到 \(r\)，所用态射为 \(R' \to R\)；且
映射 \(s' \circ r', t' \circ r' : \Spec(k') \to \Spec(k')\) 是自同构。
证明
把 \(r\) 表示为态射 \(r : \Spec(K) \to R\)，其中 \(K\) 是某个域。 为证明该引理，必须找到一个代数闭域 \(k'\) 和交换图 \[\xymatrix{ k' & k' \ar[l]^1 & \\ k' \ar[u]^\tau & K \ar[lu]^\sigma & k \ar[l]^-s \ar[lu]_i \\ & k \ar[lu]^i \ar[u]_t }\] 其中 \(s, t : k \to K\) 是来自 \(s \circ r\) 和 \(t \circ r\) 的域映射。 《群胚进阶》引理 04LR 的证明说明了 如何构造这样的图。
引理
在情形 06DY 中。
若 \(r : \Spec(k) \to R\) 是使得 \(s \circ r, t \circ r\) 为 \(\Spec(k)\) 的自同构的态射，则映射 \[R \longrightarrow R, \quad x \longmapsto c(r, x)\] 是自同构 \(R \to R\)，它把 \(e\) 映到 \(r\)。
证明
证明与《群胚进阶》引理 04LS 的证明相同。
引理
证明
设 \(r \in |R|\)。我们必须证明 \(R\) 在 \(r\) 处几何单支。 结合引理 06E1 与 《代数空间上的下降》引理 06DQ，可见只需证明如下情形： \(k\) 是代数闭域，并且 \(r\) 来自态射 \(r : \Spec(k) \to R\)，使得 \(s \circ r\) 和 \(t \circ r\) 都是 \(\Spec(k)\) 的自同构。 由引理 06E3，可将问题约化到 \(r = e\) 是 \(R\) 的单位元且 \(k\) 代数闭的情形。
假设 \(r = e\) 且 \(k\) 代数闭。令 \(A = \mathcal{O}_{R, e}\) 为 \(R\) 在 \(e\) 处的 étale 局部环，并令 \(C = \mathcal{O}_{R \times_{s, U, t} R, (e, e)}\) 为 \(R \times_{s, U, t} R\) 在 \((e, e)\) 处的 étale 局部环。 由《代数进阶》引理 06DU， 极小素理想 \(\mathfrak q\)（在 \(C\) 中）与极小素理想对 \(1\) 对 \(1\) 地对应于 \(\mathfrak p, \mathfrak p' \subset A\)。 另一方面，合成律诱导平坦环同态 \[\xymatrix{ A \ar[r]_{c^\sharp} & C & \mathfrak q \\ & A \otimes_{s^\sharp, k, t^\sharp} A \ar[u] & \mathfrak p \otimes A + A \otimes \mathfrak p' \ar@{|}[u] }\] 注意，\((c^\sharp)^{-1}(\mathfrak q)\) 同时包含 \(\mathfrak p\) 和 \(\mathfrak p'\)，因为由 ( 04P9) 可知图 \[\xymatrix{ A \ar[r]_{c^\sharp} & C \\ A \otimes_{s^\sharp, k} k \ar[u] & A \otimes_{s^\sharp, k, t^\sharp} A \ar[l]_{1 \otimes e^\sharp} \ar[u] } \quad\quad \xymatrix{ A \ar[r]_{c^\sharp} & C \\ k \otimes_{k, t^\sharp} A \ar[u] & A \otimes_{s^\sharp, k, t^\sharp} A \ar[l]_{e^\sharp \otimes 1} \ar[u] }\] 交换。 由于 \(c^\sharp\) 平坦（因为由引理 06E0，\(c\) 是平坦态射）， 可见 \((c^\sharp)^{-1}(\mathfrak q)\) 是 \(A\) 的极小素理想。 因此 \(\mathfrak p = (c^\sharp)^{-1}(\mathfrak q) = \mathfrak p'\)。
以下引理采用《代数空间的性质》第 04N3 节中定义的代数空间（在一点处）的维数。 我们还采用《代数空间的性质》第 04N7 节中定义的局部环维数， 以及点的超越次数，见《代数空间的态射》第 04NH 节。
引理
在情形 06DY 中，假设 \(s, t\) 局部有限型。 对所有 \(r \in |R|\)，有
\(\dim(R) = \dim_r(R)\)；
\(r\) 相对于 \(\Spec(k)\) 的超越次数（经 \(s\)），等于 \(r\) 相对于 \(\Spec(k)\) 的超越次数（经 \(t\)）；且
若 (2) 中所述的超越次数为 \(0\)，则 \(\dim(R) = \dim(\mathcal{O}_{R, \overline{r}})\)。
证明
设 \(r \in |R|\)。以 \(\text{trdeg}(r/_{\!\! s}k)\) 表示 \(r\) 相对于 \(\Spec(k)\) 的超越次数（经 \(s\)）。 选取 étale 态射 \(\varphi : V \to R\)，其中 \(V\) 是概形， \(v \in V\) 映到 \(r\)。使用引理上方提到的定义，可见 \[\dim_r(R) = \dim_v(V) = \dim(\mathcal{O}_{V, v}) + \text{trdeg}_{s(k)}(\kappa(v)) = \dim(\mathcal{O}_{R, \overline{r}}) + \text{trdeg}(r/_{\!\! s}k)\] 对 \(t\) 也同样如此（第二个等号由《态射》引理 02FX 得到）。 因此可见 \(\text{trdeg}(r/_{\!\! s}k) = \text{trdeg}(r/_{\!\! t}k)\)， 即 (2) 成立。
设 \(k'/k\) 为域扩张。注意，限制 \(R'\)，即 \(R\) 经 \(\Spec(k')\) 的限制（见引理 06E1）由 \(R\) 经两个域态射的基变换得到。 因此，《代数空间的态射》引理 04NS 说明这一操作不改变 \(R\) 在一点处的维数。 于是，为证明 (1)，由引理 06E2，可以假设 \(r\) 由态射 \(r : \Spec(k) \to R\) 表示，并且 \(s \circ r\) 和 \(t \circ r\) 都是 \(\Spec(k)\) 的自同构。 在此情形下，存在自同构 \(R \to R\)，它把 \(r\) 映到 \(e\) （引理 06E3）。 因此有 \(\dim_r(R) = \dim_e(R)\)，对任意 \(r\) 都成立。 按照定义，这意味着 \(\dim_r(R) = \dim(R)\)。
(3) 是上面所得结果的形式推论。
引理
在情形 06DX 中，假设 \(G\) 局部有限型。
对所有 \(g \in |G|\)，有
\(\dim(G) = \dim_g(G)\)；
若 \(g\) 相对于 \(k\) 的超越次数为 \(0\)，则 \(\dim(G) = \dim(\mathcal{O}_{G, \overline{g}})\)。
证明
引理
在情形 06DY 中，假设 \(s, t\) 局部有限型。 令 \[G = \Spec(k) \times_{\Delta, \Spec(k) \times_B \Spec(k), t \times s} R\] 为稳定子群代数空间。那么 \(\dim(R) = \dim(G)\)。
证明
由于 \(G\) 和 \(R\) 都等维（见引理 06FD 和 06FE）， 只需证明 \(\dim_e(R) = \dim_e(G)\)。 设 \(V\) 为仿射概形，\(v \in V\)，并设 \(\varphi : V \to R\) 为概形的 étale 态射，使得 \(\varphi(v) = e\)。 注意，\(V\) 是 Noether 概形，因为 \(s \circ \varphi\) 作为局部有限型态射的合成 是局部有限型的，并且 \(V\) 拟紧（使用《代数空间的态射》引理 03XG、 0468 和 0464，以及 《态射》引理 01T6）。 因此 \(V\) 局部连通（见《性质》引理 01OZ 和 《拓扑学》引理 04MF）。 于是可以把 \(V\) 替换为包含 \(v\) 的连通分支（它仍是仿射的， 因为它是 \(V\) 的既开又闭子概形）。令 \(T = V_{red}\) 为 \(V\) 的约化。 考察两个态射 \(a, b : T \to \Spec(k)\)，其中 \(a = s \circ \varphi|_T\)，\(b = t \circ \varphi|_T\)。 注意，\(a, b\) 诱导同一个域映射 \(k \to \kappa(v)\)，因为 \(\varphi(v) = e\)！令 \(k_a \subset \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\) 为 \(a^\sharp(k) \subset \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\) 的整闭包。 类似地，令 \(k_b \subset \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\) 为 \(b^\sharp(k) \subset \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\) 的整闭包。 由《代数簇》命题 04MK，可见 \(k_a = k_b\)。 因而得到交换图 \[\xymatrix{ k \ar[rd]^a \ar[rrrd] \\ & k_a = k_b \ar[r] & \Gamma(T, \mathcal{O}_T) \ar[r] & \kappa(v) \\ k \ar[ru]_b \ar[rrru] }\] 如上所述，两条长箭头相同。 由于 \(k_a = k_b \to \kappa(v)\) 是单射，遂有两个态射 \(a\) 和 \(b\) 相同。 因此 \(T \to R\) 分解经过 \(G\)。于是有 \(R_{red} = G_{red}\) （在 \(e\) 的一个开邻域中），这当然蕴含 \(\dim_e(R) = \dim_e(G)\)。
