概形的极限 · Stacks

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引言

本章汇集与概形极限有关的材料。我们主要研究以有向集（《范畴》定义 00D3）为指标、过渡态射为仿射态射的逆系之极限。我们讨论绝对 Noether 逼近。我们把基上局部有限呈示概形刻画为如下概形：其相伴点函子保持极限。作为绝对 Noether 逼近的一个应用，我们证明整态射下仿射概形的像是仿射的。此外，我们证明 Chow 引理的一些非常一般的变体。基础参考文献是 [EGA]。

带仿射过渡态射的概形有向极限

本节构造这种极限。

引理

设 \(I\) 为有向集。设 \((S_i, f_{ii'})\) 为以 \(I\) 为指标的概形逆系。如果所有概形 \(S_i\) 都是仿射的，那么极限 \(S = \lim_i S_i\) 在概形范畴中存在。事实上，\(S\) 是仿射的，并且 \(S = \Spec(\colim_i R_i)\)，其中 \(R_i = \Gamma(S_i, \mathcal{O})\)。

证明

直接定义 \(S = \Spec(\colim_i R_i)\)。由《概形》引理 01I1，可知 \(S\) 即使在局部环空间范畴中也是该极限。

引理

设 \(I\) 为有向集。设 \((S_i, f_{ii'})\) 为以 \(I\) 为指标的概形逆系。如果所有态射 \(f_{ii'} : S_i \to S_{i'}\) 都是仿射的，那么极限 \(S = \lim_i S_i\) 在概形范畴中存在。此外：

每个态射 \(f_i : S \to S_i\) 都是仿射的；

对元素 \(0 \in I\) 以及任意开子概形 \(U_0 \subset S_0\)，有 \[f_0^{-1}(U_0) = \lim_{i \geq 0} f_{i0}^{-1}(U_0)\] 这是概形范畴中的等式。

证明

选取元素 \(0 \in I\)。注意，\(I\) 非空，因为所述极限是有向的。对每个 \(i \geq 0\)，考虑拟相干 \(\mathcal{O}_{S_0}\)-代数层 \(\mathcal{A}_i = f_{i0, *}\mathcal{O}_{S_i}\)。回忆， \(S_i = \underline{\Spec}_{S_0}(\mathcal{A}_i)\)，见《态射》引理 01S8。置 \(\mathcal{A} = \colim_{i \geq 0} \mathcal{A}_i\)。这是拟相干 \(\mathcal{O}_{S_0}\)-代数层，见《概形》01LA 节。置 \(S = \underline{\Spec}_{S_0}(\mathcal{A})\)。由《态射》引理 01SA，对于 \(i \geq 0\)，得到与过渡态射相容的态射 \(f_i : S \to S_i\)。例如，由《态射》引理 01SG，这些态射 \(f_i\) 是仿射的。由上面的引理 01YW，可知对于任意仿射开集 \(U_0 \subset S_0\)，逆像 \(U = f_0^{-1}(U_0) \subset S\) 是开集逆系 \(U_i = f_{i0}^{-1}(U_0)\)（\(i \geq 0\)）在概形范畴中的极限。

设 \(T\) 为概形。设 \(g_i : T \to S_i\) 为相容态射系。为了证明 \(S = \lim_i S_i\)，须证存在唯一态射 \(g : T \to S\)，使得都有 \(g_i = f_i \circ g\)，这是对所有 \(i \in I\)。对每个 \(t \in T\)，存在仿射开集 \(U_0 \subset S_0\)，它包含 \(g_0(t)\)。设 \(V \subset g_0^{-1}(U_0)\) 为包含 \(t\) 的仿射开邻域。由上述观察，得到唯一态射 \(g_V : V \to U = f_0^{-1}(U_0)\)，使得都有 \(f_i \circ g_V = g_i|_{U_i}\)，这是对所有 \(i\)。如此构造的开集 \(V \subset T\) 构成 \(T\) 的拓扑之一个基。由于唯一性，态射 \(g_V\) 黏合成态射 \(g : T \to S\)。这就给出了所需态射 \(g : T \to S\)。

最后一个陈述由上面的极限构造显然成立。

引理

设 \(I\) 为有向集。设 \((S_i, f_{ii'})\) 为以 \(I\) 为指标的概形逆系。假设所有态射 \(f_{ii'} : S_i \to S_{i'}\) 都是仿射的，令 \(S = \lim_i S_i\)。令 \(0 \in I\)。设 \(T\) 为 \(S_0\) 上概形。则 \[T \times_{S_0} S = \lim_{i \geq 0} T \times_{S_0} S_i\]

证明

由引理 01YX，右端是概形。该等式是形式的，见《范畴》引理 002M。

无限乘积

概形的无限乘积通常不存在。例如，《例》078E 节证明了 \(\mathbf{P}^1\) 的无限多个副本之乘积甚至不是代数空间。

另一方面，仿射概形的无限乘积确实存在，并且仍为仿射概形。利用《概形》引理 01I1，这对应于环范畴中存在无限余积这一事实：若 \(I\) 是集合，且 \(R_i\) 对每个 \(i\) 都是环，那么可以考虑环 \[R = \otimes R_i = \colim_{\{i_1, \ldots, i_n\} \subset I} R_{i_1} \otimes_\mathbf{Z} \ldots \otimes_\mathbf{Z} R_{i_n}\] 给定另一个环 \(A\)，映射 \(R \to A\) 等同于给出一族环映射 \(R_i \to A\)（\(i \in I\)）；这由有限张量积的相应性质推出。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \(I\) 为集合，并且对每个 \(i \in I\)，设 \(f_i : T_i \to S\) 为仿射态射。则乘积 \(T = \prod T_i\) 在 \(S\) 上概形范畴中存在。事实上，有 \[T = \lim_{\{i_1, \ldots, i_n\} \subset I} T_{i_1} \times_S \ldots \times_S T_{i_n}\] 并且投影态射 \(T \to T_{i_1} \times_S \ldots \times_S T_{i_n}\) 是仿射的。

证明

略。提示：仿照引理前的讨论论证，并用引理 01YX 证明极限存在。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \(I\) 为集合，并且对每个 \(i \in I\)，设 \(f_i : T_i \to S\) 为满射仿射态射。则乘积 \(T = \prod T_i\) 在 \(S\) 上概形范畴中（引理 0CNI）满射到 \(S\)。

证明

设 \(s \in S\)。选取 \(t_i \in T_i\) 使其映到 \(s\)。选取足够大的域扩张 \(K/\kappa(s)\)，使得 \(\kappa(s_i)\) 嵌入 \(K\)，这是对每个 \(i\)。于是得到态射 \(\Spec(K) \to T_i\)，其像为 \(s_i\)，并且它们作为到 \(S\) 的态射彼此相同。因而得到态射 \(\Spec(K) \to T\)，这证明存在 \(T\) 中映到 \(s\) 的点。

引理

设 \(S\) 为概形。设 \(I\) 为集合，并且对每个 \(i \in I\)，设 \(f_i : T_i \to S\) 为整态射。则乘积 \(T = \prod T_i\) 在 \(S\) 上概形范畴中（引理 0CNI）在 \(S\) 上是整的。

证明

略。提示：在仿射片上，这归结为下述代数事实：若 \(A \to B_i\) 对所有 \(i\) 都是整的，则 \(A \to \otimes_A B_i\) 是整的。

性质的下降

先给出若干描述极限拓扑的基本引理。

引理

设 \(S = \lim S_i\) 是一个以仿射态射为过渡态射的概形有向逆系之极限（引理 01YX）。则 \(S_{set} = \lim_i S_{i, set}\)，其中 \(S_{set}\) 表示概形 \(S\) 的底集。

证明

选取 \(i \in I\)。取仿射开集 \(U_i \subset S_i\)。记 \(U_{i'} = f_{i'i}^{-1}(U_i)\) 以及 \(U = f_i^{-1}(U_i)\)。这里 \(f_{i'i} : S_{i'} \to S_i\) 是过渡态射，而 \(f_i : S \to S_i\) 是投影。由引理 01YX，有 \(U = \lim_{i' \geq i} U_i\)。假设可以证明 \(U_{set} = \lim_{i' \geq i} U_{i', set}\)。那么用 \(S_i\) 的一个仿射覆盖作简单论证，即可推出该引理。因此可以假设所有 \(S_i\) 以及 \(S\) 都是仿射的。这把问题化为下一段所考察的代数问题。

设给定环系 \((A_i, \varphi_{ii'})\)，其指标集为 \(I\)。置 \(A = \colim_i A_i\)，其典范映射为 \(\varphi_i : A_i \to A\)。则 \[\Spec(A) = \lim_i \Spec(A_i)\] 事实上，设给定素理想 \(\mathfrak p_i \subset A_i\)，且等式 \(\mathfrak p_i = \varphi_{ii'}^{-1}(\mathfrak p_{i'})\) 对所有 \(i' \geq i\) 都成立。只需置 \[\mathfrak p = \{x \in A \mid \exists i, x_i \in \mathfrak p_i \text{ 其中 }\varphi_i(x_i) = x\}\] 显然这是一个理想，并且满足 \(\varphi_i^{-1}(\mathfrak p) = \mathfrak p_i\)。由此也很容易看出它是素理想。

引理

设 \(S = \lim S_i\) 是一个以仿射态射为过渡态射的概形有向逆系之极限（引理 01YX）。则 \(S_{top} = \lim_i S_{i, top}\)，其中 \(S_{top}\) 表示概形 \(S\) 的底拓扑空间。

证明

我们使用《拓扑》引理 0A2Q 的判别准则。在引理 0CUE 中已经看到 \(S_{set} = \lim_i S_{i, set}\)。映射 \(f_i : S \to S_i\) 是概形态射，因而连续。因此，\(f_i^{-1}(U_i)\) 对每个开集 \(U_i \subset S_i\) 都是开集。最后，设 \(s \in S\)，并设 \(s \in V \subset S\) 是一个开邻域。选取 \(0 \in I\)，并选取仿射开邻域 \(U_0 \subset S_0\)，它包含 \(s\) 之像。于是 \(f_0^{-1}(U_0) = \lim_{i \geq 0} f_{i0}^{-1}(U_0)\)，见引理 01YX。此时 \(f_0^{-1}(U_0)\) 以及 \(f_{i0}^{-1}(U_0)\) 都是仿射的，并且 \[\mathcal{O}_S(f_0^{-1}(U_0)) = \colim_{i \geq 0} \mathcal{O}_{S_i}(f_{i0}^{-1}(U_0))\] 这可由引理 01YX 的证明得到，也可由引理 01YW 得到。选取 \(a \in \mathcal{O}_S(f_0^{-1}(U_0))\)，使得 \(s \in D(a) \subset V\)。这是可能的，因为主开集构成仿射概形 \(f_0^{-1}(U_0)\) 的拓扑之一个基。于是可以选取 \(i \geq 0\) 以及 \(a_i \in \mathcal{O}_{S_i}(f_{i0}^{-1}(U_0))\)，使后者映到 \(a\)。由此，\(D(a_i) \subset f_{i0}^{-1}(U_0) \subset S_i\) 是一个开子集，其在 \(S\) 中的逆像为 \(D(a)\)。证明完毕。

引理

设 \(S = \lim S_i\) 是一个以仿射态射为过渡态射的概形有向逆系之极限（引理 01YX）。如果所有概形 \(S_i\) 都非空且拟紧，那么极限 \(S = \lim_i S_i\) 非空。

证明

选取 \(0 \in I\)。注意，\(I\) 非空，因为所述极限是有向的。选取仿射开覆盖 \(S_0 = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\)。由于 \(I\) 是有向的，存在 \(j \in \{1, \ldots, m\}\)，使得 \(f_{i0}^{-1}(U_j) \not = \emptyset\) 对所有 \(i \geq 0\) 都成立。因此 \(\lim_{i \geq 0} f_{i0}^{-1}(U_j)\) 非空，因为非零环的有向余极限非零（这是由于 \(1 \not = 0\)）。由于 \(\lim_{i \geq 0} f_{i0}^{-1}(U_j)\) 是该极限的开子概形，故得证。

引理

设 \(S = \lim S_i\) 是一个以仿射态射为过渡态射的概形有向逆系之极限（引理 01YX）。设 \(s \in S\)，其像为 \(s_i \in S_i\)。则：

作为概形，\(s = \lim s_i\)，即 \(\kappa(s) = \colim \kappa(s_i)\)；

作为集合，\(\overline{\{s\}} = \lim \overline{\{s_i\}}\)；

作为概形，\(\overline{\{s\}} = \lim \overline{\{s_i\}}\)，其中 \(\overline{\{s\}}\) 以及 \(\overline{\{s_i\}}\) 都赋予约化诱导概形结构。

证明

选取 \(0 \in I\) 以及一个仿射开覆盖 \(S_0 = \bigcup_{j \in J} U_{0, j}\)。对 \(i \geq 0\)，令 \(U_{i, j} = f_{i, 0}^{-1}(U_{0, j})\)，并置 \(U_j = f_0^{-1}(U_{0, j})\)。这里 \(f_{i'i} : S_{i'} \to S_i\) 是过渡态射，而 \(f_i : S \to S_i\) 是投影。对 \(j \in J\)，下列条件等价： (a) \(s \in U_j\)；(b) \(s_0 \in U_{0, j}\)； (c) \(s_i \in U_{i, j}\) 对所有 \(i \geq 0\) 都成立。设 \(J' \subset J\) 是使 (a)、(b)、(c) 成立的指标集合。则 \(\overline{\{s\}} = \bigcup_{j \in J'} (\overline{\{s\}} \cap U_j)\)，并且 \(\overline{\{s_i\}}\) 对 \(i \geq 0\) 也有类似等式。注意，\(\overline{\{s\}} \cap U_j\) 是集合 \(\{s\}\) 在拓扑空间 \(U_j\) 中的闭包。类似地，\(\overline{\{s_i\}} \cap U_{i, j}\) 对 \(i \geq 0\) 也是如此。因此，只需证明 \(S\) 和 \(S_i\) 对所有 \(i\) 都是仿射时的情形。这把问题化为下一段所考察的代数问题。

设给定环系 \((A_i, \varphi_{ii'})\)，其指标集为 \(I\)。置 \(A = \colim_i A_i\)，其典范映射为 \(\varphi_i : A_i \to A\)。设 \(\mathfrak p \subset A\) 为素理想，并置 \(\mathfrak p_i = \varphi_i^{-1}(\mathfrak p)\)。则 \[V(\mathfrak p) = \lim_i V(\mathfrak p_i)\] 这由引理 0CUE 推出，因为 \(A/\mathfrak p = \colim A_i/\mathfrak p_i\)。该环等式还表明，关于约化诱导概形结构的最后一个陈述成立。等式 \(\kappa(\mathfrak p) = \colim \kappa(\mathfrak p_i)\) 也由此推出。

本节其余部分都在下述情形中工作。

情形

设 \(S = \lim_{i \in I} S_i\) 是一个以仿射态射 \(f_{i'i} : S_{i'} \to S_i\) 为过渡态射的概形有向系之极限（引理 01YX）。假设 \(S_i\) 对所有 \(i \in I\) 都是拟紧且拟分离的。我们用 \(f_i : S \to S_i\) 表示投影。还选定一个元素 \(0 \in I\)。

在此情形下，态射 \(S \to S_0\) 是仿射的。由此可知，\(S\) 拟紧且拟分离 ¹。我们所寻求的结果具有如下形式：若在 \(S\) 上有一个对象，那么对某个 \(i\)，在 \(S_i\) 上存在一个类似对象。

引理

在情形 086P 中：

有 \(S_{set} = \lim_i S_{i, set}\)，其中 \(S_{set}\) 表示概形 \(S\) 的底集。

有 \(S_{top} = \lim_i S_{i, top}\)，其中 \(S_{top}\) 表示概形 \(S\) 的底拓扑空间。

若 \(s, s' \in S\)，且 \(s'\) 不是 \(s\) 的特化，则对某个 \(i \in I\)，像 \(s'_i \in S_i\)（\(s'\) 的像）不是像 \(s_i \in S_i\)（\(s\) 的像）的特化。

在此加入更多关于 \(S\) 拓扑的简单事实。（要求：所加入的任何内容在仿射情形下都应易于证明。）

证明

第 (1) 部分是引理 0CUE 的特殊情形。

第 (2) 部分是引理 0CUF 的特殊情形。

第 (3) 部分是引理 0CUG 的特殊情形。

引理

在情形 086P 中，设 \(\mathcal{F}_0\) 是 \(S_0\) 上的拟相干层。置 \(\mathcal{F}_i = f_{i0}^*\mathcal{F}_0\)（\(i \geq 0\)），并置 \(\mathcal{F} = f_0^*\mathcal{F}_0\)。则 \[\Gamma(S, \mathcal{F}) = \colim_{i \geq 0} \Gamma(S_i, \mathcal{F}_i)\]

证明

记 \(\mathcal{A}_j = f_{i0, *} \mathcal{O}_{S_i}\)。这是一个拟相干 \(\mathcal{O}_{S_0}\)-代数层（见《态射》引理 01SA），并且 \(S_i\) 是 \(\mathcal{A}_i\) 在 \(S_0\) 上的相对谱。在引理 01YX 的证明中，我们把 \(S\) 构造为 \(\mathcal{A} = \colim_{i \geq 0} \mathcal{A}_i\) 在 \(S_0\) 上的相对谱。置 \[\mathcal{M}_i = \mathcal{F}_0 \otimes_{\mathcal{O}_{S_0}} \mathcal{A}_i\] 以及 \[\mathcal{M} = \mathcal{F}_0 \otimes_{\mathcal{O}_{S_0}} \mathcal{A}.\] 则有 \(f_{i0, *} \mathcal{F}_i = \mathcal{M}_i\) 以及 \(f_{0, *}\mathcal{F} = \mathcal{M}\)。由于 \(\mathcal{A}\) 是层 \(\mathcal{A}_i\) 的余极限，并且张量积与有向余极限交换，故有 \(\mathcal{M} = \colim_{i \geq 0} \mathcal{M}_i\)。由于 \(S_0\) 拟紧且拟分离，可见 \[\begin{eqnarray*} \Gamma(S, \mathcal{F}) & = & \Gamma(S_0, \mathcal{M}) \\ & = & \Gamma(S_0, \colim_{i \geq 0} \mathcal{M}_i) \\ & = & \colim_{i \geq 0} \Gamma(S_0, \mathcal{M}_i) \\ & = & \colim_{i \geq 0} \Gamma(S_i, \mathcal{F}_i) \end{eqnarray*}\] 中间的等号见《层》引理 009F 以及《拓扑》引理 0069。

引理

在情形 086P 中，设对每个 \(i\) 都给定一个非空闭子集 \(Z_i \subset S_i\)，并且有 \(f_{i'i}(Z_{i'}) \subset Z_i\) 对所有 \(i' \geq i\) 成立。则存在一点 \(s \in S\)，使得 \(f_i(s) \in Z_i\) 对所有 \(i\) 成立。

证明

仍用 \(Z_i \subset S_i\) 表示与 \(Z_i\) 相关联的既约闭子概形，见《概形》定义 01J4。闭浸入是仿射的，而仿射态射的复合仍是仿射的（见《态射》引理 01SE 和 01SC），所以 \(Z_{i'} \to S_i\) 在 \(i' \geq i\) 时是仿射的。由《态射》引理 01SG 可知态射 \(f_{i'i} : Z_{i'} \to Z_i\) 是仿射的。每个概形 \(Z_i\) 都是拟紧概形的闭子概形，因而是拟紧的。因此可以应用引理 01Z2，得到 \(Z = \lim_i Z_i\) 非空。由于有典范态射 \(Z \to S\)，结论成立。

引理

在情形 086P 中，设给定某个 \(i\) 以及态射 \(T \to S_i\)，满足

\(T \times_{S_i} S = \emptyset\)；

\(T\) 拟紧。

则 \(T \times_{S_i} S_{i'} = \emptyset\) 对所有充分大的 \(i'\) 成立。

证明

由引理 01YZ 可知 \(T \times_{S_i} S = \lim_{i' \geq i} T \times_{S_i} S_{i'}\)。于是结论由引理 01Z2 得出。

引理

在情形 086P 中，设给定某个 \(i\) 以及一个局部可构造子集 \(E \subset S_i\)，并且 \(f_i(S) \subset E\)。则 \(f_{i'i}(S_{i'}) \subset E\) 对所有充分大的 \(i'\) 成立。

证明

把 \(S_i\) 写成有限个仿射开子概形之并，就把问题约化到 \(S_i\) 仿射且 \(E\) 可构造的情形，见引理 01YX 以及《性质》引理 054C。在此情形下，补集 \(S_i \setminus E\) 也是可构造的。因此存在一个仿射概形 \(T\) 以及一个态射 \(T \to S_i\)，其像为 \(S_i \setminus E\)，见《代数》引理 00F8。由引理 05F3 可知，\(T \times_{S_i} S_{i'}\) 对所有充分大的 \(i'\) 都为空，因而 \(f_{i'i}(S_{i'}) \subset E\) 对所有充分大的 \(i'\) 成立。

引理

在情形 086P 中有以下结论：

给定任意拟紧开集 \(V \subset S = \lim_i S_i\)，存在 \(i \in I\) 以及拟紧开集 \(V_i \subset S_i\)，使得 \(f_i^{-1}(V_i) = V\)。

设 \(V_i \subset S_i\) 和 \(V_{i'} \subset S_{i'}\) 是拟紧开集，且 \(f_i^{-1}(V_i) = f_{i'}^{-1}(V_{i'})\)。则存在指标 \(i'' \geq i, i'\)，使得 \(f_{i''i}^{-1}(V_i) = f_{i''i'}^{-1}(V_{i'})\)。

若 \(V_{1, i}, \ldots, V_{n, i} \subset S_i\) 是拟紧开集，且 \(S = f_i^{-1}(V_{1, i}) \cup \ldots \cup f_i^{-1}(V_{n, i})\)，则有 \(S_{i'} = f_{i'i}^{-1}(V_{1, i}) \cup \ldots \cup f_{i'i}^{-1}(V_{n, i})\) 对某个 \(i' \geq i\) 成立。

证明

选取 \(i_0 \in I\)。注意，因为极限是有向的，所以 \(I\) 非空。为方便起见，记 \(S_0 = S_{i_0}\) 且记 \(i_0 = 0\)。选取仿射开覆盖 \(S_0 = U_{1, 0} \cup \ldots \cup U_{m, 0}\)。记 \(U_{j, i} \subset S_i\) 为 \(U_{j, 0}\) 在过渡态射下的逆像（\(i \geq 0\)），并记 \(U_j\) 为 \(U_{j, 0}\) 在 \(S\) 中的逆像。注意，\(U_j = \lim_i U_{j, i}\) 是仿射概形的极限。

先证明唯一性陈述。设 \(V_i \subset S_i\) 和 \(V_{i'} \subset S_{i'}\) 是拟紧开集，且 \(f_i^{-1}(V_i) = f_{i'}^{-1}(V_{i'})\)。只需证明 \(f_{i''i}^{-1}(V_i \cap U_{j, i''})\) 和 \(f_{i''i'}^{-1}(V_{i'} \cap U_{j, i''})\) 当 \(i''\) 充分大时相等。于是问题约化为仿射概形极限的情形。在此情形下，写 \(S = \Spec(R)\) 和 \(S_i = \Spec(R_i)\)（对所有 \(i \in I\)）。可写成 \(V_i = S_i \setminus V(h_1, \ldots, h_m)\) 以及 \(V_{i'} = S_{i'} \setminus V(g_1, \ldots, g_n)\)。假设意味着理想 \(\sum g_jR\) 和 \(\sum h_jR\) 在 \(R\) 中具有相同的根基。这意味着有 \(g_j^N = \sum a_{jj'}h_{j'}\) 及 \(h_j^N = \sum b_{jj'} g_{j'}\)，其中某个 \(N \gg 0\)，且 \(a_{jj'}\) 和 \(b_{jj'}\) 属于 \(R\)。由于 \(R = \colim_i R_i\)，可以选取指标 \(i'' \geq i\)，使得等式 \(g_j^N = \sum a_{jj'}h_{j'}\) 和 \(h_j^N = \sum b_{jj'} g_{j'}\) 在 \(R_{i''}\) 中成立，其中某些 \(a_{jj'}\) 和 \(b_{jj'}\) 属于 \(R_{i''}\)。这说明理想 \(\sum g_jR_{i''}\) 和 \(\sum h_jR_{i''}\) 在 \(R_{i''}\) 中具有相同的根基，正如所需。

下面证明存在性。若 \(S_0\) 仿射，则有 \(S_i = \Spec(R_i)\) 对所有 \(i \geq 0\) 成立，并且 \(S = \Spec(R)\)，其中 \(R = \colim R_i\)。于是有 \(V = S \setminus V(g_1, \ldots, g_n)\)，其中某些 \(g_1, \ldots, g_n \in R\)。选取充分大的 \(i\)，使每个 \(g_j\) 都来自某个元素 \(g_{j, i} \in R_i\)，并取 \(V_i = S_i \setminus V(g_{1, i}, \ldots, g_{n, i})\)。若 \(S_0\) 一般，则开集 \(V \cap U_j\) 是拟紧的，因为 \(S\) 拟分离。因此由仿射情形可知，对每个 \(j = 1, \ldots, m\)，存在 \(i_j \in I\) 以及拟紧开集 \(V_{i_j} \subset U_{j, i_j}\)，其在 \(U_j\) 中的逆像为 \(V \cap U_j\)。置 \(i = \max(i_1, \ldots, i_m)\)，并令 \(V_i = \bigcup f_{ii_j}^{-1}(V_{i_j})\)。

关于覆盖的陈述由唯一性陈述应用于两个开集 \(V_{1, i} \cup \ldots \cup V_{n, i}\) 和 \(S_i\)（它们都是 \(S_i\) 的开集）得出。

引理

在情形 086P 中，若 \(S\) 拟仿射，则对某个 \(i_0 \in I\)，概形 \(S_i\) 在 \(i \geq i_0\) 时都拟仿射。

证明

选取 \(i_0 \in I\)。注意，因为极限是有向的，所以 \(I\) 非空。为方便起见，记 \(S_0 = S_{i_0}\) 且记 \(i_0 = 0\)。取 \(s \in S\)。可以选取一个仿射开集 \(U_0 \subset S_0\)，它包含 \(f_0(s)\)。由于 \(S\) 拟仿射，可以选取元素 \(a \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)，使得 \(s \in D(a) \subset f_0^{-1}(U_0)\)，并且 \(D(a)\) 仿射。由引理 01Z0，存在 \(i \geq 0\)，使得 \(a\) 来自某个元素 \(a_i \in \Gamma(S_i, \mathcal{O}_{S_i})\)。对任意指标 \(j \geq i\)，记 \(a_j\) 为 \(a_i\) 在 \(S_j\) 的结构层整体截面中的像。考虑开集 \(D(a_j) \subset S_j\) 和 \(U_j = f_{j0}^{-1}(U_0)\)。注意，\(U_j\) 仿射，而 \(D(a_j)\) 是 \(S_j\) 的拟紧开集；例如见《性质》引理 01PV。因此可将引理 01Z4 应用于开集 \(U_j\) 和 \(U_j \cup D(a_j)\)，从而得到 \(D(a_j) \subset U_j\) 对某个 \(j \geq i\) 成立。

对这样的指标 \(j\)，\(D(a_j) \subset S_j\) 是仿射开集（因为 \(D(a_j)\) 是仿射开集 \(U_j\) 的标准仿射开集），并且它包含像 \(f_j(s)\)。

综上，对每个 \(s \in S\)，都存在指标 \(i \in I\) 以及整体截面 \(a \in \Gamma(S_i, \mathcal{O}_{S_i})\)，使得 \(D(a) \subset S_i\) 是一个包含 \(f_i(s)\) 的仿射开集。由于 \(S\) 拟紧，可以选取单个指标 \(i \in I\) 以及整体截面 \(a_1, \ldots, a_m \in \Gamma(S_i, \mathcal{O}_{S_i})\)，使每个 \(D(a_j) \subset S_i\) 都是仿射开集，并且 \(f_i : S \to S_i\) 的像包含在并集 \(W_i = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} D(a_j)\) 中。对 \(i' \geq i\)，置 \(W_{i'} = f_{i'i}^{-1}(W_i)\)。因为 \(f_i^{-1}(W_i)\) 是整个 \(S\)，再次应用引理 01Z4 可知，对适当的 \(i' \geq i\) 有 \(S_{i'} = W_{i'}\)。因此可将 \(i\) 替换为 \(i'\)，并假设 \(S_i = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} D(a_j)\)。这说明 \(\mathcal{O}_{S_i}\) 是 \(S_i\) 上的丰沛可逆层（见《性质》定义 01PS），因而 \(S_i\) 拟仿射，见《性质》引理 01QE。结论成立。

