曲线的 Picard 概形

引言

本章完成构造代数闭域上非奇异射影曲线的 Picard 概形所必需的工作。 更详尽的讨论和历史背景见 [Kleiman-Picard]。

在 Stacks 项目的后续部分，我们将在远为一般的情形下讨论 Hilbert 函子与 Quot 函子。

点的 Hilbert 概形

设 \(X \to S\) 是概形态射，\(d \geq 0\) 是整数。对 \(S\) 上的概形 \(T\)，令 \[\Hilbfunctor^d_{X/S}(T) = \left\{ \begin{matrix} Z \subset X_T\text{ closed subscheme such that }\\ Z \to T\text{ is finite locally free of degree }d \end{matrix} \right\}\] 若 \(T' \to T\) 是 \(S\) 上概形之间的态射，且 \(Z \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\)，则基变换 \(Z_{T'} \subset X_{T'}\) 是 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}(T')\) 的一个元素。 由此得到函子 \[\Hilbfunctor^d_{X/S} : (\Sch/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets},\quad T \longrightarrow \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\] 一般而言，\(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) 是代数空间（此处将来插入引用）。 本节将证明：若 \(X \to S\) 的任一纤维中的任意有限多个点都包含于某个仿射开集中， 则 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) 可由概形表示。若 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) 可由概形表示， 我们常把这个概形记作 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S}\)。

引理

设 \(X \to S\) 是概形态射。函子 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) 满足 fpqc 拓扑的层性质 （《拓扑》定义 022G）。

证明

设 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 \(S\) 上概形的一个 fpqc 覆盖。令 \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\)。注意，\(\{X_i \to X_T\}_{i \in I}\) 是 \(X_T\) 的 fpqc 覆盖（《拓扑》引理 022D），并且 \(X_{T_i \times_T T_{i'}} = X_i \times_{X_T} X_{i'}\)。 假设给定一族元素 \(Z_i \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T_i)\)，使得 \(Z_i\) 与 \(Z_{i'}\) 映到 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}(T_i \times_T T_{i'})\) 中的同一元素。 由闭浸入的有效下降（《下降》引理 03I0）， 存在闭浸入 \(Z \to X_T\)，其沿 \(X_i \to X_T\) 的基变换等于 \(Z_i \to X_i\)。 于是态射 \(Z \to T\) 沿 \(T_i\) 的基变换为 \(Z_i \to T_i\)。因此由《下降》引理 02VO，\(Z \to T\) 是次数为 \(d\) 的局部自由有限态射。

引理

设 \(X \to S\) 是概形态射。若 \(X \to S\) 是有限表现的，则函子 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) 保持极限（《极限》注 05LX）。

证明

设 \(T = \lim T_i\) 是 \(S\) 上仿射概形的一个极限。需要证明 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}(T) = \colim \Hilbfunctor^d_{X/S}(T_i)\)。 注意，若 \(Z \to X_T\) 是 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\) 的一个元素，则 \(Z \to T\) 是有限表现的。因此由《极限》引理 01ZM，存在某个 \(i\)、一个在 \(T_i\) 上有限表现的概形 \(Z_i\)，以及 \(T_i\) 上的态射 \(Z_i \to X_{T_i}\)，使其基变换到 \(T\) 后给出 \(Z \to X_T\)。应用《极限》引理 01ZP 可知，增大 \(i\) 后可假设 \(Z_i \to X_{T_i}\) 是闭浸入。再应用《极限》引理 06AC 可知，必要时再次增大 \(i\) 后， \(Z_i \to T_i\) 是次数为 \(d\) 的局部自由有限态射。因此如愿有 \(Z_i \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T_i)\)。

设 \(S\) 是概形，\(i : X \to Y\) 是 \(S\) 上概形之间的闭浸入。则存在函子变换 \[\Hilbfunctor^d_{X/S} \longrightarrow \Hilbfunctor^d_{Y/S}\] 它把元素 \(Z \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\) 映到 \(\Hilbfunctor^d_{Y/S}\) 中的 \(i_T(Z) \subset Y_T\)。这里 \(i_T : X_T \to Y_T\) 是 \(i\) 的基变换。

引理

设 \(S\) 是概形，\(i : X \to Y\) 是概形的闭浸入。若 \(\Hilbfunctor^d_{Y/S}\) 可由概形表示，则 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) 也可由概形表示， 并且相应的概形态射 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S} \to \underline{\Hilbfunctor}^d_{Y/S}\) 是闭浸入。

证明

设 \(T\) 是 \(S\) 上的概形，且 \(Z \in \Hilbfunctor^d_{Y/S}(T)\)。 断言：存在闭子概形 \(T_X \subset T\)，使得概形态射 \(T' \to T\) 经由 \(T_X\) 分解， 当且仅当 \(Z_{T'} \to Y_{T'}\) 经由 \(X_{T'}\) 分解。 把这一断言应用于表示 \(\Hilbfunctor^d_{Y/S}\) 的概形 \(T_{univ}\) 及其泛对象¹ \(Z_{univ} \in \Hilbfunctor^d_{Y/S}(T_{univ})\)，得到闭子概形 \(T_{univ, X} \subset T_{univ}\)，使得 \(Z_{univ, X} = Z_{univ} \times_{T_{univ}} T_{univ, X}\) 是 \(X \times_S T_{univ, X}\) 的闭子概形，从而定义 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}(T_{univ, X})\) 的一个元素。形式论证随即表明， \(T_{univ, X}\) 是表示 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) 的概形，其泛对象为 \(Z_{univ, X}\)。

证明该断言。考虑 \(Z' = X_T \times_{Y_T} Z\)。给定 \(T' \to T\)，可见 \(Z_{T'} \to Y_{T'}\) 经由 \(X_{T'}\) 分解，当且仅当 \(Z'_{T'} \to Z_{T'}\) 是同构。因此该断言由非常一般的《平坦性的进一步内容》引理 07AI 得出。 不过，在本特殊情形下也可以直接证明如下：先化归到 \(T = \Spec(A)\) 且 \(Z = \Spec(B)\) 的情形。进一步缩小 \(T\) 后， 可假设作为 \(A\)-模存在同构 \(\varphi : B \to A^{\oplus d}\)。 于是对某个理想 \(J \subset B\)，有 \(Z' = \Spec(B/J)\)。取一组生成元 \(g_\beta \in J\)，并写成 \(\varphi(g_\beta) = (g_\beta^1, \ldots, g_\beta^d)\)。 显然，\(T_X\) 由 \(\Spec(A/(g_\beta^j))\) 给出。

引理

设 \(X \to S\) 是概形态射。若 \(X \to S\) 是分离的，且 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) 可表示，则 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S} \to S\) 是分离的。

证明

本证明中所有未标明基底的积都取在 \(S\) 上。令 \(H = \underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S}\)，并令 \(Z \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(H)\) 为泛对象。沿两个投影 \(H \times H \to H\) 拉回 \(Z\)，得到两个对象 \(Z_1, Z_2 \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(H \times H)\)。于是 \(Z_1 = Z \times H \subset X_{H \times H}\)，且 \(Z_2 = H \times Z \subset X_{H \times H}\)。由于 \(H\) 表示函子 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\)，对角态射 \(\Delta : H \to H \times H\) 具有如下泛性质： 概形态射 \(T \to H \times H\) 经由 \(\Delta\) 分解，当且仅当作为 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\) 的元素有 \(Z_{1, T} = Z_{2, T}\)。 令 \(Z = Z_1 \times_{X_{H \times H}} Z_2\)。于是可见， \(T \to H \times H\) 经由 \(\Delta\) 分解，当且仅当态射 \(Z_T \to Z_{1, T}\) 和 \(Z_T \to Z_{2, T}\) 都是同构。 由非常一般的《平坦性的进一步内容》引理 07AI，\(\Delta\) 是闭浸入。 在引理 0B97 的证明中，读者可以找到适用于本特殊情形的、 所需结论的另一种更简单证明。

引理

设 \(X \to S\) 是仿射概形之间的态射，且 \(d \geq 0\)。则 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) 可表示。

