引言
一个参考资料是 Serre 在 Séminaire Cartan 上的讲义，见 [Serre-Cartan]。Serre 又引用了 [Deuring] 和 [ANT]。我们改写了其中的一些证明，特别是使用 Rieffel 的一个巧妙论证来证明 Wedderburn 定理。 这一改写很可能并非改进；我们强烈建议读者阅读 Serre 的原始论述。
非交换代数
设 \(k\) 为域。本章所谓域 \(k\) 上的一个代数 \(A\)，是指一个可能 非交换的环 \(A\)，连同一个环同态 \(k \to A\)，使得 \(k\) 的像包含于 \(A\) 的中心，且 \(1\) 映到 \(A\) 的单位元。所谓一个 \(A\)-模， 是指 \(A\) 的单位元按恒等映射作用的右 \(A\)-模。
定义
设 \(A\) 为 \(k\)-代数。若 \(\dim_k(A) < \infty\)，则称 \(A\) 为 有限维的。此时记 \([A : k] = \dim_k(A)\)。
定义
除环是一个带单位元 \(1\) 的、可能非交换的环，其中 \(1 \not = 0\)，且每个非零元素都有乘法逆元。
一个除环总是某个 \(k\) 上的代数（例如可取它所含的素域作为 \(k\)）。 下文将使用如下事实：除环上的任意模都是自由模，因为任一极大的 线性无关向量集构成一组基，而这样的集合由 Zorn 引理存在。
定义
设 \(A\) 为 \(k\)-代数。 若一个 \(A\)-模 \(M\) 非零，且其仅有的 \(A\)-子模为 \(0\) 和 \(M\)， 则称 \(M\) 是单模。 若 \(A\) 的双边理想只有 \(0\) 和 \(A\)，则称 \(A\) 是单的。
定义
若 \(A\) 的中心恰为 \(k \to A\) 的像，则称 \(k\)-代数 \(A\) 是 中心的。
定义
给定一个 \(k\)-代数 \(A\)，以 \(A^{op}\) 表示将 \(A\) 中乘法次序反转 所得的 \(k\)-代数。它称为反代数。
Wedderburn 定理
以下巧妙论证可见于 Rieffel 的一篇论文，见 [Rieffel]。这个证明不能再简单了（引自 Carl Faith 的评论）。
引理
设 \(A\) 是一个带 \(1\) 的、可能非交换的环，且没有非平凡双边理想。 设 \(M\) 是 \(A\) 的一个非零右理想，并将 \(M\) 视为右 \(A\)-模。 则 \(A\) 与 \(M\) 的双交换子相同。
证明
令 \(A' = \text{End}_A(M)\)，于是 \(M\) 是左 \(A'\)-模。 置 \(A'' = \text{End}_{A'}(M)\)（即 \(M\) 的双交换子）。 我们将 \(M\) 视为右 \(A''\)-模1。 令 \(R : A \to A''\) 为满足 \(mR(a) = ma\) 的自然同态。 由于 \(R(1) = \text{id}_M\) 且 \(A\) 没有非平凡双边理想，\(R\) 是单射。 我们断言 \(R(M)\) 是 \(A''\) 的一个右理想。事实上，对 \(a'' \in A''\) 和 \(m\) 属于 \(M\) 时有 \(R(m)a'' = R(ma'')\)，因为由 \(M\) 的任一元素 \(n\) 给出的左乘表示 \(A'\) 的一个元素，从而对 所有属于 \(M\) 的 \(n\) 均有 \((nm)a'' = n(ma'')\)。 最后，乘积理想 \(AM\) 是双边理想，故 \(A = AM\)。于是 \(R(A) = R(A)R(M)\)，所以 \(R(A)\) 是 \(A''\) 的右理想。 但 \(R(A)\) 含有 \(A''\) 的单位元，故 \(R(A) = A''\)。
引理
设 \(A\) 为 \(k\)-代数。若 \(A\) 是有限维的，则
\(A\) 有单模；
任一非零模都含有单子模；
\(A\) 上的单模在 \(k\) 上是有限维的；并且
若 \(M\) 是单 \(A\)-模，则 \(\text{End}_A(M)\) 是除环。
证明
当然，由于 \(A\) 自身是一个非零 \(A\)-模，(1) 可由 (2) 推出。 对于 (2)，任一作为 \(k\)-向量空间具有极小（有限）维数的子模都是 单模。这样的有限维子模存在，因为循环子模就是有限维的。 若 \(M\) 是单模，则 \(mA \subset M\) 是一个子模，由此得到 (3)。 \(\text{End}_A(M)\) 的任一非零元素都是同构，故 (4) 成立。
定理