域上的群代数空间
域上存在非分离的群代数空间，即特征零域上的 \(\mathbf{G}_a/\mathbf{Z}\)，见《例》第 06E9 节。 事实上，域上的任意群概形都是分离的 （引理 08BH）， 所以域上的每个非分离群代数空间都不可表。 另一方面，域上的群代数空间一旦是良态的便是分离的，见引理 08BH。 本节将证明，域上的分离群代数空间是可表的，也就是说，它是概形。
引理
设 \(k\) 为域，其代数闭包为 \(\overline{k}\)。 设 \(G\) 为 \(k\) 上的分离群代数空间1。 那么 \(G_{\overline{k}}\) 是概形。
证明
由《域上的空间》引理 0B84， 只需证明 \(G_K\) 是概形，其中 \(K/k\) 是某个域扩张。 以 \(G_K' \subset G_K\) 表示 \(G_K\) 的概形轨迹，见《代数空间的性质》引理 03JH。 由《代数空间的性质》命题 06NH， 可见 \(G_K' \subset G_K\) 是稠密开集，特别地，它非空。 选取概形 \(U\) 和满 étale 态射 \(U \to G\)。 由《代数簇》引理 0479， 若 \(K\) 是超越次数充分大的代数闭域，则 \(U_K\) 是 Jacobson 概形， 且 \(U_K\) 的每个闭点都是 \(K\)-有理点。 因此 \(G_K'\) 有一个 \(K\)-有理点，并且只需证明每个 \(K\)-有理点 （属于 \(G_K\)）都属于 \(G_K'\)。 若 \(g \in G_K(K)\) 是 \(K\)-有理点，而 \(g' \in G_K'(K)\) 是概形轨迹中的 \(K\)-有理点，则可见 \(g\) 属于 \(G_K'\) 在自同构 \[G_K \longrightarrow G_K,\quad h \longmapsto g(g')^{-1}h\] 下的像；这里该映射是 \(G_K\) 的自同构。由于 \(G_K\) 作为代数空间的自同构保持 \(G_K'\)， 遂有 \(g \in G_K'\)，如所需。
引理
设 \(k\) 为域，\(G\) 为 \(k\) 上的群代数空间。 若 \(G\) 在 \(k\) 上分离且局部有限型，则 \(G\) 是概形。
证明
命题
设 \(k\) 为域，\(G\) 为 \(k\) 上的群代数空间。 若 \(G\) 分离，则 \(G\) 是概形。
证明
本引理推广了引理 0B8F （它涵盖了实践中所关心的全部情形）。
该证明与《域上的空间》引理 0B88 的证明非常相似；后者用在引理 0B8F 的证明中。 我们建议读者先阅读那个证明。
由引理 0B8E，基变换 \(G_{\overline{k}}\) 是概形。 设 \(K/k\) 为超越次数非常大的纯超越扩张。 由《域上的空间》引理 0B85， 只需证明 \(G_K\) 是概形。 令 \(K^{perf}\) 为 \(K\) 的完美闭包。由《域上的空间》引理 0B83， 只需证明 \(G_{K^{perf}}\) 是概形。 令 \(K \subset K^{perf} \subset \overline{K}\) 为 \(K\) 的代数闭包。
可以选取嵌入 \(\overline{k} \to \overline{K}\)（在 \(k\) 上），使得 \(G_{\overline{K}}\) 是概形 \(G_{\overline{k}}\) 经 \(\overline{k} \to \overline{K}\) 的基变换。 由《代数簇》引理 0479， 可见 \(G_{\overline{K}}\) 是 Jacobson 概形，且它的每个闭点的剩余域都是 \(\overline{K}\)。
由于 \(G_{\overline{K}} \to G_{K^{perf}}\) 是满的，只需证明 像点 \(g \in |G_{K^{perf}}|\)（它来自 \(G_{\overline{K}}\) 的任意闭点） 属于 \(G_K\) 的概形轨迹。
特别地，可以把 \(g\) 表示为态射 \(g : \Spec(L) \to G_{K^{perf}}\)， 其中 \(L/K^{perf}\) 是可分代数扩张（例如可以取 \(L = \overline{K}\)）。 于是概形 \[\begin{align*} T & = \Spec(L) \times_{G_{K^{perf}}} G_{\overline{K}} \\ & = \Spec(L) \times_{\Spec(K^{perf})} \Spec(\overline{K}) \\ & = \Spec(L \otimes_{K^{perf}} \overline{K}) \end{align*}\] 是某个 \(\overline{K}\)-代数的谱；该代数是有限个 \(\overline{K}\) 的副本之积所成代数的滤过余极限。 因此，由《群胚》引理 0B7U， 可以找到仿射开集 \(W \subset G_{\overline{K}}\)，它包含 \(g_{\overline{K}} : T \to G_{\overline{K}}\) 的像。
选取拟紧开集 \(V \subset G_{K^{perf}}\)，使其包含 \(W\) 的像。 由《域上的空间》引理 0B84， 可见 \(V_{K'}\) 是概形，其中 \(K'/K^{perf}\) 是某个有限扩张。 扩大 \(K'\) 后，可以假设存在仿射开集 \(U' \subset V_{K'} \subset G_{K'}\)，其到 \(\overline{K}\) 的基变换恢复 \(W\) （使用 \(V_{\overline{K}}\) 是概形 \(V_{K''}\) 的极限，其中 \(K' \subset K'' \subset \overline{K}\) 是有限扩张，并使用《极限》引理 01Z4 和 01Z6）。可以假设 \(K'/K^{perf}\) 是 Galois 扩张 （取正规闭包《域》引理 09DT，并使用 \(K^{perf}\) 是完美的这一事实）。
置 \(H = \text{Gal}(K'/K^{perf})\)。 按照构造，\(H\)-不变闭子概形 \(\Spec(L) \times_{G_{K^{perf}}} G_{K'}\) 包含在 \(U'\) 中。 由《域上的空间》引理 0B86 和 0B87，结论得证。
群上不存在有理曲线
本节证明，从 \(\mathbf{P}^1\) 到域上局部有限型群代数空间的态射 不存在非常值的。
引理
设 \(S\) 为概形，\(B\) 为 \(S\) 上的代数空间。 设 \(f : X \to Y\) 和 \(g : X \to Z\) 为 \(B\) 上代数空间的态射。假设
\(Y \to B\) 分离；
\(g\) 满、平坦且局部有限表示；
存在概形论稠密开集 \(V \subset Z\)，使得 \(f|_{g^{-1}(V)} : g^{-1}(V) \to Y\) 分解经过 \(V\)。
那么 \(f\) 分解经过 \(g\)。
证明
置 \(R = X \times_Z X\)。由 (2)，可见作为层有 \(Z = X/R\)。 此外，(2) 蕴含 \(V\) 在 \(R\) 中的逆像在 \(R\) 中概形论稠密 （《代数空间的态射》引理 089D）。 可见两个合成 \(R \to X \to Y\) 相等，这是由《代数空间的态射》引理 084N 得到的。
引理得证。
引理
设 \(k\) 为域，\(n \geq 1\)，并设 \((\mathbf{P}^1_k)^n\) 为 \(n\) 重自乘积（在 \(\Spec(k)\) 上）。设 \(f : (\mathbf{P}^1_k)^n \to Z\) 为 \(k\) 上代数空间的态射。 若 \(Z\) 在 \(k\) 上分离且有限型，则 \(f\) 分解为 \[(\mathbf{P}^1_k)^n \xrightarrow{projection} (\mathbf{P}^1_k)^m \xrightarrow{finite} Z.\]
证明
可以假设 \(k\) 代数闭（略去细节）；这样做只是为了可以使用有理点来论证， 但读者若愿意，也可以绕开这一点。证明中的乘积都在 \(k\) 上取。 \((\mathbf{P}^1_k)^n\) 的自同构群代数空间包含 \(G = (\text{GL}_{2, k})^n\)。若 \(C \subset (\mathbf{P}^1_k)^n\) 是映到一点的闭子簇（特别地，它在 \(k\) 上不可约），则可将 《代数空间的态射进阶》引理 0AEJ 应用于态射 \[G \times C \to G \times Z,\quad (g, c) \mapsto (g, f(g \cdot c))\] （在 \(G\) 上）。因此，\(g(C)\) 映到一点，只要 \(g \in G(k)\) 位于某个 Zariski 开集 \(U \subset G\) 中。假设 \(x = (x_1, \ldots, x_n)\)、\(y = (y_1, \ldots, y_n)\) 是 \(k\)-值点，且属于 \((\mathbf{P}^1_k)^n\)。令 \(I \subset \{1, \ldots, n\}\) 为指标 \(i\) 之集，其中 \(x_i = y_i\)。 那么 \[\{g(x) \mid g(y) = y,\ g \in U(k)\}\] 在投影的纤维中 Zariski 稠密，其中该投影为 \(\pi_I : (\mathbf{P}^1_k)^n \to \prod_{i \in I} \mathbf{P}^1_k\) （练习）。因此，若不同的 \(x, y \in C(k)\)，则可得 \(f\) 把 \(\pi_I\) 的、包含 \(x, y\) 的整个纤维映到同一点。 此外，\(U(k)\) 作用下 \(C\) 的轨道与 \(\pi_I\) 的某个 Zariski 开集中的纤维相交。 由引理 0AEL，态射 \(f\) 分解经过 \(\pi_I\)。 有限次重复这一过程后，便达到 \(f\) 在 \(k\)-点上方的全部纤维都是有限集的阶段。 此时，\(f\) 是有限态射，这是由《代数空间的态射进阶》引理 0A4Y 以及 \(k\)-点在 \(Z\) 中稠密这一事实（《域上的空间》引理 07W4）得到的。
