交换代数

引言

本文将介绍交换代数的基础知识。可参阅 [MatCA]。

约定

环均指带 \(1\) 的交换环。零环也是环；事实上，它是唯一没有素理想的环。 我们将使用 Kronecker 符号 \(\delta_{ij}\)。若 \(R \to S\) 是环同态，且 \(\mathfrak q\) 是 \(S\) 的一个素理想，则用记号 “\(\mathfrak p = R \cap \mathfrak q\)” 表示 \(\mathfrak q\) 在 \(R \to S\) 下的逆像素理想，即使 \(R\) 不是 \(S\) 的子环， 甚至即使 \(R \to S\) 不是单射，也采用这一记号。

基本概念

下面列出交换代数中的一些基本概念。其中有些概念将在后文作更详细的讨论， 有些在此表中定义，其余则视为基础概念而不再定义。若你不熟悉以下大多数斜体概念， 建议先阅读一本代数入门教材，再继续阅读。

1. \(R\) 是一个环， [00AS]

2. \(x\in R\) 是幂零元， [00AT]

3. \(x\in R\) 是零因子， [00AU]

4. \(x\in R\) 是可逆元， [00AV]

5. \(e \in R\) 是幂等元， [00AW]

6. 若幂等元 \(e \in R\) 满足 \(e = 1\) 或 \(e = 0\)，则称其为平凡的， [00AX]

7. \(\varphi : R_1 \to R_2\) 是环同态， [00AY]

8. \(\varphi : R_1 \to R_2\) 是有限表示的，亦即 \(R_2\) 是有限表示的 \(R_1\)-代数， 见定义 00F3，

9. \(\varphi : R_1 \to R_2\) 是有限型的，亦即 \(R_2\) 是有限型 \(R_1\)-代数， 见定义 00F3，

10. \(\varphi : R_1 \to R_2\) 是有限的，亦即 \(R_2\) 是有限 \(R_1\)-代数，

11. \(R\) 是（整）环， [00B2]

12. \(R\) 是约化的， [00B3]

13. \(R\) 是Noether 环， [00B4]

14. \(R\) 是主理想整环，简称 PID， [00B5]

15. \(R\) 是欧几里得整环， [00B6]

16. \(R\) 是唯一分解整环，简称 UFD， [00B7]

17. \(R\) 是离散赋值环，简称 dvr， [00B8]

18. \(K\) 是域， [00B9]

19. \(L/K\) 是域扩张， [00BA]

20. \(L/K\) 是代数域扩张， [00BB]

21. \(\{t_i\}_{i\in I}\) 是 \(L\) 在 \(K\) 上的超越基， [00BC]

22. \(L\) 在 \(K\) 上的超越次数 \(\text{trdeg}(L/K)\)， [00BD]

23. 域 \(k\) 是代数闭的， [00BE]

24. 若 \(L/K\) 是代数扩张，且 \(\Omega/K\) 是扩张而 \(\Omega\) 为代数闭域，则存在环同态 \(L \to \Omega\)，它延拓 \(K\) 上给定的同态，

25. \(I \subset R\) 是理想， [00BG]

26. \(I \subset R\) 是根理想， [00BH]

27. 若 \(I\) 是理想，则有其根 \(\sqrt{I}\)， [00BI]

28. \(I \subset R\) 为幂零理想，意指对某个 \(n \in \mathbf{N}\) 有 \(I^n = 0\)，

29. \(I \subset R\) 为局部幂零理想，意指 \(I\) 的每个元素均为幂零元，

30. \(\mathfrak p \subset R\) 是素理想， [00BK]

31. 若 \(\mathfrak p \subset R\) 是素理想，\(I, J \subset R\) 是理想，且 \(IJ\subset \mathfrak p\)，则 \(I \subset \mathfrak p\) 或 \(J \subset \mathfrak p\)。

32. \(\mathfrak m \subset R\) 是极大理想， [00BM]

33. 任一非零环都有极大理想， [00BN]

34. \(R\) 的Jacobson 根是 \(R\) 的所有极大理想之交 \(\text{rad}(R) = \bigcap_{\mathfrak m \subset R} \mathfrak m\)，

35. 由子集 \(T \subset R\) 生成的理想 \((T)\)， [00BP]

36. 商环 \(R/I\)， [00BQ]

37. 环 \(R\) 中的理想 \(I\) 是素理想，当且仅当 \(R/I\) 是整环， [00BR]

38. 环 \(R\) 中的理想 \(I\) 是极大理想，当且仅当环 \(R/I\) 是域，

39. 若 \(\varphi : R_1 \to R_2\) 是环同态，且 \(I \subset R_2\) 是理想， 则 \(\varphi^{-1}(I)\) 是 \(R_1\) 的理想，

40. 若 \(\varphi : R_1 \to R_2\) 是环同态，且 \(I \subset R_1\) 是理想， 则 \(\varphi(I) \cdot R_2\)（有时记作 \(I \cdot R_2\) 或 \(IR_2\)） 是由 \(\varphi(I)\) 生成的 \(R_2\) 的理想，

41. 若 \(\varphi : R_1 \to R_2\) 是环同态，且 \(\mathfrak p \subset R_2\) 是素理想，则 \(\varphi^{-1}(\mathfrak p)\) 是 \(R_1\) 的素理想，

42. \(M\) 是\(R\)-模， [00BW]

43. 对 \(m \in M\)，元素 \(m\) 在 \(R\) 中的零化子为 \(I = \{f \in R \mid fm = 0\}\)，

44. \(N \subset M\) 是\(R\)-子模， [00BX]

45. \(M\) 是Noether \(R\)-模， [00BY]

46. \(M\) 是有限 \(R\)-模， [00BZ]

47. \(M\) 是有限生成 \(R\)-模， [00C0]

48. \(M\) 是有限表示 \(R\)-模， [00C1]

49. \(M\) 是自由 \(R\)-模， [00C2]

50. 若 \(0 \to K \to L \to M \to 0\) 是 \(R\)-模的短正合列，且 \(K\)、\(M\) 均为自由模，则 \(L\) 也是自由模，

51. 若 \(N \subset M \subset L\) 是 \(R\)-模，则 \(L/M = (L/N)/(M/N)\)， [00C3]

52. \(S\) 是 \(R\) 的乘法子集， [00C4]

53. \(R\) 的局部化 \(R \to S^{-1}R\)， [00C5]

54. 若 \(R\) 是环，\(S\) 是 \(R\) 的乘法子集，则 \(S^{-1}R\) 是零环， 当且仅当 \(S\) 含有 \(0\)，

55. 若 \(R\) 是环，且乘法子集 \(S\) 完全由非零因子组成， 则 \(R \to S^{-1}R\) 是单射，

56. 若 \(\varphi : R_1 \to R_2\) 是环同态，且 \(S\) 是 \(R_1\) 的乘法子集， 则 \(\varphi(S)\) 是 \(R_2\) 的乘法子集，

57. 若 \(S\)、\(S'\) 是 \(R\) 的乘法子集，并以 \(SS'\) 表示乘积集合 \(SS' = \{r \in R \mid \exists s\in S, \exists s' \in S', r = ss'\}\)， 则 \(SS'\) 是 \(R\) 的乘法子集，

58. 若 \(S\)、\(S'\) 是 \(R\) 的乘法子集，且 \(\overline{S}\) 表示 \(S\) 在 \((S')^{-1}R\) 中的像，则 \((SS')^{-1}R = \overline{S}^{-1}((S')^{-1}R)\)，

59. \(R\)-模 \(M\) 的局部化 \(S^{-1}M\)， [00CA]

60. 函子 \(M \mapsto S^{-1}M\) 保持单射、满射和正合性，

61. 若 \(S\)、\(S'\) 是 \(R\) 的乘法子集，且 \(M\) 是 \(R\)-模，则 \((SS')^{-1}M = S^{-1}((S')^{-1}M)\)，

62. 若 \(R\) 是环，\(I\) 是 \(R\) 的理想，\(S\) 是 \(R\) 的乘法子集， 则 \(S^{-1}I\) 是 \(S^{-1}R\) 的理想，并且 \(S^{-1}R/S^{-1}I = \overline{S}^{-1}(R/I)\)，其中 \(\overline{S}\) 是 \(S\) 在 \(R/I\) 中的像，

63. 若 \(R\) 是环，\(S\) 是 \(R\) 的乘法子集，则 \(S^{-1}R\) 的任一理想 \(I'\) 均形如 \(S^{-1}I\)，其中可取 \(I\) 为 \(I'\) 在 \(R\) 中的逆像，

64. 若 \(R\) 是环，\(M\) 是 \(R\)-模，\(S\) 是 \(R\) 的乘法子集，则 \(S^{-1}M\) 的任一子模 \(N'\) 均形如 \(S^{-1}N\)，其中 \(N \subset M\) 是某个子模；并且可取 \(N\) 为 \(N'\) 在 \(M\) 中的逆像，

65. 若 \(S = \{1, f, f^2, \ldots\}\)，则 \(R_f = S^{-1}R\) 且 \(M_f = S^{-1}M\)， [00CG]

66. 若对某个素理想 \(\mathfrak p\) 有 \(S = R \setminus \mathfrak p = \{x\in R \mid x\not\in \mathfrak p\}\)， 则通常记 \(R_{\mathfrak p} = S^{-1}R\) 且 \(M_{\mathfrak p} = S^{-1}M\)，

67. 局部环是恰有一个极大理想的环， [00CI]

68. 半局部环是只有有限多个极大理想的环， [03C0]

69. 若 \(\mathfrak p\) 是 \(R\) 中的素理想，则 \(R_{\mathfrak p}\) 是局部环， 其极大理想为 \(\mathfrak p R_{\mathfrak p}\)，

70. 环 \(R\) 中素理想 \(\mathfrak p\) 的剩余域记作 \(\kappa(\mathfrak p)\)， 它是整环 \(R/\mathfrak p\) 的分式域；并且等于 \(R_\mathfrak p/\mathfrak pR_\mathfrak p = (R \setminus \mathfrak p)^{-1}R/\mathfrak p\)，

71. 给定 \(R\) 以及 \(M_1\)、\(M_2\)，有张量积 \(M_1 \otimes_R M_2\)， [00CL]

72. 给定环 \(R\) 中分别为 \(m \times n\) 和 \(n \times m\) 的矩阵 \(A\)、\(B\)， 则在 \(R\) 中有下式： \[\det(AB) = \sum \det(A_S)\det({}_SB)\] 此处求和遍历 所有大小为 \(m\) 的子集 \(S \subset \{1, \ldots, n\}\)，\(A_S\) 是由 \(A\) 中对应于 \(S\) 的列构成的 \(m \times m\) 子矩阵，而 \({}_SB\) 是由 \(B\) 中对应于 \(S\) 的行构成的 \(m \times m\) 子矩阵，

73. 等等。

蛇形引理

蛇形引理及其各种变体在同调一章的 Abel 范畴框架中讨论， 见同调，第 00ZX 节。

引理

给定行正合的 Abel 群交换图 \[\xymatrix{ & X \ar[r] \ar[d]^\alpha & Y \ar[r] \ar[d]^\beta & Z \ar[r] \ar[d]^\gamma & 0 \\ 0 \ar[r] & U \ar[r] & V \ar[r] & W }\] 则存在典范正合列 \[\Ker(\alpha) \to \Ker(\beta) \to \Ker(\gamma) \to \Coker(\alpha) \to \Coker(\beta) \to \Coker(\gamma)\] 此外，若 \(X \to Y\) 是单射，则第一个映射为单射；若 \(V \to W\) 是满射，则最后一个映射为满射。

证明

映射 \(\partial : \Ker(\gamma) \to \Coker(\alpha)\) 定义如下。 取 \(z \in \Ker(\gamma)\)，选择一个映到 \(z\) 的 \(y \in Y\)。 于是 \(\beta(y) \in V\) 在 \(W\) 中映为零，故 \(\beta(y)\) 是某个 \(u \in U\) 的像。令 \(\partial z = \overline{u}\)，即 \(u\) 在 \(\alpha\) 的余核中的类。正合性的证明从略。

有限模与有限表示模

下面给出一些基本记号和引理。

定义

设 \(R\) 为环，\(M\) 为 \(R\)-模。

1. 若存在 \(n \in \mathbf{N}\) 及 \(x_1, \ldots, x_n \in M\)， 使 \(M\) 的每个元素都是诸 \(x_i\) 的 \(R\)-线性组合，则称 \(M\) 为 有限 \(R\)-模，亦称有限生成 \(R\)-模。等价地，这意味着对某个 \(n \in \mathbf{N}\) 存在满射 \(R^{\oplus n} \to M\)。

2. 若存在整数 \(n, m \in \mathbf{N}\) 以及正合列 \[R^{\oplus m} \longrightarrow R^{\oplus n} \longrightarrow M \longrightarrow 0\] 则称 \(M\) 为有限表示 \(R\)-模，亦称有限表示的 \(R\)-模。

非正式地说，\(M\) 是有限表示 \(R\)-模，当且仅当它有限生成，且这些生成元之间的 关系所成的模也有限生成。定义中那样一个正合列的选取称为 \(M\) 的一个表示。

引理

设 \(R\) 为环。设 \(\alpha : R^{\oplus n} \to M\) 和 \(\beta : N \to M\) 为模同态。若 \(\Im(\alpha) \subset \Im(\beta)\)，则存在 \(R\)-模同态 \(\gamma : R^{\oplus n} \to N\)，使得 \(\alpha = \beta \circ \gamma\)。

证明

令 \(e_i = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots, 0)\) 为 \(R^{\oplus n}\) 的第 \(i\) 个基向量。 由假设可取 \(x_i \in N\)，使得 \(\alpha(e_i) = \beta(x_i)\)。令 \(\gamma(a_1, \ldots, a_n) = \sum a_i x_i\)。由构造即有 \(\alpha = \beta \circ \gamma\)。

引理

设 \(R\) 为环，并设 \[0 \to M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0\] 为 \(R\)-模的短正合列。

1. 若 \(M_1\) 和 \(M_3\) 是有限 \(R\)-模，则 \(M_2\) 是有限 \(R\)-模。

2. 若 \(M_1\) 和 \(M_3\) 是有限表示 \(R\)-模，则 \(M_2\) 是有限表示 \(R\)-模。

3. 若 \(M_2\) 是有限 \(R\)-模，则 \(M_3\) 是有限 \(R\)-模。

4. 若 \(M_2\) 是有限表示 \(R\)-模，且 \(M_1\) 是有限 \(R\)-模，则 \(M_3\) 是有限表示 \(R\)-模。

5. 若 \(M_3\) 是有限表示 \(R\)-模，且 \(M_2\) 是有限 \(R\)-模，则 \(M_1\) 是有限 \(R\)-模。

证明

先证 (1)。若 \(x_1, \ldots, x_n\) 是 \(M_1\) 的生成元，而 \(y_1, \ldots, y_m \in M_2\) 在 \(M_3\) 中的像生成 \(M_3\)，则 \(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m\) 生成 \(M_2\)。

(3) 由定义立即得到。

证明 (5)。设 \(M_3\) 有限表示且 \(M_2\) 有限。选取一个表示 \[R^{\oplus m} \to R^{\oplus n} \to M_3 \to 0\] 由引理 07JX，存在映射 \(R^{\oplus n} \to M_2\)， 使下图中的实线部分 \[\xymatrix{ & R^{\oplus m} \ar[r] \ar@{..>}[d] & R^{\oplus n} \ar[r] \ar[d] & M_3 \ar[r] \ar[d]^{\text{id}} & 0 \\ 0 \ar[r] & M_1 \ar[r] & M_2 \ar[r] & M_3 \ar[r] & 0 }\] 交换，因而得到虚线箭头。由蛇形引理（引理 07JW）可知存在同构 \[\Coker(R^{\oplus m} \to M_1) \cong \Coker(R^{\oplus n} \to M_2)\] 特别地，\(\Coker(R^{\oplus m} \to M_1)\) 是有限 \(R\)-模。又因 \(\Im(R^{\oplus m} \to M_1)\) 由 (3) 为有限模，所以由 (1) 得 \(M_1\) 有限。

证明 (4)。设 \(M_2\) 有限表示且 \(M_1\) 有限。选取表示 \(R^{\oplus m} \to R^{\oplus n} \to M_2 \to 0\)，并选取满射 \(R^{\oplus k} \to M_1\)。由引理 07JX，复合映射 \(R^{\oplus k} \to M_1 \to M_2\) 可分解为 \(R^{\oplus k} \to R^{\oplus n} \to M_2\)。于是 \(R^{\oplus k + m} \to R^{\oplus n} \to M_3 \to 0\) 是一个表示。

证明 (2)。设 \(M_1\) 和 \(M_3\) 均为有限表示模。(1) 的证明中的论证给出交换图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & R^{\oplus n} \ar[d] \ar[r] & R^{\oplus n + m} \ar[d] \ar[r] & R^{\oplus m} \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & M_1 \ar[r] & M_2 \ar[r] & M_3 \ar[r] & 0 }\] 其中竖直箭头均为满射。由蛇形引理得到短正合列 \[0 \to \Ker(R^{\oplus n} \to M_1) \to \Ker(R^{\oplus n + m} \to M_2) \to \Ker(R^{\oplus m} \to M_3) \to 0\] 由 (5)，外侧两个模均有限，故中间的模也有限。再由 (4)，\(M_2\) 为有限表示模。

引理

设 \(R\) 为环，\(M\) 为有限 \(R\)-模。存在由有限 \(R\)-子模组成的滤过 \[0 = M_0 \subset M_1 \subset \ldots \subset M_n = M\] 使每个商 \(M_i/M_{i - 1}\) 都同构于 \(R/I_i\)，其中 \(I_i\) 是 \(R\) 的某个理想。

证明

对 \(M\) 的生成元数作归纳。设 \(x_1, \ldots, x_r \in M\) 为一组生成元。 令 \(M' = Rx_1 \subset M\)。则 \(M/M'\) 有 \(r - 1\) 个生成元，故可应用归纳假设。 并且显然 \(M' \cong R/I_1\)，其中 \(I_1 = \{f \in R \mid fx_1 = 0\}\)。

引理

设 \(R \to S\) 为环同态，\(M\) 为 \(S\)-模。若 \(M\) 作为 \(R\)-模是有限的， 则 \(M\) 作为 \(S\)-模也是有限的。

证明

事实上，\(M\) 的任一 \(R\)-生成集也是 \(M\) 的 \(S\)-生成集， 因为其 \(R\)-模结构由 \(R\) 在 \(S\) 中的像诱导。

有限型与有限表示的环同态

定义

设 \(R \to S\) 为环同态。

1. 若存在 \(n \in \mathbf{N}\) 以及 \(R\)-代数满射 \(R[x_1, \ldots, x_n] \to S\)，则称 \(R \to S\) 为有限型的， 亦称\(S\) 是有限型 \(R\)-代数。

2. 若存在整数 \(n, m \in \mathbf{N}\)、多项式 \(f_1, \ldots, f_m \in R[x_1, \ldots, x_n]\) 以及下列 \(R\)-代数同构： \[R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m) \cong S\] 则称 \(R \to S\) 为有限表示的。

非正式地说，\(R \to S\) 为有限表示，当且仅当 \(S\) 作为 \(R\)-代数有限生成， 且这些生成元之间的关系所成的理想有限生成。定义中的一个满射 \(R[x_1, \ldots, x_n] \to S\) 有时称为 \(S\) 的一个表示。

引理

有限型与有限表示具有下列稳定性质。

1. 有限型环同态的复合仍为有限型。

2. 有限表示环同态的复合仍为有限表示。

3. 给定 \(R \to S' \to S\)，若 \(R \to S\) 为有限型，则 \(S' \to S\) 为有限型。

4. 给定 \(R \to S' \to S\)，若 \(R \to S\) 为有限表示，且 \(R \to S'\) 为有限型，则 \(S' \to S\) 为有限表示。

证明

只证最后一个断言。写成 \(S = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\) 及 \(S' = R[y_1, \ldots, y_a]/I\)。设 \(y_i\) 的类 \(\bar y_i\) 在 \(S\) 中映为 \(h_i \bmod (f_1, \ldots, f_m)\)。于是显然 \(S = S'[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m, h_1 - \bar y_1, \ldots, h_a - \bar y_a)\)。

引理

设 \(R \to S\) 为有限表示环同态。对任一满射 \(\alpha : R[x_1, \ldots, x_n] \to S\)，\(\alpha\) 的核都是 \(R[x_1, \ldots, x_n]\) 中的有限生成理想。

证明

写成 \(S = R[y_1, \ldots, y_m]/(f_1, \ldots, f_k)\)。 选取 \(g_i \in R[y_1, \ldots, y_m]\) 作为 \(\alpha(x_i)\) 的提升。 于是 \(S = R[x_i, y_j]/(f_l, x_i - g_i)\)。选取 \(h_j \in R[x_1, \ldots, x_n]\)，使 \(\alpha(h_j)\) 对应于 \(y_j \bmod (f_1, \ldots, f_k)\)。考虑映射 \(\psi : R[x_i, y_j] \to R[x_i]\)，\(x_i \mapsto x_i\)， \(y_j \mapsto h_j\)。则 \(\alpha\) 的核是 \((f_l, x_i - g_i)\) 在 \(\psi\) 下的像，结论成立。

引理

设 \(R \to S\) 为环同态，\(M\) 为 \(S\)-模。假设 \(R \to S\) 为有限型， 且 \(M\) 作为 \(R\)-模有限表示，则 \(M\) 作为 \(S\)-模也有限表示。

证明

这与引理 00F4 中 (4) 的证明类似。 可设 \(S = R[x_1, \ldots, x_n]/J\)。选取 \(y_1, \ldots, y_m \in M\)，使其作为 \(R\)-模生成 \(M\)；并选取关系 \(\sum a_{ij} y_j = 0\)，\(i = 1, \ldots, t\)，使其生成 \(R^{\oplus m} \to M\) 的核。对任意 \(i = 1, \ldots, n\) 和 \(j = 1, \ldots, m\)，写成 \[x_i y_j = \sum a_{ijk} y_k\] 其中 \(a_{ijk} \in R\)。考虑由 \(y_1, \ldots, y_m\) 生成的 \(S\)-模 \(N\)， 其关系为 \(\sum a_{ij} y_j = 0\)，\(i = 1, \ldots, t\)，以及 \(x_i y_j = \sum a_{ijk} y_k\)，\(i = 1, \ldots, n\)、 \(j = 1, \ldots, m\)。于是 \(N\) 有表示 \[S^{\oplus nm + t} \longrightarrow S^{\oplus m} \longrightarrow N \longrightarrow 0\] 由构造存在满射 \(\varphi : N \to M\)。为完成证明，只需证明 \(\varphi\) 为单射。设对某些 \(b_j \in S\) 有 \(z = \sum b_j y_j \in N\)。 可将 \(b_j\) 视为以 \(R\) 中元素为系数、关于 \(x_1, \ldots, x_n\) 的多项式。 应用形如 \(x_i y_j = \sum a_{ijk} y_k\) 的关系，可归纳降低这些多项式的次数。 故对某些 \(c_j \in R\) 有 \(z = \sum c_j y_j\)。于是若 \(\varphi(z) = 0\)，则向量 \((c_1, \ldots, c_m)\) 是诸向量 \((a_{i1}, \ldots, a_{im})\) 的 \(R\)-线性组合，从而如所需地得到 \(z = 0\)。

有限环同态

定义如下。

定义

设 \(\varphi : R \to S\) 为环同态。若 \(S\) 作为 \(R\)-模有限， 则称 \(\varphi : R \to S\) 有限。

引理

设 \(R \to S\) 为有限环同态，\(M\) 为 \(S\)-模。则 \(M\) 作为 \(R\)-模有限， 当且仅当 \(M\) 作为 \(S\)-模有限。

证明

其中一个方向由引理 0560 得到。 为证另一个方向，设 \(M\) 作为 \(S\)-模有限。取 \(x_1, \ldots, x_n \in S\)，使其作为 \(R\)-模生成 \(S\)；取 \(y_1, \ldots, y_m \in M\)，使其作为 \(S\)-模生成 \(M\)。 则诸 \(x_i y_j\) 作为 \(R\)-模生成 \(M\)。

引理

设 \(R \to S\) 与 \(S \to T\) 均为有限环同态，则 \(R \to T\) 有限。

证明

若诸 \(t_i\) 作为 \(S\)-模生成 \(T\)，诸 \(s_j\) 作为 \(R\)-模生成 \(S\)， 则诸 \(t_i s_j\) 作为 \(R\)-模生成 \(T\)。（亦可由引理 00GJ 得到。）

引理

设 \(\varphi : R \to S\) 为环同态。

1. 若 \(\varphi\) 有限，则 \(\varphi\) 为有限型。

2. 若 \(S\) 作为 \(R\)-模为有限表示，则 \(\varphi\) 为有限表示。

证明

对 (1)，若 \(x_1, \ldots, x_n \in S\) 作为 \(R\)-模生成 \(S\)， 则 \(x_1, \ldots, x_n\) 也作为 \(R\)-代数生成 \(S\)。对 (2)，设关系 \(\sum r_j^ix_i = 0\)，\(j = 1, \ldots, m\) 作为 \(S\) 的 \(R\)-模生成元 \(x_i\) 之间的关系的一组生成元。此外，对某些 \(r_i \in R\) 写成 \(1 = \sum r_ix_i\)，并对某些 \(r_{ij}^k \in R\) 写成 \(x_ix_j = \sum r_{ij}^k x_k\)。于是作为 \(R\)-代数有 \[S = R[t_1, \ldots, t_n]/ (\sum r_j^it_i,\ 1 - \sum r_it_i,\ t_it_j - \sum r_{ij}^k t_k)\] 这证明了 (2)。

关于有限环同态的更多内容，见第 00GH 节。

余极限

本节部分内容与范畴论中关于余极限的一般讨论重叠，见范畴论第 002D–002Z 节。 预序集的概念定义于范畴论，定义 00D3； 它比偏序集的概念稍弱。

定义

设 \((I, \leq)\) 为预序集。一个以 \(I\) 为指标的 \(R\)-模系统 \((M_i, \mu_{ij})\)，由以 \(I\) 为指标的一族 \(R\)-模 \(\{M_i\}_{i\in I}\) 以及一族 \(R\)-模同态 \(\{\mu_{ij} : M_i \to M_j\}_{i \leq j}\) 构成，并且对所有 \(i \leq j \leq k\) 有 \[\mu_{ii} = \text{id}_{M_i}\quad \mu_{ik} = \mu_{jk}\circ \mu_{ij}\] 若 \(I\) 是有向集，则称 \((M_i, \mu_{ij})\) 为有向系统。

这与范畴论，定义 0030 及第 002Z 节中定义的概念相同。 任意范畴中一个图式或系统的余极限之定义，见范畴论，定义 002F。

引理

设 \((M_i, \mu_{ij})\) 是预序集 \(I\) 上的 \(R\)-模系统。 该系统 \((M_i, \mu_{ij})\) 的余极限是商 \(R\)-模 \((\bigoplus_{i\in I} M_i) /Q\)，其中 \(Q\) 是由所有形如 \[\iota_i(x_i) - \iota_j(\mu_{ij}(x_i))\] 的元素生成的 \(R\)-子模，而 \(\iota_i : M_i \to \bigoplus_{i\in I} M_i\) 是自然嵌入。 将余极限记作 \(M = \colim_i M_i\)，投影记作 \(\pi : \bigoplus_{i\in I} M_i \to M\)，并令 \(\phi_i = \pi \circ \iota_i : M_i \to M\)。

证明

此引理是范畴论，引理 002P 的特例， 不过我们也直接证明这一情形。注意在上述构造中 \(\phi_i = \phi_j\circ \mu_{ij}\)。要证明偶对 \((M, \phi_i)\) 是余极限， 须验证其泛性质：对任一其他这样的偶对 \((Y, \psi_i)\)，其中 \(\psi_i : M_i \to Y\) 且 \(\psi_i = \psi_j\circ \mu_{ij}\)， 存在唯一的 \(R\)-模同态 \(g : M \to Y\)，使下图交换： \[\xymatrix{ M_i \ar[rr]^{\mu_{ij}} \ar[dr]^{\phi_i} \ar[ddr]_{\psi_i} & & M_j\ar[dl]_{\phi_j} \ar[ddl]^{\psi_j} \\ & M \ar[d]^{g}\\ & Y }\] 这是显然的，因为可在直和 \(\bigoplus M_i\) 的直和项 \(M_i\) 上 取映射 \(\psi_i\)，由此定义 \(g\)。

引理

设 \((M_i, \mu_{ij})\) 是预序集 \(I\) 上的 \(R\)-模系统，并假设 \(I\) 有向。 该系统 \((M_i, \mu_{ij})\) 的余极限典范同构于如下定义的模 \(M\)：

1. 作为集合，令 \[M = \left(\coprod\nolimits_{i \in I} M_i\right)/\sim\] 其中，对 \(m \in M_i\) 和 \(m' \in M_{i'}\)，规定 \[m \sim m' \Leftrightarrow \mu_{ij}(m) = \mu_{i'j}(m')\text{ 对某个 }j \geq i, i'\]

2. 作为 Abel 群，对 \(m \in M_i\) 和 \(m' \in M_{i'}\)， 定义 \(m\) 与 \(m'\) 在 \(M\) 中的类之和为 \(\mu_{ij}(m) + \mu_{i'j}(m')\) 的类，其中 \(j \in I\) 是任一满足 \(i \leq j\) 且 \(i' \leq j\) 的指标；

3. 作为 \(R\)-模，对 \(m \in M_i\) 和 \(x \in R\)，定义 \(x\) 与 \(m\) 在 \(M\) 中的类之积为 \(xm\) 在 \(M\) 中的类。

典范映射 \(\phi_i : M_i \to M\) 由典范映射 \(M_i \to \coprod_{i \in I} M_i\) 诱导。

证明

从略。可与范畴论，第 04AX 节比较。

引理

设 \((M_i, \mu_{ij})\) 为有向系统，并设 \(M = \colim M_i\)，其映射为 \(\mu_i : M_i \to M\)。则对 \(x_i \in M_i\)，\(\mu_i(x_i) = 0\)， 当且仅当存在 \(j \geq i\) 使得 \(\mu_{ij}(x_i) = 0\)。

证明

这由引理 00D6 中有向余极限的描述立即得到。

例

考虑偏序集 \(I = \{a, b, c\}\)，其中 \(a < b\)、\(a < c\)，且无其他严格不等式。 \(I\) 上的一个系统 \((M_a, M_b, M_c, \mu_{ab}, \mu_{ac})\) 由三个 \(R\)-模 \(M_a, M_b, M_c\) 以及两个 \(R\)-模同态 \(\mu_{ab} : M_a \to M_b\) 和 \(\mu_{ac} : M_a \to M_c\) 构成。 该系统的余极限就是 \[M := \colim_{i \in I} M_i = \Coker(M_a \to M_b \oplus M_c)\] 其中映射为 \(\mu_{ab} \oplus -\mu_{ac}\)。因此，典范映射 \(M_a \to M\) 的核为 \(\Ker(\mu_{ab}) + \Ker(\mu_{ac})\)； 而典范映射 \(M_b \to M\) 的核是 \(\Ker(\mu_{ac})\) 在映射 \(\mu_{ab}\) 下的像。故引理 00D7 的结论对一般系统显然不成立。

定义

设 \((M_i, \mu_{ij})\)、\((N_i, \nu_{ij})\) 是同一预序集 \(I\) 上的 \(R\)-模系统。从 \((M_i, \mu_{ij})\) 到 \((N_i, \nu_{ij})\) 的 一个系统同态 \(\Phi\)，按定义是由 \(R\)-模同态 \(\phi_i : M_i \to N_i\) 组成的一族，并且对所有 \(i \leq j\) 有 \(\phi_j \circ \mu_{ij} = \nu_{ij} \circ \phi_i\)。

用范畴语言说，这与相应图式 \(M : I \to \text{Mod}_R\) 和 \(N : I \to \text{Mod}_R\) 之间的函子变换是同一个概念。 下一个引理是范畴论，引理 002K 的特例。

引理

设 \((M_i, \mu_{ij})\)、\((N_i, \nu_{ij})\) 是同一预序集上的 \(R\)-模系统。 从 \((M_i, \mu_{ij})\) 到 \((N_i, \nu_{ij})\) 的系统同态 \(\Phi = (\phi_i)\) 诱导唯一同态 \[\colim \phi_i : \colim M_i \longrightarrow \colim N_i\] 使得对所有 \(i \in I\)，下图交换： \[\xymatrix{ M_i \ar[r] \ar[d]_{\phi_i} & \colim M_i \ar[d]^{\colim \phi_i} \\ N_i \ar[r] & \colim N_i }\]

证明

写成 \(M = \colim M_i\)、\(N = \colim N_i\) 及 \(\phi = \colim \phi_i\) （后者尚待构造）。以下将不再另作说明地使用引理 00D5 中对 \(M\) 和 \(N\) 的显式描述。引理的条件等价于下图交换： \[\xymatrix{ \bigoplus_{i\in I} M_i \ar[r] \ar[d]_{\bigoplus\phi_i} & M \ar[d]^\phi \\ \bigoplus_{i\in I} N_i \ar[r] & N }\] 因此，若 \(\phi\) 存在，则其唯一性显然。为证明 \(\phi\) 存在， 只须说明上方水平箭头的核在 \(\bigoplus \phi_i\) 下映入下方水平箭头的核。 为此，取 \(j \leq k\) 及 \(x_j \in M_j\)，则 \[(\bigoplus \phi_i)(x_j - \mu_{jk}(x_j)) = \phi_j(x_j) - \phi_k(\mu_{jk}(x_j)) = \phi_j(x_j) - \nu_{jk}(\phi_j(x_j))\] 如所需地属于下方水平箭头的核。

