引言
本章介绍代数空间范畴上的若干拓扑。可与 [SGA1]、 [Ner]、[LM-B] 及 [Kn] 中的材料比较。 在此之前需要指出，可以选取许多不同的位点（定义见《位点》定义 00VH），而它们在所依范畴上给出相同的层概念。 因此，我们的选择可能与参考文献中的选择略有不同，但最终得到相同的上同调群等。
一般构造过程
本节说明构造下文所用位点的一般过程。读者若未读过《拓扑》第 020M 节，则这段讨论几乎无法理解。
设 \(S\) 为基概形。从 \(S\) 以及任意一个希望包含的 \(S\)-概形集合出发， 按《集合》引理 000J 构造任一范畴 \(\Sch_\alpha\)。再从范畴 \(\Sch_\alpha\) 与 fppf 覆盖类出发， 按《集合》引理 000X 选取 \(\Sch_\alpha\) 上任一覆盖集合 \(\text{Cov}_{fppf}\)。 以 \(\Sch_{fppf}\) 表示所得大 fppf 位点，以 \((\Sch/S)_{fppf}\) 表示相应的 \(S\) 的大 fppf 位点。 （以上完全依照《拓扑》第 021L 节的规定。）
作出上述选择后，\(S\) 上代数空间的范畴具有一个同构类集合。 这是因为任一 \(S\) 上代数空间都可写成 \(U/R\)，其中 \(j : R \to U \times_S U\) 是某个平展等价关系，且 \(U, R \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\)，见《空间》引理 0262。 因此，可在 \(S\) 上代数空间的范畴中找出一个满子范畴 \(\textit{Spaces}/S\)；它的对象构成集合，并且每个代数空间都同构于 \(\textit{Spaces}/S\) 的某个对象。固定这样一个范畴。
在以下各节中，给定拓扑 \(\tau\) 后，大位点 \((\textit{Spaces}/S)_\tau\)（相应地，\(S\) 上代数空间 \(X\) 的大位点 \((\textit{Spaces}/X)_\tau\)）的所依范畴是 \(\textit{Spaces}/S\)（相应地，是 \(\textit{Spaces}/S\) 的子范畴 \(\textit{Spaces}/X\)，见《范畴》例 001G）。 按通常方式把它变成位点：定义一类 \(\tau\)-覆盖，并应用《集合》引理 000X 选取一个足够大的覆盖集合来定义该拓扑。
需要指出，代数空间 \(X\) 的小平展位点 \(X_\etale\) 已在 《空间的性质》定义 03ED 中定义。 它的对象是在 \(X\) 上平展的概形；由代数空间的定义，这样的对象很多。
不过，从本章的视角看（比较《拓扑》定义 021B），更自然的是 《空间的性质》定义 03G0 中的位点 \(X_{spaces, \etale}\)。这两个位点定义同一拓扑斯，见《空间的性质》引理 03G1。 本章不再重新定义它们，而直接使用。
Zariski 拓扑
在《空间》第 02YT 节中，我们介绍了用开子空间 覆盖代数空间的 Zariski 覆盖概念。将开子空间替换为开浸入，得到如下相应概念。
定义
设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。 \(X\) 的 Zariski 覆盖是 \(S\) 上代数空间的一个态射族 \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\)，其中每个 \(f_i\) 都是开浸入，并且 \[|X| = \bigcup\nolimits_{i \in I} |f_i|(|X_i|),\] 即这些态射联合满。
尽管 Zariski 覆盖偶尔有用，但代数空间范畴上相应的拓扑确实太粗， 因而并不特别有用。尽管如此，它仍定义一个位点。
引理
设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。
若 \(X' \to X\) 是同构，则 \(\{X' \to X\}\) 是 \(X\) 的 Zariski 覆盖。
若 \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) 是 Zariski 覆盖，并且对每个 \(i\)，\(\{X_{ij} \to X_i\}_{j\in J_i}\) 是 Zariski 覆盖，则 \(\{X_{ij} \to X\}_{i \in I, j\in J_i}\) 是 Zariski 覆盖。
若 \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) 是 Zariski 覆盖，而 \(X' \to X\) 是代数空间的态射，则 \(\{X' \times_X X_i \to X'\}_{i\in I}\) 是 Zariski 覆盖。
证明
略。
平展拓扑
本节讨论代数空间的平展覆盖概念，并定义代数空间的大平展位点。 请与《拓扑》第 0214 节比较。
定义
设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。 \(X\) 的平展覆盖是 \(S\) 上代数空间的一个态射族 \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\)，其中每个 \(f_i\) 都平展，并且 \[|X| = \bigcup\nolimits_{i \in I} |f_i|(|X_i|),\] 即这些态射联合满。
这恰好就是《拓扑》定义 0215。 特别地，若 \(X\) 及所有 \(X_i\) 都是概形，便得到通常的概形平展覆盖概念。
引理
任一 Zariski 覆盖都是平展覆盖。
证明
由定义以及开浸入是平展态射这一事实即可得出（由于浸入可表， 该事实由《态射》引理 02GP 经《空间》引理 02YO 得到）。
引理
设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。
若 \(X' \to X\) 是同构，则 \(\{X' \to X\}\) 是 \(X\) 的平展覆盖。
若 \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) 是平展覆盖，并且对每个 \(i\)，\(\{X_{ij} \to X_i\}_{j\in J_i}\) 是平展覆盖，则 \(\{X_{ij} \to X\}_{i \in I, j\in J_i}\) 是平展覆盖。
若 \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) 是平展覆盖，而 \(X' \to X\) 是代数空间的态射，则 \(\{X' \times_X X_i \to X'\}_{i\in I}\) 是平展覆盖。