引理
设 \(k\) 为域，\(G\) 为 \(k\) 上分离且局部有限型的群代数空间。 不存在非常值态射 \(f : \mathbf{P}^1_k \to G\)（在 \(\Spec(k)\) 上）。
证明
假设 \(f\) 非常值。考察态射 \[\mathbf{P}^1_k \times_{\Spec(k)} \ldots \times_{\Spec(k)} \mathbf{P}^1_k \longrightarrow G, \quad (t_1, \ldots, t_n) \longmapsto f(g_1) \ldots f(g_n)\]
其中右端使用群中的乘法。由引理 0AEM 及 \(f\) 非常值这一假设，此态射在其像上是有限的。 因此 \(\dim(G) \geq n\) 对所有 \(n\) 都成立；这不可能，因为由引理 06FE， \(G\) 在 \(k\) 上局部有限型。
态射的有限部分
设 \(S\) 为概形。 设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的态射。 对代数空间或概形 \(T\)（在 \(S\) 上），考察偶对 \((a, Z)\)，其中 [04PC]\[\begin{equation} \begin{matrix} a : T \to Y\text{ 是态射（相对于 }S, \\ Z \subset T \times_Y X\text{ 是开子空间} \\ \text{并且 }\text{pr}_0|_Z : Z \to T\text{ 是有限态射。} \end{matrix} \end{equation}\] 假设 \(h : T' \to T\) 为 \(S\) 上代数空间的态射， 而 \((a, Z)\) 是 \(T\) 上满足 ( 04PC) 的偶对。置 \(a' = a \circ h\) 和 \(Z' = (h \times \text{id}_X)^{-1}(Z) = T' \times_T Z\)。 那么 \((a', Z')\) 是 \(T'\) 上满足 ( 04PC) 的偶对。 这是因为有限态射在基变换下保持，见《代数空间的态射》引理 03ZS。 由此得到函子 [04PD]\[\begin{equation} \begin{matrix} (X/Y)_{fin} : & (\Sch/S)^{opp} & \longrightarrow & \textit{Sets} \\ & T & \longmapsto & \{(a, Z)\text{ 如上}\} \end{matrix} \end{equation}\] 在应用中，我们主要关心函子 \((X/Y)_{fin}\) 在 \(f\) 分离且局部有限型 时的情形。为了理解这里的主题，可以先看注 04PJ。
引理
设 \(S\) 为概形。 设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的态射。那么
预层 \((X/Y)_{fin}\) 对 fppf 拓扑满足层条件。
若 \(T\) 为 \(S\) 上的代数空间，则存在典范双射 \[\Mor_{\Sh((\Sch/S)_{fppf})}(T, (X/Y)_{fin}) = \{(a, Z)\text{ 满足 \href{spaces-more-groupoids.html#spaces-more-groupoids-equation-finite-conditions}{04PC}}\}\]
证明
设 \(T\) 为 \(S\) 上的代数空间。 设 \(\{T_i \to T\}\) 为 fppf 覆盖（由代数空间组成）。 设 \(s_i = (a_i, Z_i)\) 为 \(T_i\) 上满足 04PC 的偶对，并且 \(s_i|_{T_i \times_T T_j} = s_j|_{T_i \times_T T_j}\)。 首先，这特别蕴含 \(a_i\) 和 \(a_j\) 定义同一个态射 \(T_i \times_T T_j \to Y\)。由《代数空间上的下降》引理 04P2， 可得存在唯一态射 \(a : T \to Y\)，使得 \(a_i\) 等于合成 \(T_i \to T \to Y\)。 其次，这蕴含 \(Z_i \subset T_i \times_Y X\) 是开子空间，并且它们在 \((T_i \times_T T_j) \times_Y X\) 中的逆像相等。 由于 \(\{T_i \times_Y X \to T \times_Y X\}\) 是 fppf 覆盖， 可得存在唯一开子空间 \(Z \subset T \times_Y X\)，其限制回 \(Z_i\)（在 \(T_i\) 上），见《代数空间上的下降》引理 04P1。 我们断言投影 \(Z \to T\) 是有限态射。 这是因为有限性对 fpqc 拓扑是局部的，见《代数空间上的下降》引理 0426。
注意，上一段的结果特别蕴含 (1)。
设 \(T\) 为 \(S\) 上的代数空间。为证明 (2)，我们将在所显示的集合之间 构造互逆映射。下文所谓“偶对”均指满足条件 04PC 的偶对。
设 \(v : T \to (X/Y)_{fin}\) 为自然变换。 选取概形 \(U\) 和满 étale 态射 \(p : U \to T\)。 那么 \(v(p) \in (X/Y)_{fin}(U)\) 对应于偶对 \((a_U, Z_U)\)（在 \(U\) 上）。 令 \(R = U \times_T U\)，投影为 \(t, s : R \to U\)。 由于 \(v\) 是函子的变换，可见 \((a_U, Z_U)\) 经 \(s\) 和 \(t\) 的拉回相同。 因此，因为 \(\{U \to T\}\) 是 fppf 覆盖，可以应用第一段的结果， 从而推出存在唯一偶对 \((a, Z)\)（在 \(T\) 上）。
反之，设 \((a, Z)\) 为 \(T\) 上的偶对。 令 \(U \to T\)、\(R = U \times_T U\) 和 \(t, s : R \to U\) 如上。 那么限制 \((a, Z)|_U\) 由 Yoneda 引理给出函子变换 \(v : h_U \to (X/Y)_{fin}\) （《范畴》引理 001P）。 由于两个拉回 \(s^*(a, Z)|_U\) 和 \(t^*(a, Z)|_U\) 相等， 可见 \(v\) 使两个映射 \(h_t, h_s : h_R \to h_U\) 余等化。 由《代数空间》引理 0262， \(T = U/R\) 是 fppf 商层；又由 (1)，\((X/Y)_{fin}\) 是 fppf 层， 故 \(v\) 分解经过映射 \(T \to (X/Y)_{fin}\)。
略去验证上述两个构造互逆的过程。
引理
设 \(S\) 为概形。考察交换图 \[\xymatrix{ X' \ar[rr]_j \ar[rd] & & X \ar[ld] \\ & Y }\] ，其中所有代数空间都在 \(S\) 上。若 \(j\) 是开浸入，则存在层的典范单射 \(j : (X'/Y)_{fin} \to (X/Y)_{fin}\)。
证明
若 \((a, Z)\) 是 \(T\) 上的偶对（对于 \(X'/Y\)），则 \((a, j(Z))\) 是 \(T\) 上的偶对（对于 \(X/Y\)）。
引理
设 \(S\) 为概形。 设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上局部有限型的代数空间态射。 设 \(X' \subset X\) 为使 \(f\) 局部拟有限的最大开子空间，见 《代数空间的态射》引理 04NW。 那么 \((X/Y)_{fin} = (X'/Y)_{fin}\)。
证明
引理 04PF 给出单射 \((X'/Y)_{fin} \to (X/Y)_{fin}\)。 《代数空间的态射》引理 04NW 保证 \(X'\) 的形成与基变换交换。 因此，一切归结为证明：若 \(Z \subset X\) 是开子空间，并且 \(f|_Z : Z \to Y\) 是有限态射，则 \(Z \subset X'\)。 这成立是因为有限态射局部拟有限，见《代数空间的态射》引理 04NY。
引理
设 \(S\) 为概形。 设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的态射。 设 \(T\) 为 \(S\) 上的代数空间，并设 \((a, Z)\) 为 04PC 中的偶对。 若 \(f\) 分离，则 \(Z\) 在 \(T \times_Y X\) 中闭。
证明
由《代数空间的态射》引理 04NZ， 代数空间的有限态射是普遍闭的。 由于 \(f\) 分离，态射 \(T \times_Y X \to T\) 也分离，见 《代数空间的态射》引理 03KL。 因此，\(Z\) 的闭性由《代数空间的态射》引理 04NX 得到。
注
设 \(f : X \to Y\) 为代数空间的分离态射。 层 \((X/Y)_{fin}\) 带有自然映射 \((X/Y)_{fin} \to Y\)：它把 偶对 \((a, Z) \in (X/Y)_{fin}(T)\) 映到元素 \(a \in Y(T)\)。 可以使用引理 04PH 定义运算 \[\star_i : (X/Y)_{fin} \times_Y (X/Y)_{fin} \longrightarrow (X/Y)_{fin}\] ，规则为 \[\begin{align*} \star_1 : ((a, Z_1), (a, Z_2)) & \longmapsto (a, Z_1 \cup Z_2) \\ \star_2 : ((a, Z_1), (a, Z_2)) & \longmapsto (a, Z_1 \cap Z_2) \\ \star_3 : ((a, Z_1), (a, Z_2)) & \longmapsto (a, Z_1 \setminus Z_2) \\ \star_4 : ((a, Z_1), (a, Z_2)) & \longmapsto (a, Z_2 \setminus Z_1). \end{align*}\] 这可行的原因是 \(Z_1 \cap Z_2\) 在 \(Z_1\) 和 \(Z_2\) 中都既开又闭 （这也蕴含 \(Z_1 \cup Z_2\) 是另外三部分的不交并）。 因此，可以把 \((X/Y)_{fin}\) 看成无幺 \(\mathbf{F}_2\)-代数（在 \(Y\) 上）， 其乘法由 \(ss' = \star_2(s, s')\) 给出，而加法由 \[s + s' = \star_1(\star_3(s, s'), \star_4(s, s'))\] 给出；这无非是取对称差。 注意，在这个代数层中 \(0 = (1_Y, \emptyset)\)，并且 \(s + s = 0\) 对任意局部截面 \(s\) 都成立。 若 \(f : X \to Y\) 有限，则该代数有单位元，即 \(1 = (1_Y, X)\)，并且 \(\star_3(s, s') = s(1 + s')\)， \(\star_4(s, s') = (1 + s)s'\)。
