概形上的拓扑

引言

本文说明概形范畴上的各种拓扑。可参阅 [SGA1] 和 [Ner]。在此之前，我们想先指出：对于同一个底层范畴，可以选取许多不同的位点（定义见 Sites, Definition 00VH），而它们给出的层概念相同。因此，我们的选择可能与参考文献略有不同，但最终得到的上同调群等对象是相同的。

一般构造步骤

本节说明构造本文所用位点的一般步骤。设我们希望研究概形上相对于某个拓扑 \(\tau\) 的层。为了得到 Sites, Definition 00VH 意义下配备该拓扑的概形位点，还需要作一些处理。具体而言，我们不能简单地说 “考虑所有概形及其 Zariski 拓扑”，因为这样会得到一个“大”范畴。本章各节将改按如下步骤进行：

定义满足 Sites, Definition 00VH 中各条公理的概形覆盖类 \(\text{Cov}_\tau\)。概形的每个 Zariski 开覆盖都将是一个 \(\tau\)-覆盖。
在仿射概形范畴中指定“标准 \(\tau\)-覆盖”的概念。
定义何谓“绝对”的大 \(\tau\)-位点 \(\Sch_\tau\)。这类位点由适当选取的一组概形和一组覆盖构成。
对 \(\Sch_\tau\) 的任意对象 \(S\)，定义大 \(\tau\)-位点 \((\Sch/S)_\tau\)；当 \(\tau\) 合适时，还定义小¹\(\tau\)-位点 \(S_\tau\)。
此外，利用仿射概形的标准 \(\tau\)-覆盖概念，还可得到位点 \((\textit{Aff}/S)_\tau\)²；其层范畴与 \((\Sch/S)_\tau\) 上的层范畴等价。

上述做法稍显繁琐，因为它并未给出概形的大 \(\tau\)-位点的典范选择，甚至也未给出小 \(\tau\)-位点的典范选择。若愿意忽略集合论方面的困难，则可以使用类来工作，从而得到典范的大位点和小位点……

Zariski 拓扑

定义

设 \(T\) 为概形。\(T\) 的一个Zariski 覆盖是概形态射族 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)，其中每个 \(f_i\) 都是开浸入，并且 \(T = \bigcup f_i(T_i)\)。

这定义了一个覆盖的（真）类。下面证明这一概念满足 Sites, Definition 00VH 的条件。

引理

设 \(T\) 为概形。

若 \(T' \to T\) 是同构，则 \(\{T' \to T\}\) 是 \(T\) 的 Zariski 覆盖。

若 \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) 是 Zariski 覆盖，且对每个 \(i\)， \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\) 是 Zariski 覆盖，则 \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\) 是 Zariski 覆盖。

若 \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) 是 Zariski 覆盖，且 \(T' \to T\) 是概形态射，则 \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\) 是 Zariski 覆盖。

证明

略。

引理

设 \(T\) 为仿射概形，且 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 \(T\) 的 Zariski 覆盖。则存在 Zariski 覆盖 \(\{U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)，它是 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 的一个加细，并且每个 \(U_j\) 都是 \(T\) 的标准开集；见 Schemes, Definition 01HT。此外，可以选取每个 \(U_j\)，使之成为某个 \(T_i\) 的开子概形。

证明

这是因为 \(T\) 拟紧，而标准开集构成其拓扑的一组基。 Schemes, Lemma 01HS 也证明了这一点。

于是，相应的仿射概形标准覆盖定义如下。

定义

比较 Schemes, Definition 01HT。设 \(T\) 为仿射概形。\(T\) 的一个标准 Zariski 覆盖是 Zariski 覆盖 \(\{U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)，其中每个 \(U_j \to T\) 都给出到 \(T\) 的某个标准仿射开子概形的同构。

定义

一个大 Zariski 位点是 Sites, Definition 00VH 意义下按如下方式构造的任一位点 \(\Sch_{Zar}\)：

任取一组概形 \(S_0\)，以及这些概形之间的一组 Zariski 覆盖 \(\text{Cov}_0\)。

取由集合 \(S_0\) 出发、按 Sets, Lemma 000J 构造的任一范畴 \(\Sch_\alpha\)，作为 \(\Sch_{Zar}\) 的底层范畴。

由范畴 \(\Sch_\alpha\)、Zariski 覆盖类以及上述集合 \(\text{Cov}_0\) 出发，按 Sets, Lemma 000X 选取任一组覆盖，作为 \(\Sch_{Zar}\) 的覆盖。

Sites, Lemma 00VY 表明，一旦选定范畴 \(\Sch_\alpha\)，\(\Sch_\alpha\) 上的层范畴便不依赖于上述第 (3) 项中所选的覆盖。换言之，拓扑斯 \(\Sh(\Sch_{Zar})\) 只依赖于范畴 \(\Sch_\alpha\) 的选择。Sets, Lemma 000R 表明，这些范畴对代数几何中的许多构造封闭，例如纤维积以及取开、闭子概形。还可以证明，\(\Sch_\alpha\) 的具体选择并不十分重要；见 Section 022I。

另一种做法是假设存在强不可达基数，并将 \(\Sch_{Zar}\) 定义为某个给定宇宙中所含概形的范畴，而覆盖集则取同一宇宙中所含的 Zariski 覆盖。

在继续引入概形 \(S\) 的大 Zariski 位点之前，先指出：大 Zariski 位点 \(\Sch_{Zar}\) 上的拓扑，在某种意义上由全体概形范畴上的 Zariski 拓扑诱导而来。

引理

设 \(\Sch_{Zar}\) 是 Definition 020S 所述的大 Zariski 位点，\(T \in \Ob(\Sch_{Zar})\)，并设 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 \(T\) 的任意 Zariski 覆盖。则在位点 \(\Sch_{Zar}\) 中存在 \(T\) 的一个覆盖 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\)，它与 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 自明等价（见 Sites, Definition 00VU）。

证明

由于每个 \(T_i \to T\) 都是开浸入，Sets, Lemma 000R 表明，每个 \(T_i\) 都同构于 \(\Sch_{Zar}\) 的某个对象 \(V_i\)。覆盖 \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\) 与 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 自明等价（两个方向都使用 \(I\) 上的恒等映射）。此外，由 Sets, Lemma 000X， \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\) 与位点 \(\Sch_{Zar}\) 中 \(T\) 的某个覆盖 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) 组合等价。

定义

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_{Zar}\) 为包含 \(S\) 的大 Zariski 位点。

\(S\) 的大 Zariski 位点记作 \((\Sch/S)_{Zar}\)，它是 Sites, Section 00XZ 中引入的位点 \(\Sch_{Zar}/S\)。

\(S\) 的小 Zariski 位点记作 \(S_{Zar}\)，它是 \((\Sch/S)_{Zar}\) 的全子范畴，其对象为满足 \(U \to S\) 是开浸入的 \(U/S\)。\(S_{Zar}\) 的覆盖是 \((\Sch/S)_{Zar}\) 中任意满足 \(U \in \Ob(S_{Zar})\) 的覆盖 \(\{U_i \to U\}\)。

\(S\) 的大仿射 Zariski 位点记作 \((\textit{Aff}/S)_{Zar}\)，它是 \((\Sch/S)_{Zar}\) 的全子范畴，由满足 \(U\) 是仿射概形的对象 \(U/S\) 构成。\((\textit{Aff}/S)_{Zar}\) 的覆盖是 \((\Sch/S)_{Zar}\) 中任意满足 \(U \in \Ob((\textit{Aff}/S)_{Zar})\) 且为标准 Zariski 覆盖的 \(\{U_i \to U\}\)。

\(S\) 的小仿射 Zariski 位点记作 \(S_{affine, Zar}\)，它是 \(S_{Zar}\) 的全子范畴，其对象为满足 \(U\) 是仿射概形的 \(U/S\)。 \(S_{affine, Zar}\) 的覆盖是 \(S_{Zar}\) 中任意满足 \(U \in \Ob(S_{affine, Zar})\) 且为标准 Zariski 覆盖的 \(\{U_i \to U\}\)。

小 Zariski 位点、大仿射 Zariski 位点和小仿射 Zariski 位点确实是位点，这一点并非完全显然。下面予以验证。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_{Zar}\) 为包含 \(S\) 的大 Zariski 位点。上述定义的结构 \(S_{Zar}\)、\((\textit{Aff}/S)_{Zar}\) 和 \(S_{affine, Zar}\) 都是位点。

证明

先证明 \(S_{Zar}\) 是位点。它是一个范畴，并配有一组具有固定目标的态射族。因此必须验证 Sites, Definition 00VH 中的性质 (1)、(2)、(3)。由于 \((\Sch/S)_{Zar}\) 是位点，只需证明：对 \((\Sch/S)_{Zar}\) 的任意覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，若 \(U \in \Ob(S_{Zar})\)，则也有 \(U_i \in \Ob(S_{Zar})\)。这由定义立即得到，因为开浸入的复合仍是开浸入。

再证明 \((\textit{Aff}/S)_{Zar}\) 是位点。与上面相同，只需证明仿射概形的标准 Zariski 覆盖族满足 Sites, Definition 00VH 中的性质 (1)、(2)、(3)。设 \(R\) 为环， \(f_1, \ldots, f_n \in R\) 生成单位理想。对每个 \(i \in \{1, \ldots, n\}\)，设 \(g_{i1}, \ldots, g_{in_i} \in R_{f_i}\) 生成 \(R_{f_i}\) 的单位理想。可以写成 \(g_{ij} = f_{ij}/f_i^{e_{ij}}\)。必要时将 \(f_{ij}\) 替换为 \(f_i f_{ij}\)，便有 \(D(f_{ij}) \subset D(f_i) \cong \Spec(R_{f_i})\) 等于 \(D(g_{ij}) \subset \Spec(R_{f_i})\)。因此，态射族 \(\{D(g_{ij}) \to \Spec(R)\}\) 是标准 Zariski 覆盖。由此可知，标准 Zariski 覆盖满足性质 (2)。性质 (1) 和 (3) 的验证从略。

关于 \(S_{affine, Zar}\) 是位点的证明从略。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_{Zar}\) 为包含 \(S\) 的大 Zariski 位点。位点 \(\Sch_{Zar}\)、\((\Sch/S)_{Zar}\)、\(S_{Zar}\)、 \((\textit{Aff}/S)_{Zar}\) 和 \(S_{affine, Zar}\) 的底层范畴都具有纤维积。在每种情形中，到全体概形范畴 \(\Sch\) 的显然函子都与取纤维积相容。范畴 \((\Sch/S)_{Zar}\) 和 \(S_{Zar}\) 都有终对象，即 \(S/S\)。

证明

对 \(\Sch_{Zar}\) 而言，这是构造本身保证的；见 Sets, Lemma 000R。设 \(U \to S\)、\(V \to U\)、\(W \to U\) 为概形态射，且 \(U, V, W \in \Ob(\Sch_{Zar})\)。 \(\Sch_{Zar}\) 中的纤维积 \(V \times_U W\) 也是 \(\Sch\) 中的纤维积，并且在 \(S\) 上全体概形的范畴中，它是 \(V/S\) 与 \(W/S\) 在 \(U/S\) 上的纤维积，因而也是 \((\Sch/S)_{Zar}\) 中的纤维积。这证明了 \((\Sch/S)_{Zar}\) 的结论。若 \(U \to S\)、\(V \to U\) 和 \(W \to U\) 都是开浸入，则 \(V \times_U W \to S\) 也是开浸入，故得到 \(S_{Zar}\) 的结论。若 \(U, V, W\) 都是仿射概形，则 \(V \times_U W\) 也是仿射概形，从而得到 \((\textit{Aff}/S)_{Zar}\) 和 \(S_{affine, Zar}\) 的结论。

下面验证大仿射位点（相应地，小仿射位点）与大位点（相应地，小位点）定义同一个拓扑斯。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_{Zar}\) 为包含 \(S\) 的大 Zariski 位点。函子 \((\textit{Aff}/S)_{Zar} \to (\Sch/S)_{Zar}\) 是特殊余连续函子，因而诱导从 \(\Sh((\textit{Aff}/S)_{Zar})\) 到 \(\Sh((\Sch/S)_{Zar})\) 的拓扑斯等价。

证明

特殊余连续函子的概念见 Sites, Definition 03CG。因此需要验证 Sites, Lemma 03A0 的假设 (1)–(5)。将包含函子记作 \(u : (\textit{Aff}/S)_{Zar} \to (\Sch/S)_{Zar}\)。余连续性恰好意味着：当 \(T\) 仿射时，\(T/S\) 的每个 Zariski 覆盖都可由 \(T\) 的某个标准 Zariski 覆盖加细。这正是 Lemma 020Q 的内容，故 (1) 成立。由于标准 Zariski 覆盖本身就是 Zariski 覆盖，\(u\) 显然连续，故 (2) 成立。(3) 和 (4) 由 \(u\) 全忠实立即得到。最后，每个概形都有仿射开覆盖，所以 (5) 成立。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_{Zar}\) 为包含 \(S\) 的大 Zariski 位点。函子 \(S_{affine, Zar} \to S_{Zar}\) 是特殊余连续函子，因而诱导从 \(\Sh(S_{affine, Zar})\) 到 \(\Sh(S_{Zar})\) 的拓扑斯等价。

证明

略。提示：与 Lemma 020W 的证明比较。

下面验证小 Zariski 位点上的层概念与 \(S\) 上的层概念相对应。

引理

\(S_{Zar}\) 上的层范畴与 \(S\) 的底层拓扑空间上的层范畴等价。

证明

我们将反复使用如下事实：对 \(S_{Zar}\) 的任意对象 \(U/S\)，态射 \(U \to S\) 都给出到某个开子概形的同构。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(S\) 上的层。按规则 \(\mathcal{F}'(U/S) = \mathcal{F}(\Im(U \to S))\) 定义 \(S_{Zar}\) 上的层。反过来，对每个开子概形 \(U \subset S\)，选取对象 \(U'/S \in \Ob(S_{Zar})\)，使得 \(\Im(U' \to S) = U\) （这里要用 Sets, Lemma 000R）。给定 \(S_{Zar}\) 上的层 \(\mathcal{G}\)，令 \(\mathcal{G}'(U) = \mathcal{G}(U'/S)\)，从而定义 \(S\) 上的层。为了说明 \(\mathcal{G}'\) 是层，对任意开覆盖 \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\)，使用 Sets, Lemma 000X 所给出的事实：覆盖 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) 与 \(S_{Zar}\) 中的某个覆盖 \(\{U_j' \to U'\}_{j \in J}\) 组合等价；再使用 Sites, Lemma 00VW。细节从略。

从现在起，我们不再区分 \(S_{Zar}\) 上的层与 \(S\) 上的层；总是使用上述引理证明中的步骤在两个概念之间转换。下面建立这些位点所对应拓扑斯之间的一些关系。

引理

设 \(\Sch_{Zar}\) 为大 Zariski 位点，\(f : T \to S\) 为 \(\Sch_{Zar}\) 中的态射。函子 \(T_{Zar} \to (\Sch/S)_{Zar}\) 余连续，并诱导拓扑斯态射 \[i_f : \Sh(T_{Zar}) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_{Zar})\] 对 \((\Sch/S)_{Zar}\) 上的层 \(\mathcal{G}\)，有公式 \((i_f^{-1}\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\)。函子 \(i_f^{-1}\) 还有左伴随 \(i_{f, !}\)，后者与纤维积和等化子相容。

证明

将该函子记作 \(u : T_{Zar} \to (\Sch/S)_{Zar}\)。换言之，给定与 \(T_{Zar}\) 的某个对象对应的开浸入 \(j : U \to T\)，令 \(u(U \to T) = (f \circ j : U \to S)\)。由 Lemma 020V，该函子与纤维积相容。此外，\(T_{Zar}\) 有等化子（因为具有相同源和目标的任意两个态射都相同），且 \(u\) 与等化子相容。它显然余连续。由于 \(u\) 将覆盖变为覆盖并与纤维积相容，它也连续。因此结论由 Sites, Lemmas 00XR 和 00XS 得到。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_{Zar}\) 为包含 \(S\) 的大 Zariski 位点。包含函子 \(S_{Zar} \to (\Sch/S)_{Zar}\) 满足 Sites, Lemma 00XU 的假设，因而诱导位点态射 \[\pi_S : (\Sch/S)_{Zar} \longrightarrow S_{Zar}\] 以及拓扑斯态射 \[i_S : \Sh(S_{Zar}) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_{Zar})\] 并且 \(\pi_S \circ i_S = \text{id}\)。此外，\(i_S = i_{\text{id}_S}\)，其中 \(i_{\text{id}_S}\) 如 Lemma 020Y 所述。特别地，函子 \(i_S^{-1} = \pi_{S, *}\) 由规则 \(i_S^{-1}(\mathcal{G})(U/S) = \mathcal{G}(U/S)\) 描述。

证明

在此情形下，函子 \(u : S_{Zar} \to (\Sch/S)_{Zar}\) 除了具有上述 Lemma 020Y 证明中所见的性质外，还是全忠实的，并将终对象变为终对象。引理随即成立。

定义

在 Lemma 020Z 的情形中，函子 \(i_S^{-1} = \pi_{S, *}\) 常称为到小 Zariski 位点的限制。对大 Zariski 位点上的层 \(\mathcal{F}\)，将这一限制记作 \(\mathcal{F}|_{S_{Zar}}\)。

采用这一记号，对大位点上的层 \(\mathcal{F}\) 和小位点上的层 \(\mathcal{G}\)，有 \[\begin{align*} \Mor_{\Sh(S_{Zar})}(\mathcal{F}|_{S_{Zar}}, \mathcal{G}) & = \Mor_{\Sh((\Sch/S)_{Zar})}(\mathcal{F}, i_{S, *}\mathcal{G}) \\ \Mor_{\Sh(S_{Zar})}(\mathcal{G}, \mathcal{F}|_{S_{Zar}}) & = \Mor_{\Sh((\Sch/S)_{Zar})}(\pi_S^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) \end{align*}\] 此外，有 \((i_{S, *}\mathcal{G})|_{S_{Zar}} = \mathcal{G}\) 以及 \((\pi_S^{-1}\mathcal{G})|_{S_{Zar}} = \mathcal{G}\)。

引理

设 \(\Sch_{Zar}\) 为大 Zariski 位点，\(f : T \to S\) 为 \(\Sch_{Zar}\) 中的态射。函子 \[u : (\Sch/T)_{Zar} \longrightarrow (\Sch/S)_{Zar}, \quad V/T \longmapsto V/S\] 余连续，并具有连续的右伴随 \[v : (\Sch/S)_{Zar} \longrightarrow (\Sch/T)_{Zar}, \quad (U \to S) \longmapsto (U \times_S T \to T).\] 二者诱导同一个拓扑斯态射 \[f_{big} : \Sh((\Sch/T)_{Zar}) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_{Zar})\] 有 \(f_{big}^{-1}(\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\)，以及 \(f_{big, *}(\mathcal{F})(U/S) = \mathcal{F}(U \times_S T/T)\)。此外，\(f_{big}^{-1}\) 有左伴随 \(f_{big!}\)，它与纤维积和等化子相容。

证明

函子 \(u\) 余连续、连续，并与纤维积和等化子相容（细节从略；比较 Lemma 020Y 的证明）。因此可以应用 Sites, Lemmas 00XR 和 00XS，从而得到 \(f_{big}^{-1}\) 的公式以及 \(f_{big!}\) 的存在性。此外，函子 \(v\) 是右伴随，因为给定 \(U/T\) 和 \(V/S\)，恰有 \(\Mor_S(u(U), V) = \Mor_T(U, V \times_S T)\)。于是可应用 Sites, Lemmas 00XX 和 00XY，得到 \(f_{big, *}\) 的公式。

引理

设 \(\Sch_{Zar}\) 为大 Zariski 位点，\(f : T \to S\) 为 \(\Sch_{Zar}\) 中的态射。

有 \(i_f = f_{big} \circ i_T\)，其中 \(i_f\) 如 Lemma 020Y 所述，\(i_T\) 如 Lemma 020Z 所述。

函子 \(S_{Zar} \to T_{Zar}\)， \((U \to S) \mapsto (U \times_S T \to T)\)，是连续的，并诱导位点态射 \[f_{small} : T_{Zar} \longrightarrow S_{Zar}\] 若通过 Lemma 020X 将 \(T_{Zar}\)（相应地， \(S_{Zar}\)）上的层与 \(T\)（相应地，\(S\)）上的层等同，则函子 \(f_{small}^{-1}\) 和 \(f_{small, *}\) 分别与通常的 \(f^{-1}\) 和 \(f_*\) 一致。

有如下位点态射的交换图 \[\xymatrix{ T_{Zar} \ar[d]_{f_{small}} & (\Sch/T)_{Zar} \ar[d]^{f_{big}} \ar[l]^{\pi_T} \\ S_{Zar} & (\Sch/S)_{Zar} \ar[l]_{\pi_S} }\] 因而作为拓扑斯态射， \(f_{small} \circ \pi_T = \pi_S \circ f_{big}\)。

有 \(f_{small} = \pi_S \circ f_{big} \circ i_T = \pi_S \circ i_f\)。

证明

等式 \(i_f = f_{big} \circ i_T\) 由等式 \(i_f^{-1} = i_T^{-1} \circ f_{big}^{-1}\) 得到；后者由上述函子描述显然成立。这证明了 (1)。

关于 (2)，见 Sites, Example 00X2。

(3) 成立，因为 \(\pi_S\) 和 \(\pi_T\) 由包含函子给出，而 \(f_{small}\) 和 \(f_{big}\) 由基变换函子 \(U \mapsto U \times_S T\) 给出。

(4) 由 (3) 两边预复合 \(i_T\) 得到。

在该引理的情形中，采用 Definition 04BS 的术语，对 \(T\) 的大 Zariski 位点上的层 \(\mathcal{F}\)，有 \[(f_{big, *}\mathcal{F})|_{S_{Zar}} = f_{small, *}(\mathcal{F}|_{T_{Zar}}),\] 该等式由引理中的位点图交换立即得到，因为到 \(T\)（相应地，\(S\)）的小 Zariski 位点的限制由 \(\pi_{T, *}\)（相应地，\(\pi_{S, *}\)）给出。涉及拉回与限制的类似公式并不成立。

引理

给定 \((\Sch/S)_{Zar}\) 中的概形 \(X\)、\(Y\)、\(Z\) 以及态射 \(f : X \to Y\)、\(g : Y \to Z\)，有 \(g_{big} \circ f_{big} = (g \circ f)_{big}\) and \(g_{small} \circ f_{small} = (g \circ f)_{small}\).

