同调代数

引言

本文将讲解基础同调代数。我们会依其他各篇所需而继续补充，因为这方面的材料显然浩如烟海。可参见 [Maclane]。

基本概念

下列概念视为基础概念，本文不再定义或证明。这并不意味着它们必然都很容易或广为人知。

1. 暂无。

预加性范畴与加性范畴

先给出预加性范畴的定义。

定义

若范畴 \(\mathcal{A}\) 的每个态射集 \(\Mor_\mathcal{A}(x, y)\) 都带有阿贝尔群结构，并且复合映射 \[\Mor(x, y) \times \Mor(y, z) \longrightarrow \Mor(x, z)\] 是双线性的，则称该范畴为预加性范畴。预加性范畴之间的函子 \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 称为加性函子，当且仅当对所有 \(x, y \in \Ob(\mathcal{A})\)，映射 \(F : \Mor(x, y) \to \Mor(F(x), F(y))\) 都是阿贝尔群同态。

特别地，对每一对 \(x, y\)，至少存在一个态射 \(x \to y\)，即零映射。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为预加性范畴，\(x\) 为 \(\mathcal{A}\) 的对象。下列条件等价：

1. \(x\) 是始对象；

2. \(x\) 是终对象；

3. 在 \(\Mor_\mathcal{A}(x, x)\) 中有 \(\text{id}_x = 0\)。

此外，若这样的对象 \(0\) 存在，则态射 \(\alpha : y \to z\) 可通过 \(0\) 分解，当且仅当 \(\alpha = 0\)。

证明

先假设 \(x\) 是 (1) 始对象或 (2) 终对象。两种情形下，\(\Mor(x,x)\) 都是包含 \(\text{id}_x\) 的平凡阿贝尔群，故在 \(\Mor(x, x)\) 中 \(\text{id}_x = 0\)。因此 (1) 与 (2) 均蕴含 (3)。

现假设在 \(\Mor(x,x)\) 中 \(\text{id}_x = 0\)。任取 \(\mathcal{A}\) 的对象 \(y\) 及 \(f \in \Mor(x ,y)\)。以 \(C : \Mor(x,x) \times \Mor(x,y) \to \Mor(x,y)\) 表示复合映射。于是 \(f = C(0, f)\)；又因 \(C\) 双线性，\(C(0, f) = 0\)。故 \(f = 0\)，从而 \(x\) 是 \(\mathcal{A}\) 的始对象。对 \(f \in \Mor(y, x)\) 作同样论证，可知 \(x\) 也是终对象。因此 (3) 蕴含 (1) 与 (2)。

定义

在预加性范畴 \(\mathcal{A}\) 中，同时为终对象与始对象（如引理 00ZZ）的对象称为零对象，记作 \(0\)。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为预加性范畴，\(x, y \in \Ob(\mathcal{A})\)。若积 \(x \times y\) 存在，则余积 \(x \amalg y\) 也存在；若余积 \(x \amalg y\) 存在，则积 \(x \times y\) 也存在。在这种情形下还有 \(x \amalg y \cong x \times y\)。

证明

设 \(z = x \times y\)，投影为 \(p : z \to x\) 与 \(q : z \to y\)。以 \(i : x \to z\) 表示对应于 \((1, 0)\) 的态射，以 \(j : y \to z\) 表示对应于 \((0, 1)\) 的态射。于是有交换图 \[\xymatrix{ x \ar[rr]^1 \ar[rd]^i & & x \\ & z \ar[ru]^p \ar[rd]^q & \\ y \ar[rr]^1 \ar[ru]^j & & y }\] 其中两条对角线上的复合均为零。由此可知 \(i \circ p + j \circ q : z \to z\) 是恒等态射，因为它与 \(p\) 复合得到 \(p\)，与 \(q\) 复合得到 \(q\)。 给定态射 \(a : x \to w\) 与 \(b : y \to w\)，可构造映射 \(a \circ p + b \circ q : z \to w\)。这样便得到双射 \(\Mor(z, w) = \Mor(x, w) \times \Mor(y, w)\)，从而说明 \(z = x \amalg y\)。

若从余积 \(x \amalg y\) 而非积出发，我们把态射 \(p, q\) 的构造留给读者。

定义

给定预加性范畴 \(\mathcal{A}\) 中的一对对象 \(x, y\)，\(x\) 与 \(y\) 的 直和 \(x \oplus y\) 是直积 \(x \times y\)，并配备引理 0101 中的态射 \(i, j, p, q\)。

注

注意，引理 0101 的证明表明：给定 \(p\) 与 \(q\) 后，态射 \(i\), \(j\) 由关系 \(p \circ i = \text{id}_x\)、\(q \circ j = \text{id}_y\)、\(p \circ j = 0\)、\(q \circ i = 0\) 唯一确定。此外自动有 \(i \circ p + j \circ q = \text{id}_{x \oplus y}\)。类似地，给定 \(i\), \(j\) 后，态射 \(p\) 与 \(q\) 也唯一确定。

最后，若给定对象 \(x, y, z\) 以及态射 \(i : x \to z\)、\(j : y \to z\)、\(p : z \to x\)、\(q : z \to y\)，并满足 \(p \circ i = \text{id}_x\)、\(q \circ j = \text{id}_y\)、\(p \circ j = 0\)、\(q \circ i = 0\) 及 \(i \circ p + j \circ q = \text{id}_z\)，则 \(z\) 是 \(x\) 与 \(y\) 的直和，其四个结构态射分别为 \(i, j, p, q\)。

引理

设 \(\mathcal{A}\)、\(\mathcal{B}\) 为预加性范畴，\(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 为加性函子。则 \(F\) 将直和变为直和，并将零对象变为零对象。

证明

设 \(F\) 为加性函子。依注记 0103，\(x\) 与 \(y\) 的直和 \(z\) 可由态射 \(i : x \to z\)、\(j : y \to z\)、\(p : z \to x\)、\(q : z \to y\) 及关系 \(p \circ i = \text{id}_x\)、\(q \circ j = \text{id}_y\)、\(p \circ j = 0\)、\(q \circ i = 0\)、\(i \circ p + j \circ q = \text{id}_z\) 刻画。显然，\(F(x), F(y), F(z)\) 与态射 \(F(i), F(j), F(p), F(q)\) 满足完全相同的关系（由加性），故 \(F(z)\) 是 \(F(x)\) 与 \(F(y)\) 的直和。因此，\(F\) 将直和变为直和。

要看出 \(F\) 将零对象变为零对象，使用引理 00ZZ 中零对象的刻画 (3) 即可。

定义

若范畴 \(\mathcal{A}\) 是预加性的且有限积存在，换言之，它有零对象和直和，则称它为加性范畴。

事实上，空积是有限积；若其存在，它就是终对象。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为预加性范畴，\(f : x \to y\) 为态射。

1. \(f\) 的一个核是态射 \(i : z \to x\)，满足：(a) \(f \circ i = 0\)；(b) 对任何满足 \(f \circ i' = 0\) 的 \(i' : z' \to x\)，存在唯一态射 \(g : z' \to z\) 使得 \(i' = i \circ g\)。

2. 若 \(f\) 的核存在，则将其记作 \(\Ker(f) \to x\)。

3. \(f\) 的一个余核是态射 \(p : y \to z\)，满足：(a) \(p \circ f = 0\)；(b) 对任何满足 \(p' \circ f = 0\) 的 \(p' : y \to z'\)，存在唯一态射 \(g : z \to z'\) 使得 \(p' = g \circ p\)。

4. 若 \(f\) 的余核存在，则将其记作 \(y \to \Coker(f)\)。

5. 若 \(f\) 的核存在，则 \(f\) 的一个余像是态射 \(\Ker(f) \to x\) 的余核。

6. 若核和余像均存在，则将其记作 \(x \to \Coim(f)\)。

7. 若 \(f\) 的余核存在，则 \(f\) 的像是态射 \(y \to \Coker(f)\) 的核。

8. 若 \(f\) 的余核和像均存在，则将其记作 \(\Im(f) \to y\)。

在上述定义中，我们谈到“该核”和“该余核”时，默认使用了它们在唯一同构意义下的唯一性。这由 Yoneda 引理推出（《范畴》，第 001L 节），因为 \(f : x \to y\) 的核表示这样一个函子：它把对象 \(z\) 送到集合 \(\Ker(\Mor_\mathcal{A}(z, x) \to \Mor_\mathcal{A}(z, y))\)。余核的情形与之对偶。

首先如下说明直和与核之间的关系。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为预加性范畴。设 \(x \oplus y\) 连同态射 \(i, j, p, q\) 如引理 0101 所述，是 \(\mathcal{C}\) 中的直和。则 \(i : x \to x \oplus y\) 是 \(q : x \oplus y \rightarrow y\) 的核。对偶地，\(p\) 是 \(j\) 的余核。

证明

设 \(f : z' \to x \oplus y\) 满足 \(q \circ f = 0\)。须证明存在唯一态射 \(g : z' \to x\) 使 \(f = i \circ g\)。由于 \(i \circ p + j \circ q\) 是 \(x \oplus y\) 上的恒等态射，故 \[f = (i \circ p + j \circ q) \circ f = i \circ p \circ f\] 所以取 \(g = p \circ f\) 即可。唯一性来自 \(p \circ i\) 是 \(x\) 上的恒等态射。第二个断言的证明与此对偶。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为预加性范畴，\(f : x \to y\) 为 \(\mathcal{C}\) 中的态射。

1. 若 \(f\) 的核存在，则该核是单态射。

2. 若 \(f\) 的余核存在，则该余核是满态射。

3. 若 \(f\) 的核和余像存在，则该余像是满态射。

4. 若 \(f\) 的余核和像存在，则该像是单态射。

证明

(1) 直接来自核定义中的唯一性。(2) 的证明与之对偶。(3) 由 (2) 推出，因为余像是一个余核；类似地，(4) 由 (1) 推出。

引理

设 \(f : x \to y\) 是预加性范畴中的态射，并且其核、余核、像和余像均存在。则 \(f\) 唯一分解为 \(x \to \Coim(f) \to \Im(f) \to y\)。

证明

因为 \(\Ker(f) \to x \to y\) 为零，所以有典范态射 \(\Coim(f) \to y\)。复合 \(\Coim(f) \to y \to \Coker(f)\) 为零，因为它是唯一诱导出零态射 \(x \to y \to \Coker(f)\) 的态射（唯一性由引理 0E43 (3) 得到）。因此，\(\Coim(f) \to y\) 唯一地通过 \(\Im(f) \to y\) 分解，从而得到所需映射。

例

设 \(k\) 为域。考虑 \(k\) 上滤过向量空间所成的范畴（见定义 0121）。考虑滤过向量空间 \((V, F)\) 与 \((W, F)\)，其中 \(V = W = k\) 且 \[F^iV = \left\{ \begin{matrix} V & \text{若} & i < 0 \\ 0 & \text{若} & i \geq 0 \end{matrix} \right. \text{ 且 } F^iW = \left\{ \begin{matrix} W & \text{若} & i \leq 0 \\ 0 & \text{若} & i > 0 \end{matrix} \right.\] 底层向量空间上的 \(\text{id}_k\) 所对应的映射 \(f : V \to W\) 具有平凡的核与余核，却不是同构。还要注意，\(\Coim(f) = V\) 且 \(\Im(f) = W\)。这说明 \(k\) 上滤过向量空间所成的范畴不是阿贝尔范畴。

最后以若干关于分裂幂等自同态之像的引理结束本节。回顾：若自同态 \(f\) 满足 \(f \circ f = f\)，则称其为幂等的。

注

设 \(\mathcal{A}\) 为预加性范畴，\(x\) 为 \(\mathcal{A}\) 的对象，\(f : x \to x\) 为幂等态射。令 \(g = \text{id} _ x - f\)，则 \(f \circ g = 0\)、\(g \circ f = 0\) 且 \(g \circ g = g\)。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为预加性范畴，\(x\) 为 \(\mathcal{A}\) 的对象，\(f : x \to x\) 为幂等态射。令 \(g = \text{id} _ x - f\)；由注记 0H9N，有 \(f \circ g = g \circ f = 0\)。

1. 若 \(f\) 有核 \(i : \Ker (f) \to x\)，且 \(p\) 是满足 \(g = i \circ p\) 的唯一态射，则 \(p \circ i = \text{id} _ {\Ker (f)}\)，并且 \(p\) 是 \(f\) 的余核。

2. 若 \(f\) 有余核 \(p : x \to \Coker (f)\)，且 \(i\) 是满足 \(g = i \circ p\) 的唯一态射，则 \(p \circ i = \text{id} _ {\Coker (f)}\)，并且 \(i\) 是 \(f\) 的核。

3. 若 \(g\) 有核 \(j : \Ker (g) \to x\)，且 \(q\) 是满足 \(f = j \circ q\) 的唯一态射，则 \(q \circ j = \text{id} _ {\Ker (g)}\)，并且 \(q\) 是 \(g\) 的余核。

4. 若 \(g\) 有余核 \(q : x \to \Coker (g)\)，且 \(j\) 是满足 \(f = j \circ q\) 的唯一态射，则 \(q \circ j = \text{id} _ {\Coker (g)}\)，并且 \(j\) 是 \(g\) 的核。

证明

先证 (1)。首先计算 \(i = (f + g) \circ i = g \circ i\)。由 \(p\) 的构造，这蕴含 \(i \circ p \circ i = g \circ i = i \circ \text{id} _ {\Ker (f)}\)。 由引理 0E43 得 \(p \circ i = \text{id} _ {\Ker (f)}\)。

尚须证明 \(p : x \to \Ker (f)\) 满足 \(f\) 的余核之泛性质：即给定满足 \(a \circ f = 0\) 的态射 \(a : x \to y\)，存在唯一态射 \(b : \Ker (f) \to y\) 使 \(a = b \circ p\)。先计算 \(a = a \circ (f + g) = a \circ g\)；再由 \(p\) 的构造得到 \(a = a \circ g = a \circ i \circ p\)，故存在性可取 \(b = a \circ i\)。唯一性来自 \(b = b \circ p \circ i = a \circ i\)，即 \(a\) 决定 \(b\)。

分别借助对偶性、对称性（即 \(g\) 本身幂等；参见注记 0H9N）以及二者兼用，(2)、(3)、(4) 可按 (1) 同样推出。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为预加性范畴，\(x\) 为 \(\mathcal{A}\) 的对象，\(f : x \to x\) 为幂等态射。令 \(g = \text{id} _ x - f\)。若 \(f\) 与 \(g\) 各自至少有核或余核之一，并依引理 0H9P 的陈述构造态射 \(i , j , p , q\)，则四个（余）核全部存在，且 \[\begin{align*} x & \simeq \Ker (f) \oplus \Ker (g) \\ & \simeq \Coker (f) \oplus \Ker (g) \\ & \simeq \Ker (f) \oplus \Coker (g) \\ & \simeq \Coker (f) \oplus \Coker (g), \end{align*}\] 其中每个直积的结构均由 \(i , j , p , q\) 给出。

证明

由引理 0H9P， \(p \circ i = \text{id} _ {\Ker (f)} = \text{id} _ {\Coker (f)}\)，且 \(q \circ j = \text{id} _ {\Ker (g)} = \text{id} _ {\Coker (g)}\)。由构造，\(i \circ p + j \circ q = f + g = \text{id} _ x\)。结论由注记 0103 得出。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为预加性范畴，\(x\) 与 \(y\) 为 \(\mathcal{A}\) 的对象，态射 \(j : y \to x\) 与 \(q : x \to y\) 满足 \(q \circ j = \text{id} _ y\)。则

1. \(\text{id} _ x - j \circ q\) 以 \(j\) 为核；

2. \(\text{id} _ x - j \circ q\) 以 \(q\) 为余核。

证明

先证 (1)。首先计算 \((\text{id} _ x - j \circ q) \circ j = 0\)。须证明 \(j\) 满足 \(\text{id} _ {x} - j \circ q\) 的核之泛性质：即给定满足 \((\text{id} _ x - j \circ q) \circ a = 0\) 的态射 \(a : z \to x\)，存在唯一态射 \(b : z \to y\) 使 \(a = j \circ b\)。由 \(a = j \circ q \circ a\) 可知存在性成立，可取 \(b = q \circ a\)。由 \(b = q \circ j \circ b = q \circ a\) 可知唯一性成立，即 \(a\) 决定 \(b\)。

(2) 由对偶性按 (1) 推出。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为预加性范畴，\(x\) 与 \(y\) 为 \(\mathcal{A}\) 的对象，态射 \(j : y \to x\) 与 \(q : x \to y\) 满足 \(q \circ j = \text{id} _ y\)。若 \(j \circ q\) 至少有核或余核之一，则两者均存在，且 \[\begin{align*} x & \simeq \Ker (j \circ q) \oplus y \\ & \simeq \Coker (j \circ q) \oplus y, \end{align*}\] 其中任一直积的结构都包含 \(j , q\) 与典范（余）核态射，而剩余映射则唯一确定。

证明

令 \(f = j \circ q\)，计算得 \(f \circ f = f\)，再应用引理 0H9Q 与引理 0H9R。

Karoubian 范畴

初次阅读时可略过本节。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为预加性范畴。若 \(\mathcal{C}\) 中每个对象的每个幂等自同态都有核，则称 \(\mathcal{C}\) 为 Karoubian 范畴。

对偶概念应是每个对象的每个幂等自同态都有余核。然而，由下述引理（的对偶）可知，这给出等价的概念。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为预加性范畴。下列条件等价：

1. \(\mathcal{C}\) 是 Karoubian 范畴；

2. \(\mathcal{C}\) 中每个对象的每个幂等自同态都有余核；

3. 给定 \(\mathcal{C}\) 中的幂等自同态 \(p : z \to z\)，存在直和分解 \(z = x \oplus y\)，使 \(p\) 对应于到 \(y\) 上的投影。

证明

由引理 0H9P、0H9Q 和 09QG 立即得到。

引理

设 \(\mathcal{D}\) 为预加性范畴。

1. 若 \(\mathcal{D}\) 有可数积，且有右逆的映射均有核，则 \(\mathcal{D}\) 是 Karoubian 范畴。

2. 若 \(\mathcal{D}\) 有可数余积，且有左逆的映射均有余核，则 \(\mathcal{D}\) 是 Karoubian 范畴。

证明

设 \(X\) 为 \(\mathcal{D}\) 的对象，\(e : X \to X\) 为幂等态射。函子 \[W \longmapsto \Ker( \Mor_\mathcal{D}(W, X) \xrightarrow{e} \Mor_\mathcal{D}(W, X) )\] 可表示，当且仅当 \(e\) 有核。注意，对任意阿贝尔群 \(A\) 与幂等自同态 \(e : A \to A\)，都有 \[\Ker(e : A \to A) = \Ker(\Phi : \prod\nolimits_{n \in \mathbf{N}} A \to \prod\nolimits_{n \in \mathbf{N}} A )\] 其中 \[\Phi(a_1, a_2, a_3, \ldots) = (ea_1 + (1 - e)a_2, ea_2 + (1 - e)a_3, \ldots)\] 此外，\(\Phi\) 有右逆 \[\Psi(a_1, a_2, a_3, \ldots) = (a_1, (1 - e)a_1 + ea_2, (1 - e)a_2 + ea_3, \ldots).\] 故 (1) 成立。(2) 的证明与之对偶（使用 Karoubian 范畴的对偶定义，即引理 09SH 的条件 (2)）。

阿贝尔范畴

阿贝尔范畴是满足恰好足以使蛇引理成立的一组公理的范畴。有一条公理有时会被忘记：引理 0107 中的典范映射 \(\Coim(f) \to \Im(f)\) 总是同构。例 0108 表明这条公理确有必要。

定义

若范畴 \(\mathcal{A}\) 是加性范畴，所有核和余核均存在，并且对其中的每个态射 \(f\)，自然映射 \(\Coim(f) \to \Im(f)\) 都是同构，则称 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为预加性范畴。态射集上的加法使 \(\mathcal{A}^{opp}\) 成为预加性范畴。此外，\(\mathcal{A}\) 是加性范畴当且仅当 \(\mathcal{A}^{opp}\) 是加性范畴；\(\mathcal{A}\) 是阿贝尔范畴当且仅当 \(\mathcal{A}^{opp}\) 是阿贝尔范畴。

证明

第一个断言直接可得。为说明 \(\mathcal{A}\) 是加性范畴当且仅当 \(\mathcal{A}^{opp}\) 是加性范畴，回顾加性可由零对象和直和的存在性刻画，而二者在取对偶范畴时均得以保留。最后，为说明 \(\mathcal{A}\) 是阿贝尔范畴当且仅当 \(\mathcal{A}^{opp}\) 是阿贝尔范畴，只需观察 \(\mathcal{A}^{opp}\) 中的核、余核、像和余像分别对应于 \(\mathcal{A}\) 中的余核、核、余像和像。

定义

设 \(f : x \to y\) 为阿贝尔范畴中的态射。

1. 若 \(\Ker(f) = 0\)，则称 \(f\) 为单射态射。

2. 若 \(\Coker(f) = 0\)，则称 \(f\) 为满射态射。

若 \(x \to y\) 为单射态射，则称 \(x\) 为 \(y\) 的子对象，并记作 \(x \subset y\)。若 \(x \to y\) 为满射态射，则称 \(y\) 为 \(x\) 的一个商。

引理

设 \(f : x \to y\) 为阿贝尔范畴 \(\mathcal{A}\) 中的态射。则

1. \(f\) 为单射态射，当且仅当 \(f\) 为单态射；

2. \(f\) 为满射态射，当且仅当 \(f\) 为满态射；

3. \(f\) 为同构，当且仅当 \(f\) 既为单射态射又为满射态射。

证明

证明 (1)。回顾 \(\Ker(f)\) 表示把 \(z\) 送到 \(\Ker(\Mor_\mathcal{A}(z, x) \to \Mor_\mathcal{A}(z, y))\) 的函子，见定义 0106。因此，\(\Ker(f)\) 为 \(0\)，当且仅当对所有 \(z\)，\(\Mor_\mathcal{A}(z, x) \to \Mor_\mathcal{A}(z, y)\) 都是单射，也当且仅当 \(f\) 是单态射。(2) 的证明类似。对 (3)，同构既是单态射又是满态射，由 (1)、(2) 可知 \(f\) 既为单射态射又为满射态射。反之，若 \(f\) 既为单射态射又为满射态射，则 \(x = \Coim(f)\) 且 \(y = \Im(f)\)，所以 \(f\) 是同构。

在阿贝尔范畴中，若 \(x \subset y\) 为子对象，则记 \[y/x = \Coker(x \to y).\]

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。\(\mathcal{A}\) 中所有有限极限与有限余极限都存在。

证明

要证明有限极限存在，只需证明有限积与等化子存在，见《范畴》，引理 002O。有限积由定义存在，而 \(a, b : x \to y\) 的等化子是 \(a - b\) 的核。有限余极限的论证与此类似且对偶。

例

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。\(\mathcal{A}\) 中推出与纤维积有如下简单描述：

1. 若 \(a : x \to y\)、\(b : z \to y\) 是 \(\mathcal{A}\) 中的态射，则纤维积为 \(x \times_y z = \Ker((a, -b) : x \oplus z \to y)\)。

2. 若 \(a : y \to x\)、\(b : y \to z\) 是 \(\mathcal{A}\) 中的态射，则推出为 \(x \amalg_y z = \Coker((a, -b) : y \to x \oplus z)\)。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为加性范畴。考虑 \(\mathcal{A}\) 中的态射序列 \[\ldots \to x \to y \to z \to \ldots \quad\text{或}\quad x_1 \to x_2 \to \ldots \to x_n\] 若任意两个相邻（画出的）箭头之复合为零，则称这样的序列为复形。若 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，则称上面第一类复形在 \(y\) 处正合，若 \(\Im(x \to y) = \Ker(y \to z)\)；称第二类复形在 \(x_i\) 处（其中 \(1 < i < n\)）正合，若 \(\Im(x_{i - 1} \to x_i) = \Ker(x_i \to x_{i + 1})\)。若上述序列是复形并且在每个对象处（第一种情形）或在所有满足 \(1 < i < n\) 的 \(x_i\) 处（第二种情形）正合，则称其正合，或称为正合序列、正合复形。

对如下形状的序列也有相应的概念： \[\ldots \to x_{-3} \to x_{-2} \to x_{-1} \quad\text{且}\quad x_1 \to x_2 \to x_3 \to \ldots\] 形如 \[0 \to A \to B \to C \to 0.\] 的正合复形称为短正合序列。

在下述引理中，我们假定读者知道阿贝尔群序列正合的含义。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。设 \(0 \to M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0\) 为 \(\mathcal{A}\) 中的复形。

1. \(M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0\) 正合，当且仅当对 \(\mathcal{A}\) 的所有对象 \(N\)，阿贝尔群序列 \[0 \to \Hom_\mathcal{A}(M_3, N) \to \Hom_\mathcal{A}(M_2, N) \to \Hom_\mathcal{A}(M_1, N)\] 正合；

2. \(0 \to M_1 \to M_2 \to M_3\) 正合，当且仅当对 \(\mathcal{A}\) 的所有对象 \(N\)，阿贝尔群序列 \[0 \to \Hom_\mathcal{A}(N, M_1) \to \Hom_\mathcal{A}(N, M_2) \to \Hom_\mathcal{A}(N, M_3)\] 正合。

证明

略。提示：见《代数》，引理 0582。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(i : A \to B\) 与 \(q : B \to C\) 为 \(\mathcal{A}\) 中的态射，使 \(0 \to A \to B \to C \to 0\) 成为短正合序列。若存在态射 \(j : C \to B\) 与 \(p : B \to A\)，使 \((B, i, j, p, q)\) 是 \(A\) 与 \(C\) 的直和，则称该短正合序列分裂。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(0 \to A \to B \to C \to 0\) 为短正合序列。

1. 给定 \(B \to C\) 的右逆态射 \(s : C \to B\)，存在唯一 \(\pi : B \to A\)，使 \((s, \pi)\) 按定义 010F 分裂该短正合序列。

2. 给定 \(A \to B\) 的左逆态射 \(\pi : B \to A\)，存在唯一 \(s : C \to B\)，使 \((s, \pi)\) 按定义 010F 分裂该短正合序列。

证明

这是引理 0H9S 的直接推论。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。设 \[\xymatrix{ w\ar[r]^f\ar[d]_g & y\ar[d]^h\\ x\ar[r]^k & z }\] 为交换图。

1. 该图是笛卡尔图，当且仅当 \[0 \to w \xrightarrow{(g, f)} x \oplus y \xrightarrow{(k, -h)} z\] 正合。

2. 该图是余笛卡尔图，当且仅当 \[w \xrightarrow{(g, -f)} x \oplus y \xrightarrow{(k, h)} z \to 0\] 正合。

证明

令 \(u = (g, f) : w \to x \oplus y\)，\(v = (k, -h) : x \oplus y \to z\)。令 \(p : x \oplus y \to x\) 与 \(q : x \oplus y \to y\) 为典范投影，\(i : \Ker(v) \to x \oplus y\) 为典范单射。由例 05PJ，该图为笛卡尔图，当且仅当存在同构 \(r : \Ker(v) \to w\)，满足 \(f \circ r = q \circ i\) 且 \(g \circ r = p \circ i\)。序列 \(0 \to w \overset{u} \to x \oplus y \overset{v} \to z\) 正合，当且仅当存在同构 \(r : \Ker(v) \to w\) 使 \(u \circ r = i\)。但给定 \(r : \Ker(v) \to w\)，有 \(f \circ r = q \circ i\) 且 \(g \circ r = p \circ i\)，当且仅当 \(q \circ u \circ r= f \circ r = q \circ i\) 且 \(p \circ u \circ r = g \circ r = p \circ i\)，亦即当且仅当 \(u \circ r = i\)。这证明了 (1)，而 (2) 由对偶性得出。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。设 \[\xymatrix{ w\ar[r]^f\ar[d]_g & y\ar[d]^h\\ x\ar[r]^k & z }\] 为交换图。

1. 若该图为笛卡尔图，则由 \(g\) 诱导的态射 \(\Ker(f)\to\Ker(k)\) 是同构。

2. 若该图为余笛卡尔图，则由 \(h\) 诱导的态射 \(\Coker(f)\to\Coker(k)\) 是同构。

证明

设该图为笛卡尔图。令 \(e:\Ker(f)\to\Ker(k)\) 为 \(g\) 诱导的态射，\(i:\Ker(f)\to w\) 与 \(j:\Ker(k)\to x\) 为典范单射。存在 \(t:\Ker(k)\to w\)，满足 \(f\circ t=0\) 且 \(g\circ t=j\)。因此存在 \(u:\Ker(k)\to\Ker(f)\)，使 \(i\circ u=t\)。于是 \(g\circ i\circ u\circ e=g\circ t\circ e=j\circ e=g\circ i\) 且 \(f\circ i\circ u\circ e=0=f\circ i\)，故 \(i\circ u\circ e=i\)。因 \(i\) 为单态射，\(u\circ e=\text{id}_{\Ker(f)}\)。又有 \(j\circ e\circ u=g\circ i\circ u=g\circ t=j\)；因 \(j\) 为单态射，\(e\circ u=\text{id}_{\Ker(k)}\)。这证明 (1)，(2) 由对偶性得出。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。设 \[\xymatrix{ w\ar[r]^f\ar[d]_g & y\ar[d]^h\\ x\ar[r]^k & z }\] 为交换图。

1. 若该图为笛卡尔图且 \(k\) 为满态射，则该图为余笛卡尔图，且 \(f\) 为满态射。

2. 若该图为余笛卡尔图且 \(g\) 为单态射，则该图为笛卡尔图，且 \(h\) 为单态射。

证明

设该图为笛卡尔图且 \(k\) 为满态射。令 \(u = (g, f) : w \to x \oplus y\)，\(v = (k, -h) : x \oplus y \to z\)。因为 \(k\) 为满态射，\(v\) 也为满态射。因此结合引理 08N2，序列 \(0\to w\overset{u}\to x\oplus y\overset{v}\to z\to 0\) 正合。故由引理 08N2，该图为余笛卡尔图。最后，由引理 08N3 与引理 010C，\(f\) 为满态射。这证明 (1)，(2) 由对偶性得出。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。

1. 若 \(x \to y\) 为满射态射，则对每个 \(z \to y\)，投影 \(x \times_y z \to z\) 为满射态射。

2. 若 \(x \to y\) 为单射态射，则对每个 \(x \to z\)，态射 \(z \to z \amalg_x y\) 为单射态射。

证明

立即由引理 010C 与引理 08N4 得到。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。设 \(f:x\to y\) 与 \(g:y\to z\) 满足 \(g\circ f=0\)。则下列陈述等价：

1. 序列 \(x\overset{f}\to y\overset{g}\to z\) 正合。

2. 对每个满足 \(g\circ h=0\) 的 \(h:w\to y\)，存在对象 \(v\)、满态射 \(k:v\to w\) 与态射 \(l:v\to x\)，使 \(h\circ k=f\circ l\)。

证明

令 \(i:\Ker(g)\to y\) 为典范单射，\(p:x\to\Coim(f)\) 为典范投影，\(j:\Im(f)\to\Ker(g)\) 为典范单射。

假设 (1) 成立。设 \(h:w\to y\) 且 \(g\circ h=0\)。存在 \(c:w\to\Ker(g)\) 使 \(i\circ c=h\)。令 \(v=x\times_{\Ker(g)}w\)，其典范投影为 \(k:v\to w\) 与 \(l:v\to x\)，于是 \(c\circ k=j\circ p\circ l\)。故 \(h\circ k=i\circ c\circ k=i\circ j\circ p\circ l=f\circ l\)。由假设，\(j\circ p\) 为满态射，故由引理 08N4，\(k\) 为满态射。这蕴含 (2)。

假设 (2) 成立。则 \(g\circ i=0\)。故存在对象 \(w\)、满态射 \(k:w\to\Ker(g)\) 与态射 \(l:w\to x\)，使 \(f\circ l=i\circ k\)。于是 \(i\circ j\circ p\circ l=f\circ l=i\circ k\)。由于 \(i\) 为单态射，\(j\circ p\circ l=k\) 为满态射。因此 \(j\) 为满态射，从而是同构。这蕴含 (1)。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。设 \[\xymatrix{ x \ar[r]^f \ar[d]^\alpha & y \ar[r]^g \ar[d]^\beta & z \ar[d]^\gamma\\ u \ar[r]^k & v \ar[r]^l & w }\] 为交换图。

1. 若第一行正合且 \(k\) 为单态射，则诱导序列 \(\Ker(\alpha) \to \Ker(\beta) \to \Ker(\gamma)\) 正合。

2. 若第二行正合且 \(g\) 为满态射，则诱导序列 \(\Coker(\alpha) \to \Coker(\beta) \to \Coker(\gamma)\) 正合。

证明

设第一行正合且 \(k\) 为单态射。令 \(a:\Ker(\alpha)\to\Ker(\beta)\) 与 \(b:\Ker(\beta)\to\Ker(\gamma)\) 为诱导态射；令 \(h:\Ker(\alpha)\to x\)、\(i:\Ker(\beta)\to y\)、\(j:\Ker(\gamma)\to z\) 为典范单射。因 \(j\) 为单态射，有 \(b\circ a=0\)。设 \(c:s\to\Ker(\beta)\) 且 \(b\circ c=0\)。则 \(g\circ i\circ c=j\circ b\circ c=0\)。由引理 08N5，存在对象 \(t\)、满态射 \(d:t\to s\) 与态射 \(e:t\to x\)，使 \(i\circ c\circ d=f\circ e\)。于是 \(k\circ \alpha\circ e=\beta\circ f\circ e=\beta\circ i\circ c\circ d=0\)。因 \(k\) 为单态射，得 \(\alpha\circ e=0\)。故存在 \(m:t\to\Ker(\alpha)\) 使 \(h\circ m=e\)。于是 \(i\circ a\circ m=f\circ h\circ m=f\circ e=i\circ c\circ d\)。因 \(i\) 为单态射，\(a\circ m=c\circ d\)。因此引理 08N5 蕴含 (1)，而 (2) 由对偶性得出。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。设 \[\xymatrix{ & x \ar[r]^f \ar[d]^\alpha & y \ar[r]^g \ar[d]^\beta & z \ar[r] \ar[d]^\gamma & 0 \\ 0 \ar[r] & u \ar[r]^k & v \ar[r]^l & w }\] 为两行均正合的交换图。

1. 存在唯一态射 \(\delta : \Ker(\gamma) \to \Coker(\alpha)\)，使图 \[\xymatrix{ y \ar[d]_\beta & y \times_z \Ker(\gamma) \ar[l]_{\pi'} \ar[r]^{\pi} & \Ker(\gamma) \ar[d]^\delta \\ v \ar[r]^{\iota'} & \Coker(\alpha) \amalg_u v & \Coker(\alpha) \ar[l]_\iota }\] 交换，其中 \(\pi\)、\(\pi'\) 为典范投影，\(\iota\)、\(\iota'\) 为典范余注入。

2. 诱导序列 \[\Ker(\alpha) \xrightarrow{f'} \Ker(\beta) \xrightarrow{g'} \Ker(\gamma) \xrightarrow{\delta} \Coker(\alpha) \xrightarrow{k'} \Coker(\beta) \xrightarrow{l'} \Coker(\gamma)\] 正合。若 \(f\) 为单射态射，则 \(f'\) 亦然；若 \(l\) 为满射态射，则 \(l'\) 亦然。

证明

由引理 08N4，\(\pi\) 为满态射而 \(\iota\) 为单态射，故 \(\delta\) 的唯一性显然。令 \(p = y \times_z \Ker(\gamma)\)，\(q = \Coker(\alpha) \amalg_u v\)。令 \(h : \Ker(\beta) \to y\)、\(i : \Ker(\gamma) \to z\) 与 \(j : \Ker(\pi) \to p\) 为典范单射，并令 \(\pi'' : u \to \Coker(\alpha)\) 为典范投影。结合引理 08N4，得到如下各行正合的交换图： \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \Ker(\pi) \ar[r]^j & p \ar[r]^{\pi} \ar[d]_{\pi'} & \Ker(\gamma) \ar[d]_i \ar[r] & 0 \\ & x \ar[r]^f \ar[d]_\alpha & y \ar[r]^g \ar[d]_\beta & z \ar[d]_\gamma \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & u \ar[r]^k \ar[d]_{\pi''} & v \ar[r]^l \ar[d]_{\iota'} & w & \\ 0 \ar[r] & \Coker(\alpha) \ar[r]^\iota & q & & }\] 由于 \(l \circ \beta \circ \pi' = \gamma \circ i \circ \pi = 0\) 且上图第三行正合，存在 \(a : p \to u\) 使 \(k \circ a = \beta \circ \pi'\)。上图右上方框为笛卡尔图，故引理 08N3 给出满态射 \(b : x \to \Ker(\pi)\)，满足 \(\pi' \circ j \circ b = f\)。于是 \(k \circ a \circ j \circ b = \beta \circ \pi' \circ j \circ b = \beta \circ f = k \circ \alpha\)。因 \(k\) 为单态射，得 \(a \circ j \circ b = \alpha\)，进而 \(\pi'' \circ a \circ j \circ b = \pi'' \circ \alpha = 0\)。因 \(b\) 为满态射，这蕴含 \(\pi'' \circ a \circ j = 0\)。所以，由上图第一行的正合性，存在 \(\delta : \Ker(\gamma) \to \Coker(\alpha)\)，使 \(\delta \circ \pi = \pi'' \circ a\)。于是 \(\iota \circ \delta \circ \pi = \iota \circ \pi'' \circ a = \iota' \circ k \circ a = \iota' \circ \beta \circ \pi'\)，正如所需。