注
设 \(f : X \to Y\) 为概形的分离、局部拟有限态射。 在此情形下，层 \((X/Y)_{fin}\) 与层 \(f_!\mathbf{F}_2\) 密切相关 （在 \(Y_\etale\) 上；在这里插入未来的参考文献）。
具体地，若 \(V \to Y\) 是 étale 的，且 \(s \in \Gamma(V, f_!\mathbf{F}_2)\)，则 \(s \in \Gamma(V \times_Y X, \mathbf{F}_2)\) 是一个截面， 其支集 \(Z = \text{Supp}(s)\) 在 \(V\) 上真。 由于 \(f\) 还局部拟有限，可见投影 \(Z \to V\) 实际上是有限态射。 由于常值阿贝尔层的截面的支集是开的，可见偶对 \((V \to Y, \text{Supp}(s))\) 满足 04PC。 事实上，在此情形下有 \(f_!\mathbf{F}_2 \cong (X/Y)_{fin}|_{Y_\etale}\)； 这也解释了注 04PI 中引入的 \(\mathbf{F}_2\)-代数结构。
引理
设 \(S\) 为概形。 设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的态射。 \((X/Y)_{fin} \to Y\) 的对角态射 \[(X/Y)_{fin} \longrightarrow (X/Y)_{fin} \times_Y (X/Y)_{fin}\] 可表（由概形），且为开浸入；而“绝对”对角态射 \[(X/Y)_{fin} \longrightarrow (X/Y)_{fin} \times (X/Y)_{fin}\] 可表（由概形）。
证明
第二个断言由第一个断言得到，因为绝对对角态射是相对对角态射与 \(Y\) 的对角态射（可由概形表）的一个基变换之合成，见《代数空间》第 025U 节。 为证明第一个断言，必须证明如下事实：给定概形 \(T\)，以及 具有相同第一分量的两个偶对 \((a, Z_1)\) 和 \((a, Z_2)\)（在 \(T\) 上）， 它们满足 04PC，则存在开子概形 \(V \subset T\)，具有如下性质：对任意概形态射 \(h : T' \to T\)，有 \[h(T') \subset V \Leftrightarrow \Big(T' \times_T Z_1 = T' \times_T Z_2 \text{，视为以下空间的子空间：}T' \times_Y X\Big)\] 现在构造 \(V\)。注意，\(Z_1 \cap Z_2\) 在 \(Z_1\) 中开，也在 \(Z_2\) 中开。 由于 \(\text{pr}_0|_{Z_i} : Z_i \to T\) 有限，故为真态射（见 《代数空间的态射》引理 04NZ）， 可见 \[E = \text{pr}_0|_{Z_1}\left(Z_1 \setminus Z_1 \cap Z_2)\right) \cup \text{pr}_0|_{Z_2}\left(Z_2 \setminus Z_1 \cap Z_2)\right)\]
在 \(T\) 中闭。现在显然 \(V = T \setminus E\) 满足要求。
引理
设 \(S\) 为概形。 设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的态射。 假设 \(U\) 是概形，\(U \to Y\) 是 étale 态射，并且 \(Z \subset U \times_Y X\) 是在 \(U\) 上有限的开子空间。 那么诱导态射 \(U \to (X/Y)_{fin}\) 是 étale 的。
证明
这可由引理 04PK 中对角态射的描述形式地得到， 但由于这是理论发展中的重要一步，我们把它写出来。 必须验证：对任意概形 \(T\)（在 \(S\) 上）和态射 \(T \to (X/Y)_{fin}\)，投影映射 \[T \times_{(X/Y)_{fin}} U \longrightarrow T\] 是 étale 的。注意 \[T \times_{(X/Y)_{fin}} U = (X/Y)_{fin} \times_{((X/Y)_{fin} \times_Y (X/Y)_{fin})} (T \times_Y U)\] 应用引理 04PK 的结果，可见 \(T \times_{(X/Y)_{fin}} U\) 由 \(T \times_Y U\) 的一个开子概形表示。 由于投影 \(T \times_Y U \to T\) 由《代数空间的态射》引理 0466 是 étale 的，结论得证。
引理
设 \(S\) 为概形。设 \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y }\] 为 \(S\) 上代数空间的纤维积方块。那么 \[\xymatrix{ (X'/Y')_{fin} \ar[d] \ar[r] & (X/Y)_{fin} \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y }\] 是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上层的纤维积方块。
证明
由定义立即可知，层 \((X'/Y')_{fin}\) 等于层 \(Y' \times_Y (X/Y)_{fin}\)。
引理
设 \(S\) 为概形。 设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上代数空间的态射。 若 \(f\) 分离且局部拟有限，则存在概形 \(U\)（在 \(Y\) 上 étale）， 以及满 étale 态射 \(U \to (X/Y)_{fin}\)（在 \(Y\) 上）。
证明
由引理 04PK 关于 \((X/Y)_{fin}\) 的对角态射的结果， 这个断言是有意义的，见《代数空间》引理 025W。 设 \(V\) 为概形，并设 \(V \to Y\) 为满 étale 态射。 由引理 04QF，态射 \((V \times_Y X/V)_{fin} \to (X/Y)_{fin}\) 是映射 \(V \to Y\) 的基变换， 因而满且 étale，见《代数空间》引理 02WL。 因此，只需对 \((V \times_Y X/V)_{fin}\) 证明该引理。 （这里隐式使用如下事实：函子的可表、满且 étale 的变换之合成 仍然可表、满且 étale；见《代数空间》引理 02WA 和 02WK，以及 《态射》引理 01S0 和 02GN。） 注意，分离和局部拟有限这两个性质在基变换下保持，见 《代数空间的态射》引理 03KL 和 03XL。 因此，\(V \times_Y X \to V\) 也分离且局部拟有限，并且由 《代数空间的态射》命题 03XX， 可见 \(V \times_Y X\) 也是概形。 于是可以假设 \(f : X \to Y\) 是概形的分离、局部拟有限态射。
选取点 \(y \in Y\)。选取点 \(x_1, \ldots, x_n \in X\)；它们位于 \(y\) 上方。选取 étale 邻域 \(a : (U, u) \to (Y, y)\) 和分解 \[U \times_S X = W \amalg \ \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \ \coprod\nolimits_{j = 1, \ldots, m_j} V_{i, j}\] ，如《态射进阶》引理 02LO 中所述。
任取子集 \[I \subset \{(i, j) \mid 1 \leq i \leq n, \ 1 \leq j \leq m_i\}.\] 给定这些选择，得到偶对 \((a, Z)\)，其中 \(Z = \bigcup_{(i, j) \in I} V_{i, j}\)， 它满足条件 04PC。换言之，我们得到态射 \(U \to (X/Y)_{fin}\)。此态射的构造依赖于上面选取的全部数据， 所以实际上应当写成 \[U(y, n, x_1, \ldots, x_n, a, I) \longrightarrow (X/Y)_{fin}\] 由引理 04QE，此态射是 étale 的。
断言：所有这些态射的不交并满射到 \((X/Y)_{fin}\)。 显然，若断言成立，则引理成立。
为证明满性，必须证明如下事实（见《代数空间》注 02YN）：给定概形 \(T\)，并设它在 \(S\) 上；再给定点 \(t \in T\) 以及映射 \(T \to (X/Y)_{fin}\)，可以找到如上的数据 \((y, n, x_1, \ldots, x_n, a, I)\)，使得 \(t\) 属于投影映射 \[U(y, n, x_1, \ldots, x_n, a, I) \times_{(X/Y)_{fin}} T \longrightarrow T.\] 的像。为证明这一点，显然可以把 \(T\) 替换为 \(\Spec(\overline{\kappa(t)})\)，并把 \(T \to (X/Y)_{fin}\) 替换为合成 \(\Spec(\overline{\kappa(t)}) \to T \to (X/Y)_{fin}\)。 换言之，可以假设 \(T\) 是代数闭域的谱。