证明

对大位点上的函子，这由 Lemma 0210 中推前与拉回的简单描述得到。对小位点上的函子，这是 Sheaves, Lemma 008E，其中使用了 Lemma 020X 的等同。

引理

设 \(\Sch_{Zar}\) 为大 Zariski 位点。考虑 \(\Sch_{Zar}\) 中的笛卡儿图 \[\xymatrix{ T' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & T \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] 则 \(i_g^{-1} \circ f_{big, *} = f'_{small, *} \circ (i_{g'})^{-1}\) and \(g_{big}^{-1} \circ f_{big, *} = f'_{big, *} \circ (g'_{big})^{-1}\).

证明

由于该图是笛卡儿图，对 \(U'/S'\) 有 \(U' \times_{S'} T' = U' \times_S T\)。因此， \(i_g^{-1} \circ f_{big, *}\) 和 \(f'_{small, *} \circ (i_{g'})^{-1}\) 都将 \((\Sch/T)_{Zar}\) 上的层 \(\mathcal{F}\) 送到 \(S'_{Zar}\) 上的层 \(U' \mapsto \mathcal{F}(U' \times_{S'} T')\) （使用 Lemmas 020Y 和 0211）。第二个等式可用同样方法证明，也可由更一般的 Sites, Lemma 03CF 推出。

可以把 \(S\) 的大 Zariski 位点上的一个层看成：在所有 \(S\) 上概形上的一族“通常”层。

引理

设 \(S\) 是大 Zariski 位点 \(\Sch_{Zar}\) 中的概形。大 Zariski 位点 \((\Sch/S)_{Zar}\) 上的层 \(\mathcal{F}\) 由如下数据给出：

对每个 \(T/S \in \Ob((\Sch/S)_{Zar})\)，给定 \(T\) 上的层 \(\mathcal{F}_T\)；

对 \((\Sch/S)_{Zar}\) 中的每个 \(f : T' \to T\)，给定映射 \(c_f : f^{-1}\mathcal{F}_T \to \mathcal{F}_{T'}\)。

这些数据满足如下条件：

对 \((\Sch/S)_{Zar}\) 中任意的 \(f : T' \to T\) 和 \(g : T'' \to T'\)，复合 \(c_g \circ g^{-1}c_f\) 等于 \(c_{f \circ g}\)；

若 \((\Sch/S)_{Zar}\) 中的 \(f : T' \to T\) 是开浸入，则 \(c_f\) 是同构。

证明

该引理由 Sites, Remark 0GWL 中讨论的一个纯层论命题得到。这里也给出直接证明。

给定 \(\Sh((\Sch/S)_{Zar})\) 上的层 \(\mathcal{F}\)，令 \(\mathcal{F}_T = i_p^{-1}\mathcal{F}\)，其中 \(p : T \to S\) 是结构态射。注意，对任意开集 \(U \subset T\) 以及 \((\Sch/T)_{Zar}\) 中像为 \(U\) 的开浸入 \(U' \to T\)，有 \(\mathcal{F}_T(U) = \mathcal{F}(U'/S)\)；见 Lemmas 020X 和 020Y。因此，给定 \(S\) 上的 \(f : T' \to T\) 以及 \(U, U' \to T\)，得到典范映射 \(\mathcal{F}_T(U) = \mathcal{F}(U'/S) \to \mathcal{F}(U'\times_T T'/S) = \mathcal{F}_{T'}(f^{-1}(U))\)。其中间的箭头是 \(\mathcal{F}\) 关于 \(S\) 上态射 \(U' \times_T T' \to U'\) 的限制映射。这些映射与限制相容，因而定义从 \(\mathcal{F}_T\) 到 \(\mathcal{F}_{T'}\) 的 \(f\)-映射 \(c_f\)；见 Sheaves, Definition 008J 及其附近的讨论。显然，\(c_{f \circ g}\) 是 \(c_f\) 与 \(c_g\) 的复合，因为 \(\mathcal{F}\) 的限制映射的复合仍是限制映射。

反过来，给定引理所述的系统 \((\mathcal{F}_T, c_f)\)，只需令 \(\mathcal{F}(T/S) = \mathcal{F}_T(T)\)，便可在 \(\Sh((\Sch/S)_{Zar})\) 上定义预层 \(\mathcal{F}\)。对于限制映射，给定 \(f : T' \to T\) 和 \(s \in \mathcal{F}(T)\)，令拉回 \(f^*(s)\) 等于 \(c_f(s)\)（这里仍把 \(c_f\) 看作一个 \(f\)-映射）。关于 \(c_f\) 的条件保证拉回满足所需的函子性。关于它是层的验证从略。显然，这样定义的两个构造互为逆构造。

平展拓扑

设 \(S\) 为概形。我们希望在 \(S\) 上概形的范畴上定义平展拓扑。按照前述一般原则，先引入平展覆盖的概念。

定义

设 \(T\) 为概形。\(T\) 的一个平展覆盖是概形态射族 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)，其中每个 \(f_i\) 都是平展的，并且 \(T = \bigcup f_i(T_i)\)。

引理

任意 Zariski 覆盖都是平展覆盖。

证明

这由定义以及开浸入是平展态射这一事实立即得到；见 Morphisms, Lemma 02GP。

下面证明这一概念满足 Sites, Definition 00VH 的条件。

引理

设 \(T\) 为概形。

若 \(T' \to T\) 是同构，则 \(\{T' \to T\}\) 是 \(T\) 的平展覆盖。

若 \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) 是平展覆盖，且对每个 \(i\)， \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\) 是平展覆盖，则 \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\) 是平展覆盖。

若 \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) 是平展覆盖，且 \(T' \to T\) 是概形态射，则 \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\) 是平展覆盖。

证明

略。

引理

设 \(T\) 为仿射概形，\(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 \(T\) 的平展覆盖。则存在平展覆盖 \(\{U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)，它是 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 的一个加细，并且每个 \(U_j\) 都是仿射概形。此外，可以选取每个 \(U_j\)，使之成为某个 \(T_i\) 中的仿射开子概形。

证明

略。

于是，相应的仿射概形标准覆盖定义如下。

定义

设 \(T\) 为仿射概形。\(T\) 的一个标准平展覆盖是态射族 \(\{f_j : U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)，其中每个 \(U_j\) 都是 \(T\) 上的平展仿射概形，并且 \(T = \bigcup f_j(U_j)\)。

在上述定义中，我们不假设态射 \(f_j\) 是标准平展态射。原因在于，若作此假设，标准平展覆盖便不能在 \(\textit{Aff}/S\) 上定义位点；例如可参见 Algebra, Lemma 00UC 的第 (4) 项。另一方面，仿射概形之间的平展态射自动是标准光滑态射；见 Algebra, Lemma 00U9。因此，标准平展覆盖既是标准光滑覆盖，也是标准 syntomic 覆盖。

定义

一个大平展位点是 Sites, Definition 00VH 意义下按如下方式构造的任一位点 \(\Sch_\etale\)：

任取一组概形 \(S_0\)，以及这些概形之间的一组平展覆盖 \(\text{Cov}_0\)。

取由集合 \(S_0\) 出发、按 Sets, Lemma 000J 构造的任一范畴 \(\Sch_\alpha\) 作为底层范畴。

由范畴 \(\Sch_\alpha\)、平展覆盖类以及上述集合 \(\text{Cov}_0\) 出发，按 Sets, Lemma 000X 选取任一组覆盖。

关于大位点定义的动机和解释，见 Definition 020S 后面的评注。

在继续引入概形 \(S\) 的大平展位点之前，先指出：大平展位点 \(\Sch_\etale\) 上的拓扑，在某种意义上由全体概形范畴上的平展拓扑诱导而来。

引理

设 \(\Sch_\etale\) 是 Definition 021A 所述的大平展位点，\(T \in \Ob(\Sch_\etale)\)，并设 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 \(T\) 的任意平展覆盖。

位点 \(\Sch_\etale\) 中存在 \(T\) 的覆盖 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\)，它加细 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)。

若 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是标准平展覆盖，则它与 \(\Sch_\etale\) 中的某个覆盖自明等价。

若 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 Zariski 覆盖，则它与 \(\Sch_\etale\) 中的某个覆盖自明等价。

证明

对每个 \(i\)，选取仿射开覆盖 \(T_i = \bigcup_{j \in J_i} T_{ij}\)，使每个 \(T_{ij}\) 都映入 \(T\) 的某个仿射开子概形。由 Lemma 0217，其加细 \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j \in J_i}\) 仍是 \(T\) 的平展覆盖。因此可以假设每个 \(T_i\) 都是仿射的，并映入 \(T\) 的某个仿射开集 \(W_i\)。应用 Sets, Lemma 000R 可知，\(W_i\) 同构于 \(\Sch_\etale\) 的某个对象。于是再次应用 Sets, Lemma 000R，作为 \(W_i\) 上有限型概形的 \(T_i\) 同构于 \(\Sch_\etale\) 的某个对象 \(V_i\)。覆盖 \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\) 加细 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) （因为对应对象彼此同构）。此外，由 Sets, Lemma 000R，\(\{V_i \to T\}_{i \in I}\) 与位点 \(\Sch_\etale\) 中 \(T\) 的某个覆盖 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) 组合等价。覆盖 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) 正是 (1) 所需的加细。在 (2)、(3) 的情形中，由 Sets, Lemma 000R，每个 \(T_i\) 都同构于 \(\Sch_\etale\) 的某个对象；再应用 Sets, Lemma 000X 即得所需结论。

定义

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_\etale\) 为包含 \(S\) 的大平展位点。

\(S\) 的大平展位点记作 \((\Sch/S)_\etale\)，它是 Sites, Section 00XZ 中引入的位点 \(\Sch_\etale/S\)。

\(S\) 的小平展位点记作 \(S_\etale\)，它是 \((\Sch/S)_\etale\) 的全子范畴，其对象为满足 \(U \to S\) 平展的 \(U/S\)。 \(S_\etale\) 的覆盖是 \((\Sch/S)_\etale\) 中任意满足 \(U \in \Ob(S_\etale)\) 的覆盖 \(\{U_i \to U\}\)。

\(S\) 的大仿射平展位点记作 \((\textit{Aff}/S)_\etale\)，它是 \((\Sch/S)_\etale\) 的全子范畴，其对象为满足 \(U\) 是仿射概形的 \(U/S\)。\((\textit{Aff}/S)_\etale\) 的覆盖是 \((\Sch/S)_\etale\) 中任意满足 \(U \in \Ob((\textit{Aff}/S)_\etale)\) 且为标准平展覆盖的 \(\{U_i \to U\}\)。

\(S\) 的小仿射平展位点记作 \(S_{affine, \etale}\)，它是 \(S_\etale\) 的全子范畴，其对象为满足 \(U\) 是仿射概形的 \(U/S\)。 \(S_{affine, \etale}\) 的覆盖是 \(S_\etale\) 中任意满足 \(U \in \Ob(S_{affine, \etale})\) 且为标准平展覆盖的 \(\{U_i \to U\}\)。

大仿射平展位点、小平展位点和小仿射平展位点确实是位点，这一点并非完全显然。下面予以验证。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_\etale\) 为包含 \(S\) 的大平展位点。结构 \(S_\etale\)、\((\textit{Aff}/S)_\etale\) 和 \(S_{affine, \etale}\) 都是位点。

证明

先证明 \(S_\etale\) 是位点。它是一个范畴，并配有一组具有固定目标的态射族。因此必须验证 Sites, Definition 00VH 中的性质 (1)、(2)、(3)。由于 \((\Sch/S)_\etale\) 是位点，只需证明：对 \((\Sch/S)_\etale\) 的任意覆盖 \(\{U_i \to U\}\)，若 \(U \in \Ob(S_\etale)\)，则也有 \(U_i \in \Ob(S_\etale)\)。这由定义立即得到，因为平展态射的复合仍是平展态射。

再证明 \((\textit{Aff}/S)_\etale\) 是位点。与上面相同，只需证明仿射概形的标准平展覆盖族满足 Sites, Definition 00VH 中的性质 (1)、(2)、(3)。这是显然的。例如，给定标准平展覆盖 \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\)，且对每个 \(i\)， \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\) 是标准平展覆盖，则 \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\) 是标准平展覆盖，因为 \(\bigcup_{i\in I} J_i\) 有限且每个 \(T_{ij}\) 都是仿射的。

关于 \(S_{affine, \etale}\) 是位点的证明从略。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_\etale\) 为包含 \(S\) 的大平展位点。位点 \(\Sch_\etale\)、\((\Sch/S)_\etale\)、\(S_\etale\)、 \((\textit{Aff}/S)_\etale\) 和 \(S_{affine, \etale}\) 的底层范畴都具有纤维积。在每种情形中，到全体概形范畴 \(\Sch\) 的显然函子都与取纤维积相容。范畴 \((\Sch/S)_\etale\) 和 \(S_\etale\) 都有终对象，即 \(S/S\)。

证明

对 \(\Sch_\etale\) 而言，这是构造本身保证的；见 Sets, Lemma 000R。设 \(U \to S\)、\(V \to U\)、\(W \to U\) 为概形态射，且 \(U, V, W \in \Ob(\Sch_\etale)\)。 \(\Sch_\etale\) 中的纤维积 \(V \times_U W\) 也是 \(\Sch\) 中的纤维积，并且在 \(S\) 上全体概形的范畴中，它是 \(V/S\) 与 \(W/S\) 在 \(U/S\) 上的纤维积，因而也是 \((\Sch/S)_\etale\) 中的纤维积。这证明了 \((\Sch/S)_\etale\) 的结论。若 \(U \to S\)、\(V \to U\) 和 \(W \to U\) 都平展，则 \(V \times_U W \to S\) 也平展，故得到 \(S_\etale\) 的结论。若 \(U, V, W\) 都仿射，则 \(V \times_U W\) 也仿射，从而得到 \((\textit{Aff}/S)_\etale\) 和 \(S_{affine, \etale}\) 的结论。

下面验证大仿射位点（相应地，小仿射位点）与大位点（相应地，小位点）定义同一个拓扑斯。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_\etale\) 为包含 \(S\) 的大平展位点。函子 \((\textit{Aff}/S)_\etale \to (\Sch/S)_\etale\) 特殊余连续，并诱导从 \(\Sh((\textit{Aff}/S)_\etale)\) 到 \(\Sh((\Sch/S)_\etale)\) 的拓扑斯等价。

证明

特殊余连续函子的概念见 Sites, Definition 03CG。因此需要验证 Sites, Lemma 03A0 的假设 (1)–(5)。将包含函子记作 \(u : (\textit{Aff}/S)_\etale \to (\Sch/S)_\etale\)。余连续性恰好意味着：当 \(T\) 仿射时，\(T/S\) 的每个平展覆盖都可由 \(T\) 的某个标准平展覆盖加细。这正是 Lemma 0218 的内容，故 (1) 成立。由于标准平展覆盖本身就是平展覆盖，\(u\) 显然连续，故 (2) 成立。(3) 和 (4) 由 \(u\) 全忠实立即得到。最后，每个概形都有仿射开覆盖，所以 (5) 成立。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_\etale\) 为包含 \(S\) 的大平展位点。函子 \(S_{affine, \etale} \to S_\etale\) 特殊余连续，并诱导从 \(\Sh(S_{affine, \etale})\) 到 \(\Sh(S_\etale)\) 的拓扑斯等价。

证明

略。提示：与 Lemma 021E 的证明比较。

下面建立这些位点所对应拓扑斯之间的一些关系。

引理

设 \(\Sch_\etale\) 为大平展位点，\(f : T \to S\) 为 \(\Sch_\etale\) 中的态射。函子 \(T_\etale \to (\Sch/S)_\etale\) 余连续，并诱导拓扑斯态射 \[i_f : \Sh(T_\etale) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_\etale)\] 对 \((\Sch/S)_\etale\) 上的层 \(\mathcal{G}\)，有公式 \((i_f^{-1}\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\)。函子 \(i_f^{-1}\) 还有左伴随 \(i_{f, !}\)，后者与纤维积和等化子相容。

证明

将该函子记作 \(u : T_\etale \to (\Sch/S)_\etale\)。换言之，给定与 \(T_\etale\) 的某个对象对应的平展态射 \(j : U \to T\)，令 \(u(U \to T) = (f \circ j : U \to S)\)。由 Lemma 021D，该函子与纤维积相容。设 \(a, b : U \to V\) 是 \(T_\etale\) 中的两个态射。此时，\(a\) 与 \(b\) 在概形范畴中的等化子为 \[V \times_{\Delta_{V/T}, V \times_T V, (a, b)} U\] 它是 \(T\) 上平展概形的纤维积，因而仍在 \(T\) 上平展。因此 \(T_\etale\) 有等化子，且 \(u\) 与等化子相容。它显然余连续。由于 \(u\) 将覆盖变为覆盖并与纤维积相容，它也连续。因此引理由 Sites, Lemmas 00XR 和 00XS 得到。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_\etale\) 为包含 \(S\) 的大平展位点。包含函子 \(S_\etale \to (\Sch/S)_\etale\) 满足 Sites, Lemma 00XU 的假设，因而诱导位点态射 \[\pi_S : (\Sch/S)_\etale \longrightarrow S_\etale\] 以及拓扑斯态射 \[i_S : \Sh(S_\etale) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_\etale)\] 并且 \(\pi_S \circ i_S = \text{id}\)。此外，\(i_S = i_{\text{id}_S}\)，其中 \(i_{\text{id}_S}\) 如 Lemma 021F 所述。特别地，函子 \(i_S^{-1} = \pi_{S, *}\) 由规则 \(i_S^{-1}(\mathcal{G})(U/S) = \mathcal{G}(U/S)\) 描述。

证明

在此情形下，函子 \(u : S_\etale \to (\Sch/S)_\etale\) 除了具有上述 Lemma 021F 证明中所见的性质外，还是全忠实的，并将终对象变为终对象。结论由 Sites, Lemma 00XU 得到。

定义

在 Lemma 021G 的情形中，函子 \(i_S^{-1} = \pi_{S, *}\) 常称为到小平展位点的限制。对大平展位点上的层 \(\mathcal{F}\)，将这一限制记作 \(\mathcal{F}|_{S_\etale}\)。

采用这一记号，对大位点上的层 \(\mathcal{F}\) 和小位点上的层 \(\mathcal{G}\)，有 \[\begin{align*} \Mor_{\Sh(S_\etale)}( \mathcal{F}|_{S_\etale}, \mathcal{G}) & = \Mor_{\Sh((\Sch/S)_\etale)}( \mathcal{F}, i_{S, *}\mathcal{G}) \\ \Mor_{\Sh(S_\etale)}( \mathcal{G}, \mathcal{F}|_{S_\etale}) & = \Mor_{\Sh((\Sch/S)_\etale)}( \pi_S^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) \end{align*}\] 此外，有 \((i_{S, *}\mathcal{G})|_{S_\etale} = \mathcal{G}\) 以及 \((\pi_S^{-1}\mathcal{G})|_{S_\etale} = \mathcal{G}\)。

引理

设 \(\Sch_\etale\) 为大平展位点，\(f : T \to S\) 为 \(\Sch_\etale\) 中的态射。函子 \[u : (\Sch/T)_\etale \longrightarrow (\Sch/S)_\etale, \quad V/T \longmapsto V/S\] 余连续，并具有连续的右伴随 \[v : (\Sch/S)_\etale \longrightarrow (\Sch/T)_\etale, \quad (U \to S) \longmapsto (U \times_S T \to T).\] 二者诱导同一个拓扑斯态射 \[f_{big} : \Sh((\Sch/T)_\etale) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_\etale)\] 有 \(f_{big}^{-1}(\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\)，以及 \(f_{big, *}(\mathcal{F})(U/S) = \mathcal{F}(U \times_S T/T)\)。此外，\(f_{big}^{-1}\) 有左伴随 \(f_{big!}\)，它与纤维积和等化子相容。

证明

函子 \(u\) 余连续、连续，并与纤维积和等化子相容（细节从略；比较 Lemma 021F 的证明）。因此可以应用 Sites, Lemmas 00XR 和 00XS，从而得到 \(f_{big}^{-1}\) 的公式以及 \(f_{big!}\) 的存在性。此外，函子 \(v\) 是右伴随，因为给定 \(U/T\) 和 \(V/S\)，恰有 \(\Mor_S(u(U), V) = \Mor_T(U, V \times_S T)\)。于是可应用 Sites, Lemmas 00XX 和 00XY，得到 \(f_{big, *}\) 的公式。

引理

设 \(\Sch_\etale\) 为大平展位点，\(f : T \to S\) 为 \(\Sch_\etale\) 中的态射。

有 \(i_f = f_{big} \circ i_T\)，其中 \(i_f\) 如 Lemma 021F 所述，\(i_T\) 如 Lemma 021G 所述。

函子 \(S_\etale \to T_\etale\)， \((U \to S) \mapsto (U \times_S T \to T)\)，是连续的，并诱导位点态射 \[f_{small} : T_\etale \longrightarrow S_\etale\] 有 \(f_{small, *}(\mathcal{F})(U/S) = \mathcal{F}(U \times_S T/T)\)。

有如下位点态射的交换图 \[\xymatrix{ T_\etale \ar[d]_{f_{small}} & (\Sch/T)_\etale \ar[d]^{f_{big}} \ar[l]^{\pi_T}\\ S_\etale & (\Sch/S)_\etale \ar[l]_{\pi_S} }\] 因而作为拓扑斯态射， \(f_{small} \circ \pi_T = \pi_S \circ f_{big}\)。

有 \(f_{small} = \pi_S \circ f_{big} \circ i_T = \pi_S \circ i_f\)。

证明

等式 \(i_f = f_{big} \circ i_T\) 由等式 \(i_f^{-1} = i_T^{-1} \circ f_{big}^{-1}\) 得到；后者由上述函子描述显然成立。这证明了 (1)。

函子 \(u : S_\etale \to T_\etale\)，\(u(U \to S) = (U \times_S T \to T)\)，将覆盖变为覆盖，并与纤维积相容；见 Lemma 0217 (3) 和 021D。此外，\(S_\etale\) 和 \(T_\etale\) 分别有终对象 \(S/S\) 和 \(T/T\)，且 \(u(S/S) = T/T\)。因此由 Sites, Proposition 00X6，函子 \(u\) 对应于位点态射 \(T_\etale \to S_\etale\)，后者又给出拓扑斯态射；见 Sites, Lemma 00XC。推前的描述由这些参考结果立即得到。

(3) 成立，因为 \(\pi_S\) 和 \(\pi_T\) 由包含函子给出，而 \(f_{small}\) 和 \(f_{big}\) 由基变换函子 \(U \mapsto U \times_S T\) 给出。

(4) 由 (3) 两边预复合 \(i_T\) 得到。

在该引理的情形中，采用 Definition 04BT 的术语，对 \(T\) 的大平展位点上的层 \(\mathcal{F}\)，有 \[(f_{big, *}\mathcal{F})|_{S_\etale} = f_{small, *}(\mathcal{F}|_{T_\etale}),\] 该等式由引理中的位点图交换立即得到，因为到 \(T\)（相应地，\(S\)）的小平展位点的限制由 \(\pi_{T, *}\)（相应地，\(\pi_{S, *}\)）给出。涉及拉回与限制的类似公式并不成立。

引理

给定 \(\Sch_\etale\) 中的概形 \(X\)、\(Y\)、\(Y\) 以及态射 \(f : X \to Y\)、\(g : Y \to Z\)，有 \(g_{big} \circ f_{big} = (g \circ f)_{big}\) and \(g_{small} \circ f_{small} = (g \circ f)_{small}\).