证明

设 \(S = \Spec(R)\)。对某个基数充分大的集合 \(I\)，可以选取 \(X\) 到 \(R[x_i; i \in I]\) 的谱中的闭浸入。因此由引理 0B97， 可假设 \(X = \Spec(A)\)，其中 \(A = R[x_i; i \in I]\)。 在这种情形下，我们用《概形》引理 01JJ 证明本引理。

该引理的条件 (1) 由引理 0B95 得出。

对每个基数为 \(d\) 的子集 \(W \subset A\)，构造 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) 的子函子 \(F_W\)。（只考虑 \(W\) 由 \(x_i\) 中的一族单项式组成的情形已经足够，但这里并不需要这一点。） 具体地说，规定 \(Z \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\) 属于 \(F_W(T)\)，当且仅当 \(\mathcal{O}_T\)-线性映射 \[\bigoplus\nolimits_{f \in W} \mathcal{O}_T \longrightarrow (Z \to T)_*\mathcal{O}_Z,\quad (g_f) \longmapsto \sum g_f f|_Z\] 是满射（等价地，是同构）。这里，对 \(f \in A\) 和 \(Z \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\)，用 \(f|_Z\) 表示 \(f\) 沿态射 \(Z \to X_T \to X\) 的拉回。

开性，即该引理的条件 (2)(b)。它由《代数》引理 00O0 得出。

覆盖性，即该引理的条件 (2)(c)。由于 \[A \otimes_R \mathcal{O}_T = (X_T \to T)_*\mathcal{O}_{X_T} \to (Z \to T)_*\mathcal{O}_Z\] 是满射，且 \((Z \to T)_*\mathcal{O}_Z\) 是秩为 \(d\) 的局部自由有限模， 所以对每个点 \(t \in T\)，可以找到一个基数为 \(d\) 的有限子集 \(W \subset A\)， 其像构成 \(d\) 维 \(\kappa(t)\)-向量空间 \(((Z \to T)_*\mathcal{O}_Z)_t \otimes_{\mathcal{O}_{T, t}} \kappa(t)\) 的一组基。 由 Nakayama 引理，存在 \(t\) 的开邻域 \(V \subset T\)，使得 \(Z_V \in F_W(V)\)。

可表示性，即该引理的条件 (2)(a)。设 \(W \subset A\) 的基数为 \(d\)。 我们断言，\(F_W\) 可由 \(R\) 上的一个仿射概形表示。这里将构造这个仿射概形， 不过也建议读者自行完成这一推演。把 \(W\) 的元素编号为 \(f_1, \ldots, f_d\)。如下构造 \(T_{univ} = \Spec(R_{univ})\) 上 \(F_W\) 的泛元素 \(Z_{univ} = \Spec(B_{univ})\)。首先令 \[R_{univ} = R[c_{kl}^m, b^l, b_i^l]/\mathfrak a_{univ}\] 其中理想 \(\mathfrak a_{univ}\) 将在下面描述。这里指标 \(k, l, m, i\) 都遍历 \(\{1, \ldots, d\}\)。然后令 \[B_{univ} = R_{univ}e_1 \oplus R_{univ}e_2 \oplus \ldots \oplus R_{univ}e_d\] 作为 \(R_{univ}\)-模，并按下列规则赋予代数结构： \[e_ke_l = \sum c_{kl}^m e_m\] 闭浸入 \(Z_{univ} \to X_{T_{univ}}\) 由 \(R_{univ}\)-代数映射 \[\Psi : A \otimes_R R_{univ} \longrightarrow B_{univ}\] 给出；它把 \(1 \otimes 1\) 映到 \(\sum b^le_l\)，把 \(x_i\) 映到 \(\sum b_i^le_l\)（存在性见下文）。理想 \(\mathfrak a_{univ}\) 按以下条件规定：

1. \(B_{univ}\) 上的乘法是交换的，即应有 \(c_{lk}^m - c_{kl}^m \in \mathfrak a_{univ}\)；

2. \(B_{univ}\) 上的乘法是结合的，即应有 \(c_{lk}^m c_{m n}^p - c_{lq}^p c_{kn}^q \in \mathfrak a_{univ}\)；

3. \(\sum b^le_l\) 是 \(B_{univ}\) 中的乘法单位元 \(1\)，换言之，对所有 \(k\)， 应有 \((\sum b^le_l)e_k = e_k\)；这意味着 \(\sum b^lc_{lk}^m - \delta_{km} \in \mathfrak a_{univ}\) （Kronecker delta）。

既然已保证 \(B_{univ}\) 是交换 \(R_{univ}\)-代数，且由 \(\sum b^le_l\) 给出单位元 \(1\)， 同态 \(\Psi\) 便存在。最后一个条件是：

1. \(f_l\) 映到 \(B_{univ}\) 中的 \(e_l\)。对某些 \(h_l^m \in R[c_{kl}^m, b^l, b_i^l]\)，写成 \(\Psi(f_l) - e_l \equiv \sum h_l^me_m\)，则应有 \(h_l^m \in \mathfrak a_{univ}\)。

令 \(\mathfrak a_{univ} \subset R[c_{kl}^m, b^l, b_i^l]\) 由 (1) – (5) 中列出的元素生成，则显然 \(F_W\) 由 \(\Spec(R_{univ})\) 表示。

命题

设 \(X \to S\) 是概形态射，且 \(d \geq 0\)。假设对所有 \((s, x_1, \ldots, x_d)\)，其中 \(s \in S\) 且 \(x_1, \ldots, x_d \in X_s\)， 都存在仿射开集 \(U \subset X\)，使得 \(x_1, \ldots, x_d \in U\)。 则 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) 可由概形表示。

证明

使用相对粘合（《构造》第 01LG 节）或函子观点 （《概形》引理 01JJ），可化归到 \(S\) 仿射的情形。 细节从略。

假设 \(S\) 仿射。对仿射开集 \(U \subset X\)，用 \(F_U \subset \Hilbfunctor^d_{X/S}\) 表示如下子函子：对概形 \(T/S\)，元素 \(Z \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\) 属于 \(F_U(T)\)，当且仅当 \(Z \subset U_T\)。 我们将应用《概形》引理 01JJ 和这些子函子 \(F_U\) 得出结论。

条件 (1) 即引理 0B95。

条件 (2)(a) 来自 \(F_U = \Hilbfunctor^d_{U/S}\)，以及后者由引理 0B99 可表示这一事实。具体地，若 \(Z \in F_U(T)\)， 则可把 \(Z\) 看作 \(U_T\) 的闭子概形；它在 \(T\) 上是次数为 \(d\) 的局部自由有限概形， 因而 \(Z \in \Hilbfunctor^d_{U/S}(T)\)。反过来，若 \(Z \in \Hilbfunctor^d_{U/S}(T)\)，则 \(Z \to U_T \to X_T\) 是闭浸入²，从而可以把 \(Z\) 看作 \(F_U(T)\) 的元素。

设对 \(S\) 上的某个概形 \(T\)，有 \(Z \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\)。令 \[B = (Z \to T)\left((Z \to X_T \to X)^{-1}(X \setminus U)\right)\] 这是 \(T\) 的闭子集，并且显然在开集 \(T_{Z, U} = T \setminus B\) 上， 限制 \(Z_{t'}\) 映入 \(U_{T'}\)。另一方面，对任意 \(b \in B\)，纤维 \(Z_b\) 不映入 \(U\)。 所以对给定态射 \(T' \to T\)，有 \(Z_{T'} \in F_U(T')\) \(\Leftrightarrow\) \(T' \to T\) 经由开集 \(T_{Z, U}\) 分解。 这证明了条件 (2)(b)。

条件 (2)(c) 来自关于 \(X/S\) 的假设。只需证明如下事实：若 \(T\) 是一个域的谱， \(Z \subset X_T\) 是在 \(T\) 上次数为 \(d\) 的有限平坦闭子概形，则 \(Z \to X_T \to X\) 经由 \(X\) 的某个仿射开集 \(U\) 分解。 这一点显然，因为 \(Z\) 至多有 \(d\) 个点，而这些点都映入 \(T \to S\) 的像点上方的 \(X\) 的纤维中。