引理

在情形 086P 中，若 \(S\) 仿射，则对某个 \(i_0 \in I\)，概形 \(S_i\) 在 \(i \geq i_0\) 时都仿射。

证明

由引理 01Z5，可假设 \(S_0\) 对某个 \(0 \in I\) 拟仿射。置 \(R_0 = \Gamma(S_0, \mathcal{O}_{S_0})\)。则 \(S_0\) 是 \(T_0 = \Spec(R_0)\) 的一个拟紧开集。记 \(j_0 : S_0 \to T_0\) 为相应的拟紧开浸入。对 \(i \geq 0\)，置 \(\mathcal{A}_i = f_{i0, *}\mathcal{O}_{S_i}\)。因为 \(f_{i0}\) 仿射，所以 \(S_i = \underline{\Spec}_{S_0}(\mathcal{A}_i)\)。置 \(T_i = \underline{\Spec}_{T_0}(j_{0, *}\mathcal{A}_i)\)。则 \(T_i \to T_0\) 仿射，因而 \(T_i\) 仿射。因此 \(T_i\) 是以下环的谱： \[R_i = \Gamma(T_0, j_{0, *}\mathcal{A}_i) = \Gamma(S_0, \mathcal{A}_i) = \Gamma(S_i, \mathcal{O}_{S_i}).\] 写 \(S = \Spec(R)\)。由引理 01Z0 有 \(R = \colim_i R_i\)。因此也有 \(S = \lim_i T_i\)。由于相对谱的形成与基变换交换，开集 \(S_0 \subset T_0\) 在 \(T_i\) 中的逆像是 \(S_i\)。令 \(Z_0 = T_0 \setminus S_0\)，并令 \(Z_i \subset T_i\) 为 \(Z_0\) 的逆像。由于 \(S_i = T_i \setminus Z_i\)，只需证明 \(Z_i\) 对某个 \(i\) 为空。反设 \(Z_i\) 对所有 \(i\) 都非空。由引理 01Z3，存在一点 \(s\) 属于 \(S = \lim T_i\)，它映到 \(Z_i\) 中的一点（对每个 \(i\)）。但 \(S = \lim_i S_i\)，故由引理 01YY 得到矛盾。

引理

在情形 086P 中，若 \(S\) 分离，则对某个 \(i_0 \in I\)，概形 \(S_i\) 在 \(i \geq i_0\) 时都分离。

证明

选取有限仿射开覆盖 \(S_0 = U_{0, 1} \cup \ldots \cup U_{0, m}\)。令 \(U_{i, j} \subset S_i\) 和 \(U_j \subset S\) 分别为 \(U_{0, j}\) 的逆像。注意，\(U_{i, j}\) 和 \(U_j\) 都仿射。由于 \(S\) 分离，交集 \(U_{j_1} \cap U_{j_2}\) 仿射。因为 \(U_{j_1} \cap U_{j_2} = \lim_{i \geq 0} U_{i, j_1} \cap U_{i, j_2}\)，由引理 01Z6 可知，\(U_{i, j_1} \cap U_{i, j_2}\) 在 \(i\) 充分大时仿射。为了证明 \(S_i\) 在 \(i\) 充分大时分离，现在只需证明 \[\mathcal{O}_{S_i}(U_{i, j_1}) \otimes_{\mathcal{O}_S(S)} \mathcal{O}_{S_i}(U_{i, j_2}) \longrightarrow \mathcal{O}_{S_i}(U_{i, j_1} \cap U_{i, j_2})\] 当 \(i\) 充分大时满射（《概形》引理 01KP）。

为了去掉烦琐的指标，设有仿射开集 \(U, V \subset S_0\)，且 \(U \cap V\) 也仿射。令 \(U_i, V_i \subset S_i\) 以及 \(U, V \subset S\) 分别为它们的逆像。需要证明 \(\mathcal{O}(U_i) \otimes \mathcal{O}(V_i) \to \mathcal{O}(U_i \cap V_i)\) 在 \(i\) 充分大时满射；已知 \(\mathcal{O}(U) \otimes \mathcal{O}(V) \to \mathcal{O}(U \cap V)\) 满射。注意， \(\mathcal{O}(U_0) \otimes \mathcal{O}(V_0) \to \mathcal{O}(U_0 \cap V_0)\) 是有限型的，因为对角态射 \(S_i \to S_i \times S_i\) 是浸入（《概形》引理 01KJ），因而是局部有限型的（《态射》引理 01T2 和 01T5）。因此可以选取元素 \(f_{0, 1}, \ldots, f_{0, n} \in \mathcal{O}(U_0 \cap V_0)\)，它们生成 \(\mathcal{O}(U_0 \cap V_0)\) 作为 \(\mathcal{O}(U_0) \otimes \mathcal{O}(V_0)\)-代数。注意，对 \(i \geq 0\)，概形图表 \[\xymatrix{ U_i \cap V_i \ar[r] \ar[d] & U_i \ar[d] \\ U_0 \cap V_0 \ar[r] & U_0 }\] 是笛卡尔的。因此，像 \(f_{i, 1}, \ldots, f_{i, n} \in \mathcal{O}(U_i \cap V_i)\) 生成 \(\mathcal{O}(U_i \cap V_i)\) 作为 \(\mathcal{O}(U_i) \otimes \mathcal{O}(V_0)\)-代数，从而更是作为 \(\mathcal{O}(U_i) \otimes \mathcal{O}(V_i)\)-代数生成它。由假设，像 \(f_1, \ldots, f_n \in \mathcal{O}(U \otimes V)\) 属于映射 \(\mathcal{O}(U) \otimes \mathcal{O}(V) \to \mathcal{O}(U \cap V)\) 的像。由于 \(\mathcal{O}(U) \otimes \mathcal{O}(V) = \colim \mathcal{O}(U_i) \otimes \mathcal{O}(V_i)\)，它们在某个有限层已经属于相应映射的像，引理得证。

引理

在情形 086P 中，设 \(\mathcal{L}_0\) 是 \(S_0\) 上的可逆模层。若拉回 \(\mathcal{L}\) 到 \(S\) 是丰沛的，则对某个 \(i \in I\)，拉回 \(\mathcal{L}_i\) 到 \(S_i\) 是丰沛的。

证明

该假设意味着存在有限多个截面 \(s_1, \ldots, s_m \in \Gamma(S, \mathcal{L})\)，使得每个 \(S_{s_j}\) 仿射，并且 \(S = \bigcup S_{s_j}\)，见《性质》定义 01PS。由引理 01Z0，可以找到 \(i \in I\) 以及截面 \(s_{i, j} \in \Gamma(S_i, \mathcal{L}_i)\)，它们映到 \(s_j\)。由引理 01Z6，增大 \(i\) 后可假设 \((S_i)_{s_{i, j}}\) 对 \(j = 1, \ldots, m\) 仿射。最后再次增大 \(i\)，由引理 01Z4 可假设 \(S_i = \bigcup (S_i)_{s_{i, j}}\)。于是按定义，\(\mathcal{L}_i\) 是丰沛的。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(X = \lim X_i\) 是 \(S\) 上概形的有向极限，且过渡态射仿射。设 \(Y \to X\) 是 \(S\) 上概形的态射。

若 \(Y \to X\) 是闭浸入，\(X_i\) 拟紧，并且 \(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型，则 \(Y \to X_i\) 当 \(i\) 充分大时是闭浸入。

若 \(Y \to X\) 是浸入，\(X_i\) 拟分离，\(Y \to S\) 局部有限型，并且 \(Y\) 拟紧，则 \(Y \to X_i\) 当 \(i\) 充分大时是浸入。

若 \(Y \to X\) 是同构，\(X_i\) 拟紧，\(X_i \to S\) 局部有限型，过渡态射 \(X_{i'} \to X_i\) 是闭浸入，并且 \(Y \to S\) 局部有限表示，则 \(Y \to X_i\) 当 \(i\) 充分大时是同构。

证明

证明 (1)。选取 \(0 \in I\)，并选取有限仿射开覆盖 \(X_0 = U_{0, 1} \cup \ldots \cup U_{0, m}\)，使每个 \(U_{0, j}\) 都映到某个仿射开集 \(W_j \subset S\) 中。令 \(V_j \subset Y\)、\(U_{i, j} \subset X_i\)（\(i \geq 0\)）以及 \(U_j \subset X\) 分别为 \(U_{0, j}\) 的逆像。只需证明 \(V_j \to U_{i, j}\) 当 \(i\) 充分大时是闭浸入，而我们已知 \(V_j \to U_j\) 是闭浸入。因此问题约化为以下代数事实：若 \(A = \colim A_i\) 是 \(R\)-代数的有向余极限， \(A \to B\) 是 \(R\)-代数的满射，并且 \(B\) 是有限生成 \(R\)-代数，则 \(A_i \to B\) 当 \(i\) 充分大时满射。

证明 (2)。选取 \(0 \in I\)。选取一个拟紧开集 \(X'_0 \subset X_0\)，使得 \(Y \to X_0\) 分解通过 \(X'_0\)。把 \(X_i\) 替换为 \(X'_0\) 的逆像（\(i \geq 0\)）后，可以假设所有 \(X_i'\) 都拟紧且拟分离。取拟紧开集 \(U \subset X\)，使得 \(Y \to X\) 分解通过闭浸入 \(Y \to U\) （这样的 \(U\) 存在，因为 \(Y\) 拟紧）。由引理 01Z4，可假设 \(U = \lim U_i\)，其中 \(U_i \subset X_i\) 是拟紧开集。由第 (1) 部分， \(Y \to U_i\) 对某个 \(i\) 是闭浸入。因此 (2) 成立。

证明 (3)。像 (1) 的证明那样，在 \(X_0\) 上对某个 \(0 \in I\) 仿射局部地工作，便将问题约化为以下代数事实：若 \(A = \lim A_i\) 是 \(R\)-代数的有向余极限，过渡映射均满射，并且 \(A\) 在 \(A_0\) 上有限表示，则有 \(A = A_i\) 对某个 \(i\) 成立。事实上，写 \(A = A_0/(f_1, \ldots, f_n)\)。选取 \(i\)，使得 \(f_1, \ldots, f_n\) 在满射 \(A_0 \to A_i\) 下都映到零。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(X = \lim X_i\) 是 \(S\) 上概形的有向极限，且过渡态射仿射。假设

\(S\) 拟分离；

\(X_i\) 拟紧且拟分离；

\(X \to S\) 分离。

则 \(X_i \to S\) 对所有充分大的 \(i\) 都分离。

证明

取 \(0 \in I\)。注意，因为极限是有向的，所以 \(I\) 非空。由于 \(X_0\) 拟紧，可以找到有限多个仿射开集 \(U_1, \ldots, U_n \subset S\)，使得 \(X_0 \to S\) 的像包含在 \(U_1 \cup \ldots \cup U_n\) 中。记 \(h_i : X_i \to S\) 为结构态射。只需检验对某个 \(i \geq 0\)，态射 \(h_i^{-1}(U_j) \to U_j\) 对 \(j = 1, \ldots, n\) 都分离。由于 \(S\) 拟分离，态射 \(U_j \to S\) 拟紧。因此 \(h_i^{-1}(U_j)\) 拟紧且拟分离。这样便约化到 \(S\) 仿射的情形。在此情形下，需要证明 \(X_i\) 分离，而已知 \(X\) 分离。因此引理由引理 086Q 得出。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(X = \lim X_i\) 是 \(S\) 上概形的有向极限，且过渡态射仿射。假设

\(S\) 拟紧且拟分离；

\(X_i\) 拟紧且拟分离；

\(X \to S\) 仿射。

则 \(X_i \to S\) 当 \(i\) 充分大时仿射。

证明

选取有限仿射开覆盖 \(S = \bigcup_{j = 1, \ldots, n} V_j\)。记 \(f : X \to S\) 和 \(f_i : X_i \to S\) 为结构态射。对每个 \(j\)，概形 \(f^{-1}(V_j) = \lim_i f_i^{-1}(V_j)\) 是仿射的（因为有限态射按定义是仿射的）。因此由引理 01Z6，存在 \(i \in I\)，使每个 \(f_i^{-1}(V_j)\) 都仿射。换言之，\(f_i : X_i \to S\) 当 \(i\) 充分大时仿射，见《态射》引理 01S8。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(X = \lim X_i\) 是 \(S\) 上概形的有向极限，且过渡态射仿射。假设

\(S\) 拟紧且拟分离；

\(X_i\) 拟紧且拟分离；

过渡态射 \(X_{i'} \to X_i\) 有限；

\(X_i \to S\) 局部有限型；

\(X \to S\) 整。

则 \(X_i \to S\) 当 \(i\) 充分大时有限。

证明

由引理 09ZM，可假设 \(X_i \to S\) 对所有 \(i\) 都仿射。选取有限仿射开覆盖 \(S = \bigcup_{j = 1, \ldots, n} V_j\)。记 \(f : X \to S\) 和 \(f_i : X_i \to S\) 为结构态射。只需证明存在 \(i\)，使得 \(f_i^{-1}(V_j)\) 在 \(V_j\) 上有限（\(j = 1, \ldots, m\)）（《态射》引理 01WI）。事实上，对 \(i' \geq i\)，复合 \(X_{i'} \to X_i \to S\) 是有限态射的复合，因而有限（《态射》引理 01WK）。这把问题约化到仿射情形：设 \(R\) 是环，\(A = \colim A_i\)，其中 \(R \to A\) 整，并且 \(A_i \to A_{i'}\) 对所有 \(i \leq i'\) 都有限。此外，\(R \to A_i\) 对所有 \(i\) 都有限型。目标是证明 \(A_i\) 在 \(R\) 上对某个 \(i\) 有限。为此，选取 \(i \in I\)，并选取元素 \(x_1, \ldots, x_m \in A_i\)，它们生成 \(A_i\) 作为 \(R\)-代数。因为 \(A\) 在 \(R\) 上整，可以找到首一多项式 \(P_j \in R[T]\)，满足 \(P_j(x_j) = 0\) 于 \(A\) 中。因此存在 \(i' \geq i\)，使得 \(P_j(x_j) = 0\) 在 \(A_{i'}\) 中对 \(j = 1, \ldots, m\) 都成立。于是由《代数》引理 02JJ，像 \(A'_i\) （即 \(A_i\) 在 \(A_{i'}\) 中的像）在 \(R\) 上有限。又因为 \(A'_i \subset A_{i'}\) 也有限，由《代数》引理 00GL 可知 \(A_{i'}\) 在 \(R\) 上有限。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(X = \lim X_i\) 是 \(S\) 上概形的有向极限，且过渡态射仿射。假设

\(S\) 拟紧且拟分离；

\(X_i\) 拟紧且拟分离；

过渡态射 \(X_{i'} \to X_i\) 是闭浸入；

\(X_i \to S\) 局部有限型；

\(X \to S\) 是闭浸入。

则 \(X_i \to S\) 当 \(i\) 充分大时是闭浸入。

证明

由引理 09ZM，可假设 \(X_i \to S\) 对所有 \(i\) 都仿射。选取有限仿射开覆盖 \(S = \bigcup_{j = 1, \ldots, n} V_j\)。记 \(f : X \to S\) 和 \(f_i : X_i \to S\) 为结构态射。只需证明存在 \(i\)，使得 \(f_i^{-1}(V_j)\) 是 \(V_j\) 的闭子概形（\(j = 1, \ldots, m\)）（《态射》引理 01QO）。这把问题约化到仿射情形：设 \(R\) 是环，\(A = \colim A_i\)，其中 \(R \to A\) 满射，并且 \(A_i \to A_{i'}\) 对所有 \(i \leq i'\) 都满射。此外，\(R \to A_i\) 对所有 \(i\) 都有限型。目标是证明 \(R \to A_i\) 对某个 \(i\) 满射。为此，选取 \(i \in I\)，并选取元素 \(x_1, \ldots, x_m \in A_i\)，它们生成 \(A_i\) 作为 \(R\)-代数。由于 \(R \to A\) 满射，可以找到 \(r_j \in R\)，使得 \(r_j\) 映到 \(x_j\) 于 \(A\) 中。因此存在 \(i' \geq i\)，使得 \(r_j\) 映到 \(x_j\) 的像于 \(A_{i'}\) 中（\(j = 1, \ldots, m\)）。由于 \(A_i \to A_{i'}\) 满射，这说明 \(R \to A_{i'}\) 满射。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(X = \lim X_i\) 是 \(S\) 上概形的有向极限，且过渡态射仿射。假设

\(S\) 拟分离；

\(X_i\) 拟紧且拟分离；

过渡态射 \(X_{i'} \to X_i\) 是闭浸入；

\(X_i \to S\) 局部有限型；

\(X \to S\) 是浸入。

则 \(X_i \to S\) 当 \(i\) 充分大时是浸入。

证明

选取开子概形 \(U \subset S\)，使得 \(X \to S\) 分解为闭浸入 \(X \to U\) 与包含态射 \(U \to S\) 的复合。由于 \(X\) 拟紧，可以缩小 \(U\) 并假设 \(U\) 拟紧。记 \(V_i \subset X_i\) 为 \(U\) 的逆像。由于 \(V_i\) 拉回为 \(X\)，由引理 01Z4 可知，\(V_i = X_i\) 对所有充分大的 \(i\) 成立。因此可以假设 \(X = \lim X_i\) 是 \(U\) 上概形范畴中的极限。于是由引理 0A0N 可知，\(X_i \to U\) 当 \(i\) 充分大时是闭浸入。这就证明了引理。

绝对 Noether 逼近

本节的一个很好的参考文献是 Thomason 与 Trobaugh 的论文 [TT] 的附录 C。关于有向系的约定，见《范畴》第 002Z 节。下文将直接使用第 01YV 节给出的极限存在性结果及其性质，不再另行说明。

引理

设 \(W\) 是 \(\mathbf{Z}\) 上有限型的拟仿射概形。假设 \(W \to \Spec(R)\) 是到一个仿射概形的开浸入。则存在有限型 \(\mathbf{Z}\)-子代数 \(A \subset R\)，使其诱导开浸入 \(W \to \Spec(A)\)。此外，\(R\) 是所有这类子代数的有向余极限。

证明

选取仿射开覆盖 \(W = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} W_i\)，使每个 \(W_i\) 都是 \(\Spec(R)\) 中的标准仿射开集。换言之，若写 \(W_i = \Spec(R_i)\)，则 \(R_i = R_{f_i}\)，其中 \(f_i \in R\)。选取有限多个 \(x_{ij} \in R_i\)，使它们生成 \(R_i\) 作为 \(\mathbf{Z}\)-代数。取 \(N \gg 0\)，使每个 \(f_i^Nx_{ij}\) 都来自 \(R\) 的某个元素，记为 \(y_{ij} \in R\)。令 \(A\) 等于如下 \(\mathbf{Z}\)-代数：它由各 \(f_i\)、各 \(y_{ij}\) 以及（可选的）\(R\) 中另外有限多个元素生成。则 \(A\) 满足要求。细节从略。

引理

设给定如下环的笛卡尔图 \[\xymatrix{ B \ar[r]_s & R \\ B'\ar[u] \ar[r] & R' \ar[u]_t }\] 设 \(W' \subset \Spec(R')\) 为形如 \(W' = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\) 的开集，并且有 \(t(f_i) = s(g_i)\)（其中 \(g_i \in B\)）及 \(B_{g_i} \cong R_{s(g_i)}\)。则 \(B' \to R'\) 诱导从 \(W'\) 到 \(\Spec(B')\) 的开浸入。

证明

令 \(h_i = (g_i, f_i) \in B'\)。《高等代数》引理 01Z8 表明 \((B')_{h_i} \cong (R')_{f_i}\)，正合所需。

下面的引理给出 Noether 逼近的一个精确表述。

引理

设 \(S\) 是拟紧且拟分离的概形，\(V \subset S\) 是拟紧开集。设 \(I\) 是有向集，并设 \((V_i, f_{ii'})\) 是以 \(I\) 为指标、过渡映射仿射的概形逆系，每个 \(V_i\) 都是 \(\mathbf{Z}\) 上有限型的，并且 \(V = \lim V_i\)。则存在

一个有向集 \(J\)；

一个概形逆系 \((S_j, g_{jj'})\)，以 \(J\) 为指标；

一个保序映射 \(\alpha : J \to I\)；

开子概形 \(V'_j \subset S_j\)；以及

同构 \(V'_j \to V_{\alpha(j)}\)，

使得

过渡态射 \(g_{jj'} : S_j \to S_{j'}\) 仿射；

每个 \(S_j\) 都是 \(\mathbf{Z}\) 上有限型的；

\(g_{jj'}^{-1}(V'_{j'}) = V'_j\)；

\(S = \lim S_j\) 且 \(V = \lim V'_j\)；并且

图 \[\vcenter{ \xymatrix{ V \ar[d] \ar[rd] \\ V'_j \ar[r] & V_{\alpha(j)} } } \quad\text{且}\quad \vcenter{ \xymatrix{ V'_j \ar[r] \ar[d] & V_{\alpha(j)} \ar[d] \\ V'_{j'} \ar[r] & V_{\alpha(j')} } }\] 交换。

证明

令 \(Z = S \setminus V\)。选取仿射开集 \(U_1, \ldots, U_m \subset S\)，使得 \(Z \subset \bigcup_{l = 1, \ldots, m} U_l\)。考察开集 \[V \subset V \cup U_1 \subset V \cup U_1 \cup U_2 \subset \ldots \subset V \cup \bigcup\nolimits_{l = 1, \ldots, m} U_l = S\] 如果能对每一种情形 \[V \cup U_1 \cup \ldots \cup U_l \subset V \cup U_1 \cup \ldots \cup U_{l + 1}\] 依次证明此引理，那么 \(V \subset S\) 的结论随即成立。每一步只添加一个仿射开集。因此可以假设

\(S = U \cup V\)；

\(U\) 是 \(S\) 的仿射开集；

\(V\) 是 \(S\) 的拟紧开集；并且

\(V = \lim_i V_i\)，其中 \((V_i, f_{ii'})\) 是以有向集 \(I\) 为指标的逆系，每个 \(f_{ii'}\) 仿射，且每个 \(V_i\) 都是 \(\mathbf{Z}\) 上有限型的。

记 \(f_i : V \to V_i\) 为各投影。令 \(W = U \cap V\)。由于 \(S\) 拟分离，这是 \(V\) 的拟紧开集。由引理 01Z4 （并在缩小 \(I\) 后），可以假设存在开集 \(W_i \subset V_i\)，使得 \(f_{ii'}^{-1}(W_{i'}) = W_i\) 且 \(f_i^{-1}(W_i) = W\)。由于 \(W\) 是 \(U\) 的拟紧开集，它是拟仿射的。因此可以再次缩小 \(I\)，并假设 \(W_i\) 对所有 \(i\) 都拟仿射；见引理 01Z5。

写成 \(U = \Spec(B)\)。令 \(R = \Gamma(W, \mathcal{O}_W)\)，并令 \(R_i = \Gamma(W_i, \mathcal{O}_{W_i})\)。由引理 01Z0，有 \(R = \colim_i R_i\)。现在得到环映射 \[\xymatrix{ B \ar[r]_s & R \\ & R_i \ar[u]_{t_i} }\] 令 \(B_i = \{(b, r) \in B \times R_i \mid s(b) = t_i(r)\}\)，于是对每个 \(i\) 都有笛卡尔图 \[\xymatrix{ B \ar[r]_s & R \\ B_i \ar[u] \ar[r] & R_i \ar[u]_{t_i} }\] 过渡映射 \(R_i \to R_{i'}\) 诱导映射 \(B_i \to B_{i'}\)。显然 \(B = \colim_i B_i\)。下一段将证明，对所有充分大的 \(i\)，复合 \(W_i \to \Spec(R_i) \to \Spec(B_i)\) 是开浸入。

由于 \(W\) 是 \(U = \Spec(B)\) 的拟紧开集，可以找到有限多个元素 \(g_l \in B\)（\(l = 1, \ldots, m\)），使得 \(D(g_l) \subset W\) 且 \(W = \bigcup_{l = 1, \ldots, m} D(g_l)\)。注意，这蕴含 \(D(g_l) = W_{s(g_l)}\)（作为 \(U\) 的开子集），其中 \(W_{s(g_l)}\) 表示 \(W\) 中使 \(s(g_l)\) 可逆的最大开子集。因此 \[B_{g_l} = \Gamma(D(g_l), \mathcal{O}_U) = \Gamma(W_{s(g_l)}, \mathcal{O}_W) = R_{s(g_l)},\] 这里最后一个等式来自《性质》引理 01P7。由于 \(W_{s(g_l)}\) 仿射，这还蕴含 \(D(s(g_l)) = W_{s(g_l)}\)（作为 \(\Spec(R)\) 的开子集）。由于 \(R = \colim_i R_i\)，可以（缩小 \(I\) 后）假设存在 \(g_{l, i} \in R_i\)（对所有 \(i \in I\)），使得 \(s(g_l) = t_i(g_{l, i})\)。当然，我们选取 \(g_{l, i}\)，使得 \(g_{l, i}\) 映到 \(g_{l, i'}\)，所经的过渡映射为 \(R_i \to R_{i'}\)。于是由引理 01Z4，可以（再次缩小 \(I\) 后）假设相应开集 \(D(g_{l, i}) \subset \Spec(R_i)\) 包含在 \(W_i\) 中（\(l = 1, \ldots, m\)），并且它们覆盖 \(W_i\)。由引理 01Z9 可知，态射 \(W_i \to \Spec(R_i) \to \Spec(B_i)\) 是开浸入。

由引理 01Z7，可将 \(B_i\) 写成子代数 \(A_{i, p} \subset B_i\)（\(p \in P_i\)）的有向余极限，其中每个子代数都是 \(\mathbf{Z}\) 上有限型的，并且 \(W_i\) 被等同于 \(\Spec(A_{i, p})\) 的一个开子概形。令 \(S_{i, p}\) 为将 \(V_i\) 与 \(\Spec(A_{i, p})\) 沿开集 \(W_i\) 黏合所得的概形；见《概形》第 01JA 节。由此得到如下概形交换图： \[\xymatrix{ & & V \ar[lld] \ar[d] & W \ar[l] \ar[lld] \ar[d] \\ V_i \ar[d] & W_i \ar[l] \ar[d] & S \ar[lld] & U \ar[lld] \ar[l] \\ S_{i, p} & \Spec(A_{i, p}) \ar[l] }\] 态射 \(S \to S_{i, p}\) 存在，是因为右上方的方块在概形范畴中是推出。注意，\(S_{i, p}\) 是 \(\mathbf{Z}\) 上有限型的，因为它有一个有限仿射开覆盖，其各成员都是有限型 \(\mathbf{Z}\)-代数的谱。在 \(J = \coprod_{i \in I} P_i\) 上定义预序如下：规定 \((i', p') \geq (i, p)\) 当且仅当 \(i' \geq i\) 且映射 \(B_i \to B_{i'}\) 把 \(A_{i, p}\) 映入 \(A_{i', p'}\)。这恰好是定义态射 \(S_{i', p'} \to S_{i, p}\) 所需的条件：即利用过渡态射 \(V_{i'} \to V_i\)、 \(W_{i'} \to W_i\) 以及态射 \(\Spec(A_{i', p'}) \to \Spec(A_{i, p})\)（它由环映射 \(A_{i, p} \to A_{i', p'}\) 诱导），构造如上的交换图。相关的交换性已经包含在这些构造中。我们断言 \(S\) 是概形 \(S_{i, p}\) 的有向极限。由于概形 \(V_i\) 按构造以 \(V\) 为极限，这归结为 \(B\) 是环 \(A_{i, p}\) 的极限；此事由构造即知。映射 \(\alpha : J \to I\) 由规则 \(j = (i, p) \mapsto i\) 给出。开子概形 \(V'_j\) 就是上面 \(V_i \to S_{i, p}\) 的像。第 (5) 项各图的交换性由构造显然可知。引理得证。

命题

设 \(S\) 是拟紧且拟分离的概形。则存在有向集 \(I\) 以及概形逆系 \((S_i, f_{ii'})\)，后者以 \(I\) 为指标，并且满足

过渡态射 \(f_{ii'}\) 仿射；

每个 \(S_i\) 都是 \(\mathbf{Z}\) 上有限型的；并且

\(S = \lim_i S_i\)。

证明

这是引理 07RN 在 \(V = \emptyset\) 时的特例。

极限与有限呈示态射

下面是《代数》引理 00QO 的推广。

命题

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。下列条件等价：

态射 \(f\) 局部有限呈示。

对任意有向集 \(I\)，以及任意逆系 \((T_i, f_{ii'})\)，若它由 \(S\)-概形组成、以 \(I\) 为指标，并且每个 \(T_i\) 都仿射，则有 \[\Mor_S(\lim_i T_i, X) = \colim_i \Mor_S(T_i, X)\]