由于上图右上方框为笛卡尔图，存在 \(c : \Ker(\beta) \to p\)，使 \(\pi' \circ c = h\) 且 \(\pi \circ c = g'\)。于是 \(\iota \circ \delta \circ g' = \iota \circ \delta \circ \pi \circ c = \iota' \circ \beta \circ \pi' \circ c = \iota' \circ \beta \circ h = 0\)。因 \(\iota\) 为单态射，得 \(\delta \circ g' = 0\)。

再设 \(d : r \to \Ker(\gamma)\) 且 \(\delta \circ d = 0\)。把引理 08N5 应用于正合序列 \(p \xrightarrow{\pi} \Ker(\gamma) \to 0\) 与 \(d\)，得到对象 \(s\)、满态射 \(m : s \to r\) 和态射 \(n : s \to p\)，满足 \(\pi \circ n = d \circ m\)。由于 \(\pi'' \circ a \circ n = \delta \circ d \circ m = 0\)，把同一引理应用于正合序列 \(x \xrightarrow{\alpha} u \xrightarrow{p} \Coker(\alpha)\) 与 \(a \circ n\)，得到对象 \(t\)、满态射 \(\varepsilon : t \to s\) 与态射 \(\zeta : t \to x\)，满足 \(a \circ n \circ \varepsilon = \alpha \circ \zeta\)。有 \(\beta \circ \pi' \circ n \circ \varepsilon = k \circ \alpha \circ \zeta = \beta \circ f \circ \zeta\)。令 \(\eta = \pi' \circ n \circ \varepsilon - f \circ \zeta : t \to y\)，则 \(\beta \circ \eta = 0\)。故存在 \(\vartheta : t \to \Ker(\beta)\) 使 \(\eta = h \circ \vartheta\)。于是 \(i \circ g' \circ \vartheta = g \circ h \circ \vartheta = g \circ \pi' \circ n \circ \varepsilon - g \circ f \circ \zeta = i \circ \pi \circ n \circ \varepsilon = i \circ d \circ m \circ \varepsilon\)。因 \(i\) 为单态射，得 \(g' \circ \vartheta = d \circ m \circ \varepsilon\)。因此，由于 \(m \circ \varepsilon\) 为满态射，引理 08N5 蕴含 \(\Ker(\beta) \xrightarrow{g'} \Ker(\gamma) \xrightarrow{\delta} \Coker(\alpha)\) 正合。其余结论由引理 08N6 与对偶性得到。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。设 \[\xymatrix{ & & & x\ar[ld]\ar[rr]\ar[dd]^(.4)\alpha & & y\ar[ld]\ar[rr]\ar[dd]^(.4)\beta & & z\ar[ld]\ar[rr]\ar[dd]^(.4)\gamma & & 0\\ & & x'\ar[rr]\ar[dd]^(.4){\alpha'} & & y'\ar[rr]\ar[dd]^(.4){\beta'} & & z'\ar[rr]\ar[dd]^(.4){\gamma'} & & 0 & \\ & 0\ar[rr] & & u\ar[ld]\ar[rr] & & v\ar[ld]\ar[rr] & & w\ar[ld] & & \\ 0\ar[rr] & & u'\ar[rr] & & v'\ar[rr] & & w' & & & }\] 为各行正合的交换图。则诱导图 \[\xymatrix@C=15pt{ \Ker(\alpha) \ar[r] \ar[d] & \Ker(\beta) \ar[r] \ar[d] & \Ker(\gamma) \ar[r]^(.45){\delta} \ar[d] & \Coker(\alpha) \ar[r] \ar[d] & \Coker(\beta) \ar[r] \ar[d] & \Coker(\gamma) \ar[d] \\ \Ker(\alpha') \ar[r] & \Ker(\beta') \ar[r] & \Ker(\gamma') \ar[r]^(.45){\delta'} & \Coker(\alpha') \ar[r] & \Coker(\beta') \ar[r] & \Coker(\gamma') }\] 交换。

证明

略。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。设 \[\xymatrix{ w \ar[r] \ar[d]^\alpha & x \ar[r] \ar[d]^\beta & y \ar[r] \ar[d]^\gamma & z \ar[d]^\delta \\ w' \ar[r] & x' \ar[r] & y' \ar[r] & z' }\] 为两行正合的交换图。

1. 若 \(\alpha, \gamma\) 为满射态射且 \(\delta\) 为单射态射，则 \(\beta\) 为满射态射。

2. 若 \(\beta, \delta\) 为单射态射且 \(\alpha\) 为满射态射，则 \(\gamma\) 为单射态射。

证明

假设 \(\alpha, \gamma\) 为满射态射且 \(\delta\) 为单射态射。可将 \(w'\) 替换为 \(\Im(w' \to x')\)，即可以假设 \(w' \to x'\) 为单射态射。可将 \(z\) 替换为 \(\Im(y \to z)\)，即可以假设 \(y \to z\) 为满射态射。于是可将引理 010H 应用于 \[\xymatrix{ & \Ker(y \to z) \ar[r] \ar[d] & y \ar[r] \ar[d] & z \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \Ker(y' \to z') \ar[r] & y' \ar[r] & z' }\] 从而得出 \(\Ker(y \to z) \to \Ker(y' \to z')\) 为满射态射。最后，把引理 010H 应用于 \[\xymatrix{ & w \ar[r] \ar[d] & x \ar[r] \ar[d] & \Ker(y \to z) \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & w' \ar[r] & x' \ar[r] & \Ker(y' \to z') }\] 即可得出 \(x \to x'\) 为满射态射。这证明 (1)；(2) 的证明与之对偶。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。设 \[\xymatrix{ v \ar[r] \ar[d]^\alpha & w \ar[r] \ar[d]^\beta & x \ar[r] \ar[d]^\gamma & y \ar[r] \ar[d]^\delta & z \ar[d]^\epsilon \\ v' \ar[r] & w' \ar[r] & x' \ar[r] & y' \ar[r] & z' }\] 为两行正合的交换图。若 \(\beta, \delta\) 是同构，\(\epsilon\) 为单射态射且 \(\alpha\) 为满射态射，则 \(\gamma\) 是同构。

证明

这是引理 05QA 的直接推论。

扩张

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(A, B \in \Ob(\mathcal{A})\)。\(B\) 被 \(A\) 的一个扩张 \(E\) 是短正合序列 \[0 \to A \to E \to B \to 0.\] 两个扩张 \(0 \to A \to E \to B \to 0\) 与 \(0 \to A \to F \to B \to 0\) 之间的一个扩张态射，是 \(\mathcal{A}\) 中使下图交换的态射 \(f : E \to F\)： \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A \ar[r] \ar[d]^{\text{id}} & E \ar[r] \ar[d]^f & B \ar[r] \ar[d]^{\text{id}} & 0 \\ 0 \ar[r] & A \ar[r] & F \ar[r] & B \ar[r] & 0 }\] 因此，\(B\) 被 \(A\) 的扩张构成一个范畴。

作为一种语言上的简略，我们常省略对态射 \(A \to E\) 与 \(E \to B\) 的提及，尽管它们确实是扩张结构的一部分。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(A, B \in \Ob(\mathcal{A})\)。\(B\) 被 \(A\) 的扩张之同构类所成的集合记作 \[\Ext_\mathcal{A}(B, A).\] 它称为 \(\Ext\) 群。

这个定义是可行的，因为按我们的约定，\(\Ob(\mathcal{A})\) 是集合，从而 \(\Ext_\mathcal{A}(B, A)\) 也是集合。对《范畴》，注记 0015 中列出的各种“大”阿贝尔范畴，也可直接验证 \(\Ext_\mathcal{A}(B, A)\) 是集合。稍后还将看到，当 \(\mathcal{A}\) 有足够多投射对象或足够多内射对象时，总是如此。此处待补将来的引用。

事实上，可如下把 \(\Ext_\mathcal{A}(-, -)\) 变为函子 \[\mathcal{A} \times \mathcal{A}^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad (A, B) \longmapsto \Ext_\mathcal{A}(B, A)\]

1. 给定态射 \(B' \to B\) 与 \(B\) 被 \(A\) 的扩张 \(E\)，定义 \(E' = E \times_B B'\)。由引理 08N3，有如下短正合序列的交换图： \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A \ar[r] \ar[d] & E' \ar[r] \ar[d] & B' \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & A \ar[r] & E \ar[r] & B \ar[r] & 0 }\] 扩张 \(E'\) 称为 \(E\) 沿 \(B' \to B\) 的拉回。

2. 给定态射 \(A \to A'\) 与 \(B\) 被 \(A\) 的扩张 \(E\)，定义 \(E' = A' \amalg_A E\)。由引理 08N4，有如下短正合序列的交换图： \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A \ar[r] \ar[d] & E \ar[r] \ar[d] & B \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & A' \ar[r] & E' \ar[r] & B \ar[r] & 0 }\] 扩张 \(E'\) 称为 \(E\) 沿 \(A \to A'\) 的推出。

要说明这确实定义了上述函子，需要验证若干事项。首先，变量 \(B\) 上的函子性要求 \((E \times_B B') \times_{B'} B'' = E \times_B B''\)，这是纤维积的一般性质。变量 \(A\) 上的函子性由对偶方式处理。最后，给定 \(A \to A'\) 与 \(B' \to B\)，须证明 \[A' \amalg_A (E \times_B B') \cong (A' \amalg_A E)\times_B B'\] 作为 \(B'\) 被 \(A'\) 的扩张成立。回顾 \(A' \amalg_A E\) 是 \(A' \oplus E\) 的一个商。因此右边是 \(A' \oplus E \times_B B'\) 的一个商；容易看出其核恰好给出左边。

注意，若 \(E_1\) 与 \(E_2\) 都是 \(B\) 被 \(A\) 的扩张，则 \(E_1\oplus E_2\) 是 \(B \oplus B\) 被 \(A\oplus A\) 的扩张。沿求和映射 \(A \oplus A \to A\) 推出，再沿对角映射 \(B \to B \oplus B\) 拉回，便得到 \(B\) 被 \(A\) 的扩张 \(E_1 + E_2\)： \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A \oplus A \ar[r] \ar[d]_\Sigma & E_1 \oplus E_2 \ar[r] \ar[d] & B \oplus B \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & A \ar[r] & E' \ar[r] & B \oplus B \ar[r] & 0\\ 0 \ar[r] & A \ar[r] \ar[u] & E_1 + E_2 \ar[r] \ar[u] & B \ar[r] \ar[u]^\Delta & 0 }\] 扩张 \(E_1 + E_2\) 称为给定扩张的 Baer 和。

引理

上述构造 \((E_1, E_2) \mapsto E_1 + E_2\) 在 \(\Ext_\mathcal{A}(B, A)\) 上定义交换群运算，并且对两个变量均具函子性。

证明

略。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(0 \to M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0\) 为 \(\mathcal{A}\) 中的短正合序列。

1. 对 \(\mathcal{A}\) 的每个对象 \(N\)，有典范的六项阿贝尔群正合序列 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \Hom_\mathcal{A}(M_3, N) \ar[r] & \Hom_\mathcal{A}(M_2, N) \ar[r] & \Hom_\mathcal{A}(M_1, N) \ar[lld] \\ & \Ext_\mathcal{A}(M_3, N) \ar[r] & \Ext_\mathcal{A}(M_2, N) \ar[r] & \Ext_\mathcal{A}(M_1, N) }\] ；

2. 对 \(\mathcal{A}\) 的每个对象 \(N\)，有典范的六项阿贝尔群正合序列 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \Hom_\mathcal{A}(N, M_1) \ar[r] & \Hom_\mathcal{A}(N, M_2) \ar[r] & \Hom_\mathcal{A}(N, M_3) \ar[lld] \\ & \Ext_\mathcal{A}(N, M_1) \ar[r] & \Ext_\mathcal{A}(N, M_2) \ar[r] & \Ext_\mathcal{A}(N, M_3) }\] 。

证明

略。提示：边界映射由给定短正合序列的推出或拉回来定义。

加性函子

先给出一个刻画加性范畴之间加性函子的完全平凡的引理。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 与 \(\mathcal{B}\) 为加性范畴，\(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 为函子。下列条件等价：

1. \(F\) 是加性函子；

2. 对所有 \(A, B \in \mathcal{A}\)，\(F(A) \oplus F(B) \to F(A \oplus B)\) 是同构；

3. 对所有 \(A, B \in \mathcal{A}\)，\(F(A \oplus B) \to F(A) \oplus F(B)\) 是同构。

证明

由引理 0105，加性函子与直和可交换，故 (1) 蕴含 (2) 与 (3)。若 (2) 成立且 \(0\) 表示 \(\mathcal{A}\) 的零对象，则映射 \(F(0) \oplus F(0) \to F(0 \oplus 0) \cong F(0)\) 为同构，这蕴含对 \(\mathcal{B}\) 中所有 \(C\)，对角映射 \(\Hom(F(0), C) \to \Hom(F(0), C) \oplus \Hom(F(0), C)\) 均为双射。因此 \(F(0)\) 是 \(\mathcal{B}\) 的零对象，且 \(F\) 把任意两个对象间的零态射映为零态射。若 (3) 成立，结论同样成立。于是 (2) 与 (3) 等价，因为复合 \(F(A) \oplus F(B) \to F(A \oplus B) \to F(A) \oplus F(B)\) 由矩阵 \[\left( \begin{matrix} F(1) & F(0) \\ F(0) & F(1) \end{matrix} \right)\] 给出，因而是恒等映射。现假设 (2) 与 (3) 成立。设 \(f, g : A \to B\) 为映射。则 \(f + g\) 等于复合 \[A \to A \oplus A \xrightarrow{\text{diag}(f, g)} B \oplus B \to B\] 应用函子 \(F\) 并考虑图 \[\xymatrix{ F(A) \ar[r] \ar[rd] & F(A \oplus A) \ar[rr]_{F(\text{diag}(f, g))} & & F(B \oplus B) \ar[r] \ar[d] & F(B) \\ & F(A) \oplus F(A) \ar[u] \ar[rr]^{\text{diag}(F(f), F(g))} & & F(B) \oplus F(B) \ar[ru] }\] 我们断言此图交换。中间方框可分别在四个诱导映射 \(F(A) \to F(B)\) 上验证；这由 \(F\) 是函子且把零态射映为零态射得出。对左侧三角形，利用 \(F(A \oplus A) \to F(A) \oplus F(A)\) 是同构，可知只需与该映射复合后验证，而此时验证是平凡的。另一三角形由对偶方式处理。因此沿底部复合等于 \(F(f + g)\)，结论随之得出。

回顾我们在《范畴》，定义 0034 中，对具有有限（余）极限的范畴之间的函子定义了“右正合”“左正合”和“正合”。因此这些概念特别适用于阿贝尔范畴之间的函子。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 与 \(\mathcal{B}\) 为阿贝尔范畴，\(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 为函子。

1. 若 \(F\) 左正合或右正合，则它是加性函子。

2. \(F\) 左正合，当且仅当对每个短正合序列 \(0 \to A \to B \to C \to 0\)，序列 \(0 \to F(A) \to F(B) \to F(C)\) 正合。

3. \(F\) 右正合，当且仅当对每个短正合序列 \(0 \to A \to B \to C \to 0\)，序列 \(F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0\) 正合。

4. \(F\) 正合，当且仅当对每个短正合序列 \(0 \to A \to B \to C \to 0\)，序列 \(0 \to F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0\) 正合。

证明

若 \(F\) 左正合，即 \(F\) 与有限极限可交换，则 \(F\) 把积送到积，故保直和，因而由引理 0DLP，\(F\) 是加性函子。另一方面，假设对每个短正合序列 \(0 \to A \to B \to C \to 0\)，序列 \(0 \to F(A) \to F(B) \to F(C)\) 都正合。对任意两个对象 \(A, B\)，有短正合序列 \[0 \to A \to A \oplus B \to B \to 0\] 例如见引理 09QG。由假设，下列交换图的下行正合： \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & F(A) \ar[d] \ar[r] & F(A) \oplus F(B) \ar[r] \ar[d] & F(B) \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & F(A) \ar[r] & F(A \oplus B) \ar[r] & F(B) }\] 因此由蛇引理（引理 010H），\(F(A) \oplus F(B) \to F(A \oplus B)\) 是同构。故在这种情形下 \(F\) 也是加性函子。于是以下可假设 \(F\) 为加性函子。

记 \(f : B \to C\) 为从 \(B\) 到 \(C\) 的映射。\(0 \to A \to B \to C\) 正合恰好意味着 \(A = \Ker(f)\)。显然，\(f\) 的核是从 \(B\) 到 \(C\) 的两个映射 \(f\) 与 \(0\) 的等化子。因此，若 \(F\) 与极限可交换，则 \(F(\Ker(f)) = \Ker(F(f))\)，这恰好意味着 \(0 \to F(A) \to F(B) \to F(C)\) 正合。

反过来，假设 \(F\) 是加性函子，并将任一短正合序列 \(0 \to A \to B \to C \to 0\) 变为正合序列 \(0 \to F(A) \to F(B) \to F(C)\)。由于 \(F\) 加性，它与直和、因而与 \(\mathcal{A}\) 中的有限积可交换。要证明它与有限极限可交换，只需证明它与等化子可交换。但阿贝尔范畴中的等化子就是差映射的核，故只需证明 \(F\) 与取核可交换。设 \(f : A \to B\) 为态射。把 \(f\) 分解为 \(A \to I \to B\)，其中 \(f' : A \to I\) 为满射态射，\(i : I \to B\) 为单射态射（由阿贝尔范畴的定义可作此分解）。显然 \(\Ker(f) = \Ker(f')\)。此外， \(0 \to \Ker(f') \to A \to I \to 0\) 与 \(0 \to I \to B \to B/I \to 0\) 均为短正合序列。由对 \(F\) 的条件可知 \(0 \to F(\Ker(f')) \to F(A) \to F(I)\) 与 \(0 \to F(I) \to F(B) \to F(B/I)\) 正合。因此，\(F(\Ker(f'))\) 也是映射 \(F(A) \to F(B)\) 的核，结论得证。

(3) 的证明与 (2) 类似。(4) 是 (2) 与 (3) 的合并。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 与 \(\mathcal{B}\) 为阿贝尔范畴，\(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 为正合函子。对 \(\mathcal{A}\) 的每一对对象 \(A, B\)，函子 \(F\) 诱导阿贝尔群同态 \[\Ext_\mathcal{A}(B, A) \longrightarrow \Ext_\mathcal{B}(F(B), F(A))\] 它把扩张 \(E\) 映为 \(F(E)\)。

证明

略。

下述引理用于证明一个位点上的阿贝尔层所成的范畴是阿贝尔范畴，其中函子 \(b\) 是层化函子。

引理

设 \(a : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 与 \(b : \mathcal{B} \to \mathcal{A}\) 为函子。假设：

1. \(\mathcal{A}\)、\(\mathcal{B}\) 为加性范畴，\(a\)、\(b\) 为加性函子，且 \(a\) 是 \(b\) 的右伴随；

2. \(\mathcal{B}\) 为阿贝尔范畴且 \(b\) 左正合；

3. \(ba \cong \text{id}_\mathcal{A}\)。

则 \(\mathcal{A}\) 是阿贝尔范畴。

证明

由 \(\mathcal{B}\) 为阿贝尔范畴及引理 010D，\(\mathcal{B}\) 中所有有限极限和余极限都存在。由于 \(b\) 是左伴随，\(b\) 也右正合，因而正合，见《范畴》，引理 0039。设 \(\varphi : B_1 \to B_2\) 为 \(\mathcal{B}\) 的态射。特别地，若 \(K = \Ker(B_1 \to B_2)\)，则 \(K\) 是 \(0\) 与 \(\varphi\) 的等化子，故 \(bK\) 是 \(0\) 与 \(b\varphi\) 的等化子，即 \(bK\) 是 \(b\varphi\) 的核。类似地，若 \(Q = \Coker(B_1 \to B_2)\)，则 \(Q\) 是 \(0\) 与 \(\varphi\) 的余等化子，故 \(bQ\) 是 \(0\) 与 \(b\varphi\) 的余等化子，即 \(bQ\) 是 \(b\varphi\) 的余核。因此，\(\mathcal{A}\) 中每个形如 \(b\varphi\) 的态射都有核和余核。又因 \(ba \cong \text{id}\)，\(\mathcal{A}\) 的每个态射都具有这种形式，于是 \(\mathcal{A}\) 中的核和余核均存在。事实上，上述论证表明，若 \(\psi : A_1 \to A_2\) 为态射，则 \[\Ker(\psi) = b\Ker(a\psi), \quad\text{且}\quad \Coker(\psi) = b\Coker(a\psi).\] 还须证明 \(\Coim(\psi)= \Im(\psi)\)，如下进行。

首先注意，由于 \(\mathcal{A}\) 有核和余核，它有所有有限极限和余极限（见引理 010D 的证明）。于是由《范畴》，引理 0039，\(a\) 左正合，因而把核（即等化子）变为核。 \[\begin{align*} \Coim(\psi) & = \Coker(\Ker(\psi) \to A_1) & \text{由定义} \\ & = b\Coker(a(\Ker(\psi) \to A_1)) & \text{由上式} \\ & = b\Coker(\Ker(a\psi) \to aA_1)) & a\text{ 保持核} \\ & = b\Coim(a\psi) & \text{由定义} \\ & = b\Im(a\psi) & \mathcal{B}\text{ 为 Abel 范畴} \\ & = b\Ker(aA_2 \to \Coker(a\psi)) & \text{由定义} \\ & = \Ker(baA_2 \to b\Coker(a\psi)) & b\text{ 保持核} \\ & = \Ker(A_2 \to b\Coker(a\psi)) & ba = \text{id}_\mathcal{A} \\ & = \Ker(A_2 \to \Coker(\psi)) & \text{由上式} \\ & = \Im(\psi) & \text{由定义}. \end{align*}\] 故引理成立。

局部化

本节说明 Gabriel–Zisman 局部化如何与范畴上的加性结构相互作用。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为预加性范畴，\(S\) 为左乘法系或右乘法系。\(S^{-1}\mathcal{C}\) 上存在唯一的预加性结构，使局部化函子 \(Q : \mathcal{C} \to S^{-1}\mathcal{C}\) 为加性函子。

证明

证明 \(S\) 为左乘法系的情形；\(S\) 为右乘法系的情形与之对偶。设 \(X, Y\) 为 \(\mathcal{C}\) 的对象，\(\alpha, \beta : X \to Y\) 为 \(S^{-1}\mathcal{C}\) 中的态射。由《范畴》，引理 04VE，可用具有公分母 \(s\) 的两对 \(s^{-1}f, s^{-1}g\) 表示它们。假设 \(S^{-1}\mathcal{C}\) 上已有预加性结构且 \(Q\) 为加性函子，则 \[\begin{align*} s^{-1}f+s^{-1}g &=Q(s)^{-1}\circ Q(f)+Q(s)^{-1}\circ Q(g)\\ &=Q(s)^{-1}\circ(Q(f)+Q(g))\\ &=Q(s)^{-1}\circ Q(f+g)\\ &=s^{-1}(f+g). \end{align*}\] 因此，若 \(S^{-1}\mathcal{C}\) 上的预加性结构存在，它必唯一。相应地，把 \(\alpha + \beta\) 定义为 \(s^{-1}(f + g)\) 的等价类；以下证明此定义良定且复合为双线性。一旦完成这些验证，\(Q\) 是加性函子便显然成立。

先证明上述构造良定。抽象地说，这使用了阿贝尔群的滤过余极限与集合的滤过余极限相同，并应用《范畴》，公式 (05Q1)。更具体地，设 \(s : Y \to Y_1\) 且 \(f, g : X \to Y_1\)。再设 \(\alpha, \beta\) 有第二组表示 \((s')^{-1}f', (s')^{-1}g'\)，其中 \(s' : Y \to Y_2\)，\(f', g' : X \to Y_2\)。由《范畴》，注记 05Q0，可找到态射 \(s_3 : Y \to Y_3\) 以及 \(a_1 : Y_1 \to Y_3\)、\(a_2 : Y_2 \to Y_3\)，满足 \(a_1 \circ s = s_3 = a_2 \circ s'\)，并且 \(a_1 \circ f = a_2 \circ f'\)、\(a_1 \circ g = a_2 \circ g'\)。于是 \(s^{-1}(f + g)\) 等价于 \[\begin{align*} s_3^{-1}(a_1 \circ (f + g)) & = s_3^{-1}(a_1 \circ f + a_1 \circ g) \\ & = s_3^{-1}(a_2 \circ f' + a_2 \circ g') \\ & = s_3^{-1}(a_2 \circ (f' + g')), \end{align*}\] 而后者等价于 \((s')^{-1}(f' + g')\)。

固定 \(s : Y \to Y'\) 与 \(f, g : X \to Y'\)，使得在 \(S^{-1}\mathcal{C}\) 中作为 \(X \to Y\) 的态射有 \(\alpha = s^{-1}f\)、\(\beta = s^{-1}g\)。为证明复合双线性，先考虑 \(S^{-1}\mathcal{C}\) 中态射 \(\gamma : Y \to Z\) 的情形。设某个 \(h : Y \to Z'\) 与 \(S\) 中的 \(t : Z \to Z'\) 使 \(\gamma = t^{-1}h\)。利用 LMS2，选取态射 \(a : Y' \to Z''\) 与 \(S\) 中的 \(t' : Z' \to Z''\)，使 \(a \circ s = t' \circ h\)。图示为 \[\xymatrix{ & & Z \ar[d]^t \\ & Y \ar[r]^h \ar[d]^s & Z' \ar[d]^{t'} \\ X \ar[r]^{f, g} & Y' \ar[r]^a & Z'' }\] 于是 \(\gamma \circ \alpha = (t' \circ t)^{-1}(a \circ f)\)，且 \(\gamma \circ \beta = (t' \circ t)^{-1}(a \circ g)\)。所以 \(\gamma \circ (\alpha + \beta)\) 由 \((t' \circ t)^{-1}(a \circ (f + g)) = (t' \circ t)^{-1}(a \circ f + a \circ g)\) 表示，而它表示 \(\gamma \circ \alpha + \gamma \circ \beta\)。

最后，设 \(\delta : W \to X\) 是 \(S^{-1}\mathcal{C}\) 的另一态射。设某个 \(i : W \to X'\) 与 \(S\) 中的 \(r : X \to X'\) 使 \(\delta = r^{-1}i\)。我们断言可找到 \(S\) 中的态射 \(s' : Y' \to Y''\) 与态射 \(a'', b'' : X' \to Y''\)，使下图交换： \[\xymatrix{ & & & Y \ar[d]^s \\ & X \ar[rr]^{f, g, f + g} \ar[d]^r & & Y' \ar[d]^{s'} \\ W \ar[r]^i & X' \ar[rr]^{a'', b'', a'' + b''} & & Y'' }\] 确实，先由 LMS2 选取 \(S\) 中的 \(s_1 : Y' \to Y_1\)、\(s_2 : Y' \to Y_2\) 以及 \(a : X' \to Y_1\)、\(b : X' \to Y_2\)，使 \(a \circ r = s_1 \circ f\) 且 \(b \circ r = s_2 \circ f\)。

然后利用范畴 \(Y'/S\) 为滤过范畴（见《范畴》，注记 05Q0），可找到 \(s' : Y' \to Y''\) 及态射 \(a' : Y_1 \to Y''\)、\(b' : Y_2 \to Y''\)，满足 \(s' = a' \circ s_1\) 且 \(s' = b' \circ s_2\)。令 \(a'' = a' \circ a\)、\(b'' = b' \circ b\) 即可。此时，复合 \(\alpha \circ \delta\) 与 \(\beta \circ \delta\) 分别由 \((s' \circ s)^{-1}(a'' \circ i)\) 与 \((s' \circ s)^{-1}(b'' \circ i)\) 表示。因此 \(\alpha \circ \delta + \beta \circ \delta\) 由 \((s' \circ s)^{-1}(a'' \circ i + b'' \circ i) = (s' \circ s)^{-1}((a'' + b'') \circ i)\) 表示；由上图，它又是 \((\alpha + \beta) \circ \delta\) 的一个代表。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为加性范畴，\(S\) 为左乘法系或右乘法系。则 \(S^{-1}\mathcal{C}\) 为加性范畴，且局部化函子 \(Q : \mathcal{C} \to S^{-1}\mathcal{C}\) 为加性函子。

证明

由引理 05QD，\(S^{-1}\mathcal{C}\) 为预加性范畴且 \(Q\) 为加性函子。由引理 0105，\(S^{-1}\mathcal{C}\) 有零对象与直和。

下述引理描述在反演一个乘法系时局部化函子的“核”。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为加性范畴，\(S\) 为乘法系，\(X\) 为 \(\mathcal{C}\) 的对象。下列条件等价：

1. 在 \(S^{-1}\mathcal{C}\) 中 \(Q(X) = 0\)；

2. 存在 \(Y \in \Ob(\mathcal{C})\)，使 \(0 : X \to Y\) 属于 \(S\)；

3. 存在 \(Z \in \Ob(\mathcal{C})\)，使 \(0 : Z \to X\) 属于 \(S\)。

证明

若 (2) 成立，则 \(0 = Q(0) : Q(X) \to Q(Y)\) 是同构。在加性范畴 \(S^{-1}\mathcal{C}\) 中，这蕴含 \(Q(X) = 0\)。故 (2) \(\Rightarrow\) (1)。类似地，(3) \(\Rightarrow\) (1)。设 \(Q(X) = 0\)，则态射 \(f : 0 \to X\) 在 \(S^{-1}\mathcal{C}\) 中变为同构。因此由《范畴》，引理 05Q9，存在态射 \(g : Z \to 0\)，使 \(fg \in S\)。这证明 (1) \(\Rightarrow\) (3)。类似地，(1) \(\Rightarrow\) (2)。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。

1. 若 \(S\) 为左乘法系，则范畴 \(S^{-1}\mathcal{A}\) 有余核，且函子 \(Q : \mathcal{A} \to S^{-1}\mathcal{A}\) 与取余核可交换。

2. 若 \(S\) 为右乘法系，则范畴 \(S^{-1}\mathcal{A}\) 有核，且函子 \(Q : \mathcal{A} \to S^{-1}\mathcal{A}\) 与取核可交换。

3. 若 \(S\) 为乘法系，则范畴 \(S^{-1}\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，且函子 \(Q : \mathcal{A} \to S^{-1}\mathcal{A}\) 正合。

证明

假设 \(S\) 为左乘法系。设 \(a : X \to Y\) 为 \(S^{-1}\mathcal{A}\) 中的态射，则某个 \(S\) 中的 \(s : Y \to Y'\) 与 \(f : X \to Y'\) 使 \(a = s^{-1}f\)。由于 \(Q(s)\) 是同构，\(\Coker(a : X \to Y)\) 的存在性等价于 \(\Coker(Q(f) : X \to Y')\) 的存在性。因为 \(\Coker(Q(f))\) 是 \(0\) 与 \(Q(f)\) 的余等化子，由《范畴》，引理 05Q2，\(\Coker(Q(f))\) 由 \(Q(\Coker(f))\) 表示。这证明 (1)。

(2) 与 (1) 对偶。

若 \(S\) 为乘法系，则 \(S\) 同时是左乘法系和右乘法系。因此 \(S^{-1}\mathcal{A}\) 有核和余核，且 \(Q\) 与取核、取余核可交换。要完成 (3) 的证明，还须说明 \(S^{-1}\mathcal{A}\) 中 \(\Coim = \Im\)。再次利用 \(S^{-1}\mathcal{A}\) 的任意箭头都同构于某个箭头 \(Q(f)\)，结论由 \(\mathcal{A}\) 中的相应结果推出。

Jordan–Hölder 定理

Jordan–Hölder 引理即引理 0FCK。先给出一些定义。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。若 \(\mathcal{A}\) 的对象 \(A\) 非零，且 \(A\) 的子对象只有 \(0\) 与 \(A\)，则称该对象为单对象。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。

1. 若 \(\mathcal{A}\) 的对象 \(A\) 对子对象满足降链条件，则称该对象为 Artin 对象。

2. 若 \(\mathcal{A}\) 的每个对象都是 Artin 对象，则称 \(\mathcal{A}\) 为 Artin 范畴。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。

1. 若 \(\mathcal{A}\) 的对象 \(A\) 对子对象满足升链条件，则称该对象为 Noether 对象。

2. 若 \(\mathcal{A}\) 的每个对象都是 Noether 对象，则称 \(\mathcal{A}\) 为 Noether 范畴。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(0 \to A_1 \to A_2 \to A_3 \to 0\) 为 \(\mathcal{A}\) 中的短正合序列。则 \(A_2\) 是 Artin 对象，当且仅当 \(A_1\) 与 \(A_3\) 都是 Artin 对象。

证明

略。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(0 \to A_1 \to A_2 \to A_3 \to 0\) 为 \(\mathcal{A}\) 中的短正合序列。则 \(A_2\) 是 Noether 对象，当且仅当 \(A_1\) 与 \(A_3\) 都是 Noether 对象。

证明

略。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(A\) 为 \(\mathcal{A}\) 的对象。下列条件等价：

1. \(A\) 既为 Artin 对象又为 Noether 对象；

2. 存在由子对象组成的滤过 \(0 \subset A_1 \subset A_2 \subset \ldots \subset A_n = A\)，使 \(i = 1, \ldots, n\) 时 \(A_i/A_{i - 1}\) 为单对象。

证明

假设 (1)。若 \(A\) 为零，则 (2) 成立。若 \(A\) 非零，则由 Artin 性质，存在最小非零对象 \(A_1 \subset A\)；显然 \(A_1\) 为单对象。若 \(A_1 = A\)，则已经完成。否则，可找到在满足 \(A_2 \not = A_1\) 的条件下极小的 \(A_1 \subset A_2 \subset A\)；于是 \(A_2/A_1\) 为单对象。如此继续，可得到 \(A\) 的子对象序列 \(0 \subset A_1 \subset A_2 \subset \ldots\)，且 \(A_i/A_{i - 1}\) 为单对象。由于 \(A\) 为 Noether 对象，该过程必终止，故 (2) 成立。

假设 (2)。对 \(n\) 归纳证明 (1)。若 \(n = 1\)，则 \(A\) 为单对象，显然既是 Noether 对象又是 Artin 对象。若结论对 \(n - 1\) 成立，则利用短正合序列 \(0 \to A_{n - 1} \to A_n \to A_n/A_{n - 1} \to 0\) 以及引理 0FCH、0FCI，即可对 \(n\) 得出结论。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(A\) 为 \(\mathcal{A}\) 的对象并满足引理 0FCJ 中的等价条件。给定两个滤过 \[0 \subset A_1 \subset A_2 \subset \ldots \subset A_n = A \quad\text{且}\quad 0 \subset B_1 \subset B_2 \subset \ldots \subset B_m = A\] 并设 \(S_i = A_i/A_{i - 1}\)、\(T_j = B_j/B_{j - 1}\) 都是单对象，则 \(n = m\)，且存在 \(\{1, \ldots, n\}\) 的置换 \(\sigma\)，使对所有 \(i \in \{1, \ldots, n\}\) 都有 \(S_i \cong T_{\sigma(i)}\)。

证明

令 \(j\) 为满足 \(A_1 \subset B_j\) 的最小指标。则映射 \(S_1 = A_1 \to B_j/B_{j - 1} = T_j\) 是同构。此外，对象 \(A/A_1 = A_n/A_1 = B_m/A_1\) 有两个滤过 \[0 \subset A_2/A_1 \subset A_3/A_1 \subset \ldots \subset A_n/A_1\] 与 \[0 \subset (B_1 + A_1)/A_1 \subset \ldots \subset (B_{j - 1} + A_1)/A_1 = B_j/A_1 \subset B_{j + 1}/A_1 \subset \ldots \subset B_m/A_1\] 由归纳法得出结论。

Serre 子范畴

在 [Serre_homotopie_classes, Chapter I, Section 1] 中定义了阿贝尔群的一个“类”。许多作者把这一概念推广到阿贝尔范畴（方式略有不同）。我们采用下面这个与 Serre 原定义几乎完全相同的版本。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。

1. \(\mathcal{A}\) 的一个 Serre 子范畴是 \(\mathcal{A}\) 的非空满子范畴 \(\mathcal{C}\)，满足：给定正合序列¹ \[A \to B \to C\] 若 \(A, C \in \Ob(\mathcal{C})\)，则 \(B \in \Ob(\mathcal{C})\)。

2. \(\mathcal{A}\) 的一个弱 Serre 子范畴是 \(\mathcal{A}\) 的非空满子范畴 \(\mathcal{C}\)，满足：给定正合序列 \[A_0 \to A_1 \to A_2 \to A_3 \to A_4\] 若 \(A_0, A_1, A_3, A_4\) 属于 \(\mathcal{C}\)，则 \(A_2\) 也属于 \(\mathcal{C}\)。