证明
略。
下一个引理说明位点 \((\textit{Spaces}/X)_\etale\) 与 \((\textit{Spaces}/X)_{smooth}\) 具有相同的层范畴。
引理
设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。 设 \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) 是 \(X\) 的光滑覆盖。 则存在 \(X\) 的平展覆盖 \(\{U_j \to X\}_{j \in J}\)， 它加细 \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\)。
证明
先取概形 \(U\) 及满平展态射 \(U \to X\)。 对每个 \(i\)，取概形 \(W_i\) 及满平展态射 \(W_i \to X_i\)。 于是 \(\{W_i \to X\}_{i \in I}\) 是加细 \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) 的光滑覆盖。因此 \(\{W_i \times_X U \to U\}_{i \in I}\) 是概形的光滑覆盖。 由《态射续论》引理 055V， 可取加细 \(\{W_i \times_X U \to U\}\) 的平展覆盖 \(\{U_j \to U\}\)。于是 \(\{U_j \to X\}_{j \in J}\) 是加细 \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) 的平展覆盖。
定义
设 \(S\) 为概形。大平展位点 \((\textit{Spaces}/S)_\etale\) 是按如下方式构造的任一位点：
定义完毕后，可通过局部化得到代数空间的平展位点。
定义
设 \(S\) 为概形，\((\textit{Spaces}/S)_\etale\) 如定义 0DBX。 设 \(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，即 \((\textit{Spaces}/S)_\etale\) 的对象。则 \(X\) 的大平展位点 \((\textit{Spaces}/X)_\etale\) 是《位点》第 00XZ 节所引入的位点 \((\textit{Spaces}/S)_\etale\) 在 \(X\) 处的局部化。
回顾定义中的 \(S\) 上代数空间 \(X\)，我们已经定义了小平展位点 \(X_{spaces, \etale}\) 与 \(X_\etale\)，见《空间的性质》第 03EB 节。 我们借助包含函子 \(X_\etale \subset X_{spaces, \etale}\) （《空间的性质》引理 03G1） 默认识别相应的拓扑斯，并称之为 \(X\) 的小平展拓扑斯。 下面建立这些位点所关联的拓扑斯之间的一些关系。
引理
设 \(S\) 为概形，\(f : Y \to X\) 为 \((\textit{Spaces}/S)_\etale\) 中的态射。包含函子 \(Y_{spaces, \etale} \to (\textit{Spaces}/X)_\etale\) 是余连续的，并诱导拓扑斯态射 \[i_f : \Sh(Y_\etale) \longrightarrow \Sh((\textit{Spaces}/X)_\etale)\] 对 \((\textit{Spaces}/X)_\etale\) 上的层 \(\mathcal{G}\)，有公式 \((i_f^{-1}\mathcal{G})(U/Y) = \mathcal{G}(U/X)\)。 函子 \(i_f^{-1}\) 还具有左伴随 \(i_{f, !}\)，后者与纤维积和等化子可交换。
证明
以 \(u : Y_{spaces, \etale} \to (\textit{Spaces}/X)_\etale\) 表示该函子。 换言之，给定对应于 \(Y_{spaces, \etale}\) 中一个对象的平展态射 \(j : U \to Y\)，置
\(u(U \to T) = (f \circ j : U \to S)\). 范畴 \(Y_{spaces, \etale}\) 有纤维积和等化子，且 \(u\) 与它们可交换。
显然 \(u\) 余连续。函子 \(u\) 也连续，因为 \(u\) 将覆盖变为覆盖并与 纤维积可交换。因此引理由《位点》引理 00XR 和 00XS 得出。
引理
设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \((\textit{Spaces}/S)_\etale\) 的对象。 包含函子 \(X_{spaces, \etale} \to (\textit{Spaces}/X)_\etale\) 满足《位点》引理 00XU 的假设，因而诱导位点态射 \[\pi_X : (\textit{Spaces}/X)_\etale \longrightarrow X_{spaces, \etale}\] 以及拓扑斯态射 \[i_X : \Sh(X_\etale) \longrightarrow \Sh((\textit{Spaces}/X)_\etale)\] 使得 \(\pi_X \circ i_X = \text{id}\)。此外， \(i_X = i_{\text{id}_X}\)，其中 \(i_{\text{id}_X}\) 如引理 0DF2 所述。特别地，函子 \(i_X^{-1} = \pi_{X, *}\) 由规则 \(i_X^{-1}(\mathcal{G})(U/X) = \mathcal{G}(U/X)\). 描述。
证明
在此情形，函子 \(u : X_{spaces, \etale} \to (\textit{Spaces}/X)_\etale\) 除具有上面引理 0DF2 的证明中所见性质外， 还是全忠实的，并将终对象变为终对象。 本引理由《位点》引理 00XU 得出。
定义
在引理 0DF3 的情形中，函子 \(i_X^{-1} = \pi_{X, *}\) 常称为限制到小平展位点。
对大平展位点上的层 \(\mathcal{F}\)，常以 \(\mathcal{F}|_{X_\etale}\) 表示这一限制。