对任意有向集 \(I\)，以及任意逆系 \((T_i, f_{ii'})\)，若它由 \(S\)-概形组成、以 \(I\) 为指标，每个 \(f_{ii'}\) 都仿射，并且每个 \(T_i\) 作为概形均拟紧且拟分离，则有 \[\Mor_S(\lim_i T_i, X) = \colim_i \Mor_S(T_i, X)\]

证明

(3) 蕴含 (2) 是显然的。

下面证明 (2) 蕴含 (1)。假设 (2) 成立。任取仿射开集 \(U \subset X\) 与 \(V \subset S\)，使得 \(f(U) \subset V\)。必须证明 \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) 有限呈示。设 \((A_i, \varphi_{ii'})\) 是 \(\mathcal{O}_S(V)\)-代数的有向系。令 \(A = \colim_i A_i\)。根据《代数》引理 00QO，必须证明 \[\Hom_{\mathcal{O}_S(V)}(\mathcal{O}_X(U), A) = \colim_i \Hom_{\mathcal{O}_S(V)}(\mathcal{O}_X(U), A_i)\] 考察概形 \(T_i = \Spec(A_i)\)。它们组成 \(V\)-概形逆系，以 \(I\) 为指标，其过渡态射 \(f_{ii'} : T_i \to T_{i'}\) 由 \(\mathcal{O}_S(V)\)-代数映射 \(\varphi_{i'i}\) 诱导。令 \(T := \Spec(A) = \lim_i T_i\)。用概形态射集表示，上式化为 \[\Mor_V(\lim_i T_i, U) = \colim_i \Mor_V(T_i, U).\] 首先注意到 \(\Mor_V(T_i, U) = \Mor_S(T_i, U)\) 以及 \(\Mor_V(T, U) = \Mor_S(T, U)\)。因此必须证明 \[\Mor_S(\lim_i T_i, U) = \colim_i \Mor_S(T_i, U)\] 而已知 \[\Mor_S(\lim_i T_i, X) = \colim_i \Mor_S(T_i, X).\] 所以只需证明：给定态射 \(g_i : T_i \to X\)（在 \(S\) 上），若复合 \(T \to T_i \to X\) 的像落在 \(U\) 中，则存在某个 \(i' \geq i\)，使复合 \(g_{i'} : T_{i'} \to T_i \to X\) 的像落在 \(U\) 中。记 \(Z_{i'} = g_{i'}^{-1}(X \setminus U)\)。假设每个 \(Z_{i'}\) 都非空，以导出矛盾。由引理 01Z3，存在一点 \(t\)，它属于 \(T\)，并且映入 \(Z_{i'}\)（对所有 \(i' \geq i\)）。这样的点不映入 \(U\)，矛盾。

最后证明 (1) 蕴含 (3)。假设 (1) 成立。给定有向逆系 \((T_i, f_{ii'})\)，其对象是 \(S\)-概形。假设态射 \(f_{ii'}\) 仿射，并且每个 \(T_i\) 作为概形均拟紧且拟分离。令 \(T = \lim_i T_i\)。记 \(f_i : T \to T_i\) 为投影态射。需要证明：

给定态射 \(g_i, g'_i : T_i \to X\)（在 \(S\) 上），如果 \(g_i \circ f_i = g'_i \circ f_i\)，则存在 \(i' \geq i\)，使得 \(g_i \circ f_{i'i} = g'_i \circ f_{i'i}\)。

给定任意态射 \(g : T \to X\)（在 \(S\) 上），存在 \(i \in I\) 及态射 \(g_i : T_i \to X\)，使得 \(g = f_i \circ g_i\)。

先证明唯一性部分 (a)。设 \(g_i, g'_i : T_i \to X\) 是满足 \(g_i \circ f_i = g'_i \circ f_i\) 的态射。对任意 \(i' \geq i\)，令 \(g_{i'} = g_i \circ f_{i'i}\) 且 \(g'_{i'} = g'_i \circ f_{i'i}\)。还令 \(g = g_i \circ f_i = g'_i \circ f_i\)。考察态射 \((g_i, g'_i) : T_i \to X \times_S X\)。令 \[W = \bigcup\nolimits_{U \subset X\text{ affine open}, V \subset S\text{ affine open}, f(U) \subset V} U \times_V U.\] 这是 \(X \times_S X\) 的一个开集，且态射 \(\Delta_{X/S}\) 可通过到 \(W\) 的闭浸入分解；见《概形》引理 01KJ 的证明。注意，复合 \((g_i, g'_i) \circ f_i : T \to X \times_S X\) 是到 \(W\) 的态射，因为按假设它通过对角态射分解。令 \(Z_{i'} = (g_{i'}, g'_{i'})^{-1}(X \times_S X \setminus W)\)。如果每个 \(Z_{i'}\) 都非空，则由引理 01Z3，存在点 \(t \in T\)，使其映入 \(Z_{i'}\)（对所有 \(i' \geq i\)）。这与 \(T\) 映入 \(W\) 的事实矛盾。因此可以增大 \(i\)，并假设 \((g_i, g'_i) : T_i \to X \times_S X\) 是到 \(W\) 的态射。由 \(W\) 的构造以及 \(T_i\) 的拟紧性，可以找到有限仿射开覆盖 \(T_i = T_{1, i} \cup \ldots \cup T_{n, i}\)，使得 \((g_i, g'_i)|_{T_{j, i}}\) 是到 \(U \times_V U\) 的态射，其中 \((U, V)\) 是上述 \(W\) 的定义中出现的一对开集。只需证明 \(g_{i'}\) 与 \(g'_{i'}\) 在每个 \(f_{i'i}^{-1}(T_{j, i})\) 上相等，因而问题约化到仿射情形。仿射情形由《代数》引理 00QO 以及环映射 \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) 有限呈示这一事实得出（见《态射》引理 01TQ）。

最后证明存在性部分 (b)。设 \(g : T \to X\) 是 \(S\) 上的概形态射。可以找到有限仿射开覆盖 \(T = W_1 \cup \ldots \cup W_n\)，使得对每个 \(j \in \{1, \ldots, n\}\)，存在仿射开集 \(U_j \subset X\) 与 \(V_j \subset S\)，满足 \(f(U_j) \subset V_j\) 和 \(g(W_j) \subset U_j\)。由引理 01Z4 及 01Z6，可以（在必要时缩小 \(I\) 后）假设存在与过渡映射相容的仿射开覆盖 \(T_i = W_{1, i} \cup \ldots \cup W_{n, i}\)，并且 \(W_j = \lim_i W_{j, i}\)。把《代数》引理 00QO 应用于仿射概形 \(U_j\)、\(V_j\)、\(W_{j, i}\) 与 \(W_j\) 对应的环；这里使用 \(\mathcal{O}_S(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_j)\) 有限呈示（见《态射》引理 01TQ）。于是对每个 \(j\)，可以找到指标 \(i_j \in I\) 及态射 \(g_{j, i_j} : W_{j, i_j} \to X\)，使得 \(g_{j, i_j} \circ f_i|_{W_j} : W_j \to W_{j, i} \to X\) 等于 \(g|_{W_j}\)。利用已证的 (a) 以及 \(W_{j_1, i} \cap W_{j_2, i}\) 的拟紧性（它由 \(T_i\) 拟分离得出），可以找到指标 \(i' \in I\)，它大于所有 \(i_j\)，并使得 \[g_{j_1, i_{j_1}} \circ f_{i'i_{j_1}}|_{W_{j_1, i'} \cap W_{j_2, i'}} = g_{j_2, i_{j_2}} \circ f_{i'i_{j_2}}|_{W_{j_1, i'} \cap W_{j_2, i'}}\] 对所有 \(j_1, j_2 \in \{1, \ldots, n\}\) 成立。因此各态射 \(g_{j, i_j} \circ f_{i'i_j}|_{W_{j, i'}}\) 可黏合成所需的态射 \(T_{i'} \to X\)。

注

设 \(S\) 是概形。称函子 \(F : (\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\) 保持极限，如果对每个仿射概形有向逆系 \(\{T_i\}_{i \in I}\)，其极限为 \(T\) 时，都有 \(F(T) = \colim_i F(T_i)\)。设 \(X\) 是 \(S\) 上的概形，并设 \(h_X : (\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\) 是其点函子；见《概形》第 01JF 节。用这种术语，命题 01ZC 断言：概形 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限呈示，当且仅当 \(h_X\) 保持极限。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。如果对每个有向极限 \(T = \lim_{i \in I} T_i\)（由 \(S\) 上的仿射概形组成），映射 \[\colim \Mor_S(T_i, X) \longrightarrow \Mor_S(T, X)\] 都满射，则 \(f\) 局部有限呈示。换言之，在命题 01ZC 的 (2) 和 (3) 中，只需检验该映射的满射性。

证明

证明与命题 01ZC 中“(2) 蕴含 (1)”的证明完全相同。任取仿射开集 \(U \subset X\) 与 \(V \subset S\)，使得 \(f(U) \subset V\)。必须证明 \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) 有限呈示。设 \((A_i, \varphi_{ii'})\) 是 \(\mathcal{O}_S(V)\)-代数的有向系。令 \(A = \colim_i A_i\)。根据《代数》引理 00QO，只需证明 \[\colim_i \Hom_{\mathcal{O}_S(V)}(\mathcal{O}_X(U), A_i) \to \Hom_{\mathcal{O}_S(V)}(\mathcal{O}_X(U), A)\] 满射。考察概形 \(T_i = \Spec(A_i)\)。它们组成 \(V\)-概形逆系，以 \(I\) 为指标，其过渡态射 \(f_{ii'} : T_i \to T_{i'}\) 由 \(\mathcal{O}_S(V)\)-代数映射 \(\varphi_{i'i}\) 诱导。令 \(T := \Spec(A) = \lim_i T_i\)。用概形态射集表示，上式化为 \[\colim_i \Mor_V(T_i, U) \to \Mor_V(\lim_i T_i, U)\] 首先注意到 \(\Mor_V(T_i, U) = \Mor_S(T_i, U)\) 以及 \(\Mor_V(T, U) = \Mor_S(T, U)\)。因此必须证明 \[\colim_i \Mor_S(T_i, U) \to \Mor_S(\lim_i T_i, U)\] 满射，而已知 \[\colim_i \Mor_S(T_i, X) \to \Mor_S(\lim_i T_i, X)\] 满射。所以只需证明：给定态射 \(g_i : T_i \to X\)（在 \(S\) 上），若复合 \(T \to T_i \to X\) 的像落在 \(U\) 中，则存在某个 \(i' \geq i\)，使复合 \(g_{i'} : T_{i'} \to T_i \to X\) 的像落在 \(U\) 中。记 \(Z_{i'} = g_{i'}^{-1}(X \setminus U)\)。假设每个 \(Z_{i'}\) 都非空，以导出矛盾。由引理 01Z3，存在一点 \(t\)，它属于 \(T\)，并且映入 \(Z_{i'}\)（对所有 \(i' \geq i\)）。这样的点不映入 \(U\)，矛盾。

下面是命题 01ZC 的一个应用示例。

引理

设 \(S\) 是概形，\(X\) 和 \(Y\) 是 \(S\) 上的概形。假设 \(Y\) 在 \(S\) 上局部有限呈示。设 \(x \in X\) 是闭点，并且 \(U = X \setminus \{x\} \to X\) 拟紧。令 \(V = \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \setminus \{x\}\)，则有双射 \[\left\{ \begin{matrix} \text{morphisms }X \to Y\text{ 相对于 }S \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a, b)\text{ 其中 } a : U \to Y\text{ 且 }b : \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \to Y\\ \text{ are morphisms over }S \text{ which agree over }V \end{matrix} \right\}\]

证明

设 \(W \subset X\) 是 \(x\) 的开邻域。由概形的黏合（见《概形》第 01JA 节），如果考察态射对 \(a : U \to Y\) 与 \(c : W \to Y\)，并要求它们在 \(U \cap W\) 上相同，则结论成立。有 \(\mathcal{O}_{X, x} = \colim \mathcal{O}_W(W)\)，其中 \(W\) 遍历 \(x\) 在 \(X\) 中的仿射开邻域。因此 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}) = \lim W\)，其中 \(W\) 遍历 \(s\) 的仿射开邻域。故由命题 01ZC，任意态射 \(b : \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \to Y\)（在 \(S\) 上）都来自态射 \(c : W \to Y\)，其中 \(W\) 如上（并且 \(c\) 在进一步缩小 \(W\) 后唯一）。对每个满足 \(x \in W\) 的仿射开集，可知 \(U \cap W\) 拟紧，因为 \(U \to X\) 拟紧。因此 \(V = \lim W \cap U = \lim W \setminus \{x\}\) 是拟紧且拟分离概形的极限（见引理 01YX）。所以，如果 \(a\) 与 \(b\) 在 \(V\) 上相同，那么在缩小 \(W\) 后， \(a\) 与 \(c\) 在 \(U \cap W\) 上相同（由同一命题）。引理得证。

相对逼近

我们讨论命题 01ZA 在给定基底上的各种变体。

引理

设 \(f : X \to S\) 是拟紧且拟分离概形之间的态射。则存在有向集 \(I\) 以及态射逆系 \((f_i : X_i \to S_i)\)，后者以 \(I\) 为指标，使得过渡态射 \(X_i \to X_{i'}\) 和 \(S_i \to S_{i'}\) 仿射，\(X_i\) 与 \(S_i\) 均为 \(\mathbf{Z}\) 上有限型的，并且 \((X \to S) = \lim (X_i \to S_i)\)。

证明

按命题 01ZA，写成 \(X = \lim_{a \in A} X_a\) 以及 \(S = \lim_{b \in B} S_b\)；换言之，\(X_a\) 与 \(S_b\) 均为 \(\mathbf{Z}\) 上有限型的，并且过渡态射仿射。

固定 \(b \in B\)。把命题 01ZC 应用于 \(S_b\) 和 \(X = \lim X_a\)（均在 \(\mathbf{Z}\) 上），可找到 \(a \in A\) 及态射 \(f_{a, b} : X_a \to S_b\)，使图 \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r] & S \ar[d] \\ X_a \ar[r] & S_b }\] 交换。令 \(I\) 为以这种方式得到的三元组 \((a, b, f_{a, b})\) 之集合。

设 \((a, b, f_{a, b})\) 与 \((a', b', f_{a', b'})\) 属于 \(I\)。取 \(b'' \leq \min(b, b')\)。再次利用命题 01ZC，存在 \(a'' \geq \max(a, a')\)，使复合 \(X_{a''} \to X_a \to S_b \to S_{b''}\) 与 \(X_{a''} \to X_{a'} \to S_{b'} \to S_{b''}\) 相等。在 \(I\) 上赋予如下预序： \[(a, b, f_{a, b}) \geq (a', b', f_{a', b'}) \Leftrightarrow a \geq a',\ b \geq b',\text{ 且 } g_{b, b'} \circ f_{a, b} = f_{a', b'} \circ h_{a, a'}\] 其中 \(h_{a, a'} : X_a \to X_{a'}\) 与 \(g_{b, b'} : S_b \to S_{b'}\) 是过渡态射。上面的论述表明 \(I\) 有向，且映射 \(I \to A\)、\((a, b, f_{a, b}) \mapsto a\) 以及 \(I \to B\)、\((a, b, f_{a, b})\) 都是共尾的。如果对 \(i = (a, b, f_{a, b})\) 令 \(X_i = X_a\)、\(S_i = S_b\) 且 \(f_i = f_{a, b}\)，便得到以 \(I\) 为指标的态射逆系，并且 \[\lim_{i \in I} X_i = \lim_{a \in A} X_a = X \quad\text{且}\quad \lim_{i \in I} S_i = \lim_{b \in B} S_b = S\] 这由《范畴》引理 002R 得出（回忆：\(I\) 上的极限实际上是与 \(I\) 相伴的反范畴上的极限，所以共尾变为始）。证明完毕。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。假设

\(X\) 拟紧且拟分离；并且

\(S\) 拟分离。

则 \(X = \lim X_i\) 是概形有向系的极限，其中 \(X_i\) 在 \(S\) 上有限呈示，且过渡态射在 \(S\) 上仿射。

证明

由于 \(f(X)\) 拟紧，可以把 \(S\) 替换为一个包含 \(f(X)\) 的拟紧开集。因此可以假设 \(S\) 拟紧。由引理 0GS1，可将 \((X \to S) = \lim (X_i \to S_i)\) 写成某个有向逆系，其中各态射涉及的概形均为 \(\mathbf{Z}\) 上有限型，且过渡态射仿射。由于极限与极限交换（《范畴》引理 002M），有 \(X = \lim X_i \times_{S_i} S\)。设 \(i \geq i'\)，其中二者属于 \(I\)。态射 \(X_i \times_{S_i} S \to X_{i'} \times_{S_{i'}} S\) 是仿射的，因为它是复合 \[X_i \times_{S_i} S \to X_i \times_{S_{i'}} S \to X_{i'} \times_{S_{i'}} S\] 其中第一个态射是闭浸入（由《概形》引理 01KR），第二个态射是仿射态射的基变换（《态射》引理 01SD），而仿射态射的复合仿射（《态射》引理 01SC）。态射 \(f_i\) 有限呈示（《态射》引理 01TX 及 02FV），所以其基变换 \(X_i \times_{f_i, S_i} S \to S\) 也有限呈示（《态射》引理 01TS）。

引理

设 \(X \to S\) 是整态射，且 \(S\) 拟紧并拟分离。则 \(X = \lim X_i\)，其中 \(X_i \to S\) 有限且有限呈示。

证明

考察层 \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\)。这是拟相干 \(\mathcal{O}_S\)-代数层；见《概形》引理 01LC。结合《性质》引理 0817，可将 \(\mathcal{A} = \colim_i \mathcal{A}_i\) 写成有限且有限呈示 \(\mathcal{O}_S\)-代数的滤过余极限。于是 \[X_i = \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}_i) \longrightarrow S\] 是有限且有限呈示的概形态射。按构造，\(X = \lim_i X_i\)，引理得证。

态射性质的下降

本节是第 081A 节对 \(S\) 上态射性质的对应版本。我们将在下列情形中工作。

情形

设 \(S = \lim S_i\) 是带仿射过渡态射的概形有向系之极限（引理 01YX）。设 \(0 \in I\)，并设 \(f_0 : X_0 \to Y_0\) 是 \(S_0\) 上的概形态射。假设 \(S_0\)、\(X_0\)、\(Y_0\) 拟紧且拟分离。设 \(f_i : X_i \to Y_i\) 是 \(f_0\) 到 \(S_i\) 的基变换，并设 \(f : X \to Y\) 是 \(f_0\) 到 \(S\) 的基变换。

引理

记号与假设同情形 081D。如果 \(f\) 仿射，则存在指标 \(i \geq 0\)，使得 \(f_i\) 仿射。

证明

设 \(Y_0 = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} V_{j, 0}\) 是有限仿射开覆盖。令 \(U_{j, 0} = f_0^{-1}(V_{j, 0})\)。对 \(i \geq 0\)，记 \(V_{j, i}\) 为 \(V_{j, 0}\) 在 \(Y_i\) 中的逆像，并令 \(U_{j, i} = f_i^{-1}(V_{j, i})\)。类似地，有 \(U_j = f^{-1}(V_j)\)。于是 \(U_j = \lim_{i \geq 0} U_{j, i}\) （见引理 01YX）。由于按假设 \(U_j\) 仿射，由引理 01Z6 可知， \(U_{j, i}\) 对充分大的 \(i\) 都仿射。因为 \(j\) 只有有限多个，可以选取一个 \(i\)，它对所有 \(j\) 都适用。因此 \(f_i\) 对充分大的 \(i\) 仿射；见《态射》引理 01S8。

引理

记号与假设同情形 081D。如果

\(f\) 是有限态射；并且

\(f_0\) 局部有限型，

则存在 \(i \geq 0\)，使得 \(f_i\) 有限。

证明

有限态射仿射；见《态射》定义 01WH。因此由上面的引理 01ZN，增大 \(0\) 后可假设 \(f_0\) 仿射。把 \(Y_0\) 写成有限多个仿射开集之并，便约化到 \(X_0\) 与 \(Y_0\) 仿射且映入同一个仿射开集 \(W \subset S_0\) 的情形。相应的代数陈述来自《代数》引理 07RG。

引理

记号与假设同情形 081D。如果

\(f\) 非分歧；并且

\(f_0\) 局部有限型，

则存在 \(i \geq 0\)，使得 \(f_i\) 非分歧。

证明

选取有限仿射开覆盖 \(Y_0 = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} Y_{j, 0}\)，使每个 \(Y_{j, 0}\) 都映入仿射开集 \(S_{j, 0} \subset S_0\)。对每个 \(j\)，设 \(f_0^{-1}Y_{j, 0} = \bigcup_{k = 1, \ldots, n_j} X_{k, 0}\) 为有限仿射开覆盖。因为非分歧性是局部的，只需对仿射概形的态射 \(X_{k, i} \to Y_{j, i} \to S_{j, i}\) 证明此引理；这些态射是 \(X_{k, 0} \to Y_{j, 0} \to S_{j, 0}\) 到 \(S_i\) 的基变换。因此约化到 \(X_0, Y_0, S_0\) 均仿射的情形。

在仿射情形，问题约化为以下代数结果。假设 \(R = \colim_{i \in I} R_i\)。对某个 \(0 \in I\)，设给定有限型 \(R_0\)-代数映射 \(A_i \to B_i\)。如果 \(R \otimes_{R_0} A_0 \to R \otimes_{R_0} B_0\) 非分歧，则对某个 \(i \geq 0\)，映射 \(R_i \otimes_{R_0} A_0 \to R_i \otimes_{R_0} B_0\) 非分歧。这来自《代数》引理 0C4F。

引理

记号与假设同情形 081D。如果

\(f\) 是闭浸入；并且

\(f_0\) 局部有限型，

则存在 \(i \geq 0\)，使得 \(f_i\) 是闭浸入。

证明

闭浸入仿射；见《态射》引理 01SE。因此由上面的引理 01ZN，增大 \(0\) 后可假设 \(f_0\) 仿射。把 \(Y_0\) 写成有限多个仿射开集之并，便约化到 \(X_0\) 与 \(Y_0\) 仿射且映入同一个仿射开集 \(W \subset S_0\) 的情形。相应的代数陈述是《代数》引理 07RH 的推论。

引理

记号与假设同情形 081D。如果 \(f\) 分离，则 \(f_i\) 对某个 \(i \geq 0\) 分离。

证明

把引理 01ZP 应用于对角态射 \(\Delta_{X_0/S_0} : X_0 \to X_0 \times_{S_0} X_0\)。这是允许的，因为对角态射局部有限型，并且纤维积 \(X_0 \times_{S_0} X_0\) 拟紧且拟分离；见《概形》引理 01KJ、《态射》引理 01T5 以及《概形》注记 0816。

引理

记号与假设同情形 081D。如果

\(f\) 平坦；

\(f_0\) 局部有限呈示，

则 \(f_i\) 对某个 \(i \geq 0\) 平坦。

证明

选取有限仿射开覆盖 \(Y_0 = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} Y_{j, 0}\)，使每个 \(Y_{j, 0}\) 都映入仿射开集 \(S_{j, 0} \subset S_0\)。对每个 \(j\)，设 \(f_0^{-1}Y_{j, 0} = \bigcup_{k = 1, \ldots, n_j} X_{k, 0}\) 为有限仿射开覆盖。因为平坦性是局部的，只需对仿射概形的态射 \(X_{k, i} \to Y_{j, i} \to S_{j, i}\) 证明此引理；这些态射是 \(X_{k, 0} \to Y_{j, 0} \to S_{j, 0}\) 到 \(S_i\) 的基变换。因此约化到 \(X_0, Y_0, S_0\) 均仿射的情形。

在仿射情形，问题约化为以下代数结果。假设 \(R = \colim_{i \in I} R_i\)。对某个 \(0 \in I\)，设给定有限呈示 \(R_0\)-代数映射 \(A_i \to B_i\)。如果 \(R \otimes_{R_0} A_0 \to R \otimes_{R_0} B_0\) 平坦，则对某个 \(i \geq 0\)，映射 \(R_i \otimes_{R_0} A_0 \to R_i \otimes_{R_0} B_0\) 平坦。这来自《代数》引理 02JO 的第 (3) 部分。

引理

记号与假设同情形 081D。如果

\(f\) 有限局部自由（次数为 \(d\)）；

\(f_0\) 局部有限呈示，

则 \(f_i\) 有限局部自由（次数为 \(d\)），其中 \(i \geq 0\) 为某个指标。

证明

由引理 04AI 及 01ZO，可找到 \(i\)，使 \(f_i\) 平坦且有限。另一方面，\(f_i\) 局部有限呈示。因此由《态射》引理 02KB，\(f_i\) 有限局部自由。如果进一步假设 \(f\) 有限局部自由且次数为 \(d\)，则 \(Y \to Y_i\) 的像包含在开闭轨迹 \(W_d \subset Y_i\) 中；在该轨迹上，\(f_i\) 的次数为 \(d\)。由引理 05F4，对某个 \(i' \geq i\)，\(Y_{i'} \to Y_i\) 的像包含在 \(W_d\) 中。于是 \(f_{i'}\) 有限局部自由且次数为 \(d\)。

引理

记号与假设同情形 081D。如果

\(f\) 光滑；

\(f_0\) 局部有限呈示，

则 \(f_i\) 对某个 \(i \geq 0\) 光滑。

证明

光滑性在源和靶上都是局部的（《态射》引理 01V6），因此可以假设 \(S_0, X_0, Y_0\) 仿射（细节从略）。相应的代数事实是《代数》引理 0C0B。

引理

记号与假设同情形 081D。如果

\(f\) 平展；

\(f_0\) 局部有限呈示，

则 \(f_i\) 对某个 \(i \geq 0\) 平展。

证明

平展性在源和靶上都是局部的（《态射》引理 02GJ），因此可以假设 \(S_0, X_0, Y_0\) 仿射（细节从略）。相应的代数事实是《代数》引理 07RI。

引理

记号与假设同情形 081D。如果

\(f\) 是同构；并且

\(f_0\) 局部有限呈示，

则 \(f_i\) 对某个 \(i \geq 0\) 是同构。

证明

由引理 07RP 及 01ZP，可找到 \(i\)，使 \(f_i\) 平坦且为闭浸入。于是 \(f_i\) 把 \(X_i\) 等同于 \(Y_i\) 的一个开闭子概形；见《态射》引理 0819。按假设，\(Y \to Y_i\) 的像落在 \(f_i(X_i)\) 中。因此由引理 05F4，可知 \(Y_{i'}\) 映入 \(f_i(X_i)\)，其中 \(i' \geq i\) 为某个指标。这蕴含 \(X_{i'} \to Y_{i'}\) 满射，结论得证。

引理

记号与假设同情形 081D。如果

\(f\) 是开浸入；并且

\(f_0\) 局部有限呈示，

则 \(f_i\) 对某个 \(i \geq 0\) 是开浸入。

证明

由引理 07RP，可找到 \(i\)，使 \(f_i\) 平展。于是 \(V_i = f_i(X_i)\) 是 \(Y_i\) 的拟紧开子概形（《态射》引理 03WT）。令 \(V\) 以及 \(V_{i'}\)（\(i' \geq i\)）分别为 \(V_i\) 在 \(Y\) 及 \(Y_{i'}\) 中的逆像。于是 \(f : X \to V\) 是同构（即它是满的开浸入）。所以由引理 081E，\(X_{i'} \to V_{i'}\) 对某个 \(i' \geq i\) 是同构，正合所需。

引理

记号与假设同情形 081D。如果

\(f\) 是浸入；并且

\(f_0\) 局部有限型，

则 \(f_i\) 对某个 \(i \geq 0\) 是浸入。

证明

存在开集 \(V \subset Y\)，使态射 \(f\) 分解为 \(X \to V \to Y\)，并且 \(X \to V\) 是闭浸入；见《概形》第 01IM 节中的讨论。由于 \(X\) 拟紧，可以且确实假设 \(V\) 是 \(Y\) 的拟紧开集。由引理 01Z4，增大 \(0\) 后，可找到拟紧开集 \(V_0 \subset Y_0\)，使 \(V\) 是 \(V_0\) 的逆像。于是 \(V_0\) 在 \(X_0\) 中的逆像是拟紧开集，其在 \(X\) 中的逆像为 \(X\)。因此，把同一引理应用于 \(X = \lim X_i\)，增大 \(0\) 后可假设有分解 \(X_0 \to V_0 \to Y_0\)。于是对充分大的 \(i \geq 0\)，态射 \(X_i \to V_i\)（其中 \(V_i = Y_i \times_{Y_0} V_0\)）由引理 01ZP 可知是闭浸入，证明完成。