设 \(A\) 是一个有限维单 \(k\)-代数。则 \(A\) 是某个有限维 \(k\)-代数 \(K\) 上的矩阵代数，其中后者是除环。
证明
可以选择一个单子模 \(M \subset A\)，此时 \(k\)-代数 \(K = \text{End}_A(M)\) 是除环，见 引理 0746。 由 引理 0745 可知 \(A = \text{End}_K(M)\)。由于 \(K\) 是除环且 \(M\) 有限生成（因为 \(\dim_k(M) < \infty\)），可知 \(M\) 作为左 \(K\)-模是有限秩自由模。立即得到 \(A \cong \text{Mat}(n \times n, K^{op})\)。
代数的若干引理
设 \(A\) 为 \(k\)-代数，\(B \subset A\) 为子代数。 \(B\) 在 \(A\) 中的中心化子是子代数 \[C = \{y \in A \mid xy = yx \text{ 对所有 }x \in B\}.\] 它是一个 \(k\)-代数。
引理
设 \(A\)、\(A'\) 为 \(k\)-代数。设 \(B \subset A\)、\(B' \subset A'\) 为 子代数，其中心化子分别为 \(C\)、\(C'\)。则 \(B \otimes_k B'\) 在 \(A \otimes_k A'\) 中的中心化子为 \(C \otimes_k C'\)。
证明
以 \(C'' \subset A \otimes_k A'\) 表示 \(B \otimes_k B'\) 的 中心化子。显然 \(C \otimes_k C' \subset C''\)。反过来， \(C''\) 的每个元素都与 \(B \otimes 1\) 交换，因而属于 \(C \otimes_k A'\)。类似地，\(C'' \subset A \otimes_k C'\)。故 \(C'' \subset C \otimes_k A' \cap A \otimes_k C' = C \otimes_k C'\)。
引理
设 \(A\) 是有限维单 \(k\)-代数。则 \(A\) 的中心 \(k'\) 是 \(k\) 的 有限域扩张。
证明
由 定理 0747， 可写成 \(A = \text{Mat}(n \times n, K)\)，其中 \(K\) 是 \(k\) 上的有限维除环。 由 引理 0749， \(A\) 的中心为 \(k \otimes_k k'\)，其中 \(k' \subset K\) 是 \(K\) 的 中心。除环的中心是域，结论得证。
引理
设 \(V\) 为 \(k\)-向量空间。设 \(K\) 是中心 \(k\)-代数且为除环。 设 \(W \subset V \otimes_k K\) 是一个双边 \(K\)-子向量空间。 则作为左 \(K\)-向量空间，\(W\) 由 \(W \cap (V \otimes 1)\) 生成。
证明
令 \(V' \subset V\) 为所有满足 \(v \otimes 1 \in W\) 的 \(v \in V\) 所生成的 \(k\)-子向量空间。于是 \(V' \otimes_k K \subset W\)，并且 \[W/(V' \otimes_k K) \subset (V/V') \otimes_k K.\] 若 \(\overline{v} \in V/V'\) 是一个非零向量，且 \(\overline{v} \otimes 1\) 属于 \(W/(V' \otimes_k K)\)， 则对 \(\overline{v}\) 的一个提升 \(v \in V\)，有 \(v \otimes 1 \in W\)。这与 \(V'\) 的构造矛盾。因此可将 \(V\) 替换为 \(V/V'\)，将 \(W\) 替换为 \(W/(V' \otimes_k K)\)； 只需证明当 \(W\) 非零时，\(W \cap (V \otimes 1)\) 非零。
为此，取非零元素 \(w \in W\)，并将其写成 \(w = \sum_{i = 1, \ldots, n} v_i \otimes k_i\)，其中 \(n\) 最小。 右乘 \(k_1^{-1}\) 后，可设 \(k_1 = 1\)。 若 \(n = 1\)，则因 \(v_1 \otimes 1 \in W\)，结论成立。 若 \(n > 1\)，则对任意 \(c \in K\)， \[c w - w c = \sum\nolimits_{i = 2, \ldots, n} v_i \otimes (c k_i - k_i c) \in W\] 而由 \(n\) 的极小性，必有 \(c k_i - k_i c = 0\)。 这说明 \(k_i\) 位于 \(K\) 的中心；按假设该中心就是 \(k\)。 于是 \(w = (v_1 + \sum k_i v_i) \otimes 1\)，与 \(n\) 的极小性矛盾。