采用这一记号，对大位点上的层 \(\mathcal{F}\) 及小位点上的层 \(\mathcal{G}\)，有 \[\begin{align*} \Mor_{\Sh(X_\etale)}( \mathcal{F}|_{X_\etale}, \mathcal{G}) & = \Mor_{\Sh((\textit{Spaces}/X)_\etale)}( \mathcal{F}, i_{X, *}\mathcal{G}) \\ \Mor_{\Sh(X_\etale)}( \mathcal{G}, \mathcal{F}|_{X_\etale}) & = \Mor_{\Sh((\textit{Spaces}/X)_\etale)}( \pi_X^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) \end{align*}\] 此外，有 \((i_{X, *}\mathcal{G})|_{X_\etale} = \mathcal{G}\)， 也有 \((\pi_X^{-1}\mathcal{G})|_{X_\etale} = \mathcal{G}\)。
引理
设 \(S\) 为概形，\(f : Y \to X\) 为 \((\textit{Spaces}/S)_\etale\) 中的态射。函子 \[u : (\textit{Spaces}/Y)_\etale \longrightarrow (\textit{Spaces}/X)_\etale, \quad V/Y \longmapsto V/X\] 是余连续的，并有连续右伴随 \[v : (\textit{Spaces}/X)_\etale \longrightarrow (\textit{Spaces}/Y)_\etale, \quad (U \to X) \longmapsto (U \times_X Y \to Y).\] 它们诱导同一拓扑斯态射 \[f_{big} : \Sh((\textit{Spaces}/Y)_\etale) \longrightarrow \Sh((\textit{Spaces}/X)_\etale)\] 且有 \(f_{big}^{-1}(\mathcal{G})(U/Y) = \mathcal{G}(U/X)\)， \(f_{big, *}(\mathcal{F})(U/X) = \mathcal{F}(U \times_X Y/Y)\)。 此外，\(f_{big}^{-1}\) 有左伴随 \(f_{big!}\)，后者与纤维积和等化子可交换。
证明
函子 \(u\) 余连续、连续，并与纤维积及等化子可交换 （细节略去；比较引理 0DF2 的证明）。 因此可应用《位点》引理 00XR 和 00XS，得到 \(f_{big}^{-1}\) 的公式以及 \(f_{big!}\) 的存在性。此外，函子 \(v\) 是右伴随， 因为给定 \(U/Y\) 与 \(V/X\)，有 \(\Mor_X(u(U), V) = \Mor_Y(U, V \times_X Y)\)，正合所需。 于是可应用《位点》引理 00XX 和 00XY， 得到 \(f_{big, *}\) 的公式。
引理
设 \(S\) 为概形，\(f : Y \to X\) 为 \((\textit{Spaces}/S)_\etale\) 中的态射。
有 \(i_f = f_{big} \circ i_T\)，其中 \(i_f\) 如引理 0DF2，\(i_T\) 如引理 0DF3。
函子 \(X_{spaces, \etale} \to T_{spaces, \etale}\)， \((U \to X) \mapsto (U \times_X Y \to Y)\) 连续，并诱导位点态射 \[f_{spaces, \etale} : Y_{spaces, \etale} \longrightarrow X_{spaces, \etale}\] 相应的小平展拓扑斯态射记作 \[f_{small} : \Sh(Y_\etale) \to \Sh(X_\etale)\] 有 \(f_{small, *}(\mathcal{F})(U/X) = \mathcal{F}(U \times_X Y/Y)\)。
有如下位点态射的交换图 \[\xymatrix{ Y_{spaces, \etale} \ar[d]_{f_{spaces, \etale}} & (\textit{Spaces}/Y)_\etale \ar[d]^{f_{big}} \ar[l]^-{\pi_Y}\\ X_{spaces, \etale} & (\textit{Spaces}/X)_\etale \ar[l]_-{\pi_X} }\] 因而作为拓扑斯态射， \(f_{small} \circ \pi_Y = \pi_X \circ f_{big}\)。
有 \(f_{small} = \pi_X \circ f_{big} \circ i_Y = \pi_X \circ i_f\)。
证明
等式 \(i_f = f_{big} \circ i_Y\) 由等式 \(i_f^{-1} = i_T^{-1} \circ f_{big}^{-1}\) 得出； 后者由上述函子描述即知。因此得到 (1)。
在《空间的性质》引理 03G2 中已经说明， 函子 \(u : X_{spaces, \etale} \to Y_{spaces, \etale}\)， \(u(U \to X) = (U \times_X Y \to Y)\)，给出一个位点态射及相应的 小平展拓扑斯态射。正像的描述是显然的。
(3) 成立，因为 \(\pi_X\) 和 \(\pi_Y\) 由包含函子给出，而 \(f_{spaces, \etale}\) 和 \(f_{big}\) 由基变换函子 \(U \mapsto U \times_X Y\) 给出。
在 (3) 两端前复合 \(i_Y\) 即得 (4)。
在该引理的情形中，采用定义 0DF4 的术语， 对 \(Y\) 的大平展位点上的层 \(\mathcal{F}\)，有 \[(f_{big, *}\mathcal{F})|_{X_\etale} = f_{small, *}(\mathcal{F}|_{Y_\etale}),\]
该等式由引理中的位点图交换即知，因为限制到 \(Y\)（相应地 \(X\)） 的小平展位点由 \(\pi_{Y, *}\)（相应地 \(\pi_{X, *}\)）给出。 涉及拉回与限制的类似公式不成立。
引理
设 \(S\) 为概形。给定 \((\textit{Spaces}/S)_\etale\) 中的态射 \(f : X \to Y\)、\(g : Y \to Z\)，有 \(g_{big} \circ f_{big} = (g \circ f)_{big}\)，且 \(g_{small} \circ f_{small} = (g \circ f)_{small}\).