证明

对大位点上的函子，这由 Lemma 021H 中推前与拉回的简单描述得到。对小位点上的函子，这由 Lemma 021I 中推前函子的描述得到。

引理

设 \(\Sch_\etale\) 为大平展位点。考虑 \(\Sch_\etale\) 中的笛卡儿图 \[\xymatrix{ T' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & T \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] 则 \(i_g^{-1} \circ f_{big, *} = f'_{small, *} \circ (i_{g'})^{-1}\) and \(g_{big}^{-1} \circ f_{big, *} = f'_{big, *} \circ (g'_{big})^{-1}\).

证明

由于该图是笛卡儿图，对 \(U'/S'\) 有 \(U' \times_{S'} T' = U' \times_S T\)。因此， \(i_g^{-1} \circ f_{big, *}\) 和 \(f'_{small, *} \circ (i_{g'})^{-1}\) 都将 \((\Sch/T)_\etale\) 上的层 \(\mathcal{F}\) 送到 \(S'_\etale\) 上的层 \(U' \mapsto \mathcal{F}(U' \times_{S'} T')\) （使用 Lemmas 021F 和 021H）。第二个等式可用同样方法证明，也可由更一般的 Sites, Lemma 03CF 推出。

可以把 \(S\) 的大平展位点上的一个层看成：在所有 \(S\) 上概形上的一族“通常”层。

引理

设 \(S\) 是大平展位点 \(\Sch_\etale\) 中的概形。大平展位点 \((\Sch/S)_\etale\) 上的层 \(\mathcal{F}\) 由如下数据给出：

对每个 \(T/S \in \Ob((\Sch/S)_\etale)\)，给定 \(T_\etale\) 上的层 \(\mathcal{F}_T\)；

对 \((\Sch/S)_\etale\) 中的每个 \(f : T' \to T\)，给定映射 \(c_f : f_{small}^{-1}\mathcal{F}_T \to \mathcal{F}_{T'}\)。

这些数据满足如下条件：

对 \((\Sch/S)_\etale\) 中任意的 \(f : T' \to T\) 和 \(g : T'' \to T'\)，复合 \(c_g \circ g_{small}^{-1}c_f\) 等于 \(c_{f \circ g}\)；

若 \((\Sch/S)_\etale\) 中的 \(f : T' \to T\) 平展，则 \(c_f\) 是同构。

证明

该引理由 Sites, Remark 0GWL 中讨论的一个纯层论命题得到。这里也给出直接证明。

给定 \(\Sh((\Sch/S)_\etale)\) 上的层 \(\mathcal{F}\)，令 \(\mathcal{F}_T = i_p^{-1}\mathcal{F}\)，其中 \(p : T \to S\) 是结构态射。注意，对 \(T_\etale\) 中任意的 \(U \to T\)，有 \(\mathcal{F}_T(U) = \mathcal{F}(U/S)\)；见 Lemma 021F。因此，给定 \(S\) 上的 \(f : T' \to T\) 以及 \(U \to T\)，得到典范映射 \(\mathcal{F}_T(U) = \mathcal{F}(U/S) \to \mathcal{F}(U \times_T T'/S) = \mathcal{F}_{T'}(U \times_T T')\)。其中间的箭头是 \(\mathcal{F}\) 关于 \(S\) 上态射 \(U \times_T T' \to U\) 的限制映射。这些映射与限制相容，因而定义映射 \(c'_f : \mathcal{F}_T \to f_{small, *}\mathcal{F}_{T'}\)，其中 \(u : T_\etale \to T'_\etale\) 是与 \(f\) 相关的基变换函子。由 \(f_{small, *}\) 与 \(f_{small}^{-1}\) 的伴随关系（见 Sites, Section 00WU），这等价于映射 \(c_f : f_{small}^{-1}\mathcal{F}_T \to \mathcal{F}_{T'}\)。显然，\(c'_{f \circ g}\) 是 \(c'_f\) 与 \(f_{small, *}c'_g\) 的复合，因为 \(\mathcal{F}\) 的限制映射的复合仍是限制映射；这给出了 \(c_f\)、\(c_g\) 与 \(c_{f \circ g}\) 之间所需的关系。

反过来，给定引理所述的系统 \((\mathcal{F}_T, c_f)\)，只需令 \(\mathcal{F}(T/S) = \mathcal{F}_T(T)\)，便可在 \(\Sh((\Sch/S)_\etale)\) 上定义预层 \(\mathcal{F}\)。对于限制映射，给定 \(f : T' \to T\) 和 \(s \in \mathcal{F}(T)\)，令拉回 \(f^*(s)\) 等于 \(c_f(s)\)（这里仍把 \(c_f\) 看作映射 \(\mathcal{F}_T \to f_{small, *}\mathcal{F}_{T'}\)）。关于 \(c_f\) 的条件保证拉回满足所需的函子性。关于它是层的验证从略。显然，这样定义的两个构造互为逆构造。

光滑拓扑

本节定义光滑拓扑。这多少有些多余，因为以后会看到（见 More on Morphisms, Section 055S），这一拓扑与平展拓扑定义同一个拓扑斯。不过，这一定义仍然合理，并且偶尔会用到。

定义

设 \(T\) 为概形。\(T\) 的一个光滑覆盖是概形态射族 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)，其中每个 \(f_i\) 都是光滑的，并且 \(T = \bigcup f_i(T_i)\)。

引理

任意平展覆盖都是光滑覆盖；因此，任意 Zariski 覆盖更是光滑覆盖。

证明

这由定义、平展态射是光滑态射这一事实（见 Morphisms, Definition 02GI）以及 Lemma 0216 立即得到。

下面证明这一概念满足 Sites, Definition 00VH 的条件。

引理

设 \(T\) 为概形。

若 \(T' \to T\) 是同构，则 \(\{T' \to T\}\) 是 \(T\) 的光滑覆盖。

若 \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) 是光滑覆盖，且对每个 \(i\)， \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\) 是光滑覆盖，则 \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\) 是光滑覆盖。

若 \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) 是光滑覆盖，且 \(T' \to T\) 是概形态射，则 \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\) 是光滑覆盖。

证明

略。

引理

设 \(T\) 为仿射概形，\(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 \(T\) 的光滑覆盖。则存在光滑覆盖 \(\{U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)，它是 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 的一个加细，每个 \(U_j\) 都是仿射概形，而且每个态射 \(U_j \to T\) 都是标准光滑态射；见 Morphisms, Definition 01V5。此外，可以选取每个 \(U_j\)，使之成为某个 \(T_i\) 中的仿射开子概形。

证明

略；但可参见 Algebra, Lemma 00TA。

于是，相应的仿射概形标准覆盖定义如下。

定义

设 \(T\) 为仿射概形。\(T\) 的一个标准光滑覆盖是态射族 \(\{f_j : U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)，其中每个 \(U_j\) 都是仿射的， \(U_j \to T\) 是标准光滑态射，并且 \(T = \bigcup f_j(U_j)\)。

定义

一个大光滑位点是 Sites, Definition 00VH 意义下按如下方式构造的任一位点 \(\Sch_{smooth}\)：

任取一组概形 \(S_0\)，以及这些概形之间的一组光滑覆盖 \(\text{Cov}_0\)。

取由集合 \(S_0\) 出发、按 Sets, Lemma 000J 构造的任一范畴 \(\Sch_\alpha\) 作为底层范畴。

由范畴 \(\Sch_\alpha\)、光滑覆盖类以及上述集合 \(\text{Cov}_0\) 出发，按 Sets, Lemma 000X 选取任一组覆盖。

关于大位点定义的动机和解释，见 Definition 020S 后面的评注。

在继续引入概形 \(S\) 的大光滑位点之前，先指出：大光滑位点 \(\Sch_{smooth}\) 上的拓扑，在某种意义上由全体概形范畴上的光滑拓扑诱导而来。

引理

设 \(\Sch_{smooth}\) 是 Definition 03WY 所述的大光滑位点， \(T \in \Ob(\Sch_{smooth})\)，并设 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 \(T\) 的任意光滑覆盖。

位点 \(\Sch_{smooth}\) 中存在 \(T\) 的覆盖 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\)，它加细 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)。

若 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是标准光滑覆盖，则它与 \(\Sch_{smooth}\) 中的某个覆盖自明等价。

若 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 Zariski 覆盖，则它与 \(\Sch_{smooth}\) 中的某个覆盖自明等价。

证明

对每个 \(i\)，选取仿射开覆盖 \(T_i = \bigcup_{j \in J_i} T_{ij}\)，使每个 \(T_{ij}\) 都映入 \(T\) 的某个仿射开子概形。由 Lemma 0221，其加细 \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j \in J_i}\) 仍是 \(T\) 的光滑覆盖。因此可以假设每个 \(T_i\) 都是仿射的，并映入 \(T\) 的某个仿射开集 \(W_i\)。应用 Sets, Lemma 000R 可知，\(W_i\) 同构于 \(\Sch_{smooth}\) 的某个对象。于是再次应用 Sets, Lemma 000R，作为 \(W_i\) 上有限型概形的 \(T_i\) 同构于 \(\Sch_{smooth}\) 的某个对象 \(V_i\)。覆盖 \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\) 加细 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) （因为对应对象彼此同构）。此外，由 Sets, Lemma 000R，\(\{V_i \to T\}_{i \in I}\) 与位点 \(\Sch_{smooth}\) 中 \(T\) 的某个覆盖 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) 组合等价。覆盖 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) 正是 (1) 所需的加细。在 (2)、(3) 的情形中，由 Sets, Lemma 000R，每个 \(T_i\) 都同构于 \(\Sch_{smooth}\) 的某个对象；再应用 Sets, Lemma 000X 即得所需结论。

定义

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_{smooth}\) 为包含 \(S\) 的大光滑位点。

\(S\) 的大光滑位点记作 \((\Sch/S)_{smooth}\)，它是 Sites, Section 00XZ 中引入的位点 \(\Sch_{smooth}/S\)。

\(S\) 的大仿射光滑位点记作 \((\textit{Aff}/S)_{smooth}\)，它是 \((\Sch/S)_{smooth}\) 的全子范畴，其对象是仿射的 \(U/S\)。 \((\textit{Aff}/S)_{smooth}\) 的覆盖是 \((\Sch/S)_{smooth}\) 中任意的标准光滑覆盖 \(\{U_i \to U\}\)。

下面验证大仿射位点与大位点定义同一个拓扑斯。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_{smooth}\) 为包含 \(S\) 的大光滑位点。函子 \((\textit{Aff}/S)_{smooth} \to (\Sch/S)_{smooth}\) 特殊余连续，并诱导从 \(\Sh((\textit{Aff}/S)_{smooth})\) 到 \(\Sh((\Sch/S)_{smooth})\) 的拓扑斯等价。

证明

特殊余连续函子的概念见 Sites, Definition 03CG。因此需要验证 Sites, Lemma 03A0 的假设 (1)–(5)。将包含函子记作 \(u : (\textit{Aff}/S)_{smooth} \to (\Sch/S)_{smooth}\)。余连续性恰好意味着：当 \(T\) 仿射时，\(T/S\) 的每个光滑覆盖都可由 \(T\) 的某个标准光滑覆盖加细。这正是 Lemma 0222 的内容，故 (1) 成立。由于标准光滑覆盖本身就是光滑覆盖，\(u\) 显然连续，故 (2) 成立。(3) 和 (4) 由 \(u\) 全忠实立即得到。最后，每个概形都有仿射开覆盖，所以 (5) 成立。

待续……

引理

设 \(\Sch_{smooth}\) 为大光滑位点，\(f : T \to S\) 为 \(\Sch_{smooth}\) 中的态射。函子 \[u : (\Sch/T)_{smooth} \longrightarrow (\Sch/S)_{smooth}, \quad V/T \longmapsto V/S\] 余连续，并具有连续的右伴随 \[v : (\Sch/S)_{smooth} \longrightarrow (\Sch/T)_{smooth}, \quad (U \to S) \longmapsto (U \times_S T \to T).\] 二者诱导同一个拓扑斯态射 \[f_{big} : \Sh((\Sch/T)_{smooth}) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_{smooth})\] 有 \(f_{big}^{-1}(\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\)，以及 \(f_{big, *}(\mathcal{F})(U/S) = \mathcal{F}(U \times_S T/T)\)。此外，\(f_{big}^{-1}\) 有左伴随 \(f_{big!}\)，它与纤维积和等化子相容。

证明

函子 \(u\) 余连续、连续，并与纤维积和等化子相容。因此可以应用 Sites, Lemmas 00XR 和 00XS，从而得到 \(f_{big}^{-1}\) 的公式以及 \(f_{big!}\) 的存在性。此外，函子 \(v\) 是右伴随，因为给定 \(U/T\) 和 \(V/S\)，恰有 \(\Mor_S(u(U), V) = \Mor_T(U, V \times_S T)\)。于是可应用 Sites, Lemmas 00XX 和 00XY，得到 \(f_{big, *}\) 的公式。

syntomic 拓扑

本节定义 syntomic 拓扑。这一拓扑颇为有趣：它常常与 fppf 拓扑具有相同的上同调群，但在技术上更容易处理。

定义

设 \(T\) 为概形。\(T\) 的一个syntomic 覆盖是概形态射族 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)，其中每个 \(f_i\) 都是 syntomic 态射，并且 \(T = \bigcup f_i(T_i)\)。

引理

任意光滑覆盖都是 syntomic 覆盖；因此，任意平展覆盖或 Zariski 覆盖更是 syntomic 覆盖。

证明

这由定义、光滑态射是 syntomic 态射这一事实（见 Morphisms, Lemma 01VD）以及 Lemma 0220 立即得到。

下面证明这一概念满足 Sites, Definition 00VH 的条件。

引理

设 \(T\) 为概形。

若 \(T' \to T\) 是同构，则 \(\{T' \to T\}\) 是 \(T\) 的 syntomic 覆盖。

若 \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) 是 syntomic 覆盖，且对每个 \(i\)， \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\) 是 syntomic 覆盖，则 \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\) 是 syntomic 覆盖。

若 \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) 是 syntomic 覆盖，且 \(T' \to T\) 是概形态射，则 \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\) 是 syntomic 覆盖。

证明

略。

引理

设 \(T\) 为仿射概形，\(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 \(T\) 的 syntomic 覆盖。则存在 syntomic 覆盖 \(\{U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)，它是 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 的一个加细，每个 \(U_j\) 都是仿射概形，而且每个态射 \(U_j \to T\) 都是标准 syntomic 态射；见 Morphisms, Definition 01UC。此外，可以选取每个 \(U_j\)，使之成为某个 \(T_i\) 中的仿射开子概形。

证明

略；但可参见 Algebra, Lemma 00SY。

于是，相应的仿射概形标准覆盖定义如下。

定义

设 \(T\) 为仿射概形。\(T\) 的一个标准 syntomic 覆盖是态射族 \(\{f_j : U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)，其中每个 \(U_j\) 都是仿射的， \(U_j \to T\) 是标准 syntomic 态射，并且 \(T = \bigcup f_j(U_j)\)。

定义

一个大 syntomic 位点是 Sites, Definition 00VH 意义下按如下方式构造的任一位点 \(\Sch_{syntomic}\)：

任取一组概形 \(S_0\)，以及这些概形之间的一组 syntomic 覆盖 \(\text{Cov}_0\)。

取由集合 \(S_0\) 出发、按 Sets, Lemma 000J 构造的任一范畴 \(\Sch_\alpha\) 作为底层范畴。

由范畴 \(\Sch_\alpha\)、syntomic 覆盖类以及上述集合 \(\text{Cov}_0\) 出发，按 Sets, Lemma 000X 选取任一组覆盖。

关于大位点定义的动机和解释，见 Definition 020S 后面的评注。

在继续引入概形 \(S\) 的大 syntomic 位点之前，先指出：大 syntomic 位点 \(\Sch_{syntomic}\) 上的拓扑，在某种意义上由全体概形范畴上的 syntomic 拓扑诱导而来。

引理

设 \(\Sch_{syntomic}\) 是 Definition 03X1 所述的大 syntomic 位点，\(T \in \Ob(\Sch_{syntomic})\)，并设 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 \(T\) 的任意 syntomic 覆盖。

位点 \(\Sch_{syntomic}\) 中存在 \(T\) 的覆盖 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\)，它加细 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)。

若 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是标准 syntomic 覆盖，则它与 \(\Sch_{syntomic}\) 中的某个覆盖自明等价。

若 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 Zariski 覆盖，则它与 \(\Sch_{syntomic}\) 中的某个覆盖自明等价。

证明

对每个 \(i\)，选取仿射开覆盖 \(T_i = \bigcup_{j \in J_i} T_{ij}\)，使每个 \(T_{ij}\) 都映入 \(T\) 的某个仿射开子概形。由 Lemma 0227，其加细 \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j \in J_i}\) 仍是 \(T\) 的 syntomic 覆盖。因此可以假设每个 \(T_i\) 都是仿射的，并映入 \(T\) 的某个仿射开集 \(W_i\)。应用 Sets, Lemma 000R 可知，\(W_i\) 同构于 \(\Sch_{syntomic}\) 的某个对象。于是再次应用 Sets, Lemma 000R，作为 \(W_i\) 上有限型概形的 \(T_i\) 同构于 \(\Sch_{syntomic}\) 的某个对象 \(V_i\)。覆盖 \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\) 加细 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) （因为对应对象彼此同构）。此外，由 Sets, Lemma 000R，\(\{V_i \to T\}_{i \in I}\) 与位点 \(\Sch_{syntomic}\) 中 \(T\) 的某个覆盖 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) 组合等价。覆盖 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) 正是 (1) 所需的覆盖。在 (2)、(3) 的情形中，由 Sets, Lemma 000R，每个 \(T_i\) 都同构于 \(\Sch_{syntomic}\) 的某个对象；再应用 Sets, Lemma 000X 即得所需结论。

定义

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_{syntomic}\) 为包含 \(S\) 的大 syntomic 位点。

\(S\) 的大 syntomic 位点记作 \((\Sch/S)_{syntomic}\)，它是 Sites, Section 00XZ 中引入的位点 \(\Sch_{syntomic}/S\)。

\(S\) 的大仿射 syntomic 位点记作 \((\textit{Aff}/S)_{syntomic}\)，它是 \((\Sch/S)_{syntomic}\) 的全子范畴，其对象是仿射的 \(U/S\)。\((\textit{Aff}/S)_{syntomic}\) 的覆盖是 \((\Sch/S)_{syntomic}\) 中任意的标准 syntomic 覆盖 \(\{U_i \to U\}\)。