设 \(T = \Spec(k)\) 为代数闭域 \(k\) 的谱。 态射 \(T \to (X/Y)_{fin}\) 由满足条件 04PC 的偶对 \((T \to Y, Z)\) 给出。 图示如下： \[\xymatrix{ & Z \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(k) \ar@{=}[r] & T \ar[r] & Y }\] 设 \(y \in Y\) 为 \(T \to Y\) 的像点。 由于 \(Z\) 在 \(k\) 上有限，它只有有限多个点。 因此存在有限多个点 \(x_1, \ldots, x_n \in X\)，使得 \(Z\) 在 \(X\) 中的像 包含在 \(\{x_1, \ldots, x_n\}\) 中。 如上选取 \(a : (U, u) \to (Y, y)\)，使其适合于 \(y\) 和 \(x_1, \ldots, x_n\)，得到图 \[\xymatrix{ W \amalg \ \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \ \coprod\nolimits_{j = 1, \ldots, m_j} V_{i, j} \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ U \ar[r] & Y. }\] 由于 \(k\) 代数闭且 \(\kappa(y) \subset \kappa(u)\) 是有限可分扩张， 可以使态射 \(T = \Spec(k) \to Y\) 分解经过态射 \(u = \Spec(\kappa(u)) \to \Spec(\kappa(y)) = y \subset Y\)。 在这一选择下得到交换图 \[\xymatrix{ Z \ar[d] \ar[r] & W \amalg \ \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \ \coprod\nolimits_{j = 1, \ldots, m_j} V_{i, j} \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(k) \ar[r] & U \ar[r] & Y }\] 已知左上箭头的像落在 \(\coprod V_{i, j}\) 中。 还要回忆，\(Z\) 是 \(\Spec(k) \times_Y X\) 的开子概形； 这是由 \((X/Y)_{fin}\) 的定义给出的，并且右侧方块是纤维积方块。 因此可见 \[Z \subset \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, n}\ \coprod\nolimits_{j = 1, \ldots, m_j} \Spec(k) \times_U V_{i, j}\] 是开子概形。按照构造（见《态射进阶》引理 02LO）， 每个 \(V_{i, j}\) 都有唯一一个点 \(v_{i, j}\)，该点位于 \(u\) 上方， 其剩余域扩张 \(\kappa(v_{i, j})/\kappa(u)\) 是纯不可分的。 因此，每个概形 \(\Spec(k) \times_U V_{i, j}\) 恰有一个点。 所以可见 \[Z = \coprod\nolimits_{(i, j) \in I} \Spec(k) \times_U V_{i, j}\] ，其中唯一确定的子集为 \(I \subset \{(i, j) \mid 1 \leq i \leq n, \ 1 \leq j \leq m_i\}\)。 展开定义可知 \[U(y, n, x_1, \ldots, x_n, a, I) \times_{(X/Y)_{fin}} T\] 对上面找到的 \(I\) 非空，如所需。
命题
设 \(S\) 为概形。 设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上分离且局部有限型的代数空间态射。 那么 \((X/Y)_{fin}\) 是代数空间。此外，态射 \((X/Y)_{fin} \to Y\) 是 étale 的。
证明
由引理 04PG， 可以把 \(X\) 替换为在 \(Y\) 上局部拟有限的开子概形。
因此，可以假设 \(f\) 分离且局部拟有限。 我们将验证《代数空间》定义 025Y 的三个条件。 条件 (1) 由引理 04PE 得到。 条件 (2) 由引理 04PK 得到。 最后，条件 (3) 由引理 04QG 得到。 所以 \((X/Y)_{fin}\) 是代数空间。 此外，该引理说明存在交换图 \[\xymatrix{ U \ar[rr] \ar[rd] & & (X/Y)_{fin} \ar[ld] \\ & Y }\] ，其中水平箭头满且 étale，而东南箭头 étale。 由《代数空间的性质》引理 03FS，这蕴含西南箭头也 étale。
注
命题 04QH 中 \(f\) 分离的条件不能删去。 一个例子是取 \(X\) 为原点加倍的仿射直线，见《概形》例 01JD；取 \(Y = \mathbf{A}^1_k\) 为仿射直线，并取 \(X \to Y\) 为显然的映射。 回忆在 \(0 \in Y\) 上方有两个点 \(0_1\) 和 \(0_2\) 位于 \(X\) 中。 因此 \((X/Y)_{fin}\) 在 \(0\) 上方有四个点，即 \(\emptyset, \{0_1\}, \{0_2\}, \{0_1, 0_2\}\)。 在这四个点中，只有三个能提升为 \(U \times_Y X\) 的开子概形， 该开子概形在 \(U\) 上有限，其中 \(U \to Y\) 是 étale 的；这三个点是 \(\emptyset, \{0_1\}, \{0_2\}\)。 这说明，若 \((X/Y)_{fin}\) 可由代数空间表示，则它在 \(Y\) 上并非 étale。 类似论证说明 \((X/Y)_{fin}\) 确实不是代数空间。略去细节。
注
设 \(Y = \mathbf{A}^1_{\mathbf{R}}\) 为实数域上的仿射直线， 并设 \(X = \Spec(\mathbf{C})\) 映到 \(\mathbf{R}\)-有理点 \(0\)； 该点位于 \(Y\) 中。在此情形下，态射 \(f : X \to Y\) 是有限的， 但 \((X/Y)_{fin}\) 不是概形。事实上，可以证明此时的代数空间 \((X/Y)_{fin}\) 同构于《代数空间》例 03FN 中与扩张 \(\mathbf{R} \subset \mathbf{C}\) 相联系的代数空间。 因此，为表示层 \((X/Y)_{fin}\)，确实有必要离开概形范畴； 即便 \(f\) 是有限态射，情况也是如此。
引理
设 \(S\) 为概形。 设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上分离、平坦且局部有限表示的代数空间态射。 在此情形下：
\((X/Y)_{fin} \to Y\) 是分离的、可表的且 étale 的；
若 \(Y\) 是概形，则 \((X/Y)_{fin}\)（可由）概形（表示）。
证明
特别地，\(f\) 分离且局部有限型（见《代数空间的态射》引理 0464）， 所以由命题 04QH， \((X/Y)_{fin}\) 是代数空间。 为了证明 \((X/Y)_{fin} \to Y\) 分离，必须证明如下事实： 给定概形 \(T\) 以及两个偶对 \((a, Z_1)\) 和 \((a, Z_2)\)； 它们在 \(T\) 上、首分量相同，并满足 04PC。 存在闭子概形 \(V \subset T\)，具有如下性质：对任意概形态射 \(h : T' \to T\)，有 \[h \text{ 分解经过 } V \Leftrightarrow \Big(T' \times_T Z_1 = T' \times_T Z_2 \text{，作为子空间位于 }T' \times_Y X\Big)\] 在引理 04PK 的证明中，已经看到 \(V = T' \setminus E\) 是 \(T'\) 的开子概形，其闭补为
\[E = \text{pr}_0|_{Z_1}\left(Z_1 \setminus Z_1 \cap Z_2)\right) \cup \text{pr}_0|_{Z_2}\left(Z_2 \setminus Z_1 \cap Z_2)\right).\] 所以一切都归结为证明 \(E\) 也是开的。由引理 04PH 可见，\(Z_1\) 和 \(Z_2\) 在 \(T' \times_Y X\) 中闭。因此 \(Z_1 \setminus Z_1 \cap Z_2\) 在 \(Z_1\) 中开。
由于 \(f\) 平坦且局部有限表示，\(\text{pr}_0|_{Z_1}\) 也如此。 这是因为 \(Z_1\) 是基变换 \(T' \times_Y X\) 的开子空间，并且可应用 《代数空间的态射》引理 03XR 和引理 03MO。 因此 \(\text{pr}_0|_{Z_1}\) 是开映射，见《代数空间的态射》引理 042S。 于是 \(\text{pr}_0|_{Z_1}\left(Z_1 \setminus Z_1 \cap Z_2)\right)\) 是开的， 从而 \(E\) 如所需是开的。
由命题 04QH，已经知道 \((X/Y)_{fin} \to Y\) 是 étale 的。 因此现在知道它局部拟有限（见《代数空间的态射》引理 03XU）且分离， 从而由《代数空间的态射》引理 0418 可表。最后一个断言是清楚的（也可以使用《代数空间的态射》命题 03XX）。
变体：设 \(S\) 为概形。 设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上的代数空间态射。 设 \(\sigma : Y \to X\) 为 \(f\) 的截面。 对于代数空间或概形 \(T\)，设其在 \(S\) 上，并考虑偶对 \((a, Z)\)，其中 [04RQ]\[\begin{equation} \begin{matrix} a : T \to Y\text{ 是相对于下列基底的态射：}S, \\ Z \subset T \times_Y X\text{ 是开子空间}, \\ \text{使得 }\text{pr}_0|_Z : Z \to T\text{ 是有限的，并且} \\ (1_T, \sigma \circ a) : T \to T \times_Y X\text{ 分解经过 }Z. \end{matrix} \end{equation}\] 用 \((X/Y, \sigma)_{fin}\) 表示 \((X/Y)_{fin}\) 中参数化这些偶对的子函子。