引理

记号与假设同情形 081D。如果

\(f\) 是单态射；并且

\(f_0\) 局部有限型，

则 \(f_i\) 对某个 \(i \geq 0\) 是单态射。

证明

回忆，概形态射 \(V \to W\) 是单态射，当且仅当对角态射 \(V \to V \times_W V\) 是同构（《概形》引理 01L3）。态射 \(X_0 \to X_0 \times_{Y_0} X_0\) 由《态射》引理 0818 可知局部有限呈示。由于 \(X_0 \times_{Y_0} X_0\) 拟紧且拟分离（《概形》注记 0816），由引理 081E 可知， \(\Delta_i : X_i \to X_i \times_{Y_i} X_i\) 对某个 \(i \geq 0\) 是同构。对这个 \(i\)，态射 \(f_i\) 是单态射。

引理

记号与假设同情形 081D。如果

\(f\) 满射；并且

\(f_0\) 局部有限呈示，

则存在 \(i \geq 0\)，使得 \(f_i\) 满射。

证明

态射 \(f_0\) 有限呈示。因此 \(E = f_0(X_0)\) 是 \(Y_0\) 的可构造子集；见《态射》引理 054J。由于 \(f_i\) 是 \(f_0\) 沿 \(Y_i \to Y_0\) 的基变换，\(f_i\) 的像就是 \(E\) 在 \(Y_i\) 中的逆像。此外，已知 \(Y \to Y_0\) 映入 \(E\)。因此由引理 05F4 即得结论。

引理

记号与假设同情形 081D。如果

\(f\) 是 syntomic 态射；并且

\(f_0\) 局部有限呈示，

则存在 \(i \geq 0\)，使得 \(f_i\) 是 syntomic 态射。

证明

选取有限仿射开覆盖 \(Y_0 = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} Y_{j, 0}\)，使每个 \(Y_{j, 0}\) 都映入仿射开集 \(S_{j, 0} \subset S_0\)。对每个 \(j\)，设 \(f_0^{-1}Y_{j, 0} = \bigcup_{k = 1, \ldots, n_j} X_{k, 0}\) 为有限仿射开覆盖。因为 syntomic 性是局部的，只需对仿射概形的态射 \(X_{k, i} \to Y_{j, i} \to S_{j, i}\) 证明此引理；这些态射是 \(X_{k, 0} \to Y_{j, 0} \to S_{j, 0}\) 到 \(S_i\) 的基变换。因此约化到 \(X_0, Y_0, S_0\) 均仿射的情形。

在仿射情形，问题约化为以下代数结果。假设 \(R = \colim_{i \in I} R_i\)。对某个 \(0 \in I\)，设给定有限呈示 \(R_0\)-代数映射 \(A_i \to B_i\)。如果 \(R \otimes_{R_0} A_0 \to R \otimes_{R_0} B_0\) 是 syntomic 态射，则对某个 \(i \geq 0\)，映射 \(R_i \otimes_{R_0} A_0 \to R_i \otimes_{R_0} B_0\) 是 syntomic 态射。这来自《代数》引理 0C33。

有限型概形闭嵌入有限呈示概形

这类结果可见 [Kiehl, Satz 2.10]。另一个参考文献是 [Conrad-Nagata]。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。假设：

态射 \(f\) 局部有限型。

概形 \(X\) 拟紧且拟分离。

则存在有限呈示态射 \(f' : X' \to S\)，以及浸入 \(X \to X'\)，后者是 \(S\) 上的概形态射。

证明

由命题 01ZA，可写成 \(X = \lim_i X_i\)，其中每个 \(X_i\) 都是 \(\mathbf{Z}\) 上有限型的，过渡态射 \(f_{ii'} : X_i \to X_{i'}\) 仿射。考察交换图 \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[rd] & X_{i, S} \ar[r] \ar[d] & X_i \ar[d] \\ & S \ar[r] & \Spec(\mathbf{Z}) }\] 注意，\(X_i\) 在 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上有限呈示；见《态射》引理 01TX。所以由《态射》引理 01TS，基变换 \(X_{i, S} \to S\) 有限呈示。因此只需证明，箭头 \(X \to X_{i, S}\) 对充分大的 \(i\) 是浸入。

为此，选取有限仿射开覆盖 \(X = V_1 \cup \ldots \cup V_n\)，使 \(f\) 把每个 \(V_j\) 映入某个仿射开集 \(U_j \subset S\)。设 \(h_{j, a} \in \mathcal{O}_X(V_j)\) 是有限组元素，它们生成 \(\mathcal{O}_X(V_j)\) 作为 \(\mathcal{O}_S(U_j)\)-代数；见《态射》引理 01T2。由引理 01Z4 及 01Z6，可以（在必要时缩小 \(I\) 后）假设存在与过渡映射相容的仿射开覆盖 \(X_i = V_{1, i} \cup \ldots \cup V_{n, i}\)，使 \(V_j = \lim_i V_{j, i}\)。由引理 01Z0，可以把 \(i\) 取得充分大，使每个 \(h_{j, a}\) 都来自某个元素 \(h_{j, a, i} \in \mathcal{O}_{X_i}(V_{j, i})\)。于是下图中的箭头 \[V_j \longrightarrow U_j \times_{\Spec(\mathbf{Z})} V_{j, i} = (V_{j, i})_{U_j} \subset (V_{j, i})_S \subset X_{i, S}\] 是闭浸入。由于 \(\bigcup (V_{j, i})_{U_j}\) 构成 \(X_{i, S}\) 的一个开集，并且 \((V_{j, i})_{U_j}\) 在 \(X\) 中的逆像是 \(V_j\)，可知 \(X \to X_{i, S}\) 是浸入。

注

如果不对 \(S\) 和态射 \(f : X \to S\) 作更多假设，就不能把结论加强。例如，一般不能找到如引理所述的闭浸入 \(X \to X'\)。原因是这将蕴含 \(f\) 拟紧，而事实未必如此。一个例子是：令 \(S\) 为把无限维仿射空间的 \(0\) 加倍所得的概形，并取 \(X\) 为这两个无限维仿射空间之一。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。假设：

态射 \(f\) 属于局部有限型。

概形 \(X\) 拟紧且拟分离；并且

概形 \(S\) 拟分离。

则存在有限呈示态射 \(f' : X' \to S\)，以及闭浸入 \(X \to X'\)，后者是 \(S\) 上的概形态射。

证明

由上面的引理 01ZE，存在有限呈示态射 \(Y \to S\) 及浸入 \(i : X \to Y\)，后者是 \(S\) 上的概形态射。对每个点 \(x \in X\)，存在仿射开集 \(V_x \subset Y\)，使 \(i^{-1}(V_x) \to V_x\) 是闭浸入。由于 \(X\) 拟紧，可以找到有限多个仿射开集 \(V_1, \ldots, V_n \subset Y\)，使得 \(i(X) \subset V_1 \cup \ldots \cup V_n\)，且 \(i^{-1}(V_j) \to V_j\) 是闭浸入。换言之， \(i : X \to X' = V_1 \cup \ldots \cup V_n\) 是 \(S\) 上概形的闭浸入。由于 \(S\) 拟分离，且 \(Y\) 在 \(S\) 上拟分离，由《概形》引理 01KU 可知 \(Y\) 拟分离。所以开浸入 \(X' = V_1 \cup \ldots \cup V_n \to Y\) 拟紧。这蕴含 \(X' \to Y\) 有限呈示；见《态射》引理 01TU。由于 \(X' \to Y \to S\) 是有限呈示态射的复合，故它有限呈示（见《态射》引理 01TR），从而得出结论。

引理

设 \(X \to Y\) 是概形的闭浸入。假设 \(Y\) 拟紧且拟分离。则 \(X\) 可写成有向极限 \(X = \lim X_i\)，其中各项均为 \(Y\) 上的概形，且 \(X_i \to Y\) 是有限呈示的闭浸入。

证明

设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Y\) 是把 \(X\) 定义为 \(Y\) 的闭子概形的拟相干理想层。由《性质》引理 01PG，可将 \(\mathcal{I}\) 写成它的有限型拟相干理想层之有向余极限 \(\mathcal{I} = \colim_{i \in I} \mathcal{I}_i\)。设 \(X_i \subset Y\) 是由 \(\mathcal{I}_i\) 定义的闭子概形。它们组成以 \(I\) 为指标的概形逆系。过渡态射 \(X_i \to X_{i'}\) 仿射，因为它们是闭浸入。每个 \(X_i\) 拟紧且拟分离，因为它是 \(Y\) 的闭子概形，而按假设 \(Y\) 拟紧且拟分离。有 \(X = \lim_i X_i\)；这直接来自 \(\mathcal{I} = \colim_{i \in I} \mathcal{I}_a\) 这一事实。每个态射 \(X_i \to Y\) 都有限呈示；见《态射》引理 01TV。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。假设

态射 \(f\) 属于局部有限型。

概形 \(X\) 拟紧且拟分离；并且

概形 \(S\) 拟分离。

则 \(X = \lim X_i\)，其中 \(X_i \to S\) 有限呈示，\(X_i\) 拟紧且拟分离，而过渡态射 \(X_{i'} \to X_i\) 是闭浸入（这蕴含 \(X \to X_i\) 对所有 \(i\) 都是闭浸入）。

证明

由引理 01ZG，存在闭浸入 \(X \to Y\)，其中 \(Y \to S\) 有限呈示。由《概形》引理 01KU，\(Y\) 拟分离。由于 \(X\) 拟紧，可以假设 \(Y\) 拟紧：只需把 \(Y\) 替换为一个包含 \(X\) 的拟紧开集。由引理 09ZP，可知 \(X = \lim X_i\)，其中 \(X_i \to Y\) 是有限呈示的闭浸入。由《态射》引理 01TR，态射 \(X_i \to S\) 有限呈示。

命题

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。假设

\(f\) 有限型且分离；并且

\(S\) 拟紧且拟分离。

则存在分离的有限呈示态射 \(f' : X' \to S\)，以及闭浸入 \(X \to X'\)，后者是 \(S\) 上的概形态射。

证明

应用引理 09ZQ。由引理 01ZH，\(X_i \to S\) 对充分大的 \(i\) 分离，因为已经假设 \(X \to S\) 分离。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。假设

\(f\) 有限；并且

\(S\) 拟紧且拟分离。

则存在有限且有限呈示的态射 \(f' : X' \to S\)，以及闭浸入 \(X \to X'\)，后者是 \(S\) 上的概形态射。

证明

可以按引理 09ZQ 写成 \(X = \lim X_i\)。应用引理 09ZN 可知， \(X_i \to S\) 对充分大的 \(i\) 有限。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。假设

\(f\) 有限；并且

\(S\) 拟紧且拟分离。

则 \(X\) 是有向极限 \(X = \lim X_i\)，其中过渡映射是闭浸入，各对象 \(X_i\) 在 \(S\) 上有限且有限呈示。

证明

可以按引理 09ZQ 写成 \(X = \lim X_i\)。应用引理 09ZN 可知， \(X_i \to S\) 对充分大的 \(i\) 有限。

相对对象的下降

下面的引理是本节这类结果的典型例子。我们完整写出这个“标准”证明。与其阅读此证明，读者或许能更快地自行确信该结果成立。

引理

设 \(I\) 是有向集。设 \((S_i, f_{ii'})\) 是以 \(I\) 为指标的概形逆系。假设

态射 \(f_{ii'} : S_i \to S_{i'}\) 仿射；

概形 \(S_i\) 拟紧且拟分离。

令 \(S = \lim_i S_i\)。则有：

对任意有限呈示态射 \(X \to S\)，存在指标 \(i \in I\) 和有限呈示态射 \(X_i \to S_i\)，使 \(X \cong X_{i, S}\) 是 \(S\) 上概形的同构。

给定指标 \(i \in I\)、概形 \(X_i\)、\(Y_i\)（它们在 \(S_i\) 上有限呈示），以及态射 \(\varphi : X_{i, S} \to Y_{i, S}\)（它在 \(S\) 上），存在指标 \(i' \geq i\) 和态射 \(\varphi_{i'} : X_{i, S_{i'}} \to Y_{i, S_{i'}}\)，其到 \(S\) 的基变换为 \(\varphi\)。

给定指标 \(i \in I\)、概形 \(X_i\)、\(Y_i\)（它们在 \(S_i\) 上有限呈示），以及一对态射 \(\varphi_i, \psi_i : X_i \to Y_i\)；若其基变换相等，即 \(\varphi_{i, S} = \psi_{i, S}\)，则存在指标 \(i' \geq i\)，使得 \(\varphi_{i, S_{i'}} = \psi_{i, S_{i'}}\)。

换言之，\(S\) 上有限呈示概形的范畴，是在 \(I\) 上取余极限所得；该图中的各项为 \(S_i\) 上有限呈示概形的范畴。

证明

如果每个概形 \(S_i\) 都仿射，并且只考虑 \(S_i\) 上（相应地，\(S\) 上）有限呈示的仿射概形，则此引理等价于《代数》引理 05N9。我们断言，仿射情形蕴含一般情形的引理。

先证明 (3)。设给定指标 \(i \in I\)、概形 \(X_i\)、\(Y_i\)（它们在 \(S_i\) 上有限呈示）及一对态射 \(\varphi_i, \psi_i : X_i \to Y_i\)。假设基变换相等：\(\varphi_{i, S} = \psi_{i, S}\)。采用记号 \(X_{i'} = X_{i, S_{i'}}\) 和 \(Y_{i'} = Y_{i, S_{i'}}\)，其中 \(i' \geq i\)。还令 \(X = X_{i, S}\) 和 \(Y = Y_{i, S}\)。由引理 01YZ，有 \(X = \lim_{i' \geq i} X_{i'}\)，对 \(Y\) 也同样成立。此外，用 \(\varphi_{i'}\) 和 \(\psi_{i'}\) （相应地，\(\varphi\) 和 \(\psi\)）表示 \(\varphi_i\) 和 \(\psi_i\) 到 \(S_{i'}\)（相应地，到 \(S\)）的基变换。因此假设意味着 \(\varphi = \psi\)。由于 \(Y_i\) 和 \(X_i\) 在 \(S_i\) 上有限呈示，而 \(S_i\) 拟紧且拟分离，所以 \(X_i\) 和 \(Y_i\) 也拟紧且拟分离（见《态射》引理 01TY）。因此可选取有限仿射开覆盖 \(Y_i = \bigcup V_{j, i}\)，使每个 \(V_{j, i}\) 都映入 \(S_i\) 的一个仿射开集。如上，用 \(V_{j, i'}\) 表示 \(V_{j, i}\) 在 \(Y_{i'}\) 中的逆像，用 \(V_j\) 表示它在 \(Y\) 中的逆像。浸入 \(V_{j, i'} \to Y_{i'}\) 拟紧，而逆像 \(U_{j, i'} = \varphi_i^{-1}(V_{j, i'})\) 和 \(U_{j, i'}' = \psi_i^{-1}(V_{j, i'})\) 是 \(X_{i'}\) 的拟紧开集。按假设，\(V_j\) 在 \(\varphi\) 和 \(\psi\) 下于 \(X\) 中的逆像相等。因此由引理 01Z4，存在指标 \(i' \geq i\)，使得 \(U_{j, i'} = U_{j, i'}'\) 在 \(X_{i'}\) 中成立。选取有限仿射开覆盖 \(U_{j, i'} = U_{j, i'}' = \bigcup W_{j, k, i'}\)；它诱导覆盖 \(U_{j, i''} = U_{j, i''}' = \bigcup W_{j, k, i''}\)，对所有 \(i'' \geq i'\) 均如此。由仿射情形，存在指标 \(i''\)，使 \(\varphi_{i''}|_{W_{j, k, i''}} = \psi_{i''}|_{W_{j, k, i''}}\) 对所有 \(j, k\) 都成立。于是 \(i''\) 是使 \(\varphi_{i''} = \psi_{i''}\) 成立的指标，(3) 得证。

再证明 (2)。设给定指标 \(i \in I\)、概形 \(X_i\)、\(Y_i\)（它们在 \(S_i\) 上有限呈示）及态射 \(\varphi : X_{i, S} \to Y_{i, S}\)。采用记号 \(X_{i'} = X_{i, S_{i'}}\) 和 \(Y_{i'} = Y_{i, S_{i'}}\)，其中 \(i' \geq i\)。还令 \(X = X_{i, S}\) 和 \(Y = Y_{i, S}\)。由引理 01YZ，有 \(X = \lim_{i' \geq i} X_{i'}\)，对 \(Y\) 也同样成立。由于 \(Y_i\) 和 \(X_i\) 在 \(S_i\) 上有限呈示，而 \(S_i\) 拟紧且拟分离，所以 \(X_i\) 和 \(Y_i\) 也拟紧且拟分离（见《态射》引理 01TY）。因此可选取有限仿射开覆盖 \(Y_i = \bigcup V_{j, i}\)，使每个 \(V_{j, i}\) 都映入 \(S_i\) 的一个仿射开集。如上，用 \(V_{j, i'}\) 表示 \(V_{j, i}\) 在 \(Y_{i'}\) 中的逆像，用 \(V_j\) 表示它在 \(Y\) 中的逆像。浸入 \(V_j \to Y\) 拟紧，而逆像 \(U_j = \varphi^{-1}(V_j)\) 是 \(X\) 的拟紧开集。因此由引理 01Z4，存在指标 \(i' \geq i\) 以及拟紧开集 \(U_{j, i'}\)（它属于 \(X_{i'}\)），其在 \(X\) 中的逆像是 \(U_j\)。选取有限仿射开覆盖 \(U_{j, i'} = \bigcup W_{j, k, i'}\)；它诱导仿射开覆盖 \(U_{j, i''} = \bigcup W_{j, k, i''}\)（对所有 \(i'' \geq i'\)），并诱导仿射开覆盖 \(U_j = \bigcup W_{j, k}\)。由仿射情形，存在指标 \(i''\) 和态射 \(\varphi_{j, k, i''} : W_{j, k, i''} \to V_{j, i''}\)，使 \(\varphi|_{W_{j, k}} = \varphi_{j, k, i'', S}\) 对所有 \(j, k\) 都成立。由上面已证的 (3)，存在更大的指标 \(i''' \geq i''\)，使得 \[\varphi_{j_1, k_1, i'', S_{i'''}}|_{W_{j_1, k_1, i'''} \cap W_{j_2, k_2, i'''}} = \varphi_{j_2, k_2, i'', S_{i'''}}|_{W_{j_1, k_1, i'''} \cap W_{j_2, k_2, i'''}}\] 对所有 \(j_1, j_2, k_1, k_2\) 成立。于是 \(i'''\) 是这样的指标：存在态射 \(\varphi_{i'''} : X_{i'''} \to Y_{i'''}\)，其到 \(S\) 的基变换给出 \(\varphi\)。故 (2) 成立。

最后证明 (1)。设给定概形 \(X\)，它在 \(S\) 上有限呈示。由于 \(X\) 在 \(S\) 上有限呈示，而 \(S\) 拟紧且拟分离，所以 \(X\) 也拟紧且拟分离（见《态射》引理 01TY）。选取有限仿射开覆盖 \(X = \bigcup U_j\)，使每个 \(U_j\) 都映入仿射开集 \(V_j \subset S\)。记 \(U_{j_1j_2} = U_{j_1} \cap U_{j_2}\) 及 \(U_{j_1j_2j_3} = U_{j_1} \cap U_{j_2} \cap U_{j_3}\)。由引理 01Z4 及 01Z6，可以找到指标 \(i_1\) 和仿射开集 \(V_{j, i_1} \subset S_{i_1}\)，使每个 \(V_j\) 都是它在 \(S\) 中的逆像。令 \(V_{j, i}\) 为 \(V_{j, i_1}\) 在 \(S_i\) 中的逆像，其中 \(i \geq i_1\)。由仿射情形，可以找到指标 \(i_2 \geq i_1\) 和仿射概形 \(U_{j, i_2} \to V_{j, i_2}\)，使 \(U_j = S \times_{S_{i_2}} U_{j, i_2}\) 是其基变换。记 \(U_{j, i} = S_i \times_{S_{i_2}} U_{j, i_2}\)，其中 \(i \geq i_2\)。由引理 01Z4，存在指标 \(i_3 \geq i_2\) 及开子概形 \(W_{j_1, j_2, i_3} \subset U_{j_1, i_3}\)，其到 \(S\) 的基变换等于 \(U_{j_1j_2}\)。记 \(W_{j_1, j_2, i} = S_i \times_{S_{i_3}} W_{j_1, j_2, i_3}\)，其中 \(i \geq i_3\)。由上面已证的 (2)，存在指标 \(i_4 \geq i_3\) 和态射 \(\varphi_{j_1, j_2, i_4} : W_{j_1, j_2, i_4} \to W_{j_2, j_1, i_4}\)，其到 \(S\) 的基变换给出恒等态射 \(U_{j_1j_2} = U_{j_2j_1}\)，对所有 \(j_1, j_2\) 都如此。对所有 \(i \geq i_4\)，记其基变换为 \(\varphi_{j_1, j_2, i} = \text{id}_S \times \varphi_{j_1, j_2, i_4}\)。我们断言，对某个 \(i_5 \geq i_4\)，系统 \(((U_{j, i_5})_j, (W_{j_1, j_2, i_5})_{j_1, j_2}, (\varphi_{j_1, j_2, i_5})_{j_1, j_2})\) 构成《概形》第 01JA 节所述的黏合资料。为此，需要验证：对充分大的 \(i\)，有 \[\varphi_{j_1, j_2, i}^{-1}(W_{j_2, j_1, i} \cap W_{j_2, j_3, i}) = W_{j_1, j_2, i} \cap W_{j_1, j_3, i}\] 并且对充分大的 \(i\)，余圈条件成立。第一个条件来自引理 01Z4 及事实 \(U_{j_2j_1j_3} = U_{j_1j_2j_3}\)。第二个条件来自上面已证的引理 (3)，以及恒等映射 \(\text{id} : U_{j_1j_2} \to U_{j_2j_1}\) 满足余圈条件这一事实。现在可以应用《概形》引理 01JC，黏合系统

\(((U_{j, i_5})_j, (W_{j_1, j_2, i_5})_{j_1, j_2}, (\varphi_{j_1, j_2, i_5})_{j_1, j_2})\)

由此得到概形 \(X_{i_5} \to S_{i_5}\)。按构造，\(X_{i_5}\) 到 \(S\) 的基变换，是把仿射开集 \(U_j\) 沿开集 \(U_{j_1} \leftarrow U_{j_1j_2} \rightarrow U_{j_2}\) 黏合而成的。因此如所需，有 \(S \times_{S_{i_5}} X_{i_5} \cong X\)。

引理

设 \(I\) 是有向集。设 \((S_i, f_{ii'})\) 是以 \(I\) 为指标的概形逆系。假设

所有态射 \(f_{ii'} : S_i \to S_{i'}\) 都仿射；

所有概形 \(S_i\) 都拟紧且拟分离。

令 \(S = \lim_i S_i\)。则有：

对任意有限呈示的 \(\mathcal{O}_S\)-模层 \(\mathcal{F}\)，存在指标 \(i \in I\) 和有限呈示的 \(\mathcal{O}_{S_i}\)-模层 \(\mathcal{F}_i\)，使得 \(\mathcal{F} \cong f_i^*\mathcal{F}_i\)。

设给定指标 \(i \in I\)、有限呈示的 \(\mathcal{O}_{S_i}\)-模层 \(\mathcal{F}_i\)、\(\mathcal{G}_i\)，以及态射 \(\varphi : f_i^*\mathcal{F}_i \to f_i^*\mathcal{G}_i\)（它在 \(S\) 上）。则存在指标 \(i' \geq i\) 和态射 \(\varphi_{i'} : f_{i'i}^*\mathcal{F}_i \to f_{i'i}^*\mathcal{G}_i\)，其到 \(S\) 的基变换是 \(\varphi\)。

设给定指标 \(i \in I\)、有限呈示的 \(\mathcal{O}_{S_i}\)-模层 \(\mathcal{F}_i\)、\(\mathcal{G}_i\)，以及一对态射 \(\varphi_i, \psi_i : \mathcal{F}_i \to \mathcal{G}_i\)。假设其基变换相等： \(f_i^*\varphi_i = f_i^*\psi_i\)。则存在指标 \(i' \geq i\)，使得 \(f_{i'i}^*\varphi_i = f_{i'i}^*\psi_i\)。

换言之，\(S\) 上有限呈示模的范畴，是在 \(I\) 上取余极限所得；该图中的各项为 \(S_i\) 上有限呈示模的范畴。

证明

我们概述两个证明，但省略细节。

第一种证明。若 \(S\) 和 \(S_i\) 都是仿射概形，则此引理等价于《代数》引理 05N7。一般情形用 Zariski 黏合从仿射情形推出。

第二种证明。我们使用：

拟相干 \(\mathcal{O}_S\)-模与 \(S\) 上向量丛的范畴之间存在等价；见《构造》第 01M1 节；并且

向量丛 \(\mathbf{V}(\mathcal{F}) \to S\) 在 \(S\) 上有限呈示，当且仅当 \(\mathcal{F}\) 是有限呈示的 \(\mathcal{O}_S\)-模。

由此，可以使用引理 01ZM 证明： \(S\) 上有限呈示向量丛的范畴，是在 \(I\) 上取余极限所得；该图中的各项为 \(S_i\) 上的向量丛范畴。

引理

设 \(S = \lim S_i\) 是拟紧且拟分离概形 \(S_i\) 所成有向系的极限，过渡态射仿射。则

任意有限局部自由 \(\mathcal{O}_S\)-模都是某个有限局部自由 \(\mathcal{O}_{S_i}\)-模的拉回，其中指标为 \(i\)；

任意可逆 \(\mathcal{O}_S\)-模都是某个可逆 \(\mathcal{O}_{S_i}\)-模的拉回，其中指标为 \(i\)；并且

任意有限型拟相干理想 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_S\) 都具有形式 \(\mathcal{I}_i \cdot \mathcal{O}_S\)，其中某个 \(i\) 的 \(\mathcal{I}_i \subset \mathcal{O}_{S_i}\) 是有限型拟相干理想。

证明

设 \(\mathcal{E}\) 是有限局部自由 \(\mathcal{O}_S\)-模。由于有限局部自由模有限呈示，可以找到 \(i\) 和有限呈示的 \(\mathcal{O}_{S_i}\)-模 \(\mathcal{E}_i\)，使得 \(f_i^*\mathcal{E}_i \cong \mathcal{E}\)；见引理 01ZR。增大 \(i\) 后，可以假设 \(\mathcal{E}_i\) 是平坦 \(\mathcal{O}_{S_i}\)-模；见《代数》引理 02JO。（使用此引理并非必要，但较为方便。）于是由《代数》引理 00NX，\(\mathcal{E}_i\) 有限局部自由。

如果 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_S\)-模，则由上可找到 \(i\) 以及有限局部自由 \(\mathcal{O}_{S_i}\)-模 \(\mathcal{L}_i\) 和 \(\mathcal{N}_i\)，它们分别拉回为 \(\mathcal{L}\) 和 \(\mathcal{L}^{\otimes -1}\)。必要时增大 \(i\) 后，映射 \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X\) 下降为映射 \(\mathcal{L}_i \otimes_{\mathcal{O}_{S_i}} \mathcal{N}_i \to \mathcal{O}_{S_i}\)。进一步增大 \(i\) 后，可以假设它是同构。于是 \(\mathcal{L}_i\) 是可逆模（《模》引理 0B8K），(2) 得证。

给定 (3) 中的 \(\mathcal{I}\)，可见 \(\mathcal{O}_S \to \mathcal{O}_S/\mathcal{I}\) 是有限呈示 \(\mathcal{O}_S\)-模之间的映射。因此由引理 01ZR，它是某个映射 \(\mathcal{O}_{S_i} \to \mathcal{F}_i\) 的拉回；该映射位于有限呈示 \(\mathcal{O}_{S_i}\)-模之间。增大 \(i\) 后，可以假设此映射满射（略去细节；提示：在仿射开覆盖上使用《代数》引理 05LI）。于是 \(\mathcal{O}_{S_i} \to \mathcal{F}_i\) 的核是 \(\mathcal{O}_{S_i}\) 中的有限型拟相干理想，其拉回给出 \(\mathcal{I}\)。

引理

记号与假设同引理 01ZM。令 \(i \in I\)。设 \(\varphi_i : X_i \to Y_i\) 是 \(S_i\) 上有限呈示概形之间的态射，且 \(\mathcal{F}_i\) 是有限呈示拟相干 \(\mathcal{O}_{X_i}\)-模。如果 \(\mathcal{F}_i\) 到 \(X_i \times_{S_i} S\) 的拉回在 \(Y_i \times_{S_i} S\) 上平坦，则存在指标 \(i' \geq i\)，使得 \(\mathcal{F}_i\) 到 \(X_i \times_{S_i} S_{i'}\) 的拉回在 \(Y_i \times_{S_i} S_{i'}\) 上平坦。