下面验证大仿射位点与大位点定义同一个拓扑斯。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_{syntomic}\) 为包含 \(S\) 的大 syntomic 位点。函子 \((\textit{Aff}/S)_{syntomic} \to (\Sch/S)_{syntomic}\) 特殊余连续，并诱导从 \(\Sh((\textit{Aff}/S)_{syntomic})\) 到 \(\Sh((\Sch/S)_{syntomic})\) 的拓扑斯等价。

证明

特殊余连续函子的概念见 Sites, Definition 03CG。因此需要验证 Sites, Lemma 03A0 的假设 (1)–(5)。将包含函子记作 \(u : (\textit{Aff}/S)_{syntomic} \to (\Sch/S)_{syntomic}\)。余连续性恰好意味着：当 \(T\) 仿射时，\(T/S\) 的每个 syntomic 覆盖都可由 \(T\) 的某个标准 syntomic 覆盖加细。这正是 Lemma 0228 的内容，故 (1) 成立。由于标准 syntomic 覆盖本身就是 syntomic 覆盖，\(u\) 显然连续，故 (2) 成立。(3) 和 (4) 由 \(u\) 全忠实立即得到。最后，每个概形都有仿射开覆盖，所以 (5) 成立。

待续……

引理

设 \(\Sch_{syntomic}\) 为大 syntomic 位点，\(f : T \to S\) 为 \(\Sch_{syntomic}\) 中的态射。函子 \[u : (\Sch/T)_{syntomic} \longrightarrow (\Sch/S)_{syntomic}, \quad V/T \longmapsto V/S\] 余连续，并具有连续的右伴随 \[v : (\Sch/S)_{syntomic} \longrightarrow (\Sch/T)_{syntomic}, \quad (U \to S) \longmapsto (U \times_S T \to T).\] 二者诱导同一个拓扑斯态射 \[f_{big} : \Sh((\Sch/T)_{syntomic}) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_{syntomic})\] 有 \(f_{big}^{-1}(\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\)，以及 \(f_{big, *}(\mathcal{F})(U/S) = \mathcal{F}(U \times_S T/T)\)。此外，\(f_{big}^{-1}\) 有左伴随 \(f_{big!}\)，它与纤维积和等化子相容。

证明

函子 \(u\) 余连续、连续，并与纤维积和等化子相容。因此可以应用 Sites, Lemmas 00XR 和 00XS，从而得到 \(f_{big}^{-1}\) 的公式以及 \(f_{big!}\) 的存在性。此外，函子 \(v\) 是右伴随，因为给定 \(U/T\) 和 \(V/S\)，恰有 \(\Mor_S(u(U), V) = \Mor_T(U, V \times_S T)\)。于是可应用 Sites, Lemmas 00XX 和 00XY，得到 \(f_{big, *}\) 的公式。

fppf 拓扑

设 \(S\) 为概形。我们希望在 \(S\) 上概形的范畴上定义 fppf 拓扑³。按照前述一般原则，先引入 fppf 覆盖的概念。

定义

设 \(T\) 为概形。\(T\) 的一个fppf 覆盖是概形态射族 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)，其中每个 \(f_i\) 都平坦且局部有限表示，并且 \(T = \bigcup f_i(T_i)\)。

引理

任意 syntomic 覆盖都是 fppf 覆盖；因此，任意光滑覆盖、平展覆盖或 Zariski 覆盖更是 fppf 覆盖。

证明

这由定义、syntomic 态射平坦且局部有限表示这一事实（见 Morphisms, Lemmas 01UK 和 01UL）以及 Lemma 0226 立即得到。

下面证明这一概念满足 Sites, Definition 00VH 的条件。

引理

设 \(T\) 为概形。

若 \(T' \to T\) 是同构，则 \(\{T' \to T\}\) 是 \(T\) 的 fppf 覆盖。

若 \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) 是 fppf 覆盖，且对每个 \(i\)， \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\) 是 fppf 覆盖，则 \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\) 是 fppf 覆盖。

若 \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) 是 fppf 覆盖，且 \(T' \to T\) 是概形态射，则 \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\) 是 fppf 覆盖。

证明

第一项显然。第二项成立，因为平坦态射的复合仍平坦（见 Morphisms, Lemma 01U7），有限表示态射的复合仍有限表示（见 Morphisms, Lemma 01TR）。第三项成立，因为平坦态射的基变换仍平坦（见 Morphisms, Lemma 01U9），有限表示态射的基变换仍有限表示（见 Morphisms, Lemma 01TS）。此外，满射态射族的基变换仍是满射的（证明从略）。

引理

设 \(T\) 为仿射概形，\(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 \(T\) 的 fppf 覆盖。则存在 fppf 覆盖 \(\{U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)，它是 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 的一个加细，并且每个 \(U_j\) 都是仿射概形。此外，可以选取每个 \(U_j\)，使之成为某个 \(T_i\) 中的仿射开子概形。

证明

这直接由定义以及“平坦且局部有限表示的态射是开映射”这一事实得到；见 Morphisms, Lemma 01UA。

于是，相应的仿射概形标准覆盖定义如下。

定义

设 \(T\) 为仿射概形。\(T\) 的一个标准 fppf 覆盖是态射族 \(\{f_j : U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)，其中每个 \(U_j\) 都是 \(T\) 上平坦、有限表示的仿射概形，并且 \(T = \bigcup f_j(U_j)\)。

定义

一个大 fppf 位点是 Sites, Definition 00VH 意义下按如下方式构造的任一位点 \(\Sch_{fppf}\)：

任取一组概形 \(S_0\)，以及这些概形之间的一组 fppf 覆盖 \(\text{Cov}_0\)。

取由集合 \(S_0\) 出发、按 Sets, Lemma 000J 构造的任一范畴 \(\Sch_\alpha\) 作为底层范畴。

由范畴 \(\Sch_\alpha\)、fppf 覆盖类以及上述集合 \(\text{Cov}_0\) 出发，按 Sets, Lemma 000X 选取任一组覆盖。

关于大位点定义的动机和解释，见 Definition 020S 后面的评注。

在继续引入概形 \(S\) 的大 fppf 位点之前，先指出：大 fppf 位点 \(\Sch_{fppf}\) 上的拓扑，在某种意义上由全体概形范畴上的 fppf 拓扑诱导而来。

引理

设 \(\Sch_{fppf}\) 是 Definition 021R 所述的大 fppf 位点，\(T \in \Ob(\Sch_{fppf})\)，并设 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 \(T\) 的任意 fppf 覆盖。

位点 \(\Sch_{fppf}\) 中存在 \(T\) 的覆盖 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\)，它加细 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)。

若 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是标准 fppf 覆盖，则它与 \(\Sch_{fppf}\) 中的某个覆盖自明等价。

若 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 Zariski 覆盖，则它与 \(\Sch_{fppf}\) 中的某个覆盖自明等价。

证明

对每个 \(i\)，选取仿射开覆盖 \(T_i = \bigcup_{j \in J_i} T_{ij}\)，使每个 \(T_{ij}\) 都映入 \(T\) 的某个仿射开子概形。由 Lemma 021O，其加细 \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j \in J_i}\) 仍是 \(T\) 的 fppf 覆盖。因此可以假设每个 \(T_i\) 都是仿射的，并映入 \(T\) 的某个仿射开集 \(W_i\)。应用 Sets, Lemma 000R 可知，\(W_i\) 同构于 \(\Sch_{fppf}\) 的某个对象。于是再次应用 Sets, Lemma 000R，作为 \(W_i\) 上有限型概形的 \(T_i\) 同构于 \(\Sch_{fppf}\) 的某个对象 \(V_i\)。覆盖 \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\) 加细 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) （因为对应对象彼此同构）。此外，由 Sets, Lemma 000R，\(\{V_i \to T\}_{i \in I}\) 与位点 \(\Sch_{fppf}\) 中 \(T\) 的某个覆盖 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) 组合等价。覆盖 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) 正是 (1) 所需的加细。在 (2)、(3) 的情形中，由 Sets, Lemma 000R，每个 \(T_i\) 都同构于 \(\Sch_{fppf}\) 的某个对象；再应用 Sets, Lemma 000X 即得所需结论。

定义

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_{fppf}\) 为包含 \(S\) 的大 fppf 位点。

\(S\) 的大 fppf 位点记作 \((\Sch/S)_{fppf}\)，它是 Sites, Section 00XZ 中引入的位点 \(\Sch_{fppf}/S\)。

\(S\) 的大仿射 fppf 位点记作 \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\)，它是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的全子范畴，其对象是仿射的 \(U/S\)。 \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\) 的覆盖是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 中任意的标准 fppf 覆盖 \(\{U_i \to U\}\)。

大仿射 fppf 位点确实是位点，这一点并非完全显然。下面予以验证。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_{fppf}\) 为包含 \(S\) 的大 fppf 位点。则 \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\) 是位点。

证明

证明 \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\) 是位点。与 Lemma 021C 的证明相同，只需证明仿射概形的标准 fppf 覆盖族满足 Sites, Definition 00VH 中的性质 (1)、(2)、(3)。这是显然的。例如，给定标准 fppf 覆盖 \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\)，且对每个 \(i\)， \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\) 是标准 fppf 覆盖，则 \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\) 是标准 fppf 覆盖，因为 \(\bigcup_{i\in I} J_i\) 有限且每个 \(T_{ij}\) 都是仿射的。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_{fppf}\) 为包含 \(S\) 的大 fppf 位点。位点 \(\Sch_{fppf}\)、\((\Sch/S)_{fppf}\) 和 \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\) 的底层范畴都具有纤维积。在每种情形中，到全体概形范畴 \(\Sch\) 的显然函子都与取纤维积相容。范畴 \((\Sch/S)_{fppf}\) 有终对象，即 \(S/S\)。

证明

对 \(\Sch_{fppf}\) 而言，这是构造本身保证的；见 Sets, Lemma 000R。设 \(U \to S\)、\(V \to U\)、\(W \to U\) 为概形态射，且 \(U, V, W \in \Ob(\Sch_{fppf})\)。 \(\Sch_{fppf}\) 中的纤维积 \(V \times_U W\) 也是 \(\Sch\) 中的纤维积，并且在 \(S\) 上全体概形的范畴中，它是 \(V/S\) 与 \(W/S\) 在 \(U/S\) 上的纤维积，因而也是 \((\Sch/S)_{fppf}\) 中的纤维积。这证明了 \((\Sch/S)_{fppf}\) 的结论。若 \(U, V, W\) 都仿射，则 \(V \times_U W\) 也仿射，从而得到 \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\) 的结论。

下面验证大仿射位点与大位点定义同一个拓扑斯。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_{fppf}\) 为包含 \(S\) 的大 fppf 位点。函子 \((\textit{Aff}/S)_{fppf} \to (\Sch/S)_{fppf}\) 余连续，并诱导从 \(\Sh((\textit{Aff}/S)_{fppf})\) 到 \(\Sh((\Sch/S)_{fppf})\) 的拓扑斯等价。

证明

特殊余连续函子的概念见 Sites, Definition 03CG。因此需要验证 Sites, Lemma 03A0 的假设 (1)–(5)。将包含函子记作 \(u : (\textit{Aff}/S)_{fppf} \to (\Sch/S)_{fppf}\)。余连续性恰好意味着：当 \(T\) 仿射时，\(T/S\) 的每个 fppf 覆盖都可由 \(T\) 的某个标准 fppf 覆盖加细。这正是 Lemma 021P 的内容，故 (1) 成立。由于标准 fppf 覆盖本身就是 fppf 覆盖，\(u\) 显然连续，故 (2) 成立。(3) 和 (4) 由 \(u\) 全忠实立即得到。最后，每个概形都有仿射开覆盖，所以 (5) 成立。

下面建立这些位点所对应拓扑斯之间的一些关系。

引理

设 \(\Sch_{fppf}\) 为大 fppf 位点，\(f : T \to S\) 为 \(\Sch_{fppf}\) 中的态射。函子 \[u : (\Sch/T)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}, \quad V/T \longmapsto V/S\] 余连续，并具有连续的右伴随 \[v : (\Sch/S)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/T)_{fppf}, \quad (U \to S) \longmapsto (U \times_S T \to T).\] 二者诱导同一个拓扑斯态射 \[f_{big} : \Sh((\Sch/T)_{fppf}) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_{fppf})\] 有 \(f_{big}^{-1}(\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\)，以及 \(f_{big, *}(\mathcal{F})(U/S) = \mathcal{F}(U \times_S T/T)\)。此外，\(f_{big}^{-1}\) 有左伴随 \(f_{big!}\)，它与纤维积和等化子相容。

证明

函子 \(u\) 余连续、连续，并与纤维积和等化子相容。因此可以应用 Sites, Lemmas 00XR 和 00XS，从而得到 \(f_{big}^{-1}\) 的公式以及 \(f_{big!}\) 的存在性。此外，函子 \(v\) 是右伴随，因为给定 \(U/T\) 和 \(V/S\)，恰有 \(\Mor_S(u(U), V) = \Mor_T(U, V \times_S T)\)。于是可应用 Sites, Lemmas 00XX 和 00XY，得到 \(f_{big, *}\) 的公式。

引理

给定 \((\Sch/S)_{fppf}\) 中的概形 \(X\)、\(Y\)、\(Z\) 以及态射 \(f : X \to Y\)、\(g : Y \to Z\)，有 \(g_{big} \circ f_{big} = (g \circ f)_{big}\).

证明

这由 Lemma 021W 中大位点上函子的推前与拉回的简单描述得到。

ph 拓扑

本节定义 ph 拓扑。它是由 Zariski 覆盖和固有满射态射生成的拓扑；见 Lemma 0DBQ。

本文的记号和术语取自 Goodwillie 与 Lichtenbaum 的论文 [ph]。他们证明：若限制到 Noether 概形的子范畴，则 ph 拓扑与 Voevodsky 最初定义的“h 拓扑”相同；后者是由 Zariski 开覆盖和普遍商映射的有限型态射生成的拓扑。他们还证明，这两个拓扑在非 Noether 概形上并不一致；见 [ph, Example 4.5]。我们将在 More on Flatness, Section 0ETQ 中回到（本文版本的）h 拓扑。

在定义这一拓扑的覆盖之前，还需要作一些准备。

定义

设 \(T\) 为仿射概形。一个标准 ph 覆盖是如下构造的态射族 \(\{f_j : U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)：取固有满射态射 \(f : U \to T\) 和仿射开覆盖 \(U = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\)，并令 \(f_j = f|_{U_j}\)。

由 Chow 引理立即可知，任意标准 ph 覆盖都可由对应于满射射影态射的标准 ph 覆盖加细。

引理

设 \(\{f_j : U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) 是标准 ph 覆盖， \(T' \to T\) 是仿射概形态射。则 \(\{U_j \times_T T' \to T'\}_{j = 1, \ldots, m}\) 是标准 ph 覆盖。

证明

设固有满射态射 \(f : U \to T\) 和仿射开覆盖 \(U = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\) 如 Definition 0DBD 所给。则 \(U \times_T T' \to T'\) 是固有满射态射（Morphisms, Lemmas 01S1 和 01W4）。此外， \(U \times_T T' = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j \times_T T'\) 是仿射开覆盖。证明完毕。

引理

设 \(T\) 为仿射概形。下列每类以 \(T\) 为目标的映射族都可由标准 ph 覆盖加细：

\(T\) 的任意 Zariski 开覆盖；

\(\{W_{ji} \to T\}_{j = 1, \ldots, m, i = 1, \ldots n_j}\)，其中 \(\{W_{ji} \to U_j\}_{i = 1, \ldots, n_j}\) 和 \(\{U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) 都是标准 ph 覆盖。

证明

(1) 成立，因为 \(T\) 的任意 Zariski 开覆盖都可由有限仿射开覆盖加细。

第 (3) 项的证明。按 Definition 0DBD 选取固有满射态射 \(U \to T\) 以及 \(U = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\)。再按 Definition 0DBD 选取固有满射态射 \(W_j \to U_j\) 以及 \(W_j = \bigcup W_{ji}\)。由 Chow 引理（Limits, Lemma 0202），可找到固有满射态射 \(W'_j \to W_j\) 和闭浸入 \(W'_j \to \mathbf{P}^{e_j}_{U_j}\)。因此，将 \(W_j\) 替换为 \(W'_j\)，并将 \(W_j = \bigcup W_{ji}\) 替换为 \(W'_j\) 的适当仿射开覆盖后，可以假设对所有 \(j = 1, \ldots, m\) 都有闭浸入 \(W_j \subset \mathbf{P}^{e_j}_{U_j}\)。

令 \(\overline{W}_j \subset \mathbf{P}^{e_j}_U\) 为 \(W_j\) 的概形论闭包。则 \(W_j \subset \overline{W}_j\) 是开子概形；事实上，在态射 \(\overline{W}_j \to U\) 下，\(W_j\) 是 \(U_j \subset U\) 的逆像。（为说明这一点，使用 \(W_j \to \mathbf{P}^{e_j}_U\) 拟紧，因而概形论像的形成与限制到开集相容；见 Morphisms, Section 01R5。）令 \(Z_j = U \setminus U_j\) 配备诱导的约化闭子概形结构。于是 \[V_j = \overline{W}_j \amalg Z_j \to U\] 是固有满射态射，而开子概形 \(W_j \subset V_j\) 是 \(U_j\) 的逆像。因此，对 \(v \in V_j\)、\(v \not \in W_j\)，可以选取仿射开邻域 \(v \in V_{j, v} \subset V_j\)，使其映入某个满足 \(1 \leq j' \leq m\) 的 \(U_{j'}\)。

为完成证明，考虑固有满射态射 \[V = V_1 \times_U V_2 \times_U \ldots \times_U V_m \longrightarrow U \longrightarrow T\] 以及由下列仿射开集组成的 \(V\) 的覆盖 \[V_{1, v_1} \times_U \ldots \times_U V_{j - 1, v_{j - 1}} \times_U W_{j i} \times_U V_{j + 1, v_{j + 1}} \times_U \ldots \times_U V_{m, v_m}\] 这些开集确实构成覆盖，因为 \(U\) 的每个点都属于某个 \(U_j\)，而 \(U_j\) 在 \(V\) 中的逆像等于 \(V_1 \times \ldots \times V_{j - 1} \times W_j \times V_{j + 1} \times \ldots \times V_m\)。注意，从上述仿射开集到 \(T\) 的态射经过 \(W_{ji}\) 分解，因而得到一个加细。最后，只需要这些仿射开集中的有限多个，因为 \(V\) 拟紧（它在仿射概形 \(T\) 上固有）。

定义

设 \(T\) 为概形。\(T\) 的一个ph 覆盖是概形态射族 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)，其中每个 \(f_i\) 都局部有限型，并且对每个仿射开集 \(U \subset T\)，都存在标准 ph 覆盖 \(\{U_j \to U\}_{j = 1, \ldots, m}\)，它加细态射族 \(\{T_i \times_T U \to U\}_{i \in I}\)。

由 Lemma 0DBE，标准 ph 覆盖是 ph 覆盖。

引理

Zariski 覆盖是 ph 覆盖⁴。

证明

这是因为，由 Lemma 0DBF，仿射概形的 Zariski 覆盖可由标准 ph 覆盖加细。

引理

设 \(f : Y \to X\) 为概形之间的固有满射态射。则 \(\{Y \to X\}\) 是 ph 覆盖。

证明

略。

引理

设 \(T\) 为概形，\(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) 为态射族，且对所有 \(i\)，\(f_i\) 都局部有限型。下列条件等价：

\(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 ph 覆盖；

存在加细 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 的 ph 覆盖；

\(\{\coprod_{i \in I} T_i \to T\}\) 是 ph 覆盖。

证明

(1) 与 (2) 的等价性由 Definition 0DBG 以及“加细的加细仍是加细”立即得到。由于 (1) 与 (2) 等价，并且 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 加细 \(\{\coprod_{i \in I} T_i \to T\}\)，可知 (1) 蕴含 (3)。最后，设 (3) 成立。令 \(U \subset T\) 为仿射开集，并令 \(\{U_j \to U\}_{j = 1, \ldots, m}\) 为加细 \(\{U \times_T \coprod_{i \in I} T_i \to U\}\) 的标准 ph 覆盖。这意味着对每个 \(j\)，都有态射 \[h_j : U_j \longrightarrow U \times_T \coprod\nolimits_{i \in I} T_i = \coprod\nolimits_{i \in I} U \times_T T_i\] 位于 \(U\) 上。由于 \(U_j\) 拟紧，得到由开闭子概形组成的不交并分解 \(U_j = \coprod_{i \in I} U_{j, i}\)，其中几乎所有子概形都为空，并且 \(h_j|_{U_{j, i}}\) 将 \(U_{j, i}\) 映入 \(U \times_T T_i\)。于是 \[\{U_{j, i} \to U\}_{j = 1, \ldots, m,\ i \in I,\ U_{j, i} \not = \emptyset}\] 是加细 \(\{U \times_T T_i \to U\}_{i \in I}\) 的标准 ph 覆盖（一个小细节从略）。故 (1) 成立。

下面证明这一概念满足 Sites, Definition 00VH 的条件。

引理

设 \(T\) 为概形。

若 \(T' \to T\) 是同构，则 \(\{T' \to T\}\) 是 \(T\) 的 ph 覆盖。

若 \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) 是 ph 覆盖，且对每个 \(i\)， \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\) 是 ph 覆盖，则 \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\) 是 ph 覆盖。

若 \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) 是 ph 覆盖，且 \(T' \to T\) 是概形态射，则 \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\) 是 ph 覆盖。

