已废弃内容

引言

本章收录一些已经变得“已废弃”的引理（见 [Miller]）。

预备知识

注

本注记原先包含的信息，现在已由下列两个引理的结合涵盖： Categories，引理 07RB 与 0FWV。

同调代数

注

下列注记已经废弃，因为它们已由 Homology，引理 012W 与 0132 涵盖。 设 \(\mathcal{A}\) 是阿贝尔范畴，且 \(\mathcal{C} \subset \mathcal{A}\) 是弱 Serre 子范畴（见 Homology，定义 02MO）。 设 \(K^{\bullet, \bullet}\) 是适用 Homology，引理 0132 的双复形，并且对某个 \(r \geq 0\)，所有对象 \({}'E_r^{p, q}\) 都属于 \(\mathcal{C}\)。 则所有上同调群 \(H^n(sK^\bullet)\) 都属于 \(\mathcal{C}\)。事实上，这些假设意味着 \({}'d_r^{p, q}\) 的核与像都在 \(\mathcal{C}\) 中，于是每个 \({}'E_{r + 1}^{p, q}\) 也在 \(\mathcal{C}\) 中。归纳可知每个 \({}'E_\infty^{p, q}\) 都在 \(\mathcal{C}\) 中。因此每个 \(H^n(sK^\bullet)\) 都有一个有限过滤，其子商属于 \(\mathcal{C}\)。 利用 \(\mathcal{C}\) 对扩张封闭，可得 \(H^n(sK^\bullet)\) 属于 \(\mathcal{C}\)，如所述。 对 \(K^{\bullet, \bullet}\) 关联的第二个谱序列也有同样结论。类似地，若 \((K^\bullet, F)\) 是适用 Homology，引理 012W 的过滤复形，并且对某个 \(r \geq 0\)，所有对象 \(E_r^{p, q}\) 都属于 \(\mathcal{C}\)，则每个 \(H^n(K^\bullet)\) 都是 \(\mathcal{C}\) 中的对象。

已废弃的代数引理

引理

设 \(M\) 是有限表示的 \(R\)-模。对任意满射 \(\alpha : R^{\oplus n} \to M\)，\(\alpha\) 的核是有限生成的 \(R\)-模。

证明

这是 Algebra，引理 0519 的特殊情形。

引理

设 \(\varphi : R \to S\) 是环映射。若

1. 对任意 \(x \in S\)，存在 \(n > 0\) 使得 \(x^n\) 属于 \(\varphi\) 的像；并且

2. 对任意 \(x \in \Ker(\varphi)\)，存在 \(n > 0\) 使得 \(x^n = 0\)；

则 \(\varphi\) 在谱空间上诱导同胚。给定素数 \(p\)，若

1. \(S\) 作为 \(R\)-代数由元素 \(x\) 生成，并且对每个这样的 x， 存在 \(n > 0\) 使 \(x^{p^n} \in \varphi(R)\) 且 \(p^nx \in \varphi(R)\)；并且

2. \(\varphi\) 的核由幂零元素生成，

则 (1) 与 (2) 成立；对任意环映射 \(R \to R'\)， 环映射 \(R' \to R' \otimes_R S\) 也满足 (a)、(b)、(1) 和 (2)， 尤其在谱空间上诱导同胚。

证明

这是 Algebra，引理 0BR8 与 0BRA 的组合。

下面的技术性引理说明：对于在适当意义下本质有限型的环映射， 可以把纤维中的任意关系序列提升到整个空间。

引理

设 \(R \to S\) 是环映射。 设 \(\mathfrak p \subset R\) 是素理想， \(\mathfrak q \subset S\) 是位于 \(\mathfrak p\) 上方的素理想。 假设 \(S_{\mathfrak q}\) 在 \(R_\mathfrak p\) 上本质有限型。 给定

1. 整数 \(n \geq 0\)；

2. 素理想 \(\mathfrak a \subset \kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_n]\)；

3. 满的 \(\kappa(\mathfrak p)\)-同态 \[\psi : (\kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_n])_{\mathfrak a} \longrightarrow S_{\mathfrak q}/\mathfrak p S_{\mathfrak q},\] 以及

4. \(\Ker(\psi)\) 中的元素 \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_e\)。

则存在

1. 整数 \(m \geq 0\)；

2. 元素 \(g \in S\)，\(g \not\in \mathfrak q\)；

3. 映射 \[\Psi : R[x_1, \ldots, x_n, x_{n + 1}, \ldots, x_{n + m}] \longrightarrow S_g,\] 以及

4. \(\Ker(\Psi)\) 中的元素 \(f_1, \ldots, f_e, f_{e + 1}, \ldots, f_{e + m}\)

使得

1. 下图交换： \[\xymatrix{ R[x_1, \ldots, x_{n + m}] \ar[d]_\Psi \ar[rr]_-{x_{n + j} \mapsto 0} & & (\kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_n])_{\mathfrak a} \ar[d]^\psi \\ S_g \ar[rr] & & S_{\mathfrak q}/\mathfrak p S_{\mathfrak q} },\]

2. 元素 \(f_i\)（\(i \leq n\)）在局部环中映到 \(\overline{f}_i\) 的某个单位倍； \[(\kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_{n + m}])_{ (\mathfrak a, x_{n + 1}, \ldots, x_{n + m})},\]

3. 元素 \(f_{e + j}\) 在同一局部环中映到 \(x_{n + j}\) 的某个单位倍；并且

4. 诱导映射 \(R[x_1, \ldots, x_{n + m}]_{\mathfrak b} \to S_{\mathfrak q}\) 是满射，其中 \(\mathfrak b = \Psi^{-1}(\mathfrak qS_g)\)。

证明

我们断言，只需在 \(R\) 与 \(S\) 都是局部环， 且极大理想分别为 \(\mathfrak p\) 与 \(\mathfrak q\) 的情形证明引理。 事实上，假设已经构造出 \[\Psi' : R_{\mathfrak p}[x_1, \ldots, x_{n + m}] \longrightarrow S_{\mathfrak q}\] 以及 \(f_1', \ldots, f_{e + m}' \in R_{\mathfrak p}[x_1, \ldots, x_{n + m}]\)， 并满足所有要求。则存在元素 \(f \in R\)，\(f \not \in \mathfrak p\)，使每个 \(ff_k'\) 都来自某个 \(f_k \in R[x_1, \ldots, x_{n + m}]\)。 此外，对某个适当的 \(g \in S\)，\(g \not \in \mathfrak q\)， 元素 \(\Psi'(x_i)\) 是某些元素 \(y_i \in S_g\) 的像。 令 \(\Psi\) 为由规则 \(\Psi(x_i) = y_i\) 定义的 \(R\)-代数映射。 由于 \(\Psi(f_i)\) 在局部化 \(S_{\mathfrak q}\) 中为零， 必要时替换 \(g\) 后可假设 \(\Psi(f_i) = 0\)。断言得证。

因此可假设 \(R\) 与 \(S\) 都是局部环， 其极大理想分别为 \(\mathfrak p\) 与 \(\mathfrak q\)。 取 \(y_1, \ldots, y_n \in S\)，使得 \(y_i \bmod \mathfrak pS = \psi(x_i)\)。 取元素 \(y_{n + 1}, \ldots, y_{n + m} \in S\)，使它们生成某个 \(R\)-子代数，而 \(S\) 是该子代数的局部化。 这样的元素存在，因为假设 \(S\) 在 \(R\) 上本质有限型。 由于 \(\psi\) 是满射，可对某个 \(h_j \in \kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_n]_{\mathfrak a}\) 写成 \(y_{n + j} \bmod \mathfrak pS = \psi(h_j)\)。 写 \(h_j = g_j/d\)，其中 \(g_j \in \kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_n]\)， 公共分母 \(d \in \kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_n]\) 满足 \(d \not \in \mathfrak a\)。取 \(g_j\) 与 \(d\) 的提升 \(G_j, D \in R[x_1, \ldots, x_n]\)。置 \(y_{n + j}' = D(y_1, \ldots, y_n) y_{n + j} - G_j(y_1, \ldots, y_n)\)。 由构造，\(y_{n + j}' \in \mathfrak p S\)。 显然，\(y_1, \ldots, y_n, y_n', \ldots, y_{n + m}'\) 生成 \(S\) 的一个 \(R\)-子代数，其局部化为 \(S\)。 定义 \[\Psi : R[x_1, \ldots, x_{n + m}] \to S\] 为把 \(x_i\)（\(i = 1, \ldots, n\)）映到 \(y_i\)， 并把 \(x_{n + j}\)（\(j = 1, \ldots, m\)）映到 \(y'_{n + j}\) 的映射。 由构造，性质 (1) 与 (4) 显然成立。此外，理想 \(\mathfrak b\) 满射到多项式环 \(\kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_{n + m}]\) 中的理想 \((\mathfrak a, x_{n + 1}, \ldots, x_{n + m})\)。

记 \(J = \Ker(\Psi)\)。有短正合列 \[0 \to J_{\mathfrak b} \to R[x_1, \ldots, x_{n + m}]_{\mathfrak b} \to S_{\mathfrak q} \to 0.\] 满射性来自上面对 \(y_1, \ldots, y_n, y_n', \ldots, y_{n + m}'\) 的选择。 这意味着 \[J_{\mathfrak b}/ \mathfrak pJ_{\mathfrak b} \to \kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_{n + m}]_{ (\mathfrak a, x_{n + 1}, \ldots, x_{n + m})} \to S_{\mathfrak q}/\mathfrak pS_{\mathfrak q} \to 0\] 正合。由构造，在最后一个映射下 \(x_i\) 映到 \(\psi(x_i)\)， \(x_{n + j}\) 映到零。 因此容易按引理的 (2) 与 (3) 选择 \(f_i\)。

引理

设 \(R \to S\) 是有限表示的环映射。 若对 \(S\) 在 \(R\) 上的某个表示 \(\alpha\)，其 朴素余切复形 \(\NL(\alpha)\) 拟同构于置于次数 \(0\) 的 有限投射 \(S\)-模，则 对任意表示都成立。

证明

立即由 Algebra，引理 00S1 得出。

注

设 \(R\) 是环。 对任意集合 \(S\)，记 \(F(S)\) 为以 \(S\) 为基的自由 \(R\)-模。 则任意左 \(R\)-模都有如下两步分解 \[F(M \times M) \oplus F(R \times M) \to F(M) \to M \to 0.\] 第一个映射由规则 \[[m_1, m_2] \oplus [r, m] \mapsto [m_1 + m_2] - [m_1] - [m_2] + [rm] - r[m].\]

引理

设 \(S\) 是 \(A\) 的乘法闭集。则映射 \[f: \Spec(S^{-1}A)\longrightarrow \Spec(A)\] 由典范环映射 \(A \to S^{-1}A\) 诱导的映射到其像上是同胚，且 \(\Im(f) = \{ \mathfrak p \in \Spec(A) : \mathfrak p\cap S = \emptyset \}\)。

证明

这是 Algebra，引理 00E3 的重复。

引理

设 \(A \to B\) 是有限型平坦环映射，且 \(A\) 是整 环。则 \(B\) 是有限表示的 \(A\)-代数。

证明

这是 More on Flatness，命题 053G 的特殊情形。

引理

设 \(R\) 是分式域为 \(K\) 的整环。 设 \(S = R[x_1, \ldots, x_n]\) 是 \(R\) 上的多项式环。 设 \(M\) 是有限 \(S\)-模，并假设 \(M\) 平坦于 \(R\)。 若对每个子环 \(R \subset R' \subset K\) 且 \(R \not = R'\)， \(M \otimes_R R'\) 在 \(S \otimes_R R'\) 上有限表示，则 \(M\) 在 \(S\) 上有限表示。

证明

该引理成立，是因为即使不作引理陈述中对每个 \(R'\) 的 \(M \otimes_R R'\) 有限表示这一假设，\(M\) 仍是有限表示的。 这由 More on Flatness，命题 053G 得出。 这个引理原先有一个错误的证明（感谢 Ofer Gabber 发现其中的缺口），并曾用于所引命题的另一种证明。要恢复这个引理， 在 \(R\) 为局部正规整环时，我们需要只使用交换代数各章结果的 正确论证；若有论证，请发送邮件至 stacks.project@gmail.com。

引理

设 \(A \to B\) 是环映射，且 \(f \in B\)。假设

1. \(A \to B\) 平坦；

2. \(f\) 是非零因子；并且

3. \(A \to B/fB\) 平坦。

于是对任意理想 \(I \subset A\)，映射 \(f : B/IB \to B/IB\) 是单射。

证明

注意，\(IB = I \otimes_A B\) 以及 \(I(B/fB) = I \otimes_A B/fB\)。 这是因为 \(B\) 与 \(B/fB\) 都平坦于 \(A\)。 特别地，\(IB/fIB \cong I \otimes_A B/fB\) 单射地映入 \(B/fB\)。因此将蛇形引理应用于下列图表即可得到结论。 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I \otimes_A B \ar[r] \ar[d]^f & B \ar[r] \ar[d]^f & B/IB \ar[r] \ar[d]^f & 0 \\ 0 \ar[r] & I \otimes_A B \ar[r] & B \ar[r] & B/IB \ar[r] & 0 }\] 其中各行都是正合的。

引理

若 \(R \to S\) 是忠实平坦的环映射，则对每个 \(R\)-模 \(M\)，映射 \(M \to S \otimes_R M\)，\(x \mapsto 1 \otimes x\) 是单射。

证明

这是 Algebra，引理 05CK 的重复。

注

这个参考/标签原先指向 Smoothing Ring Maps 一章中的某个小节， 但相关材料后来已并入 Algebra 的小节 00QL。

引理

设 \((R, \mathfrak m)\) 是维数为 \(1\) 的约化诺特局部环， 且 \(x \in \mathfrak m\) 是非零因子。设 \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_r\) 是 \(R\) 的极小素理想。则 \[\text{length}_R(R/(x)) = \sum\nolimits_i \text{ord}_{R/\mathfrak q_i}(x)\]

证明

这是 Chow Homology，引理 02QG 的特殊（非常容易）情形。

引理

设 \(A\) 是维数为 \(2\) 的诺特局部正规整环。 对非零的 \(f \in \mathfrak m\)，记 \(\text{div}(f) = \sum n_i (\mathfrak p_i)\) 为 \(f\) 在 \(A\) 的去心谱上的因子。 置 \(|f| = \sum n_i\)。存在整数 \(N\) 与 \(M\)， 使得对所有 \(g \in \mathfrak m^N\) 都有 \(|f + g| \leq M\)。

证明

取 \(h \in \mathfrak m\) 使得 \(f, h\) 是 \(A\) 中的正则序列 （这由 Algebra，引理 031S 与 090R 推出）。 取 \(M = \text{length}_A(A/(f, h))\)，并取满足 \(\mathfrak m^N \subset (f, h)\) 的任意整数 \(N\) 来证明引理。这样的 \(N\) 存在，因为 \(\sqrt{(f, h)} = \mathfrak m\)。注意，对所有 \(g \in \mathfrak m^N\)， 都有 \(M = \text{length}_A(A/(f + g, h))\)，因为 \((f, h) = (f + g, h)\)。这也说明 \(f + g, h\) 同样是 \(A\) 中的正则序列，见 Algebra，引理 02JN。 现在设 \(\text{div}(f + g ) = \sum m_j (\mathfrak q_j)\)。 考虑映射 \[c : A/(f + g) \longrightarrow \prod A/\mathfrak q_j^{(m_j)}\] 其中 \(\mathfrak q_j^{(m_j)}\) 是符号幂，见 Algebra，小节 05G9。 由于 \(A\) 正规，可知 \(A_{\mathfrak q_i}\) 是 离散赋值环，因此 \[A_{\mathfrak q_i}/(f + g) = A_{\mathfrak q_i}/\mathfrak q_i^{m_i} A_{\mathfrak q_i} = (A/\mathfrak q_i^{(m_i)})_{\mathfrak q_i}\] 由于 \(V(f + g, h) = \{\mathfrak m\}\)，这意味着 \(c\) 在令 \(h\) 可逆后 成为同构（略去一个细节）。由于 \(h\) 是 \(A/(f + g)\) 上的非零因子， 可知 \(A/(f + g, h)\) 的长度等于 Chow Homology 小节 02PF 中定义的 Herbrand 商 \(e_A(A/(f + g), 0, h)\)。 类似地，\(A/(h, \mathfrak q_j^{(m_j)})\) 的长度等于 \(e_A(A/\mathfrak q_j^{(m_j)}, 0, h)\)。于是 \[\begin{align*} M & = \text{length}_A(A/(f + g, h) \\ & = e_A(A/(f + g), 0, h) \\ & = \sum\nolimits_i e_A(A/\mathfrak q_j^{(m_j)}, 0, h) \\ & = \sum\nolimits_i \sum\nolimits_{m = 0, \ldots, m_j - 1} e_A(\mathfrak q_j^{(m)}/\mathfrak q_j^{(m + 1)}, 0, h) \end{align*}\] 这些等式由 Chow Homology，引理 0EA7 与 0EA8 推出；特别使用了 上面所述 \(c\) 的余核具有有限长度这一事实。 容易证明， \(e_A(\mathfrak q^{(m)}/\mathfrak q^{(m + 1)}, 0, h)\) 由 Nakayama 引理可知至少为 \(1\)。引理得证。

引理

设 \(A \to B\) 是诺特局部环之间的平坦局部同态。 若 \(A\) 与 \(B/\mathfrak m_A B\) 都是 Gorenstein 环，则 \(B\) 是 Gorenstein 环。

证明

立即由 Dualizing Complexes，引理 0BJL 得出。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是诺特局部环。 设 \(I \subset A\) 是理想，\(M\) 是有限 \(A\)-模。 设 \(s\) 是整数。假设

1. \(A\) 有对偶化复形；

2. 若 \(\mathfrak p \not \in V(I)\) 且 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \not = \{\mathfrak m\}\)，则 \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > s\)。

则存在 \(n > 0\) 与理想 \(J \subset A\)，满足 \(V(J) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\)，且 \(JI^n\) 湮灭 \(i \leq s\) 时的 \(H^i_\mathfrak m(M)\)。

证明

根据 Local Cohomology，引理 0DWZ， 只需对有限 \(A\)-模 \(E^i = \text{Ext}^{-i}_A(M, \omega_A^\bullet)\) （\(i \leq s\)）证明这一点。\(E^0 \oplus \ldots \oplus E^s\) 的支集 \(Z\) 在 \(\Spec(A)\) 中闭合，且不包含满足 (2) 的任何素理想。 因此对某个符合引理陈述的 \(J\)，它包含于 \(V(JI^n)\) 中。

引理

设 \((A, \mathfrak m)\) 是诺特局部环。 设 \(I \subset A\) 是理想，\(M\) 是有限 \(A\)-模。 设 \(s\) 与 \(d\) 是整数。假设

1. \(A\) 有对偶化复形；

2. \(\text{cd}(A, I) \leq d\)；

3. 若 \(\mathfrak p \not \in V(I)\)，则 \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) > s\)，或 \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > d + s\)。

则 Algebraic and Formal Geometry，引理 0EFR 对 \(A, I, \mathfrak m, M\) 成立，并且 \(H^i_\mathfrak m(M) \to \lim H^i_\mathfrak m(M/I^nM)\) 在 \(i \leq s\) 时是同构；这些模 被 \(I\) 的某个幂湮灭。

证明

假设由更一般的 Algebraic and Formal Geometry，引理 0EFR，以及 Algebraic and Formal Geometry，引理 0EFW 给出。 然后 Algebraic and Formal Geometry，引理 0EFR 的结论 给出第二个断言。

引理

在 Algebraic and Formal Geometry，情形 0EFU 中， 有 \(H^s_\mathfrak a(M) = \lim H^s_\mathfrak a(M/I^nM)\)。

证明

这立即由 Algebraic and Formal Geometry，定理 0EIE 得出。 这个引理的原版本带有额外假设， 已被该定理取代。

引理

设 \(A\) 是诺特环，且 \(f \in \mathfrak a\) 属于 \(A\) 的某个理想。 设 \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\)。假设

1. \(A\) 有对偶化复形，且关于 \(f\) 完备；

2. \(A_f\) 满足 \((S_2)\)，并且对每个极小素理想 \(\mathfrak p \subset A\)， \(f \not \in \mathfrak p\)，且对 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\) 有 \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \geq 3\)。

则完备化函子 \[\textit{Coh}(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] 在有限局部自由对象构成的满子范畴上是全忠实的。

证明

这是 Algebraic and Formal Geometry，引理 0EKT 的特殊情形。

与 ZMT 相关的引理

本节的引理原先用于证明（代数版本的）Zariski 主定理， 即 Algebra，定理 00Q9。

引理

设 \(R\) 是环，且 \(\varphi : R[x] \to S\) 是 环映射。设 \(t \in S\)。若 \(t\) 在 \(R[x]\) 上整，则存在 \(\ell \geq 0\)，使得对每个 \(a \in R\)，元素 \(\varphi(a)^\ell t\) 关于由下式定义的 \(\varphi_a : R[y] \to S\) 是整的： \(y \mapsto \varphi(ax)\) 且 \(r \mapsto \varphi(r)\)， 其中 \(r\in R\)。

证明

写成 \(t^d + \sum_{i < d} \varphi(f_i)t^i = 0\)，其中 \(f_i \in R[x]\)。令 \(\ell\) 为所有 \(f_i\) 关于 \(x\) 的最大次数。将等式乘以 \(\varphi(a)^\ell\)，得到 \(\varphi(a)^\ell t^d + \sum_{i < d} \varphi(a^\ell f_i)t^i = 0\)。 注意，每个 \(\varphi(a^\ell f_i)\) 都在 \(\varphi_a\) 的像中。结论由 Algebra，引理 00PQ 得出。

引理

设 \(\varphi : R \to S\) 是环映射。 设 \(t \in S\) 满足关系 \(\varphi(a_0) + \varphi(a_1)t + \ldots + \varphi(a_n) t^n = 0\)。 置 \(u_n = \varphi(a_n)\)，\(u_{n-1} = u_n t + \varphi(a_{n-1})\)， 依此递推至 \(u_1 = u_2 t + \varphi(a_1)\)。 则 \(u_n, u_{n-1}, \ldots, u_1\) 以及 \(u_nt, u_{n-1}t, \ldots, u_1t\) 都在 \(R\) 上整， 并且 \(S\) 中的理想 \((\varphi(a_0), \ldots, \varphi(a_n))\) 与 \((u_n, \ldots, u_1)\) 相等。