注

设 \(f : X \to S\) 是概形态射。在下列每种情形下，命题 0B9A 的假设、因而其结论都成立：

1. \(X\) 是拟仿射的；

2. \(f\) 是拟仿射态射；

3. \(f\) 是拟射影态射；

4. \(f\) 是局部射影态射；

5. \(X\) 上存在充足可逆层；

6. \(X\) 上存在 \(f\)-充足可逆层；

7. \(X\) 上存在 \(f\)-很充足可逆层。

事实上，在每种情形下，纤维 \(X_s\) 中的任意有限点集都包含于 \(X\) 的某个拟紧开集 \(U\)； 该开集带有充足可逆层，或同构于某个仿射概形的开子集，或同构于某个分次环的 \(\text{Proj}\) 的开子集（每种情形都可由展开定义得到）。因此由《性质》引理 01ZY，存在所需的仿射开集。

光滑曲线上的除子模空间

对相对维数为 \(1\) 的光滑态射 \(X \to S\)，函子 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) 参数化 《除子》第 056P 节中定义的相对有效 Cartier 除子。

引理

设 \(X \to S\) 是相对维数为 \(1\) 的光滑概形态射，\(D \subset X\) 是闭子概形。 考虑以下条件：

1. \(D \to S\) 是局部自由有限态射；

2. \(D\) 是 \(X/S\) 上的相对有效 Cartier 除子；

3. \(D \to S\) 是局部拟有限、平坦且局部有限表现的态射；

4. \(D \to S\) 是局部拟有限且平坦的态射。

总有蕴含关系 \[(1) \Rightarrow (2) \Leftrightarrow (3) \Rightarrow (4)\] 若 \(S\) 局部 Noether，则最后一个箭头也是等价。若 \(X \to S\) 固有 （而 \(S\) 任意），则第一个箭头也是等价。

证明

先证 (2) 与 (3) 等价。由《除子》引理 062Y， 只需在 \(S\) 是域 \(k\) 的谱时证明 (2) 与 (3) 等价。设 \(x \in X\) 是闭点。 由于 \(X\) 在 \(k\) 上光滑且相对维数为 \(1\)，可见 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是维数为 \(1\) 的正则局部环 （见《簇》引理 056S）。因此 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 是离散赋值环（《代数》引理 00PD），从而是主理想整环。于是，任何在 \(X\) 的所有泛点处均不为零的理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 都是可逆的 （《除子》引理 0AG8）。 换言之，\(X\) 的任何不包含泛点的闭子概形都是有效 Cartier 除子。 由此 (2) 与 (3) 等价。

若 \(S\) 是 Noether 概形，则任意局部拟有限态射 \(D \to S\) 都是局部有限表现的 （《态射》引理 01TX）， 故 (3) 与 (4) 等价。

若 \(X \to S\) 固有（且 \(S\) 任意），则 \(D \to S\) 也固有。 由于固有的局部拟有限态射是有限态射（《态射的进一步内容》引理 02LS），而有限、平坦且有限表现的态射是局部自由有限态射 （《态射》引理 02KB），可见 (1) 与 (2) 等价。

引理

设 \(X \to S\) 是相对维数为 \(1\) 的光滑概形态射，\(D_1, D_2 \subset X\) 是 \(S\) 上次数分别为 \(d_1\)、\(d_2\) 的局部自由有限闭子概形。则 \(D_1 + D_2\) 是 \(S\) 上次数为 \(d_1 + d_2\) 的局部自由有限概形。

证明

由引理 0B9D，\(D_1\) 与 \(D_2\) 是 \(X/S\) 上的相对有效 Cartier 除子。 因此由《除子》引理 0B8U， \(D = D_1 + D_2\) 是 \(X/S\) 上的相对有效 Cartier 除子。 再由引理 0B9D，\(D \to S\) 是局部拟有限、平坦且局部有限表现的态射。 把《态射》引理 09MQ 应用于满的整态射 \(D_1 \amalg D_2 \to D\)，可知 \(D \to S\) 分离。 于是《态射》引理 03GN 蕴含 \(D \to S\) 固有。 这又蕴含 \(D \to S\) 有限（《态射的进一步内容》引理 02LS），进而可知 \(D \to S\) 局部自由有限 （《态射》引理 02KB）。 所以只需证明 \(D \to S\) 的次数为 \(d_1 + d_2\)。为此，可以基变换到 \(X \to S\) 的一个纤维， 因而可假设对某个域 \(k\) 有 \(S = \Spec(k)\)。在这种情形下，存在有限多个闭点 \(x_1, \ldots, x_n \in X\)，使 \(D_1\) 与 \(D_2\) 都支撑于 \(\{x_1, \ldots, x_n\}\)。事实上，存在非零因子 \(f_{i, j} \in \mathcal{O}_{X, x_i}\)，使得 \[D_1 = \coprod \Spec(\mathcal{O}_{X, x_i}/(f_{i, 1})) \quad\text{且}\quad D_2 = \coprod \Spec(\mathcal{O}_{X, x_i}/(f_{i, 2}))\] 于是 \[D = \coprod \Spec(\mathcal{O}_{X, x_i}/(f_{i, 1}f_{i, 2}))\] 由此容易看出，\(D\) 在 \(k\) 上的次数为 \(d_1 + d_2\) （必要时使用《代数》引理 02MC）。

引理

设 \(X \to S\) 是相对维数为 \(1\) 的光滑概形态射，\(D_1, D_2 \subset X\) 是 \(S\) 上次数分别为 \(d_1\)、\(d_2\) 的局部自由有限闭子概形。若 \(D_1 \subset D_2\)（作为闭子概形），则存在闭子概形 \(D \subset X\)， 它在 \(S\) 上局部自由有限且次数为 \(d_2 - d_1\)，并满足 \(D_2 = D_1 + D\)。

证明

本证明几乎与引理 0B9E 的证明完全相同。 由引理 0B9D，\(D_1\) 与 \(D_2\) 是 \(X/S\) 上的相对有效 Cartier 除子。 由《除子》引理 0B8V， 存在相对有效 Cartier 除子 \(D \subset X\)，使得 \(D_2 = D_1 + D\)。 所以由引理 0B9D，\(D \to S\) 局部拟有限、平坦且局部有限表现。 由于 \(D\) 是 \(D_2\) 的闭子概形，\(D \to S\) 是有限态射。因此 \(D \to S\) 局部自由有限 （《态射》引理 02KB）。 所以只需证明 \(D \to S\) 的次数为 \(d_2 - d_1\)，而这由引理 0B9E 得出。

设 \(X \to S\) 是相对维数为 \(1\) 的光滑概形态射。由引理 0B9D，对 \(S\) 上的概形 \(T\) 以及 \(D \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\)，可以把 \(D\) 看作 \(X_T/T\) 上的相对有效 Cartier 除子， 使得 \(D \to T\) 是次数为 \(d\) 的局部自由有限态射。因此由引理 0B9E，得到函子变换 \[\Hilbfunctor^{d_1}_{X/S} \times \Hilbfunctor^{d_2}_{X/S} \longrightarrow \Hilbfunctor^{d_1 + d_2}_{X/S},\quad (D_1, D_2) \longmapsto D_1 + D_2\] 若对所有次数 \(d\)，\(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) 都可表示，则这个函子变换对应于 \(S\) 上的概形态射 \[\underline{\Hilbfunctor}^{d_1}_{X/S} \times_S \underline{\Hilbfunctor}^{d_2}_{X/S} \longrightarrow \underline{\Hilbfunctor}^{d_1 + d_2}_{X/S}\] 注意，\(\underline{\Hilbfunctor}^0_{X/S} = S\) 且 \(\underline{\Hilbfunctor}^1_{X/S} = X\)。上述态射的一个特殊情形是 \[\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S} \times_S X \longrightarrow \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/S},\quad (D, x) \longmapsto D + x\]

引理

设 \(X \to S\) 是相对维数为 \(1\) 的光滑概形态射，并且函子 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) 都可表示。则态射 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S} \times_S X \to \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/S}\) 是次数为 \(d + 1\) 的局部自由有限态射。