证明

(1) 显然。

第 (3) 项的证明。由 Morphisms, Lemma 01T4，基变换 \(T_i \times_T T' \to T'\) 局部有限型。因此只需验证仿射开集上的条件。设 \(U' \subset T'\) 为仿射开子概形。由于 \(U'\) 拟紧，可以找到有限仿射开覆盖

\(U' = U'_1 \cup \ldots \cup U'\)，使得 \(U'_j \to T\) 映入某个仿射开集 \(U_j \subset T\)。选取加细 \(\{T_i \times_T U_j \to U_j\}\) 的标准 ph 覆盖 \(\{U_{jl} \to U_j\}_{l = 1, \ldots, n_j}\)。由 Lemma 0DBE，基变换 \(\{U_{jl} \times_{U_j} U'_j \to U'_j\}\) 是标准 ph 覆盖。注意，\(\{U'_j \to U'\}\) 也是标准 ph 覆盖。由 Lemma 0DBF，态射族 \(\{U_{jl} \times_{U_j} U'_j \to U'\}\) 可由标准 ph 覆盖加细。由于 \(\{U_{jl} \times_{U_j} U'_j \to U'\}\) 加细 \(\{T_i \times_T U' \to U'\}\)，结论成立。

第 (2) 项的证明。复合保持局部有限型；见 Morphisms, Lemma 01T3。因此只需验证仿射开集上的条件。设 \(U \subset T\) 为仿射开集。先选取加细 \(\{T_i \times_T U \to U\}\) 的标准 ph 覆盖 \(\{U_k \to U\}_{k = 1, \ldots, m}\)。设该加细由 \(T\) 上的态射 \(U_k \to T_{i_k}\) 给出。则 \[\{T_{i_kj} \times_{T_{i_k}} U_k \to U_k\}_{j \in J_{i_k}}\] 由第 (3) 项是 ph 覆盖。由于 \(U_k\) 仿射，可找到加细该态射族的标准 ph 覆盖 \(\{U_{ka} \to U_k\}_{a = 1, \ldots, b_k}\)。再应用 Lemma 0DBF 可知，\(\{U_{ka} \to U\}\) 可由标准 ph 覆盖加细。由于 \(\{U_{ka} \to U\}\) 加细 \(\{T_{ij} \times_T U \to U\}\)，证明完毕。

定义

一个大 ph 位点是 Sites, Definition 00VH 意义下按如下方式构造的任一位点 \(\Sch_{ph}\)：

任取一组概形 \(S_0\)，以及这些概形之间的一组 ph 覆盖 \(\text{Cov}_0\)。

取由集合 \(S_0\) 出发、按 Sets, Lemma 000J 构造的任一范畴 \(\Sch_\alpha\) 作为底层范畴。

由范畴 \(\Sch_\alpha\)、ph 覆盖类以及上述集合 \(\text{Cov}_0\) 出发，按 Sets, Lemma 000X 选取任一组覆盖。

关于大位点定义的动机和解释，见 Definition 020S 后面的评注。

在继续引入概形 \(S\) 的大 ph 位点之前，先指出：大 ph 位点 \(\Sch_{ph}\) 上的拓扑，在某种意义上由全体概形范畴上的 ph 拓扑诱导而来。

引理

设 \(\Sch_{ph}\) 是 Definition 0DBJ 所述的大 ph 位点， \(T \in \Ob(\Sch_{ph})\)，并设 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 \(T\) 的任意 ph 覆盖。

位点 \(\Sch_{ph}\) 中存在 \(T\) 的覆盖 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\)，它加细 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)。

若 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是标准 ph 覆盖，则它与 \(\Sch_{ph}\) 中的某个覆盖自明等价。

若 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 Zariski 覆盖，则它与 \(\Sch_{ph}\) 中的某个覆盖自明等价。

证明

对每个 \(i\)，选取仿射开覆盖 \(T_i = \bigcup_{j \in J_i} T_{ij}\)，使每个 \(T_{ij}\) 都映入 \(T\) 的某个仿射开子概形。由 Lemmas 0DBH 和 0DBI，其加细 \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j \in J_i}\) 仍是 \(T\) 的 ph 覆盖。因此可以假设每个 \(T_i\) 都是仿射的，并映入 \(T\) 的某个仿射开集 \(W_i\)。应用 Sets, Lemma 000R 可知，\(W_i\) 同构于 \(\Sch_{ph}\) 的某个对象。于是再次应用 Sets, Lemma 000R，作为 \(W_i\) 上有限型概形的 \(T_i\) 同构于 \(\Sch_{ph}\) 的某个对象 \(V_i\)。覆盖 \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\) 加细 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) （因为对应对象彼此同构）。此外，由 Sets, Lemma 000R，\(\{V_i \to T\}_{i \in I}\) 与位点 \(\Sch_{ph}\) 中 \(T\) 的某个覆盖 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) 组合等价。覆盖 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) 正是 (1) 所需的加细。在 (2)、(3) 的情形中，由 Sets, Lemma 000R，每个 \(T_i\) 都同构于 \(\Sch_{ph}\) 的某个对象；再应用 Sets, Lemma 000X 即得所需结论。

定义

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_{ph}\) 为包含 \(S\) 的大 ph 位点。

\(S\) 的大 ph 位点记作 \((\Sch/S)_{ph}\)，它是 Sites, Section 00XZ 中引入的位点 \(\Sch_{ph}/S\)。

\(S\) 的大仿射 ph 位点记作 \((\textit{Aff}/S)_{ph}\)，它是 \((\Sch/S)_{ph}\) 的全子范畴，其对象是仿射的 \(U/S\)。 \((\textit{Aff}/S)_{ph}\) 的覆盖是 \((\Sch/S)_{ph}\) 中任意满足 \(U_i\) 和 \(U\) 都仿射的有限覆盖 \(\{U_i \to U\}\)。

注意，\((\textit{Aff}/S)_{ph}\) 中的覆盖并非由标准 ph 覆盖给出；原因很简单：否则 Sites, Definition 00VH 的第二条公理将不成立。\((\textit{Aff}/S)_{ph}\) 中的覆盖其实是 \((\Sch/S)_{ph}\) 的仿射对象之间、可由标准 ph 覆盖加细的有限型态射的有限族 \(\{U_i \to U\}\)。下面明确陈述并证明大仿射 ph 位点确实是位点。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_{ph}\) 为包含 \(S\) 的大 ph 位点。则 \((\textit{Aff}/S)_{ph}\) 是位点。

证明

与 Lemma 021C 的证明相同，只需证明满足 \(U\)、\(U_i\) 仿射的有限 ph 覆盖 \(\{U_i \to U\}\) 所组成的集合满足 Sites, Definition 00VH 中的性质 (1)、(2)、(3)。这是显然的。例如，给定 \(T_i, T\) 仿射的有限 ph 覆盖 \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\)，并且对每个 \(i\)，给定 \(T_{ij}\) 仿射的有限 ph 覆盖 \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\)，则 \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\) 是 ph 覆盖（Lemma 0DBI），\(\bigcup_{i\in I} J_i\) 有限，且每个 \(T_{ij}\) 都仿射。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_{ph}\) 为包含 \(S\) 的大 ph 位点。位点 \(\Sch_{ph}\)、\((\Sch/S)_{ph}\) 和 \((\textit{Aff}/S)_{ph}\) 的底层范畴都具有纤维积。在每种情形中，到全体概形范畴 \(\Sch\) 的显然函子都与取纤维积相容。范畴 \((\Sch/S)_{ph}\) 有终对象，即 \(S/S\)。

证明

对 \(\Sch_{ph}\) 而言，这是构造本身保证的；见 Sets, Lemma 000R。设 \(U \to S\)、\(V \to U\)、\(W \to U\) 为概形态射，且 \(U, V, W \in \Ob(\Sch_{ph})\)。 \(\Sch_{ph}\) 中的纤维积 \(V \times_U W\) 也是 \(\Sch\) 中的纤维积，并且在 \(S\) 上全体概形的范畴中，它是 \(V/S\) 与 \(W/S\) 在 \(U/S\) 上的纤维积，因而也是 \((\Sch/S)_{ph}\) 中的纤维积。这证明了 \((\Sch/S)_{ph}\) 的结论。若 \(U, V, W\) 都仿射，则 \(V \times_U W\) 也仿射，从而得到 \((\textit{Aff}/S)_{ph}\) 的结论。

下面验证大仿射位点与大位点定义同一个拓扑斯。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\Sch_{ph}\) 为包含 \(S\) 的大 ph 位点。函子 \((\textit{Aff}/S)_{ph} \to (\Sch/S)_{ph}\) 余连续，并诱导从 \(\Sh((\textit{Aff}/S)_{ph})\) 到 \(\Sh((\Sch/S)_{ph})\) 的拓扑斯等价。

证明

特殊余连续函子的概念见 Sites, Definition 03CG。因此需要验证 Sites, Lemma 03A0 的假设 (1)–(5)。将包含函子记作 \(u : (\textit{Aff}/S)_{ph} \to (\Sch/S)_{ph}\)。余连续性由定义得到，因为当 \(T\) 仿射时，\(T/S\) 的任意 ph 覆盖都可由 \(T\) 的某个标准 ph 覆盖加细，故 (1) 成立。由于仿射概形由仿射概形组成的有限 ph 覆盖本身就是 ph 覆盖，\(u\) 显然连续，故 (2) 成立。 (3) 和 (4) 由 \(u\) 全忠实立即得到。最后，每个概形都有仿射开覆盖（它是 ph 覆盖），所以 (5) 成立。

引理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \((\Sch/S)_{ph}\) 上的预层。则 \(\mathcal{F}\) 是层，当且仅当

\(\mathcal{F}\) 对 Zariski 覆盖满足层条件；

若 \(f : V \to U\) 是固有满射态射，则 \(\mathcal{F}(U)\) 双射地映到两个映射 \(\mathcal{F}(V) \to \mathcal{F}(V \times_U V)\) 的等化子。

此外，在 (1) 成立时，性质 (2) 等价于性质

当 \(U\) 仿射时，对 (2) 所述的 \(\{V \to U\}\) 满足层性质。

证明

证明若 (1) 和 (2) 成立，则 \(\mathcal{F}\) 是层。设 \(\{T_i \to T\}\) 为 ph 覆盖，即 \((\Sch/S)_{ph}\) 中的覆盖。我们验证此覆盖的层条件。设 \(s_i \in \mathcal{F}(T_i)\) 是一族截面，它们限制到 \(T_i \times_T T_{i'}\) 后相同。我们要证明存在唯一截面 \(s \in \mathcal{F}(T)\)，其在 \(T_i\) 上限制为 \(s_i\)。设 \(T = \bigcup U_j\) 为仿射开覆盖。由性质 (1)，为构造 \(s\)，只需构造截面 \(s_j \in \mathcal{F}(U_j)\)，使其在 \(U_j \cap U_{j'}\) 上相同。考虑 ph 覆盖 \(\{T_i \times_T U_j \to U_j\}\)。则 \(s_{ji} = s_i|_{T_i \times_T U_j}\) 是一族在 \((T_i \times_T U_j) \times_{U_j} (T_{i'} \times_T U_j)\) 上相同的截面。选取固有满射态射 \(V_j \to U_j\) 和有限仿射开覆盖 \(V_j = \bigcup V_{jk}\)，使标准 ph 覆盖 \(\{V_{jk} \to U_j\}\) 加细 \(\{T_i \times_T U_j \to U_j\}\)。若 \(s_{jk} \in \mathcal{F}(V_{jk})\) 表示由隐含态射将 \(s_{ji}\) 拉回到 \(V_{jk}\) 所得的截面，则 \(s_{jk}\) 可黏合为截面 \(s'_j \in \mathcal{F}(V_j)\)。再次使用交叠处的一致性可知，\(s'_j\) 属于两个映射 \(\mathcal{F}(V_j) \to \mathcal{F}(V_j \times_{U_j} V_j)\) 的等化子。因此由 (2)，\(s'_j\) 来自唯一截面 \(s_j \in \mathcal{F}(U_j)\)。关于这些截面 \(s_j\) 具有全部所需性质的验证从略。

在 (1) 成立时证明 (2) 与 (2’) 等价。设 \(V \to U\) 是 \((\Sch/S)_{ph}\) 中的固有满射态射。选取仿射开覆盖 \(U = \bigcup U_i\)，并令 \(V_i = V \times_U U_i\)。由 (2’)， \(\mathcal{F}(U_i) \to \mathcal{F}(V_i)\) 是单射；由 (1)， \(\mathcal{F}(U) \to \prod \mathcal{F}(U_i)\) 是单射。因此 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\) 是单射。最后，设给定 \(t \in \mathcal{F}(V)\)，它属于两个映射 \(\mathcal{F}(V) \to \mathcal{F}(V \times_U V)\) 的等化子。则对所有 \(i\)，\(t|_{V_i}\) 都属于两个映射 \(\mathcal{F}(V_i) \to \mathcal{F}(V_i \times_{U_i} V_i)\) 的等化子。因此由 (2’)，对所有 \(i\) 都得到唯一的截面 \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\)，它映到 \(t|_{V_i}\)。关于对所有 \(i, j\) 都有 \(s_i|_{U_i \cap U_j} = s_j|_{U_i \cap U_j}\) 的验证从略；这里使用刚刚证明的唯一性。由覆盖 \(U = \bigcup U_i\) 的层性质，得到截面 \(s \in \mathcal{F}(U)\)。关于 \(s\) 映到 \(\mathcal{F}(V)\) 中的 \(t\) 的证明从略。

下面建立这些位点所对应拓扑斯之间的一些关系。

引理

设 \(\Sch_{ph}\) 为大 ph 位点，\(f : T \to S\) 为 \(\Sch_{ph}\) 中的态射。函子 \[u : (\Sch/T)_{ph} \longrightarrow (\Sch/S)_{ph}, \quad V/T \longmapsto V/S\] 余连续，并具有连续的右伴随 \[v : (\Sch/S)_{ph} \longrightarrow (\Sch/T)_{ph}, \quad (U \to S) \longmapsto (U \times_S T \to T).\] 二者诱导同一个拓扑斯态射 \[f_{big} : \Sh((\Sch/T)_{ph}) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_{ph})\] 有 \(f_{big}^{-1}(\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\)，以及 \(f_{big, *}(\mathcal{F})(U/S) = \mathcal{F}(U \times_S T/T)\)。此外，\(f_{big}^{-1}\) 有左伴随 \(f_{big!}\)，它与纤维积和等化子相容。

证明

函子 \(u\) 余连续、连续，并与纤维积和等化子相容。因此可以应用 Sites, Lemmas 00XR 和 00XS，从而得到 \(f_{big}^{-1}\) 的公式以及 \(f_{big!}\) 的存在性。此外，函子 \(v\) 是右伴随，因为给定 \(U/T\) 和 \(V/S\)，恰有 \(\Mor_S(u(U), V) = \Mor_T(U, V \times_S T)\)。于是可应用 Sites, Lemmas 00XX 和 00XY，得到 \(f_{big, *}\) 的公式。

引理

给定 \((\Sch/S)_{ph}\) 中的概形 \(X\)、\(Y\)、\(Y\) 以及态射 \(f : X \to Y\)、\(g : Y \to Z\)，有 \(g_{big} \circ f_{big} = (g \circ f)_{big}\).

证明

这由 Lemma 0DBR 中大位点上函子的推前与拉回的简单描述得到。

fpqc 拓扑

定义

设 \(T\) 为概形。\(T\) 的一个fpqc 覆盖是概形态射族 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)，其中每个 \(f_i\) 都平坦，并且对每个仿射开集 \(U \subset T\)，存在 \(n \geq 0\)、映射 \(a : \{1, \ldots, n\} \to I\) 以及仿射开集 \(V_j \subset T_{a(j)}\)，\(j = 1, \ldots, n\)，使得 \(\bigcup_{j = 1}^n f_{a(j)}(V_j) = U\)。

这一条件当然蕴含 \(T = \bigcup f_i(T_i)\)。识别 fpqc 覆盖稍为困难，所以下面给出若干判别引理。

引理

设 \(T\) 为概形，\(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) 为以 \(T\) 为目标的概形态射族。下列条件等价：

\(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 fpqc 覆盖；

每个 \(f_i\) 都平坦，并且对每个仿射开集 \(U \subset T\)，存在几乎全为空的拟紧开集 \(U_i \subset T_i\)，使得 \(U = \bigcup f_i(U_i)\)；

每个 \(f_i\) 都平坦，并且存在仿射开覆盖 \(T = \bigcup_{\alpha \in A} U_\alpha\)，使得对每个 \(\alpha \in A\)，都存在 \(i_{\alpha, 1}, \ldots, i_{\alpha, n(\alpha)} \in I\) 和拟紧开集 \(U_{\alpha, j} \subset T_{i_{\alpha, j}}\)，满足 \(U_\alpha = \bigcup_{j = 1, \ldots, n(\alpha)} f_{i_{\alpha, j}}(U_{\alpha, j})\)。

若 \(T\) 拟分离，则这些条件还等价于

每个 \(f_i\) 都平坦，并且对每个 \(t \in T\)，存在 \(i_1, \ldots, i_n \in I\) 和拟紧开集 \(U_j \subset T_{i_j}\)，使得 \(\bigcup_{j = 1, \ldots, n} f_{i_j}(U_j)\) 是 \(t\) 在 \(T\) 中的一个邻域（不必是开集）。

证明

关于 (1)、(2)、(3) 等价的证明从略。以下假设 \(T\) 拟分离。证明 (4) 蕴含 (2)。设 \(U \subset T\) 为仿射开集。为证明 (2)，只需说明：对每个 \(t \in U\)，存在有限多个拟紧开集 \(U_j \subset T_{i_j}\)，使得 \(f_{i_j}(U_j) \subset U\)，并且 \(\bigcup f_{i_j}(U_j)\) 是 \(t\) 在 \(U\) 中的邻域。由假设，确实存在有限多个拟紧开集 \(U'_j \subset T_{i_j}\)，使得

\(\bigcup f_{i_j}(U'_j)\) 是 \(t\) 在 \(T\) 中的邻域。由于 \(T\) 拟分离， \(U_j = U'_j \cap f_{i_j}^{-1}(U) = (f_{i_j}|_{U'_j})^{-1}(U)\) 由 Schemes, Lemma 03GI，它拟紧。故 (2) 成立。由于 (2) 显然蕴含 (4)，证明完毕。

例

令 \(X = X_1 \cup X_2\)，其中 \(X_1 = X_2 = \Spec(k[t_1,t_2,\dots])\)，取 Schemes, Example 01KL 中的非拟分离概形，并令 \(Y = X_1 \amalg \Spec(\mathcal{O}_{X_2, 0})\)。显然的态射 \(f : Y \to X\) 平坦且满射，并且（因为 \(Y\) 拟紧）显然满足 Lemma 03L7 的 (4)。但是 \(\{f : Y \to X\}\) 不是 fpqc 覆盖。具体而言，我们断言：不存在 \(Y\) 的拟紧开集 \(W\)，使其在 \(f\) 下的像为 \(X_2\)。事实上， \(f^{-1}(X_2) = X_1 \setminus \{0\} \amalg \Spec(\mathcal{O}_{X_2, 0})\)。因此，若 \(W\) 存在，则对 \(X_1 \setminus \{0\} = X_2 \setminus \{0\}\) 的某个拟紧开集 \(U\)，必有 \(W = U \amalg \Spec(\mathcal{O}_{X_2, 0})\)。于是可写 \(U = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\)，其中某些 \(f_i \in k[t_1, t_2, \ldots]\) 在 \(0\) 处为零。设

\(f_1, \ldots, f_n\) 只使用变量 \(x_1, \ldots, x_m\)。则 \(p = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots)\)（其中 \(1\) 位于第 \((m + 1)\) 个位置）是 \(X_2\) 的一个闭点，但不在 \(W\) 的像中。

引理

设 \(T\) 为概形，\(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) 为以 \(T\) 为目标的概形态射族。下列条件等价：

\(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 fpqc 覆盖；

令 \(T' = \coprod_{i \in I} T_i\) 以及 \(f = \coprod_{i \in I} f_i\)，则态射族 \(\{f : T' \to T\}\) 是 fpqc 覆盖。

证明

设 \(U \subset T\) 为仿射开集。若 (1) 成立，则可找到 \(i_1, \ldots, i_n \in I\) 和仿射开集 \(U_j \subset T_{i_j}\)，使得 \(U = \bigcup_{j = 1, \ldots, n} f_{i_j}(U_j)\)。于是 \(U_1 \amalg \ldots \amalg U_n \subset T'\) 是满射到 \(U\) 的拟紧开集。因此由 Lemma 03L7， \(\{f : T' \to T\}\) 是 fpqc 覆盖。反过来，若 (2) 成立，则存在拟紧开集 \(U' \subset T'\)，使得 \(U = f(U')\)。此时 \(U_j = U' \cap T_j\) 是 \(T_j\) 中的拟紧开集，并且对几乎所有 \(j\) 都为空。由 Lemma 03L7 可知 (1) 成立。

引理

设 \(T\) 为概形，\(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) 为一族以 \(T\) 为目标的概形态射。假设：