引理

设 \(I\) 为有向集。设 \((L_i, \lambda_{ij})\)、\((M_i, \mu_{ij})\) 和 \((N_i, \nu_{ij})\) 为 \(I\) 上的 \(R\)-模系统。设 \(\varphi_i : L_i \to M_i\) 与 \(\psi_i : M_i \to N_i\) 为 \(I\) 上的系统同态。 假设对每个 \(i \in I\)，\(R\)-模序列 \[\xymatrix{ L_i \ar[r]^{\varphi_i} & M_i \ar[r]^{\psi_i} & N_i }\] 是同调为 \(H_i\) 的复形。则诸 \(R\)-模 \(H_i\) 构成 \(I\) 上的系统； \(R\)-模序列 \[\xymatrix{ \colim_i L_i \ar[r]^\varphi & \colim_i M_i \ar[r]^\psi & \colim_i N_i }\] 也是复形；若以 \(H\) 表示其同调，则 \[H = \colim_i H_i.\]

证明

显然 \(\xymatrix{ \colim_i L_i \ar[r]^\varphi & \colim_i M_i \ar[r]^\psi & \colim_i N_i }\) 是复形。对每个 \(i \in I\)，存在典范 \(R\)-模同态 \(H_i \to H\)： 它把每个 \([m] \in H_i = \Ker(\psi_i) / \Im(\varphi_i)\) 映到 \(m\) 在 \(\colim_i M_i\) 中的像于 \(H = \Ker(\psi) / \Im(\varphi)\) 中的剩余类。这些同态给出同态 \(\colim_i H_i \to H\)。只须证明它既满又单。

以下将反复使用引理 00D6 中关于 \(I\) 上余极限的描述， 而不再另作说明。取 \(h \in H\)。由于 \(H = \Ker(\psi)/\Im(\varphi)\)，\(h\) 是模 \(\Im(\varphi)\) 意义下 某个元素 \([m]\) 的类，而该元素属于 \(\Ker(\psi) \subset \colim_i M_i\)。 选取 \(i\)，使 \([m]\) 来自某个 \(m \in M_i\)。再选取 \(j \geq i\)，使 \(\nu_{ij}(\psi_i(m)) = 0\)；由于 \([m] \in \Ker(\psi)\)，这样的指标 确实存在。以 \(j\) 代替 \(i\)，并以 \(\mu_{ij}(m)\) 代替 \(m\)， 即可设 \(m \in \Ker(\psi_i)\)。这证明 \(\colim_i H_i \to H\) 为满射。

设 \(h_i \in H_i\) 在 \(H\) 中的像为零。由于 \(H_i = \Ker(\psi_i)/\Im(\varphi_i)\)，可用元素 \(m \in \Ker(\psi_i) \subset M_i\) 表示 \(h_i\)。 \(h_i\) 在 \(H\) 中消失的假设意味着 \(m\) 在 \(\colim_i M_i\) 中的类 属于 \(\varphi\) 的像。因此，存在 \(j \geq i\) 及 \(l \in L_j\)，使得 \(\varphi_j(l) = \mu_{ij}(m)\)。这显然表明 \(h_i\) 在 \(H_j\) 中的像为零， 从而证明 \(\colim_i H_i \to H\) 为单射。

例

一般而言，取余极限并不正合。考虑偏序集 \(I = \{a, b, c\}\)， 其中 \(a < b\)、\(a < c\)，且无其他严格不等式，正如例 00D8 中那样。考虑系统同态 \((0, \mathbf{Z}, \mathbf{Z}, 0, 0) \to (\mathbf{Z}, \mathbf{Z}, \mathbf{Z}, 1, 1)\)。 由例 00D8 中对余极限的描述可知， 相应的余极限同态不是单射，尽管该系统同态在每个对象上都是单射。 故引理 00DB 的结论对一般系统不成立。

引理

设 \(\mathcal{I}\) 为满足范畴论，引理 002X 假设的指标范畴。 则在 \(\mathcal{I}\) 上取 Abel 群图式的余极限是正合的（即引理 00DB 的类似结论在此情形成立）。

证明

由范畴论，引理 002X， 可写 \(\mathcal{I} = \coprod_{j \in J} \mathcal{I}_j\)，其中每个 \(\mathcal{I}_j\) 都是滤过范畴，而 \(J\) 可以为空。由范畴论，引理 0032，在指标范畴 \(\mathcal{I}_j\) 上取余极限，等同于在某个有向集上取余极限。 因此，引理 00DB 可用于这些余极限。 问题由此归结为证明：在 \(R\)-模范畴中，对集合 \(J\) 取余积是正合的。 换言之，给定 \(R\) 模的正合列 \(L_j \to M_j \to N_j\)，须证明

\[\bigoplus\nolimits_{j \in J} L_j \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j \in J} M_j \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j \in J} N_j\] 正合。这可直接验证，即使 \(J\) 为空也成立。

局部化

定义

设 \(R\) 为环，\(S\) 是 \(R\) 的子集。若 \(1\in S\)，且 \(S\) 对乘法封闭，即 \(s, s' \in S \Rightarrow ss' \in S\)， 则称 \(S\) 为\(R\) 的乘法子集。

给定环 \(A\) 及其乘法子集 \(S\)，在 \(A \times S\) 上定义如下关系： \[(x, s) \sim (y, t) \Leftrightarrow \exists u \in S \text{ 使得 } (xt-ys)u = 0\] 容易验证这是等价关系。用 \(x/s\)（或 \(\frac{x}{s}\)）表示 \((x, s)\) 的等价类，并用 \(S^{-1}A\) 表示所有等价类组成的集合。 在 \(S^{-1}A\) 中定义加法与乘法如下： \[x/s + y/t = (xt + ys)/st, \quad x/s \cdot y/t = xy/st\] 可以验证，在这些运算下 \(S^{-1}A\) 成为环。

定义

此环称为\(A\) 关于 \(S\) 的局部化。

从 \(A\) 到其局部化 \(S^{-1}A\) 有自然环同态 \[A \longrightarrow S^{-1}A, \quad x \longmapsto x/1\] 有时称为局部化同态。一般而言，局部化同态不一定是单射； 若 \(S\) 不含零因子，则它是单射。事实上，若 \(x/1 = 0\)， 则存在 \(u\in S\)，使得 \(A\) 中 \(xu = 0\)；由于 \(S\) 中没有零因子， 必有 \(x = 0\)。环的局部化具有下列泛性质。

命题

设 \(f : A \to B\) 为环同态，并把 \(S\) 的每个元素映为 \(B\) 中的单位。 则存在唯一同态 \(g : S^{-1}A \to B\)，使下图交换： \[\xymatrix{ A \ar[rr]^{f} \ar[dr] & & B \\ & S^{-1}A \ar[ur]_g }\]

证明

存在性。如下定义映射 \(g\)。对 \(x/s\in S^{-1}A\)，令 \(g(x/s) = f(x)f(s)^{-1}\in B\)。由定义容易验证这是良定义的环同态， 并且显然使上图交换。

唯一性。现设 \(g' : S^{-1}A \to B\) 满足 \(g'(x/1) = f(x)\)， 证明 \(g = g'\)。由图的交换性，对 \(s \in S\) 有 \(f(s) = g'(s/1)\)。而 \(B\) 中 \(g'(1/s)f(s) = 1\)， 故 \(g'(1/s) = f(s)^{-1}\)，从而 \(g'(x/s) = g'(x/1)g'(1/s) = f(x)f(s)^{-1} = g(x/s)\)。

引理

局部化 \(S^{-1}A\) 是零环，当且仅当 \(0\in S\)。

证明

若 \(0\in S\)，则按定义任意有序对 \((a, s)\sim (0, 1)\)。 若 \(0\not \in S\)，则显然在 \(S^{-1}A\) 中 \(1/1 \neq 0/1\)。

引理

设 \(R\) 为环，\(S \subset R\) 为乘法子集。\(S^{-1}R\)-模范畴等价于 满足下列性质的 \(R\)-模 \(N\) 所成范畴：每个 \(s \in S\) 在 \(N\) 上的作用 都是自同构。

证明

给出该等价的函子把 \(S^{-1}R\)-模 \(M\) 关联到同一个模，但通过局部化同态 \(R \to S^{-1}R\) 把它视为 \(R\)-模。反之，若 \(N\) 是 \(R\)-模， 且每个 \(s \in S\) 都通过自同构 \(s_N\) 作用，则可令 \(x/s\) 通过 \(x_N \circ s_N^{-1}\) 作用，从而把 \(N\) 视为 \(S^{-1}R\)-模。 这两个函子互为拟逆的验证从略。

环的局部化概念可推广为模的局部化。设 \(A\) 为环，\(S\) 是 \(A\) 的乘法 子集，\(M\) 是 \(A\)-模。在 \(M \times S\) 上定义如下关系： \[(m, s) \sim (n, t) \Leftrightarrow \exists u\in S \text{ 使得 } (mt-ns)u = 0\] 这显然是等价关系。

用 \(m/s\)（或 \(\frac{m}{s}\)）表示 \((m, s)\) 的等价类，并用 \(S^{-1}M\) 表示所有等价类组成的集合。定义加法与标量乘法如下：

\[m/s + n/t = (mt + ns)/st,\quad m/s\cdot n/t = mn/st\] 显然，这使 \(S^{-1}M\) 成为 \(S^{-1}A\)-模。

定义

\(S^{-1}A\)-模 \(S^{-1}M\) 称为 \(M\) 关于 \(S\) 的局部化。

注意，有时把 \(A\)-模同态 \(M \to S^{-1}M\)，\(m \mapsto m/1\) 称为局部化同态。它满足下列泛性质。

引理

设 \(R\) 为环。

设 \(S \subset R\) 为乘法子集，\(M\)、\(N\) 为 \(R\)-模。 假设 \(S\) 的所有元素在 \(N\) 上的作用都是自同构。则由局部化同态诱导的 典范映射 \[\Hom_R(S^{-1}M, N) \longrightarrow \Hom_R(M, N)\] 是同构。

证明

该映射良定义且为 \(R\)-线性的事实是显然的。 单射性：设 \(\alpha \in \Hom_R(S^{-1}M, N)\)，并任取 \(m/s \in S^{-1}M\)。由于 \(s \cdot \alpha(m/s) = \alpha(m/1)\)，故 \(\alpha(m/s) =s^{-1}(\alpha (m/1))\)；所以 \(\alpha\) 完全由它在 \(M\) 于 \(S^{-1}M\) 中的像上的取值决定。 满射性：给定一个

R-线性映射 \(\beta : M \rightarrow N\)。须证明它可以“延拓”到 \(S^{-1}M\)。定义集合映射 \[M \times S \rightarrow N,\quad (m,s) \mapsto s^{-1}\beta(m)\] 显然，该映射保持上述等价关系，故下降为良定义映射 \(\alpha : S^{-1}M \rightarrow N\)。还须证明它为 \(R\)-线性的。 取 \(r, r' \in R\)、\(s, s' \in S\) 以及 \(m, m' \in M\)，则 \[\begin{align*} \alpha(r \cdot m/s + r' \cdot m' /s') & = \alpha((r \cdot s' \cdot m + r' \cdot s \cdot m') /(ss')) \\ & = (ss')^{-1}\beta(r \cdot s' \cdot m + r' \cdot s \cdot m') \\ & = (ss')^{-1} (r \cdot s' \beta (m) + r' \cdot s \beta (m')) \\ & = r \alpha (m/s) + r' \alpha (m' /s') \end{align*}\] 所需结论成立。

例

设 \(A\) 为环，\(M\) 为 \(A\)-模。以下是几个重要的局部化例子。

1. 给定 \(A\) 的素理想 \(\mathfrak p\)，考虑 \(S = A\setminus\mathfrak p\)。立即可知 \(S\) 是乘法子集。在此情形， 分别用 \(A_\mathfrak p\) 和 \(M_\mathfrak p\) 表示 \(A\) 和 \(M\) 关于 \(S\) 的局部化，称为\(A\)、相应地 \(M\) 在 \(\mathfrak p\) 处的局部化。

2. 设 \(f\in A\)。考虑 \(S = \{1, f, f^2, \ldots\}\)。 这显然是 \(A\) 的乘法子集。此时分别用 \(A_f\)（相应地 \(M_f\)）表示局部化 \(S^{-1}A\)（相应地 \(S^{-1}M\)），称为 \(A\)、相应地 \(M\) 关于 \(f\) 的局部化。 注意，\(A_f = 0\) 当且仅当 \(f\) 在 \(A\) 中是幂零元。

3. 令 \(S = \{f \in A \mid f \text{ is not a zerodivisor in }A\}\)。 这是 \(A\) 的乘法子集。此时，环 \(Q(A) = S^{-1}A\) 称为 \(A\) 的 全商环，也称为全分式环。

4. 若 \(A\) 是整环，则全商环 \(Q(A)\) 就是 \(A\) 的分式域。请参见 域，例 09FJ。

引理

设 \(R\) 为环，\(S \subset R\) 为乘法子集，\(M\) 为 \(R\)-模。则 \[S^{-1}M = \colim_{f \in S} M_f\] 其中 \(S\) 上的预序由下式给出： \(f \geq f' \Leftrightarrow f = f'f''\)，其中某个 \(f'' \in R\)； 此时映射 \(M_{f'} \to M_f\) 由 \(m/(f')^e \mapsto m(f'')^e/f^e\) 给出。

证明

从略。提示：使用引理 07K0 的泛性质。

以下一段中，设 \(A\) 为环，\(M, N\) 为 \(A\) 上的模。

若 \(S\)、\(S'\) 是 \(A\) 的乘法子集，则显然 \[SS' = \{ss' : s\in S, \ s'\in S'\}\] 也是 \(A\) 的乘法子集。于是有下列结论。

命题

设 \(\overline{S}\) 为 \(S\) 在 \(S'^{-1}A\) 中的像，则 \((SS')^{-1}A\) 同构于 \(\overline{S}^{-1}(S'^{-1}A)\)。

证明

把 \(x\in A\) 映到 \(x/1\in (SS')^{-1}A\) 的映射，由泛性质诱导出 把 \(x/s\in S'^{-1}A\) 映到 \(x/s \in (SS')^{-1}A\) 的映射。 \(\overline{S}\) 中元素的像在 \((SS')^{-1}A\) 中可逆。再次由泛性质， 得到映射 \(f : \overline{S}^{-1}(S'^{-1}A) \to (SS')^{-1}A\)， 它把 \((x/s')/(s/1)\) 映到 \(x/ss'\)。

另一方面，把 \(x\in A\) 映到 \((x/1)/(1/1)\) 的、从 \(A\) 到 \(\overline{S}^{-1}(S'^{-1}A)\) 的映射，再次由泛性质诱导出映射 \(g : (SS')^{-1}A \to \overline{S}^{-1}(S'^{-1}A)\)， 它把 \(x/ss'\) 映到 \((x/s')/(s/1)\)。 立即可验证 \(f\) 与 \(g\) 互为逆映射，故二者都是同构。

对于模 \(M\)，有下列结论。

命题

把 \(S'^{-1}M\) 视为 \(A\)-模，则 \(S^{-1}(S'^{-1}M)\) 同构于 \((SS')^{-1}M\)。

证明

注意，对于给定的 \(A\)-模 M，我们尚未证明 \(S^{-1}M\) 的任何泛性质。 因此不能像前一个证明那样论证，而必须显式构造此同构。

如下定义映射： \[\begin{align*} & f : S^{-1}(S'^{-1}M) \longrightarrow (SS')^{-1}M, \quad \frac{x/s'}{s}\mapsto x/ss'\\ & g : (SS')^{-1}M \longrightarrow S^{-1}(S'^{-1}M), \quad x/t\mapsto \frac{x/s'}{s}\ \text{对某个 }s\in S, s'\in S', \text{ 且 } t = ss' \end{align*}\] 必须验证这些同态良定义，即不依赖于分式的选择。

这容易验证；证明它们互为逆映射也很直接。

若 \(u : M \to N\) 是 \(A\) 同态，则局部化确实诱导出良定义的 \(S^{-1}A\) 同态 \(S^{-1}u : S^{-1}M \to S^{-1}N\)，把 \(x/s\) 映到 \(u(x)/s\)。立即可验证此构造具有函子性，故 \(S^{-1}\) 实际上是从 \(A\)-模范畴到 \(S^{-1}A\)-模范畴的函子。此外，该函子是正合的， 如下命题所示。

命题

设 \(L\xrightarrow{u} M\xrightarrow{v} N\) 为 \(R\)-模的正合列。则 \(S^{-1}L \to S^{-1}M \to S^{-1}N\) 也正合。

证明

首先，由于局部化是函子，显然 \(S^{-1}L \to S^{-1}M \to S^{-1}N\) 是复形。其次，设 \(x/s\) 在 \(S^{-1}N\) 中的像为零，其中 \(x/s \in S^{-1}M\)。则按定义，存在 \(t\in S\)，使得 \(N\) 中 \(v(xt) = v(x)t = 0\)，亦即 \(xt \in \Ker(v)\)。由 \(L \to M \to N\) 的正合性，存在 \(L\) 中的某个 \(y\)，使 \(xt = u(y)\)。于是 \(x/s\) 是 \(y/st\) 的像。这就证明了正合性。

引理

局部化保持商；即若 \(N\) 是 \(M\) 的子模，则 \(S^{-1}(M/N)\simeq (S^{-1}M)/(S^{-1}N)\)。

证明

由正合列 \[0 \longrightarrow N \longrightarrow M \longrightarrow M/N \longrightarrow 0\] 得到 \[0 \longrightarrow S^{-1}N \longrightarrow S^{-1}M \longrightarrow S^{-1}(M/N) \longrightarrow 0\]

引理随即成立。

在前一引理中，对 \(A\) 的理想 \(I\) 取 \(N = I\)、\(M = A\)， 便知作为 \(A\)-模有 \(S^{-1}A/S^{-1}I \simeq S^{-1}(A/I)\)。下一个命题表明它们作为环也同构。

命题

设 \(I\) 是 \(A\) 的理想，\(S\) 是 \(A\) 的乘法子集。则 \(S^{-1}I\) 是 \(S^{-1}A\) 的理想，且 \(\overline{S}^{-1}(A/I)\) 同构于 \(S^{-1}A/S^{-1}I\)，其中 \(\overline{S}\) 是 \(S\) 在 \(A/I\) 中的像。

证明

由于 \(I\) 本身是理想，\(S^{-1}I\) 为理想的事实是显然的。定义 \[f : S^{-1}A\longrightarrow \overline{S}^{-1}(A/I), \quad x/s\mapsto \overline{x}/\overline{s}\] 其中 \(\overline{x}\) 与 \(\overline{s}\) 分别是 \(x\) 与 \(s\) 在 \(A/I\) 中的像。本证明中继续使用类似记号。由 \(S^{-1}A\) 的泛性质， 该映射良定义；其核包含 \(S^{-1}I\)，故它诱导映射 \[\overline{f} : S^{-1}A/S^{-1}I \longrightarrow \overline{S}^{-1}(A/I), \quad \overline{x/s}\mapsto \overline{x}/\overline{s}\]

另一方面，把 \(x\) 映到 \(\overline{x/1}\) 的映射 \(A \to S^{-1}A/S^{-1}I\) 诱导出把 \(\overline{x}\) 映到 \(\overline{x/1}\) 的映射 \(A/I \to S^{-1}A/S^{-1}I\)。 \(\overline{S}\) 的像在 \(S^{-1}A/S^{-1}I\) 中可逆，故由泛性质诱导映射 \[g : \overline{S}^{-1}(A/I) \longrightarrow S^{-1}A/S^{-1}I, \quad \frac{\overline{x}}{\overline{s}}\mapsto \overline{x/s}\] 显然，\(\overline{f}\) 与 \(g\) 互为逆映射，故二者都是同构。

现在考察子模在局部化下的行为。

引理

\(S^{-1}M\) 的任一子模 \(N'\) 都具有形式 \(S^{-1}N\)，其中 \(N\subset M\)；事实上，可以取 \(N\) 为 \(N'\) 在 \(M\) 中的逆像。

证明

设 \(N\) 为 \(N'\) 在 \(M\) 中的逆像。于是可见

\(S^{-1}N\supset N'\)。为证明二者相等，取 \(S^{-1}N\) 中的 \(x/s\)，其中 \(s\in S\) 且 \(x\in N\)。于是 \(x/1\in N'\)。

由于 \(N'\) 是 \(S^{-1}R\)-子模，有 \(x/s = x/1\cdot 1/s\in N'\)。证明完毕。

令 \(M = A\)，并令 \(N = I\) 为 \(A\) 的理想，得到下列推论； 它可以视为命题 00CT 第一部分的逆命题。

引理

\(S^{-1}A\) 的每个理想 \(I'\) 都具有形式 \(S^{-1}I\)； 可以取 \(I\) 为 \(I'\) 在 \(A\) 中的逆像。

证明

立即由引理 00CU 得到。

内 Hom

若 \(R\) 是环，\(M\)、\(N\) 是 \(R\)-模，则 \[\Hom_R(M, N) = \{ \varphi : M \to N\}\] 是从 \(M\) 到 \(N\) 的 \(R\)-线性映射所成的集合。照常令 \((\varphi + \psi)(m) = \varphi(m) + \psi(m)\)，便赋予此集合 Abel 群 结构。事实上，\(\Hom_R(M, N)\) 还按规则 \((x \varphi)(m) = x \varphi(m) = \varphi(xm)\) 成为 \(R\)-模。

给定 \(R\)-模同态 \(a : M \to M'\) 与 \(b : N \to N'\)， 可分别用 \(a\) 与 \(b\) 对同态作前复合及后复合。由此得到交换图 \[\xymatrix{ \Hom_R(M', N) \ar[d]_{- \circ a} \ar[r]_{b \circ -} & \Hom_R(M', N') \ar[d]^{- \circ a} \\ \Hom_R(M, N) \ar[r]^{b \circ -} & \Hom_R(M, N') }\] 事实上，图中的映射都是 \(R\)-模同态。因此 \(\Hom_R\) 定义了加性函子 \[\text{Mod}_R^{opp} \times \text{Mod}_R \longrightarrow \text{Mod}_R, \quad (M, N) \longmapsto \Hom_R(M, N)\]

引理

正合性与 \(\Hom_R\)。设 \(R\) 为环，\(M_1\)、\(M_2\)、\(M_3\) 为 \(R\)-模，并设 \(M_1 \to M_2\) 与 \(M_2 \to M_3\) 为 \(R\)-模同态。

1. \(M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0\) 正合，当且仅当对所有 \(R\)-模 \(N\)， \(0 \to \Hom_R(M_3, N) \to \Hom_R(M_2, N) \to \Hom_R(M_1, N)\) 正合。

2. \(0 \to M_1 \to M_2 \to M_3\) 正合，当且仅当对所有 \(R\)-模 \(N\)， \[0 \to \Hom_R(N, M_1) \to \Hom_R(N, M_2) \to \Hom_R(N, M_3)\] 正合。

证明

从略。

引理

设 \(R\) 为环，\(M\) 为有限表示 \(R\)-模，\(N\) 为 \(R\)-模。

1. 对 \(f \in R\)，有 \(\Hom_R(M, N)_f = \Hom_{R_f}(M_f, N_f) = \Hom_R(M_f, N_f)\)；

2. 对 \(R\) 的乘法子集 \(S\)，有 \[S^{-1}\Hom_R(M, N) = \Hom_{S^{-1}R}(S^{-1}M, S^{-1}N) = \Hom_R(S^{-1}M, S^{-1}N).\]

证明

(1) 是 (2) 的特殊情形。(2) 中第二个等号由引理 07JY 得到。选取一个表示 \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} R \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} R \to M \to 0.\] 由引理 0582，得到正合列 \[0 \to \Hom_R(M, N) \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} N \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} N.\] 关于 \(S\) 作局部化并使用命题 00CS， 得到正合列 \[0 \to S^{-1}\Hom_R(M, N) \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} S^{-1}N \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} S^{-1}N\] 又因 \(S^{-1}M\) 位于正合列 \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} S^{-1}R \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} S^{-1}R \to S^{-1}M \to 0\] 中，该列由引理 0582 诱导出正合列 \[0 \to \Hom_{S^{-1}R}(S^{-1}M, S^{-1}N) \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} S^{-1}N \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} S^{-1}N\] 而这正是上面的正合列，故结论成立。

有限模与有限表示模的刻画

给定环 \(R\) 上的模 \(N\)，可以用函子 \(\Hom_R(N, -)\) 来刻画 \(N\) 是否为有限模或有限表示模。

引理

设 \(R\) 为环，\(N\) 为 \(R\)-模。下列条件等价：

1. \(N\) 是有限 \(R\)-模；

2. 对 \(R\)-模的任意滤过余极限 \(M = \colim M_i\)，映射 \(\colim \Hom_R(N, M_i) \to \Hom_R(N, M)\) 是单射。

证明

设 (1) 成立，并为 \(N\) 选取生成元 \(x_1, \ldots, x_m\)。 若 \(N \to M_i\) 是模同态，且复合 \(N \to M_i \to M\) 为零，则由于 \(M = \colim_{i' \geq i} M_{i'}\)，对每个 \(j \in \{1, \ldots, m\}\)，都能找到

某个 \(i' \geq i\)，使 \(x_j\) 在 \(M_{i'}\) 中的像为零。 由于 \(x_j\) 只有有限多个，可以找到一个同时适用于所有生成元的 \(i'\)。 于是复合 \(N \to M_i \to M_{i'}\) 为零，从而该映射是单射，即 (2) 成立。

设 (2) 成立。对有限子集 \(E \subset N\)，用 \(N_E \subset N\) 表示由 \(E\) 中元素生成的 \(R\)-子模。则 \(0 = \colim N/N_E\) 是滤过余极限。因此，

\(\text{id} : N \to N\) 对某个 \(E\) 通过 \(N_E\) 分解；换言之，\(N\) 是有限生成的。

为便于引用，现定义模中元素之间的关系。

定义

设 \(R\) 为环，\(M\) 为 \(R\)-模。设 \(n \geq 0\)，并对 \(i = 1, \ldots, n\) 给定 \(x_i \in M\)。\(M\) 中 \(x_1, \ldots, x_n\) 之间的一个关系，是满足 \(\sum_{i = 1, \ldots, n} f_i x_i = 0\) 的元素列 \(f_1, \ldots, f_n \in R\)。

引理

设 \(R\) 为环，\(M\) 为 \(R\)-模。则 \(M\) 是某个 \(R\)-模有向系统 \((M_i, \mu_{ij})\) 的余极限，其中每个 \(M_i\) 都是有限表示 \(R\)-模。

证明

考虑任意有限子集 \(S \subset M\)，以及 \(S\) 中元素之间的任意有限关系集 \(E\)。于是，每个 \(s \in S\) 对应于 \(x_s \in M\)，而每个 \(e \in E\) 由元素向量 \(f_{e, s} \in R\) 组成，满足 \(\sum f_{e, s} x_s = 0\)。令 \(M_{S, E}\) 为映射 \[R^{\# E} \longrightarrow R^{\# S}, \quad (g_e)_{e\in E} \longmapsto (\sum g_e f_{e, s})_{s\in S}.\] 的余核。有典范映射 \(M_{S, E} \to M\)。若 \(S \subset S'\)， 且 \(E\) 中元素通过此映射对应于 \(E'\) 中的关系，则有显然的映射 \(M_{S, E} \to M_{S', E'}\)，并且它与到 \(M\) 的映射交换。 令 \(I\) 为所有有序对 \((S, E)\) 组成的集合，并按上述包含关系排序。 显然，这个有向系统的余极限是 \(M\)。

引理

设 \(R\) 为环，\(N\) 为 \(R\)-模。下列条件等价：

1. \(N\) 是有限表示 \(R\)-模；

2. 对 \(R\)-模的任意滤过余极限 \(M = \colim M_i\)，映射 \(\colim \Hom_R(N, M_i) \to \Hom_R(N, M)\) 是双射。

证明

设 (1) 成立，并选取正合列 \(F_{-1} \to F_0 \to N \to 0\)， 其中 \(F_i\) 是有限自由模。于是有关于 \(R\)-模 \(M\) 函子性的正合列 \[0 \to \Hom_R(N, M) \to \Hom_R(F_0, M) \to \Hom_R(F_{-1}, M)\] 。函子 \(\Hom_R(F_i, M)\) 与滤过余极限交换，因为 \(\Hom_R(R^{\oplus n}, M) = M^{\oplus n}\)。 由于滤过余极限是正合的（引理 00DB）， 可知 (2) 成立。

设 (2) 成立。由引理 00HA， 可把 \(N = \colim N_i\) 写成滤过余极限，其中对所有 \(i\)，\(N_i\) 都是有限表示模。因此，对某个 \(i\)，\(\text{id}_N\) 通过 \(N_i\) 分解。 这意味着 \(N\) 是某个有限表示 \(R\)-模（即 \(N_i\)）的直和因子， 故其也是有限表示模。

张量积

定义

设 \(R\) 为环，\(M, N, P\) 为三个 \(R\)-模。称映射 \(f : M \times N \to P\)（其中 \(M \times N\) 仅视为两个 \(R\)-模的笛卡尔 积）是\(R\)-双线性的，如果对每个 \(x \in M\)，从 \(N\) 到 \(P\) 的映射 \(y\mapsto f(x, y)\) 都是 \(R\)-线性的，并且对每个 \(y\in N\)，映射 \(x\mapsto f(x, y)\) 也都是 \(R\)-线性的。

引理

设 \(M, N\) 为 \(R\)-模。则存在一对 \((T, g)\)，其中 \(T\) 是 \(R\)-模， \(g : M \times N \to T\) 是 \(R\)-双线性映射，并具有下列泛性质： 对任意 \(R\)-模 \(P\) 及任意 \(R\)-双线性映射 \(f : M \times N \to P\)，存在唯一的 \(R\)-线性映射 \(\tilde{f} : T \to P\)，使得 \(f = \tilde{f} \circ g\)。 换言之，下图交换： \[\xymatrix{ M \times N \ar[rr]^f \ar[dr]_g & & P\\ & T \ar[ur]_{\tilde f} }\] 此外，若 \((T, g)\) 与 \((T', g')\) 是两对具有此性质的对象， 则存在唯一同构 \(j : T \to T'\)，使 \(j\circ g = g'\)。

满足上述泛性质的 \(R\)-模 \(T\) 称为 \(R\)-模 \(M\) 与 \(N\) 的 张量积，记为 \(M \otimes_R N\)。

证明

先证明这样的 \(R\)-模 \(T\) 存在。设 \(M, N\) 为 \(R\)-模。 令 \(T\) 为商模 \(P/Q\)，其中 \(P\) 是自由 \(R\)-模 \(R^{(M \times N)}\)，而 \(Q\) 是由下列各类元素生成的 \(R\)-模 （\(x\in M, y\in N\)）： \[\begin{align*} (x + x', y) - (x, y) - (x', y), \\ (x, y + y') - (x, y) - (x, y'), \\ (ax, y) - a(x, y), \\ (x, ay) - a(x, y) \end{align*}\] 用 \(\pi : M \times N \to T\) 表示自然映射。验证双线性条件时， 上述关系即说明该映射为 \(R\)-双线性的。

把像记为 \(\pi(x, y) = x \otimes y\)；这些元素生成 \(T\)。 现设 \(f : M \times N \to P\) 为 \(R\)-双线性映射，则可把映射 \(f'(x \otimes y) = f(x, y)\) 线性延拓，定义 \(f' : T \to P\)。显然 \(f = f'\circ \pi\)。此外，\(f'\) 由其在生成集 \(\{x \otimes y : x\in M, y\in N\}\) 上的取值唯一确定。 设另有一对 \((T', g')\) 满足同样性质。则存在唯一的 \(j : T \to T'\) 以及 \(j' : T' \to T\)，使 \(g' = j\circ g\)、\(g = j'\circ g'\)。

但映射 \((j\circ j') \circ g\) 与 \(g\) 都满足泛性质，故由唯一性二者相等， 从而 \(j'\circ j\) 是 \(T\) 上的恒等映射。类似地， \((j'\circ j) \circ g' = g'\)，且 \(j\circ j'\) 是 \(T'\) 上的恒等映射。 所以 \(j\) 是同构。

引理

设 \(M, N, P\) 为 \(R\)-模，则双线性映射 \[\begin{align*} (x, y) & \mapsto y \otimes x\\ (x + y, z) & \mapsto x \otimes z + y \otimes z\\ (r, x) & \mapsto rx \end{align*}\] 分别诱导唯一同构 \[\begin{align*} M \otimes_R N & \to N \otimes_R M, \\ (M\oplus N)\otimes_R P & \to (M \otimes_R P)\oplus(N \otimes_R P), \\ R \otimes_R M & \to M \end{align*}\]