有些文献把第二个概念称为“厚”子范畴，另一些文献则把第一个概念称为“厚”子范畴。不过，Serre 子范畴这一名称似乎已普遍指上述第一个概念。注意在两种情形下，\(\mathcal{C}\) 都是阿贝尔范畴，且包含函子 \(\mathcal{C} \to \mathcal{A}\) 是全忠实正合函子。下面进一步刻画这两类子范畴。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(\mathcal{C}\) 为 \(\mathcal{A}\) 的子范畴。则 \(\mathcal{C}\) 是 Serre 子范畴，当且仅当满足：

1. \(0 \in \Ob(\mathcal{C})\)；

2. \(\mathcal{C}\) 是 \(\mathcal{A}\) 的严格满子范畴；

3. \(\mathcal{C}\) 的对象的任意子对象或商对象仍为 \(\mathcal{C}\) 的对象；

4. 若 \(A \in \Ob(\mathcal{A})\) 是 \(\mathcal{C}\) 中对象的扩张，则 \(A \in \Ob(\mathcal{C})\)。

此外，Serre 子范畴是阿贝尔范畴，且包含函子正合。

证明

略。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(\mathcal{C}\) 为 \(\mathcal{A}\) 的子范畴。则 \(\mathcal{C}\) 是弱 Serre 子范畴，当且仅当满足：

1. \(0 \in \Ob(\mathcal{C})\)；

2. \(\mathcal{C}\) 是 \(\mathcal{A}\) 的严格满子范畴；

3. \(\mathcal{C}\) 中对象间态射在 \(\mathcal{A}\) 中的核与余核仍在 \(\mathcal{C}\) 中；

4. 若 \(A \in \Ob(\mathcal{A})\) 是 \(\mathcal{C}\) 中对象的扩张，则 \(A \in \Ob(\mathcal{C})\)。

此外，弱 Serre 子范畴是阿贝尔范畴，且包含函子正合。

证明

略。

引理

设 \(\mathcal{A}\)、\(\mathcal{B}\) 为阿贝尔范畴，\(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 为正合函子。则 \(\mathcal{A}\) 中满足 \(F(C) = 0\) 的对象 \(C\) 所成的满子范畴构成 \(\mathcal{A}\) 的 Serre 子范畴。

证明

略。

定义

设 \(\mathcal{A}\)、\(\mathcal{B}\) 为阿贝尔范畴，\(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 为正合函子。\(\mathcal{A}\) 中满足 \(F(C) = 0\) 的对象 \(C\) 所成的满子范畴称为函子 \(F\) 的核，有时记作 \(\Ker(F)\)。

阿贝尔范畴的任一 Serre 子范畴都是某个正合函子的核。在《例》，第 0B0J 节中，我们对 Serre 最初的挠群例子讨论这一点。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(\mathcal{C} \subset \mathcal{A}\) 为 Serre 子范畴。存在阿贝尔范畴 \(\mathcal{A}/\mathcal{C}\) 与正合函子 \[F : \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{A}/\mathcal{C}\] 其中该函子本质满且核为 \(\mathcal{C}\)。范畴 \(\mathcal{A}/\mathcal{C}\) 与函子 \(F\) 由如下泛性质刻画：对任何满足 \(\mathcal{C} \subset \Ker(G)\) 的正合函子 \(G : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)，存在唯一正合函子 \(H : \mathcal{A}/\mathcal{C} \to \mathcal{B}\)，使 \(G = H \circ F\)。

证明

考虑 \(\mathcal{A}\) 的如下箭头集合： \[S = \{f \in \text{Arrows}(\mathcal{A}) \mid \Ker(f), \Coker(f) \in \Ob(\mathcal{C}) \}.\] 我们断言 \(S\) 是乘法系。为此须检验 MS1、MS2、MS3，见《范畴》，定义 04VC。

恒等态射显然属于 \(S\)。设 \(f : A \to B\) 与 \(g : B \to C\) 属于 \(S\)。有正合序列 \[\begin{matrix} 0 \to \Ker(f) \to \Ker(gf) \to \Ker(g) \\ \Coker(f) \to \Coker(gf) \to \Coker(g) \to 0 \end{matrix}\] 故 \(gf \in S\)，这证明 MS1。（事实上，类似论证表明 \(S\) 是饱和乘法系，见《范畴》，定义 05Q8。）

考虑实线图 \[\xymatrix{ A \ar[d]_t \ar[r]_g & B \ar@{..>}[d]^s \\ C \ar@{..>}[r]^f & C \amalg_A B }\] 其中 \(t \in S\)。令 \(W = C \amalg_A B = \Coker((t, -g) : A \to C \oplus B)\)。则 \(\Ker(t) \to \Ker(s)\) 为满射态射，而 \(\Coker(t) \to \Coker(s)\) 为同构。因此 \(s\) 属于 \(S\)。这证明 LMS2；RMS2 的证明与之对偶。

最后，设 \(f, g : B \to C\) 为态射，\(s : A \to B\) 属于 \(S\)，且 \(f \circ s = g \circ s\)。这意味着 \((f - g) \circ s = 0\)，继而意味着 \(I = \Im(f - g) \subset C\) 是 \(\Coker(s)\) 的商，因而是 \(\mathcal{C}\) 的对象。于是 \(t : C \to C' = C/I\) 属于 \(S\)，且 \(t \circ (f - g) = 0\)，即 \(t \circ f = t \circ g\)。这证明 LMS3；RMS3 的证明与之对偶。

已证 \(S\) 为乘法系，令 \(\mathcal{A}/\mathcal{C} = S^{-1}\mathcal{A}\)，并令 \(F\) 为局部化函子 \(Q\)。由引理 05QG，范畴 \(\mathcal{A}/\mathcal{C}\) 为阿贝尔范畴且 \(F\) 正合。若 \(X\) 属于 \(F = Q\) 的核，则由引理 05QF，\(0 : X \to Z\) 属于 \(S\)，故 \(X\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象，即 \(F\) 的核为 \(\mathcal{C}\)。

最后，若 \(G\) 如引理所述，则 \(G\) 把 \(S\) 的每个元素变为同构。因此由局部化的泛性质（见《范畴》，引理 04VG），得到函子 \(H : \mathcal{A}/\mathcal{C} \to \mathcal{B}\)。还须证明 \(H\) 正合。由引理 010N，只需证明 \(H\) 与取核、取余核可交换。设 \(A \to B\) 为 \(\mathcal{A}/\mathcal{C}\) 中的态射。可将 \(A \to B\) 表示为 \(fs^{-1}\)，其中 \(s : A' \to A\) 属于 \(S\)，\(f : A' \to B\) 为 \(\mathcal{A}\) 的任意态射。因为 \(F = Q\) 把 \(s\) 映为商范畴 \(\mathcal{A}/\mathcal{C}\) 中的同构，只需证明 \(H\) 与 \(\mathcal{A}\) 的态射 \(f : A \to B\) 的核和余核可交换。但此时 \(H(f) = G(f)\)，结论由 \(G\) 正合得到。

引理

设 \(\mathcal{A}\)、\(\mathcal{B}\) 为阿贝尔范畴，\(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 为正合函子。设 \(\mathcal{C} \subset \mathcal{A}\) 为包含于 \(F\) 的核中的 Serre 子范畴。则 \(\mathcal{C} = \Ker(F)\)，当且仅当诱导函子 \(\overline{F} : \mathcal{A}/\mathcal{C} \to \mathcal{B}\)（引理 02MS）是忠实函子。

证明

以下不再另行说明地使用引理 02MS 的结果。“仅当”方向成立，因为按构造 \(\overline{F}\) 的核为零。确实，若 \(f : X \to Y\) 为 \(\mathcal{A}/\mathcal{C}\) 中满足 \(\overline{F}(f) = 0\) 的态射，则 \(\overline{F}(\Im(f)) = \Im(\overline{F}(f)) = 0\)；由对 \(F\) 的核的假设，\(\Im(f) = 0\)，故 \(f = 0\)。

对“若”方向，设 \(X\) 为 \(\mathcal{A}\) 中满足 \(F(X) = 0\) 的对象。则 \(\overline{F}(\text{id}_X) = \text{id}_{\overline{F}(X)} = 0\)；由 \(\overline{F}\) 的忠实性，\(\mathcal{A}/\mathcal{C}\) 中 \(\text{id}_X = 0\)。所以 \(\mathcal{A}/\mathcal{C}\) 中 \(X = 0\)，即 \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)。

K 群

简单介绍阿贝尔范畴的 \(K_0\)。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。以 \(K_0(\mathcal{A})\) 表示\(\mathcal{A}\) 的第零 \(K\) 群。它是如下构造的阿贝尔群：取以 \(\mathcal{A}\) 的对象为生成元的自由阿贝尔群，并对每个短正合序列 \(0 \to A \to B \to C \to 0\) 加入关系 \([B] - [A] - [C] = 0\)。

换言之，有表示 \[\bigoplus_{A \to B \to C\text{ 短正合列}} \mathbf{Z}[A \to B \to C] \longrightarrow \bigoplus_{A \in \Ob(\mathcal{A})} \mathbf{Z}[A] \longrightarrow K_0(\mathcal{A}) \longrightarrow 0\] 其中 \([A \to B \to C] \mapsto [B] - [A] - [C]\) 给出 \(K_0(\mathcal{A})\) 的这一表示。短正合序列 \(0 \to 0 \to 0 \to 0 \to 0\) 在 \(K_0(\mathcal{A})\) 中给出关系 \([0] = 0\)。除非另有说明，我们的范畴都是“小”范畴，故不存在集合论问题。《代数》，第 00JC 节计算了若干环上模范畴的 \(K\) 群例子。

引理

设 \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 为阿贝尔范畴之间的正合函子。则 \(F\) 通过 \(K_0(F)([A]) = [F(A)]\) 诱导 \(K\) 群同态 \(K_0(F) : K_0(\mathcal{A}) \to K_0(\mathcal{B})\)。

证明

不证自明。

设给定阿贝尔范畴 \(\mathcal{A}\) 的对象 \(M\) 与形如 [02MW]\[\begin{equation} \xymatrix{ \ldots \ar[r] & M \ar[r]^\varphi & M \ar[r]^\psi & M \ar[r]^\varphi & M \ar[r] & \ldots } \end{equation}\] 的复形。在这种情形下定义 \[H^0(M, \varphi, \psi) = \Ker(\psi)/\Im(\varphi) , \quad\text{且}\quad H^1(M, \varphi, \psi) = \Ker(\varphi)/\Im(\psi).\]

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(\mathcal{C} \subset \mathcal{A}\) 为 Serre 子范畴，并令 \(\mathcal{B} = \mathcal{A}/\mathcal{C}\)。

1. 正合函子 \(\mathcal{C} \to \mathcal{A}\) 与 \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 诱导 \(K\) 群正合序列 \[K_0(\mathcal{C}) \to K_0(\mathcal{A}) \to K_0(\mathcal{B}) \to 0\]

2. \(K_0(\mathcal{C}) \to K_0(\mathcal{A})\) 的核等于所有形如 \[[H^0(M, \varphi, \psi)] - [H^1(M, \varphi, \psi)]\] 的元素之集合，其中 \((M, \varphi, \psi)\) 是 (02MW) 中那样的复形，且它在 \(\mathcal{B}\) 中变为正合；换言之，\(H^0(M, \varphi, \psi)\) 与 \(H^1(M, \varphi, \psi)\) 都是 \(\mathcal{C}\) 的对象。

证明

证明 (1)。\(K_0(\mathcal{A}) \to K_0(\mathcal{B})\) 显然为满射，且复合 \(K_0(\mathcal{C}) \to K_0(\mathcal{A}) \to K_0(\mathcal{B})\) 为零。设 \(x \in K_0(\mathcal{A})\) 映为 \(K_0(\mathcal{B})\) 中的零。可写 \(x = [A] - [A']\)，其中 \(A, A'\) 属于 \(\mathcal{A}\)（这是个有趣的练习）。以 \(B, B'\) 表示 \(\mathcal{B}\) 中的相应对象。\(x\) 映为 \(K_0(\mathcal{B})\) 中的零，意味着存在有限集 \(I = I^+ \amalg I^{-}\)，并且对每个 \(i \in I\) 有 \(\mathcal{B}\) 中的短正合序列 \[0 \to B_i \to B'_i \to B''_i \to 0\] 使在以 \(\mathcal{B}\) 对象的同构类为生成元的自由阿贝尔群中 \[[B] - [B'] = \sum\nolimits_{i \in I^{+}} ([B'_i] - [B_i] - [B''_i]) - \sum\nolimits_{i \in I^{-}} ([B'_i] - [B_i] - [B''_i])\] 可改写为 \[[B] + \sum\nolimits_{i \in I^{+}} ([B_i] + [B''_i]) + \sum\nolimits_{i \in I^{-}} [B'_i] = [B'] + \sum\nolimits_{i \in I^{-}} ([B_i] + [B''_i]) + \sum\nolimits_{i \in I^{+}} [B'_i].\] 由于等式两边必须含有按重数计算相同的 \(\mathcal{B}\) 对象同构类，这意味着存在双射 \[\tau : \{B\} \amalg \{B_i, B''_i; i \in I^+\} \amalg \{B'_i; i \in I^-\} \longrightarrow \{B'\} \amalg \{B_i, B''_i; i \in I^-\} \amalg \{B'_i; i \in I^+\}\] 使 \(N\) 与 \(\tau(N)\) 在 \(\mathcal{B}\) 中同构。引理 02MS 与 05QG 的证明表明，可对 \(i \in I\) 选取 \(\mathcal{A}\) 中的短正合序列 \[0 \to A_i \to A'_i \to A''_i \to 0\] 使 \(B_i, B'_i, B''_i\) 分别同构于 \(A_i, A'_i, A''_i\) 在 \(\mathcal{B}\) 中的像。这蕴含相应双射 \[\tau : \{A\} \amalg \{A_i, A''_i; i \in I^+\} \amalg \{A'_i; i \in I^-\} \longrightarrow \{A'\} \amalg \{A_i, A''_i; i \in I^-\} \amalg \{A'_i; i \in I^+\}\] 满足：\(M\) 与 \(\tau(M)\) 是 \(\mathcal{A}\) 的对象，且在 \(\mathcal{B}\) 中变为同构。这意味着 \([M] - [\tau(M)]\) 属于 \(K_0(\mathcal{C}) \to K_0(\mathcal{A})\) 的像。确实，\(\mathcal{B}\) 中该同构由 \(\mathcal{A}\) 中的图 \(M \leftarrow M' \rightarrow \tau(M)\) 给出，其中 \(M' \to M\) 与 \(M' \to \tau(M)\) 的核和余核都在 \(\mathcal{C}\) 中。逆推以上过程可知 \(x = [A] - [A']\) 属于 \(K_0(\mathcal{C}) \to K_0(\mathcal{A})\) 的像，(1) 得证。

证明 (2)。证明与 (1) 类似，但需要稍多的记账。先注意，任何形如 \([H^0(M, \varphi, \psi)] - [H^1(M, \varphi, \psi)]\) 的类在 \(K_0(\mathcal{A})\) 中为零，因为 \[\begin{align*} 0 & = [M] - [M] \\ & = [\Ker(\varphi)] + [\Im(\varphi)] - [\Ker(\psi)] - [\Im(\psi)] \\ & = [\Ker(\varphi)/\Im(\psi)] - [\Ker(\psi)/\Im(\varphi)] \\ & = [H^1(M, \varphi, \psi)] - [H^0(M, \varphi, \psi)], \end{align*}\] 正如所需。因此只须证明 \(K_0(\mathcal{C}) \to K_0(\mathcal{A})\) 的任一核中元素都有这种形式。

\(K_0(\mathcal{C})\) 中任一元素 \(x\) 都可表示为 \(\mathcal{C}\) 的两个对象之差 \(x = [P] - [Q]\)（有趣的练习）。假设该元素在 \(K_0(\mathcal{A})\) 中映为零。这意味着存在：

1. 有限集 \(I = I^{+} \amalg I^{-}\)；

2. 对每个 \(i \in I\)，\(\mathcal{A}\) 中的短正合序列 \(0 \to A_i \to B_i \to C_i \to 0\)；

使在以 \(\mathcal{A}\) 的对象为生成元的自由阿贝尔群中 \[[P] - [Q] = \sum\nolimits_{i \in I^{+}} ([B_i] - [A_i] - [C_i]) - \sum\nolimits_{i \in I^{-}} ([B_i] - [A_i] - [C_i])\] 可改写为 \[[P] + \sum\nolimits_{i \in I^{+}} ([A_i] + [C_i]) + \sum\nolimits_{i \in I^{-}} [B_i] = [Q] + \sum\nolimits_{i \in I^{-}} ([A_i] + [C_i]) + \sum\nolimits_{i \in I^{+}} [B_i].\] 由于等式两边必须含有按重数计算相同的 \(\mathcal{A}\) 对象，故其中出现的项之间存在双射 \(\tau\)。令 \[T^{+} = \{p\}\ \amalg\ \{a, c\} \times I^{+}\ \amalg\ \{b\} \times I^{-}\] 及 \[T^{-} = \{q\}\ \amalg\ \{a, c\} \times I^{-}\ \amalg\ \{b\} \times I^{+}.\] 令 \(T = T^{+} \amalg T^{-} = \{p, q\} \amalg \{a, b, c\} \times I\)。对 \(t \in T\) 定义 \[O(t) = \left\{ \begin{matrix} P & \text{若} & t = p \\ Q & \text{若} & t = q \\ A_i & \text{若} & t = (a, i) \\ B_i & \text{若} & t = (b, i) \\ C_i & \text{若} & t = (c, i) \end{matrix} \right.\] 于是可把 \(\tau : T^{+} \to T^{-}\) 看作双射，使对所有 \(t \in T^{+}\) 都有 \(O(t) = O(\tau(t))\)。令 \(t^{-}_0 = \tau(p)\)，并令 \(t^{+}_0 \in T^{+}\) 为满足 \(\tau(t^{+}_0) = q\) 的唯一元素。考虑对象 \[M^{+} = \bigoplus\nolimits_{t \in T^{+}} O(t)\] 借助 \(\tau\) 可知它等于对象 \[M^{-} = \bigoplus\nolimits_{t \in T^{-}} O(t)\] 考虑映射 \[\varphi : M^{+} \longrightarrow M^{-}\] 它在对应于 \(t = (a, i)\)、\(i \in I^{+}\) 的直和项 \(O(t) = A_i\) 上，使用映射 \(A_i \to B_i\) 进入 \(M^{-}\) 的直和项 \(O((b, i)) = B_i\)；在对应于 \((b, i)\)、\(i \in I^{-}\) 的直和项 \(O(t) = B_i\) 上，使用映射 \(B_i \to C_i\) 进入 \(M^{-}\) 的直和项 \(O((c, i)) = C_i\)。该映射在对应于 \(p\) 与 \((c, i)\)、\(i \in I^{+}\) 的直和项上为零。

类似地，考虑映射 \[\psi : M^{-} \longrightarrow M^{+}\] 它在对应于 \(t = (a, i)\)、\(i \in I^{-}\) 的直和项 \(O(t) = A_i\) 上，使用映射 \(A_i \to B_i\) 进入 \(M^{+}\) 的直和项 \(O((b, i)) = B_i\)；在对应于 \((b, i)\)、\(i \in I^{+}\) 的直和项 \(O(t) = B_i\) 上，使用映射 \(B_i \to C_i\) 进入 \(M^{+}\) 的直和项 \(O((c, i)) = C_i\)。该映射在对应于 \(q\) 与 \((c, i)\)、\(i \in I^{-}\) 的直和项上为零。

注意，\(\varphi\) 的核等于直和项 \(P\)、各直和项 \(O((c, i)) = C_i\)（\(i \in I^{+}\)），以及各直和项 \(O((b, i)) = B_i\) 内的子对象 \(A_i\)（\(i \in I^{-}\)）之直和。\(\psi\) 的像等于各直和项 \(O((c, i)) = C_i\)（\(i \in I^{+}\)）及各直和项 \(O((b, i)) = B_i\) 内的子对象 \(A_i\)（\(i \in I^{-}\)）之直和。换言之， \[P \cong \Ker(\varphi)/\Im(\psi).\] 完全同样地， \[Q \cong \Ker(\psi)/\Im(\varphi).\] 如上所述，双射 \(\tau\) 的存在表明 \(M^{+} = M^{-}\)，引理遂得证。

上同调 \zhdelta-函子

定义

设 \(\mathcal{A}, \mathcal{B}\) 为阿贝尔范畴。从 \(\mathcal{A}\) 到 \(\mathcal{B}\) 的一个上同调 \(\delta\)-函子，简称一个 \(\delta\)-函子，由下列数据给出：

1. 一族加性函子 \(F^n : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)，\(n \geq 0\)；以及

2. 对 \(\mathcal{A}\) 中每个短正合列 \(0 \to A \to B \to C \to 0\)， 一族 \(\mathcal{B}\) 中的态射 \(\delta_{A \to B \to C} : F^n(C) \to F^{n + 1}(A)\)，\(n \geq 0\)。

要求这些数据满足下列公理：

1. 对每个如上的短正合列，序列 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & F^0(A) \ar[r] & F^0(B) \ar[r] & F^0(C) \ar[lld]^{\delta_{A \to B \to C}} \\ & F^1(A) \ar[r] & F^1(B) \ar[r] & F^1(C) \ar[lld]^{\delta_{A \to B \to C}} \\ & F^2(A) \ar[r] & F^2(B) \ar[r] & \ldots }\] 正合；以及

2. 对 \(\mathcal{A}\) 中短正合列的每个态射 \((A \to B \to C) \to (A' \to B' \to C')\)，图表 \[\xymatrix{ F^n(C) \ar[d] \ar[rr]_{\delta_{A \to B \to C}} & & F^{n + 1}(A) \ar[d] \\ F^n(C') \ar[rr]^{\delta_{A' \to B' \to C'}} & & F^{n + 1}(A') }\] 交换。

特别地，注意这蕴含 \(F^0\) 左正合。

定义

设 \(\mathcal{A}, \mathcal{B}\) 为阿贝尔范畴，并设 \((F^n, \delta_F)\) 与 \((G^n, \delta_G)\) 是从 \(\mathcal{A}\) 到 \(\mathcal{B}\) 的 \(\delta\)-函子。从 \(F\) 到 \(G\) 的一个 \(\delta\)-函子态射，是函子变换 \(t^n : F^n \to G^n\)（\(n \geq 0\)）的一族，使得对 \(\mathcal{A}\) 中 每个短正合列 \(0 \to A \to B \to C \to 0\)，图表 \[\xymatrix{ F^n(C) \ar[d]_{t^n} \ar[rr]_{\delta_{F, A \to B \to C}} & & F^{n + 1}(A) \ar[d]^{t^{n + 1}} \\ G^n(C) \ar[rr]^{\delta_{G, A \to B \to C}} & & G^{n + 1}(A) }\] 交换。

定义

设 \(\mathcal{A}, \mathcal{B}\) 为阿贝尔范畴，并设 \(F = (F^n, \delta_F)\) 是从 \(\mathcal{A}\) 到 \(\mathcal{B}\) 的 \(\delta\)-函子。若对每个 \(\delta\)-函子 \(G = (G^n, \delta_G)\) 以及 任意函子态射 \(t : F^0 \to G^0\)，都存在唯一的 \(\delta\)-函子态射 \(\{t^n\}_{n \geq 0} : F \to G\) 使得 \(t = t^0\)，则称 \(F\) 是一个 泛 \(\delta\)-函子。

引理

设 \(\mathcal{A}, \mathcal{B}\) 为阿贝尔范畴，并设 \(F = (F^n, \delta_F)\) 是从 \(\mathcal{A}\) 到 \(\mathcal{B}\) 的 \(\delta\)-函子。假设对每个 \(n > 0\) 以及任意 \(A \in \Ob(\mathcal{A})\)，都存在一个单射态射 \(u : A \to B\) （依赖于 \(A\) 与 \(n\)），使得 \(F^n(u) : F^n(A) \to F^n(B)\) 为零。那么 \(F\) 是泛 \(\delta\)-函子。

证明

设 \(G = (G^n, \delta_G)\) 是从 \(\mathcal{A}\) 到 \(\mathcal{B}\) 的 \(\delta\)-函子，并设 \(t : F^0 \to G^0\) 为函子态射。我们须证明存在 唯一的 \(\delta\)-函子态射 \(\{t^n\}_{n \geq 0} : F \to G\)，使得 \(t = t^0\)。我们对 \(n\) 归纳构造 \(t^n\)。当 \(n = 0\) 时令 \(t^0 = t\)。假设已经唯一地构造了 \(i \leq n\) 时的函子变换序列 \(t^i\)，并且它与次数 \(\leq n\) 中的映射 \(\delta\) 相容。

令 \(A \in \Ob(\mathcal{A})\)。由假设可选取一个嵌入 \(u : A \to B\)，使得 \(F^{n + 1}(u) = 0\)。令 \(C = B/u(A)\)。 短正合列 \(0 \to A \to B \to C \to 0\) 对 \(\delta\)-函子 \(F\) 给出的长正合上同调列，连同我们对 \(u\) 的选择，表明 \(F^{n + 1}(A) = \Coker(F^n(B) \to F^n(C))\)。由于已经定义了 \(t^n\)，我们可令 \[t^{n + 1}_A : F^{n + 1}(A) \to G^{n + 1}(A)\] 为使下图交换的唯一映射： \[\xymatrix{ \Coker(F^n(B) \to F^n(C)) \ar[r]_{t^n} \ar[d]_{\delta_{F, A \to B \to C}} & \Coker(G^n(B) \to G^n(C)) \ar[d]^{\delta_{G, A \to B \to C}} \\ F^{n + 1}(A) \ar[r]^{t^{n + 1}_A} & G^{n + 1}(A) }\] 显然，所加要求唯一地决定了这一映射。我们略去它定义函子变换的验证。

引理

设 \(\mathcal{A}, \mathcal{B}\) 为阿贝尔范畴，并设 \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 为函子。若存在一个从 \(\mathcal{A}\) 到 \(\mathcal{B}\) 的泛 \(\delta\)-函子 \((F^n, \delta_F)\)，且 \(F^0 = F\)，则它在 \(\delta\)-函子的唯一同构意义下确定。

证明

由定义立即可得。

复形

当然，链复形与上链复形的概念互为对偶，本节两部分只需选读其一即可； 因此任选你喜欢的一部分。（严格说来，这并不完全奏效，因为各项的编号约定 并不适合在链复形与上链复形之间直接转换。）

加性范畴 \(\mathcal{A}\) 中的一个链复形 \(A_\bullet\)，是 \(\mathcal{A}\) 中的复形 \[\ldots \to A_{n + 1} \xrightarrow{d_{n + 1}} A_n \xrightarrow{d_n} A_{n - 1} \to \ldots\] 换言之，对每个 \(i \in \mathbf{Z}\) 给定 \(\mathcal{A}\) 的对象 \(A_i\)， 并对每个 \(i \in \mathbf{Z}\) 给定态射 \(d_i : A_i \to A_{i - 1}\)， 且对所有 \(i\) 均有 \(d_{i - 1} \circ d_i = 0\)。一个 链复形态射 \(f : A_\bullet \to B_\bullet\)，由一族态射 \(f_i : A_i \to B_i\) 给出，并要求所有图表 \[\xymatrix{ A_i \ar[r]_{d_i} \ar[d]_{f_i} & A_{i - 1} \ar[d]^{f_{i - 1}} \\ B_i \ar[r]^{d_i} & B_{i - 1} }\] 交换。\(\mathcal{A}\) 的链复形范畴记作 \(\text{Ch}(\mathcal{A})\)。其中由形如 \[\ldots \to A_2 \to A_1 \to A_0 \to 0 \to 0 \to \ldots\] 的对象组成的全子范畴记作 \(\text{Ch}_{\geq 0}(\mathcal{A})\)。 换言之，链复形 \(A_\bullet\) 属于 \(\text{Ch}_{\geq 0}(\mathcal{A})\)，当且仅当对所有 \(i < 0\) 均有 \(A_i = 0\)。

给定加性范畴 \(\mathcal{A}\)，通过函子 \[\mathcal{A} \longrightarrow \text{Ch}(\mathcal{A}),\quad A \longmapsto (\ldots \to 0 \to A \to 0 \to \ldots)\] 把 \(\mathcal{A}\) 等同于 \(\text{Ch}(\mathcal{A})\) 中由仅在次数 \(0\) 处非零的链复形组成的全子范畴。略用记号时，我们常把右端对象简记为 \(A\)。若想强调把 \(A\) 看作链复形，有时可使用记号 \(A[0]\)；见 第 0119 节。

链复形态射 \(f, g : A_\bullet \to B_\bullet\) 之间的一个 同伦 \(h\)，是一族态射 \(h_i : A_i \to B_{i + 1}\)，使得对所有 \(i\) 均有 \[f_i - g_i = d_{i + 1} \circ h_i + h_{i - 1} \circ d_i\] 若 \(f\) 与 \(g\) 之间存在同伦，则称两个态射 \(f, g : A_\bullet \to B_\bullet\) 同伦。显然，链复形、链复形态射 以及链复形态射之间的同伦这些概念，即使在预加性范畴中也有意义。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为加性范畴。设 \(f, g : B_\bullet \to C_\bullet\) 为链复形态射，并给定链复形态射 \(a : A_\bullet \to B_\bullet\) 与 \(c : C_\bullet \to D_\bullet\)。 若 \(\{h_i : B_i \to C_{i + 1}\}\) 定义了 \(f\) 与 \(g\) 之间的同伦， 则 \(\{c_{i + 1} \circ h_i \circ a_i\}\) 定义了 \(c \circ f \circ a\) 与 \(c \circ g \circ a\) 之间的同伦。

证明

略。

特别地，这意味着可以定义以同伦类为态射的链复形范畴。稍后我们将回到这一点。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为加性范畴。若存在态射 \(b : B_\bullet \to A_\bullet\)，使得 \(b \circ a\) 与 \(\text{id}_A\) 之间存在同伦，并且 \(a \circ b\) 与 \(\text{id}_B\) 之间存在同伦， 则称态射 \(a : A_\bullet \to B_\bullet\) 为同伦等价。 若 \(A_\bullet\) 与 \(B_\bullet\) 之间存在这样的态射，则称 \(A_\bullet\) 与 \(B_\bullet\) 同伦等价。

换言之，两个复形同伦等价，当且仅当它们在以同伦类为态射的复形范畴中同构。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。

1. \(\mathcal{A}\) 中链复形的范畴是阿贝尔范畴。

2. 复形态射 \(f : A_\bullet \to B_\bullet\) 是单射态射，当且仅当每个 \(f_n : A_n \to B_n\) 都是单射态射。

3. 复形态射 \(f : A_\bullet \to B_\bullet\) 是满射态射，当且仅当每个 \(f_n : A_n \to B_n\) 都是满射态射。

4. 链复形序列 \[A_\bullet \xrightarrow{f} B_\bullet \xrightarrow{g} C_\bullet\] 在 \(B_\bullet\) 处正合，当且仅当每个序列 \[A_i \xrightarrow{f_i} B_i \xrightarrow{g_i} C_i\] 都在 \(B_i\) 处正合。

证明

略。

对任意 \(i \in \mathbf{Z}\)，阿贝尔范畴中链复形 \(A_\bullet\) 的第 \(i\) 个同调群定义为 \[H_i(A_\bullet) = \Ker(d_i)/\Im(d_{i + 1}).\] 若 \(f : A_\bullet \to B_\bullet\) 是 \(\mathcal{A}\) 中的链复形态射， 则得到诱导态射 \(H_i(f) : H_i(A_\bullet) \to H_i(B_\bullet)\)，因为显然 \(f_i(\Ker(d_i : A_i \to A_{i - 1})) \subset \Ker(d_i : B_i \to B_{i - 1})\)，而 \(\Im(d_{i + 1})\) 也同样如此。 因此得到函子 \[H_i : \text{Ch}(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{A}.\]

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。

1. 若诱导映射 \(H_i(f) : H_i(A_\bullet) \to H_i(B_\bullet)\) 对所有 \(i \in \mathbf{Z}\) 都是同构，则称链复形态射 \(f : A_\bullet \to B_\bullet\) 为拟同构。

2. 若链复形 \(A_\bullet\) 的所有同调对象 \(H_i(A_\bullet)\) 都为零， 则称它无环。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。

1. 若映射 \(f, g : A_\bullet \to B_\bullet\) 同伦，则诱导映射 \(H_i(f)\) 与 \(H_i(g)\) 相等。

2. 若映射 \(f : A_\bullet \to B_\bullet\) 是同伦等价，则 \(f\) 是拟同构。

证明

略。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。假设 \[0 \to A_\bullet \to B_\bullet \to C_\bullet \to 0\] 是 \(\mathcal{A}\) 中链复形的短正合列。那么存在典范的长正合同调列 \[\xymatrix{ \ldots & \ldots & \ldots \ar[lld] \\ H_i(A_\bullet) \ar[r] & H_i(B_\bullet) \ar[r] & H_i(C_\bullet) \ar[lld] \\ H_{i - 1}(A_\bullet) \ar[r] & H_{i - 1}(B_\bullet) \ar[r] & H_{i - 1}(C_\bullet) \ar[lld] \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ }\]

证明

略。各映射来自把蛇引理 010H 应用于图表 \[\xymatrix{ & A_i/\Im(d_{A, i + 1}) \ar[r] \ar[d]^{d_{A, i}} & B_i/\Im(d_{B, i + 1}) \ar[r] \ar[d]^{d_{B, i}} & C_i/\Im(d_{C, i + 1}) \ar[r] \ar[d]^{d_{C, i}} & 0 \\ 0 \ar[r] & \Ker(d_{A, i - 1}) \ar[r] & \Ker(d_{B, i - 1}) \ar[r] & \Ker(d_{C, i - 1}) & }\]

加性范畴 \(\mathcal{A}\) 中的一个上链复形 \(A^\bullet\)，是 \(\mathcal{A}\) 中的复形 \[\ldots \to A^{n - 1} \xrightarrow{d^{n - 1}} A^n \xrightarrow{d^n} A^{n + 1} \to \ldots\] 换言之，对每个 \(i \in \mathbf{Z}\) 给定 \(\mathcal{A}\) 的对象 \(A^i\)， 并对每个 \(i \in \mathbf{Z}\) 给定态射 \(d^i : A^i \to A^{i + 1}\)， 且对所有 \(i\) 均有 \(d^{i + 1} \circ d^i = 0\)。一个 上链复形态射 \(f : A^\bullet \to B^\bullet\)，由一族态射 \(f^i : A^i \to B^i\) 给出，并要求所有图表 \[\xymatrix{ A^i \ar[r]_{d^i} \ar[d]_{f^i} & A^{i + 1} \ar[d]^{f^{i + 1}} \\ B^i \ar[r]^{d^i} & B^{i + 1} }\] 交换。\(\mathcal{A}\) 的上链复形范畴记作 \(\text{CoCh}(\mathcal{A})\)。其中由形如 \[\ldots \to 0 \to 0 \to A^0 \to A^1 \to A^2 \to \ldots\] 的对象组成的全子范畴记作 \(\text{CoCh}_{\geq 0}(\mathcal{A})\)。 换言之，上链复形 \(A^\bullet\) 属于子范畴 \(\text{CoCh}_{\geq 0}(\mathcal{A})\)，当且仅当对所有 \(i < 0\) 均有 \(A^i = 0\)。

给定加性范畴 \(\mathcal{A}\)，通过函子 \[\mathcal{A} \longrightarrow \text{CoCh}(\mathcal{A}),\quad A \longmapsto (\ldots \to 0 \to A \to 0 \to \ldots)\] 把 \(\mathcal{A}\) 等同于 \(\text{CoCh}(\mathcal{A})\) 中由仅在次数 \(0\) 处非零的上链复形组成的全子范畴。略用记号时，我们常把右端对象简记为 \(A\)。若想强调把 \(A\) 看作上链复形，有时可使用记号 \(A[0]\)；见 第 0119 节。

上链复形态射 \(f, g : A^\bullet \to B^\bullet\) 之间的一个 同伦 \(h\)，是一族态射 \(h^i : A^i \to B^{i - 1}\)，使得对所有 \(i\) 均有 \[f^i - g^i = d^{i - 1} \circ h^i + h^{i + 1} \circ d^i\] 若 \(f\) 与 \(g\) 之间存在同伦，则称两个态射 \(f, g : A^\bullet \to B^\bullet\) 同伦。显然，上链复形、上链复形态射 以及上链复形态射之间的同伦这些概念，即使在预加性范畴中也有意义。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为加性范畴。设 \(f, g : B^\bullet \to C^\bullet\) 为上链复形态射，并给定上链复形态射 \(a : A^\bullet \to B^\bullet\) 与 \(c : C^\bullet \to D^\bullet\)。 若 \(\{h^i : B^i \to C^{i - 1}\}\) 定义了 \(f\) 与 \(g\) 之间的同伦， 则 \(\{c^{i - 1} \circ h^i \circ a^i\}\) 定义了 \(c \circ f \circ a\) 与 \(c \circ g \circ a\) 之间的同伦。

证明

略。

特别地，这意味着可以定义以同伦类为态射的上链复形范畴。稍后我们将回到这一点。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为加性范畴。若存在态射 \(b : B^\bullet \to A^\bullet\)，使得 \(b \circ a\) 与 \(\text{id}_A\) 之间存在同伦，并且 \(a \circ b\) 与 \(\text{id}_B\) 之间存在同伦， 则称态射 \(a : A^\bullet \to B^\bullet\) 为同伦等价。 若 \(A^\bullet\) 与 \(B^\bullet\) 之间存在这样的态射，则称 \(A^\bullet\) 与 \(B^\bullet\) 同伦等价。