证明

令 \(D_{univ} \subset X \times_S \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/S}\) 为泛对象。存在交换图 \[\xymatrix{ \underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S} \times_S X \ar[rr] \ar[rd] & & D_{univ} \ar[ld] \ar@{^{(}->}[r] & \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/S} \times_S X \\ & \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/S} }\] 其中上方的水平箭头把 \((D', x)\) 映到 \((D' + x, x)\)。 我们断言该态射是同构，这当然证明了引理。具体地，给定 \(S\) 上概形 \(T\)， \(D_{univ}\) 的一个 \(T\)-值点 \(\xi\) 由一对 \(\xi = (D, x)\) 给出，其中 \(D \subset X_T\) 是在 \(T\) 上次数为 \(d + 1\) 的局部自由有限闭子概形，而 \(x : T \to X\) 是其图 \(x : T \to X_T\) 经由 \(D\) 分解的态射。 于是由引理 0B9F，可对某个在 \(T\) 上次数为 \(d\) 的 局部自由有限子概形 \(D' \subset X_T\) 写成 \(D = D' + x\)。 把 \(\xi = (D, x)\) 送到 \((D', x)\)，便得到所需的逆映射。

引理

设 \(X \to S\) 是相对维数为 \(1\) 的光滑概形态射，并且函子 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) 都可表示。则概形 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S}\) 在 \(S\) 上光滑，且相对维数为 \(d\)。

证明

有 \(\underline{\Hilbfunctor}^0_{X/S} = S\) 且 \(\underline{\Hilbfunctor}^1_{X/S} = X\)，所以结论对 \(d = 0, 1\) 成立。 假设结论对 \(d\) 成立，则 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S} \times_S X\) 在 \(S\) 上光滑 （《态射》引理 01VB 和 01VA）。由引理 0B9G， \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S} \times_S X \to \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/S}\) 是次数为 \(d + 1\) 的局部自由有限态射，所以结论由《下降》引理 05B5 得出。我们略去相对维数确如所述的验证 （可以考察纤维，也可以在上面的论证中逐步追踪维数）。

现在汇总域上固有光滑曲线情形中迄今所得的全部信息。

命题

设 \(X\) 是域 \(k\) 上几何不可约的光滑固有曲线。

1. 函子 \(\Hilbfunctor^d_{X/k}\) 由 \(k\) 上维数为 \(d\) 的光滑固有簇 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k}\) 表示。

2. 对域扩张 \(k'/k\)，\(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k}\) 的 \(k'\)-有理点 与 \(X_{k'}\) 上次数为 \(d\) 的有效 Cartier 除子成 \(1\) 对 \(1\) 的双射。

3. 对 \(d_1, d_2 \geq 0\)，存在态射 \[\underline{\Hilbfunctor}^{d_1}_{X/k} \times_k \underline{\Hilbfunctor}^{d_2}_{X/k} \longrightarrow \underline{\Hilbfunctor}^{d_1 + d_2}_{X/k}\] 它是次数为 \({d_1 + d_2 \choose d_1}\) 的局部自由有限态射。

证明

由命题 0B9A（另见注 0B9B）以及 \(X\) 射影这一事实 （《簇》引理 0A26）， 函子 \(\Hilbfunctor^d_{X/k}\) 可表示。由引理 0B98， 概形 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k}\) 在 \(k\) 上分离。由引理 0B9H，概形 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k}\) 在 \(k\) 上光滑。从 \(X = \underline{\Hilbfunctor}^1_{X/k}\) 出发，利用引理 0B9G 中的态射和归纳法，得到态射 \[X^d = X \times_k X \times_k \ldots \times_k X \longrightarrow \underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k},\quad (x_1, \ldots, x_d) \longrightarrow x_1 + \ldots + x_d\] 它是次数为 \(d!\) 的局部自由有限态射。由于 \(X\) 在 \(k\) 上固有，\(X^d\) 也固有， 所以由《态射》引理 03GN， \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k}\) 在 \(k\) 上固有。由于 \(X\) 在 \(k\) 上几何不可约， 积 \(X^d\) 不可约（《簇》引理 038F），因而其像不可约 （事实上几何不可约）。这证明了 (1)。(2) 由定义得出。(3) 由交换图 \[\xymatrix{ X^{d_1} \times_k X^{d_2} \ar[d] \ar@{=}[r] & X^{d_1 + d_2} \ar[d] \\ \underline{\Hilbfunctor}^{d_1}_{X/k} \times_k \underline{\Hilbfunctor}^{d_2}_{X/k} \ar[r] & \underline{\Hilbfunctor}^{d_1 + d_2}_{X/k} }\] 以及局部自由有限态射次数的乘法性得出。

注

设 \(X\) 如命题 0B9I，是域 \(k\) 上几何不可约的光滑固有曲线， 并令 \(d \geq 0\)。由引理 0B9D，泛闭对象是在 \(\underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/k}\) 上的相对有效除子 \[D_{univ} \subset \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/k} \times_k X\] 事实上，作为概形，\(D_{univ}\) 同构于 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k} \times_k X\)；见引理 0B9G 的证明。特别地，\(D_{univ}\) 是有效 Cartier 除子， 从而得到可逆模 \(\mathcal{O}(D_{univ})\)。若 \([D] \in \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/k}\) 表示与次数为 \(d + 1\) 的有效 Cartier 除子 \(D \subset X\) 对应的 \(k\)-有理点，则 \(\mathcal{O}(D_{univ})\) 在纤维 \([D] \times X\) 上的限制为 \(\mathcal{O}_X(D)\)。

Picard 函子

对任意概形 \(X\)，以 \(\Pic(X)\) 表示可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模的同构类所成的集合。 参见《模》定义 01CX。给定概形态射 \(f : X \to Y\)， 拉回给出群同态 \(\Pic(Y) \to \Pic(X)\)。对应 \(X \leadsto \Pic(X)\) 是从概形范畴到阿贝尔群范畴的反变函子。 这个函子不可表示，但这一构造的相对版本有时可表示。

现在为概形态射 \(f : X \to S\) 定义 Picard 函子。构造背后的想法是取层 \(R^1f_*\mathbf{G}_m\)，其中用 fppf 拓扑计算高阶直像。展开这些定义，便得到 如下更直接的定义。

定义

设 \(\Sch_{fppf}\) 是《拓扑》定义 021S 中的大站点。设 \(f : X \to S\) 是该站点中的态射。Picard 函子 \(\Picardfunctor_{X/S}\) 定义为函子 \[(\Sch/S)_{fppf} \longrightarrow \textit{Sets},\quad T \longmapsto \Pic(X_T)\] 的 fppf 层化。若此函子可表示，则以 \(\underline{\Picardfunctor}_{X/S}\) 表示一个表示它的概形。

一个常用的观察是：若 \(T \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\)，则 \(\Picardfunctor_{X_T/T}\) 是 \(\Picardfunctor_{X/S}\) 在 \((\Sch/T)_{fppf}\) 上的限制。要确定 \(\Picardfunctor_{X/S}\) 在 \(S\) 上概形 \(T\) 处的取值并非平凡；下面的引理对此有所帮助。

引理

设 \(f : X \to S\) 如定义 0B9L。若对所有 \(T \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\)，\(\mathcal{O}_T \to f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T}\) 均为同构，则对所有 \(T\)，序列 \[0 \to \Pic(T) \to \Pic(X_T) \to \Picardfunctor_{X/S}(T)\] 正合。

证明

为简化记号，可以用 \(T\) 代替 \(S\)、用 \(X_T\) 代替 \(X\)，并假设 \(S = T\)。 设 \(\mathcal{N}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_S\)-模。若 \(f^*\mathcal{N} \cong \mathcal{O}_X\)，则由假设有 \(f_*f^*\mathcal{N} \cong f_*\mathcal{O}_X \cong \mathcal{O}_S\)。 由于 \(\mathcal{N}\) 局部平凡，典范映射 \(\mathcal{N} \to f_*f^*\mathcal{N}\) 局部为同构（因为由假设， \(\mathcal{O}_S \to f_*f^*\mathcal{O}_S\) 是同构）。因此 \(\mathcal{N} \to f_*f^*\mathcal{N} \to \mathcal{O}_S\) 是同构，故 \(\mathcal{N}\) 平凡。这证明了第一个箭头是单射。