证明

从略。

可以把两个 \(R\)-模的张量积推广到有限多个 \(R\)-模，并在多重张量积与 多线性映射之间建立对应。用几乎相同的构造，可以证明下列结论。

引理

设 \(M_1, \ldots, M_r\) 为 \(R\)-模。则存在一对 \((T, g)\)， 由一个 \(R\)-模 T 及一个具有如下泛性质的 \(R\)-多线性映射 \(g : M_1\times \ldots \times M_r \to T\) 组成： 对任意 \(R\)-多线性映射 \(f : M_1\times \ldots \times M_r \to P\)， 存在唯一的 \(R\)-模同态 \(f' : T \to P\)，使 \(f'\circ g = f\)。 这样的模 \(T\) 在唯一同构意义下唯一。把它记为 \(M_1\otimes_R \ldots \otimes_R M_r\)，并把泛多线性映射记为 \((m_1, \ldots, m_r) \mapsto m_1 \otimes \ldots \otimes m_r\)。

证明

从略。

引理

同态 \[(M \otimes_R N)\otimes_R P \to M \otimes_R N \otimes_R P \to M \otimes_R (N \otimes_R P)\] 由下式给出： \(f((x \otimes y)\otimes z) = x \otimes y \otimes z\) 以及 \(g(x \otimes y \otimes z) = x \otimes (y \otimes z)\)， 其中 \(x\in M, y\in N, z\in P\)。这些同态良定义且为同构。

证明

证明 \(f\) 良定义且为同构；对 \(g\) 的证明完全类似。固定任意 \(z\in P\)，则映射 \((x, y)\mapsto x \otimes y \otimes z\)， \(x\in M, y\in N\)，关于 \(x\)、\(y\) 是 \(R\)-双线性的，因而诱导同态 \(f_z : M \otimes N \to M \otimes N \otimes P\)，满足 \(f_z(x \otimes y) = x \otimes y \otimes z\)。 再考虑由 \((w, z)\mapsto f_z(w)\) 给出的映射 \((M \otimes N)\times P \to M \otimes N \otimes P\)。 此映射为 \(R\)-双线性的，故诱导 \(f : (M \otimes_R N)\otimes_R P \to M \otimes_R N \otimes_R P\)， 且 \(f((x \otimes y)\otimes z) = x \otimes y \otimes z\)。 为构造其逆映射，注意映射 \(\pi : M \times N \times P \to (M \otimes N)\otimes P\) 是 \(R\)-三线性的。因此，它诱导一个符合泛性质的 \(R\)-线性映射 \(h : M \otimes N \otimes P \to (M \otimes N)\otimes P\)。 在此可见，\(h(x \otimes y \otimes z) = (x \otimes y)\otimes z\)。 由 \(f\) 与 \(h\) 的显式表达式，\(f\circ h\) 与 \(h\circ f\) 分别是 \(M \otimes N \otimes P\) 与 \((M \otimes N)\otimes P\) 上的恒等映射， 故 \(f\) 即所求同构。

归纳可见，这一结论推广到多重张量积。再结合引理 00CY，可知 \(R\)-模范畴上的张量积运算 具有结合性、交换性与分配性。

定义

若 Abel 群 \(N\) 既是 \(A\)-模又是 \(B\)-模，且对所有 \(a \in A\)、 \(b \in B\)，乘以 \(a\) 与乘以 \(b\) 的作用交换，即对所有 \(n \in N\) 有 \(b(an) = a(bn)\)，则称之为 \((A, B)\)-双模。在这种情形下，通常把 \(B\)-作用写在右边： 对 \(b \in B\) 与 \(n \in N\)，用 \(nb\) 表示 \(n\) 乘以 \(b\) 的结果。 采用此约定，上述相容性即为：对所有 \(a\in A, b\in B, x\in N\)， 有 \((ax)b = a(xb)\)。用简记 \(_AN_B\) 表示 \((A, B)\)-双模 \(N\)。

引理

设 \(M\) 为 \(A\)-模，\(P\) 为 \(B\)-模，\(N\) 为 \((A, B)\)-双模。 则模 \((M \otimes_A N)\otimes_B P\) 与 \(M \otimes_A(N \otimes_B P)\) 都可以赋予 \((A, B)\)-双模结构，而且 \[(M \otimes_A N)\otimes_B P \cong M \otimes_A(N \otimes_B P).\]

证明

先验地，\(M \otimes_A N\) 是 \(A\)-模；但可以用规则 \[(x \otimes y)b = x \otimes yb, \quad x\in M, y\in N, b\in B\] 赋予它 \(B\)-模结构。于是 \(M \otimes_A N\) 成为 \((A, B)\)-双模。 \(N \otimes_B P\) 的情形类似，进而 \((M \otimes_A N)\otimes_B P\) 与 \(M \otimes_A(N \otimes_B P)\) 也同样如此。由引理 00D0，这两个模通过同一个映射，

既作为 \(A\)-模也作为 \(B\)-模同构。

引理

对任意三个 \(R\)-模 \(M, N, P\)，有 \[\Hom_R(M \otimes_R N, P) \cong \Hom_R(M, \Hom_R(N, P))\]

证明

\(R\)-线性映射 \(\hat{f}\in \Hom_R(M \otimes_R N, P)\) 对应于 \(R\)-双线性映射 \(f : M \times N \to P\)。对每个 \(x\in M\)， 由泛性质，映射 \(y\mapsto f(x, y)\) 是 \(R\)-线性的。因此，\(f\) 对应于映射 \(\phi_f : M \to \Hom_R(N, P)\)。该映射为 \(R\)-线性的， 因为 \[\phi_f(ax + y)(z) = f(ax + y, z) = af(x, z)+f(y, z) = (a\phi_f(x)+\phi_f(y))(z),\] 其中任意 \(a \in R\)、\(x \in M\)、\(y \in M\) 及 \(z \in N\)。 反之，任意 \(f \in \Hom_R(M, \Hom_R(N, P))\) 定义一个 \(R\)-双线性映射 \(M \times N \to P\)，即 \((x, y)\mapsto f(x)(y)\)。 故这给出两个模 \(\Hom_R(M \otimes_R N, P)\) 与 \(\Hom_R(M, \Hom_R(N, P))\) 之间的自然一一对应。

引理

设 \((M_i, \mu_{ij})\) 是预序集 \(I\) 上的系统，\(N\) 是 \(R\)-模。则 \[\colim (M_i \otimes N) \cong (\colim M_i)\otimes N.\] 此外，此同构由同态 \(\mu_i \otimes 1: M_i \otimes N \to M \otimes N\) 诱导，其中 \(M = \colim_i M_i\)，自然映射为 \(\mu_i : M_i \to M\)。

证明

第一种证明。由引理 00DE， 函子 \(M' \mapsto M' \otimes_R N\) 是函子 \(N' \mapsto \Hom_R(N, N')\) 的左伴随。因此， \(M' \mapsto M' \otimes_R N\) 与所有余极限交换；见范畴论，引理 0038。

第二种直接证明。令 \(P = \colim (M_i \otimes N)\)，其余投影为 \(\lambda_i : M_i \otimes N \to P\)；令 \(M = \colim M_i\)，其余投影为 \(\mu_i : M_i \to M\)。则对所有 \(i\leq j\)，下图交换： \[\xymatrix{ M_i \otimes N \ar[r]_{\mu_i \otimes 1} \ar[d]_{\mu_{ij} \otimes 1} & M \otimes N \ar[d]^{\text{id}} \\ M_j \otimes N \ar[r]^{\mu_j \otimes 1} & M \otimes N }\] 由引理 00DA，这些映射诱导唯一同态 \(\psi : P \to M \otimes N\)，使 \(\mu_i \otimes 1 = \psi \circ \lambda_i\)。

为构造逆映射，对每个 \(i\in I\)，都有典范的 \(R\)-双线性映射 \(g_i : M_i \times N \to M_i \otimes N\)。这诱导唯一映射 \(\widehat{\phi} : M \times N \to P\)，使 \(\widehat{\phi} \circ (\mu_i \times 1) = \lambda_i \circ g_i\)。 它为 \(R\)-双线性的，故诱导 \(R\)-线性映射 \(\phi : M \otimes N \to P\)。由下列交换图 \[\xymatrix{ M_i \times N \ar[r]^{g_i} \ar[d]^{\mu_i \times \text{id}} & M_i \otimes N\ar[r]_{\text{id}} \ar[d]_{\lambda_i} & M_i \otimes N \ar[d]_{\mu_i \otimes \text{id}} \ar[rd]^{\lambda_i} \\ M \times N \ar[r]^{\widehat{\phi}} & P \ar[r]^{\psi} & M \otimes N \ar[r]^{\phi} & P }\] 可知 \(\psi\circ\widehat{\phi} = g\)，其中 g 是典范 \(R\)-双线性映射 \(g : M \times N \to M \otimes N\)。故 \(\psi\circ\phi\) 是 \(M \otimes N\) 上的恒等映射。由右侧方形与三角形， \(\phi\circ\psi\) 也是 \(P\) 上的恒等映射。

引理

设 \[\begin{align*} M_1\xrightarrow{f} M_2\xrightarrow{g} M_3 \to 0 \end{align*}\] 为 \(R\)-模及同态的正合列，并设 \(N\) 为任意 \(R\)-模。则序列 [00DG]\[\begin{equation} M_1\otimes N\xrightarrow{f \otimes 1} M_2\otimes N \xrightarrow{g \otimes 1} M_3\otimes N \to 0 \end{equation}\] 正合。换言之，函子 \(- \otimes_R N\) 是右正合的；也就是说， 把原右正合列中的每一项与之作张量积会保持正合性。

证明

对每个 \(R\)-模 \(P\)，向第一个正合列应用函子 \(\Hom(-, \Hom(N, P))\)，得到 \[0 \to \Hom(M_3, \Hom(N, P)) \to \Hom(M_2, \Hom(N, P)) \to \Hom(M_1, \Hom(N, P))\] 它由引理 0582 (1) 正合。 由引理 00DE，这变为序列 \[0 \to \Hom(M_3 \otimes N, P) \to \Hom(M_2 \otimes N, P) \to \Hom(M_1 \otimes N, P)\] 因此也正合。再次使用引理 0582 (1)， 即得到所求正合列。

注

然而，张量积一般并不保持正合列。换言之，若 \(M_1 \to M_2 \to M_3\) 正合，则对任意 \(R\)-模 \(N\)， \(M_1 \otimes N \to M_2 \otimes N \to M_3 \otimes N\) 未必正合。

例

考虑单射 \(2 : \mathbf{Z}\to \mathbf{Z}\)，把它视为 \(\mathbf{Z}\)-模同态。令 \(N = \mathbf{Z}/2\)。则诱导映射 \(\mathbf{Z} \otimes \mathbf{Z}/2 \to \mathbf{Z} \otimes \mathbf{Z}/2\) 不是单射。事实上，对 \(x \otimes y\in \mathbf{Z} \otimes \mathbf{Z}/2\)， \[(2 \otimes 1)(x \otimes y) = 2x \otimes y = x \otimes 2y = x \otimes 0 = 0\] 因此，诱导映射是零映射，而 \(\mathbf{Z} \otimes N\neq 0\)。

注

对 \(R\)-模 \(N\)，若函子 \(-\otimes_R N\) 正合，即与 \(N\) 作张量积保持所有 正合列，则称 \(N\) 为

平坦 \(R\)-模。我们将在第 00H9 节进一步讨论这一概念。

引理

设 \(R\) 为环，\(M\)、\(N\) 为 \(R\)-模。

1. 若 \(N\) 与 \(M\) 都是有限模，则 \(M \otimes_R N\) 也是有限模。

2. 若 \(N\) 与 \(M\) 都是有限表示模，则 \(M \otimes_R N\) 也是有限表示模。

证明

设 \(M\) 为有限模。选取表示 \(0 \to K \to R^{\oplus n} \to M \to 0\)。由引理 00DF，这给出正合列 \(K \otimes_R N \to N^{\oplus n} \to M \otimes_R N \to 0\)。 所以，若 \(N\) 也有限，则 \(M \otimes_R N\) 是有限模的商，因而有限； 见引理 0519。类似地，若 \(N\) 与 \(M\) 都是有限表示模， 则 \(K\) 是有限模，而 \(M \otimes_R N\) 是有限表示模 \(N^{\oplus n}\) 关于有限模 \(K \otimes_R N\) 的商，因而是有限表示模； 见引理 0519。

引理

设 \(M\) 为 \(R\)-模。则 \(S^{-1}R\)-模 \(S^{-1}M\) 与 \(S^{-1}R \otimes_R M\) 典范同构，且典范同构 \(f : S^{-1}R \otimes_R M \to S^{-1}M\) 由下式给出： \[f((a/s) \otimes m) = am/s, \forall a \in R, m \in M, s \in S\]

证明

显然，由 \(f'(a/s, m) = am/s\) 给出的映射 \(f' : S^{-1}R \times M \to S^{-1}M\) 是双线性的； 故由泛性质，该映射诱导引理陈述中的唯一 \(S^{-1}R\)-模同态 \(f : S^{-1}R \otimes_R M \to S^{-1}M\)。 事实上，\(S^{-1}M\) 的每个元素都具有形式 \(m/s\)，其中 \(m\in M, s\in S\)；而 \(S^{-1}R \otimes_R M\) 的每个元素都具有形式 \(1/s \otimes m\)。为看出后一事实，把 \(S^{-1}R \otimes_R M\) 中的元素写成 \[\sum_k \frac{a_k}{s_k} \otimes m_k = \sum_k \frac{a_k t_k}{s} \otimes m_k = \frac{1}{s} \otimes \sum_k {a_k t_k}m_k = \frac{1}{s} \otimes m\]

其中 \(m = \sum_k {a_k t_k}m_k\)。于是 \(f\) 显然是满射； 若 \(f(\frac{1}{s} \otimes m) = m/s = 0\)，则存在 \(t \in S\)， 使得 \(M\) 中 \(tm = 0\)。于是 \[\frac{1}{s} \otimes m = \frac{1}{st} \otimes tm = \frac{1}{st} \otimes 0 = 0\] 因此 \(f\) 是单射。

引理

设 \(M, N\) 为 \(R\)-模，则有典范 \(S^{-1}R\)-模同构 \(f : S^{-1}M \otimes_{S^{-1}R}S^{-1}N \to S^{-1}(M \otimes_R N)\)， 由下式给出： \[f((m/s)\otimes(n/t)) = (m \otimes n)/st\]

证明

反复使用引理 00D2 与引理 00DK，并注意 \(S^{-1}R\) 是 \((R, S^{-1}R)\)-双模，可知这两个 \(S^{-1}R\)-模同构： \[\begin{align*} S^{-1}(M \otimes_R N) & \cong S^{-1}R \otimes_R (M \otimes_R N)\\ & \cong S^{-1}M \otimes_R N\\ & \cong (S^{-1}M \otimes_{S^{-1}R}S^{-1}R)\otimes_R N\\ & \cong S^{-1}M \otimes_{S^{-1}R}(S^{-1}R \otimes_R N)\\ & \cong S^{-1}M \otimes_{S^{-1}R}S^{-1}N \end{align*}\] 容易看出，这一同构正是引理所述同构。

张量代数

设 \(R\) 为环，\(M\) 为 \(R\)-模。定义\(M\) 在 \(R\) 上的张量代数为 非交换 \(R\)-代数 \[\text{T}(M) = \text{T}_R(M) = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \text{T}^n(M)\] 其中 \(\text{T}^0(M) = R\)、 \(\text{T}^1(M) = M\)、 \(\text{T}^2(M) = M \otimes_R M\)、 \(\text{T}^3(M) = M \otimes_R M \otimes_R M\)，依此类推。 乘法由纯张量上的下列规则定义： \[(x_1 \otimes x_2 \otimes \ldots \otimes x_n) \cdot (y_1 \otimes y_2 \otimes \ldots \otimes y_m) = x_1 \otimes x_2 \otimes \ldots \otimes x_n \otimes y_1 \otimes y_2 \otimes \ldots \otimes y_m\] 再按线性延拓。

定义\(M\) 在 \(R\) 上的外代数 \(\wedge(M)\)为 \(\text{T}(M)\) 关于由元素 \(x \otimes x \in \text{T}^2(M)\) 生成的双边理想的商。 纯张量 \(x_1 \otimes \ldots \otimes x_n\) 在 \(\wedge^n(M)\) 中的像记为 \(x_1 \wedge \ldots \wedge x_n\)。这些元素生成 \(\wedge^n(M)\)； 它们关于每个 \(x_i\) 都是 \(R\)-线性的，并且当两个 \(x_i\) 相等时为零 （即作为 \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) 的函数是交替的）。 \(\wedge(M)\) 上的乘法是分次交换的；即每个 \(x \in M\) 与 \(y \in M\) 都满足 \(x \wedge y = - y \wedge x\)。

例如，设 \(M = Rx_1 \oplus \ldots \oplus Rx_n\) 是有限自由模。 此时 \(\wedge(M)\) 是自由 \(R\)-模，其一组基为元素 \[x_{i_1} \wedge \ldots \wedge x_{i_r}\] 其中 \(0 \leq r \leq n\) 且 \(1 \leq i_1 < i_2 < \ldots < i_r \leq n\)。

定义\(M\) 在 \(R\) 上的对称代数 \(\text{Sym}(M)\)为 \(\text{T}(M)\) 关于由元素 \(x \otimes y - y \otimes x \in \text{T}^2(M)\) 生成的双边理想的商。纯张量 \(x_1 \otimes \ldots \otimes x_n\) 在 \(\text{Sym}^n(M)\) 中的像简记为 \(x_1 \ldots x_n\)。 这些元素生成 \(\text{Sym}^n(M)\)，并关于每个 \(x_i\) 都是 \(R\)-线性的。 若元素列 \(x_1, \ldots, x_n\) 是元素列 \(x_1', \ldots, x_n'\) 的一个排列， 则 \(x_1 \ldots x_n = x_1' \ldots x_n'\)。因此，\(\text{Sym}(M)\) 是交换的。

仍以有限自由模 \(M = Rx_1 \oplus \ldots \oplus Rx_n\) 为例。 此时 \(\text{Sym}(M) = R[x_1, \ldots, x_n]\) 是多项式代数。

引理

设 \(R\) 为环，\(M\) 为 \(R\)-模。若 \(M\) 是自由 \(R\)-模， 则其每个对称幂与外幂也是自由模。

证明

从略；有限自由的情形见上文。

引理

设 \(R\) 为环，并设 \(M_2 \to M_1 \to M \to 0\) 为 \(R\)-模的正合列。则有正合列 \[M_2 \otimes_R \text{Sym}^{n - 1}(M_1) \to \text{Sym}^n(M_1) \to \text{Sym}^n(M) \to 0\] 以及类似的正合列 \[M_2 \otimes_R \wedge^{n - 1}(M_1) \to \wedge^n(M_1) \to \wedge^n(M) \to 0\]

证明

从略。

引理

设 \(R\) 为环，\(M\) 为 \(R\)-模。设 \(x_i\)（\(i \in I\)）是 \(M\) 作为 \(R\)-模的一组给定生成元，并设 \(n \geq 2\)。存在典范正合列 \[\bigoplus_{1 \leq j_1 < j_2 \leq n} \bigoplus_{i_1, i_2 \in I} \text{T}^{n - 2}(M) \oplus \bigoplus_{1 \leq j_1 < j_2 \leq n} \bigoplus_{i \in I} \text{T}^{n - 2}(M) \to \text{T}^n(M) \to \wedge^n(M) \to 0\] 其中，第一个直和项中的纯张量 \(m_1 \otimes \ldots \otimes m_{n - 2}\) 映为 \[\begin{align*} \underbrace{ m_1 \otimes \ldots \otimes x_{i_1} \otimes \ldots \otimes x_{i_2} \otimes \ldots \otimes m_{n - 2} }_{\text{其中 } x_{i_1} \text{ 且 } x_{i_2} \text{ occupying slots } j_1 \text{ 且 } j_2 \text{ in the tensor}} \\ + \underbrace{ m_1 \otimes \ldots \otimes x_{i_2} \otimes \ldots \otimes x_{i_1} \otimes \ldots \otimes m_{n - 2} }_{\text{其中 } x_{i_2} \text{ 且 } x_{i_1} \text{ occupying slots } j_1 \text{ 且 } j_2 \text{ in the tensor}} \end{align*}\] 而第二个直和项中的 \(m_1 \otimes \ldots \otimes m_{n - 2}\) 映为 \[\underbrace{ m_1 \otimes \ldots \otimes x_i \otimes \ldots \otimes x_i \otimes \ldots \otimes m_{n - 2} }_{\text{其中 } x_{i} \text{ 且 } x_{i} \text{ occupying slots } j_1 \text{ 且 } j_2 \text{ in the tensor}}\] 还有典范正合列 \[\bigoplus_{1 \leq j_1 < j_2 \leq n} \bigoplus_{i_1, i_2 \in I} \text{T}^{n - 2}(M) \to \text{T}^n(M) \to \text{Sym}^n(M) \to 0\] 其中，纯张量 \(m_1 \otimes \ldots \otimes m_{n - 2}\) 映为 \[\begin{align*} \underbrace{ m_1 \otimes \ldots \otimes x_{i_1} \otimes \ldots \otimes x_{i_2} \otimes \ldots \otimes m_{n - 2} }_{\text{其中 } x_{i_1} \text{ 且 } x_{i_2} \text{ occupying slots } j_1 \text{ 且 } j_2 \text{ in the tensor}} \\ - \underbrace{ m_1 \otimes \ldots \otimes x_{i_2} \otimes \ldots \otimes x_{i_1} \otimes \ldots \otimes m_{n - 2} }_{\text{其中 } x_{i_2} \text{ 且 } x_{i_1} \text{ occupying slots } j_1 \text{ 且 } j_2 \text{ in the tensor}} \end{align*}\]

证明

从略。

引理

设 \(A \to B\) 为环同态，\(M\) 为 \(B\)-模，并设 \(n > 1\)。 \(A\)-线性映射 \(M \otimes_A \ldots \otimes_A M \to \wedge^n_B(M)\) 的核， 作为 \(A\)-模由下列元素生成：满足 \(m_i = m_j\) 的 \(m_1 \otimes \ldots \otimes m_n\)，其中 \(i \not = j\)、\(m_1, \ldots, m_n \in M\)；以及元素 \(m_1 \otimes \ldots \otimes bm_i \otimes \ldots \otimes m_n - m_1 \otimes \ldots \otimes bm_j \otimes \ldots \otimes m_n\)， 其中 \(i \not = j\)、\(m_1, \ldots, m_n \in M\) 且 \(b \in B\)。

证明

从略。

引理

设 \(R\) 为环，\(M_i\) 为 \(R\)-模的有向系统。则 \(\colim_i \text{T}(M_i) = \text{T}(\colim_i M_i)\)， 对称代数与外代数也有类似结论。

证明

从略。提示：应用引理 00DD。

引理

设 \(R\) 为环，\(S \subset R\) 为乘法子集。则对任意 \(R\)-模 \(M\)，

\(S^{-1}T_R(M) = T_{S^{-1}R}(S^{-1}M)\)。对称代数与外代数也类似。

证明

从略。提示：应用引理 00DL。

基变换

如下正式引入代数中的基变换。

定义

设 \(\varphi : R \to S\) 为环同态，\(M\) 为 \(S\)-模，并设 \(R \to R'\) 为任意环同态。\(\varphi\) 沿 \(R \to R'\) 的 基变换是环同态 \(R' \to S \otimes_R R'\)。在这种情形下， 常记 \(S' = S \otimes_R R'\)。\(S\)-模 \(M\) 的基变换是 \(S'\)-模 \(M \otimes_R R'\)。

若对某族变量 \(x_i\)（\(i \in I\)）及某族多项式 \(f_j \in R[x_i]\)（\(j \in J\)），有 \(S = R[x_i]/(f_j)\)，则 \(S \otimes_R R' = R'[x_i]/(f'_j)\)，其中 \(f'_j \in R'[x_i]\) 是 \(f_j\) 在由 \(R \to R'\) 诱导的映射 \(R[x_i] \to R'[x_i]\) 下的像。这个简单观察是理解基变换的关键。

引理

设 \(R \to S\) 为环同态，\(M\) 为 \(S\)-模。设 \(R \to R'\) 为环同态， 并令 \(S' = S \otimes_R R'\) 与 \(M' = M \otimes_R R'\) 为相应基变换。

1. 若 \(M\) 是有限 \(S\)-模，则基变换 \(M'\) 是有限 \(S'\)-模。

2. 若 \(M\) 是有限表示 \(S\)-模，则基变换 \(M'\) 是有限表示 \(S'\)-模。

3. 若 \(R \to S\) 为有限型，则基变换 \(R' \to S'\) 也为有限型。

4. 若 \(R \to S\) 为有限表示，则基变换 \(R' \to S'\) 也为有限表示。

证明

(1) 的证明。取满的 \(S\)-线性映射 \(S^{\oplus n} \to M \to 0\)。由引理 00CY 与 00DF， 与 \(R^\prime\) 作张量积后得到满射 \({S^\prime}^{\oplus n} \to M^\prime \rightarrow 0\)， 故 \(M^\prime\) 是有限生成 \(S^\prime\)-模。 (2) 的证明。取表示 \(S^{\oplus m} \to S^{\oplus n} \to M \to 0\)。 由引理 00CY 与 00DF，与 \(R^\prime\) 作张量积后得到 \(S^\prime\)-模 \(M^\prime\) 的有限表示 \({S^\prime}^{\oplus m} \to {S^\prime}^{\oplus n} \to M^\prime \to 0\)。 (3) 的证明。由引理前的观察即可；按假设可取 \(I\) 为有限集。 (4) 的证明。同理由引理前的观察即可；按假设可取 \(I\) 与 \(J\) 为有限集。

设 \(\varphi : R \to S\) 为环同态。给定 \(S\)-模 \(N\)，可按规则 \(r \cdot n = \varphi(r)n\) 得到 \(R\)-模 \(N_R\)。 这有时称为把 \(N\) 限制到 \(R\)。

引理

设 \(R \to S\) 为环同态。函子 \(\text{Mod}_S \to \text{Mod}_R\)，\(N \mapsto N_R\)（限制）， 与函子 \(\text{Mod}_R \to \text{Mod}_S\)， \(M \mapsto M \otimes_R S\)（基变换）互为伴随。公式为 \[\Hom_R(M, N_R) = \Hom_S(M \otimes_R S, N)\]

证明

若 \(\alpha : M \to N_R\) 是 \(R\)-模同态，则按规则 \(\alpha'(m \otimes s) = s\alpha(m)\) 定义 \(\alpha' : M \otimes_R S \to N\)。若 \(\beta : M \otimes_R S \to N\) 是 \(S\)-模同态，则按规则 \(\beta'(m) = \beta(m \otimes 1)\) 定义 \(\beta' : M \to N_R\)。 这两个构造互逆的验证从略。

上述引理说明限制函子有左伴随，即基变换。它也有右伴随。

引理

设 \(R \to S\) 为环同态。函子 \(\text{Mod}_S \to \text{Mod}_R\)，\(N \mapsto N_R\)（限制）， 与函子 \(\text{Mod}_R \to \text{Mod}_S\)， \(M \mapsto \Hom_R(S, M)\) 互为伴随。公式为 \[\Hom_R(N_R, M) = \Hom_S(N, \Hom_R(S, M))\]

证明

若 \(\alpha : N_R \to M\) 是 \(R\)-模同态，则按规则 \(\alpha'(n) = (s \mapsto \alpha(sn))\) 定义 \(\alpha' : N \to \Hom_R(S, M)\)。若 \(\beta : N \to \Hom_R(S, M)\) 是 \(S\)-模同态，则按规则 \(\beta'(n) = \beta(n)(1)\) 定义 \(\beta' : N_R \to M\)。 这两个构造互逆的验证从略。

引理

设 \(R \to S\) 为环同态。给定 \(S\)-模 \(M, N\) 及 \(R\)-模 \(P\)，有 \[\Hom_R(M \otimes_S N, P) = \Hom_S(M, \Hom_R(N, P))\]

证明

这可以直接证明，也可由引理 08YP 与 00DE 推出。事实上， \[\begin{align*} \Hom_R(M \otimes_S N, P) & = \Hom_S(M \otimes_S N, \Hom_R(S, P)) \\ & = \Hom_S(M, \Hom_S(N, \Hom_R(S, P))) \\ & = \Hom_S(M, \Hom_R(N, P)) \end{align*}\] 正合所求。

杂项

本节的证明不应引用基本概念一节，即第 00AR 节之外 的任何结果。

引理

设 \(R\) 为环，\(I\)、\(J\) 为两个理想，\(\mathfrak p\) 是包含乘积 \(IJ\) 的素理想。则 \(\mathfrak{p}\) 包含 \(I\) 或 \(J\)。

证明

反设不然，取 \(x \in I \setminus \mathfrak p\) 与 \(y \in J \setminus \mathfrak p\)。其乘积属于 \(IJ \subset \mathfrak p\)，这与 \(\mathfrak p\) 为素理想矛盾。

引理

设 \(R\) 为环。设 \(I_i \subset R\)（\(i = 1, \ldots, r\)）与 \(J \subset R\) 为理想。假设

1. 对 \(i = 1, \ldots, r\)，有 \(J \not\subset I_i\)；且

2. 除至多两个外，所有 \(I_i\) 都是素理想。

则存在 \(x \in J\)，使得对所有 \(i\) 都有 \(x\not\in I_i\)。

证明

当 \(r = 1\) 时结论成立。若 \(r = 2\)，取 \(x, y \in J\)， 使 \(x \not \in I_1\) 且 \(y \not \in I_2\)。除非 \(x \in I_2\) 且 \(y \in I_1\)，否则结论已得。在后一情形， \(x + y\) 不可能属于 \(I_1\)（否则 \(x + y - y \in I_1\)）， 也不可能属于 \(I_2\)。

设 \(r \geq 3\)，并假定结论对 \(r - 1\) 成立。重新编号后， 可设 \(I_r\) 为素理想。还可设各 \(I_i\) 之间不存在包含关系。 取 \(x \in J\)，使对所有 \(i = 1, \ldots, r - 1\) 都有 \(x \not \in I_i\)。若 \(x \not\in I_r\)，结论已得；故设 \(x \in I_r\)。若 \(J I_1 \ldots I_{r - 1} \subset I_r\)， 则由引理 07K1 有 \(J \subset I_r\)，矛盾。取 \(y \in J I_1 \ldots I_{r - 1}\) 且 \(y \not \in I_r\)。 则 \(x + y\) 满足要求。

引理

设 \(R\) 为环，\(x \in R\)，\(I \subset R\) 为理想，并设 \(\mathfrak p_i\)（\(i = 1, \ldots, r\)）为素理想。 假设对 \(i = 1, \ldots, r\)，有 \(x + I \not \subset \mathfrak p_i\)。则存在 \(y \in I\)， 使得对所有 \(i\) 都有 \(x + y \not \in \mathfrak p_i\)。

证明

可设各 \(\mathfrak p_i\) 之间不存在包含关系。重新排序后，可设 当 \(i < s\) 时 \(x \not \in \mathfrak p_i\)，而当 \(i \geq s\) 时 \(x \in \mathfrak p_i\)。若 \(s = r + 1\)，结论已得。否则，可找到 \(y \in I\)，使 \(y \not \in \mathfrak p_s\)。选取 \(f \in \bigcap_{i < s} \mathfrak p_i\)，使 \(f \not \in \mathfrak p_s\)。

于是 \(x + fy\) 不属于 \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_s\)。 对 \(s\) 归纳即得结论。

引理

设 \(R\) 为环。

1. 若理想 \(I_1, \ldots, I_r\) 满足：当 \(a \not = b\) 时 \(I_a + I_b = R\)，则 \(I_1 \cap \ldots \cap I_r = I_1I_2\ldots I_r\)，且 \(R/(I_1I_2\ldots I_r) \cong R/I_1 \times \ldots \times R/I_r\)。

2. 若 \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_r\) 是两两不同的极大理想， 则当 \(a \not = b\) 时 \(\mathfrak m_a + \mathfrak m_b = R\)， 故可应用上述结论。

证明

先证明 \(I_1 \cap \ldots \cap I_r = I_1 \ldots I_r\)；这也会推出诱导环同态 \(R/(I_1 \ldots I_r) \rightarrow R/I_1 \times \ldots \times R/I_r\) 的单射性。包含关系 \(I_1 \cap \ldots \cap I_r \supset I_1 \ldots I_r\) 总成立， 因为理想对乘以任意环元素封闭。为证明反向包含，断言理想 \[I_1 \ldots \hat I_i \ldots I_r,\quad i = 1, \ldots, r\] 生成环 \(R\)。对 \(r\) 归纳。当 \(r = 2\) 时成立。若 \(r > 2\)， 则 \(R\) 是理想 \(I_1 \ldots \hat I_i \ldots I_{r - 1}\)（\(i = 1, \ldots, r - 1\)） 之和。因此，\(I_r\) 是理想 \(I_1 \ldots \hat I_i \ldots I_r\)（\(i = 1, \ldots, r - 1\)） 之和。对这些理想按相反次序应用同样论证，可知 \(I_1\) 是理想 \(I_1 \ldots \hat I_i \ldots I_r\)（\(i = 2, \ldots, r\)）之和。 由假设 \(R = I_1 + I_r\)，可知 \(R\) 是上述所列理想之和。 因而可找到元素 \(a_i \in I_1 \ldots \hat I_i \ldots I_r\)，使其总和为一。 把此等式乘以 \(I_1 \cap \ldots \cap I_r\) 的任一元素，即得反向包含。