证明

（此引理是引理 04AI 的模版本。）对 \(i' \geq i\)，记 \(X_{i'} = S_{i'} \times_{S_i} X_i\)、 \(\mathcal{F}_{i'} = (X_{i'} \to X_i)^*\mathcal{F}_i\)；对 \(Y_{i'}\) 也采用类似记号。用 \(\varphi_{i'}\) 表示 \(\varphi_i\) 到 \(S_{i'}\) 的基变换。还令 \(X = S \times_{S_i} X_i\)、\(Y =S \times_{S_i} X_i\)、 \(\mathcal{F} = (X \to X_i)^*\mathcal{F}_i\)，并用 \(\varphi\) 表示 \(\varphi_i\) 到 \(S\) 的基变换。取有限仿射开覆盖 \(Y_i = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} V_{j, i}\)，使每个 \(V_{j, i}\) 都映入 \(S_i\) 的某个仿射开集。对每个 \(j = 1, \ldots m\)，取有限仿射开覆盖 \(\varphi_i^{-1}(V_{j, i}) = \bigcup_{k = 1, \ldots, m(j)} U_{k, j, i}\)。对 \(i' \geq i\)，用 \(V_{j, i'}\) 表示 \(V_{j, i}\) 在 \(Y_{i'}\) 中的逆像，用 \(U_{k, j, i'}\) 表示 \(U_{k, j, i}\) 在 \(X_{i'}\) 中的逆像。类似地，有 \(U_{k, j} \subset X\) 和 \(V_j \subset Y\)。于是 \(U_{k, j} = \lim_{i' \geq i} U_{k, j, i'}\)，且 \(V_j = \lim_{i' \geq i} V_j\)（见引理 01YX）。由于 \(X_{i'} = \bigcup_{k, j} U_{k, j, i'}\) 是有限开覆盖，只需对每个态射 \(U_{k, j, i} \to V_{j, i}\) 及层 \(\mathcal{F}_i|_{U_{k, j, i}}\) 证明此引理。因此引理约化到 \(X_i\) 和 \(Y_i\) 均仿射且映入 \(S_i\) 的一个仿射开集的情形；也就是说，还可假设 \(S\) 仿射。

在仿射情形，问题约化为以下代数结果。假设 \(R = \colim_{i \in I} R_i\)。对某个 \(i \in I\)，设给定映射 \(A_i \to B_i\)，其两端是有限呈示 \(R_i\)-代数。设 \(N_i\) 是有限呈示 \(B_i\)-模。那么，如果 \(R \otimes_{R_i} N_i\) 在 \(R \otimes_{R_i} A_i\) 上平坦，则对某个 \(i' \geq i\)，模 \(R_{i'} \otimes_{R_i} N_i\) 在 \(R_{i'} \otimes_{R_i} A\) 上平坦。这正是《代数》引理 02JO (3) 中证明的结果。

引理

对概形 \(T\)，用 \(\mathcal{C}_T\) 表示概形 \(W\) 所成的全子范畴；这些概形在 \(T\) 上，\(W\) 拟紧且拟分离，并且结构态射 \(W \to T\) 局部有限呈示。设 \(S = \lim S_i\) 是具有仿射过渡态射的概形有向极限。则由基变换函子给出范畴等价 \[\colim \mathcal{C}_{S_i} \longrightarrow \mathcal{C}_S\] 。

警告：如果不了解此引理与引理 01ZM 之间的差别，请勿使用此引理。

证明

全忠实性。设有 \(i \in I\) 及对象 \(X_i\)、\(Y_i\)，它们属于 \(\mathcal{C}_{S_i}\)。记 \(X = X_i \times_{S_i} S\) 和 \(Y = Y_i \times_{S_i} S\)。设给定态射 \(f : X \to Y\)，它在 \(S\) 上。可以选取有限仿射开覆盖 \(Y_i = V_{i, 1} \cup \ldots \cup V_{i, m}\)，使 \(V_{i, j} \to Y_i \to S_i\) 映入某个仿射开集 \(W_{i, j}\)，后者属于 \(S_i\)。用 \(Y = V_1 \cup \ldots \cup V_m\) 表示 \(Y\) 上诱导出的仿射开覆盖。由于 \(f : X \to Y\) 拟紧（《概形》引理 03GI），增大 \(i\) 后，可以假设存在由拟紧开集组成的有限开覆盖 \(X_i = U_{i, 1} \cup \ldots \cup U_{i, m}\)，使 \(U_{i, j}\) 在 \(Y\) 中的逆像为 \(f^{-1}(V_j)\)；见引理 01Z4。对 \(f|_{f^{-1}(V_j)}\) 应用引理 01ZM；这里的底为 \(W_j\)。增大 \(i\) 后，可以假设存在态射 \(f_{i, j} : V_{i, j} \to U_{i, j}\)，它在 \(S\) 上，且其到 \(S\) 的基变换为 \(f|_{f^{-1}(V_j)}\)。进一步增大 \(i\) 后，可以假设 \(f_{i, j}\) 和 \(f_{i, j'}\) 在拟紧开集 \(U_{i, j} \cap U_{i, j'}\) 上一致。于是可以黏合这些态射，得到所需态射 \(f_i : X_i \to Y_i\)。此态射唯一（允许增大 \(i\)），因为态射 \(f_{i, j}\) 具有该唯一性。

为证明该函子本质满射，以完全相同的方式论证。具体地，设 \(X\) 是 \(\mathcal{C}_S\) 的对象。选取 \(i \in I\)。可以选取有限仿射开覆盖 \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_m\)，使 \(U_j \to X \to S \to S_i\) 通过仿射开集 \(W_{i, j} \subset S_i\) 分解。令 \(W_j = W_{i, j} \times_{S_i} S\)。这是 \(S\) 的仿射开集。由引理 01ZM，增大 \(i\) 后，可以假设存在有限呈示态射 \(U_{i, j} \to W_{i, j}\)，其到 \(W_j\) 的基变换为 \(U_j\)。增大 \(i\) 后，可以假设存在拟紧开集 \(U_{i, j, j'} \subset U_{i, j}\)，其到 \(S\) 的基变换等于 \(U_j \cap U_{j'}\)。断言：增大 \(i\) 后，可以假设态射 \(U_{i, j, j'} \to U_{i, j} \to W_{i, j}\) 的像落在 \(W_{i, j} \cap W_{i, j'}\) 中。事实上， \(W_{i, j} \cap W_{i, j'}\) 的补集在仿射概形 \(W_{i, j}\) 中闭，因而仿射。由于 \(U_j \cap U_{j'} = \lim U_{i, j, j'}\) 的确映入 \(W_{i, j} \cap W_{i, j'}\)，可以应用引理 05F3 得到断言。因此可将二者 \[U_{i, j, j'} \quad\text{且}\quad U_{i, j', j}\] 视为 \(W_{i, j'}\) 上的概形；它们到 \(W_{j'}\) 的基变换都恢复 \(U_j \cap U_{j'}\)。所以增大 \(i\) 后，利用引理 01ZM，可以假设存在同构 \(U_{i, j, j'} \to U_{i, j', j}\)，它在 \(W_{i, j'}\) 上，从而也在 \(S_i\) 上。进一步增大 \(i\) 后（略去细节），可以假设这些同构满足《概形》第 01JA 节所述的余圈条件。应用《概形》引理 01JB，得到对象 \(X_i\)，它属于 \(\mathcal{C}_{S_i}\)；其到 \(S\) 的基变换同构于 \(X\)，我们略去一些验证。

仿射概形的刻画

如果 \(f : X \to S\) 是概形的满整态射且 \(X\) 是仿射概形，则 \(S\) 也仿射。见 [Conrad-Nagata, A.2]。我们的证明依赖 Noether 情形；该情形已在《概形上同调》引理 01YQ 中陈述并证明。另见 [EGA, II 6.7.1]。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。假设 \(f\) 满且有限，并假设 \(X\) 仿射。则 \(S\) 仿射。

证明

由于 \(f\) 满且 \(X\) 拟紧，可知 \(S\) 拟紧。由于 \(X\) 分离，而 \(f\) 满且万有闭（《态射》引理 01WM），可知 \(S\) 分离（《态射》引理 09MQ）。

由引理 09YY，可写成 \(X = \lim_a X_a\)，其中 \(X_a \to S\) 有限且有限呈示。由引理 01Z6，\(X_a\) 对某个 \(a \in A\) 仿射。把 \(X\) 替换为 \(X_a\) 后，可以假设 \(X \to S\) 满、有限且有限呈示，并且 \(X\) 仿射。

由命题 01ZA，可以把 \(S = \lim_{i \in I} S_i\) 写成 \(\mathbf{Z}\) 上有限型概形的有向极限。由引理 01ZM，缩小 \(I\) 后，可以假设存在有限呈示概形 \(X_i \to S_i\)，使 \(X_{i'} = X_i \times_S S_{i'}\) 对 \(i' \geq i\) 成立，且 \(X = \lim_i X_i\)。再由引理 01ZO，还可假设 \(X_i \to S_i\) 对所有 \(i \in I\) 都有限。再次应用引理 01Z6，可以假设 \(X_i\) 对所有 \(i \in I\) 都仿射。因此结果来自 Noether 情形；见《概形上同调》引理 01YQ。

命题

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。假设 \(X\) 仿射，且 \(f\) 满并万有闭 ²。则 \(S\) 仿射。

证明

由《态射》引理 09MQ，概形 \(S\) 分离。再由《态射》引理 01SG，可知 \(f\) 仿射。于是由《态射》引理 01WM，可知 \(f\) 整。

由前一段，可以假设 \(f : X \to S\) 满且整，\(X\) 仿射，并且 \(S\) 分离。由于 \(f\) 满且 \(X\) 拟紧，还可推出 \(S\) 拟紧。

由引理 09YZ，可写成 \(X = \lim_i X_i\)，其中 \(X_i \to S\) 有限。由引理 01Z6，对充分大的 \(i\)，概形 \(X_i\) 仿射。此外，由于 \(X \to S\) 通过每个 \(X_i\) 分解，可知 \(X_i \to S\) 满。故由引理 01ZT 可得 \(S\) 仿射。

引理

设概形 \(X\) 在集合论意义下是有限多个仿射闭子概形的并。则 \(X\) 仿射。

证明

设 \(Z_i \subset X\)（\(i = 1, \ldots, n\)）是仿射闭子概形，并且在集合论意义下 \(X = \bigcup Z_i\)。则 \(\coprod Z_i \to X\) 满且整，其源仿射。故由命题 05YU，\(X\) 仿射。

引理

设 \(i : Z \to X\) 是概形的闭浸入，并诱导底拓扑空间之间的同胚。设 \(\mathcal{L}\) 是 \(X\) 上的可逆层。则 \(i^*\mathcal{L}\) 在 \(Z\) 上丰沛，当且仅当 \(\mathcal{L}\) 在 \(X\) 上丰沛。

证明

如果 \(\mathcal{L}\) 丰沛，则 \(i^*\mathcal{L}\) 丰沛；例如这来自《态射》引理 0892。假设 \(i^*\mathcal{L}\) 丰沛。则 \(Z\) 拟紧（《性质》定义 01PS）且分离（《性质》引理 09MP）。由于 \(i\) 满，可知 \(X\) 拟紧。由于 \(i\) 万有闭且满，可知 \(X\) 分离（《态射》引理 09MQ）。

由命题 01ZA，可将 \(X = \lim X_i\) 写成 \(\mathbf{Z}\) 上有限型概形的有向极限，过渡态射仿射。可以找到 \(i\) 和可逆层 \(\mathcal{L}_i\)（它在 \(X_i\) 上），其到 \(X\) 的拉回同构于 \(\mathcal{L}\)；见引理 01ZR。

对每个 \(i\)，设 \(Z_i \subset X_i\) 是态射 \(Z \to X_i\) 的概形论像。如果 \(\Spec(A_i) \subset X_i\) 是仿射开子概形，其逆像为 \(\Spec(A)\) （逆像取在 \(X\) 中），并且 \(Z \cap \Spec(A)\) 由理想 \(I \subset A\) 定义，则 \(Z_i \cap \Spec(A_i)\) 由理想 \(I_i \subset A_i\) 定义；后者是 \(I\) 在 \(A_i\) 中关于环映射 \(A_i \to A\) 的逆像。见《态射》例 056A。由于 \(\colim A_i/I_i = A/I\)，可知 \(\lim Z_i = Z\)。由引理 09MT，\(\mathcal{L}_i|_{Z_i}\) 对某个 \(i\) 丰沛。由于 \(Z\)，从而 \(X\)，在集合论意义下映入 \(Z_i\)，由引理 05F4，\(X_{i'} \to X_i\) 在集合论意义下映入 \(Z_i\)，对某个 \(i' \geq i\) 如此。（注意，由于 \(X_i\) Noether，\(X_i\) 的每个闭子集都可构造。）设 \(T \subset X_{i'}\) 是 \(Z_i\) 在 \(X_{i'}\) 中的概形论逆像。注意，\(\mathcal{L}_{i'}|_T\) 是 \(\mathcal{L}_i|_{Z_i}\) 的拉回，故由《态射》引理 0892 及 \(T \to Z_i\) 是仿射态射这一事实，它丰沛。于是由《概形上同调》引理 09MS， \(\mathcal{L}_{i'}\) 在 \(X_{i'}\) 上丰沛。将其拉回到 \(X\) （使用与上面相同的引理），可知 \(\mathcal{L}\) 丰沛。

引理

设 \(i : Z \to X\) 是概形的闭浸入，并诱导底拓扑空间之间的同胚。则 \(X\) 拟仿射，当且仅当 \(Z\) 拟仿射。

证明

回忆，概形拟仿射，当且仅当其结构层丰沛；见《性质》引理 01QE。因此，如果 \(Z\) 拟仿射，则 \(\mathcal{O}_Z\) 丰沛；由引理 09MW， \(\mathcal{O}_X\) 丰沛，因而 \(X\) 拟仿射。反过来的证明也可用初等方式看出，只需逆向阅读刚才的论证。

下面的引理其实不属于本节。

引理

设 \(X\) 是概形。设 \(\mathcal{L}\) 是 \(X\) 上的丰沛可逆层。假设有概形态射 \[\Spec(k) \leftarrow \Spec(A) \to W \subset X\] ，其中 \(k\) 是域，\(A\) 是整 \(k\)-代数，\(W\) 在 \(X\) 中开。则存在 \(n > 0\) 及截面 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\)，使得 \(X_s\) 仿射、\(X_s \subset W\)，并且 \(\Spec(A) \to W\) 通过 \(X_s\) 分解。

证明

由于 \(\Spec(A)\) 拟紧，可以把 \(W\) 替换为一个仍包含 \(\Spec(A) \to X\) 之像的拟紧开集。回忆，由于存在丰沛可逆层，\(X\) 拟分离且拟紧；见《性质》定义 01PS 及引理 01PY。由命题 01ZA，可将 \(X = \lim X_i\) 写成 \(\mathbf{Z}\) 上有限型概形的有向系之极限，过渡态射仿射。对某个 \(i\)，丰沛可逆层 \(\mathcal{L}\)（它在 \(X\) 上）下降为丰沛可逆层 \(\mathcal{L}_i\)（它在 \(X_i\) 上），而开集 \(W\) 是某个拟紧开集 \(W_i \subset X_i\) 的逆像；见引理 09MT、 0B8W 及 01Z4。可以把 \(X, W, \mathcal{L}\) 替换为 \(X_i, W_i, \mathcal{L}_i\)，并假设 \(X\) 在 \(\mathbf{Z}\) 上有限呈示。把 \(A = \colim A_j\) 写成其有限 \(k\)-子代数的余极限。于是对某个 \(j\)，态射 \(\Spec(A) \to X\) 通过态射 \(\Spec(A_j) \to X\) 分解；见命题 01ZC。由于 \(\Spec(A_j)\) 有限，问题约化为《性质》引理 09NV。

Chow 引理的变体

本节证明 Chow 引理的若干变体。最有意义的版本大概就是 Noether 情形；我们已在《概形上同调》第 02O2 节中陈述并证明。

引理

设 \(S\) 是拟紧且拟分离概形。设 \(f : X \to S\) 是有限型分离态射。则存在 \(n \geq 0\) 及图 \[\xymatrix{ X \ar[rd] & X' \ar[d] \ar[l]^\pi \ar[r] & \mathbf{P}^n_S \ar[dl] \\ & S & }\] ，其中 \(X' \to \mathbf{P}^n_S\) 是浸入，而 \(\pi : X' \to X\) 固有且满。

证明

由命题 01ZJ，可以找到闭浸入 \(X \to Y\)，其中 \(Y\) 在 \(S\) 上分离且有限呈示。显然，如果对 \(Y\) 证明了断言，则 \(X\) 的结果也随之成立。因此可以假设 \(X\) 在 \(S\) 上有限呈示。

将 \(S = \lim_i S_i\) 写成 Noether 概形的有向极限；见命题 01ZA。由引理 01ZM，可以找到指标 \(i \in I\) 和有限呈示概形 \(X_i \to S_i\)，使得 \(X = S \times_{S_i} X_i\)。由引理 01ZQ，可以假设 \(X_i \to S_i\) 分离。显然，如果对 \(X_i\)（它在 \(S_i\) 上）证明了断言，则 \(X\) 的断言成立。态射 \(X_i \to S_i\) 的情形由《概形上同调》引理 0200 处理。

注

在 Chow 引理 0202 的情形下：

态射 \(\pi\) 事实上是 H-射影的（因而射影；见《态射》引理 01W9），因为态射 \(X' \to \mathbf{P}^n_S \times_S X = \mathbf{P}^n_X\) 是闭浸入（使用 \(\pi\) 固有这一事实；见《态射》引理 01W6）。

可以假设 \(X'\) 既约，因为可将 \(X'\) 替换为它的既约化，而不改变引理的其他断言。

可以假设 \(X' \to X\) 有限呈示，而不改变引理的其他断言。这可从引理 0202 的证明推出，也可直接证明如下。由 (1)，有闭浸入 \(X' \to \mathbf{P}^n_X\)。由引理 09ZP，可写成 \(X' = \lim X'_i\)，其中 \(X'_i \to \mathbf{P}^n_X\) 是有限呈示闭浸入。特别地，\(X'_i \to X\) 有限呈示、固有且满。由引理 081B，对充分大的 \(i\)，态射 \(X'_i \to \mathbf{P}^n_S\) 是浸入。把 \(X'\) 替换为 \(X'_i\)，即得所需结论。

当然，一般不能同时实现 (2) 和 (3)。

下面是 Chow 引理的一个变体，其中假设上方的概形只有有限多个不可约分支。

引理

设 \(S\) 是拟紧且拟分离概形。设 \(f : X \to S\) 是有限型分离态射。假设 \(X\) 有有限多个不可约分支。则存在 \(n \geq 0\) 及图 \[\xymatrix{ X \ar[rd] & X' \ar[d] \ar[l]^\pi \ar[r] & \mathbf{P}^n_S \ar[dl] \\ & S & }\] ，其中 \(X' \to \mathbf{P}^n_S\) 是浸入，而 \(\pi : X' \to X\) 固有且满。此外，存在稠密开子概形 \(U \subset X\)，使得 \(\pi^{-1}(U) \to U\) 是概形同构。

证明

设 \(X = Z_1 \cup \ldots \cup Z_n\) 是 \(X\) 的不可约分支分解。设 \(\eta_j \in Z_j\) 为一般点。

证明至少有两种进行方式。第一种是重做《概形上同调》引理 0200 的证明，使用一般的《性质》引理 01ZX 在 \(X\) 中寻找合适的仿射开集。（这是“标准”证明。）第二种是像上面引理 0202 的证明那样，使用绝对 Noether 逼近。这里采用第二种方式。

由命题 01ZJ，可以找到闭浸入 \(X \to Y\)，其中 \(Y\) 在 \(S\) 上分离且有限呈示。将 \(S = \lim_i S_i\) 写成 Noether 概形的有向极限；见命题 01ZA。由引理 01ZM，可以找到指标 \(i \in I\) 和有限呈示概形 \(Y_i \to S_i\)，使得 \(Y = S \times_{S_i} Y_i\)。由引理 01ZQ，可以假设 \(Y_i \to S_i\) 分离。有图 \[\xymatrix{ \eta_j \in Z_j \ar[r] & X \ar[r] \ar[rd] & Y \ar[r] \ar[d] & Y_i \ar[d] \\ & & S \ar[r] & S_i }\] 。用 \(h : X \to Y_i\) 表示该复合。

对 \(i' \geq i\)，记 \(Y_{i'} = S_{i'} \times_{S_i} Y_i\)。则 \(Y = \lim_{i' \geq i} Y_{i'}\)；见引理 01YZ。选取 \(j, j' \in \{1, \ldots, n\}\)， \(j \not = j'\)。注意，\(\eta_j\) 不是 \(\eta_{j'}\) 的特殊化。由引理 01YY，可将 \(i\) 替换为更大的指标，并假设 \(h(\eta_j)\) 不是 \(h(\eta_{j'})\) 的特殊化，对所有上述指标对 \((j, j')\) 都如此。对这样的指标，设 \(Y' \subset Y_i\) 是 \(h : X \to Y_i\) 的概形论像；见《态射》定义 01R7。态射 \(h\) 拟紧，因为它是拟紧态射 \(X \to Y\) 和 \(Y \to Y_i\) （后者仿射）的复合。因此由《态射》引理 01R8，态射 \(X \to Y'\) 支配。故 \(Y'\) 的一般点全都包含在集合 \(\{h(\eta_1), \ldots, h(\eta_n)\}\) 中；见《态射》引理 01RL。由于没有一个 \(h(\eta_j)\) 是另一个的特殊化，可知点 \(h(\eta_1), \ldots, h(\eta_n)\) 两两不同，且每个都是 \(Y'\) 的一般点。

对态射 \(Y' \to S_i\) 应用上面的《概形上同调》引理 0200。得到图 \[\xymatrix{ Y' \ar[rd] & Y^* \ar[d] \ar[l]^\pi \ar[r] & \mathbf{P}^n_{S_i} \ar[dl] \\ & S_i & }\] ，使得 \(\pi\) 固有且满，并且在稠密开子概形 \(V \subset Y'\) 上是同构。由上面对 \(i\) 的选取，知道 \(h(\eta_1), \ldots, h(\eta_n) \in V\)。考察交换图 \[\xymatrix{ X' \ar@{=}[r] & X \times_{Y'} Y^* \ar[r] \ar[d] & Y^* \ar[r] \ar[d] & \mathbf{P}^n_{S_i} \ar[ddl] \\ & X \ar[r] \ar[d] & Y' \ar[d] & \\ & S \ar[r] & S_i & }\] 。注意，\(X' \to X\) 在开子概形 \(U = h^{-1}(V)\) 上是同构；后者包含每个 \(\eta_j\)，因而在 \(X\) 中稠密。由此得出 \(X \leftarrow X' \rightarrow \mathbf{P}^n_S\) 是引理中问题的一个解。

Chow 引理的应用

下面是 Chow 引理的第一个应用。

引理

假设与记号同情形 081D。如果

\(f\) 固有；并且

\(f_0\) 局部有限型，

则存在 \(i\)，使得 \(f_i\) 固有。

证明

由引理 01ZQ，\(f_i\) 对某个 \(i \geq 0\) 分离。把 \(0\) 替换为 \(i\) 后，可以假设 \(f_0\) 分离。注意，\(f_0\) 拟紧；见《概形》引理 03GI。由引理 0202，可选取图 \[\xymatrix{ X_0 \ar[rd] & X_0' \ar[d] \ar[l]^\pi \ar[r] & \mathbf{P}^n_{Y_0} \ar[dl] \\ & Y_0 & }\] ，其中 \(X_0' \to \mathbf{P}^n_{Y_0}\) 是浸入，而 \(\pi : X_0' \to X_0\) 固有且满。引入 \(X' = X_0' \times_{Y_0} Y\) 和 \(X_i' = X_0' \times_{Y_0} Y_i\)。由《态射》引理 01W3 及 01W4，可知 \(X' \to Y\) 固有。所以 \(X' \to \mathbf{P}^n_Y\) 是闭浸入（《态射》引理 01W6）。由《态射》引理 03GN，只需证明 \(X'_i \to Y_i\) 对某个 \(i\) 固有。由引理 01ZP， \(X'_i \to \mathbf{P}^n_{Y_i}\) 对充分大的 \(i\) 是闭浸入。于是 \(X'_i \to Y_i\) 固有，证毕。

引理

设 \(f : X \to S\) 是固有态射，且 \(S\) 拟紧且拟分离。则 \(X = \lim X_i\) 是概形的有向极限，其中 \(X_i\) 在 \(S\) 上固有且有限呈示，所有过渡态射及态射 \(X \to X_i\) 都是闭浸入。

证明

由命题 01ZJ，可以找到闭浸入 \(X \to Y\)，其中 \(Y\) 在 \(S\) 上分离且有限呈示。由引理 0202，可以找到图 \[\xymatrix{ Y \ar[rd] & Y' \ar[d] \ar[l]^\pi \ar[r] & \mathbf{P}^n_S \ar[dl] \\ & S & }\] ，其中 \(Y' \to \mathbf{P}^n_S\) 是浸入，而 \(\pi : Y' \to Y\) 固有且满。由引理 09ZP，可写成 \(X = \lim X_i\)，其中 \(X_i \to Y\) 是有限呈示闭浸入。用 \(X'_i \subset Y'\)（相应地，\(X' \subset Y'\)）表示 \(X_i \subset Y\)（相应地，\(X \subset Y\)）的概形论逆像。则 \(\lim X'_i = X'\)。由于 \(X' \to S\) 固有（《态射》引理 01W3），可知 \(X' \to \mathbf{P}^n_S\) 是闭浸入（《态射》引理 01W6）。因此由引理 0A0N，对充分大的 \(i\)， \(X'_i \to \mathbf{P}^n_S\) 是闭浸入。于是 \(X'_i\) 在 \(S\) 上固有。对这样的 \(i\)，由《态射》引理 03GN，态射 \(X_i \to S\) 固有。

引理

设 \(f : X \to S\) 是固有态射，且 \(S\) 拟紧且拟分离。则存在有向集 \(I\) 及概形态射逆系 \((f_i : X_i \to S_i)\)，它以 \(I\) 为指标，并使得过渡态射 \(X_i \to X_{i'}\) 和 \(S_i \to S_{i'}\) 仿射，\(f_i\) 固有，\(S_i\) 在 \(\mathbf{Z}\) 上有限型，并且 \((X \to S) = \lim (X_i \to S_i)\)。

证明

由引理 09ZR，可写成 \(X = \lim_{k \in K} X_k\)，其中 \(X_k \to S\) 固有且有限呈示。接着，由绝对 Noether 逼近（命题 01ZA），可写成 \(S = \lim_{j \in J} S_j\)，其中 \(S_j\) 在 \(\mathbf{Z}\) 上有限型。对每个 \(k\)，存在 \(j\) 和有限呈示态射 \(X_{k, j} \to S_j\)，使 \(X_k \cong S \times_{S_j} X_{k, j}\) 是 \(S\) 上概形的同构；见引理 01ZM。增大 \(j\) 后，可以假设 \(X_{k, j} \to S_j\) 固有；见引理 081F。集合 \(I\) 将由这些指标对 \((k, j)\) 组成，而相应的态射为 \(X_{k, j} \to S_j\)。对每个 \(k' \geq k\)，可以找到 \(j' \geq j\) 以及态射 \(X_{j', k'} \to X_{j, k}\)，它位于 \(S_{j'} \to S_j\) 上，且其到 \(S\) 的基变换给出态射 \(X_{k'} \to X_k\)（再次由引理 01ZM）。这些态射构成该系统的过渡态射。略去一些细节。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(X = \lim X_i\) 是具有仿射过渡态射的 \(S\) 上概形有向极限。设 \(Y \to X\) 是 \(S\) 上概形的态射。如果 \(Y \to X\) 固有、\(X_i\) 拟紧且拟分离，并且 \(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型，则 \(Y \to X_i\) 对充分大的 \(i\) 固有。

证明

选取闭浸入 \(Y \to Y'\)，其中 \(Y'\) 在 \(X\) 上固有且有限呈示；见引理 09ZR。然后选取 \(i\) 及固有态射 \(Y'_i \to X_i\)，使 \(Y' = X \times_{X_i} Y'_i\)。由引理 01ZM 及 081F，这是可能的。然后用更大的指标替换 \(i\) 后，\(Y \to Y'_i\) 是闭浸入；见引理 081B。

回忆有限型拟相干模的概形论支集；见《态射》定义 05JV。

引理

假设与记号同情形 081D。设 \(\mathcal{F}_0\) 是拟相干 \(\mathcal{O}_{X_0}\)-模。用 \(\mathcal{F}\) 和 \(\mathcal{F}_i\) 表示 \(\mathcal{F}_0\) 到 \(X\) 和 \(X_i\) 的拉回。假设