引理
设 \(A\) 为 \(k\)-代数。设 \(K\) 是中心 \(k\)-代数且为除环。 则任一双边理想 \(I \subset A \otimes_k K\) 都可写成 \(J \otimes_k K\)，其中 \(J \subset A\) 是双边理想。 特别地，若 \(A\) 是单的，则 \(A \otimes_k K\) 也是单的。
证明
令 \(J = \{a \in A \mid a \otimes 1 \in I\}\)。这是 \(A\) 的一个 双边理想。由 引理 074B 有 \(I = J \otimes_k K\)。
引理
设 \(R\) 是一个可能非交换的环，\(n \geq 1\) 是整数。 令 \(R_n = \text{Mat}(n \times n, R)\)。
函子 \(M \mapsto M^{\oplus n}\) 与 \(N \mapsto Ne_{11}\) 给出范畴之间的一对拟逆等价 \(\text{Mod}_R \leftrightarrow \text{Mod}_{R_n}\)。
\(R_n\) 的任一双边理想都形如 \(IR_n\)，其中 \(I\) 是 \(R\) 的双边理想。
\(R_n\) 的中心等于 \(R\) 的中心。
证明
第 (1) 项是显然的。若 \(J \subset R_n\) 是双边理想，则 \(J = \bigoplus e_{ii}Je_{jj}\)，且所有分量 \(e_{ii}Je_{jj}\) 彼此相等，并构成 \(R\) 的一个双边理想 \(I\)。这证明了 (2)。 第 (3) 项显然。
引理
设 \(A\) 是有限维单 \(k\)-代数。
在同构意义下，恰有一个单 \(A\)-模 \(M\)。
任一有限维 \(A\)-模都是若干个单模副本的直和。
两个有限维 \(A\)-模同构，当且仅当它们在 \(k\) 上的维数相同。
若 \(A = \text{Mat}(n \times n, K)\)，其中 \(K\) 是 \(k\) 的一个 有限维除环扩张，则 \(M = K^{\oplus n}\) 是单 \(A\)-模，且 \(\text{End}_A(M) = K^{op}\)。
若 \(M\) 是单 \(A\)-模，则 \(L = \text{End}_A(M)\) 是 \(k\) 上的 有限维除环，并从左作用于 \(M\)；此外 \(A = \text{End}_L(M)\)，且 \(A\) 与 \(L\) 的中心相同。 并且 \([A : k] [L : k] = \dim_k(M)^2\)。
对于有限维 \(A\)-模 \(N\)，代数 \(B = \text{End}_A(N)\) 是 (5) 中除环 \(L\) 上的矩阵代数。此外 \(\text{End}_B(N) = A\)。
证明
由 定理 0747， 可写成 \(A = \text{Mat}(n \times n, K)\)，其中 \(K\) 是 \(k\) 的一个有限维除环扩张。由 引理 074D， \(A\)-模范畴等价于 \(K\)-模范畴。由于 \(K\) 上的每个模都是自由模， (1)、(2)、(3) 成立。第 (4) 项成立，因为该等价将 \(K\)-模 \(K\) 变换为 \(M = K^{\oplus n}\)。在 (5) 中取 \(M = K^{\oplus n}\)， 可见 \(L = K^{op}\)。关于 \(L = K^{op}\) 的中心的断言来自 引理 074D。 关于 \(\text{End}_L(M)\) 的断言由 \(M\) 的显式形式得到。 维数公式显然。第 (6) 项成立，因为 \(N\) 同构于若干个单模副本的直和。
引理
设 \(A\)、\(A'\) 是两个单 \(k\)-代数，其中一个在 \(k\) 上有限维且中心。 则 \(A \otimes_k A'\) 是单的。
证明
设 \(A'\) 在 \(k\) 上有限维且中心。 由 定理 0747， 可写 \(A' = \text{Mat}(n \times n, K')\)。 此时 \(K'\) 的中心为 \(k\)，由 引理 074C 可知 \(A \otimes_k K'\) 是单的。 因此，由引理 074D， \(A \otimes_k A' = \text{Mat}(n \times n, A \otimes_k K')\) 是单的。