证明
对大位点上的函子，此结论由引理 0DF5 中正像与拉回的简单描述得出。对小位点上的函子，此结论由引理 0DF6 中正像函子的描述得出。
引理
设 \(S\) 为概形。考虑 \((\textit{Spaces}/S)_\etale\) 中的笛卡尔图 \[\xymatrix{ Y' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & Y \ar[d]^f \\ X' \ar[r]^g & X }\] 则 \(i_g^{-1} \circ f_{big, *} = f'_{small, *} \circ (i_{g'})^{-1}\) 且 \(g_{big}^{-1} \circ f_{big, *} = f'_{big, *} \circ (g'_{big})^{-1}\)。
证明
由于该图是笛卡儿的，对 \(U'/X'\) 有 \(U' \times_{X'} Y' = U' \times_X Y\)。因此 \(i_g^{-1} \circ f_{big, *}\) 与 \(f'_{small, *} \circ (i_{g'})^{-1}\) 都把 \((\textit{Spaces}/Y)_\etale\) 上的层 \(\mathcal{F}\) 送到 \(X'_\etale\) 上的层 \(U' \mapsto \mathcal{F}(U' \times_{X'} Y')\) （使用引理 0DF2 和 0DF5）。 第二个等式可用相同方法证明，也可由一般性的《位点》引理 03CF 推出。
注
位点 \((\textit{Spaces}/X)_\etale\) 与 \(X_{spaces, \etale}\) 都带有结构层。对小平展位点，我们已在《空间的性质》第 04KD 节看到这一点。 大平展位点 \((\textit{Spaces}/X)_\etale\) 上的结构层 \(\mathcal{O}\) 定义为：给对象 \(U\) 指派 \(U\) 的结构层的整体截面。 这是有意义的，因为 \(U\) 本身毕竟是代数空间，因而具有结构层。 由于 \(\mathcal{O}_U\) 是 \(U\) 的平展位点上的层，如此定义的预层 \(\mathcal{O}\) 满足 \(U\) 的覆盖的层条件；也就是说， \(\mathcal{O}\) 是层。 可以把上面定义的态射 \(i_f\)、\(\pi_X\)、\(i_X\)、\(f_{small}\) 及 \(f_{big}\) 分别提升为带环位点、带环拓扑斯的态射。下面逐一处理。
在引理 0DF2 中，以 \(\mathcal{O}\) 表示 \((\textit{Spaces}/X)_\etale\) 上的结构层。 按构造有 \((i_f^{-1}\mathcal{O})(U/Y) = \mathcal{O}_U(U) = \mathcal{O}_Y(U)\)。
从而有同构 \(i_f^\sharp : i_f^{-1}\mathcal{O} \to \mathcal{O}_Y\)。
在引理 0DF3 中已经指出， \(i_X\) 是 \(f = \text{id}_X\) 时 \(i_f\) 的特例，故回到情形 (1)。
在引理 0DF3 中，态射 \(\pi_X\) 满足 \((\pi_{X, *}\mathcal{O})(U) = \mathcal{O}(U) = \mathcal{O}_X(U)\)。因此可用它定义 \(\pi_X^\sharp : \mathcal{O}_X \to \pi_{X, *}\mathcal{O}\)。
在引理 0DF6 中， 函子 \(f_{big}^{-1}\) 只不过是通过包含函子 \((\textit{Spaces}/Y)_\etale \to (\textit{Spaces}/X)_\etale\) 作限制。设 \(\mathcal{O}_1\) 为 \((\textit{Spaces}/X)_\etale\) 上的结构层，\(\mathcal{O}_2\) 为 \((\textit{Spaces}/Y)_\etale\) 上的结构层。得到典范同构 \(f_{big}^\sharp : f_{big}^{-1}\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\)。
此外，在这些定义下，复合也正确相容。略去详细陈述与证明。
光滑拓扑
本节讨论代数空间的光滑覆盖概念，并定义代数空间的大光滑位点。 请与《拓扑》第 021Y 节比较。
定义
设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。 \(X\) 的光滑覆盖是 \(S\) 上代数空间的一个态射族 \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\)，其中每个 \(f_i\) 都光滑，并且 \[|X| = \bigcup\nolimits_{i \in I} |f_i|(|X_i|),\] 即这些态射联合满。
这恰好就是《拓扑》定义 021Z。 特别地，若 \(X\) 及所有 \(X_i\) 都是概形，便得到通常的概形光滑覆盖概念。
引理
任一平展覆盖都是光滑覆盖；因此更进一步，任一 Zariski 覆盖都是光滑覆盖。
证明
引理
设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。
若 \(X' \to X\) 是同构，则 \(\{X' \to X\}\) 是 \(X\) 的光滑覆盖。
若 \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) 是光滑覆盖，并且对每个 \(i\)，\(\{X_{ij} \to X_i\}_{j\in J_i}\) 是光滑覆盖，则 \(\{X_{ij} \to X\}_{i \in I, j\in J_i}\) 是光滑覆盖。
若 \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) 是光滑覆盖，而 \(X' \to X\) 是代数空间的态射，则 \(\{X' \times_X X_i \to X'\}_{i\in I}\) 是光滑覆盖。
证明
略。
待续……
Syntomic 拓扑
本节讨论代数空间的 syntomic 覆盖概念，并定义代数空间的大 syntomic 位点。请与《拓扑》第 0224 节比较。
定义
设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。 \(X\) 的 syntomic 覆盖是 \(S\) 上代数空间的一个态射族 \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\)，其中每个 \(f_i\) 都是 syntomic 态射，并且 \[|X| = \bigcup\nolimits_{i \in I} |f_i|(|X_i|),\] 即这些态射联合满。
这恰好就是《拓扑》定义 0225。 特别地，若 \(X\) 及所有 \(X_i\) 都是概形，便得到通常的概形 syntomic 覆盖概念。
引理
任一光滑覆盖都是 syntomic 覆盖；因此更进一步，任一平展覆盖或 Zariski 覆盖都是 syntomic 覆盖。
证明
引理