\(f_0\) 局部有限型；

\(\mathcal{F}_0\) 有限型；

\(\mathcal{F}\) 的概形论支集在 \(Y\) 上固有。

则 \(\mathcal{F}_i\) 的概形论支集在 \(Y_i\) 上固有，对某个 \(i\) 如此。

证明

可以把 \(X_0\) 替换为 \(\mathcal{F}_0\) 的概形论支集。由《态射》引理 056J，这保证 \(X_i\) 是 \(\mathcal{F}_i\) 的支集，而 \(X\) 是 \(\mathcal{F}\) 的支集。于是，若 \(Z \subset X\) 表示 \(\mathcal{F}\) 的概形论支集，则可知 \(Z \to X\) 是泛同胚。由《态射》引理 03GN，可得 \(X \to Y\) 固有，因为按假设 \(Z \to Y\) 固有。由引理 081F，\(X_i \to Y\) 对某个 \(i\) 固有。于是由《态射》引理 01W5 及 01W3，概形论支集 \(Z_i\)（属于 \(\mathcal{F}_i\)）在 \(Y\) 上固有。

万有闭态射

本节讨论拟紧但未必分离的态射何时万有闭。先证明一个引理，借此可在局部有限呈示的基变换之后检验万有闭性。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形的拟紧态射。设 \(g : T \to S\) 是概形态射。设 \(t \in T\) 为一点，而 \(Z \subset X_T\) 是闭子概形，满足 \(Z \cap X_t = \emptyset\)。则存在开邻域 \(V \subset T\)（它包含点 \(t\)）、交换图 \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & T' \ar[d]^b \\ T \ar[r]^g & S, }\] 以及闭子概形 \(Z' \subset X_{T'}\)，使得

态射 \(b : T' \to S\) 局部有限呈示；

令 \(t' = a(t)\)，则 \(Z' \cap X_{t'} = \emptyset\)；并且

\(Z \cap X_V\) 映入 \(Z'\)，所经态射为 \(X_V \to X_{T'}\)。

此外，可以假设 \(V\) 和 \(T'\) 仿射。

证明

令 \(s = g(t)\)。在证明过程中，总可以把 \(T\) 替换为 \(t\) 的开邻域，因而也可把 \(S\) 替换为 \(s\) 的开邻域。因此可以并且确实假设 \(T\) 和 \(S\) 仿射。记 \(S = \Spec(A)\)、\(T = \Spec(B)\)，\(g\) 由环映射 \(A \to B\) 给出，而 \(t\) 对应于素理想 \(\mathfrak q \subset B\)。

由于 \(X \to S\) 拟紧且 \(S\) 仿射，可以把 \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i\) 写成有限多个仿射开集的并。写 \(U_i = \Spec(C_i)\)。特别地， \(X_T = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_{i, T} = \bigcup_{i = 1, \ldots n} \Spec(C_i \otimes_A B)\)。设 \(I_i \subset C_i \otimes_A B\) 是对应于闭子概形 \(Z \cap U_{i, T}\) 的理想。条件 \(Z \cap X_t = \emptyset\) 表示 \(I_i\) 在环 \[C_i \otimes_A \kappa(\mathfrak q) = (B \setminus \mathfrak q)^{-1}\left( C_i \otimes_A B/\mathfrak q C_i \otimes_A B \right)\] 中生成单位理想。由于 \(I_i (B \setminus \mathfrak q)^{-1}(C_i \otimes_A B) = (B \setminus \mathfrak q)^{-1} I_i\)，这意味着 \(1 = x_i/g_i\)，其中某个 \(x_i \in I_i\) 和 \(g_i \in B\) 满足 \(g_i \not \in \mathfrak q\)。所以清除分母后，可以找到形如 \[x_i + \sum\nolimits_j f_{i, j}c_{i, j} = g_i\] 的关系，其中 \(x_i \in I_i\)、\(f_{i, j} \in \mathfrak q\)、 \(c_{i, j} \in C_i \otimes_A B\)，并且 \(g_i \in B\)、 \(g_i \not \in \mathfrak q\)。把 \(B\) 替换为 \(B_{g_1 \ldots g_n}\)，即把 \(T\) 替换为 \(t\) 的更小仿射邻域后，可以假设方程为 \[x_i + \sum\nolimits_j f_{i, j}c_{i, j} = 1\] ，其中 \(x_i \in I_i\)、\(f_{i, j} \in \mathfrak q\)、 \(c_{i, j} \in C_i \otimes_A B\)。

为完成论证，把 \(B\) 写成有限呈示 \(A\)-代数 \(B_\lambda\) 在有向集 \(\Lambda\) 上的余极限。对每个 \(\lambda\)，令 \(\mathfrak q_\lambda = (B_\lambda \to B)^{-1}(\mathfrak q)\)。对充分大的 \(\lambda \in \Lambda\)，可以找到

元素 \(x_{i, \lambda} \in C_i \otimes_A B_\lambda\)，它映为 \(x_i\)；

元素 \(f_{i, j, \lambda} \in \mathfrak q_{i, \lambda}\)，它们映为 \(f_{i, j}\)；并且

元素 \(c_{i, j, \lambda} \in C_i \otimes_A B_\lambda\)，它们映为 \(c_{i, j}\)。

再增大一点 \(\lambda\) 后，方程 \[x_{i, \lambda} + \sum\nolimits_j f_{i, j, \lambda}c_{i, j, \lambda} = 1\] 成立。固定这样的 \(\lambda\)，并令 \(T' = \Spec(B_\lambda)\)。则 \(t' \in T'\) 是对应于素理想 \(\mathfrak q_\lambda\) 的点。最后，设 \(Z' \subset X_{T'}\) 为 \(Z \to X_T \to X_{T'}\) 的概形论像。由于 \(X_T \to X_{T'}\) 仿射，可以把 \(Z'\) 在仿射开片 \(U_{i, T'}\) 上计算为对应于 \(\Ker(C_i \otimes_A B_\lambda \to C_i \otimes_A B/I_i)\) 的闭子概形；见《态射》例 056A。因此 \(x_{i, \lambda}\) 属于定义 \(Z'\) 的理想。故最后一个显示方程表明 \(Z' \cap X_{t'}\) 为空。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形的拟紧态射。下列条件等价：

\(f\) 万有闭；

对每个局部有限呈示的态射 \(S' \to S\)，基变换 \(X_{S'} \to S'\) 都是闭映射；并且

对每个 \(n\)，态射 \(\mathbf{A}^n \times X \to \mathbf{A}^n \times S\) 都是闭映射。

证明

显然 (1) 蕴含 (2)。下面证明 (2) 蕴含 (1)。假设基变换 \(X_T \to T\) 对某个概形 \(T\)（它在 \(S\) 上）不是闭映射。由《概形》引理 01K9，这意味着存在某个特化 \(t_1 \leadsto t\) 于 \(T\) 中，以及点 \(\xi \in X_T\)，它映到 \(t_1\)，使得 \(\xi\) 不能特化到 \(t\) 上纤维中的点。令 \(Z = \overline{\{\xi\}} \subset X_T\)。则 \(Z \cap X_t = \emptyset\)。应用引理 05BD，得到开邻域 \(V \subset T\)（它包含点 \(t\)）、交换图 \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & T' \ar[d]^b \\ T \ar[r]^g & S, }\] 以及闭子概形 \(Z' \subset X_{T'}\)，使得

态射 \(b : T' \to S\) 局部有限呈示；

令 \(t' = a(t)\)，则 \(Z' \cap X_{t'} = \emptyset\)；并且

\(Z \cap X_V\) 映入 \(Z'\)，所经态射为 \(X_V \to X_{T'}\)。

这显然意味着 \(X_{T'} \to T'\) 把闭子集 \(Z'\) 映到 \(T'\) 的一个子集，后者包含 \(a(t_1)\)，却不包含 \(t' = a(t)\)。由于 \(a(t_1) \leadsto a(t) = t'\)，可知 \(X_{T'} \to T'\) 不是闭映射。因此已经证明： \(X \to S\) 非万有闭蕴含 \(X_{T'} \to T'\) 对某个局部有限呈示的 \(T' \to S\) 不是闭映射。换言之，(2) 蕴含 (1)。

假设 \(\mathbf{A}^n \times X \to \mathbf{A}^n \times S\) 对每个整数 \(n\) 都是闭映射。要证明：\(X_T \to T\) 对每个概形 \(T\)（它在 \(S\) 上局部有限呈示）都是闭映射。当然，可以假设 \(T\) 仿射，并且映入一个仿射开集 \(V\)，后者是 \(S\) 的开集（因为 \(X_T \to T\) 为闭映射是 \(T\) 上的局部性质）。此时存在闭浸入 \(T \to \mathbf{A}^n \times V\)，因为 \(\mathcal{O}_T(T)\) 是有限呈示 \(\mathcal{O}_S(V)\)-代数；见《态射》引理 01TQ。于是 \(T \to \mathbf{A}^n \times S\) 是局部闭浸入。因此得到概形的笛卡尔图 \[\xymatrix{ X_T \ar[d]_{f_T} \ar[r] & \mathbf{A}^n \times X \ar[d]^{f_n} \\ T \ar[r] & \mathbf{A}^n \times S }\] ，其中水平箭头都是局部闭浸入。因此任意闭子集 \(Z \subset X_T\) 都可写成 \(X_T \cap Z'\)，其中 \(Z' \subset \mathbf{A}^n \times X\) 为闭子集。于是 \(f_T(Z) = T \cap f_n(Z')\)；可见若 \(f_n\) 是闭映射，则 \(f_T\) 也是闭映射。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(f : X \to S\) 是分离有限型态射。下列条件等价：

态射 \(f\) 固有。

对任意局部有限型的态射 \(S' \to S\)，基变换 \(X_{S'} \to S'\) 是闭映射。

对每个 \(n \geq 0\)，态射 \(\mathbf{A}^n \times X \to \mathbf{A}^n \times S\) 是闭映射。

证明

固有态射恰好就是分离、有限型且万有闭的态射；据此，本引理是引理 05JX 的一个特例。

证明

显然 (1) 蕴含 (2)，而 (2) 蕴含 (3)，故只需证明 (3) 蕴含 (1)。先归约到 \(S\) 仿射的情形。假设当基概形仿射时 (3) 蕴含 (1)。现在设 \(f: X \to S\) 是分离有限型态射。固有性在基概形上是局部的（见《态射》引理 01W2）；因此，若 \(S = \bigcup_\alpha S_\alpha\) 是仿射开覆盖，并记 \(X_\alpha := f^{-1}(S_\alpha)\)，则只需证明 \(f|_{X_\alpha}: X_\alpha \to S_\alpha\) 对所有 \(\alpha\) 都固有。由于 \(S_\alpha\) 仿射，若映射 \(f|_{X_\alpha}\) 满足 (3)，则依假设它满足 (1)，从而固有。为完成向 \(S\) 仿射情形的归约，必须证明：若分离有限型态射 \(f: X \to S\) 满足 (3)，则 \(f|_{X_\alpha} : X_\alpha \to S_\alpha\) 是满足 (3) 的分离有限型态射。分离性和有限型性是显然的。为验证 (3)，注意到 \(\mathbf{A}^n \times X_\alpha\) 是 \(\mathbf{A}^n \times S_\alpha\) 在映射 \(1 \times f\) 下的开逆像。固定闭集 \(Z \subset \mathbf A^n \times X_\alpha\)。令 \(\bar Z\) 为 \(Z\) 在 \(\mathbf{A}^n \times X\) 中的闭包。则由拓扑理由， \[1 \times f(\bar Z) \cap \mathbf{A}^n \times S_\alpha = 1 \times f(Z).\] 所以 \(1 \times f(Z)\) 闭，而 (3) \(\Rightarrow\) (1) 的证明已经归约到仿射情形。

假设 \(S\) 仿射，而 \(f : X \to S\) 分离且有限型。应用 Chow 引理 0202，得到固有满射 \(\pi : X' \to X\)，以及浸入 \(X' \to \mathbf{P}^n_S\)。若 \(X\) 在 \(S\) 上固有，则 \(X' \to S\) 固有（《态射》引理 01W3）。由于 \(\mathbf{P}^n_S \to S\) 分离，可知 \(X' \to \mathbf{P}^n_S\) 固有（《态射》引理 01W6），因而是闭浸入（《概形》引理 01IQ）。反之，假设 \(X' \to \mathbf{P}^n_S\) 是闭浸入。考虑图： [05LZ]\[\begin{equation} \xymatrix{ X' \ar[r] \ar@{->>}[d]_{\pi} & \mathbf{P}^n_S \ar[d] \\ X \ar[r]^f & S } \end{equation}\] 除 \(X \to S\) 外，所有映射先验地都是固有的。因而由《态射》引理 03GN 可知 \(X \to S\) 固有。所以已经证明：\(X \to S\) 固有，当且仅当 \(X' \to \mathbf{P}^n_S\) 是闭浸入。

假设 \(S\) 仿射且 (3) 成立，并取如上的 \(n, X', \pi\)。由于一个态射为闭映射在基概形上是局部的，映射 \(X \times \mathbf{P}^n \to S \times \mathbf{P}^n\) 是闭映射：由 (3)，\(X \times \mathbf{A}^n \to S \times \mathbf{A}^n\) 是闭映射，而射影空间由仿射 \(n\)-空间的若干副本覆盖；见《构造》引理 01NG。由《态射》引理 01W4，态射 \[X' \times_S \mathbf{P}^n_S \to X \times_S \mathbf{P}^n_S = X \times \mathbf{P}^n\] 固有。由于 \(\mathbf{P}^n\) 分离，投影 \[X' \times_S \mathbf{P}^n_S = \mathbf{P}^n_{X'} \to X'\] 是分离的，因为它只是一个分离态射的基变换。因此映射 \(X' \to X' \times_S \mathbf{P}^n_S\) 固有，因为它是一个分离映射的截面（见《概形》引理 01KT）。复合这些态射 \[X' \to X' \times_S \mathbf{P}^n_S \to X \times_S \mathbf{P}^n_S = X \times \mathbf{P}^n \to S \times \mathbf{P}^n = \mathbf{P}^n_S\] ，便发现浸入 \(X' \to \mathbf{P}^n_S\) 是闭映射，因而是闭浸入。

Noether 型赋值判据

若基概形为 Noether 概形，则只用离散赋值环便可证明赋值判据成立。

本节的许多结果都可以（或许也应该）借助下述引理证明，尽管我们并非总是这样做。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。假设 \(f\) 有限型且 \(Y\) 局部 Noether。设 \(y \in Y\) 是 \(f\) 的像的闭包中的一点。则存在交换图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r] & Y }\] ，其中 \(A\) 是离散赋值环，而 \(K\) 是它的分式域；该图把 \(\Spec(A)\) 的闭点映到 \(y\)。此外，可以假设 \(\Spec(K) \to X\) 的像点是某个一般点 \(\eta\)，它属于 \(X\) 的一个不可约分支，且 \(K = \kappa(\eta)\)。

证明

由本引理的非 Noether 版本（《态射》引理 02JQ），存在一点 \(x \in X\)，使 \(f(x)\) 特化到 \(y\)。可以用任意特化到 \(x\) 的点替换 \(x\)，因而可假设 \(x\) 是 \(X\) 的某个不可约分支的一般点。这给出环映射 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \kappa(x)\)（见《概形》第 01J5 节）。令 \(R \subset \kappa(x)\) 为其像。则 \(R\) 是 Noether 局部环 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 的商，故为 Noether 环。另一方面，\(\kappa(x)\) 是 \(R\) 的分式域的有限生成扩张，因为 \(f\) 有限型。因此，由《代数》引理 00PH，存在离散赋值环 \(A \subset \kappa(x)\)，其分式域为 \(\kappa(x)\)，且支配 \(R\)。于是 \[\xymatrix{ \Spec(\kappa(x)) \ar[d] \ar[rrr] & & & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & \Spec(R) \ar[r] & \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \ar[r] & Y }\] 给出所需的图。

先陈述关于分离性的结果。我们将经常使用如下形状的、由概形态射构成的实线交换图 [0206]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & S } } \end{equation}\] ，其中 \(A\) 是赋值环，而 \(K\) 是它的分式域。

引理

设 \(S\) 是局部 Noether 概形。设 \(f : X \to S\) 是概形态射。假设 \(f\) 局部有限型。下列条件等价：

态射 \(f\) 分离。

对任意图 (0206)，虚线箭头至多有一条。

对所有图 (0206)，若 \(A\) 是离散赋值环，则虚线箭头至多有一条。

对任意不可约分支 \(X_0\)（它属于 \(X\)）及其一般点 \(\eta \in X_0\)，对任意离散赋值环 \(A \subset K = \kappa(\eta)\)（其分式域为 \(K\)），以及任意图 (0206)，若态射 \(\Spec(K) \to X\) 是典范态射（见《概形》第 01J5 节），则虚线箭头至多有一条。

证明

显然 (1) 蕴含 (2)，(2) 蕴含 (3)，而 (3) 蕴含 (4)。只须证明 (4) 蕴含 (1)。假设 (4)。

先归约到 \(S\) 仿射的情形。分离性在基概形上是局部的（见《概形》引理 01KP）。因此，只要能证明：每当 \(X \to S\) 满足 (4) 时，限制 \(X_\alpha \to S_\alpha\) 也满足 (4)，其中 \(S_\alpha \subset S\) 是开子集且 \(X_\alpha := f^{-1}(S_\alpha)\)，便得证。\(X_\alpha\) 的不可约分支的一般点将是 \(X\) 的不可约分支的一般点，因为 \(X_\alpha\) 在 \(X\) 中开。因此，图 [05M0]\[\begin{equation} \xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X_\alpha \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & S_\alpha } \end{equation}\] 中的任意两条不同虚线箭头，经由映射 \(X_\alpha \to X\) 和 \(S_\alpha \to S\)，便会在图 (0206) 中给出两条不同箭头，这与假设矛盾。于是已经归约到 \(S\) 仿射的情形。顺便指出，在这一归约中，我们证明了：若 \(X \to S\) 满足 (4)，则限制 \(U \to V\) 也满足 (4)，其中 \(U \subset X\) 和 \(V \subset S\) 是满足 \(f(U) \subset V\) 的开集。

其次要归约到 \(X \to S\) 有限型的情形。假设已经知道当 \(X\) 在该基上有限型时 (4) 蕴含 (1)。由于 \(S\) 是 Noether 概形，而 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，可知 \(X\) 也局部 Noether（见《态射》引理 01T6）。因此 \(X \to S\) 拟分离（见《性质》引理 01OY），故可用赋值判据检验 \(X\) 是否分离（见《概形》引理 01L0）。令 \(X = \bigcup_\alpha X_\alpha\) 是 \(X\) 的仿射开覆盖。在图 (0206) 中给定任意两条虚线箭头，\(\Spec A\) 的闭点的像将分别落入两个集合 \(X_\alpha\) 和 \(X_\beta\)。由于 \(X_\alpha \cup X_\beta\) 是开集，出于拓扑理由，它必定包含两个映射下 \(\Spec(A)\) 的像。因此两条虚线箭头都分解通过 \(X_\alpha \cup X_\beta \to X\)，而这个概形在 \(S\) 上有限型。由于 \(X_\alpha \cup X_\beta\) 是 \(X\) 的开子集，依前面的说明， \(X_\alpha \cup X_\beta\) 满足 (4)，故依假设它分离。这说明给定的两条虚线箭头相同。因此已经归约到 \(X \to S\) 有限型的情形。

假设 \(X \to S\) 有限型并满足 (4)。由于 \(X \to S\) 有限型，而 \(S\) 是仿射 Noether 概形，\(X\) 也为 Noether（见《态射》引理 01T6）。因此 \(X \to X \times_S X\) 是 Noether 概形间的拟紧浸入。用反证法。假设 \(X \to X \times_S X\) 不闭，则存在某个 \(y \in X \times_S X\)，它属于像的闭包但不属于像。由于 \(X\) 是 Noether 概形，它只有有限多个不可约分支。因此 \(y\) 属于某个不可约分支 \(X_0 \subset X\) 的像的闭包。赋予 \(X_0\) 既约诱导结构。复合态射 \(X_0 \to X \to X \times_S X\) 分解通过闭子概形 \(X_0 \times_S X_0 \subset X \times_S X\)。将 \(\Delta(X_0)\) 在 \(X_0 \times_S X_0\) 中的闭包记为 \(\bar X_0\)（仍取既约闭子概形）。于是 \(y \in \bar X_0\)。由于 \(X_0 \to X_0 \times_S X_0\) 是浸入，\(X_0\) 的像在 \(\bar X_0\) 中开。因此 \(X_0\) 与 \(\bar X_0\) 双有理。由于 \(\bar{X}_0\) 是 Noether 概形的闭子概形，它是 Noether 概形。所以局部环 \(\mathcal O_{{\bar X_0, y}}\) 是局部 Noether 整环，其分式域 \(K\) 等于 \(X_0\) 的函数域。由 Krull–Akizuki 定理（见《代数》引理 00PH），存在离散赋值环 \(A\)，它支配 \(\mathcal O_{{\bar X_0, y}}\)，且分式域为 \(K\)。这使我们能构造图 [05M1]\[\begin{equation} \xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X_0 \ar[d]^{\Delta} \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ur]& X_0 \times_S X_0 \\ } \end{equation}\] ，它把 \(\Spec K\) 映到 \(\Delta(X_0)\) 的一般点，并把 \(A\) 的闭点映到 \(y \in X_0 \times_S X_0\)（使用《概形》第 01J5 节的材料构造这些箭头）。甚至不存在集合论意义的虚线箭头，因为 \(y\) 不在 \(\Delta\) 的像中，这是由 \(y\) 的选取所保证的。由范畴方法，上图中存在虚线箭头，等价于下图中虚线箭头的唯一性： [05M2]\[\begin{equation} \xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X_0 \ar[d]\\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ur] & S \\ } \end{equation}\] 所以，第一幅图中不存在虚线箭头，便使后一幅图不满足唯一性。因此 \(X_0\) 不满足离散赋值环的唯一性；又因为 \(X_0\) 是 \(X\) 的不可约分支，所以 \(X \to S\) 不满足 (4)。由此证明了 (4) 蕴含 (1)。

引理

设 \(S\) 是局部 Noether 概形。设 \(f : X \to S\) 是有限型态射。下列条件等价：

态射 \(f\) 固有。

对任意图 (0206)，正好存在一条虚线箭头。

对所有图 (0206)，若 \(A\) 是离散赋值环，则正好存在一条虚线箭头。

对任意不可约分支 \(X_0\)（它属于 \(X\)）及其一般点 \(\eta \in X_0\)，对任意离散赋值环 \(A \subset K = \kappa(\eta)\)（其分式域为 \(K\)），以及任意图 (0206)，若态射 \(\Spec(K) \to X\) 是典范态射（见《概形》第 01J5 节），则正好存在一条虚线箭头。

证明

(1) 蕴含 (2)，(2) 蕴含 (3)，而 (3) 蕴含 (4)。现在证明 (4) 蕴含 (1)。如引理 0207 的证明所示，可以归约到 \(S\) 仿射的情形，因为固有性在基概形上是局部的；而若 \(X \to S\) 满足 (4)，则 \(X_\alpha \to S_\alpha\) 也满足 (4)，其中 \(S_\alpha \subset S\) 是开集且 \(X_\alpha = f^{-1}(S_\alpha)\)。

现在 \(S\) 是 Noether 概形，所以 \(X\) 也是 Noether 概形，因为 \(X \to S\) 有限型。现在可使用 Chow 引理（《概形上同调》引理 0200），得到满射、固有、双有理态射 \(X' \to X\) 以及浸入 \(X' \to \mathbf{P}^n_S\)。我们要证明 \(X \to S\) 万有闭。如引理 0205 的证明所示，只须检验 \(X' \to \mathbf{P}^n_S\) 是闭浸入。用反证法，假设 \(X' \to \mathbf{P}^n_S\) 不是闭浸入。则存在某个 \(y \in \mathbf{P}^n_S\)，它在 \(X'\) 的像的闭包中，却不在像中。因此 \(y\) 在 \(X_0'\) 的像的闭包中，其中该分支是 \(X'\) 的某个不可约分支；但该点不在像中。令 \(\bar X_0' \subset \mathbf{P}^n_S\) 是 \(X_0'\) 的像的闭包。由于 \(X' \to \mathbf{P}^n_S\) 是 Noether 概形间的浸入，态射 \(X'_0 \to \bar X_0'\) 开且稠密。由《代数》引理 00PH 或《性质》引理 054F，可以找到离散赋值环 \(A\)，它支配 \(\mathcal{O}_{\bar X_0', y}\) 且具有相同的分式域 \(K\)。显然 \(K\) 是 \(X_0'\) 的一般点处的剩余域。由此得到实线交换图 [05M3]\[\begin{equation} \xymatrix{ \Spec K \ar[r] \ar[d] & X' \ar [r] \ar[d] & \mathbf{P}^n_S \ar[d] \\ \Spec A \ar@{-->}[r] \ar@{-->}[ru] \ar[urr] & X \ar[r] & S\\ } \end{equation}\] 注意 \(A\) 的闭点映到 \(y \in \mathbf{P}^n_S\)。依构造，不存在集合论意义的到 \(X'\) 的提升。由于 \(X' \to X\) 双有理，\(X'_0\) 在 \(X\) 中的像是一个不可约分支 \(X_0\)，它属于 \(X\)，而 \(K\) 也等同于 \(X_0\) 的函数域。于是，因为假设 \(X \to S\) 满足 (4)，虚线箭头 \(\Spec(A) \to X\) 存在。由于 \(X' \to X\) 固有，这条虚线箭头提升为虚线箭头 \(\Spec(A) \to X'\)（使用《概形》命题 01KF）。将它与浸入 \(X' \to \mathbf{P}^n_S\) 复合，得到另一个未在图中绘出的态射 \(\Spec(A) \to \mathbf{P}^n_S\)。由于 \(\mathbf{P}^n_S\) 在 \(S\) 上固有，它满足 (2)，故这两个态射相同。这与我们已经构造出原映射 \(\Spec(A) \to \mathbf{P}^n_S\) 到 \(X'\) 的、原本不可能存在的提升矛盾。

引理

设 \(f : X \to S\) 是概形的有限型态射。假设 \(S\) 局部 Noether。则下列条件等价：

\(f\) 万有闭；

对每个 \(n\)，态射 \(\mathbf{A}^n \times X \to \mathbf{A}^n \times S\) 是闭映射；

对任意图 (0206)，存在某条虚线箭头；

对所有图 (0206)，若 \(A\) 是离散赋值环，则存在某条虚线箭头。

证明

(1) 与 (2) 的等价性是引理 05JX 的特例。 (1) 与 (3) 的等价性是《概形》命题 01KF 的特例。显然 (3) 蕴含 (4)。所以只须证明 (4) 蕴含 (2)。我们将用《概形》引理 01K9 的判据证明 \(\mathbf{A}^n \times X \to \mathbf{A}^n \times S\) 是闭映射。选取 \(n\)，再选取一个非平凡特化 \(z \leadsto z'\)，其两点均位于 \(\mathbf{A}^n \times S\) 中。再选取一点 \(y \in \mathbf{A}^n \times X\)，它位于 \(z\) 上方。注意 \(\kappa(y)\) 是 \(\kappa(z)\) 的有限生成域扩张，因为 \(\mathbf{A}^n \times X \to \mathbf{A}^n \times S\) 有限型。因此，由《性质》引理 054F 或《代数》引理 00PH，存在离散赋值环 \(A \subset \kappa(y)\)，其分式域为 \(\kappa(z)\)，并支配 \(\mathcal{O}_{\mathbf{A}^n \times S, z'}\) 在 \(\kappa(z)\) 中的像。这给出交换图 \[\xymatrix{ \Spec(\kappa(y)) \ar[r] \ar[d] & \mathbf{A}^n \times X \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & \mathbf{A}^n \times S \ar[r] & S }\] 现在性质 (4) 蕴含存在使此图交换的态射 \(\Spec(A) \to X\)。由于从左下水平箭头已经得到态射 \(\Spec(A) \to \mathbf{A}^n\)，也就得到使左方正方形交换的态射 \(\Spec(A) \to \mathbf{A}^n \times X\)。因此闭点的像 \(y' \in \mathbf{A}^n \times X\) 是 \(y\) 的一个特化，并位于 \(z'\) 上方。这证明特化可沿 \(\mathbf{A}^n \times X \to \mathbf{A}^n \times S\) 提升，从而得证。

精细化的 Noether 型赋值判据

检验赋值判据时，通常不必考虑赋值环所给出的所有可能图。《态射》引理 0894 给出了一个例子。在 Noether 情形，我们也已在引理 0207 和 0208 中见过这一点。下面是另一种变体。

引理

设 \(f : X \to S\) 和 \(h : U \to X\) 是概形态射。假设 \(S\) 局部 Noether， \(f\) 和 \(h\) 有限型，\(f\) 分离，并且 \(h(U)\) 在 \(X\) 中稠密。若对任意交换实线图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & U \ar[r]^h & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{-->}[rru] & & S }\] ，其中 \(A\) 是以 \(K\) 为分式域的离散赋值环，都存在一条使该图交换的虚线箭头，则 \(f\) 固有。