证明

我们对 \(n\) 作归纳证明。由于 \(u_n = \varphi(a_n)\)，由 Algebra，引理 00PQ 可得 \(u_nt\) 在 \(R\) 上整。当然 \(u_n = \varphi(a_n)\) 在 \(R\) 上整。于是 \(u_{n - 1} = u_n t + \varphi(a_{n - 1})\) 在 \(R\) 上整（见 Algebra，引理 00GO）， 并且有 \[\varphi(a_0) + \varphi(a_1)t + \ldots + \varphi(a_{n - 1})t^{n - 1} + u_{n - 1}t^{n - 1} = 0.\] 因此将归纳假设应用于映射 \(S' \to S\)（其中 \(S'\) 是 \(S\) 中 \(R\) 的整闭包）以及上面的等式， 可知 \(u_{n-1}, \ldots, u_1\) 与 \(u_{n-1}t, \ldots, u_1t\) 也都属于 \(S'\)。关于理想的断言直接由 这些元素的形式以及 \(u_1t + \varphi(a_0) = 0\) 得出。

引理

设 \(\varphi : R \to S\) 是环映射。 设 \(t \in S\) 满足 关系 \(\varphi(a_0) + \varphi(a_1)t + \ldots + \varphi(a_n) t^n = 0\)。 设 \(J \subset S\) 是理想，并且至少存在一个 \(i\) 使 \(\varphi(a_i) \not \in J\)。 则存在 \(u \in S\)，\(u \not\in J\)，使得 \(u\) 与 \(ut\) 都在 \(R\) 上整。

证明

这立即由引理 00PR 得出， 因为某个元素 \(u_i\) 不属于 \(J\)。

下面两个引理给出一种描述由一个（非退化）等式 切出的 \(\mathbf{P}^1_R\) 闭子概形的方法。

引理

设 \(R\) 是环。 设 \(F(X, Y) \in R[X, Y]\) 是次数为 \(d\) 的齐次多项式。假设对 \(R\) 的每个素理想 \(\mathfrak p\)， \(F\) 至少有一个系数不属于 \(\mathfrak p\)。 设 \(S = R[X, Y]/(F)\) 为分次环。 则对所有 \(n \geq d\)，\(R\)-模 \(S_n\) 都是秩为 \(d\) 的有限局部自由模。

证明

\(R\)-模 \(S_n\) 有如下表示： \[R[X, Y]_{n-d} \to R[X, Y]_n \to S_n \to 0.\] 因此由 Algebra，引理 00O0， 只需证明乘以 \(F\) 诱导单射 \(\kappa(\mathfrak p)[X, Y] \to \kappa(\mathfrak p)[X, Y]\) 对所有素理想 \(\mathfrak p\) 都成立。 这由 \(F\) 模 \(\mathfrak p\) 不映为零多项式的假设立即可见。 秩的断言也同样显然。

引理

设 \(k\) 是域，且 \(F, G \in k[X, Y]\) 齐次， 次数分别为 \(d, e\)。假设 \(F, G\) 互素。 则乘以 \(G\) 在 \(S = k[X, Y]/(F)\) 上是单射。

证明

这是一种定义“互素”的方式。若采用另一种 定义，可以证明它与此定义等价。

引理

设 \(R\) 是环。设 \(F(X, Y) \in R[X, Y]\) 是次数为 \(d\) 的齐次多项式，且分次环 \(S = R[X, Y]/(F)\)。 设 \(\mathfrak p \subset R\) 是素理想，且 \(F\) 的某个系数不属于 \(\mathfrak p\)。 则存在 \(f \in R\)，\(f \not\in \mathfrak p\)， 整数 \(e\) 及 \(G \in R[X, Y]_e\)， 使得乘以 \(G\) 对所有 \(n \geq d\) 诱导同构 \((S_n)_f \to (S_{n + e})_f\)。

证明

在证明过程中，我们可以用 \(R_f\) 替换 \(R\)，其中 \(f\in R\) 且 \(f\not\in \mathfrak p\)（有限次进行）。 首先作这样的替换，使得 \(F\) 的某个系数在 \(R\) 中可逆。 特别地，由引理 00Q4，现在对 \(n \geq d\)，模 \(S_n\) 是秩为 \(d\) 的局部自由模。取任意 \(G \in R[X, Y]_e\)，使其在 \(G\) 在 \(\kappa(\mathfrak p)[X, Y]\) 中的像与 \(F(X, Y)\) 的像 互素（对某个 \(e\) 这是可能的）。 将 Algebra，引理 00O0 应用于由乘以 \(G\) 从 \(S_d \to S_{d + e}\) 诱导的映射。由 \(G\) 的选择及 引理 00Q5，可知 \(S_d \otimes \kappa(\mathfrak p) \to S_{d + e} \otimes \kappa(\mathfrak p)\) 是双射。因此，对适当的 \(f\) 用 \(R_f\) 替换 \(R\) 后，可设 \(G : S_d \to S_{d + e}\) 是双射。这又意味着 对 \(R\) 的所有素理想 \(\mathfrak p'\)，\(G\) 在 \(\kappa(\mathfrak p')[X, Y]\) 中的像与 \(F\) 的像 互素。于是再次由 Algebra，引理 00O0 可知所有映射 \(G : S_d \to S_{d + e}\)（\(n \geq d\)）都是同构。

注

设 \(R\) 是环。假设有 \(F \in R[X, Y]_d\) 与 \(G \in R[X, Y]_e\)，置 \(S = R[X, Y]/(F)\)，并满足：(1) 对 所有 \(n \geq d\)，\(S_n\) 是秩为 \(d\) 的有限局部自由模；(2) 乘以 \(G\) 对所有 \(n \geq d\) 诱导同构 \(S_n \to S_{n + e}\)。此时 可以如下定义有限局部自由的 \(R\)-代数 \(A\)：

1. 作为 \(R\)-模，\(A = S_{ed}\)；

2. 乘法 \(A \times A \to A\) 由下列规则给出： 在 \(S_{2ed}\) 中，\(H_1 H_2 = H_3\) 当且仅当 \(G^d H_3 = H_1 H_2\)。

这是合理的，因为乘以 \(G^d\) 诱导双射 \(S_{de} \to S_{2de}\)。 容易看出这定义了一个环结构。 需要注意一个容易混淆的事实：元素 \(G^d\) 定义了环 \(A\) 的单位元。

引理

设 \(R\) 是环，且 \(f \in R\)。 设有 \(S\)、\(S'\) 及实线箭头， 组成下列环的交换图： \[\xymatrix{ & S'' \ar@{-->}[rd] \ar@{-->}[dd] & \\ R \ar[rr] \ar@{-->}[ru] \ar[d] & & S \ar[d] \\ R_f \ar[r] & S' \ar[r] & S_f }\] 假设 \(R_f \to S'\) 是有限映射。则可找到 有限环映射 \(R \to S''\) 及图中所示的虚线箭头， 使得 \(S' = (S'')_f\)。

证明

具体地，设 \(S'\) 由 \(x_i\) 在 \(R_f\) 上生成，其中 \(i = 1, \ldots, w\)。令 \(P_i(t) \in R_f[t]\) 为满足 \(P_i(x_i) = 0\) 的首一多项式。设 \(P_i\) 的次数为 \(d_i > 0\)。写成 \(P_i(t) = t^{d_i} + \sum_{j < d_i} (a_{ij}/f^n) t^j\)， 其中 \(n\) 统一。再将 \(x_i\) 在 \(S_f\) 中的像写成 \(g_i / f^n\)， 其中 \(g_i \in S\) 适当。于是元素 \(\xi_i = f^{nd_i} g_i^{d_i} + \sum_{j < d_i} f^{n(d_i - j)} a_{ij} g_i^j\) \(S\) 被 \(f\) 的某个幂湮灭。 因此将 \(n\) 增大为 \(n'\)（这会把 \(g_i\) 替换为 \(f^{n' - n}g_i\)）后，可设 \(\xi_i = 0\)。 于是 \(S'\) 由元素 \(f^n x_i\) 生成；每个元素都是下列首一多项式的根： \(Q_i(t) = t^{d_i} + \sum_{j < d_i} f^{n(d_i - j)} a_{ij} t^j\)， 其系数在 \(R\) 中。按构造， \(Q_i(f^ng_i) = 0\) 在 \(S\) 中。因此得到有限 \(R\)-代数 \(S'' = R[z_1, \ldots, z_w]/(Q_1(z_1), \ldots, Q_w(z_w))\)， 它适合于上面的交换图。 映射 \(\alpha : S'' \to S\) 将 \(z_i\) 映到 \(f^ng_i\)， 映射 \(\beta : S'' \to S'\) 将 \(z_i\) 映到 \(f^nx_i\)。 此时 \(\beta\) 可能尚未诱导 同构 \((S'')_f \cong S'\)。 目前只知道该映射是满射。问题在于，可能存在 元素 \(h/f^n \in (S'')_f\) 映到 \(S'\) 中的零但自身不为零。此时 \(\beta(h)\) 是 \(S\) 中的元素，且对某个 \(N\) 有 \(f^N \beta(h) = 0\)。因此 \(f^N h\) 属于理想 \(J = \{h \in S'' \mid \alpha(h) = 0 \text{ 且 } \beta(h) = 0\}\) 的 \(S''\)。容易看出 \(S''/J\) 即可满足要求。

形式光滑的环映射

引理

设 \(R\) 是环，\(S\) 是 \(R\)-代数。 若 \(S\) 有限表示且形式光滑于 \(R\)， 则 \(S\) 光滑于 \(R\)。

证明

见 Algebra，命题 00TN。

注

该标签原先指向 Algebraization of Formal Spaces，命题 0GAT 的证明中的一个等式， 由于材料重新编排而不再使用。

注

该标签原先指向 Algebraization of Formal Spaces，命题 0GAT 的证明中的一个等式， 由于材料重新编排而不再使用。

注

该标签原先指向 Algebraization of Formal Spaces，命题 0GAT 的证明中的一个等式， 由于材料重新编排而不再使用。

注

该标签原先指向 Algebraization of Formal Spaces，命题 0GAT 的证明中的一个等式， 由于材料重新编排而不再使用。

注

该标签原先指向 Algebraization of Formal Spaces，引理 0ALT 的证明中的一个等式， 由于材料重新编排而不再使用。

引理

设 \(A\) 是诺特环，且 \(I \subset A\) 是理想。 设 \(t\) 是 \(I\) 的最小生成元个数。 设 \(C\) 是关于 \(I\)-进拓扑完备的诺特 \(A\)-代数。 存在只依赖于 \(I \subset A \to C\) 的整数 \(d \geq 0\)， 具有如下性质：给定

1. \(c \geq 0\) 及 Algebraization of Formal Spaces， 等式 (0AL4) 中的 \(B\)，满足对 \(a \in I^c\)， 乘以 \(a\) 在 \(\NL_{B/A}^\wedge\) 上于 \(D(B)\) 中为零；

2. 整数 \(n > 2t\max(c, d)\)；

3. \(A/I^n\)-代数映射 \(\psi_n : B/I^nB \to C/I^nC\)；

存在 \(A\)-代数映射 \(\varphi : B \to C\)，使得 \(\psi_n \bmod I^{m - c} = \varphi \bmod I^{m - c}\)， 其中 \(m = \lfloor \frac{n}{t} \rfloor\)。

证明

这个引理已被更强的 Algebraization of Formal Spaces，引理 0GAQ 所废止。 事实上，我们将由该引理推出本引理。

设 \(I \subset A \to C\) 如上面的陈述。 记 \(d(\text{Gr}_I(C))\) 与 \(q(\text{Gr}_I(C))\) 为 Local Cohomology，小节 0GA6 中得到的整数。 注意，\(t\) 是 \(IC\) 的最小生成元个数的上界，因此 \(d(\text{Gr}_I(C)) + 1 \leq t\)；见 Local Cohomology，小节 0GA6 中的讨论。 可假设 \(t \geq 1\)，因为否则引理没有内容。 我们断言取 \[d = q(\text{Gr}_I(C))\] 具体地，设 \(c\)、\(B\)、\(n\)、\(\psi_n\) 如上面的陈述。 则有 \[n > 2t\max(c, d) \Rightarrow n \geq 2tc + 1 \Rightarrow n \geq 2(d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c + 1\] 另一方面，有 \[n > 2t\max(c, d) \Rightarrow n > t(c + d) \Rightarrow n \geq q(C) + tc \geq q(\text{Gr}_I(C)) + (d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c\] 因此 Algebraization of Formal Spaces，引理 0GAQ 的假设 得到满足，从而得到 \(A\)-代数同态 \(\varphi : B \to C\)，它与 \(\psi_n\) 在 模 \(I^{n - (d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c}C\) 上同余。 由于 \[\begin{align*} n - (d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c & = \frac{n}{t} + \frac{(t - 1)n}{t} - (d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c \\ & \geq \frac{n}{t} + \frac{(d(\text{Gr}_I(C))n}{t} - (d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c \\ & > \frac{n}{t} + \frac{d(\text{Gr}_I(C))2tc}{t} - (d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c \\ & = \frac{n}{t} + 2d(\text{Gr}_I(C))c - (d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c \\ & = \frac{n}{t} + d(\text{Gr}_I(C))c - c \\ & \geq m - c \end{align*}\] 可知如所需，\(\varphi\) 与 \(\psi_n\) 在模 \(I^{m - c}C\) 上同余。

网站与层

注

设 \(U\) 是网站 \(\mathcal{C}\) 的对象。对 \(\mathcal{C}/U\) 上的任意阿贝尔层 \(\mathcal{G}\)，可以问是否存在典范映射 \[c : j_{U!}\mathcal{G} \longrightarrow j_{U*}\mathcal{G}\] 构造这样的映射等价于构造映射 \(j_U^{-1}j_{U!}\mathcal{G} \to \mathcal{G}\)。 注意限制与层化交换。 因此可以使用 Modules on Sites，引理 03DI 中的预层。 所以只需对 \(V/U\) 定义映射 \[\bigoplus\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \mathcal{G}(V \xrightarrow{\varphi} U) \longrightarrow \mathcal{G}(V/U)\] 使其与限制相容。看起来可以令该映射在除以下求和项外的 所有求和项上为零：当 \(\varphi\) 是结构态射 \(\varphi_0 : V \to U\) 时， 在该项上取值 \(1\)。 然而这与限制映射不相容：具体地，若 \(\alpha : V' \to V\) 是 \(\mathcal{C}\) 中的态射，记 \(V'/U\) 为 \(\mathcal{C}/U\) 中结构 态射为 \(\varphi'_0 = \varphi_0 \circ \alpha\) 的对象。 需要检查下图 \[\xymatrix{ \bigoplus\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \mathcal{G}(V \xrightarrow{\varphi} U) \ar[d] \ar[r] & \mathcal{G}(V/U) \ar[d] \\ \bigoplus\nolimits_{\varphi' \in \Mor_\mathcal{C}(V', U)} \mathcal{G}(V' \xrightarrow{\varphi'} U) \ar[r] & \mathcal{G}(V'/U) }\] 交换。问题在于，可能存在不同于 \(\varphi_0\) 的态射 \(\varphi : V \to U\)，满足 \(\varphi \circ \alpha = \varphi'_0\)。 因此左侧竖直箭头会把对应于 \(\varphi\) 的求和项送到下方 水平箭头取值为 \(1\) 的求和项，图表几乎肯定不交换。

上同调

关于上同调的已废弃引理。

引理

设 \(I\) 是环 \(A\) 的理想，\(X\) 是位于 \(\Spec(A)\) 上的概形。设 \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] 是 \(\mathcal{O}_X\)-模的逆系统， 满足 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\)。 假设 \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} H^1(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\] 作为分次 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-模满足升链条件。 则逆系统 \(M_n = \Gamma(X, \mathcal{F}_n)\) 满足 Mittag–Leffler 条件。

证明

这是更一般的 Cohomology，引理 0GYK 的特殊情形。

引理

设 \(I\) 是环 \(A\) 的理想，\(X\) 是 \(\Spec(A)\) 上的概形。设 \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] 为 \(\mathcal{O}_X\)-模的逆系统， 满足 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\)。 给定 \(n\)，定义 \[H^1_n = \bigcap\nolimits_{m \geq n} \Im\left( H^1(X, I^n\mathcal{F}_{m + 1}) \to H^1(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1}) \right)\] 若 \(\bigoplus H^1_n\) 作为分次 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-模满足升链条件，则逆系统 \(M_n = \Gamma(X, \mathcal{F}_n)\) 满足 Mittag–Leffler 条件。

证明

这是更一般的 Cohomology，引理 0GYL 的特殊情形。

引理

设 \(I\) 是环 \(A\) 的有限生成理想。 设 \(X\) 是位于 \(\Spec(A)\) 上的概形。设 \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] 是 \(\mathcal{O}_X\)-模的逆系统，满足 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\)。假设 \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} H^0(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\] 作为分次 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-模满足升链条件。 则 \(M = \lim \Gamma(X, \mathcal{F}_n)\) 上的极限拓扑 就是 \(I\)-进拓扑。

证明

这是更一般的 Cohomology，引理 0GYM 的特殊情形。

引理

设 \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C})\) 是环化拓扑斯。 对任意 \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-模复形 \(\mathcal{G}^\bullet\)， 存在拟同构 \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\)，使得 对任意环化拓扑斯态射 \(f : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C})\)，\(f^*\mathcal{K}^\bullet\) 是 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-模的 K-平坦复形。

证明

这由 Cohomology on Sites，引理 06YS 与 0G7E 得出。

注

本注记原先讨论 K-平坦复形的拉回是否仍为 K-平坦， 但现在已被 Cohomology on Sites，引理 0G7E 废止。

下面的引理在特殊情形下计算 导出极限的上同调层。

引理

设 \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) 是环化网站。设 \((K_n)\) 是 \(D(\mathcal{O})\) 中对象的逆系统。 设 \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) 是子集。 设 \(d \in \mathbf{N}\)。假设

1. 对所有 \(n\)，\(K_n\) 是 \(D^+(\mathcal{O})\) 中的对象；

2. 对 \(q \in \mathbf{Z}\)，存在 \(n(q)\)，使得当 \(n \geq n(q)\) 时，\(H^q(K_{n + 1}) \to H^q(K_n)\) 是同构；

3. \(\mathcal{C}\) 的每个对象都有一个覆盖，其成员是 \(\mathcal{B}\) 的元素；

4. 对每个 \(U \in \mathcal{B}\)，有 \(H^p(U, H^q(K_n)) = 0\)， 对所有 \(q\) 及 \(p > d\) 均成立。

则对所有 \(m \in \mathbf{Z}\)，有 \(H^m(R\lim K_n) = \lim H^m(K_n)\)。

证明

置 \(K = R\lim K_n\)。设 \(U \in \mathcal{B}\)。对每个 \(n\) 有谱 序列 \[H^p(U, H^q(K_n)) \Rightarrow H^{p + q}(U, K_n)\] 它收敛，因为 \(K_n\) 有下界；见 Derived Categories，引理 015J。 固定 \(m \in \mathbf{Z}\)，由假设 (4) 可知，只有 \(H^p(U, H^q(K_n))\) 对 \(H^m(U, K_n)\) 有贡献， 其中 \(0 \leq p \leq d\) 且 \(m - d \leq q \leq m\)。由假设 (2)， 当 \(n \geq \max{n(m), \ldots, n(m - d)}\) 时， \(H^m(U, K_{n + 1}) \to H^m(U, K_n)\) 是同构。函子 \(R\Gamma(U, -)\) 与导出极限交换，依据 Injectives，引理 08U1。 因此 \[H^m(U, K) = H^m(R\lim R\Gamma(U, K_n))\] 另一方面，我们刚刚看到复形 \(R\Gamma(U, K_n)\) 的上同调群最终恒定。因此由 More on Algebra，注记 08U5， 可知对某个与 \(U \in \mathcal{B}\) 无关的界，所有 \(n \gg 0\) 都有 \(H^m(U, K)\) 等于 \(H^m(U, K_n)\)。取这样的 \(n\)。最后回忆，\(H^m(K)\) 是预层 \(U \mapsto H^m(U, K)\) 的层化，而 \(H^m(K_n)\) 是预层 \(U \mapsto H^m(U, K_n)\) 的层化。在 \(\mathcal{B}\) 的元素上，这些预层取值相同。 因此假设 (3) 保证层化也相同。 引理得证。

引理

在 Simplicial Spaces，情形 09WE 中， 设 \(a_0\) 是指向网站 \(\mathcal{D}\) 的增广，如 Simplicial Spaces，注记 0D6Z 所述。 给定严格满弱 Serre 子范畴 \[\mathcal{A} \subset \textit{Ab}(\mathcal{D}),\quad \mathcal{A}_n \subset \textit{Ab}(\mathcal{C}_n)\] 则

1. \(\mathcal{C}_{total}\) 上所有满足其到每个 \(\mathcal{C}_n\) 的限制属于 \(\mathcal{A}_n\)（对所有 \(n\)）的 阿贝尔层 \(\mathcal{F}\) 构成严格满弱 Serre 子范畴 \(\mathcal{A}_{total} \subset \textit{Ab}(\mathcal{C}_{total})\)。

若对所有 \(n\)，\(a_n^{-1}\) 将 \(\mathcal{A}\) 映入 \(\mathcal{A}_n\)，则

1. \(a^{-1}\) 将 \(\mathcal{A}\) 映入 \(\mathcal{A}_{total}\)；

2. \(a^{-1}\) 将 \(D_\mathcal{A}(\mathcal{D})\) 映入 \(D_{\mathcal{A}_{total}}(\mathcal{C}_{total})\)。