设 \(\mathcal{L}\) 是位于 \(\Pic(X) \to \Picardfunctor_{X/S}(S)\) 核中的可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。于是存在 fppf 覆盖 \(\{S_i \to S\}\)，使得 \(\mathcal{L}\) 在 \(X_{S_i}\) 上的拉回是平凡可逆层。选取一个平凡化截面 \(s_i\)。此时 \(\text{pr}_0^*s_i\) 和 \(\text{pr}_1^*s_j\) 都是 \(X_{S_i \times_S S_j}\) 上 \(\mathcal{L}\) 的平凡化截面，因而二者相差一个乘法可逆元 \[f_{ij} \in \Gamma(X_{S_i \times_S S_j}, \mathcal{O}_{X_{S_i \times_S S_j}}^*) = \Gamma(S_i \times_S S_j, \mathcal{O}_{S_i \times_S S_j}^*)\] （等式来自关于结构层推前的假设）。这些元素当然在 \(S_i \times_S S_j \times_S S_k\) 上满足余圈条件，从而给出 fppf 覆盖 \(\{S_i \to S\}\) 下可逆层的下降数据。由《下降》命题 023T，存在可逆 \(\mathcal{O}_S\)-模 \(\mathcal{N}\) 及其在 \(S_i\) 上的平凡化，其相应下降数据为 \(\{f_{ij}\}\)。由于从下降数据到模的函子是全忠实的（见上引命题），故 \(f^*\mathcal{N} \cong \mathcal{L}\)。

引理

设 \(f : X \to S\) 如定义 0B9L。假设 \(f\) 有截面 \(\sigma\)，且对所有 \(T \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\)， \(\mathcal{O}_T \to f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T}\) 均为同构。则 \[0 \to \Pic(T) \to \Pic(X_T) \to \Picardfunctor_{X/S}(T) \to 0\] 是分裂正合序列，其分裂由 \(\sigma_T^* : \Pic(X_T) \to \Pic(T)\) 给出。

证明

记 \(K(T) = \Ker(\sigma_T^* : \Pic(X_T) \to \Pic(T))\)。由于 \(\sigma\) 是 \(f\) 的截面，\(\Pic(X_T)\) 是 \(\Pic(T)\) 与 \(K(T)\) 的直和。因此由引理 0B9M，对所有 \(T\) 均有 \(K(T) \subset \Picardfunctor_{X/S}(T)\)。此外，由构造显然可见， \(\Picardfunctor_{X/S}\) 是预层 \(K\) 的层化。为完成证明，只需说明 \(K\) 对 fppf 覆盖满足层条件；这在下一段完成。

设 \(\{T_i \to T\}\) 是 fppf 覆盖。设 \(\mathcal{L}_i\) 是 \(K(T_i)\) 中的元素， 并且对所有 \(i\) 和 \(j\)，它们在 \(K(T_i \times_T T_j)\) 中的像相同。 对每个 \(i\) 选取同构 \(\alpha_i : \mathcal{O}_{T_i} \to \sigma_{T_i}^*\mathcal{L}_i\)， 并选取同构 \[\varphi_{ij} : \mathcal{L}_i|_{X_{T_i \times_T T_j}} \longrightarrow \mathcal{L}_j|_{X_{T_i \times_T T_j}}\] 若映射 \[\alpha_j|_{T_i \times_T T_j} \circ \sigma_{T_i \times_T T_j}^*\varphi_{ij} \circ \alpha_i|_{T_i \times_T T_j} : \mathcal{O}_{T_i \times_T T_j} \to \mathcal{O}_{T_i \times_T T_j}\] 不是乘以 \(1\)，而是乘以某个 \(u_{ij}\)，则可将 \(\varphi_{ij}\) 乘以 \(u_{ij}^{-1}\) 来修正。完成此修正后，考虑自映射 \[\varphi_{ki}|_{X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}} \circ \varphi_{jk}|_{X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}} \circ \varphi_{ij}|_{X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}} \quad\text{定义于}\quad \mathcal{L}_i|_{X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}}\] 它由概形 \(X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}\) 上某个正则函数 \(f_{ijk}\) 的乘法给出。由对 \(\varphi_{ij}\) 的选择，此映射沿 \(\sigma\) 的拉回等于 乘以 \(1\)。再由关于 \(X\) 上函数的假设，有 \(f_{ijk} = 1\)。于是得到 fppf 覆盖 \(\{X_{T_i} \to X\}\) 的下降数据。由《下降》命题 023T，存在可逆 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-模 \(\mathcal{L}\) 以及同构 \(\alpha : \mathcal{O}_T \to \sigma_T^*\mathcal{L}\)，其向 \(X_{T_i}\) 的拉回 恢复 \((\mathcal{L}_i, \alpha_i)\)（略去一个小细节）。因此 \(\mathcal{L}\) 如所需地定义了 \(K(T)\) 的一个对象。

一个可表示性判据

为证明 Picard 函子可表示，将使用以下判据。

引理

设 \(k\) 是域，\(G : (\Sch/k)^{opp} \to \textit{Groups}\) 是函子。采用 《概形》定义 01JI 中的术语，假设：

1. \(G\) 对 Zariski 拓扑满足层性质；

2. 存在子函子 \(F \subset G\)，使得

   1. \(F\) 可表示；

   2. \(F \subset G\) 由开浸入表示；

   3. 对 \(k\) 的每个域扩张 \(K\) 及 \(g \in G(K)\)，存在 \(g' \in G(k)\)， 使得 \(g'g \in F(K)\)。

则 \(G\) 由 \(k\) 上的群概形表示。

证明

这由《概形》引理 01JJ 得出。具体地，取 \(I = G(k)\)；对 \(i = g' \in I\)，令 \(F_i \subset G\) 为如下子函子：它把 \(k\) 上的 \(T\) 对应到满足 \(g'g \in F(T)\) 的元素 \(g \in G(T)\) 所成的集合。 乘以 \(g'\) 给出 \(F_i \cong F\)。在乘以 \(g'\) 给出的同构下，映射 \(F_i \to G\) 与映射 \(F \to G\) 同构，故由开浸入表示。最后，由假设 (2)(c)， 族 \((F_i)_{i \in I}\) 覆盖 \(G\)。因此上述引理适用，证明完成。

曲线的 Picard 概形

本节将在 \(k\) 为代数闭域、\(X\) 为 \(k\) 上光滑射影曲线时应用引理 0B9Q，证明 \(\Picardfunctor_{X/k}\) 可表示。为此要用到 《概形的导出范畴》一章中发展的少量上同调与基变换理论。

引理

设 \(k\) 是域，\(X\) 是 \(k\) 上具有 \(k\)-有理点的光滑射影曲线。则引理 0B9N 的假设成立。

证明

“具有 \(k\)-有理点”恰好意味着结构态射 \(f : X \to \Spec(k)\) 有截面， 这验证了第一个条件。由《簇》引理 04L2， \(k' = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) 是 \(k\) 的域扩张。由于 \(X\) 有 \(k\)-有理点， 存在 \(k\)-代数同态 \(k' \to k\)，从而 \(k' = k\)。因为 \(k\) 是域，任意态射 \(T \to \Spec(k)\) 都平坦。因此由上同调与基变换（《概形上同调》引理 02KH）， \(\mathcal{O}_T \to f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T}\) 是同构。证明完成。

设 \(X\) 是域 \(k\) 上的光滑射影曲线，并有一个 \(k\)-有理点 \(\sigma\)。则由引理 0B9U 和 0B9N，函子 \[\Picardfunctor_{X/k, \sigma} : (\Sch/k)^{opp} \longrightarrow \textit{Ab},\quad T \longmapsto \Ker(\Pic(X_T) \xrightarrow{\sigma_T^*} \Pic(T))\] 在 \((\Sch/k)_{fppf}\) 上同构于 \(\Picardfunctor_{X/k}\)。因此只需证明 \(\Picardfunctor_{X/k, \sigma}\) 可表示。以后用记号 “\(\mathcal{L} \in \Picardfunctor_{X/k, \sigma}(T)\)”表示：\(T\) 是 \(k\) 上概形， \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-模，并且它通过 \(\sigma_T\) 在 \(T\) 上的限制同构于 \(\mathcal{O}_T\)。