引理
域 \(k\) 上两个有限维中心单代数的张量积仍是有限维、中心且单的。
证明
引理
设 \(A\) 是 \(k\) 上的有限维中心单代数，\(k'/k\) 是域扩张。 则 \(A' = A \otimes_k k'\) 是 \(k'\) 上的有限维中心单代数。
证明
引理
设 \(A\) 是 \(k\) 上的有限维中心单代数。则 \(A \otimes_k A^{op} \cong \text{Mat}(n \times n, k)\)， 其中 \(n = [A : k]\)。
证明
由引理 074G， 代数 \(A \otimes_k A^{op}\) 是单的。因此映射 \[A \otimes_k A^{op} \longrightarrow \text{End}_k(A),\quad a \otimes a' \longmapsto (x \mapsto axa')\] 是单射。箭头两端维数相同，故结论成立。
域的 Brauer 群
设 \(k\) 为域。考虑 \(k\) 上两个有限维中心单代数 \(A\) 与 \(B\)。 若存在 \(n, m > 0\)，使得作为 \(k\)-代数有 \(\text{Mat}(n \times n, A) \cong \text{Mat}(m \times m, B)\)， 则称 \(A\) 与 \(B\) 相似。
引理
关于相似性，有：
相似性在 \(k\) 上有限维中心单代数的同构类集合上定义了一个 等价关系。
每个相似类都含有唯一的（在同构意义下）\(k\) 上有限维中心除环。
若 \(A = \text{Mat}(n \times n, K)\) 且 \(B = \text{Mat}(m \times m, K')\)，其中 \(K\)、\(K'\) 是 \(k\) 上的 有限维中心除环，则 \(A\) 与 \(B\) 相似，当且仅当 \(K \cong K'\)（作为 \(k\)-代数）。
证明
注意，由 Wedderburn 定理（定理 0747）， 任一有限维中心单代数都可写成某个有限维中心除环上的矩阵代数。 因此只需证明第三个断言。为此，只需证明若 \(A = \text{Mat}(n \times n, K) \cong \text{Mat}(m \times m, K') = B\)， 则 \(K \cong K'\)。事实上，对 \(A\) 的一个单模 \(M\)，由 引理 074E 有 \(\text{End}_A(M) = K^{op}\)。 所以 \(A \cong B\) 蕴含 \(K^{op} \cong (K')^{op}\)，结论得证。
给定两个有限维中心单 \(k\)-代数 \(A\)、\(B\)，其张量积 \(A \otimes_k B\) 仍是这样的代数，见 引理 074G。 此外，若 \(A\) 与 \(A'\) 相似，则 \(A \otimes_k B\) 与 \(A' \otimes_k B\) 相似，因为张量积与取矩阵代数可交换。 因此张量积在有限维中心单代数的等价类上定义了一个显然满足 结合律和交换律的运算。最后， 引理 074I 表明 \(A \otimes_k A^{op}\) 同构于矩阵代数，也就是说， \(A \otimes_k A^{op}\) 属于 \(k\) 的相似类。 由此得到一个阿贝尔群。
定义
设 \(k\) 为域。\(k\) 的 Brauer 群是上述有限维中心单 \(k\)-代数的相似类所成的阿贝尔群，记作 \(\text{Br}(k)\)。
对任意域同态 \(k \to k'\)，由引理 074H 得到群同态 \[\text{Br}(k) \longrightarrow \text{Br}(k'),\quad A \longmapsto A \otimes_k k'\] 。换言之，\(\text{Br}(-)\) 是从域范畴到阿贝尔群范畴的函子。 注意，一个域的 Brauer 群为零，当且仅当每个有限维中心除环扩张 \(k \subset K\) 都是平凡的。
引理
代数闭域的 Brauer 群为零。
证明
设 \(k \subset K\) 为有限维中心除环扩张。 对任意元素 \(x \in K\)，子环 \(k[x] \subset K\) 是一个交换的、 有限维且整的 \(k\)-子代数，因而是域，见 《交换代数》，引理 00GS。 由于 \(k\) 代数闭，得到 \(k[x] = k\)。因 \(x\) 任意，遂有 \(k = K\)。