若对所有 \(n, q\)，\(R^qa_{n, *}\) 将 \(\mathcal{A}_n\) 映入 \(\mathcal{A}\)，则

1. 对所有 \(q\)，\(R^qa_*\) 将 \(\mathcal{A}_{total}\) 映入 \(\mathcal{A}\)； 并且

2. \(Ra_*\) 将 \(D_{\mathcal{A}_{total}}^+(\mathcal{C}_{total})\) 映入 \(D_\mathcal{A}^+(\mathcal{D})\)。

证明

唯一有实质内容的断言是 (4) 与 (5)。 (4) 由下列谱序列推出： Simplicial Spaces，引理 0D7A 以及 Homology，引理 012W。 然后考虑由截断给出的 \(D_{\mathcal{A}_{total}}^+(\mathcal{C}_{total})\) 中对象 \(K\) 的典范过滤所关联的谱序列，即得 (5)。 细节略去。

注

该标签原先指向上调章节中列出待处理主题的一个小节。

注

该标签原先指向上调章节中列出待处理主题的一个小节。

注

该标签原先指向 Cohomology on Sites，引理 0EZA 在 Cohomology on Sites，引理 0EZI 所述情形下的特殊情形。

注

该标签原先指向 Cohomology on Sites，引理 0EZB 在 Cohomology on Sites，引理 0EZI 所述情形下的特殊情形。

注

该标签原先指向 Cohomology on Sites，引理 0EZE 在 Cohomology on Sites，引理 0EZI 所述情形下的特殊情形。

注

该标签原先指向 Cohomology on Sites，引理 0EZA 在 Étale Cohomology，引理 0F0H 所述情形下的特殊情形。

注

该标签原先指向 Cohomology on Sites，引理 0EZB 在 Étale Cohomology，引理 0F0H 所述情形下的特殊情形。

注

该标签原先指向 Cohomology on Sites，引理 0EZE 在 Étale Cohomology，引理 0F0H 所述情形下的特殊情形。

注

该标签原先指向 Cohomology on Sites，引理 0EZA 在 Étale Cohomology，引理 0F0I 所述情形下的特殊情形。

注

该标签原先指向 Cohomology on Sites，引理 0EZB 在 Étale Cohomology，引理 0F0I 所述情形下的特殊情形。

注

该标签原先指向 Cohomology on Sites，引理 0EZC 在 Étale Cohomology，引理 0F0I 所述情形下的特殊情形。

注

该标签原先指向 Cohomology on Sites，引理 0EZD 在 Étale Cohomology，引理 0F0I 所述情形下的特殊情形。

注

该标签原先指向 Cohomology on Sites，引理 0EZE 在 Étale Cohomology，引理 0F0I 所述情形下的特殊情形。

注

该标签原先指向 Cohomology on Sites，引理 0EZA 在 Étale Cohomology，引理 0F0J 所述情形下的特殊情形。

注

该标签原先指向 Cohomology on Sites，引理 0EZB 在 Étale Cohomology，引理 0F0J 所述情形下的特殊情形。

注

该标签原先指向 Cohomology on Sites，引理 0EZC 在 Étale Cohomology，引理 0F0J 所述情形下的特殊情形。

注

该标签原先指向 Cohomology on Sites，引理 0EZE 在 Étale Cohomology，引理 0F0J 所述情形下的特殊情形。

注

该标签原先位于 étale 上同调章节，但因重新组织已不适合留在那里。 标签内容如下： Étale Cohomology，引理 03TT 可用于证明：若 \(f : X \to Y\) 是概形的分离有限型态射且 \(Y\) 诺特， 则 \(Rf_!\) 诱导函子 \(D_{ctf}(X_\etale, \Lambda) \to D_{ctf}(Y_\etale, \Lambda)\)。 当 \(Y\) 是域的谱且 \(X\) 是曲线时，这一论证的例子见 The Trace Formula， 命题 03TV。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形的局部拟有限态射。 存在唯一函子 \(f^! : \textit{Ab}(Y_\etale) \to \textit{Ab}(X_\etale)\)，满足

1. 对任意开浸入 \(j : U \to X\)，若 \(f \circ j\) 分离，则存在典范同构 \(j^! \circ f^! = (f \circ j)^!\)；并且

2. 当 \(U \subset U' \subset X\) 时，这些同构与 More Étale Cohomology，引理 0F5B 中的同构相容。

证明

立即由 More Étale Cohomology，引理 0F59 与 0F5B 得出。

命题

设 \(f : X \to Y\) 是局部拟有限态射。存在伴随函子 \(f_! : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) 与 \(f^! : \textit{Ab}(Y_\etale) \to \textit{Ab}(X_\etale)\)， 具有以下性质

1. 函子 \(f^!\) 是 More Étale Cohomology 中由 引理 0F59 构造的函子；

2. 对任意开浸入 \(j : U \to X\)，若 \(f \circ j\) 分离，存在典范同构 \(f_! \circ j_! = (f \circ j)_!\)；并且

3. 当 \(U \subset U' \subset X\) 时，这些同构与 More Étale Cohomology， 引理 0F50 中的同构相容。

证明

见 More Étale Cohomology，小节 0F6E 与 0F58。

引理

设 \(f : X \to Y\) 是局部拟有限的概形态射。 对阿贝尔群 \(A\) 与几何点 \(\overline{y} : \Spec(k) \to Y\)，有 \(f^!(\overline{y}_*A) = \prod\nolimits_{f(\overline{x}) = \overline{y}} \overline{x}_*A\).

证明

由 More Étale Cohomology，引理 0F59 中对应的陈述推出。

引理

设 \(f : X \to Y\) 与 \(g : Y \to Z\) 是可复合的局部拟有限概形态射。 则 \(g_! \circ f_! = (g \circ f)_!\)，并且 \(f^! \circ g^! = (g \circ f)^!\)。

证明

这是 More Étale Cohomology 中引理 0F6T 与 0F5B 的组合。

微分分次代数

引理

设 \((A, \text{d})\) 与 \((B, \text{d})\) 是微分分次代数。 设 \(N\) 是具有性质 (P) 的微分分次 \((A, B)\)-双模，设 \(M\) 是具有性质 (P) 的微分分次 \(A\)-模。则 \(Q = M \otimes_A N\) 是微分分次 \(B\)-模， 在 \(D(B)\) 中表示 \(M \otimes_A^\mathbf{L} N\)，并带有滤链 \[0 = F_{-1}Q \subset F_0Q \subset F_1Q \subset \ldots \subset Q\] 其微分分次子模满足 \(Q = \bigcup F_pQ\)；包含映射 \(F_iQ \to F_{i + 1}Q\) 是可容许单射；商 \(F_{i + 1}Q/F_iQ\) 作为微分分次 \(B\)-模同构于 \((A \otimes_R B)[k]\) 的直和。

证明

在 \(M\) 与 \(N\) 上选取滤链 \(F_\bullet\)。考虑 \(Q = M \otimes_A N\) 上由下式给出的滤链 \[F_n(Q) = \sum\nolimits_{i + j = n} F_i(M) \otimes_A F_j(N)\] 这显然是微分分次 \(B\)-子模。我们有 \[F_n(Q)/F_{n - 1}(Q) = \bigoplus\nolimits_{i + j = n} F_i(M)/F_{i - 1}(M) \otimes_A F_j(N)/F_{j - 1}(N)\] 例如，这是因为 \(M\) 的滤链在分次 \(A\)-模范畴中是可分裂的。由于假设右侧的商同构于 \(A\) 与 \(A \otimes_R B\) 的移位直和，并且 \(A \otimes_A (A \otimes_R B) = A \otimes_R B\)， 所以左侧作为微分分次 \(B\)-模是 \(A \otimes_R B\) 的移位直和。 （警告：\(Q\) 没有 \((A, B)\)-双模结构。） 这证明了引理的第一个断言。第二个断言直接由 Differential Graded Algebra，引理 09LS 中函子的定义得到。

单纯方法

引理

假设与记号同 Simplicial，引理 01A6。 存在态射 \(f\) 的截面 \(g : U \to V\)，且复合 \(g \circ f\) 在 \(V\) 上与恒等态射同伦等价。 特别地，态射 \(f\) 是同伦等价。

证明

立即由 Simplicial，引理 01A6 与 08NS 得出。

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是具有有限余积与有限极限的范畴。设 \(X\) 是 \(\mathcal{C}\) 中的对象。 设 \(k \geq 0\)。规范映射 \[\Hom(\Delta[k], X) \longrightarrow \text{cosk}_1 \text{sk}_1 \Hom(\Delta[k], X)\] 是同构。

证明

对任意单纯对象 \(V\)，有 \[\begin{eqnarray*} \Mor(V, \text{cosk}_1 \text{sk}_1 \Hom(\Delta[k], X)) & = & \Mor(\text{sk}_1 V, \text{sk}_1 \Hom(\Delta[k], X)) \\ & = & \Mor(i_{1!} \text{sk}_1 V, \Hom(\Delta[k], X)) \\ & = & \Mor(i_{1!} \text{sk}_1 V \times \Delta[k], X) \end{eqnarray*}\] 第一个等式来自 \(\text{sk}\) 与 \(\text{cosk}\) 的伴随性，第二个等式来自 \(i_{1!}\) 与 \(\text{sk}_1\) 的伴随性，第三个等式来自 Simplicial，定义 017I， 其中最后的 \(X\) 表示取值为 \(X\) 的常值单纯对象。由 Simplicial，引理 018H，该集合中的元素只依赖于 \(i_{1!} \text{sk}_1 V \times \Delta[k]\) 的 \(0\) 次与 \(1\) 次项。 这些项与 \(V \times \Delta[k]\) 的 \(0\) 次与 \(1\) 次项一致；见 Simplicial，引理 018N。 因此上面的集合等于 \(\Mor(V \times \Delta[k], X) = \Mor(V, \Hom(\Delta[k], X))\).

引理

设 \(\mathcal{C}\) 是范畴。设 \(X\) 是 \(\mathcal{C}\) 中的对象，并且自积 \(X \times \ldots \times X\) 存在。设 \(k \geq 0\)，令 \(C[k]\) 如 Simplicial，例 0B13 中所述。 采用 Simplicial，引理 017M 的记号， 规范映射 \[\Hom(C[k], X)_1 \longrightarrow (\text{cosk}_0 \text{sk}_0 \Hom(C[k], X))_1\] 可识别为映射 \[\prod\nolimits_{\alpha : [k] \to [1]} X \longrightarrow X \times X\] 它是投影到 \(\alpha\) 为常值映射的那些因子的投影。

证明

这在 Hypercoverings，引理 01GJ 的证明中给出。

关于概形的结果

看似多余的引理。

引理

设 \((R, \mathfrak m, \kappa)\) 是局部环。设 \(X \subset \mathbf{P}^n_R\) 是闭子概形。 假设 \(R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)。则特殊纤维 \(X_k\) 几何连通。

证明

这是 More on Morphisms，定理 03H2.

引理

设 \(X\) 是诺特概形。设 \(Z_0 \subset X\) 是不可约闭子集，其一般点为 \(\xi\)。 设 \(\mathcal{P}\) 是 \(X\) 上凝聚层的性质，满足

1. 对任意凝聚层的短正合列，若其中三个对象中的两个具有性质 \(\mathcal{P}\)， 则第三个也具有该性质。

2. 若凝聚层的直和具有 \(\mathcal{P}\)，则该性质对两个直项均成立。

3. 对每个积分闭子概形 \(Z \subset Z_0 \subset X\)，若 \(Z \not = Z_0\)，且每个拟凝聚理想层 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\)，都有 \((Z \to X)_*\mathcal{I}\) 具有 \(\mathcal{P}\)。

4. 存在 \(X\) 上的凝聚层 \(\mathcal{G}\)，使得

   1. \(\text{Supp}(\mathcal{G}) = Z_0\)；

   2. \(\mathcal{G}_\xi\) 被 \(\mathfrak m_\xi\) 湮灭；

   3. \(\mathcal{G}\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。

则 \(X\) 上支集包含于 \(Z_0\) 的每个凝聚层 \(\mathcal{F}\) 都具有性质 \(\mathcal{P}\)。

证明

证明是 Cohomology of Schemes，引理 01YH 证明的变体。 以完全相同的方式可见，支集严格包含于 \(Z_0\) 的任何凝聚层都具有性质 \(\mathcal{P}\)。

考虑如 (3) 中的凝聚层 \(\mathcal{G}\)。由 Cohomology of Schemes，引理 01YE，在 \(Z_0\) 上存在理想层 \(\mathcal{I}\)，以及短正合列 \[0 \to \left((Z_0 \to X)_*\mathcal{I}\right)^{\oplus r} \to \mathcal{G} \to \mathcal{Q} \to 0\] 其中 \(\mathcal{Q}\) 的支集严格包含于 \(Z_0\)。特别地，由于 \(\mathcal{G}\) 的支集等于 \(Z\)， 有 \(r > 0\) 且 \(\mathcal{I}\) 非零。由于 \(\mathcal{Q}\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)，我们得到 \(\left((Z_0 \to X)_*\mathcal{I}\right)^{\oplus r}\) 也具有性质 \(\mathcal{P}\)。 由 (2) 推出 \((Z_0 \to X)_*\mathcal{I}\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。 将此放入 Cohomology of Schemes，引理 01YH 证明中的适当位置，即得引理。 细节略。

引理

设 \(X\) 是诺特概形。设 \(\mathcal{P}\) 是 \(X\) 上凝聚层的性质，满足

1. 对任意凝聚层的短正合列，若其中三个对象中的两个具有性质 \(\mathcal{P}\)， 则第三个也具有该性质。

2. 若凝聚层的直和具有 \(\mathcal{P}\)，则该性质对两个直项均成立。

3. 对每个一般点为 \(\xi\) 的积分闭子概形 \(Z \subset X\)，存在凝聚层 \(\mathcal{G}\)，使得

   1. \(\text{Supp}(\mathcal{G}) = Z\)；

   2. \(\mathcal{G}_\xi\) 被 \(\mathfrak m_\xi\) 湮灭；

   3. \(\mathcal{G}\) 具有性质 \(\mathcal{P}\)。

则 \(X\) 上每个凝聚层都具有性质 \(\mathcal{P}\)。

证明

这由引理 01YJ 得出，方式与 Cohomology of Schemes，引理 01YI 由 Cohomology of Schemes，引理 01YH 得出的方式完全相同。

引理

设 \(X\) 是概形。设 \(\mathcal{L}\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。 设 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) 是截面。设 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) 是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。假设

1. \(X\) 拟紧；

2. \(\mathcal{F}\) 是有限型；

3. \(\mathcal{F}'|_{X_s} = \mathcal{F}|_{X_s}\)。

则存在 \(n \geq 0\)，使得 \(\mathcal{F}\) 上乘以 \(s^n\) 的映射经由 \(\mathcal{F}'\) 分解。

证明

换言之，我们要证明 \(s^n\mathcal{F} \subset \mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}\) 对某个 \(n \geq 0\) 成立。换言之，商映射 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}/\mathcal{F}'\) 在乘以 \(s\) 的某个幂后变为零。 这由 Properties，引理 01XQ.

引理

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。假设

1. \(X\) 与 \(Y\) 是积分概形；

2. \(f\) 局部有限型且占优；

3. \(f\) 拟紧或分离；

4. \(f\) 泛有限，即 Morphisms，引理 02NX 的 (1)–(5) 中至少有一个成立。

则存在非空开集 \(V \subset Y\)，使得 \(f^{-1}(V) \to V\) 是次数为 \(\deg(X/Y)\) 的有限局部自由态射。 特别地，\(f^{-1}(V) \to V\) 的纤维次数由 \(\deg(X/Y)\) 控制。

证明

可选取 \(V\) 使 \(f^{-1}(V) \to V\) 有限。再缩小 \(V\)，由一般平坦性可设 \(f^{-1}(V) \to V\) 平坦且有限表示（Morphisms，命题 052A）。由 Morphisms，引理 02KB，该态射是有限局部自由的。 由于 \(V\) 不可约，该态射具有固定次数。最后一个断言由此以及 Morphisms，引理 0CC2 得出。

簇的导出范畴

以下若干引理原属簇的导出范畴一章， 但现已不再需要。

引理

设 \(k\) 是域。设 \(X\) 是 \(k\) 上有限型分离且正则的概形。设 \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 是 \(k\)-线性正合函子。 假设对每个满足 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) = 0\) 的凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，存在 \(k\)-向量空间同构 \[\Hom_X(\mathcal{F}, M) = \Hom_X(\mathcal{F}, F(M))\] 且该同构在 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 中关于 \(M\) 函子性。 则存在定义在 \(k\) 上的自同构 \(f : X \to X\)，它在底层拓扑空间上诱导恒等映射¹ ，以及可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\)，使得 \(F\) 与 \(F'(M) = f^*M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{L}\) 是兄弟函子。

证明

由 Derived Categories of Varieties，引理 0G02， 对每个支集为闭点的凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{F}\)，都有同构 \[H^0(X, M \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}) = H^0(X, F(M) \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})\] ，且关于 \(M\) 函子性。

令 \(x \in X\) 为闭点，并将上述结论应用于在 \(x\) 处取值为 \(\kappa(x)\) 的叠置层 \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_x\)。得到 \[\dim_{\kappa(x)} \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_p(M_x, \kappa(x)) = \dim_{\kappa(x)} \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_p(F(M)_x, \kappa(x))\] 对所有 \(p \in \mathbf{Z}\) 成立。特别地，若 \(H^i(M) = 0\) 对 \(i > 0\) 成立， 则 \(H^i(F(M)) = 0\) 对 \(i > 0\)，这由 Derived Categories of Varieties，引理 0G03.

若 \(\mathcal{E}\) 是秩为 \(r\) 的局部自由模，则 \(F(\mathcal{E})\) 也是秩为 \(r\) 的局部自由模。 这是因为在 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 上的完美复形 \(K\) 若满足 \[\dim_{\kappa(x)} \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_i(K, \kappa(x)) = \left\{ \begin{matrix} r & \text{若} & i = 0 \\ 0 & \text{若} & i \not = 0 \end{matrix} \right.\] 则等于置于次数 \(0\) 的秩为 \(r\) 的自由模。例见 More on Algebra，引理 0BCD.

若 \(M\) 的支集包含于闭子概形 \(Z \subset X\)，则 \(F(M)\) 的支集也包含于 \(Z\)。 这是显然的，因为对 \(x \not \in Z\) 有 \(M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_x = 0\)，于是 \(F(M)\) 也满足同样结论， 再由 Derived Categories of Varieties，引理 0G03.

特别地，\(F(\mathcal{O}_x)\) 的支集为 \(\{x\}\)。令 \(i \in \mathbf{Z}\) 为满足 \(H^i(\mathcal{O}_x) \not = 0\) 的最小整数。我们知道 \(i \leq 0\)。 若 \(i < 0\)，则存在态射 \(\mathcal{O}_x[-i] \to F(\mathcal{O}_x)\) ，这与所有态射 \(\mathcal{O}_x[-i] \to \mathcal{O}_x\) 均为零相矛盾。 因此 \(F(\mathcal{O}_x) = \mathcal{H}[0]\)，其中 \(\mathcal{H}\) 是集中在 \(x\) 的叠置层。

设 \(\mathcal{G}\) 是满足 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{G})) = 0\) 的凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。 则存在滤链 \[0 = \mathcal{G}_0 \subset \mathcal{G}_1 \subset \ldots \subset \mathcal{G}_n = \mathcal{G}\] 使得对 \(n \geq i \geq 1\)，商 \(\mathcal{G}_i/\mathcal{G}_{i - 1}\) 同构于某个闭点 \(x_i \in X\) 处的 \(\mathcal{O}_{x_i}\)。于是得到三角形 \[F(\mathcal{G}_{i - 1}) \to F(\mathcal{G}_i) \to F(\mathcal{O}_{x_i})\] 利用归纳法可知 \(F(\mathcal{G}_i)\) 是置于次数 \(0\) 的凝聚层。

设 \(\mathcal{G}\) 是凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。我们知道对 \(i > 0\) 有 \(H^i(F(\mathcal{G})) = 0\)。为导出矛盾，假设对某个 \(i < 0\)， \(H^i(F(\mathcal{G}))\) 非零。取具有此性质的最小 \(i\)，于是存在 \(H^i(F(\mathcal{G}))[-i] \to F(\mathcal{G})\) 的 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 中态射。 取 \(H^i(F(\mathcal{G}))\) 支集中的闭点 \(x \in X\)。由 More on Algebra，引理 0EGV 存在 \(n > 0\)，使得 \[H^i(F(\mathcal{G}))_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n \longrightarrow \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_{-i}(F(\mathcal{G})_x, \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n)\] 非零。接着取 \(m \geq 1\)，考虑短正合列 \[0 \to \mathfrak m_x^m \mathcal{G} \to \mathcal{G} \to \mathcal{G}/\mathfrak m_x^m\mathcal{G} \to 0\] 由上面的结论，\(F(\mathcal{G}/\mathfrak m_x^m\mathcal{G})\) 是置于次数 \(0\) 的层。 因此 \(H^i(F(\mathfrak m_x^m \mathcal{G})) \to H^i(F(\mathcal{G}))\) 是同构。 考虑交换图表 \[\xymatrix{ H^i(F(\mathfrak m_x^m\mathcal{G}))_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n \ar[r] \ar[d] & \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_{-i}(F(\mathfrak m_x^m\mathcal{G})_x, \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n) \ar[d] \\ H^i(F(\mathcal{G}))_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n \ar[r] & \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_{-i}(F(\mathcal{G})_x, \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n) }\] 由于左侧竖直箭头是同构且底部箭头非零，得到右侧竖直箭头对所有 \(m \geq 1\) 均非零。 另一方面，由证明的第一段，该箭头同构于下列箭头 \[\text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_{-i}(\mathfrak m_x^m\mathcal{G}_x, \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n) \longrightarrow \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_{-i}(\mathcal{G}_x, \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n)\] 然而由 More on Algebra，引理 0FXN，当 \(m \gg n\) 时该箭头为零， 这就是所需的矛盾。