设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。
若 \(X' \to X\) 是同构，则 \(\{X' \to X\}\) 是 \(X\) 的 syntomic 覆盖。
若 \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) 是 syntomic 覆盖，并且对每个 \(i\)，\(\{X_{ij} \to X_i\}_{j\in J_i}\) 是 syntomic 覆盖，则 \(\{X_{ij} \to X\}_{i \in I, j\in J_i}\) 是 syntomic 覆盖。
若 \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) 是 syntomic 覆盖，而 \(X' \to X\) 是代数空间的态射，则 \(\{X' \times_X X_i \to X'\}_{i\in I}\) 是 syntomic 覆盖。
证明
略。
待续……
Fppf 拓扑
本节讨论代数空间的 fppf 覆盖概念，并定义代数空间的大 fppf 位点。 请与《拓扑》第 021L 节比较。
定义
设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。 \(X\) 的 fppf 覆盖是 \(S\) 上代数空间的一个态射族 \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\)，其中每个 \(f_i\) 都平坦且局部有限表示， 并且 \[|X| = \bigcup\nolimits_{i \in I} |f_i|(|X_i|),\] 即这些态射联合满。
这恰好就是《拓扑》定义 021M。 特别地，若 \(X\) 及所有 \(X_i\) 都是概形，便得到通常的概形 fppf 覆盖概念。
引理
任一 syntomic 覆盖都是 fppf 覆盖；因此更进一步，任一光滑、平展或 Zariski 覆盖都是 fppf 覆盖。
证明
这由定义、syntomic 态射平坦且局部有限表示这一事实 （《空间的态射》引理 0DEY 和 0DEZ） 及引理 0DFB 即得。
引理
设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。
若 \(X' \to X\) 是同构，则 \(\{X' \to X\}\) 是 \(X\) 的 fppf 覆盖。
若 \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) 是 fppf 覆盖，并且对每个 \(i\)，\(\{X_{ij} \to X_i\}_{j\in J_i}\) 是 fppf 覆盖，则 \(\{X_{ij} \to X\}_{i \in I, j\in J_i}\) 是 fppf 覆盖。
若 \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) 是 fppf 覆盖，而 \(X' \to X\) 是代数空间的态射，则 \(\{X' \times_X X_i \to X'\}_{i\in I}\) 是 fppf 覆盖。
证明
略。
引理
设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。假设 \(\mathcal{U} = \{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) 是 \(X\) 的 fppf 覆盖。 则存在 \(\mathcal{U}\) 的加细 \(\mathcal{V} = \{g_i : T_i \to X\}\)，它是 fppf 覆盖且每个 \(T_i\) 都是概形。
证明
略。提示：对每个 \(i\)，取概形 \(T_i\) 及满平展态射 \(T_i \to X_i\)，再验证 \(\{T_i \to X\}\) 是 fppf 覆盖。
引理
设 \(S\) 为概形。设 \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) 为 \(S\) 上代数空间的 fppf 覆盖。则层态射 \[\coprod X_i \longrightarrow X\] 是满的。
证明
定义
设 \(S\) 为概形。大 fppf 位点 \((\textit{Spaces}/S)_{fppf}\) 是按如下方式构造的任一位点：
定义完毕后，可通过局部化得到代数空间的 fppf 位点。
定义
设 \(S\) 为概形，\((\textit{Spaces}/S)_{fppf}\) 如定义 0DBV。 设 \(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，即 \((\textit{Spaces}/S)_{fppf}\) 的对象。则 \(X\) 的大 fppf 位点 \((\textit{Spaces}/X)_{fppf}\) 是《位点》第 00XZ 节所引入的位点 \((\textit{Spaces}/S)_{fppf}\) 在 \(X\) 处的局部化。
下面建立这些位点所关联的拓扑斯之间的一些关系。
引理
设 \(S\) 为概形，\(f : Y \to X\) 为 \(S\) 上代数空间的态射。函子 \[u : (\textit{Spaces}/Y)_{fppf} \longrightarrow (\textit{Spaces}/X)_{fppf}, \quad V/Y \longmapsto V/X\] 是余连续的，并有连续右伴随
\[v : (\textit{Spaces}/X)_{fppf} \longrightarrow (\textit{Spaces}/Y)_{fppf}, \quad (U \to Y) \longmapsto (U \times_X Y \to Y).\] 它们诱导同一拓扑斯态射 \[f_{big} : \Sh((\textit{Spaces}/Y)_{fppf}) \longrightarrow \Sh((\textit{Spaces}/X)_{fppf})\] 且有 \(f_{big}^{-1}(\mathcal{G})(U/Y) = \mathcal{G}(U/X)\)， \(f_{big, *}(\mathcal{F})(U/X) = \mathcal{F}(U \times_X Y/Y)\)。 此外，\(f_{big}^{-1}\) 有左伴随 \(f_{big!}\)，后者与纤维积和等化子可交换。
证明
函子 \(u\) 余连续、连续，并与纤维积及等化子可交换。因此可应用 《位点》引理 00XR 和 00XS，得到 \(f_{big}^{-1}\) 的公式以及 \(f_{big!}\) 的存在性。此外，函子 \(v\) 是右伴随， 因为给定
\(U/T\) 与 \(V/X\)，有 \(\Mor_X(u(U), V) = \Mor_Y(U, V \times_X Y)\)，正合所需。 于是可应用《位点》引理 00XX 和 00XY， 得到 \(f_{big, *}\) 的公式。
引理
设 \(S\) 为概形。给定 \(S\) 上代数空间的态射 \(f : X \to Y\)、\(g : Y \to Z\)，有 \(g_{big} \circ f_{big} = (g \circ f)_{big}\).