引理

设 \(k\) 是域，\(X\) 是 \(k\) 上带 \(k\)-有理点 \(\sigma\) 的光滑射影曲线。 对 \(k\) 上概形 \(T\)，考虑由如下 \(\mathcal{L}\) 组成的子集 \(F(T) \subset \Picardfunctor_{X/k, \sigma}(T)\)： \(Rf_{T, *}\mathcal{L}\) 同构于置于次数 \(0\) 的可逆 \(\mathcal{O}_T\)-模。 则 \(F \subset \Picardfunctor_{X/k, \sigma}\) 是子函子，且该包含由开浸入表示。

证明

将《概形的导出范畴》引理 0B9S 用于 \(i = 0\) 和 \(r = 1\)，再结合《概形》定义 01JI，即得结论。

为便于继续，作如下定义。

定义

设 \(k\) 是域，\(X\) 是 \(k\) 上光滑射影几何不可约曲线。\(X\) 的亏格定义为 \(g = \dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X)\)。

引理

设 \(k\) 是域，\(X\) 是 \(k\) 上亏格为 \(g\)、带 \(k\)-有理点 \(\sigma\) 的光滑射影曲线。 引理 0B9V 中定义的开子函子 \(F\) 由 \(\underline{\Hilbfunctor}^g_{X/k}\) 的一个开子概形表示。

证明

本证明中未注明底的积均取在 \(\Spec(k)\) 上。由命题 0B9I，概形 \(H = \underline{\Hilbfunctor}^g_{X/k}\) 存在。 考虑泛除子 \(D_{univ} \subset H \times X\) 及相应的可逆层 \(\mathcal{O}(D_{univ})\)；见注 0B9J。 再张量上经 \(\sigma_H : H \to H \times X\) 的拉回来作归一化，得到 \[\mathcal{L}_H = \mathcal{O}(D_{univ}) \otimes_{\mathcal{O}_{H \times X}} \text{pr}_H^*\sigma_H^*\mathcal{O}(D_{univ})^{\otimes -1} \in \Picardfunctor_{X/k, \sigma}(H)\] 由 Yoneda 引理（《范畴》引理 001P），可逆层 \(\mathcal{L}_H\) 定义自然变换 \[h_H \longrightarrow \Picardfunctor_{X/k, \sigma}\] 由于 \(F\) 是开子函子，存在极大开集 \(W \subset H\)，使得 \(\mathcal{L}_H|_{W \times X}\) 属于 \(F(W)\)。这个开集恰好是把《概形的导出范畴》 引理 0B9S 以 \(i = 0\)、\(r = 1\) 应用于态射 \(H \times X \to H\) 和层 \(\mathcal{F} = \mathcal{O}(D_{univ})\) 所构造的开子概形。再次应用 Yoneda 引理， 得到交换图 \[\xymatrix{ h_W \ar[d] \ar[r] & F \ar[d] \\ h_H \ar[r] & \Picardfunctor_{X/k, \sigma} }\] 为完成证明，将说明上方水平箭头是同构。

设 \(\mathcal{L} \in F(T) \subset \Picardfunctor_{X/k, \sigma}(T)\)。 设 \(\mathcal{N}\) 是满足 \(Rf_{T, *}\mathcal{L} \cong \mathcal{N}[0]\) 的可逆 \(\mathcal{O}_T\)-模。伴随映射 \[f_T^*\mathcal{N} \longrightarrow \mathcal{L} \quad\text{corresponds to a section }s\text{ 属于}\quad \mathcal{L} \otimes f_T^*\mathcal{N}^{\otimes -1}\] 在 \(X_T\) 上给出一个截面。断言：\(s\) 的零点概形是 \((T \times X)/T\) 上的 相对有效 Cartier 除子 \(D\)，并且在 \(T\) 上是次数为 \(g\) 的局部自由有限态射。

先假定断言成立并完成引理的证明。\(D\) 定义态射 \(m : T \to H\)，使 \(D\) 是 \(D_{univ}\) 的拉回。于是 \[(m \times \text{id}_X)^*\mathcal{O}(D_{univ}) \cong \mathcal{O}_{T \times X}(D)\] 由于 \(\mathcal{O}_{T \times X}(D) \cong \mathcal{L} \otimes f_T^*\mathcal{N}^{\otimes -1}\)，可知 \((m \times \text{id}_X)^*\mathcal{L}_H\) 与 \(\mathcal{L}\) 相差一个 \(T\) 上可逆模的拉回。 这说明 \(m : T \to H\) 通过上述开集 \(W \subset H\) 分解。此外，按上法以经 \(\sigma_T\) 的拉回来调整后，这些可逆模定义 \(\Picardfunctor_{X/k, \sigma}(T)\) 中的同一元素。利用 Yoneda 引理追图可见，\(m \in h_W(T)\) 映到 \(\mathcal{L} \in F(T)\)。略去如下验证：规则 \(F(T) \to h_W(T)\)、 \(\mathcal{L} \mapsto m\) 给出上述函子变换的逆。

现在证明断言。由于 \(D\) 是 \(T \times X\) 的局部主闭子概形，只需证明 \(D\) 在 \(T\) 上的各纤维是有效 Cartier 除子；参见引理 0B9D 和《除子》引理 062Y。由于取 \(\mathcal{L}\) 的上同调与基变换交换 （《概形的导出范畴》引理 0B91），可归约到 \(T = \Spec(K)\)，其中 \(K/k\) 是域扩张。此时 \(\mathcal{L}\) 是 \(X_K\) 上的可逆层， 并满足 \(H^0(X_K, \mathcal{L}) = K\) 和 \(H^1(X_K, \mathcal{L}) = 0\)。因此 \[\deg(\mathcal{L}) = \chi(X_K, \mathcal{L}) - \chi(X_K, \mathcal{O}_{X_K}) = 1 - (1 - g) = g\] 参见《簇》定义 0AYR。最后只须说明 \(\mathcal{L}\) 的非零截面在 \(X_K\) 上定义有效 Cartier 除子；这是显然的。

引理

设 \(k\) 是可分闭域，\(X\) 是 \(k\) 上亏格为 \(g\) 的光滑射影曲线。设 \(K/k\) 是域扩张， \(\mathcal{L}\) 是 \(X_K\) 上的可逆层。则存在 \(X\) 上的可逆层 \(\mathcal{L}_0\)，使得 \(\dim_K H^0(X_K, \mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_{X_K}} \mathcal{L}_0|_{X_K}) = 1\) 且 \(\dim_K H^1(X_K, \mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_{X_K}} \mathcal{L}_0|_{X_K}) = 0\)。

证明

本证明是《簇》引理 0B8Z 证明的一个变式。建议读者先阅读该证明。

先选取充足可逆层 \(\mathcal{L}_0\)，并对某个 \(n \gg 0\)，以 \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_{X_K}} \mathcal{L}_0^{\otimes n}|_{X_K}\) 代替 \(\mathcal{L}\)。这样便可假设 \(H^0(X_K, \mathcal{L}) \not = 0\) 且 \(H^1(X_K, \mathcal{L}) = 0\)。 事实上，消灭性来自《概形上同调》引理 0B5U，而非零性来自张量积的次数为 \(\gg 0\)。最后对 \(t = \dim_K H^0(X_K, \mathcal{L})\) 作降阶归纳。 基本情形 \(t = 1\) 显然。假设 \(t > 1\)。

注意，对 \(X\) 的 \(k\)-有理点 \(x\)，逆像 \(x_K\) 是 \(X_K\) 的 \(K\)-有理点。 此外，由《簇》引理 056U， \(k\)-有理点有无穷多个。因此各点 \(x_K\) 在 \(X_K\) 中构成 Zariski 稠密的点集。

取非零 \(s \in H^0(X_K, \mathcal{L})\)。由上一段，存在 \(k\)-有理点 \(x\)， 使 \(s\) 在 \(x_K\) 处不消失。设 \(\mathcal{I}\) 是 \(i : x_K \to X_K\) 的理想层，如《簇》引理 0B8Y。考察短正合序列 \[0 \to \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_{X_K}} \mathcal{L} \to \mathcal{L} \to i_*i^*\mathcal{L} \to 0\] 注意 \(H^0(X_K, i_*i^*\mathcal{L}) = H^0(x_K, i^*\mathcal{L})\) 在 \(K\) 上维数为 \(1\)。由于 \(s\) 在 \(x\) 处不消失，映射 \[H^0(X_K, \mathcal{L}) \longrightarrow H^0(X, i_*i^*\mathcal{L})\] 是满射。因此 \(\dim_K H^0(X_K, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_{X_K}} \mathcal{L}) = t - 1\)。 最后，上同调长正合序列还给出 \(H^1(X_K, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_{X_K}} \mathcal{L}) = 0\)， 从而完成归纳步骤。