还须证明典范映射 \(R/(I_1 \ldots I_r) \rightarrow R/I_1 \times \ldots \times R/I_r\) 为满射。为此，考察它在上面所得等式 \(1 = \sum_{i=1}^r a_i\) 上的作用。一方面，环态射把 1 映到 1； 另一方面，当 \(j \neq i\) 时，任意 \(a_i\) 在 \(R/I_j\) 中的像为零。 因此，\(a_i\) 在 \(R/I_i\) 中的像是单位元。故给定任意元素 \((\bar{b_1}, \ldots, \bar{b_r}) \in R/I_1 \times \ldots \times R/I_r\)， 元素 \(\sum_{i=1}^r a_i \cdot b_i\) 是它在 \(R\) 中的一个原像。

为证明 (2)，由极大理想两两不同的定义，对 \(a \neq b\) 有 \(\mathfrak{m}_a + \mathfrak{m}_b = R\)，故上述结论适用。

引理

设 \(R\) 为环，\(n \geq m\)。设 \(A\) 是系数在 \(R\) 中的 \(n \times m\) 矩阵，并设 \(J \subset R\) 是由 \(A\) 的 \(m \times m\) 子式生成的理想。

1. 对任意 \(f \in J\)，存在 \(m \times n\) 矩阵 \(B\)，使 \(BA = f 1_{m \times m}\)。

2. 若 \(f \in R\)，且对某个 \(m \times n\) 矩阵 \(B\) 有 \(BA = f 1_{m \times m}\)，则 \(f^m \in J\)。

证明

对满足 \(I \subset \{1, \ldots, n\}\) 与 \(|I| = m\) 的这类子集， 用 \(E_I\) 表示投影 \[R^{\oplus n} = \bigoplus\nolimits_{i \in \{1, \ldots, n\}} R \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} R\] 的 \(m \times n\) 矩阵，并令 \(A_I = E_I A\)；即 \(A_I\) 是由 \(A\) 中下标属于 \(I\) 的行构成的 \(m \times m\) 矩阵。 设 \(B_I\) 为 \(A_I\) 的伴随矩阵（代数余子式矩阵的转置），即满足 \(A_I B_I = B_I A_I = \det(A_I) 1_{m \times m}\)。 \(A\) 的 \(m \times m\) 子式正是所有满足 \(I \subset \{1, \ldots, n\}\)、\(|I| = m\) 的这类子集所对应的行列式 \(\det A_I\)。若 \(f \in J\)，则对某些 \(c_I \in R\)，可写成 \(f = \sum c_I \det(A_I)\)。令 \(B = \sum c_I B_I E_I\)，即得 (1)。

若 \(f 1_{m \times m} = BA\)，则由柯西–比内公式 (0F0K)， \(f^m = \sum b_I \det(A_I)\)，其中 \(b_I\) 是由 \(B\) 中下标属于 \(I\) 的列构成的 \(m \times m\) 矩阵的行列式。

引理

设 \(R\) 为环，\(n \geq m\)。设 \(A = (a_{ij})\) 是系数在 \(R\) 中的 \(n \times m\) 矩阵，按分块形式写为 \[A = \left( \begin{matrix} A_1 \\ A_2 \end{matrix} \right)\] 其中 \(A_1\) 的大小为 \(m \times m\)。设 \(B\) 为 \(A_1\) 的伴随矩阵 （代数余子式矩阵的转置）。则 \[AB = \left( \begin{matrix} f 1_{m \times m} \\ C \end{matrix} \right)\] 其中 \(f = \det(A_1)\)，而 \(c_{ij}\) 在相差一个符号的意义下， 是 \(A\) 中由行 \(1, \ldots, \hat j, \ldots, m, i\) 确定的 \(m \times m\) 子式。

证明

由于伴随矩阵满足 \(A_1B = B A_1 = f\)，故 \(AB\) 表达式的第一个分块正确。 注意 \[c_{ij} = \sum\nolimits_k a_{ik}b_{kj} = \sum (-1)^{j + k}a_{ik} \det(A_1^{jk})\]

其中 \(A_1^{ij}\) 表示从 \(A_1\) 中删去第 \(j\) 行与第 \(k\) 列所得矩阵。 最后这个表达式正是引理陈述中矩阵行列式的按行展开。

引理

设 \(R\) 为非零环，\(n \geq 1\)，\(M\) 为由 \(< n\) 个元素生成的 \(R\)-模。 则任意 \(R\)-模同态 \(f : R^{\oplus n} \to M\) 的核都非零。

证明

选取满射 \(R^{\oplus n - 1} \to M\)。可把映射 \(f\) 提升为映射 \(f' : R^{\oplus n} \to R^{\oplus n - 1}\)（引理 07JX）。只须证明 \(f'\) 的核非零。 映射 \(f' : R^{\oplus n} \to R^{\oplus n - 1}\) 由矩阵 \(A = (a_{ij})\) 给出。若某个 \(a_{ij}\) 不是幂零元，比如 \(a = a_{ij}\) 不是，则可把 \(R\) 替换为局部化 \(R_a\)，从而可设 \(a_{ij}\) 是单位。事实上，若局部化后找到非零核，则原来就有非零核， 因为局部化是正合的；见命题 00CS。 在这种情形下，可以在 \(R^{\oplus n}\) 与 \(R^{\oplus n - 1}\) 上都作

基的变换，归约到 \[A = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \ldots \\ 0 & a_{22} & a_{23} & \ldots \\ 0 & a_{32} & \ldots \\ \ldots & \ldots \end{matrix} \right)\] 的情形。于是，此时对 \(n\) 归纳即可。否则，每个 \(a_{ij}\) 都是幂零元。 令 \(I = (a_{ij}) \subset R\)。注意，对某个 \(m \geq 0\)， 有 \(I^{m + 1} = 0\)。令 \(m\) 为使 \(I^m \not = 0\) 的最大整数。 于是 \((I^m)^{\oplus n}\) 包含于该映射的核中，结论得证。

引理

设 \(R\) 为非零环，\(n, m \geq 0\) 为整数。若作为 \(R\)-模， \(R^{\oplus n}\) 同构于 \(R^{\oplus m}\)，则 \(n = m\)。

证明

立即由引理 05WI 得到。

凯莱–哈密顿

引理

设 \(R\) 为环，\(A = (a_{ij})\) 是系数在 \(R\) 中的 \(n \times n\) 矩阵。 设 \(P(x) \in R[x]\) 为 \(A\) 的特征多项式（定义为 \(\det(x\text{id}_{n \times n} - A)\)）。则在 \(\text{Mat}(n \times n, R)\) 中有 \(P(A) = 0\)。

证明

分几步把问题归约到线性代数中熟知的凯莱–哈密顿定理：

1. 若 \(\phi :S \rightarrow R\) 是环态射，而 \(b_{ij}\) 是 \(a_{ij}\) 在此映射下的原像，则只须对 \(S\) 与 \((b_{ij})\) 证明该陈述， 因为 \(\phi\) 是环态射。

2. 若 \(\psi :R \hookrightarrow S\) 是单射环态射，则显然只须对 \(S\) 以及视为 \(S\) 中元素的 \(a_{ij}\) 证明结论。

3. 因此，可先归约到多项式环情形 \(R = \mathbf{Z}[X_{ij}]\)、\(a_{ij} = X_{ij}\)，再进一步归约到 \(R = \mathbf{Q}(X_{ij})\)；在后一情形可直接应用凯莱–哈密顿定理。

引理

设 \(R\) 为环，\(M\) 为有限 \(R\)-模，\(\varphi : M \to M\) 为自同态。 则存在首一多项式 \(P \in R[T]\)，使得作为 \(M\) 的自同态有 \(P(\varphi) = 0\)。

证明

选取满的 \(R\)-模同态 \(R^{\oplus n} \to M\)，它由 \((a_1, \ldots, a_n) \mapsto \sum a_ix_i\) 给出，其中 \(x_i \in M\) 是某些生成元。选取 \((a_{i1}, \ldots, a_{in}) \in R^{\oplus n}\)，使 \(\varphi(x_i) = \sum a_{ij} x_j\)。换言之，下图交换： \[\xymatrix{ R^{\oplus n} \ar[d]_A \ar[r] & M \ar[d]^\varphi \\ R^{\oplus n} \ar[r] & M }\] 其中 \(A = (a_{ij})\)。由引理 00DX， 存在首一多项式 \(P\)，使 \(P(A) = 0\)。于是 \(P(\varphi) = 0\)。

引理

设 \(R\) 为环，\(I \subset R\) 为理想，\(M\) 为有限 \(R\)-模。 设 \(\varphi : M \to M\) 为满足 \(\varphi(M) \subset IM\) 的自同态。 则存在首一多项式

\(P = t^n + a_1 t^{n - 1} + \ldots + a_n \in R[T]\)， 使得 \(a_j \in I^j\)，并且作为 \(M\) 的自同态有 \(P(\varphi) = 0\)。

证明

选取满的 \(R\)-模同态 \(R^{\oplus n} \to M\)，它由 \((a_1, \ldots, a_n) \mapsto \sum a_ix_i\) 给出，其中 \(x_i \in M\) 是某些生成元。选取 \((a_{i1}, \ldots, a_{in}) \in I^{\oplus n}\)，使 \(\varphi(x_i) = \sum a_{ij} x_j\)。换言之，下图交换： \[\xymatrix{ R^{\oplus n} \ar[d]_A \ar[r] & M \ar[d]^\varphi \\ I^{\oplus n} \ar[r] & M }\] 其中 \(A = (a_{ij})\)。由引理 00DX，多项式 \(P(t) = \det(t\text{id}_{n \times n} - A)\) 具有所有所需性质。

作为一个有趣的应用，证明下列令人惊讶的引理。

引理

设 \(R\) 为环，\(M\) 为有限 \(R\)-模，并设 \(\varphi : M \to M\) 为满的 \(R\)-模同态。则 \(\varphi\) 是同构。

证明

记 \(R' = R[x]\)，并把 \(M\) 视为有限 \(R'\)-模，其中 \(x\) 通过 \(\varphi\) 作用。令 \(I = (x) \subset R'\)。由 \(\varphi\) 为满射的假设， 有 \(IM = M\)。因此，可对作为 \(R'\)-模的 \(M\)、理想 \(I\) 以及自同态 \(\text{id}_M\) 应用引理 05G7。由此得到 \((1 + a_1 + \ldots + a_n)\text{id}_M = 0\)，其中 \(a_j \in I\)。 对某个 \(b_j(x) \in R[x]\)，写 \(a_j = b_j(x)x\)。换回 \(\varphi\)， 得到 \(\text{id}_M = -(\sum_{j = 1, \ldots, n} b_j(\varphi)) \varphi\)， 故 \(\varphi\) 可逆。

证明

对 \(M\) 在 \(R\) 上的生成元个数作归纳。若 \(M\) 由一个元素生成， 则对某个理想 \(I \subset R\)，有 \(M \cong R/I\)。 此时可把 \(R\) 替换为 \(R/I\)，从而 \(M = R\)。 此时 \(\varphi : R \to R\) 由 \(M\) 上乘以某个元素 \(r \in R\) 给出。 \(\varphi\) 的满射性迫使 \(r\) 可逆，因为 \(\varphi\) 必须命中 \(1\)； 所以 \(\varphi\) 可逆。

现假设引理对由 \(n - 1\) 个元素生成的模已得证明，并考察由 \(n\) 个元素生成的模 \(M\)。令 \(A\) 表示环 \(R[t]\)，并令 \(t\) 通过 \(\varphi\) 作用，从而把模 \(M\) 视为 \(A\)-模。由于 \(M\) 在 \(R\) 上有限， 它在 \(R[t]\) 上也有限；而我们要证明的 \(\varphi\) 的单射性是集合论性质， 故不妨证明 \(A\) 上的自同态 \(t : M \to M\) 是单射。 问题已归约到自同态由底环中元素乘法给出的情形。 令 \(M' \subset M\) 表示由 \(M\) 的前 \(n - 1\) 个生成元生成的 子-\(A\)-模，并考虑交换图 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & M' \ar[r]\ar[d]^{\varphi\mid_{M'}} & M\ar[d]^\varphi \ar[r] & M/M' \ar[d]^{\varphi \bmod M'} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & M' \ar[r] & M \ar[r] & M/M' \ar[r] & 0, }\] \(\varphi\) 在 \(M'\) 上的限制以及 \(\varphi\) 在商 \(M/M'\) 上诱导的映射 均为良定义，因为 \(\varphi\) 是乘以底环中的一个元素，而 \(M'\) 与 \(M/M'\) 各自都是 \(A\)-模。由 \(n = 1\) 的情形，映射 \(M/M' \to M/M'\) 是同构。追图表明 \(\varphi|_{M'}\) 为满射， 故由归纳假设 \(\varphi|_{M'}\) 是同构。再由蛇形引理， 中间的竖直映射必为同构。

环的谱

我们约定把作为拓扑空间的环谱纳入代数章，而把仿射概形纳入概形章； 这一划分只是任意的编排选择。

定义

设 \(R\) 为环。

1. \(R\) 的谱是 \(R\) 的全体素理想组成的集合，通常记作 \(\Spec(R)\)。

2. 给定子集 \(T \subset R\)，令 \(V(T) \subset \Spec(R)\) 为包含 \(T\) 的素理想之集，即 \(V(T) = \{ \mathfrak p \in \Spec(R) \mid \forall f\in T, f\in \mathfrak p\}\)。

3. 给定元素 \(f \in R\)，令 \(D(f) \subset \Spec(R)\) 为不包含 \(f\) 的素理想之集。

引理

设 \(R\) 为环。

1. 环 \(R\) 的谱为空，当且仅当 \(R\) 为零环。

2. 每个非零环都有极大理想。

3. 每个非零环都有极小素理想。

4. 给定理想 \(I \subset R\) 以及素理想 \(I \subset \mathfrak p\)，存在素理想 \(I \subset \mathfrak q \subset \mathfrak p\)，使得 \(\mathfrak q\) 在 \(I\) 上极小。

5. 若 \(T \subset R\)，且 \((T)\) 是 \(T\) 在 \(R\) 中生成的理想， 则 \(V((T)) = V(T)\)。

6. 若 \(I\) 为理想而 \(\sqrt{I}\) 为其根理想，参见基本概念 (00BI)，则 \(V(I) = V(\sqrt{I})\)。

7. 给定 \(R\) 的理想 \(I\)，有 \(\sqrt{I} = \bigcap_{I \subset \mathfrak p} \mathfrak p\)。

8. 若 \(I\) 为理想，则 \(V(I) = \emptyset\) 当且仅当 \(I\) 为单位理想。

9. 若 \(I\), \(J\) 是 \(R\) 的理想，则 \(V(I) \cup V(J) = V(I \cap J)\)。

10. 若 \((I_a)_{a\in A}\) 是 \(R\) 的一族理想，则 \(\bigcap_{a\in A} V(I_a) = V(\bigcup_{a\in A} I_a)\)。

11. 若 \(f \in R\)，则 \(D(f) \amalg V(f) = \Spec(R)\)。

12. 若 \(f \in R\)，则 \(D(f) = \emptyset\) 当且仅当 \(f\) 幂零。

13. 若对某个单位 \(u \in R\) 有 \(f = u f'\)，则 \(D(f) = D(f')\)。

14. 若 \(I \subset R\) 为理想，而 \(\mathfrak p\) 是 \(R\) 的素理想且 \(\mathfrak p \not\in V(I)\)，则存在 \(f \in R\)，使得 \(\mathfrak p \in D(f)\) 且 \(D(f) \cap V(I) = \emptyset\)。

15. 若 \(f, g \in R\)，则 \(D(fg) = D(f) \cap D(g)\)。

16. 若对 \(i \in I\) 有 \(f_i \in R\)，则 \(\bigcup_{i\in I} D(f_i)\) 是 \(V(\{f_i \}_{i\in I})\) 在 \(\Spec(R)\) 中的补集。

17. 若 \(f \in R\) 且 \(D(f) = \Spec(R)\)，则 \(f\) 为单位。

证明

依次证明以上各项。

1. 这是 (2) 或 (3) 的直接推论。

2. 令 \(\mathfrak{A}\) 为 \(R\) 的全体真理想组成的集合。它按包含关系 排序，而且非空，因为 \((0) \in \mathfrak{A}\) 是真理想。设 \(A\) 是 \(\mathfrak A\) 的全序子集。于是 \(\bigcup_{I \in A} I\) 确为理想。 由于对所有 \(I \in A\) 都有 1 \(\notin I\)，这个并不包含 1，因而仍为 真理想。因此 \(\bigcup_{I \in A} I\) 属于 \(\mathfrak{A}\)，并且是 \(A\) 的一个上界。由佐恩引理，\(\mathfrak{A}\) 有极大元，而它正是所求的 极大理想。

3. 因为 \(R\) 非零，它含有一个极大理想，而极大理想是素理想。因此 \(R\) 的全体素理想组成的集合 \(\mathfrak{A}\) 非空。按反向包含关系排列 \(\mathfrak{A}\)。设 \(A\) 是 \(\mathfrak{A}\) 的全序子集。显然 \(J = \bigcap_{I \in A} I\) 是理想；但它为素理想并不那么显然。设 \(xy \in J\)，则对所有 \(I \in A\) 都有 \(xy \in I\)。现令 \(B = \{I \in A | y \in I\}\)，并令 \(K = \bigcap_{I \in B} I\)。 由于 \(A\) 全序，或者 \(K = J\)（此时 \(y \in J\)，结论成立），或者 \(K \supset J\)，并且对每个真包含于 \(K\) 的 \(I \in A\)，都有 \(y \notin I\)。但这些 \(I\) 都是素理想，所以对所有这样的 \(I, x \in I\)。因此 \(x \in J\)。两种情形下 \(J\) 都是素理想。 故由佐恩引理得到一个极大元；在这里，它就是极小素理想。

4. 论证与 (3) 完全相同，只需仅考虑包含于 \(\mathfrak{p}\) 且包含 \(I\) 的素理想。

5. \((T)\) 是包含 \(T\) 的最小理想。因此若 \(T \subset I\)，其中右端 为某个理想，则也有 \((T) \subset I\)。所以若 \(I \in V(T)\)， 则也有 \(I \in V((T))\)。反向包含显然。

6. 由 \(I \subset \sqrt{I}, V(\sqrt{I}) \subset V(I)\)。现设 \(\mathfrak{p} \in V(I)\)，并取 \(x \in \sqrt{I}\)。则对某个 \(n\) 有 \(x^n \in I\)，从而 \(x^n \in \mathfrak{p}\)。由于 \(\mathfrak{p}\) 为素理想，一个直接的归纳论证给出 \(x \in \mathfrak{p}\)。故 \(\sqrt{I} \subset \mathfrak{p}\)，于是 \(\mathfrak{p} \in V(\sqrt{I})\)。

7. 设 \(f \in R \setminus \sqrt{I}\)。则对所有 \(n\) 都有 \(f^n \notin I\)。因此 \(S = \{1, f, f^2, \ldots\}\) 是不含 \(0\) 的 乘法子集。取包含 \(S^{-1}I\) 的素理想 \(\bar{\mathfrak{p}} \subset S^{-1}R\)。令 \(\mathfrak{p}\) 为 \(\bar{\mathfrak{p}}\) 在 \(R\) 中的原像；它是包含 \(I\) 且不与 \(S\) 相交的素理想。这说明 \(\bigcap_{I \subset \mathfrak p} \mathfrak p \subset \sqrt{I}\)。 反之，若 \(a \in \sqrt{I}\)，则对某个 \(n\) 有 \(a^n \in I\)。所以当 \(I \subset \mathfrak{p}\) 时，\(a^n \in \mathfrak{p}\)。由于 \(\mathfrak{p}\) 为素理想，故 \(a \in \mathfrak{p}\)，从而得证等式。

8. \(I\) 不是单位理想，当且仅当 \(I\) 包含于某个极大理想（将 (2) 用于环 \(R/I\) 即可看出），而该极大理想因而是素理想。

9. 若 \(\mathfrak{p} \in V(I) \cup V(J)\)，则 \(I \subset \mathfrak{p}\) 或 \(J \subset \mathfrak{p}\)，从而 \(I \cap J \subset \mathfrak{p}\)。 反之，若 \(I \cap J \subset \mathfrak{p}\)，则 \(IJ \subset \mathfrak{p}\)；由于 \(\mathfrak{p}\) 为素理想，故 \(I\) 或 \(J\) 中有一个包含于 \(\mathfrak{p}\)。

10. \(\mathfrak{p} \in \bigcap_{a \in A} V(I_a) \Leftrightarrow I_a \subset \mathfrak{p}, \forall a \in A \Leftrightarrow \mathfrak{p} \in V(\bigcup_{a\in A} I_a)\)。

11. 若 \(\mathfrak{p}\) 为素理想且 \(f \in R\)，则严格地说，或者 \(f \in \mathfrak{p}\)，或者 \(f \notin \mathfrak{p}\)；这正是该不交并 所表达的内容。

12. 若 \(a \in R\) 幂零，则对某个 \(n\) 有 \(a^n = 0\)。于是对每个 素理想都有 \(a^n \in \mathfrak{p}\)。归纳可得 \(a \in \mathfrak{p}\)，故 \(D(a) = \emptyset\)。反之，由 (7)，若 \(a \in R\) 不幂零，则存在不包含它的素理想。

13. \(f \in \mathfrak{p} \Leftrightarrow uf \in \mathfrak{p}\)， 因为 \(u\) 可逆。

14. 若 \(\mathfrak{p} \notin V(I)\)，则 \(\exists f \in I \setminus \mathfrak{p}\)。于是 \(f \notin \mathfrak{p}\)，所以 \(\mathfrak{p} \in D(f)\)。此外，若 \(\mathfrak{q} \in D(f)\)，则 \(f \notin \mathfrak{q}\)，从而 \(I\) 不包含于 \(\mathfrak{q}\)。故 \(D(f) \cap V(I) = \emptyset\)。

15. 若 \(fg \in \mathfrak{p}\)，则 \(f \in \mathfrak{p}\) 或 \(g \in \mathfrak{p}\)。因此，若 \(f \notin \mathfrak{p}\) 且 \(g \notin \mathfrak{p}\)，则 \(fg \notin \mathfrak{p}\)。又因为 \(\mathfrak{p}\) 是理想，若 \(fg \notin \mathfrak{p}\)，则 \(f \notin \mathfrak{p}\) 且 \(g \notin \mathfrak{p}\)。

16. \(\mathfrak{p} \in \bigcup_{i \in I} D(f_i) \Leftrightarrow \exists i \in I, f_i \notin \mathfrak{p} \Leftrightarrow \mathfrak{p} \in \Spec(R) \setminus V(\{f_i\}_{i \in I})\)。

17. 若 \(D(f) = \Spec(R)\)，则 \(V(f) = \emptyset\)，因而 \(fR = R\)，所以 \(f\) 是单位。

该引理说明，定义 00DZ 中的子集 \(V(T)\) 构成 \(\Spec(R)\) 上某个拓扑的闭集。它还说明集合 \(D(f)\) 是开集， 并构成该拓扑的一组基。

定义

设 \(R\) 为环。以各集合 \(V(T)\) 为闭集的 \(\Spec(R)\) 上的拓扑称为 扎里斯基拓扑。开子集 \(D(f)\) 称为 \(\Spec(R)\) 的 标准开集。

由上下文应当能够看清我们是仅把 \(\Spec(R)\) 视为集合，还是把它视为 拓扑空间。

引理

设 \(\varphi : R \to R'\) 为环同态。诱导映射 \[\Spec(\varphi) : \Spec(R') \longrightarrow \Spec(R), \quad \mathfrak p' \longmapsto \varphi^{-1}(\mathfrak p')\] 关于扎里斯基拓扑连续。事实上，对任意元素 \(f \in R\)，有 \(\Spec(\varphi)^{-1}(D(f)) = D(\varphi(f))\)。

证明

由基本概念 (00BV)， \(\mathfrak p := \varphi^{-1}(\mathfrak p')\) 确为 \(R\) 的素理想。 引理的最后一个断言直接来自定义，并蕴含第一个断言。

若 \(\varphi' : R' \to R''\) 是第二个环同态，则复合 \[\Spec(R'') \longrightarrow \Spec(R') \longrightarrow \Spec(R)\] 等于 \(\Spec(\varphi' \circ \varphi)\)。换言之，\(\Spec\) 是从环范畴 到拓扑空间范畴的反变函子。

引理

设 \(R\) 为环，\(S \subset R\) 为乘法子集。由 \(\Spec\) 的函子性， 映射 \(R \to S^{-1}R\) 诱导同胚 \[\Spec(S^{-1}R) \longrightarrow \{\mathfrak p \in \Spec(R) \mid S \cap \mathfrak p = \emptyset \}\] 其中右端赋予从 \(\Spec(R)\) 的扎里斯基拓扑诱导的拓扑。逆映射由 \(\mathfrak p \mapsto S^{-1}\mathfrak p = \mathfrak p(S^{-1}R)\) 给出。

证明

记引理中箭头的右端为 \(D\)。取素理想

\(\mathfrak p' \subset S^{-1}R\)，并令 \(\mathfrak p\) 为 \(\mathfrak p'\) 在 \(R\) 中的原像。由于 \(\mathfrak p'\) 不包含 \(1\)， 可知 \(\mathfrak p\) 不包含 \(S\) 的任何元素。因此 \(\mathfrak p \in D\)， 从而像包含于 \(D\)。现设 \(\mathfrak p \in D\)。依假设，像 \(\overline{S}\) 不包含 \(0\)。由基本概念 (00C6)，\(\overline{S}^{-1}(R/\mathfrak p)\) 不是零环。由基本概念 (00CD)，可见 \(S^{-1}R / S^{-1}\mathfrak p = \overline{S}^{-1}(R/\mathfrak p)\) 为整环，故 \(S^{-1}\mathfrak p\) 为素理想。这个环等式还表明 \(S^{-1}\mathfrak p\) 在 \(R\) 中的原像等于 \(\mathfrak p\)，因为由基本概念 (00C7)，映射 \(R/\mathfrak p \to \overline{S}^{-1}(R/\mathfrak p)\) 为单射。 这就证明了映射 \(\Spec(S^{-1}R) \to \Spec(R)\) 双射到 \(D\)，并且其 逆映射如上所述。由引理 00E2，该映射连续。 最后，设 \(D(g) \subset \Spec(S^{-1}R)\) 为标准开集。将其写成 \(g = h/s\)，其中 \(h\in R\) 且 \(s\in S\)。由于 \(g\) 与 \(h/1\) 相差一个单位，在 \(\Spec(S^{-1}R)\) 中有 \(D(g) = D(h/1)\)。于是由引理 00E2 及上述 双射性，\(D(g) = D(h/1)\) 的像为 \(D \cap D(h)\)。这也证明了该映射 为开映射。

引理

设 \(R\) 为环，\(f \in R\)。由 \(\Spec\) 的函子性，映射 \(R \to R_f\) 诱导同胚 \[\Spec(R_f) \longrightarrow D(f) \subset \Spec(R).\] 其逆映射由 \(\mathfrak p \mapsto \mathfrak p \cdot R_f\) 给出。

证明

这是引理 00E3 的特殊情形。

谱的每个“仿射开集”并不都是标准开集。参见例 00F1。

引理

设 \(R\) 为环，\(I \subset R\) 为理想。由 \(\Spec\) 的函子性，映射 \(R \to R/I\) 诱导同胚 \[\Spec(R/I) \longrightarrow V(I) \subset \Spec(R).\] 其逆映射由 \(\mathfrak p \mapsto \mathfrak p / I\) 给出。

证明

像显然包含于 \(V(I)\)。另一方面，若 \(\mathfrak p \in V(I)\)，则 \(\mathfrak p \supset I\)，从而可以考虑理想 \(\mathfrak p /I \subset R/I\)。由基本概念 (00C3)，可知 \((R/I)/(\mathfrak p/I) = R/\mathfrak p\) 为整环，所以 \(\mathfrak p/I\) 是素理想。由此立即可见 \(D(f + I)\) 的像为 \(D(f) \cap V(I)\)，因而该映射是同胚。

引理

设 \(R\) 为环。空间 \(\Spec(R)\) 是拟紧的。

证明

只需证明 \(\Spec(R)\) 的任何标准开集覆盖都可由一个有限覆盖加细。设 \(\Spec(R) = \cup D(f_i)\)，其中 \(\{f_i\}_{i\in I}\) 是 \(R\) 中的一族 元素。这意味着 \(\cap V(f_i) = \emptyset\)。由引理 00E0，这意味着 \(V(\{f_i \}) = \emptyset\)。再由同一引理，这意味着各 \(f_i\) 生成 \(R\) 的单位理想。也就是说，可以把 \(1\) 写成一个有限和： \(1 = \sum_{i \in J} r_i f_i\)，其中 \(J \subset I\) 有限。于是 \(\Spec(R) = \cup_{i \in J} D(f_i)\)。

引理

设 \(R\) 为环。\(X = \Spec(R)\) 上的拓扑具有下列性质：

1. \(X\) 拟紧；

2. \(X\) 有一组由拟紧开集构成的拓扑基；

3. 任意两个拟紧开集的交仍拟紧。

证明

环的谱拟紧，参见引理 00E8。它有一组由标准开集 \(D(f) = \Spec(R_f)\) 构成的拓扑基（引理 00E4），而由第一条可知这些开集拟紧。 两个标准开集的交拟紧，因为 \(D(f) \cap D(g) = D(fg)\)。 给定任意两个拟紧开集 \(U, V \subset X\)，可写成 \(U = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\) 以及 \(V = D(g_1) \cup \ldots \cup D(g_m)\)。于是

\(U \cap V = \bigcup D(f_ig_j)\)，它是拟紧的。

局部环

局部环是代数几何中最基本而常用的工具。

定义

恰有一个极大理想的环称为局部环。若 \(R\) 为局部环，通常把它的 极大理想记作 \(\mathfrak m_R\)，并把域 \(R/\mathfrak m_R\) 称为局部环 \(R\) 的剩余域。我们常说“设 \((R, \mathfrak m)\) 为局部环”或 “设 \((R, \mathfrak m, \kappa)\) 为局部环”，以表示 \(R\) 是局部环、 \(\mathfrak m\) 是其唯一极大理想，而 \(\kappa = R/\mathfrak m\) 是其剩余域。局部环之间的局部同态 是环映射 \(\varphi : R \to S\)，其中 \(R\) 与 \(S\) 均为局部环，并且 \(\varphi(\mathfrak m_R) \subset \mathfrak m_S\)。若已知 \(R\) 与 \(S\) 都是局部环，则“局部环映射 \(\varphi : R \to S\)”意指 \(\varphi\) 是局部环之间的局部同态。

域是局部环。域之间的任意环映射都是局部环之间的局部同态。

环 \(R\) 在素理想 \(\mathfrak p\) 处的局部化 \(R_\mathfrak p\) 是局部环， 其极大理想为 \(\mathfrak p R_\mathfrak p\)。事实上，由引理 00E3，\(R_\mathfrak p\) 的每个素理想都包含于 素理想 \(\mathfrak p R_\mathfrak p\)（所以后者是极大理想，也是 \(R_\mathfrak p\) 唯一的极大理想）。\(R_\mathfrak p\) 的剩余域记作 \(\kappa(\mathfrak p)\)；我们称它为\(\mathfrak p\) 的剩余域。 由命题 00CT，可将 \(\kappa(\mathfrak p)\) 等同于整环 \(R/\mathfrak p\) 的分式域。经由复合 \[\Spec(\kappa(\mathfrak p)) \to \Spec(R_\mathfrak p) \to \Spec(R)\] 源中的唯一一点映到靶中的点 \(\mathfrak p\)。

设 \(\varphi : R \to S\) 为环映射。令 \(\mathfrak q \subset S\) 为 素理想，并考虑 \(R\) 的素理想 \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak q)\)。由于 \(\varphi(\mathfrak p) \subset \mathfrak q\)，诱导环映射 \[R_\mathfrak p \to S_\mathfrak q,\quad r/g \mapsto \varphi(r)/\varphi(g)\] 是局部环映射，并且得到剩余域间的诱导映射 \(\kappa(\mathfrak p) \to \kappa(\mathfrak q)\)。

例

若 \(R\) 为局部环，而 \(\mathfrak p \subset R\) 是非极大的素理想， 则 \(R \to R_\mathfrak p\) 不是局部同态。