证明
这由引理 0DFD 中大位点上函子的 正像与拉回的简单描述得出。
ph 拓扑
本节定义 ph 拓扑。这是由平展覆盖和正常满态射生成的拓扑，见引理 0DFM。
定义
设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。 \(X\) 的 ph 覆盖是 \(S\) 上代数空间的一个态射族 \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\)，
使得 \(f_i\) 局部有限型，并且对每个仿射 \(U\) 及态射 \(U \to X\)， 存在加细族 \(\{X_i \times_X U \to U\}_{i \in I}\) 的标准 ph 覆盖 \(\{U_j \to U\}_{j = 1, \ldots, m}\)。
换言之，存在指标 \(i_1, \ldots, i_m \in I\) 及态射 \(h_j : U_j \to X_{i_j}\)，使得 \(f_{i_j} \circ h_j = h \circ g_j\)。注意，若 \(X\) 及所有 \(X_i\) 均 可表，则由《拓扑》定义 0DBG， 这与概形的 ph 覆盖相同。
引理
任一 fppf 覆盖都是 ph 覆盖；因此更进一步，任一 syntomic、光滑、 平展或 Zariski 覆盖都是 ph 覆盖。
证明
只需证明 fppf 覆盖是 ph 覆盖，其余结论便由引理 0DFC 得出。 设 \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) 是基概形 \(S\) 上代数空间的 fppf 覆盖。 设 \(U\) 为仿射概形并给定态射 \(U \to X\)。可以将 fppf 覆盖
\(\{X_i \times_U U \to U\}_{i \in I}\) 加细为 fppf 覆盖 \(\{T_i \to U\}_{i \in I}\)，其中 \(T_i\) 是概形 （引理 042T）。 再由《态射续论》引理 0DBT （以及概形的 ph 覆盖定义），可找出加细 \(\{T_i \to U\}_{i \in I}\) 的标准 ph 覆盖 \(\{U_j \to U\}_{j = 1, \ldots, m}\)。 因此按定义，\(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) 是 ph 覆盖。
引理
设 \(S\) 为概形，\(f : Y \to X\) 为 \(S\) 上代数空间的固有满态射。 则 \(\{Y \to X\}\) 是 ph 覆盖。
证明
设 \(U \to X\) 为态射，其中 \(U\) 仿射。 由 Chow 引理（其弱形式见《空间的上同调》引理 089J），存在概形的固有满态射 \(V \to U\)，它经 \(Y \times_X U \to U\) 分解。 取 \(V\) 的任一有限仿射开覆盖，便得到 \(U\) 的一个标准 ph 覆盖， 它加细
\(\{X \times_Y U \to U\}\)，正合所需。
引理
设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。
若 \(X' \to X\) 是同构，则 \(\{X' \to X\}\) 是 \(X\) 的 ph 覆盖。
若 \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) 是 ph 覆盖，并且对每个 \(i\)，\(\{X_{ij} \to X_i\}_{j\in J_i}\) 是 ph 覆盖，则 \(\{X_{ij} \to X\}_{i \in I, j\in J_i}\) 是 ph 覆盖。
若 \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) 是 ph 覆盖，而 \(X' \to X\) 是代数空间的态射，则 \(\{X' \times_X X_i \to X'\}_{i\in I}\) 是 ph 覆盖。
证明
(1) 是显然的。考虑 (3) 中的 \(g : X' \to X\) 及 ph 覆盖 \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\)。由《空间的态射》引理 03XH，态射 \(X' \times_X X_i \to X'\) 局部有限型。 若 \(h' : Z \to X'\) 是从仿射概形到 \(X'\) 的态射，则置 \(h = g \circ h' : Z \to X\)。关于 \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) 的假设意味着，存在标准 ph 覆盖 \(\{Z_j \to Z\}_{j = 1, \ldots, n}\) 以及盖住 \(h\) 的态射 \(Z_j \to X_{i(j)}\)，其中某些 \(i(j) \in I\)。 由纤维积的泛性质，还得到 \(h'\) 上的态射 \(Z_j \to X' \times_X X_{i(j)}\)。 因此 \(\{X' \times_X X_i \to X'\}_{i\in I}\) 是 ph 覆盖， 这就证明了 (3)。
设 \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) 与 \(\{X_{ij} \to X_i\}_{j\in J_i}\) 如 (2) 所述。 设 \(h : Z \to X\) 为从仿射概形到 \(X\) 的态射。 由假设，存在标准 ph 覆盖 \(\{Z_j \to Z\}_{j = 1, \ldots, n}\) 及盖住 \(h\) 的态射 \(h_j : Z_j \to X_{i(j)}\)，其中某些 \(i(j) \in I\)。 仍由假设，存在标准 ph 覆盖 \(\{Z_{j, l} \to Z_j\}_{l = 1, \ldots, n(j)}\) 以及盖住 \(h_j\) 的态射 \(Z_{j, l} \to X_{i(j)j(l)}\)， 其中某些 \(j(l) \in J_{i(j)}\)。 由《拓扑》引理 0DBF， 族 \(\{Z_{j, l} \to Z\}\) 可被某个标准 ph 覆盖加细。 因此 \(\{X_{ij} \to X\}_{i \in I, j\in J_i}\) 是 ph 覆盖。
定义
设 \(S\) 为概形。大 ph 位点 \((\textit{Spaces}/S)_{ph}\) 是按如下方式构造的任一位点：
定义完毕后，可通过局部化得到代数空间的 ph 位点。
定义
设 \(S\) 为概形，\((\textit{Spaces}/S)_{ph}\) 如定义 0DFK。 设 \(X\) 为 \(S\) 上的代数空间，即 \((\textit{Spaces}/S)_{ph}\) 的对象。 则 \(X\) 的大 ph 位点 \((\textit{Spaces}/X)_{ph}\) 是 《位点》第 00XZ 节所引入的位点 \((\textit{Spaces}/S)_{ph}\) 在 \(X\) 处的局部化。
下面给出先前所承诺的 ph 层刻画。
引理
设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。 设 \(\mathcal{F}\) 为 \((\textit{Spaces}/X)_{ph}\) 上的预层。 则 \(\mathcal{F}\) 是层，当且仅当
\(\mathcal{F}\) 对平展覆盖满足层条件；并且
若 \(f : V \to U\) 是 \((\textit{Spaces}/X)_{ph}\) 中的固有满态射， 则 \(\mathcal{F}(U)\) 双射地映到两个映射 \(\mathcal{F}(V) \to \mathcal{F}(V \times_U V)\) 的等化子。