因此 \(F\) 保持凝聚模。由 Derived Categories of Varieties，引理 0G00 ，可知 \(F\) 是 Fourier–Mukai 函子 \(F'\) 的兄弟函子，其中该函子由凝聚 \(\mathcal{O}_{X \times X}\)-模 \(\mathcal{K}\) 给出，该模经 \(\text{pr}_1\) 在 \(X\) 上平坦， 经 \(\text{pr}_2\) 在 \(X\) 上有限。由于 \(F(\mathcal{O}_X)\) 是置于次数 \(0\) 的可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\)，我们得到 \[\mathcal{L} \cong F(\mathcal{O}_X) \cong F'(\mathcal{O}_X) \cong \text{pr}_{2, *}\mathcal{K}\] 于是由 Functors and Morphisms，引理 0FZP， 存在态射 \(s : X \to X \times X\)，满足 \(\text{pr}_2 \circ s = \text{id}_X\) 且 \(\mathcal{K} = s_*\mathcal{L}\)。令 \(f = \text{pr}_1 \circ s\)。则有 \[\begin{align*} F'(M) & = R\text{pr}_{2, *}(L\text{pr}_1^*K \otimes \mathcal{K}) \\ & = R\text{pr}_{2, *}(L\text{pr}_1^*M \otimes s_*\mathcal{L}) \\ & = R\text{pr}_{2, *}(Rs_*(Lf^*M \otimes \mathcal{L})) \\ & = Lf^*M \otimes \mathcal{L} \end{align*}\] 第三步使用了 Derived Categories of Schemes，引理 08EU。由于对所有闭点 \(x \in X\)，模 \(F(\mathcal{O}_x)\) 的支集在 \(x\)，可知 \(f\) 在 \(X\) 的底层拓扑空间上诱导恒等映射。 仍需证明 \(f\) 是同构，这将在下一段完成。

令 \(x \in X\) 为闭点。对 \(n \geq 1\)，记 \(\mathcal{O}_{x, n}\) 为在 \(x\) 处取值 \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n\) 的叠置层。我们有 \[\Hom_X(\mathcal{O}_{x, m}, \mathcal{O}_{x, n}) \cong \Hom_X(\mathcal{O}_{x, m}, F(\mathcal{O}_{x, n})) \cong \Hom_X(\mathcal{O}_{x, m}, f^*\mathcal{O}_{x, n} \otimes \mathcal{L})\] 这些同构关于各 \(\mathcal{O}_{x, n}\) 之间的 \(\mathcal{O}_X\)-模同态函子性。 （第一个同构由假设给出，第二个同构因为 \(F\) 与 \(F'\) 是兄弟函子。） 当 \(m \geq n\) 时，通过对 \(\mathcal{O}_{x, n}\) 的作用，有 \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m^n = \Hom_X(\mathcal{O}_{x, m}, \mathcal{O}_{x, n})\)。 因此 \(f^\sharp : \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n \to \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n\) 对所有 \(n\) 均为双射。 所以 \(f\) 在闭点处的完备局部环上诱导同构，因而是 étale （Étale Morphisms，引理 039M）。 考察闭点可知，\(\Delta_f : X \to X \times_{f, X, f} X\)（由于 \(f\) 是 étale，这是开浸入） 是双射，因而是同构。因此 \(f\) 是单态射。最后由 Descent，引理 06NC 知它是开浸入，从而 \(f\) 是同构。

正则真情形下的可表性

本节已废弃，因为我们改进了 Derived Categories of Varieties， 定理 0FYH，使其适用于域上的所有真概形 （此前我们只对域上的射影概形证明了该结论）。

引理

设 \(f : X' \to X\) 是积分诺特概形之间的真双有理态射，且 \(X\) 正则。 映射 \(\mathcal{O}_X \to Rf_*\mathcal{O}_{X'}\) 在 \(D(\mathcal{O}_X)\) 中典范分裂。

证明

在 \(D(\mathcal{O}_X)\) 中置 \(E = Rf_*\mathcal{O}_{X'}\)。由 Derived Categories of Schemes，引理 08E2，有 \(E\) 属于 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)。 由 Derived Categories of Schemes，引理 0FDC，可知 \(E\) 是 \(D(\mathcal{O}_X)\) 中的完美对象。 由于 \(\mathcal{O}_{X'}\) 是代数层，由 Cohomology，注记 0B68 有相对杯积 \(\mu : E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E \to E\)。 令 \(\sigma : E \otimes E^\vee \to E^\vee \otimes E\) 为对称幺半范畴 \(D(\mathcal{O}_X)\) 中的交换约束（Cohomology，引理 0FPB）。记 \(\eta : \mathcal{O}_X \to E \otimes E^\vee\) 与 \(\epsilon : E^\vee \otimes E \to \mathcal{O}_X\) 为 Cohomology，例 0FPC 中构造的映射。于是可考虑映射 \[E \xrightarrow{\eta \otimes 1} E \otimes E^\vee \otimes E \xrightarrow{\sigma \otimes 1} E^\vee \otimes E \otimes E \xrightarrow{1 \otimes \mu} E^\vee \otimes E \xrightarrow{\epsilon} \mathcal{O}_X\] 我们断言该映射是引理陈述中映射的单侧逆。只需证明复合 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X\) 是恒等映射即可。可以在 \(X\) 的一般点处 （或在 \(f\) 为同构的 \(X\) 的某个开子概形上）进行验证。此时 \(E = \mathcal{O}_X\)，而 \(\mu\) 是通常的乘法映射，结论显然。

引理

设 \(X\) 是域 \(k\) 上的正则真概形。设 \(K \in \Ob(D_\QCoh(\mathcal{O}_X))\)。以下条件等价：

1. \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) = D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)；

2. 对 \(D(\mathcal{O}_X)\) 中所有完美对象 \(E\)，有 \(\sum_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k \Ext^i_X(E, K) < \infty\)。

证明

条件 (1) 中的等式由 Derived Categories of Schemes，引理 0FDC 给出。(1) \(\Rightarrow\) (2) 由 Derived Categories of Varieties，引理 0FYC 得出。 (2) \(\Rightarrow\) (1) 由 More on Morphisms，引理 0GET.

引理

设 \(X\) 是域 \(k\) 上的正则真概形。

1. 设 \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X)^{opp} \to \text{Vect}_k\) 是 \(k\)-线性上同调函子，满足 \[\sum\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \dim_k F(E[n]) < \infty\] 对所有 \(E \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 成立。则 \(F\) 同构于形如 \(E \mapsto \Hom_X(E, K)\) 的函子，其中 \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)。

2. 设 \(G : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to \text{Vect}_k\) 是 \(k\)-线性同调函子，满足 \[\sum\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \dim_k G(E[n]) < \infty\] 对所有 \(E \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 成立。则 \(G\) 同构于形如 \(E \mapsto \Hom_X(K, E)\) 的函子，其中 \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)。

证明

这由 Derived Categories of Varieties，定理 0FYH 与 引理 0H4A 得出。 下面也给出另一种证明。

证明 (1)。导出范畴 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) 有直和，是紧生成的，且 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 是紧对象的全子范畴；见 Derived Categories of Schemes，引理 08DT, 定理 09IS 与 命题 09M1。 由 Derived Categories of Varieties，引理 0FYG，可假设 \(F(E) = \Hom_X(E, K)\)，其中 \(K \in \Ob(D_\QCoh(\mathcal{O}_X))\)。 于是由引理 0FYK，\(K\) 属于 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)。

证明 (2)。考虑 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 上的逆变函子 \(E \mapsto E^\vee\)；见 Cohomology，引理 08DQ。 该函子是 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 的正合反自等价。 因此可将 (1) 应用于函子 \(F(E) = G(E^\vee)\)，得到 \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)，满足 \(G(E^\vee) = \Hom_X(E, K)\)。 于是 \(G(E) = \Hom_X(E^\vee, K) = \Hom_X(K^\vee, E)\)， 故取 \(K^\vee\) 即可。

商函子

引理

设 \(S = \Spec(R)\) 是仿射概形。设 \(X\) 是 \(S\) 上的代数空间。 设 \(q_i : \mathcal{F} \to \mathcal{Q}_i\)（\(i = 1, 2\)）是拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模的满射。假设 \(\mathcal{Q}_1\) 在 \(S\) 上平坦。 设 \(T \to S\) 是概形的拟紧态射，并且存在如下分解 \[\xymatrix{ & \mathcal{F}_T \ar[rd]^{q_{2, T}} \ar[ld]_{q_{1, T}} \\ \mathcal{Q}_{1, T} & & \mathcal{Q}_{2, T} \ar@{..>}[ll] }\] 则存在闭子概形 \(Z \subset S\)，使得 (a) \(T \to S\) 经由 \(Z\) 分解，且 (b) \(q_{1, Z}\) 经由 \(q_{2, Z}\) 分解。若 \(\Ker(q_2)\) 是有限型 \(\mathcal{O}_X\)-模且 \(X\) 拟紧，则可取 \(Z \to S\) 为有限表示。

证明

将 Flatness on Spaces，引理 083K 应用于映射 \(\Ker(q_2) \to \mathcal{Q}_1\)。

空间与 fpqc 覆盖

本节材料因 Gabber 的论证而废弃；该论证表明代数空间相对于 fpqc 覆盖满足层条件。 请参阅 Properties of Spaces，小节 03W8。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(X\) 是 \(S\) 上的代数空间。设 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) 是 \(S\) 上概形的 fpqc 覆盖。 则映射 \[\Mor_S(T, X) \longrightarrow \prod\nolimits_{i \in I} \Mor_S(T_i, X)\] 是单射。

证明

立即由 Properties of Spaces，命题 0APL.

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(X\) 是 \(S\) 上的代数空间。设 \(X = \bigcup_{j \in J} X_j\) 是 Zariski 覆盖，见 Spaces，定义 02YY。 若每个 \(X_j\) 对 fpqc 拓扑满足层性质，则 \(X\) 对 fpqc 拓扑也满足层性质。

证明

这是因为所有代数空间对 fpqc 拓扑都满足层性质；见 Properties of Spaces，命题 0APL.

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(X\) 是 \(S\) 上的代数空间。若 \(X\) 在 Zariski 局部上相对于 \(S\) 拟分离，则 \(X\) 对 fpqc 拓扑满足层条件。

证明

立即由一般的 Properties of Spaces，命题 0APL.

注

本注记原用于讨论引理 03WB（2009 年 12 月 18 日） 的原证明在多大程度上可以推广。

非常良好的代数空间

略已废弃的材料。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(X\) 是 \(S\) 上的良好代数空间。 则 \(|X|\) 是 Kolmogorov 空间（见 Topology，定义 004X）。

证明

由定义与 Decent Spaces，引理 03K3 得出。

本节其余部分讨论非常良好的代数空间。若存在概形 \(U\) 及满射、étale、拟紧 态射 \(U \to X\)，则 \(X\) 非常良好；见 Decent Spaces，引理 03IH。

引理

概形是非常良好的。

证明

这是因为恒等映射是拟紧满射 étale 态射。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(X\) 是 \(S\) 上的代数空间。 若存在 Zariski 开覆盖 \(X = \bigcup X_i\)，使每个 \(X_i\) 都非常良好， 则 \(X\) 非常良好。

证明

这是 Decent Spaces，引理 03KE 的情形 \((\epsilon)\)。

引理

Zariski 局部拟分离的代数空间非常良好。特别地，任何拟分离代数空间都非常良好。

证明

这是 Decent Spaces，引理 03JX 的一个推论。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(X\)、\(Y\) 是 \(S\) 上的代数空间。 设 \(Y \to X\) 是可表态射。若 \(X\) 非常良好，则 \(Y\) 也非常良好。

证明

这是 Decent Spaces，引理 03KF 的情形 \((\epsilon)\)。

注

非常良好的代数空间构成一个严格大于 Zariski 局部拟分离代数空间的集合。 考虑形如 \(X = [U/G]\) 的代数空间（见 Spaces，定义 02Z3），其中 \(G\) 是有限群，在非拟分离概形 \(U\) 上无不动点地作用。 在此情形，\(U \times_X U = U \times G\)，且显然到 \(U\) 的两个投影都是拟紧的， 故 \(X\) 非常良好。另一方面，对角映射 \(U \times_X U \to U \times U\) 不是拟紧的，因此该代数空间不是拟分离的。 现在取特征为 \(\not = 2\) 的域 \(k\) 上的无限仿射空间 \(U\)，并将零点加倍；见 Schemes，例 01KL。 令 \(0_1, 0_2\) 为 \(U\) 的两个零点。令 \(G = \{+1, -1\}\)，令 \(-1\) 在所有坐标上按 \(-1\) 作用，并交换 \(0_1\) 与 \(0_2\)。则 \([U/G]\) 非常良好，但不是 Zariski 局部拟分离的 （细节略）。

警告：使用以下引理时须谨慎，因为其中的概形 \(U_i\) 不一定分离，甚至不一定拟分离。

引理

设 \(S\) 是概形。设 \(X\) 是 \(S\) 上的非常良好代数空间。 存在一族概形 \(U_i\) 及态射 \(U_i \to X\)，使得

1. 每个 \(U_i\) 是拟紧概形；

2. 每个 \(U_i \to X\) 是 étale；

3. 两个投影 \(U_i \times_X U_i \to U_i\) 都是拟紧的；

4. 态射 \(\coprod U_i \to X\) 是满射（且为 étale）。

证明

Decent Spaces，定义 03I8 表明存在满足 (2)、(3)、(4) 的 \(U_i \to X\)。固定 \(i\)，置 \(R_i = U_i \times_X U_i\)，记投影为 \(s, t : R_i \to U_i\)。对任意仿射开集 \(W \subset U_i\)，开集 \(W' = t(s^{-1}(W)) \subset U_i\) 是拟紧的 \(R_i\)-不变开集（见 Groupoids，引理 03LO）。 因此 \(W'\) 是拟紧概形，\(W' \to X\) 是 étale，且 \(W' \times_X W' = s^{-1}(W') = t^{-1}(W')\)，所以两个投影 \(W' \times_X W' \to W'\) 都是拟紧的。令 \(W \subset U_i\) 遍历 \(U_i\) 的仿射开覆盖中的成员， 所得族 \(W' \to X\) 即满足要求。

关于代数空间的已废弃引理

看似多余或不再用于正文的引理。

引理

在 Cohomology of Spaces，情形 07UY 中， 态射 \(p : X \to \Spec(A)\) 是满射。

证明

本引理原用于 Cohomology of Spaces，命题 07V6 的证明， 但现在它是该命题的推论。

引理

在 Cohomology of Spaces，情形 07UY 中， 态射 \(p : X \to \Spec(A)\) 是泛闭的。

证明

本引理原用于 Cohomology of Spaces，命题 07V6 的证明， 但现在它是该命题的推论。

注

此标签原指向 Formal Spaces，引理 0AKT 证明中的一个方程。

注

此标签原指向 Formal Spaces，引理 0AKT 证明中的一个方程。

关于代数叠的已废弃引理

看似多余或不再用于正文的引理。

引理

设 \(S\) 是局部诺特概形。设 \(\mathcal{X}\) 是在 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上纤维化于群胚的范畴， 具有 (RS*)。设 \(x\) 是 \(\mathcal{X}\) 中位于 \(S\) 上有限型仿射概形 \(U\) 上的对象。 设 \(u_n \in U\)（\(n \geq 1\)）是两两不同的有限型点，并且对所有 \(n\)，\(x\) 在 \(u_n\) 处都不是 versal 的。 将 \(u_n\) 换为子列后，存在态射 \[x \to x_1 \to x_2 \to \ldots \quad\text{于 }\mathcal{X}\text{ 位于下列对象之上： }\quad U \to U_1 \to U_2 \to \ldots\] 它们定义在 \(S\) 上，并满足

1. 对每个 \(n\)，态射 \(U \to U_n\) 是一阶加厚；

2. 对每个 \(n\)，有短正合列 \[0 \to \kappa(u_n) \to \mathcal{O}_{U_n} \to \mathcal{O}_{U_{n - 1}} \to 0\] 其中 \(n = 1\) 时 \(U_0 = U\)；

3. 对每个 \(n\)，不存在由 \(u_n\) 在其中的开邻域 \(W \subset U_n\) 与态射 \(\alpha : x_n|_W \to x\) 构成的对 \((W, \alpha)\)，使得复合 \[x|_{U \cap W} \xrightarrow{\text{下列对象的限制： }x \to x_n} x_n|_W \xrightarrow{\alpha} x\] 是典范态射 \(x|_{U \cap W} \to x\)。

证明

本引理原用于 versal 性开放性判据的证明 （Artin’s Axioms，引理 0CXU），但已被 Artin’s Axioms，引理 0G2S 取代，后者可直接推出本引理。 具体地，将 \(u_n\)（\(n \geq 1\)）换为子列后，可假设这些点之间没有专化关系；见 Properties，引理 0CXG。然后应用 Artin’s Axioms，引理 0G2S，即可完成证明。

概形余切复形的变体

本节给出概形态射余切复形的另一种构造。目前本节位于已废弃章节中， 因为在应用中可以使用 Cotangent，小节 08V7 所讨论的较容易版本。

设 \(f : X \to Y\) 是概形态射。令 \(\mathcal{C}_{X/Y}\) 为如下交换图表为对象的范畴 [08T6]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] \ar[r]_i & A \ar[ld] \\ Y & V \ar[l] } } \end{equation}\] ，其中各项为概形且

1. \(U\) 是 \(X\) 的开子概形；

2. \(V\) 是 \(Y\) 的开子概形；

3. 在 \(V\) 上存在同构 \(A = V \times \Spec(P)\)，其中 \(P\) 是 \(\mathbf{Z}\) 上的多项式代数（变量取自某个集合）。

换言之，\(A\) 是 \(V\) 上的（无限维）仿射空间。态射由交换图表给出。

记号。 \(\mathcal{C}_{X/Y}\) 的对象，即图表 (08T6)，常记为 \(U \to A\)，其中约定：(a) \(U\) 是 \(X\) 的开子概形；(b) \(U \to A\) 是在 \(Y\) 上的态射；(c) 结构态射 \(A \to Y\) 的像是开集 \(V \subset Y\)；(d) \(A \to V\) 是仿射空间。我们写 \(U \to A/V\) 表示 \(V \subset Y\) 是 \(A \to Y\) 的像。 记 \(X_{Zar}\) 为 \(X\) 的小 Zariski site。存在遗忘函子 \[\mathcal{C}_{X/Y} \to X_{Zar},\ (U \to A) \mapsto U \quad\text{且}\quad \mathcal{C}_{X/Y} \mapsto Y_{Zar},\ (U \to A/V) \mapsto V.\]

引理

设 \(X \to Y\) 是概形态射。

1. 范畴 \(\mathcal{C}_{X/Y}\) 在 \(X_{Zar}\) 上纤维化；

2. 范畴 \(\mathcal{C}_{X/Y}\) 在 \(Y_{Zar}\) 上纤维化；

3. 范畴 \(\mathcal{C}_{X/Y}\) 在如下二元组 \((U, V)\) 的范畴上纤维化： \(U \subset X\)、\(V \subset Y\) 为开集且 \(f(U) \subset V\)。

证明

对 (1)。给定 \(\mathcal{C}_{X/Y}\) 的对象 \(U \to A\) 及 \(X_{Zar}\) 中的态射 \(U' \to U\)，考虑 \(\mathcal{C}_{X/Y}\) 的对象 \(i' : U' \to A\)，其中 \(i'\) 是 \(i\) 与 \(U' \to U\) 的复合。\(\mathcal{C}_{X/Y}\) 中的态射 \((U' \to A) \to (U \to A)\) 在 \(X_{Zar}\) 上强笛卡尔。

对 (2)。给定对象 \(U \to A/V\) 与 \(V' \to V\)，置 \(U' = U \cap f^{-1}(V')\)、\(A' = V' \times_V A\)，即可得到在 \(V' \to V\) 上强笛卡尔的 态射 \((U' \to A') \to (U \to A)\)。

对 (3)。记 (3) 中的范畴为 \((X/Y)_{Zar}\)。给定 \(U \to A/V\) 及 \((X/Y)_{Zar}\) 中的态射 \((U', V') \to (U, V)\)，考虑 \(A' = V' \times_V A\)。则态射 \((U' \to A'/V') \to (U \to A/V)\) 在 \(\mathcal{C}_{X/Y}\) 中关于 \((X/Y)_{Zar}\) 强笛卡尔。

使用从 \(X_{Zar}\) 继承的拓扑（见 Stacks，小节 06NT）， 在 \(\mathcal{C}_{X/Y}\) 上得到拓扑 \(\tau_X\)。除非另有说明，我们考虑的都是 \(\mathcal{C}_{X/Y}\) 上的这个拓扑。准确地说，一族态射 \(\{(U_i \to A_i) \to (U \to A)\}\) 是 \(\mathcal{C}_{X/Y}\) 的覆盖，当且仅当

1. \(U = \bigcup U_i\)；

2. 对所有 \(i\)，\(A_i = A\)。

若在 (2) 中允许 \(A_i \cong A\)，得到相同的层集合。函子 \(u\) 定义拓扑斯态射 \(\pi : \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}) \to \Sh(X_{Zar})\).

site \(\mathcal{C}_{X/Y}\) 带有若干环层。

1. 由规则 \((U \to A) \mapsto \mathcal{O}(A)\). 给出的层 \(\mathcal{O}\)；

2. 由规则 \((U \to A) \mapsto \mathcal{O}(U)\) 给出的层 \(\underline{\mathcal{O}}_X = \pi^{-1}\mathcal{O}_X\)；

3. 由规则 \((U \to A/V) \mapsto \mathcal{O}(V)\). 给出的层 \(\underline{\mathcal{O}}_Y\)。

得到环化拓扑斯的态射 [08T8]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}_{X/Y}), \underline{\mathcal{O}}_X) \ar[r]_i \ar[d]_\pi & (\Sh(\mathcal{C}_{X/Y}), \mathcal{O}) \\ (\Sh(X_{Zar}), \mathcal{O}_X) } } \end{equation}\] 态射 \(i\) 在底层拓扑斯上是恒等态射，且 \(i^\sharp : \mathcal{O} \to \underline{\mathcal{O}}_X\) 是显然的映射。 映射 \(\pi\) 是 Cohomology on Sites，情形 08P8 的特殊情形。 下列导出函子将在后文发挥重要作用： \(Li^* : D(\mathcal{O}) \longrightarrow D(\underline{\mathcal{O}}_X)\) 是 \(Ri_* = i_* : D(\underline{\mathcal{O}}_X) \to D(\mathcal{O})\) 的左伴随，以及 \(L\pi_! : D(\underline{\mathcal{O}}_X) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X)\) 是下列函子的左伴随： \(\pi^* = \pi^{-1} : D(\mathcal{O}_X) \to D(\underline{\mathcal{O}}_X)\).