命题

设 \(k\) 是可分闭域，\(X\) 是 \(k\) 上光滑射影曲线。Picard 函子 \(\Picardfunctor_{X/k}\) 可表示。

证明

由于 \(k\) 可分闭，\(X\) 有 \(k\)-有理点 \(\sigma\)；见《簇》引理 056U。如上所述，只需证明 对沿 \(\sigma\) 平凡的可逆模进行分类的函子 \(\Picardfunctor_{X/k, \sigma}\) 可表示。为此验证引理 0B9Q 的条件 (1)、(2)(a)、(2)(b) 和 (2)(c)。

函子 \(\Picardfunctor_{X/k, \sigma}\) 同构于 \(\Picardfunctor_{X/k}\)，故对 fppf 拓扑满足层条件。更准确地说，我们已在引理 0B9N 的证明中证明了 \(\Picardfunctor_{X/k, \sigma}\) 的层条件；由引理 0B9U，该证明适用。这就证明了条件 (1)。

取引理 0B9V 中定义的 \(F\) 为子函子。条件 (2)(b) 随即成立； 条件 (2)(a) 是引理 0B9X；条件 (2)(c) 是引理 0B9Y。

事实上，上述证明还给出更多信息，现汇总如下。

引理

设 \(k\) 是可分闭域，\(X\) 是 \(k\) 上亏格为 \(g\) 的光滑射影曲线。

1. \(\underline{\Picardfunctor}_{X/k}\) 是一族 \(g\) 维光滑固有簇 \(\underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\) 的不交并；

2. \(\underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\) 的 \(k\)-点对应于次数为 \(d\) 的可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模；

3. \(\underline{\Picardfunctor}^0_{X/k}\) 是开闭子群概形；

4. 对 \(d \geq 0\)，存在典范态射 \(\gamma_d : \underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k} \to \underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\)；

5. 态射 \(\gamma_d\) 在 \(d \geq g\) 时满，在 \(d \geq 2g - 1\) 时光滑；

6. 态射 \(\underline{\Hilbfunctor}^g_{X/k} \to \underline{\Picardfunctor}^g_{X/k}\) 是双有理的。

证明

选取 \(X\) 的 \(k\)-有理点 \(\sigma\)。回忆 \(\Picardfunctor_{X/k}\) 同构于函子 \(\Picardfunctor_{X/k, \sigma}\)。由《概形的导出范畴》引理 0B9T，对每个 \(d \in \mathbf{Z}\)，存在开子函子 \[\Picardfunctor^d_{X/k, \sigma} \subset \Picardfunctor_{X/k, \sigma}\] 它在 \(k\) 上概形 \(T\) 处的取值由满足 \(\chi(X_t, \mathcal{L}_t) = d + 1 - g\) 的 \(\mathcal{L} \in \Picardfunctor_{X/k, \sigma}(T)\) 组成；而且作为 fppf 层有 \[\Picardfunctor_{X/k, \sigma} = \coprod\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \Picardfunctor^d_{X/k, \sigma}\] 因此，概形 \(\underline{\Picardfunctor}_{X/k}\)（它由命题 0B9Z 存在）有相应分解 \[\underline{\Picardfunctor}_{X/k, \sigma} = \coprod\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \underline{\Picardfunctor}^d_{X/k, \sigma}\] 其中 \(\underline{\Picardfunctor}^d_{X/k, \sigma}\) 的点对应于 \(X\) 上次数为 \(d\) 的可逆模的同构类。

固定 \(d \geq 0\)。由 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k} \times_k X\) 上的可逆层 \(\mathcal{O}(D_{univ})\)（注 0B9J），再由 Yoneda 引理（《范畴》引理 001P），得到态射 \[\gamma_d : \underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k} \longrightarrow \underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\] 命题 0B9Z 和引理 0B9X 中对 \(X/k\) 的 Picard 函子可表示性的证明表明，\(\gamma_g\) 在 \(\underline{\Hilbfunctor}^g_{X/k}\) 的一个非空开集上诱导开浸入。此外，该证明还表明， 此开集在群概形 \(\underline{\Picardfunctor}_{X/k}\) 的 \(k\)-有理点作用下的平移构成 开覆盖。由于 \(\underline{\Hilbfunctor}^g_{X/K}\) 在 \(k\) 上光滑且维数为 \(g\) （命题 0B9I），可知群概形 \(\underline{\Picardfunctor}_{X/k}\) 在 \(k\) 上光滑且维数为 \(g\)。

由《群胚》引理 047L， \(\underline{\Picardfunctor}_{X/k}\) 是分离的。因此对每个 \(d \geq 0\)， \(\gamma_d\) 的像是 \(k\) 上固有簇（《态射》引理 0AH6）。

设 \(d \geq g\)。对任意域扩张 \(K/k\) 以及任意次数为 \(d\) 的可逆 \(\mathcal{O}_{X_K}\)-模 \(\mathcal{L}\)，有 \(\chi(X_K, \mathcal{L}) = d + 1 - g > 0\)。故 \(\mathcal{L}\) 有非零截面， 从而对某个次数为 \(d\) 的除子 \(D \subset X_K\)，有 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_{X_K}(D)\)。因此 \(\gamma_d\) 是满射。

综合上述事实可见，当 \(d \geq g\) 时， \(\underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\) 固有。这完成了 (2) 的证明，因为现在已知 \(d \geq g\) 时 \(\underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\) 固有，而通过平移可知所有 \(\underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\) 都固有。

还须证明 \(d \geq 2g - 1\) 时 \(\gamma_d\) 光滑。取次数为 \(d\) 的可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\)。与 \(\mathcal{L}\) 对应的点的纤维是 \[Z = \{D \subset X \mid \mathcal{O}_X(D) \cong \mathcal{L}\} \subset \underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k}\] 并带有其自然概形结构。任意同构 \(\mathcal{O}_X(D) \to \mathcal{L}\) 只在乘以 非零标量的意义下唯一，故典范截面 \(1 \in \mathcal{O}_X(D)\) 映到截面 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)，后者也只在乘以非零标量的意义下唯一。由此得到态射 \[Z \longrightarrow \text{Proj}(\text{Sym}(\Gamma(X, \mathcal{L})^*))\] （由于我们的约定，这里出现对偶）。此态射是同构，因为给定 \(\mathcal{L}\) 的截面，可以取相应的有效 Cartier 除子；换言之，可以构造所示态射的逆。 略去精确表述与证明。对每个次数为 \(d \geq 2g - 1\) 的 \(\mathcal{L}\)，由《簇》引理 0B90 有 \(\dim H^0(X, \mathcal{L}) = d + 1 - g\)，故 \(\text{Proj}(\text{Sym}(\Gamma(X, \mathcal{L})^*)) \cong \mathbf{P}^{d - g}_k\)。于是 \(\dim(Z) = \dim(\mathbf{P}^{d - g}_k) = d - g\)。因此态射 \(\gamma_d\) 的所有纤维 的维数都等于 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k}\) 与 \(\underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\) 的维数之差。由《代数》引理 00R4，\(\gamma_d\) 平坦。又因其纤维光滑， 由《态射》引理 01V8， \(\gamma_d\) 光滑。

关于 Picard 群的一些注记

本节继续《簇》第 0BEG 节的讨论；这一讨论还将在 《代数曲线》第 0C1Y 节继续。

引理

设 \(k\) 是域，\(X\) 是 \(k\) 上拟紧且拟分离的概形，并满足 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)。若 \(X\) 有 \(k\)-有理点，则对任意 Galois 扩张 \(k'/k\) 均有 \[\Pic(X) = \Pic(X_{k'})^{\text{Gal}(k'/k)}\] 此外，\(\text{Gal}(k'/k)\) 在 \(\Pic(X_{k'})\) 上的作用连续。