每个 \(f_i\) 都是平坦的；并且

族 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) 可由 \(T\) 的某个 fpqc 覆盖加细。

则 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 \(T\) 的 fpqc 覆盖。

证明

设 \(\{g_j : X_j \to T\}_{j \in J}\) 是加细 \(\{f_i : T_i \to T\}\) 的 fpqc 覆盖。设 \(U \subset T\) 为仿射开集。选取 \(j_1, \ldots, j_m \in J\) 及仿射开集 \(V_k \subset X_{j_k}\)，使得 \(U = \bigcup g_{j_k}(V_k)\)。对每个 \(j\)，选取 \(i_j \in I\) 以及态射 \(h_j : X_j \to T_{i_j}\)，使得 \(g_j = f_{i_j} \circ h_j\)。由于 \(h_{j_k}(V_k)\) 拟紧，可找到拟紧开集 \(h_{j_k}(V_k) \subset U_k \subset f_{i_{j_k}}^{-1}(U)\)。于是 \(U = \bigcup f_{i_{j_k}}(U_k)\)。由 Lemma 03L7 可知 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 fpqc 覆盖。

引理

设 \(T\) 为概形，\(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) 为一族以 \(T\) 为目标的概形态射。假设：

每个 \(f_i\) 都是平坦的；并且

存在 fpqc 覆盖 \(\{g_j : S_j \to T\}_{j \in J}\)，使得每个 \(\{S_j \times_T T_i \to S_j\}_{i \in I}\) 都是 fpqc 覆盖。

则 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 \(T\) 的 fpqc 覆盖。

证明

以下不再另行说明地使用 Lemma 03L7。设 \(U \subset T\) 为仿射开集。由 (2)，可对 \(j \in J\) 找到拟紧开集 \(V_j \subset S_j\)，其中除有限多个外均为空，并且 \(U = \bigcup g_j(V_j)\)。于是对每个 \(j\)，可对 \(i \in I\) 选取拟紧开集 \(W_{ij} \subset S_j \times_T T_i\)，其中除有限多个外均为空，并满足 \(V_j = \bigcup_i \text{pr}_1(W_{ij})\)。因此 \(\{S_j \times_T T_i \to T\}\) 是 fpqc 覆盖。此覆盖加细 \(\{f_i : T_i \to T\}\)，故结论由 Lemma 03L8 得出。

引理

任意 fppf 覆盖都是 fpqc 覆盖；从而尤其，任意 syntomic、光滑、 étale 或 Zariski 覆盖都是 fpqc 覆盖。

证明

我们证明 fppf 覆盖是 fpqc 覆盖；其余结论随即由 Lemma 021N 得出。设 \(\{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) 为 fppf 覆盖。按定义，这意味着各 \(f_i\) 平坦，因而满足 Definition 022B 的第一个条件。为验证第二个条件，设 \(V \subset U\) 为仿射开子集。对某些仿射开集 \(V_{ij} \subset U_i\)，写成 \(f_i^{-1}(V) = \bigcup_{j \in J_i} V_{ij}\)。由于每个 \(f_i\) 都是开态射（Morphisms, Lemma 01UA），可见 \(V = \bigcup_{i\in I} \bigcup_{j \in J_i} f_i(V_{ij})\) 是 \(V\) 的开覆盖。由于 \(V\) 拟紧，此覆盖有有限加细。这就完成了证明。

fpqc⁵ 拓扑不能像 fppf 拓扑那样处理⁶。确切而言，设 \(R\) 为非零环。我们将在 Lemma 0BBK 中看到，不存在由 \(\Spec(R)\) 的 fpqc 覆盖组成的集合 \(A\)，使得每个 fpqc 覆盖都可由 \(A\) 的某个元素加细。若 \(R = k\) 是域，则这种无界性的原因在于：不存在 \(k\) 的一个域扩张，其中包含 \(k\) 的每个域扩张。

若忽略集合论方面的困难，就会遇到无法层化的预层；见 [Waterhouse-fpqc-sheafification, Theorem 5.5]。一个略有意思的选择，是只考虑那些忠实平坦环扩张 \(R \to R'\)，其中 \(R'\) 的基数受到适当限制。（若像 SGA4 那样考虑某个固定宇宙中的所有概形，便是用一个强不可达基数来限制该基数。）然而，把这个基数换成更大的基数后会发生什么，并不十分清楚。

基于这些原因，我们不引入 fpqc 位点，也不考虑关于 fpqc 拓扑的上同调。

另一方面，给定反变函子 \(F : \Sch^{opp} \to \textit{Sets}\)，考察 \(F\) 是否满足 fpqc 拓扑的层性质是有意义的，见下文。此外，还可以研究 fpqc 拓扑中对象的下降等问题。简言之，对某些结果而言，恰当的一般性正是使用 fpqc 覆盖。

引理

设 \(T\) 为概形。

若 \(T' \to T\) 是同构，则 \(\{T' \to T\}\) 是 \(T\) 的 fpqc 覆盖。

若 \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) 是 fpqc 覆盖，并且对每个 \(i\) 都有 fpqc 覆盖 \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\)，则 \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\) 是 fpqc 覆盖。

若 \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) 是 fpqc 覆盖，且 \(T' \to T\) 是概形态射，则 \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\) 是 fpqc 覆盖。

证明

第 (1) 项是立即的。回忆平坦态射的复合是平坦的，而平坦态射的基变换也是平坦的（Morphisms, Lemmas 01U9 and 01U7）。因此在每种情形下，均可应用 Lemma 03L7 验证所给态射族为 fpqc 覆盖。

第 (2) 项的证明。设 \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) 是 fpqc 覆盖，并且对每个 \(i\) 都有 fpqc 覆盖 \(\{f_{ij} : T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\)。设 \(U \subset T\) 为仿射开集。可对 \(i \in I\) 找到拟紧开集 \(U_i \subset T_i\)，其中除有限多个外均为空，并且 \(U = \bigcup f_i(U_i)\)。于是对每个 \(i\)，可对 \(j \in J_i\) 选取拟紧开集 \(U_{ij} \subset T_{ij}\)，其中除有限多个外均为空，并满足 \(U_i = \bigcup_j f_{ij}(U_{ij})\)。因此 \(\{T_{ij} \to T\}\) 是 fpqc 覆盖。

第 (3) 项的证明。设 \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) 是 fpqc 覆盖，且 \(T' \to T\) 是概形态射。设 \(U' \subset T'\) 为映入仿射开集 \(U \subset T\) 的仿射开集。选取拟紧开集 \(U_i \subset T_i\)，其中除有限多个外均为空，并使 \(U = \bigcup f_i(U_i)\)。则 \(U' \times_U U_i\) 是 \(T' \times_T T_i\) 的拟紧开集，并且 \(U' = \bigcup \text{pr}_1(U' \times_U U_i)\)。由于 \(T'\) 可由这样的仿射开集 \(U' \subset T'\) 覆盖，Lemma 03L7 表明 \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\) 是 fpqc 覆盖。

引理

设 \(T\) 为仿射概形，\(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 为 \(T\) 的 fpqc 覆盖。则存在加细 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 的 fpqc 覆盖 \(\{U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, n}\)，使每个 \(U_j\) 都是仿射概形。此外，还可选取每个 \(U_j\)，使其为某个 \(T_i\) 中的仿射开集。

证明

这直接由定义得出。

定义

设 \(T\) 为仿射概形。\(T\) 的一个标准 fpqc 覆盖，是一个态射族 \(\{f_j : U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, n}\)，其中每个 \(U_j\) 都是仿射的、在 \(T\) 上平坦，并且 \(T = \bigcup f_j(U_j)\)。

由于我们不引入仿射位点，必须直接证明所有标准 fpqc 覆盖的集合满足公理。

引理

设 \(T\) 为仿射概形。

若 \(T' \to T\) 是同构，则 \(\{T' \to T\}\) 是 \(T\) 的标准 fpqc 覆盖。

若 \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) 是标准 fpqc 覆盖，并且对每个 \(i\) 都有标准 fpqc 覆盖 \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\)，则 \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\) 是标准 fpqc 覆盖。

若 \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) 是标准 fpqc 覆盖，且 \(T' \to T\) 是仿射概形态射，则 \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\) 是标准 fpqc 覆盖。

证明

这形式地源于以下事实：平坦态射的复合和基变换都是平坦的（Morphisms, Lemmas 01U9 and 01U7），而仿射概形的纤维积仍为仿射概形（Schemes, Lemma 01JQ）。

引理

设 \(T\) 为概形，\(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) 为一族以 \(T\) 为目标的概形态射。假设：

每个 \(f_i\) 都是平坦的；并且

对每个仿射概形 \(Z\) 及态射 \(h : Z \to T\)，都存在标准 fpqc 覆盖 \(\{Z_j \to Z\}_{j = 1, \ldots, n}\)，它加细态射族 \(\{T_i \times_T Z \to Z\}_{i \in I}\)。

则 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 \(T\) 的 fpqc 覆盖。

证明

设 \(T = \bigcup U_\alpha\) 为仿射开覆盖。对每个 \(\alpha\)，拉回态射族 \(\{T_i \times_T U_\alpha \to U_\alpha\}\) 可由标准 fpqc 覆盖加细，故由 Lemma 03L8，它是 fpqc 覆盖。又因 \(\{U_\alpha \to T\}\) 是 fpqc 覆盖，Lemma 03L9 表明 \(\{T_i \to T\}\) 是 fpqc 覆盖。

定义

设 \(F\) 是从概形范畴到集合范畴的反变函子。

设 \(\{U_i \to T\}_{i \in I}\) 为一族具有固定目标的概形态射。若对任意一族元素 \(\xi_i \in F(U_i)\)，只要 \(\xi_i|_{U_i \times_T U_j} = \xi_j|_{U_i \times_T U_j}\)，就存在唯一元素 \(\xi \in F(T)\)，使得在 \(F(U_i)\) 中有 \(\xi_i = \xi|_{U_i}\)，则称 \(F\) 对给定态射族满足层性质。

若该函子对任意 fpqc 覆盖都满足层性质，则称 \(F\) 满足 fpqc 拓扑的层性质。

在这种情形下，我们尽量避免使用“\(F\) 是一个层”这一术语，因为如上所述，我们并未定义 fpqc 层的范畴。

引理

设 \(F\) 是从概形范畴到集合范畴的反变函子。则 \(F\) 满足 fpqc 拓扑的层性质，当且仅当它满足：

对每个 Zariski 覆盖的层性质；以及

对任意标准 fpqc 覆盖的层性质。

此外，在 (1) 成立的前提下，性质 (2) 等价于下列性质：

对 \(\{V \to U\}\) 的层性质，其中 \(V\)、\(U\) 均为仿射概形，且 \(V \to U\) 忠实平坦。

证明

假设 (1) 和 (2) 成立。设 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) 为 fpqc 覆盖，并设 \(s_i \in F(T_i)\) 为一族元素，使得 \(s_i\) 与 \(s_j\) 映到 \(F(T_i \times_T T_j)\) 中的同一元素。令 \(W \subset T\) 为满足下列性质的最大开子集：存在唯一的 \(s \in F(W)\)，使得对所有 \(i\) 都有 \(s|_{f_i^{-1}(W)} = s_i|_{f_i^{-1}(W)}\)。这样的最大开集存在，因为 \(F\) 对 Zariski 覆盖满足层性质；事实上，\(W\) 是所有具有此性质的开集之并。设 \(t \in T\)。我们将证明 \(t \in W\)。为此，选取仿射开集 \(t \in U \subset T\)，并证明存在唯一的 \(s \in F(U)\)，使得对所有 \(i\) 都有 \(s|_{f_i^{-1}(U)} = s_i|_{f_i^{-1}(U)}\)。

由 Lemma 022E，可找到加细 \(\{U \times_T T_i \to U\}\) 的标准 fpqc 覆盖 \(\{U_j \to U\}_{j = 1, \ldots, n}\)；设给出加细的态射为 \(h_j : U_j \to T_{i_j}\)。由 (2)，得到唯一元素 \(s \in F(U)\)，满足 \(s|_{U_j} = F(h_j)(s_{i_j})\)。注意，对于任意 \(U\) 上的概形 \(V \to U\)，都存在唯一截面 \(s_V \in F(V)\)，使其在 \(V \times_U U_j\) 上的限制为 \(F(h_j \circ \text{pr}_2)(s_{i_j})\)，其中 \(j = 1, \ldots, n\)。确实，若 \(V\) 仿射，则因 \(\{V \times_U U_j \to V\}\) 是标准 fpqc 覆盖，这由 (2) 成立；一般情形则通过选取 \(V\) 的仿射开覆盖，由 (1) 和仿射情形得出。特别地，\(s_V = s|_V\)。现在取 \(V = U \times_T T_i\)，并利用 \(s_{i_j}|_{T_{i_j} \times_T T_i} = s_i|_{T_{i_j} \times_T T_i}\)，可得 \(s|_{U \times_T T_i} = s_V = s_i|_{U \times_T T_i}\)，这正是所需结论。

在 (1) 成立的前提下证明 (2) 与 (2’) 等价。设 \(\{T_i \to T\}\) 是标准 fpqc 覆盖，则 \(\coprod T_i \to T\) 是仿射概形之间的忠实平坦态射。在 (1) 成立的前提下，有 \(F(\coprod T_i) = \prod F(T_i)\)，类似地还有 \(F((\coprod T_i) \times_T (\coprod T_i)) = \prod F(T_i \times_T T_{i'})\)。因此，\(\{T_i \to T\}\) 与 \(\{\coprod T_i \to T\}\) 的层条件相同。

下面这个引理只是为了指出，集合论困难确实会出现；大多数读者可以忽略它。

引理

设 \(R\) 为非零环。不存在由 \(\Spec(R)\) 的 fpqc 覆盖组成的集合 \(A\)，使得每个 fpqc 覆盖都可由 \(A\) 的某个元素加细。

证明

先说明 \(R = k\) 为域的情形。对任意集合 \(I\)，考虑纯超越域扩张 \(k_I = k(\{t_i\}_{i \in I})/k\)。由于 \(k \to k_I\) 忠实平坦， \(\{\Spec(k_I) \to \Spec(k)\}\) 是 fpqc 覆盖。设 \(A\) 为集合，并对每个 \(\alpha \in A\)，令 \(\mathcal{U}_\alpha = \{S_{\alpha, j} \to \Spec(k)\}_{j \in J_\alpha}\) 为 fpqc 覆盖。若 \(\mathcal{U}_\alpha\) 加细 \(\{\Spec(k_I) \to \Spec(k)\}\)，则各态射 \(S_{\alpha, j} \to \Spec(k)\) 都经由 \(\Spec(k_I)\) 分解。由于 \(\mathcal{U}_\alpha\) 是覆盖，至少有某个 \(S_{\alpha, j}\) 非空。选取一点 \(s \in S_{\alpha, j}\)。由分解 \(S_{\alpha, j} \to \Spec(k_I) \to \Spec(k)\)，得到域同态 \(k_I \to \kappa(s)\)。特别地，\(\kappa(s)\) 的基数至少是 \(I\) 的基数。因此，若取集合 \(I\) 的基数大于所有概形 \(S_{\alpha, j}\) 的剩余域的基数，则不存在这样的分解，引理对 \(R = k\) 成立。

一般情形。由于 \(R\) 非零，它有一个极大素理想 \(\mathfrak m\)，其剩余域为 \(\kappa\)。设 \(I\) 为集合，并考虑 \(R_I = S_I^{-1} R[\{t_i\}_{i \in I}]\)，其中 \(S_I \subset R[\{t_i\}_{i \in I}]\) 是由如下元素 \(f \in R[\{t_i\}_{i \in I}]\) 组成的乘法子集：对 \(R\) 的每个素理想 \(\mathfrak p\)，\(f\) 在 \(R/\mathfrak p[\{t_i\}_{i \in I}]\) 中的像均非零。则 \(R_I\) 是忠实平坦的 \(R\)-代数，而 \(\{\Spec(R_I) \to \Spec(R)\}\) 是 fpqc 覆盖。留给读者作为练习证明，沿用上述记号，有 \(R_I \otimes_R \kappa \cong \kappa(\{t_i\}_{i \in I}) = \kappa_I\) （提示：利用 \(R \to \kappa\) 是满射，以及任意 \(f \in R[\{t_i\}_{i \in I}]\)，只要其某个单项式的系数为 \(1\)，便属于 \(S_I\)）。设 \(A\) 为集合，并对每个 \(\alpha \in A\)，令 \(\mathcal{U}_\alpha = \{S_{\alpha, j} \to \Spec(R)\}_{j \in J_\alpha}\) 为 fpqc 覆盖。若 \(\mathcal{U}_\alpha\) 加细 \(\{\Spec(R_I) \to \Spec(R)\}\)，则基变换给出 \(\{S_{\alpha, j} \times_{\Spec(R)} \Spec(\kappa) \to \Spec(\kappa)\}\) 加细 \(\{\Spec(\kappa_I) \to \Spec(\kappa)\}\)。因此，由前一段的结果，存在某个 \(I\) 使其不成立，于是引理得证。

V 拓扑

V 拓扑强于本章中的所有其他拓扑。粗略地说，它由 Zariski 覆盖以及满足特化提升性质的拟紧态射生成（Lemma 0ETN）。不过，我们用来定义 V 覆盖的步骤略有不同。我们将先定义仿射概形的标准 V 覆盖，再用它们定义一般的 V 覆盖。记号方面，在文献中有时用 “\(v\)-覆盖”代替“V 覆盖”。

定义

设 \(T\) 为仿射概形。一个标准 V 覆盖是有限族 \(\{T_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)，其中 \(T_j\) 仿射，并且对每个态射 \(g : \Spec(V) \to T\)，只要 \(V\) 是赋值环，就存在赋值环扩张 \(V \subset W\)（More on Algebra, Definition 0ASG）、指标 \(1 \leq j \leq m\) 以及交换图 \[\xymatrix{ \Spec(W) \ar[r] \ar[d] & T_j \ar[d] \\ \Spec(V) \ar[r]^g & T }\]

我们先证明关于这一概念的几个基本引理。

引理

标准 fpqc 覆盖是标准 V 覆盖。

证明

设 \(\{X_i \to X\}_{i = 1, \ldots, n}\) 为标准 fpqc 覆盖（Definition 022F）。设 \(g : \Spec(V) \to X\) 为态射，其中 \(V\) 是赋值环。令 \(x \in X\) 为 \(\Spec(V)\) 的闭点之像。选取一个 \(i\) 以及映到 \(x\) 的点 \(x_i \in X_i\)。则 \(\Spec(V) \times_X X_i\) 有一点 \(x'_i\)，它映到 \(\Spec(V)\) 的闭点。由于 \(\Spec(V) \times_X X_i \to \Spec(V)\) 平坦，可找到 \(\Spec(V) \times_X X_i\) 中点的一个特化 \(x''_i \leadsto x'_i\)，其中 \(x''_i\) 映到 \(\Spec(V)\) 的泛点；见 Morphisms, Lemma 03HV。由 Schemes, Lemma 01J8，可选取赋值环 \(W\) 以及态射 \(h : \Spec(W) \to \Spec(V) \times_X X_i\)，使得 \(h\) 将 \(\Spec(W)\) 的泛点映到 \(x''_i\)，并将 \(\Spec(W)\) 的闭点映到 \(x'_i\)。由此得到交换图 \[\xymatrix{ \Spec(W) \ar[r] \ar[d] & X_i \ar[d] \\ \Spec(V) \ar[r] & X }\] 其中 \(V \to W\) 是赋值环扩张。这就证明了引理。

引理

标准 ph 覆盖是标准 V 覆盖。

证明

设 \(T\) 为仿射概形，\(f : U \to T\) 为固有满射态射，并设 \(U = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\) 为有限仿射开覆盖。我们必须证明 \(\{U_j \to T\}\) 是标准 V 覆盖；见 Definition 0DBD。设 \(g : \Spec(V) \to T\) 为态射，其中 \(V\) 是以 \(K\) 为分式域的赋值环。由于 \(U \to T\) 满射，可以选取域扩张 \(L/K\) 以及交换图 \[\xymatrix{ \Spec(L) \ar[rr] \ar[d] & & U \ar[d] \\ \Spec(K) \ar[r] & \Spec(V) \ar[r]^g & T }\] 由 Algebra, Lemma 00IA，可选取支配 \(V\) 的赋值环 \(W \subset L\)。再由固有性的赋值判别准则（Morphisms, Lemma 0BX5），可在下列交换图中找到态射 \(h\)： \[\xymatrix{ \Spec(L) \ar[r] \ar[d] & \Spec(W) \ar[r]_h \ar[d] & U \ar[d] \\ \Spec(K) \ar[r] & \Spec(V) \ar[r]^g & X }\] 由于 \(\Spec(W)\) 有唯一闭点，可见对某个 \(j\) 有 \(\Im(h)\) 包含于 \(U_j\)。因此，\(h : \Spec(W) \to U_j\) 是所需的提升，从而 \(\{U_j \to T\}\) 是标准 V 覆盖。

引理

设 \(\{T_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) 为标准 V 覆盖，并设 \(T' \to T\) 为仿射概形态射。则 \(\{T_j \times_T T' \to T'\}_{j = 1, \ldots, m}\) 是标准 V 覆盖。

证明

设 \(\Spec(V) \to T'\) 为态射，其中 \(V\) 是赋值环。由假设，可找到赋值环扩张 \(V \subset W\)、一个 \(i\) 以及交换图 \[\xymatrix{ \Spec(W) \ar[r] \ar[d] & T_i \ar[d] \\ \Spec(V) \ar[r] & T }\] 由纤维积的泛性质，得到所需的态射 \(\Spec(W) \to T' \times_T T_i\)。

引理

设 \(T\) 为仿射概形，\(\{T_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) 为标准 V 覆盖，并设 \(\{T_{ji} \to T_j\}_{i = 1, \ldots n_j}\) 为标准 V 覆盖。则 \(\{T_{ji} \to T\}_{i, j}\) 是标准 V 覆盖。