注

取从 \(Y_{Zar}\) 继承的拓扑，可在 \(\mathcal{C}_{X/Y}\) 上得到第二个拓扑 \(\tau_Y\)。 还有第三个拓扑 \(\tau_{X \to Y}\)：一族态射 \(\{(U_i \to A_i) \to (U \to A)\}\) 是覆盖，当且仅当 \(U = \bigcup U_i\)、\(V = \bigcup V_i\) 且 \(A_i \cong V_i \times_V A\)。 这是从 site \((X/Y)_{Zar}\) 上的拓扑继承而来的；其底层范畴是引理 08T7 第 (3) 部分中的二元组 \((U, V)\) 的范畴。 \((X/Y)_{Zar}\) 的覆盖是满足 \(U = \bigcup U_i\) 与 \(V = \bigcup V_i\) 的族 \(\{(U_i, V_i) \to (U, V)\}\)。存在拓扑斯态射 \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}) = \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}, \tau_X) & \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}, \tau_{X \to Y}) \ar[l] \ar[r] & \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}, \tau_Y) }\] （回忆 \(\tau_X\) 是我们的“默认”拓扑）。这些箭头的拉回函子是层化，而推出在底层预层上是恒等函子。 拓扑斯图表 \[\xymatrix{ \Sh(X_{Zar}) \ar[d]^f & \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}) \ar[l]^\pi & \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}, \tau_{X \to Y}) \ar[l] \ar[d] \\ \Sh(Y_{Zar}) & & \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}, \tau_Y) \ar[ll] }\] 不交换。事实上，\(Y\) 上非零阿贝尔层的拉回是 \((\mathcal{C}_{X/Y}, \tau_{X \to Y})\) 上的非零阿贝尔层， 但确实可以找到该层在 \(X\) 上拉回为零的例子。注意，\(Y_{Zar}\) 上任意预层 \(\mathcal{F}\) 都通过把集合 \(\mathcal{F}(V)\) 赋给 \((U \to A/V)\) 的规则， 给出 \(\mathcal{C}_{Y/X}\) 上的层 \(\underline{\mathcal{F}}\)。 即使 \(\mathcal{F}\) 恰为层，一般也不成立 \(\underline{\mathcal{F}} = \pi^{-1}f^{-1}\mathcal{F}\)。这与上图不交换有关： 经下方水平箭头与右侧竖直箭头，可把 \(\underline{\mathcal{F}}\) 描述为 \(\mathcal{F}\) 到 \(\Sh(\mathcal{C}_{X/Y}, \tau_{X \to Y})\) 的拉回之推出。 层 \(\underline{\mathcal{O}}_Y\) 即为一例。 但确实存在映射 \(\underline{\mathcal{F}} \to \pi^{-1}f^{-1}\mathcal{F}\)， 它在应用 \(\pi_!\) 后（如后文所见）变成同构。

平坦模的形变与障碍

本节概述环 \(\Lambda\) 上任意代数空间 \(X\) 的凝聚层叠之形变理论构造。 由于 Quot，小节 08WB 中已有改进的讨论，本材料已废弃。

设定如下。假设给定

1. 环 \(\Lambda\)；

2. \(\Lambda\) 上的代数空间 \(X\)；

3. \(\Lambda\)-代数 \(A\)，置 \(X_A = X \times_{\Spec(\Lambda)} \Spec(A)\)；

4. 在 \(A\) 上平坦的有限表示 \(\mathcal{O}_{X_A}\)-模 \(\mathcal{F}\)。

在这种情形下，考虑所有可能的满射 \[0 \to I \to A' \to A \to 0\] 其中 \(A'\) 是 \(\Lambda\)-代数，其核 \(I\) 是 \(A'\) 中平方为零的理想。 给定 \(A'\)，得到 \(\Spec(\Lambda)\) 上代数空间的一阶加厚 \(X_A \to X_{A'}\)。 对每个这样的加厚，考虑把 \(\mathcal{F}\) 提升为 \(X_{A'}\) 上在 \(A'\) 上平坦的有限表示模 \(\mathcal{F}'\) 的问题。我们希望在此设定下复现 Deformation Theory，引理 08VW 的结果。

更准确地，令 \(\textit{Lift}(\mathcal{F}, A')\) 表示如下二元组 \((\mathcal{F}', \alpha)\) 的范畴：\(\mathcal{F}'\) 是 \(X_{A'}\) 上在 \(A'\) 上平坦的有限表示模， 而 \(\alpha : \mathcal{F}'|_{X_A} \to \mathcal{F}\) 是同构。 态射 \((\mathcal{F}'_1, \alpha_1) \to (\mathcal{F}'_2, \alpha_2)\) 是与 \(\alpha_1\)、\(\alpha_2\) 相容的同构 \(\mathcal{F}'_1 \to \mathcal{F}'_2\)。 \(\textit{Lift}(\mathcal{F}, A')\) 的同构类集合记为 \(\text{Lift}(\mathcal{F}, A')\)。

设 \(\mathcal{G}\) 是 \(X_\etale\) 上在 \(A\) 上平坦的 \(\mathcal{O}_X \otimes_\Lambda A\)-模层。定义二元组 \((\mathcal{G}', \beta)\) 的范畴 \(\textit{Lift}(\mathcal{G}, A')\)，其中 \(\mathcal{G}'\) 是 在 \(A'\) 上平坦的 \(\mathcal{O}_X \otimes_\Lambda A'\)-模层，而 \(\beta\) 是同构 \(\mathcal{G}' \otimes_{A'} A \to \mathcal{G}\)。

引理

记号与假设如上。记投影为 \(p : X_A \to X\)。给定 \(A'\)，记投影为 \(p' : X_{A'} \to X\)。函子 \(p'_*\) 在下列范畴之间诱导等价：

1. 范畴 \(\textit{Lift}(\mathcal{F}, A')\)；

2. 范畴 \(\textit{Lift}(p_*\mathcal{F}, A')\)。

证明

FIXME.

设 \(\mathcal{H}\) 是 \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\) 上在 \(A\) 上平坦的 \(\mathcal{O} \otimes_\Lambda A\)-模层。定义范畴 \(\textit{Lift}_\mathcal{O}(\mathcal{H}, A')\)，其对象是二元组 \((\mathcal{H}', \gamma)\)，其中 \(\mathcal{H}'\) 是在 \(A'\) 上平坦的 \(\mathcal{O} \otimes_\Lambda A'\)-模层，而 \(\gamma : \mathcal{H}' \otimes_A A' \to \mathcal{H}\) 是 \(\mathcal{O} \otimes_\Lambda A\)-模的同构。

设 \(\mathcal{G}\) 是 \(X_\etale\) 上在 \(A\) 上平坦的 \(\mathcal{O}_X \otimes_\Lambda A\)-模层。考虑 Cotangent，方程 (08VK) 中的态射 \(i\) 与 \(\pi\)。 记 \(\underline{\mathcal{G}} = \pi^{-1}(\mathcal{G})\)。它由规则 \((U \to \mathbf{A}) \mapsto \mathcal{G}(U)\) 直接给出，因而是 \(\underline{\mathcal{O}}_X \otimes_\Lambda A\)-模层。 以 \(i_*\underline{\mathcal{G}}\) 表示同一个层，但将其视为 \(\mathcal{O} \otimes_\Lambda A\)-模层。

引理

记号与假设同上。函子 \(\pi_!\) 在下列两个范畴之间诱导范畴等价：

1. 范畴 \(\textit{Lift}_\mathcal{O}(i_*\underline{\mathcal{G}}, A')\)；

2. 范畴 \(\textit{Lift}(\mathcal{G}, A')\)。

证明

FIXME.

引理

记号与假设同引理 08W1。考虑 \[L = L(\Lambda, X, A, \mathcal{G}) = L\pi_!(Li^*(i_*(\underline{\mathcal{G}})))\] 这一 \(D(\mathcal{O}_X \otimes_\Lambda A)\) 中的对象。给定核为平方零理想 \(I\) 的 \(\Lambda\)-代数满射 \(A' \to A\)，则有：

1. 范畴 \(\textit{Lift}(\mathcal{G}, A')\) 非空，当且仅当某个类 \(\xi \in \Ext^2_{\mathcal{O}_X \otimes A}(L, \mathcal{G} \otimes_A I)\) 为零。

2. 若 \(\textit{Lift}(\mathcal{G}, A')\) 非空，则 \(\text{Lift}(\mathcal{G}, A')\) 是 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X \otimes A}(L, \mathcal{G} \otimes_A I)\) 作用下的主齐性集。

3. 给定一个提升 \(\mathcal{G}'\)，其拉回为 \(\text{id}_\mathcal{G}\) 的 \(\mathcal{G}'\) 自同构所成集合典范同构于 \(\Ext^0_{\mathcal{O}_X \otimes A}(L, \mathcal{G} \otimes_A I)\).

证明

FIXME.

最后，将以上各项汇总如下。

命题

设 \(\Lambda\)、\(X\)、\(A\)、\(\mathcal{F}\) 如上。存在 \(D(X_A)\) 中的典范对象 \(L = L(\Lambda, X, A, \mathcal{F})\)，使得对任意核为平方零理想 \(I\) 的 \(\Lambda\)-代数满射 \(A' \to A\)，均有：

1. 范畴 \(\textit{Lift}(\mathcal{F}, A')\) 非空，当且仅当某个类 \(\xi \in \Ext^2_{X_A}(L, \mathcal{F} \otimes_A I)\) 为零。

2. 若 \(\textit{Lift}(\mathcal{F}, A')\) 非空，则 \(\text{Lift}(\mathcal{F}, A')\) 是 \(\Ext^1_{X_A}(L, \mathcal{F} \otimes_A I)\) 作用下的主齐性集。

3. 给定一个提升 \(\mathcal{F}'\)，其拉回为 \(\text{id}_\mathcal{F}\) 的 \(\mathcal{F}'\) 自同构所成集合典范同构于 \(\Ext^0_{X_A}(L, \mathcal{F} \otimes_A I)\).

证明

FIXME.

引理

在命题 08W3 的情形中，若 \(X \to \Spec(\Lambda)\) 局部有限型且 \(\Lambda\) 为诺特环，则 \(L\) 伪凝聚。

证明

FIXME.

非平坦情形下的凝聚层叠

Quot 的定理 08WC 实际上不需要 \(f : X \to B\) 平坦这一假设。本节依据导出代数几何中的思想修改证明方法， 以绕开平坦性假设。Quot 的小节 08WB 采用一种完全不同的方法得到完全相同的结果；因此本节的方法已经废弃。

Quot 的定理 08WC 的证明中， 唯一使用平坦性的步骤是应用 Quot 的引理 08WA。该引理用于构造 Artin’s Axioms 小节 07YV 中的那种障碍理论。其证明依赖 Deformation Theory 的引理 08VW 与 08VY；这两个引理见 Deformation Theory 小节 08VV。\(f\) 的平坦性假设正由此产生。 继续之前请注意，即使不假设 \(f\) 平坦，Deformation Theory 的引理 08VW 中结论 (2) 与 (3) 仍然成立， 因为它们依赖的 Deformation Theory 引理 08MU 与 08MR 均不含任何平坦性假设。

在给出细节之前，我们先从导出代数几何的角度说明这一构造的动机， 因为这有助于澄清下文。设 \(A\) 是局部诺特基底 \(S\) 上的有限型代数。 以 \(X \otimes^\mathbf{L} A\) 表示 \(X\) 到 \(A\) 的“导出基变换”，并以 \(i : X_A \to X \otimes^\mathbf{L} A\) 表示典范嵌入态射。 对象 \(X \otimes^\mathbf{L} A\) 在 Stacks 项目中（尚）无定义； 可以把它想成配备单纯环层 \(\mathcal{O}_{X \otimes^\mathbf{L} A}\) 的代数空间 \(X_A\)，其同调层为 \[H_i(\mathcal{O}_{X \otimes^\mathbf{L} A}) = \text{Tor}^{\mathcal{O}_S}_i(\mathcal{O}_X, A).\] 态射 \(X \otimes^\mathbf{L} A \to \Spec(A)\) 是平坦的 （该单纯环层的各项均在 \(A\) 上平坦），故平坦模形变的通常理论适用于它。 由此可见，我们用下列群得到一个障碍理论： \[\Ext^i_{X \otimes^\mathbf{L} A}(i_*\mathcal{F}, i_*\mathcal{F} \otimes_A M)\] 其中 \(i = 0, 1, 2\) 分别对应无穷小自同构、无穷小形变和障碍。 注意，\(i_*\mathcal{F}\) 到 \(X \otimes^\mathbf{L} A'\) 的平坦形变自动具有 \(i'_*\mathcal{F}'\) 的形式，其中 \(\mathcal{F}'\) 是 \(\mathcal{F}\) 的平坦形变。 由函子 \(Li^*\) 与 \(i_* = Ri_*\) 的伴随性，这些 Ext 群等于 \[\Ext^i_{X_A}(Li^*(i_*\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_A M)\] 因此所得障碍群与 Quot 的引理 08WA 证明中的形式完全相同；唯一的变化，是将第一次出现的 \(\mathcal{F}\) 替换为复形 \(Li^*(i_*\mathcal{F})\)。

下文将“直接”构造 \(E(\mathcal{F}) = Li^*(i_*\mathcal{F})\)，并直接证明它与 \(\mathcal{F}\) 的形变理论之间的关系，由此证明该引理的非平坦版本。 事实上，构造 \(\tau_{\geq -2}E(\mathcal{F})\) 已经足够，因为我们只关心 \(\Ext^i_{X_A}(Li^*(i_*\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_A M)\) 在 \(i = 0, 1, 2\) 时的 Ext 群。我们甚至可以确定其上同调层： \[H^i(E(\mathcal{F})) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{若 }i > 0 \\ \mathcal{F} & \text{若 } i = 0 \\ 0 & \text{若 } i = -1 \\ \text{Tor}_1^{\mathcal{O}_S}(\mathcal{O}_X, A) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} & \text{若 } i = -2 \end{matrix} \right.\] 这一观察将指导下面各条注记中对 \(E(\mathcal{F})\) 的构造。

注

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to B\) 为 \(S\) 上代数空间的态射， \(U\) 为另一个 \(B\) 上代数空间。以 \(q : X \times_B U \to U\) 表示第二投影。考虑优三角 \[Lq^*L_{U/B} \to L_{X \times_B U/B} \to E \to Lq^*L_{U/B}[1]\] ，见 Cotangent 小节 09DJ。 对任意 \(\mathcal{O}_{X \times_B U}\)-模层 \(\mathcal{F}\)，都有阿蒂亚类 \[\mathcal{F} \to L_{X \times_B U/B} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_B U}}^\mathbf{L} \mathcal{F}[1]\] （见 Cotangent 小节 09DF）。 将其与到 \(E\) 的态射复合，并在 \(D(\mathcal{O}_{X \times_B U})\) 中选取优三角 \[E(\mathcal{F}) \to \mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_B U}}^\mathbf{L} E[1] \to E(\mathcal{F})[1]\] 。由构造，阿蒂亚类可提升为态射 \[e_\mathcal{F} : E(\mathcal{F}) \longrightarrow Lq^*L_{U/B} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_B U}}^\mathbf{L} \mathcal{F}[1]\] ，并嵌入下列优三角态射： \[\xymatrix{ \mathcal{F} \otimes^\mathbf{L} Lq^*L_{U/B}[1] \ar[r] & \mathcal{F} \otimes^\mathbf{L} L_{X \times_B U/B}[1] \ar[r] & \mathcal{F} \otimes^\mathbf{L} E[1] \\ E(\mathcal{F}) \ar[r] \ar[u]^{e_\mathcal{F}} & \mathcal{F} \ar[r] \ar[u]^{Atiyah} & \mathcal{F} \otimes^\mathbf{L} E[1] \ar[u]^{=} }\] 给定 \(S, B, X, f, U, \mathcal{F}\) 后，我们固定 \(E(\mathcal{F})\) 与 \(e_\mathcal{F}\) 的一种选取。

注

采用注记 09DN 的记号，设 \(i : U \to U'\) 是 \(U\) 在 \(B\) 上的一阶增厚。设

\(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{U'}\) 是定义 \(B\) 在 \(B'\) 中嵌入的 拟凝聚理想层。基本三角 \[Li^*L_{U'/B} \to L_{U/B} \to L_{U/U'} \to Li^*L_{U'/B}[1]\] 与态射 \(L_{U/U'} \to \mathcal{I}[1]\) 共同确定态射 \(e_{U'} : L_{U/B} \to \mathcal{I}[1]\)。将它同上一注记中的态射 \(e_\mathcal{F}\) 结合，得到 \[(\text{id}_\mathcal{F} \otimes Lq^*e_{U'}) \cup e_\mathcal{F} : E(\mathcal{F}) \longrightarrow \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_B U}} q^*\mathcal{I}[2]\] （这里还同从导出张量积到通常张量积的态射作了复合）。换言之，我们得到元素 \[\xi_{U'} \in \Ext^2_{\mathcal{O}_{X \times_B U}}( E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_B U}} q^*\mathcal{I})\]

引理

在注记 09DP 的情形中，假设 \(\mathcal{F}\) 在 \(U\) 上平坦。 则类 \(\xi_{U'}\) 为零，是存在满足 \(i^*\mathcal{F}' \cong \mathcal{F}\) 且在 \(U'\) 上平坦的 \(\mathcal{O}_{X \times_B U'}\)-模 \(\mathcal{F}'\) 的充分必要条件。

证明

我们将使用 Deformation Theory 的引理 08MV 中的判据。 简记 \(\mathcal{O} = \mathcal{O}_{X \times_B U}\) 以及 \(\mathcal{O}' = \mathcal{O}_{X \times_B U'}\)。考虑短正合列 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{U'} \to \mathcal{O}_U \to 0.\] 设 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}'\) 是定义 \(X \times_B U\) 的拟凝聚理想层。 由上可得正合列 \[\text{Tor}_1^{\mathcal{O}_B}(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_U) \to q^*\mathcal{I} \to \mathcal{J} \to 0\] 其中 \(\text{Tor}_1^{\mathcal{O}_B}(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_U)\) 是下式的简写： \[\text{Tor}_1^{h^{-1}\mathcal{O}_B}(p^{-1}\mathcal{O}_X, q^{-1}\mathcal{O}_U) \otimes_{(p^{-1}\mathcal{O}_X\otimes_{h^{-1}\mathcal{O}_B}q^{-1}\mathcal{O}_U)} \mathcal{O}.\] 与 \(\mathcal{F}\) 作张量积，得到正合列 \[\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \text{Tor}_1^{\mathcal{O}_B}(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_U) \to \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} q^*\mathcal{I} \to \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{J} \to 0\] （注意，相对于 Deformation Theory 的引理 08MV 中的记号，字母 \(\mathcal{I}\) 与 \(\mathcal{J}\) 的作用恰好对调。）该引理的条件 (1) 要求上面的最后一个态射为同构，亦即第一个态射为零。 这一态射是否为零，可在几何点 \(\overline{z} = (\overline{x}, \overline{u}) : \Spec(k) \to X \times_B U\) 处的茎上检验。置 \(R = \mathcal{O}_{B, \overline{b}}\)、 \(A = \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)、\(B = \mathcal{O}_{U, \overline{u}}\)，以及 \(C = \mathcal{O}_{\overline{z}}\)。由 Cotangent 的引理 09DM 和 \(E(\mathcal{F})\) 的定义三角可见 \[H^{-2}(E(\mathcal{F}))_{\overline{z}} = \mathcal{F}_{\overline{z}} \otimes \text{Tor}_1^R(A, B)\] 因此态射 \(\xi_{U'}\) 诱导态射 \[\mathcal{F}_{\overline{z}} \otimes \text{Tor}_1^R(A, B) \longrightarrow \mathcal{F}_{\overline{z}} \otimes_B \mathcal{I}_{\overline{u}}\] 我们断言，它与上述态射的茎相同（证明从略；这是一个纯粹的环论陈述）。 由此可见，Deformation Theory 的引理 08MV 的条件 (1) 等价于下列态射为零： \(H^{-2}(\xi_{U'}) : H^{-2}(E(\mathcal{F})) \to \mathcal{F} \otimes \mathcal{I}\).