证明
只需证明若 (1) 与 (2) 成立，则 \(\mathcal{F}\) 是层。 设 \(\{T_i \to T\}\) 为 ph 覆盖，即 \((\textit{Spaces}/X)_{ph}\) 中的覆盖。我们验证此覆盖的层条件。 设 \(s_i \in \mathcal{F}(T_i)\) 为一些截面，它们限制到 \(T_i \times_T T_{i'}\) 后相同。我们将证明存在唯一截面
\(s \in \mathcal{F}\)，它在 \(T_i\) 上限制为 \(s_i\)。 设 \(\{U_j \to T\}\) 为平展覆盖，其中 \(U_j\) 仿射。 由性质 (1)，为构造 \(s\)，只需构造截面 \(s_j \in \mathcal{F}(U_j)\)，使其在
\(U_j \cap U_{j'}\) 上相符。 考虑 ph 覆盖 \(\{T_i \times_T U_j \to U_j\}\)。 于是 \(s_{ji} = s_i|_{T_i \times_T U_j}\) 是一些截面，它们在 \((T_i \times_T U_j) \times_{U_j} (T_{i'} \times_T U_j)\) 上相符。 取固有满态射 \(V_j \to U_j\) 及有限仿射开覆盖 \(V_j = \bigcup V_{jk}\)，使标准 ph 覆盖 \(\{V_{jk} \to U_j\}\) 加细 \(\{T_i \times_T U_j \to U_j\}\)。 若 \(s_{jk} \in \mathcal{F}(V_{jk})\) 表示经隐含态射将 \(s_{ji}\) 拉回到 \(V_{jk}\) 所得的截面，则 \(s_{jk}\) 黏合为截面 \(s'_j \in \mathcal{F}(V_j)\)。再次利用重叠处的一致性可知， \(s'_j\) 属于两个映射 \(\mathcal{F}(V_j) \to \mathcal{F}(V_j \times_{U_j} V_j)\) 的等化子。 因此由 (2)，\(s'_j\) 来自唯一截面 \(s_j \in \mathcal{F}(U_j)\)。略去验证这些截面 \(s_j\) 具有全部所需性质。
下面建立这些位点所关联的拓扑斯之间的一些关系。
引理
设 \(S\) 为概形，\(f : Y \to X\) 为 \(S\) 上代数空间的态射。函子 \[u : (\textit{Spaces}/Y)_{ph} \longrightarrow (\textit{Spaces}/X)_{ph}, \quad V/Y \longmapsto V/X\] 是余连续的，并有连续右伴随
\[v : (\textit{Spaces}/X)_{ph} \longrightarrow (\textit{Spaces}/Y)_{ph}, \quad (U \to Y) \longmapsto (U \times_X Y \to Y).\] 它们诱导同一拓扑斯态射 \[f_{big} : \Sh((\textit{Spaces}/Y)_{ph}) \longrightarrow \Sh((\textit{Spaces}/X)_{ph})\] 且有 \(f_{big}^{-1}(\mathcal{G})(U/Y) = \mathcal{G}(U/X)\)， \(f_{big, *}(\mathcal{F})(U/X) = \mathcal{F}(U \times_X Y/Y)\)。 此外，\(f_{big}^{-1}\) 有左伴随 \(f_{big!}\)，后者与纤维积和等化子可交换。
证明
函子 \(u\) 余连续、连续，并与纤维积及等化子可交换。因此可应用 《位点》引理 00XR 和 00XS，得到 \(f_{big}^{-1}\) 的公式以及 \(f_{big!}\) 的存在性。此外，函子 \(v\) 是右伴随， 因为给定
\(U/T\) 与 \(V/X\)，有 \(\Mor_X(u(U), V) = \Mor_Y(U, V \times_X Y)\)，正合所需。 于是可应用《位点》引理 00XX 和 00XY， 得到 \(f_{big, *}\) 的公式。
引理
设 \(S\) 为概形。给定 \(S\) 上代数空间的态射 \(f : X \to Y\)、\(g : Y \to Z\)，有 \(g_{big} \circ f_{big} = (g \circ f)_{big}\).
证明
这由引理 0DFN 中大位点上函子的 正像与拉回的简单描述得出。
引理
设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。 设 \(P\) 为 \((\textit{Spaces}/X)_{fppf}\) 中对象的一种性质， 使得每当 \(\{U_i \to U\}\) 是 \((\textit{Spaces}/X)_{fppf}\) 中的覆盖时，都有 \[P(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}) \text{ 对所有 } p \geq 0,\ i_0, \ldots, i_p \in I \Rightarrow P(U)\] 若对所有在 \(X\) 上平坦、局部有限表示的仿射 \(U\) 都有 \(P(U)\)， 则 \(P(X)\)。
证明
设 \(U\) 为 \(X\) 上局部有限表示的分离代数空间。可选择平展覆盖 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)，其中
\(V_i\) 仿射。由于 \(U\) 分离， \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\) 总是仿射， 故总有 \(P(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p})\)。 于是 \(P(U)\) 成立。选择一个由仿射概形不交并而成的概形 \(U\) 以及满平展态射 \(U \to X\)。 则 \(U \times_X \ldots \times_X U\)（共有 \(p + 1\) 个因子） 是 \(X\) 上平展的分离代数空间。因此由上可知 \(P(U \times_X \ldots \times_X U)\)，从而 \(P(X)\) 成立。
Fpqc 拓扑
我们简要讨论代数空间的 fpqc 覆盖概念。请与《拓扑》第 022A 节比较。 我们将在《空间的下降》命题 04W8 中证明，
拟凝聚层可沿这些覆盖下降。
定义
设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。 \(X\) 的 fpqc 覆盖是代数空间的一个态射族 \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\)，其中每个 \(f_i\) 都平坦； 并且对每个仿射概形 \(Z\) 及态射 \(h : Z \to X\)，都存在加细族 \(\{X_i \times_X Z \to Z\}_{i \in I}\) 的标准 fpqc 覆盖 \(\{g_j : Z_j \to Z\}_{j = 1, \ldots, m}\)。
换言之，存在指标 \(i_1, \ldots, i_m \in I\) 及态射 \(h_j : Z_j \to X_{i_j}\)，使得 \(f_{i_j} \circ h_j = h \circ g_j\)。注意，若 \(X\) 及所有 \(X_i\) 均 可表，则由《拓扑》引理 03LB， 这与概形的 fpqc 覆盖相同。
引理