证明

这形式地源于以下观察：若 \(V \subset W\) 与 \(W \subset \Omega\) 是赋值环扩张，则 \(V \subset \Omega\) 也是赋值环扩张。

引理

设 \(T\) 为仿射概形，\(\{T_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) 为一族态射，其中对所有 \(j\)，\(T_j\) 均仿射。下列条件等价：

\(\{T_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) 是标准 V 覆盖；

存在加细 \(\{T_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) 的标准 V 覆盖；

\(\{\coprod_{j = 1, \ldots, m} T_j \to T\}\) 是标准 V 覆盖。

证明

证明从略。提示：这几乎立即由定义得出。唯一略有意思之处是，从局部环的谱到 \(\coprod_{j = 1, \ldots, m} T_j\) 的态射必经由某个 \(T_j\) 分解。

定义

设 \(T\) 为概形。\(T\) 的一个V 覆盖，是概形态射族 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)，使得对每个仿射开集 \(U \subset T\)，都存在标准 V 覆盖 \(\{U_j \to U\}_{j = 1, \ldots, m}\)，它加细态射族 \(\{T_i \times_T U \to U\}_{i \in I}\)。

V 拓扑具有与 fpqc 拓扑相同的集合论问题。因此，我们不定义 V 位点，也不考虑关于 V 拓扑的上同调。另一方面，给定 \(F : \Sch^{opp} \to \textit{Sets}\)，考察 \(F\) 是否满足 V 拓扑的层性质是有意义的，见下文。此外，还可以研究 V 拓扑中对象的下降等问题。

引理

设 \(T\) 为概形，\(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) 为一族态射。下列条件等价：

\(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 V 覆盖；

存在加细 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 的 V 覆盖；

\(\{\coprod_{i \in I} T_i \to T\}\) 是 V 覆盖。

证明

证明从略。提示：与 Lemma 0ET9 的证明比较。

引理

设 \(T\) 为概形。

若 \(T' \to T\) 是同构，则 \(\{T' \to T\}\) 是 \(T\) 的 V 覆盖。

若 \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) 是 V 覆盖，并且对每个 \(i\) 都有 V 覆盖 \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\)，则 \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\) 是 V 覆盖。

若 \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) 是 V 覆盖，且 \(T' \to T\) 是概形态射，则 \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\) 是 V 覆盖。

证明

断言 (1) 是显然的。

第 (3) 项的证明。设 \(U' \subset T'\) 为仿射开子概形。由于 \(U'\) 拟紧，

可找到有限仿射开覆盖 \(U' = U'_1 \cup \ldots \cup U'\)，使得 \(U'_j \to T\) 映入某个仿射开集 \(U_j \subset T\)。选取加细 \(\{T_i \times_T U_j \to U_j\}\) 的标准 V 覆盖 \(\{U_{jl} \to U_j\}_{l = 1, \ldots, n_j}\)。由 Lemma 0ETE，基变换 \(\{U_{jl} \times_{U_j} U'_j \to U'_j\}\) 是标准 V 覆盖。注意， \(\{U'_j \to U'\}\) 是标准 V 覆盖（例如由 Lemma 0ETC）。由 Lemma 0ETF，态射族 \(\{U_{jl} \times_{U_j} U'_j \to U'\}\) 是标准 V 覆盖。由于 \(\{U_{jl} \times_{U_j} U'_j \to U'\}\) 加细 \(\{T_i \times_T U' \to U'\}\)，结论得证。

第 (2) 项的证明。设 \(U \subset T\) 为仿射开集。先选取加细 \(\{T_i \times_T U \to U\}\) 的标准 V 覆盖 \(\{U_k \to U\}_{k = 1, \ldots, m}\)。设该加细由 \(T\) 上的态射 \(U_k \to T_{i_k}\) 给出。则 \[\{T_{i_kj} \times_{T_{i_k}} U_k \to U_k\}_{j \in J_{i_k}}\] 由第 (3) 项是 V 覆盖。由于 \(U_k\) 仿射，可找到加细此态射族的标准 V 覆盖 \(\{U_{ka} \to U_k\}_{a = 1, \ldots, b_k}\)。再应用 Lemma 0ETF 可知，\(\{U_{ka} \to U\}\) 是加细 \(\{T_{ij} \times_T U \to U\}\) 的标准 V 覆盖。证明完毕。

引理

任意 fpqc 覆盖都是 V 覆盖。从而尤其，任意 fppf、syntomic、光滑、 étale 或 Zariski 覆盖都是 V 覆盖。此外，ph 覆盖也是 V 覆盖。

证明

fpqc 覆盖在仿射局部可由标准 fpqc 覆盖加细；见 Lemmas 022E。标准 fpqc 覆盖是标准 V 覆盖；见 Lemma 0ETC。因此，第一个陈述由我们用标准 V 覆盖给出的 V 覆盖定义得出。关于 fppf、syntomic、光滑、étale 或 Zariski 覆盖的结论，则源于它们都是 fpqc 覆盖；见 Lemma 022C。

关于 ph 覆盖的陈述以同样方式由 Lemma 0ETD 得出。

定义

设 \(F\) 是从概形范畴到集合范畴的反变函子。若 \(F\) 对任意 V 覆盖都满足层性质，则称它满足 V 拓扑的层性质 （见 Definition 022G）。

在这种情形下，我们尽量避免使用“\(F\) 是一个层”这一术语，因为如上所述，我们并未定义 V 层的范畴。

引理

设 \(F\) 是从概形范畴到集合范畴的反变函子。则 \(F\) 满足 V 拓扑的层性质，当且仅当它满足：

对每个 Zariski 覆盖的层性质；以及

对任意标准 V 覆盖的层性质。

此外，在 (1) 成立的前提下，性质 (2) 等价于下列性质：

对形如 \(\{V \to U\}\)（即只由一个箭头组成）的标准 V 覆盖满足层性质。

证明

假设 (1) 和 (2) 成立。设 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) 为 V 覆盖，并设 \(s_i \in F(T_i)\) 为一族元素，使得 \(s_i\) 与 \(s_j\) 映到 \(F(T_i \times_T T_j)\) 中的同一元素。令 \(W \subset T\) 为满足下列性质的最大开子集：存在唯一的 \(s \in F(W)\)，使得对所有 \(i\) 都有 \(s|_{f_i^{-1}(W)} = s_i|_{f_i^{-1}(W)}\)。这样的最大开集存在，因为 \(F\) 对 Zariski 覆盖满足层性质；事实上，\(W\) 是所有具有此性质的开集之并。设 \(t \in T\)。我们将证明 \(t \in W\)。为此，选取仿射开集 \(t \in U \subset T\)，并证明存在唯一的 \(s \in F(U)\)，使得对所有 \(i\) 都有 \(s|_{f_i^{-1}(U)} = s_i|_{f_i^{-1}(U)}\)。

可找到加细 \(\{U \times_T T_i \to U\}\) 的标准 V 覆盖 \(\{U_j \to U\}_{j = 1, \ldots, n}\)；设给出加细的态射为 \(h_j : U_j \to T_{i_j}\)。由 (2)，得到唯一元素 \(s \in F(U)\)，满足 \(s|_{U_j} = F(h_j)(s_{i_j})\)。注意，对于任意 \(U\) 上的概形 \(V \to U\)，都存在唯一截面 \(s_V \in F(V)\)，使其在 \(V \times_U U_j\) 上的限制为 \(F(h_j \circ \text{pr}_2)(s_{i_j})\)，其中 \(j = 1, \ldots, n\)。确实，若 \(V\) 仿射，则因 \(\{V \times_U U_j \to V\}\) 是标准 V 覆盖（Lemma 0ETE），这由 (2) 成立；一般情形则通过选取 \(V\) 的仿射开覆盖，由 (1) 和仿射情形得出。特别地， \(s_V = s|_V\)。现在取 \(V = U \times_T T_i\)，并利用 \(s_{i_j}|_{T_{i_j} \times_T T_i} = s_i|_{T_{i_j} \times_T T_i}\)，可得 \(s|_{U \times_T T_i} = s_V = s_i|_{U \times_T T_i}\)，这正是所需结论。

在 (1) 成立的前提下证明 (2) 与 (2’) 等价。设 \(\{T_i \to T\}_{i = 1, \ldots, n}\) 是标准 V 覆盖，则 \(\coprod_{i = 1, \ldots, n} T_i \to T\) 是仿射概形态射，且显然也是标准 V 覆盖。在 (1) 成立的前提下，有 \(F(\coprod T_i) = \prod F(T_i)\)，类似地还有 \(F((\coprod T_i) \times_T (\coprod T_i)) = \prod F(T_i \times_T T_{i'})\)。因此，\(\{T_i \to T\}\) 与 \(\{\coprod T_i \to T\}\) 的层条件相同。

下列引理表明，成为 V 覆盖与能否提升特化有关。

引理

设 \(X \to Y\) 为概形的拟紧态射。下列条件等价：

\(\{X \to Y\}\) 是 V 覆盖；

对任意赋值环 \(V\) 及态射 \(g : \Spec(V) \to Y\)，都存在赋值环扩张 \(V \subset W\) 以及交换图 \[\xymatrix{ \Spec(W) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(V) \ar[r] & Y }\]

对任意态射 \(Z \to Y\) 及 \(Z\) 中点的特化 \(z' \leadsto z\)，都存在 \(Z \times_Y X\) 中点的特化 \(w' \leadsto w\)，它映到 \(z' \leadsto z\)。

证明

假设 (1)，并设 \(g : \Spec(V) \to Y\) 如 (2) 中所述。由于 \(V\) 是局部环，存在仿射开集 \(U \subset Y\)，使 \(g\) 经由 \(U\) 分解。由 Definition 0ETH，可找到加细 \(\{X \times_Y U \to U\}\) 的标准 V 覆盖 \(\{U_j \to U\}\)。由 Definition 0ETB，可找到一个 \(j\)、赋值环扩张 \(V \subset W\) 以及交换图 \[\xymatrix{ \Spec(W) \ar[r] \ar[d] & U_j \ar[d] \ar@{..>}[r] & X \ar[ld] \\ \Spec(V) \ar[r] & Y }\] 由该覆盖的加细性质，存在使图交换的虚线箭头，从而 (2) 成立。

假设 (2)，并设 \(Z \to Y\) 与 \(z' \leadsto z\) 如 (3) 中所述。由 Schemes, Lemma 01J8，可找到赋值环 \(V\) 以及态射 \(\Spec(V) \to Z\)，使 \(\Spec(V)\) 的闭点映到 \(z\)，而 \(\Spec(V)\) 的泛点映到 \(z'\)。由 (2)，可找到赋值环扩张 \(V \subset W\) 以及交换图 \[\xymatrix{ \Spec(W) \ar[rr] \ar[d] & & X \ar[d] \\ \Spec(V) \ar[r] & Z \ar[r] & Y }\] \(\Spec(W)\) 的泛点和闭点，经由诱导态射 \(\Spec(W) \to Z \times_Y X\) 映到 \(Z \times_Y X\) 中的点 \(w' \leadsto w\)。这表明 (3) 成立。

假设 (3) 成立，并设 \(U \subset Y\) 为仿射开集。选取有限仿射开覆盖 \(U \times_Y X = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\)。这是可能的，因为 \(X \to Y\) 拟紧。我们断言 \(\{U_j \to U\}\) 是标准 V 覆盖。该断言蕴含 (1)，并将完成引理的证明。为证明此断言，设 \(V\) 为赋值环，并设 \(g : \Spec(V) \to U\) 为态射。由 (3)，可找到下列概形中点的特化 \(w' \leadsto w\)：

\[T = \Spec(V) \times_X Y = \Spec(V) \times_U (U \times_X Y)\] 其中 \(w'\) 映到 \(\Spec(V)\) 的泛点，而 \(w\) 映到 \(\Spec(V)\) 的闭点。由 Schemes, Lemma 01J8，可找到赋值环 \(W\) 以及态射 \(\Spec(W) \to T\)，使 \(\Spec(W)\) 的泛点映到 \(w'\)，而 \(\Spec(W)\) 的闭点映到 \(w\)。复合 \(\Spec(W) \to T \to \Spec(V)\) 对应于一个嵌入 \(V \subset W\)，它把 \(W\) 表为赋值环 \(V\) 的一个扩张。由于 \(T = \bigcup \Spec(V) \times_U U_j\) 是开覆盖，可见对某个 \(j\)， \(\Spec(W) \to T\) 经由 \(\Spec(V) \times_U U_j\) 分解。因此得到交换图 \[\xymatrix{ \Spec(W) \ar[d] \ar[r] & U_j \ar[d] \\ \Spec(V) \ar[r] & U }\] 断言得证。

V 覆盖给出一族普遍商映射。下列引理的逆命题不成立；见 Examples, Section 0EU8。

引理

设 \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) 为 V 覆盖。则 \[\coprod\nolimits_{i \in I} f_i : \coprod\nolimits_{i \in I} X_i \longrightarrow X\] 是概形的普遍商态射（Morphisms, Definition 040H）。

证明

以下不再另行说明地使用 V 覆盖的基变换仍是 V 覆盖这一事实（Lemma 0ETJ）。特别地，只需证明该态射是商态射。商态射这一性质显然在基底上是 Zariski 局部的。因此可假设 \(X\) 仿射。此时 \(\{X_i \to X\}\) 可由标准 V 覆盖 \(\{Y_j \to X\}\) 加细。若能证明 \(\coprod Y_j \to X\) 是商态射，则由分解 \(\coprod Y_j \to \coprod X_i \to X\) 可知 \(\coprod X_i \to X\) 是商态射。令 \(Y = \coprod Y_j\)，并考虑仿射概形态射 \(f : Y \to X\)。由 Lemma 0ETN，\(X\) 中任意特化 \(x' \leadsto x\) 均可提升为 \(Y\) 中的某个特化 \(y' \leadsto y\)。因此，若 \(T \subset X\) 为使 \(f^{-1}(T)\) 在 \(Y\) 中闭的子集，则 \(T \subset X\) 在特化下封闭。赋予 \(f^{-1}(T) \subset Y\) 诱导的既约闭子概形结构后，它是仿射概形，故由 Algebra, Lemma 00HY，\(T \subset X\) 是闭集。因此 \(f\) 是商态射。

拓扑的变换

设 \(f : X \to Y\) 是基概形 \(S\) 上的概形态射。此时有下列位点态射 ⁷ （按下面 Remark 03FF 中的方式适当选取位点）：

\((\Sch/X)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/Y)_{fppf}\),
\((\Sch/X)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/Y)_{syntomic}\),
\((\Sch/X)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/Y)_{smooth}\),
\((\Sch/X)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/Y)_\etale\),
\((\Sch/X)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/Y)_{Zar}\),
\((\Sch/X)_{syntomic} \longrightarrow (\Sch/Y)_{syntomic}\),
\((\Sch/X)_{syntomic} \longrightarrow (\Sch/Y)_{smooth}\),
\((\Sch/X)_{syntomic} \longrightarrow (\Sch/Y)_\etale\),
\((\Sch/X)_{syntomic} \longrightarrow (\Sch/Y)_{Zar}\),
\((\Sch/X)_{smooth} \longrightarrow (\Sch/Y)_{smooth}\),
\((\Sch/X)_{smooth} \longrightarrow (\Sch/Y)_\etale\),
\((\Sch/X)_{smooth} \longrightarrow (\Sch/Y)_{Zar}\),
\((\Sch/X)_\etale \longrightarrow (\Sch/Y)_\etale\),
\((\Sch/X)_\etale \longrightarrow (\Sch/Y)_{Zar}\),
\((\Sch/X)_{Zar} \longrightarrow (\Sch/Y)_{Zar}\),
\((\Sch/X)_{fppf} \longrightarrow Y_\etale\),
\((\Sch/X)_{syntomic} \longrightarrow Y_\etale\),
\((\Sch/X)_{smooth} \longrightarrow Y_\etale\),
\((\Sch/X)_\etale \longrightarrow Y_\etale\),
\((\Sch/X)_{fppf} \longrightarrow Y_{Zar}\),
\((\Sch/X)_{syntomic} \longrightarrow Y_{Zar}\),
\((\Sch/X)_{smooth} \longrightarrow Y_{Zar}\),
\((\Sch/X)_\etale \longrightarrow Y_{Zar}\),
\((\Sch/X)_{Zar} \longrightarrow Y_{Zar}\),
\(X_\etale \longrightarrow Y_\etale\),
\(X_\etale \longrightarrow Y_{Zar}\),
\(X_{Zar} \longrightarrow Y_{Zar}\),

在每种情形下，底层连续函子 \(\Sch/Y \to \Sch/X\) 或 \(Y_\tau \to \Sch/X\)，都是函子 \(Y'/Y \mapsto X \times_Y Y'/X\)。确实，在前面各节中，对上述 \(\tau\) 已经见到了态射 \(f_{big} : (\Sch/X)_\tau \to (\Sch/Y)_\tau\) 以及 \(f_{small} : X_\tau \to Y_\tau\)。我们还见到了位点态射 \(\pi_Y : (\Sch/Y)_\tau \to Y_\tau\)，其中 \(\tau \in \{\etale, Zariski\}\)。另一方面，当 \(\tau\) 是强于 \(\tau'\) 的拓扑时，恒等函子 \((\Sch/X)_\tau \to (\Sch/X)_{\tau'}\) 显然定义一个位点态射。因此，将这些态射复合便得到上面的所有可能态射。

由底层函子的简单描述可立即看出，给定概形态射 \(X \to Y \to Z\)，上面两个位点态射的复合，例如 \[(\Sch/X)_{\tau_0} \longrightarrow (\Sch/Y)_{\tau_1} \longrightarrow (\Sch/Z)_{\tau_2}\] 就是与概形态射 \(X \to Z\) 相应的位点态射。

注

从概形集合 \(\{X, Y, S\}\) 出发，任取一个按 Sets, Lemma 000J 构造的范畴 \(\Sch_\alpha\)。再从范畴 \(\Sch_\alpha\) 和 fppf 覆盖类出发，按 Sets, Lemma 000X 任取 \(\Sch_\alpha\) 上的覆盖集合 \(\text{Cov}_{fppf}\)。以 \(\Sch_{fppf}\) 表示由此得到的大 fppf 位点。接着，对 \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic\}\)，令 \(\Sch_\tau\) 与 \(\Sch_{fppf}\) 具有相同的底层范畴，并令其覆盖 \(\text{Cov}_\tau \subset \text{Cov}_{fppf}\) 恰为其中的 \(\tau\)-覆盖。容易验证，这给出一个大位点 \(\Sch_\tau\)。

大位点的变换

本节说明变换大 Zariski/fppf/étale 位点时会发生什么。

设 \(\tau, \tau' \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\)。给定两个大位点 \(\Sch_\tau\) 和 \(\Sch'_{\tau'}\)，若 \(\Ob(\Sch_\tau) \subset \Ob(\Sch'_{\tau'})\) 且 \(\text{Cov}(\Sch_\tau) \subset \text{Cov}(\Sch'_{\tau'})\)，则称 \(\Sch_\tau\) 包含于 \(\Sch'_{\tau'}\)。在这种情形下，\(\tau\) 强于 \(\tau'\)；例如，任何 fppf 位点都不可能包含于一个 étale 位点。

引理

任意一组大 Zariski 位点都包含于某个共同的大 Zariski 位点。作必要变更后，同样的结论对大 fppf 位点和大 étale 位点也成立。

证明

这是因为一组集合的并仍是集合，而且 Sets, Lemmas 000J and 000X 中的构造允许从任意预先给定的概形和覆盖集合出发。

引理

设 \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\)。给定大位点 \(\Sch_\tau\) 和 \(\Sch'_\tau\)，并假设 \(\Sch_\tau\) 包含于 \(\Sch'_\tau\)。包含函子 \(\Sch_\tau \to \Sch'_\tau\) 满足 Sites, Lemma 00XU 的假设。存在拓扑斯态射 \[\begin{eqnarray*} g : \Sh(\Sch_\tau) & \longrightarrow & \Sh(\Sch'_\tau) \\ f : \Sh(\Sch'_\tau) & \longrightarrow & \Sh(\Sch_\tau) \end{eqnarray*}\] 使得 \(f \circ g \cong \text{id}\)。对 \(\Sch_\tau\) 的任意对象 \(S\)，包含函子 \((\Sch/S)_\tau \to (\Sch'/S)_\tau\) 也满足 Sites, Lemma 00XU 的假设。因此类似地得到态射 \[\begin{eqnarray*} g : \Sh((\Sch/S)_\tau) & \longrightarrow & \Sh((\Sch'/S)_\tau) \\ f : \Sh((\Sch'/S)_\tau) & \longrightarrow & \Sh((\Sch/S)_\tau) \end{eqnarray*}\] 满足 \(f \circ g \cong \text{id}\)。

证明

对函子 \(\Sch_\tau \to \Sch'_\tau\) 和 \((\Sch/S)_\tau \to (\Sch'/S)_\tau\)，Sites, Lemma 00XU 的假设 (b)、(c)、(e) 是立即成立的。性质 (a) 由 Lemma 03WV、 03WW、03WZ、 03X2 或 03WX 成立。性质 (d) 成立，是因为范畴 \(\Sch_\tau\)、\(\Sch'_\tau\) 中的纤维积存在，并且与概形范畴中的纤维积相容。

讨论：函子 \(g^{-1} = f_*\) 就是限制函子，它把 \(\Sch'_\tau\) 上的层 \(\mathcal{G}\) 送到其限制 \(\mathcal{G}|_{\Sch_\tau}\)。因此，该引理就是说，给定 \(\Sch_\tau\) 上的任意集合层 \(\mathcal{F}\)，都存在 \(\Sch'_\tau\) 上的一个典范层 \(\mathcal{F}'\)，使得