为完成证明，我们说明：在条件 (1) 成立的假设下，条件 (2) 等价于 \(\xi_{U'}\) 为零。在证明的余下部分，以 \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{I}\) 表示 \(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} q^*\mathcal{I} = \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{J}\)。考察谱序列 \[\Ext^i(H^{-j}(E(\mathcal{F})), \mathcal{F} \otimes \mathcal{I}) \Rightarrow \Ext^{i + j}(E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes \mathcal{I})\] 并利用 \(H^0(E(\mathcal{F})) = \mathcal{F}\) 与 \(H^{-1}(E(\mathcal{F})) = 0\)，可知存在正合列 \[0 \to \Ext^2(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes \mathcal{I}) \to \Ext^2(E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes \mathcal{I}) \to \Hom(H^{-2}(E(\mathcal{F})), \mathcal{F} \otimes \mathcal{I})\] 因此元素 \(\xi_{U'}\) 属于 \(\Ext^2(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes \mathcal{I})\)。 只需说明它与 Deformation Theory 的引理 08MV 中的元素相同即可完成证明； 这一验证从略。

引理

在 Quot 的情形 08KB 中，假设 \(S\) 是局部诺特概形且 \(S = B\)。令 \(\mathcal{X} = \textit{Coh}_{X/B}\)。则 \(\mathcal{X}\) 具有 versal 性的开性（见 Artin’s Axioms 的定义 07XQ）。

证明

设 \(U \to S\) 为有限型概形态射，\(x\) 为 \(U\) 上的 \(\mathcal{X}\)-对象， \(u_0 \in U\) 为有限型点，且 \(x\) 在 \(u_0\) 处为 versal。缩小 \(U\) 后， 可假设 \(u_0\) 是闭点（Morphisms 的引理 01TA），并且 \(U = \Spec(A)\)， 而 \(U \to S\) 的像落在 \(S\) 的仿射开集 \(\Spec(\Lambda)\) 中。 我们将使用 Artin’s Axioms 的引理 07YZ 证明本引理。设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X_A = \Spec(A) \times_S X\) 上 对应于给定对象 \(x\)、且在 \(A\) 上平坦的凝聚模。

按注记 09DN 选取 \(E(\mathcal{F})\) 与 \(e_\mathcal{F}\)。由 \(E(\mathcal{F})\) 的上同调层描述可知，对任意 \(A\)-模 \(M\) 都有 \[\Ext^1(E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_A M) = \Ext^1(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes_A M)\] 。结合这一点与 Deformation Theory 的引理 08MU，得到函子同构 \[T_x(M) = \Ext^1_{X_A}(E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_A M)\] 。由引理 09DQ，对任意核为平方零理想 \(I\) 的 \(\Lambda\)-代数满射 \(A' \to A\)，都有障碍类 \[\xi_{A'} \in \Ext^2_{X_A}(E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_A I)\] 。将 Derived Categories of Spaces 的引理 08JR 应用于 Ext 群 \(\Ext^i_{X_A}(E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_A M)\) 在 \(i \leq m\)、\(m = 2\) 时的计算。我们略去 \(E(\mathcal{F})\) 属于 \(D^-_{\textit{Coh}}\) 的验证；提示：使用 Cotangent 的引理 08PZ。 于是得到完美对象 \(K \in D(A)\) 以及函子性同构 \[H^i(K \otimes_A^\mathbf{L} M) \longrightarrow \Ext^i_{X_A}(E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_A M)\] ，其中 \(i \leq m\)，且这些同构与边界态射相容。对象 \(K\) 连同上述同一化， 给出了 Artin’s Axioms 的情形 07YX 中的一组数据。 最后，Artin’s Axioms 的引理 07YY 之条件 (iv)，可由 Deformation Theory 的引理 08VY 的一个变体推出； 我们略去该变体的陈述与证明。因此 Artin’s Axioms 的引理 07YZ 适用，引理得证。

定理

设 \(S\) 为概形，\(f : X \to B\) 为 \(S\) 上代数空间的态射。 假设 \(f\) 有限表示且分离。则 \(\textit{Coh}_{X/B}\) 是 \(S\) 上的代数叠。

证明

本定理是 Quot 的定理 09DS 的一份副本。之所以在此保留它，是因为本节材料给出了第二种证明 （如本节开头所述）。具体而言，论证与 Quot 的定理 08WC 的证明完全相同， 但以引理 09DR 取代 Quot 的引理 08WA。

修改

下面是关于 Algebraization of Formal Spaces 中式 (0AS2) 所给范畴的一项已废弃结果。 现行材料请参见 Algebraization of Formal Spaces 的小节 0AS1。

引理

设 \((A, \mathfrak m, \kappa)\) 为诺特局部环。Algebraization of Formal Spaces 的式 (0AS2) 给出的 \(A\) 的范畴， 等价于同一式 (0AS2) 给出的 \(A\) 的亨泽尔化 \(A^h\) 的范畴。

证明

这是 Algebraization of Formal Spaces 的引理 0AF7 的特殊情形。

下面关于有理奇点的引理，在曲面奇点消解一章中已不再需要。

引理

在 Resolution of Surfaces 的情形 0B4W 中， 设 \(M\) 为有限反身 \(A\)-模。以 \(M \otimes_A \mathcal{O}_X\) 表示相应 \(\mathcal{O}_S\)-模的拉回。则 \(M \otimes_A \mathcal{O}_X\) 满射到其双对偶。

证明

令 \(\mathcal{F} = (M \otimes_A \mathcal{O}_X)^{**}\) 为双对偶， 并令 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) 为求值态射 \(M \otimes_A \mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\) 的像。于是有短正合列 \[0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{Q} \to 0\] 。由于 \(X\) 正规，对于余维 \(1\) 的点，局部环 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 均为离散赋值环（见 Properties 的引理 0345）。因此由 More on Algebra 的引理 0B36， 在这类点上有 \(\mathcal{Q}_x = 0\)。故 \(\mathcal{Q}\) 支撑在有限多个闭点上， 并由 Cohomology of Schemes 的引理 0B3J 得到它由整体截面生成。 我们得到正合列 \[0 \to H^0(X, \mathcal{F}') \to H^0(X, \mathcal{F}) \to H^0(X, \mathcal{Q}) \to 0\] ，因为 \(\mathcal{F}'\) 由整体截面生成（Resolution of Surfaces 的引理 0B4X）。由于 \(X \to \Spec(A)\) 在闭点的补集上为同构，且 \(M\) 反身，可见态射 \[M \to H^0(X, \mathcal{F}') \to H^0(X, \mathcal{F})\] 在 \(A\) 的任意非极大素理想处局部化后诱导同构。由 More on Algebra 的引理 0AV8，以及正规环上的 反身模具有性质 \((S_2)\) 这一事实（More on Algebra 的引理 0AVB），这些态射因而都是同构。 故 \(\mathcal{Q} = 0\)，正如所需。

相交理论

引理

设 \(b : X' \to X\) 是域 \(k\) 上光滑射影概形沿其光滑闭子概形 \(Z \subset X\) 的吹起。图示为 \[\xymatrix{ E \ar[r]_j \ar[d]_\pi & X' \ar[d]^b \\ Z \ar[r]^i & X }\] 假设存在 \(K_0(X)\) 中的元素，其在 \(Z\) 上的限制等于 \(K_0(Z)\) 中 \(\mathcal{C}_{Z/X}\) 的类。则对某个 \(\alpha'' \in K_0(X')\)，在 \(K_0(X')\) 中有 \([Lb^*\mathcal{O}_Z] = [\mathcal{O}_E] \cdot \alpha''\)。

证明

概形 \(X\)、\(X'\)、\(E\)、\(Z\) 均在 \(k\) 上光滑且射影，因而 \(K'_0(X) = K_0(X) = K_0(\textit{Vect}(X)) = K_0(D^b_{\textit{Coh}}(X)))\)，其余 \(3\) 个对象亦然。参见 Derived Categories of Schemes 的引理 0FDF、0FDI 与 0FDJ。本证明中将任意换用这些版本。 考虑定义 \(\mathcal{F}\) 的有限局部自由 \(\mathcal{O}_E\)-模短正合列 \[0 \to \mathcal{F} \to \pi^*\mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{E/X'} \to 0\]

。注意，\(\mathcal{C}_{E/X'} = \mathcal{O}_{X'}(-E)|_E\) 是可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{O}_{X'}(-E)\) 的限制。 取 \(\alpha \in K_0(X)\)，使得在 \(K_0(Z)\) 中 \(i^*\alpha = [\mathcal{C}_{Z/X}]\)。令 \(\alpha' = b^*\alpha - [\mathcal{O}_{X'}(-E)]\)。 于是 \(j^*\alpha' = [\mathcal{F}]\)。由 Weil Cohomology Theories 的引理 0FIC，推出 \(j^*\lambda^i(\alpha') = [\wedge^i(\mathcal{F})]\)。

这意味着在 \(K_0(X)\) 中 \([\mathcal{O}_E] \cdot \alpha' = [\wedge^i\mathcal{F}]\)；参见 Derived Categories of Schemes 的引理 0FDM。令 \(r\) 为 \(Z\) 的不可约分支在 \(X\) 中的最大余维。一个从略的计算表明

\(H^{-i}(Lb^*\mathcal{O}_Z) = \wedge^i\mathcal{F}\) 当 \(i \geq 0, 1, \ldots, r - 1\) 时成立，而在其余次数为零。 因此在 \(K_0(X)\) 中有 \[\begin{align*} [Lb^*\mathcal{O}_Z] & = \sum\nolimits_{i = 0, \ldots, r - 1} (-1)^i[\wedge^i\mathcal{F}] \\ & = \sum\nolimits_{i = 0, \ldots, r - 1} (-1)^i[\mathcal{O}_E] \lambda^i(\alpha') \\ & = [\mathcal{O}_E] \left(\sum\nolimits_{i = 0, \ldots, r - 1} (-1)^i \lambda^i(\alpha')\right) \end{align*}\] 取 \(\alpha'' = \sum_{i = 0, \ldots, r - 1} (-1)^i \lambda^i(\alpha')\) 即得本引理。

引理

设 \((S, \delta)\) 如 Chow Homology 的情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型。假设 \(X\) 整，且 \(n = \dim_\delta(X)\)。 设 \(a \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 为非零函数，并设 \(i : D = Z(a) \to X\) 为 \(a\) 的零概形之闭浸入。令 \(f \in R(X)^*\)。 此时在 \(A_{n - 2}(D)\) 中有 \(i^*\text{div}_X(f) = 0\)。

证明

这是 Chow Homology 的引理 02TM 的特殊情形。

注

本注记过去曾说，尚不清楚 Chow Homology 的引理 02S9 中的箭头在一般情况下是否为同构。 不过，现在我们已经找到了这一事实的证明。

吹起引理

本节证明若干引理：在吹起上用适当的有效 Cartier 因子表示 Cartier 因子。 这些引理见 [F, Section 2.4]。我们调整了表述，使其在非有限型情形下 同样适用。引理 02T5 中的态射 \(b\) 可能是无穷多个吹起的复合，但在任意给定的拟紧开集 \(W \subset X\) 上， 只需有限多个吹起（这正是同上引文中的结果；loc. cit.）。

引理

设 \((S, \delta)\) 如 Chow Homology 的情形 02QL。 设 \(X\)、\(Y\) 在 \(S\) 上局部有限型，\(f : X \to Y\) 为固有态射， \(D \subset Y\) 为有效 Cartier 因子。假设 \(X\)、\(Y\) 整， \(n = \dim_\delta(X) = \dim_\delta(Y)\)，且 \(f\) 支配。则 \[f_*[f^{-1}(D)]_{n - 1} = [R(X) : R(Y)] [D]_{n - 1}.\] 特别地，若 \(f\) 双有理，则 \(f_*[f^{-1}(D)]_{n - 1} = [D]_{n - 1}\)。

证明

这立即来自 Chow Homology 的引理 02ST， 以及 \(D\) 是 \(\mathcal{O}_X(D)\) 的典范截面 \(1_D\) 的零概形这一事实。

引理

设 \((S, \delta)\) 如 Chow Homology 的情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，并假设 \(X\) 整且 \(\dim_\delta(X) = n\)。 设 \(\mathcal{L}\) 为可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模，\(s\) 为 \(\mathcal{L}\) 的非零亚纯截面。 令 \(U \subset X\) 为使 \(s\) 对应于 \(\mathcal{L}\) 在 \(U\) 上一个截面的最大开子概形。 则存在射影态射 \[\pi : X' \longrightarrow X\] ，满足

1. \(X'\) 整；

2. \(\pi|_{\pi^{-1}(U)} : \pi^{-1}(U) \to U\) 是同构；

3. 存在有效 Cartier 因子 \(D, E \subset X'\)，使得 \[\pi^*\mathcal{L} = \mathcal{O}_{X'}(D - E),\]

4. 通过上述同构，亚纯截面 \(s\) 对应于亚纯截面 \(1_D \otimes (1_E)^{-1}\)（见 Divisors 的定义 01WX）；

5. 有 \[\pi_*([D]_{n - 1} - [E]_{n - 1}) = \text{div}_\mathcal{L}(s)\] 在 \(Z_{n - 1}(X)\) 中成立。

证明

设 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) 为 \(s\) 的拟凝聚分母理想层， 见 Divisors 的定义 02P1。 由 Divisors 的引理 0ESL 得到 (2)、(3)、(4)。由 Divisors 的引理 02ND 得到 (1)。 由 Divisors 的引理 02NS， 态射 \(\pi\) 为射影态射。尚需证明 (5)。由 Chow Homology 的引理 02ST，有 \[\pi_*(\text{div}_{\mathcal{L}'}(s')) = \text{div}_\mathcal{L}(s).\] 因此只需证明 \(\text{div}_{\mathcal{L}'}(s') = [D]_{n - 1} - [E]_{n - 1}\)。 这由等式 \(s' = 1_D \otimes 1_E^{-1}\) 和可加性推出； 见 Divisors 的引理 02SL。

定义

设 \((S, \delta)\) 如 Chow Homology 的情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，并假设 \(X\) 整且 \(\dim_\delta(X) = n\)。 设 \(D_1, D_2\) 为 \(X\) 中的两个有效 Cartier 因子， \(Z \subset X\) 为满足 \(\dim_\delta(Z) = n - 1\) 的整闭子概形。 这一情形的\(\epsilon\)-不变量为 \[\epsilon_Z(D_1, D_2) = n_Z \cdot m_Z\] ，其中 \(n_Z\)（resp. \(m_Z\)）是 \(Z\) 在 \((n - 1)\)-循环 \([D_1]_{n - 1}\)（resp. \([D_2]_{n - 1}\)）中的系数。

引理

设 \((S, \delta)\) 如 Chow Homology 的情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，并假设 \(X\) 整且 \(\dim_\delta(X) = n\)。 设 \(D_1, D_2\) 为 \(X\) 中的两个有效 Cartier 因子， \(Z\) 为概形 \(D_1 \cap D_2\) 的开闭子概形。假设 \(\dim_\delta(D_1 \cap D_2 \setminus Z) \leq n - 2\)。 则存在态射 \(b : X' \to X\) 以及 \(X'\) 上的 Cartier 因子 \(D_1', D_2', E\)，满足下列性质：

1. \(X'\) 整；

2. \(b\) 为射影态射；

3. \(b\) 是 \(X\) 沿闭子概形 \(Z\) 的吹起；

4. \(E = b^{-1}(Z)\)；

5. \(b^{-1}(D_1) = D'_1 + E\)，且 \(b^{-1}D_2 = D_2' + E\)；

6. \(\dim_\delta(D'_1 \cap D'_2) \leq n - 2\)；并且若 \(Z = D_1 \cap D_2\)，则 \(D'_1 \cap D'_2 = \emptyset\)；

7. 对每个满足 \(\dim_\delta(W') = n - 1\) 的整闭子概形 \(W'\)，均有：

   1. 若 \(\epsilon_{W'}(D'_1, E) > 0\)，则置 \(W = b(W')\) 后有 \(\dim_\delta(W) = n - 1\)，且 \[\epsilon_{W'}(D'_1, E) < \epsilon_W(D_1, D_2),\]

   2. 若 \(\epsilon_{W'}(D'_2, E) > 0\)，则置 \(W = b(W')\) 后有 \(\dim_\delta(W) = n - 1\)，且 \[\epsilon_{W'}(D'_2, E) < \epsilon_W(D_1, D_2),\]

证明

注意，拟凝聚理想层 \(\mathcal{I} = \mathcal{I}_{D_1} + \mathcal{I}_{D_2}\) 定义了概形论交 \(D_1 \cap D_2 \subset X\)。由于 \(Z\) 是 \(D_1 \cap D_2\) 的若干连通分支之并，对每个 \(z \in Z\)，态射 \(\mathcal{O}_{X, z} \to \mathcal{O}_{Z, z}\) 的核等于 \(\mathcal{I}_z\)。 令 \(b : X' \to X\) 为 \(X\) 沿 \(Z\) 的吹起（所以在 \(Z\) 附近 Zariski 局部， 它是 \(X\) 沿 \(\mathcal{I}\) 的吹起）。以 \(E = b^{-1}(Z)\) 表示相应的 有效 Cartier 因子；见 Divisors 的引理 02OS。

由于 \(Z \subset D_1\)，有 \(E \subset f^{-1}(D_1)\)，故对某个有效 Cartier 因子 \(D'_1 \subset X'\)，有 \(D_1 = D_1' + E\)；见 Divisors 的引理 02ON。 同理，\(D_2 = D_2' + E\)。这就处理了断言 (1) – (5)。

注意，若 \(W'\) 如 (7) (a) 或 (7) (b) 所述，则 \(W'\) 的像 \(W\) 包含于 \(D_1 \cap D_2\)。若 \(W\) 不包含于 \(Z\)，则 \(b\) 在 \(W\) 的一般点处 为同构，从而 \(\dim_\delta(W) = \dim_\delta(W') = n - 1\)， 这与假设 \(\dim_\delta(D_1 \cap D_2 \setminus Z) \leq n - 2\) 矛盾。 故 \(W \subset Z\)。这意味着为证明 (6) 与 (7)，可以在 \(X\) 上 \(Z\) 的附近局部工作。

因此可假设 \(X = \Spec(A)\)，其中 \(A\) 为诺特整环，并且 \(D_1 = \Spec(A/a)\)、\(D_2 = \Spec(A/b)\)、\(Z = D_1 \cap D_2\)。 置 \(I = (a, b)\)。由于 \(A\) 为整环且 \(a, b \not = 0\)，可用两个片覆盖吹起，即 \(U = \Spec(A[s]/(as - b))\) 与 \(V = \Spec(A[t]/(bt -a))\)。 这两个片通过同构 \(A[s, s^{-1}]/(as - b) \cong A[t, t^{-1}]/(bt - a)\) 黏合，该同构将 \(s\) 映到 \(t^{-1}\)。有效 Cartier 因子 \(E\) 由 \(\Spec(A[s]/(as - b, a)) \subset U\) 与 \(\Spec(A[t]/(bt - a, b)) \subset V\) 描述。闭子概形 \(D'_1\) 对应于

\(\Spec(A[t]/(bt - a, t)) \subset U\)。闭子概形 \(D'_2\) 对应于 \(\Spec(A[s]/(as -b, s)) \subset V\)。由于“\(ts = 1\)”，可见 \(D'_1 \cap D'_2 = \emptyset\)。

假设有高度为一的素理想 \(\mathfrak q \subset A[s]/(as - b)\)，且 \(s, a \in \mathfrak q\)。令 \(\mathfrak p \subset A\) 为 \(A\) 中相应的素理想。 注意 \(a, b \in \mathfrak p\)。由维数公式亦有 \(\dim(A_{\mathfrak p}) = 1\)。最后需要证明的断言是 \[\text{ord}_{A_{\mathfrak p}}(a) \text{ord}_{A_{\mathfrak p}}(b) > \text{ord}_{B_{\mathfrak q}}(a) \text{ord}_{B_{\mathfrak q}}(s)\] ，其中 \(B = A[s]/(as - b)\)。由 Algebra 的引理 02MM，对 \(x = a, b\) 有 \(\text{ord}_{A_{\mathfrak p}}(x) \geq \text{ord}_{B_{\mathfrak q}}(x)\)。 又因 \(\text{ord}_{B_{\mathfrak q}}(s) > 0\)，由 \(\text{ord}\) 函数的可加性 以及 \(as = b\)，所需不等式成立。

定义

设 \(X\) 为概形，\(\{D_i\}_{i \in I}\) 为 \(X\) 上一族局部有限的 有效 Cartier 因子。给定函数 \(I \to \mathbf{Z}_{\geq 0}\)，\(i \mapsto n_i\)。这些有效 Cartier 因子的 和 \(D = \sum n_i D_i\)，是唯一满足下列性质的有效 Cartier 因子 \(D \subset X\)：对任意拟紧开集 \(U \subset X\)， \(D|_U = \sum_{D_i \cap U \not = \emptyset} n_iD_i|_U\) 是 Divisors 的定义 01WT 中所定义的和。

引理

设 \((S, \delta)\) 如 Chow Homology 的情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，并假设 \(X\) 整且 \(\dim_\delta(X) = n\)。 设 \(\{D_i\}_{i \in I}\) 为 \(X\) 上一族局部有限的有效 Cartier 因子， 并对 \(i \in I\) 给定 \(n_i \geq 0\)。则 \[[D]_{n - 1} = \sum\nolimits_i n_i[D_i]_{n - 1}\] 在 \(Z_{n - 1}(X)\) 中成立。

证明

由于要证明的是循环的等式，可以在 \(X\) 上局部工作。因此问题化为有限和， 再由归纳化为两个有效 Cartier 因子的和 \(D = D_1 + D_2\)。 由 Chow Homology 的引理 02SK 可见 \(D_1 = \text{div}_{\mathcal{O}_X(D_1)}(1_{D_1})\)，其中 \(1_{D_1}\) 表示 \(\mathcal{O}_X(D_1)\) 的典范截面。\(D_2\) 与 \(D\) 当然也有同样的陈述。 在同一化 \(\mathcal{O}_X(D) = \mathcal{O}_X(D_1) \otimes \mathcal{O}_X(D_2)\) 下，\(1_D = 1_{D_1} \otimes 1_{D_2}\)，故结论由 Divisors 的引理 02SL 得出。

引理

设 \((S, \delta)\) 如 Chow Homology 的情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，并假设 \(X\) 整且 \(\dim_\delta(X) = d\)。 设 \(\{D_i\}_{i \in I}\) 为 \(X\) 上一族局部有限的有效 Cartier 因子。 假设对所有满足 \(\#\{i, j, k\} = 3\) 的 \(\{i, j, k\} \subset I\)，都有 \(D_i \cap D_j \cap D_k = \emptyset\)。则存在