证明

可以立即归约到 \(S\) 仿射的情形。此时 \(U\) 拟紧。令 \(U = U_1 \cup \ldots \cup U_n\) 为仿射开覆盖。将 \(U\) 替换为 \(U_1 \amalg \ldots \amalg U_n\) 不会改变假设，故可假设 \(U\) 仿射。于是可以找到开浸入 \(U \to Y\)，它位于 \(X\) 上，并使 \(Y\) 在 \(X\) 上固有。（先用《态射》引理 04II 将 \(U\) 放入 \(\mathbf{A}^n_X\)，再在 \(\mathbf{P}^n_X\) 中取闭包；或者直接使用《态射》引理 07RM。）可以假设 \(U\) 在 \(Y\) 中稠密（必要时将 \(Y\) 替换为 \(U\) 的概形论闭包；见《态射》第 01RA 节）。注意 \(g : Y \to X\) 满射，因为它的像闭且包含稠密子集 \(h(U)\)。我们将证明 \(Y \to S\) 固有。由《态射》引理 03GN，这将蕴含 \(X \to S\) 固有，从而完成证明。为证明 \(Y \to S\) 固有，我们将使用引理 0208 的第 (4) 部分。为此考虑图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_y \ar[d] & Y \ar[d]^{f \circ g} \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{..>}[ru] & S }\] ，其中 \(A\) 是以 \(K\) 为分式域的离散赋值环，而 \(y : \Spec(K) \to Y\) 是某个一般点的包含映射。必须证明正好存在一条虚线箭头。唯一性来自分离性赋值判据的逆向结论（《概形》引理 01KZ），因为 \(Y \to S\) 是分离态射 \(Y \to X\) 与 \(X \to S\) 的复合，故分离（《概形》引理 01KU）。存在性可如下看出。由于 \(y\) 是 \(Y\) 的一般点，它属于 \(U\)。由本引理的假设，存在态射 \(a : \Spec(A) \to X\)，使 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_y \ar[d] & U \ar[r] & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar[rru]^a & & S }\] 交换。由于 \(Y \to X\) 固有，可以应用固有性的赋值判据（《态射》引理 0BX5），找到态射 \(b : \Spec(A) \to Y\)，使 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_y \ar[d] & Y \ar[d]^g \\ \Spec(A) \ar[r]^a \ar[ru]^b & X }\] 交换。以 \(b\) 充当上面的虚线箭头，证明即告完成。

引理

设 \(f : X \to S\) 和 \(h : U \to X\) 是概形态射。假设 \(S\) 局部 Noether， \(f\) 局部有限型，\(h\) 有限型，并且 \(h(U)\) 在 \(X\) 中稠密。若对任意交换实线图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & U \ar[r]^h & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{-->}[rru] & & S }\] ，其中 \(A\) 是以 \(K\) 为分式域的离散赋值环，至多存在一条使该图交换的虚线箭头，则 \(f\) 分离。

证明

将引理 0CM3 应用于态射 \(U \to X\) 和 \(\Delta : X \to X \times_S X\)。逐一检验其条件。由《性质》引理 01OY（以及《概形》引理 01KV），\(\Delta\) 拟紧。当然， \(\Delta\) 局部有限型且分离（任意对角态射都是如此）。最后，假设给定交换实线图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & U \ar[r]^h & X \ar[d]^\Delta \\ \Spec(A) \ar[rr]^{(a, b)} \ar@{-->}[rru] & & X \times_S X }\] ，其中 \(A\) 是以 \(K\) 为分式域的离散赋值环。则 \(a\) 和 \(b\) 在本引理的图中给出两条虚线箭头，因而必须相等。因此可用 \(a = b\) 作为虚线箭头，这就给出存在性。证明完成。

引理

设 \(f : X \to S\) 和 \(h : U \to X\) 是概形态射。假设 \(S\) 局部 Noether， \(f\) 和 \(h\) 有限型，并且 \(h(U)\) 在 \(X\) 中稠密。若对任意交换实线图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & U \ar[r]^h & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{-->}[rru] & & S }\] ，其中 \(A\) 是以 \(K\) 为分式域的离散赋值环，正好存在一条使该图交换的虚线箭头，则 \(f\) 固有。

证明

合并引理 0CM4 与 0CM3。

Nagata 基上的赋值判据

处理在 Nagata 基上局部有限型的概形时，可以归约到在该基上本质有限型的离散赋值环。下面只是由此可得的一些示例性结果。

引理

设 \(S\) 是 Nagata 概形（因而特别地局部 Noether）。设 \(f : X \to Y\) 是在 \(S\) 上局部有限型的概形间的拟紧态射。下列条件等价：

\(f\) 万有闭；

对每个 \(n\)，态射 \(\mathbf{A}^n \times X \to \mathbf{A}^n \times Y\) 是闭映射；

对任意 \(S\) 上的概形交换图 \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ C \ar[r] \ar@{..>}[ru] & Y }\] ，若

\(C\) 是在 \(S\) 上有限型的正规整概形；

有 \(U = C \setminus \{c\}\)，其中 \(c \in C\) 是某个闭点；

\(A = \mathcal{O}_{C, c}\) 的维数为 \(1\)³

，则在交换图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & Y }\] 中，其中 \(K = \text{Frac}(A)\)，存在某条使该图交换的虚线箭头⁴。

证明

引理 05JY 已经给出了 (1) 与 (2) 的等价性以及它们蕴含 (3) 这一事实。所以只须证明 (3) 蕴含 (2)。注意，若 \(f : X \to Y\) 满足条件 (3)，则 \(1 \times f : \mathbf{A}^n \times X \to \mathbf{A}^n \times Y\) 也满足条件 (3)（见引理 05JY 的证明中的论证）。因此只须证明 (3) 蕴含 \(f\) 是闭映射。

先归约到 \(Y\) 和 \(S\) 都仿射的情形；建议略过本段。令 \(S' \subset S\) 是仿射开集，并令 \(Y' \subset Y\) 是一个映入 \(S'\) 的仿射开集。置 \(X' = f^{-1}(Y')\)。我们断言，限制 \(f' : X' \to Y'\)（即 \(f\) 的限制）在视为 \(S'\) 上的概形态射后仍有性质 (3)。略去细节。现在，若能证明 \(f'\) 对 \(S'\) 和 \(Y'\) 的所有选取都是闭映射，则 \(f\) 是闭映射。由此归约到下一段讨论的情形。

假设 \(S\) 和 \(Y\) 仿射。令 \(Z \subset X\) 是闭子集。我们可以且确实把 \(Z\) 视为 \(X\) 的既约闭子概形。必须证明 \(E = f(Z)\) 闭。取闭点 \(y \in Y\)，它属于 \(f(Z)\) 的闭包。只须证明 \(y \in E\)。反设 \(y \not \in E\)，以求矛盾。\(s \in S\) 是 \(y\) 的像；它是 \(S\) 的有限型点；见《态射》引理 02J3。回忆 \(E\) 可构（《态射》引理 054J）。考虑交集 \(\Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \cap E\)。这是该谱的一个不含闭点的可构子集（《态射》引理 054I）。由于穿孔谱 \(\Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \setminus \{y\}\) 是 Jacobson 空间（《态射》引理 02J6），可找到闭点 \(t \in \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \setminus \{y\}\)，使 \(t \in E\) （见《拓扑》引理 005X）。换言之， \(t \in E\) 是 \(Y\) 中的一个点，且有直接特化 \(t \leadsto y\)。由于 \(t \in E\)，概形论纤维 \(Z_t\) 非空。取闭点 \(x \in Z_t\)。特别地，由 Hilbert 零点定理可知 \([\kappa(x) : \kappa(t)] < \infty\)（《态射》引理 01TF）。

记 \(T = \overline{\{t\}} \subset Y\) 为一个整闭子概形，其底拓扑空间就是所示闭包（《概形》定义 01J4）。于是 \(t \in T\) 是一般点。记 \(C \to T\) 为 \(T\) 在 \(\kappa(x)\) 中的正规化；见《态射》第 0BAK 节（更准确地说，\(C \to T\) 是 \(T\) 在 \(x\) 中的正规化，这里将 \(x = \Spec(\kappa(x)) \to T\) 视为 \(T\) 上的概形）。因为 \(S\) 是 Nagata 概形，\(T\) 也是 Nagata 概形（《态射》引理 035A）。所以 \(C \to T\) 有限（《态射》引理 0AVK）。由于 \(t\) 在像中，\(C \to T\) 满射（因为像闭，而 \(T\) 是 \(t\) 在 \(Y\) 中的闭包）。选取一点 \(c \in C\)，它映到 \(y \in T\)。由于 \(y\) 是 \(T\) 的闭点，\(c\) 是 \(C\) 的闭点。由于 \(\dim(\mathcal{O}_{T, y}) = 1\)，可知 \(\dim(\mathcal{O}_{C, c}) = 1\)（维数至少为 \(1\)，因为 \(c\) 不是 \(C\) 的一般点；至多为 \(1\)，因为 \(C \to T\) 有限）。因为 \(C\) 的函数域为 \(\kappa(x)\)，而 \(x\) 是 \(X\) 的点，存在一个 \(Y\)-有理映射，其源为 \(C\)、靶为 \(X\)（例如见《态射》引理 0BX8）。令 \(C \supset U \to X\) 是一个代表元（特别地，\(U\) 非空）。可以假设 \(c \not \in U\)（将 \(U\) 替换为 \(U \setminus \{c\}\)）。由于 \(c\) 是余维数为 \(1\) 的闭点，并且位于整概形 \(C\) 中，有 \(C = U \amalg \{c\} \amalg \Sigma\)，其中 \(\Sigma \subset C\) 是某个真闭子集。将 \(C\) 替换为 \(C \setminus \Sigma\) 后，便构造出第 (3) 部分中的交换图。由引理陈述中的第二个脚注，虚线箭头的存在性使有理映射延拓到整个 \(C\)；于是得到矛盾，因为 \(c\) 的像将是 \(Z\) 中映到 \(y\) 的一点。

引理

设 \(S\) 是 Nagata 概形（因而特别地局部 Noether）。设 \(f : X \to Y\) 是在 \(S\) 上局部有限型的概形间的态射。下列条件等价：

\(f\) 分离；

对任意 \(S\) 上的概形交换图 \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ C \ar[r] \ar@{..>}[ru] & Y }\] ，若

\(C\) 是在 \(S\) 上有限型的正规整概形；

有 \(U = C \setminus \{c\}\)，其中 \(c \in C\) 是某个闭点；

\(A = \mathcal{O}_{C, c}\) 的维数为 \(1\)⁵

，则在交换图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & Y }\] 中，其中 \(K = \text{Frac}(A)\)，至多存在一条使该图交换的虚线箭头⁶。

证明

由引理 0207 可知 (1) 蕴含 (2)。假设 (2)。为证明 \(f\) 分离，必须证明 \(\Delta : X \to X \times_Y X\) 闭。由《态射》引理 01T7，态射 \(\Delta\) 拟紧。由引理 0GWV，只须证明：对任意 \(S\) 上的概形交换图 \[\xymatrix{ U \ar[rr] \ar[d] & & X \ar[d]^\Delta \\ C \ar[rr]^{(a_1, a_2)} \ar@{..>}[rru] & & X \times_Y X }\] ，若

\(C\) 是在 \(S\) 上有限型的正规整概形；

有 \(U = C \setminus \{c\}\)，其中 \(c \in C\) 是某个闭点；

\(A = \mathcal{O}_{C, c}\) 的维数为 \(1\)；

则在交换图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^\Delta \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & X \times_Y X }\] 中，其中 \(K = \text{Frac}(A)\)，存在某条使该图交换的虚线箭头。由引理 0GWT，第二幅图中虚线箭头的存在性等价于第一幅图中虚线箭头的存在性。而后一种存在性又等价于要求 \(a_1 = a_2\)。不过 \(a_1|_U = a_2|_U\)，所以由唯一性假设 (2)，该等式确实成立，证明完成。

引理

设 \(S\) 是 Nagata 概形（因而特别地局部 Noether）。设 \(f : X \to Y\) 是在 \(S\) 上局部有限型的概形间的拟紧态射。下列条件等价：

\(f\) 固有；

对任意 \(S\) 上的概形交换图 \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ C \ar[r] \ar@{..>}[ru] & Y }\] ，若

\(C\) 是在 \(S\) 上有限型的正规整概形；

有 \(U = C \setminus \{c\}\)，其中 \(c \in C\) 是某个闭点；

\(A = \mathcal{O}_{C, c}\) 的维数为 \(1\)⁷

，则在交换图 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & Y }\] 中，其中 \(K = \text{Frac}(A)\)，正好存在一条使该图交换的虚线箭头⁸。

证明

这由引理 0GWV、 0GWW，以及固有态射定义为有限型、分离且万有闭的态射形式地得出。

极限与纤维维数

下述引理最常用于引理 01ZM 的情形，以确保：若极限的纤维维数 \(\leq d\)，则在某个有限阶段，纤维维数也 \(\leq d\)。

引理

设 \(I\) 是有向集。设 \((f_i : X_i \to S_i)\) 是指标集为 \(I\) 的概形态射逆系统。假设

所有态射 \(S_{i'} \to S_i\) 都仿射；

所有概形 \(S_i\) 都拟紧且拟分离；

态射 \(f_i\) 都有限型；并且

态射 \(X_{i'} \to X_i \times_{S_i} S_{i'}\) 都是闭浸入。

令 \(f : X = \lim_i X_i \to S = \lim_i S_i\) 为极限。令 \(d \geq 0\)。若 \(f\) 的每个纤维维数都 \(\leq d\)，则对某个 \(i\)，\(f_i\) 的每个纤维维数都 \(\leq d\)。

证明

对每个 \(i\)，令 \(U_i = \{x \in X_i \mid \dim_x((X_i)_{f_i(x)}) \leq d\}\)。这是 \(X_i\) 的开子集；见《态射》引理 02FZ。置 \(Z_i = X_i \setminus U_i\)（赋予既约诱导概形结构）。必须证明 \(Z_i = \emptyset\) 对某个 \(i\) 成立。否则，由引理 01Z2， \(Z = \lim Z_i \not = \emptyset\)。设 \(z \in Z\) 是一点。注意 \(Z \subset X\) 是闭子概形。置 \(s = f(z)\)。对每个 \(i\)，令 \(s_i \in S_i\) 为 \(s\) 的像。指出：\(Z_s\) 是概形 \((Z_i)_{s_i}\) 的极限，而 \(Z_s\) 也是将概形 \((Z_i)_{s_i}\) 基变换到 \(\kappa(s)\) 后所得诸概形的极限。此外，由假设 (4)，所有态射 \[Z_s \longrightarrow (Z_{i'})_{s_{i'}} \times_{\Spec(\kappa(s_{i'}))} \Spec(\kappa(s)) \longrightarrow (Z_i)_{s_i} \times_{\Spec(\kappa(s_i))} \Spec(\kappa(s)) \longrightarrow X_s\] 都是闭浸入。因此 \(Z_s\) 是诸闭子概形 \((Z_i)_{s_i} \times_{\Spec(\kappa(s_i))} \Spec(\kappa(s))\) 在 \(X_s\) 中的概形论交。由于概形 \((Z_i)_{s_i} \times_{\Spec(\kappa(s_i))} \Spec(\kappa(s))\) 的所有不可约分支维数都 \(> d\) 且包含 \(z\)，可知 \(Z_s\) 含有一个维数 \(> d\)、通过 \(z\) 的不可约分支。这与 \(Z_s \subset X_s\) 及 \(\dim(X_s) \leq d\) 矛盾。

引理

记号和假设同情形 081D。若

\(f\) 是拟有限态射；并且

\(f_0\) 局部有限型，

则存在 \(i \geq 0\)，使 \(f_i\) 拟有限。

证明

立即由引理 05M5 得出。

引理

假设和记号同情形 081D。令 \(d \geq 0\)。若

\(f\) 的相对维数 \(\leq d\) （《态射》定义 02NJ）；并且

\(f_0\) 局部有限型，

则存在某个 \(i\)，使 \(f_i\) 的相对维数 \(\leq d\)。

证明

立即由引理 05M5 得出。

引理

记号和假设同情形 081D。若

\(f\) 的相对维数为 \(d\)；并且

\(f_0\) 局部有限呈示，

则存在 \(i \geq 0\)，使 \(f_i\) 的相对维数为 \(d\)。

证明

由引理 05M5，可假设 \(f_0\) 的所有纤维维数都 \(\leq d\)。由《态射》引理 02G0，集合 \(U_0 \subset X_0\) 由满足下述条件的点 \(x \in X_0\) 构成： \(X_0 \to Y_0\) 的纤维在 \(x\) 处维数 \(\leq d - 1\)；该集合在 \(X_0\) 中开且逆紧。因此其补集 \(E = X_0 \setminus U_0\) 可构。此外，由《态射》引理 02FY，\(X \to X_0\) 的像包含在 \(E\) 中。所以当 \(i \gg 0\) 时，\(X_i \to X_0\) 的像包含在 \(E\) 中（引理 05F4）。于是再由上述《态射》引理 02FY，\(X_i \to Y_i\) 的所有纤维维数均为 \(d\)。

引理

设 \(S\) 是拟紧拟分离概形。设 \(f : X \to S\) 是有限呈示态射。设 \(d \geq 0\) 是整数。若 \(Z \subset X\) 是闭子概形，且 \(\dim(Z_s) \leq d\) 对所有 \(s \in S\) 成立，则存在闭子概形 \(Z' \subset X\)，满足

\(Z \subset Z'\)；

\(Z' \to X\) 有限呈示；并且

\(\dim(Z'_s) \leq d\) 对所有 \(s \in S\) 成立。

证明

由命题 01ZA，可将 \(S = \lim S_i\) 写成带仿射过渡态射的 Noether 概形有向逆系统的极限。由引理 01ZM，可以假设存在有限呈示态射系统 \(f_i : X_i \to S_i\)，使得 \(X_{i'} = X_i \times_{S_i} S_{i'}\) 对所有 \(i' \geq i\) 成立，并且 \(X = X_i \times_{S_i} S\)。令 \(Z_i \subset X_i\) 是 \(Z \to X \to X_i\) 的概形论像。则当 \(i' \geq i\) 时，态射 \(X_{i'} \to X_i\) 将 \(Z_{i'}\) 映入 \(Z_i\)，且诱导态射 \(Z_{i'} \to Z_i \times_{S_i} S_{i'}\) 是闭浸入。由引理 05M5 可知，\(Z_i \to S_i\) 的所有纤维维数均 \(\leq d\)，这里 \(i \in I\) 取为某个适当指标。固定这样的 \(i\)，并置 \(Z' = Z_i \times_{S_i} S \subset X\)。由于 \(S_i\) 是 Noether 概形， \(X_i\) 也是 Noether 概形，因而态射 \(Z_i \to X_i\) 有限呈示。所以其基变换 \(Z' \to X\) 也有限呈示。此外，\(Z' \to S\) 的纤维都是 \(Z_i \to S_i\) 相应纤维的基变换，因而维数 \(\leq d\)。

最高次的基变换

对于固有态射和有限型拟凝聚模，基变换映射在最高次是同构。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。令 \(d \geq 0\)。假设

\(X\) 和 \(Y\) 都拟紧且拟分离；并且

\(R^if_*\mathcal{F} = 0\) 对 \(i > d\) 以及每个拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\) 成立。

则有：

对任意基变换图 \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] ，都有 \(R^if'_*\mathcal{F}' = 0\)，这里 \(i > d\)，且任意拟凝聚 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模 \(\mathcal{F}'\) 均可取；

\(R^df'_*(\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (f')^*\mathcal{G}') = R^df'_*\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{Y'}} \mathcal{G}'\) 对任意拟凝聚 \(\mathcal{O}_{Y'}\)-模 \(\mathcal{G}'\) 成立；

\(R^df'_*\mathcal{F}'\) 的构造与任意进一步的基变换可交换（说明见证明）。

证明

在给出证明之前，先解释 (c) 的含义。假设还有一个接在给定图后的笛卡尔方块 \[\xymatrix{ X'' \ar[d]_{f''} \ar[r]_{h'} & X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ Y'' \ar[r]^h & Y' \ar[r]^g & Y }\] 。若 (a) 成立，则有典范映射 \(\gamma : h^*R^df'_*\mathcal{F}' \to R^df''_*(h')^*\mathcal{F}'\)。也就是说，\(\gamma\) 是由复合 \[Lh^*Rf'_*\mathcal{F}' \longrightarrow Rf''_*L(h')^*\mathcal{F}' \longrightarrow Rf''_*(h')^*\mathcal{F}'\] 在第 \(d\) 次上同调层上诱导的映射。这里第一箭头是基变换映射（《上同调》注记 08HY），第二箭头来自典范映射 \(L(g')^*\mathcal{F} \to (g')^*\mathcal{F}\)。同样，由 (a) 可知 \(Rf'_*\mathcal{F}\) 在次数 \(> d\) 没有非零上同调层，故 \(H^d(Lh^*Rf_*\mathcal{F}') = h^*R^df_*\mathcal{F}\)。 (c) 的内容就是 \(\gamma\) 为同构。

作此说明后，可以在 \(Y'\) 和 \(Y''\) 上局部检验 (a)、(b) 和 (c)。假设 \(V \subset Y\) 是拟紧开子概形。则我们断言，(1) 和 (2) 对 \(f|_{f^{-1}(V)} : f^{-1}(V) \to V\) 成立。事实上，(1) 是立即的；(2) 成立，是因为 \(f^{-1}(V)\) 上任意拟凝聚模都是 \(X\) 上某个拟凝聚模的限制（《性质》引理 01PE），并且高阶直像的构造与对开集的限制可交换。因此也可在 \(Y\) 上局部工作。换言之，可以假设 \(Y''\)、\(Y'\) 和 \(Y\) 都是仿射概形。

当 \(Y'\) 和 \(Y\) 仿射时证明 (a)。此时态射 \(g\) 和 \(g'\) 都仿射。因此 \(g_* = Rg_*\) 且 \(g'_* = Rg'_*\)（《概形上同调》引理 01XC），并且 \(g_*\) 与模的限制标量函子等同（《概形》引理 01I9）。于是 \[g_*(R^if'_*\mathcal{F}') = H^i(Rg_*Rf'_*\mathcal{F}') = H^i(Rf_*Rg'_*\mathcal{F}') = H^i(Rf_*g'_*\mathcal{F}') = Rf^i_*g'_*\mathcal{F}'\] 由假设 (2)，这等于零。结合上述对 \(g_*\) 的刻画即得 (a)。

当 \(Y'\) 仿射时证明 (b)，设 \(Y' = \Spec(R')\)。由 (a)，有 \(H^{d + 1}(X', \mathcal{F}') = 0\) 对任意拟凝聚 \(\mathcal{O}_{X'}\)-模 \(\mathcal{F}'\) 成立；见《概形上同调》引理 01XK。考虑函子 \(F\)，其定义域为 \(R'\)-模： \[F(M) = H^d(X', \mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (f')^*\widetilde{M})\] 由《上同调》引理 01FF，该函子与直和可交换（这里用到 \(X\)，从而 \(X'\) 拟紧且拟分离）。另一方面，若 \(M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0\) 是正合列，则 \[\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (f')^*\widetilde{M}_1 \to \mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (f')^*\widetilde{M}_2 \to \mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (f')^*\widetilde{M}_3 \to 0\] 是 \(X'\) 上拟凝聚模的正合列；由上面的高阶上同调消失性，得到正合列 \[F(M_1) \to F(M_2) \to F(M_3) \to 0\] 。换言之，\(F\) 右正合。任意与直和可交换的右正合 \(R'\)-线性函子 \(F : \text{Mod}_{R'} \to \text{Mod}_{R'}\) 都由与某个 \(R'\)-模张量给出（证明略去，留作读者练习）。所以得到 \(F(M) = H^d(X', \mathcal{F}') \otimes_{R'} M\)。由于 \(R^d(f')_*\mathcal{F}'\) 和 \(R^d(f')_*(\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (f')^*\widetilde{M})\) 都是拟凝聚的（《概形上同调》引理 01XJ），等式 \(F(M) = H^d(X', \mathcal{F}') \otimes_{R'} M\) 正好转化为 (b) 中的陈述。

当 \(Y'' \to Y' \to Y\) 是仿射概形态射时证明 (c)。设 \(Y'' = \Spec(R'')\) 且 \(Y' = \Spec(R')\)。于是 \(R^df''_*(h')^*\mathcal{F}'\) 是 \(Y'\) 上由 \(R''\)-模 \(H^d(X'', (h')^*\mathcal{F}')\) 所伴随的拟凝聚模。现在 \(h' : X'' \to X'\) 仿射，因而由已经使用过的《概形上同调》引理 089W， \(H^d(X'', (h')^*\mathcal{F}') = H^d(X, h'_*(h')^*\mathcal{F}')\)。有 \[h'_*(h')^*\mathcal{F}' = \mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (f')^*\widetilde{R''}\] ；读者可在某个仿射开覆盖上检验这一点。因此 \(H^d(X'', (h')^*\mathcal{F}') = H^d(X', \mathcal{F}') \otimes_{R'} R''\)；这是由 (b) 应用于 \(f'\) 得到的。证明完成。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。设 \(y \in Y\)。假设 \(f\) 固有且 \(\dim(X_y) = d\)。则

对 \(\mathcal{F} \in \QCoh(\mathcal{O}_X)\)，有 \((R^if_*\mathcal{F})_y = 0\) 对所有 \(i > d\) 成立；

存在仿射开邻域 \(V \subset Y\)，它包含 \(y\)，并使 \(f^{-1}(V) \to V\) 和 \(d\) 满足引理 0EX3 的假设及结论。

证明

由《态射》引理 02FZ 以及 \(f\) 是闭映射这一事实，可找到仿射开邻域 \(V\)，它包含 \(y\)，并使 \(V\) 上各点的纤维维数均 \(\leq d\)。因此可以假设 \(X \to Y\) 是固有态射，其所有纤维维数都 \(\leq d\)，且 \(Y\) 仿射。我们将证明 (2)；这立即蕴含 (1) 对所有 \(y \in Y\) 成立。

由引理 09ZR，可以把 \(X = \lim X_i\) 写成余滤极限，其中 \(X_i \to Y\) 固有且有限呈示，并且 \(X \to X_i\) 及过渡态射都是闭浸入。由引理 05M5，对某个 \(i\)，\(X_i \to Y\) 的纤维维数都 \(\leq d\)。对拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，由《概形上同调》引理 01XC 及 Leray （《上同调》引理 01F6），有 \(R^pf_*\mathcal{F} = R^pf_{i, *}(X \to X_i)_*\mathcal{F}\)。所以可将 \(X\) 替换为 \(X_i\)，归约到下一段讨论的情形。

假设 \(Y\) 仿射，\(f : X \to Y\) 固有且有限呈示，并且所有纤维维数都 \(\leq d\)。只须证明 \(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\) 对 \(p > d\) 成立。事实上，由《概形上同调》引理 01XK，有 \(H^p(X, \mathcal{F}) = H^0(Y, R^pf_*\mathcal{F})\)。另一方面，由《概形上同调》引理 01XJ， \(R^pf_*\mathcal{F}\) 在 \(Y\) 上拟凝聚，所以整体截面消失蕴含该层消失。将 \(Y = \lim_{i \in I} Y_i\) 写成仿射概形的余滤极限，其中 \(Y_i\) 是某个 Noether 环（例如有限型 \(\mathbf{Z}\)-代数）的谱。由引理 01ZM，可以选取元素 \(0 \in I\) 和有限型态射 \(X_0 \to Y_0\)，使 \(X \cong Y \times_{Y_0} X_0\)。增大 \(0\) 后，可以假设 \(X_0 \to Y_0\) 固有（引理 081F），且 \(X_0 \to Y_0\) 的纤维维数都 \(\leq d\)（引理 05M5）。由于 \(X \to X_0\) 仿射，由《概形上同调》引理 089W 可知 \(H^p(X, \mathcal{F}) = H^p(X_0, (X \to X_0)_*\mathcal{F})\)。这就归约到下一段讨论的情形。

假设 \(Y\) 是仿射 Noether 概形，\(f : X \to Y\) 固有，并且所有纤维维数都 \(\leq d\)。此时，由《性质》引理 01PK，可将 \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\) 写成凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的滤过余极限。由《上同调》引理 01FF， \(H^p(X, \mathcal{F}) = \colim H^p(X, \mathcal{F}_i)\)。所以可以假设 \(\mathcal{F}\) 凝聚。在此情形下，由《概形上同调》引理 02V7，有 \((R^pf_*\mathcal{F})_y = 0\) 对所有 \(y \in Y\) 成立。因此 \(R^pf_*\mathcal{F} = 0\)，从而 \(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\)（见上），结论成立。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。令 \(d \geq 0\)。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设