引理
设 \(S\) 为概形。 设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上的代数空间态射。 设 \(\sigma : Y \to X\) 为 \(f\) 的截面。考虑上面定义的函子变换 \[t : (X/Y, \sigma)_{fin} \longrightarrow (X/Y)_{fin}.\] 则：
\(t\) 可由开浸入表示；
若 \(f\) 分离，则 \(t\) 可由既开又闭的浸入表示；
若 \((X/Y)_{fin}\) 是代数空间，则 \((X/Y, \sigma)_{fin}\) 是代数空间， 并且是 \((X/Y)_{fin}\) 的开子空间；
若 \((X/Y)_{fin}\) 是概形，则 \((X/Y, \sigma)_{fin}\) 是其开子概形。
证明
略。提示：给定偶对 \((a, Z)\)；它在 \(T\) 上，并且如式 (04PC) 所示。\(Z\) 在 \((1_T, \sigma \circ a) : T \to T \times_Y X\) 下的逆像 就是所求的 \(T\) 的开子概形。
箭头的有限集合
设 \(\mathcal{C}\) 为群胚，见《范畴》定义 0018。 如《群胚》第 0230 节所述， 这对应于七元组 \((\text{Ob}, \text{Arrows}, s, t, c, e, i)\)。
利用这些数据，可以如下构造另一个群胚 \(\mathcal{C}_{fin}\)：
\(\mathcal{C}_{fin}\) 的一个对象由有限子集 \(Z \subset \text{Arrows}\) 构成，并满足如下性质：
\(s(Z) = \{u\}\) 是单点集；
\(e(u) \in Z\)。
\(\mathcal{C}_{fin}\) 的一个态射由偶对 \((Z, z)\) 构成，其中 \(Z\) 是 \(\mathcal{C}_{fin}\) 的对象，且 \(z \in Z\)。
\((Z, z)\) 的源为 \(Z\)。
\((Z, z)\) 的靶为 \(t(Z, z) = \{z' \circ z^{-1}; z' \in Z\}\)。
给定 \((Z_1, z_1)\)、\((Z_2, z_2)\)，若 \(s(Z_1, z_1) = t(Z_2, z_2)\)，则复合 \((Z_1, z_1) \circ (Z_2, z_2)\) 为 \((Z_2, z_1 \circ z_2)\)。
略去关于这确实定义了一个群胚的验证。 从图像上看，\(\mathcal{C}_{fin}\) 的一个对象可视为图 \[\xymatrix{ & \bullet \\ \bullet \ar@(ul, dl)[]_e \ar[ru] \ar[r] \ar[rd] & \bullet \\ & \bullet }\] 为了构造 \(\mathcal{C}_{fin}\) 的一个态射，选取其中一条箭头， 并把其余箭头同它的逆作前复合。例如，若选取中间的水平箭头， 则靶为下图： \[\xymatrix{ & \bullet \\ \bullet & \bullet \ar[l] \ar[u] \ar@(dr, ur)[]_e \ar[d] \\ & \bullet }\] 注意，\(s(Z, z)\) 和 \(t(Z, z)\) 的基数相等。 所以 \(\mathcal{C}_{fin}\) 确实是群胚的可数不交并。
群胚的有限部分
本节将使用第 04RS 节所述的想法， 取代数空间中一个群胚的有限部分。
设 \(S\) 为概形。 设 \(B\) 为 \(S\) 上的代数空间。 设 \((U, R, s, t, c, e, i)\) 为 \(B\) 上代数空间中的群胚。 假设：态射 \(s, t\) 分离且局部有限型。 本节始终固定这些记号和假设。
将 \(R_s\) 记为代数空间 \(R\)；这里把它看成 \(U\) 上的代数空间， 其结构态射为 \(s\)。 令 \(U' = (R_s/U, e)_{fin}\)。由于 \(s\) 分离且局部有限型， 由命题 04QH 和引理 04RR，可见 \(U'\) 是一个代数空间， 并带有 étale 态射 \(g : U' \to U\)。此外，由引理 04PE，存在万有开子空间 \(Z_{univ} \subset R \times_{s, U, g} U'\)，它在 \(U'\) 上有限， 并使得 \((1_{U'}, e \circ g) : U' \to R \times_{s, U, g} U'\) 分解经过 \(Z_{univ}\)。再由引理 04PH，开子空间 \(Z_{univ}\) 在 \(R \times_{s, U', g} U\) 中也是闭的。
目前的图示如下： \[\xymatrix{ Z_{univ} \ar[d] \ar[rd] & \\ R \times_{s, U, g} U' \ar[d] \ar[r] & U' \ar[d]^g \\ R \ar[r]^s & U }\] 设 \(T\) 为 \(B\) 上的概形。可见，一个 \(T\)-值的 \(Z_{univ}\) 点 可视为三元组 \((u, Z, z)\)，其中：
\(u : T \to U\) 是一个 \(T\)-值点，取值于 \(U\)；
\(Z \subset R \times_{s, U, u} T\) 是在 \(T\) 上有限的既开又闭子空间， 并且 \((e \circ u, 1_T)\) 分解经过它；
\(z : T \to R\) 是一个 \(T\)-值点，取值于 \(R\)，满足 \(s \circ z = u\)， 并且 \((z, 1_T)\) 分解经过 \(Z\)。
说到这里，由第 04RS 节的讨论， 在观念上已经清楚，可以把 \((Z_{univ}, U')\) 变成 \(B\) 上代数空间中的群胚。为确保无误，我们将用函子观点逐一定义态射 \(s', t', c', e', i'\)。
（请先阅读并理解第 04RS 节中的简单构造， 再阅读这里。）
态射 \(s' : Z_{univ} \to U'\) 对应于规则 \[s' : (u, Z, z) \mapsto (u, Z).\] 态射 \(t' : Z_{univ} \to U'\) 由规则 \[t' : (u, Z, z) \mapsto (t \circ z, c(Z, i \circ z)).\] 给出。项 \(c(Z, i \circ z)\) 有意义，因为映射 \(c(-, i \circ z) : R \times_{s, U, u} T \to R \times_{s, U, t \circ z} T\) 是同构，其逆为 \(c(-, z)\)。 态射 \(e' : U' \to Z_{univ}\) 由规则 \[e' : (u, Z) \mapsto (u, Z, (e \circ u, 1_T)).\] 给出。注意，由 \((e \circ u, 1_T)\) 分解经过 \(Z\) 的要求， 这一定义有意义。 态射 \(i' : Z_{univ} \to Z_{univ}\) 由规则 \[i' : (u, Z, z) \mapsto (t \circ z, c(Z, i \circ z), i \circ z).\] 给出。最后，复合由规则 \[c' : ((u_1, Z_1, z_1), (u_2, Z_2, z_2)) \mapsto (u_2, Z_2, z_1 \circ z_2).\] 定义。略去关于 \((U', Z_{univ}, s', t', c', e', i')\) 满足代数空间中群胚公理的验证。
最后一项信息是，存在群胚的典范态射 \[(U', Z_{univ}, s', t', c', e', i') \longrightarrow (U, R, s, t, c, e, i)\] 事实上，态射 \(U' \to U\) 是态射 \(g : U' \to U\)， 它由规则 \((u, Z) \mapsto u\) 定义。态射 \(Z_{univ} \to R\) 由规则 \((u, Z, z) \mapsto z\) 定义。这就完成了构造。 现将所得结果概括如下。
引理
设 \(S\) 为概形。 设 \(B\) 为 \(S\) 上的代数空间。 设 \((U, R, s, t, c, e, i)\) 为 \(B\) 上代数空间中的群胚。 假设态射 \(s, t\) 分离且局部有限型。存在典范态射 \[(U', Z_{univ}, s', t', c', e', i') \longrightarrow (U, R, s, t, c, e, i)\] 它是 \(B\) 上代数空间中群胚的态射，其中：
\(g : U' \to U\) 与 \((R_s/U, e)_{fin} \to U\) 等同；
\(Z_{univ} \subset R \times_{s, U, g} U'\) 是在 \(U'\) 上有限、 包含单位元 \(e\) 的基变换的万有开（且闭）子空间。
证明
见上面的讨论。
群胚概形的 étale 局部化
本节证明与 [K-M, Proposition 4.2] 类似的结果。 我们尝试稍微更一般一些，并用态射的有限部分来避免使用 Hilbert 概形。 目标是在 étale 局部化之后，在一点上“分裂”代数空间中的群胚。 定义如下（与 [K-M, Definition 4.1] 非常相似）。
定义
设 \(S\) 为概形。设 \(B\) 为 \(S\) 上的代数空间
设 \((U, R, s, t, c)\) 为 \(B\) 上代数空间中的群胚。 设 \(u \in |U|\) 为一点。
称 \(R\) 在 \(u\) 上强分裂，如果存在开子空间 \(P \subset R\)，使得：
\((U, P, s|_P, t|_P, c|_{P \times_{s, U, t} P})\) 是 \(B\) 上代数空间中的群胚；
\(s|_P\)、\(t|_P\) 有限；
\(\{r \in |R| : s(r) = u, t(r) = u\} \subset |P|\)，