换言之，两个复形同伦等价，当且仅当它们在以同伦类为态射的复形范畴中同构。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。

1. \(\mathcal{A}\) 中上链复形的范畴是阿贝尔范畴。

2. 上链复形态射 \(f : A^\bullet \to B^\bullet\) 是单射态射，当且仅当每个 \(f^n : A^n \to B^n\) 都是单射态射。

3. 上链复形态射 \(f : A^\bullet \to B^\bullet\) 是满射态射，当且仅当每个 \(f^n : A^n \to B^n\) 都是满射态射。

4. 上链复形序列 \[A^\bullet \xrightarrow{f} B^\bullet \xrightarrow{g} C^\bullet\] 在 \(B^\bullet\) 处正合，当且仅当每个序列 \[A^i \xrightarrow{f^i} B^i \xrightarrow{g^i} C^i\] 都在 \(B^i\) 处正合。

证明

略。

对任意 \(i \in \mathbf{Z}\)，上链复形 \(A^\bullet\) 的第 \(i\) 个上同调群定义为 \[H^i(A^\bullet) = \Ker(d^i)/\Im(d^{i - 1}).\] 若 \(f : A^\bullet \to B^\bullet\) 是 \(\mathcal{A}\) 中的上链复形态射， 则得到诱导态射 \(H^i(f) : H^i(A^\bullet) \to H^i(B^\bullet)\)，因为显然 \(f^i(\Ker(d^i : A^i \to A^{i + 1})) \subset \Ker(d^i : B^i \to B^{i + 1})\)，而 \(\Im(d^{i - 1})\) 也同样如此。 因此得到函子 \[H^i : \text{CoCh}(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{A}.\]

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。

1. 若诱导映射 \(H^i(f) : H^i(A^\bullet) \to H^i(B^\bullet)\) 对所有 \(i \in \mathbf{Z}\) 都是同构，则称 \(\mathcal{A}\) 的上链复形态射 \(f : A^\bullet \to B^\bullet\) 为拟同构。

2. 若上链复形 \(A^\bullet\) 的所有上同调对象 \(H^i(A^\bullet)\) 都为零， 则称它无环。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。

1. 若映射 \(f, g : A^\bullet \to B^\bullet\) 同伦，则诱导映射 \(H^i(f)\) 与 \(H^i(g)\) 相等。

2. 若 \(f : A^\bullet \to B^\bullet\) 是同伦等价，则 \(f\) 是拟同构。

证明

略。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。假设 \[0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0\] 是 \(\mathcal{A}\) 中上链复形的短正合列。那么存在长正合上同调列 \[\xymatrix{ \ldots & \ldots & \ldots \ar[lld] \\ H^i(A^\bullet) \ar[r] & H^i(B^\bullet) \ar[r] & H^i(C^\bullet) \ar[lld] \\ H^{i + 1}(A^\bullet) \ar[r] & H^{i + 1}(B^\bullet) \ar[r] & H^{i + 1}(C^\bullet) \ar[lld] \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ }\] 此构造产生关于短正合列函子性且与 定义 011H 中的平移相容的长正合上同调列。

证明

对水平映射 \(H^i(A^\bullet) \to H^i(B^\bullet)\) 与 \(H^i(B^\bullet) \to H^i(C^\bullet)\)，使用上文所述 \(H^i\) 的函子性。 对“边界映射” \(H^i(C^\bullet) \to H^{i + 1}(A^\bullet)\)，使用把蛇引理 010H 应用于图表 \[\xymatrix{ & A^i/\Im(d_A^{i - 1}) \ar[r] \ar[d]^{d_A^i} & B^i/\Im(d_B^{i - 1}) \ar[r] \ar[d]^{d_B^i} & C^i/\Im(d_C^{i - 1}) \ar[r] \ar[d]^{d_C^i} & 0 \\ 0 \ar[r] & \Ker(d_A^{i + 1}) \ar[r] & \Ker(d_B^{i + 1}) \ar[r] & \Ker(d_C^{i + 1}) & }\] 所得的映射 \(\delta\)。这是可行的，因为右侧竖直映射的核等于 \(H^i(C^\bullet)\)，而左侧竖直映射的余核等于 \(H^{i + 1}(A^\bullet)\)。长序列的正合性就是引理 010H 第 (2) 部分中的正合性。 函子性由引理 08N7 给出；与平移的相容性由定义立即可得。

同伦与平移函子

令人烦恼的是，任何同调代数的讨论都不得不涉及符号与指标²。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为加性范畴，并设 \(A_\bullet\) 为边界映射为 \(d_{A, n} : A_n \to A_{n - 1}\) 的链复形。对任意 \(k \in \mathbf{Z}\)，如下定义平移 \(k\) 的链复形 \(A[k]_\bullet\)：

1. 令 \(A[k]_n = A_{n + k}\)；以及

2. 令 \(d_{A[k], n} : A[k]_n \to A[k]_{n - 1}\) 等于 \(d_{A[k], n} = (-1)^k d_{A, n + k}\)。

若 \(f : A_\bullet \to B_\bullet\) 是链复形态射，则令 \(f[k] : A[k]_\bullet \to B[k]_\bullet\) 为满足 \(f[k]_n = f_{k + n}\) 的链复形态射。

当然，这意味着有函子 \([k] : \text{Ch}(\mathcal{A}) \to \text{Ch}(\mathcal{A})\)，它们彼此 严格交换（无需插入任何函子同构），并且 \(A[k][l]_\bullet = A[k + l]_\bullet\)、 \([0] = \text{id}_{\text{Ch}(\mathcal{A})}\)。

回忆我们把 \(\mathcal{A}\) 看作 \(\text{Ch}(\mathcal{A})\) 的全子范畴； 见第 010V 节。因此，对 \(\mathcal{A}\) 的任意对象 \(A\)，记号 \(A[k]\) 表示唯一的链复形：除次数 \(-k\) 处为 \(A\) 外， 其他各次均为零。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \(A_\bullet\) 为边界映射为 \(d_{A, n} : A_n \to A_{n - 1}\) 的链复形。对任意 \(k \in \mathbf{Z}\)，借助等同 \(A_{i + k} = A[k]_i\)，我们作等同 \(H_{i + k}(A_\bullet) \rightarrow H_i(A[k]_\bullet)\)。

这一等同关于 \(A_\bullet\) 具有函子性。注意，因为该定义不涉及符号， 实际上我们得到所有同调对象 \(H_{i - k}(A[k]_\bullet)\) 的相容等同系； 它们还与等同 \(A[k][l]_\bullet = A[k + l]_\bullet\) 以及 \([0] = \text{id}_{\text{Ch}(\mathcal{A})}\) 相容。

设 \(\mathcal{A}\) 为加性范畴。假设 \(A_\bullet\) 与 \(B_\bullet\) 是链复形， \(a, b : A_\bullet \to B_\bullet\) 是链复形态射，并且 \(\{h_i : A_i \to B_{i + 1}\}\) 是 \(a\) 与 \(b\) 之间的同伦。回忆这意味着 \(a_i - b_i = d_{i + 1} \circ h_i + h_{i - 1} \circ d_i\)。 如果 \(a = b\)，则得到公式 \(0 = d_{i + 1} \circ h_i + h_{i - 1} \circ d_i\)；换言之， \(- d_{i + 1} \circ h_i = h_{i - 1} \circ d_i\)。由上面的定义，这意味着 \(\{h_i\}\) 定义了链复形态射 \[A_\bullet \longrightarrow B[1]_\bullet.\] 由上面的说明，这与态射 \(A[-1]_\bullet \to B_\bullet\) 是同一回事。 这就证明了下面的引理。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为加性范畴，并假设 \(A_\bullet\) 与 \(B_\bullet\) 是链复形。 给定任意链复形态射 \(a : A_\bullet \to B_\bullet\)，从 \(a\) 到 \(a\) 的 同伦之集合与 \(\Mor_{\text{Ch}(\mathcal{A})}(A_\bullet, B[1]_\bullet)\) 之间存在双射。 更一般地，\(a\) 与 \(b\) 之间的同伦之集合或者为空，或者是群 \(\Mor_{\text{Ch}(\mathcal{A})}(A_\bullet, B[1]_\bullet)\) 的主齐性空间。

证明

见上文。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。设 \[0 \to A_\bullet \to B_\bullet \to C_\bullet \to 0\] 为复形的短正合列。假设 \(\{s_n : C_n \to B_n\}\) 是一族态射， 它们分裂短正合列 \(0 \to A_n \to B_n \to C_n \to 0\)。 令 \(\pi_n : B_n \to A_n\) 为相应的投影；见引理 010G。那么态射族 \[\pi_{n - 1} \circ d_{B, n} \circ s_n : C_n \to A_{n - 1}\] 定义了复形态射 \(\delta(s) : C_\bullet \to A[-1]_\bullet\)。

证明

用 \(i : A_\bullet \to B_\bullet\) 与 \(q : B_\bullet \to C_\bullet\) 表示短正合列中的复形态射。于是 \(i_{n - 1} \circ \pi_{n - 1} \circ d_{B, n} \circ s_n = d_{B, n} \circ s_n - s_{n - 1} \circ d_{C, n}\)。因此 \(i_{n - 2} \circ d_{A, n - 1} \circ \pi_{n - 1} \circ d_{B, n} \circ s_n = d_{B, n - 1} \circ (d_{B, n} \circ s_n - s_{n - 1} \circ d_{C, n}) = - d_{B, n - 1} \circ s_{n - 1} \circ d_{C, n}\)，正如所需。

引理

记号与假设同上面的引理 011D。复形态射 \(\delta(s) : C_\bullet \to A[-1]_\bullet\) 诱导的映射 \[H_i(\delta(s)) : H_i(C_\bullet) \longrightarrow H_i(A[-1]_\bullet) = H_{i - 1}(A_\bullet)\] 就是由引理 0111 关联于该链复形短正合列的 长正合同调列中出现的映射。

证明

略。

引理

记号与假设同上面的引理 011D。假设 \(\{s'_n : C_n \to B_n\}\) 是对分裂的另一种选择。对某些唯一的态射 \(h_n : C_n \to A_n\)，写成 \(s'_n = s_n + i_n \circ h_n\)。 映射族 \(\{h_n : C_n \to A[-1]_{n + 1}\}\) 是相应态射 \(\delta(s), \delta(s') : C_\bullet \to A[-1]_\bullet\) 之间的同伦。

证明

略。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为加性范畴，并设 \(A^\bullet\) 为边界映射为 \(d_A^n : A^n \to A^{n + 1}\) 的上链复形。对任意 \(k \in \mathbf{Z}\)，如下定义平移 \(k\) 的上链复形 \(A[k]^\bullet\)：

1. 令 \(A[k]^n = A^{n + k}\)；以及

2. 令 \(d_{A[k]}^n : A[k]^n \to A[k]^{n + 1}\) 等于 \(d_{A[k]}^n = (-1)^k d_A^{n + k}\)。

若 \(f : A^\bullet \to B^\bullet\) 是上链复形态射，则令 \(f[k] : A[k]^\bullet \to B[k]^\bullet\) 为满足 \(f[k]^n = f^{k + n}\) 的上链复形态射。

当然，这意味着有函子 \([k] : \text{CoCh}(\mathcal{A}) \to \text{CoCh}(\mathcal{A})\)， 它们彼此严格交换（无需插入任何函子同构），并且 \(A[k][l]^\bullet = A[k + l]^\bullet\)、 \([0] = \text{id}_{\text{CoCh}(\mathcal{A})}\)。

回忆我们把 \(\mathcal{A}\) 看作 \(\text{CoCh}(\mathcal{A})\) 的全子范畴； 见第 010V 节。因此，对 \(\mathcal{A}\) 的任意对象 \(A\)，记号 \(A[k]\) 表示唯一的上链复形：除次数 \(-k\) 处为 \(A\) 外， 其他各次均为零。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \(A^\bullet\) 为边界映射为 \(d_A^n : A^n \to A^{n + 1}\) 的上链复形。对任意 \(k \in \mathbf{Z}\)，借助等同 \(A^{i + k} = A[k]^i\)，我们作等同 \(H^{i + k}(A^\bullet) \longrightarrow H^i(A[k]^\bullet)\)。

这一等同关于 \(A^\bullet\) 具有函子性。注意，因为该定义不涉及符号， 实际上我们得到所有同调对象 \(H^{i - k}(A[k]^\bullet)\) 的相容等同系； 它们还与等同 \(A[k][l]^\bullet = A[k + l]^\bullet\) 以及 \([0] = \text{id}_{\text{CoCh}(\mathcal{A})}\) 相容。

设 \(\mathcal{A}\) 为加性范畴。假设 \(A^\bullet\) 与 \(B^\bullet\) 是上链复形， \(a, b : A^\bullet \to B^\bullet\) 是上链复形态射，并且 \(\{h^i : A^i \to B^{i - 1}\}\) 是 \(a\) 与 \(b\) 之间的同伦。回忆这意味着 \(a^i - b^i = d^{i - 1} \circ h^i + h^{i + 1} \circ d^i\)。 如果 \(a = b\)，则得到公式 \(0 = d^{i - 1} \circ h^i + h^{i + 1} \circ d^i\)；换言之， \(- d^{i - 1} \circ h^i = h^{i + 1} \circ d^i\)。由上面的定义，这意味着 \(\{h^i\}\) 定义了上链复形态射 \[A^\bullet \longrightarrow B[-1]^\bullet.\] 由上面的说明，这与态射 \(A[1]^\bullet \to B^\bullet\) 是同一回事。 这就证明了下面的引理。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为加性范畴，并假设 \(A^\bullet\) 与 \(B^\bullet\) 是上链复形。 给定任意上链复形态射 \(a : A^\bullet \to B^\bullet\)，从 \(a\) 到 \(a\) 的 同伦之集合与 \(\Mor_{\text{CoCh}(\mathcal{A})}(A^\bullet, B[-1]^\bullet)\) 之间存在双射。 更一般地，\(a\) 与 \(b\) 之间的同伦之集合或者为空，或者是群 \(\Mor_{\text{CoCh}(\mathcal{A})}(A^\bullet, B[-1]^\bullet)\) 的主齐性空间。

证明

见上文。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为加性范畴。设 \[0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0\] 为复形组成的一个复形（！）。假设给定与所示序列中映射相容的分裂 \(B^n = A^n \oplus C^n\)。令 \(s^n : C^n \to B^n\) 与 \(\pi^n : B^n \to A^n\) 为相应映射。那么态射族 \[\pi^{n + 1} \circ d_B^n \circ s^n : C^n \to A^{n + 1}\] 定义了复形态射 \(\delta : C^\bullet \to A[1]^\bullet\)。

证明

用 \(i : A^\bullet \to B^\bullet\) 与 \(q : B^\bullet \to C^\bullet\) 表示短正合列中的复形态射。于是 \(i^{n + 1} \circ \pi^{n + 1} \circ d_B^n \circ s^n = d_B^n \circ s^n - s^{n + 1} \circ d_C^n\)。因此 \(i^{n + 2} \circ d_A^{n + 1} \circ \pi^{n + 1} \circ d_B^n \circ s^n = d_B^{n + 1} \circ (d_B^n \circ s^n - s^{n + 1} \circ d_C^n) = - d_B^{n + 1} \circ s^{n + 1} \circ d_C^n\)，正如所需。

引理

记号与假设同上面的引理 011J，并进一步 假设 \(\mathcal{A}\) 是阿贝尔范畴。复形态射 \(\delta : C^\bullet \to A[1]^\bullet\) 诱导的映射 \[H^i(\delta) : H^i(C^\bullet) \longrightarrow H^i(A[1]^\bullet) = H^{i + 1}(A^\bullet)\] 就是由引理 0117 关联于该上链复形 短正合列的长正合同调列中出现的映射。

证明

略。

引理

记号与假设同引理 011J。令 \(\alpha : A^\bullet \to B^\bullet\)、 \(\beta : B^\bullet \to C^\bullet\) 为给定的复形态射。假设 \((s')^n : C^n \to B^n\) 与 \((\pi')^n : B^n \to A^n\) 是对分裂的 另一种选择。对某些唯一的态射 \(h^n : C^n \to A^n\) 与 \(g^n : C^n \to A^n\)，写成 \((s')^n = s^n + \alpha^n \circ h^n\) 及 \((\pi')^n = \pi^n + g^n \circ \beta^n\)。那么

1. \(g^n = - h^n\)；并且

2. 映射族 \(\{g^n : C^n \to A[1]^{n - 1}\}\) 是 \(\delta, \delta' : C^\bullet \to A[1]^\bullet\) 之间的同伦；更精确地， \((\delta')^n = \delta^n + g^{n + 1} \circ d_C^n + d_{A[1]}^{n - 1} \circ g^n\)。

证明

由于 \((s')^n\) 与 \((\pi')^n\) 是分裂，我们有 \((\pi')^n \circ (s')^n = 0\)。因此 \[0 = ( \pi^n + g^n \circ \beta^n ) \circ ( s^n + \alpha^n \circ h^n ) = g^n \circ \beta^n \circ s^n + \pi^n \circ \alpha^n \circ h^n = g^n + h^n\] 这证明了 (1)。如下计算 \((\delta')^n\)： \[( \pi^{n + 1} + g^{n + 1} \circ \beta^{n + 1} ) \circ d_B^n \circ ( s^n + \alpha^n \circ h^n ) = \delta^n + g^{n + 1} \circ d_C^n + d_A^n \circ h^n\] 由于 \(h^n = -g^n\) 且 \(d_{A[1]}^{n - 1} = -d_A^n\)，遂得 (2)。

复形的截断

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \(A_\bullet\) 为链复形。 复形 \(A_\bullet\) 有若干种截断方式。

1. “朴素”截断 \(\sigma_{\leq n}\) 是子复形 \(\sigma_{\leq n} A_\bullet\)，其定义规则为：若 \(i > n\)，则 \((\sigma_{\leq n} A_\bullet)_i = 0\)；若 \(i \leq n\)，则 \((\sigma_{\leq n} A_\bullet)_i = A_i\)。图示为 \[\xymatrix{ \sigma_{\leq n}A_\bullet \ar[d] & \ldots \ar[r] & 0 \ar[r] \ar[d] & A_n \ar[r] \ar[d] & A_{n - 1} \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ A_\bullet & \ldots \ar[r] & A_{n + 1} \ar[r] & A_n \ar[r] & A_{n - 1} \ar[r] & \ldots }\] 注意性质 \(\sigma_{\leq n}A_\bullet / \sigma_{\leq n - 1}A_\bullet = A_n[-n]\)。

2. “朴素”截断 \(\sigma_{\geq n}\) 是商复形 \(\sigma_{\geq n} A_\bullet\)，其定义规则为：若 \(i \geq n\)，则 \((\sigma_{\geq n} A_\bullet)_i = A_i\)；若 \(i < n\)，则 \((\sigma_{\geq n} A_\bullet)_i = 0\)。图示为 \[\xymatrix{ A_\bullet \ar[d] & \ldots \ar[r] & A_{n + 1} \ar[r] \ar[d] & A_n \ar[r] \ar[d] & A_{n - 1} \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ \sigma_{\geq n}A_\bullet & \ldots \ar[r] & A_{n + 1} \ar[r] & A_n \ar[r] & 0 \ar[r] & \ldots }\] 复形态射 \(\sigma_{\geq n}A_\bullet \to \sigma_{\geq n + 1}A_\bullet\) 是满射态射，其核为 \(A_n[-n]\)。

3. 典范截断 \(\tau_{\geq n}A_\bullet\) 由下图定义： \[\xymatrix{ \tau_{\geq n}A_\bullet \ar[d] & \ldots \ar[r] & A_{n + 1} \ar[r] \ar[d] & \Ker(d_n) \ar[r] \ar[d] & 0 \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ A_\bullet & \ldots \ar[r] & A_{n + 1} \ar[r] & A_n \ar[r] & A_{n - 1} \ar[r] & \ldots }\] 注意这些复形具有性质 \[H_i(\tau_{\geq n}A_\bullet) = \left\{ \begin{matrix} H_i(A_\bullet) & \text{若} & i \geq n \\ 0 & \text{若} & i < n \end{matrix} \right.\]

4. 典范截断 \(\tau_{\leq n}A_\bullet\) 由下图定义： \[\xymatrix{ A_\bullet \ar[d] & \ldots \ar[r] & A_{n + 1} \ar[r] \ar[d] & A_n \ar[r] \ar[d] & A_{n - 1} \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ \tau_{\leq n}A_\bullet & \ldots \ar[r] & 0 \ar[r] & \Coker(d_{n + 1}) \ar[r] & A_{n - 1} \ar[r] & \ldots }\] 注意这些复形具有性质 \[H_i(\tau_{\leq n}A_\bullet) = \left\{ \begin{matrix} H_i(A_\bullet) & \text{若} & i \leq n \\ 0 & \text{若} & i > n \end{matrix} \right.\]

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \(A^\bullet\) 为上链复形。 复形 \(A^\bullet\) 有四种截断方式。

1. “朴素”截断 \(\sigma_{\geq n}\) 是子复形 \(\sigma_{\geq n} A^\bullet\)，其定义规则为：若 \(i < n\)，则 \((\sigma_{\geq n} A^\bullet)^i = 0\)；若 \(i \geq n\)，则 \((\sigma_{\geq n} A^\bullet)^i = A^i\)。图示为 \[\xymatrix{ \sigma_{\geq n}A^\bullet \ar[d] & \ldots \ar[r] & 0 \ar[r] \ar[d] & A^n \ar[r] \ar[d] & A^{n + 1} \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ A^\bullet & \ldots \ar[r] & A^{n - 1} \ar[r] & A^n \ar[r] & A^{n + 1} \ar[r] & \ldots }\] 注意性质 \(\sigma_{\geq n}A^\bullet / \sigma_{\geq n + 1}A^\bullet = A^n[-n]\)。

2. “朴素”截断 \(\sigma_{\leq n}\) 是商复形 \(\sigma_{\leq n} A^\bullet\)，其定义规则为：若 \(i > n\)，则 \((\sigma_{\leq n} A^\bullet)^i = 0\)；若 \(i \leq n\)，则 \((\sigma_{\leq n} A^\bullet)^i = A^i\)。图示为 \[\xymatrix{ A^\bullet \ar[d] & \ldots \ar[r] & A^{n - 1} \ar[r] \ar[d] & A^n \ar[r] \ar[d] & A^{n + 1} \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ \sigma_{\leq n}A^\bullet & \ldots \ar[r] & A^{n - 1} \ar[r] & A^n \ar[r] & 0 \ar[r] & \ldots \\ }\] 复形态射 \(\sigma_{\leq n}A^\bullet \to \sigma_{\leq n - 1}A^\bullet\) 是满射态射，其核为 \(A^n[-n]\)。

3. 典范截断 \(\tau_{\leq n}A^\bullet\) 由下图定义： \[\xymatrix{ \tau_{\leq n}A^\bullet \ar[d] & \ldots \ar[r] & A^{n - 1} \ar[r] \ar[d] & \Ker(d^n) \ar[r] \ar[d] & 0 \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ A^\bullet & \ldots \ar[r] & A^{n - 1} \ar[r] & A^n \ar[r] & A^{n + 1} \ar[r] & \ldots }\] 注意这些复形具有性质 \[H^i(\tau_{\leq n}A^\bullet) = \left\{ \begin{matrix} H^i(A^\bullet) & \text{若} & i \leq n \\ 0 & \text{若} & i > n \end{matrix} \right.\]

4. 典范截断 \(\tau_{\geq n}A^\bullet\) 由下图定义： \[\xymatrix{ A^\bullet \ar[d] & \ldots \ar[r] & A^{n - 1} \ar[r] \ar[d] & A^n \ar[r] \ar[d] & A^{n + 1} \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ \tau_{\geq n}A^\bullet & \ldots \ar[r] & 0 \ar[r] & \Coker(d^{n - 1}) \ar[r] & A^{n + 1} \ar[r] & \ldots }\] 注意这些复形具有性质 \[H^i(\tau_{\geq n}A^\bullet) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{若} & i < n \\ H^i(A^\bullet) & \text{若} & i \geq n \end{matrix} \right.\]

分次对象

作如下定义。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为加性范畴。\(\mathcal{A}\) 的分次对象范畴记作 \(\text{Gr}(\mathcal{A})\)，它是具有下列对象与态射的范畴：

1. 对象 \(A = (A^i)\) 是 \(\mathcal{A}\) 的对象 \(A^i\)（\(i \in \mathbf{Z}\)） 组成的族；以及

2. 态射 \(f : A = (A^i) \to B = (B^i)\) 是 \(\mathcal{A}\) 的态射 \(f^i : A^i \to B^i\) 组成的族。

若 \(\mathcal{A}\) 有可数直和，则可把对象 \[A = \bigoplus\nolimits_{i \in \mathbf{Z}} A^i\] 关联于 \(\text{Gr}(\mathcal{A})\) 的对象 \(A = (A^i)\)，并置 \(k^iA = A^i\)。在这种情况下，\(\text{Gr}(\mathcal{A})\) 等价于下述 二元组 \((A, k)\) 的范畴：\(A\) 是 \(\mathcal{A}\) 的对象，并带有由 \(\mathbf{Z}\) 标号的直和项所成的直和分解 \[A = \bigoplus\nolimits_{i \in \mathbf{Z}} k^iA\] 此类对象之间的态射 \((A, k) \to (B, k)\)，由 \(\mathcal{A}\) 中满足 对所有 \(i \in \mathbf{Z}\) 均有 \(\varphi(k^iA) \subset k^iB\) 的态射 \(\varphi : A \to B\) 给出。只要加性范畴 \(\mathcal{A}\) 有可数直和， 我们都会使用这一等价而不再说明。

然而，按我们的定义，加性范畴或阿贝尔范畴不一定具有所有（可数）直和。 在这种情况下，上述定义仍然有意义。例如，若 \(\mathcal{A} = \text{Vect}_k\) 是域 \(k\) 上有限维向量空间的范畴，则 \(\text{Gr}(\text{Vect}_k)\) 是带有给定分次且每个分次部分均有限维的 向量空间之范畴，而不是带有给定分次的有限维向量空间之范畴。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。分次对象范畴 \(\text{Gr}(\mathcal{A})\) 是阿贝尔范畴。

证明

设 \(f : A = (A^i) \to B = (B^i)\) 是 \(\mathcal{A}\) 的分次对象之间 由 \(\mathcal{A}\) 的态射 \(f^i : A^i \to B^i\) 给出的态射。那么在范畴 \(\text{Gr}(\mathcal{A})\) 中有 \(\Ker(f) = (\Ker(f^i))\) 及 \(\Coker(f) = (\Coker(f^i))\)。 由于 \(\mathcal{A}\) 中 \(\Im = \Coim\)，在 \(\text{Gr}(\mathcal{A})\) 中也同样成立。

注

存在具有可数直和，但可数直和不正合的阿贝尔范畴 \(\mathcal{A}\)。 一个例子是 \(\mathbf{R}\) 上阿贝尔群层的范畴之反范畴。事实上， \(\mathbf{R}\) 上阿贝尔群层的范畴具有可数积，但可数积不正合。 对这样的范畴，上述函子 \(\text{Gr}(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}\)、 \((A^i) \mapsto \bigoplus A^i\) 不正合。仍然成立的是， \(\text{Gr}(\mathcal{A})\) 等价于 \(\mathcal{A}\) 的分次对象 \((A, k)\) 所成的范畴；但在分次对象范畴中，态射 \(\varphi : (A, k) \to (B, k)\) 的核并不等于配备直和分解的 \(\Ker(\varphi)\)，而是各映射 \(k^iA \to k^iB\) 的核之直和。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为加性范畴。若 \(A = (A^i)\) 是分次对象，则它的第 \(k\) 次平移 \(A[k]\) 是满足 \(A[k]^i = A^{k + i}\) 的分次对象。

若 \(A\) 与 \(B\) 是 \(\mathcal{A}\) 的分次对象，则有 [09MH]\[\begin{equation} \Hom_{\text{Gr}(\mathcal{A})}(A, B[k]) = \Hom_{\text{Gr}(\mathcal{A})}(A[-k], B) \end{equation}\] 而这个群的元素有时称为分次对象之间的一个\(k\) 次齐次映射。

给定任意集合 \(G\)，可把 \(\mathcal{A}\) 的 \(G\)-分次对象定义为如下 范畴：其对象是由 \(G\) 的元素参数化的对象族 \(A = (A^g)_{g \in G}\)；态射 \(f : A \to B\) 定义为映射 \(f^g : A^g \to B^g\) 的族，其中 \(g\) 遍历 \(G\) 的元素。若 \(G\) 是阿贝尔群， 则可无歧义地在 \(G\)-分次对象范畴上按规则 \((A[g])^{g_0} = A^{g + g_0}\) 定义平移函子 \([g]\)。 这种构造的一个特例是 \(G = \mathbf{Z} \times \mathbf{Z}\)。 此时范畴的对象称为 \(\mathcal{A}\) 的双分次对象。双分次对象 \(A\) 的 \((p, q)\) 分量通常记作 \(A^{p, q}\)。对 \((a, b) \in \mathbf{Z} \times \mathbf{Z}\)，我们写 \(A[a, b]\) 而不是 \(A[(a, b)]\)。态射 \(A \to A[a, b]\) 有时称为一个 双次数为 \((a, b)\) 的映射。

加性幺半范畴

本节给出范畴上的幺半结构与加性结构相互作用的一些材料。

定义

一个加性幺半范畴，是配备幺半结构 \(\otimes, \phi\) （范畴论，定义 0FFK）的加性范畴 \(\mathcal{A}\)，并要求 \(\otimes\) 关于每个变量都是加性函子。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为加性幺半范畴。若 \(Y_i\)（\(i = 1, 2\)）是 \(X_i\)（\(i = 1, 2\)）的左对偶，则 \(Y_1 \oplus Y_2\) 是 \(X_1 \oplus X_2\) 的左对偶。

证明

由伴随的唯一性及范畴论，注记 0FFR 可得。

引理

在 Karoubian 加性幺半范畴中，具有左对偶的对象之每个直和项都有左对偶。

证明

我们将使用范畴论，引理 0FFQ 而不再说明。 设 \(X\) 是具有左对偶 \(Y\) 的对象。我们有 \[\Hom(X, X) = \Hom(\mathbf{1}, X \otimes Y) = \Hom(Y, Y)\] 若 \(a : X \to X\) 对应于 \(b : Y \to Y\)，则 \(b\) 是 \(Y\) 的唯一自同态， 使得在 \[\Hom(Z' \otimes X, Z) = \Hom(Z', Z \otimes Y)\] 上预复合 \(a\)，等同于后复合 \(1 \otimes b\)。因此双射 \(\Hom(X, X) \to \Hom(Y, Y)\)、\(a \mapsto b\) 是代数 \(\Hom(X, X)\) 的反代数与代数 \(\Hom(Y, Y)\) 之间的同构。 特别地，若 \(X = X_1 \oplus X_2\)，则相应投影元 \(e_1, e_2\) 被映到 \(\Hom(Y, Y)\) 中的幂等元。若 \(Y = Y_1 \oplus Y_2\) 是 \(Y\) 的相应 直和分解（第 09SF 节），则在双射 \(\Hom(Z' \otimes X, Z) = \Hom(Z', Z \otimes Y)\) 下，对 \(i = 1, 2\)，我们函子性地得到子群之间的等式 \(\Hom(Z' \otimes X_i, Z) = \Hom(Z', Z \otimes Y_i)\)。 由范畴论，注记 0FFR 中的讨论可知， \(Y_i\) 是 \(X_i\) 的左对偶。

例

设 \(F\) 为域，并设 \(\mathcal{C}\) 为分次 \(F\)-向量空间的范畴。 给定分次向量空间 \(V\) 与 \(W\)，令 \(V \otimes W\) 表示其次数 \(n\) 部分为 \[(V \otimes W)^n = \bigoplus\nolimits_{n = p + q} V^p \otimes_F W^q\] 的分次 \(F\)-向量空间。给定第三个分次向量空间 \(U\)，作为结合约束 \(\phi : U \otimes (V \otimes W) \to (U \otimes V) \otimes W\)， 我们使用向量空间的“通常”同构 \[U^p \otimes_F (V^q \otimes_F W^r) \to (U^p \otimes_F V^q) \otimes_F W^r\] 作为单位对象，使用在次数 \(0\) 处为 \(F\)、其他次数处为零的分次 \(F\)-向量空间 \(\mathbf{1}\)。\(\mathcal{C}\) 上有两个交换约束，使 \(\mathcal{C}\) 成为对称幺半范畴：一个涉及符号，另一个不涉及。我们通常 使用涉及符号的那个。 明确地说，若 \(V\) 与 \(W\) 是分次 \(F\)-向量空间，我们使用同构 \(\psi : V \otimes W \to W \otimes V\)，它在次数 \(n\) 处使用 \[V^p \otimes_F W^q \to W^q \otimes_F V^p,\quad v \otimes w \mapsto (-1)^{pq} w \otimes v\] 我们略去其有效性的验证。

引理

设 \(F\) 为域，并按例 0FFX 把分次 \(F\)-向量空间范畴 \(\mathcal{C}\) 看作幺半范畴。若 \(\mathcal{C}\) 中的 \(V\) 具有左对偶 \(W\)，则 \(\sum_n \dim_F V^n < \infty\)，且映射 \(\epsilon\) 定义非退化配对 \(W^{-n} \times V^n \to F\)。

证明

作为单位对象，我们取。 由范畴论，定义 0FFP，我们有映射 \[\eta : \mathbf{1} \to V \otimes W\quad \epsilon : W \otimes V \to \mathbf{1}\] 由于 \(\mathbf{1} = F\) 置于次数 \(0\)，可以把 \(\epsilon\) 看作引理陈述中的 一列配对 \(W^{-n} \times V^n \to F\)。对所有 \(n\)，为 \(V^n\) 选取基 \(\{e_{n, i}\}_{i \in I_n}\)。写成 \[\eta(1) = \sum e_{n, i} \otimes w_{-n, i}\] 其中 \(w_{-n, i} \in W^{-n}\)，且除有限多个外均为零！条件 \((\epsilon \otimes 1) \circ (1 \otimes \eta)\) 是 \(W\) 上的恒等映射， 意味着 \[\sum\nolimits_{n, i} \epsilon(w, e_{n, i})w_{-n, i} = w\] 因此，作为分次向量空间，\(W\) 由有限多个非零向量 \(w_{-n, i}\) 生成。 条件 \((1 \otimes \epsilon) \circ (\eta \otimes 1)\) 是 \(V\) 上的恒等映射， 意味着 \[\sum\nolimits_{n, i} e_{n, i}\ \epsilon(w_{-n, i}, v) = v\] 特别地，置 \(v = e_{n, i}\)，可得 \(\epsilon(w_{-n, i}, e_{n, i'}) = \delta_{ii'}\)。因此引理的陈述成立， 并且 \(\{w_{-n, i}\}_{i \in I_n}\) 是 \(W^{-n}\) 中与所选 \(V^n\) 的基 对偶的基。

双复形及其相伴总复形

我们讨论双复形及其相伴总复形。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为加性范畴。\(\mathcal{A}\) 中的一个双复形， 由系统 \((\{A^{p, q}, d_1^{p, q}, d_2^{p, q}\}_{p, q\in \mathbf{Z}})\) 给出； 其中每个 \(A^{p, q}\) 都是 \(\mathcal{A}\) 的对象，而 \(d_1^{p, q} : A^{p, q} \to A^{p + 1, q}\) 及 \(d_2^{p, q} : A^{p, q} \to A^{p, q + 1}\) 是 \(\mathcal{A}\) 的态射， 并且对所有 \(p, q \in \mathbf{Z}\) 均满足下列规则：

1. \(d_1^{p + 1, q} \circ d_1^{p, q} = 0\)

2. \(d_2^{p, q + 1} \circ d_2^{p, q} = 0\)

3. \(d_1^{p, q + 1} \circ d_2^{p, q} = d_2^{p + 1, q} \circ d_1^{p, q}\)

这正是该定义的上链版本。它说明每个 \(A^{p, \bullet}\) 都是上链复形， 每个 \(d_1^{p, \bullet}\) 都是复形态射 \(A^{p, \bullet} \to A^{p + 1, \bullet}\)，并且作为复形态射有 \(d_1^{p + 1, \bullet} \circ d_1^{p, \bullet} = 0\)。 换言之，可把双复形看作复形组成的复形。因此，在图表 \[\xymatrix{ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots \ar[r] & A^{p, q + 1} \ar[r]^{d_1^{p, q + 1}} \ar[u] & A^{p + 1, q + 1} \ar[r] \ar[u] & \ldots \\ \ldots \ar[r] & A^{p, q} \ar[r]^{d_1^{p, q}} \ar[u]^{d_2^{p, q}} & A^{p + 1, q} \ar[r] \ar[u]_{d_2^{p + 1, q}} & \ldots \\ \ldots & \ldots \ar[u] & \ldots \ar[u] & \ldots }\] 中，每个方块都交换。警告：文献中还可见另一种定义，其中“双复形” （bicomplex 或 double complex）的上述方块反交换。