引理
设 \(A\) 是域 \(k\) 上的有限维中心单代数，则 \([A : k]\) 是完全平方数。
证明
这是因为由 引理 074M， \(A \otimes_k \overline{k}\) 是 \(\overline{k}\) 上的矩阵代数。
Skolem–Noether 定理
定理
设 \(A\) 是有限维中心单 \(k\)-代数，\(B\) 是单 \(k\)-代数，并设 \(f, g : B \to A\) 是两个 \(k\)-代数同态。则存在可逆元素 \(x \in A\)，使得对所有 \(b \in B\) 都有 \(f(b) = xg(b)x^{-1}\)。
证明
选择一个单 \(A\)-模 \(M\)，并令 \(L = \text{End}_A(M)\)。 由引理 0746 和 074E， \(L\) 是中心为 \(k\) 的除环，并从左作用于 \(M\)。 此时 \(M\) 上有两个 \(B \otimes_k L^{op}\)-模结构，分别定义为 \(m \cdot_1 (b \otimes l) = lmf(b)\) 和 \(m \cdot_2 (b \otimes l) = lmg(b)\)。 由引理 074F， \(k\)-代数 \(B \otimes_k L^{op}\) 是单的。由于 \(B\) 是单的， \(k\)-代数同态 \(B \to A\) 的存在性蕴含 \(B\) 有限维。 因此 \(B \otimes_k L^{op}\) 是有限维单代数；由 引理 074E， \(M\) 上这两个 \(B \otimes_k L^{op}\)-模结构同构。 所以存在交织这两个作用的 \(\varphi : M \to M\)。 特别地，\(\varphi\) 属于 \(L\) 的交换子，这说明 \(\varphi\) 是由某个 \(x \in A\) 给出的乘法，见 引理 074E。展开定义可见，\(x\) 正是所求解。
引理
设 \(A\) 是有限维中心单 \(k\)-代数。\(A\) 的任一自同构都是内自同构。 特别地，\(\text{Mat}(n \times n, k)\) 的任一自同构都是内自同构。
证明
应用 Skolem–Noether 定理（定理 074Q）。
中心化子定理
定理
设 \(A\) 是 \(k\) 上的有限维中心单代数，\(B\) 是 \(A\) 的单子代数。 则
\(B\) 在 \(A\) 中的中心化子 \(C\) 是单的；
\([A : k] = [B : k][C : k]\)；并且
\(C\) 在 \(A\) 中的中心化子是 \(B\)。
证明
在本证明中，我们将自由使用 引理 074E 的结论。 选择一个单 \(A\)-模 \(M\)，并令 \(L = \text{End}_A(M)\)。 则 \(L\) 是中心为 \(k\) 的除环，从左作用于 \(M\)，并且 \(A = \text{End}_L(M)\)。 于是 \(M\) 是右 \(B \otimes_k L^{op}\)-模，且 \(C = \text{End}_{B \otimes_k L^{op}}(M)\)。 由引理 074F，代数 \(B \otimes_k L^{op}\) 是单的，故 \(C\) 是单的（再次应用 引理 074E）。
写成 \(B \otimes_k L^{op} = \text{Mat}(m \times m, K)\)， 其中 \(K\) 是 \(k\) 上的有限维除环。若 \(M\) 同构于单 \(B \otimes_k L^{op}\)-模 \(K^{\oplus m}\) 的 \(n\) 个副本的直和， 则 \(C = \text{Mat}(n \times n, K^{op})\)（再次应用该引理）。 因此 \(\dim_k(M) = nm [K : k]\)， \([B : k] [L : k] = m^2 [K : k]\)， \([C : k] = n^2 [K : k]\)，且 \([A : k] [L : k] = \dim_k(M)^2\)（仍由该引理）。 由此得到 (2)。
对 \(C \subset A\) 应用 (2)，可知 (3) 成立：若 \(C'\) 是 \(C\) 在 \(A\) 中的中心化子，则 \([B : k] = [C' : k]\)， 而显然 \(B \subset C'\)。
引理
设 \(A\) 是 \(k\) 上的有限维中心单代数，\(B\) 是 \(A\) 的单子代数。 若 \(B\) 是中心 \(k\)-代数，则 \(A = B \otimes_k C\)，其中 \(C\) 是 \(B\) 在 \(A\) 中的（中心单）中心化子。