\(\mathcal{F}|_{\Sch'_\tau} = \mathcal{F}'\)。事实上，层 \(\mathcal{F}'\) 有如下描述：它是下列预层的层化： \[\Sch'_\tau \longrightarrow \textit{Sets}, \quad V \longmapsto \colim_{V \to U} \mathcal{F}(U)\] 其中 \(U\) 是 \(\Sch_\tau\) 的对象。确实，由 Sites, Lemmas 00XR and 00XU，有 \(\mathcal{F}' = f^{-1}\mathcal{F} = (u_p\mathcal{F})^\#\)。

函子的延拓

先从一个说明我们所做之事的简单例子开始。设 \(R\) 为环，并设 \(F\) 是定义在如下形状的 \(R\)-代数所成范畴 \(\mathcal{C}\) 上的函子： \[A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\] 其中 \(n, m \geq 0\) 为整数，而 \(f_1, \ldots, f_m \in R[x_1, \ldots, x_n]\) 为元素。于是对任意 \(R\)-代数 \(B\)，可定义 \[F'(B) = \colim_{A \to B,\ A \in \mathcal{C}} F(A)\] 事实表明，\(F'\) 是所有 \(R\)-代数所成范畴上唯一既延拓 \(F\) 又与滤过余极限交换的函子。若要求所给函子是 Zariski 层，同样的步骤也适用于概形范畴。

引理

设 \(S\) 为概形，\(\mathcal{C}\) 为 \(S\) 上所有概形所成范畴 \(\Sch/S\) 的充满子范畴。假设：

若 \(X \to S\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象，且 \(U \subset X\) 为仿射开集，则 \(U \to S\) 同构于 \(\mathcal{C}\) 的一个对象；

若 \(V\) 是位于仿射开集 \(U \subset S\) 上的仿射概形，且 \(V \to U\) 是有限表示的，则 \(V \to S\) 同构于 \(\mathcal{C}\) 的一个对象。

设 \(F : \mathcal{C}^{opp} \to \textit{Sets}\) 为函子。假设：

对任意 Zariski 覆盖 \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\)，若 \(X, X_i\) 均为 \(\mathcal{C}\) 的对象，则 \(F\) 对此态射族满足层条件 ⁸；

若 \(X = \lim X_i\) 是 \(S\) 上仿射概形的有向极限，且 \(X, X_i\) 均为 \(\mathcal{C}\) 的对象，则 \(F(X) = \colim F(X_i)\)。

则存在唯一方式把 \(F\) 延拓为函子 \(F' : (\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\)，使其满足 (a)、(b) 的类似条件；也就是说，\(F'\) 对任意 Zariski 覆盖满足层条件，并且每当 \(X = \lim X_i\) 是 \(S\) 上仿射概形的有向极限时，都有 \(F'(X) = \colim F'(X_i)\)。

证明

思路是先把 \(F\) 延拓到 \(S\) 上足够大的一类仿射概形，再利用 Zariski 层性质延拓到所有概形。

设 \(V\) 是 \(S\) 上的仿射概形，其结构态射 \(V \to S\) 经由某个仿射开集 \(U \subset S\) 分解。在这种情形下，可写成 \[V = \lim V_i\] 这一余滤过极限，其中 \(V_i \to U\) 为有限表示的，且 \(V_i\) 仿射。见 Algebra, Lemma 00QN。由条件 (1) 和 (2)，可将各 \(V_i\) 替换为 \(\mathcal{C}\) 的对象。注意，\(V_i \to S\) 是局部有限表示的（若 \(S\) 拟分离，则这些态射事实上是有限表示的）。于是令 \[F'(V) = \colim F(V_i)\] 事实上，可以给出一个更典范的表达式： \[F'(V) = \colim_{V \to V'} F(V')\] 其中余极限取遍 \(S\) 上的态射 \(V \to V'\) 所成范畴；这里 \(V'\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象，且其结构态射 \(V' \to S\) 局部有限表示。这个表达式与第一个公式相同，是因为由 Limits, Proposition 01ZC，逆系统 \(V_i\) 在此范畴中共尾！最后注意，若 \(V\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象，则由假设 (b) 有 \(F'(V) = F(V)\)。

第二个公式把 \(F'\) 变成如下范畴上的反变函子：其对象为 \(S\) 上的仿射概形 \(V\)，且其结构态射经由 \(S\) 的某个仿射开集分解。设 \(V\) 是 \(S\) 上这样的仿射概形，并设 \(V = \bigcup_{k = 1, \ldots, n} V_k\) 是由仿射开集组成的有限开覆盖。此时可以问 \(F'\) 对这个开覆盖是否满足层条件。答案是肯定的，而且容易证明：如前一段写成 \(V = \lim V_i\)。由 Limits, Lemma 01Z4，对所有充分大的 \(i\)，可找到与转移映射相容的仿射开集 \(V_{i, k} \subset V_i\)，它们拉回为 \(V\) 中的 \(V_k\)。因此 \[F'(V_k) = \colim F(V_{i, k}) \quad\text{且}\quad F'(V_k \cap V_l) = \colim F(V_{i, k} \cap V_{i, l})\] 严格地说，在这些公式中，应用函子 \(F\) 之前，必须把 \(V_{i, k}\) 和 \(V_{i, k} \cap V_{i, l}\) 替换为与其同构的 \(\mathcal{C}\) 中仿射对象。由于 \(I\) 有向，余极限可穿过等化子。因此，

\(F\) 对 Zariski 覆盖 \(\{V_{i, k} \to V_i\}\) 的层条件 (b) 蕴含 \(F'\) 对所给覆盖的层条件。

设 \(X\) 为 \(S\) 上的一般概形。以 \(\mathcal{B}_X\) 表示 \(X\) 的如下仿射开集所成的集合：其到 \(S\) 的结构态射映入 \(S\) 的某个仿射开集。显然， \(\mathcal{B}_X\) 是 \(X\) 的拓扑基。由前一段的结果及 Sheaves, Lemma 009L，可知 \(F'\) 是 \(\mathcal{B}_X\) 上的层。因此，\(F'\) 在 \(\mathcal{B}_X\) 上的限制唯一地延拓为 \(X\) 上的层 \(F'_X\)；见 Sheaves, Lemma 009N。若 \(X\) 是 \(\mathcal{C}\) 的对象，则由于 \(F'\) 与 \(F\) 在二者均有定义的对象上一致，并且 \(F\) 对 Zariski 覆盖满足层条件，得到典范识别 \(F'_X(X) = F(X)\)。

设 \(f : X \to Y\) 为 \(S\) 上的概形态射。得到从 \(F'_Y\) 到 \(F'_X\) 的唯一 \(f\)-映射，它与所有映射 \(F'(V) \to F'(U)\) 相容；这里 \(U \in \mathcal{B}_X\)、\(V \in \mathcal{B}_Y\) 且 \(f(U) \subset V\)。见 Sheaves, Lemma 009X。关于给定 \(S\) 上概形态射 \(X \to Y \to Z\) 时这些映射正确复合的验证从略。我们也略去如下验证：若 \(f\) 是 \(\mathcal{C}\) 的态射，则经由上述识别 \(F'_X(X) = F(X)\) 和 \(F'_Y(Y) = F(Y)\)，诱导映射 \(F'_Y(Y) \to F'_X(X)\) 与映射 \(F(Y) \to F(X)\) 相同。由此可见， \(F\) 的所需延拓就是把 \(X/S\) 送到 \(F'_X(X)\) 的函子。

函子 \(X \mapsto F'_X(X)\) 的性质 (a) 几乎立即由构造得到；细节从略。设 \(X = \lim_{i \in I} X_i\) 是 \(S\) 上仿射概形的有向极限。必须证明 \[F'_X(X) = \colim_{i \in I} F'_{X_i}(X_i)\] 先假设存在某个 \(i \in I\)，使 \(X_i \to S\) 经由仿射开集 \(U \subset S\) 分解。则 \(F'\) 在 \(X\) 以及 \(i' \geq i\) 时的 \(X_{i'}\) 上均有定义，并且当 \(i' \geq i\) 时有 \(F'_{X_{i'}}(X_{i'}) = F'(X_{i'})\)，同时 \(F'_X(X) = F'(X)\)。在这种情形下，每个态射 \(X \to V\)，其中 \(V\) 在 \(S\) 上局部有限表示，都对某个 \(i' \geq i\) 分解为 \(X \to X_{i'} \to V\)；见 Limits, Proposition 01ZC。因此有 \[\begin{align*} F'_X(X) & = F'(X) \\ & = \colim_{X \to V} F(V) \\ & = \colim_{i' \geq i} \colim_{X_{i'} \to V} F(V) \\ & = \colim_{i' \geq i} F'(X_{i'}) \\ & = \colim_{i' \geq i} F'_{X_{i'}}(X_{i'}) \\ & = \colim_{i' \in I} F'_{X_{i'}}(X_{i'}) \end{align*}\] 这正是所需结论。最后，在一般情形下，任取 \(i \in I\)，并选取有限仿射开覆盖

\(V_i = V_{i, 1} \cup \ldots \cup V_{i, n}\)，使 \(V_{i, k} \to S\) 经由 \(S\) 的某个仿射开集分解。令 \(V_k \subset V\) 以及 \(i' \geq i\) 时的 \(V_{i', k}\) 为 \(V_{i, k}\) 的逆像。由前一种情形可知 \[F'_{V_k}(V_k) = \colim_{i' \geq i} F'_{V_{i', k}}(V_{i', k})\] and \[F'_{V_k \cap V_l}(V_k \cap V_l) = \colim_{i' \geq i} F'_{V_{i', k} \cap V_{i', l}}(V_{i', k} \cap V_{i', l})\] 由层性质和滤过余极限的正合性，在这种情形下也得到 \(F'_X(X) = \colim_{i \in I} F'_{X_i}(X_i)\)。这完成了性质 (b) 的证明，从而也完成了引理的证明。

引理

设 \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\)。设 \(T\) 为仿射概形，它写成仿射概形的有向逆系统的极限 \(T = \lim_{i \in I} T_i\)。

设 \(\mathcal{V} = \{V_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) 为 \(T\) 的标准 \(\tau\)-覆盖；见 Definitions 020R, 0219, 0223, 0229, and 021Q。则存在指标 \(i\) 以及标准 \(\tau\)-覆盖 \(\mathcal{V}_i = \{V_{i, j} \to T_i\}_{j = 1, \ldots, m}\)，使其到 \(T\) 的基变换 \(T \times_{T_i} \mathcal{V}_i\) 同构于 \(\mathcal{V}\)。

设 \(\mathcal{V}_i\)、\(\mathcal{V}'_i\) 为 \(T_i\) 的一对标准 \(\tau\)-覆盖。若 \(f : T \times_{T_i} \mathcal{V}_i \to T \times_{T_i} \mathcal{V}'_i\) 是 \(T\) 的覆盖之间的态射，则存在指标 \(i' \geq i\) 以及态射

\(f_{i'} : T_{i'} \times_{T_i} \mathcal{V} \to T_{i'} \times_{T_i} \mathcal{V}'_i\) 其到 \(T\) 的基变换为 \(f\)。

若

\(f, g : \mathcal{V} \to \mathcal{V}'_i\) 是 \(T_i\) 的标准 \(\tau\)-覆盖之间的态射，并且它们到 \(T\) 的基变换 \(f_T, g_T\) 相等，则存在指标 \(i' \geq i\)，使得 \(f_{T_{i'}} = g_{T_{i'}}\)。

换言之，\(T\) 的标准 \(\tau\)-覆盖所成范畴，是 \(T_i\) 的标准 \(\tau\)-覆盖所成范畴在 \(I\) 上的余极限。

证明

先对 \(\tau = fppf\) 证明。由 Limits, Lemma 01ZM，\(T\) 上有限表示概形所成范畴，是 \(T_i\) 上有限表示范畴在 \(I\) 上的余极限。由 Limits, Lemmas 01ZN and 04AI，对 \(T\) 上既仿射、平坦又有限表示的概形所成范畴，同样的结论成立。为完成引理的证明，只需证明：若 \(\{V_{j, i} \to T_i\}_{j = 1, \ldots, m}\) 是有限族平坦有限表示态射，其中 \(V_{j, i}\) 仿射，且基变换 \(\coprod_j T \times_{T_i} V_{j, i} \to T\) 满射，则对某个 \(i' \geq i\)，态射

\(\coprod T_{i'} \times_{T_i} V_{j, i} \to T_{i'}\) 是满射。是满射。分别以 \(W_{i'} \subset T_{i'}\) 和 \(W \subset T\) 表示其像。由假设当然有 \(W = T\)。由于这些态射平坦且有限表示，可见 \(W_i\) 是 \(T_i\) 的拟紧开集；见 Morphisms, Lemma 01UA。此外，\(W = T \times_{T_i} W_i\)（取像与基变换交换）。因此，由 Limits, Lemma 01Z4，对某个充分大的 \(i'\) 有 \(W_{i'} = T_{i'}\)，结论得证。

当 \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic\}\) 时，标准 \(\tau\)-覆盖是标准 fppf 覆盖。因此，函子的全忠实性成立。唯一的问题是证明：给定某个 \(i\) 上的标准 fppf 覆盖 \(\mathcal{V}_i\)，若 \(\mathcal{V}_i \times_{T_i} T\) 是标准 \(\tau\)-覆盖，则对所有 \(i' \gg i\)，\(\mathcal{V}_i \times_{T_i} T_{i'}\) 都是标准 \(\tau\)-覆盖。这立即由 Limits, Lemmas 0EUU, 07RP, 0C0C, and 0C3L.

引理

设 \(S\)、\(\mathcal{C}\)、\(F\) 满足 Lemma 0EUW 的条件 (1)、(2)、 (a)、(b)，并以 \(F' : (\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\) 表示该引理中构造的唯一延拓。设 \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\)。假设：

对 \(\Sch/S\) 中仿射概形的任意标准 \(\tau\)-覆盖 \(\{V_i \to V\}_{i = 1, \ldots, n}\)，若 \(V \to S\) 经由仿射开集 \(U \subset S\) 分解，且 \(V \to U\) 是有限表示的，则 \(F\) 对 \(\{V_i \to V\}_{i = 1, \ldots, n}\) 满足层条件⁹。

则 \(F'\) 对所有 \(\tau\)-覆盖满足层条件。

证明

设 \(X\) 为 \(S\) 上的概形，\(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) 为 \(\tau\)-覆盖。设 \(s_i \in F'(X_i)\) 为一族元素，使得对所有 \(i, j \in I\)，\(s_i\) 与 \(s_j\) 映到 \(F'(X_i \times_X X_j)\) 中的同一元素。必须证明存在唯一元素 \(s \in F'(X)\)，使其对所有 \(i \in I\) 的限制为 \(s_i \in F'(X_i)\)。

特殊情形：\(X\) 仿射，其结构态射映入 \(S\) 的仿射开集 \(U\)，并且覆盖 \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) 是标准 \(\tau\)-覆盖。在这种情形下，可写成 \[X = \lim V_k\] 这一余滤过极限，其中 \(V_k \to U\) 为有限表示的，且 \(V_k\) 仿射。见 Algebra, Lemma 00QN。由 Lemma 049N，存在一个 \(k\) 以及标准 \(\tau\)-覆盖 \(\{V_{k, i} \to V_k\}_{i \in I}\)，其到 \(X\) 的基变换就是所给覆盖。当 \(k' \geq k\) 时，以 \(\{V_{k', i} \to V_{k'}\}_{i \in I}\) 表示该覆盖到 \(V_{k'}\) 的基变换。于是可见

\[\begin{align*} F'(X) & = \colim_{k' \geq k} F(V_k) \\ & = \colim_{k' \geq k} \text{Equalizer}( \xymatrix{ \prod F(V_{k', i}) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod F(V_{k', i} \times_{V_{k'}} V_{k', j}) } \\ & = \text{Equalizer}( \xymatrix{ \colim_{k' \geq k} \prod F(V_{k', i}) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \colim_{k' \geq k} \prod F(V_{k', i} \times_{V_{k'}} V_{k', j}) } \\ & = \text{Equalizer}( \xymatrix{ \prod F'(X_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod F'(X_i \times_X X_j) } \end{align*}\] 第一个等式由 \(F'\) 的构造成立。第二个等式由假设 (c) 成立。第三个等式成立，是因为滤过余极限正合。第四个等式再次由 \(F'\) 的构造成立。由此可见， \(F'\) 对 \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) 满足层性质。

一般情形。选取仿射开覆盖 \(X = \bigcup U_k\)，使每个 \(U_k\) 都映入 \(S\) 的某个仿射开集。对每个 \(k\)，可选取加细 \(\{X_i \times_X U_k \to U_k\}_{i \in I}\) 的标准 \(\tau\)-覆盖 \(\{V_{k, j} \to U_k\}_{j = 1, \ldots, m_k}\)。对每个 \(j \in \{1, \ldots, m_k\}\)，选取指标 \(i_{k, j} \in I\) 以及 \(X\) 上的态射 \(g_{k, j} : V_{k, j} \to X_{i_{k, j}}\)。令 \(s_{k, j}\) 为通过 \(g_{k, j}\) 限制 \(s_{i_{k, j}}\) 所得的 \(F'(V_{k, j})\) 中元素。注意，对所有 \(k\)、\(k'\) 以及所有 \(j \in \{1, \ldots, m_k\}\)、 \(j' \in \{1, \ldots, m_{k'}\}\)，\(s_{k, j}\) 与 \(s_{k', j'}\) 在 \(F'(V_{k, j} \times_X V_{k', j'})\) 中的限制相同；验证从略。特别地，由前一段的结果，存在唯一元素 \(s_k \in F'(U_k)\)，其对所有 \(j\) 的限制均为 \(s_{k, j}\)。采用这一记号，即可完成证明。

\(s\) 唯一性的证明：由于 \(F'\) 对 Zariski 覆盖满足层性质，且 \(s|_{U_k}\) 必须等于 \(s_k\)，因为二者对所有 \(j\) 的限制都是 \(s_{k, j}\)，故唯一性成立。该唯一性又表明，\(s_k\) 与 \(s_{k'}\) 在（非仿射概形） \(U_k \cap U_{k'}\) 上必限制为 \(F'\) 的同一截面，因为这些截面在 \(\tau\)-覆盖 \(\{V_{k, j} \times_X V_{k', j'} \to U_k \cap U_{k'}\}\) 上限制为同一截面。因此，由对 Zariski 覆盖的层性质，存在唯一的 \(F'\) 在 \(X\) 上的截面 \(s\)，其在 \(U_k\) 上的限制为 \(s_k\)。关于 \(s\) 在 \(X_i\) 上限制为 \(s_i\) 的验证（与上述类似）从略。

引理

设 \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\)。设 \(S\) 为包含在大位点 \(\Sch_\tau\) 中的概形。设 \(F : (\Sch/S)_\tau^{opp} \to \textit{Sets}\) 为一个 \(\tau\)-层，并且在 \(\mathcal{C} = (\Sch/S)_\tau\) 时满足 Lemma 0EUW 的性质 (b)。则 \(F\) 到 \(S\) 上所有概形所成范畴的延拓 \(F'\) 对所有 \(\tau\)-覆盖满足层条件。

证明

这由取 \(\mathcal{C} = (\Sch/S)_\tau\) 应用 Lemma 0GDW 得出。Lemma 0EUW 的条件 (1)、(2)、(a)、(b) 成立；细节从略。因此得到到 \(S\) 上所有概形所成范畴的唯一延拓 \(F'\)。最后注意，任意标准 \(\tau\)-覆盖都同义等价于 \((\Sch/S)_\tau\) 中的某个覆盖；见 Sets, Lemma 000R 以及 Lemmas 03WV、 03WW, 03WZ, 03X2, and 03WX。由 Sites, Lemma 00VW，层性质可沿覆盖的同义等价传递。因此，\(F\) 是 \(\tau\)-层这一事实蕴含 Lemma 0GDW 的性质 (c) 成立，结论得证。

这里“大”和 “小”并非指相应范畴的大小。↩︎
对于 ph 拓扑，我们会略微偏离这一做法；见 Definition 0DBL 及其附近的讨论。↩︎
字母 fppf 代表法语 “fidèlement plat de présentation finie”，即“忠实平坦且有限表示”。↩︎
我们将在 More on Morphisms, Lemma 0DBT 中看到，fppf 覆盖（因而 syntomic、光滑或平展覆盖）也都是 ph 覆盖。↩︎
字母 fpqc 代表 “fidèlement plat quasi-compacte”.↩︎
更准确地说，Lemma 03WX 对 fpqc 拓扑的类似结论并不成立。↩︎
这里没有列入 ph 拓扑与其他拓扑之间的比较；关于这一点，见 More on Morphisms, Remark 0DBU。↩︎
由于我们不知道 \(X_i \times_X X_j\) 是否属于 \(\mathcal{C}\)，这必须解释如下：由性质 (1)，存在 Zariski 覆盖 \(\{U_{ijk} \to X_i \times_X X_j\}_{k \in K_{ij}}\)，其中 \(U_{ijk}\) 为 \(\mathcal{C}\) 的对象。此时层条件是说，\(F(X)\) 是从 \(\prod F(X_i)\) 到 \(\prod F(U_{ijk})\) 的两个映射的等化子。↩︎
这是有意义的，因为由 (2)，\(V\)、\(V_i\) 及 \(V_i \times_V V_j\) 都同构于 \(\mathcal{C}\) 的对象。↩︎