1. 开子概形 \(U \subset X\)，满足 \(\dim_\delta(X \setminus U) \leq d - 3\)；

2. 态射 \(b : U' \to U\)；

3. \(U'\) 上的有效 Cartier 因子 \(\{D'_j\}_{j \in J}\)；

它们具有下列性质：

1. \(b\) 是固有态射 \(b : U' \to U\)；

2. \(U'\) 整；

3. 在各 \(D_i|_U\) 两两交之并的补集上，\(b\) 为同构；

4. \(\{D'_j\}_{j \in J}\) 是 \(U'\) 上一族局部有限的有效 Cartier 因子；

5. 若 \(j \not = j'\)，则 \(\dim_\delta(D'_j \cap D'_{j'}) \leq d - 2\)；

6. 对某些 \(n_{ij} \geq 0\)，有 \(b^{-1}(D_i|_U) = \sum n_{ij} D'_j\)。

此外，若 \(X\) 拟紧，则上面可以假设 \(U = X\)。

证明

先证明拟紧情形，因为这也许是最有意思的情形。在此情形中，归纳构造一列吹起 \[X = X_0 \xleftarrow{b_0} X_1 \xleftarrow{b_1} X_2 \leftarrow \ldots\] 以及有效 Cartier 因子的有限集 \(\{D_{n, i}\}_{i \in I_n}\)。 在每一步，任意三重交 \(D_{n, i} \cap D_{n, j} \cap D_{n, k}\) 都为空。 此外，对每个 \(n \geq 0\)，都有 \(I_{n + 1} = I_n \amalg P(I_n)\)，其中 \(P(I_n)\) 表示 \(I_n\) 中元素对的集合。 最后，还有 \[b_n^{-1}(D_{n, i}) = D_{n + 1, i} + \sum\nolimits_{i' \in I_n, i' \not = i} D_{n + 1, \{i, i'\}}\] 从而对每个 \(n \geq 0\)，\((b_0 \circ \ldots \circ b_n)^{-1}(D_i)\) 都是各因子 \(D_{n + 1, j}\)（\(j \in I_{n + 1}\)）的非负整系数组合。

为开始归纳，置 \(X_0 = X\)、\(I_0 = I\)、\(D_{0, i} = D_i\)。

给定 \((X_n, \{D_{n, i}\}_{i \in I_n})\)，令 \(X_{n + 1}\) 为 \(X_n\) 沿闭子概形 \(Z_n = \bigcup_{\{i, i'\} \in P(I_n)} D_{n, i} \cap D_{n, i'}\) 的吹起。由关于三重交的假设，各闭子概形 \(D_{n, i} \cap D_{n, i'}\) 两两不交。换言之，可以写成 \(Z_n = \coprod_{\{i, i'\} \in P(I_n)} D_{n, i} \cap D_{n, i'}\). 此外，在 \(D_{n, i} \cap D_{n, i'}\) 的 Zariski 邻域中，态射 \(b_n\) 等于概形 \(X_n\) 沿闭子概形 \(D_{n, i} \cap D_{n, i'}\) 的吹起， 故引理 02T2 的结论适用。因此置

\(D_{n + 1, \{i, i'\}} = b_n^{-1}(D_i \cap D_{i'})\)， 便得到有效 Cartier 因子。各 Cartier 因子 \(D_{n + 1, \{i, i'\}}\) 两两不交。显然，对每个 \(i' \in I_n\)、\(i' \not = i\)，都有 \(b_n^{-1}(D_{n, i}) \supset D_{n + 1, \{i, i'\}}\)。 因此应用 Divisors 的引理 02ON，可见确有

\(b^{-1}(D_{n, i}) = D_{n + 1, i} + \sum\nolimits_{i' \in I_n, i' \not = i} D_{n + 1, \{i, i'\}}\) ，其中 \(D_{n + 1, i}\) 是 \(X_{n + 1}\) 上的某个有效 Cartier 因子。 在 \(D_{n + 1, \{i, i'\}}\) 的邻域中，这些因子 \(D_{n + 1, i}\) 扮演引理 02T2 中带撇因子的角色。特别地， 由引理 02T2 第 (6) 部分可知，若 \(i \not = i'\) 且 \(i, i' \in I_n\)，则 \(D_{n + 1, i} \cap D_{n + 1, i'} = \emptyset\)。 这已经蕴含各因子 \(D_{n + 1, i}\) 的三重交为零。

至此，可以利用 \(X\) 的拟紧性断定不变量 [02T6]\[\begin{equation} \epsilon(X, \{D_i\}_{i \in I}) = \max\{\epsilon_Z(D_i, D_{i'}) \mid Z \subset X, \dim_\delta(Z) = d - 1, \{i, i'\} \in P(I)\} \end{equation}\] 是有限的；毕竟每个 \(D_i\) 至多只有有限多个不可约分支。我们断言，对某个 \(n\)，不变量 \(\epsilon(X_n, \{D_{n, i}\}_{i \in I_n})\) 为零。 否则，由引理 02T2 将得到严格递减序列 \[\epsilon(X, \{D_i\}_{i \in I}) = \epsilon(X_0, \{D_{0, i}\}_{i \in I_0}) > \epsilon(X_1, \{D_{1, i}\}_{i \in I_1}) > \ldots\] ，其各项均为正整数，这就产生矛盾。取 \(n\) 使得不变量 \(\epsilon(X_n, \{D_{n, i}\}_{i \in I_n})\) 为零。这意味着不存在整闭子概形 \(Z \subset X_n\) 和指标对 \(i, i' \in I_n\)，使得 \(\epsilon_Z(D_{n, i}, D_{n, i'}) > 0\)。换言之，对所有 \(\{i, i'\} \in P(I_n)\)，都有

\(\dim_\delta(D_{n, i}, D_{n, i'}) \leq d - 2\)，正如所需。

下面转向不再假设概形 \(X\) 拟紧的一般情形。证明第一部分的思路存在一个问题： 可能得到一列无穷吹起，其中心支配 \(X\) 的某个固定点。为避免这一点， 我们在每一步删去适当的余维 \(\geq 3\) 的闭子集。具体而言， 将归纳构造如下形状的一列态射： \[\xymatrix{ X = X_0 \\ U_0 \ar[u]^{j_0} & X_1 \ar[l]_{b_0} \\ & U_1 \ar[u]^{j_1} & X_2 \ar[l]_{b_1} \\ & & U_2 \ar[u]^{j_2} & X_3 \ar[l]_{b_2} }\] 每个态射 \(j_n : U_n \to X_n\) 都是开浸入。每个态射 \(b_n : X_{n + 1} \to U_n\) 都是整概形之间的固有双有理态射。 同拟紧情形一样，在 \(X_n\) 上有有效 Cartier 因子 \(\{D_{n, i}\}_{i \in I_n}\)。在每一步，任意三重交 \(D_{n, i} \cap D_{n, j} \cap D_{n, k}\) 都为空。此外，对每个 \(n \geq 0\)，有 \(I_{n + 1} = I_n \amalg P(I_n)\)，其中 \(P(I_n)\) 表示 \(I_n\) 中元素对的集合。最后，将使得 \[b_n^{-1}(D_{n, i}|_{U_n}) = D_{n + 1, i} + \sum\nolimits_{i' \in I_n, i' \not = i} D_{n + 1, \{i, i'\}}\]

归纳从置 \(X_0 = X\)、\(I_0 = I\)、\(D_{0, i} = D_i\) 开始。

给定 \((X_n, \{D_{n, i}\})\) 后，按如下方式构造开子概形 \(U_n\)。 对每个指标对 \(\{i, i'\} \in P(I_n)\)，考虑闭子概形 \(D_{n, i} \cap D_{n, i'}\)。它有 \(\delta\)-维数为 \(d - 2\) 的“良”不可约分支， 以及 \(\delta\)-维数为 \(d - 1\) 的“坏”不可约分支。置 \[\text{Bad}(i, i') = \bigcup\nolimits_{W \subset D_{n, i} \cap D_{n, i'} \text{ irred.\ comp. with }\dim_\delta(W) = d - 1} W\] ，类似地置 \[\text{Good}(i, i') = \bigcup\nolimits_{W \subset D_{n, i} \cap D_{n, i'} \text{ irred.\ comp. with }\dim_\delta(W) = d - 2} W.\] 于是 \(D_{n, i} \cap D_{n, i'} = \text{Bad}(i, i') \cup \text{Good}(i, i')\)， 并且 \(\dim_\delta(\text{Bad}(i, i') \cap \text{Good}(i, i')) \leq d - 3\)。 我们选取 \(U_n\) 如下： \[U_n = X_n \setminus \bigcup\nolimits_{\{i, i'\} \in P(I_n)} \text{Bad}(i, i') \cap \text{Good}(i, i').\] 由各因子 \(D_{n, i}\) 的三重交条件可见，该并实际上是不交并。 此外，作为概形有 \[D_{n, i}|_{U_n} \cap D_{n, i'}|_{U_n} = Z_{n, i, i'} \amalg G_{n, i, i'}\] ，其中 \(Z_{n, i, i'}\) 为 \(\delta\)-等维的，维数为 \(d - 1\)； \(G_{n, i, i'}\) 为 \(\delta\)-等维的，维数为 \(d - 2\)。 （因此从拓扑上看，\(Z_{n, i, i'}\) 是坏分支之并去掉它们同良分支的交。） 最后置 \[Z_n = \bigcup\nolimits_{\{i, i'\} \in P(I_n)} Z_{n, i, i'} = \coprod\nolimits_{\{i, i'\} \in P(I_n)} Z_{n, i, i'},\]

，并令 \(b_n : X_{n + 1} \to X_n\) 为沿 \(Z_n\) 的吹起。注意，在每个集合 \(D_{n, i}|_{U_n} \cap D_{n, i'}|_{U_n}\) 的邻域中，引理 02T2 都适用于态射 \(b_n : X_{n + 1} \to X_n\)。 因此，完全如证明第一部分那样，对 \(\{i, i'\} \in P(I_n)\) 得到有效 Cartier 因子 \(D_{n + 1, \{i, i'\}}\)，并对 \(i \in I_n\) 得到有效 Cartier 因子 \(D_{n + 1, i}\)，使得 \(b_n^{-1}(D_{n, i}|_{U_n}) = D_{n + 1, i} + \sum\nolimits_{i' \in I_n, i' \not = i} D_{n + 1, \{i, i'\}}\). 对每个 \(n\)，以 \(\pi_n : X_n \to X\) 表示复合 \(j_0 \circ \ldots \circ j_{n - 1} \circ b_{n - 1}\) 所得的态射。

断言：给定任意拟紧开集 \(V \subset X\)，则对所有充分大的 \(n\)，态射 \[\pi_n^{-1}(V) \leftarrow \pi_{n + 1}^{-1}(V) \leftarrow \ldots\] 全为同构。事实上，若态射 \(\pi_n^{-1}(V) \leftarrow \pi_{n + 1}^{-1}(V)\) 不是同构，则对某个 \(\{i, i'\} \in P(I_n)\)，有 \(Z_{n, i, i'} \cap \pi_n^{-1}(V) \not = \emptyset\)。因此存在不可约分支 \(W \subset D_{n, i} \cap D_{n, i'}\)，满足 \(\dim_\delta(W) = d - 1\)。 特别地，\(\epsilon_W(D_{n, i}, D_{n, i'}) > 0\)。反复应用引理 02T2 可见 \[\epsilon_W(D_{n, i}, D_{n, i'}) < \epsilon(V, \{D_i|_V\}) - n\] ，其中 \(\epsilon(V, \{D_i|_V\})\) 如 (02T6) 所定义。 由于 \(V\) 拟紧，有 \(\epsilon(V, \{D_i|_V\}) < \infty\)；取 \(n > \epsilon(V, \{D_i|_V\})\) 即得结论。

注意，差集 \(X_n \setminus U_n\) 由构造满足 \(\dim_\delta(X_n \setminus U_n) \leq d - 3\)。 令 \(T_n = \pi_n(X_n \setminus U_n)\) 为其在 \(X\) 中的像。 沿上述态射图逐步考察，并利用每个 \(b_n\) 都是闭态射，可知对每个 \(n\)， \(T_0 \cup \ldots \cup T_n\) 都是 \(X\) 的闭子集。由构造，任意 \(t \in T_n\) 均满足 \(\delta(t) \leq d - 3\)。因此 \(\overline{T_n} \subset X\) 是满足 \(\dim_\delta(T_n) \leq d - 3\) 的闭子集。 由上述断言，对任意拟紧开集 \(V \subset X\)，仅有有限多个 \(n\) 满足 \(T_n \cap V \not = \emptyset\)。故 \(\{\overline{T_n}\}_{n \geq 0}\) 是一族局部有限的闭子集，可以置 \(U = X \setminus \bigcup \overline{T_n}\)。这就是引理中的 \(U\)。

由 \(U\) 的构造，\(U_n \cap \pi_n^{-1}(U) = \pi_n^{-1}(U)\)。因此所有态射 \[b_n : \pi_{n + 1}^{-1}(U) \longrightarrow \pi_n^{-1}(U)\] 均为固有态射。此外，由上述断言，它们在 \(X\) 的每个拟紧开集上最终成为同构。 因此可以定义 \[U' = \lim_n \pi_n^{-1}(U).\] 诱导态射 \(b : U' \to U\) 是固有的，因为此性质在 \(U\) 上是局部的， 而在每个拟紧开集上该极限都稳定。类似地，利用构造中的嵌入 \(I_n \to I_{n + 1}\)，置 \(J = \bigcup_{n \geq 0} I_n\)。 对 \(j \in J\)，选取 \(n_0\) 使 \(j\) 对应于某个 \(i \in I_{n_0}\)，并定义 \(D'_j = \lim_{n \geq n_0} D_{n, i}\)。这同样有意义，因为态射在 \(X\) 上 局部稳定。引理的其余断言与 \(X\) 拟紧的情形同样验证。

相交因子的交换性

本节结果原本用于给出 Chow Homology 小节 02TG 中各引理的另一种证明， 以及 Chow Homology 的引理 0B73 的一个弱版本。

引理

设 \((S, \delta)\) 如 Chow Homology 的情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，且 \(\{i_j : D_j \to X \}_{j \in J}\) 是 \(X\) 上一族局部有限的有效 Cartier 因子。对 \(j\in J\)，设 \(n_j > 0\)。置 \(D = \sum_{j \in J} n_j D_j\)，并以 \(i : D \to X\) 表示包含态射。 设 \(\alpha \in Z_{k + 1}(X)\)。则 \[p : \coprod\nolimits_{j \in J} D_j \longrightarrow D\] 为固有态射，且 \[i^*\alpha = p_*\left(\sum n_j i_j^*\alpha\right)\] 在 \(\CH_k(D)\) 中成立。

证明

由于无穷个有理等价之和涉及一个细微问题，本引理的证明比预期稍长。 在拟紧情形中，族 \(D_j\) 是有限的，结论十分容易，直接由 Chow Homology 的引理 02SK、Divisors 的引理 02SL 以及各项定义推出。

由于族 \(\{D_j\}_{j \in J}\) 局部有限，态射 \(p\) 为固有态射。写成 \(\alpha = \sum_{a \in A} m_a [W_a]\)，其中 \(W_a \subset X\) 为 \(\delta\)-维数 \(k + 1\) 的整闭子概形。以 \(i_a : W_a \to X\) 表示闭浸入。我们假设对所有 \(a \in A\)，有 \(m_a \not = 0\)， 且 \(\{W_a\}_{a \in A}\) 在 \(X\) 上局部有限。

注意，由 Chow Homology 的定义 02T8， 类 \(i^*\alpha\) 是某个循环 \(\sum m_a\beta_a\) 的类， 其中 \(\beta_a \in Z_k(W_a \cap D)\)。具体而言，若 \(W_a \not \subset D\)，则 \(\beta_a = [D \cap W_a]_k\)；若 \(W_a \subset D\)，则 \(\beta_a\) 是表示 \(c_1(\mathcal{O}_X(D)) \cap [W_a]\) 的循环。

对每个 \(a \in A\)，写成 \(J = J_{a, 1} \amalg J_{a, 2} \amalg J_{a, 3}\)，其中

1. \(j \in J_{a, 1}\) 当且仅当 \(W_a \cap D_j = \emptyset\)；

2. \(j \in J_{a, 2}\) 当且仅当 \(W_a \not = W_a \cap D_1 \not = \emptyset\)；

3. \(j \in J_{a, 3}\) 当且仅当 \(W_a \subset D_j\)。

由于族 \(\{D_j\}\) 局部有限，\(J_{a, 3}\) 是有限集。 对每个 \(a \in A\) 与 \(j \in J\)，按如下方式选取循环 \(\beta_{a, j} \in Z_k(W_a \cap D_j)\)：

1. 若 \(j \in J_{a, 1}\)，置 \(\beta_{a, j} = 0\)；

2. 若 \(j \in J_{a, 2}\)，置 \(\beta_{a, j} = [D_j \cap W_a]_k\)；

3. 若 \(j \in J_{a, 3}\)，选取 \(\beta_{a, j} \in Z_k(W_a)\)，

   使其表示 \(c_1(i_a^*\mathcal{O}_X(D_j)) \cap [W_j]\)。

我们断言 \[\beta_a \sim_{rat} \sum\nolimits_{j \in J} n_j \beta_{a, j}\] 在 \(\CH_k(W_a \cap D)\) 中成立。

情形 I：\(W_a \not \subset D\)。此时 \(J_{a, 3} = \emptyset\)。 所以只需证明循环等式 \([D \cap W_a]_k = \sum n_j [D_j \cap W_a]_k\)。 这正是引理 02T4。

情形 II：\(W_a \subset D\)。此时 \(\beta_a\) 是表示 \(c_1(i_a^*\mathcal{O}_X(D)) \cap [W_a]\) 的循环。写成 \(D = D_{a, 1} + D_{a, 2} + D_{a, 3}\)，其中 \(D_{a, s} = \sum_{j \in J_{a, s}} n_jD_j\)。 由 Divisors 的引理 02SL，有 \[\begin{eqnarray*} c_1(i_a^*\mathcal{O}_X(D)) \cap [W_a] & = & c_1(i_a^*\mathcal{O}_X(D_{a, 1})) \cap [W_a] + c_1(i_a^*\mathcal{O}_X(D_{a, 2})) \cap [W_a] \\ & & + c_1(i_a^*\mathcal{O}_X(D_{a, 3})) \cap [W_a]. \end{eqnarray*}\] 显然，和式第一项为零。由于 \(J_{a, 3}\) 有限，最后一项等于

\(\sum\nolimits_{j \in J_{a, 3}} n_jc_1(i_a^*\mathcal{L}_j) \cap [W_a]\)； 见 Divisors 的引理 02SL。 它由 \(\sum_{j \in J_{a, 3}} n_j \beta_{a, j}\) 表示。 最后，由情形 I，中间一项由循环 \(\sum\nolimits_{j \in J_{a, 2}} n_j[D_j \cap W_a]_k = \sum_{j \in J_{a, 2}} n_j\beta_{a, j}\) 表示。 因此此情形下断言成立。

现在可以完成引理的证明。由 \(\beta_a\) 的选取，有

\(i^*D \sim_{rat} \sum m_a\beta_a\)。对每个 \(a\)，有

\(\beta_a \sim_{rat} \sum_j \beta_{a, j}\)，该有理等价发生在 \(D \cap W_a\) 上。由于各闭子概形 \(D \cap W_a\) 在 \(D\) 上局部有限， 还可在 \(D\) 上得到 \(\sum m_a \beta_a \sim_{rat} \sum_{a, j} m_a\beta_{a, j}\)！ （见 Chow Homology 的注记 02RZ。） 最后，\(\sum_a m_a\beta_{a, j}\)（视为 \(D_j\) 上的循环）显然表示 \(i_j^*\alpha\)，故 \(\sum_{a, j} m_a\beta_{a, j}\) 表示 \(p_* \sum_j i_j^*\alpha\)，结论得证。

引理

设 \((S, \delta)\) 如 Chow Homology 的情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，并假设 \(X\) 整且 \(\dim_\delta(X) = n\)。 设 \(D\)、\(D'\) 为 \(X\) 上的有效 Cartier 因子，并假设 \(\dim_\delta(D \cap D') = n - 2\)。以 \(i : D \to X\) （resp. \(i' : D' \to X\)）表示相应的闭浸入。则

1. 存在循环 \(\alpha \in Z_{n - 2}(D \cap D')\)，其到 \(D\) 的前推表示 \(i^*[D']_{n - 1} \in \CH_{n - 2}(D)\)，而其到 \(D'\) 的前推表示 \((i')^*[D]_{n - 1} \in \CH_{n - 2}(D')\)；

2. 有 \[D \cdot [D']_{n - 1} = D' \cdot [D]_{n - 1}\] 在 \(\CH_{n - 2}(X)\) 中成立。

证明

第 (2) 部分是第 (1) 部分的直接推论。写成 \([D]_{n - 1} = \sum n_a[Z_a]\) 与 \([D']_{n - 1} = \sum m_b[Z_b]\)，其中 \(Z_a\) 是 \(D\) 的不可约分支， \([Z_b]\) 是 \(D'\) 的不可约分支。由 Chow Homology 的定义 02T8，有 \(i^*D' = \sum m_b i^*[Z_b]\) 以及 \((i')^*D = \sum n_a(i')^*[Z_a]\)。由假设，没有不可约分支 \(Z_b\) 包含于 \(D\)，故由定义 \(i^*[Z_b] = [Z_b\cap D]_{n - 2}\)。 同理，\((i')^*[Z_a] = [Z_a \cap D']_{n - 2}\)。因此要证明循环等式 \[\sum n_a[Z_a \cap D']_{n - 2} = \sum m_b[Z_b \cap D]_{n - 2}\] ；二者确实都支撑在 \(D \cap D'\) 上。设 \(W \subset X\) 为满足 \(\dim_\delta(W) = n - 2\) 的整闭子概形，并设 \(\xi \in W\) 为其一般点。 置 \(R = \mathcal{O}_{X, \xi}\)；这是诺特局部整环。注意 \(\dim(R) = 2\)。设 \(f \in R\)（resp. \(f' \in R\)）为定义 \(D\) （resp. \(D'\)）之理想的元素。由假设，\(\dim(R/(f, f')) = 0\)。 设 \(\mathfrak q'_1, \ldots, \mathfrak q'_t \subset R\) 为 \((f')\) 上方的 极小素理想，\(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_s \subset R\) 为 \((f)\) 上方的极小素理想。上述等式归结为 \[\sum_{i = 1, \ldots, s} \text{length}_{R_{\mathfrak q_i}}(R_{\mathfrak q_i}/(f)) \text{ord}_{R/\mathfrak q_i}(f') = \sum_{j = 1, \ldots, t} \text{length}_{R_{\mathfrak q'_j}}(R_{\mathfrak q'_j}/(f')) \text{ord}_{R/\mathfrak q'_j}(f).\] 将 Chow Homology 的引理 02QF 应用于 \(M = R/(f)\)，该等式左边等于 \[\text{length}_R(R/(f, f')) - \text{length}_R(\Ker(f' : R/(f) \to R/(f)))\] 。注意，\(\Ker(f' : R/(f) \to R/(f))\) 通过态射 \(x \bmod (f) \mapsto f'x \bmod (ff')\) 典范同构于 \(((f) \cap (f'))/(ff')\)。所以左边为 \[\text{length}_R(R/(f, f')) - \text{length}_R((f) \cap (f')/(ff'))\] 。由于该表达式关于 \(f\) 与 \(f'\) 对称，结论得证。