引理

设 \(R\) 为环。下列条件等价：

1. \(R\) 是局部环；

2. \(\Spec(R)\) 恰有一个闭点；

3. \(R\) 有一个极大理想 \(\mathfrak m\)，并且 \(R \setminus \mathfrak m\) 的每个元素都是单位；

4. \(R\) 不是零环，并且对每个 \(x \in R\)，\(x\) 与 \(1 - x\) 中至少 一个可逆，也可能二者均可逆。

证明

设 \(R\) 为环，\(\mathfrak m\) 为极大理想。若 \(x \in R \setminus \mathfrak m\) 且 \(x\) 不是单位，则存在包含 \(x\) 的极大理想 \(\mathfrak m'\)。因此 \(R\) 至少有两个极大理想。 反过来，若 \(\mathfrak m'\) 是另一个极大理想，则可取 \(x \in \mathfrak m'\) 且 \(x \not \in \mathfrak m\)。显然 \(x\) 不是单位。这证明了 (1) 与 (3) 等价。(1) 与 (2) 的等价是同义反复。 若 \(R\) 局部，则 (4) 成立，因为 \(x\) 或者属于 \(\mathfrak m\)，或者 不属于它。若 (4) 成立，而 \(\mathfrak m\), \(\mathfrak m'\) 是不同的 极大理想，则由中国剩余定理（引理 00DT），可选取 \(x \in R\) 使得 \(x \bmod \mathfrak m' = 0\) 且 \(x \bmod \mathfrak m = 1\)。 此元素 \(x\) 不可逆，而 \(1 - x\) 也不可逆，矛盾。因此 (4) 与 (1) 等价。

引理

设 \(\varphi : R \to S\) 为环映射，并假设 \(R\) 与 \(S\) 是局部环。 下列条件等价：

1. \(\varphi\) 是局部环映射；

2. \(\varphi(\mathfrak m_R) \subset \mathfrak m_S\)；

3. \(\varphi^{-1}(\mathfrak m_S) = \mathfrak m_R\)；

4. 对任意 \(x \in R\)，若 \(\varphi(x)\) 在 \(S\) 中可逆，则 \(x\) 在 \(R\) 中可逆。

证明

由定义，条件 (1) 与 (2) 等价。若 (3) 成立，则 (2) 成立。 反过来，若 (2) 成立，则 \(\varphi^{-1}(\mathfrak m_S)\) 是包含极大理想 \(\mathfrak m_R\) 的素理想，故 \(\varphi^{-1}(\mathfrak m_S) = \mathfrak m_R\)。最后，由引理 00E9，(4) 是 (2) 的逆否命题。

注

与环映射 \(\varphi : R \to S\) 及素理想 \(\mathfrak p \subset R\) 相关联的一个基本交换图如下： \[\xymatrix{ \kappa(\mathfrak p) \otimes_R S = S_{\mathfrak p}/{\mathfrak p}S_{\mathfrak p} & S_{\mathfrak p} \ar[l] & S \ar[r] \ar[l] & S/\mathfrak pS \ar[r] & (R \setminus \mathfrak p)^{-1}S/\mathfrak pS \\ \kappa(\mathfrak p) = R_{\mathfrak p}/{\mathfrak p}R_{\mathfrak p} \ar[u] & R_{\mathfrak p} \ar[u] \ar[l] & R \ar[u] \ar[r] \ar[l] & R/\mathfrak p \ar[u] \ar[r] & \kappa(\mathfrak p) \ar[u] }\] 在此图中，最左列与最右列相同。在谱上，各水平映射诱导到其像的 同胚，而各方块诱导拓扑空间的纤维积方块（参见引理 00E3 与 00E5）。这说明 \(\mathfrak p\) 属于谱上该映射的像，当且仅当 \(S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) 不是零环。若确实存在位于 \(\mathfrak p\) 上方的素理想 \(\mathfrak q \subset S\)，即满足 \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak q)\)，则可把该图扩充为下图： \[\xymatrix{ \kappa(\mathfrak q) = S_{\mathfrak q}/{\mathfrak q}S_{\mathfrak q} & S_{\mathfrak q} \ar[l] & S \ar[r] \ar[l] & S/\mathfrak q \ar[r] & \kappa(\mathfrak q) \\ \kappa(\mathfrak p) \otimes_R S = S_{\mathfrak p}/{\mathfrak p}S_{\mathfrak p} \ar[u] & S_{\mathfrak p} \ar[u] \ar[l] & S \ar[u] \ar[r] \ar[l] & S/\mathfrak pS \ar[u] \ar[r] & (R \setminus \mathfrak p)^{-1}S/\mathfrak pS \ar[u] \\ \kappa(\mathfrak p) = R_{\mathfrak p}/{\mathfrak p}R_{\mathfrak p} \ar[u] & R_{\mathfrak p} \ar[u] \ar[l] & R \ar[u] \ar[r] \ar[l] & R/\mathfrak p \ar[u] \ar[r] & \kappa(\mathfrak p) \ar[u] }\] 在此图中，最左列与最右列仍然相同；在谱上，各水平映射仍诱导到其像 的同胚。

引理

设 \(\varphi : R \to S\) 为环映射，\(\mathfrak p\) 为 \(R\) 的素理想。 下列条件等价：

1. \(\mathfrak p\) 属于映射 \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) 的像；

2. \(S \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \not = 0\)；

3. \(S_{\mathfrak p}/\mathfrak p S_{\mathfrak p} \not = 0\)；

4. \((S/\mathfrak pS)_{\mathfrak p} \not = 0\)；

5. \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak pS)\)。

证明

注 00E6 已经给出了前两个条件的等价性； 其余条件只是它的不同表述。

注

设 \(R \to S\) 为环映射。令 \(\mathfrak q\) 为 \(S\) 的素理想，并位于 \(R\) 的素理想 \(\mathfrak p\) 上方。由注 00E6，素理想 \(\mathfrak q\) 对应于纤维环 \(F = S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) 的唯一素理想 \(\overline{\mathfrak q}\)。于是 \[F_{\overline{\mathfrak q}} \cong S_\mathfrak q \otimes_{R_\mathfrak p} \kappa(\mathfrak p) \cong S_\mathfrak q/\mathfrak p S_\mathfrak q\] 事实上，有一个显然的环映射 \(F \to S_\mathfrak q \otimes_{R_\mathfrak p} \kappa(\mathfrak p)\)， 容易看出它同构于 \(F \to F_{\overline{\mathfrak q}}\)。第二个同构来自 \(\kappa(\mathfrak p)\) 是 \(R_\mathfrak p\) 对 \(\mathfrak pR_\mathfrak p\) 的商这一事实。

环的雅可布森根

回顾环 \(R\) 的雅可布森根 \(\text{rad}(R)\) 是 \(R\) 的全体极大理想 之交。若 \(R\) 局部，则 \(\text{rad}(R)\) 就是 \(R\) 的极大理想。

引理

设 \(R\) 为环，其雅可布森根为 \(\text{rad}(R)\)。令 \(I \subset R\) 为理想。下列条件等价：

1. \(I \subset \text{rad}(R)\)；

2. \(1 + I\) 的每个元素都是 \(R\) 中的单位。

在这种情形下，\(R\) 中每个映为 \(R/I\) 中单位的元素本身都是单位。

证明

若 \(f \in \text{rad}(R)\)，则对 \(R\) 的每个极大理想 \(\mathfrak m\) 都有 \(f \in \mathfrak m\)。所以对 \(R\) 的每个极大理想 \(\mathfrak m\) 都有 \(1 + f \not \in \mathfrak m\)。因此 \(\Spec(R)\) 的闭子集 \(V(1 + f)\) 为空。这说明 \(1 + f\) 是单位， 参见引理 00E0。

反过来，假设对所有 \(f \in I\)，\(1 + f\) 都是单位。若 \(\mathfrak m\) 是极大理想且 \(I \not \subset \mathfrak m\)，则 \(I + \mathfrak m = R\)。故对某个 \(g \in \mathfrak m\) 与 \(f \in I\) 有 \(1 = f + g\)。于是 \(g = 1 + (-f)\) 不是单位，矛盾。

对最后一个断言，设 \(f \in R\) 映为 \(R/I\) 中的单位。可以找到 \(g \in R\)，它映为 \(f \bmod I\) 的乘法逆元。于是 \(fg = 1 \bmod I\)。由 (2)，\(fg\) 是 \(R\) 中的单位，从而 \(f\) 是单位。

引理

设 \(\varphi : R \to S\) 为环映射，并且诱导映射 \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) 为满射。则元素 \(x \in R\) 是单位，当且仅当 \(\varphi(x) \in S\) 是单位。

证明

若 \(x\) 是单位，则 \(\varphi(x)\) 也是单位。反过来，若 \(\varphi(x)\) 是单位，则对所有 \(\mathfrak q \in \Spec(S)\) 都有 \(\varphi(x) \not \in \mathfrak q\)。因此对所有 \(\mathfrak q \in \Spec(S)\) 都有 \(x \not \in \varphi^{-1}(\mathfrak q) = \Spec(\varphi)(\mathfrak q)\)。 由于 \(\Spec(\varphi)\) 为满射，由引理 00E0 的第 (17) 项可知 \(x\) 是单位。

中山引理

我们引述 [MatCA]：“这个简单而重要的引理归功于 T. Nakayama、G. Azumaya 和 W. Krull。其优先权并不明确；虽然它通常 称为中山引理，已故的 Nakayama 教授却不喜欢这个名称。”

引理

设 \(R\) 为环，其雅可布森根为 \(\text{rad}(R)\)。令 \(M\) 为 \(R\)-模， \(I \subset R\) 为理想。

1. 若 \(IM = M\) 且 \(M\) 有限，则存在 \(f \in 1 + I\) 使得 \(fM = 0\)。

2. 若 \(IM = M\)、\(M\) 有限且 \(I \subset \text{rad}(R)\)，则 \(M = 0\)。

3. 若 \(N, N' \subset M\)、\(M = N + IN'\) 且 \(N'\) 有限，则存在 \(f \in 1 + I\)，使得 \(fM \subset N\) 且 \(M_f = N_f\)。

4. 若 \(N, N' \subset M\)、\(M = N + IN'\)、\(N'\) 有限且 \(I \subset \text{rad}(R)\)，则 \(M = N\)。

5. 若 \(N \to M\) 为模映射、\(N/IN \to M/IM\) 为满射且 \(M\) 有限， 则存在 \(f \in 1 + I\)，使得 \(N_f \to M_f\) 为满射。

6. 若 \(N \to M\) 为模映射、\(N/IN \to M/IM\) 为满射、\(M\) 有限且 \(I \subset \text{rad}(R)\)，则 \(N \to M\) 为满射。

7. 若 \(x_1, \ldots, x_n \in M\) 生成 \(M/IM\) 且 \(M\) 有限，则存在 \(f \in 1 + I\)，使得 \(x_1, \ldots, x_n\) 在 \(R_f\) 上生成 \(M_f\)。

8. 若 \(x_1, \ldots, x_n \in M\) 生成 \(M/IM\)、\(M\) 有限且 \(I \subset \text{rad}(R)\)，则 \(M\) 由 \(x_1, \ldots, x_n\) 生成。

9. 若 \(IM = M\) 且 \(I\) 幂零，则 \(M = 0\)。

10. 若 \(N, N' \subset M\)、\(M = N + IN'\) 且 \(I\) 幂零，则 \(M = N\)。

11. 若 \(N \to M\) 为模映射、\(I\) 幂零且 \(N/IN \to M/IM\) 为满射，则 \(N \to M\) 为满射。

12. 若 \(\{x_\alpha\}_{\alpha \in A}\) 是 \(M\) 中生成 \(M/IM\) 的一族 元素且 \(I\) 幂零，则 \(M\) 由各 \(x_\alpha\) 生成。

证明

证明 (00DW)。选取 \(M\) 在 \(R\) 上的一组生成元 \(y_1, \ldots, y_m\)。对每个 \(i\)，可写成 \(y_i = \sum z_{ij} y_j\)，其中 \(z_{ij} \in I\)（因为 \(M = IM\)）。 换言之，\(\sum_j (\delta_{ij} - z_{ij})y_j = 0\)。令 \(f\) 为 \(m \times m\) 矩阵 \(A = (\delta_{ij} - z_{ij})\) 的行列式。注意 \(f \in 1 + I\)（因为矩阵 \(A\) 的每个分量模 \(I\) 同余于 \(m \times m\) 单位矩阵的相应分量）。由引理 07DQ (1)，存在 \(m \times m\) 矩阵 \(B\)， 使得 \(BA = f 1_{m \times m}\)。展开可见，对所有 \(h\) 与 \(j\)，有 \(\sum_{i} b_{hi} a_{ij} = f \delta_{hj}\)；因而对每个 \(h\)， \(\sum_{i, j} b_{hi} a_{ij} y_j = \sum_{j} f \delta_{hj} y_j = f y_h\)。换言之，对每个 \(h\) 都有 \(0 = f y_h\)（因为每个 \(i\) 都满足 \(\sum_j a_{ij} y_j = 0\)）。 这说明 \(f\) 零化 \(M\)。

由引理 0AME，\(1 + \text{rad}(R)\) 的元素是 \(R\) 的可逆元。因此 (00DW) 蕴含 (2)。把 (1) 用于 \(M/N\) 得到 (3)，这里由于 \(N'\) 有限，该商有限。把 (2) 用于 \(M/N\) 得到 (4)，这里同样由于 \(N'\) 有限，该商有限。把 (3) 用于 \(M\) 及其子模 \(\Im(N \to M)\) 和 \(M\)，得到 (5)。把 (4) 用于 \(M\) 及其子模 \(\Im(N \to M)\) 和 \(M\)，得到 (6)。把 (5) 用于映射 \(R^{\oplus n} \to M\)，\((a_1, \ldots, a_n) \mapsto a_1x_1 + \ldots + a_nx_n\)，得到 (7)。把 (6) 用于映射 \(R^{\oplus n} \to M\)，\((a_1, \ldots, a_n) \mapsto a_1x_1 + \ldots + a_nx_n\)，得到 (8)。

第 (9) 项成立，因为若 \(M = IM\)，则对所有 \(n \geq 0\) 都有 \(M = I^nM\)，而 \(I\) 幂零意味着对某个 \(n \gg 0\) 有 \(I^n = 0\)。 第 (10)、(11)、(12) 项由 (9) 及上述论证推出。

引理

设 \(R\) 为环，\(S \subset R\) 为乘法子集，\(I \subset R\) 为理想， \(M\) 为有限 \(R\)-模。若 \(x_1, \ldots, x_r \in M\) 作为 \(S^{-1}(R/I)\)-模生成 \(S^{-1}(M/IM)\)，则存在 \(f \in S + I\)，使得 \(x_1, \ldots, x_r\) 作为 \(R_f\)-模生成 \(M_f\)。¹

证明

先看特殊情形 \(I = 0\)。设 \(y_1, \ldots, y_s\) 是 \(M\) 在 \(R\) 上的 生成元。由于 \(S^{-1}M\) 由 \(x_1, \ldots, x_r\) 生成，对每个 \(i\)， 可在 \(S^{-1}M\) 中写成 \(y_i = \sum (a_{ij}/s_{ij})x_j\)，其中 \(a_{ij} \in R\) 且 \(s_{ij} \in S\)。乘以各 \(s_{ij}\) 的乘积 \(s \in S\)，可见在 \(S^{-1}M\) 中 \(sy_i = \sum a'_{ij}x_j\)，其中 \(a'_{ij} \in R\)。这又意味着存在 \(t_i \in S\)，使得在 \(M\) 中有 \(t_isy_i = \sum t_ia'_{ij}x_j\)。因此，若 \(t \in S\) 是各 \(t_i\) 的 乘积，则在 \(M_{st}\) 中，\(y_i\) 属于 \(x_1, \ldots, x_r\) 生成的 \(R_{st}\)-子模。故 \(x_1, \ldots, x_r\) 生成 \(M_{st}\)。

一般情形。由特殊情形，可找到 \(s \in S\)，使得 \(x_1, \ldots, x_r\) 在 \((R/I)_s\) 上生成 \((M/IM)_s\)。由引理 00DV，可找到 \(g \in 1 + I_s \subset R_s\)，使得 \(x_1, \ldots, x_r\) 在 \((R_s)_g\) 上生成 \((M_s)_g\)。写成 \(g = 1 + i/s'\)。则 \(f = ss' + is\) 满足要求；细节从略。

引理

设 \(A \to B\) 为局部环之间的局部同态。假设：

1. \(B\) 作为 \(A\)-模有限；

2. \(\mathfrak m_B\) 是有限生成理想；

3. \(A \to B\) 诱导剩余域之间的同构；

4. \(\mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2 \to \mathfrak m_B/\mathfrak m_B^2\) 为满射。

则 \(A \to B\) 为满射。

证明

为证明 \(A \to B\) 满射，把它视为 \(A\)-模映射并应用引理 00DV (6)。由此只需证明 \(A/\mathfrak m_A \to B/\mathfrak m_AB\) 为满射。由于 \(A/\mathfrak m_A = B/\mathfrak m_B\)，只需证明 \(\mathfrak m_AB \to \mathfrak m_B\) 为满射。把 \(\mathfrak m_AB \to \mathfrak m_B\) 视为 \(B\)-模映射并应用引理 00DV (6)。于是只需看出 \(\mathfrak m_AB/\mathfrak m_A\mathfrak m_B \to \mathfrak m_B/\mathfrak m_B^2\) 为满射。这由假设 (4) 推出。

谱的开闭子集

事实表明，谱中既开又闭的子集与环的幂等元相对应。

引理

设 \(R\) 为环，\(e \in R\) 为幂等元。此时 \[\Spec(R) = D(e) \amalg D(1-e).\]

证明

注意，整环中的幂等元 \(e\) 只能是 \(1\) 或 \(0\)。因此 \[\begin{eqnarray*} D(e) & = & \{ \mathfrak p \in \Spec(R) \mid e \not\in \mathfrak p \} \\ & = & \{ \mathfrak p \in \Spec(R) \mid e \not = 0\text{ 于 }\kappa(\mathfrak p) \} \\ & = & \{ \mathfrak p \in \Spec(R) \mid e = 1\text{ 于 }\kappa(\mathfrak p) \} \end{eqnarray*}\] 类似地， \[\begin{eqnarray*} D(1-e) & = & \{ \mathfrak p \in \Spec(R) \mid 1 - e \not\in \mathfrak p \} \\ & = & \{ \mathfrak p \in \Spec(R) \mid e \not = 1\text{ 于 }\kappa(\mathfrak p) \} \\ & = & \{ \mathfrak p \in \Spec(R) \mid e = 0\text{ 于 }\kappa(\mathfrak p) \} \end{eqnarray*}\] 由于 \(e\) 在任意剩余域中的像只能是 \(1\) 或 \(0\)，可知 \(D(e)\) 与 \(D(1-e)\) 覆盖整个 \(\Spec(R)\)。

引理

设 \(R_1\) 与 \(R_2\) 为环，令 \(R = R_1 \times R_2\)。映射 \(R \to R_1\)、\((x, y) \mapsto x\) 以及 \(R \to R_2\)、 \((x, y) \mapsto y\) 分别诱导连续映射 \(\Spec(R_1) \to \Spec(R)\) 与 \(\Spec(R_2) \to \Spec(R)\)。 诱导映射 \[\Spec(R_1) \amalg \Spec(R_2) \longrightarrow \Spec(R)\] 是同胚。换言之，\(R = R_1\times R_2\) 的谱是 \(R_1\) 的谱与 \(R_2\) 的谱的不交并。

证明

写成 \(1 = e_1 + e_2\)，其中 \(e_1 = (1, 0)\) 且 \(e_2 = (0, 1)\)。注意，\(e_1\) 与 \(e_2 = 1 - e_1\) 都是幂等元。 留给读者证明 \(R_1 = R_{e_1}\) 是 \(R\) 在 \(e_1\) 处的局部化。 \(e_2\) 的情形类似。因此，引理的断言由引理 00EC 与引理 00E4 合并推出。

引入函数的粘合引理后，我们还会再次证明下一个引理。参见节 00EI。

引理

设 \(R\) 为环。对每个既开又闭的 \(U \subset \Spec(R)\)，存在唯一的 幂等元 \(e \in R\)，使得 \(U = D(e)\)。这给出既开又闭的子集 \(U \subset \Spec(R)\) 与幂等元 \(e \in R\) 之间的一一对应。

证明

设 \(U \subset \Spec(R)\) 既开又闭。因为 \(U\) 闭，由引理 00E8，它拟紧；其补集同样拟紧。把它写成 标准开集的有限并 \(U = \bigcup_{i = 1}^n D(f_i)\)。类似地，写成 \(\Spec(R) \setminus U = \bigcup_{j = 1}^m D(g_j)\)。由于 \(\emptyset = D(f_i) \cap D(g_j) = D(f_i g_j)\)，由引理 00E0，\(f_i g_j\) 幂零。令 \(I = (f_1, \ldots, f_n) \subset R\)，并令 \(J = (g_1, \ldots, g_m) \subset R\)。注意，\(V(J)\) 等于 \(U\)， \(V(I)\) 等于 \(U\) 的补集，所以 \(\Spec(R) = V(I) \amalg V(J)\)。由上述幂零性可知，对某个充分大的 整数 \(N\)，有 \((IJ)^N = (0)\)。由于 \(\bigcup D(f_i) \cup \bigcup D(g_j) = \Spec(R)\)，由引理 00E0 可知 \(I + J = R\)。把这个等式取 \(2N\) 次幂，得到 \(I^N + J^N = R\)。写成 \(1 = x + y\)，其中 \(x \in I^N\) 且 \(y \in J^N\)。因为 \(I^N J^N = (0)\)，有 \(0 = xy = x(1 - x)\)。故 \(x = x^2\) 是幂等元，并且属于 \(I^N \subset I\)。幂等元 \(y = 1 - x\) 属于 \(J^N \subset J\)。 这说明，对每个 \(\mathfrak p \in V(J)\)，幂等元 \(x\) 在剩余域 \(\kappa(\mathfrak p)\) 中映为 \(1\)；而对每个 \(\mathfrak p \in V(I)\)，\(x\) 在 \(\kappa(\mathfrak p)\) 中映为 \(0\)。

为证明唯一性，设 \(e_1, e_2\) 是 \(R\) 中不同的幂等元。必须证明存在 素理想 \(\mathfrak p\)，使得 \(e_1 \in \mathfrak p\) 而 \(e_2 \not \in \mathfrak p\)，或反过来。写 \(e_i' = 1 - e_i\)。若 \(e_1 \not = e_2\)，则 \(0 \not = e_1 - e_2 = e_1(e_2 + e_2') - (e_1 + e_1')e_2 = e_1 e_2' - e_1' e_2\)。所以幂等元 \(e_1 e_2' \not = 0\) 或 \(e_1' e_2 \not = 0\) 至少有一个成立。

幂等元不幂零，因而由引理 00E0 可找到素理想 \(\mathfrak p\)，使得 \(e_1e_2' \not \in \mathfrak p\) 或 \(e_1'e_2 \not \in \mathfrak p\)。容易看出这给出了所需的素理想。

引理

设 \(R\) 为非零环。则 \(\Spec(R)\) 连通，当且仅当 \(R\) 没有非平凡 幂等元。

证明

这由引理 00EE 及连通拓扑空间的定义 立即得到。

引理

设 \(I \subset R\) 为环 \(R\) 的有限生成理想，并且 \(I = I^2\)。则：

1. 存在幂等元 \(e \in R\)，使得 \(I = (e)\)；

2. 对幂等元 \(e' = 1 - e \in R\)，有 \(R/I \cong R_{e'}\)；

3. \(V(I)\) 在 \(\Spec(R)\) 中既开又闭。

证明

由中山引理 00DV，存在元素 \(f = 1 + i\)、\(i \in I\)， 使得 \(fI = 0\)。于是 \(f^2 = f + fi = f\)，故它为幂等元。 考虑幂等元 \(e = 1 - f = -i \in I\)。对 \(j \in I\)，有 \(ej = j - fj = j\)，所以 \(I = (e)\)。这证明了 (1)。

(2) 与 (3) 由 (1) 推出。事实上， \(V(I) = V(e) = \Spec(R) \setminus D(e)\)；由引理 00EC 或引理 00EE，它既开又闭。这证明了 (3)。 为证明 (2)，注意映射 \(R \to R_{e'}\) 为满射，因为在 \(R_{e'}\) 中 \(x/(e')^n = x/e' = xe'/(e')^2 = xe'/e' = x/1\)。映射 \(R \to R_{e'}\) 的核是 \(R\) 中被 \(e'\) 的某个正整数次幂零化的元素之集。 由于 \(e'\) 幂等，这就是被 \(e'\) 零化的元素所成的理想；又因为 \(e + e' = 1\) 是一对正交幂等元，该理想就是 \(I = (e)\)。这证明了 (2)。

谱的连通分支

谱的连通分支并不像初看时可能以为的那样容易理解。这是因为我们习惯于 局部连通空间的拓扑，而环的谱一般并不局部连通。

引理

设 \(R\) 为环，\(T \subset \Spec(R)\) 为谱的子集。下列条件等价：

1. \(T\) 闭，并且是 \(\Spec(R)\) 的若干连通分支之并；

2. \(T\) 是 \(\Spec(R)\) 中若干既开又闭子集之交；

3. \(T = V(I)\)，其中 \(I \subset R\) 是由幂等元生成的理想。

此外，若 (3) 中的理想存在，则它是唯一的。

证明

由引理 04PM 及拓扑，引理 04PL，可知 (1) 与 (2) 等价。假设 (2)，并写成 \(T = \bigcap U_\alpha\)，其中 \(U_\alpha \subset \Spec(R)\) 既开又闭。由引理 00EE，对某个幂等元 \(e_\alpha \in R\) 有 \(U_\alpha = D(e_\alpha)\)。令 \(I = (1 - e_\alpha)\)，便有 \(T = V(I)\)，即 (3) 成立。最后假设 (3)。 写成 \(T = V(I)\)，并令 \(I = (e_\alpha)\)，其中各 \(e_\alpha\) 为幂等元。 于是显然 \(T = \bigcap V(e_\alpha) = \bigcap D(1 - e_\alpha)\)。

设 \(I\) 是由幂等元生成的理想。令 \(e \in R\) 为满足 \(V(I) \subset V(e)\) 的幂等元。由引理 00E0， 对某个 \(n \geq 1\) 有 \(e^n \in I\)。由于 \(e\) 幂等，这意味着 \(e \in I\)。因此，\(I\) 恰由满足 \(T \subset V(e)\) 的那些幂等元 \(e\) 生成。换言之，闭子集 \(T\) 完全确定理想 \(I\)，这证明了唯一性。

引理

设 \(R\) 为环。\(\Spec(R)\) 的一个连通分支形如 \(V(I)\)，其中 \(I\) 是由幂等元生成的理想，并且 \(R\) 的每个幂等元在 \(R/I\) 中都映为 \(0\) 或 \(1\)。

证明

设 \(\mathfrak p\) 为 \(R\) 的素理想。由引理 04PM，可知拓扑，引理 005F 的假设对拓扑空间

\(\Spec(R)\) 成立。因此，\(\mathfrak p\) 在 \(\Spec(R)\) 中的连通分支是 \(\Spec(R)\) 中包含 \(\mathfrak p\) 的所有既开又闭子集之交。所以它等于 \(V(I)\)，其中 \(I\) 由幂等元 \(e \in R\) 生成，而 \(e\) 在 \(\kappa(\mathfrak p)\) 中映为 \(0\)，参见引理 00EE。 显然，不属于这一族的任意幂等元 \(e\) 在 \(R/I\) 中映为 \(1\)。

粘合性质

本节汇集若干如下形式的标准结果：若某个性质在一个标准开覆盖的每个 成员上成立，则它整体成立。事实上，往往只需在局部环层面检验，正如下 一个引理所示。

引理

设 \(R\) 为环。

1. 对 \(R\)-模 \(M\) 的元素 \(x\)，下列条件等价：

   1. \(x = 0\)；

   2. 对所有 \(\mathfrak p \in \Spec(R)\)，\(x\) 在 \(M_\mathfrak p\) 中 的像为零；

   3. 对 \(R\) 的所有极大理想 \(\mathfrak m\)，\(x\) 在 \(M_{\mathfrak m}\) 中的像为零。

   换言之，映射 \(M \to \prod_{\mathfrak m} M_{\mathfrak m}\) 为单射。

2. 给定 \(R\)-模 \(M\)，下列条件等价：

   1. \(M\) 为零；

   2. 对所有 \(\mathfrak p \in \Spec(R)\)，\(M_{\mathfrak p}\) 为零；

   3. 对 \(R\) 的所有极大理想 \(\mathfrak m\)，\(M_{\mathfrak m}\) 为零。

3. 给定 \(R\)-模的复形 \(M_1 \to M_2 \to M_3\)，下列条件等价：

   1. \(M_1 \to M_2 \to M_3\) 正合；

   2. 对 \(R\) 的每个素理想 \(\mathfrak p\)，局部化 \(M_{1, \mathfrak p} \to M_{2, \mathfrak p} \to M_{3, \mathfrak p}\) 正合；

   3. 对 \(R\) 的每个极大理想 \(\mathfrak m\)，局部化 \(M_{1, \mathfrak m} \to M_{2, \mathfrak m} \to M_{3, \mathfrak m}\) 正合。

4. 给定 \(R\)-模映射 \(f : M \to M'\)，下列条件等价：

   1. \(f\) 为单射；

   2. 对 \(R\) 的所有素理想 \(\mathfrak p\)， \(f_{\mathfrak p} : M_\mathfrak p \to M'_\mathfrak p\) 为单射；

   3. 对 \(R\) 的所有极大理想 \(\mathfrak m\)， \(f_{\mathfrak m} : M_\mathfrak m \to M'_\mathfrak m\) 为单射。

5. 给定 \(R\)-模映射 \(f : M \to M'\)，下列条件等价：

   1. \(f\) 为满射；

   2. 对 \(R\) 的所有素理想 \(\mathfrak p\)， \(f_{\mathfrak p} : M_\mathfrak p \to M'_\mathfrak p\) 为满射；

   3. 对 \(R\) 的所有极大理想 \(\mathfrak m\)， \(f_{\mathfrak m} : M_\mathfrak m \to M'_\mathfrak m\) 为满射。

6. 给定 \(R\)-模映射 \(f : M \to M'\)，下列条件等价：

   1. \(f\) 为双射；

   2. 对 \(R\) 的所有素理想 \(\mathfrak p\)， \(f_{\mathfrak p} : M_\mathfrak p \to M'_\mathfrak p\) 为双射；

   3. 对 \(R\) 的所有极大理想 \(\mathfrak m\)， \(f_{\mathfrak m} : M_\mathfrak m \to M'_\mathfrak m\) 为双射。

证明

设 \(x \in M\) 如 (1) 所述。令 \(I = \{f \in R \mid fx = 0\}\)。 容易看出 \(I\) 是理想（它是 \(x\) 的零化子）。条件 (1)(c) 意味着， 对每个极大理想 \(\mathfrak m\)，存在 \(f \in R \setminus \mathfrak m\) 使得 \(fx =0\)。换言之，\(V(I)\) 不包含闭点。由引理 00E0 可知 \(I\) 是单位理想。因此 \(x\) 为零， 即 (1)(a) 成立。这证明了 (1)。

把 (1) 同时应用于 \(M\) 的所有元素，即得 (2)。

证明 (3)。令 \(H\) 为该序列的同调，即 \(H = \Ker(M_2 \to M_3)/\Im(M_1 \to M_2)\)。由命题 00CS，\(H_\mathfrak p\) 是序列 \(M_{1, \mathfrak p} \to M_{2, \mathfrak p} \to M_{3, \mathfrak p}\) 的同调。因此 (3) 是 (2) 的推论。

(4) 与 (5) 是 (3) 的特殊情形。把 (4) 与 (5) 合并，形式地得到 (6)。

引理

设 \(R\) 为环，\(M\) 为 \(R\)-模，\(S\) 为 \(R\)-代数。假设 \(f_1, \ldots, f_n\) 是 \(R\) 中的有限元素列，并满足 \(\bigcup D(f_i) = \Spec(R)\)，换言之，\((f_1, \ldots, f_n) = R\)。

1. 若每个 \(M_{f_i} = 0\)，则 \(M = 0\)。

2. 若每个 \(M_{f_i}\) 都是有限 \(R_{f_i}\)-模，则 \(M\) 是有限 \(R\)-模。

3. 若每个 \(M_{f_i}\) 都是有限表示 \(R_{f_i}\)-模，则 \(M\) 是有限表示 \(R\)-模。

4. 设 \(M \to N\) 为 \(R\)-模映射。若对每个 \(i\)， \(M_{f_i} \to N_{f_i}\) 都是同构，则 \(M \to N\) 是同构。

5. 设 \(0 \to M'' \to M \to M' \to 0\) 为 \(R\)-模的复形。 若对每个 \(i\)，\(0 \to M''_{f_i} \to M_{f_i} \to M'_{f_i} \to 0\) 都正合，则 \(0 \to M'' \to M \to M' \to 0\) 正合。

6. 若每个 \(R_{f_i}\) 都是诺特环，则 \(R\) 是诺特环。

7. 若每个 \(S_{f_i}\) 都是有限型 \(R_{f_i}\)-代数，则 \(S\) 是有限型 \(R\)-代数。

8. 若每个 \(S_{f_i}\) 都在 \(R_{f_i}\) 上有限表示，则 \(S\) 是有限表示 \(R\)-代数。

证明

依次证明各项。

1. 由命题 02C6，该假设蕴含对所有 \(\mathfrak p \in \Spec(R)\) 都有 \(M_\mathfrak p = 0\)，故由引理 00HN 得出结论。