这样的 \(P\) 的选择称为 \(R\) 在 \(u\) 上的强分裂结构。
称 \(R\) 在 \(u\) 上分裂，如果存在开子空间 \(P \subset R\)，使得：
\((U, P, s|_P, t|_P, c|_{P \times_{s, U, t} P})\) 是 \(B\) 上代数空间中的群胚；
\(s|_P\)、\(t|_P\) 有限；
\(\{g \in |G| : g\text{ 映到 }u\} \subset |P|\)， 其中 \(G \to U\) 为稳定子，
这样的 \(P\) 的选择称为 \(R\) 在 \(u\) 上的分裂结构。
称 \(R\) 在 \(u\) 上拟分裂，如果存在开子空间 \(P \subset R\)，使得：
\((U, P, s|_P, t|_P, c|_{P \times_{s, U, t} P})\) 是 \(B\) 上代数空间中的群胚；
\(s|_P\)、\(t|_P\) 有限；
\(e(u) \in |P|\)2，
这样的 \(P\) 的选择称为 \(R\) 在 \(u\) 上的拟分裂结构。
注意，关于 \(P\) 的这些条件与式 (04PC) 中偶对的条件相似。 特别地，若 \(s, t\) 分离，则 \(P\) 在 \(R\) 中也闭 （见引理 04PH）。
假设从代数空间中的群胚 \((U, R, s, t, c)\) 出发，设它在 \(B\) 上； 再取一点 \(u \in |U|\)。 由于目标是在 étale 局部化之后分裂群胚，不妨用仿射概形替换 \(U\) （意思是，对任何可能的应用，这样做都无害）。 此外，我们将不得不施加的附加假设会迫使 \(R\) 至少在 \(\{r \in |R| : s(r) = u, t(r) = u\}\) 或 \(e(u)\) 的一个邻域中成为概形。 因此，我们从下面所述的群胚概形开始。 然而，我们的证明方法会把我们带出概形范畴；正因如此， 上面把分裂表述成了代数空间中群胚的情形。 另一方面，我们只知道态射 \(s\)、\(t\) 还平坦且有限表示这一情形的应用； 在此情形下，最终又回到概形范畴中。
情形
设 \(S\) 为概形。 设 \((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。 设 \(u \in U\) 为一点。假设：
\(s, t : R \to U\) 分离；
\(s\)、\(t\) 局部有限型；
集合 \(\{r \in R : s(r) = u, t(r) = u\}\) 有限；
\(s\) 在 (3) 中集合的每一点处拟有限。
注意，若纤维 \(s^{-1}(\{u\})\) 有限，则假设 (3) 和 (4) 均成立， 见《态射》引理 02NG。
情形
设 \(S\) 为概形。 设 \((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。 设 \(u \in U\) 为一点。假设：
\(s, t : R \to U\) 分离；
\(s\)、\(t\) 局部有限型；
集合 \(\{g \in G : g\text{ 映到 }u\}\) 有限，其中 \(G \to U\) 是稳定子；
\(s\) 在 (3) 中集合的每一点处拟有限。
情形
设 \(S\) 为概形。 设 \((U, R, s, t, c)\) 为 \(S\) 上的群胚概形。 设 \(u \in U\) 为一点。假设：
\(s, t : R \to U\) 分离；
\(s\)、\(t\) 局部有限型；
\(s\) 在 \(e(u)\) 处拟有限。
对于代数空间存在性定理的应用，拟分裂情形已经足够。 此外，拟分裂情形将使我们能够证明拟-DM 叠的 étale 局部结构定理。 分裂情形将用于证明 Keel–Mori 定理的一个版本。 强分裂情形可给出对角拟紧的拟-DM 代数叠的 étale 局部结构定理。
引理
在情形 04RL 中，存在代数空间 \(U'\)、 étale 态射 \(U' \to U\)，以及点 \(u' : \Spec(\kappa(u)) \to U'\)；它位于 \(u : \Spec(\kappa(u)) \to U\) 上方，使得限制 \(R' = R|_{U'}\)，即 \(R\) 在 \(U'\) 上的限制，在 \(u'\) 上强分裂。
证明
设 \(f : (U', Z_{univ}, s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\) 为引理 04RU 中构造的态射。 回忆 \(R' = R \times_{(U \times_S U)} (U' \times_S U')\)。 因此得到代数空间中群胚的态射 \((f, t', s') : Z_{univ} \to R'\)： \[(U', Z_{univ}, s', t', c') \to (U', R', s', t', c')\] （滥用记号，以相同符号表示两个群胚中的态射。） 现在，由于 \(Z_{univ} \subset R \times_{s, U, g} U'\) 是开的， 而 \(R' \to R \times_{s, U, g} U'\) 是 étale 的 （它是 \(U' \to U\) 的基变换），可见 \(Z_{univ} \to R'\) 是开浸入。按照构造，态射 \(s', t' : Z_{univ} \to U'\) 有限。还须找到点 \(u'\)，它属于 \(U'\)。
如引理陈述那样，把 \(u\) 看成态射 \(\Spec(\kappa(u)) \to U\)。令 \(F_u = R \times_{s, U} \Spec(\kappa(u))\)。 由假设，集合 \(\{r \in R : s(r) = u, t(r) = u\}\) 有限， 而 \(F_u \to \Spec(\kappa(u))\) 在其每个元素处拟有限。 因此，可以找到既开又闭子概形的分解 \[F_u = Z_u \amalg Rest\] ，其中概形 \(Z_u\) 在 \(\kappa(u)\) 上有限，其支集为 \(\{r \in R : s(r) = u, t(r) = u\}\)。注意 \(e(u) \in Z_u\)。 因此，由第 04RT 节中 \(U'\) 的构造， \((u, Z_u)\) 定义了一个 \(\Spec(\kappa(u))\)-值点 \(u'\)， 该点属于 \(U'\)。
还须证明集合 \(\{r' \in |R'| : s'(r') = u', t'(r') = u'\}\) 包含在 \(|Z_{univ}|\) 中。任取此集合中的一点 \(r'\)， 并用态射 \(z' : \Spec(k) \to R'\) 表示它。将 \(z : \Spec(k) \to R\) 记为 \(z'\) 与映射 \(R' \to R\) 的合成。 显然，\(z\) 定义了集合 \(\{r \in R : s(r) = u, t(r) = u\}\) 的一个元素。 此外，合成 \(s \circ z, t \circ z : \Spec(k) \to U\) 都分解经过 \(u\)，所以可把 \(s \circ z, t \circ z\) 看成态射 \(\Spec(k) \to \Spec(\kappa(u))\)。于是 \[z' = (z, u' \circ t \circ z, u'\circ s \circ u)\] 作为到 \(R' = R \times_{(U \times_S U)} (U' \times_S U')\) 的态射。
考虑三元组 \[(s \circ z, Z_u \times_{\Spec(\kappa(u)), s \circ z} \Spec(k), z)\] 其中 \(Z_u\) 如上。它定义了一个 \(\Spec(k)\)-值点，取值于 \(Z_{univ}\)；其在 \(s', t'\) 下的 \(U'\) 中之像为 \(u'\)， 并且它在 \(Z_{univ} \to R'\) 下的像就是点 \(r'\)； 这是由上面所述 \(z\) 与 \(z'\) 的关系得到的。 这就完成了证明。
引理
在情形 0DTB 中，存在代数空间 \(U'\)、 étale 态射 \(U' \to U\)，以及点 \(u' : \Spec(\kappa(u)) \to U'\)；它位于 \(u : \Spec(\kappa(u)) \to U\) 上方，使得限制 \(R' = R|_{U'}\)，即 \(R\) 在 \(U'\) 上的限制，在 \(u'\) 上分裂。
证明
设 \(f : (U', Z_{univ}, s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\) 为引理 04RU 中构造的态射。 回忆 \(R' = R \times_{(U \times_S U)} (U' \times_S U')\)。 因此得到代数空间中群胚的态射 \((f, t', s') : Z_{univ} \to R'\)： \[(U', Z_{univ}, s', t', c') \to (U', R', s', t', c')\] （滥用记号，以相同符号表示两个群胚中的态射。） 现在，由于 \(Z_{univ} \subset R \times_{s, U, g} U'\) 是开的， 而 \(R' \to R \times_{s, U, g} U'\) 是 étale 的 （它是 \(U' \to U\) 的基变换），可见 \(Z_{univ} \to R'\) 是开浸入。按照构造，态射 \(s', t' : Z_{univ} \to U'\) 有限。还须找到点 \(u'\)，它属于 \(U'\)。
如引理陈述那样，把 \(u\) 看成态射 \(\Spec(\kappa(u)) \to U\)。令 \(F_u = R \times_{s, U} \Spec(\kappa(u))\)。 设 \(G_u \subset F_u\) 为稳定子 \(G \to U\) 在 \(u\) 上的概形论纤维。 由假设，\(G_u\) 有限，并且 \(F_u \to \Spec(\kappa(u))\) 在 \(G_u\) 的每一点处拟有限。因此，可以找到既开又闭子概形的分解 \[F_u = Z_u \amalg Rest\] ，其中概形 \(Z_u\) 在 \(\kappa(u)\) 上有限，其支集为 \(G_u\)。 注意 \(e(u) \in Z_u\)。因此，由第 04RT 节中 \(U'\) 的构造， \((u, Z_u)\) 定义了一个 \(\Spec(\kappa(u))\)-值点 \(u'\)， 该点属于 \(U'\)。