例

设 \(\mathcal{A}\)、\(\mathcal{B}\)、\(\mathcal{C}\) 为加性范畴。假设 \[\otimes : \mathcal{A} \times \mathcal{B} \longrightarrow \mathcal{C}, \quad (X, Y) \longmapsto X \otimes Y\] 是一个在态射上双线性的函子；\(\mathcal{A} \times \mathcal{B}\) 的定义 见范畴论，定义 001K。 给定 \(\mathcal{A}\) 的复形 \(X^\bullet\) 及 \(\mathcal{B}\) 的复形 \(Y^\bullet\)，可在 \(\mathcal{C}\) 中得到双复形 \[K^{\bullet, \bullet} = X^\bullet \otimes Y^\bullet\] 这里第一微分 \(K^{p, q} \to K^{p + 1, q}\) 是由态射 \(X^p \to X^{p + 1}\) 以及 \(Y^q\) 上的恒等映射诱导的态射 \(X^p \otimes Y^q \to X^{p + 1} \otimes Y^q\)。第二微分类似。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为加性范畴，并设 \(A^{\bullet, \bullet}\) 为双复形。 它的相伴单复形记作 \(sA^\bullet\)，也常称为相伴总复形， 记作 \(\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\)；其定义为 \[sA^n = \text{Tot}^n(A^{\bullet, \bullet}) = \bigoplus\nolimits_{n = p + q} A^{p, q}\] （如果存在），并带有微分 \[d_{sA^\bullet}^n = d_{\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})}^n = \sum\nolimits_{n = p + q} (d_1^{p, q} + (-1)^p d_2^{p, q})\]

若 \(\mathcal{A}\) 中存在可数直和，或对每个 \(n\)，至多有限多个 \(A^{p, n - p}\) 非零，则 \(\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\) 存在。 注意该定义关于指标 \((p, q)\) 不对称。

注

设 \(\mathcal{A}\) 为加性范畴，并设 \(A^{\bullet, \bullet, \bullet}\) 为三重复形。相伴总复形的项为 \[\text{Tot}^n(A^{\bullet, \bullet, \bullet}) = \bigoplus\nolimits_{p + q + r = n} A^{p, q, r}\] 而其微分为 \[d^n_{\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet, \bullet})} = \sum\nolimits_{p + q + r = n} d_1^{p, q, r} + (-1)^pd_2^{p, q, r} + (-1)^{p + q}d_3^{p, q, r}\] 按此定义，一个简单计算表明相伴总复形等于 \[\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet, \bullet}) = \text{Tot}(\text{Tot}_{12}(A^{\bullet, \bullet, \bullet})) = \text{Tot}(\text{Tot}_{23}(A^{\bullet, \bullet, \bullet}))\] 换言之，可以先合并前两个变量，再把它们的和与最后一个变量合并； 也可以先合并后两个变量，再把第一个变量与后两者之和合并。

注

设 \(\mathcal{A}\) 为加性范畴，并设 \(A^{\bullet, \bullet}\) 是微分为 \(d_1^{p, q}\) 与 \(d_2^{p, q}\) 的双复形。用 \(A^{\bullet, \bullet}[a, b]\) 表示满足 \[(A^{\bullet, \bullet}[a, b])^{p, q} = A^{p + a, q + b}\] 且微分为 \[d_{A^{\bullet, \bullet}[a, b], 1}^{p, q} = (-1)^a d_1^{p + a, q + b} \quad\text{且}\quad d_{A^{\bullet, \bullet}[a, b], 2}^{p, q} = (-1)^b d_2^{p + a, q + b}\] 的双复形。在这种情况下，存在良定义的同构 \[\gamma : \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})[a + b] \longrightarrow \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}[a, b])\] 它在次数 \(n\) 处由映射 \[\xymatrix{ (\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})[a + b])^n = \bigoplus_{p + q = n + a + b} A^{p, q} \ar[d]^{\epsilon(p, q, a, b)\text{id}_{A^{p, q}}} \\ \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}[a, b])^n = \bigoplus_{p' + q' = n} A^{p' + a, q' + b} }\] 给出，其中 \(\epsilon(p, q, a, b)\) 是某个符号。当然，当 \(p = p' + a\) 且 \(q = q' + b\) 时，直和项 \(A^{p, q}\) 映到直和项 \(A^{p' + a, q' + b}\)。为求出这些符号应满足的条件，注意在源上有 \[d|_{A^{p, q}} = (-1)^{a + b}\left(d_1^{p, q} + (-1)^pd_2^{p, q}\right)\] 而在目标上有 \[d|_{A^{p' + a, q' + b}} = (-1)^ad_1^{p' + a, q' + b} + (-1)^{p'}(-1)^bd_2^{p' + a, q' + b}\] 因此约束为 \[(-1)^a \epsilon(p, q, a, b) = \epsilon(p + 1, q, a, b)(-1)^{a + b} \Leftrightarrow \epsilon(p + 1, q, a, b) = (-1)^b \epsilon(p, q, a, b)\] 以及 \[(-1)^{p' + b}\epsilon(p, q, a, b) = \epsilon(p, q + 1, a, b) (-1)^{a + b + p} \Leftrightarrow \epsilon(p, q, a, b) = \epsilon(p, q + 1, a, b)\] 因此选择 \(\epsilon(p, q, a, b) = (-1)^{pb}\)。

注

设 \(\mathcal{A}\) 为具有可数直和的加性范畴。用 \(\text{DoubleComp}(\mathcal{A})\) 表示双复形范畴。可把 \(\text{DoubleComp}(\mathcal{A})\) 的对象 \(A^{\bullet, \bullet}\) 如下看作 复形组成的复形： \[\ldots \to A^{\bullet, -1} \to A^{\bullet, 0} \to A^{\bullet, 1} \to \ldots\] 交换两个指标之角色的变体见注记 0G6B。本注记说明， 取相伴总复形与本章此前研究过的复形上的所有结构相容。

首先，注意按上述方式把双复形看作复形组成的复形时，其上的平移函子就是 注记 0FLG 中定义的函子 \([0, 1]\)。 由注记 0FLG，函子 \[\text{Tot} : \text{DoubleComp}(\mathcal{A}) \to \text{Comp}(\mathcal{A})\] 与平移函子相容；也就是说，存在函子性同构 \(\gamma : \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})[1] \to \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}[0, 1])\)。

其次，若 \[f, g : A^{\bullet, \bullet} \to B^{\bullet, \bullet}\] 在按上述方式把 \(f\) 与 \(g\) 看作复形组成的复形之间的态射时同伦，则 \[\text{Tot}(f), \text{Tot}(g) : \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}) \to \text{Tot}(B^{\bullet, \bullet})\] 是同伦的复形映射。事实上，设 \(h = (h^q)\) 为 \(f\) 与 \(g\) 之间的同伦。 若用 \(h^{p, q} : A^{p, q} \to B^{p, q - 1}\) 表示 \(h^q\) 的次数 \(p\) 分量，则这意味着 \[f^{p, q} - g^{p, q} = d_2^{p, q - 1} \circ h^{p, q} + h^{p, q + 1} \circ d_2^{p, q}\] 而 \(h^q : A^{\bullet, q} \to B^{\bullet, q - 1}\) 是复形映射这一事实意味着 \[d_1^{p, q - 1} \circ h^{p, q} = h^{p + 1, q} \circ d_1^{p, q}\] 定义同伦 \(h' = ((h')^n)\) 如下：映射 \((h')^n : \text{Tot}^n(A^{\bullet, \bullet}) \to \text{Tot}^{n - 1}(B^{\bullet, \bullet})\) 在 \(p + q = n\) 的直和项 \(A^{p, q}\) 上使用 \((-1)^ph^{p, q}\)。于是可见 \[d_{\text{Tot}(B^{\bullet, \bullet})} \circ h' + h' \circ d_{\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})}\] 限制在直和项 \(A^{p, q}\) 上等于 \[d_1^{p, q - 1} \circ (-1)^p h^{p, q} + (-1)^p d_2^{p, q - 1} \circ (-1)^p h^{p, q} + (-1)^{p + 1} h^{p + 1, q} \circ d_1^{p, q} + (-1)^p h^{p, q + 1} \circ (-1)^p d_2^{p, q}\] 由上面的等式，其值为 \(f^{p, q} - g^{p, q}\)。这证明了第二个相容性。

第三，假设上一段中 \(f = g\)。那么上述对应 \(h \leadsto h'\) 与引理 011I 的等同相容。更精确地，若通过该引理 把 \(h\) 看作复形组成的复形之间的态射 \(A^{\bullet, \bullet} \to B^{\bullet, \bullet}[0, -1]\)，则 \[\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}) \xrightarrow{\text{Tot}(h)} \text{Tot}(B^{\bullet, \bullet}[0, -1]) \xrightarrow{\gamma^{-1}} \text{Tot}(B^{\bullet, \bullet})[-1]\] 等于把 \(h'\) 通过该引理看作的复形态射。这里 \(\gamma\) 是注记 0FLG 的等同。第三点的验证是立即的。

第四，设 \[0 \to A^{\bullet, \bullet} \to B^{\bullet, \bullet} \to C^{\bullet, \bullet} \to 0\] 是双复形组成的一个复形；并假设按上述方式把双复形看作复形组成的复形时， 给定了如引理 011J 中的分裂 \(s^q : C^{\bullet, q} \to B^{\bullet, q}\) 与 \(\pi^q : B^{\bullet, q} \to A^{\bullet, q}\)。一方面，引理 011J 的过程产生映射 \[\delta : C^{\bullet, \bullet} \longrightarrow A^{\bullet, \bullet}[0, 1]\] 另一方面，取 \(\text{Tot}\) 得到逐项分裂（见下文）的复形 \[0 \to \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}) \to \text{Tot}(B^{\bullet, \bullet}) \to \text{Tot}(C^{\bullet, \bullet}) \to 0\] 因而由引理 011J 与 011L，它带有一个在同伦意义下 良定义的态射 \[\delta' : \text{Tot}(C^{\bullet, \bullet}) \longrightarrow \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})[1]\] 断言：这些映射在下述意义下相同，即 \[\text{Tot}(C^{\bullet, \bullet}) \xrightarrow{\text{Tot}(\delta)} \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}[0, 1]) \xrightarrow{\gamma^{-1}} \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})[1]\] 等于 \(\delta'\)，其中 \(\gamma\) 如注记 0FLG 所述。为说明这一点，用 \(s^{p, q} : C^{p, q} \to B^{\bullet, q}\) 与 \(\pi^{p, q} : B^{p, q} \to A^{p, q}\) 表示 \(s^q\) 与 \(\pi^q\) 的分量。

作为分裂 \((s')^n : \text{Tot}^n(C^{\bullet, \bullet}) \to \text{Tot}^n(B^{\bullet, \bullet})\) 与 \((\pi')^n : \text{Tot}^n(B^{\bullet, \bullet}) \to \text{Tot}^n(A^{\bullet, \bullet})\)，我们使用在 \(p + q = n\) 时分量为 \(s^{p, q}\) 与 \(\pi^{p, q}\) 的映射。回忆 \[(\delta')^n = (\pi')^{n + 1} \circ d_{\text{Tot}(B^{\bullet, \bullet})}^n \circ (s')^n : \text{Tot}^n(C^{\bullet, \bullet}) \to \text{Tot}^{n + 1}(A^{\bullet, \bullet})\] 它在直和项 \(C^{p, q}\) 上的限制等于 \[\pi^{p + 1, q} \circ d_1^{p, q} \circ s^{p, q} + \pi^{p, q + 1} \circ (-1)^p d_2^{p, q} \circ s^{p, q} = \pi^{p, q + 1} \circ (-1)^p d_2^{p, q} \circ s^{p, q}\] 等式成立，是因为 \(s^q\) 是以 \(d_1\) 为微分的复形态射，并且在每个双次数中 \(s\) 与 \(\pi\) 对应于 \(B\) 的直和分解，故 \(\pi^{p + 1, q} \circ s^{p + 1, q} = 0\)。另一方面，对 \(\delta\) 有 \[\delta^q = \pi^q \circ d_2 \circ s^q : C^{\bullet, q} \to A^{\bullet, q + 1}\] 其在直和项 \(C^{p, q}\) 上的限制等于 \(\pi^{p, q + 1} \circ d_2^{p, q} \circ s^{p, q}\)。符号之差恰由同构 \(\gamma\) 中的符号 \((-1)^p\) 抵消，第四个断言得证。

注

设 \(\mathcal{A}\) 为具有可数直和的加性范畴。用 \(\text{DoubleComp}(\mathcal{A})\) 表示双复形范畴。可把 \(\text{DoubleComp}(\mathcal{A})\) 的对象 \(A^{\bullet, \bullet}\) 如下看作 复形组成的复形： \[\ldots \to A^{-1, \bullet} \to A^{0, \bullet} \to A^{1, \bullet} \to \ldots\] 交换两个指标之角色的变体见注记 0G6A。本注记说明， 取相伴总复形与本章此前研究过的复形上的所有结构相容。

首先，注意按上述方式把双复形看作复形组成的复形时，其上的平移函子就是 注记 0FLG 中定义的函子 \([1, 0]\)。 由注记 0FLG，函子 \[\text{Tot} : \text{DoubleComp}(\mathcal{A}) \to \text{Comp}(\mathcal{A})\] 与平移函子相容；也就是说，存在函子性同构 \(\gamma : \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})[1] \to \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}[1, 0])\)。

其次，若 \[f, g : A^{\bullet, \bullet} \to B^{\bullet, \bullet}\] 在按上述方式把 \(f\) 与 \(g\) 看作复形组成的复形之间的态射时同伦，则 \[\text{Tot}(f), \text{Tot}(g) : \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}) \to \text{Tot}(B^{\bullet, \bullet})\] 是同伦的复形映射。事实上，设 \(h = (h^p)\) 为 \(f\) 与 \(g\) 之间的同伦。 若用 \(h^{p, q} : A^{p, q} \to B^{p - 1, q}\) 表示 \(h^q\) 的次数 \(p\) 分量，则这意味着

\[f^{p, q} - g^{p, q} = d_1^{p - 1, q} \circ h^{p, q} + h^{p + 1, q} \circ d_1^{p, q}\] 而 \(h^p : A^{p, \bullet} \to B^{p - 1, \bullet}\) 是复形映射这一事实意味着 \[d_2^{p - 1, q} \circ h^{p, q} = h^{p, q + 1} \circ d_2^{p, q}\] 定义同伦 \(h' = ((h')^n)\) 如下：映射 \((h')^n : \text{Tot}^n(A^{\bullet, \bullet}) \to \text{Tot}^{n - 1}(B^{\bullet, \bullet})\) 在 \(p + q = n\) 的直和项 \(A^{p, q}\) 上使用 \(h^{p, q}\)。于是可见 \[d_{\text{Tot}(B^{\bullet, \bullet})} \circ h' + h' \circ d_{\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})}\] 限制在直和项 \(A^{p, q}\) 上等于 \[d_1^{p - 1, q} \circ h^{p, q} + (-1)^{p - 1} d_2^{p - 1, q} \circ h^{p, q} + h^{p + 1, q} \circ d_1^{p, q} + h^{p, q + 1} \circ (-1)^p d_2^{p, q}\] 由上面的等式，其值为 \(f^{p, q} - g^{p, q}\)。这证明了第二个相容性。

第三，假设上一段中 \(f = g\)。那么上述对应 \(h \leadsto h'\) 与引理 011I 的等同相容。更精确地，若通过该引理 把 \(h\) 看作复形组成的复形之间的态射 \(A^{\bullet, \bullet} \to B^{\bullet, \bullet}[-1, 0]\)，则 \[\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}) \xrightarrow{\text{Tot}(h)} \text{Tot}(B^{\bullet, \bullet}[-1, 0]) \xrightarrow{\gamma^{-1}} \text{Tot}(B^{\bullet, \bullet})[-1]\] 等于把 \(h'\) 通过该引理看作的复形态射。这里 \(\gamma\) 是注记 0FLG 的等同。第三点的验证是立即的。

第四，设 \[0 \to A^{\bullet, \bullet} \to B^{\bullet, \bullet} \to C^{\bullet, \bullet} \to 0\] 是双复形组成的一个复形；并假设按上述方式把双复形看作复形组成的复形时， 给定了如引理 011J 中的分裂 \(s^p : C^{p, \bullet} \to B^{p, \bullet}\) 与 \(\pi^p : B^{p, \bullet} \to A^{p, \bullet}\)。一方面，引理 011J 的过程产生映射 \[\delta : C^{\bullet, \bullet} \longrightarrow A^{\bullet, \bullet}[0, 1]\]

另一方面，取 \(\text{Tot}\) 得到逐项分裂（见下文）的复形 \[0 \to \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}) \to \text{Tot}(B^{\bullet, \bullet}) \to \text{Tot}(C^{\bullet, \bullet}) \to 0\] 因而由引理 011J 与 011L，它带有一个在同伦意义下 良定义的态射 \[\delta' : \text{Tot}(C^{\bullet, \bullet}) \longrightarrow \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})[1]\] 断言：这些映射在下述意义下相同，即 \[\text{Tot}(C^{\bullet, \bullet}) \xrightarrow{\text{Tot}(\delta)} \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}[1, 0]) \xrightarrow{\gamma^{-1}} \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})[1]\] 等于 \(\delta'\)，其中 \(\gamma\) 如注记 0FLG 所述。为说明这一点，用 \(s^{p, q} : C^{p, q} \to B^{\bullet, q}\) 与 \(\pi^{p, q} : B^{p, q} \to A^{p, q}\) 表示 \(s^q\) 与 \(\pi^q\) 的分量。

作为分裂 \((s')^n : \text{Tot}^n(C^{\bullet, \bullet}) \to \text{Tot}^n(B^{\bullet, \bullet})\) 与 \((\pi')^n : \text{Tot}^n(B^{\bullet, \bullet}) \to \text{Tot}^n(A^{\bullet, \bullet})\)，我们使用在 \(p + q = n\) 时分量为 \(s^{p, q}\) 与 \(\pi^{p, q}\) 的映射。回忆 \[(\delta')^n = (\pi')^{n + 1} \circ d_{\text{Tot}(B^{\bullet, \bullet})}^n \circ (s')^n : \text{Tot}^n(C^{\bullet, \bullet}) \to \text{Tot}^{n + 1}(A^{\bullet, \bullet})\] 它在直和项 \(C^{p, q}\) 上的限制等于 \[\pi^{p + 1, q} \circ d_1^{p, q} \circ s^{p, q} + \pi^{p, q + 1} \circ (-1)^p d_2^{p, q} \circ s^{p, q} = \pi^{p + 1, q} \circ d_1^{p, q} \circ s^{p, q}\] 等式成立，是因为 \(s^p\) 是以 \(d_2\) 为微分的复形态射，并且在每个双次数中 \(s\) 与 \(\pi\) 对应于 \(B\) 的直和分解，故 \(\pi^{p, q + 1} \circ s^{p, q + 1} = 0\)。另一方面，对 \(\delta\) 有 \[\delta^p = \pi^p \circ d_1 \circ s^p : C^{p, \bullet} \to A^{p + 1, \bullet}\] 其在直和项 \(C^{p, q}\) 上的限制等于 \(\pi^{p + 1, q} \circ d_1^{p, q} \circ s^{p, q}\)。 因此所得与前面相同，这也符合下述事实：同构 \(\gamma : \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})[1] \to \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}[1, 0])\) 的定义不涉及符号。

滤过

这部分材料可参见很好的参考文献 [HodgeII, Section 1]。 （注意，我们关于阿贝尔范畴的约定不同。）

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。

1. 对象 \(A\) 上的一个递减滤过 \(F\)，是一族 \(A\) 的子对象 \((F^nA)_{n \in \mathbf{Z}}\)，使得 \[A \supset \ldots \supset F^nA \supset F^{n + 1}A \supset \ldots \supset 0\]

2. \(\mathcal{A}\) 的一个滤过对象，是由 \(\mathcal{A}\) 的对象 \(A\) 及 \(A\) 上的递减滤过 \(F\) 组成的二元组 \((A, F)\)。

3. 一个滤过对象态射 \((A, F) \to (B, F)\)，由 \(\mathcal{A}\) 中满足对所有 \(i \in \mathbf{Z}\) 均有 \(\varphi(F^iA) \subset F^iB\) 的态射 \(\varphi : A \to B\) 给出。

4. 滤过对象的范畴记作 \(\text{Fil}(\mathcal{A})\)。

5. 给定滤过对象 \((A, F)\) 与子对象 \(X \subset A\)，\(X\) 上的 诱导滤过是满足 \(F^nX = X \cap F^nA\) 的滤过。

6. 给定滤过对象 \((A, F)\) 与满射态射 \(\pi : A \to Y\)， 商滤过是满足 \(F^nY = \pi(F^nA)\) 的滤过。

7. 若存在 \(n, m\) 使得 \(F^nA = A\) 且 \(F^mA = 0\)，则称对象 \(A\) 上的滤过 \(F\) 有限。

8. 给定滤过对象 \((A, F)\)，若存在 \(A\) 的、包含于所有 \(F^iA\) 中的最大子对象， 则称 \(\bigcap F^iA\) 存在。若存在 \(A\) 的、包含所有 \(F^iA\) 的最小子对象， 则称 \(\bigcup F^iA\) 存在。

9. 若 \(\bigcap F^iA = 0\)，则称滤过对象 \((A, F)\) 上的滤过 分离；若 \(\bigcup F^iA = A\)，则称其穷尽。

略用记号时，若滤过对象态射 \(f : (A, F) \to (B, F)\) 所对应的 \(f : A \to B\) 在阿贝尔范畴 \(\mathcal{A}\) 中是单射态射，我们就称 该态射单射。类似地，若 \(f : A \to B\) 在范畴 \(\mathcal{A}\) 中是 满射态射，就称 \(f\) 满射。单射（相应地，满射）等价于在 \(\text{Fil}(\mathcal{A})\) 中是单态射（相应地，满态射）。由引理 0122，这也等价于具有零核（相应地，零余核）。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。滤过对象范畴 \(\text{Fil}(\mathcal{A})\) 具有下列性质：

1. 它是加性范畴。

2. 它有零对象。

3. 它有核与余核、像与余像。

4. 一般而言，它不是阿贝尔范畴。

证明

显然 \(\text{Fil}(\mathcal{A})\) 是加性的；其直和由 \((A, F) \oplus (B, F) = (A \oplus B, F)\) 给出，其中 \(F^p(A \oplus B) = F^pA \oplus F^pB\)。滤过对象态射 \(f : (A, F) \to (B, F)\) 的核，是嵌入 \(\Ker(f) \subset A\)， 其中 \(\Ker(f)\) 配备诱导滤过。滤过对象态射 \(f : A \to B\) 的余核， 是满射态射 \(B \to \Coker(f)\)，其中 \(\Coker(f)\) 配备商滤过。 既然所有核与余核都存在，所有余像与像也存在。最后一个陈述见例 0108。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。若对所有 \(i \in \mathbf{Z}\) 均有 \(f(F^iA) = f(A) \cap F^iB\)，则称 \(\mathcal{A}\) 的滤过对象之间的态射 \(f : A \to B\) 是严格的。

这也等价于要求对所有 \(i \in \mathbf{Z}\) 均有 \(f^{-1}(F^iB) = F^iA + \Ker(f)\)。如下刻画严格态射。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \(f : A \to B\) 是 \(\mathcal{A}\) 的滤过对象之间的态射。下列条件等价：

1. \(f\) 是严格的；

2. 引理 0107 的态射 \(\Coim(f) \to \Im(f)\) 是同构。

证明

注意 \(\Coim(f) \to \Im(f)\) 是 \(\mathcal{A}\) 的对象之间的同构，而 (2) 表示它是滤过对象之间的同构。由引理 0122 的证明中 对核与余核的描述，\(\Coim(f)\) 上的滤过是来自 \(A \to \Coim(f)\) 的商滤过。类似地，\(\Im(f)\) 上的滤过是来自嵌入 \(\Im(f) \to B\) 的诱导滤过。严格性的定义恰好说明该商滤过就是该诱导滤过。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。设 \(f : A \to B\) 是滤过对象之间的 严格单态射，并设 \(g : A \to C\) 是滤过对象态射。那么 \(f \oplus g : A \to B \oplus C\) 是严格单态射。

证明

由定义显然。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。设 \(f : B \to A\) 是滤过对象之间的 严格满态射，并设 \(g : C \to A\) 是滤过对象态射。那么 \(f \oplus g : B \oplus C \to A\) 是严格满态射。

证明

由定义显然。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \((A, F)\)、\((B, F)\) 为滤过对象， \(u : A \to B\) 为滤过对象态射。若 \(u\) 是单射态射，则 \(u\) 严格当且仅当 \(A\) 上的滤过是诱导滤过。若 \(u\) 是满射态射，则 \(u\) 严格当且仅当 \(B\) 上的滤过是商滤过。

证明

由定义立即可得。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。设 \(f : A \to B\)、\(g : B \to C\) 为滤过对象之间的严格态射。

1. 一般而言，复合 \(g \circ f\) 不严格。

2. 若 \(g\) 是单射态射，则 \(g \circ f\) 严格。

3. 若 \(f\) 是满射态射，则 \(g \circ f\) 严格。

证明

设 \(B\) 为域 \(k\) 上以 \(e_1, e_2\) 为基的向量空间，并带有如下滤过： 当 \(n < 0\) 时 \(F^nB = B\)，\(F^0B = ke_1\)，而当 \(n > 0\) 时 \(F^nB = 0\)。现取 \(A = k(e_1 + e_2)\) 与 \(C = B/ke_2\)，并赋予由 \(B\) 诱导的滤过，即使得 \(A \to B\) 与 \(B \to C\) 严格的滤过 （引理 0124）。于是，当 \(n < 0\) 时 \(F^n(A) = A\)，而当 \(n \geq 0\) 时 \(F^n(A) = 0\)。另外，当 \(n \leq 0\) 时 \(F^n(C) = C\)，而当 \(n > 0\) 时 \(F^n(C) = 0\)。 故非零复合 \(A \to C\) 不严格。

假设 \(g\) 是单射态射。则 \[\begin{align*} g(f(F^pA)) & = g(f(A) \cap F^pB) \\ & = g(f(A)) \cap g(F^p(B)) \\ & = (g \circ f)(A) \cap (g(B) \cap F^pC) \\ & = (g \circ f)(A) \cap F^pC. \end{align*}\] 第一个等式来自 \(f\) 严格；第二个来自 \(g\) 是单射态射；第三个来自 \(g\) 严格；第四个来自 \((g \circ f)(A) \subset g(B)\)。

假设 \(f\) 是满射态射。则 \[\begin{align*} (g \circ f)^{-1}(F^iC) & = f^{-1}(F^iB + \Ker(g)) \\ & = f^{-1}(F^iB) + f^{-1}(\Ker(g)) \\ & = F^iA + \Ker(f) + \Ker(g \circ f) \\ & = F^iA + \Ker(g \circ f) \end{align*}\] 第一个等式来自 \(g\) 严格；第二个来自 \(f\) 是满射态射；第三个来自 \(f\) 严格；最后一个来自 \(\Ker(f) \subset \Ker(g \circ f)\)。

下面的引理说明，滤过对象的子对象具有良定义的滤过，与把该对象写成余核的 方式无关。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\((A, F)\) 为 \(\mathcal{A}\) 的滤过对象， 并设 \(X \subset Y \subset A\) 为 \(A\) 的子对象。在对象 \[Y/X = \Ker(A/X \to A/Y)\] 上，来自 \(Y\) 的诱导滤过的商滤过，与来自 \(A/X\) 的商滤过的诱导滤过 相同。态射 \(X \to Y\)、\(X \to A\)、\(Y \to A\)、\(Y \to A/X\)、 \(Y \to Y/X\)、\(Y/X \to A/X\) 中任一个，在配备诱导滤过或商滤过后都是 严格的。

证明

\(Y/X\) 上的商滤过由 \(F^p(Y/X) = F^pY/(X \cap F^pY) = F^pY/F^pX\) 给出，因为 \(F^pY = Y \cap F^pA\) 且 \(F^pX = X \cap F^pA\)。由嵌入 \(Y/X \to A/X\) 得到的诱导滤过为 \[\begin{align*} F^p(Y/X) & = Y/X \cap F^p(A/X) \\ & = Y/X \cap (F^pA + X)/X \\ & = (Y \cap F^pA)/(X \cap F^pA) \\ & = F^pY/F^pX. \end{align*}\] 这证明了引理的第一个陈述。其余各情形的证明类似。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \(A, B, C \in \text{Fil}(\mathcal{A})\)。设 \(f : A \to B\) 与 \(g : A \to C\) 为态射。那么在 \(\text{Fil}(\mathcal{A})\) 中存在推出 \[\xymatrix{ A \ar[r]_f \ar[d]_g & B \ar[d]^{g'} \\ C \ar[r]^{f'} & C \amalg_A B }\] 若 \(f\) 严格，则 \(f'\) 也严格。

证明

令 \(C \amalg_A B\) 等于 \(\text{Fil}(\mathcal{A})\) 中的 \(\Coker((g, -f) : A \to C \oplus B)\)。由引理 0122， 该余核存在。它是推出；见例 05PJ。 注意 \(F^p(C \amalg_A B)\) 是 \(F^pC \oplus F^pB\) 的像。因此 \[(f')^{-1}(F^p(C \amalg_A B)) = g(f^{-1}(F^pB)) + F^pC\] 最后一个陈述由此可得。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \(A, B, C \in \text{Fil}(\mathcal{A})\)。设 \(f : B \to A\) 与 \(g : C \to A\) 为态射。那么在 \(\text{Fil}(\mathcal{A})\) 中存在纤维积 \[\xymatrix{ B \times_A C \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & B \ar[d]^f \\ C \ar[r]^g & A }\] 若 \(f\) 严格，则 \(f'\) 也严格。

证明

本引理与引理 05SM 对偶。

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \((A, F)\) 为 \(\mathcal{A}\) 的滤过对象。 用 \(\text{gr}^p_F(A) = \text{gr}^p(A)\) 表示 \(\mathcal{A}\) 的对象 \(F^pA/F^{p + 1}A\)。这定义了加性函子 \[\text{gr}^p : \text{Fil}(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{A}, \quad (A, F) \longmapsto \text{gr}^p(A).\] 回忆我们已在第 09MF 节定义 \(\mathcal{A}\) 的分次对象范畴 \(\text{Gr}(\mathcal{A})\)。对 \(\text{Fil}(\mathcal{A})\) 中的 \((A, F)\)，可置 \[\text{gr}(A) = \text{下列对象的分次对象： }\mathcal{A}\text{ 其 } p\text{次分次部分为 }\text{gr}^p(A)\] 若 \(\mathcal{A}\) 有可数直和，则简单地有 \[\text{gr}(A) = \bigoplus \text{gr}^p(A)\] 这定义了加性函子 \[\text{gr} : \text{Fil}(\mathcal{A}) \longrightarrow \text{Gr}(\mathcal{A}), \quad (A, F) \longmapsto \text{gr}(A).\]

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。

1. 设 \(A\) 为滤过对象且 \(X \subset A\)。那么对每个 \(p\)，序列 \[0 \to \text{gr}^p(X) \to \text{gr}^p(A) \to \text{gr}^p(A/X) \to 0\] 正合（其中 \(X\) 配备诱导滤过，\(A/X\) 配备商滤过）。

2. 设 \(f : A \to B\) 为 \(\mathcal{A}\) 的滤过对象之间的态射。 那么对每个 \(p\)，序列 \[0 \to \text{gr}^p(\Ker(f)) \to \text{gr}^p(A) \to \text{gr}^p(\Coim(f)) \to 0\] 及 \[0 \to \text{gr}^p(\Im(f)) \to \text{gr}^p(B) \to \text{gr}^p(\Coker(f)) \to 0\] 正合。

证明

我们有 \(F^{p + 1}X = X \cap F^{p + 1}A\)，故映射 \(\text{gr}^p(X) \to \text{gr}^p(A)\) 是单射态射。对偶地，映射 \(\text{gr}^p(A) \to \text{gr}^p(A/X)\) 是满射态射。映射 \(F^pA/F^{p + 1}A \to A/X + F^{p + 1}A\) 的核显然为 \(F^{p + 1}A + X \cap F^pA/F^{p + 1}A = F^pX/F^{p + 1}X\)， 故在中间正合。(2) 的两个短正合列是 (1) 的短正合列之特例。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \(f : A \to B\) 为 \(\mathcal{A}\) 的有限滤过对象之间的态射。下列条件等价：

1. \(f\) 严格；

2. 态射 \(\Coim(f) \to \Im(f)\) 是同构；

3. \(\text{gr}(\Coim(f)) \to \text{gr}(\Im(f))\) 是同构；

4. 序列 \(\text{gr}(\Ker(f)) \to \text{gr}(A) \to \text{gr}(B)\) 正合；

5. 序列 \(\text{gr}(A) \to \text{gr}(B) \to \text{gr}(\Coker(f))\) 正合；以及

6. 序列 \[0 \to \text{gr}(\Ker(f)) \to \text{gr}(A) \to \text{gr}(B) \to \text{gr}(\Coker(f)) \to 0\] 正合。

证明

(1) 与 (2) 的等价性是引理 05SI。 由引理 05SP，可见 (4)、(5)、(6) 蕴含 (3)，且 (3) 蕴含 (4)、(5)、(6)。因此只须证明 (3) 蕴含 (2)。于是我们要证明： 若 \(f : A \to B\) 是有限滤过对象之间的单射且满射的映射，并诱导同构 \(\text{gr}(A) \to \text{gr}(B)\)，则 \(f\) 诱导滤过对象之间的同构。 换言之，要证明对所有 \(p\) 均有 \(f(F^pA) = F^pB\)。由于滤过有限， 可对 \(p\) 作降归纳。假设 \(f(F^{p + 1}A) = F^{p + 1}B\)。那么交换图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & F^{p + 1}A \ar[r] \ar[d]^f & F^pA \ar[r] \ar[d]^f & \text{gr}^p(A) \ar[r] \ar[d]^{\text{gr}^p(f)} & 0 \\ 0 \ar[r] & F^{p + 1}B \ar[r] & F^pB \ar[r] & \text{gr}^p(B) \ar[r] & 0 }\] 与五引理蕴含 \(f(F^pA) = F^pB\)。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。设 \(A \to B \to C\) 是 \(\mathcal{A}\) 的滤过对象所成的复形。假设 \(\alpha : A \to B\) 与 \(\beta : B \to C\) 是滤过对象之间的严格态射。 那么 \(\text{gr}(\Ker(\beta)/\Im(\alpha)) = \Ker(\text{gr}(\beta))/\Im(\text{gr}(\alpha)))\)。

证明

这形式地来自引理 05SP，以及由引理 05SI 得到的 \(\Coim(\alpha) \cong \Im(\alpha)\) 与 \(\Coim(\beta) \cong \Im(\beta)\)。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。设 \(A \to B \to C\) 是 \(\mathcal{A}\) 的滤过对象所成的复形。假设 \(A, B, C\) 具有有限滤过， 且 \(\text{gr}(A) \to \text{gr}(B) \to \text{gr}(C)\) 正合。那么

1. 对每个 \(p \in \mathbf{Z}\)，序列 \(\text{gr}^p(A) \to \text{gr}^p(B) \to \text{gr}^p(C)\) 正合；

2. 对每个 \(p \in \mathbf{Z}\)，序列 \(F^p(A) \to F^p(B) \to F^p(C)\) 正合；

3. 对每个 \(p \in \mathbf{Z}\)，序列 \(A/F^p(A) \to B/F^p(B) \to C/F^p(C)\) 正合；

4. 映射 \(A \to B\) 与 \(B \to C\) 严格；以及

5. \(A \to B \to C\) 正合（作为 \(\mathcal{A}\) 中的序列）。

证明

(1) 由定义立即可得。我们对滤过的长度归纳证明 (3)。若 \(A\)、\(B\)、\(C\) 都只有一个非零的分次部分，则 (3) 成立，因为 \(\text{gr}(A) = A\) 等。 令 \(n\) 为使 \(F^nA, F^nB, F^nC\) 中至少一个非零的最大整数。令 \(A' = A/F^nA\)、\(B' = B/F^nB\)、\(C' = C/F^nC\)，并配备诱导滤过。 注意 \(\text{gr}(A) = F^nA \oplus \text{gr}(A')\)，对 \(B\) 与 \(C\) 亦然。 归纳假设可应用于 \(A' \to B' \to C'\)，从而蕴含当 \(p \geq n\) 时 \(A/F^p(A) \to B/F^p(B) \to C/F^p(C)\) 正合。为对 \(p = n + 1\) 得到同一结论，即证明 \(A \to B \to C\) 正合，使用交换图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & F^nA \ar[r] \ar[d] & A \ar[r] \ar[d] & A' \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & F^nB \ar[r] \ar[d] & B \ar[r] \ar[d] & B' \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & F^nC \ar[r] & C \ar[r] & C' \ar[r] & 0 }\] 其各行是 \(\mathcal{A}\) 中对象的短正合列。(2) 的证明与此对偶。 当然，(5) 由 (2) 得到。

为证明 (4)，用 \(f : A \to B\) 与 \(g : B \to C\) 表示给定态射。 由 (2) 知 \(f(F^p(A)) = \Ker(F^p(B) \to F^p(C))\)，由 (5) 知 \(f(A) = \Ker(g)\)。因此 \(f(F^p(A)) = \Ker(F^p(B) \to F^p(C)) = \Ker(g) \cap F^p(B) = f(A) \cap F^p(B)\)，这证明 \(f\) 严格。 \(g\) 严格的证明与此对偶。