2. 对每个 \(i\)，取 \(M_{f_i}\) 的有限生成集 \(X_i\)。不失一般性， 可假设 \(X_i\) 的元素都在局部化映射 \(M \rightarrow M_{f_i}\) 的像中， 于是取 \(M\) 中由 \(X_i\) 各元素的原像组成的有限集合 \(Y_i\)。令 \(Y\) 为这些集合之并，它仍是有限集。考虑显然的 \(R\)-线性映射 \(R^Y \rightarrow M\)，把基元素 \(e_y\) 映到 \(y\)。依假设，在 \(R\) 的任意素理想 \(\mathfrak p\) 处局部化后，此映射都是满射；故由引理 00HN，它本身满射，从而 \(M\) 有限生成。

3. 由 (2)，有短正合列 \[0 \rightarrow K \rightarrow R^n \rightarrow M \rightarrow 0\] 由于局部化是正合函子，且 \(M_{f_i}\) 有限表示，由引理 0519，对所有 \(1 \leq i \leq n\)，\(K_{f_i}\) 都有限生成。

   由 (2)，这说明 \(K\) 是有限 \(R\)-模，因而 \(M\) 有限表示。

4. 由命题 02C6，该假设蕴含在所有素理想 处的诱导局部化态射都是同构，所以由引理 00HN 得出结论。

5. 由命题 02C6，该假设蕴含在所有素理想 处的诱导局部化序列都短正合，所以由引理 00HN 得出结论。

6. 我们证明 \(R\) 的每个理想都有有限生成集。为此，令 \(I \subset R\) 为任意理想。由命题 00CS，每个 \(I_{f_i} \subset R_{f_i}\) 都是理想。依假设，它们都有限生成，故由 (2) 得出结论。

7. 对每个 \(i\)，取 \(S_{f_i}\) 的有限生成集 \(X_i\)。不失一般性， 可假设 \(X_i\) 的元素都在局部化映射 \(S \rightarrow S_{f_i}\) 的像中， 于是取 \(S\) 中由 \(X_i\) 各元素的原像组成的有限集合 \(Y_i\)。令 \(Y\) 为这些集合之并，它仍是有限集。考虑由 \(Y\) 诱导的代数同态 \(R[X_y]_{y \in Y} \rightarrow S\)。因为它是代数同态，其像 \(T\) 是 \(R\)-模 \(S\) 的 \(R\)-子模，所以可以考虑商模 \(S/T\)。依假设，在各 \(f_i\) 处局部化后它为零，故由 (1) 它为零，因而 \(S\) 是有限型 \(R\)-代数。

8. 由上一项，存在满的 \(R\)-代数同态 \(R[X_1, \ldots, X_n] \rightarrow S\)。令 \(K\) 为该映射的核。 这是 \(R[X_1, \ldots, X_n]\) 中的理想，并且在每个 \(f_i\) 处局部化后 有限生成。由于各 \(f_i\) 在 \(R\) 中生成单位理想，它们在 \(R[X_1, \ldots, X_n]\) 中也生成单位理想，所以应用 (2) 即完成证明。

引理

设 \(R \to S\) 为环映射。假设 \(g_1, \ldots, g_n\) 是 \(S\) 中的有限 元素列，并满足 \(\bigcup D(g_i) = \Spec(S)\)，换言之， \((g_1, \ldots, g_n) = S\)。

1. 若每个 \(S_{g_i}\) 都是有限型 \(R\)-代数，则 \(S\) 是有限型 \(R\)-代数。

2. 若每个 \(S_{g_i}\) 都在 \(R\) 上有限表示，则 \(S\) 在 \(R\) 上 有限表示。

证明

选取 \(h_1, \ldots, h_n \in S\)，使得 \(\sum h_i g_i = 1\)。

证明 (1)。对每个 \(i\)，选取元素的有限列 \(x_{i, j} \in S_{g_i}\)、\(j = 1, \ldots, m_i\)，使其作为 \(R\)-代数生成 \(S_{g_i}\)。对某个 \(y_{i, j} \in S\) 及某个 \(n_{i, j} \ge 0\)，写成 \(x_{i, j} = y_{i, j}/g_i^{n_{i, j}}\)。考虑由 \(g_1, \ldots, g_n\)、\(h_1, \ldots, h_n\) 以及 \(y_{i, j}\)（\(i = 1, \ldots, n\)、\(j = 1, \ldots, m_i\)）生成的 \(R\)-子代数 \(S' \subset S\)。由于局部化正合（命题 00CS），可知 \(S'_{g_i} \to S_{g_i}\) 为单射。另一方面，由 \(y_{i, j}\) 的选取， 它是满射。由于 \(h_1, \ldots, h_n \in S'\)，各元素 \(g_1, \ldots, g_n\) 在 \(S'\) 中生成单位理想。因此，把 \(S' \to S\) 视为 \(S'\)-模映射，由引理 00EO，它是同构。

证明 (2)。已经知道 \(S\) 是有限型的。对某个理想 \(J\)，写成 \(S = R[x_1, \ldots, x_m]/J\)。对每个 \(i\)，选取 \(g_i\) 的提升 \(g'_i \in R[x_1, \ldots, x_m]\)，并选取 \(h_i\) 的提升 \(h'_i \in R[x_1, \ldots, x_m]\)。于是 \[S_{g_i} = R[x_1, \ldots, x_m, y_i]/(J_i + (1 - y_ig'_i))\] 其中 \(J_i\) 是 \(R[x_1, \ldots, x_m, y_i]\) 中由 \(J\) 生成的理想。 略去一个小细节。由引理 00R2， 可以选取有限元素列 \(f_{i, j} \in J\)、\(j = 1, \ldots, m_i\)， 使得 \(f_{i, j}\) 在 \(J_i\) 中的像与 \(1 - y_ig'_i\) 一起生成理想 \(J_i + (1 - y_ig'_i)\)。令 \[S' = R[x_1, \ldots, x_m]/\left(\sum h'_ig'_i - 1, f_{i, j}; i = 1, \ldots, n, j = 1, \ldots, m_i\right)\] 存在满的 \(R\)-代数映射 \(S' \to S\)。各元素 \(g'_1, \ldots, g'_n\) 在 \(S'\) 中的类生成单位理想，并且由构造，映射 \(S'_{g'_i} \to S_{g_i}\) 都是单射。因此可以像 (1) 中那样得出结论。

函数的粘合

本节将证明：给定由标准开集组成的开覆盖 \[\Spec(R) = \bigcup\nolimits_{i = 1}^n D(f_i)\] 以及对每个 \(i\) 给定元素 \(h_i \in R_{f_i}\)，若作为 \(R_{f_i f_j}\) 的元素有 \(h_i = h_j\)，则存在唯一的 \(h \in R\)， 使得 \(h\) 在 \(R_{f_i}\) 中的像为 \(h_i\)。这个结果可以作两种解释：

1. 规则 \(D(f) \mapsto R_f\) 在标准开集上给出一个环层，参见层， 节 009H。

2. 若把 \(R_f\) 的元素看成 \(D(f)\) 上的“代数”函数或“正则”函数， 那么它们可以像拓扑流形上的连续函数、相应地像可微流形上的可微函数 那样粘合。

引理

设 \(R\) 为环，\(f_1, \ldots, f_n\) 是 \(R\) 中生成单位理想的元素， \(M\) 为 \(R\)-模。序列 \[0 \to M \xrightarrow{\alpha} \bigoplus\nolimits_{i = 1}^n M_{f_i} \xrightarrow{\beta} \bigoplus\nolimits_{i, j = 1}^n M_{f_i f_j}\] 正合，其中 \(\alpha(m) = (m/1, \ldots, m/1)\)，并且 \(\beta(m_1/f_1^{e_1}, \ldots, m_n/f_n^{e_n}) = (m_i/f_i^{e_i} - m_j/f_j^{e_j})_{(i, j)}\)。

证明

只需证明该序列在任意极大理想 \(\mathfrak m\) 处的局部化正合，参见 引理 00HN。由于 \(f_1, \ldots, f_n\) 生成单位理想，存在 \(i\) 使得 \(f_i \not \in \mathfrak m\)。重新编号后可假设 \(i = 1\)。注意 \((M_{f_i})_\mathfrak m = (M_\mathfrak m)_{f_i}\) 以及 \((M_{f_if_j})_\mathfrak m = (M_\mathfrak m)_{f_if_j}\)，参见命题 02C7。特别地，因为 \(f_1\) 是单位， 有 \((M_{f_1})_\mathfrak m = M_\mathfrak m\) 以及 \((M_{f_1 f_i})_\mathfrak m = (M_\mathfrak m)_{f_i}\)。注意，序列中的 映射是由引理 07K0 及 \(M\) 上的恒等映射给出的典范映射。综上，把 \(R\) 替换为 \(R_\mathfrak m\)、把 \(M\) 替换为 \(M_\mathfrak m\)、把 \(f_i\) 替换为其 在 \(R_\mathfrak m\) 中的像，并把 \(f_1\) 替换为 \(1 \in R_\mathfrak m\)，便归约到 \(f_1 = 1\) 的情形。

假设 \(f_1 = 1\)。此时 \(\alpha\) 的单射性显然。设 \(m = (m_i) \in \bigoplus_{i = 1}^n M_{f_i}\) 属于 \(\beta\) 的核。 则 \(m_1 \in M_{f_1} = M\)。此外，\(\beta(m) = 0\) 蕴含 \(m_1\) 与 \(m_i\) 在 \(M_{f_1f_i} = M_{f_i}\) 中映为同一元素。因此 \(\alpha(m_1) = m\)，证明完成。

引理

设 \(R\) 为环，并设 \(f_1, f_2, \ldots f_n\in R\) 在 \(R\) 中生成 单位理想。则下列序列正合：

\[0 \longrightarrow R \longrightarrow \bigoplus\nolimits_i R_{f_i} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i, j}R_{f_if_j}\] 其中映射 \(\alpha : R \longrightarrow \bigoplus_i R_{f_i}\) 与 \(\beta : \bigoplus_i R_{f_i} \longrightarrow \bigoplus_{i, j} R_{f_if_j}\) 定义为 \[\alpha(x) = \left(\frac{x}{1}, \ldots, \frac{x}{1}\right) \text{ 且 } \beta\left(\frac{x_1}{f_1^{r_1}}, \ldots, \frac{x_n}{f_n^{r_n}}\right) = \left(\frac{x_i}{f_i^{r_i}}-\frac{x_j}{f_j^{r_j}}~\text{于}~R_{f_if_j}\right).\]

证明

这是引理 00EK 的特殊情形。

下面的结果我们在上文已经见过，但为了方便，现将它明确陈述出来。

引理

设 \(R\) 为环。若 \(\Spec(R) = U \amalg V\)，且 \(U\) 与 \(V\) 都开， 则 \(R \cong R_1 \times R_2\)，并且经由引理 00ED 中的映射，有 \(U \cong \Spec(R_1)\) 与 \(V \cong \Spec(R_2)\)。此外，\(R_1\) 与 \(R_2\) 都既是环 \(R\) 的局部化， 又是它的商。

证明

由引理 00EE，对某个幂等元 \(e\)，有 \(U = D(e)\) 及 \(V = D(1-e)\)。由引理 00EJ 可知 \(R \cong R_e \times R_{1 - e}\)（因为显然 \(R_{e(1-e)} = 0\)，所以 粘合条件是平凡的；当然，在这种情形下直接证明该乘积分解也很容易）。 引理得证。

引理

设 \(R\) 为环。设 \(f_1, \ldots, f_n \in R\)。 设 \(M\) 为 \(R\)-模。则 \(M \to \bigoplus M_{f_i}\) 是单射，当且仅当 \[M \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} M, \quad m \longmapsto (f_1m, \ldots, f_nm)\] 是单射。

证明

映射 \(M \to \bigoplus M_{f_i}\) 是单射，当且仅当对于所有 \(m \in M\) 及 \(e_1, \ldots, e_n \geq 1\)，若 \(f_i^{e_i}m = 0\)，\(i = 1, \ldots, n\)，则 \(m = 0\)。 这显然推出所显示的映射是单射。反之，假设所显示的映射是单射，且 \(m \in M\)、\(e_1, \ldots, e_n \geq 1\) 满足 \(f_i^{e_i}m = 0\)，\(i = 1, \ldots, n\)。若所有 \(i\) 都有 \(e_i = 1\)，则由所显示映射的单射性立即得到 \(m = 0\)。 接下来对 \(e = \sum e_i\) 归纳，证明任意这样的数据都有同一结论。 基始情形是 \(e = n\)，已在上面处理。若某个 \(e_i > 1\)，令 \(m' = f_im\)。由归纳假设可知 \(m' = 0\)。因此 \(f_i m = 0\)，即可以取 \(e_i = 1\)，这使 \(e\) 减小，结论得证。

下面的引理最好在平坦下降的更一般语境中陈述和证明。不过它与上文十分契合， 所以在此陈述也很自然。

引理

设 \(R\) 为环，\(f_1, \ldots, f_n \in R\)。假设给定以下数据：

1. 对每个 \(i\)，给定一个 \(R_{f_i}\)-模 \(M_i\)。

2. 对每一对 \(i, j\)，给定一个 \(R_{f_if_j}\)-模同构 \(\psi_{ij} : (M_i)_{f_j} \to (M_j)_{f_i}\)。

并且这些数据满足“上圈条件”，即所有图表 \[\xymatrix{ (M_i)_{f_jf_k} \ar[rd]_{\psi_{ij}} \ar[rr]^{\psi_{ik}} & & (M_k)_{f_if_j} \\ & (M_j)_{f_if_k} \ar[ru]_{\psi_{jk}} }\] 均交换（对所有三元组 \(i, j, k\)）。由这些数据定义 \[M = \Ker\left( \bigoplus\nolimits_{1 \leq i \leq n} M_i \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{1 \leq i, j \leq n} (M_i)_{f_j} \right)\] 其中 \((m_1, \ldots, m_n)\) 映到一个元素，其第 \((i, j)\) 个分量为 \(m_i/1 - \psi_{ji}(m_j/1)\)。则自然映射 \(M \to M_i\) 诱导同构 \(M_{f_i} \to M_i\)。此外，对所有 \(m \in M\)，有 \(\psi_{ij}(m/1) = m/1\)（采用显然的记号）。

证明

要证明 \(M_{f_1} \to M_1\) 是同构，只须证明它在 \(R_{f_1}\) 的每个素理想 \(\mathfrak p'\) 处的局部化都是同构，见引理 00HN。由引理 00E4， 可写成 \(\mathfrak p' = \mathfrak p R_{f_1}\)，其中某个素理想 \(\mathfrak p \subset R\) 满足 \(f_1 \not \in \mathfrak p\)。 由于局部化是正合的（命题 00CS），有 \[\begin{align*} (M_{f_1})_{\mathfrak p'} & = M_\mathfrak p \\ & = \Ker\left( \bigoplus\nolimits_{1 \leq i \leq n} M_{i, \mathfrak p} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{1 \leq i, j \leq n} ((M_i)_{f_j})_\mathfrak p \right) \\ & = \Ker\left( \bigoplus\nolimits_{1 \leq i \leq n} M_{i, \mathfrak p} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{1 \leq i, j \leq n} (M_{i, \mathfrak p})_{f_j} \right) \end{align*}\] 这里还使用了命题 02C7。 由于 \(f_1\) 在 \(R_\mathfrak p\) 中是单位，将 \(R\) 替换为 \(R_\mathfrak p\)、将 \(f_i\) 替换为其在 \(R_\mathfrak p\) 中的像 \(f_i\)、 将 \(M\) 替换为 \(M_\mathfrak p\)，并将 \(f_1\) 替换为 \(1\)， 便约化到 \(f_1 = 1\) 的情形。

假设 \(f_1 = 1\)。则对 \(j = 2, \ldots, n\)， \(\psi_{1j} : (M_1)_{f_j} \to M_j\) 是同构。 若用这些同构作恒等识别 \(M_j = (M_1)_{f_j}\)，则 \(\psi_{ij} : (M_1)_{f_if_j} \to (M_1)_{f_if_j}\) 就是典范恒等识别。因此复形 \[0 \to M_1 \to \bigoplus\nolimits_{1 \leq i \leq n} (M_1)_{f_i} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{1 \leq i, j \leq n} (M_1)_{f_if_j}\] 由引理 00EK 是正合的。因此在这种情形下，第一个映射将 \(M_1\) 与 \(M\) 等同，其余结论也都清楚。

零因子与全分式环

极小素理想处的局部环具有下列性质。

引理

设 \(\mathfrak p\) 为环 \(R\) 的极小素理想。\(R_{\mathfrak p}\) 的极大理想 中的每个元素都幂零。若 \(R\) 既约，则 \(R_{\mathfrak p}\) 是域。

证明

若 \({\mathfrak p}R_{\mathfrak p}\) 的某个元素 \(x\) 不幂零，则 \(D(x) \not = \emptyset\)，参见引理 00E0。 这与 \(\mathfrak p\) 的极小性矛盾。若 \(R\) 既约，则 \({\mathfrak p}R_{\mathfrak p} = 0\)，因而该局部环是域。

引理

设 \(R\) 为既约环。则：

1. \(R\) 是某个域乘积的子环；

2. \(R \to \prod_{\mathfrak p\text{ minimal}} R_{\mathfrak p}\) 把它嵌入一个域的乘积；

3. \(\bigcup_{\mathfrak p\text{ minimal}} \mathfrak p\) 是 \(R\) 的 零因子之集。

证明

由引理 00EU，每个环 \(R_\mathfrak p\) 都是域。特别地，环映射 \(R \to R_\mathfrak p\) 的核是 \(\mathfrak p\)。由引理 00E0，有 \(\bigcap_{\mathfrak p} \mathfrak p = (0)\)。所以 (2) 与 (1) 成立。 若 \(x y = 0\) 且 \(y \not = 0\)，则存在极小素理想 \(\mathfrak p\)， 使得 \(y \not \in \mathfrak p\)。因此 \(x \in \mathfrak p\)。所以 \(R\) 的每个零因子都属于 \(\bigcup_{\mathfrak p\text{ minimal}} \mathfrak p\)。反过来，假设对某个 极小素理想 \(\mathfrak p\) 有 \(x \in \mathfrak p\)。于是 \(x\) 在 \(R_\mathfrak p\) 中映为零，故存在 \(y \in R\)、 \(y \not \in \mathfrak p\)，使得 \(xy = 0\)。换言之，\(x\) 是零因子。 这完成了 (3) 及整个引理的证明。

环 \(R\) 的全分式环 \(Q(R)\) 已在例 02C5 中引入。

引理

设 \(R\) 为环，\(S \subset R\) 是由非零因子组成的乘法子集。则 \(Q(R) \cong Q(S^{-1}R)\)。特别地，\(Q(R) \cong Q(Q(R))\)。

证明

若 \(x \in S^{-1}R\) 是非零因子，并且对某个 \(r \in R\)、\(f \in S\) 有 \(x = r/f\)，则 \(r\) 是 \(R\) 中的非零因子。引理随即得证。

可以应用粘合结果证明关于全分式环 \(Q(R)\) 的一个结论；该环已在例 02C5 中引入。

引理

设 \(R\) 为环。假设 \(R\) 有有限多个极小素理想 \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\)，并且 \(\mathfrak q_1 \cup \ldots \cup \mathfrak q_t\) 是 \(R\) 的零因子之集。 则全分式环 \(Q(R)\) 等于 \(R_{\mathfrak q_1} \times \ldots \times R_{\mathfrak q_t}\)。

证明

因为每个非零因子都属于 \(R \setminus \mathfrak q_i\)，存在自然映射

\(Q(R) \to R_{\mathfrak q_i}\)。因而有自然映射 \(Q(R) \to R_{\mathfrak q_1} \times \ldots \times R_{\mathfrak q_t}\)。 对任意非极小素理想 \(\mathfrak p \subset R\)，由引理 00DS 可知 \(\mathfrak p \not \subset \mathfrak q_1 \cup \ldots \cup \mathfrak q_t\)。 因此 \(\Spec(Q(R)) = \{\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\}\) （将二者视为 \(\Spec(R)\) 的子集，参见引理 00E3）。所以 \(\Spec(Q(R))\) 是有限离散集， 从而 \(Q(R) = A_1 \times \ldots \times A_t\)，其中 \(\Spec(A_i) = \{\mathfrak{q}_i\}\)，参见引理 00EM。此外，\(A_i\) 是 \(R\) 的一个局部化， 并且是局部环。因此 \(A_i \cong R_{\mathfrak q_i}\)。

谱的不可约分支

我们将证明，环谱的不可约分支对应于环中的极小素理想。

引理

设 \(R\) 为环。

1. 对素理想 \(\mathfrak p \subset R\)，单点集 \(\{\mathfrak p\}\) 在扎里斯基拓扑中的闭包为 \(V(\mathfrak p)\)。用公式表示即 \(\overline{\{\mathfrak p\}} = V(\mathfrak p)\)。

2. \(\Spec(R)\) 的不可约闭子集恰为各子集 \(V(\mathfrak p)\)，其中 \(\mathfrak p \subset R\) 为素理想。

3. \(\Spec(R)\) 的不可约分支（参见拓扑，定义 004V）恰为各子集 \(V(\mathfrak p)\)，其中 \(\mathfrak p \subset R\) 为极小素理想。

证明

注意，若 \(\mathfrak p \in V(I)\)，则 \(I \subset \mathfrak p\)。 所以显然 \(\overline{\{\mathfrak p\}} = V(\mathfrak p)\)。特别地， \(V(\mathfrak p)\) 是单点集的闭包，因而不可约。第二个断言蕴含第三个。 为证明第二个断言，设 \(V(I) \subset \Spec(R)\)，其中 \(I\) 是根理想。 若 \(I\) 不是素理想，则选取 \(a, b\in R\)、\(a, b\not \in I\)，使得 \(ab\in I\)。此时 \(V(I, a) \cup V(I, b) = V(I)\)；但由引理 00E0，\(V(I, b) = V(I)\) 与 \(V(I, a) = V(I)\) 都不成立。因此 \(V(I)\) 不可约。

换言之，该引理表明，\(\Spec(R)\) 的每个不可约闭子集都形如 \(V(\mathfrak p)\)，其中 \(\mathfrak p\) 为某个素理想。由于 \(V(\mathfrak p) = \overline{\{\mathfrak p\}}\)，每个不可约闭子集都有 唯一泛点，参见拓扑，定义 004X。 特别地，\(\Spec(R)\) 是清醒拓扑空间。把这个事实记录为下列引理。

引理

环的谱是谱空间；参见拓扑，定义 08YG。

证明

形式上，这由引理 00ES 与引理 04PM 推出。另见上文的讨论。

引理

设 \(R\) 为环，\(\mathfrak p \subset R\) 为素理想。

1. \(\Spec(R)\) 中经过 \(\mathfrak p\) 的不可约闭子集之集，与素理想 \(\mathfrak q \subset R_{\mathfrak p}\) 一一对应。

2. \(\Spec(R)\) 中经过 \(\mathfrak p\) 的不可约分支之集，与极小素理想 \(\mathfrak q \subset R_{\mathfrak p}\) 一一对应。

证明

这由引理 00ES 及引理 00E3 中对 \(\Spec(R_\mathfrak p)\) 的描述推出； 后者说明 \(\Spec(R_\mathfrak p)\) 对应于 \(R\) 中满足 \(\mathfrak q \subset \mathfrak p\) 的素理想 \(\mathfrak q\)。

引理

设 \(R\) 为环，\(\mathfrak p\) 为 \(R\) 的极小素理想。令 \(W \subset \Spec(R)\) 为不包含点 \(\mathfrak p\) 的拟紧开集。则存在 \(f \in R\)、\(f \not \in \mathfrak p\)，使得 \(D(f) \cap W = \emptyset\)。

证明

因为 \(W\) 拟紧，可以把它写成标准仿射开集 \(D(g_i)\) 的有限并，其中 \(i = 1, \ldots, n\)。由于 \(\mathfrak p \not \in W\)，对所有 \(i\) 都有 \(g_i \in \mathfrak p\)。由引理 00EU，每个 \(g_i\) 在 \(R_{\mathfrak p}\) 中都幂零。因此可以找到 \(f \in R\)、\(f \not \in \mathfrak p\)，使得对所有 \(i\)，某个 \(n_i > 0\) 满足 \(f g_i^{n_i} = 0\)。这个 \(D(f)\) 即满足要求。

引理

设 \(R\) 为环，并把 \(X = \Spec(R)\) 视为拓扑空间。下列条件等价：

1. \(X\) 仿有限；

2. \(X\) 是 Hausdorff 空间；

3. \(X\) 全不连通；

4. \(X\) 的每个拟紧开集都闭；

5. 其素理想之间不存在非平凡包含关系；

6. 每个素理想都是极大理想；

7. 每个素理想都是极小素理想；

8. 每个标准开集 \(D(f) \subset X\) 都闭；

9. 此处再添加条件。

证明

第一种证明。显然，(5)、(6)、(7) 等价。由于每个拟紧开集都是标准 开集的有限并，(4) 与 (8) 显然等价。蕴含关系 (7) \(\Rightarrow\) (4) 由引理 00EV 得到。 假设 (4) 成立。令 \(\mathfrak p, \mathfrak p'\) 为 \(R\) 的两个不同 素理想。选取 \(f \in \mathfrak p'\)、\(f \not \in \mathfrak p\) （必要时交换 \(\mathfrak p\) 与 \(\mathfrak p'\)）。于是 \(\mathfrak p' \not \in D(f)\) 而 \(\mathfrak p \in D(f)\)。由 (4)， 开集 \(D(f)\) 也闭。因此 \(\mathfrak p\) 与 \(\mathfrak p'\) 分别位于两个 不交开邻域中，且这两个邻域之并为 \(X\)。所以 \(X\) 是 Hausdorff 且 全不连通的。因此 (4) \(\Rightarrow\) (2) 和 (3)。若 (3) 成立，则 \(\Spec(R)\) 的点之间不可能有特化关系，从而 (5) 成立。若 \(X\) 是 Hausdorff 空间，则每个点都闭，所以 (2) 蕴含 (6)。因此 (2)、(3)、 (4)、(5)、(6)、(7)、(8) 等价。每个仿有限空间都是 Hausdorff 的， 所以 (1) 蕴含 (2)。若 \(X\) 满足 (2) 与 (3)，则由引理 00E8，\(X\) 拟紧；再由拓扑，引理 08ZY，可知该空间仿有限。

第二种证明。除 (4) 与 (8) 的等价外，其余结论由引理 090M 及纯拓扑事实推出；参见拓扑，引理 0905。

环谱的例

本节给出若干谱的例子。

例

本例描述 \(X = \Spec(\mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4))\)。令 \(\mathfrak{p}\) 为 \(X\) 中的任意素理想，并令 \(\phi : \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4)\) 为自然环映射。于是 \(\phi^{-1}(\mathfrak p)\) 是 \(\mathbf{Z}\) 中的素理想。若 \(\phi^{-1}(\mathfrak p) = (2)\)，则因为 \(\mathfrak p\) 包含 \(2\)， 它经由映射 \(\mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4) \to \mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4, 2)\) 对应于 \[\mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4, 2) \cong (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})[x]/(x^2)\] 中的素理想。\((\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})[x]/(x^2)\) 中的任意素理想 对应于 \((\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})[x]\) 中包含 \((x^2)\) 的素理想，因而 这样的素理想包含 \(x\)。因为 \((\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}) \cong (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})[x]/(x)\) 是域， \((x)\) 是极大理想。任意素理想都包含 \((x)\)，而 \((x)\) 极大，故该环 仅有一个素理想 \((x)\)。所以在这种情形下 \(\mathfrak p = (2, x)\)。现若 \(\phi^{-1}(\mathfrak p) = (q)\)，其中 \(q > 2\)，则因为 \(\mathfrak p\) 包含 \(q\)，它经由映射 \(\mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4) \to \mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4, q)\) 对应于 \[\mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4, q) \cong (\mathbf{Z}/q\mathbf{Z})[x]/(x^2 - 4)\] 中的素理想。\((\mathbf{Z}/q\mathbf{Z})[x]/(x^2 - 4)\) 中的任意素理想 对应于 \((\mathbf{Z}/q\mathbf{Z})[x]\) 中包含 \((x^2 - 4) = (x -2)(x + 2)\) 的素理想。因此，这些素理想必须包含 \(x -2\) 或 \(x + 2\)。因为 \((\mathbf{Z}/q\mathbf{Z})[x]\) 是主理想整环， 所有非零素理想都极大，故 \((\mathbf{Z}/q\mathbf{Z})[x]\) 中恰有两个包含 \((x-2)(x + 2)\) 的素理想， 即 \((x-2)\) 与 \((x + 2)\)。总之，存在两个素理想 \((q, x-2)\) 与 \((q, x + 2)\)，因为 \(2 \neq -2 \in \mathbf{Z}/(q)\)。最后处理 \(\phi^{-1}(\mathfrak p) = (0)\) 的情形。注意，\(\mathfrak p\) 对应于 \(\mathbf{Z}[x]\) 中包含 \((x^2 - 4) = (x -2)(x + 2)\) 的素理想。因此 \(\mathfrak p\) 包含 \((x-2)\) 或 \((x + 2)\)。所以依假设，\(\mathfrak p\) 对应于 \(\mathbf{Z}[x]/(x - 2)\) 中的一个素理想，或 \(\mathbf{Z}[x]/(x + 2)\) 中的一个素理想，并且它与 \(\mathbf{Z}\) 仅交于 \(0\)。由于 \(\mathbf{Z}[x]/(x - 2) \cong \mathbf{Z}\) 且 \(\mathbf{Z}[x]/(x + 2) \cong \mathbf{Z}\)，这意味着 \(\mathfrak p\) 必须对应于其中一个环中的 \(0\)。因此在原环中， \(\mathfrak p = (x - 2)\) 或 \(\mathfrak p = (x + 2)\)。

例

本例描述 \(X = \Spec(\mathbf{Z}[x])\)。固定 \(\mathfrak p \in X\)。 令 \(\phi : \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}[x]\)，并注意 \(\phi^{-1}(\mathfrak p) \in \Spec(\mathbf{Z})\)。若 \(\phi^{-1}(\mathfrak p) = (q)\)，其中 \(q\) 是满足 \(q > 0\) 的素数， 则 \(\mathfrak p\) 对应于 \((\mathbf{Z}/(q))[x]\) 中的素理想，而该理想 必须由一个在 \((\mathbf{Z}/(q))[x]\) 中不可约的多项式生成。

若选择这个多项式的最小次数代表元，则它在 \(\mathbf{Z}[x]\) 中也不可约。

因此在这种情形下，\(\mathfrak p = (q, f_q)\)，其中 \(f_q\) 是 \(\mathbf{Z}[x]\) 中的不可约多项式，并且将其视为 \((\mathbf{Z}/(q) [x])\) 中的多项式时仍不可约。现假设 \(\phi^{-1}(\mathfrak p) = (0)\)。在这种情形下，\(\mathfrak p\) 必须由 非常数多项式生成；由于 \(\mathfrak p\) 为素理想，可假设这些多项式在 \(\mathbf{Z}[x]\) 中不可约。

由高斯引理，这些多项式在 \(\mathbf{Q}[x]\) 中也不可约。因为 \(\mathbf{Q}[x]\) 是欧几里得整环，若至少有两个不同的不可约元 \(f, g\) 生成 \(\mathfrak p\)，则对某些 \(a, b \in \mathbf{Q}[x]\)，有 \(1 = af + bg\)。乘以一个公分母，可见对 \(\bar{a}, \bar{b} \in \mathbf{Z}[x]\) 及某个非零的 \(m \in \mathbf{Z}\)，有 \(m = \bar{a}f + \bar{b} g\)，矛盾。因此 \(\mathfrak p\) 由 \(\mathbf{Z}[x]\) 中的一个不可约多项式生成。

例

设 \(k\) 为任意域。本例描述 \(X = \Spec(k[x, y])\)。显然 \((0)\) 为 素理想；由于 \(k[x, y]\) 是唯一分解整环，由不可约多项式生成的任何 主理想也都是素理想。现假设 \(\mathfrak p\) 是 \(X\) 中的非主理想。 因为 \(k[x, y]\) 是诺特唯一分解整环，素理想 \(\mathfrak p\) 可由有限个 不可约多项式 \((f_1, \ldots, f_n)\) 生成。现断言：若 \(f, g\) 是 \(k[x, y]\) 中不相伴的不可约多项式，则 \((f, g) \cap k[x] \neq 0\)。为此，只需证明把 \(f\) 与 \(g\) 视为 \(k(x)[y]\) 中的多项式时互素。在这种情形下，\(k(x)[y]\) 是欧几里得整环； 应用欧几里得算法并清除分母，得到 \(p = af + bg\)，其中 \(p, a, b \in k[x]\)。

所以假设情况并非如此，即存在某个非单位 \(h \in k(x)[y]\) 同时整除 \(f\) 与 \(g\)。于是由高斯引理，对某些 \(a, b \in k(x)\)，有 \(ah | f\) 与 \(bh | g\)，其中 \(ah, bh \in k[x]\)。