引理

设 \((S, \delta)\) 如 Chow Homology 的情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，并假设 \(X\) 整且 \(\dim_\delta(X) = n\)。 设 \(\{D_j\}_{j \in J}\) 为 \(X\) 上一族局部有限的有效 Cartier 因子， \(n_j, m_j \geq 0\) 为两族非负整数。置 \(D = \sum n_j D_j\) 与 \(D' = \sum m_j D_j\)。假设对每个 \(j \not = j'\) 都有 \(\dim_\delta(D_j \cap D_{j'}) = n - 2\)。 则在 \(\CH_{n - 2}(X)\) 中， \(D \cdot [D']_{n - 1} = D' \cdot [D]_{n - 1}\)。

证明

当各和式有限时，例如 \(X\) 拟紧时，本引理是引理 02T4 与 02TD 的直接推论。因此建议读者略过本证明。

下面给出一般情形的证明。设 \(i_j : D_j \to X\) 为闭浸入， 以 \(p : \coprod D_j \to X\) 表示各态射 \(i_j\) 的余积。 设 \(\{Z_a\}_{a \in A}\) 为 \(\bigcup D_j\) 的不可约分支所成的族。 对每个 \(j\)，写成 \[[D_j]_{n - 1} = \sum d_{j, a}[Z_a].\] 由引理 02T4，有 \[[D]_{n - 1} = \sum n_j d_{j, a} [Z_a], \quad [D']_{n - 1} = \sum m_j d_{j, a} [Z_a].\] 由引理 02TC，有 \[D \cdot [D']_{n - 1} = p_*\left(\sum n_j i_j^*[D']_{n - 1} \right), \quad D' \cdot [D]_{n - 1} = p_*\left(\sum m_{j'} i_{j'}^*[D]_{n - 1} \right).\] 如 Gysin 同态的定义（见 Chow Homology 的定义 02T8）那样，选取 \(D_j \cap Z_a\) 上表示 \(i_j^*[Z_a]\) 的循环 \(\beta_{a, j}\)。 （注意，若 \(Z_a\) 不包含于 \(D_j\)，则事实上 \(\beta_{a, j} = [D_j \cap Z_a]_{n - 2}\)，即此时并无选择。） 由于 \(p\) 限制在每个 \(D_j\) 上都是闭浸入，可以而且将把 \(\beta_{a, j}\) 视为 \(X\) 上的循环。代入上面所得 \([D]_{n - 1}\) 与 \([D']_{n - 1}\) 的公式，得到 \[D \cdot [D']_{n - 1} = \sum\nolimits_{j, j', a} n_j m_{j'} d_{j', a} \beta_{a, j}, \quad D' \cdot [D]_{n - 1} = \sum\nolimits_{j, j', a} m_{j'} n_j d_{j, a} \beta_{a, j'}.\] 此外，在同样约定下，还有 \[D_j \cdot [D_{j'}]_{n - 1} = \sum d_{j', a} \beta_{a, j}.\] 用这些记号，引理 02TD （亦见其证明）表明：当 \(j \not = j'\) 时，循环 \(\sum d_{j', a} \beta_{a, j}\) 与 \(\sum d_{j, a} \beta_{a, j'}\) 作为循环相等！因此 \[\begin{eqnarray*} D \cdot [D']_{n - 1} & = & \sum\nolimits_{j, j', a} n_j m_{j'} d_{j', a} \beta_{a, j} \\ & = & \sum\nolimits_{j \not = j'} n_j m_{j'} \left(\sum\nolimits_a d_{j', a} \beta_{a, j}\right) + \sum\nolimits_{j, a} n_j m_j d_{j, a} \beta_{a, j} \\ & = & \sum\nolimits_{j \not = j'} n_j m_{j'} \left(\sum\nolimits_a d_{j, a} \beta_{a, j'}\right) + \sum\nolimits_{j, a} n_j m_j d_{j, a} \beta_{a, j} \\ & = & \sum\nolimits_{j, j', a} m_{j'} n_j d_{j, a} \beta_{a, j'} \\ & = & D' \cdot [D]_{n - 1} \end{eqnarray*}\] ，结论得证。

引理

设 \((S, \delta)\) 如 Chow Homology 的情形 02QL。 设 \(X\) 在 \(S\) 上局部有限型，并假设 \(X\) 整且 \(\dim_\delta(X) = n\)。 设 \(D\)、\(D'\) 为 \(X\) 上的有效 Cartier 因子。则 \[D \cdot [D']_{n - 1} = D' \cdot [D]_{n - 1}\] 在 \(\CH_{n - 2}(X)\) 中成立。

证明

先证明 \(X\) 拟紧的情形。此时，对 \(X\) 和由有效 Cartier 因子构成的 二元集合 \(\{D, D'\}\) 应用引理 02T5。 于是得到固有态射 \(b : X' \to X\)，以及一族有限的有效 Cartier 因子 \(D'_j \subset X'\)；它们两两以余维 \(\geq 2\) 相交，并且 \(b^{-1}(D) = \sum n_j D'_j\)、\(b^{-1}(D') = \sum m_j D'_j\)。 注意，在 \(Z_{n - 1}(X)\) 中 \(b_*[b^{-1}(D)]_{n - 1} = [D]_{n - 1}\)，对 \(D'\) 亦然； 见引理 02SZ。因此由 Chow Homology 的引理 02SU，有 \[D \cdot [D']_{n - 1} = b_*\left(b^{-1}(D) \cdot [b^{-1}(D')]_{n - 1}\right)\] 在 \(\CH_{n - 2}(X)\) 中成立；另一项亦然。因此本引理由等式 \(b^{-1}(D) \cdot [b^{-1}(D')]_{n - 1} = b^{-1}(D') \cdot [b^{-1}(D)]_{n - 1}\) 推出；该等式由引理 02TE 在 \(\CH_{n - 2}(X')\) 中给出。

注意，上述证明中引用的每个引理在一般情形下也成立（此时不假设 \(X\) 拟紧）。一般情形唯一的细小变化是：应用引理 02T5 得到的态射 \(b : U' \to U\)，其目标是开集 \(U \subset X\)，且该开集的补集余维 \(\geq 3\)。因此由 Chow Homology 的引理 02RX，有 \(\CH_{n - 2}(U) = \CH_{n - 2}(X)\)；以 \(U\) 替换 \(X\) 后， 证明余下部分原封不动地成立。

证明

设 \(\mathcal{I} = \mathcal{O}_X(-D)\) 与 \(\mathcal{I}' = \mathcal{O}_X(-D')\) 分别为 \(D\) 与 \(D'\) 的可逆理想层。 记 \(\mathcal{I}_{D'} = \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_{D'}\) 以及 \(\mathcal{I}'_D = \mathcal{I}' \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_D\)。 将包含态射 \(\mathcal{I} \to \mathcal{O}_X\) 限制到 \(D'\)，得到态射 \[\varphi : \mathcal{I}_{D'} \longrightarrow \mathcal{O}_{D'}\] ；类似地得到 \[\psi : \mathcal{I}'_D \longrightarrow \mathcal{O}_D\] 。显然 \[\Coker(\varphi) \cong \mathcal{O}_{D \cap D'} \cong \Coker(\psi)\] ，并且 \[\Ker(\varphi) \cong \frac{\mathcal{I} \cap \mathcal{I}'}{\mathcal{I}\mathcal{I}'} \cong \Ker(\psi).\] 因此可见 \[\gamma = [\mathcal{I}_{D'}] - [\mathcal{O}_{D'}] = [\mathcal{I}'_D] - [\mathcal{O}_D]\] 在 \(K_0(\textit{Coh}_{\leq n - 1}(X))\) 中成立。另一方面，显然 \[[\mathcal{I}'_D]_{n - 1} = [D]_{n - 1}, \quad [\mathcal{I}_{D'}]_{n - 1} = [D']_{n - 1}.\] 并且 \[\mathcal{O}_X(D') \otimes \mathcal{I}'_D = \mathcal{O}_D, \quad \mathcal{O}_X(D) \otimes \mathcal{I}_{D'} = \mathcal{O}_{D'}.\] 将 Chow Homology 的引理 02SX 应用两次，这意味着元素 \(\gamma\) 属于 \(B_{n - 2}(X)\)，并同时映到 \(c_1(\mathcal{O}_X(D')) \cap [D]_{n - 1}\) 与 \(c_1(\mathcal{O}_X(D)) \cap [D']_{n - 1}\)，结论得证 （因为态射 \(B_{n - 2}(X) \to \CH_{n - 2}(X)\) 是良定义的—— 这正是本证明的关键）。

正则固有模型上的对偶化模

在 Semistable Reduction 的情形 0C61 中， 令 \(\omega_{X/R}^\bullet = f^!\mathcal{O}_{\Spec(R)}\) 为态射 \(f : X \to \Spec(R)\) 的相对对偶化复形；见 Duality for Schemes 的注记 0B6S。由 Semistable Reduction 的引理 0C60，\(f\) 是相对维数 \(1\) 的戈伦斯坦态射， 故可以使用 Duality for Schemes 的引理 0C08, 0BV8 与 0C06 得到 \[\omega_{X/R}^\bullet = \omega_X[1]\] ，其中 \(\omega_X\) 是某个可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模。这个可逆模通常称为 \(X\) 在 \(R\) 上的相对对偶化模。 由于 \(R\) 正则（因而戈伦斯坦）且维数为 \(1\)， \(\omega_R^\bullet = R[1]\) 是 \(R\) 的归一化对偶化复形。所以 \(\omega_X = H^{-2}(f^!\omega_R^\bullet)\)；由此可见，\(\omega_X\) 不仅是相对对偶化模，也是对偶化模，见 Duality for Schemes 的例 0AWI。因此 \(\omega_X\) 表示函子 \[\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Sets},\quad \mathcal{F} \mapsto \Hom_R(H^1(X, \mathcal{F}), R)\] ，这是 Duality for Schemes 的引理 0AWP。这给出了 Semistable Reduction 的情形 0C61 中相对对偶化模的另一种定义。\(\omega_X\) 的形成与任意基变换可换 （对任意给定相对维数的固有戈伦斯坦态射均如此）；这由相对对偶化复形 的相应事实推出，该事实见 Duality for Schemes 的注记 0B6S，其源自 Duality for Schemes 的引理 0AAB。因此 \(\omega_X\) 拉回为 Algebraic Curves 的引理 0BS3 中讨论的 \(C\) 在 \(K\) 上的对偶化模 \(\omega_C\)。注意，由 Algebraic Curves 的引理 0BS2，\(\omega_C\) 同构于 \(\Omega_{C/K}\)。类似地，\(\omega_X|_{X_k}\) 是 \(X_k\) 在 \(k\) 上的 对偶化模 \(\omega_{X_k}\)。

引理

在 Semistable Reduction 的情形 0C61 中， \(C_i\) 在 \(k\) 上的对偶化模为 \[\omega_{C_i} = \omega_X(C_i)|_{C_i}\] ，其中 \(\omega_X\) 如上。

证明

设 \(t : C_i \to X\) 为闭浸入。由于 \(t\) 是有效 Cartier 因子的包含， 由 Duality for Schemes 的引理 0A9X 与 0AA4 可知， 对每个可逆 \(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{L}\)，都有 \(t^!(\mathcal{L}) = \mathcal{L}(C_i)|_{C_i}\)。考虑交换图 \[\xymatrix{ C_i \ar[r]_t \ar[d]_g & X \ar[d]^f \\ \Spec(k) \ar[r]^s & \Spec(R) }\] 。注意，\(C_i\) 是戈伦斯坦曲线（Semistable Reduction 的引理 0C60），其可逆对偶化模 \(\omega_{C_i}\) 由性质 \(\omega_{C_i}[0] = g^!\mathcal{O}_{\Spec(k)}\) 刻画。 参见 Algebraic Curves 的引理 0BS2 及其证明， 以及 Algebraic Curves 的引理 0BS3 与 0BS6。另一方面，\(s^!(R[1]) = k\)，故 \[\omega_{C_i}[0] = g^! s^!(R[1]) = t^!f^!(R[1]) = t^!\omega_X\] 。结合以上各式即得引理结论。

重复项与拆分出的引用

本节收集重复项，以及那些过去同时陈述若干件事、如今已拆分为各组成部分的引用。

引理

设 \(X\) 为拓扑空间。

1. 预层范畴中的满态射（resp. 单态射）恰好是预层的满射 （resp. 单射）。

2. 层范畴中的满态射（resp. 单态射）恰好是层的满射 （resp. 单射），也恰好是在所有茎上均为满射（resp. 单射）的态射。

3. 集合预层的满射（resp. 单射）态射的层化仍为满射（resp. 单射）。

证明

合并 Sheaves 的引理 0H7H 与 0H7I 即得。

引理

设 \(X\) 为概形，并假设 \(X\) 拟紧且拟分离。 设 \(\mathcal{F}\) 为拟凝聚 \(\mathcal{O}_X\)-模。 则 \(\mathcal{F}\) 是其有限型拟凝聚子模的滤过余极限。

证明

这是 Properties 的引理 01PG 的重复项。

引理

设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。态射 \(\{\Spec(k) \to X \text{ monomorphism}\} \to |X|\) 为单射。

证明

这是 Properties of Spaces 的引理 03E1 的重复项。

定理

设 \(S = \Spec(K)\)，其中 \(K\) 为域。设 \(\overline{s}\) 为 \(S\) 的几何点， \(G = \text{Gal}_{\kappa(s)}\) 表示绝对伽罗瓦群。则存在范畴等价 \(\Sh(S_\etale) \to G\textit{-Sets}\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\).

证明

这是 Étale Cohomology 的定理 03QT 的重复项。

注

你来到这里是因为标签重复。实际内容请见 Formal Deformation Theory 的小节 06I1。

引理

设 \(X\) 为局部环化空间。有限自由 \(\mathcal{O}_X\)-模的直和因子有限局部自由。

证明

这是 Modules 的引理 0BCI 的重复项。

引理

设 \(R\) 为环，\(E\) 为 \(R\)-模。下列条件等价：

1. \(E\) 是内射 \(R\)-模；

2. 给定理想 \(I \subset R\) 和模态射 \(\varphi : I \to E\)， 存在 \(\varphi\) 到 \(R\)-模态射 \(R \to E\) 的延拓。

证明

这是 Baer 判据；见 Injectives 的引理 05NU。

引理

设 \(R\) 为局部环。

1. 若 \((M, N, \varphi, \psi)\) 是 \(2\)-周期复形，且 \(M\)、\(N\) 长度有限， 则 \(e_R(M, N, \varphi, \psi) = \text{length}_R(M) - \text{length}_R(N)\)。

2. 若 \((M, \varphi, \psi)\) 是 \((2, 1)\)-周期复形，且 \(M\) 长度有限， 则 \(e_R(M, \varphi, \psi) = 0\)。

3. 假设有 \(2\)-周期复形的短正合列 \[0 \to (M_1, N_1, \varphi_1, \psi_1) \to (M_2, N_2, \varphi_2, \psi_2) \to (M_3, N_3, \varphi_3, \psi_3) \to 0\] 。若三者中有两个的上同调模长度有限，则第三个也如此，并且有 \[e_R(M_2, N_2, \varphi_2, \psi_2) = e_R(M_1, N_1, \varphi_1, \psi_1) + e_R(M_3, N_3, \varphi_3, \psi_3).\]

证明

这由 Chow Homology 的引理 0EA7 与 0EA8 推出。

引理

设 \(A\) 为环，\(I\) 为 \(A\)-模。

1. 以 \(I\) 为平方零理想的环扩张 \(0 \to I \to A' \to A \to 0\) 所成集合，典范双射于 \(\Ext^1_A(\NL_{A/\mathbf{Z}}, I)\)。

2. 给定环同态 \(A \to B\)、\(B\)-模 \(N\)、\(A\)-模态射 \(c : I \to N\)，并给定下列核平方为零的环扩张：

   1. \(0 \to I \to A' \to A \to 0\)，对应于 \(\alpha \in \Ext^1_A(\NL_{A/\mathbf{Z}}, I)\)；

   2. \(0 \to N \to B' \to B \to 0\)，对应于 \(\beta \in \Ext^1_B(\NL_{B/\mathbf{Z}}, N)\)；

   则存在符合 Deformation Theory 的式 (08S4) 的态射 \(A' \to B'\)，当且仅当 \(\beta\) 与 \(\alpha\) 映到 \(\Ext^1_A(\NL_{A/\mathbf{Z}}, N)\) 中的同一元素。

证明

这由 Deformation Theory 的引理 0GPT 与 0GPV 推出。

引理

设 \((S, \mathcal{O}_S)\) 为环化空间，\(\mathcal{J}\) 为 \(\mathcal{O}_S\)-模。

1. 以 \(\mathcal{J}\) 为平方零理想的环层扩张 \(0 \to \mathcal{J} \to \mathcal{O}_{S'} \to \mathcal{O}_S \to 0\) 所成集合，典范双射于 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_S}(\NL_{S/\mathbf{Z}}, \mathcal{J})\)。

2. 给定环化空间态射 \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)\)、\(\mathcal{O}_X\)-模 \(\mathcal{G}\)、\(f\)-态射 \(c : \mathcal{J} \to \mathcal{G}\)， 并给定下列核平方为零的环层扩张：

   1. \(0 \to \mathcal{J} \to \mathcal{O}_{S'} \to \mathcal{O}_S \to 0\) ，对应于 \(\alpha \in \Ext^1_{\mathcal{O}_S}(\NL_{S/\mathbf{Z}}, \mathcal{J})\)；

   2. \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\) ，对应于 \(\beta \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/\mathbf{Z}}, \mathcal{G})\)；

   则存在符合 Deformation Theory 的式 (08U7) 的态射 \(X' \to S'\)， 当且仅当 \(\beta\) 与 \(\alpha\) 映到 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Lf^*\NL_{S/\mathbf{Z}}, \mathcal{G})\) 中的同一元素。

证明

这由 Deformation Theory 的引理 0GPZ 与 0GQ1 推出。

引理

设 \((\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\) 为环化拓扑斯， \(\mathcal{J}\) 为 \(\mathcal{O}_\mathcal{B}\)-模。

1. 以 \(\mathcal{J}\) 为平方零理想的环层扩张 \(0 \to \mathcal{J} \to \mathcal{O}_{\mathcal{B}'} \to \mathcal{O}_\mathcal{B} \to 0\) 所成集合，典范双射于 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{B}}( \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathbf{Z}}, \mathcal{J})\).

2. 给定环化拓扑斯态射 \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\)、\(\mathcal{O}\)-模 \(\mathcal{G}\)、\(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}\)-模态射 \(c : f^{-1}\mathcal{J} \to \mathcal{G}\)，并给定下列核平方为零的环层扩张：

   1. \(0 \to \mathcal{J} \to \mathcal{O}_{\mathcal{B}'} \to \mathcal{O}_\mathcal{B} \to 0\)，对应于 \(\alpha \in \Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{B}}( \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathbf{Z}}, \mathcal{J})\)；

   2. \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O} \to 0\) ，对应于 \(\beta \in \Ext^1_\mathcal{O}(\NL_{\mathcal{O}/\mathbf{Z}}, \mathcal{G})\)

   则存在符合 Deformation Theory 的式 (08UF) 的态射 \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{B}, \mathcal{O}_{\mathcal{B}'})\)，当且仅当 \(\beta\) 与 \(\alpha\) 映到下列 Ext 群中的同一元素： \(\Ext^1_\mathcal{O}( Lf^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathbf{Z}}, \mathcal{G})\).

证明

这由 Deformation Theory 的引理 0GQ5 与 0GQ7 推出。

注

这个标签过去指向一个描述若干形变问题例子的章节。现在每个例子都有自己的章节。 见 Deformation Problems 的小节 0DVN, 0DVR, 0DVU 与 0DVX.

引理

Deformation Problems 的例 0D3I, 0D3J, 0D3K 与 0D3L 满足 Rim–Schlessinger 条件 (RS)。

证明

这由 Deformation Problems 的引理 0DVP, 0DVS, 0DVV 与 0DVY 推出。

引理

有下列典范 \(k\)-向量空间同一化：

1. 在 Deformation Problems 的例 0D3I 中，若 \(x_0 = (k, V)\)，则 \(T_{x_0}\mathcal{F} = (0)\) 与 \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = \text{End}_k(V)\) 均为有限维。

2. 在 Deformation Problems 的例 0D3J 中，若 \(x_0 = (k, V, \rho_0)\)，则 \(T_{x_0}\mathcal{F} = \Ext^1_{k[\Gamma]}(V, V) = H^1(\Gamma, \text{End}_k(V))\) 与 \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = H^0(\Gamma, \text{End}_k(V))\) 在 \(\Gamma\) 有限生成时均为有限维。

3. 在 Deformation Problems 的例 0D3K 中，若 \(x_0 = (k, V, \rho_0)\)，则 \(T_{x_0}\mathcal{F} = H^1_{cont}(\Gamma, \text{End}_k(V))\) 且 \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = H^0_{cont}(\Gamma, \text{End}_k(V))\) 在 \(\Gamma\) 拓扑有限生成时均为有限维。

4. 在 Deformation Problems 的例 0D3L 中，若 \(x_0 = (k, P)\)，则 \(T_{x_0}\mathcal{F}\) 与 \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = \text{Der}_k(P, P)\) 在 \(P\) 为 \(k\) 上有限生成时均为有限维。

证明

这由 Deformation Problems 的引理 0DVQ, 0DVT, 0DVW 与 0DVZ 推出。