谱序列

关于谱序列的精彩讨论可见 [Eisenbud]。亦见 [McCleary]、 [Lang] 等。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。

1. \(\mathcal{A}\) 中的一个谱序列由系统 \((E_r, d_r)_{r \geq 1}\) 给出，其中每个 \(E_r\) 是 \(\mathcal{A}\) 的对象， 每个 \(d_r : E_r \to E_r\) 是满足 \(d_r \circ d_r = 0\) 的态射，且对 \(r \geq 1\) 有 \(E_{r + 1} = \Ker(d_r)/\Im(d_r)\)。

2. 一个谱序列态射 \(f : (E_r, d_r)_{r \geq 1} \to (E'_r, d'_r)_{r \geq 1}\)， 由一族态射 \(f_r : E_r \to E'_r\) 给出，并满足 \(f_r \circ d_r = d'_r \circ f_r\)；此外，在等同 \(E_{r + 1} = \Ker(d_r)/\Im(d_r)\) 与 \(E'_{r + 1} = \Ker(d'_r)/\Im(d'_r)\) 下，\(f_{r + 1}\) 是由 \(f_r\) 诱导的态射。

有时我们会稍微放宽这一定义，允许 \(E_{r + 1}\) 是配备给定同构 \(E_{r + 1} \to \Ker(d_r)/\Im(d_r)\) 的对象。此外，有时对某个 \(r_0 \in \mathbf{Z}\)，我们有系统 \((E_r, d_r)_{r \geq r_0}\)， 它对指标 \(\geq r_0\) 满足上面定义的性质。我们也称其为谱序列，因为简单地 重新编号后，它无论如何都落在该定义之内。事实上，文献中可见 \(r_0 = 0\) 与 \(r_0 = -1\) 的情形。

给定谱序列 \((E_r, d_r)_{r \geq 1}\)，按如下简单过程定义 \[0 = B_1 \subset B_2 \subset \ldots \subset B_r \subset \ldots \subset Z_r \subset \ldots \subset Z_2 \subset Z_1 = E_1\] 令 \(B_2 = \Im(d_1)\)、\(Z_2 = \Ker(d_1)\)。于是显然有 \(d_2 : Z_2/B_2 \to Z_2/B_2\)。因此可把 \(B_3\) 定义为包含 \(B_2\) 且使 \(B_3/B_2\) 为 \(d_2\) 之像的 \(E_1\) 的唯一子对象。类似地，可把 \(Z_3\) 定义为包含 \(B_2\) 且使 \(Z_3/B_2\) 为 \(d_2\) 之核的 \(E_1\) 的唯一子对象。依此类推。特别地，对所有 \(r \geq 1\) 有 \[E_r = Z_r/B_r\] 若谱序列始于 \(r = r_0\)，则类似地可把 \(B_i\)、\(Z_i\) 构造为 \(E_{r_0}\) 的子对象。事实上，文献中有时使用记号 \[0 = B_r(E_r) \subset B_{r + 1}(E_r) \subset B_{r + 2}(E_r) \subset \ldots \subset Z_{r + 2}(E_r) \subset Z_{r + 1}(E_r) \subset Z_r(E_r) = E_r\] 表示上面所述但以 \(E_r\) 开始的滤过。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \((E_r, d_r)_{r \geq 1}\) 为谱序列。

1. 若 \(E_1\) 的子对象 \(Z_{\infty} = \bigcap Z_r\) 与 \(B_{\infty} = \bigcup B_r\) 存在，则把谱序列的 极限³ 定义为对象 \(E_{\infty} = Z_{\infty}/B_{\infty}\)。

2. 若微分 \(d_r, d_{r + 1}, \ldots\) 全都为零，则称该谱序列 在 \(E_r\) 处退化。

注意，若谱序列在 \(E_r\) 处退化，则 \(E_r = E_{r + 1} = \ldots = E_{\infty}\)（而且极限当然存在）。 此外，我们将遇到的几乎每个阿贝尔范畴都有可数和与交。

注

谱序列的各项通常带有附加结构，例如分次或双分次。为容纳这种情形 （并绕开某些技术问题），引入如下概念。设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴， 并设 \((T_r)_{r \geq 1}\) 为一列平移函子或移位函子， 也就是说 \(T_r : \mathcal{A} \to \mathcal{A}\) 是范畴同构。 在这一设定下，一个谱序列由系统 \((E_r, d_r)_{r \geq 1}\) 给出， 其中每个 \(E_r\) 是 \(\mathcal{A}\) 的对象，每个 \(d_r : E_r \to T_rE_r\) 是满足 \(T_rd_r \circ d_r = 0\) 的态射，从而 \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & T_r^{-1}E_r \ar[r]^-{T_r^{-1}d_r} & E_r \ar[r]^-{d_r} & T_rE_r \ar[r]^{T_r d_r} & T_r^2E_r \ar[r] & \ldots }\] 是复形，并且对 \(r \geq 1\) 有 \(E_{r + 1} = \Ker(d_r)/\Im(T_r^{-1}d_r)\)。在这一设定下， 谱序列态射的含义是清楚的。在这一设定下仍可定义 \[0 = B_1 \subset B_2 \subset \ldots \subset B_r \subset \ldots \subset Z_r \subset \ldots \subset Z_2 \subset Z_1 = E_1\] 以及如上的 \(Z_\infty\) 与 \(B_\infty\)（如果它们存在）。

谱序列：正合偶

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。

1. 一个正合偶是数据 \((A, E, \alpha, f, g)\)，其中 \(A\)、\(E\) 是 \(\mathcal{A}\) 的对象，而 \(\alpha\)、\(f\)、\(g\) 是下图中的态射： \[\xymatrix{ A \ar[rr]_{\alpha} & & A \ar[ld]^g \\ & E \ar[lu]^f & }\] 并要求每个箭头的核都是其前一箭头的像。因此 \(\Ker(\alpha) = \Im(f)\)、\(\Ker(f) = \Im(g)\)，且 \(\Ker(g) = \Im(\alpha)\)。

2. 一个正合偶态射 \(t : (A, E, \alpha, f, g) \to (A', E', \alpha', f', g')\)， 由态射 \(t_A : A \to A'\) 与 \(t_E : E \to E'\) 给出，并满足 \(\alpha' \circ t_A = t_A \circ \alpha\)、 \(f' \circ t_E = t_A \circ f\)，且 \(g' \circ t_A = t_E \circ g\)。

引理

设 \((A, E, \alpha, f, g)\) 是阿贝尔范畴 \(\mathcal{A}\) 中的正合偶。 置

1. \(d = g \circ f : E \to E\)，从而 \(d \circ d = 0\)；

2. \(E' = \Ker(d)/\Im(d)\)；

3. \(A' = \Im(\alpha)\)；

4. \(\alpha' : A' \to A'\) 为 \(\alpha\) 诱导的态射；

5. \(f' : E' \to A'\) 为 \(f\) 诱导的态射；

6. \(g' : A' \to E'\) 为“\(g \circ \alpha^{-1}\)”诱导的态射。

那么

1. \(\Ker(d) = f^{-1}(\Ker(g)) = f^{-1}(\Im(\alpha))\)；

2. \(\Im(d) = g(\Im(f)) = g(\Ker(\alpha))\)；

3. \((A', E', \alpha', f', g')\) 是正合偶。

证明

略。

因此显然，给定正合偶 \((A, E, \alpha, f, g)\)，令 \(E_1 = E\)、\(d_1 = d\)、\(E_2 = E'\)、\(d_2 = d' = g' \circ f'\)、 \(E_3 = E''\)、\(d_3 = d'' = g'' \circ f''\)，依此类推，就得到谱序列。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \((A, E, \alpha, f, g)\) 为正合偶。 关联于该正合偶的谱序列，是谱序列 \((E_r, d_r)_{r \geq 1}\)，其中 \(E_1 = E\)、\(d_1 = d\)、 \(E_2 = E'\)、\(d_2 = d' = g' \circ f'\)、\(E_3 = E''\)、 \(d_3 = d'' = g'' \circ f''\)，依此类推。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\((A, E, \alpha, f, g)\) 为正合偶， 并设 \((E_r, d_r)_{r \geq 1}\) 为关联于该正合偶的谱序列。在这种情况下有 \[0 = B_1 \subset \ldots \subset B_{r + 1} = g(\Ker(\alpha^r)) \subset \ldots \subset Z_{r + 1} = f^{-1}(\Im(\alpha^r)) \subset \ldots \subset Z_1 = E\] 且映射 \(d_{r + 1} : E_{r + 1} \to E_{r + 1}\) 由下列规则描述： 对 \(\mathcal{A}\) 的任意（测试）对象 \(T\) 以及任意元素 \(x : T \to Z_{r + 1}\)、\(y : T \to A\)，若 \(f \circ x = \alpha^r \circ y\)，则 \[d_{r + 1} \circ \overline{x} = \overline{g \circ y}\] 其中 \(\overline{x} : T \to E_{r + 1}\) 是诱导态射。

证明

略。

注意，在引理的情形中，只要 \(\bigcup \Ker(\alpha^r)\) 与 \(\bigcap \Im(\alpha^r)\) 存在，显然有 \[B_\infty = g\left(\bigcup\nolimits_r \Ker(\alpha^r)\right) \subset Z_\infty = f^{-1}\left(\bigcap\nolimits_r \Im(\alpha^r)\right)\] 这产生极限 \(E_\infty = Z_\infty / B_\infty\)；见定义 011O。

注

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \(S, T : \mathcal{A} \to \mathcal{A}\) 为移位函子，即范畴同构。 对 \(A \in \Ob(\mathcal{A})\) 与 \(n \in \mathbf{Z}\)，我们用 \(S^nA\) 与 \(T^nA\) 表示 \(n\) 重复合。在这种情况下，一个正合偶 是数据 \((A, E, \alpha, f, g)\)，其中 \(A\)、\(E\) 是 \(\mathcal{A}\) 的对象， 而 \(\alpha : A \to T^{-1}A\)、\(f : E \to A\)、\(g : A \to SE\) 为态射，使得 \[\xymatrix{ TE \ar[r]^-{Tf} & TA \ar[r]^-{T\alpha} & A \ar[r]^-{g} & SE \ar[r]^{Sf} & SA }\] 是正合复形。可将其图示如下： \[\xymatrix{ TA \ar[rrr]_{T\alpha} & & & A \ar[ld]^g \ar[rrr]_\alpha & & & T^{-1}A \ar[ld]^{T^{-1}g} \\ & TE \ar[lu]^{Tf} \ar@{..}[r] & SE & & E \ar[lu]^f \ar@{..}[r] & T^{-1}SE }\] 置 \(d = g \circ f : E \to SE\)。那么 \(d \circ S^{-1}d = g \circ f \circ S^{-1}g \circ S^{-1}f = 0\)， 因为 \(f \circ S^{-1}g = 0\)。置 \(E' = \Ker(d)/\Im(S^{-1}d)\)、\(A' = \Im(T\alpha)\)。 令 \(\alpha' : A' \to T^{-1}A'\) 为 \(\alpha\) 诱导的态射。令 \(f' : E' \to A'\) 为 \(f\) 诱导的态射；这是可行的，因为 \(f(\Ker(d)) \subset \Ker(g) = \Im(T\alpha)\)。最后，令 \(g' : A' \to TSE'\) 为“\(Tg \circ (T\alpha)^{-1}\)”诱导的态射⁴。

与上文完全相同地可得

1. \(\Ker(d) = f^{-1}(\Ker(g)) = f^{-1}(\Im(T\alpha))\)；

2. \(\Im(d) = g(\Im(f)) = g(\Ker(\alpha))\)；

3. \((A', E', \alpha', f', g')\) 是关于移位函子 \(TS\) 与 \(T\) 的正合偶。

我们得到一个谱序列（如注记 0AMI）， 其 \(E_1 = E\)、\(E_2 = E'\) 等，并且对所有 \(r \geq 1\) 有 \(d_r : E_r \to T^{r - 1}SE_r\)。引理 011T 告诉我们，在这种情况下 \[SB_{r + 1} = g(\Ker(T^{-r + 1}\alpha \circ \ldots \circ T^{-1}\alpha \circ \alpha))\] 以及 \[Z_{r + 1} = f^{-1}(\Im(T\alpha \circ T^2\alpha \circ \ldots \circ T^r\alpha))\] 映射 \(d_{r + 1}\) 的描述与引理中给出的类似。（也许使用这些显式描述来证明 由这样的正合偶得到谱序列会更容易。）

谱序列：微分对象

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。\(\mathcal{A}\) 的一个微分对象， 是二元组 \((A, d)\)，其中 \(A\) 是 \(\mathcal{A}\) 的对象，并配备满足 \(d \circ d = 0\) 的自映射 \(d\)。一个微分对象态射 \((A, d) \to (B, d)\)，由满足 \(d \circ \alpha = \alpha \circ d\) 的 态射 \(\alpha : A \to B\) 给出。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。\(\mathcal{A}\) 的微分对象之范畴是阿贝尔范畴。

证明

略。

定义

对微分对象 \((A, d)\)，用 \[H(A, d) = \Ker(d)/\Im(d)\] 表示它的同调。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \(0 \to (A, d) \to (B, d) \to (C, d) \to 0\) 为微分对象的短正合列。 那么得到正合同调列 \[\ldots \to H(C, d) \to H(A, d) \to H(B, d) \to H(C, d) \to \ldots\]

证明

把引理 0117 应用于复形短正合列 \[\begin{matrix} 0 & \to & A & \to & B & \to & C & \to & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 0 & \to & A & \to & B & \to & C & \to & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 0 & \to & A & \to & B & \to & C & \to & 0 \end{matrix}\] 其中竖直箭头为 \(d\)。

下面给出谱序列的一个重要例子。设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴， \((A, d)\) 为 \(\mathcal{A}\) 的微分对象，并设 \(\alpha : (A, d) \to (A, d)\) 为该微分对象的自同态。若假设 \(\alpha\) 是单射态射，则得到微分对象的短正合列 \[0 \to (A, d) \to (A, d) \to (A/\alpha A, d) \to 0\] 由引理 011Y，得到正合偶 \[\xymatrix{ H(A, d) \ar[rr]_{\overline{\alpha}} & & H(A, d) \ar[ld]^g \\ & H(A/\alpha A, d) \ar[lu]^f & }\] 其中 \(g\) 是典范映射，\(f\) 是蛇引理中定义的映射。由第 011P 节，得到一个相伴谱序列。由于在此情形中 \(E_1 = H(A/\alpha A, d)\)，定义 \(E_0 = A/\alpha A\) 与 \(d_0 = d\) 是有意义的。换言之，我们从 \(r = 0\) 开始谱序列。按照第 011M 节的约定，定义一列子对象 \[0 = B_0 \subset \ldots \subset B_r \subset \ldots \subset Z_r \subset \ldots \subset Z_0 = E_0\] 并满足 \(E_r = Z_r/B_r\)。由引理 011T，对 \(r \geq 1\) 有

1. \(B_r\) 是 \((\alpha^{r - 1})^{-1}(d A)\) 在自然映射 \(A \to A/\alpha A\) 下的像；

2. \(Z_r\) 是 \(d^{-1}(\alpha^r A)\) 在自然映射 \(A \to A/\alpha A\) 下的像；以及

3. \(d_r : E_r \to E_r\) 如下给出：给定元素 \(z \in Z_r\)，选取 \(y \in A\) 使得 \(d(z) = \alpha^r(y)\)。那么 \(d_r(z + B_r + \alpha A) = y + B_r + \alpha A\)。

警告：不一定有 \(\alpha A \subset (\alpha^{r - 1})^{-1}(dA)\)，也不一定有 \(\alpha A \subset d^{-1}(\alpha^r A)\)。成立的是 \((\alpha^{r - 1})^{-1}(dA) \subset d^{-1}(\alpha^r A)\)。我们有 \[E_r = \frac{d^{-1}(\alpha^r A) + \alpha A}{(\alpha^{r - 1})^{-1}(dA) + \alpha A}.\] 直接验证 (1)–(3) 给出谱序列并不困难。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\((A, d)\) 为 \(\mathcal{A}\) 的微分对象， 并设 \(\alpha : A \to A\) 为 \(A\) 的、与 \(d\) 交换的单射自映射。关联于 \((A, d, \alpha)\) 的谱序列，是上面描述的谱序列 \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\)。

注

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \(S, T : \mathcal{A} \to \mathcal{A}\) 为移位函子，即范畴同构。 假设作为函子有 \(TS = ST\)。考虑二元组 \((A, d)\)，其中 \(A\) 是 \(\mathcal{A}\) 的对象，而 \(d : A \to SA\) 是满足 \(d \circ S^{-1}d = 0\) 的态射。这些对象所成的范畴是阿贝尔范畴。 定义 \(H(A, d) = \Ker(d)/\Im(S^{-1}d)\)，并注意 \(H(SA, Sd) = SH(A, d)\)（典范同构）。给定短正合列 \[0 \to (A, d) \to (B, d) \to (C, d) \to 0\] 得到长正合同调列 \[\ldots \to S^{-1}H(C, d) \to H(A, d) \to H(B, d) \to H(C, d) \to SH(A, d) \to \ldots\] （注意边界映射中的移位）。由于 \(ST = TS\)，函子 \(T\) 通过置 \(T(A, d) = (TA, Td)\) 定义二元组范畴上的移位函子。其次，设 \(\alpha : (A, d) \to T^{-1}(A, d)\) 是单射态射，其余核为 \((Q, d)\)。 那么得到如注记 0AMJ 中关于移位函子 \(TS\) 与 \(T\) 的正合偶 \[(H(A, d), S^{-1}H(Q, d), \overline{\alpha}, f, g)\] 其中 \(\overline{\alpha} : H(A, d) \to T^{-1}H(A, d)\) 由 \(\alpha\) 诱导，映射 \(f : S^{-1}H(Q, d) \to H(A, d)\) 是边界映射， 而 \(g : H(A, d) \to TH(Q, d) = TS(S^{-1}H(Q, d))\) 由商映射 \(A \to TQ\) 诱导。因此得到如上的谱序列，其 \(E_1 = S^{-1}H(Q, d)\)，微分为 \(d_r : E_r \to T^rSE_r\)。 如上置 \(E_0 = S^{-1}Q\)，并令 \(d_0 : E_0 \to SE_0\) 由 \(S^{-1}d : S^{-1}Q \to Q\) 给出。若按照约定定义 \(B_r \subset Z_r \subset E_0\)，则对 \(r \geq 1\) 有

1. \(SB_r\) 是 \[(T^{-r + 1}\alpha \circ \ldots \circ T^{-1}\alpha)^{-1} \Im(T^{-r}S^{-1}d)\] 在自然映射 \(T^{-1}A \to Q\) 下的像；

2. \(Z_r\) 是 \[(S^{-1}T^{-1}d)^{-1} \Im(\alpha \circ \ldots \circ T^{r - 1}\alpha)\] 在自然映射 \(S^{-1}T^{-1}A \to S^{-1}Q\) 下的像。

微分可描述如下：若 \(x \in Z_r\)，选取映到 \(x\) 的 \(x' \in S^{-1}T^{-1}A\)。那么对某个 \(y \in T^{r - 1}A\)， \(S^{-1}T^{-1}d(x')\) 是 \((\alpha \circ \ldots \circ T^{r - 1}\alpha)(y)\)。于是 \(d_r(x) \in T^rSE_r\) 由 \(y\) 在 \(T^rSE_0 = T^rQ\) 中的像之模 \(T^rSB_r\) 的类表示。

谱序列：滤过微分对象

可以从一个滤过微分对象出发构造谱序列。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。一个滤过微分对象 \((K, F, d)\)，是 \(\mathcal{A}\) 的滤过对象 \((K, F)\)，并配备平方为零的 自同态 \(d : (K, F) \to (K, F)\)，即 \(d \circ d = 0\)。

为描述关联于这种对象的谱序列，暂时假设 \(\mathcal{A}\) 是具有可数直和且 可数直和正合的阿贝尔范畴（这不是自动成立的；见注记 0AMH）。设 \((K, F, d)\) 为 \(\mathcal{A}\) 的滤过微分对象。注意每个 \(F^nK\) 本身都是微分对象。 考虑对象 \(A = \bigoplus F^nK\)，并在每个直和项上使用 \(d\)，从而为其 配备微分 \(d\)。那么 \((A, d)\) 是 \(\mathcal{A}\) 的带分次微分对象。 考虑映射 \[\alpha : A \to A\] 它由各嵌入 \(F^nK \to F^{n - 1}K\) 给出。这显然是微分对象之间的 单射态射 \(\alpha : (A, d) \to (A, d)\)。因此，由定义 011Z 得到一个谱序列。 我们称它为关联于滤过微分对象 \((K, F, d)\) 的谱序列。

来求出这个谱序列的各项。首先，注意 \(A/\alpha A = \text{gr}(K)\)，并带有微分 \(d = \text{gr}(d)\)。 因此可见 \[E_0 = \text{gr}(K), \quad d_0 = \text{gr}(d).\] 于是分次微分对象 \(\text{gr}(K)\) 的同调是下一项： \[E_1 = H(\text{gr}(K), \text{gr}(d)).\] 此外，\(E_0\) 是 \(\mathcal{A}\) 的分次对象，而 \(d_0\) 与该分次相容， 故 \(E_1\) 显然也是分次对象。然而，微分 \(d_1\) 并不保持这一分次， 而是把次数平移 \(1\)。

为精确说明这一点，定义 \[Z_r^p = \frac{F^pK \cap d^{-1}(F^{p + r}K) + F^{p + 1}K}{F^{p + 1}K}\] 以及 \[B_r^p = \frac{F^pK \cap d(F^{p - r + 1}K) + F^{p + 1}K}{F^{p + 1}K}.\] 这一记号虽然相当自然，但似乎不同于文献中大多数地方的记号。 也许这并不重要，因为文献本身似乎也没有一致的记号选择。 按这些选择，第 011U 节中定义的 \(B_r \subset E_0\)（相应地，\(Z_r \subset E_0\)）等于 \(\bigoplus_p B_r^p\)（相应地，\(\bigoplus_p Z_r^p\)）。因此，若对 \(r \geq 0\) 与 \(p \in \mathbf{Z}\) 定义 \[E_r^p = Z_r^p/B_r^p\] 则 \(E_r = \bigoplus_p E_r^p\)。可按规则 \[z + F^{p + 1}K \longmapsto dz + F^{p + r + 1}K\] 定义微分 \(d_r^p : E_r^p \to E_r^{p + r}\)，其中 \(z \in F^pK \cap d^{-1}(F^{p + r}K)\)。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \((K, F, d)\) 为 \(\mathcal{A}\) 的 滤过微分对象。存在 \(\text{Gr}(\mathcal{A})\) 中关联于 \((K, F, d)\) 的谱序列 \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\)，使得对所有 \(r\) 均有 \(d_r : E_r \to E_r[r]\)，并且分次部分 \(E_r^p\) 及映射 \(d_r^p : E_r^p \to E_r^{p + r}\) 如上给出。此外， \(E_0^p = \text{gr}^p K\)、\(d_0^p = \text{gr}^p(d)\)，且 \(E_1^p = H(\text{gr}^pK, \text{gr}^p(d))\)。

证明

若 \(\mathcal{A}\) 有可数直和且可数直和正合，则结论来自上面的讨论。 一般情形如下处理；我们强烈建议读者跳过这个证明。考虑 \(\text{Gr}(\mathcal{A})\) 的对象 \(A = (F^{p + 1}K)\)，即把 \(F^{p + 1}K\) 置于次数 \(p\)（编号中的奇特平移是为了使后面的编号正确）。 通过在每个分量上使用 \(d\)，为其配备微分 \(d\)。那么 \((A, d)\) 是 \(\text{Gr}(\mathcal{A})\) 的微分对象。考虑映射 \[\alpha : A \to A[-1]\] 它在次数 \(p\) 处由嵌入 \(F^{p + 1}A \to F^pA\) 给出。

这显然是微分对象之间的单射态射 \(\alpha : (A, d) \to (A, d)[-1]\)。因此可在 \(S = \text{id}\)、\(T = [1]\) 时应用注记 0AMK。所得 \(\text{Gr}(\mathcal{A})\) 中的谱序列 \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\) 正是我们所求的谱序列。稍微展开这些定义。 首先，\(E_r = (E_r^p)\) 是 \(\text{Gr}(\mathcal{A})\) 的对象。 其次，由于 \(T^rS = [r]\)，有 \(d_r : E_r \to E_r[r]\)，即 \(d_r^p : E_r^p \to E_r^{p + r}\)。

为看出分次部分的描述成立，按上面的方法论证。首先有 \(E_0 = \Coker(\alpha : A \to A[-1])\)，由上面的编号选择，这给出 \(E_0^p = \text{gr}^pK\)。第一个微分为 \(d_0^p = \text{gr}^pd : E_0^p \to E_0^p\)。其次，注记 0AMK 中对边界 \(B_r\) 与余闭元 \(Z_r\) 的描述，直接转化为上面给出的 \(Z_r^p\) 与 \(B_r^p\) 的公式。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \((K, F, d)\) 为 \(\mathcal{A}\) 的 滤过微分对象。关联于 \((K, F, d)\) 的谱序列 \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\) 中的 \[d_1^p : E_1^p = H(\text{gr}^pK) \longrightarrow H(\text{gr}^{p + 1}K) = E_1^{p + 1}\] 等于关联于微分对象短正合列 \[0 \to \text{gr}^{p + 1}K \to F^pK/F^{p + 2}K \to \text{gr}^pK \to 0.\] 的同调边界映射。

证明

这由引理 012C 前给出的 微分 \(d_1^p\) 的公式显然可得。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \((K, F, d)\) 为 \(\mathcal{A}\) 的 滤过微分对象。\(H(K, d)\) 上的诱导滤过定义为 \(F^pH(K, d) = \Im(H(F^pK, d) \to H(K, d))\)。

展开其含义可见 \[F^pH(K, d) = \frac{\Ker(d) \cap F^pK + \Im(d)}{\Im(d)}\] 因而 \[\text{gr}^p H(K) = \frac{\Ker(d) \cap F^pK + \Im(d)}{\Ker(d) \cap F^{p + 1}K + \Im(d)} = \frac{\Ker(d) \cap F^pK}{\Ker(d) \cap F^{p + 1}K + \Im(d) \cap F^pK}\]

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \((K, F, d)\) 为 \(\mathcal{A}\) 的 滤过微分对象。若 \(Z_\infty^p\) 与 \(B_\infty^p\) 存在（见证明），则

1. 极限 \(E_\infty\) 存在并且是分次的，其次数 \(p\) 部分为 \(E_\infty^p = Z_\infty^p/B_\infty^p\)；以及

2. \(K\) 的同调的相伴分次对象 \(\text{gr}(H(K))\) 是分次极限对象 \(E_\infty\) 的分次子商。

证明

定义 011O 的对象 \(Z_\infty\)、 \(B_\infty\) 及极限 \(E_\infty = Z_\infty/B_\infty\)，按照引理 012C 的证明中对谱序列的 构造，是 \(\text{Gr}(\mathcal{A})\) 的对象。 由于 \(Z_r^p\)（相应地，\(B_r^p\)）是 \(Z_r\)（相应地，\(B_r\)）的第 \(p\) 个分次部分，若假设 \[Z_\infty^p = \bigcap\nolimits_r Z_r^p = \frac{\bigcap_r (F^pK \cap d^{-1}(F^{p + r}K) + F^{p + 1}K)}{F^{p + 1}K}\] 及 \[B_\infty^p = \bigcup\nolimits_r B_r^p = \frac{\bigcup_r (F^pK \cap d(F^{p - r + 1}K) + F^{p + 1}K)}{F^{p + 1}K}.\] 存在，则 \(Z_\infty\) 与 \(B_\infty\) 存在，且其次数 \(p\) 部分分别为 \(Z_\infty^p\) 与 \(B_\infty^p\)（这来自关于分次子对象之并与交的初等论证）。 因此 \[E_\infty^p = \frac{\bigcap_r (F^pK \cap d^{-1}(F^{p + r}K) + F^{p + 1}K)} {\bigcup_r (F^pK \cap d(F^{p - r + 1}K) + F^{p + 1}K)}.\] 其中分子与分母都存在。我们有 [012G]\[\begin{equation} \Ker(d) \cap F^pK + F^{p + 1}K \subset \bigcap\nolimits_r \left(F^pK \cap d^{-1}(F^{p + r}K) + F^{p + 1}K\right) \end{equation}\] 以及 [012H]\[\begin{equation} \bigcup\nolimits_r \left(F^pK \cap d(F^{p - r + 1}K) + F^{p + 1}K\right) \subset \Im(d) \cap F^pK + F^{p + 1}K. \end{equation}\] 因此，\(E_\infty^p\) 的一个子商为 \[\frac{\Ker(d) \cap F^pK + F^{p + 1}K}{\Im(d) \cap F^pK + F^{p + 1}K} = \frac{\Ker(d) \cap F^pK}{\Im(d) \cap F^pK + \Ker(d) \cap F^{p + 1}K}\] 将其与定义 012E 后的讨论中给出的 \(\text{gr}^pH(K)\) 公式比较，即得结论。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \((K, F, d)\) 为 \(\mathcal{A}\) 的 滤过微分对象。称关联于 \((K, F, d)\) 的谱序列

1. 弱收敛到 \(H(K)\)，若通过引理 012F 有 \(\text{gr}H(K) = E_{\infty}\)；

2. 汇聚到 \(H(K)\)，若它弱收敛到 \(H(K)\)，并且 \(\bigcap F^pH(K) = 0\)、\(\bigcup F^pH(K) = H(K)\)。

遗憾的是，文献中似乎很难找到关于这些概念的一套一致术语。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \((K, F, d)\) 为 \(\mathcal{A}\) 的 滤过微分对象。关联谱序列

1. 弱收敛到 \(H(K)\)，当且仅当对每个 \(p \in \mathbf{Z}\)， 等式 (012H) 与 (012G) 中均取等号；

2. 汇聚到 \(H(K)\)，当且仅当它弱收敛到 \(H(K)\)，并且 \(\bigcap_p (\Ker(d) \cap F^pK + \Im(d)) = \Im(d)\) 及 \(\bigcup_p (\Ker(d) \cap F^pK + \Im(d)) = \Ker(d)\)。

证明

由上面的讨论立即可得。

谱序列：滤过复形

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。\(\mathcal{A}\) 的一个 滤过复形 \(K^\bullet\)，是 \(\text{Fil}(\mathcal{A})\) 中的复形 （见定义 0121）。

我们用 \(F\) 表示各对象上的滤过。因此，\(F^pK^n\) 表示复形第 \(n\) 项之 滤过的第 \(p\) 步。注意，每个 \(F^pK^\bullet\) 都是 \(\mathcal{A}\) 中的 复形。因此，也可把滤过复形定义为 \(\mathcal{A}\) 的复形所成的 （阿贝尔）范畴中的滤过对象。特别地，\(\text{gr} K^\bullet\) 是 \(\mathcal{A}\) 的复形范畴中的分次对象。

为描述关联于这种对象的谱序列，暂时假设 \(\mathcal{A}\) 是具有可数直和且 可数直和正合的阿贝尔范畴（这不是自动成立的；见注记 0AMH）。用 \(d\) 表示 \(K\) 的微分。 忘掉分次后，可把 \(\bigoplus K^n\) 看作 \(\mathcal{A}\) 的滤过微分对象。 因此，按照第 012A 节，得到谱序列 \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\)。本节将求出该谱序列的各项，并用 \(K\) 的分次 所给出的附加结构装备这些项。

首先指出，\(E_0^p = \text{gr}^p K^\bullet\) 是复形，因而是分次的。 所以 \(E_0\) 自然地是双分次的。通常使用双分次 \[E_0 = \bigoplus\nolimits_{p, q} E_0^{p, q}, \quad E_0^{p, q} = \text{gr}^p K^{p + q}\] 其思想是把 \(p + q\) 看作（上）同调类的总次数。此外，\(p\) 称为 滤过次数，\(q\) 称为余次数。微分 \(d_0\) 按如下方式与此 双分次相容： \[d_0 = \bigoplus d_0^{p, q}, \quad d_0^{p, q} : E_0^{p, q} \to E_0^{p, q + 1}.\] 事实上，\(d_0^p\) 正是复形 \(\text{gr}^p K^\bullet\) 上的微分 （该复形以略作平移的方式作为 \(\text{gr}^pE_0\) 出现）。

为进一步讨论，把第 012A 节引入的对象 \(B_r^p\) 与 \(Z_r^p\) 视为分次对象，并求出微分的相应分解。 我们完全直接地进行，但再次警告读者，我们的记号与其他地方的记号不同。 定义 \[Z_r^{p, q} = \frac{F^pK^{p + q} \cap d^{-1}(F^{p + r}K^{p + q + 1}) + F^{p + 1}K^{p + q}} {F^{p + 1}K^{p + q}}\] 及 \[B_r^{p, q} = \frac{F^pK^{p + q} \cap d(F^{p - r + 1}K^{p + q - 1}) + F^{p + 1}K^{p + q}} {F^{p + 1}K^{p + q}}\] 当然，\(E_r^{p, q} = Z_r^{p, q}/B_r^{p, q}\)。按这些定义，显然有 \(Z_r^p = \bigoplus_q Z_r^{p, q}\)、 \(B_r^p = \bigoplus_q B_r^{p, q}\) 及 \(E_r^p = \bigoplus_q E_r^{p, q}\)。而且 \[0 \subset \ldots \subset B_r^{p, q} \subset \ldots \subset Z_r^{p, q} \subset \ldots \subset E_0^{p, q}\] 映射 \(d_r^p\) 也分解为映射 \[d_r^{p, q} : E_r^{p, q} \longrightarrow E_r^{p + r, q - r + 1}, \quad z + F^{p + 1}K^{p + q} \mapsto dz + F^{p + r + 1}K^{p + q + 1}\] 的直和，其中 \(z \in F^pK^{p + q} \cap d^{-1}(F^{p + r}K^{p + q + 1})\)。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \((K^\bullet, F)\) 为 \(\mathcal{A}\) 的滤过复形。存在 \(\mathcal{A}\) 的双分次对象范畴中关联于 \((K^\bullet, F)\) 的谱序列 \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\)，使 \(d_r\) 的 双次数为 \((r, - r + 1)\)，并且 \(E_r\) 的双分次部分 \(E_r^{p, q}\) 及 映射 \(d_r^{p, q} : E_r^{p, q} \to E_r^{p + r, q - r + 1}\) 如上给出。 此外，有 \(E_0^{p, q} = \text{gr}^p(K^{p + q})\)、 \(d_0^{p, q} = \text{gr}^p(d^{p + q})\)，且 \(E_1^{p, q} = H^{p + q}(\text{gr}^p(K^\bullet))\)。

证明

若 \(\mathcal{A}\) 有可数直和且可数直和正合，则结论来自上面的讨论。 一般情形如下处理；我们强烈建议读者跳过这个证明。考虑 \(\mathcal{A}\) 的双分次对象 \(A = (F^{p + 1}K^{p + 1 + q})\)，即把 \(F^{p + 1}K^{p + 1 + q}\) 置于双次数 \((p, q)\)（编号中的奇特平移是为了使后面的编号正确）。 通过在每个分量上使用 \(d\)，为其配备微分 \(d : A \to A[0, 1]\)。 那么 \((A, d)\) 是微分双分次对象。考虑映射 \[\alpha : A \to A[-1, 1]\] 它在双次数 \((p, q)\) 处由嵌入 \(F^{p + 1}K^{p + 1 + q} \to F^pK^{p + 1 + q}\) 给出。 这是微分对象之间的单射态射 \(\alpha : (A, d) \to (A, d)[-1, 1]\)。因此可在 \(S = [0, 1]\)、\(T = [1, -1]\) 时应用注记 0AMK。所得双分次对象的谱序列 \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\) 正是我们所求的谱序列。稍微展开这些定义。 首先有 \(E_r = (E_r^{p, q})\)。其次，由于 \(T^rS = [r, -r + 1]\)，有 \(d_r : E_r \to E_r[r, -r + 1]\)， 即 \(d_r^{p, q} : E_r^{p, q} \to E_r^{p + r, q - r + 1}\)。

为看出分次部分的描述成立，按上面的方法论证。首先有 \[E_0 = \Coker(\alpha : A \to A[-1, 1])[0, -1] = \Coker(\alpha[0, -1] : A[0, -1] \to A[-1, 0])\] 由上面的编号选择，这给出 \[E_0^{p, q} = \Coker(F^{p + 1}K^{p + q} \to F^pK^{p + q}) = \text{gr}^pK^{p + q}\] 第一个微分为 \(d_0^{p, q} = \text{gr}^pd^{p + q} : E_0^{p, q} \to E_0^{p, q + 1}\)。 其次，注记 0AMK 中对边界 \(B_r\) 与余闭元 \(Z_r\) 的描述，直接转化为上面给出的 \(Z_r^{p, q}\) 与 \(B_r^{p, q}\) 的公式。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \((K^\bullet, F)\) 为 \(\mathcal{A}\) 的滤过复形。假设 \(\mathcal{A}\) 有可数直和，并设 \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\) 为关联于 \((K^\bullet, F)\) 的谱序列。