由不可约性，\(ah = f\) 且 \(bh = g\)（因为 \(h \notin k(x)\)）。所以回到 \(k(x)[y]\) 中，\(f, g\) 相伴，因为 \(\frac{a}{b} g = f\)。由于 \(k(x)\) 是 \(k[x]\) 的分式域，可对没有公因子的元素 \(r , s \in k[x]\) 写成 \(g = \frac{r}{s} f\)。这蕴含在 \(k[x, y]\) 中有 \(sg = rf\)；由于 \(k[x, y]\) 是唯一分解整环，\(s\) 必须整除 \(f\)。故 \(s = 1\) 或 \(s = f\)。若 \(s = f\)，则 \(r = g\)，这意味着 \(f, g \in k[x]\)，因而 它们在 \(k(x)\) 中必为单位，并在 \(k(x)[y]\) 中互素，与假设矛盾。 若 \(s = 1\)，则 \(g = rf\)，仍为矛盾。因此 \(f, g\) 必须在欧几里得整环 \(k(x)[y]\) 中互素。由此归约到 \(\mathfrak p\) 包含某个不可约多项式 \(p \in k[x] \subset k[x, y]\) 的情形。由上文，\(\mathfrak p\) 对应于环 \(k[x, y]/(p) = k(\alpha)[y]\) 中的素理想，其中 \(\alpha\) 是 \(k\) 上的 代数元，其极小多项式为 \(p\)。这是主理想整环，故任一素理想对应于 \((0)\) 或 \(k(\alpha)[y]\) 中的一个不可约多项式。因此 \(\mathfrak p\) 形如 \((p)\) 或 \((p, f)\)，其中 \(f\) 是 \(k[x, y]\) 中的 多项式，并且在商 \(k[x, y]/(p)\) 中不可约。

例

考虑环 \[R = \{ f \in \mathbf{Q}[z]\text{ 其中 }f(0) = f(1) \}.\] 考虑映射 \[\varphi : \mathbf{Q}[A, B] \to R\] 其中 \(\varphi(A) = z^2-z\) 且 \(\varphi(B) = z^3-z^2\)。容易验证 \((A^3 - B^2 + AB) \subset \Ker(\varphi)\)，并且 \(A^3 - B^2 + AB\) 不可约。假设 \(\varphi\) 满射；那么，因为 \(R\) 是 整环（它是某个整环的子环），\(\Ker(\varphi)\) 必须是 \(\mathbf{Q}[A, B]\) 的素理想。包含 \((A^3-B^2 + AB)\) 的素理想是 \((A^3-B^2 + AB)\) 本身，以及任意满足如下条件的极大理想 \((f, g)\)： \(f, g\in\mathbf{Q}[A, B]\)，且 \(f\) 模 \(g\) 不可约。

但 \(R\) 不是域，所以核必为 \((A^3-B^2 + AB)\)；因此 \(\varphi\) 给出同构 \(R \to \mathbf{Q}[A, B]/(A^3-B^2 + AB)\)。

为看出 \(\varphi\) 满射，必须把任意 \(f\in R\) 表成 \(A(z) = z^2-z\) 与 \(B(z) = z^3-z^2\) 的 \(\mathbf{Q}\)-系数多项式。注意关系 \(zA(z) = B(z)\)。令 \(a = f(0) = f(1)\)。于是 \(z(z-1)\) 必须整除 \(f(z)-a\)，所以可写成 \(f(z) = z(z-1)g(z)+a = A(z)g(z)+a\)。若 \(\deg(g) < 2\)，则 \(h(z) = c_1z + c_0\)，且 \(f(z) = A(z)(c_1z + c_0)+a = c_1B(z)+c_0A(z)+a\)，故结论成立。

若 \(\deg(g)\geq 2\)，则由多项式除法算法，可写成 \(g(z) = A(z)h(z)+b_1z + b_0\)（\(\deg(h)\leq\deg(g)-2\)），所以 \(f(z) = A(z)^2h(z)+b_1B(z)+b_0A(z)\)。

继续对 \(h(z)\) 应用除法并迭代，可将 \(f(z)\) 表成 \(A(z)\) 与 \(B(z)\) 的多项式；故 \(\varphi\) 满射。

现令 \(a \in \mathbf{Q}\)、\(a \neq 0, \frac{1}{2}, 1\)，并考虑 \[R_a = \{ f \in \mathbf{Q}[z, \frac{1}{z-a}]\text{ 其中 }f(0) = f(1) \}.\] 这同样是有限生成 \(\mathbf{Q}\)-代数：容易验证函数 \(z^2-z\)、\(z^3-z\) 与 \(\frac{a^2-a}{z-a}+z\) 作为 \(\mathbf{Q}\)-代数生成 \(R_a\)。有下列包含关系： \[R\subset R_a\subset\mathbf{Q}[z, \frac{1}{z-a}], \quad R\subset\mathbf{Q}[z]\subset\mathbf{Q}[z, \frac{1}{z-a}].\] 回顾（引理 00E3），对环 T 与乘法子集 \(S\subset T\)，环映射 \(T \to S^{-1}T\) 诱导谱上的映射 \(\Spec(S^{-1}T) \to \Spec(T)\)，它同胚到子集 \[\{\mathfrak p \in \Spec(T) \mid S \cap \mathfrak p = \emptyset\} \subset \Spec(T).\] 若对某个 \(f\in T\) 有 \(S = \{ 1, f, f^2, \ldots\}\)，则这是开集 \(D(f)\subset T\)。

现验证环映射 \(R \to R_a\) 的相应性质：我们将通过验证 \(\theta\) 是单射 局部同胚，证明由包含 \(R\subset R_a\) 诱导的映射 \(\theta : \Spec(R_a) \to \Spec(R)\) 同胚到 \(\Spec(R)\) 的一个开子集。 为此，使用下面将描述的两个基本开集所组成的 \(\Spec(R_a)\) 开覆盖。 对任意 \(r\in\mathbf{Q}\)，令 \(\text{ev}_r : R \to \mathbf{Q}\) 为在 \(r\) 处求值给出的同态。注意，当 \(r = 0\) 及 \(r = 1-a\) 时，它可以 延拓为同态 \(\text{ev}_r' : R_a \to \mathbf{Q}\)（后者是因为 \(\frac{1}{z-a}\) 在 \(z = 1-a\) 处有定义，这是由于 \(a\neq\frac{1}{2}\)）。然而，\(\text{ev}_a\) 不能延拓到 \(R_a\)。 写 \(\mathfrak{m}_r = \Ker(\text{ev}_r)\)。有 \[\mathfrak{m}_0 = (z^2-z, z^3-z),\] \[\mathfrak{m}_a = ((z-1 + a)(z-a), (z^2-1 + a)(z-a)), \text{ 且}\] \[\mathfrak{m}_{1-a} = ((z-1 + a)(z-a), (z-1 + a)(z^2-a)).\] 为验证这些等式，注意各右端显然包含于左端。然后把生成元用 \(A\) 与 \(B\) 表示，并将 \(R\) 视为 \(\mathbf{Q}[A, B]/(A^3-B^2 + AB)\)，由此 检查各右端为极大理想。注意，\(\mathfrak{m}_a\) 不在 \(\theta\) 的像中： \[(z^2 - z)^2(z - a)\left(\frac{a^2 - a}{z - a} + z\right) = (z^2 - z)^2(a^2 - a) + (z^2 - z)^2(z - a)z\] 左端属于 \(\mathfrak m_a R_a\)，因为 \((z^2 - z)(z - a)\) 属于 \(\mathfrak m_a\)，并且 \((z^2 - z)(\frac{a^2 - a}{z - a} + z)\) 属于 \(R_a\)。类似地，元素 \((z^2 - z)^2(z - a)z\) 属于 \(\mathfrak m_a R_a\)，因为 \((z^2 - z)\) 属于 \(R_a\)，而 \((z^2 - z)(z - a)\) 属于 \(\mathfrak m_a\)。由于 \(a \not \in \{0, 1\}\)，可得 \((z^2 - z)^2 \in \mathfrak m_a R_a\)。因此 \(R_a\) 的任何理想 \(I\) 都不可能满足 \(I \cap R = \mathfrak m_a\)，因为这样的 \(I\) 必须包含 \((z^2 - z)^2\)，而它属于 \(R\) 却不属于 \(\mathfrak m_a\)。基本开集 \(D((z-1 + a)(z-a))\subset\Spec(R)\) 等于闭集 \(\{\mathfrak{m}_a, \mathfrak{m}_{1-a}\}\) 的补集。然后验证 \(R_{(z-1 + a)(z-a)} = (R_a)_{(z-1 + a)(z-a)}\)；把这个局部化环记作 \(R'\)，便可知映射 \(R \to R'\) 分解为 \(R \to R_a \to R'\)。于是由 引理 00E3，这些映射把 \(\Spec(R') \subset \Spec(R_a)\) 与 \(\Spec(R') \subset \Spec(R)\) 表示为开子集；所以 \(\theta : \Spec(R_a) \to \Spec(R)\) 限制到 \(D((z-1 + a)(z-a))\) 时，同胚到一个开子集。类似地，\(\theta\) 限制到 \(D((z^2 + z + 2a-2)(z-a)) \subset \Spec(R_a)\) 时，同胚到开子集 \(D((z^2 + z + 2a-2)(z-a)) \subset \Spec(R)\)。依 \(z^2 + z + 2a-2\) 在 \(\mathbf{Q}\) 上是否不可约，前一个基本开集的 补集由一或两个闭点以及闭点 \(\mathfrak{m}_a\) 组成。此外，在 \(R_a\) 中由元素 \((z^2 + z + 2a-a)(z-a)\) 与 \((z-1 + a)(z-a)\) 生成的理想 是整个 \(R_a\)，所以这两个基本开集覆盖 \(\Spec(R_a)\)。

因此，为证明 \(\theta\) 同胚到 \(\Spec(R)-\{\mathfrak{m}_a\}\)，只需证明这一或两个点绝不可能等于 \(\mathfrak{m}_{1-a}\)。事实确实如此，因为 \(1-a\) 是 \(z^2 + z + 2a-2\) 的根，当且仅当 \(a = 0\) 或 \(a = 1\)；二者均不出现。

尽管这个同胚仿效了在 \(R\) 的某个元素处局部化的行为，而且 \(\mathbf{Q}[z, \frac{1}{z-a}]\) 是 \(\mathbf{Q}[z]\) 在极大理想 \((z-a)\) 处的局部化，环 \(R_a\) 却不是 \(R\) 的局部化：任何局部化 \(S^{-1}R\) 都会产生比原环 \(R\) 更多的单位。

\(R\) 的单位是 \(\mathbf{Q}^\times\)，也就是 \(\mathbf{Q}\) 的单位。事实上， 容易看出 \(R_a\) 的单位为 \(\mathbf{Q}^*\)。具体而言， \(\mathbf{Q}[z, \frac{1}{z - a}]\) 的单位形如 \(c (z - a)^n\)，其中 \(c \in \mathbf{Q}^*\) 且 \(n \in \mathbf{Z}\)；显然，只有当 \(n = 0\) 时，它们才属于 \(R_a\)。所以 \(R_a\) 的单位并不比 \(R\) 多，因而不可能是 \(R\) 的局部化。

我们使用 \(a\neq 0, 1\) 来保证 \(\frac{1}{z-a}\) 在 \(z = 0, 1\) 处 有意义。还在若干处使用了 \(a\neq 1/2\)：(1) 为了能够讨论 \(R_a\) 上 \(\text{ev}_{1-a}\) 的核，这保证 \(\mathfrak{m}_{1-a}\) 是 \(R_a\) 的一个点（即 \(R_a\) 恰缺少 \(R\) 的一个点）。(2) 在最后，为了 推出 \((z-a)^{k + \ell}\) 只有在 \(k = \ell = 0\) 时才能属于 \(R\)；

事实上，若 \(a = 1/2\)，则只要 \(k + \ell\) 为偶数，它就属于 \(R\)。 所以 \(R_a\) 的单位确实会比 \(R\) 更多，并且 \(R_a\) 可能是 \(R\) 的局部化。

关于素理想的一则元观察

本节取自 CRing 项目。设 \(R\) 为环，\(S \subset R\) 为乘法子集。 引理 00E3 的一个推论是：关于“不与 \(S\) 相交” 这一性质极大的理想 \(I \subset R\) 是素理想。理由是，对局部化环 \(S^{-1}R\) 的某个极大理想 \(\mathfrak m\)，有 \(I = R \cap \mathfrak m\)。 事实表明，对于理想的许多性质，不具有该性质的极大理想都是素理想。 [Lam-Reyes] 发展了一种看出这一点的一般方法。本节暂离主线， 解释这一现象。

设 \(R\) 为环。若 \(I\) 是 \(R\) 的理想且 \(a \in R\)，定义 \[(I : a) = \left\{ x \in R \mid xa \in I\right\}.\] 更一般地，若 \(J \subset R\) 是理想，定义 \[(I : J) = \left\{ x \in R \mid xJ \subset I\right\}.\]

引理

设 \(R\) 为环。若 \(J \subset R\) 为主理想，则对任意理想 \(I \subset J\)，都有 \(I = J (I : J)\)。

证明

设 \(J = (a)\)。则 \((I : J) = (I : a)\)。由于 \(I \subset J\)， 任意 \(y \in I\) 都可写成 \(y = xa\)，其中 \(x \in (I : a)\)。 故 \(I \subset J (I : J)\)。反之，若 \(x \in (I : a)\)，则 \(xJ = (xa) \subset I\)，这证明了另一包含关系。

设 \(\mathcal{F}\) 为 \(R\) 的一些理想组成的集合。我们关心怎样的条件 能够保证 \(\mathcal{F}\) 的补集中的极大元为素理想。

定义

设 \(R\) 为环，\(\mathcal{F}\) 为 \(R\) 的理想组成的集合。若 \(R \in \mathcal{F}\)，并且只要 \(I \subset R\) 是理想，且对某个 \(a \in R\) 有 \((I : a), (I, a) \in \mathcal{F}\)，便有 \(I \in \mathcal{F}\)，则称 \(\mathcal{F}\) 为一个 Oka 族。

下面给出若干 Oka 族的例子。第一个就是本节引言中讨论的基本例子。

例

设 \(R\) 为环，\(S\) 为 \(R\) 的乘法子集。我们断言 \(\mathcal{F} = \{I \subset R \mid I \cap S \not = \emptyset\}\) 是 Oka 族。事实上，设对某个 \(a \in R\) 有 \((I : a), (I, a) \in \mathcal{F}\)。取 \(s \in (I, a) \cap S\) 与 \(s' \in (I : a) \cap S\)。则 \(ss' \in I \cap S\)，因而 \(I \in \mathcal{F}\)。所以 \(\mathcal{F}\) 是 Oka 族。

例

设 \(R\) 为环，\(I \subset R\) 为理想，\(a \in R\)。若 \((I : a)\) 由 \(a_1, \ldots, a_n\) 生成，而 \((I, a)\) 由 \(a, b_1, \ldots, b_m\) 生成，其中 \(b_1, \ldots, b_m \in I\)， 则 \(I\) 由 \(aa_1, \ldots, aa_n, b_1, \ldots, b_m\) 生成。为说明这一点， 注意若 \(x \in I\)，则 \(x \in (I, a)\) 是 \(a, b_1, \ldots, b_m\) 的线性组合，但 \(a\) 的系数必属于 \((I:a)\)。由此可知，有限生成理想组成的族是 Oka 族。

例

我们证明环 \(R\) 的主理想组成的族是 Oka 族。事实上，设 \(I \subset R\) 为理想，\(a \in R\)，并且 \((I, a)\) 与 \((I : a)\) 都是主理想。注意 \((I : a) = (I : (I, a))\)。令 \(J = (I, a)\)， 则 \(J\) 与 \((I : J)\) 都是主理想。由引理 05K8， 有 \(I = J (I : J)\)。因此在这里，由于 \(J = (I, a)\) 与 \((I : J)\) 都是主理想，\(I\) 也是主理想。

例

设 \(R\) 为环，\(\kappa\) 为无限基数。至多可由 \(\kappa\) 个元素生成的 理想组成的族是 Oka 族。论证与 例 05KB 中的论证类似，故略去。

例

设 \(A\) 为环，\(I \subset A\) 为理想，\(a \in A\) 为元素。有短正合列 \(0 \to A/(I : a) \to A/I \to A/(I, a) \to 0\)，其中第一个箭头由 乘以 \(a\) 给出。因此，若 \(P\) 是一个对扩张稳定且对 \(0\) 成立的 \(A\)-模性质，则使 \(A/I\) 具有 \(P\) 的那些理想 \(I\) 组成 Oka 族。

命题

若 \(\mathcal{F}\) 是理想的 Oka 族，则 \(\mathcal{F}\) 的补集中的 任意极大元都是素理想。

证明

设 \(I \not \in \mathcal{F}\) 关于不属于 \(\mathcal{F}\) 极大， 但 \(I\) 不是素理想。注意 \(I \not = R\)，因为 \(R \in \mathcal{F}\)。由于 \(I\) 不素，可找到 \(a, b \in R - I\)， 使 \(ab \in I\)。于是 \((I, a) \neq I\)，且 \((I : a)\) 包含 \(b \not \in I\)，故也有 \((I : a) \neq I\)。所以 \((I : a), (I, a)\) 都严格包含 \(I\)，从而必属于 \(\mathcal{F}\)。 由 Oka 条件，\(I \in \mathcal{F}\)，矛盾。

至此，我们可以把上面大多数例子转化为关于环中素理想的引理。

引理

设 \(R\) 为环，\(S\) 为 \(R\) 的乘法子集。关于性质 \(I \cap S = \emptyset\) 极大的理想 \(I \subset R\) 是素理想。

证明

这就是本节引言中讨论的例子。另一种证明是把 例 05KA 与命题 05KE 结合起来。

引理

设 \(R\) 为环。

1. 关于“不有限生成”极大的理想 \(I \subset R\) 是素理想。

2. 若 \(R\) 的每个素理想都有限生成，则 \(R\) 的每个理想都有限生成 ²。

证明

第一条是例 05KB 与 命题 05KE 的直接推论。对于第二条，设存在一个 不有限生成的理想 \(I \subset R\)。由不有限生成理想组成的全序链 \(\left\{I_\alpha\right\}\) 的并仍不有限生成；事实上，若 \(I = \bigcup I_\alpha\) 由 \(a_1, \ldots, a_n\) 生成，则所有生成元 都属于某个 \(I_\alpha\)，因而会生成它。由佐恩引理，存在一个关于 不有限生成极大的理想。由第一条，该理想是素理想。

引理

设 \(R\) 为环。

1. 关于“不是主理想”极大的理想 \(I \subset R\) 是素理想。

2. 若 \(R\) 的每个素理想都是主理想，则 \(R\) 的每个理想都是主理想。

证明

第一条由例 05KC 与 命题 05KE 得出。对于第二条，设存在一个不是主理想的 理想 \(I \subset R\)。由不是主理想的理想组成的全序链 \(\left\{I_\alpha\right\}\) 的并不是主理想；

事实上，若 \(I = \bigcup I_\alpha\) 由 \(a\) 生成，则 \(a\) 属于某个 \(I_\alpha\)，并且 \(a\) 会生成该理想。由佐恩引理，存在一个关于不是主理想 极大的理想。由第一条，该理想必为素理想。

引理

设 \(R\) 为环。

1. 在不含非零因子的理想中极大的理想是素理想。

2. 若 \(R\) 非零，且 \(R\) 中每个非零素理想都包含一个非零因子， 则 \(R\) 是整环。

证明

考虑由非零因子组成的集合 \(S\)。它是 \(R\) 的乘法子集。因此， 关于不与 \(S\) 相交极大的任何理想都是素理想，见 引理 05KF。所以，若每个非零素理想都包含一个非零因子， 则 \((0)\) 是素理想，即 \(R\) 是整环。

注

设 \(R\) 为环，\(\kappa\) 为无限基数。应用 例 05KD 与 命题 05KE 可知，关于不能由 \(\kappa\) 个元素生成 这一性质极大的任何理想都是素理想。这个结果不太有用，因为存在一个环 \(R\)，它的每个素理想都可由 \(\aleph_0\) 个元素生成，但某个理想却不可以。 具体地，设 \(k\) 为域，\(T\) 为基数大于 \(\aleph_0\) 的集合，并令 \[R = k[\{x_n\}_{n \geq 1}, \{z_{t, n}\}_{t \in T, n \geq 0}]/ (x_n^2, z_{t, n}^2, x_n z_{t, n} - z_{t, n - 1})\] 这是一个局部环，其唯一素理想为 \(\mathfrak m = (x_n)\)。但是理想 \((z_{t, n})\) 不能由可数多个元素生成。

例

设 \(R\) 为环，\(X = \Spec(R)\)。由于 \(X\) 的闭子集对应于 \(R\) 的根理想 （引理 00E0），故 \(X\) 是诺特拓扑空间当且仅当 根理想满足升链条件。

这又当且仅当每个根理想都是一个有限生成理想的根（细节略去）。令 \[\mathcal{F} = \{I \subset R \mid \sqrt{I} = \sqrt{(f_1, \ldots, f_n)}\text{ 对某个 }n \text{ 且 }f_1, \ldots, f_n \in R\}.\] 读者可利用恒等式 \[\sqrt{I} = \sqrt{(I, a)(I : a)}\] 证明 \(\mathcal{F}\) 是 Oka 族；该恒等式对任意理想 \(I \subset R\) 及任意元素 \(a \in R\) 成立。另一方面，若有一条理想全序链 \(\{I_\alpha\}\)，其中没有理想属于 \(\mathcal{F}\)，则其并 \(I = \bigcup I_\alpha\) 也不可能属于 \(\mathcal{F}\)。否则，若 \(\sqrt{I} = \sqrt{(f_1, \ldots, f_n)}\)，则对某个 \(e\) 有 \(f_i^e \in I\)；于是对某个不依赖于 \(i\) 的 \(\alpha\)，有 \(f_i^e \in I_\alpha\)；继而 \(\sqrt{I_\alpha} = \sqrt{(f_1, \ldots, f_n)}\)，矛盾。因此， 若不属于 \(\mathcal{F}\) 的理想集合非空，它便有极大元；完全仿照 引理 05KG 可知，\(X\) 是诺特拓扑空间当且仅当 \(R\) 的 每个素理想都等于某个 \(\sqrt{(f_1, \ldots, f_n)}\)，其中 \(f_1, \ldots, f_n \in R\)。若以后需要这个结果，我们会在此处 严谨地陈述并证明它。

有限表示环映射的像

本节证明由环映射 \(R \to S\) 诱导的映射 \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) 的拓扑性质，主要是切瓦莱定理。为此， 我们将使用可构造集、拟紧集、逆紧集等概念；这些概念定义于 拓扑学，第 04ZC 节。

引理

设 \(U \subset \Spec(R)\) 为开集。以下条件等价：

1. \(U\) 在 \(\Spec(R)\) 中逆紧；

2. \(U\) 拟紧；

3. \(U\) 是有限个标准开集之并；

4. 存在有限生成理想 \(I \subset R\)，使得 \(X \setminus V(I) = U\)。

证明

因为 \(\Spec(R)\) 拟紧，所以 (1) \(\Rightarrow\) (2)，见 引理 00E8。因为标准开集构成拓扑的一组基， 所以 (2) \(\Rightarrow\) (3)。证明 (3) \(\Rightarrow\) (1)。令 \(U = \bigcup_{i = 1\ldots n} D(f_i)\)。要证明 \(U\) 在 \(\Spec(R)\) 中 逆紧，只须证明对 \(\Spec(R)\) 的任意拟紧开集 \(V\)，\(U \cap V\) 拟紧。 由 (2) \(\Rightarrow\) (3)，可写 \(V = \bigcup_{j = 1\ldots m} D(g_j)\)。每个标准开集都同胚于某个环的谱， 故为拟紧的，见引理 00E4 与 00E8。因此 \(U \cap V = (\bigcup_{i = 1\ldots n} D(f_i)) \cap (\bigcup_{j = 1\ldots m} D(g_j)) = \bigcup_{i, j} D(f_i g_j)\) 是有限个拟紧开集之并，因而拟紧。 最后，由引理 00E0，(4) 与 (3) 等价。

引理

设 \(\varphi : R \to S\) 为环映射。诱导的连续映射 \(f : \Spec(S) \to \Spec(R)\) 是拟紧的。对任意可构造集 \(E \subset \Spec(R)\)，逆像 \(f^{-1}(E)\) 在 \(\Spec(S)\) 中可构造。

证明

先证明任意拟紧开集 \(U \subset \Spec(R)\) 的逆像拟紧。由 引理 00F6，可将 \(U\) 写成有限个标准开集之并。

于是由引理 00E2，\(f^{-1}(U)\) 是有限个标准开集 之并。再次应用引理 00F6，可知 \(f^{-1}(U)\) 拟紧。 第二个断言由拓扑学，引理 005I 得出。

引理

设 \(R\) 为环。\(\Spec(R)\) 的一个子集可构造，当且仅当它可写成有限个 形如 \(D(f) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\) 的子集之并，其中 \(f, g_1, \ldots, g_m \in R\)。

证明

由引理 00F6，子集 \(D(f)\) 与 \(V(g_1, \ldots, g_m)\) 的补集都是逆紧开集。因此 \(D(f) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\) 是可构造子集，其任意有限并亦然。 反之，设 \(T \subset \Spec(R)\) 可构造。由拓扑学，定义 005G，可设 \(T = U \cap V^c\)，其中 \(U, V \subset \Spec(R)\) 是逆紧开集。 由引理 00F6，可写 \(U = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} D(f_i)\) 及 \(V = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} D(g_j)\)。于是 \(T = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} \big(D(f_i) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\big)\)。

引理

设 \(R\) 为环，\(T \subset \Spec(R)\) 可构造。则存在有限表示环映射 \(R \to S\)，使 \(T\) 是 \(\Spec(S)\) 在 \(\Spec(R)\) 中的像。

证明

有限个环之积的谱是这些谱的不交并，见 引理 00ED。因此，若 \(T = T_1 \cup T_2\)，且结论对 \(T_1\) 与 \(T_2\) 成立，则结论对 \(T\) 也成立。由 引理 0G1P，可设 \(T = D(f) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\)。在这种情形下，\(T\) 是映射 \(\Spec((R/(g_1, \ldots, g_m))_f) \to \Spec(R)\) 的像，见引理 00E4 与 00E5。

引理

设 \(R\) 为环，\(f\) 为 \(R\) 的元素，并令 \(S = R_f\)。则 \(\Spec(S)\) 的可构造子集的像在 \(\Spec(R)\) 中可构造。

证明

以下不再说明地反复使用引理 00F6。设 \(U, V\) 是 \(\Spec(S)\) 中的拟紧开集。我们证明 \(U \cap V^c\) 的像可构造。 在引理 00E4 给出的识别 \(\Spec(S) = D(f)\) 下，集合 \(U, V\) 对应于 \(\Spec(R)\) 的拟紧开集 \(U', V'\)。因而只须证明 \(U' \cap (V')^c\) 在 \(\Spec(R)\) 中可构造， 这是显然的。

引理

设 \(R\) 为环，\(I\) 为 \(R\) 的有限生成理想，并令 \(S = R/I\)。 则 \(\Spec(S)\) 的可构造子集的像在 \(\Spec(R)\) 中可构造。

证明

若 \(I = (f_1, \ldots, f_m)\)，则 \(V(I)\) 是 \(\bigcup D(f_i)\) 的补集，见引理 00E0。 因此，由引理 00F6，它是可构造的。将映射 \(R \to S\) 记作 \(f \mapsto \overline{f}\)。我们须证明：若 \(\overline{U}, \overline{V}\) 是 \(\Spec(S)\) 的逆紧开集，则 \(\overline{U} \cap \overline{V}^c\) 在 \(\Spec(R)\) 中的像可构造。 由引理 00F6，可写 \(\overline{U} = \bigcup D(\overline{g_i})\)。令 \(U = \bigcup D({g_i})\)，则 \(\overline{U}\) 的像是 \(U \cap V(I)\)，它在 \(\Spec(R)\) 中可构造。类似地，对 \(\Spec(R)\) 的某个逆紧开集 \(V\)，\(\overline{V}\) 的像等于 \(V \cap V(I)\)。故 \(\overline{U} \cap \overline{V}^c\) 的像等于 \(U \cap V(I) \cap V^c\)，如所需。

引理

设 \(R\) 为环。映射 \(\Spec(R[x]) \to \Spec(R)\) 是开映射，且任意 标准开集的像都是拟紧开集。

证明

只须证明标准开集 \(D(f)\)（其中 \(f\in R[x]\)）的像是拟紧开集。 \(D(f)\) 的像就是 \(\Spec(R[x]_f) \to \Spec(R)\) 的像。设 \(\mathfrak p \subset R\) 为素理想，并令 \(\overline{f}\) 为 \(f\) 在 \(\kappa(\mathfrak p)[x]\) 中的像。回忆引理 00E7： \(\mathfrak p\) 属于该像，当且仅当 \(R[x]_f \otimes_R \kappa(\mathfrak p) = \kappa(\mathfrak p)[x]_{\overline{f}}\) 不是零环。这恰好等价于 \(f\) 在 \(\kappa(\mathfrak p)[x]\) 中的像非零；换言之，\(f\) 的某个系数 不属于 \(\mathfrak p\)。因此，若 \(f = a_d x^d + \ldots + a_0\)，则 \(D(f)\) 的像为 \(D(a_d) \cup \ldots \cup D(a_0)\)。

下面证明稍后将使用的特征多项式性质。

引理

设 \(R \to A\) 为环同态，并假设作为 \(R\)-模有 \(A \cong R^{\oplus n}\)。设 \(f \in A\)。乘法映射 \(m_f: A \to A\) 是 \(R\)-线性的，因而有特征多项式 \(P(T) = T^n + r_{n-1}T^{n-1} + \ldots + r_0 \in R[T]\)。 对任意素理想 \(\mathfrak{p} \in \Spec(R)\)，\(f\) 在 \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak{p})\) 上幂零地作用，当且仅当 \(\mathfrak p \in V(r_0, \ldots, r_{n-1})\)。

证明

只须证明：乘法映射 \(m_{\bar f}: A \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \to A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) 的特征多项式 \(\bar P(T) \in \kappa(\mathfrak p)[T]\)，恰为 \(P(T)\) 在 \(\kappa(\mathfrak p)[T]\) 中的像，结论便容易得出。这里该映射以 \(\bar f\) 乘 \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) 的元素，而它是视为 \(\kappa(\mathfrak p)\) 中元素的 \(f\) 的像。

以 \(R\)-模 \(A\) 的一组基 \(e_1, \ldots, e_n\) 表示乘法映射 \(m_f\)， 设其矩阵为 \((a_{ij})\)，矩阵元属于 \(R\)。那么 \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \cong (R \otimes_R \kappa(\mathfrak p))^{\oplus n} = \kappa(\mathfrak p)^n\)，这是 \(\kappa(\mathfrak p)\) 上以 \(e_1 \otimes 1, \ldots, e_n \otimes 1\) 为基的 \(n\) 维向量空间。 像为 \(\bar f = f \otimes 1\)，故乘法映射 \(m_{\bar f}\) 的矩阵是 \((a_{ij} \otimes 1)\)。因此，特征多项式恰为 \(P(T)\) 的像。

由线性代数，一个线性变换在 \(n\) 维向量空间上幂零地作用， 当且仅当其特征多项式是 \(T^n\)（因为特征多项式整除极小多项式的 某个幂）。所以，\(f\) 在 \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) 上 幂零地作用，当且仅当 \(\bar P(T) = T^n\)。这又当且仅当对所有 \(0 \leq i \leq n - 1\) 都有 \(r_i \in \mathfrak p\)，即 \(\mathfrak p \in V(r_0, \ldots, r_{n - 1}).\)

引理

设 \(R\) 为环，\(f, g \in R[x]\) 为多项式。假设 \(g\) 的首项系数是 \(R\) 的单位。存在元素 \(r_i\in R\)（\(i = 1\ldots, n\)），使 \(D(f) \cap V(g)\) 在 \(\Spec(R)\) 中的像为 \(\bigcup_{i = 1, \ldots, n} D(r_i)\)。

证明

写成 \(g = ux^d + a_{d-1}x^{d-1} + \ldots + a_0\)，其中 \(d\) 是 \(g\) 的次数，故 \(u \in R^*\)。考虑环 \(A = R[x]/(g)\)。作为 \(R\)-模， 它是有限自由的，以 \(1, x, \ldots, x^{d-1}\) 的像为基。考虑 \(A\) 上 乘以 \(f\) 的像。这是一个 \(R\)-模映射。因此可令 \(P(T) \in R[T]\) 为该映射的特征多项式。写成 \(P(T) = T^d + r_{d-1} T^{d-1} + \ldots + r_0\)。我们断言 \(r_0, \ldots, r_{d-1}\) 具有所需性质。下面将使用特征多项式的性质 \[\mathfrak p \in V(r_0, \ldots, r_{d-1}) \Leftrightarrow \text{multiplication by }f\text{ is nilpotent on } A \otimes_R \kappa(\mathfrak p).\] 该性质已在引理 00FC 中证明。

设 \(\mathfrak q\in D(f) \cap V(g)\)，并令 \(\mathfrak p = \mathfrak q \cap R\)。则有一个与乘以 \(f\) 相容的非零映射 \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \to \kappa(\mathfrak q)\)。 而 \(f\) 在 \(\kappa(\mathfrak q)\) 上作为单位作用。因此可知 \(\mathfrak p \not \in V(r_0, \ldots, r_{d-1})\)。