证明
由定理 074T， \(\dim_k(A) = \dim_k(B \otimes_k C)\)。 由引理 074F，该张量积是单的。 因此自然映射 \(B \otimes_k C \to A\) 是单射，从而是同构。
引理
设 \(A\) 是 \(k\) 上的有限维中心单代数。若 \(K \subset A\) 是子域， 则以下条件等价：
\([A : k] = [K : k]^2\)；
\(K\) 等于它自身的中心化子；并且
\(K\) 是极大交换子环。
证明
定理 074T 表明 (1) 与 (2) 等价。 显然，(3) 与 (2) 等价。
引理
设 \(A\) 是 \(k\) 上的有限维中心除环。 则每个极大子域 \(K \subset A\) 都满足 \([A : k] = [K : k]^2\)。
证明
这是引理 074V 的特殊情形。
分裂域
定义
设 \(A\) 是有限维中心单 \(k\)-代数。若 \(A \otimes_k k'\) 是 \(k'\) 上的矩阵代数，则称域扩张 \(k'/k\) 分裂 \(A\)， 或称 \(k'\) 是 \(A\) 的一个分裂域。
等价地说，\(A\) 的类在映射 \(\text{Br}(k) \to \text{Br}(k')\) 下映为零。
定理
设 \(A\) 是有限维中心单 \(k\)-代数，\(k'/k\) 是有限域扩张。 以下条件等价：
\(k'\) 分裂 \(A\)；并且
存在一个与 \(A\) 相似的有限维中心单代数 \(B\)，使得 \(k' \subset B\) 且 \([B : k] = [k' : k]^2\)。
证明
假设 (2) 成立。只需证明 \(B \otimes_k k'\) 是矩阵代数。 已知 \(B \otimes_k B^{op} \cong \text{End}_k(B)\)。 由引理 074V，\(k'\) 是 \(B^{op}\) 中 \(k'\) 的中心化子，故 \(B \otimes_k k'\) 是 \(k \otimes k'\) 在 \(B \otimes_k B^{op} = \text{End}_k(B)\) 中的中心化子。 当然，这个中心化子就是 \(\text{End}_{k'}(B)\)，其中借助嵌入 \(k' \to B\) 将 \(B\) 视为 \(k'\)-向量空间。结论随即成立。
假设 (1) 成立。这意味着对某个 \(k'\)-向量空间 \(V\)，存在同构 \(A \otimes_k k' \cong \text{End}_{k'}(V)\)。 令 \(B\) 为 \(A\) 在 \(\text{End}_k(V)\) 中的交换子。注意 \(k'\) 包含于 \(B\)。由 引理 074U， \(A\) 与 \(B\) 的类在 \(\text{Br}(k)\) 中之和为零。 由 定理 074T 中的维数公式， \[[B : k] [A : k] = \dim_k(V)^2 = [k' : k]^2 \dim_{k'}(V)^2 = [k' : k]^2 [A : k].\] 因此 \([B : k] = [k' : k]^2\)。这样，我们已对 \(A\) 的 Brauer 类的相反类证明了结论。但 \(k'\) 分裂 \(A\) 的 Brauer 类，当且仅当 它分裂反代数的 Brauer 类，故结论仍然成立。
引理
\(k\) 上有限维中心除环 \(K\) 的任一极大子域都是 \(K\) 的分裂域。
证明
引理
设 \(K\) 是 \(k\) 上的有限维中心除环，并令 \(d^2 = [K : k]\)。 对 \(K\) 的任一有限分裂域 \(k'\)，次数 \([k' : k]\) 可被 \(d\) 整除。
证明
由定理 074Z，存在 Brauer 类与 \(K\) 相同的 有限维中心单代数 \(B\)，使得 \([B : k] = [k' : k]^2\)。 由 引理 074K， 对某个 \(n\) 有 \(B = \text{Mat}(n \times n, K)\)。 于是 \([k' : k]^2 = n^2d^2\)，结论得证。
命题
设 \(K\) 是 \(k\) 上的有限维中心除环。存在极大子域 \(k \subset k' \subset K\)，使得它在 \(k\) 上可分。
特别地，每个 Brauer 类都有一个有限可分分裂域。
证明