还须证明集合 \(\{g' \in |G'| : g'\text{ 映到 }u'\}\) 包含在 \(|Z_{univ}|\) 中。
任取此集合中的一点 \(g'\)，并用态射 \(z' : \Spec(k) \to G'\) 表示它。将 \(z : \Spec(k) \to G\) 记为 \(z'\) 与映射 \(G' \to G\) 的合成。 显然，\(z\) 定义了 \(G_u\) 的一点。事实上，将相应的映射记作 \(\tilde u : \Spec(k) \to u \to U\)；这是到 \(u\) 或 \(U\) 的映射。 考虑三元组 \[(\tilde u, Z_u \times_{u, \tilde u} \Spec(k), z)\] ，其中 \(Z_u\) 如上。它定义了一个 \(\Spec(k)\)-值点，取值于 \(Z_{univ}\)；其在 \(s', t'\) 下的 \(U'\) 中之像为 \(u'\)， 并且它在 \(Z_{univ} \to R'\) 下的像就是点 \(z'\) （因为它在 \(R\) 中的像为 \(z\)）。 这就完成了证明。
引理
在情形 04RV 中，存在代数空间 \(U'\)、 étale 态射 \(U' \to U\)，以及点 \(u' : \Spec(\kappa(u)) \to U'\)；它位于 \(u : \Spec(\kappa(u)) \to U\) 上方，使得限制 \(R' = R|_{U'}\)，即 \(R\) 在 \(U'\) 上的限制，在 \(u'\) 上拟分裂。
证明
设 \(f : (U', Z_{univ}, s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\) 为引理 04RU 中构造的态射。 回忆 \(R' = R \times_{(U \times_S U)} (U' \times_S U')\)。 因此得到代数空间中群胚的态射 \((f, t', s') : Z_{univ} \to R'\)： \[(U', Z_{univ}, s', t', c') \to (U', R', s', t', c')\] （滥用记号，以相同符号表示两个群胚中的态射。） 现在，由于 \(Z_{univ} \subset R \times_{s, U, g} U'\) 是开的， 而 \(R' \to R \times_{s, U, g} U'\) 是 étale 的 （它是 \(U' \to U\) 的基变换），可见 \(Z_{univ} \to R'\) 是开浸入。按照构造，态射 \(s', t' : Z_{univ} \to U'\) 有限。还须找到点 \(u'\)，它属于 \(U'\)。
如引理陈述那样，把 \(u\) 看成态射 \(\Spec(\kappa(u)) \to U\)。令 \(F_u = R \times_{s, U} \Spec(\kappa(u))\)。 由假设，态射 \(F_u \to \Spec(\kappa(u))\) 在 \(e(u)\) 处拟有限。 因此，可以找到既开又闭子概形的分解 \[F_u = Z_u \amalg Rest\] ，其中概形 \(Z_u\) 在 \(\kappa(u)\) 上有限，其支集为 \(e(u)\)。 因此，由第 04RT 节中 \(U'\) 的构造， \((u, Z_u)\) 定义了一个 \(\Spec(\kappa(u))\)-值点 \(u'\)， 该点属于 \(U'\)。为完成证明，须证明 \(e'(u') \in Z_{univ}\)，这是清楚的。
最后，加入附加假设后可得到概形。
引理
在情形 04RL 中，再假设 \(s, t\) 平坦且局部有限表示。则存在概形 \(U'\)、分离的 étale 态射 \(U' \to U\)，以及点 \(u' \in U'\)；它位于 \(u\) 上方，并满足 \(\kappa(u) = \kappa(u')\)，使得限制 \(R' = R|_{U'}\)，即 \(R\) 在 \(U'\) 上的限制，在 \(u'\) 上强分裂。
证明
这由引理 03FM 的证明中 \(U'\) 的构造得到， 因为在此情形下，\(U' = (R_s/U, e)_{fin}\) 是在 \(U\) 上分离的概形； 这里使用引理 04RI 和 04RR。
引理
在情形 0DTB 中，再假设 \(s, t\) 平坦且局部有限表示。则存在概形 \(U'\)、分离的 étale 态射 \(U' \to U\)，以及点 \(u' \in U'\)；它位于 \(u\) 上方，并满足 \(\kappa(u) = \kappa(u')\)，使得限制 \(R' = R|_{U'}\)，即 \(R\) 在 \(U'\) 上的限制，在 \(u'\) 上分裂。
证明
这由引理 0DTC 的证明中 \(U'\) 的构造得到， 因为在此情形下，\(U' = (R_s/U, e)_{fin}\) 是在 \(U\) 上分离的概形； 这里使用引理 04RI 和 04RR。
引理
在情形 04RV 中，再假设 \(s, t\) 平坦且局部有限表示。则存在概形 \(U'\)、分离的 étale 态射 \(U' \to U\)，以及点 \(u' \in U'\)；它位于 \(u\) 上方，并满足 \(\kappa(u) = \kappa(u')\)，使得限制 \(R' = R|_{U'}\)，即 \(R\) 在 \(U'\) 上的限制，在 \(u'\) 上拟分裂。
证明
这由引理 04RW 的证明中 \(U'\) 的构造得到， 因为在此情形下，\(U' = (R_s/U, e)_{fin}\) 是在 \(U\) 上分离的概形； 这里使用引理 04RI 和 04RR。
事实上，可以应用前面关于有限局部自由群胚的结果来得到仿射概形。
引理
在情形 04RL 中，再假设 \(s, t\) 平坦且局部有限表示，并且 \(U\) 仿射。 则存在仿射概形 \(U'\)、étale 态射 \(U' \to U\)， 以及点 \(u' \in U'\)；它位于 \(u\) 上方，并满足 \(\kappa(u) = \kappa(u')\)，使得限制 \(R' = R|_{U'}\)，即 \(R\) 在 \(U'\) 上的限制，在 \(u'\) 上强分裂。
证明
设 \(U' \to U\) 和 \(u' \in U'\) 为引理 04RX 中找到的概形之间的分离 étale 态射及其点。设 \(P \subset R'\) 为 \(R'\) 在 \(u'\) 上的强分裂结构。 由《群胚进阶》引理 04MP，态射 \(s', t' : R' \to U'\) 平坦且局部有限表示。由假设，它们有限。
因此 \(s', t'\) 有限局部自由，见《态射》引理 02KB。 特别地，\(t(s^{-1}(u'))\) 是点的有限集合 \(\{u'_1, u'_2, \ldots, u'_n\}\)，这些点位于 \(U'\) 中。 选取拟紧开子集 \(W \subset U'\)，使它包含每个 \(u'_i\)。 由于 \(U\) 仿射，态射 \(W \to U\) 拟紧 （见《概形》引理 01K4）。 态射 \(W \to U\) 还局部拟有限（见《态射》引理 03WS）且分离。 因此，由《态射进阶》引理 02LR （Zariski 主定理的一个版本），可知 \(W\) 拟仿射。 由《性质》引理 01ZY， 可见 \(\{u'_1, \ldots, u'_n\}\) 包含在 \(U'\) 的一个仿射开子集中。 于是可以应用《群胚》引理 03JE，推出存在仿射的 \(P\)-不变开子集 \(U'' \subset U'\)，它包含 \(u'\)。
为完成证明，将 \(R'' = R|_{U''}\) 记为 \(R\) 在 \(U''\) 上的限制。 这也等于 \(R'\) 在 \(U''\) 上的限制。由于 \(P \subset R'\) 是既开又闭子概形，\(P|_{U''} \subset R''\) 也如此。 按照构造，开子概形 \(U'' \subset U'\) 是 \(P\)-不变的，这意味着 \[P|_{U''} = (s'|_P)^{-1}(U'') = (t'|_P)^{-1}(U'')\] （见《群胚》第 03LN 节中的讨论）， 所以 \(s''\) 和 \(t''\) 在 \(P|_{U''}\) 上的限制仍然有限。 子群胚概形 \(P|_{U''}\) 仍然是 \(R''\) 在 \(u''\) 上的强分裂结构；
上面已经验证了 (a)、(b)，而 (c) 成立是因为显然有 \[\{r' \in R': t'(r') = u', s'(r') = u'\} = \{r'' \in R'': t''(r'') = u', s''(r'') = u'\}\] 引理得证。
引理
在情形 0DTB 中，再假设 \(s, t\) 平坦且局部有限表示，并且 \(U\) 仿射。 则存在仿射概形 \(U'\)、étale 态射 \(U' \to U\)， 以及点 \(u' \in U'\)；它位于 \(u\) 上方，并满足 \(\kappa(u) = \kappa(u')\)，使得限制 \(R' = R|_{U'}\)，即 \(R\) 在 \(U'\) 上的限制，在 \(u'\) 上分裂。
证明
此引理的证明逐字等同于引理 04RZ 的证明， 只须将“强分裂”替换为“分裂”（共 2 处），并把对引理 04RX 的引用替换为对引理 0DTD 的引用。
引理
在情形 04RV 中，再假设 \(s, t\) 平坦且局部有限表示，并且 \(U\) 仿射。 则存在仿射概形 \(U'\)、étale 态射 \(U' \to U\)， 以及点 \(u' \in U'\)；它位于 \(u\) 上方，并满足 \(\kappa(u) = \kappa(u')\)，使得限制 \(R' = R|_{U'}\)，即 \(R\) 在 \(U'\) 上的限制，在 \(u'\) 上拟分裂。
证明
此引理的证明逐字等同于引理 04RZ 的证明， 只须将“强分裂”替换为“拟分裂”（共 2 处），并把对引理 04RX 的引用替换为对引理 04RY 的引用。