1. 映射 \[d_1^{p, q} : E_1^{p, q} = H^{p + q}(\text{gr}^p(K^\bullet)) \longrightarrow E_1^{p + 1, q} = H^{p + q + 1}(\text{gr}^{p + 1}(K^\bullet))\] 等于关联于复形短正合列 \[0 \to \text{gr}^{p + 1}(K^\bullet) \to F^pK^\bullet/F^{p + 2}K^\bullet \to \text{gr}^p(K^\bullet) \to 0.\] 的上同调边界映射。

2. 假设对所有 \(p \in \mathbf{Z}\) 均有 \(d(F^pK) \subset F^{p + 1}K\)。那么 \(d\) 在 \(\text{gr}^p(K^\bullet)\) 上诱导零微分，因而 \(E_1^{p, q} = \text{gr}^p(K^\bullet)^{p + q}\)。此外，此时 \[d_1^{p, q} : E_1^{p, q} = \text{gr}^p(K^\bullet)^{p + q} \longrightarrow E_1^{p + 1, q} = \text{gr}^{p + 1}(K^\bullet)^{p + q + 1}\] 是由 \(d\) 诱导的态射。

证明

这由引理 012M 前给出的 微分 \(d_1^{p, q}\) 的公式显然可得。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \(\alpha : (K^\bullet, F) \to (L^\bullet, F)\) 为 \(\mathcal{A}\) 的 滤过复形之间的态射。设 \((E_r(K), d_r)_{r \geq 0}\)（相应地， \((E_r(L), d_r)_{r \geq 0}\)）为关联于 \((K^\bullet, F)\)（相应地， \((L^\bullet, F)\)）的谱序列。态射 \(\alpha\) 诱导与双分次相容的典范 谱序列态射 \(\{\alpha_r : E_r(K) \to E_r(L)\}_{r \geq 0}\)。

证明

由谱序列各项的显式表示显然可得。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \((K^\bullet, F)\) 为 \(\mathcal{A}\) 的滤过复形。\(H^n(K^\bullet)\) 上的诱导滤过定义为 \(F^pH^n(K^\bullet) = \Im(H^n(F^pK^\bullet) \to H^n(K^\bullet))\)。

展开其含义可见 [012R]\[\begin{equation} F^pH^n(K^\bullet, d) = \frac{\Ker(d) \cap F^pK^n + \Im(d) \cap K^n}{\Im(d) \cap K^n} \end{equation}\] 因而 [0BDT]\[\begin{equation} \text{gr}^p H^n(K^\bullet) = \frac{\Ker(d) \cap F^pK^n}{\Ker(d) \cap F^{p + 1}K^n + \Im(d) \cap F^pK^n} \end{equation}\] （略去一个中间步骤）。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \((K^\bullet, F)\) 为 \(\mathcal{A}\) 的滤过复形。若 \(Z_\infty^{p, q}\) 与 \(B_\infty^{p, q}\) 存在（见证明），则

1. 极限 \(E_\infty\) 存在并且是双分次对象，其双次数 \((p, q)\) 部分为 \(E_\infty^{p, q} = Z_\infty^{p, q}/B_\infty^{p, q}\)；

2. \(K^\bullet\) 的第 \(n\) 个上同调对象之第 \(p\) 个分次部分 \(\text{gr}^pH^n(K^\bullet)\) 是 \(E_\infty^{p, n - p}\) 的子商。

证明

定义 011O 的对象 \(Z_\infty\)、\(B_\infty\) 及极限 \(E_\infty = Z_\infty/B_\infty\)， 按照引理 012M 中对谱序列的 构造，是 \(\mathcal{A}\) 的双分次对象。由于 \(Z_r^{p, q}\)（相应地， \(B_r^{p, q}\)）是 \(Z_r\)（相应地，\(B_r\)）的双次数 \((p, q)\) 部分， 若假设 \[Z_\infty^{p, q} = \bigcap\nolimits_r Z_r^{p, q} = \bigcap\nolimits_r \frac{F^pK^{p + q} \cap d^{-1}(F^{p + r}K^{p + q + 1}) + F^{p + 1}K^{p + q}} {F^{p + 1}K^{p + q}}\] 以及 \[B_\infty^{p, q} = \bigcup\nolimits_r B_r^{p, q} = \bigcup\nolimits_r \frac{F^pK^{p + q} \cap d(F^{p - r + 1}K^{p + q - 1}) + F^{p + 1}K^{p + q}} {F^{p + 1}K^{p + q}}\] 存在，则 \(Z_\infty\) 与 \(B_\infty\) 存在，且双次数 \((p, q)\) 部分分别为 \(Z_\infty^{p, q}\) 与 \(B_\infty^{p, q}\)（这来自关于双分次对象之并与交的 初等论证）。因此 \[E_\infty^{p, q} = \frac{\bigcap_r (F^pK^{p + q} \cap d^{-1}(F^{p + r}K^{p + q + 1}) + F^{p + 1}K^{p + q})} {\bigcup_r (F^pK^{p + q} \cap d(F^{p - r + 1}K^{p + q - 1}) + F^{p + 1}K^{p + q})}.\] 其中分子与分母都存在。置 \(n = p + q\)，有 [012S]\[\begin{equation} \Ker(d) \cap F^pK^{n} + F^{p + 1}K^{n} \subset \bigcap\nolimits_r \left( F^pK^{n} \cap d^{-1}(F^{p + r}K^{n + 1}) + F^{p + 1}K^{n} \right) \end{equation}\] 以及 [012T]\[\begin{equation} \bigcup\nolimits_r \left( F^pK^{n} \cap d(F^{p - r + 1}K^{n - 1}) + F^{p + 1}K^{n} \right) \subset \Im(d) \cap F^pK^{n} + F^{p + 1}K^{n}. \end{equation}\] 因此，\(E_\infty^{p, q}\) 的一个子商为 \[\frac{\Ker(d) \cap F^pK^{n} + F^{p + 1}K^n} {\Im(d) \cap F^pK^{n} + F^{p + 1}K^{n}} = \frac{\Ker(d) \cap F^pK^n}{\Im(d) \cap F^pK^n + \Ker(d) \cap F^{p + 1}K^n}\] 与 (0BDT) 比较即得结论。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \((E_r, d_r)_{r \geq r_0}\) 为 \(\mathcal{A}\) 的双分次对象的谱序列，其中 \(d_r\) 的双次数为 \((r, -r + 1)\)。称这样的谱序列

1. 正则，若对所有 \(p, q \in \mathbf{Z}\)，存在 \(b = b(p, q)\)，使得当 \(r \geq b\) 时映射 \(d_r^{p, q} : E_r^{p, q} \to E_r^{p + r, q - r + 1}\) 均为零；

2. 余正则，若对所有 \(p, q \in \mathbf{Z}\)，存在 \(b = b(p, q)\)，使得当 \(r \geq b\) 时映射 \(d_r^{p - r, q + r - 1} : E_r^{p - r, q + r - 1} \to E_r^{p, q}\) 均为零；

3. 有界，若对所有 \(n\)，只有有限多个 \(E_{r_0}^{p, n - p}\) 非零；

4. 下有界，若对所有 \(n\)，存在 \(b = b(n)\)，使得当 \(p \geq b\) 时 \(E_{r_0}^{p, n - p} = 0\)；

5. 上有界，若对所有 \(n\)，存在 \(b = b(n)\)，使得当 \(p \leq b\) 时 \(E_{r_0}^{p, n - p} = 0\)。

下有界意味着：观察直线 \(p + q = n\)（其斜率为 \(-1\)）上的 \(E_r^{p, q}\) 时，当 \((p, q)\) 向右下移动便得到零。如上所述， 文献中关于这些概念没有一致术语。

引理

在定义 0BDU 的情形中，令 \(Z_r^{p, q}, B_r^{p, q} \subset E_{r_0}^{p, q}\) 为按第 011M 节定义的 \(Z_r, B_r\) 的 \((p, q)\)-分次部分。

1. 谱序列正则，当且仅当对所有 \(p, q\)，存在 \(r = r(p, q)\) 使得 \(Z_r^{p, q} = Z_{r + 1}^{p, q} = \ldots\)

2. 谱序列余正则，当且仅当对所有 \(p, q\)，存在 \(r = r(p, q)\) 使得 \(B_r^{p, q} = B_{r + 1}^{p, q} = \ldots\)

3. 谱序列有界，当且仅当它既下有界又上有界。

4. 若谱序列下有界，则它正则。

5. 若谱序列上有界，则它余正则。

证明

略。提示：若 \(E_r^{p, q} = 0\)，则对所有 \(r' \geq r\) 均有 \(E_{r'}^{p, q} = 0\)。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \((K^\bullet, F)\) 为 \(\mathcal{A}\) 的滤过复形。称关联于 \((K^\bullet, F)\) 的谱序列

1. 弱收敛到 \(H^*(K^\bullet)\)，若通过引理 012Q，对所有 \(p, n \in \mathbf{Z}\) 均有 \(\text{gr}^pH^n(K^\bullet) = E_{\infty}^{p, n - p}\)；

2. 汇聚到 \(H^*(K^\bullet)\)，若它弱收敛到 \(H^*(K^\bullet)\)，并且对所有 \(n\) 均有 \(\bigcap_p F^pH^n(K^\bullet) = 0\) 及 \(\bigcup_p F^p H^n(K^\bullet) = H^n(K^\bullet)\)；

3. 收敛到 \(H^*(K^\bullet)\)，若它正则、汇聚到 \(H^*(K^\bullet)\)，并且 \(H^n(K^\bullet) = \lim_p H^n(K^\bullet)/F^pH^n(K^\bullet)\)。

弱收敛、汇聚或收敛都用记号 \(E_r^{p, q} \Rightarrow H^{p + q}(K^\bullet)\) 表示。如上所述， 文献中关于这些概念没有一致术语。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \((K^\bullet, F)\) 为 \(\mathcal{A}\) 的滤过复形。关联谱序列

1. 弱收敛到 \(H^*(K^\bullet)\)，当且仅当对每个 \(p, q \in \mathbf{Z}\)，等式 (012T) 与 (012S) 中均取等号；

2. 汇聚到 \(H^*(K)\)，当且仅当它弱收敛到 \(H^*(K^\bullet)\)，并且有 \(\bigcap_p (\Ker(d) \cap F^pK^n + \Im(d) \cap K^n) = \Im(d) \cap K^n\) 及 \(\bigcup_p (\Ker(d) \cap F^pK^n + \Im(d) \cap K^n) = \Ker(d) \cap K^n\)。

证明

由上面的讨论立即可得。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \((K^\bullet, F)\) 为 \(\mathcal{A}\) 的滤过复形。假设每个 \(K^n\) 上的滤过有限 （见定义 0121）。那么

1. 关联于 \((K^\bullet, F)\) 的谱序列有界；

2. 每个 \(H^n(K^\bullet)\) 上的滤过有限；

3. 关联于 \((K^\bullet, F)\) 的谱序列收敛到 \(H^*(K^\bullet)\)；

4. 若 \(\mathcal{C} \subset \mathcal{A}\) 是弱 Serre 子范畴，并且对 某个 \(r\)，所有 \(p, q \in \mathbf{Z}\) 都有 \(E_r^{p, q} \in \mathcal{C}\)，则 \(H^n(K^\bullet)\) 属于 \(\mathcal{C}\)。

证明

(1) 来自 \(E_0^{p, n - p} = \text{gr}^p K^n\)。(2) 由等式 (012R) 显然可得。我们用引理 012V 证明谱序列弱收敛。 固定 \(p, n \in \mathbf{Z}\)。等式 (012S) 的右端等于 \(F^pK^n \cap \Ker(d) + F^{p + 1}K^n\)，因为当 \(r \gg 0\) 时 \(F^{p + r}K^n = 0\)。因此 (012S) 是等式。等式 (012T) 的左端等于 \(F^pK^n \cap \Im(d) + F^{p + 1}K^n\)，因为当 \(r \gg 0\) 时 \(F^{p - r + 1}K^{n - 1} = K^{n - 1}\)。因此 (012T) 是等式。由 (2)， \(H^n(K^\bullet)\) 上的滤过有限，所以得到汇聚。为证明收敛，还须证明谱序列 正则；这来自其有界性（引理 0BDV）。还须证明 \(H^n(K^\bullet) = \lim_p H^n(K^\bullet)/F^pH^n(K^\bullet)\)， 这来自 (2) 中已证的 \(H^*(K^\bullet)\) 上的滤过有限。

证明 (4)。假设对某个 \(r \geq 0\) 及 \(\mathcal{A}\) 的某个弱 Serre 子范畴 \(\mathcal{C}\)，有 \(E_r^{p, q} \in \mathcal{C}\)。那么 \(E_{r + 1}^{p, q}\) 也属于 \(\mathcal{C}\)；见引理 0754。由上面证明的有界性 （由引理 0BDV，它蕴含谱序列既正则又余正则）， 可找到 \(r' \geq r\)，使得对所有满足 \(p + q = n\) 的 \(p, q\)，均有 \(E_\infty^{p, q} = E_{r'}^{p, q}\)。于是 \(H^n(K^\bullet)\) 是 \(\mathcal{A}\) 中具有有限滤过且各分次部分都属于 \(\mathcal{C}\) 的对象。 由引理 0754，这蕴含 \(H^n(K^\bullet)\) 属于 \(\mathcal{C}\)。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \((K^\bullet, F)\) 为 \(\mathcal{A}\) 的滤过复形。假设每个 \(K^n\) 上的滤过有限 （见定义 0121），并且对某个 \(r\)，只有有限多个 \(E_r^{p, q}\) 非零。那么只有有限多个 \(H^n(K^\bullet)\) 非零，并且 \[\sum (-1)^n[H^n(K^\bullet)] = \sum (-1)^{p + q} [E_r^{p, q}]\] 在 \(K_0(\mathcal{A}')\) 中成立，其中 \(\mathcal{A}'\) 是包含各对象 \(E_r^{p, q}\) 的 \(\mathcal{A}\) 的最小弱 Serre 子范畴。

证明

用 \(E_r^{even}\) 与 \(E_r^{odd}\) 表示 \(E_r\) 的偶部分与奇部分，它们定义为 所有 \(p + q\) 分别为偶数与奇数的 \((p, q)\) 分量之直和。微分 \(d_r\) 定义映射 \(\varphi : E_r^{even} \to E_r^{odd}\) 与 \(\psi : E_r^{odd} \to E_r^{even}\)，其两个方向的复合都为零。 于是 \[\begin{align*} [E_r^{even}] - [E_r^{odd}] & = [\Ker(\varphi)] + [\Im(\varphi)] - [\Ker(\psi)] - [\Im(\psi)] \\ & = [\Ker(\varphi)/\Im(\psi)] - [\Ker(\psi)/\Im(\varphi)] \\ & = [E_{r + 1}^{even}] - [E_{r + 1}^{odd}] \end{align*}\] 注意所有中间对象都属于包含各对象 \(E_r^{p, q}\) 的最小 Serre 子范畴。 继续这一过程，可任意增大 \(r\)。由于只有有限多对 \((p, q)\) 使 \(E_r^{p, q}\) 非零，而这一性质由 \(E_{r + 1}, E_{r + 2}, \ldots\) 继承，故可假设 \(d_r = 0\)。此时，\(H^n(K^\bullet)\) 具有有限滤过 （引理 012W），其分次部分恰为 \(E_r^{p, n - p}\)，结论显然。

下面的引理更多是对我们定义的一种合理性检查。显然，若有一个滤过复形， 使得对每个 \(n\) 均有 \[H^n(F^pK^\bullet) = 0\text{ 对 }p \gg 0 \quad\text{且}\quad H^n(F^pK^\bullet) = H^n(K^\bullet)\text{ 对 }p \ll 0,\] 那么相应谱序列应当收敛，对吗？

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \((K^\bullet, F)\) 为 \(\mathcal{A}\) 的滤过复形。假设

1. 对每个 \(n\)，存在 \(p_0(n)\)，使得当 \(p \geq p_0(n)\) 时 \(H^n(F^pK^\bullet) = 0\)；

2. 对每个 \(n\)，存在 \(p_1(n)\)，使得当 \(p \leq p_1(n)\) 时 \(H^n(F^pK^\bullet) \to H^n(K^\bullet)\) 是同构。

那么

1. 关联于 \((K^\bullet, F)\) 的谱序列有界；

2. 每个 \(H^n(K^\bullet)\) 上的滤过有限；

3. 关联于 \((K^\bullet, F)\) 的谱序列收敛到 \(H^*(K^\bullet)\)。

证明

固定 \(n\)。使用关联于复形短正合列 \[0 \to F^{p + 1}K^\bullet \to F^pK^\bullet \to \text{gr}^pK^\bullet \to 0\] 的长正合上同调列，可得当 \(p \geq \max(p_0(n), p_0(n + 1))\) 以及 \(p < \min(p_1(n), p_1(n + 1))\) 时，\(E_1^{p, n - p} = 0\)。 因此谱序列有界（定义 0BDU）。这证明 (1)。

由假设与定义 012P， \(H^n(K^\bullet)\) 上的滤过显然有限。这证明 (2)。

接着用引理 012V 证明谱序列弱收敛到 \(H^*(K^\bullet)\)。先证明 (012S) 中取等号。 事实上，当 \(p + r > p_0(n + 1)\) 时，映射 \[d : F^pK^{n} \cap d^{-1}(F^{p + r}K^{n + 1}) \to F^{p + r}K^{n + 1}\] 的像落在 \(d : F^{p + r}K^n \to F^{p + r}K^{n + 1}\) 的像中， 因为复形 \(F^{p + r}K^\bullet\) 在次数 \(n + 1\) 处正合。 由此 \(F^pK^{n} \cap d^{-1}(F^{p + r}K^{n + 1}) = d(F^{p + r}K^n) + \Ker(d) \cap F^pK^n\)。因此对这样的 \(r\) 有 \[\Ker(d) \cap F^pK^{n} + F^{p + 1}K^{n} = F^pK^{n} \cap d^{-1}(F^{p + r}K^{n + 1}) + F^{p + 1}K^{n}\] 这证明了所需等式。为证明 (012T) 中取等号， 使用如下事实：当 \(p - r + 1 < p_1(n - 1)\) 时有 \[d(F^{p - r + 1}K^{n - 1}) = \Im(d) \cap F^{p - r + 1}K^n\] 因为映射 \(F^{p - r + 1}K^\bullet \to K^\bullet\) 在次数 \(n - 1\) 的上同调上诱导同构。这说明对这样的 \(r\) 有 \[F^pK^{n} \cap d(F^{p - r + 1}K^{n - 1}) + F^{p + 1}K^{n} = \Im(d) \cap F^pK^{n} + F^{p + 1}K^{n}\] 从而证明所需等式。

为由引理 012V 看出谱序列汇聚到 \(H^*(K^\bullet)\)，须证明 \(\bigcap_p (\Ker(d) \cap F^pK^n + \Im(d) \cap K^n) = \Im(d) \cap K^n\) 及 \(\bigcup_p (\Ker(d) \cap F^pK^n + \Im(d) \cap K^n) = \Ker(d) \cap K^n\)。 当 \(p \geq p_0(n)\) 时有 \(\Ker(d) \cap F^pK^n + \Im(d) \cap K^n = \Im(d) \cap K^n\)； 当 \(p \leq p_1(n)\) 时有 \(\Ker(d) \cap F^pK^n + \Im(d) \cap K^n = \Ker(d) \cap K^n\)。 结合弱收敛、汇聚与有界性，可见 (2) 与 (3) 成立。

谱序列：双复形

设 \(K^{\bullet, \bullet}\) 为双复形；见第 0FNB 节。通常用 \(H^p_I(K^{\bullet, \bullet})\) 表示如下复形：其各项为 \(\Ker(d_1^{p, q})/\Im(d_1^{p - 1, q})\)（\(q\) 变化），微分由 \(d_2\) 诱导。于是 \(H^q_{II}(H^p_I(K^{\bullet, \bullet}))\) 表示它在次数 \(q\) 处的上同调。通常还用 \(H^q_{II}(K^{\bullet, \bullet})\) 表示如下 复形：其各项为 \(\Ker(d_2^{p, q})/\Im(d_2^{p, q - 1})\)（\(p\) 变化）， 微分由 \(d_1\) 诱导。于是 \(H^p_I(H^q_{II}(K^{\bullet, \bullet}))\) 表示它在次数 \(p\) 处的上同调。 后面将会看到，这些上同调群作为关联总复形或单复形上的某个滤过之谱序列 的各项出现；见定义 012Z。

关联于双复形 \(K^{\bullet, \bullet}\) 的总复形 \(\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet})\) 上有两个自然滤过。即定义 \[F_I^p(\text{Tot}^n(K^{\bullet, \bullet})) = \bigoplus\nolimits_{i + j = n, \ i \geq p} K^{i, j} \quad \text{且} \quad F_{II}^p(\text{Tot}^n(K^{\bullet, \bullet})) = \bigoplus\nolimits_{i + j = n, \ j \geq p} K^{i, j}.\] 立即可验证 \((\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet}), F_I)\) 与 \((\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet}), F_{II})\) 是滤过复形。 由第 012K 节，得到两个谱序列。通常用 \(({}'E_r, {}'d_r)_{r \geq 0}\) 表示关联于滤过 \(F_I\) 的谱序列， 用 \(({}''E_r, {}''d_r)_{r \geq 0}\) 表示关联于滤过 \(F_{II}\) 的谱序列。 下面描述这些谱序列。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \(K^{\bullet, \bullet}\) 为双复形。 关联于 \(K^{\bullet, \bullet}\) 的谱序列具有下列各项：

1. \({}'E_0^{p, q} = K^{p, q}\)，其中 \({}'d_0^{p, q} = (-1)^p d_2^{p, q} : K^{p, q} \to K^{p, q + 1}\)；

2. \({}''E_0^{p, q} = K^{q, p}\)，其中 \({}''d_0^{p, q} = d_1^{q, p} : K^{q, p} \to K^{q + 1, p}\)；

3. \({}'E_1^{p, q} = H^q(K^{p, \bullet})\)，其中 \({}'d_1^{p, q} = H^q(d_1^{p, \bullet})\)；

4. \({}''E_1^{p, q} = H^q(K^{\bullet, p})\)，其中 \({}''d_1^{p, q} = (-1)^q H^q(d_2^{\bullet, p})\)；

5. \({}'E_2^{p, q} = H^p_I(H^q_{II}(K^{\bullet, \bullet}))\)；

6. \({}''E_2^{p, q} = H^p_{II}(H^q_I(K^{\bullet, \bullet}))\)。

证明

略。

这些谱序列在 \(H^n(\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet}))\) 上定义两个滤过， 我们将其记作 \(F_I\) 与 \(F_{II}\)。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \(K^{\bullet, \bullet}\) 为双复形。 若定义 012U 适用，则称谱序列 \(({}'E_r, {}'d_r)_{r \geq 0}\) 弱收敛到 \(H^n(\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet}))\)、汇聚到 \(H^n(\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet}))\) 或收敛到 \(H^n(\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet}))\)。类似地，若定义 012U 适用，则称谱序列 \(({}''E_r, {}''d_r)_{r \geq 0}\) 弱收敛到 \(H^n(\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet}))\)、汇聚到 \(H^n(\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet}))\) 或收敛到 \(H^n(\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet}))\)。

如上所述，文献中关于这些概念没有一致术语。在定义的情形中，若对所有 \(n\)，通过引理 012Q 的典范比较有 \[\text{gr}_{F_I}(H^n(\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet}))) = \oplus_{p + q = n} {}'E_\infty^{p, q}\] 则第一个谱序列弱收敛。类似地，若对所有 \(n\)，通过引理 012Q 的典范比较有 \[\text{gr}_{F_{II}}(H^n(\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet}))) = \oplus_{p + q = n} {}''E_\infty^{p, q}\] 则第二个谱序列 \(({}''E_r, {}''d_r)_{r \geq 0}\) 弱收敛。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \(K^{\bullet, \bullet}\) 为双复形。 假设对每个 \(n \in \mathbf{Z}\)，满足 \(p + q = n\) 的非零 \(K^{p, q}\) 只有有限多个。那么

1. 关联于 \(K^{\bullet, \bullet}\) 的两个谱序列有界；

2. 每个 \(H^n(\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet}))\) 上的滤过 \(F_I\)、\(F_{II}\) 有限；

3. 谱序列 \(({}'E_r, {}'d_r)_{r \geq 0}\) 与 \(({}''E_r, {}''d_r)_{r \geq 0}\) 收敛到 \(H^*(\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet}))\)；

4. 若 \(\mathcal{C} \subset \mathcal{A}\) 是弱 Serre 子范畴，并且对 某个 \(r\)，所有 \(p, q \in \mathbf{Z}\) 都有 \({}'E_r^{p, q} \in \mathcal{C}\)，则 \(H^n(\text{Tot}(K^{\bullet, \bullet}))\) 属于 \(\mathcal{C}\)。 对 \(({}''E_r, {}''d_r)_{r \geq 0}\) 亦然。

证明

立即来自引理 012W。

下面给出谱序列的第一个应用。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(K^\bullet\) 为复形， \(A^{\bullet, \bullet}\) 为双复形，并设 \(\alpha^p : K^p \to A^{p, 0}\) 为态射。假设

1. 对每个 \(n \in \mathbf{Z}\)，满足 \(p + q = n\) 的非零 \(A^{p, q}\) 只有有限多个。

2. 若 \(q < 0\)，则 \(A^{p, q} = 0\)。

3. 态射 \(\alpha^p\) 给出复形态射 \(\alpha : K^\bullet \to A^{\bullet, 0}\)。

4. 复形 \(A^{p, \bullet}\) 在所有次数 \(q \not = 0\) 处正合，且态射 \(K^p \to A^{p, 0}\) 诱导同构 \(K^p \to \Ker(d_2^{p, 0})\)。

那么 \(\alpha\) 诱导复形的拟同构 \[K^\bullet \longrightarrow \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\] 此外，还有一个以第二个变量 \(q\) 代替 \(p\) 的引理变体。

证明

该映射就是由态射 \(K^n \to A^{n, 0} \to \text{Tot}^n(A^{\bullet, \bullet})\) 给出的映射； 容易看出它们定义复形态射。考虑关联于双复形 \(A^{\bullet, \bullet}\) 的谱序列 \(({}'E_r, {}'d_r)_{r \geq 0}\)。由引理 0132， 该谱序列收敛，并且每个 \(n\) 上 \(H^n(\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}))\) 的诱导滤过有限。 由引理 0130 及假设 (4)，除 \(q = 0\) 外有 \({}'E_1^{p, q} = 0\)，并且 \('E_1^{p, 0} = K^p\)，其微分 \({}'d_1^{p, 0}\) 等同于 \(d_K^p\)。因此 \({}'E_2^{p, 0} = H^p(K^\bullet)\)，其余均为零。由次数理由，这显然蕴含 \({}'d_2^{p, q} = {}'d_3^{p, q} = \ldots = 0\)。故 \(H^n(\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})) = H^n(K^\bullet)\)。 我们略去如下验证：这一等同由上面引入的复形态射 \(K^\bullet \to \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\) 给出。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\(M^\bullet\) 为 \(\mathcal{A}\) 的复形， 并设 \[a : M^\bullet[0] \longrightarrow \left(A^{0, \bullet} \to A^{1, \bullet} \to A^{2, \bullet} \to \ldots \right)\] 是 \(\mathcal{A}\) 的复形组成的复形之范畴中的同伦等价。那么由 \(M^\bullet \to A^{0, \bullet}\) 诱导的映射 \(\alpha : M^\bullet \to \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\) 是同伦等价。

证明

该陈述是有意义的，因为复形组成的复形与双复形是同一回事。假设意味着存在映射 \[b : \left(A^{0, \bullet} \to A^{1, \bullet} \to A^{2, \bullet} \to \ldots \right) \longrightarrow M^\bullet[0]\] 使得在复形组成的复形之范畴中，\(a \circ b\) 与 \(b \circ a\) 都同伦于 恒等映射。这意味着 \(b \circ a\) 是 \(M^\bullet[0]\) 上的恒等映射 （因为次数 \(0\) 中只有一项）。另注意，\(b\) 由映射 \(b^0 : A^{0, \bullet} \to M^\bullet\) 给出，而在所有其他次数中为零。 因此 \(b\) 诱导映射 \(\beta : \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}) \to M^\bullet\)，且 \(\beta \circ \alpha\) 是 \(M^\bullet\) 上的恒等映射。最后须证明 \(\alpha \circ \beta\) 同伦于恒等映射。为此，选取复形映射 \(h^n : A^{n, \bullet} \to A^{n - 1, \bullet}\)，使得 \(a \circ b - \text{id} = d_1 \circ h + h \circ d_1\)；这些映射由假设存在。 这里 \(d_1 : A^{n, \bullet} \to A^{n + 1, \bullet}\) 是复形组成的复形之 微分。对所有 \(n\)，还用 \(d_2\) 表示复形 \(A^{n, \bullet}\) 的微分。 令 \(h^{n, m} : A^{n, m} \to A^{n - 1, m}\) 为 \(h^n\) 的分量。 于是可考虑 \[h' : \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})^k = \bigoplus\nolimits_{n + m = k} A^{n, m} \to \bigoplus\nolimits_{n + m = k - 1} A^{n, m} = \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})^{k - 1}\] 它在直和项 \(A^{n, m}\) 上由 \(h^{n, m}\) 给出。计算可得，映射 \[d_{\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})} \circ h' + h' \circ d_{\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})}\] 限制在直和项 \(A^{n, m}\) 上等于 \[d_1^{n - 1, m} \circ h^{n, m} + (-1)^{n - 1} d_2^{n - 1, m} \circ h^{n, m} + h^{n + 1, m} \circ d_1^{n, m} + h^{n, m + 1} \circ (-1)^nd_2^{n, m}\] 由于 \(h^n\) 是复形映射，项 \((-1)^{n - 1} d_2^{n - 1, m} \circ h^{n, m}\) 与 \(h^{n, m + 1} \circ (-1)^nd_2^{n, m}\) 相消。另两项给出 \((\alpha \circ \beta)|_{A^{n, m}} - \text{id}_{A^{n, m}}\)，因为 \(a \circ b - \text{id} = d_1 \circ h + h \circ d_1\)。证明完成。

阿贝尔群的双复形

本节给出关于阿贝尔群双复形的一些结果；对于一般阿贝尔范畴，我们（尚）没有 相应结果。请注意，只有当底层阿贝尔范畴是阿贝尔群范畴或类似范畴 （例如某个环上的模范畴）时，才能使用这些引理。若不在餐巾上画出“之字形”， 某些论证将难以理解——可与代数，引理 00M1 的证明比较。

引理

设 \(M^\bullet\) 为阿贝尔群的复形，并设 \[0 \to M^\bullet \to A_0^\bullet \to A_1^\bullet \to A_2^\bullet \to \ldots\] 为阿贝尔群复形组成的正合复形。置 \(A^{p, q} = A_p^q\)，从而得到双复形。 那么，由 \(M^\bullet \to A_0^\bullet\) 诱导的映射 \(M^\bullet \to \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\) 是拟同构。

证明

若存在 \(t \in \mathbf{Z}\)，使得当 \(q < t\) 时 \(A_0^q = 0\)，则结论立即 来自引理 0133（按该引理最后的 陈述交换 \(p\) 与 \(q\)）。好，不过对每个 \(t \in \mathbf{Z}\)，都有朴素截断 组成的复形 \[0 \to \sigma_{\geq t}M^\bullet \to \sigma_{\geq t}A_0^\bullet \to \sigma_{\geq t}A_1^\bullet \to \sigma_{\geq t}A_2^\bullet \to \ldots\] 用 \(A(t)^{\bullet, \bullet}\) 表示相应双复形。 \(H^n(\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}))\) 的每个元素 \(\xi\)，都是某个 \(t\) 下 \(H^n(\text{Tot}(A(t)^{\bullet, \bullet}))\) 中元素的像 （考察上同调类的显式代表元）。因此 \(\xi\) 属于 \(H^n(\sigma_{\geq t}M^\bullet)\) 的像。故映射 \(H^n(M^\bullet) \to H^n(\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}))\) 满射。 它也是单射，因为对所有 \(t\)，映射 \(H^n(\sigma_{\geq t}M^\bullet) \to H^n(\text{Tot}(A(t)^{\bullet, \bullet}))\) 都是单射，且可作类似论证。

引理

设 \(M^\bullet\) 为阿贝尔群的复形，并设 \[\ldots \to A_2^\bullet \to A_1^\bullet \to A_0^\bullet \to M^\bullet \to 0\] 为阿贝尔群复形组成的正合复形，并且对所有 \(p \in \mathbf{Z}\)，复形 \[\ldots \to \Ker(d_{A_2^\bullet}^p) \to \Ker(d_{A_1^\bullet}^p) \to \Ker(d_{A_0^\bullet}^p) \to \Ker(d_{M^\bullet}^p) \to 0\] 也正合。置 \(A^{p, q} = A_{-p}^q\)，从而得到双复形。那么，由 \(A_0^\bullet \to M^\bullet\) 诱导的映射 \(\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}) \to M^\bullet\) 是拟同构。

证明

使用短正合列 \(0 \to \Ker(d^p_{A_n^\bullet}) \to A_n^p \to \Im(d^p_{A_n^\bullet}) \to 0\) 及假设，可见对所有 \(p \in \mathbf{Z}\)， \[\ldots \to \Im(d_{A_2^\bullet}^p) \to \Im(d_{A_1^\bullet}^p) \to \Im(d_{A_0^\bullet}^p) \to \Im(d_{M^\bullet}^p) \to 0\] 正合。再对正合列 \(0 \to \Im(d^{p - 1}_{A_n^\bullet}) \to \Ker(d^p_{A_n^\bullet}) \to H^p(A_n^\bullet) \to 0\) 重复这一论证，得到对所有 \(p \in \mathbf{Z}\)， \[\ldots \to H^p(A_2^\bullet) \to H^p(A_1^\bullet) \to H^p(A_0^\bullet) \to H^p(M^\bullet) \to 0\] 正合。

写 \(T^\bullet = \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\)。我们将证明 \(H^0(T^\bullet) \to H^0(M^\bullet)\) 是同构。相同论证适用于其他次数。 令 \(x \in \Ker(\text{d}_{T^\bullet}^0)\) 代表元素 \(\xi \in H^0(T^\bullet)\)。写 \(x = \sum_{i = n, \ldots, 0} x_i\)， 其中 \(x_i \in A_i^i\)。假设 \(n > 0\)。那么 \(x_n\) 属于 \(d_{A_n^\bullet}^n\) 的核，并且映到 \(H^n(A_{n - 1}^\bullet)\) 中的零， 因为它映到的元素在相差一个符号后是 \(x_{n - 1}\) 的边界。 由证明的第一段， \(x_n \bmod \Im(d^{n - 1}_{A_n^\bullet})\) 属于 \(H^n(A_{n + 1}^\bullet) \to H^n(A_n^\bullet)\) 的像。 因此可用一个边界修改 \(x\)，达到 \(x_n\) 是边界的情形。再修改一次 \(x\)， 可假设 \(x_n = 0\)。归纳可见，每个上同调类 \(\xi\) 都由余闭元 \(x = x_0\) 表示。最后，关于核的正合性条件告诉我们，两个这样的余闭元 \(x_0\) 与 \(x_0'\) 同调，当且仅当它们在 \(H^0(M^\bullet)\) 中的像相同。

引理

设 \(M^\bullet\) 为阿贝尔群的复形，并设 \[0 \to M^\bullet \to A_0^\bullet \to A_1^\bullet \to A_2^\bullet \to \ldots\] 为阿贝尔群复形组成的正合复形，并且对所有 \(p \in \mathbf{Z}\)，复形 \[0 \to \Coker(d_{M^\bullet}^p) \to \Coker(d_{A_0^\bullet}^p) \to \Coker(d_{A_1^\bullet}^p) \to \Coker(d_{A_2^\bullet}^p) \to \ldots\] 也正合。置 \(A^{p, q} = A_p^q\)，从而得到双复形。令 \(\text{Tot}_\pi(A^{\bullet, \bullet})\) 为关联于该双复形的积总复形 （见证明）。那么，由 \(M^\bullet \to A_0^\bullet\) 诱导的映射 \(M^\bullet \to \text{Tot}_\pi(A^{\bullet, \bullet})\) 是拟同构。

证明

简写 \(T^\bullet = \text{Tot}_\pi(A^{\bullet, \bullet})\)，定义 \[T^n = \prod\nolimits_{p + q = n} A^{p, q} = \prod\nolimits_{p + q = n} A_p^q \quad\text{其中}\quad \text{d}_{T^\bullet}^n = \prod\nolimits_{n = p + q} (f_p^q + (-1)^pd_{A_p^\bullet}^q)\] 其中 \(f_p^\bullet : A_p^\bullet \to A_{p + 1}^\bullet\) 是引理中的 复形态射。

我们将证明 \(H^0(M^\bullet) \to H^0(T^\bullet)\) 是同构。 相同论证适用于其他次数。令 \(x \in \Ker(\text{d}_{T^\bullet}^0)\) 代表 \(\xi \in H^0(T^\bullet)\)。写 \(x = (x_i)\)，其中 \(x_i \in A_i^{-i}\)。注意，\(x_0\) 在 \(\Coker(A_1^{-1} \to A_1^0)\) 中映为零。因此，对某个 \(m_0 \in M^0\) 与 \(y \in A_0^{-1}\)，有 \(x_0 = m_0 + d_{A_0^\bullet}^{-1}(y)\)。因为 \(\text{d}_{T^\bullet}(x) = 0\) 蕴含 \(\text{d}_{A_0^\bullet}(x_0) = 0\)，所以 \(d_{M^\bullet}(m_0) = 0\)。因此，从 \(\xi\) 中减去 \(H^0(M^\bullet) \to H^0(T^\bullet)\) 像内的某个元素后，可假设 \(x_0\) 属于 \(\Im(d^{-1}_{A_0^\bullet})\)。