由于每个 Brauer 类都可由 \(k\) 上的有限维中心除环表示， 第二个断言由第一个断言和 引理 0750 立即得到。
为证明第一个断言，设已给定可分子域 \(k' \subset K\)。 则 \(k'\) 在 \(K\) 中的中心化子 \(K'\) 以 \(k'\) 为中心，问题归结为 寻找 \(K'\) 的一个在 \(k'\) 上可分的极大子域。因此只需证明： 若 \(k \not = K\)，则存在 \(x \in K\)、\(x \not \in k\)，且该元素 在 \(k\) 上可分。在特征零时，这是显然的。因此可设 \(k\) 的特征为 \(p > 0\)。若基域 \(k\) 有限，结论同样显然（因为有限域的扩张总是 可分的）。故可设 \(k\) 是正特征无限域。
反设 \(K\) 中没有元素在 \(k\) 上可分，以求矛盾。由 《域》，第 037H 节 中的讨论，这意味着任意 \(x \in K\) 的最小多项式都形如 \(T^q - a\)，其中 \(q\) 是 \(p\) 的幂且 \(a \in k\)。 显然，\(K\) 中每个元素的最小多项式，其次数都满足 \(\leq \dim_k(K)\)，故存在一个固定的 \(p\) 的幂 \(q\)，使得对所有 \(x \in K\) 都有 \(x^q \in k\)。
考虑如下映射： \[(-)^q : K \longrightarrow K\] 取 \(K\) 的一组 \(k\)-基 \(\{a_1, \ldots, a_n\}\)，其中 \(a_1 = 1\)，用这组基将该映射写成 \[(\sum x_i a_i)^q = \sum f_i(x_1, \ldots, x_n)a_i.\] 由于 \(K\) 上的乘法是 \(k\)-双线性的，每个 \(f_i\) 都是 \(x_1, \ldots, x_n\) 的多项式（细节从略）。 上述 \(q\) 的选择以及 \(k\) 为无限域这一事实表明，对 \(i \geq 2\)， \(f_i\) 恒为零。因此，将 \(k\) 扩张到其代数闭包 \(\overline{k}\) 后，它仍恒为零。但代数 \(K \otimes_k \overline{k}\) 是矩阵代数（例如由 引理 074H 与 074M）， 这意味着存在某些元素，其 \(q\) 次幂不是中心元素 （例如 \(e_{11}\)）。这就是所需的矛盾。
以上结果使我们能够如下刻画有限维中心单代数。
引理
设 \(k\) 为域。对 \(k\)-代数 \(A\)，以下条件等价：
\(A\) 是有限维中心单 \(k\)-代数；
\(A\) 是有限维 \(k\)-向量空间，\(k\) 是 \(A\) 的中心，且 \(A\) 没有非平凡双边理想；
存在 \(d \geq 1\)，使得 \(A \otimes_k \bar k \cong \text{Mat}(d \times d, \bar k)\)；
存在 \(d \geq 1\)，使得 \(A \otimes_k k^{sep} \cong \text{Mat}(d \times d, k^{sep})\)；
存在 \(d \geq 1\) 及有限 Galois 扩张 \(k'/k\)，使得 \(A \otimes_k k' \cong \text{Mat}(d \times d, k')\)；
存在 \(n \geq 1\) 及 \(k\) 上的有限维中心除环 \(K\)，使得 \(A \cong \text{Mat}(n \times n, K)\)。
整数 \(d\) 称为 \(A\) 的次数。
证明
(1) 与 (2) 的等价性直接来自定义，见第 073Y 节。 设 (1) 成立。由 命题 0752， \(A\) 有一个可分分裂域 \(k \subset k'\)。 当然，\(k'/k\) 的一个 Galois 闭包也是分裂域。 所以 (1) 蕴含 (5)。显然，(5) \(\Rightarrow\) (4) \(\Rightarrow\) (3)。设 (3) 成立。则 \(A \otimes_k \overline{k}\) 是有限维中心单 \(\overline{k}\)-代数，例如可由 引理 074D 得到。 这显然蕴含 \(A\) 是有限维中心单 \(k\)-代数。 最后，(1) 与 (6) 的等价性就是 Wedderburn 定理，见 定理 0747。
这意味着，给定 \(a'' \in A''\) 与 \(m \in M\)，有乘积 \(m a'' \in M\)。特别地， \(A''\) 中的乘法次序与把 \(A''\) 的元素写成从左作用的自同态时 得到的次序相反。↩︎