任一 fppf 覆盖都是 fpqc 覆盖；因此更进一步，任一 syntomic、光滑、 平展或 Zariski 覆盖都是 fpqc 覆盖。
证明
只需证明 fppf 覆盖是 fpqc 覆盖，其余结论便由引理 0DFC 得出。 设 \(\{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) 是 \(S\) 上代数空间的 fppf 覆盖。 按定义，\(f_i\) 平坦，这验证了定义 03MQ 的第一个条件。 为验证第二个条件，设 \(V \to U\) 为态射，其中 \(V\) 仿射。 可选择平展覆盖 \(\{V_{ij} \to V \times_U U_i\}\)，其中 \(V_{ij}\) 仿射。 于是复合 \(f_{ij} : V_{ij} \to V \times_U U_i \to V\) 平坦且局部有限表示， 因为它们是具有这些性质的态射的复合 （《空间的态射》引理 03XQ, 03MN, 0467 及 0468). 因此这些态射是开的 （《空间的态射》引理 042S），并且 \(|V| = \bigcup_{i \in I} \bigcup_{j \in J_i} f_{ij}(|V_{ij}|)\) 是 \(|V|\) 的开覆盖。由于 \(|V|\) 拟紧，该覆盖有有限加细。 设 \(V_{i_1j_1}, \ldots, V_{i_Nj_N}\) 实现这一点。 则 \(\{V_{i_kj_k} \to V\}_{k = 1, \ldots, N}\) 是 \(V\) 的标准 fpqc 覆盖，并加细族
\(\{U_i \times_U V \to V\}\)。证明完毕。
引理
设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。
若 \(X' \to X\) 是同构，则 \(\{X' \to X\}\) 是 \(X\) 的 fpqc 覆盖。
若 \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) 是 fpqc 覆盖，并且对每个 \(i\)，\(\{X_{ij} \to X_i\}_{j\in J_i}\) 是 fpqc 覆盖，则 \(\{X_{ij} \to X\}_{i \in I, j\in J_i}\) 是 fpqc 覆盖。
若 \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) 是 fpqc 覆盖，而 \(X' \to X\) 是代数空间的态射，则 \(\{X' \times_X X_i \to X'\}_{i\in I}\) 是 fpqc 覆盖。
证明
(1) 是显然的。考虑 (3) 中的 \(g : X' \to X\) 及 fpqc 覆盖 \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\)。由《空间的态射》引理 03MO，态射 \(X' \times_X X_i \to X'\) 平坦。 若 \(h' : Z \to X'\) 是从仿射概形到 \(X'\) 的态射，则置 \(h = g \circ h' : Z \to X\)。关于 \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) 的假设意味着，存在标准 fpqc 覆盖 \(\{Z_j \to Z\}_{j = 1, \ldots, n}\) 以及盖住 \(h\) 的态射 \(Z_j \to X_{i(j)}\)，其中某些 \(i(j) \in I\)。 由纤维积的泛性质，还得到 \(h'\) 上的态射 \(Z_j \to X' \times_X X_{i(j)}\)。 因此 \(\{X' \times_X X_i \to X'\}_{i\in I}\) 是 fpqc 覆盖， 这就证明了 (3)。
设 \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) 与 \(\{X_{ij} \to X_i\}_{j\in J_i}\) 如 (2) 所述。 设 \(h : Z \to X\) 为从仿射概形到 \(X\) 的态射。 由假设，存在标准 fpqc 覆盖 \(\{Z_j \to Z\}_{j = 1, \ldots, n}\) 及盖住 \(h\) 的态射 \(h_j : Z_j \to X_{i(j)}\)，其中某些 \(i(j) \in I\)。 仍由假设，存在标准 fpqc 覆盖 \(\{Z_{j, l} \to Z_j\}_{l = 1, \ldots, n(j)}\) 以及盖住 \(h_j\) 的态射 \(Z_{j, l} \to X_{i(j)j(l)}\)， 其中某些 \(j(l) \in J_{i(j)}\)。 由《拓扑》引理 03LA， 族 \(\{Z_{j, l} \to Z\}\) 是标准 fpqc 覆盖。 因此 \(\{X_{ij} \to X\}_{i \in I, j\in J_i}\) 是 fpqc 覆盖。
引理
设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。 假设 \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) 是以 \(X\) 为靶的代数空间态射族。 设 \(U \to X\) 为从概形到 \(X\) 的满平展态射。 则 \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) 是 \(X\) 的 fpqc 覆盖， 当且仅当 \(\{U \times_X X_i \to U\}_{i \in I}\) 是 \(U\) 的 fpqc 覆盖。
证明
若 \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) 是 fpqc 覆盖，则由引理 03MR，\(\{U \times_X X_i \to U\}_{i \in I}\) 也是。 反之，假设 \(\{U \times_X X_i \to U\}_{i \in I}\) 是 fpqc 覆盖。 设 \(h : Z \to X\) 为从仿射概形到 \(X\) 的态射。 则 \(U \times_X Z \to Z\) 是概形的满平展态射，特别地是开态射。 因此可找出 \(U \times_X Z\) 的有限多个仿射开集 \(W_1, \ldots, W_t\)，其像覆盖 \(Z\)。 对每个 \(j\)，把 \(\{U \times_X X_i \to U\}_{i \in I}\) 是 fpqc 覆盖这一条件应用于态射 \(W_j \to U\)，得到加细 \(\{W_j \times_X X_i \to W_j\}_{i \in I}\) 的标准 fpqc 覆盖 \(\{W_{jl} \to W_j\}\)。 于是 \(\{W_{jl} \to Z\}\) 是 \(Z\) 的标准 fpqc 覆盖 （见《拓扑》引理 03LA）， 并加细
\(\{Z \times_X X_i \to X\}\)，即得结论。
引理
设 \(S\) 为概形，\(X\) 为 \(S\) 上的代数空间。假设 \(\mathcal{U} = \{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) 是 \(X\) 的 fpqc 覆盖。 则存在 \(\mathcal{U}\) 的加细 \(\mathcal{V} = \{g_i : T_i \to X\}\)，它是 fpqc 覆盖且每个 \(T_i\) 都是概形。
证明
略。提示：对每个 \(i\)，取概形 \(T_i\) 及满平展态射 \(T_i \to X_i\)，再验证 \(\{T_i \to X\}\) 是 fpqc 覆盖。
待续……