假设 \(x_0 \in \Im(d^{-1}_{A_0^\bullet})\)。断言此时 \(\xi = 0\)。 为证明这一点，对 \(n\) 归纳寻找元素 \(y_0, y_1, \ldots, y_n\)，其中 \(y_i \in A_i^{-i - 1}\)，使得 \(x_0 = \text{d}_{A_0}^{-1}(y_0)\)，且当 \(j = 1, \ldots, n\) 时 \(x_j = f_{j - 1}^{-j}(y_{j - 1}) + (-1)^j d^{-j - 1}_{A_j^\bullet}(y_j)\)。 当 \(n = 0\) 时显然。证明归纳步骤：假设已经找到 \(y_0, \ldots, y_{n - 1}\)。那么 \(w_n = x_n - f_{n - 1}^{-n}(y_{n - 1})\) 属于 \(d^{-n}_{A_n^\bullet}\) 的核，并映到 \(H^{-n}(A_{n + 1}^\bullet)\) 中的零 （因为它映到的元素在相差一个符号后是 \(x_{n + 1}\) 的边界）。 完全如引理 09IZ 的证明，假设蕴含对所有 \(p \in \mathbf{Z}\)， \[0 \to H^p(M^\bullet) \to H^p(A_0^\bullet) \to H^p(A_1^\bullet) \to H^p(A_2^\bullet) \to \ldots\] 正合。因此，在用 \(\Ker(d^{n - 1}_{A_{n - 1}^\bullet})\) 中的元素修改 \(y_{n - 1}\) 后，可假设 \(w_n\) 在 \(H^{-n}(A_n^\bullet)\) 中映为零。 这意味着可以找到所需的 \(y_n\)。注意该过程不改变 \(y_0, \ldots, y_{n - 2}\)。因此无限继续下去，可在 \(T^{n - 1}\) 中找到 元素 \(y = (y_i)\)，使得 \(d_{T^\bullet}(y) = \xi\)。

这说明 \(H^0(M^\bullet) \to H^0(T^\bullet)\) 满射。

假设 \(m_0 \in \Ker(d^0_{M^\bullet})\) 在 \(H^0(T^\bullet)\) 中映为零。 设它映到对 \(y = (y_i) \in T^{-1}\) 施加微分所得的元素。 那么 \(y_0 \in A_0^{-1}\) 在 \(\Coker(d^{-2}_{A_1^\bullet})\) 中映为零。 由假设，这意味着 \(y_0 \bmod \Im(d^{-2}_{A_0^\bullet})\) 是某个 \(z \in M^{-1}\) 的像。于是 \(m_0 = d^{-1}_{M^\bullet}(z)\)。 这证明单射性，证明完成。

引理

设 \(M^\bullet\) 为阿贝尔群的复形，并设 \[\ldots \to A_2^\bullet \to A_1^\bullet \to A_0^\bullet \to M^\bullet \to 0\] 为阿贝尔群复形组成的正合复形。置 \(A^{p, q} = A_{-p}^q\)，从而得到 双复形。令 \(\text{Tot}_\pi(A^{\bullet, \bullet})\) 为关联于该双复形的 积总复形（见证明）。那么，由 \(A_0^\bullet \to M^\bullet\) 诱导的映射 \(\text{Tot}_\pi(A^{\bullet, \bullet}) \to M^\bullet\) 是拟同构。

证明

简写 \(T^\bullet = \text{Tot}_\pi(A^{\bullet, \bullet})\)，定义 \[T^n = \prod\nolimits_{p + q = n} A^{p, q} = \prod\nolimits_{p + q = n} A_{-p}^q \quad\text{其中}\quad \text{d}_{T^\bullet}^n = \prod\nolimits_{n = p + q} (f_{-p}^q + (-1)^pd_{A_{-p}^\bullet}^q)\] 其中 \(f_p^\bullet : A_p^\bullet \to A_{p - 1}^\bullet\) 是引理中的 复形态射。先证明当 \(M^\bullet\) 为零复形时，\(T^\bullet\) 无环。 下面的技巧说明这已足够。置 \(B_n^\bullet = A_{n + 1}^\bullet\) 及 \(B_0^\bullet = M^\bullet\)。那么有如引理中的正合列 \[\ldots \to B_2^\bullet \to B_1^\bullet \to B_0^\bullet \to 0 \to 0\] 令 \(S^\bullet = \text{Tot}_\pi(B^{\bullet, \bullet})\)。于是有显然的 复形短正合列 \[0 \to M^\bullet \to S^\bullet \to T^\bullet[1] \to 0\] 再由长正合上同调列得到结论。略去一些细节。

假设 \(M^\bullet = 0\)。我们将证明 \(H^0(T^\bullet) = 0\)。 相同论证适用于其他次数。令 \(x =(x_n) \in \Ker(d_{T^\bullet})\) 映到 \(\xi \in H^0(T^\bullet)\)， 其中 \(x_n \in A^{-n, n} = A_n^n\)。由于 \(M^0 = 0\)，可得对某个 \(y_0 \in A_1^0\) 有 \(x_0 = f_1^0(y_0)\)。于是 \(x_1 - d^0_{A_1^\bullet}(y_0) = f_2^1(y_1)\)，因为 \(x\) 是余闭元， 故它被 \(f_1^1\) 映为零；这里某个 \(y_1 \in A_2^1\)。 继续归纳，找到 \(y = (y_i) \in T^{-1}\)，使得 \(d_{T^\bullet}(y) = x\)，正如所需。

内射对象

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。若对每个单射态射 \(A \hookrightarrow B\) 及每个态射 \(A \to J\)，都存在使下图交换的态射 \(B \to J\)，则称对象 \(J \in \Ob(\mathcal{A})\) 内射： \[\xymatrix{ A \ar[r] \ar[d] & B \ar@{-->}[ld] \\ J & }\]

下面给出不可缺少的内射对象刻画。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \(I\) 为 \(\mathcal{A}\) 的对象。 下列条件等价：

1. 对象 \(I\) 内射。

2. 函子 \(B \mapsto \Hom_\mathcal{A}(B, I)\) 正合。

3. \(\mathcal{A}\) 中任意短正合列 \[0 \to I \to A \to B \to 0\] 都分裂。

4. 对所有 \(B \in \Ob(\mathcal{A})\)，均有 \(\Ext_\mathcal{A}(B, I) = 0\)。

证明

略。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。假设 \(I_\omega\)（\(\omega \in \Omega\)）是 \(\mathcal{A}\) 的一族内射对象。 若 \(\prod_{\omega \in \Omega} I_\omega\) 存在，则它内射。

证明

略。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。若每个对象 \(A\) 都有一个进入某个内射对象 \(J\) 的单射态射 \(A \to J\)，则称 \(\mathcal{A}\) 有足够多的内射对象。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。若存在函子 \[J : \mathcal{A} \longrightarrow \text{Arrows}(\mathcal{A})\] 满足

1. \(s \circ J = \text{id}_\mathcal{A}\)；

2. 对任意对象 \(A \in \Ob(\mathcal{A})\)，态射 \(J(A)\) 是单射态射；

3. 对任意对象 \(A \in \Ob(\mathcal{A})\)，对象 \(t(J(A))\) 是 \(\mathcal{A}\) 的内射对象，

则称 \(\mathcal{A}\) 具有函子性内射嵌入。我们将这样的函子记作 \(A \mapsto (A \to J(A))\)。

投射对象

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。若对每个满射态射 \(A \rightarrow B\) 及每个态射 \(P \to B\)，都存在使下图交换的态射 \(P \to A\)，则称对象 \(P \in \Ob(\mathcal{A})\) 投射： \[\xymatrix{ A \ar[r] & B \\ P \ar@{-->}[u] \ar[ru] & }\]

下面给出不可缺少的投射对象刻画。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，并设 \(P\) 为 \(\mathcal{A}\) 的对象。 下列条件等价：

1. 对象 \(P\) 投射。

2. 函子 \(B \mapsto \Hom_\mathcal{A}(P, B)\) 正合。

3. \(\mathcal{A}\) 中任意短正合列 \[0 \to A \to B \to P \to 0\] 都分裂。

4. 对所有 \(A \in \Ob(\mathcal{A})\)，均有 \(\Ext_\mathcal{A}(P, A) = 0\)。

证明

略。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。假设 \(P_\omega\)（\(\omega \in \Omega\)）是 \(\mathcal{A}\) 的一族投射对象。 若 \(\coprod_{\omega \in \Omega} P_\omega\) 存在，则它投射。

证明

略。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。若每个对象 \(A\) 都有一个从某个投射对象 \(P\) 出发到它的满射态射 \(P \to A\)，则称 \(\mathcal{A}\) 有足够多的投射对象。

定义

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴。若存在函子 \[P : \mathcal{A} \longrightarrow \text{Arrows}(\mathcal{A})\] 满足

1. \(t \circ P = \text{id}_\mathcal{A}\)；

2. 对任意对象 \(A \in \Ob(\mathcal{A})\)，态射 \(P(A)\) 是满射态射；

3. 对任意对象 \(A \in \Ob(\mathcal{A})\)，对象 \(s(P(A))\) 是 \(\mathcal{A}\) 的投射对象，

则称 \(\mathcal{A}\) 具有函子性投射满射。我们将这样的函子记作 \(A \mapsto (P(A) \to A)\)。

内射对象与伴随函子

下面给出关于伴随函子及其与内射对象之关系的若干引理。亦见引理 03A3。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 与 \(\mathcal{B}\) 为阿贝尔范畴，并设 \(u : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 与 \(v : \mathcal{B} \to \mathcal{A}\) 为加性函子，其中 \(u\) 是 \(v\) 的右伴随。 考虑下列条件：

1. \(v\) 把单射态射变为单射态射；

2. \(v\) 正合；

3. \(u\) 把内射对象变为内射对象。

那么 (a) \(\Leftrightarrow\) (b) \(\Rightarrow\) (c)。若 \(\mathcal{A}\) 有足够多的内射对象，则三个条件全都等价。

证明

注意，作为左伴随，\(v\) 右正合（范畴论，引理 0039）。结合引理 010N， 这解释了为何 (a) \(\Leftrightarrow\) (b)。

假设 (a)。设 \(I\) 为 \(\mathcal{A}\) 的内射对象， \(\varphi : N \to M\) 为 \(\mathcal{B}\) 中的单射态射，并设 \(\alpha : N \to uI\) 为态射。由伴随性得到态射 \(\alpha : vN \to I\)，而由假设，\(v\varphi : vN \to vM\) 是单射态射。 由于 \(I\) 内射，得到延拓 \(\alpha\) 的态射 \(\beta : vM \to I\)。 再次由伴随性，它对应于延拓 \(\alpha\) 的态射 \(\beta : M \to uI\)。 故 (c) 成立。

假设 \(\mathcal{A}\) 有足够多的内射对象且 (c) 成立。设 \(f : B \to B'\) 为 \(\mathcal{B}\) 中的单态射，并令 \(A = \Ker(v(f))\)。选取到内射对象 \(I\) 的单态射 \(g : A \to I\) （由假设它存在）。那么 \(g\) 延拓为 \(g' : v(B) \to I\)，由伴随得到 态射 \(B \to u(I)\)。由于 \(u(I)\) 内射，该态射延拓为 \(h : B' \to u(I)\)；由伴随得到延拓 \(g'\) 的态射 \(k : v(B') \to I\)。但此时 \(k\) “延拓” \(g\)；由于 \(g\) 是单态射， 这迫使 \(A = 0\)。故 (a) 成立。

注

设 \(R \to S\) 为环同态。令 \(u : \text{Mod}_S \to \text{Mod}_R\) 由 \(u(N) = N_R\) 给出，令 \(v : \text{Mod}_R \to \text{Mod}_S\) 由 \(v(M) = M \otimes_R S\) 给出。那么 \(u\) 是 \(v\) 的右伴随，且 \(u\) 正合、\(v\) 右正合。但一般而言，引理 015Z 的条件 (a)、(b)、(c) 并不成立。 例如，若 \(R = \mathbf{Z}\)、\(S = \mathbf{Z}/p\mathbf{Z}\)，则内射 \(S\)-模 \(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}\) 不是内射 \(\mathbf{Z}\)-模。 事实上，该引理表明，所有内射 \(S\)-模作为 \(R\)-模都内射，当且仅当 \(R \to S\) 是平坦环同态。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 与 \(\mathcal{B}\) 为阿贝尔范畴，并设 \(u : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 与 \(v : \mathcal{B} \to \mathcal{A}\) 为加性函子。假设

1. \(u\) 是 \(v\) 的右伴随；

2. \(v\) 把单射态射变为单射态射；

3. \(\mathcal{A}\) 有足够多的内射对象；

4. 对任意 \(B \in \Ob(\mathcal{B})\)，\(vB = 0\) 蕴含 \(B = 0\)。

那么 \(\mathcal{B}\) 有足够多的内射对象。

证明

取 \(B \in \Ob(\mathcal{B})\)。取到 \(\mathcal{A}\) 的某个内射对象 \(I\) 的单射态射 \(vB \to I\)。由引理 015Z 与各假设，相应映射 \(B \to uI\) 是把 \(B\) 嵌入内射对象的单射态射。

注

设 \(\mathcal{A}\)、\(\mathcal{B}\)、\(u : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 与 \(v : \mathcal{B} \to \mathcal{A}\) 如引理 0160。在条件 (1) 与 (2) 下，条件 (4) 等价于 \(v\) 忠实。而且，条件 (4) 是必要的。一个例子是函子 \(u\) 与 \(v\) 都为零函子的情形。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 与 \(\mathcal{B}\) 为阿贝尔范畴，并设 \(u : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 与 \(v : \mathcal{B} \to \mathcal{A}\) 为加性函子。假设

1. \(u\) 是 \(v\) 的右伴随；

2. \(v\) 把单射态射变为单射态射；

3. \(\mathcal{A}\) 有足够多的内射对象；

4. 对任意 \(B \in \Ob(\mathcal{B})\)，\(vB = 0\) 蕴含 \(B = 0\)；

5. \(\mathcal{A}\) 具有函子性内射嵌入。

那么 \(\mathcal{B}\) 具有函子性内射嵌入。

证明

设 \(A \mapsto (A \to J(A))\) 是 \(\mathcal{A}\) 上的函子性内射嵌入。 那么 \(B \mapsto (B \to uJ(vB))\) 是 \(\mathcal{B}\) 上的函子性内射嵌入。 与引理 0160 的证明比较。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 与 \(\mathcal{B}\) 为阿贝尔范畴，并设 \(u : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 为函子。若存在子集 \(\mathcal{P} \subset \Ob(\mathcal{B})\)，使得

1. \(\mathcal{B}\) 的每个对象都是 \(\mathcal{P}\) 中某个元素的商；

2. 对每个 \(P \in \mathcal{P}\)，存在 \(\mathcal{A}\) 的对象 \(Q\)， 使得关于 \(A\) 函子性地有 \(\Hom_\mathcal{A}(Q, A) = \Hom_\mathcal{B}(P, u(A))\)，

则 \(u\) 存在左伴随 \(v\)。

证明

由 Yoneda 引理（范畴论，引理 001P）， 对应于 \(P\) 的 \(\mathcal{A}\) 的对象 \(Q\) 由公式 \(\Hom_\mathcal{A}(Q, A) = \Hom_\mathcal{B}(P, u(A))\) 在唯一同构意义下 确定。写 \(Q = v(P)\)。用 \(i_P : P \to u(v(P))\) 表示 \(\Hom_\mathcal{A}(v(P), v(P))\) 中 \(\text{id}_{v(P)}\) 对应的映射。 (2) 中的函子性蕴含该双射由 \[\Hom_\mathcal{A}(v(P), A) \to \Hom_\mathcal{B}(P, u(A)),\quad \varphi \mapsto u(\varphi) \circ i_P\] 给出。对任意一对元素 \(P_1, P_2 \in \mathcal{P}\)，存在典范映射 \[\Hom_\mathcal{B}(P_2, P_1) \to \Hom_\mathcal{A}(v(P_2), v(P_1)),\quad \varphi \mapsto v(\varphi)\] 其特征规则是在 \(\Hom_\mathcal{B}(P_2, u(v(P_1)))\) 中有 \(u(v(\varphi)) \circ i_{P_2} = i_{P_1} \circ \varphi\)。 注意 \(\varphi \mapsto v(\varphi)\) 与复合相容；这可直接由该特征看出。 因此 \(P \mapsto v(P)\) 是从 \(\mathcal{B}\) 中以 \(\mathcal{P}\) 的元素为 对象的全子范畴出发的函子。

给定 \(\mathcal{B}\) 的任意对象 \(B\)，选择正合列 \[P_2 \to P_1 \to B \to 0\] 这由假设 (1) 可行。把 \(v(B)\) 定义为适合正合列 \[v(P_2) \to v(P_1) \to v(B) \to 0\] 的 \(\mathcal{A}\) 的对象。那么 \[\begin{align*} \Hom_\mathcal{A}(v(B), A) & = \Ker(\Hom_\mathcal{A}(v(P_1), A) \to \Hom_\mathcal{A}(v(P_2), A)) \\ & = \Ker(\Hom_\mathcal{B}(P_1, u(A)) \to \Hom_\mathcal{B}(P_2, u(A))) \\ & = \Hom_\mathcal{B}(B, u(A)) \end{align*}\] 因此可取 \(\mathcal{P} = \Ob(\mathcal{B})\)；也就是说，\(v\) 处处有定义。

本质常值系统

本节讨论取值于加性范畴的本质常值系统。

引理

设 \(\mathcal{I}\) 为范畴，\(\mathcal{A}\) 为预加性 Karoubian 范畴，并设 \(M : \mathcal{I} \to \mathcal{A}\) 为图式。

1. 假设 \(\mathcal{I}\) 是滤过的。下列条件等价：

   1. \(M\) 本质常值；

   2. \(X = \colim M\) 存在，且存在余终滤过子范畴 \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{I}\)，使得对 \(i' \in \Ob(\mathcal{I}')\) 有直和分解 \(M_{i'} = X_{i'} \oplus Z_{i'}\)，其中 \(X_{i'}\) 同构地映到 \(X\)， 而对 \(\mathcal{I}'\) 中的某个 \(i' \to i''\)，\(Z_{i'}\) 在 \(M_{i''}\) 中的像为零。

2. 假设 \(\mathcal{I}\) 是余滤过的。下列条件等价：

   1. \(M\) 本质常值；

   2. \(X = \lim M\) 存在，且存在共始余滤过子范畴 \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{I}\)，使得对 \(i' \in \Ob(\mathcal{I}')\) 有直和分解 \(M_{i'} = X_{i'} \oplus Z_{i'}\)，其中 \(X\) 同构地映到 \(X_{i'}\)，而对 \(\mathcal{I}'\) 中的某个 \(i'' \to i'\)， \(M_{i''} \to Z_{i'}\) 为零。

证明

假设 (1)(a) 成立，即 \(\mathcal{I}\) 是滤过的且 \(M\) 本质常值。 令 \(X = \colim M_i\)。按《范畴》，定义 05PU 选取 \(i\) 与 \(X \to M_i\)。令 \(\mathcal{I}'\) 为如下对象所组成的全子范畴： 它们都是以 \(i\) 为源的某个态射的靶。设 \(i' \in \Ob(\mathcal{I}')\)，并选取态射 \(i \to i'\)。 那么 \(X \to M_i \to M_{i'}\) 与 \(M_{i'} \to X\) 的复合是 \(X\) 上的恒等态射。由于 \(\mathcal{A}\) 是 Karoubian 范畴，可得直和分解 \(M_{i'} = X_{i'} \oplus Z_{i'}\)，其中 \(Z_{i'} = \Ker(M_{i'} \to X)\)，且 \(X_{i'}\) 同构地映到 \(X\)。 按《范畴》，定义 05PU，选取 \(i \to k\) 与 \(i' \to k\)，使 \(M_{i'} \to X \to M_i \to M_k\) 等于 \(M_{i'} \to M_k\)。 于是 \(M_{i'} \to M_k\) 在 \(Z_{i'}\) 上为零。因此 (1)(b) 成立。

假设 (1)(b) 成立，即 \(\mathcal{I}\) 是滤过的，并且有 \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{I}\) 以及对 \(i' \in \Ob(\mathcal{I}')\) 的直和分解 \(M_{i'} = X_{i'} \oplus Z_{i'}\)，满足引理所述条件。为证明 \(M\) 本质常值，可把 \(\mathcal{I}\) 换成 \(\mathcal{I}'\)；见 《范畴》，引理 0A1S。 任取 \(i \in \Ob(\mathcal{I})\)，以 \(X \to M_i\) 表示同构 \(X_i \to X\) 的逆与包含映射 \(X_i \to M_i\) 的复合。若 \(j\) 是另一对象， 则选取 \(j \to k\)，使 \(Z_j \to M_k\) 为零。由于 \(\mathcal{I}\) 是滤过的，在必要时增大 \(k\) 后，还可假设存在态射 \(i \to k\)。于是 \(M_j \to X \to M_i \to M_k\) 与 \(M_j \to M_k\) 都在 \(Z_j\) 上为零。再后复合一个使直和项 \(Z_k\) 为零的态射 \(M_k \to M_l\)，便得到 \(M_j \to X \to M_i \to M_l\) 与 \(M_j \to M_l\) 相等；也就是说， \(M\) 本质常值。

(2) 的证明与之对偶。

引理

设 \(\mathcal{I}\) 为范畴，\(\mathcal{A}\) 为加性 Karoubian 范畴，并设 \(F : \mathcal{I} \to \mathcal{A}\) 与 \(G : \mathcal{I} \to \mathcal{A}\) 为函子。下列条件等价：

1. \(\colim_\mathcal{I} F \oplus G\) 存在；

2. \(\colim_\mathcal{I} F\) 与 \(\colim_\mathcal{I} G\) 均存在。

在这种情形下， \(\colim_\mathcal{I} F \oplus G = \colim_\mathcal{I} F \oplus \colim_\mathcal{I} G\)。

证明

假设 (1) 成立。令 \(W = \colim_\mathcal{I} F \oplus G\)。 注意，到 \(F\) 上的投影定义了幂等自然变换 \(F \oplus G \to F \oplus G\)。因此由《范畴》，引理 002K，得到幂等自同态 \(W \to W\)。由于 \(\mathcal{A}\) 是 Karoubian 范畴，得到相应的直和分解 \(W = X \oplus Y\)；见引理 09SH。一个直接的论证 （略去）表明 \(X = \colim_\mathcal{I} F\) 且 \(Y = \colim_\mathcal{I} G\)。故 (2) 成立。我们略去 (2) 蕴含 (1) 的证明。

引理

设 \(\mathcal{I}\) 为滤过范畴，\(\mathcal{A}\) 为加性 Karoubian 范畴， 并设 \(F : \mathcal{I} \to \mathcal{A}\) 与 \(G : \mathcal{I} \to \mathcal{A}\) 为函子。下列条件等价：

1. \(F \oplus G : \mathcal{I} \to \mathcal{A}\) 本质常值；

2. \(F\) 与 \(G\) 都本质常值。

证明

假设 (1) 成立。特别地， \(W = \colim_\mathcal{I} F \oplus G\) 存在，因而由引理 0A2F，有 \(W = X \oplus Y\)，其中 \(X = \colim_\mathcal{I} F\) 且 \(Y = \colim_\mathcal{I} G\)。例如利用《范畴》，引理 05PY 中的刻画，一个直接的论证（略去）表明 \(F\) 以 \(X\) 为值本质常值， 而 \(G\) 以 \(Y\) 为值本质常值。故 (2) 成立。略去 (2) 蕴含 (1) 的证明。

逆系统

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。在《范畴》，第 002Z 节中，我们定义了预序集上的 （取值于范畴 \(\mathcal{C}\) 的）逆系统。若该预序集是带通常次序的 \(\mathbf{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}\)，则 \(\mathbf{N}\) 上的这种逆系统 通常简称为逆系统。它无非由一对 \((M_i, f_{ii'})\) 构成，其中对每个 \(i \in \mathbf{N}\)，\(M_i\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象；并且对每个 \(i > i'\)，\(i, i' \in \mathbf{N}\)，都有态射 \(f_{ii'} : M_i \to M_{i'}\)，还要求在复合有意义时 \(f_{i'i''} \circ f_{ii'} = f_{ii''}\)。显然，实际上只需给出态射 \(M_2 \to M_1\)、\(M_3 \to M_2\)，依此类推。因此逆系统经常画成 \[M_1 \xleftarrow{\varphi_2} M_2 \xleftarrow{\varphi_3} M_3 \leftarrow \ldots\] 此外，我们常从记号中省去转移映射 \(\varphi_i\)，而只说 “设 \((M_i)\) 为逆系统”。

所有取值于 \(\mathcal{C}\) 的逆系统在显然的态射概念下构成范畴。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 为范畴。

1. 若 \(\mathcal{C}\) 是加性范畴，则取值于 \(\mathcal{C}\) 的逆系统范畴 是加性范畴。

2. 若 \(\mathcal{C}\) 是阿贝尔范畴，则取值于 \(\mathcal{C}\) 的逆系统 范畴是阿贝尔范畴。逆系统的序列 \((K_i) \to (L_i) \to (M_i)\) 正合，当且仅当每个

   \(K_i \to L_i \to N_i\) 都正合。

证明

略。

这种逆系统的极限（见《范畴》，第 002Z 节）记为 \(\lim M_i\) 或 \(\lim_i M_i\)。若 \(\mathcal{C}\) 是阿贝尔群（或集合）的范畴，则极限 总是存在，并且实际上可描述为 \[\lim_i M_i = \{(x_i) \in \prod M_i \mid \varphi_i(x_i) = x_{i - 1}, \ i = 2, 3, \ldots\}\] 参见《范畴》，第 002U 节。然而，给定 阿贝尔群逆系统的短正合列 \[0 \to (A_i) \to (B_i) \to (C_i) \to 0\] 相应的极限列并不总是正合。为进一步讨论这一问题，引入如下概念。

定义

设 \(\mathcal{C}\) 为阿贝尔范畴。若对每个 \(i\) 都存在 \(c = c(i) \geq i\)，使得 \[\Im(A_k \to A_i) = \Im(A_c \to A_i)\] 对所有 \(k \geq c\) 成立，则称逆系统 \((A_i)\) 满足 Mittag-Leffler 条件，或简称为 ML。

事实表明，只要在阿贝尔群、某环上的模等所构成的阿贝尔范畴中工作， Mittag-Leffler 条件就足以保证 \(\lim\)-函子正合。A. Neeman 的一篇论文 （见 [Neeman-Counterexample]）表明，在具有 AB4*（即积正合）的 阿贝尔范畴中，该条件并不足够强。

引理

设 \[0 \to (A_i) \to (B_i) \to (C_i) \to 0\] 为阿贝尔群逆系统的短正合列。

1. 无论如何，序列 \[0 \to \lim_i A_i \to \lim_i B_i \to \lim_i C_i\] 是正合的。

2. 若 \((B_i)\) 是 ML，则 \((C_i)\) 也是 ML。

3. 若 \((A_i)\) 是 ML，则 \[0 \to \lim_i A_i \to \lim_i B_i \to \lim_i C_i \to 0\] 是正合的。

证明

这是一个很好的练习。关于 (3)，见《代数》，引理 03CA。

引理

设 \[(A_i) \to (B_i) \to (C_i) \to (D_i)\] 为阿贝尔群逆系统的正合列。若系统 \((A_i)\) 是 ML，则序列 \[\lim_i B_i \to \lim_i C_i \to \lim_i D_i\] 正合。

证明

令 \(Z_i = \Ker(C_i \to D_i)\) 且 \(I_i = \Im(A_i \to B_i)\)。 那么 \(\lim Z_i = \Ker(\lim C_i \to \lim D_i)\)，并且得到系统的短正合列 \[0 \to (I_i) \to (B_i) \to (Z_i) \to 0\] 此外，由引理 02N1 可知 \((I_i)\) 具有 (ML)； 再次应用引理 02N1，便知 \(\lim B_i \to \lim Z_i\) 满射，从而证明引理。

下述对本质常值逆系统的刻画特别表明它们具有 ML。

引理

设 \(\mathcal{A}\) 为阿贝尔范畴，\((A_i)\) 为 \(\mathcal{A}\) 中的逆系统， 其极限为 \(A = \lim A_i\)。那么 \((A_i)\) 本质常值（见《范畴》，定义 05PU），当且仅当存在 某个 \(i\)，使得对所有 \(j \geq i\) 都有直和分解 \(A_j = A \oplus Z_j\)，并且：(a) 映射 \(A_{j'} \to A_j\) 与这些直和分解 相容；(b) 对所有 \(j\)，存在某个 \(j' \geq j\)，使 \(Z_{j'} \to Z_j\) 为零。

证明

假设 \((A_i)\) 本质常值。那么存在某个 \(i\) 以及态射 \(A_i \to A\)，使 \(A \to A_i \to A\) 为恒等态射；并且对所有 \(j \geq i\)，存在 \(j' \geq j\)，使 \(A_{j'} \to A_j\) 分解为 \(A_{j'} \to A_i \to A \to A_j\)（最后一个映射来自 \(A = \lim A_i\)）。于是，对所有 \(j \geq i\) 令 \(Z_j = \Ker(A_j \to A)\) 即可。略去逆命题的证明。

我们将在《更多代数》，引理 0CQB 中改进下述引理。

引理

设 \[0 \to (A_i) \to (B_i) \to (C_i) \to 0\] 为阿贝尔群逆系统的正合列。若 \((C_i)\) 本质常值，则 \((A_i)\) 具有 ML 当且仅当 \((B_i)\) 具有 ML。

证明

重新编号后，可假设 \(C_i = C \oplus Z_i\)，该分解与转移映射相容， 并且对所有 \(i\) 都存在 \(i' \geq i\)，使 \(Z_{i'} \to Z_i\) 为零； 见引理 070C。

先假设 \(C = 0\)，即 \(C_i = Z_i\)。在这种情形下，选取 \(1 = n_1 < n_2 < n_3 < \ldots\)，使 \(Z_{n_{i + 1}} \to Z_{n_i}\) 为零。于是 \(B_{n_{i + 1}} \to B_{n_i}\) 通过 \(A_{n_i} \subset B_{n_i}\) 分解。 因此，当 \(j \geq i + 1\) 时，在 \(A_{n_i}\) 中有 \[\Im(A_{n_j} \to A_{n_i}) \subset \Im(B_{n_j} \to B_{n_i}) \subset \Im(A_{n_{j - 1}} \to A_{n_i})\] 所以当 \(j \geq i + 1\) 时，像 \(\Im(A_{n_j} \to A_{n_i})\) 稳定， 当且仅当像 \(\Im(B_{n_j} \to B_{n_i})\) 稳定。所需等价性由此推出 （略去一个小细节）。

若 \(C \not = 0\)，以 \(B'_i \subset B_i\) 表示映射 \(B_i \to C \oplus Z_i\) 下 \(C\) 的逆像。由前一段可知，\((B'_i)\) 具有 ML 当且仅当 \((B_i)\) 具有 ML。因此可用 \((B'_i)\) 替换 \((B_i)\)。此时，对所有 \(i\) 都有正合列 \(0 \to A_i \to B_i \to C \to 0\)。由此，对所有 \(j \geq i\)， \[0 \to \Im(A_j \to A_i) \to \Im(B_j \to B_i) \to C \to 0\] 均为短正合列。故当 \(j \geq i\) 时，像 \(\Im(A_j \to A_i)\) 稳定，当且仅当像 \(\Im(B_j \to B_i)\) 稳定，正如所需。

下述引理的“正确”版本见《更多代数》，引理 0918。

引理

设 \[(A^{-2}_i \to A^{-1}_i \to A^0_i \to A^1_i)\] 为阿贝尔群复形的逆系统，并以 \(A^{-2} \to A^{-1} \to A^0 \to A^1\) 表示其极限。以 \((H_i^{-1})\)、\((H_i^0)\) 表示各上同调所成的逆系统，并以 \(H^{-1}\)、\(H^0\) 表示复形 \(A^{-2} \to A^{-1} \to A^0 \to A^1\) 的上同调。若 \((A^{-2}_i)\) 与 \((A^{-1}_i)\) 是 ML，且 \((H^{-1}_i)\) 本质常值，则 \(H^0 = \lim H_i^0\)。

证明

令 \(Z^j_i = \Ker(A^j_i \to A^{j + 1}_i)\) 且 \(I^j_i = \Im(A^{j - 1}_i \to A^j_i)\)。注意 \(\lim Z^0_i = \Ker(\lim A^0_i \to \lim A^1_i)\)，因为取核与极限可交换。 系统 \((I^{-1}_i)\) 与 \((I^0_i)\) 作为系统 \((A^{-2}_i)\) 与 \((A^{-1}_i)\) 的商而具有 ML；见引理 02N1。 因而有逆系统的正合列 \[0 \to (I^{-1}_i) \to (Z^{-1}_i) \to (H^{-1}_i) \to 0\] 其中 \((I^{-1}_i)\) 具有 ML，而 \((H^{-1}_i)\) 依假设本质常值。 故由引理 070D，\((Z^{-1}_i)\) 具有 ML。 正合列 \[0 \to (Z^{-1}_i) \to (A^{-1}_i) \to (I^0_i) \to 0\] 以及引理 02N1 的一次应用表明 \(\lim A^{-1}_i \to \lim I^0_i\) 满射。最后，正合列 \[0 \to (I^0_i) \to (Z^0_i) \to (H^0_i) \to 0\] 和引理 02N1 表明 \(\lim I^0_i \to \lim Z^0_i \to \lim H^0_i \to 0\) 正合。 综合起来即得结论。

有时我们需要上述引理在大序数上取极限的版本。

引理

设 \(\alpha\) 为序数，并设 \(K_\beta^\bullet\)，\(\beta < \alpha\)， 为 \(\alpha\) 上的阿贝尔群复形逆系统。若对所有 \(\beta < \alpha\)，复形 \(K_\beta^\bullet\) 都无环，且映射 \[K^n_\beta \longrightarrow \lim_{\gamma < \beta} K^n_\gamma\] 满射，则复形 \(\lim_{\beta < \alpha} K_\beta^\bullet\) 无环。

证明

用超限归纳证明，对每个序数 \(\alpha\) 以及引理所述的每个系统，结论均 成立。特别地，在证明关于 \(\alpha\) 的结论时，可以假设复形

\(\lim_{\gamma < \beta} K^n_\gamma\) 无环。

设 \(x \in \lim_{\beta < \alpha} K^0_\beta\) 且 \(\text{d}(x) = 0\)。我们要找 \(y \in \lim_{\beta < \alpha} K^{-1}_\beta\)，使 \(\text{d}(y) = x\)。写 \(x = (x_\beta)\)，其中对 \(\beta < \alpha\)，\(x_\beta \in K_\beta^0\) 是 \(x\) 的像。 我们将用超限递归构造 \(y = (y_\beta)\)。

当 \(\beta = 0\) 时，任取 \(y_0 \in K_0^{-1}\)，使 \(\text{d}(y_0) = x_0\)。

当 \(\beta = \gamma + 1\) 为后继序数时，要找元素 \(y_\beta\)，使它在转移 映射 \(f : K^\bullet_\beta \to K^\bullet_\gamma\) 下映到 \(y_\gamma\)，并在微分下映到 \(x_\beta\)。作为第一次近似，选取 \(y'_\beta\)，使 \(\text{d}(y'_\beta) = x_\beta\)。于是差 \(y_\gamma - f(y'_\beta)\) 位于微分的核中，故等于 \(\text{d}(z_\gamma)\)，其中某个 \(z_\gamma \in K^{-2}_\gamma\)。 由假设，映射 \(f^{-2} : K^{-2}_\beta \to K^{-2}_\gamma\) 满射。 因而可写 \(z_\gamma = f(z_\beta)\)，并把 \(y'_\beta\) 改为 \(y_\beta = y'_\beta + \text{d}(z_\beta)\)，这便满足要求。

若 \(\beta\) 是极限序数，则有 \(\lim_{\gamma < \beta} K^{-1}_\gamma\) 中的元素 \((y_\gamma)_{\gamma < \beta}\)，其微分是 \(x_\beta\) 的像。因此可与上面 完全同样地论证：使用逐项满射的复形映射 \(f : K_\beta^\bullet \to \lim_{\gamma < \beta} K_\gamma^\bullet\)， 以及由归纳可假设 \(\lim_{\gamma < \beta} K_\gamma^\bullet\) 无环这一事实（见证明第一段）。

积的正合性

引理

设 \(I\) 为集合。对 \(i \in I\)，设 \(L_i \to M_i \to N_i\) 为阿贝尔群 复形，并设 \(H_i = \Ker(M_i \to N_i)/\Im(L_i \to M_i)\) 为其同调。 那么 \[\prod L_i \to \prod M_i \to \prod N_i\] 是阿贝尔群复形，其同调为 \(\prod H_i\)。

证明

略。