另一方面，设对 \(R\) 的某个素理想 \(\mathfrak p\) 及某个 \(0 \leq i \leq d - 1\)，有 \(r_i \not\in \mathfrak p\)。则乘以 \(f\) 在代数 \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) 上不是幂零的。因此存在 不包含 \(f\) 的像的素理想 \(\overline{\mathfrak q} \subset A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)。\(\overline{\mathfrak q}\) 在 \(R[x]\) 中的逆像是 \(D(f) \cap V(g)\) 的一个元素，并映到 \(\mathfrak p\)。

定理

设 \(R \to S\) 是有限表示的。则 \(\Spec(S)\) 的可构造子集在 \(\Spec(R)\) 中的像可构造。

证明

写成 \(S = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\)。可将 \(R \to S\) 分解为 \(R \to R[x_1] \to R[x_1, x_2] \to \ldots \to R[x_1, \ldots, x_{n-1}] \to S\)。所以可设 \(S = R[x]/(f_1, \ldots, f_m)\)。此时再将映射分解为 \(R \to R[x] \to S\)；由引理 00FA，问题归结到 \(S = R[x]\) 的情形。由引理 00F6，只须证明若

\(T = (\bigcup_{i = 1\ldots n} D(f_i)) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\)， 其中 \(f_i , g_j \in R[x]\)，则其在 \(\Spec(R)\) 中的像可构造。 由于可构造集的有限并可构造，只须处理 \(n = 1\)，即 \(T = D(f) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\) 的情形。

注意若 \(c \in R\)，则 \[\Spec(R) = V(c) \amalg D(c) = \Spec(R/(c)) \amalg \Spec(R_c),\] 相应地，\(\Spec(R[x]) = V(c) \amalg D(c) = \Spec(R/(c)[x]) \amalg \Spec(R_c[x])\)。\(T = D(f) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\) 与每一部分的交 仍有相同形式，其中 \(f\)、\(g_i\) 分别由其在 \(R/(c)[x]\)、\(R_c[x]\) 中的像代替。注意，\(T\) 在 \(\Spec(R)\) 中的像是 \(T \cap V(c)\) 与 \(T \cap D(c)\) 的像之并。利用引理 00F9 和 00FA，只须分别证明这两部分 的像在 \(\Spec(R/(c))\) 与 \(\Spec(R_c)\) 中可构造。

设如上有 \(T = D(f) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\)，且 \(\deg(g_1) \leq \deg(g_2) \leq \ldots \leq \deg(g_m)\)。 我们将对 \(m\) 以及诸 \(g_i\) 的次数作归纳。令 \(d_1 = \deg(g_1)\)，即 \(g_1 = c x^{d_1} + l.o.t\)，其中非零的 \(c \in R\)。把 \(R\) 分成 \(R/(c)\) 与 \(R_c\) 两部分后，要么降低 \(g_1\) 的次数（由归纳覆盖），要么归结到 \(c\) 可逆的情形。若 \(c\) 可逆 且 \(m > 1\)，写成 \(g_2 = c' x^{d_2} + l.o.t\)。此时考虑 \(g_2' = g_2 - (c'/c) x^{d_2 - d_1} g_1\)。因为理想 \((g_1, g_2, \ldots, g_m)\) 与 \((g_1, g_2', g_3, \ldots, g_m)\) 相等，所以 \(T = D(f) \cap V(g_1, g_2', g_3\ldots, g_m)\)。

但这里 \(g_2'\) 的次数严格小于 \(g_2\) 的次数，故此情形由归纳覆盖。

上述归纳的基本情形为：(a) \(T = D(f) \cap V(g)\)，其中 \(g\) 的首项系数 可逆；以及 (b) \(T = D(f)\)。这两种情形分别由引理 00FD 与 00FB 处理。

关于像的进一步结果

本节汇集几个关于环映射在 \(\Spec\) 上之像的补充引理。例如， 另见第 00HU 节。

引理

设 \(R \subset S\) 是整环的包含，并假设 \(R \to S\) 是有限型的。 则存在非零的 \(f \in R\) 与非零的 \(g \in S\)，使 \(R_f \to S_{fg}\) 是有限表示的。

证明

对 \(S\) 在 \(R\) 上的生成元个数作归纳。证明过程中，可将 \(R\) 换成 \(R_f\)，将 \(S\) 换成 \(S_f\)，其中 \(f \in R\) 非零。

设 \(S\) 在 \(R\) 上由一个元素生成。则对某个素理想 \(\mathfrak q \subset R[x]\)，有 \(S = R[x]/\mathfrak q\)。若 \(\mathfrak q = (0)\)，无须证明。若 \(\mathfrak q \not = (0)\)， 取 \(h \in \mathfrak q\) 为关于 \(x\) 次数最小的非零元素。写成 \(h = f x^d + a_{d - 1} x^{d - 1} + \ldots + a_0\)，其中 \(a_i \in R\) 且 \(f \not = 0\)。在 \(R\) 与 \(S\) 中将 \(f\) 可逆化后， 可设 \(h\) 首一。于是得到满的 \(R\)-代数映射 \(R[x]/(h) \to S\)。作为 \(R\)-模，有 \(R[x]/(h) = R \oplus Rx \oplus \ldots \oplus Rx^{d - 1}\)；由 \(d\) 的极小性，\(R[x]/(h)\) 到 \(S\) 的映射是单射。因此 \(R[x]/(h) \cong S\) 在 \(R\) 上有限表示。

设 \(S\) 在 \(R\) 上由 \(n > 1\) 个元素生成。设 \(x_1, \ldots, x_n \in S\) 生成 \(S\)，并记 \(S' \subset S\) 为由 \(x_1, \ldots, x_{n-1}\) 生成的 \(R\)-子代数。由归纳假设，存在非零的 \(f\in R\) 与 \(g \in S'\)，使 \(R_f \to S'_{fg}\) 有限表示。

接着对 \(S'_{fg} \to S_{fg}\) 应用归纳假设，可知存在 \(f' \in S'_{fg}\) 与 \(g' \in S_{fg}\)，使 \(S'_{fgf'} \to S_{fgf'g'}\) 有限表示。余下结论留给读者。

引理

设 \(R \to S\) 为有限型环映射。记 \(X = \Spec(R)\)、 \(Y = \Spec(S)\)，并将诱导的谱映射写成 \(f : Y \to X\)。

设 \(E \subset Y = \Spec(S)\) 为可构造集。若点 \(\xi \in X\) 属于 \(f(E)\)，则 \(\overline{\{\xi\}} \cap f(E)\) 包含 \(\overline{\{\xi\}}\) 的一个稠密开子集。

证明

设 \(\xi \in X\) 是 \(f(E)\) 的一点。选取映到 \(\xi\) 的点 \(\eta \in E\)。令 \(\mathfrak p \subset R\) 为对应于 \(\xi\) 的素理想， \(\mathfrak q \subset S\) 为对应于 \(\eta\) 的素理想。考虑图 \[\xymatrix{ \eta \ar[r] \ar@{|->}[d] & E \cap Y' \ar[r] \ar[d] & Y' = \Spec(S/\mathfrak q) \ar[r] \ar[d] & Y \ar[d] \\ \xi \ar[r] & f(E) \cap X' \ar[r] & X' = \Spec(R/\mathfrak p) \ar[r] & X }\] 由引理 00F7，\(E \cap Y'\) 在 \(Y'\) 中 可构造。于是可以用 \(X'\) 代替 \(X\)，用 \(Y'\) 代替 \(Y\)。因此可设 \(R \subset S\) 是整环的包含，\(\xi\) 是 \(X\) 的泛点，而 \(\eta\) 是 \(Y\) 的泛点。结合引理 00FG 与 切瓦莱定理（定理 00FE），可知存在稠密开集 \(U \subset X\)、\(V \subset Y\)，使 \(f(V) \subset U\)，并且 \(f : V \to U\) 将可构造集映为可构造集。注意 \(E \cap V\) 在 \(V\) 中可构造，见拓扑学，引理 005J。 所以 \(f(E \cap V)\) 在 \(U\) 中可构造并包含 \(\xi\)。由拓扑学，引理 005K， \(f(E \cap V)\) 包含一个稠密开集 \(U' \subset U\)。

本节最后给出几个与可构造集无关的谱映射之像的结果。

引理

设 \(\varphi : R \to S\) 为环映射。以下条件等价：

1. 映射 \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) 是满射。

2. 对任意理想 \(I \subset R\)，\(\sqrt{IS}\) 在 \(R\) 中的逆像等于 \(\sqrt{I}\)。

3. 对任意根理想 \(I \subset R\)，\(IS\) 在 \(R\) 中的逆像等于 \(I\)。

4. 对 \(R\) 的每个素理想 \(\mathfrak p\)，\(\mathfrak p S\) 在 \(R\) 中的逆像是 \(\mathfrak p\)。

在这种情形下，任意基变换后仍有同样的结论：给定环映射 \(R \to R'\)，环映射 \(R' \to R' \otimes_R S\) 也具有等价性质 (1)、(2)、(3)。

证明

若 \(J \subset S\) 为理想，则 \(\sqrt{\varphi^{-1}(J)} = \varphi^{-1}(\sqrt{J})\)。这说明 (2) 与 (3) 等价。(3) \(\Rightarrow\) (4) 是直接的。若 \(I \subset R\) 是根理想， 则引理 00E0 保证 \(I = \bigcap_{I \subset \mathfrak p} \mathfrak p\)。因此 (4) \(\Rightarrow\) (2)。由引理 00E7，有 \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak p S)\) 当且仅当 \(\mathfrak p\) 属于该像。所以 (1) \(\Leftrightarrow\) (4)。因此 (1)、(2)、(3)、(4) 等价。

假设 (1) 成立。设 \(R \to R'\) 为环映射，并设 \(\mathfrak p' \subset R'\) 是位于 \(R\) 的素理想 \(\mathfrak p\) 之上的 素理想。要证明 \(\mathfrak p'\) 属于 \(\Spec(R' \otimes_R S) \to \Spec(R')\) 的像，由引理 00E7，须证明 \((R' \otimes_R S) \otimes_{R'} \kappa(\mathfrak p')\) 非零。但有 \[(R' \otimes_R S) \otimes_{R'} \kappa(\mathfrak p') = S \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \otimes_{\kappa(\mathfrak p)} \kappa(\mathfrak p')\] 它非零，因为由假设 \(S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) 非零，且 \(\kappa(\mathfrak p) \to \kappa(\mathfrak p')\) 是域扩张。

引理

设 \(R\) 为整环，\(\varphi : R \to S\) 为环映射。以下条件等价：

1. 环映射 \(R \to S\) 是单射。

2. \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) 的像包含一个稠密点集。

3. 存在素理想 \(\mathfrak q \subset S\)，它在 \(R\) 中的逆像是 \((0)\)。

证明

设 \(K\) 为整环 \(R\) 的分式域。假设 \(R \to S\) 为单射。由于局部化正合， 可知 \(K \to S \otimes_R K\) 是单射。因此，由引理 00E7，存在一个映到 \((0)\) 的素理想。

注意 \((0)\) 在 \(\Spec(R)\) 中稠密，所以最后一个条件蕴含第二个条件。

假设第二个条件成立。设 \(f \in R\)、\(f \not = 0\)。由于 \(R\) 是整环， 可知 \(V(f)\) 是 \(R\) 的真闭子集。

由假设，存在 \(S\) 的素理想 \(\mathfrak q\)，使 \(\varphi(f) \not \in \mathfrak q\)。故 \(\varphi(f) \not = 0\)， 从而 \(R \to S\) 是单射。

引理

设 \(R \subset S\) 为单射环映射。则 \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) 命中 所有极小素理想。

证明

设 \(\mathfrak p \subset R\) 为极小素理想。此时 \(R_{\mathfrak p}\) 有唯一素理想。因此只须证明 \(S_{\mathfrak p}\) 非零。这由局部化正合 得出，见命题 00CS。

引理

设 \(R \to S\) 为环映射。以下条件等价：

1. \(R \to S\) 的核由幂零元组成。

2. \(R\) 的极小素理想属于 \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) 的像。

3. \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) 的像在 \(\Spec(R)\) 中稠密。

证明

令 \(I = \Ker(R \to S)\)。注意 \(\sqrt{(0)} = \bigcap_{\mathfrak q \subset S} \mathfrak q\)，见引理 00E0。所以 \(\sqrt{I} = \bigcap_{\mathfrak q \subset S} R \cap \mathfrak q\)。 于是 \(V(I) = V(\sqrt{I})\) 是 \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) 之像的闭包。 这说明 (1) 与 (3) 等价。显然 (2) 蕴含 (3)。最后假设 (1)。 可以用 \(R/I\) 代替 \(R\)，用 \(S/IS\) 代替 \(S\)，而不影响谱的拓扑和 映射。因此，(1) \(\Rightarrow\) (2) 由引理 00FK 得出。

引理

设 \(R \to S\) 为环映射。若极小素理想 \(\mathfrak p \subset R\) 属于 \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) 的像，则它是某个极小素理想的像。

证明

设 \(\mathfrak p = \mathfrak q \cap R\)。选取满足 \(\mathfrak r \subset \mathfrak q\) 的极小素理想 \(\mathfrak r \subset S\)，见引理 00E0。 由 \(\mathfrak p\) 的极小性可知 \(\mathfrak p = \mathfrak r \cap R\)。

引理

设 \(A \subset B\) 是整环的包含，且诱导分式域的代数扩张。若 \(J \subset B\) 为非零理想，则 \(A \cap J\) 也非零。因此， \(\Spec(B)\) 的真闭子集的像在 \(\Spec(A)\) 中不稠密。

证明

取非零元素 \(x \in J\)。由于 \(x\) 在 \(A\) 的分式域上代数，存在 \(d \geq 1\) 及 \(a_0, \ldots, a_d \in A\)，其中 \(a_0, a_d \not = 0\)，使得在 \(B\) 中 \(a_d x^d + a_{d - 1} x^{d - 1} + \ldots + a_0 = 0\)。 于是 \(a_0 \in A \cap J\)。

诺特环

若环 \(R\) 的任意理想都有限生成，则称 \(R\) 是诺特的。 这显然等价于 \(R\) 的理想满足升链条件。由引理 05KG， 只须检验 \(R\) 的每个素理想都有限生成。

引理

诺特环上的任意有限生成环都是诺特环。诺特环的任意局部化都是诺特环。

证明

关于局部化的断言来自如下事实：任意理想 \(J \subset S^{-1}R\) 都形如 \(I \cdot S^{-1}R\)。诺特环 \(R\) 的任意商 \(R/I\) 都是诺特的， 因为任意理想 \(\overline{J} \subset R/I\) 都形如 \(J/I\)，其中 \(I \subset J \subset R\) 为理想。因此只须证明：若 \(R\) 诺特， 则 \(R[X]\) 也诺特。设 \(J_1 \subset J_2 \subset \ldots\) 是 \(R[X]\) 中的理想升链。 考虑理想 \(I_{i, d}\)，其定义为 \(J_i\) 中次数为 \(d\) 的多项式的 首项系数在 \(R\) 中组成的理想。显然，只要 \(i \leq i'\) 且 \(d \leq d'\)，就有 \(I_{i, d} \subset I_{i', d'}\)。由 \(R\) 中的 升链条件，所有 \(I_{i, d}\) 中至多只有有限个互异理想。 （提示：\(\mathbf{N} \times \mathbf{N}\) 的任意无限子集都包含 一条递增无限序列。）取充分大的 \(i_0\)，使对所有 \(i \geq i_0\) 及 所有 \(d\)，都有 \(I_{i, d} = I_{i_0, d}\)。设对某个 \(i \geq i_0\) 有 \(f \in J_i\)。对次数 \(d = \deg(f)\) 作归纳， 证明 \(f \in J_{i_0}\)。事实上，存在 \(g\in J_{i_0}\)，其次数为 \(d\)， 且首项系数与 \(f\) 相同。由归纳，\(f - g \in J_{i_0}\)，结论得证。

引理

若 \(R\) 是诺特环，则形式幂级数环 \(R[[x_1, \ldots, x_n]]\) 也是诺特环。

证明

由于 \(R[[x_1, \ldots, x_{n + 1}]] \cong R[[x_1, \ldots, x_n]][[x_{n + 1}]]\)， 只须证明：若 \(R\) 诺特，则 \(R[[x]]\) 诺特。设 \(I \subset R[[x]]\) 为理想。须证明 \(I\) 有限生成。对每个整数 \(d\)，记 \(I_d = \{a \in R \mid ax^d + \text{h.o.t.} \in I\}\)。由于 \(R\) 诺特， 可知 \(I_0 \subset I_1 \subset \ldots\) 稳定。选取 \(d_0\)，使 \(I_{d_0} = I_{d_0 + 1} = \ldots\)。对每个 \(d \leq d_0\)，选取元素 \(f_{d, j} \in I \cap (x^d)\)（\(j = 1, \ldots, n_d\)），使得若写成 \(f_{d, j} = a_{d, j}x^d + \text{h.o.t}\)，则 \(I_d = (a_{d, j})\)。记 \(I' = (\{f_{d, j}\}_{d = 0, \ldots, d_0, j = 1, \ldots, n_d})\)。 显然 \(I' \subset I\)。取 \(f \in I\)。首先可选取 \(c_{d, i} \in R\)，使 \[f - \sum c_{d, i} f_{d, i} \in (x^{d_0 + 1}) \cap I.\] 接着可选取 \(c_{i, 1} \in R\)（\(i = 1, \ldots, n_{d_0}\)），使 \[f - \sum c_{d, i} f_{d, i} - \sum c_{i, 1}xf_{d_0, i} \in (x^{d_0 + 2}) \cap I.\] 再选取 \(c_{i, 2} \in R\)（\(i = 1, \ldots, n_{d_0}\)），使 \[f - \sum c_{d, i} f_{d, i} - \sum c_{i, 1}xf_{d_0, i} - \sum c_{i, 2}x^2f_{d_0, i} \in (x^{d_0 + 3}) \cap I.\] 依此类推。最后可知 \[f = \sum c_{d, i} f_{d, i} + \sum\nolimits_i (\sum\nolimits_e c_{i, e} x^e)f_{d_0, i}\] 属于 \(I'\)，如所需。

下面的引理虽然容易，却很有用，因为有限型 \(\mathbf{Z}\)-代数经常出现于 一种称为“绝对诺特约化”的技巧中。

引理

域上的任意有限型代数都是诺特的。\(\mathbf{Z}\) 上的任意有限型代数 都是诺特的。

证明

这直接来自引理 00FN，以及域都是诺特环、 \(\mathbf{Z}\) 是诺特环（因为它是主理想整环）这两个事实。

引理

设 \(R\) 为诺特环。

1. 任意有限 \(R\)-模都是有限表示的。

2. 有限 \(R\)-模的任意子模都是有限的。

3. 任意有限型 \(R\)-代数在 \(R\) 上有限表示。

证明

设 \(M\) 为有限 \(R\)-模。由引理 00KZ，可找到 \(M\) 的有限滤过， 其逐次商形如 \(R/I\)。由于任意理想都有限生成，每个商 \(R/I\) 都有限表示。因此由引理 0519，\(M\) 有限表示。 这证明了 (1)。

设 \(N \subset M\) 为子模。由于 \(M\) 有限，商 \(M/N\) 有限。 由 (1)，\(M/N\) 有限表示。因此，由引理 0519 的 (5)， \(N\) 有限。这证明了 (2)。

为证明 (3)，注意由引理 00FN， \(R[x_1, \ldots, x_n]\) 的任意理想都有限生成。

引理

若 \(R\) 是诺特环，则 \(\Spec(R)\) 是诺特拓扑空间，见拓扑学，定义 0051。

证明

这是因为 \(\Spec(R)\) 的任意闭子集都唯一地形如 \(V(I)\)，其中 \(I\) 是根理想，见引理 00E0。并且这一对应反转包含关系。 所以结论由定义得出。

引理

若 \(R\) 是诺特环，则 \(\Spec(R)\) 只有有限多个不可约分支。换言之， \(R\) 只有有限多个极小素理想。

证明

由引理 00FQ 和拓扑学，引理 0052，可知不可约分支只有有限多个。 由引理 00ES，它们对应于 \(R\) 的极小素理想。

引理

设 \(R \to S\) 为环映射，\(R \to R'\) 为有限型映射。若 \(S\) 诺特， 则基变换 \(S' = R' \otimes_R S\) 诺特。

证明

由引理 05G5，有限型在基变换下保持。 因此 \(S \to S'\) 是有限型的。由于 \(S\) 诺特，可以应用引理 00FN。

引理

设 \(k\) 为域，\(R\) 为诺特 \(k\)-代数。若 \(K/k\) 是有限生成域扩张， 则 \(K \otimes_k R\) 诺特。

证明

由于 \(K/k\) 是有限生成域扩张，存在有限生成 \(k\)-代数 \(B \subset K\)，使 \(K\) 是 \(B\) 的分式域。换言之， \(K = S^{-1}B\)，其中 \(S = B \setminus \{0\}\)。于是 \(K \otimes_k R = S^{-1}(B \otimes_k R)\)。由引理 0CY6，\(B \otimes_k R\) 诺特。最后，由引理 00FN， \(K \otimes_k R = S^{-1}(B \otimes_k R)\) 诺特。

下面是几个有时很有用的有趣引理。

引理

设 \(R\) 为环，\(\mathfrak p \subset R\) 为素理想。在以下每种情形下， 都存在 \(f \in R\)、\(f \not \in \mathfrak p\)，使 \(R_f \to R_\mathfrak p\) 是单射：

1. \(R\) 是整环；

2. \(R\) 诺特；或

3. \(R\) 约化且只有有限多个极小素理想。

证明

若 \(R\) 是整环，则 \(R \subset R_\mathfrak p\)，故取 \(f = 1\) 即可。 若 \(R\) 诺特，则 \(R \to R_\mathfrak p\) 的核 \(I\) 是有限生成理想， 因而可找到 \(f \in R\)、\(f \not \in \mathfrak p\)，使 \(IR_f = 0\)。 对此 \(f\)，映射 \(R_f \to R_\mathfrak p\) 是单射，故 \(f\) 可用。 若 \(R\) 约化，且极小素理想只有有限多个 \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n\)，则可选择 \(f \in \bigcap_{\mathfrak p_i \not \subset \mathfrak p} \mathfrak p_i\)、 \(f \not \in \mathfrak p\)。事实上，若 \(\mathfrak{p}_i\not\subset \mathfrak{p}\)，则存在 \(f_i \in \mathfrak{p}_i\)、 \(f_i \not\in \mathfrak{p}\)，并且 \(f = \prod f_i\) 可用。对此 \(f\)， 有 \(R_f \subset R_\mathfrak p\)，因为 \(R_f\) 的极小素理想对应于 \(R_\mathfrak p\) 的极小素理想，并且可以应用引理 00EW（略去若干细节）。

引理

诺特环的任意满自同态都是同构。

证明

若 \(f : R \to R\) 是这样的自同态但不是单射，则 \[\Ker(f) \subset \Ker(f \circ f) \subset \Ker(f \circ f \circ f) \subset \ldots\] 将是一条严格递增的理想链。

局部幂零理想

定义如下。

定义

设 \(R\) 为环，\(I \subset R\) 为理想。若对每个 \(x \in I\)，都存在 \(n \in \mathbf{N}\) 使 \(x^n = 0\)，则称 \(I\) 是局部幂零的。 若存在 \(n \in \mathbf{N}\) 使 \(I^n = 0\)，则称 \(I\) 是幂零的。

例

设 \(R = k[x_n | n \in \mathbf{N}]\) 为域 \(k\) 上含无穷多个变量的 多项式环。设 \(I\) 为由 \(x_n^n\)（\(n \in \mathbf{N}\)）生成的理想， 并令 \(S = R/I\)。则由诸 \(x_n\) 的像（\(n \in \mathbf{N}\)）生成的理想 \(J \subset S\) 局部幂零，但并不幂零。事实上，由于幂零元的 \(S\)-线性组合仍为幂零元，要证明 \(J\) 局部幂零，只须注意其所有生成元 都是幂零的（这显然成立）。另一方面，对每个 \(n \in \mathbf{N}\)， 都有 \(x_{n + 1}^n \not \in I\)，故 \(J^n \not = 0\)。所以 \(J\) 不幂零。

引理

设 \(R \to R'\) 为环映射，\(I \subset R\) 为局部幂零理想。 则 \(IR'\) 是 \(R'\) 的局部幂零理想。

证明

这来自如下事实：若 \(x, y \in R'\) 都幂零，则 \(x + y\) 也幂零。 具体地，若 \(x^n = 0\) 且 \(y^m = 0\)，则 \((x + y)^{n + m - 1} = 0\)。

引理

设 \(R\) 为环，\(I \subset R\) 为局部幂零理想。元素 \(x\) 是 \(R\) 的单位， 当且仅当 \(x\) 在 \(R/I\) 中的像是单位。

证明

若 \(x\) 是 \(R\) 中的单位，则其像显然是 \(R/I\) 中的单位。只须证明反向。 假设 \(y \in R\) 的像是 \(x\) 的像在 \(R/I\) 中的逆元。于是对某个 \(z \in I\)，有 \(xy = 1 - z\)。这意味着模 \(xR\) 有 \(1\equiv z\)。由于 \(z\) 属于局部幂零理想 \(I\)，对某个充分大的 \(N\)， 有 \(z^N = 0\)。故模 \(xR\) 有 \(1 = 1^N \equiv z^N = 0\)。 换言之，\(x\) 整除 \(1\)，所以是单位。

引理

设 \(R\) 为诺特环，\(I, J\) 为 \(R\) 的理想。假设 \(J \subset \sqrt{I}\)。则对某个 \(n\) 有 \(J^n \subset I\)。 特别地，在诺特环中，“局部幂零理想”与“幂零理想”这两个概念相同。

证明

写成 \(J = (f_1, \ldots, f_s)\)。由假设 \(f_i^{d_i} \in I\)。 取 \(n = d_1 + d_2 + \ldots + d_s + 1\)。

引理

设 \(R\) 为环，\(I \subset R\) 为局部幂零理想。则 \(R \to R/I\) 在幂等元上诱导双射。

证明

由于 \(I\) 局部幂零，它包含于每个素理想。因此 \(\Spec(R/I) = V(I) = \Spec(R)\)。所以该引理由 引理 00EE 得出。

证明

设 \(\overline{e} \in R/I\) 是幂等元。须将 \(\overline{e}\) 提升为 \(R\) 的幂等元。

首先任选 \(\overline{e}\) 的一个提升 \(f \in R\)，并令 \(x = f^2 - f\)。则 \(x \in I\)，所以 \(x\) 幂零（因为 \(I\) 局部幂零）。 现在令 \(J\) 为 \(R\) 中由 \(x\) 生成的理想。由于它由幂零元 \(x\) 生成， \(J\) 是幂零的，而不只是局部幂零的。

现在假设已经找到 \(\overline{e}\) 的一个提升 \(e \in R\)，使对某个 \(k \geq 1\) 有 \(e^2 - e \in J^k\)。令 \(e' = e - (2e - 1)(e^2 - e) = 3e^2 - 2e^3\)；它是 \(\overline{e}\) 的另一个提升（因为 \(\overline{e}\) 的幂等性给出 \(e^2 - e \in I\)）。简单计算可得 \[(e')^2 - e' = (4e^2 - 4e - 3)(e^2 - e)^2 \in J^{2k}\]

所以，我们从 \(\overline{e}\) 的一个满足 \(e^2 - e \in J^k\) 的提升 \(e\) 出发，得到了 \(\overline{e}\) 的一个满足 \((e')^2 - e' \in J^{2k}\) 的提升 \(e'\)。以此方式可逐次改进近似 （从 \(e = f\) 开始，它对 \(k = 1\) 符合要求）。最终到达 \(J^k = 0\) 的阶段；此时有 \(\overline{e}\) 的一个提升 \(e\) 满足 \(e^2 - e \in J^k = 0\)，即该 \(e\) 是幂等元。

由此可见，若 \(\overline{e} \in R/I\) 是任意幂等元，则存在一个 \(\overline{e}\) 的提升，并且该提升是 \(R\) 的幂等元。还须证明此提升唯一。设 \(e_1\) 与 \(e_2\) 为两个这样的提升。须证明 \(e_1 = e_2\)。

由 \(e_1\) 与 \(e_2\) 的定义，有 \(e_1 \equiv e_2 \mod I\)，并且 \(e_1\) 与 \(e_2\) 都幂等。由 \(e_1 \equiv e_2 \mod I\) 可知 \(e_1 - e_2 \in I\)，故 \(e_1 - e_2\) 幂零（因为 \(I\) 局部幂零）。直接计算（使用 \(e_1\) 与 \(e_2\) 的幂等性）得到 \((e_1 - e_2)^3 = e_1 - e_2\)。由此归纳可知， 对任意正奇数 \(k\)，都有 \((e_1 - e_2)^k = e_1 - e_2\)。由于所有充分大的 \(k\) 都满足 \((e_1 - e_2)^k = 0\)（因为 \(e_1 - e_2\) 幂零）， 可知 \(e_1 - e_2 = 0\)，即 \(e_1 = e_2\)，证明完成。

引理

设 \(A\) 为可能不交换的代数，\(e \in A\) 为满足 \(x = e^2 - e\) 幂零的元素。则存在形如 \(e' = e + x(\sum a_{i, j}e^ix^j) \in A\) 的幂等元，其中 \(a_{i, j} \in \mathbf{Z}\)。

证明

考虑环 \(R_n = \mathbf{Z}[e]/((e^2 - e)^n)\)。显然，若能对每个 \(R_n\) 证明结论，则引理成立。在 \(R_n\) 中考虑理想 \(I = (e^2 - e)\)， 并应用引理 00J9。

引理

设 \(R\) 为环，\(I \subset R\) 为局部幂零理想。设 \(n \geq 1\) 为在 \(R/I\) 中可逆的整数。则

1. \(n\) 次幂映射 \(1 + I \to 1 + I\)，\(1 + x \mapsto (1 + x)^n\) 是双射；

2. \(R\) 的一个单位是 \(n\) 次幂，当且仅当其在 \(R/I\) 中的像是 \(n\) 次幂。

证明

设 \(a \in R\) 为单位，且其在 \(R/I\) 中的像与某个 \(b \in R\) 的 \(b^n\) 的像相同。则 \(b\) 是单位（引理 0AMG），且对某个 \(x \in I\) 有 \(ab^{-n} = 1 + x\)。由 (1)，\(ab^{-n} = c^n\)。所以 (2) 由 (1) 得出。

证明 (1)。这是因为映射 \(1 + x \mapsto (1 + x)^n\) 有逆映射。 具体地，可以考虑把 \(1 + x\) 映为下式的映射： \[\begin{align*} (1 + x)^{1/n} & = 1 + {1/n \choose 1}x + {1/n \choose 2}x^2 + {1/n \choose 3}x^3 + \ldots \\ & = 1 + \frac{1}{n} x + \frac{1 - n}{2n^2}x^2 + \frac{(1 - n)(1 - 2n)}{6n^3}x^3 + \ldots \end{align*}\] 这与初等微积分中一样。该式有意义，因为当 \(k \gg 0\) 时 \(x^k = 0\)，所以级数是有限的；而且每个系数 \({1/n \choose k} \in \mathbf{Z}[1/n]\)（细节略去；注意由引理 0AMG，\(n\) 在 \(R\) 中可逆）。

一个有趣的问题

引理 00EM 说明了当某个理想 \(I \subset R\) 的 \(V(I)\) 为开集时会发生什么。但若 \(\Spec(S^{-1}R)\) 在 \(\Spec(R)\) 中是闭的，又会怎样？以下两个引理 给出部分答案。更多信息见第 04PQ 节。

引理

设 \(R\) 为环，\(S \subset R\) 为乘法子集。假设映射 \(\Spec(S^{-1}R) \to \Spec(R)\) 的像是闭的。则对某个理想 \(I \subset R\)，有 \(S^{-1}R \cong R/I\)。

证明

令 \(I = \Ker(R \to S^{-1}R)\)，于是 \(V(I)\) 包含该像。设该像为闭子集 \(V(I') \subset \Spec(R)\)，其中 \(I' \subset R\) 为某个理想。因此 \(V(I') \subset V(I)\)。对 \(f \in I'\)，元 \(f/1 \in S^{-1}R\) 属于每个 素理想。因此对某个 \(n \geq 1\)，\(f^n\) 在 \(S^{-1}R\) 中映为零 （引理 00E0）。

故 \(V(I') = V(I)\)。由此可知，每个 \(g \in S\) 模 \(I\) 都可逆。因此得到 环映射 \(R/I \to S^{-1}R\) 与 \(S^{-1}R \to R/I\)。由 \(I\) 的选取， 第一个映射是单射。第二个映射是 \(S^{-1}R \to S^{-1}(R/I) = R/I\)；由于局部化是正合的，其核为 \(S^{-1}I\)。因为 \(S^{-1}I = 0\)，第二个映射也是单射。因此 \(S^{-1}R \cong R/I\)。

引理

设 \(R\) 为环，\(S \subset R\) 为乘法子集。假设映射 \(\Spec(S^{-1}R) \to \Spec(R)\) 的像是闭的。若 \(R\) 是诺特环，或 \(\Spec(R)\) 是诺特拓扑空间，或 \(S\) 作为幺半群是有限生成的，则对某个环 \(R'\)，有 \(R \cong S^{-1}R \times R'\)。