证明

由于 \(\text{Gal}(k'/k) = \text{Aut}(k'/k)\)，它右作用于 \(\Spec(k')\)，从而右作用于 \(X_{k'} = X \times_{\Spec(k)} \Spec(k')\)；又因 \(\Pic(-)\) 是反变函子，它左作用于 \(\Pic(X_{k'})\)。若 \(k'/k\) 是无限 Galois 扩张，则把它写成有限 Galois 扩张的滤过余极限 \(k' = \colim k'_\lambda\)；见《域》引理 0BU2。此时 \(X_{k'} = \lim X_{k_\lambda}\)（如《极限》第 01YV 节）， 并由《极限》引理 0B8W 得到 \[\Pic(X_{k'}) = \colim \Pic(X_{k_\lambda})\] 此外，由《簇》引理 0CC5，这个阿贝尔群系统中的 过渡映射都是单射。因此 \(\Pic(X_{k'})\) 的每个元素都被某个开子群 \(\text{Gal}(k'/k_\lambda)\) 固定，这恰好说明作用连续。过渡映射的单射性还表明， 为证明关于不动点的断言，只需处理 \(k'/k\) 为有限 Galois 扩张的情形。

假设 \(k'/k\) 是有限 Galois 扩张，Galois 群为 \(G = \text{Gal}(k'/k)\)。设 \(\mathcal{L}\) 是 \(\Pic(X_{k'})\) 中被 \(G\) 固定的元素。 将用 Galois 下降（《下降》引理 0CDR）证明 \(\mathcal{L}\) 是 \(X\) 上可逆层的拉回。回忆 \(f_\sigma = \text{id}_X \times \Spec(\sigma) : X_{k'} \to X_{k'}\)，并且 \(\sigma\) 通过沿 \(f_\sigma\) 拉回来作用于 \(\Pic(X_{k'})\)。由于 \(\mathcal{L}\) 被 \(G\) 的作用固定，对每个 \(\sigma \in G\) 可选取同构 \(\varphi_\sigma : \mathcal{L} \to f_\sigma^*\mathcal{L}\)。问题在于，尚不清楚能否选择 \(\varphi_\sigma\) 使余圈条件 \(\varphi_{\sigma\tau} = f_\sigma^*\varphi_\tau \circ \varphi_\sigma\) 成立。为说明这是可能的，利用 \(X\) 有 \(k\)-有理点 \(x \in X(k)\)。当然，\(x\) 相应地确定一个 \(k'\)-有理点 \(x' \in X_{k'}\)，且对所有 \(\sigma\)，\(f_\sigma\) 都固定它。在 \(x'\) 处 \(\mathcal{L}\) 的纤维中取非零元素 \(s\)；该纤维是 \(1\) 维 \(k' = \kappa(x')\)-向量空间 \[\mathcal{L}_{x'} \otimes_{\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}} \kappa(x').\] 于是 \(f_\sigma^*s\) 是 \(x'\) 处 \(f_\sigma^*\mathcal{L}\) 的纤维中的非零元素。 由于可以把 \(\varphi_\sigma\) 乘以 \((k')^*\) 中的元素，可假设 \(\varphi_\sigma\) 把 \(s\) 映到 \(f_\sigma^*s\)。此时 \(\varphi_{\sigma\tau}\) 与 \(f_\sigma^*\varphi_\tau \circ \varphi_\sigma\) 都把 \(s\) 映到 \(f_{\sigma\tau}^*s = f_\tau^*f_\sigma^*s\)。由于 \(H^0(X_{k'}, \mathcal{O}_{X_{k'}}) = k'\)，这两个同构必相同（一个是另一个乘以 全局可逆元，而它们在 \(x'\) 处相同）。证明完成。

引理

设 \(k\) 是特征 \(p > 0\) 的域，\(X\) 是 \(k\) 上拟紧且拟分离的概形，并满足 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)。设整数 \(n\) 与 \(p\) 互素。则对任意纯不可分扩张 \(k'/k\)，映射 \[\Pic(X)[n] \longrightarrow \Pic(X_{k'})[n]\] 为双射。

证明

首先，由《簇》引理 0CC5，映射 \(\Pic(X) \to \Pic(X_{k'})\) 是单射。因此只须证明引理中的映射满。设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_{X_{k'}}\)-模，并且它在 \(\Pic(X_{k'})\) 中的阶整除 \(n\)。选取可逆模同构 \(\alpha : \mathcal{L}^{\otimes n} \to \mathcal{O}_{X_{k'}}\)。 将证明偶对 \((\mathcal{L}, \alpha)\) 可下降到 \(X\)。

置 \(A = k' \otimes_k k'\)。由于 \(k'/k\) 纯不可分，乘法映射 \(A \to k'\) 的核是 \(A\) 的局部幂零理想 \(I\)。注意 \[X_A = X \times_{\Spec(k)} \Spec(A) = X_{k'} \times_X X_{k'}\] 带有两个投影 \(\text{pr}_i : X_A \to X_{k'}\)，\(i = 0, 1\)；它们在 \(A/I\) 上相同。因此，可逆模 \(\mathcal{L}_i = \text{pr}_i^*\mathcal{L}\) 在闭子概形 \(X_{A/I} = X_{k'}\) 上相同。由于 \(X_{A/I} \to X_A\) 是加厚， 且 \(\mathcal{L}_i\) 是 \(n\)-挠的，由《态射进阶》引理 0C6S，存在同构 \(\varphi : \mathcal{L}_0 \to \mathcal{L}_1\)。可以选择 \(\varphi\) 使其模 \(I\) 约化为恒等映射。事实上，由《概形上同调》引理 02KH， \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) 蕴含 \(H^0(X_{k'}, \mathcal{O}_{X_{k'}}) = k'\)；又因 \(A \to k'\) 满，可以把 \(\varphi\) 乘以 \(A\) 中适当元素来调整。考虑映射 \[\lambda : \mathcal{O}_{X_A} \xrightarrow{\text{pr}_0^*\alpha^{-1}} \mathcal{L}_0^{\otimes n} \xrightarrow{\varphi^{\otimes n}} \mathcal{L}_1^{\otimes n} \xrightarrow{\text{pr}_0^*\alpha} \mathcal{O}_{X_A}\] 由于 \(H^0(X_A, \mathcal{O}_{X_A}) = A\)（同一引理），可把 \(\lambda\) 视为 \(A\) 的元素。因为 \(\varphi\) 模 \(I\) 约化为恒等映射，所以 \(\lambda = 1 \bmod I\)。于是 \(\lambda\) 在 \(1 + I\) 中有唯一的 \(n\) 次方根 （《代数》引理 0CAP）；把 \(\varphi\) 乘以该根的逆， 便得到 \(\lambda = 1\)。断言 \((\mathcal{L}, \varphi)\) 是 fpqc 覆盖 \(\{X_{k'} \to X\}\) 的下降数据（《下降》定义 023B）。若断言成立，则由《下降》命题 023T，\(\mathcal{L}\) 是某个可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{N}\) 的拉回。Picard 群间映射的单射性表明， \(\mathcal{N}\) 是 \(\Pic(X)\) 中与 \(\mathcal{L}\) 同阶的挠元素。

证明断言。须验证 \[\text{pr}_{12}^*\varphi \circ \text{pr}_{01}^*\varphi = \text{pr}_{02}^*\varphi \quad\text{定义于}\quad X_{k'} \times_X X_{k'} \times_X X_{k'} = X_{k' \otimes_k k' \otimes_k k'}\] 与前面一样，对角态射 \(\Delta : X_{k'} \to X_{k' \otimes_k k' \otimes_k k'}\) 是加厚。等式的左右两边 是映射 \(a, b : p_0^*\mathcal{L} \to p_2^*\mathcal{L}\)，并分别与 \(p_0^*\alpha\) 和 \(p_2^*\alpha\) 相容；这里 \(p_i : X_{k' \otimes_k k' \otimes_k k'} \to X_{k'}\) 是投影态射。 最后，\(a, b\) 沿 \(\Delta\) 的拉回是同一映射。仿射局部地（在局部平凡化中）， 这意味着 \(a, b\) 由乘以可逆函数给出；这些函数模某个局部幂零理想约化为同一函数， 并且有相同的 \(n\) 次幂。于是由《代数》引理 0CAP，这些函数相同。