\(f\) 是固有态射，且其所有纤维维数都 \(\leq d\)；

\(\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。

则 \(R^df_*\mathcal{F}\) 是有限型拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。

证明

由《概形上同调》引理 01XJ，模 \(R^df_*\mathcal{F}\) 拟凝聚。问题在 \(Y\) 上是局部的，所以可以假设 \(Y\) 仿射。设 \(Y = \Spec(R)\)。于是只须证明 \(H^d(X, \mathcal{F})\) 是有限 \(R\)-模。

由引理 09ZR，可以把 \(X = \lim X_i\) 写成余滤极限，其中 \(X_i \to Y\) 固有且有限呈示，并且 \(X \to X_i\) 及过渡态射都是闭浸入。由引理 05M5，对某个 \(i\)，\(X_i \to Y\) 的纤维维数都 \(\leq d\)。由《概形上同调》引理 01XC 及 Leray （《上同调》引理 01F6），有 \(R^pf_*\mathcal{F} = R^pf_{i, *}(X \to X_i)_*\mathcal{F}\)。所以可以将 \(X\) 替换为 \(X_i\)，归约到下一段讨论的情形。

假设 \(Y\) 仿射，\(f : X \to Y\) 固有且有限呈示，并且所有纤维维数都 \(\leq d\)。由《性质》引理 086M，可将 \(\mathcal{F}\) 写成某个有限呈示 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}'\) 的商。映射 \(H^d(X, \mathcal{F}') \to H^d(X, \mathcal{F})\) 满射，因为由引理 0E7D 中的高阶上同调消失性（或其证明），有 \(H^{d + 1}(X, \Ker(\mathcal{F}' \to \mathcal{F})) = 0\)。于是归约到下一段讨论的情形。

假设 \(Y = \Spec(R)\) 仿射，\(f : X \to Y\) 固有且有限呈示，所有纤维维数都 \(\leq d\)，并且 \(\mathcal{F}\) 是有限呈示 \(\mathcal{O}_X\)-模。将 \(Y = \lim_{i \in I} Y_i\) 写成仿射概形的余滤极限，其中 \(Y_i = \Spec(R_i)\) 是某个 Noether 环（例如有限型 \(\mathbf{Z}\)-代数）的谱。由引理 01ZM，可以选取元素 \(0 \in I\) 和有限型态射 \(X_0 \to Y_0\)，使 \(X \cong Y \times_{Y_0} X_0\)。增大 \(0\) 后，可以假设 \(X_0 \to Y_0\) 固有（引理 081F），且 \(X_0 \to Y_0\) 的纤维维数都 \(\leq d\)（引理 05M5）。再次增大 \(0\) 后，可以假设存在凝聚 \(\mathcal{O}_{X_0}\)-模 \(\mathcal{F}_0\)，其拉回为 \(\mathcal{F}\)；见引理 01ZR。由引理 0EX3，有 \[H^d(X, \mathcal{F}) = H^d(X_0, \mathcal{F}_0) \otimes_{R_0} R\] 。由《概形上同调》引理 02O6，上同调模 \(H^d(X_0, \mathcal{F}_0)\) 有限，故证明完成。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。令 \(d \geq 0\)。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设

\(f\) 是有限呈示的固有态射，且其所有纤维维数都 \(\leq d\)；

\(\mathcal{F}\) 是有限呈示 \(\mathcal{O}_X\)-模。

则 \(R^df_*\mathcal{F}\) 是有限呈示 \(\mathcal{O}_X\)-模。

证明

证明与引理 0EX4 的证明完全相同，但可略去第三段。细节从略。

闭纤维上的黏合

将上述理论应用于局部环的谱，得到下述关于相对概形的优美黏合结果。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(s \in S\) 是闭点，并且 \(U = S \setminus \{s\} \to S\) 拟紧。置 \(V = \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \setminus \{s\}\)，则有范畴等价 \[\left\{ \begin{matrix} X \to S\text{ of finite presentation} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \vcenter{ \xymatrix{ X' \ar[d] & Y' \ar[d] \ar[l] \ar[r] & Y \ar[d] \\ U & V \ar[l] \ar[r] & \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) } } \right\}\] 。右端考虑这样的交换图：其中各方块都是笛卡尔方块，各竖直箭头都是有限呈示态射。

证明

设 \(W \subset S\) 是 \(s\) 的开邻域。由相对概形的黏合（见《构造》第 01LG 节），函子 \[\left\{ \begin{matrix} X \to S\text{ of finite presentation} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \vcenter{ \xymatrix{ X' \ar[d] & Y' \ar[d] \ar[l] \ar[r] & Y \ar[d] \\ U & W \setminus \{s\} \ar[l] \ar[r] & W } } \right\}\] 是范畴等价。有 \(\mathcal{O}_{S, s} = \colim \mathcal{O}_W(W)\)，其中 \(W\) 遍历 \(s\) 的仿射开邻域。所以 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}) = \lim W\)，其中 \(W\) 遍历 \(s\) 的仿射开邻域。因此，\(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 上有限呈示概形的范畴，是各 \(W\) 上有限呈示概形范畴的极限，其中 \(W\) 遍历 \(s\) 的仿射开邻域；见引理 01ZM。对每个仿射开集 \(s \in W\)，可见 \(U \cap W\) 拟紧，因为 \(U \to S\) 拟紧。所以 \(V = \lim W \cap U = \lim W \setminus \{s\}\) 是拟紧拟分离概形的极限（见引理 01YX）。因此，\(V\) 上有限呈示概形的范畴也是各 \(W \cap U\) 上有限呈示概形范畴的极限，其中 \(W\) 遍历 \(s\) 的仿射开邻域。合并这些结果即可形式地得出本引理。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(s \in S\) 是闭点，并且 \(U = S \setminus \{s\} \to S\) 拟紧。置 \(V = \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \setminus \{s\}\)，则有范畴等价 \[\left\{ \mathcal{O}_S\text{-模 }\mathcal{F}\text{ of finite presentation} \right\} \longrightarrow \left\{ (\mathcal{G}, \mathcal{H}, \alpha) \right\}\] 。右端考虑三元组，其组成如下：有限呈示 \(\mathcal{O}_U\)-模 \(\mathcal{G}\)；有限呈示 \(\mathcal{O}_{\Spec(\mathcal{O}_{S, s})}\)-模 \(\mathcal{H}\)；以及同构 \(\alpha : \mathcal{G}|_V \to \mathcal{H}|_V\)，它是 \(\mathcal{O}_V\)-模同构。

证明

可以重做引理 0BPA 的证明，其中使用引理 01ZR；也可以从引理 0BPA 推出本结论，所用的是拟凝聚模与《构造》第 01M1 节所述“向量丛”之间的等价。细节从略。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(U \subset S\) 是逆紧开集。设 \(s \in S\) 是 \(U\) 的补集中的一点。置 \(V = \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \cap U\)，则有范畴等价 \[\colim_{s \in U' \supset U\text{ 开}} \left\{ \vcenter{ \xymatrix{ X \ar[d] \\ U' } } \right\} \longrightarrow \left\{ \vcenter{ \xymatrix{ X' \ar[d] & Y' \ar[d] \ar[l] \ar[r] & Y \ar[d] \\ U & V \ar[l] \ar[r] & \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) } } \right\}\] 。左端的竖直箭头是有限呈示态射；右端考虑这样的交换图：其中各方块都是笛卡尔方块，各竖直箭头都是有限呈示态射。

证明

设 \(W \subset S\) 是 \(s\) 的开邻域。由相对概形的黏合（见《构造》第 01LG 节），函子 \[\left\{ \begin{matrix} X \to U' = U \cup W \text{ of finite presentation} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \vcenter{ \xymatrix{ X' \ar[d] & Y' \ar[d] \ar[l] \ar[r] & Y \ar[d] \\ U & W \cap U \ar[l] \ar[r] & W } } \right\}\] 是范畴等价。有 \(\mathcal{O}_{S, s} = \colim \mathcal{O}_W(W)\)，其中 \(W\) 遍历 \(s\) 的仿射开邻域。所以 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}) = \lim W\)，其中 \(W\) 遍历 \(s\) 的仿射开邻域。因此，\(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 上有限呈示概形的范畴，是各 \(W\) 上有限呈示概形范畴的极限，其中 \(W\) 遍历 \(s\) 的仿射开邻域；见引理 01ZM。对每个仿射开集 \(s \in W\)，可见 \(U \cap W\) 拟紧，因为 \(U \to S\) 拟紧。所以 \(V = \lim W \cap U\) 是拟紧拟分离概形的极限（见引理 01YX）。因此，\(V\) 上有限呈示概形的范畴也是各 \(W \cap U\) 上有限呈示概形范畴的极限，其中 \(W\) 遍历 \(s\) 的仿射开邻域。合并这些结果即可形式地得出本引理。

引理

记号和假设同引理 0BQ5。设 \(U \subset U' \subset X\) 是含 \(s\) 的开集。

设 \(f' : X \to U'\) 通过该等价对应于 \(f : X' \to U\) 和 \(g : Y \to \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\)。若 \(f\) 和 \(g\) 具有下列任一性质：分离、固有、有限或 étale，则在可能缩小 \(U'\) 后，态射 \(f'\) 具有同一性质。

设 \(a : X_1 \to X_2\) 是 \(U'\) 上有限呈示概形的态射，其基变换 \(a' : X'_1 \to X'_2\) 位于 \(U\) 上，而 \(b : Y_1 \to Y_2\) 位于 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 上。若 \(a'\) 和 \(b\) 具有下列任一性质：分离、固有、有限或 étale，则在可能缩小 \(U'\) 后，态射 \(a\) 具有同一性质。

证明

证明 (1)。回忆 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 是 \(s\) 在 \(S\) 中的各仿射开邻域的极限。由于 \(g\) 具有所论性质，\(f'\) 对其中某个仿射开邻域的限制也具有该性质；见引理 01ZQ、 081F、 01ZO 和 07RP。由于 \(f'\) 在 \(U\) 上具有所给性质，正如 \(f\) 所具有的一样，又因为该性质可在基上局部检验，结论成立。

证明 (2)。若写 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}) = \lim W\)，其中 \(W\) 遍历 \(s\) 在 \(S\) 中的仿射开邻域，则有 \(Y_i = \lim W \times_S X_i\)。因此可以使用与 (1) 的证明完全相同的论证。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(s_1, \ldots, s_n \in S\) 是两两不同的闭点，并且 \(U = S \setminus \{s_1, \ldots, s_n\} \to S\) 拟紧。置 \(S_i = \Spec(\mathcal{O}_{S, s_i})\) 及 \(U_i = S_i \setminus \{s_i\}\)，则有范畴等价 \[FP_S \longrightarrow FP_U \times_{(FP_{U_1} \times \ldots \times FP_{U_n})} (FP_{S_1} \times \ldots \times FP_{S_n})\] ，其中 \(FP_T\) 是概形 \(T\) 上有限呈示概形的范畴。

证明

当 \(n = 1\) 时，这就是引理 0BPA。当 \(n > 1\) 时，可以用完全相同的方法证明本引理，也可以由该引理推出。例如，假设 \(f_i : X_i \to S_i\) 是 \(FP_{S_i}\) 的对象， \(f : X \to U\) 是 \(FP_U\) 的对象，并且给定同构 \(X_i \times_{S_i} U_i = X \times_U U_i\)。由引理 0BPA，可找到有限呈示态射 \(f' : X' \to U' = S \setminus \{s_1, \ldots, s_{n - 1}\}\)；它与 \(X_i\) 在 \(S_i\) 上同构，与 \(X\) 在 \(U\) 上同构，并且这些同构与给定同构 \(X_i \times_{S_n} U_n = X \times_U U_n\) 相容。然后可对 \(f_i : X_i \to S_i\)，\(i \leq n - 1\)， \(f' : X' \to U'\)，以及诱导同构 \(X_i \times_{S_i} U_i = X' \times_{U'} U_i\)，\(i \leq n - 1\) 应用归纳法。这证明了本质满射性。全忠实性的证明从略。

修改的应用

利用第 0E8P 节的结果，可以用局部环来描述概形在一个闭点上的修改范畴。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(s \in S\) 是闭点，且 \(U = S \setminus \{s\} \to S\) 拟紧。置 \(V = \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \setminus \{s\}\)，则基变换函子 \[\left\{ \begin{matrix} f : X \to S\text{ of finite presentation} \\ f^{-1}(U) \to U\text{ 为同构} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} g : Y \to \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\text{ of finite presentation} \\ g^{-1}(V) \to V\text{ 为同构} \end{matrix} \right\}\] 是范畴等价。

证明

这是引理 0BPA 的特例。

引理

记号和假设同引理 0B3X。设 \(f : X \to S\) 通过该等价对应于 \(g : Y \to \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\)。则 \(f\) 是分离的、固有的、有限的、étale 的，且还可在此加入更多性质，当且仅当 \(g\) 也如此。

证明

分离、固有、整、有限等性质在基变换下稳定。见《概形》引理 01KU 以及《态射》引理 01W4 和 01WL。因此，若 \(f\) 具有该性质，则 \(g\) 也具有该性质。反向结论由引理 0EY3 得出，不过这里也给出一个直接证明。具体而言，若 \(g\) 具有该性质，则由引理 01ZQ、 081F、 01ZO 和 07RP，\(f\) 在 \(s\) 的某个邻域上具有该性质。由于 \(f\) 在 \(S \setminus \{s\}\) 上显然具有所给性质，而该性质可在基上局部检验，故结论成立。

注

上述引理可推广如下。设 \(S\) 是概形，\(T \subset S\) 是闭子集。假设存在开邻域的共尾系 \(T \subset W_i\)，使得 (1) \(W_i \setminus T\) 拟紧，并且 (2) \(W_i \subset W_j\) 是仿射态射。则 \(W = \lim W_i\) 是包含 \(T\) 作为闭子概形的概形。置 \(U = X \setminus T\) 和 \(V = W \setminus T\)。则基变换函子 \[\left\{ \begin{matrix} f : X \to S\text{ of finite presentation} \\ f^{-1}(U) \to U\text{ 为同构} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} g : Y \to W\text{ of finite presentation} \\ g^{-1}(V) \to V\text{ 为同构} \end{matrix} \right\}\] 是范畴等价。若日后需要此结论，我们会把这条注记改为引理并给出详细证明。

有限型概形的下降

本节继续第 01ZD 节的主题，其精神与第 01ZL 节所讨论的结果相同。

情形

设 \(S = \lim_{i \in I} S_i\) 是 Noether 概形的有向系统的极限，其过渡态射 \(S_{i'} \to S_i\) 在 \(i' \geq i\) 时为仿射态射。

引理

在情形 0CNM 中。设 \(X \to S\) 拟分离且有限型。则存在 \(i \in I\) 及交换图 [0CNP]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & W \ar[d] \\ S \ar[r] & S_i } } \end{equation}\] 使得 \(W \to S_i\) 有限型，并且诱导态射 \(X \to S \times_{S_i} W\) 是闭浸入。

证明

由引理 01ZG，可以找到闭浸入 \(X \to X'\)；它是 \(S\) 上的态射，其中 \(X'\) 是 \(S\) 上有限呈示概形。由引理 01ZM，可以找到指标 \(i\) 和有限呈示态射 \(X'_i \to S_i\)，其拉回为 \(X'\)。置 \(W = X'_i\)。

引理

在情形 0CNM 中。设 \(X \to S\) 拟分离且有限型。给定 \(i \in I\) 及如式 (0CNP) 的交换图 \[\vcenter{ \xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & W \ar[d] \\ S \ar[r] & S_i } }\] ，对 \(i' \geq i\)，设 \(X_{i'}\) 为态射 \(X \to S_{i'} \times_{S_i} W\) 的概形论像。则 \(X = \lim_{i' \geq i} X_{i'}\)。

证明

由于 \(X\) 拟紧且拟分离，取态射 \(X \to S_{i'} \times_{S_i} W\) 的概形论像与限制到开子概形可交换（《态射》引理 01R8）。因此可以并且确实假设 \(W\) 仿射，且映入仿射开集 \(U_i\)，后者位于 \(S_i\) 中。设 \(U \subset S\)、\(U_{i'} \subset S_{i'}\) 是 \(U_i\) 的逆像。则 \(U\)、\(U_{i'}\)、 \(S_{i'} \times_{S_i} W = U_{i'} \times_{U_i} W\) 以及 \(S \times_{S_i} W = U \times_{U_i} W\) 都是仿射的。这蕴含 \(X\) 仿射，因为 \(X \to S \times_{S_i} W\) 是闭浸入。这还说明环同态 \[\mathcal{O}(U) \otimes_{\mathcal{O}(U_i)} \mathcal{O}(W) \to \mathcal{O}(X)\] 是满射。设 \(I\) 为其核。于是 \(X_{i'}\) 是下述环的谱： \[\mathcal{O}(X_{i'}) = \mathcal{O}(U_{i'}) \otimes_{\mathcal{O}(U_i)} \mathcal{O}(W)/I_{i'}\] ，其中 \(I_{i'}\) 是理想 \(I\) 的逆像（见《态射》例 056A）。由于 \(\mathcal{O}(U) = \colim \mathcal{O}(U_{i'})\)，可见 \(I = \colim I_{i'}\)，从而 \(\colim \mathcal{O}(X_{i'}) = \mathcal{O}(X)\)。

引理

在情形 0CNM 中。设 \(f : X \to Y\) 是 \(S\) 上拟分离有限型概形之间的态射。设 \[\vcenter{ \xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & W \ar[d] \\ S \ar[r] & S_{i_1} } } \quad\text{且}\quad \vcenter{ \xymatrix{ Y \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ S \ar[r] & S_{i_2} } }\] 是如式 (0CNP) 的交换图。设 \(X = \lim_{i \geq i_1} X_i\) 和 \(Y = \lim_{i \geq i_2} Y_i\) 是引理 0CNQ 给出的相应极限表示。则存在 \(i_0 \geq \max(i_1, i_2)\) 以及 \((S_i)_{i \geq i_0}\) 上逆系统的态射 \[(f_i)_{i \geq i_0} : (X_i)_{i \geq i_0} \to (Y_i)_{i \geq i_0}\] 使得 \(f = \lim_{i \geq i_0} f_i\)。若 \((g_i)_{i \geq i_0} : (X_i)_{i \geq i_0} \to (Y_i)_{i \geq i_0}\) 是 \((S_i)_{i \geq i_0}\) 上逆系统的另一个态射，并且 \(f = \lim_{i \geq i_0} g_i\)，则 \(f_i = g_i\) 对所有 \(i \gg i_0\) 都成立。

证明

由于 \(V \to S_{i_2}\) 有限呈示且 \(X = \lim_{i \geq i_1} X_i\)，可以应用命题 01ZC，找到 \(i_0 \geq \max(i_1, i_2)\) 以及态射 \(h : X_{i_0} \to V\)，它位于 \(S_{i_2}\) 上，使得 \(X \to X_{i_0} \to V\) 等于 \(X \to Y \to V\)。对 \(i \geq i_0\)，得到实线部分交换的图 \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r] & X_i \ar[r] \ar@{..>}[d] \ar@/_2pc/[dd] |!{[d];[ld]}\hole & X_{i_0} \ar[d]^h \\ Y \ar[r] \ar[d] & Y_i \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ S \ar[r] & S_i \ar[r] & S_{i_0} }\] 由于 \(X \to X_i\) 的像概形论稠密，而 \(Y_i\) 是态射 \(Y \to S_i \times_{S_{i_2}} V\) 的概形论像，由该图诱导的态射 \(X_i \to S_i \times_{S_{i_2}} V\) 经 \(Y_i\) 分解（《态射》引理 01R9）。这证明了存在性。

唯一性。设 \(E_i \subset X_i\) 是 \(f_i\) 与 \(g_i\) 的等化子，其中 \(i \geq i_0\)。由《概形》引理 01KM， \(E_i\) 是 \(X_i\) 的局部闭子概形。由于 \(X_i\) 是 \(S_i \times_{S_{i_0}} X_{i_0}\) 的闭子概形，而 \(Y_i\) 也类似，可见 \[E_i = X_i \times_{(S_i \times_{S_{i_0}} X_{i_0})} (S_i \times_{S_{i_0}} E_{i_0})\] 因此，要完成证明，只须说明态射 \(X_i \to X_{i_0}\) 经 \(E_{i_0}\) 分解，对某个 \(i \geq i_0\) 如此。为此，将使用如下事实： \(X \to X_{i_0}\) 经 \(E_{i_0}\) 分解，因为 \(f_{i_0}\) 和 \(g_{i_0}\) 都与 \(f\) 相容。由于 \(X_i\) 是 Noether 概形，可见底层拓扑空间 \(|E_{i_0}|\) 是 \(|X_{i_0}|\) 的可构造子集（《拓扑》引理 005L）。因此，由引理 05F4， \(X_i \to X_{i_0}\) 在集合论意义下经 \(E_{i_0}\) 分解，对充分大的 \(i\) 如此。对这样的 \(i\)，概形论逆像 \((X_i \to X_{i_0})^{-1}(E_{i_0})\) 是 \(X_i\) 的闭子概形，并且 \(X\) 经它分解；该闭子概形因而等于 \(X_i\)，因为 \(X \to X_i\) 的像按构造概形论稠密。证明完毕。

注

在情形 0CNM 中，引理 0CNN、 0CNQ 和 0CNR 表明，\(S\) 上拟分离有限型概形的范畴等价于 \((S_i)_{i \in I}\) 上某些类型的概形逆系统；具体而言，就是把引理 0CNQ 应用于形如 (0CNP) 的图所产生的系统。例如，给定有限型拟分离态射 \(X \to S\)，若选取如式 (0CNP) 的两个不同交换图 \(X \to V_1 \to S_{i_1}\) 和 \(X \to V_2 \to S_{i_2}\)，则在两个方向上把引理 0CNR 应用于 \(\text{id}_X\)，可知 \(X\) 的相应极限表示典范同构（允许缩小有向集 \(I\)）。其余依此类推。

引理

记号和假设同引理 0CNR。若 \(f\) 平坦且有限呈示，则存在 \(i_3 \geq i_0\)，使得对 \(i \geq i_3\)， \(f_i\) 平坦，\(X_i = Y_i \times_{Y_{i_3}} X_{i_3}\)，并且 \(X = Y \times_{Y_{i_3}} X_{i_3}\)。

证明

由引理 01ZM，可以选取 \(i \geq i_2\) 以及有限呈示态射 \(U \to Y_i\)，使得 \(X = Y \times_{Y_i} U\) （此处用到了 \(f\) 有限呈示）。增大 \(i\) 后，可以假设 \(U \to Y_i\) 平坦，见引理 04AI。如注记 0CNS 所讨论的，可以并且确实替换定义系统 \((X_i)_{i \geq i_1}\) 时使用的初始图，替代者是对应于 \(X \to U \to S_i\) 的系统。因此，\(X_{i'}\) 在 \(i' \geq i\) 时定义为态射 \(X \to S_{i'} \times_{S_i} U\) 的概形论像。

因为 \(U \to Y_i\) 平坦（此处用到了 \(f\) 平坦），并且 \(X = Y \times_{Y_i} U\)，还因为态射 \(Y \to Y_i\) 的概形论像是 \(Y_i\)，所以态射 \(X \to U\) 的概形论像是 \(U\) （《态射》引理 081I）。注意，态射 \(Y_{i'} \to S_{i'} \times_{S_i} Y_i\) 在 \(i' \geq i\) 时按系统 \(Y_j\) 的构造是闭浸入。于是与上面相同的论证说明，态射 \(X \to S_{i'} \times_{S_i} U\) 的概形论像等于闭子概形 \(Y_{i'} \times_{Y_i} U\)。因此，\(X_{i'} = Y_{i'} \times_{Y_i} U\) 对所有 \(i' \geq i\) 都成立，故取 \(i_3 = i\) 即得本引理。

引理

记号和假设同引理 0CNR。若 \(f\) 光滑，则存在 \(i_3 \geq i_0\)，使得对 \(i \geq i_3\)， \(f_i\) 光滑。

证明

合并引理 0CNT 和 0C0C。

引理

记号和假设同引理 0CNR。若 \(f\) 固有，则存在 \(i_3 \geq i_0\)，使得对 \(i \geq i_3\)， \(f_i\) 固有。

证明

由注记 0CNS 中的讨论，对本引理是否成立而言，选择适配如式 (0CNP) 之图的 \(i_1\) 与 \(W\) 并不重要。因此按如下方式选择 \(W\)。首先选取闭浸入 \(X \to X'\)，使得 \(X' \to S\) 固有且有限呈示；见引理 09ZR。然后选取 \(i_3 \geq i_2\) 以及固有态射 \(W \to Y_{i_3}\)，使得 \(X' = Y \times_{Y_{i_3}} W\)。这是可能的，因为 \(Y = \lim_{i \geq i_2} Y_i\)，并可应用引理 01ZM 和 081F。对这个 \(W\)，由构造立即可见：当 \(i \geq i_3\) 时，概形 \(X_i\) 是 \(Y_i \times_{Y_{i_3}} W \subset S_i \times_{S_{i_3}} W\) 的闭子概形，因而在 \(Y_i\) 上固有。

引理

在情形 0CNM 中，假设有笛卡尔图 \[\xymatrix{ X^1 \ar[r]_p \ar[d]_q & X^3 \ar[d]^a \\ X^2 \ar[r]^b & X^4 }\] ，其中各概形在 \(S\) 上拟分离且有限型。对每个 \(j = 1, 2, 3, 4\)，选取 \(i_j \in I\) 以及如式 (0CNP) 的图 \[\xymatrix{ X^j \ar[r] \ar[d] & W^j \ar[d] \\ S \ar[r] & S_{i_j} }\] 。设 \(X^j = \lim_{i \geq i_j} X^j_i\) 是引理 0CNR 所述的相应极限表示。设 \((a_i)_{i \geq i_5}\)、\((b_i)_{i \geq i_6}\)、\((p_i)_{i \geq i_7}\) 和 \((q_i)_{i \geq i_8}\) 是引理 0CNR 所构造的相应系统态射。则存在 \(i_9 \geq \max(i_5, i_6, i_7, i_8)\)，使得对 \(i \geq i_9\) 有 \(a_i \circ p_i = b_i \circ q_i\)，并且 \[(q_i, p_i) : X^1_i \longrightarrow X^2_i \times_{b_i, X^4_i, a_i} X^3_i\] 是闭浸入。若 \(a\) 与 \(b\) 平坦且有限呈示，则存在 \(i_{10} \geq \max(i_5, i_6, i_7, i_8, i_9)\)，使得对 \(i \geq i_{10}\)，最后显示的态射是同构。

证明

由注记 0CNS 中的讨论，对本引理是否成立而言，选择适配如式 (0CNP) 之图的 \(W^1\) 并不重要。因此可以选取 \(W^1 = W^2 \times_{W^4} W^3\)。由 \(X^1_i\) 的构造立即可见 \(a_i \circ p_i = b_i \circ q_i\)，并且 \[(q_i, p_i) : X^1_i \longrightarrow X^2_i \times_{b_i, X^4_i, a_i} X^3_i\] 是闭浸入。

若 \(a\) 与 \(b\) 平坦且有限呈示，则 \(p\) 与 \(q\) 也平坦且有限呈示，因为它们是 \(a\) 与 \(b\) 的基变换。因此可以把引理 0CNT 分别应用于 \(a\)、\(b\)、\(p\)、\(q\) 以及 \(a \circ p = b \circ q\)。由此存在 \(i_9 \in I\)，使得 \[(q_i, p_i) : X^1_i \to X^2_i \times_{X^4_i} X^3_i\] 是 \((q_{i_9}, p_{i_9})\) 沿态射 \(X^4_i \to X^4_{i_9}\) 的基变换，对所有 \(i \geq i_9\) 如此。由引理 081E，可知 \((q_i, p_i)\) 对所有充分大的 \(i\) 都是同构。

这由《态射》引理 01S7、《拓扑》定义 005A 以及《概形》引理 01KU 推出。↩︎
整态射万有闭；见《态射》引理 01WM。↩︎
由此可知 \(A\) 是离散赋值环；见《代数》引理 00PD。此外，\(c\) 映到一个有限型点 \(s \in S\)，并且 \(A\) 在 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上本质有限型。↩︎
由引理 0GWT，这等价于要求存在一条使第一个交换图交换的虚线箭头。↩︎
由此可知 \(A\) 是离散赋值环；见《代数》引理 00PD。此外，\(c\) 映到一个有限型点 \(s \in S\)，并且 \(A\) 在 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上本质有限型。↩︎
由引理 0GWT，这等价于要求至多存在一条使第一个交换图交换的虚线箭头。↩︎
由此可知 \(A\) 是离散赋值环；见《代数》引理 00PD。此外，\(c\) 映到一个有限型点 \(s \in S\)，并且 \(A\) 在 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上本质有限型。↩︎
由引理 0GWT，这等价于要求正好存在一条使第一个交换图交换的虚线箭头。↩︎